harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l } & { } & { \tilde { w } _ { 0 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 1 } { 5 } } \tilde { y } ^ { \frac { 1 } { 1 0 } } ( 1 + \cdots ) , } & { \tilde { w } _ { 1 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 2 } { 5 } } \tilde { y } ^ { \frac { 7 } { 1 0 } } ( x + c _ { 1 } z + \cdots ) , } \\ & { } & { \tilde { w } _ { 2 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 3 } { 5 } } \tilde { y } ^ { \frac { 3 } { 1 0 } } ( 1 + \cdots ) , } & { \tilde { w } _ { 3 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 4 } { 5 } } \tilde { y } ^ { \frac { 9 } { 1 0 } } ( x + c _ { 2 } z + \cdots ) , \, \, \, \, \, \, \, \, \tilde { w } _ { 4 } = \tilde { x } \tilde { y } ( 1 + \cdots ) , } \end{array}
\triangle P _ { 3 } \equiv P ^ { * } ( 1 , 0 ) - P ^ { * } ( 0 , 0 ) = \frac { 1 } { N _ { I } + N _ { T } } \left( - N _ { I } a + \frac { 1 - w ^ { N _ { I } } } { 1 - w } \right) - \frac { ( a - 1 ) N _ { I } } { N _ { I } + N _ { T } } \epsilon \rightarrow \infty
\begin{array} { r l } { u _ { 0 } ( x _ { 0 } ) - u _ { 0 } ( \gamma ( - t ) ) } & { \leq \int _ { - t } ^ { 0 } L ( \gamma ( s ) , \dot { \gamma } ( s ) , c _ { 0 } ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq \int _ { - t } ^ { 0 } L ( \gamma ( s ) , \dot { \gamma } ( s ) , c _ { 1 } ) \, \mathrm { d } s = u _ { 1 } ( x _ { 0 } ) - u _ { 1 } ( \gamma ( - t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { x } { U _ { o } u _ { * } } U _ { e } u _ { * } \frac { d R e _ { x } ^ { - 1 } \overline { { u v } } _ { o 3 } } { d x } = - \frac { u _ { * } x R e _ { * } ^ { - 2 } } { u _ { * } } \frac { \overline { { u v } } _ { o 3 } } { \nu } ( u _ { * } ^ { 2 } + 2 x u _ { * } \frac { d u _ { * } } { d x } ) + } \\ { \frac { U _ { e } x u _ { * } } { U _ { e } u _ { * } } R e _ { x } ^ { - 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 3 } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) } \\ { = - R e _ { x } ^ { - 1 } \overline { { u v } } _ { o 3 } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { \kappa U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 3 } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) . } \end{array}
, w e h a v e 2 \xi - x _ { 1 } - \Big ( \frac { \theta ^ { 5 } } { 2 ^ { 3 } } \Big ) = \Big ( \frac { y - 4 w } { 8 } \Big ) \theta + \Big ( \frac { z } { 4 } \Big ) \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 } + \Big ( \frac { v } { 2 } \Big ) \frac { \theta ^ { 3 } } { 2 ^ { 2 } } + w \Big ( \frac { \theta ^ { 4 } + 4 \theta } { 2 ^ { 3 } } \Big ) . H e n c e 8 d i v i d e s
W _ { b } = \int _ { \xi ( \tau = - \frac { \pi } { 2 \Omega } ) = 0 } ^ { \xi ( \tau = \frac { \pi } { 2 \Omega } ) = 0 } p _ { b } ( \xi ) d \xi = \frac { 3 } { 8 G ^ { 2 } \rho _ { v } }
\begin{array} { r l } { \left[ \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \delta ( z ) \right] \cdot \nabla } & { = \left( \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \cdot \nabla _ { t } \right) \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) + \left( \overline { { \overline { { Q } } } } _ { 0 } \cdot \mathbf { \hat { z } } \right) \delta ^ { ( 1 ) } ( z ) } \\ { \left[ \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \delta ( z ) \right] \cdot \nabla } & { = \left( \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \cdot \nabla _ { t } \right) \delta ^ { ( 0 ) } ( z ) + \left( \overline { { \overline { { S } } } } _ { 0 } \cdot \mathbf { \hat { z } } \right) \delta ^ { ( 1 ) } ( z ) \, , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } } = \frac { \sqrt { q \bar { I } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } } t _ { R } } } { \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \sigma _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } = \frac { \sqrt { q \bar { I } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } t _ { R } } } { \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { | ( I ) | = | \left( e ^ { - \nu t A } - e ^ { - \nu s A } \right) \nabla \Pi _ { N } \xi _ { 0 } | } & { = | e ^ { - \nu s A } ( e ^ { - \nu ( t - s ) A } - I ) \nabla \Pi _ { N } \xi _ { 0 } | } \\ & { \leq \| e ^ { - \nu s A } \| _ { \mathcal { L } ( \dot { L } ^ { 2 } ) } \| A ^ { - { p ^ { \prime } } } ( e ^ { - \nu ( t - s ) A } - I ) \| _ { \mathcal { L } ( \dot { L } ^ { 2 } ) } | A ^ { p ^ { \prime } } \nabla \xi _ { 0 } | } \\ & { \leq c | t - s | ^ { { p ^ { \prime } } } | A \xi _ { 0 } | , } \end{array}
\begin{array} { r } { \exp \big [ \left[ \boldsymbol { \mathsf { E } } ^ { \infty } ( \Lambda + \mathrm { ~ W ~ i ~ } \sigma \alpha _ { 1 } ) + \boldsymbol { \mathsf { O } } ^ { \infty } ( 1 + \mathrm { ~ W ~ i ~ } \sigma \alpha _ { 2 } ) \right] t ] \boldsymbol { q } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { P B C } } \left( k _ { 1 , 2 } , k _ { y } \right) } { c } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \eta _ { y y } \left[ s _ { 0 } ^ { 2 } \pm 2 i \mathrm { I m } \left( q k _ { y } \right) \sqrt { s _ { 0 } ^ { 2 } + \left\{ \mathrm { I m } \left( q k _ { y } \right) \right\} ^ { 2 } } \right] } \\ & { + \left( \eta _ { x x } - q ^ { 2 } \eta _ { y y } \right) k _ { y } ^ { 2 } . } \end{array}
\vartheta _ { 2 } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \cdots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \biggl | } \int _ { 0 } ^ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { 2 \pi i F ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { r } ) } d x _ { 1 } \ldots d x _ { r } { \biggr | } ^ { 2 k } d { \bar { \alpha } }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( A _ { 1 } ^ { c } ) } & { \leq } & { e ^ { - b \log { n } } \cdot \exp \left( \frac { 1 6 ( b \log { n } ) ^ { 3 / 2 } } { \sqrt { n } } \right) } \\ & { = } & { \exp \left( - b \log { n } \left( 1 - 1 6 \sqrt { \frac { b \log { n } } { n } } \right) \right) } \\ & { \leq } & { \exp \left( - \frac { b \log { n } } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( \tau ) } & { = } & { - \kappa _ { 1 } e ^ { - ( a \eta + 1 ) \tau } + \kappa _ { 2 } e ^ { - \tau } + \kappa _ { 3 } , \ \kappa _ { 1 } = \eta - ( a \eta + 1 ) \delta _ { \theta } , } \\ { \kappa _ { 2 } } & { = } & { \psi ( { 0 } ) + a \eta ^ { 2 } - ( a \eta + 1 ) \delta _ { \theta } + 1 , \mathrm { ~ a n d ~ } \kappa _ { 3 } = \eta - 1 - a \eta ^ { 2 } , } \\ { \theta ( \tau ) } & { = } & { \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { a \eta + 1 } \right) e ^ { - ( a \eta + 1 ) \tau } + \frac { \eta } { a \eta + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ^ { \prime } } & { = } & { \Lambda \psi } \\ { A _ { \mu } ^ { \prime } } & { = } & { \Lambda ^ { \dagger } A _ { \mu } \Lambda + \Lambda ^ { \dagger } i \partial _ { \mu } \Lambda } \\ { E _ { \mu \nu } } & { = } & { \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } - [ A _ { \mu } , A _ { \nu } ] } \\ & { \to } & { \Lambda ^ { \dagger } E _ { \mu \nu } \Lambda = E _ { \mu \nu } ^ { \prime } } \end{array}
\alpha \Delta t \underbrace { \left[ \begin{array} { c c c c } { M } & & & \\ & { M } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & & { M } \end{array} \right] } _ { \mathcal { M } } \left[ \begin{array} { c } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { u _ { N _ { t } } } \end{array} \right] { + } \Delta t \underbrace { \left[ \begin{array} { c c c c } { C ^ { T } } & { 0 } & { \cdots } & \\ & { C ^ { T } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { C ^ { T } } \end{array} \right] } _ { \mathcal { C ^ { T } } } \left[ \begin{array} { c } { p _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { N _ { t } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right] .
