harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \mathcal { L } } = { \sqrt { - g } } \ \sum _ { n = 0 } ^ { t } \alpha _ { n } \ { \mathcal { R } } ^ { n } , \qquad { \mathcal { R } } ^ { n } = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \delta _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } . . . \alpha _ { n } \beta _ { n } } ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } . . . \mu _ { n } \nu _ { n } } \prod _ { r = 1 } ^ { n } R _ { \quad \mu _ { r } \nu _ { r } } ^ { \alpha _ { r } \beta _ { r } }
\begin{array} { r } { \beta _ { \mathrm { ~ \textsc ~ { ~ P ~ E ~ } ~ } } = \Delta _ { 0 } + \frac { e } { \mathrm { i } \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } _ { 0 } + \mathbf { v } t ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega _ { 0 } t } \mathrm { d } t . } \end{array}
\sum \Gamma _ { N } \doteq x \int _ { 0 } ^ { \infty } d u d t t ( \frac { 2 e } { u } ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - t - u ( y + 1 ) } [ 1 - ( 2 e u ) ^ { 1 / 2 } e ^ { - u } x t ] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d r } \Big [ | H _ { n } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } \Big ] } & { = 2 n \Big \{ e ^ { - i \pi / 4 } H _ { n - 1 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) H _ { n } ( r e ^ { i \pi / 4 } ) } \\ & { \qquad + e ^ { i \pi / 4 } H _ { n } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) H _ { n - 1 } ( r e ^ { i \pi / 4 } ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathbb { P } _ { \sigma ( \mathfrak { B } | _ { S ^ { c } } ) } ( \mathfrak { B } | _ { S _ { 2 } } = f ) } { \mathbb { P } _ { \sigma ( \mathfrak { B } | _ { S ^ { c } } ) } ( B | _ { S _ { 2 } } = f ) } = \frac { \mathbf { 1 } ( f _ { i } ( r ) > f _ { i + 1 } ( r ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } ( i , r ) \in S _ { 2 } ) \mathbb { P } _ { 0 , t } ( f ^ { k } ( 0 ) , f ^ { k } ( t ) , f _ { k + 1 } ) } { Z } . } \end{array}
\frac { 2 b \delta _ { 1 } ^ { \prime } } { \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ) } - ( d + 2 2 ) \log ( b ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ) \geq \log \left( \frac { 1 } { \epsilon ^ { \prime } } \right)
\begin{array} { r l r } { \left[ \hdots \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \right] } & { = } & { ( z - s ) + 4 i k s z \sigma _ { \phi } ^ { 2 } , } \\ { \left[ \hdots \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } \right] } & { = } & { ( z - s ) + 4 i k s z \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } , } \\ { \left[ B D \right] } & { = } & { ( z - s ) [ 1 + 4 k ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } \\ & { } & { \qquad + 4 i k [ \Sigma _ { y r } ^ { 2 } + s z \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] , } \\ { \left[ B D \right] _ { y } } & { = } & { ( z - s ) [ 1 + 4 k ^ { 2 } \Sigma _ { y } ^ { 2 } \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } \\ & { } & { \qquad + 4 i k [ \Sigma _ { y } ^ { 2 } + s z \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] , } \\ { \left[ B D \right] _ { \sigma _ { r } } } & { = } & { ( z - s ) [ 1 + 4 k ^ { 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } \\ & { } & { \qquad + 4 i k [ \sigma _ { r } ^ { 2 } + s z \Sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] , } \\ { \left[ B D \right] _ { \sigma _ { \phi } } } & { = } & { ( z - s ) [ 1 + 4 k ^ { 2 } \Sigma _ { y } ^ { 2 } \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] } \\ & { } & { \qquad + 4 i k [ \Sigma _ { y } ^ { 2 } + s z \sigma _ { \phi } ^ { 2 } ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { H _ { F } - \left\langle 0 | H _ { F } | 0 \right\rangle } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega \left( a a ^ { \dagger } + a ^ { \dagger } a \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega } \\ & { = \hbar \omega \left( a ^ { \dagger } a + { \frac { 1 } { 2 } } \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega } \\ & { = \hbar \omega a ^ { \dagger } a } \end{array} }
