harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 2 } } & { { } = \langle \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } | \hat { H } - E _ { 0 } | \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } \rangle + \langle \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } | \hat { H } - E _ { 0 } | ( e ^ { \hat { T } _ { * } } - I ) \Delta \hat { T } \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
( t _ { 1 } \sin ( q _ { x } b ) - t _ { 3 } \sin ( q _ { y } b ) ) ( \sin ( \varphi _ { x 2 } - \varphi _ { y 1 } - \varphi _ { y 2 } ) + 3 \sin ( \varphi _ { x 2 } + \varphi _ { y 1 } - \varphi _ { y 2 } ) ) ] \}
\begin{array} { r l } { { \bf d } _ { 0 } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } } & { = a _ { m - 1 , m - 1 } d _ { 0 , m - 1 } } \\ { { \bf d } _ { 1 } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } } & { = a _ { m - 1 , m - 1 } d _ { 1 , m - 1 } } \\ { { \bf d } _ { 2 } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } } & { = a _ { m - 1 , m - 1 } d _ { 2 , m - 1 } } \\ { \vdots } \\ { { \bf d } _ { k - 1 } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } } & { = a _ { m - 1 , m - 1 } d _ { k - 1 , m - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } ( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } ) \mathbf { A } \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ I ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { E [ \Delta ( t ) + V p ( t ) ] } & { { } \leqslant B + C + V E [ P ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) ] + \sum _ { i = 1 } ^ { K } E \left[ Q _ { i } ( t ) Y _ { i } ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) \right] } \end{array}
E _ { c } ^ { \textrm { R P A } } [ \chi _ { 0 } ] = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \omega \, \mathrm { T r } \left\{ v \chi _ { 0 } ( \mathrm { i } \omega ) + \mathrm { l n } \left[ 1 - v \chi _ { 0 } ( \mathrm { i } \omega ) \right] \right\} .
\frac { d ^ { 2 } \phi ( t ) } { d t ^ { 2 } } + m ^ { 2 } ( t ) \phi ( t ) + \frac { \lambda } { 6 } \phi ^ { 3 } ( t ) + \frac { \lambda } { 2 } \phi ( t ) \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } ( - i ) G _ { k } ( t , t ) = 0
i \Pi _ { 2 } ^ { \mu \nu } = - \frac { 3 } { 2 } e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } \frac { p ^ { 2 } m ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Pi _ { 2 } ( p ^ { 2 } ) - \frac { e ^ { 2 } g _ { \mu \nu } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 2 m ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] .
E _ { n , l } = \left\{ \begin{array} { l } { { \pm \frac { j _ { n - \alpha , l } } { R } , \, n \geq 1 } } \\ { { \pm \frac { j _ { n + \alpha , l } } { R } , \, n \geq - 1 } } \end{array} \right. , \, \, \alpha \geq \frac { 1 } { 2 } \quad E _ { n , l } = \left\{ \begin{array} { l } { { \pm \frac { j _ { n - \alpha , l } } { R } , \, n \geq 0 } } \\ { { \pm \frac { j _ { n + \alpha , l } } { R } , \, n \geq 0 } } \end{array} \right. , \, \, \alpha < \frac { 1 } { 2 }
\begin{array} { r l } { \operatorname { C o v } ( \hat { q } , \hat { p } ) } & { = \langle ( \hat { q } - q _ { t } ) \otimes ( \hat { p } - p _ { t } ) ^ { T } \rangle } \\ & { = \int \psi ( x ) ^ { \ast } x \otimes ( \xi - p _ { t } ) ^ { T } \psi ( x ) d ^ { D } x } \\ & { = \langle x \otimes ( A _ { t } \cdot x ) ^ { T } \rangle = \langle x \otimes x ^ { T } \rangle \cdot A _ { t } , } \end{array}
\int { { f ^ { e q } } { \boldsymbol { \Psi } } ^ { \prime } \left( { \bf { v } } \right) } d { \bf { v } } = \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { \boldsymbol { \Psi } } ^ { \prime } \left( { { { \bf { v } } _ { i } } } \right) } ,
D = 9 f _ { 3 } ^ { 2 } - 3 2 f _ { 4 } f _ { 2 } = 4 c _ { 1 3 } ^ { 8 } ( \Delta _ { 1 3 } ) ^ { 1 2 } ( 1 - 9 \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 3 } ) .
