harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d \big ( \star { \bf F } \big ) } & { = \frac { 1 } { c } \mathsf { d i v } ( E ) d x \wedge d y \wedge d z + \Big ( c \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } - c \frac { \partial B _ { y } } { \partial x } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial E _ { z } } { \partial t } \Big ) d x \wedge d y \wedge d t } \\ & { + \Big ( c \frac { \partial B _ { z } } { \partial x } - c \frac { \partial B _ { x } } { \partial z } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial E _ { y } } { \partial t } \Big ) d z \wedge d x \wedge d t + \Big ( c \frac { \partial B _ { y } } { \partial z } - c \frac { \partial B _ { z } } { \partial y } + \frac { 1 } { c } \frac { \partial E _ { x } } { \partial t } \Big ) d y \wedge d z \wedge d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } = \mathcal { J } ( u , \hat { u } ) - \int _ { \Omega } u _ { i } \partial _ { j } \sigma _ { i j } ^ { v } - Y u _ { i } v _ { i } + \int _ { \partial \Omega } \left( u _ { i } \sigma _ { i j } ^ { v } - v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } \right) n _ { j } - v _ { i } ( \sigma _ { i j } ^ { u } n _ { j } + \sigma n _ { i } ) } \end{array}
Z ^ { \mathrm { a l l } } ( k , s ) = \sum _ { \substack { 0 \neq ( \beta ) \subseteq \ensuremath { \mathbb Z } [ i ] \, ( \beta , 2 \overline { { \beta } } ) = 1 \, \beta \mathrm { ~ s q u a r e f r e e } } } \frac { \tau ( \chi _ { \beta } ) ^ { 2 k } / N ( \beta ) ^ { k } } { N ( \beta ) ^ { s } } \sum _ { \substack { q _ { 2 } \in \ensuremath { \mathbb Z } _ { \geq 1 } \, ( q _ { 2 } , 2 N ( \beta ) ) = 1 } } \frac { 1 } { q _ { 2 } ^ { s } } .
\begin{array} { r l } { \partial ( F ( a ) ) } & { = \partial ( a - \mathbf T \cdot \partial ( a ) ) } \\ & { = \partial ( a ) - \partial ( \mathbf T \cdot \partial ( a ) ) } \\ & { = \partial ( a ) - \partial ( \mathbf T ) \cdot \partial ( a ) - \mathbf T \cdot \partial ( \partial ( a ) ) + \mathbf T \cdot \partial ( \mathbf T ) \cdot \partial ( \partial ( a ) ) } \\ & { = - \partial ( a ) } \end{array}
\alpha _ { a s y m } = \frac { 2 \pi } { W _ { \mathrm { t o t } } } \int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } \frac { d W ( \theta ) } { d \Omega } \sin \theta d \theta \equiv \frac { 1 } { 2 } + A \cos { ( \Delta \Phi - \delta _ { 0 } ) }
z _ { \scriptscriptstyle F } ( \tilde { \rho } ) = \frac { Z _ { { \scriptscriptstyle F } , k } ( \tilde { \rho } ) } { Z _ { { \scriptscriptstyle F } , k } } = \frac { Z _ { { \scriptscriptstyle F } , k } ( \tilde { \rho } ) } { Z _ { { \scriptscriptstyle F } , k } ( \kappa ) }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \varphi } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ] + \partial _ { \varphi ^ { \prime } } \big [ D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ] } \\ & { = f ^ { \prime } ( \varphi ) \partial _ { \theta } D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) + f ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \partial _ { \theta ^ { \prime } } D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \\ & { = \sin \big ( f ( \varphi ) - f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \big ( f ^ { \prime } ( \varphi ) - f ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) + 2 f ^ { \prime } ( \varphi ) \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } \\ & { \quad + 2 f ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) . } \end{array}
\delta \psi _ { n } ^ { ( 1 ) } = \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } - \frac { \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | \psi _ { n } ^ { ( 1 ) } \rangle } { \langle \psi _ { n } ^ { ( 1 ) } | \psi _ { n } ^ { ( 1 ) } \rangle } \psi _ { n } ^ { ( 1 ) }
\langle q \bar { q } \rangle = 4 m N _ { f } N _ { c } \int \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } x \rho ( x , k , m ) \left[ 1 - n _ { F } ( x ) \right] \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d S } { d t } = k _ { B } \int ( 1 + \ln f ) } & { { } } & { \left\{ \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial p _ { i } } \left[ F _ { i } ( \vec { p } , t ) \, f \right] - \right. } \end{array}
