harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \uplambda _ { e } ^ { 0 } ( w + \epsilon ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \uplambda _ { e } ^ { 0 } ( w + \epsilon ) } \\ { \implies \uplambda _ { e } ^ { 0 } ( w ) } & { = \uplambda _ { e } ^ { 1 } ( w ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \frac { v _ { y } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } & { { } = 1 + \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } ( \theta ) } \frac { c ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } { c ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { \tau _ { 2 } ^ { ( 3 ) } } { \tau _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } = \left| \frac { \sin ( \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \sin ( \alpha _ { 3 } ^ { \prime } + \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \sin \alpha _ { 1 } } { \sin \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \sin \alpha _ { 1 } ^ { \prime \prime } } \right| .
\begin{array} { r } { \nabla \psi _ { \omega } = \nabla _ { \mathbf x } \psi + \varepsilon ^ { - 1 } \nabla _ { \mathbf y } \psi = \nabla _ { \mathbf x } \psi + \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \psi , \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \partial \psi _ { \omega } } { \partial t } = \frac { \partial \psi } { \partial t } + \omega ^ { - 1 } \frac { \partial \psi } { \partial \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 2 } ( H _ { e } ) } & { \equiv \frac { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } \left( H _ { i } - H _ { e , i } \right) ^ { 2 } } } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } C _ { e , i } ^ { 2 } } } } \\ { L _ { \infty } ( H _ { e } ) } & { \equiv \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , N _ { b } \} } \left| \frac { H _ { i } - H _ { e , i } } { C _ { e , i } } \right| , } \end{array}
t = \int _ { 0 } ^ { x } { \frac { d x ^ { \prime } } { v ( x ^ { \prime } ) } } = { \frac { 1 } { v _ { 0 } \, e } } \int _ { 0 } ^ { x } d x ^ { \prime } \exp \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { \prime } / x _ { m a x } } } } \right)
\mathrm { F W H M } = 1 . 4 8 5 8 \times 1 0 ^ { - 7 } ( \hslash \omega ) ^ { 3 } + 1 . 2 8 7 3 \times 1 0 ^ { - 4 } ( \hslash \omega ) ^ { 2 } - 0 . 0 8 4 4 9 2 \hslash \omega + 1 4 . 3 2 4
\begin{array} { r } { \left\langle \mathrm { P e } u ( \mathbf { y } , \tau ) \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } = \mathrm { P e } \left\langle u ( \mathbf { y } , \tau ) \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 6 \tau \sum _ { k = 3 } ^ { n } w _ { k } \sum _ { j = 3 } ^ { k } b _ { k - j } w _ { j } } & { = 6 \tau \left( \sum _ { k = 5 } ^ { n } w _ { k } \sum _ { j = 3 } ^ { k } b _ { k - j } w _ { j } + w _ { 4 } ( b _ { 1 } w _ { 3 } + b _ { 0 } w _ { 4 } ) + b _ { 0 } w _ { 3 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \ge \frac { 9 } { 2 } ( w _ { n } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } w _ { n - 1 } ^ { 2 } ) - \frac { 9 } { 2 } ( w _ { 4 } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } w _ { 3 } ^ { 2 } ) - 7 w _ { 3 } w _ { 4 } + 1 1 w _ { 4 } ^ { 2 } + 1 1 w _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 9 } { 2 } ( w _ { n } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } w _ { n - 1 } ^ { 2 } ) - 7 w _ { 3 } w _ { 4 } + \frac { 1 3 } { 2 } w _ { 4 } ^ { 2 } + 1 0 w _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { \ge \frac { 9 } { 2 } ( w _ { n } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } w _ { n - 1 } ^ { 2 } ) - \frac { 7 } { 2 } ( w _ { 3 } ^ { 2 } + w _ { 4 } ^ { 2 } ) + \frac { 1 3 } { 2 } w _ { 4 } ^ { 2 } + 1 0 w _ { 3 } ^ { 2 } \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { 4 } d ^ { 4 } + ( - 5 4 K ^ { 4 } - 9 0 K ^ { 3 } ) d ^ { 3 } + ( 9 7 2 K ^ { 4 } + 2 7 0 0 K ^ { 3 } + 1 8 0 0 K ^ { 2 } ) d ^ { 2 } } \\ & { ~ ~ + ( - 6 6 9 6 K ^ { 4 } - 1 9 4 4 0 K ^ { 3 } - 5 4 0 0 K ^ { 2 } + 2 7 0 0 0 K ) d } \\ & { ~ ~ + 1 5 5 5 2 K ^ { 4 } + 3 8 8 8 0 K ^ { 3 } - 3 2 4 0 0 K ^ { 2 } - 1 6 2 0 0 0 K + 2 7 0 0 0 0 = 0 . } \end{array}
\widetilde w _ { j l , \mathrm { 1 0 0 } } ( { E _ { 1 s } } , \Omega ; \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \left[ w _ { j l , \mathrm { 1 0 0 } } ( { E _ { 1 s } + \epsilon } , \Omega ; \mathbf { r } ) + w _ { j l , \mathrm { 1 0 0 } } ( { E _ { 1 s } - \epsilon } , \Omega ; \mathbf { r } ) \right] ,
a = \frac { c h ^ { 2 } - \varepsilon h ^ { 2 } } { c \varepsilon - h ^ { 2 } } = \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon } - \frac { h ^ { 2 } } { c } + \frac { h ^ { 4 } } { c \varepsilon ^ { 2 } } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon } \right) } .
