harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { B _ { 4 } } & { \lesssim \sum _ { i , r } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \alpha _ { i i j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { 2 } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } \lesssim \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { r \in [ N _ { i } ] } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \big ( \frac { 1 } { M _ { k } } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } + \frac { 1 } { M } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \big ) ^ { 2 } \, \Omega _ { i j _ { 1 } } \Omega _ { i j _ { 2 } } } \\ & { \lesssim \sum _ { k } \sum _ { j _ { 1 } \neq j _ { 2 } } \big ( \frac { 1 } { M _ { k } } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } + \frac { 1 } { M } \Sigma _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \big ) ^ { 2 } \, \cdot M _ { k } \Sigma _ { k j _ { 1 } j _ { 2 } } \lesssim \sum _ { k } \frac { { \bf { 1 } } ^ { \prime } ( \Sigma _ { k } ^ { \circ 3 } ) { \bf { 1 } } } { M _ { k } } + \sum _ { k } \frac { M _ { k } } { M ^ { 2 } } { \bf { 1 } } ^ { \prime } ( \Sigma _ { k } \circ \Sigma ^ { \circ 2 } ) { \bf { 1 } } } \\ & { \lesssim \big ( \sum _ { k } \frac { { \bf { 1 } } ^ { \prime } ( \Sigma _ { k } ^ { \circ 3 } ) { \bf { 1 } } } { M _ { k } } \big ) + \frac { 1 } { M } \mathbf { 1 } ^ { \prime } ( \Sigma ^ { \circ 3 } ) \mathbf { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 4 } ^ { ( n ) } } & { \sim \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { ( k \cdot p - k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { ( k \cdot p ) ^ { 2 } - 2 ( k \cdot p ) k ^ { 2 } + k ^ { 4 } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \sim \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { k ^ { 2 } p ^ { 2 } - 2 ( k \cdot p ) k ^ { 2 } + k ^ { 4 } } { [ k ^ { 2 } ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { [ k ^ { 2 } ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n - 1 } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, . } \end{array}
S _ { 5 } [ \, G \, ] = \frac 1 { 1 6 \pi G _ { 5 } } \int _ { M ^ { 5 } } d ^ { 5 } x \, G ^ { 1 / 2 } \left( \, \vphantom { I } ^ { 5 } \! R ( G ) - 2 \Lambda _ { 5 } \right) ,
\left( \overset { \mathtt { v } } { \nabla } u , W \right) _ { L ^ { 2 } } = - \left( u , \overset { \mathtt { v } } { \operatorname { d i v } } W \right) _ { L ^ { 2 } } \, \mathrm { a n d } \, \left( \overset { \mathtt { h } } { \nabla } u , W \right) _ { L ^ { 2 } } = - \left( u , \overset { \mathtt { h } } { \operatorname { d i v } } W \right) _ { L ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { d s ^ { 2 } = - d \tau ^ { 2 } + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } d \chi ^ { 2 } + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \chi } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } d \theta ^ { 2 } } \\ { + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \chi } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } d \phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { \cosh \left( b { \Omega } \right) ^ { 4 } } d \Omega ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { p _ { j } ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } + \frac { u _ { j } ^ { 4 } } { 4 } \right) + \sum _ { j , k } \frac { ( u _ { j } - u _ { k } ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 + | j - k | ^ { \beta } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho Q _ { 1 1 } } & { = ( \lambda + 2 \mu ) - \gamma ( 2 \frac { \varepsilon _ { x x } } { \sqrt { I _ { 2 } } } + \frac { I _ { 1 } ( \varepsilon _ { y y } ^ { 2 } + 2 \varepsilon _ { x y } ^ { 2 } ) } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 1 2 } } & { = \lambda - \gamma ( \frac { I _ { 1 } } { \sqrt { I _ { 2 } } } - \frac { I _ { 1 } \varepsilon _ { x x } \varepsilon _ { y y } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 