harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ a \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \overline { { \Lambda } } } { | \partial _ { \overline { { x } } } g | ^ { 2 } \; \mathrm { d } \overline { { x } } } + b \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { | \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } | ^ { 2 } \; \mathrm { d } \overline { { x } } } + c \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { | \partial _ { \overline { { x } } } g | ^ { 2 } \; \mathrm { d } \overline { { x } } } \right] = 0 ,
\begin{array} { r } { { u } _ { \tau i } \left[ \sf X \right] : = { \u { u } } _ { \u { \tau } } \left[ \sum _ { j \in \mathcal { I } } X _ { j } \boldsymbol { E } _ { j } \right] \cdot \boldsymbol { e } _ { i } . } \end{array}
\varphi ( \boldsymbol { r } ) = \sum _ { \mathrm { i o n s } \, i } \frac { Z e } { | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { i } | } \, \mathrm { e } ^ { - k _ { e } | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { i } | } + \mathrm { c o n s t . } \, ,
S _ { y , t } ( f ) = \frac { 4 k _ { b } T \phi _ { s p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } m L ^ { 2 } } \frac { f _ { 0 } ^ { 2 } } { f [ ( f _ { 0 } ^ { 2 } - f ^ { 2 } ) ^ { 2 } + f _ { 0 } ^ { 4 } \phi _ { s p } ^ { 2 } ] } + \frac { 4 k _ { b } T } { 2 \pi ^ { 5 / 2 } } \frac { 1 - \sigma _ { s b } ^ { 2 } } { f E _ { s b } w L ^ { 2 } } \phi _ { s b } \left( 1 + \frac { 2 d _ { c t } } { w \sqrt { \pi } } \frac { 1 - 2 \sigma _ { s b } } { 1 - \sigma _ { s b } } \frac { \phi _ { c t } } { \phi _ { s b } } \right) .
\varphi _ { e , 1 } = \frac { \kappa } { M ^ { 2 } } \sin { \theta } \left( c _ { 1 } r + \frac { c _ { 2 } } { r ^ { 2 } } + c _ { 3 } r ^ { 3 } + c _ { 4 } \right) F ( m ) ~ e ^ { - i t } + c . c . ,
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } , \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] } \\ & { \le 4 M + 4 ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) \cdot 4 M \log _ { 2 } T \cdot \mathbb E \left[ \sqrt { 2 M ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
p _ { | { g , 0 \rangle } } = \frac { \sum _ { j } N _ { j b , c ^ { \prime } } ^ { | g , 0 \rangle } } { \sum _ { j k } N _ { j k , c ^ { \prime } } ^ { | g , 0 \rangle } } \quad \mathrm { a n d } \quad p _ { | { g , 1 \rangle } } = \frac { \sum _ { j } N _ { j b , c ^ { \prime } } ^ { | g , 1 \rangle } } { \sum _ { j k } N _ { j k , c ^ { \prime } } ^ { | g , 1 \rangle } } .
\varepsilon _ { p } = \frac { ( \tilde { \beta } { \bf J } _ { s } - \alpha { \bf J } _ { T } ) \cdot \nabla p } { \rho } + g \left( \tilde { \beta } _ { R } { \bf J } _ { s } - \frac { c _ { p } T _ { R } } { c _ { p r } T } \alpha _ { R } { \bf J } _ { T } \right) \cdot \nabla z _ { r } + K _ { 0 } ( p - p _ { R } )
S _ { k , k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { ( I ) \mu \nu \lambda } = - i g ( k ^ { \nu } g ^ { \mu \lambda } + k _ { 2 } ^ { \nu } g ^ { \mu \lambda } - k _ { 2 } ^ { \mu } g ^ { \nu \lambda } ) \; , \; \Sigma _ { k , k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } } ^ { \mu \nu \lambda \sigma } = g ^ { 2 } g ^ { \nu \lambda } g ^ { \mu \sigma } .