\langle \hat { Q } _ { L , i n } ^ { \dagger } ( \phi ) \hat { Q } _ { L , i n } ^ ( \phi ) + \hat { Q } _ { L , i n } ^ ( \phi ) \hat { Q } _ { L , i n } ^ { \dagger } ( \phi ) \rangle / 2 = \langle \hat { Q } _ { L , i n } ^ { \dagger } ( \phi _ { \bot } ) \hat { Q } _ { L , i n } ^ ( \phi _ { \bot } ) + \hat { Q } _ { L , i n } ^ ( \phi _ { \bot } ) \hat { Q } _ { L , i n } ^ { \dagger } ( \phi _ { \bot } ) \rangle / 2 = 1 / 4
\begin{array} { r l } { \omega _ { 3 N } \cdot \bigl ( ( 1 + \delta ) r \bigr ) ^ { 3 N } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N } } \int _ { B ( y , ( 1 + \delta ) r ) } \mathbb { P } ( x ) \, d x \, d y \geq \int _ { \Omega } \int _ { B ( y , ( 1 + \delta ) r ) } \mathbb { P } ( x ) \, d x \, d y } \\ { C _ { \delta r } \omega _ { 3 N } \cdot r ^ { 3 N } } & { = \int _ { \Omega _ { - \delta r } } \mathbb { P } ( z ) | B ( z , r ) | \, d z = \int _ { \Omega } \int _ { B ( y , r ) \cap \Omega _ { - \delta r } } \mathbb { P } ( x ) \, d x \, d y } \\ & { \leq \int _ { \Omega } \int _ { B ( y , r ) } \mathbb { P } ( x ) \, d x \, d y , } \end{array}
\epsilon ^ { t } = \frac { 1 } { N _ { \lambda } } \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \lambda } } \left( \frac { \lVert f ( \mathbf { \widetilde { u } } ^ { t } , \lambda _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ^ { * } ) - \mathbf { u } _ { d } ^ { t } \rVert _ { 2 } } { \lVert \mathbf { u } _ { d } ^ { t } ( \lambda _ { i } ) \rVert _ { 2 } } + \frac { \lVert \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } _ { d } ^ { t } \rVert _ { 2 } } { \lVert \mathbf { w } _ { d } ^ { t } ( \lambda _ { i } ) \rVert _ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \nu ^ { 0 } } & { { } = | \{ j : \mathcal { E } _ { j } ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { 0 } } ) \in \mathbb { R } , \; \mathcal { E } _ { j } ( \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { 0 } } ) < \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \} | , } \\ { \nu ^ { \angle } } & { { } = | \{ j : \mathcal { E } _ { j } ( \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } ) \in \mathbb { R } , \; \mathcal { E } _ { j } ( \widehat { \mathcal { H } _ { K } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } ) < \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \} | . } \end{array}
I _ { \alpha } ^ { ( { \bf 2 3 } ) } ( { \beta } _ { 0 } , { \beta } ) = \int _ { ( { \beta } _ { 0 } - { \beta } ) / 2 } ^ { ( { \beta } _ { 0 } + { \beta } ) / 2 } ( { \beta } _ { 2 } / { \beta } ) ( { \beta } _ { 2 } - { \beta } _ { 0 } ) d { \beta } _ { 2 } \prod _ { i = 2 } ^ { 3 } [ t _ { 0 } ( { \omega } , { \xi } _ { i } { \beta } _ { i } ) + t _ { 1 } ( { \omega } , { \xi } _ { i } { \beta } _ { i } ) ] ^ { 2 }
