harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \ddot { \mathbf { X } } + \left( \frac { w } { h _ { 3 } } - \frac { r } { h _ { 3 } } \hat { r } _ { t } \cdot \hat { \tau } \right) \dot { \mathbf { X } } _ { s } + \frac { d \mathbf { V } } { d t } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { = - \frac { \mathbf { \nabla } P } { \rho } + \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \left( \frac { 1 } { \rho h _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { h _ { 3 } } \dot { \mathbf { X } } _ { s } \right) _ { s } + \frac { 1 } { \rho } \Delta \mathbf { V } \right) + \frac { 1 } { \mathrm { ~ F ~ r ~ } ^ { 2 } } \hat { \mathbf { g } } } \end{array}
\frac { \partial P _ { t } [ z ] } { \partial t } = \left[ \int d x \frac { \delta } { \delta z ( x ) } \frac { z ( x ) } { x } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k ! } \left( \int d x \frac { n ( x ) } { x } \frac { \delta } { \delta z ( x ) } \right) ^ { k } \left( \nu _ { 0 } + \int z ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } \right) \right] P _ { t } [ z ] ,
\Pi _ { \mu \nu } ^ { ( V ) } = I _ { 2 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) \, \left[ \frac { 1 } { 3 } \, ( p _ { \mu } p _ { \nu } - p ^ { 2 } g _ { \mu \nu } ) + \frac { 1 } { 2 } \, ( m _ { 2 } - m _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] \, ,
P r \{ ( h _ { d } ( X _ { 1 } ) - h _ { d } ( X _ { 2 } ) ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) = 0 \} = P r \{ ( X _ { 1 } - X _ { 2 } ) ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) = 0 \}
B ( \bar { B } _ { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) = 6 . 5 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \times \left| e ^ { - i \gamma } + 0 . 0 9 \, e ^ { i \cdot 1 2 . 7 ^ { \circ } } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { \frac { k } { 2 } } \pi ^ { \frac { d } { 2 } } \sum _ { \iota : \mathscr { A } \to \{ 1 , \ldots , d \} } c _ { d } ^ { ( \iota ) } \, \mathbf T _ { F _ { k , d } } ^ { x , m } ( \mathbf W _ { 1 } ^ { \mathscr { A } , \iota } , \ldots , \mathbf W _ { m } ^ { \mathscr { A } , \iota } ) } \\ & { = \int _ { \mathbb R ^ { d } } ( - 1 ) ^ { m } f _ { m } ( \xi ) [ W _ { 1 } ^ { \mathscr A } ( \xi ) \otimes \cdots \otimes W _ { m } ^ { \mathscr A } ( \xi ) ] \, d \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { Y } & { ^ x _ { 1 1 } = \frac { 1 } { 2 } Y _ { 1 1 } ^ { z } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } Y _ { 1 0 } ^ { z } + \frac { 1 } { 2 } Y _ { 1 - 1 } ^ { z } , } \\ & { Y } & { ^ { - x } _ { 1 1 } = \frac { 1 } { 2 } Y _ { 1 1 } ^ { z } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } Y _ { 1 0 } ^ { z } + \frac { 1 } { 2 } Y _ { 1 - 1 } ^ { z } , } \\ & { Y } & { ^ { n _ { 1 } } _ { 1 1 } = \frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 4 } Y _ { 1 1 } ^ { z } + \frac { i } { 2 } Y _ { 1 0 } ^ { z } - \frac { 2 - \sqrt { 2 } } { 4 } Y _ { 1 - 1 } ^ { z } , } \\ & { Y } & { ^ { n _ { 2 } } _ { 1 1 } = \frac { 2 - \sqrt { 2 } } { 4 } Y _ { 1 1 } ^ { z } + \frac { i } { 2 } Y _ { 1 0 } ^ { z } - \frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 4 } Y _ { 1 - 1 } ^ { z } , } \\ & { Y } & { ^ { n _ { 3 } } _ { 1 1 } = \frac { 2 - \sqrt { 2 } } { 4 } Y _ { 1 1 } ^ { z } - \frac { i } { 2 } Y _ { 1 0 } ^ { z } - \frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 4 } Y _ { 1 - 1 } ^ { z } , } \\ & { Y } & { ^ { n _ { 4 } } _ { 1 1 } = \frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 4 } Y _ { 1 1 } ^ { z } - \frac { i } { 2 } Y _ { 1 0 } ^ { z } - \frac { 2 - \sqrt { 2 } } { 4 } Y _ { 1 - 1 } ^ { z } . } \end{array}