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { F R } } ^ { \mathrm { F o c k } } } & { \phi _ { n l } ( r ) = \frac { 1 } { r } \left[ \sum _ { L = 0 } ^ { 2 l } A _ { n l , n l , L } ^ { \mathrm { F R } } Y ^ { L } ( n l , n l ; r ) \phi _ { n l } ( r ) \right. } \\ & { \left. + \sum _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } \neq n l } \sum _ { L = | l - l ^ { \prime } | } ^ { l + l ^ { \prime } } B _ { n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } , L } ^ { \mathrm { F R } } Y ^ { L } ( n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } ; r ) \phi _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( r ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { b } } & { = } & { - \frac { 4 m c ^ { 2 } } { 3 } \, \alpha \big ( Z \alpha \big ) ^ { 3 } \, g _ { I } \, \frac { m _ { e } } { m _ { p } } \Big ( I + \frac { 1 } { 2 } \Big ) } \\ & { } & { \times \bigg \{ a _ { B } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { r _ { b } } \frac { r ^ { 3 } } { r _ { b } ^ { 3 } } \, g _ { b , - } ( r ) f _ { b , - } ( r ) d r } \\ & { } & { + a _ { B } ^ { 2 } \int _ { r _ { b } } ^ { \infty } g _ { + } ( r ) f _ { + } ( r ) d r \bigg \} . } \end{array}
p ( \{ x _ { i } \} , \mu _ { \mathrm { p o p } } , \sigma _ { \mathrm { p o p } } | \{ x _ { \mathrm { o b s } , i } \} , \sigma _ { \mathrm { o b s } } ) = \prod _ { i } ^ { N _ { \mathrm { o b s } } } \left[ \frac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { \mathrm { o b s } } \sigma _ { \mathrm { p o p } } } e ^ { - \frac { ( x _ { i } - x _ { \mathrm { o b s } } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { o b s } } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( x _ { i } - \mu _ { \mathrm { p o p } } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { p o p } } ^ { 2 } } } \right] \pi ( \mu _ { \mathrm { p o p } } , \sigma _ { \mathrm { p o p } } ) .
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { k l } ^ { i } } & { { } \approx } & { \epsilon _ { f } ^ { k l } \, \Delta N _ { l } ^ { i } \, \frac { 1 - e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, \Delta R ^ { i } } } { 1 - \frac { n _ { l } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } \, e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, \Delta R ^ { i } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] g ( x , v ) } & { = - \langle R ( x ) v , ( \nabla _ { x } g ) ( x , R ( x ) v ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \langle v , \nabla _ { x } g ( x , v ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , v ) } \\ & { \quad + \langle v , \nabla _ { x } \Big ( g ( x , R ( x ) v ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) - g ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \gamma } } ( \omega , E ) } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \pi r ^ { 2 } } \int _ { | z - E | < r } \overline { { \gamma } } ( \omega , z ) d ^ { 2 } z } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \pi r ^ { 2 } } \int _ { | z - E | < r } \gamma ( z ) d ^ { 2 } z } \\ & { = \gamma ( E ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { c } \pi ^ { \mu } = } & { { } v ^ { \alpha } \nabla ^ { \mu } v _ { \alpha } - \frac { e } { \hat { m } } F _ { \alpha } ^ { \mu } v ^ { \beta } - \frac { \omega _ { 0 } } { \hat { m } } \nabla ^ { \mu } v ^ { 0 } + \frac { e \omega _ { 0 } } { \hat { m } ^ { 2 } } F ^ { \mu 0 } } \end{array}
f ( \omega ) = \frac { A _ { \mathrm { a } } \mathrm { e } ^ { - b \omega } } { \gamma _ { \mathrm { a } } ( 1 + ( 4 ( \omega - \omega _ { \mathrm { a } } ) ^ { 2 } / { \gamma _ { \mathrm { a } } } ^ { 2 } ) } + A \mathrm { e } ^ { - b \omega } + c \; ,
T _ { \mu \nu } = - \frac { 2 } { \sqrt { - g } } \frac { \delta ( \sqrt { - g } { \cal L } ) } { \delta g ^ { \mu \nu } } = - 2 \frac { \delta { \cal L } } { \delta g ^ { \mu \nu } } + g _ { \mu \nu } { \cal L } .
