harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \langle u ( x + r ) u ( x ) \rangle } { u _ { \ast } ^ { 2 } } } & { { } = C _ { u u } \! \left( \frac { r } { z } \right) + D _ { u u } \! \left( \frac { r } { z } \right) \ln \left( \frac { \delta } { z } \right) , } \\ { \frac { \langle w ( x + r ) w ( x ) \rangle } { u _ { \ast } ^ { 2 } } } & { { } = C _ { w w } \! \left( \frac { r } { z } \right) , } \\ { \frac { \langle u ( x + r ) w ( x ) \rangle } { u _ { \ast } ^ { 2 } } } & { { } = C _ { u w } \! \left( \frac { r } { z } \right) . } \end{array}
\psi _ { i j } \left[ ( \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } ) , ( \boldsymbol { x } _ { j } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { j } ) \right] = \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } e ^ { - \mathrm { i } \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } + \hat { h } _ { j } ^ { t } \nu _ { i j } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( B ) = } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z \in { \cal B } } z ^ { \top } B z } \\ { = } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z \in { \cal B } } \sum _ { p \in [ k ] , q \in [ k ] } z _ { p } ^ { \top } B _ { p q } z _ { q } } \\ { = } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z \in { \cal B } } \sum _ { p = 1 } ^ { k } z _ { p } ^ { \top } B _ { p , p } z _ { p } + \sum _ { p \neq q } z _ { p } ^ { \top } B _ { p , q } z _ { q } . } \end{array}
u ^ { \alpha } : = \omega ^ { \alpha } + \mathcal { A } _ { I } ^ { \alpha } \dot { r } ^ { I } , \ \ \ \mathcal { A } _ { I } ^ { \alpha } : = \left\{ \begin{array} { c l l } { \frac { 1 } { R } \varepsilon _ { \alpha 3 \bar { I } } , } & { \alpha = 1 , 2 } & { } \\ { 0 , } & { \alpha = 3 } & { . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { x } } _ { B e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } } & { = [ \mathcal { B } ( \tau ) \oplus \mathbf { I ] } ( \bar { \mathbf { x } } _ { A | k } \oplus \bar { \mathbf { x } } _ { e E _ { 0 } } ) = \bar { \mathbf { x } } _ { B | k } \oplus \bar { \mathbf { x } } _ { e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } , } \\ { \mathbf { V } _ { B e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } } & { = [ \mathcal { B } ( \tau ) \oplus \mathbf { I } ] \left( \mathbf { V } _ { A | k } \oplus \mathbf { V } _ { e E _ { 0 } } \right) [ \mathcal { B } ( \tau ) ^ { \mathsf { T } } \oplus \mathbf { I } ] } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { B } } & { \mathbf { C } } \\ { \mathbf { C } ^ { \mathsf { T } } } & { \mathbf { V } _ { e ^ { \prime } E _ { 0 } | k } } \end{array} \right) . } \end{array}
A _ { 4 } = \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } \! \! \! \! d x \, \left[ \left. \mathrm { I m } \left( \phi \partial _ { x } \bar { \phi } \right) \right| _ { t = - T / 2 } - \left. \mathrm { I m } \left( \phi \partial _ { x } \bar { \phi } \right) \right| _ { t = T / 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbb { C } o v \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \varphi ( x ) Z ( x ) d \mu ( x ) , M ( A ) \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { C } o v \left( \sum _ { j \in J _ { n } } Z ( x _ { j } ^ { n } ) \int _ { I _ { j } ^ { n } } \varphi d \mu \ , \ M ( A ) \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { j \in J _ { n } } K _ { Z , M } ( x _ { j } ^ { n } , A ) \int _ { I _ { j } ^ { n } } \varphi d \mu } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \varphi ( x ) K _ { Z , M } ( x , A ) d \mu ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { \mathrm { { R } } } } & { = c l + \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \lambda _ { \mathrm { - } 1 } \, c _ { \mathrm { - } 1 } ^ { R } ( t ) } \\ { q _ { \mathrm { { I } } } } & { = c s + \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \lambda _ { \mathrm { - } 1 } \, c _ { \mathrm { - } 1 } ^ { I } ( t ) } \\ { q _ { 0 } } & { = \frac { \lambda _ { 0 } \, c _ { 0 } ( t ) } { \sqrt { 2 \pi } } } \end{array}
