harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) } & { = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } \right) \tilde { a } \left( e , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega _ { 2 } ^ { \ast } } { 2 } \exp \left[ i \left( \Delta _ { 2 } t + \phi _ { 2 } \left( t \right) \right) \right] f \left( t \right) \tilde { a } \left( o , \mathbf { p } + \hbar \mathbf { q } _ { 2 } , t \right) , } \\ { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) } & { = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega _ { 1 } ^ { \ast } } { 2 } \exp \left[ i \left( \Delta _ { 1 } t + \phi _ { 1 } \left( t \right) \right) \right] f \left( t \right) \tilde { a } \left( o , \mathbf { p } + \hbar \mathbf { q } _ { 1 } , t \right) , } \\ { i \partial _ { t } \tilde { a } \left( o , \mathbf { p } , t \right) } & { = } & { \left( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } - i M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } \right) \tilde { a } \left( o , \mathbf { p } , t \right) + \frac { \Omega _ { 1 } } { 2 } \exp \left[ - i \left( \Delta _ { 1 } t + \phi _ { 1 } \left( t \right) \right) \right] f \left( t \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { q } _ { 1 } , t \right) } \\ & { } & { + \frac { \Omega _ { 2 } } { 2 } \exp \left[ - i \left( \Delta _ { 2 } t + \phi _ { 2 } \left( t \right) \right) \right] f \left( t \right) \tilde { a } \left( g , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { q } _ { 2 } , t \right) . } \end{array}
\delta n = - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } 2 \pi e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } w ^ { 3 } d w \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { \sqrt { 1 + w ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } } } { T } } d u _ { z } .
{ \frac { \partial P \left( A , t \right) } { \partial t } } = \sum _ { i , j } { \frac { \partial } { \partial A _ { i } } } \left( - k _ { B } T \left[ A _ { i } , A _ { j } \right] { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial A _ { j } } } + \lambda _ { i , j } { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial A _ { j } } } + \lambda _ { i , j } { \frac { \partial } { \partial A _ { j } } } \right) P \left( A , t \right) .
Z _ { A } ^ { ( 0 ) \alpha } R _ { \alpha } ^ { ( 0 ) i } = \mu _ { A } ^ { ( 0 ) i j } \frac { \delta I _ { 0 } } { \delta \phi ^ { i } } , \; \; \mu _ { A } ^ { ( 0 ) i j } = - \mu _ { A } ^ { ( 0 ) j i } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } = } & { b _ { t } P _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] , } \\ { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } = } & { P _ { t } A _ { t } C _ { t } + C _ { t } A _ { t } P _ { t } } \\ & { \quad \quad \quad + P _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] C _ { t } A _ { t } C _ { t } + C _ { t } A _ { t } C _ { t } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] P _ { t } . } \end{array}
T \left[ \psi ( x ) { \overline { { \psi } } } ( y ) \right] \ { \overset { \mathrm { d e f } } { = } } \ \theta \left( x ^ { 0 } - y ^ { 0 } \right) \psi ( x ) { \overline { { \psi } } } ( y ) - \theta \left( y ^ { 0 } - x ^ { 0 } \right) { \overline { { \psi } } } ( y ) \psi ( x ) .
