harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { y _ { 0 } ( \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \bar { y } ( \xi ) , } & { 0 < \xi \leq 4 + 2 \pi ^ { 2 } , } \\ { \xi - 2 \pi ^ { 2 } , } & { 4 + 2 \pi ^ { 2 } < \xi , } \end{array} \right. } \\ { U _ { 0 } ( \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) , } & { 0 < \xi \leq 4 + 2 \pi ^ { 2 } , } \\ { 1 , } & { 4 + 2 \pi ^ { 2 } < \xi , } \end{array} \right. } \\ { V _ { 0 } ( \xi ) } & { = H _ { 0 } ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \frac { \pi } { 4 } ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) ) } & { 0 < \xi \leq 4 + 2 \pi ^ { 2 } , } \\ { 2 \pi ^ { 2 } , } & { 4 + 2 \pi ^ { 2 } < \xi , } \end{array} \right. } \end{array}
\left\| f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \kappa _ { d } } ( \mathbb { T } _ { L } ) } \leq \varepsilon L \left\| \nabla f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \lambda _ { d } ^ { \prime } } ( \mathbb { T } _ { L } ) } + C \varepsilon ^ { - \frac { \theta _ { d } } { 1 - \theta _ { d } } } \left\| f \right\| _ { \underline { { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { T } _ { L } ) } .
\begin{array} { r } { \Psi _ { 1 } ( k ) = \frac { c o s ( k \Delta x ) f ( x _ { c } + k \Delta x ) } { | | c o s ( k \Delta x ) f ( x _ { c } + k \Delta x ) | | } , } \\ { \Psi _ { 2 } ( k ) = \frac { s i n ( k \Delta x ) f ( x _ { c } + k \Delta x ) } { | | s i n ( k \Delta x ) f ( x _ { c } + k \Delta x ) | | } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { j } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \left[ \log \left( p _ { t _ { i } } ^ { { t _ { j } } \, , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } | \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) \right) \right] . } \end{array}
e ^ { \lambda \overline { { T } } ( \alpha ) } ( J ( s _ { 0 } , c ) - J ( s _ { 0 } , \alpha ) ) \geqslant - \lambda ^ { - 1 } ( 1 + L ( c ) ) e ^ { - \lambda ( T _ { 1 } - \overline { { T } } ) } + \int _ { \overline { { T } } ( \alpha ) } ^ { T _ { 1 } ( \alpha ) } e ^ { - \lambda ( t - \overline { { T } } ( \alpha ) ) } \Bigl ( \widetilde { \Theta } ( s ^ { \alpha } ( t ) ) - { \Theta } ( s ^ { \alpha } ( t ) ) \Bigr ) \, d t .
H _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 1 } { 2 } p _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } p _ { \theta } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } p _ { z } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { 2 } r ^ { 2 } + \xi \Big [ p _ { z } + g p _ { \theta } \Big ] + F ( \xi ) p _ { \xi } - F ^ { \prime } ( \xi ) { \cal P } _ { 1 } \eta ^ { 1 } - { \cal P } _ { 2 } \eta ^ { 1 } \ \ \ ,
C _ { a } ( t ) = \mathrm { T r } \left\lbrace \hat { \mu } _ { \mathrm { e f f } } \, { e } ^ { - i \hat { H } t / \hbar } \big ( \hat { \sigma } _ { \mathrm { a } } { | } \mathrm { g } \rangle \langle { \mathrm { g } } | \otimes \hat { \rho } _ { \mathrm { B } } \big ) e ^ { i \hat { H } t / \hbar } \right\rbrace .
