harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mid d w \mid ^ { 2 } = \mid \partial _ { z } w \, d z + \partial _ { \overline { { { z } } } } w \, d \overline { { { z } } } \mid ^ { 2 } = \mid \partial _ { z } w \mid ^ { 2 } \, \mid d z + \mu \, d \overline { { { z } } } \mid ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { Z } _ { i , \beta _ { k + 1 } } } { \mathcal { Z } _ { i , \beta _ { k } } } } & { = \int p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ^ { \beta _ { k + 1 } - \beta _ { k } } \frac { p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ^ { \beta _ { k } } p ( \ensuremath { \vec { \theta } } ) } { \mathcal { Z } _ { \beta _ { k } } } \, \mathrm { d } \ensuremath { \vec { \theta } } } \\ & { = \mathbb { E } _ { \beta } \left[ p \left( y \vert \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } \right) ^ { \beta _ { k + 1 } - \beta _ { k } } \right] } \\ & { \approx \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } p \left( y \vert \ensuremath { \vec { \theta } } _ { k } ^ { i } , \mathcal { M } _ { i } \right) ^ { \beta _ { k + 1 } - \beta _ { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) } & { = } & { e ^ { - r t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { ( c ^ { - \alpha } ; c ^ { - \alpha } ) _ { m } ( c ^ { \alpha } ; c ^ { \alpha } ) _ { n - m } } } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \left( ( 1 - \delta _ { n 0 } ) \frac { ( t - t ^ { \prime } ) ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } + \delta _ { n 0 } \delta ( t - t ^ { \prime } ) \right) p _ { 0 } ( x - c ^ { n } x _ { 0 } , c ^ { \alpha m } t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \alpha } ^ { k } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \beta S _ { \alpha } ^ { k - 1 } ( x ) , } & { S _ { \alpha } ^ { k - 1 } ( x ) \in [ 0 , 1 / \beta ] } \\ { \beta S _ { \alpha } ^ { k - 1 } ( x ) - \alpha , } & { S _ { \alpha } ^ { k - 1 } ( x ) \in ( \alpha / \beta , 1 ] } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \beta \alpha B ^ { k - 1 } ( x / \alpha ) , } & { B _ { \alpha } ^ { k - 1 } ( x / \alpha ) \in [ 0 , 1 / \beta \alpha ] } \\ { \beta \alpha B ^ { k - 1 } ( x / \alpha ) - \alpha , } & { B _ { \alpha } ^ { k - 1 } ( x / \alpha ) \in ( 1 / \beta , 1 / \alpha ] } \end{array} \right. } \\ & { = \alpha B ^ { k } ( x / \alpha ) , } \end{array}
s \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( u \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( u \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! / \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\frac { 1 } { p } \left| \sum _ { \substack { j \in I ( i , x ( t ) ) \, j \neq i } } ( x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) ) \right| = | x _ { i } ( t + 1 ) - x _ { i } ( t ) | < \frac { 1 } { 4 d } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, .
