harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } - \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } ( \gamma - 1 ) \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathsf { F } _ { S } \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } = \left( \begin{array} { l l l } { R \left( \mathsf { P } ^ { \mathcal { S } } + \mathsf { S } ^ { \mathcal { S } } \right) } & { | } & { \left( \mathsf { S } ^ { \mathcal { S } } - \mathsf { P } ^ { \mathcal { S } } \right) } \end{array} \right) \mathrm { d } \boldsymbol { \zeta } = 0 \, . } \end{array}
\nabla _ { X , \mathrm { c r i t } } = { \frac { \chi _ { T } } { \chi _ { X } } } \left( \nabla _ { e } - \nabla \right) = { \frac { \chi _ { T } } { \chi _ { X } } } \left( \nabla _ { \mathrm { a d } } - \nabla \right) \left( { \frac { \mathrm { P e } } { C + \mathrm { P e } } } \right) .
\Delta A \, \Delta B \geq { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \left| \left\langle \left[ { A } , { B } \right] \right\rangle \right| ^ { 2 } + \left| \left\langle \left\{ A - \langle A \rangle , B - \langle B \rangle \right\} \right\rangle \right| ^ { 2 } } } ,
\left( { \frac { b ^ { \prime } } { b } } \right) ^ { 2 } + ( k b ^ { 2 } - M ) { \frac { b ^ { 2 } } { \phi ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 6 } } \left( A ^ { 2 } + { \frac { B ^ { 2 } } { \phi } } + { \frac { 3 + 2 \omega } { 2 } } { \frac { \phi ^ { 2 } } { \phi ^ { 2 } } } \right) ,
b y p e r f o r m i n g i t s s y m m e t r y a n a l y s i s a n d w e u s e d t h e c a n o n i c a l c o o r d i n a t e t o o b t a i n i t s i n v a r i a n t s . T h e s e i n v a r i a n t s a r e u t i l i z e d t o d e r i v e t h e s o l u t i o n s i n c l o s e d f o r m . W e d e m o n s t r a t e d t h a t a l l t h e f o r m u l a s o l u t i o n s i n a r e s p e c i a l c a s e s o f o u r f i n d i n g s . S o m e c o n d i t i o n s f o r e x i s t e n c e o f
d s ^ { 2 } = l _ { 1 1 } ^ { 2 } \Biggl [ { \frac { U ^ { 2 } } { N ^ { 1 / 3 } } } d x _ { \parallel } ^ { 2 } + \frac { { N } ^ { 2 / 3 } } { U ^ { 2 } } ( d U ^ { 2 } + U ^ { 2 } d \Omega _ { 4 } ^ { 2 } ) \Biggr ]
s \! \left( \omega ^ { \prime } \right) \equiv \left| e ( \omega ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } = \frac { \left( A - 1 \right) \pi \left( \left( A - 1 \right) b + 4 ( 2 \omega ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } ) \right) \mathcal { H } \left( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) } { A \left( \left( ( \Sigma + C \, \omega ^ { 2 } + b + b ^ { 2 } ) + b ( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) \right) \left( A - 1 \right) - 2 \left( \Delta ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) \left( b + 1 \right) \right) } .
