harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \alpha _ { l } = \frac { N _ { i e } \left( n _ { b } \pi r ^ { 2 } L \right) } { n _ { t e } \pi r ^ { 2 } d } = \left( \sum _ { k } \sigma _ { k } n _ { k } \right) \frac { n _ { b } } { n _ { t e } } L . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| [ F ^ { * } , H ] D \| } & { { } \; \leq \; \operatorname* { s u p } _ { n \in { \mathbb Z } ^ { d } } \sum _ { m \in { \mathbb Z } ^ { d } } \| F ( n ) - F ( m ) ) \| \, \| D ( m ) \| \, \| \langle n | H | m \rangle \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \beta | S ) } & { \approx \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \int _ { 0 } ^ { \infty } d k ^ { \prime } p _ { n } ( k ^ { \prime } + K ) \Omega _ { 1 } ( k ^ { \prime } ) \Omega _ { n - 1 } ( K ) \delta \big ( \beta - \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) \big ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \int _ { 0 } ^ { \infty } d k ^ { \prime } P ( k _ { 1 } = k ^ { \prime } , K | S ) \delta \big ( \beta - \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) \big ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d K P ( K | S ) \delta \big ( \beta - \beta _ { F } ^ { ( n ) } ( K ) \big ) , } \end{array}
w _ { j } ( x , z ) = \partial _ { z } \varphi _ { j } ( x , z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } H _ { j } ( z ) ^ { 2 n + 1 } \partial _ { x } ^ { 2 n + 1 } u _ { 0 \, j } ( x )
\begin{array} { r l } { \rho _ { t } ^ { \eta } \left( x \right) } & { = \frac { \rho _ { t } \left( x \right) \left[ 1 - \eta \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \left( x \right) + O \left( \eta ^ { 2 } \right) \right] } { \int \rho _ { t } \left( y \right) \left[ 1 - \eta \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \left( y \right) + O \left( \eta ^ { 2 } \right) \right] \mathrm { d } y } = \frac { \rho _ { t } \left( x \right) \left[ 1 - \eta \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \left( x \right) + O \left( \eta ^ { 2 } \right) \right] } { 1 + \eta + O \left( \eta ^ { 2 } \right) } } \\ & { = \rho _ { t } \left( x \right) \left\{ 1 - \eta \left[ 1 + \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \left( x \right) \right] + O \left( \eta ^ { 2 } \right) \right\} , } \end{array}
\langle { \bar { q } } q \rangle _ { \mu } = ( - ) { \mathrm { t r } } _ { \gamma C } \{ S _ { 0 } ( x , x ) \} _ { x = 0 } = ( - ) \left( \frac { N _ { C } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \right) \left\{ 4 \int _ { 0 } ^ { \mu } d s s \frac { B ( s ) } { X ( s ) } \right\}
\begin{array} { r l } { \Gamma } & { = - \frac { 1 } { 2 } C _ { t } c ( r ) | v | \operatorname { S i n } 2 \alpha + \frac { 1 } { 2 } C _ { F } c ^ { 2 } ( r ) \dot { \eta } _ { \mathrm { f l i n g ~ } } , \quad \dot { \eta } _ { \mathrm { f l i n g ~ } } > 0 } \\ { \Gamma } & { = - \frac { 1 } { 2 } C _ { t } c ( r ) | v | \operatorname { S i n } 2 \alpha + \frac { 1 } { 2 } C _ { R } c ^ { 2 } ( r ) \dot { \eta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \Big ( \frac { d K \mu _ { + } } { d K P } - 1 \Big ) \Big ( \frac { d K \mu _ { - } } { d K P } - 1 \Big ) \, d K P } & { = \int \bigg ( \frac { d K \mu _ { + } } { d K P } \frac { d K \mu _ { - } } { d K P } - \frac { d K \mu _ { - } } { d K P } - \frac { d K \mu _ { + } } { d K P } + 1 \bigg ) \, d K P } \\ & { = \int \frac { d K \mu _ { + } } { d K P } \frac { d K \mu _ { - } } { d K P } \, d K P - 1 \geq - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q ( \chi ) } & { = } & { \frac { I _ { \mathrm { Q E D } } } { I _ { \mathrm { C } } } , } \\ { I _ { \mathrm { Q E D } } } & { = } & { m c ^ { 2 } \int c ( k \cdot k ^ { \prime } ) \frac { d W _ { f i } } { d \eta d r _ { 0 } } d r _ { 0 } , } \\ { I _ { \mathrm { C } } } & { = } & { \frac { 2 e ^ { 4 } E ^ { 2 } } { 3 m ^ { 2 } c ^ { 3 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) \oplus \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } \left( J _ { i } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma _ { i } } \end{array} \right) } } \\ { \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) \oplus \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } \left( K _ { i } \right) } & { = { \frac { i } { 2 } } { \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sigma _ { i } } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathrm { t r } \mathrm { C o v } ( \phi ) \equiv \sum _ { i } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \langle \vert \phi _ { i } - \phi _ { i } ^ { * } \vert ^ { 2 } \rangle \, , } \end{array}
f ( \hat { z } ( t + d t ) ) - f ( \hat { z } ( t ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \hat { z } ( t ) } { \tau } \frac { \partial f ( \hat { z } ( t ) ) } { \partial \hat { z } } d t } & { ( \mathrm { P r o b a b i l i t y } = 1 - \hat { \nu } ( t ) d t ) } \\ { f ( \hat { z } ( t ) + n / \tau ) - f ( \hat { z } ( t ) ) } & { ( \mathrm { P r o b a b i l i t y } = \hat { \nu } ( t ) d t ) } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { y - z } \leqslant \frac { 2 ^ { r + 2 } \alpha ^ { r } } { ( \log 4 ) s ^ { r } ( 1 - z ) ^ { r + 2 } } } & { \leqslant \frac { 2 ^ { ( 2 - \alpha ) / ( 1 - \alpha ) } \alpha ^ { \alpha / ( 1 - \alpha ) } } { ( \log 4 ) s ^ { \alpha / ( 1 - \alpha ) } } \frac { 4 ^ { ( 2 - \alpha ) / ( 1 - \alpha ) } \alpha ^ { 2 - \alpha } s ^ { \alpha ( 2 - \alpha ) / ( 1 - \alpha ) } } { \sin ( \alpha \pi ) ^ { ( 2 - \alpha ) / ( 1 - \alpha ) } } } \\ & { = s ^ { \alpha } \frac { 8 ^ { ( 2 - \alpha ) / ( 1 - \alpha ) } \alpha ^ { \alpha / ( 1 - \alpha ) + 2 - \alpha } } { \sin ( \alpha \pi ) ^ { ( 2 - \alpha ) / ( 1 - \alpha ) } } . } \end{array}
I = \int _ { - { \frac { \pi } { 2 } } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } d \mu \, f ^ { - \tilde { \gamma } } \left[ ( K ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \tilde { \gamma } ^ { 2 } - 9 / 4 ) K ^ { 2 } \right] > { - { \frac { 9 } { 4 } } } \int _ { - { \frac { \pi } { 2 } } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } d \mu \, f ^ { - \tilde { \gamma } } K ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } } & { \frac { k ( n + m + 1 ) - \sum _ { j = 1 } ^ { m } \ln ( n + j ) } { n + 1 } \leq \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } k + \frac { k m } { n + 1 } - \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \ln ( j ) } { n + 1 } = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } k + \frac { k m } { n + 1 } - \frac { \ln ( m ! ) } { n + 1 } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } k + \frac { k m } { n + 1 } - \frac { ( m + \frac { 1 } { 2 } ) \ln ( m ) - m } { n + 1 } = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } k + \frac { ( k - \ln ( m ) - 1 ) m } { n + 1 } - \frac { \ln ( m ) } { 2 ( n + 1 ) } \leq k < \infty , } \end{array}
