harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { M = } } & { { - i \epsilon ^ { * } \cdot \left\{ \left[ { \frac { Q _ { 1 } p _ { 1 } } { p _ { 1 } \cdot q } } - { \frac { Q _ { 2 } p _ { 2 } } { p _ { 2 } \cdot q } } - { \frac { Q _ { i n t } ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) } { ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) \cdot q } } \right] { \frac { 1 } { ( p _ { 1 } - p _ { 2 } - q ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \right. } } \\ { { } } & { { - \left. \left[ \sum _ { i = 3 } ^ { n } { \frac { Q _ { i } p _ { i } } { p _ { i } \cdot q } } - { \frac { Q _ { i n t } ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) } { ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) \cdot q } } \right] { \frac { 1 } { ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \right\} } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { l } _ { / \mathbb { B } } ( \boldsymbol { \tau } ) \! = \! \ln \! \Big ( \! \exp \big ( \sum _ { \boldsymbol { z } \in \boldsymbol { \tau } } \boldsymbol { l } ( \boldsymbol { z } ) \big ) \! + \! 1 \Big ) \! - \! \ln \Big ( \sum _ { \boldsymbol { z } \in \boldsymbol { \tau } } \exp ( \boldsymbol { l } ( \boldsymbol { z } ) ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f \left( x \right) } & { { } : } & { = { \bf E } \left( X _ { n + 1 } - x \mid X _ { n } = x \right) = { \bf E } \left( S \left( x \right) \right) - x + { \bf E } \left( \beta \right) = - \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( 1 - \overline { { \alpha } } ^ { x } \right) + { \bf E } \left( \beta \right) } \\ { \sigma ^ { 2 } \left( x \right) } & { { } : } & { = \sigma ^ { 2 } \left( \left( X _ { n + 1 } - x \right) \mid X _ { n } = x \right) = \sigma ^ { 2 } \left( S \left( x \right) \right) + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) } \end{array}
\mu _ { 0 } J _ { \mathrm { e m } \, \mu } = \frac { i \hbar } { 2 q \lambda ^ { 2 } } \left[ \psi ^ { * } \left( \nabla _ { \mu } \psi + i \frac { q } { \hbar } A _ { \mu } \psi \right) - \left( \nabla _ { \mu } \psi ^ { * } - i \frac { q } { \hbar } A _ { \mu } \psi ^ { * } \right) \psi \right] .
\begin{array} { r l } { \psi ( q ) } & { = \sum _ { i + j + k \ge r } \sum _ { | \alpha | = k } \frac { ( i + j + k ) ^ { r } } { ( i + j + k ) ! } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + j + k - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { \alpha } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + j + k < r } \sum _ { | \alpha | = k } \| \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { \alpha } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \end{array}
I = \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } ( R ^ { ( 2 ) } + 2 g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } \phi \partial _ { \beta } \phi - 2 e ^ { 2 \phi } - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } f \partial _ { \beta } f )
\Omega ( \gamma ) = V ( \gamma ) \frac { 2 } { \gamma ( 2 - \gamma ) ^ { 3 } } \frac { \Gamma ^ { 4 } ( 2 - \gamma / 2 ) \Gamma ^ { 2 } ( 1 + \gamma / 2 ) } { \Gamma ( 4 - \gamma ) \Gamma ( 2 + \gamma ) }
\phi _ { \nu } ( E _ { \nu } ) \simeq { \frac { \Delta \Omega _ { d e t } } { A _ { d e t } } } ~ \left[ { \frac { d N _ { \nu } } { d E _ { \nu } \, d \Omega _ { \nu } } } ( E _ { \nu } , \Omega _ { \nu } ) \right] _ { \Omega _ { \nu } = \Omega _ { d e t } }
\frac { N _ { G C } } { N } \equiv \frac { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ g ~ i ~ a ~ n ~ t ~ c ~ l ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ } } { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ c ~ e ~ l ~ l ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ } N } \in ( 0 , 1 ] ,
\left\{ \begin{array} { c } { f _ { 1 0 } ^ { + } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } + f _ { e } , } \\ { f _ { 1 0 } ^ { - } = \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } - f _ { e } , } \end{array} \right.
p _ { \zeta } ( \tilde { \zeta } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - \tilde { \zeta } ^ { 2 } / 2 } \left[ 1 + \frac { \lambda _ { 3 } } { 6 } \tilde { \zeta } ( \tilde { \zeta } ^ { 2 } - 3 ) \right] .
