harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { L , \mathrm { s p h } } ( \omega ) } & { { } = \frac { D } { L ^ { 3 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { 2 } R _ { m } \mathrm { e } ^ { - \alpha R _ { m } } } { 3 \eta \alpha ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 3 \eta \alpha ^ { 2 } L ^ { 3 } } \, , } \end{array}
e x p \{ { i { \pi } s ( { \lambda } _ { 3 } + { \sqrt { 3 } } { \lambda } _ { 8 } ) } \} \, { \lambda } _ { a } \, e x p \{ { - i { \pi } s ( { \lambda } _ { 3 } + { \sqrt { 3 } } { \lambda } _ { 8 } ) } \} .
\begin{array} { r l } { N _ { j , m } ( f ) = } & { \phantom { \cup } \bigl ( \{ ( \partial ^ { \beta } ) ^ { E } f ( x ) \mathrm { e } ^ { j \mu ( x ) } \; | \; x \in \mathbb { R } ^ { d } , \, \beta \in M _ { m } \} } \\ & { \cup \: \{ ( \partial ^ { \beta } ) ^ { E } \mathfrak { F } ^ { E } ( f ) ( x ) \mathrm { e } ^ { j \mu ( x ) } \; | \; x \in \mathbb { R } ^ { d } , \, \beta \in M _ { m } \} \bigr ) } \\ { \subset } & { \operatorname { a c x } \bigl ( \bigcup _ { \beta \in M _ { m } } ( K _ { \beta } \cup K _ { \beta , 1 } ) \bigr ) } \end{array}
\chi = \left( \begin{array} { c } { c \left( e , \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } + \left( 2 m - 1 \right) \hbar \mathbf { k } , T _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } \\ { c \left( g , \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } , T _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { \exp \left( i \psi _ { 1 , 2 m - 2 } ^ { \left( b \right) } \right) } \\ { \exp \left( i \psi _ { 1 , 2 m - 2 } ^ { \left( r \right) } \right) } \end{array} \right) .
G _ { \hat { R } ( j ) } ^ { I _ { k } ^ { \prime } , I _ { m } ^ { \prime } } \equiv G _ { \hat { R } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } ^ { I _ { k } ^ { \prime } , I _ { m } ^ { \prime } } = \sum _ { k ^ { \prime } = a , b } ~ \sum _ { m ^ { \prime } = a , b } D _ { k ^ { \prime } , k } ^ { ( \Gamma _ { I ^ { \prime } } ) } ( \hat { R } ^ { - 1 } ) D _ { m ^ { \prime } , m } ^ { ( \Gamma _ { I } ) } ( \hat { R } ^ { - 1 } ) G _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } ^ { I _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } , I _ { m ^ { \prime } } } ; \qquad k = a , b , \quad m = a , b
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { u } } & { { } \mathrel { \mathop : } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 n } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \alpha _ { n } } , } \\ { \beta _ { S } } & { { } \mathrel { \mathop : } = \frac { \alpha _ { n } } { u \, \gamma _ { n } } , } \end{array}
T _ { \mathcal O } ^ { \bullet } \mathcal V : = \bigoplus _ { k = 1 } ^ { \infty } T _ { \mathcal O } ^ { k } \mathcal { V } = \mathcal { O } \oplus \mathcal { V } \oplus ( \mathcal { V } \otimes _ { \mathcal { O } } \mathcal { V } ) \oplus ( \mathcal { V } \otimes _ { \mathcal { O } } \mathcal { V } \otimes _ { \mathcal { O } } \mathcal { V } ) \oplus \cdots
V _ { t } = \frac { 1 } { ( \beta - a ( \beta + 1 ) ) ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { \beta ^ { 2 } t } & { \frac { a \beta } { 1 - a } t ^ { 1 + \beta - a ( \beta + 1 ) } } \\ { \frac { a \beta } { 1 - a } t ^ { 1 + \beta - a ( \beta + 1 ) } } & { \frac { a ^ { 2 } ( \beta + 1 ) ^ { 2 } } { 1 - 2 a ( \beta + 1 ) + 2 \beta } t ^ { 1 + 2 \beta - 2 a ( \beta + 1 ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \operatorname { p r o j . d i m } _ { \L } S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ i ~ = ~ - 1 ~ , ~ } } \\ { \infty } & { \mathrm { ~ i f ~ i ~ = ~ 0 ~ } } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname { p e r . d i m } _ { \L } S _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ i ~ = ~ - 1 ~ , ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ i ~ = ~ 0 ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathrm { ~ C ~ a ~ } = \frac { \mu ^ { * } D ^ { * } ( c _ { s } ^ { * } - c _ { \infty } ^ { * } ) } { \delta ^ { 4 } \rho ^ { * } R ^ { * } \sigma ^ { * } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { ~ B ~ o ~ } = \frac { \rho ^ { * } g ^ { * } R ^ { * 2 } } { \sigma ^ { * } } ,
