harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| u ( \eta ) \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = \int _ { D _ { h } ( \eta ) } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \nabla { u } _ { j } ^ { * } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } } ^ { \top } \nabla \bar { u } _ { j } ^ { * } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } } \, \mathrm { d } y } \\ & { + \int _ { D _ { h } ( \eta ) } | u ^ { * } | ^ { 2 } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } } \, \mathrm { d } y } \end{array}
\dot { Q } = \frac { 1 } { i } [ Q , P ^ { - } ] = v \operatorname * { l i m } _ { m _ { \pi } ^ { 2 } \rightarrow 0 } m _ { \pi } ^ { 2 } \int d ^ { 3 } \vec { x } \, \omega _ { \pi } \neq 0 .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left| M _ { t + h } - M _ { t } - \left( M _ { t , h } - M _ { t } + X _ { t } ^ { 1 } \right) _ { + } \right| \right] \leq } \\ & { \sqrt { 2 \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { u \leq h } \left| X _ { u + t } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } - X _ { t , u } ^ { 1 } \right| ^ { 2 } \right] \left( { \mathbb P } \{ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq h } ( X _ { u + t } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } ) > M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } \} + { \mathbb P } \{ M _ { t , h } > M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } \} \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { v } _ { j k } ^ { \mathsf { R Z F } } = \left[ \widehat { \mathbf { H } } _ { j } ^ { j } \left( ( \widehat { \mathbf { H } } _ { j } ^ { j } ) ^ { \mathsf { H } } \widehat { \mathbf { H } } _ { j } ^ { j } + \sigma _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } \mathbf { P } _ { j } ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \right] _ { : , k } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { 0 } ^ { T } W ^ { 1 } ( t ) d t - \int _ { 0 } ^ { T } W ^ { 2 } ( t ) d t ~ \right| } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } \left| \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { 2 } T } ( \tilde { W } ^ { 1 } ( t ) - \tilde { W } ^ { 2 } ( t ) ) d t \right| + \left| \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } - \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } \right| \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { 2 } T } \tilde { W } ^ { 2 } ( t ) d t + \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } \int _ { \lambda _ { 2 } T } ^ { \lambda _ { 1 } T } \tilde { W } ^ { 1 } ( t ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { g } } _ { i + 2 , j , k } ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { u = 0 } ^ { i } \frac { ( - 1 ) ^ { u } } { r ^ { u + 1 } } \frac { 1 } { ( i + 1 ) ( i + 2 ) } \left[ \frac { ( u + 1 ) n ^ { 2 } } { r } \overline { { g } } _ { i - u , j , k } ^ { ( n ) } - ( i - u + 1 ) \overline { { g } } _ { i - u + 1 , j , k } ^ { ( n ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { p } _ { m n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } } & { = \langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) | \left[ \hat { \textbf { p } } + \textbf { A } ( t ) \right] | \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } \\ & { = - i \left\langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \left| \left[ \hat { \textbf { r } } , \hat { H } _ { V G } ( t ) \right] \right| \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { m a x i m i z e } } & & { \sum _ { i } t _ { i } } \\ & { \mathrm { o v e r } } & & { t \in \mathbb { R } ^ { n } , \ Y \in \mathbb { R } ^ { n \times n } } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & & { ( t , 1 , y ) \in \mathrm { e x p c o n e } } \\ & { } & & { \left( \begin{array} { r r r r r r } { D \phantom { ^ T } } & { Z } \\ { Z ^ { T } } & { A } \end{array} \right) \mathrm { ~ p o s i t i v e ~ s e m i d e f i n i t e } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { { \bf { t m } } ^ { k } } f ( { \bf { t m } } ^ { k } ) = \| { \bf { I } } ^ { k } - \left| { \bf { Q } } { \bf { t m } } ^ { k } \right| ^ { 2 } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
