harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { t } _ { g } = \frac { \partial _ { h } \mathbf { X } } { | \partial _ { h } \mathbf { X } | } , \quad \mathbf { n } _ { g } = \frac { 1 } { | \partial _ { h } \mathbf { X } | } ( \partial _ { h } X _ { 2 } , - \partial _ { h } X _ { 1 } ) ^ { T } , \quad H _ { g } = - \frac { 1 } { | \partial _ { h } \mathbf { X } | } \partial _ { h } \left( \frac { \partial _ { h } \mathbf { X } } { | \partial _ { h } \mathbf { X } | } \right) \cdot \mathbf { n } _ { g }
\begin{array} { r l } { | + \rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } | 0 \rangle - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } | 1 \rangle } \\ { | - \rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } | 0 \rangle + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } | 1 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathcal R } } _ { 1 / 2 } } & { \approx \frac { 4 \gamma _ { 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { 2 \gamma _ { 1 / 2 } - 2 } } { [ \Gamma ( 2 \gamma _ { 1 / 2 } + 1 ) ] ^ { 2 } } , } \\ { { \ensuremath { \mathcal R } } _ { 3 / 2 } } & { \approx \frac { 4 8 \gamma _ { 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { \gamma _ { 1 / 2 } + \gamma _ { 3 / 2 } - 3 } } { \Gamma ( 2 \gamma _ { 1 / 2 } + 1 ) \Gamma ( 2 \gamma _ { 3 / 2 } + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \dot { I } ^ { \mathrm { o u t } } \} } & { = } & { \left[ ( \mathcal { M } _ { \bf u } - \mathcal { S } \mathcal { M } _ { \bf d } ) \mathcal { L } _ { \bf u } + ( \mathcal { M } _ { \bf d } - \mathcal { S } \mathcal { M } _ { \bf u } ) \mathcal { L } _ { \bf d } \right] [ \hat { 1 } - e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } - e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } ] | B \} } \\ & { = } & { \left[ ( \mathcal { M } _ { \bf u } - \mathcal { S } \mathcal { M } _ { \bf d } ) ( \mathcal { L } _ { \bf u } - e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } ) + ( \mathcal { M } _ { \bf d } - \mathcal { S } \mathcal { M } _ { \bf u } ) ( \mathcal { L } _ { \bf d } - e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } ) \right] | B \} } \\ & { = } & { \mathcal { C } _ { \bf u u } - \mathcal { C } _ { \bf u u } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } + \mathcal { C } _ { \bf d d } - \mathcal { C } _ { \bf d d } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } } \\ & { } & { - \mathcal { S } \left[ \mathcal { C } _ { \bf d u } - \mathcal { C } _ { \bf d u } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } + \mathcal { C } _ { \bf u d } - \mathcal { C } _ { \bf u d } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } \right] | B \} } \\ & { = } & { \left[ \hat { 1 } - \mathcal { O } - \mathcal { S } ( \hat { 1 } - \mathcal { I } ) \right] | B \} , } \end{array}
Z \sim 1 0 ^ { - 1 1 } m _ { 3 / 2 } \sim \ 1 \ \mathrm { e V } , \ \Phi _ { 1 } \sim 1 0 ^ { - 1 } \frac { \Lambda _ { h } ^ { 2 } } { m ^ { \prime } } \sim 1 0 ^ { 1 2 } \ \mathrm { G e V } , \ \Phi _ { 2 } \sim 1 0 ^ { 5 } \frac { \Lambda _ { h } ^ { 2 } } { m ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { S } = } & { \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } \left[ G _ { u u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) H _ { b b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) \right. } \\ & { \left. \qquad \qquad \qquad \qquad - G _ { b b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) H _ { u u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau _ { 1 } , \tau , T \right) \right] , } \end{array}
