harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { 1 2 } } & { = } & { ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } ) / \hbar + \Omega _ { p } + i \gamma _ { 2 } , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 1 - } } & { = } & { ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 3 } ) / \hbar - \frac { \Omega } { 2 } + \omega _ { C } + \omega _ { p } + i \gamma , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 1 + } } & { = } & { ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 4 } ) / \hbar + \frac { \Omega } { 2 } + \omega _ { C } + \omega _ { p } + i \gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { + { \frac { 1 } { h ^ { 2 } } } \big ( - 1 + ( I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) - 1 ) / b \big ) \cdot b _ { H } ^ { 3 / 4 } K _ { 3 / 2 } ( \sqrt { 4 b _ { H } } ) \cdot { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } } \\ & { } & { = { \frac { \sqrt { b } } { h } } \big [ - 1 + ( I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) - 1 ) / b \big ] \cdot \exp ( - \sqrt { 4 b _ { H } } ) [ 1 + 1 / \sqrt { 4 b _ { H } } ] / 2 . } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial x ^ { 1 } } = \phi _ { 1 } ^ { 3 } + \sum _ { j = 2 } ^ { 3 } \phi _ { j } ^ { 3 } f _ { 1 } ^ { j } , \quad \quad \frac { \partial F } { \partial t } = \phi _ { t } ^ { 3 } + \sum _ { j = 2 } ^ { 3 } \phi _ { j } ^ { 3 } f _ { t } ^ { j } .
W _ { P I } ( | \varepsilon ) = \frac { 2 \omega _ { 0 } } { 9 \pi } ( \frac { \omega _ { 0 } m _ { e f f } } { \hbar \sqrt { \Gamma } } ) ^ { 3 / 2 } Q ( \gamma , x ) \exp ( - \alpha < x + 1 > ) ,
\begin{array} { r l } { \overline { { g } } _ { 1 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) } & { \equiv g _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) } \\ { \overline { { g } } _ { 2 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) } & { \equiv g _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) , q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) . } \end{array}
L ^ { 0 } \varkappa = \operatorname* { s u p } _ { \| u ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } = 1 } \langle \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 0 } ) - \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 1 } ) , u ^ { 0 } \rangle
\begin{array} { r } { \dot { R } _ { i j } = - \epsilon _ { j k m } \Omega _ { k } R _ { i m } , \qquad \dot { \Omega } _ { i } = - \frac 1 2 \epsilon _ { i j k } ( g ^ { - 1 } \lambda ) _ { j k } , \qquad R ^ { T } R = { \bf 1 } , } \end{array}
B _ { 1 } = \int d ^ { 4 } x \left[ V _ { e ^ { 6 } } ^ { \mathrm { e f f } } ( \phi _ { b } ) + \frac { 1 } { 2 } Z _ { e ^ { 2 } } ( \phi _ { b } ) ( \partial _ { \mu } \phi _ { b } ) ^ { 2 } \right]
\partial _ { v _ { 0 } } f _ { x _ { 0 } } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { u _ { 1 } v _ { 0 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } x _ { 0 } } { u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } } } & { \mathrm { i f ~ u _ 0 ~ + ~ x _ 0 ~ = ~ 0 ~ } } \\ { \frac { \dot { u } _ { 1 } ( u _ { 0 } + x _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( u _ { 0 } ^ { 2 } + \alpha v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } + u _ { 0 } x _ { 0 } \right) + \alpha u _ { 0 } v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } x _ { 0 } } { \alpha v _ { 0 } ( u _ { 0 } + x _ { 0 } ) \left( u _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } \right) } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r l } { \boldsymbol { u } _ { f } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { = \boldsymbol { u } _ { \mathrm { i n } } \left( \boldsymbol { x } \right) } & & { \mathrm { i n ~ } \Gamma _ { \mathrm { i n } } , } \\ { p _ { f } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { = 0 } & & { \mathrm { i n ~ } \Gamma _ { \mathrm { o u t } } , } \\ { \boldsymbol { u } _ { f } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { = 0 } & & { \mathrm { i n ~ } \Gamma _ { f s } \cup \Gamma _ { t } \cup \Gamma _ { b } \cup \Gamma _ { \mathrm { s i d e s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } J _ { H } ( \theta ) } & { = } & { \mathbb E _ { \rho , \pi _ { \theta } } [ B ( \tau , \theta ) ] , } \\ { B ( \tau , \theta ) } & { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } & { \nabla \Phi ( \tau , \theta ) \, \nabla \log p ( \tau | \pi _ { \theta } ) ^ { T } + \nabla ^ { 2 } \Phi ( \tau , \theta ) \, } \end{array}
j ^ { \mu _ { 1 } \cdot \cdot \cdot \mu _ { k } } = \frac 1 { \sqrt { g _ { x } } } \epsilon ^ { \mu _ { 1 } \cdot \cdot \cdot \mu _ { k } \nu _ { 1 } \cdot \cdot \cdot \nu _ { m } } \tilde { j } _ { \nu _ { 1 } \cdot \cdot \cdot \nu _ { m } } .
