harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { \ell } \Big ( \rho ( x ) \psi _ { t } ( t ) ^ { 2 } + r ( x ) \psi _ { x x } ( t ) ^ { 2 } \Big ) d x } & { + } & { 2 \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) \psi _ { \tau } ^ { 2 } \ d x d \tau + 2 \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) \psi _ { x x \tau } ^ { 2 } d x d \tau } \\ & { } & { \leq \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \psi _ { \tau } ^ { 2 } \ d x d \tau + C _ { 6 } ^ { 2 } \left[ \Vert \theta ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \Vert \theta ^ { \prime \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { C } f : [ 0 , 1 ] ^ { p } \rightarrow [ 0 , 1 ] = } & { { } \operatorname* { m i n } _ { \alpha } \sum _ { i = 1 } ^ { p } \alpha _ { i } f ( x _ { i } ) , } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { p } \alpha _ { i } = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { i n } ^ { 0 } ( t , x ) } & { : = e ^ { d t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \mathrm { N } ^ { t ; 0 } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \mathcal { F } _ { \mid t = 0 } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v , } \\ { \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { j } } ^ { 0 } ( t , x ) } & { : = - \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { d ( t - s ) } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \mathrm { N } ^ { t ; s } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \mathcal { R } _ { j } ( s , \mathrm { Z } ^ { s ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s , \ \ j = 0 , 1 , } \\ { \mathcal { I } _ { i n } ^ { 1 } ( t , x ) } & { : = e ^ { d t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } v \otimes \mathrm { N } ^ { t ; 0 } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \mathcal { F } _ { \mid t = 0 } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v , } \\ { \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { j } } ^ { 1 } ( t , x ) } & { : = - \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { d ( t - s ) } \int _ { \mathbb R ^ { d } } v \otimes \mathrm { N } ^ { t ; s } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \mathcal { R } _ { j } ( s , \mathrm { Z } ^ { s ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s ; \ \ j = 0 , 1 . } \end{array}
Z _ { 1 2 } Z _ { 1 3 } { \cal R } _ { 2 3 } ^ { - 1 } Z _ { 3 2 } ^ { - 1 } = { \cal R } _ { 2 3 } ^ { - 1 } Z _ { 3 2 } ^ { - 1 } Z _ { 1 3 } Z _ { 1 2 }
\chi _ { \alpha } \equiv \Pi _ { \alpha } - \frac { i } { 2 } \left( \gamma ^ { 0 } \right) _ { \; \; \alpha } ^ { \beta } \bar { \psi } _ { \beta } \approx 0 , \; \bar { \chi } ^ { \alpha } \equiv \bar { \Pi } ^ { \alpha } - \frac { i } { 2 } \left( \gamma ^ { 0 } \right) _ { \; \; \beta } ^ { \alpha } \psi ^ { \beta } \approx 0 ,
\Delta _ { 1 , 2 } = { \omega _ { 1 , 2 } } ^ { 2 } - M ^ { 2 } ( { \hat { m } } _ { 1 , 2 } \pm \sigma ) ^ { 2 } ; \quad { \omega _ { 1 , 2 } } ^ { 2 } = m _ { 1 , 2 } ^ { 2 } + { \hat { q } } ^ { 2 }
