harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \big \| \psi _ { \leq N } \big \| _ { X ^ { 1 / 4 - \delta _ { 2 } , b _ { 0 } } ( [ 0 , T ] ) } } & { \leq R \exp \big ( C ( T \lambda ) ^ { C } \big ) , } \\ { \big \| \psi _ { \leq M } - \psi _ { \leq N } \big \| _ { X ^ { 1 / 4 - \delta _ { 2 } , b _ { 0 } } ( [ 0 , T ] ) } } & { \leq R \exp \big ( C ( T \lambda ) ^ { C } \big ) \operatorname* { m i n } ( M , N ) ^ { - \kappa } . } \end{array}
y _ { t } ^ { \mathrm { a u g } } = \left[ \begin{array} { l } { y _ { t } } \\ { 0 } \end{array} \right] , \quad \quad \mathcal { H } _ { \gamma , t } ^ { \mathrm { a u g } } ( z _ { t } ) = \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { H } _ { \gamma , t } ( z _ { t } ) } \\ { z _ { t } } \end{array} \right] , \quad \quad \eta _ { t } ^ { \mathrm { a u g } } \sim \mathcal { N } ( 0 , R _ { t } ^ { \mathrm { a u g } } ) , \quad \quad R _ { t } ^ { \mathrm { a u g } } = \left[ \begin{array} { l l } { R _ { t } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sigma ^ { 2 } I _ { d _ { z } } } \end{array} \right] .
{ \tilde { x } } _ { i j l } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } ) = { \tilde { x } } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } ) + ( - 1 ) ^ { l } { \tilde { x } } \left( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } + { \frac { n } { 2 } } \right)
M _ { 1 } = - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int d ^ { 2 } x \left\{ { \frac { a - 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \theta \partial ^ { \mu } \theta + \theta [ ( a - 1 ) \partial _ { \mu } A ^ { \mu } + \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } A _ { \nu } ] \right\}
\begin{array} { r l r } { \| E _ { 1 } ( \Delta t , \Delta x ) \| _ { C } } & { = } & { \| { \bf e } _ { N } ( x , \Delta t ) \| _ { C } } \\ & { \leq } & { \Delta t \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq \tau \leq \Delta t } \left\| { \cal I } _ { N } \tilde { L } e ^ { { \cal I } _ { N } \tilde { L } ( \Delta t - \tau ) } ( I - { \cal I } _ { N } ) { \bf v } ( \cdot , \tau ) \right\| _ { C } } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } \Delta t \Delta x ^ { m - 1 } , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi } \: \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \Phi _ { \omega } ( \sigma ) \: \Phi _ { \omega ^ { \prime } } ( \sigma ) \star 1 = ( \delta _ { \omega , \omega ^ { \prime } } + \delta _ { \omega , - \omega ^ { \prime } } ) < \Phi _ { \omega } , \Phi _ { \omega ^ { \prime } } >
{ \mathbf { R } } _ { \mathrm { H } } = \left( \begin{array} { l l } { \omega ^ { 2 } - a ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } - c ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } } & { ( a ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) k _ { x } k _ { z } + i \, \epsilon \, E } \\ { ( a ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) k _ { x } k _ { z } - i \, \epsilon \, E } & { \omega ^ { 2 } - a ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } - c ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } } \end{array} \right) = { \mathbf { R } } _ { 0 } + i \, \epsilon \, E \, { \mathbf { J } } ,