\phi = - \frac { \dot { R } _ { 0 } R _ { 0 } ^ { 2 } } { r ^ { \prime } } - \dot { z } _ { c } r ^ { \prime } \left( 1 - \frac { R _ { 0 } ^ { 3 } } { 2 r ^ { 3 } } \right) \cos \theta ^ { \prime } ,
{ \cal A } ( { \overline { { { B } } } } _ { s } ^ { 0 } { \to } { \overline { { { K } } } } ^ { 0 } K ^ { 0 } ) \, { \simeq } \, - { \vert } P _ { c } { \vert } e ^ { - i { \delta } _ { P } ^ { c } } ,
\left[ \tilde { f } _ { b b } \left( \tilde { k } _ { 0 } \right) \right] ^ { - 1 } = - \tilde { a } _ { b b } ^ { - 1 } - i \tilde { k } _ { 0 } + \tilde { r } _ { e , b b } \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } / 2
\begin{array} { r l } { \textbf { F } _ { i j } ^ { f r , w a v e } } & { { } = \textbf { F } _ { i j } ^ { f r , U G K S } ( \textbf { W } _ { i } ^ { h } ) - \textbf { F } _ { i j } ^ { f r , D V M } ( \textbf { W } _ { i } ^ { h p } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { { } = \frac { 1 } { 1 - e ^ { - b / \sqrt { x } } } \ \rightarrow \ d u = \frac { b x ^ { - 3 / 2 } e ^ { - b / \sqrt { x } } } { 2 ( 1 - e ^ { - b / \sqrt { x } } ) ^ { 2 } } d x , } \\ { d v } & { { } = \frac { 1 } { \sigma } \frac { e ^ { y / \sigma } } { ( 1 + e ^ { y / \sigma } ) ^ { 2 } } \ \rightarrow \ v = - \frac { 1 } { ( 1 + e ^ { y / \sigma } ) } . } \end{array}
H _ { \mathrm { e l - e l } } ^ { ( 0 ) } = \sum _ { i } U _ { s s } n _ { s i \uparrow } n _ { s i \downarrow } + U _ { s p } \left( n _ { p i \uparrow } + n _ { p i \downarrow } \right) \left( n _ { s i \uparrow } + n _ { s i \downarrow } \right) + \sum _ { i \sigma \sigma ^ { \prime } } U _ { s p , s p } b _ { s i \sigma } ^ { \dagger } b _ { p i \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } b _ { s i \sigma ^ { \prime } } b _ { p i \sigma } .
{ \begin{array} { r l } { d N _ { \mathrm { c o l l } } } & { = \left( { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { c o l l } } \Delta t \, d ^ { 3 } \mathbf { r } \, d ^ { 3 } \mathbf { p } } \\ & { = f \left( \mathbf { r } + { \frac { \mathbf { p } } { m } } \Delta t , \mathbf { p } + \mathbf { F } \Delta t , t + \Delta t \right) d ^ { 3 } \mathbf { r } \, d ^ { 3 } \mathbf { p } - f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) \, d ^ { 3 } \mathbf { r } \, d ^ { 3 } \mathbf { p } } \\ & { = \Delta f \, d ^ { 3 } \mathbf { r } \, d ^ { 3 } \mathbf { p } } \end{array} }
\left\vert 0 _ { U } \right\rangle = \prod _ { \Omega > 0 } \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 \Omega } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 \Omega } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle ,
x _ { 1 , 2 } = \frac { - 2 \sinh ^ { 2 } \alpha - 5 \pm \sqrt { \left( 2 \sinh ^ { 2 } { \alpha } + 5 \right) ^ { 2 } + 8 \sinh ^ { 2 } { \alpha } } } { 4 \sinh ^ { 2 } { \alpha } }
