harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int d ^ { 4 } z _ { 1 } \dots \int d ^ { 4 } z _ { n } \left( W _ { x z _ { 1 } z _ { 2 } \dots z _ { n } y } \right) _ { A B } \frac { e ^ { - \frac { ( x - z _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma } } } { ( 4 \pi \sigma ) ^ { 2 } } \frac { e ^ { - \frac { ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma } } } { ( 4 \pi \sigma ) ^ { 2 } } \dots \frac { e ^ { - \frac { ( z _ { n } - y ) ^ { 2 } } { 4 \sigma } } } { ( 4 \pi \sigma ) ^ { 2 } }
- 4 \left( \stackrel { \circ } { P } _ { A B C D , a } + \frac { 3 } { 2 } \stackrel { \circ } { P } _ { [ C D , a } C _ { A B ] } \right) C ^ { D L } \gamma ^ { a } \gamma ^ { 0 } - 3 \stackrel { \circ } { T } _ { [ A B } \delta _ { C ] } ^ { L } \gamma ^ { a b } = 0 \, .
V ( \psi ) = \frac { h } { 4 } \sum _ { j } \left[ \frac { 4 } { \lambda ^ { 2 } h ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \frac { \lambda } { 2 } ( \psi _ { j + 1 } - \psi _ { j } ) + \frac { m ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \frac { \lambda } { 2 } ( \psi _ { j + 1 } + \psi _ { j } ) \right]
\left\{ \stackrel { \wedge } { \psi } ^ { \dagger } , \stackrel { \wedge } { \psi } \right\} = 1 , \quad \left\{ \stackrel { \wedge } { \psi } , \stackrel { \wedge } { \psi } \right\} = \left\{ \stackrel { \wedge } { \psi } ^ { \dagger } , \stackrel { \wedge } { \psi } ^ { \dagger } \right\} = 0
S ^ { \prime } = S + \int d ^ { 4 } x \sqrt { - G } G ^ { 5 5 } V _ { 0 } \partial _ { 5 } \Phi \Bigr | _ { y = 0 } + \int d ^ { 4 } x \sqrt { - G } G ^ { 5 5 } V _ { L } \partial _ { 5 } \Phi \Bigr | _ { y = L } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ g ^ { \prime } ( X ) ] } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } g ^ { \prime } ( s ) d ^ { X } ( s ) \, d s = \int _ { 0 } ^ { \infty } f ^ { \prime } ( s ) \mathbb { E } \big [ ( \eta b e ^ { b x } - b ) \mathbf { 1 } \{ X > s \} \big ] \, d s } \\ & { = \mathbb { E } \big [ ( \eta b e ^ { b x } - b ) \int _ { 0 } ^ { \infty } g ^ { \prime } ( s ) \mathbf { 1 } \{ X > s \} \, d s \big ] = \mathbb { E } \big [ - ( - \eta b e ^ { b x } + b ) ( g ( X ) - g ( 0 ) ) \big ] } \\ & { = \mathbb { E } \big [ - ( - \eta b e ^ { b x } + b ) g ( X ) \Big ] . } \end{array}
\gamma _ { \pm } \equiv 2 \mu _ { \pm } + \frac { 1 } { 2 } = 1 \pm \frac { 1 } { 2 } \quad , \quad \alpha _ { a , b } ^ { \pm } \equiv \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 4 } + \sqrt { a b } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \beta _ { a , b } ^ { \pm } \equiv \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 4 } - \sqrt { a b } \; .
\begin{array} { r l } { { p _ { I I I } } - { p _ { 0 } } } & { { } = { } \frac { 1 } { 2 } \rho \left( \left( 1 - E ^ { 2 } \right) v _ { 0 } ^ { 2 } + { v _ { I } } _ { n } ^ { 2 } \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) \right) . } \end{array}
a _ { j + 1 } ^ { 2 } ( s , \textbf { s } _ { j } ^ { * } ) = \frac { I _ { E E } \left( P ( s ) , q \right) } { \frac { 1 } { j } \sum _ { k = 1 } ^ { j } I \left( P ( s ) , P ( s _ { k } ^ { * } ) \right) } .
