harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c l } { { m _ { 0 } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 a ^ { 2 } } L ^ { \alpha \beta } L _ { \alpha \beta } } } \\ { { } } & { { = } } & { { E ^ { 2 } - { \bf P } ^ { 2 } - \displaystyle \frac { { \bf L } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { h } ^ { 0 } ( \mathcal { L } _ { N , k } ( V , a ) ) } & { = \operatorname { h } ^ { 0 } ( \mathcal { L } _ { N , k } ( a ) ) - \operatorname { h } ^ { 0 } ( \mathcal { L } _ { N , k } ( a ) | _ { V } ) + \operatorname { h } ^ { 1 } ( \mathcal { L } _ { N , k } ( V , a ) ) } \\ & { \ge \operatorname { h } ^ { 0 } ( \mathcal { L } _ { N , k } ( a ) ) - \operatorname { h } ^ { 0 } ( \mathcal { L } _ { N , k } ( a ) | _ { V } ) } \\ & { \ge \left( { \binom { N + k } { N } } - { \binom { N + a - 1 } { N } } \right) - \left( { \binom { n + k d } { n } } - { \binom { n + a - 1 } { n } } \right) , } \end{array}
Z _ { k } = i e ^ { i \pi \mathrm { \boldmath ~ \hat { \scriptstyle \ p s i } \scriptstyle _ { \perp } ~ } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle \ t a u ~ } / 2 } e ^ { i ( 2 k + 1 ) \pi \mathrm { \boldmath ~ \hat { \scriptstyle \ p s i } ~ } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle \ t a u ~ } x ^ { 3 } / L } \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathrm { \boldmath ~ \hat { \ p s i } ~ } \cdot \mathrm { \boldmath ~ \hat { \ p s i } _ { \perp } ~ } = 0
\hat { \mu } = \mu _ { 0 } \left[ \begin{array} { c c c } { { \mu } } & { { - i \mu _ { a } } } & { { 0 } } \\ { { i \mu _ { a } } } & { { \mu } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] ,
R ^ { 2 } = 1 - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } { { { \left( { { h _ { \mathrm { a } _ { i } } } - h _ { \mathrm { p } _ { i } } } \right) } ^ { 2 } } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } { { { \left( { { h _ { \mathrm { a } _ { i } } } - { { \bar { h } } _ { \mathrm { a } } } } \right) } ^ { 2 } } } } ,
\Big ( M ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { ( \kappa _ { i } ^ { \bot } ) ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } } { x _ { i } } } \Big ) \left[ \begin{array} { c } { { \Phi _ { q } } } \\ { { \Phi _ { q g } } } \\ { { \vdots } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { { \langle q | H _ { i n t } ^ { H } | q \rangle } } & { { \langle q | H _ { i n t } ^ { H } | q g \rangle } } & { { \cdots } } \\ { { \langle q g | H _ { i n t } ^ { H } | q \rangle } } & { { \cdots } } & { { ~ ~ } } \\ { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { ~ ~ } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \Phi _ { q } } } \\ { { \Phi _ { q g } } } \\ { { \vdots } } \end{array} \right] .
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } A ( 0 , t ) = \left[ \begin{array} { c c c } { K _ { 1 } } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { K _ { p } } \end{array} \right] A \left( 0 , t ^ { \prime } \right) \, ,
\Vert T _ { n } ^ { g } \Vert _ { L ^ { \infty } } \le \prod _ { i = 1 } ^ { n } \Vert \sum _ { r ^ { i } } T _ { i } ^ { \Sigma } ( r ^ { e } , r ^ { i } , \lambda , x ) \Vert _ { L ^ { \infty } } \cdot \Vert \big [ C ^ { r ^ { e } } ( x _ { n } , x ) \big ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \Vert _ { L ^ { \infty } } \le K ^ { n } | \lambda | ^ { 2 n + 1 } | \log T | ^ { n } \gamma ^ { - r ^ { e } } .
