harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\| u \| _ { C ^ { l , \alpha } } = \sum _ { j \leq l } \| \nabla _ { T } ^ { j } u \| _ { C ^ { 0 } } + \operatorname* { s u p } _ { x \in M _ { T } } \operatorname* { s u p } _ { d _ { T } ( x , x ^ { \prime } ) < r } \frac { | \nabla _ { T } ^ { l } u ( x ) - \nabla _ { T } ^ { l } u ( x ^ { \prime } ) | } { d _ { T } ( x , x ^ { \prime } ) ^ { \alpha } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } | | u _ { N } ( t ) | | _ { H ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } d t \lesssim 1 + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } [ A T _ { \epsilon } ( u _ { N } ( t ) , z _ { N } ( t ) ) ] + } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } | | \Delta u _ { N } ( t ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } + | | \Delta z _ { N } ( t ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } d t \lesssim 1 + \int _ { 0 } ^ { T } | | \nabla u _ { N } ( t ) | | _ { L ^ { 4 } ( U ) } ^ { 4 } + | | \nabla z _ { N } ( t ) | | _ { L ^ { 4 } ( U ) } ^ { 4 } d t \lesssim } \\ & { \lesssim 1 + \int _ { 0 } ^ { T } | | \nabla u _ { N } ( t ) | | _ { L ^ { 4 } ( U ) } ^ { 4 } + | | \nabla ^ { 2 } z _ { N } ( t ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } d t \lesssim 1 + \int _ { 0 } ^ { T } | | \nabla u _ { N } ( t ) | | _ { L ^ { 4 } ( U ) } ^ { 4 } d t . } \end{array}
| M _ { p p \rightarrow p p } | ^ { 2 } \; = \; \frac { C ^ { 2 } } { C ^ { 4 } \, \mathrm { k } ^ { 2 } \; + \; \left( - \frac { 1 } { a _ { p p } } \, + \, \frac { b _ { p p } \, \mathrm { \scriptsize ~ k } ^ { 2 } } { 2 } \, - \, \frac { P _ { p p } \, \mathrm { \scriptsize ~ k } ^ { 4 } } { 1 + Q _ { p p } \, \mathrm { \scriptsize ~ k } ^ { 2 } } \, - \, 2 \, \mathrm { k } \, \eta _ { c } \, h ( \eta _ { c } ) \right) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \delta _ { n + 1 } \leq } & { \left\Vert ( u _ { n } - u ^ { * } ) - \alpha _ { n } \nabla _ { a _ { u _ { n } } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } } + \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } } } \\ { \leq } & { ( 1 + \epsilon ) \left( ( 1 + \epsilon ) ^ { 2 } ( 1 + L _ { g } ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } ) - \alpha _ { n } \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } } { 4 \lambda ^ { * } } \right\} + \frac { \alpha _ { n } \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \delta _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \delta _ { n } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { \alpha _ { n } ^ { 2 } } { 2 } L _ { g } ^ { 2 } \delta _ { n } ^ { 2 } ( C _ { a _ { u ^ { * } } } C _ { u } + \alpha _ { n } L _ { g } \delta _ { n } ) } \\ { \leq } & { C _ { \delta } \delta _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \kappa , \rho , \rho ^ { \prime } } ( H ; \lambda ) \; = \; } & { { } \kappa \pi _ { \rho ^ { \prime } } D \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } \; + \; \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \rho , \lambda } ( D ) ( ( - H ) \oplus ( H ) ^ { * } ) G _ { \rho , \lambda } ( D ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } \; , } \end{array}