K _ { \scriptscriptstyle \vec { G } _ { 1 } , \vec { G } _ { 2 } } ^ { \mathrm { x c } } ( \vec { k } ) = K _ { \scriptscriptstyle \vec { G } _ { 1 } , \vec { G } _ { 2 } } ^ { \mathrm { x c } } ( \vec { k } , \omega = 0 )
{ a \! \! \! / } { a \! \! \! / } = a ^ { \mu } a ^ { \nu } \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } = { \frac { 1 } { 2 } } a ^ { \mu } a ^ { \nu } \left( \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } + \gamma _ { \nu } \gamma _ { \mu } \right) = \eta _ { \mu \nu } a ^ { \mu } a ^ { \nu } = a ^ { 2 }
\Big | \frac { \partial ^ { n } } { \partial ( x ^ { \prime } ) ^ { n } } G ^ { ( 1 ) } ( x - x ^ { \prime } , t ) \Big | = \frac { q ^ { n + 1 } } { \sqrt { \pi } } \big | H _ { n } \big ( e ^ { - i \pi / 4 } q ( x ^ { \prime } - x ) \big ) \big | .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \mathrm { S E X } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { = - \sum _ { i } ^ { \mathrm { o c c . } } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) \phi _ { i } ^ { * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) W ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \\ & { \approx - \epsilon _ { \infty } ^ { - 1 } \sum _ { i } ^ { \mathrm { o c c . } } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) \phi _ { i } ^ { * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) v ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\xi ( Q _ { 0 } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) = \int _ { Q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } } \frac { d q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \frac { 3 \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi }
\hat { \mathcal { M } } _ { \mathcal { R } , \mathbf { r } , \mathbf { t } , \mathbf { t _ { 0 } } } : = \left\{ \hat { L } ( \lambda ) \in \hat { F } _ { \mathcal { R } , \mathbf { r } } \, \, / \, \, \hat { L } ( \lambda ) \, \mathrm { ~ h a s ~ i r r e g u l a r ~ t i m e s ~ } \mathbf { t } \, \mathrm { ~ a n d ~ m o n o d r o m i e s ~ } \mathbf { t _ { 0 } } \right\}
\begin{array} { r l } & { ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } ) ( 0 + \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) = \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } u _ { 1 } } \\ & { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } - u _ { 1 } ) = 0 } \\ & { \Rightarrow \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } = 0 \mathrm { ~ o r ~ } \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } = u _ { 1 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } \theta ( u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } ) u _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { : \mathrm { ( i n p u t ) } \to v _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } } & { : v _ { 1 } \to v _ { 2 } , } \\ { e _ { 3 } } & { : v _ { 2 } \to v _ { 3 } , } \\ { e _ { 4 } } & { : v _ { 3 } \to v _ { 4 } , } \\ { e _ { 5 } } & { : v _ { 4 } \to v _ { 1 } , } \\ { e _ { 6 } } & { : v _ { 3 } \to \mathrm { ( o u t p u t ) } . } \end{array}
{ \mathbf { K } } = \alpha \mathbf { W } _ { D } ^ { H } \mathbf { W } _ { A } ^ { H } \mathbf { P } \mathbf { \Phi } \mathbf { R } \mathbf { F } _ { A } \mathbf { F } _ { D } , E [ { \mathbf { x } } { \mathbf { x } } ^ { H } ] = p { \mathbf { I } _ { N } } , \mathbf { W } = \mathbf { W } _ { D } ^ { H } \mathbf { W } _ { A } ^ { H } , E [ { \mathbf { n } } { \mathbf { n } } ^ { H } ] = { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { \mathbf { I } _ { N _ { r } } } , E [ { \mathbf { n _ { q } } } { \mathbf { n _ { q } } } ^ { H } ] = \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } , \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } = \alpha ( 1 - \alpha ) { \mathrm { d i a g } } [ { \mathbf { W } _ { A } ^ { H } } { \mathbf { H } } ( { \mathbf { W } _ { A } ^ { H } } { \mathbf { H } } ) ^ { H } + { \mathbf { I } _ { N _ { r s } } } ] , E [ { \mathbf { n } } { \mathbf { n _ { q } } } ^ { H } ] = 0
