harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } } & { { } = \alpha _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) } + \alpha _ { 2 } e ^ { \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } } \\ { g _ { 3 } } & { { } = \alpha _ { 3 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } + \alpha _ { 4 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } } \\ { f _ { 0 } } & { { } = \beta ; \quad \ f _ { 2 } = \beta _ { 2 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } + \beta _ { 3 } e ^ { \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } } \\ { f _ { 4 } } & { { } = \beta _ { 6 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ^ { * } ( \xi , \tau ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { r } } & { { } = \frac { \Delta t } { 2 } \left( s _ { r } ^ { n } + s _ { r } ^ { n + 1 } \right) } \\ { S _ { v } } & { { } = \frac { \Delta t } { 2 } \left( s _ { v } ^ { n } + s _ { v } ^ { n + 1 } \right) = \frac { \Delta t } { 2 } \left[ \frac { ( \rho E _ { v } ^ { M } ) ^ { n } - ( \rho E _ { v } ) ^ { n } } { Z _ { v } \tau } + \frac { ( \rho E _ { v } ^ { M } ) ^ { n + 1 } - ( \rho E _ { v } ) ^ { n + 1 } } { Z _ { v } \tau } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbb { B } } } _ { \Omega _ { 0 } } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { 0 } } } \end{array} \right) \overline { { \mathbb { B } } } _ { \Omega _ { 0 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { 0 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } _ { \alpha } = } & { ~ \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } , } \\ { \breve { e } _ { \alpha } = } & { ~ e _ { \alpha } - \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } - \gamma _ { \alpha } ( \epsilon _ { \alpha } - \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 ) . } \end{array}
\theta = \left\lbrace \begin{array} { l l } { \operatorname { a r c c o s } ( B _ { R } / B ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ B _ { T } > 0 , } \\ { - \operatorname { a r c c o s } ( B _ { R } / B ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ B _ { T } < 0 . } \end{array} \right.
\prod _ { A } { \big ( } 1 + ( f g ) ( x ) \, d \mu ( x ) { \big ) } \neq \prod _ { A } { \big ( } 1 + f ( x ) \, d \mu ( x ) { \big ) } \prod _ { A } { \big ( } 1 + g ( x ) \, d \mu ( x ) { \big ) } .
W = \left( { \frac { T _ { \mathrm { H } } - T _ { \mathrm { C } } } { T _ { \mathrm { H } } } } \right) Q _ { \mathrm { H } } = \left( 1 - { \frac { T _ { \mathrm { C } } } { T _ { \mathrm { H } } } } \right) Q _ { \mathrm { H } }
\frac { 1 } { k _ { \mathrm { B } } } \frac { d _ { \mathrm { i } } S } { d t } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \sum _ { l = 1 } ^ { n ( t ) } \ln \frac { W _ { \rho _ { l } } ( X _ { l } ) } { W _ { - \rho _ { l } } ( X _ { l } + \nu _ { \mathrm { X } \rho _ { l } } ) } \, ,
( n + 2 ) ^ { 2 } b _ { n + 2 } = \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 b ^ { 2 } } b _ { n + 1 } - \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( k + 1 ) ( - 1 ) ^ { n - k } ( \frac { 1 } { 2 ^ { n - k + 1 } } - 1 ) b _ { k + 1 } + \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { n - k } b _ { k } ( \frac { 1 } { 2 ^ { n - k + 1 } } - 2 ) .
