harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbb P _ { f } \big [ A _ { \Gamma } \in A _ { \mathcal D } \big ] = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb P \big [ \Gamma \in \mathcal D \mid \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } \big ] \overset { ( * ) } \leq \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb P \big [ \Gamma \in \mathcal B \mid \Gamma \in \mathcal G ^ { N , f ( N ) } \big ] = \mathbb P _ { f } \big [ A _ { \Gamma } \in A _ { \mathcal B } \big ] .
\begin{array} { l } { \frac { \mathbf { x } _ { i } ( h + 1 ) - \mathbf { x } _ { i } ( h ) } { \Delta T } = \mathbf { f } _ { i } ( \mathbf { x _ { i } } ( h ) ) + \sum _ { d = 1 } ^ { D } \sigma _ { d } \sum _ { j _ { 1 } , \dots , j _ { d } = 1 } ^ { N } a _ { i j _ { 1 } \dots j _ { d } } ^ { ( d ) } \mathbf { g } ^ { ( d ) } ( \mathbf { x } _ { i } ( h ) , \mathbf { x } _ { j _ { 1 } } ( h ) , \dots , \mathbf { x } _ { j _ { d } } ( h ) ) , } \end{array}
a _ { n } \sim { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } \Gamma ( \beta ) } } \, n ^ { \beta - 1 } \left( { \frac { 1 } { r } } \right) ^ { n } \sim { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } } } { \binom { n + \beta - 1 } { n } } \left( { \frac { 1 } { r } } \right) ^ { n } = { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } } } \left( \! \! { \binom { \beta } { n } } \! \! \right) \left( { \frac { 1 } { r } } \right) ^ { n } \, ,
R = { \frac { 1 - \tau } { 1 + \tau } } = \left( { \frac { \rho _ { 0 } ( 1 + t ^ { 2 } ) + 2 \tilde { \rho } _ { 0 } t - 4 t \rho ^ { + } } { \rho _ { 0 } ( 1 + t ^ { 2 } ) + 2 \tilde { \rho } _ { 0 } t + 4 t \rho ^ { - } } } \right) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { \varepsilon \nabla ^ { 2 } \psi } & { { } = - e ( c _ { + } - c _ { - } ) , } \\ { \partial _ { t } c _ { \pm } } & { { } = - \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { j } _ { \pm } , } \\ { \boldsymbol { j } _ { \pm } } & { { } = - D \left( \boldsymbol { \nabla } c _ { \pm } \pm c _ { \pm } \beta e \boldsymbol { \nabla } \psi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { j } } & { { } = \mathbf { j } ^ { \mathbf { m } } + \mathbf { j } ^ { \mathbf { m L } } + \mathbf { j } ^ { \mathbf { L m } } + \mathbf { j } ^ { \mathbf { L } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i } ^ { s } } & { = \frac { N } { D } } \\ { N } & { = c _ { 0 } + c _ { 1 } A _ { i } ^ { 0 } + c _ { 2 } A _ { i } ^ { 1 } + c _ { 3 } ( A _ { i } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + c _ { 4 } ( A _ { i } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + c _ { 5 } A _ { i } ^ { 0 } A _ { i } ^ { 1 } } \\ { D } & { = 1 + c _ { 6 } A _ { i } ^ { 0 } + c _ { 7 } A _ { i } ^ { 1 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { { \eta } _ { 2 } } = 1 - { \frac { | { { q } _ { 2 } } | } { | { { q } _ { 1 } } | } } \to | { { w } _ { 2 } } | = | { { q } _ { 1 } } | - | { { q } _ { 2 } } | , } \\ & { { { \eta } _ { 3 } } = 1 - { \frac { | { { q } _ { 3 } } | } { | { { q } _ { 2 } } ^ { * } | } } \to | { { w } _ { 3 } } | = | { { q } _ { 2 } } ^ { * } | - | { { q } _ { 3 } } | , } \\ & { | { { w } _ { 2 } } | + | { { w } _ { 3 } } | = ( | { { q } _ { 1 } } | - | { { q } _ { 2 } } | ) + ( | { { q } _ { 2 } } ^ { * } | - | { { q } _ { 3 } } | ) , } \\ & { { { \eta } _ { 1 } } = 1 - { \frac { | { { q } _ { 3 } } | } { | { { q } _ { 1 } } | } } = { \frac { ( | { { w } _ { 2 } } | + | { { w } _ { 3 } } | ) } { | { { q } _ { 1 } } | } } = { \frac { ( | { { q } _ { 1 } } | - | { { q } _ { 2 } } | ) + ( | { { q } _ { 2 } } ^ { * } | - | { { q } _ { 3 } } | ) } { | { { q } _ { 1 } } | } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } \big ] = } & { \frac { Q ^ { - 1 } ( t - 1 ) \exp \big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } t \Big ) - Q ^ { - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { t - 1 } \exp \big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } k \big ) } { \exp \big ( \epsilon ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \big ) - 1 } } \\ { = } & { \frac { ( t - 1 ) q _ { \epsilon } ^ { t } } { q _ { \epsilon } ^ { t } - 1 } - \frac { q _ { \epsilon } ^ { t } - q _ { \epsilon } } { ( q _ { \epsilon } - 1 ) ( q _ { \epsilon } ^ { t } - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { t e n s o r } } } & { = \sum _ { r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } } t _ { r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } } T ^ { [ r _ { 3 } ] } [ r _ { 1 } , r _ { 2 } ] } \\ & { = \sum _ { r _ { 1 } , r _ { 2 } } \{ t _ { r _ { 1 } , r _ { 2 } , 6 } T ^ { [ 6 ] } [ r _ { 1 } , r _ { 2 } ] + t _ { r _ { 1 } , r _ { 2 } , 1 0 } T ^ { [ 1 0 ] } [ r _ { 1 } , r _ { 2 } ] + \cdots \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { m , m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } k _ { 0 } ( x _ { m } , x _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { m , m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } \langle k _ { 0 } ( \cdot , x _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } ) , k _ { 0 } ( \cdot , x _ { m } ) \rangle _ { k _ { 0 } } } \\ & { = \left\langle \frac { 1 } { M } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } k _ { 0 } ( \cdot , x _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } ) , \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } k _ { 0 } ( \cdot , x _ { m } ) \right\rangle _ { k _ { 0 } } = \langle f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] } , f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } ] } \rangle _ { k _ { 0 } } . } \end{array}
\langle X ^ { i } ( \tau ) X ^ { j } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = - \alpha ^ { \prime } G ^ { i j } \log ( \tau - \tau ^ { \prime } ) ^ { 2 } + { \frac { i } { 2 } } \Theta ^ { i j } \varepsilon ( \tau - \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { q _ { k + 1 } } & { = \Big [ q _ { k } + \gamma _ { k + 1 } \widehat { S } _ { k } ^ { \top } \Delta v _ { k + 1 } ^ { * } + \gamma _ { k + 1 } \alpha _ { k + 1 } \nu _ { k + 1 } \Big ] _ { \underline { { q } } _ { k + 1 } + \underline { { \eta } } _ { k + 1 } } ^ { \overline { { q } } _ { k + 1 } - \overline { { \eta } } _ { k + 1 } } } \\ & { = \Big [ q _ { k } + \gamma _ { k + 1 } \big ( S _ { \varphi } + ( \widehat { S } _ { k } - S _ { \varphi } ) \big ) ^ { \top } \Delta v _ { k + 1 } ^ { * } } \\ & { \quad + \gamma _ { k + 1 } \alpha _ { k + 1 } \nu _ { k + 1 } \Big ] _ { \underline { { q } } _ { k + 1 } + \underline { { \eta } } _ { k + 1 } } ^ { \overline { { q } } _ { k + 1 } - \overline { { \eta } } _ { k + 1 } } } \\ & { = \Big [ q _ { k } - \gamma _ { k + 1 } ( { g _ { k } } + S _ { \varphi } ^ { \top } S _ { w } { \xi _ { k } } + S _ { \varphi } ^ { \top } \eta _ { k } } \\ & { \quad + \delta _ { k } - \alpha _ { k + 1 } \nu _ { k + 1 } ) \Big ] _ { \underline { { q } } _ { k + 1 } + \underline { { \eta } } _ { k + 1 } } ^ { \overline { { q } } _ { k + 1 } - \overline { { \eta } } _ { k + 1 } } . } \end{array}
( k _ { j _ { 1 } } + k _ { j _ { 2 } } + k _ { j _ { 3 } } ) ^ { 2 } = X ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) ( Q _ { j _ { 1 } } - Q _ { j _ { 2 } } ) + X ( j _ { 1 } , j _ { 3 } ) ( Q _ { j _ { 1 } } - Q _ { j _ { 3 } } ) + X ( j _ { 2 } , j _ { 3 } ) ( Q _ { j _ { 2 } } - Q _ { j _ { 3 } } ) ,
\beta _ { m _ { t } } = - 8 g _ { s } ^ { 2 } + 3 h _ { 2 } ^ { ' 2 } \sin ^ { 2 } \beta + \frac { 3 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | h _ { 2 i } ^ { \prime } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | h _ { 2 i - 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } ,
\langle n \rangle _ { \mathrm { m a x } } = \operatorname* { m a x } _ { \substack { \mathrm { a c t i v e } \, i \in \mathrm { t r a c k s } } } \left[ ( w l ) \frac { 1 } { v } \right] _ { i } , \quad \langle C \rangle _ { \mathrm { m a x } } = \operatorname* { m a x } _ { \substack { \mathrm { a c t i v e } \, i \in \mathrm { t r a c k s } } } \left[ ( w l ) \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { \nu _ { d , j } \Sigma _ { f } } { k \lambda _ { j } } \right] _ { i } ,
X _ { \pm z ^ { a } } = \theta _ { a \bar { a } } S ^ { N } \bar { z } ^ { \bar { a } } ( S ^ { \dagger } ) ^ { N } + \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \lambda _ { a , n } | n \rangle \langle n | \otimes P _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ( m ) } & { { } = \left< m ^ { 3 } \right> / \left< m ^ { 2 } \right> ^ { 3 / 2 } \, , } \\ { \mathcal { F } ( m ) } & { { } = \left< m ^ { 4 } \right> / \left< m ^ { 2 } \right> ^ { 2 } \, . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } { \ddot { h } } _ { { \hat { \theta } } { \hat { \phi } } } = - R _ { { \hat { t } } { \hat { \theta } } { \hat { t } } { \hat { \phi } } } = - R _ { { \hat { r } } { \hat { \theta } } { \hat { r } } { \hat { \phi } } } = R _ { { \hat { t } } { \hat { \theta } } { \hat { r } } { \hat { \phi } } } = R _ { { \hat { r } } { \hat { \theta } } { \hat { t } } { \hat { \phi } } } \ ,
\begin{array} { r l } { Q \left[ \int _ { N } { \mathcal { L } } \, \mathrm { d } ^ { n } x \right] } & { { } = \int _ { N } \left[ { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \varphi } } - \partial _ { \mu } { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \mu } \varphi ) } } \right] Q [ \varphi ] \, \mathrm { d } ^ { n } x + \int _ { \partial N } { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \mu } \varphi ) } } Q [ \varphi ] \, \mathrm { d } s _ { \mu } } \end{array}
e ^ { + } e ^ { - } \to \left\{ \begin{array} { c } { { \nu \bar { \nu } H \; \; ( W ^ { + } W ^ { - } \mathrm { ~ f u s i o n } ) } } \\ { { e ^ { + } e ^ { - } H \; \; ( Z ^ { 0 } Z ^ { 0 } \mathrm { ~ f u s i o n } ) } } \end{array} \right. \; \; .