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { j } ( 0 ) = \left\langle P _ { j } ^ { \, d } , P _ { 0 } ^ { \, d } \right\rangle = \delta _ { j \, 0 } \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { \nu _ { d } ( 0 ) \, | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } = \delta _ { j \, 0 } \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } , } \\ & { \Delta _ { j } ( 1 ) = \left\langle P _ { j } ^ { \, d } , P _ { 1 } ^ { \, d } \right\rangle = \delta _ { j \, 1 } \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { \nu _ { d } ( 1 ) \, | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } , } \\ & { \Delta _ { j } ( 2 ) = \frac { 1 } { d } \left\langle P _ { j } ^ { \, d } , P _ { 0 } ^ { \, d } \right\rangle + \frac { d - 1 } { d } \left\langle P _ { j } ^ { \, d } , P _ { 2 } ^ { \, d } \right\rangle = \delta _ { j \, 0 } \frac { 1 } { d } \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } + \delta _ { j \, 2 } \frac { d - 1 } { d } \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { \nu _ { d } ( 2 ) \, | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } . } \end{array}
r ( \boldsymbol { \omega } , { \ensuremath { \mathcal { A } } } ) = \nu ^ { 2 } \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathcal { A } } } } \left\vert \left[ { \ensuremath { { \mathbf { h } } } } _ { \mathrm { r u } } \right] _ { i } ^ { * } \omega _ { i } \right\vert ^ { 2 } \overset { ( a ) } { \leq } \nu ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { L } \left\vert \left[ { \ensuremath { { \mathbf { h } } } } _ { \mathrm { r u } } \right] _ { j _ { i } } \right\vert ^ { 2 } ,
E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) > 4 \pi - \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) } ,
t o i t s n e i g h b o r i n g m i l e s t o n e s i s o n e . A t r a n s i t i o n i s c o u n t e d e a c h t i m e t h e l o n g t r a j e c t o r y h i t s a m i l e s t o n e o t h e r t h a n t h e o n e i t w a s c u r r e n t l y a s s i g n e d . I n e r g o d i c s y s t e m s , a n a t u r a l r e f l e c t i n g b o u n d a r y o f t e n e x i s t s a t t h e p r o d u c t s t a t e . T h a t i m p l i e s t h a t t r a j e c t o r i e s a r r i v i n g a t
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \delta } { \delta \zeta _ { 1 } } \left[ G _ { 1 3 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 3 } } \right] \right) _ { i , j , k } = } & { \left[ G _ { 1 3 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 3 } } \right] _ { i + 1 / 2 , j , k } - \left[ G _ { 1 3 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 3 } } \right] _ { i - 1 / 2 , j , k } } \\ { = } & { + \frac { G _ { 1 3 } ^ { 2 } | _ { i + 1 , j , k } } { 2 } \left[ + \frac { \phi | _ { i , j , k + 1 } + \phi | _ { i + 1 , j , k + 1 } } { 2 } \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left. - \frac { \phi | _ { i , j , k - 1 } + \phi | _ { i + 1 , j , k - 1 } } { 2 } \right] } \\ & { - \frac { G _ { 1 3 } ^ { 2 } | _ { i , j , k } } { 2 } \quad \left[ + \frac { \phi | _ { i , j , k + 1 } + \phi | _ { i - 1 , j , k + 1 } } { 2 } \right. } \\ & { \quad \qquad \qquad \: \: \: \: \, \left. - \frac { \phi | _ { i , j , k - 1 } + \phi | _ { i - 1 , j , k - 1 } } { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \! \! \{ 2 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \{ 2 \} } \\ { \{ 2 \} \! } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \{ 2 \} } \\ { \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 2 \} \! } & { \! \! \{ 2 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \right) \! , \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \{ 2 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
f _ { 3 } ( e ) = 6 X _ { 0 } ^ { - 9 , 0 } ( e ) - 3 X _ { 0 } ^ { - 8 , 0 } ( e ) - 2 ( 1 - e ^ { 2 } ) X _ { 0 } ^ { - 1 0 , 0 } ( e ) = \frac { 1 + \frac { 3 1 } { 2 } e ^ { 2 } + \frac { 2 5 5 } { 8 } e ^ { 4 } + \frac { 1 8 5 } { 1 6 } e ^ { 6 } + \frac { 2 5 } { 6 4 } e ^ { 8 } } { ( 1 - e ^ { 2 } ) ^ { 1 5 / 2 } } \ .
\Tilde { \boldsymbol { A } } \doteq \boldsymbol { U } _ { r } ^ { * } \boldsymbol { A } \boldsymbol { U } _ { r } = \boldsymbol { U } _ { r } ^ { * } \boldsymbol { X } ^ { ' } \boldsymbol { V } _ { r } \boldsymbol { \Sigma } _ { r } ^ { - 1 } \in \mathbb { R } ^ { r x r } .
