harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mu _ { \pm } \ = \ \bigg ( 6 \frac { \kappa } { \lambda } \, \delta ^ { 2 } \bigg ) ^ { - 1 } \, \bigg [ \, A _ { \kappa } \ \pm \ \mathrm { s i g n } \bigg ( \frac { \kappa } { \lambda } \bigg ) \, \sqrt { A _ { \kappa } ^ { 2 } \: - \: 9 \sin 2 \beta \, \delta ^ { 2 } \kappa \lambda v ^ { 2 } } \ \bigg ] \, , \nonumber
- \beta C _ { N i } ^ { j + 1 } - ( \lambda + \alpha ) C _ { i - 1 } ^ { j + 1 } + ( 1 + 2 \lambda + \beta ) C _ { i } ^ { j + 1 } - ( \lambda - \alpha ) C _ { i + 1 } ^ { j + 1 } = \beta C _ { N i } ^ { j } + ( \lambda + \alpha ) C _ { i - 1 } ^ { j } + ( 1 - 2 \lambda - \beta ) C _ { i } ^ { j } + ( \lambda - \alpha ) C _ { i + 1 } ^ { j } .
\begin{array} { r l } { d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( \tilde { p } , \tilde { q } ) } & { \gtrsim \tau \cdot \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { e ^ { \epsilon } \tau } { \ell } \right) } \\ & { \gtrsim d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) \frac { \ell } { k ^ { \prime } } \cdot \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { e ^ { \epsilon } \cdot d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } { \log ( 1 / d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) ) } \right) } \\ & { \gtrsim d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) \cdot \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { e ^ { \epsilon } } { \log ( 1 / d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) ) } \right) \cdot \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { e ^ { \epsilon } \cdot d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) } { \log ( 1 / d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p , q ) ) } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { \ell } [ W _ { T } , s ; i ] } & { = \operatorname* { m i n } \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } : } & { \theta _ { i } \in \Theta , } \\ & { \psi _ { \ell } \left( a [ W _ { T } ; i ] , T ; s \right) \leq \frac { 1 } { T M _ { w } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( w _ { t - \tau : t - 1 } ) _ { k } g ( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \leq \psi _ { u } \left( a [ W _ { T } ; i ] , T ; s \right) , k \in [ d _ { 1 } ] . } \end{array} \right\} } \\ { \theta _ { u } [ W _ { T } , s ; i ] } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } : } & { \theta _ { i } \in \Theta , } \\ & { \psi _ { \ell } \left( a [ W _ { T } ; i ] , T ; s \right) \leq \frac { 1 } { T M _ { w } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( w _ { t - \tau : t - 1 } ) _ { k } g ( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \leq \psi _ { u } \left( a [ W _ { T } ; i ] , T ; s \right) , k \in [ d _ { 1 } ] . } \end{array} \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { c } \rangle | J _ { f } M _ { f } \rangle = } & { { } \sum _ { l , m _ { l } } \sum _ { j _ { f } , m _ { f } } \langle j _ { f } m _ { f } | l m _ { l } s m _ { s } \rangle \sum _ { J = | j _ { f } - J _ { f } | } ^ { j _ { f } + J _ { f } } \sum _ { M = - J } ^ { J } \langle J M | j _ { f } m _ { f } J _ { f } M _ { f } \rangle } \end{array}
\int [ d \varphi ^ { I } ] \, \epsilon ^ { a } \, \lbrace \, \, { \frac { \partial } { \partial \chi ^ { a } } } \Big ( S _ { 1 } \, + \, \hbar M _ { 1 } \Big ) \, + \, J ^ { r } { \overline { { R } } } _ { a } ^ { r } \, \rbrace \, e x p { \frac { i } { \hbar } } \Big ( S _ { _ \Sigma } + \hbar M _ { 1 } \, + \, J ^ { A } \, \phi _ { A } \Big ) \, = \, 0
I _ { \mathrm { R a m a n } } ( \omega _ { s } ) \propto \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \sum _ { i } \rho ( i ) \sum _ { f } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - j ( \omega _ { I } - \omega _ { s } ) t } \alpha _ { f i } ^ { * } ( \omega _ { I } ) e ^ { j \frac { E _ { f } } { \hbar } t } \alpha _ { f i } ( \omega _ { I } ) e ^ { - j \frac { E _ { i } } { \hbar } t } \, d t .
