harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Phi ( n _ { \mathrm { L 1 } } , } & { n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\lvert \frac { f _ { \mathrm { H F } } ( \boldsymbol { \theta } _ { i } ) - m _ { f _ { \mathrm { H F } } } ( \boldsymbol { \theta } _ { i } ) } { f _ { \mathrm { H F } } ( \boldsymbol { \theta } _ { i } ) } \right\rvert } \\ & { \approx \tilde { \Phi } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } ) } \\ & { = \eta \cdot ( \rho _ { \mathrm { L 1 } } \cdot n _ { \mathrm { L 1 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } } { d } } + \rho _ { \mathrm { L 2 } } \cdot n _ { \mathrm { L 2 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } } { d } } + n _ { \mathrm { H F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { d } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \Psi } & { = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { i \phi } \left( - \frac { z } { r } m - i k r \right) \Psi , } \\ { \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \Psi } & { = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \left( - \frac { z } { r } m + i k r \right) \Psi , } \\ { \hat { l } _ { z } ( r , \phi , z ) \Psi } & { = } & { \hbar m \Psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { l } } & { { } = \mathrm { ~ C ~ r ~ o ~ s ~ s ~ - ~ A ~ t ~ t ~ e ~ n ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ( \mathbf { Q } _ { \mathbf { E } ^ { l - 1 } } , \mathbf { K } , \mathbf { V } ) \in \mathbb { R } ^ { M \times d } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( z ( \cdot ) ) } & { = } & { z _ { t _ { i + 1 } } - { \cal T } _ { q } ( t _ { i + 1 } - s _ { i } ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , z _ { s _ { i } } ) - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) { \cal F } ( e , z _ { e } ) d e } \\ & { } & { - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) { \cal G } ( e , z _ { e } ) d \hat { \cal W } ( e ) - \int _ { s _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } { \cal S } _ { q } ( t _ { i + 1 } - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) , } \\ & { } & { \forall \; t \in ( s _ { i } , t _ { i + 1 } ] , \quad i = 0 , 1 , \ldots , m , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { p _ { H i g g s } \rightarrow 0 } M ( Q \rightarrow Q + H i g g s ) \equiv \bigtriangleup g _ { H Q Q } = { \frac { N _ { h } \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 3 \pi \langle \phi \rangle } } { \frac { \partial m _ { Q } } { \partial \alpha _ { s } } } .
J _ { 3 } ( B _ { 1 } , B _ { 2 } ) = \mathrm { p . v . } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { t ^ { 3 } d t } { \frac { ( B _ { 1 } t - 1 ) ( B _ { 2 } t - 1 ) } { ( B _ { 1 } t + 1 ) ( B _ { 2 } t + 1 ) } e ^ { 2 t } - 1 } ,
\begin{array} { r } { T _ { f i } ( t , T ) = 1 - c _ { f i } 4 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \Omega _ { R } t } { 2 } \right) \left( \frac { a \omega V _ { f i } } { \Omega _ { R } } \right) ^ { 2 } \left( \cos \left( \frac { \Omega _ { R } t } { 2 } \right) \cos \left( \frac { ( \omega - \omega _ { f i } ) T } { 2 } \right) \right. } \\ { \left. - \frac { ( \omega - \omega _ { f i } ) } { \Omega _ { R } } \sin \left( \frac { \Omega _ { R } t } { 2 } \right) \sin \left( \frac { ( \omega - \omega _ { f i } ) T } { 2 } \right) \right) } \end{array}
\check { \mathrm { G } } = \left( \check { \mathrm { V } } , \check { \mathrm { E } } , \left. h \right| _ { \check { \mathrm { E } } } , \left. \pi _ { \mathrm { V } } \right| _ { \check { \mathrm { V } } } , \left. \pi _ { \mathrm { E } } \right| _ { \check { \mathrm { E } } } \right)