B A B ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \sqrt { 2 } } / 2 } & { { \sqrt { 2 } } / 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { - { \sqrt { 2 } } / 2 } & { { \sqrt { 2 } } / 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - { \sqrt { 2 } } / 2 } & { { \sqrt { 2 } } / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { - { \sqrt { 2 } } / 2 } & { - { \sqrt { 2 } } / 2 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } & { } & { ( K _ { 1 } , [ 1 ] ) , ( K _ { 7 } , [ 1 ] ) , ( K _ { 2 9 } ^ { ( 1 ) } , [ 1 ] ) , ( K _ { 2 9 } ^ { ( 2 ) } , [ 1 ] ) , ( K _ { 2 9 } ^ { ( 3 ) } , [ 1 ] ) , ( K _ { 2 9 } ^ { ( 4 ) } , [ 1 ] ) , ( K _ { 2 9 } ^ { ( 5 ) } , [ 1 ] ) , ( K _ { 2 9 } ^ { ( 6 ) } , [ 1 ] ) , } \\ & { } & { ( K _ { 2 0 3 } ^ { ( 1 ) } , [ 1 ] ) , ( K _ { 2 0 3 } ^ { ( 2 ) } , [ 1 ] ) , ( K _ { 8 4 1 } , [ c ] ) , ( K _ { 5 8 8 7 } , [ 5 ] ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a T _ { N } ^ { e } ( b , c ) = [ a N ( N ( b ) c ) , a N ( N ( b c ) ) , a N ( b N ( c ) ) , a N ( b ) N ( c ) , a e ] , } \\ & { T _ { N } ^ { e } ( a b , c ) = [ N ( N ( a b ) c ) , N ( N ( a b c ) ) , N ( a b N ( c ) ) , N ( a b ) N ( c ) , e ] , } \\ & { T _ { N } ^ { e } ( a , b c ) = [ N ( N ( a ) b c ) , N ( N ( a b c ) ) , N ( a N ( b c ) ) , N ( a ) N ( b c ) , e ] , } \end{array}
V _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } T r \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \log \left[ p ^ { 2 } + M _ { s } ^ { 2 } ( \phi ^ { a } , \phi _ { b } ^ { \dagger } ) \right]
\left( \underline { { \underline { { { \tau } } } } } ^ { 0 } + \epsilon \underline { { \underline { { { \tau } } } } } ^ { 1 } \right) \cdot \left( { \bf n } ^ { 0 } + \epsilon { \bf n } ^ { 1 } \right) = - \left( \kappa ^ { 0 } + \epsilon \kappa ^ { 1 } \right) \left( { \bf n } ^ { 0 } + \epsilon { \bf n } ^ { 1 } \right) \quad \mathrm { a t ~ } \ r = \mathcal { R } _ { \mathrm { i n t } } ^ { 0 } + \epsilon \eta ^ { 1 } ,
V _ { F } = \frac { \tau _ { p } ( g _ { s } ) } { 4 N ( 2 \pi l _ { s } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( | \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } - \epsilon ^ { - 1 } \Phi _ { 2 } \Phi _ { 1 } | ^ { 2 } + | \Phi _ { 2 } \Phi _ { 3 } - \epsilon ^ { - 1 } \Phi _ { 3 } \Phi _ { 2 } | ^ { 2 } + | \Phi _ { 3 } \Phi _ { 1 } - \epsilon ^ { - 1 } \Phi _ { 1 } \Phi _ { 3 } | ^ { 2 } \right) ,
\frac { f _ { \lambda m } ^ { ( q ) } ( z , z x ) } { \bar { J } _ { m } ^ { 2 } + \bar { Y } _ { m } ^ { 2 } } - f _ { m } ^ { ( q ) } ( z x ) = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 , 2 } \Omega _ { \lambda m } ^ { ( n ) } ( z ) f _ { m } ^ { ( n q ) } ( z x ) ,
\left\langle \left( 1 - { \frac { 4 p _ { z } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \right) \cdot \left( 1 + 2 { \frac { p _ { z } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } { \frac { Q ^ { 2 } } { \overline { { Q } } _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) \cdot \left( \vec { k } ^ { 2 } - { \frac { 4 m } { M } } p _ { z } ^ { 2 } \right) \cdot \left( 1 - { \frac { 4 \vec { k } ^ { 2 } } { \overline { { Q } } _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) \right\rangle
\begin{array} { r } { n _ { i 1 } = \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } } \phi _ { 1 } , } \\ { n _ { e 1 } = a _ { 0 e } \phi _ { 1 } , ~ n _ { p 1 } = - \frac { a _ { 0 p } } { \sigma _ { p } } \phi _ { 1 } , } \\ { v _ { i 1 } = \frac { \lambda } { \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } } \phi _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \mathbf { u } ) } & { = \frac { \partial } { \partial \mathbf { u } } \left( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) \right) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial \mathbf { u } } \left( T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( T _ { r o t } ^ { - 1 } \mathbf { u } ) \right) } \\ & { = T _ { r o t } J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( T _ { r o t } ^ { - 1 } \mathbf { u } ) T _ { r o t } ^ { - 1 } } \end{array}
S _ { 0 } ^ { \prime } = \left( 1 - s + \frac { 1 } { 1 - s } \right) \left[ J _ { n - 1 } ^ { 2 } ( z ) + J _ { n + 1 } ^ { 2 } ( z ) - 2 J _ { n } ^ { 2 } ( z ) \right] - \frac { 4 } { a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } J _ { n } ^ { 2 } ( z ) .
