harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \mathbf { k } , \mathrm { T M } } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Big ( e ^ { i \phi } \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } + e ^ { - i \phi } \hat { a } _ { \mathbf { k } , - } \Big ) , } \\ { \hat { a } _ { \mathbf { k } , \mathrm { T E } } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \Big ( i e ^ { i \phi } \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } - i e ^ { - i \phi } \hat { a } _ { \mathbf { k } , - } \Big ) . } \end{array}
\mathrm { M D } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ; \alpha , \beta ) \, f ( y ; \alpha , \beta ) \, | x - y | \, d x \, d y = \left( { \frac { 4 } { \alpha + \beta } } \right) { \frac { B ( \alpha + \beta , \alpha + \beta ) } { B ( \alpha , \alpha ) B ( \beta , \beta ) } }
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = \nabla \cdot [ \Theta ( x - t , y ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) ] , } \\ { \nabla ^ { 2 } p _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) } & { { } = \nabla \cdot [ \Theta ( x - t , y ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) ] , } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { H } { 2 } \int \left( \hat { x } _ { t } ^ { 2 } + \hat { y } _ { t } ^ { 2 } - 2 \frac { \Omega } { a } \hat { x } _ { t } \hat { y } ^ { 2 } - \frac { H B } { J ( \hat { x } , \hat { y } ) } \right) d s d n .
r ( t ) = \operatorname* { s u p } \big \{ \lVert \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { c } \rVert \, \, s . t . \, \, \mathbf { x } \in \Omega _ { s } \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, \rho ( t , \mathbf { x } ) > \sigma _ { r } \big \}
\left. \frac { \partial } { \partial a _ { \ell } } \langle \lambda _ { \mathrm { s } } \rangle \right| _ { g _ { j } = 0 } = \left. \frac { \partial } { \partial a _ { \ell } } \left\langle \frac 1 N \, \mathrm { t r } \, \frac { 1 } { z - \phi } \right\rangle \right| _ { g _ { j } = 0 } = 0
\widetilde { \varphi } ( \mathbf { r } , t ) = \int _ { - \infty } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \; \widetilde { G } ( \mathbf { r } , t ; \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \, \widetilde { s } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ,
H _ { - 1 } = h + \sum _ { i } \frac { N _ { - 1 } z _ { 0 } ^ { 4 } z ^ { 4 } } { [ ( \vec { x } - \vec { x } _ { i } ) ^ { 2 } + ( \vec { z } - \vec { z } _ { i } ) ^ { 2 } ] ^ { 4 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { | \mathbf { r } + \mathbf { p } ( s - t _ { s } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( t _ { s } ) | \approx | \mathbf { p } _ { m a x } ( s - t _ { 0 } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( t _ { 0 } ) } \\ & { + } & { { \cal O } ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } ) | , } \end{array}
f ( x _ { 1 } ) = \int _ { X _ { 2 } } k ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) g ( x _ { 2 } ) d x _ { 2 } = \langle k ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , g ( x _ { 2 } ) \rangle _ { x _ { 2 } \in X _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \big ( T _ { m _ { t } } ^ { - 1 } \circ P _ { t } \circ ( T _ { m _ { \mu _ { 0 } } } , T _ { m _ { \mu _ { 1 } } } ) \big ) ( x , y ) } & { = \frac { ( 1 - t ) \big [ m _ { \mu _ { 0 } } ( x - x _ { 0 } ) + x _ { 0 } \big ] + t \big [ m _ { \mu _ { 1 } } ( y - x _ { 0 } ) + x _ { 0 } \big ] - x _ { 0 } } { ( 1 - t ) m _ { \mu _ { 0 } } + t m _ { \mu _ { 1 } } } + x _ { 0 } } \\ & { = \frac { ( 1 - t ) m _ { \mu _ { 0 } } x + t m _ { \mu _ { 1 } } y } { ( 1 - t ) m _ { \mu _ { 0 } } + t m _ { \mu _ { 1 } } } } \\ & { = ( 1 - \lambda _ { t } ) x + \lambda _ { t } y } \\ & { = P _ { \lambda _ { t } } ( x , y ) } \end{array}
\mathcal { B } \left( \boldsymbol { p } ^ { ( N , G ) } \right) \stackrel { N \to \infty } { \longrightarrow } \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { G } { 2 G - 1 } \left( 1 - H _ { 1 / G - 1 } \right) , } & { \mathrm { f o r \; } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \quad } \\ { \displaystyle \frac { \pi ^ { 2 } - 6 } { 6 } , } & { \mathrm { f o r \; } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right.