\begin{array} { r l } { i \frac { d } { d t } \rho ( t ) = } & { \big [ F [ \rho ( t _ { 0 } ) ] + \Delta H + v ^ { H } [ \delta \rho ( t ) ] + v ^ { x } [ \delta \rho ( t ) ] , \rho ( t ) \big ] } \\ & { + \Sigma ^ { \mathrm { a d } } [ \delta \rho ( t ) ] \rho ( t ) - \rho ( t ) \Sigma ^ { \mathrm { a d \dag } } [ \delta \rho ( t ) ] ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { t r } _ { \mathcal K } \big ( U ( | x \rangle \langle y | \otimes | \psi \rangle \langle \psi | ) U ^ { * } \big ) } & { = \operatorname { t r } _ { \ell ^ { 2 } ( J ) \otimes \mathbb C ^ { 2 } } \big ( | U ( x \otimes e _ { j _ { 0 } } \otimes e _ { 1 } ) \rangle \langle U ( y \otimes e _ { j _ { 0 } } \otimes e _ { 1 } ) | \big ) } \\ & { = \operatorname { t r } _ { \ell ^ { 2 } ( J ) \otimes \mathbb C ^ { 2 } } \big ( | V _ { 0 } ( x \otimes e _ { j _ { 0 } } ) \rangle \langle V _ { 0 } ( y \otimes e _ { j _ { 0 } } ) | \otimes | e _ { 1 } \rangle \langle e _ { 1 } | \big ) } \\ & { = \operatorname { t r } _ { \ell ^ { 2 } ( J ) } \Big ( \Big | \sum _ { j \in J } K _ { j } x \otimes e _ { j } \Big \rangle \Big \langle \sum _ { j ^ { \prime } \in J } K _ { j ^ { \prime } } y \otimes e _ { j ^ { \prime } } \Big | \Big ) } \\ & { = \sum _ { j , j ^ { \prime } \in J } \operatorname { t r } _ { \ell ^ { 2 } ( J ) } \big ( | K _ { j } x \rangle \langle K _ { j ^ { \prime } } y | \otimes | e _ { j } \rangle \langle e _ { j ^ { \prime } } | \big ) } \\ & { = \sum _ { j , j ^ { \prime } \in J } K _ { j } | x \rangle \langle y | K _ { j ^ { \prime } } ^ { * } \langle e _ { j ^ { \prime } } , e _ { j } \rangle = \sum _ { j \in J } K _ { j } | x \rangle \langle y | K _ { j } ^ { * } = \Phi ( | x \rangle \langle y | ) \, . } \end{array}
\mathcal { Q } _ { l l ^ { \prime } } ( \vartheta ) = - \mathbb { E } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { L } ( w _ { 1 : K } | \vartheta ) } { \partial \vartheta _ { l } \vartheta _ { l ^ { \prime } } } \Bigg | _ { \hat { \vartheta } } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i \in [ n ] } C _ { i } ^ { + } ( \hat { T } _ { i } ) } & { \leq } & { \sum _ { i \in [ n ] } C _ { i } ^ { + } ( T _ { i } ^ { * } ) } \\ & { = } & { \sum _ { i \in [ n ] } \left( \frac { K _ { 0 } + K _ { i } } { T _ { i } ^ { * } } + H _ { i } T _ { i } ^ { * } \right) } \\ & { \leq } & { \frac { n K _ { 0 } } { T _ { \operatorname* { m i n } } ^ { * } } + \sum _ { i \in [ n ] } C _ { i } ( T _ { i } ^ { * } ) } \\ & { \leq } & { \epsilon \cdot \widetilde { \mathrm { O P T } } + F ( T ^ { * } ) } \\ & { \leq } & { ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot F ( T ^ { * } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathsf { E } _ { 2 B } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { C } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } - \mathsf { P } ^ { \mathcal { L } } - \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } } \\ { - \mathsf { P } ^ { \mathcal { C } } - \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { L } } + \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\frac { K _ { b } ^ { \pm } ( \theta ) } { K _ { f } ^ { \pm } ( \theta ) } = \frac { \cosh ( \frac { \theta } { 2 } \pm \frac { i \pi } { 4 } ) } { \cosh ( \frac { \theta } { 2 } \mp \frac { i \pi } { 4 } ) } = \frac { 1 \pm i \sinh \theta } { \cosh \theta } ,
i \hbar { \frac { \partial \psi ( { \vec { r } } ) } { \partial t } } = \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 m } } + V ( { \vec { r } } ) + U _ { 0 } | \psi ( { \vec { r } } ) | ^ { 2 } \right) \psi ( { \vec { r } } )
\left\{ \begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { + \frac { 1 } { 1 - 2 \nu } \nabla ( \nabla \cdot \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) ) + \frac { 1 } { G } \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) = 0 } & { i n \quad \Omega , } \\ { \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \bar { \boldsymbol { u } } ( \boldsymbol { x } ) } & { o n \quad \Gamma _ { u } , } \\ { \boldsymbol { t } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \bar { \boldsymbol { t } } ( \boldsymbol { x } ) } & { o n \quad \Gamma _ { t } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \textbf { Z h a ' s ~ j o i n t ~ b i g i a g o n a l i z a t