harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \lambda _ { \pm } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 \pm \sqrt { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { 0 } \, C ^ { 2 } ( t ) } \right] \ . } \end{array}
F _ { k l } ^ { + + } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { p i x } } } \frac { ( \delta _ { j k } - \delta _ { i k } ) ( \delta _ { j l } - \delta _ { i l } ) \mathcal { N } I _ { i } I _ { j } v ^ { 4 } \sin ^ { 2 } ( \phi _ { i } - \phi _ { j } ) } { 2 + v ^ { 2 } \cos ( \phi _ { i } - \phi _ { j } ) }
\begin{array} { r l } { f _ { i } } & { = f _ { i } ^ { ( 0 ) } + \varepsilon f _ { i } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } f _ { i } ^ { ( 2 ) } + O ( \varepsilon ^ { 3 } ) , } \\ { \partial _ { t } } & { = \varepsilon \partial _ { t } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } + O ( \varepsilon ^ { 3 } ) , } \\ { \partial _ { x } } & { = \varepsilon \partial _ { x } , } \end{array}
\frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \big ( \frac { \alpha } { N } \big ) \sin \alpha k \pi / N = - \frac { 1 } { k \pi N } \frac { d } { d r } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \cos r \alpha k \pi / N \Big | _ { r = 1 } .
\Gamma _ { \mu \nu } ^ { \alpha } \equiv \left\{ \begin{array} { l } { { \alpha } } \\ { { \mu \nu } } \end{array} \right\} + { \frac { 1 } { 2 } } \left( T _ { \mu \nu } { } ^ { \alpha } - T _ { \nu } { } ^ { \alpha } { } _ { \mu } + T ^ { \alpha } { } _ { \mu \nu } \right)
\beta = \frac { 2 \left( k ^ { 2 } + 1 + \left( k ^ { 2 } - 1 \right) \cosh \tau \cos \sigma \right) k } { \left( ( k ^ { 2 } + 1 ) \cosh \tau + ( k ^ { 2 } - 1 ) \cos \sigma \right) ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \tau } ,
\begin{array} { r l } { \log p _ { \theta } ( \mathcal { C } _ { 0 } \vert \mathcal { G } _ { \mathrm { r x n } } ) \ge } & { - \sum _ { t = 2 } ^ { T } \mathrm { K L } ( q ( \mathcal { C } _ { t - 1 } \vert \mathcal { C } _ { t } , \mathcal { C } _ { 0 } ) \Vert p _ { \theta } ( \mathcal { C } _ { t - 1 } \vert \mathcal { C } _ { t } , \mathcal { G } _ { \mathrm { r x n } } ) ) } \\ & { - \mathrm { K L } \left( q ( \mathcal { C } _ { T } \vert \mathcal { C } _ { 0 } ) \Vert p _ { \theta } ( \mathcal { C } _ { T } ) \right) } \\ & { + \mathbb { E } _ { q ( \mathcal { C } _ { 1 } \vert \mathcal { C } _ { 0 } ) } \left[ \log p _ { \theta } ( \mathcal { C } _ { 0 } \vert \mathcal { C } _ { 1 } , \mathcal { G } _ { \mathrm { r x n } } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { \gamma } = \omega _ { 0 } ( 1 \! + \! \delta u ^ { 0 } \! - \! \delta u ^ { 1 } \! - \! h _ { 0 0 } \! - \! h _ { 0 1 } ) + \delta p ^ { 0 } + \mathcal { O } ( h ^ { 2 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \ensuremath { \partial } + a ) \cdot z ( \ensuremath { { \mathrm { E } } } { z } ) ^ { - 1 } \cdot \ensuremath { { \mathrm { E } } } } & { = \left( z ( \ensuremath { { \mathrm { E } } } { z } ) ^ { - 1 } \cdot \ensuremath { \partial } + \ensuremath { \partial } { z } ( \ensuremath { { \mathrm { E } } } { z } ) ^ { - 1 } \right) \cdot \ensuremath { { \mathrm { E } } } + a z ( \ensuremath { { \mathrm { E } } } { z } ) ^ { - 1 } \cdot \ensuremath { { \mathrm { E } } } } \\ & { = z ( \ensuremath { { \mathrm { E } } } { z } ) ^ { - 1 } \cdot \ensuremath { \partial } \cdot \ensuremath { { \mathrm { E } } } = 0 , } \\ { \ensuremath { { \mathrm { E } } } \cdot