\begin{array} { r } { [ \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { S } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \delta \mathbf { m } ) \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { U } ] _ { j j } = [ \mathbf { S } ^ { T } \Delta \mathbf { d } \mathbf { U } ] _ { j j } , } \end{array}
\Sigma _ { \alpha \beta \gamma } ^ { l } = - [ ( \gamma ^ { \mu } + v ^ { \mu } ) \gamma _ { 5 } u ] _ { \rho } [ ( \not v + 1 ) \gamma _ { \mu } C ] _ { \delta \sigma } A _ { \alpha \beta } ^ { ( \rho \delta ) } ( v , k _ { 2 } ) D _ { \gamma } ^ { \sigma } ( v , k _ { 1 } )
( f _ { 1 } ^ { ( i ) } , f _ { 2 } ^ { ( i ) } , g ^ { ( i ) } , \boldsymbol { A } _ { 1 1 } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { A } _ { 1 2 } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { A } _ { 2 1 } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { A } _ { 2 2 } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { B } _ { 1 } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { B } _ { 2 } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { C } _ { 1 } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { C } _ { 2 } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { D } ^ { ( i ) } )
\begin{array} { r l } { \Delta p ( r , \boldsymbol { \Omega } , t ) } & { = p ( r , \boldsymbol { \Omega } , t ) - p _ { 0 } ( r ) } \\ & { = \sum _ { i j } \left[ D _ { i j } ( \boldsymbol { \Omega } , t ) - D _ { i j } ^ { ( 0 , 0 ) } \right] \varphi _ { i } ( r ) \varphi _ { j } ( r ) } \\ & { = \sum _ { i j } \Delta D _ { i j } ( \boldsymbol { \Omega } , t ) \varphi _ { i } ( r ) \varphi _ { j } ( r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \rho _ { 0 } \mathbf { u } ) ^ { k + 1 } } & { { } = \widehat { \rho _ { 0 } \vec { u } } - \Delta t \rho _ { 0 } \nabla ( \alpha _ { 0 } \delta p ) , } \\ { p ^ { k + 1 } } & { { } = p ^ { k } + \delta p . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \smash { \vert F ^ { * } ( x , a ) - F ^ { * } ( x , b ) \vert ^ { 2 } } } & { \sim \smash { \smash { ( \varphi ^ { * } ) } _ { \smash { \vert a \vert } } ( x , \vert a - b \vert ) } \, , } \\ { \smash { \smash { ( \varphi ^ { * } ) } _ { \smash { \vert \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x , a ) \vert } } ( x , t ) } } & { \sim \smash { \smash { ( \varphi } _ { \smash { \vert a \vert } } ) ^ { * } ( x , t ) } \, , } \\ { \smash { \vert F ^ { * } ( x , \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x , a ) ) - F ^ { * } ( x , \boldsymbol { \mathcal { A } } ( y , b ) ) \vert ^ { 2 } } } & { \sim \smash { \smash { ( \varphi } _ { \smash { \vert a \vert } } ) ^ { * } ( x , \vert \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x , a ) - \boldsymbol { \mathcal { A } } ( y , b ) \vert ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \Sigma _ { 3 } ( x ) | \leq \sum _ { \frac { \kappa _ { 1 } x } { h } \leq | \gamma | \leq \frac { \kappa _ { 2 } x } { \tau } } \frac { \ell _ { 2 } ( x ) \sqrt { x } } { | \gamma | } } \\ & { \quad < \frac { 2 \ell _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \bigg ( \frac { \left( \log { x } + \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , \log { \frac { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 0 } } } \right\} \right) } { 4 \pi } \log { \frac { \kappa _ { 2 } } { \kappa _ { 0 } \kappa _ { 1 } } } + \frac { \kappa _ { 0 } R ( \frac { \kappa _ { 2 } \eta ( x _ { 0 } ) } { \kappa _ { 0 } } ) } { \kappa _ { 2 } \eta ( x _ { 0 } ) } + \frac { R ( \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) ) } { \kappa _ { 1 } \eta ( x ) } + \frac { 4 . 2 0 0 + 4 . 