harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle H e ^ { - \tau H } \rangle } & { = \biggl \langle \frac { \langle \Psi _ { T } | H e ^ { - \tau H } | \phi ^ { n + m } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \phi ^ { n + m } \rangle } \biggr \rangle _ { \mathbf X } } \\ & { = \Biggl \langle \biggl \langle \frac { \langle \Psi _ { T } | \phi ^ { n + m + 1 } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \phi ^ { n + m } \rangle } \frac { \langle \Psi _ { T } | H | \phi ^ { n + m + 1 } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \phi ^ { n + m + 1 } \rangle } \biggr \rangle _ { \mathbf x ^ { \prime } } \Biggr \rangle _ { \mathbf X } \, , } \end{array}
\mathcal { \theta } _ { i j } ^ { + y } : = u _ { i j } ^ { n , + x } - \frac { \Delta t / 2 } { k _ { y } \Delta y _ { j } } \left( g \left( u _ { i j } ^ { n , + y } \right) - g \left( u _ { i j } ^ { n , - y } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ ( ~ c ~ a ~ s ~ e ~ A ~ ) ~ } } & { { } ~ ~ \frac { 1 } { R } \partial _ { s } ( R ) = \ln { \frac { R _ { t } } { R _ { u } } } \cdot \frac { \chi [ 0 , L - \Delta ] } { ( L - \Delta ) } } \\ { \mathrm { ~ ( ~ c ~ a ~ s ~ e ~ B ~ ) ~ } } & { { } ~ ~ \frac { 1 } { R } \partial _ { s } ( R ) = \ln { \frac { R _ { t } } { R _ { u } } } \cdot \frac { \chi [ L - \Delta , L ] } { \Delta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \vartheta } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) } & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi \, | y _ { d } | } \, N _ { \alpha } \, \, \hat { \ddot { d } } _ { z } ( \omega ) \, \, e ^ { i \frac { \omega } { c } ( y _ { d } - y _ { \alpha } ) } \, e ^ { - i \frac { \omega } { c } \, x _ { \alpha } \, \Omega _ { X } } \, e ^ { - i \frac { \omega } { c } \, z _ { \alpha } \, \Omega _ { Z } } } \\ & { \times } & { \mathrm { s i n c } \left( \frac { \omega } { c } \frac { \Delta y } { 2 } \right) \, \mathrm { s i n c } \left( \frac { \omega } { c } \frac { \Delta x } { 2 } \Omega _ { X } \right) \, \mathrm { s i n c } \left( \frac { \omega } { c } \frac { \Delta z } { 2 } \Omega _ { Z } \right) \, , } \end{array}
\delta \left( \int d ^ { 3 } x \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } \right) = \int _ { S ^ { 1 } \times { \bf R } } \lambda ( \partial _ { 0 } A _ { \theta } - \partial _ { \theta } A _ { 0 } )
k = { \left\{ \begin{array} { l l } { - j - { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \mathrm { i f ~ } } j = \ell + { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { j + { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \mathrm { i f ~ } } j = \ell - { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { ( n ) } } & { = \frac { g _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \bigg ( \int d ^ { D } k \frac { g ^ { \alpha \beta } g _ { \beta \delta } g ^ { \delta \gamma } g _ { \gamma \alpha } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad - \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { ( p - k ) ^ { \alpha } ( p - k ) _ { \alpha } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad - \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { k ^ { \alpha } k _ { \alpha } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad + \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { k _ { \delta } ( p - k ) ^ { \delta } k ^ { \alpha } ( p - k ) _ { \alpha } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \bigg ) \, . } \end{array}
