harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { u } ^ { q G } ( 0 ; q < 1 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - q } \sqrt { 5 - 3 q } \, \sigma _ { m a x } ^ { q G } { C ^ { q G } } ^ { 2 } } } \\ & { \times B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 - q } { 1 - q } \right) \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { q - 1 } ; \frac { 5 - 3 q } { 2 - 2 q } ; \left( \frac { \sigma _ { m i n } ^ { q G } } { \sigma _ { m i n } ^ { q G } } \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
d s ^ { 2 } \, = \, \left( 1 - \frac { | q | } { r } \right) ^ { 2 } d t ^ { 2 } \, - \, \left( 1 - \frac { | q | } { r } \right) ^ { - 2 } d r ^ { 2 } - r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 }
c _ { k - 2 , \, d } ( k ) = \sum _ { r = 1 } ^ { 1 } \sum _ { \substack { ( l _ { 1 } , \ldots , l _ { r } ) \in [ 1 ] ^ { r } \, l _ { 1 } + \cdots + l _ { r } = 1 } } ( - 1 ) ^ { r } \frac { a _ { 2 l _ { 1 } , k } a _ { 2 l _ { 2 } , k - 2 l _ { 1 } } \cdots a _ { 2 l _ { r } , k - 2 ( l _ { 1 } + \cdots + l _ { r - 1 } ) } } { a _ { 0 , k } a _ { 0 , k - 2 l _ { 1 } } \cdots a _ { 0 , k - 2 l } } = - \frac { a _ { 2 , k } } { a _ { 0 , k } a _ { 0 , k - 2 } } .
\begin{array} { r } { A y ^ { b } ( y - 1 ) - y \ln \mathbf { C } _ { 3 } - A ( 1 - y ) ^ { b } y - ( 1 - y ) \ln \mathbf { C } _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { 1 } { 4 \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } } \right) } \end{array}
{ \mathrm { H M } } = { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { n } } \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { a _ { i } } } } } = { \frac { n } { { \frac { 1 } { a _ { 1 } } } + { \frac { 1 } { a _ { 2 } } } + \cdots + { \frac { 1 } { a _ { n } } } } }
\begin{array} { r l } { u ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = \langle u ( \mathbf { x } , t ) \rangle + u ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) , \ \ v ( \mathbf { x } , t ) = \langle v ( \mathbf { x } , t ) \rangle + v ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) , } \\ { w ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = \langle w ( \mathbf { x } , t ) \rangle + w ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) , \ \ \phi ( \mathbf { x } , t ) = \langle \phi ( \mathbf { x } , t ) \rangle + \phi ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) . } \end{array}
\sum _ { \ell } \Delta x \left( \mathcal { E } ^ { n + 1 , \ell } - \mathcal { E } ^ { n , \ell } \right) = - \sum _ { \ell } \Delta t \left( \tilde { D } _ { \mathcal { E } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } , - } + \tilde { D } _ { \mathcal { E } } ^ { \ell - \frac { 1 } { 2 } , + } + g _ { \mathcal { E } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - g _ { \mathcal { E } } ^ { \ell - \frac { 1 } { 2 } } \right) = 0 .
