harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Delta p _ { 0 } ^ { 0 } } & { { } = } & { \Delta p _ { 0 } ^ { 2 } = \Delta p _ { 1 } ^ { 1 } = \Delta p _ { 2 } ^ { 0 } = 0 , } \\ { \Delta p _ { 0 } ^ { 1 } } & { { } = } & { \sum _ { i } p _ { i } ( 1 - { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ) + \frac { 2 D \eta } { \rho _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T R _ { 0 } b } , } \\ { \Delta p _ { 1 } ^ { 0 } } & { { } = } & { - \sum _ { i } p _ { i } { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } , } \\ { \Delta p _ { 0 } ^ { 3 } } & { { } = } & { \sum _ { i } \left[ 3 F \left( H ; \beta _ { i } ( x ) { \rho _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) \right) - p _ { i } { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 3 } \right] , } \\ { \Delta p _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = } & { - \sum _ { i } p _ { i } { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { \Delta p _ { 2 } ^ { 1 } } & { { } = } & { - \sum _ { i } p _ { i } { J _ { i } } _ { 2 } ^ { 1 } , } \\ { \Delta p _ { 3 } ^ { 0 } } & { { } = } & { - \sum _ { i } p _ { i } { J _ { i } } _ { 3 } ^ { 0 } , } \end{array}
S _ { \bar { t } } ( - p _ { \bar { t } } ) = \frac { 1 - { \gamma } _ { 0 } } { 2 } \frac { - 1 } { { \varepsilon } _ { \bar { t } } - \frac { { \vec { p } } ^ { 2 } } { 2 m _ { t } } + i \frac { { \Gamma } _ { t } } { 2 } }
{ \hat { \nu } } = { \hat { \alpha } } + { \hat { \beta } } = 3 { \frac { ( { \mathrm { s a m p l e ~ e x c e s s ~ k u r t o s i s } } ) - ( { \mathrm { s a m p l e ~ s k e w n e s s } } ) ^ { 2 } + 2 } { { \frac { 3 } { 2 } } ( { \mathrm { s a m p l e ~ s k e w n e s s } } ) ^ { 2 } - { \mathrm { ( s a m p l e ~ e x c e s s ~ k u r t o s i s ) } } } }
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 ( N + 2 ) } { \delta _ { n } ^ { 2 } } \mathbb E \left[ \left| \kappa _ { n } ( x _ { 0 } , y _ { n } ) - \left( 1 - \frac { W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y _ { n } } ^ { \delta _ { n } } ) } { \delta _ { n } } \right) \right| \right] } \\ & { \quad + \left| \frac { 2 ( N + 2 ) } { \delta _ { n } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y _ { n } } ^ { \delta _ { n } } ) } { \delta _ { n } } \right) - ( \textrm { R i c } _ { x _ { 0 } } ( v ) + 2 \textrm { H e s s } _ { x _ { 0 } } V ( v ) ) \right| . } \end{array}
v _ { l l ^ { \prime } , 0 } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } { \bf r } \int d ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \frac { | w _ { l , 0 } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } | w _ { l ^ { \prime } , 0 } ( { \bf r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } { | { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } | }
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ - ~ F ~ T ~ } } ( x , y ) } { \partial x } = \frac { L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { x } - \frac { L ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { x + y } , \quad \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ - ~ F ~ T ~ } } ( x , y ) } { \partial y } = \frac { L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { y } - \frac { L ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { x + y } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) + \ensuremath { { \bf \tilde { \Delta } } } ( \omega ) } - \sqrt { \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } [ \nabla ^ { k } \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) \cdot \ensuremath { { \bf \tilde { \Delta } } } _ { i } ( \omega ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \operatorname { T r } ( m ^ { - 1 } \cdot \operatorname { R e } \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \hat { p } ^ { T } \rangle ) - \operatorname { T r } [ V _ { 2 } \cdot \operatorname { C o v } _ { R } ( \hat { q } , \hat { p } ) \cdot m ^ { - 1 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 k ^ { \infty } } & { { } = \langle g ^ { \infty } \rvert \hat { \Gamma } \rvert \rho _ { e q } g ^ { \infty } \rangle / \langle g ^ { \infty } \rvert \rho _ { e q } g ^ { \infty } \rangle = } \end{array}
