harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Q ^ { n } } & { = \operatorname* { m a x } _ { j } \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( D _ { j + e _ { i } / 2 } ^ { i , n } W _ { j } ^ { i , n } + D _ { j - e _ { i } / 2 } ^ { i , n } W _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } \exp w _ { j - e _ { i } } ^ { i , n } ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Big ( \frac { C _ { 1 } ^ { i , n } h } { \exp ( C _ { 2 } ^ { i , n } h ) - 1 } + \frac { C _ { 3 } ^ { i , n } h \exp ( C _ { 4 } ^ { i , n } h ) } { \exp ( C _ { 4 } ^ { i , n } h ) - 1 } \Big ) } \\ & { \leq C ^ { n } \, d \, h \, \frac { \exp ( C ^ { n } h ) + 1 } { \exp ( C ^ { n } h ) - 1 } } \\ & { \leq C ^ { n } \, d \, h \, \Big ( 1 + \frac { 2 } { C ^ { n } h } \Big ) = d ( C ^ { n } h + 2 ) , } \end{array}
\Im G _ { R } = - \, { \cal C } ( \epsilon , h _ { L , R } ) \sinh { \left( { \frac { p _ { + } } { 2 T _ { L } } } + { \frac { p _ { - } } { 2 T _ { R } } } \right) } \left| \Gamma \left( h _ { L } + { \frac { i p _ { + } } { 2 \pi T _ { L } } } \right) \Gamma \left( h _ { R } + { \frac { i p _ { - } } { 2 \pi T _ { R } } } \right) \right| ^ { 2 } \, ,
- \frac { 1 } { k _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } x ^ { \prime } K ( x - x ^ { \prime } ) ( \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } _ { | | } ^ { \prime } \times \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } _ { | | } ^ { \prime } \times - k _ { 0 } ^ { 2 } ) \ensuremath { \boldsymbol { H } } _ { | | } ( x ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 2 } \Delta \chi \ensuremath { \operatorname { s i g n } } ( x ) \ensuremath { \boldsymbol { H } } _ { | | } = \chi _ { b } ^ { ( 0 ) } \ensuremath { \boldsymbol { H } } _ { | | } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { N } _ { 1 } ( \omega , \omega _ { a } ) } & { \equiv A ( \omega _ { a } ) ^ { 2 } \left( \left( A ( 2 \omega _ { a } - \omega ) + A ( \omega ) \right) ^ { 2 } + \left( B ( 2 \omega _ { a } - \omega ) - B ( \omega ) \right) ^ { 2 } \right) \, , } \\ { \mathrm { N } _ { 2 } ( \omega , \omega _ { a } ) } & { \equiv B ( \omega _ { a } ) ^ { 2 } \left( \left( A ( 2 \omega _ { a } - \omega ) - A ( \omega ) \right) ^ { 2 } + \left( B ( 2 \omega _ { a } - \omega ) + B ( \omega ) \right) ^ { 2 } \right) \, , } \\ { \mathrm { N } _ { 3 } ( \omega , \omega _ { a } ) } & { \equiv 4 A ( \omega _ { a } ) B ( \omega _ { a } ) \left( A ( 2 \omega _ { a } - \omega ) B ( \omega ) + B ( 2 \omega _ { a } - \omega ) A ( \omega ) \right) \, , } \\ { \mathrm { N } ( \omega , \omega _ { a } ) } & { \equiv \mathrm { N } _ { 1 } ( \omega , \omega _ { a } ) + \mathrm { N } _ { 2 } ( \omega , \omega _ { a } ) + \mathrm { N } _ { 3 } ( \omega , \omega _ { a } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal L [ \rho ] \! = \! \sum _ { j , j ^ { \prime } , \nu , \nu ^ { \prime } } \Gamma _ { j j ^ { \prime } } ^ { \nu \nu ^ { \prime } } \left[ \sigma _ { j , \nu } ^ { \phantom { \dagger } } \rho \sigma _ { j ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } } ^ { \dagger } \! - \! \frac { 1 } { 2 } \left\{ \sigma _ { j , \nu } ^ { \dagger } \sigma _ { j ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } , \rho \right\} \right] , } \end{array}
\frac { d W } { d z } \approx \frac { d W ^ { ( 0 ) } } { d z } - \frac { 4 q ^ { 2 } } { \pi r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \delta _ { n } \mathrm { I m } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, \frac { u } { \varepsilon _ { 0 } } \frac { u K _ { n } ( u ) K _ { n } ^ { \prime } ( u ) I _ { n } ^ { 2 } ( u r _ { 0 } / r _ { c } ) } { \frac { \varepsilon _ { 0 } } { \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } } + u I _ { n } ( u ) K _ { n } ^ { \prime } ( u ) } \right] .
