harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } } & { { } = } & { R \sin ( \beta _ { 3 } ) + \int _ { \beta _ { 3 } } ^ { \phi _ { 4 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 1 } } { B } [ \sin ( \phi _ { 4 } - \phi _ { 1 } ) - \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } } & { { } = } & { R - R \cos ( \beta _ { 3 } ) + \int _ { \beta _ { 3 } } ^ { \phi _ { 4 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 1 } } { B } [ \sin ( \phi _ { 4 } - \phi _ { 1 } ) - \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { c } } & { = } & { \frac { 4 \Omega _ { p } ^ { 2 } \Omega _ { C } ^ { 4 } \left( 1 + \Gamma ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { \left[ \left( \gamma _ { 2 } + \frac { \omega _ { p } \sigma } { c } \Gamma \right) \left( \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) + \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma \right] ^ { 3 } } \frac { \gamma ^ { 2 } \Omega _ { L O } ^ { 2 } } { \left( \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) } } \end{array}
\frac { \partial \widehat { \psi _ { k } } } { \partial t } + \left[ \frac { \partial \widehat { ( u \psi ) _ { k } } } { \partial x } + \frac { \partial \widehat { ( v \psi ) _ { k } } } { \partial y } + \mathfrak { i } \widehat { k ( w \psi ) _ { k } } \right] = \Gamma \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { \psi _ { k } } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \widehat { \psi _ { k } } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \widehat { \psi _ { k } } \right] + \widehat { S _ { k } }
\begin{array} { r } { 1 - x _ { \mathrm { { C O } } } ^ { { \mathrm { g a s } } } - x _ { \mathrm { { C } } { { \mathrm { O } } _ { \mathrm { { 2 } } } } } ^ { { \mathrm { g a s } } } - x _ { { \mathrm { { O } } _ { \mathrm { 2 } } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { { \mathrm { C } } { \mathrm { { H } } _ { \mathrm { 4 } } } } ^ { \mathrm { { g a s } } } - x _ { { { \mathrm { H } } _ { \mathrm { { 2 } } } } } ^ { { \mathrm { g a s } } } - x _ { { \mathrm { { H } } _ { \mathrm { 2 } } } \mathrm { { O } } } ^ { { \mathrm { g a s } } } - x _ { \mathrm { { F e } } } ^ { { \mathrm { g a s } } } - x _ { \mathrm { { M g } } } ^ { { \mathrm { g a s } } } - x _ { \mathrm { { S i O } } } ^ { { \mathrm { g a s } } } - x _ { \mathrm { { N a } } } ^ { { \mathrm { g a s } } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \rho } ( k , t ) \equiv } & { \frac { \langle \rho ^ { \ast } ( k , 0 ) \rho ( k , t ) \rangle } { \langle \rho ^ { \ast } ( k , 0 ) \rho ( k , 0 ) \rangle } } \\ { = } & { \frac { \gamma - 1 } { \gamma } e ^ { - D _ { \mathrm { T } } k ^ { 2 } t } + \frac { 1 } { \gamma } e ^ { - \Gamma k ^ { 2 } t } \cos ( c _ { \mathrm { s } } k t ) , } \end{array}
\mathsf { g } _ { i j } ^ { n } = ( 1 - \alpha ( v _ { j } ) ) \mathsf { g } _ { i - \mathrm { n } ( v _ { j } ) , j } ^ { n , \star } + \alpha ( v _ { j } ) \mathsf { g } _ { i - \mathrm { n } ( v _ { j } ) - 1 , j } ^ { n , \star } \, .
