harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } G _ { i j } ^ { < , \sigma } ( t ) = } & { { } \Big [ h ^ { \sigma } , G ^ { < , \sigma } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ I + I ^ { \dagger } \Big ] _ { i j } ^ { \sigma } ( t ) , } \\ { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Delta G _ { i j } ^ { \lambda , \sigma } ( t ) = } & { { } \Big [ h ^ { \sigma } , \Delta G ^ { \lambda , \sigma } \Big ] _ { i j } ( t ) } \end{array}
2 { \binom { n + 2 } { 2 } } - 3 { \binom { n + 1 } { 1 } } + { \binom { n } { 0 } } = 2 { \frac { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } { 2 } } - 3 ( n + 1 ) + 1 = n ^ { 2 } ,
\xi ^ { 2 } ( x ^ { 5 } ) = \frac { 2 \alpha } { \alpha + \beta } \; e ^ { - \sqrt { \frac 3 2 } \, ( \beta - \alpha ) \, x ^ { 5 } } \, , \qquad A ( x ^ { 5 } ) = - \frac { \alpha \, x ^ { 5 } } { { \sqrt { 6 } } } + \frac { 1 } { 6 } \log \frac { \alpha + \beta - 2 \alpha e ^ { - \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \, ( \beta - \alpha ) \, x ^ { 5 } } } { \beta - \alpha } \, .
\begin{array} { r } { { \cal Q } _ { 3 } = K _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \left( Q _ { 1 1 1 2 } + Q _ { 2 1 1 1 } \right) + K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \left( Q _ { 1 1 1 3 } + Q _ { 3 1 1 1 } \right) , } \\ { { \cal Q } _ { 2 } = \left( K _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \left( Q _ { 1 1 2 2 } + Q _ { 2 1 1 2 } + Q _ { 2 2 1 1 } \right) } \\ { + K _ { 1 } ^ { ( 1 ) } K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \left( Q _ { 1 1 2 3 } + Q _ { 1 1 3 2 } + Q _ { 2 1 1 3 } + Q _ { 2 3 1 1 } + Q _ { 3 1 1 2 } + Q _ { 3 2 1 1 } \right) } \\ { + \left( K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \right) ^ { 2 } \left( Q _ { 1 1 3 3 } + Q _ { 3 1 1 3 } + Q _ { 3 3 1 1 } \right) , } \\ { { \cal Z } _ { 0 } = \left( K _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 4 } Q _ { 2 2 2 2 } + \left( K _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 3 } K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \left( Q _ { 2 2 2 3 } + Q _ { 2 2 3 2 } + Q _ { 2 3 2 2 } + Q _ { 3 2 2 2 } \right) } \\ { + \left( K _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \left( K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \right) ^ { 2 } \left( Q _ { 2 2 3 3 } + Q _ { 2 3 2 3 } + Q _ { 2 3 3 2 } + Q _ { 3 2 2 3 } + Q _ { 3 2 3 2 } + Q _ { 3 3 2 2 } \right) } \\ { + K _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \left( K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \right) ^ { 3 } \left( Q _ { 2 3 3 3 } + Q _ { 3 2 3 3 } + Q _ { 3 3 2 3 } + Q _ { 3 3 3 2 } \right) + \left( K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \right) ^ { 4 } Q _ { 3 3 3 3 } . } \end{array}
S _ { \delta \theta } = \frac { 1 } { I ^ { 2 } } \frac { 2 I \Gamma k _ { B } T + 4 S _ { \theta _ { n } } [ \omega ] \beta ^ { 2 } P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } G _ { D } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { \left( \omega _ { m } ^ { \prime \, 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \Gamma ^ { \prime \, 2 } }
\begin{array} { r l } { V _ { p } ^ { \mathrm { l i n e a r } } } & { \sim R e _ { p } \int ^ { r } d r ^ { \prime } \left( \, \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { \prime } } + \lambda \beta \gamma \, + \, \frac { \lambda \gamma \beta } { r ^ { 2 } } + \, \frac { \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { r ^ { \prime } } \right) , } \\ & { \sim R e _ { p } \left( \beta ^ { 2 } \ln r + \lambda \beta \gamma r \, + \, \frac { \lambda \gamma \beta } { r } + \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \ln r \right) , } \\ { V _ { p } ^ { \mathrm { n o n - l i n e a r } } } & { \sim R e _ { p } \int ^ { r } d r ^ { \prime } \left( \, \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } + \, \frac { \lambda \beta \gamma } { r ^ { 5 } } + \, \frac { \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { r ^ { 6 } } \right) , } \\ & { \sim R e _ { p } \left( \, \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } + \, \frac { \lambda \beta \gamma } { r ^ { 4 } } + \, \frac { \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { u _ { A } } } \\ { { \overline { { { v } } } ^ { \dot { B } } } } \end{array} \right) \longrightarrow e ^ { i \chi } \left( \begin{array} { l } { { u _ { A } } } \\ { { \overline { { { v } } } ^ { \dot { B } } } } \end{array} \right) \ \ \ \mathrm { w e ~ h a v e }
\rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \, ,
\big | \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) - \widehat \mathrm { R e m } ( R , Z , t ) \big | \, \le \, C \delta ^ { - 1 } \epsilon ^ { 5 } \beta _ { \epsilon } ^ { 3 } \, ( 1 + \rho ) ^ { 5 } \, e ^ { - \gamma \rho ^ { 2 } / 4 } \, , \qquad \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 0 } } \, ,
J = \frac { E _ { \mathrm { H S } } - E _ { \mathrm { B S } } } { \langle S _ { \mathrm { B S } } ^ { 2 } \rangle - \langle S _ { \mathrm { H S } } ^ { 2 } \rangle } = \frac { E _ { \mathrm { P S } } - E _ { \mathrm { B S } } } { \langle S _ { \mathrm { B S } } ^ { 2 } \rangle - \langle S _ { \mathrm { P S } } ^ { 2 } \rangle } ,
\begin{array} { r l } & { { J } = J ( \theta , \eta ) : = \frac { ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) ^ { 2 } } { 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) } , } \\ & { G _ { 1 } ( x , y , z ) = \left( \sqrt { 1 + x } \sqrt { 1 + y } + z \frac { \left( \sqrt { 1 + x } - \sqrt { 1 + y } \right) ^ { 2 } } { ( x - y ) ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } \frac { \sqrt { 1 + x } } { 2 \sqrt { 1 + y } } } \\ & { G _ { 2 } ( x , y , z ) = \left( \sqrt { 1 + x } \sqrt { 1 + y } + z \frac { \left( \sqrt { 1 + x } - \sqrt { 1 + y } \right) ^ { 2 } } { ( x - y ) ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } \sqrt { 1 + x } \sqrt { 1 + y } } \\ & { G _ { 3 } ( x , y , z ) = \left( \sqrt { 1 + x } \sqrt { 1 + y } + z \frac { \left( \sqrt { 1 + x } - \sqrt { 1 + y } \right) ^ { 2 } } { ( x - y ) ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } \left( \frac { \sqrt { 1 + y } ( \sqrt { 1 + x } - \sqrt { 1 + y } ) } { x - y } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 4 \, 1 } ^ { 2 } ( i ) } & { { } = \frac { 2 1 } { 1 6 } \sqrt { 1 0 } ( \sin i ) ^ { 3 } \cos i - \frac { 9 } { 1 6 } \sqrt { 1 0 } \sin i \cos i } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { f } ^ { G } ( \mu _ { l } , p _ { l } ) - f ( \mu _ { l } , p _ { l } ) = \frac { - p _ { l } ( N _ { l } - \lambda ( p _ { l } ) T _ { k } ) } { T _ { k } } + \frac { 1 } { ( 1 - 2 \alpha ) T _ { k } } \int _ { \alpha T _ { k } } ^ { ( 1 - \alpha ) T _ { k } } [ \underbrace { \hat { W } _ { l } ( t ) - W _ { l } ( t ) } _ { \mathrm { d e l a y e d ~ o b s e r v a t i o n } } + \underbrace { W _ { l } ( t ) - w _ { l } } _ { \mathrm { t r a n s i e n t ~ e r r o r } } ] ~ d t , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \gamma , \mathrm { s u r f } } ^ { \pm } } & { = } & { \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } H _ { \gamma , \mathrm { 3 D } } \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } } \\ & { = } & { \pm i \{ t _ { 1 } \cos k _ { y } \sigma _ { 0 } + ( u + v \cos k _ { x } ) \sigma _ { x } + [ v \sin k _ { x } \pm i ( \gamma / 2 + t _ { 2 } \sin k _ { y } ) ] \sigma _ { y } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ( 2 0 ) = \operatorname* { g c d } ( \sigma _ { F } ( 2 0 , 0 ) , \sigma _ { F } ( 2 0 , 1 ) , \sigma _ { F } ( 2 0 , 2 ) , \ldots ) } & { = \operatorname* { g c d } ( F _ { 1 0 } L _ { 1 2 } , F _ { 1 0 } L _ { 1 3 } , F _ { 1 0 } L _ { 1 4 } , \ldots ) } \\ & { = F _ { 1 0 } \cdot \operatorname* { g c d } ( L _ { 1 2 } , L _ { 1 3 } , L _ { 1 4 } , \ldots ) } \\ & { = F _ { 1 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { l o s s } } \Vert P _ { \mathrm { f r e e } } \right) } \\ { = } & { S \left( P _ { \mathrm { f r e e } } \right) - S \left( P _ { \mathrm { l o s s } } \right) - \beta _ { \mathrm { f r e e } } \left( U _ { \mathrm { f r e e } } - U _ { \mathrm { l o s s } } \right) , } \\ { = } & { \Delta S - \frac { \Delta U } { T _ { \mathrm { f r e e } } } , } \end{array}
