harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
C ^ { D / L } \delta \ = \frac { 3 \hbar ^ { 2 } m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \tilde { \Delta } \Gamma ^ { \prime } \alpha _ { A } } { 2 ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) \rho \mu _ { 0 } \mu _ { B } ^ { 2 } \Delta _ { 0 } \cos { \theta } } , \quad g _ { T } ^ { D / L } \ = \frac { c \, \hbar ^ { 3 } \Gamma ^ { \prime } \Omega \tilde { \Delta } \alpha _ { A } } { 2 \Delta _ { 0 } ^ { 3 } \mu _ { 0 } \mu _ { B } ^ { 2 } \rho \cos { \theta } } .
L ^ { ( \infty , G ) } ( u ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { u } { F ^ { - 1 } ( t ) \, d t } } { \int _ { 0 } ^ { 1 } { F ^ { - 1 } ( t ) \, d t } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { u } { F ^ { - 1 } ( t ) \, d t } } { m } ,
\mathbf { \Sigma } = \left[ \begin{array} { l l } { K ( \mathbf { p } _ { 1 : i } , \mathbf { p } _ { 1 : i } ) + \sigma _ { i } ^ { 2 } I } & { K ( \mathbf { p } _ { 1 : i } , \mathbf { p } _ { 1 : j } ^ { * } ) } \\ { K ( \mathbf { p } _ { 1 : j } ^ { * } , \mathbf { p } _ { 1 : i } ) } & { K ( \mathbf { p } _ { 1 : j } ^ { * } , \mathbf { p } _ { 1 : j } ^ { * } ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { i } [ t + \Delta t / 2 ] } & { { } = \alpha \mathbf { v } _ { i } [ t - \Delta t / 2 ] + \frac { 1 - \alpha } { \gamma m _ { i } } \mathbf { F } _ { i } [ t ] + \boldsymbol { \eta } _ { i } [ t ] } \\ { \mathbf { r } _ { i } [ t + \Delta t ] } & { { } = \mathbf { r } _ { i } [ t ] + \mathbf { v } _ { i } [ t + \Delta t / 2 ] \Delta t } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { z } ^ { \mathrm { s h e a r , \pm } } = \frac { 1 } { 4 } \rho v _ { A } \left( \boldsymbol { v } _ { t } \mp \frac { \boldsymbol { B } _ { t } } { \sqrt { 4 \pi \rho } } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \rho v _ { A } { \boldsymbol { z } _ { t } ^ { \pm } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { 2 d t } \| y ( \omega , t ) \| _ { H } ^ { 2 } + \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) \| y ( \omega , t ) \| _ { V } ^ { 2 } } & { \leq \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } \| y ( \omega , t ) \| _ { H } ^ { 2 } + ( f ( t ) , y ( \omega , t ) ) _ { H } } \\ & { \leq \frac { \left( 1 + 2 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } \right) } { 2 } \| y ( \omega , t ) \| _ { H } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| f ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { B } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \tau _ { 1 } ^ { 1 } + \hat { \delta } ^ { 1 } } & { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \hat { \delta } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tau _ { 1 } ^ { n } + \hat { \delta } ^ { n } } \\ { \tau _ { 2 } ^ { 1 } } & { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tau _ { 2 } ^ { n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \tau _ { n } ^ { 1 } } & { \tau _ { n } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tau _ { n } ^ { n } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathcal { E } } ( x , y ) } & { = \operatorname* { s u p } \{ f ( x ) - f ( y ) \colon f \in K S ^ { 1 , 2 } ( X ) \cap C _ { 0 } ( X ) \mathrm { ~ w i t h ~ } d \Gamma ( f , f ) \leq d \mu \} } \\ & { \ge \operatorname* { s u p } \{ f ( x ) - f ( y ) \colon f \in \mathrm { L i p } _ { \mathrm { l o c } } ( X ) \cap C _ { 0 } ( X ) \cap K S ^ { 1 , 2 } ( X ) , C \mathrm { L i p } f \le 1 \} } \\ & { \ge \frac { 1 } { C } d ( x , y ) . } \end{array}
D _ { \mu } f = \partial _ { \mu } f - { \frac { i g } { 2 } } d ^ { B C C } ( A _ { \mu } ^ { B } \star f - f \star A _ { \mu } ^ { B } ) = \partial _ { \mu } f - { \frac { i g } { 2 } } d ^ { B C C } \, [ A _ { \mu } ^ { B } , f ] _ { \mathrm { M } }
E _ { y } ( x , y ) = \frac { \displaystyle { \frac { y } { \sqrt { 2 ( s _ { x } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } ) } } } } { 0 . 0 0 2 } E _ { y } \left( x , 0 . 0 0 2 \sqrt { 2 ( s _ { x } ^ { 2 } - s _ { y } ^ { 2 } ) } \right) .
