harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \vec { B } ( \rho , z , \phi ) } & { { } = } & { B ( \rho , z ) \hat { \phi } } \\ { \vec { E } ( \rho , z , \phi ) } & { { } = } & { { \frac { i } { \omega } } \left[ \left( { \frac { \partial B ( \rho , z ) } { \partial \rho } } + { \frac { B ( \rho , z ) } { \rho } } \right) \hat { z } - { \frac { \partial B ( \rho , z ) } { \partial z } } \hat { \rho } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \breve { \gamma } _ { \mathfrak { c } , 1 } } & { : = \left( \frac { \beta h ^ { P } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } } - \frac { \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } / 2 + 2 \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 3 } n ^ { 2 } } \right) , } \\ { \breve { \gamma } _ { \mathfrak { c } , 2 } } & { : = - ( 1 - \mathfrak { c } ) \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \frac { \mathbb { E } q _ { 1 2 } ^ { 2 } } { 2 \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } } , } \\ { \breve { \gamma } _ { \mathfrak { c } , 3 } } & { : = - \frac { 1 } { 6 n ^ { 2 } \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 3 } } ( 2 \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } + 6 \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { \pm } } & { { } = } & { \left\langle \Phi _ { s } ^ { * } \left( \frac { \Lambda _ { s } ^ { s } } { 2 \omega _ { \pm } } \right) ^ { 2 } \beta _ { s } ^ { \pm } \left\{ \delta \phi _ { 0 } ^ { * } \atop \delta \phi _ { 0 } \right\} \frac { \beta _ { \pm } } { ( \tau b \epsilon _ { A } ) _ { \pm } } \left\{ \delta \phi _ { 0 } \atop \delta \phi _ { 0 } ^ { * } \right\} \Phi _ { s } \right\rangle _ { s } . } \end{array}
D _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ u ~ t ~ e ~ } } = \frac { 1 } { 2 } C _ { d , \mathrm { ~ d ~ r ~ o ~ g ~ u ~ e ~ } } \rho _ { \mathrm { ~ a ~ } } v _ { \mathrm { ~ R ~ } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ o ~ g ~ u ~ e ~ } }
\begin{array} { r l } { s } & { = c _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) } + c _ { 2 } e ^ { \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } + c _ { 3 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } } \\ & { + c _ { 4 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 , \pm } ^ { n } } & { = \int _ { \pm x ^ { \prime } > r ^ { \pm } } Z _ { 0 , x ^ { \prime } } ^ { 0 , 1 } Z _ { x ^ { \prime } , y ^ { \prime } } ^ { 1 , n - 1 } Z _ { y ^ { \prime } , v n } ^ { n - 1 , n } d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } , } \\ { W _ { 2 , \pm } ^ { n } } & { = \int _ { \pm ( v n - y ^ { \prime } ) > r ^ { \pm } } Z _ { 0 , x ^ { \prime } } ^ { 0 , 1 } Z _ { x ^ { \prime } , y ^ { \prime } } ^ { 1 , n - 1 } Z _ { y ^ { \prime } , v n } ^ { n - 1 , n } d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } , } \\ { W _ { 3 } ^ { n } } & { = \int _ { x ^ { \prime } , ( v n - y ^ { \prime } ) \in I } Z _ { 0 , x ^ { \prime } } ^ { 0 , 1 } Z _ { x ^ { \prime } , y ^ { \prime } } ^ { 1 , n - 1 } Z _ { y ^ { \prime } , v n } ^ { n - 1 , n } d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { \varnothing , \sigma } ^ { ( P _ { A _ { 1 } } ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } ^ { ( P _ { A _ { 1 } } ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { \varnothing , \tau } ^ { ( P _ { B _ { 1 } } ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( P _ { B _ { 1 } } ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 2 , 4 ) } & { = \delta _ { 3 } c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 2 ) + c ^ { \prime } ( G _ { 2 } , 4 ) + c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 4 ) , } \\ { D c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 4 , 2 ) } & { = \delta _ { 2 } c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 4 ) + c ^ { \prime } ( G _ { 2 } , 2 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 2 ) , } \\ { D c ( G _ { 4 } , G _ { 3 } , 4 , 2 ) } & { = \delta _ { 2 } c ( G _ { 4 } , G _ { 3 } , 4 ) + \delta _ { 3 } c ( G _ { 4 } , 2 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 2 ) , } \\ { D c ( G _ { 2 } , 2 , 4 ) } & { = c ^ { \prime } ( G _ { 2 } , 2 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 2 } , 4 ) , } \\ { D c ( G _ { 3 } , 2 , 4 ) } & { = c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 2 ) - c ^ { \prime } ( G _ { 3 } , 4 ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } } { \frac { \mathrm { d } \Gamma _ { \mathrm { i n s t } } } { \mathrm { d } y } } = { \frac { \nu } { \delta } } \big \{ \Theta ( 1 - y ) - \Theta ( 1 - y - \delta ) \big \} \, .
