harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( - ) ^ { { \bar { \alpha } } + { \bar { \beta } } + \bar { \alpha } \bar { \beta } } \frac { { \bar { \vartheta } } [ _ { \bar { \beta } } ^ { \bar { \alpha } } ] } { { \bar { \eta } } } \rightarrow \frac { { \bar { \vartheta } } [ _ { \bar { \beta } } ^ { \bar { \alpha } } ] ^ { 5 } } { { \bar { \eta } } ^ { 5 } } { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \gamma , \delta } \frac { { \bar { \vartheta } [ _ { \delta } ^ { \gamma } ] } ^ { 8 } } { { \bar { \eta } } ^ { 8 } }
\partial _ { t } u \in L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } L _ { x } ^ { 2 } \subset L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } \left( H _ { 0 , x } ^ { 2 ^ { - } } \right) ^ { * } \subset L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } \left( H _ { d , x } ^ { 2 ^ { - } } \right) ^ { * }
( 7 2 ) \Lambda ^ { \alpha } ( z _ { n } , \bar { z } _ { n + 1 } ) - \Lambda ^ { \alpha } ( z _ { n } , \bar { z } _ { n } ) \approx \omega ^ { \alpha \bar { \beta } } ( z _ { n } , \bar { z } _ { n } ) ( \bar { z } _ { n + 1 } - \bar { z } _ { n } ) _ { \beta } ,
F _ { [ \mu \nu ; \lambda ] } = F _ { [ \mu \nu , \lambda ] } = { \frac { 1 } { 6 } } \left( \partial _ { \lambda } F _ { \mu \nu } + \partial _ { \mu } F _ { \nu \lambda } + \partial _ { \nu } F _ { \lambda \mu } - \partial _ { \lambda } F _ { \nu \mu } - \partial _ { \mu } F _ { \lambda \nu } - \partial _ { \nu } F _ { \mu \lambda } \right) = { \frac { 1 } { 3 } } \left( \partial _ { \lambda } F _ { \mu \nu } + \partial _ { \mu } F _ { \nu \lambda } + \partial _ { \nu } F _ { \lambda \mu } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \psi ^ { \mathrm { H F } } ( { \boldsymbol { r } } _ { 1 } , \dots , { \boldsymbol { r } } _ { n _ { \mathrm { e l } } } ) = } & { \operatorname* { d e t } \left[ \Phi _ { i k } ^ { \mathrm { H F } } \right] _ { i , k = 1 \dots { n _ { \mathrm { e l } } } } } \\ { \Phi _ { i k } ^ { \mathrm { H F } } : = } & { \phi _ { k } ^ { \mathrm { H F } } ( { \boldsymbol { r } } _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ S _ { k , 0 } ^ { z } , S _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { x } \right] = } & { i \frac { \delta _ { k , k ^ { \prime } } + \delta _ { k , k ^ { \prime } + q ^ { \prime } } } { 2 } S _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { y } , } \\ { \left[ S _ { k , 0 } ^ { z } , S _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { y } \right] = } & { - i \frac { \delta _ { k , k ^ { \prime } } + \delta _ { k , k ^ { \prime } + q ^ { \prime } } } { 2 } S _ { k ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { x } . } \end{array}
\psi _ { - 2 \dot { q } } ^ { 1 - } = - \frac { i } { 2 } \nabla _ { - } \chi _ { \dot { q } } ^ { 1 } , \, p s i _ { + 2 q } ^ { 2 + } = - \frac { i } { 2 } \nabla _ { + } \chi _ { q } ^ { 2 }
E [ \chi ( b ) ] = E \Big [ e x p \Big ( - \int _ { 0 } ^ { \tau } f ^ { a } d b ^ { a } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { d f ^ { a } } { d s } \frac { d f ^ { a } } { d s } d s \Big ) \chi ( b + f ) \Big ]
