harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { A } _ { 0 n } ^ { ( T ) } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { \displaystyle - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } } & { 0 } \\ { \displaystyle - \frac { k _ { B } } { m } \rho _ { 0 } T _ { 0 } } & { 0 } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 1 + \hat { c } _ { v } } } \\ { 0 } & { \displaystyle - \frac { k _ { B } } { m } T _ { 0 } } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \boldsymbol { B } _ { 0 } ^ { ( T ) } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \displaystyle { - \frac { 1 } { \tau _ { \sigma } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \displaystyle { - \frac { 1 } { \tau _ { q } } } } \end{array} \right) , } \\ & { \delta \boldsymbol { u } ^ { ( T ) } \equiv \left( \delta v _ { i } , \delta \sigma _ { n i } , \delta q _ { i } \right) ^ { T } . } \end{array}
\boldsymbol { S } = - E \left[ \frac { \partial ^ { 2 } H _ { n } ^ { \tau } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \boldsymbol { \theta \partial \theta } ^ { T } } \right] \mathrm { ~ a n d ~ } \boldsymbol { M } = C o v \left[ \sqrt { n } \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } } H _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] .
S = \pi \left[ \left( m ^ { 2 } - | { \cal Z } _ { 1 } | ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } + \left( m ^ { 2 } - | { \cal Z } _ { 2 } | ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \partial _ { \mathcal { W } _ { i } } E \approx \frac { 2 } { N _ { \mathrm { s } } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } \partial _ { \mathcal { W } _ { i } } \Psi ^ { * } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) \left[ E _ { \mathrm { l o c } } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) - \langle E \rangle \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \frac { q } { | \Omega | } \left( \hat { N } _ { + 1 } + \hat { N } _ { - 1 } \right) - \frac { 1 } { N } \left( \hat { N } _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \hat { N } _ { + 1 } + \hat { N } _ { - 1 } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { N } \left( \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 0 } \hat { a } _ { 0 } + \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 } \hat { a } _ { - 1 } \right) \! , } \end{array}
\langle 0 | { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { J } ) | 0 \rangle = ( 2 J + 1 ) \langle 0 | { \cal O } _ { 8 } ^ { J / \psi } ( { } ^ { 3 } P _ { 0 } ) | 0 \rangle \bigg ( 1 + O ( v ^ { 2 } ) \bigg ) \; .
\begin{array} { r l } & { { \bf K } _ { 1 } \partial _ { t } \mathbf { e } = \widetilde { \mathbf { M } } _ { 1 / \epsilon } ^ { 2 } \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 1 } \mathbf { h } - \widetilde { \mathbf { M } } _ { 1 / \epsilon } ^ { 2 } \mathbf { j } , } \\ & { \widetilde { \bf K } _ { 1 } \partial _ { t } \mathbf { h } = - \mathbf { M } _ { 1 / \mu } ^ { 2 } \mathbf { D } ^ { 1 } \mathbf { h } , } \end{array}
\left| \sqrt { \vartheta _ { 0 } } - n + \frac { 5 } { 1 6 } \left| \frac { \vartheta _ { n } } { \vartheta _ { 0 } } \right| ^ { 2 } \right| < \frac { 1 } { 2 } \left| \frac { \vartheta _ { n } } { \vartheta _ { 0 } } \right| \, .