\textstyle { \frac { 1 } { 5 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 5 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 3 } { 5 } } , { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 3 } { 4 } } , { \frac { 4 } { 5 } }
\mathcal { U } _ { x } = U ( x , y , z ) + [ U ( x + x _ { L } , y , z ) - U ( x , y , z ) ] S \left( \frac { x - x _ { \mathrm { ~ b ~ l ~ e ~ n ~ d ~ } } } { \Delta _ { \mathrm { ~ b ~ l ~ e ~ n ~ d ~ } } } \right) ,
< \eta | \bar { u } u _ { - } | 0 > < \eta | \bar { d } b _ { - } | \bar { B } ^ { 0 } > = - i ~ f _ { \eta } ^ { u } ~ ( m _ { B } ^ { 2 } - m _ { \eta } ^ { 2 } ) ~ F _ { 0 } ^ { B \rightarrow \eta } ( m _ { \eta } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { l l } { { { \displaystyle \frac { d \lambda } { d s } } = - \rho ( s ) \nu ^ { L } \mathrm { N } _ { L } ^ { \prime } , } } & { { s > s _ { t h } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { { \displaystyle \frac { d \lambda } { d s } } = 0 , } } & { { s < s _ { t h } } } \end{array}
\delta \mathcal { F } = \frac { 2 h \omega ^ { 2 } } { D } \mathrm { R e } \left[ \phi ( \boldsymbol { r } _ { i } ) G ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { \star } ) \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) \right] \Delta \rho .
E _ { \mathrm { F D } } ^ { ( 2 ) } [ \lambda \delta ( r - a ) ] = \frac { \lambda ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p J _ { 0 } ^ { 2 } ( a p ) \arctan \frac { p } { 2 m }
N _ { \mathrm { ~ C ~ s ~ } } ( T ) = \frac { A } { 2 } \left[ 1 - \cos \left( 2 \mathrm { \ p i } | \mathrm { \ d e l t a } \nu _ { 0 , \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } } | T \right) e ^ { - ( T / \tilde { \mathit { \tau } } _ { \mathrm { ~ c ~ } } ) ^ { 2 } } \right] + C ,
\begin{array} { r l r l } { \hat { J } _ { x } } & { { } = \frac { \hbar } { 2 } \left( a _ { + } ^ { \dagger } a _ { - } + a _ { - } ^ { \dagger } a _ { + } \right) , } & { \hat { J } _ { y } } & { { } = \frac { \hbar } { 2 i } \left( a _ { - } ^ { \dagger } a _ { + } - a _ { + } ^ { \dagger } a _ { - } \right) , } \\ { \hat { J } _ { z } } & { { } = \frac { \hbar } { 2 } \left( a _ { - } ^ { \dagger } a _ { - } - a _ { + } ^ { \dagger } a _ { + } \right) , } & { \hat { N } } & { { } = a _ { + } ^ { \dagger } a _ { + } + a _ { - } ^ { \dagger } a _ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { l } } & { = \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } } ( \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } } f ( \mathbf { x } ) - f ( \mathbf { x } ) ) } \\ & { \leq \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { l } } 4 \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l - 1 } } w _ { l - 1 } ( \mathbf { x } ) } \\ & { \leq 4 T _ { l } \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l - 1 } } w _ { l - 1 } ( \mathbf { x } ) } \\ & { \leq 4 T _ { l } \left( \sqrt { \frac { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l - 1 } | } } + \sqrt { \frac { 4 \sigma ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l - 1 } } \log ( 1 / \beta ) } { T _ { l - 1 } | U _ { l - 1 } | } } + \sqrt { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } B ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l - 1 } } } { T _ { l - 1 } } } \right) } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } 4 \cdot 2 ^ { l - 1 } \left( \sqrt { \frac { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } { 2 ^ { \alpha ( l - 1 ) } } } + \sqrt { \frac { 4 \sigma ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) } { 2 ^ { ( 1 + \alpha ) ( l - 1 ) - 1 } } } + \sqrt { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } B ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T } } { 2 ^ { l - 2 } } } \right) } \\ & { \leq 4 \sqrt { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } \sqrt { 2 ^ { ( 2 - \alpha ) ( l - 1 ) } } + 8 \sigma C \sqrt { 2 \gamma _ { T } \log ( 1 / \beta ) } \sqrt { 2 ^ { ( 1 - \alpha ) ( l - 1 ) } } + 8 \sigma B C \sqrt { \gamma _ { T } 2 ^ { l - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m + m _ { x } ) \dot { u } - ( m + m _ { y } ) v _ { m } r - x _ { G } m r ^ { 2 } } & { = X } \\ { ( m + m _ { y } ) \dot { v } _ { m } + ( m + m _ { x } ) u r + x _ { G } m \dot { r } } & { = Y } \\ { ( I _ { z z } + J _ { z z } + x _ { G } ^ { 2 } m ) \dot { r } + x _ { G } m ( \dot { v } _ { m } + u r ) } & { = N \enspace . } \end{array}