w _ { a } ^ { ( 0 ) } ( { \pmb x } ) = - A _ { \alpha } \left( \frac { 3 } { 4 } R _ { p } + \frac { R _ { p } ^ { 3 } } { 8 } \Delta _ { x } \right) S _ { a \, \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } )
\begin{array} { r l r } { ( G _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } = } & { { } } & { \textbf { P } _ { i } ( \textbf { h } _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } } \\ { = } & { { } } & { \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( G _ { i } ) _ { L } + ( G _ { i } ) _ { R } \right\} - \frac { ( \widetilde { \lambda } _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } } { 2 } \left\{ ( U _ { i } ) _ { R } - ( U _ { i } ) _ { L } \right\} } \\ { = } & { { } } & { \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( G _ { i } ) _ { L } + ( G _ { i } ) _ { R } \right\} - \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( \Delta G _ { i } ^ { + } ) _ { j + 1 / 2 } - ( \Delta G _ { i } ^ { - } ) _ { j + 1 / 2 } \right\} ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { \tilde { Z } } { 2 \pi } } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } E _ { 2 } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) - \int _ { \tau } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } - \tau ) \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) + \epsilon _ { s } \tilde { B } _ { s } E _ { 3 } ( \tau ) } \\ & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } E _ { 3 } ( \vert \tau - \tau ^ { \prime } \vert ) { \frac { \partial \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) } { \partial \tau ^ { \prime } } } + \tilde { B } ( \tau _ { \infty } ) E _ { 3 } ( \tau _ { \infty } - \tau ) + [ \epsilon _ { s } \tilde { B } _ { s } - \tilde { B } ( 0 ) ] E _ { 3 } ( \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \rho _ { a } } [ \nabla _ { \theta } g ( \theta ) ] } & { = \int \nabla _ { \theta } g ( \theta ) \rho _ { a } ( \theta ) \mathrm { d } \theta = - \int g ( \theta ) \nabla _ { \theta } \rho _ { a } ( \theta ) ^ { T } \mathrm { d } \theta = \nabla _ { m } \mathbb { E } _ { \rho _ { a } } [ g ( \theta ) ] } \\ & { = \int g ( \theta ) ( \theta - m ) ^ { T } C ^ { - 1 } \rho _ { a } ( \theta ) \mathrm { d } \theta = \mathrm { C o v } [ g ( \theta ) , \theta ] C ^ { - 1 } , } \\ { \mathbb { E } _ { \rho _ { a } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } f ( \theta ) ] } & { = \int \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } f ( \theta ) \rho _ { a } ( \theta ) \mathrm { d } \theta = - \int \nabla _ { \theta } f ( \theta ) \nabla _ { \theta } \rho _ { a } ( \theta ) ^ { T } \mathrm { d } \theta } \\ & { = \int \nabla _ { \theta } f ( \theta ) ( \theta - m ) ^ { T } C ^ { - 1 } \rho _ { a } ( \theta ) \mathrm { d } \theta = \mathrm { C o v } [ \nabla _ { \theta } f ( \theta ) , \theta ] C ^ { - 1 } } \\ & { = \int f ( \theta ) \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \rho _ { a } ( \theta ) \mathrm { d } \theta = - C ^ { - 1 } \mathbb { E } _ { \rho _ { a } } \Bigl [ \bigl ( C - ( \theta - m ) ( \theta - m ) ^ { T } \bigr ) f \Bigr ] C ^ { - 1 } . } \end{array}
\bigl ( \, E _ { n } ^ { B F } ( { \bf x } ) \, \bigr ) ^ { 2 } = L E _ { 1 } ^ { 2 } ( { \bf x } ) + L E _ { 2 } ^ { 2 } ( { \bf x } ) + \ldots + L E _ { n } ^ { 2 } ( { \bf x } ) \, .