( \Delta r ( \tilde { t } ) ) ^ { 2 } = ( \Delta r ( t ) ) ^ { 2 } + 4 v _ { 0 } ^ { 2 } G ^ { 2 } + 4 v _ { 0 } G \Big \{ \Delta r _ { y } ( t ) \mathrm { c o s } { \frac { \tilde { c } } { 2 } } - \Delta r _ { x } ( t ) \mathrm { s i n } { \frac { \tilde { c } } { 2 } } \Big \}
\begin{array} { r } { \frac { 2 } { 3 } \sqrt { \varepsilon } \leq \varepsilon r ^ { 2 } + 2 \varepsilon r ^ { 4 } \cdot T _ { r } \big ( \frac { 1 } { 1 - \sqrt { \epsilon } } \big ) ^ { 2 } , \quad \implies \frac { 1 } { 3 \sqrt { \epsilon } } \leq \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } + r ^ { 4 } \cdot T _ { r } \big ( \frac { 1 } { 1 - \sqrt { \epsilon } } \big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { b } _ { m } ^ { \prime } = \gamma _ { 1 } \, ( b _ { m } - \delta _ { 1 } ) , } & { { l } _ { m } ^ { \prime } = \gamma _ { 1 } \, l _ { m } , } & { { v } ^ { \prime } = \gamma _ { 1 } \, ( \hat { v } - \delta _ { 1 } ) , } \\ { { b } _ { n } ^ { \prime \prime } = \gamma _ { 2 } \, ( { b } _ { n } ^ { \prime } - \delta _ { 2 } ) , } & { { l } _ { n } ^ { \prime \prime } = \gamma _ { 2 } \, { l } _ { n } ^ { \prime } , } & { { v } ^ { \prime \prime } = \gamma _ { 2 } \, ( { v } ^ { \prime } - \delta _ { 2 } ) , } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { b _ { p } ^ { ( T ) } = \gamma _ { T } \, ( b _ { p } ^ { ( T - 1 ) } - \delta _ { T } ) , } & { l _ { p } ^ { ( T ) } = \gamma _ { T } \, l _ { p } ^ { ( T - 1 ) } , } & { v ^ { ( T ) } = \gamma _ { T } \, ( v ^ { ( T - 1 ) } - \delta _ { T } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 5 } : } & { e _ { 0 } \to e _ { 1 } \to e _ { 2 } \to e _ { 3 } \to e _ { 4 } \to e _ { 0 } ; \mathrm { f i x e s ~ e ~ } } \\ { \sigma _ { 2 } : } & { e \leftrightarrow e _ { 0 } ; e _ { 1 } \leftrightarrow e _ { 4 } ; e _ { 2 } \leftrightarrow - e _ { 2 } ; e _ { 3 } \leftrightarrow - e _ { 3 } ; \mathrm { f i x e s ~ ( e + e _ 0 ~ ) ~ } } \\ { \sigma _ { 3 } : } & { e \to e _ { 0 } \to e _ { 1 } \to e ; e _ { 2 } \to e _ { 4 } \to - e _ { 3 } \to e _ { 2 } ; \mathrm { f i x e s ~ ( e + e _ 0 + e _ 1 ) ~ } } \end{array}
\index { R s h a r p @ R ^ { \sharp } } R ^ { \sharp } = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { r } } ^ { \sharp } } & { - \xi _ { \ell } m ^ { 2 } < m \omega \leq \frac { a m ^ { 2 } } { \mathrm { a x } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } , } \\ { r ^ { \sharp } , } & { \frac { a m ^ { 2 } } { \mathrm { a x } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \leq m \omega \leq \frac { a m ^ { 2 } } { \mathrm { i n } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } , } \\ { \underline { { r } } ^ { \sharp } } & { \frac { a m ^ { 2 } } { \mathrm { i n } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \leq m \omega < m \omega _ { + } + \xi _ { r } m ^ { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { G _ { c } ^ { R } ( \tau ) } & { { } = } & { - i N _ { c } ( \tau ) \Theta ( \tau ) e ^ { - i ( \epsilon _ { c } + E _ { N } ^ { c o r r } ) \tau } } \\ { C _ { c } ^ { R } ( \tau ) } & { { } = } & { - i \int _ { 0 } ^ { \tau } \langle \Phi | \bar { H } _ { N } ( \tau ^ { \prime } ) | \Phi \rangle d \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\left[ \widetilde \varphi ( x ) , \pi ( y ) \right] _ { t _ { x } = t _ { y } } ~ = ~ i \delta ^ { ( 3 ) } ( { \bf x - y } ) ~ [ 1 + \varepsilon ( x ) ] \quad , { \phantom { + \eta ( y ) + \varepsilon ( x ) ~ \eta ( y ) } }
