harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \ker _ { \mathbb { Q } } ( A ) = \operatorname { \mathbb { Q } } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \ \ker _ { \mathbb { Q } } \left( A ^ { T } \right) = \operatorname { \mathbb { Q } } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { - 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \ \ \operatorname { i m } _ { \mathbb { Q } } ( A ) = \operatorname { i m } _ { \mathbb { Q } } \left( \left[ \begin{array} { l l l } { \vec { v } _ { \sigma ^ { - 1 } ( 1 ) } } & { \vec { v } _ { \sigma ^ { - 1 } ( 2 ) } } & { \vec { v } _ { \sigma ^ { - 1 } ( 3 ) } } \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \mathbb { Q } ^ { 3 } , } \\ & { \operatorname { i m } _ { \mathbb { Q } } \left( A ^ { T } \right) = \operatorname { i m } _ { \mathbb { Q } } \left( \left[ \begin{array} { l l l } { \vec { u } _ { 1 } } & { \vec { u } _ { 2 } } & { \vec { u } _ { 4 } } \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \mathbb { Q } ^ { 3 } . } \end{array}
K _ { 3 } ( Q _ { 3 } ^ { 2 } ) + 1 = \gamma [ 1 + 2 \lambda _ { 2 } ^ { 3 / 2 } \exp ( - \frac { 1 } { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } Q _ { 3 } ^ { 2 } ) ] ( 1 + \delta Q _ { 3 } ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { M _ { i } ( t , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( M _ { i } ( t , n - 1 ; \mathbf { g } ) + M _ { i } ( t , n ; \mathbf { g } ) \right) } \\ { \beta _ { i } ( t , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ) } & { { } = \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } _ { \beta } \ L ( \boldsymbol { \beta } ; \mathbf { M } ( t , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ) , \boldsymbol { \phi } ) } \\ { F _ { i } ^ { L W } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) } & { { } = F _ { i } \left( \beta _ { i } ( t , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ) ; \mathbf { g } \right) } \end{array}
\lambda _ { B } = \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \omega _ { 0 } } d \omega \, \omega ^ { 2 } e ^ { - \omega / \tau } } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \omega _ { 0 } } d \omega \, \omega e ^ { - \omega / \tau } } .
\begin{array} { r l } { \phi ( k l ) } & { = ( 1 + k l ) ^ { p - 1 } e ^ { + k l r _ { 0 } / l } \frac { \Gamma \left( - ( p - 1 ) , ( 1 + k l ) r _ { 0 } / l \right) } { 2 \Gamma \left( - ( p - 1 ) , r _ { 0 } / l \right) } } \\ & { + ( 1 - k l ) ^ { p - 1 } e ^ { - k l r _ { 0 } / l } \frac { \Gamma \left( - ( p - 1 ) , ( 1 - k l ) r _ { 0 } / l \right) } { 2 \Gamma \left( - ( p - 1 ) , r _ { 0 } / l \right) } } \end{array}
\Psi = \int \, d ^ { 2 6 } p \left[ \phi ( p ) c _ { 1 } | 0 ; p \rangle + A _ { \mu } ( p ) \alpha _ { - 1 } ^ { \mu } c _ { 1 } | 0 ; p \rangle + \psi ( p ) c _ { 0 } | 0 ; p \rangle + \ldots \right] ,
\begin{array} { r l } { \delta F _ { r e a l } } & { = \frac { d } { d \varepsilon } \left\{ \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { r e a l } + \varepsilon \varphi - \hat { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } d \Omega + \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { i m } - \hat { U } _ { i m } ) ^ { 2 } d \Omega \right. } \\ & { + \frac { \lambda _ { 3 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( ( \bar { U } _ { r e a l } + \varepsilon \varphi ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ) ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } d \Omega } \\ & { \left. + \int _ { \Omega } | \nabla ( \bar { U } _ { r e a l } + \varepsilon \varphi ) | d \Omega + \int _ { \Omega } | \nabla \bar { U } _ { i m } | d \Omega \right\} \Big | _ { \varepsilon = 0 } } \\ & { = \lambda _ { 1 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { r e a l } - \hat { U } _ { r e a l } ) \varphi \; d \Omega + 2 \lambda _ { 3 } \int _ { \Omega } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ) ^ { 2 } - 1 \right) \bar { U } _ { r e a l } \varphi \; d \Omega } \\ & { + \int _ { \Omega } \frac { \nabla \bar { U } _ { r e a l } } { | \nabla \bar { U } _ { r e a l } | } \cdot \nabla \varphi \; d \Omega . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { p _ { 1 2 } } \\ { p _ { 2 2 } } \\ { p _ { 3 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { - y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } \\ { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) Y ; \left( \begin{array} { l } { p _ { 1 3 } } \\ { p _ { 2 3 } } \\ { p _ { 3 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { - x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } \\ { - x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } \\ { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) [ x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } ] } \end{array} \right) Z ,