\beta _ { 1 } ^ { f } = { \frac { \widetilde A _ { 1 2 } ^ { \chi } ( m _ { 2 } ^ { 2 } ) } { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } } , \quad \beta _ { 2 } ^ { f } = { \frac { \widetilde A _ { 1 2 } ^ { \chi } ( m _ { 1 } ^ { 2 } ) } { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } }
\frac { 1 } { M _ { \mathrm { e q } } } = \frac { 1 } { M _ { 1 } } + \frac { 1 } { M _ { 2 } } + \frac { 1 } { M _ { 3 } } + \frac { 1 } { M _ { 4 } } + \frac { 1 } { M _ { 5 } }
A ^ { a \mu } ( p ) = A ^ { ( 0 ) \, a \mu } ( p ) - \! \, ^ { \ast } \tilde { \cal D } ^ { \mu \mu ^ { \prime } } ( p ) \sum _ { s = 2 } ^ { \infty } \tilde { J } _ { \mu ^ { \prime } } ^ { ( s ) a } ( A ^ { ( 0 ) } , \ldots , A ^ { ( 0 ) } ) ,
\begin{array} { r l } { h [ a ] ( r ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi } 2 \pi r ^ { 2 } \sin ( \theta ) f ( r ^ { \prime } ) } \\ & { \times \frac { e ^ { - a ( r ) ( r ^ { 2 } + r ^ { 2 } - 2 r ^ { \prime } r \cos ( \theta ) ) } } { \sqrt { ( r ^ { 2 } + r ^ { 2 } - 2 r ^ { \prime } r \cos ( \theta ) ) } } \, d r ^ { \prime } \, d \theta \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | t r ( \Delta _ { k } ( \widehat { \Sigma } _ { k } - \Sigma _ { 0 k } ) ) | } & { = | G ( \Delta _ { k } \circ ( \widehat { \Sigma } _ { k } - \Sigma _ { 0 k } ) ) | } \\ & { \leq | G ( \Delta _ { k } ^ { - } \circ ( \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { - } - \Sigma _ { 0 k } ^ { - } ) ) | + | G ( \Delta _ { k } ^ { + } \circ ( \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } ) ) | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( y \circ x ) \circ z - y \circ ( x \circ z ) } & { = ( R ( y ) \cdot x ) \circ z - y \circ ( R ( x ) \cdot z ) } \\ & { = R ( R ( y ) \cdot x ) \cdot z - R ( y ) \cdot ( R ( x ) \cdot z ) } \\ & { = ( R ^ { 2 } ( y ) \cdot x + R ( y ) \cdot R ( x ) ) \cdot z - R ( y ) \cdot ( R ( x ) \cdot z ) } \\ & { = ( R ^ { 2 } ( y ) \cdot x ) \cdot z } \\ & { = ( ( \alpha . \, y ) \cdot x ) \cdot z . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \delta _ { 0 } } R ( \beta + \delta _ { 0 } h ) } & { = } & { J ^ { - 1 } \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } H _ { v } ( \beta ) \sum _ { u \in { \cal R } ( d , J ) } h ( u ) \phi _ { u } ^ { 1 } ( v ) } \\ & { = } & { J ^ { - 1 } \sum _ { u \in { \cal R } ( d , J ) } h ( u ) \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } H _ { v } ( \beta ) \phi _ { u } ^ { 1 } ( v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { \prime } ( t ) } & { = - r t ^ { r - 1 } { _ 2 F _ { 1 } } ( - \frac { r } { 2 } , 1 - \frac { r + d } { 2 } ; 2 - \frac { r } { 2 } ; \frac { 1 } { t ^ { 2 } } ) } \\ & { \quad + t ^ { r - 3 } \frac { r ( r + d - 2 ) } { 4 - r } { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 - \frac { r } { 2 } , 2 - \frac { r + d } { 2 } ; 3 - \frac { r } { 2 } ; \frac { 1 } { t ^ { 2 } } ) + \frac { r \Gamma ( 2 - \frac { r } 2 ) \Gamma ( \frac { d + r } { 2 } ) t } { \Gamma ( 1 + \frac { d } { 2 } ) } . } \end{array}
H = \sum _ { k \alpha } \epsilon _ { k } c _ { k \alpha } ^ { \dagger } c _ { k \alpha } + \sum _ { k } [ \Delta _ { k } c _ { k \uparrow } ^ { \dagger } c _ { - k \downarrow } ^ { \dagger } + \Delta _ { k } ^ { * } c _ { - k \downarrow } c _ { k \uparrow } ] .