\mathbb { E } [ \tau ( u ) \, | \, \tau ( u ) < \infty ] = \frac { \varphi ^ { \prime } ( 1 , u ) } { \varphi ( 1 , u ) } , \: \: \: \: \varphi ( z , u ) = \left. \frac { \partial ^ { u } } { \partial w ^ { u } } \frac { \Phi ( w , z ) } { u ! } \right| _ { w = 0 }
h ( \mathbf { r } _ { 1 2 } ) = c ( \mathbf { r } _ { 1 2 } ) + \rho \int d \mathbf { r } _ { 3 } c ( \mathbf { r } _ { 1 2 } - \mathbf { r } _ { 3 2 } ) h ( \mathbf { r } _ { 3 2 } ) = c ( \mathbf { r } _ { 1 2 } ) + \rho \int d \mathbf { r } _ { 3 2 } c ( \mathbf { r } _ { 1 2 } - \mathbf { r } _ { 3 2 } ) h ( \mathbf { r } _ { 3 2 } ) = c ( \mathbf { r } _ { 1 2 } ) + \rho ( c \, * \, h ) ( \mathbf { r } _ { 1 2 } )
\begin{array} { r } { \left( \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 1 } _ { \Omega } } \\ { \mathbf { 0 } _ { \Omega } } \end{array} \right] , \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathcal { K } - \mathcal { K } ^ { T } ) \bar { \mathbf { U } } \right) _ { \Omega _ { 2 } } = \mathbf { 1 } _ { \Omega } ^ { T } ( \mathbf { K } _ { 1 1 } - \mathbf { K } _ { 1 1 } ^ { T } ) \bar { \mathbf { u } } + \mathbf { 1 } _ { \Omega } ^ { T } \mathbf { K } _ { 1 2 } \mathbf { s } = 0 , } \end{array}
\mathbf { \Xi } _ { m ^ { \prime } l k } \triangleq \mathbb { E } \{ \mathbf { \hat { h } } _ { m ^ { \prime } k } \mathbf { \hat { h } } _ { m ^ { \prime } l } ^ { H } \} = \tau _ { p } \mathbf { R } _ { m ^ { \prime } k } \mathbf { \tilde { F } } _ { k , \mathrm { p } } ^ { H } \mathbf { \Psi } _ { m ^ { \prime } k } ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { F } } _ { l , \mathrm { p } } \mathbf { R } _ { m ^ { \prime } l }
P _ { c } \propto \left( \frac { \varepsilon _ { \mathrm { 1 } } ( i \xi ) - \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi ) } { \varepsilon _ { \mathrm { 1 } } ( i \xi ) + \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi ) } \right) \left( \frac { \varepsilon _ { \mathrm { 2 } } ( i \xi ) - \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi ) } { \varepsilon _ { \mathrm { 2 } } ( i \xi ) + \varepsilon _ { \mathrm { D } } ( i \xi ) } \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { a ( n , l ) = \sum _ { k = 0 } ^ { l } \delta _ { n , k , l } \ \ ( l = 0 , 1 , \ldots , \tilde { n } ) , \quad a ( n , l ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n - l } \delta _ { n , k , l } \ \ ( l = \tilde { n } + 2 , \tilde { n } + 3 , \ldots , n ) , } \\ & { } & { a ( n , \tilde { n } + 1 ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \tilde { n } } \delta _ { n , k , \tilde { n } + 1 } , \quad \delta _ { n , k , l } = ( - 1 ) ^ { k } \frac { n - 2 k } { n - k } \frac { _ { n - k } C _ { k } } { _ { 2 ( n - k ) } C _ { 2 k } } \frac { s _ { n - 2 k , k } } { ( n - 2 k ) ! } \frac { ( _ { n - 2 k } C _ { l - k } ) ^ { 2 } } { _ { 2 ( n - 2 k ) } C _ { 2 ( l - k ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { p } C \dot { \boldsymbol { \Psi } } ( t ) = \frac { n ^ { 2 } R _ { p } } { n R _ { r } + R _ { p } } \Psi ( t ) \mathbf { e } _ { 1 } + n ^ { 2 } M _ { 3 } \boldsymbol { \Psi } ( t ) \, , } \\ & { M _ { 3 } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { - 1 - r / ( R _ { r } + r ) } & { 1 } & & & \\ { 1 } & { - 2 } & { 1 } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ & & & { 1 } & { - 2 } \end{array} \right] \, , } \end{array}
\frac { 2 m _ { s } } { m _ { u } + m _ { d } } \; = \; 2 5 . 7 \pm 2 . 6 \qquad \mathrm { a n d } \qquad \frac { m _ { d } - m _ { u } } { m _ { u } + m _ { d } } \; = \; 0 . 2 8 \pm 0 . 0 3 \, .
