harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { x } ^ { - } \sim N _ { 9 } ( \hat { \mathbf { x } } ^ { - } , \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { x } \mathbf { x } } ^ { - } ) \equiv \mathbf { f } ( N _ { 9 } ( \hat { \mathbf { x } } _ { 0 } , \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { x } \mathbf { x } _ { 0 } } ) )
\left( \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\hat { \omega } = \left( 1 + \frac { 3 i \beta } { 2 \alpha \sqrt { 1 + 9 \alpha ^ { - 2 } } } + \frac { 3 ( i \beta ) ^ { 2 } } { 2 \alpha ^ { 2 } ( 1 + 1 5 \alpha ^ { - 2 } ) } \right) \omega .
\begin{array} { r l r } { \rho ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { \phi _ { \rho } ( \rho ^ { \star } , \mathbf { u } ^ { \star } ) } { a _ { \rho } } } \\ { \mathbf { u } ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { \phi _ { \mathbf { u } } ( \rho ^ { n + 1 } , \mathbf { u } ^ { \star } ) } { a _ { \mathbf { u } } } - \frac { \mathbf { g r a d } p ^ { \star } } { a _ { \mathbf { u } } } + \frac { \mathbf { f } } { a _ { \mathbf { u } } } } \\ { e ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { \phi _ { e } ( \rho ^ { n + 1 } , \mathbf { u } ^ { n + 1 } , e ^ { \star } ) } { a _ { e } } - \frac { d i v ( p ^ { \star } \mathbf { u } ^ { n + 1 } ) } { a _ { e } } + \frac { q } { a _ { e } } } \\ { p ^ { n + 1 } } & { = } & { \frac { \phi _ { p } ( p ^ { \star } , \rho ^ { n + 1 } , \mathbf { u ^ { n + 1 } } ) } { a _ { p } } + \frac { \phi _ { f p } ( \mathbf { f } ) } { a _ { p } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { ( 1 ) } = \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } , } \\ & { } & { C _ { ( 2 ) } = - ( \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } ) , } \\ & { } & { C _ { ( 3 ) } = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } , } \\ & { } & { C _ { ( 4 ) } = - \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| } & { \phi ( t , x , u ) - \phi ( t , x , 0 ) \| _ { X } } \\ & { = \Big \| \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - s ) \big ( f ( \phi ( s , x , u ) , u ( s ) ) - f ( \phi ( s , x , 0 ) , 0 ) \big ) d s \Big \| _ { X } } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \big \| T ( t - s ) \big \| \big \| f \big ( \phi ( s , x , u ) , u ( s ) \big ) - f \big ( \phi ( s , x , 0 ) , 0 \big ) \big \| _ { X } d s . } \end{array}
g _ { 1 } ^ { ^ 3 \mathrm { H e } } = P _ { n } g _ { 1 } ^ { n } + 2 P _ { p } g _ { 1 } ^ { p } - 0 . 0 1 4 \Big ( g _ { 1 } ^ { p } ( x ) - 4 g _ { 1 } ^ { n } ( x ) \Big ) + a ( x ) g _ { 1 } ^ { n } ( x ) + b ( x ) g _ { 1 } ^ { p } ( x ) \ .
{ \frac { i \pi z _ { 1 } } { \sqrt { \delta } } } = - { \frac { 2 } { 3 } } \, N \delta - 2 \ln 2 + { \frac { \pi ^ { 2 } / 1 2 - ( \ln 2 ) ^ { 2 } } { N \delta } } + { \cal O } ( 1 / N ^ { 2 } ) .