\sigma _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { 0 } \quad \quad \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Delta Q _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \Delta Q _ { i - \frac { 1 } { 2 } } \leq 0 } \\ { \displaystyle { \frac { 2 \Delta Q _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \Delta Q _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta Q _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \Delta Q _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } } \quad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\sigma _ { s } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { * 2 } { } \, ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } } } ) \left( ^ 1 ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) - { } ^ { 1 } ( \pi _ { y } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) \right)
\begin{array} { r l } & { \left| \partial _ { t } \left( t Z _ { t } ^ { \alpha } ( n , m ) - t \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \theta J _ { \alpha + 1 } ( \gamma _ { n } \theta ) J _ { \alpha } ( \gamma _ { m } \theta ) \sin \frac { \theta } { 2 } \cos \frac { \theta } { 2 } d \theta \right) \right| } \\ & { = \left| \partial _ { t } \left( t \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { n } } e ^ { - t ( 1 - \cos \theta ) } \theta J _ { \alpha + 1 } ( \gamma _ { n } \theta ) J _ { \alpha } ( \gamma _ { m } \theta ) \sin \frac { \theta } { 2 } \cos \frac { \theta } { 2 } d \theta \right) \right| } \\ & { \le C \left( n ^ { \alpha + 1 } m ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { m } } e ^ { - c \theta ^ { 2 } t } \theta ^ { 2 \alpha + 3 } d \theta + n ^ { \alpha + 1 } m ^ { - 1 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { m } } ^ { \frac { 1 } { n } } e ^ { - c \theta ^ { 2 } t } \theta ^ { \alpha + 5 / 2 } d \theta \right) , \quad t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( M ) \lesssim \mathcal { O } ( M ^ { n } ) \; } & { { } \Rightarrow \; g ( M ) \sim \mathcal { O } ( M ^ { m } ) , \: m > n } \\ { h ( M ) \gtrsim \mathcal { O } ( M ^ { n } ) \; } & { { } \Rightarrow \; h ( M ) \sim \mathcal { O } ( M ^ { l } ) , \: l < n } \end{array}
{ \sf A } = ( p - 7 - 2 \sin ^ { 2 } \theta ) / 8 , \ \ \ { \sf B } = ( p - 7 + 6 \sin ^ { 2 } \theta ) / 8 , \ \ \ { \sf C } = ( p + 1 - 2 \sin ^ { 2 } \theta ) / 8 .
\begin{array} { r } { \mathbf { g } _ { \mathcal { U } } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( m + n + r - 1 \right) \varepsilon } \right) = \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( m + n + r - 1 \right) \varepsilon } \right) + \mathbf { g } _ { \mathcal { C } } \left( \widehat { \gamma } _ { \left( m + n + r - 1 \right) \varepsilon } \right) . } \end{array}
\frac { D \varepsilon _ { W } } { D t } = C _ { 1 } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) \frac { \varepsilon _ { W } } { \varepsilon } \frac { D \varepsilon } { D t } + C _ { 2 } ( \omega _ { \mathrm { { S } 0 } } , \omega _ { W 0 } ) \frac { \varepsilon _ { W } } { W } \frac { D W } { D t }
{ \cal Z } _ { 2 N } = K ( 2 N ) ! \int _ { \stackrel { \cdots } { R ( - \infty , x _ { 1 } , \ldots , x _ { 2 N } , \infty ) } } \int \prod _ { i = 1 } ^ { 2 N } e ^ { - \frac { \beta } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 N } V ( x _ { i } ) } \times [ d e t ( x _ { j } ^ { i - 1 } ) ] _ { i , j = 1 , \ldots , 2 N }
\begin{array} { r l } { P ( t ) } & { = \int _ { \cal V } \mathrm { d } { \bf r } _ { 1 } \int _ { \cal V } \mathrm { d } { \bf r } _ { 2 } \int \mathrm { d } t _ { 1 } \int \mathrm { d } t _ { 2 } \, K ( t ; { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) \, F ( { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) , } \end{array}
\{ \Delta _ { L } \theta _ { 1 } , \Delta _ { L } \theta _ { 2 } \} _ { \mathrm { c . b . } } = \{ T _ { 1 } \theta _ { 1 } S ( T _ { 1 } ) , T _ { 2 } \theta _ { 2 } S ( T _ { 2 } ) \} _ { \mathrm { c . b . } } .
