harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { ( w ^ { \prime } , T ^ { \prime } , p ^ { \prime } ) = [ W ( z ) , \theta ( z ) , \pi ( z ) ] \exp ( - i \sigma t + i a x ) , } \\ & { ( { w } _ { m } ^ { \prime } , { T } _ { m } ^ { \prime } , p _ { m } ^ { \prime } ) = [ { W } _ { m } ( z _ { m } ) , \theta _ { m } ( z _ { m } ) , \pi ( z _ { m } ) ] \exp ( - i \sigma _ { m } t _ { m } + i a _ { m } x _ { m } ) . } \end{array}
\int \frac { d ^ { d } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } } \; \left[ H ^ { 1 2 } \left( q \right) G ^ { 1 2 } \left( p - q \right) G ^ { 2 1 } \left( p \right) - H ^ { 2 1 } \left( q \right) G ^ { 2 1 } \left( p - q \right) G ^ { 1 2 } \left( p \right) \right] = 0
\begin{array} { r l r } { c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { { } = } & { t _ { + } , } \\ { \alpha c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } - \alpha c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { { } = } & { t _ { + } , } \\ { c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { { } = } & { t _ { - } \mathrm { e } ^ { - 2 i \mathbf { K } \cdot \mathbf { r } _ { j } } , } \\ { - \beta c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + \beta c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { { } = } & { t _ { - } \mathrm { e } ^ { - 2 i \mathbf { K } \cdot \mathbf { r } _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \! \! \{ 1 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \{ 1 \} } \\ { \{ 1 \} \! } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \{ 1 \} } \\ { \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 1 \} \! } & { \! \! \{ 1 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \right) \! , \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \{ 2 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
{ \frac { d \, \alpha _ { \mathrm { s } } ( \mu ) } { d \log \mu ^ { 2 } } } \equiv \beta ( \alpha _ { \mathrm { s } } ) = - \alpha _ { \mathrm { s } } \left( \beta _ { 0 } { \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } } { 4 \pi } } + \beta _ { 1 } \left( { \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } } { 4 \pi } } \right) ^ { 2 } + \cdots \right)
C _ { \mu \nu } = \nabla ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \delta ^ { 2 } ( x - y )
\frac { \partial \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } } { \partial r _ { s } } \leq \frac { \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } } { r _ { s } } \, \quad \mathrm { ~ ( ~ c ~ o ~ n ~ j ~ e ~ c ~ t ~ u ~ r ~ e ~ ) ~ } .
L ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \partial + { \frac { 1 } { 1 2 } } u \partial ^ { - 1 } - { \frac { 1 } { 2 4 } } u _ { x } \partial ^ { - 2 } + { \frac { 1 } { 4 8 } } \left( u _ { x x } - { \frac { 1 } { 6 } } u ^ { 2 } \right) \partial ^ { - 3 } + \cdots
i \sigma _ { 1 } ( L _ { 1 2 } ) = r ^ { - 1 } \sigma \frac { 4 \mathbf { Q } _ { 0 } } { r \alpha } \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \mathrm { a t } \quad K .
