harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\Vert \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \right\Vert _ { 2 } \leq \frac { | \alpha _ { \mathrm { T } } | } { 1 - \mathcal { C } _ { \mathrm { T } } } \frac { | \alpha _ { \mathrm { R } } | } { 1 - \mathcal { C } _ { \mathrm { R } } } N _ { \mathrm { T } } N _ { \mathrm { R } } \frac { k ^ { 2 } } { 4 \epsilon \delta } \left| \mathrm { H } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k D _ { \mathrm { R T } } ) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { B _ { u ( t ) } } & { = \left\{ e ^ { i \Gamma _ { j } ( y _ { j } ) - \frac { | y | ^ { 2 } } { 2 } } , ( y _ { j } ) _ { 1 } e ^ { i \Gamma _ { j } ( y _ { j } ) - \frac { | y _ { j } | ^ { 2 } } { 2 } } , \dots , ( y _ { j } ) _ { d } e ^ { i \Gamma _ { j } ( y _ { j } ) - \frac { | y _ { j } | ^ { 2 } } { 2 } } , | y _ { j } | ^ { 2 } e ^ { i \Gamma _ { j } ( y _ { j } ) - \frac { | y _ { j } | ^ { 2 } } { 2 } } : j = 1 , \dots , N \right\} , } \\ & { = : \left\{ b _ { j , 1 } , b _ { j , 2 } , \dots , b _ { j , d + 1 } , b _ { j , d + 2 } : j = 1 , \dots , N \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( A _ { M } ) } & { : = \left\{ f \in H ^ { 2 } ( 0 , 1 ) : \left( \begin{array} { l } { - f ^ { \prime } ( 0 ) } \\ { f ^ { \prime } ( 1 ) } \end{array} \right) = M \left( \begin{array} { l } { f ( 0 ) } \\ { f ( 1 ) } \end{array} \right) \right\} , } \\ { A _ { M } } & { : = - \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { H } ^ { ( 5 ) } : = { H } ^ { ( 4 ) } \circ \Phi _ { 1 } ^ { F ^ { ( 5 ) } } = { H } _ { 2 } ^ { ( 4 ) } + { H } _ { 3 } ^ { ( 4 ) } + { H } _ { 4 } ^ { ( 4 ) } + \mathcal { H } _ { 5 } ^ { ( 5 ) } + \mathcal { H } _ { \ge 6 } ^ { ( 5 ) } , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \quad \mathcal { H } _ { 5 } ^ { ( 4 ) } + \left\{ { H } _ { 2 } ^ { ( 4 ) } , F ^ { ( 5 ) } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { k } ( \textbf { w } _ { k } , \textbf { v } ) = \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( 1 + \frac { \left| { \textbf { h } } _ { k } ^ { H } \textbf { w } _ { k } \right| ^ { 2 } } { \sum _ { k ^ { \prime } \in \mathcal { K } , k ^ { \prime } \ne k } \left| { \textbf { h } } _ { k } ^ { H } \textbf { w } _ { k ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
- i \omega \tau \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \right) \vec { w } _ { \omega \perp } = 2 \left( \frac { f \rho \gamma } { 3 a \zeta T } - 1 + \lambda ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } \right) \vec { w } _ { \omega \perp } \; ,
X _ { ( 0 ) } ^ { \mu } ( x _ { 0 } , y = i \lambda ) = x ^ { \mu } ( \mathcal { P } ) + \alpha ^ { \mu 0 } y + i \sum _ { m \neq 0 } \frac { 1 } { m } \alpha ^ { \mu m } \cos ( m x _ { 0 } ) \ e ^ { - i m y }
\begin{array} { r l r } { \frac { 8 a ^ { 3 } I _ { 2 3 } } { m _ { 0 } R ^ { 5 } } } & { = } & { \sin \theta \sum _ { k } \Big [ K ( k n - \omega ) ( \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) - \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ) } \\ & { } & { + K ( k n + \omega ) ( \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) + \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ) \Big ] e ^ { \mathrm { i } k M } } \end{array}
R _ { p n } ^ { m j } \widetilde { R } _ { m q } ^ { i n } = \widetilde { R } _ { p n } ^ { m j } R _ { m q } ^ { i n } = \delta _ { p } ^ { i } \, \delta _ { q } ^ { j } \, , \ \ \, o v e r l i n e { R } { } _ { p n } ^ { m j } \widetilde { \overline { { { R } } } } { } _ { m q } ^ { i n } = \widetilde { \overline { { { R } } } } { } _ { p n } ^ { m j } \overline { { { R } } } { } _ { m q } ^ { i n } = \delta _ { p } ^ { i } \, \delta _ { q } ^ { j } \, .
