harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
L _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } } = d _ { ( 1 / 2 ) ( { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 ) } ^ { \dagger } ( { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 ) d _ { ( 1 / 2 ) ( { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 ) } ( { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 ) = b _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 } ^ { \dagger } e x p ( - i \mathrm { ~ } X _ { 0 } ) e x p ( i \mathrm { ~ } X _ { 0 } ) b _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 } = b _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 } ^ { \dagger } b _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| z _ { k + 1 } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le ( 1 - \gamma _ { k } \mu _ { g } / 2 ) \mathbb { E } [ \| z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] - \frac { \gamma _ { k } } { l _ { g , 1 } } \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } + O \left( \frac { \gamma _ { k } } { \mu _ { g } } \right) \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] ) . } \end{array}
\operatorname { m o d e } ( \mathrm { B } ( \alpha , \beta ) ) = 1 - \operatorname { m o d e } ( \mathrm { B } ( \beta , \alpha ) ) , { \mathrm { ~ i f ~ } } \mathrm { B } ( \beta , \alpha ) \neq \mathrm { B } ( 1 , 1 )
\sum _ { i \geq 1 } [ i ] e ( \mathcal { M } ( 0 , C _ { h } , - a ) _ { i } ) = \sum _ { i \geq 1 } [ a + 1 + i ] e ( \mathcal { M } ( 1 , C _ { h } , 1 + a ) _ { a + i + 1 } ) .
f ( x , A , \mu , \sigma ) = A \times \frac { 5 1 } { 1 0 0 } \times \mathrm { ~ G ~ a ~ u ~ s ~ s ~ } ( x - \mu - 2 0 , \sigma ) + T _ { 2 } ( x ) + A \times \mathrm { ~ G ~ a ~ u ~ s ~ s ~ } ( x - \mu , \sigma ) + T _ { 1 } ( x ) + m \times x + C
\begin{array} { r } { \tau _ { 0 } ( z ) = \frac { \tau _ { f } } { 2 } \left[ \frac { \operatorname { t a n h } [ \beta ( z - z ^ { * } ) ] } { \operatorname { t a n h } ( \beta z ^ { * } ) } + 1 \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathcal { M B } } ( \mathcal { T } , \omega _ { 1 } , \alpha _ { * } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi i ) ^ { 2 } } \int _ { i \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathrm { B } ^ { 2 } \bigl ( \frac 1 6 + s _ { 2 } , \, \frac 1 3 + s _ { 1 } - s _ { 2 } \bigr ) \mathrm { B } \bigl ( \frac 1 6 + s _ { 1 } - 2 s _ { 2 } , \, \frac 1 3 + 2 s _ { 2 } \bigr ) \, d s _ { 1 } d s _ { 2 } , } \\ { I _ { \mathcal { M B } } ( \mathcal { T } , \omega _ { 2 } , \alpha _ { * } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi i ) ^ { 2 } } \int _ { i \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathrm { B } ^ { 2 } \bigl ( \frac 1 6 + s _ { 2 } , \, \frac 1 2 - s _ { 1 } \bigr ) \mathrm { B } \bigl ( \frac 1 2 - s _ { 1 } , \, \frac 1 3 + 2 s _ { 2 } \bigr ) \, d s _ { 1 } d s _ { 2 } , } \\ { I _ { \mathcal { M B } } ( \mathcal { T } , \omega _ { 3 } , \alpha _ { * } ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi i ) ^ { 2 } } \int _ { i \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathrm { B } ^ { 2 } \bigl ( \frac 1 2 - s _ { 1 } , \, \frac 1 3 + s _ { 1 } - s _ { 2 } \bigr ) \mathrm { B } \bigl ( \frac 1 2 - s _ { 1 } , \, \frac 1 3 + 2 s _ { 2 } \bigr ) \, d s _ { 1 } d s _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z \frac { F ^ { \prime } ( z ) } { F ( z ) } } & { = \frac { 1 } { \log ^ { 3 } ( 1 / z ) } \cdot \left( 2 a \big ( \log \log ( 1 / z ) \big ) - a ^ { \prime } \big ( \log \log ( 1 / z ) \big ) \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \log ^ { 2 } ( 1 / z ) } \cdot \left( b \big ( \log \log ( 1 / z ) \big ) - b ^ { \prime } \big ( \log \log ( 1 / z ) \big ) \right) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { \log ( 1 / z ) } \cdot g ^ { \prime } \big ( \log \log ( 1 / z ) \big ) } \\ & { \quad - h ^ { \prime } \big ( \log ( 1 / z ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow \ } & { { } \nabla \cdot \mathbf { v } \, ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) - \nabla \mathbf { v } \cdot ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) = \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \nabla ( \mathbf { v } \times \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) + \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \cdot \nabla ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \times \mathbf { v } ) . } \end{array}
\widehat { m } _ { H , h } ^ { 2 } = { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( m _ { A } ^ { 2 } + m _ { Z } ^ { 2 } + \Delta _ { t } ) \pm { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \sqrt { [ ( m _ { Z } ^ { 2 } - m _ { A } ^ { 2 } ) c _ { 2 \beta } - \Delta _ { t } ] ^ { 2 } + ( m _ { A } ^ { 2 } + m _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } s _ { 2 \beta } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) } & { = c _ { 1 } \left( \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 1 } + c _ { 2 } \left( \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } ( 0 ^ { + } ) } & { = c _ { 3 } \left( \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 1 } + c _ { 4 } \left( \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } ( n + 1 ) ! } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - z ^ { 2 } \right) ^ { n + 1 } \cos ( x z ) \, \mathrm { d } z } \\ & { \qquad = { \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } ( n + 1 ) ! } } { \Biggl ( } \, \overbrace { \left. ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } { \frac { \sin ( x z ) } { x } } \right| _ { z = 0 } ^ { z = 1 } } ^ { = \, 0 } \ + \, \int _ { 0 } ^ { 1 } 2 ( n + 1 ) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) ^ { n } z { \frac { \sin ( x z ) } { x } } \, \mathrm { d } z { \Biggr ) } } \\ & { \qquad = { \frac { 1 } { x } } \cdot { \frac { 1 } { 2 ^ { n } n ! } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - z ^ { 2 } \right) ^ { n } z \sin ( x z ) \, \mathrm { d } z } \\ & { \qquad = - { \frac { 1 } { x } } \cdot { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } \left( { \frac { 1 } { 2 ^ { n } n ! } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { n } \cos ( x z ) \, \mathrm { d } z \right) } \\ & { \qquad = - { \frac { U _ { n } ^ { \prime } ( x ) } { x } } } \\ & { \qquad = U _ { n + 1 } ( x ) . } \end{array} }
H ^ { 1 } ( d P _ { 9 } , { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 6 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - 5 F ) ) | _ { b _ { - 8 } } = H ^ { 0 } ( { \cal S } , { \cal O } _ { { \cal S } } ( 6 ) ) ^ { * } = S y m ^ { 6 } \hat { V } ^ { * } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ T _ { S _ { \alpha n } } - T _ { n } \right] } & { = \sum _ { j = n + 1 } ^ { S _ { \alpha n } } \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ T _ { j } - T _ { j - 1 } \right] \leq \sum _ { j = { S _ { k } } + 1 } ^ { S _ { \alpha n } } \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ T _ { j } - T _ { j - 1 } \right] } \\ & { = \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ T _ { S _ { \alpha n } } - T _ { S _ { k } } \right] } \end{array}
G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { p } } \\ { b _ { 1 } , \dots , b _ { q - 1 } , a _ { 1 } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = G _ { p - 1 , \, q - 1 } ^ { \, m , \, n - 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 2 } , \dots , a _ { p } } \\ { b _ { 1 } , \dots , b _ { q - 1 } } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad n , p , q \geq 1 .