\begin{array} { r l } { C _ { n T } } & { { } = c _ { n } ( N _ { T } - n _ { T } ) n } \\ { E _ { n T } } & { { } = c _ { n } n _ { T } n _ { 1 } } \\ { C _ { p T } } & { { } = c _ { p } n _ { T } p } \\ { E _ { p T } } & { { } = c _ { p } ( N _ { T } - n _ { T } ) p _ { 1 } } \end{array}
{ \cal H } ( Q , R ) = { \cal H } ( q , r ) + \left( - \frac { 4 r ^ { \prime } q } { 1 + r q } + \frac { 2 r ^ { \prime \prime } r ^ { \prime } + r ^ { \prime } \rho ^ { \prime } ( r ) } { r ^ { 2 } + \rho ( r ) } \right) ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { g \left( R \left( X , Y \right) Z , Z \right) } & { = g \left( \nabla _ { X } \nabla _ { Y } Z - \nabla _ { Y } \nabla _ { X } Z - \nabla _ { \left[ X , Y \right] } Z , Z \right) } \\ & { = g \left( \nabla _ { X } \nabla _ { Y } Z , Z \right) - g \left( \nabla _ { Y } \nabla _ { X } Z , Z \right) - g \left( \nabla _ { \left[ X , Y \right] } Z , Z \right) } \\ & { = X g \left( \nabla _ { Y } Z , Z \right) - g \left( \nabla _ { Y } Z , \nabla _ { X } Z \right) - Y g \left( \nabla _ { X } Z , Z \right) } \\ & { + g \left( \nabla _ { X } Z , \nabla _ { Y } Z \right) - \frac { 1 } { 2 } \left[ X , Y \right] g \left( Z , Z \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } Y X g \left( Z , Z \right) - \frac { 1 } { 2 } X Y g \left( Z , Z \right) - \frac { 1 } { 2 } \left[ X , Y \right] g \left( Z , Z \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( Y X - Y X - \left[ X , Y \right] \right) g \left( Z , Z \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } \equiv \{ e _ { i } } & { : = \frac { 1 } { 3 } ( \mathbf { I } _ { 2 } + \hat { n } _ { i } . \sigma ) \} : ~ ~ \hat { n } _ { i } : = ( \sin \theta _ { i } , 0 , \cos \theta _ { i } ) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \mathrm { w h e r e } ~ ~ } & { \theta _ { 1 } = 0 , ~ \theta _ { 2 } = 2 \pi / 3 , ~ \theta _ { 3 } = 4 \pi / 3 , } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { n } = \frac { 1 } { | \varepsilon ^ { \prime } ( \omega _ { n } ) - 1 | } = \frac { Q _ { 1 } ( \xi _ { 0 } ) } { Q _ { 1 } ( \xi _ { 0 } ) - \xi _ { 0 } Q _ { 1 } ^ { \prime } ( \xi _ { 0 } ) } } \\ { = ( \xi _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) \left[ \frac { \xi _ { 0 } } { 2 } \ln \left( \frac { \xi _ { 0 } + 1 } { \xi _ { 0 } - 1 } \right) - 1 \right] . } \end{array}
\left. \frac { \partial \ell _ { 1 } ( \theta ) } { \partial \theta } \right| _ { \theta _ { 1 } ^ { * } } = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { 1 } ( G _ { i } , \theta _ { 1 } ^ { * } ) \, C ( G _ { i } ) = C ^ { * }
\begin{array} { c c c c c } { \psi } & { : } & { \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) \otimes ( \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) , \dots , \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) ) } & { \to } & { \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) } \\ & & { ( x , \phi _ { 1 } ( x ) , \dots , \phi _ { G } ( x ) ) } & { \mapsto } & { x - \sum _ { g = 1 } ^ { G } \phi _ { g } ( x ) , } \end{array}
