harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathsf { F } ( { x } , \widehat { x } , { u } , \widehat { u } , { w } , \widehat { w } ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { d ^ { b _ { 1 } b _ { 2 } } \left( [ { v } , d ^ { \mathrm { c o s } } ( { \phi } + \beta ( { u } _ { 2 } ) , \widehat { \phi } + \beta ( \widehat { u } _ { 2 } ) ) ] ^ { \top } , [ \widehat { v } , d ^ { \mathrm { c o s } } ( \widehat { \phi } + \beta ( \widehat { u } _ { 2 } ) , { \phi } + \beta ( { u } _ { 2 } ) ) ] ^ { \top } \right) } \\ { d ^ { b _ { 1 } b _ { 2 } } \left( [ { v } , d ^ { \mathrm { s i n } } ( { \phi } + \beta ( { u } _ { 2 } ) , \widehat { \phi } + \beta ( \widehat { u } _ { 2 } ) ) ] ^ { \top } , [ \widehat { v } , d ^ { \mathrm { s i n } } ( \widehat { \phi } + \beta ( \widehat { u } _ { 2 } ) , { \phi } + \beta ( { u } _ { 2 } ) ) ] ^ { \top } \right) } \\ { d ^ { b _ { 1 } b _ { 2 } } \left( [ { v } , d ^ { \mathrm { s i n } } ( \beta ( { u } _ { 2 } ) , \beta ( \widehat { u } _ { 2 } ) ) ] ^ { \top } , [ \widehat { v } , d ^ { \mathrm { s i n } } ( \beta ( \widehat { u } _ { 2 } ) , \beta ( { u } _ { 2 } ) ) ] ^ { \top } \right) } \\ { { u _ { 1 } } + { w } } \end{array} \right] , } \end{array}
m _ { 3 } ^ { \prime } ( f _ { 1 } e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , f _ { 2 } e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } , f _ { 3 } \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { \bar { ( j ) } } ) = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } } N ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } } ( \partial _ { z } ^ { k _ { 1 } } f _ { 1 } ) \partial _ { z } ^ { k _ { 3 } } ( ( \partial _ { z } ^ { k _ { 2 } } f _ { 2 } ) f _ { 3 } ) m _ { 3 } ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) } ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { \bar { ( j ) } } )
{ \widetilde \xi } | \Psi \rangle = \frac { i } { c o s ^ { 2 } ( \theta ) - s i n ^ { 2 } ( \theta ) e ^ { 2 i \phi } } ( \sqrt { 2 } s i n ( \theta ) c o s ( \theta ) e ^ { i \phi } - ( c o s ^ { 2 } ( \theta ) + s i n ^ { 2 } ( \theta ) e ^ { 2 i \phi } ) \xi ) | \Psi \rangle ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mu \Delta w _ { a } ^ { ( 2 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - \nabla _ { a } q ^ { ( 2 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = 0 } \\ { \nabla _ { a } w _ { a } ^ { ( 2 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = 0 , \qquad { \pmb x } \in D _ { f } } \\ { w _ { a } ^ { ( 2 ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = - A _ { b b _ { 1 } b _ { 2 } } \left( ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } \delta _ { a b } + { \lambda } h _ { c b b _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) t _ { a c } ( { \pmb x } ) \right) , \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \end{array} \right.