\begin{array} { r l r } { r _ { - } } & { = } & { c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } - \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } , } \\ { r _ { - } } & { = } & { \beta c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } - \beta c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } - \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C R { B _ { r } } = \frac { 1 } { { 2 \gamma L } } \frac { { { \lambda ^ { 2 } } \left[ { { { \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } } \right) } ^ { 2 } } + \frac { { { \pi D _ { T } } } } { r } \frac { { \cos 2 \theta } } { { \cos \theta } } - 4 { { ( { \ln \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } - 1 } ) } ^ { 2 } } } { { \sin } ^ { 2 } } \theta \right] } } { { 8 { \pi ^ { 2 } } M ( { \frac { { \pi { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } - 4 { { \ln } ^ { 2 } } \frac { { { D _ { T } } } } { { r \cos \theta } } } ) } } . } \end{array}
\mathrm { ~ P ~ } ( \varphi _ { 1 } ) \, d \varphi _ { 1 } = \sin ^ { n - 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \, \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } \, d \varphi _ { 1 } , \qquad \varphi _ { 1 } \in [ 0 , \pi ]
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 } ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ; t ) \propto { \cal A } \left| \left| e ^ { - \frac { \hbar s ^ { 2 } ( \mathbf { q } _ { i } ^ { \prime } , \mathbf { q } _ { j } ) } { 4 \lambda t } } \right| \right| . } \end{array}
S ^ { a } ( t ^ { \mathrm { a } } , l ^ { \mathrm { { c } } } ) = \frac { l ^ { \mathrm { s 0 } } } { l ^ { \mathrm { s } } } f ^ { \mathrm { i s o } } \left( l ^ { \mathrm { c } } \right) \ f ^ { \mathrm { t w i t c h } } \left( t ^ { \mathrm { a } } , l ^ { \mathrm { s } } \right) \ E ^ { \mathrm { a } } \left( l ^ { \mathrm { s } } - l ^ { \mathrm { c } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \beta ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) } & { { } = 2 \gamma ^ { 2 } D _ { 0 } \tau _ { c } ^ { 3 } \left( \frac { t _ { d } } { \tau _ { c } } - 5 + e ^ { - \frac { t _ { d } } { \tau _ { c } } } - 4 e ^ { - \frac { 3 t _ { d } } { 4 \tau _ { c } } } \right. } \end{array}
\left| \frac { V _ { t b } V _ { t s } ^ { \ast } } { V _ { f b } } \right| ^ { 2 } = \frac { \pi M _ { B } } { 3 \alpha m _ { b } ^ { 2 } | C _ { 7 } ^ { ( 0 ) } ( M _ { W } ) | ^ { 2 } } E _ { \gamma } ^ { 2 } \Phi ( r _ { f } / \xi _ { + } ) \frac { d \Gamma ( B \to X _ { s } \gamma ) / d E _ { \gamma } } { d \Gamma ( B \to X _ { f } \ell \nu ) / d \xi _ { + } } \Bigg | _ { E _ { \gamma } = M _ { B } \xi _ { + } / 2 } ,
f _ { F P T } ( t ) \approx c ( x , y ) \frac { \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } ( \frac { \alpha } { q } - 1 ) ^ { 2 } q t - \frac { \log ^ { 2 } \left( \frac { x } { y } \right) } { 4 q t } \right] } { \sqrt { t ^ { 3 } } } \approx c ( x , y ) \frac { \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } ( \frac { \alpha } { q } - 1 ) ^ { 2 } q t \right] } { \sqrt { t ^ { 3 } } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Phi _ { n + 1 } ( z ) } { d z } } & { = } & { \alpha \ \sqrt { N _ { n } ^ { 2 } ( z ) + \frac { P _ { n } ^ { 2 } ( z ) } { d _ { 1 2 } ^ { 2 } } } \sin \Big ( \Phi _ { n + 1 } ( z ) + } \\ & { } & { \arcsin \Big [ \frac { P _ { n } ( z ) } { \sqrt { P _ { n } ^ { 2 } ( z ) + d _ { 1 2 } ^ { 2 } N _ { n } ^ { 2 } ( z ) } } \Big ] \ \Big ) . } \end{array}
\psi ^ { j } ( \textbf { x } , t ) = \int F ^ { j } ( t , \hbar ) \exp \left( \frac { i } { \hbar } ( S _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) + S _ { c l } ^ { j } ( \textbf { x } , t ; \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) \right) \sqrt { \rho _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) } d \textbf { x } _ { 0 } ^ { j }