p _ { \mathrm { r } } = { \frac { R \, T _ { \mathrm { r } } T _ { \mathrm { c } } } { P _ { \mathrm { c } } V _ { \mathrm { c } } \left( V _ { \mathrm { r } } - { \frac { \Omega _ { b } } { Z _ { \mathrm { c } } } } \right) } } - { \frac { { \frac { \Omega _ { a } \, R ^ { 2 } T _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } } \alpha \left( \omega , T _ { \mathrm { r } } \right) } { V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \left( V _ { \mathrm { r } } + { \frac { \Omega _ { b } } { Z _ { \mathrm { c } } } } \right) } } = { \frac { T _ { \mathrm { r } } } { Z _ { \mathrm { c } } \left( V _ { \mathrm { r } } - { \frac { \Omega _ { b } } { Z _ { \mathrm { c } } } } \right) } } - { \frac { { \frac { \Omega _ { a } } { Z _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } } \alpha \left( \omega , T _ { \mathrm { r } } \right) } { V _ { \mathrm { r } } \left( V _ { \mathrm { r } } + { \frac { \Omega _ { b } } { Z _ { \mathrm { c } } } } \right) } }
\chi _ { \mu } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { r ^ { - 1 } B _ { \mu } ( r ) , } & { r > R } \\ { B _ { \mu } ^ { \prime } ( 0 ) + \frac { 1 } { 2 } B ^ { \prime \prime } ( 0 ) r + \dots } & { r \le R } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { G P P } } = } & { \sum _ { l = 1 } ^ { L } z _ { l } \left( \left( 1 - \mathbb { I } _ { s } \right) \left( C _ { \mathrm { f i l t e r } } + C _ { \mathrm { D F T } } \right) + C _ { \mathrm { p r e c } , l } + C _ { \mathrm { o t h e r , O - R U } } \right) } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { k = 1 } ^ { K } x _ { k , l } C _ { \mathrm { o t h e r , U E } } + \mathcal { F } } \\ { = } & { \mathcal { Z } \sum _ { l = 1 } ^ { L } z _ { l } + \mathcal { X } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { k = 1 } ^ { K } x _ { k , l } + \mathcal { F } } \end{array}
q ( \chi _ { e } ) \approx \frac { 1 } { \left[ 1 + 4 . 8 ( 1 + \chi _ { e } ) \ln ( 1 + 1 . 7 \chi _ { e } ) + 2 . 4 4 \chi _ { e } ^ { 2 } \right] ^ { 2 / 3 } } ,
m _ { \phi } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 4 } } \mathrm { T r } \left[ \Delta m ^ { 2 } ( q _ { B } ) - \Delta m ^ { 2 } ( q _ { F } ) \right] \left. \frac { d M ^ { 2 } ( \phi ) } { d | \phi | ^ { 2 } } \right| _ { \phi = 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \delta H } { \delta u } } & { { } = m : = P _ { 2 } ( D u ) , } \\ { \frac { \delta H } { \delta D } } & { { } = P _ { 3 } \left( \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g z + c _ { p } \theta \Pi \right) , } \\ { \frac { \delta H } { \delta \theta } } & { { } = c _ { p } P _ { 0 } \left( D \Pi \right) , } \end{array}
\bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } ^ { ( i ) } \equiv \mathfrak { D } _ { 2 } ^ { ( i ) } I \Bigg ( \frac { 9 \mathfrak { c } _ { m } ^ { 2 } } { 1 6 } - 1 \leq \mathfrak { D } _ { 2 } ^ { ( i ) } \leq 1 \Bigg ) + I \Bigg ( \mathfrak { D } _ { 2 } ^ { ( i ) } > 1 \Bigg ) + \Bigg ( \frac { 9 \mathfrak { c } _ { m } ^ { 2 } } { 1 6 } - 1 \Bigg ) I \Bigg ( \mathfrak { D } _ { 2 } ^ { ( i ) } < \frac { 9 \mathfrak { c } _ { m } ^ { 2 } } { 1 6 } - 1 \Bigg ) .
\Phi \approx { \frac { 3 } { 5 } } \left. { \frac { H _ { T } \delta \phi } { \dot { \phi } _ { 0 } } } \right| _ { t \approx H _ { T } ^ { - 1 } } = { \frac { 3 } { 5 } } { \frac { H _ { T } ^ { 2 } } { m _ { T } ^ { 2 } } } { \frac { \gamma } { 2 } } \ln f ( r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) .