\sum _ { k } T _ { i k } ( f _ { 1 } ) T _ { k j } ( f _ { 2 } ) = \sum _ { k } a _ { k - i } b _ { j - k } = ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { j - i } = T _ { i j } ( f _ { 1 } f _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { P _ { \tau , y } ( r > 2 ) } & { { } = 0 } \\ { P _ { \tau , y } ( r = 2 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \, , } & { y + \tau < 1 } \\ { ( 1 - y ) ( \tau + y - 1 ) \, , } & { y + \tau \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P _ { \tau , y } ( r = 1 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \tau \, , } & { y + \tau < 1 } \\ { ( 1 - y ) ( 2 - \tau - y ) + y ( \tau + y - 1 ) \, , } & { y + \tau \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P _ { \tau , y } ( r = 0 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \tau \, , } & { y + \tau < 1 } \\ { y ( 2 - \tau - y ) \, , } & { y + \tau \geq 1 } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( N , i ) } & { = \frac { N \gamma _ { N } ( 1 - x _ { N } ) \omega } { 2 x _ { N } ( 1 - \gamma _ { N } ) } \sum _ { g = 1 } ^ { \infty } g \mathbb { P } ( G _ { N } = g ) \int _ { 0 } ^ { t _ { N } } \kappa _ { i } \left( e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } \right) \frac { s ^ { g - 1 } e ^ { - \delta _ { 0 } s } } { ( g - 1 ) ! } \delta _ { 0 } ^ { g } \, d s } \\ & { = \frac { N \gamma _ { N } ( 1 - x _ { N } ) \omega } { 2 ( 1 - \gamma _ { N } ) } \int _ { 0 } ^ { t _ { N } } \kappa _ { i } \left( e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } \right) e ^ { - \delta _ { 0 } s } \sum _ { g = 1 } ^ { \infty } g ( 1 - x _ { N } ) ^ { g - 1 } \frac { s ^ { g - 1 } \delta _ { 0 } ^ { g } } { ( g - 1 ) ! } \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \tilde { f } _ { 1 , i } } } & { { = } } & { { \tilde { f } _ { L , i } \cos \theta _ { \tilde { f } _ { i } } + \tilde { f } _ { R , i } \sin \theta _ { \tilde { f } _ { i } } } } \\ { { \tilde { f } _ { 2 , i } } } & { { = } } & { { - \tilde { f } _ { L , i } \sin \theta _ { \tilde { f } _ { i } } + \tilde { f } _ { R , i } \cos \theta _ { \tilde { f } _ { i } } } } \end{array} \quad .
\begin{array} { r } { \hat { H } ^ { \mathrm { e f f } } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( \hat { H } ^ { \mathrm { R H F } } + \Sigma _ { 1 } \right) _ { i } + \sum _ { i < j } ^ { M } \left( \frac { e ^ { 2 } } { | r _ { i } - r _ { j } | } + \Sigma _ { 2 i j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \epsilon \pm } ( k _ { \perp } ) \sim \sum _ { k _ { \parallel } = k _ { l o w } } ^ { k _ { \parallel } = k _ { u p p } } D _ { \epsilon \pm } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) , } \\ { D _ { \epsilon \pm } ( k _ { \parallel } ) \sim \sum _ { k _ { \perp } = k _ { l o w } } ^ { k _ { \perp } = k _ { u p p } } D _ { \epsilon \pm } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle d _ { n } ( \tau ) d _ { n } ( s ) \rangle } & { { } = \langle \frac { 1 } { L _ { x } ^ { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \varphi } _ { n } ( x ) \mathcal { N } ( x , \tau ) d x \right) } \end{array}
| \Psi ( t ) \rangle = \Bigl ( 1 - i \epsilon V _ { N } \Bigr ) \Bigl ( 1 - i \epsilon V _ { N - 1 } \Bigr ) \dots \Bigl ( 1 - i \epsilon V _ { 1 } \Bigr ) | { \boldsymbol 1 } _ { f } \rangle \, .
