harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathbf { r _ { i } } - \mathbf { R } ) \times ( m _ { i } \mathbf { a } _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( m _ { i } \mathbf { a } _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { a } _ { i } ] \; \ldots { \mathrm { ~ c r o s s - p r o d u c t ~ s c a l a r ~ m u l t i p l i c a t i o n } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( \mathbf { a } _ { { \mathrm { t a n g e n t i a l } } , i } + \mathbf { a } _ { { \mathrm { c e n t r i p e t a l } } , i } + \mathbf { A } _ { \mathbf { R } } ) ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( \mathbf { a } _ { { \mathrm { t a n g e n t i a l } } , i } + \mathbf { a } _ { { \mathrm { c e n t r i p e t a l } } , i } + 0 ) ] } \end{array} }
\begin{array} { r } { \operatorname { E } \left[ \bigl ( W _ { 1 } ^ { 2 } - \operatorname { E } [ W _ { 1 } ^ { 2 } ] \bigr ) ( C _ { 2 } - \operatorname { E } [ C _ { 2 } ] ) \right] = - 2 \sigma ^ { 2 } | s | ^ { 2 } P . } \end{array}
W _ { i } f \bar { f } ^ { \prime } = \frac { i g } { \sqrt { 2 } } \gamma ^ { \mu } \left( \frac { 1 - \gamma _ { 5 } } { 2 } \, \, C _ { L } ^ { W _ { i } } + \frac { 1 + \gamma _ { 5 } } { 2 } \, \, C _ { R } ^ { W _ { i } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( d f _ { 1 } ) \wedge \ast \boldsymbol { n } ( \mu \wedge d f _ { 2 } ) } & { = \langle d f _ { 1 } , i _ { \mathcal { N } } ( \mu \wedge d f _ { 2 } ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } v _ { \partial \Omega } } \\ & { = \langle d f _ { 1 } , i _ { \mathcal { N } } \mu \wedge d f _ { 2 } - \mu \wedge i _ { \mathcal { N } } d f _ { 2 } \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } v _ { \partial \Omega } . } \end{array}
C _ { Y } ^ { } = \sum _ { i } ^ { 3 } ( { \frac { 5 } { 3 } } X _ { i i } ^ { [ u ] } - { \frac { 1 } { 3 } } X _ { i i } ^ { [ d ] } + 2 X _ { i i } ^ { [ e ] } ) - 3 X _ { } ^ { [ \mu ] } \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { X } \alpha } & { { } = d \iota _ { X } \alpha + \iota _ { X } d \alpha , } \\ { \iota _ { [ X , Y ] } \alpha } & { { } = \mathcal { L } _ { X } \iota _ { Y } \alpha - \iota _ { Y } \mathcal { L } _ { X } \alpha , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { n } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } \frac { d \phi } { \cos ^ { 2 n } \phi } \ = \ \int _ { 0 } ^ { \pi / 4 } ( 1 + \tan ^ { 2 } \phi ) ^ { n } d \phi \ = \ \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 + y ^ { 2 } ) ^ { n - 1 } d y } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { k } \end{array} \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { 2 k } d y \ = \ \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { 2 k + 1 } \left( \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { k } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { m } ( \zeta ; q ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { m ! ( m - 1 ) ! } \prod _ { j = 1 } ^ { m - 1 } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i v _ { i } ^ { 2 } } \sum _ { L _ { m } = 1 } ^ { \infty } \Bigg \{ ( - 1 ) ^ { L _ { m } - 1 } \left( 1 - q ^ { L _ { m } } \right) q ^ { L _ { m } ( L _ { m } + 1 ) / 2 } v _ { m } \cdot } \\ & { \cdot \frac { \zeta q ^ { L _ { m } } \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \left( u _ { i } / v _ { i } \right) } { 1 - \zeta q ^ { L _ { m } } \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \left( u _ { i } / v _ { i } \right) } \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \cdot \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { v _ { m } - u _ { i } } { v _ { m } - v _ { i } } \right] \cdot } \\ & { \cdot \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { v _ { i } - q ^ { L _ { m } } v _ { m } } { u _ { i } - q ^ { L _ { m } } v _ { m } } \right] \prod _ { i , j = 1 } ^ { m - 1 } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / u _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / v _ { j } \right) } { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / v _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / u _ { j } \right) } \right] \Bigg \} . } \end{array}
R \left( \begin{array} { l l l l } { q _ { 1 } } & { q _ { 2 } } & { \ldots } & { q _ { N } } \\ { k _ { 1 } } & { k _ { 2 } } & { \ldots } & { k _ { N } } \end{array} ; x \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { i q _ { j } x } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \ldots l _ { N } : p _ { N } ( k _ { j } - 1 ) } \frac { x ^ { l _ { j } } } { l _ { j } ! } \prod _ { i \neq j = 1 } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { - k _ { i } } \\ { l _ { i } } \end{array} \right) \frac { 1 } { ( i q _ { j } - i q _ { i } ) ^ { k _ { i } + l _ { i } } } .