\begin{array} { r } { P _ { z } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) = \operatorname* { m i n } \Biggl \{ 1 , \frac { P _ { z } \bigl ( z ^ { \prime } \bigr ) P _ { z } ^ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } \bigl ( z ^ { \prime } \to z \bigr ) } { P _ { z } \bigl ( z \bigr ) P _ { z } ^ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) } \Biggr \} } \end{array}
J ^ { \mu } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \, { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tau } } \, \delta ^ { 4 ) } \left( \, x - x ( \tau ) \, \right) = \int _ { \Gamma _ { 0 } } d x ^ { \mu } \, \delta ^ { 4 ) } \left( \, x - x ( \tau ) \, \right)
\left\langle { E _ { m } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) E _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { s } ) } \right\rangle \mathcal { L } _ { i j } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { x } _ { s } ) = \left\langle { u _ { i } ( \boldsymbol { x } ) E _ { m } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) } \right\rangle , \; \forall r ^ { \prime } \in S ; \, m = 1 , 2 , 3 , 4
\left( f ^ { 2 } - f _ { 0 } ^ { 2 } - \mathrm { i } \frac { f f _ { 0 } } { Q _ { L } } \right) e _ { 0 } ( f ) = \frac { \mathrm { i } \, \epsilon \, m _ { A ^ { \prime } } ^ { 2 } \, f } { 2 \pi } \int \vec { E } _ { 0 } \cdot \vec { A ^ { \prime } } ( f ) \, \mathrm { d } V + \sqrt { \frac { 2 f _ { 0 } } { Q _ { 0 } } } \, f \, { u } _ { 0 } ( f ) ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { i \setminus j } ^ { t } } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } \frac { p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } } \\ & { \times \prod _ { t ^ { \prime } = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left( 1 - \delta _ { t , t ^ { \prime } } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , 1 } + \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { k i } ^ { t ^ { \prime } } } \right] e ^ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { i k } ^ { t ^ { \prime } } \mu _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } } p \left( O _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \mid x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) . } \end{array}
S _ { x } ( \omega ) = \frac { 4 \left( \left\langle \bar { c } ^ { 2 } \right\rangle \left( \Gamma ^ { 2 } + 4 \omega ^ { 2 } \right) + 4 \left\langle \bar { c } \; \bar { s } \right\rangle \Gamma \omega _ { 0 } + 4 \left\langle \bar { s } ^ { 2 } \right\rangle \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) } { \pi \left( \Gamma ^ { 2 } + 4 ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) \left( \Gamma ^ { 2 } + 4 ( \omega + \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) }
{ \bf E } ^ { \mathrm { e } } = \mathrm { l n } { \bf U } ^ { \mathrm { e } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathrm { E } _ { i } ^ { \mathrm { e } } { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { e } } \otimes { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { e } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \mathrm { l n } \lambda _ { i } ^ { \mathrm { e } } \; { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { e } } \otimes { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { e } } .
\frac { d \left< \mathbf { P } \right> } { d t } \lesssim - \frac { 3 \beta \mathcal { P } _ { * } \left< \mathbf { P } \right> ^ { 3 } } { 4 A ^ { 3 } } \left[ \mu \langle D _ { A } \rangle - \frac { 2 } { A } \ln \left( \frac { K } { 2 A ^ { 2 } } \left< \mathbf { P } \right> \right) \right] .
