harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Z ( \alpha ) = \int { \cal D } A _ { \mu } ^ { \omega } { \cal D } B { \cal D } \bar { c } { \cal D } c e ^ { - S _ { 0 } ( A ^ { \omega } ) - \frac { \alpha } { 2 } \int B ^ { 2 } d x + \int [ - i B \frac { 1 } { \sqrt { - \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } } } \partial _ { \mu } A _ { \mu } ^ { \omega } + \bar { c } \sqrt { - \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } } c ] d x }
\begin{array} { r } { \frac { \overline { { P } } _ { t } V ( x , v ) } { V ( x , v ) } = \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } } e ^ { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } ( v + w ) ^ { T } \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 1 } ) ( v + w ) } \prod _ { i = 1 } ^ { d } e ^ { t ( v _ { i } + w _ { i } ) \beta \partial _ { i } \psi ( x ) + \phi ( w _ { i } \partial _ { i } \psi ( x + v t + w t ) ) - \phi ( v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) ) } } \\ { \times \left[ \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } w ) + \frac { w _ { i } } { v _ { i } } \lambda _ { i } ( x + v t , v ) e ^ { - ( \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) ) t } } { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \psi } ^ { * } P \cdot \rho _ { * } C ^ { \prime } } & { = \rho ^ { * } ( K _ { \widetilde { \mathcal { Y } } } + \rho _ { * } D ^ { \prime } ) \cdot C ^ { \prime } } \\ & { \leq ( K _ { \mathcal { Y } ^ { \prime } } + D ^ { \prime } ) \cdot C ^ { \prime } } \\ & { \leq a _ { r e l } \beta + T + \tau ( \pi , E ) + a _ { r e l } ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( g ( B ) - 1 ) + ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) + 2 g ( B ) - 2 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { \rho _ { f } J \left( \partial _ { t } \hat { \mathbf { u } } + \hat { \nabla } \hat { \mathbf { u } } \mathbf { F } ^ { - 1 } \left( \hat { \mathbf { u } } - \partial _ { t } \hat { \mathbf { d } } _ { f } \right) \right) - \operatorname { d i v } \left( J \hat { \boldsymbol { \sigma } } \left( \hat { \mathbf { u } } , \hat { p } \right) \mathbf { F } ^ { - T } \right) } & { { } = J \rho _ { f } \vec { g } \quad } \\ { \operatorname { d i v } \left( J \mathbf { F } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { u } } \right) } & { { } = 0 \quad } \end{array} } \end{array} \right. ,
i \left( \begin{array} { l l } { { \langle U _ { z } , \bar { U } _ { \bar { z } } \rangle } } & { { \langle U _ { z } , V \rangle } } \\ { { \langle \bar { V } , \bar { U } _ { \bar { z } } \rangle } } & { { \langle \bar { V } , V \rangle } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { ( z + \bar { z } ) ^ { - 2 } } } & { { \frac { a - 1 } { a + 1 } ( z + \bar { z } ) ^ { - 1 } } } \\ { { \frac { a - 1 } { a + 1 } ( z + \bar { z } ) ^ { - 1 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \| x _ { \tau } - x _ { \tau + 1 , i } ^ { * } \| } & { = \| x _ { \tau } - \tilde { x } _ { \tau + 1 , i } + \tilde { x } _ { \tau + 1 , i } - x _ { \tau + 1 , i } ^ { * } \| \leq \| x _ { \tau } - \tilde { x } _ { \tau + 1 , i } \| + \| \tilde { x } _ { \tau + 1 , i } - x _ { \tau + 1 , i } ^ { * } \| } \\ & { \leq \| \sum _ { l = 0 } ^ { i - 1 } \tilde { d } _ { \tau + 1 , i } \| + \| \tilde { x } _ { \tau + 1 , i } - x _ { \tau + 1 , i } ^ { * } \| \leq \sum _ { l = 0 } ^ { i - 1 } \bigg ( \| \tilde { d } _ { \tau + 1 , \ell } \| + \frac { \lambda \eta _ { \tau + 1 , \ell } } { \rho } \| \nabla f ( \tilde { x } _ { \tau + 1 , \ell } ) - \bar { \nu } _ { \tau + 1 , \ell } \| \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \gamma } \\ { \vdots } \\ { \gamma ^ { n } } \end{array} \right) \in D _ { s c a l e d } ^ { - 1 } \left[ D _ { s c a l e d } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \gamma } \\ { \vdots } \\ { \gamma ^ { n } } \end{array} \right) \right] \subseteq D _ { s c a l e d } ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { \sum _ { j = 0 } ^ { n } g _ { 0 j } ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { j } } \\ { \sum _ { j = 0 } ^ { n } g _ { 1 j } ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { j } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { j = 0 } ^ { n } g _ { n j } ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { j } } \end{array} \right) } \end{array}
K _ { 8 4 2 } = \frac { - 1 } { 2 \pi i \, u } \int _ { - i \infty } ^ { i \infty } \mathrm { d } \xi _ { 1 } \left( - s \right) ^ { - 2 - \xi _ { 1 } } \left( - t \right) ^ { \xi _ { 1 } } \, \frac { \Gamma ^ { 3 } ( 1 + \xi _ { 1 } ) \, \Gamma ^ { 3 } ( - \xi _ { 1 } ) } { \xi _ { 1 } ( 1 + \xi _ { 1 } ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { \omega _ { o p t } ( k ) = \omega _ { o p t } ( k ^ { \prime } ) + \omega _ { a c , s } ( k - k ^ { \prime } , \mathbf { q } _ { \perp } ) , ~ ( A ) } \\ { \omega _ { o p t } ( k ) = \omega _ { o p t } ( k ^ { \prime } ) - \omega _ { a c , s } ( k - k ^ { \prime } , \mathbf { q } _ { \perp } ) , ~ ( B ) } \end{array}
( { V ^ { \prime } } ^ { * } { V ^ { \prime } } ^ { * } S _ { \mathrm { N S } } V ^ { \prime } V ^ { \prime } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - S _ { \mathrm { N S } } \in { \cal J } _ { 2 } ( L ^ { 2 } ( S ^ { 1 } ) ) .
\begin{array} { r l } { \phi ( d _ { 1 2 } , 0 ) } & { { } = a d _ { 1 2 } + b \cdot 0 + \phi _ { 1 } = \phi _ { 2 } } \\ { a } & { { } = \frac { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 2 } } } \end{array}
D _ { x } ^ { \infty } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { L } _ { x } ( t ) ~ d t = \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle v _ { x } ( \mathbf { x } ( 0 ) , 0 ) v _ { x } ( \mathbf { x } ( t ) , t ) \rangle \approx \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle v _ { x } ( \mathbf { 0 } , 0 ) v _ { x } ( \mathbf { 0 } , t ) \rangle = V ^ { 2 } T _ { I } .
G ^ { - 1 } ( x , y ) = \left[ \begin{array} { l l } { g ^ { 1 1 } } & { g ^ { 1 2 } } \\ { g ^ { 2 1 } } & { g ^ { 2 2 } } \end{array} \right] ( x , y ) = \frac { 1 } { 1 + z _ { x } ^ { 2 } + z _ { y } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 + z _ { y } ^ { 2 } } & { - z _ { x } z _ { y } } \\ { - z _ { x } z _ { y } } & { 1 + z _ { x } ^ { 2 } } \end{array} \right) .
E _ { x _ { 1 } } \: P \: E _ { x _ { 2 } } \: P \: E _ { x _ { 3 } } \cdots E _ { x _ { n - 1 } } \: P \: E _ { x _ { n } } \; \; \; \; \; { \mathrm { w i t h ~ x _ { j } ~ \in ~ M ~ . } }
\begin{array} { r l r } { \kappa ^ { 2 } } & { : = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \frac { | 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i u _ { j } } | ^ { 2 } } { | u _ { j } | ^ { 2 H _ { j } + 1 } } \mathrm d \boldsymbol { u } \ = \ \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \frac { \pi } { H _ { j } \Gamma ( 2 H _ { j } ) \sin ( H _ { j } \pi ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { { E } _ { \mathcal { P } _ { B } } \Big [ p ^ { \prime } ( a ) ^ { n } \Big ] \equiv \sum _ { p ^ { \prime } ( a ) } p ^ { \prime } ( a ) ^ { n } \, \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) ] = \sum _ { p ^ { \prime } ( a ) } p ^ { \prime } ( a ) ^ { n } \sum _ { b \in B } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , p ( a | b ) } p ( b ) = { E } _ { B } \Big [ p ( a | b ) ^ { n } \Big ] , } \end{array}
\frac { \mathrm { S U } ( 1 , 1 ) } { \mathrm { U } ( 1 ) } \times \frac { \mathrm { S U } ( 3 , 3 + n ) } { \mathrm { S U } ( 3 ) \times \mathrm { S U } ( n ) \times \mathrm { U } ( 1 ) } ~ .
