harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { n = 1 } ^ { 3 } [ \boldsymbol { F } _ { d r a g } ^ { n } + \boldsymbol { F } _ { g r a v i t y } ^ { n } ] = \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \left[ - \frac { 4 \pi \mu L } { \ln ( 2 \kappa ) } \left( \mathbb { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \boldsymbol { p } _ { n } ^ { \prime } \right) \cdot \boldsymbol { W } _ { n } + m _ { n } \boldsymbol { g } \right] = 0
{ \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \rho ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { \rho } } \, { \frac { \partial f } { \partial \rho } } - { \frac { N ^ { 2 } f } { \rho ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial z ^ { 2 } } } + ( \omega ^ { 2 } - 1 ) f + f ^ { 2 } - B f ^ { 3 } = 0
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathbf { k } } ( t ) = } & { { } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { n } } { n ! } A _ { \alpha _ { 1 } } ( t ) \hdots A _ { \alpha _ { n } } ( t ) } \end{array}
\mathcal { V } _ { \mathrm { C } } ^ { \mathrm { L D A , \uparrow } } [ \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } ] ( { \bf x } ) = \varepsilon _ { \mathrm { C } } ^ { \mathrm { L D A } } ( \rho ^ { \uparrow } , \rho ^ { \downarrow } ) + \rho \ \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { C } } ^ { \mathrm { L D A } } } { \partial \rho ^ { \uparrow } } ,
\kappa ( \theta ) = { \frac { \left| r ^ { 2 } + 2 { r ^ { \prime } } ^ { 2 } - r \, r ^ { \prime \prime } \right| } { \left( r ^ { 2 } + { r ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } }
\begin{array} { r c l } { { u _ { \mu } } } & { { = } } & { { i \{ u ^ { \dagger } ( \partial _ { \mu } - i r _ { \mu } ) u - u ( \partial _ { \mu } - i \ell _ { \mu } ) u ^ { \dagger } \} } } \\ { { \Gamma _ { \mu } } } & { { = } } & { { \frac 1 2 \{ u ^ { \dagger } ( \partial _ { \mu } - i r _ { \mu } ) u + u ( \partial _ { \mu } - i \ell _ { \mu } ) u ^ { \dagger } \} } } \\ { { \chi _ { \pm } } } & { { = } } & { { 2 B \{ u ^ { \dagger } ( s + i p ) u ^ { \dagger } \pm u ( s + i p ) ^ { \dagger } u \} } } \\ { { \nabla _ { \mu } } } & { { = } } & { { \partial _ { \mu } + \Gamma _ { \mu } - i v _ { \mu } ^ { ( s ) } } } \\ { { } } & { { \vdots } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { x } } & { \approx } & { \frac { 8 } { 9 } ( 1 - f _ { s } ) \frac { b ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \Gamma \left( \frac { \nu - 1 } { 2 } \right) X _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 ( \nu - 3 ) \Gamma \left( \frac { \nu + 3 } { 2 } \right) } \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \mathrm { - } \frac { \Gamma \left( \frac { \nu - 1 } { 2 } \right) X _ { 0 } ^ { 4 } } { 1 6 ( \nu - 5 ) ( \nu - 3 ) \Gamma \left( \frac { \nu + 3 } { 2 } \right) } + \mathcal { O } ( ( X _ { 0 } ) ^ { 6 } ) \right) \right. } \\ & { } & { \mathrm { - } X _ { 0 } ^ { \nu + 1 } \left( \frac { \Gamma \left( - \frac { \nu - 1 } { 2 } \right) } { 2 ^ { \nu } \Gamma \left( \frac { \nu + 3 } { 2 } \right) X _ { 0 } ^ { 2 } } \right. } \\ & { } & { \left. \left. \mathrm { + } \frac { \Gamma \left( - \frac { \nu - 1 } { 2 } \right) } { 2 ^ { \nu + 1 } ( \nu + 1 ) \Gamma \left( \frac { \nu + 3 } { 2 } \right) } + \mathcal { O } ( ( X _ { 0 } ) ^ { 2 } ) \right) \right] , } \\ { \mathcal { D } _ { y } } & { \approx } & { \frac { 8 } { 9 } ( 1 - f _ { s } ) \frac { b ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \Biggl ( \left( \frac { \Gamma ( \frac { \nu - 3 } { 2 } ) } { 4 \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) } + \frac { \Gamma ( \frac { \nu - 1 } { 2 } ) } { 4 ( \nu - 3 ) \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) } \right) X _ { 0 } ^ { 2 } \right. \Biggr . } \\ & { } & { + \left. \left. \left( \frac { 1 2 \Gamma ( \frac { \nu - 3 } { 2 } ) - 2 ( \nu + 3 ) \Gamma ( \frac { \nu - 3 } { 2 } ) - \Gamma ( \frac { \nu - 1 } { 2 } ) } { 1 6 ( \nu - 3 ) ( \nu - 5 ) \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) } \right) X _ { 0 } ^ { 4 } \right. \right. } \\ & { } & { + \Biggl . \left. \mathcal { O } ( ( X _ { 0 } ) ^ { 6 } ) \Biggr ) \right. } \\ & { } & { + X _ { 0 } ^ { \nu + 1 } \Biggl ( - \frac { \Gamma ( - \frac { \nu - 1 } { 2 } ) } { 2 ^ { \nu } \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) X _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \Gamma ( - \frac { \nu - 1 } { 2 } ) } { 2 ^ { \nu + 1 } ( \nu + 1 ) \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) } \Biggr . } \\ & { } & { - \Biggl . \mathcal { O } ( ( X _ { 0 } ) ^ { 2 } ) \Biggr ) } \\ & { } & { + X _ { 0 } ^ { \nu + 2 } \left( \frac { 2 ^ { 1 - \nu } \Gamma ( \frac { 3 - \nu } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) X _ { 0 } ^ { 3 } } + \frac { \Gamma ( \frac { 3 - \nu } { 2 } ) } { 2 ^ { \nu } ( \nu - 1 ) \Gamma ( \frac { \nu + 3 } { 2 } ) X _ { 0 } } \right. } \\ & { } & { + \Biggl . \Biggl . \mathcal { O } ( ( X _ { 0 } ) ^ { 2 } ) \Biggr ) \Biggr ] . } \end{array}
U _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { { 0 } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \\ { { 0 } } & { { \sqrt { Q } } } & { { \sqrt { Q } } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sqrt { Q } } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\langle p _ { 1 } , \ldots , p _ { n } \ \mathrm { o u t } | q _ { 1 } , \ldots , q _ { m } \ \mathrm { i n } \rangle = \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left\{ - { \frac { i \left( p _ { i } ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right) } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } Z ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \right\} \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left\{ - { \frac { i \left( q _ { j } ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right) } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } Z ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \right\} \Gamma \left( p _ { 1 } , \ldots , p _ { n } ; - q _ { 1 } , \ldots , - q _ { m } \right)
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \mathrm { B P S } } ( r ) = \pm \frac { 1 } { r } \frac { d } { d r } \bigg \{ N ( a ( r ) - 1 ) \cos f ( r ) \pm \alpha \operatorname { t a n h } [ \mathrm { l n } ( r ^ { \alpha } ) ] \bigg [ 1 - \frac { 1 } { 3 } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } [ \mathrm { l n } ( r ^ { \alpha } ) ] \bigg ] \bigg \} . } \end{array}
\mathcal { L } _ { ( \bullet ) } g = \left( \begin{array} { l l } { - 2 \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { t _ { 0 } } } & { 2 \partial _ { t _ { 0 } } - \mu _ { b _ { 0 } } ^ { \prime } } \\ { \partial _ { t _ { 0 } } - \mu _ { b _ { 0 } } \partial _ { r } } & { \partial _ { r } } \\ { 2 \partial _ { r } } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 r } \end{array} \right) ;