\mathcal { A } \left( \theta ^ { \prime } , \phi \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \sin { \theta ^ { \prime } } \leq \operatorname* { m i n } \left( \frac { n _ { d } } { n } , \frac { \mathrm { N A } } { n } \right) } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r l } & { | d _ { 1 , 0 } ( \zeta , t ) | = e ^ { - \pi \nu _ { 1 } } , } & & { \zeta \in \mathcal { I } , \ t \geq 2 , } \\ & { | d _ { 1 , 1 } ( \zeta , k ) - \frac { \mathcal { P } ( \omega k _ { 4 } ) } { \mathcal { P } ( \omega ^ { 2 } k _ { 4 } ) } | \leq C | k - \omega k _ { 4 } | ( 1 + | \ln | k - \omega k _ { 4 } | | ) , } & & { \zeta \in \mathcal { I } , \ k \in \mathcal { X } _ { 1 } ^ { \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ^ { \left( e x t \right) \mu } } & { \sim } & { O \left( \frac { 1 } { \varepsilon } \right) , } \\ { A ^ { \left( p l \right) \mu } } & { \sim } & { O \left( \varepsilon ^ { k } \right) , k \geq 0 , } \\ { A ^ { \left( R R \right) \mu } } & { \sim } & { O \left( \varepsilon ^ { k _ { s } } \right) , k _ { s } > k . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { 1 } x } & { { } = 0 . 3 3 3 3 3 3 \ldots } \\ { 1 0 x } & { { } = 3 . 3 3 3 3 3 3 \ldots \quad } & { { \mathrm { ( m u l t i p l y i n g ~ e a c h ~ s i d e ~ o f ~ t h e ~ a b o v e ~ l i n e ~ b y ~ 1 0 ) } } } \\ { 9 x } & { { } = 3 } & { { \mathrm { ( s u b t r a c t i n g ~ t h e ~ 1 s t ~ l i n e ~ f r o m ~ t h e ~ 2 n d ) } } } \\ { x } & { { } = { \frac { 3 } { 9 } } = { \frac { 1 } { 3 } } } & { { \mathrm { ( r e d u c i n g ~ t o ~ l o w e s t ~ t e r m s ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } a _ { 1 } } { \mathrm { d } z } } & { { } = } & { - j \beta a _ { 1 } - j \kappa _ { 1 , 2 } a _ { 2 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } a _ { i } } { \mathrm { d } z } } & { { } = } & { - j \kappa _ { i , i - 1 } a _ { i - 1 } - j \beta a _ { i } - j \kappa _ { i , i + 1 } a _ { i + 1 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } a _ { N } } { \mathrm { d } z } } & { { } = } & { - j \kappa _ { N , N - 1 } a _ { N - 1 } - j \beta a _ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } \int _ { \Omega } | \nabla \mathbf { F } _ { m } \boldsymbol { \eta } _ { m } - \nabla \mathbf { F } \mathbf { u } | ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } \int _ { \Omega } | \nabla ( \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } ) \boldsymbol { \eta } _ { m } + \nabla \mathbf { F } ( \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } | | \nabla ( \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } ) | | _ { L ^ { 3 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C \int _ { 0 } ^ { T } | \omega | ^ { 2 } | | \nabla \mathbf { F } | | _ { L ^ { 3 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } ^ { 2 } | | \nabla ( \mathbf { F } _ { m } - \mathbf { F } ) | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 3 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { + C | | \omega | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ) } ^ { 2 } | | \nabla \mathbf { F } | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 3 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) ) } ^ { 2 } | | \boldsymbol { \eta } _ { m } - \mathbf { u } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } \to 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { t } + u u _ { x } + v u _ { y } + w u _ { z } = - \frac { 1 } { \rho } p _ { x } + \nu ( u _ { x x } + u _ { y y } + u _ { z z } ) , } \\ & { v _ { t } + u v _ { x } + v v _ { y } + w v _ { z } = - \frac { 1 } { \rho } p _ { y } + \nu ( v _ { x x } + v _ { y y } + v _ { z z } ) , } \\ & { w _ { t } + u w _ { x } + v w _ { y } + w w _ { z } = - \frac { 1 } { \rho } p _ { z } + \nu ( w _ { x x } + w _ { y y } + w _ { z z } ) , } \end{array}
\tilde { G } ( k ) = \left( - i { \frac { 1 + n ( E _ { k } ) } { ( E _ { k } { - } i \Gamma _ { k } ) ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } } } + i { \frac { n ( E _ { k } ) } { ( E _ { k } { + } i \Gamma _ { k } ) ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) \times \left( 1 + { \cal O } ( \lambda ^ { 2 } ) \right) \; .
\iota ( c _ { s } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } \left[ \left( \frac { k _ { a } c _ { s } } { k _ { c } c _ { e } ( c _ { s , m a x } - c _ { s } ) } \right) ^ { \omega } \right] , } & { \omega > \frac { \alpha _ { c } } { \alpha _ { a } + \alpha _ { c } } , \quad \textrm { a s } \ c _ { s } \to 0 , } \\ { \mathcal { O } \left[ \left( \frac { k _ { c } c _ { e } ( c _ { s , m a x } - c _ { s } ) } { k _ { a } c _ { s } } \right) ^ { \gamma } \right] , } & { \gamma > \frac { \alpha _ { a } } { \alpha _ { a } + \alpha _ { c } } , \quad \textrm { a s } \ c _ { s } \to c _ { s , m a x } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { H _ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { n } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , . . . , \mathbf { r } _ { n } ) \equiv } & { \ \langle \hat { \rho } _ { \alpha _ { 1 } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \times . . . \times \hat { \rho } _ { \alpha _ { n } } ( \mathbf { r } _ { n } ) \rangle } \\ { = } & { \frac { \delta ^ { n } \ln ( \Xi ) } { \delta \ln ( z _ { \alpha _ { 1 } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) ) . . . \delta \ln ( z _ { \alpha _ { n } } ( \mathbf { r } _ { n } ) ) } , } \end{array}
\frac { V } { 1 0 ^ { 1 0 } \: \mathrm { G e V } } = \left( 0 . 2 1 \div \underline { { { 2 . 0 } } } \right) \: \left( \frac { \mathrm { s e c } } { \tau } \right) ^ { 1 / 4 } \; \; \; .
