harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { { \overline { { I A } } } \cdot { \overline { { I A } } } } { { \overline { { C A } } } \cdot { \overline { { A B } } } } } + { \frac { { \overline { { I B } } } \cdot { \overline { { I B } } } } { { \overline { { A B } } } \cdot { \overline { { B C } } } } } + { \frac { { \overline { { I C } } } \cdot { \overline { { I C } } } } { { \overline { { B C } } } \cdot { \overline { { C A } } } } } = 1
\boldsymbol { \hat { R } } ^ { \lambda } \psi _ { 1 , 2 } ^ { ( l ) } ( \boldsymbol { r } ) = e ^ { i \lambda \frac { 2 l \pi } { 3 } } \psi _ { 1 , 2 } ^ { ( l ) } ( \boldsymbol { r } ) , \lambda = 0 , 1 , 2 .
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } & { { } = } & { E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } \left[ \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) , | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | \right] = E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } \left[ \rho _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) \right] , \quad } \\ { \rho _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) \pm | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \lambda _ { 2 } + a ( \lambda _ { 2 } ) + ( 1 - \gamma \kappa ^ { 2 } ) b ( \lambda _ { 2 } ) - \frac { \gamma \kappa } { 3 } r ( \lambda _ { 1 } ) \right] \eta = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \theta _ { 2 i } \rho _ { 1 i } \rho _ { 2 i } - { \gamma } \kappa \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \rho _ { 1 i } ^ { 2 } \rho _ { 2 i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla v _ { \infty , 3 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } N ^ { 1 / 3 } \langle v _ { \infty , 3 } , ( \sigma _ { N } - n ) e _ { 3 } \rangle } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left( N ^ { 1 / 3 } \langle v _ { \infty , 3 } , \bar { \rho } _ { N } e _ { 3 } \rangle + N ^ { 1 / 3 } \langle v _ { \infty , 3 } , ( \sigma _ { N } - \bar { \rho } _ { N } ) e _ { 3 } \rangle \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 = ( 2 ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) c + 3 a c ^ { 2 } ) E \left( \frac { \pi } { 2 } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) - a ^ { 2 } c F \left( \frac { \pi } { 2 } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) + 2 \varepsilon ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { W } _ { [ E , A ] , \lambda } ^ { 0 } : = \{ 0 \} , } \\ & { } & { \mathcal { W } _ { [ E , A ] , \lambda } ^ { i + 1 } : = ( A - \lambda E ) ^ { - 1 } ( E \mathcal { W } _ { [ E , A ] , \lambda } ^ { i } ) \subseteq \mathbb { C } ^ { n } , } \\ & { } & { \mathcal { W } _ { [ E , A ] , \lambda } ^ { * } : = \bigcup _ { i \in \mathbb { N } } \mathcal { W } _ { [ E , A ] , \lambda } ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { t } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } _ { t - 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } ^ { \top } } & { 1 } \end{array} \right] , } \\ { \mathbf { A } _ { t } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } _ { t - 1 } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t - 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } ^ { \top } } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\mathbf { \phi } _ { \mathbf { b } _ { t + 1 } } ^ { * } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } + \eta \cdot ( s ^ { \mathbf { C C } } \otimes s ^ { \mathbf { C C } } ) t } \\ { \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { D } } + \eta \cdot ( s ^ { \mathbf { D D } } \otimes s ^ { \mathbf { C C } } ) t } \\ { \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { C } } + \eta \cdot ( s ^ { \mathbf { C C } } \otimes s ^ { \mathbf { D D } } ) t } \\ { \mathbf { b } _ { 0 } ^ { \mathbf { D } } + \eta \cdot ( s ^ { \mathbf { D D } } \otimes s ^ { \mathbf { D D } } ) t } \end{array} \right.