_ { 1 } ^ { 2 } \mathrm { D } + \, _ { 1 } ^ { 3 } \mathrm { T } \rightarrow \, _ { 2 } ^ { 4 } \mathrm { H e } \left( 3 . 5 \, \mathrm { M e V } \right) + \, _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { n } \left( 1 4 . 1 \, \mathrm { M e V } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } , \pi ) { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( 0 , \pi ) } \\ & { } & { = - \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \exp ( - i { \it \Delta \phi } ) } \\ { \exp ( + i { \it \Delta \phi } ) } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { } & { = - \left( \begin{array} { c c } { \exp ( - i { \it \Delta \phi } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp ( + i { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( 2 { \it \Delta \phi } ) = \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( 4 { \it \Delta \Psi } ) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { S _ { k + 1 } } & { = S _ { k } + ( \epsilon P _ { k } + \delta R _ { k } - \alpha S _ { k } ) \Delta } \\ { P _ { k + 1 } } & { = P _ { k } + ( \alpha S _ { k } - ( \epsilon + \gamma + \beta ) P _ { k } ) \Delta } \\ { I _ { k + 1 } } & { = I _ { k } + ( \beta P _ { k } - \phi I _ { k } ) \Delta } \\ { A _ { k + 1 } } & { = A _ { k } + ( \gamma P _ { k } + \sigma R _ { k } + \phi I _ { k } - \left( \zeta + \ell _ { k } \right) A _ { k } - \mu A _ { k } ) \Delta } \\ { R _ { k + 1 } } & { = R _ { k } + \left( \left( \zeta + \ell _ { k } \right) A _ { k } - ( \delta + \sigma ) R _ { k } \right) \Delta } \\ { D _ { k + 1 } } & { = D _ { k } + ( \mu A _ { k } ) \Delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ^ { + } \left( \mathbf { r } \right) } & { = \frac { \mu _ { 0 } } { \pi } \sum _ { { \nu } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \ \frac { f _ { 2 { \nu } + m + 1 , m } } { \rho _ { c } ^ { 2 { \nu } + m + 1 } } \mathbf { B } _ { 2 { \nu } + m + 1 , m } \left( \mathbf { r } \right) , } \\ { \mathbf { B } ^ { - } \left( \mathbf { r } \right) } & { = \frac { \mu _ { 0 } } { \pi } \sum _ { { \nu } = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \ \frac { f _ { 2 { \nu } + m , m } } { \rho _ { c } ^ { 2 { \nu } + m } } \mathbf { B } _ { 2 { \nu } + m , m } \left( \mathbf { r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { 2 } = - \frac { 3 } { 2 \sin ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } / 2 ) } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } / 2 ) } ) = - \frac { 3 r ^ { 3 } } { 2 t ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \frac { r ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } ) , } \\ & { d _ { 3 } = - \frac { 3 } { 2 \sin ^ { 3 } ( \theta _ { 3 } / 2 ) } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 3 } / 2 ) } ) = - \frac { 3 r ^ { 6 } } { 2 t ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \frac { r ^ { 4 } } { t ^ { 2 } } ) , } \\ & { a < | g _ { 2 } | < \frac { b } { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } / 2 ) } = \frac { b r ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } , \quad a < | g _ { 3 } | < \frac { b } { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 3 } / 2 ) } = \frac { b r ^ { 4 } } { t ^ { 2 } } . } \end{array}
P _ { \alpha \rightarrow \beta } \left( L _ { a t m } \right) \simeq \delta _ { \alpha \beta } - 4 ( R _ { \alpha \beta } ^ { 4 1 } + R _ { \alpha \beta } ^ { 4 2 } + R _ { \alpha \beta } ^ { 4 3 } ) \sin ^ { 2 } \Delta _ { a t m } .