+ \frac { a } { 2 \sqrt { 3 } \left\vert f \left( \mathbf { k } \right) \right\vert ^ { 2 } } \left( \cos \left( a k _ { x } \right) - \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } a k _ { y } \right) \cos \left( \frac { a k _ { x } } { 2 } \right) \right) \widehat { \mathbf { y } } ,
\int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } \; 2 | { \bf p } | } \; \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { \mathrm { e x p } ( | { \bf p } | ) - 1 } = ( - g _ { \mu \nu } + 4 g _ { \mu 0 } g _ { \nu 0 } ) \frac { \pi ^ { 2 } T ^ { 4 } } { 1 8 0 }
\begin{array} { r l } & { \left\Vert ( u _ { n } - u ^ { * } ) - \alpha _ { n } \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) \delta _ { n } ^ { 2 } - \alpha _ { n } \int _ { \Omega } \left( | \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + V | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) + \frac { \alpha _ { n } \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \delta _ { n } ^ { 4 } } \\ { \leq } & { ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } - \alpha _ { n } ) \delta _ { n } ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { n } \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \delta _ { n } ^ { 4 } . } \end{array}
\delta \simeq { \frac { { I m \left[ \mu _ { 1 } ^ { * } \mu _ { 2 } h \right] } } { { 1 6 \pi ^ { 2 } g _ { * } M _ { 1 } ^ { 2 } } } } \left[ { \frac { { \ M _ { 1 } } } { \Gamma _ { 1 } } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } = - \sin ( \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 1 } } x ) , \quad \Pi _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) = - \left( \frac { \sin \gamma _ { j } } { \sin \beta _ { j } } \right) \sin ( \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 2 } } ( 1 - x ) ) , } \\ { \Upsilon _ { j } ^ { ( 1 ) } ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \bar { \rho } _ { 1 } } } \cos ( \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 1 } } x ) , \quad \Upsilon _ { j } ^ { ( 2 ) } ( x ) = - \frac { 1 } { \sqrt { \bar { \rho } _ { 2 } } } \left( \frac { \sin \gamma _ { j } } { \sin \beta _ { j } } \right) \cos ( \omega _ { j } \sqrt { \bar { \rho } _ { 2 } } ( 1 - x ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial t } = - } & { \lambda \frac { \partial Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } + D \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { + } & { \alpha \left[ Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) - Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) \right] } \\ { \frac { \partial Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial t } = - } & { \lambda \frac { \partial Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } + D \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { + } & { \beta \left[ Q _ { 0 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) - Q _ { 1 } ^ { r = 0 } ( t | x _ { 0 } ) \right] . } \end{array}
C _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { K _ { 1 1 } ^ { q p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { 1 i } ^ { q p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { 1 i } ^ { q } ) } } & { \cdots } & { \frac { K _ { 1 N } ^ { q p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { M i } ^ { q p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { M i } ^ { q } ) } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { K _ { 1 M } ^ { q p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { 1 i } ^ { q p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { 1 i } ^ { q } ) } } & { \cdots } & { \frac { K _ { N M } ^ { q p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { M i } ^ { q p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { M i } ^ { q } ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \Delta \varphi \| _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { \frac { R } { 2 } } ) } } & { = | \langle \nabla \tilde { u } _ { 0 } , \nabla \tilde { f } _ { 0 } \rangle - ( W ^ { \prime } + G _ { \delta } ^ { \prime } ) \tilde { f } _ { 0 } | _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { \frac { R } { 2 } } ) } \leq C R ^ { 2 } \omega = C \delta ^ { 2 5 } . } \end{array}
\{ { \hat { y } } _ { 0 } { \hat { z } } _ { 1 } { \hat { x } } _ { 2 } { \hat { z } } _ { 3 } , \ { \hat { y } } _ { 1 } { \hat { z } } _ { 2 } { \hat { x } } _ { 3 } , \ { \hat { x } } _ { 0 } { \hat { x } } _ { 1 } { \hat { y } } _ { 2 } { \hat { z } } _ { 3 } , \ { \hat { z } } _ { 0 } { \hat { x } } _ { 1 } { \hat { x } } _ { 2 } { \hat { y } } _ { 3 } , \ { \hat { x } } _ { 0 } { \hat { y } } _ { 1 } { \hat { x } } _ { 2 } { \hat { x } } _ { 3 } \} .
