harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I = } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \cup _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } \cup _ { j = 0 } ^ { j _ { 0 } } \mathcal { H } _ { i j } } \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \lambda _ { n } J _ { 0 } - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \lambda _ { n } J ( f ) \geq 0 \Big ) } \\ { \leq } & { \sum _ { i = 0 } ^ { i _ { 0 } } \sum _ { j = 0 } ^ { j _ { 0 } } \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \lambda _ { n } J _ { 0 } - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \lambda _ { n } J ( f ) \geq 0 \Big ) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { 0 } } \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \lambda _ { n } J _ { 0 } - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \lambda _ { n } J ( f ) \geq 0 \Big ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { i _ { 0 } } \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i 0 } } \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) + \lambda _ { n } J _ { 0 } - \widetilde { R } _ { n , \upsilon } ( f ) - \lambda _ { n } J ( f ) \geq 0 \Big ) \equiv I _ { 1 } + I _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { { I R } } } } & { { } = \int _ { \left| \mathbf { \epsilon _ { { k } , \alpha } } \right| < \Lambda } \mathrm { d } { k } \ \overline { { \gamma } } _ { \alpha , { k } } \frac { \left( i \omega - h _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , \mathbf { k } } \right) } { 2 } \gamma _ { \alpha ^ { \prime } , { k } } + S _ { \phi } ^ { \prime } + S _ { \mathrm { { I n t } } } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ s , T ] } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u ( t ) \| _ { L ^ { \zeta } } ^ { \zeta } \geq \gamma \Big ) } & { \leq \psi ( \gamma ) ( 1 + { \mathbb E } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u ( s ) \| _ { L ^ { \zeta } } ^ { \zeta } ) , } \\ { { \mathbb P } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 \} } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \int _ { s } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | u _ { i } | ^ { \zeta - 2 } | \nabla u _ { i } | ^ { 2 } \, d x d s \geq \gamma \Big ) } & { \leq \psi ( \gamma ) ( 1 + { \mathbb E } { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u ( s ) \| _ { L ^ { \zeta } } ^ { \zeta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { x } } & { { } = \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathrm { c } _ { } ( z ) \cos ( x - t ) , } \\ { u _ { z } } & { { } = \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathrm { s } _ { } ( z ) \sin ( x - t ) . } \end{array}
\sigma = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { \cdots } & { i } & { \cdots } & { n - 1 } \\ { \tau ( 1 ) ( \leftarrow ) _ { j } } & { \tau ( 2 ) ( \leftarrow ) _ { j } } & { \cdots } & { \tau ( i + 1 ) ( \leftarrow ) _ { j } } & { \cdots } & { \tau ( n ) ( \leftarrow ) _ { j } } \end{array} \right) }
\Gamma ^ { 0 } ( t \rightarrow H ^ { + } b ) = \frac { G _ { F } m _ { t } ^ { 3 } } { 4 \sqrt 2 \pi } | V _ { t b } | ^ { 2 } [ \bar { P } _ { 0 } ( \mathrm { a } ^ { 2 } + \mathrm { b } ^ { 2 } ) + \epsilon ( \mathrm { a } ^ { 2 } - \mathrm { b } ^ { 2 } ) ] \bar { P } _ { 3 }
\begin{array} { r l } { \widehat { B } ^ { * } \widehat { B } - B ^ { * } B } & { = B ^ { * } M + M ^ { * } C _ { \gamma } ^ { 1 / 2 } \widehat { G } _ { \gamma } - B ^ { * } N \widehat { G } _ { \gamma } = B ^ { * } M + ( M ^ { * } C _ { \gamma } ^ { 1 / 2 } - B ^ { * } N ) ( \widehat { G } _ { \gamma } \pm G _ { \gamma } ) } \\ & { = B ^ { * } M + M ^ { * } B - B ^ { * } N G _ { \gamma } + ( M ^ { * } - B ^ { * } N C _ { \gamma } ^ { - 1 / 2 } ) R } \\ & { = ( G _ { \gamma } ) ^ { * } ( \widehat { T } - T ) + ( \widehat { T } - T ) G _ { \gamma } - ( G _ { \gamma } ) ^ { * } ( \widehat { C } - C ) G _ { \gamma } + ( M ^ { * } + ( G _ { \gamma } ) ^ { * } N ^ { * } ) R . } \end{array}
\zeta ^ { \prime } ( s \mid D _ { 0 } D _ { 0 } ^ { \dagger } ) = 2 | k | \left\{ - \left( \ln \frac { 4 \pi | k | } { | \tau | } \right) \left( \frac { | \tau | } { 4 \pi | k | } \right) ^ { s } \zeta _ { R } ( s ) + \frac { | \tau | ^ { s } } { ( 4 \pi | k | ) ^ { s } } \zeta _ { R } ^ { \prime } ( s ) \right\} ,
a = \operatorname* { m a x } _ { x \in \Omega } | U ( x ) | ; \qquad b = \operatorname* { m a x } _ { x \in \Omega } | \mathrm { c u r l } \, U ( x ) | ; \qquad c = \operatorname* { m a x } _ { x \in \Omega } \sqrt { \sum _ { i , k = 1 } ^ { d } \left( \partial _ { k } U _ { i } ( x ) \right) ^ { 2 } } .