\hat { \mathcal { H } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = - \frac { \Delta } { 2 } + \hat { \mathcal { V } } _ { \mathrm { e x t } } + \hat { \mathcal { V } } _ { H } + \hat { \mathcal { V } } _ { \mathrm { X C } } .
\left\{ \begin{array} { l l l } { { W _ { \alpha } ( \theta ) } } & { { \rightarrow } } & { { e ^ { - i \alpha } W _ { \alpha } ( \theta e ^ { i \alpha } ) } } \\ { { Q ( \theta ) } } & { { \rightarrow } } & { { e ^ { i \alpha ( N _ { c } - N _ { f } ) / N _ { f } } Q ( \theta e ^ { i \alpha } ) } } \\ { { \overline { { { Q } } } ( \theta ) } } & { { \rightarrow } } & { { e ^ { i \alpha ( N _ { c } - N _ { f } ) / N _ { f } } \overline { { { Q } } } ( \theta e ^ { i \alpha } ) } } \end{array} \right.
w _ { \mathrm { r e f } } = \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \left( ( x _ { i } - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y _ { j } - y _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) | U _ { i j } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { - c \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } \\ { b x _ { 2 } + d ( t ) + s \alpha _ { b } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \alpha _ { b } } { \partial x _ { 1 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { \frac { \partial \alpha _ { b } } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { - c x _ { 1 } \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } \\ { x _ { 2 } + d ( t ) + s x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } \end{array} \right] . } \end{array}
0 \xrightarrow [ ] Y _ { v } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ^ { \ast } \xrightarrow [ ] S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } \xrightarrow [ ] S e l _ { \Sigma \cup J } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } \xrightarrow [ ] 0 .
\pi ^ { - 1 } ( m ) = \left\{ V \subset { E _ { - 1 } } _ { | _ { m } } \; \middle | \; \exists \, ( m _ { n } ) \in M _ { \mathrm { r e g } } ^ { \mathbb { N } } , \, \mathrm { s u c h ~ t h a t } , \, \; \mathrm { i m } ( \mathrm { d } _ { m _ { n } } ^ { ( 2 ) } ) \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } V \; a s \; m _ { n } \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } m \right\}
K _ { 0 } ( l ^ { \prime } , l ) \equiv \frac { 2 z } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( 2 l ^ { \prime } - l - a ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \beta ( 2 l ^ { \prime } - l ) } \ ,
\frac { \delta H _ { f } } { \delta ( - \epsilon _ { 0 } \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ) } = - \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } \; \; \; , \; \; \; \frac { \delta H _ { f } } { \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } = \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ }
L _ { e f f } ^ { D , D } = \frac { 1 } { 2 \zeta ^ { 2 } z ^ { 2 } } | f _ { 2 , 3 ; 2 , 3 } ^ { D , D } | \left( \bar { s } _ { L } \gamma ^ { \mu } d _ { L } \right) \left( \bar { s } _ { L } \gamma _ { \mu } d _ { L } \right) ,
\begin{array} { r l } { C _ { k } ^ { 1 } } & { { } = \left( h \ell \textrm { W o } \right) ^ { 2 } \cos \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) - \left( a \pi \right) ^ { 2 } \left( \left( 2 k \ell \right) ^ { 2 } + \left( h \left( 2 m + 1 \right) \right) ^ { 2 } \right) \sin \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) , } \\ { C _ { k } ^ { 2 } } & { { } = \left( a \pi \right) ^ { 2 } \left( \left( 2 k \ell \right) ^ { 2 } + \left( h \left( 2 m + 1 \right) \right) ^ { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) + \left( h \ell \textrm { W o } \right) ^ { 2 } \sin \left( \frac { \theta _ { \ell } } { 2 } \right) , } \\ { C _ { k } ^ { 3 } ( y ) } & { { } = \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \sin \left( r _ { h } y \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \cosh \left( r _ { h } y \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) } \\ { C _ { k } ^ { 4 } ( y ) } & { { } = \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \sin \left( r _ { h } y \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \cosh \left( r _ { h } y \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) } \\ { D _ { k } ^ { 1 } } & { { } = \bigg ( ( a \pi ) ^ { 4 } \left( \left( 2 k \ell \right) ^ { 2 } + \left( h \left( 2 m + 1 \right) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { D _ { k } ^ { 2 } } & { { } = r _ { h } \left( \cos \left( \frac { \ell } { a } r _ { h } \sin \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) + \cosh \left( \frac { \ell } { a } r _ { h } \cos \left( \frac { \theta _ { h } } { 2 } \right) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu \left( \widetilde { T } \right) = \mu _ { \infty } \left( \frac { \widetilde { T } } { \widetilde { T } _ { \infty } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \widetilde { T } _ { 0 } + S _ { 1 } } { \widetilde { T } + S _ { 1 } } \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \: S _ { 1 } = 1 1 0 . 4 K \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { R } \ } & { { } = \ \frac { 1 } { \hat { f } } \mathring { R } - \frac { 1 } { 4 \hat { f } ^ { 2 } } \mathring { R } _ { a b c } { } ^ { d } \mathring { R } ^ { a b c e } q _ { d } q _ { e } - ( m - 1 ) \hat { \Delta } _ { \mathrm { B } } \log ( | \hat { f } | ) - \delta _ { a b } \hat { E } ^ { a } \hat { E } ^ { b } \log ( | \hat { f } | ) } \end{array}
\mathbf { A } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { A } ) } } { \left[ \begin{array} { l } { { ( \mathbf { x } _ { 1 } \times \mathbf { x } _ { 2 } ) } ^ { \mathrm { T } } } \\ { { ( \mathbf { x } _ { 2 } \times \mathbf { x } _ { 0 } ) } ^ { \mathrm { T } } } \\ { { ( \mathbf { x } _ { 0 } \times \mathbf { x } _ { 1 } ) } ^ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] } .
{ \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } ( - 1 ) ^ { m } I _ { \ell } ^ { - m } ( \mathbf { r } ) R _ { \ell } ^ { m } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \quad { \mathrm { w i t h } } \quad | \mathbf { r } | > | \mathbf { r } ^ { \prime } | .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j } R _ { i j } p _ { j } \ln p _ { i } } & { = \sum _ { i , j } R _ { i j } p _ { j } \left( \ln p _ { i } - \ln \pi _ { i } \right) + \sum _ { i , j } R _ { i j } p _ { j } \ln \pi _ { i } } \\ & { = \sum _ { i , j } R _ { i j } ( p _ { j } - \pi _ { j } ) \left( \ln p _ { i } - \ln \pi _ { i } \right) + \sum _ { i , j } R _ { i j } p _ { j } \ln \pi _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } L ^ { \infty } } } & { \lesssim \tau ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \delta - s _ { 0 } ) } \| u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \| _ { l _ { \tau } ^ { \infty } H ^ { s _ { 0 } } } \lesssim \tau ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \delta - s _ { 0 } ) } \| u ^ { \tau } \| _ { L ^ { \infty } H ^ { s _ { 0 } } } } \\ & { \lesssim \tau ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \delta - s _ { 0 } ) } \| u ^ { \tau } \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } } \leq \tau ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \delta - s _ { 0 } ) } C _ { T } } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \exp \left\{ - c _ { 1 } \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { d } t } } { \lambda _ { d } } \right\} \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j \geq 1 } c _ { j } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { j } t } } { \alpha _ { j } } \xi _ { j } \right) ^ { \otimes n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) . } \end{array}
- i g \sum _ { i } \sum _ { c _ { i } } f _ { c _ { i } } ^ { a \; a _ { i } } l _ { 2 \ \nu } \left( l \frac \partial { \partial p _ { i } } \right) A ^ { \nu , \ \ldots , c _ { i } , \ldots } \left( \ldots , p _ { i } , \ldots \right) \mid _ { _ { \left\{ p _ { i } \right\} = \left\{ p _ { i } ^ { \prime } \right\} } }
U ( \phi ) = 1 - \mathrm { l o g } _ { \tilde { U } ( \phi _ { 1 } ) } \tilde { U } ( \phi ) = 1 - \frac { \mathrm { l n } \, \tilde { U } ( \phi ) } { \mathrm { l n } \, \tilde { U } ( \phi _ { 1 } ) }