x ^ { + } = { \frac { 1 } { \lambda } } e ^ { \lambda y ^ { + } } \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; x ^ { - } = - { \frac { 1 } { \lambda } } e ^ { \lambda y ^ { - } } + { \frac { a } { \lambda ^ { 2 } } } .
\vec { F } _ { p h y s i c a l } = \Big [ m \Big ( 1 \ddot { r } - 1 r \dot { \theta } ^ { 2 } - 1 r s i n ^ { 2 } ( \theta ) \dot { \phi } ^ { 2 } \Big ) \Big ] \frac { 1 } { 1 } \frac { \partial } { \partial x ^ { r } } \, + \Big [ m \Big ( r \ddot { \theta } + r 2 \frac { 1 } { r } \dot { r } \dot { \theta } - r s i n ( \theta ) \cos ( \theta ) \ddot { \phi } ^ { 2 } \Big ) \Big ] \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial x ^ { \theta } } \, + \Big [ m \Big ( \sqrt { r ^ { 2 } s i n ^ { 2 } ( \theta ) } \ddot { \phi } + \sqrt { r ^ { 2 } s i n ^ { 2 } ( \theta ) } 2 \frac { 1 } { r } \dot { r } \dot { \theta } + \sqrt { r ^ { 2 } s i n ^ { 2 } ( \theta ) } 2 c o t g ( \theta ) \dot { \phi } \dot { \theta } \Big ) \Big ] \frac { 1 } { r s i n ( \theta ) } \frac { \partial } { \partial x ^ { \phi } } \implies
P ( x , y , z ) = \Bigg \{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } : } } & { { \big ( \; [ x ] { + } [ y ] { + } [ z ] \mathrm { ~ e v e n , ~ a n d ~ } | f _ { x } { - } f _ { y } | < f _ { z } < \operatorname * { m i n } ( f _ { x } { + } f _ { y } \, , \, 2 { - } f _ { x } { - } f _ { y } ) \; \big ) \; \; \mathrm { ~ o r } } } \\ { { } } & { { \big ( \; [ x ] { + } [ y ] { + } [ z ] \mathrm { ~ o d d , ~ a n d ~ } | f _ { x } { - } f _ { y } | < 1 { - } f _ { z } < \operatorname * { m i n } ( f _ { x } { + } f _ { y } \, , \, 2 { - } f _ { x } { - } f _ { y } ) \; \big ) } } \\ { { 0 : } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array}
T = \frac { 1 } { 8 \pi } \int d ^ { 2 } x [ \epsilon _ { i j } Q ^ { A } [ \partial _ { i } Q , \partial _ { j } Q ] ^ { A } + 2 \epsilon _ { i j } \partial _ { i } ( ( v ^ { a } - Q ^ { a } ) A _ { j } ^ { a } ) ] .
\frac { 3 } { 2 } ( \partial ^ { \mu } \partial ^ { \nu } h _ { \mu \nu } - \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \tilde { h } ) - \frac { 1 5 } { 2 } \partial _ { 4 } \sigma \partial _ { 4 } \tilde { h } - \frac { 3 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { h } } { \partial { x ^ { 4 } } ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \phi + 3 0 k ^ { 2 } \phi - 1 2 k \phi \tilde { \delta } = 0 .