\begin{array} { r l } { \frac { \sf T M w c [ 4 ] } { n } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 6 4 } \, k \, b ( - k n ) \bigg [ 4 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 9 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( t ) h } & { = h ( \varphi , x + t \beta ( \varphi , x ) ) + t \beta _ { x } ( \varphi , x ) h ( \varphi , x + t \beta ( \varphi , x ) ) } \\ & { = h ( \varphi , x ) + t \beta h _ { x } ( \varphi , x ) + ( t \beta ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { x x } ( \varphi , x + s t \beta ( \varphi , x ) ) ( 1 - s ) d s } \\ & { \ + t \beta _ { x } \left( h ( \varphi , x ) + t \beta \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { x } ( \varphi , x + s t \beta ( \varphi , x ) ) d s \right) } \\ & { = : h ( \varphi , x ) + t \partial _ { x } ( \beta h ) + R _ { \Psi , 1 } ( t ) [ h ] , } \end{array}
\tilde { f } _ { 1 } ( q ^ { 2 } , p _ { 1 } ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) = e ^ { - \big [ ( \alpha / 4 \pi ) ( x ^ { 2 } - z _ { 1 } ^ { 2 } - z _ { 2 } ^ { 2 } ) \big ] } ~ .
\begin{array} { r l } { y _ { 4 } ^ { s n o r m } } & { { } = \frac { y _ { 4 } ^ { n o r m } ( \sigma _ { 4 } + 1 0 ^ { - 8 } ) + \mu _ { 4 } - \mu _ { 4 } ^ { s u r f } } { \sigma _ { 4 } ^ { s u r f } + 1 0 ^ { - 8 } } } \end{array}
\ddot { \vec { u } } ( { \vec { x } _ { k } , t } ) = \frac { 2 } { \Delta { t } ^ { 2 } } ( \boldsymbol { u } ^ { * } ( t ) - \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } _ { k } , t ) ) - \frac { 2 } { \Delta { t } } \dot { \vec { u } } ( \boldsymbol { x } _ { k } , t ) .
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Big ( \frac 1 2 \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } \Big ) + \frac { \alpha } { 2 } \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } \le C \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + C \big ( \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime } | \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Sigma ^ { \prime } } d q _ { u } ^ { \prime } d q _ { v } ^ { \prime } \frac { k _ { u } q _ { v } ^ { \prime } - k _ { v } q _ { u } ^ { \prime } } { ( \textbf { q } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\pmb { \Delta } \mathbf { m } = - \left[ \begin{array} { c } { \nabla _ { \mathbf { m } ^ { ( 1 ) } } \chi } \\ { \xi \nabla _ { \mathbf { m } ^ { ( 2 ) } } \chi } \\ { \beta \nabla _ { \mathbf { m } ^ { ( 3 ) } } \chi } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 2 } h ( - \varphi , - x ) } & { = h ( - \varphi + \omega p _ { 1 } ( - \varphi ) , - x ) = h ( \varphi + \omega p _ { 1 } ( \varphi ) , x ) = \Phi _ { 2 } h ( \varphi , x ) , \mathrm { ~ f o r ~ h \in ~ X ~ , } } \\ { \Phi _ { 2 } h ( - \varphi , - x ) } & { = h ( - \varphi + \omega p _ { 1 } ( - \varphi ) , - x ) = - h ( \varphi + \omega p _ { 1 } ( \varphi ) , x ) = - \Phi _ { 2 } h ( \varphi , x ) , \mathrm { ~ f o r ~ h \in ~ Y ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \varepsilon , \delta } ( x , t ) } & { = U ^ { \varepsilon , \delta } \left( x - s t \right) = u _ { c } \left( \frac { x - s t } { \sqrt { \delta } } \right) \; , } \\ { v ^ { \varepsilon , \delta } ( x , t ) } & { = V ^ { \varepsilon , \delta } \left( x - s t \right) = v _ { c } \left( \frac { x - s t } { \sqrt { \delta } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U \left( x _ { \operatorname* { m i n } } \right) = \frac { k _ { B } ^ { 3 } } { \pi \hbar ^ { 2 } c ^ { 2 } } \, L ^ { 2 } T ^ { 3 } S \left( x _ { \operatorname* { m i n } } \right) \, , } \\ & { S \left( x _ { \operatorname* { m i n } } \right) = 2 \mathrm { L i } _ { 3 } \left( e ^ { - x _ { \operatorname* { m i n } } } \right) + 2 x _ { \operatorname* { m i n } } \mathrm { L i } _ { 2 } \left( e ^ { - x _ { \operatorname* { m i n } } } \right) + x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } \mathrm { L i } _ { 1 } \left( e ^ { - x _ { \operatorname* { m i n } } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { A _ { n } } e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( f _ { t } ) } d \Pi ( f ) = \int _ { H _ { K _ { n } } ^ { 1 } } 1 _ { f \in A _ { n } } e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( f _ { t } ) } d \Pi ( f ) } \\ & { = \int _ { U _ { K _ { n } - 1 } } 1 _ { H ( \omega _ { 1 } , \dots , \omega _ { K _ { n } - 1 } ) \in A _ { n } } e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( H ( \omega _ { 1 } , \dots , \omega _ { K _ { n } - 1 } ) e ^ { - \frac { t \bar { \psi } _ { [ K _ { n } ] } } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } } ) / \int H ( \omega _ { 1 } , \dots , \omega _ { K _ { n } - 1 } ) e ^ { - \frac { t \bar { \psi } _ { [ K _ { n } ] } } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } } ) ) } } \\ & { \times \frac { 1 } { B ( \delta ) } \prod _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \omega _ { i } ^ { \delta _ { i , n } - 1 } d \omega _ { 1 } \dots d \omega _ { K _ { n } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { \left( x + 1 0 0 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , } \\ { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , } \\ { \phi _ { 3 } \left( x , y \right) } & { = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { R - \sqrt { \left( x - 1 0 0 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } . } \end{array}
\hbar = \frac { \frac { 8 } { 3 } \pi ^ { 2 } \rho ^ { \prime 4 } n } { N } = \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } \rho ^ { \prime 4 } n } { ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) } \sim 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } .
\begin{array} { r l } { A } & { { } = A _ { \alpha } ( z ) \mathrm { d } z ^ { \alpha } \, , } \\ { \omega } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \alpha \beta } \mathrm { d } z ^ { \alpha } \wedge \mathrm { d } z ^ { \beta } \, , } \\ { \omega } & { { } = \mathrm { d } A \, . } \end{array}
{ \it M } _ { D } = \lambda ^ { x } \left( \begin{array} { l c c } { { \lambda ^ { 4 } } } & { { \lambda ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { 3 } } } \\ { { \lambda ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { \lambda ^ { 2 } } } \\ { { \lambda } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { t } ,