\begin{array} { r l r } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = [ \Delta ( \mathbf { 1 } - \Delta ) ] _ { i j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , b _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = [ \mathbf { 1 } - \Delta ] _ { i j } \dag , . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { v _ { y } } ^ { ( 3 ) } } { \partial t ^ { 2 } } + \omega _ { c } ^ { 2 } \tilde { v _ { y } } ^ { ( 3 ) } = \frac { e } { m } \left[ \frac { \partial } { \partial t } ( \tilde { v _ { x } } ^ { ( 2 ) } B _ { m w z } ) + \omega _ { c } \tilde { v _ { x } } ^ { ( 2 ) } B _ { m w y } \right]
\left\{ \begin{array} { l } { { \sum _ { g } 2 \pi \phi _ { i , j , g } ^ { n + 1 } = \int _ { \mathrm { 0 } } ^ { \infty } \int _ { 2 \pi } \sigma _ { a } B \left( \nu , T _ { i , j } ^ { n + 1 } \right) d \vec { \Omega } d \nu = a c \left( T _ { i , j } ^ { n + 1 } \right) ^ { 4 } } } \\ { { \sum _ { g } \rho _ { i , j , g } ^ { n + 1 } = \sum _ { g } 2 \pi \phi _ { i , j , g } ^ { n + 1 } = a c \left( T _ { i , j } ^ { n + 1 } \right) ^ { 4 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { C _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ^ { ( n ) } } & { - \frac { 1 } { \lambda } \sum _ { l } C _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n - 2 } \bar { l } } ^ { ( n - 1 ) } \frac { 1 } { m _ { l } ^ { 2 } } C _ { l a _ { n - 1 } a _ { n } } ^ { ( 3 ) } - \frac { 1 } { \lambda } \sum _ { s } C _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n - 3 } \bar { s } } ^ { ( n - 2 ) } \frac { 1 } { m _ { s } ^ { 2 } } C _ { s a _ { n - 2 } a _ { n - 1 } a _ { n } } ^ { ( 4 ) } } \\ & { + \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \sum _ { l } C _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n - 3 } \bar { s } } ^ { ( n - 2 ) } \frac { 1 } { m _ { s } ^ { 2 } } C _ { s a _ { n - 2 } \bar { l } } ^ { ( 3 ) } \frac { 1 } { m _ { l } ^ { 2 } } C _ { l a _ { n - 1 } a _ { n } } ^ { ( 3 ) } . } \end{array}
V ( \Delta ) = \frac { 1 } { 2 } ( \chi N ) ^ { 2 } \bigg ( \Delta ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \bigg ) \bigg ( \Delta ^ { 2 } - \frac { 1 - ( \delta _ { \mathrm { s } } / \chi N ) ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { ( Q _ { H } ( x , \tilde { \xi } ) ) _ { l } ^ { k } } & { = \frac { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \hat { \mu } ^ { q \tilde { a } } \xi _ { \tilde { a } } \hat { \mu } ^ { k \tilde { b } } \xi _ { \tilde { b } } + \left( \delta _ { l } ^ { k } \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \hat { \varepsilon } } ^ { 2 } - \delta _ { l } ^ { \tilde { l } } \xi _ { \tilde { l } } \xi _ { \tilde { a } } \hat { \varepsilon } ^ { \tilde { a } k } \right) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { x } \\ { 1 } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \left( \begin{array} { l l } { x - \epsilon } & { x + \epsilon } \\ { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \end{array} \right) , \qquad \epsilon > 0 .