\begin{array} { r l } { u _ { x , 3 D } } & { { } = u _ { x } - \langle u _ { x } \rangle _ { z } , } \\ { u _ { y , 3 D } } & { { } = u _ { y } - \langle u _ { y } \rangle _ { z } , } \\ { u _ { z , 3 D } } & { { } = u _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { L } = \left( 2 \tilde { A } \tilde { D } _ { t h } L e \frac { T _ { b } ^ { 3 } } { N ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - N / T _ { b } } \frac { \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 - } } - ( T _ { b } - 1 - q ) I } { 2 q ( T _ { b } - 1 ) - q ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { ( 1 ) , \mathbf { k } } ^ { \nu \mu \alpha } ( \omega ) = - \frac { i } { 2 } } & { \Big ( \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { v } ^ { \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \left( \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu ; \alpha } + \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \alpha ; \mu } \right) \cdot \hat { \rho } ^ { ( 0 ) } \right\} \Big ) \mathrm { . } } \end{array}
\tilde { S } ^ { \prime } \ [ X ^ { \mu } , b _ { \xi } ] = - | P _ { y } | \int d \xi \ e ^ { - \phi } \sqrt { | g _ { \xi \xi } | } + P _ { y } \int d \xi \left( C ^ { ( 1 ) } { } _ { \xi } - { \textstyle \frac { m } { 2 } } \ ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) \ b _ { \xi } \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { \left[ 2 i \left( k _ { L } + k \right) \frac { \partial } { \partial \eta } + \Delta _ { \perp } \right] a _ { k } = \left( k _ { p } ^ { 2 } \right) _ { k } \ast a _ { k } \, , } \\ & { a _ { k } ( r , k , \eta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \xi e ^ { - i k \xi } a ( r , \xi , \eta ) \, , } \\ & { ( f \ast g ) ( k ) : = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( k ^ { \prime } ) g ( k - k ^ { \prime } ) d k ^ { \prime } } \end{array}
\xi _ { \small o u t } ^ { \small T M } ( \epsilon ) = { \frac { \pi } { 4 } } \left[ { \frac { \epsilon - 1 } { \epsilon + 1 } } \right] = { \frac { \pi } { 4 } } \left[ { \frac { \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } } { \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } } } \right] = - \xi _ { \small i n } ^ { \small T M } ( \epsilon ) .
\begin{array} { r } { F ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { c c } { \frac 1 { \mu _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac 1 { \mu _ { 2 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
i \int _ { 0 } ^ { 1 } d \tau ^ { \prime } \left( - 2 i [ y _ { \alpha } \Phi ^ { \alpha } , l ^ { n ^ { \prime } } F _ { n n ^ { \prime } } ] - 2 i [ y _ { \beta } \Phi ^ { \beta } , y _ { \alpha } D _ { n } \Phi ^ { \alpha } ] \right) ,
\mathbf { H } + i \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { \dagger } = \mathbf { G } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { G _ { \mathcal { S } \mathcal { S } } } } & { \mathbf { G _ { \mathcal { S } \mathcal { \bar { S } } } } } \\ { \mathbf { G _ { \mathcal { \bar { S } } \mathcal { S } } } } & { \mathbf { G _ { \mathcal { \bar { S } } \mathcal { \bar { S } } } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { S } \mathcal { S } } } } & { \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { S } \mathcal { \bar { S } } } } } \\ { \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { \bar { S } } \mathcal { S } } } } & { \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { \bar { S } } \mathcal { \bar { S } } } } } \end{array} \right] - \left( \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { \Delta _ { \mathcal { S } \mathcal { S } } } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] - i \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { W _ { \mathcal { S } } } \mathbf { W _ { \mathcal { S } } } ^ { \dagger } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \right) ,
