harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { A _ { \phi } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } + \frac { 2 i k s z } { z - s } = \frac { [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 2 ( z - s ) \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } , } \\ { B _ { \phi } } & { = } & { \frac { 2 i k ( z + s ) x \sigma _ { \phi } ^ { 2 } - p ( z - s ) } { \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ( z - s ) } , } \\ { \frac { B _ { \phi } ^ { 2 } } { 4 A _ { \phi } } } & { = } & { p ^ { 2 } \, \frac { z - s } { 2 \sigma _ { \phi } ^ { 2 } [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } - p x \, \frac { 2 i k ( z + s ) } { [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } } \\ & { } & { \qquad - x ^ { 2 } \, \frac { 2 k ^ { 2 } ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } { ( z - s ) [ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
J _ { k j } ( \tau + 1 ) = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \, \mathrm { s i g n } \, \big ( h _ { k j } \big ( \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbf { x } ( t | \mathbf { J } ( \tau ) ) \big ) + \beta ^ { - 1 } \tilde { \xi } ( \tau ) \big )
\phi ^ { g } = \frac { 1 } { 2 } ( { \cal P } ^ { 2 } + m ^ { 2 } - i q N _ { \theta } \xi _ { \mu } \xi _ { \nu } { \cal F } ^ { \mu \nu } ) \approx 0 , \quad \varrho ^ { g } = i \epsilon _ { \mu \nu \lambda } { \cal P } ^ { \mu } \xi ^ { \nu } \xi ^ { \lambda } - 2 m N _ { \theta } \approx 0 ,
\begin{array} { r l r } { \varphi ^ { k } } & { { } ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \alpha } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \bar { \alpha } } ; \{ \mathbf { r } _ { / i } ^ { \alpha } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / j } ^ { \bar { \alpha } } \} ) } & { } \\ { = [ } & { { } \mathbf { w } _ { 1 } ^ { k } \cdot ( \mathbf { h } _ { i } ^ { L \alpha } \odot \mathbf { h } _ { j } ^ { L \bar { \alpha } } ) } \end{array}
y _ { i , j } \mapsto f \left( P _ { i , j } ^ { x } , P _ { i , j } ^ { y } \right) + z _ { \operatorname* { m i n } } + \textstyle \frac { 1 } { 2 } ( y _ { i , j } + 1 ) ( z _ { \operatorname* { m a x } } - z _ { \operatorname* { m i n } } ) .
T _ { 1 / 2 } = { \frac { N _ { \mathrm { A } } \times \ln 2 } { a \times M } } \approx { \frac { 6 . 0 2 2 \times 1 0 ^ { 2 3 } { \mathrm { ~ m o l } } ^ { - 1 } \times 0 . 6 9 3 } { 3 2 0 0 { \mathrm { ~ s } } ^ { - 1 } { \cdot } { \mathrm { g } } ^ { - 1 } \times 8 7 { \mathrm { ~ g / m o l } } } } \approx 1 . 5 \times 1 0 ^ { 1 8 } { \mathrm { ~ s } } \approx 4 7 { \mathrm { ~ b i l l i o n ~ y e a r s } } .
