harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { P } _ { 1 } } & { = 4 \partial _ { 1 } \partial _ { 2 } + 2 \eta x _ { 2 } \partial _ { 1 } + \eta ^ { 2 } x _ { 1 } , } \\ { { P } _ { 2 } } & { = 4 \partial _ { 2 } ^ { 2 } + \eta x _ { 1 } \partial _ { 1 } + 2 \eta x _ { 2 } \partial _ { 2 } + \eta , } \\ { { P } _ { 3 } } & { = \eta \partial _ { 2 } - \partial _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r | \hat { l } _ { + } \psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) | ^ { 2 } } \\ & { = } & { 8 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ( n - m ) \frac { n ! } { ( n - m - 1 ) ! } \frac { 1 } { w _ { 0 } ^ { 2 } } w _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { } & { \cdot \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { - m - 1 } L _ { n } ^ { - m - 1 } ( a ) L _ { n } ^ { - m - 1 } ( a ) \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { 1 } { n - m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { - m } L _ { n } ^ { - m - 1 } ( a ) L _ { n } ^ { - m } ( a ) \right. } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 4 ( n - m ) ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 z ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \left. \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { - m + 1 } L _ { n } ^ { - m } ( a ) L _ { n } ^ { - m } ( a ) \right) } \\ & { = } & { 8 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ( n - m ) \frac { n ! } { ( n - m - 1 ) ! } } \\ & { } & { \cdot \left( \frac { ( n - m - 1 ) ! } { n ! } - \frac { ( n - m ) ! } { n ! } \frac { 1 } { n - m } \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 1 } { 4 ( n - m ) ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 z ^ { 2 } } \right) \frac { ( n - m ) ! } { n ! } ( 2 n - m + 1 ) \right) } \\ & { = } & { \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n - m + 1 ) . } \end{array}
\langle \chi _ { 2 } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) | \chi _ { 1 } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) \rangle = \int _ { | \theta _ { \ell } | \leq 1 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \frac { d \theta _ { \ell } d \bar { \theta } _ { \ell } } { 2 \pi i } ( 1 - \theta _ { \ell } \bar { \theta } _ { \ell } ) ^ { \nu _ { \ell } - 1 } \, c h i _ { 2 } ( \bar { \theta } _ { 1 } , \bar { \theta } _ { 2 } , \bar { \theta } _ { 3 } ) \chi _ { 1 } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } ) .
H = \gamma ^ { 0 } \vec { \gamma } ( - i \vec { \nabla } - e \vec { A } ) + m \gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { H _ { + } } } & { { i \sigma _ { 2 } \partial _ { z } } } \\ { { i \sigma _ { 2 } \partial _ { z } } } & { { H _ { - } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \eta ^ { * } } { \partial t ^ { * } } = w ^ { * } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) } \\ & { \frac { \partial u ^ { * } } { \partial z ^ { * } } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) + \frac { \partial w ^ { * } } { \partial x ^ { * } } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) = 0 } \\ & { \rho _ { b } ^ { * } ( 0 ) g \eta ^ { * } - p ^ { * } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) + 2 \mu \frac { \partial w ^ { * } } { \partial z ^ { * } } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) - \tau \left( \frac { \partial ^ { 2 } \eta ^ { * } } { ( \partial x ^ { * } ) ^ { 2 } } \right) = 0 } \\ & { \rho ^ { * } ( x ^ { * } , 0 , t ^ { * } ) = 0 } \\ & { u ^ { * } ( x ^ { * } , - H ^ { * } , t ^ { * } ) = w ^ { * } ( x ^ { * } , - H ^ { * } , t ^ { * } ) = \rho ^ { * } ( x ^ { * } , - H ^ { * } , t ^ { * } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { G } _ { l o c } ^ { \lambda } ( \tilde { u } ; ( A \cup \Sigma ) ^ { o } ) - \mathcal { G } _ { l o c } ^ { \lambda } ( u ; A ) + | \mathcal { N } ^ { \lambda } ( \tilde { u } ; B , B ) - \mathcal { N } ^ { \lambda } ( u ; B , B ) | } \\ & { \quad \quad \leq C \int _ { { \Sigma } } \left\{ | u _ { + } - u _ { - } | + \lambda + \delta \right\} | \nu _ { t } | d \mathcal { H } ^ { d } + C \delta ^ { - 1 } \left[ \frac { 1 } { \lambda } \int _ { A \cap \{ 0 < \mathfrak { t } ( ( \tau , z ) , \Sigma ) \leq \lambda \} } \Psi _ { 0 } ( \lambda \, \partial _ { \tau } u ) \ d \tau \, d z . \right] } \end{array}
i \frac { d \chi _ { + } } { d z } - \frac { \omega } { c } \left( 2 \chi _ { + } + \chi _ { + } ^ { 2 } \right) + i \frac { d \zeta } { d z } + \frac { \omega } { c } \left( 2 \zeta + \zeta ^ { 2 } \right) = 0 \, .