\begin{array} { r l r } { S _ { f e } } & { { } \approx } & { \frac { Z _ { i } ^ { 2 } e ^ { 4 } \, n _ { e } \, G \left( x _ { e } \right) } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, m _ { e i } m _ { i } \, v _ { i } ^ { 2 } } \, \ln \Lambda _ { f e } \, , } \\ { G \left( x _ { e } \right) } & { { } \approx } & { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \, \left( \int _ { 0 } ^ { x _ { e } } d t \, e ^ { - t ^ { 2 } } - x _ { e } \, e ^ { - x _ { e } ^ { 2 } } \right) \, , } \\ { x _ { e } } & { { } \approx } & { \sqrt { \frac { m _ { e } v _ { i } ^ { 2 } } { 2 \, k T _ { e } } } \, , } \\ { m _ { e i } } & { { } = } & { \frac { m _ { e } m _ { i } } { m _ { e } + m _ { i } } \, . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { f \in \mathrm { ~ c ~ v ~ x ~ } ( p ) } \operatorname* { i n f } _ { g \in \mathrm { ~ c ~ v ~ x ~ } ( q ) } \left\{ \mathbb { E } _ { p } [ - f ( X ) ] + \mathbb { E } _ { q } [ - \langle Y , \nabla g ( Y ) \rangle - f ( \nabla g ( Y ) ) ] \right\} .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { z } [ f _ { k } ( \overline { { Z } } _ { \delta } , \delta ) ] - f _ { k } ( z , 0 ) } & { = \mathbb { E } _ { z } [ f _ { k } ( \overline { { Z } } _ { \delta } , \delta ) ] - f _ { k } ( \varphi _ { \delta } ( z ) , \delta ) + f _ { k } ( \varphi _ { \delta } ( z ) , \delta ) - f _ { k } ( z , 0 ) . } \end{array}
\zeta _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } = \frac { 1 } { F } \sum _ { i j } F _ { i j } ^ { i ^ { \prime } 0 } \zeta _ { i } \xi _ { j } \, , \quad \xi _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } = \frac { 1 } { F } \sum _ { i j } F _ { i j } ^ { 0 j ^ { \prime } } \zeta _ { i } \xi _ { j } \, .
\begin{array} { r } { \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { u } } \! + \! \left( \! 1 \! - \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { u } } \! \right) \! \sqrt { \! \frac { { \bar { \omega } } _ { 0 } } { { \bar { \omega } } ( y ) } } \cos \left[ \bar { \phi } ( y , 0 ) \right] \lesssim \bar { J } ( y ) \lesssim \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { d } } - \left( \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { n _ { d } } \! - \! 1 \! \right) \! \sqrt { \! \frac { { \bar { \omega } } _ { 0 } } { { \bar { \omega } } ( y ) } } \cos \left[ \bar { \phi } ( y , 0 ) \right] , } \end{array}
\partial _ { + } ( \Gamma ^ { ( 1 ) - 1 } \, \partial _ { - } \Gamma ^ { ( 1 ) } ) = - \Gamma ^ { ( 1 ) - 1 } \, \Gamma ^ { ( 2 ) } , \qquad \partial _ { + } ( \Gamma ^ { ( 2 ) - 1 } \, \partial _ { - } \Gamma ^ { ( 2 ) } ) = \Gamma ^ { ( 1 ) - 1 } \, \Gamma ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { e } _ { t } ( N ) } & { : = 2 \operatorname* { i n f } _ { L > 1 + \eta ( 2 L ^ { - 1 } ) } \left\{ \sum _ { r = 1 } ^ { t - 1 } ( L \vartheta + \eta ) \mathfrak { e } _ { r } ( N ) + \eta ( 2 L ^ { - 1 } ) \right\} + \frac { t } { N } + \mathfrak { r } _ { \mathfrak { K } } ( N ) , \quad t = 2 , \dots , T . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { x } & & { y } & & { z } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l l } { T _ { x x } } & & { T _ { x y } } & & { T _ { x z } } \\ { T _ { x y } } & & { T _ { y y } } & & { T _ { y z } } \\ { T _ { x z } } & & { T _ { z y } } & & { T _ { z z } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right] } & { = x ^ { 2 } T _ { x x } + y ^ { 2 } T _ { y y } + z ^ { 2 } T _ { z z } + 2 ( x y T _ { x y } + x z T _ { x z } + y z T _ { y z } ) } \\ { \mathcal { N } ( 2 ) \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l } { a _ { 0 } ^ { 2 } } & & { a _ { 1 } ^ { 2 } } & & { a _ { - 1 } ^ { 2 } } & & { a _ { 2 } ^ { 2 } } & & { a _ { - 