\begin{array} { r l r } { \nabla { \bf j } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { - \lambda _ { a } U ( { \bf r } ) + { \cal J } ( { \bf r } ) } \\ { \nabla U ( { \bf r } ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \widetilde D } { \bf j } ( { \bf r } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { x , \mathrm { e m u } } ^ { 2 } ( u ) = \mathrm { V a r } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] , \quad \sigma _ { \mathrm { m e a s } , x } ^ { 2 } = \mathrm { V a r } [ \epsilon _ { \mathrm { m e a s } , x } ] , \quad \hat { \eta } _ { x } ( u ) = \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { W _ { A } } Q ( W | A ) d W } & { = 1 } \\ { \sum _ { A } P ( A ) \int _ { W _ { A } } Q ( W | A ) C _ { \alpha } ( W ) d W } & { = C _ { \alpha } ^ { * } , \quad \forall \alpha . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 0 } ) \rightarrow \left( \partial _ { T _ { 0 } T _ { 0 } } ^ { 2 } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \partial _ { T _ { 0 } } + 1 \right) v _ { 0 } = } & { { } 0 , } \\ { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 1 } ) \rightarrow \left( \partial _ { T _ { 0 } T _ { 0 } } ^ { 2 } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \partial _ { T _ { 0 } } + 1 \right) v _ { 1 } = } & { { } \frac { S _ { d } } { M _ { m s } \omega _ { m } } \partial _ { T _ { 0 } } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { Z _ { m s } ( \omega _ { c } ) } { Z _ { t } \left( 1 + A \cos \left( T _ { 1 } + \phi _ { m } \right) \right) } \right) W ( \omega ) \right] p _ { f } ( T _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { F = \frac { \left| \mathrm { T r } \left( \tilde { U } ^ { \dagger } T \right) \right| ^ { 2 } } { \mathrm { T r } \left( \tilde { U } ^ { \dagger } \tilde { U } \right) \mathrm { T r } \left( T ^ { \dagger } T \right) } , } & { { } } & { P = \frac { \mathrm { T r } \left( \tilde { U } ^ { \dagger } \tilde { U } \right) } { \mathrm { T r } \left( T ^ { \dagger } T \right) } , } & { { } } & { C = - \mathrm { T r } \left\{ \left( u u ^ { \dagger } - \mathbb { 1 } \right) ^ { 2 } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { z ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) } & { { } = \mathrm { e } ^ { i k \gamma \left( \beta c t ^ { \prime } + z ^ { \prime } \right) - i \omega \gamma \left( t ^ { \prime } + \frac { \beta } { c } z ^ { \prime } \right) } \equiv \mathrm { e } ^ { i k ^ { \prime } z ^ { \prime } - i \omega ^ { \prime } t ^ { \prime } } , } \end{array}
\nu _ { a } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - c _ { 2 3 } ^ { 2 } c _ { 2 4 } ^ { 2 } } } } ( s _ { 2 3 } \nu _ { \mu } + c _ { 2 3 } s _ { 2 4 } \nu _ { \tau } ) .
1 - \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ i ~ z ~ e ~ d ~ r ~ e ~ l ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ d ~ i ~ f ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ c ~ e ~ b ~ e ~ t ~ w ~ e ~ e ~ n ~ t ~ h ~ e ~ c ~ o ~ r ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ d ~ i ~ n ~ g ~ c ~ o ~ r ~ r ~ e ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ c ~ o ~ e ~ f ~ f ~ i ~ c ~ i ~ e ~ n ~ t ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ c ~ o ~ l ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ a ~ n ~ d ~ s ~ y ~ n ~ t ~ h ~ e ~ t ~ i ~ c ~ d ~ a ~ t ~ a ~ }
\begin{array} { r l } { \int _ { A _ { n } } { W \left( \frac { x } { \delta _ { n } } , u _ { n } ( x ) \right) \; d x } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \int _ { z _ { i } + \delta _ { n } Q } \int _ { Q } W ( y , \mathcal { U } _ { \delta _ { n } } u _ { n } ) \; d y d x + \int _ { R _ { n } } { W \left( \frac { x } { \delta _ { n } } , u _ { n } ( x ) \right) \; d x } } \\ & { = \delta _ { n } ^ { N } \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \int _ { Q } W ( y , u _ { n } ( z _ { i } + \delta _ { n } y ) ) \; d y \ + \int _ { R _ { n } } { W \left( \frac { x } { \delta _ { n } } , u _ { n } ( x ) \right) \; d x } . } \end{array}