\begin{array} { r l } { S ^ { \mathrm { R , F F } } } & { = \frac { \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { d } } } { p _ { x } } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } E _ { x } ^ { \mathrm { R e f } } ( { \bf r } _ { l } ) } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } } \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } z _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } / R _ { l } } \left[ r _ { l } ^ { ( \mathrm { s } ) } - \frac { x _ { l } ^ { 2 } } { R _ { l } ^ { 2 } } \left( r _ { l } ^ { ( \mathrm { s } ) } + r _ { l } ^ { ( \mathrm { p } ) } \frac { z _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { R _ { l } ^ { 2 } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { J } F ( B ) e _ { j } } & { = } & { - \frac { T } 2 \left( I d + J \right) { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } B e _ { j } - T B \left( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } e _ { j } + \frac 1 2 ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) e _ { j } \right) } \\ & { = } & { \left( - \frac { T } 2 \left( I d + J \right) ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } B ) + T B \left( \frac { \mu } { T } \, I d + \frac 1 2 J ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \right) \right) e _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { p } } { \partial t } } & { { } = \mathbf { A } ^ { p } \left[ \mathbf { a } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { p } \left[ \mathbf { a } \right] \cdot \mathbf { w } ^ { p } ( t ) \, } \\ { \frac { \partial \mathbf { q } } { \partial t _ { - } } } & { { } = \mathbf { A } ^ { q } \left[ \mathbf { a } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { q } \left[ \mathbf { a } \right] \cdot \mathbf { w } ^ { q } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \epsilon _ { n } ( x _ { 0 } ) } { \partial x _ { 0 } } } & { { } = \langle \phi _ { n , x _ { 0 } } | \frac { \partial h _ { o p } } { \partial x _ { 0 } } | \phi _ { n , x _ { 0 } } \rangle = } \end{array}
\begin{array} { r l } { ^ { \mathrm { s c } } \! H _ { p } } & { = \rho ^ { 2 } \frac { \partial p } { \partial \zeta _ { \rho } } \Big ( \frac { \partial } { \partial \rho } + \frac { 2 \zeta _ { \rho } } { \rho } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { \rho } } + \big ( \sum _ { \mu = \theta , \varphi } \frac { \zeta _ { \mu } } { \rho } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { \mu } } \big ) \Big ) - \Big ( \frac { \partial p } { \partial \rho } + \frac { 2 \zeta _ { \rho } } { \rho } \frac { \partial p } { \partial \zeta _ { \rho } } + \big ( \sum _ { \mu = \theta , \varphi } \frac { \zeta _ { \mu } } { \rho } \frac { \partial p } { \partial \zeta _ { \mu } } \big ) \Big ) \rho ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { \rho } } } \\ & { \quad + \sum _ { \mu = \theta , \varphi } \rho \Big ( \frac { \partial p } { \partial \zeta _ { \mu } } \frac { \partial } { \partial \mu } - \frac { \partial p } { \partial \mu } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { \mu } } \Big ) } \\ & { = \rho \Big ( \frac { \partial p } { \partial \zeta _ { \rho } } \big ( \rho \frac { \partial } { \partial \rho } + ( \sum _ { \mu = \theta , \varphi } \zeta _ { \mu } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { \mu } } ) \big ) - \big ( \rho \frac { \partial p } { \partial \rho } + ( \sum _ { \mu = \theta , \varphi } \zeta _ { \mu } \frac { \partial p } { \partial \zeta _ { \mu } } ) \big ) \frac { \partial } { \partial \zeta _ { \rho } } + \sum _ { \mu = \theta , \varphi } \big ( \frac { \partial p } { \partial \zeta _ { \mu } } \frac { \partial } { \partial \mu } - \frac { \partial p } { \partial \mu } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { \mu } } \big ) \Big ) . } \end{array}
