harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
N _ { o p } | \Psi _ { \{ n _ { i } \} } \rangle = N _ { o p } | n _ { 1 } , n _ { 2 } , \dots , n _ { i } , \dots \rangle = N | n _ { 1 } , n _ { 2 } , \dots , n _ { i } , \dots \rangle \; \; \mathrm { w i t h } \; \; N = \sum _ { i } n _ { i }
g _ { j } ^ { [ q ] } = \ln \sum _ { m = 1 } ^ { M } s _ { m } ^ { [ q ] } \exp \left( - \sum _ { k = 1 } ^ { K } b _ { k m } x _ { j k } \right) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ 1 ~ \le ~ j ~ \le ~ J ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \mathrm { s h } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( f ( x ) , f ( y ) ) } { 2 } } & { \leq \eta _ { K , 2 } \left( \mathrm { s h } ^ { 2 } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \lambda ( K ) ^ { 1 / 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \left( \mathrm { s h } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } { 2 } \right) ^ { K } , \left( \mathrm { s h } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } { 2 } \right) ^ { 1 / K } \right\} . } \end{array}
\nabla \times \left[ \frac { 1 } { \mu } ( \boldsymbol { r } ) \nabla \times \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } ) \right] - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \tilde { \varepsilon } ( \boldsymbol { r } ) \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } ) = 0 ,
u _ { \tau } = c k _ { t } ^ { 1 / 2 } , \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \qquad k _ { t } = \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { u _ { x } ^ { \prime } u _ { x } ^ { \prime } } } + \overline { { u _ { y } ^ { \prime } u _ { y } ^ { \prime } } } + \overline { { u _ { z } ^ { \prime } u _ { z } ^ { \prime } } } \right) .
\begin{array} { r l } { { \mathcal H } _ { q } ^ { t w } ( { \mathcal C } _ { 2 } ( { \mathcal P } ) ) \xrightarrow { \cong } } & { \tilde { { \mathcal H } } _ { q } ^ { * } ( { \mathcal C } _ { 2 } ( { \mathcal P } ) ) \xrightarrow \cong { \mathbb C } \otimes _ { { \mathcal Z } } { \mathcal K } ^ { s s , * } . } \\ { a _ { M _ { \bullet } } u _ { [ M _ { \bullet } ] } \mapsto } & { \ \ \ \ 1 _ { { \mathcal O } _ { M _ { \bullet } } } ^ { * } \ \ \ \mapsto \ \ \chi ^ { * } ( 1 _ { { \mathcal O } _ { M _ { \bullet } } } ^ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { T } ( \alpha , \beta , \gamma ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \langle a _ { \alpha } a ^ { \beta * } a _ { \gamma } \rangle \varphi _ { \gamma } ^ { j } \nabla _ { j } ( \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { \beta } ^ { i * } ) } \end{array}
p _ { t o t , t } = p _ { t o t , t } ^ { e } + p _ { t o t , t } ^ { i } = 2 n _ { t } T _ { t } + m _ { i } n _ { t } v _ { \parallel , t } ^ { 2 } = 2 n _ { t } T _ { t } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \sigma _ { ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha } ( \omega ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \hslash \omega } \int [ d \mathbf { k } ] } & { { } \Bigg \{ \sum _ { a b } f _ { a b } \frac { v _ { a b } ^ { \mu } \dot { Q } _ { b a } ^ { \nu \alpha } + \dot { Q } _ { a b } ^ { \nu \mu } v _ { b a } ^ { \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b a } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { x } ^ { i } = - ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - 1 } \big [ \hat { r } _ { 3 } ^ { i } + G _ { u } ^ { i } p _ { u } \big ] } \\ & { p _ { y } ^ { i } = - ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - \top } \big [ \hat { r } _ { 1 } ^ { i } + K _ { x _ { i } x _ { i } } p _ { x } ^ { i } + K _ { x _ { i } u } p _ { u } \big ] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { \approx \delta S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \bigg ( 1 - \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } I ( t _ { e n d } < t _ { e } ) d t \bigg ) } \\ { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { \approx \delta S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \bigg ( 1 - \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) ( t _ { e } - t _ { e n d } ) \bigg ) } \end{array}
\sum _ { n \neq 0 } n \left[ N _ { n } + \widetilde { N } _ { n } + \sum _ { I = 3 } ^ { 8 } N _ { n } ^ { ( I ) } + \sum _ { b = 1 } ^ { 8 } F _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \frac { \sqrt { f } } { l _ { s } } m R _ { T } ( \tilde { a } _ { 0 } ^ { \dagger } + \tilde { a } _ { 0 } ) ~ .