\mathbb { P } _ { \mathrm { t r a j } } \Big ( \{ x _ { k } ( t , \tau ) \} \Big ) : = \mathbb { P } _ { \mathrm { t r a j } } \Big [ \big \{ \mathbf { x } ( 0 ) , \cdots , \mathbf { x } ( t ) \big \} _ { \tau = 0 } , \big \{ \mathbf { x } ( 0 ) , \cdots , \mathbf { x } ( t ) \big \} _ { \tau = 1 } , \cdots , \big \{ \mathbf { x } ( 0 ) , \cdots , \mathbf { x } ( t ) \big \} _ { \tau = T } \Big ] \, ,
\tilde { \Pi } ^ { ( 1 ) } ( p ) = \frac { 4 \pi } { \kappa } \frac { C _ { 2 } ( G ) } { 2 p ^ { 2 } } \mu \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { ( k . p ) ^ { 2 } - k ^ { 2 } p ^ { 2 } } { k ^ { 2 } ( k + p ) ^ { 2 } ( k ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) }
H _ { 0 } ^ { \mathrm { c m b } } \approx H _ { 0 } ^ { \mathrm { n o w } } [ ( \Omega _ { b } + \Omega _ { \mathrm { d m } } z _ { \mathrm { c m b } } ^ { - \delta _ { e } } ) / ( \Omega _ { b } + \Omega _ { \mathrm { d m } } ) ] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } , ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } = } & { { } \bigg [ \frac { k _ { n } } { k _ { n m } } \frac { \cos ( k _ { n } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } / 2 ) } { \cos ( k _ { \mathrm { ~ t ~ } } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } / 2 ) } \frac { ( k _ { \mathrm { ~ t ~ } } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } { ( k _ { n } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } \frac { \sin ( k _ { m } w _ { \mathrm { ~ y ~ } } / 2 ) } { k _ { m } w _ { \mathrm { ~ y ~ } } / 2 } \bigg ] ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ } , ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } } & { { } = \frac { k _ { m } ^ { 2 } } { k _ { n } ^ { 2 } } \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ } , ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } } \\ { \alpha _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ , ~ ( ~ R ~ W ~ G ~ ) ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { p _ { \mathrm { ~ x ~ } } p _ { \mathrm { ~ y ~ } } } { w _ { \mathrm { ~ x ~ } } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } } \bigg [ \frac { ( k _ { \mathrm { ~ t ~ } } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } { \cos ( k _ { \mathrm { ~ t ~ } } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } / 2 ) } \bigg ] ^ { 2 } \, . } \end{array}
\left[ ( c _ { + } ^ { 2 } - c _ { - } ^ { 2 } ) \kappa ^ { 1 / 2 } + \frac { c _ { + } ^ { 2 } + c _ { - } ^ { 2 } } { 3 \kappa ^ { 4 } } - \frac { ( \kappa ^ { 9 / 2 } - 1 ) } { 9 \kappa ^ { 4 } } ( c _ { + } ^ { 2 } - c _ { - } ^ { 2 } ) \right] \longrightarrow \left[ \frac { 4 } { 3 } c _ { + } ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } c _ { - } ^ { 2 } \right] \longrightarrow \frac { 2 } { 3 }
\left\langle \Phi _ { D } ^ { 2 } \right\rangle _ { \phi } = \left\langle \Phi _ { N D } ^ { 2 } \right\rangle _ { \phi } = \left\langle \Phi _ { D } ^ { 2 } \Phi _ { N D } ^ { 2 } \right\rangle _ { \phi } = \left\langle \Phi _ { D } ^ { 2 } \Phi _ { D } ^ { 2 } \right\rangle _ { \phi } \equiv 0 .
