harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { { { \displaystyle \left( { \frac { W _ { 0 } } { 2 } } - ( z + { \frac { c } { g } } ) ( U - g z ) \right) \left( - { \frac { c } { 2 g } } ( U + 2 c - g z ) W _ { 0 } ^ { 2 } + ( 2 { \frac { c ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } } + c { \frac { U } { g ^ { 2 } } } - c { \frac { z } { g } } ) \right. } } } \\ { { { \displaystyle ( c + g z ) ( U - g z ) W _ { 0 } + c ( U - g z ) 2 T _ { 2 } + g c T _ { A B } \Bigg ) - \left( { \frac { W _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } } - ( z ( U - g z ) \right. } } } \\ { { { \displaystyle \left. + { \frac { c } { 2 g } } ( U + g z ) ) W _ { 0 } - c + { \frac { z } { g } } ( U + 2 c - g z ) ( c + g z ) ( U - g z ) \right) } } } \\ { { { \displaystyle \left( { \frac { W _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } - ( U - g z ) ( z + { \frac { c } { g } } ) W _ { 0 } + 2 g T _ { 2 } + 2 ( U - g z ) \right) = 0 } } } \end{array}
C ( \mathbf { r } , \mathbf { r } + \Delta \mathbf { r } ) \equiv \frac { E \left( \delta ( \mathbf { r } ) \delta ( \mathbf { r } + \Delta \mathbf { r } ) \right) } { E \left( [ \delta ( \mathbf { r } ) ] ^ { 2 } \right) }
\operatorname * { l i m } _ { N { \rightarrow } \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \phi _ { n } ( x ) ^ { \dag } \gamma _ { 5 } \phi _ { n } ( x ) = \operatorname * { l i m } _ { \Lambda \rightarrow \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \phi _ { n } ( x ) ^ { \dag } \gamma _ { 5 } f ( \lambda _ { n } ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) \phi _ { n } ( x )
\begin{array} { r l } { \frac { \eta _ { c } T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T } \overline { { u } } + \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \overline { { x } } } - \frac { \eta _ { c } } { 2 \overline { { x } } } \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \eta } - \frac { T ^ { \prime } } { T ^ { 2 } } \overline { { v } } + \frac { 1 } { T } \frac { \partial \overline { { v } } } { \partial \eta } + \overline { { w } } } & { } \\ { + \left( \frac { \mathrm { i } } { T } - \frac { F T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T ^ { 2 } } \right) \overline { { \tau } } + \frac { F ^ { \prime } } { T } \frac { \partial \overline { { \tau } } } { \partial \overline { { x } } } + \frac { F } { 2 \overline { { x } } T } \frac { \partial \overline { { \tau } } } { \partial \eta } } & { = 0 . } \end{array}
( d - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } - 1 ) G _ { n - 1 } I _ { n } ^ { ( d ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( \partial _ { k } \Delta _ { n } ) { \bf k ^ { - } } I _ { n } ^ { ( d - 2 ) } ,
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial f _ { N T S } ( z ; \theta ) } { \partial \theta } \bigg | \bigg | \mathrm { d } z } \\ { \le } & { \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial } { \partial \theta } \left( f _ { N } ( z ; \mu + \beta y , y ) f _ { T S S } ( y ; \alpha , \delta , \lambda ) \right) \bigg | \bigg | \mathrm { d } y \mathrm { d } z } \\ { = } & { \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial } { \partial \theta } \left( f _ { N } ( z ; \mu + \beta y , y ) f _ { T S S } ( y ; \alpha , \delta , \lambda ) \right) \bigg | \bigg | \mathrm { d } z \mathrm { d } y . } \end{array}
{ \frac { 1 } { d } } = { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } \left[ 1 - 2 \cos ( \theta ^ { \prime } - \theta ) { \frac { r } { r ^ { \prime } } } + \left( { \frac { r } { r ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } .
\mathbb { E } \left( \exp ( \ensuremath { \varepsilon } \| b _ { T } \| _ { \mathcal { C } ^ { t } } ^ { p } ) \right) \le \widetilde C + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { E } \left( \sum _ { k = n _ { \gamma } } ^ { n } \frac { ( \ensuremath { \varepsilon } C ^ { p } | X _ { 1 , 1 } | ^ { p } ) ^ { k } } { k ! } \right) \le \widetilde C + \mathbb { E } \left( \exp ( \ensuremath { \varepsilon } C ^ { p } | X _ { 1 , 1 } | ^ { p } ) \right) < \infty .
S _ { z } ^ { N } = \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q = u , d , s } \left[ \Delta q ( Q ^ { 2 } ) + \Delta \bar { q } ( Q ^ { 2 } ) \right] + \Delta g ( Q ^ { 2 } ) + L _ { z } ^ { q } ( Q ^ { 2 } ) + L _ { z } ^ { g } ( Q ^ { 2 } ) \; \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial F } { \partial V } \bullet ( X ) } & { = } & { - 2 \left< \rho , ( U \odot Y ) \Sigma ( U \odot V ) ^ { T } \right> } \\ & { + } & { 2 \left< ( U \odot Y ) \Sigma ( U \odot V ) ^ { T } , ( U \odot V ) \Sigma ( U \odot V ) ^ { T } \right> , } \\ & { = } & { \left< - 2 ( \tilde { N } - \hat { N } ) , Y \right> , } \end{array}
\varphi ( z , 1 ) = \frac { 1 - \vartheta } { \vartheta } z \left( \frac { w ( z ) - w ( z ) ^ { c + 1 } } { 1 - w ( z ) } \right) = \frac { ( 1 - \vartheta ) z w ( z ) + \vartheta z - w ( z ) } { 1 - w ( z ) } .
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 1 } ( a ) } & { = } & { - \frac { 8 } { 3 } \, a \left[ \ln { \left( \frac { 2 \, a + 1 } { ( \sqrt { 2 a } + 1 ) ^ { 2 } } \right) } + \frac { 2 } { \sqrt { 2 a } + 1 } \right] } \\ { \mu _ { 2 } ( a ) } & { = } & { \frac { 1 } { 3 } \left[ \ln { \left( \frac { 2 \, a + 1 } { ( \sqrt { 2 a } + 1 ) ^ { 2 } } \right) } + \frac { \sqrt { 8 a } } { \sqrt { 2 a } + 1 } \right] \, , } \end{array}
= H _ { a } \left( { \frac { 2 } { T } } \cdot { \frac { e ^ { j \omega _ { d } T / 2 } \left( e ^ { j \omega _ { d } T / 2 } - e ^ { - j \omega _ { d } T / 2 } \right) } { e ^ { j \omega _ { d } T / 2 } \left( e ^ { j \omega _ { d } T / 2 } + e ^ { - j \omega _ { d } T / 2 } \right) } } \right)
\begin{array} { r l r l } { v _ { 1 } } & { = \sqrt { 2 ( p _ { 1 } + p _ { 1 } ^ { * } ) } \cos ( q _ { 1 } ) \ , \quad } & { Y _ { 2 } } & { = \sqrt { 2 J _ { 2 } } \cos ( \vartheta _ { 2 } ) \ , } \\ { u _ { 1 } } & { = \sqrt { 2 ( p _ { 1 } + p _ { 1 } ^ { * } ) } \sin ( q _ { 1 } ) \ , \quad } & { X _ { 2 } } & { = \sqrt { 2 J _ { 2 } } \sin ( \vartheta _ { 2 } ) \ , } \end{array}
{ \cal L } ^ { \delta } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { \delta \lambda } { 4 ! } \phi ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \delta ) \eta ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + { \cal L } _ { \mathrm { c t } } ^ { \delta } \; ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } \langle \nabla _ { p } \cdot \Phi , f W \nabla _ { p } \zeta \rangle _ { p k } d t + \int _ { 0 } ^ { T } \langle \Phi , f W \nabla _ { p } \nabla _ { p } \zeta \rangle _ { p