\begin{array} { r l } & { e ^ { - x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) \sigma _ { 3 } } | x | ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } ( z + \sqrt { 2 } ) ^ { - ( \alpha + \frac { 1 } { 2 } ) \sigma _ { 3 } } ( z - \sqrt { 2 } ) ^ { - ( \alpha - \frac { 1 } { 2 } ) \sigma _ { 3 } } z ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { r ( z ) } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times z ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } ( z + \sqrt { 2 } ) ^ { ( \alpha + \frac { 1 } { 2 } ) \sigma _ { 3 } } ( z - \sqrt { 2 } ) ^ { ( \alpha - \frac { 1 } { 2 } ) \sigma _ { 3 } } | x | ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } e ^ { x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) \sigma _ { 3 } } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } { 1 + e ^ { 2 \pi i \alpha } } } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { W } } & { { } \leftarrow \mathbf { W } \odot \left( \frac { \left( \frac { \mathbf { X } } { \mathbf { W } \mathbf { H } } \right) \cdot \mathbf { H } ^ { T } } { \mathbf { 1 } _ { m , n } \cdot \mathbf { H } ^ { T } } \right) } \\ { \mathbf { H } } & { { } \leftarrow \mathbf { H } \odot \left( \frac { \mathbf { W } ^ { T } \cdot \left( \frac { \mathbf { X } } { \mathbf { W } \mathbf { H } } \right) } { \mathbf { W } ^ { T } \cdot \mathbf { 1 } _ { m , n } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { Y = { \chi } ^ { 8 } + { \tau } ^ { 8 } - 4 \, { \left( { \chi } ^ { 2 } - 1 \right) } { \tau } ^ { 6 } + 4 \, { \chi } ^ { 6 } + 2 \, { \left( 3 \, { \chi } ^ { 4 } - 2 \, { \chi } ^ { 2 } + 3 \right) } { \tau } ^ { 4 } } \\ { + 6 \, { \chi } ^ { 4 } - 4 \, { \left( { \chi } ^ { 6 } + { \chi } ^ { 4 } - { \chi } ^ { 2 } - 1 \right) } { \tau } ^ { 2 } + 4 \, { \chi } ^ { 2 } + 1 } \end{array}
\Gamma _ { a b c } ( P _ { - } , K , P _ { + } ) = i ^ { 4 } ( - i g ) ^ { 3 } \int \frac { d ^ { 4 } R } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } ( \tau _ { 3 } D ( R ) ) _ { c d } ( - i \Pi _ { d e } ( R ) ) ( D ( R ) \tau _ { 3 } ) _ { e a } D _ { a b } ( P _ { 1 } ) ( D ( P _ { 3 } ) \tau _ { 3 } ) _ { c b }
\begin{array} { r l r } { g _ { \mathrm { H O M } } ^ { ( 2 ) } ( \tau ) = } & { } & { \ c _ { 1 } ^ { 2 } g _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( 0 ) + c _ { 2 } ^ { 2 } g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( 0 ) + 2 c _ { 1 } c _ { 2 } } \\ & { } & { \ \cdot \left( 1 - \eta \frac { \langle S _ { 1 } \rangle \langle S _ { 2 } \rangle } { \langle I _ { 1 } \rangle \langle I _ { 2 } \rangle } | g _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \tau ) | | g _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( \tau ) | \cos ( \Delta \tau ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { r } } \nabla _ { \textrm { K } _ { x } ^ { s t } ( \tau ) } \varepsilon _ { c v } \left( \textrm { K } _ { x } ^ { s t } ( \tau ) , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } \right) d \tau = } & { 0 , } \\ { \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { r } } \nabla _ { \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } } \varepsilon _ { c v } \left( \textrm { K } _ { x } ^ { s t } ( \tau ) , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } \right) d \tau = } & { 0 , } \\ { \varepsilon _ { c v } \left( \textrm { K } _ { x } ^ { s t } \left( t _ { r } \right) , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } \right) - \omega = } & { 0 , } \end{array}
l o a d i n g e f f c i e n c y ~ . T h e c r o s s e d - A O D t w e e z e r r a i l a l l o w s f o r f a s t , d y n a m i c c h a n g e s o f t h e l o c a l l i g h t s h i f t p o t e n t i a l , a f u n c t i o n a l i t y w h i c h i s n o t a f f o r d e d b y t h e S L M s y s t e m s u p p l y i n g t h e 7 5 9 n m t r a p p o t e n t i a l . W e o b s e r v e t h a t a 5 3 2 n m t w e e z e r o f