U = - B \sum _ { k = L , R } \frac { 2 P _ { k } } { \pi w _ { k } ^ { 2 } ( x _ { k } ) } e x p \left[ { - 2 \frac { y _ { k } ^ { 2 } + z ^ { 2 } } { w _ { k } ^ { 2 } ( x _ { k } ) } } \right] + m g z
\begin{array} { r l } { d _ { 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { \tau } } } } \left[ \left( x + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right] } \\ { d _ { 2 } } & { { } = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { \tau } } } } \left[ \left( x + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } \tau \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { t = \frac { \bar { t } { { u } _ { \infty } } } { L } , { { x } _ { i } } = \frac { { { { \bar { x } } } _ { i } } } { L } , \rho = \frac { \rho } { { { \rho } _ { \infty } } } , p = \frac { { \bar { p } } } { { { \rho } _ { \infty } } u _ { \infty } ^ { 2 } } } \\ & { { { u } _ { i } } = \frac { { { { \bar { u } } } _ { i } } } { { { u } _ { \infty } } } , \operatorname { R e } = \frac { { { u } _ { \infty } } L } { { { \nu } _ { \infty } } } , { { g } _ { i } } = \frac { { { { \bar { g } } } _ { i } } } { u _ { \infty } ^ { 2 } } , \nu = \frac { { \bar { \nu } } } { { { \nu } _ { \infty } } } } \end{array}
{ \cal H } _ { i n t } = T _ { 1 } \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } \epsilon _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } u _ { R \alpha } s _ { R \beta } s _ { L \gamma } u _ { R \alpha ^ { \prime } } s _ { R \beta ^ { \prime } } s _ { L \gamma ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } { c _ { 3 1 , 1 } = } & { - \frac { r _ { 1 } ( \omega ) r _ { 2 } ^ { \prime } ( \omega ) } { \pi i } , } \\ { d _ { 3 1 , 1 } ^ { \pm } = } & { \mp \frac { r _ { 1 } ( \omega ) r _ { 2 } ^ { \prime } ( \omega ) } { 2 } + 2 \omega \bigg ( \frac { \delta ^ { \prime } ( \omega ^ { 2 } ) } { \delta ( \omega ^ { 2 } ) } - 2 \omega \frac { \delta ^ { \prime } ( 1 ) } { \delta ( 1 ) } \bigg ) + r _ { 1 } ( \omega ) r _ { 2 } ^ { \prime } ( \omega ) \Big ( \frac { \ln ( 2 - \sqrt { 3 } ) } { 2 \pi i } + \frac { 1 3 } { 1 2 } \Big ) } \\ & { + \frac { 1 } { \pi i } \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } \frac { \frac { \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) } { s - \omega } - r _ { 1 } ( \omega ) r _ { 2 } ^ { \prime } ( \omega ) } { s - \omega } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { M } _ { 3 } [ ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ( P _ { \neq } a \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) ) ] \| _ { L ^ { 2 } } } & { \lesssim \| \mathrm { A } ^ { * } a \| _ { L ^ { 2 } } \langle t \rangle ^ { 3 } \| \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } } \\ & { \quad + \| a \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } \| \mathcal { M } _ { 0 0 } \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim \epsilon ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q _ { u } } { \textnormal { d } z } } & { = - q _ { i } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( M _ { u } + M _ { u } ^ { \prime } + P _ { u } ) } { \textnormal { d } z } } & { = B _ { u } - m _ { i } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( F _ { u } + F _ { u } ^ { \prime } ) } { \textnormal { d } z } } & { = - f _ { i } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( c ^ { T } y ^ { \prime } \frac { A ^ { T } A ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y ^ { \prime } \| } \right) ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) } & { = c ^ { T } y ^ { \prime } \frac { ( y - y ^ { \prime } ) ^ { T } A ^ { T } A } { \| A y ^ { \prime } \| } ( y - y ^ { \prime } ) } \\ & { = c ^ { T } y ^ { \prime } \frac { ( y - y ^ { \prime } ) ^ { T } \left( c c ^ { T } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) I \right) ^ { T } } { \| A y ^ { \prime } \| } ( y - y ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } ( c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } } { \| A