harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
C _ { n } ^ { ( p ) } = \frac { k _ { z } J _ { n } ( \lambda _ { 0 } r _ { 0 } ) H _ { n } ( \lambda _ { 1 } r _ { c } ) } { 2 r _ { c } \alpha _ { n } ( \omega , k _ { z } ) V _ { n } ^ { J } V _ { n + p } ^ { J } } \left\{ \begin{array} { c c } { H _ { n + p } ( \lambda _ { 1 } r _ { c } ) , } & { r < r _ { c } } \\ { J _ { n + p } ( \lambda _ { 0 } r _ { c } ) , } & { r > r _ { c } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { B _ { 1 1 } } & { { } = \frac { a b c } { 3 } \frac { 1 } { k h } \frac { ( 1 – k _ { r } ) } { 1 + L _ { 1 } ^ { 1 } ( a ) ( k _ { r } - 1 ) } \frac { \partial T } { \partial x } } \\ { B _ { 1 2 } } & { { } = \frac { a b c } { 3 } \frac { 1 } { h \sqrt { k ^ { 2 } – h ^ { 2 } } } \frac { ( 1 – k _ { r } ) } { 1 + L _ { 1 } ^ { 2 } ( a ) ( k _ { r } - 1 ) } \frac { \partial T } { \partial y } } \\ { B _ { 1 3 } } & { { } = \frac { a b c } { 3 } \frac { 1 } { k \sqrt { k ^ { 2 } – h ^ { 2 } } } \frac { ( 1 – k _ { r } ) } { 1 + L _ { 1 } ^ { 3 } ( a ) ( k _ { r } - 1 ) } \frac { \partial T } { \partial z } } \end{array}
q ^ { 2 } ( \Pi _ { \mathrm { A } 3 } ^ { ( 1 ) } - \Pi _ { \mathrm { A } 8 } ^ { ( 1 ) } ) ( q ^ { 2 } ) - \operatorname * { l i m } _ { q ^ { 2 } = 0 } \left( q ^ { 2 } \left( \Pi _ { \mathrm { A } 3 } ^ { ( 1 ) } - \Pi _ { \mathrm { A } 8 } ^ { ( 1 ) } \right) ( q ^ { 2 } ) \right) = q ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s ~ { \frac { \left( \rho _ { \mathrm { A } 3 } ^ { ( 1 ) } - \rho _ { \mathrm { A } 8 } ^ { ( 1 ) } \right) ( s ) } { s - q ^ { 2 } - i \epsilon } } \ .
\begin{array} { r l r } { G ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { \to } & { { \cal G } _ { B } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \frac { T } { 2 { \cal Z } ^ { 2 } } \biggl ( { \frac { \cal Z } { \mathrm { s i n } { \cal Z } } } \, \mathrm { e } ^ { - i { \cal Z } \dot { G } _ { 1 2 } } + i { \cal Z } \dot { G } _ { 1 2 } - 1 \biggr ) } \\ { G _ { F } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { \to } & { { \cal G } _ { F } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = G _ { F 1 2 } { \frac { \mathrm { e } ^ { - i { \cal Z } \dot { G } _ { 1 2 } } } { \mathrm { c o s } { \cal Z } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ( r + r _ { \natural } ) ( r ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } + \Gamma _ { + } ) } & { = ( r - r _ { + } ) ^ { 4 } + ( r _ { \natural } + 4 r _ { + } ) ( r - r _ { + } ) ^ { 3 } + ( \Gamma _ { + } + 5 r _ { + } ^ { 2 } + 3 r _ { \natural } r _ { + } ) ( r - r _ { + } ) ^ { 2 } + } \\ & { \quad + ( 2 r _ { + } ^ { 2 } r _ { \natural } + 2 r _ { + } ^ { 3 } + r _ { \natural } \Gamma _ { + } + 2 r _ { + } \Gamma _ { + } ) ( r - r _ { + } ) + \Gamma _ { + } r _ { + } ( r _ { \natural } + r _ { + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \varphi , x } ^ { s } : = H ^ { s } ( \mathbb { T } ^ { \nu + 1 } ) , \quad H _ { \varphi } ^ { s } : = H ^ { s } ( \mathbb { T } ^ { \nu } ) , \quad H _ { x } ^ { s } : = H ^ { s } ( \mathbb { T } ) , } \\ & { L _ { \varphi , x } ^ { 2 } : = L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { \nu + 1 } ) , \quad L _ { \varphi } ^ { 2 } : = L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { \nu } ) , \quad L _ { x } ^ { 2 } : = L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) , } \\ & { C _ { \varphi , x } ^ { \infty } : = \cap _ { s \ge 0 } H _ { \varphi , x } ^ { s } , \quad C _ { \varphi } ^ { \infty } : = \cap _ { s \ge 0 } H _ { \varphi } ^ { s } , \quad C _ { x } ^ { \infty } : = \cap _ { s \ge 0 } H _ { x } ^ { s } . } \end{array}
\mathbf { H \bar { s } } = \frac { 1 } { \delta } \left( h ( \mathbf { \bar { s } } + \delta \mathbf { \bar { s } } ) - h ( \mathbf { \bar { s } } ) \right) + \mathcal { O } ( \delta ) \approx \frac { 1 } { \delta } \left( h ( \mathbf { \bar { s } } + \delta \mathbf { \bar { s } } ) - h ( \mathbf { \bar { s } } ) \right)
\begin{array} { r l } { \tilde { \phi } ( 1 ) } & { { } \sim \tilde { q } _ { \theta } ( \tilde { \phi } | \Theta , \Theta , \lambda , 1 ) = \tilde { q } _ { \theta } ( 1 ) } \\ { \tilde { \phi } ( k ) } & { { } \sim \tilde { q } _ { \theta } ( \tilde { \phi } | \tilde { \phi } ( k - 1 ) , \tilde { \phi } ( 1 ) , \lambda , k ) = \tilde { q } _ { \theta } ( k ) } \\ { \tilde { \phi } ( L ) } & { { } \sim \tilde { q } _ { \theta } ( \tilde { \phi } | \tilde { \phi } ( L - 1 ) , \tilde { \phi } ( 1 ) , \lambda , L ) = \tilde { q } _ { \theta } ( L ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { o } } & { = } & { \frac { 1 } { | \cos \theta _ { i } | d A } \int \frac { | \cos \theta _ { o m } | } { | \cos \theta _ { m } | } F ( \theta _ { i } , \theta _ { m } ) } \\ & { } & { \times \left\{ D ( \theta _ { m } ) | \cos \theta _ { m } | \right\} G ( \theta _ { i } , \theta _ { o } , \theta _ { m } ) d \Omega _ { m } , } \end{array}
R ( s ) = \frac { \sigma _ { \mathrm { t o t } } ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \gamma ^ { * } \rightarrow \mathrm { h a d r o n s } ) } { \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \gamma ^ { * } \rightarrow \mu ^ { + } \mu ^ { - } ) }
\Omega _ { R } = 2 \sqrt { N \omega _ { \mathrm { c } } } g _ { \mathrm { c } } = \sqrt { \frac { 2 \omega _ { \bf k } } { \epsilon _ { 0 } \hbar } } \sqrt { \frac { N } { \mathcal V } } \cdot { \mu _ { \mathrm { L L ^ { \prime } } } }
m \left[ \begin{array} { c } { \ddot { w } _ { x } } \\ { \ddot { w } _ { y } } \end{array} \right] + k \left[ \begin{array} { c } { w _ { x } } \\ { w _ { y } } \end{array} \right] + c \left[ \begin{array} { c } { \dot { w } _ { x } } \\ { \dot { w } _ { y } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { F _ { D } } \\ { F _ { L } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { f } \ } & { \eta \int _ { a } ^ { \infty } \tilde { H } ( x ) d p ( x ) } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } \ \ } & { \eta \int _ { a } ^ { \infty } ( x - a ) d p ( x ) = \beta , } \\ & { \eta \int _ { a } ^ { \infty } \tilde { G } ( x ) d p ( x ) = \Gamma , } \\ & { \eta \int _ { a } ^ { \infty } d p ( x ) \leq \eta , } \\ & { p ( x ) \ \mathrm { e x i s t s , ~ n o n - d e c r e a s i n g ~ a n d ~ r i g h t - c o n t i n u o u s ~ f o r ~ } x \geq a , } \\ & { 0 \leq p ( x ) \leq 1 \ \mathrm { f o r } \ x \geq a , } \\ & { p ( x ) \rightarrow 1 \ \mathrm { a s } \ x \rightarrow \infty , } \\ & { p ( x ) = 0 \ \mathrm { f o r } \ x < a , } \\ & { ( 1 - p ( x ) ) x \rightarrow 0 \ \mathrm { f o r } \ x \rightarrow \infty , } \\ & { \tilde { G } ( x ) ( 1 - p ( x ) ) \rightarrow 0 \ \mathrm { a s } \ x \rightarrow \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n + \partial _ { x } ( u ~ n ) } & { = 0 , } \\ { m n \left( \partial _ { t } u + u ~ \partial _ { x } u \right) } & { = - \partial _ { x } p + q n E + 2 ~ m n ~ \frac { \nu _ { L } * u } { 1 + \delta ^ { 2 } } . } \\ { p } & { = n ^ { \gamma } , } \\ { \partial _ { x } E } & { = \frac { q } { m } ( n - 1 ) , } \\ { \partial _ { t } \delta _ { k } } & { = v _ { p h } ~ \partial _ { x } \delta + \nu _ { g } ~ \frac { | E * \nu _ { L } | } { 1 + \delta ^ { 2 } } , } \\ { \nu _ { g } } & { = 1 0 ^ { f ( \tilde { E } _ { k } , \tilde { \nu } _ { e e } , \tilde { k } ; \theta _ { g } ) } , } \\ { f ( E , \nu _ { e e } , k ; \theta ) } & { = 3 \operatorname { t a n h } \left( g ( \tilde { \nu } _ { e e } , \tilde { k } , | \hat { \tilde { E } } ^ { k } | ; \theta ) \right) , } \end{array}
U = e ^ { i \eta } \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { i \omega } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - i \omega } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \cos \theta } } & { { \sin \theta } } \\ { { - \sin \theta } } & { { \cos \theta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { i \phi } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - i \phi } } } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } { T ^ { 0 0 } } & { = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m c ^ { 4 } } } \left( \partial _ { 0 } { \bar { \phi } } \partial _ { 0 } \phi + c ^ { 2 } \partial _ { k } { \bar { \phi } } \partial _ { k } \phi \right) + m { \bar { \phi } } \phi , } \\ { T ^ { 0 i } = T ^ { i 0 } } & { = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m c ^ { 2 } } } \left( \partial _ { 0 } { \bar { \phi } } \partial _ { i } \phi + \partial _ { i } { \bar { \phi } } \partial _ { 0 } \phi \right) , \ \mathrm { a n d } } \\ { T ^ { i j } } & { = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \left( \partial _ { i } { \bar { \phi } } \partial _ { j } \phi + \partial _ { j } { \bar { \phi } } \partial _ { i } \phi \right) - \delta _ { i j } \left( { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \eta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } { \bar { \phi } } \partial _ { \beta } \phi + m c ^ { 2 } { \bar { \phi } } \phi \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \rho _ { \mathrm { L D O S } } ^ { } ( \omega _ { I } ^ { } ) = \int _ { \omega _ { I } ^ { } - \delta \omega } ^ { \omega _ { I } ^ { } + \delta \omega } \rho _ { \mathrm { L D O S } } ^ { } ( \omega ) d \omega , } \end{array}
