harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( \tau ) } & { = \frac { - \tau ^ { - 3 } + ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } ) ^ { - 3 } } { \tau ^ { - 2 } - ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } ) ^ { - 2 } } + \frac { n e ^ { \hat { \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } + n e ^ { \hat { \beta } } \tau } } \\ & { = \frac { \tau ^ { 3 } - ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } ) ^ { 3 } } { \tau ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } ) ( 2 \tau + n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } ) n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } } + \frac { n e ^ { \hat { \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } + n e ^ { \hat { \beta } } \tau } } \\ & { = \frac { - \frac { 3 \tau ^ { 2 } n e ^ { \hat { \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } } - \frac { 3 \tau \, n ^ { 2 } e ^ { \hat { 2 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 4 } } - \frac { n ^ { 3 } e ^ { \hat { 3 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 6 } } - \frac { n ^ { 3 } e ^ { \hat { 5 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 6 } } - \frac { 3 \tau ^ { 2 } n e ^ { \hat { 3 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } } - \frac { 3 \tau \, n ^ { 2 } e ^ { \hat { 4 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 4 } } - \frac { 2 n ^ { 3 } e ^ { \hat { 4 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 6 } } - \frac { 6 \tau ^ { 2 } n e ^ { \hat { 2 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } } - \frac { 6 \tau \, n ^ { 2 } e ^ { \hat { 3 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 4 } } - \frac { \tau ^ { 3 } n ^ { 2 } e ^ { \hat { 2 \beta } } } { ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } } } { \tau ( \tau + n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } ) ( 2 \tau + n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } ) n e ^ { \hat { \beta } } / ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } ( ( 1 + e ^ { \hat { \beta } } ) ^ { 2 } + n e ^ { \hat { \beta } } \tau ) } < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Phi _ { n + 1 } ( z ) } { d z } } & { { } = } & { \alpha \ \sqrt { N _ { n } ^ { 2 } ( z ) + \frac { P _ { n } ^ { 2 } ( z ) } { d _ { 1 2 } ^ { 2 } } } \sin \Big ( \Phi _ { n + 1 } ( z ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { { B _ { x } } ^ { ' } } & { { } = ( \sin x \cos y - \cos x \sin y ) \exp \left( \frac { - z } { s _ { 0 } } \right) ~ , } \\ { { B _ { y } } ^ { ' } } & { { } = - ( \cos x \sin y + \sin x \cos y ) \exp \left( \frac { - z } { s _ { 0 } } \right) ~ , } \\ { { B _ { z } } ^ { ' } } & { { } = 2 s _ { 0 } \sin x \sin y \exp \left( \frac { - z } { s _ { 0 } } \right) ~ . } \end{array}
b < - \frac { a } { \gamma - 1 } + \frac { T _ { 0 } } { { \cal L } _ { 0 } } \frac { \partial { { \cal L } _ { 0 } } } { \partial T } + \frac { \kappa _ { \parallel } k ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } } \frac { T _ { 0 } } { { \cal L } _ { 0 } } + \frac { 1 } { \gamma - 1 } + \frac { \beta } { 2 } \frac { \gamma } { \gamma - 1 } c ,
\begin{array} { r l } { C ( r , \tau ) = } & { c _ { 0 } \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \, \left( 1 + \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tau _ { c } } \right) C _ { 1 } ( r , \tau ) + \frac { c _ { 0 } b \, \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \, C _ { 2 } ( r , \tau ) , } \end{array}
R ( \tau , V _ { \varepsilon } ) \rightarrow \frac { n } { M } R ( \tau ^ { \epsilon _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ } } } , V _ { \varepsilon } ^ { \epsilon _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ } } } ) : = \frac { n } { M } R _ { \epsilon _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ } } } .
m _ { A } ^ { 2 } = m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } \right) v ^ { 2 } .