1 3 } } & { = - \gamma ( \frac { 2 \varepsilon _ { x y } } { \sqrt { I _ { 2 } } } - \frac { 2 I _ { 1 } \varepsilon _ { x x } \varepsilon _ { x y } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 2 1 } } & { = - \gamma ( \frac { \varepsilon _ { x y } } { \sqrt { I _ { 2 } } } - \frac { I _ { 1 } \varepsilon _ { x x } \varepsilon _ { x y } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 2 2 } } & { = - \gamma ( \frac { \varepsilon _ { x y } } { \sqrt { I _ { 2 } } } - \frac { I _ { 1 } \varepsilon _ { y y } \varepsilon _ { x y } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } ) , } \\ { \rho Q _ { 2 3 } } & { = 2 \mu - \gamma I _ { 1 } \frac { \varepsilon _ { x x } ^ { 2 } + \varepsilon _ { y y } ^ { 2 } } { I _ { 2 } \sqrt { I _ { 2 } } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \dot { y } } _ { 2 } = { \dot { q } } _ { N + 3 } = \alpha _ { 1 } = \frac { { \dot { q } } _ { N + 1 } } { { \dot { q } _ { 1 } } } { \dot { q } } _ { 2 } } & { { \dot { z } } _ { 2 } = { \dot { q } } _ { 2 N + 2 } = \alpha _ { N } = \frac { { \dot { q } } _ { N + 2 } } { { \dot { q } _ { 1 } } } { \dot { q } } _ { 2 } } \\ { { \dot { y } } _ { 3 } = { \dot { q } } _ { N + 4 } = \alpha _ { 2 } = \frac { { \dot { q } } _ { N + 1 } } { { \dot { q } _ { 1 } } } { \dot { q } } _ { 3 } } & { { \dot { z } } _ { 3 } = { \dot { q } } _ { 2 N + 3 } = \alpha _ { N + 1 } = \frac { { \dot { q } } _ { N + 2 } } { { \dot { q } _ { 1 } } } { \dot { q } } _ { 3 } } \\ { \quad \dots \qquad \dots } & { \quad \dots \qquad \dots } \\ { { \dot { y } } _ { N } = { \dot { q } } _ { 2 N + 1 } = \alpha _ { N - 1 } = \frac { { \dot { q } } _ { N + 1 } } { { \dot { q } _ { 1 } } } { \dot { q } } _ { N } } & { { \dot { z } } _ { N } = { \dot { q } } _ { 3 N } = \alpha _ { 2 N - 2 } = \frac { { \dot { q } } _ { N + 2 } } { { \dot { q } _ { 1 } } } { \dot { q } } _ { N } } \end{array} \right.
L = \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } \left[ \dot { q } _ { i } ^ { \alpha } + i \lambda ^ { a } \left( T ^ { a } \right) ^ { \alpha \beta } q _ { i } ^ { \beta } \right] ^ { 2 } - V ( q _ { i } ^ { \alpha } ) \ \ \ .
A ( t ) = A ( 0 ) \left\vert \sum _ { n = - 3 } ^ { 3 } \sum _ { m = - 4 } ^ { 4 } \! P _ { n , m } \mathrm { e } ^ { i \left( \omega _ { 0 } + ( n + m ) \frac { g \mu _ { B } B } { \hbar } \right) t } \right\vert ^ { 2 } \! f ( t , \tau )
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { N } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) = \frac { ( N + 1 ) \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } + \frac { N \tau _ { \mathrm { m } } } { | \alpha | ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d } } } \left( 1 - p \right) } \\ & { + \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { | \alpha | ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { f = 0 } ^ { N - 1 } \binom { N } { f + 1 } p ^ { N - f - 1 } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times \sum _ { m = 0 } ^ { f } ( f - m + 1 ) \Big \{ F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N - 1 ) \right] } \\ & { { - } 2 F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) \right] \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 1 } } & { { } = } & { - \frac { 3 } { 2 } k A \frac { \delta _ { i } ^ { 1 / 2 } } { B ^ { 5 / 2 } } , } \\ { C _ { 2 } } & { { } = } & { - 2 \delta _ { i } \frac { k ^ { 4 } } { \omega ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \omega ^ { 2 } } \left( T _ { 1 } \delta _ { i } ^ { 1 / 2 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } \right) , } \\ { C _ { 3 } } & { { } = } & { - \frac { \omega ^ { 3 } } { 2 k ^ { 2 } \delta _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x ) } & { = \int _ { \partial B _ { 1 , + } } \bigg \{ u \frac { \partial G } { \partial \nu } ( x , \cdot ) - G ( x , \cdot ) \frac { \partial u } { \partial \nu } \bigg \} d \sigma } \\ & { = \int _ { \Gamma _ { 1 } } \bigg \{ u \frac { \partial G } { \partial \nu } ( x , \cdot ) - G ( x , \cdot ) \frac { \partial u } { \partial \nu } \bigg \} d \sigma + \int _ { \Gamma _ { 2 } } \bigg \{ u \frac { \partial G } { \partial \nu } ( x , \cdot ) - G ( x , \cdot ) \frac { \partial u } { \partial \nu } \bigg \} d \sigma } \\ & { = : u _ { 1 } ( x ) + u _ { 2 } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { u _ { 1 } , u _ { 2 } , \dots , u _ { H - 1 } } } & { \sum _ { t = 1 } ^ { H - 1 } l ( \hat { \rho } _ { t } , u _ { t } ) + l _ { H } ( \hat { \rho } _ { H } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \qquad } & { \hat { \rho } _ { t + 1 } = F ( \hat { \rho } _ { t } , u _ { t } ) } \\ & { y _ { t } = C \hat { \rho } _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ r ^ { 2 } ( t ) \right] } & { = F \int ^ { t } \mathbb { E } \left[ \mathrm { S } ( s ) \right] \mathrm { d } s + r ^ { 2 } ( 0 ) \approx \frac { F e ^ { - C t } } { C } \left( \mathrm { S } _ { d } ^ { \ast } - \mathrm { S } ( 0 ) \right) + F \mathrm { S } _ { d } ^ { \ast } t + r ^ { 2 } ( 0 ) } \\ { \mathbb { E } \left[ \left( r ^ { 2 } ( t ) \right) ^ { 2 } \right] } & { = F ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { S } ( s ) \mathrm { S } ( u ) \mathrm { d } s \mathrm { d } u \right] = 2 F ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { u } \frac { A ^ { 2 } } { 2 C } \left( e ^ { - C ( u - s ) } - e ^ { - C ( u + s ) } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } u } \\ & { = \frac { F ^ { 2 } A ^ { 2 } } { C ^ { 2 } } t - \frac { F ^ { 2 } A ^ { 2 } } { 2 C ^ { 3 } } + \frac { F ^ { 2 } A ^ { 2 } } { 2 C ^ { 3 } } \left( 4 e ^ { - C t } - e ^ { - 2 C t } \right) . } \end{array}
\rho _ { m _ { 0 } \rightarrow m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { 2 \ell } \! = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d \mu \, \, \rho _ { m _ { 0 } \rightarrow m _ { 1 \mu } + m _ { 2 \mu } } ^ { 2 \ell - 1 } \theta ( m _ { 0 } - m _ { 1 \mu } - m _ { 2 \mu } ) ,
\hat { \eta } = \sqrt { { \frac { N - 1 } { N } } } \left( \begin{array} { c c c c } { { \eta } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { - { \frac { \eta } { N - 1 } } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - { \frac { \eta } { N - 1 } } } } \end{array} \right) \ .
\left\{ \mathbf { x } _ { 3 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { y } _ { 1 } \right\} = \left\{ { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { - 2 } \\ { 2 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { - 1 4 } \\ { 4 } \\ { - 3 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \right\} .
\begin{array} { r l } { { D } _ { j , n + 1 } ( t ) = } & { \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } u _ { t } ^ { n + 1 } \| _ { L _ { \rho ( \phi ^ { n } ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi _ { t } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi _ { t } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \kappa \| \partial _ { t } ^ { j } \Delta u ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \kappa \| \partial _ { t } ^ { j } \nabla \Delta \phi ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \kappa \| \partial _ { t } ^ { j } p ^ { n + 1 } \| _ { 1 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { i j } } & { = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { 0 } ^ { \Delta t } \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } f _ { i j } ( t ) { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } \mathrm { d } t } \\ & { = \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } \left[ C _ { 1 } g _ { 0 } ^ { \ast } + C _ { 2 } \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial g ^ { \ast } } { \partial \vec { r } } + C _ { 3 } \frac { \partial g ^ { \ast } } { \partial t } \right] { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } + \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } \left[ C _ { 4 } f _ { 0 } + C _ { 5 } \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial f } { \partial \vec { r } } \right] { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } } \\ & { = { \vec { F } } _ { i j } ^ { e q } + { \vec { F } } _ { i j } ^ { f r } } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \{ \theta ^ { 0 } , \theta ^ { 0 } \} = - 2 \theta ^ { 1 } \theta ^ { 2 } , } } & { { \{ \theta ^ { 0 } , \theta ^ { 1 } \} = - 2 \theta ^ { 0 } \theta ^ { 1 } , } } & { { \{ \theta ^ { 0 } , \theta ^ { 2 } \} = 2 \theta ^ { 0 } \theta ^ { 2 } , } } \\ { { \{ \theta ^ { 1 } , \theta ^ { 1 } \} = 0 , } } & { { \{ \theta ^ { 1 } , \theta ^ { 2 } \} = 0 , } } & { { \{ \theta ^ { 2 } , \theta ^ { 2 } \} = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ r ~ g ~ } } } & { { } = - \sum _ { \alpha = 1 } ^ { c } \left[ \beta _ { \alpha } ^ { \tt B } ( \lambda _ { \alpha , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } + \lambda _ { \alpha , i _ { \alpha } ^ { \tt B } } - \lambda _ { \alpha , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } - \lambda _ { \alpha , f _ { \alpha } ^ { \tt B } } ) + \Delta \beta _ { \alpha } ( \lambda _ { \alpha , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } - \lambda _ { \alpha , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \vec { \theta } } ( a ) } & { = } & { e ^ { i \theta _ { 0 } \sigma _ { z } } \prod _ { k = 1 } ^ { d } \mathcal { W } ( a ) e ^ { i \theta _ { k } \sigma _ { z } } } \\ & { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { P ( a ) } & { i Q ( a ) \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } } \\ { i Q ^ { * } ( a ) \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } } & { P ^ { * } ( a ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon \rho _ { 1 } ^ { \prime \mu } } & { = } & { \varepsilon r _ { 1 } ^ { \prime \mu } + \varepsilon ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime \mu } + . . . , } \\ { \varepsilon \nu _ { 1 } ^ { \prime \mu } } & { = } & { \varepsilon v _ { 1 } ^ { \prime \mu } + \varepsilon ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { \prime \mu } + . . . . } \end{array}
G _ { n } ( x ) = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( n \frac { Q _ { S P E } } { Q _ { S P E , 2 } } ) ^ { m } e ^ { - n \frac { Q _ { S P E } } { Q _ { S P E , 2 } } } } { m ! } \cdot \frac { 1 } { \sigma _ { S P E , 2 } \sqrt { 2 \pi n } } \exp { \left( - \frac { ( x - m Q _ { S P E , 2 } ) ^ { 2 } } { 2 m \sigma _ { S P E , 2 } ^ { 2 } } \right) } ,
\mathbf { a } _ { s t } ^ { ( l _ { o } ) } = \sum _ { l _ { i } , l _ { f } } \mathbf { x } _ { s } ^ { ( l _ { i } ) } \otimes _ { l _ { i } , l _ { f } } ^ { l _ { o } } \mathbf { h } _ { l _ { i } , l _ { f } , l _ { o } } \mathbf { Y } ^ { ( l _ { f } ) } ( \hat { \mathbf { r } } _ { s t } )
\Gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { { \gamma ^ { 0 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \gamma ^ { 0 } } } \end{array} \right) \ , \; \; \; \Gamma ^ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { { \gamma ^ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \gamma ^ { 1 } } } \end{array} \right) \ , \; \; \; \Gamma ^ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { { \gamma ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \gamma ^ { 2 } } } \end{array} \right) \ ,
{ \left\{ \begin{array} { l l } { r _ { 1 } + r _ { 2 } + \dots + r _ { n - 1 } + r _ { n } = - { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n } } } } \\ { ( r _ { 1 } r _ { 2 } + r _ { 1 } r _ { 3 } + \cdots + r _ { 1 } r _ { n } ) + ( r _ { 2 } r _ { 3 } + r _ { 2 } r _ { 4 } + \cdots + r _ { 2 } r _ { n } ) + \cdots + r _ { n - 1 } r _ { n } = { \frac { a _ { n - 2 } } { a _ { n } } } } \\ { \quad \vdots } \\ { r _ { 1 } r _ { 2 } \cdots r _ { n } = ( - 1 ) ^ { n } { \frac { a _ { 0 } } { a _ { n } } } . } \end{array} \right. }