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } v ) ( s ) = } & { \underbrace { \operatorname* { m a x } _ { a } } _ { \mathrm { a c t i o n ~ c o s t } } \Bigm [ R ( s , a ) + \alpha _ { s , a } \underbrace { \kappa ( v ) } _ { \mathrm { r e w a r d ~ p e n a l t y / c o s t } } + \gamma \underbrace { \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) } _ { \mathrm { s w e e p } } \Bigm ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \partial _ { z } ^ { 2 } - \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { 2 } \right] \psi _ { z } ( t ) } \\ { = } & { } & { \left[ \frac { 1 - n _ { 0 } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } \left( \partial _ { z ^ { ' } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { n _ { 0 } ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } { 1 - n _ { 0 } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } \partial _ { t ^ { ' } } ^ { 2 } \right) \right. } \\ & { } & { \left. - 2 \frac { \beta } { c } \frac { 1 - n _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } \partial _ { t ^ { ' } } \partial _ { z ^ { ' } } \right] \psi _ { z ^ { ' } } ( t ^ { ' } ) = 0 . } \end{array}
\mathrm { F } ( t ) = \frac { \vert \langle \Psi _ { a } ( t ) \vert \Psi _ { b } ( t ) \rangle \vert ^ { 2 } } { \vert \vert \Psi _ { a } ( t ) \vert \vert ^ { 2 } \, \vert \vert \Psi _ { b } ( t ) \vert \vert ^ { 2 } } , \quad \vert \vert \Psi _ { a } ( t ) \vert \vert ^ { 2 } = \langle \Psi _ { a } ( t ) \vert \Psi _ { a } ( t ) \rangle
\sigma _ { \alpha , s k } ( E _ { \nu } ) = \int _ { T _ { \mathrm { m i n } } } ^ { T _ { \mathrm { m a x } } } \! d T \int _ { 0 } ^ { \frac { E _ { \nu } } { 1 + m _ { e } / 2 E _ { \nu } } } \! d T ^ { \prime } \, R e s ( T , \, T ^ { \prime } ) \, \frac { d \sigma _ { \alpha , s k } ( E _ { \nu } , \, T ^ { \prime } ) } { d T ^ { \prime } } \ .
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { ( 2 ) } ( z , f ) } & { = } & { \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) P _ { 0 } ( f ^ { \prime } ) \int \mathrm { d } f ^ { \prime \prime } g _ { R } ( f ^ { \prime } , f ^ { \prime \prime } ) P _ { 0 } ( f ^ { \prime \prime } ) } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \Lambda ( z , f ^ { \prime } ) \Lambda ( z , f ^ { \prime \prime } ) + \left( \frac { \alpha ( f ^ { \prime } ) - \alpha ( f ^ { \prime \prime } ) } { \alpha ( f ^ { \prime } ) \alpha ( f ^ { \prime \prime } ) } \right) \frac { 1 - e ^ { - \left[ \alpha ( f ^ { \prime } ) + \alpha ( f ^ { \prime \prime } ) \right] z } } { \alpha ( f ^ { \prime } ) + \alpha ( f ^ { \prime \prime } ) } \right] \: . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { I F } _ { i } ^ { ( 2 ) } \left( y _ { i } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) \right) } \\ & { = \mathcal { I F } _ { i } ^ { T } \left( y _ { i } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) \right) \left[ \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right] ^ { - 1 } \mathcal { I F } _ { i } \left( y _ { i } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) \right) } \\ & { = \boldsymbol { d } _ { i , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \left[ \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { J } _ { \beta } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { J } _ { \beta } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right] ^ { - 1 } \boldsymbol { d } _ { i , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) , } \end{array}
D = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } Y ^ { I } ( \omega ^ { n } ) _ { I J } X ^ { J } ( \sigma ) [ \delta _ { N } ( \sigma , \pi ) - \delta _ { N } ( \sigma ) ] \ .