\mathrm { ~ i ~ } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \mu _ { _ { S C } } = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { F } > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( r / 2 \right) \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \, r \mathrm { ~ d ~ } r ,
\begin{array} { r } { x _ { 0 } ^ { a } = \frac { \int x | \vec { E _ { a } } | ^ { 2 } \, d x \, d y } { \int | \vec { E _ { a } } | ^ { 2 } \, d x \, d y } , } \\ { y _ { 0 } ^ { a } = \frac { \int y | \vec { E _ { a } } | ^ { 2 } \, d x \, d y } { \int | \vec { E _ { a } } | ^ { 2 } \, d x \, d y } , } \end{array}
\nonumber { \cal L } _ { Q C D } = - { \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } } G _ { \mu \nu } ^ { a } G ^ { a \, \mu \nu } + \overline { { { q } } } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } q - \overline { { { q } } } { \cal M } q .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { t } ( \theta ) } { \partial t } } & { = - \Bigl ( M ^ { \mathrm { S } } ( \rho _ { t } ) ^ { - 1 } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \rho } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } \Bigr ) ( \theta ) } \\ & { = \nabla _ { \theta } \cdot \Bigl ( \rho _ { t } ( \theta ) \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \bigl ( \log \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) - \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ^ { \prime } ) \bigr ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \Bigr ) . } \end{array}
w _ { S } ( I _ { 1 } , I _ { 2 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } ) = w _ { S , 0 } + \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 3 } ) \log ( I _ { 2 } + 1 ) + \frac { 1 } { 8 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \log ^ { 2 } ( I _ { 2 } + 1 ) + \alpha _ { 3 } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( I _ { 1 } + 2 ) - 1 \right] ,
- \frac { i } { \hbar } \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \left[ g _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \left( \begin{array} { c } { \mathrm { \bf ~ A } _ { o p } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \\ { \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } } \end{array} \right) \right] = - \frac { i } { \hbar } \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \left( \begin{array} { c } { - i \hbar \nabla _ { \mathrm { \bf ~ r } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } \\ { - i \hbar q _ { a } \nabla _ { \mathrm { \bf ~ r } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) } \end{array} \right)
{ \cal L } = \left[ \overline { { { L _ { a } } } } \times \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { v ^ { d } } } \end{array} \right) \right] f _ { a b } ^ { d } l _ { R b } + \left[ \overline { { { L _ { a } } } } \times \left( \begin{array} { c } { { v ^ { u } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \right] f _ { a b } ^ { u } N _ { b } + \frac { 1 } { 2 } \overline { { { N _ { a } ^ { c } } } } v _ { 1 2 6 } f _ { a b } ^ { 1 2 6 } N _ { b } + h . c
\Delta S _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } ( \lambda , t ) = \sum _ { m = 0 } ^ { N } G ( \lambda , t + m / f _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ } } ) - G ( \lambda , t + m / f _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ } } + 5 \textrm { n s } )
- e ^ { 4 } \left( { \frac { ( { \bar { v } } _ { k } \gamma ^ { \mu } v _ { k ^ { \prime } } ) ( { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } \gamma _ { \mu } u _ { p } ) } { ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \right) \left( { \frac { ( { \bar { v } } _ { k } \gamma ^ { \nu } u _ { p } ) ( { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } \gamma _ { \nu } v _ { k ^ { \prime } } ) } { ( k + p ) ^ { 2 } } } \right) ^ { * }