< N > = { \frac { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n \mathrm { e } ^ { - \beta n \omega } } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - \beta n \omega } } } = { \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \beta \omega } - 1 } }
{ \begin{array} { r l } { { { \mathfrak { T } } _ { \mu } ^ { \nu } } _ { ; \nu } + f _ { \mu } } & { = - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( F _ { \mu \alpha ; \nu } g ^ { \alpha \beta } F _ { \beta \gamma } g ^ { \gamma \nu } + F _ { \mu \alpha } g ^ { \alpha \beta } F _ { \beta \gamma ; \nu } g ^ { \gamma \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { \mu } ^ { \nu } F _ { \sigma \alpha ; \nu } g ^ { \alpha \beta } F _ { \beta \rho } g ^ { \rho \sigma } \right) { \frac { \sqrt { - g } } { c } } + { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } F _ { \mu \alpha } g ^ { \alpha \beta } F _ { \beta \gamma ; \nu } g ^ { \gamma \nu } { \frac { \sqrt { - g } } { c } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( F _ { \mu \alpha ; \nu } F ^ { \alpha \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } F _ { \sigma \alpha ; \mu } F ^ { \alpha \sigma } \right) { \frac { \sqrt { - g } } { c } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( \left( - F _ { \nu \mu ; \alpha } - F _ { \alpha \nu ; \mu } \right) F ^ { \alpha \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } F _ { \sigma \alpha ; \mu } F ^ { \alpha \sigma } \right) { \frac { \sqrt { - g } } { c } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( F _ { \mu \nu ; \alpha } F ^ { \alpha \nu } - F _ { \alpha \nu ; \mu } F ^ { \alpha \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } F _ { \sigma \alpha ; \mu } F ^ { \sigma \alpha } \right) { \frac { \sqrt { - g } } { c } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( F _ { \mu \alpha ; \nu } F ^ { \nu \alpha } - { \frac { 1 } { 2 } } F _ { \alpha \nu ; \mu } F ^ { \alpha \nu } \right) { \frac { \sqrt { - g } } { c } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( - F _ { \mu \alpha ; \nu } F ^ { \alpha \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } F _ { \sigma \alpha ; \mu } F ^ { \alpha \sigma } \right) { \frac { \sqrt { - g } } { c } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { d { \hat { \pi } } ^ { I \alpha } } { d t } } & { = \frac i { \hbar } \left[ \hat { H } _ { j } ^ { \mathrm { B O } } , { \hat { \pi } ^ { I \alpha } } \right] } \\ & { = - \nabla _ { I \alpha } E _ { j } + \frac 1 2 \sum _ { J , \beta } \left( \Omega _ { j j } ^ { I \alpha J \beta } \frac { { \hat { \pi } } ^ { J \beta } } { M ^ { J } } + \frac { { \hat { \pi } } ^ { J \beta } } { M ^ { J } } \Omega _ { j j } ^ { I \alpha J \beta } \right) . } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \rho _ { i } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = \rho _ { i } \sum _ { j } \frac { m _ { j } } { \rho _ { j } } \mathbf { v } _ { i j } \cdot \nabla _ { i } W _ { i j } = 2 \rho _ { i } \sum _ { j } \frac { m _ { j } } { \rho _ { j } } ( \mathbf { v } _ { i } - \mathbf { \overline { { v } } } _ { i j } ) \cdot \nabla _ { i } W _ { i j } ,
{ \cal L } _ { \mathrm { S C S } } = \kappa \, \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \, \mathrm { t r } \left( \tilde { A } _ { \mu } \partial _ { \nu } \tilde { A } _ { \rho } - \frac 2 3 i \tilde { A } _ { \mu } \tilde { A } _ { \nu } \tilde { A } _ { \rho } \right) .