\begin{array} { r l } { c _ { n } } & { \leftarrow \sum _ { m } [ \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \hat { V } ( q ) \Delta t / 2 } ] _ { n m } c _ { m } } \\ { p } & { \leftarrow p - \nabla V _ { a } ( q ) \Delta t / 2 } \\ { q } & { \leftarrow q + ( p / m ) \Delta t } \\ { p } & { \leftarrow p - \nabla V _ { a } ( q ) \Delta t / 2 } \\ { c _ { n } } & { \leftarrow \sum _ { m } [ \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \hat { V } ( q ) \Delta t / 2 } ] _ { n m } c _ { m } } \end{array}
R _ { i j } \! \! - \! \frac { 1 } { 2 } R g _ { i j } \! = \! 8 \pi G T _ { i j } ^ { m } \! + \! ( { \cal R } _ { \mu \nu } \! - \! \frac { 1 } { 2 } { \cal R } { \cal G } _ { \mu \nu } ) Z _ { , i } ^ { \mu } Z _ { , j } ^ { \nu } \! + \! Q _ { i j } + S _ { i j }
\begin{array} { r l } { K _ { p q } ^ { e e } } & { { } = - \frac { 2 } { n _ { e } \nu _ { e e } } \left< x ^ { 1 / 2 } L _ { p } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) f _ { 0 e } ( v ) \cos \alpha , C _ { e e } ^ { ( l ) } \left[ x ^ { 1 / 2 } L _ { q } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) f _ { 0 e } ( v ) \cos \alpha \right] \right> , } \\ { K _ { p q } ^ { e i } } & { { } = - \frac { 2 } { n _ { e } \nu _ { e i } } \left< x ^ { 1 / 2 } L _ { p } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) f _ { 0 e } ( v ) \cos \alpha , \mathcal { L } _ { e i } \left[ x ^ { 1 / 2 } L _ { q } ^ { ( 3 / 2 ) } ( x ) f _ { 0 e } ( v ) \cos \alpha \right] \right> } \end{array}
h ^ { \ast 2 } = \underbrace { \left[ 1 + \frac { 6 b _ { 1 } } { h } - 3 \frac { b _ { 1 } - b _ { 2 } } { h + b _ { 1 } + b _ { 2 } } \left( 1 + \frac { 2 b _ { 1 } } { h } \right) \right] } _ { = : \kappa } h ^ { 2 } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( Y _ { i } = 0 ) } & { = { \frac { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } + e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } } \\ { \operatorname* { P r } ( Y _ { i } = 1 ) } & { = { \frac { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } + e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { C _ { k } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - ( 1 - \frac { 1 } { \alpha } ) t } & { ( t < 1 ) } \\ { \frac { 1 } { \alpha } t ^ { - \alpha + 1 } \quad } & { ( t \geq 1 ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { \equiv \frac { \partial \operatorname* { d e t } ( M ( t , { \mathbf { u } } ) ) } { \partial t } \Big \vert _ { t _ { b } , { \mathbf { u } } _ { b } } = 3 t _ { b } ^ { 2 } + 2 a _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) t _ { b } + a _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \\ { D _ { 2 } } & { \equiv \frac { \partial ^ { 2 } \operatorname* { d e t } ( M ( t , { \mathbf { u } } ) ) } { \partial t ^ { 2 } } \Big \vert _ { t _ { b } , { \mathbf { u } } _ { b } } = 3 t _ { b } + a _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ \left. \exp \left\lbrace \int _ { t } ^ { T } i \upsilon \psi _ { u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) d g _ { u } ^ { r } \right\rbrace \right\rvert { \mathcal F } _ { t } \right] } \\ & { \ \ = \exp \left\lbrace \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { i \upsilon \psi _ { u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) y } - 1 \right) \varphi _ { r } ( y ) d y d u \right\rbrace } \\ & { \ \ = \exp \left( - \gamma _ { r } \int _ { t } ^ { T } \log \left( 1 - \frac { i \upsilon \psi _ { u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) } { c _ { r } } \right) d u \right) . } \end{array}
\mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } ( \eta _ { f } , \lambda ) = \frac { \sqrt { \lambda \pi } } { 1 + \exp { ( - \eta _ { f } ) } } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { \lambda - \sqrt { 1 + \sqrt { \lambda } + \eta _ { f } ^ { 2 } } } { 2 \sqrt { \lambda } } \right)
\hat { P } ( x _ { 1 } , \ x _ { 2 } \ , \vec { n } _ { 1 } \ , \vec { n } _ { 2 } ) \rightarrow ( x _ { 1 } , \- \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } \ , \ x _ { 1 } \vec { n } _ { 1 } \ , \ \ x _ { 1 } ( \vec { n } _ { 1 } - \vec { n } _ { 2 } ) ) \ .