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { j } - \hat { G } ^ { ( T ) } ( \omega _ { k _ { m } } ) } & { { } \leq ( \Gamma _ { j } - { G } ( \omega _ { k _ { m } } ) ) + | { G } ( \omega _ { k _ { m } } ) - { G } ^ { ( T ) } ( \omega _ { k _ { m } } ) | + | { G } ^ { ( T ) } ( \omega _ { k _ { m } } ) - \hat { G } ^ { ( T ) } ( \omega _ { k _ { m } } ) ) | } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \omega ) = \frac { 1 } { \pi \omega } \operatorname { T r } \operatorname { I m } \mathbb { G } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \omega ) . } \end{array}
< \hat { a } _ { L L } > \equiv \frac { \sum _ { i j } \int d x _ { a } \int d x _ { b } f _ { i } ( x _ { a } , Q ^ { 2 } ) f _ { j } ( x _ { b } , Q ^ { 2 } ) \; d \hat { \sigma } _ { i j } \cdot \hat { a } _ { L L } ^ { i j } } { \sum _ { i j } \int d x _ { a } \int d x _ { b } f _ { i } ( x _ { a } , Q ^ { 2 } ) f _ { j } ( x _ { b } , Q ^ { 2 } ) \; d \hat { \sigma } _ { i j } }
\begin{array} { r l r l } { \hat { P } } & { { } = \frac { P _ { 0 , a } } { \Delta _ { \rho } g H } } & { } & { { } \Gamma _ { a } , } \\ { \hat { P } } & { { } = \frac { P _ { 0 , b } } { \Delta _ { \rho } g H } } & { } & { { } \Gamma _ { b } . } \end{array}
\frac { d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } } { d t } = \frac { \partial H } { \partial \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } } \; \; \; , \; \; \; \frac { d \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } } { d t } = - \frac { \partial H } { \partial \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } }
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { \boldsymbol { k } _ { B } , \lambda } } & { = \left( R _ { \boldsymbol { k } } \hat { a } _ { \bar { \boldsymbol { k } } _ { A } , \lambda } + T _ { \boldsymbol { k } } \hat { b } _ { \boldsymbol { k } _ { B } , \lambda } \right) , } \\ { \hat { d } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } } & { = \left( T _ { \boldsymbol { k } } \hat { a } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } + R _ { \boldsymbol { k } } \hat { b } _ { \bar { \boldsymbol { k } } _ { B } , \lambda } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \rho \mathbf u ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u \otimes \mathbf u ) + \nabla p ^ { \prime } + g z \nabla \rho = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad { \tilde { \cal O } } \left( \frac { 1 } { \delta } + \frac { L _ { f } + L / n } { \lambda + \kappa } + \frac { \sqrt { ( 1 - \delta ) ( L _ { f } + \lambda + \kappa ) ( { \bar { L } } + \lambda + \kappa ) } } { \delta ( \lambda + \kappa ) } + \frac { \sqrt { ( 1 - \delta ) ( L _ { f } + \lambda + \kappa ) ( L + \lambda + \kappa ) } } { \sqrt { \delta } ( \lambda + \kappa ) } \right) } \\ & { = { \tilde { \cal O } } \left( \frac { 1 } { \delta } + \frac { a _ { 1 } } { \lambda + \kappa } + \frac { b _ { 1 } } { \sqrt { \lambda + \kappa } } \right) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \operatorname { v a r } [ \ln X ] } & { \operatorname { c o v } [ \ln X , \ln ( 1 - X ) ] } \\ { \operatorname { c o v } [ \ln X , \ln ( 1 - X ) ] } & { \operatorname { v a r } [ \ln ( 1 - X ) ] } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ C ~ H ~ S ~ H ~ } } } & { { } : = E ( \sigma _ { \textsf { X } } , \sigma _ { \textsf { X + Y } } ) + E ( \sigma _ { \textsf { Y } } , \sigma _ { \textsf { X + Y } } ) + E ( \sigma _ { \textsf { X } } , \sigma _ { \textsf { X } - \textsf { Y } } ) } \end{array}
Q _ { I V } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \xi } ^ { 2 } + \partial _ { \eta } ^ { 2 } \right) - E \left[ \left( \xi - \frac { \beta } { 2 E } \right) ^ { 2 } + \left( \eta - \frac { \gamma } { 2 E } \right) ^ { 2 } \right] \ ,
e ^ { - a } U \frac { \partial U } { \partial x } + e ^ { c - b } V \frac { \partial U } { \partial y } = - e ^ { d - b } \frac { \partial { \overline { { u v } } } } { \partial { y } } - e ^ { d _ { 1 } - a } \frac { \partial } { \partial x } ( \overline { { u ^ { 2 } } } - \overline { { v ^ { 2 } } } ) + e ^ { - 2 b } \nu \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial y ^ { 2 } } .
