harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \sum _ { i \in C _ { k } ^ { ( 1 ) } } \Bigl ( \Delta _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } + w _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } \Bigl ) + \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { 1 } \backslash C _ { k } ^ { ( 1 ) } } \! \! w _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } = \sum _ { i \in C _ { k } ^ { ( 1 ) } } \! \! \Delta _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } + \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { 1 } } w _ { k , l } ^ { \langle i \rangle } } \end{array}
\mathbf { H } ( \mathbf { x } ) \, \Delta \mathbf { x } = \mathbf { H } ( \mathbf { x } ) r \mathbf { v } = r \mathbf { H } ( \mathbf { x } ) \mathbf { v } = \nabla f ( \mathbf { x } + r \mathbf { v } ) - \nabla f ( \mathbf { x } ) + { \mathcal { O } } ( r ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { | \alpha _ { k + 1 } A - \tilde { \alpha } _ { k + 1 } \tilde { A } | } { | \alpha _ { k + 1 } A | } } & { \leq \frac { | \alpha _ { k + 1 } - \tilde { \alpha } _ { k + 1 } | } { | \alpha _ { k + 1 } | } + \frac { | \tilde { \alpha } _ { k + 1 } | } { | \alpha _ { k } | } \frac { | A - \tilde { A } | } { | A | } } \\ & { \leq \delta + ( 1 + \delta ) 2 k \delta } \\ & { \leq ( 2 k + 1 ) \delta + 2 k \delta ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 2 k + 2 ) \delta . } \end{array}
\frac { \sigma _ { c } R _ { p } } { 2 \gamma } = 0 . 1 8 7 7 \Big ( \frac { 2 R _ { p } } { h } \Big ) ^ { 2 / 3 } \Big ( \frac { \mathcal { G } ( E _ { f } \nu _ { f } ) M \phi _ { r c p } R _ { p } } { 2 \gamma } \Big ) ^ { 1 / 3 } ,
\cdot \sum _ { X _ { c } } \sum _ { \binom { l e p t o n } { s p i n s } } \frac { | \langle X _ { c } e \bar { \nu } _ { e } | H _ { W } | B \rangle | ^ { 2 } } { 2 m _ { B } } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( p _ { B } - ( p _ { e } + p _ { \nu _ { e } } ) - p _ { X _ { c } } ) ,
\textrm { c o s } ( 2 \theta ) ( c _ { 2 2 } + c _ { 3 3 } - 2 c _ { 4 4 } ) + \textrm { s i n } ( 2 \theta ) ( c _ { 2 3 } + c _ { 4 4 } ) \left( \frac { \textrm { s i n } ( \phi ) } { \textrm { c o s } ( \phi ) } - \frac { \textrm { c o s } ( \phi ) } { \textrm { s i n } ( \phi ) } \right) + ( c _ { 2 2 } - c _ { 3 3 } ) = 0
\frac { \partial T ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { { c e l l } } } / V _ { \mathrm { i n } } } } \vec { V } ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } T ^ { * } - \alpha ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { W _ { \mathrm { { c e l l } } } ^ { 2 } / \alpha _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { L _ { \mathrm { { c e l l } } } ^ { 2 } / \alpha _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { h } } } { H _ { \mathrm { { c h } } } ^ { 2 } / \alpha _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } T ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = 0
\frac { A _ { - } e ^ { i \Omega t } + A _ { + } e ^ { - i \Omega t } } { t ^ { 3 / 2 } } \frac { A _ { - } ^ { \prime } e ^ { i \Omega t } + A _ { + } ^ { \prime } e ^ { - i \Omega t } } { t ^ { 3 / 2 } } = \frac { A _ { - } A _ { + } ^ { \prime } + A _ { + } A _ { - } ^ { \prime } } { t ^ { 3 } } + \mathrm { o s c i l l a t i n g } .