{ \begin{array} { r l } { \int \arcsin ( z ) \, d z } & { = z \, \arcsin ( z ) + { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + C } \\ { \int \operatorname { a r c c o s } ( z ) \, d z } & { = z \, \operatorname { a r c c o s } ( z ) - { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + C } \\ { \int \arctan ( z ) \, d z } & { = z \, \arctan ( z ) - { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( 1 + z ^ { 2 } \right) + C } \\ { \int \operatorname { a r c c o t } ( z ) \, d z } & { = z \, \operatorname { a r c c o t } ( z ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( 1 + z ^ { 2 } \right) + C } \\ { \int \operatorname { a r c s e c } ( z ) \, d z } & { = z \, \operatorname { a r c s e c } ( z ) - \ln \left[ z \left( 1 + { \sqrt { \frac { z ^ { 2 } - 1 } { z ^ { 2 } } } } \right) \right] + C } \\ { \int \operatorname { a r c c s c } ( z ) \, d z } & { = z \, \operatorname { a r c c s c } ( z ) + \ln \left[ z \left( 1 + { \sqrt { \frac { z ^ { 2 } - 1 } { z ^ { 2 } } } } \right) \right] + C } \end{array} }
V \equiv \left( f ^ { \Lambda } , h _ { \Lambda } \right) = \left( f ^ { \Lambda } ( z ^ { i } , z ^ { \bar { \imath } } ) , h _ { \Lambda } ( z ^ { i } , z ^ { \bar { \imath } } ) \right) ; \, \, \nabla _ { \bar { \imath } } V = 0 \quad \Lambda = 1 , . . . , n
\begin{array} { r l } { \xi _ { 0 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \sum _ { n _ { 1 } , \ldots , n _ { k } \geq 2 } \frac { 1 } { \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } n _ { \ell } ! } \sum _ { G _ { \ell } \in \mathcal { C } _ { n _ { \ell } } } \idotsint \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } \prod _ { e \in G _ { \ell } } g _ { e } \rho _ { \mathrm { t } } ^ { ( 1 , 1 , n _ { 1 } , \ldots , n _ { k } ) } \, \textnormal { d } x _ { 3 } \ldots \, \textnormal { d } x _ { \sum n _ { \ell } + 2 } , } \\ { \xi _ { \geq 1 } } & { = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \sum _ { n _ { * } \geq 1 } \cdots \right) + \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \sum _ { n _ { * } \geq 1 \textnormal { a n d / o r } n _ { * * } \geq 1 } \cdots \right) } \end{array}
{ \cal M } ^ { o d d } = \frac 1 8 b _ { i j } \left\{ \epsilon ^ { i j } < p \cdot \psi p \cdot \bar { \psi } > ^ { o d d } + 2 i p _ { k } \epsilon ^ { k j } \left( k ^ { i } + i < \psi ^ { i } p \cdot \bar { \psi } > _ { o } ^ { o d d } - < \psi ^ { i } p \cdot \psi > _ { o } ^ { o d d } \right) \right\} \; ,
\begin{array} { r l } & { C ( 1 , i ) = S _ { 0 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \alpha ^ { \frac { 6 - \lambda } { 8 } ( f _ { M i n } d t ) ^ { \lambda / 2 } } } \\ & { \times \prod _ { j = 1 , j \ne i } ^ { m } ( \alpha - 1 ) \frac { \beta ^ { i - 1 } } { \alpha ^ { m } } \frac { \alpha \beta ^ { j - 1 } - \beta ^ { i - 1 } } { \beta ^ { j - 1 } - \beta ^ { i - 1 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } \{ \mathcal { T } \} = } & { \frac { H ^ { 4 } - z _ { 0 } ^ { 4 } } { 6 D ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 } \frac { K \left( H ^ { 3 } - z _ { 0 } ^ { 3 } \right) } { D ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { K ^ { 2 } \left( H ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } \right) } { D ^ { 2 } } + \underbrace { \frac { 2 K ( H - z _ { 0 } ) } { k _ { d } D } } _ { k _ { d } \mathrm { ~ s e n s i t i v e } } . } \end{array}