M _ { s } = \left( g _ { R K + K ^ { - } } \sum _ { R R ^ { \prime } } G _ { R R ^ { \prime } } ^ { - 1 } ( m ) g _ { R ^ { \prime } K ^ { + } K ^ { - } } + \frac { g _ { a _ { 0 } K ^ { + } K ^ { - } } ^ { 2 } } { D _ { a _ { 0 } } ( m ) } \right) g ( m ^ { 2 } ) ( q ^ { \mu } \frac { e ( \gamma ) p } { p q } - e ( \gamma ) ^ { \mu } ) e ^ { \mu } ( \phi )
\begin{array} { r l r } & { } & { { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \pi / 2 , \pi / 2 ) { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } , \pi ) { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( 0 , \pi ) { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( - \pi / 2 , \pi / 2 ) } \\ & { } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { - i } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \cos ( { \it \Delta \phi } ) } & { - \sin ( { \it \Delta \phi } ) } \\ { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } & { \cos ( { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { } & { = - \left( \begin{array} { c c } { \exp ( - i { \it \Delta \phi } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp ( + i { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) } \\ & { } & { = - { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( 2 { \it \Delta \phi } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } ( x ) = } & { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \lambda + \frac { 1 } { x } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { x ^ { 3 } } ( - ( \lambda + \frac { 1 } { x } + x ) ( C - e r f ( \frac { \lambda + \frac { 1 } { x } } { \sqrt { 2 } } ) ) } \\ { - } & { ( \lambda + \frac { 1 } { x } + x ) e r f ( \frac { \lambda + 1 } { \sqrt { 2 } } ) + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle Q _ { 1 } , Q _ { 2 } \rangle _ { H ^ { k } ( \Omega ) } } & { = \sum _ { | \beta | \leq k } \langle D _ { \beta } Q _ { 1 } , D _ { \beta } Q _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } = \sum _ { | \beta | \leq k } \langle D _ { \beta } ^ { * } D _ { \beta } Q _ { 1 } , Q _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } } \\ & { = \langle \big ( \sum _ { | \beta | \leq k } D _ { \beta } ^ { * } D _ { \beta } \big ) Q _ { 1 } , Q _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta \omega } \right. } & { { } - \left. q \nabla \frac { \delta C } { \delta D } + r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta b } \right) = \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \Psi ( r ) + r \nabla ^ { \perp } \big ( \Phi ^ { \prime } ( r ) + q \Psi ^ { \prime } ( r ) \big ) \right) } \end{array}
\dot { \Psi } ^ { R } = i [ H ^ { R } , \Psi ^ { R } ] = \gamma _ { 0 } ( - i \gamma _ { i } \partial _ { i } - e \gamma _ { i } V _ { i } ^ { R } + m ) \Psi ^ { R } + { \frac { e } { 2 } } \left\{ \Psi ^ { R } , { \frac { 1 } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } J _ { 0 } \right\} ~ ,
\begin{array} { r } { \partial _ { \rho } \hat { p } _ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \rho , x , t ) = 0 \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \rho \in \ensuremath { \mathbb { R } } , ( x , t ) \in \Gamma ( 3 \delta ) . } \end{array}
\theta _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \widetilde { \alpha } \, d t \, , \qquad \theta _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } = - \frac { 1 } { \mathsf { A } } \int _ { \gamma } p _ { 2 } \, d \psi _ { 2 } \, .
T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 4 } \sqrt { 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } + T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 4 } \cdot \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } = o ( T ) + T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 4 } \cdot \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| \frac { \lambda _ { 1 } ( \Sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } A \Sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) } { \lambda _ { m } ( \Sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } A \Sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) } \right| \leq \left| \frac { \lambda _ { 1 } ( A ) \lambda _ { 1 } ( \Sigma ) } { \lambda _ { m } ( A ) \lambda _ { m } ( \Sigma ) } \right| = \left| \frac { \lambda _ { 1 } ( A ) } { \lambda _ { m } ( A ) } \right| \frac { \lambda _ { 1 } ( \Sigma ) } { \lambda _ { m } ( \Sigma ) } . } \end{array}
\mathrm { S C } ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } , \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) = \{ \| \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } - \mathbf { w } ^ { ( n ) } \| _ { 2 } / \| \mathbf { w } ^ { ( n ) } \| _ { 2 } > \tau _ { \mathrm { F P } } \} \ \mathrm { a n d } \ \{ n < \texttt { m a x \_ i t s } \} \ \mathrm { a n d } \ \{ \mathrm { S W } ^ { ( \operatorname* { m a x } \{ n , n _ { 0 } \} ) } > \tau _ { \mathrm { S W } } \} .