\begin{array} { r l } { \hat { z } _ { \iota } ^ { ( k ) } } & { = \frac { \kappa _ { { \iota } - 1 } } { \kappa _ { \iota } \gamma _ { \iota } } \hat { z } _ { { \iota } - 1 } ^ { ( k ) } - \sqrt { \frac { s ^ { 2 \nu } } { \kappa _ { \iota } } } \frac { \sigma _ { \iota } } { \gamma _ { \iota } } \hat { w } _ { \iota } ^ { ( k - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { \tau _ { 0 } = I , } } & { { \tau _ { 1 } = \gamma ^ { 5 } , } } & { { \tau _ { 2 } = - i \gamma ^ { 3 } , } } & { { \mathrm { a n d } } } & { { \tau _ { 3 } = \gamma ^ { 3 } \gamma ^ { 5 } . } } \end{array}
- \hat { C } ^ { ( 1 ) } ( 0 ) \hat { C } ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = - C ^ { ( 1 ) } ( - T / 2 ) C ^ { ( 2 ) } ( - T / 2 ) = - C ^ { ( 1 ) } ( \rho _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ) C ^ { ( 2 ) } ( \rho _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ) ,
\int _ { 4 m ^ { 2 } } ^ { \infty } \sum \Big | B _ { \alpha \beta } ( 0 , r ) e ^ { \beta } \Big | ^ { 2 } \frac { d s _ { 1 } d \Phi _ { r } } { s _ { 1 } ^ { 2 } } = \frac { 7 } { 3 6 \pi m ^ { 2 } } \cdot
\zeta _ { \rho } ( s ) = - \frac { 2 \, R ^ { 2 s } } { \Gamma ( s + 1 ) \, \Gamma ( - s ) } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \nu ^ { 1 - 2 s } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k ^ { - 2 s } \frac { d } { d k } \ln \Delta _ { \rho , l } ( \nu k ) , \quad \nu = l + \frac { 1 } { 2 } , \; \; \rho = \pm 1
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } } & { = \frac { 1 } { 4 } \boldsymbol { I } _ { 4 } + \sigma _ { A } \otimes \frac { \boldsymbol { I } _ { 2 } } { \sqrt { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \big ( \gamma \sigma _ { 1 } + \beta \sigma _ { 2 } + \theta \sigma _ { 3 } + \boldsymbol { I } _ { 2 } \big ) } \\ & { \qquad \qquad \otimes \big ( \boldsymbol { v _ { 1 } ^ { B } } \sigma _ { 1 } + \boldsymbol { v _ { 2 } ^ { B } } \sigma _ { 2 } + \boldsymbol { v _ { 3 } ^ { B } } \sigma _ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S [ \bar { b } , b ] } & { = \frac { 1 } { \beta } \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \sum _ { \omega , \omega ^ { \prime } } \bar { \Phi } _ { \omega } e ^ { - i \omega \tau } G ^ { - 1 } ( \tau ) e ^ { i \omega ^ { \prime } \tau } \Phi _ { \omega ^ { \prime } } } \\ & { \equiv \sum _ { \omega , \omega ^ { \prime } } \bar { \Phi } _ { \omega } G _ { \omega \omega ^ { \prime } } ^ { - 1 } \Phi _ { \omega ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { \mathrm { M A F } } ^ { * } = \operatorname* { m a x } \left\{ G _ { \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma } } ^ { - 1 } \left( \beta ^ { * } \right) , H ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { ( 1 - \epsilon ) } \left[ \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } - \frac { K } { \mu } \right] ^ { + } \right) \right\} , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \rho ^ { + } } } \\ { { \chi ^ { + } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { ( u ^ { 2 } + w ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { - u } } & { { w } } \\ { { w } } & { { u } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { G _ { 7 } ^ { + } } } \\ { { H _ { 6 } ^ { + } } } \end{array} \right) .
