harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial \bar { \alpha } ( x , y ; \alpha ) } { \partial \ln x } = \beta \left( \frac { y } { x } , \bar { \alpha } ( x , y ; \alpha ) \right) \, \, ; \, \, \, \frac { \partial s ( x , y ; \alpha ) } { \partial \ln x } = \gamma \left( \frac { y } { x } , \bar { \alpha } ( x , y ; \alpha ) \right) s ( x , y ; \alpha ) ~ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { S } _ { h p } = i \frac { \left( \mu _ { 1 } \nu _ { 2 } - \mu _ { 2 } \nu _ { 1 } \right) \left( \Omega _ { 1 } - \mu _ { 1 } \right) } { \nu _ { 1 } \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } } \sin \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) , } \\ & { } & { \tilde { S } _ { p h } = i \frac { \left( \mu _ { 1 } \nu _ { 2 } - \mu _ { 2 } \nu _ { 1 } \right) \left( \Omega _ { 1 } + \mu _ { 1 } \right) } { \nu _ { 1 } \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } } \sin \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) , } \\ & { } & { \tilde { T } _ { h p } = \tilde { T } _ { p h } = \frac { \left( \mu _ { 1 } \nu _ { 2 } - \mu _ { 2 } \nu _ { 1 } \right) ^ { 2 } } { { \nu _ { 1 } } ^ { 2 } { \Omega _ { 1 } } ^ { 2 } { \Omega _ { 2 } } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { v } _ { i } = \sum _ { j = - K } ^ { K } \left( a _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x } + b _ { j } ^ { i } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \lambda _ { j } ^ { i } x } \right) \mathbf { f } ^ { j , i } , \quad \forall \, x \in \left( x _ { i } ^ { - } , x _ { i } ^ { + } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { t } ^ { \mathcal { G } } q _ { \alpha } = \dot { q } _ { \alpha } ^ { \mathrm { N S F } } + \dot { q } _ { \alpha } ^ { \mathrm { l i n } } + \dot { q } _ { \alpha } ^ { \mathrm { n l i n } } + R _ { \alpha } ^ { q \mathcal { G } } , } \\ & { \dot { q } _ { \alpha } ^ { \mathrm { N S F } } = - \frac { 5 } { 2 } R p \partial _ { \alpha } T , } \\ & { \dot { q } _ { \alpha } ^ { \mathrm { l i n } } = - R T \partial _ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } , } \\ & { \dot { q } _ { \alpha } ^ { \mathrm { n l i n } } = - \frac { 7 } { 5 } q _ { \alpha } \partial _ { \beta } u _ { \beta } - \frac { 7 } { 5 } q _ { \beta } \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 5 } q _ { \beta } \partial _ { \alpha } u _ { \beta } - \frac { 5 } { 2 } R \sigma _ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } T + \frac { R T } { \rho } \sigma _ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } \rho + \frac { 1 } { \rho } \sigma _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } \sigma _ { \gamma \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mu \nu } } & { = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \phi _ { \mu \alpha } \phi _ { \nu } ^ { \ \alpha } - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } \eta _ { \mu \nu } \phi ^ { \alpha \beta } \phi _ { \alpha \beta } } \\ & { - \frac { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \hbar ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \phi ^ { \alpha } \phi _ { \alpha } \eta _ { \mu \nu } - \phi _ { \mu } \phi _ { \nu } \right) \, . } \end{array}
\mathbf A = \left[ - \mathbf M _ { 1 } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 / Z _ { 0 } } \end{array} \right) \, \, \mathbf M _ { 2 } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 / Z _ { 0 } } \end{array} \right) \right]