y ^ { \prime } \| } + \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ( y - y ^ { \prime } ) ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) } { \| A y ^ { \prime } \| } } \\ & { \geq \frac { - \| c \| } { r } ( c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } - \frac { \| c \| ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { r } \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle v _ { \mathcal { O } } , \widehat { \chi } ( z ) v _ { \mathcal { P } } \rangle } \\ & { = \sum _ { j \ge 1 } \int v _ { \mathcal { O } } ( r _ { 1 } ) \Bigl ( \widehat { \chi } ( z ) v _ { \mathcal { P } } \Bigr ) ( r _ { 1 } ) \, \mathrm { d } r _ { 1 } } \\ & { = \sum _ { j \ge 1 } N \int v _ { \mathcal { O } } ( r _ { 1 } ) \int \overline { { \Psi _ { 0 } ( r _ { 1 } , . . . , r _ { N } ) } } \Psi _ { j } ( r _ { 1 } , . . . , r _ { N } ) \mathrm { d } r _ { 2 } . . . \mathrm { d } r _ { N } \mathrm { d } r _ { 1 } \Bigl ( \frac { 1 } { - z - \omega _ { j } } + \frac { 1 } { z - \omega _ { j } } \Bigr ) \bigl \langle \Psi _ { j } , S ^ { * } v _ { p } \bigr \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = } & { \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { A \sigma } - \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { \sqrt { - A } } \right) - \frac { \sqrt { A + B } } { A } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B } } { \sqrt { - A } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \bigg [ \bigg ( \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } X _ { j _ { \ell } , i _ { \ell } } ^ { ( b _ { 2 \ell - 1 } ) } X _ { j _ { \ell } , i _ { \ell + 1 } } ^ { ( b _ { 2 \ell } ) } - \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } Y _ { j _ { \ell } , i _ { \ell } } ^ { ( b _ { 2 \ell - 1 } ) } Y _ { j _ { \ell } , i _ { \ell + 1 } } ^ { ( b _ { 2 \ell } ) } - \mathbb { E } [ \cdot ] \bigg ) \bigg ( \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } X _ { j _ { \ell } ^ { \prime } , i _ { \ell } ^ { \prime } } ^ { ( b _ { 2 \ell - 1 } ) } X _ { j _ { \ell } ^ { \prime } , i _ { \ell + 1 } ^ { \prime } } ^ { ( b _ { 2 \ell } ) } - \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } Y _ { j _ { \ell } ^ { \prime } , i _ { \ell } ^ { \prime } } ^ { ( b _ { 2 \ell - 1 } ) } Y _ { j _ { \ell } ^ { \prime } , i _ { \ell + 1 } ^ { \prime } } ^ { ( b _ { 2 \ell } ) } - \mathbb { E } [ \cdot ] \bigg ) \bigg ] } \\ & { = ( O ( 1 / n ) ) ^ { 2 k - t } , } \end{array}
\rho E _ { r } ^ { t r } = \frac { K _ { r } \rho } { 4 \lambda _ { t r } } , \quad \quad \lambda _ { t r } = \frac { ( K _ { r } + 3 ) \rho } { 4 ( \rho E - \frac { 1 } { 2 } \rho { \vec { U } } ^ { 2 } - \rho E _ { v } ) } .
\mathbf { K } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { x } } & { \mathbf { A x } } & { \mathbf { A } ^ { 2 } \mathbf { x } } & { \cdots } & { \mathbf { A } ^ { m - 1 } \mathbf { x } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { f _ { L } } & { = \int _ { \gamma _ { c } } ^ { \infty } \frac { \gamma \sqrt { \gamma ^ { 2 } - 1 } e ^ { - \frac { \gamma } { \chi } } } { \chi K _ { 2 } \left( 1 / \chi \right) } d \gamma } \\ & { \approx \int _ { \gamma _ { c } } ^ { \infty } \frac { ( \gamma ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ) e ^ { - \frac { \gamma } { \chi } } } { \chi K _ { 2 } \left( 1 / \chi \right) } d \gamma } \\ & { = \frac { \left[ 1 + \chi \left( u + 1 \right) \right] ^ { 2 } + \chi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } { K _ { 2 } \left( 1 / \chi \right) } e ^ { - u - \frac { 1 } { \chi } } } \\ & { \approx \frac { \chi ^ { 2 } u ^ { 2 } } { K _ { 2 } ( 1 / \chi ) } e ^ { - u - 1 / \chi } . } \end{array}
\operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { C } & { D } \end{array} \right) } = \operatorname* { d e t } ( A ) \times \operatorname* { d e t } ( D ) = \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { 0 } & { D } \end{array} \right) } .