\Phi _ { j _ { 1 } \, j _ { 2 } \, \dots \, j _ { k } } ^ { i _ { 1 } \, i _ { 2 } \, \dots \, i _ { k } } \equiv \mathrm { T r } \left( u ^ { ( i _ { 1 } } \, v _ { ( j _ { 1 } } \, u ^ { i _ { 2 } } \, v _ { j _ { 2 } } \, \dots \, u ^ { i ) _ { k } } \, v _ { j _ { k } ) } \right)
{ \cal L } _ { 1 } = - n \left( \begin{array} { c } { { { \frac { 4 \pi { } ^ { 2 } } { 3 } } { \rho ^ { 3 } } } } \end{array} \right) \Bigg \{ { \cal F } _ { u } \, \bar { u } _ { R } \, u _ { L } + ( u \leftarrow \joinrel \rightarrow d ) + ( u \leftarrow \joinrel \rightarrow s ) \Bigg \} + ( R \leftarrow \joinrel \rightarrow L )
{ \cal A } ( \mu _ { k } ; e ) = { \frac { \epsilon } { 2 4 \pi } } \int _ { \Sigma ^ { + } } { \frac { e } { v } } \partial _ { z } \bigg ( v \partial _ { z } \bigg ( v \partial _ { z } \partial _ { \bar { z } } \bigg ( { \frac { e _ { k } } { v } } \bigg ) \bigg ) \bigg ) ,
{ \frac { 1 } { d ^ { 2 } } } = { \frac { { \frac { h ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \alpha + { \frac { k ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \beta + { \frac { \ell ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \gamma + { \frac { 2 k \ell } { b c } } ( \cos \beta \cos \gamma - \cos \alpha ) + { \frac { 2 h \ell } { a c } } ( \cos \gamma \cos \alpha - \cos \beta ) + { \frac { 2 h k } { a b } } ( \cos \alpha \cos \beta - \cos \gamma ) } { 1 - \cos ^ { 2 } \alpha - \cos ^ { 2 } \beta - \cos ^ { 2 } \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma } }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } W ( X , 0 ) } & { { } = 0 , } & { \quad } & { { } 1 \leq | X | \leq B , } \\ { W ( X , D ) } & { { } = D , } & { } & { { } \ 0 \le | X | \le B , } \\ { \partial _ { X } W ( \pm B , Y ) } & { { } = 0 , } & { } & { { } 0 \le Y \le D . } \end{array}
\rho ( r , t ) \sim t ^ { - \gamma } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \rho _ { m } \zeta ^ { m } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad u ( r , t ) \sim t ^ { - \alpha } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } u _ { n } \zeta ^ { n } .
\begin{array} { r } { \mathcal E _ { \varepsilon } ( u ) = \gamma \int _ { \Omega } \sqrt { \varepsilon + | \nabla u | ^ { 2 } } \, d x + \int _ { \Omega } \left[ P _ { h } u ^ { p _ { n } } + \rho _ { s } ( 1 - u ^ { p _ { n } } ) U ^ { \mathrm { v d W } } \right] \, d x + I _ { \mathrm { p } ; m , n } ( u , \psi _ { u } ) } \end{array}
\mathcal { C } _ { f } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { w e e k d a y } , } & { \mathcal { D } _ { i , x } ^ { E } < \mathcal { D } _ { i , x } ^ { W } } \\ { \mathrm { w e e k e n d } , } & { \mathcal { D } _ { i , x } ^ { E } \geq \mathcal { D } _ { i , x } ^ { W } } \end{array} \right.
A _ { I _ { t } = 1 } = { \frac { 1 } { 3 } } A _ { I _ { s } = 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } A _ { I _ { s } = 1 } - { \frac { 5 } { 6 } } A _ { I _ { s } = 2 } \, .