S = - \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { M } } \\ & { \ddots } \\ & & { \mathbf { M } } \end{array} \right] \underbrace { \left[ \begin{array} { c c c c } { I _ { n _ { x } } } \\ { - I _ { n _ { x } } + \widehat { X } } & { \ddots } \\ & { \ddots } & { \ddots } \\ & & { - I _ { n _ { x } } + \widehat { X } } & { I _ { n _ { x } } } \end{array} \right] } _ { \widehat { S } } ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } a _ { i } = \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \sum _ { j = 0 } ^ { r } \textbf { l } _ { i j } a _ { j } + \sum _ { j = 0 } ^ { r } \sum _ { k = 0 } ^ { r } \textbf { q } _ { i j k } a _ { j } a _ { k } + f _ { i } ^ { p } } \\ { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad i = 1 , . . . , N , } \end{array}
V _ { i } ^ { j } = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n e i g } , j } } \frac { \mathrm { e r f } ( \frac { R _ { i k } } { \sqrt { 2 } \gamma _ { i k } } ) Q _ { k } } { R _ { i k } } f _ { \mathrm { c u t } } ( R _ { i k } ) \quad ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { S } ( A ^ { \tau } ) } & { = \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } A ^ { \tau } D _ { w } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } ^ { 2 } \mathbf { 1 } \rangle } = \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } , D _ { w } A ^ { \tau } D _ { w } \mathbf { 1 } _ { S } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } ^ { 2 } \mathbf { 1 } \rangle } } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { D _ { w } A ^ { \tau } D _ { w } } ~ i s ~ E u l e r i a n , ~ i . e . ~ \ensuremath { D _ { w } A ^ { \tau } D _ { w } \mathbf { 1 } = \ensuremath { D _ { w } ( A ^ { \tau } ) ^ { T } D _ { w } } \mathbf { 1 } } ] } } \\ & { = \frac { \sum _ { i \in S } \sum _ { j \in \overline { { S } } } A ^ { \tau } ( j , i ) \cdot w ( i ) \cdot w ( j ) } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \sum _ { i \in S } \sum _ { j \in \overline { { S } } } w ( j ) \cdot w ( i ) \cdot w ( i ) \cdot w ( j ) + \sum _ { i \in S } \sum _ { j \in \overline { { S } } } B ^ { \tau } ( j , i ) \cdot w ( i ) \cdot w ( j ) } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \geq \sum _ { j \in \overline { { S } } } w _ { j } ^ { 2 } - \frac { \sum _ { i \in S } \sum _ { j \in \overline { { S } } } | B ^ { \tau } ( j , i ) | \cdot w ( i ) \cdot w ( j ) } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \geq \sum _ { j \in \overline { { S } } } w _ { j } ^ { 2 } - \frac { \sum _ { i \in S } \sum _ { j } | B ^ { \tau } ( j , i ) | \cdot w ( i ) \cdot w ( j ) } { \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } - \epsilon } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { \sum _ { i \in ~ S } w _ { i } ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } } ~ a n d ~ \ensuremath { \sum _ { i } w _ { i } ^ { 2 } = 1 } , ~ a n d ~ t h e ~ s e c o n d ~ t e r m ~ f o l l o w s ~ f r o m ~ e q u a t i o n ~ ] } } \end{array}
X ^ { n + 1 / 2 } - X ^ { n - 1 / 2 } = \Delta t \, G ( Z ^ { n } , X ^ { n } ) \, , \quad Z ^ { n + 1 } - Z ^ { n } = \Delta t \, F ( Z ^ { n + 1 / 2 } , X ^ { n + 1 / 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { E \left( t \right) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \, \left( \left| G \left( \omega \right) H \left( \omega \right) - 1 \right| ^ { 2 } S _ { x , x } \left( \omega \right) + \left| G \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { \bf x } ^ { T } } { \partial { \bf x } _ { h } } = \ } & { { } 2 { \bf I } \, , } \\ { \frac { \partial q _ { i } } { \partial x _ { j } } = \ } & { { } \frac { 1 } { \cos \psi } \left( \hat { \bf i } _ { j } \cdot \bar { \bf f } _ { i } \right) \, , \ i , j = 1 , 2 \, . } \end{array}
\left( 1 - { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } \right) \zeta ( s ) = \eta ( s ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n ^ { s } } } = { \frac { 1 } { 1 ^ { s } } } - { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } - \cdots .