\hbar \dot { \mathrm { C } } _ { \mathrm { F } } ( t ) = - i \mathrm { C } _ { \mathrm { F } } ( t ) ( \varepsilon _ { \mathrm { F } , + } ( t ) + \varepsilon _ { \mathrm { F } , - } ( t ) ) - \hbar \mathrm { C } _ { \mathrm { F } } ( t ) \langle \mathrm { F } , A ( t ) | \frac { \partial } { \partial t } | \mathrm { F } , A ( t ) \rangle .
\begin{array} { r l } { \beta = \pm \frac { \mathrm { i } e v \mathcal { E } _ { 0 } } { \hbar \omega ^ { 2 } } \bigg \{ } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ A _ { j } ^ { + } \, \hat { \bf v } \cdot \hat { \bf e } _ { j } ^ { + } \; \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } v _ { x } - \omega ) z _ { j } / v _ { z } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { j z } d _ { j } } - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } v _ { x } - \omega ) z _ { j - 1 } / v _ { z } } } { 1 - ( k _ { x } v _ { x } + k _ { j z } v _ { z } ) / \omega } } \\ { - } & { { } \sin ( \theta _ { l } - \theta _ { e } ) \; \frac { 1 - T \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( k _ { x } v _ { x } - \omega ) z _ { n } / v _ { z } } } { 1 - \cos ( \theta _ { l } - \theta _ { e } ) \, v / c } } \\ { - } & { { } \sin ( \theta _ { l } + \theta _ { e } ) \; \frac { R } { 1 + \cos ( \theta _ { l } + \theta _ { e } ) \, v / c } \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d t } } & { = \frac { G } { \eta _ { s } + \eta _ { p } } \left\{ - \sigma ( t ) + \sigma _ { y } \lambda ( t ) + [ \eta _ { s } + \eta _ { p } \lambda ( t ) ] \dot { \gamma } ( t ) \right\} , } \\ { \frac { d \lambda } { d t } } & { = k _ { + } [ 1 - \lambda ( t ) ] - k _ { - } \dot { \gamma } ( t ) \lambda ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { j } \int _ { \Omega } \psi \left( \frac { u _ { j } } { a _ { n } } \right) a _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { j } \sum _ { k } \int _ { E _ { k } } \psi \left( \frac { u _ { j } } { \frac { k } { n } } \right) \frac { k } { n } = \sum _ { k } \int _ { E _ { k } } \langle \nu _ { x } , \psi \left( \frac { \cdot } { \frac { k } { n } } \right) \rangle \frac { k } { n } = \int _ { \Omega } \langle \nu _ { x } , \psi \left( \frac { \cdot } { a _ { n } } \right) \rangle a _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S [ \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } , \widehat { L } _ { b } ] = S ( \widehat { L } _ { b } ) - S ( \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } ) = \operatorname* { l i m } _ { \widehat { L } _ { a } \to \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } S ( \widehat { L } _ { a } , \widehat { L } _ { b } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { n } ( r , \phi , z ) = } & { { } \frac { \pi } { 2 } \sqrt { \frac { ( - i ) ^ { | n | } } { \lambda z } } r \exp ( i n \phi ) \exp ( i k z ) \exp \left( \frac { i k r ^ { 2 } } { 4 z } \right) } \\ { \times } & { { } \left[ J _ { \frac { | n | - 1 } { 2 } } \left( \frac { k r ^ { 2 } } { 4 z } \right) - i J _ { \frac { | n | + 1 } { 2 } } \left( \frac { k r ^ { 2 } } { 4 z } \right) \right] \, , } \end{array}