t = { \frac { 4 k _ { 0 } k _ { 1 } e ^ { - i a ( k _ { 0 } - k _ { 1 } ) } } { ( k _ { 0 } + k _ { 1 } ) ^ { 2 } - e ^ { 2 i a k _ { 1 } } ( k _ { 0 } - k _ { 1 } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \Vert \Pi _ { \tau } \bigl ( F ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n } ) ) - F ^ { \tau } ( } & { u ^ { \tau } ( t _ { n } ) - e _ { n } ) \bigr ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , - b ^ { \prime } } } } \\ & { \leq C _ { T } \| e _ { n } \| _ { X _ { \tau } ^ { 0 , 1 - b _ { 0 } } } + C _ { T , s _ { 1 } } \tau ^ { - { \frac { s _ { 1 } } { 2 } } } \| e _ { n } \| _ { X _ { \tau } ^ { 0 , 1 - b _ { 0 } } } ^ { 2 } + C _ { T , s _ { 1 } } \tau ^ { - s _ { 1 } } \| e _ { n } \| _ { X _ { \tau } ^ { 0 , 1 - b _ { 0 } } } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \pm } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } } & { { } = } & { \mp \frac { c _ { _ 0 } } { 4 s } \ \frac { c k _ { - } \pm c _ { _ 0 } q k _ { + } } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { ( \mp c _ { _ 0 } a ) } , } \\ { A _ { + } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } & { { } = } & { - \frac { c _ { _ 0 } ^ { 2 } q } { 2 s } \ \frac { 1 } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { ( - c a ) } , } \\ { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } & { { } = } & { \frac { c _ { _ 0 } ^ { 2 } q } { 2 s } \ \frac { 1 - k _ { + } } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { ( c a ) } , } \\ { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I I } ) } } } & { { } = } & { - \frac { c _ { _ 0 } ^ { 2 } c q } { s ( c - c _ { _ 0 } q ) } \ \frac { 1 } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { [ c _ { _ 0 } b + c ( b - a ) ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial \bar { z } } \left( \hat { \mathfrak f } _ { 0 } , \cdots , \hat { \mathfrak f } _ { n } \right) } & { = } & { \left( 0 , \, \frac { \| \hat { \mathfrak f } _ { 1 } \| ^ { 2 } } { \| \hat { \mathfrak f } _ { 0 } \| ^ { 2 } } \hat { \mathfrak f } _ { 0 } , \, \frac { \| \hat { \mathfrak f } _ { 2 } \| ^ { 2 } } { \| \hat { \mathfrak f } _ { 1 } \| ^ { 2 } } \hat { \mathfrak f } _ { 1 } , \cdots , \, \frac { \| \hat { \mathfrak f } _ { n } \| ^ { 2 } } { \| \hat { \mathfrak f } _ { n - 1 } \| ^ { 2 } } \hat { \mathfrak f } _ { n - 1 } \right) , } \\ { \frac { \partial } { \partial z } \left( \hat { \mathfrak f } _ { 0 } , \cdots , \hat { \mathfrak f } _ { n } \right) } & { = } & { \left( \hat { \mathfrak f } _ { 1 } , \, \cdots , \hat { \mathfrak f } _ { n } , \, 0 \right) + \left( \hat { \mathfrak f } _ { 0 } \frac { \partial } { \partial z } \log \, \| \hat { \mathfrak f } _ { 0 } \| ^ { 2 } , \, \hat { \mathfrak f } _ { 1 } \frac { \partial } { \partial z } \log \, \| \hat { \mathfrak f } _ { 1 } \| ^ { 2 } , \cdots , \, \hat { \mathfrak f } _ { n } \frac { \partial } { \partial z } \log \, \| \hat { \mathfrak f } _ { n } \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
d \vartheta ^ { \alpha } ( \mathbf { e } _ { \beta } , \mathbf { e } _ { \gamma } ) = - ( \omega ^ { \alpha } _ { \beta } \wedge \vartheta ^ { \beta } ) ( \mathbf { e } _ { \beta } , \mathbf { e } _ { \gamma } ) = - \omega ^ { \alpha } _ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \beta } ) \, \vartheta ^ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \gamma } ) + \omega ^ { \alpha } _ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \gamma } ) \, \vartheta ^ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \beta } ) = - \omega ^ { \alpha } _ { \beta \gamma } + \omega ^ { \alpha } _ { \gamma \beta } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { d } } ^ { \lessgtr } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { M } _ { 1 } ^ { \lessgtr } } & { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { \lessgtr } } & { } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { C } _ { 1 } ^ { \lessgtr , \dagger } } & { \mathbf { M } _ { 2 } ^ { \lessgtr } } & { \ddots } \\ { \mathbf { 0 } } & { } & { \mathbf { C } _ { j - 1 } ^ { \lessgtr , \dagger } } & { \mathbf { M } _ { j } ^ { \lessgtr } } \end{array} \right] . } \end{array}
\tilde { \gamma } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p - 2 k - 2 } } ^ { \prime ( 1 ) } \equiv \pi _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p - 2 k - 2 } } ^ { ( 1 ) } \approx 0 , \; k = 0 , \ldots , c ,
p _ { f } \left( r \right) = \sigma _ { h } + p _ { i } \; \; \; \left( t = 0 , \; r _ { w } \leq r \leq r _ { w } + l _ { 0 } , \; K _ { \mathrm { ~ I ~ } } < K _ { \mathrm { ~ I ~ C ~ } } \right)
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { k } [ \phi ] = \int _ { x } \Big \{ } & { { } \Bar { \psi } _ { a , f } i \gamma _ { \mu } \partial _ { \mu } \psi _ { a , f } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } } \end{array}
n _ { 1 } = 2 \Re ( \phi _ { 1 } \bar { \phi } _ { 2 } ) , \quad n _ { 2 } = 2 \Im ( \phi _ { 1 } \bar { \phi } _ { 2 } ) , \quad n _ { 3 } = | \phi _ { 1 } | ^ { 2 } - | \phi _ { 2 } | ^ { 2 } .
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \Phi _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \Phi _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \Phi _ { 3 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { m } { \pi } \mu \cos ( 2 a \sqrt { \pi } \Phi _ { 1 } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { M _ { x x } = } & { \cos [ \Phi ( t ) ] \cos [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] + \sin [ \Phi ( t ) ] \sin [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] , } \\ { M _ { y y } = } & { \cos [ \Phi ( t ) ] \cos [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] , } \\ { M _ { y z } = } & { - \cos [ \Phi ( t ) ] \sin [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] , } \\ { M _ { z y } = } & { - \sin [ \Phi ( t ) ] \cos [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] , } \\ { M _ { z z } = } & { \sin [ \Phi ( t ) ] \sin [ \Phi ( t ^ { \prime } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \delta \! \left( \omega + E _ { 0 } - H ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathcal { M } } \vert \nabla g ^ { n , t } \vert ^ { 4 } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \lesssim \int _ { \mathcal { M } } \Big ( \mathcal { L } \Big ( ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { n , t } \Big ) \Big ) ^ { 4 } \mathrm { d } \mathrm { m } = \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \, s ( \partial _ { s } \mathrm { P } _ { s } ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { n , t } ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\mu _ { 2 } \{ x \ge 1 : | R _ { 1 } ( f ) ( x ) | > \lambda \} \lesssim \left( \frac { \| f \| _ { p _ { \epsilon } } ^ { q _ { \epsilon } } } { \lambda ^ { q _ { \epsilon } } } \right) ^ { \frac { d _ { 2 } } { q _ { \epsilon } ( \alpha + \beta - d _ { 1 } / { p _ { \epsilon } ^ { \prime } } ) } } = \left( \frac { \| f \| _ { p _ { \epsilon } } } { \lambda } \right) ^ { q _ { \epsilon } }