\begin{array} { r l } & { 0 = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \rho ( \omega ) ( \omega - \omega _ { s } ) d \omega } { ( G + { 1 } / { T _ { 1 } } ) [ 1 + ( \omega - \omega _ { s } ) ^ { 2 } T _ { 2 } ^ { 2 } ] + \alpha ^ { 2 } T _ { 2 } | \tilde { \bar { P } } _ { T } | ^ { 2 } } } \\ & { \frac 1 { \alpha G P _ { 0 } T _ { 2 } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \rho ( \omega ) d \omega } { ( G + 1 / T _ { 1 } ) [ 1 + ( \omega - \omega _ { s } ) ^ { 2 } T _ { 2 } ^ { 2 } ] + \alpha ^ { 2 } T _ { 2 } | \tilde { \bar { P } } _ { T } | ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i a g } \, \tau _ { \mathrm { M F } } ^ { \mathrm { O R } } ( \vartheta ) } & { { } = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \mathrm { I } _ { 0 } \left( \frac { a } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { n } } & { { } = \sqrt { \frac { 2 K ( r ) + 1 } { 1 - K ( r ) } } , } \\ { K ( r ) } & { { } = \frac { n _ { n } ( r ) } { 2 n _ { a t m } } \frac { { \eta _ { a t m } } ^ { 2 } - 1 } { { \eta _ { a t m } } ^ { 2 } + 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta ^ { \mathrm { l i n } , k } ( 1 ) = \beta ^ { * } ( 1 ) + \frac 1 { { k } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { k } D _ { \beta } ( 1 , \theta ^ { 1 , \tau } ) , } \\ & { \beta ^ { k } ( 1 ) = \mathrm { t h e ~ u n i q u e ~ p a c i n g ~ m u l t i p l i e r ~ i n ~ { ~ \small ~ \widehat { ~ \textsf { { F P P E } } } } ( b , v ( 1 ) , ~ k ^ { - 1 } , ~ ( ~ \theta ^ { 1 , 1 } , ~ \dots , ~ \theta ^ { 1 , k } ) ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \mathfrak { Z } ^ { k \bot } \subset \mathfrak { B } ^ { k \bot } = \mathring { \mathfrak { Z } } ^ { \ast k } , \quad } & { \mathfrak { Z } ^ { \ast k \bot } \subset \mathfrak { B } ^ { \ast k \bot } = \mathring { \mathfrak { Z } } ^ { k } , } \\ & { \mathring { \mathfrak { Z } } ^ { k \bot } \subset \mathring { \mathfrak { B } } ^ { k \bot } = \mathfrak { Z } ^ { \ast k } , \quad } & { \mathring { \mathfrak { Z } } ^ { \ast k \bot } \subset \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast k \bot } = \mathfrak { Z } ^ { k } . } \end{array}
a ( \lambda , \alpha , \beta , \delta , \mu ) = \frac { ( \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } ) ^ { \lambda / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } \alpha ^ { \lambda - 1 / 2 } \delta ^ { \lambda } K _ { \lambda } \left( \delta \sqrt { \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } \right) } ,
\begin{array} { r } { \! \! \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 + j } { - 2 } \sqrt { \frac { \omega C } { R ^ { - 1 } + j \omega C } } } \\ { \frac { 1 + j } { - 2 } \sqrt { \frac { \omega C } { R ^ { - 1 } + j \omega C } } } & { 1 } \end{array} \right] \! \left[ \begin{array} { l } { \xi _ { 1 } } \\ { \xi _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \frac { - I } { \sqrt { R ^ { - 1 } + j \omega C } } } \\ { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| S f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } & { = \| \big ( \sum _ { k } | ( \mu _ { d k } - \varphi _ { d k } ) * f | ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } = \sum _ { k } \| ( \mu _ { d k } - \varphi _ { d k } ) * f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad = \sum _ { k } \| ( V _ { k } - \widehat { \varphi _ { d k } } ) \cdot \hat { f } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } = \int \sum _ { k } | V _ { k } ( \xi ) - \widehat { \varphi _ { d k } } ( \xi ) | ^ { 2 } \cdot | \hat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } \ d \xi } \\ & { \qquad \qquad \leq \operatorname* { s u p } _ { \xi } \ \sum _ { k } | V _ { k } ( \xi ) - \widehat { \varphi _ { d k } } ( \xi ) | ^ { 2 } \cdot \| \hat { f } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \leq \mathbf { C } \cdot \operatorname* { s u p } _ { \xi } \ \sum _ { k } \operatorname* { m i n } \{ 2 ^ { k d } | \xi | , ( 2 ^ { k d } | \xi | ) ^ { - 1 / d } \} ^ { 2 } \cdot \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \leq \mathbf { C } _ { d } \cdot \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\langle \vec { r } \, \vert \vec { s } \, \rangle = \left( { \frac { \omega } { \pi } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp \left\{ - { \frac { \omega } { 2 } } \vec { r } ^ { \, 2 } + 2 i \sqrt \omega \, \vec { r } \cdot \vec { s } + \vec { s } ^ { \, 2 } \right\} \, .
