harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathbf { q } ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) = - \kappa ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { g r a d } [ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) ] \; \mathrm { a n d } \; \mathbf { q } ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) = - \kappa ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { g r a d } [ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) ] } \end{array}
\mathcal { L } = \int _ { \Omega } \ \left( \frac { 1 } { 2 } \rho \left\vert \left\vert \mathbf { u } \right\vert \right\vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \alpha ( \rho ) \left\vert \left\vert \nabla \phi \right\vert \right\vert ^ { 2 } - \rho \varepsilon ^ { \star } ( \rho , \dot { \phi } ) \right) \ d \Omega ,
I _ { \delta } ^ { 0 } ( p ^ { 2 } ) = 2 \pi ^ { 2 } \int _ { \delta } ^ { \infty } d r \, e ^ { \kappa / r ^ { 2 } } \, r ^ { 3 - 2 n } \, G _ { 0 \, 2 } ^ { 1 \, 0 } ( \frac { p ^ { 2 } r ^ { 2 } } 4 | 0 , - 1 ) ,
\begin{array} { r l } { S _ { \alpha \beta \gamma \sigma } ^ { ( 4 ) } } & { ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) = } \\ & { \left( \frac { \delta _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } \delta _ { \alpha ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } } { x _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } + \rho _ { 0 } ^ { 2 } c _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \times S _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 1 } ) S _ { \beta ^ { \prime } \beta \sigma } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) S _ { \gamma ^ { \prime } \gamma } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 2 } ) } \\ { + } & { \left( \frac { \delta _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } \delta _ { \alpha ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } } { x _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } + \rho _ { 0 } ^ { 2 } c _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \times S _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 1 } ) S _ { \beta ^ { \prime } \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 3 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) S _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 3 } ) } \\ { + } & { \left( \frac { \delta _ { \alpha ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } \delta _ { \alpha ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } } { x _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } + \rho _ { 0 } ^ { 2 } { c } _ { \alpha ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \times S _ { \alpha \alpha ^ { \prime } \beta } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 2 } + \mathbf { k } _ { 3 } , \mathbf { k } _ { 1 } ) S _ { \gamma ^ { \prime } \gamma } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 2 } ) S _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 3 } ) } \\ { - } & { \left( \frac { 2 \delta _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } \delta _ { \alpha ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } \delta _ { \alpha ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } } { x _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { 3 } } - \rho _ { 0 } ^ { 3 } { c } _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) \right) } \\ & { \qquad \times S _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 1 } ) S _ { \beta ^ { \prime } \beta } ^ { ( 2 ) } ( | \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 2 } + \mathbf { k } _ { 3 } | ) S _ { \gamma ^ { \prime } \gamma } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 2 } ) S _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathbf { c o m p r e s s i o n ~ r a t i o } ] } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( \mathbf { c o m p r e s s i o n ~ r a t i o ~ o f ~ } k \mathbf { - r u n } ) \cdot \mathbb { P } [ \mathbf { b i t ~ i s ~ p a r t ~ o f ~ } k \mathbf { - r u n } ] } \end{array}
M _ { P } ^ { 2 } = M _ { d + 4 } ^ { 2 + d } R _ { h } ^ { d } e ^ { \alpha } \simeq M _ { d + 4 } ^ { 2 + d } R _ { c } ^ { d } \exp \left[ \frac { ( d _ { e f f } - 1 ) L } { R _ { h } } \right] \ .