\begin{array} { r l } & { [ x , E _ { i } ] = [ E _ { i } , y ] = E _ { i } , \; \; \forall i = 1 , 2 , 3 , } \\ & { [ y , A _ { h } ] = A _ { h } , \; [ x , A _ { k } ] = A _ { k } \; \; \forall h = 1 , 2 , 3 , 4 , \; \forall k = 5 , 6 , 7 , } \\ & { [ A _ { 1 } , E _ { 1 } ] = A _ { 5 } , \; [ A _ { 1 } , E _ { 2 } ] = A _ { 7 } , \; [ A _ { 2 } , E _ { 2 } ] = - A _ { 6 } , } \\ & { [ A _ { 3 } , E _ { 2 } ] = A _ { 5 } , \; [ A _ { 3 } , E _ { 3 } ] = A _ { 7 } , \; [ A _ { 4 } , E _ { 3 } ] = - A _ { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ^ { \prime } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } \frac { h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t + \delta ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) } { \delta } = \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } \frac { h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t + \delta ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) \pm h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t ) } { \delta } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } \frac { h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t + \delta ) - h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t ) } { \delta } \leq \partial _ { t } h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \left( A [ h ] : \nabla ^ { 2 } \mu \right) \, \mathrm { d } v } & { + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h \mu ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq C \left\| A [ h ] \right\| _ { L ^ { \infty } } \int ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v + \int ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v + \ell \int ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq \big ( 1 + C E ( t ) ^ { \beta _ { 0 } } \big ) \int ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v + \int ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v + \ell \int ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \psi ( \mathcal { M } , \eta ) \right> _ { C A } = \sqrt { \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \Xi _ { \mathcal { M } , \eta } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } } & { ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } \left| n \right> _ { C } \otimes \big ( \eta _ { 1 } \left| n m _ { 1 } m _ { 1 } m _ { 2 } \right> + \eta _ { 2 } \left| m _ { 2 } n m _ { 1 } m _ { 1 } \right> + \eta _ { 3 } \left| m _ { 1 } m _ { 2 } n m _ { 1 } \right> + \eta _ { 4 } \left| m _ { 1 } m _ { 1 } m _ { 2 } n \right> } \\ & { + \eta _ { 5 } \left| n m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 1 } \right> + \eta _ { 6 } \left| m _ { 1 } n m _ { 1 } m _ { 2 } \right> + \eta _ { 7 } \left| m _ { 2 } m _ { 1 } n m _ { 1 } \right> + \eta _ { 8 } \left| m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 1 } n \right> } \\ & { + \eta _ { 9 } \left| n m _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 1 } \right> + \eta _ { 1 0 } \left| m _ { 1 } n m _ { 2 } m _ { 1 } \right> + \eta _ { 1 1 } \left| m _ { 1 } m _ { 1 } n m _ { 2 } \right> + \eta _ { 1 2 } \left| m _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 1 } n \right> \big ) _ { A } , } \end{array}
\sigma _ { w } ( s ) = \frac { 6 \pi } { M _ { W } ^ { 2 } } \, \frac { ( 5 - N _ { c } ^ { i } ) } { N _ { c } ^ { i ^ { 2 } } } \, \frac { s \; \tilde { \Gamma } _ { W \rightarrow f \! f ^ { \prime } } ^ { ( 0 + 1 ) } \; \tilde { \Gamma } _ { W \rightarrow i i ^ { \prime } } ^ { ( 0 + 1 ) } } { [ ( s - M _ { W } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + M _ { W } ^ { 2 } \; ( \Gamma _ { W } ^ { ( 0 + 1 ) } ) ^ { 2 } ] } \; ,