{ \begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } + \varepsilon _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { E } } { \big ( } ( 1 + \nu ) ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) - 3 \nu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) { \big ) } = { \frac { 1 - 2 \nu } { E } } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) } \\ { \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } } & { = { \frac { E } { 1 - 2 \nu } } ( \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } + \varepsilon _ { 3 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Vert { g } _ { t } ( \theta _ { 1 } ) - { g } _ { t } ( \theta _ { 2 } ) \Vert } & { = \Vert A ( X _ { t } ) \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \Vert } \\ & { \leq \Vert A ( X _ { t } ) \Vert \Vert \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \Vert } \\ & { \leq \left( \gamma \Vert \Phi ( s _ { t } ) \Vert \Vert \Phi ( s _ { t + 1 } ) \Vert + \Vert \Phi ( s _ { t } ) \Vert ^ { 2 } \right) \Vert \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \Vert } \\ & { \leq 2 \Vert \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \Vert , } \end{array}
E ^ { + } ( - h _ { \lambda } , z _ { 2 } ) E ^ { - } ( - h _ { \mu } , z _ { 1 } ) = \left( 1 - \frac { z _ { 1 } } { z _ { 2 } } \right) ^ { \langle \lambda , \mu \rangle } E ^ { - } ( - h _ { \mu } , z _ { 1 } ) E ^ { + } ( - h _ { \lambda } , z _ { 2 } ) ,
\ddot { \mathbf { r } } ^ { N } = ( \mathbf { R } _ { N } ^ { A } ) ^ { T } \mathbf { a } _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ y ~ } } + \mathbf { a } _ { \odot } ^ { N } + \mathbf { a } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ P ~ } } ^ { N } ,
A ( P _ { 1 } , P _ { 2 } ) = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { u b } { \bar { \nu } } \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) l \langle \pi ( P _ { 2 } ) | { \bar { u } } \gamma ^ { \mu } b | B ( P _ { 1 } ) \rangle \; ,
\begin{array} { r } { \mathcal { F } [ \mathcal { R } _ { \tau } [ H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ] ] ( k _ { x ^ { \prime } } ) = \int \mathcal { R } _ { \tau } [ H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ] ( x ^ { \prime } ) e ^ { - i k _ { x ^ { \prime } } x ^ { \prime } } d x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { \leqslant C _ { 0 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 1 - \alpha ) } , } \\ { \forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad | \partial _ { \varphi } K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { \leqslant C _ { 0 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 2 - \alpha ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d x } } { \frac { e ^ { x } } { x ^ { 2 } } } } & { { } = { \frac { \left( { \frac { d } { d x } } e ^ { x } \right) ( x ^ { 2 } ) - ( e ^ { x } ) \left( { \frac { d } { d x } } x ^ { 2 } \right) } { ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
p _ { \rho _ { i } } ^ { \textrm { e f f } } [ \lbrace J _ { i j } \rbrace ] = \frac { \exp \big [ - \beta E _ { \rho _ { i } , \lbrace J _ { i j } \rbrace } ^ { \textrm { e f f } } \big ] } { Z _ { \rho } ^ { \textrm { e f f } } [ \lbrace J _ { i j } \rbrace ] } = \sum _ { \lbrace s \rbrace } \frac { \exp \big [ \beta \sum _ { \langle i j \rangle } J _ { i j } ( 1 + \varrho _ { i } \varrho _ { j } ) s _ { i } s _ { j } \big ] } { Z ^ { 2 } [ \lbrace J _ { i j } \rbrace ] } = 2 ^ { V } \frac { \exp \big [ \beta \sum _ { \langle i j \rangle } J _ { i j } ( 1 + \varrho _ { i } \varrho _ { j } ) \big ] } { Z ^ { 2 } [ \lbrace J _ { i j } \rbrace ] } ,
