harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \vec { v } _ { \perp } = \left( \frac { 2 \nu } { r _ { 0 } } \cos ( \phi _ { 0 } ) - g \frac { \nu } { 2 } , \frac { 2 \nu } { r _ { 0 } } \sin ( \phi _ { 0 } ) \right) ^ { T } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \hat { O } , \delta } [ \hat { \rho } ] = \delta \left( \hat { O } \hat { \rho } \, \hat { O } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \left[ \hat { \rho } , \hat { O } ^ { \dagger } \hat { O } \right] _ { + } \right) ,
\frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta J _ { a } \delta J _ { b } } = \left( \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma _ { \Lambda } } { \delta \phi _ { a } ^ { c } \delta \phi _ { b } ^ { c } } + \delta _ { a b } \Delta _ { I R } ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } .
\mathbf { S } _ { p , q } = { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { I } _ { r } ( 1 : q : r , : ) } \\ { \mathbf { I } _ { r } ( 2 : q : r , : ) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { I } _ { r } ( q : q : r , : ) } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \log \left| L \left( n \left( \sigma + i t \right) , \chi _ { 0 } \right) \right| = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } \sum _ { p \nmid M } \frac { \cos \left( n t \log p \right) } { p ^ { k n \sigma } } } \\ { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } \sum _ { p \nmid M } \frac { 1 } { p ^ { k n \sigma } } = \log \left| L \left( n \sigma , \chi _ { 0 } \right) \right| } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } S = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 8 } { 3 } } + { \frac { 4 } { n } } + { \frac { 4 } { 3 n ^ { 2 } } } \right) = { \frac { 8 } { 3 } }
{ \hat { R } } = { \hat { \bar { Y } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } I _ { i } { \frac { y _ { i } } { \pi _ { i } } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } I _ { i } { \frac { 1 } { \pi _ { i } } } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \check { y } } _ { i } ^ { \prime } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \check { 1 } } _ { i } ^ { \prime } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } y _ { i } ^ { \prime } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } 1 _ { i } ^ { \prime } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } y _ { i } ^ { \prime } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } 1 _ { i } ^ { \prime } } } = { \bar { y } } _ { w }
\left( \begin{array} { c } { { \theta ^ { 1 } } } \\ { { \theta ^ { 2 } } } \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array} { c } { { \tilde { \theta } ^ { 1 } } } \\ { { \tilde { \theta } ^ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \cos \alpha } } & { { \sin \alpha } } \\ { { - \sin \alpha } } & { { \cos \alpha } } \end{array} \right) \; \left( \begin{array} { c } { { \theta ^ { 1 } } } \\ { { \theta ^ { 2 } } } \end{array} \right) \; ,
\varepsilon _ { v } = \frac { \upsilon _ { p } } { ( 1 - r _ { 0 } ) \upsilon _ { I I I } } - 1 = \frac { \rho _ { I I I } M _ { p } } { ( 1 - r _ { 0 } ) \rho _ { p } M _ { I I I } } - 1
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } = } & { ~ \hat { \boldsymbol { \Phi } } _ { \alpha } \left( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } , \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } , \mathbf { q } _ { \alpha } , \gamma _ { \alpha } \right) , } \\ { \hat { s } _ { \alpha } = } & { ~ \hat { s } _ { \alpha } \left( r _ { \alpha } \right) , } \\ { \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } = } & { ~ \hat { \mathbf { T } } _ { \alpha } ( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } , \mathbf { D } _ { \alpha } , \pi _ { \alpha } , p ) , } \\ { \hat { \gamma } _ { \alpha } = } & { ~ \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } , p , \left\{ \psi _ { \beta } \right\} _ { { \beta } = 1 , \dots , N } , \left\{ \mu _ { \beta } \right\} _ { { \beta } = 1 , \dots , N } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol { \pi } } _ { \alpha } = } & { ~ \hat { \boldsymbol { \pi } } _ { \alpha } \left( \phi _ { \alpha } , \nabla \phi _ { \alpha } , \left\{ \mathbf { v } _ { \beta } \right\} _ { { \beta } = 1 , \dots , N } , \left\{ \gamma _ { \beta } \right\} _ { { \beta } = 1 , \dots , N } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } \Omega ^ { ( n ) } = \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } U ^ { ( n ) } } & { { } = } & { E _ { 0 } ^ { ( n ) } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } S ^ { ( n ) } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\tilde { a } _ { \Delta x } ( t ) = \ln \frac { \psi _ { + \to + } ^ { \Delta x } ( t ) + \psi _ { - \to + } ^ { \Delta x } ( t ) } { \psi _ { + \to - } ^ { \Delta x } ( t ) + \psi _ { - \to - } ^ { \Delta x } ( t ) }
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z ) \, } & { { } = \, \eta _ { 0 } + \epsilon R \eta _ { 1 } \, + \epsilon ^ { 2 } ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \eta _ { 2 } \, + \epsilon ^ { 2 } \eta _ { 3 } \, , } \\ { \phi _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z ) \, } & { { } = \, \phi _ { 0 } + \epsilon R \phi _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \phi _ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \phi _ { 3 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { 1 } ( \beta _ { k } ) - c _ { 2 } ( \beta _ { k } ) } \\ & { = \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \left[ \left( L _ { f } - \frac { M _ { f } L _ { F } } { \sigma } \right) - \frac { 2 M _ { F } } { \sigma } \beta _ { k } \right] \left[ \left( L _ { f } + \frac { M _ { f } L _ { F } } { \sigma } \right) + \left( \frac { 2 M _ { F } } { \sigma } + 2 \right) \beta _ { k } \right] , } \end{array}
G _ { i j } \; = \; \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { k } D _ { i k } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { k } D _ { k j } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } \sum _ { k , l } D _ { k l } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } D _ { i j } ^ { 2 } \quad .