\begin{array} { r l } { u _ { j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , - } } & { = u _ { j } ^ { n , - } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x _ { j } } ( f ( u _ { j } ^ { n , + } ) - f ( u _ { j } ^ { n , - } ) ) } \\ { u _ { j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , + } } & { = u _ { j } ^ { n , + } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x _ { j } } ( f ( u _ { j } ^ { n , + } ) - f ( u _ { j } ^ { n , - } ) ) } \end{array}
\hat { B } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } = \hat { Q } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } \hat { \eta } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } , \qquad \hat { Q } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { ( n ) } = - b ^ { ( n ) } \coth ( ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) h ) ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) + \tau ^ { ( n ) } ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { l } { \displaystyle \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { N + 1 , 1 } \\ { N + 1 , 1 } \end{array} \right| x , y \right) \, = \, \frac { \Gamma ( N + 2 ) } { \Gamma ( N ) \Gamma ( 1 ) } \, \times } \\ { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } \xi \, \frac { ( 1 - \xi ) ^ { N - 1 } } { ( 1 - x \xi ) ^ { N + 1 } } \, \, } \\ { \displaystyle \times \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \mathrm { d } \eta \, \eta ^ { N } \, \exp \left( - \frac { y \eta } { x \xi - 1 } \right) \, { } _ { 1 } F _ { 1 } \left( - N - 1 ; 1 ; \frac { y \eta } { x \xi - 1 } \right) \, = \, } \\ { \, = \, \frac { \Gamma ( N + 2 ) } { \Gamma ( N ) } \, \, } \\ { \displaystyle \times \, \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } \xi \, \frac { ( 1 - \xi ) ^ { N - 1 } } { ( 1 - x \xi ) ^ { N + 1 } } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \mathrm { d } \eta \, \eta ^ { N } \, { } _ { 1 } F _ { 1 } \left( N + 2 ; 1 ; \frac { y \eta } { 1 - x \xi } \right) \, , } \end{array}
\hat { V } ^ { \epsilon } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { - q ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - q ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad , \quad
\begin{array} { r } { 2 v _ { i } ( \{ \vec { r } _ { j } \} ) = z _ { i } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \left( x _ { i } ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } y _ { i } ^ { 2 } \right) + \sum _ { j \neq i } \frac { 1 } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { i } } \nabla \cdot \mathbf N \, \mathrm { d } V } & { = \int _ { \partial \Omega _ { i } } \mathbf N \cdot \mathbf n \, \mathrm { d } A } \\ & { = \sum _ { j \in \mathcal N ^ { ( i ) } } \int _ { \gamma _ { i j } } \mathbf N \cdot \mathbf n \, \mathrm { d } A } \\ & { \approx \sum _ { j \in \mathcal N ^ { ( i ) } } ( A \mathbf N \cdot \mathbf n ) _ { i j } . } \end{array}
\frac { \ell \cdot p _ { k } ^ { e _ { k } ^ { \prime } } } { n \cdot ( p _ { k } ^ { e _ { k } ^ { \prime } - f _ { k } ^ { \prime } } + p _ { k } ^ { f _ { k } ^ { \prime } } - 1 ) } = \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \frac { p _ { i } ^ { e _ { i } ^ { \prime } - f _ { i } ^ { \prime } } + p _ { i } ^ { f _ { i } ^ { \prime } } - 1 } { p _ { i } ^ { e _ { i } ^ { \prime } } } .
G _ { \mathrm { ~ F ~ o ~ u ~ r ~ i ~ e ~ r ~ } } = \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } } \circ H _ { \mathrm { ~ F ~ o ~ u ~ r ~ i ~ e ~ r ~ } } \circ \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } } ^ { - 1 }
{ \begin{array} { r l } { \delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { p } ( - 1 ) ^ { p + k } \delta _ { \nu _ { k } } ^ { \mu _ { p } } \delta _ { \nu _ { 1 } \dots { \check { \nu } } _ { k } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { k } \dots { \check { \mu } } _ { p } } } \\ & { = \delta _ { \nu _ { p } } ^ { \mu _ { p } } \delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p - 1 } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p - 1 } } - \sum _ { k = 1 } ^ { p - 1 } \delta _ { \nu _ { k } } ^ { \mu _ { p } } \delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { k - 1 } \, \nu _ { p } \, \nu _ { k + 1 } \dots \nu _ { p - 1 } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { k - 1 } \, \mu _ { k } \, \mu _ { k + 1 } \dots \mu _ { p - 1 } } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { A } u = b , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathrm { ~ \mathbf { A } ~ = ~ \left[ \begin{array} { l } { ~ \mathrm { v e c } \left( A _ 1 ~ { W ^ \star _ 2 } ^ \top \right) ^ \top } \\ { ~ \vdots } \\ { ~ \mathrm { v e c } \left( A _ m { W ^ \star _ 2 } ^ \top \right) ^ \top ~ } \end{array} \right] ~ , \ \ ~ u ~ = ~ \mathrm { v e c } ( U _ 1 ) ~ , \ \ ~ b _ i ~ = ~ \left\{ \begin{array} { l l } { ~ \zeta \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ i ) ~ } & { ~ \mathrm { i f ~ } ~ i \in ~ \mathcal { S } _ t } \\ { ~ 0 ~ } & { ~ \mathrm { i f ~ } ~ i \not \in ~ \mathcal { S } _ t ~ } \end{array} \right. ~ . } } \end{array}
