harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { \ell } \left( \rho ( x ) \psi _ { t } ( t ) ^ { 2 } + r ( x ) \psi _ { x x } ( t ) ^ { 2 } \right) d x + 2 \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) \psi _ { \tau } ^ { 2 } \ d x d \tau + 2 \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) ( \psi _ { x x \tau } ) ^ { 2 } \ d x d \tau } } \\ & { } & { = 2 \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \Big ( x \rho ( x ) \theta ^ { \prime \prime } ( \tau ) - x \mu ( x ) \theta ^ { \prime } ( \tau ) \Big ) \psi _ { \tau } \ d x d \tau + \int _ { 0 } ^ { \ell } \rho ( x ) \left( x \theta ^ { \prime } ( T ) \right) ^ { 2 } d x } \\ & { } & { \leq \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \psi _ { \tau } ^ { 2 } \ d x d \tau + \tilde { C } _ { 6 } ^ { 2 } \int _ { t } ^ { T } [ \theta ^ { \prime } ( \tau ) ^ { 2 } + \theta ^ { \prime \prime } ( \tau ) ^ { 2 } ] d \tau + \rho _ { 1 } \frac { \ell ^ { 3 } } { 3 } \theta ^ { \prime } ( T ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , q D \right\rangle - \left\langle \gamma , f + \mathring { Z } + Z ^ { \prime } \right\rangle } & { { } = 0 , \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \gamma , \mathring { Z } \right\rangle - \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathring { \mathbb { V } } _ { h } ^ { 0 } . } \end{array}
F _ { A } \equiv \frac { \partial f } { \partial \Phi ^ { A } } + \left( \frac { \partial d } { \partial \Phi ^ { A } } \right) \frac { f } { M ^ { 2 } } , \qquad \left( d _ { A } ^ { B } \right) ^ { - 1 } \equiv \left( \frac { \partial ^ { 2 } d } { \partial \Phi ^ { A } \partial \Phi _ { B } ^ { \dagger } } \right) ^ { - 1 } .
\operatorname* { l i m } _ { s _ { 0 } \to 0 } \frac { \varphi _ { \epsilon } ( s _ { 0 } ) } { \tan ^ { 2 } ( s _ { 0 } ) } = \operatorname* { l i m } _ { s _ { 0 } \to 0 } \frac { \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { { 2 \tan ( s _ { 0 } ) \sec ^ { 2 } ( s _ { 0 } ) } } = \operatorname* { l i m } _ { s _ { 0 } \to 0 } \frac { 1 } { 2 n \tan ( s _ { 0 } ) \sec ^ { 2 } ( s _ { 0 } ) } = + \infty ,
\Sigma _ { l _ { L } } \left( x , y \right) = \Delta _ { l _ { L } } ^ { \left( B , l _ { L } \right) } \left( x , y \right) + \Delta _ { l _ { L } } ^ { \left( W ^ { 3 , \pm } , l _ { L } \right) } \left( x , y \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { R \rightarrow \infty } \mathcal { A } } & { = \sqrt { \frac { 4 } { 1 - h ^ { 2 } } } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { R \rightarrow \infty } \mathcal { B } } & { = \sqrt { \frac { 1 - h } { 1 + h } } = \frac { 1 } { \cot { \beta _ { \mathrm { m a x } } } } } \\ { \beta _ { \mathrm { m a x } } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } - \Theta _ { \uparrow } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { T } ( t , \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { \mathrel { \mathop : } = 1 _ { ( - \infty , T ] } ( t ) K ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \\ { f _ { T } ( u ) ( t ) } & { \mathrel { \mathop : } = \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } } K _ { T } ( t , t - \tau _ { 1 } , t - \tau _ { 2 } ) q ( u ( \tau _ { 1 } ) , u ( \tau _ { 2 } ) ) \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 1 } } \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 2 } } , } \end{array}
\partial ^ { \mu } \widetilde { A } _ { \mu } ( x ) = - 4 \pi \int \delta \xi d s \, \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \, \delta ^ { \mu } ( s ) \left[ \Omega _ { \xi } ( s , 0 ) L ^ { \rho \sigma } [ \xi | s ] \Omega _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) \right] \dot { \xi } ^ { \nu } ( s ) \delta ^ { 4 } ( x - \xi ( s ) ) .