K _ { d } ^ { ( p ) } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { \sum _ { c = 1 } ^ { m } \phi _ { c } H _ { i i j j _ { c } } } { \sum _ { c = 1 } ^ { m } \phi _ { c } } \right) ^ { - 1 } \, ,
\langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = \langle \Phi _ { i } | \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , | \Phi _ { i } \rangle
\begin{array} { r l r } { H _ { i } ( U ) } & { = } & { \ln Q _ { i } - \ln ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) + \frac { ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) - ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) } { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) } [ \ln Q _ { 1 } - \ln ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) ] } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; + \frac { ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) - ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) } { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) } [ \ln Q _ { 2 } - \ln ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) ] } \end{array}
\dot { y } = - 0 . 5 7 5 1 x + 0 . 5 9 1 2 x y ^ { 2 } + 0 . 1 3 3 5 x ^ { 2 } y - 1 . 3 4 2 2 x ^ { 3 } - 0 . 1 3 4 0 x y ^ { 4 } - 0 . 2 1 2 2 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - 0 . 1 5 0 3 x ^ { 5 }
\begin{array} { r l r } { y _ { 1 } ( t ) } & { = 1 0 ^ { 3 } \cdot x _ { 1 } ( t ) } & { \quad \mathrm { g ~ m ~ ^ { - 2 } ~ } , } \\ { y _ { 2 } ( t ) } & { = \frac { 1 0 ^ { 3 } \cdot p _ { 2 , 4 } \big ( x _ { 3 } ( t ) + p _ { 2 , 5 } \big ) } { p _ { 2 , 6 } p _ { 2 , 7 } } \cdot x _ { 2 } ( t ) , } & { \quad \mathrm { p p m } \cdot 1 0 ^ { 3 } , } \\ { y _ { 3 } ( t ) } & { = x _ { 3 } ( t ) , } & { \quad \mathrm { ° C } , } \\ { y _ { 4 } ( t ) } & { = \frac { 1 0 ^ { 2 } \cdot p _ { 2 , 4 } \big ( x _ { 3 } ( t ) + p _ { 2 , 5 } \big ) } { 1 1 \cdot \mathrm { e x p } \Big ( \frac { p _ { 4 , 8 } x _ { 3 } ( t ) } { x _ { 3 } ( t ) + p _ { 4 , 9 } } \Big ) } \cdot x _ { 4 } ( t ) , } & { \quad \mathrm { \% } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \star } \alpha } & { = - q _ { 1 } \, d u + p _ { 1 } \, d v } \\ & { = - \left( p { \frac { \partial x } { \partial v } } + q { \frac { \partial y } { \partial v } } \right) d u + \left( p { \frac { \partial x } { \partial u } } + q { \frac { \partial y } { \partial u } } \right) d v } \\ & { = - q \left( { \frac { \partial x } { \partial u } } d u + { \frac { \partial x } { \partial v } } d v \right) + p \left( { \frac { \partial y } { \partial u } } d u + { \frac { \partial y } { \partial v } } d v \right) } \\ & { = - q \, d x + p \, d y , } \end{array} }
u ( x , t ) = \frac { - 3 } { 2 \pi E _ { s } } \int _ { C ( t ) - L / 2 } ^ { C ( t ) + L / 2 } \! \! \log \left| \frac { x - x ^ { \prime } } { L } \right| f ( x ^ { \prime } \! , t ) \mathrm { d } x ^ { \prime } \! .