p ( r _ { 1 } , \mathbf { \Omega } , t ) = \sum _ { n n ^ { \prime } } \rho _ { n n ^ { \prime } } ( \mathbf { \Omega } , t ) \int d { r } _ { 2 } \cdots d { r } _ { N } \psi _ { n } ^ { * } ( \Vec { r } ) \psi _ { n ^ { \prime } } ( \Vec { r } ) ,
c _ { 1 } \left\{ A ( \lambda ) \Theta ( \alpha _ { 1 } ) - B ( \lambda ) \Theta ( \alpha _ { 3 } ) \right\} + c _ { 2 } \left\{ C ( \lambda ) \Theta ( \alpha _ { 2 } ) - D ( \lambda ) \Theta ( \alpha _ { 3 } ) \right\} = 0 \, ,
{ \left[ \begin{array} { l } { X _ { 1 ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { X _ { 1 ( k ) } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { X _ { 2 ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { X _ { 2 ( k ) } } \end{array} \right] } + \cdots + { \left[ \begin{array} { l } { X _ { n ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { X _ { n ( k ) } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ X _ { i ( 1 ) } \right] } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ X _ { i ( k ) } \right] } \end{array} \right] } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { X } _ { i }
\left\langle E _ { \mathrm { e x t } } ^ { \mathrm { ( s u r f ) } } \right\rangle _ { S U B } = \frac { \left( 4 \xi - 1 \right) L ^ { N } a ^ { 2 - D } } { 2 ^ { D - 2 } \pi ^ { D / 2 - 1 } \Gamma ( D / 2 - 1 ) }
\Theta ^ { i j } = \theta _ { 0 } ( \delta _ { 0 } ^ { i } \delta _ { 1 } ^ { j } - \delta _ { 1 } ^ { i } \delta _ { 0 } ^ { j } ) + \theta _ { 1 } ( - \delta _ { 2 } ^ { i } \delta _ { 3 } ^ { j } + \delta _ { 3 } ^ { i } \delta _ { 2 } ^ { j } ) ,
H = \frac { 1 } { 2 } N ^ { 2 } \sum _ { - \infty } ^ { \infty } ( \alpha _ { - n } \cdot \alpha _ { n } + \tilde { \alpha } _ { - n } \cdot \tilde { \alpha } _ { n } ) + \frac { N ^ { 2 } } { 4 x } \sum _ { - \infty } ^ { \infty } \gamma _ { - n } \cdot \gamma _ { n } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d x } T ( x + r ) } & { = \frac { d } { d x } \sin ^ { 2 } \left( \frac \pi 2 \left( \frac { x + r } { 2 ^ { \ell } } \right) \right) } \\ & { = \frac { d } { d x } \sin ^ { 2 } \left( \frac \alpha 2 ( x + r ) \right) } & { \left( \alpha = \frac \pi { 2 ^ { L } } \right) } \\ & { = \alpha \sin ( \alpha ( x + r ) ) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } p ( x , t ) = - \frac { \partial } { \partial x } \left[ \left( \alpha + q \right) x - \beta x ^ { 2 } \right] p ( x , t ) + q \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } x ^ { 2 } p ( x , t ) .
H = \sum _ { m } E _ { m } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { m } + \sum _ { q } \hbar \omega _ { q } ( b _ { q } ^ { \dagger } b _ { q } + \frac { 1 } { 2 } ) + \sum _ { q , m } \chi _ { m } ^ { q } \hbar \omega _ { q } ( b _ { q } ^ { \dagger } + b _ { - q } ) a _ { m } ^ { \dagger } a _ { m }
\partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } { \bf u } ) + p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } \, { \bf u } = p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) \nabla p _ { f } ) .