\begin{array} { r } { k _ { B } { \cal T } _ { i } ( t ) \equiv \frac { 1 } { 2 } m \omega _ { i } ^ { 2 } \{ r _ { i } ^ { 2 } \} ( t ) + \frac { 1 } { 2 } m \{ v _ { i } ^ { 2 } \} ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { M } _ { n } \mathbf { W } } & { = \left[ \beta _ { j } ^ { n } \mathbf { W } _ { j } \right] _ { j } ; \quad \beta _ { j } ^ { n } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( n _ { j } ) } \alpha _ { c _ { k } } ^ { n } ; \quad \alpha _ { c _ { k } } ^ { n } : = \frac { | c _ { k } | } { 8 } ; } \\ { \mathbb { M } _ { e } ^ { ( 3 ) } \mathbf { Y } } & { = { \Big [ } \hat { \beta } _ { l } ^ { e } \mathbf { Y } _ { l } { \Big ] } _ { l } ; \quad \hat { \beta } _ { l } ^ { e } : = \sum _ { c _ { k } \in \mathcal { C } ( e _ { l } ) } \hat { \alpha } _ { c _ { k } } ^ { e } ; \quad \hat { \alpha } _ { c _ { k } } ^ { e } : = \frac { | c _ { k } | } { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \left( 3 - \frac { U } { V } \right) ^ { 2 } \left( | \gamma _ { 1 2 } | - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \left( 1 - \frac { U } { V } \right) } { \left( 3 - \frac { U } { V } \right) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { 2 \left( 1 - \frac { U } { V } \right) } + \frac { \left( 3 - \frac { U } { V } \right) \left( \gamma _ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \frac { U } { V } \right) } } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 1 6 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { D } ( \textbf { k } , t , s ) = } & { \textbf { D } _ { \mu } ^ { \textbf { k } } - \textbf { D } _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } } \\ { \textbf { D } _ { \mu } ^ { \textbf { k } } = } & { \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \textbf { k } } - \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \mu } ^ { \textbf { k } } . } \end{array}
B = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 . 2 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 . 2 5 } \\ { 0 . 2 5 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 . 5 } \\ { 0 . 2 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 . 5 } & { 1 } \end{array} \right) \, .
