harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { p } ( K _ { 0 } ) \hookrightarrow H _ { p } ( K _ { 0 , 1 } ) \hookleftarrow H _ { p } ( K _ { 1 } ) \hookrightarrow H _ { p } ( K _ { 1 , 2 } ) \hookleftarrow H _ { p } ( K _ { 2 } ) \hookrightarrow \ldots \hookleftarrow H _ { p } ( K _ { { n - 1 } } ) \hookrightarrow H _ { p } ( K _ { { n - 1 } , { n } } ) \hookleftarrow H _ { p } ( K _ { n } ) .
\begin{array} { l } { D = 5 . 5 0 - 1 . 7 9 \zeta - 4 . 6 5 A ^ { 2 } } \\ { \gamma = - 0 . 8 1 + 6 . 2 0 \zeta - 3 . 4 4 \zeta ^ { 2 } , } \\ { \delta = - 1 2 . 0 8 + 2 0 . 8 2 \zeta - 7 . 7 4 \zeta ^ { 2 } + 0 . 3 4 A ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | c _ { 0 } | ^ { 2 } } & { { } \rightarrow } & { \left[ 1 - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 8 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 8 } \cos ( 4 \pi / \epsilon + \pi \epsilon / 2 ) \right] | c _ { 0 } | ^ { 2 } , } \\ { | c _ { 1 } | ^ { 2 } } & { { } \rightarrow } & { \left[ 1 - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \cos ( \pi / \epsilon - \pi \epsilon / 2 ) \right] | c _ { 1 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z M _ { 0 1 } ( z ) ( z M _ { 1 1 } ( z ) ) ^ { - 1 } } & { = \epsilon _ { 0 1 } ( z ) ( \epsilon _ { 1 1 } ( z ) + z ^ { - 1 } \sigma _ { 1 1 } ) ^ { - 1 } 1 _ { \{ | z | > r \} } ( z ) } \\ & { \quad + z \epsilon _ { 0 1 } ( z ) ( z \epsilon _ { 1 1 } ( z ) + \sigma _ { 1 1 } ) ^ { - 1 } 1 _ { \{ | z | \le r \} } ( z ) } \\ & { \quad + \sigma _ { 0 1 } ( z \epsilon _ { 1 1 } ( z ) + \sigma _ { 1 1 } ) ^ { - 1 } } \end{array}
\mathcal { L } _ { d } ( \theta ) = \lambda \frac { 1 } { N _ { r } \times N _ { f } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { r } \times N _ { f } } \left| D \left( x _ { j } , \omega _ { j } \right) - D _ { \theta } \left( x _ { j } , \omega _ { j } \right) \right| _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 n F _ { a , b } ( c , - \frac { c } { b } ) - F _ { a , b } ( c , u ) = 2 \pi , ~ n ~ \textrm { o d d } , ~ \varepsilon < \frac { \pi } { 2 } } \\ & { } & { 2 n F _ { a , b } ( c , - \frac { c } { b } ) + F _ { a , b } ( c , u ) = 2 \pi , ~ n ~ \textrm { o d d } , ~ \varepsilon \geq \frac { \pi } { 2 } } \\ & { } & { 2 n F _ { a , b } ( c , - \frac { c } { b } ) - F _ { a , b } ( c , u ) = 2 \pi , ~ n ~ \textrm { e v e n } , ~ \varepsilon > \frac { \pi } { 2 } } \\ & { } & { 2 n F _ { a , b } ( c , - \frac { c } { b } ) + F _ { a , b } ( c , u ) = 2 \pi , ~ n ~ \textrm { e v e n } , ~ \varepsilon \leq \frac { \pi } { 2 } } \end{array}
u [ a ] ( r ) = \frac { 2 \pi } { r a ( r ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { \prime } f ( r ^ { \prime } ) \left( e ^ { - a ( r ) | r - r ^ { \prime } | } - e ^ { - a ( r ) ( r + r ^ { \prime } ) } \right) \, d r ^ { \prime } \ .
