harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { n } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) = } & { \mathcal { Q } _ { l } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r ) } } ( \alpha _ { l } ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \tau \mathrm { d } } d \tau _ { 2 } \varrho _ { l } \big ( \tau _ { 2 } ; \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( i ) } } ( \alpha _ { l } ; \tau _ { 2 } ) . } \end{array}
| \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { \pm } | ^ { 2 } = | a _ { \pm } | ^ { 2 } \left( \frac { | \boldsymbol { \xi } _ { j m } | ^ { 2 } \mp \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left[ \boldsymbol { \xi } _ { j m } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { j m } \right] } { ( k r ) ^ { 2 } j ( j + 1 ) } \right) ,
v _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } + c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } + \sqrt { \left( v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } + c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } v _ { \mathrm { A } , z } ^ { 2 } } \right] .
J _ { \lambda , n } ^ { - 1 } = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } { \frac { ( - Z ) ^ { k } } { \lambda ^ { k + 1 } } } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \lambda ^ { - 1 } } & { - \lambda ^ { - 2 } } & { \, \, \, \lambda ^ { - 3 } } & { \cdots } & { - ( - \lambda ) ^ { 1 - n } } & { \, - ( - \lambda ) ^ { - n } } \\ { 0 } & { \; \; \; \lambda ^ { - 1 } } & { - \lambda ^ { - 2 } } & { \cdots } & { - ( - \lambda ) ^ { 2 - n } } & { - ( - \lambda ) ^ { 1 - n } } \\ { 0 } & { 0 } & { \, \, \, \lambda ^ { - 1 } } & { \cdots } & { - ( - \lambda ) ^ { 3 - n } } & { - ( - \lambda ) ^ { 2 - n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \lambda ^ { - 1 } } & { - \lambda ^ { - 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { \lambda ^ { - 1 } } \end{array} \right] } .
d s ^ { 2 } = 2 ( 1 - g r ^ { 2 } ) ( d y d \bar { y } + d z d \bar { z } ) + g r ^ { 4 } { \frac { ( 2 - g r ^ { 2 } ) } { ( 1 - g r ^ { 2 } ) } } \sigma _ { z } ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l r } { | I ( T ) | } & { = } & { | 2 ~ I ( T / 2 ) ~ \cos { ( a T / 4 ) } | \, \, \textrm { { \scriptsize i f } } + \, \, \textrm { { \scriptsize ( s y m m e t r i c ) } } } \\ { | I ( T ) | } & { = } & { | 2 ~ I ( T / 2 ) ~ \sin { ( a T / 4 ) } | \, \, \textrm { { \scriptsize i f } } - \, \, \textrm { { \scriptsize ( a n t i s y m m e t r i c ) . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \eta } { \partial t } = w ( x , 0 , t ) } \\ & { \frac { \partial u } { \partial z } ( x , 0 , t ) + \frac { \partial w } { \partial x } ( x , 0 , t ) = 0 } \\ & { \rho _ { b } ( 0 ) \eta - \left( \frac { U ^ { 2 } } { g L } \right) p ( x , 0 , t ) + \frac { 2 } { R e } \left( \frac { U ^ { 2 } } { g L } \right) \frac { \partial w } { \partial z } ( x , 0 , t ) - \frac { 1 } { B o } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial x ^ { 2 } } \right) = 0 } \\ & { \rho ( x , 0 , t ) = 0 } \\ & { u ( x , - H , t ) = w ( x , - H , t ) = \rho ( x , - H , t ) = 0 } \end{array}
\mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 1 } \right| ^ { 2 } \right\} = \mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 1 , 1 } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 1 , 3 } \right| ^ { 2 } \right\} + \mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 1 , 4 } \right| ^ { 2 } \right\} + 2 \mathscr { E } \left\{ \Delta _ { 1 , 1 } \Delta _ { 1 , 4 } ^ { H } \right\}
\left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\displaystyle \frac { \left( a _ { \mathrm { H o m } } \omega ^ { b _ { \mathrm { H o m } } } - a _ { \mathrm { A l l } } \omega ^ { b _ { \mathrm { A l l } } } \right) } { a _ { \mathrm { H o m } } \omega ^ { b _ { \mathrm { H o m } } } } \times 1 0 0
