harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Omega _ { j } = ( \dot { \varphi } \sin \psi \sin \theta + \dot { \theta } \cos \psi , \quad \dot { \varphi } \cos \psi \sin \theta - \dot { \theta } \sin \psi , \quad \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { V } ^ { ( k ) } } & { \tilde { V } ^ { ( k ) } } \\ { \tilde { U } ^ { ( k ) } } & { - \tilde { U } ^ { ( k ) } } \end{array} \right] ^ { T } S _ { A } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { V } ^ { ( k ) } } & { \tilde { V } ^ { ( k ) } } \\ { \tilde { U } ^ { ( k ) } } & { - \tilde { U } ^ { ( k ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { \Sigma } ^ { ( k ) } } & \\ & { - \tilde { \Sigma } ^ { ( k ) } } \end{array} \right] .
\mathbf { a } ^ { * } = 2 \pi { \frac { \mathbf { b } \times \mathbf { c } } { \mathbf { a } \cdot ( \mathbf { b } \times \mathbf { c } ) } } , \quad \mathbf { b } ^ { * } = 2 \pi { \frac { \mathbf { c } \times \mathbf { a } } { \mathbf { b } \cdot ( \mathbf { c } \times \mathbf { a } ) } } , \quad \mathbf { c } ^ { * } = 2 \pi { \frac { \mathbf { a } \times \mathbf { b } } { \mathbf { c } \cdot ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) } } .
\begin{array} { r l } { \left\lvert T _ { F } ( A _ { 1 } ) _ { i j k l } \right\rvert \leq } & { z _ { M } ^ { ( 0 ) } , } \\ { \left\lvert T _ { F } ( A _ { 1 } ) _ { i j k l } - T _ { F } ( A _ { 2 } ) _ { i j k l } \right\rvert \leq } & { C \left( z _ { M } ^ { ( 0 ) } \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } + z _ { M } ^ { ( 1 ) } \right) \left\lVert A _ { 1 } - A _ { 2 } \right\rVert , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) , { x } ^ { t , M } - { v } ^ { i _ { * } } \rangle } \\ { = \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , i _ { * } - 1 } ) , { x } ^ { t , i _ { * } } - { v } ^ { i _ { * } } \rangle + \sum _ { k = i _ { * } + 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle } \\ & { + \sum _ { k = i _ { * } } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { v } ^ { i _ { * } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { t } C _ { i } } & { = } & { - C _ { i - 2 } C _ { i - 1 } - C _ { i - 2 , i - 1 } + C _ { i - 1 } C _ { i + 1 } } \\ & { } & { + C _ { i - 1 , i + 1 } - C _ { i } + \mu _ { i } , } \\ { d _ { t } C _ { i , j } } & { = } & { - C _ { i - 2 } C _ { i - 1 , j } - C _ { i - 2 , i - 1 , j } - C _ { i - 2 , j } C _ { i - 1 } } \\ & { } & { + C _ { i - 1 } C _ { i + 1 , j } + C _ { i - 1 , i + 1 , j } + C _ { i - 1 , j } C _ { i + 1 } } \\ & { } & { - C _ { i , j - 2 } C _ { j - 1 } - C _ { i , j - 2 , j - 1 } - C _ { i , j - 1 } C _ { j - 2 } } \\ & { } & { + C _ { i , j - 1 } C _ { j + 1 } + C _ { i , j - 1 , j + 1 } - 2 C _ { i , j } } \\ & { } & { + C _ { i , j + 1 } C _ { j - 1 } + 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } \delta _ { i , j } } \\ { d _ { t } C _ { i , j , k } } & { = } & { - C _ { i - 2 } C _ { i - 1 , j , k } - C _ { i - 2 , j } C _ { i - 1 , k } - C _ { i - 2 , j , k } C _ { i - 1 } } \\ & { } & { - C _ { i - 2 , k } C _ { i - 1 , j } + C _ { i - 1 } C _ { i + 1 , j , k } + C _ { i - 1 , j } C _ { i + 1 , k } } \\ & { } & { + C _ { i - 1 , j , k } C _ { i + 1 } + C _ { i - 1 , k } C _ { i + 1 , j } - C _ { i , j - 2 } C _ { j - 1 , k } } \\ & { } & { - C _ { i , j - 2 , k } C _ { j - 1 } - C _ { i , j - 1 } C _ { j - 2 , k } + C _ { i , j - 1 } C _ { j + 1 , k } } \\ & { } & { - C _ { i , j - 1 , k } C _ { j - 2 } + C _ { i , j - 1 , k } C _ { j + 1 } + C _ { i , j , k + 1 } C _ { k - 1 } } \\ & { } & { - C _ { i , j , k - 2 } C _ { k - 1 } + C _ { i , j , k - 1 } C _ { k + 1 } - C _ { i , j , k - 1 } C _ { k - 2 } } \\ & { } & { - 3 C _ { i , j , k } + C _ { i , j + 1 } C _ { j - 1 , k } + C _ { i , j + 1 , k } C _ { j - 1 } } \\ & { } & { + C _ { i , k + 1 } C _ { j , k - 1 } - C _ { i , k - 2 } C _ { j , k - 1 } + C _ { i , k - 1 } C _ { j , k + 1 } } \\ & { } & { - C _ { i , k - 1 } C _ { j , k - 2 } + { \cal O } \left( \langle { \delta x _ { i } , \delta x _ { j } , \delta x _ { k } , \delta x _ { l } } \rangle \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf e } _ { \{ r \} } ^ { j } } & { = } & { \left( \frac { 1 } { r ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) } , 0 , 0 \right) , } \\ { { \bf e } _ { \{ \theta \} } ^ { j } } & { = } & { \left( 0 , \frac { 1 } { r ( x _ { 1 } ) } , 0 \right) , } \\ { { \bf e } _ { \{ \varphi \} } ^ { j } } & { = } & { \left( 0 , 0 , \frac { 1 } { r ( x _ { 1 } ) \ \sin \theta } \right) , } \end{array}