\left\{ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } = \boldsymbol { \xi } - \left\vert \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right\vert \boldsymbol { \eta } } \\ { \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } = \boldsymbol { \xi } _ { \ast } - \frac { m _ { \alpha } } { m _ { \beta } } \left\vert \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right\vert \boldsymbol { \eta } } \end{array} \right. \mathrm { , ~ w i t h ~ } \boldsymbol { \eta } = \frac { \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } } { \left\vert \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right\vert } \in \mathbb { S } ^ { 2 } \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { \operatorname* { m a x } h } } & { \int _ { \gamma ^ { - } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z } \\ & { = \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { \operatorname* { m a x } h } \int _ { \gamma ^ { - } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { - } \cdot \nabla T \, d S \, d z \leq \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { \operatorname* { m a x } h } \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot \nabla T \, d S \, d z } \\ & { = ( \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot \nabla T , } \end{array}
A ( \overline { { { \nu } } } K ^ { + } ) _ { \mathrm { s t d } } \simeq \left[ \frac { 2 h _ { 3 3 } ^ { 2 } \hat { f } ( c , d ) } { M _ { \mathrm { e f f } } } \right] \left[ \begin{array} { l } { { 2 . 8 \times 1 0 ^ { - 5 } } } \\ { { 1 . 2 \times 1 0 ^ { - 5 } } } \end{array} \right] ( { \frac { 1 } { 2 } } ~ \mathrm { t o } ~ { \frac { 3 } { 2 } } ) \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } ( d ^ { \alpha } u ^ { \beta } ) ( s ^ { \gamma } \nu _ { 3 } ) ~ .
\begin{array} { r l r } { 1 } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \; , } \\ { K _ { i } } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } x _ { i } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \; , \; i \in \{ 1 , 2 , 3 \} \; , } \\ { K _ { i j } } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } x _ { i } x _ { j } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \; , \; ( i , j ) \in \{ ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) \} \; , } \\ { K _ { 1 2 3 } } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \; , } \end{array}
\mathbf { w } = \mathbf { w } - \eta \nabla _ { \mathbf { w } ^ { \prime } } L \left( \mathbf { w } ^ { \prime } \right) \mid _ { \mathbf { w } ^ { \prime } = \mathbf { w } + \rho \frac { \nabla _ { \mathbf { w } } L ( \mathbf { w } ) } { \left\| \nabla _ { \mathbf { w } } L ( \mathbf { w } ) \right\| } } \quad ( \eta : \textrm { l e a r n i n g r a t e } ) ,
\sin \theta _ { 2 3 } ^ { \nu } \cong \sqrt { m _ { \nu _ { 2 } } / m _ { \nu _ { 3 } } } e ^ { - i \xi } \left[ 1 + ( \frac { 1 } { 2 } - e ^ { - 2 i \xi } ) \frac { m _ { \nu _ { 2 } } } { / m _ { \nu _ { 3 } } } \right] .
\begin{array} { r l } { D _ { 1 , \sharp } ^ { * } ( P ) ( X , A , Y ) } & { = \left\{ \frac { I ( A = 1 ) } { g _ { P } ( 1 , X ) } - \frac { I ( A = 0 ) } { g _ { P } ( 0 , X ) } \right\} ( Y - \bar { Q } _ { P } ^ { ( A ) } ( X ) ) , } \\ { D _ { 2 , \sharp } ^ { * } ( P ) ( X ) } & { = \Psi _ { P } ^ { \sharp } ( X ) - \mathbb { E } _ { P } \left[ \Psi _ { P } ^ { \sharp } ( X ) \right] . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { C _ { 0 } } \\ { C _ { 1 } } \end{array} \right] = A _ { 0 } \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { v _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \exp { ( \lambda _ { 1 } t ) } + B _ { 0 } \left[ \begin{array} { l } { v _ { 2 } ^ { 1 } } \\ { v _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \exp { ( \lambda _ { 2 } t ) } .
