harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
2 m _ { q } \int d ^ { 3 } x ( { \langle N | \bar { q } q | N \rangle } _ { N } - { \langle 0 | \bar { q } q | 0 \rangle } _ { 0 } ) = 2 m _ { q } \int d ^ { 3 } x ( \Delta q ) _ { N } = \sigma _ { N } = m _ { q } { \frac { d { M _ { N } } } { d m _ { q } } } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { L } } } & { { } = } & { \frac { \mathrm { i } \hbar } { 2 } \left( \psi ^ { + } \cdot \frac { \partial \psi } { \partial t } - \frac { \partial \psi ^ { + } } { \partial t } \cdot \psi \right) + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 m } \left( \psi ^ { + } \Delta \psi + \Delta \psi ^ { + } \cdot \psi \right) - \psi ^ { + } V \psi . } \end{array}
{ \overline { { h } } _ { n } ^ { s } } = \frac { \lambda } { 4 \pi \overline { { r } } _ { n } } e ^ { - j 2 \pi \frac { \overline { { r } } _ { n } } { \lambda } } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \frac { \alpha _ { \ell } \lambda } { 4 \pi \overline { { r } } _ { n \ell } d _ { \ell } } e ^ { - j 2 \pi \frac { ( \overline { { r } } _ { n \ell } + d _ { \ell } ) } { \lambda } } ,
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \xi } ( \mathcal { U } _ { \Pi } ) } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } } \left\vert \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } \left( f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) - \mathbb { E } f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) \right) \right\vert . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \eta ^ { 2 } \rangle _ { r _ { 0 } } = h _ { 0 } ^ { 2 } \exp \left[ - 2 \left( \frac { r _ { 0 } } { R ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } \right) ^ { \vartheta ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } \right] , } \end{array}
\langle D ^ { 0 } | \tilde { O } _ { 1 } | \bar { D } ^ { 0 } \rangle = \frac { 1 6 } { 9 } \frac { f _ { D } ^ { 2 } m _ { D } ^ { 4 } } { 2 m _ { D } } B , ~ ~ ~ ~ ~ \langle D ^ { 0 } | \tilde { O } _ { 2 } | \bar { D } ^ { 0 } \rangle = - \frac { 3 2 } { 9 } \frac { f _ { D } ^ { 2 } m _ { D } ^ { 2 } ( 2 m _ { c } ^ { 2 } - m _ { D } ^ { 2 } ) } { 2 m _ { D } } B ^ { \prime } .
\begin{array} { r } { [ Y 1 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + Y 1 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + Y 1 3 _ { i j } \delta _ { r } + Y 1 4 _ { i j } \delta _ { \theta } + Y 1 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } } \\ { + Y 1 6 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + Y 1 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + Y 1 8 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \omega _ { i j } ^ { n + 1 } } \\ { = [ Y 2 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + Y 2 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + Y 2 3 _ { i j } \delta _ { r } + Y 2 4 _ { i j } \delta _ { \theta } + Y 2 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } } \\ { + Y 2 6 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + Y 2 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + Y 2 8 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \omega _ { i j } ^ { n } } \end{array}
\left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { i n } } \; \delta _ { p _ { i } , k } \right) \geq \left( \xi _ { k } ^ { \mathrm { u } } \: s ^ { \mathrm { i n } , k } \right) \quad , \qquad \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } \; \delta _ { p _ { i } , k } \right) \geq \left( \xi _ { k } ^ { \mathrm { d } } \: s ^ { \mathrm { o u t } , k } \right) \quad .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } ^ { \prime } } & { { } = E _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime \prime } k \frac { \tilde { B } ( z ^ { \prime \prime } ) } { B _ { 0 } } \sin \left( k y ^ { \prime } - \omega t \right) \hat { y } . } \end{array}
J = \sum _ { \mathcal { Z } = \mathcal { A } } ^ { \mathcal { C } } \left[ v \mathcal { Z } _ { - } ^ { [ 1 ] } - \left( f + \frac { h } { a } + D \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ 1 ] } \right) \mathcal { Z } _ { + } ^ { [ 1 ] } \right] - \left( f + \frac { h } { a } \right) \mathcal { D } ^ { [ i ] } ,