G ^ { - 1 } = \frac { N _ { C } m _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ \left( 1 + { \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) \ln { \left( \frac { \Lambda ^ { 4 } } { \left( m _ { t } ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \right) } - \frac { 2 m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } \ln { \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } \right) } \right] ,
\begin{array} { r } { \tilde { W } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { 1 } } & { Q _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & \\ & { \tilde { \Lambda } _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } ^ { \intercal } } \\ { Q _ { 1 } ^ { \intercal } } \end{array} \right) , } \end{array}
\frac { d \hat { \sigma } _ { g b \to b h } ^ { 0 } } { d \hat { t } } = - \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { 2 4 } \left( \frac { g m _ { b } ( \mu ) } { 2 m _ { W } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \sin { \alpha } } { \cos { \beta } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \hat { s } ^ { 2 } } \frac { m _ { h } ^ { 4 } + ( \hat { s } + \hat { t } - m _ { h } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \hat { s } \hat { t } } ,
{ \begin{array} { r l r l r l } { \sin \theta } & { = - \sin ( - \theta ) } & & { = - \sin ( \pi + \theta ) } & & { = { \phantom { - } } \sin ( \pi - \theta ) } \\ & { = - \cos \left( { \frac { \pi } { 2 } } + \theta \right) } & & { = { \phantom { - } } \cos \left( { \frac { \pi } { 2 } } - \theta \right) } & & { = - \cos \left( - { \frac { \pi } { 2 } } - \theta \right) } \\ & { = { \phantom { - } } \cos \left( - { \frac { \pi } { 2 } } + \theta \right) } & & { = - \cos \left( { \frac { 3 \pi } { 2 } } - \theta \right) } & & { = - \cos \left( - { \frac { 3 \pi } { 2 } } + \theta \right) } \\ { \cos \theta } & { = { \phantom { - } } \cos ( - \theta ) } & & { = - \cos ( \pi + \theta ) } & & { = { \phantom { - } } \cos ( \pi - \theta ) } \\ & { = { \phantom { - } } \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } + \theta \right) } & & { = { \phantom { - } } \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } - \theta \right) } & & { = - \sin \left( - { \frac { \pi } { 2 } } - \theta \right) } \\ & { = - \sin \left( - { \frac { \pi } { 2 } } + \theta \right) } & & { = - \sin \left( { \frac { 3 \pi } { 2 } } - \theta \right) } & & { = { \phantom { - } } \sin \left( - { \frac { 3 \pi } { 2 } } + \theta \right) } \\ { \tan \theta } & { = - \tan ( - \theta ) } & & { = { \phantom { - } } \tan ( \pi + \theta ) } & & { = - \tan ( \pi - \theta ) } \\ & { = - \cot \left( { \frac { \pi } { 2 } } + \theta \right) } & & { = { \phantom { - } } \cot \left( { \frac { \pi } { 2 } } - \theta \right) } & & { = { \phantom { - } } \cot \left( - { \frac { \pi } { 2 } } - \theta \right) } \\ & { = - \cot \left( - { \frac { \pi } { 2 } } + \theta \right) } & & { = { \phantom { - } } \cot \left( { \frac { 3 \pi } { 2 } } - \theta \right) } & & { = - \cot \left( - { \frac { 3 \pi } { 2 } } + \theta \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { k } ) \right> = { } } & { { } \boldsymbol { k } \times \int \mathrm { d } \boldsymbol { p } \left( \frac { \vec { k } + \vec { p } } { 2 } \right) \times \bigg ( \left< \widetilde { \eta } ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { p } ) \right> \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { p } ) \right> + \left< \widetilde { \mu } ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { p } ) \, \widetilde { \vec { b } } ( \boldsymbol { p } ) \right> \bigg ) } \end{array}
f _ { 1 } = - \frac { u _ { 1 } ^ { 3 } } { 3 } - \frac { 2 } { 3 } u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 2 } + 2 u _ { 2 } \, , \qquad f _ { 2 } = - \frac { u _ { 2 } ^ { 3 } } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } - u _ { 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big \{ \bar { \rho } _ { p ^ { * } } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { p } \Big ( \bar { \rho } _ { p } \Big [ r ^ { \epsilon } ( \beta ) \Big ] + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \frac { 2 + 3 C } { C } + \frac { 1 } { \sqrt { l } } K L ( \bar { \rho } _ { p } | | \pi _ { p } ) + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \Big \lfloor \frac { N } { 2 } \Big \rfloor \Big ) \Big ) } \\ & { + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) \sqrt { l ^ { * } } } + \frac { 1 } { \sqrt { l ^ { * } } } \log \frac { \bar { \alpha } } { \delta } \Big \} \geq 1 - 2 \delta , } \end{array}
\mathrm { ~ i ~ } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \xi _ { _ { S C } } = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } \right) \, r \mathrm { ~ d ~ } r .