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } = \frac { \langle \Phi _ { f } | \{ S _ { f } ^ { ( 1 ) \dagger } + ( S _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } + 1 ) T ^ { ( 1 ) \dagger } \} \bar { D } \{ 1 + S _ { i } ^ { ( 0 ) } \} | \Phi _ { i } \rangle } { \langle \Phi _ { f } | \{ S _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } + 1 \} \bar { N } \{ 1 + S _ { i } ^ { ( 0 ) } \} | \Phi _ { i } \rangle } } & { { } } & { } \\ { + \frac { \langle \Phi _ { f } | \{ S _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } + 1 \} \bar { D } \{ T ^ { ( 1 ) } ( 1 + S _ { i } ^ { ( 0 ) } ) + S _ { i } ^ { ( 1 ) } \} | \Phi _ { i } \rangle } { \langle \Phi _ { f } | \{ S _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } + 1 \} \bar { N } \{ 1 + S _ { i } ^ { ( 0 ) } \} | \Phi _ { i } \rangle } , \ \ \ } & { { } } & { } \end{array}
( a , b ) _ { m _ { J } } = \delta \sigma _ { 0 } \left\{ \begin{array} { l l } { ( - \infty , \, - ( 2 J + 1 ) ] } & { m _ { J } = - J } \\ { ( ( 2 m _ { J } - 1 ) , \, ( 2 m _ { J } + 1 ) ] } & { | m _ { J } | < J } \\ { ( ( 2 J - 1 ) , \, \infty ) } & { m _ { J } = J } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { F _ { a } [ \rho , { \bf P } ] = \int \mathrm { d } { \bf r } \left[ \frac { \alpha ( \rho ) } { 2 } | { \bf P } | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | { \bf P } | ^ { 4 } + \frac { \kappa } { 2 } | \nabla { \bf P } | ^ { 2 } + \frac { w } { 2 } | { \bf P } | ^ { 2 } \nabla \cdot { \bf P } - \frac { v _ { 1 } } { 2 } ( \nabla \cdot { \bf P } ) \frac { \delta \rho } { \rho _ { 0 } } + \frac { D _ { \rho } } { 2 } ( { \delta \rho } ) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { i n t } } ( { \bf r } ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 m } \left( 1 - \eta \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { ~ U ~ } } } { m c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } { \bf A } \cdot { \bf A } \sim \frac { e ^ { 2 } } { 2 m } \mathrm { e } ^ { - \mathbfit { q } \cdot \mathbfit { r } } { \bf A } \cdot { \bf A } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { p _ { 1 } , q } r ( p _ { 1 } ) } \\ { u _ { 1 } ^ { T } \phi _ { i 1 } + u _ { 2 } ^ { T } \phi _ { i 2 } + \rho _ { 1 } | | U _ { 1 } ^ { T } \phi _ { i 1 } | | _ { 1 } + \rho _ { 2 } | | U _ { 2 } ^ { T } \phi _ { i 2 } | | _ { * } } \\ { \le t _ { i } - \bar { e } ^ { T } H _ { i } ( A _ { 1 } p _ { 1 } + B q - b ) ~ \forall i } \\ { \phi _ { i 1 } + \phi _ { i 2 } = g _ { i } ~ \forall i } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { + \tau E _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } ] - \tau E _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ^ { M } ] } \\ & { { \le c _ { Z } } \tau | \log h _ { \operatorname* { m i n } } | \| \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \Big ( \| \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \mathbf { y } _ { h } ^ { M } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } + C _ { \boldsymbol { \varphi } , \Phi } \Big ) , } \end{array}
\frac { \partial \omega } { \partial \mathbf { k } } = \nu _ { o } k \left\{ \hat { \mathbf { k } } ( \hat { \mathbf { z } } \cdot \hat { \mathbf { k } } ) \left[ 1 + ( \hat { \mathbf { z } } \cdot \hat { \mathbf { k } } ) ^ { 2 } \right] + \hat { \mathbf { z } } \left[ 1 - 3 ( \hat { \mathbf { z } } \cdot \hat { \mathbf { k } } ) ^ { 2 } \right] \right\} ,
Z ( { \cal S } ) = \operatorname * { d e t } _ { \zeta } ( d _ { k - 1 } ^ { * } d _ { k - 1 } ) ^ { \frac { - 1 } { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \vert \operatorname * { d e t } _ { \zeta } ( d _ { k - j - 1 } ) \vert ^ { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } .
\begin{array} { r l } { \delta u _ { \alpha } } & { { } = - \sigma _ { d } \gamma _ { \alpha 0 } N _ { 0 } } \\ { \delta m _ { i } } & { { } = - \sigma _ { c } \epsilon _ { i 0 } R _ { 0 } + \sigma _ { d } \gamma _ { 0 i } X _ { 0 } } \\ { \delta K _ { P } } & { { } = - \sigma _ { c } \epsilon _ { 0 P } N _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x } & { \equiv 0 \pmod { 7 } } \\ { 6 0 n - 1 } & { \equiv 0 \pmod { 7 } } & { \mathrm { ( N o t e ~ 6 0 \equiv ~ 4 ~ \pmod ~ 7 ~ ) } } \\ { 4 n } & { \equiv 1 \pmod 7 } \\ { 8 n } & { \equiv 2 \pmod 7 } \\ { n } & { \equiv 2 \pmod 7 } \\ { n } & { = 7 m + 2 } \\ { x } & { = 6 0 n - 1 } \\ { x } & { = 6 0 ( 7 m + 2 ) - 1 } \\ { x } & { = 4 2 0 m + 1 1 9 } \\ { x } & { \equiv 1 1 9 \pmod { 4 2 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { E } ( x , y , \omega ) } & { = e ^ { - ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) } e ^ { - i \tau _ { a } \delta \omega ( X ^ { 2 } - Y ^ { 2 } ) } e ^ { - \delta \omega ^ { 2 } / \Delta \omega ^ { 2 } } } \\ { A ( x , y , t ) } & { = e ^ { - ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) } e ^ { - ( t - \tau _ { a } ( X ^ { 2 } - Y ^ { 2 } ) ) ^ { 2 } / \tau _ { 0 } ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( x , y \right) = \left[ 1 + \left( A _ { 1 } - B _ { 1 } \left( x , y \right) \right) ^ { 2 } + \left( A _ { 2 } - B _ { 2 } \left( x , y \right) \right) ^ { 2 } \right] } \\ { f _ { 2 } \left( x , y \right) = \left( x + 3 \right) ^ { 2 } + \left( y + 1 \right) ^ { 2 } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } U ^ { x } + u ( y ) \partial _ { x } U ^ { x } + u ^ { \prime } ( y ) \partial _ { x } \psi + U \cdot \nabla U ^ { x } + \theta \partial _ { x } P + d \partial _ { x } P = 0 } \\ & { \partial _ { t } U ^ { y } + u ( y ) \partial _ { x } U ^ { y } + U \cdot \nabla U ^ { y } + \theta \partial _ { y } P + d \partial _ { y } P = 0 , } \end{array}
W _ { \mathrm { t h } } \sim \frac { \omega } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } c ^ { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - 2 \pi \omega / H _ { \mathrm { e f f } } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \omega \gg \widetilde { H }
{ \bf X } _ { T } = \{ ( { \bf x } _ { r } ^ { ( 1 ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( 1 ) } , T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( 1 ) } ) , ( { \bf x } _ { r } ^ { ( 2 ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( 2 ) } , T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( 2 ) } ) , \dots , ( { \bf x } _ { r } ^ { ( N _ { T } ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( N _ { T } ) } , T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( N _ { T } ) } ) \}
\textstyle \nu _ { \pm , i } = \operatorname { T r } \hat { P } _ { \pm , i } \stackrel { } { = } \frac { 1 } { 2 } \chi _ { i } ( \chi _ { i } \pm 1 ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \nu _ { \pm } = \operatorname { T r } \hat { P } _ { \pm } \stackrel { } { = } \frac { 1 } { 2 } \chi _ { 1 } \chi _ { 2 } ( \chi _ { 1 } \chi _ { 2 } \pm 1 ) .