\frac { d \varepsilon } { d t } = \frac { q ^ { 2 } c ^ { 3 } } { 2 A ^ { 2 } m { \frac { d \tilde { \tau } } { d t } } } \left[ \frac { d | \vec { E } | ^ { 2 } } { d t } + 2 v ^ { j } E _ { i } \partial _ { i } E _ { j } \right] \, { , }
\Bigl [ \mathrm { I m } \, { \cal E } ( g ) \Bigr ] _ { \mathrm { b o u n c e } } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { D / 2 } } J M ^ { - 1 / 2 } \exp \left( - \frac { A _ { 0 } } { g } \right) ,
| \Psi \rangle \approx | \psi _ { 0 } \rangle \int e ^ { - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } \epsilon ( t ) d t { } ~ ( \vec { x } \cdot { \bf L } \cdot \vec { \rho } ) } ~ \langle x | \phi _ { o } \rangle | x \rangle d ^ { 3 } x
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \Big | _ { t = 0 } } & { = \int \delta \ell _ { N } ( \rho ) \cdot \partial _ { t } \rho _ { t } \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) , \zeta = \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \left( \alpha - \int \alpha \mathrm { d } \rho \right) \mathrm { d } \rho } \\ & { = \int \left( \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) - \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \mathrm { d } \rho \right) \left( \alpha - \int \alpha \mathrm { d } \rho \right) \mathrm { d } \rho } \\ & { = g _ { \rho } ^ { \mathsf { F R } } \left( \rho \left( \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) - \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \mathrm { d } \rho \right) , \zeta \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { \mathrm { s i g } } ^ { \prime } } \\ { \hat { b } _ { \mathrm { o u t } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { T } } & { \sqrt { 1 - T } } \\ { - \sqrt { 1 - T } } & { \sqrt { T } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { \mathrm { s i g } } } \\ { \hat { b } _ { \mathrm { e n v } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { [ u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( \mathbb { R } ^ { N } ) } } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ [ u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( \overline { \Omega } ) } , \operatorname* { s u p } _ { x \in \overline { { \Omega } } , y \notin \overline { { \Omega } } } \frac { | u ( x ) | } { | x - y | ^ { \alpha } } \right\} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \left\{ [ u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( \overline { \Omega } ) } , \operatorname* { s u p } _ { x \in \Omega , y \notin \overline { { \Omega } } } \frac { | u ( x ) | } { | x - y | ^ { \alpha } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { k - 1 } , t _ { k } ] } | \log Z _ { m } ( t ) - W _ { m } ( t - \tau _ { m } ) | > ( t _ { k } - \tau _ { m } ) ^ { 1 - \varphi } \mid W _ { m } , \tau _ { m } \big ) } \\ & { \leq ( 2 + t _ { k - 1 } W _ { m } ) \exp \big ( - ( t _ { k } - \tau _ { m } ) ^ { 1 - \varphi } + ( t _ { k } - t _ { k - 1 } ) W _ { m } \big ) } \\ & { \leq ( 2 + t _ { k - 1 } W _ { m } ) \exp \big ( - s _ { k } ^ { 1 - \varphi } + ( t _ { k } - t _ { k - 1 } ) W _ { m } \big ) . } \end{array}
< { \cal A } > = \operatorname * { l i m } _ { \Lambda \rightarrow \infty } < { \cal A } ^ { L } > _ { \Lambda } = \operatorname * { l i m } _ { \Lambda \rightarrow \infty } < \hbar { \cal A } _ { 1 } ^ { \Lambda } + \hbar ^ { 2 } { \cal A } _ { 2 } ^ { \Lambda } + . . . > _ { \Lambda } \ .