C _ { \frac { 3 } { 7 } } = C \left( \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } + \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 6 } } ( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right)
E _ { 3 } ^ { L } = \frac { g } { 4 \sqrt 2 \pi ^ { 2 } } \lambda _ { t } V _ { j 2 } ^ { * } R _ { \tilde { t } _ { i } } \left[ L _ { \tilde { t } _ { i } \tilde { \chi } _ { k } ^ { 0 } } O _ { k j } ^ { R ^ { * } } M _ { \tilde { \chi } _ { j } ^ { + } } ( c _ { 0 } + c _ { 1 1 } ) - R _ { \tilde { t } _ { i } \tilde { \chi } _ { k } ^ { 0 } } O _ { k j } ^ { L ^ { * } } M _ { t } ( c _ { 1 2 } + c _ { 2 3 } ) \right] , ~ ~ ~ ~ ~ ~
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c } { \rho ( x ) u _ { t t } + \mu ( x ) u _ { t } + ( r ( x ) u _ { x x } ) _ { x x } + ( \kappa ( x ) u _ { x x } ) _ { x x t } = 0 , ~ ( x , t ) \in \Omega _ { T } , } \\ { u ( x , 0 ) = 0 , ~ u _ { t } ( x , 0 ) = 0 , ~ ~ x \in ( 0 , \ell ) , } \\ { u ( 0 , t ) \; = 0 , ~ u _ { x } ( 0 , t ) = 0 , ~ ~ \ t \in [ 0 , T ] , } \\ { u ( \ell , t ) \; = \nu ( t ) , ~ \left[ r ( x ) u _ { x x } + \kappa ( x ) u _ { x x t } \right] _ { x = \ell } = 0 , ~ t \in [ 0 , T ] } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { B } } A ( t ) } & { { } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { { \big ( } ( 2 \ell + 2 ) t { \big ) } ^ { k } } { k ! } } \right) { \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { ( 2 \ell + 1 ) ! } } } \end{array}
{ \frac { \delta } { \delta B ^ { \alpha \beta } } } S = \int _ { M } { \frac { \delta } { \delta B ^ { \alpha \beta } } } B \wedge \delta B + \int _ { M } B \wedge \delta { \frac { \delta } { \delta B ^ { \alpha \beta } } } B = \int _ { M } { \frac { \delta } { \delta B ^ { \alpha \beta } } } B \wedge \delta B - \int _ { M } \delta B \wedge { \frac { \delta } { \delta B ^ { \alpha \beta } } } B = - 2 \int _ { M } \delta B \wedge { \frac { \delta } { \delta B ^ { \alpha \beta } } } B
d ^ { \, 6 } { \cal D } _ { r a d } ^ { ( 0 ) } = \rho _ { r a d } ^ { ( 0 ) } ( k , p ) \frac { d ^ { 3 } { \vec { k } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega } \frac { d ^ { 3 } { \vec { p } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 p ^ { 0 } } \; ,
\left. - \frac { i } { 2 } g ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \, \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \, f _ { a b c } \, G _ { \nu \alpha } ^ { b d } ( \theta ) \, { \tilde { f } } _ { \alpha } ] ^ { d } \, G _ { \lambda \beta } ^ { c e } ( \theta ) \, { \tilde { f } } _ { \beta } ^ { e } \right\}
D ^ { 2 } ( \tilde { \lambda } ^ { [ i ] } ) ^ { 4 } - ( \tilde { \lambda } ^ { [ i ] } ) ^ { 3 } \left( 2 D f + 2 D U ^ { [ i ] } \right) + ( \tilde { \lambda } ^ { [ i ] } ) ^ { 2 } \left( - 2 \gamma D + f ^ { 2 } + 2 f U ^ { [ i ] } + \left( U ^ { [ i ] } \right) ^ { 2 } - v ^ { 2 } \right) + \tilde { \lambda } ^ { [ i ] } \left( 2 \gamma f + 2 \gamma U ^ { [ i ] } \right) = 0 ,
\mathcal { B } ^ { - 1 } [ M \mathrm { I m } \, M ] = \frac { \mathcal { B } ^ { - 1 } [ M ^ { 2 } - M M ^ { * } ] } { 2 \mathrm { i } } = \frac { \mathrm { i } } { 2 } \frac { \mathrm { I m } \, M } { \eta + \langle \mathrm { I m } \, M \rangle } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \frac { 1 - \langle M M ^ { * } \rangle } { 1 - \langle M ^ { 2 } \rangle } M ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \| E \| } & { { } \; \leq \; \kappa \, \| [ H , D _ { 0 } ] \| \; + \; 2 \, \| H ^ { s } \| \, \operatorname* { m a x } \big \{ \| [ H , G _ { \rho } ( | D _ { 0 } | ) ] \| , \| H , G _ { \rho } ( | D _ { 0 } ^ { * } | ) ] \| \big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { I } } _ { N _ { R } } } & { { } = ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } ( { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } { \bf { V } } _ { N _ { T } } } \end{array}
p \left( t \right) = \left[ \begin{array} { c } { R \cos \left( \omega t \right) \cos \left( t \right) - R \sin \left( \omega t \right) \sin \left( t \right) } \\ { R \sin \left( \omega t \right) \cos \left( t \right) + R \cos \left( \omega t \right) \sin \left( t \right) } \\ { A \cos \left( n t \right) + A \sin \left( n t \right) } \\ { 1 } \end{array} \right]
\varphi ( z , u ) : = \mathbb { E } [ z ^ { \tau ( u ) } \mathbf { 1 } \{ \tau ( u ) < \infty \} ] , \: \: \: \Phi ( w , z ) : = \sum _ { u = 1 } ^ { \infty } w ^ { u } \varphi ( z , u ) , \quad w \in ( - 1 , 1 ) ,
f _ { + } ( x _ { + } ) = 0 . 2 4 \, x _ { + } , \; \; \; \widetilde { m } _ { + } = 8 . 3 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { e V } , \; \; \; \alpha _ { + } = - 1 . 1 .