\boldsymbol { M } = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { M _ { 1 } } } \\ { \mathbf { M _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { \mathbf { X } } } \\ { \mathbf { \mathbf { Y } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \left[ c ^ { 2 } \Delta - \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \right] { \hat { \boldsymbol D } } ( r ) } & { { } = } & { - c g _ { a \gamma \gamma } \dot { \hat { \pi } } ( t ) { \boldsymbol B } ( r ) , } \end{array}
\mathbf D _ { i j k } = - \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf I _ { 2 } \otimes \mathbf I _ { 2 } \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } } & { \mathbf I _ { 2 } \otimes \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes \mathbf I _ { 2 } } & { \mathbf W _ { 1 } ^ { T } \otimes \mathbf I _ { 2 } \otimes \mathbf I _ { 2 } } \end{array} \right] \, ,
\tilde { J _ { e y } } ^ { ( 3 ) } = - n _ { e } e F _ { 1 } e x p ( - i 3 \omega _ { m w } t ) ; \quad \tilde { J _ { e z } } ^ { ( 3 ) } = - n _ { e } e F _ { 2 } e x p ( - i 3 \omega _ { m w } t )
\begin{array} { r } { \gamma ^ { \mathbf { i } } \colon \! \! \! = \operatorname { L a w } ( \underbrace { X _ { 1 } , \dots , X _ { 1 } } _ { i _ { 1 } \mathrm { ~ t i m e s } } , \underbrace { X _ { 2 } , \dots , X _ { 2 } } _ { i _ { 2 } \mathrm { ~ t i m e s } } , \dots , \underbrace { X _ { d } , \dots , X _ { d } } _ { i _ { d } \mathrm { ~ t i m e s } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \sum _ { i } \Big [ } & { { } x _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { x } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { x } \dot { \omega } _ { x } \big ) \! + \! y _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { y } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { y } \dot { \omega } _ { y } \big ) } \\ { + } & { { } \, z _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { z } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { z } \dot { \omega } _ { z } \big ) \! + \! \dot { f } _ { 2 } \sum _ { j \ne i } \frac { c _ { 1 } } { r _ { i j } } \Big ] = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } } & { = - i ( \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } - \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } ) \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } - i g _ { 0 } \cos \varphi \sin \varphi \cdot \sqrt { ( \tilde { n } _ { \mathrm { L } } - \tilde { n } _ { a } ) } \cdot b , } \\ { \frac { d } { d t } b } & { = - i \Omega _ { \mathrm { v } } b - i g _ { 0 } \cos \varphi \sin \varphi \sqrt { ( \tilde { n } _ { \mathrm { L } } - \tilde { n } _ { a } ) } \cdot \mathcal { A } _ { \mathrm { p h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { t } } & { = - \hat { q } _ { x } + \hat { f } , } \\ { \hat { q } _ { t } } & { = \left[ \frac { 5 } { \mathrm { \textit { R e } } } + \left( \frac { 4 } { 7 } - \frac { 5 \cot { \theta } } { 3 \mathrm { \textit { R e } } } \right) \partial _ { x } + \frac { 5 } { 6 \mathrm { \textit { R e } } \mathrm { \textit { C a } } } \partial _ { x x x } \right] \hat { h } - \left[ \frac { 5 } { 2 \mathrm { \textit { R e } } } + \frac { 3 4 } { 2 1 } \partial _ { x } \right] \hat { q } + \left[ \frac { 1 } { 3 } \right] \hat { f } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { ( n ) } } & { \sim \frac { m _ { \mathrm { H } } ^ { 4 } } { 2 ^ { D + 2 n + 1 } \sqrt { \pi ^ { D } } v _ { n } ^ { 2 } } \int ^ { \Lambda } \frac { k ^ { D - 1 } d k } { k ^ { 4 + 8 n } } } \\ & { \sim \frac { m _ { \mathrm { H } } ^ { 4 } } { 2 ^ { D + 2 n + 1 } \sqrt { \pi ^ { D } } ( D - 8 n - 4 ) v _ { n } ^ { 2 } } \Lambda ^ { D - 8 n - 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { U = 2 \pi \int _ { \lambda _ { c } } ^ { \infty } \! r ^ { 2 } \, d r \, \times } \\ { { \bf E } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { \alpha _ { D } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \frac { { \bf E } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } - { \bf E } ^ { 2 } } - \frac { \alpha _ { D } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \, \ln \left( 1 - \frac { { \bf E } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \right) \right] \; , } \end{array}
