harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( 1 - \Theta _ { \mathrm { V A } } ^ { 2 } \right) ^ { ( \alpha - 1 ) / 2 } \left( 1 + \Theta _ { \mathrm { V A } } ^ { 2 } \right) = \frac { 2 \alpha } { \pi ^ { \alpha } } \left( 1 - 2 ^ { 1 - \alpha } \right) \Gamma ( 1 + \alpha ) \zeta ( \alpha ) \left( \frac { 6 } { N } \right) ^ { \alpha } .
\begin{array} { r l } { W = } & { \frac { \pi k ^ { 2 } \omega d ^ { 2 } \left[ \left( \beta ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } \right) \cos ( \psi ) + \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } + 2 \omega ^ { 2 } \right] } { \gamma \left( \alpha ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) \left( \beta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) } \epsilon ^ { 2 } \left[ 1 + O ( \epsilon ) \right] } \end{array}
R : ~ H ( 0 ) , ~ Q ( 1 / 2 ) , ~ Q ^ { c } ( 1 / 2 ) , ~ L ( 1 / 2 ) , ~ L ^ { c } ( 1 / 2 ) , ~ S ( 1 ) , ~ l ^ { c } ( 0 ) , ~ \bar { l } ^ { c } ( 0 ) , ~ N ( 1 / 2 ) , ~ \bar { N } ( 0 ) ~ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , C _ { 0 } L ^ { 2 } + 1 ] } ( 1 + t ) ^ { \frac { d } { 2 } } \mathcal { H } _ { t } } & { = \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , C _ { 0 } L ^ { 2 } + 1 ] } e ^ { \frac { 1 } { C _ { 0 } L ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 4 } ( s ) ^ { - 1 } \, d s } ( 1 + t ) ^ { \frac { d } { 2 } } \mathcal { E } _ { t } } \\ & { \leq e ^ { \frac { C _ { 0 } L ^ { 2 } + 1 } { C _ { 0 } L ^ { 2 } } } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , C _ { 0 } L ^ { 2 } + 1 ] } ( 1 + t ) ^ { \frac { d } { 2 } } \mathcal { E } _ { t } } \\ & { \leq C \mathscr { M } . } \end{array}
\scriptstyle { \begin{array} { l } { { \begin{array} { l l l l l l l } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = 0 , } & & { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) } = 0 , } & & { c _ { 1 } ^ { ( 3 ) } = { \frac { 1 } { i } } \sinh u , } & & { c _ { 1 } ^ { ( 4 ) } = \cosh u , } \\ { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = 0 , } & & { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = 0 , } & & { c _ { 2 } ^ { ( 3 ) } = { \frac { 1 } { i } } \cosh u , } & & { c _ { 2 } ^ { ( 4 ) } = - \sinh u , } \\ { c _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = 1 , } & & { c _ { 3 } ^ { ( 2 ) } = 0 , } & & { c _ { 3 } ^ { ( 3 ) } = 0 , } & & { c _ { 3 } ^ { ( 4 ) } = 0 , } \\ { c _ { 4 } ^ { ( 1 ) } = 0 , } & & { c _ { 4 } ^ { ( 2 ) } = 1 , } & & { c _ { 4 } ^ { ( 3 ) } = 0 , } & & { c _ { 4 } ^ { ( 4 ) } = 0 , } \end{array} } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { X = x + \Delta ^ { ( 2 ) } c _ { 2 } + \Delta ^ { ( 3 ) } c _ { 3 } + \Delta ^ { ( 4 ) } c _ { 4 } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { { \begin{array} { r l } { X } & { = x _ { 0 } + { \mathfrak { X } } ^ { \prime } } \\ { Y } & { = y _ { 0 } + { \mathfrak { Y } } ^ { \prime } } \\ { Z } & { = \left( b + { \mathfrak { Z } } ^ { \prime } \right) \cosh { \mathfrak { u } } } \\ { c T } & { = \left( b + { \mathfrak { Z } } ^ { \prime } \right) \sinh { \mathfrak { u } } } \end{array} } } \\ { \left( \Delta ^ { ( 2 ) } = { \mathfrak { X } } ^ { \prime } , \ \Delta ^ { ( 3 ) } = { \mathfrak { Y } } ^ { \prime } , \ \Delta ^ { ( 4 ) } = { \mathfrak { Z } } ^ { \prime } \right) } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { { \begin{array} { r l } { { \mathfrak { X } } ^ { \prime } } & { = X _ { 0 } - x _ { 0 } + q _ { x } T } \\ { { \mathfrak { Y } } ^ { \prime } } & { = Y _ { 0 } - y _ { 0 } + q _ { y } T } \\ { b + { \mathfrak { Z } } ^ { \prime } } & { = { \sqrt { \left( Z _ { 0 } + q _ { x } T \right) ^ { 2 } - c ^ { 2 } T ^ { 2 } } } } \\ { c { \mathfrak { T } } ^ { \prime } } & { = b \operatorname { a r t a n h } { \frac { c T } { Z _ { 0 } + q _ { x } T } } } \end{array} } } \\ { \left( X = X _ { 0 } + q _ { x } T , \ Y = Y _ { 0 } + q _ { y } T , \ Z = Z _ { 0 } + q _ { x } T \right) } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { d S ^ { 2 } = ( d { \mathfrak { X } } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( d { \mathfrak { Y } } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( d { \mathfrak { Z } } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - c ^ { 2 } \left( { \frac { b + { \mathfrak { Z } } ^ { \prime } } { b ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } ( d { \mathfrak { T } } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \nabla \phi } & { = } & { \frac { \hat { \boldsymbol \imath } } { R \cos \theta } \partial _ { \lambda } \phi + \frac { \hat { \boldsymbol \jmath } } { R } \partial _ { \theta } \phi } \\ { \nabla \cdot \mathbf { w } } & { = } & { \cfrac { 1 } { R \cos \theta } \left[ \partial _ { \lambda } ( w _ { 1 } ) + \partial _ { \theta } ( w _ { 2 } \cos \theta ) \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { z - z ^ { \prime } } \frac { 1 } { \sqrt { j _ { 1 } } } \oint \frac { d y } { 2 \pi i } y ^ { - j _ { 1 } } \partial _ { y } ( 1 + y ) ^ { - j _ { 2 } } \int d \theta ^ { \prime } \Phi _ { j _ { 3 } j _ { 3 } } ( z ^ { \prime } , \theta )
X \overset { \mathrm { P C A } _ { X } } { \mapsto } C _ { X } \overset { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ . ~ ~ ~ r ~ e ~ g ~ . ~ } } { \mapsto } \hat { C } _ { Y } \overset { \mathrm { P C A } _ { Y } ^ { - 1 } } { \mapsto } \hat { Y }
\mathbf { T } _ { n } = \left[ { \begin{array} { c c c c } { \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( \mathbf { y } _ { n } ) } & { ( \mathbf { I } \otimes \mathbf { f } ^ { \intercal } ( \mathbf { y } _ { n } ) ) \mathbf { f } _ { \mathbf { x x } } ( \mathbf { y } _ { n } ) \mathbf { f } ( \mathbf { y } _ { n } ) } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { f } ( \mathbf { y } _ { n } ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right] \in \mathbb { R } ^ { ( d + 3 ) \times ( d + 3 ) } ,
\begin{array} { r l } { D _ { 2 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) } & { = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } 2 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( j ) } } + { \zeta ^ { ( k ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 \cos \theta } ) \frac { 1 } { s ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \overline { { a } } } ^ { \overline { { b } } } \sqrt { - \langle \lambda ^ { \prime } ( \tau ) , \lambda ^ { \prime } ( \tau ) \rangle } d \tau } & { = } & { \int _ { \overline { { a } } } ^ { \overline { { b } } } \phi ^ { \prime } ( \tau ) \sqrt { - \langle \gamma ^ { \prime } ( \phi ( \tau ) ) , \gamma ^ { \prime } ( \phi ( s ) ) \rangle } d \tau } \\ & { = } & { \int _ { a } ^ { b } \sqrt { - \langle \gamma ^ { \prime } ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) \rangle } d s = c T . } \end{array}
\Delta E _ { ( n , \kappa ) } ^ { ( i ) } = \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { i } \frac { \left( Z \alpha \right) ^ { 4 } } { n ^ { 3 } } F _ { n , \kappa } ^ { ( i ) } \left( Z \alpha \right) m _ { e } c ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { \mathcal { V } _ { 1 } } d ^ { 3 } \vec { r } _ { 1 } \; \vec { j } _ { 1 } ( \vec { r } _ { 1 } ) \cdot \vec { E } _ { 2 } ( \vec { r } _ { 1 } ) } & { \approx } & { - i \omega \vec { \mu } _ { 1 } \cdot \vec { E } _ { 2 } ( \vec { 0 } ) } \\ & { + } & { \frac { \partial E _ { 2 , i } } { \partial x _ { 1 , j } } ( \vec { 0 } ) \int _ { \mathcal { V } _ { 1 } } d ^ { 3 } \vec { r } _ { 1 } \; x _ { 1 , j } j _ { 1 , i } ( \vec { r } _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ { \mathbb S } _ { i } , { \mathbb S } _ { j } \right] } & { { } = } & { - \, \epsilon _ { i j k } \, { \mathbb S } _ { k } , } \\ { \left[ { \mathbb D } _ { i } , { \mathbb D } _ { j } \right] } & { { } = } & { - \, \epsilon _ { i j k } \, { \mathbb D } _ { k } , } \\ { \left[ { \mathbb S } _ { i } , { \mathbb D } _ { j } \right] } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \hat { P } ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 1 ) - \hat { P } ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 0 ) ) | } \\ { \ge } & { | P ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 1 ) - P ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 0 ) ) | - | P ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 1 ) - \hat { P } ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 1 ) ) | } \\ & { \ \ \ \ - | P ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 0 ) - \hat { P } ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 0 ) ) | } \\ { \ge } & { c _ { a } - 2 \sqrt { \frac { 2 } { D _ { a } ( t ) } \log \frac { 4 n ^ { 2 } t ^ { 2 } } { \delta } } } \\ { \ge } & { 2 \sqrt { \frac { 2 } { D _ { a } ( t ) } \log \frac { 4 n ^ { 2 } t ^ { 2 } } { \delta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \lambda } } & { = \bigvee _ { \alpha < \lambda } \left( n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } , } \\ & { = \bigvee _ { \alpha < \lambda } n \land \left( \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } , } \\ & { = n \land \left( \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \widetilde B _ { 1 } ) _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \mp , \mu } = B _ { 1 } ( x _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j } ^ { \mu } ) + { \mathcal O } ( h ^ { k } ) \mp A _ { 1 } = B _ { 1 } ( x _ { i \pm \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j } ^ { \mu } ) + { \mathcal O } ( h ^ { k } ) , } \\ & { ( \widetilde B _ { 2 } ) _ { i , j \pm \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , \mp } = B _ { 2 } ( x _ { i } ^ { \mu } , y _ { j \pm \frac { 1 } { 2 } } ) + { \mathcal O } ( h ^ { k } ) \mp A _ { 2 } = B _ { 2 } ( x _ { i } ^ { \mu } , y _ { j \pm \frac { 1 } { 2 } } ) + { \mathcal O } ( h ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { \mathrm { e } } ( \phi ^ { ( n ) } , \psi ^ { ( n ) } | p _ { X } ^ { n } ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } | } \{ ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } | } + 1 \} } \\ & { \quad \times \sum _ { p _ { \overline { { X } } } \in { \cal P } _ { n } ( { \cal X } ) } \Pi _ { \overline { { X } } } ( R ) \mathrm { e } ^ { - n D ( p _ { \overline { { X } } } | | p _ { X } ) } } \\ & { \leq \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } | } \{ ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } | } + 1 \} | { \cal P } _ { n } ( { \cal X } ) | \mathrm { e } ^ { - n [ E ( R | p _ { X } ) ] } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( c ) } } { \leq } \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { 2 | { \cal X } | } \{ ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } | } + 1 \} \mathrm { e } ^ { - n E ( R | p _ { X } ) } } \\ & { = \mathrm { e } ^ { - n [ E ( R | p _ { X } ) - \delta _ { 1 , n } ] } . } \end{array}