\begin{array} { r l } { C _ { O T } } & { = \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , \ldots , K \} } \left( \log \left[ 1 + \frac { \left\| \mathbf { f } \boldsymbol { \Phi } _ { k } ^ { \star } \mathbf { g } _ { k } + d _ { k } \right\| ^ { 2 } P _ { u } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right] \right) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , \ldots , K \} } \left( \log \left( 1 + \frac { \Bigl | \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { s } } | f _ { n } | | g _ { n , k } | + | d _ { k } | \Bigr | ^ { 2 } P _ { u } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| X _ { t } - \hat { X } _ { t } \right| } & { = \left| I _ { a } ^ { v } [ f ( s ) - \hat { f } ( s ) ] \right| } \\ & { \leq | f ( s ) - \hat { f } ( s ) | \frac { 1 } { \Gamma ( v ) } \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t _ { n } } ( t - s ) ^ { v - 1 } \mathrm { ~ d } s } \\ & { = \frac { \left( t - t _ { n - 1 } \right) ^ { v } - \left( t - t _ { n } \right) ^ { v } } { \Gamma ( v + 1 ) } \frac { M _ { n } } { n ! } \left| \omega _ { n } ( s ) \right| , } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { i } } { d \lambda ^ { 2 } } } + 2 { \frac { \dot { a } } { a } } { \frac { d t } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { i } } { d \lambda } } + 2 { \frac { a ^ { \prime } } { a } } { \frac { d y } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { i } } { d \lambda } } = 0 ,
\small \left\{ \begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } f ( x , y , z ) \bar { Q } _ { k } ( x , y , z ) d \Omega = L _ { z } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { f } _ { k } ( x , y ) l ( x , y ) d \Omega _ { 2 D } } \\ & { \int _ { \Omega } \nabla f ( x , y , z ) \cdot \nabla \bar { Q } _ { k } ( x , y , z ) d \Omega = L _ { z } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \left[ \nabla _ { 2 D } \hat { f } _ { k } ( x , y ) \cdot \nabla _ { 2 D } l ( x , y ) + \beta _ { k } ^ { 2 } \hat { f } _ { k } ( x , y ) l ( x , y ) \right] d \Omega _ { 2 D } } \\ & { \int _ { \Omega } \textbf { u } \cdot \nabla \bar { Q } _ { k } d \Omega = L _ { z } \int _ { \Omega _ { 2 D } } \left[ \nabla _ { 2 D } l ( x , y ) \cdot \hat { \textbf { u } } _ { 2 D , k } - i \beta _ { k } l ( x , y ) \hat { u } _ { z , k } \right] d \Omega _ { 2 D } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \pm \mu } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } h _ { \Delta t } ( t ) = \mathbb { E } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi ) } { f _ { - } ( \xi ) } } \Big | H ^ { \pm } \Bigg ] } \\ { \rho _ { c } ^ { 2 } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } \rho _ { c , \Delta t } ^ { 2 } ( t ) = c \mathrm { V a r } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi ) } { f _ { - } ( \xi ) } } \Big | H ^ { \pm } \Bigg ] } \\ { \rho _ { 1 - c } ^ { 2 } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } \rho _ { c , \Delta t } ^ { 2 } ( t ) = ( 1 - c ) \mathrm { V a r } _ { \xi } \Bigg [ \log { \frac { f _ { + } ( \xi ) } { f _ { - } ( \xi ) } } \Big | H ^ { \pm } \Bigg ] . } \end{array}
\alpha _ { X } ^ { - 1 } = 3 2 . 7 2 , m _ { I , Z } = 2 8 . 2 0 - 2 7 . 3 0 7 3 / n _ { 3 5 } , m _ { X , I } = 2 7 . 3 0 7 3 / n _ { 3 5 }
\begin{array} { r l } & { D _ { I } \frac { Q _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) } } \\ & { = - \frac { \lambda } { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 } } D _ { I } ^ { [ 0 ] } \Big \{ \sqrt { 1 + \frac { ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { 2 } } { 4 ( x ( v ) - x ( 0 ) ) ( x ( z ) - x ( 0 ) ) } } } \\ & { \times \exp \Big ( \frac { 1 } { 2 } \log P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( v ) ) + \frac { 1 } { 2 } \log P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( z ) , x ( z ) ) - \log P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) \Big ) \Big \} . } \end{array}