- { \frac { 1 } { 2 } } ( D _ { \mu } \phi ( x ) ) ^ { 2 } + G \bar { \Psi } ( x ) \Phi ( x ) \Psi ( x ) + { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 } \bigl ( \vert \phi ( x ) \vert ^ { 2 } - c ^ { 2 } \bigr ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \left\langle { \Delta E } \right\rangle } & { { } = \Delta _ { B } \left[ \left\langle { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) } \right\rangle + \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } } { 2 } \right) } \right\rangle \left\langle { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { B } } { 2 } \right) } \right\rangle \right] , } \end{array}
\mathrm { d } F = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \nabla \times { } } \frac { \boldsymbol { E } } { \alpha } = - L _ { e _ { 0 } } \boldsymbol { B } } \\ { \boldsymbol { \nabla \cdot B } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { q _ { n } + x _ { n } } & { \geq \bigg ( \frac { q _ { n } } { \alpha _ { n } ^ { ( i ) } } \bigg ) ^ { \alpha _ { n } ^ { ( i ) } } \bigg ( \frac { x _ { n } } { \beta _ { n } ^ { ( i ) } } \bigg ) ^ { \beta _ { n } ^ { ( i ) } } } \\ & { = \left( q _ { n } ^ { ( i ) } \! + \! x _ { n } ^ { ( i ) } \right) \bigg ( \frac { q _ { n } } { q _ { n } ^ { ( i ) } } \! \! \bigg ) ^ { \! \alpha _ { n } ^ { ( i ) } } \! \bigg ( \frac { x _ { n } } { x _ { n } ^ { ( i ) } } \! \bigg ) ^ { \beta _ { n } ^ { ( i ) } } . } \end{array}
m ( \Lambda _ { 1 } \, \Lambda _ { 2 } \, g _ { B ^ { \prime } } \, g _ { B } \, g _ { A } \, g _ { A ^ { \prime } } ) = 2 \, m ( \bar { q } _ { 1 } \, q _ { 2 } \, g _ { B ^ { \prime } } \, g _ { B } \, g _ { A } \, g _ { A ^ { \prime } } ) \, ,
\begin{array} { r l r l } { p } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { T r a c e } \left( \mathbf { P } \right) = \frac { 1 } { 3 } P _ { \alpha \alpha } , } & { \pi _ { \alpha \beta } } & { { } = P _ { \alpha \beta } - p \delta _ { \alpha \beta } , } \end{array}
\int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } d s _ { i } \simeq \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } d t _ { i } \, \sqrt { 1 + h _ { 1 1 } [ x ( t _ { i } ) ] } \simeq T + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } d t _ { i } \, h _ { 1 1 } [ x ( t _ { i } ) ]
1 - \frac { \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { \omega } \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda } } { \lambda } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { n ^ { 2 } I _ { n } ( \lambda ) } { \omega - n \omega _ { \mathrm { c } } } = 0 ,
\frac { \mathcal { P } ^ { \tilde { Z } ^ { T , t } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , t ] } ) } { \mathcal { P } ^ { X } ( X _ { [ 0 , t ] } ) } = \frac { \mathcal { P } ^ { \tilde { Z } ^ { T , t } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , t ] } ) } { \mathcal { P } ^ { Z ^ { t } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , t ] } ) } e ^ { - \beta F _ { t } } .