f _ { 0 } ( \psi , w ) = \frac { n _ { 0 } ( \psi ) } { \left[ 2 \pi m T _ { 0 } ( \psi ) \right] ^ { 3 / 2 } } e ^ { - w / T _ { 0 } ( \psi ) } = \frac { n _ { 0 } } { \pi ^ { 3 / 2 } v _ { 0 } ^ { 3 } } e ^ { - s ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \tilde { F } ( \tilde { \mathbf { r } } , \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } & { = F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) + \bar { F } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { t } ) , } \\ { d \tilde { \mathbf { L } } ^ { \prime } } & { = - I ( \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } \times d \mathbf { l } ^ { \prime } ) } \\ & { = d \mathbf { L } ^ { \prime } + I \mathbf { r } _ { t } \times d \mathbf { l } ^ { \prime } , } \end{array}
\psi _ { a , b } ^ { ( 1 ) } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { | x + \chi | } ^ { 3 / 2 } I _ { \alpha _ { a , b } } \left( { \left( \eta \left| \tilde { E } \right| \right) } ^ { 1 / 2 } { ( x + \chi ) } ^ { 2 } \right) } & { \tilde { E } < 0 } \\ { { | x + \chi | } ^ { 3 / 2 } J _ { \alpha _ { a , b } } \left( { \left( \eta \tilde { E } \right) } ^ { 1 / 2 } { ( x + \chi ) } ^ { 2 } \right) } & { \tilde { E } > 0 } \end{array} \right.
\Delta W = - \frac { \beta } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \: { \delta } _ { l } ( k ) - \frac { \beta } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \: \delta _ { l } ( k ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - n \beta k } .
\tau _ { g } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } \Phi _ { t } \left( \Delta _ { p } \right) } { \mathrm { ~ d ~ } \Delta _ { p } } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } \left\{ \arg \left[ \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ T ~ } } \left( \Delta _ { p } \right) \right] \right\} } { \mathrm { ~ d ~ } \Delta _ { p } } .
\tau _ { Q } = \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { R _ { 1 } } { R _ { 0 } } \frac { \xi _ { 1 } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \vert g u \rangle _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 2 \rangle + \vert 6 \rangle - \vert 1 5 \rangle - \vert 1 7 \rangle ) } \\ { \vert g u \rangle _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 3 \rangle + \vert 5 \rangle - \vert 1 4 \rangle - \vert 1 8 \rangle ) } \\ { \vert g u \rangle _ { 3 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 8 \rangle - \vert 9 \rangle - \vert 1 1 \rangle + \vert 1 2 \rangle ) } \\ { \vert g u \rangle _ { 4 } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 1 \rangle - \vert 1 6 \rangle ) } \\ { \vert g u \rangle _ { 5 } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 4 \rangle - \vert 1 3 \rangle ) } \\ { \vert g u \rangle _ { 6 } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 7 \rangle - \vert 1 0 \rangle ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Phi _ { n + 1 } ( z ) } { d z } } & { { } = } & { \alpha N _ { n } ( z ) \sin \Phi _ { n + 1 } ( z ) , } \\ { N _ { n + 1 } ( z ) } & { { } = } & { N _ { n } ( z ) \cos \Phi _ { n + 1 } ( z ) \ e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } + } \\ { 0 } & { { } \le } & { z \le L _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } , } \\ { \Phi _ { n + 1 } ( 0 ) } & { { } = } & { \Phi _ { n } ( L _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ) . } \end{array}
