harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\langle { \Delta E } \right\rangle } & { = \Delta _ { B } \left[ \left\langle { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) } \right\rangle + \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) } \right\rangle \right] , } \\ & { = \Delta _ { B } \left[ 1 - \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) } \right\rangle - \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) } \right\rangle + 2 \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) } \right\rangle \right] , } \\ & { \approx \Delta _ { B } \left[ 1 - \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) } \right\rangle - \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) } \right\rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| \left| \sum _ { n \in [ N ] _ { q } } f _ { 0 } ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| } \\ & { \ll \delta ^ { 1 / L } \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \left( \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } \left| \sum _ { n \in [ N ] _ { q } } f _ { 0 } ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 L } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 L } } \left( \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 - \frac { 1 } { 2 L } } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( \mu , l , K , \sigma _ { 1 } ; x ) } & { = \frac { f _ { 1 } \left( \sinh ^ { - 1 } \sqrt { \frac x K } \right) + f _ { 1 } \left( - \sinh ^ { - 1 } \sqrt { \frac x K } \right) } { 2 \sqrt { x ( x + K ) } } } \\ & { + \delta ( l ) \int _ { - \sinh ^ { - 1 } \sqrt { \frac l K } } ^ { \sinh ^ { - 1 } \sqrt { \frac l K } } f _ { 1 } ( u ) \, \mathrm d u } \end{array}
\langle J / \psi \rangle _ { A B ( b ) } ^ { ( T , \mu _ { B } ) } = \langle c \bar { c } \rangle _ { A B ( b ) } \left[ 1 + \langle c \bar { c } \rangle _ { A B ( b ) } \right] \frac { N _ { J / \psi } ^ { t o t } ( T , \mu _ { B } ) } { ( N _ { O } ( T , \mu _ { B } ) / 2 ) ^ { 2 } } + \dots ,
{ \mathcal { T } } \prod _ { k = 1 } ^ { m } \phi ( x _ { k } ) = { \mathopen { : } } { \mathcal { T } } \prod \phi _ { i } ( x _ { k } ) { \mathclose { : } } + \sum _ { \alpha , \beta } { \overline { { \phi ( x _ { \alpha } ) \phi ( x _ { \beta } ) } } } { \mathopen { : } } { \mathcal { T } } \prod _ { k \not = \alpha , \beta } \phi _ { i } ( x _ { k } ) { \mathclose { : } } + { }
\begin{array} { r l } { \left\lvert \Delta T \right\rvert } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathrm { c o n s t ~ h e i g h t } } B ^ { \mathrm { H R } } \left\lvert T ^ { \mathrm { H R } } - \hat { T } ^ { \mathrm { H R } } \right\rvert , } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathrm { c o n s t ~ h e i g h t } } B ^ { \mathrm { H R } } \sqrt { \left( T ^ { \mathrm { H R } } - \hat { T } ^ { \mathrm { H R } } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R e } ( x ) = \frac { 1 - X ^ { 2 } - Y ^ { 2 } - Z ^ { 2 } } { 1 + X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } + Z ^ { 2 } } } \\ { \mathrm { I m } ( x ) = \frac { 2 Z } { 1 + X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } + Z ^ { 2 } } } \\ { \mathrm { R e } ( y ) = \frac { 2 X } { 1 + X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } + Z ^ { 2 } } } \\ { \mathrm { I m } ( y ) = \frac { 2 Y } { 1 + X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } + Z ^ { 2 } } } \end{array}
\xi _ { k } ^ { 1 } ( z ) ^ { d } = \frac { k } { \frac { 1 } { 2 } + M } z ^ { \frac { 1 + M } { 2 } } ( 1 - z ) ^ { \frac { M } { 2 } } F ( \frac { 1 } { 2 } + M - | k | , \frac { 1 } { 2 } + M + | k | , \frac { 3 } { 2 } + M ; z )
\begin{array} { r } { a ( \vec { A } _ { 0 } ^ { N } , \vec { \eta } ) = ( \vec { j } _ { a } , \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } - ( \varepsilon \partial _ { t } \vec { A } ^ { N } | _ { t = 0 } , \vec { \eta } | _ { t = 0 } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } ^ { N } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } . } \end{array}
\int \prod _ { i = 1 } ^ { 2 n } { \frac { d t _ { i } } { 2 \pi } } d \theta _ { i } ~ \Theta ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) \Theta ( t _ { 2 } - t _ { 3 } ) \cdots \Theta ( t _ { 2 n - 1 } - t _ { 2 n } ) \prod _ { i < j } | e ^ { i t _ { i } } - e ^ { i t _ { j } } - i e ^ { \frac { i } { 2 } ( t _ { i } + t _ { j } ) } \theta _ { i } \theta _ { j } | = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } ~ ,