\begin{array} { r l } { X ^ { 1 } } & { { } = r , } \\ { X ^ { 2 } } & { { } = \phi , } \\ { X ^ { 3 } } & { { } = z , } \\ { x ^ { 1 } } & { { } = \gamma ( r , z ) , } \\ { x ^ { 2 } } & { { } = \phi + \Delta \phi ( r , z ) , } \\ { x ^ { 3 } } & { { } = \alpha ( r , z ) , } \\ { v ^ { 1 } } & { { } = \gamma ( r , z ) , } \\ { v ^ { 2 } } & { { } = 0 , } \\ { v ^ { 3 } } & { { } = \alpha ( r , z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i , i - 2 } } & { { } = \frac { 2 } { 3 ( r i + N - i ) } , } \\ { p _ { i , i - 1 } } & { { } = \frac { 4 } { 3 ( r i + N - i ) } , } \\ { p _ { i , i + 1 } } & { { } = \frac { 4 r } { 3 ( r i + N - i ) } , } \\ { p _ { i , i + 2 } } & { { } = \frac { 2 r } { 3 ( r i + N - i ) } , } \end{array}
\chi _ { 1 0 , 1 } ( \tau , \nu ) = \frac { E _ { 6 } ( \tau ) \, E _ { 4 , 1 } ( \tau , \nu ) - E _ { 4 } ( \tau ) \, E _ { 6 , 1 } ( \tau , \nu ) } { 1 4 4 } \, .
\Phi _ { \alpha _ { 0 } } ^ { * ( 1 ) } = N _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 0 } } n _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } + \cdots , \; \varphi _ { \alpha _ { 1 } } ^ { * ( 1 ) } = \left( - \right) ^ { \epsilon _ { \alpha _ { 0 } } \left( \epsilon \left( f _ { \alpha _ { 1 } } \right) + 1 \right) } N _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 0 } } \nu _ { 1 } ^ { \alpha _ { 0 } } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { \overline { { A } } _ { n , 2 } } & { = \frac { 1 } { n \Delta _ { n } } \sum _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } = 1 } ^ { n } \sum _ { i _ { 2 } , j _ { 2 } = 1 } ^ { n } K _ { 0 } ( i _ { 1 } - j _ { 1 } ) K _ { 0 } ( i _ { 2 } - j _ { 2 } ) } \\ & { \qquad \times \sum _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } = 1 } ^ { m } a _ { \ell _ { 1 } } a _ { \ell _ { 2 } } \check { C } _ { g _ { \ell _ { 1 } } , g _ { \ell _ { 2 } } } ( i _ { 1 } - i _ { 2 } ) \overline { { \check { C } _ { g _ { \ell _ { 1 } } , g _ { \ell _ { 2 } } } ( j _ { 1 } - j _ { 2 } ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial y } \gamma _ { 0 } - \gamma _ { 1 , y } } & { = - i \omega \mu ( \mathbf { T } _ { 0 , x } + \mathbf { H } _ { B S , x } ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial y } \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 3 , y } } & { = - i \omega \mu \mathbf { T } _ { 2 , x } , } \\ { \gamma _ { 1 , x } - \frac { \partial } { \partial x } \gamma _ { 0 } } & { = - i \omega \mu ( \mathbf { T } _ { 0 , y } + \mathbf { H } _ { B S , y } ) , } \\ { \gamma _ { 3 , x } - \frac { \partial } { \partial x } \gamma _ { 2 } } & { = - i \omega \mu \mathbf { T } _ { 2 , y } , } \\ { \operatorname { c u r l } _ { 2 D } \gamma _ { 1 } } & { = 0 , } \\ { \operatorname { c u r l } _ { 2 D } \gamma _ { 3 } } & { = 0 . } \end{array}
M = \textstyle { \frac { 3 } { 2 } } \mu + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } q _ { i } = \textstyle { \frac { 3 } { 2 } } \left( r _ { + } ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 4 } g ^ { 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } H _ { i } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } q _ { i } \ ,
\begin{array} { r l } & { - \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s + f _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { P Z } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s } \\ { = } & { - \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s + f _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s - f _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \varphi _ { i } | v _ { \mathrm { H x c } } [ s n _ { i } ] | \varphi _ { i } \rangle d s } \\ { = } & { \Pi _ { i } ^ { \mathrm { K I } } - f _ { i } E _ { \mathrm { H x c } } [ n _ { i } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { V } _ { k } - \bar { V } _ { k + 1 } } \\ { = } & { { \mathsf E } [ \sum _ { i = 1 } ^ { d } | | x _ { k } | _ { k - i - 1 } ^ { k - i } | | _ { P _ { j } ^ { i - 1 } - A ^ { \prime } P _ { j } ^ { i } A - \bar { A } ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } \bar { A } } } \\ & { - | | ( A - B K _ { j } ) x _ { k } | _ { k - d - 1 } + B ( u _ { k - d } + K _ { j } x _ { k } | _ { k - d - 1 } ) | | _ { P _ { j } ^ { d } } } \\ & { - | | ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j } ) x _ { k } | _ { k - d - 1 } + \bar { B } ( u _ { k - d } + K _ { j } x _ { k } | _ { k - d - 1 } ) | | _ { P _ { j } ^ { 0 } } ] } \\ { = } & { { \mathsf E } [ x _ { k } | _ { k - d - 1 } ^ { \prime } K _ { j } ^ { \prime } R K _ { j } x _ { k } | _ { k - d - 1 } + x _ { k } ^ { \prime } Q x _ { k } } \\ & { - | | u _ { k - d } | | _ { B ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } B + \bar { B } ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } \bar { B } } + | | K _ { j } x _ { k } | _ { k - d - 1 } | | _ { B ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } B + \bar { B } ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } \bar { B } } } \\ & { - 2 ( x _ { k } | _ { k - d - 1 } ) ^ { \prime } ( A ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } B + \bar { A } ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } \bar { B } ) ( u _ { k - d } + K _ { j } x _ { k } | _ { k - d - 1 } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { i j } ^ { k l } = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } } & { { } \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \chi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) ^ { 2 } } \end{array}
\Gamma \, [ A ] = - \, i \, N _ { f } \, \mathrm { T r } \, \biggl [ - \, \frac { 1 } { p - m + i \epsilon } \, A - \frac { 1 } { 2 } \, \frac { 1 } { p - m + i \epsilon } \, A \, \frac { 1 } { p - m + i \epsilon } \, A + \cdots \biggr ]
p _ { r } = \frac { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \Omega ^ { 2 } [ r - t ] g ( \theta ) ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \Omega ^ { 2 } [ r - t ] g ( \theta ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \left[ { \frac { \partial T _ { r r } } { \partial r } } + 2 { \frac { T _ { r r } } { r } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial T _ { \theta r } } { \partial \theta } } + { \frac { \cot \theta } { r } } T _ { \theta r } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial T _ { \varphi r } } { \partial \varphi } } - { \frac { 1 } { r } } ( T _ { \theta \theta } + T _ { \varphi \varphi } ) \right] } & { { } { \hat { \mathbf { r } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { r \theta } } { \partial r } } + 2 { \frac { T _ { r \theta } } { r } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial T _ { \theta \theta } } { \partial \theta } } + { \frac { \cot \theta } { r } } T _ { \theta \theta } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial T _ { \varphi \theta } } { \partial \varphi } } + { \frac { T _ { \theta r } } { r } } - { \frac { \cot \theta } { r } } T _ { \varphi \varphi } \right] } & { { } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { r \varphi } } { \partial r } } + 2 { \frac { T _ { r \varphi } } { r } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial T _ { \theta \varphi } } { \partial \theta } } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial T _ { \varphi \varphi } } { \partial \varphi } } + { \frac { T _ { \varphi r } } { r } } + { \frac { \cot \theta } { r } } ( T _ { \theta \varphi } + T _ { \varphi \theta } ) \right] } & { { } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \mathcal { E } } ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega ) = ~ } & { { } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \beta \omega _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) } \left[ \begin{array} { c c } { \cos \big ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega \big ) } & { \frac { \Omega } { g } \sin \big ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega \big ) } \\ { - \frac { g } { \Omega } \sin \big ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega \big ) } & { \cos \big ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega \big ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { m } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 0 } } \end{array} \right] \, .