X _ { k _ { 1 } N _ { 2 } ^ { - 1 } N _ { 2 } + k _ { 2 } N _ { 1 } ^ { - 1 } N _ { 1 } } = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \left( \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } x _ { n _ { 1 } N _ { 2 } + n _ { 2 } N _ { 1 } } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N _ { 2 } } } n _ { 2 } k _ { 2 } } \right) e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N _ { 1 } } } n _ { 1 } k _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { f ( \eta ^ { ( n - 1 ) } ) - f ( \eta ^ { ( n ) } ) = \mathbf { r } ^ { ( 0 ) } ( \tau _ { x ( n - 1 ) } \xi ) \left( f ( \xi ) \mathbf { 1 } _ { \Omega _ { x ( n - 1 ) } ^ { ( 1 ) } } ( \xi ) - f ( \xi ^ { x ( n - 1 ) , x ( n - 1 ) + 1 } ) \mathbf { 1 } _ { \Omega _ { x ( n - 1 ) } ^ { ( 1 ) } } ( \xi ^ { x ( n - 1 ) , x ( n - 1 ) + 1 } ) \right) . } \end{array}
\left\{ \frac { f _ { f k ^ { * } } ^ { ( 0 ) } a _ { k ^ { * } i } } { m _ { i } - m _ { k ^ { * } } } + \frac { a _ { f k ^ { * } } f _ { k ^ { * } i } ^ { ( 0 ) } } { m _ { f } - m _ { k ^ { * } } } \right\} \overline { { { u } } } _ { f } u _ { i } P ^ { 0 }
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { M } _ { \P } ) _ { i , j } } & { { } = \int _ { \P } \varphi _ { i } \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } , } \\ { \ ( \mathbf { K } _ { \P } ) _ { i , j } } & { { } = \int _ { \P } \nabla \varphi _ { i } \cdot \nabla \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \delta \phi ^ { \prime } [ n ] > + \pi } & { : \quad \delta \phi [ n ] = \delta \phi ^ { \prime } [ n ] - 2 \pi } \\ { - \pi \leq \delta \phi ^ { \prime } [ n ] \leq + \pi } & { : \quad \delta \phi [ n ] = \delta \phi ^ { \prime } [ n ] } \\ { \delta \phi ^ { \prime } [ n ] < - \pi } & { : \quad \delta \phi [ n ] = \delta \phi ^ { \prime } [ n ] + 2 \pi \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { A } _ { j } [ \Omega ] \hat { A } _ { k } [ - \Omega ] = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left\{ \hat { A } _ { j } [ \Omega ] , \hat { A } _ { k } [ - \Omega ] \right\} } \end{array}
- 4 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } + 4 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} - 4 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \}
\eta \Delta t \leq 1 \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \eta = \frac { 1 } { 2 } v _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { ( D _ { x } ^ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } + ( D _ { y } ^ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } + ( D _ { z } ^ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } } ,
\frac { n _ { r + 1 } n _ { e } } { n _ { r } } = 2 \frac { U _ { r + 1 } } { U _ { r } } \left[ \frac { 2 \pi m _ { e } k _ { B } T } { h ^ { 2 } } \right] ^ { 3 / 2 } \exp \left( \frac { - I _ { r } } { k _ { B } T } \right) , ~ ~ ~ ~ r = 0 , 1 , . . . , N ,
\left( \begin{array} { l } { V ( \textbf { x } ^ { * } ) - \bar { V } } \\ { \left. \frac { \mathrm { ~ d ~ } V } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } } \right| _ { \textbf { x } ^ { * } } } \\ { \left. \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } V } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } ^ { 2 } } \right| _ { \textbf { x } ^ { * } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \textbf { k } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ , ~ x ~ } } ^ { T } ( \textbf { x } ^ { * } ) } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { k } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ , ~ x ~ } } ^ { T } ( \textbf { x } ^ { * } ) } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } ^ { * } } } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } \textbf { k } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ , ~ x ~ } } ^ { T } ( \textbf { x } ^ { * } ) } { \mathrm { ~ d ~ } { \textbf { x } ^ { * } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \textbf { w } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } }
G _ { \mathrm { N P } } = \frac { G _ { \mathrm { F } } } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { G _ { \mathrm { F } } M _ { W } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 2 8 } \pi ^ { 2 } } \right) \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } e ^ { - i 2 \psi } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { U _ { n } } ( x ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } H _ { n } ( \sqrt { 2 } x ^ { \prime } ) e ^ { - x ^ { \prime 2 } } } \\ & { \overset { \theta } { \Longrightarrow } \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } H _ { n } ( \sqrt { 2 } ( x ^ { \prime } + \theta y ^ { \prime } ) ) e ^ { - ( x ^ { \prime } + \theta y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \\ & { \approx \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } \left( H _ { n } ( \sqrt { 2 } x ^ { \prime } ) + 2 \sqrt { 2 } \theta y ^ { \prime } n H _ { n - 1 } ( \sqrt { 2 } x ^ { \prime } ) \right) e ^ { - x ^ { \prime 2 } } } \\ & { \times ( 1 - 2 \theta x ^ { \prime } y ^ { \prime } ) } \end{array}
M _ { \nu } ^ { \mathrm { D } } \; = \; c _ { \nu } \left( \begin{array} { l l l } { { \eta _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \eta _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \eta _ { 3 } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { F } _ { m _ { x } , \P } ^ { n , h } ) _ { i } } & { = \phantom { - } \int _ { \P } ( F _ { \mathbf { v } , x } ^ { n } - \Delta t \frac { \partial p ^ { n } } { \partial x } ) \Pi _ { { P } , k - 1 } ^ { 0 } \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } , } \\ { ( \mathbf { F } _ { m _ { y } , \P } ^ { n , h } ) _ { i } } & { = \phantom { - } \int _ { \P } ( F _ { \mathbf { v } , y } ^ { n } - \Delta t \frac { \partial p ^ { n } } { \partial y } ) \Pi _ { { P } , k - 1 } ^ { 0 } \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } , } \\ { ( \mathbf { F } _ { c , \P } ^ { n , h } ) _ { i } } & { = - \int _ { \P } ( \nabla \cdot \mathbf { v } ^ { \ast } + \Delta t \Delta p ^ { n } ) \Pi _ { { P } , k - 1 } ^ { 0 } \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { s t } \leq \tilde { m } _ { s t } ( L ) = 1 + \sum _ { l \neq j } ^ { \tilde { N } } \frac { m _ { l j } ( L + 1 ) } { c _ { l } } + \frac { m _ { l ^ { * } j } ( L - 1 ) } { c _ { l ^ { * } } } } \end{array}
2 \pi = F _ { a , b } ( 0 , u _ { 0 } ) = \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u _ { 0 } } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { x \sqrt { ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) } } d x .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { q } \varphi ( z ) } & { = \int _ { \mathcal { U } } K _ { 0 , q - 1 } ^ { 0 } ( z , \cdot ) \wedge \mathcal { E } \varphi + \int _ { \mathcal { U } \setminus \overline { D } } K _ { 0 , q - 1 } ^ { 0 1 } ( z , \cdot ) \wedge [ \overline { \partial } , \mathcal { E } ] \varphi , \quad [ \overline { \partial } , \mathcal { E } ] \varphi = \overline { \partial } \mathcal { E } \varphi - \mathcal { E } \overline { \partial } \varphi . } \end{array}
M ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 n ^ { 2 } } } \sum _ { i < j } ( \Sigma _ { i } - \Sigma _ { j } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } q _ { i } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { j } } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { j } } ( - \Delta \epsilon ) _ { \hat { \mu } _ { j } } \frac { 1 } { 2 } ( i \mathcal { D } \cdot V _ { j } ) ^ { 2 } + } & { { } } \\ { \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { j + 1 } } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { j + 1 } } ( - \Delta \epsilon ) _ { \hat { \mu } _ { j + 1 } } \frac { 1 } { 2 } ( i \mathcal { D } \cdot V _ { j + 1 } ) ^ { 2 } = } & { { } } \\ { ( - \Delta \epsilon ) _ { \hat { \mu } _ { j } } \frac { 1 } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { 2 } ( \hat { z } \times W ) \cdot } & { { } } \\ { \left( \frac { V _ { j + 1 } - V _ { j } } { l _ { j } } ( \mathcal { D } \cdot V _ { j } ) + \frac { V _ { j + 1 } - V _ { j } } { l _ { j } } ( \mathcal { D } \cdot V _ { j + 1 } ) \right) l _ { j } \; . } \end{array}
W = \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { 1 } } \\ { \phi _ { 2 } + 2 \phi _ { 4 } ^ { 2 } / \phi _ { 2 } } \\ { \phi _ { 3 } } \\ { \phi _ { 4 } } \end{array} \right] \quad \Lambda = \left[ \begin{array} { l l l l } { u _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { ( \gamma - 1 ) } { 2 } u _ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { ( \gamma - 1 ) } { 2 } u _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { ( 2 - \gamma ) u _ { n } \Psi ( M _ { n } ) } \end{array} \right] .