\begin{array} { r } { F ( x , t ) = 2 e ^ { 1 - t } \left\{ - 4 t + 2 x ( 1 - x ) ( t - 1 ) + \frac { \left( 1 - 4 x ( 1 - x ) t e ^ { 1 - t } \right) x ( 1 - x ) t } { 1 - 2 x ( 1 - x ) t e ^ { 1 - t } } \right\} , } \\ { G ( x , t ) = 2 e ^ { 1 - t } \left\{ 2 x ( 1 - x ) ( 1 - t ) + 8 t ^ { 2 } e ^ { 1 - t } ( 6 x - 6 x ^ { 2 } - 1 ) - \frac { \left( 1 - 4 x ( 1 - x ) t e ^ { 1 - t } \right) x ( 1 - x ) t } { 1 - 2 x ( 1 - x ) t e ^ { 1 - t } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( z ) = - \frac { i k _ { \mathrm { ~ m ~ } } \, e ^ { i k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ( z - z _ { \ell } ) } } { z - z _ { \ell } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \vec { \mathcal { E } } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( 0 , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg | \int _ { \{ v < \frac { 1 } { M } \} } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K _ { \epsilon , R } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) v [ \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) ] \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta \bigg | } \\ & { \lesssim \int _ { \{ v < \frac { 1 } { M } \} } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } ( v ^ { \beta + 1 } + v v ^ { \beta } ) | \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) | \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta } \\ & { \lesssim 2 | | \varphi | | _ { \infty } M ^ { \beta - 1 } M _ { 0 , \beta } ( \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ) ^ { 2 } + M ^ { - \beta } \int _ { \{ v < \frac { 1 } { M } \} } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v | \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) | \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta . } \end{array}
C ( s , q _ { 0 } ) = { \frac { s \; \lambda ^ { 1 / 2 } ( s ^ { \prime } , m _ { a } ^ { 2 } , m _ { b } ^ { 2 } ) } { s ^ { \prime } \; \lambda ^ { 1 / 2 } ( s , m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r l } { \zeta _ { A + B } ^ { \pm } } & { { } = s _ { A + B } ^ { \pm } e ^ { i ( ( \boldsymbol { k } _ { A } + \boldsymbol { k } _ { B } ) \cdot \boldsymbol { r } + ( k _ { z A } + k _ { z B } ) v _ { \mathrm { A } } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } , } \\ { \zeta _ { A - B } ^ { \pm } } & { { } = s _ { A - B } ^ { \pm } e ^ { i ( ( \boldsymbol { k } _ { A } - \boldsymbol { k } _ { B } ) \cdot \boldsymbol { r } + ( k _ { z A } - k _ { z B } ) v _ { \mathrm { A } } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } } \end{array}
\phi _ { b } ( x ; \varphi , \theta , \psi ) = e ^ { i \varphi T _ { 3 } } \, e ^ { i \theta T _ { 2 } } \, e ^ { i \psi T _ { 3 } } \, \phi _ { b } ^ { 0 } ( x ) \equiv U ( \varphi , \theta , \psi ) \phi _ { b } ^ { 0 } ( x )
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) } & { = } & { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ^ { 0 } + \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) = \tilde { \ell } _ { 2 } ( \nabla \psi + \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) } \\ & { = } & { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \nabla S _ { h } \psi + \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) + \tilde { \ell } _ { 2 } ( \nabla \psi + \boldsymbol { v } ^ { \bot } - \nabla S _ { h } \psi - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { v } ^ { \bot } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { \eta } \left( M \right) } & { = 2 ^ { \binom { M } { 2 } } + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { k + 1 } } { k } \left[ \sum _ { M _ { 1 } + \ldots + M _ { k } = M } \binom { M } { M _ { 1 } , \ldots , M _ { k } } 2 ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \binom { M _ { i } } { 2 } } \right] , } \\ & { = 2 ^ { \binom { M } { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { M _ { 1 } + M _ { 2 } = M } \binom { M } { M _ { 1 } , M _ { 2 } } 2 ^ { \binom { M _ { 1 } } { 2 } + \binom { M _ { 2 } } { 2 } } \right] + o \left( - \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { M _ { 1 } + M _ { 2 } = M } \binom { M } { M _ { 1 } , M _ { 2 } } 2 ^ { \binom { M _ { 1 } } { 2 } + \binom { M _ { 2 } } { 2 } } \right] \right) , } \end{array}
{ { \dot { S } } _ { b } } = \frac { { d { S _ { b } } } } { { d t } } = \int { \left( { { \boldsymbol { \Delta } } _ { 3 , 1 } ^ { * } \cdot \nabla \frac { 1 } { T } - \frac { 1 } { T } { \boldsymbol { \Delta } } _ { 2 } ^ { * } : \nabla { \bf { u } } } \right) d { \bf { r } } } .