E _ { A D M } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 1 0 } } \oint _ { \infty } d \Sigma ^ { m } \lbrace { } ^ { \circ } D _ { n } g _ { m p } - { } ^ { \circ } D _ { m } g _ { n p } \rbrace { } ^ { \circ } g ^ { n p }
\begin{array} { r l } { x _ { i , t } ^ { \ell + 1 } } & { = x _ { i , t } ^ { \ell } - \alpha _ { t } g _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ; \xi _ { i , t } ^ { \ell } ) } \\ & { = x _ { t } - \alpha _ { t } \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } g _ { i } ( x _ { i , t } ^ { j } ; \xi _ { i , t } ^ { j } ) , } \\ & { \ell \in \left\{ 0 , 1 , \cdots , Q - 1 \right\} , \ t \geq 0 . } \end{array}
\vartheta ^ { 2 } = 2 ( \sigma + 1 ) \kappa ^ { 2 } - \frac { \sigma ^ { 2 } ( \sigma + 1 ) } { 6 } \kappa ^ { 4 } = \frac { 2 } { 1 - \nu } \kappa ^ { 2 } - \frac { \nu ^ { 2 } } { 6 ( 1 - \nu ) ^ { 3 } } \kappa ^ { 4 } .
\left[ i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m { \frac { 1 \pm b _ { 1 } \pm b _ { 2 } } { a } } \right] \times \left[ i \gamma ^ { \nu } \partial _ { \nu } + { \frac { a } { 2 m } } \partial ^ { \nu } \partial _ { \nu } + m { \frac { b _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } { 2 a } } \right] \Psi _ { 1 , 2 } = 0 \, .
E _ { x y , 3 z ^ { 2 } - r ^ { 2 } } = { \sqrt { 3 } } \left[ l m ( n ^ { 2 } - ( l ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) / 2 ) ] V _ { d d \sigma } - 2 l m n ^ { 2 } V _ { d d \pi } + [ l m ( 1 + n ^ { 2 } ) / 2 ] V _ { d d \delta } \right]
\Big \| f ^ { s , e } - \mathcal { P } _ { b } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \| ^ { 2 } - \Big \| f ^ { s , e } - \mathcal { P } _ { \eta _ { k } } ^ { s , e } \Big ( f ^ { s , e } \Big ) \Big \| ^ { 2 } \geq \frac { c c _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } \Delta ^ { 2 } \kappa _ { k } \mathcal { A } ^ { 2 } ( e - s ) ^ { - 2 } \Big | b - \eta _ { k } \Big | .
