harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac { d v } { d x } = - \frac { c \varepsilon ^ { 2 } H Z ^ { 4 } n } { m \nu _ { 0 } ^ { 2 } v ^ { 3 } } \left( { 0 . 9 6 + \log \frac { h \nu _ { 0 } v ^ { 4 } } { 8 \pi c \varepsilon ^ { 2 } H Z ^ { 4 } } } \right) ~ ~ . \qquad \qquad \qquad \qquad ( 1 7 ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot \left( \rho \pmb { u } \right) } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { t } ( \rho \pmb { u } ) + \nabla \cdot \left( \pmb { u } \otimes \rho \pmb { u } + p \mathbb { I } \right) } & { { } = - \rho \nabla \Phi - 2 \left( \pmb { \Omega } \cdot \hat { r } \right) \hat { r } \times \rho \pmb { u } - k _ { v } \left( \mathbb { I } - \hat { r } \otimes \hat { r } \right) \rho \pmb { u } } \\ { \partial _ { t } ( \rho e ) + \nabla \cdot \left( \pmb { u } \left( p + \rho e \right) \right) } & { { } = - k _ { T } \rho c _ { v } \left( T - T _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ u ~ i ~ l ~ i ~ b ~ r ~ i ~ u ~ m ~ } } \right) } \end{array}
P _ { \mathrm { t o t a l } } = \oiint \sigma T _ { \mathrm { S u n } } ^ { 4 } d S = 4 \pi R _ { \odot } \sigma T _ { \mathrm { S u n } } ^ { 4 } \simeq 3 . 9 \times 1 0 ^ { 2 6 } W
\begin{array} { r l } { | | I _ { 2 } | | _ { p } ^ { p } } & { \leq c ^ { p } | t | ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { S ( 0 , 1 ) } | \nabla u _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) | _ { p } ^ { p } \times | \gamma | _ { q } ^ { p } \frac { d \Omega } { 4 \pi } d x } \\ & { \leq c ^ { p } | t | ^ { p } \int _ { S ( 0 , 1 ) } | \gamma | _ { q } ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \nabla u _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) | _ { p } ^ { p } d x \frac { d \Omega } { 4 \pi } = c ^ { p } | t | ^ { p } \Bigg ( \int _ { S ( 0 , 1 ) } | \gamma | _ { q } ^ { p } \frac { d \Omega } { 4 \pi } \Bigg ) | | \nabla u _ { 0 } | | _ { p } ^ { p } } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } F ( n ) = \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( F ( 0 ) + F ( \infty ) \Bigr ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } d x F ( x ) + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } \Bigl ( F ^ { ( 2 k - 1 ) } ( \infty ) - F ^ { ( 2 k - 1 ) } ( 0 ) \Bigr ) ,
\overline { { \mathsf { L } } } _ { \mathrm { e f f } } = \omega ^ { 2 } \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \dagger } \mathbf { \widetilde { M } } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } - \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } - \overline { { \mathsf { P } } } _ { \mathrm { e f f } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathrm { c . c . } \, .