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \lambda \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \left< \rho ^ { n } \right> _ { i j - \frac { 1 } { 2 } k } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \rho _ { i j k } ^ { n } \left( y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } - y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } \right) + \rho _ { i j - 1 k } ^ { n } \left( y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } - y _ { j - \frac { 3 } { 2 } } \right) } { y _ { j } - y _ { j - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { o _ { R S } } & { = } & { \iint d x \, d x ^ { \prime } \, \phi _ { R } ^ { * } ( x ) o ( x , x ^ { \prime } ) \phi _ { S } ( x ^ { \prime } ) , } \\ { \left[ P Q | R S \right] } & { = } & { \iint d x \, d x ^ { \prime } \, \frac { \phi _ { P } ^ { * } ( x ) \phi _ { Q } ( x ) \, \phi _ { R } ^ { * } ( x ^ { \prime } ) \phi _ { S } ( x ^ { \prime } ) } { r _ { 1 2 } } . } \end{array}
k _ { c , \sigma } \approx \frac { 2 m _ { \sigma } } { \hbar ^ { 2 } } G _ { \sigma } ( n _ { A , \sigma } + n _ { I , \sigma } ) = \frac { 4 g _ { 0 } m } { N _ { \mathrm { ~ Q ~ W ~ } } \hbar ^ { 2 } } \frac { | X _ { \sigma } | ^ { 2 } } { | C _ { \sigma } | ^ { 2 } } n _ { X , \sigma }
B ^ { [ A _ { \mu } \, ] \, 1 } \, , \, \, B ^ { [ c \, ] \, 1 } \, , \, \, B ^ { [ \overline { { c } } \, ] \, 1 } \, , \, \, B ^ { [ G \, ] \, 1 } \, \, ; \, \, \lambda ^ { [ A _ { \mu } \, ] \, 1 } \, , \, \, \lambda ^ { [ c \, ] \, 1 } \, , \, \, \lambda ^ { [ \overline { { c } } \, ] \, 1 } \, , \, \, \lambda ^ { [ G \, ] \, 1 } \, \, . \nonumber
= \langle d _ { 0 } ( x ) , \varphi \Bigl ( \frac { x } { a } \Bigr ) \rangle = a ^ { n } \langle d _ { 0 } ( a x ) , \varphi ( x ) \rangle = a ^ { - \omega } \langle d _ { 0 } ( x ) , \varphi ( x ) \rangle ,
\Phi _ { i } = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { i } ^ { + } } } \\ { { \phi _ { i } ^ { 0 } } } \end{array} \right) = \left[ \begin{array} { c } { { \phi _ { i } ^ { + } } } \\ { { 2 ^ { - 1 / 2 } ( v _ { i } + \eta _ { i } + i \chi _ { i } ) } } \end{array} \right] .
M _ { \tilde { d } ( 3 \times 3 ) } ^ { 2 } = m _ { 0 } ^ { 2 } \left[ I + \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { b } } \end{array} \right) + c ^ { \prime } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \epsilon } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { B \left( s , \theta = \pi ( 1 - \iota / N _ { f p } ) + \iota \zeta , \zeta \right) } & { { } = } & { B _ { 0 0 } ^ { ( 0 ) } + \delta B _ { 0 0 } ^ { ( 1 ) } - | B _ { M } ^ { ( 0 ) } | - \delta | B _ { M } ^ { ( 1 ) } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \beta _ { \phi } ^ { + } ( \alpha ) } { \partial q } } & { = - \frac { \partial P ( Y < k ) } { \partial q } - \gamma \frac { \partial P ( Y = k ) } { \partial q } } \\ & { = - ( 1 - \gamma ) \frac { \partial P ( Y < k ) } { \partial q } - \gamma \frac { \partial P ( Y \leq k ) } { \partial q } } \\ & { \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \nu _ { t } } { \partial t } + u _ { m } \frac { \partial \nu _ { t } } { \partial x _ { m } } = } & { - \frac { S _ { i j } } { 2 S _ { k l } S _ { k l } } \underbrace { \left( \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial t } + u _ { m } \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { m } } \right) } _ { S e c o n d - o r d e r \ m o m e n t \ m o d e l } } \\ & { - \frac { \nu _ { t } } { 2 S _ { k l } S _ { k l } } \left[ \frac { \partial \left( S _ { i j } S _ { i j } \right) } { \partial t } + u _ { m } \frac { \partial \left( S _ { i j } S _ { i j } \right) } { \partial x _ { m } } \right] . } \end{array}
E _ { m \bar { m } } = { \frac { 2 ^ { 7 } \sqrt { Q } \pi ^ { 1 / 2 } } { \Gamma ( 1 / 4 ) ^ { 2 } } } { \frac { \log { ( L _ { 0 } / L ) } } { L } } \int _ { 1 } ^ { \infty } d y \ { \frac { y ^ { 2 } } { \sqrt { y ^ { 4 } - 1 } } } .