\begin{array} { r l } { \lefteqn { W ( \lambda \llcorner B _ { R } , ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } + \kappa _ { g } ) d x \llcorner B _ { R } ) } } \\ & { \le W ( \lambda \llcorner B _ { R } , \kappa _ { \lambda } d x \llcorner B _ { R } - f ^ { \prime } + g ^ { \prime } ) } \\ & { + W ( \kappa _ { \lambda } d x \llcorner B _ { R } - f ^ { \prime } + g ^ { \prime } , ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } ) d x \llcorner B _ { R } + g ^ { \prime } ) } \\ & { + W ( ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } ) d x \llcorner B _ { R } + g ^ { \prime } , ( \kappa _ { \lambda } - \kappa _ { f } + \kappa _ { g } ) d x \llcorner B _ { R } ) . } \end{array}
f _ { 2 } = H \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial t } - H ^ { 2 } \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial t } - \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } ( \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } - \xi \zeta ) - \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \xi \frac { \partial \sigma } { \partial x } .
[ \hat { X } ^ { \mu } , \hat { X } ^ { \nu } ] = \frac { i } { m ^ { 2 } } \hat { S } ^ { \mu \nu } - \frac { i } { m ^ { 2 } P ^ { 0 } } ( P ^ { \mu } \hat { S } ^ { 0 \nu } - P ^ { \nu } \hat { S } ^ { 0 \mu } ) ,
\begin{array} { r } { L _ { \mathbf { k } } ( \omega ) = - \omega ^ { 2 } \left[ 1 + \int _ { 0 } ^ { + \infty } d s \frac { \sum _ { \zeta } \frac { \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } { \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } } \delta ( s - \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ) } { s ( s ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) } \right] = - \omega ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d s \frac { J _ { \mathrm { l o s s } } ( s , \mathbf { k } ) } { s ( s ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf X } } & { { } = } & { { \mathbf X } ( t ) = \left( \begin{array} { l l l l } { { \mathbf x } _ { 1 } } & { { \mathbf x } _ { 2 } } & { { \mathbf x } _ { 3 } } & { [ { \mathbf x } _ { 4 } ] } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { [ 1 ] } \end{array} \right) } \\ { \dot { { \mathbf X } } } & { { } = } & { \dot { { \mathbf X } } ( t ) = \left( \begin{array} { l l l l } { \dot { { \mathbf x } } _ { 1 } } & { \dot { { \mathbf x } } _ { 2 } } & { \dot { { \mathbf x } } _ { 3 } } & { [ \dot { { \mathbf x } } _ { 4 } ] } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { [ 0 ] } \end{array} \right) } \\ { \ddot { { \mathbf X } } } & { { } = } & { \ddot { { \mathbf X } } ( t ) = \left( \begin{array} { l l l l } { \ddot { { \mathbf x } } _ { 1 } } & { \ddot { { \mathbf x } } _ { 2 } } & { \ddot { { \mathbf x } } _ { 3 } } & { [ \ddot { { \mathbf x } } _ { 4 } ] } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { [ 0 ] } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 9 _ { L } } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - r _ { 2 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { k } ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { r _ { 1 , a } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad v _ { 9 _ { R } } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { k } ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - r _ { 1 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { r _ { 2 , a } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { v _ { 9 _ { r } } ^ { ( 1 ) } = I + \left( \begin{array} { l l l } { r _ { 1 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) } & { g _ { 2 } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { - r _ { 2 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { g _ { 1 } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { g ( \omega k ) } & { h _ { 1 } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { - r _ { 1 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { h _ { 2 } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \xi _ { a , b , c } = \frac { \partial ^ { 2 } { \bf X } ^ { ( \mathsf { M } ) } } { \partial q _ { a } \partial q _ { b } } \cdot \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { c } } , } & { \eta _ { a , b } = \frac { \partial ^ { 2 } { \bf X } ^ { ( \mathsf { M } ) } } { \partial q _ { a } \partial t } \cdot \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { b } } , } & { \zeta _ { a } = \frac { \partial ^ { 2 } { \bf X } ^ { ( \mathsf { M } ) } } { \partial t ^ { 2 } } \cdot \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { a } } . } \end{array}