= \left( 1 - { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } \right) \zeta _ { 2 n } ( s ) + { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } \left( { \frac { 1 } { { ( n + 1 ) } ^ { s } } } + \ldots + { \frac { 1 } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } \right) = \left( 1 - { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } \right) \zeta _ { 2 n } ( s ) + { \frac { 2 n } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } \, { \frac { 1 } { n } } \, \left( { \frac { 1 } { { ( 1 + 1 / n ) } ^ { s } } } + \ldots + { \frac { 1 } { { ( 1 + n / n ) } ^ { s } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { 1 } ^ { ( 0 ) } } & { = | \Downarrow \rangle \langle \Downarrow | + | \Uparrow \rangle \langle \Uparrow | , } \\ { \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } | \Uparrow \rangle \langle \Uparrow | - \frac { 1 } { 2 } | \Downarrow \rangle \langle \Downarrow | , } \\ { \hat { S } _ { + } ^ { ( 0 ) } } & { = | \Uparrow \rangle \langle \Downarrow | , } \\ { \hat { S } _ { - } ^ { ( 0 ) } } & { = | \Downarrow \rangle \langle \Uparrow | , } \\ { \hat { 1 } ^ { ( k ) } } & { = | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | + | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | , } \\ { \hat { S } _ { z } ^ { ( k ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | - \frac { 1 } { 2 } | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | , } \\ { \hat { S } _ { + } ^ { ( k ) } } & { = | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | , } \\ { \hat { S } _ { - } ^ { ( k ) } } & { = | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { j } ( D ) ( \textbf { I } ) } & { = \sum _ { k = k _ { 0 } , | k - j | \leqslant 4 } ^ { \infty } \vartheta _ { j } ( D ) \, Q _ { k } ^ { 0 } ( D ) \left[ ( Q _ { k } ^ { u _ { 1 } } \circ T _ { b _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 1 } } ) ( f _ { 1 } ) \, \prod _ { \ell = 2 } ^ { N } ( P _ { k } ^ { u _ { \ell } } \circ T _ { b _ { \ell , k } } ^ { \varphi _ { \ell } } ) ( f _ { \ell } ) \right] } \\ & { = \sum _ { \ell = - 4 } ^ { 4 } \mathbb { 1 } _ { [ k _ { 0 } , \infty ) } ( \ell + j ) \vartheta ( 2 ^ { - j } D ) \, { \phi } ( 2 ^ { - ( j + \ell ) } D ) [ F _ { j + \ell } ^ { U } ] , } \end{array}
{ \sqrt { - g } } \approx 1 + { \frac { 1 } { 2 } } h _ { \alpha \beta } \eta ^ { \beta \alpha } + { \frac { 1 } { 8 } } h _ { \alpha \beta } \eta ^ { \beta \alpha } h _ { \gamma \delta } \eta ^ { \delta \gamma } - { \frac { 1 } { 4 } } h _ { \alpha \beta } \eta ^ { \beta \gamma } h _ { \gamma \delta } \eta ^ { \delta \alpha } \, .