1 3 4 \log { \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) } } { \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \eta ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } } \bigg ) } { ( \sqrt { x } \log { x } ) ^ { - 1 } \log { x _ { 0 } } } } \\ & { \quad : = \ell _ { 3 } ( x _ { 0 } ) \sqrt { x } \log { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { p ( \varrho ) > 0 , \quad \forall \varrho \ge 1 } \\ & { } & { p ( \varrho ) < 0 , \quad \forall \varrho < 0 , } \\ & { } & { 1 8 \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } - 4 \alpha _ { 2 } ^ { 3 } \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \alpha _ { 3 } \alpha _ { 1 } ^ { 3 } - 2 7 \alpha _ { 3 } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \ge 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { t t } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { \frac { \beta } { \Lambda } \sum _ { p \neq 0 } \phi ( p , 0 ) ( { \bf p } \cdot { \bf e } _ { t } ) ^ { 2 } [ S ( { \bf p } - { \bf k } ) - S ( { \bf p } ) ] } \end{array}
\{ Z _ { 1 } Z _ { 2 } , Z _ { 2 } Z _ { 3 } , Z _ { 4 } Z _ { 5 } , Z _ { 5 } Z _ { 6 } , Z _ { 7 } Z _ { 8 } , Z _ { 8 } Z _ { 9 } , X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } X _ { 5 } X _ { 6 } , X _ { 4 } X _ { 5 } X _ { 6 } X _ { 7 } X _ { 8 } X _ { 9 } \}
f ( E ) = A e ^ { \frac { - ( E - E _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } + \left[ B e ^ { \Gamma ( E - E _ { 0 } ) } + C ( 1 + m ( E - E _ { 0 } ) ) \right] \times \left[ 1 - \mathrm { e r f } \left( { \frac { E - E _ { 0 } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { t } } } \right) \right]
{ \sqrt { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k + 1 } { \frac { ( 2 k - 3 ) ! ! } { ( 2 k ) ! ! } } = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 \cdot 4 } } + { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } - { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { 0 } , T ] } \Vert \mathcal { F } u ( t ) \Vert _ { V } } & { \leq C _ { 0 } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { \omega ( T - t _ { 0 } ) } , 1 \} r _ { 0 } } \\ & { + C _ { \alpha } \frac { ( T - t _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } } { 1 - \alpha } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { \omega ( T - t _ { 0 } ) } , 1 \} \operatorname* { s u p } _ { t \in [ t _ { 0 } , T ] } \mathrm { L i p } _ { V \to L _ { \sigma } ^ { p } } \big ( J _ { t } \, | \, \overline { { B _ { r } ( 0 ) } } \big ) r . } \end{array}
\rho _ { N } ( \nu ) = { \frac { N } { N + 1 } } \, \delta ^ { ( 2 ) } \bigl ( \nu - 1 / ( N + 1 ) \bigr ) + { \frac { 1 } { N + 1 } } \, \delta ^ { ( 2 ) } \bigl ( \nu - 1 / ( N + 1 ) + 1 \bigr )
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \Delta t \nu | | \nabla \mathbf { v } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \gamma | | \mathbf { M } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \alpha | | \mathbf { G } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle + \int _ { \Omega } \left( h ( \mathbf { G } + \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) + f ( \phi _ { h } ^ { n } ) g ( \mathbf { G } + \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) + f ( z + \phi _ { h } ^ { n } ) g ( \mathbf { G } + \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) + \psi \left( z + \phi _ { h } ^ { n } \right) \right) } \\ & { \displaystyle + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { G } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t b _ { 0 } | | \nabla y | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla z | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } \leq ( \mathcal { P } ( \mathbf { v } , \mathbf { G } , \mathbf { M } , z , y ) , ( \mathbf { v } , \mathbf { G } , \mathbf { M } , z , y ) ) _ { X } } \\ & { \displaystyle + \int _ { \Omega } \left( h ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) + f ( \phi _ { h } ^ { n } ) g ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) + f ( \phi _ { h } ^ { n } ) g ( \mathbf { G } + \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) + \psi \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) \right) + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { F } _ { h } ^ { n } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla \phi _ { h } ^ { n } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { z ^ { \prime } z } ^ { ( v ) } ( t ) \equiv \binom { z ^ { \prime } } { z } ( 1 - R _ { q } ^ { ( e ) } ( t ) ) ^ { z } R _ { q } ^ { ( e ) } ( t ) ^ { z ^ { \prime } - z } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( \sigma ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sigma } e ^ { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } } \oint \frac { d u } { 2 i \pi } e ^ { u \sigma } ( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } ( \frac { \sigma } { u } ) ^ { n } ) } \\ & { = } & { 1 + \frac { 1 } { 2 4 } \sigma ^ { 4 } + \frac { 1 } { 1 9 2 0 } \sigma ^ { 8 } + O ( \sigma ^ { 1 2 } ) } \end{array}
{ \mathcal { H } } ( d , \, s ) = \underbrace { { \frac { 1 } { 2 } } s ^ { \dagger } D ^ { - 1 } s - j ^ { \dagger } s + { \mathcal { H } } _ { 0 } } _ { = { \mathcal { H } } _ { \mathrm { f r e e } } ( d , \, s ) } + \underbrace { \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } \Lambda _ { x _ { 1 } . . . x _ { n } } ^ { ( n ) } s _ { x _ { 1 } } . . . s _ { x _ { n } } } _ { = { \mathcal { H } } _ { \mathrm { i n t } } ( d , \, s ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { F e O } } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 4 \pi \, r _ { \mathrm { F e O } } r _ { \mathrm { F e } } } { r _ { \mathrm { F e O } } - r _ { \mathrm { F e } } } \, \varrho _ { \mathrm { F e O } } \, k _ { \infty , \mathrm { F e O } } \, \mathrm { e x p } \left( - \frac { T _ { a , \mathrm { F e O } } } { T _ { p } } \right) } \\ { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { F e } } } { \mathrm { d } t } } & { = - \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { F e O } } } { \mathrm { d } t } \frac { \Bar { M } _ { \mathrm { F e } } } { \Bar { M } _ { \mathrm { F e O } } } } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { O 2 } , \mathrm { m a x } } } & { = \varrho _ { f } \, A _ { p } \, \frac { \mathrm { S h } \, D _ { \mathrm { O 2 } , f } } { d _ { p } } \; \mathrm { l n } ( 1 - Y _ { \mathrm { O 2 } , g } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( t ) } & { \triangleq \prod _ { i = 1 } ^ { m } \bigg ( \frac { b _ { i } } { a _ { i } } \bigg ) ^ { ( t - 1 ) d _ { i } } e ^ { ( t - 1 ) ( a _ { i } - b _ { i } ) } , } \\ { f _ { 2 } ( t ) } & { \triangleq \prod _ { i = 1 } ^ { m } \bigg ( \frac { b _ { i } } { a _ { i } } \bigg ) ^ { t d _ { i } } e ^ { t ( a _ { i } - b _ { i } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \alpha } ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { \pi } } \Re \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - q ) ^ { n } } { n ! } } \left( { \frac { - i } { x } } \right) ^ { \alpha n + 1 } \Gamma ( \alpha n + 1 ) \right] } \end{array}
U \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x } + V \frac { \partial ( U + u ^ { \prime } ) } { \partial y } + W \frac { \partial ( U + u ^ { \prime } ) } { \partial z } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x } + \nu \textsubscript { e f f } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } ( U + u ^ { \prime } ) } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } ( U + u ^ { \prime } ) } { \partial z ^ { 2 } } \right) ,
\mathbf { u } \oplus \mathbf { v } = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ \mathbf { v } + \mathbf { u } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { \mathbf { u } } } { \gamma _ { \mathbf { u } } + 1 } } \mathbf { u } \times ( \mathbf { u } \times \mathbf { v } ) \right]
\begin{array} { r } { q _ { 0 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) = - \sqrt { 3 2 ( 3 \sqrt { 2 } ) ^ { D } } \zeta _ { 0 } \zeta _ { n } ( \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } ) ^ { \frac { D + 2 } { 2 } } . } \end{array}
\mathcal { A } _ { m } [ u ] \sim u _ { 0 } \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { h } \ \ \textrm { w i t h p r o b a b i l i t y } \ \ P \sim \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { J ( h ) } .