k } d t } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { + \lambda } ^ { + \infty } \left[ f \partial _ { p } \left( \frac { p } { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } W ( \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } } , t ) \partial _ { p } \zeta \right) \right] d p d t } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \delta _ { 1 } } & { = - \frac { 1 8 2 4 S _ { 3 } ^ { 2 } } { 3 5 } - \frac { 1 4 4 X _ { 5 } } { 7 } } & & { \delta _ { 2 } = \frac { 9 6 S _ { 3 } ^ { 2 } } { 7 } + \frac { 2 4 0 X _ { 5 } } { 7 } } \\ { \delta _ { 3 } } & { = \frac { 5 } { 7 } + \frac { 1 2 0 S _ { 3 } } { 7 } } & & { \delta _ { 4 } = \gamma _ { 4 } - h _ { 4 } } \\ { \delta _ { 5 } } & { = 1 - \zeta _ { 5 } - \frac { 7 2 S _ { 3 } } { 7 } - \frac { 1 8 0 X _ { 5 } } { 7 S _ { 3 } } } & & { \delta _ { 6 } = \frac { 3 } { 5 } - \frac { 6 \zeta _ { 5 } } { 5 } - \frac { 9 3 6 S _ { 3 } } { 3 5 } - \frac { 2 1 6 X _ { 5 } } { 7 S _ { 3 } } . } \end{array}
H _ { o p } = \int d ^ { 3 } r \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 m } \right) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \int d ^ { 3 } r \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \nabla ^ { 2 } \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r l } { G ^ { * } ( Q _ { 0 } , M _ { 1 } , M _ { 2 } , M _ { 3 } ) } & { { } = \left( \frac { M _ { 2 } } { ( M _ { 1 } - Q _ { 0 } ) } \right) \cdot \left( 1 - \lambda ( Q _ { 0 } ; M _ { 1 } , M _ { 2 } , M _ { 3 } ) \right) ^ { 2 } } \\ { \mu ( Q _ { 0 } , M _ { 1 } , M _ { 2 } , M _ { 3 } ) } & { { } = \left( \frac { ( M _ { 1 } - Q _ { 0 } ) ^ { 2 } } { M _ { 2 } \cdot ( 1 - \lambda ( Q _ { 0 } , M _ { 1 } , M _ { 2 } , M _ { 3 } ) ) } \right) } \\ { \lambda ( Q _ { 0 } , M _ { 1 } , M _ { 2 } , M _ { 3 } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( M _ { 1 } - Q _ { 0 } ) \cdot M _ { 3 } } { M _ { 2 } ^ { 2 } } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } ( x , y , z ) = \Psi _ { n _ { 1 } } ( x ) \cdot \Psi _ { n _ { 2 } } ( y ) \cdot \Psi _ { n _ { 3 } } ( z ) . } \end{array}
{ \sqrt { 1 + x } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( 2 n ) ! } { ( 1 - 2 n ) ( n ! ) ^ { 2 } ( 4 ^ { n } ) } } x ^ { n } = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } x - { \frac { 1 } { 8 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 6 } } x ^ { 3 } - { \frac { 5 } { 1 2 8 } } x ^ { 4 } + \cdots ,
\mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] = \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] + \underbrace { \frac { 2 \alpha } { M } \mathbb { E } \left[ \langle \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } , \sum _ { i \in [ M ] } g _ { i , t } ( \theta _ { t } ) \rangle \right] } _ { T _ { 1 } } + \underbrace { \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \frac { 1 } { M } \sum _ { i \in [ M ] } g _ { i , t } ( \theta _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] } _ { T _ { 2 } } .