I = T \sum _ { l = - \infty } ^ { l = \infty } \left[ A _ { l } ( x , p , s ) \right] ^ { - \frac { \epsilon } { 2 } } = \int _ { C } \frac { d k _ { 0 } } { 4 \pi ~ i } \left[ A ( k _ { 0 } , x , p , s ) \right] ^ { - \frac { \epsilon } { 2 } } \coth \left[ \frac { k _ { 0 } } { 2 T } \right]
P ( \nu _ { \mu } \leftrightarrow \nu _ { \tau } ) = \alpha \cdot \sin ^ { 2 } \left( \beta \; \frac { L } { 1 0 ^ { 3 } \mathrm { \ k m } } \; \frac { E ^ { n } } { \mathrm { G e V } ^ { n } } \right) \ ,
{ \cal L } _ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } E ^ { + + } \wedge E ^ { -- } - i \Pi ^ { \underline { { { m } } } } \wedge d \Theta \Gamma _ { \underline { { { m } } } } \Theta + { \frac { 1 } { 2 } } E ^ { -- } \wedge \Psi _ { - } ^ { I } d \Psi _ { - } ^ { I } , \qquad
\Lambda ( \mu ) - \Lambda ( 0 ) = \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 4 } \mu ^ { 2 } \left[ m _ { H } ^ { 2 } + 3 m _ { Z } ^ { 2 } + 6 m _ { W } ^ { 2 } - 4 \sum _ { i } N _ { i } m _ { i } ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \mu ^ { 4 } \left[ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } N _ { i } - \frac { 5 } { 4 } \right] + \mathcal { O } ( \frac { \mu ^ { 6 } } { m _ { l a r g e } ^ { 2 } } ) \, .
\frac { d \bar { \nu } _ { x } ^ { \varepsilon } } { d \bar { \mu } _ { x } ^ { \varepsilon } } ( z ) = \frac { d ( \exp _ { x } ) _ { * } \tilde { \nu } _ { x } ^ { \varepsilon } } { d ( \exp _ { x } ) _ { * } \tilde { \mu } _ { x } ^ { \varepsilon } } ( z ) = \frac { d \tilde { \nu } _ { x } ^ { \varepsilon } } { d \tilde { \mu } _ { x } ^ { \varepsilon } } ( \exp _ { x } ^ { - 1 } z ) = \frac { e ^ { - V ( z ) } } { \int _ { B _ { \varepsilon } ( x ) } e ^ { - V ( z ) } d \bar { \mu } _ { x } ^ { \varepsilon } ( z ) } .
\frac { d q _ { 2 } ( t ) } { d t } = \frac { p _ { 2 } ( t ) } { m _ { 2 } } \, , \qquad \frac { d p _ { 2 } ( t ) } { d t } = - m _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 2 } ( t ) - g ( t ) \langle q _ { 1 } ( t ) \rangle _ { \psi _ { 1 } } \, .
H _ { 0 } = 2 \pi \left\{ \frac { 1 } { 4 r } ( f _ { A } ^ { \prime 2 } + f _ { B } ^ { \prime 2 } ) + \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \left[ r ( H ^ { \prime 2 } + K ^ { \prime 2 } ) + \frac { 1 } { r } ( K f _ { A } - H f _ { B } ) ^ { 2 } \right] + \frac { \lambda \eta ^ { 4 } } { 4 } r ( 1 - H ^ { 2 } - K ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right\}
\begin{array} { r l } { { n } _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { k } , \omega ) } & { { } = \mathscr { W } ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { k } , \omega ) { U } _ { \mathrm { e x t } } ( \boldsymbol { k } , \omega ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { e l } } & { { } \equiv \frac { L } { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } , } \\ { \tau _ { I } } & { { } \equiv \frac { \tau _ { 0 } } { 1 - \mathscr { L } } . } \end{array}
\Delta p _ { p } = \frac { \rho _ { f } ( q _ { 0 } ^ { s } ) ^ { 2 } } { 2 \Bigl [ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { p } } , C _ { j } A _ { j } \Bigr ] ^ { 2 } } , \qquad q _ { j } ^ { s } = \frac { C _ { j } A _ { j } q _ { 0 } ^ { s } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } C _ { i } A _ { i } } , \qquad j = 1 . . N _ { p } .
