{ \begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathbf { v } \oplus \mathbf { u } ^ { \prime } } } & { = \left[ { \frac { c ^ { 3 } ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } ( v ^ { 2 } u ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) } { ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { = \left[ { \frac { c ^ { 2 } ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { v } + \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } ( v ^ { 2 } u ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) } { c ^ { 2 } ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { = \left[ { \frac { c ^ { 2 } ( 1 + 2 { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } + { \frac { ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } ) - v ^ { 2 } - u ^ { 2 } - 2 ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } ( v ^ { 2 } u ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) } { c ^ { 2 } ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { = \left[ { \frac { 1 + 2 { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } + { \frac { ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - { \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { c ^ { 2 } } } ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) + { \frac { 1 } { c ^ { 4 } } } ( v ^ { 2 } u ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) } { ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { = \left[ { \frac { 1 + { \frac { ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - { \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { c ^ { 4 } } } ( v ^ { 2 } u ^ { 2 } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) } { ( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { = \left[ { \frac { \left( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) \left( 1 - { \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) } { \left( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } = \left[ { \frac { 1 } { \gamma _ { v } ^ { 2 } \gamma _ { u } ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } \right] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ & { = \gamma _ { v } \gamma _ { u } ^ { \prime } \left( 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) } \end{array} }