harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { t ^ { 2 } \tilde { R } _ { 0 0 } ^ { [ m ] } } & { = t ^ { 2 } \tilde { R } _ { 0 0 } ^ { [ m - 1 ] } + m \rho ^ { m - 1 } \left( m - 1 - \frac { d } { 2 } \right) \phi _ { 0 0 } + O ( \rho ^ { m } ) \, , } \\ { t \tilde { R } _ { 0 i } ^ { [ m ] } } & { = t \tilde { R } _ { 0 i } ^ { [ m - 1 ] } + m \rho ^ { m - 1 } \left[ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { i } \phi _ { 0 0 } + \left( m - 1 - \frac { d } { 2 } \right) \phi _ { 0 i } \right] + O ( \rho ^ { m } ) \, , } \\ { \tilde { R } _ { i j } ^ { [ m ] } } & { = \tilde { R } _ { i j } ^ { [ m - 1 ] } + m \rho ^ { m - 1 } \left[ ( m - \frac { d } { 2 } ) \phi _ { i j } - \frac { 1 } { 2 } g _ { i j } g ^ { k m } \phi _ { k m } + \mathring \nabla _ { ( i } \phi _ { j ) 0 } + \mathring P _ { i j } \phi _ { 0 0 } \right] + O ( \rho ^ { m } ) \, , } \\ { t \tilde { R } _ { 0 \infty } ^ { [ m ] } } & { = t \tilde { R } _ { 0 \infty } ^ { [ m - 1 ] } + \frac { 1 } { 2 } m ( m - 1 ) \rho ^ { m - 2 } \phi _ { 0 0 } + O ( \rho ^ { m - 1 } ) \, , } \\ { \tilde { R } _ { i \infty } ^ { [ m ] } } & { = \tilde { R } _ { i \infty } ^ { [ m - 1 ] } + \frac { 1 } { 2 } m ( m - 1 ) \rho ^ { m - 2 } \phi _ { i 0 } + O ( \rho ^ { m - 1 } ) \, , } \\ { \tilde { R } _ { \infty \infty } ^ { [ m ] } } & { = \tilde { R } _ { \infty \infty } ^ { [ m - 1 ] } - m ( m - 1 ) \rho ^ { m - 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } \phi _ { 0 0 } - a ^ { k } \phi _ { k 0 } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { k m } \phi _ { k m } \right) + O ( \rho ^ { m - 1 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta T _ { G W } = } & { } & { h _ { 0 } \Bigl ( 1 - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \Bigr ) \times } \\ & { } & { \Biggl ( \frac { ( f _ { s } ^ { + } + f _ { c } ^ { + } ) } { 2 \pi f _ { G W } } \sin { ( \pi f _ { G W } T + 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } \times } \\ & { } & { \sin { ( \pi f _ { G W } T ) } - f _ { c } ^ { + } T \sin { ( 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } } \\ & { } & { + \frac { ( f _ { s } ^ { + } - f _ { c } ^ { + } ) } { 4 \pi } . \frac { T } { f _ { G W } T + 2 n } \sin { ( \pi f _ { G W } T + 2 \pi n ) } \times } \\ & { } & { \sin { ( \pi f _ { G W } T + 2 \pi n + 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } } \\ & { } & { + \frac { ( f _ { s } ^ { + } - f _ { c } ^ { + } ) } { 4 \pi } . \frac { T } { f _ { G W } T - 2 n } \sin { ( \pi f _ { G W } T - 2 \pi n ) } \times } \\ & { } & { \sin { ( \pi f _ { G W } T - 2 \pi n + 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } } \\ & { } & { + \frac { f _ { s c } ^ { + } } { 4 \pi } . \frac { T } { f _ { G W } T - 2 n } \cos { ( \pi f _ { G W } T - 2 \pi n ) } \times } \\ & { } & { \sin { ( \pi f _ { G W } T - 2 \pi n + 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } } \\ & { } & { - \frac { f _ { s c } ^ { + } } { 4 \pi } . \frac { T } { f _ { G W } T + 2 n } \cos { ( \pi f _ { G W } T + 2 \pi n ) } \times } \\ & { } & { \sin { ( \pi f _ { G W } T + 2 \pi n + 2 \pi f _ { G W } t _ { 0 } ) } \Biggr ) . } \end{array}