\hat { H } _ { D S E } = \frac { g _ { N } ^ { 2 } } { \hbar \omega _ { c } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } d ^ { 2 } ( q _ { i } ) + \frac { g _ { N } ^ { 2 } } { \hbar \omega _ { c } } \sum _ { i \neq j } ^ { N } d ( q _ { i } ) \, d ( q _ { j } ) \quad ,
A ^ { * } : = \left( \begin{array} { l l l } { \bar { u } \partial _ { x } } & { \bar { \rho } \partial _ { x } } & { 0 } \\ { \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } \partial _ { x } } & { \lambda _ { 0 } \partial _ { x x } + \bar { u } \partial _ { x } } & { R \partial _ { x } } \\ { 0 } & { \frac { R \bar { \theta } } { c _ { 0 } } \partial _ { x } } & { \kappa _ { 0 } \partial _ { x x } + \bar { u } \partial _ { x } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { 2 } } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \left( O p ^ { W } ( \tilde { \mathfrak { b } } _ { 2 } ) - O p ^ { W } ( \mathfrak { c } _ { 1 } ) \Pi _ { S } O p ^ { W } ( \mathfrak { c } _ { 2 } ) \right) , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ \mathfrak { c } _ 1 , \mathfrak { c } _ 2 \in ~ \mathfrak { B } ^ m _ 1 ~ f o r ~ s o m e ~ m \ge 0 ~ , } } \\ { \mathcal { R } _ { \le 3 } } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , * } ) + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 2 } + \mathcal { R } _ { 5 } , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ \mathcal { R } _ 5 ~ o f ~ t h e ~ f o r m ~ i n ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a , c ) ( a , d ) } & { = ( a ( a , c ) , d ( a , c ) ) \quad \mathrm { l e t t i n g ~ } m = ( a , c ) } \\ & { = ( a ( a , c ) , ( a d , c d ) ) \quad \mathrm { l e t t i n g ~ } m = d } \\ & { = ( a ( a , c ) , ( a d , a b ) ) \quad \mathrm { u s i n g ~ } a b = c d } \\ & { = ( a ( a , c ) , a ( d , b ) ) } \\ & { = a ( ( a , c ) , ( d , b ) ) } \\ & { = a ( a , c , d , b ) } \\ & { = a ( a , b , c , d ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { q } f = c x ^ { - \mu } f } & { \Longleftrightarrow \forall i = 0 , \ldots , \mu - 1 \; , \; q ^ { i } x ^ { i } g _ { i } ( q ^ { \mu } x ^ { \mu } ) = c x ^ { - \mu } x ^ { i } g _ { i } ( x ^ { \mu } ) } \\ & { \Longleftrightarrow \forall i = 0 , \ldots , \mu - 1 \; , \; g _ { i } ( Q X ) = c _ { i } X ^ { - 1 } g _ { i } ( X ) , } \end{array}
\rho _ { \mathrm { r } } [ x , x ^ { \prime } ; t ] \approx \rho _ { \mathrm { r } } ^ { \mathrm { u } } [ x , x ^ { \prime } , t ] \exp { \Big [ - ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } D ( s ) ~ d s \Big ] } ,
V [ 5 2 ] = V { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 3 } \\ { 2 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 3 } & { 1 } \end{array} \right] } = V [ 5 2 ] ^ { * } = V ^ { * } { \left[ \begin{array} { l } { 2 } \\ { 3 } \\ { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { 2 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { s } & { p ^ { * } } & { r ^ { * } } \\ { p ^ { \prime * } } & { q } & { p ^ { \prime } } \\ { r } & { p } & { s ^ { * } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \Gamma \big | _ { \Delta p _ { z ^ { \prime } } > \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } = } & { \, \frac { n _ { g } \pi R ^ { 