\left\{ \begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial } { \partial t } \frac { 1 } { \kappa ( x , t ) } \frac { \partial } { \partial t } - \frac { \partial } { \partial x } \frac { 1 } { \rho ( x , t ) } \frac { \partial } { \partial x } \right) u ( x , t ) = 0 , \quad x \in \mathbb { R } , \, t \in \mathbb { R } , } \\ & { u ( x , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega t } \, \, \, \mathrm { i s } \, \, T \mathrm { - p e r i o d i c } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { D _ { x } ^ { - } u | _ { x = x _ { i } } = } & { { } \Big ( c _ { 1 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i + 1 / 2 } ) + c _ { 0 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i - 1 / 2 } ) \Big ) } \\ { + } & { { } \Big ( c _ { 2 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i + 3 / 2 } ) + c _ { - 1 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i - 3 / 2 } ) \Big ) } \\ { + } & { { } \cdots } \\ { + } & { { } \Big ( c _ { r } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i + r - 1 / 2 } ) + c _ { - r + 1 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i - r + 1 / 2 } ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \textrm { W } _ { \operatorname* { m a x } } } & { = \textrm { C } \sqrt { d \log ( \textrm { P } ) } \, , } & { \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } } & { = \textrm { C } \left( 1 + \frac { r } { d } \right) \sqrt { \log ( \textrm { P } ) } \, , } & { \eta } & { = \frac { \textrm { c } } { \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } } \operatorname* { m i n } \left( \sqrt { \frac { d } { n } } , \, \, \frac { 1 } { d \sqrt { \log ( \textrm { P } ) } } \right) \, , } \\ { \textrm { F } _ { \operatorname* { m a x } } } & { = \textrm { C } d ^ { 2 } \log ( \textrm { P } ) ^ { 3 } \, , } & { \lambda } & { = \frac { \textrm { c } } { \sqrt { \textrm { F } _ { \operatorname* { m a x } } \log ( \textrm { P } ) } } \, . } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \ \frac { 1 } { n } \# \left\{ 0 \leq k < n : \operatorname* { i n f } _ { W \in \mathbb R \mathbb P ^ { 1 } } \mathbf P _ { i = k } \left( H _ { m } ( \pi _ { W } \eta ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) , x , i } ) \geq \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 8 \right) > \kappa ^ { \prime } / 1 6 \right\} \geq 1 - 2 C \varepsilon .
\operatorname* { s u p } _ { \lambda ^ { \prime } \lambda = 1 } E \left[ \left( \lambda ^ { \prime } G _ { i , t } ^ { ( 0 ) } G _ { i , t } ^ { ( 0 ) \prime } \lambda \right) ^ { 2 } \right] \leq \operatorname* { s u p } _ { \lambda ^ { \prime } \lambda = 1 } E \left[ \left( y _ { t } - \delta ^ { ( 0 ) \prime } x _ { \delta , t } \right) ^ { 2 } \left( \lambda ^ { \prime } x _ { ( i ) , t } \right) ^ { 4 } \right] < \infty .
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq \left( 1 - \sqrt { \mu s } \coth \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) \right) \frac { 1 } { \mu } \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) - \frac { 1 } { \mu } \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \mu } \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) - \sqrt { \frac { s } { \mu } } \sinh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) - \frac { 1 } { \mu } \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \mu } \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) - \sqrt { \frac { s } { \mu } } \sinh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) - \frac { 1 } { \mu } \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) } \\ & { = \left( 1 - \sqrt { \mu s } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) \right) \frac { 1 } { \mu } \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) - \frac { 1 } { \mu } \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } } & { { } = \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { C } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { C o v } ( E _ { \mathrm { x c } } ^ { i } , E _ { \mathrm { x c } } ^ { j } ) \approx } & { \left( \mathbf { \tilde { k } } _ { e _ { \mathrm { x c } } } ^ { i } \right) ^ { T } \mathbf { \widetilde { K } } ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { k } } _ { e _ { \mathrm { x c } } } ^ { j } } \\ { \left( \mathbf { \widetilde { K } } \right) _ { a b } = } & { k _ { e _ { \mathrm { x c } } } ( \mathbf { \tilde { x } } _ { a } , \mathbf { \tilde { x } } _ { b } ) } \\ { \left( \mathbf { \tilde { k } } _ { e _ { \mathrm { x c } } } ^ { i } \right) _ { a } = } & { \sum _ { g \in i } w _ { g } ^ { i } k _ { e _ { \mathrm { x c } } } ( \mathbf { x } _ { g } ^ { i } , \mathbf { \tilde { x } } _ { a } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } ^ { \gamma } + \rho _ { g } ^ { \gamma } } & { = \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \right) ^ { - \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } \left( r _ { f } ^ { \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } } + r _ { g } ^ { \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } } \right) \le C \left( r _ { f } + r _ { g } \right) ^ { \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } } \le C \left| u _ { f } - u _ { g } \right| ^ { \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { M ^ { 3 } } w _ { k } { A _ { 0 2 } } _ { k } { B _ { 1 } } _ { k } { B _ { 2 } } _ { k } { \gamma _ { x _ { p } ^ { 3 } } } _ { k } { \sigma _ { x _ { p } } ^ { 3 } } _ { k } \sim 2 { A _ { 0 2 } } { B _ { 1 } } { B _ { 2 } } { \gamma _ { x _ { p } ^ { 3 } } } \left( \frac { \sigma _ { x _ { p } } } { M } \right) ^ { 3 } , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { M ^ { 3 } } w _ { k } { A _ { 0 3 } } _ { k } { \gamma _ { u _ { p } ^ { 3 } } } _ { k } { \sigma _ { u _ { p } } ^ { 3 } } _ { k } \sim A _ { 0 3 } \gamma _ { u _ { p } ^ { 3 } } \left( \frac { \sigma _ { u _ { p } } } { M } \right) ^ { 3 } , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { M ^ { 3 } } w _ { k } \left( 3 { A _ { 0 3 } } _ { k } { B _ { 1 } } _ { k } - 2 { A _ { 0 2 } } _ { k } { B _ { 2 } } _ { k } \right) { \gamma _ { x _ { p } u _ { p } ^ { 2 } } } _ { k } { \sigma _ { x _ { p } } } _ { k } { \sigma _ { u _ { p } } ^ { 2 } } _ { k } \sim \left( 3 A _ { 0 3 } B _ { 1 } - 2 A _ { 0 2 } B _ { 2 } \right) \gamma _ { x _ { p } u _ { p } ^ { 2 } } \left( \frac { \sigma _ { x _ { p } } } { M } \right) \left( \frac { \sigma _ { u _ { p } } } { M } \right) ^ { 2 } , } \\ & { 3 \sum _ { k = 1 } ^ { M ^ { 3 } } w _ { k } { A _ { 0 3 } } _ { k } { B _ { 1 } ^ { 2 } } _ { k } { \gamma _ { x _ { p } ^ { 2 } u _ { p } } } _ { k } { \sigma _ { x _ { p } } ^ { 2 } } _ { k } { \sigma _ { u _ { p } } } _ { k } \sim 3 A _ { 0 3 } B _ { 1 } ^ { 2 } \gamma _ { x _ { p } ^ { 2 } u _ { p } } \left( \frac { \sigma _ { x _ { p } } } { M } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \sigma _ { u _ { p } } } { M } \right) , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { M ^ { 3 } } w _ { k } \left( { A _ { 1 1 } } _ { k } { B _ { 2 } } _ { k } + { A _ { 1 2 } } _ { k } { B _ { 1 } ^ { 2 } } _ { k } \right) { \gamma _ { \alpha x _ { p } ^ { 2 } } } _ { k } { \sigma _ { \alpha } } _ { k } { \sigma _ { x _ { p } } ^ { 2 } } _ { k } \sim \left( A _ { 1 1 } { B _ { 2 } } + A _ { 1 2 } B _ { 1 } ^ { 2 } \right) \gamma _ { \alpha x _ { p } ^ { 2 } } \left( \frac { \sigma _ { \alpha } } { M } \right) \left( \frac { \sigma _ { x _ { p } } } { M } \right) ^ { 2 } , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { M ^ { 3 } } w _ { k } { A _ { 1 2 } } _ { k } { \gamma _ { \alpha u _ { p } ^ { 2 } } } _ { k } { \sigma _ { \alpha } } _ { k } { \sigma _ { u _ { p } } ^ { 2 } } _ { k } \sim A _ { 1 2 } \gamma _ { \alpha u _ { p } ^ { 2 } } \left( \frac { \sigma _ { \alpha } } { M } \right) \left( \frac { \sigma _ { u _ { p } } } { M } \right) ^ { 2 } , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { M ^ { 3 } } w _ { k } { A _ { 1 2 } } _ { k } { B _ { 1 } } _ { k } { \gamma _ { \alpha x _ { p } u _ { p } } } _ { k } { \sigma _ { \alpha } } _ { k } { \sigma _ { x _ { p } } } _ { k } { \sigma _ { u _ { p } } } _ { k } \sim A _ { 1 2 } B _ { 1 } \gamma _ { \alpha x _ { p } u _ { p } } \left( \frac { \sigma _ { \alpha } } { M } \right) \left( \frac { \sigma _ { x _ { p } } } { M } \right) \left( \frac { \sigma _ { u _ { p } } } { M } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \int _ { 0 } ^ { \infty } r d r r \frac { 1 } { 2 } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } } & { { } = } & { \left[ - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } | u | ^ { 2 } \right] _ { 0 } ^ { \infty } + \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r | u | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \wp } _ { 0 , i } } & { : = p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } \Biggl \{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { i } , } \\ { 0 } & { \geq \frac { 1 } { n } \log \frac { \hat { q } _ { i , M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { i } ^ { n } } ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { i } ^ { n } ) } { p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { i } ^ { n } } ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { i } ^ { n } ) } - \eta , } \\ { 0 } & { \geq \frac { 1 } { n } \log \frac { Q _ { Z ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } { p _ { Z ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } - \eta , } \\ { R _ { \cal A } } & { \geq \displaystyle \frac { 1 } { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( Z ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ) } { p _ { Z ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } - \eta , } \\ { 0 } & { \geq \displaystyle \frac { 1 } { n } \log \frac { 1 } { p _ { K _ { i } ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( K _ { i } ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ) } - \eta \Biggr \} . } \end{array}
\Delta _ { 0 \; \mu \nu } ^ { c o r } ( r , K ) \; = \; \int { d ^ { 4 } K ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \; d _ { \mu \nu } ( K ^ { \prime } ) \; \rho _ { 0 } ( K ^ { \prime } ) \; { \tt G } _ { 0 } ( r , K ) \; ,
\begin{array} { r l } { \| E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { n } } } ( a ) - E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { \infty } } } ( a ) \| _ { \mathfrak { A } } } & { \leqslant \| E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { n } } } ( a ) - E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { n } } } ( a _ { k } ) \| _ { \mathfrak { A } } + \| E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { n } } } ( a _ { k } ) - E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { \infty } } } ( a _ { k } ) \| _ { \mathfrak { A } } } \\ & { \quad \quad + \| E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { \infty } } } ( a _ { k } ) - E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { \infty } } } ( a ) \| _ { \mathfrak { A } } } \\ & { < \| E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { n } } } ( a - a _ { k } ) \| _ { \mathfrak { A } } + \frac { \varepsilon } { 3 } + \| E ^ { \tau _ { \mathbf { v } ^ { \infty } } } ( a - a _ { k } ) \| _ { \mathfrak { A } } } \\ & { \leqslant \| a - a _ { k } \| _ { \mathfrak { A } } + \frac { \varepsilon } { 3 } + \| a - a _ { k } \| _ { \mathfrak { A } } } \\ & { < \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 0 } ^ { - 1 } \left[ \partial _ { z } ( \nabla _ { X } \gamma ) + \nabla _ { X } ( \nabla _ { X } \gamma \cdot \vec { v } ) \right] } & { = 0 } \\ { = k _ { 0 } ^ { - 1 } \nabla _ { X } \left[ \partial _ { z } \gamma + \nabla _ { X } \gamma \cdot \vec { v } \right] } & { = 0 } \\ { = k _ { 0 } ^ { - 1 } \nabla _ { X } \frac { D \gamma } { D z } } & { = 0 . } \end{array}
\oint _ { \gamma = \operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \gamma _ { N } } f ( z ) = 2 \pi i \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \phi ( n ) - \mathrm { R e s } _ { z \not \in { \bf Z } } , f ( z ) \right) ,
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 } ( \mathrm { L M o d } _ { 2 n + 2 } ) } & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , t _ { 1 , 2 } , r \middle | r ^ { 2 } = 1 , t _ { 1 , 2 } ^ { - n + 1 } h _ { 1 } ^ { 2 n } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , t _ { 1 , 2 } , r , X \middle | r ^ { 2 } = 1 , t _ { 1 , 2 } X ^ { n } = 1 , X = t _ { 1 , 2 } ^ { - 1 } h _ { 1 } ^ { 2 } \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , r , X \middle | r ^ { 2 } = 1 , X ^ { n - 1 } h _ { 1 } ^ { 2 } = 1 \right> . } \end{array}