\begin{array} { r } { n _ { k } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { k ^ { - \gamma } \exp \left[ - \mu \left( \frac { k ^ { 1 - \gamma } - 2 ^ { 1 - \gamma } } { 1 - \gamma } \right) \right] } & { \qquad \frac { 1 } { 2 } < \gamma < 1 , } \\ { k ^ { ( \mu ^ { 2 } - 1 ) / 2 } \exp \left[ - 2 \mu \, \sqrt { k } \right] } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ \qquad \gamma = \frac { 1 } { 2 } , } \\ { k ^ { - \gamma } \exp \left[ - \mu \, \frac { k ^ { 1 - \gamma } } { 1 - \gamma } + \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } \, \frac { k ^ { 1 - 2 \gamma } } { 1 - 2 \gamma } \right] } & { \qquad \frac { 1 } { 3 } < \gamma < \frac { 1 } { 2 } \, , } \end{array} \right. } \end{array}
b , \quad \sigma _ { c } = \frac { \nu _ { c } } { 1 - \nu _ { c } } , \quad \sigma _ { s } = \frac { \nu _ { s } } { 1 - \nu _ { s } } , \quad r _ { s } = \frac { \rho _ { s } } { \rho _ { c } } , \quad m _ { s } = \frac { \mu _ { s } } { \mu _ { c } } .
\begin{array} { r } { \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } ( \rho , x , t ) = \mathbf { v } _ { 0 } ^ { + } ( x , t ) \eta ( \rho ) + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) ( 1 - \eta ( \rho ) ) , } \end{array}
\int \langle x , ( O - \lambda I ) y \rangle \langle y , G ( \lambda ) z \rangle \, d y = \int \langle x , ( O - \lambda I ) y \rangle \left\langle y , ( O - \lambda I ) ^ { - 1 } z \right\rangle \, d y = \langle x , z \rangle = \delta ( x - z ) .
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( \zeta ) \sim 1 + O ( \zeta ) } & { { } \implies } & { I ( 0 ; \zeta ) \sim O ( \zeta ) } \\ { F _ { e } ( r = L , \theta ; \zeta ) } & { { } \sim } & { O ( 1 ) } \\ { F _ { h } ( r = L , \theta ; \zeta ) } & { { } \sim } & { O ( \zeta ) } \\ { F _ { e } ( r \to \infty , \theta ; \zeta ) } & { { } \sim } & { O ( \zeta ^ { 2 } ) } \\ { F _ { h } ( r \to \infty , \theta ; \zeta ) } & { { } \sim } & { O ( \zeta ^ { 2 } ) } \\ { h _ { e } ^ { R x } ( r \to \infty , \theta ; \zeta ) } & { { } \sim } & { \frac { - 2 L P _ { 1 } ^ { 1 } ( \cos \theta ) c _ { 1 } } { \sum _ { \ell = 1 , 3 } ^ { \infty } ( 1 + \ell ^ { - 1 } ) w _ { \ell } ( \theta _ { 0 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { s t } } & { { } = } & { \frac { i } { 2 } \Omega T _ { 2 } w _ { s t } , } \\ { w _ { s t } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 1 + | \Omega | ^ { 2 } T _ { 1 } T _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) , } & { { } i = 0 , \cdots , 8 \} = \{ 1 , { u } _ { x } , { u } _ { x } ^ { 2 } , { u } _ { r } ^ { 2 } , { u } _ { x } ^ { 3 } , { u } _ { x } ^ { 4 } , { u } _ { r } ^ { 4 } , { u } _ { x } { u } _ { r } ^ { 2 } , { u } _ { x } ^ { 2 } { u } _ { r } ^ { 2 } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { 0 } ^ { \frac \pi 2 } ( \cos s ) _ { + } ^ { N - 1 } \ensuremath { \, \mathrm d } s \right) ^ { - 1 } } & { = \frac { I _ { \mathbb { S } ^ { N } } ( \mathcal { H } ^ { N } ( \mathbb { S } ^ { N } ) / 2 ) } { \mathcal { H } ^ { N } ( \mathbb { S } ^ { N } ) / 2 } = \frac { I _ { X } ( \mathcal { H } ^ { N } ( X ) / 2 ) } { \mathcal { H } ^ { N } ( X ) / 2 } = \frac { P ( E ) } { \mathcal { H } ^ { N } ( E ) } } \\ & { \ge \left( \operatorname* { m i n } \{ F ( d ) , G ( d ) \} \right) ^ { - 1 } \ge \left( \int _ { 0 } ^ { \frac { D } { 2 } } ( \cos s ) _ { + } ^ { N - 1 } \ensuremath { \, \mathrm d } s \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\beta _ { \rho } = \frac { \Gamma _ { + } } { 4 \pi { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 3 } } \Bigg ( I _ { 1 A } ^ { \delta } - I _ { 2 A } ^ { \delta } + \frac { 3 } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 2 } } ( z _ { c } - z _ { + } ) ^ { 2 } ( I _ { 2 B } ^ { \delta } - I _ { 1 B } ^ { \delta } ) \Bigg )
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \cal N I G } { } ( x | \alpha , \beta , \delta , \mu ) } & { { } = } & { \frac { \alpha \delta K _ { 1 } ( \alpha \sqrt { \delta ^ { 2 } + ( x - \mu ) ^ { 2 } } ) } { \pi \sqrt { \delta ^ { 2 } + ( x - \mu ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\mathbf { a } = { \left[ \begin{array} { l } { a _ { x } } \\ { a _ { y } } \\ { a _ { z } } \end{array} \right] } , \ \mathbf { b } = { \left[ \begin{array} { l } { b _ { x } } \\ { b _ { y } } \\ { b _ { z } } \end{array} \right] } , \ \mathbf { c } = { \left[ \begin{array} { l } { c _ { x } } \\ { c _ { y } } \\ { c _ { z } } \end{array} \right] }
J = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { v } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { v } ] } & { \partial _ { e } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { v } ] } \\ { \partial _ { v } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { e } ] } & { \partial _ { e } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { e } ] } \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { v } \tau } & { \partial _ { e } \tau } \\ { - \tau \partial _ { v } \tau } & { - \tau \partial _ { e } \tau } \end{array} \right) .
Q ( \theta | x , z , G ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nu _ { i } \left( \log w + \log ( 1 - w ) + \log { \mathcal { U } ( x _ { i } ) } + \, \sum _ { k = 1 } ^ { K } \gamma _ { i k } \left( \log \varphi _ { k } + \log p ( x _ { i } | \theta _ { k } ) \right) \right)
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } \lambda _ { 1 , 5 } \lambda _ { 2 , 6 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 } } ) } & { = ( - 1 ) ^ { n } \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } \lambda _ { 1 , 5 } \lambda _ { 2 , 6 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 6 , 5 } } ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } \lambda _ { 1 , 5 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 5 } } ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } \frac { \chi - 2 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } . } \end{array}
E ( t _ { j } ) = \sqrt { \frac { \sum _ { i \leq j } \vert S ( t _ { i } ) - S _ { \mathrm { e x } } ( t _ { i } ) \vert ^ { 2 } } { \sum _ { i \leq j } \vert S _ { \mathrm { e x } } ( t _ { i } ) \vert ^ { 2 } } } , \quad t _ { i } = i \times \delta t ,
R _ { N } ^ { \infty } ( x , \alpha , \theta ) = \frac { ( - 1 ) ^ { N } } { \pi N ! } x ^ { - \alpha N - 1 } \Re i ^ { \alpha N + 1 } e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \tau ^ { \alpha N } \exp \left\{ - \tau \exp \left\{ - i \frac { \pi } { 2 } \theta \right\} - \left( \frac { i \tau } { x } \right) ^ { \alpha } \zeta \right\} d \tau , \quad x > 0 .