\varepsilon _ { \mathrm { r h o } } = \varepsilon _ { r } + \frac { 1 } { \varepsilon _ { \scriptscriptstyle 0 } } \left( \frac { \sigma _ { a 1 } \Delta N _ { 1 } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { a 1 } ^ { 2 } + i \omega \Delta \omega _ { a 1 } } + \frac { \sigma _ { a 2 } \Delta N _ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { a 2 } ^ { 2 } + i \omega \Delta \omega _ { a 2 } } \right) ,
\mathbf P _ { i = k } \left( H _ { m } ( \pi _ { W } \eta ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } \omega } ) , x , i } ) \geq \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 8 \right) \geq \frac { \mathbf E _ { i = k } H _ { m } ( \pi _ { W } \eta ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } \omega } ) , x , i } ) - \left( \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 8 \right) } { 1 + O ( 1 / m ) } .
( v p _ { i } ) ^ { 2 } = \frac { ( a _ { i } \sin \psi + \dot { q } _ { i } ) ^ { 2 } } { \chi ^ { 2 } + 2 \sin \psi { \bf a } _ { \phi } \cdot \dot { \bf q } + \dot { \bf q } \cdot \dot { \bf q } } \, .
\begin{array} { r } { F ( x ) = \frac { F ( - 1 ) + F ( 1 ) } { 2 } + \frac { F ^ { \prime } ( - 1 ) - F ^ { \prime } ( 1 ) } { 2 } + \frac { F ^ { \prime } ( - 1 ) + F ^ { \prime } ( 1 ) } { 2 } x } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { x } ( x - y ) F ^ { \prime \prime } ( y ) d y - \frac { 1 } { 2 } \int _ { x } ^ { 1 } ( x - y ) F ^ { \prime \prime } ( y ) d y . } \end{array}
\vec { x } ( \vec { \xi } ) \approx \vec { x } ^ { h } ( \vec { \xi } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { \xi } ) \vec { x } _ { i } \, , \quad \tilde { s } _ { 1 } ( \vec { \xi } ) \approx \tilde { s } _ { 1 } ^ { h } ( \vec { \xi } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { \xi } ) \tilde { s } _ { 1 , i } \, , \quad v ( \vec { \xi } ) \approx v ^ { h } ( \vec { \xi } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { \xi } ) v _ { i } \, ,
\begin{array} { r l r } { c \left( g , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } + 2 m \hbar \mathbf { k } , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( \nu , 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) \right) } & { { } = } & { S _ { g e } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } + \left( 4 m - 1 \right) \hbar \mathbf { k } / 2 \right) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { I _ { ( a ) } + I _ { ( b ) } + I _ { ( c ) } + I _ { ( d ) } } } & { { \sim \left[ G _ { + + } ^ { ( 0 ) } ( k + p _ { 2 } ) - G _ { - + } ^ { ( 0 ) } ( k + p _ { 2 } ) \right] G _ { R } ( k - p _ { 1 } ) } } \\ { { { } } } & { { = G _ { A } ( k + p _ { 2 } ) G _ { R } ( k - p _ { 1 } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { e f f } = 0 . 5 \cdot \frac { \ln \left( R _ { t } / R _ { x } \right) } { \ln \left( R _ { t } / R _ { u } \right) } ~ ~ } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s _ { u } \in [ s _ { O M P } , s _ { x } ) } \\ { k _ { e f f } = 0 . 5 } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s _ { u } \in [ s _ { x } , s _ { t } ] } \end{array}
( \rho , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 . 8 5 7 1 4 3 , 2 . 6 2 9 3 6 9 , 1 0 . 3 3 3 3 3 3 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x < - 4 } \\ { ( 1 + 0 . 2 \sin ( 5 x ) , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \geq - 4 } \end{array} \right.