\begin{array} { r l } { c _ { 3 } } & { { } = - 5 t _ { a } ^ { 1 } / ( 3 \eta ^ { + } + 2 \eta ^ { - } ) } \\ { a _ { 3 } } & { { } = 1 0 5 ( { \hat { \gamma } } f - t _ { a } ^ { 3 } / 2 ) / ( 1 6 \eta ^ { + } + 1 9 \eta ^ { - } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { A _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } f ( \boldsymbol { r } , t ) \biggl ( } & { { } \cos ( \boldsymbol { k } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { r } - \omega _ { 0 } t + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) \boldsymbol { e _ { x } } } \\ { + \epsilon \Lambda } & { { } \sin ( \boldsymbol { k } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { r } - \omega _ { 0 } t + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) \boldsymbol { e _ { y } } \biggr ) . } \end{array}
\int \! { \cal D } \varphi \, \delta _ { \eta } \phi { \frac { \delta S _ { 0 } } { \delta \phi } } e ^ { - ( S _ { 0 } + S _ { 5 } ) } = ( \delta _ { \eta } ^ { ( 0 ) } \phi + \delta _ { \eta } ^ { ( 1 ) } \phi ) { \frac { \delta S _ { 0 } [ \phi ] } { \delta \phi } } e ^ { - ( S _ { 0 } [ \phi ] + S ^ { ( 1 ) } [ \phi ] ) }
\begin{array} { r } { \tilde { H } = - \sum _ { m , n } i g \left[ b _ { m , n + 1 } ^ { \dagger } b _ { m , n } + b _ { m , n } ^ { \dagger } b _ { m , n + 1 } \right] - \sum _ { m , n } i \kappa \left[ e ^ { - i n \phi } b _ { m + 1 , n } ^ { \dagger } b _ { m , n } + e ^ { i n \phi } b _ { m , n } ^ { \dagger } b _ { m + 1 , n } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } \rho } { \partial t ^ { 2 } } , w \right) _ { \Omega _ { A } } + c _ { 0 } ^ { 2 } ( \nabla \rho , \nabla w ) _ { \Omega _ { A } } + \frac { \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } } { Z } \int _ { \Gamma _ { Z } } \frac { \partial \rho } { \partial t } w \ d s = \mathcal { L } ( w ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } \mathbf { Y } _ { \infty } + \mathbf { Y } _ { \infty } \mathbf { A } ^ { \top } + \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } - ( 1 - \gamma ^ { - 2 } ) \mathbf { Y } _ { \infty } \mathbf { C } ^ { \top } \mathbf { C } \mathbf { Y } _ { \infty } } & { = \mathbf { 0 } , } \\ { \mathbf { A } ^ { \top } \mathbf { X } _ { \infty } + \mathbf { X } _ { \infty } \mathbf { A } + \mathbf { C } ^ { \top } \mathbf { C } - ( 1 - \gamma ^ { - 2 } ) \mathbf { X } _ { \infty } \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } \mathbf { X } _ { \infty } } & { = \mathbf { 0 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ \tau \mid a _ { N } , b _ { N } ] } & { = { \frac { a _ { N } } { b _ { N } } } } \\ { \operatorname { E } \left[ \mu \mid \mu _ { N } , \lambda _ { N } ^ { - 1 } \right] } & { = \mu _ { N } } \\ { \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } \right] } & { = \operatorname { V a r } ( X ) + ( \operatorname { E } [ X ] ) ^ { 2 } } \\ { \operatorname { E } \left[ \mu ^ { 2 } \mid \mu _ { N } , \lambda _ { N } ^ { - 1 } \right] } & { = \lambda _ { N } ^ { - 1 } + \mu _ { N } ^ { 2 } } \end{array} }
\frac { U _ { o } ^ { 2 } } { L } U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \rho U _ { o } ^ { 2 } } { \rho L } \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } - \frac { \nu U _ { o } } { L ^ { 2 } } ( 1 + \nu _ { T } ) \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } - \frac { U _ { o } \nu } { L ^ { 2 } } ( \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { i } } ) \frac { \partial \nu _ { T } } { \partial x _ { j } } - \frac { U _ { o } ^ { 2 } } { L } f _ { i } ^ { \perp } - \frac { U _ { o } ^ { 2 } } { L } h _ { i } = 0
\begin{array} { r l r } { | b _ { 1 } | } & { \geq } & { | b | \left( 1 + \frac { \rho } { 2 } \left( \frac { \mu - 1 } { \rho + l } \right) + ( r - \rho ) \left( \frac { \mu - 1 } { \rho + l } \right) + 2 y ^ { 2 } \left( \frac { \mu - 1 } { \rho + l } \right) \right) } \\ & { - } & { | b | \left( 2 | x y | \left( \frac { \mu - 1 } { \rho + l } \right) \right) } \\ & { = } & { | b | \left( 1 + \left( \frac { \mu - 1 } { \rho + l } \right) \left( \frac { \rho } { 2 } + ( r - \rho ) + 2 y ^ { 2 } - 2 | x y | \right) \right) } \\ & { = } & { | b | \left( 1 + \left( \frac { \mu - 1 } { \rho + l } \right) \left( - \frac { \rho } { 2 } + x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } - 2 | x y | \right) \right) \geq | b | } \end{array}
U ^ { \mu } = - \Gamma _ { \rho \sigma } ^ { \mu } ( \dot { \eta } ^ { \rho } \dot { \eta } ^ { \sigma } - \eta ^ { \rho } \eta ^ { \sigma } ) - 2 \Gamma _ { \rho \sigma , \lambda } ^ { \mu } \dot { q } ^ { \rho } \eta ^ { \lambda } \dot { \eta } ^ { \sigma } - \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \rho \sigma , \lambda \delta } ^ { \mu } \dot { q } ^ { \rho } \dot { q } ^ { \sigma } \eta ^ { \lambda } \eta ^ { \delta } .