{ \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \left( \mathbf { A } - \mathbf { B } \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { - 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \left( \mathbf { D } - \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { I } } & { - \mathbf { B } \mathbf { D } ^ { - 1 } } \\ { - \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { - 1 } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } C _ { \theta x } ( t ) } & { { } = w _ { - } \langle x _ { t } \rangle - w \, C _ { \theta x } ( t ) \, , } \\ { \partial _ { t } C _ { \theta \theta } ( t ) } & { { } = w _ { - } \, q - w \, C _ { \theta \theta } ( t ) \, . } \end{array}
\epsilon \frac { \partial f _ { i } ^ { \sigma , e q } } { \partial t _ { 1 } } + \epsilon v _ { i \alpha } \cdot \frac { \partial f _ { i } ^ { \sigma , e q } } { \partial r _ { 1 \alpha } } = - \epsilon \frac { 1 } { \tau ^ { \sigma } } f _ { i } ^ { \sigma , ( 1 ) } - \epsilon S _ { 1 i } ^ { \sigma } ,
\left\{ \begin{array} { r l } { \mathscr { M } _ { 1 } } & { : = \left( \operatorname* { s u p } _ { t \geq 1 } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 1 } ( t ) ^ { \frac 2 p } \, d t \right) ^ { \frac p 2 } , } \\ { \mathscr { M } _ { 2 } } & { : = \left( \operatorname* { s u p } _ { t \geq 1 } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 2 } ( t ) \, d t \right) ^ { p - 1 } , } \\ { \mathscr { M } _ { 3 } } & { : = \left( \operatorname* { i n f } _ { t \geq 1 } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 3 } ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } ( s ) \, d s \right) ^ { - \frac { \alpha } { \gamma } } , } \\ { \mathscr { M } _ { 4 } } & { : = \left( \operatorname* { i n f } _ { t \geq 1 } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 4 } ^ { - 1 } ( s ) \, d s \right) ^ { - 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { c } { \mathcal { I } _ { A } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } , t ) } \\ { \mathcal { I } _ { B } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } , t ) } \end{array} \right] = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \pmb { \mathcal { E } } ( ( t - \tau ) \Omega ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( j - 1 ) \beta \omega _ { 0 } \tau } \left[ \begin{array} { c } { \hat { \mathcal { N } } _ { A } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } + ( j - 1 ) \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , \tau ) } \\ { \hat { \mathcal { N } } _ { B } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } + ( j - 1 ) \alpha \mathbf { k } _ { 0 } , \tau ) } \end{array} \right] \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau ^ { ( n + 1 ) } ( i , j ) } & { { } = } \\ { \frac { 1 } { \Omega ( i , j ) } } & { { } \left[ 1 + W ^ { + 0 } ( i , j ) \thinspace \tau ^ { ( n ) } \left( i + 1 , j \right) + \thinspace W ^ { 0 + } \thinspace ( i , j ) \thinspace \tau ^ { ( n ) } \left( i , j + 1 \right) + W ^ { - 0 } \thinspace ( i , j ) \thinspace \tau ^ { ( n ) } \left( i - 1 , j \right) + W ^ { 0 - } \thinspace ( i , j ) \thinspace \tau ^ { ( n ) } ( i , j - 1 ) \right] , } \\ { i } & { { } = 0 , 1 , \dots , N q ; \thinspace j = 0 , 1 , \dots , N ( 1 - q ) , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i } ( \frac { E _ { D ^ { * * } } ^ { ( i ) } } { E _ { D } } - 1 ) \left| \xi _ { E } ^ { ( i ) } ( 1 ) \right| ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \sum _ { j } ( \frac { E _ { D ^ { * * } } ^ { ( j ) } } { E _ { D } } - 1 ) \left| \xi _ { F } ^ { ( j ) } ( 1 ) \right| ^ { 2 } \equiv \Delta \ .