0 \to F ( U ) \to \prod _ { i } F ( U _ { i } ) \xrightarrow { \operatorname { r e s } _ { U _ { i } \cap U _ { j } , U _ { i } } - \operatorname { r e s } _ { U _ { i } \cap U _ { j } , U _ { j } } } \prod _ { i , j } F ( U _ { i } \cap U _ { j } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { X } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \boldsymbol { D } _ { \beta } ^ { 1 / 2 } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \mathbb { X } _ { n } , } \\ { \boldsymbol { Y } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \boldsymbol { D } _ { \beta } ^ { 1 / 2 } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { Y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n , m } ^ { \delta z _ { 0 } } } & { { } ( x , y , z ) \approx \mathcal { U } _ { n , m } - \mathrm { i } \frac { \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \gamma , \eta } \operatorname* { m a x } _ { \varphi } \left( \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] - d \right) \varphi + c \mathbf { P } ( U = 1 ) } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 - \varphi ) \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) > \bar { \kappa } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } } & { = 0 , } \\ { x _ { 1 } } & { = p _ { 1 , 0 } x _ { 0 } + p _ { 1 , 1 } x _ { 1 } + p _ { 1 , 2 } x _ { 2 } + p _ { 1 , 3 } x _ { 3 } , } \\ { x _ { i } } & { = p _ { i , i - 2 } x _ { i - 2 } + p _ { i , i - 1 } x _ { i - 1 } + p _ { i , i } x _ { i } + p _ { i , i + 1 } x _ { i + 1 } + p _ { i , i + 2 } x _ { i + 2 } , \quad i \in \{ 2 , \ldots , N - 2 \} , } \\ { x _ { N - 1 } } & { = p _ { N - 1 , N - 3 } x _ { N - 3 } + p _ { N - 1 , N - 2 } x _ { N - 2 } + p _ { N - 1 , N - 1 } x _ { N - 1 } + p _ { N - 1 , N } x _ { N } , } \\ { x _ { N } } & { = 1 . } \end{array}
V _ { A } = T ^ { a } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \, \bigl [ \dot { x } _ { \mu } \varepsilon _ { \mu } - 2 \mathrm { i } \psi _ { \mu } \psi _ { \nu } k _ { \mu } \varepsilon _ { \nu } \bigr ] \mathrm { e x p } [ i k x ( { \tau } ) ]
d _ { 0 } ^ { 3 } + d _ { 1 } ^ { 3 } + d _ { 2 } ^ { 3 } + d _ { 3 } ^ { 3 } = d _ { 3 } b ^ { 3 } + d _ { 2 } b ^ { 2 } + d _ { 1 } b + d _ { 0 }
\frac { d } { d t } \mathbb { E } | V _ { t } ^ { \lambda } - Z _ { t } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } \leq - \lambda \gamma \mathbb { E } | V _ { t } ^ { \lambda } - Z _ { t } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } + \lambda S _ { \lambda , \gamma } + \frac { 1 } { 4 } \lambda \gamma \mathbb { E } | \theta _ { t } ^ { \lambda } - \zeta _ { t } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 3 } ( x , t ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \; , } \\ { K _ { i } } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } x _ { i } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \; , \; i \in \{ 1 , 2 , 3 \} \; , } \\ { K _ { i j } } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } x _ { i } x _ { j } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \; , \; ( i , j ) \in \{ ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) \} \; , } \\ { K _ { 1 2 3 } } & { = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \; , } \end{array}
U _ { \mathrm { { A C } } } ( F , m _ { F } ) = \alpha | \vec { \mathcal { E } } | ^ { 2 } - i \beta \langle S _ { 1 / 2 } , F , m _ { F } | \vec { \sigma } | S _ { 1 / 2 } , F , m _ { F } \rangle \cdot ( \vec { \mathcal { E } } \times \vec { \mathcal { E } } ^ { \ast } ) ,
\displaystyle \operatorname* { m a x } _ { g \in K } \| u _ { n } ^ { * } - ( \delta \otimes \alpha ) _ { g } ^ { \omega } ( u _ { n } ^ { * } ) \| _ { ( \tau \otimes \phi ) ^ { \omega } } = \operatorname* { m a x } _ { g \in K } \| ( v _ { n } ^ { * } - ( \delta \otimes \delta ) _ { g } ( v _ { n } ^ { * } ) ) \otimes 1 _ { M } \| _ { \tau \otimes \tau \otimes \phi } \to 0
\mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } ( \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j = 1 } ^ { g } \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \prod _ { i \neq j } ( \lambda - q _ { i } ) } & { = } & { \left( [ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) ] _ { 1 , 2 } - \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \lambda - \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \right) \left( \underset { i = 1 } { \overset { g } { \prod } } ( \lambda - q _ { i } ) \right) } \\ & { = } & { \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \nu _ { \infty , k } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \lambda ^ { - k } \right) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { g } ( \lambda - q _ { i } ) \right) } \\ & { = } & { \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \nu _ { \infty , k } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \lambda ^ { - k } \right) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { g } ( - 1 ) ^ { g - i } e _ { g - i } ( \{ q _ { 1 } , \dots , q _ { g } \} ) \lambda ^ { i } \right) } \end{array}
= \int d ^ { 4 } p \, \left[ \varphi ( p ) - \varphi ( 0 ) \right] \left\{ { \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } + \kappa ^ { 2 } { \frac { 1 } { p ^ { 4 } } } \right\} .
