harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c l } { { G ^ { ( 2 ) } } } & { { = } } & { { d C ^ { ( 1 ) } + \frac { m } { 2 } B \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { H } } & { { = } } & { { d B \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { G ^ { ( 4 ) } } } & { { = } } & { { d C ^ { ( 3 ) } - d B C ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 2 ! } \frac { m } { 2 } B ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { G ^ { ( 6 ) } } } & { { = } } & { { d C ^ { ( 5 ) } - d B C ^ { ( 3 ) } + \frac { 1 } { 3 ! } \frac { m } { 2 } B ^ { 3 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \tilde { H } } } & { { = } } & { { d \tilde { B } + G ^ { ( 6 ) } C ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { 2 } C ^ { ( 3 ) } d C ^ { ( 3 ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - \frac { m } { 2 } \left[ C ^ { ( 7 ) } - C ^ { ( 5 ) } B + \frac { 1 } { 2 } C ^ { ( 3 ) } B ^ { 2 } \right] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { G ^ { ( 8 ) } } } & { { = } } & { { d C ^ { ( 7 ) } - d B C ^ { ( 5 ) } + \frac { 1 } { 4 ! } \frac { m } { 2 } B ^ { 4 } \, . } } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } \psi } { d t ^ { 3 } } + k ^ { 2 } ( n ) \widetilde { d } ~ \frac { d ^ { 2 } \psi } { d t ^ { 2 } } + k ^ { 2 } ( n ) \gamma \frac { d \psi } { d t } + k ^ { 4 } ( n ) \widetilde { d } \psi = 0 .
\mathbf { - 1 . 1 0 2 \, 6 4 1 \, 5 8 1 \, 0 3 2 \, 5 7 7 \, 1 6 4 } \, 0 8 9 \, 8 1 3 \, 9 1 6 \, 0 8 1 \, 0 3 5
\Big ( \, g _ { 0 } ^ { 2 } \, \big < 0 | \bar { \Psi } \Psi | 0 \big > \, \Big ) ^ { [ 1 , 0 ] } = \ \frac { 1 2 } { \beta _ { 0 } } \ \big ( w _ { 1 } ^ { \, 3 } - 2 w _ { 1 } w _ { 3 } - 2 w _ { 2 } w _ { 3 } \big ) \ \Lambda ^ { 3 }
\mathrm { ~ \bf ~ { ~ D ~ } ~ } _ { P } = \left( \begin{array} { l l l } { \dot { \varepsilon } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \dot { \varepsilon } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } ^ { \pm } = } & { \ - \frac { 1 } { 2 } \left[ \nabla _ { r } ^ { 2 } - \frac { ( \ell \pm m ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right] + V + 2 n _ { 1 } + g _ { 1 2 } n _ { 2 } - \mu _ { 1 } , } \\ { D _ { 2 } = } & { \ - \frac { 1 } { 2 M _ { 2 } } \left[ \nabla _ { r } ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right] + V + 2 g _ { 2 } n _ { 2 } + g _ { 1 2 } n _ { 1 } - \mu _ { 2 } , } \end{array}
D _ { s } ^ { \ell } ( \ell ) = 0 \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \; s = 0 \; \; \mathrm { a n d } \; \; \ell > 0 \; , \; \; \; \; \; \; \mathrm { w h e r e } \; \; D _ { s } ^ { \kappa } ( \ell ) = \sum _ { n = s } ^ { \kappa } { \textstyle \frac { B ( n ) } { n ! ( { \ell } - n + 1 ) ! } } \; ,
\rho _ { i } = \frac { 1 } { 2 } ( \rho _ { l } + \rho _ { r } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \rho _ { r } + \rho _ { l } ) \operatorname { t a n h } \Big [ \frac { L _ { w } } { \xi _ { r } - \xi _ { l } } \big ( \xi _ { i } - \frac { 1 } { 2 } ( \xi _ { r } + \xi _ { l } ) \big ) \Big ] ,
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { T } ( z _ { 0 } ) \rangle } & { { } = \biggl ( \mathcal { E } _ { H } ( z _ { 0 } ) \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle + \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle \biggr ) + \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \biggl [ \langle \mathcal { T } _ { H } ( 0 ) \rangle + \frac { \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle + \mathcal { E } _ { 0 } ( 0 ) \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( 0 ) \rangle } { \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) } \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 2 } ^ { q } } { = - \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } T - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| H _ { L m } u \| ^ { 2 } } & { = \| i u _ { 1 } ^ { \prime } + m u _ { 2 } \| ^ { 2 } + \| i u _ { 2 } ^ { \prime } - m u _ { 