harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in { D \cap G } } \mathbb { E } _ { x } [ | \tau _ { D } - \tau _ { G } | ^ { p } ] } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in { D \cap G } } \mathbb { E } _ { x } [ | \tau _ { D } - \tau _ { D \cap G } | ^ { p } ] } \\ & { \le C _ { p , D } \operatorname* { s u p } _ { x \in { D \setminus ( D \cap G ) } } ( d ( x , \partial D ) ) ^ { \beta _ { D } } } \\ & { = C _ { p , D } \operatorname* { s u p } _ { x \in D \setminus { G } } ( d ( x , \partial D ) ) ^ { \beta _ { D } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Pi \left( W _ { r } ^ { r } ( G , G _ { 0 } ) \leq ( 2 ^ { r } + 1 ) \epsilon ^ { r } \right) \geq \frac { \Gamma ( \gamma ) ( c _ { 0 } \gamma \pi ^ { d / 2 } ) ^ { D } } { ( 2 \Gamma ( d / 2 + 1 ) ) ^ { D } ( 2 D ) ^ { D - 1 } } \left( \frac { \epsilon } { 2 \bar { \theta } } \right) ^ { r ( D - 1 ) + d D } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \boldsymbol { q } , \boldsymbol { k } , \omega } ^ { \mathrm { i n d } , ( 1 ) } } & { = \frac { f _ { 0 } \left( \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } \right) - f _ { 0 } \left( \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } \right) } { \hbar \omega - \epsilon _ { \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } } + \epsilon _ { \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } } + \imath 0 } { U } _ { \boldsymbol { k } , \omega } ^ { \mathrm { e x t } } \, . } \end{array}
\tilde { \psi } ( x , t ) \approx \sqrt { \frac { 2 \pi } { t | S ^ { \prime \prime } ( \xi _ { 0 } ) | } } \exp \Big \{ i t S _ { x , t } ( \xi _ { 0 } ) + i \frac { \pi } { 4 } \operatorname { s i g n } ( S _ { x , t } ^ { \prime \prime } ( \xi _ { 0 } ) ) \Big \} f ( \xi _ { 0 } )
\left( { \frac { \dot { a } } { a } } \right) ^ { 2 } = { \frac { ( h ^ { \prime } | g _ { 0 0 } | g - b ^ { 2 } ) \left[ h ^ { \prime } g _ { S } g ( C + E ) ^ { 2 } - ( h ^ { \prime } | g _ { 0 0 } | g - b ^ { 2 } ) ( h ^ { \prime } g _ { S } g ^ { 3 } e ^ { - 2 \phi } + \ell ^ { 2 } ) \right] } { 4 h ^ { \prime } g _ { r r } g _ { S } g \left[ ( h ^ { \prime } | g _ { 0 0 } | g - b ^ { 2 } ) ^ { 2 } g ^ { 2 } e ^ { - 2 \phi } + b ^ { 2 } ( C + E ) ^ { 2 } \right] } } \left( { \frac { g ^ { \prime } } { g } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { | U _ { i } | } & { \geq \frac { | P _ { i } | - 1 } { d + 1 } \geq \frac { n - ( d + 1 ) ( i - 1 ) - 1 } { d + 1 } \geq \frac { n - ( d + 1 ) ( k - 1 ) - 1 } { d + 1 } } \\ & { > \frac { n } { d + 1 } - k = \frac { n } { d + 1 } - \frac { \varepsilon n } { d + 1 } = \frac { ( 1 - \varepsilon ) n } { d + 1 } , } \end{array}
w ^ { * } = \frac { K _ { \epsilon } \left( \| S ( x _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ^ { i } ) - S ( x ^ { * } ) \| / \epsilon \right) } { p \left( \theta ^ { * } \mid x _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ^ { i - 1 } , . . . , x _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ^ { 1 } \right) p ( z ^ { * } ) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } ^ { 2 } } & { { } = \left( \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \right) \left( \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \right) = \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } \left( \mathbf { Q } ^ { - 1 } \mathbf { Q } \right) \mathbf { \Lambda } \mathbf { Q } ^ { - 1 } = \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } ^ { 2 } \mathbf { Q } ^ { - 1 } } \\ { \mathbf { A } ^ { n } } & { { } = \mathbf { Q } \mathbf { \Lambda } ^ { n } \mathbf { Q } ^ { - 1 } } \\ { \exp { \mathbf { A } } } & { { } = \mathbf { Q } \exp { ( \mathbf { \Lambda } ) } \mathbf { Q } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \mathcal { F } ( n _ { h } ^ { m } , c _ { h } ^ { m + 1 } ) - \mathcal { F } ( n _ { h } ^ { m + 1 } , c _ { h } ^ { m } ) + } & { D _ { n } k \| \nabla i _ { h } ( \log ( n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 ) ) \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \displaystyle + k D _ { c } \| \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { + \lambda k ( n _ { h } ^ { m + 1 } , \log \frac { n _ { h } ^ { m + 1 } } { \bar { n } _ { h } ^ { 0 } } ) _ { h } } \\ { \le } & { \displaystyle 4 ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } + \frac { \mu } { 2 } ) M \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } + M ( \lambda + \frac { 2 } { \mu } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { + 2 M \mu \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| c _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - 2 ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \log _ { - } \bar { n } _ { h } ^ { 0 } } \\ { : = } & { F ( n _ { h } ^ { 0 } , c _ { h } ^ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { M } ^ { \intercal } \left( \frac { \boldsymbol { \sigma } _ { ( n ) } } { \hbar } \right) \boldsymbol { M } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { D } } & { \mathbf { 0 } _ { n \times n } } \\ { \mathbf { 0 } _ { n \times n } } & { \boldsymbol { D } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { 1 } { 2 N _ { \mathrm { d a t a } } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d a t a } } } | | \hat { { \mathbf { H } } } _ { \mathrm { d } } ^ { ( m ) } - { \mathbf { H } } _ { \mathrm { d } } ^ { ( m ) } | | _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int ( 2 x ^ { 3 } + 1 ) ^ { 7 } ( x ^ { 2 } ) \, d x } & { = { \frac { 1 } { 6 } } \int \underbrace { ( 2 x ^ { 3 } + 1 ) ^ { 7 } } _ { u ^ { 7 } } \underbrace { ( 6 x ^ { 2 } ) \, d x } _ { d u } } \\ & { = { \frac { 1 } { 6 } } \int u ^ { 7 } \, d u } \\ & { = { \frac { 1 } { 6 } } \left( { \frac { 1 } { 8 } } u ^ { 8 } \right) + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 8 } } ( 2 x ^ { 3 } + 1 ) ^ { 8 } + C , } \end{array} }
| b | ^ { 2 } = \left( \lambda - \left( \frac { 3 \nu _ { _ { S C } } - \xi _ { _ { S C } } } { 4 } \right) | a | ^ { 2 } \right) \left( \frac { 4 } { \nu _ { _ { S C } } + \xi _ { _ { S C } } } \right) ,
\hat { H } _ { \mathrm { d d } } = - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \sum _ { q _ { 1 } , q _ { 2 } } \left[ 2 D _ { 0 , q _ { 1 } } ^ { 1 * } ( \Omega _ { 1 } ) D _ { 0 , q _ { 2 } } ^ { 1 * } ( \Omega _ { 2 } ) + D _ { - 1 , q _ { 1 } } ^ { 1 * } ( \Omega _ { 1 } ) D _ { 1 , q _ { 2 } } ^ { 1 * } ( \Omega _ { 2 } ) + D _ { 1 , q _ { 1 } } ^ { 1 * } ( \Omega _ { 1 } ) D _ { - 1 , q _ { 2 } } ^ { 1 * } ( \Omega _ { 2 } ) \right] d _ { 1 , q _ { 1 } } d _ { 2 , q _ { 2 } } \, ,
( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) _ { \mu } T _ { \mu } ^ { A P } = - 2 m i T ^ { P P } - 2 m i \left\{ 4 I _ { q u a d } ( m ^ { 2 } ) + 2 [ k _ { 1 \alpha } k _ { 1 \beta } + k _ { 2 \alpha } k _ { 2 \beta } ] \triangle _ { \alpha \beta } \right\} .