\begin{array} { r l } { y } & { = \mu _ { 0 } ^ { y } 2 ^ { n ( \alpha - 1 ) } ( \delta _ { x } ^ { i } ( 1 ) - \delta _ { x } ^ { i } ( 0 ) ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mu _ { j } ^ { y } 2 ^ { ( n - j ) ( \alpha - 1 ) } 2 ^ { j \alpha } \left( \delta _ { x } ^ { i } ( y _ { j } ^ { y } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { i } ( ( y _ { j } ^ { y } ) ^ { + } ) + \delta _ { x } ^ { i } ( ( y _ { j } ^ { y } ) ^ { - } ) ) \right) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle 2 _ { i } | 2 _ { i } \rangle } & { { } = } & { | c o n s t | ^ { 2 } \langle 1 _ { i } | \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } | 1 _ { i } \rangle = | c o n s t | ^ { 2 } \langle 1 _ { i } | \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = } \end{array}
< \tilde { u } _ { n } > = \hat { u } _ { n } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \beta _ { n } } { \xi _ { n } } \hat { p } _ { n } \cos { x } , \ \ \ \ \ < \tilde { w } _ { n } > = \hat { w } _ { n } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \beta _ { n } } { \xi _ { n } } \frac { \partial \hat { p } _ { n } } { \partial z } \sin { x } .
\begin{array} { r l } { \overline { { v _ { m } ^ { \prime } T _ { 2 } ^ { \prime } } } } & { { } = \frac { j l f _ { 0 } } { R } \left( { A _ { m } B _ { T } } - { A _ { T } B _ { m } } \right) \sin ^ { 2 } l y , } \end{array}
\Delta = - \pi \beta ^ { - 1 } ( \partial _ { \mu } - \partial _ { \theta } A _ { \mu } ) \beta \pi ^ { - 1 } ( \partial ^ { \mu } - A ^ { \mu } \partial _ { \theta } ) - \pi ^ { 2 } \beta ^ { - 2 } \partial _ { \theta } ^ { 2 } = \Delta _ { 0 } + \Delta _ { I } .
\tilde { \mathbf { G } } \cdot ( \widehat { \mathbf { A } ^ { - 1 } } ) ^ { \top } = ( \mathbf { I } _ { T } \otimes \mathbf { G } ) \cdot \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { A } } _ { 1 } ^ { \top } } \\ { \vdots } \\ { \hat { \mathcal { A } } _ { k } ^ { \top } } \end{array} \right] = \left( \begin{array} { l } { \sum _ { j \in \mathcal { J } _ { 1 } } p _ { j } ( \beta _ { 1 } ) \cdot \hat { \mathcal { A } } _ { j } ^ { \top } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { j \in \mathcal { J } _ { n } } p _ { j } ( \beta _ { n } ) \cdot \hat { \mathcal { A } } _ { j } ^ { \top } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \varrho ^ { \mathrm { i t } } \approx \left( \begin{array} { c c c c } { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 . 5 } & { 0 . 6 7 } & { 0 . 5 5 } \\ { 0 } & { 0 . 6 7 } & { 0 . 3 } & { 0 . 2 4 } \\ { 0 } & { 0 . 5 5 } & { 0 . 2 4 } & { 0 . 2 } \end{array} \right) \quad , \qquad \varrho ^ { \mathrm { t f } } \approx \left( \begin{array} { c c c c } { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 . 5 } & { 0 . 5 7 } & { 0 . 3 2 } \\ { 0 } & { 0 . 5 7 } & { 0 . 3 } & { 0 . 2 3 } \\ { 0 } & { 0 . 3 2 } & { 0 . 2 3 } & { 0 . 2 } \end{array} \right) \ . } \end{array}
Q _ { 2 2 } = \frac { a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin \theta \left( c _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } k _ { \scriptscriptstyle \! \perp } k _ { z } + \omega ^ { 2 } \sin \theta \right) + c _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } \left( 3 \omega ^ { 2 } - 2 c _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) - \omega ^ { 4 } } { ( \chi + 1 ) \omega ^ { 2 } } ,