\frac { 1 } { c ^ { 2 } } \, r \frac { \partial \phi } { \partial r } _ { | _ { \cos \theta = 0 } } = \frac { 2 } { x } \cdot \left( 1 - \frac { 3 } { 2 } \frac { \lambda ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 5 } { 8 } \frac { \lambda ^ { 4 } } { x ^ { 4 } } - \frac { 3 5 } { 1 6 } \frac { \lambda ^ { 6 } } { x ^ { 6 } } + \cdots \right) ,
{ \left[ \begin{array} { l } { d ^ { \prime } } \\ { s ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { ~ ~ \cos { \theta _ { \mathrm { c } } } } & { \sin { \theta _ { \mathrm { c } } } } \\ { - \sin { \theta _ { \mathrm { c } } } } & { \cos { \theta _ { \mathrm { c } } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { d } \\ { s } \end{array} \right] } ~ ,
\begin{array} { r l } & { \langle \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad = \sigma \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , i \big ( I - ( \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) ^ { * } V _ { b } ^ { * } \big ) ( \check { g } _ { 2 } ^ { * } , \check { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad - \sigma ^ { 2 } \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , i ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ) ^ { * } \big ( I - ( \check { L } _ { b } ( 0 ) ^ { - 1 } ) ^ { * } V _ { b } ^ { * } \big ) ( \check { g } _ { 2 } ^ { * } , \check { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { \quad \quad \quad + \sigma ^ { 2 } \Big \langle ( \tilde { g } _ { 0 } , \tilde { A } _ { 0 } ) , \frac { 1 } { 2 } ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } ( \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h } & { { } = } & { h _ { 0 } ( t ) + \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 / 2 } h _ { 1 } ( t ) + O ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 } ) , } \\ { u } & { { } = } & { u _ { 0 } ( r , t ) + \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 / 2 } u _ { 1 } ( r , t ) + O ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { k } = 1 - R _ { k } , \; R _ { k } = \frac { ( \Gamma _ { k } / 2 ) ^ { 2 } } { ( \omega _ { k } - \omega _ { e } - \Delta _ { k } ) ^ { 2 } + ( \Gamma _ { k } / 2 ) ^ { 2 } } . } \end{array}
J _ { 0 } ( \alpha _ { s } ) = \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } ( 1 / ( r ! ) ^ { 2 } ) ( v _ { \perp } v _ { { t h } _ { s } } / ( L \omega _ { c s } ) ) ^ { 2 r } { \nabla _ { \perp } ^ { 2 r } }
\begin{array} { r } { V ( \phi _ { 2 } , t ) = - \int \frac { F ( \phi _ { 2 } , t ) - \partial _ { \phi _ { 2 } } D ( \phi _ { 2 } , t ) } { D ( \phi _ { 2 } , t ) } d \phi _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \sigma } _ { a b } } & { { } = } & { - \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { b } q _ { d c } } \nabla _ { a } q _ { d c } + q _ { a d } h _ { b d } - q _ { b d } h _ { a d } } \end{array}
\chi _ { \uparrow \uparrow } ( q , \omega ) = \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) + \frac { V _ { q } \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ^ { 2 } } { 1 - V _ { q } ( \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) + \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) } , \chi _ { \uparrow \downarrow } ( q , \omega ) = \frac { V _ { q } \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } } { 1 - V _ { q } ( \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) + \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } B _ { 2 1 } ^ { 1 } \equiv } & { - ( \psi _ { 0 } ^ { 0 } + \psi _ { 1 } ^ { 1 } ) B _ { 2 1 } ^ { 1 } + \nu _ { 2 } } \\ { \mathrm { d } B _ { 1 2 } ^ { 2 } \equiv } & { - ( \psi _ { 0 } ^ { 0 } - \psi _ { 1 } ^ { 1 } ) B _ { 1 2 } ^ { 2 } + \nu _ { 1 } } \\ { \mathrm { d } A _ { 2 1 } ^ { 1 } \equiv } & { \nu _ { 1 } A _ { 2 0 } ^ { 1 } + ( \psi _ { 0 } ^ { 0 } - \psi _ { 1 } ^ { 1 } ) A _ { 2 1 } ^ { 1 } - B _ { 2 1 } ^ { 1 } \mu _ { 0 } + \mu _ { 2 } } \\ { \mathrm { d } A _ { 1 2 } ^ { 2 } \equiv } & { \nu _ { 2 } A _ { 1 0 } ^ { 2 } + ( \psi _ { 0 } ^ { 0 } + \psi _ { 1 } ^ { 1 } ) A _ { 1 2 } ^ { 2 } - B _ { 1 2 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } + \mu _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \boldsymbol \theta } ^ { S } ( \mathbf { s } ) = } & { \sqrt { \frac { 1 } { | \mathcal { S } | } \sum _ { \mathbf { s ^ { \prime } } \in \mathcal { S } ( \mathbf { s } ) } \exp \Big ( 2 \mathrm { R e } \Big [ \chi _ { \boldsymbol \theta } \big ( \mathbf { s ^ { \prime } } \big ) \Big ] \Big ) } } \\ & { \times \exp \left( i \arg \left( \sum _ { \mathbf { s ^ { \prime } } \in \mathcal { S } ( \mathbf { s } ) } \exp \left( i \ \mathrm { I m } \Big [ \chi _ { \boldsymbol \theta } \big ( \mathbf { s ^ { \prime } } \big ) \Big ] \right) \right) \right) } \end{array}
P ( i , j \mid k , n ) = \frac { b ^ { 3 } ( n - k ) ^ { 3 H } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } 3 ^ { 3 / 2 } } \frac { 1 } { ( \operatorname* { d e t } \Sigma ) ^ { 3 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { n + 1 } B _ { n } ^ { \ell } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { = \partial _ { n + 1 } \left( f _ { 1 } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { 2 } } \otimes f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) \right) } \\ & { = \mathrm { i d } _ { s f _ { 2 } } \otimes f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) f _ { 1 } } \\ & { + f _ { 1 } \otimes f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + \sum _ { i = 2 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i + 1 } f _ { 1 } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { 2 } } \otimes f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n + 1 } f _ { 1 } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { 2 } } \otimes f _ { 2 } \otimes \dots \otimes \dots \otimes f _ { n - 1 } \otimes f _ { n } ( a , b ) . } \end{array}
\frac { d s ^ { 2 } } { l _ { s } ^ { 2 } } = \frac { u ^ { 7 - p } } { R ^ { 7 - p } } \Big [ - f d \tilde { t } ^ { 2 } + ( d \tilde { x } ^ { 1 } ) ^ { 2 } \Big ] + ( d \tilde { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \cdots + ( d \tilde { x } ^ { p } ) ^ { 2 } + f ^ { - 1 } d u ^ { 2 } + u ^ { 2 } d \Omega _ { 8 - p } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { U _ { s s } } & { = } & { \frac { q ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int d { \bf r } _ { 1 } d { \bf r } _ { 2 } \frac { 1 } { | { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } | } \phi _ { 1 s } ^ { 2 } ( { \bf r } _ { 1 } ) \phi _ { 1 s } ^ { 2 } ( { \bf r } _ { 2 } ) , } \\ { U _ { s p } } & { = } & { \frac { q ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int d { \bf r } _ { 1 } d { \bf r } _ { 2 } \frac { 1 } { | { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } | } \phi _ { 1 s } ^ { 2 } ( { \bf r } _ { 1 } ) \phi _ { 2 p _ { x } } ^ { 2 } ( { \bf r } _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 3 L ( 0 ) } } \left| \frac { | \nabla u | ^ { 2 } } { 2 } - W ( u ) \right| } & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { j \rightarrow \infty } \int _ { B _ { 3 L } ( 0 ) } \left| \frac { | \nabla u _ { j } | ^ { 2 } } { 2 } - W ( u _ { j } ) \right| } \\ & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { j \rightarrow \infty } | \xi _ { j } | ( B _ { 3 L } ( 0 ) ) = 0 } \end{array}