\begin{array} { r l } { W } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { V } \textbf { \emph { J } } \cdot \textbf { \emph { E } } ~ \mathrm { d } V \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { V } \textbf { \emph { J } } \cdot ( - \textbf { \emph { v } } \times \textbf { \emph { B } } ) ~ \mathrm { d } V \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { V , V _ { z } > 0 , L _ { z } > 0 } ( \textbf { \emph { J } } \times \textbf { \emph { B } } ) _ { z } \cdot \textbf { \emph { v } } _ { z } ~ \mathrm { d } V \mathrm { d } t } \end{array}
3 2 5 x ^ { 5 } y ^ { 2 } + 1 2 5 x ^ { 5 } z ^ { 2 } + 3 2 5 x ^ { 4 } y ^ { 3 } - 8 4 5 x ^ { 4 } y ^ { 2 } z - 3 2 5 x ^ { 4 } y z ^ { 2 } - 3 2 5 x ^ { 4 } z ^ { 3 } - 3 2 5 x ^ { 3 } y ^ { 4 } + 7 2 0 x ^ { 3 } y ^ { 2 } z ^ { 2 } + 3 2 5 x ^ { 3 } z ^ { 4 } + 1 2 5 x ^ { 2 } y ^ { 5 } - 3 2 5 x ^ { 2 } y ^ { 4 } z + 7 2 0 x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 2 } + 7 2 0 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 3 } - 8 4 5 x ^ { 2 } y z ^ { 4 } + 3 2 5 x ^ { 2 } z ^ { 5 } - 8 4 5 x y ^ { 4 } z ^ { 2 } - 3 2 5 x y ^ { 2 } z ^ { 4 } + 3 2 5 y ^ { 5 } z ^ { 2 } + 3 2 5 y ^ { 4 } z ^ { 3 } - 3 2 5 y ^ { 3 } z ^ { 4 } + 1 2 5 y ^ { 2 } z ^ { 5 }
\begin{array} { r l r } { { \cal H } ^ { + } ( \overline { { s } } ) } & { = } & { - { \sum _ { i < j } } ^ { \prime } J _ { i j } s _ { i } s _ { j } - { \sum _ { i } } ^ { \prime } h _ { i } s _ { i } - { \sum _ { i } } ^ { \prime } J _ { i N } s _ { i } - h _ { N } \; , } \\ { { \cal H } ^ { - } ( \overline { { s } } ) } & { = } & { - { \sum _ { i < j } } ^ { \prime } J _ { i j } s _ { i } s _ { j } - { \sum _ { i } } ^ { \prime } h _ { i } s _ { i } + { \sum _ { i } } ^ { \prime } J _ { i N } s _ { i } + h _ { N } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { \Omega } \Delta u _ { k } ^ { n } H _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u _ { k } ^ { n } ) \varphi \, \mathrm { d } x - \int _ { \Omega } \Delta u _ { k } H _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u _ { k } ) \varphi \, \mathrm { d } x \right| } \\ { \le } & { \left| \int _ { \Omega } ( \Delta u _ { k } ^ { n } - \Delta u _ { k } ) H _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u _ { k } ^ { n } ) \varphi \, \mathrm { d } x \right| + \left| \int _ { \Omega } \Delta u _ { k } ( H _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u _ { k } ^ { n } ) - H _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u _ { k } ) ) \varphi \, \mathrm { d } x \right| } \\ { \le } & { \| H _ { \varepsilon } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| \varphi \| _ { L ^ { \infty } } \int _ { \Omega } | \Delta u _ { k } ^ { n } - \Delta u _ { k } | \, \mathrm { d } x + \int _ { \Omega } \Delta u _ { k } | H _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u _ { k } ^ { n } ) - H _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u _ { k } ) | \, | \varphi | \, \mathrm { d } x \longrightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \tau _ { c \parallel } } { \tau _ { S } } } & { { } = \frac { 2 } { 3 \lambda _ { e } } \frac { \Omega _ { e } ^ { 2 } } { \omega _ { \textrm { p e } } ^ { 2 } } \frac { \left( \gamma _ { c } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \gamma _ { c } } \left( 1 - \xi ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d Q ( x _ { 0 } , t ) } { d t } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \int _ { a _ { j - 1 } } ^ { a _ { j } } \frac { \partial \rho _ { j } ( x , t ) } { \partial t } d x = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \int _ { a _ { j - 1 } } ^ { a _ { j } } D _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \rho _ { j } ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } d x } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } D _ { j } \left[ \frac { \partial \rho _ { j } ( a _ { j } , t ) } { \partial x } - \frac { \partial \rho _ { j } ( a _ { j - 1 } , t ) } { \partial x } \right] } \\ & { = D _ { m } \frac { \partial \rho _ { m } ( a _ { m } , t ) } { \partial x } - D _ { 1 } \frac { \partial \rho _ { 1 } ( a _ { 0 } , t ) } { \partial t } \equiv - J _ { m } ( x _ { 0 } , t ) - J _ { 0 } ( x _ { 0 } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { ( 1 ) } [ \Psi ] ( t ) = \sum _ { u = 1 } ^ { U } \varepsilon _ { 1 } ^ { u } } & { \left( g _ { 1 } ^ { u } \bullet \mathcal { G } _ { d , \Psi } ^ { u } \right) ( t ) } \\ & { \qquad + \sum _ { v = 1 } ^ { V } \varepsilon _ { 2 } ^ { v } \left( g _ { 2 } ^ { v } \bullet \mathcal { G } _ { s , \Psi } ^ { v } \right) ( t ) } \end{array}
\hat { \bar { \Psi } } _ { + } = \bar { \Psi } _ { + } H + \bar { \Psi } _ { + + + } E _ { -- } + \bar { \Psi } _ { - } E _ { + + } + \bar { \Psi } _ { + + } F _ { - } + \bar { \Psi } F _ { + } ,
\begin{array} { r l } { E } & { { } = \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \left| \partial _ { t } \alpha ( z , { \bar { z } } , t ) - \frac { d } { d t } \alpha _ { 0 } ( z , { \bar { z } } | \{ z _ { i } ( t ) \} ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { c } { { a ( { \bf k } ) } } \\ { { a ^ { * } ( { \bf k } ) } } \end{array} \right) = \mathrm { \cal ~ f i n i t e ~ t e r m s } + \lambda ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { A ( 0 ; t ) } } & { { A ^ { * } ( 0 ; t ) } } \\ { { A ( 0 ; t ) } } & { { A ^ { * } ( 0 ; t ) } } \end{array} \right) \ \; \; \left( \begin{array} { c } { { a ( { \bf k } ) } } \\ { { a ^ { * } ( { \bf k } ) } } \end{array} \right)
a _ { 3 } = \int _ { U } \left[ 2 X _ { S } \left( \frac { X _ { 0 } f } { \left\| \nabla _ { H } f \right\| } \right) - \left( \frac { X _ { 0 } f } { \left\| \nabla _ { H } f \right\| } \right) ^ { 2 } - \kappa - \left\langle \mathrm { T o r } \left( X _ { 0 } , X _ { S } \right) , \frac { \nabla _ { H } f } { \left\| \nabla _ { H } f \right\| } \right\rangle \right] d A _ { }