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 2 } \Delta e ^ { \pi } ( w ) } & { = } & { | \nabla ^ { \pi } ( \partial ^ { \pi } w ) | ^ { 2 } + K | \partial ^ { \pi } w | ^ { 2 } + \langle \operatorname { R i c } ^ { \nabla ^ { \pi } } ( \partial ^ { \pi } w ) , \partial ^ { \pi } w \rangle } \\ & { } & { + \langle \delta ^ { \nabla ^ { \pi } } [ ( w ^ { * } \lambda \circ j ) \wedge ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \partial ^ { \pi } w ] , \partial ^ { \pi } w \rangle . } \end{array}
= \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { } & { t _ { 2 c e } e ^ { i ( x _ { 1 a e } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) + x _ { 2 a c } { \bf a } _ { 2 } ) } } & { } & { t _ { 2 b e } e ^ { i ( x _ { 1 a e } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) + x _ { 2 a b } { \bf a } _ { 1 } ) } } \\ { t _ { 2 b d } e ^ { i ( - x _ { 1 c d } ( { \bf a } _ { 2 } - { \bf a } _ { 3 } ) + x _ { 2 b c } { \bf a } _ { 3 } ) } } & { } & { 0 } & { } & { t _ { 2 a d } e ^ { i ( - x _ { 1 c d } ( { \bf a } _ { 2 } - { \bf a } _ { 3 } ) - x _ { 2 a c } { \bf a } _ { 2 } ) } } \\ { t _ { 2 a f } e ^ { i ( - x _ { 1 b f } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 3 } ) - x _ { 2 a b } { \bf a } _ { 1 } ) } } & { } & { t _ { 2 c f } e ^ { i ( - x _ { 1 b f } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 3 } ) + x _ { 2 b c } { \bf a } _ { 3 } ) } } & { } & { 0 } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { C \left( d , \lambda , t \right) } & { = \left\langle S _ { 1 } \left( d , \lambda , t _ { 1 } \right) S _ { 2 } \left( d , \lambda , t _ { 2 } \right) \right\rangle } \\ & { + \operatorname* { m i n } \left\langle A _ { 1 } \left( d , \lambda , t _ { 1 } \right) A _ { 2 } \left( d , \lambda , t _ { 2 } \right) \right\rangle , } \end{array}
F _ { d e p o s i t } = \left\{ \begin{array} { l l } { f \cdot ( t _ { U } ^ { k } - t _ { 1 } ^ { k } ) } & { \mathrm { i f ~ d _ U ^ k ~ \in ~ { \mathbb { D } ^ k _ H } ~ } } \\ { f \cdot \sum _ { l = 1 } ^ { D _ { k } } w _ { l } ^ { k } \cdot ( t _ { l } ^ { k } - t _ { 1 } ^ { k } ) } & { \mathrm { i f ~ d _ U ^ k ~ \notin ~ { \mathbb { D } ^ k _ H } ~ } } \end{array} \right.
V _ { \mathrm { \tiny ~ C K M } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 7 5 6 } } & { { 0 . 2 1 9 7 } } & { { 0 . 0 0 0 6 - 0 . 0 0 2 2 i } } \\ { { - 0 . 2 1 9 6 } } & { { 0 . 9 7 4 8 } } & { { 0 . 0 3 9 5 } } \\ { { 0 . 0 0 8 1 - 0 . 0 0 2 1 i } } & { { - 0 . 0 3 8 7 - 0 . 0 0 0 5 i } } & { { 0 . 9 9 9 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { l } { \rho _ { \mathrm { m i n } } \left[ n ^ { ( m ) } \right] ( { \bf r } ) \ ~ \ ~ = \arg \operatorname* { m i n } _ { \rho } \left\{ { \cal E } ^ { ( m ) } \left[ \rho , n ^ { ( m ) } \right] \left\vert \int \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } = N _ { e } \right. \right\} , } \end{array}
\partial _ { t } h ( \mathbf x , t ) \, = \, \nabla \cdot \left[ Q ( h ) \, \nabla \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] - M ( h ) \, \left( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - p _ { \mathrm { v a p } } \right) .