C _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { K _ { 1 1 } ^ { p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { 1 i } ^ { p } ) ^ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { K _ { M 1 } ^ { p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { M i } ^ { p } ) ^ { 2 } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { K _ { 1 M } ^ { p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { 1 i } ^ { p } ) ^ { 2 } } } & { \cdots } & { \frac { K _ { M M } ^ { p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { M i } ^ { p } ) ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
1 - 2 \lambda \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ] + \frac { \lambda ^ { 2 } } { S ^ { 2 } } \mathbb { E } [ x ^ { 4 } ] + \frac { \lambda ^ { 2 } ( S - 1 ) ^ { 2 } } { S ^ { 2 } } \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ] ^ { 2 } < 1 ,
\Psi _ { \{ N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } = 0 \} } ( \{ Q _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} ) = \prod _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \psi _ { 0 } ( Q _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ) = \prod _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \left( \frac { \omega _ { k } } { \pi \hbar } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \left( - \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \omega _ { k } Q _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } ^ { 2 } / 2 \hbar \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \langle v \rangle ^ { 2 } \vert f ( t , x , v ) \vert d v } & { \leq C _ { q } M _ { 0 } e ^ { - t } + \frac { C _ { q } } { N ^ { q - 5 } } \overbar { M } + C _ { q } \overbar { M } ^ { n } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } \bigg [ N ^ { 5 } ( 1 - e ^ { - \lambda } ) \overbar { M } + \frac { \overbar { M } } { N ^ { q - 1 0 } } } \\ & { \quad + N ^ { 6 } ( \lambda ^ { - 2 } + N ^ { 3 } ) \left( \mathcal { E } ( F _ { 0 } ) + N ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { \mathcal { E } ( F _ { 0 } ) } \right) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l c r } { \quad \mathbf { 1 } _ { T _ { F } } \left( ( \Phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { C } } \left( ( \tilde { \Phi } _ { k } ^ { i } , \tilde { y } _ { k } ^ { i } ) \right) = 0 } \\ { \& \ \mathbf { 1 } _ { T _ { C } } \left( ( \Phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { F } } \left( ( \tilde { \Phi } _ { k } ^ { i } , \tilde { y } _ { k } ^ { i } ) \right) = 0 , \ \textrm { i f } \ \Phi _ { k } ^ { i } \notin \left[ \alpha , q _ { \operatorname* { m a x } } \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { ( p | q ) ; a , b } ( x , y ) } & { = ( x + y ) ( 1 - a _ { q + 1 } ^ { \prime } b _ { q + 1 } ^ { \prime } ) \frac { ( x | a ) ^ { p } } { ( x ; b ) ^ { p + 1 } } \frac { ( y | a ^ { \prime } ) ^ { q } } { ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { q + 1 } } , } \\ { \widehat { f } _ { ( p | q ) ; a , b } ( x , y ) } & { = ( x + y ) ( 1 - a _ { p + 1 } b _ { p + 1 } ) \frac { ( x | b ) ^ { p } } { ( x ; a ) ^ { p + 1 } } \frac { ( y | b ^ { \prime } ) ^ { q } } { ( y ; a ^ { \prime } ) ^ { q + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } } ^ { \mathbf { C } } } { \mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { \tau _ { 2 } } , 0 } ^ { \mathbf { C } } } \cdot s ^ { \mathbf { D D } } = \frac { 1 } { 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \end{array} \right] } \\ { \frac { 1 } { 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \left[ \ln \left[ \frac { 1 } { \mathbf { C } _ { 3 } } ( \frac { 1 } { 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } ) \right] + ( 1 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) ) \ln \frac { 1 