\begin{array} { r l r } { \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { Q } } & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \left( \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } \right] \mathbb { E } _ { t } \left[ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] - \xi _ { z } \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } \right] \mathbb { E } _ { t } \left[ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] + \lambda _ { z } \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } H _ { t z } \right] \mathbb { E } _ { t } \left[ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } \right] + Q _ { z } ^ { i n i t } \mathbb { E } _ { t } \left[ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } \right] \right) , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \left( \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } \right] \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } - \xi _ { z } \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } \right] \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } + \lambda _ { z } \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } H _ { t z } \right] \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } + Q _ { z } ^ { i n i t } \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| u _ { x _ { 0 } , r } - H _ { \alpha ( x _ { 0 } ) , \textbf { e } ( x _ { 0 } ) } \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } \le \frac 1 \rho \left\| u _ { x _ { 0 } , \frac { \rho ^ { k } } 2 } - H _ { \alpha ( x _ { 0 } ) , \textbf { e } ( x _ { 0 } ) } \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } \\ & { \quad \le \frac 1 \rho \left( \left\| u _ { x _ { 0 } , \frac { \rho ^ { k } } 2 } - H _ { \alpha _ { k } , \textbf { e } _ { k } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \left\| H _ { \alpha _ { k } , \textbf { e } _ { k } } - H _ { \alpha ( x _ { 0 } ) , \textbf { e } ( x _ { 0 } ) } \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } \right) \le C \bar { \epsilon } \rho ^ { k \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { z } } & { \simeq \frac { A } { \Gamma \left( \nu + 1 \right) } \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu } } \\ { H _ { \rho } } & { \simeq \frac { A a \pi } { \Gamma \left( \nu + 1 \right) d } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { H _ { \phi } } & { \simeq - \frac { i A \pi a } { \Gamma ( \nu + 1 ) d } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \rho } } & { \simeq - \frac { A \omega \mu a } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \phi } } & { \simeq - \frac { i A \omega \mu a } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu 1 } ^ { \prime } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \end{array}
{ \frac { d v _ { \mathrm { e f f } } ( \alpha = \alpha _ { * } ) } { d \alpha } } = - { \frac { 1 } { 8 \pi N } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \ln { \frac { \alpha _ { * } - h _ { i } } { \Lambda ^ { 2 } } } = 0 .
\begin{array} { r } { \langle F _ { i } \rangle = \sum _ { k \in \mathcal K } p _ { k } \int _ { D _ { k } } f \, d x = \int _ { \Omega } \sum _ { k \in \mathcal K } p _ { k } \chi _ { D _ { k } } f \, d x = \int _ { \Omega } u f \, d x . } \end{array}
( x _ { 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { k } ) \mathbin { \ddot { \otimes } } ( y _ { 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } y _ { l } ) \mapsto x _ { 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { k } \mathbin { \ddot { \otimes } } y _ { 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } y _ { l }
\begin{array} { r } { \langle { \boldsymbol x } , { \boldsymbol y } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } x _ { i } y _ { i } , \ \ \ \ \ \| { \boldsymbol x } \| _ { p } ^ { p } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } x _ { i } ^ { p } . } \end{array}
M _ { 0 } ^ { q } : ~ ~ ~ ~ ~ J _ { 1 } ^ { \prime 2 } + J _ { 2 } ^ { \prime 2 } + \displaystyle \frac { ( \sinh \gamma J _ { 3 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \gamma \sinh \gamma } = J _ { q } ^ { 2 } ~ ,
\lambda _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \Big [ \delta _ { 0 } \log { ( n ) } + \delta _ { 1 } \Big ] } & { { } \Gamma \Big ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 0 } \Big ) \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \delta _ { 2 } } & { { } \Gamma \Big ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 1 } \Big ) \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array} \right.