f ( \mu ) f ( x \mid \mu ) = \pi ( \mu ) L ( \mu ) = { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 \pi } } \sigma _ { m } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \mu - \mu _ { 0 } } { \sigma _ { m } } } \right) ^ { 2 } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 \pi } } \sigma _ { v } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { x _ { j } - \mu } { \sigma _ { v } } } \right) ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { Q ( x ) } & { = \biggl \{ y = ( y _ { 1 } , \dotsc , y _ { m } ) \biggm | \begin{array} { l } { m \geq 1 , \ 0 = a _ { 0 } < \cdots < a _ { m } = n , } \\ { y _ { i } = x _ { a _ { i - 1 } + 1 } + \cdots + x _ { a _ { i } } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i } \end{array} \biggr \} , } \\ { Q ^ { \prime } ( x ) } & { = \biggl \{ y = ( y _ { 1 } , \dotsc , y _ { m } ) \biggm | \begin{array} { l } { m \geq 0 , \ 0 = a _ { 0 } < \cdots < a _ { m } \leq n , } \\ { y _ { i } = x _ { a _ { i - 1 } + 1 } + \cdots + x _ { a _ { i } } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i } \end{array} \biggr \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, _ { 2 } \tilde { F } _ { 1 } \bigg ( 1 , 4 n - \frac { D } { 2 } , 4 n - 1 , 1 - \frac { 1 } { r } \bigg ) } & { = \frac { 1 } { \Gamma ( 4 n - 1 ) } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 ^ { ( m ) } \big ( 4 n - \frac { D } { 2 } \big ) ^ { ( m ) } } { m ! ( 4 n - 1 ) ^ { ( m ) } } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } \bigg ) ^ { m } } \\ & { = \frac { 1 } { \Gamma ( 4 n - 1 ) } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \big ( 4 n - \frac { D } { 2 } \big ) ^ { ( m ) } } { ( 4 n - 1 ) ^ { ( m ) } } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } \bigg ) ^ { m } \, . } \end{array}
Y _ { i } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { z _ { i } ^ { \prime } C } } & { { 0 } } \\ { { z _ { i } C } } & { { y _ { i } E e ^ { i \phi } } } & { { x _ { i } ^ { \prime } B } } \\ { { 0 } } & { { x _ { i } B } } & { { A } } \end{array} \right)
R _ { p , n } ^ { \mathrm { ( e ) } } ( u , r / r _ { c } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { \gamma _ { 0 } } { \varepsilon _ { 0 } } K _ { n + p } ( \gamma _ { 1 } u ) I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u r / r _ { c } ) , } & { r < r _ { c } } \\ { - \frac { \gamma _ { 1 } } { \varepsilon _ { 1 } } I _ { n + p } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u r / r _ { c } ) , } & { r > r _ { c } } \end{array} \right. .
( y - x ) ^ { 2 } \: T _ { m ^ { 2 } } ^ { ( n ) } ( x , y ) \; = \; - 4 n T _ { m ^ { 2 } } ^ { ( n + 1 ) } ( x , y ) \: - \: 4 m ^ { 2 } \: T _ { m ^ { 2 } } ^ { ( n + 2 ) } ( x , y ) \; \; \; .
k _ { \mu } \, ^ { \ast } \Gamma ^ { \mu \nu \rho } ( k , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = \, ^ { \ast } { \cal D } ^ { - 1 \, \nu \rho } ( - k _ { 1 } ) - \, ^ { \ast } { \cal D } ^ { - 1 \, \nu \rho } ( - k _ { 2 } )
\tilde { \mathcal { T } } _ { \mathrm { k i n } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { \mathcal { T } _ { \mathrm { k i n } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { \mathcal { T } _ { \mathrm { t o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } , ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathcal { T } } _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { \mathcal { T } _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { \mathcal { T } _ { \mathrm { t o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathcal { B } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { \mathcal { B } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { \mathcal { T } _ { \mathrm { t o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } ,
H _ { g } ( r , k ) \; = \; 1 \; + \; 2 \, F _ { g } ( r , k ) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; H _ { q } ( r , p ) \; = \; 1 \; - \; 2 \, F _ { q } ( r , p ) \; .