\begin{array} { r l } { J _ { A } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega J _ { A } ( \omega ) } \\ & { = \frac { 4 \alpha } { 3 \pi c ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \hbar \omega } { 2 \pi } \omega \Theta ( e V - \hbar \omega ) \int _ { \mu _ { R } + \hbar \omega } ^ { \mu _ { L } } \frac { d E } { 2 \pi } j _ { A } ( E , E ^ { - } ) } \end{array}
\rho _ { \pi } ( s , s ^ { \prime } ) = { \frac { 3 } { 3 2 } } { \frac { f _ { B } f _ { B _ { 0 } ^ { \prime } } g ^ { \prime } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } } { \frac { m _ { B } ^ { 2 } } { m _ { b } + m _ { q } } } ( 1 - { \frac { m _ { B } ^ { 2 } } { s ^ { \prime } } } ) \delta ( s - m _ { B _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } } & { = \frac { 2 b ^ { + } b ^ { - } ( u ^ { + } - u ^ { - } ) } { \sqrt { \pi \Delta t } ( b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } ) } + \frac { b ^ { + } b ^ { - } ( \sqrt { a ^ { + } } u _ { \xi } ^ { + } + \sqrt { a ^ { - } } u _ { \xi } ^ { - } ) } { ( b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } ) } . } \end{array}
\rho _ { p + 1 } = { \frac { 1 } { ( p + 1 ) ! } } ( \tau _ { 3 } ^ { ( p - 1 ) / 2 } \tau _ { 1 } ) \psi ^ { p + 1 } + { \frac { 1 } { ( p - 1 ) ! } } ( \tau _ { 3 } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \tau _ { 1 } ) { \cal { F } } \psi ^ { p - 1 } \quad .
E _ { \textrm { M F } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { h ^ { 2 } } { J } + J } & { \forall ( - \frac { h } { J } ) < 1 } \\ { - 2 h } & { \forall ( - \frac { h } { J } ) \ge 1 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { \vec { p } _ { k } ^ { \; c m } } & { { } = } & { \vec { p } _ { k } + \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } \, ( \gamma - 1 ) \, ( \vec { p } _ { k } \cdot \vec { \beta } ) \, \vec { \beta } - \gamma \, \vec { \beta } \, p _ { k } ^ { 0 } } \\ { \vec { p } _ { l } ^ { \; c m } } & { { } = } & { \vec { p } _ { l } + \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } \, ( \gamma - 1 ) \, ( \vec { p } _ { l } \cdot \vec { \beta } ) \, \vec { \beta } - \gamma \, \vec { \beta } \, p _ { l } ^ { 0 } } \end{array}
\Theta ( D _ { e } ; D _ { \bar { e } } ) = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d l ^ { \prime } \frac { d f ( D _ { e } ^ { \kappa } l ^ { \prime } ) } { d l ^ { \prime } } f ( D _ { \bar { e } } ^ { \kappa } l ^ { \prime } ) = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \frac { d f ( z ) } { d z } f \left( \left( \frac { D _ { \bar { e } } } { D _ { e } } \right) ^ { \kappa } z \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \langle A | \rho _ { s , A 0 } ^ { ( 1 ) R } } & { { } ( t , t _ { 1 } ) | 0 \rangle = \delta ( t - t _ { 1 } ) \langle A | \rho _ { s } ( t _ { 1 } ) | A \rangle } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } = 0 .