\rho ^ { * } \left( \frac { \partial \mathbf { u } ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \mathbf { u } ^ { * } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } ^ { * } \mathbf { u } ^ { * } \right) = - \nabla _ { \mathbf { x } } ^ { * } p ^ { * } + \mu ^ { * } \nabla _ { \mathbf { x } } ^ { 2 ^ { * } } \mathbf { u } ^ { * } + \gamma ^ { * } n \mathbf { e } _ { g } ,
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } + } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { - i \int d ^ { 3 } \mathbf { r } { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) } \\ { { \cal M } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } ) } & { = } & { \frac { \left( 2 I _ { p } \right) ^ { 1 / 4 } } { 4 \pi ^ { 2 } } { \cal S } ( \eta _ { 0 } ) { \cal P } _ { + } \sqrt { \frac { - 2 i \pi \Lambda } { \left( \mathbf { p } _ { m a x } + \mathbf { A } ( \eta _ { 0 } ) \right) \cdot \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) } } \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) } { r } \exp \Big \{ - i \left[ \mathbf { p } _ { m a x } + \mathbf { A } ( \eta _ { 0 } ) + \frac { \varepsilon - c ^ { 2 } + I _ { p } } { c } \hat { \mathbf { k } } \right] \cdot \mathbf { r } } \\ & { } & { + \frac { i \left( \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } \Lambda } { 2 ( \mathbf { p } _ { m a x } + \mathbf { A } ( \eta _ { 0 } ) ) \cdot \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) } - \kappa r - i \int _ { \tilde { \eta } _ { 0 } } d s \left( \tilde { \varepsilon } + \frac { \mathbf { p } \cdot \mathbf { A } ( s ) + A ( s ) ^ { 2 } / 2 } { \tilde { \Lambda } } \right) + i ( I _ { p } - c ^ { 2 } ) \tilde { \eta } _ { 0 } \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \psi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) } & { = } & { \left( - a \left( s \right) \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) = \left( - a _ { 1 } \left( s \right) - a _ { 2 } \left( s \right) \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) } \\ { \overline { { \psi } } _ { b } \left( s \right) } & { = } & { \left( - a \left( s \right) \right) ^ { - 1 / 2 } \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) = \left( - a _ { 1 } \left( s \right) - a _ { 2 } \left( s \right) \right) ^ { - 1 / 2 } \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) } \end{array}
\langle 0 | { \bar { \psi } } ( 0 ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } { \cal Q } ^ { 2 } \psi ( 0 ) | \pi ^ { 3 } ( p ) \rangle = \frac { 1 } { 3 } \langle 0 | { \bar { \psi } } ( 0 ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \frac { \lambda ^ { 3 } } { 2 } \psi ( 0 ) | \pi ^ { 3 } ( p ) \rangle = \frac { 1 } { 3 } \, i \, f _ { \pi } \, p _ { \mu } \, ,
P _ { 0 } = 1 0 ^ { - 6 } \, \mathrm { { m ^ { 2 } \, s ^ { - 2 } } / ( 1 \, \textrm { h o u r } ) = 2 . 7 \times 1 0 ^ { - 6 } \, \mathrm { { m ^ { 2 } \, s ^ { - 3 } } } }
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { \textrm { m S F } , 0 , \vec { L } } = } & { \phantom { + } \int \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \uparrow } ^ { \textrm { m S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \rho _ { \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } \right] \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { m S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } \right] \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { m S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } \right] \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { s } } \cdot } \\ & { \left[ \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right\} \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) + \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \left\{ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right\} \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { + \int } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \uparrow } ^ { \textrm { m S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { X C } } } { \partial \tau _ { \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } \right] \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right] \cdot \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { k } } & { = C \mathbf { t } _ { k } ^ { p } \operatorname { s i n h c } _ { p } ^ { p } \left( C ^ { 1 / p } \mu ^ { 1 / p } \mathbf { t } _ { k } \right) } \\ { y _ { k } } & { = x _ { k } + \frac { A _ { k + 1 } - A _ { k } } { A _ { k + 1 } } \left( z _ { k } - x _ { k } \right) } \\ { x _ { k + 1 } } & { = G _ { p , M } \left( y _ { k } \right) } \\ { z _ { k + 1 } } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { z } \left\{ \frac { A _ { k + 1 } - A _ { k } } { 1 + \mu A _ { k } } \left( \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , z \right\rangle + \mu D _ { h } \left( z , x _ { k + 1 } \right) \right) + D _ { h } \left( z , z _ { k } \right) \right\} , } \end{array}
\{ A _ { 0 } ^ { a } ( x ) , A _ { j } ^ { b } ( y ) \} _ { D B } = \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \partial _ { j } ^ { x } \delta ^ { a b } \delta ( x - y ) - \frac { g } { m ^ { 2 } } f ^ { a b c } A _ { j } ^ { c } ( x ) \delta ( x - y ) \nonumber
\begin{array} { r } { \big \langle \, \bar { \psi } _ { i } \psi _ { j } \, \big \rangle = 2 \sum _ { n m u } \frac { ( \bar { T } _ { i m } ^ { - 1 } ) ( \bar { \nabla } _ { m n } ) T _ { j u } ^ { - 1 } \nabla _ { u n } } { \bar { \lambda } _ { i } + \lambda _ { j } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \vec { A } ^ { N } \| _ { H ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) } \leq c \| \vec { \phi } \| _ { H ( \operatorname { c u r l } ; \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } + \tilde { c } \| \vec { \psi } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } + \hat { c } \| \vec { j } _ { a } \| _ { 2 , 1 , Q } ^ { 2 } < C , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \left[ \mathrm { \bf ~ p } _ { a } - q _ { a } \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \right] \cdot \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) = - \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \left[ \mathrm { \bf ~ p } _ { a } - q _ { a } \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \right] \cdot \int d ^ { 3 } r \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } \\ & { = } & { - \int d ^ { 3 } r \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \left[ \mathrm { \bf ~ p } _ { a } - q _ { a } \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \right] \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \cdot \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) = - \int d ^ { 3 } r \; \mathrm { \bf ~ j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \delta \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \alpha } & { { } = - \mu _ { \mathrm { L } } \alpha ^ { 2 } \hat { K } + \beta ^ { i } \partial _ { i } \alpha } \\ { \partial _ { t } \beta ^ { i } } & { { } = \mu _ { \mathrm { S } } \alpha ^ { 2 } \tilde { \Gamma } ^ { i } - \eta \beta ^ { i } + \beta ^ { j } \partial _ { j } \beta ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { T 1 } ^ { E 2 } ( \omega ) } & { { } = } & { 5 \sqrt { \frac { 1 0 J _ { 0 } ( 2 J _ { 0 } - 1 ) } { 7 ( 2 J _ { 0 } + 3 ) ( J _ { 0 } + 1 ) ( 2 J _ { 0 } + 1 ) } } \sum _ { n \pm } ( - 1 ) ^ { J _ { 0 } + J _ { n } + 1 } } \end{array}