\begin{array} { r l } & { \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } + w _ { z } = 0 \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } + w \mathbf { u } _ { z } + \frac { 1 } { \rho } \nabla p = 0 , \ , } \\ & { w _ { t } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) w + w w _ { z } + \frac { 1 } { \rho } p _ { z } + g = 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } } & { = } & { \pi _ { M s } + \delta \pi _ { s } } \\ & { = } & { n _ { M s } T _ { s } \left[ 1 - \alpha _ { s } D - \alpha _ { s } \frac { F } { M _ { s } } 2 T _ { s } \right] \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } } \\ & { } & { - 2 \alpha _ { s } \frac { F } { M _ { s } } n _ { M s } T _ { s } ^ { 2 } \left[ \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } + \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } \right] . } \end{array}
\mathcal { L } _ { E } = \int _ { \Omega _ { t } } \ \left( \frac { 1 } { 2 } \rho \left\vert \left\vert \mathbf { u } \right\vert \right\vert ^ { 2 } - \rho \varepsilon ( \rho , \eta ) \right) \ d \Omega ,
\begin{array} { r } { C _ { p _ { b } } ( x _ { a } ) = ( 2 / \pi ) ^ { 1 / 4 } e ^ { - \left( 1 + \epsilon \right) ^ { 2 } \xi ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ( x _ { a } - \xi / 2 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { g _ { 1 } } \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } } \right) } & { \triangleq \sqrt { \frac { { { D _ { T } } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } - \frac { { { D _ { T } } } } { r } \sin \theta + 1 } - \sqrt { \frac { { { D _ { T } } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } + \frac { { { D _ { T } } } } { r } \sin \theta + 1 } , } \\ { { g _ { 2 } } \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } } \right) } & { \triangleq \Delta _ { \mathrm { { s p a n } } } ^ { \mathrm { t } } \left( \frac { { { D _ { T } } } } { r } \right) , { g _ { 3 } } \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } } \right) \triangleq \ln \left| { \frac { { \frac { { { D _ { T } } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } - \frac { { { D _ { T } } } } { r } \sin \theta + 1 } } { { \frac { { { D _ { T } } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } + \frac { { { D _ { T } } } } { r } \sin \theta + 1 } } } \right| , } \\ { { g _ { 4 } } \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { r } } \right) } & { \triangleq \ln \left( \frac { { { p _ { 2 } } + \sqrt { 1 + p _ { 2 } ^ { 2 } } } } { { { p _ { 1 } } + \sqrt { 1 + p _ { 1 } ^ { 2 } } } } \right) , } \end{array}
\tau _ { \mathrm { e q } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } r \, r ^ { 2 } \left[ \left( \zeta ^ { 2 } - 1 \right) \left[ \sin ( 2 \psi _ { 0 } ) - \lambda ^ { 3 / 2 } \sin ( 2 \psi ) \right] + ( \zeta - 1 ) ^ { 2 } \left[ \sin ( 2 \psi _ { 0 } ) \cos ( 2 \psi ) - \lambda ^ { 3 / 2 } \cos ( 2 \psi _ { 0 } ) \sin ( 2 \psi ) \right] \right] } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } r \, r ^ { 3 } \left[ ( \zeta + 1 ) ^ { 2 } + \left( \zeta ^ { 2 } - 1 \right) \left[ \cos ( 2 \psi _ { 0 } ) + \cos ( 2 \psi ) \right] + ( \zeta - 1 ) ^ { 2 } \cos ( 2 \psi _ { 0 } ) \cos ( 2 \psi ) \right] } .