\zeta ( \Omega ^ { s _ { 1 } - 1 } \omega _ { p _ { 1 } } \Omega ^ { s _ { 2 } - 1 } \omega _ { p _ { 2 } } \ldots \Omega ^ { s _ { k } - 1 } \omega _ { p _ { k } } ) : = \zeta \left( \begin{array} { r l c l } { { s _ { 1 } , } } & { { s _ { 2 } } } & { { \ldots } } & { { s _ { k } } } \\ { { \lambda ^ { p _ { 1 } } , } } & { { \lambda ^ { p _ { 2 } - p _ { 1 } } } } & { { \ldots } } & { { \lambda ^ { p _ { k } - p _ { k - 1 } } } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { x = \frac { f r _ { 1 } } { r _ { 3 } } } \\ { y = \frac { f r _ { 2 } } { r _ { 3 } } } \\ { d = \frac { f c } { r _ { 3 } } } \end{array} \right. \qquad \longleftrightarrow \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { r _ { 1 } = \frac { x c } { d } } \\ { r _ { 2 } = \frac { y c } { d } } \\ { r _ { 3 } = \frac { f c } { d } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 2 } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } , { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { = N ( N - 1 ) \int d r _ { 3 } . . d r _ { N } \Psi ^ { * } ( { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } , { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } , { \bf r } _ { 3 } , . . , { \bf r } _ { N } ) \Psi ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , { \bf r } _ { 3 } , . . , { \bf r } _ { N } ) \, . } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { n } i ^ { 2 } = { \frac { n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) } { 6 } } = { \frac { n ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { n ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { n } { 6 } } \qquad
{ \sqrt { 2 } } = { \frac { 3 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { a ( 2 ^ { n } ) } } = { \frac { 3 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { 6 } } + { \frac { 1 } { 2 0 4 } } + { \frac { 1 } { 2 3 5 4 1 6 } } + \dots \right)
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } = \sum _ { m } J _ { \mathrm { L } } c _ { m } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta _ { \mathrm { L } } } c _ { m + 1 } + J _ { \mathrm { R } } c _ { m + 1 } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta _ { \mathrm { R } } } c _ { m } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \rho ( g , h ) } & { \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ f \quad { \mathrm { w h e r e ~ t h e ~ k + 1 ~ - a r y ~ f u n c t i o n ~ } } f { \mathrm { ~ i s ~ d e f i n e d ~ b y } } } \\ { f ( 0 , x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) } & { = g ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) } \\ { f ( S ( y ) , x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) } & { = h ( y , f ( y , x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) , x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) \, . } \end{array} }
A _ { ( m = - 1 ) } = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { 1 } } F ( x ) = \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { 1 } } { \frac { \mathrm { c o n s t a n t } } { x } } = { \frac { F _ { 0 } } { x _ { 0 } ^ { - 1 } } } \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { 1 } } { \frac { 1 } { x } } = F _ { 0 } \cdot x _ { 0 } \cdot \ln x : [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ]
\frac { d \varphi _ { 0 } } { d t } = 2 \pi f _ { \mathrm { 0 } } - 2 \pi \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } \varepsilon _ { \mathrm { c } } } { \lambda _ { \mathrm { c } } + \lambda _ { \mathrm { t } } } \sin \left( \varphi _ { \mathrm { 0 } } - \varphi _ { \mathrm { f } } - \frac { \delta _ { \mathrm { c t } } } { 2 } \right) - 2 \pi \frac { \lambda _ { \mathrm { t } } \varepsilon _ { \mathrm { t } } } { \lambda _ { \mathrm { c } } + \lambda _ { \mathrm { t } } } \sin \left( \varphi _ { \mathrm { 0 } } - \varphi _ { \mathrm { f } } + \frac { \delta _ { \mathrm { c t } } } { 2 } \right) + \frac { \lambda _ { \mathrm { t } } \zeta _ { \mathrm { t } } + \lambda _ { \mathrm { c } } \zeta _ { \mathrm { c } } } { \lambda _ { \mathrm { c } } + \lambda _ { \mathrm { t } } } .