{ F } = { \sum _ { m = 1 / 2 } ^ { \infty } \psi _ { - m } \cdot \psi _ { m } } - 1 ~ ~ , ~ ~ { G } = { - \sum _ { m = 1 / 2 } ^ { \infty } \left( \gamma _ { - m } \beta _ { m } + \beta _ { - m } \gamma _ { m } \right) } ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { G \in \mathbb { U } } J ( G ) } & { \leq J ( \overline { { G } } ^ { n } ) } \\ & { = J ( \overline { { G } } ^ { n } ( \cdot , u _ { \cdot } ^ { \overline { { G } } ^ { n } } ) ) \rightarrow \operatorname* { i n f } _ { \mathfrak { g } \in \mathbb { A } } J ( \mathfrak { g } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B \bullet A } ( \ast , \ast ) } & { = \int ^ { q } \mathbf { B } ( \ast , q ) \otimes \mathbf { A } ( q , \ast ) } \\ & { = \int ^ { q } \oplus _ { p \in \mathcal { C } _ { 0 } } \mathcal { C } ( p , q ) \otimes \oplus _ { r \in \mathcal { C } _ { 0 } } \mathcal { C } ( q , r ) } \\ & { \cong \oplus _ { p , r } \mathcal { C } ( p , r ) } \\ & { \cong [ \mathcal { C } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \# \mathcal { S } ^ { \prime } ( n , k , m ) = \left( \frac { ( n , m ) + 1 } { 2 } \right) ^ { k } \# \mathcal { S } ^ { \prime } ( n _ { 1 } , k , m _ { 1 } ) , } \\ & { \# \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime } ( n , k , m ) = \left( \frac { ( n , m ) + 1 } { 2 } \right) ^ { k } \# \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime } ( n _ { 1 } , k , m _ { 1 } ) . } \end{array}
[ \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } s _ { ~ b } ^ { a } t _ { 1 } ^ { b } { } _ { a } , \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } s _ { ~ d } ^ { c } t _ { 2 } ^ { d } { } _ { c } ] = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } s _ { ~ b } ^ { a } [ t _ { 1 } , t _ { 2 } ] _ { ~ a } ^ { b } \, .