\begin{array} { r l r } & { \frac { D } { D t } \delta u _ { i } + ( \partial _ { j } ^ { + } u _ { j } ^ { + } + \partial _ { j } ^ { - } u _ { j } ^ { - } ) \delta u _ { i } + \delta \left( u _ { j } \partial _ { j } \overline { { U } } _ { i } \right) } & \\ & { = } & \\ & { - \frac { 1 } { \rho } ( \partial _ { i } ^ { + } + \partial _ { i } ^ { - } ) \delta P + ( \partial _ { j } ^ { + } + \partial _ { j } ^ { - } ) \delta ( \nu \tau _ { i j } ) } & { , } \end{array}
5 \times 1 0 ^ { - 1 0 } \left[ { \frac { e V ^ { 2 } } { | \delta m ^ { 2 } | } } \right] ^ { \frac { 1 } { 6 } } \stackrel { < } { \sim } \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 0 } \stackrel { < } { \sim } 4 ( 2 ) \times 1 0 ^ { - 5 } \left[ { \frac { e V ^ { 2 } } { | \delta m ^ { 2 } | } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \ | \delta m ^ { 2 } | \stackrel { > } { \sim } 1 0 ^ { - 4 } e V ^ { 2 } ,
\tau _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = A _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } { \mathcal { F } _ { \alpha \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } \Sigma _ { a b \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) }
\begin{array} { r l r } { \int _ { I _ { p } } \tilde { f } _ { j } ( t ) \varphi ( t ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } e ^ { - 2 i \pi \frac { s } { | I _ { p } | } t } \, \mathrm { d } t } & { = } & { \int _ { I _ { p } } \sum _ { r \in { \mathcal D } _ { j } } u _ { r } \varphi ( t ) e ^ { - 2 i \pi ( \lambda _ { r } - \lambda _ { \ell } + \frac { s } { | I _ { p } | } ) } \, \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \sum _ { r \in { \mathcal D } _ { j } } u _ { r } { \mathcal F } [ \varphi ] \left( \lambda _ { r } - \lambda _ { \ell } + \frac { s } { | I _ { p } | } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I _ { C } } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { h _ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { a + 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 + x } { 2 } J _ { 2 k } ^ { ( a , a ) } ( x ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ { \mathrm { I _ { A } } } & { = } & { \mathrm { A _ { 1 } } + \mathrm { A _ { 2 } } } \end{array}
\frac { d \Gamma } { d M _ { I } } = \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 3 } } \int _ { m _ { \pi } } ^ { M _ { V } - q - m ^ { \prime } } d \omega \frac { M _ { I } } { M _ { V } ^ { 2 } } \bar { \sum } \sum | t | ^ { 2 } \theta ( 1 - A ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { l } _ { - } \Psi _ { n } ^ { 0 } = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + 1 ) ! } } \sqrt { n + 1 } \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } } \\ & { \cdot \left( - z \left( 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) + i k r \right) L _ { n } ^ { 0 } ( a ) , } \end{array}
I _ { X ^ { ( j ) } , V ^ { ( j ) } } ^ { ( \Gamma _ { j } ) } [ f g ] = \sum _ { m = 1 } ^ { M _ { j } } v _ { m } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { n } ( \mathbf { x } _ { m } ^ { ( j ) } ) ) f ( \mathbf { x } _ { m } ^ { ( j ) } ) g ( \mathbf { x } _ { m } ^ { ( j ) } ) \approx \oint _ { \Gamma _ { j } } f g ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { n } ) \, \mathrm { d } s = I ^ { ( \Gamma _ { j } ) } [ f g ] .