\sigma _ { b } = \int d x _ { 3 } \int _ { V W / x _ { 3 } } ^ { 1 - ( 1 - V ) / x _ { 3 } } d v \, F _ { 0 } ( v , x _ { 3 } ) \, { \cal L } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) D ( x _ { 3 } ) / x _ { 3 } ^ { 2 } \, ,
[ \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { A } t } ] _ { 3 , 1 } = \frac { 1 } { \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } } [ ( - \bar { f } \tilde { h } _ { y } + \tilde { h } _ { x } \bar { \tau } ) \mathrm { e } ^ { - \bar { \tau } t } \cos ( \bar { f } t ) + ( - \bar { f } \tilde { h } _ { x } - \tilde { h } _ { y } \bar { \tau } ) \mathrm { e } ^ { - \bar { \tau } t } \sin ( \bar { f } t ) + \bar { f } \tilde { h } _ { y } - \tilde { h } _ { x } \bar { \tau } ] ,
\begin{array} { r l } { \lvert | \varepsilon _ { h } ^ { \mathrm { l i n } } \rvert | _ { ( H _ { \kappa } ^ { 1 } ) ^ { \prime } } } & { \lesssim \kappa \lvert | u - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } u \rvert | _ { L ^ { 2 } } , } \\ { \lvert | \varepsilon _ { h } ^ { \mathrm { n o n l i n } } \rvert | _ { ( H _ { \kappa } ^ { 1 } ) ^ { \prime } } } & { \lesssim \kappa \bigl ( \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } + \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 6 } } ^ { 3 } \bigr ) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \prod _ { { p \equiv 3 { \mathrm { ~ m o d ~ } } 4 } \atop p \; \mathrm { { p r i m e } } } { \left( 1 - { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } } \! \! = { \frac { \pi } { 4 } } \prod _ { { p \equiv 1 { \mathrm { ~ m o d ~ } } 4 } \atop p \; \mathrm { { p r i m e } } } { \left( 1 - { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } }
\frac { \mathrm { d } \omega _ { \mathrm { a g g } } ( t ) } { \mathrm { d } t } = \frac { \omega _ { \mathrm { R A T } } } { \tau _ { \mathrm { d r a g } } } \exp \left( - \frac { t } { \tau _ { \mathrm { d r a g } } } \right) \, .
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial \hat { \eta } } { \partial \hat { t } } \right) _ { \hat { r } = \hat { r } ^ { * } } = \left[ \hat { u } _ { z } \left( \hat { z } = \eta , \hat { r } , \hat { t } \right) - \hat { u } _ { r } \left( \hat { z } = \eta , \hat { r } , \hat { t } \right) \left( \frac { \partial \hat { \eta } } { \partial \hat { r } } \right) \right] _ { \hat { r } = \hat { r } ^ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { 0 0 } \, \frac { \ddot { a } } { a } = } & { - \frac { 4 } { 3 } \pi \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) , } \\ { g ^ { 0 0 } \, \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } = } & { \frac { 8 } { 3 } \pi T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { K \left( x , y , z \right) } { a ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla \times u = - \widehat { n } \frac { \nabla _ { \bot } \cdot ( \widehat { J } u ^ { \bot } ) } { | J | } + \widehat { J } ^ { - 1 } ( \partial _ { \sigma } ( \widehat { J } u ^ { \bot } ) - \nabla ^ { \bot } u _ { \sigma } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { C } } } & { = G _ { \mathrm { C } } ^ { \prime } + { \cal R } T \ln { a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { G _ { \mathrm { O _ { 2 } } } } & { = G _ { \mathrm { O _ { 2 } , 0 } } + { \cal R } T \ln { \left( \frac { f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } } { P _ { 0 } } \right) } , } \\ { G _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } & { = G _ { \mathrm { C O _ { 2 } , 0 } } + { \cal R } T \ln { \left( \frac { f _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } { P _ { 0 } } \right) } . } \end{array}