\begin{array} { r l r } { G _ { 2 } = - 0 . 7 7 \sqrt { \frac { R } { r } } \frac { S ^ { 3 / 2 } } { \nu } \mu _ { 2 i } , } & { { } } & { H _ { 2 } = - 2 . 7 4 \sqrt { \frac { R } { r } } \frac { S ^ { 3 / 2 } } { \nu } \left[ \mu _ { 3 i } - \left( \bar { y } ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) \mu _ { 2 i } \right] , } \end{array}
\Delta E = - \frac { \beta _ { 0 } ^ { 4 } } 8 \left( \frac 1 { m ^ { 3 } } + \frac 1 { M ^ { 3 } } \right) + \frac { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 m M } \left< \phi _ { 0 } \right| I \left| \phi _ { 0 } \right> + \frac 1 { 2 \mu } \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } + \frac { \mu ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) \left< \phi _ { 0 } \right| I ^ { 2 } \left| \phi _ { 0 } \right>
\lambda = \frac { c _ { \mathrm { t i p } } } { c _ { \mathrm { r o o t } } } , \quad \frac { c _ { \mathrm { r o o t } } } { c } = \frac { 2 } { 1 + \lambda } , \quad \mathrm { a n d } \quad \Lambda _ { \mathrm { T E } } = \arctan \left[ - \frac { 2 } { s A R } \left( \frac { 1 - \lambda } { 1 + \lambda } \right) + \tan { ( \Lambda _ { \mathrm { L E } } ) } \right] \mathrm { ~ . }
\phi ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { 4 } ) = \sum _ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } } \sum _ { \Lambda } \left( \phi _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } } \ C _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \, \Lambda } \right) \left( { C } _ { \beta _ { 1 } \ldots \beta _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \, \Lambda } D _ { \beta _ { 1 } \gamma _ { 1 } } ^ { ( N _ { 1 } ) } ( g _ { 1 } ) \ldots D _ { \beta _ { 4 } \gamma _ { 4 } } ^ { ( N _ { 4 } ) } ( g _ { 4 } ) \ w _ { \gamma _ { 1 } } \ldots w _ { \gamma _ { 4 } } \ \right) ,
E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ^ { 3 / 2 } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ^ { 3 } \sim ( \omega ^ { 2 } \ln { \tau } ) ^ { 3 / 2 } \frac { ( - \ln { \tau } ) ^ { 3 / 2 } } { \omega ^ { 3 } } \sim ( - \ln { \tau } ) ^ { 3 }
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| [ \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \xi - \sigma + \delta ) - \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \xi - \sigma ) ] h _ { \epsilon } ( \sigma ) \right| d \sigma \leq \frac { A } { \nu t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { \xi - \sigma } ^ { \xi - \sigma + \delta } \Psi \left( t , \frac { \mu } { 2 } \right) d \mu d \sigma = \frac { 2 A \delta } { \nu t } .
{ \begin{array} { r l } { P ( H _ { 1 } \mid E ) } & { = { \frac { P ( E \mid H _ { 1 } ) \, P ( H _ { 1 } ) } { P ( E \mid H _ { 1 } ) \, P ( H _ { 1 } ) \; + \; P ( E \mid H _ { 2 } ) \, P ( H _ { 2 } ) } } } \\ { \ } & { = { \frac { 0 . 7 5 \times 0 . 5 } { 0 . 7 5 \times 0 . 5 + 0 . 5 \times 0 . 5 } } } \\ { \ } & { = 0 . 6 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { u } ( x , y , t ) = } & { { } \bar { f } y , } \\ { { v } ( x , y , t ) = } & { { } \tilde { v } _ { 0 } ( t ) + \tilde { v } _ { x } ( t ) x + \tilde { v } _ { y } ( t ) y , } \\ { { h } ( x , y , t ) = } & { { } \tilde { h } _ { 0 } ( t ) , } \end{array}
m _ { ( X , X ^ { \prime } ) } ^ { \prime } \colon \pi _ { 1 } ( { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { X } , { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { X } ) \times \pi _ { 1 } ( { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { X ^ { \prime } } , { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { X ^ { \prime } } ) \to \pi _ { 1 } ( { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { X \sqcup X ^ { \prime } } , { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { X \sqcup X ^ { \prime } } ) .