\textrm { w h e r e , } \ ( \textbf { h } _ { n i } ) _ { s } = ( \textbf { h } _ { n i } ^ { + } ) _ { L } + ( \textbf { h } _ { n i } ^ { - } ) _ { R } = ( \widetilde { \Lambda } _ { n i } ^ { + } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { L } + ( \widetilde { \Lambda } _ { n i } ^ { - } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { R }
\begin{array} { r } { \omega ^ { 2 } ( \tilde { t } _ { n } + 2 \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) ( \tilde { t } _ { n } - \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } ) = - \frac { 6 \hbar \omega } { e F _ { \mathrm { m a x } } } k _ { n } ( t _ { n } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 2 } \left( \left. \sum _ { i = 1 } ^ { M } ( s _ { i } - s _ { i - 1 } ) u _ { i - 1 } ^ { 2 } \right| \alpha \right) } & { { } = e ^ { - \alpha \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( s _ { i } - s _ { i - 1 } \right) u _ { i - 1 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \! \sim \! 1 \} \! } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \! \{ 0 \! \sim \! 1 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \end{array} \right) \! \! , \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta _ { a } = m ( A _ { 1 } ) - m ( A _ { 2 } ) - m ( T _ { 2 } ) + m ( T _ { 1 } ) , } \\ & { \delta _ { d } = - m ( A _ { 1 } ) + m ( B _ { 1 } ) + m ( B _ { 2 } ) - m ( A _ { 2 } ) , } \\ & { \delta _ { f } = m ( A _ { 1 } ) + m ( B _ { 1 } ) - m ( B _ { 3 } ) - m ( B _ { 2 } ) \quad ( \mathrm { m o d } \, 2 ) , } \\ & { \delta _ { \mathbf { q } , 1 } = m ( A _ { 1 g } ) - m ( A _ { 1 u } ) + m ( A _ { 2 g } ) - m ( A _ { 2 u } ) , } \\ & { \delta _ { \mathbf { q } , 2 } = - m ( E _ { g } ) + m ( E _ { u } ) , } \end{array}
E _ { n } = \operatorname* { m i n } _ { \psi _ { 1 } , \ldots , \psi _ { n } } \operatorname* { m a x } \{ \langle \psi , A \psi \rangle : \psi \in \operatorname { s p a n } ( \psi _ { 1 } , \ldots , \psi _ { n } ) , \, \| \psi \| = 1 \}
\left( \begin{array} { l } { \hat { x } } \\ { \hat { p } _ { x } } \\ { \hat { y } } \\ { \hat { p } _ { y } } \\ { \hat { \tau } } \\ { \hat { p } _ { \tau } } \end{array} \right) = \mathbf { W } ^ { - 1 } \cdot \left( \begin{array} { l } { x } \\ { p _ { x } } \\ { y } \\ { p _ { y } } \\ { \tau } \\ { p _ { \tau } } \end{array} \right) .
\left( \begin{array} { c c } { x } & { x x ^ { - } } \\ { 1 } & { x ^ { - } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { x } & { 0 } \\ { 0 } & { x ^ { - } } \end{array} \right) + \frac { 1 } { 2 } ( 1 + x x ^ { - } ) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - x x ^ { - } ) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) .