- 3 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \}
\begin{array} { r } { \Tilde { q } ( \Tilde { t } ) = q ( \Tilde { t } ) + 0 . 0 3 6 q ^ { 2 } ( \Tilde { t } ) - 0 . 0 1 1 q ^ { 3 } ( \Tilde { t } ) + \vartheta , } \end{array}
\frac { \partial A _ { 1 } } { \partial E } = \frac { 1 } { 1 - \alpha } \left( \frac { u _ { 4 } } { v _ { 4 } } \right) ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \left( \frac { v _ { 4 } \frac { \partial u _ { 4 } } { \partial E } - u _ { 4 } \frac { \partial v _ { 4 } } { \partial E } } { ( v _ { 4 } ) ^ { 2 } } \right) ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial A _ { 1 } } { \partial \kappa } = 0 ,
\Sigma ( p ) = { \frac { i } { \theta } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \; \int { \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { \left( q _ { \lambda } + x p _ { \lambda } \right) \left[ \left( p _ { \rho } ( 1 - x ) - q _ { \rho } \right) \; 2 \; g _ { \lambda } ^ { \rho } - 2 M T ^ { 3 } \gamma _ { \lambda } \right] } { \left[ q ^ { 2 } + p ^ { 2 } x ( 1 - x ) - M ^ { 2 } x \right] ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \frac { a \big ( \alpha ( n ) \big ) } { \exp ( 2 \alpha ( n ) ) } } & { \sim \left\{ \begin{array} { l l } { ( \frac { 1 } { 2 } ) ( 2 A ) ^ { 1 / 3 } n ^ { 2 / 3 } } & { \mathrm { i f ~ i = 1 ~ } } \\ { A \big ( - \frac { i - 1 } { 3 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 3 } { i - 1 } \big ( \frac { n } { 2 A } \big ) ^ { 1 / ( i - 1 ) } \big ) \big ) ^ { i - 1 } \exp \big ( 2 \big ( \frac { i - 1 } { 3 } \big ) \operatorname { W } \big ( - \frac { 3 } { i - 1 } \big ( \frac { n } { 2 A } \big ) ^ { 1 / ( i - 1 ) } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ i > 1 ~ } } \end{array} \right. } \\ { \frac { b \big ( \alpha ( n ) \big ) } { \exp ( \alpha ( n ) ) } } & { \sim \left\{ \begin{array} { l l } { ( B n ) ^ { 1 / 2 } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 1 ~ } } \\ { B \big ( - \frac { k - 1 } { 2 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 2 } { k - 1 } \big ( \frac { n } { B } \big ) ^ { 1 / ( k - 1 ) } \big ) \big ) ^ { k - 1 } \exp \big ( \frac { k - 1 } { 2 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 2 } { k - 1 } \big ( \frac { n } { B } \big ) ^ { 1 / ( k - 1 ) } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k ~ > ~ 1 ~ } } \end{array} \right. } \\ { g \big ( \alpha ( n ) \big ) } & { \sim \left\{ \begin{array} { l l } { C \big ( - j \! \ \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j } \big ( \frac { n } { - ( j + 1 ) C } \big ) ^ { 1 / j } \big ) \big ) ^ { j + 1 } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 , ~ k = 0 , ~ j \geq ~ 1 ~ , ~ F ( z ) ~ = ~ P ( z ) ~ } } \\ { D \log ( { - D / n } ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 , ~ k = 0 , ~ j = ~ 1 ~ , ~ F ( z ) ~ = ~ P ( z ) ~ } } \\ { D \big ( - ( j - 1 ) \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j - 1 } \big ( \frac { n } { - j D } \big ) ^ { 1 / ( j - 1 ) } \big ) \big ) ^ { j } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 , ~ k = 0 , ~ j > ~ 1 ~ , ~ F ( z ) ~ = ~ P ( z ) ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
T _ { \it 3 } = m _ { 1 } d z ^ { 1 } \wedge d \bar { z } ^ { 2 } \wedge d \bar { z } ^ { 3 } + m _ { 2 } d \bar { z } ^ { 1 } \wedge d z ^ { 2 } \wedge d \bar { z } ^ { 3 } + m _ { 3 } d \bar { z } ^ { 1 } \wedge d \bar { z } ^ { 2 } \wedge d z ^ { 3 } + m _ { 4 } d z ^ { 1 } \wedge d z ^ { 2 } \wedge d z ^ { 3 } \ .
\begin{array} { r } { I _ { 1 } \leq \int _ { \eta ^ { * } } ^ { \zeta _ { 1 } } \frac { z d z } { \sqrt { { g } _ { 1 } z ( z - \eta ^ { * } ) } } \leq \frac { 1 } { \sqrt { { g } _ { 1 } } } \int _ { \eta ^ { * } } ^ { \zeta _ { 1 } } \frac { \sqrt { z } d z } { \sqrt { z - \eta ^ { * } } } \leq \frac { 2 \zeta _ { 1 } } { \sqrt { { g } _ { 1 } } } , } \end{array}
E = m c ^ { 2 } \langle \Psi | \beta | \Psi \rangle = m c ^ { 2 } \int { \big | } \Psi ( 1 ) { \big | } ^ { 2 } + { \big | } \Psi ( 2 ) { \big | } ^ { 2 } - { \big | } \Psi ( 3 ) { \big | } ^ { 2 } - { \big | } \Psi ( 4 ) { \big | } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tau ,
F _ { 2 } ^ { c } ( \ldots + \mathrm { N N L O } ) = f \left( C _ { c } ^ { ( 0 ) } + \alpha _ { S } C _ { c } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { S } ^ { 2 } C _ { c } ^ { ( 2 ) } \right) \otimes c + \left( \alpha _ { S } C _ { g } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { S } ^ { 2 } C _ { g } ^ { ( 2 ) } \right) \otimes g \; .