\begin{array} { r l r } { \nabla \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { j } , \mathbf v , t _ { n } ) } & { { } = } & { \phi \left( \frac { \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { j } , \mathbf v , t _ { n } ) - \hat { f } ^ { r } ( \mathbf x _ { j - 1 } , \mathbf v , t _ { n } ) } { \mathbf x _ { j } - \mathbf x _ { j - 1 } } , \right. } \end{array}
\mathbb { E } _ { t } [ \cdot ] : = \mathbb { E } [ \cdot ~ \big | ~ \bar { \omega } ^ { ( 0 ) } , \boldsymbol { \xi } _ { f } ^ { ( 0 ) } , \boldsymbol { \xi } _ { g } ^ { ( 0 ) } , \bar { \omega } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { \xi } _ { f } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { \xi } _ { g } ^ { ( 1 ) } , \dots , \bar { \omega } ^ { ( t - 1 ) } , \boldsymbol { \xi } _ { f } ^ { ( t - 1 ) } , \boldsymbol { \xi } _ { g } ^ { ( t - 1 ) } ]
\begin{array} { r } { \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } = \exp \Big [ i \sum _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \sum _ { u , \alpha } e { \bf R } _ { u } \cdot \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \sum _ { u , \alpha } e { \bf R } _ { u } \cdot \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } \Big ) \Big ] ~ ~ ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { m } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) = } & { { } \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \overleftrightarrow { \chi } _ { m } \cdot \hat { B } _ { + } ( \vec { r } , \omega ) , } \\ { \overleftrightarrow { \chi } _ { m } ( \omega ) = } & { { } - \frac { \sigma _ { r e s } } { k _ { 0 } } \overleftrightarrow { F } ( \omega ) , } \\ { \overleftrightarrow { F } ( \omega ) = } & { { } \frac { 3 } { 2 I _ { e } + 1 } \sum _ { \mu , j } \frac { \gamma / 2 } { \omega - \Delta _ { \mu } + \Delta _ { j } + i \gamma / 2 } \vec { d } _ { \mu j } ^ { * } \otimes \vec { d } _ { \mu j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ^ { \prime } } & { { } = } & { 1 - 0 . 4 \hat { \chi } + 0 . 4 \hat { \chi } ^ { 2 } - \hat { \chi } ^ { 3 } , } \\ { g g ^ { \prime } } & { { } = } & { 1 - \hat { \chi } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 1 } ( \boldsymbol { a } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { i } \psi _ { i } ( \boldsymbol { a } ) \approx \sum _ { i = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } \psi _ { i } ( \boldsymbol { a } ) , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f _ { 2 } ( \boldsymbol { a } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \beta _ { i } \zeta _ { i } ( \boldsymbol { a } ) \approx \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \zeta _ { i } ( \boldsymbol { a } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { f } ( z ) } & { = 2 + ( 4 8 0 \pi i z + 9 6 0 ) q ^ { 2 } + ( - 2 8 8 0 0 \pi ^ { 2 } z ^ { 2 } + 1 2 3 8 4 0 \pi i z + 1 2 3 8 4 0 ) q ^ { 4 } } \\ & { \quad + ( - 1 0 3 6 8 0 0 \pi ^ { 2 } z ^ { 2 } + 3 1 5 0 7 2 0 \pi i z + 2 1 0 0 4 8 0 ) q ^ { 6 } + \ldots = : \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } ( z ) q ^ { n } , } \\ { \widetilde { g } ( z ) } & { = 2 + 2 4 0 q ^ { 2 } - 1 0 2 4 0 q ^ { 3 } + 1 3 4 6 4 0 q ^ { 4 } - 1 0 0 7 6 1 6 q ^ { 5 } + \ldots = : \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } d _ { n } q ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x } ^ { i j k } } & { { } = \left. \frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x } \right| _ { x \rightarrow x _ { i } ^ { + } } - \left. \frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x } \right| _ { x \rightarrow x _ { i } ^ { - } } } \end{array}