K \cdot \frac { 2 } { \pi } \left( \frac { 1 } { X } \frac { 1 } { \sqrt { T ^ { 2 } - 1 } } + \frac { 2 T } { X ( T ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \right) \le \sqrt { \frac { 2 } { \pi X } } \frac { 1 } { 8 X }
\Delta B _ { l } ^ { i , j } = 1 0 ^ { - 4 } A _ { c } \Bigl [ C _ { 1 , l } ^ { i , j } \exp { - C _ { 2 , l } ^ { i , j } \mathrm { A D D } } \Bigr ] \pm R _ { l } ( \mathrm { A D D } ) ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { N } , i } ( t ) } & { = \frac { N _ { i } ( t ) } { V _ { \mathrm { u } } } \, = X _ { N _ { i } } \cdot I _ { i } ( t ) \, , \phantom { \rho _ { \mathrm { N } , i } ( t ) \cdot \rho _ { \mathrm { p a r t } , i } \cdot } \qquad i \in \{ 1 , \dots , 1 4 \} \, , } \\ { \rho _ { \mathrm { M } , i } ( t ) } & { = \frac { M _ { i } ( t ) } { V _ { \mathrm { u } } } = \rho _ { \mathrm { N } , i } ( t ) \cdot \left( \pi \frac { d _ { \mathrm { S } , i } ^ { 3 } } { 6 } \right) \cdot \rho _ { \mathrm { p a r t } , i } \, , \qquad i \in \{ 1 , \dots , 1 4 \} \, . } \end{array}
\sigma \left( \delta \right) \propto \sum _ { n _ { \mathrm { z } } = 0 } ^ { N _ { \mathrm { z } } } e ^ { - E _ { n _ { \mathrm { z } } } / k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { z } } } \sigma _ { n _ { \mathrm { z } } } \left( \delta \right)
V _ { \mathrm { t o t a l } } = \lambda \left( \sigma ^ { \dagger } \sigma - \frac { V ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } - \frac { \lambda ^ { \prime } } { M _ { \mathrm { P } } } ( \sigma ^ { \dagger } \sigma ) ^ { 2 } [ \sigma + \sigma ^ { \dagger } ] ~ .
\begin{array} { r l } { J _ { l } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { i } , \mathbf { z } _ { r } ( j ) ) = \operatorname* { m i n } _ { { \mathbf { u } } _ { r } ^ { * } ( j ) } p ( \mathbf { x } _ { r } ^ { * } ( j ) _ { 1 + N } , \mathbf { z } _ { r } ( j ) } & { ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad \mathbf { x } _ { r } ^ { * } ( j ) _ { k + 1 } = f ( \mathbf { x } _ { r } ^ { * } ( j ) _ { k } , \mathbf { u } _ { r } ^ { * } ( j ) _ { k } ) , k } & { = 1 , . . . , N } \\ { \mathbf { x } _ { r } ^ { * } ( j ) _ { k + 1 } , \mathbf { u } _ { r } ^ { * } ( j ) _ { k } \in \mathcal { C } _ { t + k | t } ^ { i } , k } & { = 1 , . . . , N } \\ { \mathbf { x } _ { r } ^ { * } ( j ) _ { 1 } = \mathbf { x } _ { t } ^ { i } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { J \circ \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } } : \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \mapsto \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) } & { { } = \tilde { \varphi } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( \tau , q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \in \frac { 1 } { m + 1 } \mathbb { Z } ^ { n - 1 } } f ( k ) } & { = ( m + 1 ) ^ { n - 1 } \widehat f ( 0 ) } \\ & { = ( m + 1 ) ^ { n - 1 } \sum _ { k \in ( m + 1 ) \mathbb { Z } ^ { n - 1 } } \widehat f ( k ) e ^ { 2 \pi i \langle k , s \rangle } = \sum _ { k \in \frac { 1 } { ( m + 1 ) } \mathbb { Z } ^ { n - 1 } } f ( k + s ) } \end{array}
\mathscr D _ { i } ( \mathscr D _ { 1 } \mathscr D _ { 0 } \mathscr D _ { 5 } \mathscr D _ { 4 } \mathscr D _ { 3 } ) ( \mathscr D _ { 1 } \mathscr D _ { 0 } \mathscr D _ { 5 } \mathscr D _ { 4 } ) = ( \mathscr D _ { 1 } \mathscr D _ { 0 } \mathscr D _ { 5 } \mathscr D _ { 4 } \mathscr D _ { 3 } ) ( \mathscr D _ { 1 } \mathscr D _ { 0 } \mathscr D _ { 5 } \mathscr D _ { 4 } ) \mathscr D _ { i + 2 } .