\begin{array} { r l } { M ^ { ( 0 ) } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } , } \\ { M _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } v _ { i \alpha } ^ { \lambda } , } \\ { M _ { \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } v _ { i \alpha } ^ { \lambda } v _ { i \beta } ^ { \lambda } , } \\ { M _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } v _ { i \alpha } ^ { \lambda } v _ { i \beta } ^ { \lambda } v _ { i \gamma } ^ { \lambda } , } \\ { M _ { \alpha \beta } ^ { ( 4 ) } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ^ { \lambda } v _ { i \alpha } ^ { \lambda } v _ { i \beta } ^ { \lambda } v _ { i \gamma } ^ { \lambda } v _ { i \gamma } ^ { \lambda } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ( \| g _ { 1 } ^ { ( s - 1 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { 1 } ^ { ( s - 1 ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ) } \\ & { \quad \cdot ( \| g _ { 1 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { 1 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ) } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \| g _ { 1 } ^ { ( s - 1 ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \| g _ { 1 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } } \\ & { \lesssim ( \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } + \varepsilon \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ) ^ { \frac { 1 } { s } } ( \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } + \varepsilon \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ) ^ { \frac { 2 s - 1 } { s } } } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \| g _ { 1 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \| g _ { 1 } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ^ { 2 } : = \frac { 1 } { \rho ( \varphi ) } ( \Phi _ { 2 } ) ^ { - 1 } \circ \mathcal { L } ^ { 1 } \circ \Phi _ { 2 } = \omega \cdot \partial _ { \varphi } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } \Lambda ^ { \alpha - 1 } + d _ { 2 } ( \varphi , x ) + \Upsilon _ { d _ { 3 } ( \varphi ) } ^ { \alpha - 3 } \right) + R _ { 2 } ( \varphi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } & { \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ( z _ { 1 : i } ) ^ { 2 } - \frac 1 4 h ^ { T } \Sigma _ { n , \theta } ( z _ { 1 : n - 1 } ) h } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ( z _ { 1 : i } ) ^ { 2 } - \frac 1 4 h _ { n } ^ { T } I _ { \theta } ( Q _ { z _ { 1 : i - 1 } } { \mathcal P } ) h _ { n } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ( z _ { 1 : i } ) ^ { 2 } - \left( \frac 1 2 h _ { n } ^ { T } t _ { i , \theta } ( z _ { 1 : i } ) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \left( \frac 1 2 h _ { n } ^ { T } t _ { i , \theta } ( z _ { 1 : i } ) \right) ^ { 2 } - \frac 1 4 h _ { n } ^ { T } I _ { \theta } ( Q _ { z _ { 1 : i - 1 } } { \mathcal P } ) h _ { n } \right] . } \end{array}
\delta _ { \overline { { { u } } } } = 0 . 0 2 \pm 0 . 0 8 , \; \; \; \delta _ { \overline { { { d } } } } = 0 . 0 2 \pm 0 . 1 6 , \; \; \; \delta _ { \overline { { { s } } } } = 0 . 3 3 \pm 0 . 4 5 .
\mathbf { i } \cdot 1 = 1 \cdot \mathbf { i } = \mathbf { i } , \qquad \mathbf { j } \cdot 1 = 1 \cdot \mathbf { j } = \mathbf { j } , \qquad \mathbf { k } \cdot 1 = 1 \cdot \mathbf { k } = \mathbf { k } \, .
\begin{array} { r } { R _ { n + 1 } ^ { I \alpha } = R _ { n } ^ { I \alpha } + v _ { n } ^ { I \alpha } d t + \frac { d t ^ { 2 } } { 2 M ^ { I } } ( F _ { n } ^ { \mathrm { B O , I \ a l p h a } } + \sum _ { J \beta } \Omega _ { n } ^ { I \alpha , J \beta } v _ { n } ^ { J \beta } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { n , p } = ( 1 - \alpha ) \cdot D _ { n , p } + } \\ { + \alpha \cdot \mathrm { P r o j } [ \mathrm { E ^ { \prime } } _ { G S A , z _ { k } } , \mathrm { H G _ { n , p } } ( x , y , z _ { k } ) ] ; } \end{array}