S = \int d \rho [ \frac { 1 } { 2 } \dot { \Phi } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \dot { \xi } ^ { 2 } + \frac { \dot { T } ^ { 2 } } { 4 } - 5 \dot { \eta } ^ { 2 } - V ( \Phi , \xi , T , \eta ) ]
{ \cal L } _ { ( V _ { 1 } V _ { 2 } ) _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } ( x ) = C _ { ( 1 2 ) } \, \eta _ { 0 } \int _ { \frac { 1 } { 2 } \ln ( x ) } ^ { - \frac { 1 } { 2 } \ln ( x ) } d y \left[ f _ { V _ { 1 , \lambda _ { 1 } } } ^ { h _ { 1 } } \left( \sqrt { x } e ^ { y } \right) f _ { V _ { 2 , \lambda _ { 2 } } } ^ { h _ { 2 } } \left( \sqrt { x } e ^ { - y } \right) \; + \; h _ { 1 } \leftrightarrow h _ { 2 } \, \right] ,
\begin{array} { r l } & { f ^ { c } ( x ) : = f ( 0 ) + \int _ { ( 0 , x ) } g ^ { c } ( y ) \mu _ { c } ( d y ) \in \mathscr { S } _ { c } , } \\ & { f ^ { + } ( x ) : = \int _ { ( 0 , x ) } g ^ { + } ( y ) \mu _ { d } ^ { + } ( d y ) \in \mathscr { S } _ { d } ^ { + } , \quad f ^ { - } ( x ) : = \int _ { ( 0 , x ] } g ^ { - } ( y ) \mu _ { d } ^ { - } ( d y ) \in \mathscr { S } _ { d } ^ { - } . } \end{array}
{ \hat { w } } = A _ { 1 } \cosh ( \beta x ) + A _ { 2 } \sinh ( \beta x ) + A _ { 3 } \cos ( \beta x ) + A _ { 4 } \sin ( \beta x ) \quad { \mathrm { w i t h } } \quad \beta : = \left( { \frac { \mu \omega ^ { 2 } } { E I } } \right) ^ { 1 / 4 }
\begin{array} { r l } { \langle f \rangle _ { \gamma ( x _ { 2 } ) } } & { { } = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \gamma ( x _ { 2 } ) } f \ d S \, d t . } \end{array}
\frac { \vec { k } ^ { 2 } } { m _ { f } } \phi _ { \sigma } ( \vec { k } ) + \sum _ { \sigma ^ { \prime } } \frac { m _ { f } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \frac { d ^ { 3 } k ^ { \prime } } { \sqrt { E _ { k } E _ { k ^ { \prime } } } } v _ { O B E } ( \sigma , \sigma ^ { \prime } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } ) \phi _ { \sigma ^ { \prime } } ( \vec { k } ^ { \prime } ) = \frac { M _ { f u l l } ^ { 2 } - 4 m _ { f } ^ { 2 } } { 4 m _ { f } } \phi _ { \sigma } ( \vec { k } ) \; ,
\begin{array} { r l r } { a _ { 0 } } & { { } = } & { 2 1 0 6 0 \; , } \\ { a _ { 1 } } & { { } = } & { 1 0 9 6 2 \; , } \\ { a _ { 2 } } & { { } = } & { 6 \left[ 3 1 5 + f _ { 1 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 2 } \right] \; , } \\ { a _ { 3 } } & { { } = } & { 1 0 8 + f _ { 2 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 2 } \; , } \\ { a _ { 4 } } & { { } = } & { \frac { k ^ { 2 } } { 2 } \left[ f _ { 3 } ( x ^ { 2 } ) + f _ { 4 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 2 } \right] , } \\ { a _ { 5 } } & { { } = } & { 3 6 k ^ { 2 } + f _ { 5 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 4 } \; , } \\ { a _ { 6 } } & { { } = } & { k ^ { 4 } \left[ f _ { 6 } ( x ^ { 2 } ) + f _ { 7 } ( x ^ { 2 } ) k ^ { 2 } \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { \Delta x , \xi } } & { \rightarrow y _ { \xi } \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) \cap L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) , } \\ { U _ { \Delta x , \xi } } & { \rightarrow U _ { \xi } \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) , } \\ { H _ { \Delta x , \xi } } & { \rightarrow H _ { \xi } \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) \cap L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) . } \end{array}
\frac { \tau _ { w } } { R \bar { \rho } } = \frac { \bar { \rho } u _ { \tau , S L } ^ { 2 } } { R \bar { \rho } } = \frac { u _ { \tau , S L } ^ { 2 } } { R } = \gamma \bar { T } \frac { u _ { \tau , S L } ^ { 2 } } { R \gamma \bar { T } } = \gamma \bar { T } M _ { \tau , S L } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { E } } } & { { } = I _ { \mathrm { E S } } \left( e ^ { \frac { V _ { \mathrm { B E } } } { V _ { \mathrm { T } } } } - 1 \right) } \\ { I _ { \mathrm { C } } } & { { } = \alpha _ { \mathrm { F } } I _ { \mathrm { E } } } \\ { I _ { \mathrm { B } } } & { { } = \left( 1 - \alpha _ { \mathrm { F } } \right) I _ { \mathrm { E } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \, \, \, \mu \nu } ^ { \lambda } = \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { \lambda \rho } \left( \partial _ { \mu } \, g _ { \rho \nu } + \partial _ { \nu } \, g _ { \rho \mu } - \partial _ { \rho } \, g _ { \mu \nu } \right) . } \end{array}
P _ { i } = \left( p _ { i } - \frac { \kappa } { 2 R ^ { 2 } } \, \epsilon _ { i j } x _ { j } \right) \cosh \frac { t } { R } + \left( \frac { 2 } { R } \, \tilde { p } _ { i } - \frac { \mu } { R } \, x _ { i } \right) \sinh \frac { t } { R }