z ( \ensuremath { { \mathrm { E } } } { z } ) ^ { - 1 } \cdot \ensuremath { { \mathrm { E } } } } & { = \ensuremath { { \mathrm { E } } } { z } ( \ensuremath { { \mathrm { E } } } { z } ) ^ { - 1 } \cdot \ensuremath { { \mathrm { E } } } = \ensuremath { { \mathrm { E } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal T } \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega _ { \mathrm { g a p } } t } } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i k z + i \omega _ { \mathrm { g a p } } t } , } \\ { \hat { \mathcal T } \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega _ { \mathrm { g a p l e s s } } t } } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i k z + i \omega _ { \mathrm { g a p l e s s } } t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( z , z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } & { = \mathrm { s g n } ( z ) } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { | z - z _ { \mathrm { c m } } | \ge z _ { 1 } } \\ { \cos ( \frac { ( z _ { 1 } - | z - z _ { \mathrm { c m } } | ) \pi } { 2 ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) } ) } & { z _ { 1 } \ge | z - z _ { \mathrm { c m } } | \ge z _ { 2 } } \\ { 0 } & { z _ { 2 } \ge | z - z _ { \mathrm { c m } } | } \end{array} \right. , } \end{array}
E _ { t o t } ^ { D F T } = E _ { k i n } + \int V _ { e x t } ( r ) \rho ( r ) d r + \frac { e ^ { 2 } } { 2 } \int \frac { \rho ( r ) \rho ( r ^ { \prime } ) } { | r - r ^ { \prime } | } d r d r ^ { \prime } + \int \epsilon _ { x c } \{ \rho ( r ) \} \rho ( r ) d r
\begin{array} { r l } { R 2 _ { \textrm { d e t } } ^ { \textrm { S i N } } } & { = R _ { 2 } ^ { \textrm { S i N } } \eta _ { \textrm { w g } } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { g r a t i n g } } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { d e t } } } \\ & { = 2 . 9 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \gamma \alpha _ { 2 } ^ { \textrm { S i N } } \ \textrm { H z } . } \end{array}
\kappa = \frac { \sqrt { ( x _ { s } y _ { s s } - y _ { s } x _ { s s } ) ^ { 2 } + ( y _ { s } z _ { s s } - z _ { s } y _ { s s } ) ^ { 2 } + ( z _ { s } x _ { s s } - x _ { s } z _ { s s } ) ^ { 2 } } } { { ( x _ { s } } ^ { 2 } + { y _ { s } } ^ { 2 } + { z _ { s } } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } }
\begin{array} { r l } { \chi ( 0 ) } & { { } = \frac { 1 } { \pi } \ln \left( \frac { u + i - b } { ( u + i ) b } \right) = \frac { 1 } { \pi } \ln \left( \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { u + i } \right) \approx \frac { 1 } { \pi } \ln \left( \frac { - 1 } { u + i } \right) = - \frac { 1 } { \pi } \ln ( - u - i ) , } \\ { \chi ^ { \prime } ( 0 ) } & { { } = \frac { 1 } { \pi } \frac { 2 } { u + i - 0 } = \frac { 1 } { \pi } \frac { 2 ( u - i ) } { u ^ { 2 } + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \varphi } _ { 1 , i } = } & { \frac { 3 \bar { \rho } \mu _ { E } } { 2 a _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \beta ^ { * } - \beta _ { r e f } ^ { * } \right) } \\ { \ddot { \varphi } _ { 2 , i } = } & { \frac { 3 \bar { \rho } \mu _ { E } } { 2 a _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \beta _ { c o n s t r } ^ { * } - \beta _ { r e f } ^ { * } \right) } \end{array}