\begin{array} { r l } { N \otimes M } & { \cong \bigoplus _ { i \in \mathbb { N } } N \otimes R [ \frac { 1 } { x _ { i } } ] } \\ & { \cong \bigoplus _ { i \in \mathbb { N } } \big ( N ^ { \prime } \otimes _ { R _ { J } } R \otimes _ { R } R [ \frac { 1 } { x _ { i } } ] \big ) } \\ & { \cong \bigoplus _ { i \in \mathbb { N } } \big ( N ^ { \prime } \otimes _ { R _ { J } } R [ \frac { 1 } { x _ { i } } ] \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { B } _ { x } } & { { } \propto } & { P _ { \perp 1 } + P _ { \perp 2 } , } \\ { \widetilde { B } _ { y } } & { { } \propto } & { i ( P _ { \perp 2 } - P _ { \perp 1 } ) . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { 1 5 } & { 1 7 } \\ { 2 0 } & { 9 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 7 } \\ { 8 } \end{array} \right) } \equiv { \left( \begin{array} { l } { 7 } \\ { 4 } \end{array} \right) } { \pmod { 2 6 } } ,
\begin{array} { r l r } { G ( t , \tau ) } & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { i } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { i ! } { j ! ( i - j ) ! } t ^ { j } \tau ^ { i } } \\ & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! } \frac { ( k + j ) ! } { j ! k ! } t ^ { j } \tau ^ { k + j } , } \end{array}
{ \frac { R _ { e ^ { + } e ^ { - } } ( s ) } { 3 \sum e _ { q } ^ { 2 } } } ~ { \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x F _ { 3 } ^ { \nu p } ( x , Q ^ { 2 } ) + F _ { 3 } ^ { \bar { \nu } p } ( x , Q ^ { 2 } ) } { 6 } } = 1 + \Delta \beta _ { 0 } \widehat a ^ { 3 } ,
V _ { e f \/ f } ( \phi ) \, = \, \frac { S _ { e f f } } { ( v o l . ) } \, = \, \frac { N _ { c } } { 8 \pi ^ { 2 } } \left\{ \frac { \Lambda ^ { 4 } } { 2 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } - \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } + \phi ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) - \frac { \phi ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \phi ^ { 4 } } { 2 } \ln \frac { \Lambda ^ { 2 } + \phi ^ { 2 } } { \phi ^ { 2 } } + \frac { 8 \pi ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } \, \phi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , q _ { \epsilon } D _ { \epsilon } \right\rangle - \left\langle \gamma , f + Z _ { \epsilon } ^ { \prime } + \mathring { Z } _ { \epsilon } \right\rangle } & { { } = 0 , \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle \gamma , \mathring { Z } _ { \epsilon } \right\rangle - \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u _ { \epsilon } \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathring { \mathbb { V } } _ { h } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Delta \mathbf { X } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } ; t _ { 0 } ) } { 2 t _ { 0 } } \sim - \frac { 1 } { 8 t _ { 0 } } \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } A ( t ) ^ { 2 } \, d t \left[ \mathbf { e } _ { x } \left( \frac { 1 } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 2 } } - \frac { 2 X _ { 0 } ^ { 2 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) + \mathbf { e } _ { y } \left( - \frac { 2 X _ { 0 } Y _ { 0 } } { \vert \mathbf { X } _ { 0 } \vert ^ { 4 } } \right) \right] , } \end{array}
\Gamma _ { \textrm { e P I E } } = \textrm { d i a g } \left[ \left( \frac { \operatorname* { m a x } \left( \left| P \right| ^ { 2 } \right) } { \alpha } - \frac { \left| P \right| ^ { 2 } } { \alpha } \right) ^ { 1 / 2 } \right] .