\begin{array} { r l } { \langle \psi , B \psi \rangle = \int _ { \Omega } \Bar { \psi } B \psi } & { { } = \int _ { \Omega } \Bar { \psi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \psi + i u \cdot \nabla \psi + \mu \lvert \psi \rvert ^ { 2 } \psi \right] } \end{array}
\alpha _ { - n _ { 1 } } ^ { \mu _ { 1 } } \cdots \alpha _ { - n _ { i } } ^ { \mu _ { i } } b _ { - m _ { 1 } } \cdots b _ { - m _ { j } } c _ { - \ell _ { 1 } } \cdots c _ { - \ell _ { k } } | \Omega \rangle ,
\varepsilon ( p _ { z } , n , \lambda _ { z } ) = \sqrt { p _ { z } ^ { 2 } + m _ { e } ^ { 2 } + e B ( 2 n + 1 + \lambda _ { z } ) } \ \ ( n = 0 , 1 , 2 , . . . . , \ \lambda _ { z } = \pm 1 ) ,
\begin{array} { r l } { [ \nabla \psi _ { t } \ast \widetilde { u } ] _ { W ^ { 1 , 2 } ( B _ { r } ) } } & { = \left\| \int _ { B _ { t } } \nabla \psi _ { t } ( y ) \, [ \widetilde { u } ( \cdot - y ) - \widetilde { u } ( \cdot ) ] \, d y \right\| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } } \\ & { \le \int _ { B _ { t } } \left( \int _ { B _ { r } } | \widetilde { u } ( x - y ) - \widetilde { u } ( x ) | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, | \nabla \psi _ { t } ( y ) | \, d y } \\ & { \le \frac { N + 1 } { \omega _ { N } \, t ^ { N + 1 } } \, \int _ { B _ { t } } U ( - y ) \, d y \le \frac { N \, ( N + 1 ) } { t ^ { 2 } } \, \int _ { 0 } ^ { t } \overline { { U } } \, d \varrho . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \epsilon ^ { 2 } = ( \frac { 1 - \mathrm { S F } } { L _ { \mathrm { f i x e d } } } \Delta d _ { c } ) ^ { 2 } + ( \frac { d _ { c } } { L _ { \mathrm { f i x e d } } } \Delta \mathrm { S F } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| g _ { k - 1 } + \zeta _ { k - 1 } \| ^ { 2 } } & { = \big \| g _ { k - 1 } - g ^ { * } + g ^ { * } + \zeta _ { k - 1 } \big \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \| g _ { k - 1 } - g ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \| g ^ { * } + \zeta _ { k - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 L ^ { 2 } \| q _ { k - 1 } - q ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \| g ^ { * } + \zeta _ { k - 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta } & { { } = } & { \frac { 4 m c ^ { 2 } } { 3 } \, \frac { \alpha ( Z \alpha ) ^ { 3 } } { \gamma ( 2 \gamma - 1 ) } \, g _ { I } \, \frac { m _ { e } } { m _ { p } } \, \Big ( I + \frac { 1 } { 2 } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { c } _ { \lambda ( M ^ { K } ) } ^ { \nu } ( q , t ) } & { = \psi _ { T } ( q , t ) \prod _ { ( j , k , m ) \mathrm { ~ a d } } \left( \frac { X _ { k } - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } + b _ { j , k } ^ { m } - 1 } t X _ { j } } { X _ { k } - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } + b _ { j , k } ^ { m } } \ X _ { j } } \cdot \frac { X _ { k } - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } } t ^ { - 1 } X _ { j } } { X _ { k } - \ q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } - 1 } X _ { j } } \right) } \\ & { = \prod _ { ( j , k , m ) \mathrm { ~ a d } } \left( \frac { 1 - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } + b _ { j , k } ^ { m } - 1 + \lambda _ { j } - \lambda _ { k } } t ^ { 1 + k - j } } { 1 - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } + b _ { j , k } ^ { m } + \lambda _ { j } - \lambda _ { k } } t ^ { k - j } } \cdot \frac { 1 - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } + \lambda _ { j } - \lambda _ { k } } t ^ { - 1 + k - j } } { 1 - q ^ { - a _ { j , k } ^ { m } - 1 + \lambda _ { j } - \lambda _ { k } } t ^ { k - j } } \right) } \\ & { = \prod _ { ( j , k , m ) \mathrm { ~ a d } } \left( \frac { 1 - q ^ { - m + \lambda _ { j } - \lambda _ { k } } t ^ { 1 + k - j } } { 1 - q ^ { - m + 1 + \lambda _ { j } - \lambda _ { k } } t ^ { k - j } } \cdot \frac { 1 - q ^ { - m + 1 + \lambda _ { j } - \lambda _ { k } } t ^ { - 1 + k - j } } { 1 - q ^ { - m + \lambda _ { j } - \lambda _ { k } } t ^ { k - j } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \mathrm { C C W } } } & { { } = \frac { - i g f \sqrt { \kappa } e ^ { i \theta } + ( i \Delta + \Gamma ) } { ( i \Delta + \Gamma ) ^ { 2 } + | g | ^ { 2 } } , } \\ { A _ { \mathrm { C W } } } & { { } = - \frac { | g | ^ { 2 } f \sqrt { \kappa } e ^ { i \theta } } { ( i \Delta + \Gamma ) \big [ ( i \Delta + \Gamma ) ^ { 2 } + | g | ^ { 2 } \big ] } - \frac { i g ^ { * } \sqrt { \kappa } e ^ { i \theta } } { ( i \Delta + \Gamma ) ^ { 2 } + | g | ^ { 2 } } + \frac { f \sqrt { \kappa } e ^ { i \theta } } { ( i \Delta + \Gamma ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nabla \times \nabla \times u } & { { } = \frac { \widehat { n } } { | J | } \left[ - \nabla _ { \bot } \cdot ( \widehat { J } J ^ { - 1 } ( \partial _ { \sigma } ( J u _ { \bot } ) - \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } ) \right] } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 2 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { - 2 } & { 1 } \\ { - 2 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 2 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } ,
K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n , * } = K _ { O _ { 2 } , m a x } ^ { i n } \ \frac { \frac { S _ { I C } ^ { * } } { S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } } { \frac { S _ { I C } ^ { * } } { S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } + K _ { R _ { I C / O _ { 2 } } } }
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { R , K N } } } & { = } & { \frac { 4 \pi ^ { 4 } } { 1 5 } \kappa _ { \mathrm { T h } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { 4 } e ^ { - u } } { ( 1 - e ^ { - u } ) ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 2 k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } u \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. - \frac { 6 } { 5 } \left( \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } u ^ { 2 } \right) d u \right] ^ { - 1 } } \end{array}
r _ { i j } ^ { ( \psi _ { F L } ) } = 2 \mu _ { 0 } \int _ { Z _ { j , 1 } } ^ { Z _ { j , 2 } } \int _ { R _ { j , 1 } } ^ { R _ { j , 2 } } \, d R d Z \sqrt { \frac { R } { R _ { i } } } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \Big [ \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 } k \Big ) K ( k ) - E ( k ) \Big ]
\frac { \Delta u _ { i , j } } { u _ { 0 } } = \Bigg ( 1 - \sqrt { 1 - \frac { C _ { T } \cos { \gamma } } { 8 \sigma _ { y } \sigma _ { z } } } \Bigg ) \exp { \Bigg ( - \frac { ( y - \delta ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { z } ^ { 2 } } \Bigg ) } ,
e _ { i } e _ { j } = { \left\{ \begin{array} { l l } { e _ { j } , } & { { \mathrm { i f ~ } } i = 0 } \\ { e _ { i } , } & { { \mathrm { i f ~ } } j = 0 } \\ { - \delta _ { i j } e _ { 0 } + \varepsilon _ { i j k } e _ { k } , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
4 \delta _ { \mathrm { o p t . } } [ 1 + \gamma ^ { 2 } J ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } S _ { 2 } ( \delta _ { \mathrm { o p t . } } , J ) ] - \gamma ^ { 2 } S _ { 1 } ( \delta _ { \mathrm { o p t . } } , J ) = 0
\mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \left( \frac { \sigma _ { p } ^ { 2 } } { R _ { c x } } \right) \Delta t } { \Delta x ^ { 2 } } .
\Gamma ^ { \nu _ { 1 } \nu _ { 0 } + } ( k _ { 1 } , - k _ { 0 } ) = \gamma ^ { \nu _ { 1 } \nu _ { 0 } + } ( k _ { 1 } , - k _ { 0 } ) \, + \, \Delta ^ { \nu _ { 1 } \nu _ { 0 } + } ( k _ { 1 } , - k _ { 0 } ) .