f ( \varepsilon _ { R } , \varepsilon _ { L } ) = \langle 0 | U ^ { \dagger } ( 0 ) \delta \left( \varepsilon _ { R } - { \cal E } _ { R } \right) \delta \left( \varepsilon _ { L } - { \cal E } _ { L } \right) U ( 0 ) | 0 \rangle \, ,
\begin{array} { r l } & { \| \hat { u } _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , \qquad \| \hat { v } _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \Delta \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } , \qquad \| \nabla \hat { u } _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \nabla \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \nabla \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \nabla \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \leq \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \nabla \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \leq \| \nabla \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underbrace { \frac { \partial v _ { y } } { \partial y } } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } + \underbrace { \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } } & { = 0 , } \\ { \underbrace { \rho _ { f } \frac { \partial v _ { y } } { \partial t } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } { \alpha } ^ { 2 } ) } + \underbrace { \rho _ { f } v _ { y } \frac { \partial v _ { y } } { \partial y } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } R e ) } + \underbrace { \rho _ { f } v _ { z } \frac { \partial v _ { y } } { \partial z } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } R e ) } } & { = \underbrace { \mu _ { f } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { y } } { \partial y ^ { 2 } } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) } + \underbrace { \mu _ { f } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { y } } { \partial z ^ { 2 } } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 4 } ) } - \underbrace { \frac { \partial p } { \partial y } } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } , } \\ { \underbrace { \rho _ { f } \frac { \partial v _ { z } } { \partial t } } _ { \mathcal { O } ( { \alpha } ^ { 2 } ) } + \underbrace { \rho _ { f } v _ { y } \frac { \partial v _ { z } } { \partial y } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon R e ) } + \underbrace { \rho _ { f } v _ { z } \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon R e ) } } & { = \underbrace { \mu _ { f } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { z } } { \partial y ^ { 2 } } } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } + \underbrace { \mu _ { f } \frac { \partial ^ { 2 } v _ { z } } { \partial z ^ { 2 } } } _ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) } - \underbrace { \frac { \partial p } { \partial z } } _ { \mathcal { O } ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \dot { A } _ { m } ^ { * } ( t ) \delta f _ { m } ( t ) \rangle = - \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } \ e ^ { + i m \Omega _ { d } ( t ^ { \prime } - t ) } \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \langle \dot { A } _ { m } ^ { * } ( t ) \dot { A } _ { m } ( t ^ { \prime } ) \rangle } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu \langle \dot { A } _ { m } ^ { * } ( t ) A _ { m } ( t ^ { \prime } ) \rangle } { q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } _ { { \bf u } _ { 1 : T } } \quad } & { \mathbb { E } _ { { \bf w } | { \bf x } } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } 2 \left[ s _ { t } \right] ^ { + } + \left[ - s _ { t } \right] ^ { + } \bigg \vert \: { \bf x } = { \bf x } _ { 0 } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { s _ { t } = s _ { t - 1 } + u _ { t } - w _ { t } } \\ & { u _ { t } \geq 0 } & & { \forall t \in [ T ] , } \\ & { u _ { t } \leq 1 5 0 } & & { \forall t \in [ T ] , } \\ & { u _ { t } + u _ { t + 1 } \leq 2 0 0 } & & { \forall t \in [ T - 1 ] . } \end{array}
\left\langle \gamma \left( p , \varepsilon _ { 1 } \right) , \gamma \left( p ^ { \prime } , \varepsilon _ { 2 } \right) \mid \pi \left( q \right) \right\rangle = i \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } T _ { \mu \nu } \left( q ; p , p ^ { \prime } \right) \delta ^ { 4 } \left( q - p - p ^ { \prime } \right) \varepsilon _ { 1 } ^ { \mu } \left( p \right) \varepsilon _ { 2 } ^ { \nu } \left( p ^ { \prime } \right) .