\begin{array} { r l } { \ell } & { : = - M a \sqrt { \sin ^ { 2 } \theta _ { * } - \sin ^ { 2 } \theta } \sqrt { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { * } \Delta } , } \\ { \Delta } & { : = r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 2 M r , } \\ { R ^ { 2 } } & { : = r ^ { 2 } + a ^ { 2 } + \frac { 2 M a ^ { 2 } r \sin ^ { 2 } \theta } { \Sigma } , } \\ { \Sigma } & { : = r ^ { 2 } + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln M ( t _ { d } ) = } & { - \frac { 1 } { 2 } G _ { i } \beta _ { i j } ^ { G G } ( t _ { d } ) G _ { j } - G _ { i } \beta _ { i j } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \beta _ { i j } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { i j } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } G _ { i } G _ { l } \beta _ { i j } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) \beta _ { l k } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k } } \\ & { + G _ { i } \beta _ { i j } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) \beta _ { l k } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { l } \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \beta _ { i j } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \beta _ { k l } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { i } \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { l } \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } G _ { i } \beta _ { i j } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) \beta _ { l k } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k l } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \beta _ { i j } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \beta _ { l k } ^ { 0 0 } ( t _ { d } ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { i } \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k l } } \\ & { + \mathcal { O } \left[ \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } ^ { 4 } \right\rangle \right] , } \end{array}
\beta _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left\langle \sum _ { X _ { i } \in ( { \it G } _ { 1 } ) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } \sum _ { \stackrel { i _ { \alpha _ { 1 } } < j _ { \alpha _ { 1 } } < i _ { \alpha _ { 2 } } < j _ { \alpha _ { 2 } } } { \left\{ i _ { \alpha _ { 1 } } , j _ { \alpha _ { 1 } } , i _ { \alpha _ { 2 } } , j _ { \alpha _ { 2 } } \right\} \in J _ { X _ { i } } } } t _ { i _ { \alpha _ { 1 } } } t _ { j _ { \alpha _ { 1 } } } { \bf 1 } _ { ( w ( t _ { i _ { \alpha _ { 1 } } } ) = w ( t _ { j _ { \alpha _ { 1 } } } ) ) } \right. \times