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { 3 } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } - \left( \tau + 1 \right) \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } } \\ & { } & { - \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } \frac { 1 } { 2 } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) } \\ & { } & { + \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } \frac { 1 } { 2 } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } \partial \theta _ { j } } \right) } \\ & { } & { - \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { X _ { t } = } & { \xi + \int _ { 0 } ^ { t } b ( s , X _ { s } , u ( s , X _ { s } ) ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \sigma ( s , X _ { s } , u ( s , X _ { s } ) ) d W _ { s } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { E } \beta ( X _ { s ^ { - } } , u ( s , X _ { s } ) , e ) \tilde { \mu } ( d e , d s ) , } \\ { Y _ { t } = } & { g ( X _ { T } ) + \int _ { t } ^ { T } f ( s , X _ { t } , Y _ { s } , Z _ { s } , \Gamma _ { s } ) d s - \int _ { t } ^ { T } Z _ { s } d W _ { s } } \\ & { - \int _ { t } ^ { T } \int _ { E } U _ { s } ( e ) \tilde { \mu } ( d e , d s ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\sigma _ { 0 } ^ { T } = \frac { \kappa ^ { 2 } N ^ { 2 } \omega ^ { 3 } } { 3 2 \pi } \coth { \frac { \omega } { 4 T } } = \sigma _ { 0 } ^ { T = 0 } \coth { \frac { \omega } { 4 T } } \, ,
\frac { d ^ { 2 } \sigma _ { B } ^ { \left( h \bar { h } \right) } } { d x d Q ^ { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \xi } { \xi } \rho _ { g } \left( \xi \right) \frac { d ^ { 2 } \hat { \sigma } _ { B } ^ { \left( h \bar { h } \right) } } { d z d Q ^ { 2 } }
\dot { \bar { \mathcal { F } } } ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) = \{ \bar { \mathcal { F } } , \bar { H } \} _ { D } ( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) - \int _ { \Gamma } E ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } ) \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 2 } } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 2 } } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 2 } } } \end{array} \right) ( \mathbf { \Psi } ^ { * } ) = \frac { 1 } { n ^ { * } } \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle \alpha x _ { 0 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { I } ) x _ { 0 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { I } ) x _ { 0 } } \\ { \displaystyle \alpha x _ { 1 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { I } ) x _ { 1 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { I } ) x _ { 1 } } \\ { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) x _ { 2 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) x _ { 2 } } \end{array} \right) } \\ & { = \alpha \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle x _ { 0 } } & { \displaystyle ( 1 - p _ { I } ) x _ { 0 } } & { \displaystyle ( 1 - p _ { I } ) x _ { 0 } } \\ { \displaystyle x _ { 1 } } & { \displaystyle ( 1 - p _ { I } ) x _ { 1 } } & { \displaystyle ( 1 - p _ { I } ) x _ { 1 } } \\ { \displaystyle ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } } & { \displaystyle ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) x _ { 2 } } & { \displaystyle ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) x _ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\frac { U ( z ) } { u _ { \ast } } = \frac { 1 } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) \ \ \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \, l a n g l e u w \rangle = - u _ { \ast } ^ { 2 } = - \left[ \frac { \kappa U ( z ) } { \ln ( z / z _ { 0 } ) } \right] ^ { 2 } \! \! .