\begin{array} { r l r } { U ^ { [ 2 ] } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \frac { G } { r ^ { 3 } } \Big ( P _ { 2 0 } C _ { 2 0 } + P _ { 2 1 } ( C _ { 2 1 } \cos \psi + S _ { 2 1 } \sin \psi ) + P _ { 2 2 } ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi + S _ { 2 2 } \sin 2 \psi ) \Big ) . } \end{array}
k _ { s , \zeta } = { \frac { \rho } { 2 \alpha ^ { 2 } } } ( \lambda _ { , \zeta } - \tau _ { 0 } \tau _ { , \zeta } ) ^ { 2 } , \ \ \ k _ { e , \zeta } = - \rho \gamma q _ { 1 } q _ { 2 } ( \tau _ { \zeta } ) ^ { 2 } , \ \ \ \tau _ { 0 } = q _ { 1 } + q _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { g _ { n + 2 } } & { { } = { \frac { c ^ { n + 2 } } { x ^ { 2 } k ( k + 1 ) \cdots ( k + n - 1 ) } } \cdot { \frac { x ^ { 2 } } { ( k + n ) ( k + n + 1 ) } } f _ { k + n + 2 } ( x ) } \end{array}
C ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) = C \Phi ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) \ , \quad \Phi ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) = \exp \left[ - i e \int _ { x ^ { \prime \prime } } ^ { x ^ { \prime } } d x ^ { \mu } A _ { \mu } ( x ) \right] \ ,
\int _ { 0 } ^ { L } H _ { 0 } \, \mathrm { d } z = L , \quad \int _ { 0 } ^ { L } H _ { 1 } \, \mathrm { d } z = 0 , \quad \int _ { 0 } ^ { L } \Gamma _ { 1 } \, \mathrm { d } z = 0 .
\mathcal { E } ( \Psi _ { 0 } , \hat { \mathcal { P } } _ { G } ) = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } ^ { \dagger } \hat { H } \hat { \mathcal { P } } _ { G } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \dag , .
\begin{array} { r } { \rho _ { \varepsilon , s , \alpha } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \leq \exp ( 2 \alpha \varepsilon ^ { 2 / s } ) \left[ \rho _ { \varepsilon , s , 2 \alpha } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 3 } ) + \rho _ { \varepsilon , s , 2 \alpha } ( \xi _ { 3 } , \xi _ { 2 } ) \right] \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , \xi _ { 3 } \in \dot { L } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { A _ { 1 } ( \pi ) = - { \frac { 3 } { n ^ { 2 } - \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { } & { A _ { 2 } ( \pi ) = 2 n \, i \left\{ { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \right\} } \\ & { } & { A _ { 3 } ( \pi ) = n \, i \left\{ { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \right\} } \\ & { } & { A _ { 4 } ( \pi ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ - { \frac { 3 } { n ^ { 2 } - \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \hat { a } _ { s } } { \partial z } ( \vec { \xi } , z ) } & { { } = \frac { g } { l _ { c } } \, { \alpha } _ { p } ( \vec { \xi } ) \, \hat { a } _ { s } ^ { \dagger } ( \vec { \xi } , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { l _ { 2 } ( l _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , x _ { 3 } ) + ( - 1 ) ^ { ( | x _ { 1 } | + | x _ { 2 } | ) | x _ { 3 } | } l _ { 2 } ( l _ { 2 } ( x _ { 3 } , x _ { 1 } ) , x _ { 2 } ) + ( - 1 ) ^ { ( | x _ { 2 } | + | x _ { 3 } | ) | x _ { 1 } | } l _ { 2 } ( l _ { 2 } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) , x _ { 1 } ) } \\ & { = l _ { 1 } l _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) + l _ { 3 } ( l _ { 1 } ( x _ { 1 } ) , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) + ( - 1 ) ^ { | x _ { 1 } | } l _ { 3 } ( x _ { 1 } , l _ { 1 } ( x _ { 2 } ) , x _ { 3 } ) + ( - 1 ) ^ { | x _ { 1 } | + | x _ { 2 } | } l _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , l _ { 1 } ( x _ { 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \Phi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { c } { a , 1 } \\ { 2 } \end{array} \right| w , z \right) \, = \, } \\ { \, = \, \displaystyle ( 1 - w ) ^ { 1 - a } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \mathrm { d } \xi \, ( 1 - w \, \xi ) ^ { a - 2 } \, { } _ { 1 } F _ { 1 } ( a ; 1 ; z \xi ) \, , } \end{array}
\sum _ { l = 0 } ^ { N - 1 } \frac { w ( v _ { 2 } , a - l ) } { w ( v _ { 1 } , - l ) \gamma ( b , l ) } = \varphi _ { 1 } ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) \frac { w ( v _ { 2 } ^ { \prime } , - b ) w ( v _ { 2 } / ( \omega v _ { 1 } ) , a ) } { w ( v _ { 1 } ^ { \prime } , a - b ) } ,
\frac { 3 } { 2 } n _ { e } \frac { \partial T _ { e } } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial x } ( K _ { T _ { e } } \frac { \partial T _ { e } } { \partial x } ) + \frac { j _ { h } ^ { 2 } } { \sigma _ { T _ { e } } } + \frac { 3 } { 2 } \frac { n _ { h } \, T _ { h } } { \tau _ { e } } \, .