S _ { e e } ^ { \mathrm { t o t } } ( \vec { k } , \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi N _ { e } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } t \langle n _ { \vec { k } } ^ { e } ( \tau ) n _ { - \vec { k } } ^ { e } ( \tau + t ) \rangle _ { \tau } \, e ^ { i \omega t }
\langle { \mathcal { n } } \rangle - \langle r \rangle = k , \quad \quad \langle p \rangle = { \frac { \langle r \rangle } { \langle { \mathcal { n } } \rangle } } \quad \quad \quad \implies \quad \quad \quad \langle { \mathcal { n } } \rangle = { \frac { k } { 1 - \langle p \rangle } } , \quad \quad \langle { r } \rangle = { \frac { k \langle p \rangle } { 1 - \langle p \rangle } } ,
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( i ) } } ( \tau _ { 2 } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; n ) \right] - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; n - 1 ) \right] , } \end{array}
\mathrm { i p a r e n t } ( i ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 \quad } & { i = 1 , } \\ { \left\lfloor \frac { i } { 2 } \right\rfloor \quad } & { i \neq 1 , } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \mathrm { i c h i l d r e n } ( i ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( - 1 , - 1 ) \quad } & { \mathrm { i f ~ l e a f ~ n o d e } , } \\ { ( 2 \cdot i , 2 \cdot i + 1 ) \quad } & { \mathrm { e l s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { C ^ { m + 1 , \alpha } ( B _ { 1 / 2 } ) } } & { \le C \bigg ( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 3 / 4 } ) } + \| f \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } + } \\ & { \qquad \qquad + \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \| \partial _ { i } ( a _ { i j } ) \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } \| \partial _ { j } u \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } \bigg ) , } \end{array}
W = \int _ { C } \mathbf { F } \cdot \mathrm { d } \mathbf { x } = \int _ { \mathbf { x } ( t _ { 1 } ) } ^ { \mathbf { x } ( t _ { 2 } ) } \mathbf { F } \cdot \mathrm { d } \mathbf { x } = U ( \mathbf { x } ( t _ { 1 } ) ) - U ( \mathbf { x } ( t _ { 2 } ) ) .
\begin{array} { r l } { N u _ { 0 } } & { { } \approx ( 0 . 1 9 1 \pm 0 . 0 8 8 ) R a ^ { 0 . 2 4 8 \pm 0 . 0 2 5 } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \Gamma = 1 . 0 , } \\ { N u _ { 0 } } & { { } \approx ( 0 . 1 7 6 \pm 0 . 0 8 1 ) R a ^ { 0 . 2 4 6 \pm 0 . 0 2 8 } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \Gamma = 2 . 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ^ { - 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } } - \Delta u } & { { } = 0 } \\ { u = 0 , \quad { \frac { \partial u } { \partial t } } = \delta } & { { } \qquad { \mathrm { f o r ~ } } t = 0 . } \end{array}
P ( \Delta t _ { 1 : K } | \mathbb { K } , \mathbf { P } _ { \mathrm { i n } } ) \propto \mathbf { P } _ { \mathrm { i n } } \mathbb { Q } _ { 1 } ^ { \mathrm { n o n } } . . . \mathbb { Q } _ { k } ^ { \mathrm { r a d } } . . . { \mathbb { Q } } _ { N } ^ { \mathrm { n o n } } \, \mathbf { P } _ { \mathrm { n o r m } } ^ { T } ,
{ \begin{array} { r l } { \langle \mathbf { q } \cdot \mathbf { F } \rangle } & { = \left\langle q _ { x } { \frac { d p _ { x } } { d t } } \right\rangle + \left\langle q _ { y } { \frac { d p _ { y } } { d t } } \right\rangle + \left\langle q _ { z } { \frac { d p _ { z } } { d t } } \right\rangle } \\ & { = - \left\langle q _ { x } { \frac { \partial H } { \partial q _ { x } } } \right\rangle - \left\langle q _ { y } { \frac { \partial H } { \partial q _ { y } } } \right\rangle - \left\langle q _ { z } { \frac { \partial H } { \partial q _ { z } } } \right\rangle = - 3 k _ { \mathrm { B } } T , } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \mathbf X } _ { t } = { \boldsymbol u } _ { t } ( { \mathbf X } _ { t } ) } \\ { \dot { \mathbf X } _ { t } ^ { ( a ) } = { \boldsymbol u } _ { t } ( { \mathbf X } _ { t } ^ { ( a ) } ) + { \boldsymbol U } _ { t } } \\ { { \boldsymbol U } _ { t } = V _ { s } \hat { { \boldsymbol n } } _ { t } \, , } \end{array} \right.
S = \left\{ j _ { p } ^ { 1 } \sigma \in J ^ { 1 } \pi \ : \ \left( u _ { 1 } ^ { 1 } u _ { 2 } ^ { 1 } - 2 x ^ { 2 } u ^ { 1 } \right) \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) = 0 \right\}
M _ { m } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { f _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { f _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { f _ { 1 } ^ { ( 3 ) } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \, .