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { = \operatorname* { P r } ( \exists i \in [ m _ { n } ] \setminus \{ 1 \} : d _ { H } ( X _ { 1 } ^ { n } , X _ { i } ^ { n } ) \le n \delta ) } \\ & { = 1 - \operatorname* { P r } ( \forall i \in [ m _ { n } ] \setminus \{ 1 \} : d _ { H } ( X _ { 1 } ^ { n } , X _ { i } ^ { n } ) > n \delta ) } \\ & { = 1 - \prod _ { i = 2 } ^ { m _ { n } } \operatorname* { P r } ( d _ { H } ( X _ { 1 } ^ { n } , X _ { i } ^ { n } ) > n \delta ) } \\ & { = 1 - \prod _ { i = 2 } ^ { m _ { n } } [ 1 - \operatorname* { P r } ( d _ { H } ( X _ { 1 } ^ { n } , X _ { i } ^ { n } ) \le n \delta ) ] } \\ & { = 1 - [ 1 - \operatorname* { P r } ( d _ { H } ( X _ { 1 } ^ { n } , X _ { 2 } ^ { n } ) \le n \delta ) ] ^ { m _ { n } - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \left( \langle \xi _ { a s } ^ { \dagger } ( t ) a _ { a s } ( t ) \rangle + \langle \xi _ { a s } ^ { \dagger } ( t ) a _ { a s } ( t ) \rangle ^ { * } \right) = 0 , } \\ & { } & { \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \left( \langle \xi _ { a c } ^ { \dagger } ( t ) b _ { a c } ( t ) \rangle + \langle \xi _ { a c } ^ { \dagger } ( t ) b _ { a c } ( t ) \rangle ^ { * } \right) } \\ & { } & { = \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } n _ { t h } } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } ( g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } ) + \Gamma _ { \mathrm { m } } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) ^ { 2 } } { \left[ g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } } d \omega , } \\ & { } & { \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \langle \xi _ { a s } ^ { \dagger } ( t ) b _ { a c } ( t ) \rangle + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \langle a _ { a s } ^ { \dagger } ( t ) \xi _ { a c } ( t ) \rangle } \\ & { } & { = \frac { i g _ { \mathrm { o m } } n _ { t h } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] } { \left[ g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega ^ { 2 } + ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \omega + \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } + \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } } d \omega } \end{array}
\Psi = \int _ { \Sigma } \Bigl ( \kappa t g _ { \mu \bar { \mu } } \rho ^ { \mu } * d \bar { z } ^ { \bar { \mu } } - \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } \rho ^ { \mu } \rho ^ { \nu } \chi _ { \lambda } \Bigr ) .
\scriptstyle { \left( \begin{array} { l l l l } { C } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { U } & { C } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { U } & { C } \end{array} \right) }
i \, \mu _ { B } \, 1 0 \, C \, \int _ { M ^ { 4 } } \mathrm { T r } \left[ B \alpha ^ { 3 } \right] = i \, 5 \, \frac { C \mu _ { B } } { 4 \sqrt { 2 } \, v ^ { 3 } } \int _ { M ^ { 4 } } \epsilon ^ { l m n } \epsilon ^ { 0 i j k } \partial _ { i } \pi ^ { l } \partial _ { j } \pi ^ { m } \partial _ { k } \pi ^ { n } d ^ { 4 } x + \cdots \ .
\Re [ k _ { 2 } ] = k _ { E } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { s _ { i } r _ { i } } { s _ { i } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } , \qquad \Im [ k _ { 2 } ] = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \omega r _ { i } } { s _ { i } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } .
\langle \bar { b } b \rangle = 1 + \frac { { \lambda _ { 1 } } + 3 { \lambda _ { 2 } } } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } \qquad \quad \langle \bar { b } \sigma G b \rangle = 6 { \lambda _ { 2 } } = \frac { 3 } { 2 } ( m _ { B ^ { * } } ^ { 2 } - m _ { B } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( R ) = } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z , \| z \| _ { 2 } = 1 } \| R z \| _ { 2 } } \\ { = } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z , \| z \| _ { 2 } = 1 } \| V R z \| _ { 2 } } \\ { = } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z , \| z \| _ { 2 } = 1 } \| V _ { * } \Sigma _ { * } U _ { * } ^ { \top } U z - F z \| _ { 2 } } \\ { \ge } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z , \| z \| _ { 2 } = 1 } \| V _ { * } \Sigma _ { * } U _ { * } ^ { \top } U z \| _ { 2 } - \| F z \| _ { 2 } } \\ { \ge } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z , \| z \| _ { 2 } = 1 } \| V _ { * } \Sigma _ { * } U _ { * } ^ { \top } U z \| _ { 2 } - \| F \| } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tilde { \varepsilon } [ \tilde { e } ; \, \gamma ] } & { = \tilde { \mathbf { A } } \cdot \left\{ \int _ { 0 } ^ { \pi } \gamma ( \eta ) \boldsymbol { \epsilon } \left[ \tilde { \mathbf { E } } ^ { ( d _ { 0 } ) } , \, \ldots , \, \tilde { \mathbf { E } } ^ { ( d _ { | \mathcal { I } | - 1 } ) } , \, \tilde { \mathbf { E } } ^ { ( d _ { r } ) } ; \, \eta \right] \, \mathrm { d } \eta \right\} \cdot \tilde { \mathbf { A } } ^ { T } , } & { \tilde { \mathbf { A } } } & { : = \left[ \begin{array} { l l l l } { \tilde { \boldsymbol { \alpha } } ^ { ( d _ { 0 } ) } } & { \cdots } & { \tilde { \boldsymbol { \alpha } } ^ { ( d _ { | \mathcal { I } | - 1 } ) } } & { \tilde { \boldsymbol { \alpha } } ^ { ( d _ { r } ) } } \end{array} \right] ; } \end{array}
\rho \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { u } } { \partial { t } ^ { 2 } } - \nabla [ \rho ( { V _ { P } ^ { 2 } } - 2 { V _ { S } ^ { 2 } } ) ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) ] - \nabla \cdot [ \rho { V _ { S } ^ { 2 } } ( \nabla \mathbf { u } + ( \nabla \mathbf { u } ) ^ { T } ) ] = \mathbf { s } ,
\begin{array} { r l } { I _ { s } \otimes \widehat { \mathbf { M } } + \tau A _ { \mathrm { R K } } \otimes \mathbf { D } _ { 1 } } & { = I _ { s } \otimes \widehat { \mathbf { M } } + \tau ( U \Sigma V ^ { \top } ) \otimes \mathbf { D } _ { 1 } } \\ & { = ( U \otimes I _ { \hat { n } _ { x } } ) [ ( U ^ { \top } V ) \otimes \widehat { \mathbf { M } } + \tau \Sigma \otimes \mathbf { D } _ { 1 } ] \! \left[ \! \! \begin{array} { c c } { V ^ { \top } \otimes I _ { \hat { n } _ { x } } } & { \! \! \! 0 } \\ { 0 } & { \! \! \! V ^ { \top } \otimes I _ { \hat { m } _ { x } } } \end{array} \! \! \! \right] , } \end{array}
| \psi \rangle \doteq { \left( \begin{array} { l } { a _ { \psi } } \\ { b _ { \psi } } \end{array} \right) } \quad { \mathrm { o r } } \quad | \psi \rangle \doteq { \left( \begin{array} { l } { c _ { \psi } } \\ { d _ { \psi } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { 1 1 } = \frac { 1 } { 1 \! - \! \nu ^ { 2 } } \langle E \rangle + \frac { \nu ^ { 2 } } { ( 1 \! - \! \nu ^ { 2 } ) ( 1 \! - \! 2 \nu ) } \langle E ^ { - 1 } \rangle ^ { - 1 } , \qquad C _ { 1 2 } = \frac { \nu } { 1 \! - \! \nu ^ { 2 } } \langle E \rangle + \frac { \nu ^ { 2 } } { ( 1 \! - \! \nu ^ { 2 } ) ( 1 \! - \! 2 \nu ) } \langle E ^ { - 1 } \rangle ^ { - 1 } , } \\ & { } & { C _ { 1 3 } = \frac { \nu } { ( 1 \! + \! \nu ) ( 1 \! - \! 