| \psi \rangle = \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } | \psi | ^ { 2 } + \psi \hat { a } ^ { \dagger } \right) | 0 \rangle , \qquad \langle \psi | = \langle 0 | \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } | \psi | ^ { 2 } + \psi ^ { * } \hat { a } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( \iota ( c _ { s } ) ; \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ) ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } \frac { \frac { - I \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ( t ) ) } { ( A F ) ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ) ^ { 2 } } } { \psi ^ { \prime } \left( \frac { I } { A F \iota ( c _ { s } ( t ) ) } \right) } \left[ \eta ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ) - \overline { { \eta } } ( \iota ( c _ { s } ( t ) ) ) \right] \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { c _ { s , m a x } } \frac { 1 } { \psi ^ { \prime } \left( \frac { I } { A F \iota ( c _ { s } ) } \right) } \frac { - I \iota ^ { \prime } ( c _ { s } ) } { ( A F ) ( \iota ( c _ { s } ) ) ^ { 2 } } \left( \eta ( \iota ( c _ { s } ) ) - \overline { { \eta } } ( \iota ( c _ { s } ) ) \right) \, \left| \frac { d t } { d c _ { s } } \right| \, d c _ { s } , } \end{array}
\frac { d x } { d s } = \frac { \mu } { 1 - \frac { 1 } { R } } ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ \frac { d y } { d s } = \frac { \frac { \gamma } { L } \left( s - s _ { \mathrm { m i n } } \right) } { 1 - \frac { 1 } { R } } .
\operatorname { P r o b } \left( \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) \sim \left( \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } } = \alpha \left( \lambda _ { 1 } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } }
\mathcal { C } _ { i _ { 1 } i _ { 3 } } ( x _ { 2 } ) : = \mathcal { C } [ i _ { 1 } , x _ { 2 } , i _ { 3 } ] = \sum _ { i _ { 2 } } \mathcal { C } [ i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } ] f _ { i _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) = : \langle \mathcal { C } [ i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } ] , f _ { i _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) \rangle _ { i _ { 2 } \in [ n _ { 2 } ] }
\begin{array} { r l } { \frac { G ( k + 1 ) } { g ( k + 1 ) } } & { \le 1 + \gamma ( 1 + C ) ^ { 2 } \, \bigg [ 2 + \gamma ( 1 + C ) \sum _ { \ell = 1 } ^ { n - 1 } g ( \ell ) \bigg ] \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { p = 1 } ^ { n - m } g ( p ) g ( m ) } \\ & { \le 1 + \gamma ( 1 + C ) ^ { 2 } \, \bigg [ 2 + \frac { C } { 2 ( 1 + C ) } \bigg ] \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { p = 1 } ^ { n - m } g ( p ) g ( m ) \le 1 + C . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { p } \frac { \, \mathrm { d } \| h ( t ) \| _ { L ^ { p } } ^ { p } } { \, \mathrm { d } t } } & { + \frac { 4 ( p - 1 ) } { p ^ { 2 } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } A [ f ] \nabla h ^ { p / 2 } \cdot \nabla h ^ { p / 2 } \, \mathrm { d } v } \\ & { = \frac { p - 1 } { p } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h ^ { p + 1 } \, \mathrm { d } v + \frac { 2 p - 1 } { p } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h ^ { p } \mu \, \mathrm { d } v + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h ^ { p - 1 } \left( A [ h ] : \nabla ^ { 2 } \mu \right) \, \mathrm { d } v } \\ & { = I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } . } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { j } ( x , z , t ) ( \varphi _ { j } , \varphi _ { k } ) _ { \Omega } = ( \varphi _ { j } , \varphi _ { k } ) _ { \Omega } \, , \qquad k = 1 , 2 , \ldots , N \, ,
f ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { - \delta _ { a b } } } & { { \sigma _ { a } } } \\ { { \delta _ { a b } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \sigma _ { b } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, \delta ( x - y ) ,
\int d x \, \sqrt { g } \, V [ \sigma ] = \int d x \, \sqrt { g } \, \frac { N } { 2 \lambda _ { B } } \sigma ^ { 2 } + \frac { N } { 2 } \mathrm { T r ~ } \, \int _ { 1 / \Lambda ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d t } { t } \, e ^ { - t \sigma ^ { 2 } } e ^ { \not \nabla ^ { 2 } t } .