\frac { 1 } { 2 } R _ { s } ( T _ { m } , B _ { p } ) \left( \frac { B _ { p } } { \mu _ { 0 } } \right) ^ { 2 } = h _ { c a v } ( T _ { a v g } ) [ T _ { m } - T _ { a v g } ( B _ { p } ) ] ,
\begin{array} { r l r l r l } { a } & { { } = \frac { \alpha ^ { \prime } - v _ { t } \mathcal { A } } { h _ { s } } , } & { b } & { { } = \beta ^ { \prime } + \frac { \mathcal { B } ( \sigma \alpha ^ { \prime } - v _ { t } ) } { h _ { s } } , } & { c } & { { } = - \frac { 1 } { \sigma } v _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \alpha | e ^ { i ( k _ { x } \hat { x } + k _ { p } \hat { p } ) } | \alpha \rangle = \exp \big ( - \frac { \lambda } { 4 } | k _ { p } - i k _ { x } | ^ { 2 } \big ) e ^ { i ( k _ { x } x + k _ { p } p ) } = e ^ { - \frac { \lambda } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } e ^ { i ( k _ { x } x + k _ { p } p ) } . } \end{array}
P ( u _ { \mathrm { ~ S ~ } } ; H _ { \mathrm { ~ s ~ } } , T _ { p } ) = \frac { g T _ { p } ^ { 3 } } { 4 \pi ^ { 3 } } \frac { 1 } { H _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 2 } } \exp { \left[ - \frac { g T _ { p } ^ { 3 } } { 4 \pi ^ { 3 } } \frac { u _ { \mathrm { ~ S ~ } } } { H _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 2 } } \right] } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { F i t t } _ { R _ { \infty } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { \infty } ) _ { R _ { \infty } ^ { \chi } } ^ { - } ) } & { = } & { \varprojlim _ { m \geq n } \mathrm { ~ } ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { m } / F ) v _ { m } ) } \\ & { = } & { ( \varprojlim _ { m \geq n } \mathrm { ~ } \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { m } / F ) v _ { m } ) } \\ & { = } & { ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { \infty } / F ) \cdot u _ { \infty } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \nabla g _ { \delta } ( z ) , \phi ( z ) \rangle } & { = s _ { 0 } \beta b ( x ) x ^ { - 2 } ( 1 + \delta x ^ { - \delta } ) o _ { \partial { \mathcal D } } ( b ( x ) ^ { 2 } x ^ { - 2 } ) - s _ { 0 } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } c _ { 0 } ^ { - 1 } b ( x ) ^ { 3 } x ^ { - 4 } ( 1 + o _ { \partial { \mathcal D } } ( b ( x ) ^ { 2 } x ^ { - 2 } ) ) } \\ & { = - s _ { 0 } ^ { 2 } c _ { 0 } ^ { - 1 } \beta ^ { 2 } b ( x ) ^ { 3 } x ^ { - 4 } + o _ { \partial { \mathcal D } } ( b ( x ) ^ { 3 } x ^ { - 4 } ) \quad \mathrm { a s ~ x \to \infty ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 ^ { k s } | \hat { u } ( \xi ^ { k } , t ) | } & { = | 2 ^ { k s } h _ { k } ( \xi ^ { k } ) \hat { u } ( \xi ^ { k } , t ) | } \\ & { \lesssim \left\| \operatorname* { s u p } _ { k \geq - 1 } | 2 ^ { k s } \Delta _ { k } u ( \cdot , t ) | \right\| _ { L ^ { 1 } } = \| u ( t ) \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } . } \end{array}
J _ { 1 } ( \frac { m } { k } ) Y _ { 2 } ( \frac { m } { k } e ^ { k \pi r _ { c } } ) - Y _ { 1 } ( \frac { m } { k } ) J _ { 2 } ( \frac { m } { k } e ^ { k \pi r _ { c } } ) = 0 \ .