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = - d t _ { 1 1 } ^ { 2 } + a _ { 1 1 } ^ { 2 } ( 1 ) | t | ^ { 2 p _ { 1 1 a } } d x ^ { i } d x ^ { i } + b _ { 1 1 } ^ { 2 } ( 1 ) | t | ^ { 2 p _ { 1 1 b } } d y ^ { m } d y ^ { m } + c _ { 1 1 } ^ { 2 } ( 1 ) | t | ^ { 2 p _ { 1 1 c } } d z ^ { 2 } \quad ,
\lVert q ( u ( \tau _ { 1 } ) , u ( \tau _ { 2 } ) ) - q ( v ( \tau _ { 1 } ) , v ( \tau _ { 2 } ) ) \rVert _ { \mathcal { H } ^ { 2 } } \lesssim \lVert u ( \tau _ { 1 } ) - v ( \tau _ { 1 } ) \rVert _ { \mathcal { H } ^ { 2 } } \lVert u ( \tau _ { 2 } ) \rVert _ { \mathcal { H } ^ { 2 } } + \lVert u ( \tau _ { 2 } ) - v ( \tau _ { 2 } ) \rVert _ { \mathcal { H } ^ { 2 } } \lVert u ( \tau _ { 1 } ) \rVert _ { \mathcal { H } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { p } \cdot \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { k } , t ) } & { = \lambda _ { \boldsymbol { k } } \mathrm { c o s } ( \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } } + \theta _ { \boldsymbol { k } } ) , \qquad - \boldsymbol { k } \cdot A ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } , t ) = \sigma _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } \mathrm { c o s } ( \mathrm { u } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } + \xi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \boldsymbol { a } ( \boldsymbol { k } ) \cdot \boldsymbol { a } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) } & { = \Delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { + } \mathrm { e x p } ( \dot { \iota } \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { + } ) , \qquad \frac { 1 } { 4 } \boldsymbol { a } ( \boldsymbol { k } ) \cdot \boldsymbol { a } ^ { * } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) = \Delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { - } \mathrm { e x p } ( \dot { \iota } \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { - } ) , } \\ { \rho _ { \boldsymbol { k } } = \frac { \lambda _ { \boldsymbol { k } } } { \eta _ { \boldsymbol { k } } } } & { \quad \mathrm { a n d } \quad \alpha _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { \pm } = \frac { \Delta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { \pm } } { \eta _ { \boldsymbol { k } } \pm \eta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } } . } \end{array}
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( X ) = - \gamma - { \frac { \beta } { \alpha } } { \frac { c k } { c k + 1 } } { \Big ( } \alpha ^ { - 1 / k } - 1 { \Big ) } ^ { - k - { \frac { 1 } { c } } } { _ { 2 } F _ { 1 } } { \Big ( } k + 1 , k + { \frac { 1 } { c } } ; k + 1 + { \frac { 1 } { c } } ; - { \frac { 1 } { \alpha ^ { - 1 / k } - 1 } } { \Big ) }
\overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } = \frac { \widehat { \omega } _ { 1 } } { \lambda } \left[ \lambda _ { 1 } \left( { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } \right) + \lambda _ { 2 } \left( { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } \right) \right] \cdot \mathbf { n } _ { 1 } ,
c _ { \mathbf { m } } ^ { + } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = c _ { k \mathbf { m } } ^ { - } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \qquad k \in \mathbb { N } ^ { * } .