P _ { 1 e } + P _ { 2 e } = \left| \langle \nu _ { e } | \tilde { \nu } _ { 1 } \rangle \right| ^ { 2 } + \left| \langle \nu _ { e } | \tilde { \nu } _ { 2 } \rangle \right| ^ { 2 } = 1 \ .
\begin{array} { c c c c c } { { b \rightarrow - 1 / 6 } } & { { \lambda = i / \beta \rightarrow 1 / 4 } } & { { S \rightarrow 2 } } & { { Z \rightarrow - 1 } } & { { \omega _ { i , n } \rightarrow \omega _ { n } } } \\ { { } } & { { a \rightarrow 1 } } & { { R \rightarrow 1 } } & { { A \rightarrow 2 / 3 } } & { { \xi _ { i , n } \rightarrow \xi _ { n } } } \\ { { X \rightarrow 1 / 2 } } & { { W \rightarrow 1 / 1 2 } } & { { \omega _ { 1 } \rightarrow - 2 } } & { { \xi _ { 2 } \rightarrow 2 } } & { { \xi _ { 1 } \rightarrow - 3 / 2 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { Y \rightarrow 1 / 2 } } & { { \omega _ { 2 } \rightarrow 3 , } } \end{array}
[ \mathbf { c } ] ^ { \times } \equiv \left( { \begin{array} { l l l } { 0 } & { - c _ { z } } & { c _ { y } } \\ { c _ { z } } & { 0 } & { - c _ { x } } \\ { - c _ { y } } & { c _ { x } } & { 0 } \end{array} } \right) \qquad \qquad [ \mathbf { \boldsymbol { \omega } } ] ^ { \times } \equiv \left( { \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \omega _ { z } } & { \omega _ { y } } \\ { \omega _ { z } } & { 0 } & { - \omega _ { x } } \\ { - \omega _ { y } } & { \omega _ { x } } & { 0 } \end{array} } \right)
\begin{array} { r l } { f = \operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \frac { F ^ { ( j N ) } } { j N } } & { = \operatorname* { l i m } _ { j \rightarrow \infty } \frac { 1 } { j } \sum _ { i = 0 } ^ { j - 1 } \frac { F ^ { ( ( i + 1 ) N ) } - F ^ { ( i N ) } } { N } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { j \rightarrow \infty } \frac { F ^ { ( ( j + 1 ) N ) } - F ^ { ( j N ) } } { N } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { L \rightarrow \infty } \frac { F ^ { ( N + L ) } - F ^ { ( L ) } } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P E } _ { \mathrm { h y b } } } & { = \eta _ { i n , c } \kappa \frac { S _ { \mathrm { i n c , c } } } { | E _ { \mathrm { i n c , c } } | ^ { 2 } } | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } \frac { 2 } { \epsilon _ { 0 } \epsilon V _ { c } } \left| 1 + i J \chi _ { a } \sqrt { \frac { V _ { c } } { V _ { a } } } \right| ^ { 2 } \simeq \eta _ { i n , c } \kappa \frac { S _ { \mathrm { i n c , c } } } { | E _ { \mathrm { i n c , c } } | ^ { 2 } } | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } \frac { 2 } { \epsilon _ { 0 } \epsilon V _ { a } } \left| J \chi _ { a } \right| ^ { 2 } } \\ { \mathrm { L D O S C } _ { \mathrm { h y b } } } & { = \eta _ { o u t , c } \kappa \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { V _ { c } } \left| 1 + i J ^ { * } \chi _ { a } \sqrt { \frac { V _ { c } } { V _ { a } } } \right| ^ { 2 } \simeq \eta _ { o u t , c } \kappa \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { c } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { V _ { a } } \left| J ^ { * } \chi _ { a } \right| ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \gamma ^ { 2 } } = \hat { \gamma } ^ { 2 } - \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } = } & { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } ( \alpha _ { 0 } / \hat { \alpha } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( r , \phi , z ) = } & { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { p ! } { ( p + | m | ) ! } } \frac { 1 } { w } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w } \right) ^ { | m | } L _ { p } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i k \frac { r ^ { 2 } } { 2 R } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 p + | m | + 1 ) \tan ^ { - 1 } ( z / z _ { 0 } ) } . } \end{array}