V _ { m n l p } ^ { e e } \left( q \right) = \int { d z \int { d z { ' } \frac { 2 \pi e ^ { 2 } } { { \varepsilon } _ { 0 } q } e ^ { - q \left| z - z { ' } \right| } { \varphi } _ { m } ^ { * } ( z ) } } { \varphi } _ { n } ( z ) { \varphi } _ { l } ^ { * } ( z { ' } ) { \varphi } _ { p } ( z { ' } )
\begin{array} { r l r } { | \widetilde \theta _ { N } ^ { \mathfrak c , \mathfrak d } - \theta _ { 0 } | } & { = } & { | \widetilde \theta _ { N } - \theta _ { 0 } | \mathbf 1 _ { \{ D _ { N } \geqslant \mathfrak d \} \cap \Omega _ { N } } + | \theta _ { 0 } | \mathbf 1 _ { ( \{ D _ { N } \geqslant \mathfrak d \} \cap \Omega _ { N } ) ^ { c } } } \\ & { \leqslant } & { ( 1 - \mathfrak c ) ^ { - 1 } | \widehat \theta _ { N } - \theta _ { 0 } | \mathbf 1 _ { \{ D _ { N } \geqslant \mathfrak d \} \cap \Omega _ { N } } + | \theta _ { 0 } | ( \mathbf 1 _ { D _ { N } < \mathfrak d } + \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } ^ { c } } ) } \\ & { \leqslant } & { ( 1 - \mathfrak c ) ^ { - 1 } ( | \widehat \theta _ { N } - \theta _ { 0 } | \mathbf 1 _ { D _ { N } \geqslant \mathfrak d } + | \theta _ { 0 } | \mathbf 1 _ { D _ { N } < \mathfrak d } ) + | \theta _ { 0 } | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } ^ { c } } } \\ & { = } & { ( 1 - \mathfrak c ) ^ { - 1 } | \widehat \theta _ { N } ^ { \mathfrak d } - \theta _ { 0 } | + | \theta _ { 0 } | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } ^ { c } } . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ F ( \bar { x } ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } F \right] \leq A + B \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \quad A : = \frac { \Vert x ^ { 0 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \gamma ( F ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } F ) } { 2 ( 1 - 4 \gamma L _ { \operatorname* { m a x } } ) \gamma t } , \ B : = \frac { 2 \sigma _ { F } ^ { * } \gamma } { ( 1 - 4 \gamma L _ { \operatorname* { m a x } } ) } .
\left\{ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ) } } } & { \mathbb { E } _ { \mathbb { Q } } \left[ h ( \xi ) \right] } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } } & { \mathbb { E } _ { \mathbb { Q } } \left[ g _ { i } ( \xi ) \right] = b _ { i } . } & { \forall \: i = 1 , \ldots , k . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { E \left[ d \xi _ { ( \frac { \hat { \lambda } ( t ) } { \omega } d t , \frac { 1 } { \omega + 1 } ) } ^ { N B D } \right| \left. \hat { \lambda } ( t ) = \lambda ( t ) \right] = \lambda ( t ) d t } \\ & { } & { V \left[ d \xi _ { ( \frac { \hat { \lambda } ( t ) } { \omega } , \frac { 1 } { \omega + 1 } ) } ^ { N B D } \right| \left. \hat { \lambda } ( t ) = \lambda ( t ) \right] = \lambda ( t ) ( \omega + 1 ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { I S A I R } , p } ^ { ( k ) } = \left( \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } \widetilde { F } ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { I S A I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } \widetilde { F } ^ { ( k - 1 ) } ( \xi _ { i } ) W _ { k } ( \xi _ { i } ) \right) \, , } \end{array}
i \frac { \partial } { \partial t } \hat { \phi } ( x , t ) = - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \hat { \phi } ( x , t ) - 2 | c | \hat { \phi } ^ { \dagger } ( x , t ) \hat { \phi } ( x , t ) \hat { \phi } ( x , t ) .