\begin{array} { r } { V _ { 2 \nu } ( r , z ) = \rho _ { S } V _ { S P } ^ { 0 } \pi \left( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } - r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } - ( R _ { \mathrm { i n } } + T ) ^ { 2 } } \right) } \\ { \bigg \lvert \frac { 3 \left( ( R _ { \mathrm { i n } } - r ) ^ { 2 } + ( H - z ) ^ { 2 } \right) ( z - H ) - ( z - H ) ^ { 3 } } { 3 \left( ( R _ { \mathrm { i n } } - r ) ^ { 2 } + ( H - z ) ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } } \\ { + \frac { z ^ { 3 } - 3 z \left( ( R _ { \mathrm { i n } } - r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) } { 3 \left( ( R _ { \mathrm { i n } } - r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \bigg \rvert , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i } ( \Theta ^ { \prime } ) } & { \, = \, \frac { 1 } { n } P _ { n } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Psi _ { n } ^ { \mathrm { T } } \Lambda _ { i } ( Y _ { n } - \Phi _ { n } \Theta ^ { \prime } ) } \\ & { \, = \, \frac { 1 } { n } P _ { n } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Psi _ { n } ^ { \mathrm { T } } \Lambda _ { i } \Phi _ { n } ( \tilde { \Theta } ) + \frac { 1 } { n } P _ { n } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Psi _ { n } ^ { \mathrm { T } } \Lambda _ { i } W _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { s } } & { = \left( f - \mu \frac { ( \phi + 1 ) } { 2 } \right) \delta _ { \alpha \beta } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \left( \partial _ { \beta } \phi \right) } \partial _ { \alpha } \phi } \\ & { - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \left( \partial _ { \beta } Q _ { \gamma \nu } \right) } \partial _ { \alpha } Q _ { \gamma \nu } } \end{array}
\hat { Y } _ { \ell m } \hat { Y } _ { \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } = \sum _ { \ell ^ { \prime \prime } m ^ { \prime \prime } , ( \ell ^ { \prime \prime } \leq \mathrm { m i n } ( \ell + \ell ^ { \prime } , 2 j ) ) } C _ { \ell m , \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \ell ^ { \prime \prime } m ^ { \prime \prime } } \hat { Y } _ { \ell ^ { \prime \prime } m ^ { \prime \prime } }
\begin{array} { r l r } { c ( r , \theta ) } & { { } = } & { c _ { 0 } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } a _ { \ell } ^ { c } \Big ( \frac { R } { r } \Big ) ^ { \ell + 1 } P _ { \ell } ( \cos \theta ) } \\ { c _ { B } ( r , \theta ) } & { { } = } & { \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } a _ { \ell } ^ { B } f _ { \ell } ^ { B } ( r ) P _ { \ell } ( \cos \theta ) } \\ { c _ { I } ( r , \theta ) } & { { } = } & { \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } a _ { \ell } ^ { I } f _ { \ell } ^ { I } ( r ) P _ { \ell } ( \cos \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s _ { 1 } } e ^ { ( s _ { 1 } - 1 ) x } \, V _ { 1 } \, e ^ { ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) x } \, V _ { 2 } \, e ^ { - s _ { 2 } x } \, d s _ { 2 } \, d s _ { 1 } ; } \\ { \int _ { \mathbb R } \, \frac { 1 } { x + i \lambda } \, V _ { 1 } \, \frac { 1 } { x + i \lambda } \, V _ { 2 } \, \frac { 1 } { x + i \lambda } \frac { e ^ { i \lambda } } { 2 \pi } \, d \lambda ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - } & { \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi \operatorname* { m a x } \{ I _ { n } ^ { \prime } - \mu _ { n } , \mu _ { n } + K \} \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( K + 1 ) } } \left( \frac { e } { K + 1 } \right) ^ { K + 1 } - \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi I _ { n } \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
I = { \frac { l } { 4 G } } \left( - \ln { \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } } + \ln { \rho _ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { \prime } \cdots \rho _ { g } \rho _ { g } ^ { \prime } } \right) \, .