\begin{array} { l l } { { u ~ = ~ \cosh \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } \cos \mathrm { \boldmath ~ t ~ } , ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { v ~ = ~ \cosh \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } \sin \mathrm { \boldmath ~ t ~ } , } } \\ { { w ~ = ~ \sinh \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } \cos \mathrm { \boldmath ~ \tilde { \ t h e t a } ~ } , ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { y ~ = ~ \sinh \mathrm { \boldmath ~ \ r h o ~ } \sin \mathrm { \boldmath ~ \tilde { \ t h e t a } ~ } . } } \end{array}
P _ { \bar { \nu } } ^ { B } ( x , y , z ) = - \frac { ( 1 - y ) ^ { 2 } u ^ { N } ( x ) [ \Delta D _ { d } ^ { B } ( z ) + \varpi \Delta D _ { s } ^ { B } ( z ) ] - [ \bar { d } ^ { N } ( x ) + \varpi \bar { s } ^ { N } ( x ) ] \Delta D _ { \bar { u } } ^ { B } ( z ) } { ( 1 - y ) ^ { 2 } u ^ { N } ( x ) [ D _ { d } ^ { B } ( z ) + \varpi D _ { s } ^ { B } ( z ) ] + [ \bar { d } ^ { N } ( x ) + \varpi \bar { s } ^ { N } ( x ) ] D _ { \bar { u } } ^ { B } ( z ) } ~ ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { n } ( { \tilde { x } } ) } & { { } = 2 ^ { - n } \left[ e ^ { - n f ( { \tilde { x } } ) } + h _ { n } \left( e ^ { - n f ( 1 - { \tilde { x } } ) } - 1 \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle W ( \vartheta ) = \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi i } \phi ^ { \prime } ( \vartheta - x + i \eta , 1 / 2 ) \displaystyle \frac { d } { d x } \log _ { F D } \left[ 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { - i Z _ { N } ( x - i \eta ) } \right] + } } \\ { { - \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi i } \phi ^ { \prime } ( \vartheta - x - i \eta , 1 / 2 ) \displaystyle \frac { d } { d x } \log _ { F D } \left[ 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( x + i \eta ) } \right] + } } \\ { { - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } } \phi ^ { \prime } ( \vartheta - h _ { k } , 1 / 2 ) + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { C } } \phi ^ { \prime } ( \vartheta - c _ { k } , 1 / 2 ) + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { W } } \phi ^ { \prime } ( \vartheta - w _ { k } , 1 / 2 ) + } } \\ { { + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { S } } \left( \phi ^ { \prime } ( \vartheta - \hat { y } _ { k } + i \eta , 1 / 2 ) + \phi ^ { \prime } ( \vartheta - \hat { y } _ { k } - i \eta , 1 / 2 ) \right) + \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \phi ^ { \prime } ( \vartheta - x , 1 / 2 ) \, Z _ { N } ^ { \prime } ( x ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { c o r e } ( \textbf { x } , z ) } & { = } & { - b \cdot \frac { Z _ { e f f } } { r } \textrm { e r f } ( \frac { r } { \sqrt { 2 } \xi } ) , } \\ { V _ { l o c } ( \textbf { x } , z ) } & { = } & { b \cdot \textrm { e x p } [ - ( r / \xi ) ^ { 2 } ] \times [ C _ { 1 } + C _ { 2 } \cdot ( r / \xi ) ^ { 2 } ] , } \end{array}
0 = \frac { \partial S } { \partial \epsilon _ { 2 } } | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = 0 } = \int _ { \Omega } ( \partial _ { \mu } \widetilde { F } ^ { \mu \nu } - J ^ { \nu 2 } ) B _ { \mu } ^ { 1 } d ^ { 4 } x .
\hat { \eta } ( \hat { r } , 0 ) = \hat { a } _ { 0 } \exp \left( - \frac { \hat { r } ^ { 2 } } { \hat { d } ^ { 2 } } \right) \left[ 1 - \left( \frac { \hat { r } } { \hat { d } } \right) ^ { 2 } \right]
\mathcal { E } _ { n } = - \overline { { D } } + \hbar \overline { { \omega } } \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) - \frac { \hbar ^ { 2 } \overline { { \omega } } ^ { 2 } } { 4 \overline { { D } } } \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } ,
P = \frac { 1 } { 2 n } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n } P _ { i } = \frac { 1 } { 2 n } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 n } \frac { | \mathbb { M } _ { i , u } - \mathbb { M } _ { i , l } | } { F } .