R = \frac { 1 } { \left( 2 \pi i \right) ^ { n } } \int _ { C _ { 1 } } \dots \int _ { C _ { n } } \frac { \prod _ { r = 1 } ^ { n } H _ { r } \left( z _ { r } \right) - \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( H _ { r } \left( z _ { r } \right) - H _ { r } \left( x _ { r } \right) \right) } { \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( z _ { r } - x _ { r } \right) H _ { r } \left( z _ { r } \right) } f \left( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } \right) d z _ { 1 } \dots d z _ { n } .
\hat { K } _ { \mathrm { g a u g e } } ( A _ { \mu } , B _ { \mu } ) \equiv - [ n \cdot ( \partial \wedge A ) ] ^ { \nu } [ n \cdot ^ { * } ( \partial \wedge B ) ] _ { \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } [ n \cdot ( \partial \wedge A ) ] ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } [ n \cdot ( \partial \wedge B ) ] ^ { 2 } ,
{ \cal Y } ( T , U ) \stackrel { { \Gamma ^ { o } ( 3 ) } _ { T } } { \rightarrow } ( i \gamma T + \delta ) \; { \cal Y } ( T , U ) - i \gamma \{ ( \partial _ { \frac { U } { 3 } } \eta ^ { - 2 } ( \frac { U } { 3 } ) \; \eta ^ { - 2 } ( T ) + ( \partial _ { U } \eta ^ { - 2 } ( U ) ) \; \eta ^ { - 2 } ( \frac { T } { 3 } ) ) \} .
\begin{array} { r l } { \lVert \boldsymbol { \Lambda } - \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } \rVert ^ { 2 } } & { { } = \lVert \boldsymbol { \Lambda } \rVert ^ { 2 } + \lVert \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } \rVert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | y | ^ { p } } & { D _ { y } [ \phi ] ( x ) = \, \frac { ( p - 1 ) } { | y | ^ { p } } | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y + O ( | y | ^ { p + 2 } ) } \\ & { + \bigg [ J _ { p } ^ { \prime } ( \Theta _ { 1 } ^ { + } ( y ) ) - J _ { p } ^ { \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) \bigg ] ( \phi _ { 2 3 } ^ { + } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) + \bigg [ J _ { p } ^ { \prime } ( \Theta _ { 2 } ^ { - } ( y ) ) - J _ { p } ^ { \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) \bigg ] ( \phi _ { 2 3 } ^ { - } ( y ) + O ( | y | ^ { 4 } ) ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { \langle ( l _ { L } ^ { 0 } \overline { { { l _ { L } ^ { 0 } } } } + \nu _ { L } ^ { 0 } \overline { { { \nu _ { L } ^ { 0 } } } } ) { B } ^ { 0 \; \mu } \rangle _ { a m p . } } } \end{array} \right) = ( U _ { 0 } ^ { T } ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { \langle ( l _ { L } ^ { 0 } \overline { { { l _ { L } ^ { 0 } } } } + \nu _ { L } ^ { 0 } \overline { { { \nu _ { L } ^ { 0 } } } } ) { Z } _ { 1 } ^ { \mu } \rangle _ { a m p . } } } \\ { { \langle ( l _ { L } ^ { 0 } \overline { { { l _ { L } ^ { 0 } } } } + \nu _ { L } ^ { 0 } \overline { { { \nu _ { L } ^ { 0 } } } } ) { Z } _ { 2 } ^ { \mu } \rangle _ { a m p . } } } \\ { { \langle l _ { L } ^ { 0 } \overline { { { l _ { L } ^ { 0 } } } } { A } ^ { \mu } \rangle _ { a m p . } } } \end{array} \right) ,
\sum _ { V \subset \{ u \in \ensuremath { \mathcal S } _ { \alpha } : \bar { m } _ { u } \neq 0 \} } { \ensuremath { \mathbb P } } _ { p } \left( \forall u \in \ensuremath { \mathcal S } _ { \alpha } \setminus V , s _ { A \cap X } ^ { u } > \varepsilon s _ { u } / L \right) \exp \Big ( - ( 1 - \varepsilon ) ^ { 2 } \sum _ { u \in V } h _ { p } ^ { u } \left( p ^ { \alpha } m _ { u } ^ { Z } \right) s _ { u } \Big ) ,