\left. S ^ { - 1 } ( \tilde { p } ; \zeta ) \right| _ { \tilde { p } ^ { 2 } = \zeta ^ { 2 } } ^ { \mu = 0 } = S _ { 0 } ^ { - 1 } ( \tilde { p } ; \zeta ) = i \gamma \cdot p + m _ { R } ( \zeta ) \, ,
\delta S _ { C S \perp } = \frac { 1 } { 4 \kappa ^ { 2 } \mu } \int d ^ { 3 } x \epsilon ^ { \alpha \beta 2 } \delta g _ { \beta \gamma } \nabla _ { \alpha } \nabla ^ { \delta } ( \nabla _ { \delta } V ^ { \gamma } - \nabla ^ { \gamma } V _ { \delta } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \tau _ { e l } } & { { } \equiv \operatorname* { l i m } _ { L \to 0 } \tau _ { + } = \frac { L } { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } , } \\ { \tau _ { e f f } } & { { } \equiv \operatorname* { l i m } _ { L \to 0 } \tau _ { - } = \tau _ { 0 } \frac { 1 + \beta + R _ { \ell } / R _ { 0 } } { 1 + \beta + R _ { \ell } / R _ { 0 } + ( 1 - R _ { \ell } / R _ { 0 } ) \mathscr { L } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln \xi _ { a } ( A ) } & { = } & { - 6 . 7 9 7 4 3 - 1 . 2 0 2 1 4 \, \ln A } \\ & { } & { + 0 . 3 8 4 0 7 8 \, \ln ^ { 2 } A , } \\ { \ln \eta _ { a } ( A ) } & { = } & { - 1 1 . 2 4 2 3 + 0 . 6 6 1 7 1 1 \, \ln A } \\ & { } & { + 0 . 1 2 8 0 5 5 \, \ln ^ { 2 } A , } \\ { \ln \xi _ { b } ( A ) } & { = } & { - 6 . 7 8 3 8 6 - 1 . 2 2 4 9 5 \, \ln A } \\ & { } & { + 0 . 3 8 7 1 9 \, \ln ^ { 2 } A , } \\ { \ln \eta _ { b } ( A ) } & { = } & { - 1 0 . 6 9 2 4 + 0 . 6 7 3 4 8 3 \, \ln A } \\ & { } & { + 0 . 1 2 5 2 2 9 \, \ln ^ { 2 } A . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf \widehat { \mathbfcal { S } } } = \left( \begin{array} { c } { s _ { 0 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) } \\ { \mathcal { P } s _ { 1 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega | \mathcal { P } ) } \\ { \mathcal { P } s _ { 2 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega | \mathcal { P } ) } \\ { \mathcal { P } s _ { 3 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega | \mathcal { P } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta } & { = \eta _ { 0 } \; \exp \Biggl \{ ( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 ) \times \bigg [ - 1 + \left( 1 + 5 . 1 \times 1 0 ^ { - 9 } p \right) ^ { \frac { \alpha } { 5 . 1 \times 1 0 ^ { - 9 } \left( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 \right) } } \left( \frac { T - 1 3 8 } { T _ { 0 } - 1 3 8 } \right) ^ { - \frac { \beta ( T _ { 0 } - 1 3 8 ) } { \left( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 \right) } } \bigg ] \Biggl \} , } \\ { \eta ^ { * } } & { = \frac { \eta \left( \tau _ { e } / \tau _ { 0 } \right) } { \sinh { \left( \tau _ { e } / \tau _ { 0 } \right) } } , } \\ { \rho } & { = \rho _ { 0 } \left( 1 + \frac { 0 . 6 \times 1 0 ^ { - 9 } p } { 1 + 1 . 7 \times 1 0 ^ { - 9 } p } \right) \left[ 1 - 0 . 0 0 0 6 5 \left( T - T _ { 0 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } & { \sim \frac { \iota \beta \langle S _ { 1 2 } \rangle k _ { 1 } | R _ { 2 } | \, \, e ^ { - k _ { \perp } | R _ { 2 } | } } { 2 } \mathrm { ~ f o r ~ } k _ { 1 } , k _ { 3 } \to \infty \mathrm { ~ a n d ~ } R _ { 2 } \rightarrow 0 , } \\ { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } = \frac { d \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } } { d R _ { 2 } } } & { = 0 \mathrm { ~ a t ~ } R _ { 2 } = - s \, R e _ { c } ^ { 1 / 2 } , R _ { 2 } = ( 1 - s ) \, R e _ { c } ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\mathcal { K } = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \Phi } _ { 1 1 } ^ { \bar { \mathbf { B } } \bar { \mathbf { B } } } } & { \boldsymbol { \Phi } _ { 1 2 } ^ { \bar { \mathbf { B } } \mathbf { B } } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \boldsymbol { \Phi } _ { 2 2 } ^ { \mathbf { B } \mathbf { B } } } \end{array} \right] ,
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { t } + r u - \nabla u \cdot \alpha = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { D } _ { u } ^ { t , r , \lambda } ( y _ { r } , \rho y _ { r } ) \varphi _ { r } ( y _ { r } ) d y _ { r } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { D } _ { u } ^ { t , r , \lambda } ( 0 , y _ { \lambda } ) \varphi _ { \lambda } ( y _ { \lambda } ) d y _ { \lambda } } \\ { u _ { \lambda \lambda } ( t , r , \lambda _ { L } ) = 0 , \u _ { \lambda \lambda } ( t , r , 0 ) = 0 , \u _ { r r } ( t , 0 , \lambda ) = 0 , \u _ { r r } ( t , r _ { N } , \lambda ) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { h _ { k } ( x ) } & { = \sigma \big ( \frac { k } { \delta } ( x - k + \delta ) \big ) - \sigma \big ( \frac { k } { \delta } ( x - k ) \big ) + \sigma \big ( \frac { k } { \delta } ( - x + k + 1 ) \big ) - \sigma \big ( \frac { k } { \delta } ( - x + k + 1 - \delta ) \big ) - k } \\ & { = 0 - 0 + \underbrace { \frac { k } { \delta } ( - x + k + 1 ) - \frac { k } { \delta } ( - x + k + 1 - \delta ) } _ { = k } - k = 0 . } \end{array}