G _ { \mu } ^ { I } ( q ) \simeq \frac { 1 } { 1 } { g } \bar { q } ( \sigma _ { \mu } \bar { e } - e _ { \mu } ) q ( 2 \pi ) ^ { 5 / 2 } \frac { \rho ^ { 2 } } { 8 Q ^ { 2 } } ( \rho Q ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - \rho Q }
\begin{array} { r l } & { g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \langle \Tilde { F } _ { D } , m _ { \Tilde { F } , D } \rvert \hat { Q } _ { q = m _ { \Tilde { F } , D } - m _ { \Tilde { F } , S } } \lvert \Tilde { F } _ { S } , m _ { \Tilde { F } , S } \rangle } \\ & { = g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \sum _ { m _ { I , D } , m _ { J , D } } \sum _ { m _ { I , S } , m _ { J , S } } c _ { m _ { I , D } , m _ { J , D } } ^ { * } c _ { m _ { I , S } , m _ { J , S } } \langle J _ { D } = 5 / 2 , m _ { J , D } \rvert \hat { Q } _ { q = m _ { J , D } - m _ { J , S } } \lvert J _ { S } = 1 / 2 , m _ { J , S } \rangle \delta _ { m _ { I , S } m _ { I , D } } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { c } \\ { d } \end{array} \right] = \boldsymbol { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 1 } { v \Delta t } ( 1 - \theta ) \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] \; ,
\begin{array} { r l } { K _ { 0 } ^ { d } ( s ) = } & { \frac { 2 ( e ^ { s } - 1 ) } { s } \cdot \frac { 2 e ^ { s / 2 } } { d } \Bigg ( \frac { 1 } { ( e ^ { s } - 1 ) ^ { 2 } } \Bigg ( \frac { 1 } { 1 - \frac { d } { 2 } } \frac { e ^ { ( 1 - \frac { d } { 2 } ) s } - 1 } { e ^ { s } - 1 } - 1 \Bigg ) } \\ & { - \frac { e ^ { s } } { ( e ^ { s } - 1 ) ^ { 2 } } \Bigg ( e ^ { - \frac { d } { 2 } s } - \frac { 1 } { 1 - \frac { d } { 2 } } \frac { e ^ { ( 1 - \frac { d } { 2 } ) s } - 1 } { e ^ { s } - 1 } \Bigg ) \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { D , S t o k e s } , \parallel } } & { = \cfrac { 6 4 } { R e _ { \mathrm { p } } \alpha ^ { 1 / 3 } } \cfrac { 1 } { \cfrac { - 2 \alpha } { \alpha ^ { 2 } - 1 } + \cfrac { 2 \alpha ^ { 2 } - 1 } { \left( \alpha ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 3 / 2 } } \ln \left( \cfrac { \alpha + \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } } { \alpha - \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } } \right) } \, , } \\ { C _ { \mathrm { D , S t o k e s } , \perp } } & { = \cfrac { 6 4 } { R e _ { \mathrm { p } } \alpha ^ { 1 / 3 } } \cfrac { 1 } { \cfrac { \alpha } { \alpha ^ { 2 } - 1 } + \cfrac { 2 \alpha ^ { 2 } - 3 } { \left( \alpha ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 3 / 2 } } \ln \left( { \alpha + \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } } \right) } \, . } \end{array}
C = \sum _ { x } q _ { x } C \geq \sum _ { x } q _ { x } \mathbf { E } [ c ( A , x ) ] = \sum _ { x } q _ { x } \sum _ { a } p _ { a } c ( a , x ) = \sum _ { a } p _ { a } \sum _ { x } q _ { x } c ( a , x ) = \sum _ { a } p _ { a } \mathbf { E } [ c ( a , X ) ] \geq \sum _ { a } p _ { a } D = D .