\psi _ { m , k + 1 / 2 , j + 1 / 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { m , k + 1 / 2 , j , R } , } & { \mu _ { m } > 0 , } \\ { \psi _ { m , k + 1 / 2 , j + 1 , L } , } & { \mu _ { m } < 0 \; . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { ( \Delta _ { \perp } + \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \partial _ { z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } v _ { z } = 0 \, , \ } \\ { ( \Delta _ { \perp } + \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \partial _ { z } ^ { 2 } ) T _ { c } = v _ { z } \, , \ } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { A \succeq _ { \mathrm { r e g , 3 } } B \quad \mathrm { i f f } \quad ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( y _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) p _ { i } q _ { j } + ( 1 - \alpha ) \alpha { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( z _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) p _ { i } r _ { j } } \\ & { } & { + ( 1 - \alpha ) \alpha { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( y _ { j } ) - u ( z _ { i } ) ) q _ { j } r _ { i } + \alpha ^ { 2 } { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( z _ { j } ) - u ( z _ { i } ) ) r _ { j } r _ { i } \leq 0 . } \end{array}
b _ { \scriptscriptstyle { l - 1 } } \, a ^ { l } = - \pi ^ { - 2 } \, ( - 1 ) ^ { m } \, i ^ { l } \, e ^ { i \delta _ { \scriptscriptstyle { l } } } \, \Delta _ { \scriptscriptstyle { l } } \, ( 1 + \mathrm { O } ( \Delta _ { \scriptscriptstyle { l } } ^ { 2 } ) ) \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } b | _ { - 1 ^ { + } } + U ( - 1 ) \, b _ { x } | _ { - 1 ^ { + } } + J ( p | _ { - 1 ^ { + } } , b | _ { - 1 ^ { + } } ) } \\ & { } & { = U ^ { \prime } ( - 1 ) p _ { x } | _ { - 1 ^ { + } } - N ^ { 2 } ( - 1 ) \kappa \Delta _ { \perp } p | _ { - 1 ^ { + } } + { \cal D } _ { b } | _ { - 1 ^ { + } } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { \mathrm { p o s i t i v e ~ z e r o ~ c r o s s i n g s } } { \mathrm { s e c o n d } } } = { \frac { \mathrm { n e g a t i v e ~ z e r o ~ c r o s s i n g s } } { \mathrm { s e c o n d } } } } \\ { = } & { f _ { 0 } { \sqrt { \frac { { \mathrm { S N R } } + 1 + { \frac { B ^ { 2 } } { 1 2 f _ { 0 } ^ { 2 } } } } { { \mathrm { S N R } } + 1 } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { x ^ { ( k + 1 ) } } & { = \Pi _ { \mathcal { X } } \left[ \underset { x \in \mathbb { R } ^ { n } } { \mathrm { a r g m i n } } \, L _ { \rho } ( x , y ^ { ( k ) } , z ^ { ( k ) } ) \right] } \\ { y ^ { ( k + 1 ) } } & { = \Pi _ { \mathcal { Y } } \left[ \underset { y \in \mathbb { R } ^ { m } } { \mathrm { a r g m i n } } \, L _ { \rho } ( x ^ { ( k + 1 ) } , y , z ^ { ( k ) } ) \right] } \\ { z ^ { ( k + 1 ) } } & { = z ^ { ( k ) } + \rho ( A x ^ { ( k + 1 ) } + B y ^ { ( k + 1 ) } - c ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d { \boldsymbol { \beta } } } } f } & { = - 2 X ^ { \operatorname { T } } \left( \mathbf { y } - X { \boldsymbol { \beta } } \right) } \\ & { = - 2 { \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - \dots - \beta _ { p } x _ { i p } ) } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i 1 } ( y _ { i } - \dots - \beta _ { p } x _ { i p } ) } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i p } ( y _ { i } - \dots - \beta _ { p } x _ { i p } ) } \end{array} \right] } } \\ & { = \mathbf { 0 } _ { p + 1 } , } \end{array} }