\gamma _ { m } ^ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c } { { ~ 1 } } & { { ~ 0 } } \\ { { ~ 0 } } & { { ~ 1 } } \end{array} \right) , ~ \left( \begin{array} { c c } { { ~ 0 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { ~ 0 } } \end{array} \right) , ~ \left( \begin{array} { c c } { { ~ 1 } } & { { ~ 0 } } \\ { { ~ 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \Pi ^ { R } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) } & { { } = } & { \frac { i } { 2 } \left( \Pi ^ { < } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) \right. } \\ { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \Pi ^ { R } ( { \bf q } , \omega ; { \bf R } , t ) } & { { } = } & { \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \Pi ^ { R } ( { \bf q } , \omega ^ { \prime } ; R , t ) } { \omega - \omega ^ { \prime } } \, . } \end{array}
\partial _ { t } f ( t , \vec { x } , \vec { v } ) + [ \mathcal { H } _ { 0 } , f ( t , \vec { x } , \vec { v } ) ] _ { P } - \nabla \Big ( T \int d \vec { v } \, f ( \vec { x } , \vec { v } ) \log f ( \vec { x } , \vec { v } ) \Big ) \cdot \partial _ { \vec { v } } f ( \vec { x } , \vec { v } , t ) = \mathcal { C }
\begin{array} { r } { E = \frac { 5 } { 7 } \frac { 1 5 ^ { 2 / 5 } } { 2 } m ^ { 1 / 5 } N \left( \frac { N a _ { s } } { \hbar \mathcal { V } } \right) ^ { 2 / 5 } . } \end{array}
\varepsilon = { \frac { \mu } { a } } { \left[ { \frac { 1 - e ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 1 - e } } \right] } = { \frac { \mu } { a } } { \left[ { \frac { ( 1 - e ) ( 1 + e ) } { 2 ( 1 - e ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 1 - e } } \right] } = { \frac { \mu } { a } } { \left[ { \frac { 1 + e } { 2 ( 1 - e ) } } - { \frac { 2 } { 2 ( 1 - e ) } } \right] } = { \frac { \mu } { a } } { \left[ { \frac { e - 1 } { 2 ( 1 - e ) } } \right] }
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } \left( { \mathbf { h } } _ { k } ^ { H } \mathbf { w } _ { k } \right) \geq } & { \sqrt { \beta _ { k } ^ { ( t - 1 ) } \xi _ { k } ^ { ( t - 1 ) } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \beta _ { k } ^ { ( t - 1 ) } } { \xi _ { k } ^ { ( t - 1 ) } } } \left( \xi _ { k } - \xi _ { k } ^ { ( t - 1 ) } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \xi _ { k } ^ { ( t - 1 ) } } { \beta _ { k } ^ { ( t - 1 ) } } \left( \beta _ { k } - \beta _ { k } ^ { ( t - 1 ) } \right) } , \quad \forall k \in \mathcal { K } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu _ { \alpha , i } } & { = } & { \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 3 } } \frac { M _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } \mathrm { , } } \\ { K _ { \alpha , i } } & { = } & { \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 3 } } \left( \frac { h _ { \alpha , k } ^ { \prime } } { \left( M _ { \alpha , k } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } } + \frac { h _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \left( M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } } - \frac { h _ { \beta , j \ast } } { M _ { \beta , j \ast } ^ { 1 / 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \left( \frac { M _ { \beta , j \ast } M _ { \alpha , k } ^ { \prime } M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } \right) ^ { 1 / 2 } W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } } \end{array}
{ } ^ { ( 1 ) } A ^ { i j k l } u _ { k l } = - \frac A 6 u ^ { i j } , \qquad { } ^ { ( 2 ) } A ^ { i j k l } u _ { k l } = Q ^ { i k } u ^ { j } { } _ { k } + Q ^ { j k } u ^ { i } { } _ { k } - Q ^ { k l } u _ { k l } g ^ { i j } .