\Gamma ( P \rightarrow 2 \gamma ) = \frac { 1 2 \pi { \alpha } ^ { 2 } e _ { Q } ^ { 4 } } { m ^ { 2 } } ( 1 - \frac { 3 . 4 \alpha _ { s } ( m _ { Q } ) } { \pi } ) | \int d ^ { 3 } q ( 1 - \frac { 2 { \vec { q } } ^ { 2 } } { 3 m ^ { 2 } } ) \psi _ { S c h } ( \vec { q } ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t r } ( J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) ) } & { = } & { \bar { a } _ { 1 1 } = 0 , } \\ { \mathrm { d e t } ( J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) ) } & { = } & { - \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } = \frac { r ^ { * } ( 1 - r ^ { * } ) ( 1 + u ) } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } ( \frac { u } { 1 + u } ) ^ { M } ( \frac { 1 } { 1 + u } ) ^ { N - M + 1 } b > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ F ( z ^ { ( T ) } ) - F ( z ^ { * } ) + \gamma \| A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \| \Big ] \leq R ^ { \mathrm { N S } } ( \sqrt { T } , \bar { \epsilon } ) } \\ & { + \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } + ( \gamma + \| \lambda ^ { 1 } \| ) ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } + 2 \gamma U _ { 2 } } { 2 T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \perp } = \frac { p _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 m } } & { + \frac { m \omega _ { \perp } ^ { 2 } x _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \omega _ { c } } { 2 } ( x p _ { y } - y p _ { x } ) , } \\ { H _ { z } } & { = \frac { p _ { z } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { m \omega _ { z } ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \Delta t } M + \kappa _ { \perp } L + M _ { \mathrm { B C } } } & & { \sqrt { \kappa _ { \Delta } } G _ { b } ^ { T } } \\ { - \sqrt { \kappa _ { \Delta } } G _ { b } } & & { M } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { T _ { h } ^ { n + 1 } } \\ { \zeta _ { h } ^ { n + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { F _ { T } } \\ { F _ { \zeta } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { 0 } } & { { } = | E _ { x } | ^ { 2 } + | E _ { y } | ^ { 2 } \, , \phantom { Z Z Z Z } } \\ { \mathbf { S } _ { 1 } } & { { } = | E _ { x } | ^ { 2 } - | E _ { y } | ^ { 2 } \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 2 } } & { { } = 2 \mathrm { R e } [ E _ { x } E _ { y } ^ { \ast } ] \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 3 } } & { { } = 2 \mathrm { I m } [ E _ { x } E _ { y } ^ { \ast } ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \vec { x } _ { z } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { z } d \ell ( \zeta ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { z } ( d \zeta ^ { 2 } + d x _ { \zeta } ^ { 2 } + d y _ { \zeta } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } = \int _ { 0 } ^ { z } \left( 1 + \left( \frac { d x _ { \zeta } } { d \zeta } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y _ { \zeta } } { d \zeta } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } d \zeta } \\ & { \approx \int _ { 0 } ^ { z } d \zeta + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { z } \left( \frac { d x _ { \zeta } } { d \zeta } \right) ^ { 2 } d \zeta + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { z } \left( \frac { d y _ { \zeta } } { d \zeta } \right) ^ { 2 } d \zeta } \end{array}
s _ { \mathrm { e f f } } [ \alpha , \varphi ] = \int \! d ^ { 2 } x \left( { \frac { 1 } { 2 } } \, \partial _ { \alpha } \varphi \partial _ { \alpha } \varphi + { \frac { \alpha - v } { 2 } } \, \varphi ^ { 2 } - { \frac { \alpha } { 2 N g ^ { 2 } } } \right) + s [ \alpha ] .