\tilde { l } _ { i } = ( U _ { \tilde { l } } ^ { * } ) _ { a i } \tilde { l } _ { L a } + ( U _ { \tilde { l } } ^ { * } ) _ { ( a + 3 ) i } \tilde { l } _ { R a } , \quad \quad i = 1 , . . . , 6 ; \; a = e , \mu , \tau .
\begin{array} { r l } { 4 \dim \cal F _ { \lambda , n \omega _ { 1 } } \leq } & { ( n ) ( n + 1 ) [ ( \lambda _ { 1 } + 2 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 ) + ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 1 ) ] } \\ & { - ( \lambda _ { 1 } + 2 ) ( \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) ( n - 1 ) n + 2 ( \lambda _ { 1 } - n + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + n + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) } \\ { \leq } & { ( n ) ( n + 1 ) [ 3 ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) - \lambda _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } + 2 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) ] } \\ & { - ( \lambda _ { 1 } + 2 ) ( \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) ( n - 1 ) n + 2 ( \lambda _ { 1 } - n + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + n + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) ( \mathrm { u s i n g } \ ) } \\ { \leq } & { ( n ) ( n + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) [ 3 ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) - \lambda _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } + 2 ) - \lambda _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } + 2 ) ] } \\ & { + 2 ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) [ ( \lambda _ { 1 } + 2 ) \lambda _ { 2 } n + ( \lambda _ { 1 } - n + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + n + 1 ) ] } \\ { \leq } & { ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) n ( n + 1 ) [ ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) + 2 ] } \\ & { + 2 ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) [ n ( \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } + 2 \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 1 } + 1 ) - n ( n + 1 ) + ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ] } \\ { \leq } & { ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) n ( n + 1 ) [ ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ] + 2 ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) [ ( n + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ] } \\ { \leq } & { ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 4 \dim V ( \lambda ) . \dim V ( \mu _ { 1 } \omega _ { 1 } ) , } \end{array}
\mu _ { - } u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } + u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } + \mu _ { + } u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } = 2 u _ { j } ^ { n }
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { K } _ { \P } ^ { n , h } ) _ { i , j } } & { = ( \mathbf { K } _ { c , \P } ^ { n , h } ) _ { i , j } + ( \mathbf { K } _ { s , \P } ^ { n , h } ) _ { i , j } = } \\ & { = \int _ { \P } H ^ { n } \Pi _ { { P } , k - 1 } ^ { 0 } \nabla \varphi _ { i } \cdot \Pi _ { { P } , k - 1 } ^ { 0 } \nabla \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } \, + \, \bar { H } _ { h } ^ { n } \mathcal { S } _ { \P } \left( ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } ) \varphi _ { i } , ( I - \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } ) \varphi _ { j } \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { n ! } \, \left( \frac { d ^ { n } \, f } { d \, z ^ { n } } \right) _ { z \to 0 + } \, = \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \, t \ e ^ { - t } \, \left[ \frac { 1 } { n ! } \, \left( t \frac { d } { d \, s } \right) ^ { n } \, b \, ( s ) \right] _ { s = 0 } \, = \, \frac { a _ { n } } { n ! } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \, t \ e ^ { - t } \, t ^ { n } \, \, ,