\int \frac { d ^ { n } p } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \frac { 1 } { ( a p ^ { 2 } + b ) ^ { \alpha } } = \frac { ( b \pi / a ) ^ { n / 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { n } b ^ { \alpha } } B ( n / 2 , \alpha - n / 2 ) ;
\begin{array} { r l } { \left( H ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { j , k } = - \Re \left\langle \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial m _ { k } \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) , \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right\rangle } & { = - \Re \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial m _ { k } \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } ) , \mathcal { R } ( \boldsymbol { p } ) ^ { * } \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } ^ { \mathrm { D C B Q } } \Psi _ { \mathrm { C I } } ( J M ) = E _ { \mathrm { C I } } ^ { \mathrm { D C B Q } } ( J ) \Psi _ { \mathrm { C I } } ( J M ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \pi _ { ( m , n ) } \left( J _ { i } \right) \right) _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } , a b } } & { { } = \delta _ { b ^ { \prime } b } \left( J _ { i } ^ { ( m ) } \right) _ { a ^ { \prime } a } + \delta _ { a ^ { \prime } a } \left( J _ { i } ^ { ( n ) } \right) _ { b ^ { \prime } b } } \\ { \left( \pi _ { ( m , n ) } \left( K _ { i } \right) \right) _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } , a b } } & { { } = i \left( \delta _ { a ^ { \prime } a } \left( J _ { i } ^ { ( n ) } \right) _ { b ^ { \prime } b } - \delta _ { b ^ { \prime } b } \left( J _ { i } ^ { ( m ) } \right) _ { a ^ { \prime } a } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \epsilon ^ { 2 } ( \hat { \rho } - \rho ) } { 1 + \Lambda } > } & { ~ \frac { D ^ { 2 } } { 2 T \eta } + \frac { \eta M ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} \frac { \eta M ^ { 2 } } { \sqrt { T } } } \\ & { + \frac { 2 \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } M D } { \sqrt { T } } + \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 4 T / \delta ) } ( 1 + \Lambda ) . } \end{array}
\gamma _ { \star } = - \frac { 2 \left( \rho _ { \zeta , p p } \rho _ { \varepsilon , p p } + \rho _ { s p } ^ { 2 } \right) } { \rho _ { \zeta , p p } ^ { 2 } + \rho _ { \varepsilon , p p } ^ { 2 } + 2 \rho _ { s p } ^ { 2 } } \: .
\mathbf { C } \boldsymbol { \partial } _ { \lfloor a , b \rfloor } ( Q _ { \lceil b - 1 , c + 1 \rceil } ) = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } & { + 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { + 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { \vdots } & { \cdots } & { 0 } & { + 1 } & { 0 } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { + 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right]
\phi _ { e x t } ( \widetilde { \b { m } } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s } } \sum _ { r \in \mathcal { N } _ { r } ^ { s } } \Big \Vert \mathbf { d } _ { s , r } ( \mathbf { m } _ { s } ) - \mathbf { d } _ { s , r } ^ { o b s } \Big \Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \Big \Vert \big ( \mathbf { I } - \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { S } _ { w } \big ) \mathbf { W } \widetilde { \b { m } } \Big \Vert ^ { 2 } ,
c _ { n } = \frac { ( - 1 ) ^ { n ( n + 1 ) / 2 } } { x ^ { n ( n - 1 ) / 2 } ( x ^ { 2 } ; x ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { n ( n - 1 ) / 2 } } \frac { ( x ^ { 2 } ; x ^ { 4 } , x ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 n } } { ( x ^ { 8 } ; x ^ { 4 } , x ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 n } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \sin x } { x } } \, d x } & { { } \to \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \alpha x } { \frac { \sin x } { x } } d x , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { x } { \tan x } } \, d x } & { { } \to \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \tan ^ { - 1 } ( \alpha \tan x ) } { \tan x } } d x , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \ln ( 1 + x ^ { 2 } ) } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x } & { { } \to \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \ln ( 1 + \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } ) } { 1 + x ^ { 2 } } } d x } \\ { \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x - 1 } { \ln x } } \, d x } & { { } \to \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { \alpha } - 1 } { \ln x } } d x . } \end{array}