( 2 c _ { 1 4 } s _ { 1 4 } ) ^ { 2 } = \frac { 8 M _ { e s } ^ { 2 } } { ( M _ { e e } - M _ { e \mu } \sqrt { 2 } - M _ { s s } ) ^ { 2 } + 8 M _ { e s } ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , l a d - W } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \\ & { \times } & { { \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ^ { \prime } \, \frac { \langle P a P b | I ( \omega ) | n _ { 1 } n _ { 2 } \rangle \langle n _ { 1 } n _ { 2 } | I ( \omega + \Delta _ { P a Q a } ) | \xi _ { Q a } Q b \rangle } { ( \varepsilon _ { P a } + \omega - u \varepsilon _ { n _ { 1 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - \Delta _ { P a Q a } - u \varepsilon _ { n _ { 2 } } ) } \, , } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { r ^ { 2 } \partial _ { r } W \partial _ { r } W ^ { * } + \partial _ { \theta } W \partial _ { \theta } W ^ { * } - r ^ { 2 } \dot { \lambda } ^ { 2 } \partial _ { \lambda } W \partial _ { \lambda } W ^ { * } } { 4 r ^ { 2 } ( 1 + | W | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } S _ { k } ^ { ( n ) } } & { = ( - 1 ) ^ { k - 1 } \big ( F _ { \{ Y \} } ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { k - 1 } + \mathbf { e } _ { k - 1 } ] ) - F _ { \{ Y \} } ( [ 0 ; \mathbf { a } _ { k - 1 } ] ) \big ) } \\ & { = \operatorname* { P r } ( \mathbf { A } _ { k - 1 } = \mathbf { a } _ { k - 1 } ) . } \end{array}
\vec { a } _ { 1 } ^ { * } = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { 1 - R _ { 1 } ^ { 2 } } \cos ( R _ { 2 } ) } \\ { \sqrt { 1 - R _ { 1 } ^ { 2 } } \sin ( R _ { 2 } ) } \\ { R _ { 1 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } \left[ { \begin{array} { c c c } { c ( \theta _ { 1 } ) } & { d ( \theta _ { 1 } ) } & { 1 } \\ { c ( \theta _ { 2 } ) } & { d ( \theta _ { 2 } ) } & { 1 } \\ { c ( \theta _ { 3 } ) } & { d ( \theta _ { 3 } ) } & { 1 } \end{array} } \right] = \operatorname* { d e t } \left[ { \begin{array} { c c c } { g _ { 1 } } & { d _ { 1 } } & { 1 } \\ { g _ { 2 } } & { d _ { 2 } } & { 1 } \\ { g _ { 3 } } & { d _ { 3 } } & { 1 } \end{array} } \right] } \\ & { = ( g _ { 2 } d _ { 3 } - g _ { 3 } d _ { 2 } ) - ( g _ { 1 } d _ { 3 } - g _ { 3 } d _ { 1 } ) + ( g _ { 1 } d _ { 2 } - g _ { 2 } d _ { 1 } ) } \\ & { = ( g _ { 2 } - g _ { 3 } ) ( d _ { 3 } - d _ { 1 } ) + ( g _ { 1 } - g _ { 2 } ) ( d _ { 2 } - d _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \rho } } } & { \quad \mathbf { f } ^ { \intercal } \mathbf { u } ^ { 0 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \widetilde { w } _ { i } ^ { 0 } ( \rho _ { i } - \rho _ { i } ^ { 0 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \frac { \rho _ { i } } { n _ { \rho } } = V } \\ & { \quad \boldsymbol { \rho } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \rho } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R 1 _ { \textrm { d e t } } ^ { \textrm { S i N } } } & { { } = R _ { 1 } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { w g } } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { g r a t i n g } } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { d e t } } } \end{array}
S _ { c l , \tau } = \int \sqrt { g } \left[ \mathrm { \small { ~ \frac ~ 1 2 ~ } } g ^ { \alpha \beta } G _ { \mu \nu } ( Y ) \partial _ { \alpha } Y ^ { \mu } \cdot \partial _ { \beta } Y ^ { \nu } - \tau \Lambda ( Y ) R \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { R _ { n } ^ { \prime } ( 0 ) _ { i , j } ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) ( \nu + j + 1 ) + { R _ { n } ^ { \prime } ( 0 ) } _ { i ( j - 1 ) } { ( ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } ) ^ { \ast } } _ { ( j - 1 ) j } } \\ & { } & { - { R _ { n } ( 0 ) } _ { i ( j + 1 ) } ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) ( \nu + j + 1 ) A _ { ( j + 1 ) j } - ( { R _ { n } ( 0 ) } _ { i , j } A _ { j ( j - 1 ) } { ( ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } ) ^ { \ast } } _ { ( j - 1 ) , j } . } \end{array}
g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } = G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) + \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) \right] \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) \right] = \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) \right] + G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { 2 \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } { \alpha _ { d } ^ { 2 } ( \kappa ) } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { 2 \left[ A _ { d } ( \kappa ) \kappa - \log a _ { d } ( \kappa ) + \log | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | \right] } { \alpha _ { d } ^ { 2 } ( \kappa ) } = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { 2 [ A _ { d } ^ { \prime } ( \kappa ) \kappa + A _ { d } ( \kappa ) - A _ { d } ( \kappa ) ] } { 2 \alpha _ { d } ^ { \prime } ( \kappa ) \alpha _ { d } ( \kappa ) } } \\ & { = \frac { 1 } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { A _ { d } ^ { \prime } ( \kappa ) \kappa } { - \cfrac { a _ { d } ^ { \prime } ( \kappa ) } { a _ { d } ^ { 2 } ( \kappa ) } \alpha _ { d } ( \kappa ) } = \frac { 1 } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { A _ { d } ^ { \prime } ( \kappa ) \kappa } { \cfrac { A _ { d } ( \kappa ) } { a _ { d } ^ { 2 } ( \kappa ) } \left[ a _ { d } ( \kappa ) - | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | \right] } } \\ & { = \frac { 1 } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { a _ { d } ^ { 2 } ( \kappa ) \left[ \cfrac { \kappa } { A _ { d } ( \kappa ) } - A _ { d } ( \kappa ) \kappa - d + 1 \right] } { a _ { d } ( \kappa ) - | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } = \infty . } \end{array}
C = { \frac { 1 } { 2 } } \Big \langle \int \mathrm { d } p { \frac { g K } { p ^ { 2 } } } { \frac { \delta S _ { i } } { \delta \phi ( p ) } } { \frac { \delta S _ { i } } { \delta \phi ( - p ) } } \Big \rangle \ .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \left( \| \hat { \theta } - \hat { \theta } ^ { \mathrm { \tiny ~ L S } } \| _ { 2 } > C ^ { \prime } \frac { \sqrt { M } \operatorname* { m a x } \{ K , \ln N \} } { N } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \left( \left\{ \| \hat { \theta } - \hat { \theta } ^ { \mathrm { \tiny ~ L S } } \| _ { 2 } > C ^ { \prime } \frac { \sqrt { M } \operatorname* { m a x } \{ K , \ln N \} } { N } \right\} \cap \{ \hat { \mathcal { S } } = \mathcal { S } \} \right) + \operatorname* { P r } ( \hat { \mathcal { S } } \neq \mathcal { S } ) . } \end{array}
T _ { j } : = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \gamma } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { \theta _ { j } } \end{array} \right] , \qquad \mathrm { f o r ~ j = 0 , ~ 1 , ~ \ldots , n - 1 . ~ }
3 ( \omega ^ { 2 } - 1 ) | f _ { 2 } ^ { * A } - \omega f _ { 3 } ^ { * A } | ^ { 2 } = ( \omega ^ { 2 } - 1 ) | f _ { 2 } ^ { V } | ^ { 2 } + 2 ( \omega ^ { 2 } - 1 ) | f ^ { * V } | ^ { 2 } \; .
\oint \frac { d x } { x } \cdot \frac { U _ { 1 } \cdot U _ { r - 1 } } { x ^ { \frac { L } { 2 } } } = 0 \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; L = 0 , 1 , 2 , \ldots
\begin{array} { r l } & { \leq C \rho ^ { 2 } \left( \rho ^ { 2 / 3 } s ( \log N ) ^ { 3 } + \rho ^ { 1 / 3 } \int _ { \Lambda } \left\vert \partial ^ { \mu } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } \right\vert \, \textnormal { d } x + \rho ^ { 1 / 3 } \int _ { \Lambda } \left\vert \partial ^ { \nu } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } \right\vert \, \textnormal { d } x + \int _ { \Lambda } \left\vert \partial ^ { \mu } \partial ^ { \nu } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } \right\vert \, \textnormal { d } x \right) } \\ & { \quad \times \left[ ( s ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { 4 } ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 5 } + ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta ^ { x } } & { { } = \frac { M l _ { \phi } } { 2 J _ { \phi } } k ^ { z } , } \\ { \beta ^ { y } } & { { } = \frac { M l _ { \theta } } { 2 J _ { \theta } } k ^ { x } , } \\ { \beta ^ { z } } & { { } = \frac { M l _ { \psi } } { 2 J _ { \psi } } k ^ { x } . } \end{array}
2 \pi \left( \sigma _ { e , g } \right) _ { i , j , g } ^ { n + 1 } \phi _ { i , j , g } ^ { n + 1 } - \left( \sigma _ { a , g } \right) _ { i , j , g } ^ { n + 1 } \rho _ { i , j , g } ^ { n + 1 } = 0
\begin{array} { r l } { \leq } & { { } \int _ { \{ u _ { n } \leq \mu \} \cap Q _ { T } \backslash E _ { \epsilon } } | \partial _ { x } u _ { n } | ^ { \alpha } \psi } \\ { \leq } & { { } \left( \mu + \frac { 1 } { n } \right) ^ { \theta \alpha } \int _ { \{ u _ { n } \leq \mu \} \cap Q _ { T } \backslash E _ { \epsilon } } \left( \frac { | \partial _ { x } u _ { n } | } { ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) ^ { \theta } } \right) ^ { \alpha } \psi } \\ { \leq } & { { } \left( \mu + \frac { 1 } { n } \right) ^ { \theta \alpha } \int _ { Q _ { T } } \left( \frac { | \partial _ { x } u _ { n } | } { ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) ^ { \theta } } \right) ^ { \alpha } \psi } \end{array}
~ [ \phi ^ { o u t } ( u ( v ) , \Omega ) ~ , ~ \phi ^ { i n } ( v ^ { \prime } , \Omega ^ { \prime } ) ] = 2 \pi i \delta v _ { 0 } ~ \delta ( v - v ^ { \prime } ) ~ \delta ^ { ( 2 ) } ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) ~ .