\begin{array} { r } { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) , { x } ^ { t , M } - { v } ^ { i _ { * } } \rangle = \langle \nabla f ( { x } ^ { t , i _ { * } } ) , { x } ^ { t , i _ { * } } - { v } ^ { i _ { * } } \rangle + \sum _ { k = i _ { * } + 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle } \\ { + \sum _ { k = i _ { * } + 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { v } ^ { i _ { * } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L ( \ensuremath { \boldsymbol { z } } _ { t _ { L } } ) } { \partial \theta } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { e } } \ensuremath { \boldsymbol { a } } ( \tau ) \frac { f ( \ensuremath { \boldsymbol { z } } ( \tau ) , \theta ) } { \partial \theta } d \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \epsilon ) } & { = \frac { 1 } { Z _ { \epsilon } } \exp \left[ - \beta _ { 0 } U _ { \epsilon } ( \epsilon ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { Z _ { \epsilon } } \epsilon \exp \left\{ - \beta _ { 0 } \left( \epsilon ^ { 2 } + \frac { 2 } { \Gamma _ { 0 } } \int \epsilon \Gamma _ { \mathrm { m } } ( \epsilon ) d \epsilon \right) \right\} \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } & { { } = } & { - \sqrt { \kappa } \left[ H _ { X F } ( \omega ) \tilde { F } ( \omega ) + H _ { X \xi } ( \omega ) \hat { \tilde { \xi } } ( \omega ) \right] - \sqrt { \kappa } H _ { X Y } ( \omega ) \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) + \left[ 1 - \sqrt { \kappa } H _ { X X } ( \omega ) \right] \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) , } \\ { \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } & { { } = } & { - \sqrt { \kappa } \left[ H _ { Y F } ( \omega ) \tilde { F } ( \omega ) + H _ { Y \xi } ( \omega ) \hat { \tilde { \xi } } ( \omega ) \right] - \sqrt { \kappa } H _ { Y X } ( \omega ) \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) + \left[ 1 - \sqrt { \kappa } H _ { Y Y } ( \omega ) \right] \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) . } \end{array}
x _ { l } = x _ { a } \ , \ \operatorname { t a n h } ( y _ { l } ) = \operatorname { t a n h } ( y _ { a } ) \cosh ( x _ { a } ) \ , \ \operatorname { t a n h } ( y _ { a } ) = { \frac { \operatorname { t a n h } ( y _ { l } ) } { \cosh ( x _ { l } ) } }
\begin{array} { r l } & { \alpha = \frac { 1 } { 1 2 C ( 1 - \delta ) } , \ \gamma = \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \sqrt { \alpha } } { 2 \sqrt { C ( 1 - \delta ) } } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { \alpha ^ { 2 } ( 1 - \lambda _ { 2 } ) } { 1 7 2 8 C ( 1 - \delta ) } \right\} , } \\ & { \eta = \sqrt { \frac { n } { K } } , K \geq \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { 1 2 L ^ { 2 } n } { \alpha } , \frac { 2 5 6 n L ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
W _ { b a } ( r ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \displaystyle \frac { Z e ^ { 2 } } { r _ { a } } - \frac { Z e ^ { 2 } } { 2 r _ { b } } \Big ( 3 - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \Big ) , } & { r \leq r _ { a } , } \\ { \displaystyle \frac { Z e ^ { 2 } } { r } - \frac { Z e ^ { 2 } } { 2 r _ { b } } \Big ( 3 - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \Big ) , } & { r _ { a } < r \leq r _ { b } , } \\ { 0 } & { r > r _ { b } , } \end{array} \right\}