\begin{array} { r l } { u _ { e 1 } } & { { } = - \frac { n _ { 1 } u _ { e 0 } } { n _ { 0 } } , } \\ { \frac { \partial u _ { i 1 } } { \partial z } } & { { } = - \frac { 1 } { n _ { 0 } } \frac { \partial n _ { 1 } } { \partial t } . } \end{array}
L _ { \mathbb { P } } ^ { 1 } \left( \Omega , C _ { b } \left( \mathcal { M } \right) \right) \ni \psi \longmapsto \hat { \mu } \left( \psi \right) : = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \int \mu _ { \mathbf { T } } \left( d u , d \omega \right) \left( \left( \mathbf { 1 } _ { q ^ { - 1 } \left( u \right) } \circ p \right) \psi \right) \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \left( x , \omega \right) \in \mathbb { R }
f _ { D } = f _ { D _ { s } } \frac { m _ { D _ { s } } ^ { 2 } } { m _ { D } ^ { 2 } } [ 2 - \frac { f _ { + } ^ { D K } ( 0 ) } { f _ { + } ^ { D \pi } ( 0 ) } \frac { m _ { D } ^ { 2 } - m _ { K } ^ { 2 } } { m _ { D } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } ] ^ { - 1 } \; .
\frac { d x ^ { \mu } } { d s } = \frac { d t } { d s } \frac { d x ^ { \mu } } { d t } , \, \, \, \, \frac { d ^ { 2 } x ^ { \mu } } { d s ^ { 2 } } = \frac { d t } { d s } \frac { d } { d t } \left( \frac { d t } { d s } \frac { d x ^ { \mu } } { d t } \right) ,
A _ { \mu } = \mp \, { \frac { 2 i } { g } } \sum _ { I = 1 } ^ { K } \, [ \, H _ { I } \, { \frac { v _ { \mu } ^ { I } } { \rho _ { I } } } + g \, \kappa \, E _ { I \, K + 1 } ^ { \pm } \, R _ { \mu } ^ { I } \, \prod _ { I = 1 } ^ { K - 1 } \delta ( R ^ { K } \cdot R ^ { I } ) \, ] .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k \ge 0 } \sum _ { b \in B \setminus C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e n t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) = } \\ & { = \sum _ { b \in B \setminus C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) \sum _ { k \ge 0 } F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e n t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) = } \\ & { = \sum _ { b \in B \setminus C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) \sum _ { k \ge 0 } F _ { \mu } ( \underbrace { e \rightarrow b ^ { - 1 } S _ { e n t } \rightarrow \dots \nrightarrow b ^ { - 1 } S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) = } \\ & { = \sum _ { b \in B \setminus C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) \nu ( C ( b ^ { - 1 } h ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k \approx } & { ~ 8 . 9 8 \times 1 0 ^ { 9 } ~ \mathrm { N \cdot m ^ { 2 } / C ^ { 2 } } , } \\ { G \approx } & { ~ 6 . 6 7 \times 1 0 ^ { - 1 1 } ~ \mathrm { N \cdot m ^ { 2 } / k g ^ { 2 } } , } \\ { e } & { \approx 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 1 9 } ~ \mathrm { C } , } \\ { m _ { p } } & { \approx 1 . 6 7 \times 1 0 ^ { - 2 7 } ~ \mathrm { k g } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 1 , 3 } = \left| \begin{array} { l l l l l } { - \Tilde { Q } _ { 1 } } & { R _ { 1 } } & & & \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & & \\ & { P _ { 3 } } & { R _ { 3 } } & & \\ & & { - \Tilde { Q } _ { 4 } } & { R _ { 4 } } & \\ { \vdots } & & & & { \ddots } \end{array} \right| = \left| \begin{array} { l l } { \Tilde { Q } _ { 1 } } & { R _ { 1 } } \\ { P _ { 2 } } & { \Tilde { Q } _ { 2 } } \end{array} \right| \cdot \prod _ { i = 3 } ^ { \infty } R _ { i } , } \end{array}