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \Theta } } { \partial \widetilde { z } } \Big \vert _ { \widetilde { z } = 0 } = \, b \, \Theta [ \widetilde { z } = 0 ] \ , \ \ \frac { \partial { \Theta } } { \partial \widetilde { z } } \Big \vert _ { \widetilde { z } = 1 } = - \, b \, \Theta [ \widetilde { z } = 1 ] \ , \ } \end{array}
G _ { + } ( \omega ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega [ - ( 1 - \Delta ) \log ( 1 - \Delta ) - \Delta \log ( \Delta ) ] } } { \sqrt { - 2 \pi \mathrm { i } ( 1 - \Delta ) \Delta \omega } } \frac { \Gamma ( 1 - \mathrm { i } ( 1 - \Delta ) \omega ) \Gamma ( 1 - \mathrm { i } \Delta \omega ) } { \Gamma ( 1 - \mathrm { i } \omega ) } , \qquad \Delta = \frac { 1 } { N } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \alpha _ { l m } \mathbf { B } _ { \alpha _ { l m } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \mathbf { B } _ { \beta } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \beta _ { l m } \mathbf { B } _ { \beta _ { l m } } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\ddot { \varphi } ( t ) + \bar { m } _ { \phi } ^ { 2 } \varphi ( t ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \chi } } g _ { j } ^ { 4 } \dot { \varphi } ( t ) \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \Gamma _ { \chi _ { j } } ( q ) } { 8 \omega _ { \chi _ { j } } ( \omega _ { \chi _ { j } } ^ { 2 } + \Gamma _ { \chi _ { j } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } ^ { \mathrm { e } ^ { \prime } } ( t ) } & { = \mathbf { H } _ { \mathrm { c o r e } } ^ { \mathrm { e } ^ { \prime } } + \mathbf { J } ^ { \mathrm { e e } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } ^ { \prime } } ( t ) ) + \mathbf { V } _ { \mathrm { x c } } ^ { \mathrm { e } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } ^ { \prime } } ( t ) ) } \\ & { - \mathbf { J } ^ { \mathrm { e n } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } ^ { \prime } } ( t ) ) + \mathbf { V } _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { e n } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { e } ^ { \prime } } ( t ) , \mathbf { P } ^ { \mathrm { n } ^ { \prime } } ( t ) ) } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { z _ { 3 } } } & { { z _ { A } } } & { { \infty } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \rho _ { \infty } } } \\ { { \mu _ { 1 } } } & { { \mu _ { 2 } } } & { { \mu _ { 3 } } } & { { 2 } } & { { \rho _ { \infty } + \mu _ { \infty } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \tilde { \Lambda } ^ { l i } ( \mathbf { k } ) } & { { } = I \bigg [ \tilde { S } ( \mathbf { k } ) \otimes \tilde { I } _ { e x } ( \mathbf { k } ) \bigg ] \mathrm { ~ O ~ T ~ F ~ } _ { \mathrm { w f } } ( \mathbf { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( \varepsilon ) } & { : = \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) E _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( \xi , s ) \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ & { = - \sigma ( \xi _ { 1 } , s ) \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } u ^ { 2 } ( \xi , s ) p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) \frac { 1 } { \varepsilon } \phi ^ { \prime } \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ & { = \sigma ( \xi _ { 1 } , s ) \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \phi \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \left( u ^ { 2 } ( \xi , t ) p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) \right) \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ & { \rightarrow 0 \quad \textrm { a s } \varepsilon \downarrow 0 , } \end{array}
F ^ { \dag } \left( \frac { \partial { g ^ { \prime } } _ { \mu \nu } ( x , l ) } { \partial l _ { i } } \right) \equiv - 4 { \nabla ^ { \prime } } ^ { \mu } \frac { \partial { g ^ { \prime } } _ { \mu \nu } ( x , l ) } { \partial l _ { i } } - 2 \left( C - \frac { 2 } { D } \right) \partial _ { \nu } \left[ { g } ^ { \alpha \beta } ( x , l ) \frac { \partial { g ^ { \prime } } _ { \alpha \beta } ( x , l ) } { \partial l _ { i } } \right] = 0 \; .