{ f } _ { a b c } = \left\{ \begin{array} { c c c } { { { f } _ { + - Z } } } & { { = } } & { { - i \cos \theta _ { W } } } \\ { { { f } _ { + - A } } } & { { = } } & { { i \sin \theta _ { W } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { p { \bf q } s , e { \bf q } ^ { \prime } s ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } = } & { \frac { \pi \alpha ^ { 2 } c ^ { 6 } | E _ { \gamma } | ^ { 2 } } { V ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } \omega _ { \gamma } ^ { 2 } \omega _ { p } ^ { 2 } } \sum _ { \pm } \delta ( \varepsilon _ { q } + \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { \gamma } \pm \omega _ { p } ) \; \sum _ { j = 1 , 2 } \bigg | \overline { { u } } _ { { \bf q } ^ { \prime } s ^ { \prime } } \, \mathcal { M } _ { j } ^ { \pm } ( { \bf q } , { \bf q } ^ { \prime } ) \, v _ { { \bf q } s } \bigg | ^ { 2 } , } \end{array}
d s _ { s t r } ^ { 2 } \rightarrow - e ^ { 2 \eta / R } \, d t ^ { 2 } + d \eta ^ { 2 } + R ^ { 2 } \, d \Omega ^ { 2 } \qquad , \qquad R ^ { 2 } = - { \frac { d _ { A B C } \, p ^ { A } p ^ { B } p ^ { C } } { p ^ { 1 } } }
W = \{ \mathrm { B i r d } ( \mathrm { C o n d o r } ) , \mathrm { B i r d } ( \mathrm { P e n g u i n } ) , \neg \mathrm { F l i e s } ( \mathrm { P e n g u i n } ) , \mathrm { F l i e s } ( \mathrm { B e e } ) \}
[ f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } ] _ { \hbar } = \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { \sigma \in S _ { 3 } } \epsilon ( \sigma ) ( f _ { \sigma _ { 1 } } , f _ { \sigma _ { 2 } } , f _ { \sigma _ { 3 } } ) _ { \hbar } \; ,
\begin{array} { r l r } { \Big [ { n _ { i } } \Big ] } & { = } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } n _ { i } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } = \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } n _ { i } \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp ( - \beta n _ { i } \omega _ { i } ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } \frac { \partial z _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) } = \frac { f _ { i } ( f _ { i } + 1 ) } { f _ { i } + 1 } = f _ { i } , } \end{array}
\Pi ^ { \mu \nu } ( k ) = \Pi _ { 1 } ( k ^ { 2 } ) i \epsilon ^ { \mu \nu \rho } k _ { \rho } + \Pi _ { 2 } ( k ^ { 2 } ) \left( k ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } - k ^ { \mu } k ^ { \nu } \right) ,
I _ { a v g } = \frac { c o n v ( I _ { r a w } \times \overline { { B _ { f l a g } } } , U _ { M N } ; \mathrm { s t r i d e = \it [ M , N ] ) } } { c o n v ( \overline { { B _ { f l a g } } } , U _ { M N } ; \mathrm { s t r i d e = \it [ M , N ] ) } } ,
R _ { \theta \theta } - \, g _ { \theta \theta } \, \Lambda \approx \, g _ { \theta \theta } \, \biggl [ \, \frac { \ddot { a } } { a } \, + \, 2 \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { \! \! 2 } \, \biggr ] - \, \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \, r ^ { 2 } \, \, \nabla ^ { 2 } \, h \, - \, g _ { \theta \theta } \, \Lambda \, = \, 4 \pi \, G ( \rho - p ) \, g _ { \theta \theta } \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a _ { 0 } } & { = - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) a _ { 0 } + i | a _ { 0 } | ^ { 2 } a _ { 0 } + 2 i | b _ { 0 } | ^ { 2 } a _ { 0 } + i \beta b _ { 0 } + f } \\ { \partial _ { t } b _ { 0 } } & { = - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) b _ { 0 } + i | b _ { 0 } | ^ { 2 } b _ { 0 } + 2 i | a _ { 0 } | ^ { 2 } b _ { 0 } + i \beta a _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla _ { h } \phi _ { h , \alpha _ { 1 } } ^ { t } \cdot \nabla _ { h } \phi _ { h , \alpha _ { 2 } } ^ { t } - \mathcal { I } _ { h } [ \nabla \phi _ { \alpha _ { 1 } } ^ { t } \cdot \nabla \phi _ { \alpha _ { 2 } } ^ { t } ] \| _ { h } ^ { 2 } \leq C h ^ { 2 ( p + 1 ) } N ^ { \kappa ( T - t ) } \| \varphi \| _ { C ^ { \lceil d / 2 \rceil + p + 5 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { \lambda , \gamma } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { \sim } & { \frac { 1 } { \log \lambda } \int _ { \lambda \Pi \times \lambda ^ { 1 / \upsilon _ { 2 } } \Pi } \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { i } u _ { i } } ) ( 1 - \mathrm e ^ { - \mathrm i y _ { i } u _ { i } } ) } { | u _ { i } | ^ { 2 } } \lambda f ( u _ { 1 } / \lambda , u _ { 2 } / \lambda ^ { 1 / \upsilon _ { 2 } } ) \mathrm d \boldsymbol { u } } \end{array}
\hat { P } ( X = t \, | \, \varphi ) \equiv \frac { | \{ w \in D \ | \ \varphi ( w ) \wedge w [ X ] = t \} | } { | \{ w \in D \ | \ \varphi ( w ) | } \approx P ( X = t \, | \, \varphi ) \, , \; \; \; \hat { P } ( Y = y \, | \, \varphi ) \equiv \frac { | \{ w \in D \ | \ \varphi ( w ) \wedge w [ Y ] = y \} | } { \{ | \{ w \in D \ | \ \varphi ( w ) | } \approx P ( Y = y \, | \, \varphi )
u _ { \mathrm { 5 t h ~ o r d e r } } ^ { ( i + 1 ) } = u ^ { ( i ) } \mp \left( \frac { 3 7 } { 3 7 8 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 1 } \hat { c } _ { 1 } } + \frac { 2 5 0 } { 6 2 1 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 3 } \hat { c } _ { 3 } } + \frac { 1 2 5 } { 5 9 4 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 4 } \hat { c } _ { 4 } } + \frac { 5 1 2 } { 1 7 7 1 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 6 } \hat { c } _ { 6 } } \right) \Delta p ^ { ( i ) } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } \left( f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right) } & { \leq D \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert - \frac { \gamma _ { n + 1 } } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert ^ { 2 } + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \le D \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { H } ^ { \left( i \right) } } & { = } & { \frac { n _ { i } } { \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( i \right) } \right\vert k _ { z } ^ { \left( i \right) } } \left( \begin{array} { c } { - \left[ E _ { x } ^ { \left( i \right) } k _ { x } ^ { \left( i \right) } k _ { y } ^ { \left( i \right) } + E _ { y } ^ { \left( i \right) } \left( \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( i \right) } \right\vert ^ { 2 } - k _ { x } ^ { \left( i \right) 2 } \right) \right] } \\ { E _ { y } ^ { \left( i \right) } k _ { x } ^ { \left( i \right) } k _ { y } ^ { \left( i \right) } + E _ { x } ^ { \left( i \right) } \left( \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( i \right) } \right\vert ^ { 2 } - k _ { y } ^ { \left( i \right) 2 } \right) } \\ { \left( E _ { y } ^ { \left( i \right) } k _ { x } ^ { \left( i \right) } - E _ { x } ^ { \left( i \right) } k _ { y } ^ { \left( i \right) } \right) k _ { z } ^ { \left( i \right) } } \end{array} \right) } \\ { \mathbf { H } ^ { \left( r \right) } } & { = } & { \frac { n _ { r } } { \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( r \right) } \right\vert k _ { z } ^ { \left( r \right) } } \left( \begin{array} { c } { E _ { x } ^ { \left( r \right) } k _ { x } ^ { \left( r \right) } k _ { y } ^ { \left( r \right) } + E _ { y } ^ { \left( r \right) } \left( \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( r \right) } \right\vert ^ { 2 } - k _ { x } ^ { \left( r \right) 2 } \right) } \\ { - \left[ E _ { y } ^ { \left( r \right) } k _ { x } ^ { \left( r \right) } k _ { y } ^ { \left( r \right) } + E _ { x } ^ { \left( r \right) } \left( \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( r \right) } \right\vert ^ { 2 } - k _ { y } ^ { \left( r \right) 2 } \right) \right] } \\ { \left( E _ { y } ^ { \left( r \right) } k _ { x } ^ { \left( r \right) } - E _ { x } ^ { \left( r \right) } k _ { y } ^ { \left( r \right) } \right) k _ { z } ^ { \left( r \right) } } \end{array} \right) } \\ { \mathbf { H } ^ { \left( t \right) } } & { = } & { \frac { n _ { t } } { \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( t \right) } \right\vert k _ { z } ^ { \left( t \right) } } \left( \begin{array} { c } { - \left[ E _ { x } ^ { \left( t \right) } k _ { x } ^ { \left( t \right) } k _ { y } ^ { \left( t \right) } + E _ { y } ^ { \left( t \right) } \left( \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( t \right) } \right\vert ^ { 2 } - k _ { x } ^ { \left( t \right) 2 } \right) \right] } \\ { E _ { y } ^ { \left( t \right) } k _ { x } ^ { \left( t \right) } k _ { y } ^ { \left( t \right) } + E _ { x } ^ { \left( t \right) } \left( \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( t \right) } \right\vert ^ { 2 } - k _ { y } ^ { \left( t \right) 2 } \right) } \\ { \left( E _ { y } ^ { \left( t \right) } k _ { x } ^ { \left( t \right) } - E _ { x } ^ { \left( t \right) } k _ { y } ^ { \left( t \right) } \right) k _ { z } ^ { \left( t \right) } } \end{array} \right) } \end{array}
L _ { \mathrm { \scriptsize ~ f u l l - b o x } } ( p , k ) = g ^ { 4 } \int { \frac { d ^ { 4 } l } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \, \tilde { G } ( k { - } l ) \, \tilde { G } ( l { - } k ) ^ { * } \, S ( - l ) \, S ( l { - } k { + } p ) \;
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { z } \langle f \rangle ( z ) } & { { } \approx \langle \hat { f } \rangle ( \mu ( 1 + C _ { v } ^ { 2 } ) ) = 2 a g ( r a ) \frac { \mu ( 1 + C _ { v } ^ { 2 } ) } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } C _ { v } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { ( n ) } } & { { } \sim \frac { m _ { \mathrm { H } } ^ { 4 } } { 2 ^ { D + 2 n + 1 } \sqrt { \pi ^ { D } } v _ { n } ^ { 2 } } \int ^ { \Lambda } \frac { k ^ { D - 1 } d k } { k ^ { 4 + 8 n } } } \end{array}
\frac { S ( x , z ) } { \| S \| _ { 2 } } \sim A \mathrm { e } ^ { i \arg ( c _ { 1 } ) } \int _ { 0 } ^ { L } C ( x - x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ^ { \prime } ) , z , z ^ { \prime } ) \, \phi _ { 1 } ( z ^ { \prime } ) \, d z ^ { \prime } \ \ \ \ \ ( \ln U \to + \infty ) ,
V ^ { \mu } = - \gamma ^ { \mu } \left( \frac { 2 } { \omega ^ { 2 } } + \frac { 2 L _ { t } - 3 } { \omega } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } + L _ { t } ^ { 2 } \right) - 2 \frac { \not { p } _ { 2 } } { t } p _ { 1 } ^ { \mu } \left( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } + \frac { L _ { t } } { \omega } - 1 - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { L _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \right) .
v ^ { \sigma } = \omega _ { \sigma } + \sum _ { \sigma ^ { \prime } = 1 } ^ { M } k _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f \left( \theta ^ { \sigma ^ { \prime } } , \omega _ { \sigma ^ { \prime } } , t \right) \sin { \left( \theta ^ { \sigma ^ { \prime } } - \theta ^ { \sigma } \right) } \mathrm { d } \theta ^ { \sigma ^ { \prime } } .