R _ { u v } ( k _ { z } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { h } ^ { 2 h } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \sum _ { r = u , v , w } W _ { r , k _ { x } } ( k _ { x } / k _ { z } ) \Phi _ { u v , r } ^ { N _ { \mathrm { P O D } } } ( y , y ^ { \prime } ; k _ { x } , k _ { z } ) \delta ( y ^ { \prime } - y ) \mathrm { d } k _ { x } \mathrm { d } y ^ { \prime } .
u _ { p } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) = \underbrace { u ^ { * } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) \left\{ 1 + \Gamma \left( z ^ { + } \right) u _ { S } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } - \tau _ { a } ^ { + } \right) \right\} } _ { \mathrm { a m p l i t u d e ~ m o d u l a t i o n } } + \underbrace { u _ { S } ^ { + } \left( z ^ { + } , t ^ { + } \right) } _ { \mathrm { s u p e r p o s i t i o n } } .
\dotsb { \overset { \partial _ { n + 1 } } { \longrightarrow \, } } C _ { n } { \overset { \partial _ { n } } { \longrightarrow \, } } C _ { n - 1 } { \overset { \partial _ { n - 1 } } { \longrightarrow \, } } \dotsb { \overset { \partial _ { 2 } } { \longrightarrow \, } } C _ { 1 } { \overset { \partial _ { 1 } } { \longrightarrow \, } } C _ { 0 } { \overset { \epsilon } { \longrightarrow \, } } \mathbb { Z } { \longrightarrow \, } 0
E _ { j } = h _ { 1 } ( j ) = : \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { j - 1 } \, , } & { \textrm { f o r } \quad \qquad \, 1 \leq j \leq q + 1 , } \\ { B _ { ( 2 q + 1 ) - j } \, , } & { \textrm { f o r } \quad \; \, q + 2 \leq j \leq 2 q + 1 , } \\ { C _ { j - ( 2 q + 1 ) } \, , } & { \textrm { f o r } \quad 2 q + 2 \leq j \leq 3 q + 1 , } \\ { D _ { ( 4 q + 3 ) - j } \, , } & { \textrm { f o r } \quad 3 q + 2 \leq j \leq 4 q + 3 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) , \mathrm { X C } } = - \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { t r } } [ \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { e l } } } ( x ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { D } } \Delta ^ { 2 } \tilde { w } - \boldsymbol { { \kappa } } _ { 0 } : ( \nabla \otimes \nabla { \tilde { \mathcal { F } } } ) - \boldsymbol { { N } } _ { 0 } : ( \nabla \otimes \nabla \tilde { w } ) - \left[ \tilde { \mathcal { F } } , \tilde { w } \right] } & { = 0 , } \\ { \frac { \Delta ^ { 2 } \tilde { \mathcal { F } } } { \overline { { \alpha } } ( 1 - \overline { { \nu } } _ { A } ^ { 2 } ) } + \boldsymbol { { \kappa } } _ { 0 } : ( \nabla \otimes \nabla \tilde { w } ) + \frac { 1 } { 2 } \left[ \tilde { w } , \tilde { w } \right] } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \omega , b , \xi , \eta , z } \quad } & { \frac { \Vert \omega \Vert ^ { 2 } } { 2 } + C _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \xi _ { i } + C _ { 2 } ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { y _ { i } ( \omega ^ { \top } x ^ { i } - b ) \geq 1 - \xi _ { i } , \quad i \in [ 1 , n ] , } \\ & { \omega ^ { \top } x ^ { i } + b \leq z _ { i } M , \quad i \in [ n + 1 , N ] \setminus ( S _ { p } \cup S _ { n } ) , } \\ & { \omega ^ { \top } x ^ { i } + b \geq - ( 1 - z _ { i } ) M , \quad i \in [ n + 1 , N ] \setminus ( S _ { p } \cup S _ { n } ) , } \\ & { \omega ^ { \top } x ^ { i } + b \geq 0 , \quad i \in S _ { p } , } \\ & { \omega ^ { \top } x ^ { i } + b \leq 0 , \quad i \in S _ { n } , } \\ & { \tau - \eta _ { 1 } \leq \vert S _ { p } \vert + \sum _ { i \in [ n + 1 , N ] \setminus ( S _ { p } \cup S _ { n } ) } z _ { i } \leq \tau + \eta _ { 2 } , } \\ & { \xi _ { i } \geq 0 , \quad i \in [ 1 , n ] , } \\ & { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } \geq 0 } \\ & { z _ { i } \in \{ 0 , 1 \} , \quad i \in [ n + 1 , N ] \setminus ( S _ { p } \cup S _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 , \cdots , n } \left| X _ { i } \right| ^ { p } \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { E } \left[ Y \right] } \\ { \leq } & { f ^ { - 1 } \left( \mathbb { E } \left[ f \left( Y \right) \right] \right) } \\ { = } & { f ^ { - 1 } \left( \mathbb { E } \left[ \exp \left( \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 , \dots , n } | X _ { i } | \right) : Y \geq x _ { 0 } \right] + \exp \left( x _ { 0 } ^ { 1 / p } \right) \mathbb { P } \left( Y \leq x _ { 0 } \right) \right) } \\ { \leq } & { f ^ { - 1 } \left( \mathbb { E } \left[ \exp \left( \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 , \dots , n } | X _ { i } | \right) : Y \geq x _ { 0 } \right] + e ^ { p - 1 } \mathbb { E } \left[ \exp \left( \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 , \dots , n } | X _ { i } | \right) : Y \leq x _ { 0 } \right] \right) } \\ { \leq } & { f ^ { - 1 } \left( e ^ { p - 1 } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 , \dots , n } e ^ { | X _ { i } | } \right] \right) } \\ { \leq } & { \left( p - 1 + \log \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ e ^ { | X _ { i } | } \right] \right) \right) ^ { p } } \\ { \leq } & { 2 ^ { p - 1 } \left\{ \left( p - 1 \right) ^ { p } + \left[ \log \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ e ^ { | X _ { i } | } \right] \right) \right] ^ { p } \right\} . } \end{array}
S _ { \psi } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { n } \int d y ^ { \mu _ { 1 } } \cdots d y ^ { \mu _ { n } } d y ^ { p + 1 } \cdots d y ^ { 9 } A _ { \mu _ { 1 } , \cdots , \mu _ { n } } ( y _ { 1 } , \cdots , y _ { p } ) .
C ( \omega , \omega ^ { \prime } ) = \delta _ { { \omega + \omega ^ { \prime } } , 0 } f ( \omega , \omega ^ { \prime } , \theta ) - 4 \sum _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } > 0 } ^ { N } { \omega _ { 1 } } ^ { 2 } { \omega _ { 2 } } ^ { 2 } C _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } } ^ { - \omega ^ { \prime } } \: C _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } } ^ { \omega } + \sum _ { \omega _ { 1 } > 0 } ^ { N } { \omega _ { 1 } } ^ { 2 } \: ( \omega - \omega _ { 1 } ) ^ { 2 } \: C _ { \omega _ { 1 } , \omega - \omega _ { 1 } } ^ { - \omega ^ { \prime } }
\frac { d C _ { 1 } } { d t } = \frac { k _ { i n } } { v _ { p } } - k _ { e l } C _ { 1 } , \, \frac { d C _ { 2 } } { d t } = \frac { v _ { p } } { v _ { e } } k ^ { t r a n s } C _ { 1 } - k _ { e p } C _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \zeta _ { n m } ( \Omega _ { m } ) } & { = \frac { n m } { n m + 1 } F _ { n m , \Omega } ( 1 ) \left( \Omega _ { m } - \widehat \Omega _ { n m } \right) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \rho _ { n m , \Omega _ { m } } ( s ) s ^ { 2 n m + 1 } \big ( f _ { 0 } ( s ) - 2 \Omega _ { m } \big ) d s } \\ & { = \zeta _ { n m , 1 } ( \Omega _ { m } ) + \zeta _ { n m , 2 } ( \Omega _ { m } ) . } \end{array}
\omega = \frac { \partial \mathcal { W } } { \partial \phi } = \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial \phi } \psi _ { 0 } + G _ { c } \frac { \phi } { \ell } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mathbf { \zeta } = \frac { \partial \mathcal { W } } { \partial \nabla \phi } = G _ { c } \: \ell \: \nabla \phi .