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { t } ( a _ { t , 2 } ) ^ { T } \gamma _ { l } ( a _ { l , 2 } ^ { * } ) } & { = } & { \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] } \\ & { = } & { \gamma _ { l , 1 } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] } \\ & { = } & { \gamma _ { l , 1 } ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } , \dots , z _ { t _ { c } } ] ^ { T } z _ { l } } \\ & { = } & { \bar { \gamma } _ { l , 1 } ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } , \dots , z _ { t _ { c } } ] ^ { T } z _ { l } = z _ { t } ^ { T } z _ { l } } \end{array}
\mathrm { S p } ( p , q ) = \left\{ g \in \mathrm { G L } ( n , \mathbb { H } ) \mid I _ { p , q } ^ { - 1 } g ^ { * } I _ { p , q } g = I _ { p + q } \right\} = \left\{ g \in \mathrm { G L } ( 2 n , \mathbb { C } ) \mid K _ { p , q } ^ { - 1 } g ^ { * } K _ { p , q } g = I _ { 2 ( p + q ) } , \quad K = \operatorname { d i a g } \left( I _ { p , q } , I _ { p , q } \right) \right\} .
\mathcal D _ { a , n } ( \mathbf x ) = q ^ { - n a / 2 } \, \mathrm { A d } _ { \gamma ^ { - n } } ( \mathcal D _ { a } ( \mathbf x ) ) = \sum _ { I \subset [ 1 , N ] \atop | I | = a } \prod _ { i \in I , j \not \in I } \frac { t x _ { i } - x _ { j } } { x _ { i } - x _ { j } } \prod _ { i \in I } x _ { i } ^ { n } \, \prod _ { i \in I } \Gamma _ { i }
\left[ \begin{array} { l l l l l } { I } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - ( I + h A ) } & { I } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - ( I + h A ) } & { I } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - I } & { I } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - I } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x ( 0 ) } \\ { x ( h ) } \\ { x ( 2 h ) } \\ { x ( 3 h ) } \\ { x ( 4 h ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { x _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ } } } \\ { b h } \\ { b h } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\frac { d Y _ { u } \left( t \right) } { d t } = \sum _ { u ^ { \prime } \in \pi _ { \mathrm { V } } \mathrm { V } } \left( \sum _ { \substack { v \in \mathrm { V } , \, \pi _ { \mathrm { V } } \left( v \right) = u } } k _ { v , \left[ c \left( u ^ { \prime } \right) \right] } \right) Y _ { u ^ { \prime } } \left( t \right) .