\begin{array} { r l } { f _ { t + h } } & { = \frac { 1 - e ^ { - h \nu } } { h \nu } \left( \frac { h \nu e ^ { - h \nu } } { 1 - e ^ { - h \nu } } f _ { t } + ( 1 - B ) f ^ { M } \right) + ( 1 - A ) f ^ { M } } \\ & { = e ^ { - h \nu } f _ { t } + ( A - e ^ { - h \nu } + 1 - A ) f ^ { M } } \\ & { = e ^ { - h \nu } f _ { t } + ( 1 - e ^ { - h \nu } ) f ^ { M } . } \end{array}
\phi _ { K ^ { * } } = \frac { f _ { K ^ { * } } } { \sqrt { 6 } } \frac { 1 5 } { 4 } ( 1 - \xi ^ { 2 } ) * [ 0 . 2 6 7 ( 1 - \xi ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 0 . 0 1 7 + 0 . 2 1 \xi ^ { 3 } + 0 . 0 7 \xi ] \; ,
\begin{array} { r l r } { S _ { s i g } [ \omega , P _ { p } ] } & { { } } & { \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \ e ^ { i \omega \tau } \langle a _ { s i g } ^ { \dag } ( t + \tau ) a _ { s i g } ( t ) \rangle } \end{array}
G ( p _ { T } ^ { c , \ast } , { \overline { { { p _ { T } ^ { c , \ast } } } } } , \delta p _ { T } ^ { c , \ast } ) = { \frac { 1 } { \delta p _ { T } ^ { c , \ast } \ \sqrt { \pi } } } \ e ^ { { \frac { - 2 ( p _ { T } ^ { c , \ast } - { \overline { { { p _ { T } ^ { c , \ast } } } } } ) ^ { 2 } } { ( \delta p _ { T } ^ { c , \ast } ) ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \bf ~ E } \left[ D \! \! \left. \left. \left. \left( p _ { \tilde { K } ^ { m _ { 1 } } \tilde { K } ^ { m _ { 2 } } | M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } } \right| \right| p _ { V _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } V _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } } \right| p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } \right) \right] } \\ & { \leq \Theta ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) . } \end{array}
P ( \varepsilon , \xi ; k ) = P _ { 0 } ( k ) \left( 1 - \xi \left( { \frac { k } { k _ { n } } } \right) ^ { - \varepsilon } \sin \left[ { \frac { 2 } { \xi } } \left( { \frac { k } { k _ { n } } } \right) ^ { \varepsilon } \right] \right) .
\hat { A } _ { \gamma } ^ { ( n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } ) } ( 0 ) \equiv ( i z \cdot D ) ^ { n _ { 1 } } u ( 0 ) [ C \, \gamma _ { 5 } \, \gamma _ { \mu } \, z _ { \mu } ] ( i z \cdot D ) ^ { n _ { 2 } } u ( 0 ) \, ( i z \cdot D ) ^ { n _ { 3 } } d _ { \gamma } ( 0 ) \; ,
\gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } = - \frac 1 2 \int \int \int _ { V } \left( \nabla _ { R } \cdot \frac { \left( \vec { R } - i \frac 1 2 \vec { \Gamma } \right) } { \left[ \left( \vec { R } - i \frac 1 2 \vec { \Gamma } \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac 3 2 } } \right) d V ,
\begin{array} { r } { \mathbf { w } _ { \tau ^ { \prime } } + \mathbf { w } _ { \tau } - \mathbf { w } _ { \sigma } = } \\ { \frac { 1 } { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \left( \tau ^ { - 1 } ( j ) - 1 + \tau ^ { - 1 } ( j ) - \sigma ^ { - 1 } ( j ) \right) \rho ( \mathbf { b } _ { j } ^ { k } \mathbf { c } _ { j } ) } \\ { = - \frac { 1 } { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \rho ( \mathbf { b } _ { j } ^ { k } \mathbf { c } _ { j } ) = 0 \mod \rho ( \Gamma _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( Q ( f , f ) , g \right) } & { = } & { \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \left( \frac { f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - \frac { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) g _ { \alpha , i } \, d A _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } } \\ & { = } & { \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \left( \frac { f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - \frac { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) g _ { _ { \beta , j \ast } } \, d A _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } } \\ & { = } & { - \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \left( \frac { f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - \frac { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) g _ { \alpha , k } ^ { \prime } \, d A _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } } \\ & { = } & { - \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \left( \frac { f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - \frac { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) g _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \, d A _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } } \end{array}
\mu _ { j , \mathrm { r e f } } ( \mathbf { r } ) = \mu _ { j } ^ { 1 } [ \mathrm { S S T } _ { \mathrm { r e f } } ( \mathbf { r } ) ] \mu _ { j } ^ { 2 } [ \mathrm { L S F } _ { \mathrm { r e f } } ( \mathbf { r } ) ] .