\frac { T _ { p + 2 } } { \kappa } \int _ { \mathcal { M } _ { p + 3 } } C _ { p + 3 } = \frac { T _ { p + 2 } } { \kappa } \int _ { \mathcal { M } _ { p + 3 } } A _ { p + 1 } \wedge \omega _ { 2 } = \frac { T _ { p } } { 2 \kappa } \int _ { \mathcal { M } _ { p + 1 } } \frac { A _ { p + 1 } } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } B \left( \frac { \mathcal { M } _ { Y } \left( w \right) } { k ( \operatorname* { s u p } \{ 1 , | Y | ^ { - 1 } \} ) } \right) d x } & { = \int _ { \Omega } B \left( \int _ { Y } \frac { w \left( x , y \right) } { k \left\vert Y \right\vert ( \operatorname* { s u p } \{ 1 , | Y | ^ { - 1 } \} ) } d y \right) d x } \\ & { \leq \frac { 1 } { | Y | ( \operatorname* { s u p } \{ 1 , | Y | ^ { - 1 } \} ) } \int _ { \Omega } \int _ { Y } B \left( \frac { w \left( x , y \right) } { k } \right) d x d y . } \end{array}
W _ { i } ( \boldsymbol { x } ) = \frac { U ( \boldsymbol { x } ) - U _ { b } ( \boldsymbol { x } ) } { U _ { b } ( \boldsymbol { x } ) } = \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { C _ { T , i } } { 8 ( \sigma / D _ { i } ) ^ { 2 } } } \right) \exp \left( - \frac { ( y - y _ { i } ) ^ { 2 } + ( z - z _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { q } } & { { } = - { \frac { \partial G _ { 3 } } { \partial \mathbf { p } } } } \\ { \mathbf { P } } & { { } = - { \frac { \partial G _ { 3 } } { \partial \mathbf { Q } } } } \\ { K } & { { } = H + { \frac { \partial G _ { 3 } } { \partial t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \theta _ { a p p } \rangle ^ { 3 } = \theta _ { V } ^ { 3 } - 9 \langle C a \rangle \ln \frac { 2 \langle w \rangle } { e \ell _ { V } } , } \\ & { \langle C a \rangle = \frac { \theta _ { V } ^ { 3 } } { 9 } \left[ \ln \left( \frac { 4 a } { e ^ { 2 } } \langle C a \rangle ^ { 1 / 3 } \frac { \langle w \rangle ^ { 2 } } { \ell _ { V } \langle h _ { \infty } \rangle } \right) \right] ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \widetilde { p } _ { \varepsilon } , \widetilde { e } _ { \varepsilon } , \widetilde { s } _ { \varepsilon } , \widetilde { \kappa } _ { \varepsilon } ] } & { : = [ p ( \overline { { \varrho } } , \overline { { \vartheta } } ) , e ( \overline { { \varrho } } , \overline { { \vartheta } } ) , s ( \overline { { \varrho } } , \overline { { \vartheta } } ) , \kappa ( \overline { { \vartheta } } ) ] + \varepsilon ^ { m } [ \widetilde { p } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { e } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { s } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { \kappa } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } ] ; } \end{array}
\mathscr { N } _ { \widehat { \mathbb { G } } } : = \mathscr { L } _ { \widehat { \mathbb { G } } } ^ { \dashv } = \{ A \in O b j ( \mathscr { K } \mathscr { K } ^ { \widehat { \mathbb { G } } } ) \ | \ K K ^ { \widehat { \mathbb { G } } } ( L , A ) = ( 0 ) \mathrm { , ~ \forall ~ L \in ~ O b j ( \mathscr { L } _ { \widehat { \mathbb { G } } } ) ~ } \} .