\begin{array} { r l r } { \tilde { p } ( v ( w ) ) } & { = } & { 1 + \frac { \tilde { p } _ { 1 } d _ { 1 } w } { 2 } + \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( d _ { 2 } - \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \right) \tilde { p } _ { 1 } + \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } \tilde { p } _ { 2 } \right\} w ^ { 2 } } \\ & { ~ } & { + \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( d _ { 3 } - d _ { 1 } d _ { 2 } + \frac { d _ { 1 } ^ { 3 } } { 4 } \right) \tilde { p } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } d _ { 1 } \left( d _ { 2 } - \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \right) \tilde { p } _ { 2 } + \frac { d _ { 1 } ^ { 3 } } { 8 } \tilde { p } _ { 3 } \right\} w ^ { 3 } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { x } } & { = } & { - \frac { 2 L B _ { 0 } } { \pi H _ { b } } \cos { \frac { \pi x } { 2 L } } \exp \left( { - \frac { z } { H _ { b } } } \right) \, , } \\ { B _ { y } } & { = } & { - \sqrt { 1 - \left( \frac { 2 L } { \pi H _ { b } } \right) ^ { 2 } } B _ { 0 } \cos { \frac { \pi x } { 2 L } } \exp \left( { - \frac { z } { H _ { b } } } \right) \, , } \\ { B _ { z } } & { = } & { B _ { 0 } \sin { \frac { \pi x } { 2 L } } \exp \left( { - \frac { z } { H _ { b } } } \right) \, , } \end{array}
\hat { H } _ { i } = \hbar \omega _ { i } \Bigl ( \hat { a } ^ { \dagger } ( t ) \hat { a } ( t ) + \frac { 1 } { 2 } \Bigr ) = \hbar \omega _ { i } \Bigl ( \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \Bigr ) ,
\left[ \begin{array} { l } { U _ { \mathrm { h p } } } \\ { Y } \\ { U _ { \mathrm { n l } } - \Phi _ { \mathrm { b } , f } ( x _ { y } ) U _ { \mathrm { h f } } } \end{array} \right] g = \mathcal { A } ( w _ { \mathrm { d } } ) g = \left[ \begin{array} { l } { w _ { \mathrm { i n i } } } \\ { y _ { \mathrm { r } } } \\ { \Phi _ { \mathrm { b } , p } ( x _ { y } ) u _ { \mathrm { h , i n i } } + \phi _ { \mathrm { b } , 0 } } \end{array} \right] .
{ \cal S } _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( p ) = 2 \pi \sum _ { n } \delta \left( p _ { 0 } - M - \varepsilon _ { n } + T _ { R } \right) \psi _ { n , \sigma } ( { \vec { p } } ) \psi _ { n , \sigma ^ { \prime } } ^ { * } ( { \vec { p } } ) .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \pmb q ^ { \prime } } { \partial t } = \mathbf { L } \pmb q ^ { \prime } + \pmb { f _ { e } } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \mathbf { L } = \left. \frac { \partial \pmb { R } ( \pmb q ) } { \partial \pmb q } \right| _ { \pmb q _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { A } { A _ { t h } } \right) ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \eta _ { \gamma } } \left[ 1 - \left( \frac { \bar { \rho } } { \rho _ { 0 } } \right) ^ { ( \gamma - 1 ) } \right] ^ { 1 / 2 } \frac { \bar { \rho } } { \rho _ { 0 } } , } \end{array}
\phi ( x ) = A \vert x - x _ { o } \vert ^ { - \frac { 2 } { \delta - 1 } } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ A = \left[ \frac { g _ { 2 } } { 2 } ( \delta - 1 ) ^ { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { \delta - 1 } }
P = \frac { 1 } { 2 \alpha ^ { \prime } \dot { t } } \; \frac { \dot { R } ^ { 2 } - R ^ { 2 } } { ( 1 + \frac { K } { 4 } R ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { b } \alpha ^ { 2 } } [ \frac { \dot { r } ^ { 2 } } { 1 - K r ^ { 2 } } - r ^ { 2 } ] = \frac { b \alpha ^ { 2 } - 2 r ^ { 2 } } { 2 \sqrt { b } \alpha ^ { 2 } } .
V = V _ { U } V _ { D } ^ { \dagger } = R _ { 1 2 } ^ { U } R _ { 2 3 } ^ { U } \Phi ^ { U } \left( \Phi ^ { D } \right) ^ { \ast } \left( R _ { 2 3 } ^ { D } \right) ^ { - 1 } \left( R _ { 1 2 } ^ { D } \right) ^ { - 1 }
\overline { { n _ { z } } } = \frac { \sum _ { n _ { z } = 0 } ^ { n _ { z } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } n _ { z } \exp { ( - h \nu _ { z } n _ { z } / k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ r ~ } } ) } } { \sum _ { n _ { z } = 0 } ^ { n _ { z } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \exp { ( - h \nu _ { z } n _ { z } / k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ r ~ } } ) } }
\Sigma = \langle \Omega \vert T r ( { \bar { \Psi } ( 0 ) } \Psi ( 0 ) ) \vert \Omega \rangle = - { \frac { s i n ( \theta ) } { 2 L \sqrt { 2 } } } \int _ { - 1 } ^ { 0 } \zeta ( Z _ { R } ) \zeta ( - Z _ { R } - 1 ) d Z _ { R } .