\left. \begin{array} { l l } { { \mathrm { n i l p o t e n c e } } } & { { Q _ { B } ^ { 2 } = 0 , } } \\ { { \mathrm { o d d ~ d e r i v a t i o n } } } & { { Q _ { B } ( A * B ) = ( Q _ { B } A ) * B + ( - 1 ) ^ { A } A * ( Q _ { B } B ) , } } \\ { { \mathrm { p a r t i a l ~ i n t e g r a b i l i t y } } } & { { \int Q _ { B } ( \ldots ) = 0 , } } \\ { { } } & { { \int A * B = ( - 1 ) ^ { A B } \int B * A , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 2 \cdot \Bigl ( { p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } } _ { \ast } \nabla ^ { \mathfrak { S } _ { g } } \Bigr ) _ { e _ { i } } ( e _ { I } ) } & { = 2 \cdot p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } \circ \nabla _ { e _ { i } } ^ { \mathfrak { S } _ { g } } \circ p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } ^ { - 1 } ( e _ { I } ) } \\ & { = 2 \cdot p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } \Bigl ( \nabla _ { e _ { i } } ^ { \mathfrak { S } _ { g } } f _ { I } \Bigr ) } \\ & { = p \mathcal { G } _ { g , g _ { 0 } } \Bigl ( \bigl ( \sum _ { \alpha < \beta } g ( \nabla _ { e _ { i } } ^ { L . C . , g } f _ { \alpha } , f _ { \beta } ) \cdot f _ { \alpha } \cdot f _ { \beta } \bigr ) \cdot _ { g } f _ { I } \Bigr ) } \\ & { = \Bigl ( \sum _ { \alpha < \beta } g ( \nabla _ { e _ { i } } ^ { L . C . , g } \tau _ { g _ { 0 } , g } e _ { \alpha } , \tau _ { g _ { 0 } , g } e _ { \beta } ) \cdot e _ { \alpha } \cdot e _ { \beta } \Bigr ) \cdot e _ { I } . } \end{array}
Z _ { S D M } [ 0 ] = { \cal N } \int { \cal D } a _ { \mu } e x p - \int \Bigl ( { \frac { m } { 2 } } a _ { \mu } a ^ { \mu } - { \frac { 1 } { 2 } } a _ { \mu } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \partial _ { \nu } a _ { \rho } ) \Bigr ) d ^ { 3 } x .
\left< [ x ( t _ { 2 } ) - x ( t _ { 1 } ) ] ^ { 2 } \right> \sim \frac { 2 v ^ { 2 } } { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) } \left( \Delta ^ { 2 } + ( \alpha - 1 ) t \Delta ^ { 2 \alpha - 1 } \right) + \frac { \Gamma ( 1 + 2 H ) } { \Gamma ( 1 + 2 H \alpha ) } \left( \Delta ^ { 2 H \alpha } + ( \alpha - 1 ) t \Delta ^ { 2 H \alpha - 1 } \right) .
{ \cal M } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { e } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { \mu } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { a _ { \tau } } } \\ { { a _ { e } } } & { { a _ { \mu } } } & { { a _ { \tau } } } & { { M } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r } { i _ { n , p , m } = j _ { n , p , m } e = i _ { m } ( k _ { m } , c _ { n , p , m } , c _ { n } ^ { l } ) \left[ \mathrm { e x p } \left( - \frac { \alpha _ { m } e \eta _ { n , p , m } ^ { \mathrm { e f f } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) - \mathrm { e x p } \left( \frac { ( 1 - \alpha _ { m } ) e \eta _ { n , p , m } ^ { \mathrm { e f f } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) \right] } \end{array}
\bar { w } ( \ell ) = { \frac { 1 } { \sqrt { \ell } } } \, \bar { \sigma } _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \ { \frac { \ell ^ { n + 1 / 2 } } { \Gamma ( n + 3 / 2 ) } } \ \bar { \sigma } _ { n } \ .
{ \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \, \delta _ { m m ^ { \prime } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( \zeta + \zeta ^ { \prime } ) \, r } \left[ [ \ell ^ { \prime } ( \ell ^ { \prime } + 1 ) - n ^ { \prime } ( n ^ { \prime } - 1 ) ] \, r ^ { n + n ^ { \prime } - 2 } + 2 \zeta ^ { \prime } n ^ { \prime } \, r ^ { n + n ^ { \prime } - 1 } - \zeta ^ { 2 } \, r ^ { n + n ^ { \prime } } \right] ~ \operatorname { d } r ~ ,
\omega \mid U _ { \pm } = \int _ { N } \frac { - 2 i S _ { 0 } } { \left( 1 + z _ { \pm } ( \vec { x } ) \overline { { { z } } } _ { \pm } ( \vec { x } ) \right) ^ { 2 } } \delta \overline { { { z } } } _ { \pm } ( \vec { x } ) \wedge \delta z _ { \pm } ( \vec { x } ) d \mu ( \vec { x } ) \, .