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \frac { 2 z ^ { 2 } - y ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 3 } } } \\ { x z } \\ { y z } \\ { x y } \\ { \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right] } & { = \mathcal { N } ( 2 ) ( x ^ { 2 } ( \frac { a _ { - 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 3 } } ) + y ^ { 2 } ( - \frac { a _ { - 2 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 3 } } ) + z ^ { 2 } \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } + a _ { 2 } ^ { 2 } x y + a _ { 1 } ^ { 2 } x z + a _ { - 1 } ^ { 2 } y z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } ( E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { i } , E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { j } ) \approx } & { { } \left( \mathbf { \tilde { k } } _ { e _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } ^ { i } \right) ^ { T } \mathbf { \widetilde { K } } ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { k } } _ { e _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } ^ { j } } \\ { \left( \mathbf { \widetilde { K } } \right) _ { a b } = } & { { } k _ { e _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } ( \mathbf { \tilde { x } } _ { a } , \mathbf { \tilde { x } } _ { b } ) } \\ { \left( \mathbf { \tilde { k } } _ { e _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } ^ { i } \right) _ { a } = } & { { } \sum _ { g \in i } w _ { g } ^ { i } k _ { e _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } } ( \mathbf { x } _ { g } ^ { i } , \mathbf { \tilde { x } } _ { a } ) . } \end{array}
\left[ \Pi _ { \hbar } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \mathbf { a } } & { c } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { \mathbf { b } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \psi \right] ( x ) = e ^ { i \hbar c } e ^ { i b \cdot x } \psi ( x + \hbar a )
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } } & { = } & { 2 d \alpha _ { + } \alpha _ { - } ( 2 m ^ { 2 } + i \, k \nu ) \left[ m ^ { 2 } ( R _ { + } + R _ { - } - r _ { + } - r _ { - } ) - d ( R _ { + } + R _ { - } + r _ { + } + r _ { - } ) \right] } \\ & { } & { - 2 m d \left[ d ^ { 2 } - m ^ { 4 } - i \, k \nu ( 2 m ^ { 2 } + i \, k \nu ) \right] \left[ \alpha _ { - } ( R _ { + } - R _ { - } ) - \alpha _ { + } ( r _ { + } - r _ { - } ) \right] } \\ & { } & { + 2 m d ^ { 2 } ( m ^ { 2 } - k ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } - 2 \, i \, k \nu ) \left[ \alpha _ { - } ( R _ { + } - R _ { - } ) + \alpha _ { + } ( r _ { + } - r _ { - } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { 2 } ^ { \star } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ^ { ( 1 ) } = \frac { \hbar ^ { 2 } \, \lambda } 2 \, \int _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } \, \frac { { \mathrm { e } } ^ { - { \mathrm { i } } \, k _ { 1 } \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } } { \big ( k _ { 1 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } \big ) ^ { 2 } \, \big ( k _ { 2 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } \big ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 4 t h } } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ d ~ } ) } & { { } = \frac { 1 } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \, \sum _ { K = 0 } ^ { M } ( - 1 ) ^ { K } H _ { K } \left( 1 / 2 \right) ( 2 ( M - K ) - 1 ) ! ! } \end{array}
{ \boldsymbol { u } } = u _ { \rho } { \boldsymbol { e } } _ { \rho } + u _ { z } { \boldsymbol { e } } _ { z } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \Psi } { \partial z } } { \boldsymbol { e } } _ { \rho } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \Psi } { \partial \rho } } { \boldsymbol { e } } _ { z } .