\scriptstyle \left. { \begin{array} { l } { \scriptstyle { \mathrm { t e r m } } \, - \, { \mathrm { t e r m } } } \\ { \scriptstyle { \mathrm { m i n u e n d } } \, - \, { \mathrm { s u b t r a h e n d } } } \end{array} } \right\} \, =
\begin{array} { r l r } { \langle ( x ( t ) - \mu ) ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } } & { = } & { \frac { \Gamma ( 1 + 2 H ) ^ { 2 } } { \Gamma ( 1 + 2 H \alpha ) ^ { 2 } } t ^ { 4 H \alpha } + \left( \frac { 4 \Gamma ( 1 + 2 H ) v ^ { 2 } } { \Gamma ( 1 + 2 H \alpha ) \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) } - \frac { 2 \Gamma ( 1 + 2 H ) v ^ { 2 } } { \Gamma ( 1 + 2 H \alpha ) \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } \right) t ^ { 2 H \alpha + 2 \alpha } } \\ & { } & { + \left( \frac { 4 v ^ { 4 } } { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) ^ { 2 } } - \frac { 4 v ^ { 4 } } { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } + \frac { v ^ { 4 } } { \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 4 } } \right) t ^ { 4 \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { n } ( \delta \beta ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \boldsymbol { n } ( \ast d \ast \beta ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast \mathrm { t r } ( d \ast \beta ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \mathrm { t r } ( \ast \beta ) = 0 , } \\ & { \boldsymbol { n } ( \alpha ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast \mathrm { t r } ( \ast \alpha ) = 0 . } \end{array}
W _ { \nu \mu } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } } = \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \vec { k } \cdot \vec { L } } \left( c _ { \nu i } ^ { \sigma , \vec { k } } ~ \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } ~ c _ { \mu i } ^ { * \sigma ^ { \prime } , \vec { k } } \right) \textrm { d } ^ { 3 } k ,
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot { \mathbf { u } } } & { = 0 , } & { \mathbf { x } } & { \in \Omega } \\ { { \mathbf { u } } \cdot \nabla { \mathbf { u } } } & { = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } { \nabla ^ { 2 } } { \mathbf { u } } , } & { \mathbf { x } } & { \in \Omega } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { = ( u _ { w } ( \mathbf { x } ) , 0 ) , } & { \mathbf { x } } & { \in \Gamma _ { 1 } } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { = 0 , } & { \mathbf { x } } & { \in \Gamma _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \quad e ^ { - \nu \cdot r } \sqrt { \| \Lambda x \| ^ { 2 } + R ( t _ { \varepsilon } + r ; x ) } \leqslant \frac { \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ^ { \varepsilon } ( t _ { \varepsilon } + r ; x ) , \mathcal { G } ^ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \leqslant { \sqrt { 2 } } e ^ { - \nu \cdot r } \Big ( \| \Lambda x \| + \mathbb { E } [ \| \Lambda { \mathcal { G } ^ { \varepsilon } } \| ] \Big ) , } \end{array}
\widehat { \mathbf { P } } ^ { ( l ) } ( z ) = \mathbf { E } ^ { ( l ) } ( z ) \Phi ^ { ( \mathrm { P C } ) } ( | x | \varphi _ { 5 } ( z ) ) \left( \frac { h _ { 1 } ^ { ( l ) } } { s _ { 1 } } \right) ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \mathbf { D } ^ { ( l ) } ( z ) \sigma _ { 3 } | x | ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } e ^ { - x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) \sigma _ { 3 } } ,