\hat { v } ^ { x } \equiv \hat { h } ^ { x } = \left. \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \dagger } \cdot \frac { \partial \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { A } } { \partial A } \cdot \hat { \mathcal { U } } _ { k } \right\vert _ { A = 0 } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \big [ P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } H P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } - E - P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } H Q ( Q H Q - E ) ^ { - 1 } Q H P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } \big ] \psi _ { P } = 0 } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { T } d \tau \psi _ { \mu } \psi _ { \nu } \omega _ { \mu \nu } = - T \int _ { 0 } ^ { T } d \tau ( \psi \cdot \dot { x } ) ^ { \cdot } ( \psi \cdot \dot { x } ) + T \int _ { 0 } ^ { T } d \tau ( \psi \cdot \dot { x } ) ( \dot { \psi } \cdot \dot { x } ) + { \frac { T } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \dot { x } \cdot \ddot { x }
P _ { r , \varphi , \psi } ( R , V ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ \frac { ( 1 - r ^ { 2 } ) ( 1 + \pi \tau _ { m } R - i V ) e ^ { - i \varphi } + ( r - \cos \varphi ) \big [ 1 - r e ^ { - i \psi } + ( \pi \tau _ { m } R - i V ) ( 1 + r e ^ { - i \psi } ) \big ] } { r ( 1 - r \cos \varphi ) \big [ 1 - r e ^ { - i \psi } + ( \pi \tau _ { m } R - i V ) ( 1 + r e ^ { - i \psi } ) \big ] } \right\} ;
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( | { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } | \le \underline { { k } } _ { n , \varepsilon } \big ) } & { \le m _ { n } \mathbb { P } \big ( \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \star } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i n } } \leftrightarrow \Xi _ { n } \setminus \Xi _ { \tilde { n } } \} \big ) + \big ( 1 - \mathbb { P } \big ( { \mathcal A } _ { \mathrm { g o o d } } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } \big ) \big ) ^ { m _ { n } } = : T _ { 1 } + T _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \bf n } ^ { ( n ) } ( t ; \hat { f } _ { k } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ > ~ } } ) } & { { } = \rho _ { { \bf n } _ { k } ^ { + } } ^ { ( n + 1 ) } ( t ) + n _ { k } \eta _ { k } \rho _ { { \bf n } _ { k } ^ { - } } ^ { ( n - 1 ) } ( t ) , } \\ { \rho _ { \bf n } ^ { ( n ) } ( t ; \hat { f } _ { k } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ < ~ } } ) } & { { } = \rho _ { { \bf n } _ { k } ^ { + } } ^ { ( n + 1 ) } ( t ) + n _ { k } \eta _ { \bar { k } } ^ { \ast } \rho _ { { \bf n } _ { k } ^ { - } } ^ { ( n - 1 ) } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { \mathrm { X } } } & { = \sum _ { x x ^ { ' } } | x \rangle \langle x ^ { ' } | \sum _ { y } \langle x y | \hat { \rho } _ { \mathrm { X Y } } | x ^ { ' } y \rangle } \\ & { = \sum _ { y } \sum _ { x x ^ { ' } } | x \rangle \langle x y | \hat { \rho } _ { \mathrm { X Y } } | x ^ { ' } y \rangle \langle x ^ { ' } | . } \end{array}
E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) > 4 \pi - \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 3 } , h ^ { 2 } , \gamma \varepsilon ^ { 2 } h ^ { 2 } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } \right) } .
\frac { \partial ( \rho \mathbf { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf { u } \mathbf { u } ) = - \nabla p + \nabla \cdot ( 2 \mu \mathbf { S } ) + \rho \mathbf { g } + \mathbf { f } _ { s } ,
\Phi _ { \alpha _ { 0 } } ^ { * } Z _ { \; \; \alpha _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } = \delta \gamma _ { \alpha _ { 1 } } , \; \Phi _ { \beta _ { 2 k } } ^ { * } = \delta \gamma _ { \beta _ { 2 k } } , \; k = 1 , \cdots , a ,