f ( t ) \leq \epsilon \left( \psi _ { x } ( x , t ) t + ( \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , t ) ) ^ { \frac { b - 1 } { h _ { i } ^ { * } } } \right) + c _ { \epsilon } ( \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , t ) ) ^ { \frac { b - 1 } { h _ { i } ^ { * } } } \chi _ { [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] } ( t ) , \forall ( x , t ) \in { \mathbb R } ^ { N } \times { \mathbb R } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { p } ^ { n + 1 } } & { { } = \mathbf { r } _ { p } ^ { n } + \Delta t \mathbf { v } _ { p } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { \mathbf { v } _ { p } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = N ^ { - 1 } \cdot N ^ { T } \cdot \mathbf { v } _ { p } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } + \frac { q _ { p } \Delta t } { m _ { p } } N ^ { - 1 } \cdot \mathcal { E } _ { p } ^ { ( n ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } } & { = p _ { h + \zeta } \partial _ { x } ( h + \zeta ) + p _ { \zeta } \partial _ { x } \zeta - \mathcal { L } } \\ & { = - \frac { \gamma } { \xi _ { h + \zeta } } - \frac { \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } } { \xi _ { \zeta } } - g _ { \mathrm { b r u s h } } + P ( h + \zeta ) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { f _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( M _ { 4 5 } + M _ { 6 7 } + M _ { 8 9 } ) \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ f _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( M _ { 4 5 } - M _ { 6 7 } - M _ { 8 9 } ) \, , } } \\ { { { } } } & { { { } } } \\ { { f _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } ( - M _ { 4 5 } + M _ { 6 7 } - M _ { 8 9 } ) \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ f _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 } ( - M _ { 4 5 } - M _ { 6 7 } + M _ { 8 9 } ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { 0 , 1 } ^ { \prime } \rangle = } & { ~ ( | g \rangle _ { A } \langle g | _ { A } - | e \rangle _ { A } \langle e | _ { A } ) ( | g \rangle _ { B } \langle g | _ { B } - | e \rangle _ { B } \langle e | _ { B } ) | \psi _ { 0 , 1 } \rangle } \\ { = } & { ~ ( C _ { g g } | g g \rangle - C _ { e g } | e g \rangle - C _ { g e } | g e \rangle + C _ { e e } | e e \rangle ) \otimes | 1 \rangle , } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { \dot { \phi } } & { { } = - \frac { { \cal E } _ { 0 } e } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 3 2 } \, z \, a ( - k n ) \bigg [ 4 x \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 3 x \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \beta \frac { \partial P _ { v } } { \partial \rho } \right) _ { T } } & { = } & { \chi _ { c } ^ { - 1 } ( \rho , \beta ) \; , } \\ { \left( \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \beta P _ { v } } { \partial \beta } \right) _ { \rho } } & { = } & { \frac { 1 } { V } \left( \frac { \partial U } { \partial \rho } \right) _ { T } \; . } \end{array}
\mathrm { ~ O ~ R ~ P ~ } _ { t , t - 1 } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) , \; \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t - 1 ) \right] } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t - 1 ) } \quad .