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { = \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } + 2 \Re m ( i u _ { 1 } ^ { \prime } , u _ { 2 } ) - 2 \Re m ( u _ { 1 } , i u _ { 2 } ^ { \prime } ) + m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } } \\ & { = \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } + m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } + 2 \Re m \int _ { 0 } ^ { L } \overline { { i u _ { 1 } ^ { \prime } } } u _ { 2 } - 2 \Re m \int _ { 0 } ^ { L } \overline { { u _ { 1 } } } i u _ { 2 } ^ { \prime } } \\ & { = \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } + m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } - 2 \Re m i \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } | _ { 0 } ^ { L } } \\ & { = \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } + m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } + m \frac { b } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } | u ( L ) | ^ { 2 } \geq m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { R a m a n } } ( \omega _ { s } ) \propto \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - j ( \omega _ { I } - \omega _ { s } ) t } \left\langle \left( \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) + \widehat { \mathcal { P } } ^ { N R T \dagger } ( \omega _ { I } ) \right) e ^ { j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) + \widehat { \mathcal { P } } ^ { N R T } ( \omega _ { I } ) \right) e ^ { - j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \right\rangle _ { \rho } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B H _ { d } ^ { 2 } ( \mathcal { E } , d _ { 1 } , d _ { 2 } ) } & { \cong \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { d = 2 \mathrm { ~ a n d ~ } d \geq 4 ; } \\ { \bigoplus _ { i = 1 } ^ { N } C ^ { \infty } ( \mathbb { R } , u ^ { i } ) , } & { d = 3 . } \end{array} \right. } \\ { B H _ { d } ^ { 3 } ( \mathcal { E } , d _ { 1 } , d _ { 2 } ) } & { \cong 0 , \qquad d \geq 4 . } \end{array}
\ { \frac { d } { d t } } [ p _ { i j \ldots } ( \mathbf { x } , t ) ] = { \frac { \partial } { \partial t } } [ p _ { i j \ldots } ( \mathbf { x } , t ) ] + { \frac { \partial } { \partial x _ { k } } } [ p _ { i j \ldots } ( \mathbf { x } , t ) ] { \frac { d x _ { k } } { d t } }
\mathbf { M } _ { i j } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \psi _ { j } \left( z _ { 1 } , z _ { 2 } \right) \psi _ { i } \left( z _ { 1 } , z _ { 2 } \right) d z _ { 1 } d z _ { 2 } ,
\rho _ { R } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 5 } } T _ { \gamma } ^ { 4 } ( 1 + z ) ^ { 4 } \left[ 1 + { \frac { 7 } { 8 } } N _ { \nu } \left( { \frac { 4 } { 1 1 } } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ R ~ } } [ \mathcal { I } \otimes \mathcal { N } ( \rho _ { A B } ) ] } & { { } = \operatorname* { i n f } _ { \sigma \in \mathrm { ~ S ~ E ~ P ~ } } S [ \mathcal { I } \otimes \mathcal { N } ( \rho _ { A B } ) | | \sigma _ { A B } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } , \mathbf { k } } ^ { \mu \alpha \beta } ( \omega ) = \, \, } & { { } \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { v } ^ { \alpha } , \hat { v } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} + \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \frac { 1 } { 2 } \hat { h } ^ { \mu \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \end{array}
h ( \mathbf { r _ { \mathit { o b j } } } + \mathbf { r _ { \mathit { r e c t i f y } } } ) = f \frac { \| \mathbf { r _ { \mathit { r e c t i f y } } } \| } { \| \mathbf { r _ { \mathit { o b j } } } - \mathbf { r _ { \mathit { v a n i s h } } } \| } \left( 1 + \frac { 1 } { M } \right)
\psi ( 1 , 2 ) = N ( \phi _ { 1 } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \phi _ { 2 } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) + \phi _ { 2 } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \phi _ { 1 } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) ) ( \alpha ( 1 ) \beta ( 2 ) - \beta ( 1 ) \alpha ( 2 ) ) ,