\cot { \frac { 7 \pi } { 6 0 } } = \cot 2 1 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 2 - \left( 2 - { \sqrt { 3 } } \right) \left( 3 - { \sqrt { 5 } } \right) \right) \left( 2 + { \sqrt { 2 \left( 5 + { \sqrt { 5 } } \right) } } \right)
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = - \nu ( 1 + \ell ^ { 2 } ) k ^ { 2 } G _ { 0 } ^ { \prime } + { k } ( 1 - 3 \ell ^ { 2 } ) G _ { - } + [ 2 \ell ^ { \prime } - 4 k ^ { 2 } \ell ^ { \prime } ( 1 - \ell ^ { 2 } ) ] G _ { + } } \\ { p H _ { 0 } } & { { } = - \eta ( 1 + \ell ^ { 2 } ) k ^ { 2 } H _ { 0 } + k H _ { - } + i k B _ { 0 } \frac { \ell ^ { \prime } } { 1 + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } - i k ^ { 2 } \tilde { B } _ { 0 } 2 \ell ^ { \prime } G _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } G _ { + } } \\ { p G _ { + } } & { { } = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { + } - 2 k \ell ^ { \prime } \nu G _ { - } } \\ { p G _ { - } } & { { } = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { - } - 2 k \ell ^ { \prime } \nu G _ { + } + \frac { 1 } { 2 } k \frac { 1 } { 1 + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { p H _ { + } } & { { } = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) H _ { + } - 2 k \ell ^ { \prime } \eta H _ { - } } \\ { p H _ { - } } & { { } = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) H _ { - } - 2 k \ell ^ { \prime } \eta H _ { + } - \frac { 1 } { 2 } k H _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) ^ { 3 } + ( 2 B ^ { 3 } - 2 A ^ { 3 } - 3 A ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) ) ( B ^ { 2 } A - A ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) - B ^ { 3 } ) } \\ { = } & { ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) ^ { 3 } + ( 2 B ^ { 3 } + A ^ { 3 } - 3 A B ^ { 2 } ) ( A ^ { 3 } - B ^ { 3 } ) } \\ { = } & { B ^ { 6 } - 3 B ^ { 4 } A ^ { 2 } + 3 B ^ { 2 } A ^ { 4 } - A ^ { 6 } + 2 B ^ { 3 } A ^ { 3 } + A ^ { 6 } - 3 B ^ { 2 } A ^ { 4 } - 2 B ^ { 6 } - B ^ { 3 } A ^ { 3 } + 3 B ^ { 5 } A } \\ { = } & { - B ^ { 6 } + 3 B ^ { 5 } A - 3 B ^ { 4 } A ^ { 2 } + B ^ { 3 } A ^ { 3 } } \\ { = } & { - B ^ { 3 } ( B ^ { 3 } - 3 B ^ { 2 } A + 3 B A ^ { 2 } - A ^ { 3 } ) } \\ { = } & { - B ^ { 3 } ( B - A ) ^ { 3 } } \\ { \leq } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { 1 } } & { { } = } & { 1 - \frac { 2 } { 4 5 } \, \frac { \alpha } { \pi } \, \left( \frac { B _ { 0 } } { B _ { c } } \right) ^ { 2 } \, \, \; , } \\ { d _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 4 5 } \, \frac { \alpha } { \pi } \, \frac { 1 } { B _ { c } ^ { 2 } } \, \; , } \\ { d _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 7 } { 4 5 } \, \frac { \alpha } { \pi } \, \frac { 1 } { B _ { c } ^ { 2 } } \, \; . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r } { \alpha _ { i } ( t ) = \alpha + \left( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) \operatorname { t a n h } \Big [ b \Big ( k _ { i } ( t ) - 1 \Big ) \Big ] , } \\ { \beta _ { i } ( t ) = \beta + \left( \frac { 1 } { 2 } - \beta \right) \operatorname { t a n h } \Big [ b \Big ( k _ { i } ( t ) - 1 \Big ) \Big ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } = 1 - \bigg ( \frac { R _ { 1 A } ^ { \delta } } { R _ { 2 A } ^ { \delta } } \bigg ) ^ { 2 } } \\ { { R _ { 1 A } ^ { \delta } } ^ { 2 } = ( \rho _ { c } - \rho _ { + } ) ^ { 2 } + ( z _ { c } - z _ { + } ) ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } } \\ { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 2 } = ( \rho _ { c } + \rho _ { + } ) ^ { 2 } + ( z _ { c } - z _ { + } ) ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } } \end{array}
K _ { S W } = \sqrt { \frac { \left| \Delta f _ { 3 } \right| } { \left| \Delta f _ { 1 } \right| } } \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad K _ { S W } = \sqrt { \frac { \left| \Delta f _ { 4 } \right| } { \left| \Delta f _ { 2 } \right| } } .