\boldsymbol { \mathcal { V } } _ { h } ^ { E } : = \left\lbrace \textbf { v } _ { h } \in \boldsymbol { \mathcal { W } } _ { h } ^ { E } \; : \; \displaystyle { \int _ { E } \boldsymbol { p } \cdot ( \textbf { v } _ { h } - \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { v } _ { h } ) = 0 , \forall \; \boldsymbol { p } \in [ \mathbb { P } _ { k } ( E ) ] ^ { 2 } / [ \mathbb { P } _ { k - 2 } ( E ) ] ^ { 2 } } \right\rbrace
\begin{array} { r l } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { W B R M } } ( \omega ) } & { { } = \omega \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t e ^ { i \omega t } \sum _ { \textbf { k } } \sum _ { j } a _ { j } ^ { * } ( t ) \textbf { d } _ { j c } ( \textbf { k } ) a _ { c } ( \textbf { k } , t ) + c . c . , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \hat { P } _ { j } ^ { 2 } } { 2 M } + V ( \hat { R } _ { j } ) + \hat { H } _ { \nu } + \hat { H } _ { \mathrm { l o s s } } ( \hat { q } _ { \bf k } , \hat { x } _ { { \bf k } , \zeta } ) } \\ & { + \sum _ { \bf k } \frac { \hat { p } _ { \bf k } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \omega _ { \bf k } ^ { 2 } } { 2 } \Big ( \hat { q } _ { \bf k } + { \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } } { \omega _ { \bf k } } } \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \mu } ( \hat { R } _ { j } ) \cdot \cos \varphi _ { j } \Big ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \mathcal { L } _ { N , 3 } ( \Lambda , 2 ^ { h } ) } & { = \dim \mathcal { L } _ { N , 2 } ( 2 ^ { h } ) + \dim \mathcal { L } _ { N - 1 , 3 } ( \Lambda , 1 ^ { { \binom { h } { 2 } } } ) + 1 } \\ & { = \left( { \binom { N + 2 } { 2 } } - h ( N + 1 ) + { \binom { h } { 2 } } - 1 \right) } \\ & { \quad + \left( { \binom { N + 2 } { 3 } } - { \binom { n + 3 } { 3 } } - { \binom { h } { 2 } } - 1 \right) + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { I } _ { \alpha } ^ { \uparrow } ( A { \, : \, } B X ) _ { \rho } } \\ { = } & { \frac { 1 } { \alpha - 1 } \operatorname* { m i n } _ { q \in \mathcal { P } ( X ) } \log ( \sum _ { x } p _ { x } ^ { \alpha } q _ { x } ^ { 1 - \alpha } r _ { x } ^ { \alpha } p _ { x } ^ { - \alpha } ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { \alpha - 1 } \operatorname* { m i n } _ { q \in \mathcal { P } ( X ) } \log ( \sum _ { x } q _ { x } ^ { 1 - \alpha } r _ { x } ^ { \alpha } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { H } } & { = \frac { \tilde { b } _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { \tau } - \log \tilde { a } _ { 1 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } \\ { \tilde { g } } & { = 2 \pi ^ { 2 } \frac { \tilde { H } } { \tilde { b } _ { 1 } \tilde { \tau } } } \\ { \tilde { \sigma } ^ { 2 } } & { = \frac { \tilde { \tau } } { 2 \pi ^ { 2 } } - \frac { \tilde { H } } { \tilde { g } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { k } = \sigma \big ( \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } ^ { - 1 } ( \mathbf { R } _ { k } \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } ( h _ { k - 1 } ) ) + \mathbf { W } _ { k } h _ { k - 1 } \big ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F ( { \boldsymbol { x } } + t { \boldsymbol { \delta _ { s d } } } ) } & { \approx { \frac { 1 } { 2 } } \left\| { \boldsymbol { f } } ( { \boldsymbol { x } } ) + t { \boldsymbol { J } } ( { \boldsymbol { x } } ) { \boldsymbol { \delta _ { s d } } } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = F ( { \boldsymbol { x } } ) + t { \boldsymbol { \delta _ { s d } } } ^ { \top } { \boldsymbol { J } } ^ { \top } { \boldsymbol { f } } ( { \boldsymbol { x } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } \left\| { \boldsymbol { J } } { \boldsymbol { \delta _ { s d } } } \right\| ^ { 2 } . } \end{array} }
\frac { \partial H _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } K _ { \theta , \phi } } { 1 2 8 b _ { 0 } } \int _ { \Delta _ { \perp } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \delta ( s k + s _ { p } p + s _ { q } q ) \frac { 1 } { p q } \left[ k ^ { 3 } \left( E _ { p } H _ { q } + E _ { q } H _ { p } \right) \right.