a _ { S } ^ { \dagger } ( k ) \, a _ { S } ^ { \dagger } ( k ^ { \prime } ) - q ^ { - 2 } \sum _ { l , l ^ { \prime } \in { \cal I } } { \hat { \cal R } } \left( k , k ^ { \prime } ; l , l ^ { \prime } \right) a _ { S } ^ { \dagger } ( l ) \, a _ { S } ^ { \dagger } ( l ^ { \prime } ) = 0 \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbf \Lambda _ { S } ^ { \prime \prime } } & { { } = \operatorname { d i a g } \left( \Delta y \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { x } } , \ \Delta x \Delta z \ \tilde { \mathbf I } _ { n _ { z } + 1 } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } , \ \Delta x \Delta y \ \mathbf I _ { n _ { z } } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { y } + 1 } \otimes \tilde { \mathbf I } _ { n _ { x } + 1 } \right) \, , } \\ { \mathbf \Lambda _ { l } ^ { \prime } } & { { } = \operatorname { d i a g } \left( \Delta x \ \mathbf I _ { n _ { z } } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } } \otimes \mathbf I _ { n _ { z } } , \ \Delta y \ \mathbf I _ { n _ { z } } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } } \otimes \mathbf I _ { n _ { z } } , \ \Delta z \ \mathbf I _ { n _ { z } } \otimes \mathbf I _ { n _ { y } } \otimes \mathbf I _ { n _ { z } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } [ \sigma ( \omega , t , t _ { w } ) ] } & { = \Re \Big [ \mathcal { H } \big [ \epsilon _ { a } ( \omega , t ) \big ] { G } ^ { * } ( \omega , t , t _ { w } ) \Big ] } \\ & { = \Re \big [ - i \epsilon _ { a } ( \omega , t ) { G } ^ { * } ( \omega , t , t _ { w } ) \big ] } \\ & { = \Im \big [ \epsilon _ { a } ( \omega , t ) { G } ^ { * } ( \omega , t , t _ { w } ) \big ] . } \end{array}
\frac { A ^ { + } } { A ^ { - } } = \left( \frac { C _ { \mathrm { h y b } } } { \frac { 4 \Delta _ { a } ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } + C _ { \mathrm { h y b } } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( 1 + \frac { 2 ( \Delta _ { a } + \Omega _ { m } ) } { \gamma } \right) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } = } & { - \int _ { Q _ { T } } \left[ \gamma \left( \tilde { u } _ { n } \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} - u \chi \{ | u - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} \right) \left( \partial _ { x } u \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \right] } \\ { \leq } & { C _ { 1 } ( \Omega , T ) \lVert \tilde { u } _ { n } \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} - u \chi \{ | u - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } \lVert \left( \partial _ { x } u \right) \partial _ { x } \left( \tilde { u } _ { n } - u \right) \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } } \\ { \leq } & { C _ { 2 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , \Omega , T ) \lVert \tilde { u } _ { n } \chi \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} - u \chi \{ | u - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} \rVert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) } , } \end{array}
\mathbf { X } \ \sim \ { \mathcal { N } } ( \mathbf { \mu } , { \boldsymbol { \Sigma } } ) \quad \iff \quad { \mathrm { t h e r e ~ e x i s t ~ } } \mathbf { \mu } \in \mathbb { R } ^ { k } , { \boldsymbol { A } } \in \mathbb { R } ^ { k \times \ell } { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \mathbf { X } = { \boldsymbol { A } } \mathbf { Z } + \mathbf { \mu } { \mathrm { ~ f o r ~ } } Z _ { n } \sim \ { \mathcal { N } } ( 0 , 1 ) , { \mathrm { i . i . d . } }