\begin{array} { r } { S ^ { \mu } ( \mathbf { k } , t , s ) = \int _ { s } ^ { t } \left[ \omega _ { g } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } + \mathbf { F } \left( t ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \kappa \left( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } \right) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } + \beta _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } - \beta _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } . } \end{array}
Z _ { ( \ell _ { 1 } , m _ { 1 } ) | ( \ell _ { 2 } , m _ { 2 } ) } ( q ) = \sum _ { ( \ell , m ) } N _ { ( \ell , m ) \; ( \ell _ { 1 } , m _ { 1 } ) } { } ^ { ( \ell _ { 2 } , m _ { 2 } ) } \chi _ { ( \ell , m ) } ( q )
\Lambda \frac { \partial } { \partial \Lambda } \left( \frac { 1 } { \hat { V } _ { S } } \right) = \hat { p } \frac { \partial } { \partial \hat { p } } \left( \frac { 1 } { \hat { V } _ { S } } \right) + \hat { \kappa } \frac { \partial } { \partial \hat { \kappa } } \left( \frac { 1 } { \hat { V } _ { S } } \right) - \left( 1 + \Lambda \frac { f ^ { \prime } ( \Lambda ) } { f ( \Lambda ) } \right) \frac { 1 } { \hat { V } _ { S } } - \frac { | { \cal N } ( \hat { \kappa } ) | ^ { 2 } } { 1 - \hat { p } ^ { 2 } } .
[ Q _ { i } , \; Q _ { j } ] _ { + } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \; A _ { M _ { 1 } } ^ { \dagger } \ldots A _ { M _ { n } } ^ { \dagger } ( A ^ { \dagger } [ \Gamma _ { i } , \; \Gamma _ { j } ] _ { + } A ) A _ { M _ { n } } \ldots A _ { M _ { 1 } } .
\mathcal { F } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) = ( E _ { x } , E _ { y } , E _ { z } ) \, w ^ { 2 } \, e ^ { - \frac { w ^ { 2 } } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , l a d - W } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , l a d - S } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , c r - W } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , c r - S } } ^ { ( 2 ) } \, , } \end{array}
\frac { \left< \theta _ { i } \right> - \left< \theta _ { i , w } \right> } { \theta _ { i , \tau } } = \frac { 1 } { k _ { \theta _ { i } } } \mathrm { { l o g } \; y ^ { + } + B _ { \ t h e t a _ { i } } \left( P r \right) \, , }
I ( x , z , t ) = \beta \, I _ { 0 } ( x , z ) \int _ { - 2 } ^ { 2 } \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \Big ) \rho ( x , y , z , t ) \ d y .
\Gamma _ { \psi \psi } ^ { x } = - { \frac { u x } { v } } \; , \; \; \Gamma _ { x x } ^ { x } = + { \frac { v ^ { \prime } } { 2 v } } \; , \; \; \Gamma _ { \psi x } ^ { x } = { \frac { \dot { v } } { 2 v } } \; ,
\langle R \, \rangle ( M ) = \int _ { 2 m _ { \pi } } ^ { \infty } d M ^ { \prime } ~ R ( M ^ { \prime } ) \, \frac { \tau } { \sqrt { \pi } } \, e ^ { - \left( M ^ { \prime } - M \right) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l r } { Z _ { 2 } } & { = } & { V ~ 4 \pi \int \left\langle \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } } \right\rangle ~ r _ { 1 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { Z _ { N } ( N \geq 3 ) } & { = } & { V ~ 8 \pi ^ { 2 } ~ \int \left\langle \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { N } } } } \right\rangle \mathrm { d } \Omega _ { N } } \\ { \mathrm { d } \Omega _ { N } ( N \geq 4 ) } & { = } & { \mathrm { d } \Omega _ { 3 } \prod _ { i = 4 } ^ { N } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { i } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } } \Gamma _ { n m } ^ { [ 1 ] } u _ { [ 1 ] } ^ { m } = - \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n } ^ { [ 1 ] } \Big \vert \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 1 ] } \right\rangle , \mathrm { w i t h ~ } \Gamma _ { n m } ^ { [ 1 ] } : = \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n } ^ { [ 1 ] } \Big \vert \mathbf { P } _ { ( m ) } ^ { [ 1 ] } \right\rangle .