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } { \mathbf { C } _ { 4 } ( 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) ) } \right] } \\ { \frac { 1 } { 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } \ln \left[ \frac { \mathbf { C } _ { 4 } } { \mathbf { C } _ { 3 } ( 1 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } ) \right] + \ln \frac { 1 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } { \mathbf { C } _ { 4 } ( 2 + \eta ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { k } ( \mathbf { x } ) } & { = \left\| \Phi _ { \mathbf { x } , k } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) \right\| ^ { 2 } = \int d \mathbf { x } _ { 1 } \ldots d \mathbf { x } _ { N } | \Phi _ { \mathbf { x } , k } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\lambda ( \vec { k } ) \, = \, i \frac { { \vec { \epsilon } } _ { L } ( 0 ) \cdot \vec { k } } { { \vec { k } } ^ { 2 } } \, + i \, \frac { { \vec { \epsilon } } _ { L } ( 0 ) \cdot \vec { k } } { ( \omega _ { \vec { k } } \, + \, | \theta | ) \, | \theta | } .
\mathbf { - 1 . 1 0 2 \, 6 4 1 \, 5 8 1 \, 0 3 2 \, 5 7 7 \, 1 6 4 \, 1 1 8 } \, 1 7 0 \, 1 0 9 \, 0 6 3 \, 5 4 6
\begin{array} { l l l l l l l l l l l } { 0 } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { n } } & { \to } & { 0 } & { \to } & { \cdots } & { \to } & { 0 } & { \to } & { 0 } \\ { \uparrow } & { } & { \uparrow } & { } & { \uparrow } & { } & { \cdots } & { } & { \uparrow } & { } & { \uparrow } \\ { 0 } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { n } } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { n - 1 } } & { \to } & { \cdots } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { 1 } } & { \to } & { 0 } \\ { \downarrow } & { } & { \downarrow } & { } & { \downarrow } & { } & { \cdots } & { } & { \downarrow } & { } & { \downarrow } \\ { 0 } & { \to } & { 0 } & { \to } & { 0 } & { \to } & { \cdots } & { \to } & { { \mathcal { E } } _ { 0 } } & { \to } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vartheta ( t _ { 1 } ) = Y _ { 1 } - U _ { 1 } } & { \in \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } } { 2 } \pm \frac { B _ { 2 1 } } { 2 } , \, \frac { 1 } { 2 } \right) \ \bigcap \ \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 3 } } { 2 } \pm \frac { B _ { 3 1 } } { 2 } , \, \frac { 1 } { 2 } \right) ; } \\ { \vartheta ( t _ { 2 } ) = Y _ { 2 } - U _ { 2 } } & { \in \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } } { 2 } \pm \frac { B _ { 2 1 } } { 2 } , \, \frac { 1 } { 2 } \right) \ \bigcap \ \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 2 } + Y _ { 3 } } { 2 } \pm \frac { B _ { 3 2 } } { 2 } , \, \frac { 1 } { 2 } \right) ; } \\ { \vartheta ( t _ { 3 } ) = Y _ { 3 } - U _ { 3 } } & { \in \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 3 } } { 2 } \pm \frac { B _ { 3 1 } } { 2 } , \, \frac { 1 } { 2 } \right) \ \bigcap \ \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 2 } + Y _ { 3 } } { 2 } \pm \frac { B _ { 3 2 } } { 2 } , \, \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { w } ^ { i } } & { { } \approx } & { \frac { 1 - \alpha } { \alpha } \, \left( \epsilon _ { k } ^ { i } \, \Delta N _ { k } ^ { i } + \epsilon _ { l } ^ { i } \, \Delta N _ { l } ^ { i } \right) } \end{array}
\sigma _ { R } ^ { * } ( k , \Delta v ) = \left( \frac { \sqrt { e ^ { - 2 \eta } - ( \eta - 1 ) ^ { 2 } } } { \eta } \right) \frac { M \Delta v ^ { 2 } } { 4 \hbar } = \sigma _ { P V M } ( k ^ { * } , \Delta v ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { M \Delta v ^ { 2 } } { 4 \hbar } .