\begin{array} { r l } { \operatorname { I B i a s } _ { f _ { \theta } } ^ { 2 } ( \widetilde f ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( E _ { f _ { \theta } } \big [ \widetilde f ( x ) \big ] - f _ { \theta } ( x ) \Big ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \Big ( E _ { f _ { \theta } } \big [ \widetilde \theta _ { i } \big ] - \theta _ { i } \Big ) \psi _ { i } ( x ) \bigg ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \Big ( E _ { f _ { \theta } } \big [ \widetilde \theta _ { i } \big ] - \theta _ { i } \Big ) ^ { 2 } \psi _ { i } ^ { 2 } ( x ) \, d x } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \Big ( E _ { f _ { \theta } } \big [ \widetilde \theta _ { i } \big ] - \theta _ { i } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { = \big \| E _ { \theta } \big [ \widetilde \theta \big ] - \theta \big \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
a _ { \mu } = { \frac { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar ^ { 2 } } { \mu e ^ { 2 } } } = { \frac { \hbar c } { \alpha \mu c ^ { 2 } } } = { \frac { m _ { \mathrm { e } } } { \mu } } a _ { 0 }
L _ { i } = \frac { J _ { i } ^ { ( 1 ) } ( \tilde { \mathbf { q } } ) } { J ( \tilde { \mathbf { q } } ) } = - \sum _ { \mu = 0 } ^ { N f - 1 } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tilde { q } _ { \mu } } { \mathrm { d } \eta ^ { 2 } } \Bigg / \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| ^ { 2 } \right) C _ { \mu i } ( \eta ) ,
W _ { t r e e } = g S ( Q _ { 1 } \bar { Q } _ { 1 } + Q _ { 2 } \bar { Q } _ { 2 } ) + { \frac { g ^ { \prime } } { 2 } } S \mathrm { T r } \Sigma ^ { 2 } + { \frac { h } { 3 } } \mathrm { T r } \Sigma ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { f } } & { = \frac { \frac { \tilde { \epsilon } } { \epsilon } \operatorname* { m a x } \{ \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \} + \frac { \tilde { \epsilon } ^ { 2 } } { \epsilon } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } { 1 - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \tilde { \epsilon } ^ { 2 } } , } \\ { \delta _ { f } } & { = \frac { 2 \frac { \tilde { \epsilon } } { \epsilon } \operatorname* { m a x } \{ \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } \} \operatorname* { m a x } \{ \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } \} \left( 1 + \tilde { \epsilon } \operatorname* { m a x } \{ \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \} \right) } { \left( 1 - \tilde { \epsilon } ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } ) ( 1 - \tilde { \epsilon } ^ { 2 } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \right) } } \\ & { \; \; \; + \frac { 2 \operatorname* { m a x } \{ \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } \} \left( 1 + \tilde { \epsilon } \operatorname* { m a x } \{ \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \} \right) \left( 1 + \frac { \tilde { \epsilon } ^ { 2 } ( 1 - \epsilon ) } { \epsilon } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \right) } { \left( 1 - \tilde { \epsilon } ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } ) ( 1 - \tilde { \epsilon } ^ { 2 } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap B _ { 3 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } z > \frac { r } { 2 } } \\ { \left( \frac { \sigma r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { \sigma } { r } \right) ^ { - 1 } < x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } \leq z \leq \frac { r } { 2 } } \end{array} \right. , } \\ { A _ { 1 } \cap B _ { 4 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } z < \frac { \sigma } { 2 } - r } \\ { 0 \leq x < \left( \frac { \sigma r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { \sigma } { r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - r \leq z \leq - \frac { r } { 2 } } \end{array} \right. ; } \end{array}
