harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
U _ { d e f g } ^ { a b c } = - \frac { 1 } { 3 ! } \eta _ { d i j k } P _ { e } ^ { ( 2 ) i } P _ { f } ^ { ( 2 ) j } P _ { g } ^ { ( 2 ) k } \eta ^ { ( 2 ) a } \eta ^ { ( 2 ) b } \eta ^ { ( 2 ) c } .
\begin{array} { r l } { u _ { k , i } ( \vec { x } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } m _ { i } n _ { i } ( \vec { x } ) \left[ V _ { i , x } ( \vec { x } ) ^ { 2 } + V _ { i , y } ( \vec { x } ) ^ { 2 } + V _ { i , z } ( \vec { x } ) ^ { 2 } \right] } \\ { u _ { t h , i } ( \vec { x } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } n _ { i } ( \vec { x } ) k _ { B } \left[ T _ { i , x } ( \vec { x } ) + T _ { i , y } ( \vec { x } ) + T _ { i , z } ( \vec { x } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( x ) } & { { } \approx V ( x _ { 0 } ) } \\ { \epsilon _ { n } ( x _ { 0 } ) } & { { } \approx \hbar \omega _ { c } ( n + \frac { 1 } { 2 } ) + V ( x _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { K S } [ \rho ^ { f } ] - E _ { K S } [ \rho ^ { i } ] } & { = } & { \sum _ { i j } F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } ( \Delta D _ { i j } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i j } \sum _ { k l , m n } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] _ { i j } } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } \Delta D _ { k l } \Delta D _ { m n } \Delta D _ { i j } } \\ & { = } & { \sum _ { i j } F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } ( \Delta D _ { i j } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i j } ( 4 ( F [ \rho ^ { f } ] _ { i j } + F [ \rho ^ { i } ] _ { i j } - 2 F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } ) \Delta D _ { i j } } \\ & { = } & { \sum _ { i j } \left( \frac { 2 } { 3 } F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } + \frac { 1 } { 6 } F [ \rho ^ { f } ] _ { i j } + \frac { 1 } { 6 } F [ \rho ^ { i } ] _ { i j } \right) \Delta D _ { i j } + O ( \Delta D ^ { 5 } ) } \end{array}
\frac { s _ { \sigma v , { \cal E } } } { n _ { \sigma } } = \frac { 3 } { 2 } k _ { B } \left[ 1 + \ln \left( \frac { 2 \pi k _ { B } { \cal T } _ { \sigma } } { m _ { \sigma } ( \Delta ^ { 3 } v ) ^ { 2 / 3 } } \right) \right] .
\Omega ^ { 1 , 2 } ( \tau ) = ( - \alpha k _ { 3 } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \left( \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + 2 \alpha k _ { 3 } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } \mu ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } )
P ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ; C ) = \exp \left[ i e \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } A _ { \mu } d x ^ { \mu } + i \tilde { e } \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } \partial _ { \mu } { \Theta } d x ^ { \mu } \right] ~ .