\int _ { M } \frac { 1 } { 2 } | D _ { A } \phi | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \phi \bar { \phi } + \frac { 1 } { 4 } \left( \phi \bar { \phi } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } F ^ { j k } F _ { j k } \; d ^ { 4 } x
\begin{array} { r l r } & { } & { \mid \nabla \cdot ( \varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) \nu ( x ) ) - \nabla \cdot ( \upsilon _ { 2 } v _ { 2 } ( \upsilon ) \nu ( x ) ) \mid \leq } \\ & { } & { M _ { V _ { 2 } } \left( \mid \nabla \varphi _ { 2 } ( x ) \mid \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \mid \varphi _ { i } ( x ) - \upsilon _ { i } ( x ) \mid + \mid \varphi _ { 2 } ( x ) \mid \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \mid \nabla ( \varphi _ { i } ( x ) - \upsilon _ { i } ( x ) ) \mid \right) } \\ & { } & { + M _ { V _ { 2 } } \left( \mid \nabla ( \varphi _ { 2 } ( x ) - \upsilon _ { 2 } ( x ) ) \mid \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( 1 + \mid \varphi _ { i } ( x ) \mid ) + \mid \varphi _ { 2 } ( x ) - \upsilon _ { 2 } ( x ) \mid \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \mid \nabla ( \upsilon _ { i } ( x ) \mid \right) , \quad x \in \Omega . } \end{array}
\Sigma = \left[ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } \\ { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 2 2 } } \end{array} \right] = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \mathbf { B } s } \mathbf { A } \mathbf { A } ^ { \top } e ^ { \mathbf { B } ^ { \top } s } \mathrm { d } s = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { a ^ { 2 } \sigma _ { u } ^ { 2 } } { 2 ( B + C ) ( B + C + 1 / \tau _ { d } ) } } & { \frac { - a \sigma _ { u } ^ { 2 } } { 2 ( B + C + 1 / \tau _ { d } ) } } \\ { \frac { - a \sigma _ { u } ^ { 2 } } { 2 ( B + C + 1 / \tau _ { d } ) } } & { \sigma _ { u } ^ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { S = } & { { } - \mathrm { i } \sum _ { m = 1 } ^ { \mathcal { N } } \sum _ { q } \sqrt { \frac { d } { L _ { z } } } \frac { \xi _ { q } } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } - \omega _ { 0 } } } \end{array}
\rho _ { y } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \Xi _ { \{ m m \} } ^ { ( j ) } \left| \psi ( \{ m m \} , j ) \middle > \middle < \psi ( \{ m m \} , j ) \right| + \sum _ { \substack { l , m = 0 , \, l > m } } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } \Xi _ { \{ l m \} } ^ { ( j ) } \left| \psi ( \{ l m \} , j ) \middle > \middle < \psi ( \{ l m \} , j ) \right| ,
- \frac { r ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { m e a s , 7 0 0 } } ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \frac { r ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { m e a s , 5 1 5 } } ^ { 2 } } = - \frac { ( r / \kappa ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { m e a s , 5 1 5 } } ^ { 2 } } = - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { m e a s , 5 1 5 } } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { ( g _ { \mathrm { B L } } ^ { \mathfrak m , \mathfrak p } ) _ { i j } ( x ) } & { = \left( 1 + \sum _ { \ell = 1 } \frac { m _ { \ell } } { 2 | x - p _ { \ell } | } \right) ^ { 4 } \delta _ { i j } } \\ & { = \left( 1 + { \frac { m _ { k } } { 2 | x - p _ { k } | } } \right) ^ { 4 } \left( 1 + \sum _ { \ell \ne k } \Theta _ { \ell k } ( x ) \right) ^ { 4 } \delta _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ( n ) \geq g ( 2 k + 1 , k + 1 ) } & { = { \frac { F _ { 2 k + 1 } } { F _ { 2 k - 1 } } } - { \frac { F _ { k + 1 } + 1 } { F _ { 2 k - 1 } } } } \\ & { \geq ( \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { F _ { 4 k - 2 } } } ) - \sqrt { 3 } \alpha n ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 0 } } n ^ { - 1 / 2 } - \sqrt { 3 } \alpha n ^ { - 1 / 2 } \quad \mathrm { ( b y ~ L e m m a ~ ~ ( i i ) ) } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - 3 n ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \omega } ( z ) } & { = \big ( \Dot { F } _ { t } * U _ { \omega } ^ { 0 } \big ) ( x ) = \langle \Dot { F } _ { t } , \tau _ { - x } \check { U } _ { \omega } ^ { 0 } \rangle = \Big \langle \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \partial ^ { \alpha } \mu _ { \alpha } ^ { t } , \tau _ { - x } \check { U } _ { \omega } ^ { 0 } \Big \rangle } \\ & { = \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \langle \mu _ { \alpha } ^ { t } , ( - 1 ) ^ { | \alpha | } \partial ^ { \alpha } \tau _ { - x } \check { U } _ { \omega } ^ { 0 } \rangle = \sum _ { | \alpha | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } \partial ^ { \alpha } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \mu _ { \alpha } ^ { t } ( d y ) . } \end{array}
T _ { 2 } = c _ { + + } J _ { n } ^ { + } J _ { n } ^ { + } + c _ { + 0 } J _ { n } ^ { + } J _ { n } ^ { 0 } + c _ { 0 0 } J _ { n } ^ { 0 } J _ { n } ^ { 0 } + c _ { 0 - } J _ { n } ^ { 0 } J _ { n } ^ { - } + c _ { -- } J _ { n } ^ { - } J _ { n } ^ { - } +
\Bigl | \frac { \partial _ { R } \phi _ { * } } { 1 + \epsilon R } \Bigr | + \Bigl | \frac { \partial _ { Z } \phi _ { * } } { 1 + \epsilon R } \Bigr | \, \le \, \frac { C } { 1 + \rho + \epsilon ^ { 2 } \rho ^ { 3 } } \, , \qquad \Bigl | \frac { \partial _ { Z } \phi _ { * } } { ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } } \Bigr | \, \le \, \frac { C } { 1 + \rho + \epsilon ^ { 3 } \rho ^ { 4 } } \, ,
\begin{array} { r l } { G ^ { s } ( \tau ) } & { = \mathbb { I } - B _ { \tau } ^ { \rangle } \left( B _ { \tau } ^ { \langle } B _ { \tau } ^ { \rangle } \right) ^ { - 1 } B _ { \tau } ^ { \langle } } \\ & { = \mathbb { I } - U _ { \tau } ^ { \rangle } \left( U _ { \tau } ^ { \langle } U _ { \tau } ^ { \rangle } \right) ^ { - 1 } U _ { \tau } ^ { \langle } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \lambda p _ { m , k , l } ^ { ( q ) } \left( | h _ { m , k } | ^ { 2 } , | h _ { m , k } ^ { J } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \; \; + \left( 1 - \nu _ { m } \right) r _ { l } , { \mathrm { i f } } \, q = 1 ; } \\ & { - \lambda p _ { m , k , l } ^ { ( q ) } \left( | h _ { m , k } | ^ { 2 } , | h _ { m , k } ^ { J } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \; \; + \left( 1 + \nu _ { m } \chi \right) r _ { l } , { \mathrm { i f } } \, q = 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { 1 p } } = { \left\langle { \sum _ { j = 1 } ^ { N } H _ { \mathrm { 1 p } } ( \vec { P } _ { j } , \vec { R } _ { j } ) } \right\rangle } = \sum _ { a } n _ { a } E _ { a } \, , } \end{array}
\mathcal { L } ^ { \ast } = [ \bar { \Psi } ( i \gamma ^ { \mu } \overset { \rightarrow } { \partial } _ { \mu } - m ) \Psi ] ^ { \dagger } = \Psi ^ { \dagger } ( - i \gamma ^ { \mu \dagger } \overset { \leftarrow } { \partial } _ { \mu } - m ) \gamma ^ { 0 \dagger } \Psi = \Psi ^ { \dagger } ( - i \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 0 } \overset { \leftarrow } { \partial } _ { \mu } - m ) \gamma ^ { 0 } \Psi = \bar { \Psi } ( - i \gamma ^ { \mu } \overset { \leftarrow } { \partial } _ { \mu } - m ) \Psi .