\mathrm { d e t } ^ { ( l ) } B = \sum _ { k = 1 } ^ { l } \sum _ { a _ { 1 } \neq \cdots a _ { k - 1 } \neq 1 } B _ { 1 a _ { 1 } } \cdots B _ { a _ { k - 1 } 1 } \mathrm { d e t } ^ { ( l - k ) } B ,
\left\{ \begin{array} { c } { { M _ { H } L _ { 2 } ( p ) = E _ { t } ( p ) L _ { 1 } ( p ) - \hat { I } _ { q } \left\{ \left[ c _ { p } ^ { ( - ) } c _ { q } ^ { ( - ) } + \hat { p } \cdot \hat { q } s _ { p } ^ { ( - ) } s _ { q } ^ { ( - ) } \right] L _ { 1 } ( q ) \right\} } } \\ { { M _ { H } L _ { 1 } ( p ) = E _ { t } ( p ) L _ { 2 } ( p ) - \hat { I } _ { q } \left\{ \left[ c _ { p } ^ { ( + ) } c _ { q } ^ { ( + ) } + \hat { p } \cdot \hat { q } s _ { p } ^ { ( + ) } s _ { q } ^ { ( + ) } \right] L _ { 2 } ( q ) \right\} . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { 2 \operatorname { a r c o s h } x } & { { } = \operatorname { a r c o s h } ( 2 x ^ { 2 } - 1 ) } & { \quad { \mathrm { ~ f o r ~ } } x \geq 1 } \\ { 4 \operatorname { a r c o s h } x } & { { } = \operatorname { a r c o s h } ( 8 x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } + 1 ) } & { \quad { \mathrm { ~ f o r ~ } } x \geq 1 } \\ { 2 \operatorname { a r s i n h } x } & { { } = \operatorname { a r c o s h } ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) } & { \quad { \mathrm { ~ f o r ~ } } x \geq 0 } \\ { 4 \operatorname { a r s i n h } x } & { { } = \operatorname { a r c o s h } ( 8 x ^ { 4 } + 8 x ^ { 2 } + 1 ) } & { \quad { \mathrm { ~ f o r ~ } } x \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x _ { \alpha , m } ^ { \delta } - x _ { 0 } \| _ { X } } & { \le \frac { \| y _ { 0 } - y ^ { \delta } \| _ { X } } { 2 \sqrt { \alpha } } + \gamma _ { m } \sqrt { 1 + \frac { \gamma _ { m } ^ { 2 } } { \alpha } } \left( R + \frac { 1 } { 2 \sqrt { \alpha } } \mathscr { D } ( R ) \right) + \mathscr { D } ( R ) + \frac { \sqrt { \alpha } } { 2 } R , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathcal { R } ^ { l } ) ^ { n } } & { = } & { k _ { f , 0 } ^ { l } e ^ { - \Delta Z _ { l } \beta ( ( \phi _ { p } ^ { l } ) ^ { n } - ( \phi ^ { l } ) ^ { n } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( ( C _ { i } ^ { l } ) ^ { n } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } ^ { l } e ^ { \Delta Z _ { l } ( 1 - \beta ) ( ( \phi _ { p } ^ { l } ) ^ { n } - ( \phi ^ { l } ) ^ { n } ) } ( ( C _ { e } ^ { l } ) ^ { n } ) ^ { - \Delta z ^ { l } } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( ( C _ { i } ^ { l } ) ^ { n } \right) ^ { b _ { i } } } \\ { ( \mathcal { R } ^ { r } ) ^ { n } } & { = } & { k _ { f , 0 } ^ { r } e ^ { - \Delta Z _ { r } \beta ( ( \phi _ { p } ^ { r } ) ^ { n } - ( \phi ^ { r } ) ^ { n } ) } ( ( C _ { e } ^ { r } ) ^ { n } ) ^ { \Delta z ^ { r } } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( ( C _ { i } ^ { r } ) ^ { n } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } ^ { r } e ^ { \Delta Z _ { r } ( 1 - \beta ) ( ( \phi _ { p } ^ { r } ) ^ { n } - ( \phi ^ { r } ) ^ { n } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( ( C _ { i } ^ { r } ) ^ { n } \right) ^ { b _ { i } } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } { \frac { \beta } { \alpha } } = \operatorname* { l i m } { \frac { \beta \beta ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } { \beta ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } \alpha } } = \operatorname* { l i m } { \frac { \beta } { \beta ^ { \prime } } } \operatorname* { l i m } { \frac { \alpha ^ { \prime } } { \alpha } } \operatorname* { l i m } { \frac { \beta ^ { \prime } } { \alpha ^ { \prime } } } = \operatorname* { l i m } { \frac { \beta ^ { \prime } } { \alpha ^ { \prime } } }