\theta = \frac { 1 } { 4 } \int _ { - L _ { 2 } / 4 } ^ { L _ { 2 } / 4 } [ \frac { 1 } { 4 } - ( \frac { \langle \ u _ { 3 } \rangle } { \langle \Delta U \rangle } ) ^ { 2 } ] d x _ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \mathbf F _ { 3 } = - \int [ ( C _ { y } B _ { z } - C _ { z } B _ { y } ) \mathbf { \hat { i } } + ( C _ { z } B _ { x } - C _ { x } B _ { z } ) \mathbf { \hat { j } } } \\ { + ( C _ { x } B _ { y } - C _ { y } B _ { x } ) \mathbf { \hat { k } } ] \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf r . } \end{array}
E _ { z } ( x , y ) = \sum _ { m } a _ { m } \frac { 2 ( - i ) ^ { m } } { L k ^ { m } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { ( k _ { x , n } + i k _ { y , n } ) ^ { m } } { k _ { y , n } } e ^ { i k _ { x , n } x + i k _ { y , n } y } , y > 0
\begin{array} { r l } { | w ( \mathbf { x } ) | } & { \leq \mathcal { T } | \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { M _ { 1 } } | + | w ( \mathbf { x } _ { M _ { 1 } } ) | } \\ & { \leq \mathcal { T } 8 ^ { \alpha } r ^ { \alpha } + C _ { s } \mathcal { E } { \varepsilon _ { 1 } } ^ { \beta ^ { d _ { \gamma } / r + 1 } } } \\ & { \leq ( 8 ^ { \alpha } r ^ { \alpha } + { C \varepsilon _ { 1 } } ^ { c _ { 2 } ^ { d _ { \gamma } / r + 1 } } ) \mathcal { T } _ { 1 } , } \end{array}
\langle \widehat { \sigma _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { 2 } } \rangle = \frac { 1 } { m _ { \Delta } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sigma _ { k } ^ { 2 } \langle Y _ { k } \rangle \simeq \sigma _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { 2 } .
{ { \varepsilon } _ { \mathrm { a p p } } } ( { { q } _ { x } } ) = 1 - \frac { q _ { x } ^ { 2 } + q _ { y } ^ { 2 } } { q _ { p \alpha } ^ { 2 } } = \underbrace { \frac { \sqrt { q _ { p \alpha } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } - { { q } _ { x } } } { { { q } _ { p \alpha } } } } _ { \varepsilon _ { a p p } ^ { - } \left( { { q } _ { x } } \right) , \, L H P \ a n a l y t i c } \underbrace { \frac { { { q } _ { x } } + \sqrt { q _ { p \alpha } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } } { { { q } _ { p \alpha } } } } _ { \varepsilon _ { a p p } ^ { + } \left( { { q } _ { x } } \right) , \, U H P \ a n a l y t i c } .