[ { \cal L } _ { n , m } , { \cal L } _ { k , l } ] = \sum _ { s = 0 } ^ { \mathrm { M i n } ( m , k ) } { \frac { ( m + 1 ) ! ( k + 1 ) ! } { ( m - s ) ! ( k - s ) ! ( s + 1 ) ! } } { \cal L } _ { n + k - s , m + l - s } - ( m \leftrightarrow l , n \leftrightarrow k ) \, .
\begin{array} { r l r } { W _ { O N } ^ { T o t a l } } & { \space \space = \space \space } & { \Delta K E \qquad \qquad . . . . . . . . . . . . ( 2 ^ { \prime } ) } \\ { W _ { O N } ^ { N - T D } \space + \space W _ { O N } ^ { T D } } & { \space \space = \space \space } & { \Delta K E } \\ { - \Delta P E \space + \space W _ { O N } ^ { T D } } & { \space \space = \space \space } & { \Delta K E } \\ { W _ { O N } ^ { T D } } & { \space \space = \space \space } & { \Delta K E \space + \space \Delta P E \qquad \qquad . . . . . . . . . . . . ( 3 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { n } \leq \log ( { F _ { n } ( x ) } ^ { 2 } + 4 ) = } & { \log \left[ 2 n ^ { 2 } C _ { 0 } ^ { 4 / 3 } \left( V ^ { 2 / 3 } + \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } C _ { 0 } ^ { 2 / 3 } } \right) ^ { 2 } + 8 \right] } \\ { = } & { \log \left[ n ^ { 2 } \left( \sqrt { 2 } \left( C _ { 0 } V \right) ^ { 2 / 3 } + 4 \pi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 8 \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } } & { = - \nu ( \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { 0 } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } { k } [ - 2 \ell + k ^ { 2 } - 3 \ell ^ { 2 } + 4 \ell ( k ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) ] G _ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } { k } [ 2 \ell + k ^ { 2 } - 3 \ell ^ { 2 } - 4 \ell ( k ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) ] G _ { 1 } } \\ & { + i \ell B _ { 0 } ( \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } ( - 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } ( 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { 1 } , } \\ { p H _ { 0 } } & { = - \eta ( \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } { k } H _ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } { k } H _ { 1 } + \frac { i \ell B _ { 0 } } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { 0 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } ( 1 + 2 \ell ) G _ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } ( 1 - 2 \ell ) G _ { 1 } } \\ { p G _ { 1 } } & { = - \nu ( 1 + 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } { k } \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } G _ { 0 } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + 3 \ell + k ^ { 2 } + 3 \ell ^ { 2 } ) H _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } H _ { 0 } } \\ { p G _ { - 1 } } & { = - \nu ( 1 - 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } { k } \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } G _ { 0 } } \\ & { - i B _ { 0 } ( 1 - 3 \ell + k ^ { 2 } + 3 \ell ^ { 2 } ) H _ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } H _ { 0 } , } \\ { p H _ { 1 } } & { = - \eta ( 1 + 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } { k } H _ { 0 } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 - \ell - k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } ) G _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } \frac { 1 } { k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } } \\ { p H _ { - 1 } } & { = - \eta ( 1 - 2 \ell + \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } { k } H _ { 0 } } \\ & { - i B _ { 0 } ( 1 + \ell - k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } ) G _ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } \frac { 1 } { k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } } \end{array}
D _ { \nu } \eta ^ { \mu } = \partial _ { \nu } \eta ^ { \mu } - \eta ^ { \beta } \Gamma _ { \beta \nu } ^ { \mu } + \eta ^ { \mu } \theta _ { \nu } D \equiv \mathcal { D } _ { \nu } \eta ^ { \mu } + \theta _ { \nu } \eta ^ { \mu } D