\begin{array} { r l r } { a _ { x _ { \mathrm { A } } , y _ { \mathrm { B } } } ^ { ( \pm ) } } & { = } & { \cos { \theta } \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } \pm \sin { \theta } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( a _ { x , \mathrm { A } } + a _ { y , \mathrm { B } } ) , } \\ { a _ { x _ { \mathrm { A } } , y _ { \mathrm { B } } } ^ { D } } & { = } & { c _ { x , \mathrm { A } } a _ { x , \mathrm { A } } + c _ { y , \mathrm { B } } a _ { y , \mathrm { B } } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 m _ { B } } } \langle B | O _ { i } ^ { q } | B \rangle = { \frac { f _ { B } ^ { 2 } m _ { B } } { 8 } } B _ { i } , \qquad { \frac { 1 } { 2 m _ { B } } } \langle B | T _ { i } ^ { q } | B \rangle = { \frac { f _ { B } ^ { 2 } m _ { B } } { 8 } } \epsilon _ { i } ,
\begin{array} { r l } & { a _ { 0 , 0 } = 1 , } \\ & { a _ { 2 l , k } = \left( - \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { l } \frac { \Gamma ( d - 1 ) } { \Gamma ( d / 2 ) } \frac { 2 ^ { k - 1 } k ! } { ( k + d - 3 ) ! } \frac { \Gamma ( k - l + ( d - 2 ) / 2 ) } { l ! ( k - 2 l ) ! } , \quad l \in \{ 0 , \ldots , \lfloor k / 2 \rfloor \} , \; k > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \vec { \rho } _ { i } } { d t } = \frac { \partial H } { \partial \vec { P } _ { i } } ~ , \quad \quad \frac { d \vec { P } _ { i } } { d t } = - \frac { \partial H } { \partial \vec { \rho } _ { i } } ~ , } \end{array}
J _ { n } ( \vec { y _ { 1 } } . . . . \vec { y _ { n } } , x ) = \frac { ( x ^ { d } ) ^ { - ( d + 1 ) + n \Delta } } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } [ ( x ^ { d } ) ^ { 2 } + | \vec { x } - \vec { y _ { i } } | ^ { 2 } ] ^ { \Delta } }
\frac { \Gamma ^ { 0 } } { \Gamma ^ { - } } = \frac { \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } \right) } { n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { 0 } } \frac { k _ { e g } ^ { 0 } } { k _ { e g } ^ { - } } .
\left\{ \begin{array} { r l l } { \zeta _ { \operatorname* { m i n } } } & { = \operatorname* { m a x } [ 0 , \xi - r _ { m } ( \xi ) ] \medskip } \\ { \zeta _ { \operatorname* { m a x } } } & { \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ s o l u t i o n ~ o f ~ } \; \; \zeta _ { \operatorname* { m a x } } = \xi + r _ { m } ( \zeta _ { \operatorname* { m a x } } ) } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { \to H ^ { 0 } ( \mathbf { G } _ { m } ) \to H ^ { 0 } ( j _ { * } \mathbf { G } _ { m , K } ) \to \bigoplus _ { x \in | X | } H ^ { 0 } ( i _ { x * } \mathbf { Z } ) \to } \\ & { \to H ^ { 1 } ( \mathbf { G } _ { m } ) \to H ^ { 1 } ( j _ { * } \mathbf { G } _ { m , K } ) \to \bigoplus _ { x \in | X | } H ^ { 1 } ( i _ { x * } \mathbf { Z } ) \to } \\ & { \to \cdots } \end{array} }
I _ { l , k } ( z ) = \int _ { z ^ { \prime } \in \mathbb { C } , s \geq 0 } \partial _ { z ^ { \prime } } ^ { l } \frac { 1 } { ( | z - z ^ { \prime } | ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \partial _ { z ^ { \prime } } ^ { k } \frac { 1 } { ( | z ^ { \prime } | ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \bar { z } s d s d z ^ { \prime } d \bar { z } ^ { \prime } .