\begin{array} { r l } & { B _ { r } ( r , \theta , \phi ) = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } [ A _ { l m } l r ^ { ( l - 1 ) } - B _ { l m } ( l + 1 ) r ^ { - ( l + 2 ) } ] Y _ { l m } ( \theta , \phi ) , } \\ & { B _ { \theta } ( r , \theta , \phi ) = \frac 1 r \frac { \partial \Phi ( r , \theta , \phi ) } { \partial \theta } , } \\ & { B _ { \phi } ( r , \theta , \phi ) = \frac 1 { r \sin ( \theta ) } \frac { \partial \Phi ( r , \theta , \phi ) } { \partial \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 2 } ^ { ( n ) } } & { = \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n - 2 } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \sim \frac { 2 ^ { 1 - D } g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } \sqrt { \pi ^ { D } } \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) } \int ^ { \Lambda } \frac { k ^ { D - 1 } d k } { k ^ { 8 n + 2 } } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 1 - D } g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } \sqrt { \pi ^ { D } } \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) ( D - 8 n - 2 ) } \Lambda ^ { D - 8 n - 2 } \, . } \end{array}
I _ { 2 } = \frac { 2 e } { h \Gamma _ { a } } \left( N \Gamma _ { g } ^ { 2 } \right) \left( \tan ^ { - 1 } \frac { \varepsilon _ { 0 } + e V / 2 } { \Gamma _ { a } } - \tan ^ { - 1 } \frac { \varepsilon _ { 0 } - e V / 2 } { \Gamma _ { a } } \right)
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { M } ^ { t } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { w } _ { i } } & { = \hat { \lambda } _ { i } ( t ) \mathbf { M } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { w } _ { i } , } & { \mathbf { M } ^ { L } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { w } _ { i } } & { = \hat { \kappa } _ { i } \mathbf { M } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { w } _ { i } . } \end{array}
\int n ( { \bf r } , t ) { \bf r } \times \nabla v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ( { \bf r } , t ) d ^ { 3 } r = \int { \bf r } \times \partial _ { t } { \bf j } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ( { \bf r } , t ) d ^ { 3 } r
\Delta ( P _ { + } ) = \prod _ { i < j } ( X _ { i , + } - X _ { j , + } ) ^ { 2 } = 0 \quad \mathrm { o r } \quad \Delta ( P _ { - } ) = \prod _ { i < j } ( X _ { i , - } - X _ { j , - } ) ^ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l } { E ( \zeta ) } & { { } = E _ { \mathrm { b g } } + ( E _ { \mathrm { c h } } - E _ { \mathrm { b g } } ) \exp \left( \frac { \zeta - \zeta _ { \mathrm { c h } } } { L _ { \mathrm { l o s s } } } \right) , } \end{array}
u _ { \mathrm { s } } ( x , t ; \eta _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { 0 } ) = 2 \eta _ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 2 } [ \eta _ { 1 } ( x - 4 \eta _ { 1 } ^ { 2 } t - x _ { 1 } ^ { 0 } ) ] ,
{ \mathbb P } ( \{ \vert X _ { i } - \mu _ { i } \vert \leq \ln ( M ) - \mu _ { i } \} ) = 1 - 2 { \mathbb P } ( Z \geq \frac { \ln ( M ) - \mu _ { i } } { \sigma _ { i i } } ) \geq 1 - e ^ { - \frac { ( \ln ( M ) - \mu _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i i } ^ { 2 } } } \geq 1 - e ^ { - \frac { ( \ln ( M ) - \mu _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { A } & { { } \equiv \frac { i \Tilde { \beta } ^ { 2 } } { 2 \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } , } \\ { \Tilde { \beta } ^ { 2 } } & { { } \equiv \sigma ^ { 2 } \cos { \alpha } + \frac { z } { k } \sin { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } x _ { i } \in x _ { j } : \; \; } & { { } \mathbf { r e t u r n } \; \, E _ { i , j , n } ; } & { } & { { } { \mathrm { / / ~ } } E _ { i , j , n } \; \, = \{ ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) : x _ { i } \in x _ { j } \} } \\ { x _ { i } \in Y _ { k } : \; \; } & { { } \mathbf { r e t u r n } \; \, E _ { i , Y _ { k } , n } ; } & { } & { { } { \mathrm { / / ~ } } E _ { i , Y _ { k } , n } = \{ ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) : x _ { i } \in Y _ { k } \} } \\ { \neg \psi : \; \; } & { { } \mathbf { r e t u r n } \; \, \complement _ { V ^ { n } } { \mathrm { C l a s s } } ( \psi , \, n ) ; } & { } & { { } { \mathrm { / / ~ } } \complement _ { V ^ { n } } { \mathrm { C l a s s } } ( \psi , \, n ) = V ^ { n } \setminus { \mathrm { C l a s s } } ( \psi , \, n ) } \\ { \psi _ { 1 } \land \psi _ { 2 } : \; \; } & { { } \mathbf { r e t u r n } \; \, { \mathrm { C l a s s } } ( \psi _ { 1 } , \, n ) \cap { \mathrm { C l a s s } } ( \psi _ { 2 } , \, n ) ; } & { } & { { } } \\ { \; \; \; \; \, \exists x _ { n + 1 } ( \psi ) : \; \; } & { { } \mathbf { r e t u r n } \; \, D o m ( { \mathrm { C l a s s } } ( \psi , \, n + 1 ) ) ; } & { } & { { } { \mathrm { / / ~ } } x _ { n + 1 } { \mathrm { ~ i s ~ f r e e ~ i n ~ } } \psi ; { \mathrm { ~ C l a s s } } ( \psi , \, n + 1 ) } \end{array}
{ \frac { \mathrm { o d d } } { \mathrm { e v e n } } } + { \frac { 1 } { p _ { n + 1 } } } = { \frac { { \mathrm { o d d } } \cdot p _ { n + 1 } + { \mathrm { e v e n } } } { { \mathrm { e v e n } } \cdot p _ { n + 1 } } } = { \frac { { \mathrm { o d d } } + { \mathrm { e v e n } } } { \mathrm { e v e n } } } = { \frac { \mathrm { o d d } } { \mathrm { e v e n } } }
\begin{array} { r l } { \zeta _ { 2 } = } & { \sum _ { p , q \in I ( N ) } \eta _ { p } \eta _ { q } \delta _ { \mathbf { 0 } , \mathbf { k } _ { p } + \mathbf { k } _ { q } } = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N } | \eta _ { n } | ^ { 2 } = \Phi , } \\ { \zeta _ { 3 } = } & { \sum _ { p , q , r \in { I } ( N ) } \eta _ { p } \eta _ { q } \eta _ { r } \delta _ { \mathbf { 0 } , \mathbf { k } _ { p } + \mathbf { k } _ { q } + { \mathbf { k } _ { r } } } , } \\ { \zeta _ { 4 } = } & { \sum _ { p , q , r , s \in { I } ( N ) } \eta _ { p } \eta _ { q } \eta _ { r } \eta _ { s } \delta _ { \mathbf { 0 } , \mathbf { k } _ { p } + \mathbf { k } _ { q } + { \mathbf { k } _ { r } } + \mathbf { k } _ { s } } , } \end{array}
a ^ { 2 } ( \nabla ^ { 2 } ) ^ { 2 } B _ { 0 } - ( { \frac { 2 a } { g } } - 4 \alpha ^ { 2 } ) \nabla ^ { 2 } B _ { 0 } + { \frac { B _ { 0 } } { g ^ { 2 } } } = 0 .
\overline { { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } } = { \frac { 1 } { T } } \int _ { T - t / 2 } ^ { T + t / 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } d t
M _ { n } ^ { t r e e } = 2 ^ { n / 2 } \, g ^ { n - 2 } \, \sum _ { S _ { n } / Z _ { n } } \mathrm { t r } ( \lambda ^ { d _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots \lambda ^ { d _ { \sigma ( n ) } } ) \, m _ { n } ( p _ { \sigma ( 1 ) } , \nu _ { \sigma ( 1 ) } ; . . . ; p _ { \sigma ( n ) } , \nu _ { \sigma ( n ) } ) \, ,
\delta = \arctan \left( \frac { r J _ { 0 } ( \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } _ { 0 } ) + J _ { 1 } ( \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } _ { 0 } ) } { r Y _ { 0 } ( \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } _ { 0 } ) + Y _ { 1 } ( \tilde { k } _ { i } \tilde { \rho } _ { 0 } ) } \right)
I _ { \mathrm { t h r } } = \kappa ( n ) \alpha ^ { n - 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \left\{ [ ( 1 + \alpha ) x - 1 ] ^ { 2 } - i 0 ^ { + } \right\} ^ { \frac { n } { 2 } - 2 } ,
\begin{array} { r l } { \Delta f _ { n } ( x , \theta ) } & { { } { } = { } f _ { n + 1 } ( x , \theta ) - \hat { f } _ { n } ( x , \theta ) { } + { } \hat { f } _ { n } ( x , \theta ) - f _ { n } ( x , \theta ) } \end{array}
{ m _ { 1 1 } ^ { U } } = . 0 0 2 , { m _ { 1 2 } ^ { U } } = { m _ { 2 1 } ^ { U } } = 0 , { m _ { 2 2 } ^ { U } } = 4 . 4 , { m _ { 3 3 } ^ { U } } = 1 1 7
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \pi _ { 1 } - \pi _ { 2 } , } \\ { \Lambda _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } , } \end{array}
\frac { D } { D t } \eta ^ { \prime } \equiv \left( \frac { \partial } { \partial t } + c \frac { \partial } { \partial x } \right) \eta ^ { \prime } = s \eta ^ { \prime } \frac { \partial } { \partial x } \eta ^ { \prime } + D \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \eta ^ { \prime } .