\eta _ { j } = \left. \frac { d E ^ { D F T } } { d f _ { j } } \right\rvert _ { f _ { j } = f } + \left. \frac { d \Pi _ { j } } { d f _ { j } } \right\rvert _ { f _ { j } = f } = \langle \varphi _ { j } \rvert \hat { h } ^ { \mathrm { D F T } } ( f ) \lvert \varphi _ { j } \rangle + \left. \frac { d \Pi _ { j } } { d f _ { j } } \right\rvert _ { f _ { j } = f }
| \rho _ { m } ( f _ { l } , \theta _ { 0 } ^ { i } ) | ^ { 2 } = R _ { m } ( f _ { l } ) \frac { | S _ { m } ( f _ { l } , \theta _ { 0 } ^ { i } ) | ^ { 2 } } { | S _ { m } ( f _ { l } , 0 ) | ^ { 2 } } \quad m = 1 , 2
Z _ { \pi } = 1 - \frac { 8 m _ { \pi } ^ { 2 } } { F _ { \pi } ^ { 2 } } ( 2 L _ { 4 } ^ { ( 2 ) } + L _ { 5 } ^ { ( 2 ) } ) + \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } [ \frac 2 { d - 4 } + \gamma - 1 - \ln 4 \pi + \ln \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } ] ,
q = \pm 1 : \left( \pm 1 , \frac { 1 } { 2 } \right) , \left( \pm 1 , - \frac { 1 } { 2 } \right) , \left( \frac { 1 } { 2 } , \pm 1 \right) , \left( - \frac { 1 } { 2 } , \pm 1 \right)
\begin{array} { l l } { T _ { b , i } \left( \varepsilon \right) } & { { \equiv } T r \left[ { \hslash } { \mathit { \Gamma } } _ { L ( R ) , i } \left( \varepsilon \right) { \mathcal { G } } _ { i } ^ { R } \left( \varepsilon \right) { \hslash } { \mathit { \Gamma } } _ { R ( L ) , i } \left( \varepsilon \right) { \mathcal { G } } _ { i } ^ { A } \left( \varepsilon \right) \right] , } \\ { T _ { f , i } \left( \varepsilon \right) } & { { \equiv } T r \left[ { \hslash } { \mathit { \Gamma } } _ { L ( R ) , i } \left( \varepsilon \right) { \mathcal { G } } _ { i } ^ { R } \left( \varepsilon \right) { \hslash } { \mathit { \Gamma } } _ { A F M I } \left( \varepsilon \right) { \mathcal { G } } _ { i } ^ { A } \left( \varepsilon \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { B } } & { { } = \frac { \tilde { \mathcal { F } } _ { B } - p _ { \mathrm { T P } } p _ { \mathrm { F P } } } { ( p _ { \mathrm { T P } } - p _ { \mathrm { F P } } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { S ( k _ { \nu + 1 } ) } { S ( k _ { \nu } ) } = \left( \frac { k _ { \nu + 1 } } { k _ { \nu } } \right) ^ { 2 + 2 \log \tau _ { \nu } / \log \sigma _ { \nu } } \quad , \quad 0 \leq \nu \leq n - 1
F = \frac { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \, \theta _ { c } / 2 ~ ( \sigma _ { z 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { z 2 } ^ { 2 } ) / ( \sigma _ { c 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { c 2 } ^ { 2 } ) } } { \cos \, \theta _ { c } / 2 } .