H ^ { \nu e } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \overline { { { \nu } } } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \nu \overline { { { e } } } \gamma _ { \mu } ( g _ { V } ^ { \nu e } - g _ { A } ^ { \nu e } \gamma _ { 5 } ) e ,
\begin{array} { r l } { [ \nabla \cdot { \boldsymbol { \Lambda } } _ { i } ( { \boldsymbol { r } } , t ) , \nabla \cdot { \boldsymbol { \Lambda } } _ { j } ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } , t ) ] } & { = - \delta _ { i j } \nabla _ { \boldsymbol { r } } ^ { 2 } \delta ( { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) \, , } \\ { \frac { \delta } { \delta \phi _ { i } ( { \boldsymbol { r } } ) } \mu _ { j } ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) } & { = \frac { \partial \mu _ { j } } { \partial \phi _ { i } } ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) \delta ( { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) \, , } \\ { \frac { \delta } { \delta \phi _ { i } ( { \boldsymbol { r } } ) } \nabla _ { { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } } \cdot { \boldsymbol { J } } _ { j } ^ { \mathrm { d } } ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) } & { = \frac { \delta } { \delta \phi _ { i } ( { \boldsymbol { r } } ) } \nabla _ { { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } } ^ { 2 } \mu _ { j } ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac { \partial \mu _ { j } } { \partial \phi _ { i } } ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) \nabla _ { { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } } ^ { 2 } \delta ( { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) \, . } \end{array}
S = - \int d \tau d \eta { \frac { i } { 2 E } } D X ^ { \underline { { m } } } \partial _ { \tau } X _ { \underline { { m } } } = - \int d \tau d \eta { \frac { 1 } { 2 E } } D X ^ { \underline { { m } } } D ( D X _ { \underline { { m } } } ) ,
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } ^ { \prime } = } & { \int d ^ { 2 } \vec { r } \Big [ \sum _ { s = \uparrow \downarrow } | \vec { r } s \rangle \bigr ( - \frac { \hbar ^ { 2 } \vec { \nabla } ^ { 2 } } { 2 m } + V ( \vec { r } ) + \frac { \delta } { 2 } ( \sigma _ { z } ) _ { s s } \bigr ) \langle \vec { r } s | } \\ { - } & { i \gamma _ { \downarrow } | \vec { r } \downarrow \rangle \langle \vec { r } \downarrow | + \bigr ( M _ { R } ( \vec { r } ) | \vec { r } \uparrow \rangle \langle \vec { r } \downarrow | + h . c . \bigr ) \Big ] , } \end{array}
\hat { \mathcal { V } } _ { m } ( p _ { m } , p _ { 0 } , \boldsymbol { p } _ { 1 , m - 1 } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d m } } \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { V } ( p _ { m } - p _ { 0 } ) } & { \mathrm { i f ~ m = 1 ~ , } } \\ { \hat { V } ( p _ { m } - p _ { m - 1 } ) \hat { V } ( p _ { 1 } - p _ { 0 } ) \prod _ { i = 2 } ^ { m - 1 } \hat { V } ( p _ { i } - p _ { i - 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ m > 1 ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( \omega ) = } & { J _ { n } \left( \frac { \Delta \omega } { \Omega } \right) \sum _ { l } \frac { \delta v _ { l } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } e ^ { i \omega t _ { l } } \int _ { t _ { l } } ^ { \tau } e ^ { - \frac { \Gamma } { 2 } \left( t - t _ { l } \right) } e ^ { i \omega \left( t - t _ { l } \right) } } \\ & { \times \sin \left[ \bar { \omega } _ { n } \left( t - t _ { l } \right) + n \xi _ { l } - \frac { \Delta \omega } { \Omega } \sin ( \xi _ { l } ) + n \frac { \pi } { 2 } \right] d t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } ( v _ { \parallel } ^ { 2 } - v _ { \parallel f } ^ { 2 } ) + ( \mu B _ { f } - v _ { \parallel f } u _ { f } ) \left( \frac { B } { B _ { f } } - 1 \right) + u _ { f } ( v _ { \parallel } - v _ { \parallel f } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } ( S _ { f } - 1 ) \left( v _ { \parallel } ^ { 2 } - 2 v _ { \parallel f } + v _ { \parallel f } ^ { 2 } \right) + \frac { Z e } { m } ( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } ) = 0 , } \end{array}