2 \nu \; ( \mathrm { a t m . } ) \; : \left\{ \begin{array} { r c c } { { \log _ { 1 0 } \displaystyle \frac { m ^ { 2 } } { \mathrm { e V } ^ { 2 } } } } & { { \simeq } } & { { - 2 . 5 \pm 0 . 3 \ , } } \\ { { \sin ^ { 2 } \psi } } & { { \simeq } } & { { 0 . 5 0 \pm 0 . 1 7 \ , } } \end{array} \right.
\hat { J } ( \hat { p } ) = { \cal P } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \hat { q } ^ { 2 } \mathrm { d } \hat { q } } { \hat { p } ^ { 2 } - \hat { q } ^ { 2 } } = - 1 + \frac { \hat { p } } { 2 } \ln { \frac { 1 + \hat { p } } { 1 - \hat { p } } } .
{ } _ { 2 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \frac { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) \textup { d e t } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) ) } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } { } _ { 2 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) + \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) .
L = \int d ^ { 4 } \theta \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N + 1 } \overline { { { \Phi } } } _ { i } e ^ { 2 \sum _ { a = 1 } ^ { N - 1 } Q _ { a i } V _ { a } } \Phi _ { i } - \sum _ { a = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { 2 e _ { a } ^ { 2 } } \overline { { { \Sigma } } } _ { a } \Sigma _ { a } \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( \int d ^ { 2 } \widetilde { \theta } \sum _ { a = 1 } ^ { N - 1 } t _ { a } \Sigma _ { a } + \mathrm { c . c . } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| J ^ { 5 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { \leq \! C ( | \boldsymbol { X } _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \| ( T _ { F } ( A ) - \tilde { T } _ { S } ( \nabla \boldsymbol { X } ) ) \nabla ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } _ { n } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
K _ { i \omega } ( \mu \rho ) \simeq { \frac { i \pi } { 2 \sinh \pi \omega } } \left[ { \frac { 1 } { \Gamma ( i \omega + 1 ) } } \left( { \frac { \mu \rho } { 2 } } \right) ^ { i \omega } - { \frac { 1 } { \Gamma ( - i \omega + 1 ) } } \left( { \frac { \mu \rho } { 2 } } \right) ^ { - i \omega } \right] ~ ~ ~ .
M _ { a b } \left( q , \dot { q } \right) : = \frac { \partial ^ { 2 } L \left( q , \dot { q } \right) } { \partial \dot { q } ^ { a } \partial \dot { q } ^ { b } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad F _ { a b } \left( q , \dot { q } \right) : = \frac { \partial ^ { 2 } L \left( q , \dot { q } \right) } { \partial \dot { q } ^ { a } \partial q ^ { b } } - \frac { \partial ^ { 2 } L \left( q , \dot { q } \right) } { \partial \dot { q } ^ { b } \partial q ^ { a } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 m a _ { d } ^ { 2 } } } & { { } \gg k _ { B } T > \hbar \overline { { \omega } } ( 6 N ) ^ { 1 / 3 } , } \\ { N } & { { } \gg \frac { 1 5 \sqrt { \pi } } { 4 } \frac { k _ { B } T } { m \overline { { \omega } } ^ { 2 } a _ { d } ^ { 2 } } , } \end{array}
\Phi ^ { a } K _ { i } K _ { a } { } ^ { b \, i } = \Phi _ { c } K ^ { a c \, i } K _ { a } { } ^ { b } { } _ { i } - \nabla _ { a } \left( \nabla _ { c } \Phi ^ { c } \gamma ^ { a b } - \nabla ^ { b } \Phi ^ { a } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \bar { \zeta } _ { k , m , l } } & { = \eta _ { m } \zeta _ { k , l } = \frac { 1 - \bar { \phi } _ { k , m , l } ^ { 2 } } { 2 \bar { r } _ { k , m , l } } , } \\ { \kappa _ { m } } & { = d ( \bar { \phi } _ { k , m , l } - n d \bar { \zeta } _ { k , m , l } ) , } \\ { \kappa } & { = d ( { \phi } _ { k , l } - n d \zeta _ { k , l } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ) \boldsymbol { Y } } & { \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \| T _ { S } ( \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ) \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ) } } \\ & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 1 } } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ) } } \\ & { \quad + C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 2 } } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = s _ { l } \Big ( \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } - \alpha _ { - n } ) \sin ( n \phi _ { l } ) \Big ) } \\ { + } & { { } c _ { l } \Big ( 1 + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } + \alpha _ { - n } ) \cos ( n \phi _ { l } ) \Big ) } \\ { \delta v _ { l } } & { { } = s _ { l } \Big ( \omega _ { 0 } + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) + \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) ) \cos ( n \phi _ { l } ) \Big ) } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } \frac { 2 - 2 t _ { 1 } - 3 t _ { 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { 6 } } \frac { ( 2 - 3 t _ { 2 } ) t _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } - \frac { 2 - 2 t _ { 2 } - 3 t _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { 6 } } \frac { ( 2 - 3 t _ { 1 } ) t _ { 1 } } { \sqrt { 2 } } \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } t _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 0 \sqrt { 3 } } .
