harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Big | | \operatorname { N o r m a l i z e } ( x ) | - | \operatorname { N o r m a l i z e } ( y ) | \Big | } & { = \Big | \big ( \pi - ( ( 2 n + 1 ) \pi - x ) \big ) - \big ( \pi - ( y - ( 2 n + 1 ) \pi ) \big ) \Big | } \\ & { = \Big | ( y - ( 2 n + 1 ) \pi ) - ( ( 2 n + 1 ) \pi - x ) \Big | } \\ & { \leq \Big | ( y - ( 2 n + 1 ) \pi ) + ( ( 2 n + 1 ) \pi - x ) \Big | } \\ & { = | x - y | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi ( \mathbf { r } , t ) } { \partial t } = } & { { } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \Delta \psi ( \mathbf { r } , t ) + \left( m \Phi ( \mathbf { r } , t \right) + } \end{array}
F _ { \mu \nu } ^ { a } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } + g \varepsilon ^ { a b c } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } \; , \qquad B _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } B _ { \nu } - \partial _ { \nu } B _ { \mu } \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \psi } ( u _ { n } ) ( x ) - \mathcal { L } _ { \psi } ( v ) ( x ) } & { \leq \psi ( z _ { 1 } ) + u _ { n } ( z _ { 1 } ) - \psi ( z _ { 1 } ) - v ( z _ { 1 } ) = u _ { n } ( z _ { 1 } ) - v ( z _ { 1 } ) < \epsilon \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathcal { L } _ { \psi } ( u _ { n } ) ( x ) - \mathcal { L } _ { \psi } ( v ) ( x ) } & { \geq \psi ( z _ { 2 } ) + u _ { n } ( z _ { 2 } ) - \psi ( z _ { 2 } ) - v ( z _ { 2 } ) = u _ { n } ( z _ { 2 } ) - v ( z _ { 2 } ) > - \epsilon . } \end{array}
\hat { H } = \frac { \hat { \pi } ^ { 2 } } { 2 } + ( \omega _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) ) \frac { \hat { P } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \alpha } { 4 } \hat { P } ^ { 4 } - \hat { P } E ( t )
\begin{array} { r l } { \boldsymbol z ^ { k } } & { { } = \sigma ( \boldsymbol W ^ { k } \boldsymbol z ^ { k - 1 } + \boldsymbol b ^ { k } ) \, , \quad 1 \leq k \leq L - 1 \, , } \\ { \boldsymbol z ^ { L } } & { { } = \boldsymbol W ^ { L } \boldsymbol z ^ { L - 1 } + \boldsymbol b ^ { L } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { p } k _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) { * n } } & { { } = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { q } k _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) n _ { \ell } } & { { } = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { q } \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) { * \tilde { n } } } & { { } = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { p } \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) \tilde { n } _ { \ell } } & { { } = 0 . } \end{array}
C = - \frac { 1 } { 3 \pi } \frac { 1 } { \beta ^ { 4 } } ( 4 + \beta ^ { 2 } m ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } + \frac { { \vert e \vert } ^ { 2 } H ^ { 2 } } { 1 2 \pi } \frac { 1 } { ( 4 + \beta ^ { 2 } m ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } ,
T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } } = \frac { T ( \vec { k } , k _ { 0 } , \alpha , \beta ) + T ( \vec { k } , k _ { 0 } , \beta , \alpha ) } { 2 } = - \frac { ( k k _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( \cos \alpha - \cos \beta ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \theta } & { = \frac { 1 } { \log a + 1 } \left( 2 ( a - 1 ) \beta _ { c } ( \theta ) + 1 \right) = \frac { 1 } { \log a + 1 } \left( 2 ( a - 1 ) \frac { - \log a - 1 + a } { - \log a - 1 + 2 a + a ^ { 2 } \log a - a ^ { 2 } } + 1 \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { \log a + 1 } \left( \frac { \log a + 1 - 2 a \log a - 2 a + a ^ { 2 } \log a + a ^ { 2 } } { \log a + 1 - 2 a - a ^ { 2 } \log a + a ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
+ { \bigg ( } 1 8 + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + { \frac { 1 } { 6 4 } } { \bigg ) } \; \; \; h e q a t + { \bigg ( } 1 + { \frac { 2 } { 3 } } { \bigg ) } \; \; \; r o