g _ { \mathrm { { B } , \mathrm { { S D S } } } } = \frac { V _ { \mathrm { { S D S } } } } { V _ { \mathrm { { f i b e r } } } } \frac { g _ { \mathrm { { B } , \mathrm { { f i b e r } } } } L _ { \mathrm { { e f f , f i b e r } } } P _ { \mathrm { { p u m p , f i b e r } } } } { L _ { \mathrm { { e f f , S D S } } } P _ { \mathrm { { p u m p , S D S } } } }
{ \begin{array} { r l } { Z } & { = { \sqrt { \frac { \mu } { \varepsilon } } } = { \sqrt { \frac { \mu _ { \mathrm { 0 } } \mu _ { \mathrm { r } } } { \varepsilon _ { \mathrm { 0 } } \varepsilon _ { \mathrm { r } } } } } = { \sqrt { \frac { \mu _ { \mathrm { 0 } } } { \varepsilon _ { \mathrm { 0 } } } } } { \sqrt { \frac { \mu _ { \mathrm { r } } } { \varepsilon _ { \mathrm { r } } } } } } \\ & { = Z _ { 0 } { \sqrt { \frac { \mu _ { \mathrm { r } } } { \varepsilon _ { \mathrm { r } } } } } } \\ & { = Z _ { 0 } { \frac { \mu _ { \mathrm { r } } } { n } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } \psi _ { 1 , B } \Big | _ { t = 0 } } & { = \frac { i } { \sqrt { \pi } } ( h _ { 1 } ( s , 0 ) - h _ { 4 } ( s , 0 ) ) , } \\ { x _ { 1 } \psi _ { 2 , B } \Big | _ { t = 0 } } & { = - \frac { i } { \sqrt { \pi } } ( h _ { 2 } ( s , 0 ) - h _ { 4 } ( s , 0 ) ) , } \\ { x _ { 1 } \psi _ { 3 , B } \Big | _ { t = 0 } } & { = \frac { i } { \sqrt { \pi } } ( h _ { 3 } ( s , 0 ) - h _ { 4 } ( s , 0 ) ) . } \end{array}
U ( \Theta ) = \frac { 1 } { r } \left( \begin{array} { c c } { { z } } & { { x + i y } } \\ { { - x + i y } } & { { z } } \end{array} \right) \sin \Theta + \left( \begin{array} { c c } { { i } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - i } } \end{array} \right) \cos \Theta .
\mathcal { J } _ { h } : C ^ { 1 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } , \mathbb { S } ^ { 2 } ) \to \mathcal { P } ( S _ { 2 } ^ { 1 } ( \mathcal { T } ) ^ { 3 } ) \subset C ^ { 1 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } , \mathbb { S } ^ { 2 } ) \, , \quad \varphi \mapsto \mathcal { I } _ { h } ^ { ( 3 ) } [ \varphi ] / \lVert \mathcal { I } _ { h } ^ { ( 3 ) } [ \varphi ] \rVert \, .
\partial _ { t } \mathcal { V } ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { V } ( t , \xi ) - g ( t ) \partial _ { \xi } [ h ( \xi ) \mathcal { V } ( t , \xi ) ] = 0 , \quad \mathcal { V } ( 0 , \xi ) = \Omega _ { 0 } ^ { \prime } ( \xi )
\begin{array} { r l r } { \langle \theta , \phi | \mathrm { B l o c h } \rangle } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \ } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i G ^ { \mu \nu } } & { = - i \frac { g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } ) + \frac { - i } { p ^ { 2 } } i \Pi _ { L } ^ { \mu \nu } \frac { - i } { p ^ { 2 } } + \frac { - i } { p ^ { 2 } } i ( \Pi _ { 1 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 2 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 3 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 4 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 5 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 6 } ^ { \mu \nu } ) \frac { - i } { p ^ { 2 } } = } \\ & { - i \biggl [ ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } ) - ( 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } ) e ^ { 2 } \Pi _ { L } - \frac { e ^ { 2 } m ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \bigl ( \frac { 3 } { 2 } \Pi _ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \Pi _ { 1 } + \frac { 1 } { 4 } \Pi _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \Pi _ { 4 } \big ) + \frac { 3 4 e ^ { 2 } m ^ { 4 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \biggl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \biggr ) \biggr ] \biggr ] \frac { g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } } \\ & { = - i \left[ \left( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \right) + e ^ { 2 } H ( p ^ { 2 } ) \right] \frac { g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } \ . } \end{array}
