\begin{array} { r l } { \nabla ( { \mathbf a } \cdot { \mathbf b } ) = } & { \left( { \mathbf i } \frac { \partial } { \partial x } + { \mathbf j } \frac { \partial } { \partial y } + { \mathbf k } \frac { \partial } { \partial z } \right) ( a _ { x } b _ { x } + a _ { y } b _ { y } + a _ { z } b _ { z } ) } \\ { = } & { { \mathbf i } \left( \frac { \partial a _ { x } } { \partial x } b _ { x } + \frac { \partial a _ { y } } { \partial x } b _ { y } + \frac { \partial a _ { z } } { \partial x } b _ { z } \right) + { \mathbf j } \left( \frac { \partial a _ { x } } { \partial y } b _ { x } + \frac { \partial a _ { y } } { \partial y } b _ { y } + \frac { \partial a _ { z } } { \partial y } b _ { z } \right) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + { \mathbf k } \left( \frac { \partial a _ { x } } { \partial z } b _ { x } + \frac { \partial a _ { y } } { \partial z } b _ { y } + \frac { \partial a _ { z } } { \partial z } b _ { z } \right) } \\ & { + { \mathbf i } \left( \frac { \partial b _ { x } } { \partial x } a _ { x } + \frac { \partial b _ { y } } { \partial x } a _ { y } + \frac { \partial b _ { z } } { \partial x } a _ { z } \right) + { \mathbf j } \left( \frac { \partial b _ { x } } { \partial y } a _ { x } + \frac { \partial b _ { y } } { \partial y } a _ { y } + \frac { \partial b _ { z } } { \partial y } a _ { z } \right) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + { \mathbf k } \left( \frac { \partial b _ { x } } { \partial z } a _ { x } + \frac { \partial b _ { y } } { \partial z } a _ { y } + \frac { \partial b _ { z } } { \partial z } a _ { z } \right) } \\ { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { \frac { \partial a _ { x } } { \partial x } } & { \frac { \partial a _ { y } } { \partial x } } & { \frac { \partial a _ { z } } { \partial x } } \\ { \frac { \partial a _ { x } } { \partial y } } & { \frac { \partial a _ { y } } { \partial y } } & { \frac { \partial a _ { z } } { \partial y } } \\ { \frac { \partial a _ { x } } { \partial z } } & { \frac { \partial a _ { y } } { \partial z } } & { \frac { \partial a _ { z } } { \partial z } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { b _ { x } } \\ { b _ { y } } \\ { b _ { z } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c c } { \frac { \partial b _ { x } } { \partial x } } & { \frac { \partial b _ { y } } { \partial x } } & { \frac { \partial b _ { z } } { \partial x } } \\ { \frac { \partial b _ { x } } { \partial y } } & { \frac { \partial b _ { y } } { \partial y } } & { \frac { \partial b _ { z } } { \partial y } } \\ { \frac { \partial b _ { x } } { \partial z } } & { \frac { \partial b _ { y } } { \partial z } } & { \frac { \partial b _ { z } } { \partial z } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { a _ { x } } \\ { a _ { y } } \\ { a _ { z } } \end{array} \right) } \\ { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { \frac { \partial a _ { x } } { \partial x } } & { \frac { \partial a _ { x } } { \partial y } } & { \frac { \partial a _ { x } } { \partial z } } \\ { \frac { \partial a _ { y } } { \partial x } } & { \frac { \partial a _ { y } } { \partial y } } & { \frac { \partial a _ { y } } { \partial z } } \\ { \frac { \partial a _ { z } } { \partial x } } & { \frac { \partial a _ { z } } { \partial y } } & { \frac { \partial a _ { z } } { \partial z } } \end{array} \right) ^ { T } \left( \begin{array} { c } { b _ { x } } \\ { b _ { y } } \\ { b _ { z } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c c } { \frac { \partial b _ { x } } { \partial x } } & { \frac { \partial b _ { x } } { \partial y } } & { \frac { \partial b _ { x } } { \partial z } } \\ { \frac { \partial b _ { y } } { \partial x } } & { \frac { \partial b _ { y } } { \partial y } } & { \frac { \partial b _ { y } } { \partial z } } \\ { \frac { \partial b _ { z } } { \partial x } } & { \frac { \partial b _ { z } } { \partial y } } & { \frac { \partial b _ { z } } { \partial z } } \end{array} \right) ^ { T } \left( \begin{array} { c } { a _ { x } } \\ { a _ { y } } \\ { a _ { z } } \end{array} \right) } \\ { \stackrel { \operatorname { d e f } } { = } } & { ( \nabla { \mathbf a } ) ^ { T } { \mathbf b } + ( \nabla { \mathbf b } ) ^ { T } { \mathbf a } \stackrel { \operatorname { d e f } } { = } \nabla { \mathbf a } \cdot { \mathbf b } + \nabla { \mathbf b } \cdot { \mathbf a } } \end{array}