harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } U _ { c , \lambda } ^ { \mathrm { H F } } } & { = U _ { c , \infty } ^ { \mathrm { H F } } \, \lambda + o ( \lambda ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } V _ { c , \lambda } ^ { \mathrm { H F } } } & { = V _ { c , \infty } ^ { \mathrm { H F } } \, \lambda + o ( \lambda ) , } \end{array}
\hat { N } _ { \mu } = \nu ^ { 2 } \int \frac { d \hat { T } d \hat { T ^ { \prime } } } { 4 \pi } Y _ { I , I _ { z } } ^ { \ast } ( \hat { T } ) \hat { T } _ { \mu } ^ { \ast } \hat { T ^ { \prime } } _ { \mu } Y _ { I , I _ { z } } ( \hat { T ^ { \prime } } ) e x p ( \hat { N } ( \hat { T } \cdot \hat { T ^ { \prime } } - 1 ) ) \int d ^ { 3 } k f ^ { \ast } ( { \bf k } ) f ( { \bf k } )
\texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \tilde { \mathbf { u } } } , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) \right) = \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \pi \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) \right) = \pi \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { \mathcal { G } } ) \right)
\begin{array} { r l } { r _ { 1 - 2 } ( \omega ) } & { = \frac { M ( 2 , 1 ) } { M ( 1 , 1 ) } } \\ & { = \frac { i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ( 1 - i \zeta _ { 2 } ) + i \zeta _ { 2 } ( 1 + i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ) e ^ { - i 2 \Phi } } { ( 1 - i \zeta _ { 1 } ( \omega ) ) ( 1 - i \zeta _ { 2 } ) + \zeta _ { 2 } \zeta _ { 1 } ( \omega ) e ^ { - i 2 \Phi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S = s \Bigg ( } & { \sum _ { ( i , j ) } \left( \frac { \left( \pi _ { i j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } \left( l _ { i j } \right) ^ { 2 } } V _ { l } - \frac { 1 } { 2 } l o g \left( \frac { V _ { l } } { \left( l _ { i j } \right) ^ { 4 } } \right) - \frac { 1 } { 2 } l o g ( w _ { l } ) \right) } \\ & { + R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) + 0 . 7 5 N \left( V o l ( \mathcal { M } ) - V o l ( \mathcal { M } ) \vert _ { \lambda = 0 } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \left( \pi ^ { ( s ) } \right) ^ { 2 } } { 2 N } + 1 5 N l o g ( s ) - S ^ { 0 } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { \frac { \omega } { 2 \omega _ { 0 } } ( \tilde { I } _ { L _ { 1 } } ^ { 2 } + \tilde { V } _ { C _ { 1 } } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { I } _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } + \tilde { V } _ { C _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | a | _ { C _ { \tau } ^ { \ell , \beta } ( M ( \Sigma ) \cap \partial M ) } = } & { \, | a | _ { C ^ { \ell , \beta } ( K \cap \partial M ) } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } \operatorname* { s u p } _ { | y | _ { \bar { g } } > 1 } | y | _ { \bar { g } } ^ { j + \tau } \, | ( D ^ { j } ( \bar { g } ) a ) ( y ) | _ { \bar { g } } } \\ & { \quad + \operatorname* { s u p } _ { | y _ { 1 } | _ { \bar { g } } > 1 } \, \, \operatorname* { s u p } _ { 2 \, | y _ { 1 } - y _ { 2 } | _ { \bar { g } } < | y _ { 1 } | _ { \bar { g } } } | y _ { 1 } | _ { \bar { g } } ^ { \ell + \tau + \beta } \, | y _ { 1 } - y _ { 2 } | _ { \bar { g } } ^ { - \beta } \, | ( D ( \bar { g } ) ^ { \ell } a ) ( y _ { 1 } ) - ( D ( \bar { g } ) ^ { \ell } a ) ( y _ { 2 } ) | _ { \bar { g } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { n } } & { { } = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { t } } \beta _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } U _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } U _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \cdots U _ { n } ^ { k _ { n } } . } \end{array}