\left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - N _ { p , r } } \left\{ \| f \chi _ { Q _ { r , k } } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\} _ { k \in \mathbb { Z } ^ { n } } \right\| _ { \ell ^ { q } } \sim \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| f \chi _ { B ( \cdot , 2 \sqrt { n } r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\| _ { L ^ { q } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { { S _ { a \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } = \frac { \delta _ { a \alpha } + n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) } { R _ { p } } } \\ & { } & { \Sigma _ { a b \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) = 6 \frac { \, n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) } { R _ { p } ^ { 2 } } , \qquad r = R _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { t + h } - \Lambda _ { t } } & { = \mathbb { P } \big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } ( - B _ { s } + \Lambda _ { s } ) < X _ { 0 - } \le \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t + h } ( - B _ { s } + \Lambda _ { s } ) \big ) } \\ & { = \mathbb { P } \big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } ( - B _ { s } + \Lambda _ { s } ) + B _ { t } - \Lambda _ { t } < X _ { 0 - } + B _ { t } - \Lambda _ { t } \le \operatorname* { s u p } _ { t \le s \le t + h } ( - B _ { s } + \Lambda _ { s } ) + B _ { t } - \Lambda _ { t } \big ) } \\ & { \le \mathbb { P } \big ( 0 < X _ { t } \le \operatorname* { s u p } _ { t \le s \le t + h } \left( B _ { t } - B _ { s } \right) + \Lambda _ { t + h } - \Lambda _ { t } \big ) } \\ & { = F _ { t } ( \Lambda _ { t + h } - \Lambda _ { t } ) + \mathbb { P } \big ( \{ \Lambda _ { t + h } - \Lambda _ { t } < X _ { t } \} \cap \big \{ X _ { t } - ( \Lambda _ { t + h } - \Lambda _ { t } ) \le \operatorname* { s u p } _ { t \le s \le t + h } ( B _ { t } - B _ { s } ) \big \} \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | \nabla q | ^ { 2 } } & { \, { \mathrm { d } } x + \frac 1 2 \displaystyle \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { n } } ( - \Delta _ { z } \phi ) \ \phi \, { \mathrm { d } } x \, { \mathrm { d } } z } \\ & { + 2 \gamma \displaystyle \int _ { \mathbb T ^ { d } } \left( \displaystyle \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 1 } ( x - y ) \sigma _ { 2 } ( z ) \phi ( t , y , z ) \, { \mathrm { d } } z \, { \mathrm { d } } y \right) q ( x ) \, { \mathrm { d } } x } \\ & { \ge ( 2 \uppi ) ^ { d } \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } } \left( \left( \frac { m ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 \tilde { \delta } } ( 4 \gamma ^ { 2 } \kappa ( 2 \uppi ) ^ { 2 d } \sigma _ { 1 , m } ^ { 2 } ) \right) q _ { m } ^ { 2 } + \frac { 1 - \tilde { \delta } } { 2 } \| \nabla \phi _ { m } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\big | D _ { \mathbf { P } } ^ { \boldsymbol { \sigma } } \nabla ^ { k } F ( \mathbf { y } ) \big | , \, \big | D _ { \mathbf { P } } ^ { \boldsymbol { \sigma } } \nabla ^ { k } ( e ^ { F } ) ( \mathbf { y } ) \big | \le C \lambda _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) ^ { 1 - k } \lambda _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { 1 } | } \dots \lambda _ { P _ { M } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { M } | }
\Delta \mathcal { E } _ { E } \leq \frac { V _ { g } m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 \pi \xi q ^ { 2 } } \left( \dot { p } ^ { + } \right) ^ { 2 } - \frac { V _ { g } } { 8 \pi \xi } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } c _ { j } E _ { j } \right) ^ { 2 } .
T r ( p \cdot \beta ) ^ { 2 } = { \frac { p ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { \beta \in \Delta } ( \alpha \cdot \beta ) ^ { 2 } = { \frac { p ^ { 2 } } { 2 } } ( 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + \chi + \chi ) .