A _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) = \frac { m _ { B } + m _ { \rho } } { 2 m _ { \rho } } A _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) - \frac { m _ { B } - m _ { \rho } } { 2 m _ { \rho } } A _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int \phi d \sigma _ { t } } & { = \int g _ { ( \theta , \alpha ) } ( \overline { { \nabla } } \beta , \overline { { \nabla } } \phi ) d \sigma _ { t } } \\ & { = \int \left( \frac { \eta } { \alpha } \nabla _ { \theta } \phi \cdot \nabla _ { \theta } \beta + \kappa \alpha \partial _ { \alpha } \phi \partial _ { \alpha } \beta \right) d \sigma _ { t } } \\ & { = \int \langle \nabla _ { \theta , \alpha } \phi , v _ { \sigma } \rangle d \sigma _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { 1 } } & { { } = R \left[ \cos \left( \theta \right) \hat { \mathbf { x } } + \sin \left( \theta \right) \hat { \mathbf { y } } \right] \, , } \\ { \mathbf { R } _ { 2 } } & { { } = R \left[ \cos \left( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } \right) \hat { \mathbf { x } } + \sin \left( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } \right) \hat { \mathbf { y } } \right] \, , } \\ { \mathbf { R } _ { 3 } } & { { } = R \left[ \cos \left( \theta + \frac { 4 \pi } { 3 } \right) \hat { \mathbf { x } } + \sin \left( \theta + \frac { 4 \pi } { 3 } \right) \hat { \mathbf { y } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl \| T _ { r ^ { \prime } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma _ { r ^ { \prime } } ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) - T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) \bigr \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } } \\ & { = \bigl \| T _ { r ^ { \prime } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma _ { r ^ { \prime } } ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) - T _ { r ^ { \prime } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) \bigr \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } + \bigl \| T _ { r ^ { \prime } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) - T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) \bigr \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } } \\ & { \le \bigl \| \Gamma _ { r ^ { \prime } } ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) - \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) \bigr \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } + \bigl \| T _ { r ^ { \prime } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) - T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) \bigr \| _ { L ^ { 1 } ( { \mu } ) } \xrightarrow { r ^ { \prime } \to \infty } 0 \, \, \mathrm { . } } \end{array}
\frac { d \Gamma } { d x } \propto 1 - \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 \pi } \left[ \log ^ { 2 } ( 1 - x ) + \frac { 3 1 } { 6 } \log ( 1 - x ) + \pi ^ { 2 } + \frac 5 4 \right] .
\begin{array} { r l r } { J ( E ^ { * } ) } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { - r _ { 1 } / 1 0 } & { 0 } & { - 3 r _ { 1 } / 1 6 } \\ { 0 } & { r _ { 2 } ( 2 K _ { 2 } - 3 ) / ( 1 0 K _ { 2 } ) } & { r _ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) / ( 1 6 K _ { 2 } ) } \\ { 3 c _ { 1 } r _ { 1 } / 5 } & { r _ { 2 } ( 4 K _ { 2 } - 1 ) / ( 5 K _ { 2 } ) } & { - m } \end{array} \right) , } \end{array}
\left. \frac { { \mathscr Z } _ { \beta \alpha , \ldots , \beta \alpha } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \right| _ { ( 2 , 2 k - 1 ) } \simeq \frac { G _ { 2 } \left( \ell + 1 \right) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell / 2 } } \, \left( - g _ { \mathrm { s } } \, \frac { ( - 1 ) ^ { n + k } \cot \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } { 3 2 \left( 2 k - 1 \right) \sin ^ { 2 } \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } \right) ^ { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } } { \mathrm { e } } ^ { - \ell \, \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( 1 , n ) } + \cdots ,