\exp ( a \cdot { } x + b \cdot { } y ) = \left( { \begin{array} { c c } { e ^ { a } } & { { \frac { b } { a } } ( e ^ { a } - 1 ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) = 1 + { \frac { e ^ { a } - 1 } { a } } \left( a \cdot { } x + b \cdot { } y \right) .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ( t ) } & { = \frac 1 2 \alpha - \frac 1 2 \alpha t - \frac 1 8 ( 2 + \beta - \alpha ) t ^ { 2 } , } \\ { x _ { 2 } ( t ) } & { = \frac 1 2 \alpha - \frac 1 2 \alpha t - \frac 1 8 ( 2 - \beta - \alpha ) t ^ { 2 } , } \\ { x _ { 3 } ( t ) } & { = \frac 1 2 ( 2 + \alpha ) + \frac 1 2 ( 2 - \alpha ) t + \frac 1 8 ( \beta + \alpha ) t ^ { 2 } , } \\ { x _ { 4 } ( t ) } & { = \frac 1 2 ( 4 - \alpha ) + \frac 1 2 \alpha t + \frac 1 8 ( 2 + \beta - \alpha ) t ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } c _ { p } \partial _ { t } \delta T } & { { } = k \nabla ^ { 2 } \delta T \, , } \\ { \nabla \cdot \delta \vec { v } } & { { } = 0 \, , } \\ { \rho ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \partial _ { t } \delta \vec { v } } & { { } = - \nabla \delta p + \mu \nabla ^ { 2 } \delta \vec { v } \, . } \end{array}
\begin{array} { l } { { b _ { \alpha } ^ { 2 } = \lambda b _ { \alpha } ^ { 1 } \quad , \quad E _ { i k } = \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \lambda } } \\ { { \lambda } } & { { \lambda ^ { 2 } } } \end{array} \right) E _ { 1 1 } } } \\ { { b _ { \alpha } ^ { 1 } = - \frac { E _ { 1 1 } } { | a | } ( a _ { \alpha } ^ { 2 } - \lambda a _ { \alpha } ^ { 1 } ) \quad , \quad | a | = \operatorname * { d e t } a _ { \alpha } ^ { i } \not = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r } { { H _ { p r e d i c t e d } ^ { S I S S O } = 0 . 1 4 7 \cdot \frac { B _ { V } } { \sigma \sqrt [ 3 ] { G _ { R } } } - 1 . 1 3 6 \cdot \frac { B _ { R } \log { R _ { X } } } { A _ { W } } - 5 . 6 7 9 } } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } \partial _ { 3 } ^ { 2 } \Psi + 4 \partial _ { 1 } ^ { 2 } \Psi + ( \partial _ { 1 } ^ { 2 } \Psi - 1 ) \cdot \sqrt { ( \frac { 1 } { 4 } \partial _ { 3 } \Psi ) ^ { 2 } + ( \partial _ { 1 } \Psi ) ^ { 2 } } = 0
\begin{array} { r l r } { \widetilde { f } _ { c } ( \gamma \cdot [ \widetilde { x } ] ) } & { = } & { \widetilde { f } _ { c } ( [ \gamma \cdot \widetilde { x } ] ) = \widetilde { f } _ { c } ( \widetilde { p } ( \gamma \cdot \widetilde { x } ) ) = \widetilde { p } \circ \widetilde { f } ( \gamma \cdot \widetilde { x } ) } \\ & { = } & { \widetilde { p } ( \varphi ( \gamma ) \cdot \widetilde { f } ( \widetilde { x } ) ) = \varphi ( \gamma ) \cdot \widetilde { p } ( \widetilde { f } ( \widetilde { x } ) ) } \\ & { = } & { \varphi ( \gamma ) \cdot \widetilde { f } _ { c } \circ \widetilde { p } ( \widetilde { x } ) = \varphi ( \gamma ) \cdot \widetilde { f } _ { c } ( [ \widetilde { x } ] ) } \end{array}
G _ { r } ^ { ( 2 ) } ( x ) = \sum _ { \stackrel { L = 0 } { L \equiv p _ { + } ( r ) ( m o d 2 ) } } ^ { \infty } x ^ { \frac { L } { 2 } } I ( L , r ) \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; L + r \equiv o d d
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { ~ t ~ y ~ } } ( r ) = - \epsilon _ { 1 } \frac { e ^ { - \lambda _ { 1 } ( r / \sigma - 1 ) } } { r / \sigma } - \epsilon _ { 2 } \frac { e ^ { - \lambda _ { 2 } ( r / \sigma - 1 ) } } { r / \sigma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \vec { u } } } _ { \vert v } } & { { } = \overline { { \vec { u } } } + \vec { C } _ { u v } \vec { C } _ { v v } ^ { - 1 } \left( \vec { v } - \overline { { \vec { v } } } \right) \, , } \\ { \vec { C } _ { u \vert v } } & { { } = \vec { C } _ { u u } - \vec { C } _ { u v } \vec { C } _ { v v } ^ { - 1 } \vec { C } _ { v u } \, . } \end{array}