\bar { v } ( k , \lambda ) \, H _ { \mu ^ { \prime } \mu } ^ { M ( q ) } ( - k , - k ^ { \prime } ) \, v ( k ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) \, = \, \kappa _ { M } \, { \cal H } _ { \mu ^ { \prime } \lambda ^ { \prime } , \, \mu \lambda } ^ { M ( q ) } \, ,
\begin{array} { r } { \hat { F } ^ { 2 } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \log z _ { i } - \hat { G } ) ^ { 2 } , \qquad \hat { G } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log z _ { i } . } \end{array}
{ \hat { F } [ L , ~ f ] } ~ = ~ \alpha ^ { - \sigma [ L , ~ f ] } ~ \sum _ { \{ j _ { i } \} } ~ ~ \mu _ { j _ { 1 } } ~ \mu _ { j _ { 2 } } ~ . . . . ~ \mu _ { j _ { r } } ~ V [ L ; ~ n _ { 1 } , ~ n _ { 2 } , ~ . . . ~ n _ { r } ; ~ j _ { 1 } , ~ j _ { 2 } , ~ . . . . ~ j _ { r } ]
\begin{array} { r l } { f : } & { = 6 x ^ { 2 } + 8 x y + 3 y ^ { 2 } + 4 x z + 3 y z + z ^ { 2 } , } \\ { g : } & { = 8 x ^ { 3 } + 1 6 x ^ { 2 } y + 1 0 x y ^ { 2 } + 2 y ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } z + 1 0 x y z + 3 y ^ { 2 } z + 2 x z ^ { 2 } + y z ^ { 2 } , } \\ { h : } & { = 3 x ^ { 4 } + 8 x ^ { 3 } y + 7 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } + 4 x ^ { 3 } z + 7 x ^ { 2 } y z + 3 x y ^ { 2 } z + x ^ { 2 } z ^ { 2 } + x y z ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \operatorname { K e r } \phi ( \lambda , n \omega _ { 1 } ) \leq } & { \dim V ( \lambda + n ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) ) + \sum _ { i = \operatorname* { m a x } \{ 0 , n - \lambda _ { 2 } \} } ^ { n - 1 } \dim V ( \lambda - \omega _ { 2 } - i \omega _ { 1 } - ( n - 1 - 2 i ) \omega _ { 2 } ) ) } \\ { \leq } & { \dim V ( \lambda + n ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) ) + \dim \operatorname { K e r } \phi ( \lambda - \omega _ { 2 } , ( n - 1 ) \omega _ { 1 } ) } \end{array}
h \left( t , \frac { { D _ { B } } ^ { \frac 1 2 } } { \mu } \right) = \sum _ { n } e ^ { - t \frac { \lambda _ { n } ^ { 1 / 2 } } \mu } = T r \left( e ^ { - \frac t \mu D _ { B } ^ { 1 / 2 } } \right) \qquad .
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ^ { \mathrm { B S V } } ( \mu , \sigma _ { 1 } ; x ) = } & { e ^ { - \frac { x } { 2 \mu } - \frac { a ^ { 2 } } 4 } \sqrt { \frac { | a | } { 1 6 \mu \sigma _ { 1 } } } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { a ^ { 2 } } { 4 } \right) + I _ { - \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { a ^ { 2 } } { 4 } \right) , } & { x > \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mu } } \\ { \frac { \sqrt 2 } { \pi } K _ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { a ^ { 2 } } { 4 } \right) , } & { x < \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mu } } \end{array} \right. } \\ { f _ { 1 } ^ { \mathrm { B S V } } \left( \mu , \sigma _ { 1 } ; \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mu } \right) = } & { \frac { \sqrt [ 4 ] { 2 } \Gamma \left( \frac { 5 } { 4 } \right) e ^ { - \left( \frac { \sigma _ { 1 } } { 2 \mu } \right) ^ { 2 } } } { \pi \sqrt { \mu \sigma _ { 1 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { b = t _ { \mathrm { R } } \left[ \frac { \omega _ { + } ^ { \prime } - \omega _ { - } ^ { \prime } } { 2 } - \frac { \omega _ { + } - \omega _ { - } } { 2 } - \frac { D _ { \mathrm { i n t } } ( p ) - D _ { \mathrm { i n t } } ( - p ) } { 2 } \right] . } \end{array}
\boldsymbol { q } = \{ h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \boldsymbol { j } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , \boldsymbol { \mathcal { B } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \} \ .