i o n ~ o f } \ ~ \{ A , B \} ~ } } \\ & { \mathrm { C h o o s e ~ n o n z e r o } \ s \in \mathbb { R } ^ { n } , \mathrm { s e t } \ \tilde { v } _ { 1 } = C s / \| C s \| } \\ & { \mathrm { f o r } \ \ i = 1 , 2 , \dots , k } \\ & { \ \ \ \ \ \ \alpha _ { i } u _ { i } = \tilde { v } _ { i } ( 1 : m ) - \beta _ { i - 1 } u _ { i - 1 } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \beta _ { i } \tilde { v } _ { i + 1 } = Q Q ^ { T } \left( \begin{array} { l } { u _ { i } } \\ { 0 _ { p } } \end{array} \right) - \alpha _ { i } \tilde { v } _ { i } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \hat { \alpha } _ { i } \hat { u } _ { i } = ( - 1 ) ^ { i - 1 } \tilde { v } _ { i } ( m + 1 : m + p ) - \hat { \beta } _ { i - 1 } \hat { u } _ { i - 1 } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \hat { \beta } _ { i } = ( \alpha _ { i } \beta _ { i } ) / \hat { \alpha } _ { i } } \\ & { \mathrm { e n d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ , ~ x ~ } } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) v _ { \mathrm { ~ S ~ x ~ } } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } ) + ( 1 - \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) ) v _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { n _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } { \eta + n _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } } \end{array}
( m _ { \pi ^ { \pm } } ^ { 2 } ) _ { E M } = i { \frac { e ^ { 2 } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } ( D - 1 ) m _ { \rho } ^ { 4 } { \frac { { ( F ^ { 2 } + { \frac { k ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } ) } } { { k ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } [ 1 + { \frac { \gamma ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } } { \frac { { F ^ { 2 } + { \frac { k ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } } } { { k ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } } } } ]
^ { ( 0 ) } _ { \psi , T , R } \langle D p , f , \eta _ { 1 } | D p , f , \eta _ { 2 } \rangle _ { \psi , T , R } ^ { ( 0 ) } = \operatorname * { l i m } _ { x \to 1 } \; _ { \psi , T , R } ^ { ( 0 ) } \langle D p , f , \eta _ { 1 } | x ^ { 2 ( F _ { 0 } + G _ { 0 } ) } | D p , f , \eta _ { 2 } \rangle _ { \psi , T , R } ^ { ( 0 ) }
\begin{array} { r } { \mathcal { \widetilde { H } } _ { \nabla } ( y ; k _ { x } , k _ { z } , \omega \! ) \! : = \! \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \! \boldsymbol { \widehat { \nabla } } , \boldsymbol { \widehat { \nabla } } , \boldsymbol { \widehat { \nabla } } \right) \! \! \mathcal { H } ( y ; k _ { x } , k _ { z } , \omega ) \boldsymbol { P } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { \hat { s } } } _ { [ n ] } } & { { } = } & { [ { \mathbf I } + \tau ( { \bf D } _ { [ n ] } - m _ { n } { \mathbf I } ) ^ { 2 } ] ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { \tilde { s } } } _ { [ n ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Lambda _ { \beta } } & { \to \Lambda _ { \beta } - \pounds _ { \beta } \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } } & { \to \Lambda _ { \beta } ^ { \ell } - \pounds _ { \beta } \lambda , } \\ { \phi } & { \to \phi - c _ { \phi } \, \mathrm { d } \lambda , \qquad } & { \varphi _ { \ell } } & { \to \varphi _ { \ell } - \iota _ { \beta } \lambda . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \int d t \, d ^ { 3 } x h _ { \mu } ^ { \nu } T _ { \nu } ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 } \int d t \, d ^ { 3 } x \left( H _ { t t } ^ { 0 } T ^ { t t } + \frac { 1 } { 2 } H _ { a a } ^ { 0 } T ^ { a a } + H _ { z z } ^ { 0 } T ^ { z z } + 2 H _ { t z } ^ { 0 } T ^ { t z } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { N } ^ { j } ( \boldsymbol { X } ) Z \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \leq \frac { C } { | \boldsymbol { X } | _ { * } } \Big ( 1 + \Big ( \frac { \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } { | \boldsymbol { X } _ { * } | } \Big ) ^ { 2 } \Big ) \| Z \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\frac { D q _ { v s } } { D t } = \frac { D } { D t } \left( \frac { \rho _ { v s } } { \rho } \right) = \frac { D } { D t } \left( \frac { \epsilon e _ { s } } { p } \right) = \frac { \epsilon } { p } \frac { D e _ { s } } { D t } - \frac { \epsilon e _ { s } } { p ^ { 2 } } \frac { D p } { D t } = \frac { \epsilon } { p } \frac { d e _ { s } } { d T } \frac { D T } { D t } - \frac { \epsilon e _ { s } } { p ^ { 2 } } \frac { D p } { D t } ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathrm { S M } } ( \Delta t ) } & { { } = \phi _ { A } ( \frac { 1 } { 2 } \Delta t ) \circ \phi _ { B } ( \Delta t ) \circ \phi _ { A } ( \frac { 1 } { 2 } \Delta t ) = \phi ( \Delta t ) + \mathcal { O } ( \Delta t ^ { 3 } ) . } \end{array}