\begin{array} { r l } { | + \rangle } & { = \sqrt { \frac { 1 - \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { 2 ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } } | \sqrt { \tau _ { 1 } } \alpha \rangle - \sqrt { \frac { 1 + \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { 2 ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } } | \sqrt { \tau _ { 0 } } \alpha \rangle } \\ { | - \rangle } & { = \sqrt { \frac { 1 + \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { 2 ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } } | \sqrt { \tau _ { 1 } } \alpha \rangle - \sqrt { \frac { 1 - \sqrt { 1 - \zeta ^ { 2 } } } { 2 ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) } } | \sqrt { \tau _ { 0 } } \alpha \rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \kappa _ { 1 } = } & { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { \kappa _ { 2 } = } & { \mu _ { 2 } ^ { \prime } - { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 2 } } \\ { \kappa _ { 3 } = } & { \mu _ { 3 } ^ { \prime } - 3 \mu _ { 2 } ^ { \prime } \mu _ { 1 } ^ { \prime } + 2 { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 3 } } \\ { \kappa _ { 4 } = } & { \mu _ { 4 } ^ { \prime } - 4 \mu _ { 3 } ^ { \prime } \mu _ { 1 } ^ { \prime } - 3 { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { 2 } + 1 2 \mu _ { 2 } ^ { \prime } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 2 } - 6 { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 4 } } \\ { \kappa _ { 5 } = } & { \mu _ { 5 } ^ { \prime } - 5 \mu _ { 4 } ^ { \prime } \mu _ { 1 } ^ { \prime } - 1 0 \mu _ { 3 } ^ { \prime } \mu _ { 2 } ^ { \prime } + 2 0 \mu _ { 3 } ^ { \prime } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 2 } + 3 0 { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { 2 } \mu _ { 1 } ^ { \prime } - 6 0 \mu _ { 2 } ^ { \prime } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 3 } + 2 4 { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 5 } } \\ { \kappa _ { 6 } = } & { \mu _ { 6 } ^ { \prime } - 6 \mu _ { 5 } ^ { \prime } \mu _ { 1 } ^ { \prime } - 1 5 \mu _ { 4 } ^ { \prime } \mu _ { 2 } ^ { \prime } + 3 0 \mu _ { 4 } ^ { \prime } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 2 } - 1 0 { \mu _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { 2 } + 1 2 0 \mu _ { 3 } ^ { \prime } \mu _ { 2 } ^ { \prime } \mu _ { 1 } ^ { \prime } } \\ & { - 1 2 0 \mu _ { 3 } ^ { \prime } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 3 } + 3 0 { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { 3 } - 2 7 0 { \mu _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { 2 } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 2 } + 3 6 0 \mu _ { 2 } ^ { \prime } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 4 } - 1 2 0 { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { 6 } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mu _ { i 1 } ^ { 2 } = ( \mathrm { t } _ { 1 } - \mathrm { t } _ { 2 } ) ^ { 2 } \mu _ { i 1 } ^ { 2 } \quad \rightarrow \quad 1 = ( \mathrm { t } _ { 1 } - \mathrm { t } _ { 2 } ) ^ { 2 } \quad \rightarrow \quad \mathrm { t } _ { 1 } = \pm \frac { 1 } { 2 } + \tau _ { 0 } , \quad \mathrm { t } _ { 2 } = \mp \frac { 1 } { 2 } + \tau _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla g _ { j } ^ { G G } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { g _ { 2 } + g _ { 3 } + g _ { 4 } } { 3 } - g _ { 1 } \right) , } \end{array}
S _ { \mathrm { Q I s } } ^ { \prime } = \{ \mathrm { p r o j } _ { S _ { \mathrm { Q I s } } } ( \vec { a } _ { 8 } ) , \mathrm { p r o j } _ { S _ { \mathrm { Q I s } } } ( \vec { a } _ { 7 } ) , \mathrm { p r o j } _ { S _ { \mathrm { Q I s } } } ( \vec { a } _ { 6 } ) \}
\begin{array} { r l } { V _ { 2 \nu } } & { { } = \frac { 4 \pi \rho _ { S } V _ { S P } ^ { 0 } } { 3 } \left( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + T ) ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { - 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \frac { d } { d t } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x = \frac { 1 6 \beta t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x - \frac { d } { d t } \left[ \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle T ^ { M E R W } \rangle } & { = \frac { 1 } { N ( N - 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \psi _ { 1 j } ^ { 2 } } \times } \\ & { \quad \sum _ { k = 2 } ^ { N } \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { k } } \left( N \psi _ { k j } ^ { 2 } - \psi _ { k j } \psi _ { 1 j } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \psi _ { k i } } { \psi _ { 1 i } } \right) . } \end{array}