\begin{array} { r l } & { \left. \left( \partial _ { \xi } ^ { k } \partial _ { \theta ^ { \prime } } ^ { k } \tilde { c } _ { \omega } ^ { + } ( \theta ^ { \prime } ) ( \partial _ { \theta } \gamma _ { \lambda } ^ { + } ( \theta ) ) e ^ { - h z _ { \omega } ^ { + } ( \theta ^ { \prime } ) | \xi | } H ( \xi ) \right) \right| _ { \theta = \theta ^ { \prime } } } \\ { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { k } \binom { k } { j } \left( \partial _ { \theta } ^ { k - j } \tilde { c } _ { \omega } ^ { + } ( \theta ) \right) \left( \partial _ { \theta } \gamma _ { \lambda } ^ { + } ( \theta ) \right) \left( \partial _ { \xi } ^ { k } \partial _ { \theta } ^ { j } e ^ { - z _ { \omega } ^ { + } ( \theta ) h | \xi | } \right) H ( \xi ) } \\ { = } & { h ^ { k } e ^ { - z _ { \omega } ^ { + } ( \theta ) h | \xi | } H ( \xi ) \sum _ { j = 0 } ^ { k } p _ { \omega } ^ { j , k } ( \theta ) ( h | \xi | ) ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { r } D ( r \tilde { v } _ { r } ) + \frac { i n } { r } \tilde { v } _ { \theta } + i k \tilde { v } _ { z } = 0 , } \\ { \rho i k ( V - c ) \tilde { v } _ { r } + D \tilde { p } = 0 , } \\ { \rho i k ( V - c ) \tilde { v } _ { \theta } + \frac { i n } { r } \tilde { p } = 0 , } \\ { \rho i k ( V - c ) \tilde { v } _ { z } + \rho D V \tilde { v } _ { r } + i k \tilde { p } = 0 , } \end{array}
\bigg [ \mathbf { D } _ { \mathbf { M } } ( k ) \bigg ] _ { i , j } = \frac { \partial M _ { i } } { \partial x _ { j } } \bigg | _ { \mathbf { x } = \mathbf { x } _ { k } } , \qquad \mathrm { a n d } \qquad \bigg [ \mathbf { D } _ { \mathbf { M } } ^ { \boldsymbol { \alpha } } ( k ) \bigg ] _ { i , j } = \frac { \partial M _ { i } } { \partial \alpha _ { j } } \bigg | _ { \mathbf { x } = \mathbf { x } _ { k } } .
\left| \begin{array} { l l l l l } { { 2 \mu ^ { 2 } } } & { { \mu ^ { 2 } } } & { { ( 2 \mu ^ { 2 } - t ) } } & { { - \mu ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { \mu ^ { 2 } } } & { { 2 m ^ { 2 } } } & { { \mu ^ { 2 } } } & { { ( s - 2 m ^ { 2 } ) } } & { { ( 1 - x _ { p ^ { \prime } } ) } } \\ { { ( 2 \mu ^ { 2 } - t ) } } & { { \mu ^ { 2 } } } & { { 2 \mu ^ { 2 } } } & { { - \mu ^ { 2 } } } & { { ( x _ { p } - x _ { p ^ { \prime } } ) } } \\ { { - \mu ^ { 2 } } } & { { ( s - 2 m ^ { 2 } ) } } & { { - \mu ^ { 2 } } } & { { 2 m ^ { 2 } } } & { { x _ { p ^ { \prime } } } } \\ { { 0 } } & { { ( 1 - x _ { p ^ { \prime } } ) } } & { { ( x _ { p } - x _ { p ^ { \prime } } ) } } & { { x _ { p ^ { \prime } } } } & { { 0 } } \end{array} \right| = 0 .
I \left( a \right) = \frac { \int _ { { \cal F } _ { a } } \left[ { \cal D } \Psi { \cal D } \overline { { { \Psi } } } \right] e ^ { - { \cal A } _ { M T M } } } { \int _ { { \cal F } _ { 0 } } \left[ { \cal D } \Psi { \cal D } \overline { { { \Psi } } } \right] e ^ { - { \cal A } _ { M T M } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \omega } ( i ) } & { : = \omega \cdot \partial _ { \varphi } i ( \varphi ) - X _ { H _ { \zeta } } ( i ( \varphi ) ) = \left( \begin{array} { l } { \omega \cdot \partial _ { \varphi } \theta ( \varphi ) } \\ { \omega \cdot \partial _ { \varphi } y ( \varphi ) } \\ { \omega \cdot \partial _ { \varphi } z ( \varphi ) } \end{array} \right) - X _ { H _ { \zeta } } ( i ( \varphi ) ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( t N ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \tilde { \gamma } L } \tilde { h } ( 0 , x ) u ( t N , x ) d x + \int _ { \tilde { \gamma } L } ^ { L } \tilde { h } ( 0 , x ) u ( t N , x ) d x } \\ & { = O \left( N ^ { - \left( \frac { \mu - \beta } { 2 \beta } - \delta \frac { \mu + \beta } { \mu - \beta } \right) } \right) \int _ { 0 } ^ { \tilde { \gamma } L } v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } d y + O ( 1 ) \int _ { \tilde { \gamma } L } ^ { L } e ^ { - ( \mu + \beta ) x } d x , } \end{array}