\begin{array} { r l r } { \mathbf { F } _ { i j } ^ { C 1 } } & { = } & { - ( \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } ) \frac { \rho _ { j } p _ { i } + \rho _ { i } p _ { j } } { \rho _ { i } + \rho _ { j } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \mathbf { e } _ { i j } , } \\ { \mathbf { F } _ { i j } ^ { D 1 } } & { = } & { ( \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } ) \frac { 2 \eta _ { i } \eta _ { j } } { \eta _ { i } + \eta _ { j } } \frac { \mathbf { v } _ { i j } } { r _ { i j } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } . } \end{array}
{ \cal { F } } _ { V } ^ { ( \tilde { \eta } _ { o } ) } ( Y , W ) = C _ { \phi } ^ { 2 } W ^ { \frac { 1 } { 3 } \eta } \Bigl [ ( 1 - Y ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } \eta } - ( 1 - Y ) ^ { \frac { 1 } { 2 } \eta } \Bigl ] + \frac { g _ { * } ^ { 2 } } { C _ { \tilde { O } } } { \cal { F } } _ { V , 1 } ^ { ( \tilde { \eta } _ { o } ) } ( Y , W ) + O ( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r } { \Omega _ { 1 } = \left. \frac { 1 } { 2 } \nabla \times \left[ \mathbf { v } _ { 1 } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { v } _ { 2 } ( \mathbf { r } ) \right] _ { z } \right| _ { \mathbf { r } = \overline { { \mathbf { r } } } _ { 1 } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \frac { \mu \hat { \mathbf { t } } _ { 1 } \cdot \mathbf { f } _ { 1 } } { \alpha ( 1 - \alpha ) L } + \left( \frac { \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { - } } { \left| \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { - } \right| ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { + } } { \left| \mathbf { K } _ { 1 2 } ^ { + } \right| ^ { 2 } } \right) \cdot \left( \mu \mathbf { I } + 4 \boldsymbol { \epsilon } \right) \cdot \mathbf { f } _ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { l } { { s _ { 2 } = ( 1 / 3 ) ( C - 2 B ) } } \\ { { s _ { 1 } = ( 1 / 3 ) ( C + B ) - ( 1 / 2 ) A } } \\ { { s _ { 0 } = ( 1 / 3 ) ( C + B ) + ( 1 / 2 ) A . } } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { B } = \frac { \sum _ { A } p _ { A } W _ { B A } + \left( \mathbf { f } - \mathbf { a } _ { B } \right) \cdot \sum _ { A } \rho _ { A } \mathbf { r } _ { B A } W _ { B A } } { \sum _ { A } W _ { B A } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \operatorname* { m a x } _ { \{ \zeta _ { g } \} , \{ \ensuremath { \bar { B } } _ { g } \} , \varphi , \mathcal { F } } } & { \quad } & & { \operatorname* { m i n } _ { n = 1 , 2 , \ldots , K } \gamma _ { n } ^ { \infty } } & \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { } & & { \sum _ { g = 1 } ^ { G } \zeta _ { g } \ensuremath { \bar { M } } _ { g } \le \ensuremath { \bar { K } } , } & \\ & { } & & { \sum _ { g = 1 } ^ { G } \ensuremath { \bar { M } } _ { g } \ensuremath { \bar { B } } _ { g } \le \ensuremath { \hat { B } _ { \mathrm { t o t } } } , } & & { } \\ & { } & & { \zeta _ { g } \ge 0 , \ensuremath { \bar { B } } _ { g } \ge 0 , \quad g = 1 , 2 , \ldots , G , } & \\ & { } & & { \varphi > 0 , } & \\ & { } & & { \mathcal { F } : \{ 1 , 2 , \ldots , K \} \to \{ 1 , 2 , \ldots , G \} } & \end{array}
\begin{array} { r l } { N ^ { \mu } } & { = \left\langle E _ { \mathbf { k } } \right\rangle u ^ { \mu } + \left\langle k ^ { \langle \mu \rangle } \right\rangle , } \\ { T ^ { \mu \nu } } & { = \left\langle E _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \right\rangle u ^ { \mu } u ^ { \nu } + \frac { 1 } { 3 } \Delta ^ { \mu \nu } \langle b _ { \mathbf { k } } \rangle + \left\langle E _ { \mathbf { k } } k ^ { \langle \mu \rangle } \right\rangle u ^ { \nu } + \left\langle E _ { \mathbf { k } } k ^ { \langle \nu \rangle } \right\rangle u ^ { \mu } + \left\langle k ^ { \langle \mu } k ^ { \nu \rangle } \right\rangle , } \end{array}
C ( t ) = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { p _ { k } I _ { k } ( I _ { k } - \langle I ( 0 ) \rangle ) } { \langle I ( 0 ) ^ { 2 } \rangle - \langle I ( 0 ) \rangle ^ { 2 } } \exp ( - t / \tau _ { k } ) .