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T ^ { 1 } ( S ) \cdot T ^ { 1 } ( n ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N ^ { \prime } + F _ { 1 } + G } \left\{ \begin{array} { c c c } { G ^ { \prime } } & { N ^ { \prime } } & { F _ { 1 } } \\ { N } & { G } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - K } \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 1 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 0 } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G ^ { \prime } + S + 1 + I } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { G ^ { \prime } } & { I } \\ { G } & { S } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } + \rho _ { s } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s \bigg | } \\ & { \quad \le \Lambda \int _ { 0 } ^ { t } \bigg | \bigg \langle \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } + \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \bigg | \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \le \frac { \lambda } { 4 } \int _ { 0 } ^ { t } \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } s + \Big ( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda } + \Lambda \Big ) \int _ { 0 } ^ { t } \left\lVert \rho _ { s } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\left( ~ p _ { 1 } ^ { \mu } + p _ { 2 } ^ { \mu } ~ + ~ \Omega ^ { \mu } \right) \Psi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; P ) \chi _ { S } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) ~ = ~ P ^ { \mu } ~ \Psi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; P ) \chi _ { S } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu = 0 , 1 , 2 , 3
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \nabla \, \cdot \, \underline { { u } } } & { = 0 } & & { \qquad \textnormal { i n } \: \Omega \times [ 0 , T _ { e } ] , } \\ { \frac { \partial \underline { { u } } } { \partial t } + ( \underline { { u } } \, \cdot \, \nabla ) \underline { { u } } - 2 \nu \nabla \, \cdot \, \epsilon ( \underline { { u } } ) + \nabla p } & { = \underline { { f } } } & & { \qquad \textnormal { i n } \: \Omega \times [ 0 , T _ { e } ] , } \\ { \underline { { u } } } & { = \underline { { u } } _ { 0 } } & & { \qquad \textnormal { i n } \: \Omega , t = 0 , } \\ { \underline { { u } } } & { = 0 } & & { \qquad \textnormal { i n } \: \partial \Omega _ { D } \times [ 0 , T _ { e } ] , } \end{array}
\Phi _ { V } = \eta \sqrt { \frac { 2 } { N ( N ^ { 2 } - 1 ) } } \left( \begin{array} { l l } { { n { \bf 1 } _ { n + 1 } } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { - ( n + 1 ) { \bf 1 } _ { n } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \dot { E } ( t ) + \mu ( t ) E ( t ) \ \leq \ } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 2 } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) + \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } + \gamma ( 2 a + c \gamma ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left( \frac { 2 \dot { \lambda } ( t ) } { \lambda ( t ) } - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ( t ) } \right) ^ { 2 } \right) \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { - \ \frac { \beta } { 2 } \| \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } \ = \ \frac { g ( t ) \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \beta } { 2 } \| \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\Phi + \lambda \frac { \mathcal M ( - \sigma ) } \sigma = 1 + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } Z _ { n } = \pi \tau _ { m } R - i V _ { s } = \tau _ { m } [ \pi + i \log ( a ) ] R - i V ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( t ) } & { = } & { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } \Big [ r _ { k } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } + \Gamma ( j ) ^ { 2 } { \theta } ^ { j } \: _ { 3 } \tilde { F } _ { 2 } ( j , j , j - x ; j + 1 , j + 1 ; \theta ) \Big ] } { r _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha ^ { 2 } E _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ B ~ } } ^ { ( 2 ) } = \alpha ^ { 2 } E _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } ^ { ( 2 ) } + \alpha ^ { 2 } E _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { ( 2 ) } \; , } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { 2 D } } = \frac { 1 } { 2 \mu } \left( p _ { r } ^ { 2 } + \frac { p _ { \phi } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) + \varepsilon ( r ) - \Omega ( t ) p _ { \phi } - \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } f ( t ) ^ { 2 } [ \Delta \alpha ( r ) \cos ^ { 2 } \phi + \alpha _ { \bot } ( r ) ] .
\| ( \tilde { A } _ { i j } , \tilde { A } _ { i } ) \| _ { 1 , \alpha , \mathbb { R } ^ { 2 } \times ( \overline { { \Omega } } \cap \{ s \leq x _ { 1 } \leq h - s \} ) } \leq M \Big ( \frac { h } { s } \Big ) ^ { M } .