harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { \alpha } ^ { \mathrm { p } } : = \mathrm { ~ s ~ p ~ a ~ n ~ } \left\{ B _ { i j k } ^ { \mathrm { p } } \right\} _ { i = 1 , j = 1 , k = 1 } ^ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } ,
\begin{array} { r l r } { 1 _ { \mathbf { a } } : } & { = } & { \left( 0 , \dots , 0 \right) \prec 2 _ { \mathbf { a } } : = \left( 0 , \dots , 0 , 1 \right) \prec 3 _ { \mathbf { a } } : = \left( 0 , \dots , 0 , 1 , 0 \right) \prec \dots \prec \left( n + 1 \right) _ { \mathbf { a } } : = \left( 1 , 0 , \dots , 0 \right) } \\ & { \prec } & { \left( n + 2 \right) _ { \mathbf { a } } : = \left( 0 , \dots , 0 , 2 \right) \prec \dots \prec ( { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert - 1 } ) _ { \mathbf { a } } : = \left( \nu _ { 1 } \left( a _ { 1 } \right) - 1 , \dots , \nu _ { n } \left( a _ { n } \right) - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R 1 _ { \textrm { d e t } } ^ { \textrm { S i N } } } & { = R _ { 1 } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { w g } } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { g r a t i n g } } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { d e t } } } \\ & { = 2 . 7 \times 1 0 ^ { - 1 3 } \alpha _ { 1 } ^ { \textrm { S i N } } \ \textrm { H z } , } \end{array}
\int _ { \mathcal { X } } \lVert P _ { Z } ^ { \perp } k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \left\langle e _ { i } , ( \mathcal { K } - \mathcal { K } ^ { Z } ) e _ { i } \right\rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \left\langle e _ { i } , P _ { Z } ^ { \perp } \mathcal { K } e _ { i } \right\rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu ) } .
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { b _ { 0 ~ ~ } } & { c _ { 0 ~ ~ } } & { } & { } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { 0 } & { b _ { 1 ~ ~ } ^ { ' } } & { c _ { 1 ~ ~ } } & { } & { } & { } & { } & { } & { } \end{array} \right] \left[ { \begin{array} { c } { \psi _ { 0 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { 1 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { 2 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { \psi _ { n - 1 } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { n ~ ~ } ^ { ~ } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { c } { g _ { 0 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { g _ { 1 ~ ~ } ^ { ' } } \\ { g _ { 2 ~ ~ } ^ { ' } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { g _ { n - 1 } ^ { ' } } \\ { g _ { n ~ ~ } ^ { ' } } \end{array} } \right] .
\mathbb { E } \Bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) d s \Bigg \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } \leq \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \Vert \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( u ( s ) ) \Vert _ { \mathcal { D } ( \mathcal { A } ) } ^ { 2 } d s .
g _ { i A } ^ { \prime } = g _ { i A } + g _ { i \mu } \xi _ { , A } ^ { \mu } + g _ { A \mu } \xi _ { , i } ^ { \mu } + \xi ^ { \mu } \frac { \partial g _ { i A } } { \partial x ^ { \mu } } + 0 ( \xi ^ { 2 } )
\widehat { \mathbf { T } } _ { + } ( z ) = \widehat { \mathbf { T } } _ { - } ( z ) \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \pi _ { 1 } , \pi _ { 1 5 } } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \pi _ { 7 } , \pi _ { 9 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - s _ { 0 } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \pi _ { 8 } , \pi _ { 1 6 } ^ { - } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } } \\ { s _ { 0 } } & { 0 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( z _ { 2 , - } , z _ { 2 , + } ) , } \end{array} \right.