C _ { s } ^ { { ( E ) } } = \sum _ { s ^ { \prime } } \nu _ { s \, s ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( E ) } } \left( T _ { s ^ { \prime } } - T _ { s } \right) , \qquad \nu _ { s \, s ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( E ) } } = 2 ^ { 5 / 2 } \pi ^ { 1 / 2 } e ^ { 4 } \frac { m _ { s } ^ { 1 / 2 } m _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 / 2 } n _ { s } n _ { s ^ { \prime } } Z _ { s } ^ { 2 } Z _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 } \ln \Lambda _ { s \, s ^ { \prime } } } { \left( m _ { s } T _ { s ^ { \prime } } + m _ { s ^ { \prime } } T _ { s } \right) ^ { 3 / 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { \eta ( i ) } & { = { \frac { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) } { 2 \pi ^ { \frac { 3 } { 4 } } } } } \\ { \eta \left( { \frac { 1 } { 2 } } i \right) } & { = { \frac { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) } { 2 ^ { \frac { 7 } { 8 } } \pi ^ { \frac { 3 } { 4 } } } } } \\ { \eta ( 2 i ) } & { = { \frac { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) } { 2 ^ { \frac { 1 1 } { 8 } } \pi ^ { \frac { 3 } { 4 } } } } } \\ { \eta ( 3 i ) } & { = { \frac { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) } { 2 { \sqrt [ { 3 } ] { 3 } } \left( 3 + 2 { \sqrt { 3 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } \pi ^ { \frac { 3 } { 4 } } } } } \\ { \eta ( 4 i ) } & { = { \frac { { \sqrt [ { 4 } ] { - 1 + { \sqrt { 2 } } } } \, \Gamma \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) } { 2 ^ { \frac { 2 9 } { 1 6 } } \pi ^ { \frac { 3 } { 4 } } } } } \\ { \eta \left( e ^ { \frac { 2 \pi i } { 3 } } \right) } & { = e ^ { - { \frac { \pi i } { 2 4 } } } { \frac { { \sqrt [ { 8 } ] { 3 } } \, \Gamma \left( { \frac { 1 } { 3 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 2 \pi } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { P _ { 1 } ( a \leftrightarrow b , b \leftrightarrow c , c \leftrightarrow a ) = \mathbb { E } _ { \overline { { x } } } \left[ p ( w _ { a } , w _ { b } , x _ { a } , x _ { b } ) p ( w _ { b } , w _ { c } , x _ { b } , x _ { c } ) p ( w _ { a } , w _ { c } , x _ { a } , x _ { c } ) \right] } \\ & { = \int _ { ( \mathbb { T } ^ { d } ) ^ { 3 } } \left( \frac { w _ { a } w _ { b } } { \mu k | | x _ { a } - x _ { b } | | ^ { d } } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \left( \frac { w _ { b } w _ { c } } { \mu k | | x _ { b } - x _ { c } | | ^ { d } } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \left( \frac { w _ { a } w _ { c } } { \mu k | | x _ { a } - x _ { c } | | ^ { d } } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \mathrm { d } \overline { { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 3 } } w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) \, \frac { h _ { \alpha , k } ^ { \prime } } { \left( M _ { \alpha , k } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } } \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { k , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 3 } } w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { k } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { j } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) \, \frac { h _ { \alpha , j \ast } } { M _ { \alpha , j \ast } ^ { 1 / 2 } } \, d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } } \end{array}