p _ { k } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = \frac { ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) ^ { \frac { N + 1 } { 2 } } } { 2 ^ { N - 1 } \Gamma ( \frac { N - 1 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { N + 1 } { 2 } ) } s ^ { N - 1 } e ^ { - \frac { ( \mu _ { t _ { a } } + \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { a } + \sigma _ { b } ) } { 2 } s } ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } ^ { \prime \prime } } & { { } = \frac { 2 \alpha ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \Omega } \frac { ( W - 1 ) ^ { 2 } ( 4 W ^ { 4 } - 4 W ^ { 3 } - 4 W \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) } { ( 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + 2 W ) ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( r ) } \\ { \Gamma } & { { } = \frac { \alpha ^ { 4 } n _ { i , 0 } \Omega } { \mu m _ { e } n _ { e , 0 } \Delta } \frac { ( W - 1 ) ^ { 2 } ( 2 W ^ { 3 } - 2 W ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) } { ( 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + 2 W ) ^ { 2 } ( W ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } - W ) } + \mathcal { O } ( r ) \, , } \\ { \mathrm { w i t h } \quad \Delta } & { { } = c ^ { 2 } ( n _ { e , 0 } + n _ { i , 0 } ) \left[ V ^ { 2 } - \frac { n _ { i , 0 } } { n _ { e , 0 } + n _ { i , 0 } } \nu ^ { 2 } \right] + \mathcal { O } ( r ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ^ { + } } & { { } = n _ { i } + n _ { j } , } \\ { n ^ { - } } & { { } = n _ { i } - n _ { j } , } \\ { m ^ { + } } & { { } = m _ { i } + m _ { j } , } \\ { m ^ { - } } & { { } = m _ { i } - m _ { j } . } \end{array}
\mathbf { \left( W + \Delta W \right) } ^ { - 1 } = \mathbf { \left( W + U C V \right) } ^ { - 1 } = \mathbf { W } ^ { - 1 } - \mathbf { W } ^ { - 1 } \mathbf { U } \left( \mathbf { C } ^ { - 1 } + \mathbf { V W } ^ { - 1 } \mathbf { U } \right) ^ { - 1 } \mathbf { V W } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { 4 ( m + 1 ) d _ { m } ^ { \star } ( r ) = } & { r ^ { m } \Big [ \frac { 4 ( m + 1 ) r } { f _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) } F _ { m , \Omega _ { m } } ( r ) \mu _ { \Omega _ { m } } ^ { 0 } ( r ) } \\ & { \times \int _ { 1 } ^ { r } \frac { 1 } { F _ { m , \Omega _ { m } } ^ { 2 } ( s ) s ^ { 2 m + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } F _ { m , \Omega _ { m } } ( \tau ) \tau ^ { 2 n + 1 } \left\{ \Omega _ { m } - \frac { f _ { 0 } ( \tau ) } { 2 } \right\} d \tau d s } \\ & { - r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 1 - m } G _ { m } ( r ) } { G _ { m } ( 1 ) } \Big ] } \\ { = : } & { r ^ { m } \Big [ \mathcal { H } _ { m , 1 } ( r ) + \mathcal { H } _ { m , 2 } ( r ) + \mathcal { H } _ { m , 3 } ( r ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { L } _ { i j m } ^ { k l n } = \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \mathrm { d } } & { { \mathbf { r } _ { 3 } } \, \chi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \chi _ { n } ( { \mathbf { r } _ { 3 } } ) \, } \\ & { \hat { L } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { m } ( { \mathbf { r } _ { 3 } } ) . } \end{array}
T _ { \mathbf { x } } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { - x _ { 4 } } & { - x _ { 7 } } & { x _ { 2 } } & { - x _ { 6 } } & { x _ { 5 } } & { x _ { 3 } } \\ { x _ { 4 } } & { 0 } & { - x _ { 5 } } & { - x _ { 1 } } & { x _ { 3 } } & { - x _ { 7 } } & { x _ { 6 } } \\ { x _ { 7 } } & { x _ { 5 } } & { 0 } & { - x _ { 6 } } & { - x _ { 2 } } & { x _ { 4 } } & { - x _ { 1 } } \\ { - x _ { 2 } } & { x _ { 1 } } & { x _ { 6 } } & { 0 } & { - x _ { 7 } } & { - x _ { 3 } } & { x _ { 5 } } \\ { x _ { 6 } } & { - x _ { 3 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 7 } } & { 0 } & { - x _ { 1 } } & { - x _ { 4 } } \\ { - x _ { 5 } } & { x _ { 7 } } & { - x _ { 4 } } & { x _ { 3 } } & { x _ { 1 } } & { 0 } & { - x _ { 2 } } \\ { - x _ { 3 } } & { - x _ { 6 } } & { x _ { 1 } } & { - x _ { 5 } } & { x _ { 4 } } & { x _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] } .