f _ { w } ( \xi , g ) = \frac { f _ { w } ( \xi , \tilde { g } ) } { f _ { w } ( \xi , \tilde { g } ) + \frac { 1 - g } { g } \frac { \tilde { g } } { 1 - \tilde { g } } ( 1 - f _ { w } ( \xi , \tilde { g } ) ) } ,
X _ { 1 } \mid X _ { 2 } = a \ \sim \ { \mathcal { N } } \left( \mu _ { 1 } + { \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 2 } } } \rho ( a - \mu _ { 2 } ) , \, ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \mathrm { R i e m } ( g + \varepsilon h ) _ { a b c } ^ { d } } \\ & { \quad = \partial _ { a } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { b c } ^ { d } \right) - \partial _ { b } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { a c } ^ { d } \right) } \\ & { \quad \quad \, + \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { b c } ^ { e } \right) \Gamma ( g ) _ { a e } ^ { d } + \Gamma ( g ) _ { b c } ^ { e } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { a e } ^ { d } \right) } \\ & { \quad \quad \, - \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { a c } ^ { e } \right) \Gamma ( g ) _ { b e } ^ { d } - \Gamma ( g ) _ { a c } ^ { e } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { b e } ^ { d } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | P | | _ { s , s - k } } & { \leq \sum _ { \mu } | | \mathrm { O p } ( \psi _ { \mu } p _ { \mu } ) \phi _ { \mu } | | _ { s , s - k } } \\ & { \leq \sum _ { \mu } C ( \phi _ { \mu } ) | | \mathrm { O p } ( \psi _ { \mu } p _ { \mu } ) | | _ { s , s - k ; U _ { \mu } } } \\ & { \leq \sum _ { \mu } C ( U _ { \mu } ) \sum _ { r \leq | s - k | + n + 1 } | | \psi _ { \mu } p _ { \mu } | | _ { r , 0 ; U _ { \mu } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { z } } _ { \mathcal { S } } } & { = ( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { S } } , \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { C } } ) \sim p ( \mathbf { \boldsymbol { z } } _ { \mathcal { S } } ) } \\ { \mathbf { \boldsymbol { z } } _ { \mathcal { T } } } & { = ( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { T } } , \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { C } } ) \sim p ( \mathbf { \boldsymbol { z } } _ { \mathcal { T } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( F X = 0 ) } & { = \mathbb { P } \left( \sum _ { j \in \sigma } F ( v _ { j } ) X _ { j } \in H \right) } \\ & { \times \mathbb { P } \left( \sum _ { j \notin \sigma } F ( v _ { j } ) X _ { j } = - \sum _ { j \in \sigma } F ( v _ { j } ) X _ { j } \; \middle | \; \sum _ { j \in \sigma } F ( v _ { j } ) X _ { j } \in H \right) . } \end{array}
Q _ { m a x , m i n } ^ { 2 } = Q ^ { 2 } { \frac { 2 ( 1 - x _ { r } ) ( 1 \pm \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } ) + \gamma ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } + 4 x _ { r } ( 1 - x _ { r } ) } }