2 } } { m _ { g } } \int _ { \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \infty } \mathrm { e r f c } \big ( \frac { \Delta p _ { z ^ { \prime } } } { \sqrt { 8 } m _ { g } \overline { { v } } } \big ) d \Delta p _ { z ^ { \prime } } } \\ { = } & { \, \frac { n _ { g } \pi R ^ { 2 } } { m _ { g } } \frac { \sqrt { 8 } m _ { g } \overline { { v } } } { \sqrt { \pi } } e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { \, \frac { n _ { g } A \overline { { v } } } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } / 8 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { \, \frac { n _ { g } A \overline { { v } } } { \sqrt { 2 \pi } } \eta _ { s } ^ { \prime } ( \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \textbf { L } _ { S } ( t ) = } \\ { ( \textbf { r } _ { i } ( t ) - \textbf { r } _ { \alpha } ( t ) ) \times m _ { i } \textbf { v } _ { i } ( t - \delta t / 2 ) + } \\ { ( \textbf { r } _ { j } ( t ) - \textbf { r } _ { \alpha } ( t ) ) \times m _ { j } \textbf { v } _ { j } ( t - \delta t / 2 ) } \\ { = \textbf { r } _ { i } ( t ) \times m _ { i } \textbf { v } _ { i } ( t - \delta t / 2 ) + \textbf { r } _ { j } ( t ) \times m _ { j } \textbf { v } _ { j } ( t - \delta t / 2 ) } \\ { - \textbf { r } _ { \alpha } ( t ) \times m _ { \alpha } \textbf { v } _ { \alpha } ( t - \delta t / 2 ) } \\ { = - \delta \textbf { L } _ { G } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } } & { = } & { S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o n } } , \rho , R _ { \mathrm { o n } } \right) - S _ { \mathrm { o n } } \left( t , x , \tilde { q } _ { \mathrm { o n } } , \tilde { \rho } , \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right) , } \\ { \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o f f } } } & { = } & { S _ { \mathrm { o f f } } \left( t , x , q _ { \mathrm { o n } } , \rho \right) - S _ { \mathrm { o f f } } \left( t , x , \tilde { q } _ { \mathrm { o n } } , \tilde { \rho } \right) , } \\ { \mathcal { V } } & { = } & { v ( R ) - v ( P ) , } \\ { \mathcal { V } _ { x } } & { = } & { \partial _ { x } v ( R ) - \partial _ { x } v ( P ) . } \end{array}
\left\langle { \widetilde { v } _ { i n } } \right\rangle \left( y \right) = \widetilde { v } _ { o u t } \left[ 1 - \frac { \cos { \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } - 3 \pi / 4 \right) } } { \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \cos { \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } - \pi / 4 \right) } } \right] .
\begin{array} { r } { I _ { c , \mathrm { t r u e } } = \frac { \operatorname* { m i n } _ { | \mathbf { a } | = 1 } Z ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) } { \operatorname* { m a x } _ { | \mathbf { a } | = 1 } Z ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Delta V + k _ { + } ^ { 2 } V = 0 , \mathrm { ~ i n ~ } U _ { 0 } , } \\ { \Delta V + k _ { - } ^ { 2 } V = 0 , \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } \backslash ( \overline { { U } } _ { 0 } \cap \Gamma ) , } \\ { V _ { + } = V _ { - } , \partial _ { 2 } V \left| _ { + } = \partial _ { 2 } V \right| _ { - } \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 0 } . } \end{array} \right.