\begin{array} { r l r } { \Delta } & { = } & { A ^ { 2 } - 4 B \, , } \\ { A } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } T r \left( [ { \mathcal { J } } _ { c } ( D ^ { 2 } { \mathcal { H } } ) ( \xi _ { e } ) ] ^ { 2 } \right) \, , } \\ { B } & { = } & { d e t \left( { \mathcal { J } } _ { c } ( D ^ { 2 } { \mathcal { H } } ) ( \xi _ { e } ) \right) \, , } \end{array}
\delta \upsilon ^ { k } = - \frac { \Lambda } { 1 2 } \epsilon ^ { k } + \rho ^ { \sigma } \omega _ { \sigma } ^ { k } \ , \qquad \delta \theta _ { \mu } ^ { k } = D _ { \mu } \epsilon ^ { k } + 2 \rho ^ { \nu } \Sigma _ { \nu \mu } ^ { k } \ , \qquad \delta \xi ^ { \mu } = - \rho ^ { \mu } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { x } _ { p } } { d t } } & { { } = \mathbf { v } _ { p } , } \\ { \frac { d \mathbf { v } _ { p } } { d t } } & { { } = - \frac { q _ { e } } { m } \mathbf { E } . } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( t ) = \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathbb R } h ( x , t ) = h ( \underline { { x } } _ { t } , t ) , \quad M ( t ) = \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb R } h ( x , t ) = h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t > 0 , } \end{array}
\mathscr { P } ( z ) = \mathscr { P } _ { i } ( z ) + \mathscr { P } _ { r } ( z ) = \frac { 1 } { 2 Z _ { 0 } } | \mathbf { x _ { i } } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 Z _ { 0 } } | \mathbf { S } ( z ) \cdot \mathbf { x _ { i } } | ^ { 2 } .
\left| { \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } & { c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \end{array} } \right| = 0 .
\begin{array} { r } { | \nu _ { \mathrm { L } } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \big ( | \nu _ { 0 } \rangle + | \nu _ { 1 } \rangle \big ) , ~ ~ ~ ~ ~ | \nu _ { \mathrm { R } } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \big ( | \nu _ { 0 } \rangle - | \nu _ { 1 } \rangle \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } \, k \, \frac { \eta _ { \mathrm { s } } ( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) J _ { 1 } ( k r ) / ( k r ) + 2 \bar { \eta } ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) [ J _ { 0 } ( k r ) - J _ { 1 } ( k r ) / ( k r ) ] } { 2 \eta _ { \mathrm { s } } \bar { \eta } ( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) + \eta _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } k ^ { 4 } } , } \\ { C _ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } \, k \, \frac { [ \eta _ { \mathrm { s } } ( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) - 2 \bar { \eta } ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) ] [ J _ { 0 } ( k r ) - 2 J _ { 1 } ( k r ) / ( k r ) ] } { 2 \eta _ { \mathrm { s } } \bar { \eta } ( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) + \eta _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } k ^ { 4 } } , } \\ { C _ { 3 } } & { = - \eta _ { \mathrm { o } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } \frac { k ^ { 3 } J _ { 0 } ( k r ) } { 2 \eta _ { \mathrm { s } } \bar { \eta } ( k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) + \eta _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } k ^ { 4 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Z = } & { N + P } \\ { = } & { { \mathrm { ( n u m b e r ~ o f ~ t i m e s ~ t h e ~ N y q u i s t ~ p l o t ~ e n c i r c l e s ~ } } { - 1 / k } { \mathrm { ~ c l o c k w i s e ) } } } \\ & { + { \mathrm { ( n u m b e r ~ o f ~ p o l e s ~ o f ~ } } G ( s ) { \mathrm { ~ i n ~ O R H P ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { E \left\{ \varepsilon _ { \chi _ { 0 } } ^ { 2 } \left( \sigma , t \right) \right\} = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \mu ^ { 2 } ( n ) } { n ^ { 2 } } R _ { \chi _ { 0 } } ^ { \textnormal { d i a g } } ( n , n , \sigma ) + 2 \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \sum _ { 2 \leq m < n } \frac { \mu ( n ) \mu ( m ) } { n m } R _ { \chi _ { 0 } } ^ { \textnormal { d i a g } } ( n , m , \sigma ) . } \end{array}
\phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { ~ R ~ 1 ~ } } ( \tau ; t ) = P _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \frac { \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ^ { \prime } ) } { \langle \tau _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \rangle } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau ^ { \prime \prime } I _ { j } ( \tau ^ { \prime \prime } ; t ) \omega _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } \left( \operatorname* { m i n } { ( \tau , \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) } \right)