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } } & { > f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) + f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \left( 1 - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } \right) + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } . } \end{array}
U _ { p } ^ { \prime } = 2 \pi p ^ { 2 } f ( \mathbf { r } , p , t ) ( 1 - \mu _ { m i n } ) = 2 \pi p ^ { 2 } f ( \mathbf { r } , p , t ) \biggr ( 1 - \frac { V _ { 1 } ^ { s h } \sec { \theta _ { \mathrm { B n } } } } { v } \biggl ) .
l _ { q } = u q + l _ { \perp } + \frac { \vec { l } _ { \perp } ^ { \, 2 } } { 4 u E } \, n _ { - } \, , \qquad l _ { \bar { q } } = \bar { u } q - l _ { \perp } + \frac { \vec { l } _ { \perp } ^ { \, 2 } } { 4 \bar { u } E } \, n _ { - } \, .
\int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { - \alpha } \; ( 1 - x ) ^ { \alpha - \beta - 1 } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z x \right) d x = \Gamma ( \alpha - \beta ) \; G _ { p + 1 , \, q + 1 } ^ { \, m , \, n + 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \alpha , \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } , \beta } \end{array} } \; \right| \, z \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \boldsymbol { \tau } } = \left( \hat { \kappa } \Vert \hat { \dot { \boldsymbol { \gamma } } } \Vert ^ { n - 1 } + \displaystyle { \frac { \hat { \tau } _ { y } } { \Vert \hat { \dot { \boldsymbol { \gamma } } } \Vert } } \right) \hat { \dot { \boldsymbol { \gamma } } } } & { \mathrm { i f f } \quad \Vert \hat { \boldsymbol { \tau } } \Vert > \hat { \tau } _ { y } , } \\ { \hat { \dot { \boldsymbol { \gamma } } } = 0 } & { \mathrm { i f f } \quad \Vert \hat { \boldsymbol { \tau } } \Vert \leqslant \hat { \tau } _ { y } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathcal H _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf s ) } & { = } & { T _ { 1 } T _ { 2 } + t \frac { \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } } { \Lambda _ { 3 } } \frac { ( 1 - \frac { \Lambda _ { 2 } \Lambda _ { 3 } } { \Lambda _ { 1 } } ) ( 1 - q ^ { - 2 } t ^ { 2 } \frac { \Lambda _ { 2 } \Lambda _ { 3 } } { \Lambda _ { 1 } } ) } { ( 1 - t ^ { 2 } \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } ) ( 1 - q ^ { - 2 } t ^ { 2 } \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } ) } \, T _ { 1 } T _ { 2 } ^ { - 1 } } \\ & { } & { + t \frac { \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } } { \Lambda _ { 3 } } \frac { ( 1 - \frac { \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 3 } } { \Lambda _ { 2 } } ) ( 1 - q ^ { - 2 } t ^ { 2 } \frac { \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 3 } } { \Lambda _ { 2 } } ) } { ( 1 - t ^ { 2 } \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 - q ^ { - 2 } t ^ { 2 } \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } ) } \, T _ { 1 } ^ { - 1 } T _ { 2 } } \\ & { } & { + \frac { ( 1 - \frac { \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } } { \Lambda _ { 3 } } ) ( 1 - q ^ { - 2 } t ^ { 2 } \frac { \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } } { \Lambda _ { 3 } } ) ( 1 - t ^ { 2 } \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } \Lambda _ { 3 } ) ( 1 - q ^ { - 2 } t ^ { 4 } \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } \Lambda _ { 3 } ) } { ( 1 - t ^ { 2 } \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 - t ^ { 2 } \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } ) ( 1 - q ^ { - 2 } t ^ { 2 } \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 - q ^ { - 2 } t ^ { 2 } \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } ) } T _ { 1 } ^ { - 1 } T _ { 2 } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { [ 2 3 ] } = } & { { } - \sigma ^ { \downarrow } \left( \sin ( \theta _ { [ 2 3 ] } - \theta _ { [ 1 2 ] } ) + \sin ( \theta _ { [ 2 3 ] } + \theta _ { [ 1 3 ] } - \theta _ { [ 3 4 ] } ) \right) } \end{array}
\Delta E _ { 2 } \approx - \frac { \alpha ^ { 2 } ( Z \alpha ) ^ { 6 } } { \pi ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \frac { { \cal F } _ { 2 } ( k ) } { k ^ { 4 } } \, \mathrm { a r c t g } \frac { k } { Z \alpha } \ ,