\sigma _ { a } = { \frac { 2 B c - 2 \sqrt { A \big ( B ^ { 2 } - 4 C ( c ^ { 2 } - A ) \big ) } } { B ^ { 2 } + 4 A C } } \, , \qquad \zeta _ { a } = { \frac { - 2 A B + 2 c \sqrt { A \big ( B ^ { 2 } - 4 C ( c ^ { 2 } - A ) \big ) } } { B ^ { 2 } - 4 c ^ { 2 } C } } \, ,
g _ { s } = \frac { 1 } { 2 } \bar { \sigma } _ { i j } \epsilon _ { i j } v _ { s } ^ { o } - \bar { \sigma } _ { n n } v _ { s } ^ { o } \left( 1 + \frac { \mathrm { T r } ( \bar { \sigma } ) } { 3 K _ { s } } \right) ,
\begin{array} { r l } { p _ { \alpha \beta } = \bigg ( } & { p _ { E O S } + \sigma \frac { G ^ { 2 } c ^ { 4 } } { 6 } ( \partial _ { \gamma } \psi ) ( \partial _ { \gamma } \psi ) } \\ & { \left. + \frac { G c ^ { 4 } } { 1 2 } \psi \partial _ { \gamma } \partial _ { \gamma } \psi \right) \delta _ { \alpha \beta } + \frac { G c ^ { 4 } } { 6 } \psi \partial _ { \alpha } \partial _ { \beta } \psi . } \end{array}
P ( x ) \propto T _ { q _ { v } } ( t ) ^ { \frac { D } { 3 - q _ { v } } } \times \left( 1 + \frac { ( q _ { v } - 1 ) \Delta x ^ { 2 } } { [ T _ { q v } ( t ) ] ^ { 2 / ( 3 - q _ { v } ) } } \right) ^ { ( q _ { v } - 1 ) ^ { - 1 } + ( D - 1 ) / 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \log | \mathcal { B } | } & { \leq R _ { 1 } + c _ { 1 } \log ( n + 1 ) } \\ { \frac { 1 } { n } \log ( | \mathcal { B } | \cdot | \mathcal { B } ( ( z ^ { n } ) ^ { * } ) | ) } & { \leq \mathsf { R } ( R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | Q _ { X } ) + ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \log ( n + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { m } } & { = \int _ { - \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } ^ { \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } \int _ { - \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } ^ { \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } \int _ { - \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } ^ { \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot \sin { \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } x _ { 1 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } x _ { 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } x _ { 3 } \right) } d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 3 } } \\ & { = \int _ { - \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } ^ { 0 } \int _ { - \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } ^ { 0 } \int _ { - \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } ^ { 0 } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot \sin { \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } x _ { 1 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } x _ { 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } x _ { 3 } \right) } d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 3 } + } \\ & { \quad \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot \sin { \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } x _ { 1 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } x _ { 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } x _ { 3 } \right) } d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K = \{ \tilde { \varphi } \in \textup { C } ( \tilde { S } ) | } & { \mathrm { ~ } \tilde { \varphi } ( \eta ) = 0 \textup { i f } \eta \not \in [ c _ { 0 } ( \frac { \epsilon } { 2 } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } , 2 M ] \times [ \frac { \epsilon } { 2 } , 4 R ] ; \mathrm { ~ } | \tilde { \varphi } ( \eta ) - \tilde { \varphi } ( \eta ^ { \prime } ) | \leq C ( \epsilon , R , \delta , t , C _ { \textup { n o r m } } ) | \eta - \eta ^ { \prime } | , } \\ & { \textup { f o r a l l } \eta , \eta ^ { \prime } \in \tilde { S } \} . } \end{array}
I _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = \frac { - 2 D p ^ { 2 } \Gamma ( 6 ) } { \Gamma ^ { 2 } ( 2 ) \Gamma ^ { 2 } ( 1 ) } \int d ^ { D } k \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } x y } { [ ( k - ( y + s ) p ) ^ { 2 } - ( r + s ) m _ { f } ^ { 2 } ] ^ { 6 } } \, .