H _ { o } ( \{ q _ { N _ { o } } \} , \mu _ { 2 } ) = 1 - \frac { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } { 2 ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) } - \frac { \nu _ { 1 } \mu _ { 2 } } { 2 ( v _ { 1 } - u _ { 2 } ) } .
\int \! \, e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } H _ { n } \Big ( \frac { x } { \sqrt 2 } \Big ) H _ { n ^ { \prime } } \Big ( \frac { x } { \sqrt 2 } \Big ) { \mathrm { d } x } = ( 2 \pi ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } 2 ^ { n } n ! \delta _ { n n ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } & { \hat { Q } _ { h } ^ { k } ( s , a ) = \operatorname* { m i n } \{ b _ { h } ^ { k } ( s , a ) + r _ { h } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { \phi } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) ) , H - h + 1 \} , } \\ & { Q _ { h } ^ { * } ( s , a ) = r _ { h } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { \phi } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t \in W _ { j } } \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } - 1 } , \vec { \theta } _ { t } \odot \vec { \sigma } _ { t } - \vec { \lambda } _ { t } \rangle } & { \stackrel { ( a ) } \ge \epsilon \lvert W _ { j } \rvert \cdot \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } - 1 } \rVert _ { 1 } } \\ & { \ge \epsilon \sum _ { t \in W _ { j } } \left( \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } - \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } - \mathbf Q _ { T _ { 0 } - 1 } \rVert _ { 1 } \right) } \\ & { \stackrel { ( b ) } \ge \epsilon \sum _ { t \in W _ { j } } \left( \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } - K M ( t - T _ { 0 } ) \right) } \\ & { \ge \epsilon \sum _ { t \in W _ { j } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } - \epsilon K M \left( \lvert W _ { j } \rvert - 1 \right) ^ { 2 } } \end{array}
\omega _ { i } = - \frac { e ^ { 2 } p _ { r e s } } { 1 2 \pi \hbar ^ { 2 } \omega } \Big ( 1 + \frac { 2 m ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } \omega _ { r } ^ { 2 } } \Big ) \Big ( 1 - f ( p _ { r e s } ) \Big )
\begin{array} { r l r } & { } & { P _ { 2 } ( \vec { r } , \theta , \vec { r } _ { 2 } , \theta _ { 2 } , t ) \approx } \\ & { } & { P _ { 1 } ( \vec { r } , \theta _ { e n t } , t ) \, P _ { 1 } ( \vec { r } , \theta _ { 2 , e n t } , t ) \, \mathrm { e x p } \Bigg [ 2 \Gamma \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tilde { t } \, \mathrm { c o s } \{ \theta _ { 2 } ( \tilde { t } ) - \theta ( \tilde { t } ) \} \Bigg ] } \end{array}
\rho _ { s } A _ { s } \partial _ { t t } \mathbf { d } _ { s } + K \mathbf { d } _ { s } = ( \rho _ { s } - \rho _ { f } ) A _ { s } \vec { g } - \int _ { \partial \cal S } \mathbf { \sigma } ( \mathbf { u } , p ) \vec { n } \, \mathrm { ~ d ~ } s ,
\begin{array} { r l } { k _ { x } ^ { m n } } & { { } = k _ { \mathrm { i n } , x } - 2 \pi m / \Lambda _ { x } , } \\ { k _ { y } ^ { m n } } & { { } = k _ { \mathrm { i n } , y } - 2 \pi n / \Lambda _ { y } , } \end{array}
\boldsymbol { \mu } _ { i } ^ { ( 1 ) } = g ( \boldsymbol { \mu } _ { i } ^ { ( 0 ) } - f ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { \mu } _ { i } ^ { ( 0 ) } ; { \mathbf W } ^ { ( 0 ) } ) ~ , ~ \mathbf { P } _ { i } ) .