\begin{array} { r l } & { \| \operatorname { t r } _ { B ( \textrm { s u p p } ( O _ { i } ) , r ( \varepsilon ) ) ^ { c } } \left[ \sigma ( \beta , x | _ { B ( \textrm { s u p p } ( O _ { i } ) , r ( \varepsilon ) ) } , x _ { B ( \textrm { s u p p } ( O _ { i } ) , r ( \varepsilon ) ^ { c } } ^ { * } ) - \sigma ( \beta , x ) \right] \| _ { 1 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \leq | \textrm { s u p p } ( O _ { i } ) | f ( r ( \varepsilon ) + \eta ( \textrm { s u p p } ( O _ { i } ) ) \leq \varepsilon + \eta ( \textrm { s u p p } ( O _ { i } ) ) , } \end{array}
\frac { \delta ^ { 2 } \mathcal { A } } { \delta x _ { \mu } ( s ) \delta x _ { \mu } ( s ^ { \prime } ) } = \frac { \delta ^ { 2 } \mathcal { A } } { \delta x _ { 1 } ( s ) \delta x _ { 1 } ( s ^ { \prime } ) } + \frac { \delta ^ { 2 } \mathcal { A } } { \delta \vec { \phi } ( s ) \delta \vec { \phi } ( s ^ { \prime } ) } \; .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \{ \| \big ( z _ { 1 } \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } \big ) ^ { 2 } F \| _ { A ( D ^ { 2 } ) } , \| \big ( z _ { 1 } \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } \big ) ^ { 2 } G \| _ { A ( D ^ { 2 } ) } \} } & { \leq \operatorname* { m a x } \{ \| p _ { n } \| _ { A ( D ^ { 2 } ) } , \| q _ { n } \| _ { A ( D ^ { 2 } ) } \} + 1 } \\ & { \leq \left( \operatorname* { s u p } _ { z \in D ^ { 2 } } \lvert p _ { n } ( z ) \rvert ^ { 2 } + \lvert q _ { n } ( z ) \rvert ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 } \\ & { = \left( \operatorname* { s u p } _ { \lvert z _ { 1 } \rvert = \lvert z _ { 2 } \rvert = 1 } \lvert p _ { n } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \rvert ^ { 2 } + \lvert q _ { n } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \rvert ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 } \\ & { \leq \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + a _ { n } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \lambda ^ { 2 } } } & { { - \lambda ^ { \prime } h _ { 1 } \sp { C M } + h _ { 2 } ^ { C M } + ( h _ { 1 } \sp { C M } - 2 \lambda ^ { \prime } ) { \frac { \sigma ^ { \prime } ( z ) } { \sigma ( z ) } } + { \frac { \sigma ^ { \prime \prime } ( z ) } { \sigma ( z ) } } } } \\ { { } } & { { = \left( \lambda ^ { \prime } - { \frac { \sigma ^ { \prime } ( z ) } { \sigma ( z ) } } \right) ^ { 2 } - \left( \lambda ^ { \prime } - { \frac { \sigma ^ { \prime } ( z ) } { \sigma ( z ) } } \right) h _ { 1 } \sp { C M } - { \frac { \sigma ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 } } { \sigma ( z ) ^ { 2 } } } + { \frac { \sigma ^ { \prime \prime } ( z ) } { \sigma ( z ) } } - h _ { 2 } ^ { C M } } } \\ { { } } & { { = \lambda ^ { 2 } - \lambda h _ { 1 } \sp { C M } + h _ { 2 } ^ { C M } - \wp ( z ) } } \end{array}
z _ { 0 } = \frac { 1 } { e _ { 1 } e _ { 2 } } ( E _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { { \Gamma } ^ { 2 } } { 4 } ) - i \frac { E _ { 0 } { \Gamma } } { e _ { 1 } e _ { 2 } } .