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { \Phi } ( \mathbf { x } , z , 0 ) , \, \hat { \mathrm { I } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) + \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } } { 2 } + \nabla d ( x ) + \lambda ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } } { 2 } + \zeta x + \zeta \frac { ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) } { \| a _ { 1 } - a _ { 2 } \| ^ { 2 } } - \frac { \| a _ { 1 } \| ^ { 2 } - \| a _ { 2 } \| ^ { 2 } } { 2 \| a _ { 1 } - a _ { 2 } \| ^ { 2 } } ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) } \\ & { = \zeta \left[ x + \frac { ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) } { \| a _ { 1 } - a _ { 2 } \| ^ { 2 } } \right] - \frac { \| a _ { 1 } \| ^ { 2 } - \| a _ { 2 } \| ^ { 2 } } { 2 \| a _ { 1 } - a _ { 2 } \| ^ { 2 } } ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) + \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\tilde { \rho } _ { { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } _ { \theta , L } } ( \omega ) = \tilde { \rho } _ { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } ( \omega ) + \Delta \tilde { \rho } _ { L } ( \omega ) + \Delta \tilde { \rho } _ { \theta } ( \omega ) \quad \mathrm { w h e r e } ~ \Delta \tilde { \rho } _ { \theta } ( \omega ) = \frac { - e ^ { - i \theta \omega } - e ^ { i \theta \omega } } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } = - \frac { \cos ( \theta \omega ) } { \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } .
\begin{array} { c l } { { } } & { { ( - 1 ) ^ { l } \mathrm { [ } u _ { 2 n } - u _ { 0 } + 1 \mathrm { ] } \displaystyle \sum _ { s = \pm 1 } h _ { \varepsilon } ( k ^ { \prime } - s ( u _ { 2 n } - u _ { 0 } + 2 ) ) F _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta ^ { \prime } , x ^ { 2 } \zeta _ { 2 n } ) ^ { k k _ { 1 } \cdots k _ { 2 n - 2 } k ^ { \prime } k ^ { \prime } + s } } } \\ { { + } } & { { \mathrm { [ } u _ { 2 n } - u _ { 0 } + 2 \mathrm { ] } \displaystyle \sum _ { s = \pm 1 } s h _ { \varepsilon } ( k - s ( u _ { 2 n } - u _ { 0 } + 1 ) ) F _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta _ { 2 n } , \zeta ^ { \prime } ) ^ { k - s k k _ { 1 } \cdots k _ { 2 n - 2 } k ^ { \prime } } = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { j } } & { = \frac { 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } \cdot A _ { j ^ { \prime } } ^ { ( j ) } } { 1 + A _ { j } ^ { ( j ) } } } \\ { \Delta _ { j } ^ { \prime } } & { = \frac { 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } \cdot ( A _ { j ^ { \prime } } ^ { ( j ) } + \varepsilon ^ { j - j ^ { \prime } } \cdot f _ { j ^ { \prime } } ) } { f _ { j } + A _ { j } ^ { ( j ) } } } \end{array}
\overrightarrow { j _ { e } } = \mathrm { g r a d } E ^ { 0 } , \quad \overrightarrow { j } _ { m a g } = - \mathrm { g r a d } H ^ { 0 } , \quad \stackrel { \sim } { \rho _ { e } } = - \mu \partial _ { 0 } E ^ { 0 } , \quad \stackrel { \sim } { \rho _ { m a g } } = - \epsilon \partial _ { 0 } H ^ { 0 } .
{ L } _ { \xi } f ( x ) : = \operatorname * { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \lambda } \{ \phi _ { \lambda } ^ { * } f ( e x p ( \lambda \xi ) x ) - f ( x ) \} = \frac { d } { d \lambda } | _ { \lambda = 0 } ( \phi _ { \lambda } ^ { * } f ( x ^ { \prime } ) ) , \quad x ^ { \prime } = e x p ( \lambda \xi ) x .