f _ { \alpha } ( { \mathbf { x } } ) = \sum _ { | \beta | \leq m - | \alpha | } { \frac { f _ { \alpha + \beta } ( { \mathbf { y } } ) } { \beta ! } } ( { \mathbf { x } } - { \mathbf { y } } ) ^ { \beta } + R _ { \alpha } ( { \mathbf { x } } , { \mathbf { y } } )
\begin{array} { r l } { 2 \beta \lefteqn { I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } d x } } \\ { \leq } & { \ 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } 2 \left| [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 } ] _ { x } \right| \, | u ^ { k } | ^ { ( p - 1 ) / 2 ) } \ | v ^ { k } | ^ { p + 1 } \, | u ^ { k } - u ^ { j } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } 2 | u ^ { k } | ^ { p - 1 } \left| [ ( v ^ { k } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } \right| \, | v ^ { k } | ^ { ( p + 1 ) / 2 } \, | u ^ { k } - u ^ { j } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } \, | u _ { x } ^ { j } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x + 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } \, | u _ { x } ^ { j } | \ | ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } | d x } \\ & { + 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } 2 | [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 } ] _ { x } | \ | u ^ { k } | ^ { ( p - 1 ) / 2 } \ | v ^ { k } | ^ { p + 1 } \, | u ^ { j } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } 2 | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | [ ( v ^ { k } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } | \ | v ^ { k } | ^ { ( p + 1 ) / 2 } | \ | u ^ { j } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } 2 | [ ( u ^ { k } ) ^ { ( p - 1 ) / 2 ) } ] _ { x } | \ | u ^ { k } | ^ { ( p - 1 ) / 2 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } | u ^ { j } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + 2 \beta \int _ { \mathbb { R } } 2 | u ^ { j } | ^ { p - 1 } \, | [ ( v ^ { j } ) ^ { ( p + 1 ) / 2 } ] _ { x } | \ | v ^ { j } | ^ { ( p + 1 ) / 2 } \ | u ^ { j } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x . } \end{array}
{ { \cal U } _ { a r e a } \left( \{ { \bf r } _ { i } ^ { ( l ) } \} \right) = \frac { 1 } { 2 } \chi A _ { 0 } \left( 1 - \frac { A \left( \{ { \bf r } _ { i } ^ { ( l ) } \} \right) } { A _ { 0 } } \right) ^ { 2 } , }
{ \begin{array} { r l } { { \dot { \theta } } } & { = { \frac { P _ { \theta } } { m \ell ^ { 2 } } } } \\ { { \dot { \varphi } } } & { = { \frac { P _ { \varphi } } { m \ell ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } } \\ { { \dot { P _ { \theta } } } } & { = { \frac { P _ { \varphi } ^ { 2 } } { m \ell ^ { 2 } \sin ^ { 3 } \theta } } \cos \theta - m g \ell \sin \theta } \\ { { \dot { P _ { \varphi } } } } & { = 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { D } _ { \tau } ^ { \alpha } v _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } = \Delta _ { h } u _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } + f _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \Omega _ { h } , ~ ~ 1 \le n \le N - 1 , } \\ & { v _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } = \delta _ { t } u _ { h } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \Omega _ { h } , ~ ~ 1 \le n \le N , } \\ & { u _ { h } ^ { 0 } = \varphi _ { 1 } ( \mathrm { x } _ { h } ) , ~ ~ v _ { h } ^ { 0 } = \varphi _ { 2 } ( \mathrm { x } _ { h } ) , ~ ~ \mathrm { x } _ { h } \in \bar { \Omega } _ { h } . } \end{array}