2 \nu ) } \langle E ^ { - 1 } \rangle ^ { - 1 } , \qquad C _ { 3 3 } = \frac { 1 \! - \! \nu } { ( 1 \! + \! \nu ) ( 1 \! - \! 2 \nu ) } \langle E ^ { - 1 } \rangle ^ { - 1 } , \qquad C _ { 4 4 } = \frac { 1 } { 2 ( 1 \! + \! \nu ) } \langle E ^ { - 1 } \rangle ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \alpha } _ { n } } & { = n \sum _ { v \in G _ { n } } \left( \frac { \deg ( v ) } { \sum _ { v \in G _ { n } } \deg ( v ) } \right) ^ { 2 } = n \cdot \frac { 1 } { \left( \sum _ { v \in G _ { n } } \deg ( v ) \right) ^ { 2 } } \sum _ { v \in G _ { n } } ( \deg ( v ) ^ { 2 } ) } \\ & { = \left( n ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { \sum _ { v \in G _ { n } } \deg ( v ) } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \sum _ { v \in G _ { n } } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \deg ( v ) ^ { 2 } \right) \to \frac { 1 } { \left( \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } W ( x , y ) d x d y \right) ^ { 2 } } \cdot \int _ { [ 0 , 1 ] } \left( \int _ { [ 0 , 1 ] } W ( x , y ) d y \right) ^ { 2 } d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { e } ^ { 1 } ( \widehat { J } ) : = \bigg \{ \widehat f \mathrm { ~ o n ~ } \widehat { J } : \widehat f \mathrm { ~ i s ~ a b s o l u t e l y ~ c o n t i n u o u s ~ o n ~ } ( \widehat { l } , \widehat { r } ) \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \int _ { \widehat { J } } \widehat f ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } d x < \infty , \widehat f ( \widehat j ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } \widehat j \notin \widehat { J } \mathrm { ~ i s ~ f i n i t e ~ f o r ~ } \widehat j = \widehat { l } \mathrm { ~ o r ~ } \widehat { r } \} ; } \end{array}
\langle 0 \vert h _ { i j } ( \eta , { \bf x } ) h ^ { i j } ( \eta , { \bf x } + { \bf r } ) \vert 0 \rangle \equiv \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \mathrm { d } n } { n } \frac { \sin n r } { n r } n ^ { 3 } P _ { \mathrm { h } } ( \eta , n ) ,
{ \hat { H } } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \; | g | ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } } | g | ^ { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { i j } { \frac { \partial } { \partial q ^ { j } } } ,
\rho ^ { * } = \langle \rho ( \mathcal { I } [ \sigma ] ) ^ { 2 } \rangle - \frac { 2 \langle \rho \rangle ( \langle \mu \sigma \mathcal { I } [ \mathcal { I } [ \sigma ] ] \rangle + \langle \mu \mathcal { I } [ \mathcal { I } [ \sigma ] ] \rangle ) } { \langle \mu \sigma \rangle + \langle \mu \rangle } .
\left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k * \rho ) \rho ) \right\rVert _ { L _ { \mathcal { F } ^ { W } } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) ) } \le 2 \left\lVert k \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \left\lVert \rho \right\rVert _ { S _ { \mathcal { F } ^ { W } } ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) ) } \left\lVert \rho \right\rVert _ { L _ { \mathcal { F } ^ { W } } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ; W ^ { 1 , 2 } ( \mathbb { R } ) ) } .
\frac { { \Omega } _ { i } } { \omega _ { i } } = \frac { \epsilon _ { \gamma , \mathrm { \tiny ~ g a s } } ^ { \mathrm { \tiny ~ R D } } \times \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ t r a c k } } ^ { \mathrm { \tiny ~ M C } } } { \epsilon _ { \gamma , \mathrm { \tiny ~ g a s } } ^ { \mathrm { \tiny ~ M C } } \times \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ t r a c k } } ^ { \mathrm { \tiny ~ R D } } } .