\begin{array} { r l } { { \cal F } _ { 1 } } & { \sim \left( \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) } \\ & { \sim \left( \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \left( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 } \left( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) , \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) } \\ & { \sim \left( \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 2 } ^ { 2 } , \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { = \epsilon _ { 0 } \{ \mathbf { E } \} + ( \epsilon _ { 0 } \mathbf { E } _ { 0 } + \mathbf { P } _ { 0 } ) \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \cdot \nabla _ { t } \right) \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) + \left( \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \cdot \mathbf { \hat { z } } \right) \delta ^ { ( 1 ) } ( z ) \right] } \\ { \mathbf { B } } & { = \mu _ { 0 } \left( \{ \mathbf { H } \} + ( \mathbf { H } _ { 0 } + \mathbf { M } _ { 0 } ) \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \cdot \nabla _ { t } \right) \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) + \left( \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \cdot \mathbf { \hat { z } } \right) \delta ^ { ( 1 ) } ( z ) \right] \right) \, , } \end{array}
\mathcal { L } = - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } F ^ { \mu \nu } G _ { \mu \nu } + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } A _ { \mu } A ^ { \mu } - J _ { \mu } A ^ { \mu } \, ,
\begin{array} { r l } { \| A ^ { n } \| _ { \infty } } & { = \operatorname* { m a x } _ { p } \left( | A _ { p p } ^ { n } | + \sum _ { q \neq p } | A _ { q p } ^ { n } | \right) } \\ & { \leq 2 \, \operatorname* { m a x } _ { p } | A _ { p p } ^ { n } | - 1 , } \\ { \| A \| _ { 1 } } & { = \operatorname* { m a x } _ { p } \left( | A _ { p p } ^ { n } | + \sum _ { q \neq p } | A _ { p q } ^ { n } | \right) } \\ & { = 2 \, \operatorname* { m a x } _ { p } | A _ { p p } ^ { n } | - 1 , } \end{array}
f ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathrm { a r c s i n } ^ { 2 } \sqrt { \tau } } } & { { \tau \leq 1 } } \\ { { - \frac { 1 } { 4 } \left[ \log \frac { 1 + \sqrt { 1 - \tau ^ { - 1 } } } { 1 - \sqrt { 1 - \tau ^ { - 1 } } } - i \pi \right] ^ { 2 } \ \ \ } } & { { \tau > 1 } } \end{array} \right.
a _ { n m } ( \Omega , \Omega ^ { \prime } ) = \frac { n ! } { m ! ( \frac { n - m } { 2 } ) ! } \, \bigg ( { \displaystyle \frac { \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { \prime \, 2 } } { 4 \, \Omega ^ { 2 } \, \Omega ^ { \prime \, 2 } } } \bigg ) ^ { \big ( \mathrm { ~ \frac { n - m } { 2 } ~ } \big ) }
\begin{array} { r l } & { = 8 \pi \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ v \cdot \nabla _ { \xi } ( - \Delta _ { \xi } ) ^ { - 1 } F _ { - } | _ { \xi = \varepsilon v } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , 0 ) } \} , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| | \nabla _ { v } | ^ { - 1 } F _ { - } ^ { ( 0 , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { \xi } ^ { \infty } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \| F _ { - } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { n } ^ { ( p ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { L - n } t _ { n } | i \rangle \langle i + n | + t _ { n } ^ { \ast } | i + n \rangle \langle i | + \sum _ { i = L - n + 1 } ^ { L } t _ { n } | i \rangle \langle i + n - L | + t _ { n } ^ { \ast } | i + n - L \rangle \langle i | . } \end{array}
\langle \mathbf { r } | \hat { \rho } _ { a b 2 } | \mathbf { r } ^ { \prime } \rangle \propto \int d \mathbf { r } _ { 1 } \psi _ { a b } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } ) \psi _ { a b } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) \propto \exp \left[ - \frac { 2 a ( a + 2 b ) \left( | \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 2 } + | \mathbf { r } | ^ { 2 } \right) + b ^ { 2 } | \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } | ^ { 2 } } { 2 ( a + b ) } \right] .