\begin{array} { r } { { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) } = { k _ { B } \mathcal { T } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + e ^ { \frac { \mu _ { 1 } } { k _ { B } \mathcal { T } } } } \right) , } } \\ { { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f _ { 2 } ( 1 - f _ { 2 } ) } = { k _ { B } \mathcal { T } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + e ^ { \frac { \mu _ { 2 } } { k _ { B } \mathcal { T } } } } \right) , } } \\ { { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ^ { 2 } = k _ { B } \mathcal { T } \bigg [ - 2 + \frac { 1 } { 1 + e ^ { \frac { \mu _ { 1 } } { k _ { B } \mathcal { T } } } } + \frac { 1 } { 1 + e ^ { \frac { \mu _ { 1 } } { k _ { B } \mathcal { T } } } } } } \\ { { + \coth \left( \frac { \mu - \mu _ { 0 } } { k _ { B } \mathcal { T } } \right) \left( \log \left[ 1 + e ^ { \frac { \mu _ { 1 } } { k _ { B } \mathcal { T } } } \right] - \log \left[ 1 + e ^ { \frac { \mu _ { 2 } } { k _ { B } \mathcal { T } } } \right] \right) \bigg ] . } } \end{array}
\frac { 1 } { h } \sum _ { p = 1 } ^ { h } e ^ { i \pi \frac { p \nu } { h } } \mathrm { L i } _ { m } \left( e ^ { - \frac { i \pi p } { h } } x \right) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { n h + \nu } } { \left( n h + \nu \right) ^ { m } } \, .
- \int \, { \it w } _ { p } ^ { S } ( { \bf k } , { \bf k } _ { 1 } ) N _ { { \bf k } _ { 1 } } ^ { l } p _ { 0 } ( k _ { 2 } \partial _ { p } { \cal N } _ { e q } ) \, d ^ { 4 } p \, d { \bf k } _ { 1 } ,
\psi ( r ) = \mathcal { N } \left( 1 + \frac { \lambda } { 2 } r + \frac { 1 - \lambda } { 2 \sqrt Ḋ \pi Ḍ \mu } e ^ { - \mu ^ { 2 } r ^ { 2 } } + ( 1 - \lambda ) \left( \frac { r } { 2 } + \frac { 1 } { 4 \, \mu ^ { 2 } \, r } \right) \mathrm { e r f } ( \mu r ) \right) + \mathcal { B } _ { 0 } + \frac { \mathcal Ḋ B Ḍ _ { 1 } } { \mu r } ,
\begin{array} { r l r } { E } & { = } & { E _ { l } + E _ { r } + E _ { \Gamma } } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \Omega ^ { l } } \left\{ R T C _ { i } ^ { l } \left( \ln { \left( \frac { C _ { i } ^ { l } } { c _ { 0 } } \right) } - 1 \right) + C _ { i } ^ { l } U _ { i } \right\} d x + \int _ { \Omega ^ { l } } \frac { \boldsymbol { D } ^ { l } \cdot \boldsymbol { E } ^ { l } } { 2 } d x } \\ & { } & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \Omega ^ { r } } \left\{ R T C _ { i } ^ { r } \left( \ln { \left( \frac { C _ { i } ^ { r } } { c _ { 0 } } \right) } - 1 \right) + C _ { i } ^ { r } U _ { i } \right\} d x + \int _ { \Omega ^ { r } } \frac { \boldsymbol { D } ^ { r } \cdot \boldsymbol { E } ^ { r } } { 2 } d x } \\ & { } & { + \int _ { \Gamma } \left\{ R T C _ { e } ^ { l } \left( \ln { \left( \frac { C _ { e } ^ { l } } { c _ { e , 0 } } \right) } - 1 \right) + C _ { e } ^ { l } U _ { e } ^ { l } \right\} d x + \frac 1 2 \int _ { \Gamma } \mathbb { C } _ { p } ( \phi ^ { l } - \phi _ { p } ^ { l } ) ^ { 2 } d S } \\ & { } & { + \int _ { \Gamma } \left\{ R T C _ { e } ^ { r } \left( \ln { \left( \frac { C _ { e } ^ { r } } { c _ { e , 0 } } \right) } - 1 \right) + C _ { e } ^ { r } U _ { e } ^ { r } \right\} d x + \frac 1 2 \int _ { \Gamma } \mathbb { C } _ { p } ( \phi ^ { r } - \phi _ { p } ^ { r } ) ^ { 2 } d S . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e } & { = { \frac { r _ { \mathrm { a } } - r _ { \mathrm { p } } } { r _ { \mathrm { a } } + r _ { \mathrm { p } } } } } \\ { \, } \\ & { = { \frac { r _ { \mathrm { a } } / r _ { \mathrm { p } } - 1 } { r _ { \mathrm { a } } / r _ { \mathrm { p } } + 1 } } } \\ { \, } \\ & { = 1 - { \frac { 2 } { \; { \frac { r _ { \mathrm { a } } } { r _ { \mathrm { p } } } } + 1 \; } } } \end{array} }