3 6 5 . 2 4 2 1 8 9 6 6 9 8 - 6 . 1 5 3 5 9 \times 1 0 ^ { - 6 } T - 7 . 2 9 \times 1 0 ^ { - 1 0 } T ^ { 2 } + 2 . 6 4 \times 1 0 ^ { - 1 0 } T ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { h ( { \bf k } ) } & { { } \! = \! \left[ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } } \\ { T _ { z } } & { { } \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } , } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } p _ { + } d ^ { 3 } p _ { - } } { \varepsilon _ { + } \varepsilon _ { - } } = m ^ { 4 } \pi ^ { 2 } x _ { 1 } x _ { 2 } d x _ { 1 } d x _ { 2 } d z _ { 1 } d z _ { 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \ , \ \ z _ { 1 , 2 } = \frac { \varepsilon ^ { 2 } \theta _ { 1 , 2 } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { ( \lambda + \rho ) ^ { \flat } = \lambda ^ { \prime } + \rho ^ { \prime } } & { = \left( n + k - \frac { 1 } { 2 } , \ldots , k + \frac { 1 } { 2 } \right) , } \\ { \lambda ^ { \prime } } & { = \left( \frac { 2 k + 1 } { 2 } , \ldots , \frac { 2 k + 1 } { 2 } \right) = ( 2 k + 1 ) \omega _ { n } ^ { \prime } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \mathbf { u } \times \mathbf { v } ) \times \mathbf { w } } & { = ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { w } ) \mathbf { v } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { w } ) \mathbf { u } , } \\ { \mathbf { u } \times ( \mathbf { v } \times \mathbf { w } ) } & { = ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { w } ) \mathbf { v } - ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { w } , } \\ { \left\| \mathbf { u } \times \mathbf { v } \right\| ^ { 2 } } & { = \left\| \mathbf { u } \right\| ^ { 2 } \left\| \mathbf { v } \right\| ^ { 2 } - ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } ) ^ { 2 } . } \end{array} }
\dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ n o r m a l } } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { g } _ { t } ^ { 1 , 3 , \mathrm { \scriptsize ~ n o r m a l } } , \cdots , \dot { g } _ { t } ^ { 1 6 , 1 4 , \mathrm { \scriptsize ~ n o r m a l } } } \end{array} \right] \mathrm { ~ a n d ~ } \dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ m o t i o n } } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { g } _ { t } ^ { 1 , 3 , \mathrm { \scriptsize ~ m o t i o n } } , \cdots , \dot { g } _ { t } ^ { 1 6 , 1 4 , \mathrm { \scriptsize ~ m o t i o n } } } \end{array} \right]
{ \frac { d } { d \tau } } \left( { \frac { - g _ { \mu \nu } { \frac { \partial { \dot { x } } ^ { \mu } } { \partial { \dot { x } } ^ { \lambda } } } { \dot { x } } ^ { \nu } - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \frac { \partial { \dot { x } } ^ { \nu } } { \partial { \dot { x } } ^ { \lambda } } } } { 2 { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } } \right) = { \frac { - g _ { \mu \nu , \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } { 2 { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } } \qquad \qquad ( 1 )