\frac { \partial f _ { e } } { \partial t } + \textbf { v } \cdot \frac { \partial f _ { e } } { \partial \textbf { r } } + \frac { q _ { e } } { m _ { e } } ( \textbf { E } + { \textbf { v } \times \textbf { B } } ) \cdot \frac { \partial f _ { e } } { \partial \textbf { v } } = \frac { \partial f _ { e } } { \partial t } | _ { \mathrm { e , e ; ~ e , i } } .
Z _ { 3 } = \frac { ( m L ) ^ { 3 } } { 3 ! } I _ { 1 } ^ { 4 } - \frac { ( m L ) ^ { 2 } } { 2 } I _ { 1 } I _ { 2 } + \frac { ( m L ) } { 3 } I _ { 3 } \, \, \, ,
\begin{array} { r l } { \dot { x _ { 1 } } } & { \ = \ - x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 4 } - x _ { 1 } x _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ { \dot { x _ { 2 } } } & { \ = \ - 2 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 3 } + 5 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 3 } , } \\ { \dot { x _ { 3 } } } & { \ = \ - 3 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } - x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 2 } - x _ { 3 } ^ { 5 } + x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 3 } . } \end{array}
\vec { \sigma } \cdot \vec { p } \psi _ { R ( 2 ) } + e \vec { \sigma } \cdot ( \vec { t } \wedge \hat { r } ) A ( r ) \psi _ { R ( 2 ) } - \frac { 1 } { 2 } v \psi _ { L ( 2 ) } + \frac { 3 v } { 2 } \vec { t } \cdot \hat { r } \psi _ { L ( 2 ) } \phi ( r ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { e } & { = \frac { m ^ { 2 } e ^ { 2 B } \Phi ( 1 / 2 ) ^ { 2 } } { 8 \pi } \left[ 1 + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { B ^ { m } } \sum _ { n = 0 } ^ { m - 1 } 2 ^ { n + 1 } Q _ { n , m - 1 - n } \right] \, , } \\ { \rho } & { = 2 \pi \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { c _ { 1 , m , 0 } } { B ^ { m } } \, . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ( \mathrm { ~ O ~ F ~ } ) } { \mathrm { d } t } = \frac { 1 } { m _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \bigg ( \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { ~ o ~ } } } { \mathrm { d } t } - \mathrm { ~ O ~ F ~ } \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { \mathrm { d } t } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { 1 } & { = W \left[ c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) , s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) \right] ( 0 ) = W \left[ c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) , s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) \right] ( x _ { 1 } - ) = \left| \begin{array} { l l } { c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x _ { 1 } ) } & { s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x _ { 1 } ) } \\ { ( c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ) ^ { \prime } ( \rho , x _ { 1 } - ) } & { s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { \prime } ( \rho , x _ { 1 } - ) } \end{array} \right| } \\ & { = \left| \begin{array} { l l } { c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x _ { 1 } ) } & { s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x _ { 1 } ) } \\ { ( c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ) ^ { \prime } ( \rho , x _ { 1 } + ) - \alpha _ { 1 } c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x _ { 1 } ) } & { s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { \prime } ( \rho , x _ { 1 } + ) - \alpha _ { 1 } s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x _ { 1 } ) } \end{array} \right| } \\ & { = \left| \begin{array} { l l } { c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x _ { 1 } ) } & { s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x _ { 1 } ) } \\ { ( c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ) ^ { \prime } ( \rho , x _ { 1 } + ) } & { s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { \prime } ( \rho , x _ { 1 } + ) } \end{array} \right| = W \left[ c _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) , s _ { \mathfrak { I } _ { N } } ( \rho , x ) \right] ( x _ { 1 } + ) } \end{array}
\mathcal { C } _ { \mathrm { \tiny ~ F P } } c = \bar { c } \; , \; \; \mathcal { C } _ { \mathrm { \tiny ~ F P } } \bar { c } = - c \; , \; \; \mathcal { C } _ { \mathrm { \tiny ~ F P } } B = B + \widetilde Z _ { 1 } ( 1 - \alpha ) ( \bar { c } \times c ) \; , \; \; \mathcal { C } _ { \mathrm { \tiny ~ F P } } A = A \; .