{ \bf X } _ { i } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } = \left[ x _ { 1 , i } - \frac { 1 } { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } } \sum _ { j = 1 } ^ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } } x _ { 1 , j } , \cdots , x _ { d , i } - \frac { 1 } { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } } \sum _ { j = 1 } ^ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } } x _ { d , j } \right] ^ { \mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { d } , \quad { \bf A } _ { i } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } = \left[ { \frac { { \partial { \bf \Pi } { \varphi _ { i } } \left( { \bf { x } } \right) } } { { \partial x _ { 1 } } } } , \cdots , { \frac { { \partial { \bf \Pi } { \varphi _ { i } } \left( { \bf { x } } \right) } } { { \partial x _ { d } } } } \right] ^ { \mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { d } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } K L ( Q _ { \theta } ^ { t + d t } | | Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } ) } & { { } = \int Q _ { \theta } ^ { t + d t } \left[ \ln \frac { Q _ { \theta } ^ { t + d t } } { Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } } + 1 \right] \nabla _ { \theta } \ln Q _ { \theta } ^ { t + d t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mu _ { \mathrm { M } } ^ { + } \rangle } & { { } = \frac { \lambda } { 2 } \int _ { 0 } ^ { k _ { \pm } } H _ { \mathrm { M } } ( k ) \, \mathrm { d } { } k , } \\ { \langle \mu _ { \mathrm { M } } ^ { - } \rangle } & { { } = - \frac { \lambda } { 2 } \int _ { k _ { \pm } } ^ { \infty } H _ { \mathrm { M } } ( k ) \, \mathrm { d } { } k . } \end{array}
L ( p _ { 2 } ( \lambda ) , \psi _ { 2 } ( \lambda ) ) = - \frac { ( p _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } ( \psi _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } { C _ { 1 } } & { = } & { - \frac { 3 } { 2 } k A \frac { \delta _ { i } ^ { 1 / 2 } } { B ^ { 5 / 2 } } , } \\ { C _ { 2 } } & { = } & { - 2 \delta _ { i } \frac { k ^ { 4 } } { \omega ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \omega ^ { 2 } } \left( T _ { 1 } \delta _ { i } ^ { 1 / 2 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } \right) , } \\ { C _ { 3 } } & { = } & { - \frac { \omega ^ { 3 } } { 2 k ^ { 2 } \delta _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } & { { } = p _ { \mathrm { ~ E ~ R ~ } } ( 1 - \epsilon _ { \rho , m } ) , } \\ { p _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } & { { } = p _ { \mathrm { ~ E ~ R ~ } } ( 1 + r _ { \rho , m } \epsilon _ { \rho , m } ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { D _ { 0 } \cdots D _ { n } } } = n ! \int _ { \mathrm { s i m p l e x } } { \frac { 1 } { \left( v _ { 0 } D _ { 0 } + v _ { 1 } D _ { 1 } \cdots + v _ { n } D _ { n } \right) ^ { n + 1 } } } \, d v _ { 1 } \, d v _ { 2 } \cdots d v _ { n }
\begin{array} { c } { { \langle P _ { f } , s = 0 , D | \overline { { { c } } } \gamma ^ { \mu } b | B , s = 0 , P _ { i } \rangle = } } \\ { { = \frac { 2 \pi \delta ^ { ( 4 ) } ( P _ { f } + Q - P _ { i } ) } { 2 \sqrt { E _ { i } E _ { f } } } [ f _ { + } ( Q ^ { 2 } ) ( P _ { i } + P _ { f } ) ^ { \mu } + f _ { - } ( Q ^ { 2 } ) ( P _ { i } - P _ { f } ) ^ { \mu } ] } } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { W , 1 } ^ { \langle i \rangle , ( 1 ) } ( k ) = \{ \Delta _ { k , 1 } ^ { \langle i \rangle } + w _ { k , 1 } ^ { \langle i \rangle } , \Delta _ { k , 2 } ^ { \langle i \rangle } + w _ { k , 2 } ^ { \langle i \rangle } , \dots , \Delta _ { k , L } ^ { \langle i \rangle } + w _ { k , L } ^ { \langle i \rangle } \} } \end{array}
\nu _ { n , n + 1 } ( S ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \oint _ { S } d \arg \left[ \omega _ { n } ( \mathbf { g } ) - \omega _ { n + 1 } ( \mathbf { g } ) \right] = \frac { 1 } { 2 \pi } \oint _ { S } d \arg \left[ - \omega _ { - n } ^ { * } ( \mathbf { g } ) - \omega _ { - n - 1 } ^ { * } ( \mathbf { g } ) \right] = - \nu _ { - n , - n - 1 } ( S ) ,