\begin{array} { r l } & { \mathcal { O } \left( \sqrt { \frac { n \kappa } { s } } + \frac { n } { s } \right) \! \left( \frac { s d } { n } + 1 + c d \right) } \\ { = } & { \mathcal { O } \left( \sqrt { \frac { \kappa } { c } } + \frac { 1 } { c } \right) \! \left( c d + c d + c d \right) } \\ { = } & { \mathcal { O } \left( \sqrt { c \kappa } d + d \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 0 } ^ { 2 } ( q ) } & { { } = { \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } } q _ { z z } } \\ { T _ { + 1 } ^ { 2 } ( q ) } & { { } = - q _ { x z } - i q _ { y z } } \\ { T _ { + 2 } ^ { 2 } ( q ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } ( q _ { x x } - q _ { y y } ) + i q _ { x y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( x , y , z , t ) = \mu \Bigg [ } & { { } 2 \left( \frac { \partial u ( x , y , z , t ) } { \partial x } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { { } 2 \left( \frac { \partial v ( x , y , z , t ) } { \partial y } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { { } 2 \left( \frac { \partial w ( x , y , z , t ) } { \partial z } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \left( \frac { \partial v ( x , y , z , t ) } { \partial x } + \frac { \partial u ( x , y , z , t ) } { \partial y } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \left( \frac { \partial w ( x , y , z , t ) } { \partial y } + \frac { \partial v ( x , y , z , t ) } { \partial z } \right) ^ { 2 } } \\ { + } & { { } \left( \frac { \partial u ( x , y , z , t ) } { \partial z } + \frac { \partial w ( x , y , z , t ) } { \partial x } \right) ^ { 2 } \Bigg ] \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { x } ^ { * } = \mathbf { x } / H , \ \ \ t ^ { * } = t / \sqrt { H / ( g \beta \Delta _ { T } ) } , \ \ \ \mathbf { u } _ { f } ^ { * } = \mathbf { u } _ { f } / \sqrt { g \beta \Delta _ { T } H } , } \\ & { P ^ { * } = P / ( \rho _ { 0 } g \beta \Delta _ { T } H ) , \ \ \ T _ { f } ^ { * } = ( T _ { f } - T _ { 0 } ) / \Delta _ { T } } \end{array}
\frac { h A / h _ { 0 } A _ { 0 } } { ( P / P _ { 0 } ) ^ { 1 / 3 } ( A / A _ { 0 } ) ^ { 2 / 3 } } = \frac { \mathrm { N u } / \mathrm { N u } _ { 0 } } { ( f / f _ { 0 } ) ^ { 1 / 3 } } ,
\begin{array} { r } { c = \Gamma _ { \mathrm { i n t } } \frac { T } { 2 } \left( \frac { 1 } { \xi _ { 2 } } - \frac { 1 } { \xi _ { 1 } } \right) + O ( T ^ { \frac { 3 } { 2 } } ) , } \end{array}
\times \; \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { b } ^ { \prime } } \psi _ { 2 } ^ { ( b ) } ( { y ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { b } } \overline { { { \psi } } } _ { 1 } ^ { ( b ) } ( x _ { i } ^ { ( b ) } \! + \hat { \tau } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { b } } \psi _ { 2 } ^ { ( b ) } ( y _ { i } ^ { ( b ) } \! + \hat { \tau } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { b } ^ { \prime } } \overline { { { \psi } } } _ { 1 } ^ { ( b ) } ( { x ^ { \prime } } _ { i } ^ { ( b ) } ) \Big \rangle _ { f r e e } \; .