\Bar { T } = . 2 \Bar { T } _ { c } ^ { a } , \Bar { T } _ { 0 } , 0 . 7 5 \Bar { T } _ { c } ^ { a } , \Bar { T } _ { c } ^ { a } , 1 . 5 \Bar { T } _ { c } ^ { a } , 0 . 7 5 \Bar { T } _ { c } ^ { b } , \Bar { T } _ { c } ^ { b } , 1 . 5 \Bar { T } _ { c } ^ { b }
\sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \sigma _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \sigma _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { n } ^ { ( o ) } | \beta \rangle = ( t _ { n } \beta ^ { n } + t _ { n } ^ { \ast } \beta ^ { - n } ) | \beta \rangle - t _ { n } \beta ^ { L } \sum _ { l = 1 } ^ { n } \beta ^ { l } | L - ( n - l ) \rangle - t _ { n } ^ { \ast } \beta ^ { - n } \sum _ { l = 1 } ^ { n } \beta ^ { l } | l \rangle , } \\ & { } & { V | \beta \rangle = \sum _ { i \in \partial \Omega } v _ { i } \beta ^ { i } | i \rangle + \sum _ { i , j \in \partial \Omega } v _ { i j } \beta ^ { j } | i \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y } & { { } = - \frac { 1 } { 8 } \Phi \tilde { \mathcal { k } } - \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { B \Phi ^ { 2 } } { 1 2 8 } \right) \tilde { \mathcal { k } } ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \tilde { \mathcal { k } } ^ { 3 } ) . } \end{array}
\nu _ { \mathrm { ~ c ~ x ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } = n _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ x ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } ( v _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } ) \right\rangle
F = \left[ \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { 2 k } \left( \frac { d T _ { i } } { d x ^ { i } } \right) ^ { 2 } - m ^ { 2 } T _ { i } ^ { 2 } + \lambda T _ { i } ^ { 4 } + \frac { m ^ { 2 } } { 4 \lambda } \right\} + \left\{ \partial _ { \mu } \mathcal { T } \partial ^ { \mu } \mathcal { T } - m ^ { 2 } \mathcal { T } ^ { 2 } + \lambda \mathcal { T } ^ { 4 } + f ( \mathcal { T } ) \overline { { { \theta } } } _ { R } \theta _ { L } \right\} \right]
h ( t ; A _ { \mathrm { f a s t } } , A _ { \mathrm { s l o w } } , \sigma , \tau _ { \mathrm { f a s t } } , \tau _ { \mathrm { s l o w } } ) = h _ { \mathrm { f a s t } } ( t ; A _ { \mathrm { f a s t } } , 0 , \sigma , \tau _ { \mathrm { f a s t } } ) + h _ { \mathrm { s l o w } } ( t ; A _ { \mathrm { s l o w } } , 0 , \sigma , \tau _ { \mathrm { s l o w } } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \lambda _ { i } } \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \; p ( \phi , \lambda | d ) = \int _ { \Phi } \mathcal { D } \phi \: p ( d | \phi ) \Bigg \{ } & { { } - \frac { \exp \left\{ - \left[ H [ \phi | \lambda ] + H ( \lambda ) \right] \right\} } { Z ( \lambda ) } \left[ \frac { \partial H [ \phi | \lambda ] } { \partial \lambda _ { i } } + \frac { \partial H ( \lambda ) } { \partial \lambda _ { i } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \frac { \partial _ { r } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } } { r } \right| \leq \left| \frac { | \nabla _ { x } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } | } { r } \right| \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { C } { R _ { 1 } ^ { 2 } } , \mathrm { ~ i f ~ } | x | < 2 R _ { 1 } } \\ { \frac { D } { R _ { 2 } ^ { 2 } } \mathrm { ~ i f ~ } | x | \geq 2 R _ { 1 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle M _ { I } { \bf \ddot { R } } _ { I } = - \frac { \partial { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) } { \partial { \bf R } _ { I } } \Big \vert _ { n ^ { ( 0 ) } , n ^ { ( 1 ) } } } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ - \int \frac { \delta { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) } { \delta n ^ { ( 1 ) } ( { \bf r } ) } \frac { \partial n ^ { ( 1 ) } ( { \bf r } ) } { \partial { \bf R } _ { I } } \Big \vert _ { n ^ { ( 0 ) } } d { \bf r } } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ - \frac { 1 } { 2 } \mu \omega ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial { \bf R } _ { I } } \iint \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) \right) T ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ ~ \times \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) \Big \vert _ { n ^ { ( 0 ) } } d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } } } \end{array}