\omega _ { 3 } ^ { * } = \omega _ { 1 } ^ { * } + \omega _ { 2 } ^ { * } = 0 . 2 2 5 ~ N ~ ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ ~ \theta _ { 3 } ^ { * } = \arcsin \left( \frac { \omega _ { 3 } ^ { * } } { N } \right) \simeq 0 . 2 2 5 .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { E } _ { T } ( X ) } \operatorname* { i n f } _ { n \geq 1 } \frac { 1 } { n } \int | \Phi _ { n } | \, d \mu } & { = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { M } _ { \operatorname* { m a x } } ( \log f ) \cap \mathcal { M } _ { \operatorname* { m a x } } ( \log g ) \cap \mathcal { E } _ { T } ( X ) } \left| \int \phi \, d \mu \right| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { E } _ { T } ( Z ) } \left| \int \phi \, d \mu \right| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { M } _ { T } ( Z ) } \left| \int \phi \, d \mu \right| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { M } _ { \operatorname* { m a x } } ( \log f ) \cap \mathcal { M } _ { \operatorname* { m a x } } ( \log g ) } \left| \int \phi \, d \mu \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \nabla _ { a } p } { n } } & { { } = \frac { 1 } { n } \left( \sqrt { 2 X } \mathcal { L } _ { X } \mathrm { ~ } u _ { a } + \mathcal { L } _ { X } \nabla _ { a } X \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } = } & { \frac { 1 } { \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } + \mathrm { i } \left( \Delta _ { 1 } - \Delta _ { \mathrm { p } } \right) } , } \\ { \alpha _ { 2 } = } & { \frac { 1 } { \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } + \mathrm { i } \left( \Delta _ { 2 } - \Delta _ { \mathrm { p } } \right) } , } \\ { \alpha _ { 3 } = } & { \frac { \gamma \beta } { \left( \gamma - \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { p } } \right) } . } \end{array}
k ( \omega ) \! = \! n ( \omega ) \omega / c = k ( \omega _ { \mathrm { o } } + \Omega ) \! \approx \! n _ { \mathrm { m } } k _ { \mathrm { o } } + \frac { \Omega } { \widetilde { v } _ { \mathrm { m } } } - \frac { 1 } { 2 } | k _ { 2 \mathrm { m } } | \Omega ^ { 2 } + \cdots
\begin{array} { r l } { \left. \left( \partial _ { z } E _ { z } \right) \right| _ { \mathrm { a v } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left. \left( \epsilon _ { 1 } \partial _ { x } E _ { \mathrm { i } , x } + \epsilon _ { 1 } \partial _ { x } E _ { \mathrm { r } , x } + \epsilon _ { 2 } \partial _ { x } E _ { \mathrm { t } , x } \right) \right| _ { z = 0 } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { = H _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } L { \frac { 1 - { \frac { v } { c } } \cos { \phi } } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } + { \frac { 1 } { 2 } } L { \frac { 1 + { \frac { v } { c } } \cos { \phi } } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } } \\ & { = H _ { 1 } + { \frac { L } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } } \end{array} }
\mathrm { ~ M ~ S ~ - ~ S ~ S ~ I ~ M ~ } ( \textbf { x } , \textbf { y } ) = [ l _ { m } ( \textbf { x } , \textbf { y } ) ] ^ { \alpha M } \cdot \prod _ { j = 1 } ^ { M } [ c _ { j } ( \textbf { x } , \textbf { y } ) ] ^ { \beta _ { j } } [ s _ { j } ( \textbf { x } , \textbf { y } ) ] ^ { \gamma _ { j } } \textbf { , }