T _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { L } { g \varepsilon \kappa } } \cdot \int _ { \alpha _ { F } } ^ { \alpha _ { 0 } } { \frac { e ^ { - \mu \beta } } { \cos ^ { 3 } \beta } \frac { d \beta } { \sqrt { F P ( \beta ) } } } .
\Delta E _ { s , c o r r } ^ { 1 / r ^ { 4 } } = - \frac { ( Z \alpha ) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } M } | \psi ( 0 ) | ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 4 \pi ^ { 2 } ( { \bf k ^ { \prime } k } ) } { k ^ { 2 } k ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } r e ^ { i { \bf ( k + k ^ { \prime } ) r } } e ^ { - 2 \beta r } [ - 2 ( n - 1 ) \beta r ]
\mathcal { H } = E + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { p _ { j } ^ { 2 } } { I _ { j } } + \Pi \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } , \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } , . . . , \theta _ { N } - \theta _ { N - 1 } \right) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathsf { M } _ { j } ^ { e } \, \theta _ { j } \, .
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \hat { r } _ { L } ^ { c c w } } & { { } = \sqrt { \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c c w } + \sqrt { 1 - \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { L } ^ { c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c w } } & { } & { { } = \sqrt { \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { L } ^ { c w } - \sqrt { 1 - \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c c w } , } \\ { \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c c w } } & { { } = \sqrt { \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { 0 } ^ { c c w } + \sqrt { 1 - \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { 0 } ^ { c w } } & { } & { { } = \sqrt { \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c w } - \sqrt { 1 - \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { 0 } ^ { c c w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { p } } { \partial t } } & { = \mathbf { A } ^ { p } \left[ \mathbf { a } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { p } \left[ \mathbf { a } \right] \cdot \mathbf { w } ^ { p } ( t ) \, } \\ { \frac { \partial \mathbf { q } } { \partial t _ { - } } } & { = \mathbf { A } ^ { q } \left[ \mathbf { a } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { q } \left[ \mathbf { a } \right] \cdot \mathbf { w } ^ { q } ( t ) \, . } \end{array}
A _ { W } = V _ { u s } [ ( p _ { 3 } - p _ { 4 } ) _ { \mu } f _ { - } ( s ) + ( p _ { 3 } + p _ { 4 } ) _ { \mu } f _ { + } ( s ) ] \bar { u } ( p _ { 2 } ) \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) u ( p _ { 1 } )
\begin{array} { r l r } { \mathcal { B } _ { ( i \to \alpha ) ; ( \beta \to j ) } ^ { N H } } & { = } & { p _ { N } \delta _ { j , i } ( 1 - \delta _ { \beta , \alpha } ) , } \\ { \mathcal { B } _ { ( \alpha \to i ) ; ( j \to \beta ) } ^ { H N } } & { = } & { p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } \delta _ { \alpha , \beta } ( 1 - \delta _ { i , j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 3 } = p _ { 2 4 } } & { = \frac { 1 } { 8 } \int \! \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) } \\ & { \times \Big [ | F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + | F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + 2 \, \mathrm { R e } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( 2 \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } ) } \Big ] \Big ] } \\ { p _ { 1 4 } = p _ { 2 3 } } & { = \frac { 1 } { 8 } \int \! \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) } \\ & { \times \Big [ | F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + | F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } - 2 \, \mathrm { R e } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( 2 \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } ) } \Big ] \Big ] } \\ { p _ { 1 2 } } & { = \frac { 1 } { 8 } \int \! \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) } \\ & { \times \Big [ | F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + | F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + 2 \, \mathrm { R e } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi _ { 1 } } \Big ] \Big ] } \\ { p _ { 3 4 } } & { = \frac { 1 } { 8 } \int \! \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) } \\ & { \times \Big [ | F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + | F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) | ^ { 2 } + 2 \, \mathrm { R e } \Big [ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } ) } \Big ] \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \left[ f * _ { 2 \pi } g \right] ( x ) \ } & { { } \triangleq \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( u ) \cdot g [ { \mathrm { p v } } ( x - u ) ] \, d u , } & { } & { { } { \big ( } { \mathrm { a n d ~ } } \underbrace { { \mathrm { p v } } ( x ) \ \triangleq \arg \left( e ^ { i x } \right) } _ { \mathrm { p r i n c i p a l ~ v a l u e } } { \big ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { B } ^ { \tau } } & { { } = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { E } } ( v _ { E } ^ { \tau } - v _ { s } ) + v _ { s } = \frac { b - d _ { B } } { b + d _ { E } } v _ { E } ^ { \tau } , } \\ { v _ { B } ^ { n } } & { { } = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { E } } v _ { E } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ( S _ { r } , \Theta ) } { \partial ( \psi , \theta ) } } & { { } = } & { \frac { \partial ( S _ { r } , \Theta ) } { \partial ( X , Z ) } \frac { \partial ( X , Z ) } { \partial ( \psi , \theta ) } ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ \left| \frac { \partial ( S _ { r } , \Theta ) } { \partial ( X , Z ) } \right| = 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { - i \omega _ { 1 } - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } } & { - \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } e ^ { i \theta } } \\ { - \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } e ^ { i \theta } } & { - i \omega _ { 2 } - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { j _ { e } \, R _ { L } } { 2 \epsilon _ { 0 } \, c ^ { 2 } } \approx 1 0 ^ { 5 } \, \frac { \mathrm { V s } } { \mathrm { m } ^ { 2 } } \, , \quad \frac { j _ { e } ^ { 2 } \, R _ { L } } { 2 \epsilon _ { 0 } \, c ^ { 2 } \, q _ { e } n _ { e } } \approx 1 0 ^ { 1 2 } \, \frac { \mathrm { V } } { \mathrm { m } } \, . } \end{array}
{ \cal D } _ { q } = E _ { \perp } \Delta _ { \perp } ^ { 2 } p + E _ { z } \Delta _ { \perp } p _ { z z } + \partial _ { z } \left[ \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \left( E _ { b , \perp } \Delta _ { \perp } b + E _ { b , z } \partial _ { z z } b \right) \right] \, .
\begin{array} { r l r } { [ C , \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , m - 1 } ] } & { = } & { - [ C , C \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , m - 2 } + B \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , m - 1 } ] } \\ { [ B , \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } ] } & { = } & { - [ B , C \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , m - 1 } + B \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , m } ] . } \end{array}
\dot { p } ( y , x ) = \sum _ { x ^ { \prime } , y ^ { \prime } } \left[ w _ { x ^ { \prime } x } ^ { y ^ { \prime } y } p \left( y ^ { \prime } , x ^ { \prime } \right) - w _ { x x ^ { \prime } } ^ { y y ^ { \prime } } p \left( y , x \right) \right]
\begin{array} { r l r l } & { | \theta ( t , x ) - \theta ( t , y ) | < \Omega ( t , | x - y | ) , } & & { \forall t \in [ 0 , \tau ) , \quad x \neq y , } \\ & { | \widetilde u ( t , x ) - \widetilde u ( t , y ) | \leq g ( t ) | x - y | ^ { \beta } , } & & { \forall ( t , x , y ) \in [ 0 , \tau ] \times \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } . } \end{array}
Y _ { G \tilde { G } \pm } ( x ) = \pm \left( \frac { 2 V } { N } \right) ^ { N _ { f } - 1 } ( i M ) ^ { N _ { f } } \int d ^ { 4 } z \, f ( x - z ) \, \operatorname * { d e t } J _ { \pm } ( z ) .
\begin{array} { r } { v _ { \mathbf { x } , j } ^ { p , \mathrm { D D } } ( l ) = \mathbb { E } \left\{ \left[ X _ { i , j } [ k ] - \mathbb { E } \left\{ X _ { i , j } [ k ] + \sqrt { v _ { \mathbf { x } } ^ { a , \mathrm { D D } } ( l ) } Z \right\} \right] ^ { 2 } \right\} = \operatorname* { l i m } _ { M N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { M N } \mathrm { T r } ( \mathbf { C } _ { j } ^ { p } ) , \quad \forall j , } \end{array}
T _ { H } ( x , k _ { \perp } , Q ) = \frac { q _ { \perp } \cdot ( x _ { 2 } q _ { \perp } + k _ { \perp } ) } { q _ { \perp } ^ { 2 } ( ( x _ { 2 } q _ { \perp } + k _ { \perp } ) ^ { 2 } + m _ { c } ^ { 2 } ) } + ( 1 \leftrightarrow 2 ) \ .