\begin{array} { r l } { \langle X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle = - \langle \phi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle } & { = a _ { 1 } ( 0 , 0 ) ( x - x _ { i } ) t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , } \\ { \langle X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , \xi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle = - \langle \xi ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle } & { = - b _ { 1 } ( 0 , 0 ) ( x - x _ { i } ) t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , } \\ { \langle X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle = - \langle X _ { \beta } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \rangle } & { = - c _ { 1 } ( 0 , 0 ) ( x - x _ { i } ) t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) , } \end{array}
\langle D ^ { 0 } + \overline { { { D } } } ^ { 0 } \rangle _ { P b P b } = \langle D ^ { 0 } + \overline { { { D } } } ^ { 0 } \rangle _ { N N } \cdot \frac { \langle h ^ { - } \rangle _ { P b P b } } { \langle h ^ { - } \rangle _ { N N } } = 2 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \cdot \frac { 7 0 0 } { 3 . 1 } \approx 4 . 5 \cdot 1 0 ^ { - 2 } ,
P ( m _ { 1 a } , m _ { b 2 } | n , j _ { 1 a } , j _ { b 2 } , j _ { 1 2 } ) = \frac { \Upsilon ( n , j _ { 1 a } , m _ { 1 a } , j _ { b 2 } , m _ { b 2 } , j _ { 1 2 } ) } { \sum _ { m _ { 1 a } , m _ { b 2 } \in Q ( n , j _ { 1 a } , j _ { b 2 } , j _ { 1 2 } ) } \Upsilon ( n , j _ { 1 a } , m _ { 1 a } , j _ { b 2 } , m _ { b 2 } , j _ { 1 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = \hbar \left( \eta _ { p } \hat { a } ^ { \dagger } + \eta _ { p } ^ { * } \hat { a } \right) - \Delta _ { c } \hbar \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \hbar \Delta _ { 0 } \int d z \ \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( z ) \hat { \psi } _ { e } ( z ) + \sum _ { \tau = g , e } \int d z \ \hat { \psi } _ { \tau } ^ { \dagger } ( z ) \left[ \frac { p ^ { 2 } } { 2 M } + V ( z ) \right] \hat { \psi } _ { \tau } ( z ) } \end{array}
\tilde { U } ( r ) = \left\{ e ^ { - 2 \eta [ \beta ( r - r _ { 0 } ) ] ^ { \alpha } } - 2 \eta e ^ { - [ \beta ( r - r _ { 0 } ) ] ^ { \alpha } } \right\} \, \tilde { \sigma } \, ( r - r _ { 0 } ^ { \prime } ) + \tilde { U } _ { \infty } \, .