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \sum _ { l = k } ^ { \infty } \tau _ { j } ( l ) - \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } > t \sqrt { \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) ^ { 2 } } } \right) } \\ & { \le \exp \left( - s \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } - s t \sqrt { \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) ^ { 2 } } } \right) \cdot \mathbb { E } \exp \left( s \sum _ { l = k } ^ { \infty } \tau _ { j } ( l ) \right) } \\ & { = \exp \left( - s \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } - t \right) \cdot \prod _ { l = k } ^ { \infty } \mathbb { E } e ^ { s \tau _ { j } ( l ) } = \exp \left( - s \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } - t \right) \cdot \prod _ { l = k } ^ { \infty } \left( 1 + \frac { s } { F _ { j } ( l ) - s } \right) } \\ & { \le \exp \left( - s \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } - t \right) \cdot \prod _ { l = k } ^ { \infty } \exp \left( \frac { s } { F _ { j } ( l ) - s } \right) = \exp \left( s \sum _ { l = k } ^ { \infty } \left( - \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } + \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) - s } \right) - t \right) } \\ & { \le \exp \left( \frac { s ^ { 2 } } { 1 - \frac { s } { F _ { j } ( k ) } } \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) ^ { 2 } } - t \right) = c _ { j } ( k ) e ^ { - t } , } \end{array}
J = \lambda _ { 1 } \left[ \begin{array} { l l } { \frac { - 4 \mu ^ { 2 } - 1 0 \mu - 4 } { 4 \mu + 6 } } & { \frac { - 4 } { 4 \mu + 6 } } \\ { \frac { - 2 \mu - 2 } { 4 \mu + 6 } } & { \frac { - 4 \mu ^ { 2 } - 6 \mu - 2 } { 4 \mu + 6 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { x _ { k } } & { = } & { \sum _ { l \neq k } m _ { l } \delta _ { l k } ^ { 3 } x _ { l k } , \quad k = 1 , \ldots , n , } \\ { y _ { k } } & { = } & { \sum _ { l \neq k } m _ { l } \delta _ { l k } ^ { 3 } y _ { l k } , \quad k = 1 , \ldots , n , } \\ { 1 } & { = } & { \delta _ { k l } ^ { 2 } ( x _ { k l } ^ { 2 } + y _ { k l } ^ { 2 } ) , \quad 1 \leq k < l \leq n , } \\ { y _ { 1 2 } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert b _ { T } \right\Vert _ { 1 } } & { \leq 2 \left\Vert b _ { 0 } \right\Vert _ { 1 } + \frac { 4 \Delta _ { 1 } } { \eta } + O \left( \left\Vert \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { 0 } } \right\Vert _ { 1 } \log \frac { 1 } { \delta } + \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \left( \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } + \sqrt { T } \right) \right) + 4 \eta ^ { 2 } L \sum _ { i } \log \frac { 4 \eta ^ { 2 } L } { b _ { 0 , i } } . } \end{array}
A _ { \overline { { { T } } } T \overline { { { T } } } T } ( k _ { 1 } ; k _ { 2 } ; k _ { 3 } ; k _ { 4 } ; a _ { i } ) \sim ( 2 \pi ) ^ { p + 1 } \delta ( \sum k ) \: \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } { \cal C } _ { 0 } { \cal N } _ { T } ^ { 4 } V _ { \bot } \frac { s + t } { s t } \left( 1 + \alpha ^ { \prime } ( s + t ) \right)