\kappa \equiv \frac { \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } ^ { 2 } + \sigma _ { 7 0 0 } ^ { 2 } } } { \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } ^ { 2 } + \sigma _ { 5 1 5 } ^ { 2 } } } = \frac { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ , ~ 7 ~ 0 ~ 0 ~ } } } { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ , ~ 5 ~ 1 ~ 5 ~ } } }
\begin{array} { r l r } { t - t _ { 0 } } & { { } = } & { \frac { | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } { c } + \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } \Big \{ \ln \Big [ \frac { r + r _ { 0 } + | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } { r + r _ { 0 } - | { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } | } \Big ] + } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { a , b } ( z _ { i } ) } & { { } = ( 1 - | z _ { i } | ) \cos ( \pi a z _ { i } ) \cos ( \pi b z _ { i } ) + \cos ( \pi a z _ { i } ) \frac { \sin ( \pi b | z _ { i } | ) } { \pi b } + \cos ( \pi b z _ { i } ) \frac { \sin ( \pi a | z _ { i } | ) } { \pi a } } \end{array}
f ( 5 0 0 ) = 5 0 0 \left( { \sqrt { 5 0 1 } } - { \sqrt { 5 0 0 } } \right) = 5 0 0 \left( 2 2 . 3 8 - 2 2 . 3 6 \right) = 5 0 0 ( 0 . 0 2 ) = 1 0
{ \sqrt [ [object Object] ] { 1 } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } i } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } i } \end{array} \right. }
\left( H _ { 0 } - E \right) { \cal P } | \phi \rangle + { \cal P } \left( V + C _ { \Lambda } \right) { \cal P } | \phi \rangle + { \cal P } \left( V + C _ { \Lambda } \right) { \frac { 1 } { { \cal Q } \left( E - H \right) { \cal Q } } } \left( V + C _ { \Lambda } \right) { \cal P } | \phi \rangle = 0 \; .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } } & { \to } & { \Lambda ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \mu } ) \Lambda ^ { \dagger } } \\ & { + } & { ( \partial _ { \mu } \Lambda ) A _ { \nu } \Lambda ^ { \dagger } - ( \partial _ { \nu } \Lambda ) A _ { \mu } \Lambda ^ { \dagger } } \\ & { + } & { \Lambda A _ { \nu } \partial _ { \mu } \Lambda ^ { \dagger } - \Lambda A _ { \mu } \partial _ { \nu } \Lambda ^ { \dagger } } \\ & { + } & { i \partial _ { \mu } ( ( \partial _ { \nu } \Lambda ) \Lambda ^ { \dagger } ) - i \partial _ { \nu } ( ( \partial _ { \mu } \Lambda ) \Lambda ^ { \dagger } ) } \end{array}
\mathcal { C } ^ { \infty } ( \mathbf { N } ( \mathbb { F } _ { v } ) \backslash \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbb { F } _ { v } ) , \psi _ { v } ) : = \left\{ W \in \mathcal { C } ^ { \infty } ( \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbb { F } _ { v } ) ) \ \middle | \ W ( n ( x ) g z ( u ) ) = \psi _ { v } ( x ) W ( g ) , \forall x \in \mathbb { F } _ { v } , u \in \mathbb { F } _ { v } ^ { \times } \right\}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { l } } & { = \| u - \mathbb { A } D \mathbb { F } ( u _ { 0 } ) u + \mathbb { A } D \mathbb { F } ( u _ { 0 } ) u \| _ { l } } \\ & { \leq \| u - \mathbb { A } D \mathbb { F } ( u _ { 0 } ) u \| _ { l } + \| \mathbb { A } \| _ { 2 , l } \| D \mathbb { F } ( u _ { 0 } ) u \| _ { 2 } } \\ & { \leq \left( Z _ { 1 } + \mathcal { Z } _ { u } \right) \| u \| _ { l } + \| \mathbb { A } \| _ { 2 , l } \| D \mathbb { F } ( u _ { 0 } ) u \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { r } = } & { } & { \frac { \sigma } { 2 } \left( ( n - 1 ) ^ { \alpha } - ( n - 1 ) ^ { \alpha } r ^ { 2 } \right) \cos { \psi } ; } \\ { \dot { \psi } = } & { } & { - \frac { \sigma } { 2 r } \left( ( 2 ( n - 1 ) ^ { 1 - \alpha } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } ) r ^ { 2 } + ( n - 1 ) ^ { \alpha } \right) \sin { \psi } + n - 2 . } \end{array}