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \left( \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \alpha ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) + \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) ) + ( 1 - \alpha ) ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) ) \mathcal { G } _ { \epsilon } ( z , x , u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) \right) \nu ( d z ) d s } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \alpha ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } + \mathcal { C } _ { i } ( z , x ) \zeta _ { \epsilon } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } ) ) + ( 1 - \alpha ) ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } \mathcal { C } _ { i } ( z , x ) \zeta _ { \epsilon } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { i } ) \nu ( d z ) d s } \\ & { \leq 0 , } \end{array}
\left. \zeta _ { \nu } \left( z \right) \right\rfloor _ { z = - 1 } = \left. F . P . + \frac { 1 } { 8 \pi } \left( 1 - 4 \nu ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { z + 1 } \right\rfloor _ { z = - 1 }
\bigg ( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } - \frac { \mathrm { d } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } } { \mathrm { d } x } \bigg ) A ( x , \theta ) + \frac { \mathrm { d } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } } { \mathrm { d } x } B ( x , \theta ) + \tilde { M } _ { \mathrm { L } } C ( x , \theta ) = 0 ,
p _ { i } ( { \boldsymbol x } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { i j } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } + \sigma _ { i } \left( \frac { 1 } { p + 2 } x _ { i } ^ { p + 2 } - \frac { 1 } { 2 } u _ { i } x _ { i } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { X } & { = \frac { 1 } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \, , } \\ { Y _ { 0 } } & { = \frac { 2 p _ { 0 } \bar { d } _ { 0 } } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } } \\ { Y _ { 1 } } & { = \frac { 2 p _ { 1 } \bar { d } _ { 0 } } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } } \\ { Z _ { i } } & { = \frac { 4 d _ { 0 } p _ { i } \bar { \hat { e } } ^ { * } \hat { e } _ { i } } { \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \Delta \lambda } \Delta \hat { e } ( 0 ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i } \vert M _ { 0 , i } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { B } _ { \lambda } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } = \mathcal { B } _ { \lambda } ( t , 0 ) = } & { 1 + \mu _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } g ( s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t - s , \sigma ) h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \sigma ) \mathcal { B } _ { \lambda } ( s , \sigma ) d \sigma d s } \\ & { - \mu _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } g ( s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \partial _ { \sigma } \left[ \Psi ( t - s , \sigma ) h _ { \epsilon } ( \sigma ) \right] \mathcal { B } _ { \lambda } ( s , \sigma ) d \sigma d s , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r } \cdot \frac { 1 } { r } B \right] } & { { } = } & { - 1 6 m ^ { 6 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \left[ u \, + \, \frac { 1 } { 2 } X _ { 3 } \cdot u ^ { 3 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 5 } ) \right] , } \\ { \mathrm { I m } \, \left[ \frac { 1 } { r } \cdot \frac { 1 } { r } B \right] } & { { } = } & { - 1 6 m ^ { 6 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \cdot ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, \left[ \cos \theta \cdot u ^ { 2 } \, - \, \frac { 1 } { 2 } X _ { 3 } \cos \theta \cdot u ^ { 4 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 6 } ) \right] , } \end{array}
Z _ { M K } = \left\{ \begin{array} { r l l } { \frac { S - 1 } { V A R ( S ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { S > 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { S = 0 } \\ { \frac { S + 1 } { V A R ( S ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { S < 0 } \end{array} \right.