= 2 \pi \varepsilon a \left\{ 1 + { \frac { 1 } { 2 D } } + { \frac { 1 } { 4 D ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 8 D ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 8 D ^ { 4 } } } + { \frac { 3 } { 3 2 D ^ { 5 } } } + O \left( { \frac { 1 } { D ^ { 6 } } } \right) \right\}
\epsilon \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi _ { x } ^ { \epsilon } ( \bar { \xi _ { 1 } } ) _ { x } d x + \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } ^ { \epsilon } \bar { \xi _ { 1 } } d x - \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi ^ { \epsilon } ( \bar { \xi _ { 1 } } ) _ { x } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \xi ^ { \epsilon } \bar { \xi _ { 1 } } d x = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f \bar { \xi _ { 1 } } d x .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \mu _ { s } \cdot ( \beta _ { s } - \lambda _ { s } ) \big | \ \tilde { \mu } , \{ \tilde { \gamma } _ { t } , \gamma _ { t } \} _ { t = 1 } ^ { s - 1 } \right] = \mu _ { s } \cdot \left( \beta _ { s } - \mathbb { E } \left[ \tilde { b } _ { s } ^ { * } ( \tilde { \mu } ) \big | \ \tilde { \mu } \right] \right) = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \widetilde \gamma | \setminus \partial \widetilde \gamma } & { \subset \bigcup _ { j \in \mathbb Z } | \widetilde \gamma ^ { j } | \subset \bigcup _ { j \in \mathbb Z } \left( ( | \gamma ^ { j } | \setminus E ) \cup \bigcup _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } | \gamma _ { i } ^ { j } | \right) \subset ( | \gamma | \setminus E ) \cup \bigcup _ { j \in \mathbb Z } \bigcup _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } | \gamma _ { i } ^ { j } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) } & { = - i \Delta \omega _ { { g g ^ { \prime } } } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) + i \sum _ { e , \, s } \left( \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g e } s } \rho _ { { e g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) - \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e g ^ { \prime } } s } \right) } \\ & { + \sum _ { e , s } f _ { s } ^ { ( + ) * } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g e } s } \rho _ { { e g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) + \sum _ { e , \, s } f _ { s } ^ { ( - ) * } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e g ^ { \prime } } s } . } \end{array}
V _ { h f } = \frac { 8 } { 9 } \alpha _ { s } \frac { 1 } { m _ { l } m _ { c } } { \bf S } _ { l } { \bf S } _ { c } | R ^ { d l } ( 0 ) | ^ { 2 } + \frac { 8 } { 9 } \alpha _ { s } \frac { 1 } { m _ { l } m _ { b } } { \bf S } _ { l } { \bf S } _ { b } | R ^ { d l } ( 0 ) | ^ { 2 } ,
H ^ { ( 4 ) } = \int d ^ { 3 } x \frac { 1 } { 2 } \biggl [ \frac { k ^ { 2 } } { { \cal H } ^ { 2 } } \tilde { \Pi } ^ { 2 } + 2 \biggl ( \frac { k ^ { 2 } } { \cal H } - { \cal H } - \frac { { \cal H } ^ { \prime } } { { \cal H } } \biggr ) \tilde { \Pi } \tilde { \Psi } + \biggl ( k ^ { 2 } - \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } \biggr ) \tilde { \Psi } ^ { 2 } \biggr ] .