+ \exp \left( - \frac { \Gamma _ { S } + \Gamma _ { L } } { 2 } t _ { 2 } \right) \cdot \left[ c \cdot \exp ( - i \Delta m _ { K } t _ { 2 } ) \left| \frac { 1 + \lambda _ { s } } { 4 } \right| ^ { 2 } + c ^ { \ast } \cdot \exp ( i \Delta m _ { K } t _ { 2 } ) \left| \frac { 1 - \lambda _ { s } } { 4 } \right| ^ { 2 } \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial h _ { 3 } } { \partial t } = - \frac { \gamma h _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \mu } \frac { \partial ^ { 4 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 4 } } , } \\ & { h _ { 3 } ( 0 , t ) = N _ { 1 } ( t ) , \: h _ { 3 } ( L _ { x } , t ) = N _ { 2 } ( t ) , } \\ & { \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } ( 0 , t ) = \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } ( L _ { x } , t ) = 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u = d i v ( ( \eta _ { \epsilon } + \phi ( z ) ^ { 2 } ) \nabla u ) - ( u - g ) \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times U } \\ { \partial _ { t } z = 2 \epsilon \Delta z - \phi ^ { \prime } ( z ) \phi ( z ) | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { 1 - z } { 2 \epsilon } \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times U } \\ { \frac { \partial } { \partial n } u = \frac { \partial } { \partial n } z = 0 \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \partial U } \\ { u ( 0 , \cdot ) = u _ { 0 } \mathrm { ~ a n d ~ } z ( 0 , \cdot ) = z _ { 0 } \mathrm { ~ i n ~ } \{ 0 \} \times U } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb Q \in \mathbb B _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) } \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } [ \ell ( \theta , Z ) ] \, } & { \geq \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } ~ \mathbb E _ { \mathbb Q ^ { \star } } [ \ell ( \theta , Z ) ] } \\ & { \geq \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } ~ \sum _ { j \in [ J ] } \sum _ { i \in \mathcal I _ { j } ^ { + } } q _ { i j } ^ { \star } \ell _ { i } ( \theta , \widehat z _ { j } + \xi _ { i j } ^ { \star } / q _ { i j } ^ { \star } ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } ~ \sum _ { i \in [ I ] } \sum _ { j \in [ J ] } q _ { i j } ^ { \star } \ell _ { i } ( \theta , \widehat z _ { j } + \xi _ { i j } ^ { \star } / q _ { i j } ^ { \star } ) } \\ & { \geq - \sum _ { i \in [ I ] } \sum _ { j \in [ J ] } q _ { i j } ^ { \star } \ell _ { i } ^ { * 1 } ( \alpha _ { i j } ^ { \star } / q _ { i j } ^ { \star } , \widehat z _ { j } + \xi _ { i j } ^ { \star } / q _ { i j } ^ { \star } ) - \sum _ { l \in [ L ] } \nu _ { l } ^ { \star } g _ { l } ^ { * } ( \beta _ { l } ^ { \star } / \nu _ { l } ^ { \star } ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } \operatorname* { s u p } _ { \mathbb Q \in \mathbb B _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } [ \ell ( \theta , Z ) ] \geq \operatorname* { s u p } _ { \mathbb Q \in \mathbb B _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) } \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } [ \ell ( \theta , Z ) ] , } \end{array} } \end{array}
\frac { R ( t ) } { \sqrt { m } } = - \mathbf { D } _ { P Q } ^ { 2 } \left[ \cos ( \mathbf { D } _ { Q Q } t ) \mathbf { x } _ { Q } ( 0 ) + \mathbf { D } _ { Q Q } ^ { - 1 } \sin ( \mathbf { D } _ { Q Q } t ) \mathbf { \dot { x } } _ { Q } ( 0 ) + \mathbf { D } _ { Q Q } ^ { - 2 } \cos ( \mathbf { D } _ { Q Q } t ) \mathbf { D } _ { Q P } ^ { 2 } \mathbf { x } _ { P } ( 0 ) \right] .
M ( \sigma \rightarrow \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) \simeq \sqrt { 2 } \Bigl ( { \frac { m _ { \sigma } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } } { f _ { \pi } } } \Bigr ) \langle { \pi ^ { - } | A _ { \pi ^ { - } } | \sigma } \rangle ,
\mathbf { r } = { \left\Vert \begin{array} { l } { \mathbf { r } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { r } _ { N } } \end{array} \right\Vert } , \qquad \qquad \mathbf { v } = { \left\Vert \begin{array} { l } { \mathbf { v } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { v } _ { N } } \end{array} \right\Vert } .
\left\| \begin{array} { l } { \underset { \tau \in \mathbb { R } } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ~ \tau } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } \frac { | \mathbb T _ { \tau } | } { N } \geq 0 . 9 5 4 5 . } \end{array} \right.