A _ { D } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , f _ { 1 } , \ldots , f _ { n - 1 } \right) \equiv \frac { 1 } { 4 \pi } \sum _ { \begin{array} { c } { { 1 \leq s \leq n } } \\ { { 1 \leq t \leq n } } \\ { { s \neq t } } \end{array} } \frac { \left( x _ { s } - x _ { t } \right) ^ { 2 } \left( f _ { s } - f _ { s - 1 } \right) \left( f _ { t } - f _ { t - 1 } \right) } { 4 \sin ^ { 2 } \left( \frac { f _ { s - 1 } + f _ { s } - f _ { t - 1 } - f _ { t } } { 4 } \right) }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } N ( T , 1 / 2 + \delta / 2 ) } & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { T } ^ { 1 / 2 + \delta / 2 } \left( \frac { 1 } { ( 2 \sigma - 1 ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } b _ { n + 1 } ( 2 \sigma - 1 ) ^ { n } \right) d \sigma } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \log \left( \frac { 1 } { T - 1 / 2 } \right) + c _ { 0 } + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } c _ { n } ( T - 1 / 2 ) ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { L } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \hat { L } \hat { H } _ { \mathrm { n h } } ^ { - 1 } \hat { V } _ { + } } \\ & { = \sum _ { m _ { z } } \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } \sqrt { \kappa } } { 4 \Delta _ { a } } \left( \frac { \sqrt { \frac { N } { 2 } ( \frac { N } { 2 } + 1 ) - m ( m + 1 ) } } { \omega _ { z } - \Delta _ { d } - i \kappa / 2 } \left| 0 , m _ { z } + 1 \right\rangle \left\langle 0 , m _ { z } \right| + \frac { \sqrt { \frac { N } { 2 } ( \frac { N } { 2 } + 1 ) - m ( m - 1 ) } } { - \omega _ { z } - \Delta _ { d } - i \kappa / 2 } \left| 0 , m _ { z } - 1 \right\rangle \left\langle 0 , m _ { z } \right| \right) } \\ & { = \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } \sqrt { \kappa } } { 4 \Delta _ { a } } \left( \frac { 1 } { \omega _ { z } - \Delta _ { d } - i \kappa / 2 } \hat { J } _ { + } + \frac { 1 } { - \omega _ { z } - \Delta _ { d } - i \kappa / 2 } \hat { J } _ { - } \right) , } \end{array}
\begin{array} { l } { \vec { E } _ { 0 } ( x , y ) ~ = ~ \left[ \begin{array} { l } { E _ { 0 } } \\ { 0 } \end{array} \right] , \quad \quad \vec { E } _ { 1 } ( x , y ) ~ = ~ \exp \left( i ( \phi _ { 0 } + \Gamma ( x , y ) ) \right) \left[ \begin{array} { l } { E _ { 0 } } \\ { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \vec { E } _ { 2 } ( x , y ) = \Bigg ( R \exp ( \phi _ { 1 } ) \vec { E } _ { 1 } ( x , y ) \Bigg ) \ast \Bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \Bigg ) , } \\ { \vec { E } _ { 3 } ( x , y ) ~ = ~ \exp \left( i ( \phi _ { 0 } + \Gamma ( x , y ) ) \right) \vec { E } _ { 2 } ( x , y ) , \quad \quad I _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( x , y ) = \left| \vec { E } _ { 0 } ( x , y ) + \vec { E } _ { 3 } ( x , y ) \right| ^ { 2 } , } \\ { \varepsilon \frac { d \Gamma ( x , y ) } { d t } = - \Gamma ( x , y ) + \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { ~ b ~ } } I _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( x , y ) + \tilde { \alpha } _ { \mathrm { ~ g ~ } } I _ { \mathrm { ~ 0 ~ g ~ } } + \beta } + \gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n R _ { 1 } \overset { ( a ) } { \leq } I ( M _ { 1 } ; Y _ { 1 } ^ { n } | S _ { 1 } ^ { n } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( H ( Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } ) - H ( Y _ { 1 , i } | M _ { 1 } , M _ { 2 } , Y _ { 1 } ^ { i - 1 } , S _ { 1 } ^ { n } ) + \epsilon _ { n } \big ) } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( H ( Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } ) - H ( Y _ { 1 , i } | M _ { 1 } , M _ { 2 } , Y _ { 1 } ^ { i - 1 } , S _ { 1 } ^ { i } , Y _ { 2 } ^ { i - 1 } , S _ { 2 } ^ { i - 1 } ) + \epsilon _ { n } \big ) } \\ & { \overset { ( c ) } { = } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( I ( V _ { i } ; Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } ) + \epsilon _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \psi } _ { X } ( x , 0 ) } & { = } & { C _ { \pm } \biggl ( \tan ^ { - 1 } \frac { \sqrt { \gamma } } { \sqrt { 4 - \gamma } } \mp \tan ^ { - 1 } \frac { 2 x \sqrt { \gamma } } { W \sqrt { 4 - \gamma } } \biggr ) , } \\ { C _ { \pm } } & { = } & { W \frac { \tan ^ { - 1 } \frac { \sqrt { \gamma } } { \sqrt { 4 - \gamma } } \pm \tan ^ { - 1 } \frac { 2 X \sqrt { \gamma } } { W \sqrt { 4 - \gamma } } } { \sqrt { ( 4 - \gamma ) \gamma } \tan ^ { - 1 } \frac { \sqrt { \gamma } } { \sqrt { 4 - \gamma } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \pi } { \alpha } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { \pi } { \beta } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { e ^ { - a ^ { 2 } r ^ { 2 } } } { r } \left[ \mathrm { e r f c x } \left( \frac { \lambda } { 2 a } + a r \right) - \mathrm { e r f c x } \left( \frac { \lambda } { 2 a } - a r \right) \; \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } } & { \left\langle P ( D _ { t } ) \left[ \chi ( t ) \tilde { u } ( t ) \right] , e ^ { i \lambda _ { j } t } v \right\rangle d t = \int _ { \mathbb { R } } \left\langle P _ { \lambda _ { j } } ( D _ { t } ) \left[ \chi ( t ) D _ { t } u ( t ) \right] , v \right\rangle d t } \\ & { = \frac 1 i \int \frac { d } { d t } \left\langle P _ { \lambda _ { j } } ( D _ { t } ) \left[ \chi ( t ) u ( t ) \right] , v \right\rangle d t - \frac 1 i \int \left\langle P _ { \lambda _ { j } } ( D _ { t } ) \left[ \chi ^ { \prime } ( t ) u ( t ) \right] , v \right\rangle d t } \\ & { = \frac 1 i \langle v , v \rangle - 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \mathcal { G } ^ { i } ) _ { j } = \mathcal { N } _ { e , 2 } ( \{ s ( r _ { i j } ) , \mathcal { A } ^ { i } , \mathcal { A } ^ { j } \} ) \quad \mathrm { o r } \quad ( \mathcal { G } ^ { i } ) _ { j } = \mathcal { N } _ { e , 2 } ( \{ s ( r _ { i j } ) , \mathcal { A } ^ { j } \} ) , } \\ & { ( \mathcal { G } ^ { i } ) _ { j k } = \mathcal { N } _ { e , 3 } ( \{ ( \theta _ { i } ) _ { j k } , \mathcal { A } ^ { j } , \mathcal { A } ^ { k } \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( v ) : = } & { i \partial _ { t } v + d \Delta v + \vec { q } _ { 1 } \cdot \nabla v + q _ { 0 } v \in L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) , } \\ { N ( v , v _ { \Gamma } ) : = } & { i \partial _ { t } v - d \partial _ { \nu } v + \delta \Delta _ { \Gamma } v _ { \Gamma } + \vec { q } _ { \Gamma , 1 } \cdot \nabla _ { \Gamma } u _ { \Gamma } + q _ { \Gamma , 0 } v _ { \Gamma } \in L ^ { 2 } ( \Gamma _ { 1 } \times ( 0 , T ) ) } \end{array}
H _ { \mathrm { e l e c } } = E _ { 0 } + \sum _ { \substack { p q \, \sigma } } h _ { p q } \, \hat { c } _ { p \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { r \sigma } ^ { \phantom { \dagger } } + \sum _ { \substack { p r q s \, \sigma \tau } } \frac { ( p r | q s ) } { 2 } \, \hat { c } _ { p \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { q \tau } ^ { \dagger } \hat { c } _ { s \tau } ^ { \phantom { \dagger } } \hat { c } _ { r \sigma } ^ { \phantom { \dagger } } \, ,
[ \hat { \phi } ( x ) , \hat { \psi } ( y ) ] = \theta ( x - y ) 2 \pi \beta ^ { - 1 } \hat { \psi } ( x ) , \enspace [ \hat { \phi } ( x ) , \hat { \phi } ( y ) ] = [ \hat { \psi } ( x ) , \hat { \psi } ( y ) ] = 0 .
\begin{array} { r } { \left[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } + \frac { V _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } \right] \psi _ { \beta } ( r ) = \varepsilon _ { \beta } \psi _ { \beta } ( r ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { J ( \theta ) : = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } \sim p } \left[ | | s _ { \theta } ( \mathbf { x } ) - \nabla _ { \mathbf { x } } \log p ( x ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\theta _ { \mathrm { c } } = \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { r _ { \mathrm { A } } \cos \left( \theta _ { \mathrm { A } } \right) + r _ { \mathrm { R } } \cos \left( \theta _ { \mathrm { R } } \right) } { r _ { \mathrm { A } } + r _ { \mathrm { R } } } } \right)
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ g ~ l ~ e ~ } } ( \beta ) = \sum _ { n } \left\| \frac { \theta _ { t _ { n + 1 } } - \theta _ { t _ { n } } } { t _ { n + 1 } - t _ { n } } - \Gamma _ { \beta } ( \theta _ { t _ { n } } ) \right\| ^ { 2 } ,
\left( | H \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } - | V \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } + | - m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\begin{array} { r l } { k \pi ( M ) } & { \leqslant \sum _ { i = 1 } ^ { k } \Omega ( n + i ) = \sum _ { p > k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \nu _ { p } ( n + i ) + \sum _ { p \leqslant k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \nu _ { p } ( n + i ) } \\ & { \leqslant \frac { k \log N } { \log k } + \sum _ { p \leqslant k } \left( \frac { \log N } { \log p } + \frac { k } { p - 1 } \right) = ( 1 + o ( 1 ) ) \frac { k \log N } { \log k } + O ( k \log \log k ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r } { A = { \frac { 1 } { 2 } } ( a _ { 1 } [ a _ { 2 } \sin ( \theta _ { 1 } ) + a _ { 3 } \sin ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) + \cdots + a _ { n - 1 } \sin ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } + \cdots + \theta _ { n - 2 } ) ] } \\ { + a _ { 2 } [ a _ { 3 } \sin ( \theta _ { 2 } ) + a _ { 4 } \sin ( \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } ) + \cdots + a _ { n - 1 } \sin ( \theta _ { 2 } + \cdots + \theta _ { n - 2 } ) ] } \\ { + \cdots + a _ { n - 2 } [ a _ { n - 1 } \sin ( \theta _ { n - 2 } ) ] ) . } \end{array} }
\delta = \frac { 1 } { 3 } \left( \left| \beta _ { 3 } ^ { r 5 } - \beta _ { 0 } ^ { r 3 } \right| + \left| \beta _ { 3 } ^ { r 5 } - \beta _ { 1 } ^ { r 3 } \right| + \left| \beta _ { 3 } ^ { r 5 } - \beta _ { 3 } ^ { r 3 } \right| \right) = O \left( \Delta { { x } ^ { 4 } } \right) .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \ ( - y _ { 2 } z _ { 3 } + y _ { 2 } z _ { 4 } + y _ { 3 } z _ { 2 } - y _ { 3 } z _ { 4 } - y _ { 4 } z _ { 2 } + y _ { 4 } z _ { 3 } ) u _ { 1 } + ( x _ { 2 } z _ { 3 } - x _ { 2 } z _ { 4 } - x _ { 3 } z _ { 2 } + x _ { 3 } z _ { 4 } + x _ { 4 } z _ { 2 } - x _ { 4 } z _ { 3 } ) v _ { 1 } } \end{array}
\delta V _ { b } ( r ) = \frac { 3 Z e ^ { 2 } \delta r _ { b } } { 2 r _ { b } ^ { 2 } } \, \bigg ( 1 - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \bigg ) \, \Theta \big ( r _ { b } - r \big ) .
\begin{array} { r } { D _ { \xi } ^ { m } D _ { \tau } ^ { n } g ( \xi , \tau ) . f ( \xi , \tau ) = ( \frac { \partial } { \partial \xi } - \frac { \partial } { \partial \xi ^ { \prime } } ) ^ { m } ( \frac { \partial } { \partial \tau } - \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \prime } } ) ^ { n } g ( \xi , \tau ) . f ( \xi ^ { \prime } , \tau ^ { \prime } ) \Bigg | _ { ( \xi = \xi ^ { \prime } ) ( \tau = \tau ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textrm { a n d } } & { { } } & { a _ { 1 } ^ { ( q ) } ( T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \left( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \sin T _ { 0 } - \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \cos T _ { 0 } \right) } \end{array}
\boldsymbol { e } _ { 0 , \ 1 } ^ { \prime } = ( \left( \left[ 1 , \ 0 , \ 2 \right] \right) + \left[ 1 , \ 3 , \ 2 \right] ) \times \left[ 2 , \ 1 , \ 0 \right] ^ { T } ) \times 1 = [ 4 , \ 3 , \ 0 ]
\begin{array} { r l r } { \mathrm { E B E R } _ { \mathrm { d a t a } } } & { { } = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ X _ { 1 , n } Y _ { 1 , n } - X _ { 2 , n } ( 1 - Y _ { 2 , n } ) - ( 1 - X _ { 3 , n } ) Y _ { 3 , n } - X _ { 4 , n } Y _ { 4 , n } \right] \; . } \end{array}
{ \mathbf { A } \otimes \mathbf { B } } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { a _ { 1 1 } b _ { 1 1 } } & { a _ { 1 1 } b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 1 } b _ { 1 q } } & { \cdots } & { \cdots } & { a _ { 1 n } b _ { 1 1 } } & { a _ { 1 n } b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } b _ { 1 q } } \\ { a _ { 1 1 } b _ { 2 1 } } & { a _ { 1 1 } b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 1 } b _ { 2 q } } & { \cdots } & { \cdots } & { a _ { 1 n } b _ { 2 1 } } & { a _ { 1 n } b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } b _ { 2 q } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { } & { } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { 1 1 } b _ { p 1 } } & { a _ { 1 1 } b _ { p 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 1 } b _ { p q } } & { \cdots } & { \cdots } & { a _ { 1 n } b _ { p 1 } } & { a _ { 1 n } b _ { p 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } b _ { p q } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } & { \ddots } & { } & { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } & { } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } b _ { 1 1 } } & { a _ { m 1 } b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { m 1 } b _ { 1 q } } & { \cdots } & { \cdots } & { a _ { m n } b _ { 1 1 } } & { a _ { m n } b _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } b _ { 1 q } } \\ { a _ { m 1 } b _ { 2 1 } } & { a _ { m 1 } b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { m 1 } b _ { 2 q } } & { \cdots } & { \cdots } & { a _ { m n } b _ { 2 1 } } & { a _ { m n } b _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } b _ { 2 q } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { } & { } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } b _ { p 1 } } & { a _ { m 1 } b _ { p 2 } } & { \cdots } & { a _ { m 1 } b _ { p q } } & { \cdots } & { \cdots } & { a _ { m n } b _ { p 1 } } & { a _ { m n } b _ { p 2 } } & { \cdots } & { a _ { m n } b _ { p q } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \overline { { C } } _ { k , i } ( n ) q ^ { n } \equiv \frac { \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } q ^ { \frac { k ( n ^ { 2 } - n ) } { 2 } + i n } + \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } q ^ { \frac { k ( n ^ { 2 } + n ) } { 2 } - i n } } { \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } q ^ { \frac { n ( 3 n - 1 ) } { 2 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } q ^ { \frac { n ( 3 n + 1 ) } { 2 } } } \ ( \mathrm { m o d } \ 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { m \to \infty } \mathrm { r a t e } \left( \mathcal { C } _ { \mathrm { o } ^ { \star } } \right) } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { m \to \infty } \frac { \log _ { 2 } N ( \mathcal { C } ; S _ { \mathrm { o } ^ { \star } } ) } { 2 ^ { m } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \frac { \left\lfloor \frac { 2 ^ { m } - 1 } { 2 } \right\rfloor - m } { 2 ^ { m } } } \\ & { = \frac 1 2 = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \frac { \left\lvert S _ { \mathrm { o } ^ { \star } } ^ { ( 2 ^ { m } ) } \right\rvert } { 2 ^ { m } } . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } B } { \partial x ^ { 2 } } = \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } \frac { e ^ { - \frac { - x ^ { 2 } } { 1 + 4 t } } } { 4 2 0 ( 1 + 4 t ) ^ { 9 / 2 } } \left[ 4 9 ( 1 + 4 t ) ^ { 2 } + 4 8 \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } ( 1 + 4 t ) x ^ { 2 } - 3 2 \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } x ^ { 4 } \right] + \frac { \partial B } { \partial t } .
M = \left( \begin{array} { c c } { { \displaystyle M _ { L } \null } } & { { \null \displaystyle ( M _ { \mathrm { D } } ) ^ { T } } } \\ { { \displaystyle M _ { \mathrm { D } } \null } } & { { \null \displaystyle M _ { R } } } \end{array} \right) \, .
- ( { \frac { e } { c } } ) \int d \vec { y } \psi ^ { ( 3 ) + } ( y ) ) K _ { i } ( y , x ) ( i \hbar \vec { \partial } _ { y ^ { i } } - ( { \frac { e } { c } } ) A _ { i } ^ { [ 3 ] } ( y ) ) \psi ^ { ( 3 ) } ( y ) \left. \right] \psi ^ { ( 3 ) } ( x ) \, ,
\Gamma _ { w s } \simeq 2 . 8 \times 1 0 ^ { 5 } T ( { \frac { \alpha _ { W } } { 4 \pi } } ) ^ { 4 } \kappa ( { \frac { E _ { s p } } { B T } } ) ^ { 7 } e ^ { \frac { - E _ { s p } } { T } } ,