\begin{array} { r l } & { \overline { { r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) } } = - \omega r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) , } \\ & { \overline { { r _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) } } = - r _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) , \quad \mathrm { i . e . ~ } r _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) \in i { \mathbb R } , } \\ & { \omega \overline { { r _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( 0 ) } } + \overline { { r _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( 0 ) } } = - \big ( r _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( 0 ) + \omega r _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( 0 ) \big ) + 2 \omega r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) r _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { W } ( ( Q _ { W } - z G _ { - } ) \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } ) } & { = g \left( ( Q _ { W } - z G _ { - } ) \Psi _ { 1 } , e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } \Psi _ { 2 } \right) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | \Psi _ { 1 } | } g \left( \Psi _ { 1 } , ( Q _ { W } + z G _ { - } ) e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } \Psi _ { 2 } \right) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | \Psi _ { 1 } | } g \left( \Psi _ { 1 } , e ^ { \Lambda \{ Q _ { W } + z G _ { - } , L \} } ( Q _ { W } + z G _ { - } ) \Psi _ { 2 } \right) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | \Psi _ { 1 } | } \mathcal { K } _ { W } ( \Psi _ { 1 } , ( Q _ { W } + z G _ { - } ) \Psi _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \psi } ( t , z ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathbf { i } } \int _ { \gamma - \mathbf { i } \infty } ^ { \gamma + \mathbf { i } \infty } \exp { ( s t ) } d s \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s ) z ) } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s ) + \mathscr { E } _ { i } ( s ) I _ { i } ( s , z ) \Bigg ] . } \end{array}
\widehat M _ { 1 } \cdot \varepsilon _ { S S l } \, \log \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } + \cdots \leq \frac { s _ { 0 } - s ( t _ { o n s } ^ { * } ) } { s _ { 0 } } \leq \widehat M _ { 2 } \cdot \varepsilon _ { S S l } \, \log \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { D ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) } & { = e ^ { - i S ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) } G \left[ S _ { \textbf { k } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) , \Delta x \right] W \left[ S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) , \Delta E \right] R ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) } \end{array}
\begin{array} { r } { s = { \frac { 1 } { 2 \alpha _ { s } } } { \frac { \partial } { \partial \alpha } } \, \Bigg [ { \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \alpha , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) } + { \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha ) } - 2 f _ { \alpha ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 3 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { 4 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ( \xi ) - 2 \overline { { f _ { \alpha ^ { 2 } } } } \left[ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 3 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { 4 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ( \overline { { \xi } } ) \Bigg ] _ { \alpha = \alpha _ { s } } \, . } \end{array}
\left. { \frac { \partial } { \partial p _ { k } } } \left\{ - \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { j } \log _ { 2 } p _ { j } \right) + \lambda \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { j } - 1 \right) \right\} \right| _ { p _ { k } = p _ { k } ^ { * } } = 0 .