\Sigma _ { \mathrm { l o o p } } ( 0 ) _ { | \ \mathrm { d i v } } = { \frac { 2 4 e _ { 1 } } { F ^ { 2 } } } \left( B \hat { m } ^ { 2 } + 2 A \hat { m } ^ { 3 } \right) \cdot \Lambda ( \mu )
\left( \begin{array} { c } { A _ { j } ^ { r } } \\ { B _ { j } ^ { r } } \end{array} \right) = { \mathcal U } _ { j } ( s ) \left( \begin{array} { c } { A _ { j } ^ { l } } \\ { B _ { j } ^ { l } } \end{array} \right) , \quad { \mathcal U } _ { j } ( s ) = \left( \begin{array} { c c } { \cosh ( \sqrt { s / D _ { j } } L _ { j } ) } & { \sinh ( \sqrt { s / D _ { j } } L _ { j } ) } \\ { \sinh ( \sqrt { s / D _ { j } } L _ { j } ) } & { \cosh ( \sqrt { s / D _ { j } } L _ { j } ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ \sqrt { 2 \Re ( \alpha ) } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( ( - A ^ { H } X - X A ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B - X B ) } \\ & { = \sqrt { 2 \Re ( \alpha ) } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( ( - A ^ { H } X - X A - X ( \alpha I _ { n } - A ) ) ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B ) } \\ & { = - ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - H } ( \overline { { \alpha } } I _ { n } + A ) ^ { H } X \mathbf { B } } \\ & { = - \mathbf { A } ^ { H } X \mathbf { B } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \rho } \left[ \exp \left( \frac { q _ { 0 } } { q _ { 0 } - n } C ( \Lambda _ { 0 } ) \rho ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } \right) \left( 1 + \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n } } \right) \right] \geq - \exp \left( \frac { q _ { 0 } } { q _ { 0 } - n } C ( \Lambda _ { 0 } ) \rho ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } \right) \frac { \xi _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { I } ^ { \mathrm { L T } } } & { \simeq 3 9 4 . 6 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \Omega } ^ { \mathrm { L T } } } & { \simeq 1 0 7 . 0 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \omega } ^ { J _ { 2 } } } & { = - 1 \, 3 8 4 . 9 ^ { \circ } \, \mathrm { y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \omega } ^ { \mathrm { G E } } } & { = 1 7 . 4 \, \mathrm { a r c s e c \, y r } ^ { - 1 } , } \end{array}
\operatorname { d } \! f \, { \overset { \underset { \mathrm { d e f } } { } } { = } } \, f _ { x } ^ { \prime } \operatorname { d } \! x + f _ { y } ^ { \prime } \operatorname { d } \! y + f _ { u } ^ { \prime } \operatorname { d } \! u + f _ { v } ^ { \prime } \operatorname { d } \! v
\frac { d ^ { 2 } \sigma _ { e ^ { - } p \to \nu X } } { d Q ^ { 2 } d x } = \frac { 1 } { \pi } \left( \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + M _ { W } ^ { 2 } } - \frac { \pi } { 2 } \frac { \epsilon } { { \Lambda _ { L L } ^ { ( 3 ) } } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left[ u _ { i } ( x , Q ^ { 2 } ) + ( 1 - y ) ^ { 2 } \bar { d } _ { i } ( x , Q ^ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r } { \Omega \nabla _ { 3 } { ^ * \nabla \omega ^ { \dagger } } = { ^ * \nabla } ( \Omega \nabla _ { 3 } \omega ^ { \dagger } ) + [ \Omega \nabla _ { 3 } , { ^ * \nabla } ] \omega ^ { \dagger } = \frac { 1 } { 2 } { ^ * \nabla ( \Omega ^ { 2 } \sigma ) } - \Omega \underline { { \chi } } \cdot { ^ * \nabla \omega ^ { \dagger } } , } \end{array}
\log L ( \{ t _ { j } , m _ { j } \} ) = \sum _ { j : m _ { j } \geq M _ { d } } \left( \log p _ { d } \cdot \lambda _ { 0 } ( t _ { j } , m _ { j } | H _ { t _ { j } } ) - \int _ { t _ { j - 1 } } ^ { t _ { j } } p _ { d } \cdot \lambda _ { 0 } ( t | H _ { t } ) d t \right) .