{ \scriptstyle { \begin{array} { l } { { \begin{array} { r l } { x ^ { ( 1 ) } } & { = x _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } \\ { x ^ { ( 2 ) } } & { = x _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } \\ { x ^ { ( 3 ) } } & { = b \cos i u } \\ { x ^ { ( 4 ) } } & { = b \sin i u } \end{array} } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { d s ^ { 2 } = - c ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } = b ^ { 2 } ( d u ) ^ { 2 } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { { \begin{array} { l l l l l l l } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = 0 , } & & { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) } = 0 , } & & { c _ { 1 } ^ { ( 3 ) } = - \sin i u , } & & { c _ { 1 } ^ { ( 4 ) } = \cos i u , } \\ { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = 0 , } & & { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = 0 , } & & { c _ { 2 } ^ { ( 3 ) } = - \cos i u , } & & { c _ { 2 } ^ { ( 4 ) } = - \sin i u , } \end{array} } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { d S ^ { 2 } = ( d X ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( d Y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( d Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \left( c + { \frac { Z ^ { \prime } c } { b } } \right) ^ { 2 } d T ^ { \prime } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { c ^ { \prime } = c + { \frac { Z ^ { \prime } c ^ { 2 } } { b } } \cdot { \frac { 1 } { c } } } \end{array} } }
\tilde { \mathcal { H } } _ { q } = \hbar \left( \begin{array} { l l } { \omega _ { 0 } + \Omega \tilde { f } _ { q } } & { \Omega \tilde { g } _ { q } } \\ { \Omega \tilde { g } _ { q } ^ { * } } & { \omega _ { 0 } + \Omega \tilde { f } _ { q } } \end{array} \right) .
{ \displaystyle \left. { \partial } _ { \lambda } { \bf D } [ { \bf F } _ { 0 } ( { \bf X } ) + \lambda { \bf F } _ { 1 } ( { \bf V } _ { m } ) ] \right\vert _ { \lambda = 0 } = \left. { \bf Z } \left( \frac { \partial } { \partial \lambda } { \bf D } ^ { \perp } [ { \bf F } _ { 0 } ^ { \perp } + \lambda { \bf F } _ { 1 } ^ { \perp } ( { \bf V } _ { m } ) ] \right\vert _ { \lambda = 0 } \right) { \bf Z } ^ { T } } ,
\begin{array} { r l r } { k = 1 0 0 \varepsilon / r _ { b } ^ { 2 } , \, \kappa } & { = } & { 1 0 0 \varepsilon , \, \kappa ^ { \prime } = 1 0 0 0 \varepsilon , \, \theta _ { s } = 1 2 0 ^ { \circ } , \, \zeta = 5 0 \varepsilon , } \\ { r _ { c } } & { = } & { r _ { b } , \, \chi = 1 \varepsilon / r _ { b } ^ { 2 } , \, A _ { 0 } = 1 0 0 r _ { b } ^ { 2 } , \, \tau _ { m } = \tau , \, } \\ { D } & { = } & { 1 . 0 r _ { b } ^ { 2 } / \tau , \, \mathrm { a n d } \, \, \Gamma = 1 . 0 { \mu } / \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { P M F } ( r ^ { n } ) } & { { } = } & { - k _ { B } T \ln \rho _ { c } ( r ^ { n } ) + \tilde { { \cal C } } _ { c } } \\ { U _ { M B } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) } & { { } = } & { - k _ { B } T \ln \rho _ { k } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) + \tilde { { \cal C } } _ { k } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { 3 1 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 3 } c _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } } & { { } \ne \frac { 1 } { 6 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 3 1 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 2 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 3 3 } - c _ { 1 } a _ { 3 2 } a _ { 1 1 } - c _ { 1 } a _ { 3 3 } a _ { 2 1 } - c _ { 2 } a _ { 3 3 } a _ { 2 2 } } & { { } \ne 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { n } ^ { 1 , 1 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { \geq C | z | \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + C \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 1 , \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + C | z | ^ { 1 - \sigma } \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma + \sigma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \varepsilon ( R ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( R , | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \lambda } ( x ) } & { = \prod _ { k = 1 } ^ { n } d _ { k } ^ { q _ { k } - q _ { k + 1 } } ( x ) = \exp \Big ( \! - \! 