A _ { + } ^ { ^ \prime c ( c \ell ) } ( x ) = - g ( { \frac { \lambda ^ { c } } { 2 } } ) { \frac { \delta ( x _ { - } ) } { 2 \pi } } \ \ell n [ \vert \underline { { { x } } } \vert \mu ] ; \ A _ { i } ^ { \prime } = A _ { - } ^ { \prime } = 0
\operatorname* { d e t } \mathbf { V } = ( - 1 ) ^ { n } \frac { \underset { 1 \leq i < j \leq g } { \prod } ( q _ { i } - q _ { j } ) } { \underset { i = 1 } { \overset { g } { \prod } } \underset { s = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( q _ { i } - X _ { s } ) ^ { r _ { s } } } \, \, \underset { 1 \leq s ^ { \prime } < s \leq n } { \prod } ( X _ { s } - X _ { s ^ { \prime } } ) ^ { r _ { s } r _ { s ^ { \prime } } } .
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal { S } } ^ { 5 } : \left\{ \begin{array} { l } { \ensuremath { \mathcal { S } } _ { k } ^ { 5 } : \left\{ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { k } = k \xi ( x _ { k } ( t ) ) y _ { k } ( t ) - x _ { k } ^ { 3 } ( t ) - x _ { k } ( t ) , } \\ { \dot { y } _ { k } = - y _ { k } ^ { 3 } ( t ) - y _ { k } ( t ) , } \end{array} \right. } \\ { k = 1 , 2 , \ldots , } \end{array} \right. } \end{array}
f ( \varepsilon ) = \frac { 3 } { 2 } \left( \ln \frac { \varepsilon } { 3 \pi } + 1 \right) - \varepsilon \frac { 1 7 } { 1 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 4 3 2 } ( 1 3 2 7 - 9 6 \pi ^ { 2 } ) + O ( \varepsilon ^ { 3 } ) \; .
\zeta ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , \ldots , s _ { n } ) = \sum _ { k _ { 1 } > k _ { 2 } > \cdots > k _ { n } > 0 } { k _ { 1 } } ^ { - s _ { 1 } } { k _ { 2 } } ^ { - s _ { 2 } } \cdots { k _ { n } } ^ { - s _ { n } } .
W _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } : = \langle \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } | \hat { V } _ { e e } - \hat { V } _ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } | \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \rangle + c _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } [ n ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ] .
\| \overrightarrow { F D } \| = \frac { \left| ( y _ { E } - y _ { B } ) ( x _ { D } - x _ { E } ) + ( x _ { B } - x _ { E } ) ( y _ { D } - y _ { E } ) \right| } { \sqrt { ( x _ { B } - x _ { E } ) ^ { 2 } + ( y _ { B } - y _ { E } ) ^ { 2 } } } .
{ X ^ { \prime } } ^ { \lambda } = A _ { \kappa } ^ { \lambda } X ^ { \kappa } , \quad \mathrm { w i t h } \ \ A _ { \nu } ^ { \mu } \ \mathrm { s u c h \ t h a t } \ \ A _ { \lambda } ^ { \alpha } L ^ { \lambda \kappa } A _ { \kappa } ^ { \beta } = \mathrm { I } ^ { \alpha \beta }
\begin{array} { r l r } { u _ { f } } & { = } & { u _ { \infty } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { \infty } } ) \eta _ { x } \, \mathrm { , } } \\ { v _ { f } } & { = } & { v _ { \infty } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { \infty } } ) \eta _ { y } \, \mathrm { , } } \\ { w _ { f } } & { = } & { w _ { \infty } + ( q _ { n f } - q _ { n _ { \infty } } ) \eta _ { z } \, \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { y } _ { 1 } = \mathrm { i } \, } & { { } \Bigg [ \left( \mathcal { K } _ { a } + \mathcal { S } _ { a } \right) y _ { 1 } + 2 \mathcal { K } _ { b } \left( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } \right) y _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { { 7 } 2 x _ { 1 } } & { { } \; + \; } & { 3 x _ { 2 } } & { { } \; + \; } & { 5 x _ { 3 } } & { { } \; = \; } & { 0 } \\ { - 4 x _ { 1 } } & { { } \; + \; } & { 2 x _ { 2 } } & { { } \; + \; } & { 3 x _ { 3 } } & { { } \; = \; } & { 0 } \end{array}