\begin{array} { r l } { C _ { L 0 , 1 \lambda } ^ { j \lambda } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { j } { 2 ( 2 j + 3 ) } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } L = j + 1 } \\ { - \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } L = j } \\ { \sqrt { \frac { ( j + 1 ) } { 2 ( 2 j - 1 ) } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } L = j - 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { T } S ^ { * } v = } & { v ^ { T } D ^ { * } v + \lambda ^ { * } v ^ { T } \mathbf { J } v - v ^ { T } ( A - \mathbb { E } [ A ] ) v - v ^ { T } \mathbb { E } [ A ] v } \\ { \geq } & { \operatorname* { m i n } _ { i } d _ { i } ^ { * } + \lambda ^ { * } v ^ { T } \mathbf { J } v - \| A - \mathbb { E } [ A ] \| - v ^ { T } \mathbb { E } [ A ] v . } \end{array}
\sigma _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } ^ { \nu \gamma \to \nu \gamma } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { d { \sigma } _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } ^ { \nu \gamma \to \nu \gamma } } { d z } \, d z \, ,
\begin{array} { r l } & { \beta _ { ( n , m ) , ( n ^ { \prime } , m ^ { \prime } ) } = \bigg ( \int _ { 0 } ^ { \operatorname* { i n f } } d y \int _ { - y } ^ { y } d x + \int _ { - \operatorname* { i n f } } ^ { 0 } d y \int _ { y } ^ { - y } d x } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { \operatorname* { i n f } } d x \int _ { - x } ^ { x } d y - \int _ { - \operatorname* { i n f } } ^ { 0 } d x \int _ { x } ^ { - x } d y \bigg ) \, \mathcal { U } _ { n , m } \cdot \mathcal { U } _ { n ^ { \prime } , m ^ { \prime } } } \end{array}
S _ { j k } = \frac { g ^ { 2 } ( \mu _ { j } , \lambda _ { k } ) } { f ( \mu _ { j } , \lambda _ { k } ) } e ^ { \phi ^ { \kappa } ( \mu _ { j } ) + \phi ^ { \nu } ( \lambda _ { k } ) } + \frac { g ^ { 2 } ( \lambda _ { k } , \mu _ { j } ) } { f ( \lambda _ { k } , \mu _ { j } ) } e ^ { \phi ^ { \kappa } ( \lambda _ { k } ) + \phi ^ { \nu } ( \mu _ { j } ) }
( \rho , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , 0 , 1 0 0 0 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < 0 . 1 } \\ { ( 1 , 0 , 0 . 0 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 1 < x < 0 . 9 } \\ { ( 1 , 0 , 1 0 0 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x > 0 . 9 } \end{array} \right.
\frac { E } { 8 \gamma R } = \frac { 1 } { 2 } \xi \, \mathbf { E } ( e ) + \frac { 2 } { \pi } \Lambda ^ { 2 } \, \frac { \xi ^ { 2 } ( \xi ^ { 4 } + 1 ) } { ( \xi ^ { 4 } - 1 ) ^ { 2 } }
\bar { \Sigma } { | M | } _ { q q ^ { \prime } \rightarrow q q ^ { \prime } } ^ { 2 } = { \frac { { K ^ { \prime } } _ { q \bar { q } } } { 2 } } \omega _ { 2 Q } \Bigl [ ( 1 - \epsilon ) - 2 { \frac { \hat { u } \hat { s } } { \hat { t } ^ { 2 } } } \Bigr ] \;
\begin{array} { r l } { \dot { B } _ { p , q } ^ { s } } & { = \Bigl \{ f \in \mathcal { S } ^ { \prime } / \mathcal { P } : \left( \sum _ { N \in 2 ^ { \mathbb { Z } } } N ^ { s q } \| P _ { N } f \| _ { L ^ { p } } ^ { q } \right) < \infty \Bigl \} } \\ { B _ { p , q } ^ { s } } & { = \Bigl \{ f \in \mathcal { S } ^ { \prime } : \left( \sum _ { N \in 2 ^ { \mathbb { Z } } } \langle N \rangle ^ { s q } \| P _ { N } f \| _ { L ^ { p } } ^ { q } \right) < \infty \Bigl \} , } \end{array}
\frac { a _ { \mathrm { C P } } ( B ^ { + } \to \pi ^ { + } K ^ { 0 } ) } { a _ { \mathrm { C P } } ( B ^ { + } \to K ^ { + } \overline { { { K ^ { 0 } } } } ) } \, = \, - \, R _ { S U ( 3 ) } ^ { 2 } \, \frac { \mathrm { B R } ( B ^ { \pm } \to K ^ { \pm } K ) } { \mathrm { B R } ( B ^ { \pm } \to \pi ^ { \pm } K ) } \, ,
{ \cal L } _ { i n t } = h ( \nu _ { e } \mu - e \nu _ { \mu } ) \tilde { \tau } ^ { c } + h ( \nu _ { e } \tau ^ { c } \tilde { \mu } - e \tau ^ { c } \tilde { \nu } _ { \mu } ) + h ( \mu \tau ^ { c } \tilde { \nu } _ { e } - \nu _ { \mu } \tau ^ { c } \tilde { e } ) + H . c .