\left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } - | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } + | - m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } \right) / 2
{ \frac { \langle ( 2 \delta \boldsymbol { u } \cdot \delta \boldsymbol { q } ) ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } { \langle ( 2 \delta \boldsymbol { u } \cdot \delta \boldsymbol { w } ) ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } \approx \frac { \langle | \delta \boldsymbol { u } | ^ { 2 } \rangle \langle | \delta \boldsymbol { q } | ^ { 2 } \rangle \langle \mathrm { c o s } ^ { 2 } ( \theta _ { q } ) \rangle ( \boldsymbol { r } ) } { \langle | \delta \boldsymbol { u } | ^ { 2 } \rangle \langle | \delta \boldsymbol { w } | ^ { 2 } \rangle \langle \mathrm { c o s } ^ { 2 } ( \theta _ { w } ) \rangle ( \boldsymbol { r } ) } \approx \frac { \langle | \delta \boldsymbol { q } | ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } { \langle | \delta \boldsymbol { w } | ^ { 2 } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { p ( x , t ) } { p _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } \, f _ { G E N } ( x ) - \gamma _ { m } \, m ( x , t ) + D _ { m } \, \nabla ^ { 2 } m ( x , t ) } \\ { \dot { p } ( x , t ) } & { { } = } & { \omega _ { p } \; f _ { R I B } ( x ) \, m ( x , t ) - \gamma _ { p } \, p ( x , t ) + D _ { p } \nabla ^ { 2 } \, p ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< G ( z ) \right> } & { = \frac { 1 } { z + i \gamma \mathrm { s g n } [ \mathrm { I m } z ] } } \\ & { + \frac { 1 } { z + i \gamma \mathrm { s g n } [ \mathrm { I m } z ] } H _ { 0 } \frac { 1 } { z + i \gamma \mathrm { s g n } [ \mathrm { I m } z ] } + \cdots } \\ & { = \frac { 1 } { z + i \gamma \mathrm { s g n } [ \mathrm { I m } z ] - H _ { 0 } } . } \end{array}
\tilde { \bf Y } _ { 2 } ^ { - } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) | _ { x _ { 3 } = { x _ { 3 , F } } } = \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) \exp \{ i \omega { { \bf s } } \cdot { { \bf x } _ { \mathrm { H } } } \}
\begin{array} { r l } { i _ { 1 } } & { = \mathcal { N } \left[ \mathbf { X } \left( t \right) , \theta \right] , } \\ { i _ { 2 } } & { = \mathcal { N } \left[ \mathbf { X } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } i _ { 1 } , \theta \right] , } \\ { i _ { 3 } } & { = \mathcal { N } \left[ \mathbf { X } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } i _ { 2 } , \theta \right] , } \\ { i _ { 4 } } & { = \mathcal { N } \left[ \mathbf { X } \left( t \right) + i _ { 3 } , \theta \right] , } \\ { z } & { = \mathbf { X } \left( t \right) + \frac { 1 } { 6 } \left( i _ { 1 } + 2 i _ { 2 } + 2 i _ { 3 } + i _ { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 3 } : = \Bigg \{ } & { { } ( f _ { \omega } , f _ { \phi } , f _ { \Sigma } , f _ { b } , e _ { \omega } , e _ { \phi } , e _ { \Sigma } , e _ { b } ) \in \mathcal { F } _ { 3 } \times \mathcal { E } _ { 3 } \mid } \end{array}
S = { \frac { N } { g } } t r \left( { \frac { 1 } { 2 \cosh ( \beta ) ( 1 + c ^ { * } ) } } S ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 \cosh ( \beta ) ( 1 - c ^ { * } ) } } D ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } S ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 4 } } D ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( S D S D + 2 S ^ { 2 } D ^ { 2 } ) \right) ,
\phi _ { 0 } ( r , s ; { \bf P } ) = \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 2 } \! \exp \left[ \frac { \alpha } { 2 } \; \{ r ^ { 2 } + s ^ { 2 } - \frac { 2 } { M _ { 0 } ^ { 2 } } ( P \cdot r ) ^ { 2 } - \frac { 2 } { M _ { 0 } ^ { 2 } } ( P \cdot r ) ^ { 2 } \} \right] ,