\left| \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \nu } ^ { \circ } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \right| \prec \frac { \rho _ { 1 } } { \sqrt { N L } } \left( \Lambda _ { k } + \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l r } { f ( \eta ) } & { { } = } & { e r f \left( { \frac { \eta } { 2 \sqrt { D } } } \right) , } \\ { f ( \eta ) } & { { } = } & { \kappa _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } , } \\ { f ( \eta ) } & { { } = } & { \kappa _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 6 D } \eta ^ { 2 } \right) , } \\ { f ( \eta ) } & { { } = } & { \kappa _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 3 D } \eta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 0 } \frac { 1 } { D ^ { 2 } } \eta ^ { 4 } \right) , } \\ { f ( \eta ) } & { { } = } & { \kappa _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 2 D } \eta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 0 } \frac { 1 } { D ^ { 2 } } \eta ^ { 4 } - \frac { 1 } { 8 4 0 } \frac { 1 } { D ^ { 3 } } \eta ^ { 6 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { T W - M S } } ^ { I } } & { { } = \hbar \Omega _ { \mathrm { S D F } } \cos { ( \delta t ) } \hat { S } _ { \phi } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) , } \\ { \Omega _ { \mathrm { S D F } } ( \Omega , \delta ) } & { { } = \eta \Omega [ J _ { 0 } ( 2 \Omega / \delta ) + J _ { 2 } ( 2 \Omega / \delta ) ] , } \end{array}
\int \operatorname { p d f } _ { \mathrm { M J } } ( p ) \mathrm { d } p _ { 1 } \cdots \mathrm { d } p _ { d } \propto \int e ^ { - { \frac { E ( p ) } { k _ { \mathrm { B } } T } } } \left( p ( \gamma ) ^ { d - 1 } { \frac { \mathrm { d } p ( \gamma ) } { \mathrm { d } \gamma } } \right) \mathrm { d } \Omega _ { d } \mathrm { d } \gamma \equiv \int _ { \Omega _ { d } } \mathrm { d } \Omega _ { d } \, \int P _ { M J } ( \gamma ) \mathrm { d } \gamma
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } & { = } & { \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( - 4 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] \right) + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] \right) + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] \right) } \\ & { } & { + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] \right) + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( + 4 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { n } ( \boldsymbol { \kappa } ; \kappa _ { z } ) = \frac { 0 . 0 3 3 C _ { n } ^ { 2 } \exp \left[ - \left( \frac { \kappa \ell _ { 0 } } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \right] } { \left( \kappa ^ { 2 } + L _ { 0 } ^ { - 2 } \right) ^ { 1 1 / 6 } } . } \end{array}
\frac { \delta \left\langle L _ { K } \right\rangle } { \delta t } = \frac { \delta M _ { G } } { \delta t } \Omega _ { - } + \frac { \delta M _ { C } } { \delta t } \Omega _ { + } = \frac { 2 \Omega _ { - } } { \Omega } \frac { \delta D } { \delta t } + \frac { 2 \Omega _ { + } } { \Omega } \frac { \delta J } { \delta t } ,
\mathbb { P } _ { f } \big [ A _ { \Gamma } \in A _ { \mathcal { F } } \big ] = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { \# ( \mathcal { F } \cap \mathcal G ^ { N , f ( N ) } ) } { \# ( \mathcal { G } ^ { N , f ( N ) } ) } = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \left( \frac { f ( N ) - k } { f ( N ) } \right) ^ { \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } } = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \left( \frac { f ( N ) - k } { f ( N ) } \right) ^ { N ^ { 2 } \left( \frac { N - 1 } { 2 N } \right) } .