\begin{array} { r l r } { I } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } \left[ \frac { K } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } \epsilon ^ { m - 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { x ^ { m } - ( \epsilon / \hbar \omega ) ^ { ( m - 2 ) } x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } - ( \epsilon / \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } \textrm { d } x \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n \in \mathcal { V } _ { a } } Q _ { n } ( t _ { j } , t _ { i } ) } & { { } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad i \leq j < N _ { t } } \\ { 1 - \sum _ { k = i } ^ { N _ { t } - 1 } W _ { k i } } & { { } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad j = N _ { t } } \end{array}
- \left( \frac { 4 } { q ^ { 2 } } \right) ^ { 1 + \epsilon } \frac { 1 } { 2 \epsilon } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { \Gamma ( 1 + \epsilon + j ) } { 1 + 2 \epsilon + 2 j } ~ \frac { 1 } { j ! } \left( - \frac { 4 y } { q ^ { 2 } } \right) ^ { j } + \frac { 1 } { y ^ { \epsilon + 1 / 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { q ^ { 2 } } } \frac { \sqrt { \pi } \Gamma ( \epsilon + 1 / 2 ) } { 2 \epsilon } .
\begin{array} { r l } { l _ { n } ^ { n } ( 5 ) } & { = { \binom { l _ { n } ^ { n - 1 } ( 2 ) } { 3 } } + 2 { \binom { l _ { n } ^ { n - 1 } ( 2 ) } { 2 } } + n } \\ & { = { \binom { { \binom { n } { n - 1 } } } { 2 } } + 2 { \binom { \binom { n } { n - 1 } } { 2 } } + n } \\ & { = { \binom { n } { 3 } } + 2 { \binom { n } { 2 } } + n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } | \boldsymbol { \psi } } & { \sim \mathcal { N } ( 0 , \boldsymbol { \Sigma } _ { T } ) , } \\ { { \Sigma } _ { T , i j } = \sigma _ { i } \sigma _ { j } \exp } & { \left[ - \left( \frac { s _ { i } - s _ { j } } { L _ { s } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { n _ { i } - n _ { j } } { L _ { n } } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
L = c ^ { 2 } \sqrt { ( { \frac { m ^ { 2 } u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } + { \frac { j ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 c ^ { 4 } } } + { \frac { m j } { c ^ { 3 } } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } u _ { \mu } \sigma _ { \nu \lambda } ) } ~ ,
\begin{array} { r } { \frac { \dot { \alpha } } { \alpha } = - \frac { \kappa ^ { 2 } d _ { \gamma } ^ { ( 2 ) } \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \exp { \left( - \frac { \Gamma t } { 2 } \right) } \bigg ( \Gamma \cos \left( \theta - t \omega _ { d } \right) + 2 \omega _ { d } \sin \left( \theta - t \omega _ { d } \right) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \displaystyle { x _ { \xi } = \frac { \partial x } { \partial \xi } \, \mathrm { , } } } & { \displaystyle { x _ { \eta } = \frac { \partial x } { \partial \eta } \, \mathrm { , } } } & { \displaystyle { x _ { \zeta } = \frac { \partial x } { \partial \zeta } \, \mathrm { , } } } \\ { \displaystyle { y _ { \xi } = \frac { \partial y } { \partial \xi } \, \mathrm { , } } } & { \displaystyle { y _ { \eta } = \frac { \partial y } { \partial \eta } \, \mathrm { , } } } & { \displaystyle { y _ { \zeta } = \frac { \partial y } { \partial \zeta } \, \mathrm { , } } } \\ { \displaystyle { z _ { \xi } = \frac { \partial z } { \partial \xi } \, \mathrm { , } } } & { \displaystyle { z _ { \eta } = \frac { \partial z } { \partial \eta } \, \mathrm { , } } } & { \displaystyle { z _ { \zeta } = \frac { \partial z } { \partial \zeta } \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 B } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { l \in \mathcal { L } } \mathrm { d } \phi ^ { { l } } \wedge \mathrm { d } q ^ { l } + \sum _ { c \in \mathcal { C } } \mathrm { d } q ^ { c } \wedge \mathrm { d } \phi ^ { { c } } \right] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { i \in \mathcal { I } } \mathrm { d } \phi ^ { { i } } \wedge \mathrm { d } q ^ { i } + \sum _ { v \in \mathcal { V } } \mathrm { d } q ^ { v } \wedge \mathrm { d } \phi ^ { { v } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { M , \pm | M | } ( V _ { p } , V _ { p } ) = } & { \: 2 ( r - M ) ^ { - p } g ( L , \underline { { L } } ) = ( r - M ) ^ { - p } g ( L + \underline { { L } } , L + \underline { { L } } ) } \\ { = } & { \: ( r - M ) ^ { - p } g \left( T + \frac { M } { r ^ { 2 } + M ^ { 2 } } \Phi , T + \frac { a } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \Phi \right) } \\ { = } & { \: \rho ^ { - 2 } ( r - M ) ^ { - p } ( r ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \big [ M ^ { 2 } ( r ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta - \Delta ( r ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) - 4 M ^ { 3 } r \sin ^ { 2 } \theta } \\ & { \: + M ^ { 2 } ( r ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta - M ^ { 4 } ( r ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \Delta \sin ^ { 4 } \theta \big ] } \\ { = } & { \: - \rho ^ { - 2 } ( r - M ) ^ { 2 - p } ( r ^ { 2 } + M ^ { 2 } \cos ( 2 \theta ) + M ^ { 4 } ( r ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \sin ^ { 4 } \theta ) . } \end{array}
\Delta ( \omega ^ { 2 } ) = - i \, \int \, d ^ { 4 } x \, e ^ { i \omega t } \, \langle 0 | T ( \varphi ( x ) \varphi ( 0 ) ) | 0 \rangle = \int _ { \omega _ { c } ^ { 2 } } ^ { \infty } \, d \sigma ^ { 2 } \, \frac { \rho _ { L } ( \sigma ^ { 2 } ) } { \omega ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } + i 0 ^ { + } } \, .
\begin{array} { r l r } { 2 \sin \phi _ { 0 } } & { = } & { \sin \phi _ { 1 } , } \\ { \frac { \sin \phi _ { 1 } } { 1 - \cos \phi _ { 1 } } } & { = } & { \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } \, d \phi } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } \, d \phi } . } \end{array}
G _ { 1 2 } = < W ( X _ { 1 } ) W ( X _ { 2 } ) > \ = ( \mathrm { s d e t } \, X _ { 1 2 } ) ^ { - 1 } = { \frac { y _ { 1 2 } ^ { 2 } } { x _ { 1 2 } ^ { 2 } } } + 0 ( \lambda _ { 1 2 } \pi _ { 1 2 } )
\begin{array} { r } { ( \mathbf { \tilde { p } } | \mathbf { \tilde { c } } ) \equiv ( - 1 ) ^ { l _ { \mathbf { \tilde { c } } } } ( \mathbf { \tilde { p } } + \mathbf { \tilde { c } } ) ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
\frac { \delta \gamma ^ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } \nabla _ { \alpha _ { n } \cdots \alpha _ { 1 } } J ( x ) } { \delta \gamma ^ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } \nabla _ { \mu _ { n } \cdots \mu _ { 1 } } J ( y ) } = \delta ^ { D } ( x - y )
\begin{array} { r } { \mathbf { q } _ { 1 } = A _ { 2 } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } \left( \omega _ { 2 n } t - 2 \theta \right) } + B _ { 2 } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { B _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } \left( \omega _ { 2 n } t + 2 \theta \right) } } \\ { + \frac { 1 } { 2 } F \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { F } e ^ { \mathrm { i } \left( \left( \omega _ { 2 n } / 2 \right) t - \theta \right) } e ^ { \mathrm { i } \Lambda T _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } F \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { F } e ^ { \mathrm { i } \left( \left( \omega _ { 2 n } / 2 \right) t + \theta \right) } e ^ { \mathrm { i } \Lambda T _ { 1 } } + c . c . \, . } \end{array}