\mathcal { M } _ { j } ( r , t ^ { \prime } ) \! = \! - ( \mu _ { 0 } / 4 \pi ) \big [ \dot { d } _ { j } ( t \! - \! r / c ) / { r ^ { 2 } } + \ddot { d } _ { j } ( t \! - \! r / c ) / ( r c ) \big ]
\begin{array} { r } { \frac { \delta q _ { e } } { n _ { 0 e } T _ { 0 e } } = - c _ { 3 } \frac { v _ { \mathrm { t h } e } ^ { 2 } } { 2 \nu _ { e i } } \frac { \partial } { \partial z } \frac { \delta T _ { e } } { T _ { 0 e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { e ^ { - f ( x ) / \epsilon } } { e ^ { - f ( \tilde { x } ) / \epsilon - { u ^ { 2 } f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) } / { 2 } } } = } & { 1 - \frac { f ^ { ( 3 ) } ( \tilde { x } ) u ^ { 3 } \epsilon ^ { 1 / 2 } } { 3 ! } - \frac { f ^ { ( 4 ) } ( \tilde { x } ) u ^ { 4 } \epsilon } { 4 ! } } \\ & { + \frac { [ f ^ { ( 3 ) } ( \tilde { x } ) ] ^ { 2 } u ^ { 6 } \epsilon } { 2 ! ( 3 ! ) ^ { 2 } } + \mathcal { O } \left( \epsilon ^ { 3 / 2 } \right) . } \end{array}
\mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = ( { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } { } _ { 2 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } )
H ^ { \mathrm { ~ D ~ i ~ c ~ k ~ e ~ } } = \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } \alpha ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Delta \sigma _ { j } ^ { + } \sigma _ { j } ^ { - } + 2 g \alpha \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \sigma ^ { + } + \sigma ^ { - } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ( \pi ^ { * } , \bar { \nu } _ { t } ) - \mathcal { U } ( \bar { \pi } _ { t } , \nu ^ { * } ) } & { \leq B ( \| \nu ^ { * } - \hat { \nu } _ { 0 } \| _ { B L } ^ { * } + \| \pi ^ { * } - \hat { \pi } _ { 0 } \| _ { B L } ^ { * } ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \kappa t } \left( \mathcal H ( \hat { \nu } _ { 0 } | | \nu _ { 0 } ) + \mathcal H ( \hat { \pi } _ { 0 } | | \pi _ { 0 } ) \right) + \frac { 2 B ^ { 2 } } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } \eta _ { \tau } d \tau d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { l e } ^ { e q } } & { \approx } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, m _ { l } \, m _ { e } } { Z _ { l } ^ { 2 } \, q _ { e } ^ { 4 } \, n _ { e } \, \ln \Lambda \left( n _ { l } , n _ { e } \right) } \, \left( \frac { k T _ { i } } { m _ { l } } + \frac { k T _ { e } } { m _ { e } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \end{array}
{ \cal Z } = \left< \int { \cal D } b _ { \mu } \exp \left\{ - \int d ^ { 4 } x \left[ \frac 1 4 b _ { \mu \nu } ^ { 2 } - i b _ { \mu } j _ { \mu } ^ { M } \right] \right\} \right> _ { j _ { \mu } ^ { M } } ,
\mathrm { ~ O ~ O ~ C ~ } _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , \; \bar { \Pi } _ { j k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \right] \quad ,
G _ { m n } ^ { \prime } = G _ { m n } - \frac { G _ { m 1 } G _ { 1 n } + B _ { m 1 } B _ { 1 n } } { G _ { 1 1 } } \; , \; \; \; B _ { m n } ^ { \prime } = B _ { m n } - \frac { G _ { m 1 } B _ { 1 n } + B _ { m 1 } G _ { 1 n } } { G _ { 1 1 } } \; ,
c _ { \ell , m } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( \ell - m ) ( \ell + m + 1 ) } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ell \geqslant 0 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } - \ell \leqslant m \leqslant \ell .