\begin{array} { r } { p ( x _ { i } , y _ { j } \mid x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) = \operatorname* { m a x } _ { k } { p _ { \mathrm { m o d e l } } ( x _ { i } , y _ { j } , z _ { k } \mid x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } t _ { i } } & { = \partial _ { \tau } \left( \partial _ { s _ { i } } p \right) , } \\ & { = \partial _ { s _ { i } } \partial _ { \tau } p , } \\ & { = \partial _ { s _ { i } } ( v _ { \sigma } \widehat { n } + v _ { \bot } ) , } \\ & { = t _ { i } \cdot \nabla _ { \! \bot } ( v _ { \sigma } \widehat { n } + v _ { \bot } ) , } \\ & { = t _ { i } \cdot ( ( \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } ) \otimes \widehat { n } + v _ { \sigma } \nabla _ { \! \bot } \widehat { n } + \nabla _ { \! \bot } v _ { \bot } ) , } \\ & { = t _ { i } \cdot ( ( \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } ) \otimes \widehat { n } + v _ { \sigma } \nabla _ { \! \bot } \widehat { n } + \nabla _ { \! \bot } v _ { \bot } \cdot \Pi + ( K v _ { \bot } ) \otimes \widehat { n } ) . } \end{array}
D ^ { \prime } = { \frac { \operatorname { C r d } 2 \theta \cdot A H } { \operatorname { C r d } \mu \cdot 2 R } } = { \frac { \operatorname { C r d } ( 1 0 8 ^ { \circ } + 2 \delta ) \cdot 6 0 0 \cdot 5 \cdot 6 5 0 } { 2 1 6 0 0 \cdot 2 \cdot 3 4 3 8 } } t
| k | ^ { 2 } = \big ( | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } \big ) ^ { 6 } = \Big ( \frac { 1 2 } { \sigma } \Big ) ^ { 6 } \Big ( \frac { \sigma } { 1 2 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } \Big ) ^ { 6 } \leq \Big ( \frac { 1 2 } { \sigma } \Big ) ^ { 6 } \Big ( e ^ { \frac { \sigma } { 1 2 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ) ^ { 6 } = \Big ( \frac { 1 2 } { \sigma } \Big ) ^ { 6 } e ^ { \frac { \sigma } { 2 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { y - \varepsilon } \Phi ( z ) ^ { n } d z } & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \Phi ( 1 ) ^ { n } d z + \int _ { 1 } ^ { y - \varepsilon } \Phi ( z ) ^ { n } d z \le 0 . 8 5 ^ { n } + \int _ { 1 } ^ { y - \varepsilon } \exp \left( - ( c _ { 1 } + o ( 1 ) ) e ^ { \varepsilon y } / y \right) d z } \\ & { \le 0 . 8 5 ^ { n } + y \exp \left( - ( c _ { 1 } + o ( 1 ) ) e ^ { \varepsilon y } / y \right) \to 0 \qquad \mathrm { ~ a s ~ } n , y \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Pi } _ { m } ^ { A } } & { { } = \mathrm { i } \sqrt { \frac { M \hbar \omega _ { 0 } } { 2 } } \left( { a _ { m } } ^ { \dagger } - a _ { m } ^ { \phantom { \dagger } } \right) \hat { x } , } \\ { \mathbf { \Pi } _ { m } ^ { B } } & { { } = \mathrm { i } \sqrt { \frac { M \hbar \omega _ { 0 } } { 2 } } \left( { b _ { m } } ^ { \dagger } - b _ { m } ^ { \phantom { \dagger } } \right) \hat { x } , } \end{array}
T = { \frac { N _ { T C } } { 1 6 \pi s ^ { 2 } c ^ { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } } } \sum _ { d o u b l e t s } \left[ m _ { N } ^ { 2 } + m _ { E } ^ { 2 } - { \frac { 2 m _ { N } ^ { 2 } m _ { E } ^ { 2 } } { m _ { N } ^ { 2 } - m _ { E } ^ { 2 } } } \ln { \frac { m _ { N } ^ { 2 } } { m _ { E } ^ { 2 } } } \right] .
\oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \mathrm { d } { \boldsymbol { \ell } } \cdot \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \ t ) = - \ \iint _ { \Sigma ( t ) } \mathrm { d } \mathbf { A } \cdot { \frac { \mathrm { d } \, \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \ t ) } { \mathrm { d } t } }
\frac { c _ { 2 } ^ { - \nu } } { c _ { 0 } ^ { - \nu } } = \frac { 1 } { \displaystyle h ^ { - 2 } [ s ^ { 2 } - ( - \nu + 2 ) ^ { 2 } ] - \frac { 1 } { \displaystyle h ^ { - 2 } [ s ^ { 2 } - ( - \nu + 4 ) ^ { 2 } ] - \frac { 1 } { \displaystyle h ^ { - 2 } [ s ^ { 2 } - ( - \nu + 6 ) ^ { 2 } ] \cdot \cdot \cdot } } }
\begin{array} { r l } { \! \! \dot { \theta } _ { A } ^ { k } = } & { \frac { q _ { k } ^ { 2 } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \left[ \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \mathcal { A } _ { B } ^ { k } ( \kappa - \delta ) - \mathrm { I m } ( \mathrm { K } ^ { k } ) \right] + \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } } \\ { \! \! \dot { \theta } _ { B } ^ { k } = } & { - \frac { q _ { k } ^ { 2 } } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } ( \kappa + \delta ) } + \xi _ { \theta _ { B } ^ { k } } , } \end{array}
\mathrm { N A } _ { x } ^ { \mathrm { e f f } } \equiv \frac { \operatorname* { m a x } ( k _ { x } ^ { \mathrm { a c c e s s i b l e } } ) - \operatorname* { m i n } ( k _ { x } ^ { \mathrm { a c c e s s i b l e } } ) } { 2 k _ { 0 } }
b ^ { ( 1 ) } = \tau ^ { ( 1 ) } = 0 , \qquad \qquad \hat { \eta } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { C _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } } { \hat { S } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } } , } & { | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | = 2 , } \\ { 0 , } & { | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | \neq 2 . } \end{array} \right.
