harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\lambda ( P _ { i } - m N _ { i } v _ { i } ^ { C M } ( t ) ) = - \hbar \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ~ \rho ^ { 2 } ( x , t ) \rho _ { i } ^ { 2 } \le 0 .
+ ( 6 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { - 1 } T r \{ 3 \mu _ { \varphi } ^ { 4 } \ln \mu _ { \varphi } ^ { 2 } + M _ { \varphi } ^ { 4 } \ln M _ { \varphi } ^ { 2 } - 4 m _ { \varphi } ^ { 4 } \ln m _ { \varphi } ^ { 2 } \}
E _ { \mathrm { Q e q } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { a t o m s } } } ( \chi _ { i } Q _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { i } Q _ { i } ^ { 2 } ) + E _ { \mathrm { e l e c } }
\begin{array} { r l } { \underset { \{ T _ { \mathrm { r i g h t - f r o n t } } ^ { i } \} _ { i } , \Omega _ { \mathrm { f r o n t } } } { \mathrm { m i n i m i z e } } \, } & { \mathcal { L } _ { \mathrm { l e f t } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { r i g h t } } , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { r i g h t } } } & { = \sum _ { i } \| f _ { \mathrm { p r o j } } ^ { \mathrm { c a m } } ( T _ { \mathrm { r i g h t - f r o n t } } ^ { i } X ; \Pi _ { \mathrm { r i g h t - f r o n t } } ) - p _ { \mathrm { r i g h t - f r o n t } } \| _ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { l e f t } } } & { = \sum _ { i } \| f _ { \mathrm { p r o j } } ^ { \mathrm { c a m } } ( T _ { \mathrm { r i g h t - f r o n t } } ^ { i } E ( \Omega _ { \mathrm { f r o n t } } ) X ; \Pi _ { \mathrm { l e f t - f r o n t } } ) - p _ { \mathrm { l e f t - f r o n t } } \| _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } \zeta _ { \nu } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 3 / 2 } } - \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } \zeta _ { \nu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } - \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \nu } \zeta _ { \mu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } } \\ & { = \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } \zeta _ { \nu } \pi ^ { 3 / 2 } \zeta _ { \mu \nu } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 3 / 2 } \zeta _ { \mu \nu } } - \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } \zeta _ { \nu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } - \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \nu } \zeta _ { \mu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } } \\ & { = \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } \zeta _ { \nu } \pi ^ { 3 / 2 } ( \zeta _ { \mu } + \zeta _ { \nu } ) } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } - \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } \zeta _ { \nu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } - \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \nu } \zeta _ { \mu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } } \\ & { = \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } ^ { 2 } \zeta _ { \nu } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } + \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } \zeta _ { \nu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } - \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \mu } \zeta _ { \nu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } - \frac { 3 6 N _ { \mu } N _ { \nu } \zeta _ { \nu } \zeta _ { \mu } ^ { 2 } \pi ^ { 3 / 2 } } { \zeta _ { \mu \nu } ^ { 5 / 2 } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { h } ^ { \pi } ( s , a ) } & { = r _ { h } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { h + 1 } ^ { \pi } ( s ^ { \prime } ) ) , } \\ { V _ { h } ^ { \pi } ( s ) } & { = Q _ { h } ^ { \pi } ( s , \pi _ { h } ( s ) ) , \quad \quad V _ { H + 1 } ^ { \pi } ( s ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \mu _ { A } ( \tau ) } & { { } = \alpha k _ { 1 A } - k _ { 2 A } \mu _ { A } ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } \mu _ { B } ( \tau ) } & { { } = \alpha k _ { 1 B } - k _ { 2 B } \mu _ { B } ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } \mu _ { C } ( \tau ) } & { { } = \alpha k _ { 1 C } - k _ { 2 C } \mu _ { C } ( \tau ) + \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sin \alpha _ { 0 } } & { = \sin \alpha \cos \beta = \tan \omega \cot \sigma , } \\ { \cos \sigma } & { = \cos \beta \cos \omega = \tan \alpha _ { 0 } \cot \alpha , } \\ { \cos \alpha } & { = \cos \omega \cos \alpha _ { 0 } = \cot \sigma \tan \beta , } \\ { \sin \beta } & { = \cos \alpha _ { 0 } \sin \sigma = \cot \alpha \tan \omega , } \\ { \sin \omega } & { = \sin \sigma \sin \alpha = \tan \beta \tan \alpha _ { 0 } . } \end{array} }