\left\{ \begin{array} { l l } { | f _ { r } ^ { \prime } ( r ) | = a _ { r } ^ { 2 } = \frac { | q | ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } + 1 ) \Im q } , } \\ { | f _ { r } ^ { \prime } ( i ) | = \Im q , } \end{array} \right. \qquad \mathrm { a n d } \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { r } = \frac { | q | } { \sqrt { r ^ { 2 } + 1 } \sqrt { \Im q } } , } \\ { b _ { r } = - \frac { r | q | } { \sqrt { r ^ { 2 } + 1 } \sqrt { \Im q } } , } \\ { c _ { r } = \frac { \sqrt { | q | ^ { 2 } ( r ^ { 2 } + 1 ) - ( \Im q - r \Re q ) ^ { 2 } } } { \sqrt { r ^ { 2 } + 1 } \sqrt { \Im q } | q | } , } \\ { d _ { r } = \frac { \sqrt { \Im q } ( 1 - r \frac { \Re q } { \Im q } ) } { \sqrt { r ^ { 2 } + 1 } | q | } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { J _ { 4 } = } & { \mathrm { P r } \left( \frac { \bar { \gamma } | h _ { 0 } ^ { k ^ { + } } | ^ { 2 } } { 1 + \bar { \gamma } | h _ { m ^ { + } } ^ { k ^ { + } } | ^ { 2 } } < \gamma _ { 0 } \right) = \int _ { \gamma _ { s } } ^ { \infty } F _ { X } ( \gamma _ { 0 } + y \gamma _ { 0 } ) f _ { \tilde { Y _ { 2 } } } \left( y \right) \mathrm { d } y } \\ { = } & { \frac { K M } { \tilde { \Omega } _ { m } } \sum _ { c = 0 } ^ { 1 } \sum _ { d = 0 } ^ { K M - 1 } \left( - 1 \right) ^ { c } \binom { K M - 1 } { d } e ^ { - \gamma _ { s } \left( \frac { \gamma _ { 0 } } { \tilde { \Omega } _ { 0 } } + \frac { d + 1 } { \tilde { \Omega } _ { m } } \right) } } \\ & { \qquad \qquad \times \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma _ { s } } { \tilde { \Omega } _ { m } } } \right) ^ { K M - 1 - d } \frac { e ^ { - \gamma _ { 0 } \frac { c } { \tilde { \Omega } _ { 0 } } } } { \left( \frac { \gamma _ { 0 } } { \tilde { \Omega } _ { 0 } } + \frac { d + 1 } { \tilde { \Omega } _ { m } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { k } ( \xi , t ) } & { { } = \sigma _ { \varepsilon } ^ { k } ( \xi , t ) + \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ Q _ { l } ^ { k } ( \eta , t ; 0 ) 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \} } \right] W _ { \varepsilon } ^ { l } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } T } & { { } = \operatorname* { d e t } \Big ( \hat { e } _ { c } + \frac { \Delta \hat { e } } { 2 } , \hat { e } _ { c } - \frac { \Delta \hat { e } } { 2 } , \hat { e } _ { 2 } , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } \Big ) } \end{array}
c _ { 4 } = \frac { k _ { 0 \mathrm { ~ r ~ } } } { \dot { F } _ { \mathrm { ~ r ~ } } \beta \chi _ { \mathrm { ~ r ~ } } ^ { \ddag } } \mathrm { e } ^ { - c _ { 3 } \log T _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } .
\hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { P Z } } ( s ) = \hat { H } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) - \hat { v } _ { \mathrm { H x c } } ^ { \mathrm { D F T } } [ s | \varphi _ { i } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } ]
V _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } = \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \eta T ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \left[ c _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } + \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \eta T \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { s _ { m } ( 0 ) = } & { ~ \frac { 1 } { \langle T p ^ { 2 } \rangle } \bigg ( \nu _ { 0 0 } ( \psi p ) _ { \mathrm { h f s } } - \frac { ( \psi p ) _ { \mathrm { s r } } [ I ] } { 1 2 \pi \langle N \rangle } } \\ & { - \frac { g _ { I } ( \psi p ) _ { \mathrm { d h } } [ I ] [ 1 + 2 I ( I + 1 ) ] } { 1 0 \pi ( 2 \langle N \rangle - 1 ) ( 2 \langle N \rangle + 3 ) } } \\ & { + \frac { ( \psi p ) _ { \mathrm { q h } } Q [ I ] [ 3 - 4 I ( I + 1 ) ] } { 4 0 \pi I ( 2 I - 1 ) ( 2 \langle N \rangle - 1 ) ( 2 \langle N \rangle + 3 ) } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| - | Z _ { B } | } & { = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \left| A _ { [ \frac { 1 } { 2 } ] } \right| - | Z _ { B } | } \\ & { = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + | Z | - | Z _ { B } | } \\ & { = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \left| Z _ { ( \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 } ] } ^ { 1 ( 2 ) } \right| + \left| Z _ { ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } ] , G } \right| } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 0 } = \frac { 2 2 5 \sqrt { 5 } } { \pi ^ { 4 } } \exp \left[ - \left( 4 \delta _ { i p } \delta _ { j q } + \delta _ { i q } \delta _ { j p } \right) A _ { i j } A _ { p q } \right] } \end{array}
\mathcal { L } _ { 0 } = \Bigg | \! \Bigg | ( 1 + \delta _ { i j } ) ^ { 1 / 2 } \frac { \bar { \omega } _ { i j } } { \langle \phi _ { \mathrm { T } } \rangle _ { \{ \alpha \} } } \Bigg | \! \Bigg | _ { \mathrm { f r o } } + \Bigg | \! \Bigg | L _ { i } \left( \mu _ { i } - \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mu _ { k } \right) \! \Bigg | \! \Bigg | _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \hat { X } } & { { } = \frac { \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } } { \sqrt { 2 } } , \quad \hat { Y } = \frac { \hat { a } - \hat { a } ^ { \dagger } } { \mathrm { i } \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ( X ; Y ) } & { = } & { I ( M , M ^ { \prime } ; Y ) } \\ & { = } & { I ( M ; Y ) + I ( M ^ { \prime } ; Y | M ) ~ ~ ~ ~ \mathrm { ( a p p l y i n g ~ c h a i n ~ r u l e ) } } \\ & { = } & { I ( M ; Y ) + H ( M ^ { \prime } \vert M ) - H ( M ^ { \prime } \vert Y , M ) } \\ & { = } & { I ( M ; Y ) + \{ H ( M ^ { \prime } , M ) - H ( M ) \} } \\ & { ~ } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - \{ H ( Y , M , M ^ { \prime } ) - H ( Y , M ) \} , } \\ & { ~ } & { \mathrm { s i n c e } ~ M , ~ M ^ { \prime } , ~ \mathrm { a n d } ~ Y ~ \mathrm { a r e ~ u n i f o r m l y ~ r a n d o m } , } \\ & { = } & { I ( M ; Y ) + \{ \log ( d D ) ^ { n } - l o g ( d ) ^ { n } \} } \\ & { ~ } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - \{ \log ( d ^ { 2 } D ) ^ { n } - \log ( d ^ { 2 } ) ^ { n } \} } \\ & { = } & { I ( M ; Y ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \dot { x } ( t ) = \sigma \, [ y ( t ) - x ( t ) ] , } \\ { \dot { y } ( t ) = R \, x ( t ) - y ( t ) - x ( t ) \, z ( t ) , } \\ { \dot { z } ( t ) = x ( t ) \, y ( t ) + b \, z ( t ) , } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 1 2 ] } = } & { - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } + \theta _ { [ 1 3 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } - \theta _ { [ 2 3 ] } ) \right) } \\ & { - \sigma ^ { \uparrow } \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } - \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 2 3 ] } ) } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 1 3 ] } = } & { - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 1 2 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 2 3 ] } - \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \\ & { + \sigma ^ { \uparrow } \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } - \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 2 3 ] } ) } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 2 3 ] } = } & { - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 2 3 ] } - \theta _ { [ 1 2 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 2 3 ] } + \theta _ { [ 1 3 ] } - \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \\ & { - \sigma ^ { \uparrow } \sin ( \theta _ { [ 1 2 ] } - \theta _ { [ 1 3 ] } + \theta _ { [ 2 3 ] } ) } \end{array} } \\ { \begin{array} { r } { \Dot { \theta } _ { [ 3 4 ] } = - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 3 4 ] } - \theta _ { [ 1 3 ] } - \theta _ { [ 2 3 ] } ) - \sin ( \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \end{array} } \end{array} \right. \, ,