\langle \sigma _ { s } \rangle = \langle { \frac { 1 } { N } } \makebox { t r } \left[ ( U + g \sigma _ { s } + g \Phi ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \right] \rangle = { \frac { 1 } { ( U + g \sigma _ { s } ) } } f \left( { \frac { - g } { U + g \sigma _ { s } } } \right)
\left( \lambda - \frac { \partial \tilde { u } _ { y } } { \partial \tilde { y } } \right) \left( \lambda - \frac { \partial \tilde { \omega } } { \partial \theta } \right) - \frac { \partial \tilde { u } _ { y } } { \partial \theta } \frac { \partial \tilde { \omega } } { \partial \tilde { y } } = 0 ,
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } { \mathcal { E } } _ { i , j } + \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 1 } } \left( \left( { \widetilde { { \mathcal { Q } } } } _ { 1 } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \tt E S } - \left( { \widetilde { { \mathcal { Q } } } } _ { 1 } \right) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \tt E S } \right) + \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 2 } } \left( \left( { \widetilde { { \mathcal { Q } } } } _ { 2 } \right) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \tt E S } - \left( { \widetilde { { \mathcal { Q } } } } _ { 2 } \right) _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \tt E S } \right) \leqslant 0 ,
\mathsf { H } = \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial \boldsymbol { w } } = \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial \boldsymbol { \tau } } \frac { \partial \boldsymbol { \tau } } { \partial \boldsymbol { w } } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { C _ { k } } & { = v _ { 0 ; 0 } ^ { ( k ) } \langle \Uparrow | \hat { D } _ { 0 } | \Downarrow \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | \hat { d } _ { 0 } ^ { ( k ) } | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle } \\ & { = \frac { \mu _ { \Updownarrow } \mu _ { \updownarrow } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } ( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } c _ { i } c _ { j } P _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { z _ { t } ^ { \mathrm { { s u } } } \geq z _ { t } ^ { \mathrm { o n } } - z _ { t - 1 } ^ { \mathrm { { o n } } } - z _ { t - 1 } ^ { \mathrm { s b } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } \setminus \{ 1 \} , } \\ & { z _ { t = 1 } ^ { \mathrm { { s u } } } = 0 , } \\ & { z _ { t - 1 } ^ { \mathrm { o f f } } + z _ { t } ^ { \mathrm { { s b } } } \leq 1 } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } \setminus \{ 1 \} . } \end{array}
\bar { S } _ { u } ( \boldsymbol { l } ) = 2 \langle \; \langle \, \lvert \mathbf { u ( r ) } \rvert ^ { 2 } \, \rangle _ { r } \; \rangle _ { \Omega _ { l } } - 2 \langle \; \langle \mathbf { u ( r } + \boldsymbol { l } ) \cdot \mathbf { u ( r ) } \rangle _ { r } \; \rangle _ { \Omega _ { l } } ,
\begin{array} { r l } { Z _ { t } = ( 1 - 3 u B + B ^ { 3 } ) ^ { - \nu } \epsilon _ { t } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j } { \frac { ( \nu ) _ { n } } { n ! } } \binom { n } { j } ( 3 u ) ^ { n - j } B ^ { 2 j + n } \epsilon _ { t } } \\ & { \approx \sum _ { n = 0 } ^ { 4 } \sum _ { j = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j } { \frac { ( \nu ) _ { n } } { n ! } } \binom { n } { j } ( 3 u ) ^ { n - j } \epsilon _ { t - n - 2 j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { \mathrm { L } / \mathrm { R } } \equiv \frac { \omega _ { \mathrm { L } / \mathrm { R } } } { k } \simeq 1 \mp \frac { g _ { a \gamma \gamma } \dot { a } ( t ) } { 2 k } . } \end{array}
\Pi _ { 2 } ^ { \mu \nu } = \frac { - 4 e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } \mu ^ { 4 - d } } { M _ { f } ^ { 2 } ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } \Gamma ( 2 - d / 2 ) \biggl \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \left[ N _ { 1 } ( x ) \left( \frac { 2 + d } { d - 2 } \right) \Delta ( p ^ { 2 } , x ) ^ { 2 } - N _ { 2 } ( x ) \left( \frac { d } { 2 - d } \right) \Delta ( p ^ { 2 } , x ) + N _ { 3 } ( x ) \right] \frac { 1 } { \Delta ( p ^ { 2 } , x ) ^ { 2 - d / 2 } } \biggr \} .