, w e g e t t h a t t h e b o u n d a r y c o n t r i b u t i o n s i n a r e a l l t h e i d e n t i t y , s o i n t h e f o l l o w i n g , w e o n l y w o r k o n t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n s t o t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n a n d t h e l e f t t o r i g h t t r a n s i t i o n . W e r e m a r k t h a t t h e c o n t r i b u t i o n f r o m t h e l a t t e r i s e s s e n t i a l f o r t h e
\begin{array} { r l r } { 0 } & { \leq } & { \mathrm { \boldmath ~ S ~ } ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s ) \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } } \\ & { = } & { ( \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } - s \mathrm { \boldmath ~ H ~ } ) \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } } \\ & { = } & { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } - s \ \leq \ \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } - s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { C } } ( 1 , \mathbf { c } ) } & { { } = \int _ { \mathbb { R } } \frac { \mathrm { d } \alpha _ { 1 } } { 2 \pi } \cdots \int _ { \mathbb { R } } \frac { \mathrm { d } \alpha _ { M } } { 2 \pi } \left\{ \exp \left( - i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } c _ { n } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathrm { R H S ~ o f ~ ( ) } ] } & { \leq \widehat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) + 4 \widetilde { \gamma } ( C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } + 1 ) L ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } \right) \left[ \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } ( 1 + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } ) ( 1 + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { k } C _ { \sigma } ) \right] \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } } \\ & { + \left( \rho \left[ \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } ( 1 + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } ) ( 1 + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } C _ { k } C _ { \sigma } ) \right] C _ { a } + R _ { u } \right) \sqrt { \frac { 2 \delta } { n } } , } \end{array}
\tilde { B } _ { y } ( \tau , \mathbf { x } ) = 2 \int \bar { G } ( \tau , \mathbf { x } ; \tau ^ { \prime } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \partial _ { x ^ { \prime } } \tilde { E } _ { \eta } ( \tau ^ { \prime } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \sqrt { g ( \tau ^ { \prime } ) } d ^ { 3 } \mathbf { x } ^ { \prime } d \tau ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \rho ( \Delta \theta | a _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } = 1 ) = \frac { p ( a _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } = 1 | \Delta \theta ) \rho ( \Delta \theta ) } { p ( a _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } = 1 ) } , } \end{array}
{ L _ { \cal B } } = \frac { 1 } { { { N _ { \cal B } } } } \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { \cal B } } } { l \left( { { \cal B } ( { { \hat { u } } _ { i } } ) - b ( { t _ { i } } , { { \bf { x } } _ { i } } ) } \right) }
\begin{array} { r } { \alpha _ { q } = d _ { q } \left[ 1 + \left( \frac { \tau } { \textsc { I S } [ P _ { q } ] + 1 0 ^ { - 9 } \Delta x } \right) ^ { 2 } \right] \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q \in [ \mathrm { 0 , L , C , R } ] , } \end{array}