\forall ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) \in V _ { 1 } \oplus V _ { 2 } : A ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 1 2 } } \\ { A _ { 2 1 } } & { A _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { A _ { 1 1 } v _ { 1 } + A _ { 1 2 } v _ { 2 } } \\ { A _ { 2 1 } v _ { 1 } + A _ { 2 2 } v _ { 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \omega _ { s } } & { { } = } & { k ( \sigma + \beta ) ^ { 1 / 2 } , } \\ { \xi } & { { } = } & { \frac { \alpha \hat { I } _ { e 0 } \delta _ { d } } { 1 + k ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , 3 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) = } & { { } + 2 \, \big ( \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } + \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \big ) } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { p } = { \frac { n ^ { p + 1 } } { p + 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } n ^ { p } + \sum _ { k = 2 } ^ { p } { \binom { p } { k } } { \frac { B _ { k } } { p - k + 1 } } \, n ^ { p - k + 1 } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } \frac { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } + \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } \frac { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } = - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 3 } } } \\ { \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } \frac { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } + \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } \frac { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } = - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 3 } } } \end{array} \right.
\frac { 1 } { R _ { \mathrm { e f f } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } P _ { i } \sigma _ { \| } \frac { \Delta y ^ { 2 } } { 2 \pi R _ { \mathrm { m } } i } = \sigma _ { \| } \frac { \Delta y ^ { 3 } } { 2 \pi R _ { \mathrm { m } } \pi r } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { i } \left( 1 - \frac { \Delta y } { \pi r } \right) ^ { i } .
{ \frac { d \sigma _ { 1 } } { d \bar { \eta } d \ln ( k ^ { 2 } / m ^ { 2 } ) } } = \hat { \sigma } _ { t o t } ( g g , \eta ) \frac { 3 \alpha _ { s } } { 2 \pi ^ { 5 / 2 } } \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { a } } } e x p \left[ - { \frac { 1 } { a - 1 } } + 1 / 2 \right] ,
\begin{array} { r l r } { R } & { \leq } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } + 4 L ^ { - 1 } } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { \times ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( 1 + C _ { 4 } K _ { 0 } ^ { 3 } T ^ { 3 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { G } _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ l ~ } } = \mathcal { I } + \mathcal { D } _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ l ~ } } = 1 + \sum _ { k \geq 1 } \epsilon _ { 2 k } ( \Delta x ) ^ { 2 k } \delta _ { x } ^ { 2 k } \ , } \end{array}
\mathbf { \Psi } ^ { \lambda } ( \mathbf { r } , t ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \int d \mathbf { k } ~ f ^ { \lambda } ( \mathbf { k } ) \mathbf { e } ^ { \lambda } ( \mathbf { k } ) e ^ { i ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } - \omega _ { \mathbf { k } } t ) } ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } } & { { } = U _ { \phi } ^ { \dagger } \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } ^ { ' } U _ { \phi } = U _ { \phi } ^ { \dagger } ( \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { ' } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } ^ { ' } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { ' \dagger } ) U _ { \phi } } \end{array}
Q ^ { 2 } F _ { \eta ^ { \prime } g g ^ { * } } ( Q ^ { 2 } , \omega = \pm 1 ) = - \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } C } { \beta _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - u t } d u } { 1 - u } = - 4 \pi C f _ { 2 } ( Q ) .