\hat { \Psi } _ { h } ( x _ { h } , { \bf b } _ { h } ) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \int \mathrm { d } ^ { 2 } k _ { \perp h } \Psi _ { h } ( x _ { h } , { \bf k } _ { \perp h } ) \, e ^ { - i { \bf k } _ { \perp h } \cdot { \bf b } _ { h } }
\begin{array} { r l } { Z _ { k + 1 } ^ { ( i ) } } & { = Z _ { k } ^ { ( i ) } + h ( \mathbf { J } _ { T } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } \nabla _ { y } \log \pi ( Z _ { k } ) ) ^ { ( i ) } + h ( \nabla _ { y } \cdot \mathbf { J } _ { T } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } ) ^ { ( i ) } + \sqrt { 2 h } ( \mathbf { J } _ { T } \xi _ { k + 1 } ) ^ { ( i ) } + N _ { k } ^ { ( i ) } + \mathcal { O } ( h ^ { 3 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } \langle u ^ { 2 } ( t ) \rangle } & { = \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \langle \hat { u } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { u } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \rangle } \\ & { = \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \langle \hat { A } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { A } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \rangle \hat { \chi } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { \chi } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \, . } \end{array}
{ \beta } _ { { K } ^ { * } } ( 0 ) = { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 \sqrt { 2 } } } { g } _ { V P P } ^ { 2 } \pi { { \alpha } _ { { K } ^ { * } } } ^ { \prime } { s } _ { 0 } \mathrm { c o s } { \theta } ,
P _ { U } [ \lambda , R , P _ { \lambda } , P _ { R } , \eta , { \mathbf r } , { \mathbf p } ; \rho ) = 0 , \quad P _ { V } [ \lambda , R , P _ { \lambda } , P _ { R } , \eta , { \mathbf r } , { \mathbf p } ; \rho ) = 0
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } ( 1 S , \mathrm { ~ H ~ } ) } & { { } = } & { \Big [ 1 \, 4 2 0 \, 4 5 3 . 1 0 6 ( 1 0 ) \underbrace { - 5 4 . 4 3 0 ( 7 ) \, \left( \frac { R _ { \mathrm { Z } } } { \mathrm { ~ f ~ m ~ } } \right) + E _ { \mathrm { F } } \, \Big ( 0 . 9 9 8 0 7 ( 1 3 ) \, \Delta _ { \mathrm { r e c o i l } } + 1 . 0 0 0 0 2 \, \Delta _ { \mathrm { p o l . } } \Big ) } _ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ i ~ n ~ c ~ l ~ u ~ d ~ i ~ n ~ g ~ r ~ a ~ d ~ i ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ c ~ o ~ r ~ r ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } \Big ] \, \mathrm { ~ k ~ H ~ z ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { t } - B _ { t - 1 } } & { \leq - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t - 1 } B _ { t - 1 } } { 4 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } F _ { t - 1 } } { 4 } + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t - 1 } C _ { t - 1 } } { 2 \mu } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } D _ { t - 1 } } { \mu \gamma } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } E _ { t - 1 } } { \mu \gamma } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { s _ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } } | \mathcal { F } Y ( s _ { 2 } - s _ { 1 } , \cdot ) ( \eta _ { 1 } ) | ^ { 2 } | \eta _ { 1 } | ^ { 2 - 4 H } \ensuremath { \mathrm { d } } s _ { 1 } \eta _ { 1 } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { s _ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { 2 \beta + 2 \gamma - 2 } E _ { \beta , \beta + \gamma } ^ { 2 } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { \beta } | \eta _ { 1 } | ^ { \alpha } \right) | \eta _ { 1 } | ^ { 2 - 4 H } \ensuremath { \mathrm { d } } s _ { 1 } \eta _ { 1 } } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { s _ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { 2 \beta + 2 \gamma - 2 - \frac { \beta ( 3 - 4 H ) } { \alpha } } \left( 2 ^ { - 1 } \nu \right) ^ { - \frac { 3 - 4 H } { \alpha } } E _ { \beta , \beta + \gamma } ^ { 2 } \left( - | \eta | ^ { \alpha } \right) | \eta | ^ { 2 - 4 H } \ensuremath { \mathrm { d } } s _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta < \infty , } \end{array}
\int e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } } \chi _ { \mu } ( \mathbf { r } ) \chi _ { \nu } ( \mathbf { r } ) d ^ { 3 } \mathbf { r } = \pi N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \frac { G ^ { 2 } } { 4 \alpha _ { \mu \nu } } } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } R ^ { 2 } } \sum _ { k } ^ { l _ { \mu \nu } } L _ { \mu \nu } ^ { k } ( R ) \sum _ { m } \left( \begin{array} { l } { k } \\ { m } \end{array} \right) \frac { ( \frac { - i G _ { x } } { 2 \alpha _ { \mu \nu } } ) ^ { k - m } \Gamma ( \frac { m + 1 } { 2 } ) } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { ( m + 3 ) / 2 } } .