\sigma _ { \mathrm { N E P } } ^ { 2 } = 2 \frac { ( \mathrm { ~ N ~ E ~ P ~ } \cdot T / N h \nu _ { 0 } ) ^ { 2 } \Delta f } { \eta _ { m } \kappa _ { m } ( P _ { \mathrm { L O } } T / N h \nu _ { 0 } ) ( P _ { \mathrm { S } } T / N h \nu _ { 0 } ) } = \frac { N ^ { 2 } } { T } \frac { \mathrm { ~ N ~ E ~ P ~ } ^ { 2 } } { \eta _ { m } \kappa _ { m } \gamma P _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { t + 1 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \zeta _ { t } > 0 } \, \, \left( \left( 1 + \zeta _ { t } \right) \left( \left( 1 - 2 \alpha _ { t } m + 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } L ^ { 2 } \right) \hat { U } _ { t } + 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } G ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \delta ^ { 2 } } { \zeta _ { t } } \right) + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \zeta _ { t } } \right) \right) } \\ & { = \left( \alpha _ { t } \sqrt { c ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } G ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } L ^ { 2 } \hat { U } _ { t } } + \sqrt { \left( 1 - 2 \alpha _ { t } m + 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } L ^ { 2 } \right) \hat { U } _ { t } + 2 G ^ { 2 } \alpha _ { t } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) } ^ { \sigma _ { I _ { 1 } } ( \alpha ^ { 1 } ) } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { ( M ^ { 2 } , A ^ { 2 } , N ^ { 2 } ) } ^ { \sigma _ { I _ { 2 } } ( \alpha ^ { 2 } ) } \otimes _ { R } \cdots \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \sigma _ { I _ { n } } ( \alpha ^ { n } ) } ,
\begin{array} { r } { ( \kappa ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } ) , \boldsymbol { u } _ { h } ^ { c } - \boldsymbol { u } _ { H } ^ { c } ) _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } + ( \mu \nabla \times ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } ) , \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } ^ { c } - \boldsymbol { u } _ { H } ^ { c } ) ) _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } } \\ { + < [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] , \{ \{ \mu \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } ^ { c } - \boldsymbol { u } _ { H } ^ { c } ) \} \} > _ { \mathcal { F } _ { h } } = 0 , } \end{array}
{ \mathcal { B } } _ { M _ { B } } [ f ( Q ^ { 2 } ) ] \equiv \operatorname * { l i m } _ { \begin{array} { c } { { Q ^ { 2 } \rightarrow \infty } } \\ { { n \rightarrow \infty } } \\ { { M _ { B } \equiv \frac { Q ^ { 2 } } { n } f i x e d } } \end{array} } \left( \frac { 1 } { n ! } \right) ( Q ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } \left( - \frac { d } { d { Q ^ { 2 } } } \right) ^ { n + 1 }
\begin{array} { r l } { F _ { T + 1 } } & { \le \frac { 1 } { T ^ { 2 } m ^ { 2 } n ^ { 2 } } \left( \frac { ( F _ { 1 } + L _ { 2 , \infty } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ) \tilde { W } } { \tilde { C } _ { 3 } } + \frac { 1 1 2 L _ { 2 , \infty } ^ { 2 } ( \varsigma + \sigma ) ^ { 2 } \tilde { A } ^ { 2 } { \tilde { W } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 3 } } \right) = \tilde { O } \left( \frac { 1 } { ( m n T ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\psi ( t ) = U ( t ) \psi ( 0 ) = \mathrm { { e } } ^ { i H t } { \left( \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right) } , \qquad H = { \left( \begin{array} { l l } { M } & { \Delta } \\ { \Delta } & { M } \end{array} \right) } ,
\partial _ { i } x ^ { j } = \tilde { J _ { i } ^ { \alpha } } v _ { \alpha } x ^ { j } = \partial _ { i } ( x ^ { j } ) + \underbrace { \tilde { J _ { i } ^ { \alpha } } O _ { \alpha } { } ^ { \beta } ( x ^ { j } ) J _ { \beta } { } ^ { k } } _ { L _ { i } { } ^ { k } ( x ^ { j } ) } \partial _ { k } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \ddot { z } - k _ { \pm } ( \dot { z } ^ { 2 } + 1 ) = 0 , \, \textrm { f o r z \geq 0 } , } \\ { \ddot { z } + k _ { \pm } ( \dot { z } ^ { 2 } + 1 ) = 0 , \, \textrm { f o r z < 0 } . } \end{array} \right.