\begin{array} { r } { R _ { \bf m } ( t ) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos k t } & { - \hat { m } _ { 3 } \sin k t } & { \hat { m } _ { 2 } \sin k t } \\ { } & { } & { } \\ { \hat { m } _ { 3 } \sin k t } & { \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } \cos k t } & { \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) } \\ { } & { } & { } \\ { - \hat { m } _ { 2 } \sin k t } & { \hat { m } _ { 2 } \hat { m } _ { 3 } ( 1 - \cos k t ) } & { \hat { m } _ { 3 } ^ { 2 } + \hat { m } _ { 2 } ^ { 2 } \cos k t } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 1 } ( 1 - \lambda ) \frac { 3 + 4 \lambda + 5 \lambda ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda \gamma ) ( 1 - \lambda ^ { 3 } ) } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 1 } \frac { 3 + 4 \lambda + 5 \lambda ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda \gamma ) ( 1 + \lambda + \lambda ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 3 + 4 + 5 } { 3 ( 1 - \gamma ) } . } \end{array}
\mathcal { E } ( t ) - \mathcal { E } ( 0 ) = - \frac { 1 } { a } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \mathrm { d } \Phi ( t ^ { \prime } ) } { \mathrm { d } t ^ { \prime } } J ( t ^ { \prime } ) \mathrm { d } t ^ { \prime } .
\ell ( u ^ { \alpha } , u ^ { I } ) = l ( \omega ^ { \alpha } : = u ^ { \alpha } - \mathcal { A } _ { J } ^ { \alpha } u ^ { I } , \dot { r } ^ { I } : = u ^ { I } ) = \frac { m } { 2 } \delta _ { I J } u ^ { I } u ^ { J } + \frac { 1 } { 2 } \Theta _ { \alpha \beta } ( u ^ { \alpha } - \mathcal { A } _ { I } ^ { \alpha } u ^ { I } ) ( u ^ { \beta } - \mathcal { A } _ { J } ^ { \beta } u ^ { J } ) .
\sigma _ { { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } , i j } = \tilde { \eta } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial r _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial r _ { i } } - \frac { 2 } { 3 } \nabla \cdot { \bf u } \delta _ { i j } \right) + \tilde { \xi } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } \nabla \cdot { \bf u } \delta _ { i j }
\begin{array} { r l } { \check { \phi } _ { 0 } | _ { \xi \to + \infty } } & { = { \Phi } _ { 0 } | _ { z \to 0 + } , \quad \check { \phi } _ { 1 } | _ { \xi \to + \infty } = { \Phi } _ { 1 } | _ { z \to 0 + } + b ^ { 2 } \xi \frac { d { \Phi } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 + } , } \\ { \frac { d \check { \phi } _ { 0 } } { d \xi } \Big | _ { \xi \to + \infty } } & { = 0 , \quad \quad \quad \; \frac { d \check { \phi } _ { 1 } } { d \xi } \Big | _ { \xi \to + \infty } = b ^ { 2 } \frac { d { \Phi } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 + } , } \\ { \frac { d \check { \phi } _ { 2 } } { d \xi } \Big | _ { \xi \to + \infty } } & { = b ^ { 2 } \frac { d { \Phi } _ { 1 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 + } + b ^ { 4 } \xi \frac { d ^ { 2 } { \Phi } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } \Big | _ { z \to 0 + } , } \\ { \frac { d ^ { 2 } \check { \phi } _ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \Big | _ { \xi \to + \infty } } & { = b ^ { 4 } \frac { d ^ { 2 } { \Phi } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } \Big | _ { z \to 0 + } . } \end{array}
U ^ { \left( + \right) } \stackrel { D e f } { = } \left[ \begin{array} { c c c c } { { 1 _ { 2 } } } & { { 0 _ { 2 } } } & { { 0 _ { 2 } } } & { { 0 _ { 2 } } } \\ { { 0 _ { 2 } } } & { { \left( u + \mathrm { i } v \right) 1 _ { 2 } } } & { { 0 _ { 2 } } } & { { \left( k + \mathrm { i } s \right) 1 _ { 2 } } } \\ { { 0 _ { 2 } } } & { { 0 _ { 2 } } } & { { 1 _ { 2 } } } & { { 0 _ { 2 } } } \\ { { 0 _ { 2 } } } & { { \left( - k + \mathrm { i } s \right) 1 _ { 2 } } } & { { 0 _ { 2 } } } & { { \left( u - \mathrm { i } v \right) 1 _ { 2 } } } \end{array} \right] \mathrm { , }