\mathcal { K } _ { \mathrm { s t a b } } ( \boldsymbol { w } _ { 1 } , \boldsymbol { w } _ { 2 } ; \, \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) : = \nu a ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) + c ( \boldsymbol { w } _ { 1 } ; \, \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) + \mathcal { C } ( \boldsymbol { w } _ { 1 } , \boldsymbol { w } _ { 2 } ; \, \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) + \mathcal { L } ( \boldsymbol { w } _ { 2 } ; \, \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) + \mathcal { J } ( \boldsymbol { w } _ { 1 } , \boldsymbol { w } _ { 2 } ; \, \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \beta ^ { ( c ) } ( z ) = \beta ^ { ( c ) } ( 0 ) - \frac { \epsilon _ { R } \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } } { 5 \epsilon _ { 3 } } \left\{ \ln \left[ \frac { \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } - \eta ^ { ( c ) 2 } ( 0 ) + \eta ^ { ( c ) 2 } ( 0 ) \exp \left( 8 \epsilon _ { 3 } \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } z / 3 \right) } { \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } } \right] \right. } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \left. + \frac { \eta ^ { ( c ) 2 } ( 0 ) } { \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } } - \frac { \eta ^ { ( c ) 2 } ( 0 ) } { \eta ^ { ( c ) 2 } ( 0 ) + \left[ \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } - \eta ^ { ( c ) 2 } ( 0 ) \right] \exp \left( - 8 \epsilon _ { 3 } \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } z / 3 \right) } \right\} . } \end{array}
\widetilde \Pi ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l } { { \widetilde F _ { 0 } ^ { \prime } } } \\ { { \widetilde F _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ { { \widetilde X ^ { 0 } } } \\ { { \widetilde X ^ { 1 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \widetilde X _ { 0 } } } \\ { { \widetilde F _ { 1 } } } \\ { { - \widetilde F _ { 0 } } } \\ { { \widetilde X ^ { 1 } } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l r l } & { \xi ( t ) , } & & { \mathrm { i f ~ } t \in \left[ 0 , T - 2 \left| T - T ^ { \prime } \right| \right) , } \\ & { \xi \left( 2 \left| T - T ^ { \prime } \right| \frac { t - T + 2 | T - T ^ { \prime } | } { T ^ { \prime } - T + 2 | T - T ^ { \prime } | } + T - 2 \left| T - T ^ { \prime } \right| \right) , } & & { \mathrm { i f ~ } t \in \left[ T - 2 \left| T - T ^ { \prime } \right| , T ^ { \prime } \right] , } \end{array}
{ \omega } _ { \gamma _ { i } } \sim { \frac { \rho ^ { 3 } R ^ { d _ { i } } ( \rho d ^ { 4 - d _ { i } } x _ { 0 } + x _ { 0 } d \rho \, d ^ { 3 - d _ { i } } x _ { 0 } ) } { ( \rho ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } , \quad { \Omega } _ { \gamma _ { i } } \sim { \frac { R ^ { d _ { i } } ( 3 \rho ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) x _ { 0 } d ^ { 3 - d _ { i } } x _ { 0 } } { ( \rho ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } , \quad \mathrm { f o r } \, \, x _ { 0 } \rightarrow \infty ,
\left( + \frac { i N _ { c } } { \pi } \right) \left\{ c _ { V } ^ { 2 } \frac { \tilde { p } ^ { \mu } \tilde { p } ^ { \nu } } { p ^ { 2 } } + c _ { A } ^ { 2 } \frac { p ^ { \mu } p ^ { \nu } } { p ^ { 2 } } + \frac { c _ { V } c _ { A } } { p ^ { 2 } } \left( \tilde { p } ^ { \mu } p ^ { \nu } + p ^ { \mu } \tilde { p } ^ { \nu } \right) \right\} .
\mathrm { d } \phi _ { i } ^ { \varepsilon } = \hat { \phi } _ { i } ^ { \varepsilon } ( x ) \xi ^ { \prime } ( x _ { i } ) \mathrm { d } x _ { i } + \xi ( x _ { i } ) \mathrm { d } \chi _ { i } \cdot \left( \frac { \hat { x } \cdot \hat { x } ^ { T } - | | \hat { x } | | ^ { 2 } \mathrm { i d } } { | | \hat { x } | | ^ { 3 } } \right) \mathrm { d i a g } ( | \alpha _ { 1 } | , \dots , | \alpha _ { n } | ) .