{ \cal { L } } _ { \mathrm { m a s s } } ^ { \nu } = - \frac { 1 } { 2 } \left[ ( { \overline { { { \nu _ { \mathrm { L } } ^ { c } } } } } ~ { \overline { { { \nu _ { \mathrm { R } } } } } } ) \left( \begin{array} { c c } { { m _ { T } } } & { { m _ { D } ^ { T } } } \\ { { m _ { D } } } & { { m _ { S } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \mathrm { L } } } } \\ { { \nu _ { R } ^ { c } } } \end{array} \right) \right] + \mathrm { h . c . }
\begin{array} { r } { I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] = m _ { \psi } = \mathrm { c o n s t } , \qquad \mathrm { t h e n } \quad m _ { \psi } = I _ { 3 } [ \dot { \psi } _ { 0 } + \dot { \varphi } _ { 0 } ] , } \\ { I _ { 2 } \dot { \varphi } \sin ^ { 2 } \theta + m _ { \psi } \cos \theta = m _ { \varphi } = \mathrm { c o n s t } . \qquad \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( v ( t ) = \bar { v } + i | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 , \lambda ( t - 1 ) = 0 ) } \\ & { = P ( v ( t ) = \bar { v } + i | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 , \lambda ( t - 1 ) = 0 , } \\ & { \quad \lambda ( t - 2 ) = 0 ) \cdot P ( \lambda ( t - 2 ) = 0 | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 ) } \\ & { \quad + P ( v ( t ) = \bar { v } + i | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 , \lambda ( t - 1 ) = 0 , } \\ & { \quad \lambda ( t - 2 ) = 1 ) \cdot P ( \lambda ( t - 2 ) = 1 | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 ) } \end{array}
E _ { p l } ( \mathbf { r } ) \propto \left( \frac { \sqrt { 2 } \rho } { w _ { 0 } } \right) ^ { | l | } L _ { p } ^ { | l | } \left( \frac { 2 \rho ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) e ^ { - \rho ^ { 2 } / w _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { i l \theta } ,
\begin{array} { r } { \! \! \! \Delta _ { 1 } ^ { r ( n _ { 0 } ) } \! \geq \! \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \! \prod _ { k = 1 } ^ { j } \frac { 1 } { \frac { k } { n } + 1 } \! + \! \frac { n } { n _ { 0 } } \! \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { 0 } } \frac { 1 } { \frac { k } { n } + 1 } \Bigg ] \! \geq \! \Omega ( \sqrt { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial { \mathcal { H } } ( d , P _ { s } ) } { \partial P _ { s } ( k ) } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { T r } \left[ D \, S ^ { - 1 } \, { \frac { \partial \left( S \, D ^ { - 1 } \right) } { \partial P _ { s } ( k ) } } - j \, j ^ { \dagger } { \frac { \partial D } { \partial P _ { s } ( k ) } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( x , y ) } & { \colon = } & { \frac { 1 } { q _ { 2 } } \left( r ( 1 - x / K ) - \frac { q _ { 1 } y } { 1 + a _ { 1 } x } \right) ( 1 + a _ { 2 } x ) , } \\ { g ( x ) } & { \colon = } & { \frac { 1 } { m _ { 1 } } \left( \frac { c _ { 1 } q _ { 1 } x } { 1 + a _ { 1 } x } - \mu _ { 1 } \right) , } \\ { h ( x ) } & { \colon = } & { \frac { 1 } { m _ { 2 } } \left( \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } x } { 1 + a _ { 2 } x } - \mu _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ 3 \tau _ { \pi } \left( 1 - c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) - 4 \frac { \eta } { \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } } \right] \tau _ { \Omega } } & { > } & { \frac { 2 7 } { 3 5 } \eta _ { \Omega } \, \gamma _ { - 1 } ^ { \Omega } \tau _ { \pi } \left( 1 - c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) , } \\ { 3 ( 1 - \mathrm { c } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ) \tau _ { \pi } } & { \geq } & { \frac { 4 \eta } { \varepsilon _ { 0 } + P _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \! \int _ { 0 } ^ { a } \! \! \! \! F _ { | h _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( x ) d x \! = \! \! \int _ { 0 } ^ { a } \! \! \! 1 \! - \! \exp { \left( \! - [ 2 x ( k _ { \mathbb { B } } \! + \! 1 ) ] ^ { \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \! \right) } d x } \\ & { = a - \int _ { 0 } ^ { a } \exp { \left( - [ 2 x ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) ] ^ { \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \right) } d x } \\ & { \overset { ( a ) } { = } a - \frac { \gamma \left( \frac { 2 } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } , [ 2 a ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) ] ^ { \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \right) } { ( k _ { \mathbb { B } } + 1 ) \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) e ^ { \frac { 2 \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } } } , } \end{array}