\begin{array} { r l } { F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { ~ l ~ a ~ p ~ l ~ - ~ m ~ G ~ G ~ A ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \partial E } { \partial P _ { \mu \nu } ^ { \sigma } } = F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { ~ G ~ G ~ A ~ } } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f ( t , \mathbf { r } , \mathbf { v } ) + \mathbf { v } \cdot \nabla f ( t , \mathbf { r } , \mathbf { v } ) + } & { } \\ { \frac { q } { m } \left[ \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) + \mathbf { v } \times \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) \right] \cdot \nabla _ { v } f ( t , \mathbf { r } , \mathbf { v } ) = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { A } e _ { A } - p _ { A } ( \rho _ { A } ) \} { \ } d x = \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \widetilde { Q } _ { A } { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { B } e _ { B } - p _ { B } ( \rho _ { B } ) \} { \ } d x = \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \widetilde { Q } _ { B } { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \{ \rho _ { S } e _ { S } - p _ { S } ( \rho _ { S } ) \} { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } = \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \widetilde { Q } _ { S } { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { m a r k - g i a n t } } ( n , \overline { { w } } ) } & { \mid { \mathcal G } _ { n , 2 } , { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } \big ) } \\ & { \le ( n / c _ ) \exp \big ( - c _ k ^ { \zeta _ { \mathrm { h h } } } \big ) + \mathbb { P } \big ( \exists v \in \Xi _ { n } [ \overline { { w } } , \infty ) : v \not \leftrightarrow { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } \mid { \mathcal G } _ { n , 2 } , { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { N } _ { a } } & { = } & { 4 \pi A _ { - } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { r _ { a } } \Big [ g _ { - } ^ { 2 } ( r ) + f _ { - } ^ { 2 } ( r ) \Big ] r ^ { 2 } d r + } \\ & { } & { 4 \pi A _ { + } ^ { 2 } \int _ { r _ { a } } ^ { \infty } \Big [ g _ { + } ^ { 2 } ( r ) + f _ { + } ^ { 2 } ( r ) \Big ] r ^ { 2 } d r . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \varepsilon ^ { l } } { K ^ { l } } + \frac { 1 - \varepsilon ^ { l } } { K ^ { s } } \right) \frac { \mathrm { D } ^ { s } p ^ { l } } { \mathrm { D } t } + \nabla \cdot \mathbf { v } ^ { s } - \nabla \cdot \left( \frac { k ^ { \varepsilon } } { \mu ^ { l } } \mathbf { \nabla } p ^ { l } \right) = 0 ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Omega } \\ { \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { t } ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } = 0 ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Omega } \end{array}
z \frac { d } { d z } + \left( \begin{array} { c c c c c c } { { b _ { 1 } ( z ) } } & { { b _ { 2 } ( z ) } } & { { b _ { 3 } ( z ) } } & { { \ldots } } & { { b _ { n - 1 } ( z ) } } & { { b _ { n } ( z ) } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \leftrightarrow \frac { d ^ { n } } { d \tau ^ { n } } + \bar { b } _ { 1 } ( \tau ) ( \frac { d ^ { n - 1 } } { d \tau ^ { n - 1 } } ) + \cdots + \bar { b } _ { n } ( \tau ) ,
\pi _ { 0 } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \frac { P _ { \bar { { \cal { D } } } , { \cal { E } } } } { P _ { { \cal { D } } , \bar { { \cal { E } } } } } \geq 1 , } \\ { 1 - \frac { P _ { \bar { { \cal { D } } } , { \cal { E } } } } { P _ { { \cal { D } } , \bar { { \cal { E } } } } } } & { \frac { P _ { \bar { { \cal { D } } } , { \cal { E } } } } { P _ { { \cal { D } } , \bar { { \cal { E } } } } } < 1 , } \end{array} \right. \quad \bar { \pi } _ { 0 } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { P _ { \bar { { \cal { D } } } , { \cal { E } } } } { P _ { { \cal { D } } , \bar { { \cal { E } } } } } \geq 1 , } \\ { \frac { P _ { \bar { { \cal { D } } } , { \cal { E } } } } { P _ { { \cal { D } } , \bar { { \cal { E } } } } } } & { \frac { P _ { \bar { { \cal { D } } } , { \cal { E } } } } { P _ { { \cal { D } } , \bar { { \cal { E } } } } } < 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { X } } \int \mathcal { D } \hat { \boldsymbol { H } } \prod _ { i } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \left\{ \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } ) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right] + \right. } \end{array}
g ^ { 2 } ( \tau - \tau _ { 0 } ) = 1 - p _ { \textrm { g e } } \ e ^ { - ( \tau - \tau _ { 0 } ) / \tau _ { \textrm { g e } } } + p _ { \textrm { s } } \ e ^ { - ( \tau - \tau _ { 0 } ) / \tau _ { \textrm { s } } } ,
\bigl \langle ( \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ) ^ { \intercal } \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } \bigr \rangle = \bigl \langle ( \nabla \mathbf { u } _ { m , k } ) ^ { t } \nabla \mathbf { u } _ { m , k } \bigr \rangle \biggl ( \int _ { - \infty } ^ { t } \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } ( s ) \zeta _ { m , k } ( s ) \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } ( s - t ) \aftergroup \egroup \right) \, d s \biggr ) ^ { \! 2 } \, .