\mathcal I _ { P , \mathrm { ~ W ~ } } ^ { n + \frac 1 2 } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { y } + 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { z } + 1 } \frac { \hbar } { m } [ \hat { n } _ { \mathrm { ~ W ~ } } \cdot \hat { x } ] \Delta S _ { x } ^ { \prime \prime } | _ { 1 , j , k } \left( \frac { \psi _ { R } | _ { 1 , j , k } ^ { n + 1 } + \psi _ { R } | _ { 1 , j , k } ^ { n } } { 2 } [ \partial _ { x } \psi _ { I } ] _ { 1 , j , k } ^ { n + \frac 1 2 } - \frac { \psi _ { I } | _ { 1 , j , k } ^ { n + \frac 1 2 } + \psi _ { I } | _ { 1 , j , k } ^ { n - \frac 1 2 } } { 2 } [ \partial _ { x } \psi _ { R } ] _ { 1 , j , k } ^ { n } \right) \, ,
{ \frac { 3 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } = { \frac { 3 \times 8 + 4 \times 1 } { 4 \times 8 } } = { \frac { 2 4 + 4 } { 3 2 } } = { \frac { 2 8 } { 3 2 } } = { \frac { 7 } { 8 } }
\begin{array} { r l r } { \phi _ { 2 , 0 } } & { = } & { \frac { \omega u ^ { 2 } D - k ^ { 2 } \delta _ { i } ( \omega + 2 k u ) } { \omega ^ { 3 } ( \delta _ { i } - A u ^ { 2 } ) } \, \left| \phi _ { 1 , 1 } \right| ^ { 2 } , } \\ { n _ { 2 , 0 } } & { = } & { \frac { \omega D - A k ^ { 2 } ( \omega + 2 k u ) } { \omega ^ { 3 } ( \delta _ { i } - A u ^ { 2 } ) } \, \left| \phi _ { 1 , 1 } \right| ^ { 2 } , } \\ { u _ { 2 , 0 } } & { = } & { - \frac { \omega u D - k ^ { 2 } ( 2 k \delta _ { i } + \omega k u ) } { \omega ^ { 3 } ( \delta _ { i } - A u ^ { 2 } ) } \, \left| \phi _ { 1 , 1 } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) = \hat { E _ { \varepsilon } } ( h ) = 4 \pi c ( a + c ) E \left( \frac { \pi } { 2 } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } } \\ { + \lambda \varepsilon ^ { 3 } \left( 2 a F \left( \frac { \pi } { 2 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) + 2 c E \left( \frac { \pi } { 2 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ell _ { \mathrm { e f f } } = \sqrt { \frac { 2 \alpha } { \sqrt { X _ { \alpha } } - 1 } } \, , \quad X _ { \alpha } = 1 + \frac { 4 \alpha } { \ell ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S } & { = } & { \displaystyle \left\{ \theta \in \mathcal { E } ^ { * } : - \psi _ { \Gamma } ( \mathbf { x } ) \geq \langle \mathbf { x } , \theta \rangle , \forall \mathbf { x } \in \mathcal { E } \right\} } \\ & { = } & { \displaystyle \left\{ \theta \in \mathcal { E } ^ { * } : \psi _ { \Gamma } ( \mathbf { x } ) \leq - \langle \mathbf { x } , \theta \rangle , \forall \mathbf { x } \in \mathcal { E } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } ( E _ { k } + E _ { w } + E _ { \Sigma } + E _ { g } ) = \mathcal { D } { d t } - \dot { E } _ { k } ^ { i n } \, \leq \, 0 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \dot { h } \geq 0 . } \end{array}
h _ { 0 } : \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) \longmapsto \left( \gamma _ { 2 } ^ { * } , \Gamma _ { 2 } ^ { * } , \psi _ { 1 } ^ { * } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right)
\begin{array} { r l } { D _ { p q } } & { { } = \sum _ { I = 0 } ^ { 2 } w _ { I } D _ { p q } ^ { I } } \\ { \tilde { D } _ { p q r s } } & { { } = \sum _ { I = 0 } ^ { 2 } w _ { I } \tilde { D } _ { p q r s } ^ { I } . } \end{array}
\langle \mathcal { H } _ { K } R e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle = \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) \langle R e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle ,
\Gamma _ { n ^ { \prime } v ^ { \prime } n ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } } = \frac { \omega _ { n ^ { \prime } v ^ { \prime } n ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } } ^ { 3 } } { 3 \pi \hbar \epsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } q _ { v ^ { \prime } v ^ { \prime \prime } } M _ { n ^ { \prime } n ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } .
\left( A _ { 1 } , A _ { 2 } \right) = \frac { 2 c \nu } { \hbar } { \cal A } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( x \mp c t ) ^ { \mathrm { i } \delta - 1 } \, \mathrm { d } x = \frac { 2 c \nu } { \hbar } { \cal A } ^ { 2 } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \nu } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } \xi ^ { \mathrm { i } \delta } \, \frac { \mathrm { d } \xi } { \xi } \, .