T = \frac { n \bar { N } m \bar { M } } { n \bar { N } + m \bar { M } } \biggl [ \| \hat { \eta } - \hat { \theta } \| ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { X _ { i j } ( N _ { i } - X _ { i j } ) } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } ( N _ { i } - 1 ) } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { G _ { i j } ( M _ { i } - G _ { i j } ) } { m ^ { 2 } \bar { M } ^ { 2 } ( M _ { i } - 1 ) } \biggr ] .
\mathrm { C _ { \mathrm { { s c a } , \mathrm { { e x t } , \mathrm { { a b s } } } } } \propto | \ a l p h a ( \mathbf { E } _ { \mathrm { { i n c } } } , \ o m e g a , \mathbf { k } _ { \mathrm { { i n c } } } ) | ^ { 2 } , }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { X } } & { = } & { | \psi _ { m } ^ { \prime } | ^ { 2 } } \\ & { \propto } & { \sum _ { { j , k , l _ { 1 } , l _ { 2 } } \atop { j + k + l _ { 1 } + l _ { 2 } = m } } s _ { j , k , l _ { 1 } , l _ { 2 } } \, \left[ \partial _ { u } ^ { k + l _ { 1 } } \partial _ { v } ^ { j + l _ { 2 } } \psi _ { o } ^ { \prime } \right] \; \left[ \partial _ { u } ^ { k + l _ { 2 } } \partial _ { v } ^ { j + l _ { 1 } } { \psi _ { o } ^ { \prime } } ^ { * } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( t ^ { \prime } , t ) } & { = \frac { 3 } { 2 } J ^ { 2 } G ( t ^ { \prime } , t ) ^ { 3 } ~ , } \\ { \kappa ( t ^ { \prime } , t ) } & { = - 3 J ^ { 2 } R ( t , t ^ { \prime } ) G ( t ^ { \prime } , t ) ^ { 2 } ~ , } \\ { \Sigma ( t ^ { \prime } , t ) } & { = - \frac { 3 } { 2 } J ^ { 2 } G ( t ^ { \prime } , t ) \Big [ 2 R ( t ^ { \prime } , t ) R ( t , t ^ { \prime } ) - 3 G ( t ^ { \prime } , t ) g ( t ^ { \prime } , t ) \Big ] ~ . } \end{array}
\textrm { d } Y _ { t } ^ { j } = \sqrt { 2 \nu } 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \cdot \textrm { d } B _ { t } - 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \left( A _ { k } ^ { j } W _ { \varepsilon } ^ { k } + g _ { \varepsilon } ^ { j } \right) ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \textrm { d } t .
\mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \lambda _ { 3 , 4 } ) \approx \pm \left( \frac { \omega _ { M } ^ { 2 } } { \omega _ { C } } + \frac { \omega _ { A } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { C } } \right) \approx \pm \frac { \omega _ { M } ^ { 2 } } { \omega _ { C } } \, \left( 1 + \frac { \omega _ { A } ^ { 2 } } { \omega _ { M } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 }
\left( \begin{array} { l } { 1 . 0 0 \pm 0 . 1 1 } \\ { 2 . 0 8 \pm 0 . 1 1 } \\ { 1 . 7 7 \pm 0 . 2 1 } \\ { 2 . 1 4 \pm 0 . 1 1 } \\ { 1 . 3 8 \pm 0 . 1 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \zeta ( \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } - \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } ) } & { { } = \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } \nabla ^ { 2 } \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } - K \nabla \delta \phi _ { \omega } - \phi _ { 0 } \nabla P _ { \omega } + \vec { F } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } } \\ { \zeta ( \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } - \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } ) } & { { } = \eta ^ { \mathrm { s } } \nabla ^ { 2 } \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } - ( 1 - \phi _ { 0 } ) \nabla P _ { \omega } + \vec { F } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } } \\ { i \omega \delta \phi _ { \omega } } & { { } = \phi _ { 0 } \nabla \cdot \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } = - ( 1 - \phi _ { 0 } ) \nabla \cdot \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } } \end{array}
u _ { 5 } ^ { ( v K d V ) } = 6 \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( x + \frac { 4 } { 5 } e ^ { - \frac { t } { 2 } } ( \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( t ) - 2 \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( t ) ) \right] .
\rho _ { \mu } ( x ) = \rho _ { \nu } ( x ) \frac { q ^ { C ( \mu ) / 2 } + \epsilon ( \mu ) \epsilon ( \nu ) x q ^ { C ( \nu ) / 2 } } { x q ^ { C ( \mu ) / 2 } + \epsilon ( \mu ) \epsilon ( \nu ) q ^ { C ( \nu ) / 2 } } , ~ ~ ~ ~ \forall \mu \neq \nu .
\begin{array} { r l r } & { } & { \nu _ { k l } \left( u _ { k l } \right) } \\ & { = } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } \, n _ { l } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } \, u _ { k l } ^ { 3 } } \, \left[ \ln \left( \frac { u _ { k l } ^ { 2 } + B } { B } \right) - \frac { u _ { k l } ^ { 2 } } { u _ { k l } ^ { 2 } + B } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Delta ( { i + p } ) } & { = \Delta ( i ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } i \not \equiv - 1 \mathrm { ~ o r ~ } 0 \mod p , } \\ { \Delta ( { j - 1 } ) + \Delta ( { j } ) } & { = 0 } & & { \forall j \in \{ - N + 1 , \ldots , N - 1 \} \mathrm { ~ w i t h ~ } p | j , } \\ { \Delta ( { p - 1 - i } ) } & { = \Delta ( i ) } & & { \forall i = 1 , \dots , p - 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \mathcal { E } _ { r } , \, \mathcal { E } _ { r , * } } & { : = } & & { \left( \begin{array} { l l } { \frac { u _ { 1 } u _ { 2 } z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } \left( \mathrm { i } u _ { 1 } u _ { 2 } \mathrm { I m } \, z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \pm \Psi \right) } & { - \frac { z _ { 1 } u _ { 1 } } { m _ { 1 } } \left( \mathrm { i } \mathrm { I m } \, z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \pm \Psi \right) } \\ { - \frac { \bar { z } _ { 2 } u _ { 2 } } { m _ { 2 } } \left( \mathrm { i } \mathrm { I m } \, z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \pm \Psi \right) } & { \mathrm { i } u _ { 1 } u _ { 2 } \mathrm { I m } \, z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \pm \Psi } \end{array} \right) } \\ { \mathcal { E } _ { l } , \, \mathcal { E } _ { l , * } } & { : = \frac { 1 } { M _ { 1 } ^ { * } } } & & { \left( \begin{array} { l l } { \frac { \bar { u } _ { 1 } \bar { u } _ { 2 } z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } } { \bar { m } _ { 1 } \bar { m } _ { 2 } } \left( \mathrm { i } \bar { u } _ { 1 } \bar { u } _ { 2 } \mathrm { I m } \, z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \pm \bar { \Psi } \right) } & { - \frac { z _ { 1 } \bar { u } _ { 1 } } { \bar { m } _ { 1 } } \left( \mathrm { i } \mathrm { I m } \, z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \pm \bar { \Psi } \right) } \\ { - \frac { \bar { z } _ { 2 } \bar { u } _ { 2 } } { \bar { m } _ { 2 } } \left( \mathrm { i } \mathrm { I m } \, z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \pm \bar { \Psi } \right) } & { \mathrm { i } u _ { 1 } u _ { 2 } \mathrm { I m } \, z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \pm \bar { \Psi } } \end{array} \right) \frac { 1 } { M _ { 2 } ^ { * } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { + } } & { = } & { \sum _ { i , \, j } d _ { i } \mathcal { E } _ { i } ^ { \ast } ( \omega - H + \omega _ { 0 } ) ^ { - 1 } d _ { j } \mathcal { E } _ { j } , } \\ { \Omega _ { - } } & { = } & { \sum _ { i , \, j } d _ { i } \mathcal { E } _ { i } ( - \omega - H + \omega _ { 0 } ) ^ { - 1 } d _ { j } \mathcal { E } _ { j } ^ { \ast } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } c } & { = \boldsymbol \nabla \cdot \Bigl \{ M c \boldsymbol \nabla \bigl [ \mu _ { 0 } ( c ) + \chi _ { s } \, s + \chi _ { p } \, p \bigr ] \Bigr \} \, , } \\ { \partial _ { t } s } & { = D \nabla ^ { 2 } s - k _ { 1 } c s + k _ { 2 } p + \Lambda \chi _ { s } \boldsymbol \nabla \cdot ( s \boldsymbol \nabla c ) \, , } \\ { \partial _ { t } p } & { = D \nabla ^ { 2 } p + k _ { 1 } c s - k _ { 2 } p + \Lambda \chi _ { p } \boldsymbol \nabla \cdot ( p \boldsymbol \nabla c ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { d } } & { = \frac { d } { | \mathbb { S } _ { d - 1 } | } , \quad n = \frac { 2 } { \gamma - 1 } - d , \quad \mathrm { a n d } \quad c = \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \right) ^ { - \frac { 1 } { \gamma - 1 } } \frac { \Gamma \left( \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \right) } { \pi ^ { \frac d 2 } \Gamma ( \frac n 2 + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \chi } _ { + } ^ { [ j ] } ( \mathbf { k } , t ) = ~ } & { { } 2 \Theta [ ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } ) \cdot \mathbf { k } _ { 0 } ] \hat { \chi } ( \mathbf { k } + j \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j \beta \omega _ { 0 } t } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } = } & { { } - ( r + \gamma ) S I } \\ { \frac { d I } { d t } = } & { { } ( r + \gamma ) S I - \gamma I } \\ { \frac { d R } { d t } = } & { { } \gamma I } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { J _ { y } \, \, \, } & { = } & { 0 , } \\ { J _ { y } ^ { ( i ) } } & { = } & { l \frac { \varepsilon _ { 0 } c t _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 0 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } | f ( \rho ) | ^ { 2 } \rho d \rho , } \\ { J _ { y } ^ { ( e ) } } & { = } & { - l \frac { \varepsilon _ { 0 } c t _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 0 } } \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } | f ( \rho ) | ^ { 2 } \rho d \rho , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde m _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( s \vert \mu , \lambda ) } & { \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s x } \, m _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( x \vert \mu , \lambda ) \, d x } \\ & { = s ^ { \alpha \gamma - \beta } \frac { \lambda ^ { \mu } } { \Gamma ( \mu ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, t ^ { \gamma + \mu - 1 } e ^ { - ( \lambda + s ^ { \alpha } ) t } \, d t } \\ & { = \lambda ^ { \mu } \frac { \Gamma ( \gamma + \mu ) } { \Gamma ( \mu ) } \frac { s ^ { \alpha \gamma - \beta } } { ( \lambda + s ^ { \alpha } ) ^ { \gamma + \mu } } } \\ { \implies \; \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { n } { \mu } \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { e ^ { - s x } m _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( x \vert \frac { \mu } { n } , \lambda ) \, d x = \Gamma ( \gamma ) \frac { s ^ { \alpha \gamma - \beta } } { ( \lambda + s ^ { \alpha } ) ^ { \gamma } } } \end{array}
\mathrm { d } _ { H a u s s } \left( \mathbf { n } _ { \infty } ^ { \Phi } ( \Gamma _ { \ell + 1 } ^ { j ^ { \prime } } ) , \mathrm { R o t } _ { \ell + 1 } ^ { j ^ { \prime } } \circ ( \mathrm { R o t } _ { \ell + 1 } ^ { 0 } ) ^ { - 1 } \circ \mathbf { n } _ { \infty } ^ { \Phi } ( \Gamma _ { \ell + 1 } ^ { 0 } ) \right) \leq \frac { 4 \pi \mathrm { L i p } _ { \rho } ( \mathbf { F } _ { \ell } ^ { \Phi } ) } { 7 \Omega _ { \ell + 1 } } ,
v _ { \mathrm { p } } = { \frac { E } { p } } = { \frac { m c ^ { 2 } } { m v } } = { \frac { \gamma m _ { 0 } c ^ { 2 } } { \gamma m _ { 0 } v } } = { \frac { c ^ { 2 } } { v } } = { \frac { c } { \beta } }
\begin{array} { c } { { P ^ { s } ( b , c ) \, \vec { \hat { U } } _ { \upsilon } ^ { ( s ) \, a } ( b , c ) = \hat { P } ^ { ( s ) \, a } ( b , c ) \, \vec { \hat { U } } _ { \upsilon } ^ { ( s ) \, a } ( b , c ) = \vec { \hat { U } } _ { \upsilon } ^ { ( s ) \, a } ( b , c ) \, ; } } \\ { { \hat { P } ^ { ( s ) \, f } ( b , c ) \, \vec { \hat { U } } _ { \upsilon } ^ { ( s ) \, a } ( b , c ) = \vec { 0 } , \qquad \quad a \neq f . } } \end{array}
S _ { b o s } \, = \, \int d ^ { 3 } x \, \left( \pm \frac { i } { 2 } A _ { \mu } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } \, - \, \frac { i } { \sqrt { 4 \pi } } s _ { \mu } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } \right) ~ ~ ~ ,
G ^ { \prime } ( y ) y _ { 1 } : = \int _ { \Omega } \frac { \partial L } { \partial y } ( x , y ( x ) ) y _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x \quad \mathrm { a n d } \quad G ^ { \prime \prime } ( y ) y _ { 1 } y _ { 2 } : = \int _ { \Omega } \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial y ^ { 2 } } ( x , y ( x ) ) y _ { 1 } ( x ) y _ { 2 } ( x ) \, \mathrm { d } x
\begin{array} { r l } { E _ { I } ( \varepsilon _ { F } \otimes ( \alpha _ { 1 } \wedge \alpha _ { 2 } \wedge \alpha _ { 3 } \wedge \alpha _ { 4 } ) ) } & { = \varepsilon _ { F } \otimes ( - \alpha _ { 1 } \wedge \alpha _ { 2 } \wedge \alpha _ { 4 } + \alpha _ { 1 } \wedge \alpha _ { 3 } \wedge \alpha _ { 4 } + \alpha _ { 1 } \wedge \alpha _ { 2 } \wedge \alpha _ { 4 } ) } \\ & { = \varepsilon _ { F } \otimes ( \alpha _ { 1 } \wedge \alpha _ { 3 } \wedge \alpha _ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { k l } ^ { i } } & { \approx } & { \epsilon _ { f } ^ { k l } \, \Delta N _ { l } ^ { i } \, \frac { 1 - e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, \Delta R ^ { i } } } { 1 - \frac { n _ { l } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } \, e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, \Delta R ^ { i } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \bf ~ E } \left[ D \! \! \left. \left. \left. \left( p _ { \tilde { K } ^ { m _ { 1 } } \tilde { K } ^ { m _ { 2 } } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } \right| \right| p _ { V ^ { m _ { 1 } } V ^ { m _ { 2 } } } \right| p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } \right) \right] } \\ & { \leq \sum _ { \scriptstyle ( a , k _ { 1 } ^ { n } , k _ { 2 } ^ { n } ) \atop { \scriptstyle \in { \cal M } _ { \cal A } ^ { ( n ) } \times { \cal X } _ { 1 } ^ { n } \times { \cal X } _ { 2 } ^ { n } } } p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } K ^ { n } } ( a , k _ { 1 } ^ { n } , k _ { 2 } ^ { n } ) } \\ & { \quad \times \log \left[ 1 + ( | { \cal X } _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } | - 1 ) p _ { K _ { 1 } ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( k _ { 1 } ^ { n } | a ) \right. } \\ & { \quad + ( | { \cal X } _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } | - 1 ) p _ { K _ { 2 } ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( k _ { 2 } ^ { n } | a ) } \\ & { \left. \quad + ( | { \cal X } _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } | - 1 ) ( | { \cal X } _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } | - 1 ) p _ { K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( k _ { 1 } ^ { n } , k _ { 2 } ^ { n } | a ) \right] . } \end{array}
\Delta ( a _ { 1 } \overline { { D } } + a _ { 2 } \overline { { E } } ) = \Sigma ( \Gamma ( U ) _ { \mathbb { N } \vec { a } } ) \cap ( \mathbb { R } ^ { d } \times \{ \vec { a } \} ) = \Delta ( U ) _ { \mathbb { R } \vec { a } } \times ( \mathbb { R } ^ { d } \times \{ \vec { a } \} ) = \Delta ( U ) \cap ( \mathbb { R } ^ { d } \times \{ \vec { a } \} )
u _ { n } = \displaystyle { \sum _ { k = 1 } ^ { q _ { i } + r _ { i } } \alpha _ { n } ^ { k } e _ { k } ^ { ( i ) } ( x _ { n } ) } \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } u ; \quad v _ { n } = \displaystyle { \sum _ { l = 1 } ^ { q _ { j } + r _ { j } } \beta _ { n } ^ { l } e _ { l } ^ { ( j ) } ( x _ { n } ) } \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } v
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \widetilde { \mathbf { A } } } \; } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \log ( \widetilde { A } _ { i } ) } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { 0 \leq \widetilde { A } _ { i } \leq \widetilde { X } _ { i } , \; \forall i \quad \sum _ { i = 1 } ^ { N } \widetilde { A } _ { i } \leq B . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { i } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } = 1 | { \bf x } ^ { t } \right) } & { = x _ { i } ^ { t } + \left( 1 - x _ { i } ^ { t } \right) \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \prod _ { j } \left( 1 - \lambda _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) \right] , } \\ { W _ { i } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } = 0 | { \bf x } ^ { t } \right) } & { = \left( 1 - x _ { i } ^ { t } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \prod _ { j } \left( 1 - \lambda _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial D _ { 1 } ^ { r } } { \partial r } \right] - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } D _ { 1 } ^ { r } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } D _ { 1 } ^ { \phi } = D _ { 1 } ^ { r } + 2 \nu g K _ { 1 } ( r ) r , } \\ & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial D _ { 1 } ^ { \phi } } { \partial r } \right] - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } D _ { 1 } ^ { \phi } - \frac { 2 } { r ^ { 2 } } D _ { 1 } ^ { r } = D _ { 1 } ^ { \phi } . } \end{array}