\begin{array} { r } { b _ { l , i j } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \sum _ { j \neq l } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \bar { \alpha } _ { l } ( t ) + \bar { \beta } _ { j } ( t ) + Z _ { l j } ( s ) ^ { \top } \gamma ^ { * } ( t ) \} d s , } & { i = j = l , } \\ { - \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \bar { \alpha } _ { l } ( t ) + \bar { \beta } _ { j - n } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ^ { * } ( t ) \} d s , } & { i = j \neq l , } \\ & { \mathrm { o r ~ } i = l , j \neq i , \mathrm { ~ o r ~ } i \neq j , j = l , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 3 \, 2 } ^ { 1 } ( i ) = } & { { } - \frac { 3 } { 1 6 } \sqrt { 1 0 5 } \sin i ( \cos i ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 } \sqrt { 1 0 5 } \sin i \cos i } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ( \underline { { \tau } } , \underline { { t } } | \mathcal { D } ) = \frac { 1 } { Z ( \mathcal { D } ) } \prod _ { i \in V } } & { \psi ^ { * } ( \tau _ { i } , \underline { { \tau } } _ { \partial _ { i } } ; x _ { i } ^ { 0 } , \{ s _ { j i } \} _ { j \in \partial i } ) } \\ & { \times \psi ( t _ { i } , \underline { { t } } _ { \partial i } ) \xi ( \tau _ { i } , t _ { i } ; \{ \varepsilon _ { m } \} _ { i _ { m } = i } ) } \end{array} } \end{array}
P _ { 0 , l } ^ { m } = \frac { 1 - ( q / p ) } { 1 - ( q / p ) ^ { l + 1 } } \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } - \frac { 2 q } { l + 1 } \left( \frac { q } { p } \right) ^ { \frac { l - 1 } { 2 } } \sum _ { r = 1 } ^ { l } \frac { \left[ \sin \frac { \pi r } { l + 1 } \right] \left[ \sin \frac { \pi r l } { l + 1 } \right] \left[ 2 \sqrt { p q } \cos \frac { \pi r } { l + 1 } \right] ^ { m } } { 1 - 2 \sqrt { p q } \cos \frac { \pi r } { l + 1 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { F A } } & { = P ( \sum _ { i = 0 } ^ { l } P _ { J } { | h _ { J _ { i } W } | } ^ { 2 } + \sigma _ { W } ^ { 2 } \geq \lambda ) } \\ & { = P \left( \sum _ { i = 0 } ^ { l } { | h _ { J _ { i } W } | } ^ { 2 } \geq \frac { \lambda - \sigma _ { W } ^ { 2 } } { P _ { J } } \right) } \\ & { = \int _ { \left( \frac { \lambda - \sigma _ { W } ^ { 2 } } { P _ { J } } \right) } ^ { \infty } f _ { \sum _ { i = 0 } ^ { l } { | h _ { J _ { i } W } | } ^ { 2 } } ( x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { k l \left( \frac { 1 } { K } E _ { 0 } \left[ N _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ^ { K } \right] , \frac { 1 } { K } E _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } \left[ N _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ^ { K } \right] \right) \leq K L ( P _ { 0 } , P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ) , } \end{array}
\eta ( x , t ) = \Lambda ( t ) k ^ { 2 } \mathrm { c n } ^ { 2 } ( W ( t ) X , k ) + \frac { \Lambda ^ { 2 } ( t ) k ^ { 4 } } { 4 h _ { 0 } } \mathrm { c n } ^ { 4 } ( W ( t ) X , k ) .