\langle R \rangle _ { T } = \frac { \int d R d P R \mathrm { e x p } [ - \beta H ( P , R ) ] } { \int d R d P \mathrm { e x p } [ - \beta H ( P , R ) ] } \simeq \frac { 2 { \sqrt { 2 } } T } { \pi ^ { 3 / 2 } . \phi _ { + } ^ { 2 } }
\left( \begin{array} { l l } { i } & { i } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) , \ \ \ \left( \begin{array} { l l } { i } & { - i } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , \ \ \ \left( \begin{array} { l l } { - i } & { i } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , \ \ \ \left( \begin{array} { l l } { - i } & { - i } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \widehat { \beta } _ { \mathtt { R I V W } } } & { = \beta + \frac { \sum _ { j \in \mathcal { S } _ { \lambda } } u _ { j , \mathtt { R I V W } } / \sigma _ { Y _ { j } } ^ { 2 } } { \sum _ { j \in \mathcal { S } _ { \lambda } } ( \widehat \gamma _ { j , \mathtt { R B } } ^ { 2 } - \hat { \sigma } _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { 2 } ) / \sigma _ { Y _ { j } } ^ { 2 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } f } & { = \partial _ { p } \left( \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { k } } W \delta \left( \left( 1 + \lambda ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } - p k \right) d k \right] \partial _ { p } f \right) , } \\ { \partial _ { t } W } & { = \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { p } } \left( \partial _ { p } f \right) p \delta \left( \left( 1 + \lambda ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } - p k \right) d p \right] W , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { A } & { = { \frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 2 } } R ^ { 2 } = 3 R r = 2 { \sqrt { 3 } } r ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 8 } } D ^ { 2 } = { \frac { 3 } { 4 } } D d = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } d ^ { 2 } } \\ & { \approx 2 . 5 9 8 R ^ { 2 } \approx 3 . 4 6 4 r ^ { 2 } } \\ & { \approx 0 . 6 4 9 5 D ^ { 2 } \approx 0 . 8 6 6 d ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \log \frac { L ( { _ k \ddot { \theta } } ; Y _ { 0 : n } ) } { L ( { _ k \hat { \theta } } ; Y _ { 0 : n } ) } = \frac { n } { 2 } ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ k \hat { \theta } } ) I ( { _ m \ddot { \theta } } ) ( { _ k \ddot { \theta } } - { _ k \hat { \theta } } ) ^ { t } + o _ { P ^ { _ m \ddot { \theta } } } ( 1 ) = \frac { n } { 2 } \| { _ k \ddot { \theta } } - { _ k \hat { \theta } } \| _ { J } ^ { 2 } + o _ { P ^ { _ m \ddot { \theta } } } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { A B C D } ^ { ( 4 ) } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 3 } , \boldsymbol { r } _ { 4 } ) } & { = \left\langle \tilde { \Psi } \right| \hat { \psi } _ { A , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { B , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { C , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { D , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \hat { \psi } _ { D , L } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \hat { \psi } _ { C , L } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { B , L } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { A , L } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \left| \tilde { \Psi } \right\rangle , } \\ & { = \frac { 1 } { 6 4 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) | ^ { 2 } | \eta ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) | ^ { 2 } \left\{ 1 + \cos [ \Phi _ { A } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) + \Phi _ { B } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) - \Phi _ { C } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) - \Phi _ { D } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) ] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { V } : = \displaystyle \Big \{ \rho : = ( \rho ^ { i } ) _ { i } \in \mathbb H _ { a } ^ { \alpha } : \; ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \rho ^ { i } ) ( a ) - ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \rho ^ { j } ) ( a ) = 0 , i \neq j , \, \, i , j = 1 , \ldots , n , } \\ { \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \; ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \rho ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } ) = 0 , \; i = 1 , \dots , m \Big \} , } \end{array}
R _ { 1 } ^ { a } \approx R _ { 1 } ^ { f } + m _ { 0 } ^ { s } ( R _ { 1 } ^ { s } - R _ { 1 } ^ { f } ) - \frac { m _ { 0 } ^ { s } ( 1 - m _ { 0 } ^ { s } ) \cdot ( R _ { 1 } ^ { s } - R _ { 1 } ^ { f } ) ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { ~ x ~ } } } .