\begin{array} { r l } { P ( \nu _ { \mu } \to \nu _ { \tau } ) } & { \simeq \sin ^ { 2 } \left( 2 \theta _ { 2 3 } \right) \cos ^ { 4 } ( \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L } { E _ { \nu } } \right) \pm 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L } { E _ { \nu } } \right) \times 8 J _ { \mathrm { C P } } , } \\ { P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } ) } & { \simeq \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 3 } ) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \mp 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \times 8 J _ { \textrm { C P } } , } \\ { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \tau } ) } & { \simeq \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 2 3 } ) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \mp 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \times 8 J _ { \textrm { C P } } , } \\ { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) } & { \simeq \sin ^ { 2 } ( 2 \theta _ { 1 3 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 3 } ) \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \pm 1 . 2 7 \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } \frac { L } { E _ { \nu } } \right) \times 8 J _ { \textrm { C P } } , } \end{array}
I _ { 2 n } ( s ) = ( m ^ { 2 } - \frac { s } { 4 } ) I _ { 2 n - 2 } ( s ) + \mathrm { i } \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \Delta ^ { ( 0 ) } ( q ) q _ { + } ^ { 2 n - 2 }
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } = } & { { } ( t _ { 0 } a _ { 1 } b _ { 2 } - t _ { 0 } a _ { 2 } b _ { 1 } - t _ { 1 } a _ { 0 } b _ { 2 } + t _ { 1 } a _ { 2 } b _ { 0 } + t _ { 2 } a _ { 0 } b _ { 1 } - t _ { 2 } a _ { 1 } b _ { 0 } ) / A } \\ { p _ { 1 } = } & { { } ( t _ { 0 } b _ { 1 } - t _ { 1 } b _ { 0 } - t _ { 0 } b _ { 2 } + t _ { 2 } b _ { 0 } + t _ { 1 } b _ { 2 } - t _ { 2 } b _ { 1 } ) / A } \\ { p _ { 2 } = } & { { } - ( t _ { 0 } a _ { 1 } - t _ { 1 } a _ { 0 } - t _ { 0 } a _ { 2 } + t _ { 2 } a _ { 0 } + t _ { 1 } a _ { 2 } - t _ { 2 } a _ { 1 } ) / A } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \pm } } & { { } = \frac { \xi ^ { - 3 } } { 4 n ^ { 2 } } \left[ S d \xi ^ { 4 } + 4 \left( b - 4 S ^ { 2 } \right) \xi ^ { 3 } + S \left( 3 \beta n ^ { 2 } + 2 S \right) \xi ^ { 2 } - \beta n ^ { 2 } S \xi \right] } \end{array} ,
\begin{array} { c } { { e ^ { - B } A e ^ { B } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \displaystyle \frac 1 { n ! } [ A , B ] _ { ( n ) } , } } \\ { { { } [ A , B ] _ { ( 0 ) } \equiv A , \qquad [ A , B ] _ { ( n + 1 ) } = [ [ A , B ] _ { ( n ) } , B ] . } } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \end{array} \right) } = { \frac { 1 } { 2 A } } { \left( \begin{array} { l l l } { x _ { 2 } y _ { 3 } - x _ { 3 } y _ { 2 } } & { y _ { 2 } - y _ { 3 } } & { x _ { 3 } - x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 3 } } & { y _ { 3 } - y _ { 1 } } & { x _ { 1 } - x _ { 3 } } \\ { x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 1 } } & { y _ { 1 } - y _ { 2 } } & { x _ { 2 } - x _ { 1 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { x } \\ { y } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \langle \hat { n } _ { a } ^ { \mathrm { { i n s i d e } } } \rangle + \langle \hat { n } _ { b } ^ { \mathrm { { i n s i d e } } } \rangle = \langle \hat { n } _ { a } ^ { \mathrm { { o u t } } } \rangle + \langle \hat { n } _ { b } ^ { \mathrm { { o u t } } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 } ^ { \leq 1 } } & { = x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 5 } ^ { ( 0 ) } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 6 } ^ { ( 0 ) } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 3 } + x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 6 } ^ { ( 0 ) } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 1 } + x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 2 } - x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 5 } ^ { ( 0 ) } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 1 } } \\ { \pi _ { 0 } ^ { \leq 2 } } & { = x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 1 } + x _ { 5 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 1 } + x _ { 6 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 1 } } \\ { \pi _ { 0 } ^ { \leq 3 } } & { = x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 3 } + x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 1 } - x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } x _ { 3 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } x _ { 3 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 3 } + x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 1 } - x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 3 } } \\ & { - x _ { 5 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 2 } - x _ { 6 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 1 } } \\ { \pi _ { 0 } ^ { \leq 4 } } & { = x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 5 } + x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 6 } + x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 1 } + x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 6 } - x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 3 } } \\ & { - x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 5 } - x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 2 } - x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 5 } + x _ { 3 } ^ { ( 1 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 4 } + x _ { 3 } ^ { ( 1 ) } x _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 6 } + x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 3 } + x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 4 } } \\ & { + x _ { 5 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 1 } - x _ { 5 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 4 } - x _ { 6 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 1 } - x _ { 6 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \vartheta } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) } & { = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int _ { V _ { \alpha } } d ^ { 3 } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \, \, \frac { e ^ { i \frac { \omega } { c } | \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } } { \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } } \sin \vartheta _ { d } ^ { \prime } \, \, \rho _ { \alpha } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \, \, \hat { \ddot { d } } _ { z } ( \omega ; [ E _ { e x t } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ] ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { e f f } ( \theta ) = \frac { \gamma } { 1 + \cos \theta } + b \cos \theta , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \gamma \equiv \frac { m _ { \psi } ^ { 2 } } { I _ { 2 } } = 0 , 5 6 5 6 9 4 4 5 5 \times 1 0 ^ { - 3 } , \quad b = a \mu L = 0 , 0 8 8 2 . } \end{array}
\sqrt { J _ { F P } } = \left| \frac { g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } } { \alpha _ { j } } \right| \left( \frac { 3 } { 4 } + \frac { 3 } { 4 } \sqrt { 1 - \frac { 1 6 \alpha _ { j } \delta _ { \nu } } { 9 g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l r } { V _ { \eta } } & { { } = } & { E _ { l } h _ { \eta } } \\ { V _ { \eta \eta } } & { { } = } & { - E _ { l } h \eta \frac { 2 \eta _ { 0 } } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } } \\ { V _ { \eta \xi } } & { { } = } & { E _ { l } h _ { \eta } \frac { 1 } { \xi _ { 0 } } } \\ { V _ { \eta \eta \eta } } & { { } = } & { E _ { l } h _ { \eta } \frac { 8 \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { ( \alpha ) } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } } & { \triangleq \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } = \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } \right) } \\ & { = \left( \mathcal { D } _ { ( \alpha + 1 , + 1 ) } ^ { - } \mathcal { D } _ { ( \alpha , 0 ) } ^ { + } + \mathcal { D } _ { ( \alpha + 1 , - 1 ) } ^ { + } \mathcal { D } _ { ( \alpha , 0 ) } ^ { - } + \mathcal { D } _ { ( \alpha + 1 , 0 ) } ^ { 0 } \mathcal { D } _ { ( \alpha , 0 ) } ^ { 0 } \right) \Psi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { K = \frac { 1 } { 2 a _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } \left( a ^ { 2 } + r \big ( p ( \theta _ { m i n } ) - s _ { 0 } \big ) \frac { \partial ^ { 2 } p ( \theta _ { m i n } ) } { \partial \epsilon ^ { 2 } } + r \left( \frac { \partial p ( \theta _ { m i n } ) } { \partial \epsilon } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 2 a ) } ( \omega ) } & { = } & { - \frac { 4 \pi } { 1 2 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } q \; q ^ { 2 } \left( V ^ { \prime \prime } ( q ) + ( 2 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \right) } \\ & { } & { \times \; \left[ \theta ( E ) \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E } \tilde { \rho } _ { 1 , \mathrm { W } } \left( q , \sqrt { 2 E } \right) \right] _ { E = \omega + E _ { 0 } - V ( q ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ F ~ } } } & { { } = \frac { \pi } { 2 } K \omega _ { 0 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 , \mathrm { ~ F ~ } } ^ { 4 } t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ , ~ F ~ } } \, , } \\ { E _ { \mathrm { ~ C ~ } } } & { { } = \frac { \pi } { 2 } K \omega _ { 0 } ^ { 2 } \sigma _ { 0 , \mathrm { ~ C ~ } } ^ { 4 } t _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ , ~ C ~ } } \, . } \end{array}
\tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } = \omega _ { P } ^ { 2 } + { \int _ { \vec { k } } } \Sigma \left( \sqrt { \omega _ { P } ^ { 2 } + ( c k ) ^ { 2 } } \right) \approx \omega _ { P } ^ { 2 } + { 3 } \alpha \Lambda ^ { 2 } / ( 8 \pi ^ { 2 } c )
\mathbf { J } _ { f } | _ { g ( \mathbf { R } ) } \boldsymbol { \Delta } ( \mathbf { H } ) ^ { \mathrm { T } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \mathrm { T r } \left( \mathbf { R } _ { i i } ^ { - 1 } \mathbf { H } _ { i i } \right) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) = \mathrm { T r } \left( \mathbf { M } _ { t \log ( t ) } \mathbf { H } \right) .