\ensuremath { \mathbf { U } } = \ensuremath { \mathbf { U } } _ { N } \ensuremath { \mathbf { U } } _ { D } , \ensuremath { \mathbf { U } } _ { N } = \left( \begin{array} { l l } { \ensuremath { \mathbf { R } } _ { + } ^ { \dagger } } & { 0 } \\ { 0 } & { \ensuremath { \mathbf { R } } _ { - } ^ { \dagger } } \end{array} \right) , \ensuremath { \mathbf { U } } _ { D } = \left( \begin{array} { l l } { \ensuremath { \mathbf { I } } } & { \ensuremath { \mathbf { X } } ^ { \dagger } } \\ { \ensuremath { \mathbf { \Tilde { X } ^ { \dagger } } } } & { \ensuremath { \mathbf { I } } } \end{array} \right) .
- \epsilon _ { b k } ^ { q } \hat { R } _ { i b , a m } \epsilon _ { c m } ^ { q } K _ { a c } = ( \epsilon ^ { q } ) _ { k b } ^ { t } \hat { R } _ { i b , a m } ( \epsilon ^ { q } ) _ { m c } ^ { t - 1 } K _ { a c } = \hat { R } ^ { \epsilon } \, _ { i k , a c } K _ { a c } = K _ { i k } ^ { \epsilon }
\begin{array} { r l r } { S } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \kappa } \int d ^ { 4 } x \sqrt { \operatorname* { d e t } ( - g ) } \left( R + l \right) } \\ { \Gamma _ { { \mu \nu } \rho } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \rho } g _ { \mu \nu } + \partial _ { \nu } g _ { \mu \rho } - \partial _ { \mu } r _ { \nu \rho } \right) } \\ { R } & { = } & { g ^ { \mu \nu } R _ { \mu \nu } = g ^ { \mu \nu } g ^ { \rho \sigma } R _ { \rho \mu \sigma \nu } } \\ { R _ { \mu \nu \rho \sigma } } & { = } & { \partial _ { \rho } \Gamma _ { { \mu \nu } \sigma } - \partial _ { \sigma } \Gamma _ { { \mu \nu } \rho } + g ^ { \alpha \beta } \Gamma _ { \mu \alpha \rho } \Gamma _ { \beta \nu \sigma } - g ^ { \alpha \beta } \Gamma _ { \mu \alpha \sigma } \Gamma _ { \beta \nu \rho } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle s _ { x } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \cos \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin ^ { 2 } \vartheta \, e ^ { \left[ - \beta H _ { \mathrm { e f f } } ( \vartheta , \varphi ) \right] } } \\ { \langle s _ { y } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \sin \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin ^ { 2 } \vartheta \, e ^ { \left[ - \beta H _ { \mathrm { e f f } } ( \vartheta , \varphi ) \right] } } \\ { \langle s _ { z } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin \vartheta \cos \vartheta \, e ^ { \left[ - \beta H _ { \mathrm { e f f } } ( \vartheta , \varphi ) \right] } . } \end{array}
\Delta ^ { \prime } ( s ) = 2 { \big ( } u ( \mathbf { X } ( s ) ) - U ( s ) { \big ) } { \Big ( } { \big ( } \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) - \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , u ( \mathbf { X } ( s ) ) ) { \big ) } \cdot \nabla u ( \mathbf { X } ( s ) ) - { \big ( } c ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) - c ( \mathbf { X } ( s ) , u ( \mathbf { X } ( s ) ) ) { \big ) } { \Big ) }
{ \frac { d A _ { i } } { d t } } = k _ { \mathrm { B } } T \sum _ { j } { \left[ { A _ { i } , A _ { j } } \right] { \frac { { d } { \mathcal { H } } } { d A _ { j } } } } - \sum _ { j } { \lambda _ { i , j } \left( A \right) { \frac { d { \mathcal { H } } } { d A _ { j } } } + } \sum _ { j } { \frac { d { \lambda _ { i , j } \left( A \right) } } { d A _ { j } } } + \eta _ { i } \left( t \right) .