\chi _ { 2 } ( \omega ) = - { \frac { 2 } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \omega \chi _ { 1 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, d \omega ^ { \prime } = - { \frac { 2 \omega } { \pi } } { \mathcal { P } } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \chi _ { 1 } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } } \, d \omega ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { W \left( \lambda _ { 0 } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) \right] _ { t = - \infty } ^ { t = - t _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) - \pi \right] _ { t = - t _ { 1 } } ^ { t = t _ { 1 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) \right] _ { t = t _ { 1 } } ^ { t = + \infty } } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { E } _ { i } } & { { } = U _ { i h } \Tilde { E } _ { h } + U _ { i k } \Tilde { E } _ { k } } \\ { \Tilde { E } _ { j } } & { { } = U _ { j h } \Tilde { E } _ { h } + U _ { j k } \Tilde { E } _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { h } ^ { ( 1 ) } = \operatorname* { i n f } \Big \{ t \ge 0 : | { \mathcal X } _ { t } - { \mathcal Y } _ { t } | \in ( 0 , 2 \varepsilon \sqrt { h } ] , \ { \mathrm { a n d ~ f o r ~ c e r t a i n ~ s \in ( 0 , t ) , ~ } } \ | { \mathcal X } _ { s } - { \mathcal Y } _ { s } | > 2 \varepsilon \sqrt { h } \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( \mathbf { x } _ { T } , \mathbf { y } ) - L ( \mathbf { x } , \mathbf { y } _ { T } ) \leq \frac { 1 } { \sqrt { T } } \left( \| \mathbf { v } _ { 0 } - \mathbf { v } ^ { * } \| _ { \mathbf { M } } ^ { 2 } + \| \mathbf { v } _ { 0 } - \mathbf { v } ^ { * } \| _ { \mathbf { M } } \| \mathbf { v } - \mathbf { v } ^ { * } \| _ { \mathbf { M } } \right) , } \end{array}
H = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \quad , \quad E = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad , \quad F = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \pi ^ { \mathcal { L } } : = ( \mathcal { L } ( A ) , 0 \times c \circ T . \lambda ) \xrightarrow [ ] { p \circ \pi _ { 1 } } ( A , 0 ) , } \\ & { \xi ^ { \mathcal { L } } : = ( A , 0 ) \xrightarrow [ ] { ( \xi \circ \pi , 0 ) } ( \mathcal { L } ( A ) , 0 \times c \circ T . \lambda ) } \\ & { \lambda ^ { \mathcal { L } } : = ( \mathcal { L } ( A ) , 0 \times c \circ T . \lambda ) \xrightarrow [ ] { ( \lambda \times \ell ) } ( T ( \mathcal { L } ( A ) ) , c \circ T ( 0 \times c \circ T . \lambda ) , } \\ & { \varrho ^ { \mathcal { L } } : = ( \mathcal { L } ( A ) , 0 \times c \circ T . \lambda ) \xrightarrow [ ] { \pi _ { 1 } } ( T A , c \circ T . \lambda ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } W _ { n } \langle \mathcal { H } ( u ) \rangle _ { n } W _ { n } ^ { T } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } \log n } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } ( 2 \beta + 1 ) ^ { 2 } \delta _ { k } ^ { 2 } a _ { k + 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \big [ \epsilon _ { k + 1 } ( u ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } \big ] } \\ & { \quad \quad = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { ( 2 \beta + 1 ) ^ { 2 } } { n ^ { 3 } \log n } \cdot \frac { u ^ { T } u } { d } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \delta _ { k } ^ { 2 } a _ { k + 1 } ^ { 2 } \mu _ { k + 1 } ^ { 2 } \quad \mathbb { P } \mathrm { - a . s . } } \end{array}