{ \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } } \approx 4 { \left( { \frac { L _ { 2 } } { L _ { 1 } } } \right) } ^ { 2 } \Rightarrow { \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } } \approx { \sqrt [ [object Object] ] { 4 } } \,
D ^ { \ast } = \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u ) \frac { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial f } { \partial x } - \frac { \partial f / \partial x } { | \partial f / \partial x | } | \frac { \partial \overline { { f } } } { \partial x } - \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u ) \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial f } { \partial x } | } { \frac { \partial \overline { { f } } } { \partial x } - \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( u ) \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { f ( \hat { x } , \hat { y } , \hat { z } , \hat { t } ) = - \frac { \hat { x } ^ { 2 } } { a ( \hat { t } ) ^ { 2 } } - \frac { \hat { y } ^ { 2 } } { b ( \hat { t } ) ^ { 2 } } + \frac { \hat { z } ^ { 2 } } { c ( \hat { t } ) ^ { 2 } } - 1 = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \xi } H _ { p _ { h , z } } } & { = - \rho _ { b } ^ { - 2 } \bigg ( \Big ( 2 \Delta _ { b } \big ( \hat { \xi } _ { r } - \rho _ { \xi } z c ^ { \prime } ( r ) \big ) - 2 \rho _ { \xi } \chi ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z + 2 \chi a \hat { \xi } _ { \varphi } \Big ) \partial _ { r } } \\ & { \qquad \qquad + \Big ( 2 a \frac { \chi ^ { 2 } - 1 } { \Delta _ { b } } \big ( a \hat { \xi } _ { \varphi } - \rho _ { \xi } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z \big ) + 2 \chi a \big ( \hat { \xi } _ { r } - \rho _ { \xi } c ^ { \prime } ( r ) z \big ) \Big ) \partial _ { \varphi } } \\ & { \qquad \qquad \quad - \rho _ { \xi } \frac { \partial ( - \rho _ { b } ^ { 2 } p _ { h , z } ) } { \partial r } \partial _ { \xi _ { r } } + \rho _ { \xi } H _ { \tilde { p } _ { h , z } } \bigg ) - \rho _ { b } ^ { - 2 } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } p _ { h , z } ) \rho _ { \xi } ^ { - 1 } H _ { \rho _ { b } ^ { 2 } } . } \end{array}
\Omega ^ { k } ( { \mathcal { O } } ) \supset { \mathcal { C } } ^ { 1 } \Omega ^ { k } ( { \mathcal { O } } ) \supset \cdots \supset { \mathcal { C } } ^ { k + 1 } \Omega ^ { k } ( { \mathcal { O } } ) = 0
\frac { d } { d r } \Big [ | H _ { 0 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } \Big ] = 0 , \qquad \frac { d } { d r } \Big [ | H _ { 1 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } \Big ] = 8 r \geq 0 .
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { x } } & { = } & { - [ \hat { H } , [ \hat { H } , \hat { x } ] ] \; = \; \left[ \hat { H } , \frac { \partial } { \partial r } \right] \; \mathrm { c o s ( \ t h e t a ) } , } \\ { \hat { a } _ { y } } & { = } & { - [ \hat { H } , [ \hat { H } , \hat { y } ] ] \; = \; \left[ \hat { H } , \frac { \partial } { \partial r } \right] \; \mathrm { s i n ( \ t h e t a ) c o s ( \ p h i ) } , } \end{array}
< 0 | T ( { \psi ^ { i } } _ { + } ( x ) { \psi ^ { \dag j } } _ { + } ( 0 ) ) | 0 > = { \frac { i \delta ^ { i j } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int d ^ { 4 } q \; { \frac { { \sqrt { 2 } } q ^ { + } \, \Lambda ^ { + } } { ( q ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ) } } \, e ^ { - i q . x } . \nonumber