Z [ \eta , \bar { \eta } , J ] = \int { \cal D } \psi { \cal D } \bar { \psi } { \cal D } \varphi \exp \{ i [ S [ \bar { \psi } , \psi , \varphi ] + \int d ^ { 4 } x \bar { \psi } \eta + \bar { \eta } \psi + J \varphi ] \}
j _ { 3 } ( 0 ) = - \frac { 2 1 } { 2 } + \frac { 2 7 } { 2 } S _ { 2 } , ~ j _ { 3 } ( 1 ) = \frac { 3 } { 8 } - 3 S _ { 2 } , ~ j _ { 3 } ( 2 ) = \frac { 1 1 } { 1 0 8 } - \frac { 1 } { 3 } S _ { 2 } , ~ j _ { 3 } ( 3 ) = \frac { 1 9 } { 6 4 8 } - \frac { 1 } { 9 } S _ { 2 } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { m \nearrow 1 } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \eta ) = \mathbf { r } _ { 0 , 1 } ^ { \mathrm { S S E P } } ( \eta ) = \operatorname* { l i m } _ { m \searrow 1 } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \eta ) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \operatorname* { l i m } _ { m \nearrow 2 } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \eta ) = \mathbf { r } _ { 0 , 1 } ^ { \mathrm { P M M } ( 1 ) } ( \eta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 2 } ( x ) = } & { { } \frac { h _ { 0 } ( x + x _ { \lambda } ) } { 2 x _ { \lambda } } \frac { d \Phi _ { 0 } } { d x } + A } \\ { \Phi _ { - 2 } ( x ) = } & { { } \frac { h _ { 0 } ( x - x _ { \lambda } ) } { 2 x _ { \lambda } } \frac { d \Phi _ { 0 } } { d x } + A . } \end{array}
\Big \| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ c _ { j } , b _ { j } ] } | \tilde { \sigma } _ { t } \ast \mathbb { E } _ { k _ { j } } g - \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho c _ { j } } g | \Big \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \leqslant C _ { 2 } \| P _ { \varrho c _ { j } } g - \mathbb { E } _ { k _ { j } } g \| _ { \textup { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { \vert \bar { \mathcal { O } } - \mathcal { O } ^ { * } \vert \leq \sum _ { n \in \mathbb { N } } \operatorname* { s u p } _ { \phi \in \Delta _ { n } } \left\vert \mathcal { O } ( \phi ) \right\vert \cdot \alpha _ { n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y ( K ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } V ( K , L _ { j } , \dots , L _ { j } ) - V ( K , W _ { j } , \dots , W _ { j } ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } \frac { 1 } { n } \int _ { \mathbb { S } ^ { n - 1 } } h _ { K } \, d S _ { n } ( L _ { j } ) - \frac { 1 } { n } \int _ { \mathbb { S } ^ { n - 1 } } h _ { K } \, d S _ { n } ( W _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \{ \mathbf { u , v , w , z , x } \} , \{ \boldsymbol { \kappa , \lambda , \mu , \nu } \} ) = \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { y - C u } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } + \tau _ { 1 } \| \mathbf { v } \| _ { 1 } + \tau _ { 2 } \| \mathbf { w } \| _ { 1 } } \end{array}
\phi ( x , t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k } { \sqrt { 2 k } } \Bigl [ a ( k ) \, e ^ { - i k ( x + t ) } + a ^ { \dagger } ( k ) \, e ^ { i k ( x + t ) } \Bigr ] \, .