\overline { { \rho } } ( \omega _ { N } ) = \operatorname* { m a x } _ { e \in \{ e ^ { \prime } \, | \, ( x , e ^ { \prime } , w ) \in \omega _ { N } \} } \left( \frac { \overline { { \lambda } } _ { e } ( \omega _ { N } ) } { \delta \left( \varepsilon ( \beta , N ) | \mathcal { E } ( G ^ { ( l ) } ) | \kappa ( P _ { s ( e ) } ^ { * } ( \omega _ { N } ) ) / 2 \right) } \right) ^ { 1 / l } ,
\frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 0 ) } } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } } \equiv \frac { \mathcal { Z } _ { m n } } { \mathcal { Z } } = \sqrt { \frac { g _ { \mathrm { s } } } { 2 \pi } } \, \frac { 1 } { \left( \partial { \mathcal X } ( p _ { m } ) \partial { \mathcal Y } ( p _ { n } ) - \partial { \mathcal X } ( p _ { n } ) \partial { \mathcal Y } ( p _ { m } ) \right) ^ { 1 / 2 } } \, \frac { 1 } { p _ { m } - p _ { n } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \frac { A _ { m n } } { g _ { \mathrm { s } } } } + \cdots ,
\begin{array} { r } { { \mathcal { L } } _ { \mathrm { K } } = \sum _ { f } { \overline { { f } } } ( i \partial \! \! \! / \! \; - m _ { f } ) f - { \frac { 1 } { 4 } } A _ { \mu \nu } A ^ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } W _ { \mu \nu } ^ { + } W ^ { - \mu \nu } + m _ { W } ^ { 2 } W _ { \mu } ^ { + } W ^ { - \mu } } \\ { \qquad - { \frac { 1 } { 4 } } Z _ { \mu \nu } Z ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { Z } ^ { 2 } Z _ { \mu } Z ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial ^ { \mu } H ) ( \partial _ { \mu } H ) - { \frac { 1 } { 2 } } m _ { H } ^ { 2 } H ^ { 2 } ~ , } \end{array}
\mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { a } ^ { 2 } \equiv \bigl ( \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { \parallel } } ^ { 2 } + 2 \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { 0 } } ^ { 2 } \bigr ) / 3
\rho \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } + 2 \rho v _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial t } + \left( \rho v _ { 0 } ^ { 2 } - E \right) \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } = 0
\begin{array} { r l r } { H _ { l , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) } & { = } & { - 2 \delta _ { n } \frac { q \beta } { r _ { c } ^ { 2 } } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p = \pm 1 } \frac { R _ { n + p } ( u , r / r _ { c } ) } { p ^ { l } W _ { n + p } ^ { I } } , } \\ { H _ { 3 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) } & { = } & { 2 \delta _ { n } \frac { q \beta } { r _ { c } ^ { 2 } } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p = \pm 1 } \frac { R _ { p , n } ^ { \mathrm { ( m ) } } ( u , r / r _ { c } ) } { p W _ { n + p } ^ { I } } , } \end{array}
\langle R ^ { 2 } \rangle = \langle { \vec { R } } \cdot { \vec { R } } \rangle = \left\langle \int _ { 0 } ^ { L _ { 0 } } { \hat { t } } ( s ) d s \cdot \int _ { 0 } ^ { L _ { 0 } } { \hat { t } } ( s ^ { \prime } ) d s ^ { \prime } \right\rangle = \int _ { 0 } ^ { L _ { 0 } } d s \int _ { 0 } ^ { L _ { 0 } } \langle { \hat { t } } ( s ) \cdot { \hat { t } } ( s ^ { \prime } ) \rangle d s ^ { \prime } = \int _ { 0 } ^ { L _ { 0 } } d s \int _ { 0 } ^ { L _ { 0 } } e ^ { - \left| s - s ^ { \prime } \right| / P } d s ^ { \prime }