{ \begin{array} { r l } { r : \ } & { \rho \left( { \partial _ { t } u _ { r } } + u _ { r } { \partial _ { r } u _ { r } } + { \frac { u _ { \varphi } } { r } } { \partial _ { \varphi } u _ { r } } + u _ { z } { \partial _ { z } u _ { r } } - { \frac { u _ { \varphi } ^ { 2 } } { r } } \right) } \\ & { \quad = - { \partial _ { r } p } } \\ & { \qquad + \mu \left( { \frac { 1 } { r } } \partial _ { r } \left( r { \partial _ { r } u _ { r } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \partial _ { \varphi } ^ { 2 } u _ { r } } + { \partial _ { z } ^ { 2 } u _ { r } } - { \frac { u _ { r } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { r ^ { 2 } } } { \partial _ { \varphi } u _ { \varphi } } \right) } \\ & { \qquad + { \frac { 1 } { 3 } } \mu \partial _ { r } \left( { \frac { 1 } { r } } { \partial _ { r } \left( r u _ { r } \right) } + { \frac { 1 } { r } } { \partial _ { \varphi } u _ { \varphi } } + { \partial _ { z } u _ { z } } \right) } \\ & { \qquad + \rho g _ { r } } \end{array} }
Q _ { p } ( 0 , { \bf k } _ { 1 } ) = \frac { \pi N _ { c } } { \omega _ { p l } ^ { 3 } \vert { \bf k } _ { 1 } \vert } \, \frac { 1 } { [ ( \omega _ { { \bf k } _ { 1 } } ^ { l } ) ^ { 2 } - { \bf k } _ { 1 } ^ { 2 } ] ^ { 2 } } \Big ( \frac { \partial \mathrm { R e } \, \varepsilon ^ { l } ( k _ { 1 } ) } { \partial \omega _ { 1 } } \Big ) _ { \omega _ { 1 } = \omega _ { { \bf k } _ { 1 } } ^ { l } } ^ { - 1 } \delta ( \cos \theta - \rho _ { { \bf k } _ { 1 } } ^ { l } ) \vert \Lambda ^ { \Sigma } ( 0 , { \bf k } _ { 1 } ) + \Lambda ^ { S } ( 0 , { \bf k } _ { 1 } ) \vert ^ { 2 } ,
d ( \vec { S } ) = \frac 1 n \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { m i n } _ { j = 1 } ^ { m } \, \lVert \vec { y } _ { i } - \vec { S } \vec { y } _ { j } ^ { \prime } \rVert + \frac 1 m \sum _ { j = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } _ { i = 1 } ^ { n } \, \lVert \vec { y } _ { i } - \vec { S } \vec { y } _ { j } ^ { \prime } \rVert .
G _ { n } ( x , y , z ) = \int _ { \lambda } ^ { \infty } \left( \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + t } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } + t } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } + t } - 1 \right) ^ { n } \frac { d t } { \Delta ( t ) }
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } = } & { { } { \frac { 4 A } { \pi } } } \\ { a _ { n } = } & { { } { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { - 4 A } { \pi } } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } - 1 } } } & { \quad n { \mathrm { ~ e v e n } } } \\ { 0 } & { \quad n { \mathrm { ~ o d d } } } \end{array} \right. } } \\ { b _ { n } = } & { { } 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { A k } } & { { } \equiv } & { - \left( \frac { V _ { A } ^ { 2 } } { b } \frac { k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { \omega ^ { 2 } } \right) _ { k } \sigma _ { * k } + \frac { 1 - \Gamma _ { k } } { b _ { k } } \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { k } } \end{array}
u _ { m \ell } ( r ) = w _ { \pm , m \ell } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { - 2 } w _ { \pm , m \ell } ^ { - 2 } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \prime } } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } \int _ { 1 } ^ { r ^ { \prime } } w _ { \pm , m \ell } ( x ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { x } \frac { y + 1 } { y - 1 } \, d y } F _ { m \ell } ( x ) \, d x \, d r ^ { \prime } .