T = \frac { - \sum _ { q } ^ { Q - 1 } g _ { q } \beta _ { q } | c _ { q } | ^ { 2 } - \mu \sum _ { q } ^ { Q - 1 } g _ { q } | c _ { q } | ^ { 2 } } { \sum _ { q } ^ { Q - 1 } g _ { q } } ,
\chi _ { n } ( \vec { a } ) \equiv \langle \vec { a } \vert n \rangle = \chi _ { n _ { 1 } } ( a _ { 1 } ^ { 1 } ) \chi _ { n _ { 1 } } ( a _ { 1 } ^ { 2 } ) \cdot \cdot \cdot \chi _ { n _ { N } } ( a _ { N } ^ { 1 } ) \chi _ { n _ { N } } ( a _ { N } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } & { \le \exp \left( - 1 0 0 D ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) + c _ { k } ^ { \prime } \log ( \| \mathbf { x } | _ { 2 } + \| \mathbf { y } \| _ { 2 } + 2 ) \right) } \\ & { + \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { m } , \mathbf { n } \in \mathbb { Z } _ { \ge } ^ { k } , n _ { k } \wedge m _ { k } \ge \alpha } \exp ( - D ( \mathbf { n } , \mathbf { m } ) + c _ { k } ^ { \prime } \log ( \| \mathbf { x } | _ { 2 } + \| \mathbf { y } \| _ { 2 } + 2 ) ) } \\ & { \le \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { m } , \mathbf { n } \in \mathbb { Z } _ { \ge } ^ { k } , n _ { k } \wedge m _ { k } \ge \alpha } \exp ( - D ( \mathbf { n } , \mathbf { m } ) ) , } \end{array}
\mathrm { S o f t m a x } ( x ) : = \frac { 1 } { \exp ( x _ { 1 } ) + \cdots + \exp ( x _ { m } ) } \left( \exp ( x _ { 1 } ) , \cdots , \exp ( x _ { m } ) \right) , \quad x = ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { m } ) , \quad \forall m \in \mathbb { N } ^ { * } ,
\begin{array} { r c l } { { u _ { \lambda , l , m } ( r , \theta , \phi ) } } & { { = } } & { { N _ { \lambda l } \ v _ { 1 , \lambda , l , m } ^ { ( \circ ) } = } } \\ { { } } & { { = } } & { { N _ { \lambda l } \ r ^ { l } \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { l + 1 + i \Lambda } { 2 } } , { \frac { l + 1 - i \Lambda } { 2 } } ; l + { \frac { 3 } { 2 } } ; - r ^ { 2 } \right) Y _ { l , m } ( \theta , \phi ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ k - 1 ] } } { \partial t } } \right] _ { ( k + 1 ) } ^ { \prime } } & { { } = A _ { k + 1 } ^ { k - 1 } f ^ { [ k + 1 ] } } \\ { \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ k ] } } { \partial t } } \right] _ { ( k + 1 ) } ^ { \prime } } & { { } = A _ { k + 1 } ^ { k } f ^ { [ k + 1 ] } . } \end{array}
J ^ { * } = \left( \begin{array} { l l l l } { - \beta ( h ^ { * } ) I ^ { * } - \nu } & { - \beta ( h ^ { * } ) S ^ { * } - \nu } & { 0 } & { - \beta ^ { \prime } ( h ^ { * } ) S ^ { * } I ^ { * } } \\ { \beta ( h ^ { * } ) I ^ { * } } & { \beta ( h ^ { * } ) S ^ { * } - \gamma } & { 0 } & { \beta ^ { \prime } ( h ^ { * } ) S ^ { * } I ^ { * } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \tau } } & { - \frac { 1 } { \tau } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \tau } } & { - \frac { 1 } { \tau } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \delta S _ { \omega } ^ { \pm } \approx \frac { \Gamma g _ { 0 } S _ { 0 } ^ { \pm } \delta J _ { \mp } } { - \omega ^ { 2 } - i \omega ( 1 / \tau _ { r } + g _ { 0 } S _ { 0 } ^ { \pm } ) + g _ { 0 } S _ { 0 } ^ { \pm } / \tau _ { p h } } , } \end{array}