\begin{array} { r l } { \gamma } & { \leq \frac { P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } \big ( [ \sqrt { 2 } \textnormal { R e } \{ h \} ] ^ { 2 } + [ \sqrt { 2 } \textnormal { I m } \{ h \} ] ^ { 2 } \big ) } { \tilde { P } _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } \big ( \sum _ { u = 1 } ^ { U } [ \sqrt { 2 } \textnormal { R e } \{ g _ { u } \} ] ^ { 2 } + [ \sqrt { 2 } \textnormal { I m } \{ g _ { u } \} ] ^ { 2 } \big ) } } \\ & { = P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } X _ { i } ^ { 2 } \big ) / \big [ \tilde { P } _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } \big ( \sum _ { u = 1 } ^ { 2 U } Y _ { u } ^ { 2 } \big ) \big ] , } \end{array}
\sum _ { s = 0 } ^ { M } \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| \leq \frac { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } ^ { M + 1 } - 1 } { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } - 1 } ( \| x _ { 0 } \| + \frac { \alpha _ { 8 } } { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } - 1 } ) \leq \frac { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } ^ { \mathbb M + 1 } - 1 } { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } - 1 } ( \| x _ { 0 } \| + \frac { \alpha _ { 8 } } { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } - 1 } ) ,
\rho ^ { \mathrm { ~ L ~ } } \approx \frac { ( 1 - x ^ { ( 2 ) } ) \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { ( 3 ) } - ( 1 - x ^ { ( 3 ) } ) \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { ( 2 ) } } { x ^ { ( 3 ) } - x ^ { ( 2 ) } } .
C ^ { 0 } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ; C ^ { 0 , \beta ^ { \prime } } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } ) ) \cap C ^ { 0 , \beta ^ { \prime } } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ; L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 2 } ) )
\sigma _ { J } ( \eta ) = \frac { g ^ { 4 } } { 1 2 8 \pi } \frac { 1 - \eta } { m _ { \nu _ { \tau } } ^ { 2 } \eta } \Bigl [ \ln \Bigl ( \frac { 1 + \sqrt { \eta } } { 1 - \sqrt { \eta } } \Bigr ) - 2 \sqrt { \eta } \Bigr ] ~ .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { h ^ { 3 } } d _ { s } \mathcal { F } ( \phi ^ { * } + s \psi ) | _ { s = 0 } = } & { \ln ( 1 + \phi _ { \vec { \alpha } _ { 0 } } ^ { * } + \beta ) - \ln ( 1 - \phi _ { \vec { \alpha } _ { 0 } } ^ { * } - \beta ) - \ln ( 1 + \phi _ { \vec { \alpha } _ { 1 } } ^ { * } + \beta ) + \ln ( 1 - \phi _ { \vec { \alpha } _ { 1 } } ^ { * } - \beta ) } \\ & { - \theta _ { 0 } ( \phi _ { \vec { \alpha } _ { 0 } } ^ { n } - \phi _ { \vec { \alpha } _ { 1 } } ^ { n } ) - \varepsilon ^ { 2 } ( \Delta _ { h } \phi _ { \vec { \alpha } _ { 0 } } ^ { * } - \Delta \phi _ { \vec { \alpha } _ { 1 } } ^ { * } ) } \\ & { + \mathcal { L } _ { h } ^ { - 1 } ( \phi ^ { * } - \phi ^ { n } + \beta ) _ { \vec { \alpha } _ { 0 } } - \mathcal { L } _ { h } ^ { - 1 } ( \phi ^ { * } - \phi ^ { n } + \beta ) _ { \vec { \alpha } _ { 1 } } . } \end{array}
\Gamma [ D _ { s } ^ { + } D _ { s } ^ { - } ( t ) ] \equiv D _ { L } \, e ^ { - \Gamma _ { L } ^ { ( s ) } t } + D _ { H } \, e ^ { - \Gamma _ { H } ^ { ( s ) } t } = \left[ \, \cos ^ { 2 } \phi \, e ^ { - \Gamma _ { L } ^ { ( s ) } t } + \sin ^ { 2 } \phi \, e ^ { - \Gamma _ { H } ^ { ( s ) } t } \, \right] \tilde { \Gamma } _ { 0 }
\sum _ { v : u v \notin \mathbb { X } _ { n } ^ { ( \omega ) } [ { \mathcal D } _ { k } ] } p _ { v } ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } \leq \sum _ { v : u v \notin \mathbb { X } _ { n } ^ { ( \omega ) } [ { \mathcal D } _ { k } ] } p _ { v } ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } f _ { u v } ^ { ( \omega ) } \eta ^ { ( T ^ { n } \omega ) } ( T _ { v } ) \leq f _ { u } ^ { ( \omega ) } \eta ^ { ( T ^ { k ^ { \prime } } \omega ) } \left( \bigcup _ { v : u v \notin \mathbb { X } _ { n } ^ { ( \omega ) } [ { \mathcal D } _ { k } ] } T _ { v } \right) < \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 8 } .