\begin{array} { r l } { { \sf d e e c [ 1 ] } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } - \frac 3 8 \, y z \, a ( - k n ) \bigg [ \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) - 6 \left( 1 - x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } \right) X _ { k } ^ { - 3 , 2 } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \bigg ] } \end{array}
W ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \int _ { - { \frac { d + 1 } { 2 } } } ^ { = \infty } \rho ( \lambda ) \ W _ { \lambda + \frac { d - 1 } { 2 } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \ d \lambda ,
\begin{array} { r l } { \sigma ( \partial _ { u } , \partial _ { u } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 8 } } \left( ( ( \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 2 } ^ { 3 } - \alpha _ { 2 } \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } - ( \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } + \alpha _ { 2 } \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } ) ( E _ { 1 } - i E _ { 2 } ) \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \alpha _ { 1 } \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } + \alpha _ { 2 } \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } ) ( \alpha _ { 1 } \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } - \alpha _ { 2 } \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) i ( E _ { 1 } - i E _ { 2 } ) , } \\ { \kappa ( \partial _ { u } , \partial _ { u } ) } & { = \lambda ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ( \alpha _ { 2 } ^ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) - 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } ) j E _ { 3 } + \lambda ( \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } ( \alpha _ { 2 } ^ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) + 2 \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) k E _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } } & { = \epsilon ( 1 + O ( \epsilon ^ { \omega } ) ) } \\ { \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \left( \epsilon ^ { 2 } \phi _ { t t } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } - W ^ { \prime \prime } ( \overline { { g } } _ { \epsilon } ) \phi \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } \right) } & { = - \epsilon ^ { 2 } \sigma \phi _ { t } ( s , 0 ) + O ( \epsilon ^ { k } ) } \\ { \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \epsilon H _ { t } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } ^ { 2 } } & { = \epsilon ^ { 2 } H _ { 0 } \sigma _ { 0 } + O ( \epsilon ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { p _ { 3 3 } N ! l _ { \delta } ( 0 , 0 ) - ( g _ { \delta } ) _ { x } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) p _ { 1 3 } N ! l _ { \delta } ( 0 , 0 ) - ( g _ { \delta } ) _ { y } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) p _ { 1 3 } N ! l _ { \delta } ( 0 , 0 ) } \\ & { = } & { \sum _ { a + b = 2 } ^ { N } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a - | I | } y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { b - | J | } ( p _ { 1 3 } ) ^ { | I | } ( p _ { 2 3 } ) ^ { | J | } } \\ & { } & { ( 2 ! ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } ( 3 ! ) ^ { i _ { 2 } + j _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } + j _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } + j _ { p } } } \end{array}
\omega _ { 1 } ( t ) = m \Biggl [ 1 + \frac { 1 } { 2 m ^ { 4 } t ^ { 4 } \Bigl ( 1 + \frac { 1 } { 2 t ^ { 2 } m ^ { 2 } } \Bigr ) ^ { 2 } } \Biggr ] ^ { 1 / 2 } .
V = \frac { E ( 1 / \sqrt { 2 } ) } { 3 \pi l _ { s } ^ { 2 } l _ { c } ^ { 2 } K ( 1 / \sqrt { 2 } ) ^ { 3 } } L ^ { 3 } + \frac { 2 l _ { c } \Lambda ^ { 3 / 2 } } { 3 \pi l _ { s } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \| r ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - \mathsf { l a n } _ { k } ( r ) \| _ { 2 } } & { \leq C _ { r } \operatorname* { m i n } _ { \deg ( p ) < k - c _ { r } } \| r ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } \\ & { \leq C _ { r } \operatorname* { m i n } _ { \deg ( p ) < k - c _ { r } } \left( \| r ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - f ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } + \| f ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } \right) } \\ & { \leq C _ { r } \| \mathbf { b } \| _ { 2 } \cdot \| r - f \| _ { \mathcal I } + C _ { r } \operatorname* { m i n } _ { \deg ( p ) < k - c _ { r } } \| f ( \mathbf { A } ) b - p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } . } \end{array}
A _ { \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } \Phi _ { 3 } } = - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \gamma _ { \Phi _ { 1 } } + \gamma _ { \Phi _ { 2 } } + \gamma _ { \Phi _ { 3 } } \right) m _ { 3 / 2 } ,
H _ { F } = \sum _ { m < n } r _ { m n } \left( ( \tilde { \Lambda } _ { + } ^ { m n } ) ^ { \dagger } \tilde { \Lambda } _ { + } ^ { m n } + \tilde { \Lambda } _ { - } ^ { m n } ( \tilde { \Lambda } _ { - } ^ { m n } ) ^ { \dagger } - 8 \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { c } { p _ { \varphi } = I _ { 1 } \dot { \varphi } \sin ^ { 2 } \theta + I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] \cos \theta , } \\ { p _ { \psi } = I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] , } \end{array} \qquad \mathrm { t h e n } \qquad \begin{array} { c } { \dot { \varphi } = \frac { p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta } { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \dot { \psi } = \frac { p _ { \psi } } { I _ { 3 } } - \frac { ( p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta ) \cos \theta } { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array} } \end{array}
[ A | I ] = \left[ { \begin{array} { c c c c c c } { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right] .