x _ { f } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { \delta ( E _ { F } ) } { \pi } } \right] ^ { 2 } , \ \ x _ { e } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { \delta ( E _ { F } ) } { \pi } } - 1 \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \tau b _ { + } \left[ \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { + } \frac { ( 1 - \Gamma _ { + } ) } { b _ { + } } \delta \phi _ { + } - \left( \frac { V _ { A } ^ { 2 } } { b } \frac { k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { \omega ^ { 2 } } \right) _ { + } \delta \psi _ { + } \right] } \\ & { = } & { - i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } \gamma _ { + } \delta \phi _ { 0 } \delta \phi _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { S _ { 2 } } { S _ { 1 } } \right) , } \\ { S _ { 1 } = } & { { } E _ { x } ^ { 2 } - E _ { y } ^ { 2 } , } \\ { S _ { 2 } = } & { { } 2 R e \left[ E _ { x } E _ { y } ^ { * } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } : = } & { \int _ { \lambda \in \mathbb { R } } M _ { t } ( \lambda ) f ( \lambda ; 0 , \eta ^ { 2 } ) d \lambda } \\ { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta ^ { 2 } } } \int _ { \lambda } \mathrm { e x p } \left( \lambda L _ { t } - \frac { t \lambda ^ { 2 } \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \right) \mathrm { e x p } \left( \frac { - \lambda ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } \right) d \lambda } \\ { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta ^ { 2 } } } \int _ { \lambda } \mathrm { e x p } \left( \lambda L _ { t } - \frac { \lambda ^ { 2 } ( 1 + t \eta ^ { 2 } \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) } { 2 \eta ^ { 2 } } \right) d \lambda } \\ { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta ^ { 2 } } } \int _ { \lambda } \mathrm { e x p } \left( \frac { - \lambda ^ { 2 } ( 1 + t \eta ^ { 2 } \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) + 2 \lambda \eta ^ { 2 } L _ { t } } { 2 \eta ^ { 2 } } \right) d \lambda } \\ { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta ^ { 2 } } } \int _ { \lambda } \mathrm { e x p } \left( \frac { - a ( \lambda ^ { 2 } + \frac { b } { a } 2 \lambda } { 2 \eta ^ { 2 } } \right) d \lambda , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda \big \langle \mathbb { P } u , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \mathfrak { a } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ( \mathbb { P } u , v ) } & { = \lambda \big \langle u , \mathbb { P } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } + \mathfrak { a } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ( u , \mathbb { P } v ) } \\ & { = \big \langle f , \mathbb { P } v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \\ & { = \big \langle \mathbb { P } f , v \big \rangle _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } } = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } w _ { i } \| x ^ { i - 1 } \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ i ~ n ~ e ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ j ~ } \| _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } [ \tau _ { 0 } \ge t ] } & { = } & { \int _ { m _ { 0 } t } ^ { \infty } p ( s ) d s } \\ & { \le } & { \sqrt { \frac { m _ { 0 } } { 2 \pi } } | x _ { 0 } - y _ { 0 } | ( 2 \varepsilon ) ^ { - 1 } \int _ { m _ { 0 } t } ^ { \infty } \frac { e ^ { \frac { s } { 2 } } } { \sinh ( s ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } d s } \\ & { \le } & { c _ { 0 } | x _ { 0 } - y _ { 0 } | ( 2 \varepsilon ) ^ { - 1 } \int _ { m _ { 0 } t } ^ { \infty } e ^ { - s } d s = \frac { c _ { 0 } | x _ { 0 } - y _ { 0 } | } { 2 \varepsilon } e ^ { - m _ { 0 } t } } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathcal { T } _ { i } } = \sum _ { \alpha _ { ( j ) } \sim \mathcal { T } _ { ( i ) } } \left\| f \left( \alpha _ { ( j ) } ; \theta _ { ( i ) } \right) - C _ { L ( j ) } \right\| _ { 2 } ^ { 2 }