\bigl \{ T _ { a } , \, T _ { b } ^ { ( 1 ) } \bigr \} _ { ( \phi , \pi ) } + \bigl \{ T _ { a } ^ { ( 1 ) } , \, T _ { b } \bigr \} _ { ( \phi , \pi ) } + \bigl \{ T _ { a } ^ { ( 1 ) } , \, T _ { b } ^ { ( 2 ) } \bigr \} _ { ( \eta ) } + \bigl \{ T _ { a } ^ { ( 2 ) } , \, T _ { b } ^ { ( 1 ) } \bigr \} _ { ( \eta ) } = 0 \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { r } { a } \frac { \delta B _ { r } } { B _ { 0 } } } & { = - \mathrm { i } \frac { \delta \hat { B } _ { r h } } { B _ { 0 } } \bigg \{ \left[ I _ { | m | } ( \nu r ) K _ { | m | } ( \nu d ) - K _ { | m | } ( \nu r ) I _ { | m | } ( \nu d ) \right] } \\ & { + \alpha \left[ I _ { | m | } ( \nu r ) K _ { | m | } ( \nu b ) - K _ { | m | } ( \nu r ) I _ { | m | } ( \nu b ) \right] \bigg \} = } \\ & { = : - \mathrm { i } \frac { \delta \hat { B } _ { r h } } { B _ { 0 } } \left( y _ { 1 \nu } ( r ) + \alpha y _ { 2 \nu } ( r ) \right) , } \end{array} } \end{array}
t _ { 0 } = 2 ^ { 1 - \frac { 2 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } ( \underline { { c } } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { \delta } { 1 - \delta } } \vee \underline { { c } } ^ { \frac { 1 - \kappa } { 2 } + \frac { \delta } { 1 - \delta } } ) ^ { \frac { 2 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } ( L \gamma ) ^ { - \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } \bar { \Psi } ^ { ( 1 - \frac { 2 } { \kappa } ) \frac { r } { 1 - \delta } - \frac { 2 \delta } { \kappa ( 1 - \delta ) ^ { 2 } } r } .
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } } & { = \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } \rangle - \operatorname { T r } [ \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \Sigma _ { t } ] / 2 } \\ & { = v _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \operatorname { T r } ( v _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { T r } ( v _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } ) = v _ { 0 } , } \\ { V _ { 1 } } & { = \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } ^ { \prime } \rangle = v _ { 1 } , } \\ { V _ { 2 } } & { = \langle \hat { V } _ { \mathrm { a p p r } } ^ { \prime \prime } \rangle = v _ { 2 } , } \end{array}
\left. C _ { 2 2 } ( L _ { e } ) _ { 2 1 } \right) - \left( \frac { \Delta I } { I } \right) V _ { t s } \left( C _ { 1 2 } ( L _ { e } ) _ { 2 1 } + C _ { 2 1 } ( L _ { u } ^ { + } ) _ { 1 2 } + \left. C _ { 2 2 } ( L _ { u } ^ { + } ) _ { 1 2 } ( L _ { e } ) _ { 2 1 } \right) \right| ^ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r l } { E \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \left( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { j } } \Bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( s ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) \right\} \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \left\{ b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } + b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } \right\} \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u ) \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n \sqrt { n } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a = } & { \int _ { M } H ( w , T _ { 1 } , y , 0 ) \, d v _ { T _ { 1 } } ( w ) } \\ { = } & { \int _ { M \setminus V } H ( w , T _ { 1 } , y , 0 ) \, d v _ { T _ { 1 } } ( w ) + \int _ { V } H ( w , T _ { 1 } , y , 0 ) \, d v _ { T _ { 1 } } ( w ) } \\ { \le } & { \frac { a } { 2 } v _ { T _ { 1 } } ( M \setminus V ) + \int _ { V } H ( w , T _ { 1 } , y , 0 ) \, d v _ { T _ { 1 } } ( w ) } \\ { \le } & { \frac { a } { 2 } + C _ { 1 } T _ { 1 } ^ { - \frac { n } { 2 } } \int _ { V } \exp \left( - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( w , T _ { 1 } ) \right) \, d v _ { T _ { 1 } } ( w ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { 1 } } & { = \sigma _ { 1 } ( W ^ { 1 } z + b ^ { 1 } ) } \\ { H ^ { 2 } } & { = \sigma _ { 1 } ( W ^ { 2 } H ^ { 1 } + b ^ { 2 } ) } \\ { H ^ { 3 } } & { = G \odot H ^ { 2 } \qquad \qquad \mathrm { w i t h } \quad G = \sigma _ { 2 } ( W ^ { 3 } z + b ^ { 3 } ) } \\ { \hat { f } ( z ; { \theta } ) } & { = W ^ { 4 } H ^ { 3 } + b ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } r ( \xi ) - f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { 0 } - \xi ) \right| } & { { } = c _ { 2 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } p _ { j } f _ { \sigma } ^ { 2 } ( E _ { j } - \xi ) } \end{array}
n ( \lambda - \frac { 1 } { 2 } ) \sigma \cdot \pi ^ { * } z + \pi ^ { * } \left( ( ( \frac { 1 } { 2 } - \lambda ) ( \eta + z ) + ( \frac { 1 } { 2 } + n \lambda ) c _ { 1 } ( B ) - \eta ) \cdot z \right) = \pi ^ { * } c _ { 1 } ( L )
\frac { 1 } { \pi \bar { n } _ { z } } \int e ^ { - | \gamma | ^ { 2 } / \bar { n } _ { z } } e ^ { 2 \alpha _ { T } \gamma ^ { \ast } - 2 \alpha _ { T } ^ { \ast } \gamma } d ^ { 2 } \gamma = e ^ { - 4 | \alpha _ { T } | ^ { 2 } \bar { n } _ { z } }
\begin{array} { r l } { Z _ { 2 } ( L , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) = } & { M _ { 1 } ! M _ { 2 } ! } \\ & { \sqrt { \! { \sum } _ { N _ { 1 1 } , N _ { 1 - 1 } , N _ { 0 1 } \atop N _ { 0 - 1 } , N _ { - 1 1 } , N _ { - 1 - 1 } } ^ { \prime } \! C _ { L / 2 } ^ { N _ { 1 1 } } C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } } ^ { N _ { 1 - 1 } } \! C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } - N _ { 1 - 1 } } ^ { N _ { 0 1 } } \! C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } - N _ { 1 - 1 } - N _ { 0 1 } } ^ { N _ { 0 - 1 } } \! C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } - N _ { 1 - 1 } - N _ { 0 1 } - N _ { 0 - 1 } } ^ { N _ { - 1 1 } } C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } - N _ { 1 - 1 } - N _ { 0 1 } - N _ { 0 - 1 } - N _ { - 1 1 } } ^ { N _ { - 1 - 1 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n + ^ { 1 0 } \mathrm { B } } & { \rightarrow ^ { 4 } \mathrm { H e } ( 1 . 4 8 M e V ) + ^ { 7 } \mathrm { L i } ( 0 . 8 4 M e V ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \gamma ( 0 . 4 8 M e V ) ~ ~ ~ } & { ( 9 4 \% ) } \\ { n + ^ { 1 0 } \mathrm { B } } & { \rightarrow ^ { 4 } \mathrm { H e } ( 1 . 7 8 M e V ) + ^ { 7 } \mathrm { L i } ( 1 . 0 2 M e V ) ~ ~ ~ } & { ( 6 \% ) } \end{array}
\delta \Delta _ { \nu } = \Delta _ { \nu } \, \sqrt { \bigg ( \frac { \delta g _ { I } } { g _ { I } } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \delta \xi _ { \nu } } { 1 - \xi _ { \nu } } + \frac { \delta \eta _ { \nu } } { 1 - \eta _ { \nu } } \bigg ) ^ { 2 } } \, .