\mathbf { F } _ { g } = \mathbf { F } _ { d , g } + C _ { l } \rho _ { l } \mathbf { u } _ { r } \times \left( \nabla \times \mathbf { u } _ { c } \right) + C _ { v m } \rho _ { l } \left( \frac { D _ { l } \mathbf { u } _ { l } } { D t } - \frac { D _ { g } \mathbf { u } _ { g } } { D t } \right) - C _ { t d } \alpha _ { g } \rho _ { c } \kappa _ { m } \nabla \alpha _ { g } ,
\begin{array} { r l } { { \mathrm { g r a v i t y } : } } & { { ( 3 , 3 ) + 2 ( 2 , 3 ) + ( 1 , 3 ) \nonumber } } \\ { { \mathrm { t e n s o r } : } } & { { ( 3 , 1 ) + 2 ( 2 , 1 ) + ( 1 , 1 ) \nonumber } } \\ { { \mathrm { v e c t o r } : } } & { { ( 2 , 2 ) + 2 ( 1 , 2 ) \nonumber } } \\ { { \mathrm { h y p e r } : } } & { { 2 ( 2 , 1 ) + 4 ( 1 , 1 ) . } } \end{array}
V ( z ) = \frac { 3 N _ { c } \, k \pi R ^ { 2 } R _ { c } ^ { 2 } \, z } { 2 ( R _ { c } ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } \, \sqrt { 2 g ( z _ { 0 } - z ) } \, \, .
\begin{array} { r } { \frac { 2 } { 3 } K _ { L L } [ \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { 4 } \vec { Q } _ { L i } \vec { Q } _ { L j } - \frac { 3 } { 2 } \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { 4 } ( \vec { Q } _ { L i } \times \vec { Q } _ { L j } ) ^ { 2 } \, ] - ( \frac { 2 } { 3 } K _ { L L } + J _ { L L } ) \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { 4 } \vec { Q } _ { L i } \vec { Q } _ { L j } } \end{array}
\ensuremath { \mathbf { M } } \dot { \ensuremath { \mathbf { v } } } + \Pi ^ { \top } [ ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { b } } _ { l } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \rho _ { i } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ) \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { d } } _ { i } ^ { l } ) ) \ensuremath { \mathbf { v } } + A \ensuremath { \mathbf { v } } - \ensuremath { \mathbf { f } } ] = 0
\begin{array} { r l } { \mu ( C _ { 1 } , C _ { 2 } , \tau ) } & { \geq \hat { \mu } ( C _ { 1 } , C _ { 2 } , \tau ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { C _ { 1 } C _ { 2 } \tau } \int _ { C _ { 1 } } ^ { 2 C _ { 1 } } \int _ { C _ { 2 } } ^ { 2 C _ { 2 } } \int _ { \tau } ^ { 2 \tau } 1 d r _ { 1 } d r _ { 2 } d s \ \tilde { \mu } ( C _ { 1 } , C _ { 2 } , \tau ) + C _ { 1 } C _ { 2 } \tau } \\ & { \geq \tilde { \mu } ( C _ { 1 } , C _ { 2 } , \tau ) . } \end{array}
\forall i = 1 , \cdots , N , \textrm { a n d } \forall \mu _ { k } \in \mathcal { G } _ { t r a i n } , \ A _ { k , i } ^ { n } = \int _ { \Omega } \widetilde { \mathbf { u } _ { H } } ^ { n } ( \mu _ { k } ) \cdot \Phi _ { i } ^ { h } \ d \textbf { x } , \quad \textrm { a n d } B _ { k , i } ^ { n } = \int _ { \Omega } \mathbf { u } _ { h } ^ { n } ( \mu _ { k } ) \cdot \Phi _ { i } ^ { h } \ d \textbf { x }
\left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } u _ { i } v _ { i } \right) ^ { 2 } \leq \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } u _ { i } ^ { 2 } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } v _ { i } ^ { 2 } \right) .