- z ( z ^ { - 1 } ) ^ { \prime \prime } = - \frac { 9 } { 4 } { \cal H } ^ { 2 } + \frac { \varphi ^ { \prime \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } + \frac { 5 } { 2 } { \cal H } ^ { \prime } - 2 \biggl ( \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } \biggr ) ^ { 2 } + \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } \biggl ( 2 \frac { { \cal H } ^ { \prime } } { \cal H } - 3 { \cal H } + \frac { { \varphi ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 3 { \cal H } } \biggr )
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { ~ F ~ E ~ N ~ E ~ } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { k \Delta r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } } { 2 } \ln \left( 1 - \left( \frac { r - r _ { 0 } } { \Delta r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \right) ^ { 2 } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r \leq \Delta r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r > \Delta r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \P _ { 1 , 1 } ( z ) } & { = } & { - \frac { z } { 8 } \left( 3 7 - 1 8 6 z ^ { 2 } + 1 6 5 z ^ { 4 } \right) , } \\ { P _ { 2 , 1 } ( z ) } & { = } & { 2 z \left( 1 - z ^ { 2 } \right) \left( 5 - 1 1 z ^ { 2 } \right) , } \\ { P _ { 3 , 1 } ( z ) } & { = } & { - 2 z \left( 1 - z ^ { 2 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
Z ( s ) = \int { \cal D } \psi { \cal D } \bar { \psi } { \cal D } b _ { \mu } ~ F ( \partial b ) \delta ( \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } f _ { \nu \rho } ( b ) ) ~ e ^ { - \int d ^ { 3 } x ~ \bar { \psi } ( \partial \! \! \! / + i ( s \! \! \! / + b \! \! \! / ) + m ) \psi } \; .
\begin{array} { r } { \frac { 3 b } { 8 \mathrm { { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { 2 \mathrm { { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \geq \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } \langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
P ^ { \prime } \equiv F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \, , \medskip \, \ \ \, \ \ \, S ^ { \prime } \equiv F _ { \mu \nu } \widetilde { F } ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } F _ { \mu \nu } F _ { \rho \sigma } \, ,
\begin{array} { r l r } { { \cal M } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { k } , \mathbf { q } ) } & { = } & { \sum _ { j , l = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { k j } \varepsilon _ { k l } \left[ \langle w _ { j , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { - } ) | F ( \mathbf { q } ) | { w } _ { l , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { + } ) \rangle \right. } \\ & { } & { \left. + \langle \psi _ { 1 s } | F ( \mathbf { q } ) | w _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { \prime \, + } , \Omega _ { k } ^ { + } ) \rangle + \langle w _ { j l , 1 0 0 } ( \Omega _ { k } ^ { \prime \, - } , \Omega _ { k } ^ { - } ) | F ( \mathbf { q } ) | \psi _ { 1 s } \rangle \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } - q v } & { = - \frac { \partial p } { \partial \xi } } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } + q u } & { = - \frac { \partial p } { \partial \eta } } \\ { \frac { \partial u } { \partial \xi } + \frac { \partial v } { \partial \eta } } & { = 0 } \\ { q } & { = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( \frac { \partial v } { \partial \xi } - \frac { \partial u } { \partial \eta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } g ( x ) \ d x \ = \ } & { { } \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } I \ } \\ { \ = \ } & { { } \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } + \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { \sigma Q } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \\ { \ = \ } & { { } \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } + \kappa Q } \end{array}