\begin{array} { r l } { E _ { \{ N _ { \nu } \} } = \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \hbar \omega _ { \nu } ( N _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } ) \; = \; } & { { } E _ { \mathrm { g r o u n d \; s t a t e } } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \hbar \omega _ { \nu } N _ { \nu } \; , \; N _ { \nu } = 0 , 1 , 2 , . . . } \\ { E _ { \mathrm { g r o u n d \; s t a t e } } = \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \frac { \hbar \omega _ { \nu } } { 2 } \; , \; \Psi _ { \{ N _ { \nu } \} } ( \{ Q _ { \nu } \} ) } & { { } = \prod _ { \nu = 1 } ^ { \infty } \psi _ { N _ { \nu } } ( \beta _ { \nu } Q _ { \nu } ) \; , \; \beta _ { \nu } = \sqrt { \omega _ { \nu } / \hbar } } \end{array}
\frac { M _ { 1 } } { g _ { 1 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 5 } \frac { M _ { S U ( 5 ) } } { g _ { S U ( 5 ) } ^ { 2 } } + \frac { 2 4 } { 2 5 } \frac { M _ { U ( 1 ) } } { g _ { U ( 1 ) } ^ { 2 } } , \qquad M _ { 2 } = M _ { S U ( 5 ) } , \qquad M _ { 3 } = M _ { S U ( 5 ) } .
\begin{array} { r l r } { K ^ { 2 } \left( \frac { c ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } - \kappa ^ { 2 } \, \nu ^ { 2 } \right) \delta \widetilde { \Phi } } & { = } & { - \; \sqrt { \sigma } \; \kappa \, K \; \nu \; \delta \widetilde { A } _ { \| } , } \\ & { } & \\ { \left( K ^ { 2 } + \sigma \right) \delta \widetilde { A } _ { \| } } & { = } & { \sqrt { \sigma } \; \kappa \, K \; \nu \; \delta \widetilde { \Phi } . } \end{array}
\left| \begin{array} { c c c c } { { Q _ { 1 } ( \lambda - \frac { 3 i } { 2 } ) } } & { { Q _ { 1 } ( \lambda - \frac { i } { 2 } ) } } & { { Q _ { 1 } ( \lambda + \frac { i } { 2 } ) } } & { { Q _ { 1 } ( \lambda + \frac { 3 i } { 2 } ) } } \\ { { P _ { 1 } ( \lambda - \frac { 3 i } { 2 } ) } } & { { P _ { 1 } ( \lambda - \frac { i } { 2 } ) } } & { { P _ { 1 } ( \lambda + \frac { i } { 2 } ) } } & { { P _ { 1 } ( \lambda + \frac { 3 i } { 2 } ) } } \\ { { R _ { 1 } ( \lambda - \frac { 3 i } { 2 } ) } } & { { R _ { 1 } ( \lambda - \frac { i } { 2 } ) } } & { { R _ { 1 } ( \lambda + \frac { i } { 2 } ) } } & { { R _ { 1 } ( \lambda + \frac { 3 i } { 2 } ) } } \end{array} \right| \left| \begin{array} { c } { { ( \lambda + \frac { i } { 2 } ) ^ { N } } } \\ { { - T ^ { + } ( \lambda ) } } \\ { { T ^ { - } ( \lambda ) } } \\ { { - ( \lambda - \frac { i } { 2 } ) ^ { N } } } \end{array} \right| = 0 .