\begin{array} { r l } { \mathop { \textrm { m i n i m i z e } } _ { \left\{ M _ { n } , f _ { n } ^ { m d } \right\} } \ \ } & { \mathcal { F } _ { \mathcal { P } _ { \mathcal { N } _ { 0 } } } \triangleq \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 0 } } \mathcal { F } _ { 0 , n } ( { M _ { n } } , { f _ { n } ^ { m d } } ) , } \\ { \textrm { s u b j e c t t o } \ \ \ } & { , \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \boldsymbol { x } _ { 1 } - \boldsymbol { x } _ { 2 } \| } & { = \| \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { 1 } ) - \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { 2 } ) \| \le \| \mathcal { D } \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { t } ) ( \boldsymbol { y } _ { 1 } - \boldsymbol { y } _ { 2 } ) \| } \\ & { = \sqrt { \sum _ { q = 1 } ^ { Q } \left( \mathcal { D } \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { t } ) [ q , \langle Q \rangle ] ( \boldsymbol { y } _ { 1 } - \boldsymbol { y } _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } } \\ & { \le \sqrt { \sum _ { q = 1 } ^ { Q } \| \mathcal { D } \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { t } ) [ q , \langle Q \rangle ] \| ^ { 2 } \| \boldsymbol { y } _ { 1 } - \boldsymbol { y } _ { 2 } \| ^ { 2 } } } \\ & { = \| \mathcal { D } \boldsymbol { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } _ { t } ) \| _ { \mathrm { F } } \| \boldsymbol { y } _ { 1 } - \boldsymbol { y } _ { 2 } \| } \\ & { = \| \left( \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { t } ) \right) ^ { - 1 } \| _ { \mathrm { F } } \| \boldsymbol { y } _ { 1 } - \boldsymbol { y } _ { 2 } \| } \\ & { = | \operatorname* { d e t } ( \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { t } ) ) | ^ { - 1 } \| \mathrm { a d j } ( \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { t } ) ) \| _ { F } \| \boldsymbol { y } _ { 1 } - \boldsymbol { y } _ { 2 } \| , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \bar { { S } } _ { 0 , 0 } ^ { A } } & { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { 0 , A } ^ { A } } \\ { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , 0 } ^ { A } } & { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , A } ^ { A } } \end{array} \right) = \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { 1 } ^ { A } , } \end{array}
p _ { i , i n t } = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { i , i n t } + \epsilon } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \pi _ { i , i n t } ^ { C } > \pi _ { i , i n t } ^ { D } } \\ { p _ { i , i n t } - \epsilon } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \pi _ { i , i n t } ^ { C } < \pi _ { i , i n t } ^ { D } } \end{array} \right.
- \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 7 } ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { 4 } } \int d ^ { 1 0 } X \sqrt { G ^ { \sigma } } R ^ { \sigma } = - \frac { 1 } { L _ { P l } ^ { 8 } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { G ^ { E } } R ^ { E } = - \frac { 1 } { L _ { P l } ^ { 8 } } \int d ^ { 1 0 } x \frac { \sqrt { G } R } { V _ { 5 } } \; ,
\Delta \ \equiv \ \frac { 1 } { 4 } \, \Big [ \, \frac { \xi \, ( \xi N ^ { \prime } ) } { ( \xi A ) \, ( \xi G ) } \ - \ 1 \, \Big ] \ = \, f r a c { 1 } { 4 } \, \frac { \xi ( \xi N ^ { \prime } ) - ( \xi A ) ( \xi G ) } { ( \xi A ) ( \xi G ) } \ \ \ ,
a _ { 1 \sigma } ( E ) = \frac { 2 \sqrt { D } } { i \sqrt { \pi } \Gamma ( \frac { \delta } { 2 } ) } E ^ { - \frac { \gamma } { 2 } } \left( \frac { 2 R _ { 0 } } { w } \right) ^ { 1 - \frac { \delta } { 2 } } K _ { \frac { 3 - \delta } { 2 } } ( w ) ,
\begin{array} { r l } { \sqrt { n b _ { z } } | \tilde { \rho } _ { z } ( t ) - g _ { z } ( t ) | / \hat { \tilde { \Gamma } } _ { z } ( t ) } & { \geq \sqrt { n b _ { z } } | g _ { z } ( t ) - \rho _ { z } ( t ) | / \hat { \tilde { \Gamma } } _ { z } ( t ) - \operatorname* { m a x } _ { z \in \mathbb { B } } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \sqrt { n b _ { z } } | \tilde { \rho } _ { z } ( t ) - \rho _ { z } ( t ) | / \hat { \tilde { \Gamma } } _ { z } ( t ) } \\ & { \geq \lambda _ { n } \log ( n | \mathbb { B } | ) - O _ { \mathbb { P } } ( \log ( n | \mathbb { B } | ) ) \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \eta ( I ( \Omega ) ) \, \mathrm { d } \Omega \right) + \operatorname { d i v } _ { x } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \Omega \eta ( I ( \Omega ) ) \, \mathrm { d } \Omega \right) } & { = \frac { \sigma } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } [ \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ^ { \prime } ) ) - \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ) ) ] I ( \Omega ) \, \mathrm { d } \Omega ^ { \prime } \, \mathrm { d } \Omega , } \end{array}
F \Big ( m _ { N } , H - \sum _ { \ell = 1 } ^ { N - 1 } { U } _ { \ell } \Big ) { \cal A } _ { k } ^ { \dagger } { \cal A } _ { \ell } = F \Big ( m _ { N } , H - \sum _ { \ell = 1 } ^ { N - 1 } { U } _ { \ell } \, + 1 \Big ) { \cal A } _ { \ell } { \cal A } _ { k } ^ { \dagger } .