\mathrm { d } \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { S } } \\ { u } \end{array} \right] = \mathbf { B } \left( \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { S } } \\ { u } \end{array} \right] - \mathbf { m } \right) \mathrm { d } t + \mathbf { A } \mathrm { d } \mathbf { W } _ { t } ,
\frac { d q _ { i } ( x , Q ^ { 2 } ) } { d \ln Q ^ { 2 } } = \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d y } { y } \left[ \sum _ { j } q _ { j } ( y , Q ^ { 2 } ) P _ { q _ { i } q _ { j } } ( \frac { x } { y } ) + g ( y , Q ^ { 2 } ) P _ { q _ { i } g } ( \frac { x } { y } ) \right]
{ \cal J } _ { 1 0 1 } ( \pm \omega , p ) = { \int } _ { 0 } ^ { \infty } d r _ { 1 } \; r _ { 1 } ^ { 2 } \; j _ { 1 } ( p r _ { 1 } ) \; { \cal B } _ { 1 0 1 } ( E _ { 1 } ^ { \pm } ; r _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { ( A ) } & { = \mathbb E \Big [ \sum _ { x \in N S _ { G } \cap V } \Big ( \sum _ { y \in B _ { R } ( x ) \cap V } r ( x , y ) \big ( G ( y / N ) - G ( x / N ) \big ) \Big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ { ( B ) } & { = \mathbb E \Big [ \sum _ { x \in N S _ { G } \cap V } \Big ( \sum _ { y \in B _ { R } ^ { c } ( x ) \cap V } r ( x , y ) \big ( G ( y / N ) - G ( x / N ) \big ) \Big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ { ( C ) } & { = \mathbb E \Big [ \sum _ { x \in ( N S _ { G } ) ^ { c } \cap V } \Big ( \sum _ { y \in N S _ { G } \cap V } r ( x , y ) G ( y / N ) \Big ) ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \int \frac { E ^ { 2 } } { 2 } d x + \int \frac { \Delta f ^ { 2 } } { 2 f _ { M B } } d x d v \right) \approx \int \frac { \Delta f } { f _ { M B } } \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } d x d v ,
\begin{array} { r l } { \ln \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } } \mathbb { E } [ I _ { i } ] } & { = \ln \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } } P _ { B } \bar { G } ^ { 2 } C \mathbb { E } [ h _ { i } ] \mathbb { E } [ r _ { i } ^ { - \alpha } ] } \\ & { = \ln \left( P _ { B } \bar { G } ^ { 2 } C \right) + \ln \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } } \mathbb { E } [ r _ { i } ^ { - \alpha } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { - } } & { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { - \alpha ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) } & { ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) } \\ { - ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) } & { - \alpha ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) } \end{array} \right] , } \\ { \xi _ { - } } & { = } & { \left[ \begin{array} { l } { \alpha ( ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 3 } ^ { 2 } ) m _ { 2 } - ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) ( 1 + m _ { 1 } ) m _ { 3 } } \\ { \alpha ( ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 3 } ^ { 2 } ) m _ { 3 } + ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) ( 1 + m _ { 1 } ) m _ { 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { h } _ { I } } & { { } = } & { \sum _ { j , { \bf k } } ( g ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } } + g ^ { * } ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ) } \\ { g ( j , { \bf k } ) } & { { } = } & { - \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } L } \sqrt { \omega _ { j } } D _ { j } e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf r } _ { j } } , } \end{array}
T _ { \mathrm { F r } } = \frac { 2 \pi } { a _ { 1 } a _ { 2 } } \{ 1 + \frac { ( c _ { 1 } c ) ^ { 2 } } { 1 ! 1 ! } + \frac { ( c _ { 1 } c ) ^ { 4 } } { 2 ! 2 ! } + \cdots \} .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { x } _ { l m } } & { { } = } & { \frac { 2 l + 1 } { 2 } \int _ { D _ { m } } \phi _ { l m } ( r ) x ( r ) \, d r = \frac { 2 l + 1 } { 2 } \int _ { m \Delta r } ^ { m \Delta r + \Delta r } \tilde { \phi } _ { l } ( \frac { 2 r - 2 m \Delta r } { \Delta r } - 1 ) x ( r ) \, \mathrm { d } r } \end{array}
R \sqrt { \lambda } \left( \ln { \lambda } + \sigma \right) ^ { \prime } \varepsilon _ { u l } ^ { \pm } = i { \bf P } _ { i } ^ { N K } \gamma ^ { i } \varepsilon _ { l u } ^ { \mp } \pm { \frac { 1 } { 2 } } { \bf P } _ { i j } ^ { R F } \gamma ^ { i j } \varepsilon _ { l u } ^ { \pm } ,