m _ { 3 3 } = \frac { \sin ( 2 \beta ) } { 3 2 \, \pi ^ { 2 } } \{ \Delta I ( G , P ) - A _ { 3 1 } ^ { 2 } x _ { 1 } \Delta I ( G , P , x _ { 1 } ) - A _ { 3 2 } ^ { 2 } x _ { 2 } \Delta I ( G , P , x _ { 2 } ) \}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \vert \mathcal { J } _ { 2 } ( x , X _ { 1 } ) \vert ^ { 2 } ] } & { \lesssim \| \partial _ { i j } ^ { 2 } \mathcal { J } _ { 2 } ( x , \cdot ) \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \bigg ( \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s \bigg ( \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } ( y ) \Big ( \partial _ { i j } ^ { 2 } \mathrm { P } _ { s } \Big ( ( \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } - \frac { 1 } { \rho _ { \delta } ( x ) } ) ( p _ { t } ( \cdot , y ) - \rho _ { t } ) \Big ) ( x ) \Big ) ^ { 2 } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \epsilon ( \theta ) - \int _ { - B } ^ { B } d \theta ^ { \prime } K ( \theta - \theta ^ { \prime } ) \epsilon ( \theta ^ { \prime } ) = h - m \cosh \theta } \\ & { \Delta F ( h ) = F ( h ) - F ( h = 0 ) = - \frac { m } { 2 \pi } \int _ { - B } ^ { B } d \theta \cosh ( \theta ) \epsilon ( \theta ) } \\ & { \epsilon ( \pm B ) = 0 \, . } \end{array}
\overline { { { \Lambda } } } = 2 \delta _ { 1 } \, ( \rho ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ) + 2 \sum _ { i = 2 } ^ { \infty } \frac { | F _ { B \rightarrow i } | ^ { 2 } } { 2 M _ { i } { \vec { v } } ^ { 2 } } ( \delta _ { i } - \delta _ { 1 } ) \, .
{ \bf \Psi } ( x ) = \left( \begin{array} { c } { { \varphi ( x ) } } \\ { { \Psi ( x ) } } \end{array} \right) , \; \; \hat { x } ^ { \mu } = x ^ { \mu } \; , \; \; \hat { \pi } _ { \mu } = - i \partial _ { \mu } \; , \; \; \hat { \psi } ^ { n } = \frac { i } { 2 } \Gamma ^ { n } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { e ( n ) } { n } } & { \cdot \frac { { \mathbb { E } } [ S _ { n + 1 } ^ { [ k ] } ] } { e ( n ) } } \\ { = } & { \frac { 1 } { { \mathbb { E } } [ M ^ { [ k ] } ] } \cdot \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { e ( n ) } \Bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { e ( n ) - 1 } { \mathbb { E } } \Bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { m = 1 } ^ { M _ { i } ^ { [ k ] } } W _ { i } ^ { [ k ] } ( m ) + Y _ { i } ^ { [ k ] } ( m ) \Bigg ] + o \left( e ( n ) \right) \Bigg ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { { \mathbb { E } } [ M ^ { [ k ] } ] } \cdot \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { e ( n ) } \! \! \sum _ { i = 1 } ^ { e ( n ) - 1 } \left( { \mathbb { E } } [ W ] + { \mathbb { E } } \left[ M _ { i } ^ { [ k ] } \right] \cdot { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y _ { i } ^ { [ k ] } \right] \right) } \\ { = } & { { \mathbb { E } } \left[ ( 1 - \epsilon ) W + \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y ^ { [ k ] } \right] , } \end{array}
{ \cal F } _ { 2 \, \mathrm { g } } ^ { ( I ) } ( x , Q ^ { 2 } ) \simeq \sum _ { \mathrm { q } } e _ { \mathrm { q } } ^ { 2 } \ x \, \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d x ^ { \prime } } { x ^ { \prime } } \, \left( \frac { 3 } { 8 \, \pi ^ { 3 } } \, \frac { x } { x ^ { \prime } } \right) \, \int _ { 0 } ^ { Q ^ { 2 } \frac { x ^ { \prime } } { x } } d Q ^ { \prime 2 } \, \sigma _ { \mathrm { q } ^ { \ast } \mathrm { g } } ^ { ( I ) } ( x ^ { \prime } , Q ^ { \prime 2 } ) \, .