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } q _ { i } x _ { i } \Big ) , } \\ { \phi _ { \lambda ^ { \prime } } ( x ^ { \prime } ) } & { = \prod _ { k = 1 } ^ { n } d _ { k } ^ { \prime \, q _ { k } ^ { \prime } - q _ { k + 1 } ^ { \prime } } ( x ^ { \prime } ) = \exp \Big ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } q _ { i } ^ { \prime } x _ { i } ^ { \prime } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { = \frac { \mathbf { z } ^ { * } ( ( U ^ { \top } V ) \otimes I _ { n _ { x } } + \tau \Sigma \otimes ( M ^ { - \frac { 1 } { 2 } } K M ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) ) \mathbf { z } } { \mathbf { z } ^ { * } ( I _ { s } \otimes I _ { n _ { x } } + \tau \Sigma \otimes ( M ^ { - \frac { 1 } { 2 } } K M ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) ) \mathbf { z } } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \tau \hat { \lambda } } \left( \frac { \mathbf { z } ^ { * } ( ( U ^ { \top } V ) \otimes I _ { n _ { x } } ) \mathbf { z } } { \mathbf { z } ^ { * } \mathbf { z } } + \tau \hat { \lambda } \right) , } \end{array}
{ \cal L } _ { \Lambda } = { \cal L } _ { \Lambda } ^ { S } + { \cal L } _ { \Lambda } ^ { F } = \sum _ { \kappa \in { ( I , ~ I I , ~ T _ { I } , ~ T _ { I I } ) } } \left\{ N _ { \kappa } ^ { F } { \cal L } _ { \Lambda } ^ { F } ( \kappa ) + N _ { \kappa } ^ { S } { \cal L } _ { \Lambda } ^ { S } ( \kappa ) \right\} ~ .
\begin{array} { r l } { D = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \bigg [ } & { { } ( c ^ { 2 } k ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) ( \omega - u _ { | | } k + \Omega _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( N ( l , n ) = 0 ) } & { \geq 1 - n \left( \frac { q } { p } \right) ^ { a \log ( n ) } - \frac { 2 \sqrt { p q } } { ( 1 - 2 \sqrt { p q } ) ^ { 2 } } ( 2 q ) ^ { a \log ( n ) } } \\ & { = 1 - n ^ { 1 - a \log ( \frac { p } { q } ) } - \frac { 2 \sqrt { p q } } { ( 1 - 2 \sqrt { p q } ) ^ { 2 } } n ^ { - a \log ( 1 / ( 2 q ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { X } _ { m } } & { \sim p _ { \theta } ( \cdot | X _ { m } ^ { p } ) } \\ { X _ { m + 1 } } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { X } _ { m } } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } \alpha ( X _ { m } , \tilde { X } _ { m } ) } \\ { X _ { m } } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 1 - \alpha ( X _ { m } , \tilde { X } _ { m } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle E _ { 1 } ( V ) \rangle = \frac 1 { 2 V _ { R } } \int _ { \tilde { V } - V _ { R } } ^ { \tilde { V } + V _ { R } } A ( V - \tilde { V } - \Delta V ) ^ { 2 } d V \approx \frac 1 { V _ { R } } \int _ { \tilde { V } } ^ { \tilde { V } + V _ { R } } A ( V - \tilde { V } ) ^ { 2 } d V = \frac { A V _ { R } ^ { 2 } } 3 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ( Y , { \hat { Y } } ) } & { { } = { \frac { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) } { \sqrt { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } \cdot \sum _ { i } ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } } } } \end{array}
( \mathbb { O } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { P } \, , \partial _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } ) \, \boldsymbol \phi = \nabla { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } \neq 0 \, .
\frac { 1 } { \Gamma _ { _ { R D } } } \frac { d \Gamma _ { _ { R D } } } { d x _ { \gamma } } = \delta \left( 1 - x _ { \gamma } \right) - \frac { \alpha _ { S } C _ { F } } { \pi } \mathcal { D } _ { 1 } \left( x _ { \gamma } \right) \, - \frac { 7 } { 4 } \frac { \alpha _ { S } C _ { F } } { \pi } \, \mathcal { D }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { j } ( t ) = } & { \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { 2 } ^ { 2 } \, , } \\ { \mathbb { D } _ { j } ( t ) = } & { \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi _ { t } \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { j } p \| _ { 1 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ V C L : ~ } \quad \frac { \partial J } { \partial \tau } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \xi _ { \ell } } \left( J \frac { \partial \xi _ { \ell } } { \partial t } \right) = 0 , } \\ & { \mathrm { ~ S C L s : ~ } \quad \sum _ { \ell = 1 } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \xi _ { \ell } } \left( J \frac { \partial \xi _ { \ell } } { \partial x _ { k } } \right) = 0 , ~ k = 1 , 2 . } \end{array}