\phi = t a n h s + \frac { 1 } { M } \frac { C } { c o s h ^ { 2 } s } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \frac { \alpha } { c o s h ^ { 2 } s } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
\begin{array} { r l } { \Pi _ { i } ^ { o } ( k _ { i } , k _ { t } ) } & { = \underbrace { \frac { 1 } { k _ { i } } k _ { t } \Pi _ { t } ^ { o } ( k _ { i } ) } _ { \mathrm { n e t ~ g a i n } } + \underbrace { \left( N _ { T } - k _ { t } \right) \left( - \frac { 1 } { N _ { T } } \right) } _ { \mathrm { n e t ~ l o s s } } } \\ & { = \frac { k _ { t } } { N _ { T } } \frac { r \left( 1 - w ^ { k _ { i } } \right) } { k _ { i } ( 1 - w ) } + \left( 1 - \frac { k _ { t } } { N _ { T } } \right) \cdot ( - 1 ) . } \end{array}
\chi _ { \mathrm { r e a c t o r } } ^ { 2 } ( \mu _ { \mathrm { R } } ) = \sum _ { i } \left( \frac { N _ { \mathrm { w e a k } } ^ { i } + N _ { \mathrm { e m } } ^ { i } ( \mu _ { \mathrm { R } } ) - N _ { \mathrm { o b s } } ^ { i } } { \sigma ^ { i } } \right) ^ { 2 } \, .
\frac { d N ( p ^ { + } ) } { d E \cdot d \Omega } = \int _ { - y } ^ { y } { I P _ { P S L } \, d y } \cdot \frac { 1 } { d E _ { I P } \cdot F _ { I P } \cdot C A L _ { I P } \cdot \Delta \Omega _ { T P } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \lambda } _ { 5 } ^ { \prime \prime } = \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 5 } ^ { \prime } + \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 7 } ^ { \prime } } \\ & { } & { = \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \left( - \sin \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 4 } + \cos \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 5 } \right) } \\ & { } & { \ \ + \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \left( \sin \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 6 } + \cos \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \hat { \lambda } _ { 7 } \right) } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { - i \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { 0 } & { 0 } & { - i \mathrm { e } ^ { i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { i \mathrm { e } ^ { i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } & { i \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { { M } _ { n } } { { \ddot { u } } _ { n } } } & { + } & { \nu _ { u } \dot { u } _ { n } = { { k } _ { u } } \left( { { u } _ { n + 1 } } + { { u } _ { n - 1 } } - 2 { { u } _ { n } } \right) } \\ & { + } & { { { k } _ { u } } l \left\{ \cos \left( { { \theta } _ { n - 1 } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) - \cos \left( { { \theta } _ { n + 1 } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) \right\} } \\ { { { J } _ { n } } { { \ddot { \theta } } _ { n } } } & { + } & { \nu _ { \theta } \dot { \theta } _ { n } = - { { k } _ { \theta } } \left( { { \theta } _ { n + 1 } } + { { \theta } _ { n - 1 } } + 4 { { \theta } _ { n } } + 6 { { \theta } ^ { ( 0 ) } } - 6 \theta _ { L i n } \right) } \\ & { - } & { { { k } _ { u } } l \sin \left( { { \theta } _ { n } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) \left( { { u } _ { n + 1 } } - { { u } _ { n - 1 } } \right) } \\ & { + } & { { { k } _ { u } } { { l } ^ { 2 } } \cos \left( { { \theta } _ { n } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) } \\ & { } & { \left\{ \sin \left( { { \theta } _ { n + 1 } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) + \sin \left( { { \theta } _ { n - 1 } } + { { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) \right\} } \\ & { - } & { { { T } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n , 1 } } \right) - { { T } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n - 1 , 1 } } \right) } \\ & { - } & { { { T } _ { M o r s e } } \left( \Delta { { \theta } _ { n , 2 } } \right) } \end{array}
B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ) } ( \Gamma ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { M ^ { \prime } } \Omega \left( \Gamma _ { t + [ ( i - 1 ) M ^ { \prime } + j ] \delta t } ; 0 \right) ,
H = - \int d { \bf x } \int _ { \Gamma _ { + } + \Gamma _ { - } } d k \int _ { \Gamma _ { + } ^ { \prime } + \Gamma _ { - } ^ { \prime } } d k ^ { \prime } e ^ { i k x } e ^ { i k ^ { \prime } x } \frac { a ( k ) a ( k ^ { \prime } ) } { f ( - k ^ { 2 } ) f ( - k ^ { 2 } ) } ( k _ { 0 } ^ { 2 } - k _ { 0 } k _ { 0 } ^ { \prime } ) \frac { f ( - k ^ { 2 } ) - f ( - k ^ { 2 } ) } { k ^ { 2 } - k ^ { 2 } }
F _ { \sigma \dot { \rho } } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) = \xi _ { 1 } ^ { j _ { 1 } + \sigma } \xi _ { 2 } ^ { j _ { 1 } - \sigma } \bar { \eta } _ { \dot { 1 } } ^ { j _ { 2 } + \dot { \rho } } \bar { \eta } _ { \dot { 2 } } ^ { j _ { 2 } - \dot { \rho } } \ ,
\left( \frac { 1 } { E } \frac { d E } { d t } \right) ^ { - 1 } = 3 . 8 \times \left( \frac { E } { 1 0 ^ { 2 1 } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { B } { 1 0 ^ { - 9 } G } \right) ^ { - 2 } \, k p c .
A _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p } } ^ { ( g ) } ( x _ { 0 } , { \bf x } ) = x _ { 0 } ^ { \frac { d } { 2 } } \int { \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } e ^ { - i { \bf k } \cdot { \bf x } } a _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p } } ( { \bf k } ) K _ { \nu } ( | { \bf k } | x _ { 0 } ) .
< \alpha ( x , 0 ) > \equiv { \frac { < \psi | \alpha ( x , 0 ) | \psi > } { < \psi | \psi > } } = { \frac { 2 } { \hbar L } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathrm { R e } [ n ~ C _ { n } ~ e ^ { 2 \pi ~ i ~ n ~ x / L } ]
\begin{array} { r l } { \delta _ { \Xi _ { 0 } } g _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } } & { { } = \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 2 s ) - \Xi _ { 0 } \, \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha \beta \gamma } ( 1 2 3 ) = f _ { \alpha } ( 1 ) f _ { \beta } ( 2 ) f _ { \gamma } ( 3 ) + f _ { \alpha } ( 1 ) g _ { \beta \gamma } ( 2 3 ) } & { { } + f _ { \beta } ( 2 ) g _ { \gamma \alpha } ( 3 1 ) } \end{array}
{ \cal L } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } { \epsilon ^ { j k i } \partial _ { j } { A _ { k } } ^ { a } } { \epsilon _ { a b } \partial _ { 0 } { A _ { i } ^ { b } } } - { \frac { 1 } { 4 } } { F ^ { a , j k } } { { F ^ { a } } _ { j k } } + { \dot { \lambda } ^ { ( a ) } } { A _ { 3 } ^ { a } }
\begin{array} { r l r } { E } & { { } = } & { E _ { D F T } - \sum _ { I } \frac { J _ { I } } { 2 } \sum _ { p \sigma } \left( n _ { I p \sigma } ^ { 2 } + 2 J _ { I } ^ { - 1 } E _ { X C } [ n _ { I p \sigma } | \chi _ { I p \sigma } | ^ { 2 } , 0 ] \right) } \end{array}