\begin{array} { r } { p _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } = p _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = p _ { \mathrm { ~ E ~ R ~ } } = \langle k \rangle N / \left[ m \binom { N } { m } \right] \approx \langle k \rangle \frac { ( m - 1 ) ! } { N ^ { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \delta ^ { - 1 } L ^ { 2 ( d - \gamma ) } ( 1 + \delta L ^ { 2 \gamma } P ) ^ { - 1 } , } & & { \mathrm { i f } \, \, \gamma \leq 1 / 2 \, \, \mathrm { o r } \, \, P = 0 } \\ & { \delta ^ { - 2 } L ^ { 2 ( d - \gamma ) } \operatorname* { m i n } ( ( L P ) ^ { - 1 } + L ^ { - ( 2 - 2 \gamma ) } , L ^ { - 1 0 \eta } ) , } & & { \mathrm { i f } \, \, \gamma > 1 / 2 \, \, \mathrm { a n d } \, \, P \neq 0 } \end{array}
f _ { 0 , \mathrm { a n i s o } } \left( \boldsymbol { p } \right) = \frac { n _ { \mathrm { C R } } \xi ^ { 2 } } { \left( \pi \kappa p _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 . 5 } } \frac { \mathcal { G } \left( \kappa + 1 \right) } { \mathcal { G } \left( \kappa - 0 . 5 \right) } \left( 1 + \frac { p ^ { 2 } } { \kappa p _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \mu ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } \right) \right) ^ { - \kappa - 1 } ,
k _ { 7 } = 0 . 4 1 4 2 \, k _ { 6 } \ , \quad k _ { 8 } = 0 . 4 1 4 3 k _ { 7 } \ , \quad k _ { 9 } = 0 . 4 1 2 8 \, k _ { 8 } \ , \quad k _ { 1 0 } = 0 . 4 1 6 7 \, k _ { 9 } \ , \ldots
\begin{array} { r l r } { \frac { D u ^ { \mu } } { d \tau } } & { { } = } & { \frac { q } { m } F _ { \ \ \nu } ^ { \mu } u ^ { \nu } + \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 m } \left( \frac { q } { m } \nabla _ { \alpha } F _ { \ \ \nu } ^ { \mu } u ^ { \alpha } u ^ { \nu } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } } & { { } = \mathcal { P } _ { u } \bar { f } + ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } = 0 + ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \bar { \mathcal { S } } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) } \end{array}
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ P ~ R ~ } } = \left\{ \left( \frac { 1 } { 2 } , \, \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ P ~ R ~ } } ^ { ( 0 ) } \right) , \: \left( \frac { 1 } { 2 } , \, \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ P ~ R ~ } } ^ { ( 1 ) } \right) \right\} ,
\langle v _ { I , A \tilde { A } } ( \tau ) v _ { J , B \tilde { B } } ^ { \dagger } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \delta ^ { I J } \delta ^ { A B } \delta ^ { \tilde { A } \tilde { B } } \int \frac { d k } { 2 \pi } \frac { e ^ { i k ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } } { k ^ { 2 } + r ^ { 2 } / \lambda ^ { 2 } } \equiv \delta ^ { I J } \delta ^ { A B } \delta ^ { \tilde { A } \tilde { B } } \Delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) .