F _ { \pi } ^ { 2 } = F _ { \rho } ^ { 2 } - F _ { a _ { 1 } } ^ { 2 } \ \ a n d \ \ F _ { \rho } ^ { 2 } m _ { \rho } ^ { 2 } = F _ { a _ { 1 } } ^ { 2 } m _ { a _ { 1 } } ^ { 2 }
\zeta _ { \mu \nu } ( s , x | L _ { b } ) = \bar { \zeta } _ { \mu \nu } ( s , x | L _ { b } ) + L _ { \mu \nu } \zeta ( s , x | L _ { b } ) - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \mu \nu } \zeta ( s - 1 , x | L _ { b } ) ,
S _ { s o u r c e } ^ { ( 3 ) } = \int d ^ { 4 } x \left( \sqrt { \operatorname * { d e t } ( G _ { E } + e ^ { - \phi / 2 } { \cal F } ) } + { \frac { i } { 4 } } \chi { \cal F } * { \cal F } + { \frac { i } { 2 } } B ^ { R } * { \cal F } + { \frac { i } { 2 4 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } A _ { \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( 4 ) } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \Psi } & { = C \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { - { a } / { 2 } } ^ { { a } / { 2 } } e ^ { \frac { i k x \left( x ^ { \prime } - j d \right) } { z } } \, d x ^ { \prime } } \\ & { = a C \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } { \frac { \left( e ^ { { \frac { i k a x } { 2 z } } - { \frac { i j k x d } { z } } } - e ^ { { \frac { - i k a x } { 2 z } } - { \frac { i j k x d } { z } } } \right) } { \frac { 2 i k a x } { 2 z } } } } \\ & { = a C \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { \frac { i j k x d } { z } } { \frac { \left( e ^ { \frac { i k a x } { 2 z } } - e ^ { \frac { - i k a x } { 2 z } } \right) } { \frac { 2 i k a x } { 2 z } } } } \\ & { = a C { \frac { \sin { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } { \frac { k a \sin \theta } { 2 } } } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { i j k d \sin \theta } } \end{array} }
[ . . . ] = - \vec { q } ^ { \prime \prime } \cdot \frac { \partial \Omega ( \vec { k } , \vec { x } ^ { \prime } ) } { \partial \vec { k } } n ( \vec { k } , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) + \vec { q } ^ { \prime } \cdot \frac { \partial n ( \vec { k } , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) } { \partial \vec { k } } \Omega ( \vec { k } , \vec { x } ^ { \prime } )
\left. \; J ^ { ( N ) } \left( n ; \nu _ { 1 } , \ldots , \nu _ { N } \right) \right| _ { \Sigma \nu _ { i } = n } = \frac { 1 } { \prod m _ { i } ^ { \nu _ { i } } } \; \Psi \left( \left\{ c _ { j l } \right\} \right) ,
\begin{array} { r l } { U ( s ) } & { = e ^ { i \eta \kappa ^ { 2 } s } \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - i \tau s } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { + i \tau s } } \end{array} \right] } \\ & { \times \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( k s ) + \frac { i \tau } { k } \sin ( k s ) } & { \frac { i \xi \kappa ^ { 2 } } { 2 k } \sin ( k s ) } \\ { \frac { i \xi \kappa ^ { 2 } } { 2 k } \sin ( k s ) } & { \cos ( k s ) + \frac { i \tau } { k } \sin ( k s ) } \end{array} \right] \, . } \end{array}