\begin{array} { r } { \left| \operatorname* { P r } \left( \frac { \sqrt { n } ( \hat { \theta } _ { i } - \theta _ { i } ^ { * } ) } { \sigma \sqrt { c _ { i i } } } \leq \tau \right) - \Phi \left( \tau \right) \right| \leq \frac { \delta _ { R } } { \sigma \sqrt { c _ { i i } } } \phi \left( \tau \right) + 2 d e ^ { - c _ { * } n / K } + d e ^ { - c n } + \frac { 6 } { d ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 5 _ { 2 } , 0 } ( x , q ) } & { = - q ^ { - 2 } x ^ { 2 } ( 1 - q ^ { - 2 } x ) ( 1 + q ^ { - 2 } x ) ( 1 - q ^ { - 5 } x ^ { 2 } ) \, , } \\ { P _ { 5 _ { 2 } , 1 } ( x , q ) } & { = q ^ { 3 / 2 } x ^ { - 3 } ( 1 - q ^ { - 1 } x ) ( 1 + q ^ { - 1 } x ) ( 1 - q ^ { - 5 } x ^ { 2 } ) } \\ & { \quad \cdot ( 1 - q ^ { - 1 } x - q ^ { - 1 } x ^ { 2 } - q ^ { - 4 } x ^ { 2 } + q ^ { - 2 } x ^ { 2 } + q ^ { - 3 } x ^ { 2 } + q ^ { - 2 } x ^ { 3 } + q ^ { - 5 } x ^ { 3 } + q ^ { - 5 } x ^ { 4 } + q ^ { - 5 } x ^ { 4 } - q ^ { - 6 } x ^ { 5 } ) \, , } \\ { P _ { 5 _ { 2 } , 2 } ( x , q ) } & { = q ^ { 5 } x ^ { - 5 } ( 1 - q ^ { - 2 } x ) ( 1 + q ^ { - 2 } x ) ( 1 - q ^ { - 1 } x ^ { 2 } ) } \\ & { \quad \cdot ( 1 - q ^ { - 2 } x - q ^ { - 2 } x - q ^ { - 2 } x ^ { 2 } - q ^ { - 5 } x ^ { 2 } + q ^ { - 4 } x ^ { 3 } + q ^ { - 7 } x ^ { 3 } - q ^ { - 5 } x ^ { 3 } - q ^ { - 6 } x ^ { 3 } + q ^ { - 7 } x ^ { 4 } - q ^ { - 9 } x ^ { 5 } ) \, , } \\ { P _ { 5 _ { 2 } , 3 } ( x , q ) } & { = q ^ { \frac { 1 1 } { 2 } } x ^ { - 5 } ( 1 - q ^ { - 1 } x ) ( 1 + q ^ { - 1 } x ) ( 1 - q ^ { - 1 } x ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } + \mathcal { L } _ { u ^ { L } } ) \Big ( N \nabla \phi \cdot d { \mathbf { x } } \otimes d ^ { 3 } x \Big ) } & { { } = - \left( \mathrm { d i v } \Big ( \frac { \delta H _ { W } } { \delta { \mathbf { k } } } \Big ) d \phi - N d \Big ( \frac { \delta H _ { W } } { \delta N } \Big ) \right) \otimes d ^ { 3 } x \, . } \end{array}
k _ { \mathrm { p } } \left( x , y \right) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 } \left( \left\langle \hat { u } ^ { 2 } \right\rangle + \left\langle \hat { v } ^ { 2 } \right\rangle + \left\langle \hat { w } ^ { 2 } \right\rangle \right) \mathrm { ~ d } z .
\left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l l } { \bar { P } _ { i } } & { \star } & { \star } \\ { A _ { i } } & { \operatorname { H e } ( X _ { i } ) + B B ^ { \top } } & { \star } \\ { 0 } & { \bar { P } _ { j } X _ { i } } & { \bar { P } _ { j } } \end{array} } \end{array} \right] \succ 0 , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i , j \in \mathcal { N } .