\frac { 1 } { ( q ) _ { \infty } } \sum _ { r = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { r } q ^ { r ( L r + L - 2 i ) / 2 } = \displaystyle \sum _ { n _ { 1 } \geq \cdots \geq n _ { k - 1 } \geq 0 } \frac { q ^ { n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { k - 1 } ^ { 2 } + n _ { i } + \cdots + n _ { k - 1 } } } { ( q ) _ { n _ { 1 } - n _ { 2 } } \cdots ( q ) _ { n _ { k - 2 } - n _ { k - 1 } } ( q ^ { a } ; q ^ { a } ) _ { n _ { k - 1 } } } ,
\begin{array} { r l } { ( N ( w ) + A _ { J } ^ { \prime } ) \cap \Sigma } & { = \left( ( N ( v [ a _ { 1 } , J _ { 1 } ] ) \cup v [ a _ { 1 } , J _ { 1 } ] ^ { - 1 } N ( w ^ { \prime } ) ) + A _ { J } ^ { \prime } \right) \cap \Sigma } \\ & { = \left( \left( N ( v [ a _ { 1 } , J _ { 1 } ] ) + A _ { J } ^ { \prime } \right) \cup \left( v [ a _ { 1 } , J _ { 1 } ] ^ { - 1 } N ( w ^ { \prime } ) + A _ { J } ^ { \prime } \right) \right) \cap \Sigma } \\ & { = \left( \left( N ( v [ a _ { 1 } , J _ { 1 } ] ) + A _ { J } ^ { \prime } \right) \cap \Sigma \right) \cup \left( \left( v [ a _ { 1 } , J _ { 1 } ] ^ { - 1 } N ( w ^ { \prime } ) + A _ { J } ^ { \prime } \right) \cap \Sigma \right) } \\ & { = N ( v [ a _ { 1 } , J _ { 1 } ] ) \cup v [ a _ { 1 } , J _ { 1 } ] ^ { - 1 } N ( w ^ { \prime } ) = N ( w ) . } \end{array}
w = \left( \begin{array} { l l l } { c _ { i n } } & { c _ { o u t } } & { c _ { o u t } } \\ { c _ { o u t } } & { c _ { i n } } & { c _ { o u t } } \\ { c _ { o u t } } & { c _ { o u t } } & { c _ { i n } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { 0 \le \widetilde { \Pi } _ { 1 , n } \omega _ { 2 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t ) \le } & { \omega _ { 2 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { n - \frac { 3 } { 2 } } ) - \Pi _ { 1 , n } \omega _ { 2 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - t ) = ( t - t _ { n - \frac { 3 } { 2 } } ) a _ { 0 } ^ { ( n ) } . } \end{array}
S = n R \ln \left[ \left( { \frac { V } { N } } \right) \left( { \frac { 4 \pi m } { 3 h ^ { 2 } } } { \frac { U } { N } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right] + { \frac { 5 } { 2 } } n R .
\begin{array} { r l } { \phi ( r ) } & { = \int _ { r } ^ { \infty } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r ^ { \prime } } \frac { s ^ { 2 } \rho ( s ) } { \epsilon _ { 0 } } d s \, d r ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { r } ^ { \infty } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { q ( r ^ { \prime } ) } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } d r ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial V } { \partial x ^ { j } } ( \mathbf { w } ) = \frac { \partial U } { \partial x ^ { j } } ( \mathbf { x } ) - w ^ { j } = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathrm { t h e ~ o p t i m a l ~ c h o i c e ~ } \mathbf { x } ^ { * } \mathrm { ~ s a t i s f i e s } : } \\ & { w ^ { j } = \alpha _ { j } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } = h \alpha _ { j } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } \quad \mathrm { w h e r e } \quad h = \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } , } \\ & { \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial ( x ^ { j } ) ^ { 2 } } ( \mathbf { w } ) = \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial ( x ^ { j } ) ^ { 2 } } ( x ) = - \alpha _ { j } ^ { 2 } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } - \alpha _ { j } ^ { 2 } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { h } ( x ) = } & { \frac { 1 } { | S | } \sum _ { i \in S } \widetilde { h } _ { i } ( x ) = \frac { 1 } { | S | } \sum _ { i \in S } [ \widetilde { h } _ { i } ^ { D } ( x ) - \widetilde { h } _ { i } ^ { I } ( x ) ] = \widetilde { h } ^ { D } ( x ) - \widetilde { h } ^ { I } ( x ) } \\ { = } & { \nabla _ { x } F ( x , y _ { + } ; \xi ) - \lambda ( N + 1 ) \nabla _ { x } \nabla _ { y } G ( x , y ^ { N } ; \chi ) \prod _ { t = N } ^ { Q + 1 } ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } G ( x , y ^ { t } ; u _ { t } ) ) \nabla _ { y } F ( x , y ^ { Q } ; \xi _ { Q } ) } \\ { \bar { h } ( x ) = } & { \frac { 1 } { | S | } \sum _ { i \in S } \bar { h } _ { i } ( x ) = \frac { 1 } { | S | } \sum _ { i \in S } [ \bar { h } _ { i } ^ { D } ( x ) - \bar { h } _ { i } ^ { I } ( x ) ] = \bar { h } ^ { D } ( x ) - \bar { h } ^ { I } ( x ) } \\ { = } & { \nabla _ { x } f ( x , y _ { + } ) - \lambda \nabla _ { x } \nabla _ { y } g ( x , y ^ { N } ) \sum _ { Q = 0 } ^ { N } \prod _ { t = N } ^ { Q + 1 } ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { t } ) ) \nabla _ { y } f ( x , y ^ { Q } ) } \\ { \bar { \nabla } f ( x , y ) = } & { \frac { 1 } { | S | } \sum _ { i \in S } \bar { \nabla } f _ { i } ( x , y ) = \frac { 1 } { | S | } \sum _ { i \in S } [ \bar { \nabla } f _ { i } ^ { D } ( x , y ) - \bar { \nabla } f _ { i } ^ { I } ( x , y ) ] = \bar { \nabla } f ^ { D } ( x , y ) - \bar { \nabla } f ^ { I } ( x , y ) } \\ { = } & { \nabla _ { x } f ( x , y ) - \nabla _ { x } \nabla _ { y } g ( x , y ) ( \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ) ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \rho \rangle h \ddot { u } _ { \alpha } - \rho ^ { * } h ^ { 3 } \ddot { u } _ { \beta , \beta \alpha } = n _ { \alpha \beta , \beta } , } \\ & { \langle \rho \rangle h \ddot { \bar { u } } = q _ { \alpha , \alpha } , } \\ & { \langle \rho \zeta ^ { 2 } + 2 \rho \alpha \rangle h ^ { 3 } \ddot { \psi } _ { \alpha } = - m _ { \alpha \beta , \beta } - q _ { \alpha } . } \end{array}
\frac { \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e c } { \Omega _ { e } } \int \int d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } \boldsymbol { \cdot } \left( F _ { e } ( x , v _ { g y , \parallel } ) \frac { 1 } { B ( \textbf { x } ) } \right) \nabla _ { \perp } \frac { v _ { g y , \parallel } } { c } \psi _ { 1 } ( x , v _ { g y , \parallel } ) \hat { \chi } ( \textbf { x } ) d t d \Omega _ { g y } .
( X , Y ) = \int d ^ { n } x \left( \frac { \delta ^ { R } X } { \delta \Phi ^ { A } ( x ) } \frac { \delta ^ { L } Y } { \delta \Phi _ { A } ^ { * } ( x ) } - \frac { \delta ^ { R } X } { \delta \Phi _ { A } ^ { * } ( x ) } \frac { \delta ^ { L } Y } { \delta \Phi ^ { A } ( x ) } \right) \, ,
s _ { m } \pi _ { n } ^ { a } = - \delta _ { m n } \lambda ^ { a } - \frac { 1 } { 2 } f _ { b c } ^ { a } \eta _ { m } ^ { c } \pi _ { n } ^ { b } + \frac { 1 } { 1 2 } \varepsilon _ { n p r } f _ { b c } ^ { a } f _ { d e } ^ { c } \eta _ { m } ^ { e } \eta _ { p } ^ { d } \eta _ { r } ^ { b } \, , s _ { m } p _ { n } ^ { a } = - \delta _ { m n } l ^ { a } \, ,
D _ { K L } \Big ( q _ { \theta } ( z | x ^ { \star } ) \ | | \ p ( z | x ^ { \star } ) \Big ) \approx - \mathbf { \Tilde { H } } ( q _ { \theta } ) + \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \pi _ { m } \Big [ - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log p ( x _ { i } ^ { \star } | z _ { m } ) + \frac { 1 } { 2 } | | z _ { m } | | ^ { 2 } \Big ]
\begin{array} { r l } { G ( x , s ) } & { { } = { \frac { 1 } { ( \alpha - \gamma ) ^ { 2 } } } \Theta ( x - s ) \operatorname { e } ^ { - \gamma ( x - s ) } - { \frac { 1 } { ( \alpha - \gamma ) ^ { 2 } } } \Theta ( x - s ) \operatorname { e } ^ { - \alpha ( x - s ) } + { \frac { 1 } { \gamma - \alpha } } \Theta ( x - s ) \, ( x - s ) \operatorname { e } ^ { - \alpha ( x - s ) } } \end{array}