D _ { \gamma } ^ { a c c o m p a n i e d } = D _ { \gamma } ^ { i n c l u s i v e } ( z , p _ { m a x } ^ { 2 } ) \exp { \left[ - S \left( p _ { \perp \, \gamma } ^ { 2 } , p _ { m a x } ^ { 2 } \right) \right] }
\mathrm { I m } K _ { n } ( \omega ) = \mp \frac { 2 ^ { 1 - n } \pi ^ { \frac { 3 - n } { 2 } } } { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } \left( \sqrt { \omega ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \right) ^ { n - 3 } \, \theta ( \omega ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { u _ { j + 1 } ^ { t } - 2 u _ { j } ^ { t } + u _ { j - 1 } ^ { t } + \frac { g _ { x } \Delta y ^ { 2 } } { \mu } \rho _ { j } ^ { t } } & { { } = 0 , \quad } & { 2 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \rho _ { j + 1 } ^ { t } \theta _ { j + 1 } ^ { t } - \rho _ { j } ^ { t } \left( \theta _ { j } ^ { t } + g _ { y } \Delta y \right) } & { { } = 0 , \quad } & { 1 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \mu \left( u _ { j + 1 } ^ { t - 1 } - u _ { j - 1 } ^ { t - 1 } \right) ^ { 2 } + 4 \lambda \left( \theta _ { j + 1 } ^ { t } - 2 \theta _ { j } ^ { t } + \theta _ { j - 1 } ^ { t } \right) } & { { } = 0 , \quad } & { 2 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \left( \frac { \rho _ { 1 } ^ { t } } { 2 } + \sum _ { j = 2 } ^ { N - 1 } \rho _ { j } ^ { t } + \frac { \rho _ { N } ^ { t } } { 2 } \right) } & { { } = \rho _ { 0 } ( N - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } ) = \mathcal H ^ { 2 } ( \partial \Omega \cap B _ { r } ^ { c } ( x _ { 0 } ) ) + \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap \Omega ) - \sum _ { x \in X } \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) \cap B _ { \varepsilon } ( x ) ) } \\ { + \sum _ { x \in X _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } } \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { \varepsilon } ( x ) \cap B _ { r } ^ { c } ( x _ { 0 } ) ) + \sum _ { x \in X _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } } \mathcal H ^ { 2 } ( \partial B _ { \varepsilon } ( x ) \cap B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) . } \end{array}
( K _ { 1 } , K _ { 2 } , K _ { 3 } ) = \left( \left[ { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right] , \left[ { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right] , \left[ { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right] \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { 3 } } { d t } = } & { } & { ( n _ { 1 } - n _ { 3 } ) B _ { r 1 3 } n _ { p h 1 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { r 1 3 } + } \\ & { } & { ( n _ { 1 } - n _ { 3 } ) B _ { n r 1 3 } n _ { p n 1 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { n r 1 3 } - } \\ & { } & { ( n _ { 3 } - n _ { 2 } ) B _ { n r 2 3 } n _ { p n 2 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { n r 2 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } ( Q ) } & { = A ^ { \top } Q + Q A + \sum _ { i , j = 1 } ^ { q } N _ { i } ^ { \top } Q N _ { j } k _ { i j } + C ^ { \top } C } \\ & { - ( Q B + \sum _ { i , j = 1 } ^ { q } N _ { i } ^ { \top } Q M _ { j } k _ { i j } ) ( I + \sum _ { i , j = 1 } ^ { q } M _ { i } ^ { \top } Q M _ { j } k _ { i j } ) ^ { - 1 } ( B ^ { \top } Q + \sum _ { i , j = 1 } ^ { q } M _ { i } ^ { \top } Q N _ { j } k _ { i j } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \dot { a } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } & { = \frac { 8 \pi G } { 3 } \rho - \frac { k c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } \\ & { \Updownarrow } \\ { \frac { \dot { a } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } & { = \frac { 8 \pi G } { 3 } \frac { 1 } { a ^ { 4 } } } \\ & { \Updownarrow } \\ { \left( \frac { d a } { d t } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { 8 \pi G } { 3 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \\ & { \Updownarrow } \\ { \frac { d a } { d t } } & { = \sqrt { \frac { 8 \pi G } { 3 } } \frac { 1 } { a } } \\ & { \Updownarrow } \\ { d a } & { = \sqrt { \frac { 8 \pi G } { 3 } } \frac { 1 } { a } \, \, d t } \\ & { \Updownarrow } \\ { \int d a } & { = \sqrt { \frac { 8 \pi G } { 3 } } \frac { 1 } { a } \int d t } \\ & { \Updownarrow } \\ { a ^ { 2 } } & { = \sqrt { \frac { 8 \pi G } { 3 } } t } \\ & { \Updownarrow } \\ { a } & { = \sqrt [ 4 ] { \frac { 8 \pi G } { 3 } } t ^ { 1 / 2 } } \\ & { \Updownarrow } \\ { a } & { \propto t ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\frac { \alpha } { \pi } \left( \frac { 3 } { 2 } C _ { F } - 1 - \frac { 1 } { N } \right) , \quad \frac { \alpha } { \pi } \left( \frac { 3 } { 2 } C _ { F } + 1 - \frac { 1 } { N } \right) , \quad \frac { \alpha } { \pi } \frac { 3 } { 2 } C _ { F } , \quad \frac { \alpha } { \pi } \frac { 3 } { 2 } C _ { F } ,
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { { \cal T } ^ { + , + } } & { { \cal T } ^ { + , - } } \\ { { \cal T } ^ { - , + } } & { { \cal T } ^ { - , - } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) . } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { \mathrm { 0 - b r a n e } } } & { { \rightarrow } } & { { \mathrm { 7 - b r a n e } } } & { { ( = \mathrm { " v o r t e x " ~ c o n n e c t i n g ~ 6 - b r a n e s ~ " m o n o p o l e " } ) } } \\ { { \mathrm { 1 - b r a n e } } } & { { \rightarrow } } & { { \mathrm { 6 - b r a n e } } } & { { ( = \mathrm { " v o r t e x " ~ c o n n e c t i n g ~ 5 - b r a n e s ~ " m o n o p o l e " } ) } } \\ { { \mathrm { 2 - b r a n e } } } & { { \rightarrow } } & { { \mathrm { 5 - b r a n e } } } & { { ( = \mathrm { " v o r t e x " ~ c o n n e c t i n g ~ 4 - b r a n e s ~ " m o n o p o l e " } ) } } \\ { { \mathrm { 3 - b r a n e } } } & { { \rightarrow } } & { { \mathrm { 4 - b r a n e } } } & { { ( = \mathrm { " v o r t e x " ~ c o n n e c t i n g ~ 3 - b r a n e s ~ " m o n o p o l e " } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathbb { E } } _ { \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log Z _ { \beta } ( \lambda ) \right] } & { = \operatorname { \mathbb { E } } _ { \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log \int d \Tilde { w } \ \exp \left\{ - \beta H ( \Tilde { w } | \lambda ) \right\} \right] } \\ & { = \operatorname { \mathbb { E } } _ { \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log \left\{ \operatorname { \mathbb { E } } _ { \Tilde { w } \sim q _ { \Tilde { \phi } } ( \Tilde { w } | \lambda ) } \left[ \frac { \exp \left\{ - \beta H ( \Tilde { w } | \lambda ) \right\} } { q _ { \Tilde { \phi } } \left( \Tilde { w } | \lambda \right) } \right] \right\} \right] } \\ & { \geq \operatorname { \mathbb { E } } _ { \lambda \sim q _ { \psi } , \Tilde { w } \sim q _ { \Tilde { \phi } } ( \Tilde { w } | \lambda ) } \left[ \log \left\{ \frac { \exp \left\{ - \beta H ( \Tilde { w } | \lambda ) \right\} } { q _ { \Tilde { \phi } } ( \Tilde { w } | \lambda ) } \right\} \right] . } \end{array}
\frac { \partial { \bf { B } } } { \partial t } + ( { \bf { U } } \cdot \nabla ) { \bf { B } } = ( { \bf { B } } \cdot \nabla ) { \bf { U } } - \langle { ( { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle + \langle { ( { \bf { b } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { u } } ^ { \prime } } \rangle + \eta \nabla ^ { 2 } { \bf { B } } ,
\boldsymbol { \overline { { 2 \mathcal { Q } } } } _ { B _ { \mathcal { A } } } ^ { 0 } \big ( \Sigma , \overline { { f } } _ { \Sigma } \big ( i _ { X _ { \Sigma } } , \mathcal { A } ) \big ) \cong \pi _ { 1 } \big ( \mathbf { \mathrm { C R S } } ( \Pi ( X _ { \Sigma } ) , \mathcal { A } ) , \mathbf { \mathrm { C R S } } _ { 0 } ( \Pi ( X _ { \Sigma } ) , \mathcal { A } ) \big ) .