\mathbf { I } = { \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { 1 1 } } & { I _ { 1 2 } } & { I _ { 1 3 } } \\ { I _ { 2 1 } } & { I _ { 2 2 } } & { I _ { 2 3 } } \\ { I _ { 3 1 } } & { I _ { 3 2 } } & { I _ { 3 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { x x } } & { I _ { x y } } & { I _ { x z } } \\ { I _ { y x } } & { I _ { y y } } & { I _ { y z } } \\ { I _ { z x } } & { I _ { z y } } & { I _ { z z } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \delta = \theta _ { c 0 } x _ { 0 } + \frac { \theta _ { c 0 } } { 1 4 . 7 } \sqrt { \frac { \cos { \gamma } } { k ^ { 2 } C _ { T } } } ( 2 . 9 + 1 . 3 \sqrt { 1 - C _ { T } } - C _ { T } ) } \\ { \times \mathrm { ~ l ~ n ~ } \Bigg [ \frac { ( 1 . 6 + \sqrt { C _ { T } } ) ( 1 . 6 \sqrt { \frac { 8 \sigma _ { y } \sigma _ { z } } { \cos { \gamma } } } - \sqrt { C _ { T } } ) } { ( 1 . 6 - \sqrt { C _ { T } } ) ( 1 . 6 \sqrt { \frac { 8 \sigma _ { y } \sigma _ { z } } { \cos { \gamma } } } + \sqrt { C _ { T } } ) } \Bigg ] , } \end{array}
X _ { \mu \nu } ^ { \bot } X _ { \rho \sigma } ^ { \bot } = \frac { 1 } { 2 } \left( \, \pi _ { \mu \nu } \pi _ { \sigma \rho } - \pi _ { \mu \sigma } \pi _ { \nu \rho } - \pi _ { \mu \rho } \pi _ { \nu \sigma } \, \right) Q _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { i } { 4 } \left( \, \pi _ { \mu \sigma } \varepsilon _ { \nu \rho \lambda } + \pi _ { \nu \rho } \varepsilon _ { \mu \sigma \lambda } \, \right) e ^ { ( 0 ) \lambda } Q _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } \frac { N _ { l k } ^ { 1 } ( t ) } { D _ { l k } } } & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) } \int _ { \mathcal { A } } e ^ { t ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) } e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } \underbrace { E _ { 0 } ( e ^ { \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } ( u - \zeta _ { l } ) } ) } _ { = e ^ { \frac { \alpha _ { n } ( u - \zeta _ { l } ) ^ { 2 } } { 2 } } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } \\ & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + \frac { \alpha _ { n } \zeta _ { l } ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { \mathcal { A } } e ^ { t ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) } e ^ { - ( 1 - \alpha _ { n } ) \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { - u \alpha _ { n } \zeta _ { l } } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } \\ & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + \frac { \zeta _ { l } ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { \mathcal { A } } e ^ { \left| t ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) \right| } e ^ { | u \zeta _ { l } | } \frac { 1 } { \sqrt { n \alpha _ { n } } \sigma _ { l } } \varphi ( \frac { 1 } { \sigma _ { l } } ( \frac { u } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } + f _ { 0 , l k } ) ) d u } \\ & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + \frac { \zeta _ { l } ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { | t | \sigma _ { l } + | \zeta _ { l } | \sqrt { n \alpha _ { n } } ( \sigma _ { l } + | f _ { 0 , l k } | ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { z } & { = { \frac { e ^ { i \phi } - e ^ { - i \phi } } { 2 i } } } \\ { 2 i z } & { = \xi - { \frac { 1 } { \xi } } } \\ { 0 } & { = \xi ^ { 2 } - 2 i z \xi - 1 } \\ { \xi } & { = i z \pm { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } \\ { \phi } & { = - i \ln \left( i z \pm { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { a _ { c c } ^ { \mu } } & { = D _ { c } D _ { c } x ^ { \mu } = D _ { c } \pi ^ { \mu } , } \\ { a _ { s s } ^ { \mu } } & { = D _ { s } D _ { s } x ^ { \mu } = D _ { s } u ^ { \mu } , } \\ { a _ { c s } ^ { \mu } } & { = D _ { c } D _ { s } x ^ { \mu } = D _ { c } u ^ { \mu } , } \\ { a _ { s c } ^ { \mu } } & { = D _ { s } D _ { c } x ^ { \mu } = D _ { s } \pi ^ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) \zeta ^ { ( 2 ) } = w ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 1 ) } { w ^ { ( 1 ) \prime } } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { U } ^ { \prime } \cdot \nabla \big ( \zeta ^ { ( 1 ) } \big ) ^ { 2 } - \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla \zeta ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