\Pi ^ { V / A } ( m _ { f } , m _ { t } , Q ^ { 2 } ) = \Pi _ { 0 } ^ { V / A } ( Q ^ { 2 } , \log m _ { t } ) + O ( \frac { m _ { f } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } ) + O ( \frac { Q ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } ) + \sum _ { n \geq 2 } \frac { C _ { n } ^ { V / A } \langle O _ { n } \rangle _ { 0 } } { Q ^ { 2 n } } .
\begin{array} { r l } & { \mathcal F _ { \nu } ( \mu ) = - \frac 1 2 \int _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } } | x - y | ( \mathrm { d } \mu ( x ) - \mathrm { d } \nu ( x ) ) ( \mathrm { d } \mu ( y ) - \mathrm { d } \nu ( y ) ) } \\ & { = - \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } | Q _ { \mu } ( s ) - Q _ { \mu } ( t ) | - 2 | Q _ { \mu } ( s ) - Q _ { \nu } ( t ) | + | Q _ { \nu } ( s ) - Q _ { \nu } ( t ) | \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { t } ^ { 1 } Q _ { \mu } ( t ) - Q _ { \mu } ( s ) + Q _ { \nu } ( t ) - Q _ { \nu } ( s ) \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } | Q _ { \mu } ( s ) - Q _ { \nu } ( t ) | \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { t } ^ { 1 } Q _ { \mu } ( t ) + Q _ { \nu } ( t ) \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s } Q _ { \mu } ( s ) + Q _ { \nu } ( s ) \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } s + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } | Q _ { \mu } ( s ) - Q _ { \nu } ( t ) | \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \Bigl ( ( 1 - 2 s ) ( Q _ { \mu } ( s ) + Q _ { \nu } ( s ) ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } | Q _ { \mu } ( s ) - Q _ { \nu } ( t ) | \, \mathrm { d } t \Bigr ) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\hat { \mathbf { E } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x x } + \xi _ { y } { \tau } _ { x y } + \xi _ { z } { \tau } _ { x z } } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x y } + \xi _ { y } { \tau } _ { y y } + \xi _ { z } { \tau } _ { y z } } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x z } + \xi _ { y } { \tau } _ { y z } + \xi _ { z } { \tau } _ { z z } } \\ { \xi _ { x } { \beta } _ { x } + \xi _ { y } { \beta } _ { y } + \xi _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
w _ { n } = \vert \langle \Omega _ { 1 2 , n } \rangle \langle \Omega _ { 3 , n } \rangle \vert / \sqrt { \sum _ { n } \vert \langle \Omega _ { 1 2 , n } \rangle \langle \Omega _ { 3 , n } \rangle \vert ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { p } ( x , s ) \approx c ( s , x _ { 0 } ) x ^ { \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } + \alpha - 3 q } { 2 q } } } \\ & { } & { L \left[ - \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } + q - \alpha } { 2 q } , \frac { \sqrt { ( q - \alpha ) ^ { 2 } + 4 q s } } { q } , 0 \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { 1 } } & { = } & { \alpha ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } i \left( \mathcal { A } + \frac { i 2 ^ { 1 / 3 } \mathcal { C } } { \mathcal { B } } - \frac { i \mathcal { B } } { 2 ^ { 1 / 3 } } \right) , } \\ { \kappa _ { 2 } } & { = } & { \alpha ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } i \left( \mathcal { A } - \frac { ( i + \sqrt { 3 } ) \mathcal { C } } { ( 2 ^ { 2 / 3 } ) \mathcal { B } } + \frac { ( i - \sqrt { 3 } ) \mathcal { B } } { 2 ^ { 4 / 3 } } \right) , } \\ { \kappa _ { 3 } } & { = } & { \alpha ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } i ( \mathcal { A } - \frac { ( i - \sqrt { 3 } ) \mathcal { C } } { ( 2 ^ { 2 / 3 } ) \mathcal { B } } + \frac { ( i + \sqrt { 3 } ) \mathcal { B } } { 2 ^ { 4 / 3 } } ) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = A \left[ ( 1 + h _ { 0 0 } ) d t ^ { 2 } - \left( \frac { B } { A } \delta _ { i j } - h _ { i j } \right) d x ^ { i } d x ^ { j } \right] + G _ { M N } d U ^ { M } d U ^ { N } ,
F _ { L } ^ { I \! \! P } ( \beta , Q ^ { 2 } ) = \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \cdot \beta ^ { 2 } \int _ { \beta } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } \xi } { \xi ^ { 3 } } \left[ \frac { 1 6 } { 3 } F _ { 2 } ^ { I \! \! P } ( \xi , Q ^ { 2 } ) + 8 \sum _ { i } e _ { i } ^ { 2 } ( 1 - \frac { \beta } { \xi } ) \, \xi G ^ { I \! \! P } ( \xi , Q ^ { 2 } ) \right] .