W \approx \prod _ { i } { \frac { ( N _ { i } + g _ { i } ) ^ { N _ { i } + g _ { i } } } { N _ { i } ^ { N _ { i } } g _ { i } ^ { g _ { i } } } } \approx \prod _ { i } { \frac { g _ { i } ^ { N _ { i } } ( 1 + N _ { i } / g _ { i } ) ^ { g _ { i } } } { N _ { i } ^ { N _ { i } } } }
\begin{array} { r l } { \Psi ( x _ { A } , } & { x _ { B } ) \equiv \langle x _ { A } , x _ { B } \vert \Psi \rangle \propto e ^ { - \frac { e ^ { 2 r _ { A } } x _ { A } ^ { 2 } + e ^ { 2 r _ { B } } x _ { B } ^ { 2 } } { 4 } } } \\ & { \times ( ( e ^ { 2 r _ { A } } - 1 ) \cos { ( \phi ) } x _ { A } + ( e ^ { 2 r _ { B } } - 1 ) \sin { ( \phi ) } x _ { B } ) . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { 3 } a _ { i } ^ { 2 } + b _ { i } ^ { 2 } \geq \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } 2 | a _ { i } b _ { i } | \Rightarrow 2 \geq 2 ( | a _ { 1 } b _ { 1 } | + | a _ { 2 } b _ { 2 } | + | a _ { 3 } b _ { 3 } | ) \geq 2 ( | a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + a _ { 3 } b _ { 3 } | ) \Rightarrow | a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + a _ { 3 } b _ { 3 } | \leq 1
\left( \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \end{array} \right) ,
\mathcal { L _ { G F } ^ { \prime } } \, = \, \frac { 1 } { 2 \xi } \Big ( \partial _ { \mu } A _ { \mu } ^ { a } \Big ) ^ { 2 } \, - \, \frac { \xi } { 2 } \bigg ( \frac { g } { 2 } f ^ { a b c } \bar { c } ^ { b } c ^ { c } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \, \bar { c } ^ { a } \, \Big ( \partial _ { \mu } D _ { \mu } ^ { a b } + D _ { \mu } ^ { a b } \partial _ { \mu } \Big ) c ^ { b } \; .
B _ { r } = \frac { \mu _ { 0 } I _ { 1 } z } { 2 \pi r [ ( R _ { 1 } + r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } \left[ \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } + r ^ { 2 } + z ^ { 2 } } { ( R _ { 1 } - r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } E - K \right]
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 1 } = D _ { 1 } \Delta u _ { 1 } - \xi _ { 1 } \nabla \cdot \left( u _ { 1 } \nabla u _ { 3 } \right) + \mu _ { 1 } u _ { 1 } ( 1 - u _ { 1 } ^ { r } ) - \frac { \rho \, u _ { 1 } u _ { 4 } } { k _ { u _ { 1 } } + \theta \, u _ { 1 } } , } } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 2 } = D _ { 2 } \Delta u _ { 2 } - \xi _ { 2 } \nabla \cdot \left( u _ { 2 } \nabla u _ { 3 } \right) + \frac { \rho \, u _ { 1 } u _ { 4 } } { k _ { u _ { 1 } } + \theta \, u _ { 1 } } - \delta _ { 2 } u _ { 2 } } , } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 3 } = - u _ { 3 } \left( \alpha _ { 1 } u _ { 1 } + \alpha _ { 2 } u _ { 2 } \right) + \mu _ { 3 } u _ { 3 } ( 1 - u _ { 3 } ) } , } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 4 } = D _ { 4 } \Delta u _ { 4 } - \xi _ { 4 } \nabla \cdot \left( u _ { 4 } \nabla u _ { 3 } \right) + \beta u _ { 2 } - \delta _ { 4 } u _ { 4 } - \frac { \rho \, u _ { 1 } u _ { 4 } } { k _ { u _ { 1 } } + \theta \, u _ { 1 } } } . } \end{array} \right.