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { N } } = } & { \frac { 1 } { \hbar \omega } \bigg \{ \int _ { \Delta _ { g } - \hbar \omega } ^ { - \Delta _ { g } } g _ { 1 } ( 1 , 2 ) \operatorname { t a n h } \bigg ( \frac { \hbar \omega + E } { 2 k _ { B } T } \bigg ) d E } \\ & { + \int _ { \Delta _ { g } } ^ { \infty } g _ { 1 } ( 1 , 2 ) \bigg [ \operatorname { t a n h } \bigg ( \frac { \hbar \omega + E } { 2 k _ { B } T } \bigg ) } \\ & { - \operatorname { t a n h } \bigg ( \frac { E } { 2 k _ { B } T } \bigg ) \bigg ] d E \bigg \} , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l l l l } { \tau _ { 3 } ^ { 2 } } & { \tau _ { 3 } ^ { 3 } } & { \alpha _ { 3 } \frac { b _ { 1 1 4 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \alpha _ { 3 } \frac { b _ { 1 1 5 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \cdots } & { \alpha _ { 3 } \frac { b _ { 1 1 D } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \cdots } \\ { \tau _ { 4 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 4 } \frac { b _ { 1 1 3 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \tau _ { 4 } ^ { 4 } } & { \alpha _ { 4 } \frac { b _ { 1 1 5 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \cdots } & { \alpha _ { 4 } \frac { b _ { 1 1 D } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \ddots } \\ { \tau _ { D } ^ { 2 } } & { \alpha _ { D } \frac { b _ { 1 1 3 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \alpha _ { D } \frac { b _ { 1 1 4 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \cdots } & { \alpha _ { D } \frac { b _ { 1 1 , D - 1 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } } & { \tau _ { D } ^ { D } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \bar { c } _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \bar { c } _ { 1 } ^ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { \bar { c } _ { 1 } ^ { D - 1 } } \\ { \bar { c } _ { 1 } ^ { D } } \\ { \vdots } \end{array} \right) = \boldsymbol { 0 }
\begin{array} { r l } { \langle g \rangle _ { E } } & { { } = \int _ { \mathcal { M } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \left[ \sum _ { n } \mathcal { P } \left( \pmb { \mathscr { s } } | \mathcal { M } _ { n } \right) \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) \right] = \sum _ { n } \left[ \int _ { \mathcal { M } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathcal { P } \left( \pmb { \mathscr { s } } | \mathcal { M } _ { n } \right) \right] \mathbb { P } ( \mathcal { M } _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \mathrm { t } } \left( n _ { \mathrm { e } } m _ { \mathrm { { e } } } \right) + \partial _ { \mathrm { x } } \left( n _ { \mathrm { e } } m _ { \mathrm { e } } v _ { \mathrm { { e } } } \right) = } & { 0 } \\ { \partial _ { \mathrm { t } } \left( n _ { \mathrm { i } } m _ { \mathrm { i } } \right) + \partial _ { \mathrm { x } } \left( n _ { \mathrm { i } } m _ { \mathrm { { i } } } v _ { \mathrm { i } } \right) = } & { 0 } \end{array}
\sum _ { \nu } \tilde { \mathbf { f } } _ { \nu , l } ^ { ( \beta ) } \cdot \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \beta ) } + \epsilon _ { l } ^ { ( \beta ) } = \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha \nu } \mathbf { f } _ { \nu , l } ^ { ( \alpha ) } \cdot \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) } + \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } \, ,
\frac { \Gamma _ { \mathrm { d e c } } } { \Gamma _ { \mathrm { m e a s } } } = \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } } \left( \frac { n _ { \mathrm { t h } } } { n _ { \mathrm { c } } } \frac { 1 } { C _ { 0 } } + 1 \right) .