{ \begin{array} { r l } { p _ { i } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \operatorname { e } _ { i } ^ { \mathrm { T } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } , } \\ { q _ { j } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 _ { n } } & { \operatorname { e } _ { j } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } , } \\ { z } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } , } \end{array} }
\eta _ { \kappa } ( v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ) \mathrel { \mathop : } = \left( \sqrt { \pi ( \kappa - 3 / 2 ) } v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \right) ^ { 3 } \frac { \Gamma ( \kappa - 1 / 2 ) } { \Gamma ( \kappa + 1 ) } .
\begin{array} { r l } { ( s \psi _ { A } ^ { a - 1 } , u ) \lambda _ { D } } & { = u ^ { \prime } } \\ { ( s \psi _ { A } ^ { a - m r - 1 } , x ) \lambda _ { D } } & { = u ^ { \prime } } \\ { ( s \psi _ { A } ^ { a - m r - 1 } , x , p \psi _ { A } ^ { a - m r - 1 } ) \psi _ { A } } & { = ( s \psi _ { A } ^ { a - m r } , y , p \psi _ { A } ^ { a - m r } ) } \\ { ( s \psi _ { A } ^ { a - m r } , y ) \lambda _ { D } } & { = v ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { n } ( k , m , i ) = \big \{ ( i _ { 0 } , \dots , i _ { m + 1 } ) \in \{ k \} \times \mathbb { N } ^ { m } \times \{ i \} : \; \; } & { { } i _ { m } \leq i , } \end{array}
( Q _ { n } g ) ( l ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \sum _ { j = l } ^ { \infty } \frac { \prod _ { k = l } ^ { l + n - 1 } \beta ( k ) } { \prod _ { k = j } ^ { j + n } \beta ( k ) } \cdot \frac { \mu ( j ) } { \mu ( l ) } g ( j ) } & & { n \ge 0 } \\ & { \sum _ { j = l } ^ { \infty } \frac { \prod _ { k = j + n + 1 } ^ { j - 1 } \beta ( k ) } { \prod _ { k = l + n } ^ { l - 1 } \beta ( k ) } \cdot \frac { \mu ( j ) } { \mu ( l ) } g ( j ) } & & { n < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } ^ { \prime } } & { = f \left( \frac { 1 } { \sum _ { j \neq \sigma ( 1 ) } \beta _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( j ) } } \sum _ { j \neq 1 } \beta _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( j ) } y _ { j } ^ { \prime } \ ; U _ { \sigma ( 1 ) } \right) } \\ { \vdots } & { } \\ { y _ { N } ^ { \prime } } & { = f \left( \frac { 1 } { \sum _ { j \neq \sigma ( N ) } \beta _ { \sigma ( N ) \sigma ( j ) } } \sum _ { j \neq N } \beta _ { \sigma ( N ) \sigma ( j ) } y _ { j } ^ { \prime } \ ; U _ { \sigma ( N ) } \right) . } \end{array}
H ^ { \pm } ( \tilde { A } ; \mu ) = - ( \partial _ { 0 } - i \bar { h } _ { 0 } + i \frac { \Phi } { L \beta } x _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( \partial _ { 1 } - i \bar { h } _ { 1 } \pm i \mu ) ^ { 2 } \mp e \tilde { E }
\left( - \ln \tilde { N } \right) ^ { l + 1 } = ( l + 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s _ { 4 } \mathrm { e } ^ { - N s _ { 4 } / m ^ { 2 } } \left[ \frac { \ln ^ { l } \left( s _ { 4 } / m ^ { 2 } \right) } { s _ { 4 } } \right] _ { + } + { \cal O } \left( \ln ^ { l - 1 } \tilde { N } \right) ,