\frac { \partial \tilde { q } _ { \mu } } { \partial \eta } = \frac { \partial \tilde { q } _ { \zeta , n } } { \partial \eta } = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \tilde { q } _ { \zeta , n + 1 } - \tilde { q } _ { \zeta , n - 1 } } { 2 \delta \tau }
| \gamma _ { n } - \gamma ^ { * } | = \frac { \left| \left( \mathcal { G } _ { a _ { u } } u , u \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - \left( \mathcal { G } _ { a _ { u ^ { * } } } u ^ { * } , u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| } { \left( \mathcal { G } _ { a _ { u } } u , u \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left( \mathcal { G } _ { a _ { u ^ { * } } } u ^ { * } , u ^ { * } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \leq L _ { \gamma } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ \mathcal { C } _ { t } ^ { c } \right] \le \sum _ { \ell = 1 } ^ { \lceil \log _ { 2 } ( p / s ^ { * } ) \rceil - 1 } \left\{ \mathbb { P } [ \mathcal { A } _ { 3 , u _ { \ell } } ( \alpha _ { \ell + 1 } s ^ { * } ) ^ { c } ] + \mathbb { P } [ \mathcal { A } _ { 4 , u _ { \ell } } ( \alpha _ { \ell + 1 } s ^ { * } ) ] \right\} + \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { 5 , t } ^ { c } ) \le 3 e ^ { - t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle a ^ { 2 } \left( t , \mathbf { x } _ { j } \right) \right\rangle } & { { } = \left\langle a ^ { 2 } \left( 0 , \mathbf { x } _ { j } \right) \right\rangle + t / \Delta V . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { R } , i } } & { ( \theta _ { \mathrm { R } } , \phi _ { \mathrm { R } } ) = \frac { \alpha _ { \mathrm { R } , i } } { 4 \pi \mathrm { s i n h } ( \alpha _ { \mathrm { R } , i } ) } \times } \\ & { e ^ { \alpha _ { \mathrm { R } , i } ( \sin \theta _ { \mathrm { R } } \sin \bar { \theta } _ { \mathrm { R } , i } \cos ( \phi _ { \mathrm { R } } - \bar { \phi } _ { \mathrm { R } , i } ) + \cos \theta _ { \mathrm { R } } \cos \bar { \theta } _ { \mathrm { R } , i } ) } , } \end{array}
\vec { r } ( t , \vartheta ) = \left( \begin{array} { l } { R \sin ( \vartheta ) + t \cdot \sqrt { g ( H - R \cos ( \vartheta ) ) - \frac { l _ { z } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \vartheta ) } } } \\ { t \cdot \frac { l _ { z } } { R \sin ( \vartheta ) } } \\ { - \frac { 1 } { 2 } g t ^ { 2 } + \frac { H + R \cos ( \vartheta ) } { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { j } _ { Q } } & { = - k \nabla T } & { \mathrm { F o u r i e r ' s ~ l a w } } \\ { \boldsymbol { \tau } } & { = - \mu ( \nabla \boldsymbol { u } + ( \nabla \boldsymbol { u } ) ^ { \top } ) = - \rho \nu ( \nabla \boldsymbol { u } + ( \nabla \boldsymbol { u } ) ^ { \top } ) } & { \mathrm { N e w t o n ' s ~ l a w } } \\ { \boldsymbol { j } _ { c } } & { = - \mathcal { D } _ { c } \nabla C _ { c } = - \mathcal { D } _ { c } \nabla ( \rho m _ { c } ) } & { \mathrm { F i c k ' s ~ f i r s t ~ l a w ~ ( b i n a r y ) } } \\ { \boldsymbol { i } _ { k } } & { = - \kappa _ { k } \nabla \Phi = \kappa _ { k } \, \boldsymbol { E } } & { \mathrm { O h m ' s ~ l a w } } \end{array}
( n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } , n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } ) = \left( \frac { 2 ( 1 + \zeta ) } { \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } + 5 , \frac { 2 \zeta ( 1 + \zeta ) } { \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } + 1 \right) .