\begin{array} { c } { { g _ { { B ^ { \ast } } ^ { 0 } B ^ { 0 } \gamma } = - 4 . 0 \pm 0 . 4 \, , } } \\ { { g _ { { B ^ { \ast } } ^ { + } B ^ { + } \gamma } = 6 . 8 \pm 0 . 6 \, , } } \\ { { g _ { B _ { s } ^ { \ast } B _ { s } \gamma } = - 5 . 0 \pm 0 . 5 \, . } } \end{array}
\left( \sum _ { i } S _ { i } \right) \cdot D _ { a } \cdot D _ { b } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l l l } { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 2 } \end{array} \right) _ { a b } \, .
\dot { \mathbf V } = \mathbb { L } \mathbb { T } ^ { \top } \mathbb { Q } ^ { b v } \mathbb { C } { \mathbf b } , \quad \dot { \mathbf b } = - \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbb { C } ^ { \top } ( \mathbb { Q } ^ { b v } ) ^ { \top } \mathbb { T } \mathbb { L } ^ { \top } \mathbb { W } { \mathbf V } ,
V _ { p \Delta } = \int d ^ { 4 } a n _ { + } ^ { - \Delta } ( x + a , y ) e ^ { i p a } = y ^ { \Delta } e ^ { i p x } \int d ^ { 4 } a e ^ { i p a } \frac { 1 } { ( a ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { \Delta } } = N ( \Delta ) p ^ { \Delta - 2 } y ^ { 2 } K _ { \Delta - 2 } ( p y ) e ^ { i p x }
\prod _ { \alpha > 0 } \frac { [ \langle w _ { i } ( \mu ) + w _ { i } ( \rho ) , \alpha \rangle ] } { [ \langle \rho , \alpha \rangle ] } = - \prod _ { \alpha > 0 } \frac { [ \langle \mu + \rho , \alpha \rangle ] } { [ \langle \rho , \alpha \rangle ] } ~ ,
\frac { F } { V } = ( - 1 ) ^ { f } \frac { 1 } { \beta } \int \frac { d ^ { D - 1 } p } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \ln \left( 1 - ( - 1 ) ^ { f } e ^ { - \beta \omega ( \vec { p } ) } \right)
\begin{array} { r } { \tilde { \bf W } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) | _ { x _ { 3 } = { x _ { 3 , F } } } = { \bf I } \exp \{ i \omega { { \bf s } } \cdot { { \bf x } _ { \mathrm { H } } } \} . } \end{array}
\gamma _ { 0 } \approx 6 . 6 3 5 { \frac { N } { 2 4 \pi } } g ^ { 2 } T = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 . 1 7 6 g ^ { 2 } T } } & { { ( N = 2 ) , } } \\ { { 0 . 2 6 4 g ^ { 2 } T } } & { { ( N = 3 ) . } } \end{array} \right. \right.