e ^ { - i k _ { 2 } L } \frac { \kappa _ { 2 } - i k _ { 2 } } { \kappa _ { 2 } + i k _ { 2 } } = - \frac { A _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ( \beta , + ) } { A _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ( \beta , - ) } ,
S = \int \, d \tau \, d \eta \, d { \bar { \eta } } \, \Lambda _ { \alpha } { \bar { \Lambda } } _ { \dot { \beta } } ( { \frac { i } { 2 } } ( { X _ { L } } ^ { \alpha \dot { \beta } } - { X _ { R } } ^ { \alpha \dot { \beta } } ) - \Theta ^ { \alpha } { \bar { \Theta } } ^ { \dot { \beta } } ) ,
| \psi ^ { ( \pm ) } \rangle = | \phi \rangle + \int d \beta { \frac { | \phi _ { \beta } \rangle } { E - E _ { \beta } \pm i \epsilon } } \langle \phi _ { \beta } | V | \psi ^ { ( \pm ) } \rangle , \quad H _ { 0 } | \phi _ { \beta } \rangle = E _ { \beta } | \phi _ { \beta } \rangle
\begin{array} { r l r } & { } & { P _ { \alpha } ( \theta ) = \sum _ { \mathrm { o d d ~ } n = 1 } ^ { \infty } P _ { \alpha , n } \exp \left( \imath n \theta \right) + \bar { P } _ { \alpha , n } \exp \left( - \imath n \theta \right) ; } \\ & { } & { P _ { \alpha , n } = \mathcal N ( 0 , 1 ) ; } \\ & { } & { \bar { P } _ { \alpha , n } = \frac { 4 \sqrt { f _ { 1 } } } { n \nu } \phi _ { \alpha \beta } P _ { \beta , n } ; } \\ & { } & { \phi _ { \alpha \beta } = - \phi _ { \beta \alpha } ; } \\ & { } & { \phi _ { \alpha \beta } = \mathcal N ( 0 , 1 ) \forall \alpha < \beta ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \left( \frac { \partial \vec { v } } { \partial t } + ( \vec { v } \cdot \nabla ) \vec { v } \right) } & { { } = - \nabla p + \mu \Delta \vec { v } + \vec { f } } \\ { \nabla \cdot \vec { v } } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { h ( \stackrel { \rightharpoonup } { x } ) ( 1 - \sum _ { u _ { 1 } = 1 } ^ { k _ { 1 } } \sum _ { u _ { 2 } = 1 } ^ { k _ { 2 } } . . . \sum _ { u _ { n - 1 } = 1 } ^ { k _ { n - 1 } } c _ { u _ { 1 } u _ { 2 } . . . u _ { n - 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } ^ { s _ { i } - ( u _ { i } - 1 ) } x _ { n } ) } \\ & { = } & { \sum _ { e _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { e _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } . . . \sum _ { e _ { n - 1 } = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( e _ { 1 } , e _ { 2 } , . . . , e _ { n - 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } ^ { e _ { i } } , } \end{array}
W _ { \mathrm { ~ S ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \, \mathcal { R } e \left[ \int r ^ { 2 } \sin { \theta } \, d \theta d \phi \, \left( E _ { { \mathrm { ~ S ~ } } \, \theta } H _ { { \mathrm { ~ S ~ } } \, \phi } ^ { * } - E _ { { \mathrm { ~ S ~ } } \, \phi } H _ { { \mathrm { ~ S ~ } } \, \theta } ^ { * } \right) \right]
\int _ { \Omega } \left\{ \left[ L \left( \alpha ^ { A } , { \alpha ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) - L \left( \varphi ^ { A } , { \varphi ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) \right] + { \frac { \partial } { \partial x ^ { \sigma } } } \left[ L \left( \varphi ^ { A } , { \varphi ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) \delta x ^ { \sigma } \right] \right\} d ^ { 4 } x = 0 \, .
\begin{array} { r } { \delta g _ { s e , + } ^ { ( 2 ) } \simeq - i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { + } } \frac { e } { T _ { e } } F _ { M e } \delta \psi _ { + } \delta \psi _ { 0 } ^ { * } \left[ 1 + \frac { k _ { \parallel 0 } } { k _ { \parallel s } } \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } } { \omega _ { 0 } } \right] . } \end{array}
S \, ( g ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - \eta _ { + } } \; \eta _ { + } ^ { \mu \nu } \: t r \left( \partial _ { \mu } g \: \partial _ { \nu } \tilde { g } \right) + \Gamma _ { W Z } ( g )
\frac { E _ { \mathrm { s c } } ( t ) } { E _ { \mathrm { i n c } } } = - \frac { c } { 4 l _ { 1 } n _ { 1 } } \left[ r _ { 1 } + \delta \left( t - \frac { 2 l _ { 1 } n _ { 1 } } { c } \right) * \right] e ^ { - i \omega _ { 1 } t } t \theta \left( t \right)
\begin{array} { r } { \mathbf { H } ^ { \mathcal { S } } ( \mathbf { x } ) = \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } } \end{array}
< p ^ { m } , x _ { 0 } ^ { l } > \ = \ \delta _ { m 0 } \, \delta _ { l 0 } + \delta _ { m \, 2 s } \sum _ { k = 1 } ^ { l } \frac { ( 2 k ) ! } { 2 ^ { k } } D _ { k } ^ { l } ( \kappa , \beta ) \delta _ { s k } \, .