\Lambda _ { 0 } ^ { 5 } = \frac { 1 } { \bar { \Delta } _ { ( m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) } ^ { 1 / 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { n ^ { \prime } \qquad } } & { { m ^ { \prime } \, e ^ { - \phi _ { 0 } } + \chi _ { 0 } \, ( n ^ { \prime } + \chi _ { 0 } m ^ { \prime } ) \, e ^ { \phi _ { 0 } } } } \\ { { - m ^ { \prime } \qquad } } & { { ( n ^ { \prime } + \chi _ { 0 } m ^ { \prime } ) \, e ^ { \phi _ { 0 } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { K _ { z z } ( t , I _ { t } ^ { ( 1 ) } , X _ { 0 } ) } & { = \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) E [ X _ { 1 } ^ { 2 } \| X _ { 0 } , I _ { t } ^ { ( 1 ) } ] K ( t , I _ { t } ^ { ( 1 ) } , X _ { 0 } ) - 2 Z _ { t } g _ { 1 } ( t ) V ( t , I _ { t } ^ { ( 1 ) } , X _ { 0 } ) } { \sigma _ { A } ^ { 4 } ( t ) } K ( t , I _ { t } ^ { ( 1 ) } , X _ { 0 } ) } \\ & { \quad + \frac { Z _ { t } ^ { 2 } - \sigma _ { A } ^ { 2 } ( t ) } { \sigma _ { A } ^ { 4 } ( t ) } K ( t , I _ { t } ^ { ( 1 ) } , X _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \Bigg ( } & { O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) - O C E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) \leq \vert u ( - H + h ) \vert \sqrt { \frac { 2 \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } , } \\ & { V _ { h + 1 } ^ { * } : \mathcal { S } \to [ 0 , H - h ] , \forall ( s , a , h , k ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } \times [ H ] \times [ K ] \Bigg ) \geq 1 - \delta . } \end{array}
\Delta \tilde { E } = \underbrace { \tilde { E } [ \tilde { n } ] - E [ \tilde { n } ] } _ { \Delta \tilde { E } _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } [ \tilde { n } ] } + \underbrace { E [ \tilde { n } ] - E [ n ] } _ { D ^ { \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } [ \Delta \tilde { n } ] }
\begin{array} { r l } { \widetilde { S } ^ { 2 } \left( H _ { + } ^ { \prime } \right) } & { : = \left\{ \varphi \colon H _ { - } \rightarrow H _ { + } ^ { \prime } \, \Bigg | \, \begin{array} { l } { \mathrm { ~ \varphi ~ i s ~ l i n e a r ~ a n d ~ s y m m e t r i c , } } \\ { \mathrm { i . e . , ~ \langle ~ a , ~ \varphi ( b ) \rangle ~ = ~ \langle ~ \varphi ( a ) , ~ b \rangle ~ f o r ~ a l l ~ a , b \in ~ H _ - ~ } } \end{array} \right\} , } \\ { \mathcal { B } _ { g } ( H _ { + } ^ { \prime } ) } & { : = \mathrm { t h e ~ m a n i f o l d ~ o f ~ f r a m e s ~ o f ~ ( H ' _ + ) ^ g ~ , } } \\ { \mathcal { H } _ { g } } & { : = \mathrm { t h e ~ S i e g e l ~ u p p e r ~ h a l f - s p a c e ~ o f ~ d e g r e e ~ g ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 0 } ( \xi , \eta ) : = } & { { \frac { \lambda _ { 0 } } { 4 } } \left( \xi + \eta \right) + \frac { 1 } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } f \left( \frac { \tau + s } { 2 } , \frac { \tau - s } { 2 } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } f \left( \frac { \tau + s } { 2 } , \frac { \tau - s } { 2 } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( X ) = \sigma ^ { 2 } } & { = \int _ { \mathbb { R } } ( x - \mu ) ^ { 2 } f ( x ) \, d x } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } x ^ { 2 } f ( x ) \, d x - 2 \mu \int _ { \mathbb { R } } x f ( x ) \, d x + \mu ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } f ( x ) \, d x } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } x ^ { 2 } \, d F ( x ) - 2 \mu \int _ { \mathbb { R } } x \, d F ( x ) + \mu ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } \, d F ( x ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } x ^ { 2 } \, d F ( x ) - 2 \mu \cdot \mu + \mu ^ { 2 } \cdot 1 } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } x ^ { 2 } \, d F ( x ) - \mu ^ { 2 } , } \end{array} }