H _ { \textrm { v i b } } ^ { ( U ) } ( \hat { \boldsymbol { Q } } , \hat { \boldsymbol { P } } ) = \frac { 1 } { 2 } \hat { \boldsymbol { P } } ^ { T } \hat { \boldsymbol { M } } ^ { - 1 } \hat { \boldsymbol { P } } + V ^ { ( U ) } ( \hat { \boldsymbol { Q } } ) ,
\begin{array} { r l } & { d _ { 0 } = \frac { g ( 1 - g + \chi ) ^ { 2 } \left[ ( 1 + 2 \tilde { \delta } ) \, \chi - ( 1 + 2 \tilde { \delta } ) \, g + ( 1 + \tilde { \delta } ) \, g ^ { 2 } \right] } { ( 1 - g ) ^ { 2 } ( \chi - g ) \chi ^ { 2 } } , } \\ & { d _ { 1 } = \frac { 2 g \left[ 1 + 2 \tilde { \delta } + \chi - ( 2 + \tilde { \delta } + \chi ) \, g + g ^ { 2 } \right] } { ( \chi - g ) \chi ^ { 2 } } , } \\ & { d _ { 2 } = \frac { 2 \chi - g } { 2 ( 1 + 2 \tilde { \delta } - g ) ( \chi - g ) } \, ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \sigma \in \Sigma } | \pi _ { 1 } ( \sigma ) \log r _ { 1 } ( \sigma ) - \pi _ { 2 } ( \sigma ) \log r _ { 2 } ( \sigma ) | } \\ & { \qquad \le \| \pi _ { 1 } - \pi _ { 2 } \| _ { \ell ^ { \infty } ( \Sigma ) } \bigg ( | \Sigma | + ( K _ { 0 } + 1 ) \sum _ { \sigma \in \Sigma } \log \frac 1 { \gamma ( E _ { \sigma } ) } \bigg ) + \sum _ { \sigma \in \Sigma } \gamma ( E _ { \sigma } ) ^ { K _ { 0 } + 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat \alpha } & { : = \operatorname* { s u p } \{ \widehat { x } \in [ \widehat { l } _ { 0 } , 0 ] \cap \widehat { I } : \tilde { f } _ { 1 } ( \widehat { x } ) \neq \tilde { f } _ { 1 } ( 0 ) \} , } \\ { \widehat \beta } & { : = \operatorname* { i n f } \{ \widehat { x } \in [ 0 , \widehat { r } _ { 0 } ] \cap \widehat { I } : \tilde { f } _ { 1 } ( \widehat { x } ) \neq \tilde { f } _ { 1 } ( 0 ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle G A \rangle [ 1 - \langle G - m I \rangle ] } & { = - m \langle { \underline { { W G A } } } \rangle + \frac { m ^ { 2 } } { N } \sum _ { \mu } \langle A ( N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } ^ { \mu } ) ) \rangle \langle G N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } ) \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { \mu } \langle ( G - m I ) A ( N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ) \rangle \langle G N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } ) \rangle } \\ & { \prec \frac { \sqrt { \rho } \Lambda _ { k } } { \sqrt { N L } } } \end{array}
- \nabla \, \cdot \, \left( \frac { 1 } { \mu r } \nabla \psi \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d } { d \psi } p ( \psi ) + \frac { 1 } { 2 \, \mu r } \frac { d } { d \psi } g ^ { 2 } ( \psi ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { p } ( \psi ) } \\ { I _ { k } / S _ { k } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { C _ { k } } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ e l s e w h e r e . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { g _ { \pm , \mu \nu } ^ { R R } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \Big ( \partial _ { \mu } \theta _ { \pm } ^ { R } \partial _ { \nu } \theta _ { \pm } ^ { R } + \sin ^ { 2 } \theta _ { \pm } ^ { R } \partial _ { \mu } \phi _ { \pm } ^ { R } \partial _ { \nu } \phi _ { \pm } ^ { R } \Big ) } \\ { \Omega _ { \pm , z } ^ { z , R R } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sin \theta _ { \pm } ^ { R } \Big ( \partial _ { k _ { x } } \phi _ { \pm } ^ { R } \partial _ { k _ { y } } \theta _ { \pm } ^ { R } - \partial _ { k _ { y } } \phi _ { \pm } ^ { R } \partial _ { k _ { x } } \theta _ { \pm } ^ { R } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \alpha } F ^ { \alpha \beta } } & { = } & { J ^ { \beta } - g _ { a \gamma \gamma } \tilde { F } ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } a , } \\ { \left( \frac { 1 } { 2 c \hbar } \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } + \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { c ^ { 3 } \hbar ^ { 3 } } \right) a } & { = } & { - \frac { g _ { a \gamma \gamma } } { 4 \mu _ { 0 } } F _ { \alpha \beta } \tilde { F } ^ { \alpha \beta } , } \\ { \partial _ { \alpha } \tilde { F } ^ { \alpha \beta } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iota _ { \mathrm { m e } } ( \omega ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 0 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \iota ( \omega ) + \epsilon ( \omega ) \Delta v \right) \mathrm { ~ d } x \mathrm { ~ d t } , \quad \iota _ { \mathrm { N a } } ( \omega ) = \int _ { 0 } ^ { 2 0 } \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { \mathrm { N a } } \beta ^ { 3 } d ( v _ { \mathrm { N a } } - v ) \mathrm { ~ d } x \mathrm { ~ d t } , } \\ { \iota _ { \mathrm { K } } ( \omega ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 0 } \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { \mathrm { K } } \alpha ^ { 4 } ( v _ { \mathrm { K } } - v ) \mathrm { ~ d } x \mathrm { ~ d t } , \quad \quad \quad \iota _ { l } ( \omega ) = \int _ { 0 } ^ { 2 0 } \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { l } ( v _ { l } - v ) \mathrm { ~ d } x \mathrm { ~ d t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { k _ { \alpha } \alpha _ { 0 } } } & { \equiv \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } / 2 } ^ { T _ { 0 } / 2 } E \{ q ( t ) \} e ^ { - i 2 \pi ( k _ { \alpha } \alpha _ { 0 } ) t } d t , } \\ { \hat { R } _ { k _ { \alpha } \alpha _ { 0 } } ( \tau ) } & { \equiv \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { - T _ { 0 } / 2 } ^ { T _ { 0 } / 2 } R ( t , \tau ) e ^ { - i 2 \pi ( k _ { \alpha } \alpha _ { 0 } ) t } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { ( 1 , - 1 , - 0 . 5 ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - 1 4 . 2 9 5 0 } & { 9 . 9 0 5 7 } \\ { 6 . 2 3 2 6 } & { - 5 . 8 7 4 5 } \end{array} \right] } \\ { K _ { ( 1 , - 1 , 0 . 9 ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - 2 0 . 8 0 4 3 } & { 9 . 7 9 7 5 } \\ { 8 . 5 1 6 5 } & { - 6 . 9 2 8 2 } \end{array} \right] } \\ { K _ { ( 1 , 1 , - 0 . 5 ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - 6 . 9 9 6 9 } & { 6 . 5 5 4 2 } \\ { 2 . 5 3 4 0 } & { - 4 . 3 0 7 8 } \end{array} \right] } \\ { K _ { ( 1 , 1 , 0 . 9 ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - 5 . 2 8 4 7 } & { 2 . 3 8 1 3 } \\ { 2 . 0 4 8 0 } & { - 2 . 