\begin{array} { r l } { \int _ { D } \phi \left( \frac { t } { M ^ { n } n ^ { 2 } } | x | ^ { - n } \right) d x } & { \leq C \int _ { D } \phi \left( D _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } u _ { t } ( x ) \right) d x \leq C \int _ { D } \phi \left( | D ^ { 2 } u _ { t } \right| ) d x } \\ & { \leq C \int _ { B _ { 1 } } \phi \left( | D ^ { 2 } u _ { t } \right| ) d x \leq C \phi ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 . \qquad \mathrm { F o r ~ s c a l a r ~ p r o p a g a t o r , } \qquad G ( p , \omega ) = \frac { i } { p ^ { 2 } } } \\ & { 2 . \qquad \mathrm { F o r ~ f e r m i o n ~ p r o p a g a t o r , } \; \; D ( p , \omega ) = \frac { i } { \gamma ^ { t } \omega + \gamma ^ { i } p _ { i } } } \\ & { 3 . \qquad \mathrm { F o r ~ v e t e x , } \; \; \; \qquad V = - i g \qquad \qquad \qquad } \\ & { 4 . \qquad \mathrm { O v e r a l l ~ m u l t i p l i c a t i v e ~ f a c t o r ~ o f ~ - 1 ~ f o r ~ e a c h ~ i n t e r n a l } } \\ & { \qquad \; \; \mathrm { ~ f e r m i o n ~ l o o p . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } } & { + \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \leq 3 4 t ( 1 + t ) ^ { 3 } e ^ { t } \big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + } \\ { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } } & { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) ^ { 2 } \bigg ( \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \! \Big \} \bigg ) \times } \\ & { \times | k | ^ { 2 } \exp \Big \{ \! \! - \sigma | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } \! + \! 2 ^ { \frac { 1 } { 3 } } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } \Big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! \Big ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \! e ^ { \frac { t } { 3 } } t \Big \} . } \end{array}
W _ { \mathrm { e f f } } = \int d ^ { 4 } x \left[ - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } { \left( A _ { \mu } - { \partial _ { \mu } \phi ^ { 2 } } \right) } ^ { 2 } + i \bar { \psi } \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } ^ { + } \psi \right] + M _ { 1 } + S _ { \mathrm { g f } }
B \left( e , v \right) = \; \left\lbrace \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f } \; v \; \mathrm { i s } \; e ^ { \prime } s \; \mathrm { h e a d } , } \\ { - 1 } & { \mathrm { i f } \; v \; \mathrm { i s } \; e ^ { \prime } s \; \mathrm { t a i l } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } \ldotp } \end{array} \right.
g ( 1 ; p ) = \sum _ { n = 0 } ^ { p - 1 } e ^ { \frac { 2 \pi i n ^ { 2 } } { p } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \sqrt { p } } } & { { \mathrm { i f } } \ p \equiv 1 { \pmod { 4 } } , } \\ { i { \sqrt { p } } } & { { \mathrm { i f } } \ p \equiv 3 { \pmod { 4 } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \tilde { \rho } _ { \alpha } \| \mathbf { w } _ { \alpha } \| ^ { 2 } = } & { ~ - \frac { \rho \mathbf { J } _ { 1 } \cdot \mathbf { J } _ { 2 } } { \tilde { \rho } _ { 1 } \tilde { \rho } _ { 2 } } = \frac { \mathbf { J } \cdot \mathbf { J } } { 4 \tilde { \rho } _ { 1 } \tilde { \rho } _ { 2 } } = \frac { \rho \| \mathbf { J } \| ^ { 2 } } { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ^ { 2 } ) } . } \end{array}
{ } R = | \frac { T _ { 2 1 } } { T _ { 1 1 } } | ^ { 2 } = | { \frac { r + r ( t ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) e ^ { i 2 k _ { 0 } d } } { 1 - r ^ { 2 } e ^ { 2 i k _ { 0 } d } } | ^ { 2 } } ,
\frac { \partial f ( \boldsymbol { E } ) } { \partial E _ { i j } } = t s \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \right) ^ { - 1 } e ^ { - t \boldsymbol { E } } \left( \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } + \frac { t } { 2 } [ \boldsymbol { E } , \boldsymbol { \Lambda } ^ { i j } ] \right) \left( \textbf { I } + s e ^ { - t \boldsymbol { E } } \right) ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \vert \Psi \rangle _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \vert 0 0 \rangle _ { A _ { 1 } } \vert 1 1 \rangle _ { A _ { 2 } } - \vert 0 1 \rangle _ { A _ { 1 } } \vert 1 0 \rangle _ { A _ { 2 } } \right. } \\ & { \left. - \vert 1 0 \rangle _ { A _ { 1 } } \vert 0 1 \rangle _ { A _ { 2 } } + \vert 1 1 \rangle _ { A _ { 1 } } \vert 0 0 \rangle _ { A _ { 2 } } \right) . } \end{array}