\begin{array} { r l } { U ( \Theta ) } & { { } = \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \left\| u _ { \Theta } - u \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \mathbf { u } } } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } \left\| v _ { \Theta } - v \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \mathbf { u } } } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \left\| u _ { \Theta } - u \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \partial } } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 3 } } { 2 \sigma _ { 3 } ^ { 2 } } \left\| v _ { \Theta } - v \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \partial } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } _ { 1 } , \tilde { A } _ { 1 } ) } \\ & { \quad = i \sigma V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \big ( \check { L } _ { b } ( 0 ) - \check { L } _ { b } ( \sigma ) \big ) \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) } \\ & { \quad = \sigma ^ { 2 } \Big ( - i V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \big ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } V _ { b } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { T } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \sum _ { p q } t _ { q } ^ { p } \, \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } } \\ { \hat { T } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \sum _ { p q r s } t _ { r s } ^ { p q } \, \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } \hat { a } _ { q } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } ( 2 - \delta _ { n 0 } ) J _ { n } ( t ) i ^ { n } \Psi _ { n } ( \lambda ) ( 2 - \delta _ { m 0 } ) J _ { m } ( - t ) i ^ { m } \Psi _ { m } ( \lambda ) } & { = } & { 1 } \\ { \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } ( 2 - \delta _ { n 0 } ) ( 2 - \delta _ { m 0 } ) i ^ { m + n } ( - 1 ) ^ { m } J _ { m } ( t ) J _ { n } ( t ) \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \Psi _ { m } ( \lambda ) \Psi _ { n } ( \lambda ) } { \sqrt { 1 - \lambda ^ { 2 } } } d \lambda } & { = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \lambda ^ { 2 } } } d \lambda } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 2 - \delta _ { n 0 } ) ^ { 2 } i ^ { 2 n } ( - 1 ) ^ { n } J _ { n } ^ { 2 } ( t ) ( 1 + \delta _ { n 0 } ) \frac { \pi } { 2 } } & { = } & { \pi } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 2 - \delta _ { n 0 } ) J _ { n } ^ { 2 } ( t ) } & { = } & { 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d n } { d t } } } & { = \frac { J ^ { * } } { { \varepsilon } } \exp \left( \frac { B ^ { * } } { { \varepsilon } ^ { 2 } } ( S - S _ { c } ) \right) } \\ { { \frac { d S } { d t } } } & { = \leavevmode { - D ^ { * } \left( \frac { q } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( S - 1 ) n + S F ^ { * } ( t ) } \, , } \\ { { \frac { d q } { d t } } } & { = \frac { D ^ { * } } { { \varepsilon } } \left( \frac { q } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( S - 1 ) n \, . } \end{array}
q = a \mathrm { 1 } + b \mathrm { i } + c \mathrm { j } + d \mathrm { k } = \alpha + j \beta \leftrightarrow { \left[ \begin{array} { l l } { \alpha } & { - { \overline { { \beta } } } } \\ { \beta } & { { \overline { { \alpha } } } } \end{array} \right] } = Q , \quad q \in \mathbb { H } , \quad a , b , c , d \in \mathbb { R } , \quad \alpha , \beta \in \mathbb { C } .
\begin{array} { r l r } { A _ { N } ( K _ { N } ^ { 2 } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } A _ { N } ^ { * } } & { = } & { U \Sigma _ { n , N } V ^ { * } V ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } V ^ { * } V \Sigma _ { n , N } ^ { * } U ^ { * } } \\ & { = } & { U \Sigma _ { n , N } ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { n , N } ^ { * } U ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau , h } ( t _ { n } ) , \boldsymbol u _ { \tau , h } ( t _ { n } ) ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } ( t _ { n } ) , \boldsymbol v _ { \tau , h } ( t _ { n } ) \rangle + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } ( t _ { n } ) , p _ { \tau , h } ( t _ { n } ) \rangle + 2 Q _ { n } \big ( B _ { \gamma } ( p _ { \tau , h } , p _ { \tau , h } ) \big ) } \\ & { \quad + A _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \chi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle = 0 \, . } \end{array}