\begin{array} { l } { \displaystyle \sigma _ { r } ^ { 2 } \, = \, \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } r \, r ^ { 3 } \, \psi _ { 0 } ^ { 2 } ( \boldsymbol { r } ) } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } r \, r \, \psi _ { 0 } ^ { 2 } ( \boldsymbol { r } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \Delta ^ { 2 } = 0 \; , \; \; U ^ { 2 } = 0 \; , \; \; V ^ { 2 } = 0 , } } & { { } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \Delta U + U \Delta = 0 , \; \; \; \Delta V + V \Delta = 0 , \; \; U V + V U = 0 . } } & { { } } \end{array}
\left( \sqrt { \vec { p } _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } } + \sqrt { \vec { p } _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } + \tilde { \mathcal U } _ { 0 } \right) \Psi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; M ) \chi _ { S } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) = M ~ \Psi ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; M ) \chi _ { S } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } )
\begin{array} { l c r } { { x _ { 0 } = X _ { 0 } [ R _ { 1 } + | Y _ { 0 } | ^ { 2 } + | Y _ { 1 } | ^ { 2 } ] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } } \\ { { x _ { 1 } = X _ { 1 } [ R _ { 1 } + | Y _ { 0 } | ^ { 2 } + | Y _ { 1 } | ^ { 2 } ] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } , } } \end{array}
\begin{array} { l } { { u _ { t } } + \beta { u _ { x } } = 0 , \mathrm { { } } x \in \left( { 0 , 1 } \right) , t \in \left( { 0 , 2 } \right] } \\ { u ( 0 , x ) = 0 . 8 \sin \left( { 4 \pi x + \pi / 4 } \right) } \end{array}
p ( \mathbf { x } _ { \Delta t } \mid \mathbf { x } _ { 0 } ) \triangleq p ( \mathbf { x } _ { N \tau } \mid \mathbf { x } _ { 0 } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } p ( \mathbf { x } _ { i \tau } \mid \mathbf { x } _ { ( i - 1 ) \tau } )
\begin{array} { r l } { \left| B _ { \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) \right| \leq } & { \int _ { \left\{ x \in B _ { \rho _ { i } } ( x _ { i } ) : \left| D ^ { 2 } u _ { \lambda } \right| > 1 / 2 \right\} } \left| D ^ { 2 } u _ { \lambda } \right| ^ { p } d x + ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { p } \left| B _ { \rho _ { i } } ( x _ { i } ) \right| } \\ { + M ^ { p } } & { \int _ { \left\{ x \in B _ { \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) : \left| f _ { \lambda } \right| > 1 / ( 2 M ) \right\} } \left| f _ { \lambda } \right| ^ { p } d x + ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { p } \left| B _ { \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) : = \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma _ { \leq } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } ) } C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } , \lambda ) } \\ & { \mathrm { f o r } \quad C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { j } , \lambda ) : = \int _ { \Omega ^ { 2 } } \| x ^ { 0 } - x ^ { j } \| ^ { 2 } d \gamma ( x ^ { 0 } , x ^ { j } ) } \\ & { \qquad \, \, \, \qquad \qquad \qquad + \lambda ( | \mu ^ { 0 } - \gamma _ { 0 } | + | \mu ^ { j } - \gamma _ { 1 } | ) } \end{array}