\begin{array} { r l r } { R } & { : = } & { \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } \bigl ( U ( t ) - V ( t ) \bigr ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } \sum _ { 0 \leq j \leq j _ { \ell } - 2 } f _ { j } ( g _ { j } - 1 ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t + \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } f _ { j _ { \ell } - 1 } ( g _ { j _ { \ell } - 1 } - 1 ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t } \\ & { } & { + \frac { 1 } { | I _ { p } | } \int _ { I _ { p } } \sum _ { j _ { \ell } \leq j \leq n } f _ { j } ( g _ { j } - 1 ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t } \\ & { : = } & { R _ { - } + R _ { 0 } + R _ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \geq } & { \frac { n - 1 } { n \beta e ^ { f } } \sum _ { i = 0 } ^ { 2 n - 1 } ( u _ { i } ( e ^ { f } ) _ { \overline { { i } } } + u _ { \overline { { i } } } ( e ^ { f } ) _ { i } ) } \\ & { - \frac { ( \varphi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \varphi ^ { \prime \prime } } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( \sum _ { k \neq i } \frac { 1 } { \widetilde { \Omega } _ { 2 k 2 k + 1 } } ) ( | u _ { 2 i } | ^ { 2 } + | u _ { 2 i + 1 } | ^ { 2 } ) } \\ & { - ( n - 1 ) \varphi ^ { \prime } + \frac { n - 1 } { n } ( \epsilon \varphi ^ { \prime } - C _ { 1 } \frac { \sum u _ { j } } { \beta } - C _ { 2 } \frac { \sum u _ { \overline { { j } } } } { \beta } ) \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { \prime } } & { { } = x \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) + y \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; } \\ { y ^ { \prime } } & { { } = - x \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) + y \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; } \\ { x ^ { \prime \prime } } & { { } = x \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) - y \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) ; } \\ { y ^ { \prime \prime } } & { { } = - x \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) - y \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) . } \end{array}
H ^ { \frac { 1 } { 8 } } \lambda = e ^ { - i \omega t } r ^ { - \frac { 5 } { 2 } } \left\{ F ( r ) \cdot \Psi _ { - l } + i G ( r ) \cdot ( \frac { \Gamma ^ { 0 } \Gamma ^ { i } x _ { i } } { r } ) \Psi _ { - l } ^ { \pm } \right\}
^ { 5 1 } \mathrm { V } ^ { 1 0 + } , \phantom { \rule { 0.16 em } { 0 ex } } ^ { 5 3 } \mathrm { C r } ^ { 1 1 + } , \phantom { \rule { 0.16 em } { 0 ex } } ^ { 5 5 } \mathrm { M n } ^ { 1 2 + } , \phantom { \rule { 0.16 em } { 0 ex } } ^ { 5 7 } \mathrm { F e } ^ { 1 3 + } , \phantom { \rule { 0.16 em } { 0 ex } } ^ { 5 9 } \mathrm { C o } ^ { 1 4 + } , \phantom { \rule { 0.16 em } { 0 ex } } ^ { 6 1 } \mathrm { N i } ^ { 1 5 + }
\begin{array} { r l } & { - \| \mathbb { E } \{ X ^ { \eta } ( t ) \} \| ^ { 2 } - \| \mathbb { E } \{ X ^ { \xi } ( t ) \} \| ^ { 2 } } \\ & { \le - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { 2 t } \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| ^ { 2 } - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 t } \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } } \\ & { + 3 \lambda _ { 1 } t c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } \end{array}
\hat { O } = \alpha v _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) + ( 1 - \alpha ) v _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] ( \mathbf { r } ) + v _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] ( \mathbf { r } ) .