\begin{array} { r l } & { J _ { q ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) - J _ { p ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } J _ { q ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ^ { ( p ) } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) - J _ { p ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 , 2 } d _ { p , q , { \cal T } _ { i } ^ { ( p ) } } ( H ( K _ { i } | U ) ) + d _ { p , q , { \cal T } _ { 3 } ^ { ( p ) } } ( H ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 , 2 } d _ { p , q } ( H ( K _ { i } | U ) ) + d _ { p , q } ( H ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { \delta ( i _ { k } N ^ { ( 9 ) } ) = 8 \left\{ \partial ( i _ { k } \Omega ^ { ( 8 ) } ) + 2 1 \partial ( i _ { k } \Sigma ^ { ( 6 ) } ) \left[ ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } + 2 ( i _ { k } B ^ { ( 2 ) } ) ( D X C ^ { ( 1 ) } ) \right] \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + 1 0 5 \partial ( i _ { k } \Lambda ^ { ( 4 ) } ) ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } ) \left[ ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } ) + 4 ( i _ { k } B ^ { ( 2 ) } ) ( D X C ^ { ( 1 ) } ) \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + 3 1 5 ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } \partial ( i _ { k } \Lambda ^ { ( 2 ) } ) D X D X B ^ { ( 2 ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \frac { 7 ! } { 4 } ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } ) \partial ( i _ { k } \Lambda ^ { ( 2 ) } ) B ^ { ( 2 ) } ( i _ { k } B ^ { ( 2 ) } ) ( D X C ^ { ( 1 ) } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \left[ i _ { k } N ^ { ( 8 ) } + 7 ( i _ { k } N ^ { ( 7 ) } ) ( D X C ^ { ( 1 ) } ) + 3 5 D X D X D X C ^ { ( 3 ) } ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. \left. + 7 0 \left( 2 C ^ { ( 3 ) } ( i _ { k } B ^ { ( 2 ) } ) + 3 ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } ) B ^ { ( 2 ) } \right) ( i _ { k } C ^ { ( 3 ) } ) ( D X C ^ { ( 1 ) } ) \right] \partial ( i _ { k } \Lambda ) \right\} \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial D _ { x } } { \partial r } \right] + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } D _ { x } } { \partial \phi ^ { 2 } } = \frac { n _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } } D _ { x } , } \\ & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial D _ { y } } { \partial r } \right] + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } D _ { y } } { \partial \phi ^ { 2 } } = \frac { n _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } } D _ { y } . } \end{array}
\rho = { \bf \nabla } . { \bf E } = - \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial y ^ { 2 } } } \right) \qquad ; \qquad { \bf j } = { \bf \nabla } \times { \bf B } = - \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial y ^ { 2 } } } \right) \, { \hat { \bf z } } ,
\begin{array} { r l } { | F _ { n } ( z ) | ^ { 2 } } & { = \big | \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { F _ { n } ( s e ^ { i \theta } ) } { z - s e ^ { i \theta } } i s e ^ { i \theta } d \theta \big | ^ { 2 } } \\ & { \le \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } | F _ { n } ( s e ^ { i \theta } ) | ^ { 2 } d \theta \right) \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { | z - s e ^ { i \theta } | ^ { 2 } } d \theta \right) } \\ & { \le \frac { 1 } { ( s - r ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } | F _ { n } ( s e ^ { i \theta } ) | ^ { 2 } d \theta . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \epsilon _ { t } \, G _ { t } \, d t ^ { 2 } + \epsilon _ { E } \, G _ { E } \, d E ^ { 2 } + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \left[ ( \epsilon _ { p _ { j } } G _ { p _ { j } } ( d p _ { j } ) ^ { 2 } + \epsilon _ { \psi _ { j } } G _ { \psi _ { j } } ( d \psi _ { j } ) ^ { 2 } \right] \, ,