) , f r o m t i m e - s e r i e s a l g o r i t h m o f R o s e n s t e i n , E c k m a n n e t a l o f t h e p r e y , a n d E c k m a n n e t a l o f t h e p r e d a t o r , r e s p e c t i v e l y . C o d e s , t o g e t h e r w i t h a n i m a t i o n s o n p o p u l a t i o n i t e r a t i o n s , p h a s e p o r t r a i t s a n d p h a s e d i a g r a m s u n d e r d i f f e r e n t g r o w t h r a t e s , m a y b e r e t r i e v e d v i a R e f (
\begin{array} { r } { \sigma _ { d i s c } ( \hat { \mathcal { L } } _ { \mathbf { k } } ) = \left\{ \lambda \in \mathbb { C } : \Gamma _ { \tau | \mathbf { k } | } \left( \frac { - \tau \lambda - 1 } { \mathrm { i } | \mathbf { k } | \tau } \right) = 0 \right\} \cup \left\{ \lambda \in \mathbb { C } : Z \left( \frac { - \tau \lambda - 1 } { \mathrm { i } | \mathbf { k } | \tau } \right) = \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | \right\} . } \end{array}
\L _ { \nu \kappa } \frac { 1 } { 2 \Omega } \int \left( \alpha _ { \mu } X ^ { \kappa } + X ^ { \kappa } \alpha _ { \mu } \right) d ^ { n } X = L _ { \mu \kappa } \frac { 1 } { 2 \Omega } \int \left( \alpha _ { \nu } X ^ { \kappa } + X ^ { \kappa } \alpha _ { \nu } \right) d ^ { n } X
s ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { t } { 5 ( j + 1 ) } } & { \mathrm { ~ i n ~ t h e ~ W e i b u l l ~ c a s e , } } \\ { t ^ { \rho } \mathrm { ~ w h e r e ~ } \rho > 0 \mathrm { ~ s a t i s f i e s ~ } 1 - \frac 1 \eta < \rho < \frac \alpha { 1 + \alpha } } & { \mathrm { ~ i n ~ t h e ~ F r \' e c h e t ~ c a s e , } } \\ { \frac { t } { 5 ( j + 1 ) A ( t ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { ~ i n ~ t h e ~ G u m b e l ~ c a s e . } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { c } { \forall c _ { 1 } \in \mathscr { C } _ { 1 } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} , \exists c _ { 2 } \in \mathscr { C } _ { 2 } , \langle c _ { 1 } , c _ { 2 } \rangle _ { * } \ne 0 , } \\ { \forall c _ { 2 } \in \mathscr { C } _ { 2 } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} , \exists c _ { 1 } \in \mathscr { C } _ { 1 } , \langle c _ { 1 } , c _ { 2 } \rangle _ { * } \ne 0 , } \end{array} \right.
\langle 0 | T _ { i k } ( x ) | 0 \rangle = \operatorname * { l i m } _ { x ^ { \prime } \rightarrow x } \partial _ { i } \partial _ { k } ^ { \prime } \langle 0 | \varphi ( x ) \varphi ( x ^ { \prime } ) | 0 \rangle + \left[ \left( \xi - \frac { 1 } { 4 } \right) g _ { i k } \nabla _ { l } \nabla ^ { l } - \xi \nabla _ { i } \nabla _ { k } - \xi R _ { i k } \right] \langle 0 | \varphi ^ { 2 } ( x ) | 0 \rangle ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { d \rightarrow 0 } \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ d ~ } , \mathrm { a v } } = \frac { \mathbf { E } _ { 1 , t } ( 0 ) + \mathbf { E } _ { 2 , t } ( 0 ) } { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i } w _ { i } ^ { 2 } ( 1 - \| w \| _ { 2 } ^ { 2 } ) \int \left( \psi ( 2 \theta w _ { i } \sqrt { 1 - \| w \| _ { 2 } ^ { 2 } } x ) - \psi ( 2 \theta \| w \| _ { 2 } \sqrt { 1 - \| w \| _ { 2 } ^ { 2 } } x ) \right) x ^ { 2 } d \nu ( x ) } \\ & { \le 2 \theta \sqrt { 1 - \| w \| _ { 2 } ^ { 2 } } \operatorname* { i n f } _ { [ - 2 , 2 ] } \psi ^ { \prime } \sum _ { i } w _ { i } ^ { 2 } ( 1 - \| w \| _ { 2 } ^ { 2 } ) ( w _ { i } - \| w \| _ { 2 } ) \int \xi ( x ) d \nu ( x ) } \\ & { \le 2 \theta \delta \sqrt { 1 - \| w \| _ { 2 } ^ { 2 } } ^ { 3 } \operatorname* { i n f } _ { [ - 2 , 2 ] } \psi ^ { \prime } ( \| w \| _ { \infty } - \| w \| _ { 2 } ) \, . } \end{array}