n _ { i } ( t , \rho , z ) = n _ { 0 } ( t ) \exp \left( - z _ { i } ^ { 2 } / ( 2 \sigma _ { \mathrm { { O D T } } } ^ { 2 } ) \right) \exp \left( - \rho ^ { 2 } / ( 2 \sigma _ { \perp } ^ { 2 } ) \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \delta _ { q k + s } \| - \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } \sum _ { u = s ^ { \prime } } ^ { s - 1 } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + u } ) \| } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \mathbb { E } \mathbb { E } \Bigg ( \sqrt { \| \delta _ { q k + s ^ { \prime } } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } ( s - s ^ { \prime } ) } { B ^ { \prime } } } \Bigg | S _ { 1 : q k + s ^ { \prime } - 1 } \Bigg ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \mathbb { E } \sqrt { \mathbb { E } \Bigg ( \| \delta _ { q k + s ^ { \prime } } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } ( s - s ^ { \prime } ) } { B ^ { \prime } } \Bigg | S _ { 1 : q k + s ^ { \prime } - 1 } \Bigg ) } } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } \mathbb { E } \sqrt { \| \delta _ { q k + s ^ { \prime } - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { B ^ { \prime } } \big ( 1 + \| \nabla f ( w _ { q k + s ^ { \prime } - 1 } ) \| ^ { 2 } \big ) + \frac { \epsilon ^ { 2 } ( s - s ^ { \prime } ) } { B ^ { \prime } } } } \\ & { \overset { ( i v ) } { \le } \mathbb { E } \sqrt { \| \delta _ { q k + s ^ { \prime } - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } ( s - s ^ { \prime } + 1 ) } { B ^ { \prime } } } + \frac { \epsilon } { \sqrt { B ^ { \prime } } } \mathbb { E } \| \nabla f ( w _ { q k + s ^ { \prime } - 1 } ) \| , } \end{array}
U ( t ) = \frac { I _ { 0 } } { C _ { + } } \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( \omega s ) f \left( \frac { s } { \tau } \right) e ^ { \frac { \tau } { \theta _ { + } } \left[ g \left( \frac { s } { \tau } \right) - g \left( \frac { t } { \tau } \right) \right] } d s ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega _ { \mathrm { o n } } } \left| \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } ^ { 2 } \right| \mathrm { d } x \mathrm { d } t } & { \leq } & { { \left\| q _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } } \int _ { 0 } ^ { T } \left\| \rho ( t , \cdot ) - \tilde { \rho } ( t , \cdot ) \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { p l } } ^ { \mathrm { w e i g h t } } = a _ { \mathrm { w } } + b _ { \mathrm { w } } \left( h - h _ { \mathrm { b a l l o o n } } \right) + c _ { \mathrm { w } } \left( h ^ { 2 } - h _ { \mathrm { b a l l o o n } } ^ { 2 } \right) + d _ { \mathrm { w } } \left( h ^ { 3 } - h _ { \mathrm { b a l l o o n } } ^ { 3 } \right) + e _ { \mathrm { w } } \left( h ^ { 4 } - h _ { \mathrm { b a l l o o n } } ^ { 4 } \right) , } \end{array}