{ \bf A } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { p ^ { \dagger } } } & { { q ^ { \dagger } } } \end{array} \right) { \bf \sigma } \left( \begin{array} { c } { { p } } \\ { { q } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ e ^ { j \tilde { \theta } } ] } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { i } } { ( 2 i ) ! } \mathbb { E } [ \tilde { \theta } ^ { 2 i } ] = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { i } \iota _ { \mathrm { p } } ^ { 2 i } } { ( 2 i + 1 ) ! } = \frac { \sin ( \iota _ { \mathrm { p } } ) } { \iota _ { \mathrm { p } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\langle Y ^ { 1 } ( T ) , Y ^ { 2 } ( T ) \right\rangle } \\ & { = \left\langle y ^ { 1 } , y ^ { 2 } \right\rangle + \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle Y ^ { 1 } ( t - ) , d Y ^ { 2 } ( t ) \right\rangle + \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle Y ^ { 2 } ( t - ) , d Y ^ { 1 } ( t ) \right\rangle } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \left[ ( \sigma ^ { 1 } ( t , \alpha ( t ) ) ) ^ { T } \sigma ^ { 2 } ( t , \alpha ( t ) ) \right] d t } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \eta _ { n l } ^ { 1 } ( t , \alpha ( t - ) , z ) \eta _ { n l } ^ { 2 } ( t , \alpha ( t - ) , z ) \nu ^ { l } ( d z ) d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Delta x } = } & { { } \sqrt { \left( \frac { \partial \Delta x } { \partial \bar { \rho } } \sigma _ { \bar { \rho } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \Delta x } { \partial a _ { 0 } } \sigma _ { a _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( p , S ) = f ( p _ { c } , S _ { c } ) + f _ { S } ^ { \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) ( S - S _ { c } ) + f _ { p } ^ { \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) ( p - p _ { c } ) } \\ & { + \frac { f _ { S S } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) } { 2 ! } ( S - S _ { c } ) ^ { 2 } + \frac { f _ { p p } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) } { 2 ! } ( p - p _ { c } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { f _ { S p } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) + f _ { p S } ^ { \prime \prime } ( p _ { c } , S _ { c } ) } { 2 ! } ( S - S _ { c } ) ( p - p _ { c } ) + . . . = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial w ( x , t ) } { \partial t } + u ( x , t ) . \nabla w ( x , t ) - } & { { } \nu \Delta w ( x , t ) = f ( x ) } \\ { \nabla . u ( x , t ) = } & { { } 0 , ~ ~ ~ ~ x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } , t \in [ 0 , T ] } \\ { w _ { 0 } ( x ) = } & { { } w ( x , t = 0 ) , ~ ~ ~ ~ x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } \right) } \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { Q } } [ F ( x , \xi ) ] \leq \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon \gamma _ { x , F , q } } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ^ { x , F } \right) } \mathbb { E } _ { \zeta \sim \mathbb { Q } } [ \zeta ] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { d } = \frac { i } { 2 } r } & { \left( \psi _ { s } \partial _ { \xi } \psi _ { s } ^ { * } - \psi _ { s } ^ { * } \partial _ { \xi } \psi _ { s } \right) + \frac { \delta } { 2 } r | \partial _ { r } \psi _ { s } | ^ { 2 } } \\ & { - \frac { \gamma } { 2 } r | \psi _ { s } | ^ { 4 } + \frac { r ^ { 3 } } { 2 \delta } | \psi _ { s } | ^ { 2 } + i r \left( \epsilon \psi _ { s } ^ { * } - \epsilon ^ { * } \psi _ { s } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \mathcal { E } } _ { t } \leq C \mathcal { M } _ { 3 } ( t ) L ^ { d \beta + p \gamma } ( 1 + t ) ^ { - \frac { ( \beta + \gamma ) d } { 2 } } e ^ { - \frac { \beta + \gamma } { C _ { 0 } L ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 4 } ( s ) ^ { - 1 } \, d s } \Xi _ { t } ^ { \beta + \gamma } ( - \partial _ { t } \bar { \mathcal { E } } _ { t } ) ^ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c u m } ( X ( t _ { 1 } ) , X ( t _ { 2 } ) , X ( t _ { 3 } ) , X ( t _ { 4 } ) ) } & { = 1 6 C _ { Z } ( t _ { 1 } - t _ { 3 } ) C _ { Z } ( t _ { 1 } - t _ { 4 } ) C _ { Z } ( t _ { 2 } - t _ { 3 } ) C _ { Z } ( t _ { 2 } - t _ { 4 } ) } \\ & { + 1 6 C _ { Z } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) C _ { Z } ( t _ { 1 } - t _ { 4 } ) C _ { Z } ( t _ { 2 } - t _ { 3 } ) C _ { Z } ( t _ { 3 } - t _ { 4 } ) } \\ & { + 1 6 C _ { Z } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) C _ { Z } ( t _ { 1 } - t _ { 3 } ) C _ { Z } ( t _ { 2 } - t _ { 4 } ) C _ { Z } ( t _ { 3 } - t _ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { x } = { \tau } _ { x x } \tilde { u } + { \tau } _ { x y } \tilde { v } + { \tau } _ { x z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { x } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \beta _ { y } = { \tau } _ { x y } \tilde { u } + { \tau } _ { y y } \tilde { v } + { \tau } _ { y z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { y } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \beta _ { z } = { \tau } _ { x z } \tilde { u } + { \tau } _ { y z } \tilde { v } + { \tau } _ { z z } \tilde { w } - \overline { { q } } _ { z } \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { u _ { i } \left( \theta _ { i } \right) } & { { } = e ^ { i \theta _ { i } } \dag \hat { U } _ { i } \left( \theta _ { i } \right) } & { = e ^ { i \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \left[ \theta _ { i } \right] _ { a b } b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } } \dag \hat { \mathcal { U } } \left( \theta _ { 1 } , . . , \theta _ { \mathcal { N } } \right) } & { { } = e ^ { i \sum _ { i } \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \left[ \theta _ { i } \right] _ { a b } f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } } \dag , . } \end{array}
\hat { V } _ { h s } ( \mathbf { r } ) = \left\{ \begin{array} { l c c } { \infty } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { \mathbf { r } \in U _ { i } } \\ { V _ { 0 } } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\vert C _ { a } \rangle = \left[ { \frac { 2 ^ { d ( J _ { a } ) } V ( J _ { a } ) } { V ( R J _ { a } ) } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { { \widetilde p } \in 2 \Lambda ( J _ { a } ) } \sum _ { { \widetilde w } \in { \widetilde \Lambda } ( R J _ { a } ) } \sum _ { \bf n } \zeta _ { \bf n } V _ { L } ( { \bf n } ) V _ { R } ( { \bf n } ) \vert { \widetilde w } , { \widetilde p } \rangle ~ .
V _ { r } ^ { 3 } - \left( { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 8 T _ { r } } { 3 P _ { r } } } \right) V _ { r } ^ { 2 } + { \frac { 3 V _ { r } } { P _ { r } } } - { \frac { 1 } { P _ { r } } } = 0
\begin{array} { r l } { \| y _ { k + 1 } - y ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \| y _ { k } - y ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ( y _ { k + 1 } - y _ { k } ) ^ { T } ( y _ { k + 1 } - y ^ { * } ) - \| y _ { k + 1 } - y _ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \| y _ { k } - y ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \alpha _ { k } \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } p _ { * } ^ { 2 } \right) + 2 \alpha _ { k } M _ { k } \| y _ { k + 1 } - y _ { k } \| _ { 2 } - \| y _ { k + 1 } - y _ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \| y _ { k } - y ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \alpha _ { k } \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } p _ { * } ^ { 2 } \right) + \alpha _ { k } ^ { 2 } M _ { k } ^ { 2 } } \\ & { = \| y _ { k } - y ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ( \alpha _ { k } - \alpha _ { k } ^ { 2 } M ^ { 2 } ) \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } p _ { * } ^ { 2 } \right) + \alpha _ { k } ^ { 2 } M ^ { 2 } p _ { * } ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \ensuremath { \mathbf { s } } } _ { \ell } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) } & { = \frac { \operatorname * { \bigcirc } _ { p \in N _ { 0 } ( v _ { \ell } ) } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } } { \left\| \operatorname * { \bigcirc } _ { p \in N _ { 0 } ( v _ { \ell } ) } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } \right\| _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle R ^ { M } ( X , Y ) Z , W \rangle } & { = \langle \nabla _ { X } ^ { * } \nabla _ { Y } ^ { * } Z - \nabla _ { Y } ^ { * } \nabla _ { X } ^ { * } Z - \nabla _ { [ X , Y ] } ^ { * } Z , W \rangle } \\ & { = \langle \nabla _ { X } ^ { N } \nabla _ { Y } ^ { N } Z - \nabla _ { Y } ^ { N } \nabla _ { X } ^ { N } Z - \nabla _ { [ X , Y ] } ^ { N } Z , W \rangle , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { \lambda Q } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Q } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { L } \\ { 0 } & { Q } & { L ^ { \top } } & { Q } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { X _ { + } } \\ { - X _ { - } } \\ { - U _ { - } } \\ { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { X _ { + } } \\ { - X _ { - } } \\ { - U _ { - } } \\ { 0 } \end{array} \right] ^ { \top } \succeq 0 .