A _ { i } ^ { \prime } = e ^ { - i g a _ { 0 } x _ { 0 } \tau _ { 3 } } \Omega _ { \mathrm { D } } A _ { i } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { \mathrm { D } } ^ { \dagger } e ^ { i g a _ { 0 } x _ { 0 } \tau _ { 3 } } + e ^ { - i g a _ { 0 } x _ { 0 } \tau _ { 3 } } s _ { i } e ^ { i g a _ { 0 } x _ { 0 } \tau _ { 3 } } + \partial _ { i } a _ { 0 } x _ { 0 } \tau _ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { \| ( z } & { - \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ) ) \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \geq \sum _ { n } \Big ( C | z | \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + C \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 1 , \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + C | z | ^ { 1 - \sigma } \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma + \sigma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \Big ) } \\ & { \quad - C ( R , | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \rho _ { n } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ( \| \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) . } \end{array}
\frac { d R _ { i } } { d Q } = \frac { \rho _ { \chi } } { M _ { \chi } \, M _ { i } } \int _ { | \vec { v ^ { \prime } } | \geq v _ { \mathrm { { m i n } } } } d ^ { 3 } \vec { v ^ { \prime } } \; f ( \vec { v ^ { \prime } } ) \, | \vec { v ^ { \prime } } | \, \frac { d \sigma _ { \chi i } } { d Q } \; ,
\langle { \hat { \vec { E } } } ^ { ( - ) } ( { \vec { r } } , t ) \cdot { \hat { \vec { E } } } ^ { ( + ) } ( { \vec { r } } , t ) \rangle = \left( { \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { ( { \vec { \mu } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } } \right) \times \langle { \hat { b } } _ { s } ^ { \dagger } \left( t - { \frac { r } { c } } \right) { \hat { b } } _ { s } \left( t - { \frac { r } { c } } \right) \rangle = \left( { \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mu \sin \psi } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } r } } \right) ^ { 2 } [ \langle { \hat { R } } _ { k } \left( t - { \frac { r } { c } } \right) \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } ]
{ \begin{array} { r l } { W } & { = { \frac { 5 } { 6 } } B + Y , } \\ { B } & { = { \frac { 9 } { 2 0 } } D + Y , } \\ { D } & { = { \frac { 1 3 } { 4 2 } } W + Y , } \\ { w } & { = { \frac { 7 } { 1 2 } } ( B + b ) , } \\ { b } & { = { \frac { 9 } { 2 0 } } ( D + d ) , } \\ { d } & { = { \frac { 1 1 } { 3 0 } } ( Y + y ) , } \\ { y } & { = { \frac { 1 3 } { 4 2 } } ( W + w ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { \Phi _ { x x } + \Phi _ { y y } } & { = 0 , } & { \qquad \qquad \eta ^ { \mathrm { b } } ( x ) } & { < y < \eta ^ { \mathrm { s } } ( x , t ) , } \\ { \Phi } & { = \varphi , } & { \qquad \qquad y } & { = \eta ^ { \mathrm { s } } ( x , t ) , } \\ { \nabla \Phi \cdot \boldsymbol n } & { = 0 , } & { \qquad \qquad y } & { = \eta ^ { \mathrm { b } } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ^ { ( \infty , G ) } ( u ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } L ^ { ( N , G ) } \left( u \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle u + \frac { G } { 2 G - 1 } \left( 1 - u - ( 1 - u ) ^ { 1 / G - 1 } \right) , } & { \mathrm { i f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle u + ( 1 - u ) \log ( 1 - u ) , } & { \mathrm { i f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \operatorname { x } _ { i } } \left[ \mathbb { E } _ { \operatorname { x } _ { j } } [ p _ { i j } ( w _ { i } , w _ { j } , x _ { i } , x _ { j } ) ] \right] } & { = \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { w _ { i } w _ { j } } { n \mu 2 ^ { - d } V } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } d V \right) \mathrm { d } x _ { i } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { w _ { i } w _ { j } } { n \mu 2 ^ { - d } V } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \mathrm { d } V . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c } { { { 0 } } } & { { { 0 } } } & { { { 0 } } } & { { { 0 } } } \\ { { 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad .