harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta , i = 1 , j } ^ { t } } & { { } = } & { \frac { ( 4 v _ { \theta , i = 2 , j } ^ { t } - v _ { \theta , i = 3 , j } ^ { t } ) b } { 2 \Delta \theta + 3 b } } \\ { v _ { \theta , i = N _ { r } , j } ^ { t } } & { { } = } & { \frac { ( 4 v _ { \theta , i = N _ { r } - 1 , j } ^ { t } - v _ { \theta , i = N _ { r } - 2 , j } ^ { t } ) b } { 2 \Delta \theta + 3 b } } \\ { v _ { r , i = 0 , j } ^ { t } } & { { } = } & { 0 } \\ { v _ { r , i = N , j } ^ { t } } & { { } = } & { 0 } \end{array}
\mathcal { S } _ { e } \partial _ { j } \mathcal { C } _ { \flat } \mathcal { S } _ { \flat } \partial _ { i } = \mathcal { S } _ { e } \partial _ { j } \partial _ { i } \mathcal { C } _ { \flat ^ { \prime } } \mathcal { S } _ { \flat ^ { \prime } } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { S } _ { e } \partial _ { i } \mathcal { C } _ { \flat } \mathcal { S } _ { \flat } \partial _ { j - 1 } = \mathcal { S } _ { e } \partial _ { i } \partial _ { j - 1 } \mathcal { C } _ { \flat ^ { \prime } } \mathcal { S } _ { \flat ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \alpha _ { k , 1 } } & { = \mathrm { R e s } ( H , p _ { k } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow p _ { k } } ( \omega - p _ { k } ) H ( \omega ) } \\ & { = - i \frac { N _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { d e g ( N ) } ( i p _ { k } - i z _ { \ell } ) } { D _ { 0 } \prod _ { \ell \neq k } ^ { d e g ( D ) } ( i p _ { k } - i p _ { \ell } ) } } \end{array} } \end{array}
h ( \theta , t ) = \sum _ { \mu } \left[ c _ { \mu } ( t ) \int _ { - \pi } ^ { \pi } w ( \theta - \theta ^ { \prime } ) { \hat { e } _ { \mu } } ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } \right] + h _ { \mathrm { ~ l ~ g ~ n ~ } } ( \theta ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \hbar \Omega } { N ^ { 2 } m } \frac { S _ { X X } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) } { | \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } } = } & { { } S _ { a a } ( \omega ) + \frac { \hbar \Omega } { N ^ { 2 } m } \left[ S _ { \xi \xi } ( \omega ) + S _ { \mathrm { o p t } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { = \mathrm { H o m } _ { \mathrm { c o n t } } ( \Gamma _ { K } , W _ { L } ( \O _ { K _ { \infty } } ^ { \flat } ) ) \quad \quad \mathrm { a n d } } \\ { B [ \frac { 1 } { J } ] _ { ( \pi ) } ^ { \wedge } } & { = \mathrm { H o m } _ { \mathrm { c o n t } } ( \Gamma _ { K } , W _ { L } ( K _ { \infty } ^ { \flat } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { x } + H _ { p } } & { { } = \ln ( { \sqrt { 2 \pi } } ) + { \frac { 1 } { 2 } } + \ln \left( { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { V } = } & { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \theta _ { i } z _ { i } ^ { T } A _ { u i } z _ { i } - \gamma z ^ { T } \big [ V _ { u } ^ { T } ( \mathcal { \hat { L } } \otimes I _ { n } ) V _ { u } \big ] z } \\ { \leq } & { 2 \theta _ { M } \| A \| \| z \| ^ { 2 } - \gamma \lambda _ { l } \| z \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { { } 3 6 4 6 2 \arctan { \frac { 1 } { 5 1 3 8 7 } } + 2 6 5 2 2 \arctan { \frac { 1 } { 4 8 5 2 9 8 } } + 1 9 2 7 5 \arctan { \frac { 1 } { 6 8 3 9 8 2 } } } \end{array}
( 1 0 ^ { - 1 5 5 / 1 0 } ~ \mathrm { F S ^ { 2 } ~ H z ^ { - 1 } } - 1 0 ^ { - 1 9 5 / 1 0 } ~ \mathrm { F S ^ { 2 } ~ H z ^ { - 1 } } ) ( 1 8 ~ \mathrm { k H z } - 6 ~ \mathrm { k H z } ) = 1 0 ^ { - 1 1 4 / 1 0 } ~ \mathrm { F S ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \sin \phi _ { s } } & { { } = } & { \frac { 1 } { B } \sqrt { B ^ { 2 } - \left( C - A \right) ^ { 2 } } , } \\ { A } & { { } = } & { \left( v _ { 1 } \cos \alpha - v _ { 1 } ^ { ' } \right) \mu _ { s } , } \\ { B } & { { } = } & { v _ { 1 } \sqrt { 1 - \mu _ { s } ^ { 2 } } \sin \alpha , } \\ { C } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 m _ { 3 } E _ { 3 } ^ { * } } } \left( E _ { 3 } - E _ { 3 } ^ { * } - \frac { 1 } { 2 } m _ { 3 } v _ { c m } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } & { A d d ( 1 , 7 ) } \\ { = } & { \rho ( P _ { 1 } ^ { 1 } , S \circ P _ { 2 } ^ { 3 } ) \; ( S ( 0 ) , 7 ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } A d d , S } \\ { = } & { ( S \circ P _ { 2 } ^ { 3 } ) ( 0 , A d d ( 0 , 7 ) , 7 ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( g , h ) \; ( S ( . . . ) , . . . ) } \\ { = } & { S ( A d d ( 0 , 7 ) ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } \circ , P _ { 2 } ^ { 3 } } \\ { = } & { S ( \; \rho ( P _ { 1 } ^ { 1 } , S \circ P _ { 2 } ^ { 3 } ) \; ( 0 , 7 ) \; ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } A d d } \\ { = } & { S ( P _ { 1 } ^ { 1 } ( 7 ) ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ c a s e ~ } } \rho ( g , h ) \; ( 0 , . . . ) } \\ { = } & { S ( 7 ) } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } P _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { = } & { 8 } & { { \mathrm { ~ b y ~ D e f . ~ } } S . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { \bf E } \vert I _ { 1 } - { \bf E } I _ { 1 } \vert ^ { 4 } } & { \leq \frac K { n ^ { 8 } } \bigg ( \sum _ { i j } \left\vert \vert \hat { x } _ { i j } - \tilde { x } _ { i j } \vert ^ { 2 } - { \bf E } \vert \hat { x } _ { i j } - \tilde { x } _ { i j } \vert ^ { 2 } \right\vert ^ { 4 } } \\ & { + \sum _ { \{ i , j \} \neq \{ i ^ { \prime } , j ^ { \prime } \} } { \bf E } \left\vert \vert \hat { x } _ { i j } - \tilde { x } _ { i j } \vert ^ { 2 } - { \bf E } \vert \hat { x } _ { i j } - \tilde { x } _ { i j } \vert ^ { 2 } \right\vert ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \quad { \bf E } \left\vert \vert \hat { x } _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } - \tilde { x } _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } \vert ^ { 2 } - { \bf E } \vert \hat { x } _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } - \tilde { x } _ { i , j ^ { \prime } } \vert ^ { 2 } \right\vert ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \le \frac K { n ^ { 8 } } ( n N \times n ^ { 3 } + ( n N ) ^ { 2 } n ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { 2 v } { \phi _ { \mathrm { p } } } \left[ \frac { n } { R } + n _ { \mathrm { n e c k } } ( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } ) \right] , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ & { ( 8 \pi ) ^ { 1 / 3 } ( \frac { 3 v } { \phi _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 2 / 3 } ( n - n _ { \mathrm { n e c k } } ) ^ { 2 / 3 } + \frac { 2 v n _ { \mathrm { n e c k } } } { \phi R _ { \mathrm { n e c k } } } , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ & { \frac { 2 v } { \phi _ { \mathrm { p } } } \left[ \frac { n } { \delta } + n _ { \mathrm { n e c k } } ( \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { \delta } ) \right] , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array}
- { 1 \o \mu } \left[ \lambda _ { i } - { 1 \o n _ { c } } \sum _ { j } \lambda _ { j } \right] + m _ { i } + { 1 \o \Lambda _ { 1 } ^ { 2 n _ { f } - 3 } } \{ \prod _ { j \ne i } \lambda _ { j } - B _ { i } { \tilde { B } } ^ { i } \} = 0 .
\begin{array} { r l } { \upsilon \left( \beta \right) \left< \varphi \mid \beta \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } } & { { } = \delta _ { \lambda , \beta } \left( \varphi \left( \mathbf { z } \right) - \rho _ { A } ^ { \circ } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \varphi \left( \mathbf { A } \right) - \rho _ { B } ^ { \circ } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \varphi \left( \mathbf { B } \right) \right) } \end{array}
| \nabla \eta | ^ { 2 } \, = \, | \nabla \eta _ { 3 } | ^ { 2 } + | \nabla \eta _ { 4 } | ^ { 2 } - \bigl ( | \nabla \chi _ { 3 } | ^ { 2 } + | \nabla \chi _ { 4 } | ^ { 2 } \bigr ) \eta ^ { 2 } \, . \qquad
\phi \left( x , t \right) = \cos \left( t \sqrt { m ^ { 2 } - \nabla _ { x } ^ { 2 } } \right) \phi \left( x , 0 \right) + \sin \left( t \sqrt { m ^ { 2 } - \nabla _ { x } ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { \sqrt { m ^ { 2 } - \nabla _ { x } ^ { 2 } } } ~ \pi \left( x , 0 \right)
\begin{array} { r l } { \delta \psi _ { s } ( t ) = } & { { } } \\ { p s i _ { s , e } \frac { i _ { e } \kappa ^ { * } } { \eta + i _ { e } \kappa ^ { * } } e ^ { - \eta ( t - t f ) } } \\ { \delta \psi _ { i } ( t ) = } & { { } \ \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } e ^ { - \eta ( t - t f ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { - B ( v _ { s } ^ { 2 } + c _ { s } ^ { 2 } ) \partial _ { s } \left( \frac { v _ { s } } { B } \right) + v _ { s } B \partial _ { s } \left( \frac { v _ { s } ^ { 2 } + c _ { s } ^ { 2 } } { B } \right) = } \\ { = - ( v _ { s } ^ { 2 } + c _ { s } ^ { 2 } ) \frac { S _ { p a r } } { n } - v _ { s } \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { B } \partial _ { s } ( B ) + \frac { v _ { s } S _ { m o m } } { m _ { i } n } } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { { N } } \\ { { m } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { { N - 1 } } \\ { { m - 1 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { c } { { N - 1 } } \\ { { m } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb E \big [ k ( y _ { k } , y _ { 0 } ) k ( x _ { k } , x _ { 0 } ) \big ] } & { = \int \int \int \int k ( y ^ { \prime } , y ) k ( x ^ { \prime } , x ) \, \rho _ { t } ( x ^ { \prime } , d y ^ { \prime } ) \, \rho _ { k \Delta t } ( x , d x ^ { \prime } ) \, \rho _ { t } ( x , d y ) \, d \mu ( x ) } \\ & { = \int \int k ( x , x ^ { \prime } ) \left[ \int \int k ( y , y ^ { \prime } ) \, \rho _ { t } ( x , d y ) \, \rho _ { t } ( x ^ { \prime } , d y ^ { \prime } ) \right] \, \rho _ { k \Delta t } ( x , d x ^ { \prime } ) \, d \mu ( x ) } \\ & { = \int \int k ( x , x ^ { \prime } ) k _ { t } ( x , x ^ { \prime } ) \, \rho _ { k \Delta t } ( x , d x ^ { \prime } ) \, d \mu ( x ) } \\ & { = \int \left[ \int [ \Phi ( x ) \Phi _ { t } ( x ) ] ( x ^ { \prime } ) \, \rho _ { k \Delta t } ( x , d x ^ { \prime } ) \right] \, d \mu ( x ) } \\ & { = \int [ K ^ { k \Delta t } \Phi _ { t , x } ] ( x ) \, d \mu ( x ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle 0 | 0 \rangle _ { \bar { T } } = \exp { \Big ( } - { \frac { i } { 2 } } \int { \Big [ } { \bar { T } } _ { \mu \nu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) { \bar { T } } ^ { \mu \nu } ( x ^ { \prime } ) } & { + { \frac { 2 } { m ^ { 2 } } } \eta _ { \lambda \nu } \partial _ { \mu } { \bar { T } } ^ { \mu \nu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) \partial _ { \kappa } ^ { \prime } { \bar { T } } ^ { \kappa \lambda } ( x ^ { \prime } ) } \\ & { + { \frac { 1 } { m ^ { 4 } } } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } { \bar { T } } ^ { \mu \nu } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) \partial _ { \kappa } ^ { \prime } \partial _ { \lambda } ^ { \prime } { \bar { T } } ^ { \kappa \lambda } ( x ^ { \prime } ) { \Big ] } d x ~ d x ^ { \prime } { \Big ) } , } \end{array} }
d R _ { 2 } = \delta ^ { 4 } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } - p _ { \mathrm { T } } - p _ { \mathrm { B } } ) \delta ( p _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } ) \delta ( p _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) \frac { d ^ { 4 } p _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { d ^ { 4 } p _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } }
\theta _ { c } ( \beta ) = \frac { 4 \left( \beta ^ { 2 } + 1 \right) } { \left( \beta ^ { - 2 } + 1 \right) \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ } ( \beta ) \left( \left( \beta ^ { 2 } + 1 \right) \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ } ( \beta ) + 2 \beta \right) - 1 } .
\begin{array} { r l } { Q _ { n } ^ { [ 1 , 3 ] } } & { = ( I _ { 1 2 } \otimes \Gamma _ { n } ^ { - 1 } ) \times \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } R _ { n } ( : , 8 \ell + k ) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { \Gamma _ { n } ^ { - 1 } } \end{array} \right] _ { 1 2 \ell \times 1 2 \ell } \times \left( \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { \ell } } \\ { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } } \\ { 0 _ { 1 0 \ell } } \end{array} \right] + \dot { P } _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) \right) = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { \ell } } \\ { 1 _ { \ell } } \\ { 0 _ { 1 0 \ell } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { \left[ \begin{array} { l } { ( f _ { 1 } - \alpha _ { n } ) P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) } \\ { \vdots } \\ { ( f _ { \ell } - \alpha _ { n } ) P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) } \end{array} \right] } \\ { \vdots } \\ { \left[ \begin{array} { l } { ( f _ { 1 } - \alpha _ { n } ) P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) } \\ { \vdots } \\ { ( f _ { \ell } - \alpha _ { n } ) P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) } \end{array} \right] } \end{array} \right] _ { L \times 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta ( x , j ) \approx \left[ 1 - ( \Gamma _ { p } - \Gamma _ { m } ) b \frac { \partial } { \partial x } + \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right] \eta ( x , j - 1 ) . } \end{array}
\pi _ { m } ^ { 1 } ( \tilde { p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { p } } & { \mathrm { i f ~ m \in \{ ~ m _ 1 , \dots , m _ 2 - 1 ~ \} ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \pi _ { m } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { p } } & { \mathrm { i f ~ m \in \{ ~ m _ 1 + 1 , \dots , m _ 2 - 1 ~ \} ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { a _ { 2 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { = \frac { 4 \langle c ^ { 4 } \rangle } { { d _ { t } } ( { d _ { t } } + 2 ) } - 1 , \quad { a _ { 0 2 } ^ { ( 0 ) } } = \frac { 4 \langle w ^ { 4 } \rangle } { { d _ { r } } ( { d _ { r } } + 2 ) } - 1 , } \\ { { a _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } } } & { = \frac { 4 \langle c ^ { 2 } w ^ { 2 } \rangle } { { d _ { t } } { d _ { r } } } - 1 , \quad { a _ { 0 0 } ^ { ( 1 ) } } = \frac { 8 } { 1 5 } \left[ \langle ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { w } ) ^ { 2 } \rangle - \frac { 1 } { 3 } \langle c ^ { 2 } w ^ { 2 } \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { w h e r e : ~ } ~ ~ ~ } & { } \\ { \omega _ { k } } & { = 2 \pi f + k \frac { \pi } { L } \beta _ { 0 } c } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { \upsilon s } \left( t \right) } \\ { \varepsilon _ { v c } \left( t \right) } \end{array} \right] } & { = \sum _ { k } \frac { q E _ { 0 } } { 2 \gamma _ { 0 } ^ { 3 } m \omega _ { k } } a _ { \left| k \right| } \left[ \mathrm { R } \left( - \tilde { k } \phi _ { \left| k \right| } \right) \right] \left[ \begin{array} { l } { \cos \left( \omega _ { k } t \right) - 1 } \\ { \sin \left( \omega _ { k } t \right) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \left[ \begin{array} { l } { \widehat { t } } \\ { \widehat { n } } \\ { \widehat { b } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \alpha } & { \beta } \\ { - \alpha } & { 0 } & { \gamma } \\ { - \beta } & { - \gamma } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \widehat { t } } \\ { \widehat { n } } \\ { \widehat { b } } \end{array} \right] , } \end{array}
m _ { i } ^ { t } = m _ { i } ^ { t - 1 } + \left( 1 - m _ { i } ^ { t - 1 } \right) \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t - 1 } \right) \prod _ { j \in \partial i } \left( 1 - { \lambda } _ { j i } ^ { t - 1 } m _ { j } ^ { t - 1 } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { w _ { 2 } ( \alpha ) } & { = v _ { \infty } ( \alpha _ { 2 } ) = v _ { \infty } \left( - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 5 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots \right) = { \mathfrak a } } \\ { w _ { 3 } ( \alpha ) } & { = v _ { \infty } ( \alpha _ { 3 } ) = v _ { \infty } \left( - 1 - \frac { 2 } { \lambda } - \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots \right) = 0 } \\ { w _ { 4 } ( \alpha ) } & { = v _ { \infty } ( \alpha _ { 4 } ) = v _ { \infty } \left( \lambda + \frac { 5 } { \lambda } + \dots \right) = - { \mathfrak a } . } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { D } L _ { D } ( D , \mu _ { G } ) = - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { \mathrm { r e f } } , T \sim \mu _ { t r a n s } } [ \ln D ( T ( x ) ) ] - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { G } , T \sim \mu _ { t r a n s } } [ \ln ( 1 - D ( T ( x ) ) ) ] } \\ { \operatorname* { m i n } _ { G } L _ { G } ( D , \mu _ { G } ) = - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { G } , T \sim \mu _ { t r a n s } } [ \ln ( 1 - D ( T ( x ) ) ) ] } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { \propto R ( P ^ { 0 } - P ^ { 1 } ) \propto ( \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \hat { x } _ { i } \hat { y } _ { i } \sin - \phi _ { i } ) } \\ { \left( \begin{array} { l } { P ^ { 0 } } \\ { P ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { \propto \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \hat { x } _ { i } - \sin \phi _ { i } \hat { y } _ { i } ) ^ { 2 } + ( \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } ) ^ { 2 } + ( \hat { x } _ { i } + \sin \phi _ { i } \hat { y } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\operatorname { C o n v } _ { h } ( \alpha , R ; z ) = \sum _ { i = 0 } ^ { h - 1 } { \binom { { \frac { R } { \alpha } } + i - 1 } { i } } \times { \frac { ( - \alpha z ) ^ { - 1 } } { ( i + 1 ) \cdot L _ { i } ^ { \left( R / \alpha - 1 \right) } \left( ( \alpha z ) ^ { - 1 } \right) L _ { i + 1 } ^ { \left( R / \alpha - 1 \right) } \left( ( \alpha z ) ^ { - 1 } \right) } }
P ( X _ { i } ( t ) = s ) = \langle \hat { n } _ { s } ^ { i } ( t ) \rangle = \langle \mathbf { 1 } | \hat { n } _ { s } ^ { i } | \Phi ( t ) \rangle \equiv \langle \hat { n } _ { s } ^ { i } | \Phi ( t ) \rangle \, .
M _ { x , y } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mu } \eta _ { \mu } ( x ) ( e ^ { i \theta _ { \mu } ( x ) } \delta _ { y , x + \mu } - e ^ { - i \theta _ { \mu } ( x - \mu ) } \delta _ { y , x - \mu } ) + m \delta _ { x , y } .
\begin{array} { r l } { c _ { m } \int _ { \mathbb { R } _ { \omega } } \sum _ { \ell } \int _ { 1 } ^ { \infty } } & { \chi _ { + } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 2 + \epsilon } | u ^ { \prime } + i \widetilde { \omega } u | ^ { 2 } + ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 1 + \epsilon } r ^ { - 1 - \epsilon } | u ^ { \prime } | ^ { 2 } } \\ & { \: + ( \Lambda r ^ { - 3 } + \widetilde { \omega } ^ { 2 } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } r ^ { - 3 } + \omega r ^ { - 1 - \epsilon } ) \zeta _ { \mathrm { t r a p } } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \epsilon } | u | ^ { 2 } \, d r } \\ { \leq } & { \: \int _ { \mathbb { R } _ { \omega } } \sum _ { \ell } \int _ { 1 } ^ { \infty } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { G } } \cdot \Re ( \mathbf { f } \cdot ( u , u ^ { \prime } ) \cdot \overline { { H } } ) \, d r _ { * } d \omega } \\ & { - \int _ { \mathbb { R } _ { \omega } } \sum _ { \ell } \int _ { \mathbb { R } _ { r _ { * } } } 2 y \Re ( u ^ { \prime } \overline { { H } } ) \, d r _ { * } + \int _ { \mathbb { R } } E ( \chi _ { K } \widetilde { \omega } + \omega ) \Re ( i u \overline { { H } } ) } \\ & { \: + ( r - 1 ) ^ { - 1 + \epsilon } \chi _ { + } \Re \left( v ^ { \prime } e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } \Delta ^ { - \frac { i m } { 2 } } \overline { { H } } \right) \, d r _ { * } d \omega } \\ & { \: + C \int _ { \mathbb { R } _ { \omega } } \int _ { 1 } ^ { \infty } \sum _ { \ell } \mathbf { 1 } _ { | \widetilde { \omega } | \leq z _ { 0 } ^ { - 1 } | m | ( r - 1 ) } \mathbf { 1 } _ { m \widetilde { \omega } < 0 } y _ { + } \Re \left( \frac { d ( \mathfrak { w } _ { + } ^ { - 1 } u ) } { d r } \overline { { \mathfrak { w } _ { + } ^ { - 1 } H } } \right) } \\ & { - \chi _ { + } \mathbf { 1 } _ { | \widetilde { \omega } | \leq z _ { 0 } ^ { - 1 } | m | ( r - 1 ) } \mathbf { 1 } _ { m \widetilde { \omega } > 0 } y _ { - } \Re \left( \frac { d ( \mathfrak { w } _ { - } ^ { - 1 } u ) } { d r } \overline { { \mathfrak { w } _ { - } ^ { - 1 } H } } \right) \, d r d \omega } \\ & { \: + C \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } } \Delta ^ { \frac { 1 - \epsilon } { 2 } } r ^ { - 1 } r ^ { 2 } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau + C \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } \Delta ^ { \frac { 1 - \epsilon } { 2 } } r ^ { - 1 } r ^ { 2 } | G _ { m } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \rho } ( \omega ) } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } \rho ( \lambda ) e ^ { i \omega \lambda } , } \\ { \tilde { K } _ { n } ( \omega ) } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } K _ { n } ( \lambda ) e ^ { i \omega \lambda } = \frac { \sinh ( \frac { \pi } { \gamma } - n ) \omega } { \sinh \frac { \pi } { \gamma } \omega } . } \end{array}
S _ { B N I } ^ { [ a n h ] } = \frac { 1 } { g _ { s } l _ { s } \left( 2 \pi l _ { s } \right) ^ { p } } \int \delta ^ { p + 1 } u \sqrt { | \operatorname * { d e t } ( g _ { \alpha \beta } + 2 \pi l _ { s } ^ { 2 } ( B + F ) ) | }