\begin{array} { r l r } { \| G _ { 1 2 } \| _ { \infty } } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \left( \bar { A } _ { j k } + \bar { B } _ { j k } + \bar { C } _ { j k } + \bar { D } _ { j k } \right) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \right| } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } 6 \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| j k \hat { p } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t \right| + } \\ & { } & { 6 \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \hat { q } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| j k \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega ^ { 2 } | \hat { p } ( j - \omega ) \hat { p } ( \omega - k ) | ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 4 \Delta t } { \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } } \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| j \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega | \hat { p } ( j - \omega ) \hat { q } ( \omega - k ) | ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 4 \Delta t } { \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } } \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| k \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega | \hat { q } ( j - \omega ) \hat { p } ( \omega - k ) | ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 4 \Delta t } { \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } } \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } | \hat { q } ( j - \omega ) \hat { q } ( \omega - k ) | ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 4 \Delta t } { \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } } \right| } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } 6 j \| \tilde { p } \| _ { \infty } ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t \sum _ { k \in I _ { j } } \left| k \right| + } \\ & { } & { 6 \| \tilde { q } \| _ { \infty } ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t ( 2 \omega _ { m a x } ) + } \\ & { } & { j \| \tilde { p } \| _ { \infty } ^ { 2 } ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t \frac { 4 } { \overline { { p } } } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \sum _ { \omega \in I _ { j } \cap I _ { k } } | k | + } \\ & { } & { \| \tilde { p } \| _ { \infty } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t \frac { 4 } { \overline { { p } } } \sum _ { \omega \in I _ { j } } \left( 2 j \omega _ { m a x } + \sum _ { k \in I _ { \omega } } \left| k \right| \right) + } \\ & { } & { \| \tilde { q } \| _ { \infty } ^ { 2 } ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t \frac { 4 } { \overline { { q } } } ( 4 \omega _ { m a x } ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } + e ( g ^ { \mu \nu } - \epsilon ^ { \mu \nu } ) ( \partial _ { \mu } \phi ) A _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 } \alpha A _ { \mu } ^ { 2 }
S ^ { ( N ) } \left[ { \bf r } _ { 1 } , \dots { \bf r } _ { N - 1 } \right] ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \left[ \frac { M \left( { \bf r } _ { j + 1 } - { \bf r } _ { j } \right) ^ { 2 } } { 2 \epsilon } - \epsilon V ( { \bf r } _ { j } , t _ { j } ) \right] \; ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { U } \varphi ^ { * } ( \eta ) } & { = } & { \int _ { U } ( f \circ \varphi ) \mathsf { d e t } ( D \varphi ) d y _ { 1 } \wedge \dots \wedge d y _ { m } = \int _ { U } ( f \circ \varphi ) | \mathsf { d e t } ( D \varphi ) | | d y _ { 1 } \wedge d y _ { m } | } \\ & { = } & { \int _ { V } f | d x ^ { 1 } \wedge \dots \wedge d x ^ { m } | = \int _ { V } \eta . } \end{array}
{ \frac { Z _ { B } ( k _ { L } , k _ { R } ; S ) } { Z _ { B } ( k _ { L } , k _ { R } ; 0 ) } } = { \frac { Z _ { F } ( k _ { L } , k _ { R } ; S ) } { Z _ { F } ( k _ { L } , k _ { R } ; 0 ) } } .
{ \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \left( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } } & { - \left( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } \mathbf { B D } ^ { - 1 } } \\ { - \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \left( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } } & { \quad \mathbf { D } ^ { - 1 } + \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \left( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } \mathbf { B D } ^ { - 1 } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { F } _ { i j } ^ { A 1 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } ( \frac { 1 } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } ) ( \mathbf { A } _ { i } + \mathbf { A } _ { j } ) \cdot \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { i j } } } \mathbf { e } _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { F } ( r ) = - \frac { Z e ^ { 2 } } { r } + \frac { 4 \pi } { r } \, \int _ { r } ^ { \infty } \varrho _ { F } ( r ^ { \prime } ) \, r ^ { \prime } ( r ^ { \prime } - r ) \, d r ^ { \prime } = } \\ { Z e ^ { 2 } \left[ \frac { \mathrm { ~ L ~ i ~ } _ { 3 } \left( - e ^ { \frac { c } { a } - \frac { r } { a } } \right) } { r \, \mathrm { ~ L ~ i ~ } _ { 3 } \left( - e ^ { \frac { c } { a } } \right) } + \frac { \mathrm { ~ L ~ i ~ } _ { 2 } \left( - e ^ { \frac { c } { a } - \frac { r } { a } } \right) } { 2 a \, \mathrm { ~ L ~ i ~ } _ { 3 } \left( - e ^ { \frac { c } { a } } \right) } - \frac { 1 } { r } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - G _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - \frac { 1 0 C _ { f y } ^ { 2 } \eta _ { t } } { \mu ^ { 2 } } \mathbb { E } \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \mu ^ { 2 } L _ { g x y } ^ { 2 } \eta _ { t } } { 5 C _ { f y } ^ { 2 } } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + \frac { m \eta _ { t } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } . } \end{array}