\begin{array} { r l r } { w _ { i \to \alpha } } & { { } = } & { p _ { N } \sum _ { \beta \in N ( i ) \setminus \alpha } v _ { \beta \to i } , } \\ { v _ { \alpha \to i } } & { { } = } & { p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } \sum _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } w _ { j \to \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { ( K o l m o g o r o v - S m i r n o v ) } } & & { \mathrm { K S } = \operatorname* { s u p } _ { x } | \widehat F _ { n } ( x ) - F ( x ; \widehat \eta _ { n } , 1 ) | , } \\ & { \mathrm { ( A n d e r s o n - D a r l i n g ) } } & & { \mathrm { A D } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { ( \widehat F _ { n } ( x ) - F ( x ; \widehat \eta _ { n } , 1 ) ) ^ { 2 } } { F ( x ; \widehat \eta _ { n } , 1 ) ( 1 - F ( x ; \widehat \eta _ { n } , 1 ) ) } d F ( x ; \widehat \eta _ { n } , 1 ) } \\ & { \mathrm { ( C r a m \' e r - v o n ~ M i s e s ) } } & & { \mathrm { C M } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( \widehat F _ { n } ( x ) - F ( x ; \widehat \eta _ { n } , 1 ) ) ^ { 2 } d F ( x ; \widehat \eta _ { n } , 1 ) } \\ & { \mathrm { ( W a t s o n ) } } & & { \mathrm { W A } = \mathrm { C M } - n \Big ( \frac 1 n \sum _ { j = 1 } ^ { n } F ( Y _ { j } ; \widehat \eta _ { n } , 1 ) - \frac 1 2 \Big ) ^ { 2 } . } \end{array}
T _ { N , e x } ^ { ( 1 ) } = - \frac { \alpha _ { 0 } \omega } { 2 } \left[ J _ { N - 1 } ( { \cal R } _ { q } ) \; { \cal M } _ { a t , e x } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) e ^ { i ( N - 1 ) \phi _ { q } } + J _ { N + 1 } ( { \cal R } _ { q } ) \; { \cal M } _ { a t , e x } ^ { ( 1 ) } ( - \omega ) e ^ { i ( N + 1 ) \phi _ { q } } \right] ,
\begin{array} { r l r l r l r l } { x } & { = - 2 n \cos \phi \sqrt { \frac { 2 a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } w _ { n } ( 1 - w _ { n } ) } { 1 + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } } } , } & { y } & { = \frac { a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } } { 4 \eta _ { e } } \frac { s } { 1 - s } , } & { w _ { n } } & { = \frac { s } { s _ { n } ( 1 - s ) } , } & { s _ { n } } & { = \frac { 2 n \eta _ { e } } { 1 + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t ^ { m i n , m a x } } & { { } = } & { ( T ^ { - , - } ) ^ { - 1 } , } \\ { t ^ { m i n , m i n } } & { { } = } & { - t ^ { m i n , m a x } T ^ { - , + } , } \\ { t ^ { m a x , m a x } } & { { } = } & { T ^ { + , - } t ^ { m i n , m a x } , } \\ { t ^ { m a x , m i n } } & { { } = } & { T ^ { + , + } + t ^ { m a x , m a x } T ^ { - , - } t ^ { m i n , m i n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { T } = } & { \sum _ { x } \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u B , x + 2 } ^ { \dagger } - a _ { d B , x + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { d B , x } } \\ { + } & { e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u B , x } ^ { \dagger } + a _ { d B , x } ^ { \dagger } ) a _ { u B , x + 2 } } \\ { - } & { e ^ { 4 g _ { 0 } } ( - a _ { u B , x + 2 } ^ { \dagger } - a _ { d B , x + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { d B , x } } \\ { + } & { e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u B , x } ^ { \dagger } + a _ { d B , x } ^ { \dagger } ) a _ { d B , x + 2 } ] } \\ { - } & { \sum _ { x } ( a _ { u A , x } ^ { \dagger } a _ { u A , x } + a _ { d A , x } ^ { \dagger } a _ { d A , x } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { p _ { e } = e ^ { - \nu _ { k e } t } \, \left( \int _ { \frac { z _ { e } } { c } } ^ { t } d \tau \, e ^ { \nu _ { k e } \tau } \, P _ { L } + p _ { e 0 } \right) \, , } \\ & { } & { E \approx \frac { q _ { e } n _ { e } v _ { e } ^ { 2 } r } { 2 \epsilon _ { e } c ^ { 2 } } \, , } \\ & { } & { P _ { L } \approx \frac { m _ { e } c } { 2 \Delta t ^ { 2 } } \, \frac { a _ { L } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + a _ { L } ^ { 2 } } } \, \left( \tau - \frac { z _ { e } } { c } \right) \, e ^ { - \frac { 1 } { \Delta t ^ { 2 } } \left( \tau - \frac { z _ { e } } { c } \right) ^ { 2 } } \, , } \\ & { } & { a _ { L } ^ { 2 } = \frac { q _ { e } ^ { 2 } E _ { L } ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } \, \omega _ { L } ^ { 2 } } \, . } \end{array}
( m c ^ { 2 } ) ^ { - 1 } ( E _ { _ { N l j } } ^ { 2 } - m ^ { 2 } c ^ { 4 } ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \hbar \omega \left[ 2 ( N - j ) + 1 \right] \quad , \quad \mathrm { i f } \, \, \, \, \, l = j - { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { } } \\ { { \hbar \omega \left[ 2 ( N + j ) + 3 \right] \quad , \quad \mathrm { i f } \, \, \, \, \, l = j + { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { \quad . } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log \Big ( \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \kappa \in S _ { n } : \nu _ { n , \kappa } \in V _ { \delta } } e ^ { - \beta _ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \kappa ( i ) - i | } \Big ) } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { m a x } _ { j \in [ L ] } \{ - \theta \tilde { F } ( \mu _ { j } ) + \theta \delta ^ { \prime } - \operatorname* { i n f } _ { \nu \in \overline { { G _ { \mu _ { j } } } } } I ( \nu ) \} , - \operatorname* { i n f } _ { \nu \in ( \bigcup _ { j = 1 } ^ { L } G _ { \mu _ { j } } ) ^ { c } } I ( \nu ) \} } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { m a x } _ { j \in [ L ] } \{ - \theta \tilde { F } ( \mu _ { j } ) - I ( \mu _ { j } ) + ( \theta + 1 ) \delta ^ { \prime } \} , - \operatorname* { i n f } _ { \nu \in \Psi _ { I } ( \alpha ) ^ { c } } I ( \nu ) \} } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { m a x } _ { j \in [ L ] } \{ - \theta \tilde { F } ( \mu _ { j } ) - I ( \mu _ { j } ) + ( \theta + 1 ) \delta ^ { \prime } \} , - \alpha \} . } \end{array}
p ( \mathbf { y } \vert \mathbf { x } ) = \int p ( \mathbf { y } \vert \mathbf { n } _ { K } , \mathbf { x } ) \prod _ { k = 1 } ^ { K } p ( \mathbf { n } _ { k } \vert \mathbf { n } _ { k - 1 } , \mathbf { x } ) p ( \mathbf { n } _ { 0 } \vert \mathbf { x } ) d \mathbf { n } _ { 0 } \cdots d \mathbf { n } _ { K } .
p ( r , z ) = \frac { - i k \tilde { z } } { 2 \pi } \iint _ { \Gamma } \frac { p ( r ^ { \prime } , z _ { 0 } ) \mathrm { e } ^ { i k } ( | \mathbf { \tilde { r } } | ^ { 2 } + \tilde { z } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { | \mathbf { \tilde { r } } | ^ { 2 } + \tilde { z } ^ { 2 } } r ^ { \prime } d r ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } ,
\delta g _ { B G } \simeq - e ^ { i Q _ { G } } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \phi _ { G } + i \sum _ { l } \frac { l \omega _ { b } } { \omega _ { G } } \sin l \vartheta _ { c } \left[ - \overline { { e ^ { i Q _ { G } } \cos l \vartheta _ { c } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } } } \right] \left[ \delta \phi _ { G } \right] _ { \psi } \; ,
\| \psi - \psi _ { * } \| _ { \mathsf { A } } : = \operatorname* { s u p } _ { T \in \mathbb { R } } \Big | \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \| \psi ( t ) - \psi _ { * } \| _ { L ^ { 1 } ( \mathsf { A } ) } \mathrm { d } t + \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \| \nabla ^ { \perp } \psi _ { * } \cdot \nabla \psi \| _ { L ^ { 1 } ( \mathsf { A } ) } \mathrm { d } t \Big | .