\mathbb { D } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ } } ( R _ { \ell } ) = \left( \begin{array} { l l } { J _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { H _ { \nu } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \\ { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } J _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } & { \frac { 1 } { \eta _ { \ell } } H _ { \nu } ^ { \prime } ( k _ { \ell } R _ { \ell } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { s _ { p - } } & { { } = e ^ { i \phi } ( s _ { i + } - \sqrt { \kappa } e ^ { - i \theta } a ) , } \\ { s _ { d - } } & { { } = e ^ { i \phi } ( s _ { a + } - \sqrt { \kappa } e ^ { - i \theta } a ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } - k ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \bigg ) \hat { A } _ { \varphi } + \frac { \alpha _ { 0 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } } \omega { \pi } \frac { \partial \theta } { \partial r } \hat { A } _ { z } + \frac { \mu _ { r } } { r } \frac { \partial \mu _ { r } ^ { - 1 } } { \partial r } \frac { \partial ( r \hat { A } _ { \varphi } ) } { \partial r } } & { = } & { 0 , } \\ { \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } - k ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \bigg ) \hat { A } _ { z } - \frac { \alpha _ { 0 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \omega } { \pi } \frac { \partial \theta } { \partial r } \hat { A } _ { \varphi } + \mu _ { r } \frac { \partial \mu _ { r } ^ { - 1 } } { \partial r } \frac { \partial \hat { A } _ { z } } { \partial r } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { m } \left( x \right) } & { { } = } & { n _ { m } ~ H _ { m } \left( \frac { \sqrt { 2 } x } { w _ { 0 , m } } \right) e ^ { - \left( \frac { x } { w _ { 0 , m } } \right) ^ { 2 } } , } \\ { n _ { m } } & { { } = } & { \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \left( 2 ^ { m } m ! w _ { 0 , m } \right) ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
F _ { \pi } ( T , V _ { \pi } ) = \frac { 3 T V _ { \pi } } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k ^ { 2 } \, \ln ( 1 - e ^ { - \sqrt { m _ { \pi } ^ { 2 } + k ^ { 2 } } / T } ) ,
\begin{array} { r l r } { { \sf R } } & { { } = } & { | { \cal R } _ { \alpha } + { \cal R } _ { \beta } e ^ { i k L } | ^ { 2 } } \\ { { \sf T } } & { { } = } & { | 1 + { \cal R } _ { \alpha } + { \cal R } _ { \beta } e ^ { - i k L } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( q \right) = \frac { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left( \varepsilon _ { \perp } \varepsilon _ { \parallel } ^ { * } \right) \cos \theta \sin \theta } { \left| \varepsilon _ { \perp } \cos ^ { 2 } \theta + \varepsilon _ { \parallel } \sin ^ { 2 } \theta \right| ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { \pm } ( d _ { F D } = H ^ { + } ) = 2 P ^ { \pm } ( d _ { 1 } = H ^ { + } ) \sum _ { t _ { 1 } \in \mathbb { N } } } & { { } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } P ^ { \pm } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } = T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { D } d ^ { 2 } x } & { { } = 2 n \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { n } } \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \cos ( \frac { \pi } { n } ) \sec \theta } d \theta r d r } \end{array}
( \partial _ { x _ { \perp } } ^ { 2 } + \partial _ { w } ^ { 2 } ) H _ { B } ( x _ { \perp } , w , z _ { a } ) + H _ { A } ( x _ { \perp } ) \partial _ { z _ { a } } ^ { 2 } H _ { B } ( x _ { \perp } , w , z _ { a } ) = q _ { B } \delta ( x _ { \perp } , x _ { \perp 0 } ) \delta ( w , w _ { 0 } ) \delta ( z _ { a } , z _ { a 0 } ) ,