T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } = - \frac { ( k k _ { 1 } ) ^ { 3 / 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( \cos \alpha - \cos \beta ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { R _ { \tilde { H } \tilde { H } , \, j - i } } & { = E \left[ H _ { k , \, l , \, i , \, I } H _ { k , \, l , \, j , \, I } \right] } \\ & { = E \left[ H _ { k , \, l , \, i , \, Q } H _ { k , \, l , \, j , \, Q } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } E \left[ \tilde { H } _ { k , \, l , \, i } ^ { * } \tilde { H } _ { k , \, l , \, j } \right] } \\ & { = R _ { \tilde { H } \tilde { H } , \, i - j } } \end{array}
{ \mathrm { j o i n } } \colon ( ( A + E ) + E ) \to ( A + E ) = a \mapsto { \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathrm { e r r } } \, e } & { { \mathrm { i f } } \ a = { \mathrm { e r r } } \, e } \\ { { \mathrm { e r r } } \, e } & { { \mathrm { i f } } \ a = { \mathrm { v a l u e } } \, { \mathrm { ( e r r } } \, e \, { \mathrm { ) } } } \\ { { \mathrm { v a l u e } } \, a ^ { \prime } } & { { \mathrm { i f } } \ a = { \mathrm { v a l u e } } \, { \mathrm { ( v a l u e } } \, a ^ { \prime } \, { \mathrm { ) } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r l } & { | \tilde { d } _ { 2 , 0 } ( \zeta , t ) | = e ^ { \pi ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } , } & & { \zeta \in \mathcal { I } , \ t \geq 2 , } \\ & { | d _ { 2 , 1 } ( \zeta , k ) - 1 | \leq C | k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } | ( 1 + | \ln | k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } | | ) , } & & { \zeta \in \mathcal { I } , \ k \in \mathcal { X } _ { 2 } ^ { \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big ( \delta _ { t + 1 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } & { = \mathbb { E } \big ( v _ { t + 1 } - \nabla f ( w _ { t + 1 } ) \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { = \mathbb { E } \big ( v _ { t } + \nabla f _ { S _ { t + 1 } } ( { w _ { t + 1 } } ) - \nabla { f _ { { S _ { t + 1 } } } } ( w _ { t } ) - \nabla f ( w _ { t + 1 } ) \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { = } v _ { t } - \nabla f ( w _ { t } ) = \delta _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \langle \hat { x } _ { E } \rangle } & { { } = \alpha _ { x } + \beta _ { x } \; , } & { \langle \hat { p } _ { E } \rangle } & { { } = \alpha _ { p } - \beta _ { p } \; , } \\ { \mathrm { V a r } [ \hat { x } _ { E } ] } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \; , } & { \mathrm { V a r } [ \hat { p } _ { E } ] } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \; . } \end{array}
\delta _ { \epsilon } ( \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \psi ) = \epsilon Q \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \psi \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } } & { = \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } + \mathsf { K } ^ { \mathrm { a } } ( \mathsf { y } _ { j } ^ { \mathrm { a } } - \mathsf { H } ^ { \mathrm { a } } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } ] ) } \\ { \mathrm { w i t h } \quad \mathsf { K } ^ { \mathrm { a } } } & { = \mathsf { P H } ^ { \mathrm { a } , \top } ( \mathsf { H } ^ { \mathrm { a } } \mathsf { P } \mathsf { H } ^ { \mathrm { a } \top } + \mathsf { R } ^ { \mathrm { a } } ) ^ { - 1 } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \Delta _ { 3 3 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 3 3 , - } ( \zeta , k ) \frac { 1 } { 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 3 3 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 3 3 , - } ( \zeta , k ) \frac { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } { f ( k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 8 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 3 3 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 3 3 , - } ( \zeta , k ) \frac { 1 } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } , } & & { k \in \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\hat { U } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) = \sum _ { n , \alpha _ { n } } | E _ { n } , \alpha _ { n } > \, e ^ { - i / \hbar ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) E _ { n } } \, < E _ { n } , \alpha _ { n } | \ .