\begin{array} { r } { F = \alpha \, \phi ( \beta / \alpha ) , \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { A = - 2 \mathrm { d } u \mathrm { d } v + ( 1 + \varepsilon f _ { + } ( u ) ) \mathrm { d } x ^ { 2 } + ( 1 - \varepsilon f _ { + } ( u ) ) \mathrm { d } y ^ { 2 } + 2 \varepsilon f _ { \times } ( u ) \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ { \beta = \mathrm { d } u } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { N \left< g _ { i } ^ { t } - g _ { i } ^ { * } , \sigma _ { i } ^ { t } - \hat { \sigma } _ { i } ^ { * } \right> } \\ { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left< F _ { i } ( \sigma _ { i } ^ { t } , \bar { v } ^ { t } , \theta _ { i } ^ { k } ) - F _ { i } ( \hat { \sigma } _ { i } ^ { * } , \hat { \bar { \sigma } } ^ { * } , \theta _ { i } ^ { k } ) , \sigma _ { i } ^ { t } ( \theta _ { i } ^ { k } ) - \hat { \sigma } _ { i } ^ { * } ( \theta _ { i } ^ { k } ) \right> + \sqrt { N } L _ { u } \lVert u _ { i } ^ { t } - \bar { v } ^ { t } \rVert . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Bigl \{ | \Lambda ^ { \prime } ; S ^ { \prime } , \Sigma ^ { \prime } ; J ^ { \prime } , \Omega ^ { \prime } , M _ { J } ^ { \prime } ; i _ { \mathrm { R b } } ^ { \prime } , m _ { i _ { \mathrm { R b } } } ^ { \prime } ; i _ { \mathrm { C s } } ^ { \prime } , m _ { i _ { \mathrm { C s } } } ^ { \prime } \rangle } \\ & { - ( - 1 ) ^ { J ^ { \prime } - S ^ { \prime } + s ^ { \prime } } | - \Lambda ^ { \prime } ; S ^ { \prime } , - \Sigma ^ { \prime } ; J ^ { \prime } , - \Omega ^ { \prime } , M _ { J } ^ { \prime } ; i _ { \mathrm { R b } } ^ { \prime } , m _ { i _ { \mathrm { R b } } } ^ { \prime } ; i _ { \mathrm { C s } } ^ { \prime } , m _ { i _ { \mathrm { C s } } } ^ { \prime } \rangle \Bigr \} , } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = \underline { { { \sigma } } } ^ { 3 } \otimes 1 \! \mathrm { l } _ { 2 } , \ \ \ \ \gamma ^ { r } = i \underline { { { \sigma } } } ^ { 1 } \otimes 1 \! \mathrm { l } _ { 2 } , \ \ \ \gamma ^ { a } = i
\begin{array} { r l } { \sum _ { b \in \mathcal { O } _ { F } / \varpi ^ { k } } r ( b ) \widehat { \Phi } ( x + y j ) } & { = \sum _ { b \in \mathcal { O } _ { F } / \varpi ^ { k } } \psi \big ( b ( \mathrm { N } ( x ) - \mathrm { N } ( y ) ) \big ) \widehat { \Phi } ( x + y j ) . } \\ { \sum _ { b \in \varpi \mathcal { O } _ { F } / \varpi ^ { k } } r ( b ) \widehat { \Phi } ( x + y j ) } & { = \sum _ { b \in \varpi \mathcal { O } _ { F } / \varpi ^ { k } } \psi \big ( b ( \mathrm { N } ( x ) - \mathrm { N } ( y ) ) \big ) \widehat { \Phi } ( x + y j ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \ensuremath { \frac { \partial \rho ^ { 2 } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } } & { { } = \Phi _ { \rho } ^ { [ 2 ] } \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ 2 ] } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } = \Phi _ { \rho } ^ { [ 2 ] } A _ { 4 } ^ { 2 } f ^ { [ 4 ] } } \\ { \left[ \ensuremath { \frac { \partial \rho ^ { 2 } u ^ { 2 } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } } & { { } = \Phi _ { \rho