\delta ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) \equiv \frac { \langle | S ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) - S _ { \mathrm { c o n v . } } ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) | ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { a n g . } } } { \langle | S ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) | ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { a n g . } } }
\widetilde { Z } _ { d } \; = \; \int d { \bf z } \exp \left\{ - { \frac { N } { 2 } } \left[ { \frac { z ^ { 2 } } { \beta } } - d \left( \sqrt { 1 + 4 z ^ { 2 } } - 1 - \ln \left( { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { 1 + 4 z ^ { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right) + \beta d \right] \right\} \; .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l c r } { E _ { m 1 } ( \rho ) = 0 } & { \mathrm { ~ } } & { 0 < \rho \leq \rho _ { m } } \\ { E _ { m 2 } ( \rho ) = B _ { m } J _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) + C _ { m } N _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) } & { \mathrm { ~ } } & { \rho _ { m } < \rho \leq \rho _ { c } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a ( \phi , t ) } & { { } = - \frac { \kappa } { 2 } a + i \sum _ { \mu } D _ { \mathrm { i n t } } ( \mu ) A ( \mu , t ) \mathrm { e } ^ { i \phi \mu } + i \gamma L | a | ^ { 2 } a } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 0 | 2 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) \left( L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { = d _ { 0 | 2 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) \left( L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 3 } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } \\ { + d _ { 1 | 2 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, 0 } ^ { ( 1 ) } \left( L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { + d _ { 2 | 2 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } \left( L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } \\ & { + d _ { 3 | 2 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, 2 } ^ { ( 1 ) } \left( L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } \end{array}
B \approx f ( \mu _ { X } , \mu _ { Y } ; \{ \mu _ { V _ { i } } \} ) + \frac { \partial \beta } { \partial x } ( X - \mu _ { X } ) + \frac { \partial \beta } { \partial y } ( Y - \mu _ { Y } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { \partial \beta } { \partial V _ { i } } ( V _ { i } - \mu _ { V _ { i } } ) ,
J _ { c } \mathrm { = } \frac { e t { \mu } _ { 0 } M _ { s } H _ { K } } { { \theta } _ { S H } \mathrm { \hslash } } \frac { \mathrm { 4 } \alpha } { \sqrt { s i n ^ { \mathrm { 2 } } \beta \mathrm { + 1 6 } { \alpha } ^ { \mathrm { 2 } } c o s ^ { \mathrm { 2 } } \beta } \mathrm { + } s i n \beta }
\mathcal { I } _ { \mathrm { g a t e } } ^ { ( i ) } = 1 - \left| \frac { \operatorname { T r } \left( U _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ g ~ e ~ t ~ } } ^ { \dagger } U ^ { ( i ) } \right) } { \operatorname { T r } \left( U _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ g ~ e ~ t ~ } } ^ { \dagger } U _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ g ~ e ~ t ~ } } \right) } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } } & { { } = \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { i } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { j } \; \phi _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { i } ) \phi _ { \textsc { p } _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { i } ) v _ { i j } \phi _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { j } ) \phi _ { \textsc { q } _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { j } ) . } \end{array}
d s _ { E } ^ { 2 } = \breve { g } _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = ( 1 + r ^ { 2 } \breve { \Omega } ^ { 2 } ) d \tau ^ { 2 } - 2 \breve { \Omega } r ^ { 2 } d \tau d \tilde { \varphi } + r ^ { 2 } d \tilde { \varphi } ^ { 2 } + d r ^ { 2 } + d z ^ { 2 } ~ .
\eta _ { \mathrm { p s n } } ~ { \approx } ~ \frac { \sqrt { 3 } \, \xi } { \epsilon \, \sqrt { \delta } } \frac { 1 } { 4 \, \gamma _ { \mathrm { n v } } \, C \sqrt { n _ { \mathrm { n v } } \, V _ { \mathrm { s e n } } \, \phi \, \tau _ { \mathrm { t o t } } } } .