\boldsymbol { v } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \mathcal { H } } _ { j , \boldsymbol { k } } \boldsymbol { v } > 0 , \forall \boldsymbol { v } \in \mathbb { R } ^ { 1 4 } \setminus \{ \boldsymbol { 0 } \}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { J } } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { 1 } { a \cos ^ { 2 } x + b \sin ^ { 2 } x } } d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } x } } { a + b { \frac { \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } } } } d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \sec ^ { 2 } x } { a + b \tan ^ { 2 } x } } d x } \\ & { = { \frac { 1 } { b } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { 1 } { \left( { \sqrt { \frac { a } { b } } } \right) ^ { 2 } + \tan ^ { 2 } x } } \, d ( \tan x ) } \\ & { = \left. { \frac { 1 } { \sqrt { a b } } } \arctan \left( { \sqrt { \frac { b } { a } } } \tan x \right) \right| _ { 0 } ^ { \pi / 2 } } \\ & { = { \frac { \pi } { 2 { \sqrt { a b } } } } . } \end{array} }
g _ { \mu \nu \kappa \lambda } \lesssim \frac { 2 ^ { l _ { \mu \kappa } } \pi ^ { 5 / 2 } N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } N _ { \lambda } e ^ { - s ^ { * } } \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } ^ { 3 / 2 } ( \theta _ { \nu \lambda \omega } R _ { \mathrm { c u t } } ) ^ { l _ { \mu \nu } + l _ { \kappa \lambda } - 2 } } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { l _ { \mu } + 3 / 2 } \alpha _ { \kappa \lambda } ^ { l _ { \kappa } + 3 / 2 } \alpha _ { \nu } ^ { l _ { \nu } } \alpha _ { \lambda } ^ { l _ { \lambda } } } f _ { l _ { \mu \nu \kappa \lambda } } ( \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } ^ { - 1 } \theta _ { \nu \lambda \omega } ^ { 2 } R _ { \mathrm { c u t } } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { ( U _ { 1 } + \tilde { U } _ { 2 } , - \tilde { U } _ { 2 } , - w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \tilde { U } _ { 2 } , U _ { 1 } , - w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \tilde { U } _ { 2 } + U _ { 2 } , - w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \tilde { U } _ { 2 } , - w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \tilde { U } _ { 2 } + U _ { 2 } ) = } \\ & { = ( U _ { 1 } + \tilde { U } _ { 2 } , - \tilde { U } _ { 2 } , - \frac { U _ { 2 } } { w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } } , U _ { 1 } , 0 , - \frac { U _ { 2 } } { w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } } , 0 ) } \end{array}
\Gamma ^ { p o t } ( A _ { 1 } , A _ { 2 } ) = { \mathrm { T r } } [ \ \int _ { X } A _ { 2 } ^ { \mu } ( X ) \ j _ { \mu } ( X ; A _ { 1 } ( X ) ) \, + \int _ { X , Y } { \frac { 1 } { 2 } } \ A _ { 2 } ^ { \mu } ( X ) \ { \cal K } _ { \mu \nu } ( X , Y ; A _ { 1 } ( X ) ) \ A _ { 2 } ^ { \nu } ( Y ) \ ]
\exists C _ { \mathcal { F } } > 0 , \quad \Vert \mathcal { F } ( u ) \Vert _ { \mathbb { L } ^ { \infty } ( \mathcal { U } ) } \leq C _ { \mathcal { F } } \Vert u \Vert _ { \mathbb { L } ^ { \infty } ( \mathcal { U } ) } , \quad \forall u \in \mathbb { L } ^ { \infty } ( \mathcal { U } ) .
\begin{array} { r l r } { H = } & { } & { \sum _ { n } \left[ \frac { \hbar \Delta } { 2 } \sigma _ { n } ^ { z } + \hbar \omega _ { 0 } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { n } + \hbar \frac { g } { 2 } \sigma _ { n } ^ { x } ( a _ { n } ^ { \dagger } + a _ { n } ) \right] - } \\ & { } & { J \sum _ { n } a _ { n } ^ { \dagger } ( a _ { n + 1 } + a _ { n - 1 } ) . } \end{array}
1 8 : { \frac { 1 } { 6 } } T = { \frac { 1 } { 3 } } \; \; \; ; \; \; \; 1 9 : { \frac { 1 } { 1 2 } } T = { \frac { 1 } { 6 } } \; \; \; ; \; \; \; 2 0 : { \frac { 1 } { 2 4 } } T = { \frac { 1 } { 1 2 } }
\begin{array} { r } { \mathbf S _ { n } ( t ) ( \hat { \boldsymbol \eta } ( t ) - \boldsymbol \eta ( t ) ) = \left( \begin{array} { l } { b ^ { 2 } S _ { n , 2 } ( t ) ( \beta ^ { \prime \prime } ( t ) + O ( b ) ) / 2 + O ( n ^ { - 1 } h ) } \\ { b ^ { 2 } S _ { n , 3 } ( t ) ( \beta ^ { \prime \prime } ( t ) + O ( b ) ) / 2 + O ( n ^ { - 1 } h ) } \end{array} \right) + \mathbf T _ { n } ( t ) + \mathbf D _ { n } ( t ) + \mathbf C _ { n } ( t ) . } \end{array}