{ \frac { d y } { d x } } = { \frac { 1 } { n y ^ { n - 1 } } } = { \frac { 1 } { n \left( x ^ { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { n - 1 } } } = { \frac { 1 } { n } } x ^ { { \frac { 1 } { n } } - 1 } = m x ^ { m - 1 }
A = \frac { 1 } { 4 } \Bigl ( - \frac { \partial \Omega } { \partial r } d t + \frac { \partial \Omega } { \partial t } d r \Bigr ) + f d \hat { x } + g \epsilon _ { i j k } \frac { x _ { i } } { r ^ { 2 } } d x _ { j } \sigma _ { k } ,
\mathbf { X } = { \left[ \begin{array} { l } { \operatorname { R e } \int _ { \omega _ { 0 } } ^ { \omega _ { t } } \mathbf { J } _ { 1 } d \omega } \\ { \operatorname { R e } \int _ { \omega _ { 0 } } ^ { \omega _ { t } } \mathbf { J } _ { 2 } d \omega } \\ { \operatorname { R e } \int _ { \omega _ { 0 } } ^ { \omega _ { t } } \mathbf { J } _ { 3 } d \omega } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \chi \approx \chi ^ { 0 } + \omega _ { \chi } t + \sum _ { j \ne 0 } \frac { \chi _ { j } } { j \omega _ { \chi } } \sin ( j \left[ \chi ^ { 0 } + \omega _ { \chi } t \right] ) , } \\ { \displaystyle \zeta \approx \zeta ^ { 0 } + \omega _ { \zeta } t + \sum _ { j \ne 0 } \frac { \zeta _ { j } } { j \omega _ { \chi } } \sin ( j \left[ \chi ^ { 0 } + \omega _ { \chi } t \right] ) , } \end{array} \right. } \end{array}
D _ { y } ^ { \ast } = \frac { \Delta y } { 2 } \mathrm { s g n } ( u _ { y } ) \mathrm { t a n h } \left[ 2 \frac { \frac { \partial f _ { y } } { \partial y } - \frac { \partial \overline { { f _ { y } } } } { \partial y } + \frac { \Delta y } { 2 } \mathrm { s g n } ( u _ { y } ) \frac { \partial ^ { 2 } f _ { y } } { \partial y ^ { 2 } } } { \kappa \frac { \partial { f _ { y } } } { \partial y } } \right] ,
\begin{array} { r l } { | \check { u } _ { \pm , m \ell } ( r ) | = \left| \frac { w _ { \infty } } { w _ { \pm } } \check { u } _ { \infty , m \ell } ( r ) \right| \leq } & { \: C ( | B _ { + } | + | B _ { - } | ) ( 1 + ( r - 1 ) ^ { \pm 2 \sqrt { \alpha } } ) \left| \check { u } _ { \infty , m \ell } ( r ) \right| } \\ { \leq } & { \: C ( | B _ { + } | + | B _ { - } | ) ( r - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } + \Re ( \sqrt { \alpha } ) \pm 2 \Re ( \sqrt { \alpha } ) } \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \leq 2 } | F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | , } \end{array}
A _ { m } ( 4 , 2 ) = 1 , 2 , 9 , 5 2 , 3 4 0 , 2 3 9 4 , 1 7 7 1 0 , 1 3 5 7 2 0 , 1 0 6 8 0 1 2 , 8 5 7 9 5 6 0 , \ldots
H ( q , p ) ~ = ~ { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \, \sum _ { k = 1 } ^ { n } \, p _ { k } ^ { 2 } \, + \, \mathrm { \ s l ~ g } ^ { 2 } \! \sum _ { 1 \leq k \neq l \leq n } \! V ( q _ { k } - q _ { l } ) ~ ,
\frac { \partial { \cal S } } { \partial \lambda ^ { i } } = \frac { 1 } { 2 } \int d \phi _ { 1 } \int d \phi _ { 2 } \, \langle { \cal O } _ { i } ( \phi _ { 1 } ) \{ Q , { \cal O } ( \phi _ { 2 } ) \} \rangle \, .