\begin{array} { r l } & { - \cot 2 \varphi + \frac { 4 m } { 1 - m } \cot \varphi = \frac { \sin ^ { 2 } \varphi - \cos ^ { 2 } \varphi } { 2 \sin \varphi \cos \varphi } + \frac { 4 m } { 1 - m } \cot \varphi } \\ & { = \frac { \sin ^ { 2 } \varphi } { 2 \sin \varphi \cos \varphi } + ( \frac { 4 m } { 1 - m } - \frac { 1 } { 2 } ) \cot \varphi = \frac { 1 } { 2 } \tan \frac { x _ { 1 } } { 2 } + \frac { 9 m - 1 } { 2 ( 1 - m ) } \cot \frac { x _ { 1 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \pi ^ { - \frac { d } { 2 } } I _ { 2 } ( \lambda _ { l } ( x ) \Delta ) = } & { T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( x , \Delta x ) + \frac { 4 } { d } T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , x , \Delta x ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \bigg ( \frac 4 d T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , x , D _ { i } x ) } \\ & { + ( 2 + \frac 4 d ) T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , D _ { i } x ) + \frac { 8 } { d } T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( x , x , D _ { i } x , D _ { i } x ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { a } ( x , z , t ) + P _ { q } ( x , z , t ) = \left[ \underbrace { - \rho \frac { \partial \Phi ^ { * } } { \partial t } } _ { \mathrm { a d d e d ~ m a s s } } + \underbrace { \rho ( \mathbf { u _ { r e l } } + \mathbf { U _ { \infty } } ) \cdot \nabla \Phi ^ { * } - \rho \frac { ( \nabla \Phi ^ { * } ) ^ { 2 } } { 2 } } _ { \mathrm { q u a s i - s t e a d y } } \right] _ { \mathrm { n o ~ w a k e } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle ( { \theta } _ { A } ^ { 1 } - \tilde { \theta } _ { B } ^ { 1 } ) ^ { 2 } \right\rangle = \epsilon { \frac { { \Gamma } _ { A } + { \Gamma } _ { B } } { \Gamma _ { A } \Gamma _ { B } } } \frac { \beta } { \delta _ { c } ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } } \, , } \end{array}
C D ( t ) = \ln \frac { \sum _ { j = 1 + t } ^ { j = N } i Y _ { L } ( j ) + \sum _ { j = 1 } ^ { j = N - t } - i Y _ { L } ( j ) } { N \sum _ { j = 1 + t } ^ { j = N } i ( Y _ { L } ( j ) - Y _ { L } ( j - t ) ) } ,
F _ { \pi } = F _ { 0 } \Bigl ( 1 + \frac { 1 } { F _ { 0 } ^ { 2 } } \bigl [ - A ( m _ { \pi } ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 2 } A ( m _ { K } ^ { 2 } ) + 4 L _ { 4 } ( 2 m _ { K } ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } ) + 4 L _ { 5 } m _ { \pi } ^ { 2 } \bigr ] \Bigr ) .
[ { \bar { \epsilon } } _ { 1 } { \tilde { Q } } _ { i } , { \bar { \epsilon } } _ { 2 } { \tilde { Q } } _ { j } ] = - 2 { \bar { \epsilon } _ { 1 } } \Gamma _ { \mu } \epsilon _ { 2 } p _ { \mu } \delta _ { i j } \, ,
\begin{array} { r l } { V _ { x y } ( t ) = } & { \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } \left( 3 H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - 8 H _ { k } ^ { 2 } + 4 H _ { x } ^ { 2 } \right) } { 8 H _ { k } ^ { 2 } } \sin ( \omega t ) } \\ & { - \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega t ) . } \end{array}