| P _ { \mathrm { ~ B ~ O ~ C ~ ( ~ m ~ , ~ 1 ~ ) ~ } } ( f ) | ^ { 2 } / T _ { c } = T _ { c } \, \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) \tan ^ { 2 } \left( \pi f T _ { c } / ( 2 m ) \right)
\begin{array} { c c c c c } { T } & { \colon } & { \left\{ ( t , x ) \in { \mathbb { R } } _ { + } \times \mathcal { X } \colon x \in X ( t ; \left[ 0 , t \right[ , \partial \mathcal { X } ) \right\} } & { \to } & { { \mathbb { R } } _ { + } } \\ & & { ( t , x ) } & { \mapsto } & { \operatorname* { i n f } \left\{ s \in [ 0 , t [ \colon X ( s ; t , x ) \in \mathcal { X } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { j } } & { ^ { M E R W } = } \\ & { \frac { 1 } { \psi _ { 1 j } ^ { 2 } ( N - 1 ) } \sum _ { k = 2 } ^ { N } \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { k } } \left( N \psi _ { k j } ^ { 2 } - \psi _ { k j } \psi _ { 1 j } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \psi _ { k i } } { \psi _ { 1 i } } \right) , } \end{array}
( * ) \quad f ( x ) = f ( a ) + { \frac { f ^ { \prime } ( a ) } { 1 ! } } ( x - a ) + \cdots + { \frac { f ^ { ( k ) } ( a ) } { k ! } } ( x - a ) ^ { k } + \int _ { a } ^ { x } { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( t ) } { k ! } } ( x - t ) ^ { k } \, d t .
\begin{array} { r } { F _ { s } ( n ) = \frac { 1 } { N } \mathbb E \ln \sum _ { \sigma } \exp \Bigl ( \beta \sum _ { 1 \leq t \leq s - 1 } \Bigl ( \sum _ { k = 1 } ^ { P _ { i _ { t } j _ { t } } } y _ { i _ { t } j _ { t } } ^ { k } \Bigr ) \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } + \Bigl ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } y _ { i _ { s } j _ { s } } ^ { k } \Bigr ) \sigma _ { i _ { s } } \sigma _ { j _ { s } } + \sum _ { s + 1 \leq t \leq M } \Bigl ( \sum _ { k = 1 } ^ { B _ { i _ { t } j _ { t } } } y _ { i _ { t } j _ { t } } ^ { k } \Bigr ) \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } \Bigr ) . } \end{array}
\operatorname* { m i n } \left\lbrace \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 1 } } , \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 2 } } \right\rbrace \leq \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } _ { x } ( x , | u | ) d x \leq \operatorname* { m a x } \left\lbrace \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 1 } } , \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 2 } } \right\rbrace \cdot
\mathbf { \tilde { r } = } ( \tilde { x } , \tilde { y } , \tilde { z } ) = \frac { 1 } { a _ { H } } \left( \frac { x } { l _ { \rho } } , \frac { y } { l _ { \rho } } , \frac { z } { l _ { z } } \right)
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 } } & { = } & { \int _ { | x | > \frac { R } { r } } | \phi _ { k } | \leq \sum _ { j = 1 } ^ { k } \int _ { | x | > \frac { R } { r } } | b _ { j } ^ { r } | = \sum _ { j = 1 } ^ { k } \int _ { | x | > \frac { R } { r } } | r ^ { n } b ( r x ) | = \sum _ { i = 1 } ^ { k } \int _ { | x | > R } | b | = k \int _ { | x | > R } \frac { | x | | b | } { | x | } } \\ & { \leq } & { \frac { k } { R } \| | x | b \| _ { L ^ { 1 } } , } \end{array}