\begin{array} { r } { \eta \frac { d x } { d t } = - \frac { \partial U } { \partial x } + q \frac { V } { L } + \sqrt { 2 k _ { B } \eta T } \xi ( t ) } \\ { \frac { d T } { d t } = \frac { V ^ { 2 } } { C _ { h } R ( x ) } - \kappa ( T - T _ { 0 } ) } \\ { \tau \left( 1 + \frac { \Delta C ( t ) } { C } \right) \frac { d V } { d t } = V _ { \mathrm { e x t } } - \left( 1 + \frac { R _ { e x t } } { R ( x ) } \right) V } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { K _ { 1 } = - 0 . 0 0 0 4 5 5 , \; } } & { { K _ { 2 } = 0 . 0 0 0 4 1 4 , \; } } & { { K _ { 3 } = 0 . 0 0 1 5 0 ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \mathbf { x } } \mathbf { r } ( ( m - 1 ) \mathbf { x } _ { k } , \rho _ { k } ) } & { = ( m - 1 ) ^ { m - 2 } \mathbf { J } _ { \mathbf { x } } \mathbf { r } ( \mathbf { x } _ { k } , \rho _ { k } ) \mathbf { x } _ { k } } \\ & { = ( m - 1 ) ^ { m - 2 } \mathbf { r } ( \mathbf { x } _ { k } , \rho _ { k } ) = \mathbf { r } ( ( m - 1 ) \mathbf { x } _ { k } , \rho _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathrm { ~ B ~ C ~ S ~ } } } & { { } = \frac { 8 } { e ^ { 2 } } \frac { \hbar ^ { 2 } k _ { F } ^ { 2 } } { 2 m } \exp ( \frac { \pi } { 2 k _ { F } a } ) , } \\ { \Delta _ { \mathrm { ~ G ~ o ~ r ~ k ~ o ~ v ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { ( 4 e ) ^ { 1 / 3 } } \Delta _ { \mathrm { ~ B ~ C ~ S ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 } } & { \overset { \mathrm { ( i ) } } { \leq } - \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ \frac { \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\langle \nabla \phi ( X - Y ) , \eta \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\rangle \right] - \frac { H } { 2 } \eta ^ { 2 } \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } { b \left( X \right) } \right] } \\ & { = - \eta \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\langle \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \bigg ( \frac { \nabla \phi ( X - Y ) } { b ( X ) } \bigg ) , \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\rangle \right] + \frac { H \eta ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ \frac { 1 } { b ( X ) } \right] \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { \overset { \mathrm { ( i i ) } } { = } - \eta \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \frac { H \eta ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ \frac { 1 } { b ( X ) } \right] \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { \overset { \mathrm { ( i i i ) } } { \leq } \left( - \eta + \frac { H \eta ^ { 2 } } { 2 c } \right) \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } ( \rho ) ( Y ) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathcal { A } - \mathcal { A } \times _ { 1 } \left( { \bf Q } _ { 1 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { \top } \right) \times _ { 2 } \left( { \bf Q } _ { 2 } { \bf Q } _ { 2 } ^ { \top } \right) \dots \times _ { N } \left( { \bf Q } _ { N } { \bf Q } _ { N } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { n = 1 } ^ { N } \| \mathbf { B } _ { ( n ) } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { X } _ { q u a t } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { x } _ { b } ^ { \top } } & { \mathbf { q } _ { b } ^ { \top } } & { \mathbf { q } _ { 1 } ^ { \top } } & { \hdots } & { \mathbf { q } _ { N } ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } .
\begin{array} { r l } { B _ { g } \setminus Y _ { g } } & { \cong B _ { g } \setminus \bigcup _ { i _ { 1 } , \dotsc , i _ { n - 1 } = 1 } ^ { 6 } \mathbb { R } H _ { \chi _ { i } } ^ { n } \cong \langle \zeta _ { 6 } \rangle ^ { n - 1 } \setminus \left\{ ( t _ { 1 } , \dotsc , t _ { n } ) \mid t _ { 1 } ^ { 6 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } ^ { 6 } , \dotsc , t _ { n } ^ { 6 } \in \mathbb { R } \right\} } \\ & { \cong U _ { g } = \bigcup _ { \epsilon _ { 1 } , \dotsc , \epsilon _ { n - 1 } = 0 } ^ { 1 } K _ { g , \epsilon _ { 1 } , \dotsc , \epsilon _ { n - 1 } } \cong \mathbb { B } ^ { n } ( \mathbb { R } ) . } \end{array}