I _ { 1 } = I _ { 2 } = I _ { 3 } = I ^ { ( 1 a ) } ( M _ { \pi } ^ { 2 } ) , \ \ I _ { 4 } = I _ { 5 } = I _ { 6 } = I _ { 7 } = I ^ { ( 1 a ) } ( M _ { K } ^ { 2 } ) , \ \ I _ { 8 } = I ^ { ( 1 a ) } ( M _ { \eta } ^ { 2 } ) ,
\Delta Q _ { x } ^ { N _ { 6 } } = \frac { 1 } { 1 9 2 \pi } \; K _ { 6 } L \left( J _ { x } ^ { 2 } \beta _ { x } ^ { 3 } - 6 J _ { x } J _ { y } \beta _ { x } ^ { 2 } \beta _ { y } + 3 J _ { y } ^ { 2 } \beta _ { x } \beta _ { y } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { A = } & { { } \frac { M } { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { M \bar { c } } \left[ \frac { d \bar { c } } { d r } \left( \operatorname { R e a l } \left( \frac { d \hat { v } _ { r } } { d r } \hat { v } _ { r } ^ { * } + \frac { \mathrm { d } \hat { v } _ { \theta } } { \mathrm { d } r } \hat { v } _ { \theta } ^ { * } + \frac { d \hat { v } _ { z } } { d r } \hat { v } _ { z } ^ { * } \right) + \frac { 1 } { r } \left( \frac { d ( r | \hat { u } _ { r } | ^ { 2 } ) } { d r } - | \hat { u } _ { \theta } | ^ { 2 } \right) \right) \right] r d r } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } } & { { } \| \omega \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \frac { d } { d t } \int _ { \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } } ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } + \| \nabla \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } - \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } \omega \partial _ { 1 } T } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { n } \frac { a _ { n } - a _ { n - 1 } } { b _ { n } - b _ { n - 1 } } \le \operatorname* { l i m i n f } _ { n } \frac { a _ { n } } { b _ { n } } \le \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \frac { a _ { n } } { b _ { n } } \le \operatorname* { l i m s u p } _ { n } \frac { a _ { n } - a _ { n - 1 } } { b _ { n } - b _ { n - 1 } } .
\left| \zeta \left( \frac { 1 } { 2 } + i \left( \rho - \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } \right) \right) \right| ^ { 2 } = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \zeta \left( \frac { 1 } { 2 } + i \lambda \right) = 0 ,
\Omega _ { j , n } ( t ) = \Omega _ { j } ( t ) \exp \left( i \mathbf { k } _ { j } \mathbf { R } _ { 0 , n } - \frac { \vert \mathbf { R } _ { n } ^ { \perp } ( t ) \vert ^ { 2 } } { w _ { 0 , j } ^ { 2 } } \right)
\vert { \bf B } _ { 1 } \quad ( { \bf B } _ { 2 } - t { \bf A } _ { 2 } ) \quad ( { \bf B } _ { 3 } - t { \bf A } _ { 3 } ) \quad ( { \bf B } _ { 4 } - t { \bf A } _ { 4 } ) \vert .
, w h i c h i s a s m o o t h f u n c t i o n w i t h c o m p a c t s u p p o r t . T h e p o s s i b i l i t y o f t h i s \textit { s e l f - a p p l i c a t i o n } , w h i c h i s a l s o a \textit { t r a c e o p e r a t o r } , w i l l b e h e n c e l i n k e d w i t h t h e p o s s i b i l i t y o f d e f i n i n g u n i q u e l y t h e s t o c h a s t i c a p p l i c a t i o n
\left[ \begin{array} { l } { v _ { e } ( x _ { s } , y _ { s } ) } \\ { v _ { n } ( x _ { s } , y _ { s } ) } \end{array} \right] = \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l } & { q ( x _ { s } - x _ { s ^ { \prime } } , y _ { s } - y _ { s ^ { \prime } } ) } & { w ( x _ { s } - x _ { s ^ { \prime } } , y _ { s } - y _ { s ^ { \prime } } ) } \\ & { w ( x _ { s } - x _ { s ^ { \prime } } , y _ { s } - y _ { s ^ { \prime } } ) } & { p ( x _ { s } - x _ { s ^ { \prime } } , y _ { s } - y _ { s ^ { \prime } } ) } \end{array} \right] } _ { G } \left[ \begin{array} { l } { f _ { e } ( x _ { s ^ { \prime } } , y _ { s ^ { \prime } } ) } \\ { f _ { n } ( x _ { s ^ { \prime } } , y _ { s ^ { \prime } } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \| I _ { n } ^ { 2 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 2 } } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \rho _ { n } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \qquad \times ( \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \| \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \! + \! \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) . } \end{array}
_ + \langle \theta | \theta \rangle _ { - } = \int _ { \mathrm { P a t h s } } \delta A _ { \mu } e ^ { i S [ A ] } = \sum _ { \nu } e ^ { i \nu \theta } \left[ \sum _ { \nu } ~ _ { + } \langle n + \nu | n \rangle _ { - } \right] ~ .