[ \mathbf { u } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j } \gets \frac { 1 } { 1 - [ \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j } } \left[ \mathbf { f } _ { q } ^ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { q } ^ { \mathrm { i n } } , \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \right) _ { j } - [ \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { j } [ \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j } \right]
\mathbb { P } \{ a _ { 1 } ^ { d } ( t + 1 ) = j , \Delta ( X _ { t + 1 } , \hat { X } _ { t + 1 } ) = 0 | a _ { 1 } ^ { d } ( t ) = i , \Delta ( X _ { t } , \hat { X } _ { t } ) = 0 \} + \mathbb { P } \{ a _ { 1 } ^ { d } ( t + 1 ) = j , \Delta ( X _ { t + 1 } , \hat { X } _ { t + 1 } ) = 1 | a _ { 1 } ^ { d } ( t ) = i , \Delta ( X _ { t } , \hat { X } _ { t } ) = 0 \} = \mathbb { P } \{ a _ { 1 } ^ { d } ( t + 1 ) = j , \Delta ( X _ { t + 1 } , \hat { X } _ { t + 1 } = 0 | a _ { 1 } ^ { d } ( t ) = i , \Delta ( X _ { t } , \hat { X } _ { t } = 1 \} + \mathbb { P } \{ a _ { 1 } ^ { d } ( t + 1 ) = j , \Delta ( X _ { t + 1 } , \hat { X } _ { t + 1 } = 1 | a _ { 1 } ^ { d } ( t ) = i , \Delta ( X _ { t } , \hat { X } _ { t } ) = 1 \} , \; \forall \; \mathcal { S } _ { i } , \mathcal { S } _ { j }
\Phi ^ { \alpha } = \left( F _ { i j } ^ { a } = \partial _ { \left[ i \right. } A _ { \left. j \right] } ^ { a } , \varphi _ { a } , \pi _ { a } ^ { 0 } , p _ { a } ^ { i } , \pi _ { i j } ^ { a } , \partial _ { i } B _ { a } ^ { 0 i } \right) ,
\left< \boldsymbol { u } , \mathcal { C } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { u } ) \right> _ { L ^ { 2 } } = - \left< \mathcal { C } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { u } ) , \boldsymbol { u } \right> _ { L ^ { 2 } } = - \left< \boldsymbol { u } , \mathcal { C } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { u } ) \right> _ { L ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \dot { d } } & { = } & { \left\{ i \left( \Delta + U | d | ^ { 2 } + 2 U | e | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} d + \zeta d + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { e } } & { = } & { \left\{ i \left( \Delta + U | e | ^ { 2 } + 2 U | d | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} e + \zeta e + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } . } \end{array}
S _ { \rho } = \frac { \chi \rho _ { 0 } } { t _ { \mathrm { l o a d } } } \exp \left( { - \frac { ( x - x _ { p } ) ^ { 4 } } { \sigma _ { x } ^ { 4 } } - \frac { ( z - z _ { p } ) ^ { 4 } } { \sigma _ { z } ^ { 4 } } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { d \Gamma } { d \Delta p } = } & { \, \frac { n _ { g } A \Delta p } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ( 2 e ^ { - 3 \Delta p ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \bigg ( \frac { 2 \Delta p } { m _ { g } \overline { { v } } } - \frac { 4 m _ { g } \overline { { v } } } { \Delta p } \bigg ) \mathrm { e r f } \big ( \Delta p / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) } \\ { = } & { \, \frac { n _ { g } A \Delta p } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \xi \Big ( \frac { \Delta p } { m _ { g } \overline { { v } } } \Big ) } \end{array}