\begin{array} { r l r } & { } & { - \bar { I } \bar { I } \bar { I } \bar { Z } I I I Z , \quad - \bar { I } \bar { I } \bar { Z } \bar { I } I I Z I , \quad - \bar { I } \bar { Z } \bar { I } \bar { I } I Z I I , \quad - \bar { Z } \bar { I } \bar { I } \bar { I } Z I I I , } \\ & { } & { - \bar { I } \bar { I } \bar { X } \bar { X } I I Y Y , \quad - \bar { I } \bar { X } \bar { X } \bar { I } I Y Y I , \quad - \bar { X } \bar { X } \bar { I } \bar { I } Y Y I I . } \end{array}
\psi ( \{ \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } \} ) = \exp [ i \sum _ { a = 1 } ^ { N } q _ { a } \xi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) / \hbar ] \psi ^ { \prime } ( \{ \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } \} )
\frac { \partial A } { \partial t } + \frac { 1 } { s } ( \boldsymbol { v _ { m } } \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } ) ( s A ) = \eta _ { t } \left( \nabla ^ { 2 } - \frac { 1 } { s ^ { 2 } } \right) A + \alpha B ,
\begin{array} { r l } { g _ { e f f } ^ { X } } & { { } = - u + \mu _ { d } \left< N \right> } \\ { g _ { e f f } ^ { N } } & { { } = - m - r _ { 1 } \mu _ { d } \left< X \right> + \mu _ { c } \left< R \right> } \\ { g _ { e f f } ^ { R } } & { { } = K - \mu _ { c } r _ { 2 } \left< N \right> } \\ { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { X } } ^ { 2 } } & { { } = \left< N ^ { 2 } \right> \sigma _ { d } ^ { 2 } + \sigma _ { u } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { m _ { e } f f } ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { c } ^ { 2 } \left< R ^ { 2 } \right> + \sigma _ { d } ^ { 2 } { r _ { 1 } } \left< X ^ { 2 } \right> + \sigma _ { m } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { R } } ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { k } ^ { 2 } + \sigma _ { c } ^ { 2 } { r _ { 2 } } \left< N ^ { 2 } \right> } \\ { D _ { e f f } ^ { X } } & { { } = - \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } \\ { D _ { e f f } ^ { N } } & { { } = \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } \\ { D _ { e f f } ^ { R } } & { { } = 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } \Phi ( \mathbf { p } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { p } _ { n } ) = { } } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \mathbf { p } _ { j } ^ { 2 } } { 2 m } \Phi ( \mathbf { p } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { p } _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( S _ { n } \star \Phi _ { x , \varphi } ) ( T _ { m _ { M , P } } ) } & { : = \Phi _ { x , \varphi } ( S _ { n } ^ { * } \circ T _ { m _ { M , P } } ) } \\ & { = \Phi _ { x , \varphi } ( ( ( S _ { n } ^ { \prime } ) ^ { * } ) ^ { * } \circ T _ { m _ { M , P } } ) } \\ & { = \Phi _ { x , \varphi } ( S _ { n } ^ { \prime } \circ T _ { m _ { M , P } } ) } \\ & { = \varphi ( ( S _ { n } ^ { \prime } \circ T _ { m _ { M , P } } ) ( x ) ) } \\ & { = \varphi ( S _ { n } ^ { \prime } ( T _ { m _ { M , P } } ( x ) ) ) } \\ & { = \varphi ( S _ { n } ^ { \prime } ( \lVert x \rVert e _ { m _ { M , P } } ) } \\ & { = \lVert x \rVert \varphi \left( \frac { 1 } { \lVert y _ { 0 } \rVert } \psi _ { n } ( e _ { m _ { M , P } } ) y _ { 0 } \right) } \\ & { = \frac { \lVert x \rVert } { \lVert y _ { 0 } \rVert } \psi _ { n } ( e _ { m _ { M , P } } ) . } \end{array}
\hat { s } = \tau s - q _ { 1 } ^ { 2 } - q _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { q _ { 1 } ^ { 2 } q _ { 2 } ^ { 2 } } { s } - 2 \underline { { { p } } } _ { 1 } ^ { \perp } \underline { { { p } } } _ { 2 } ^ { \perp }
\mathcal { K } _ { 1 2 } \left( E _ { 3 } ; v _ { c m } , v _ { r } \right) = 2 \pi \frac { 1 } { v _ { c m } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 m _ { 3 } E _ { 3 } ^ { * } } } \frac { d \sigma } { d \Omega _ { c m } } d E _ { 3 } .
P ( \hat { J } ) d \hat { J } d \hat { J } ^ { \dag } = \mathrm { c o n s t } \exp \left( - N \mathrm { T r } \left( \hat { J } ^ { \dag } \hat { J } \right) \right) \prod _ { i , j = 1 } ^ { N } ( d R e J _ { i j } ) ( d I m J _ { i j } )
\left\langle \left( \delta x _ { 2 } ( t ) \right) ^ { 2 } \right\rangle = n _ { t r } \left\langle \left( \delta x _ { 2 } ( t ) \right) ^ { 2 } \right\rangle _ { t r } + n _ { f r } \left\langle \left( \delta x _ { 2 } ( t ) \right) ^ { 2 } \right\rangle _ { f r } + \frac { n _ { t r } } { n _ { f r } } V _ { d } ^ { 2 } \ t ^ { 2 } .
| \Psi \rangle = \sum _ { n _ { 1 } , \ldots , n _ { N } = \{ 0 , 1 \} } A _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } A _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \ldots A _ { N } ^ { n _ { N } } | n _ { 1 } \ldots n _ { N } \rangle \, .
R ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { n - 1 } , 0 ) = { \tilde { Q } } ( \sigma _ { 1 , n - 1 } , \ldots , \sigma _ { n - 1 , n - 1 } ) = P ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { n - 1 } , 0 )
\begin{array} { r l } & { \| \phi - P _ { N } \phi \| _ { H ^ { 1 } } \lesssim h | \phi | _ { H ^ { 2 } } , \quad \| I _ { N } \phi - P _ { N } \phi \| _ { H ^ { 1 } } \lesssim h | \phi | _ { H ^ { 2 } } , } \\ & { \| \phi - e ^ { i t \Delta } \phi \| _ { H ^ { 1 } } \lesssim \sqrt { t } \| \phi \| _ { H ^ { 2 } } , \quad \phi \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) \cap H ^ { 2 } ( \Omega ) , } \end{array}
\partial _ { i } A _ { i i _ { 2 } \ldots i _ { p } } ^ { ( g ) } + \partial _ { i } A _ { i i _ { 2 } \ldots i _ { p } } ^ { ( p ) } + x _ { 0 } \partial _ { 0 } A _ { 0 i _ { 2 } \ldots i _ { p } } = ( d - p ) A _ { 0 i _ { 2 } \ldots i _ { p } } .
\begin{array} { r l } { [ 3 ^ { \mathrm { r d } } + 4 ^ { \mathrm { t h } } ] } & { = - \mathrm { t r } ( \mathbb { d } \mathsf { G } \wedge \mathbb { d } U U ^ { - 1 } ) { \boldsymbol { v o l } } _ { \Sigma } } \\ & { \quad + L _ { \ell } \mathrm { t r } \big ( \mathbb { d } E \wedge \mathbb { d } U U ^ { - 1 } \big ) { \boldsymbol { v o l } } _ { \Sigma } + D _ { i } \mathrm { t r } \big ( \mathbb { d } F _ { \ell } ^ { i } \wedge \mathbb { d } U U ^ { - 1 } ) { \boldsymbol { v o l } } _ { \Sigma } } \end{array}
\begin{array} { l c c } { { \frac { H ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } - \frac { 1 } { f ^ { 2 } } \left[ \frac { f ^ { \prime \prime } } { f } + ( \frac { f ^ { \prime } } { f } ) ^ { 2 } \right] } } & { { = } } & { { - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 3 f } [ \sum _ { i } ( { \cal L } _ { i } + V _ { i } ) ] \delta ( z - L _ { i } ) + \frac { \Lambda _ { 5 } } { 3 } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \frac { H ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } - \frac { 2 } { f ^ { 2 } } ( \frac { f ^ { \prime } } { f } ) ^ { 2 } = \frac { \Lambda _ { 5 } } { 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { s + p + d } ^ { A _ { 1 } } ( \theta ) = a _ { 0 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 2 } ( s i n ^ { 2 } \beta \, s i n ^ { 2 } \theta + c o s ^ { 2 } \beta \, c o s ^ { 2 } \theta ) + } \\ & { a _ { 2 } ^ { 2 } [ \frac { 9 } { 1 6 } ( s i n ^ { 4 } \beta s i n ^ { 4 } \theta + s i n ^ { 2 } 2 \beta \, c o s ^ { 2 } 2 \theta ) + } \\ & { \frac { 1 } { 2 } ( 3 c o s ^ { 2 } \beta - 1 ) ^ { 2 } ( 3 c o s ^ { 2 } \theta - 1 ) ^ { 2 } ] + } \\ & { 4 a _ { 0 } a _ { 1 } c o s \beta \, c o s \theta \, c o s \delta _ { 0 } + } \\ & { 2 a _ { 1 } a _ { 2 } [ \frac { 3 } { 4 } s i n \, \beta \, s i n \, 2 \beta \, s i n \, \theta \, s i n \, 2 \theta + } \\ & { \frac { 1 } { 2 } c o s \, \beta \, c o s \, \theta \, ( 3 c o s ^ { 2 } \theta - 1 ) ( 3 c o s ^ { 2 } \theta - 1 ) ] \, c o s \, \delta _ { 1 } + } \\ & { a _ { 0 } a _ { 2 } ( 3 c o s ^ { 2 } \theta - 1 ) ( 3 c o s ^ { 2 } \theta - 1 ) c o s ( \delta _ { 0 } + \delta _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( Y = y ) } & { = \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } \sum _ { x } P ( Y = y , X = x , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } ) } \\ & { = \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } \sum _ { x } P ( Y = y | X = x , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } ) P ( X = x ) \prod _ { i = 1 } ^ { B } P ( \Tilde { P } _ { i } = \Tilde { p } _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { x } P ( X = x ) \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } \mathbf { 1 } _ { \{ Y = y , X = x , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } \} } \prod _ { i = 1 } ^ { B } P ( \Tilde { P } _ { i } = \Tilde { p } _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { B } \hat { y } _ { i } ! \prod _ { i = 1 } ^ { B } ( \frac { P } { B } - \hat { y } _ { i } ) ! } { \frac { 1 } { \left( \frac { P } { B } \right) ! ^ { B } } } } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { B } \frac { 1 } { \binom { P / B } { \hat { y } _ { i } } } \sum _ { x : \hat { x } _ { i } = \hat { y } _ { i } , \forall i } P ( X = x ) } \end{array}
\bar { n } ^ { ( \varkappa , 0 ) } ( u ) \equiv \bar { n } = 2 \varkappa \, \frac { u } { 1 - u } \ \Leftrightarrow \ u = \frac { \bar { n } / 2 \varkappa } { 1 + \bar { n } / 2 \varkappa } \, .
\begin{array} { r l } { \mu _ { 2 } } & { : = { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } \left[ ( c _ { T _ { 0 } } - c _ { f } ) ^ { 2 } \right] \approx \frac { 2 c _ { f } } { f _ { p } ( 0 , 0 ) } \left( \int _ { c _ { f } } ^ { \infty } u _ { p } ( 0 , \overline { { c } } ) d \overline { { c } } + \int _ { 0 } ^ { c _ { f } } u _ { r } ( 0 , \overline { { c } } ) d \overline { { c } } \right) } \\ { \mu _ { 3 } } & { : = \frac { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } [ ( c _ { T _ { 0 } } - c _ { f } ) ^ { 3 } ] } { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } \left[ ( c _ { T _ { 0 } } - c _ { f } ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } \approx \frac { 6 c _ { f } } { \mu _ { 2 } ^ { 3 / 2 } f _ { p } ( 0 , 0 ) } \left( \int _ { c _ { f } } ^ { \infty } ( \overline { { c } } - c _ { f } ) u _ { p } ( 0 , \overline { { c } } ) d \overline { { c } } + \int _ { 0 } ^ { c _ { f } } ( \overline { { c } } - c _ { f } ) u _ { r } ( 0 , \overline { { c } } ) d \overline { { c } } \right) } \\ { \mu _ { 4 } } & { : = \frac { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } [ ( c _ { T _ { 0 } } - c _ { f } ) ^ { 4 } ] } { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } ^ { A } } \left[ ( c _ { T _ { 0 } } - c _ { f } ) ^ { 2 } \right] ^ { 4 } } \approx \frac { 1 2 c _ { f } } { \mu _ { 2 } ^ { 4 } f _ { p } ( 0 , 0 ) } \left( \int _ { c _ { f } } ^ { \infty } ( \overline { { c } } - c _ { f } ) ^ { 2 } u _ { p } ( 0 , \overline { { c } } ) d \overline { { c } } + 1 2 \int _ { 0 } ^ { c _ { f } } ( \overline { { c } } - c _ { f } ) ^ { 2 } u _ { r } ( 0 , \overline { { c } } ) d \overline { { c } } \right) } \end{array}