\begin{array} { r l } { B ( w w ^ { T } ) \Bar w } & { = ( \mathbb { I } _ { m } - w w ^ { \ast } ) B _ { 0 } ( \mathbb { I } _ { m } - \Bar w w ^ { T } ) \Bar w = ( \mathbb { I } _ { m } - w w ^ { \ast } ) B _ { 0 } ( \Bar w - \Bar w ) = 0 , } \\ { B ( w w ^ { T } ) ^ { T } } & { = ( \mathbb { I } _ { m } - ( \Bar w w ^ { T } ) ^ { T } ) B _ { 0 } ^ { T } ( \mathbb { I } _ { m } - ( w w ^ { \ast } ) ^ { T } ) = B ( w w ^ { T } ) \mathrm { \ a n d } } \\ { B ( a a ^ { T } ) } & { = ( \mathbb { I } _ { m } - a a ^ { \ast } ) B _ { 0 } ( \mathbb { I } _ { m } - \Bar a a ^ { T } ) = B _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \textrm { i n t } } } & { = E _ { \mathrm { N N } } + \int \rho _ { \textrm { s y s } } ( r ) \nu _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { n u c } } d r + \int \rho _ { \textrm { e n v } } ( r ) \nu _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { n u c } } d r } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int \frac { \rho _ { \textrm { s y s } } ( r ) \rho _ { \textrm { e n v } } ( r ^ { \prime } ) } { | r - r ^ { \prime } | } d r d r ^ { \prime } } \\ & { + E _ { \textrm { x c } } ^ { \textrm { n a d d } } [ \rho _ { \textrm { s y s } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ] + T _ { s } ^ { \textrm { n a d d } } [ \rho _ { \textrm { s y s } } , \rho _ { \textrm { e n v } } ] . } \end{array}
\omega _ { \mathrm { n e a r } } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { K \left( \left( \frac { \theta } { \theta _ { \mathrm { b } } } \right) ^ { 2 } - 1 \right) \theta } & { | \theta | \leq \theta _ { \mathrm { c } } } \\ { \mathrm { s i g n } ( \theta ) \omega _ { \mathrm { m a x } } } & { | \theta | > \theta _ { \mathrm { c } } } \end{array} \right.
W = Z _ { r } Z _ { r } + Z _ { I } Z _ { I } = q ^ { \Lambda } \mathcal { N } _ { \Lambda \Sigma } q ^ { \Sigma } , \qquad Z _ { r } Z _ { r } - Z _ { I } Z _ { I } = q ^ { \Lambda } \eta _ { \Lambda \Sigma } q ^ { \Sigma }
{ \hat { H } } _ { e f f } ( t ) = \mu _ { 1 } ( t ) { \hat { a } } ^ { \dagger } { \hat { a } } + \mu _ { 2 } ( t ) { \hat { b } } ^ { \dagger } { \hat { b } } + g { \hat { a } } { \hat { b } } + g ^ { * } { \hat { a } } ^ { \dagger } { \hat { b } } ^ { \dagger } .