\left\{ { \begin{array} { l } { \sin \alpha \left( x \right) = \frac { - \phi ^ { \prime } ( x ) } { \sqrt { 1 + \phi ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } } } , } \\ { \cos \alpha \left( x \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \phi ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } } } , } \end{array} } \right. \, \quad \, \frac { 1 } { R ( x ) } = \frac { \phi ^ { \prime \prime } ( x ) } { \left[ { 1 + \phi ^ { \prime } ( x ) ^ { 2 } } \right] ^ { 3 / 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } = } & { { } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { \textbf { B } _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \textbf { B } _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 0 } } \end{array} \right] \textbf { U } + \left[ \begin{array} { l l l l } { \textbf { B } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \textbf { B } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 1 } } \end{array} \right] \textbf { G } _ { 1 } + \left[ \begin{array} { l l l l } { \textbf { B } _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \textbf { B } _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \textbf { B } _ { 2 } } \end{array} \right] \textbf { G } _ { 2 } } \\ { = } & { { } } & { \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } \textbf { U } + \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } \textbf { G } _ { 1 } + \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } \textbf { G } _ { 2 } } \end{array}
\frac { 2 i \nu } { \pi r ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { r ^ { 2 } } { P ^ { 2 } b c } \right) ^ { - 2 i \nu } - \left( \frac { r ^ { 2 } } { P ^ { 2 } b c } \right) ^ { 2 i \nu } \right] .
\begin{array} { l } { { \hat { f } ^ { * } \left. T \left( \hat { \bf A } _ { 1 } , \ldots , \hat { \bf A } _ { n } \right) \right| _ { \Phi _ { p } } = \left. T \left( \hat { f } _ { * } \hat { \bf A } _ { 1 } , \ldots , \hat { f } _ { * } \hat { \bf A } _ { n } \right) \right| _ { f \left( \Phi _ { p } \right) } , } } \\ { { \left. T \left( \hat { f } ^ { * } \hat { \bf \omega } _ { 1 } ^ { 1 } , \ldots , \hat { f } ^ { * } \hat { \bf \omega } _ { n } ^ { 1 } \right) \right| _ { \Phi _ { p } } = \hat { f } _ { * } \left. T \left( \hat { \bf \omega } _ { 1 } ^ { 1 } , \ldots , \hat { f } ^ { * } \hat { \bf \omega } _ { n } ^ { 1 } \right) \right| _ { f \left( \Phi _ { p } \right) } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \hat { g } ( \theta , \xi ) \| ^ { 2 } } & { = } & { \| \phi ( s , a ) ( Q ( s , a ; \theta ) - r ( s , a ) - \gamma Q ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ; \theta ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { 3 \left( Q ( s , a ; \theta ^ { * } ) - r ( s , a ) - \gamma Q ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ; \theta ^ { * } ) \right) ^ { 2 } + 3 \left( Q ( s , a ; \theta ) - Q ( s , a ; \theta ^ { * } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { + 3 \gamma ^ { 2 } \left( Q ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ; \theta ) - Q ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ; \theta ^ { * } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { 9 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta ^ { * } \| ^ { 2 } + 9 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + 3 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta - \theta ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \leq } } & { 9 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta ^ { * } \| ^ { 2 } + 9 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + \frac { 1 2 ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } \| Q ( \theta ) - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } } , } \end{array}
\left( g _ { \mathrm { \scriptsize ~ b r a n e } } \right) _ { \mu \nu } = e ^ { \frac { - 2 \phi + 2 \phi _ { 0 } } { p + 1 } } \left( g _ { \mathrm { \scriptsize ~ s t r i n g } } \right) _ { \mu \nu } .