\left. \left. - ( \vec { k } ^ { 2 } ) ^ { \epsilon - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { s _ { 1 } ( - s _ { 1 } ) s _ { 2 } ( - s _ { 2 } ) } { s ( - s ) ( \vec { k } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) + \psi ( 1 - \epsilon ) - \psi ( \epsilon ) \right) \right] \right\} + \biggl \{ A \longleftrightarrow B \biggr \} \; .
\begin{array} { r l r } { L _ { i j } = - \overline { { \rho } } \left( \, \langle { \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle } \rangle - \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle \, \right) } & { \rightarrow } & { \mathrm { L e o n a r d ~ t e n s o r } } \\ { C _ { i j } = - \overline { { \rho } } \left( \, \langle { \langle u _ { i } \rangle u _ { j } ^ { \prime \prime } } \rangle + \langle { \langle u _ { j } \rangle u _ { i } ^ { \prime \prime } } \rangle \, \right) } & { \rightarrow } & { \mathrm { C l a r c k ~ t e n s o r } } \\ { R _ { i j } = - \overline { { \rho } } \langle { u _ { j } ^ { \prime \prime } u _ { i } ^ { \prime \prime } } \rangle } & { \rightarrow } & { \mathrm { R e y n o l d s ~ t e n s o r } } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \ln | \phi | ^ { 2 } = \frac { 4 q ^ { 2 } { q ^ { \prime } } ^ { 2 } { c ^ { \prime } } ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } c ^ { 2 } } | \phi | ^ { 2 } ( | \phi | ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r } { \rho ( r ) = J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) , \quad \mu _ { n } : \ J _ { 0 } ( \mu _ { n } ) = 0 , \quad \zeta ( z ) = \cos ( \gamma _ { m } z ) , \quad \gamma _ { m } = \frac { \pi } { 2 } + m \pi , } \end{array}
g \; = \; \frac { 2 \pi } { \sqrt { 3 } } \; \approx \; 3 . 6 \; \; \; , \; \; \; g ^ { \prime } \; = \; 2 g \, m _ { q } \; \approx \; 2 . 3 \; \mathrm { G e V } \; \; \; , \; \; \; \lambda \; = \; \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } \; = \; 2 6 . 3 \; .
\begin{array} { r l r l } { S _ { \hat { x } , \hat { x } } \left( \omega \right) } & { { } = \left| G _ { \mathrm { i n v } } \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { z , z } \left( \omega \right) , } & { \left| G _ { \mathrm { i n v } } \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } } & { { } = \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { - 2 } , } \end{array}
\frac { a _ { \sigma } } { b _ { \sigma } } { \rightarrow } \left\{ \begin{array} { c } { { \infty , \; l \geq 1 , } } \\ { { 0 , \; l \leq 0 , } } \end{array} \right. \, \mathrm { a t } \, R \rightarrow 0 .