S = 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \left( \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } \right) } , \ D = \frac { \omega _ { c } \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega \left( \omega ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } \right) } , \ P = 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \mathrm { e l } } } & { = } & { \sum _ { l , m } \sigma _ { \mathrm { e l } } ^ { l m } = \frac { \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { l , m } | 1 - S _ { l m , l m } ( k ) | ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { \mathrm { r } } } & { = } & { \sum _ { l , m } \sigma _ { \mathrm { r } } ^ { l m } = \frac { \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { l , m } [ 1 - | S _ { l m , l m } ( k ) | ^ { 2 } ] } \end{array}
u ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { ( - x _ { i n i } + x _ { 1 } ) / ( \alpha _ { 1 } \gamma ^ { 2 } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { 0 < t < \alpha _ { 1 } \gamma ^ { 2 } , } \\ { ( I - 2 v ( t ) v ( t ) ^ { t } ) \nabla U ( x _ { 1 } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { \alpha _ { 1 } ( \gamma ^ { 2 } + \gamma ^ { 4 } ) < t < \alpha _ { 1 } ( \gamma + \gamma ^ { 2 } + \gamma ^ { 4 } ) , } \\ { ( x _ { i + 1 } - x _ { i } ) / ( \alpha _ { i + 1 } \gamma ^ { 2 } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { ( k + \beta _ { i } ) ( \gamma + \gamma ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 4 } ) } \\ & & { \qquad \qquad < t < ( k + \beta _ { i } ) ( \gamma + \gamma ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 4 } ) + \alpha _ { i + 1 } \gamma ^ { 2 } , } \\ { ( I - 2 v ( t ) v ( t ) ^ { t } ) \nabla U ( x _ { i } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { ( k + \beta _ { i } ) ( \gamma + \gamma ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 4 } ) + \alpha _ { i + 1 } ( \gamma ^ { 2 } + \gamma ^ { 4 } ) } \\ & & { \qquad \qquad < t < ( k + \beta _ { i + 1 } ) ( \gamma + \gamma ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 4 } ) - \alpha _ { i + 1 } \gamma ^ { 4 } , } \\ { ( x _ { f } - x _ { p } ) / \gamma ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { T - \gamma ^ { 2 } < t < T , } \end{array} \right.
\delta \mathcal { S } _ { N } ^ { * } = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathcal { R } _ { i } ^ { ( N ) } \delta \mathcal { R } _ { i } ^ { ( N ) } d t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left[ \mathcal { R } _ { i } ^ { ( N ) } \delta { q } _ { i } ^ { ( 2 + N ) } - \mathcal { R } _ { i } ^ { ( N ) } \delta f _ { i } ^ { ( N ) } \right] d t ,
\begin{array} { r } { k _ { \mathcal { Y } } ^ { \alpha } ( r ) = k _ { \mathcal { Y } } ^ { \alpha } ( 0 ) + r p _ { l a y e r } \left( \frac { T _ { \lambda } L - L _ { p } k _ { \mathcal { Y } } ^ { \alpha } ( 0 ) } { L _ { p } - 1 } \right) } \\ { + r p _ { t e l } \left( \frac { T _ { \lambda } ( L _ { \lambda } - 1 ) L - k _ { \mathcal { Y } } ^ { \alpha } ( 0 ) ( L _ { m a x } - L _ { p } ) } { L _ { m a x } - \Delta L } \right) , } \end{array}
A _ { m } = \frac { ( 2 ) ^ { m - 1 } } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { m + 1 } { 2 } } U \left( - \frac { 1 } { 2 } m ; \frac { 1 } { 2 } ; - \frac { \sigma ^ { 2 } ( \Delta + i \frac { \Gamma ^ { \prime } } { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 } \right) .