\begin{array} { r l } { C _ { q } ^ { a } [ \omega ] } & { { } = i \frac { \chi _ { d } ^ { - 1 } [ \omega ] \tilde { g } _ { c } a - \mathcal { G } \tilde { g } _ { c } d } { \chi _ { a } ^ { - 1 } [ \omega ] \chi _ { d } ^ { - 1 } [ \omega ] - \mathcal { G } ^ { 2 } } , } \\ { C _ { q } ^ { d } [ \omega ] } & { { } = i \frac { \chi _ { a } ^ { - 1 } [ \omega ] \tilde { g } _ { c } d - \mathcal { G } \tilde { g } _ { c } a } { \chi _ { a } ^ { - 1 } [ \omega ] \chi _ { d } ^ { - 1 } [ \omega ] - \mathcal { G } ^ { 2 } } . } \end{array}
C = Y \otimes X = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] } \otimes { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } } & { - i { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } } \\ { i { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } } & { 0 { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { 0 } & { i } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \int _ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ^ { \infty } \frac { ( c _ { \lambda } y ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } } { ( \gamma _ { \lambda } x ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } e ^ { - \gamma _ { \lambda } x } } \frac { e ^ { - c _ { \tau } x } } { \sqrt { \gamma _ { \lambda } x + a } } d x } & { = \int _ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ^ { \infty } \frac { e ^ { - x ( c _ { \tau } + \gamma _ { \lambda } [ 1 - \log ( c _ { \lambda } y ) ] } } { ( \gamma _ { \lambda } x ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } \sqrt { \gamma _ { \lambda } x + a } } d x } \\ & { \leq \int _ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ^ { \infty } \frac { f ( y ) ^ { x } } { ( \gamma _ { \lambda } x ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } \sqrt { \gamma _ { \lambda } x + a } } d x } \\ & { = \int _ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ^ { \infty } \frac { e ^ { - x [ \gamma _ { \lambda } \log ( \gamma _ { \lambda } x ) - \log ( f ( y ) ] } } { \sqrt { \gamma _ { \lambda } x + a } } d x , } \end{array}
\cos \pi \nu + 1 = \frac { \pi e ^ { 4 h } } { ( 8 h ) ^ { q / 2 } } \bigg [ \frac { 1 + \frac { 3 ( q ^ { 2 } + 1 ) } { 6 4 h } } { \Gamma [ \frac { 3 } { 4 } - \frac { q } { 4 } ] \Gamma [ \frac { 1 } { 4 } - \frac { q } { 4 } ] } + O ( \frac { 1 } { h ^ { 2 } } ) \bigg ]
\begin{array} { r l } & { n _ { \alpha \beta } = 2 \mu _ { 2 } h A _ { \gamma \gamma } \delta _ { \alpha \beta } + 2 \mu _ { 1 } h A _ { \alpha \beta } } \\ & { q _ { \alpha } = \mu _ { 5 } h ( \psi _ { \alpha } + \bar { u } _ { , \alpha } ) , } \\ & { m _ { \alpha \beta } = 2 \mu _ { 4 } h ^ { 3 } B _ { \gamma \gamma } \delta _ { \alpha \beta } + 2 \mu _ { 3 } h ^ { 3 } B _ { \alpha \beta } . } \end{array}
{ \cal K } = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d \tau _ { 2 } } { \tau _ { 2 } ^ { 1 4 - d / 2 } } } { \frac { 1 } { \eta ^ { 2 4 - d } ( 2 i \tau _ { 2 } ) } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \cal N } \gamma _ { \beta } ( 2 i \tau _ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } ( t _ { 0 } ) } & { { } = \mathbf { x } _ { 0 } } \\ { \mathbf { x } _ { l } ( t _ { 0 } ) } & { { } = \mathbf { x } _ { l _ { 0 } } } \\ { \mathbf { x } ( t _ { f } ) } & { { } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = k + 1 } ^ { n } \left| ( { \underline { { u _ { i } } } } _ { | s } \cdot \nabla _ { t } ^ { s } ) d _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { d } \left| ( { \underline { { u _ { i } } } } _ { | s } \cdot \nabla _ { t } ^ { s } ) \operatorname* { d e t } ( { \underline { { v _ { i ^ { \prime } } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \Theta ( t , w _ { i ^ { \prime \prime } } ) } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { e } _ { x } ^ { k + 1 } } & { = \bar { e } _ { x } ^ { k } - \alpha \big ( \overline { { { \nabla } f } } ( { \mathbf { x } } ^ { k } ) - \overline { { { \nabla } f } } ( { \mathbf { x } } ^ { \star } ) \big ) } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k + 1 } } \\ { \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \tilde { { \mathbf { z } } } ^ { k + 1 } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { \Lambda } - { \mathbf { I } } } & { - ( { \mathbf { I } } - \mathbf { \Lambda } ) } \\ { { \mathbf { I } } - \mathbf { \Lambda } } & { ~ { \mathbf { I } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k } } \\ { \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \tilde { { \mathbf { z } } } ^ { k } } \end{array} \right] } \\ & { \quad - \alpha \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { \Lambda } ^ { 2 } \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \big ( { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ^ { k } ) - { \nabla } { \mathbf { f } } ( { \mathbf { x } } ^ { \star } ) { \mathbf { v } } ^ { k } \big ) } \\ { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}