\hat { H } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } \left[ ( t + g ) \hat { c } _ { j + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j } + ( t - g ) \hat { c } _ { j } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 } + w _ { j } \hat { c _ { j } } ^ { \dagger } \hat { c _ { j } } \right] ,
\begin{array} { r } { a _ { p } = a \sqrt { \frac { \alpha _ { b } ^ { 2 } - 1 } { 2 \alpha _ { b } ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \frac { 4 \alpha _ { b } ^ { 2 } n _ { b } ^ { 2 } } { ( \alpha _ { b } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } } } \\ { b _ { p } = a \sqrt { \frac { \alpha _ { b } ^ { 2 } - 1 } { 2 \alpha _ { b } ^ { 2 } } } \sqrt { - 1 + \sqrt { 1 + \frac { 4 \alpha _ { b } ^ { 2 } n _ { b } ^ { 2 } } { ( \alpha _ { b } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { M } ( \mathsf { T } ( \lambda _ { M } ) ( a ) ) = \lambda _ { M } ( \lambda _ { M } ( a ) ) = \lambda _ { M } ( a ) = \lambda _ { M } ( \ell _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( a ) ) } \\ & { \lambda _ { M } ( \mathsf { T } ( \lambda _ { M } ) ( m ) ) = \lambda _ { M } ( \lambda _ { M } ( m ) ) = \lambda _ { M } ( 0 ) = 0 = \lambda _ { M } ( m ) = \lambda _ { M } ( \ell _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( m ) ) } \\ & { \lambda _ { M } ( \mathsf { T } ( \lambda _ { M } ) ( \mathsf { d } ( a ) ) ) = \lambda _ { M } ( \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( a ) ) ) = \lambda _ { M } ( 0 ) = \lambda _ { M } ( \ell _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( \mathsf { d } ( a ) ) ) } \\ & { \lambda _ { M } ( \mathsf { T } ( \lambda _ { M } ) ( \mathsf { d } ( m ) ) ) = \lambda _ { M } ( \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( m ) ) ) = \lambda _ { M } ( 0 ) = \lambda _ { M } ( \ell _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( \mathsf { d } ( m ) ) ) } \\ & { \lambda _ { M } ( \mathsf { T } ( \lambda _ { M } ) ( \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) ) ) = \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( \lambda _ { M } ( a ) ) ) = \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( a ) ) = 0 = \lambda _ { M } ( 0 ) = \lambda _ { M } ( \ell _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) ) ) } \\ & { \lambda _ { M } ( \mathsf { T } ( \lambda _ { M } ) ( \mathsf { d } ^ { \prime } ( m ) ) ) = \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( \lambda _ { M } ( m ) ) ) = \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( 0 ) ) = \lambda _ { M } ( 0 ) = \lambda _ { M } ( \ell _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( \mathsf { d } ^ { \prime } ( m ) ) ) } \\ & { \lambda _ { M } ( \mathsf { T } ( \lambda _ { M } ) ( \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a ) ) ) \! = \! \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( a ) ) ) ) = \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( 0 ) ) = \lambda _ { M } ( 0 ) = 0 = \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( a ) ) \! = \! \lambda _ { M } ( \ell _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a ) ) ) } \\ & { \lambda _ { M } ( \mathsf { T } ( \lambda _ { M } ) ( \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( m ) ) ) = \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( m ) ) ) ) = \lambda _ { M } ( \mathsf { d } ( m ) ) = \lambda _ { M } ( \ell _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( m ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } \gamma _ { j } } & { = \underline { { v _ { i } } } ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { i + 2 } \underline { { v _ { i } v _ { i + 1 } v _ { i } } } v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { i + 2 } v _ { i + 1 } v _ { i } \underline { { v _ { i + 1 } } } v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { i + 2 } v _ { i + 1 } v _ { i } v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \underline { { v _ { i + 1 } \gamma _ { 1 } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } \underline { { v _ { i + 1 } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } \underline { { v _ { i + 1 } v _ { i } v _ { i + 1 } } } v _ { i + 2 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } v _ { i } v _ { i + 1 } \underline { { v _ { i } } } v _ { i + 2 } \ldots v _ { j - 1 } ) } \\ & { = ( v _ { j - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { j - 1 } ) v _ { i } } \\ & { = \gamma _ { j } v _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { ( 5 , 4 , 1 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 3 } ( ( - 1 , 0 , 0 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) - q S _ { 1 3 } ( ( - 1 , 0 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) - z S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 0 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) } \\ & { - S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) + q S _ { 1 3 } ( ( 0 , 1 