\begin{array} { r l } { a } & { = { \sum _ { m = - \frac { { M = 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M = 1 } } { 2 } } { \left( { \frac { { \partial { a _ { m } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } } \right) } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { { 4 { \pi ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } { { \cos } ^ { 2 } } \theta } } { { { \lambda ^ { 2 } } } } \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { \frac { { { m ^ { 2 } } { \varepsilon _ { T } } ^ { 2 } } } { { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \varphi _ { h } , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } - \nabla I _ { h } ^ { s z } u ) } & { \lesssim c _ { \varepsilon } \, \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla I _ { h } ^ { s z } u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \varepsilon \, \rho _ { \varphi _ { h } , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) } \\ & { \lesssim c _ { \varepsilon } \big ( \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \| F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla I _ { h } ^ { s z } u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \big ) } \\ & { \quad + \varepsilon \, \rho _ { \varphi _ { h } , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } - \nabla I _ { h } ^ { s z } u ) + \varepsilon \, \rho _ { \varphi _ { h } , \Omega } ( \nabla I _ { h } ^ { s z } u ) } \\ & { \lesssim c _ { \varepsilon } \, h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha + d ( 1 - s ) } \big ( 1 + \| \nabla F ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \| ( \delta ^ { p ( \cdot ) - 1 } + \vert z \vert ) ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) - 2 } \vert f \vert ^ { 2 } \| _ { 1 , \{ p > 2 \} } } \\ & { \quad + \sigma ( f ; s ) ^ { s } + \rho _ { p ^ { \prime } ( \cdot ) s , \Omega } ( f ) + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) } \\ & { \quad + \varepsilon \, \rho _ { p _ { h } ( \cdot ) , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } - \nabla I _ { h } ^ { s z } u ) + \varepsilon \, ( 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) ) \, . } \end{array}
k = - 2 . 5 \log _ { 1 0 } \left[ \left( { \frac { \nu _ { \mathrm { c } } } { \nu _ { \mathrm { d } } } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { \Delta _ { \mathrm { c } } } { \Delta _ { \mathrm { d } } } } \right) \left( { \frac { \nu _ { \mathrm { b } } } { \nu _ { \mathrm { a } } } } \right) ^ { 2 { \frac { \nu _ { \mathrm { c } } - \nu _ { \mathrm { d } } } { \nu _ { \mathrm { a } } - \nu _ { \mathrm { b } } } } } \left( { \frac { \Delta _ { \mathrm { b } } } { \Delta _ { \mathrm { a } } } } \right) ^ { \frac { \nu _ { \mathrm { c } } - \nu _ { \mathrm { d } } } { \nu _ { \mathrm { a } } - \nu _ { \mathrm { b } } } } \right]
( \partial _ { t } u _ { h } , v _ { h } ) _ { \Omega ^ { s } } + a _ { h } ( u _ { h } ; \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } ) + b _ { h } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) + b _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) = ( f ^ { s } , v _ { h } ) _ { \Omega ^ { s } } + ( f ^ { d } , q _ { h } ) _ { \Omega ^ { d } } .