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } ( \theta ) } & { : = E \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \theta s } \xi _ { f } ( d s ) \right] = E \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - \theta \tau _ { n } } \right] = E \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - \theta \sum _ { i = 1 } ^ { n } \chi _ { i } / f ( i ) } \right] } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \prod _ { i = 1 } ^ { n } E \left[ e ^ { - \theta \chi _ { i } / f ( i ) } \right] = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \theta / f ( i ) + 1 } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { f ( i ) } { \theta + f ( i ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \partial D ( \epsilon ) } ^ { \prime } = } & { \; - 2 i \omega \Big ( \frac { 2 } { 3 } \Big ) ^ { 1 / 3 } \frac { ( 1 , 1 , 1 ) m _ { 1 } ^ { P } ( y ) } { t ^ { 1 / 3 } } - 2 i \omega \Big ( \frac { 2 } { 3 } \Big ) ^ { 1 / 3 } \frac { ( 1 , 1 , 1 ) Y \hat { m } _ { 2 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) Y ^ { - 1 } \ln t } { t ^ { 5 / 6 } } . } \end{array}
S = \frac { \eta } { 2 } ( 1 + \frac { N _ { m o d e s } \kappa } { I _ { c r i t } } ) I + \frac { \eta } { 2 } ( 1 - \frac { N _ { m o d e s } \kappa } { I _ { c r i t } } ) ( \sqrt { ( I - I _ { c r i t } ) ^ { 2 } + 4 I \kappa } ) - I _ { c r i t } ) ,
\begin{array} { r l } { n ( t , x ) } & { = n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( Y ( s , x ) ) - \rho ( s ) ) d s } } } \\ & { = n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - \tilde { r } ( a ) } { f ( s ) } d s } } e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( a ) - \rho ( s ) d s } } , } \end{array}
a ^ { 2 2 } + 1 7 6 a ^ { 1 5 } c ^ { 7 } + 3 3 0 a ^ { 1 4 } c ^ { 8 } + 6 1 6 a ^ { 1 3 } b ^ { 8 } c + 2 4 6 4 a ^ { 1 3 } b ^ { 7 } c ^ { 2 } + 4 0 0 4 a ^ { 1 2 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 1 4 7 8 4 a ^ { 1 1 } b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 2 9 5 6 8 a ^ { 1 1 } b ^ { 7 } c ^ { 4 } + 6 7 2 a ^ { 1 1 } c ^ { 1 1 } + 1 2 3 2 a ^ { 1 0 } b ^ { 1 2 } + 1 4 7 8 4 a ^ { 1 0 } b ^ { 1 1 } c + 4 0 6 5 6 a ^ { 1 0 } b ^ { 8 } c ^ { 4 } + 6 1 6 a ^ { 1 0 } c ^ { 1 2 } + 1 2 3 2 0 a ^ { 9 } b ^ { 1 2 } c + 8 3 1 6 0 a ^ { 9 } b ^ { 8 } c ^ { 5 } + 1 1 0 8 8 0 a ^ { 9 } b ^ { 7 } c ^ { 6 } + 5 5 4 4 0 a ^ { 8 } b ^ { 1 2 } c ^ { 2 } + 2 2 1 7 6 0 a ^ { 8 } b ^ { 1 1 } c ^ { 3 } + 1 2 4 7 4 0 a ^ { 8 } b ^ { 8 } c ^ { 6 } + 5 6 3 2 a ^ { 7 } b ^ { 1 5 } + 1 4 7 8 4 0 a ^ { 7 } b ^ { 1 2 } c ^ { 3 } + 1 4 0 8 0 0 a ^ { 7 } b ^ { 8 } c ^ { 7 } + 1 4 0 8 0 0 a ^ { 7 } b ^ { 7 } c ^ { 8 } + 1 7 6 a ^ { 7 } c ^ { 1 5 } + 2 4 6 4 a ^ { 6 } b ^ { 1 6 } + 2 5 8 7 2 0 a ^ { 6 } b ^ { 1 2 } c ^ { 4 } + 6 2 0 9 2 8 a ^ { 6 } b ^ { 1 1 } c ^ { 5 } + 1 2 3 2 0 0 a ^ { 6 } b ^ { 8 } c ^ { 8 } + 7 7 a ^ { 6 } c ^ { 1 6 } + 1 4 7 8 4 a ^ { 5 } b ^ { 1 6 } c + 1 1 8 2 7 2 a ^ { 5 } b ^ { 1 5 } c ^ { 2 } + 3 1 0 4 6 4 a ^ { 5 } b ^ { 1 2 } c ^ { 5 } + 8 3 1 6 0 a ^ { 5 } b ^ { 8 } c ^ { 9 } + 6 6 5 2 8 a ^ { 5 } b ^ { 7 } c ^ { 1 0 } + 3 6 9 6 0 a ^ { 4 } b ^ { 1 6 } c ^ { 2 } + 2 5 8 7 2 0 a ^ { 4 } b ^ { 1 2 } c ^ { 6 } + 4 4 3 5 2 0 a ^ { 4 } b ^ { 1 1 } c ^ { 7 } + 4 1 5 8 0 a ^ { 4 } b ^ { 8 } c ^ { 1 0 } + 4 9 2 8 0 a ^ { 3 } b ^ { 1 6 } c ^ { 3 } + 1 9 7 1 2 0 a ^ { 3 } b ^ { 1 5 } c ^ { 4 } + 1 