[ \mathbf { P } _ { k + 1 } ] _ { i , j } [ \mathbf { L } ] _ { i , j } \longrightarrow { \mathbf { K } _ { k + 1 } ^ { l o c } = [ \mathbf { L } ] _ { i , j } [ \mathbf { K } _ { k + 1 } ] _ { i , j } }
\begin{array} { r l } { \oint _ { \partial \Sigma } { \mathbf { F } ( \mathbf { x } ) \cdot \, d \mathbf { l } } } & { { } = \oint _ { \gamma } { \mathbf { F } ( \mathbf { \psi } ( \mathbf { y } ) ) J _ { \mathbf { y } } ( \mathbf { \psi } ) \mathbf { e } _ { u } ( \mathbf { e } _ { u } \cdot \, d \mathbf { y } ) + \mathbf { F } ( \mathbf { \psi } ( \mathbf { y } ) ) J _ { \mathbf { y } } ( \mathbf { \psi } ) \mathbf { e } _ { v } ( \mathbf { e } _ { v } \cdot \, d \mathbf { y } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ^ { 2 } B ^ { z } } & { = \partial _ { x } ^ { 2 } B ^ { z } + \partial _ { y } ^ { 2 } B ^ { z } } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } E ^ { x } } & { = - \partial _ { x } \partial _ { y } E ^ { y } + \partial _ { y } ^ { 2 } E ^ { x } } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } E ^ { y } } & { = \partial _ { x } ^ { 2 } E ^ { y } - \partial _ { x } \partial _ { y } E ^ { x } } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } K ( x - y , y ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x - y , t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( y , t ) d y - \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( x , y ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x , t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( y , t ) d y - \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } H _ { i } , n \geq 1 } \end{array}
\Sigma \left( \frac { p + z } { 2 h } \ln \frac { \frac { \left( u - \frac { w } { 2 } \right) ^ { 2 } } { ( p + z ) ^ { 2 } } + 1 } { \frac { \left( \frac { w } { 2 } + u \right) ^ { 2 } } { ( p + z ) ^ { 2 } } + 1 } + \frac { z } { 2 p } \ln \frac { \frac { \left( \frac { w } { 2 } + u \right) ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } + 1 } { \frac { \left( u - \frac { w } { 2 } \right) ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } + 1 } \right)
\begin{array} { r l } { \nabla _ { E _ { i } } P ( E _ { 2 } , E _ { k } ) \, } & { = \, E _ { i } ( P ( E _ { 2 } , E _ { k } ) ) - \, P ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { 2 } , E _ { k } ) \, - \, P ( E _ { 2 } , \nabla _ { E _ { i } } E _ { k } ) } \\ & { = \, - \, g ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { k } , E _ { 1 } ) P ( E _ { 2 } , E _ { 1 } ) } \\ & { = \, g ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { k } , E _ { 1 } ) \, u \, \, . } \end{array}
\mathit { \check { \Psi } } \left( \xi , \tau \right) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { d - 1 } } \left( 1 - \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathit { \Pi } _ { w } } { \mathrm { ~ d ~ } \tau } \right) \; \; \mathrm { a t } \; \; \xi = \mathcal { A }