\begin{array} { r l r } { { \bf { B } } } & { = } & { { \bf { B } } _ { \mathrm { { t o r } } } + { \bf { B } } _ { \mathrm { p o l } } } \\ & { = } & { ( 0 , B ^ { y } , 0 ) + \nabla \times \left( { 0 , A ^ { y } , 0 } \right) } \\ & { = } & { ( 0 , B ^ { y } , 0 ) + \left( { - \frac { \partial A ^ { y } } { \partial z } , 0 , \frac { \partial A ^ { y } } { \partial x } } \right) . } \end{array}
\left| \int _ { M } ( \partial _ { 1 } g ) ( \tilde { \varphi } ( x ) ) \tilde { \varphi } _ { 1 } ( x ) f ( \tilde { \varphi } _ { 2 } ( x ) ) \mathrm { d } x \right| \leq | \mathbb { T } | \| f \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } \| \partial _ { 1 } g \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { T } ) } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \Omega + n \omega ) } & { \approx { \bf C } [ Q _ { n } ( \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } , \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) } \\ & { + \rho _ { 2 1 } e ^ { i \varphi _ { 2 1 } } Q _ { n - 2 N } ( \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } + 2 N , \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { n ! b _ { n } ( \delta ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { \sum _ { a + b = 2 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a - | I | } y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { b - | J | } ( p _ { 1 3 } ) ^ { | I | } ( p _ { 2 3 } ) ^ { | J | } } \\ & { } & { ( 2 ! ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } ( 3 ! ) ^ { i _ { 2 } + j _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } + j _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } + j _ { p } } } \\ & { = } & { \sum _ { a + b = 2 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a - | I | } y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { b - | J | } } \\ & { } & { \left( \frac { - x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) ^ { | I | } \left( \frac { - x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) ^ { | J | } } \\ & { } & { ( 2 ! ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } ( 3 ! ) ^ { i _ { 2 } + j _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } + j _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } + j _ { p } } } \\ & { = } & { \sum _ { a + b = 2 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } ( - 1 ) ^ { | I | + | J | } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a } y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { b } \left( \frac { z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) ^ { | I | + | J | } } \\ & { } & { ( 2 ! ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } ( 3 ! ) ^ { i _ { 2 } + j _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } + j _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } + j _ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Q } ( \varphi ) = \nabla _ { \varphi } \bigg [ \int _ { - \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } } } ^ { \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } } } \int _ { - \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } - x _ { m } ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } - x _ { m } ^ { 2 } } } \ldots \int _ { - \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } - \sum _ { i = 2 } ^ { m } x _ { i } ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } - \sum _ { i = 2 } ^ { m } x _ { i } ^ { 2 } } } } \\ { \frac { ( 1 - \varphi ) \| x \| ^ { 2 } - c } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } { x } ^ { \mathsf { T } } { \Sigma } ^ { - 1 } { x } \right) \mathrm { d } { x } _ { 1 } \ldots \mathrm { d } { x } _ { m - 1 } \mathrm { d } { x } _ { m } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial x } } & { = \frac { 1 } { { \rho } ^ { 2 } } \left[ { \rho } \frac { \partial \rho u } { \partial x } - { \rho } { u } \frac { \partial \rho } { \partial x } \right] , \frac { \partial v } { \partial x } = \frac { 1 } { { \rho } ^ { 2 } } \left[ { \rho } \frac { \partial \rho v } { \partial x } - { \rho } { v } \frac { \partial \rho } { \partial x } \right] . } \end{array}
( \bar { q } _ { \alpha } ^ { \prime } \; b _ { \alpha } ) _ { \mathrm { S - P } } = \bar { q } _ { \alpha } ^ { \prime } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) b _ { \alpha } , \qquad ( \bar { q } _ { \beta } q _ { \beta } ^ { \prime } ) _ { \mathrm { S + P } } = \bar { q } _ { \beta } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) q _ { \beta } ^ { \prime } ,
{ \begin{array} { r l } { j ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { j ( x + h ) - j ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { \left( a f ( x + h ) + b g ( x + h ) \right) - \left( a f ( x ) + b g ( x ) \right) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { a f ( x + h ) + b g ( x + h ) - a f ( x ) - b g ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { a f ( x + h ) - a f ( x ) + b g ( x + h ) - b g ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { ( a f ( x + h ) - a f ( x ) ) + ( b g ( x + h ) - b g ( x ) ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( { \frac { a f ( x + h ) - a f ( x ) } { h } } + { \frac { b g ( x + h ) - b g ( x ) } { h } } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( { \frac { a ( f ( x + h ) - f ( x ) ) } { h } } + { \frac { b ( g ( x + h ) - g ( x ) ) } { h } } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( a { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } + b { \frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } \right) } \end{array} }
\left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } + | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } - | - m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\begin{array} { r l } { \Delta _ { t } ^ { k } } & { { } = \frac { a _ { t } ^ { k } } { \sqrt { ( 1 - \phi _ { t } ^ { 2 } } } \quad \textrm { i f } k = 1 } \\ { \Delta _ { t } ^ { k } } & { { } = \phi \Delta _ { t } ^ { k - 1 } + a _ { t } ^ { k } \quad \textrm { i f } k > 1 } \end{array}
\sum _ { \sigma : \sigma \mathrm { ~ i s ~ a ~ p e r m u t a t i o n ~ o n ~ } \{ r _ { 1 } , \ldots , r _ { k } \} } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \mathbb { P } [ \mathcal { A } _ { \sigma } ] = \operatorname* { d e t } ( ( h _ { \Omega _ { \delta } } ( z _ { r _ { j } } ^ { \delta , + } , ( x _ { 2 r _ { l } } ^ { \delta } x _ { 2 r _ { l } + 1 } ^ { \delta } ) ) ) _ { 1 \le j , l \le k } ) .