\frac { \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \Big | _ { y ^ { + } = y _ { p } ^ { + } } = A _ { M } + \frac { B _ { M } } { U _ { \infty } ^ { + } } + O \left( \frac { 1 } { { U _ { \infty } ^ { + } } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \hat { x } ^ { + } } & { = A _ { d } \hat { x } + \left[ K _ { d } + \frac { \gamma _ { d } \Gamma ^ { + } \psi } { 1 + \gamma _ { d } | \psi | ^ { 2 } } \right] ( y - \hat { y } ) + \Psi _ { d } \hat { \theta } , } \\ { \hat { \theta } ^ { + } } & { = \hat { \theta } + \frac { \gamma _ { d } \psi } { 1 + \gamma _ { d } | \psi | ^ { 2 } } ( y - \hat { y } ) , \quad \gamma _ { d } > 0 , } \\ { \Gamma ^ { + } } & { = [ A _ { d } - K _ { d } H ] \Gamma + \Psi _ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( ( \mathrm { d } X _ { n + 1 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } | \widetilde { \mathcal { F } } _ { n } ) } & { : = } & { \mathbb { E } \left( \sum _ { l , l ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \mathrm { d } B _ { n N + l } ^ { 1 } \mathrm { d } B _ { n N + l ^ { \prime } } ^ { 1 } | \mathcal { F } _ { n N } \right) = \sum _ { l = 1 } ^ { N } \mathbb { E } ( ( \mathrm { d } B _ { n N + l } ^ { 1 } ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { n N } ) } \end{array}
U _ { \mathrm { s q } } ^ { ( 0 ) } = \exp \left[ i { \frac { f _ { 0 } } { 2 } } \Big ( { \cal A } _ { i } ^ { a } { \cal E } _ { i } ^ { a } + { \cal E } _ { i } ^ { a } { \cal A } _ { i } ^ { a } \Big ) \right]
{ \frac { \partial } { \partial { m } } } \tilde { S } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) = - \beta \tilde { S } ( t _ { 1 } - t _ { 3 } ) \tilde { S } ( t _ { 3 } - t _ { 2 } ) , \qquad t _ { 1 } > t _ { 2 } > t _ { 3 }
T = \frac { 1 } { 4 } \ F _ { \mu \nu } \mathrm { } ^ { a } F ^ { \mu \nu a } = \frac { 1 } { 2 } \ D _ { \mu } \phi ^ { a } D _ { \nu } \phi ^ { a } + \frac { \lambda } { 4 } \left( \phi ^ { 2 } - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { 1 } } & { { } = - c v _ { 1 } \big ( r ( t ) - \frac { 1 } { b } v _ { 2 } \big ) , } \\ { \dot { v } _ { 2 } } & { { } = b v _ { 2 } + b d ( t ) + b v _ { 1 } \big ( l r ( t ) - \frac { 1 } { b } v _ { 2 } \big ) , } \\ { y } & { { } = v _ { 2 } . } \end{array}
V _ { \mathrm { i o n s } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } ) + V _ { \mathrm { e l } } ( x _ { \mathrm { r e l } } )
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \sum _ { m = - 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \hphantom { ( } m } ^ { ( 0 ) } , } \\ { 0 } & { = \alpha _ { \hphantom { ( } 0 } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { \hphantom { ( } - 1 } ^ { ( 0 ) } - \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 0 ) } - 2 \alpha _ { \hphantom { ( } 2 } ^ { ( 0 ) } , } \\ { 0 } & { = 2 \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { \hphantom { ( } - 1 } ^ { ( 0 ) } - \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 0 ) } - 4 \alpha _ { \hphantom { ( } 2 } ^ { ( 0 ) } - 2 \alpha _ { \hphantom { ( } 0 } ^ { ( 2 ) } , } \\ { 0 } & { = 3 \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { \hphantom { ( } - 1 } ^ { ( 0 ) } - \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 0 ) } - 8 \alpha _ { \hphantom { ( } 2 } ^ { ( 0 ) } , } \\ { 0 } & { = 4 \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { \hphantom { ( } - 1 } ^ { ( 0 ) } - \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 0 ) } - 1 6 \alpha _ { \hphantom { ( } 2 } ^ { ( 0 ) } , } \\ { 0 } & { = 5 \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { \hphantom { ( } - 1 } ^ { ( 0 ) } - \alpha _ { \hphantom { ( } 1 } ^ { ( 0 ) } - 3 2 \alpha _ { \hphantom { ( } 2 } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
{ \bar { v } } ( T ) = { \frac { 0 . 3 1 7 3 9 8 7 2 6 + 4 . 2 2 8 0 6 2 4 5 \times 1 0 ^ { - 5 } T + 4 . 2 0 4 8 1 6 9 1 \times 1 0 ^ { - 8 } T ^ { 2 } } { 1 - 2 . 8 9 7 4 1 8 1 6 \times 1 0 ^ { - 5 } T + 1 . 6 1 4 5 6 0 5 3 \times 1 0 ^ { - 7 } T ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { E _ { \xi , \phi } { I ( \phi _ { k } , \xi _ { k } \in Q , k \le n ) ( 1 + \| \xi _ { n + 1 } \| ^ { q } ) } \le \mu _ { q } ( Q ) ( 1 + \| \xi _ { n } \| ^ { q } ) , } \end{array}