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { H } ) _ { \alpha \beta } } & { = \int _ { { P } } m _ { \alpha } m _ { \beta } \, d \mathbf { x } , \qquad \quad \alpha , \beta = 1 , . . . , n _ { k } , } \\ { ( \mathbf { C } ) _ { \alpha i } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { \int _ { \P } m _ { \alpha } \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } , } & { \quad \alpha = 1 , . . . , n _ { k - 2 } , } & { \enskip i = 1 , . . . , N _ { \P } ^ { \textrm { d o f } } , } \\ { \int _ { \P } m _ { \alpha } \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } \varphi _ { i } \, d \mathbf { x } , } & { \quad n _ { k - 2 } + 1 \leq \alpha \leq n _ { k } , } & { \enskip i = 1 , . . . , N _ { \P } ^ { \textrm { d o f } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \rho } _ { \Xi } ( t ) = } & { { } \exp \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) U \left( t , t _ { M } \right) \widetilde { S } \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } c _ { n , j } { \cal O } _ { n , j } ^ { \mu } = i \epsilon ^ { \mu + - \beta } g _ { \beta \lambda } \sum _ { j = 2 } ^ { n - 1 } { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = j } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { k + 1 } c _ { n , k } \, _ { g } W _ { n , j } ^ { \lambda + \cdots + }
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf { x } ^ { * } ) - f ( \mathbf { x } ) } & { \overset { ( a ) } { \leq } \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ^ { * } ) + w _ { l } ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) + w _ { l } ( \mathbf { x } ) } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 ( w _ { l } ( \mathbf { x } ) + w _ { l } ( \mathbf { x } ^ { * } ) ) } \\ & { \leq 4 \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l } } w _ { l } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { i } = ( A _ { 1 } - A _ { 2 } ) - A _ { 1 } X _ { 1 } ^ { i } + A _ { 2 } X _ { 2 } ^ { i } , 1 \leq i \leq n , i \delta t \leq \tau } \\ { p _ { n + j } = B _ { 1 } X _ { 1 } ^ { n + j } - B _ { 2 } X _ { 2 } ^ { n + j } , 1 \leq j \leq m , ( n + j ) \delta t > \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { t o t } } } & { = \left[ 1 - \exp \left( - 2 a _ { R } ^ { 2 } / w _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } \right) \right] \eta _ { \mathrm { a t m } } \eta _ { \mathrm { e f f } } , } \\ { w _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } } & { : = w _ { \mathrm { l t } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } = w _ { \mathrm { s t } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { T B } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { p } _ { \mathrm { A } _ { m } } ( \omega ) } & { = } & { \epsilon _ { 0 } \boldsymbol { { \chi } } _ { \mathrm { A } _ { m } } ( \omega ) \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \Bigg ( \sum _ { k = 1 , k \neq m } ^ { N _ { A } } \hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { r } _ { \mathrm { A } _ { m } } , \mathbf { r } _ { \mathrm { A } _ { k } } , \omega ) \cdot \mathbf { p } _ { \mathrm { A } _ { k } } ( \omega ) } \\ & { } & { + \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { D } } } \hat { \mathbf { G } } \left( \mathbf { r } _ { \mathrm { A } _ { m } } , \mathbf { r } _ { \mathrm { D } _ { l } } , \omega \right) \cdot \mathbf { p } _ { \mathrm { D } _ { l } } ( \omega ) \Bigg ) , } \end{array}