S _ { \tau } = 2 I \Gamma k _ { B } T + 4 \beta ^ { 2 } P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } G _ { D } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } S _ { \theta _ { n } } [ \omega ]
\begin{array} { r l } { b = \, } & { \varsigma ( x _ { 1 } y _ { 1 } ) - \varsigma ( x _ { 1 } ) \varsigma ( y _ { 1 } ) + \varsigma ( x _ { 1 } y _ { 2 } ) - \varsigma ( x _ { 1 } ) \varsigma ( y _ { 2 } ) + \varsigma ( x _ { 1 } y _ { 3 } ) - \varsigma ( x _ { 1 } ) \varsigma ( y _ { 3 } ) } \\ & { + \varsigma ( x _ { 2 } y _ { 1 } ) - \varsigma ( x _ { 2 } ) \varsigma ( y _ { 1 } ) + \varsigma ( x _ { 2 } y _ { 2 } ) - \varsigma ( x _ { 2 } ) \varsigma ( y _ { 2 } ) - \varsigma ( x _ { 2 } y _ { 3 } ) + \varsigma ( x _ { 2 } ) \varsigma ( y _ { 3 } ) } \\ & { + \varsigma ( x _ { 3 } y _ { 1 } ) - \varsigma ( x _ { 3 } ) \varsigma ( y _ { 1 } ) - \varsigma ( x _ { 3 } y _ { 2 } ) + \varsigma ( x _ { 3 } ) \varsigma ( y _ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \sum _ { \gamma , \delta = 1 , 2 } T r [ A _ { \gamma \delta } ( 1 ) A _ { \delta \gamma } ( 2 ) ] = \sum _ { \gamma , \delta = 1 , 2 } T r ( I _ { 1 } \delta _ { 1 \gamma } \delta _ { 1 \delta } \delta _ { 2 \gamma } \delta _ { 2 \delta } } } \\ { { - \delta _ { 2 \gamma } \delta _ { 2 \delta } s _ { 1 \gamma } ^ { \dagger } s _ { 1 \delta } - \delta _ { 1 \gamma } \delta _ { 1 \delta } s _ { 2 \delta } ^ { \dagger } s _ { 2 \gamma } + s _ { 1 \gamma } ^ { \dagger } s _ { 1 \delta } s _ { 2 \delta } ^ { \dagger } s _ { 2 \gamma } ) } . } \end{array}
\underbrace { \rho _ { s } b \frac { \partial ^ { 2 } u _ { r } } { \partial t ^ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ e ~ r ~ t ~ i ~ a ~ } , ~ \mathcal { O } ( S t ) } + \underbrace { \frac { u _ { r } } { k } } _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ f ~ f ~ n ~ e ~ s ~ s ~ } , ~ \mathcal { O } ( 1 ) } - \underbrace { \chi _ { t } \frac { \partial ^ { 2 } u _ { r } } { \partial z ^ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ n ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } , ~ \mathcal { O } ( \theta _ { t } ) } + \underbrace { \chi _ { b } \frac { \partial ^ { 4 } u _ { r } } { \partial z ^ { 4 } } } _ { \mathrm { ~ b ~ e ~ n ~ d ~ i ~ n ~ g ~ } , ~ \mathcal { O } ( \theta _ { b } ) } = \underbrace { p } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ a ~ d ~ } , ~ \mathcal { O } ( 1 ) }
\begin{array} { r l } { \eta } & { { } = \eta _ { 0 } \; \exp \Biggl \{ ( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 ) \times \bigg [ - 1 + \left( 1 + 5 . 1 \times 1 0 ^ { - 9 } p \right) ^ { \frac { \alpha } { 5 . 1 \times 1 0 ^ { - 9 } \left( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 \right) } } \left( \frac { T - 1 3 8 } { T _ { 0 } - 1 3 8 } \right) ^ { - \frac { \beta ( T _ { 0 } - 1 3 8 ) } { \left( \ln \eta _ { 0 } + 9 . 6 7 \right) } } \bigg ] \Biggl \} , } \\ { \eta ^ { * } } & { { } = \frac { \eta \left( \tau _ { e } / \tau _ { 0 } \right) } { \sinh { \left( \tau _ { e } / \tau _ { 0 } \right) } } , } \\ { \rho } & { { } = \rho _ { 0 } \left( 1 + \frac { 0 . 6 \times 1 0 ^ { - 9 } p } { 1 + 1 . 7 \times 1 0 ^ { - 9 } p } \right) \left[ 1 - 0 . 0 0 0 6 5 \left( T - T _ { 0 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { { } = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ \left( f ( \widehat { L } ) - \frac { D } { P ( \widehat { L } , t ) } \frac { \partial P ( \widehat { L } , t ) } { \partial \widehat { L } } \right) P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { x , y } \ } & { C ^ { u } ( x _ { [ R ] } , y ^ { u } ) + \sum _ { r \in [ R ] } C _ { r } ^ { l } ( x _ { r } , y _ { r } ^ { l } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { h ^ { u } ( x _ { [ R ] } , y ^ { u } ) \leq 0 , } \\ & { h _ { r } ^ { l } ( x _ { r } , y _ { r } ^ { l } ) \leq 0 , \forall r \in [ R ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { f } ^ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \gamma ^ { r } } \left( f e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } + ( 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } ) A ^ { r } f ^ { t } \right) } \\ { \textrm { a n d } \quad \widetilde { f } ^ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \gamma ^ { r } } \left( f - ( 1 - e ^ { - \nu \frac { \Delta t } { 2 } } ) B ^ { r } f ^ { t } \right) } \end{array}