\mathsf { f } _ { i , : } ^ { n , \star \star } = \mathsf { f } _ { i , : } ^ { n , \star } \mathsf { B } ^ { \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + \mathsf { H } _ { i } } \, , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathsf { B } _ { l k } ^ { a } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \alpha ( 2 a ) \, , } & { l = k + \mathrm { n } ( 2 a ) \, , } \\ { \alpha ( 2 a ) \, , } & { l = k + \mathrm { n } ( 2 a ) + 1 \, , } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow + \infty } \frac { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h _ { i } } \left( \frac { 1 } { k } + \delta _ { i j } ^ { 2 } \right) \lambda _ { i j } ^ { k } \right) ^ { \frac { 1 } { k } } } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h _ { i } } \left( \frac { 1 } { 2 } + \delta _ { i j } ^ { 2 } \right) \lambda _ { i j } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { \alpha \beta } = ( \xi A _ { \alpha \gamma } + W _ { \alpha \gamma } ) \left( Q _ { \beta \gamma } + \frac { \delta _ { \beta \gamma } } { 3 } \right) } \\ & { + \left( Q _ { \alpha \gamma } + \frac { \delta _ { \alpha \gamma } } { 3 } \right) ( \xi A _ { \gamma \beta } - W _ { \gamma \beta } ) } \\ & { - 2 \xi \left( Q _ { \alpha \beta } + \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { 3 } \right) ( Q _ { \gamma \epsilon } \partial _ { \gamma } u _ { \epsilon } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d i p } } ^ { \mathrm { R P } } } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } \hbar \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } { 4 \pi } \frac { 1 } { s ^ { 3 } } \left( \vec { \hat { S } } ^ { ( 1 ) } \cdot \vec { \hat { S } } ^ { ( 2 ) } - \frac { 3 } { s ^ { 2 } } ( \vec { \hat { S } } ^ { ( 1 ) } \cdot \vec { s } ) ( \vec { \hat { S } } ^ { ( 2 ) } \cdot \vec { s } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { * } ( L ; \delta ) } & { = \frac { 2 } { \pi L } + Q ( L ^ { - 1 } ; \delta ) = \frac { 2 } { \pi L } + O ( L ^ { - \beta - 1 } ) , } \\ { \frac { d \epsilon _ { * } } { d L } ( L ; \delta ) } & { = \frac { - 2 } { \pi L ^ { 2 } } - \frac { Q _ { z } ( L ^ { - 1 } ; \delta ) } { L ^ { 2 } } = \frac { - 2 } { \pi L ^ { 2 } } + O ( L ^ { - \beta - 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d V } & { = ( \partial _ { \sigma } x \cdot ( \partial _ { s _ { 1 } } x \times \partial _ { s _ { 2 } } x ) ) \, d \sigma \, d s _ { 1 } \, d s _ { 2 } , } \\ & { = | t _ { 1 } | | t _ { 2 } | ( 1 - \sigma \kappa _ { 1 } ) ( 1 - \sigma \kappa _ { 2 } ) \widehat { n } \cdot ( \widehat { t } _ { 1 } \times \widehat { t } _ { 2 } ) \, d \sigma \, d s _ { 1 } \, d s _ { 2 } , } \\ & { = | J | d \sigma \, d A . } \end{array}
\mathcal { G } _ { 1 } ( \Delta , r ) : = \frac { 2 \sqrt 2 ( z _ { 2 } ( \Delta ) - r ) } { \mathcal { Q } _ { 1 } ( \Delta ) ( z _ { 2 } ( \Delta ) - z _ { 1 } ( \Delta ) ) } , \; \qquad \mathcal { G } _ { 2 } ( \Delta , r ) : = \frac { 2 \sqrt 2 ( r - z _ { 1 } ( \Delta ) ) } { \mathcal { Q } _ { 2 } ( \Delta ) ( z _ { 2 } ( \Delta ) - z _ { 1 } ( \Delta ) ) } ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { w k d e } } } & { : = \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { \top } \textbf { X } _ { \mathrm { r e c } } , } \\ { \boldsymbol \Sigma _ { \mathrm { w k d e } } } & { : = \frac { \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { \top } \textbf { 1 } } { ( \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { \top } \textbf { 1 } ) ^ { 2 } - ( \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { 2 } ) ^ { \top } \textbf { 1 } } \sum _ { i } ^ { N } w _ { \mathrm { i , ~ r e c } } ( X _ { \mathrm { i , ~ r e c } } - \mu _ { \mathrm { w k d e } } ) ^ { T } ( X _ { \mathrm { i , ~ r e c } } - \mu _ { \mathrm { w k d e } } ) , } \\ & { : = \frac { 1 } { 1 - ( \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } ^ { 2 } ) ^ { \top } \textbf { 1 } } \sum _ { i } ^ { N } w _ { \mathrm { i , ~ r e c } } ( X _ { \mathrm { i , ~ r e c } } - \mu _ { \mathrm { w k d e } } ) ^ { T } ( X _ { \mathrm { i , ~ r e c } } - \mu _ { \mathrm { w k d e } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { R } ( s _ { 0 } , \mu , \boldsymbol { \pi } ) = U ^ { \nu ^ { * } } ( s _ { 0 } ) - \bar { U } ^ { \mu } ( s _ { 0 } , \boldsymbol { \pi } ) = \bar { U } ^ { * } ( s _ { 0 } ) - \bar { U } ^ { \mu } ( s _ { 0 } , \boldsymbol { \pi } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal R ( \mu , \boldsymbol { \pi } ) = \operatorname* { m a x } _ { s _ { 0 } } \, \mathcal { R } ( s _ { 0 } , \mu , \boldsymbol { \pi } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cosh ( 2 x ) } & { { } = \sinh ^ { 2 } { x } + \cosh ^ { 2 } { x } = 2 \sinh ^ { 2 } x + 1 = 2 \cosh ^ { 2 } x - 1 } \\ { \sinh ( 2 x ) } & { { } = 2 \sinh x \cosh x } \\ { \operatorname { t a n h } ( 2 x ) } & { { } = { \frac { 2 \operatorname { t a n h } x } { 1 + \operatorname { t a n h } ^ { 2 } x } } } \end{array}
\sigma ( | \textbf { r } _ { i j } | ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | \textbf { r } _ { i j } | \leq 3 . 5 \, \mathrm { ~ \AA ~ } } \\ { \exp \left( - \frac { ( | \textbf { r } _ { i j } | - 3 . 5 \, \mathrm { ~ \AA ~ } ) ^ { 2 } } { 2 \times ( 0 . 0 5 \, \mathrm { ~ \AA ~ } ) } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 3 . 5 \, \mathrm { ~ \AA ~ } \leq | \textbf { r } _ { i j } | < 3 . 5 1 \, \mathrm { ~ \AA ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 3 . 5 1 \, \mathrm { ~ \AA ~ } \leq | \textbf { r } _ { i j } | } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \langle 1 0 | \rho _ { s , 0 _ { A } 1 _ { A } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t _ { 1 } ) | 0 0 \rangle = - \gamma _ { A } \langle 1 0 | \rho _ { s , 0 _ { A } 1 _ { A } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t _ { 1 } ) | 0 0 \rangle } \\ & { \qquad \qquad - 2 V _ { B A } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { A } \tau } \langle 1 0 | \rho _ { s , 0 _ { B } 1 _ { B } } ^ { ( 1 ) L } ( t _ { 1 } , t - \tau ) | 0 0 \rangle , } \\ & { \partial _ { t } \langle 1 0 | \rho _ { s , 1 _ { A } 2 _ { A } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t _ { 1 } ) | 0 0 \rangle = \delta ( t - t _ { 1 } ) \langle 2 0 | \rho _ { s } ( t _ { 1 } ) | 0 0 \rangle } \\ & { \qquad \qquad - \gamma _ { A } \langle 1 0 | \rho _ { s , 1 _ { A } 2 _ { A } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t _ { 1 } ) | 0 0 \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } \right. } & { \left. + \frac { 1 } { \omega } \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \tau } \right) + \left( \omega \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } + \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial \tau } \right) + \left( \omega ^ { 2 } \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial t } + \omega \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right) } \\ & { - \nabla _ { \mathbf x } \cdot \textbf { D } [ \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } + \omega \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } + \omega ^ { 2 } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 2 } + \omega ^ { 2 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ] } \\ & { + \nabla _ { \mathbf x } \cdot [ \omega ^ { - \alpha } \mathbf v _ { 0 } c _ { 0 } + \omega ^ { 1 - \alpha } ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } ) + \omega ^ { 2 - \alpha } ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 2 } + c _ { 1 } \mathbf v _ { 1 } + \mathbf v _ { 2 } c _ { 0 } ) ] } \\ & { - \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } [ \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \omega ^ { - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } + \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } + \omega ^ { 2 - \gamma } \nabla _ { \mathbf x } c _ { 2 } + \omega ^ { 2 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ] } \\ & { + \nabla _ { \mathbf y } \cdot [ \omega ^ { - \alpha - \gamma } \mathbf v _ { 0 } c _ { 0 } + \omega ^ { 1 - \alpha - \gamma } ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 1 } + \mathbf v _ { 1 } c _ { 0 } ) + \omega ^ { 2 - \alpha - \gamma } ( \mathbf v _ { 0 } c _ { 2 } + c _ { 1 } \mathbf v _ { 1 } + \mathbf v _ { 2 } c _ { 0 } ) ] = 0 . } \end{array}
\mathbf { F } _ { \Delta } = \sum _ { k = 1 } ^ { \mathbf { n } _ { \Delta } } \Delta \mathbf { F } _ { k } , \quad \mathbf { V } _ { \Delta } = \sum _ { k = 1 } ^ { \mathbf { n } _ { \Delta } } \Delta \mathbf { V } _ { k } , \quad \mathbf { N } _ { \Delta } ^ { \star } = \sum _ { k = 1 } ^ { \mathbf { n } _ { \Delta } } \Delta \mathbf { N } _ { k } ^ { \star } ,
\begin{array} { r } { P ( \vec { \xi } | | \alpha \rangle , | \beta \rangle ) = \int \mathrm { d } a \; \mathrm { T r } [ M _ { A ^ { \prime } B } ^ { \vec { \xi } } ( \rho _ { A ^ { \prime } } ^ { a } \otimes | \beta \rangle \! \langle \beta | _ { B } ) ] \; \mathrm { T r } [ N _ { A } ^ { a } | \alpha \rangle \! \langle \alpha | _ { A } ] = \int \mathrm { d } a \; \mathrm { T r } [ M _ { B } ^ { \vec { \xi } | a } | \beta \rangle \! \langle \beta | _ { B } ] \mathrm { T r } [ N _ { A } ^ { a } | \alpha \rangle \! \langle \alpha | _ { A } ] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f } ( t ) } } & { = \frac { 1 } { 1 - \chi _ { \delta } ^ { \star } ( t ) \rho _ { f } ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) - \chi ^ { \star } ( t ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { f } } \partial _ { t } ^ { k } \rho _ { f } ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \frac { ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) ^ { k } } { k ! } } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - \chi _ { \delta } ^ { \star } ( t ) \rho _ { f } ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) } + \frac { 1 } { 1 - \chi _ { \delta } ^ { \star } ( t ) \rho _ { f } ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) } \frac { Q ^ { \star } ( t ) } { 1 - Q ^ { \star } ( t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } \partial _ { t } w = } & { - d k _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { \xi } ^ { 2 } w + \left( \mathrm { i } \nu _ { 1 } - \mathrm { i } 2 d k _ { 1 } ^ { 2 } \frac { f _ { 1 } } { f _ { 0 } } \cos \xi \right) \partial _ { \xi } w } \\ & { + \Bigl ( - \mathrm { i } \mu + \zeta \underbrace { - \nu _ { 1 } \frac { f _ { 1 } } { f _ { 0 } } \cos \xi + d k _ { 1 } ^ { 2 } \frac { f _ { 1 } ^ { 2 } } { f _ { 0 } ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \xi + \mathrm { i } d k _ { 1 } ^ { 2 } \frac { f _ { 1 } } { f _ { 0 } } \sin \xi } _ { = : \alpha ( \xi ) } \Bigr ) w - | w | ^ { 2 } w + \mathrm { i } f _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { \mathrm { R } } ( E _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } \, ; \, E _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } ) = p ( E _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } , ) \times p ( E _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } , \, | \, E _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } , \mathrm { r e v e r s e ~ d y n a m i c s } ) . } \end{array}