\alpha _ { \omega ^ { \prime } \omega } ^ { B } [ f ] , \quad \beta _ { \omega ^ { \prime } \omega } ^ { B * } [ f ] = \pm \sqrt { \frac { \omega } { \omega ^ { \prime } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d u \exp \, [ \mp i \omega u + i \omega ^ { \prime } f ( u ) ] =
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \gamma , \eta } \operatorname* { m a x } _ { \varphi } \ \ \varphi \left( \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] - d \right) + c \mathbf { P } ( U = 1 ) } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 - \varphi ) \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) \le \bar { \kappa } , } \end{array}
\delta \vec { V } _ { \perp } = \frac { V _ { A } } { B _ { 0 } } \sum _ { k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } } \sqrt { \frac { 2 } { N _ { k _ { x } } N _ { k _ { y } } N _ { k _ { z } } } } \frac { \delta B _ { r m s } } { k } ( k _ { y } \hat { x } - k _ { x } \hat { y } ) \cos ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } z + \phi _ { V } ( k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } ) ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { g } { 2 } \frac { d } { d t } \| h \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - g H \left( \frac { \partial h } { \partial x } , u \right) _ { \Omega } = - \left. \left( g H h u + \frac { g U } { 2 } h ^ { 2 } \right) \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } , } \\ & { \frac { d } { d t } \left( \frac { H } { 2 } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { H ^ { 3 } } { 6 } \left\| \frac { \partial u } { \partial x } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \right) + g H \left( u , \frac { \partial h } { \partial x } \right) _ { \Omega } } \\ & { = - \left. \left( \frac { H U } { 2 } u ^ { 2 } + \frac { H ^ { 3 } U } { 6 } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } - \frac { H ^ { 3 } U } { 3 } \left( u \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \right) - \frac { H ^ { 3 } } { 3 } \left( u \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial t } \right) \right) \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } , } \end{array}
\frac { i \hbar } 2 [ \gamma ^ { \mu } , \frac { \partial S _ { H } ^ { - + } } { \partial X ^ { \mu } } ] + \{ \not p - m _ { 0 } , S _ { H } ^ { - + } \} = \{ \Sigma _ { H } ^ { A } ( X ) , S _ { H } ^ { - + } ( X , p ) \}
{ \cal D } S ^ { < } \equiv \Big ( \frac i 2 \partial \! \! \! / + k \! \! \! / - ( m P _ { R } - m ^ { * } P _ { L } ) e ^ { { - \frac i 2 \stackrel { \leftarrow } { \partial } } \cdot \; \partial _ { k } } \Big ) S ^ { < }
B ^ { \mu \nu } ( s ) = - \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \Lambda ^ { s / 4 \pi } ( g ^ { \mu \nu } - \frac { q ^ { \mu } q ^ { \nu } } { q ^ { 2 } } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { \Lambda } d m \; m ^ { - 1 - s / 4 \pi } \ln { ( 1 + \frac { x ( 1 - x ) q ^ { 2 } } { m } ) }
{ \frac { \partial } { \partial { \overline { { z } } } _ { j } } } ( f _ { j } ^ { - 1 } \circ f ) ( z ) = \sum _ { k } { \frac { \partial f _ { j } ^ { - 1 } } { \partial w _ { k } } } ( w ) { \frac { \partial f _ { k } } { \partial { \overline { { z } } } _ { j } } } ( z ) + \sum _ { k } { \frac { \partial f _ { j } ^ { - 1 } } { \partial { \overline { { w } } } _ { k } } } ( w ) { \frac { \partial { \overline { { f } } } _ { k } } { \partial { \overline { { z } } } _ { j } } } ( z )
\begin{array} { r l } { K ( \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { x _ { 1 } } ) = } & { { } \sigma ^ { 2 } \sum _ { j } \alpha ( \mathbf { x _ { 0 } } , \vec { x } _ { j } ) \alpha ( \mathbf { x _ { 1 } } , \vec { x } _ { j } ) } \\ { \approx } & { { } \frac { \sigma ^ { 2 } } { V _ { s } } \int \alpha ( \mathbf { x _ { 0 } } , \vec { x } ) \alpha ( \mathbf { x _ { 1 } } , \vec { x } ) d \vec { x } } \\ { = } & { { } \frac { \sigma ^ { 2 } } { V _ { s } } \int e ^ { \left( \mathbf { x _ { 0 } } - \vec { x } \right) ^ { T } \Sigma ^ { - 1 } \left( \mathbf { x _ { 0 } } - \vec { x } \right) } e ^ { \left( \mathbf { x _ { 1 } } - \vec { x } \right) ^ { T } \Sigma ^ { - 1 } \left( \mathbf { x _ { 1 } } - \vec { x } \right) } d \vec { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \hat { b } _ { \mathrm { i n } } } ^ { r / b } ( \omega ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i g _ { r } \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } & { \mathrm { f o r ~ r e d ~ p u m p i n g } } \\ { i g _ { b } \hat { b } _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \omega ) } & { \mathrm { f o r ~ b l u e ~ p u m p i n g . } } \end{array} \right. } \end{array}