\begin{array} { r l r } & { u _ { \alpha } ^ { i } ( j _ { x } ^ { \infty } ( \phi ) ) = \frac { \partial \phi ^ { i } } { \partial x ^ { \alpha } } ( x ) , } & { u _ { \mu \nu \ldots \alpha } ^ { i } ( j _ { x } ^ { \infty } ( \phi ) ) = \frac { \partial ^ { l } \phi ^ { i } } { \partial x ^ { \mu } \partial x ^ { \nu } \ldots \partial x ^ { \alpha } } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { r } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { 0 \, , } \\ { B _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { \mathcal { M } _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \varphi - \mathcal { M } _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \varphi \, , } \\ { B _ { \varphi } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { = } & { \mathcal { M } _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \cos \varphi - \mathcal { M } _ { z } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \vartheta + \mathcal { M } _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \sin \varphi \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { S } \rho ) ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { \triangleq \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { r } ^ { \prime } } } \rho ( \mathbf { r } ) ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \mathrm { d } \mathbf { r } } \\ & { = \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { 0 } } } \rho ( \mathbf { r } + \mathbf { r } ^ { \prime } ) \mathbf { r } ^ { 2 } \mathrm { d } \mathbf { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { l } _ { - } \Psi _ { n } ^ { m } } \\ & { } & { = \hbar \mathrm { e } ^ { i ( m - 1 ) \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m - 1 ) ! } } \frac { 1 } { \sqrt { n + m } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { m } } \\ & { } & { \cdot \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \left( - z \left( \frac { m } { r } + 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - z \frac { m } { r } + i k r \right) L _ { n } ^ { m } ( a ) , } \end{array}
f ( \vec { k } _ { f } - \vec { k } _ { i } , n _ { f } , \Delta m ) = \frac { \mu } { \hbar ^ { 2 } } \frac { - 1 } { 2 \sqrt { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { k _ { f } } } \int \d q _ { z } \mathcal { H } _ { n _ { f } } ( - q _ { z } ) \mathcal { V } _ { \Delta m } ( \vec { k } _ { f } - \vec { k } _ { i } , q _ { z } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \epsilon _ { t } > } & { ~ \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 2 } M ^ { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 4 } M ^ { 4 } } } \\ & { + \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } 4 \eta _ { t } ^ { 2 } \hat { \rho } ^ { 2 } M ^ { 2 } D ^ { 2 } } + \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 4 ( T - S ) / \delta ) } ( 1 + \Lambda ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \forall \mu \in \mathbb { C } \setminus \overline { { S } } _ { \theta } \mathrm { , ~ } \left\lVert \mu ( \mu \mathrm { I } + D _ { \cdot } ) ^ { - 1 } \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \rightarrow \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \leqslant \frac { 1 } { \sin ( \theta ) } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { i } \tilde { E _ { i } } } & { = } & { \tilde { \rho } \; , } \\ { \partial _ { i } \tilde { B _ { i } } } & { = } & { 0 \; , } \\ { \partial _ { \tau } \tilde { B } _ { x } } & { = } & { \tau ^ { - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { E _ { y } } - \tau \partial _ { y } \tilde { E _ { \eta } } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \tilde { B } _ { y } } & { = } & { \tau \partial _ { x } \tilde { E _ { \eta } } - \tau ^ { - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { E _ { x } } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \tilde { B } _ { \eta } } & { = } & { \tau ^ { - 1 } \partial _ { y } \tilde { E _ { x } } - \tau ^ { - 1 } \partial _ { x } \tilde { E _ { y } } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \tilde { E } _ { x } } & { = } & { \tau \partial _ { y } \tilde { B _ { \eta } } - \tau ^ { - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { B _ { y } } - \tau ^ { - 1 } \tilde { V } ^ { x } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \tilde { E } _ { y } } & { = } & { \tau ^ { - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { B _ { x } } - \tau \partial _ { x } \tilde { B _ { \eta } } - \tau ^ { - 1 } \tilde { V } ^ { y } \; , } \\ { \partial _ { \tau } \tilde { E } _ { \eta } } & { = } & { \tau ^ { - 1 } \partial _ { x } \tilde { B _ { y } } - \tau ^ { - 1 } \partial _ { y } \tilde { B _ { x } } - \tau ^ { - 1 } \tilde { V } ^ { \eta } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { R } ( R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } & { = ( 1 + \xi ^ { * } ) \mathsf { E } _ { P _ { X Y } } [ \log \beta ( X , Y | P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } , P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } ^ { * } } ) ] } \\ { * } & { \qquad - \xi ^ { * } R _ { 1 } - \lambda _ { 1 } ^ { * } D _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ^ { * } D _ { 2 } . } \end{array}
\sigma _ { x } \eta _ { s p } \{ - t _ { 2 } \sin ( q _ { x } b ) \{ K _ { x } J _ { 1 } ( K _ { y } ) J _ { 2 } ( K _ { x } ) + J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 2 } ( K _ { y } ) [ K _ { y } + 2 K _ { x } \cos ( \varphi ) ] \}
E _ { 0 } \left( \ell , \mu , d \right) = \alpha \left( d \right) \frac { \, L ^ { d - 1 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } \Gamma \left( \frac { d } { 2 } \right) \, \ell ^ { d } } \int _ { \mu } ^ { \infty } d \omega \, \left( \omega ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \right) ^ { \frac { d } { 2 } - 1 } \log \left[ 1 + \frac { K _ { 1 } \left( \omega \right) } { K _ { 2 } \left( \omega \right) } \right] .