\phi ^ { a } ( w ) ~ \phi ^ { b } ( z ) = { \frac { [ I ] } { ( w - z ) ^ { 2 \Delta _ { \phi } } } } ~ + ~ A \left\{ { \frac { f ^ { a b c } } { ( w - z ) ^ { \Delta _ { \phi } } } } \phi ^ { c } ( z ) ~ + ~ { \frac { 1 } { ( w - z ) ^ { \Delta _ { \phi } - 1 } } } J _ { - 1 } ^ { a } \phi ^ { b } ( z ) { } ~ + ~ . . . \right\} ~ + ~ . . .
\begin{array} { r l r } { R _ { 4 \mathrm { p r e p } } } & { = } & { ( 1 - \epsilon _ { l \mathrm { p r e } } - \epsilon _ { l \mathrm { p o s t } } ) \epsilon _ { 3 , \mathrm { p r e p } } } \\ & { - } & { \epsilon _ { \mathrm { B A } } ( 1 - \epsilon _ { l \mathrm { p r e } } - \epsilon _ { l \mathrm { p o s t } } ) ( 1 - \epsilon _ { 3 , \mathrm { p r e p } } ) } \\ & { \approx } & { \epsilon _ { 3 , \mathrm { p r e p } } + \epsilon _ { \mathrm { B A } } . } \end{array}
| { \cal M } | ^ { 2 } \simeq p _ { \ell } \cdot p _ { c } p _ { \nu } \cdot p _ { b } + | \xi | ^ { 2 } p _ { \ell } \cdot p _ { b } p _ { \nu } \cdot p _ { c } - m _ { b } m _ { c } p _ { \ell } \cdot p _ { \nu } R e ( \xi ) \, ,
{ \frac { \mathrm { d } \boldsymbol r } { \lambda D } } = { \frac { 1 } { \sin \alpha } } \, \sqrt { \frac { R _ { A } ( R _ { B } + D ) } { R _ { B } ( R _ { A } - D ) } } \, \mathrm { d } \boldsymbol \rho \, .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \bar { g } } f _ { \varepsilon } = } & { ( n + 2 ) ^ { 2 } \, ( 2 \, \varepsilon - | x + \varepsilon \, e _ { n } | _ { \bar { g } } ) ^ { - 4 } \, f _ { \varepsilon } } \\ & { \qquad - 2 \, ( n + 2 ) \, ( 2 \, \varepsilon - | x + \varepsilon \, e _ { n } | _ { \bar { g } } ) ^ { - 3 } \, f _ { \varepsilon } } \\ & { \qquad - ( n - 1 ) \, ( n + 2 ) \, ( 2 \, \varepsilon - | x + \varepsilon \, e _ { n } | _ { \bar { g } } ) ^ { - 2 } \, | x + \varepsilon \, e _ { n } | _ { \bar { g } } ^ { - 1 } \, f _ { \varepsilon } . } \end{array}
e ^ { \boldsymbol { A } t } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { a _ { 1 } \cos \omega _ { 1 } t - a _ { 2 } \cos \omega _ { 2 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } ( \cos \omega _ { 2 } t - \cos \omega _ { 1 } t ) } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } \omega _ { 2 } \sin \omega _ { 1 } t - a _ { 2 } \omega _ { 1 } \sin \omega _ { 2 } t } { a _ { 1 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } - a _ { 2 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } ( \omega _ { 1 } \sin \omega _ { 2 } t - \omega _ { 2 } \sin \omega _ { 1 } t ) } { a _ { 1 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } - a _ { 2 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } \\ { \frac { \cos \omega _ { 1 } t - \cos \omega _ { 2 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } \cos \omega _ { 2 } t - a _ { 2 } \cos \omega _ { 1 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { \omega _ { 2 } \sin \omega _ { 1 } t - \omega _ { 1 } \sin \omega _ { 2 } t } { a _ { 1 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } - a _ { 2 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } \omega _ { 1 } \sin \omega _ { 2 } t - a _ { 2 } \omega _ { 2 } \sin \omega _ { 1 } t } { a _ { 1 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } - a _ { 2 } \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } } \\ { \frac { a _ { 2 } \omega _ { 2 } \sin \omega _ { 2 } t - a _ { 1 } \omega _ { 1 } \sin \omega _ { 1 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } ( \omega _ { 1 } \sin \omega _ { 1 } t - \omega _ { 2 } \sin \omega _ { 2 } t ) } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } \cos \omega _ { 1 } t - a _ { 2 } \cos \omega _ { 2 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } ( \cos \omega _ { 2 } t - \cos \omega _ { 1 } t ) } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } \\ { \frac { \omega _ { 2 } \sin \omega _ { 2 } t - \omega _ { 1 } \sin \omega _ { 1 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 2 } \omega _ { 1 } \sin \omega _ { 1 } t - a _ { 1 } \omega _ { 2 } \sin \omega _ { 2 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { \cos \omega _ { 1 } t - \cos \omega _ { 2 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } & { \frac { a _ { 1 } \cos \omega _ { 2 } t - a _ { 2 } \cos \omega _ { 1 } t } { a _ { 1 } - a _ { 2 } } } \end{array} \right] ,
\Psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } \prec 1 + \frac { ( \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 2 } + { ( \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 2 } } + \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } } { N \eta } + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } + ( \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 4 } } + \frac { ( \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 3 / 8 } + ( \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 3 / 8 } } { ( N \eta ) ^ { 3 / 1 6 } } \, .
\begin{array} { r l } { \rho ^ { - n } \int _ { B _ { \rho } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) _ { + } } & { \leq C \delta ^ { p _ { 3 } } \rho ^ { - n } \int _ { B _ { 2 \rho } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) + C \delta ^ { - M } \varepsilon \rho ^ { - n } \int _ { B _ { \rho _ { 0 } } } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } \\ & { + C \delta ^ { - M } \rho ^ { - n } \int _ { B _ { \rho _ { 0 } } \cap \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} } \frac { W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } } { \varepsilon } + C \left( \frac { \varepsilon } { \rho } \right) \delta . } \end{array}
\mathcal { G } = ( N , V , E , A ) = \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ a ~ n ~ d ~ g ~ r ~ a ~ p ~ h ~ } \quad \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \quad \hat { \mathcal { G } } = ( \hat { N } , \hat { V } , \hat { E } , \hat { A } ) = \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ e ~ p ~ t ~ o ~ r ~ g ~ r ~ a ~ p ~ h ~ }
\mathrm { ~ p ~ S ~ N ~ R ~ } ( \vec { u } , \, \vec { v } ) \, = \, 2 0 \log _ { 1 0 } \bigg ( \frac { \operatorname* { m a x } ( \vec { u } ) } { { \, \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum _ { i } ^ { n } ( \vec { u } _ { i } - { \vec { v } } _ { i } ) ^ { 2 } } } } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } N _ { A } ( t ) = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } } & { \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \Big ( C _ { A A } ( t - t ^ { \prime } ) N _ { A } ( t ^ { \prime } ) } \\ & { + \mathrm { e } ^ { i \omega _ { A } t - i \omega _ { B } t ^ { \prime } } C _ { A B } ( t - t ^ { \prime } ) N _ { B } ( t ^ { \prime } ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { K ( k ) = - \log { k ^ { \prime } } + 2 \log { 2 } + \mathcal { O } ( ( k ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) , } \\ { K ( k ^ { \prime } ) = \frac { \pi } { 2 } + \frac { \pi } { 8 } k ^ { 2 } + \mathcal { O } ( ( k ^ { \prime } ) ^ { 4 } ) , } \\ { q ^ { \prime } = \frac { 1 } { 1 6 } k ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 2 } k ^ { 4 } + \mathcal { O } ( ( k ^ { \prime } ) ^ { 6 } ) . } \end{array}