u _ { { m } } ^ { { ( i ) } } = { \frac { 1 } { 8 } } \left( v _ { { A } } ^ { + } \tilde { \sigma } _ { { m } } \gamma _ { { A } { \dot { A } } } ^ { { i } } v _ { { \dot { A } } } ^ { { - } } ) , \right) ,
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta _ { 1 } } & { - \sin \theta _ { 1 } } \\ { 0 } & { \sin \theta _ { 1 } } & { \cos \theta _ { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \cos \theta _ { 1 } } \\ { \sin \theta _ { 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \medskip \dot { \rho } } \\ { \dot { \varsigma } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { c } { \medskip \rho _ { _ { \Delta } } \left( \zeta _ { x } \psi _ { z } + \psi _ { x } \right) \delta ( z - \zeta ) \, } \\ { \ \left( \rho _ { _ { \Delta } } \, ( \zeta _ { x } \phi _ { z } + \phi _ { x } ) + \sigma _ { x } \psi _ { z } \right) \delta ( z - \zeta ) \, - \sigma \, ( \zeta _ { x } \psi _ { z } + \psi _ { x } ) \delta ^ { \prime } ( z - \zeta ) \, } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l r } { Y ( g ^ { 0 } , \pi / 4 ) } & { = } & { 1 , } \\ { Y ( g ^ { 1 } , \pi / 4 ) } & { = } & { ( \sqrt { 2 } + 1 ) / 2 = 1 . 2 0 7 1 1 , } \\ { Y ( g ^ { 2 } , \pi / 4 ) } & { = } & { 1 . 3 9 6 0 2 , } \\ { Y ( g ^ { 3 } , \pi / 4 ) } & { = } & { 1 . 4 8 6 6 9 , } \\ { Y ( g ^ { 4 } , \pi / 4 ) } & { = } & { 1 . 4 9 9 7 8 , } \\ & { \vdots } & \\ { Y ( g ^ { \infty } , \pi / 4 ) } & { = } & { 1 . 5 . } \end{array}
{ \cal L } ^ { ( 1 ) } = - e ^ { 2 } \frac { \partial _ { 1 } B \partial _ { 1 } B } { 4 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { { \cal B } _ { 2 k + 2 } } { 2 k - 1 } \left( \frac { 2 e B } { m ^ { 2 } } \right) ^ { 2 k - 2 }
\begin{array} { r l } { h _ { t - 1 } } & { : = ( i _ { 1 } , j _ { 1 } , \dots , i _ { t - 1 } , j _ { t - 1 } ) } \\ { x _ { t } } & { : = \sigma _ { t } ( x _ { 1 } , i _ { 1 } , j _ { 1 } , \dots , x _ { t - 1 } , i _ { t - 1 } , j _ { t - 1 } ) } \\ { y _ { t } } & { : = \sigma _ { t } ( y _ { 1 } , i _ { 1 } , j _ { 1 } , \dots , y _ { t - 1 } , i _ { t - 1 } , j _ { t - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } = 0 , } \\ & { \frac { \partial \tilde { u } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \bigl ( \tilde { u } _ { j } \tilde { u } _ { i } \bigl ) = f _ { c } \epsilon _ { i j 3 } \tilde { u } _ { j } + \delta _ { i 3 } g \frac { \tilde { \theta } - \theta _ { 0 } } { \theta _ { 0 } } - \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { \mathrm { s g s } } } { \partial x _ { j } } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial \tilde { p } ^ { \ast } } { \partial x _ { i } } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial p _ { \infty } } { \partial x _ { i } } + f _ { i } ^ { \mathrm { t o t } } , } \\ & { \frac { \partial \tilde { \theta } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \bigl ( \tilde { u } _ { j } \tilde { \theta } \bigl ) = - \frac { \partial q _ { j } ^ { \mathrm { s g s } } } { \partial x _ { j } } , } \end{array}
\sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } ^ { [ 2 ] } } \Gamma _ { n m } ^ { [ 2 ] } u _ { [ 2 ] } ^ { m } = - \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n } ^ { [ 2 ] } \Big \vert \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 2 ] } \right\rangle , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \Gamma _ { n m } ^ { [ 2 ] } : = \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n } ^ { [ 2 ] } \Big \vert \mathbf { P } _ { ( m ) } ^ { [ 2 ] } \right\rangle , n = 1 , \dots , N _ { 0 } ^ { [ 2 ] } .