\hat { \omega } ^ { ( 6 ) } \equiv - { \hat { c } } ^ { ( 6 ) } + 1 2 0 ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 3 } \partial { \hat { c } } ^ { ( 0 ) } { \hat { b } } \partial { \hat { b } } \partial { \hat { b } } \, ,
\begin{array} { r l } & { 8 0 ( 2 n + 2 m + 1 ) ^ { 2 } + 3 \cdot ( n + m ) [ 1 5 + 2 \cdot 2 ( 3 ( n + m ) + 4 ) ^ { 2 } ] } \\ & { \leq 8 0 \cdot 2 ^ { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 3 \cdot 1 5 ( n + m ) + 3 ( n + m ) \cdot 4 \cdot 4 ^ { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 8 0 \cdot 2 ^ { 2 } + 3 \cdot 1 5 + 3 \cdot 4 \cdot 4 ^ { 2 } ) ( n + m + 1 ) ^ { 3 } } \\ & { = 5 5 7 ( n + m + 1 ) ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathscr G : = \{ f \in L ^ { 2 } ( I ) \cap H _ { e } ^ { 1 } ( ( l , r ) ) : f ( j ) = 0 \mathrm { ~ w h e n e v e r ~ } j \notin I \mathrm { ~ a n d ~ } | j | < \infty \mathrm { ~ f o r ~ } j = l \mathrm { ~ o r ~ } r \} , } \\ & { \mathscr A ( f , g ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { I } f ^ { \prime } ( x ) g ^ { \prime } ( x ) d x , \quad f , g \in \mathscr G . } \end{array}
C _ { a , N a \left( 1 \right) } : = \frac { a _ { a , N a ^ { + } } } { \gamma _ { a , N a ^ { + } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , N a C O _ { 3 } ^ { - } } } { \gamma _ { a , N a C O _ { 3 } ^ { - } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , N a H C O _ { 3 } } } { \gamma _ { a , N a H C O _ { 3 } } \left( \mu \right) } + \beta _ { N a } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { q _ { 1 } \cdots q _ { m } \in H _ { n } ^ { m } } \operatorname* { s u p } _ { [ q _ { 1 } \cdots q _ { m } ] } \exp \left( { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \hat { \phi } \circ \sigma ^ { n k } } \right) } & { \geq \left( \sum _ { p _ { 1 } \cdots p _ { n } \in H _ { n } } \operatorname* { i n f } _ { [ p _ { 1 } \cdots p _ { n } ] } \exp S _ { n } \phi \right) ^ { m } } \\ & { \geq \left( \exp ( - D _ { n } ( \phi ) ) \sum _ { p _ { 1 } \cdots p _ { n } \in H _ { n } } \operatorname* { s u p } _ { [ p _ { 1 } \cdots p _ { n } ] } \exp S _ { n } \phi \right) ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { T } _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { ( X Y Z ) } } \right) _ { i l n r , j k m p q s } } & { = \sum _ { y } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( \langle y | ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { n p } \, ( \langle y | ) _ { q } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { r s } } \\ & { = \sum _ { y } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { y k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { n p } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { y q } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { r s } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { N ^ { 2 } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 \sin ^ { 2 } \frac { \hat { \theta } } { 2 } | { \cal F } [ \phi ] ( \hat { \theta } ) | ^ { 2 } d \hat { \theta } } \\ { \cong } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } t ^ { 2 } | { \cal F } [ \psi ] ( t ) | d t = \frac { 1 } { 2 } \langle { \cal F } [ \psi ] | Q ^ { 2 } | { \cal F } [ \psi ] \rangle = \frac { 1 } { 2 } \langle \psi | P ^ { 2 } | \psi \rangle . } \end{array}