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } = } & { \frac { 1 } { 2 } \langle \partial _ { t } \rho ( \phi _ { 1 } ) + \nabla \cdot ( \rho ( \phi _ { 1 } ) u _ { 2 } ) , | u ^ { d } | ^ { 2 } \rangle + \lambda \langle \nabla \phi ^ { d } \otimes \nabla \phi _ { 1 } + \nabla \phi _ { 2 } \otimes \nabla \phi ^ { d } , \nabla u ^ { d } \rangle } \\ & { - \langle \rho ( \phi _ { 1 } ) u ^ { d } \cdot \nabla u _ { 1 } + [ \rho ( \phi _ { 1 } ) - \rho ( \phi _ { 2 } ) ] ( \partial _ { t } u _ { 2 } + u _ { 2 } \cdot \nabla u _ { 2 } ) , u ^ { d } \rangle \, , } \end{array}
\alpha _ { 1 } = \frac { \mathscr { C } } { 2 \Omega _ { 1 } } \bigg ( \Omega _ { 2 } L _ { 3 } ^ { 2 } + \Omega _ { 3 } L _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \Omega _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } + \sum _ { l = 1 } ^ { 3 } \Omega _ { l } K _ { l } ^ { 2 } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left\{ \frac { 1 } { 2 m } \left[ \boldsymbol { \sigma } _ { k } \cdot \left( - \mathrm { i } \nabla _ { k } + \mathbf { \hat { A } } ( \mathbf { r } _ { k } ) \right) \right] ^ { 2 } + v ( \mathbf { r } _ { k } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial g _ { e } \partial g _ { f } } \langle 1 _ { \eta } \rangle } & { = \beta ^ { 2 } ( \langle 1 _ { \eta } \sigma _ { e } \sigma _ { f } \rangle - \langle 1 _ { \eta } \sigma _ { e } \rangle \langle \sigma _ { f } \rangle - \langle 1 _ { \eta } \sigma _ { f } \rangle \langle \sigma _ { e } \rangle + \langle 1 _ { \eta } \rangle \langle \sigma _ { f } \rangle \langle \sigma _ { e } \rangle - \langle 1 _ { \eta } \rangle \langle \sigma _ { e } \sigma _ { f } \rangle + \langle 1 _ { \eta } \rangle \langle \sigma _ { e } \rangle \langle \sigma _ { f } \rangle ) . } \end{array}
[ \hat { \eta } ^ { A } , \hat { \eta } ^ { B } \} = i \hbar \hat { \overline { { { \{ \eta ^ { A } , \eta ^ { B } \} } } } } _ { D ( \Phi ) } = i \hbar \hat { \overline { { { \Lambda ^ { A B } ( \eta ) } } } } , \; \; \; \hat { \overline { { { \Phi ( \eta ) } } } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { { \operatorname* { d e t } } _ { 3 } ( A ) = \frac { 1 } { 2 } \big ( } & { - 2 A _ { 1 , 1 } ( A _ { 2 , 2 } + A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 2 , 2 } - A _ { 3 , 2 } ) } \\ & { + ( A _ { 1 , 1 } - A _ { 2 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } - A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 1 , 2 } + A _ { 3 , 2 } ) } \\ & { - ( A _ { 1 , 1 } - A _ { 3 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } - A _ { 2 , 2 } ) ( A _ { 1 , 2 } + A _ { 2 , 2 } ) } \\ & { + ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 2 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } + A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 1 , 2 } - A _ { 3 , 2 } ) } \\ & { - ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 3 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } + A _ { 2 , 2 } ) ( A _ { 1 , 2 } - A _ { 2 , 2 } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mu _ { \mathrm { s a m p l e } } ^ { y , N } } { d \mu _ { 0 } } ( u ) } & { = \frac { 1 } { Z _ { N } ^ { \mathrm { s a m p l e } } } \exp \big ( - \Phi _ { N } ( u ) \big ) , } \\ { Z _ { N } ^ { \mathrm { s a m p l e } } } & { = \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } \left( \exp \big ( - \Phi _ { N } ( u ) \big ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \check { g } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) , \check { A } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) = ( \hat { g } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) , \hat { A } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) - t _ { b , * } ( \dot { g } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) , \dot { A } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) , } \\ { ( \check { g } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) , \check { A } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) = ( \hat { g } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) , \hat { A } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) - t _ { b , * } ( \dot { g } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) , \dot { A } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { t } \mathbf { g } = \operatorname* { l i m } _ { t + \varepsilon \rightarrow t } \frac { \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) - \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } { t + \varepsilon - t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon \Dot { x _ { i } } } & { = z + \varepsilon \left( \nu _ { i 3 } ^ { + } k _ { 3 } x _ { k } z - k _ { 1 } x _ { i } x _ { j } \right) , } \\ { \varepsilon \Dot { x _ { j } } } & { = z + \varepsilon \left( \nu _ { j 3 } ^ { + } k _ { 3 } x _ { k } z - k _ { 1 } x _ { i } x _ { j } \right) , } \\ { \Dot { x _ { k } } } & { = \left( \nu _ { k 3 } ^ { + } - 1 \right) k _ { 3 } x _ { k } z , } \\ { \varepsilon \Dot { z } } & { = - z + \varepsilon \left( \left( \nu _ { z 3 } ^ { + } - 1 \right) k _ { 3 } x _ { k } z + k _ { 1 } x _ { i } x _ { j } \right) , } \\ { \Dot { x _ { \ell } } } & { = \nu _ { \ell 3 } ^ { + } k _ { 3 } x _ { k } z , \quad \ell \in I . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \nu } \left. s _ { g g } \right\vert _ { \tau _ { b } = 0 . 5 \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j , \nu \right) } } & { = } & { i \frac { d \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( \nu \right) } { d \nu } \left. s _ { g g } \right\vert _ { \tau _ { b } = 0 . 5 \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j , \nu \right) } , } \\ { \left. \frac { \partial s _ { g g } } { \partial \tau _ { b } } \right\vert _ { \tau _ { b } = 0 . 5 \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j , \nu \right) } } & { = } & { i \nu \left( \left\vert s _ { a 1 } \right\vert ^ { 2 } - \left\vert s _ { d 1 } \right\vert ^ { 2 } \right) \left. s _ { g g } \right\vert _ { \tau _ { b } = 0 . 5 \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j , \nu \right) } . } \end{array}
\iiint _ { \mathbf { F } ( U ) } f ( x , y , z ) \, d x \, d y \, d z = \iiint _ { U } f ( \rho \sin \varphi \cos \theta , \rho \sin \varphi \sin \theta , \rho \cos \varphi ) \, \rho ^ { 2 } \sin \varphi \, d \rho \, d \varphi \, d \theta .
\frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { x _ { 2 } } \\ { x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { 3 } + u } \end{array} \right)
[ \hat { \pi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { \phi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) ] = \hat { \pi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \, \hat { \phi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) - \hat { \phi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \, \hat { \pi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) = - i \hbar \frac { \delta \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) } { \delta \phi ( \mathrm { \bf ~ r } ) } = - i \hbar \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - \rho _ { t } ^ { 2 } } & { - \alpha _ { t } } & { 1 } \\ { - \alpha _ { t } } & { \alpha _ { t } ^ { 2 } } & { - \alpha _ { t } } \\ { 1 } & { - \alpha _ { t } } & { 1 - \lambda _ { t } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] + \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } \left[ \begin{array} { l l l } { - 2 L _ { t } m _ { t } } & { L _ { t } + m _ { t } } & { 0 } \\ { L _ { t } + m _ { t } } & { - 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \preceq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] = \mathcal { O } \left( \frac { \kappa _ { g } ^ { 5 / 2 } } { \sqrt { n K } } + \frac { \kappa _ { g } ^ { 3 } } { K } + \frac { \kappa _ { g } ^ { 7 / 2 } \sqrt { n } } { K ^ { 3 / 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } { \mathbb { I } \left\{ { \check { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } } & { \geq \exp \left( - J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } - 4 \sqrt { \frac { n ( p - q ) ^ { 2 } p } { q ^ { 2 } } } \right) \left( \frac { 1 } { 4 } - \sqrt { \frac { 2 } { n q } } \right) } \\ & { \geq \exp \left( - \left( 1 + \frac { 4 \sqrt { \frac { n ( p - q ) ^ { 2 } p } { q ^ { 2 } } } } { J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } } \right) J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \right) \left( \frac { 1 } { 4 } - \sqrt { \frac { 2 } { n q } } \right) } \\ & { \geq \exp \left( - \left( 1 + \frac { 4 \sqrt { \frac { n ( p - q ) ^ { 2 } p } { q ^ { 2 } } } } { n _ { 2 } \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { 8 p } } \right) J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \right) \left( \frac { 1 } { 4 } - \sqrt { \frac { 2 } { n q } } \right) } \\ & { \geq \exp \left( - \left( 1 + C _ { 2 } \sqrt { \frac { p } { n ( p - q ) ^ { 2 } } } \right) J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \right) , } \end{array}
k = \left[ \sum _ { q = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \beta \epsilon _ { q } } \right] ^ { - 1 } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { N } e ^ { - \beta \epsilon _ { 2 n } } B _ { 2 n } ^ { 2 } + \sum _ { m = 2 N + 2 } ^ { \infty } e ^ { - \beta \epsilon _ { m } } \right\}
\begin{array} { r l } { S _ { S } ^ { \mathrm { ( s ) } } ( \omega _ { e x } ) } & { { } = - \frac { 1 } { \pi } \Im \sum _ { \lambda = x , y , z } \langle \Psi _ { 0 } | \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \dagger } P _ { S } | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle , } \\ { \sigma _ { S } ^ { \mathrm { ( s ) } } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) } & { { } = - \frac { 1 6 \pi \omega _ { e m } ^ { 3 } \omega _ { e x } } { 9 c ^ { 4 } } \sum _ { \rho , \lambda = x , y , z } \Im \langle A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) | \hat { \mu } _ { \rho } P _ { S } | B _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) \rangle . } \end{array}
\dot { m } = \frac { Q _ { 1 } - Q _ { 2 } } { C _ { p } \left( T _ { 1 } ^ { \mathrm { \; i n } } - T _ { 1 } ^ { \mathrm { \; o u t } } - T _ { 2 } ^ { \mathrm { \; i n } } + T _ { 2 } ^ { \mathrm { \; o u t } } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \left| \psi ( \{ l m \} , j ) \right> _ { C A } = \sqrt { \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( j ) } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } \left| n \right> _ { C } \otimes \big ( } & { \eta _ { 1 } ^ { ( j ) } \left| n l m \right> + \eta _ { 2 } ^ { ( j ) } \left| l m n \right> + \eta _ { 3 } ^ { ( j ) } \left| m n l \right> } \\ & { + \eta _ { 4 } ^ { ( j ) } \left| n m l \right> + \eta _ { 5 } ^ { ( j ) } \left| m l n \right> + \eta _ { 6 } ^ { ( j ) } \left| l n m \right> \big ) _ { A } , } \end{array}
H _ { \mathrm { d p } \textrm { - } \mathrm { p h } } = \frac { Q } { M c } \sum _ { s = A , B } \sum _ { m = 1 } ^ { \mathcal { N } } \mathbf { \Pi } _ { m } ^ { s } \cdot \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { m } ^ { s } ) ,
Z ( \beta , \Omega ) = | Z ( \tau ) | ^ { 2 } = \exp \left( \frac { \pi ^ { 2 } l ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } G \beta ( 1 + l ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } ) } + \frac { \pi ^ { 2 } l } { \hbar \beta ( 1 + l ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } ) } \right) .
\lambda _ { a , \overline { { b } } , \overline { { \star } } } \cong ( ( \lambda _ { \mathcal { C } } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) _ { \star } ) _ { a , \overline { { b } } , \overline { { \star } } } \quad \textnormal { a n d } \quad \varrho _ { a , \overline { { b } } , \overline { { \star } } } \cong ( ( \varrho _ { \mathcal { C } } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) _ { \star } ) _ { a , \overline { { b } } , \overline { { \star } } } .
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } e ^ { i ( \mathbf { k } ^ { \prime } - \mathbf { k } ) ^ { T } \mathbf { r } } v _ { n , \mathbf { k } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) v _ { n , \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) \mathrm { d } \mathbf { r } , } \end{array}