\begin{array} { r l r } { \| v ( \cdot , z _ { 0 } ) \| _ { C ^ { 0 } , S } \leq \delta \leq \operatorname* { i n f } _ { S } W _ { \epsilon } ( \cdot , z _ { 0 } ) ; } & { \ } & { \| v ( \cdot , z _ { j } ) \| _ { C ^ { 0 } , S } \leq z _ { j } ^ { \mu _ { 1 } - \beta / 2 } / j \leq \operatorname* { i n f } _ { S } W _ { \epsilon } ( \cdot , z _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } u ( t ) d t } \\ { u } & { { } = e ^ { - t / { \tau _ { e c o n } } } \left[ - \alpha \psi _ { i } - \beta \psi _ { s } ( \kappa - \kappa ^ { * } ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\rho _ { m _ { 0 } \rightarrow m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { D } = \sum _ { j } h _ { j n } \rho _ { m _ { 0 } \rightarrow m _ { 1 j } + m _ { 2 j } } ^ { D - n } / \Omega _ { n } R ^ { n } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { 3 } : \quad \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \psi } , \boldsymbol { \tau } , \boldsymbol { \upsilon } } } & { \quad \Re \left\{ \boldsymbol { \psi } ^ { { H } } \mathbf { b } \right\} - \boldsymbol { \psi } ^ { { H } } \mathbf { Q } \boldsymbol { \psi } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \boldsymbol { \psi } ^ { { H } } \mathbf { M } \boldsymbol { \psi } + \Re \left\{ \boldsymbol { \psi } ^ { { H } } \mathbf { N } \right\} \geq \gamma _ { p } \mathbf { E } + \mathbf { A } _ { 1 p } , } \\ & { \boldsymbol { \psi } ^ { { H } } \mathbf { M } _ { 0 } \boldsymbol { \psi } + \Re \left\{ \boldsymbol { \psi } ^ { { H } } \mathbf { N } _ { 0 } \right\} \geq \gamma _ { 0 } \mathbf { A } _ { 2 p } + \mathbf { A } _ { 1 c } , } \\ & { \boldsymbol { \psi } ^ { { H } } \boldsymbol { \Pi } \boldsymbol { \psi } \leq P _ { \mathrm { A } } ^ { \operatorname* { m a x } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left( A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } + A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right) \cap ( 4 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \right| } \\ & { \geqslant \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| + \operatorname* { m i n } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| \right) , 3 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 0 ( 4 ) } \right| , 3 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 2 ( 4 ) } \right| \right) - 3 , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \alpha ( Q ^ { 2 } ) } } = \beta _ { 0 } \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \, \ln \left( \frac { 1 } { \beta _ { 0 } \, \alpha ( Q ^ { 2 } ) } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { M _ { i } ( u _ { i } ) \rightarrow M ( u ) \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { \beta } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq \beta < \infty , } \\ & { } & { M _ { i } ( u _ { i } ) \rightarrow M ( u ) \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { \alpha } ( 0 , T ; L ^ { \beta } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq \alpha , \beta < \infty , } \\ & { } & { \sqrt { M ( _ { i } ( u _ { i } ) ) } \rightarrow \sqrt { M ( u ) } \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { \gamma } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq \gamma < \infty . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { x } & { = } & { 1 1 0 0 } & { . 1 { \overline { { 0 1 1 1 0 } } } \ldots } \\ { x \times 2 ^ { 6 } } & { = } & { 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 } & { . { \overline { { 0 1 1 1 0 } } } \ldots } \\ { x \times 2 } & { = } & { 1 1 0 0 1 } & { . { \overline { { 0 1 1 1 0 } } } \ldots } \\ { x \times ( 2 ^ { 6 } - 2 ) } & { = } & { 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 } \\ { x } & { = } & { 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 / 1 1 1 1 1 0 } \\ { x } & { = } & { ( 7 8 9 / 6 2 ) _ { 1 0 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int { \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } \, d x } & { { } = \int { \sqrt { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \theta } } \, ( a \sec ^ { 2 } \theta ) \, d \theta } \end{array}
\alpha _ { ( \cdot ) , ( \cdot ) } ^ { - 1 , 1 } = A _ { ( \cdot ) , ( \cdot ) } ^ { - 1 , 1 } + a A _ { ( \cdot ) , ( \cdot ) } ^ { 0 , 0 } + b B _ { ( \cdot ) , ( \cdot ) } ^ { 0 , 0 } + c B _ { ( \cdot ) , ( \cdot ) } ^ { - 1 , 1 } .