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { R } _ { { \mathbf G } , \mathrm { r d n } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { { } = \mathbf { R } _ { i j } \frac { N _ { \alpha } N _ { \beta } } { N ^ { 2 } } } \\ { ( \mathbf { N } _ { \mathbf { G } , \mathrm { r d n } } ) _ { i \alpha , j \beta } } & { { } = \frac { N _ { i } N _ { \alpha } } { N } \delta _ { i j } \delta _ { \alpha \beta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } ^ { - \ell , m } ( e ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \left( \frac { a } { r } \right) ^ { \ell } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m \upsilon } \, d M = \frac { 1 } { \pi ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { \ell - 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( 1 + e \cos \upsilon \right) ^ { \ell - 2 } \cos ( m \upsilon ) \, d \upsilon } \\ & { = \frac { 1 } { ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { \ell - 3 / 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { ( \ell - m - 2 ) / 2 } \frac { ( \ell - 2 ) ! } { k ! ( m + k ) ! ( \ell - 2 - m - 2 k ) ! } \left( \frac { e } { 2 } \right) ^ { m + 2 k } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { i j + 1 } } & { { } = } & { g _ { i i } f ( x _ { i j } , a _ { i } ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { N } g _ { i i ^ { \prime } } f ( x _ { i ^ { \prime } j } , a _ { i ^ { \prime } } ) } \\ { g _ { i i ^ { \prime } } } & { { } = } & { ( 1 - c ) \delta _ { i i ^ { \prime } } + c \epsilon _ { i i ^ { \prime } } } \\ { a _ { i } } & { { } = } & { a + ( 1 - a ) \epsilon _ { i } } \\ { f ( x , a ) } & { { } = } & { 1 - a x ^ { 2 } } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \partial _ { j } \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } } \partial _ { j } P = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { \Delta t } \Bigg ( \partial _ { j } u _ { j } ^ { * } - \partial _ { j } u _ { j } ^ { n + 1 } \Bigg ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \partial _ { j } \mathrm { ~ S ~ } _ { \partial _ { j } P } ^ { \Gamma } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \partial _ { j } \mathrm { ~ S ~ } _ { \partial _ { j } P } ^ { \mathrm { ~ O ~ } }
\lambda _ { \pm } \equiv \left( \begin{array} { l } { E _ { 1 } } \\ { E _ { 2 } } \end{array} \right) _ { \pm } = \left( \begin{array} { l } { ( \Delta f + i \Delta \eta + f _ { \pm } - f _ { 0 } - i \eta _ { 0 } ) / J } \\ { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } } & { + \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { q } ( [ 0 , T ] ; L ^ { r } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } \leq 2 \| \partial _ { t } v ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) } } \\ & { + C T \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } + T ^ { \frac { q - q ^ { \prime } } { q q ^ { \prime } } } Z _ { T } ( c + v ) ^ { 2 \alpha } \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { q } ( [ 0 , T ] ; L ^ { r } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \nabla ^ { 2 } u ( \vec { x } ) } & { { } = \overline { f } ( \vec { s } ) + s ( \vec { x } ) \qquad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \, , } \\ { u ( \vec { x } ) } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \, { \bf u } ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } { \bf u } ) + p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } \, { \bf u } = p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) \nabla p _ { f } ) , } \\ & { \phi \rho _ { s } \big ( \partial _ { t } { \bf u } + { \bf u } \boldsymbol { \cdot } \nabla { \bf u } \big ) = \phi \rho _ { s } { \bf g } - \nabla p + \mathrm { d i v } \Big ( \sin ( \delta ) p \frac { \S } { | \mathrm { \bf S } | } \Big ) - \nabla p _ { f } , } \\ & { \mathrm { d i v } \, { \bf u } = 2 \sin ( \delta ) | \mathrm { \bf S } | - 2 \lambda \sin ( \delta ) ( \phi _ { \mathrm { m a x } } - \phi ) \sqrt { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { [ L _ { 1 } , L _ { 2 } , L _ { 3 } ] } } & { = A _ { L _ { 1 } } A _ { L _ { 2 } } A _ { L _ { 3 } } } \\ & { = A _ { [ 1 , 1 , 3 ] } A _ { [ 2 , 4 ] } A _ { [ 5 ] } } \\ & { = \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n , 1 } a _ { n , 1 } a _ { n , 3 } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n , 2 } a _ { n , 4 } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n , 5 } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n , 1 } ^ { 2 } a _ { n , 3 } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n , 2 } a _ { n , 4 } \right) \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n , 5 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { W } : \textrm { V e c t } \langle \{ t \rightarrow K ( \cdot , t ) : t \in \mathbb { R } \} \rangle } & { \rightarrow L ^ { 2 } ( \Omega ) } \\ { \eta : = \sum _ { i = 1 } ^ { p } a _ { i } K ( \cdot , t _ { i } ) } & { \mapsto \sum _ { i = 1 } ^ { p } a _ { i } W _ { t _ { i } } = : U _ { W } ( \eta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { K } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \Big | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) = \frac { 1 } { C _ { I - i , i } } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \widehat f _ { h , n } ^ { * 2 } \right) + \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat f _ { j , n } ^ { * 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( \| U ( t ) \| ^ { 2 } + \| W ( t ) \| ^ { 2 } + \| R ( t ) \| ^ { 2 } ) + \eta \| \nabla U ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { b } { 2 } \| W ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { r } { 2 } \| R ( t ) \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \, \left( \beta + k + \frac { 1 } { 2 b } | a - \sigma | ^ { 2 } + \frac { q ^ { 2 } } { r } - m P \right) \| U ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } } { r } \| u _ { j } ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| U ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } , \; \, t > 0 . } \end{array}
m s ( l i m i t o f 4 . 3 \, s ) , a n d f r o m a 1 0 \, M H z f r e q u e n c y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o b e a m s u s e d t o p r o d u c e t h e c r o s s e d t r a p ( l i m i t o f 8 . 3 \, s ) . D e t a i l s o f h o w t h e s e l i m i t s a r e c a l c u l a t e d a r e g i v e n i n S u p p l e m e n t a r y S e c t i o n \, I V . I n a d d i t i o n , t h e r e i s a s m a l l d i f f e r e n t i a l m a g n e t i c m o m e n t b e t w e e n t h e s t a t e s o f
\begin{array} { r } { \left< \operatorname { a d } _ { u } ^ { * } \mu \, , \, v \right> : = \left< \mu \, , \, \operatorname { a d } _ { u } v \right> = \left< \mu \, , \, - { \cal L } _ { u } v \right> \, , \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname { a d } _ { u } ^ { * } \mu = { \cal L } _ { u } \mu \quad \mathrm { f o r } \quad \mu \in \mathfrak { g } ^ { * } , \quad u , v \in \mathfrak { g } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { D } } & { { } = } & { \varepsilon _ { 0 } \mathbf { E } + \mathbf { P } , } \\ { \mathbf { H } } & { { } = } & { \mathbf { B } / \mu _ { 0 } - \mathbf { M } , } \end{array}
u = \frac { 2 k ^ { 2 } \left( w ^ { 2 } + w ^ { \prime 2 } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } w _ { i } w _ { i } ^ { \prime } \right) } { ( 1 - k ^ { 2 } w ^ { 2 } ) ( 1 - k ^ { 2 } w ^ { \prime 2 } ) } \; .
\begin{array} { r l } { r ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } R _ { n } ^ { s } ( r , \omega ) } { \partial r ^ { 2 } } + 2 r \frac { \partial R _ { n } ^ { s } ( r , \omega ) } { \partial r } } & { { } + ( k _ { 2 } ^ { 2 } r ^ { 2 } - n ( n + 1 ) ) R _ { n } ^ { s } ( r , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf { p } } \mathrm { g } } & { { } = \mathrm { g } _ { \mathbf { p } } + \left( \boldsymbol { \lambda } ^ { \mathrm { T } } \left[ \hat { \mathbf { a } } _ { \mathbf { p } } ^ { 0 } - \hat { \mathbf { T } } _ { \mathbf { p } } \hat { \mathbf { b } } \right] \right) } \\ { \hat { \mathbf { T } } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \lambda } } & { { } = \mathrm { g } _ { \hat { \mathbf { b } } } ^ { \mathrm { T } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha i } R _ { i \beta } { \texttt A } _ { i \beta } = \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha i } R _ { i \beta } { \texttt A } _ { i \beta } = - \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( R _ { i i } \sum _ { \mu } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } { \texttt A } _ { i \beta } \right) } \end{array}
s ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } \sigma _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( s , t _ { 1 } , u _ { 1 } ) } { d t _ { 1 } \: d u _ { 1 } } = \delta ( s + t _ { 1 } + u _ { 1 } ) \sigma _ { i j } ^ { B } ( s , t _ { 1 } , u _ { 1 } ) \, ,