P _ { \textit { G A I N } } = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { t } } \frac { C _ { P } ( \gamma _ { k } ) S _ { k } ^ { 3 } ( \mathbf { \gamma } ) } { C _ { P } ( 0 ) S _ { k } ^ { 3 } ( { 0 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { M } ( \mathsf { p } _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( a ) ) } & { = \lambda _ { M } ( a ) = a = \mathsf { q } _ { M } ( a ) = \mathsf { q } _ { M } ( \mathsf { z } _ { M } ( a ) ) } \\ { \lambda _ { M } ( \mathsf { p } _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( m ) ) } & { = \lambda _ { M } ( m ) = 0 = \mathsf { q } _ { M } ( 0 ) = \mathsf { q } _ { M } ( \mathsf { z } _ { M } ( m ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \phi , \ I ( \phi ) } \Delta x = } & { { } \operatorname* { m a x } _ { \phi , \ I ( \phi ) } \ \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { \phi _ { i } } { \boldsymbol { A } _ { I ( i ) } ^ { x } ( \boldsymbol { r } ) \mathrm { d } \boldsymbol { r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t , \sigma ) \mathcal { V } _ { 0 } ( \xi - \sigma ) d \sigma - \mu _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } g ( s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \partial _ { \sigma } [ \Psi ( t - s , \xi - \sigma ) ] h _ { \epsilon } ( \sigma ) \mathcal { V } _ { \epsilon } ( s , \sigma ) d \sigma d s } \\ & { + \frac { C } { \beta } \int _ { 0 } ^ { t } g ( s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t - s , \xi - \sigma ) h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \sigma ) \mathcal { V } _ { \epsilon } ( s , \sigma ) d \sigma d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t - s , \xi - \sigma ) d ( s , \sigma ) d \sigma d s . } \end{array}
{ \cal T } | { \bf b } + \frac { 1 } { 2 } ; n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots , n _ { b } \rangle = \sum _ { i = 0 } ^ { 2 ^ { b - 1 } } ( - ) ^ { p _ { i } + 1 } | { \bf { p _ { i } + 1 / 2 } } ; \tau _ { i } ( n _ { b } , n _ { b - 1 } , \ldots , n _ { 1 } ) , \frac { 1 } { 2 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { g } & { { } = \epsilon g _ { 1 } + \epsilon ^ { 3 } g _ { 3 } + . . . . . } \\ { f } & { { } = f _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } f _ { 2 } + \epsilon ^ { 4 } f _ { 4 } + . . . . . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { x } } & { = } & { \frac { ( z - s ) [ 1 + 4 k ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] + 4 i k [ \Sigma _ { y r } ^ { 2 } + s z \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 2 \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } = \frac { [ B D ] } { 2 \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } , } \\ { B _ { x } } & { = } & { \frac { ( i k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \sigma _ { y } ^ { 2 } + D \eta ) [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] + k k _ { u } T _ { \alpha } ( z + s ) ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) \sigma _ { p } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } , } \\ { \frac { B _ { x } ^ { 2 } } { 4 A _ { x } } } & { = } & { \eta ^ { 2 } \, \frac { D ^ { 2 } [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } { 2 \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ B D ] } + \eta \, \frac { i D k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \sigma _ { y } ^ { 2 } [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] + D k k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ B D ] } } \\ & { } & { \quad + k _ { u } ^ { 2 } T _ { \alpha } ^ { 2 } ( z - s ) ^ { 2 } \, \frac { k ^ { 2 } ( z + s ) ^ { 4 } \sigma _ { p } ^ { 4 } \Sigma _ { y r } ^ { 4 } + 2 i k [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \sigma _ { y } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } - [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] \sigma _ { y } ^ { 4 } } { 2 \Sigma _ { y r } ^ { 2 } [ B D ] [ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
{ S _ { 1 4 } ^ { t h } = S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } + S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \downarrow , t h } + S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \uparrow , t h } + S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \downarrow , t h } } .