\zeta ( a _ { 1 } + 2 , \{ 1 \} _ { b _ { 1 } } , \dots , a _ { k } + 2 , \{ 1 \} _ { b _ { k } } ) = \zeta ( b _ { k } + 2 , \{ 1 \} _ { a _ { k } } , \dots b _ { 1 } + 2 , \{ 1 \} _ { a _ { 1 } } ) ,
u _ { i , j } ^ { n + 1 } = u _ { i , j } ^ { n } + \alpha \frac { \Delta t } { \Delta x } \frac { u _ { i + 1 , j } ^ { n } - 2 u _ { i , j } ^ { n } u _ { i - 1 , j } ^ { n } } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } + \alpha \frac { \Delta t } { \Delta y } \frac { u _ { i , j + 1 } ^ { n } - 2 u _ { i , j } ^ { n } u _ { i , j - 1 } ^ { n } } { ( \Delta y ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r c l } { ( y - \bar { y } ) ^ { T } ( A D A ^ { T } ) ( y - \bar { y } ) } & { \leq } & { \bar { y } ^ { T } ( A D A ^ { T } ) \bar { y } - l ^ { T } D u } \\ & { = } & { r ^ { T } D A ^ { T } ( A D A ^ { T } ) ^ { - 1 } A D r - l ^ { T } D u } \\ & { = } & { r ^ { T } D A ^ { T } ( A D A ^ { T } ) ^ { - 1 } A D r - r ^ { T } D r + v ^ { T } D v . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c } { \mathcal { H } = \mathcal { H } _ { 0 } + \mathcal { H } _ { i n t } , } \\ { \mathcal { H } _ { 0 } = \frac { ( { \mathbf { P } } - \hat { \mathbf { P } } _ { \mathrm { B } } ) ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } , } \\ { \mathcal { H } _ { i n t } = n V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } = 0 ) + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \sum _ { \mathbf { k \neq 0 } } V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } \left( \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hat { b } _ { - \mathbf { k } } ^ { \dagger } \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l l } { { } } & { { \displaystyle \chi _ { y } ( T ) = ( - 1 ) ^ { N } y ^ { \frac { D } { 2 } } \frac { 1 } { d } \sum _ { \alpha , \beta = 0 } ^ { d - 1 } \prod _ { \alpha \omega _ { i } \not \in { \bf Z } } y ^ { - \ll \alpha \omega _ { i } \gg } \prod _ { \alpha \omega _ { i } \in { \bf Z } } y ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \frac { \sin \pi [ ( \omega _ { i } - 1 ) z + \beta \omega _ { i } ] } { \sin \pi ( \omega _ { i } z + \beta \omega _ { i } ) } } } \\ { { } } & { { \displaystyle = \frac { ( - 1 ) ^ { N } } { 1 - y } \sum _ { \alpha = 0 } ^ { d - 1 } \, \mathop { \mathrm { R e s } } _ { y x ^ { d } = 1 } \left[ \left( \prod _ { \alpha \omega _ { i } \not \in { \bf Z } } y ^ { 1 - \{ \alpha \omega _ { i } \} } \prod _ { \alpha \omega _ { i } \in { \bf Z } } \frac { 1 - y x ^ { w _ { i } } } { 1 - x ^ { w _ { i } } } \right) \frac { 1 - x ^ { d } } { x ( 1 - y x ^ { d } ) } \right] \, . \nonumber } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { I I I , p } ( { \bf r } ) } & { = } & { t _ { 1 2 } t _ { 2 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( r _ { 2 1 } ) ^ { 2 n } e ^ { \imath \Phi _ { m } ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } e ^ { \imath \, { \bf k _ { i } } . ( { \bf r } - \Delta { \bf r } _ { m } - ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \Delta { \bf r } ) } } \\ & { = } & { a _ { 3 } ( \theta _ { i } , n _ { m } , d ) e ^ { \imath \, { \bf k _ { i } } . { \bf r } } } \end{array}