\begin{array} { r l r } { f _ { u l } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi \nu _ { i } } { 3 c \, r _ { e } \hbar \, g _ { i } ( n _ { i } ^ { \prime } ) } \sum _ { { \bf n } _ { i } , { \bf n } _ { i } ^ { \prime } } \langle \, { \bf n } _ { i } ] \, { \bf M } _ { i } | \, { \bf n } _ { i } ^ { \prime } \, \rangle \cdot \langle \, { \bf n } _ { i } ^ { \prime } \, | { \bf M } _ { i } | \, { \bf n } _ { i } \, \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | ( [ 0 ] ) } & { = \mathsf { G p d } ( 1 , | A | ) } \\ & { = \mathsf { G p d } \left( 1 , \int ^ { v \in \mathsf { W e i l } _ { 1 } } A ( v ) \bullet \partial v \right) } \\ & { = \int ^ { v } A ( v ) \times \mathsf { G p d } ( 1 , \partial v ) } \\ & { = \int ^ { v } A ( v ) \times D ^ { v } = A ( R ) . } \end{array}
\sigma _ { i n t } = \frac { \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { \ell , m _ { \ell } } \sum _ { \ell ^ { \prime } , m _ { \ell } ^ { \prime } } T _ { m _ { 1 A } m _ { 2 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } T _ { m _ { 2 A } m _ { 1 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } ^ { * } ,
S _ { 1 } ( m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } , 0 ) = + \frac { 1 } { 4 } - \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } \ln { m _ { 1 } } - m _ { 2 } ^ { 2 } \ln { m _ { 2 } } } { 2 ( m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) } \ .
\frac { d I } { d \omega } = \frac { 2 \alpha } { \pi } \left[ J _ { 5 } ^ { ( 2 ) } + \frac { T _ { c } } { 3 } \left( 1 + \frac { 1 } { 6 L _ { 1 } } \right) \cos ( \kappa T ) \right]
\begin{array} { l l } { { [ \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ] \phi ^ { I } } } & { { = 2 i \overline { { { \epsilon } } } _ { 1 } ^ { i } \gamma ^ { \mu } \epsilon _ { 2 i } \partial _ { \mu } \phi ^ { I } } } \\ { { } } & { { + a \frac { 3 } { 2 } \overline { { { \epsilon } } } _ { 2 } ^ { i } \left( \sigma ^ { I } { \sigma ^ { J } } ^ { \dagger } M - M \sigma ^ { J } { \sigma ^ { I } } ^ { \dagger } \right) _ { i j } \epsilon _ { 1 j } \phi ^ { J } } } \\ { { } } & { { + a \mu \overline { { { \epsilon } } } _ { 2 } ^ { i } \left( \sigma ^ { I } M ^ { \star } { \sigma ^ { J } } ^ { \dagger } - \sigma ^ { J } M ^ { \star } { \sigma ^ { I } } ^ { \dagger } \right) _ { i j } \epsilon _ { 1 j } \phi ^ { J } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { H } } & { = \langle M _ { \phi _ { 1 } } \rangle + \lvert \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \phi _ { 2 } } \\ & { = \langle \frac { 1 } { \theta _ { 1 } } ( D _ { \phi _ { 1 } } - \theta _ { 2 } L _ { \phi _ { 1 } } ) \rangle + \lvert \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \phi _ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { \theta _ { 1 } } [ ( D _ { \phi _ { 1 } } - \theta _ { 2 } \lvert L _ { \phi _ { 1 } } \rvert ) + \theta _ { 1 } \lvert \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \theta _ { 1 } \phi _ { 2 } ] } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ t ~ i ~ c ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 0 } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ e ~ d ~ } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { M } ( \omega ) } & { \widetilde { J } ( \omega ) } \\ { \widetilde { J } ( \omega ) } & { \widetilde { I } ( \omega ) } \end{array} \right] \, ,
V _ { \beta } ( \phi ) = V _ { 0 } ( \phi ) + \frac { N } { 2 } ( L F _ { \beta } ( \phi ) _ { R } ) _ { D = 4 } - \frac { \lambda _ { 0 } N } { 4 ! } ( F _ { \beta } ( \phi ) _ { R } ) _ { D = 4 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { a _ { 1 1 } = } & { { } \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \Omega ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \Omega ^ { 4 } + \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \Omega ^ { 6 } + \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } , } \\ { a _ { 1 2 } = } & { { } \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } , \; \; a _ { 2 1 } = - \left( \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } \right) , } \\ { a _ { 2 2 } = } & { { } - \left( \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \Omega ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \Omega ^ { 4 } + \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \Omega ^ { 6 } + \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } } & { { } = \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \frac { 1 } { z ^ { 1 + M } } \prod _ { i < j } \biggl ( \sum _ { A _ { i j } \in \{ 0 , 1 \} } z ^ { A _ { i j } } \biggr ) = \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \frac { ( 1 + z ) ^ { \binom { N } { 2 } } } { z ^ { 1 + M } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { { f } _ { \mathrm { u p } , \omega } ^ { \mathrm { M Z I } } = \sigma _ { \mathrm { d x } } { f } _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ( 1 ) } } + i \kappa _ { \mathrm { d x } } { f } _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ( 2 ) } } , } \\ { { f } _ { \mathrm { l o } , \omega } ^ { \mathrm { M Z I } } = \left[ i \kappa _ { \mathrm { d x } } { f } _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ( 1 ) } } + \sigma _ { \mathrm { d x } } { f } _ { - , \omega } ^ { \mathrm { ( 2 ) } } \right] e ^ { i \Delta \phi } \ , } \end{array} \right. } \end{array}
L ( l ^ { \prime } , l ) \approx ( 2 l ^ { \prime } / l ) ^ { - \frac { \Lambda } { \lambda _ { 0 } } } K ( l ^ { \prime } , l ) \left[ 1 + \frac { \Lambda } { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } \log ( 2 l ^ { \prime } / l ) \int \left( \lambda - \lambda _ { 0 } \right) p ( \lambda ) d \lambda \right. \left. + \frac { 1 } { 2 } \frac { \Lambda } { \lambda _ { 0 } ^ { 3 } } \log ( 2 l ^ { \prime } / l ) \left( \frac { \Lambda } { \lambda _ { 0 } } \log ( 2 l ^ { \prime } / l ) - 2 \right) \int ( \lambda - \lambda _ { 0 } ) ^ { 2 } p ( \lambda ) d \lambda \right] \ .
\frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } = u \left( 1 - \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } \right) - \lambda v \, , \quad \frac { \mathrm { d } v } { \mathrm { d } t } = v \left( 1 - \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } \right) + \lambda u ,
\begin{array} { r l } { V a r ^ { * } ( A _ { 3 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) } & { = E ^ { * } \left( E ^ { * } ( ( A _ { 3 , K , I , n } ^ { * } ) ^ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } ) | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ & { = \sum _ { i = K + 1 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \left( \prod _ { h = i } ^ { j - 1 } \widehat f _ { h , n } \right) \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( \widehat f _ { l , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { l , n } ^ { 2 } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - j + 1 } C _ { k , l } } \right) \right) . } \end{array}
\tau _ { 0 } = p _ { 0 } \eta ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, , \tau _ { 1 } = 3 p _ { 1 } \eta ^ { 2 } ( 1 - \eta ) \langle k _ { \Delta } \rangle \, , \tau _ { 2 } = 3 p _ { 2 } \eta { ( 1 - \eta ) } ^ { 2 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, , \tau _ { 3 } = p _ { 3 } { ( 1 - \eta ) } ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \textstyle \operatorname { V a r } \partial _ { \hat { U } _ { j } } \sum _ { i } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle } & { \textstyle = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { j } \operatorname { A v g } \operatorname { T r } ( \hat { g } _ { i } ^ { \dag } \hat { g } _ { i } ) } \\ & { \textstyle = 2 \operatorname { T r } ( \hat { h } ^ { 2 } ) \, \frac { 1 } { d ( m ^ { 2 } d + 1 ) } \, \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \eta ^ { n } + \mathcal { O } ( \eta ^ { j } ) + \mathcal { O } ( \eta ^ { L - j } ) . } \end{array}
\Lambda _ { i } ^ { \pm } \equiv q _ { i i } ^ { \frac { H _ { i } } { 4 } } e ^ { \pm { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { j , k } t _ { i k } a ^ { k j } H _ { j } + \sum _ { \alpha } v _ { i \alpha } H _ { \alpha } \right) } .