\begin{array} { r l } { O _ { l , l ^ { \prime } } } & { { } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } P _ { l } ( \bar { x } ) P _ { l ^ { \prime } } ( \bar { x } ) ; S _ { l ^ { \prime } } ( t ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } \exp ( i t \bar { x } ) P _ { l ^ { \prime } } ( \bar { x } ) ; } \\ { R _ { l } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { { } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } v ^ { G } ( \bar { x } ) \exp ( i t \bar { x } ) P _ { l } ( \bar { x } ) ; R _ { l } ^ { ( 2 ) } ( t ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { x } v _ { G } ^ { 2 D } ( \bar { x } ) \exp ( i t \bar { x } ) P _ { l } ( \bar { x } ) ; R _ { l } ^ { ( 3 ) } ( t ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \bar { \xi } v _ { O } ^ { 2 D } ( \xi ) \exp ( i t \xi ) P _ { l } ( \xi ) . } \end{array}
e ^ { 2 \mu _ { 2 } } A ^ { 2 } - \frac { \tilde { \gamma } ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } } - \frac { \left( \gamma g A t \right) ^ { 2 } } { \hslash ^ { 2 } } \frac { e ^ { 2 \mu _ { 1 } } \tilde { \gamma } ^ { 2 } } { \left( 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } = A ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { x } \left[ \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { 1 } } ^ { 0 } \right] _ { ( I , J ) } ( t , x ) } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { d ( t - s ) } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \sum _ { ( K , L ) } \nabla _ { x } \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) \nabla _ { x } \mathrm { N } _ { ( I , J ) , ( K , L ) } ^ { t ; s } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \left[ \mathcal { R } _ { 1 } \right] _ { ( K , L ) } ( s , \mathrm { Z } ^ { s ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad - \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { d ( t - s ) } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \sum _ { ( K , L ) } \mathrm { N } _ { ( I , J ) , ( K , L ) } ^ { t ; s } ( \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) ) \nabla _ { x } \mathrm { Z } ^ { 0 ; t } ( x , v ) \nabla _ { x } \left[ \mathcal { R } _ { 1 } \right] _ { ( K , L ) } ( s , \mathrm { Z } ^ { s ; t } ( x , v ) ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s . } \end{array}
K = \left| \frac { \delta \overline { { { \varphi } } } } { \delta \varphi } - 1 \right| = \frac { \pi \epsilon \nu } { T \omega ^ { 3 } } \left| \frac { d \omega } { d I } \right| C _ { 0 } , \quad C _ { 0 } \equiv \left| \frac { \partial C } { \partial \varphi } \right|
{ \frac { C _ { X } ^ { 2 } } { ( 6 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \ r ( C _ { X } , C _ { Y } ) ^ { 2 } = \lambda _ { X } , \quad { \frac { C _ { Y } ^ { 2 } } { ( 6 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \ r ( C _ { X } , C _ { Y } ) ^ { 2 } = \lambda _ { Y } ,
\mathrm { { \bf ~ x ~ ^ { r } ~ } } = x _ { 0 } \tau ^ { 0 } + x _ { 1 } \tau ^ { 1 } + \cdots x _ { 7 } \tau ^ { 7 } , \; \; \; x _ { i } \in \mathrm { I ~ \! ~ R } ^ { 8 } ,
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( A _ { \mu } + \partial _ { \mu } \theta ) ( A ^ { \mu } + \partial ^ { \mu } \theta ) + A ^ { \mu } \partial _ { \mu } B - \partial _ { \mu } \bar { \cal C } \partial ^ { \mu } { \cal C } - \frac { 1 } { 2 } \alpha B ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { A } t M o n _ { i } ( \chi ( 0 ) , N ) \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { A } \mathbb { P } \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { A } t M o n _ { i } ( \chi ( 0 ) , N ) \, \big | X ( 1 ) - X ( 0 ) = e ^ { ( j ) } \right) \mathbb { P } \left( X ( 1 ) - X ( 0 ) = e ^ { ( j ) } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { A } \mathbb { P } \left( t M o n _ { j } \left( \frac { 1 } { N + 1 } \left( \chi ( 0 ) N + e ^ { ( j ) } \right) , N + 1 \right) \right) \mathbb { P } \left( X ( 1 ) - X ( 0 ) = e ^ { ( j ) } \right) } \end{array}