\displaystyle \frac { d \sigma } { d E d \cos \theta } = \delta ( E - E _ { m a x } ) \frac { 3 2 \pi \alpha ^ { 3 } | R _ { S } ( 0 ) | ^ { 2 } } { 3 M ^ { 3 } S ( 1 - r ) \sin ^ { 2 } \theta } [ ( 1 + r ) ^ { 2 } + ( 1 - r ) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta ] , \, [ 2 m m ]
\begin{array} { r l } & { \hat { \mathcal { V } } _ { a b \to c d } ^ { ( \mathrm { o n } ) } \equiv \frac { 1 } { 8 \pi } \sum _ { e = 1 } ^ { r } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \theta _ { k } \hat { V } _ { a b e \to c d e } ^ { ( \mathrm { o n } ) } , } \\ & { \hat { \mathcal { V } } _ { a b \to c d } \equiv \frac { 1 } { 8 \pi } \sum _ { e = 1 } ^ { r } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \theta _ { k } \hat { V } _ { a b e \to c d e } , } \\ & { \hat { \mathcal { R } } _ { a b \to c d } \equiv \frac { 1 } { 8 \pi } \sum _ { e = 1 } ^ { r } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \theta _ { k } \hat { R } _ { a b e \to c d e } , } \end{array}
0 . 1 / k W - h r , t h e c o s t t o p r o d u c e t h e r e q u i r e d a m o u n t o f e n e r g y f o r t h e m i s s i o n s w a s c o m p u t e d g i v e n a s p e c i f i c d e p a r t u r e d a t e a n d t h e c o r r e s p o n d i n g o p t i c a l p o w e r r e q u i r e m e n t . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n T a b l e ~ . I t c a n b e o b s e r v e d t h a t t h e e l e c t r i c a l e n e r g y c o s t v a r i e s f r o m \ 6 m i l l i o n t o \ 3 0 m i l l i o n f o r t h e 2 7 m o n t h 2 0 3 0 - 2 0 3 2 t i m e p e r i o d c o n s i d e r e d . T a k i n g l a u n c h c o s t s a t 2 0
\sigma ^ { 2 } \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi ( \xi - \mu ) ^ { 2 } f ( \xi ) = \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \left( \frac { 2 K _ { b } } { 3 } - E _ { b } ^ { 2 } \right) \, ,
\begin{array} { r } { \left( \phi ( \pmb { x } ) , \displaystyle \frac { u _ { h } ^ { n + 1 } - u _ { h } ^ { n } } { \tau ^ { n + 1 } } \right) + \left( H ^ { \prime } ( u _ { h } ^ { n + 1 } ) , \displaystyle \frac { u _ { h } ^ { n + 1 } - u _ { h } ^ { n } } { \tau ^ { n + 1 } } \right) = - \left( f ( u _ { h } ^ { n + 1 } ) \pmb { s } _ { h } ^ { n + 1 } , \pmb { s } _ { h } ^ { n + 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ^ { ( p ) } ( \{ \beta _ { i } \} ) = \left( \begin{array} { c c c c c c } { \beta _ { 1 } ^ { L } f _ { 1 } ^ { ( a ) } ( \beta _ { 1 } ) + f _ { 1 } ^ { ( b ) } ( \beta _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \beta _ { 2 M } ^ { L } f _ { 1 } ^ { ( a ) } ( \beta _ { 2 M } ) + f _ { 1 } ^ { ( b ) } ( \beta _ { 2 M } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \beta _ { 1 } ^ { L } f _ { M } ^ { ( a ) } ( \beta _ { 1 } ) + f _ { M } ^ { ( b ) } ( \beta _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \beta _ { 2 M } ^ { L } f _ { M } ^ { ( a ) } ( \beta _ { 2 M } ) + f _ { M } ^ { ( b ) } ( \beta _ { 2 M } ) } \\ { \beta _ { 1 } ^ { L } g _ { 1 } ^ { ( a ) } ( \beta _ { 1 } ) + g _ { 1 } ^ { ( b ) } ( \beta _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \beta _ { 2 M } ^ { L } g _ { 1 } ^ { ( a ) } ( \beta _ { 2 M } ) + g _ { 1 } ^ { ( b ) } ( \beta _ { 2 M } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \beta _ { 1 } ^ { L } g _ { M } ^ { ( a ) } ( \beta _ { 1 } ) + g _ { M } ^ { ( b ) } ( \beta _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \beta _ { 2 M } ^ { L } g _ { M } ^ { ( a ) } ( \beta _ { 2 M } ) + g _ { M } ^ { ( b ) } ( \beta _ { 2 M } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { v _ { 1 } } & { = p _ { 1 2 } + p _ { 3 4 } } & { v _ { 2 } } & { = p _ { 1 3 } - p _ { 2 4 } } & { v _ { 3 } } & { = p _ { 1 4 } + p _ { 2 3 } } \\ { w _ { 1 } } & { = p _ { 1 2 } - p _ { 3 4 } } & { w _ { 2 } } & { = p _ { 1 3 } + p _ { 2 4 } } & { w _ { 3 } } & { = p _ { 1 4 } - p _ { 2 3 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \zeta ^ { \prime } ( - 2 ) } & { = - { \frac { \zeta ( 3 ) } { 4 \pi ^ { 2 } } } } \\ { \zeta ^ { \prime } ( - 4 ) } & { = { \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 4 } } } \zeta ( 5 ) } \\ { \zeta ^ { \prime } ( - 6 ) } & { = - { \frac { 4 5 } { 8 \pi ^ { 6 } } } \zeta ( 7 ) } \\ { \zeta ^ { \prime } ( - 8 ) } & { = { \frac { 3 1 5 } { 4 \pi ^ { 8 } } } \zeta ( 9 ) \, . } \end{array} }