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { C _ { \star } ^ { 2 } , \Omega } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { ( x , z ) \in \Omega } \left( | u | + | \nabla _ { S } u | + | z \partial _ { z } u | + | \nabla _ { S } ^ { 2 } u | + | \sqrt { z } \partial _ { z } \nabla _ { S } u | + | z \partial _ { z } ^ { 2 } u | \right) ; } \\ { \| u \| _ { C _ { \star } ^ { 2 } , S , R } } & { : = \| u \| _ { C _ { \star } ^ { 2 } , S \times [ R , 2 R ] } ; } \\ { \| u \| _ { C _ { \sharp } ^ { 2 } , \Omega } } & { : = \sum _ { 0 \leq k + l \leq 2 } \operatorname* { s u p } _ { ( x , z ) \in \Omega } z ^ { - l / 2 } | \partial _ { z } ^ { k } \nabla _ { S } ^ { l } u | ; } \\ { \| u \| _ { C _ { \sharp } ^ { 2 } , S , R } } & { : = \| u \| _ { C _ { \sharp } ^ { 2 } , S \times [ R , R + 1 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial t } } & { = - \frac { \partial \bar { p } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( \bar { u } _ { i } \bar { u } _ { j } ) } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \overline { { u _ { i } u _ { j } } } - \bar { u } _ { i } \bar { u } _ { j } ) , } \\ { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | g _ { 3 } ( p + \Delta p , \alpha ) - g _ { 3 } ( p , \alpha ) | } \\ & { \le c \operatorname* { m a x } _ { | \tau | \le c \epsilon } \biggl | \int s ^ { - 1 } \partial _ { s } \left[ \varphi _ { 3 } ( \alpha , s + \tau + p + \Delta p ) - \varphi _ { 3 } ( \alpha , s + \tau + p ) \right] \mathrm { d } s \biggr | } \\ & { = O ( | \Delta p | ) = O ( \epsilon ) , \ \alpha \in \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N ( \omega _ { k } ) } & { = } & { \frac { \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } \big [ \frac { 1 } { ( \omega _ { k } - \omega _ { S L } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( \omega _ { k } - \omega _ { S L } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \big ] , } \\ { C ( \omega _ { k } ) } & { = } & { \frac { \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } \big [ \frac { 1 } { ( \omega _ { k } - \omega _ { S L } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( \omega _ { k } - \omega _ { S L } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \big ] , } \end{array}
\Delta t _ { n } = K m i n \left( \frac { ( \Delta x ) ^ { 2 } } { 2 P _ { i , j , k } ^ { n } } + \frac { \Delta x } { u _ { i , j , k } ^ { n } } , \frac { ( \Delta y ) ^ { 2 } } { 2 P _ { i , j , k } ^ { n } } + \frac { \Delta y } { y _ { i , j , k } ^ { n } } , \frac { ( \Delta z ) ^ { 2 } } { 2 P _ { i , j , k } ^ { n } } + \frac { \Delta z } { z _ { i , j , k } ^ { n } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \breve { \mathbb { U } } } & { = \left\{ \vec { \chi } \in [ H ^ { 1 } ( \Omega ) ] ^ { 3 } \, : \, \vec { \chi } = 0 \; \mathrm { o n } \; \partial _ { 1 } \Omega , \quad \vec { \chi } \cdot \vec { n } _ { b } = 0 \; \mathrm { o n } \; \partial _ { 2 } \Omega \right\} , } \\ { \breve { \mathbb { P } } } & { = \bigl \{ \eta \in L ^ { 2 } ( \Omega ) \, : \, ( \eta , ~ 1 ) _ { \Omega } = 0 \bigr \} , \quad \breve { \mathbb { V } } : = H ^ { 1 } ( 0 , T ; [ L ^ { 2 } ( \Omega ) ] ^ { 3 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; \breve { \mathbb { U } } ) , } \end{array}
\zeta = \frac { a \hat { \zeta } + b } { - \overline { { { b } } } \hat { \zeta } + \overline { { { a } } } } , \qquad \eta = \frac { \hat { \eta } } { ( - \overline { { { b } } } \hat { \zeta } + \overline { { { a } } } ) ^ { 2 } } , \qquad | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } = 1 ,