\begin{array} { r } { P _ { 0 , 0 } \! = \! \frac { 1 } { \mathrm { P r } \big [ E _ { t } = 0 \big ] } \! \Bigg [ \! \Big ( \! 1 \! - \! p \! + \! p { H } _ { 1 } \! \Big ) \pi _ { 0 , 0 } \! \! + \! \! \sum _ { n = 1 } ^ { N - 2 } \! \Big ( \! 1 \! - \! p \! - \! q \! + \! ( p + q ) { H } _ { 1 } \! \Big ) \pi _ { n , n } \! \! + \! \! \Big ( \! 1 \! - \! q \! + \! q { H } _ { 1 } \! \Big ) \pi _ { N \! - \! 1 , N \! - \! 1 } \! \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \sum _ { t _ { 1 } \in \hat { T } } a _ { t _ { 1 } } t _ { 1 } \right) \ast _ { \lambda } \left( \sum _ { t _ { 2 } \in \hat { T } } b _ { t _ { 2 } } t _ { 2 } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { t \in \hat { T } / \hat { H } } \left( \sum _ { t _ { 1 } \bmod \hat { H } = t } a _ { t _ { 1 } } t _ { 1 } \right) \right) \ast _ { \lambda } \left( \sum _ { t ^ { \prime } \in \hat { T } / \hat { H } } \left( \sum _ { t _ { 2 } \bmod \hat { H } = t ^ { \prime } } b _ { t _ { 2 } } t _ { 2 } \right) \right) } \\ & { = \sum _ { t \in \hat { T } / \hat { H } } \left( \sum _ { t ^ { \prime } \in \hat { T } / \hat { H } } \left( \sum _ { t _ { 1 } \bmod \hat { H } = t } \left( \sum _ { t _ { 2 } \bmod \hat { H } = t ^ { \prime } } \lambda ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) a _ { t _ { 1 } } b _ { t _ { 2 } } t _ { 1 } t _ { 2 } \right) \right) \right) } \\ & { = \sum _ { t \in \hat { T } / \hat { H } } \left( \sum _ { t ^ { \prime } \in \hat { T } / \hat { H } } \left( \sum _ { t _ { 1 } \bmod \hat { H } = t } \left( \sum _ { t _ { 2 } \bmod \hat { H } = t ^ { \prime } } \lambda ( t , t ^ { \prime } ) a _ { t _ { 1 } } b _ { t _ { 2 } } t _ { 1 } t _ { 2 } \right) \right) \right) } \\ & { = \sum _ { t \in \hat { T } / \hat { H } } \left( \sum _ { t ^ { \prime } \in \hat { T } / \hat { H } } \lambda ( t , t ^ { \prime } ) m _ { t , t ^ { \prime } } \left( \sum _ { t _ { 1 } \bmod \hat { H } = t } a _ { t _ { 1 } } t _ { 1 } , \sum _ { t _ { 2 } \bmod \hat { H } = t ^ { \prime } } b _ { t _ { 2 } } t _ { 2 } \right) \right) } \end{array}