\hat { f } _ { k , i n i t } = { \frac { \rho _ { 0 } } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } P ( \theta ) \mathrm { e } ^ { - i k \theta } \, d \theta = { \frac { \rho _ { 0 } } { 2 \pi \alpha } } \int _ { - \alpha / 2 } ^ { \alpha / 2 } \mathrm { e } ^ { - i k \theta } \, d \theta = { \frac { \rho _ { 0 } } { 2 \pi } } \, \mathrm { s i n c } \left( { \frac { \alpha k } { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { T } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } M _ { s i } \left[ \dot { \alpha } ^ { 2 } + ( x _ { i } - x _ { c } ) ^ { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } \right] } \\ { V } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( M _ { s i } - B _ { i } ) g ( x _ { i } - x _ { c } ) ( 1 - c o s \phi ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } s \left[ ( x _ { s } - x _ { c } ) \phi - \alpha \right] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( a + \lambda \overrightarrow { a b } \bigr ) \circ _ { N } c } & { = \bigl ( N ( a ) + \lambda \overrightarrow { N ( a ) N ( b ) } \bigr ) \cdot c } \\ & { \quad + \overrightarrow { N \big ( a \cdot c + \lambda \overrightarrow { ( a \cdot c ) ( b \cdot c ) } \big ) \big ( ( a + \lambda \overrightarrow { a b } ) \cdot N ( c ) \big ) } } \\ & { = N ( a ) \cdot c + \lambda \overrightarrow { ( N ( a ) \cdot c ) ( N ( b ) \cdot c ) } } \\ & { \quad + \overrightarrow { \big ( N ( a \cdot c ) + \lambda \overrightarrow { N ( a \cdot c ) N ( b \cdot c ) } \big ) \big ( a \cdot N ( c ) + \lambda \overrightarrow { ( a \cdot N ( c ) ) ( b \cdot N ( c ) } ) \big ) } } \\ & { = N ( a ) \cdot c + \lambda \overrightarrow { ( N ( a ) \cdot c ) ( N ( b ) \cdot c ) } + \overrightarrow { N ( a \cdot c ) ( a \cdot N ( c ) ) } } \\ & { \quad - \lambda \overrightarrow { N ( a \cdot c ) N ( b \cdot c ) } + \lambda \overrightarrow { ( a \cdot N ( c ) ) ( b \cdot N ( c ) ) } } \\ & { = a \circ _ { N } c + \lambda \big ( \overrightarrow { ( N ( a ) \cdot c ) ( N ( b ) \cdot c ) } - \overrightarrow { N ( a \cdot c ) ( a \cdot N ( c ) ) } + \overrightarrow { N ( b \cdot c ) ( b \cdot N ( c ) ) } \big ) } \\ & { = a \circ _ { N } c + \lambda \overrightarrow { \big ( N ( a ) \cdot c + \overrightarrow { N ( a \cdot c ) ( a \cdot N ( c ) ) } \big ) \big ( N ( b ) \cdot c + \overrightarrow { N ( b \cdot c ) ( b \cdot N ( c ) ) } \big ) } } \\ & { = a \circ _ { N } c + \lambda \overrightarrow { ( a \circ _ { N } c ) ( b \circ _ { N } c ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \int _ { 1 } ^ { r } \frac { \mathrm { ~ d ~ } r } { ( 1 - r ) ^ { n } } } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { c _ { 1 } } { \frac { 1 } { R T } - c _ { 3 } } \frac { 1 } { t } \exp \left[ - ( n - 1 ) \left( c _ { 0 } + c _ { 1 } \frac { \ln t - c _ { 2 } } { \frac { 1 } { R T } - c _ { 3 } } \right) \right] \mathrm { ~ d ~ } t } \\ { \int _ { 1 } ^ { r } \frac { \mathrm { ~ d ~ } r } { ( 1 - r ) ^ { n } } } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { c _ { 1 } } { \ln ( \frac { 1 } { R T } ) - c _ { 3 } } \frac { 1 } { t } \exp \left[ - ( n - 1 ) \left( c _ { 0 } + c _ { 1 } \frac { \ln t - c _ { 2 } } { \ln ( \frac { 1 } { R T } ) - c _ { 3 } } \right) \right] \mathrm { ~ d ~ } t } \end{array}
c _ { k } ( t ) = \bigg ( \mathcal { F } ( \boldsymbol { u } ) , \boldsymbol { \phi } _ { k } \bigg ) - \bigg ( \mathcal { F } ( \bar { \boldsymbol { u } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } \boldsymbol { \phi } _ { i } ) , \boldsymbol { \phi } _ { k } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { U ( \Theta ) = } & { { } \frac { \left\| u _ { \Theta } - u \right\| _ { \mathcal { D } ^ { u } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { u } ^ { 2 } } + \frac { \left\| \mathcal { B } ( u _ { \Theta } ) - \mathcal { B } ( u ) \right\| _ { \mathcal { D } ^ { \partial } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { b } ^ { 2 } } + \frac { \left\| \mathcal { I } ( u _ { \Theta } ) - \mathcal { I } ( u ) \right\| _ { \mathcal { D } ^ { I } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } } \end{array}