\begin{array} { r } { O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) \circ O p ^ { W } ( \mathfrak { b } ) = \mathfrak { a } \left( \xi + \frac { k } { 2 } \right) \widehat { \mathfrak { b } } ( k , \xi ) , \quad O p ^ { W } ( \mathfrak { b } ) \circ O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) = \widehat { \mathfrak { b } } ( k , \xi ) \mathfrak { a } \left( \xi - \frac { k } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \partial _ { j } \Delta ^ { - 1 } \left( \partial _ { k } b _ { n } ^ { \ell } \partial _ { \ell } u _ { k } ^ { \epsilon } \right) \right\| _ { p } ^ { 2 } } & { \leq C \left\| \partial _ { k } b _ { n } ^ { \ell } \partial _ { \ell } u _ { k } ^ { \epsilon } \right\| _ { W ^ { - 1 , p } } ^ { 2 } } \\ & { = C \left| \operatorname* { s u p } _ { \| \phi \| _ { W ^ { 1 , p ^ { \prime } } } = 1 } ( \partial _ { k } b _ { n } ^ { \ell } \partial _ { \ell } u _ { k } ^ { \epsilon } , \phi ) \right| ^ { 2 } = C \left| \operatorname* { s u p } _ { \| \phi \| _ { W ^ { 1 , p ^ { \prime } } } = 1 } ( u _ { k } ^ { \epsilon } , \partial _ { \ell } ( \partial _ { k } b _ { n } ^ { \ell } \phi ) ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \leq C \| \partial _ { k } b _ { n } ^ { \ell } \| _ { L _ { t , x } ^ { \infty } } ^ { 2 } \left\| u _ { k } ^ { \epsilon } \right\| _ { p } ^ { 2 } + C _ { E } \| \partial _ { \ell } \partial _ { k } b _ { n } ^ { \ell } \| _ { L _ { t , x } ^ { \infty } } ^ { 2 } \left\| u _ { k } ^ { \epsilon } \right\| _ { p } ^ { 2 } } \\ & { \leq C \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k , \ell \leq 3 } \| \partial _ { k } b _ { n } ^ { \ell } \| _ { L _ { t , x } ^ { \infty } } ^ { 2 } \left\| U ^ { \epsilon } \right\| _ { p } ^ { 2 } + C \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k , \ell \leq 3 } \| \partial _ { \ell } \partial _ { k } b _ { n } ^ { \ell } \| _ { L _ { t , x } ^ { \infty } } ^ { 2 } \left\| U ^ { \epsilon } \right\| _ { p } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \nu = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } > = } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } \right) \, r \mathrm { d } r , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T \left( \delta \right) _ { m ^ { \prime } , m } = } & { { } \sqrt { \frac { m ! } { m ^ { \prime } ! } } \alpha ^ { m ^ { \prime } - m } e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } L _ { n } ^ { m ^ { \prime } - m } \left( \alpha ^ { 2 } \right) \, , \, m ^ { \prime } \geq m , } \\ { T \left( \delta \right) _ { m ^ { \prime } , m } = } & { { } \sqrt { \frac { m ^ { \prime } ! } { m ! } } \left( - \alpha ^ { m - m ^ { \prime } } \right) e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } L _ { m } ^ { m - m ^ { \prime } } \left( \alpha ^ { 2 } \right) \, , \, m > m ^ { \prime } , } \end{array}