\langle f | S | i \rangle = \left[ i \int d ^ { 4 } x _ { 1 } e ^ { - i p _ { 1 } x _ { 1 } } \left( \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right) \right] \cdots \left[ i \int d ^ { 4 } x _ { n } e ^ { i p _ { n } x _ { n } } \left( \partial _ { x _ { n } } ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right) \right] \langle \Omega | T \{ \phi ( x _ { 1 } ) \dots \phi ( x _ { n } ) \} | \Omega \rangle .
\begin{array} { r } { Q ^ { + } = W ^ { Q , + } \hat { \mathbf { h } } ^ { z } , K ^ { + } = W ^ { K , + } \hat { \mathbf { h } } ^ { \mathbf { z } } , } \\ { Q ^ { - } = W ^ { Q , - } \hat { \mathbf { h } } ^ { \mathbf { z } } , K ^ { - } = W ^ { K , - } \hat { \mathbf { h } } ^ { \mathbf { z } } , } \\ { W ^ { + } = \mathrm { ~ S ~ o ~ f ~ t ~ M ~ a ~ x ~ } ( \frac { Q ^ { + } ( K ^ { + } ) ^ { T } } { \sqrt { d } } ) , } \\ { W ^ { - } = \mathrm { ~ S ~ o ~ f ~ t ~ M ~ a ~ x ~ } ( \frac { Q ^ { - } ( K ^ { - } ) ^ { T } } { \sqrt { d } } ) , } \end{array}
\mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( h ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N } } \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } | \nabla _ { i } h ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) | ^ { 2 } } { h ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) } \, d x _ { 1 } , \ldots , d x _ { N } \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sqrt { h } \in H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { 3 N } ) } \\ { + \infty } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) = \left[ \frac { 1 } { 4 } ( \nabla + \mathrm { i } \alpha \mathbf { k } _ { 0 } ) \chi _ { + } ^ { [ 1 ] } { \xi } _ { + } ^ { [ 1 ] } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \right] + \left[ \frac { 1 } { 4 } ( \nabla + \mathrm { i } \alpha \mathbf { k } _ { 0 } ) \chi _ { + } ^ { [ 1 ] } \big ( \xi _ { + } ^ { [ 1 ] } \big ) ^ { * } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \right] . } \end{array}
\frac { \dot { n } _ { \mathrm { ~ t ~ w ~ o ~ } } } { \dot { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ e ~ e ~ } } } = \frac { L _ { 3 } ^ { 1 2 } } { 3 L _ { 3 } } \left( 1 / x _ { 3 } - 1 \right) + \frac { L _ { 3 } ^ { 2 3 } } { 3 L _ { 3 } } \left( 1 / x _ { 1 } - 1 \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( p ) - \mathcal { E } ( \Bar { p } ) = } & { \mathrm { K L } ( p \| \Bar { p } ) + \int \log ( \Bar { p } ( \theta ) ) ( p - \Bar { p } ) ( \theta ) d \theta } \\ { = } & { \mathrm { K L } ( p \| \Bar { p } ) + \int \left( l ( \theta ) + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } \| \theta \| ^ { 2 } \right) ( \Bar { p } - p ) ( \theta ) d \theta } \\ { \leq } & { \mathrm { K L } ( p \| \Bar { p } ) + C \| \Bar { p } - p \| _ { \mathrm { T V } } + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } \int \| \theta \| ^ { 2 } ( \Bar { p } - p ) ( \theta ) d \theta . } \end{array}
\tilde { h } = \frac { 1 } { 1 + ( a u ) ^ { 7 - p } } , \ \ \ a ^ { 7 - p } = \tilde { b } ^ { 2 } / R ^ { 7 - p } , \ \ \ R ^ { 7 - p } = \frac { 1 } { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 6 - p } \pi ^ { - ( 7 - p ) / 2 } \Gamma [ ( 7 - p ) / 2 ] \hat { g } _ { s } N .