- z ( z ^ { - 1 } ) ^ { \prime \prime } = - \frac { 9 } { 4 } { \cal H } ^ { 2 } + \frac { 9 } { 2 } { \cal H } ^ { \prime } + \frac { \varphi ^ { \prime \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } - 2 \biggl ( \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } \biggr ) ^ { 2 } - 2 \frac { { \cal H } ^ { \prime } } { \cal H } \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } - 3 { \cal H } \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } - \frac { { \cal H } ^ { \prime \prime } } { \cal H } .
\nu = \left\{ \begin{array} { l } { { - \frac { 1 } { a ^ { 2 } k } { \cot } ( k \, \lambda ) \, , \qquad \mathrm { t i m e l i k e } , } } \\ { { - \frac { 1 } { a ^ { 2 } k ^ { 2 } \lambda } \, , \qquad \qquad \mathrm { n u l l } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { C } _ { 3 , 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } } & { \lesssim \Vert \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \, u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m - 1 } } + \Vert \mathrm { d i v } _ { x } \, u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \lesssim \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m + 1 } } \Vert \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m - 1 } } , } \\ { \Vert \mathcal { C } _ { 3 , 2 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } } & { \lesssim \Vert \nabla _ { x } u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert \nabla _ { x } \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m - 1 } } + \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert \nabla _ { x } \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \lesssim \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } + \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m - 1 } } . } \end{array}
{ \frac { 2 4 \pi \mu ^ { 2 } } { \lambda } } = g + { \frac { 1 4 . 8 0 } { g } } \hbar ^ { 2 } - { \frac { 8 8 . 8 3 } { g ^ { 2 } } } \hbar ^ { 3 } + O ( \hbar ^ { 4 } ) .
E ^ { n , \nu } ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) = ( - 1 ) ^ { n } \left( \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } \right) ^ { a } \left( \frac { \bar { \rho } _ { 1 } - \bar { \rho } _ { 2 } } { \bar { \rho } _ { 1 } \bar { \rho } _ { 2 } } \right) ^ { \tilde { a } } \ .
\begin{array} { r l r } { \mu _ { \mathrm { L 1 } } } & { { } = } & { ( \tilde { \rho } _ { 1 1 } - P / c _ { \mathrm { L 1 } } ^ { 2 } ) / ( Q / c _ { \mathrm { L 1 } } ^ { 2 } - \tilde { \rho } _ { 1 2 } ) , } \\ { \mu _ { \mathrm { L 2 } } } & { { } = } & { ( \tilde { \rho } _ { 1 1 } - P / c _ { \mathrm { L 2 } } ^ { 2 } ) / ( Q / c _ { \mathrm { L 2 } } ^ { 2 } - \tilde { \rho } _ { 1 2 } ) , } \\ { \mu _ { \mathrm { S } } } & { { } = } & { - \tilde { \rho } _ { 1 2 } / \tilde { \rho } _ { 2 2 } . } \end{array}
h _ { i j } d q ^ { i } d q ^ { j } = \frac { 1 } { 4 V ^ { 2 } } d V ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 V ^ { 2 } } \left[ d \sigma + \mathrm { i } ( \bar { \xi } d \xi - \xi d \bar { \xi } ) \right] ^ { 2 } + \frac { 1 } { V } d \xi d \bar { \xi } \ .
\operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } = \operatorname { c o v } [ \mathbf { X } , \mathbf { X } ] = \operatorname { E } [ ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ^ { \mathrm { { T } } } ] = \operatorname { E } [ \mathbf { X } \mathbf { X } ^ { T } ] - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ^ { T }
\rho _ { \mathcal { S } } = \lvert c _ { 1 } \rvert ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { } & { } \end{array} \right) + \ldots + \lvert c _ { d } \rvert ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { \ddots } & { } & { } \end{array} \right)
S _ { F } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { x , \hat { \mu } } [ \overline { { { \psi } } } ( x ) \gamma _ { \mu } \psi ( x + \hat { \mu } ) - \overline { { { \psi } } } ( x + \hat { \mu } ) \gamma _ { \mu } \psi ( x ) ] ,
\mathcal { V } = \left( \begin{array} { l } { \mathcal { V } _ { y _ { 0 } } } \\ { \mathcal { V } _ { y _ { 1 } } } \\ { \mathcal { V } _ { y _ { 0 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { r y _ { 0 } + \mu y _ { 0 } } \\ { r y _ { 1 } + \mu y _ { 1 } } \\ { r y _ { 2 } + \mu y _ { 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { q _ { 0 } + 1 } & { \leq } & { C ^ { \prime } T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } + 1 } \\ & { \leq } & { C _ { \theta } T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) , } \end{array}