{ \frac { \alpha ^ { k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } } x _ { z } ^ { 2 k _ { 1 } + 3 k _ { 2 } } e ^ { k _ { 1 } } ( 2 , 1 ) e ^ { k _ { 2 } } ( 3 , 2 ) } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! } } \ ,
V = \alpha \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } + \beta \frac { z } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \gamma \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }
\left[ { \begin{array} { c c c c } { 1 } & { - 1 } & { 2 } & { 8 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { - 1 1 } \\ { 0 } & { 2 } & { - 1 } & { - 3 } \end{array} } \right]
\mathbf { I } _ { \mathbf { R } } = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \mathbf { r } _ { i } - \left( \mathbf { C } + \mathbf { d } \right) ] ^ { 2 } = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \left( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { C } \right) - \mathbf { d } ] ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { f _ { F P T } ( t ) \approx c ( x , y ) \frac { \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \alpha } { q } \right) ^ { 2 } q t - \frac { \log ^ { 2 } \left( \frac { x } { y } \right) } { 4 q t } \right] } { \sqrt { t ^ { 3 } } } \approx c ( x , y ) \frac { \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \alpha } { q } \right) ^ { 2 } q t \right] } { \sqrt { t ^ { 3 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 1 1 } ( s , T ) : = \operatorname* { s u p } _ { t \in [ s , \sigma \wedge T ) } \| u _ { 1 } ( t ) \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 6 } + \int _ { s } ^ { \sigma \wedge T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } | u _ { 1 } | ^ { 4 } | \nabla u _ { 1 } | ^ { 2 } \, d x d r } & { < \infty , } \\ { \mathcal { E } _ { 1 2 } ( s , T ) : = \int _ { s } ^ { \sigma \wedge T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } | \nabla u _ { 1 } | ^ { 2 } \, d x d r + \int _ { s } ^ { \sigma \wedge T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } \, d x d r } & { < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { k } \tau _ { i } ^ { \frac { a } { b + c + 1 } } } & { \leq \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k } \tau _ { i } ^ { a } \lambda _ { i } ^ { - b } \lambda _ { i + 1 } ^ { - c } \right) ^ { \frac { 1 } { b + c + 1 } } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k } \lambda _ { i } \right) ^ { \frac { b } { b + c + 1 } } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k } \lambda _ { i + 1 } \right) ^ { \frac { c } { b + c + 1 } } } \\ & { \leq C _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { b + c + 1 } } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k + 1 } \lambda _ { i } \right) ^ { \frac { b + c } { b + c + 1 } } = C _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { b + c + 1 } } \tau _ { k + 2 } ^ { \frac { b + c } { b + c + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \omega ^ { a } } & { = \omega _ { b } ^ { a } \wedge \omega ^ { b } + B _ { c } ^ { a b } \ \omega ^ { c } \wedge \omega _ { b } + B ^ { a b c } \ \omega _ { b } \wedge \omega _ { c } + ( \sqrt { 2 } B _ { b } ^ { a n } + \sqrt { - 1 } \sigma _ { b } ^ { a } ) \omega ^ { b } \wedge \omega } \\ & { + ( \sqrt { - 1 } \sigma ^ { a b } - \sqrt { 2 } \widetilde { B } ^ { n a b } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { n } ^ { a b } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \widetilde { B } ^ { a b n } ) \omega _ { b } \wedge \omega ; } \\ { d \omega _ { a } } & { = - \omega _ { a } ^ { b } \wedge \omega _ { b } + B _ { a b } ^ { c } \ \omega _ { c } \wedge \omega ^ { b } + B _ { a b c } \ \omega ^ { b } \wedge \omega ^ { c } + ( \sqrt { 2 } B _ { a n } ^ { b } - \sqrt { - 1 } \sigma _ { a } ^ { b } ) \omega _ { b } \wedge \omega } \\ & { - ( \sqrt { - 1 } \sigma _ { a b } + \sqrt { 2 } \widetilde { B } _ { n a b } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { a b } ^ { n } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \widetilde { B } _ { a b n } ) \omega ^ { b } \wedge \omega ; } \\ { d \omega } & { = \sqrt { 2 } B _ { n a b } \ \omega ^ { a } \wedge \omega ^ { b } + \sqrt { 2 } B ^ { n a b } \ \omega _ { a } \wedge \omega _ { b } + ( \sqrt { 2 } B _ { b } ^ { n a } - \sqrt { 2 } B _ { n b } ^ { a } - 2 \sqrt { - 1 } \sigma _ { b } ^ { a } ) \omega ^ { b } \wedge \omega _ { a } } \\ & { + ( \widetilde { B } _ { n b n } + B _ { n b } ^ { n } + \sqrt { - 1 } \sigma _ { n b } ) \omega \wedge \omega ^ { b } + ( \widetilde { B } ^ { n b n } + B _ { n } ^ { n b } - \sqrt { - 1 } \sigma _ { n } ^ { b } ) \omega \wedge \omega _ { b } . } \end{array}