{ \begin{array} { r l } { | S ( \delta t ) | ^ { 2 } } & { \geq 1 - { \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } } \sum _ { n , m } | c _ { n } | ^ { 2 } | c _ { m } | ^ { 2 } { \frac { \delta t } { \hbar } } \left( E _ { n } - E _ { m } \right) \sin \left( { \frac { \delta t } { \hbar } } \left( E _ { n } - E _ { m } \right) \right) } \\ & { - { \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } } \sum _ { n , m } | c _ { n } | ^ { 2 } | c _ { m } | ^ { 2 } \left( { \frac { \delta t } { \hbar } } \left( E _ { n } - E _ { m } \right) \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } \ \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \ \Psi } & { = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { i \phi } \left( - \frac { z } { r } m - i k r \right) , } \\ { \Psi ^ { * } \ \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \ \Psi } & { = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \left( - \frac { z } { r } m + i k r \right) , } \\ { \Psi ^ { * } \hat { l } _ { z } ( r , \phi , z ) \Psi } & { = } & { \hbar m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| y } & { - y ^ { ( \mathrm { k r } ) } \| _ { 2 } = \| \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } \mathrm { y } } \\ & { \qquad \qquad \qquad - p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } \mathrm { y } \| _ { 2 } } \\ & { \leq \| \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } ( ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } - ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } ) \mathrm { y } \| _ { 2 } } \\ & { \qquad + \| ( p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) - \phi ( \mathbf { L } ) ) \mathrm { E } _ { W } ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } \mathrm { y } \| _ { 2 } . } \end{array}
\tilde { \Psi } \left( \boldsymbol { F } , \phi \right) = \int _ { \Omega _ { 0 } } g \left( \phi \right) W \left( \boldsymbol { F } \right) \ \mathrm { d } \Omega _ { 0 } + \int _ { \Omega _ { 0 } } \mathcal { G } _ { c } ^ { 0 } \Gamma _ { c } \left( \phi , \nabla \phi \right) \ \mathrm { d } \Omega _ { 0 }
\left( \left( x + \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } h _ { i } \omega _ { i } + \sum _ { 1 \leq i < j \leq 4 } h _ { i j } \omega _ { i } \omega _ { j } , x + \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } h _ { i } \omega _ { i } + \sum _ { 1 \leq i < j \leq 5 } h _ { i j } \omega _ { i } \omega _ { j } + h _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } h _ { 0 i } \omega _ { i } \right) \right) _ { \omega \in \{ 0 , 1 \} ^ { 5 } }
\begin{array} { r l r l r l } { \mathcal { A } } & { { } = \frac { 1 } { h _ { s } } \kappa \cos ( \phi + \theta ) , } & { \mathcal { B } } & { { } = - \frac { 1 } { h _ { s } } \kappa \sin ( \phi + \theta ) , } & { \mathcal { C } } & { { } = \frac { 1 } { \sigma } . } \end{array}
- i \Gamma _ { 5 m e a s } ^ { \mu \alpha \beta } = - \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } [ q _ { 2 \nu } ( M _ { a } ( p ; q _ { 1 } , q _ { 2 } ) + M _ { a } ( q _ { 2 } ; p , q _ { 1 } ) ) - q _ { 1 \nu } ( M _ { a } ( p ; q _ { 1 } , q _ { 2 } ) + M _ { a } ( q _ { 1 } ; p , q _ { 2 } ) ) ] .
\begin{array} { r l r } { | 0 \rangle = | \sqrt { \tau _ { 0 } } \alpha \rangle } & { { } } & { | 1 \rangle = \frac { | \sqrt { \tau _ { 1 } } \alpha \rangle - \zeta | \sqrt { \tau _ { 0 } } \alpha \rangle } { \sqrt { 1 - | \zeta | ^ { 2 } } } } \end{array}
d e t _ { n } { \hat { M } } = \frac { d e t [ R ( 1 + D ^ { 2 } { R ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ( 1 + { R ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ^ { - 3 / 2 } / P ] } { d e t [ R _ { 0 } ( 1 + { R ^ { \prime } } _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { - 3 / 2 } ] } .