( \mathring { \Delta } _ { \mathrm { H } } \rho ) _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } \ = \ - \mathring { \Delta } _ { \mathrm { B } } \rho _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } + p \mathring { R } _ { j [ i _ { 1 } } \rho ^ { j } _ { i _ { 2 } \cdots i _ { p } ] } + \frac 1 2 p ( p - 1 ) \mathring { R } _ { j k [ i _ { 1 } i _ { 2 } } \rho ^ { j k } _ { i _ { 3 } \cdots i _ { p } ] }
I ^ { ( \pm ) } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \, \frac { q \, J _ { 0 } ( q | \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } | ) } { k ^ { 2 } - q ^ { 2 } \pm i \epsilon } = - i \pi ^ { 2 } \, H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \pm k | \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } | + i \tilde { \epsilon } ) \; ,
\begin{array} { r } { | \zeta ^ { n } | ^ { 2 } - | \zeta ^ { n - 1 } | ^ { 2 } + | \zeta ^ { n } - \zeta ^ { n - 1 } | ^ { 2 } + \nu \delta | \nabla \Pi _ { K } \zeta ^ { n } | ^ { 2 } + \beta \delta | \zeta ^ { n } | ^ { 2 } \leq \tilde { c } \frac { \delta } { ( \nu \beta ) ^ { 1 / 2 } } | \zeta ^ { n - 1 } | ^ { 2 } | \nabla \xi ^ { n } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { r - \tilde { \Xi } _ { 2 } - \tilde { \Xi } _ { 1 } \sqrt { \delta } - r \sqrt { \delta } > 0 , } \\ { \frac { c \hat { \lambda } _ { 1 } - \eta \gamma ^ { 2 } } { 2 } - \frac { ( r + \tilde { \Xi } _ { 1 } ) \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } - \frac { ( c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ) \beta ^ { - 1 } } { c \lambda _ { 2 } } > 0 , } \\ { v - \frac { 1 } { 2 \eta } - \frac { \ell ^ { 2 } \beta ^ { - 1 } } { 2 c \lambda _ { 2 } } > 0 \Rightarrow \eta > \frac { c \lambda _ { 2 } } { 2 c \lambda _ { 2 } v - \beta ^ { - 1 } \ell ^ { 2 } } . } \end{array}
[ n ] _ { 0 } = [ n ] _ { q } \cdot a _ { 0 } ^ { 2 } , \quad [ n ] _ { 0 } ! = [ n ] _ { q } ! \cdot a _ { 0 } ^ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } \cdots a _ { n - 1 } ^ { 2 } ,
{ \cal O } _ { F } ^ { \alpha \beta } = \frac { e } { 4 \pi ^ { 2 } } \, \tilde { F } ^ { \alpha \beta } = \frac { e } { 4 \pi ^ { 2 } } \, \epsilon ^ { \alpha \beta \rho \delta } \partial _ { \rho } A _ { \delta } \, ,
\begin{array} { r l } { H ( v ) } & { { } = 2 h d * \Delta t * \rho ^ { T } \nabla ( M \mathrm { d i a g } ( v ) ) + \beta ( \frac { \partial \rho ^ { m } } { \partial v } ) ^ { T } ( \frac { \partial \rho ^ { m } } { \partial v } ) } \end{array}
= \left( \frac { N _ { c } } { 4 i } \right) \int _ { \Lambda } \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { T r } [ S ( p ) \gamma _ { \mu } S ( p + k _ { 1 } ) \gamma _ { 5 } S ( p + k _ { 2 } ) \gamma _ { \nu } S ( p + k _ { 3 } ) \gamma _ { 5 } ] ,
\begin{array} { r l r } { D _ { \mathrm { R B D } } ^ { \mathrm { 2 D } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } b B _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { P _ { x x } ^ { \mathrm { 2 D } } ( k _ { x } , k _ { y } ) } { k _ { \perp } } d k _ { x } d k _ { y } . } \end{array}
\mathbf U ^ { \dagger } \mathbf { T } _ { \mathrm { H P } } \mathbf U = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 + \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 1 - \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { \mathrm { i } \zeta _ { m } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 1 - \mathrm { i } \zeta _ { m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { \mathrm { i } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathrm { i } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathrm { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \mathrm { i } } \end{array} \right) ,