f ^ { { \cal B } { \cal D } } = \left( \frac { \mathrm { g } ^ { u } - \mathrm { g } ^ { l } } { \mathrm { g } ^ { u } + \mathrm { g } ^ { l } } - \frac { \Delta ^ { 0 } \Delta ^ { \cal D } } { { f ^ { 0 } } ^ { 2 } } \right) f ^ { { \cal B } } ,
\overline { { { g } } } _ { 0 } ^ { 2 } \, ( \varepsilon ) \, = \, g ^ { 2 } \, ( \mu ) \, \mu ^ { 2 \, \varepsilon } \, Z _ { \alpha } \, ( g ^ { 2 } \, ( \mu ) , \, \varepsilon ) \, \, ,
\Omega _ { \ensuremath { \widetilde { \Phi } } } ( \omega ) = \frac { 2 \ensuremath { \tau _ { \mathrm { d } } } } { \left[ 1 + ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } ( \ensuremath { \tau _ { \mathrm { d } } } \omega ) ^ { 2 } \right] \left[ 1 + \lambda ^ { 2 } ( \ensuremath { \tau _ { \mathrm { d } } } \omega ) ^ { 2 } \right] } ,
\frac { K } { 2 } \partial _ { s } T _ { t } = - \frac { 2 } { { d _ { t } } } \mu _ { 2 0 } ^ { ( 0 ) } T _ { t } , \quad \frac { K } { 2 } \partial _ { s } T _ { r } = - \frac { 2 } { { d _ { r } } } \mu _ { 0 2 } ^ { ( 0 ) } T _ { r } ,
C _ { 3 } = \overbrace { { \left( \frac { 3 6 0 0 \times 1 0 0 0 } { \Delta x ^ { 2 } } \right) } ^ { C _ { 4 } ^ { * } } } ^ { f _ { c } } C _ { 3 } ^ { * } , \ \ \ C _ { 4 } = C _ { 4 } ^ { * } ,
\Psi ( \vec { x } ^ { \prime } | \vec { x } , \vec { u } ) = \psi ( \vec { x } , \vec { u } ) + \vec { \xi } ( \vec { x } _ { k + 1 } - \vec { x } _ { k } ) \cdot ( \delta t ) = \frac { \partial ^ { 2 } \vec { x } } { \partial t ^ { 2 } } ( \delta t ) ^ { 2 } + \vec { \xi } ( \vec { x } _ { k + 1 } - \vec { x } _ { k } ) \cdot ( \delta t )
\left\{ \begin{array} { l l l } { { \sum _ { k = 2 } ^ { n - 2 } { \cal L } ( \frac { \sin ^ { 2 } \frac { \pi } { n } } { \sin ^ { 2 } \frac { \pi k } { n } } ) } } & { { = } } & { { ( 1 - \frac { 3 } { n } ) \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } } \\ { { \sum _ { j = 2 } ^ { n } { \cal L } ( \frac { 1 } { j ^ { 2 } } ) } } & { { = } } & { { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } - 2 { \cal L } ( \frac { 1 } { n + 1 } ) } } \\ { { { \cal L } ( x ) + { \cal L } ( 1 - x ) } } & { { = } } & { { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( F _ { p p } ) ^ { \beta \alpha } } & { = 2 \epsilon s \mathrm { I m } \left( \frac { \partial m _ { \gamma } } { \partial p _ { \alpha } } \frac { \partial \bar { m } ^ { \gamma } } { \partial p _ { \beta } } \right) , } \\ { ( F _ { x x } ) _ { \beta \alpha } } & { = 2 \epsilon s \mathrm { I m } \left( \nabla _ { \alpha } m _ { \gamma } \nabla _ { \beta } \bar { m } ^ { \gamma } + m _ { \gamma } \nabla _ { [ \alpha } \nabla _ { \beta ] } \bar { m } ^ { \gamma } \right) , } \\ { ( F _ { p x } ) _ { \alpha } ^ { \beta } } & { = - ( F _ { x p } ) ^ { \beta } _ { \alpha } = 2 \epsilon s \mathrm { I m } \left( \frac { \partial m _ { \gamma } } { \partial p _ { \beta } } \nabla _ { \alpha } \bar { m } ^ { \gamma } \right) . } \end{array}