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { C } } = - { \frac { g } { \ { \sqrt { 2 \; } } \ } } \ \left[ \ { \overline { { u } } } _ { i } \ \gamma ^ { \mu } \ { \frac { \ 1 - \gamma ^ { 5 } \ } { 2 } } \; M _ { i j } ^ { \mathrm { C K M } } \ d _ { j } + { \overline { { \nu } } } _ { i } \ \gamma ^ { \mu } \; { \frac { \ 1 - \gamma ^ { 5 } \ } { 2 } } \; e _ { i } \ \right] \ W _ { \mu } ^ { + } + \mathrm { h . c . } ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k + 1 } ^ { z } \| ^ { 2 } ] } & { = \mathbb { E } [ \| \tilde { h } _ { z } ^ { k + 1 } - q _ { k + 1 } ^ { z } \| ^ { 2 } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ \| \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 1 } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) + ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ( \tilde { h } _ { z } ^ { k } - \nabla _ { y } g ( x _ { k } , z _ { k } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) ) - q _ { k + 1 } ^ { z } \| ^ { 2 } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ \| ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) \tilde { e } _ { k } ^ { z } + \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 1 } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) } \\ & { \qquad + ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ( q _ { k } ^ { z } - \nabla _ { y } g ( x _ { k } , z _ { k } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) ) - q _ { k + 1 } ^ { z } \| ^ { 2 } ] } \\ & { = ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \| \eta _ { k } ( \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 1 } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) - q _ { k + 1 } ^ { z } ) } \\ & { \qquad + ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ( \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , z _ { k + 1 } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { k } , z _ { k } ; \phi _ { z } ^ { k + 1 } ) + q _ { k } ^ { z } - q _ { k + 1 } ^ { z } ) \| ^ { 2 } ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { p = j _ { 1 } + m _ { 1 } } \\ & { q = j _ { 1 } - m _ { 1 } } \end{array} \right. , \quad \left\{ \begin{array} { l l } & { r = j _ { 2 } + m _ { 2 } } \\ & { s = j _ { 2 } - m _ { 2 } } \end{array} \right. , \quad \left\{ \begin{array} { l l } & { u = \bar { j } - \bar { m } } \\ & { v = \bar { j } + \bar { m } } \end{array} \right. .
g _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c c c } { \alpha ( 1 + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } ^ { 2 } ) - \alpha _ { 1 } x } \\ { - \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } y } \\ { - \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 1 } z } \end{array} \right] , g _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c c } { - \alpha \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 2 } x } \\ { a l p h a ( 1 + \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } ^ { 2 } ) - \alpha _ { 2 } y } \\ { - \alpha \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 2 } z } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { m _ { k } } & { : = \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } m _ { k } ( x ) , } \\ { t _ { k } ( j ) } & { : = \operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } t _ { k } ( x , j ) = \operatorname* { m a x } \left\{ y \in { \mathbb { N } } \ ; \ m _ { k } ( y ) = j , \ \eta _ { k } ^ { \uparrow } ( y ) = 1 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = \quad } & { { } \underset { \theta } { \mathrm { a r g } \, \mathrm { m i n } } \: \mathbb { E } _ { \mathbf { x } \sim p _ { t _ { i } } , \tilde { \mathbf { x } } \sim p _ { \sigma } ( \cdot | \, \mathbf { x } ) } \left[ | | s _ { \theta } ( \mathbf { x } , t _ { i } ) - \nabla _ { \tilde { \mathbf { x } } } \log p _ { \sigma } ( \tilde { \mathbf { x } } | \, \mathbf { x } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r r r c l } { ( 1 ) } & { s _ { 1 } = } & { \mathbf { r } _ { 1 } \mathbf { d } _ { 1 } } & { = } & { 0 , } \\ { ( 2 ) } & { s _ { 2 } = } & { \mathbf { r } _ { 2 } \mathbf { d } _ { 2 } } & { = } & { \mu ( 0 . 5 - x ) , } \\ { ( 3 ) } & { s _ { 3 } = } & { \mathbf { r } _ { 3 } \mathbf { d } _ { 3 } } & { = } & { \mu / 9 - 1 / 9 + 2 x / 3 , } \\ { ( 4 ) } & { s _ { 4 } = } & { \mathbf { r } _ { 4 } \mathbf { d } _ { 4 } } & { = } & { x . } \end{array}
{ \frac { { \sqrt { \varepsilon } } \, e ^ { - \varepsilon / k T } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \sqrt { \varepsilon } } \, e ^ { - \varepsilon / k T } } } = { \frac { { \sqrt { \varepsilon } } \, e ^ { - \varepsilon / k T } } { { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } ( k T ) ^ { 3 / 2 } } } = { \frac { 2 { \sqrt { \varepsilon } } \, e ^ { - \varepsilon / k T } } { \sqrt { \pi ( k T ) ^ { 3 } } } }