\frac { \sinh ( { \theta _ { j } + i { \frac { \eta } { 2 } } } ) } { \sinh ( { \theta _ { j } - i { \frac { \eta } { 2 } } } ) } = - \prod _ { k = 1 } ^ { m } \frac { \sinh ( { \theta _ { j } - \theta _ { k } + i \eta } ) } { \sinh ( { \theta _ { j } - \theta _ { k } - i \eta } ) } ,
\boldsymbol { P } _ { \boldsymbol { \tau } } ^ { \ast } ( \boldsymbol { \theta } ) = \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } - \boldsymbol { Q } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \| \boldsymbol { U } _ { k } \| _ { F } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { V } _ { k } \| _ { F } ^ { 2 } \leq } & { \frac { 1 } { \lambda } \| \boldsymbol { X } - \boldsymbol { U } _ { 0 } \boldsymbol { U } _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } \| _ { F } ^ { 2 } + 2 \| \boldsymbol { U } _ { k } \boldsymbol { V } _ { k } ^ { \mathrm { T } } \| _ { F } \| { \bf I } _ { r } \| _ { F } } \\ { = } & { \frac { 1 } { \lambda } \| \boldsymbol { X } - \boldsymbol { U } _ { 0 } \boldsymbol { U } _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } \| _ { F } ^ { 2 } + 2 \sqrt { r } \| \boldsymbol { U } _ { k } \boldsymbol { V } _ { k } ^ { \mathrm { T } } \| _ { F } } \\ { \leq } & { \left( \frac { 1 } { \lambda } + 2 \sqrt { r } \right) \| \boldsymbol { X } - \boldsymbol { U } _ { 0 } \boldsymbol { U } _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } \| _ { F } ^ { 2 } + 2 \sqrt { r } \| \boldsymbol { X } \| _ { F } = : B _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \dot { \psi } _ { t } ^ { L + 1 } ( x ) - \dot { \psi } _ { t } ^ { L } ( x ) \right| } & { \leq \left| \psi _ { 0 } ^ { L + 1 } ( x ) - \psi _ { 0 } ^ { L } ( x ) \right| } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s \left| \left( G _ { x } ( \psi _ { s } ^ { L + 1 } ) - G _ { x } ( \psi _ { s } ^ { L } ) \right) \right| } \\ & { \leq \left| \psi _ { 0 } ^ { L + 1 } ( x ) - \psi _ { 0 } ^ { L } ( x ) \right| } \\ & { + \operatorname* { s u p } _ { x \in \Lambda _ { L } } \left| \partial _ { \psi _ { t } ( x ) } G _ { x } ( ) \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t } ^ { ( \alpha , \beta , \alpha , \beta , \alpha , \beta ) } } & { ( n , m ) = \frac { ( n + \alpha + \beta + 1 ) ( m + \alpha + \beta + 1 ) } { 2 ( n - m ) ( n + m + \alpha + \beta + 1 ) } \; t \Bigg ( \frac { 1 } { m + \alpha + \beta + 1 } \cdot } \\ & { I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m ) } - \frac { 1 } { n + \alpha + \beta + 1 } I _ { t } ^ { ( \alpha , \beta , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 ) } { ( n , m - 1 ) } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } = \boldsymbol { 1 } + \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( ( b _ { \sigma ( j ) \lambda } - 1 ) E _ { r r } - b _ { \sigma ( j ) r } E _ { r \lambda } ) = \sum _ { r = 1 } ^ { \lambda } E _ { r r } + \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( b _ { \sigma ( j ) \lambda } E _ { r r } - b _ { \sigma ( j ) r } E _ { r \lambda } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \int _ { 0 } ^ { x } \mathrm { e } ^ { - a ( x - y ) } f ( y ) \, \mathrm { d } y } & { = a ^ { - 1 } f ( \infty ) , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to \pm \infty } \int _ { - \infty } ^ { x } \mathrm { e } ^ { - a ( x - y ) } f ( y ) \, \mathrm { d } y } & { = a ^ { - 1 } f ( \pm \infty ) , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \to \pm \infty } \int _ { x } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { a ( x - y ) } f ( y ) \, \mathrm { d } y } & { = a ^ { - 1 } f ( \pm \infty ) . } \end{array}
P _ { r , \varphi , \psi } = \frac { r - \cos \varphi } { r ( 1 - r \cos \varphi ) } + \frac { 1 - r ^ { 2 } } { r ( 1 - r \cos \varphi ) } \mathrm { R e } \left\{ \frac { e ^ { - i \varphi } } { 1 - r e ^ { - i \psi } Q } \left[ 1 + \frac { y r e ^ { - i \psi } } { y r e ^ { - i \psi } - s ( 1 - r e ^ { - i \psi } Q ) } \mathcal { M } \left( - s + \frac { y r e ^ { - i \psi } } { 1 - r e ^ { - i \psi } Q } \right) \right] \right\} .