\qquad F _ { 0 } = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda } \end{array} \right] , \qquad F _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sigma _ { 1 } } \end{array} \right] , \qquad F _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \sigma _ { 2 } } \\ { \sigma _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { r E _ { r } } & { { } = } & { \frac { V _ { g } ( \omega ) L A _ { 0 } ( k ) } { r } \sum _ { \ell = 1 , 3 , \dots } ^ { \infty } j ^ { - \ell } \ell ( \ell + 1 ) b _ { \ell } ( k ) \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( k r ) } \\ { r E _ { \theta } } & { { } = } & { V _ { g } ( \omega ) k L A _ { 0 } ( k ) \sum _ { \ell = 1 , 3 , \dots } ^ { \infty } j ^ { - \ell } b _ { \ell } ( k ) \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( k r ) } \\ { r H _ { \phi } } & { { } = } & { - j \frac { V _ { g } ( \omega ) k L A _ { 0 } ( k ) } { \eta } \sum _ { \ell = 1 , 3 , \dots } ^ { \infty } j ^ { - \ell } b _ { \ell } ( k ) \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( k r ) } \end{array}
\begin{array} { r } { ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \in \mathcal { D } _ { \mathbf { u } } ^ { + } \, , \qquad \mathrm { i f } \quad \Delta ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) > 0 \, , } \\ { ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \in \mathcal { D } _ { \mathbf { u } } ^ { - } \, , \qquad \mathrm { i f } \quad \Delta ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) < 0 \, , } \\ { ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \in \mathcal { D } _ { \mathbf { u } } ^ { 0 } \, , \qquad \mathrm { i f } \quad \Delta ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) = 0 \, , } \end{array}
U _ { \mathrm { a t t r } } = U _ { \phi } + U _ { h } + U _ { C _ { ( p - 1 ) } } = 2 \, T _ { p } ^ { 2 } \, \Delta _ { m , n } \, \frac { V _ { p + 1 } } { k _ { \bot } ^ { 2 } } ~ ~ .
{ \cal { L } } _ { D J } ^ { S } = \frac { 1 } { 2 } ( f ^ { \mu } - \partial ^ { \mu } \phi ) ( f _ { \mu } - \partial _ { \mu } \phi ) - \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } f _ { \alpha } \partial _ { \beta } A _ { \gamma } + \frac { m } { 2 } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } A _ { \alpha } \partial _ { \beta } A _ { \gamma } .
\begin{array} { r } { A ( t ) = \exp \left( - i \int ^ { t } \Omega _ { - } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right) \left( \begin{array} { c c } { \sqrt { \frac { f _ { 1 } ( t ) } { f _ { 2 } ( t ) } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { \frac { f _ { 2 } ( t ) } { f _ { 1 } ( t ) } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\{ \, N ( p _ { 2 } , m _ { 2 } , p _ { 3 } , m _ { 3 } ) \mid n = 2 ( p _ { 2 } + m _ { 2 } ) + 3 ( p _ { 3 } + m _ { 3 } ) \, , ( - 1 ) ^ { m _ { 2 } } = ( - 1 ) ^ { m _ { 3 } } \, \right\} \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { { } = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { i } ^ { ( x ) } \| x - y \| ^ { 2 } = \nabla _ { i } ^ { ( x ) } ( x - y ) _ { i } ( x - y ) ^ { i } = \nabla _ { i } ^ { ( x ) } ( x - y ) _ { i } ( x - y ) ^ { i } } \\ & { = \nabla _ { i } ^ { ( x ) } ( x _ { i } - y _ { i } ) ( x ^ { i } - y ^ { i } ) = \nabla _ { i } ^ { ( x ) } ( x _ { i } x ^ { i } - x _ { i } y ^ { i } - x ^ { i } y _ { i } - y _ { i } y ^ { i } ) } \\ & { = \nabla _ { i } ^ { ( x ) } ( x ^ { i } x ^ { i } \delta _ { i i } - x ^ { i } y ^ { i } \delta _ { i i } - x ^ { i } y ^ { i } \delta _ { i i } - y ^ { i } y ^ { i } \delta _ { i i } ) } \\ & { = 2 x ^ { i } \nabla _ { i } ^ { ( x ) } x ^ { i } \delta _ { i i } - 2 y ^ { i } \nabla _ { i } x ^ { i } \delta _ { i i } - 2 y ^ { i } \nabla ^ { i } x ^ { i } \delta _ { i i } = 2 \nabla _ { i } ^ { ( x ) } ( x ^ { i } - y ^ { i } ) \delta _ { i i } = 6 ( x - y ) _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { | \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } | } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 4 \pi } { 2 k + 1 } \sum _ { m = - k } ^ { k } ( - 1 ) ^ { m } \frac { r _ { < } ^ { k } } { r _ { > } ^ { k + 1 } } \, Y _ { k , - m } ( \theta , \phi ) \, Y _ { k , m } ( \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 0 } } } { \partial y _ { 2 } } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 1 } } } { \partial y _ { 2 } } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 0 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 1 } } } & { \displaystyle \frac { \partial \mathcal { F } _ { y _ { 2 } } } { \partial y _ { 2 } } } \end{array} \right) ( \mathbf { \Psi } ^ { * } ) = \frac { 1 } { n ^ { * } } \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle \alpha x _ { 0 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { I } ) x _ { 0 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { I } ) x _ { 0 } } \\ { \displaystyle \alpha x _ { 1 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { I } ) x _ { 1 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { I } ) x _ { 1 } } \\ { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) x _ { 2 } } & { \displaystyle \alpha ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) x _ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\mathbf { P } _ { \mathrm { g o o d } } \leftarrow \mathbf { S } _ { \mathrm { h i s t } } ^ { \backslash \mathrm { f i t } } \left[ \mathbf { 1 } - \frac { \mathbf { L } _ { \mathrm { o l d } } ^ { \backslash \mathrm { f i t } } } { L _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { m a x } } } \right]
\epsilon \Bigl ( \tau , { \bf r } _ { \perp } ( \tau ) , p _ { \parallel } ( \tau ) , { \bf p } _ { \perp } ( \tau ) \Bigr ) = \sqrt { M ^ { 2 } \Bigl ( \tau , { \bf r } _ { \perp } ( \tau ) \Bigr ) + p _ { \parallel } ^ { 2 } ( \tau ) + { \bf p } _ { \perp } ^ { 2 } ( \tau ) } .
\begin{array} { r l } { \textbf { y } _ { h } } & { { } = \textbf { y } - \mathscr { L } ( \textbf { y } ) } \\ { G ( \textbf { x } ) _ { h } } & { { } = G ( \textbf { x } ) - \mathscr { L } ( G ( \textbf { x } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { J } _ { N , p , q } ^ { A } } & { : = \underset { x \in \mathbb { X } } { \operatorname* { m i n } } \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon \gamma _ { x , F } } ( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ^ { x } ) } \mathrm { V a r } _ { \mathbb { Q } } \left[ \zeta \right] } \\ & { = \underset { x \in \mathbb { X } } { \operatorname* { m i n } } \operatorname* { s u p } _ { \left( \eta - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \widehat { \zeta } _ { i } ^ { x , F } \right) ^ { 2 } \leq \varepsilon ^ { 2 } \gamma _ { x , F } ^ { 2 } } \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon \gamma _ { x , F } } ( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ^ { x } ) } } & { \mathrm { V a r } _ { \mathbb { Q } } \left[ \zeta \right] } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \mathbb { E } _ { \mathbb { Q } } \left[ \zeta \right] = \eta . } \end{array} \right. } \end{array}