\begin{array} { r } { N [ \widehat { L } _ { a } , \widehat { L } _ { b } ] = \int _ { \widehat { L } _ { a } } ^ { \widehat { L } _ { b } } S [ \widehat { L } , \widehat { L } _ { b } ] d M ( \widehat { L } ) = \int _ { \widehat { L } _ { a } } ^ { \widehat { L } _ { b } } ( S ( \widehat { L } _ { b } ) - S ( \widehat { L } ) ) m ( \widehat { L } ) d \widehat { L } = \int _ { \widehat { L } _ { a } } ^ { \widehat { L } _ { b } } M [ \widehat { L } _ { a } , \widehat { L } ] d S ( \widehat { L } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \textrm { D C } } } & { { } = \Lambda ^ { + } ( \hat { H } _ { \textrm { D } } + \hat { H } _ { \textrm { C } } ) \Lambda ^ { + } , } \\ { \hat { H } _ { \textrm { D C B } } } & { { } = \Lambda ^ { + } ( \hat { H } _ { \textrm { D } } + \hat { H } _ { \textrm { C } } + \hat { H } _ { \textrm { B } } ) \Lambda ^ { + } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } \hat { a } _ { C } \rangle } & { = i \, A _ { C } ^ { < } ( t , t ) } \\ & { = i \int \frac { d E } { 2 \pi } \, A _ { C } ^ { r } ( E ) \, \Sigma _ { A } ^ { < } ( E ) \, A _ { C } ^ { a } ( E ) } \\ & { \overset { \delta \to 0 + } { \longrightarrow } \kappa \, \frac { P } { \omega _ { L } } \, A _ { C } ^ { r } ( \omega _ { L } ) \, A _ { C } ^ { a } ( \omega _ { L } ) } \end{array}
{ \frac { m _ { t } } { 4 \pi v } } { \frac { m _ { b } V _ { t s } } { ( 4 \pi v ) ^ { 2 } } } \bar { b } _ { R } \sigma ^ { \mu \nu } s _ { L } { \frac { e } { 2 } } f _ { \mu \nu } \, .
\begin{array} { r l } { E _ { p } ( t ) } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { N } { \sqrt { I _ { p } } \exp \left[ - \frac { ( t - m \Delta \tau ) ^ { 2 } } { ( v _ { p } / 2 ) ^ { 2 } } \ln 2 \right] \cos ( \omega _ { p } ( t - m \Delta \tau ) - m \phi ) } } \\ { E _ { s } ( t ) } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { N } { \sqrt { I _ { s } } \exp \left[ - \frac { ( t - m \Delta \tau ) ^ { 2 } } { ( v _ { s } / 2 ) ^ { 2 } } \ln 2 \right] \cos ( \omega _ { s } ( t - m \Delta \tau ) + m \phi ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { { } = \left\{ \omega _ { g } ^ { \textbf { k } ( t ) } + \textbf { F } ( t ) \cdot \left[ \mathbf { \Lambda } _ { c } ^ { \textbf { k } ( t ) } - \mathbf { \Lambda } _ { v } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] \right\} \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } \\ { i \partial _ { t } \rho _ { c c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { { } = \textbf { F } ( t ) \cdot \left\{ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \left[ \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right] ^ { * } - \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right\} , } \\ { i \partial _ { t } \rho _ { v v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { { } = - \textbf { F } ( t ) \cdot \left\{ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \left[ \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right] ^ { * } - \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { ( x , t ) \in \Gamma ( 3 \delta ) } \left| \partial _ { x } ^ { m } \partial _ { t } ^ { n } \partial _ { \rho } ^ { l } \left( \varphi ( \pm \rho , x , t ) - \varphi ^ { \pm } ( x , t ) \right) \right| } & { { } \leq C e ^ { - \alpha \rho } , } \end{array}
\qquad t _ { F } ^ { \theta } = \frac { m } { 3 2 \pi n ^ { 2 } \left[ a _ { \mathrm { 1 2 } } + \sqrt { d _ { \mathrm { 1 } } d _ { \mathrm { 2 } } } ( 3 \cos ^ { 2 } ( \theta ) - 1 ) \right] ^ { 4 } } .
\widehat { M } ^ { ( f ) } = \frac { 1 } { 2 9 } \left( \begin{array} { c c c } { { \mu ^ { ( f ) } \varepsilon ^ { ( f ) \, 2 } } } & { { 2 \alpha ^ { ( f ) } e ^ { i \varphi ^ { ( f ) } } } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 2 \alpha ^ { ( f ) } e ^ { - i \varphi ^ { ( f ) } } } } & { { 4 \mu ^ { ( f ) } ( 8 0 + \varepsilon ^ { ( f ) \, 2 } ) / 9 } } & { { 8 \sqrt { 3 } ( \alpha ^ { ( f ) } - \beta ^ { ( f ) } ) e ^ { i \varphi ^ { ( f ) } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 8 \sqrt { 3 } ( \alpha ^ { ( f ) } - \beta ^ { ( f ) } ) e ^ { - i \varphi ^ { ( f ) } } } } & { { 2 4 \mu ^ { ( f ) } ( 6 2 4 + 2 5 C ^ { ( f ) } + \varepsilon ^ { ( f ) \, 2 } ) / 2 5 } } \end{array} \right) \; ,