\frac { n _ { e } m _ { e } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } } = \frac { 4 \pi n _ { e } m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 \pi m e ^ { 2 } B ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 8 \pi } \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \Omega _ { c e } ^ { 2 } } ,
\frac { 1 } { k _ { - } + i \epsilon { \textrm s g n ( k _ { + } ) } } \delta \bigg ( k _ { + } ( 1 - \frac { k _ { - } } { p _ { - } } ) ) + \frac { k ^ { \perp 2 } } { p _ { - } } \bigg ) \stackrel { { \textrm f o r } \, \, p _ { - } \to \infty \, } { \longrightarrow } \frac { 1 } { k _ { - } - i \epsilon } \delta ( k _ { + } ) \;
( q t \vert q _ { 0 } t _ { 0 } ) = ( 2 \pi i \hbar ) ^ { - n / 2 } \bigl ( g ( q ) g ( q _ { 0 } ) \bigr ) ^ { 1 / 4 } \sqrt { D } \exp \bigl [ i S ( q t , q _ { 0 } t _ { 0 } ) / \hbar \bigr ]
P _ { \gamma / e } ( y ) = \frac { \alpha _ { e m } } { 2 \pi } \left[ \frac { 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } } { y } \right] \ln \frac { Q _ { m a x } ^ { 2 } ( 1 - y ) } { m _ { e } ^ { 2 } y ^ { 2 } } \: \: \: ,
\begin{array} { r } { \sum _ { s \in \nu } \left[ \left( J \rho ^ { s + 1 } \right) _ { i , p } - \left( J \rho ^ { s } \right) _ { i , p } \right] + \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } \frac { \left( J j ^ { \xi } \right) _ { i + 1 / 2 , p } ^ { \nu + 1 / 2 } - \left( J j ^ { \xi } \right) _ { i - 1 / 2 , p } ^ { \nu + 1 / 2 } } { \Delta \xi } = 0 , } \end{array}
\nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ( t , x ) = \nabla \mathbf { u } _ { m , k } ( x ) \int _ { - \infty } ^ { t } \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } ( s ) \zeta _ { m , k } ( s ) \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } ( s - t ) \aftergroup \egroup \right) \, d s \, .
| { \cal M } _ { u u - i n i t i a t e d } | ^ { 2 } = \left[ 1 + 2 \left| \frac { V _ { u s } } { V _ { u d } } \right| ^ { 2 } + \left| \frac { V _ { u s } } { V _ { u d } } \right| ^ { 4 } \right] \, \times \, | { \cal M } _ { u u \to d d + \ell ^ { + } \ell ^ { + } } | ^ { 2 } \, ,
\eta _ { r } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \xi ^ { 2 } } & { ( \mathrm { { f r i c t i o n l e s s } } ) } \\ { \xi ^ { 3 } } & { ( \mathrm { { f r i c t i o n a l } } ) } \end{array} \right. ~ .
\begin{array} { r l } & { T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ( z ) = \ln \left( \frac { 2 } { 1 + P ^ { \bullet } ( R ) } \right) - \kappa \sqrt { 1 - \frac { z } { R } } + \mathcal { O } \left( 1 - \frac { z } { R } \right) } \\ & { T ( z ) = \frac { 2 } { 1 + P ^ { \bullet } ( R ) } - 1 - \frac { 2 } { 1 + P ^ { \bullet } ( R ) } \kappa \sqrt { 1 - \frac { z } { R } } + \mathcal { O } \left( 1 - \frac { z } { R } \right) } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log \binom { n } { | \mathcal { V } _ { \star } ^ { ( n ) } | } \leq \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } - \frac { | \mathcal { V } _ { \star } ^ { ( n ) } | } { n } \log \frac { | \mathcal { V } _ { \star } ^ { ( n ) } | } { n e } = \eta _ { 1 } ( \mu ; h , \delta ) ( 1 - \log \eta _ { 1 } ( \mu ; h , \delta ) ) .