{ \boldmath \mathrm { S } } _ { 6 _ { b } , D } ^ { 3 _ { b b } } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { { \frac { 3 } { 5 } } } } } } & { { 0 } } & { { - 2 { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 5 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 } } } } } } \\ { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 5 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 } } } } } } & { { { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 5 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 } } } } } } \\ { { { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 0 } } } } } } & { { { \frac { 1 } { { \sqrt { 6 } } } } } } & { { - { \sqrt { { \frac { 3 } { 1 0 } } } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 2 { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 5 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 } } } } } } & { { - { \frac { 1 } { { \sqrt { 1 5 } } } } } } & { { { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 } } } } } } \\ { { 0 } } & { { - 2 { \sqrt { { \frac { 2 } { 1 5 } } } } } } & { { { \frac { 1 } { { \sqrt { 6 } } } } } } & { { { \sqrt { { \frac { 3 } { 1 0 } } } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \langle 1 _ { \pm } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { \pm } ^ { \prime } \rangle } & { { } = } & { \langle 1 _ { \pm } | \left( 1 - \hat { H } _ { \mathrm { ~ Z ~ e ~ e ~ } } \hat { Q } _ { 1 } \right) \hat { V } _ { j } \left( 1 - \hat { Q } _ { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { ~ Z ~ e ~ e ~ } } \right) | 1 _ { \pm } \rangle + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Omega _ { U } = } & { { } \ \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } U + U C ^ { T } \Omega _ { U } + \Omega _ { U } C U , } \\ { = } & { { } \ \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } U + ( C U ) ^ { T } \Omega _ { U } + \Omega _ { U } C U . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 0 } } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \alpha : \, ( \widetilde { Q } _ { m } \alpha + v ) \in H _ { n } ^ { ( 0 ) } } \{ ( \widetilde { Q } _ { m } \alpha + v ) ^ { T } U ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } ( \widetilde { Q } _ { m } \alpha + v ) ^ { T } J ^ { 0 } ( \widetilde { Q } _ { m } \alpha + v ) \} + o _ { P } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial t } + \bar { u } _ { i } \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } & { { } = - \frac { \partial \bar { p } } { \partial x _ { j } } + \frac { 2 } { R e } \frac { \partial \bar { s } _ { i j } } { \partial x _ { i } } } \\ { \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial t } + \bar { u } _ { i } \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } + u _ { i } ^ { \prime } \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } } & { { } = - u _ { i } ^ { \prime } \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } - \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial x _ { j } } + \frac { 2 } { R e } \frac { \partial s _ { i j } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } } \end{array}
{ \frac { \mathrm { o u n c e } } { \mathrm { p o u n d } } } = { \frac { W _ { 1 4 4 } } { W _ { 1 7 2 8 } } } = { \frac { 1 4 4 } { 1 7 2 8 } } = { \frac { 1 } { 1 2 } } .