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \times ~ \sin \left( \mathrm { A r g } \left( K _ { l } ^ { j } m _ { \tilde { \chi } _ { j } ^ { 0 } } K _ { l } ^ { 1 ^ { * } } m _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 * } } \right) \right) ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ S | { \bf n } , \beta ] = \int d \boldsymbol { \rho } \; S ( \boldsymbol { \rho } | \beta ) \; p ( \boldsymbol { \rho } | { \bf n } ) \; = \; \psi _ { 0 } ( N + K \beta + 1 ) - \sum _ { i = 1 } ^ { K } \frac { n _ { i } + \beta } { N + K \beta } \, \psi _ { 0 } ( n _ { i } + \beta + 1 ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { 2 } ^ { 1 2 } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Big ( H _ { 2 } ^ { 1 2 } \Big ( Z ^ { 0 } \left( t , \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) \Big ) } \\ & { \quad - H _ { 2 } ^ { 1 2 } \left( Z _ { * } ^ { 0 } \left( t , \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) \right) \Big ) \, d t } \\ { = } & { \tilde { \mathcal { L } } _ { 2 } ^ { 1 2 } \left( \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) \sin \tilde { \gamma } _ { 2 } } \end{array}
T r \left( e ^ { - s ( \triangle _ { d - 2 } + \triangle _ { \alpha } ) } \right) = { \frac { 1 } { ( 4 \pi s ) ^ { d / 2 } } } \left( \Omega _ { d } + \Sigma _ { d - 2 } \alpha C _ { 2 } ( \alpha ) ~ s \right) + E S ~ ~ ~ ,
x ^ { \frac { \alpha } { \alpha + 1 } } + y ^ { \frac { \alpha } { \alpha + 1 } } \leq \left( { \frac { x } { s } } + { \frac { y } { t } } \right) ^ { \frac { \alpha } { \alpha + 1 } } { \Big ( } s ^ { \alpha } + t ^ { \alpha } { \Big ) } ^ { \frac { 1 } { \alpha + 1 } } = \left( { \frac { x } { s } } + { \frac { y } { t } } \right) ^ { \frac { \alpha } { \alpha + 1 } }
\Delta p ( \mathrm { P e } , \Delta \varphi ) = \rho _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T \sum _ { n + m = 0 } ^ { \infty } \Delta p _ { m } ^ { n } \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } .
\begin{array} { r l } { Z ( 5 ) = \mathstrut } & { 2 . 4 4 - 1 . 9 1 a _ { 2 } ^ { r } - 1 6 . 6 5 a _ { 2 } ^ { i } - 1 . 0 1 a _ { 3 } ^ { r } - 1 . 2 7 a _ { 3 } ^ { i } - 0 . 0 9 1 a _ { 4 } ^ { r } - 0 . 0 9 0 a _ { 4 } ^ { i } + \cdots } \\ & { - 0 . 0 0 0 0 2 3 a _ { 7 } ^ { r } - 0 . 0 0 0 0 2 3 a _ { 7 } ^ { i } + \cdots - 5 . 0 \times 1 0 ^ { - 1 0 } a _ { 1 1 } ^ { r } - 6 . 2 \times 1 0 ^ { - 1 0 } a _ { 1 1 } ^ { i } + \cdots . } \end{array}
\frac { \partial M _ { r } } { \partial \rho _ { 1 } } + \frac { \partial M _ { r } } { \partial \rho _ { 2 } } + \frac { \partial M _ { r } } { \partial y _ { 1 } } + \frac { \partial M _ { r } } { \partial y _ { 2 } } = - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \big [ b _ { r } \ln ( s / \mu ^ { 2 } ) + h _ { r } ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) + m _ { k } y _ { 1 } \big ] M _ { r } ~ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { U } } & { : = \Bigl \{ \vec { \chi } \in [ H _ { 1 } ^ { 1 } ( \mathscr { R } ) ] ^ { 2 } \; : \; ( \vec { \chi } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \in L _ { - 1 } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) , \; \vec { \chi } = \vec { 0 } \; \mathrm { o n } \; \partial _ { 1 } \mathscr { R } , \; \vec { \chi } \cdot \vec { n } = 0 \; \mathrm { o n } \; \partial _ { 2 } \mathscr { R } \Bigr \} , } \\ { \mathbb { V } } & { : = H ^ { 1 } ( 0 , T ; \, [ L _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) ] ^ { 2 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathbb { U } ) , \qquad { \mathbb { P } } : = \bigl \{ \chi \in L _ { 1 } ^ { 2 } ( \mathscr { R } ) : ( r , \, \chi ) = 0 \bigr \} . } \end{array}