4 7 8 4 0 a ^ { 3 } b ^ { 1 2 } c ^ { 7 } + 1 4 7 8 4 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c ^ { 1 1 } + 9 8 5 6 a ^ { 3 } b ^ { 7 } c ^ { 1 2 } + 3 6 9 6 0 a ^ { 2 } b ^ { 1 6 } c ^ { 4 } + 5 5 4 4 0 a ^ { 2 } b ^ { 1 2 } c ^ { 8 } + 7 3 9 2 0 a ^ { 2 } b ^ { 1 1 } c ^ { 9 } + 3 6 9 6 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 1 2 } + 1 4 7 8 4 a b ^ { 1 6 } c ^ { 5 } + 3 9 4 2 4 a b ^ { 1 5 } c ^ { 6 } + 1 2 3 2 0 a b ^ { 1 2 } c ^ { 9 } + 6 1 6 a b ^ { 8 } c ^ { 1 3 } + 3 5 2 a b ^ { 7 } c ^ { 1 4 } + 2 4 6 4 b ^ { 1 6 } c ^ { 6 } + 1 2 3 2 b ^ { 1 2 } c ^ { 1 0 } + 1 3 4 4 b ^ { 1 1 } c ^ { 1 1 } + 4 4 b ^ { 8 } c ^ { 1 4 }
\begin{array} { r l } { \| \nabla Q _ { h } \vec { v } \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } ^ { p } } & { = \int _ { \Omega } \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } | \partial _ { j } Q _ { h } \vec { v } _ { i } | ^ { 2 } \right) ^ { p / 2 } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } \sum _ { j = 1 } ^ { d } | \partial _ { j } Q _ { h } \vec { v } _ { i } | ^ { p } \lesssim \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { d } | \partial _ { j } Q _ { h } \vec { v } _ { i } | ^ { 2 } \right) ^ { p / 2 } } \\ & { \lesssim \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { d } | \partial _ { h , j } \vec { v } _ { i } | ^ { 2 } \right) ^ { p / 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { d } | \vec { v } _ { i } ^ { + } \vec { n } _ { j } ^ { + } - \vec { v } _ { i } ^ { - } \vec { n } _ { j } ^ { - } | ^ { 2 } \right) ^ { p / 2 } } \\ & { \lesssim \int _ { \Omega } \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } | \partial _ { h , j } \vec { v } _ { i } | ^ { 2 } \right) ^ { p / 2 } + \int _ { \Omega } \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } | \vec { v } _ { i } ^ { + } \vec { n } _ { j } ^ { + } - \vec { v } _ { i } ^ { - } \vec { n } _ { j } ^ { - } | ^ { 2 } \right) ^ { p / 2 } = \| \vec { v } \| _ { h , p } ^ { p } \, . } \end{array}
\lambda _ { c } ^ { \mathrm { M F } } = \frac { 1 } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \; d \rho \frac { P ( \rho ) } { \rho } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \; d \varphi P ( \varphi ) \sin ^ { 2 } ( \varphi - \psi ) }
\mathrm { s i g n } _ { I _ { k } \cup \{ i \} \subset I } ^ { \zeta } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \Lambda _ { l = 1 } ^ { k } \mathsf { D } _ { i _ { l } } \wedge \mathsf { D } _ { i } \wedge \iota _ { f } \Omega } { \Lambda _ { l = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { l } } } \right) \mathcal { C } ^ { I ^ { \mathrm { o r } } } ( q ) ,
p ( V ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { k _ { 1 } ~ \xi + k _ { 2 } ~ \xi ^ { 2 } + k _ { 3 } ~ \xi ^ { 3 } + \Delta p } & { \qquad { \mathrm { C o m p r e s s i o n } } } \\ { k _ { 1 } ~ \xi } & { \qquad { \mathrm { T e n s i o n } } } \end{array} \right. } ~ ; ~ ~ \xi : = { \cfrac { V _ { 0 } } { V } } - 1