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) + ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 0 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) } \\ & { - q ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t } ( x ) } & { = x + \int _ { 0 } ^ { t } f ( X _ { r - } ( x ) , r ) \, \mathrm { d } r + \int _ { 0 } ^ { t } F ( X _ { r - } ( x ) , r ) \, \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { + \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { t } F ^ { \prime } ( X _ { r - } ( x ) , r ) F ( X _ { r - } ( x ) , r ) \, \mathrm { d } r } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { | z | \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( x ) ) - X _ { r - } ( x ) \Big ) \, \tilde { N } ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { | z | \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( x ) ) - X _ { r - } ( x ) - \varphi ( X _ { r - } ( x ) , r , z ) \Big ) \, \nu ( \mathrm { d } z ) \, \mathrm { d } r } \\ { Y _ { t } } & { = y + \int _ { 0 } ^ { t } g ( Y _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } r + \int _ { 0 } ^ { t } G ( Y _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } W _ { r } + \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { t } G ^ { \prime } ( Y _ { r - } , r ) G ( Y _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } r } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { | z | \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \psi ( \cdot , r , z ) } ( Y _ { r - } ) - Y _ { r - } \Big ) \, \tilde { N } ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { | z | \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \psi ( \cdot , r , z ) } ( Y _ { r - } ) - Y _ { r - } - \psi ( Y _ { r - } , r , z ) \Big ) \, \nu ( \mathrm { d } z ) \, \mathrm { d } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { T } = \sigma _ { 0 } \gamma ^ { | \mathcal { S } _ { f a i l } | - | \mathcal { S } _ { s u c c } | } \le \sigma _ { b } } \\ { \Longrightarrow } & { \log \left( \gamma ^ { | \mathcal { S } _ { f a i l } | - | \mathcal { S } _ { s u c c } | } \right) \le \log \left( \frac { \sigma _ { b } } { \sigma _ { 0 } } \right) } \\ { \Longrightarrow } & { \left( { | \mathcal { S } _ { f a i l } | - | \mathcal { S } _ { s u c c } | } \right) \le \frac { \log ( \sigma _ { b } / \sigma _ { 0 } ) } { \gamma } } \\ { \Longrightarrow } & { | \mathcal { S } _ { f a i l } | \le \frac { \log ( \sigma _ { b } / \sigma _ { 0 } ) } { \log { \gamma } } + | \mathcal { S } _ { s u c c } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( m + 1 ) } ( 0 , \tau ) } & { = \sqrt { 1 - 2 \alpha } E ^ { ( m ) } ( L , \tau ) e ^ { - i \delta _ { 0 } } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { + } } E _ { \mathrm { i n , + } } e ^ { - i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { + } ) m t _ { \mathrm { R } } } } \\ & { + \sqrt { \theta _ { - } } E _ { \mathrm { i n , - } } e ^ { i \Omega _ { \mathrm { p } } \tau + i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { - } ) m t _ { \mathrm { R } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d a _ { 1 } } { d \tau } } & { = - ( c - \frac { 1 } { 2 n _ { c } } ) a _ { 1 } + a _ { 2 } \left[ 1 - a _ { 1 } ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { \sqrt { n _ { c } } } \sqrt { 1 - a _ { 1 } ^ { 2 } } w _ { 1 } \left( \tau \right) } \\ { \frac { d a _ { 2 } } { d \tau } } & { = - ( c - \frac { 1 } { 2 n _ { c } } ) a _ { 2 } + a _ { 1 } \left[ 1 - a _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { \sqrt { n _ { c } } } \sqrt { 1 - a _ { 2 } ^ { 2 } } w _ { 2 } \left( \tau \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { O Z } ( t ) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \phi t } & { - \sin \phi t } & { 0 } \\ { \sin \phi t } & { \cos \phi t } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { u } \big ( G _ { f } ( u ) - G _ { f ^ { * } } ( u ) \big ) \geq } & { T _ { 1 } \beta \mathbb { E } _ { u } \big [ ( g _ { f } ( u , i , j ) - g _ { f ^ { * } } ( u , i , j ) ) ^ { 2 } \big ] - C _ { 2 } \Psi _ { u } ^ { \gamma } \beta ^ { \gamma + 1 } } \\ { = } & { T _ { 1 } ( \frac { T _ { 2 } } { 2 C _ { 2 } } ) ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma } } \mathbb { E } _ { u } ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma } } \big [ ( g _ { f } ( u , i , j ) - g _ { f ^ { * } } ( u , i , j ) ) ^ { 2 } \big ] \Psi _ { u } ^ { - 1 } , } \end{array}
\widetilde { d } = \frac { 1 } { \widetilde { \tau } _ { \mathrm { c o n d } } } = \frac { t _ { L } } { \tau _ { \mathrm { c o n d } } } , \quad \tau _ { \mathrm { c o n d } } = \frac { L ^ { 2 } C _ { \mathrm { V } } \rho _ { 0 } } { \kappa } ,
\bar { S } _ { 1 } = O \left( \frac { \delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } } { \delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } \quad \mathrm { o r } \quad \frac { \bar { a } } { \delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } \right) .