\mathcal { E } _ { V } ( f , \mathcal { X } ) = \left( \mathcal { I } _ { V } \left( f \psi _ { h , 1 } \right) + \mathcal { I } _ { V } \left( f \psi _ { h , 2 } \right) \right) + \mathcal { E } _ { V } \left( f ( 1 - \psi _ { h , 1 } ) ( 1 - \psi _ { h , 2 } ) , \mathcal { X } \right) ,
z _ { j e t } = \left( 1 + 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { | \Delta \, q ( \bar { x } ) | } { \left( 1 + \bar { x } \right) ^ { 3 } } \, d \bar { x } \right) ^ { 1 / 2 } \left( 2 \, q _ { \infty } \, \tau / \tan ^ { 2 } \beta \right) ^ { 1 / 2 } \simeq \frac { 1 . 5 } { \tan \beta } \sqrt { q _ { \infty } \tau }
\begin{array} { r l } { k ^ { * } } & { \geq c _ { 1 } \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } \log \left( \frac { 8 ( l ^ { * } + 1 ) | S | | A | } { ( 1 - \gamma ) \delta } \right) } \\ { n _ { l } } & { \geq c _ { 2 } \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \left( \frac { \| \sigma ( q ^ { * } ) \| _ { \infty } + ( 1 - \gamma ) \| q ^ { * } \| _ { \infty } } { 2 ^ { - l + 1 } b } + 1 \right) ^ { 2 } \log \left( \frac { 8 ( l ^ { * } + 1 ) | S | | A | } { \delta } \right) , } \end{array}
{ \bf E } \left( u ^ { \tau _ { x _ { 0 } , 0 } } \right) = \phi _ { x _ { 0 } , 0 } \left( u \right) = \frac { G _ { x _ { 0 } , 0 } \left( u \right) } { G _ { 0 , 0 } \left( u \right) }
[ { \cal D } \mu ] = { \cal D } A ^ { \mu a } { \cal D } \phi ^ { \dagger } { \cal D } \phi { \cal D } \lambda ^ { a } { \cal D } \xi ^ { a } \prod _ { \beta = 0 } ^ { 3 } \delta ( G _ { \alpha } ^ { a } [ A _ { 0 } ^ { a } + \xi ^ { a } , A _ { i } ^ { a } , \lambda ^ { a } ] ) \mid d e t \{ \Gamma _ { \alpha } ^ { a } , G _ { \beta } ^ { b } \} \mid ( d e t M _ { a b } ) ^ { - 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \mathrm { f l o p s ~ p e r ~ l e a f ~ a n d ~ t i m e - s t e p } ) \times ( \mathrm { \# ~ o f ~ l e a v e s ~ a t ~ l e v e l ~ { l _ { { \mathrm { m a x } } } } ~ } ) \times ( \mathrm { \# ~ o f ~ t i m e - s t e p s } ) } \\ & { \sim } & { N _ { { \mathrm { l e a f } } } \cdot 2 7 N _ { { \mathrm { l e a f } } } \cdot \gamma ^ { * ( { l _ { { \mathrm { m a x } } } } ) } \times 8 ^ { { l _ { { \mathrm { m a x } } } } } \times N _ { \mathrm { t } } } \\ & { \sim } & { 2 7 N _ { { \mathrm { l e a f } } } ^ { 2 } \cdot 2 ^ { - { l _ { { \mathrm { m a x } } } } } \cdot \Delta _ { \mathrm { t } } ^ { - 1 } \times \frac { N _ { \mathrm { s } } } { N _ { { \mathrm { l e a f } } } } \times N _ { \mathrm { t } } \sim N _ { \mathrm { s } } ^ { 2 / 3 } N _ { \mathrm { t } } \Delta _ { \mathrm { t } } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 N \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( x _ { i } ^ { \star } ) - \int \varphi d \mu ^ { \star } } & { = \frac 1 N \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \varphi ( x _ { i } ^ { \star } ) - \varphi ( ( \xi _ { i } ^ { k } ) _ { + } ) \right) + \frac 1 N \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( ( \xi _ { i } ^ { k } ) _ { + } ) - \int \varphi d \mu ^ { \star } } \\ & { : = \epsilon _ { N } ^ { 1 } ( k ) + \epsilon _ { N } ^ { 2 } ( k ) . } \end{array}