\epsilon _ { p } = \langle \Psi _ { N } | \hat { H } | \Psi _ { N } \rangle - \langle \Psi _ { N - 1 } ^ { p } | \hat { H } | \Psi _ { N - 1 } ^ { p } \rangle = - ( \mathrm { ~ I ~ P ~ } ) _ { p } \qquad p \in \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ u ~ p ~ i ~ e ~ d ~ o ~ r ~ b ~ i ~ t ~ a ~ l ~ }
\begin{array} { r l } { \ell _ { N } ( \rho ) } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \left[ \rho * \phi \left( X _ { i } \right) \right] = \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ h \left( ( \rho * \phi ) ( X ) \right) \right] = \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ h \left( \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \phi ( X - Y ) \right] \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert \partial _ { \psi } K _ { 0 0 } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert K _ { 1 0 } - \omega \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \partial _ { \psi } K _ { 0 1 } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert Z \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \varepsilon ^ { - 1 } \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } . } \end{array}
N _ { R } ( p _ { n } , t ) = \int _ { - V / 2 } ^ { V / 2 } \frac { d x d y } { V ^ { 2 } } e ^ { i p _ { n } ( x - y ) } \frac { \exp [ 2 \pi i / V ( x - y ) ] \exp [ 2 \pi i Q _ { t o p } ( x - y ) / V } { 1 - \exp [ 2 i ( x - y ) / V ] } .
+ 2 \Re \{ \mathbb { E } \left\{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} + 2 \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \right\} \}
\begin{array} { r l } { H \left( { W | E , { Y ^ { n } } } \right) = } & { \operatorname* { P r } \left( { E = 0 } \right) H \left( { W | { Y ^ { n } } , E = 0 } \right) + \operatorname* { P r } \left( { E = 1 } \right) H \left( { W | { Y ^ { n } } , E = 1 } \right) } \\ { \leq } & { \left( { 1 - P _ { { \mathrm { e , s } } } ^ { \left( n \right) } } \right) { \log _ { 2 } } \left( { \beta \left| \Psi \right| } \right) + P _ { { \mathrm { e , s } } } ^ { \left( n \right) } { \log _ { 2 } } \left( { \left( { 1 - \beta } \right) \left| \Psi \right| } \right) } \\ { = } & { \left( { 1 - P _ { { \mathrm { e , s } } } ^ { \left( n \right) } } \right) \left( { 1 - \alpha } \right) n R + P _ { { \mathrm { e , s } } } ^ { \left( n \right) } \gamma n R } \\ { = } & { \left( { 1 - \alpha + \left( { \gamma + \alpha - 1 } \right) P _ { { \mathrm { e , s } } } ^ { \left( n \right) } } \right) n R , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { t 0 } } } } & { { } = \frac { \nabla _ { i } \phi } { \left\| \nabla _ { j } \phi \right\| } , } \\ { \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { { 0 } } } } & { { } = \frac { z _ { 0 _ { i } } - \left( z _ { 0 _ { j } } \ \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { { t 0 } } } \right) \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { t 0 } } } } { \left\| z _ { 0 _ { i } } - \left( z _ { 0 _ { j } } \ \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { { t 0 } } } \right) \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { t 0 } } } \right\| } , } \\ { \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { c 0 } } } } & { { } = \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { { 0 } } } \times \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { { t 0 } } } , } \end{array}