Q = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { - 2 N } } & { { - 2 N } } \\ { { - 2 N } } & { { 2 N } } & { { 3 N } } \\ { { - 2 N } } & { { 3 N } } & { { 4 N } } \end{array} \right)
\left. \begin{array} { c c } { { ( \hat { e } _ { \hat { \mu } } ^ { \ \hat { a } } ) = \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { - \phi / 3 } e _ { \mu } ^ { \ a } } } & { { e ^ { 2 \phi / 3 } C _ { \mu } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { 2 \phi / 3 } } } \end{array} \right) , } } & { { ( \hat { e } _ { \hat { a } } ^ { \ \hat { \mu } } ) = \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { \phi / 3 } e _ { a } ^ { \ \mu } } } & { { - e ^ { \phi / 3 } C _ { a } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - 2 \phi / 3 } } } \end{array} \right) . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { d ( \vec { c } ) } & { = \Psi ( \varphi ) = m _ { 1 } = J ( \varphi ) - K ( \varphi ) = \frac { p - 1 } { 2 } K ( \varphi ) = \frac { p - 1 } { 2 } \left( \frac { 2 m ( \vec { c } ) } { p + 1 } \right) ^ { \frac { p + 1 } { p - 1 } } } \\ & { = \frac { p - 1 } { n + 2 - p ( n - 2 ) } \left( \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } - \left\| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \right\| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { p - 1 } { 2 ( p + 1 ) } \left( \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } - \left\| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \right\| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + \| \nabla \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { p - 1 } { n + 2 - p ( n - 2 ) } J ( \varphi ) } \\ & { \geq \frac { p - 1 } { 2 ( p + 1 ) } ( 1 - | { \vec { c } } | ^ { 2 } ) \| \varphi \| _ { H ^ { 1 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { p - 1 } { 2 ( p + 1 ) } ( 1 - | { \vec { c } } | ^ { 2 } ) \left( J ( \varphi ) + | { \vec { c } } | ^ { 2 } \left\| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \right\| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { { } = \frac { \gamma - 1 } { \gamma } ( \nu - \gamma ) , } \\ { \check { v } _ { 1 c } } & { { } = \frac { 1 + \alpha } { \alpha } { P } _ { 0 + } \check { v } _ { 1 + } - ( { T } _ { 1 + } - { P } _ { 1 + } { V } _ { 0 + } ) \left( \frac { 1 } { \alpha } - \ln { | \alpha | } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { n } } { \partial ( x ^ { \prime } ) ^ { n } } G ^ { ( 1 ) } ( x - x ^ { \prime } , t ) } & { { } = \frac { e ^ { - i \pi / 4 } } { \sqrt { 2 \pi t } } \frac { \partial ^ { n } } { \partial ( x ^ { \prime } ) ^ { n } } e ^ { i ( x ^ { \prime } - x ) ^ { 2 } / ( 2 t ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { \pm } \rangle } & { = \frac { | 0 \rangle _ { A } \otimes | \! \uparrow \downarrow \rangle _ { B } \pm | \! \uparrow \downarrow \rangle _ { A } \otimes | 0 \rangle _ { B } } { \sqrt { 2 } } , } \\ { | \Psi _ { \pm } \rangle } & { = \frac { | \! \uparrow \rangle _ { A } \otimes | \! \downarrow \rangle _ { B } \pm | \! \downarrow \rangle _ { A } \otimes | \! \uparrow \rangle _ { B } } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}