I _ { R } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 / 3 } \frac { m _ { e } ^ { 8 / 3 } c ^ { 5 } \omega _ { l } ^ { 4 / 3 } } { 2 \pi ( e / \sqrt { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } ) ^ { 1 0 / 3 } } ,
U _ { \mathrm { E } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \left[ { \frac { Q _ { 1 } Q _ { 2 } } { r _ { 1 2 } } } + { \frac { Q _ { 1 } Q _ { 3 } } { r _ { 1 3 } } } + { \frac { Q _ { 2 } Q _ { 1 } } { r _ { 2 1 } } } + { \frac { Q _ { 2 } Q _ { 3 } } { r _ { 2 3 } } } + { \frac { Q _ { 3 } Q _ { 1 } } { r _ { 3 1 } } } + { \frac { Q _ { 3 } Q _ { 2 } } { r _ { 3 2 } } } \right]
\begin{array} { r l } & { \lambda \Bigg [ 1 + \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \Big ( \delta _ { x x } + \frac { ( c - 2 \beta _ { x } ) } { \beta } \delta _ { x } \Big ) + \frac { l ^ { 2 } } { 2 } \Big ( \delta _ { x x } + \frac { ( d - 2 \beta _ { y } ) } { \beta } \delta _ { y } \Big ) \Bigg ] ( \Phi _ { i j } ^ { n + 1 } - \Phi _ { i j } ^ { n } ) = \frac { \Delta t } { 2 } ( F _ { i j } ^ { n + 1 } - F _ { i j } ^ { n } ) + } \\ & { \frac { \Delta t } { 2 } \Big [ A _ { i j } \delta _ { x } ^ { 2 } + B _ { i j } \delta _ { y } ^ { 2 } + C _ { i j } \delta _ { x } + D _ { i j } \delta _ { y } + E _ { i j } \delta _ { x } ^ { 2 } \delta _ { y } ^ { 2 } + H _ { i j } \delta _ { x } \delta _ { y } ^ { 2 } + K _ { i j } \delta _ { x } ^ { 2 } \delta _ { y } + L _ { i j } \delta _ { x } \delta _ { y } + M _ { i j } \Big ] ( \Phi _ { i j } ^ { n + 1 } + \Phi _ { i j } ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl | \bar { J } _ { t } ( x , y ) - J _ { t } ^ { * } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr | \leq \biggl ( \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 1 } } & { \gamma ^ { i } \biggr ) \Bigl ( \zeta + L _ { r } \, \| x - \tilde { x } \| _ { 2 } \Bigr ) + \biggl ( \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 1 } \gamma ^ { i } L _ { f } ^ { i } \biggr ) \, L _ { r } \| y - \tilde { y } \| _ { 2 } } \\ & { + \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - t - 1 } L _ { f } ^ { i } \sum _ { j = i } ^ { T - t - 1 } \gamma ^ { j } \biggr ) \, L _ { r } \, \| x ^ { * } - \tilde { x } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { j , \alpha } = f _ { j , \alpha } ^ { ( 0 ) } + \varepsilon f _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } f _ { j , \alpha } ^ { ( 2 ) } , \quad \partial _ { t } = \varepsilon \partial _ { t _ { 1 } } + \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { t _ { 2 } } , \quad \nabla = \varepsilon \nabla _ { 1 } , } \\ { \tilde { G } _ { j , \alpha } = \varepsilon \tilde { G } _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } \tilde { G } _ { j , \alpha } ^ { ( 2 ) } , \quad F _ { j , \alpha } = \varepsilon F _ { j , \alpha } ^ { ( 1 ) } + \varepsilon ^ { 2 } F _ { j , \alpha } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { n _ { \mathrm { R } } } { n ^ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { R } } } \left( 1 + i \frac { n _ { \mathrm { I } } } { n _ { \mathrm { R } } } \right) ^ { - 2 } \simeq \frac { 1 } { n _ { \mathrm { R } } } - i \frac { 2 n _ { \mathrm { I } } } { n _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } } \\ { \frac { n ^ { 2 } - n _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } & { = 1 - \left( 1 + i \frac { n _ { \mathrm { I } } } { n _ { \mathrm { R } } } \right) ^ { - 2 } \simeq i \frac { 2 n _ { \mathrm { I } } } { n _ { \mathrm { R } } } } \end{array}
E ( \{ \omega _ { p } \} , \{ c _ { p } \} ; \mathbf { r } ) = \displaystyle \int \left( \frac { e ^ { - \omega k _ { F } ( \mathbf { r } ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } - \displaystyle \sum _ { p = 1 } ^ { M } c _ { p } \frac { e ^ { - \omega _ { p } k _ { F } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 2 } } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \right) ^ { 2 } \, d \mathbf { r } ^ { \prime } \ .