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] } & { = \cosh ( r _ { \mathrm { s } } ) \, \hat { a } _ { \mathrm { s } } [ \Omega ] + e ^ { i \varphi _ { \mathrm { s } } } \sinh ( r _ { \mathrm { s } } ) \, \hat { a } _ { \mathrm { s } } ^ { \dagger } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { s } } [ \Omega ] } & { = G \, \hat { a } _ { \mathrm { i n } } [ \Omega ] + \sqrt { G ^ { 2 } - 1 } \, \hat { a } _ { \mathrm { G } } ^ { \dagger } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } [ \Omega ] } & { = - \sqrt { \eta } \, \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] + \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { a } _ { 0 } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] + \sqrt { \eta } \, \hat { a } _ { 0 } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { i n } } [ \Omega ] } & { = e ^ { i \Omega \tau } \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } [ \Omega ] . } \end{array}
\langle | \phi ( { \boldsymbol { r } } _ { \perp } , z , t ) | ^ { 2 } \rangle \! = \! \int \frac { d \omega } { 2 \pi } S _ { F } ( \omega ) | f _ { \omega } ( t ) | ^ { 2 } \! = \! \frac { m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( t ) \! - \! m } { 2 g I / D _ { f } } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { c _ { t } \left( f _ { t } ^ { 2 } - f _ { 0 } ^ { 2 } ( T _ { 0 } ) \right) } { \frac { c _ { 2 } } { r ^ { 2 } } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 r ^ { 2 } } } = 3 \sqrt [ 3 ] { \eta ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } } - 2 \eta - z _ { 0 } ^ { 2 } , } \\ { c _ { t } f _ { 0 } ^ { 2 } ( T _ { 0 } ) = \epsilon _ { 0 } + \frac { c _ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { c _ { 3 } t ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbf { M } _ { n } = \left[ \begin{array} { r r r r r } { \hat { m } _ { n } ^ { ( - P ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 1 ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 2 ) } } & { \cdots } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 2 P ) } } \\ { \hat { k } _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { \hat { m } _ { n } ^ { ( - P + 1 ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 1 ) } } & { \cdots } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 2 P + 1 ) } } \\ { \hat { k } _ { n } ^ { ( 2 ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { \hat { m } _ { n } ^ { ( - P + 2 ) } } & { \cdots } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 2 P + 2 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \hat { k } _ { n } ^ { ( 2 P ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( 2 P - 1 ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( 2 P - 2 ) } } & { \cdots } & { \hat { m } _ { n } ^ { ( P ) } } \end{array} \right] , \mathbf { Q } _ { n } = \left[ \begin{array} { r r r r r } { \hat { q } _ { n } ^ { ( - P ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 1 ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 2 ) } } & { \cdots } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 2 P ) } } \\ { \hat { k } _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { \hat { q } _ { n } ^ { ( - P + 1 ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 1 ) } } & { \cdots } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 2 P + 1 ) } } \\ { \hat { k } _ { n } ^ { ( 2 ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { \hat { q } _ { n } ^ { ( - P + 2 ) } } & { \cdots } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( - 2 P + 2 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \hat { k } _ { n } ^ { ( 2 P ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( 2 P - 1 ) } } & { \hat { k } _ { n } ^ { ( 2 P - 2 ) } } & { \cdots } & { \hat { q } _ { n } ^ { ( P ) } } \end{array} \right] , } \\ & { \mathbf { \hat { W } } _ { n } = [ \hat { W } _ { n } ^ { ( - P ) } , \hat { W } _ { n } ^ { ( - P + 1 ) } , \cdots , \hat { W } _ { n } ^ { ( P - 1 ) } , \hat { W } _ { n } ^ { ( P ) } ] ^ { T } , \quad \mathbf { \hat { w } } _ { n } = [ \hat { w } _ { n } ^ { ( - P ) } , \hat { w } _ { n } ^ { ( - P + 1 ) } , \cdots , \hat { w } _ { n } ^ { ( P - 1 ) } , \hat { w } _ { n } ^ { ( P ) } ] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( y , z ) } & { { } = { \frac { G } { 2 \mu } } ( y + z ) ( \pi - y ) - { \frac { G } { \pi \mu } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \beta _ { n } ^ { 3 } \sinh ( 2 \pi \beta _ { n } ) } } \{ \sinh [ \beta _ { n } ( 2 \pi - y + z ) ] \sin [ \beta _ { n } ( y + z ) ] - \sinh [ \beta _ { n } ( y + z ) ] \sin [ \beta _ { n } ( y - z ) ] \} , \quad \beta _ { n } = n - { \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { Q } & { { } = { \frac { G \pi ^ { 4 } } { 1 2 \mu } } - { \frac { G } { 2 \pi \mu } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \beta _ { n } ^ { 5 } } } [ \coth ( 2 \pi \beta _ { n } ) + \csc ( 2 \pi \beta _ { n } ) ] . } \end{array}
H _ { \mathrm { e f f } } ( k _ { x } , k _ { y } ) = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { ( k _ { x } - i k _ { y } ) ^ { 2 } } \\ { ( k _ { x } + i k _ { y } ) ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) .
\Phi _ { d i s p l a c e m e n t } ( v _ { s p u t t e r } , v _ { a z i m u t h a l } ) = \frac { v _ { a z i m u t h a l } } { v _ { s p u t t e r } } \frac { \sqrt { ( y _ { r a c e t r a c k } - y _ { c o l l e c t o r } ) ^ { 2 } + z _ { c o l l e c t o r } ^ { 2 } } } { r _ { r a c t r a c k } }