\langle x ( t ) \rangle = \sum _ { n = 1 } ^ { L } n | \psi _ { n } ( t ) | ^ { 2 } , \qquad \langle x ^ { 2 } ( t ) \rangle = \sum _ { n = 1 } ^ { L } n ^ { 2 } | \psi _ { n } ( t ) | ^ { 2 } ,
\eta _ { p } = 1 - \frac { V _ { C W } } { V _ { p } } \left\{ \begin{array} { l l } { \ge 0 . 5 } & { \mathrm { ~ ( ~ A ~ M ~ d ~ o ~ m ~ i ~ n ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ } } \\ { < 0 . 5 } & { \mathrm { ~ ( ~ F ~ M ~ d ~ o ~ m ~ i ~ n ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { e f f } } } & { = D _ { 0 } \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } \int \frac { \mathrm { d } k \mathrm { d } \omega } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { k ^ { 2 } ( D _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 4 } - 3 \omega ^ { 2 } ) } { ( D _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 4 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } } S ( k , \omega ) \right) , } \\ { V _ { \mathrm { e f f } } } & { = \varepsilon ^ { 2 } \int \frac { \mathrm { d } k \mathrm { d } \omega } { ( 2 \pi ^ { 2 } ) } \frac { \omega } { k } \frac { k ^ { 2 } } { D _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 4 } + \omega ^ { 2 } } S ( k , \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( t _ { n + 1 } ) | s ( t _ { n } ) \sim } & { \, \mathrm { C a t e g o r i c a l } \left( \frac { k _ { s ( t ) \rightarrow s _ { 1 } } } { k _ { s ( t _ { n } ) } } , . . . , \frac { k _ { s ( t ) \rightarrow s _ { 6 } } } { k _ { s ( t _ { n } ) } } \right) , } \\ { \delta t _ { n } \sim } & { \, \mathrm { E x p o n e n t i a l } ( k _ { s ( t _ { n } ) } ) . } \end{array}
\langle D ( p ^ { \prime } ) | V ^ { \mu } | \bar { B } ( p ) \rangle = \bigg [ ( p + p ^ { \prime } ) ^ { \mu } - { \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { D } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } \, q ^ { \mu } \bigg ] \, F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) + { \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { D } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } \, q ^ { \mu } \, F _ { 0 } ( q ^ { 2 } ) \, .
\frac { \Omega } { 2 \pi } = B _ { \mathrm { e f f } } \sqrt { \frac { \gamma \omega _ { H } } { 2 \pi ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \rho M _ { s } d ( d + s ) } } \Big ( 1 - \cos { \frac { \omega d } { v _ { \mathrm { Y I G } } } } \Big ) ,
\begin{array} { r l } & { c _ { 0 } = 2 \sqrt { \frac { 1 } { T _ { 0 } \rho } } , ~ ~ { q _ { 1 } } = q _ { 2 } = \frac { 1 } { L } \sqrt { \frac { T _ { 0 } } { \rho } } , } \\ & { d _ { 1 } = d _ { 2 } = d _ { 3 } = d _ { 4 } = \frac { { { - d _ { c } } } } { 2 \rho } , q = - 1 , ~ p = 1 , } \\ & { C = 2 , ~ { A } = \frac { - d _ { L } } { M _ { L } } + \frac { \sqrt { T _ { 0 } \rho } } { M _ { L } } , ~ { B } = - \frac { \sqrt { { T _ { 0 } } \rho } } { M _ { L } } , } \end{array}
[ \tilde { E } _ { r } , P _ { + } ] = 0 , \quad [ \tilde { E } _ { r } , P _ { s } ] = \delta _ { r s } P _ { + } , \quad [ \tilde { E } _ { 3 } , P _ { + } ] = P _ { + } , \quad [ \tilde { E } _ { 3 } , P _ { s } ] = 0
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i + 1 } \cdot t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } t _ { i , i + 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) h _ { i } } \\ & { = } & { h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 4 } h _ { i + 3 } \cdot t _ { i + 3 , i + 4 } \cdot t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 4 , i + 5 } ^ { - 1 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) h _ { i + 2 } h _ { i } } \end{array}