\begin{array} { r l } { Z ( u ) = } & { \tilde { Y } ( K ^ { u } ) = \int _ { \mathbb { S } ^ { n } } \hat { \eta } ( N ) \, d S _ { n } ( K ^ { u } , N ) = 2 \int _ { \mathbb { S } _ { - } ^ { n } } \hat { \eta } ( N ) \, d S _ { n } ( K ^ { u } , N ) } \\ { = } & { \int _ { \mathrm { d o m } ( u ) } 2 \hat { \eta } \left( \frac { ( \nabla u ( x ) , - 1 ) } { \sqrt { 1 + | \nabla u ( x ) | ^ { 2 } } } \right) \sqrt { 1 + | \nabla u ( x ) | ^ { 2 } } \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 0 } ^ { i } ( x ) } & { { } = 1 , \; \phi _ { 1 } ^ { i } ( x ) = x + \Tilde { Q } _ { i } , \; } \\ { \phi _ { j } ^ { i } ( x ) } & { { } = ( \Tilde { Q } _ { i - ( j - 1 ) } + x ) \phi _ { j - 1 } ^ { i } ( x ) - R _ { i - ( j - 1 ) } P _ { i - ( j - 2 ) } \phi _ { j - 2 } ^ { i } ( x ) , \; j \in \{ 2 , 3 , \ldots , i - 1 , i \} . } \end{array}
{ \cal { R } } _ { \theta \phi } ^ { ( H ) } = + \frac { 1 } { r } \frac { \partial H } { \partial \theta } \left( { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } r U _ { \theta } - \frac { 1 } { r } \frac { \partial U _ { r } } { \partial \theta } } \right) ,
{ \frac { B } { s } } ~ = ~ { \frac { 4 5 c _ { n } c _ { s } } { \pi g _ { * } } } { \frac { A } { 4 \lambda T _ { b } } } \epsilon ~ \simeq ~ { \frac { 0 . 0 1 \epsilon A } { \lambda T _ { b } } } .
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { l } _ { x } \right\rangle = } & { { } 0 , } \\ { \left\langle \hat { l } _ { y } \right\rangle = } & { { } 0 , } \\ { \left\langle \hat { l } _ { z } \right\rangle = } & { { } \hbar m . } \end{array}
\mathfrak A _ { 1 } \lesssim ( L ^ { d - 1 } + \delta ^ { - 1 } R ^ { - 1 } L ^ { d - 2 \gamma } ) L ^ { - ( d - \gamma ) } \lesssim L ^ { - s \cdot \eta ^ { 5 } } L ^ { - ( \gamma + 3 \eta ) / 2 } R ^ { - 1 } \cdot ( L ^ { ( \gamma - 5 \eta ) / 2 } ) ^ { s - 2 } L ^ { \gamma _ { 0 } + 2 \eta ^ { 2 } } \cdot L ^ { - ( 2 \gamma _ { 0 } + 5 \eta ^ { 2 } ) } ,
\Phi _ { A A ^ { \prime } } ^ { c _ { 1 } c _ { 1 } ^ { \prime } ( B ) } ( \vec { k } _ { 1 } , \vec { q } ) = g ^ { 2 } ( t ^ { c _ { 1 } ^ { \prime } } t ^ { c _ { 1 } } ) _ { A ^ { \prime } A } \delta _ { \lambda _ { A ^ { \prime } } , \lambda _ { A } } \; ,
0 = \left( { \frac { 1 } { 2 } } \rho _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } + \Psi _ { 1 } \rho _ { 1 } + \varepsilon _ { 1 } \rho _ { 1 } + p _ { 1 } \right) A _ { 1 } v _ { 1 } \, \Delta t - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \rho _ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + \Psi _ { 2 } \rho _ { 2 } + \varepsilon _ { 2 } \rho _ { 2 } + p _ { 2 } \right) A _ { 2 } v _ { 2 } \, \Delta t