\hat { T } _ { { a , b } } ( \boldsymbol { r } ) = \frac { 1 } { 2 M } \hat { \boldsymbol { p } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 M } \left( \frac { 1 } { M } \hat { \boldsymbol { p } } M \right) \cdot \hat { \boldsymbol { p } } + U _ { a , b } ( \boldsymbol { r } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \vec { \bf P } _ { 0 } } & { { } = \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { i } } \\ { \vec { \bf P } _ { 1 } } & { { } = \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { i } + \frac { s _ { i } } { 3 } \ensuremath { \boldsymbol { V } } _ { i } } \\ { \vec { \bf P } _ { 2 } } & { { } = \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { i + 1 } - \frac { s _ { i } } { 3 } \ensuremath { \boldsymbol { V } } _ { i + 1 } } \\ { \vec { \bf P } _ { 3 } } & { { } = \ensuremath { \boldsymbol { x } } _ { i + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 \dim \mathcal F _ { \lambda , \mu } \leq } & { 4 \biggl ( \dim V ( \lambda _ { 1 } \omega _ { 1 } + ( \lambda _ { 2 } + k + 1 ) \omega _ { 2 } ) \dim V ( \mu _ { 1 } \omega _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \omega _ { 2 } ) } \\ & { + \dim V ( ( \lambda _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \omega _ { 2 } ) \dim V ( \mu _ { 1 } \omega _ { 1 } + ( \lambda _ { 2 } + k ) \omega _ { 2 } ) } \\ & { - \dim V ( ( \lambda _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } + ( \lambda _ { 2 } + k + 1 ) \omega _ { 2 } ) \dim V ( \mu _ { 1 } \omega _ { 1 } + ( \lambda _ { 2 } - 1 ) \omega _ { 2 } ) } \\ & { - \dim V ( | \lambda | \omega _ { 1 } + k \omega _ { 2 } ) \dim V ( ( \mu _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } ) \biggr ) } \\ { \leq } & { ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + k + 2 ) ( | \lambda | + k + 3 ) ( \mu _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | + 2 ) } \\ & { + \lambda _ { 1 } ( \mu _ { 1 } + 1 ) \biggl ( ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( | \lambda | + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + k + 1 ) ( | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | + k + 2 ) } \\ & { - ( \lambda _ { 2 } + k + 2 ) ( \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } + k + 2 ) \lambda _ { 2 } ( | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | + 1 ) \biggr ) - ( | \lambda | + 1 ) ( k + 1 ) ( | \lambda | + k + 2 ) \mu _ { 1 } ( \mu _ { 1 } + 1 ) } \\ { \leq } & { ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \mu _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | + 2 ) \biggl ( ( \lambda _ { 2 } + k + 1 ) ( | \lambda | + k + 2 ) + \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } + 2 k + 4 \biggr ) } \\ & { + \lambda _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( | \lambda | + 1 ) ( \mu _ { 1 } + 1 ) \biggl ( ( \lambda _ { 2 } + k ) ( | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | + k + 1 ) + \mu _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } + 2 k + 2 \biggr ) } \\ & { - \lambda _ { 1 } ( \mu _ { 1 } + 1 ) \lambda _ { 2 } ( | \zeta _ { \lambda } ^ { \mu } | + 1 ) \biggl ( ( \lambda _ { 2 } + k + 1 ) ( | \lambda | + k + 1 ) + \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } + 2 k + 3 \biggr ) } \\ & { - ( | \lambda | + 1 ) \mu _ { 1 } ( \mu _ { 1 } + 1 ) \biggl ( k ( | \lambda | + k + 1 ) + | \lambda | + 2 k + 2 \biggr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \Phi } ^ { \lambda } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) } & { : = \operatorname* { i n f } _ { \nu \in \mathcal { Q } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) } A _ { \Phi } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) , } \\ { P _ { \Phi } ^ { \lambda } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) } & { : = \arg \operatorname* { i n f } _ { \nu \in \mathcal { Q } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) } A _ { \Phi } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| w \circ \Phi \| _ { q , \hat { A } } } & { \leq | \Phi | _ { 1 , \infty , \hat { V } } ^ { q } ~ J _ { m } ^ { - \frac 1 2 } ~ \| w \| _ { q , A } } & { \forall w \in H ^ { q } ( A ) , } \\ { \| w \| _ { q , A } } & { \leq | \Phi ^ { - 1 } | _ { 1 , \infty , V } ^ { q } ~ J _ { M } ^ { \frac 1 2 } ~ \| w \circ \Phi \| _ { q , \hat { A } } } & { \forall w \in H ^ { q } ( A ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { T 1 } = { } ^ { 3 } \mathbf { D } + { } ^ { 3 } \mathbf { Q } } \\ { \mathbf { T 2 } = { } ^ { 3 } \mathbf { E } + { } ^ { 3 } \mathbf { F } . } \end{array}
{ \cal L } _ { B B M } = - \beta \, \left[ \bar { B } _ { k ^ { \prime } j i } \, \left( \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } \! \cdot { \bf A } \right) _ { k ^ { \prime } k } \, B _ { i j k } + \bar { B } _ { k j ^ { \prime } i } \, \left( \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } \! \cdot { \bf A } \right) _ { j ^ { \prime } j } \, B _ { i j k } + \bar { B } _ { k j i ^ { \prime } } \, \left( \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } \! \cdot { \bf A } \right) _ { i ^ { \prime } i } \, B _ { i j k } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( F _ { j } ^ { c } ( { \cal S } ) ) } & { = } & { \sum _ { \stackrel { 0 \leq k \leq g } { k \mathrm { ~ e v e n ~ } } } { \binom { g } { k } } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { g - k } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( ( 1 - p + p ) ^ { g } + ( ( 1 - p ) - p ) ^ { g } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - 2 p ) ^ { g } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { F ^ { * } ( \omega ) - F ( \omega ) = e ^ { - ( \frac { \omega \sigma } { c } ) ^ { 2 } ( 1 + \frac { \Delta \sigma } { \sigma } ) ^ { 2 } } - e ^ { - ( \frac { \omega \sigma } { c } ) ^ { 2 } } \simeq } \\ & { } & { \simeq - 2 \frac { \Delta \sigma } { \sigma } \left( \frac { \omega \sigma } { c } \right) ^ { 2 } e ^ { - ( \frac { \omega \sigma } { c } ) ^ { 2 } } = - 2 \frac { \Delta \sigma } { \sigma } \left( \frac { \omega \sigma } { c } \right) ^ { 2 } F ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( z ) } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { 1 } } p _ { n } z ^ { n } , } \\ { q ( z ) } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { 2 } } q _ { n } z ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { x , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { x } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { y , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { y } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { z , \pm } ^ { L R } } & { = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \sigma _ { z } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \end{array}
\frac { e ^ { - n _ { \mathrm { ~ n ~ , ~ r ~ o ~ u ~ n ~ d ~ } } J / ( k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T ) } } { e ^ { - n _ { \mathrm { ~ n ~ , ~ w ~ r ~ a ~ p ~ } } J / ( k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T ) } } = e ^ { \Delta n J / ( k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T ) } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { { } = \epsilon _ { 0 } \{ \mathbf { E } \} + \epsilon _ { 0 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbf { E } _ { k } \delta ^ { ( k ) } + \mathbf { P } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \delta ( z ) ^ { ( 0 ) } \right] \cdot \nabla } \\ { \mathbf { B } } & { { } = \mu _ { 0 } \left( \{ \mathbf { H } \} + \epsilon _ { 0 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbf { H } _ { k } \delta ^ { ( k ) } + \mathbf { M } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) \right] \cdot \nabla \right) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { u } & { = ( p \mathbf { e } _ { 1 } + q \mathbf { e } _ { 2 } + r \mathbf { e } _ { 3 } ) \cdot \mathbf { n } _ { 1 } , } \\ { v } & { = ( p \mathbf { e } _ { 1 } + q \mathbf { e } _ { 2 } + r \mathbf { e } _ { 3 } ) \cdot \mathbf { n } _ { 2 } , } \\ { w } & { = ( p \mathbf { e } _ { 1 } + q \mathbf { e } _ { 2 } + r \mathbf { e } _ { 3 } ) \cdot \mathbf { n } _ { 3 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { R P } \right) } \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \left( - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \rho _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { 1 - \xi } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \pi } \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \bar { \phi } _ { \sigma } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) + \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \pi } \bar { \phi } _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \left\vert \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) \right\vert ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \rho _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \uparrow \infty } \bigg \vert \mathbb { E } \big [ W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu ^ { n } , \nu ^ { n } ) \big ] - \mathbb { E } \bigg [ \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } | \nabla h ^ { n } | ^ { 2 } \bigg ] \bigg \vert = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { l i m } _ { n \uparrow \infty } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \vert T ^ { n } - ( \mathrm { I d } + \nabla h ^ { n } ) \vert ^ { 2 } = 0 \mathrm { ~ a . s . }
L ^ { \prime } ( S _ { 0 } ) \lessgtr 0 \iff \mathcal { R } _ { 0 } ^ { f } : = \frac { \beta } { \gamma _ { 1 } } S _ { 0 } + \frac { \beta } { \gamma _ { 2 } } \alpha \nu P _ { 0 } \gtrless 1 .
\begin{array} { r } { \mu ( \mathbf { X } ) = \left( \begin{array} { l } { \mu ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { X } ) } \\ { \mu ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { X } ) } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) = \left( \begin{array} { l l } { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 1 , 1 } } & { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 1 , 2 } } \\ { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 2 , 1 } } & { k ( \mathbf { X } , \mathbf { X ^ { \prime } } ) _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\mathbf { A } = { \frac { 1 } { \lVert { \vec { l } } \rVert ^ { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l } { l _ { x } ^ { 2 } - l _ { y } ^ { 2 } } & { 2 l _ { x } l _ { y } } \\ { 2 l _ { x } l _ { y } } & { l _ { y } ^ { 2 } - l _ { x } ^ { 2 } } \end{array} \right] }
\mathbf { x } \wedge \mathbf { p } \wedge \mathbf { q } \ = \ ( x \mathbf { e } _ { 1 } + y \mathbf { e } _ { 2 } + \mathbf { e } _ { 3 } ) \wedge { \big ( } ( p _ { 2 } - q _ { 2 } ) ( \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } ) + ( p _ { 1 } - q _ { 1 } ) ( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } ) + ( p _ { 1 } q _ { 2 } - q _ { 1 } p _ { 2 } ) ( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } ) { \big ) } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T _ { p = 0 } ^ { 1 } ( S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \left\| \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \check { \beta } _ { + } ( t ) - \beta ( t ) - \frac { 1 } { n b } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 0 , 1 , 2 } A _ { j } ( r ) K _ { b } ( t _ { i } - t + ( r + 1 - j ) \omega ( t ) ) \tilde { e } _ { i } \right| \right\| _ { q } } \\ & { = O ( b ^ { - 1 / q } ( n ^ { \phi - 1 } b ^ { - 1 } h + b ^ { 3 } + n ^ { - 1 / 2 } h ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \theta } ^ { G } } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { y } ^ { 2 } } \iint \rho _ { 1 } ( x - \Delta _ { x } , y - \Delta _ { y } , \theta ) \rho _ { 2 } ( x , y , \theta ) \, d x \, d y } \end{array}
\mathbf { Q } = \left( \eta , \, \mathbf { q } , \, b \right) , \qquad \mathbb { F } ( \mathbf { Q } ) = \left( \mathbf { q } , \, \mathbf { v } \otimes \mathbf { q } , \, 0 \right) , \qquad \mathbb { B } \cdot \nabla \mathbf { Q } = \left( 0 , \, g H \nabla \eta , \, 0 \right) .