{ \cal M } ( p _ { 1 } , . . . , p _ { n } , g _ { s } , \mu ) = { \cal M } _ { \mathrm { B o r n } } ( p _ { 1 } , . . . , p _ { n } , g _ { s } ) \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } W _ { i _ { V } } \left( s , \mu ^ { 2 } \right) \right)
\left\vert \psi ( t ) \right\rangle = e ^ { \mu _ { 3 } } e ^ { \mu _ { 1 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 1 } + \mu _ { 2 } \left( \hat { \sigma } ^ { \dagger } \hat { \sigma } - \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } \right) - \frac { i } { \hslash } g t \hat { \sigma } \hat { b } _ { 2 } } \left\vert 0 _ { M } \right\rangle \left\vert A \right\rangle ,
\begin{array} { r l r } { H _ { N L } } & { { } = } & { \mathcal { B } \Bigg ( e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 8 } } + e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } ( R + x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 8 } } } \end{array}
V _ { e x t } ( s ) = - E _ { l } s \left[ 1 - \left( \frac { s } { R _ { m } } \right) + \frac { 4 } { 3 } \left( \frac { s } { R _ { m } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - { \cal { C } } \right) \right]
[ \hat { H } ( t ) , \hat { J } ( t + \mathrm { d } t ) ] = i a t _ { 0 } \left\{ e ^ { - i \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t + d t ) } \left( t _ { 0 } e ^ { i \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t ) ) } [ \hat { K } ^ { \dag } , \hat { K } ] \right. \right. \left. \left. - [ \hat { U } , \hat { K } ] \right) + e ^ { i \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t + d t ) } \left( [ \hat { U } , \hat { K } ^ { \dag } ] - t _ { 0 } e ^ { - i \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t ) } [ \hat { K } , \hat { K } ^ { \dag } ] \right) \right\} ,
\frac { \partial F _ { \mathrm { g c } } } { \partial \partial t } \; + \; \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( F _ { \mathrm { g c } } \frac { } { } \dot { \bf X } \right) \; + \; \frac { \partial } { P _ { \| } } \left( F _ { \mathrm { g c } } \frac { } { \partial } \dot { P } _ { \| } \right) \; = \; 0 ,
\begin{array} { r l r } { \phi _ { k l } } & { { } = } & { \frac { \Delta n _ { k } } { n _ { k } } \approx \frac { n _ { l } \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, { \cal R } } { 1 + n _ { l } \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, { \cal R } } } \end{array}
\begin{array} { r } { L \mathbb { Z } \wr S _ { N } = \left\langle \begin{array} { l } { t _ { 1 } , \cdots , t _ { N } , } \\ { \sigma _ { 1 } , \cdots , \sigma _ { N - 1 } } \end{array} \middle \vert \begin{array} { l } { t _ { i } t _ { j } = t _ { j } t _ { i } , \quad \sigma _ { i } ^ { 2 } = e , } \\ { \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } = \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } , \quad \sigma _ { i } \sigma _ { j } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } ~ ~ ~ ( | i - j | \geq 2 ) , } \\ { \sigma _ { i } t _ { i } \sigma _ { i } = t _ { i + 1 } , \quad \sigma _ { i } t _ { j } \sigma _ { i } = t _ { j } ~ ~ ~ ( j \neq i , i + 1 ) } \end{array} \right\rangle . } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \left[ { \frac { 3 \mathbf { \hat { r } } ( \mathbf { \hat { r } } \cdot \mathbf { m } ) - \mathbf { m } } { | \mathbf { r } | ^ { 3 } } } + { \frac { 8 \pi } { 3 } } \mathbf { m } \delta ( \mathbf { r } ) \right] .