\bar { \psi } ( x ) = \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 E _ { \mathbf { p } } } } \sum _ { s = 1 , 2 } \left( b _ { \mathbf { p } } ^ { s } \bar { v } ^ { s } ( p ) e ^ { - i p \cdot x } + { a _ { \mathbf { p } } ^ { s } } ^ { \dagger } \bar { u } ^ { s } ( p ) e ^ { i p \cdot x } \right) ,
\begin{array} { r l } & { T _ { f ^ { [ n ] } } ^ { x } ( V _ { 1 } , \ldots , V _ { j } , y V _ { j + 1 } , \ldots , V _ { n } ) - T _ { f ^ { [ n ] } } ^ { x } ( V _ { 1 } , \ldots , V _ { j } y , V _ { j + 1 } , \ldots , V _ { n } ) } \\ & { = T _ { f ^ { [ n + 1 ] } } ^ { x } ( V _ { 1 } , \ldots , V _ { j } , [ x , y ] , V _ { j + 1 } , \ldots , V _ { n } ) ; } \\ & { T _ { f ^ { [ n ] } } ^ { x } ( y V _ { 1 } , \ldots , V _ { n } ) - y T _ { f ^ { [ n ] } } ^ { x } ( V _ { 1 } , \ldots , V _ { n } ) = T _ { f ^ { [ n + 1 ] } } ^ { x } ( [ x , y ] , V _ { 1 } , \ldots , V _ { n } ) ; } \\ & { T _ { f ^ { [ n ] } } ^ { x } ( V _ { 1 } , \ldots , V _ { n } ) y - T _ { f ^ { [ n ] } } ^ { x } ( V _ { 1 } , \ldots , V _ { n } y ) = T _ { f ^ { [ n + 1 ] } } ^ { x } ( V _ { 1 } , \ldots , V _ { n } , [ x , y ] ) ; } \\ & { f ( x ) y - y f ( x ) = T _ { f ^ { [ 0 ] } } ^ { x } ( ) y - y T _ { f ^ { [ 0 ] } } ^ { x } ( ) = T _ { f ^ { [ 1 ] } } ^ { x } ( [ x , y ] ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( T _ { i } ^ { ( 2 ) } ) _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { N _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { c } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } ( \mathcal G ^ { i } ) _ { j m } ( \mathcal R ^ { i } ) _ { j , \alpha + 1 } ( \mathcal R ^ { i } ) _ { k , \beta + 1 } ( \mathcal G ^ { i } ) _ { k m } ( \mathcal F _ { 2 } ( \mathcal D ^ { i } ) ) _ { m } , \ \alpha , \beta = 1 , 2 , 3 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \hat { \phi } _ { 0 } } & { = \nabla \big ( \partial _ { t } d _ { \Gamma } + \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } = \nabla ( \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { \quad } & { \mathrm { o n } \ \Gamma , } \\ { \hat { \phi } _ { \frac { 1 } { 2 } } } & { = \nabla \big ( \partial _ { t } d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \hat { \mathbf { v } } _ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \nabla d _ { \Gamma } - \hat { \phi } _ { 0 } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \Delta d _ { \Gamma } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { \quad } & { \mathrm { o n } \ \Gamma } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { L } } & { = \varphi \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } L _ { i } - L _ { \mathrm { m a x } } \right) , } \\ { g _ { \kappa , \mathrm { m a x } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { M } ( \kappa _ { i } - \kappa _ { \mathrm { m a x } } ) | \Gamma ^ { ' ( i ) } | d \theta / L _ { i } , } \\ { g _ { \kappa , \mathrm { m s c } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } \varphi \left( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \kappa _ { i } ^ { 2 } | \Gamma ^ { ' ( i ) } | d \theta / L _ { i } - \kappa _ { \mathrm { m s c } } \right) , } \\ { g _ { d } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { C } } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { M } ( d _ { \mathrm { m i n } } - | \Gamma ^ { ( i ) } ( \theta ) - \Gamma ^ { ( j ) } ( \theta ^ { \prime } ) | ) | \Gamma ^ { ' ( i ) } ( \theta ) \Gamma ^ { ' ( j ) } ( \theta ^ { \prime } ) | d \theta d \theta ^ { \prime } , } \\ { g _ { \ell } } & { = \mathrm { V a r } ( \{ \ell _ { j } ^ { ( i ) } \} _ { j = 0 } ^ { 2 N _ { F } - 1 } ) . } \end{array}
\mathbf { C N } _ { k } ( \tilde { f } ; \xi ) = \left\{ \left. \sum _ { \tilde { p } \in \mathrm { C r i t } _ { k } ( \tilde { f } ) } a _ { \tilde { p } } \tilde { p } \right| a _ { \tilde { p } } \in \kappa , ( \forall c \in \mathbb { R } ) ( \# \{ \tilde { p } | a _ { \tilde { p } } \neq 0 , \, \tilde { f } ( \tilde { p } ) > c \} < \infty ) \right\} .
\left\{ \begin{array} { r } { \left( \frac { \partial \phi ^ { * } } { \partial t ^ { * } } \right) _ { r ^ { * } = R ^ { * } } = - \frac { 1 } { 2 } u ^ { * } ( R ^ { * } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { B } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 5 } { 8 } \right) ^ { 2 } \xi R ^ { * } \cos \theta } \\ { \frac { \partial R ^ { * } } { \partial t ^ { * } } = u _ { r } ^ { * } ( R ^ { * } ) - u _ { \theta } ^ { * } ( R ^ { * } ) \frac { 1 } { R ^ { * } } \frac { \partial R ^ { * } } { \partial \theta } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { d S ^ { { \tt A } { \tt B } } } & { = \sum _ { \alpha } \left( \beta _ { \alpha } ^ { { \tt A } } \, d { Q } _ { \alpha } ^ { { \tt A } } + \beta _ { \alpha } ^ { { \tt B } } \, d { Q } _ { \alpha } ^ { { \tt B } } \right) } \\ & { = \sum _ { \alpha } \Delta { \beta } _ { \alpha } \, d { Q } _ { \alpha } ^ { { \tt A } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { g } ( x , y ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \quad \textrm { i f } L ( x , y ) = L _ { \pi } ( x , y ) , } \\ { g ( 0 ) L _ { \pi } ( x , y ) , \quad \textrm { i f } L ( x , y ) = 0 \textrm { a n d } L _ { \pi } ( x , y ) > 0 , } \\ { g \left( \frac { L _ { \pi } ( x , y ) } { L ( x , y ) } \right) L ( x , y ) , \quad \textrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
F _ { p } = - \frac { \pi ^ { 2 } \tilde { V } _ { 3 } N _ { 3 } T ^ { 4 } } { 4 } \sum _ { n = 1 } \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { 2 ^ { n } ( n + 1 ) ! } \left( \frac { \pi T } { u } \right) ^ { 4 n } ,
\begin{array} { r l r } { { \hat { \boldsymbol D } } _ { l , m } ( 0 , t ) } & { { } = } & { - c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } m _ { a } ^ { 2 } e ^ { i m _ { a } t } \mathcal K _ { m , n } \boldsymbol B _ { l , m ; 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } e ^ { - \gamma r ^ { \prime } } e ^ { - i m _ { a } r ^ { \prime } / c } r ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \substack { ( r _ { i } ^ { + } , r _ { i } ^ { - } ) \in { \mathcal R } \left( \sigma \right) , \sigma \in \left\{ 0 , 1 \right\} ^ { m } } } f \left( x _ { 1 } , { \xi _ { i } + r _ { i } ^ { + } - r _ { i } ^ { - } } \right) - \lambda \left( r _ { i } ^ { + } + r _ { i } ^ { - } \right) } \end{array}