\begin{array} { r l } { F _ { 2 } = } & { 1 + X _ { 2 } + X _ { 1 } X _ { 2 } + X _ { 2 } X _ { 3 } + X _ { 2 } X _ { 4 } + X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } + X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 4 } + X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } + X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } } \\ & { + X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 5 } + X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 4 } X _ { 5 } + X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } X _ { 5 } + 2 X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } X _ { 5 } + X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } X _ { 5 } ^ { 2 } . } \end{array}
J _ { \| \mathrm { g c } } \; = \; - \, \epsilon _ { \delta } \, \frac { c \beta } { 4 \pi } \, \nabla _ { \bot } ^ { 2 } \delta A _ { \| } \; + \; \epsilon _ { \delta } \, \int _ { P } e \, v _ { \| } \, \delta F ,
g _ { 1 1 } ( r ) \equiv - \mu ( r ) = - [ \eta ( r ) + i \zeta ( r ) ] , g _ { 2 2 } ( r ) \equiv s _ { 2 2 } ( r ) = - r ^ { 2 } , g _ { 3 3 } ( r ) \equiv s _ { 3 3 } ( r ) = - r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta , g _ { 0 0 } ( r ) \equiv \gamma ( r ) = \alpha ( r ) + i \beta ( r ) .
\sqrt { n } \left( \widehat { \boldsymbol { \theta } } _ { G } ^ { \tau } - \boldsymbol { \theta } \right) \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } ( \boldsymbol { 0 } _ { d } , \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { K } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } )
\begin{array} { r } { \| \theta ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } \theta ( t ) \| ^ { 2 } \leq C h ^ { 4 } e ^ { - 2 \delta t } \left( \| u _ { 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { 2 \delta s } \left( \| u ^ { \prime \prime } ( s ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| u ^ { \prime } ( s ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) \, d s \right) . } \end{array}
F _ { \gamma } ( E _ { \gamma } ) = \frac { n _ { \phi , 0 } } { 2 \pi \tau _ { \phi } H _ { 0 } } \left( \frac { 2 E _ { \gamma } } { m _ { \phi } } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left[ - \frac { 2 } { 3 H _ { 0 } \tau _ { \phi } } \left( \frac { 2 E _ { \gamma } } { m _ { \phi } } \right) ^ { 3 / 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { L ( \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( \cdot ) , \beta , \lambda , \mu ; e , r ) } & { = \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; e , r ) - c ( e ) + \beta \left[ \bar { B } ( e , r ) - \int \, h ( \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) ) \, F ( d v ; e , r ) \right] } \\ & { + \lambda \left[ \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F _ { e } ( d v ; e , r ) - c ^ { \prime } ( e ) \right] + \mu \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F _ { r } ( d v ; e , r ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { c o n f i n e m e n t } } & { { } = } & { p s ^ { 3 / 2 } \left[ - \ln \left( \frac { r } { R _ { s } } \right) - \left( \frac { r ^ { 2 } } { R _ { s } ^ { 2 } } - 1 \right) \left( \frac { 1 } { 1 + 2 \kappa ^ { 2 } R _ { s } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \right) + \gamma \right] , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r \leq R _ { s } , } \end{array}
r _ { \mathrm { c m } } = { \frac { m _ { 1 } r _ { 1 } + m _ { 2 } r _ { 2 } + \cdots } { m _ { 1 } + m _ { 2 } + \cdots } } = { \frac { \sum _ { i } m _ { i } r _ { i } } { \sum _ { i } m _ { i } } } .
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { i } y ) ^ { \mathrm { i } y } } & { = ( | y | \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi / 2 } ) ^ { \mathrm { i } y } } \\ & { = ( \mathrm { e } ^ { \ln ( | y | ) - \mathrm { i } \pi / 2 } ) ^ { \mathrm { i } y } } \\ & { = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } y \ln ( | y | ) + y \pi / 2 } } \\ & { = \mathrm { e } ^ { y \pi / 2 } \left( \cos ( y \ln | y | ) + \mathrm { i } \sin ( y \ln | y | ) \right) } \\ & { = \mathrm { e } ^ { - | y | \pi / 2 } \left( \cos ( y \ln | y | ) + \mathrm { i } \sin ( y \ln | y | ) \right) \mathrm { . } } \end{array}