3 0 1 7 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d X } { d t } } & { { } = \sqrt { F } - X + [ ( B + 1 ) X ^ { 2 } + ( B + 1 ) Y ^ { 2 } - \Delta ] Y , } \\ { \frac { d Y } { d t } } & { { } = - Y - [ ( B + 1 ) X ^ { 2 } + ( B + 1 ) Y ^ { 2 } - \Delta ] X , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \theta } _ { 2 0 } + \theta _ { 2 0 } ^ { 2 } + \theta _ { 1 1 } ^ { 2 } - 2 \rho _ { 2 0 } = 0 \, , \qquad \dot { \theta } _ { 1 1 } + { \theta _ { 1 1 } } ( \theta _ { 2 0 } + \theta _ { 0 2 } ) - \rho _ { 1 1 } = 0 \, , \qquad \dot { \theta } _ { 0 2 } + \theta _ { 0 2 } ^ { 2 } + { \theta _ { 1 1 } } ^ { 2 } - 2 \rho _ { 0 2 } = 0 \, , } \\ & { \dot { \rho } _ { 2 0 } + \rho _ { 2 0 } ( 3 \theta _ { 2 0 } + \theta _ { 0 2 } ) + \rho _ { 1 1 } { \theta _ { 1 1 } } = 0 \, , \qquad \dot { \rho } _ { 0 2 } + \rho _ { 0 2 } ( \theta _ { 2 0 } + 3 \theta _ { 0 2 } ) + \rho _ { 1 1 } { \theta _ { 1 1 } } = 0 \, , } \\ & { \dot { \rho } _ { 1 1 } + 2 \rho _ { 1 1 } ( \theta _ { 2 0 } + \theta _ { 0 2 } ) + 2 { \theta _ { 1 1 } } ( \rho _ { 2 0 } + \rho _ { 0 2 } ) = 0 \, , \qquad \dot { \rho } _ { 0 0 } + \rho _ { 0 0 } ( \theta _ { 2 0 } + \theta _ { 0 2 } ) = 0 \, . } \end{array}
\sigma = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - i } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { v _ { 0 j x } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } c a _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 - \cos 2 \phi _ { 0 } ) , } \\ { v _ { 0 j y } } & { { } = \pm c a _ { 0 } \sin \phi _ { 0 } \left( 1 - \frac { 1 } { 4 } a _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a _ { 0 } ^ { 2 } \cos 2 \phi _ { 0 } \right) , } \\ { \delta n _ { 0 } } & { { } = - \frac { 1 } { 4 } n _ { 0 } a _ { 0 } ^ { 2 } \cos 2 \phi _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textrm { t h e P r a n d t l n u m b e r ~ } } & { P r } & { = \frac { \nu } { \kappa } , } \\ { \textrm { t h e R a y l e i g h n u m b e r ~ } } & { R a } & { = \frac { g L ^ { 3 } | \rho _ { T } | \Delta T } { \rho _ { 0 } \nu \kappa } , } \\ { \textrm { t h e b u o y a n c y r a t i o ~ } } & { N } & { = \frac { \rho _ { C } \Delta C } { \rho _ { T } \Delta T } \quad \textrm { a n d } } \\ { \textrm { t h e L e w i s n u m b e r ~ } } & { L e } & { = \frac { \kappa } { D } , } \end{array}
p = { \frac { N k T } { V - N b ^ { \prime } } } - { \frac { N ^ { 2 } a ^ { \prime } } { V ^ { 2 } } } \Rightarrow \left( p + { \frac { N ^ { 2 } a ^ { \prime } } { V ^ { 2 } } } \right) ( V - N b ^ { \prime } ) = N k T \Rightarrow \left( p + { \frac { n ^ { 2 } a } { V ^ { 2 } } } \right) ( V - n b ) = n R T .
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { A } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } } & { \leq 2 \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 \| \mathbf { F } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { R } _ { n } - ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } = A ^ { \prime } ( 1 + \sigma ) / b - \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } + B ^ { \prime } \left( H ^ { * } / c \right) ^ { 3 / 4 } ( b R a / R a _ { c r } ) ^ { - 1 / 4 }
\frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { \theta } _ { j } } \right) - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \theta _ { j } } = I _ { j } \ddot { \theta } _ { j } + \frac { \partial \Pi } { \partial \theta _ { j } } = 0 \, , \qquad j = 1 , \cdots N \, .
{ \hat { \Phi } } = A \sigma { \Phi } { \sigma } ^ { - 1 } A \equiv { \hat { \phi } } _ { 2 } \otimes { \hat { \phi } } _ { 1 } \equiv ( - A \sigma { \phi } _ { 1 } { \sigma } ^ { - 1 } ) \otimes ( - \sigma { \phi } _ { 2 } { \sigma } ^ { - 1 } A ) ,