\begin{array} { r l r } { { \frac { \partial \hat { \rho } _ { k } } { \partial t } } } & { = } & { \rho _ { 0 } k ^ { 2 } \hat { \xi } _ { k } \, , } \\ { { \frac { \partial \hat { \xi } _ { k } } { \partial t } } } & { = } & { - b _ { 0 } k _ { \perp } ^ { 2 } \hat { \phi } _ { k } ^ { b } \, , } \\ { { \frac { \partial \hat { \phi } _ { k } ^ { u } } { \partial t } } } & { = } & { i b _ { 0 } k _ { \parallel } \hat { \phi } _ { k } ^ { b } \, , } \\ { { \frac { \partial \hat { \phi } _ { k } ^ { b } } { \partial t } } } & { = } & { i b _ { 0 } k _ { \parallel } \hat { \phi } _ { k } ^ { u } + b _ { 0 } \hat { \xi } _ { k } \, . } \end{array}
\hat { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { \cos ^ { 2 } \sqrt { k } } & { \frac { \sin 2 \sqrt { k } } { 2 \sqrt { k } } } & { \frac { \sin 2 \sqrt { k } } { 2 \sqrt { k } } } & { \frac { \sin ^ { 2 } \sqrt { k } } { k } } \\ { \frac { - \sqrt { k } \sin 2 \sqrt { k } } { 2 } } & { \cos ^ { 2 } \sqrt { k } } & { - \sin ^ { 2 } \sqrt { k } } & { \frac { \sin 2 \sqrt { k } } { 2 \sqrt { k } } } \\ { \frac { - \sqrt { k } \sin 2 \sqrt { k } } { 2 } } & { - \sin ^ { 2 } \sqrt { k } } & { \cos ^ { 2 } \sqrt { k } } & { \frac { \sin 2 \sqrt { k } } { 2 \sqrt { k } } } \\ { k \sin ^ { 2 } \sqrt { k } } & { \frac { - \sqrt { k } \sin 2 \sqrt { k } } { 2 } } & { \frac { - \sqrt { k } \sin 2 \sqrt { k } } { 2 } } & { \cos ^ { 2 } \sqrt { k } } \end{array} \right) \, ,
\left\| \left( G _ { \infty } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { \infty } ( \psi _ { n } ) \right) | \nabla \psi _ { 1 } | \right\| _ { L _ { t } ^ { 1 } L _ { x } ^ { 2 } } + \left\| \left( G _ { q } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { q } ( \psi _ { n } ) \right) | \nabla \psi _ { 1 } | \right\| _ { L _ { t } ^ { q _ { 1 } ^ { \prime } } L _ { x } ^ { r _ { 1 } ^ { \prime } } } \geq \varepsilon ,
\mathbb { E } \left[ \mathrm { L I S } \big ( \mathrm { S a m p l e } _ { N } ( \mu _ { f } ) \big ) \right] \geq \mathbb { E } \left[ \mathrm { L I S } \big ( \mathrm { S a m p l e } _ { S _ { N } } ( \mu _ { g } ) \big ) \right] \geq \mathbb { E } \left[ \mathrm { L I S } \big ( \mathrm { S a m p l e } _ { \lfloor \epsilon N \rfloor } ( \mu _ { g } ) \big ) \right] \mathbf { P } ( S _ { N } \geq \epsilon N )
\begin{array} { r } { [ \Delta \psi ] _ { p , q } = \frac { \psi _ { p + 1 , q } + \psi _ { p - 1 , q } + \psi _ { p , q + 1 } + \psi _ { p , q - 1 } - 4 \psi _ { p , q } } { h ^ { 2 } } \, . } \end{array}
| \langle f g \rangle - \langle f \rangle \langle g \rangle | \leq C \sum _ { k = N \ell , \ell \in \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } _ { * } } e ^ { \tau | k | } | \widehat f _ { k } | e ^ { - \tau | k | } | \widehat g _ { k } | \, .
\langle \Psi _ { m } | { \hat { \Gamma } } _ { s t } ^ { p q } ( { \hat { H } } - E _ { m } ) ^ { 2 } | \Psi _ { m } \rangle \approx \frac { { } ^ { 2 } D _ { s t } ^ { p q } - \Re \langle \Psi _ { m } | { \hat { \Gamma } } _ { s t } ^ { p q } | \tilde { \Psi } _ { m } \rangle } { \delta ^ { 2 } / 2 }