u } ^ { [ 2 ] } \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ 2 ] } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } = \Phi _ { \rho u } ^ { [ 2 ] } A _ { 4 } ^ { 2 } f ^ { [ 4 ] } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } ( { \bf r } ) = \mathbf { E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } ) + \frac { k _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { i \sigma } \mathbf { G } ( { \bf r } - { \bf R } _ { i } , \omega _ { 0 } ) \cdot \mathbf { p } _ { 0 } \; b _ { s i \sigma } ^ { \dagger } b _ { p i \sigma } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \left[ \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } - q _ { a } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ^ { e x t e r n a l } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } , t ) - q _ { a } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } \right] ^ { 2 } + V _ { C o u l } + } \\ { V _ { C o u l } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 8 \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { a \ne b } ^ { N } \frac { q _ { a } q _ { b } } { | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { b } | } } \end{array}
R _ { a b c d } = - \frac { 1 } { 1 6 } W ^ { 2 } ( g _ { a c } g _ { b d } - g _ { a d } g _ { b c } ) + \frac { 1 } { 4 p ^ { 2 } } W ^ { , x } W _ { , x } ( p _ { a } g _ { b [ d } p _ { c ] } - p _ { b } g _ { a [ d } p _ { c ] } )
\int \operatorname { a r s i n h } ( a x ) ^ { 2 } \, d x = 2 x + x \operatorname { a r s i n h } ( a x ) ^ { 2 } - { \frac { 2 { \sqrt { a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 } } \operatorname { a r s i n h } ( a x ) } { a } } + C
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( Q _ { k } - Q _ { - k } ) } & { = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \; \phi ( x ) \sin k x } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( P _ { k } - P _ { - k } ) } & { = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \; \pi ( x ) \sin k x } \\ { \frac { 1 } { \omega _ { k } \sqrt { 2 } } ( P _ { k } + P _ { - k } ) } & { = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \; \phi ( x ) \cos k x } \\ { - \frac { \omega _ { k } } { \sqrt { 2 } } ( Q _ { k } + Q _ { - k } ) } & { = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \; \pi ( x ) \cos k x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( N + 1 ) ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 5 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } f ( x , \xi , v ) e ^ { i N P ( x , \xi , v ) } d x d \xi d v } \\ & { = \frac { ( N + 1 ) ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 5 } } \Big ( \frac { 2 \pi } { N } \Big ) ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 6 a ( \frac { 1 } { p _ { 0 } ^ { 2 } } x ( \beta ) , p _ { 0 } \xi ( \beta ) ) } { ( | \xi ( \beta ) | ^ { 2 } + 1 ) ^ { 4 } } \frac { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } \beta \sin ^ { 2 } \theta _ { 0 } } } { 2 ( 1 - \sin \beta \sin \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } \beta \sin ^ { 2 } \theta _ { 0 } } } d \beta + O ( \frac { 1 } { N } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } a ( \frac { 1 } { p _ { 0 } ^ { 2 } } x ( \beta ) , p _ { 0 } \xi ( \beta ) ) ( 1 - \sin \beta \sin \theta _ { 0 } ) d \beta + O ( \frac { 1 } { N } ) } \\ & { = \frac { p _ { 0 } ^ { 3 } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / p _ { 0 } ^ { 3 } } a \big ( \gamma ( t ) \big ) d t + O ( \frac { 1 } { N } ) , } \end{array}