\begin{array} { r l } { \left. \left( \partial _ { z } E _ { x } \right) \right| _ { \mathrm { a v } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left. \left( \partial _ { z } E _ { \mathrm { i } , x } + \partial _ { z } E _ { \mathrm { r } , x } + \partial _ { z } E _ { \mathrm { t } , x } \right) \right| _ { z = 0 } } \\ & { = \partial _ { x } E _ { \mathrm { a v } , z } - j \omega B _ { \mathrm { a v } , y } } \\ & { = \partial _ { x } E _ { \mathrm { a v } , z } - \frac { j \omega } { 2 } \left. \left( \mu _ { 1 } H _ { \mathrm { i } , y } + \mu _ { 1 } H _ { \mathrm { r } , y } + \mu _ { 2 } H _ { \mathrm { t } , y } \right) \right| _ { z = 0 } \, , } \end{array}
\mathbf { v _ { 3 } } ^ { \prime } = \mathbf { v _ { 1 } } ^ { \prime } \times \mathbf { v _ { 2 } } ^ { \prime } = ( R \mathbf { v _ { 1 } } ) \times ( R \mathbf { v _ { 2 } } ) = ( \operatorname* { d e t } R ) ( R ( \mathbf { v _ { 1 } } \times \mathbf { v _ { 2 } } ) ) = ( \operatorname* { d e t } R ) ( R \mathbf { v _ { 3 } } ) .
\delta _ { v } { S } = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \{ [ { L } _ { q ^ { i } } ] \delta _ { v } q ^ { i } + \frac { d } { d t } ( \frac { \partial { L } } { \partial \dot { q } ^ { j } } \delta _ { v } q ^ { j } ) \} ,
\frac { - 2 \mathrm { i } \overline { { h } } } { ( 2 ( s - k _ { 1 } ) \overline { { h } } ) ^ { 2 } - ( n \pi ) ^ { 2 } } = - \frac { \mathrm { i } \overline { { h } } } { n \pi } \left[ \frac { 1 } { 2 ( s - k _ { 1 } ) \overline { { h } } - n \pi } - \frac { 1 } { 2 ( s - k _ { 1 } ) \overline { { h } } + n \pi } \right] .
\operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } f ( a ) - \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { B } } f ( b ) = \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } ^ { 1 } } f ( a ) - \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { B } } f ( b ) = \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } ^ { 1 } } \operatorname* { m i n } _ { b \in \mathcal { B } } ( f ( a ) - f ( b ) ) \leq \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \operatorname* { m i n } _ { b \in \mathcal { B } } | f ( a ) - f ( b ) | \leq L _ { f } \cdot \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \operatorname* { m i n } _ { b \in \mathcal { B } } | a - b |
\left[ { \begin{array} { l l l l l l l l } { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l } { \langle \Omega \rangle } & { = \sum _ { n } n _ { g _ { n } } ( 0 ) \ \Omega _ { g _ { n } , e _ { n + l _ { 0 } } } , } \\ { \langle \Omega ^ { 2 } \rangle } & { = \sum _ { n } n _ { g _ { n } } ( 0 ) \ \Omega _ { g _ { n } , e _ { n + l _ { 0 } } } ^ { 2 } , } \\ { \Delta \Omega ^ { 2 } } & { = \langle \Omega ^ { 2 } \rangle - \langle \Omega \rangle ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } ( x , t ) = } & { \frac { 8 } { 9 4 5 } t ^ { 2 } e ^ { - 4 x } \bigg ( 1 0 2 4 t x ^ { 7 } - 3 5 8 4 t x ^ { 6 } - 2 6 8 8 t x ^ { 5 } + 1 3 4 4 0 t x ^ { 4 } - 3 3 6 0 t x ^ { 3 } - 5 0 4 0 t x ^ { 2 } + 1 2 6 0 t x } \\ & { + 8 0 6 4 x ^ { 5 } - 2 0 1 6 0 x ^ { 4 } - 7 5 6 0 x ^ { 3 } + 1 8 9 0 0 x ^ { 2 } + 9 4 5 x - 9 4 5 \bigg ) . } \end{array}