4 { \cal M } _ { f } + 2 { \cal M } _ { h } = - { \frac { m _ { e } \alpha ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } \sigma _ { 1 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \int _ { 0 } ^ { \infty } d z { \frac { 4 z ^ { 2 } y x ( 1 - x ) \theta } { ( 4 z ^ { 2 } y x ( 1 - x ) + \theta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } e ^ { - y z M ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r } { Q ( \widehat { L } | \widehat { L } _ { 0 } ) : = \lambda \int _ { - \infty } ^ { t } d t _ { 0 } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = - \lambda \int _ { \infty } ^ { 0 } d s P ( \widehat { L } , s | \widehat { L } _ { 0 } , 0 ) = Q ( \widehat { L } , \infty | \widehat { L } _ { 0 } , 0 ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( I _ { q } ( c _ { 1 } \cdot c _ { 2 } ) ) ( \Psi ) = \sum _ { \Psi _ { 1 } \Psi _ { 2 } = \vartheta ( \Psi ) } c _ { 1 } ( \Psi _ { 1 } ) c _ { 2 } ( \Psi _ { 2 } ) = \sum _ { \Psi _ { 1 } \Psi _ { 2 } { = } \Psi } c _ { 1 } ( \vartheta ( \Psi _ { 1 } ) ) c _ { 2 } ( \vartheta ( \Psi _ { 2 } ) ) = ( I _ { q } ( c _ { 1 } ) \cdot I _ { q } ( c _ { 2 } ) ) ( \Psi ) } \end{array}
\left\langle { { \xi } \left\vert { \xi ^ { \prime } } \right\rangle } \right. = { \frac { \left( { 1 - { \vert \xi \vert } ^ { 2 } } \right) ^ { K } \left( { 1 - { \vert \xi ^ { \prime } \vert } ^ { 2 } } \right) ^ { K } } { \left( { 1 - \xi ^ { * } \xi ^ { \prime } } \right) ^ { 2 K } } } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { p _ { i j } ^ { n + 1 } - p _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - c ^ { 2 } \left( \frac { \langle u _ { i + 1 } ^ { n } \rangle _ { j } - \langle u _ { i - 1 } ^ { n } \rangle _ { j } } { 2 \Delta x } + \frac { \langle v _ { \cdot , j + 1 } ^ { n } \rangle _ { i } - \langle v _ { \cdot , j - 1 } ^ { n } \rangle _ { i } } { 2 \Delta y } \right) } \\ { \frac { v _ { i j } ^ { n + 1 } - v _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { \langle p _ { \cdot , j + 1 } ^ { n + 1 } \rangle _ { i } - \langle p _ { \cdot , j - 1 } ^ { n + 1 } \rangle _ { i } } { 2 \Delta y } } \\ { \frac { u _ { i j } ^ { n + 1 } - u _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { \langle p _ { i + 1 } ^ { n + 1 } \rangle _ { j } - \langle p _ { i - 1 } ^ { n + 1 } \rangle _ { j } } { 2 \Delta x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu ^ { \prime } = \frac { 4 p ^ { 2 } } { z _ { R } ^ { 2 } } \ , \ \eta ^ { \prime } = \frac { 8 p ^ { 2 } ( p + 1 ) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } z _ { R } ^ { 2 } } \ , \ \chi ^ { \prime } = \frac { 4 p ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { p _ { + } = R \rho \theta - \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle > 0 , } \\ { p _ { - } = - \Big ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } + \frac { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } { c _ { V } \rho \theta } \Delta _ { * } ^ { 2 } \Big ) \leqslant 0 . } \end{array} } \end{array}
f _ { \{ p _ { m } \} } ( \Delta _ { 2 } ) \equiv \frac { ( p _ { 1 } - 1 ) \Delta _ { 2 } - \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } p _ { m } p _ { m + 1 } + p _ { 3 } } { \Delta _ { 2 } - p _ { 2 } + 1 } ,
\begin{array} { c l } { \displaystyle b _ { 1 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 3 2 \pi } \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { N } { S _ { i } \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \left( 2 \cot { 3 \pi \nu _ { x } } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \right. } } } \end{array}
\operatorname* { d e t } M = t ^ { 2 } - \left( \frac { 3 a } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 1 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 2 } } } { { u _ { 1 } } ^ { 3 } } \right) } } + \frac { b } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 2 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 1 } } } { { u _ { 2 } } } \right) } } \right) t + \frac { a b } { 4 { u _ { 1 } u _ { 2 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 2 } } } { { u _ { 1 } } ^ { 3 } } \right) \log \left( \frac { { u _ { 1 } } } { { u _ { 2 } } } \right) } } = 0 \, , \quad a , b = \pm \, .