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \, \, \, i i } ^ { 0 } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { 0 0 } \, \partial _ { 0 } \left( g _ { i i } \right) , \quad \Gamma _ { \, \, \, 0 i } ^ { i } = + \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { i i } \, \partial _ { 0 } \left( g _ { i i } \right) = \Gamma _ { \, \, \, i 0 } ^ { i } \, , } \\ { \Gamma _ { \, \, \, i i } ^ { i } } & { { } = } & { + \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { i i } \, \partial _ { i } \left( g _ { i i } \right) , ~ \quad \Gamma _ { \, \, \, j j } ^ { i } = - \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { i i } \, \partial _ { i } \left( g _ { j j } \right) \, , } \\ { \Gamma _ { \, \, \, i j } ^ { i } } & { { } = } & { + \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { i i } \, \partial _ { j } \left( g _ { i i } \right) = \Gamma _ { \, \, \, j i } ^ { i } . } \end{array}
\boldsymbol { \Omega } = \hbar \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 0 } _ { N \times N } } & { \boldsymbol { 1 } _ { N \times N } } \\ { - \boldsymbol { 1 } _ { N \times N } } & { \boldsymbol { 0 } _ { N \times N } } \end{array} \right) .
\sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , . . . , a _ { n } \in \mathbb { Z } ^ { + } } \frac { { x _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } { x _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } { x _ { 3 } } ^ { a _ { 3 } } \cdots { x _ { n } } ^ { a _ { n } } } { { a _ { 1 } } ^ { b _ { 1 } } { a _ { 2 } } ^ { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } ^ { b _ { 3 } } \cdots { a _ { n } } ^ { b _ { n } } } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { { x _ { i } } ^ { j } } { j ^ { b _ { i } } }
\begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] , } \\ { \dot { r } } & { { } = r ( 1 - r ) [ u ( 1 - x ) - x ] . } \end{array}
\hat { S } ^ { L } = \operatorname { M i n } \left( \hat { U } ^ { L } - c ^ { L } \sqrt { \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } } , \quad \hat { U } ^ { R } - c ^ { R } \sqrt { \hat { \xi } _ { x } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { y } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { z } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l r l } & { v _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - r _ { 1 } ( k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { r _ { 1 } ^ { * } ( k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 - | r _ { 1 } ( k ) | ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { v _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - | r _ { 2 } ( \omega k ) | ^ { 2 } } & { - r _ { 2 } ^ { * } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { r _ { 2 } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { v _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 - | r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) | ^ { 2 } } & { 0 } & { r _ { 1 } ^ { * } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { v _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 - | r _ { 2 } ( k ) | ^ { 2 } } & { - r _ { 2 } ^ { * } ( k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { r _ { 2 } ( k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { v _ { 5 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - r _ { 1 } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { r _ { 1 } ^ { * } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 - | r _ { 1 } ( \omega k ) | ^ { 2 } } \end{array} \right) , } & & { v _ { 6 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - r _ { 2 } ^ { * } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { 0 } & { 1 - | r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) | ^ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( t ) } & { { } = \frac { 2 } { \tau _ { m } } \mathcal { P } ( \pi , t ) = \frac 1 { \pi \tau _ { m } } \Big \{ 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \left[ Z _ { n } ( t ) + Z _ { n } ^ { * } ( t ) \right] \Big \} \; , } \\ { V ( t ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \left\langle \frac { \sin \theta } { 1 + \cos \theta + \epsilon } \right\rangle = i \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \left[ Z _ { n } ( t ) - Z _ { n } ^ { * } ( t ) \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \geq \frac { 1 } { C _ { k _ { F _ { + } } } } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } - C _ { K _ { F _ { + } } } \varepsilon \langle \| \langle v \rangle ^ { \frac { 7 } { 2 } } F _ { + } \| _ { L _ { x } ^ { \infty } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle ^ { 2 } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \mathbf { E } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } \right) = i \sqrt { \frac { \hbar } { \pi \epsilon _ { 0 } } } \frac { \omega _ { f } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \int d \mathbf { r } ^ { \prime } \sqrt { \mathrm { I m } \epsilon \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega _ { f } \right) } } \\ & { \times \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \omega _ { f } \right) \cdot \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega _ { f } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = - \infty } ^ { - 1 } g ( x - k T ) + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } g ( x - k T ) } & { \le 2 \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } g ( ( l + 1 / 2 ) T ) } \\ & { = 2 \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - ( l + 1 / 2 ) ^ { 2 } T ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) \right) } \\ & { = 2 \exp \left( - T ^ { 2 } / ( 8 \sigma ^ { 2 } ) \right) \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - ( l ^ { 2 } + l ) T ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \le 2 \exp \left( - T ^ { 2 } / ( 8 \sigma ^ { 2 } ) \right) \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - l T ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 2 \exp { - T ^ { 2 } / ( 8 \sigma ^ { 2 } ) } } { 1 - \exp { - T ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { 0 } ( z ) = \frac { G ( z ) } { G ( 0 ) } = \frac { 1 } { \ln 2 } \left[ f \left( \frac { z } { 2 R _ { g } } \right) - f \left( \frac { z } { 2 \sqrt { 2 } R _ { g } } \right) \right] ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | f | | _ { W ^ { 1 , q } ( U ) ^ { \prime } } } & { = \operatorname* { s u p } _ { | | \phi | | _ { W ^ { 1 , q } ( U ) } = 1 } \langle f , \phi \rangle _ { L ^ { 2 } } = \operatorname* { s u p } _ { | | \phi | | _ { W ^ { 1 , q } ( U ) } = 1 } \langle \nabla \mathcal { G } ( f ) , \nabla \phi \rangle _ { L ^ { 2 } } \leq } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { | | \phi | | _ { W ^ { 1 , q } ( U ) } = 1 } | | \nabla \mathcal { G } ( f ) | | _ { L ^ { p } ( U ) } | | \nabla \phi | | _ { L ^ { q } ( U ) } \leq | | \nabla \mathcal { G } ( f ) | | _ { L ^ { p } ( U ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { i j } = E _ { i j } / \langle T _ { j } \rangle \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i \neq j \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } Q _ { j j } = - 1 / \langle T _ { j } \rangle \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } j \in \{ 1 , . . . , N \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 3 } } & { : = \mathring { V } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Gamma ) , } \\ { \mathcal { E } _ { 3 } } & { : = \mathring { V } ^ { \ast } \Lambda ^ { n - 2 } ( \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x ( j _ { p } ^ { 1 } \sigma ) } & { = x ( p ) = x } \\ { u ( j _ { p } ^ { 1 } \sigma ) } & { = u ( \sigma ( p ) ) = u ( \sigma ( x ) ) = \sigma ( x ) } \\ { u _ { 1 } ( j _ { p } ^ { 1 } \sigma ) } & { = \left. { \frac { \partial \sigma } { \partial x } } \right| _ { p } = { \dot { \sigma } } ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \supset } & { { } } & { V _ { L L } ^ { \tau 3 \mu } \big ( \bar { \mu } \gamma ^ { \mu } P _ { L } \mu \big ) \big ( \bar { \tau } \gamma _ { \mu } P _ { L } \mu \big ) } \end{array}
\mathcal { L } _ { O S } = - \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } \left[ \frac { 1 } { i R e } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \alpha U \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \right) + \alpha U ^ { \prime \prime } \right] \mathrm { , }
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { a _ { k } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { t } _ { 1 , a _ { k } } ^ { + } \gamma } \, d \boldsymbol { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { \tilde { a } _ { r } } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \tilde { t } } _ { 1 , \tilde { a } _ { r } } ^ { + } \gamma } \, d \boldsymbol { \tilde { t } } \leq C _ { \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( x , t ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega t } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \pi / L } ^ { \pi / L } \Hat { v } _ { n } ( x , \alpha ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha x } \, \mathrm { d } \alpha \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \Omega t } . } \end{array}