\mathcal { M } ( { \bf k } , \omega ) \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { C } } _ { \bf k } ( \omega ) } \\ { \hat { \mathcal { X } } _ { \bf k } ( \omega ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C } ( \omega ) } \\ { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X } ( \omega ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \underset { \mathbf { x } } { \mathrm { ~ M ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } } & { { } ~ C ( \mathbf { x } ) } \\ { \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } } & { { } ~ V _ { i } ( \mathbf { x } ) \le \overline { { V } } _ { i } , ~ i \in [ 1 , N _ { g } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 4 3 2 1 } ^ { ( 5 ) } } & { = ( s _ { 1 0 . } + s _ { 4 2 } + s _ { 4 3 } + s _ { 6 1 } + s _ { 6 2 } + s _ { 7 1 } + s _ { 8 1 } + s _ { 3 1 1 } + s _ { 4 1 1 } + s _ { 5 1 1 } + s _ { 1 1 1 1 } ) \otimes s _ { 1 1 1 1 1 } } \\ & { \qquad + ( s _ { 4 } + s _ { 5 } + s _ { 6 } + s _ { 7 } + s _ { 8 } + s _ { 2 1 } + s _ { 3 1 } + 2 s _ { 4 1 } + 2 s _ { 5 1 } + s _ { 6 1 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + s _ { 2 2 } + s _ { 3 2 } + s _ { 4 2 } + s _ { 2 1 1 } + s _ { 3 1 1 } ) \otimes s _ { 2 2 1 } } \\ & { \qquad + ( s _ { 2 } + s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 5 } + s _ { 6 } + s _ { 2 1 } + s _ { 3 1 } + s _ { 4 1 } + s _ { 2 2 } ) \otimes s _ { 3 2 } } \\ & { \qquad + ( e _ { 1 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 4 3 2 1 } ) \otimes s _ { 2 1 1 1 } + ( e _ { 2 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 4 3 2 1 } ) \otimes s _ { 3 1 1 } + ( e _ { 3 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 4 3 2 1 } ) \otimes s _ { 4 1 } + ( e _ { 4 } ^ { \perp } \mathcal { A } _ { 4 3 2 1 } ) \otimes s _ { 5 } . } \end{array}
f _ { Z } ( r ) = h _ { 1 } e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \left( r _ { Z } ^ { m } \right) ^ { 2 } } } + h _ { 2 } e ^ { - \frac { r } { r _ { Z } ^ { m } } } + \frac { h _ { 3 } } { 1 + ( r / r _ { Z } ^ { m } ) ^ { 2 n } } ,
\begin{array} { r } { r _ { k } = \frac { p _ { k } + p _ { * k } } { R _ { k } \theta } , \ \ \varepsilon _ { k } ( \theta , p _ { k } ) = c _ { V k } \theta + \frac { R _ { k } p _ { * k } \theta } { p _ { k } + p _ { * k } } + \varepsilon _ { 0 k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { H _ { 1 } } \approx H _ { 0 } + V _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } + V _ { \mathrm { ~ s ~ r ~ } } + V _ { \mathrm { ~ d ~ h ~ } } + V _ { \mathrm { ~ q ~ h ~ } } , } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { L } _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \gamma } _ { 3 } } = \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \frac { \partial \left( \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \right) _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \gamma } _ { 3 } } + \cdots = \mp \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 3 } \kappa \left( \frac { \pi \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } \, L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \, \frac { \partial B _ { 1 } } { \partial \tilde { \gamma } _ { 3 } } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) + \cdots ,
{ \hat { R } } ^ { a b c d } { \hat { R } } _ { a b c d } = 8 4 \, k ^ { 4 } + \frac { 2 4 \, Q ^ { 2 } e ^ { 4 k z } ( 8 \, r ^ { 4 } + Q ^ { 2 } ) } { { ( r ^ { 2 } + Q ) } ^ { 6 } }
\Big [ \hat { T } _ { n } + E _ { J } ( R ) \Big ] | \, \mathbf { \xi } _ { J } ^ { T } ( R ) \rangle + \sum _ { I } \hat { \Lambda } _ { J I } | \, \mathbf { \xi } _ { I } ^ { T } ( R ) \rangle = \mathcal { E } ^ { T } | \, \mathbf { \xi } _ { J } ^ { T } ( R ) \rangle ~ .