{ \mathbf { e } } _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } , \quad { \mathbf { e } } _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } .
\widehat { \theta } _ { a b } ^ { \alpha } = \frac { 1 } { \alpha ! } \frac { i ^ { \alpha - 1 } } { 2 ^ { \alpha } } \sum _ { i = 1 } ^ { \alpha } \{ 2 \theta _ { a b } \prod _ { k \ne i } ( \theta ^ { \mu _ { k } \nu _ { k } } \partial _ { \mu _ { k } } \partial _ { \nu _ { k } } ) + ( x _ { a } \theta ^ { \mu _ { i } } \, _ { b } - x _ { b } \theta ^ { \mu _ { i } } \, _ { a } ) \prod _ { j \ne i } ( \theta ^ { \mu _ { j } \nu _ { j } } \partial _ { \nu _ { j } } ) \prod _ { k = 1 } ^ { \alpha } \partial _ { \mu _ { k } } \} .
P _ { \mathrm { ~ R ~ P ~ } , r } = \langle p _ { \mathrm { ~ R ~ P ~ } , r } \rangle = 1 + \frac { 1 + r } { 2 r } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - r ) ^ { k } \big [ Z _ { k } + Z _ { k } ^ { \ast } \big ] .
\begin{array} { r l r } { \hat { T } } & { = } & { \sum _ { i a } t _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } t _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } } \\ & { + } & { u _ { 0 } \hat { b } ^ { \dagger } + \sum _ { i a } u _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { b } ^ { \dagger } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } u _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } \hat { b } ^ { \dagger } } \end{array}
M _ { \mathrm { u , d } } \; = \; c _ { \mathrm { u , d } } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { \varepsilon _ { \mathrm { u , d } } ^ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { \varepsilon _ { \mathrm { u , d } } ^ { 3 } } } & { { \omega _ { \mathrm { u , d } } ~ \varepsilon _ { \mathrm { u , d } } ^ { 2 } } } & { { \varepsilon _ { \mathrm { u , d } } ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { \varepsilon _ { \mathrm { u , d } } ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r } { \mathsf { F } _ { \mathrm { K i r } } \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } = \left( \begin{array} { l l } { \mathsf { F } _ { C } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathsf { F } _ { L } } \end{array} \right) \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \breve { I } _ { 1 } } & { : = \int _ { | t | \leq \log n } \left| \frac { \chi _ { \breve { F } _ { \mathfrak { c } } } ( t ) - \chi _ { G _ { \mathfrak { c } } } ( t ) } { t } \right| \mathrm { d } t , \qquad \breve { I } _ { 2 } : = \int _ { \log n < | t | \leq c \sqrt { n } } \left| \frac { \chi _ { \breve { F } _ { \mathfrak { c } } } ( t ) } { t } \right| \mathrm { d } t , } \\ { \breve { I } _ { 3 } } & { : = \int _ { c \sqrt { n } < | t | \leq \sqrt { n } \log n } \left| \frac { \chi _ { \breve { F } _ { \mathfrak { c } } } ( t ) } { t } \right| \mathrm { d } t , \qquad \breve { I } _ { 4 } : = \int _ { | t | > \log n } \left| \frac { \chi _ { G _ { \mathfrak { c } } } ( t ) } { t } \right| \mathrm { d } t . } \end{array}
= \frac { 1 } { \sqrt { f } } q ^ { - \frac { M } { 2 } } \sum _ { p e r m ( a _ { 1 } . . . a _ { k } ) } q ^ { \chi ( a _ { 1 } . . . a _ { k } ) } ( \mid e _ { a _ { 1 } . . . a _ { k } } \rangle ) ^ { + } =