\| \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { * } - \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { ( k ) } \| _ { \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { L } } \sim \| \sigma _ { L } ^ { * } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { * } - \sigma _ { L } ^ { * } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { ( k ) } \| _ { W _ { 2 } ^ { 1 } } \le C _ { \mathfrak { B } } h ^ { d / 2 - 1 } \| \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { * } - \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { ( k ) } \| _ { \ell _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \phi } = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { \phi } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } & { { } = { \frac { A _ { r } ( \theta ) d r + A _ { \theta } ( r + d r ) ( r + d r ) d \theta - A _ { r } ( \theta + d \theta ) d r - A _ { \theta } ( r ) \, r d \theta } { ( r ) d r d \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( k ) } = \frac { \alpha _ { k } R _ { k } r _ { k } } { c _ { V } \rho } = \frac { \alpha _ { k } ( p _ { k } + p _ { * k } ) } { c _ { V } \rho \theta } } \\ { = \frac { \alpha _ { k } ( p _ { + } + p _ { * k } ) } { c _ { V } \rho \theta } , \ \ k = 1 , 2 , } \\ { \langle \sigma ^ { ( k ) } \rangle = \frac { p _ { + } + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle } { c _ { V } \rho \theta } = \gamma - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( t ) } & { = x ( t _ { 0 } ) e ^ { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } p ( s ( r - \tau ) ) \psi ( r - \tau ) - D ( r ) \, d r } } \\ & { = x ( t _ { 0 } ) e ^ { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } p ( s ( r - \tau ) ) \psi ( r - \tau ) - p ( z ^ { * } ( r - \tau ) \varphi ( r ) \, d r + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } p ( z ^ { * } ( r - \tau ) ) \varphi ( r - \tau ) - D ( r ) \, d r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu \not \in \sigma ( f ( T ) ) = \{ f ( \lambda ) : \lambda \in \sigma ( T ) \} } \\ { \iff } & { \mu \in \{ f ( \lambda ) : \lambda \in \sigma ( T ) \} ^ { \complement } = \{ f ( \lambda ) : T - \lambda \mathrm { i d } \mathrm { ~ n o t ~ i n v e r t i b l e } \} ^ { \complement } } \\ { \iff } & { \mu \in \{ f ( \lambda ) : T - \lambda \mathrm { i d } \mathrm { ~ i n v e r t i b l e } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle n _ { 1 } , \dots , n _ { m } | \psi \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { k } c _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { m } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } | \alpha _ { i } ^ { ( j ) } | ^ { 2 } } \frac { ( \alpha _ { i } ^ { ( j ) } ) ^ { n _ { j } } } { \sqrt { n _ { j } ! } } } \\ & { \langle \beta _ { 1 } , \dots , \beta _ { n } | \psi \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { k } c _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { m } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } | \beta _ { j } - \alpha _ { i } ^ { ( j ) } | ^ { 2 } } e ^ { - i \mathrm { I m } ( \beta _ { j } \bar { \alpha } _ { i } ^ { ( i ) } ) } , } \end{array}
\left[ J ^ { \alpha \beta } ( x ) , S _ { - } ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } ( y ) \right] = - \delta ( x - y ) \left( \delta ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } } S _ { - } ^ { \beta \beta ^ { \prime } } ( x ) + \delta ^ { \alpha \beta ^ { \prime } } S _ { + } ^ { \beta \alpha ^ { \prime } } ( x ) \right) ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \mu _ { c } = ( 1 - \eta ) \cdot \mu _ { c } + \eta \cdot \frac { 1 } { 2 } \{ \mu _ { B } ^ { r } + \mu _ { B } ^ { p } \} , ~ ~ \sigma _ { c } = ( 1 - \eta ) \cdot \sigma _ { c } + \eta \cdot \frac { 1 } { 2 } \{ \sigma _ { B } ^ { r } + \sigma _ { B } ^ { p } \} . } \end{array}