\begin{array} { r l } { P ( l ^ { i n t r a } = L ^ { i n t r a } ) } & { = \binom { L _ { m a x } ^ { i n t r a } } { L ^ { i n t r a } } p ^ { L ^ { i n t r a } } ( 1 - p ) ^ { L _ { m a x } ^ { i n t r a } - L ^ { i n t r a } } } \\ { P ( l ^ { i n t e r } = L ^ { i n t e r } ) } & { = \binom { L _ { m a x } ^ { i n t e r } } { L ^ { i n t e r } } p ^ { L ^ { i n t e r } } ( 1 - p ) ^ { L _ { m a x } ^ { i n t e r } - L ^ { i n t e r } } } \\ { P ( l ^ { r e p l i c a } = L ^ { r e p l i c a } ) } & { = \binom { L _ { m a x } ^ { r e p l i c a } } { L ^ { r e p l i c a } } p ^ { L ^ { r e p l i c a } } ( 1 - p ) ^ { L _ { m a x } ^ { r e p l i c a } - L ^ { r e p l i c a } } , } \end{array}
\left\vert \left\vert \left\vert e ^ { N } \right\vert \right\vert \right\vert \leq \left\vert \left\vert \left\vert e ^ { 0 } \right\vert \right\vert \right\vert + C \left( \tau _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 1 / 2 } ( h ^ { m } + h ^ { s + 1 } ) + h ^ { m + 1 } + \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { \Delta t ^ { 1 / 2 } \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { 2 } ( D ) ) } } { h } \right) \left( \frac { h ^ { m + 1 } } { \Delta t ^ { 1 / 2 } } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \ { \mathbb { V } } [ \widehat { Q } _ { 0 , L } ^ { \mathrm { M L M C } } ] } & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \frac { 1 } { M _ { \ell } } { \mathbb { V } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] \leq \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } } c _ { 2 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } s ^ { \frac { ( \beta _ { M } + \gamma _ { M } ) } { 2 } \ell } s ^ { - \beta _ { M } \ell } } \\ { = } & { \ \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } } c _ { 2 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } \ell } = \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } } c _ { 2 } \, s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } \frac { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } L } } { 1 - s ^ { \frac { \gamma _ { M } - \beta _ { M } } { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { B _ { 1 / 2 } } u } & { \le \operatorname* { s u p } _ { B _ { 1 / 2 } } v + C \| f \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } \\ & { \le C \operatorname* { i n f } _ { B _ { 1 / 2 } } v + C \| f \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } \le C \left( \operatorname* { i n f } _ { B _ { 1 / 2 } } u + \| f \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { 3 } = b \cos ( k t + k _ { 0 } ) + \frac { m _ { 3 } c } { { \bf m } ^ { 2 } } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad k \equiv \frac { | { \bf m } | } { I _ { 2 } } . } \end{array}
U _ { 0 } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 w } } \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { | x - \frac { d } { 2 } | \leq \frac { w } { 2 } , \quad | x + \frac { d } { 2 } | \leq \frac { w } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ O ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.