Y _ { L S P } ^ { n o n t h } = { \frac { n _ { l s p } ^ { n o n t h } } { s } } = { \frac { 6 . 7 5 } { \pi } } \epsilon \nu \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { l o o p s } ^ { - 2 } g _ { * _ { T _ { c } } } ^ { \frac { - 9 } { 4 } } g _ { * _ { T _ { \chi } } } ^ { \frac { 3 } { 4 } } \, M _ { p l } ^ { 2 } \, { \frac { T _ { \chi } ^ { 4 } } { T _ { c } ^ { 6 } } } \, ,
\nabla _ { R } \cdot \left[ \frac { \vec { R } - i \frac 1 2 \vec { \Gamma } } { \left[ \left( \vec { R } - i \frac 1 2 \vec { \Gamma } \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac 3 2 } } \right] = - \frac { \delta \left( R - \frac 1 2 \Gamma \right) } { R ^ { 2 } } \delta \left( \cos \theta \right)
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } ) = } & { { } ( x _ { 1 } - i y _ { 1 } ) ( x _ { 2 } + i y _ { 2 } ) e ^ { - r _ { 1 } ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \kappa _ { 1 0 } ^ { 2 } } \partial _ { \mu } \sqrt { - g } g ^ { \mu \nu } e ^ { - 2 \bar { \phi } } \partial _ { \nu } \widehat { \phi } = \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \sqrt { - g _ { 2 } } \delta .
\begin{array} { r l } { \frac { 3 ( \gamma ^ { \varepsilon } - \beta ) } { 2 \beta \gamma ^ { \varepsilon } } } & { = \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } ( F _ { + } ^ { \varepsilon } - F _ { + } ^ { 0 } ) d x d v } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } \nabla _ { x } ( \psi ^ { \varepsilon } - \phi ^ { 0 } ) \cdot \nabla _ { x } ( \psi ^ { \varepsilon } + \phi ^ { 0 } ) d x } \\ & { \quad - \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } ( F _ { + , i n } ^ { \varepsilon } - F _ { + , i n } ^ { 0 } ) d x d v } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } \nabla _ { x } ( \psi _ { i n } ^ { \varepsilon } - \phi _ { i n } ^ { 0 } ) \cdot \nabla _ { x } ( \psi _ { i n } ^ { \varepsilon } + \phi _ { i n } ^ { 0 } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i j k l } ^ { ( 4 ) } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 3 } , \boldsymbol { r } _ { 4 } ) } & { = \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } } \left\langle \tilde { \Psi } \right| \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { k , \lambda _ { 3 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { l , \lambda _ { 4 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \hat { \psi } _ { l , \lambda _ { 4 } } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \hat { \psi } _ { k , \lambda _ { 3 } } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \left| \tilde { \Psi } \right\rangle , } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) | ^ { 2 } | \epsilon _ { i j k l } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e r f ( u ) = } & { \pm 1 + \Sigma _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { d ^ { n } e r f ( u ) } { d u } \frac { u ^ { n } } { n ! } } \\ { = } & { \pm 1 + \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { d ^ { n + 1 } e r f ( u ) } { d u } \frac { u ^ { n + 1 } } { { n + 1 } ! } } \\ { = } & { \pm 1 + \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } ( - 1 ) ^ { n } H _ { n } ( u ) e ^ { - u ^ { 2 } } \frac { u ^ { n + 1 } } { { n + 1 } ! } } \end{array}