\begin{array} { r } { G _ { \lambda } ( \pmb { x } ) \equiv \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } g ^ { \pmb { x } } ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathcal { P } _ { \lambda } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } \end{array}
g ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , r _ { i } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) ) ^ { - 1 } ) : g ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , t _ { i } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) ) ) ) = g ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , f ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , s _ { i } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) ) ) )
f \left( \theta \right) = \frac { \sin \theta } { 1 + \cos \theta } + 4 \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 + \cosh 2 \theta \xi } { \sinh 2 \pi \xi } } \operatorname { t a n h } \left[ \left( \pi - \theta \right) \xi \right] d \xi .
\begin{array} { r l } { V ( z ) ( \omega ) } & { = ( F _ { t } * V _ { \omega } ^ { 0 } ) ( x ) = t \int _ { S ( 0 , 1 ) } V ^ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) ( \omega ) \frac { d \Omega } { 4 \pi } } \\ { = } & { \frac { t } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } V ^ { 0 } ( x - c | t | \gamma ( \theta , \phi ) ) ( \omega ) \sin ( \theta ) d \theta d \phi = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k } ^ { n } V ^ { 0 } ( x - c | t | y _ { k } ^ { n } ) ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \varepsilon } ( z , t ) = - \frac { \partial \theta } { \partial t } ( z _ { 1 } , t ) \phi ( z _ { 2 } / \varepsilon ) } & { - u ^ { z _ { 1 } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , t ) \frac { \partial \theta } { \partial z _ { 1 } } ( z _ { 1 } , t ) \phi ( z _ { 2 } / \varepsilon ) - \frac { 1 } { \varepsilon } u ^ { z _ { 2 } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , t ) \theta ( z _ { 1 } , t ) \phi ^ { \prime } ( z _ { 2 } / \varepsilon ) } \\ & { + \nu | T ^ { \prime } | ^ { 2 } \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial z _ { 1 } ^ { 2 } } ( z _ { 1 } , t ) \phi ( z _ { 2 } / \varepsilon ) + \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \theta ( z _ { 1 } , t ) \phi ^ { \prime \prime } ( z _ { 2 } / \varepsilon ) \Big ) , } \end{array}
Q _ { 1 } ^ { 3 } = r ^ { 2 } ( 1 2 r _ { 0 } \hat { r } _ { 2 } + 1 2 r _ { 0 } \hat { r } _ { 6 } + 9 \hat { r } _ { 2 } ^ { 2 } + 1 0 \hat { r } _ { 2 } \hat { r } _ { 6 } + 9 \hat { r } _ { 6 } ^ { 2 } ) + r ( 8 r _ { 0 } \hat { r } _ { 2 } \hat { r } _ { 6 } + 1 0 \hat { r } _ { 2 } ^ { 2 } \hat { r } _ { 6 } + 6 \hat { r } _ { 2 } \hat { r } _ { 6 } ^ { 2 } ) - 4 r _ { 0 } \hat { r } _ { 2 } ^ { 2 } \hat { r } _ { 6 } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { 0 } } { d t } } & { = } & { n _ { 0 } f _ { 0 } ( 1 - \gamma - \mu ) + \mu n _ { 1 } f _ { 1 } - n _ { 0 } N ( t ) / K , } \\ { \frac { d n _ { i } } { d t } } & { = } & { n _ { i } f _ { i } ( 1 - \gamma - \mu ) + ( \mu / 2 ) ( n _ { i + 1 } f _ { i + 1 } + n _ { i - 1 } f _ { i - 1 } ) } \\ & { - } & { n _ { i } N ( t ) / K , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda } { n } a _ { i } ( t ) } & { + \mathbb { E } \left[ \sum _ { j \in \mathcal { N } , j \neq i } \lambda _ { j , i } ( \mathbf { \Delta } ( t ) , t ) \Delta _ { i } ( t ) \right] } \\ & { = \lambda _ { e } + \mathbb { E } \left[ \sum _ { j \in \mathcal { N } , j \neq i } \lambda _ { j , i } ( \mathbf { \Delta } ( t ) , t ) \Delta _ { \{ j , i \} } ( t ) \right] . } \end{array}