\nu _ { T } = \frac { - ( \hat { \partial } _ { k } \widetilde { u } _ { i } ) ( \hat { \partial } _ { k } \widetilde { u } _ { j } ) \widetilde { S } _ { i j } } { ( \partial _ { l } \widetilde { u } _ { m } ) ( \partial _ { l } \widetilde { u } _ { m } ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { e x } } } & { { } = A \left| \nabla \mathbf { m } \right| ^ { 2 } = A \left( \left| \nabla \Theta \right| ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \Theta \left| \nabla \Phi \right| ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } } & { { } = - E _ { 0 } \left[ x ( z ) - \cos ( k y ) \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \frac { \tilde { B } ( z ^ { \prime } ) } { B _ { 0 } } \right] , } \\ { \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } } & { { } = E _ { 0 } \left[ \hat { x } + \hat { y } \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } k \frac { \tilde { B } ( z ^ { \prime } ) } { B _ { 0 } } \sin ( k y ) - \hat { z } \frac { \tilde { B } ( z ) } { B _ { 0 } } \cos ( k y ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Delta \mathbf { X } ( \mathbf { X } _ { 0 } ; t _ { 0 } ) } { 2 t _ { 0 } } \sim \frac { 1 } { 8 t _ { 0 } } ( \alpha \beta - \alpha ^ { 2 } ) \Delta T _ { 0 } ^ { 2 } U \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } A ( t ) ^ { 2 } \, d t \left[ \mathbf { e } _ { x } \left( \frac { a ^ { 2 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 2 } } - \frac { 2 a ^ { 2 } X _ { 0 } ^ { 2 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) + \mathbf { e } _ { y } \left( - \frac { 2 a ^ { 2 } X _ { 0 } Y _ { 0 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) \right] . } \end{array}
\frac { d V _ { 1 } } { d f } = - \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { \overline { { { f } } } } { ( p ^ { 2 } + \overline { { { \eta } } } \eta ) ^ { 2 } - \overline { { { f } } } f \lambda ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { W ^ { * } } & { = \sum _ { i < j } \frac { a _ { i j } ^ { * } } { \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } } , } \\ { \sum _ { i < j } w _ { i j } ^ { * } \cdot \frac { \partial z _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial \underline { { \phi } } } } & { = \sum _ { i < j } \frac { a _ { i j } ^ { * } } { \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } } \cdot \frac { \partial z _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial \underline { { \phi } } } . } \end{array}
| \partial \langle n \rangle / \partial B _ { \rho } | \leq | k _ { + \rho } \partial \langle n \rangle / \partial k _ { + \rho } | + | k _ { - \rho } \partial \langle n \rangle / \partial k _ { - \rho } | \leq 2 \mathrm { V a r } \{ n \}
c ^ { 2 } ( d \tau ) ^ { 2 } = \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + \frac { k } { \lambda ^ { 2 } } x ^ { \rho } \eta _ { \rho \mu } x ^ { \sigma } \eta _ { \sigma \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \; ,
i = \mathrm { i n t } \left( \frac { c _ { x } ^ { \prime } - v _ { x , m i n } } { \Delta v } \right) , \: j = \mathrm { i n t } \left( \frac { c _ { y } ^ { \prime } - v _ { y , m i n } } { \Delta v } \right) , \: k = \mathrm { i n t } \left( \frac { c _ { z } ^ { \prime } - v _ { z , m i n } } { \Delta v } \right) .