( r _ { \infty } - 2 ) \partial _ { y _ { r _ { \infty } - 2 } } f _ { k } = \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \frac { ( - 1 ) ^ { i } ( r _ { \infty } - 2 - k + i ) ! y _ { r _ { \infty } - 2 } ^ { i - 1 } y _ { r _ { \infty } - 1 - k + i } } { ( i - 1 ) ! ( r _ { \infty } - 2 - k ) ! ( r _ { \infty } - 2 ) ^ { i - 1 } } + \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } ( r _ { \infty } - 3 ) ! y _ { r _ { \infty } - 2 } ^ { k - 1 } } { ( k - 2 ) ! ( r _ { \infty } - 2 - k ) ! ( r _ { \infty } - 2 ) ^ { k - 2 } }
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { 0 } + \mathcal { H } _ { \mathrm { d - d } } \! = - \Delta \sum _ { j , \nu } \sigma _ { j , \nu } ^ { \dagger } \sigma _ { j , \nu } ^ { \phantom { \dagger } } \! + \! \sum _ { j , j ^ { \prime } , \nu , \nu ^ { \prime } } \Omega _ { j j ^ { \prime } } ^ { \nu \nu ^ { \prime } } \sigma _ { j , \nu } ^ { \dagger } \sigma _ { j ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \rho ( x , y , z ) } & { = { \frac { 2 0 B \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } { \left( r ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } } } \\ { p ( x , y , z ) } & { = { \frac { - A ^ { 2 } B } { \left( r ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { 4 } } } + { \frac { - 4 A ^ { 2 } B \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } { \left( r ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { 5 } } } . } \end{array} }
\mathsf { E } ( \mathsf { f } ^ { n , \star } + \epsilon \psi ) - \mathsf { E } ( \mathsf { f } ^ { n , \star } ) = \epsilon \mathsf { E } ( \psi ) \quad \Rightarrow \quad \langle \nabla _ { \mathsf { f } } \mathsf { E } \, , \psi \rangle = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { \mathsf { E } ( \mathsf { f } ^ { n , \star } + \epsilon \psi ) - \mathsf { E } ( \mathsf { f } ^ { n , \star } ) } { \epsilon } = \mathsf { E } ( \psi ) \, .
\left\{ \begin{array} { l l } { \underset { \theta \in \Theta } { \operatorname { m i n i m i z e } } } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } [ \theta ^ { 2 } + \operatorname { d i v } b ( z ) - \frac { 1 } { 6 } R ( z ) ] d t + \Phi ( z ( t _ { f } ) ) , } \\ { \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } } & { \dot { z } ( t ) = \tilde { b } ( z ( t ) ) + \sigma ( z ( t ) ) \theta ( t ) , } \\ & { { z } ( 0 ) = x _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { I ( i ) = \frac { \gamma _ { i } ( x + v t ) e ^ { 2 \beta t v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } ( 1 - e ^ { - ( \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert + 2 \gamma _ { i } ( x + v t ) ) t } ) } { \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert + 2 \gamma _ { i } ( x + v t ) } + e ^ { - ( \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert + 2 \gamma _ { i } ( x + v t ) ) t + 2 t v _ { i } \beta \partial _ { i } \psi ( x ) } . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t _ { c } } \bigg ( \frac { V _ { t h } t _ { c } } { Q _ { i n } R _ { m _ { 0 } } } \bigg ) = \frac { \partial } { \partial t _ { c } } \bigg ( 1 - e ^ { - \frac { t _ { s } } { \tau } } \big ( 1 + \frac { t _ { s } } { \tau } \big ) \bigg ) ~ ,
\begin{array} { r l } { Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } & { { } = \frac { e ^ { - \sum _ { i < j } H _ { i j } ( w _ { i j } ) } } { \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } e ^ { - \sum _ { i < j } H _ { i j } ( w _ { i j } ) } d \mathbf { W } } } \end{array}
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \psi ( \mathbf { r } , t ) + V ( \mathbf { r } , t ) \psi ( \mathbf { r } , t ) = i \hbar { \frac { \partial \psi ( \mathbf { r } , t ) } { \partial t } }