E _ { \mathrm { { L O } } } ( t ) = \frac { b } { 2 } \left[ e ^ { - \mathrm { { i } } ( \Delta \omega t + \phi _ { \mathrm { L O } } ) } e ^ { - \mathrm { { i } } \omega _ { 0 } t } + e ^ { \mathrm { { i } } ( \Delta \omega t + \phi _ { \mathrm { L O } } ) } e ^ { \mathrm { { i } } \omega _ { 0 } t } \right] .
\begin{array} { r l } { H } & { = \omega _ { m } b ^ { \dagger } b - \sum _ { j = 1 , 2 } [ \Delta _ { j } { a _ { j } } ^ { \dagger } a _ { j } - g _ { j } { a _ { j } } ^ { \dagger } a _ { j } ( b ^ { \dagger } + b ) ] } \\ & { + i \sqrt { \kappa _ { e x 1 } } \epsilon _ { l 1 } { a _ { 1 } } ^ { \dagger } + i \sqrt { \kappa _ { e x 2 } } \epsilon _ { l 2 } { a _ { 2 } } ^ { \dagger } , } \end{array}
I _ { 4 } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } e ^ { - \eta } [ R _ { g } + g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \eta \partial _ { \nu } \eta - \frac { 1 } { 1 2 } g ^ { \mu \sigma } g ^ { \nu \lambda } g ^ { \rho \tau } H _ { \mu \nu \rho } H _ { \sigma \lambda \tau }
p _ { k } p _ { \ell } = p _ { \ell } p _ { k } , \quad q _ { k } q _ { \ell } = q _ { \ell } q _ { k } , \quad p _ { k } q _ { \ell } - q _ { \ell } p _ { k } = \delta _ { k \ell } z , \quad z p _ { k } - p _ { k } z = 0 , \quad z q _ { k } - q _ { k } z = 0 ~ .
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { E } _ { \mathbf { h } } } { d t } + \widetilde { \mathbf { D } } ( H \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } + U \mathbf { E } _ { \mathbf { h } } ) + \alpha _ { h } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { E } _ { \mathbf { h } } \ } & { = \mathbf { P } _ { b } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { T } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \frac { d \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } } { d t } + \widetilde { \mathbf { D } } \left( g \mathbf { E } _ { \mathbf { h } } + U \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } - \frac { H ^ { 2 } U } { 3 } \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 2 } \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } - \frac { H ^ { 2 } } { 3 } \widetilde { \mathbf { D } } \left( \frac { d \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } } { d t } \right) \right) + \alpha _ { u } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { E } _ { \mathbf { u } } } & { = \mathbf { P } _ { b } ^ { ( 2 ) } + \mathbf { T } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\lVert \widehat { u } \rVert _ { { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } } = \left\lVert \omega \widehat { u } \right\rVert _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } + \left\lVert m \widehat { u } \right\rVert _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } + \left\lVert v ^ { - q } W _ { 0 } \widehat { u } \right\rVert _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } , \index { W d o t @ { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } }
B ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } [ \delta ( \sigma _ { 1 } - \tau _ { a _ { i } } ) - \delta ( \sigma _ { 1 } - \tau _ { b _ { i } } ) ] [ \delta ( \sigma _ { 2 } - \tau _ { a _ { i } } ) - \delta ( \sigma _ { 2 } - \tau _ { b _ { i } } ) ]
{ \cal P } ( z | \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = \frac { 1 } { z ^ { 2 } } + \sum _ { m , n } { } ^ { ' } \left[ \frac { 1 } { ( z - 2 m \omega _ { 1 } - 2 n \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( 2 m \omega _ { 1 } + 2 n \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { x _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { x _ { 3 } ^ { \prime } } \\ { t ^ { \prime } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { c o s \big ( \theta _ { 1 } ( S ) \big ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { c o s \big ( \theta _ { 2 } ( S ) \big ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { c o s \big ( \theta _ { 3 } ( S ) \big ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c o s \big ( \theta _ { 4 } ( S ) \big ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \\ { t } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { s i n \big ( \theta _ { 1 } ( S ) \big ) } \\ { s i n \big ( \theta _ { 2 } ( S ) \big ) } \\ { s i n \big ( \theta _ { 3 } ( S ) \big ) } \\ { s i n \big ( \theta _ { 4 } ( S ) \big ) } \end{array} \right) , } \end{array}