\hat { R } _ { 1 2 } ( q ^ { - 1 } ) K _ { 1 } ^ { \prime } \hat { R } _ { 1 2 } ( q ^ { - 1 } ) K _ { 1 } ^ { \prime } = K _ { 1 } ^ { \prime } \hat { R } _ { 1 2 } ( q ^ { - 1 } ) K _ { 1 } ^ { \prime } \hat { R } _ { 1 2 } ( q ^ { - 1 } ) \quad ,
\begin{array} { r l r } { \xi _ { x } ( \alpha _ { x } ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; [ H _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] } \\ { \rho ( \xi _ { x } ) } & { = } & { \rho ( \alpha _ { x } ) [ \frac { \partial \xi _ { x } } { \partial \alpha _ { x } } ] ^ { - 1 } = 2 \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] [ \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; u [ H _ { 0 } ^ { \prime } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ^ { \prime } ( \alpha _ { x } u ) ] ^ { - 1 } } \\ & { \equiv } & { 2 \frac { \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] } { \mathrm { J a c } ( \alpha _ { x } , \xi _ { x } ) } } \end{array}
\rho _ { x _ { 0 } } ( X ^ { \mu _ { 1 } } . . . X ^ { \mu _ { k } } ) \rightarrow \left. x ^ { \mu _ { 1 } } . . . x ^ { \mu _ { k } } \right| _ { x _ { 0 } } + { \cal O } ( \lambda _ { P } ^ { 2 } ) .
L _ { m e c h } = \int _ { \mathrm { ~ B ~ } } \left( 2 \mathbf { F } \frac { \partial \Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } } { \partial \mathbf { C } } : \nabla \mathbf { u _ { t e s t } } + \left( J - 1 - \frac { p } { \kappa } \right) { p _ { t e s t } } \right) \, d v _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } .
\begin{array} { r l } & { \Vert G _ { 3 , i } ^ { \beta } ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { \ell + 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq C _ { T } \sum _ { \vert \mu \vert + \vert \nu \vert \leq \ell + 1 } \sum _ { \gamma = 0 } ^ { \mu + \nu } \Vert \partial _ { x } ^ { \gamma } \nabla _ { x } ( \partial _ { x } ^ { \beta } p ^ { \prime } ( \varrho ) ) ( s ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } ^ { 2 } \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } \langle v \rangle ^ { 2 \sigma } \vert \partial _ { x , v } ^ { \mu + \nu - \gamma } \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } v } \\ & { \lesssim C _ { T } \Vert p ^ { \prime } ( \varrho ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { k } ) } ^ { 2 } \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { m - 1 } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \langle \mathcal { F } _ { \epsilon } ^ { \theta } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) , \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) \rangle _ { \mathbb { H } \times \mathbb { H } } d s } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { t } \langle ( \mathcal { F } _ { \epsilon } ^ { \theta } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) ) _ { i } , ( \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) ) _ { i } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { U } ) \times L ^ { 2 } ( \mathcal { U } ) } d s } \\ & { = : I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } . } \end{array}
\Delta m _ { d } = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 6 \pi ^ { 2 } } } m _ { W } ^ { 2 } m _ { B } ^ { 2 } \left( f _ { B _ { d } } \sqrt { B _ { B _ { d } } } \right) ^ { 2 } \eta _ { B } y _ { t } f _ { 2 } ( y _ { t } ) A \lambda ^ { 6 } \left[ \left( 1 - \rho \right) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } \right] .