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 1 0 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 9 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 8 + 6 i + 4 j } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 7 + 6 i + 4 j } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( - p \mathbf { I } + \nu \left( 2 \mathbf { D } + \lambda ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } ) \mathbf { I } \right) \right) \mathbf { n } = } & { ~ 0 , } \\ { \nabla \phi \cdot \mathbf { n } = } & { ~ 0 , } \\ { \left( \bar { \mathbf { M } } \nabla \left( \bar { \mu } + \omega p \right) \right) \mathbf { n } = } & { ~ 0 , } \end{array}
\mathrm { F S C } ( k ) = \frac { \int _ { \lVert \vec { k } \rVert = k } \hat { \rho } _ { 1 } ( \vec { k } ) ^ { * } \hat { \rho } _ { 2 } ( \vec { k } ) \, \mathrm d \vec { k } } { \sqrt { \int _ { \lVert \vec { k } \rVert = k } | \hat { \rho } _ { 1 } ( \vec { k } ) | ^ { 2 } \, \mathrm d \vec { k } } \sqrt { \int _ { \lVert \vec { k } \rVert = k } | \hat { \rho } _ { 2 } ( \vec { k } ) | ^ { 2 } \, \mathrm d \vec { k } } } \, ,
\frac { 1 } { \widehat L } \ = \ \frac { 1 } { 2 } \ \left[ \, S + \bar { S } \ - \ \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \ \sum _ { i } \, \delta _ { G S } ^ { i } \ln ( T _ { i } + \bar { T } _ { i } ) \, \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { T } ( \partial _ { t } c _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \, \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { T } \lambda _ { k } ( c _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \, \mathrm d t \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } } & { \left( c _ { \phi } ^ { 1 } + c _ { \phi } ^ { 2 } \lambda _ { k } \right) \alpha _ { k } ^ { 2 } + c _ { \psi } ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } } \\ & { + ( c _ { f } ^ { 1 } + c _ { f } ^ { 2 } \lambda _ { k } ) T \| f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } . } \end{array}
c = 0 . 5 \Delta \lambda ( n _ { f } \hbar ( 1 + l n ( s ( \lambda ) ) ) - S ^ { v } \left[ \frac { \pi _ { m } ^ { ( \Psi ) } ( \lambda + 0 . 5 \Delta \lambda ) } { s ( \lambda ) } \right] + S ^ { m } \left[ \Psi ^ { ( m ) } ( \lambda ) \right] - S ^ { 0 } ) - \pi ^ { ( s ) } ( \lambda )
\Lambda _ { \mathrm { p o s } } ^ { n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { c o s } \left( \left( 1 + \frac { n } { 2 } \right) x \frac { \pi } { l _ { 0 } } \right) } & { \mathrm { f o r ~ e v e n ~ } n } \\ { \mathrm { s i n } \left( \left( 1 + \frac { n - 1 } { 2 } \right) x \frac { \pi } { l _ { 0 } } \right) } & { \mathrm { f o r ~ o d d ~ } n , } \end{array} \right.