g _ { p } = c _ { 1 } \ { _ 2 } F _ { 1 } \left( \frac { - 1 - b } { 4 } , \frac { - 1 + b } { 4 } , \frac { 1 } { 2 } , - x ^ { 2 } \right) + c _ { 2 } \ x \ { _ 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 - b } { 4 } , \frac { 1 + b } { 4 } , \frac { 3 } { 2 } , - x ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} = } & { { } \ldots - L \left( \frac { 1 } { D } \frac { \delta G } { \delta u } , \theta ; s \left( u ; \frac { \delta F } { \delta \theta } \right) + \tau S \left( u ; s \left( u ; \frac { \delta F } { \delta \theta } \right) \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( r ) } & { { } = \frac { \delta { F } _ { \mathrm { { e l } } } } { \delta ( u ^ { \prime } ( r ) ) } = \frac { 1 } { r } \frac { \delta ( r f ) } { \delta ( u ^ { \prime } ( r ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \phi \rangle } & { { } = } & { \prod _ { { \bf k } } u _ { { \bf k } } \left[ 1 + \frac { v _ { { \bf k } } } { u _ { { \bf k } } } \hat { c } _ { { \bf k } \mathrm { \uparrow } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { \bf - k } \mathrm { \downarrow } } ^ { \dagger } \right] | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { R } ^ { l } } & { = } & { k _ { f , 0 } ^ { l } e ^ { - \Delta Z _ { l } \beta ( \phi _ { p } ^ { l } - \phi ^ { l } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( C _ { i } ^ { l } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } ^ { l } e ^ { \Delta Z _ { l } ( 1 - \beta ) ( \phi _ { p } ^ { l } - \phi ^ { l } ) } ( C _ { e } ^ { l } ) ^ { - \Delta z ^ { l } } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( C _ { i } ^ { l } \right) ^ { b _ { i } } } \\ & { = } & { k _ { f } ^ { l } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( C _ { i } ^ { l } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r } ^ { l } ( C _ { e } ^ { l } ) ^ { - \Delta z ^ { l } } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( C _ { i } ^ { l } \right) ^ { b _ { i } } } \\ { \mathcal { R } ^ { r } } & { = } & { k _ { f , 0 } ^ { r } e ^ { - \Delta Z _ { r } \beta ( \phi _ { p } ^ { r } - \phi ^ { r } ) } ( C _ { e } ^ { r } ) ^ { \Delta z ^ { r } } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( C _ { i } ^ { r } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } ^ { r } e ^ { \Delta Z _ { r } ( 1 - \beta ) ( \phi _ { p } ^ { r } - \phi ^ { r } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( C _ { i } ^ { r } \right) ^ { b _ { i } } . } \\ & { = } & { k _ { f } ^ { r } ( C _ { e } ^ { r } ) ^ { \Delta z ^ { r } } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( C _ { i } ^ { r } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r } ^ { r } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( C _ { i } ^ { r } \right) ^ { b _ { i } } } \end{array}
\mathcal { D } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \hat { w } _ { n - 1 } ^ { ( p ) } ( x _ { n } ) = \mathcal { D } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \hat { w } _ { n } ^ { ( p ) } ( x _ { n } ) ,
h ^ { \mu \nu } ( z , w ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } ( - w ) ^ { n - 1 } ( - z ) ^ { m - 1 } \sqrt { n m } S ^ { n m } \eta ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { \mu \nu } \frac { 1 } { ( z - w ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { H _ { S ^ { \perp } } : = \left\{ f \in L _ { 0 } ^ { 2 } : f _ { j } = 0 \mathrm { ~ i f ~ j \in ~ S ~ } , \right\} , } \\ & { S ^ { + } = \left\{ 0 < j _ { 1 } , \ldots , < j _ { \nu } \in \mathbb { N } \right\} , \ S : = S \cup ( - S ) , \quad S ^ { \perp } : = \mathbb { Z } \backslash \left( S \cup \left\{ 0 \right\} \right) , } \end{array}
< 0 | T \ C _ { - } ( x ) C _ { - } ( y ) | 0 > = m ^ { 2 } E _ { F } ^ { 2 } ( x _ { L } - y _ { L } ) [ m ^ { 2 } - \Delta _ { \perp } ] ^ { - 1 } ( x _ { \perp } - y _ { \perp } ) .
\sum _ { J = | j _ { 1 } - j _ { 2 } | } ^ { j _ { 1 } + j _ { 2 } } \sum _ { M = - J } ^ { J } \langle j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } | J \, M \rangle \langle J \, M | j _ { 1 } \, m _ { 1 } ^ { \prime } \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } ^ { \prime } \rangle = \langle j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } | j _ { 1 } \, m _ { 1 } ^ { \prime } \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } ^ { \prime } \rangle = \delta _ { m _ { 1 } , m _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { m _ { 2 } , m _ { 2 } ^ { \prime } }