\textnormal { F F B o u n d a r y t e r m } = - \int _ { \cal M } d ^ { d } x \sqrt g \frac { 1 } { d _ { f } ! } F ^ { 0 \mu _ { 2 } . . . \mu _ { d _ { f } } } \partial _ { 0 } A _ { \mu _ { 2 } . . . \mu _ { d _ { f } } } .
\left( { \bf G J - 1 } \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { - } ^ { T } { \bf G } \Delta { \bf J } \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { - } ^ { \prime } } } & { { \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { - } ^ { T } { \bf G } \Delta { \bf J } \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { + } ^ { \prime } } } \\ { { \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { + } ^ { T } { \bf G } \Delta { \bf J } \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { - } } } & { { \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { + } ^ { T } { \bf G } \Delta { \bf J } \mathrm { \boldmath ~ x i ~ } _ { + } ^ { \prime } + G _ { + } C \Lambda ^ { 2 } - 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l } { H _ { 1 } ( x ) } & { { } = \frac 1 { 2 0 } ( 1 - x ^ { 2 } ) - \frac 1 { 2 4 } ( 1 - x ^ { 4 } ) = \frac { 1 } { 1 2 0 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - 5 x ^ { 2 } ) } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x \in [ - 1 , 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \left( \rho \mathbf { u } \right) } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf { u u } \right) = - \nabla p + \nabla \cdot \left( \mu \left[ \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { T } \right] \right) + \rho \textbf { g } + \gamma \kappa \mathbf { n } \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { f } \right) + \textbf { F } _ { L } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l l } { a } & { b } & { c } & { d } & { e } \\ { f } & { a } & { b } & { c } & { d } \\ { g } & { f } & { a } & { b } & { c } \\ { h } & { g } & { f } & { a } & { b } \\ { i } & { h } & { g } & { f } & { a } \end{array} \right] } .
\underset { \theta } { \operatorname* { m i n } } \, \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \lVert f _ { \theta } ( \mathbf { x } ^ { ( n ) } ; \mathbf { y } ^ { ( n ) } ) \rVert _ { 2 } ^ { 2 } - \log \left| \operatorname* { d e t } { \mathbf { J } _ { f _ { \theta } } } \right| \right) ,
\begin{array} { r } { \psi _ { 0 } ^ { + } = \operatorname* { l i m } _ { \xi \rightarrow \infty } \tilde { \psi } _ { 0 } = 1 , } \\ { \psi _ { 0 } ^ { - } = \operatorname* { l i m } _ { \xi \rightarrow - \infty } \tilde { \psi } _ { 0 } = - 1 . } \end{array}
R _ { \mathrm { m i n } } = \left[ \frac { 1 + 2 \, q \, \rho \, \cos ( \theta + \omega ) + q ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { \left( 1 - 2 \, q \, \cos \omega \cos \gamma + q ^ { 2 } \right) \left( 1 + 2 \, \rho \, \cos \theta \cos \gamma + \rho ^ { 2 } \right) } \right] \sin ^ { 2 } \gamma \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ J _ { t , m } : m \in [ M _ { t } ] \} ^ { c } } \\ & { } & { \cap ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + ( t - 1 ) L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + ( t - 1 \slash 2 ) L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] \cap \mathbb { N } ^ { * } , } \end{array}