\tan ( n \theta ) = { \frac { \sum _ { k { \mathrm { ~ o d d } } } ( - 1 ) ^ { \frac { k - 1 } { 2 } } { \binom { n } { k } } \tan ^ { k } \theta } { \sum _ { k { \mathrm { ~ e v e n } } } ( - 1 ) ^ { \frac { k } { 2 } } { \binom { n } { k } } \tan ^ { k } \theta } } \, .
\begin{array} { r l } { E _ { t \mu } ^ { i } } & { = \sqrt { \frac { K + 1 } { 2 K } } F _ { t } \delta _ { \mu , 0 } } \\ { E _ { t \mu } ^ { o } } & { = E _ { t \mu } ^ { i } - \sqrt { \frac { 2 K } { K + 1 } } E _ { t \mu } = \sqrt { \frac { K + 1 } { 2 K } } ( F _ { t } \delta _ { \mu , 0 } - r _ { \textrm { E F } } E _ { t \mu } ) } \\ { r _ { \textrm { E F } } } & { = \frac { 2 K } { K + 1 } , } \end{array}
[ \widetilde { \mathbf { C } } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 2 1 } ( [ \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } ) + [ \widetilde { \mathbf { C } } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 2 2 } ( [ \mathbf { q } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } )
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \| \overline { Y } _ { t } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = 2 \nu \langle \overline { Y } _ { t } - x ^ { * } , \overline { X } _ { t } - \overline { Y } _ { t } \rangle S ^ { \beta } ( \overline { X } _ { t } , \overline { Y } _ { t } ) d t } \\ & { = 2 \nu \langle \overline { Y } _ { t } - x ^ { * } , \overline { X } _ { t } - x ^ { * } \rangle S ^ { \beta } ( \overline { X } _ { t } , \overline { Y } _ { t } ) d t - 2 \nu \| \overline { Y } _ { t } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } S ^ { \beta } ( \overline { X } _ { t } , \overline { Y } _ { t } ) d t } \\ & { \leq \nu \left( \| \overline { Y } _ { t } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \overline { X } _ { t } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) d t } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \{ x _ { n } \} _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } ) = \frac { 1 } { \left( 2 D \Delta t \right) ^ { N _ { \mathrm { s } } / 2 } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - 1 } \left( \frac { x _ { n + 1 } - \left( 1 - \frac { \Delta t } { \tau _ { \mathrm { o t } } } \right) x _ { n } } { \sqrt { 2 D \Delta t } } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\frac { d \beta } { d \gamma } = \frac { \alpha } { \alpha \beta + 1 } \sqrt { \ell ^ { 2 } + A ^ { 2 } + \left( \frac { \alpha \beta + 1 } { \alpha } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } } \ .
[ \sigma _ { \mu \nu } , \sigma _ { \lambda \rho } ] = 2 i ( \delta _ { \mu \lambda } \sigma _ { \nu \rho } - \delta _ { \mu \rho } \sigma _ { \nu \lambda } - \delta _ { \nu \lambda } \sigma _ { \mu \rho } + \delta _ { \nu \rho } \sigma _ { \mu \lambda } ) \ ,
\int _ { S } \nabla ^ { \prime } G ( x , x ^ { \prime } ) \cdot d { \widehat { \sigma } } ^ { \prime } = \int _ { V } \nabla ^ { 2 } G ( x , x ^ { \prime } ) d ^ { 3 } x ^ { \prime } = \int _ { V } \delta ( x - x ^ { \prime } ) d ^ { 3 } x ^ { \prime } = 1 ~ ,
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { 1 } = \frac { p - 2 - \sqrt { ( p + 2 ) ^ { 2 } + 8 c } } { 2 } , \qquad \lambda _ { 2 } = \frac { p + 2 - \sqrt { ( p - 2 ) ^ { 2 } + 8 c } } { 2 } , } \\ & { \lambda _ { 3 } = \frac { p - 2 + \sqrt { ( p + 2 ) ^ { 2 } + 8 c } } { 2 } , \qquad \lambda _ { 4 } = \frac { p + 2 + \sqrt { ( p - 2 ) ^ { 2 } + 8 c } } { 2 } . } \end{array}