I _ { D V C } \left[ A ^ { 2 } \Pi _ { 3 / 2 } ( 0 0 0 ) \rightarrow X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 1 0 ) \right] \propto \frac { | \lambda | ^ { 2 } } { 2 ( \Delta E _ { A B } - \Delta E _ { A A } + \omega ^ { B } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { ~ B ~ X ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } | ^ { 2 } ,
\langle { \bar { x } } ^ { \prime } | { \hat { A } } _ { \mathrm { \footnotesize ~ n , c h } } | \bar { x } \rangle = \frac 1 { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } { \bar { p } } \exp \left[ i { \bar { p } } \left( { \bar { x } } - { \bar { x } } ^ { \prime } \right) \right] { \tilde { A } } _ { \mathrm { \footnotesize ~ n , c h } } \left( { \bar { p } } ^ { 2 } \right) \ .
C ( i ) = \frac { \sum _ { i ^ { \prime } \leq i } \eta _ { i ^ { \prime } } \bar { w } _ { i ^ { \prime } } ^ { 2 } } { \sum _ { i ^ { \prime } } \eta _ { i ^ { \prime } } \bar { w } _ { i ^ { \prime } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { u = 0 , \quad w = 0 , \quad \frac { \partial p } { \partial x } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } , \quad T = 0 , \quad C = 0 } & { { } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad x = 0 , } \\ { u = 0 , \quad w = 0 , \quad \frac { \partial p } { \partial x } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } , \quad T = 1 , \quad C = 1 } & { { } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad x = 1 , } \end{array}
\sigma _ { \parallel } = \left( 1 . 9 6 \frac { n _ { 0 } e ^ { 2 } \tau _ { e } } { m _ { e } } \right) n = \left( \frac { 5 . 8 8 } { 4 \sqrt { 2 \pi } } \frac { ( 4 \pi \epsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } \frac { T _ { \mathrm { ~ e ~ } 0 } ^ { 3 / 2 } } { \lambda \sqrt { m _ { e } } } \right) ( T _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) ^ { 3 / 2 }
\begin{array} { r l r } { \mu _ { { 2 , \mathrm { t h } } } } & { { } = } & { \mu _ { \mathrm { r e f } } \frac { T _ { \mathrm { r e f } } + S } { T _ { 2 , \mathrm { t h } } + S } \left( \frac { T _ { 2 , \mathrm { t h } } } { T _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { \frac 3 2 } } \\ { T _ { { 2 , \mathrm { t h } } } } & { { } = } & { T _ { \mathrm { t } 1 , \mathrm { r e f } } \left( 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } \mathrm { M a } _ { 2 , \mathrm { t h } } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { - 4 / T } x \left[ - 3 + 2 v - \mathrm { e } ^ { - 4 / T } ( 1 + 2 v ) + 4 ( \mathrm { e } ^ { 4 / T } - 1 ) ( v - 1 ) ^ { 2 } x ^ { 2 } ) \right] = 0 ,
\begin{array} { r l } { x _ { k + 1 } ^ { \prime } } & { = ( F + G K ) x _ { k } ^ { \prime } + w _ { k } ^ { \prime } , \, x _ { 0 } ^ { \prime } \in \mathbb { R } ^ { r _ { x } } , } \\ { x _ { k + 1 } ^ { \prime \prime } } & { = F x _ { k } ^ { \prime \prime } + G K x _ { k } ^ { \prime } + w _ { k } ^ { \prime \prime } , \, x _ { 0 } ^ { \prime \prime } \sim p _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { z } ^ { ( 0 ) } } & { { } = \sigma ^ { ( 0 ) } ( \vec { x } ) } \\ { \vec { z } ^ { ( t ) } } & { { } = \sigma ^ { ( t ) } ( \vec { W } ^ { ( t ) } \vec { z } ^ { ( t - 1 ) } + \vec { b } ^ { ( t ) } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; t = 1 , \dots , T , } \\ { \vec { z } ^ { ( T ) } } & { { } = \vec { y } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \operatorname { a r s i n h } { x } } & { { } = \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \right) , } \\ { \operatorname { a r c o s h } { x } } & { { } = \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) } & { } & { { } x \geq 1 . } \end{array}