P ( k _ { 1 } , l _ { 1 } , \dots , k _ { n } , l _ { n } \, | \, \rho ) \approx \frac { N ^ { n } } { n ! } \bar { P } \left( \prod _ { m = 1 } ^ { n } \bar { I } _ { l _ { m } } \right) \sum _ { i } w _ { i } \tilde { P } _ { i } \sum _ { j } \prod _ { m = 1 } ^ { n } \tilde { I } _ { i , k _ { m } + j , l _ { m } }
P ( \boldsymbol { p } ) = \frac { | T _ { \boldsymbol { p } } | ^ { 2 } d ^ { 3 } \boldsymbol { p } } { d \Omega _ { \boldsymbol { p } } d E _ { \boldsymbol { p } } } = p | T _ { \boldsymbol { p } } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { l l } { \psi _ { n } ( \alpha , \beta ; x , t ) = } & { \left( \frac { \alpha ^ { 2 } \beta } { \sqrt { \pi } 2 ^ { n } n ! } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { e ^ { \textstyle - i ( n + 1 / 2 ) \theta } } { f ^ { 1 / 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { \xi \xi } = } & { 2 \frac { \mu _ { k } \mu _ { 1 2 } } { \mu _ { 1 } } \biggl \{ \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \xi } } { \partial \xi } + \frac { u _ { \phi } } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } \biggr \} , } \\ { \mathcal { T } _ { \xi \phi } = } & { \mathcal { T } _ { \phi \xi } = \frac { \mu _ { k } \mu _ { 1 2 } } { \mu _ { 1 } } \biggl \{ \left( \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \xi } } { \partial \phi } - \frac { u _ { \phi } } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } \right) + \left( \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \phi } } { \partial \xi } - \frac { u _ { \xi } } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } \right) \biggr \} , } \\ { \mathcal { T } _ { \xi z } = } & { \mathcal { T } _ { z \xi } = \frac { \mu _ { k } \mu _ { 1 2 } } { \mu _ { 1 } } \biggl \{ \frac { \partial u _ { \xi } } { \partial z } + \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { z } } { \partial \xi } \biggr \} , } \\ { \mathcal { T } _ { \phi \phi } = } & { 2 \frac { \mu _ { k } \mu _ { 1 2 } } { \mu _ { 1 } } \biggl \{ \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \phi } } { \partial \phi } + \frac { u _ { \xi } } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } \biggr \} , } \\ { \mathcal { T } _ { \phi z } = } & { \mathcal { T } _ { z \phi } = \frac { \mu _ { k } \mu _ { 1 2 } } { \mu _ { 1 } } \biggl \{ \frac { \partial u _ { \phi } } { \partial z } + \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { z } } { \partial \phi } \biggr \} , } \\ { \mathcal { T } _ { z z } = } & { 2 \frac { \mu _ { k } \mu _ { 1 2 } } { \mu _ { 1 } } \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { \alpha i } } { P _ { \alpha e } } } & { { } = } & { \frac { n _ { e } \, m _ { e } } { n _ { i } \, m _ { i } } \, \left( \frac { 1 + \frac { m _ { \alpha } \, k T } { m _ { e } \, k T _ { \alpha } } } { 1 + \frac { m _ { \alpha } \, k T } { m _ { i } \, k T _ { \alpha } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W - M S } } = \ } & { { } 2 \hbar \eta \Omega \hat { S } _ { \tilde { \phi } } \cos { ( \delta t ) } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) \cos { \left( \Delta \phi / 2 \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } , } \end{array}
S = \exp { \left( \begin{array} { l l l l l } { i ( \mathbf { k } _ { - } \cdot \mathbf { x } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { i ( \mathbf { k } _ { c } \cdot \mathbf { x } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i ( \mathbf { k } _ { c } \cdot \mathbf { x } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i ( \mathbf { k } _ { c } \cdot \mathbf { x } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i ( \mathbf { k } _ { + } \cdot \mathbf { x } ) } \end{array} \right) } ,