G = \cup _ { i } K _ { i } , \, \, \, \left| G \right| = \sum _ { i = 0 } ^ { r - 1 } \left| K _ { i } \right| , \, \, \, \, K _ { e } = K _ { 0 } , \, \, \, K _ { 1 , } . . . . K _ { r - 1 } , \, \, \, \, r = \# c l a s s e s
\begin{array} { r } { \left| \mathcal { N } _ { 2 , q } ( \psi _ { 1 } ) - \mathcal { N } _ { 2 , q } ( \psi _ { 2 } ) \right| \leq C \left( 1 + | \psi _ { 1 } | ^ { 2 \alpha } + | \psi _ { 2 } | ^ { 2 \alpha } \right) | \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } | } \\ { \leq C \left( | \psi _ { 1 } | ^ { \beta } + | \psi _ { 2 } | ^ { \beta } \right) | \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } | , } \end{array}
i \tilde { \Delta } _ { R \mu \nu } ^ { a b } ( q ) = \frac { i \delta ^ { a b } } { q ^ { 2 } + i \epsilon } \Biggl \{ \biggl ( - g _ { \mu \nu } + \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } } \biggr ) \tilde { d } _ { R } ( \xi _ { q } , q ^ { 2 } ) - \xi _ { b } \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } } \Biggr \} .
\tan 2 \theta = { \frac { \langle \psi { \mid } \operatorname { R e f } ( 4 5 \deg ) { \mid } \psi \rangle } { \langle \psi { \mid } \operatorname { R e f } ( 0 \deg ) { \mid } \psi \rangle } } = { \frac { 2 E _ { 0 x } E _ { 0 y } \cos ( \phi _ { x } - \phi _ { y } ) } { E _ { 0 x } ^ { 2 } - E _ { 0 y } ^ { 2 } } }
{ \bf B } ( \rho , \theta , k ) = \sqrt { \frac { 2 \pi k } { \rho } } e ^ { - k \rho } \Biggl \{ \hat { \rho } \left[ k ( i \mu _ { z } - \mu _ { \perp } \cos { \theta } ) + \frac { 1 } { 2 \rho } ( i \mu _ { z } - 3 \mu _ { \perp } \cos { \theta } ) \right] + \frac { \vec { \mu _ { \perp } } } { \rho } \Biggr \} .
\overline { { C ( N , N _ { 0 } , \alpha ) } } \approx \left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } + \frac { \Gamma ( N _ { 0 } + 1 ) } { 2 \Gamma ( N _ { 0 } + 1 - 2 \alpha ) } \, N ^ { - 2 \alpha } \quad \mathrm { ( U C ) } , } \\ & { \frac { 1 } { 2 } + \frac { ( 1 - 2 \alpha ) \Gamma ( N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) / 2 + 1 ) } { 2 ( 1 - \alpha ) \Gamma ( N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) / 2 + 1 - \alpha ) } \, N ^ { - \alpha } \quad \mathrm { ( P A ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E ( z ) } & { { } = \frac { z _ { \mathrm { t i p } } ^ { 2 } ( E _ { \mathrm { m a x } } - E _ { \mathrm { b g } } ) } { z ^ { 2 } } + E _ { \mathrm { b g } } , } \\ { n _ { e } ( z ) } & { { } = \int _ { z } ^ { \infty } K ( y ) \; e ^ { \int _ { z } ^ { y } \lambda ( x ) \; d x } \; d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 . 9 5 } & { { } = 1 - \alpha = P ( - z \leq Z \leq z ) = P \left( - 1 . 9 6 \leq { \frac { { \bar { X } } - \mu } { \sigma / { \sqrt { n } } } } \leq 1 . 9 6 \right) } \end{array}