\frac { \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sqrt { \left( 1 + 4 \xi \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 2 } + 1 6 \xi ^ { 2 } } \, - \, \left( 1 + 4 \xi \sqrt { \xi ^ { 2 } + 1 } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { D } _ { y } ^ { \dagger } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) \mathcal { D } _ { z } ^ { \dagger } ( \phi ) H _ { \mathrm { L } } \mathcal { D } _ { z } ( \phi ) \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) } \\ & { } & { = \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } \sigma _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \alpha ( g , g ^ { \prime } , g ^ { \prime \prime } ) } [ ( a _ { g } \cdot a _ { g ^ { \prime } } ) \cdot a _ { g ^ { \prime \prime } } ] } & { = a _ { g } \cdot ( a _ { g ^ { \prime } } \cdot a _ { g ^ { \prime \prime } } ) } \\ { a _ { g } i } & { = ( - 1 ) ^ { \theta ( g ) } i a _ { g } } \\ { F _ { \gamma _ { 1 } \otimes \gamma _ { 2 } } ( a _ { g _ { 1 } } a _ { g _ { 2 } } ) } & { = F _ { \gamma _ { 1 } } ( a _ { g _ { 1 } } ) F _ { \gamma _ { 2 } } ( a _ { g _ { 2 } } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ m o r p h i s m s ~ } \gamma _ { 1 } : g _ { 1 } \to h _ { 1 } , \gamma _ { 2 } : g _ { 2 } \to h _ { 2 } } \end{array}
\left( { \frac { \Sigma _ { b } ( \mu ) } { \Sigma _ { t } ( \mu ) } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { \alpha _ { t } ( \Lambda ) } { \alpha _ { t } ( \mu ) } } \right) ^ { \frac { 9 } { 2 0 N _ { F } } } \left( 1 + { \frac { 3 \alpha _ { t } ( \Lambda ) } { 8 \alpha _ { c } } } \ln { \frac { \Lambda } { \mu } } \right) \simeq { \frac { \frac { \alpha _ { t } ( \Lambda ) } { \alpha _ { c } } } { 4 - { \frac { \alpha _ { t } ( \Lambda ) } { 4 \alpha _ { c } } } } } ,
\begin{array} { r l } & { \exp \left( \frac { q _ { 0 } } { q _ { 0 } - n } C ( \Lambda _ { 0 } ) r _ { 0 } ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } \right) \left( 1 + \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { r _ { 0 } } ) } { r _ { 0 } ^ { n } } \right) - \exp \left( \frac { q _ { 0 } } { q _ { 0 } - n } C ( \Lambda _ { 0 } ) r ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } \right) \left( 1 + \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { r } ) } { r ^ { n } } \right) } \\ & { \geq - \int _ { r } ^ { r _ { 0 } } \exp \left( \frac { q _ { 0 } } { q _ { 0 } - n } C ( \Lambda _ { 0 } ) \rho ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } \right) \frac { \xi _ { \varepsilon , + } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n + 1 } } } \\ & { \geq - \exp \left( \frac { q _ { 0 } } { q _ { 0 } - n } C ( \Lambda _ { 0 } ) r _ { 0 } ^ { 1 - \frac { n } { q _ { 0 } } } \right) \int _ { r } ^ { r _ { 0 } } \frac { \xi _ { \varepsilon , + } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n + 1 } } . } \end{array}
C ^ { ( 2 ) } = \hat { C } _ { 2 , 0 } ^ { ( 2 ) } e ^ { i ( 2 \alpha _ { 1 } ) } + \hat { C } _ { 0 , 2 } ^ { ( 2 ) } e ^ { i ( 2 \alpha _ { 2 } ) } + \hat { C } _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } e ^ { i ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) } + \hat { C } _ { 1 , - 1 } ^ { ( 2 ) } e ^ { i ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) } + c . c . ,