T _ { n l m } ^ { ( 1 ) } ( N = - 1 ) \simeq - \frac { i ^ { l } e ^ { i \phi _ { q } } \sqrt { I } } { 2 { \pi } ^ { 3 / 2 } q ^ { 2 } \omega } \left[ \sqrt { \frac { l } { 2 l + 1 } } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l - 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { - } , \Omega _ { n } ^ { + } , q ) + \sqrt { \frac { l + 1 } { 2 l + 1 } } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l + 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { - } , \Omega _ { n } ^ { + } , q ) \right] ,
\partial _ { t } \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } + \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } - \operatorname { d i v } ( 2 \nu ( c _ { A } ^ { \pm } ) D \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } ) + \nabla p _ { A } ^ { \pm } = O ( \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac 5 4 } ) \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } L ^ { 2 } ( \Omega ^ { \pm } \setminus \Gamma ( 2 \delta ) ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = \mathbf { H } _ { \mathrm { e x t } } + \mathbf { H } _ { \mathrm { d e m a g } } + \mathbf { H } _ { \mathrm { e x c h } } , } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { e x t } } } & { { } = H _ { 0 } \mathbf { e } _ { z } } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { m s } } } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \nabla \nabla \frac { 1 } { \lvert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \rvert } d \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { e x c h } } } & { { } = \frac { 2 A _ { \mathrm { e x } } } { \mu _ { 0 } M _ { s } } \Delta \mathbf { M } , } \end{array}
Z _ { G } [ \overline { { { \xi } } } , \xi ] = \exp \left\{ i \sum _ { a , b = 1 , . . 8 } \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } y \overline { { { \xi } } } ^ { a } \left( x \right) \widetilde { D } _ { G } ^ { a b } ( x - y ) \xi ^ { b } \left( y \right) \right\} ,
\begin{array} { r l } { f \left( R , q \prime \right) } & { = \left( \frac { \lambda } { 4 \pi } \right) ^ { 4 } \frac { \gamma \prime ^ { 2 } \bar { P } } { d ^ { 4 } r _ { q } ^ { 2 } r _ { p } ^ { 2 } } I ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \mu ^ { 2 } \bar { P } } { 4 d ^ { 4 } } \left[ \rho \int _ { 0 } ^ { \arctan \frac { R } { r _ { q } } } \frac { \cos ^ { 2 q \prime } \alpha \tan \alpha \mathrm { d } \alpha } { \left[ \rho ^ { 2 } + ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } \alpha \right] ^ { ( q \prime + 1 ) / 2 } } \right] ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \mu ^ { 2 } \bar { P } } { 4 d ^ { 4 } } G ( R , q \prime ) , } \end{array}
\left. \kappa ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d F } { d r } \right| _ { r = r _ { s t } } = \frac { \sqrt { M ^ { 2 } - Q ^ { 2 } - a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } { 2 M ^ { 2 } - Q ^ { 2 } + 2 M \sqrt { M ^ { 2 } - Q ^ { 2 } - a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } ,
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - \delta \bigg ( \frac { d } { d t } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) + b e ^ { \beta t _ { e n d } } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) \bigg ) d t } \end{array}
{ \hat { T } } _ { i j } = { \frac { 1 } { 3 } } ( { \vec { V } } \cdot { \vec { W } } ) \delta _ { i j } + \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( { \hat { V } } _ { i } { \hat { W } } _ { j } - { \hat { V } } _ { j } { \hat { W } } _ { i } ) \right) + \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( { \hat { V } } _ { i } { \hat { W } } _ { j } + { \hat { V } } _ { j } { \hat { W } } _ { i } ) - { \frac { 1 } { 3 } } ( { \vec { V } } \cdot { \vec { W } } ) \delta _ { i j } \right) = \mathbf { T } ^ { ( 0 ) } + \mathbf { T } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { T } ^ { ( 2 ) }
P _ { 2 } ^ { 1 } = - 2 r ^ { 2 } K ( - 2 r ^ { 2 } \hat { r } _ { 2 } + 6 r ^ { 2 } \hat { r } _ { 6 } + 8 r \hat { r } _ { 2 } \hat { r } _ { 6 } + 3 \hat { r } _ { 2 } ^ { 2 } \hat { r } _ { 6 } + \hat { r } _ { 2 } \hat { r } _ { 6 } ^ { 2 } ) ,
\frac { \ell _ { 3 } ^ { \textrm { i } } } { \tilde { a } _ { 2 } ^ { \textrm { r } } } = - \frac { \tilde { a } _ { 3 } ^ { \textrm { r } } } { \ell _ { 2 } ^ { \textrm { i } } } = \frac { \tilde { a } _ { 3 } ^ { \textrm { i } } } { \ell _ { 2 } ^ { \textrm { r } } } = e , \qquad \frac { \ell _ { 1 } ^ { \textrm { i } } } { \ell _ { 2 } ^ { \textrm { r } } } = - \frac { \ell _ { 1 } ^ { \textrm { r } } } { \ell _ { 2 } ^ { \textrm { i } } } = \frac { \tilde { a } _ { 1 } ^ { \textrm { i } } } { \tilde { a } _ { 2 } ^ { \textrm { r } } } = - \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } .
E ^ { 0 } [ v _ { s } , \mathbf { A } _ { s } ] = \operatorname* { i n f } _ { \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } } \big \{ F ^ { 0 } ( \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ) + \langle u _ { s } , \rho \rangle + \langle \mathbf { A } _ { s } , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \rangle \big \} .
\begin{array} { r l r } { \left\{ F , G \right\} _ { D } } & { = } & { \left\{ F , G \right\} - \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { J C } ^ { T } \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { C J } \frac { \partial G } { \partial \eta } } \\ { \left( \frac { \partial F } { \partial t } \right) _ { D } } & { = } & { \frac { \partial F } { \partial t } - \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { J C } ^ { T } \mathbf { M } ^ { - 1 } \frac { \partial c } { \partial t } \quad . } \end{array}
d _ { 4 ; 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( - , - , + , + ) = c _ { 4 ; 0 } ( - , - , + , + ) F _ { d ; 1 } ^ { -- } ( \varepsilon , s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 1 4 } ) ,
S = \int d ^ { 4 } x \, \sqrt { g ( x ) } \left\{ \left[ \frac { \Lambda } { 8 \pi G } + \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } ( x ) \right] - \frac { 1 } { 8 \pi G } R ( x ) \right\} + S _ { 1 } + S _ { 2 } ,
\ddot { Z } = { \frac { \dot { Z } ^ { 2 } } { Z } } - { \frac { 1 } { \eta } } \dot { Z } + { \frac { h ^ { 2 } - l } { 4 g ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } } { \frac { Z ^ { 4 } - 1 } { Z } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
I _ { \mathrm { m a t t e r } } = \frac { m ^ { 2 } } { 4 } \int d ^ { 2 } x \left\langle q \Biggl | \epsilon ^ { \mu \nu } [ D _ { \mu } \Phi , D _ { \nu } \Phi ] + \frac { m ^ { 2 } } { 2 } e ( q ) \Bigl [ \Phi , [ \Phi , q ] \Bigr ] \right\rangle \, ,
\left\Vert \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { T T } } \right\Vert _ { 2 } \leq | \alpha _ { \mathrm { ~ T ~ } } | \ \underset { i \in [ 1 , N _ { \mathrm { ~ T ~ } } ] } { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \, \sum _ { \substack { j \in [ 1 , N _ { \mathrm { ~ T ~ } } ] \, j \neq i } } | G _ { i j } |