harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbf { E } } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \propto \delta \left( k ^ { \prime } - \frac { 2 \pi } { \lambda } \right) \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } \left( E _ { 0 , \parallel } \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + E _ { 0 , \perp } \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \prime } \right) } \end{array}
\frac { B _ { 0 } } { A _ { 0 } } = \frac { ( 1 - \frac { A } { 2 B } ) k _ { 0 } - ( 1 + \frac { A } { 2 ( A + B ) } ) k _ { 1 } } { ( 1 - \frac { A } { 2 B } ) k _ { 0 } + ( 1 + \frac { A } { 2 ( A + B ) } ) k _ { 1 } }
F = \frac { \omega ^ { 3 } } { 2 l ( l + 1 ) \rho _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { | \mu _ { + } A | ^ { 2 } } { ( \omega ^ { 2 } - N ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \operatorname { I m } \big [ \mu _ { + } \big ] r ^ { 0 } .
d = { \frac { 2 } { 3 } } \left( { \frac { 2 e } { m _ { \mathrm { i } } } } \right) ^ { 1 / 4 } { \frac { | \varphi _ { \mathrm { w } } | ^ { 3 / 4 } } { 2 { \sqrt { \pi j _ { \mathrm { i o n } } ^ { \mathrm { s a t } } } } } }
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { 4 } } & { = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 4 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 4 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } } \\ & { = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \, \hat { e } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } \hat { e } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 3 } \textsc { q } _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { t } + \frac { h ^ { 2 } } { 1 2 } \ddddot t + \ldots } & { = } & { E ( x ) ^ { \top } \, \Bigl ( \dot { x } + \frac { h ^ { 2 } } 6 \dddot x + \ldots \Bigr ) } \\ { \ddot { x } + \frac { h ^ { 2 } } { 1 2 } \ddddot x + \ldots } & { = } & { E ( x ) \, \Bigl ( \dot { t } + \frac { h ^ { 2 } } 6 \dddot t + \ldots \Bigr ) - \widehat B ( x ) \, \Bigl ( \dot { x } + \frac { h ^ { 2 } } 6 \dddot x + \ldots \Bigr ) . \qquad } \end{array}
\mathcal { D } _ { 0 } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { 4 } } } & { { \frac { 1 } { 4 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \mathcal { C } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { c _ { 0 } } \\ { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { c _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { c _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { c _ { r - 1 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { y } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { e ^ { \gamma l _ { 1 } } } & { \cdots } & { e ^ { \gamma l _ { N } } } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { \boldsymbol { z } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { e ^ { - \gamma l _ { 1 } } } & { \cdots } & { e ^ { - \gamma l _ { N } } } \end{array} \right] ^ { T } . } \end{array}
W ^ { \pm } = \frac { g _ { 2 } } { \sqrt { g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } } } \left\{ 1 - \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } \left( g _ { 1 } ^ { 2 } - g _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { 4 \left( g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \delta ^ { 2 } \right\} W _ { 1 } ^ { \pm } + \frac { g _ { 1 } } { \sqrt { g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } } } \left\{ 1 + \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } \left( g _ { 1 } ^ { 2 } - g _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { 4 \left( g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \delta ^ { 2 } \right\} W _ { 2 } ^ { \pm } \, \, ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } } & { ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q > 1 } = \frac { \sqrt { r \, \beta ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } } \\ & { \times \sum _ { i = 0 , \, \, i \in E v e n s } ^ { \infty } \left[ ( - 1 ) ^ { \frac { i } { 2 } } \frac { i ! } { ( i / 2 ) ! } ( r ) _ { \frac { i } { 2 } } ^ { 2 } \frac { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } ) \Gamma ( { 2 r - \frac { 1 + i } { 2 } } ) } } { \Gamma ( { 2 r + i } ) } \right] \frac { \Delta _ { t } ^ { i } } { i ! } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } } & { \leq \| A ^ { k } \| _ { 1 } \tilde { a } _ { 0 } + \left\| ( I - A ) ^ { - 1 } b \right\| _ { 1 } } \\ & { \leq \| A \| _ { 1 } ^ { k } \tilde { a } _ { 0 } + \left\| ( I - A ) ^ { - 1 } b \right\| _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \lambda _ { 0 } = 2 e ^ { J _ { 1 } } \cosh J + 2 e ^ { - J _ { 1 } } \cos \varepsilon } } \\ { { \lambda _ { 2 } = 2 e ^ { J _ { 1 } } \cosh J - 2 e ^ { - J _ { 1 } } \cos \varepsilon } } \\ { { \lambda _ { 1 } = 2 e ^ { J _ { 1 } } \sinh J + 2 e ^ { - J _ { 1 } } \sin \varepsilon } } \\ { { \lambda _ { 3 } = 2 e ^ { J _ { 1 } } \sinh J - 2 e ^ { - J _ { 1 } } \sin \varepsilon \; . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { p t } } } = ( \mathbf F ( \ensuremath { \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { \! \mathrm { \scriptscriptstyle M A P } } } ) ^ { t } \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { n } } } ^ { - 1 } \mathbf F ( \ensuremath { \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { \! \mathrm { \scriptscriptstyle M A P } } } ) + \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { p r } } } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } = \mathbf H ^ { \mathrm { G N } } ( \ensuremath { \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { \! \mathrm { \scriptscriptstyle M A P } } } ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b } & { = e ^ { ( W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } + e ^ { ( - W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } - e ^ { ( - W - W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } } \\ & { = 1 + e ^ { - W } - e ^ { W ^ { \prime \prime } } = 1 + e ^ { - Z + i \pi f } - e ^ { Z ^ { \prime \prime } - i \pi f ^ { \prime \prime } } } \\ & { = 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } \frac { 1 } { z } - ( - 1 ) ^ { \delta ^ { \prime \prime } } z ^ { \prime \prime } = 1 - \frac { 1 } { z } - \bigl ( 1 - \frac { 1 } { z } \bigr ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } D _ { h } \left( x ^ { * } , Z \right) } & { = \frac { d } { d t } \left\{ h \left( x ^ { * } \right) - h ( Z ) - \left\langle \nabla h ( Z ) , x ^ { * } - Z \right\rangle \right\} } \\ & { = - \left\langle \nabla h ( Z ) , \dot { Z } \right\rangle - \left\langle \frac { d } { d t } \nabla h ( Z ) , x ^ { * } - Z \right\rangle + \left\langle \nabla h ( Z ) , \dot { Z } \right\rangle } \\ & { = - \left\langle \frac { d } { d t } \nabla h ( Z ) , x ^ { * } - Z \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathrm { M } + 1 } : = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } h ( \mu _ { - j , \mathrm { M } } ) Q _ { \mathrm { W } - j } , } \\ & { Q _ { \mathrm { M } + j } : = h ( \mu _ { + ( j - 1 ) , \mathrm { M } } ) Q _ { \mathrm { W } + ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , \infty ) , } \\ & { Q _ { \mathrm { M } - 1 } : = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( 1 - h ( \mu _ { + j , \mathrm { M } } ) ) Q _ { \mathrm { W } + j } , } \\ & { Q _ { \mathrm { M } - j } : = ( 1 - h ( \mu _ { - ( j - 1 ) , \mathrm { M } } ) ) Q _ { \mathrm { W } - ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , \infty ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \pi _ { F } } & { \colon ( \hat { T } , \hat { T } ^ { \prime } , T ^ { \prime \prime } ; X , X ^ { \prime } , X ^ { \prime \prime } ) \mapsto ( T , \hat { T } ^ { \prime } , X , X ^ { \prime } ) } & & { \qquad ( T = \hat { T } T ^ { \prime \prime } ) , } \\ { \pi _ { S } } & { \colon ( \hat { T } , \hat { T } ^ { \prime } , T ^ { \prime \prime } ; X , X ^ { \prime } , X ^ { \prime \prime } ) \mapsto ( \check { T } ^ { \prime } , T ^ { \prime \prime } , X ^ { \prime } , X ^ { \prime \prime } ) } & & { \qquad ( \check { T } ^ { \prime } = \hat { T } \hat { T } ^ { \prime } ) , } \\ { \pi _ { C } } & { \colon ( \hat { T } , \hat { T } ^ { \prime } , T ^ { \prime \prime } ; X , X ^ { \prime } , X ^ { \prime \prime } ) \mapsto ( \hat { T } , T ^ { \prime \prime } , X , X ^ { \prime \prime } ) , } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { \le \operatorname* { P r } ( \exists i \in [ m _ { n } ] \setminus \{ 1 \} : \hat { X } _ { i } ^ { K _ { n } } = \hat { X } _ { 1 } ^ { K _ { n } } ) } \\ & { \le \sum _ { i = 2 } ^ { 2 ^ { n R } } P _ { c o l , i } + \kappa _ { n } } \\ & { \le 2 ^ { n R } P _ { \mathrm { c o l , 2 } } + \kappa _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| P _ { \phi } \nu _ { \phi } ( \xi ) - P _ { \phi } ^ { \prime } \nu _ { \phi } ^ { \prime } ( \xi ) \| = \| h _ { 1 } ( \phi ) - h _ { 1 } ( \phi ^ { \prime } ) \| \le ( C + 1 ) | \theta - \theta ^ { \prime } | + ( \psi - \psi ^ { \prime } ) + ( E [ \xi / \theta ] - E [ \xi / \theta ^ { \prime } ] ) = C _ { 4 } ( 1 + | \xi | ^ { q _ { 4 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { B = B _ { u d } e ^ { - \varepsilon z } + \frac { g } { c _ { p d } T _ { 0 } } \left( \varepsilon z \widehat { h _ { 0 } } + e ^ { - \varepsilon z } \varepsilon ^ { 2 } \int _ { \xi = 0 } ^ { \xi = z } \widehat { h _ { 0 } } \xi e ^ { \varepsilon \xi } d \xi - \left( 1 - e ^ { - \varepsilon z } \right) h _ { 0 } ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \log \mathcal { Z } _ { \beta } } { \mathrm { d } \beta } } & { = \int \log [ p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ] \, p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ^ { \beta } p ( \ensuremath { \vec { \theta } } ) \mathrm { d } \ensuremath { \vec { \theta } } } \\ & { \equiv \mathbb { E } _ { \beta } [ \log p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ] . } \end{array}
\frac { \partial U ^ { i } } { \partial X ^ { j } } + \epsilon ^ { j i k } \Omega _ { 0 } ^ { k } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \frac { \partial U ^ { i } } { \partial X ^ { j } } + \frac { \partial U ^ { j } } { \partial X ^ { i } } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( { \frac { \partial U ^ { i } } { \partial X ^ { j } } - \frac { \partial U ^ { j } } { \partial X ^ { i } } + 2 \epsilon ^ { j i k } \Omega _ { 0 } ^ { k } } \right)
\begin{array} { r l } { \lvert \widehat { f } ( \ell , m ) \rvert } & { \le \frac { 1 } { ( \ell ( \ell + d - 2 ) ) ^ { k } } \left\lvert \int _ { \mathbb S ^ { d - 1 } } ( - \Delta _ { \mathbb S ^ { d - 1 } } ) ^ { k } f ( x ) \overline { { Y _ { \ell , m } ( x ) } } \, d \sigma ( x ) \right\rvert } \\ & { \le \frac { \lVert ( - \Delta _ { \mathbb S ^ { d - 1 } } ) ^ { k } f \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb S ^ { d - 1 } ) } } { ( \ell ( \ell + d - 2 ) ) ^ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \hat { K } _ { 0 } \psi ) ( l ^ { \prime } ) } & { \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } K _ { 0 } ( l ^ { \prime } , l ) \psi ( l ) d l } \\ { ( \tilde { \psi } \hat { K } _ { 0 } ) ( l ) } & { \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } \tilde { \psi } ( l ^ { \prime } ) K _ { 0 } ( l ^ { \prime } , l ) d l ^ { \prime } \ . } \end{array}
\mathcal { J } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } ( \mathbb { E } [ \mathcal { T } ] ) \le \mathbb { E } [ \mathcal { J } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } ( \mathcal { T } ) ] = \mathcal { J } ( \mathbf { w } ) .
K = \frac { \bigg ( \sinh ( \lambda _ { n } ^ { 1 / 4 } L _ { x } ) + \sin ( \lambda _ { n } ^ { 1 / 4 } L _ { x } ) \bigg ) } { \bigg ( \cos ( \lambda _ { n } ^ { 1 / 4 } L _ { x } ) - \cosh ( \lambda _ { n } ^ { 1 / 4 } L _ { x } ) \bigg ) } .
\begin{array} { r l r l r l r l } { S } & { { } = 1 ; } & { x _ { 0 } } & { { } = 2 ; } & { x _ { 1 } } & { { } = 1 . 2 5 0 ; } & { \varepsilon _ { 1 } } & { { } = 0 . 2 5 0 . } \\ { S } & { { } = 1 0 ; } & { x _ { 0 } } & { { } = 2 ; } & { x _ { 1 } } & { { } = 3 . 5 0 0 ; } & { \varepsilon _ { 1 } } & { { } < 0 . 1 0 7 . } \\ { S } & { { } = 1 0 ; } & { x _ { 0 } } & { { } = 6 ; } & { x _ { 1 } } & { { } = 3 . 8 3 3 ; } & { \varepsilon _ { 1 } } & { { } < 0 . 2 1 3 . } \\ { S } & { { } = 1 0 0 ; } & { x _ { 0 } } & { { } = 6 ; } & { x _ { 1 } } & { { } = 1 1 . 3 3 3 ; } & { \varepsilon _ { 1 } } & { { } < 0 . 1 3 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c \Big \{ | | \Delta _ { 1 } | | _ { F } ^ { 2 } + | | \Delta _ { 2 } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} + \lambda \Big \{ | | \Delta _ { 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { \frac { 8 \lambda ^ { 2 } ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) } { c } + \frac { 2 | | \widehat { \Sigma } _ { 1 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } + \frac { 2 | | \widehat { \Sigma } _ { 2 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } . } \end{array}
\left\{ R _ { \pm 0 A ( u ) } , R _ { \pm 0 ( v ) } ^ { B } \right\} = 0 \, , \qquad \left\{ R _ { \pm 0 A ( u ) } , R _ { \mp 0 ( v ) } ^ { B } \right\} = \delta _ { u v } \frac { 1 } { 2 } ( 1 \mp i \Omega \Pi ) _ { A } { } ^ { B } \, ,
G _ { x x } = \sum _ { i } { ( x _ { i } - C M _ { x } ) ^ { 2 } } , G _ { x y } = G _ { y x } = \sum _ { i } { ( x _ { i } - C M _ { x } ) ( y _ { i } - C M _ { y } ) } , G _ { y y } = \sum _ { i } { ( y _ { i } - C M _ { y } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { l l l } { { { \cal O } _ { 2 6 } = \mu _ { 2 6 } Y _ { a } Y _ { d } ^ { \dagger } { \chi ^ { - } } } } & { { { \cal O } _ { 2 7 } = \mu _ { 2 7 } Y _ { b } Y _ { d } ^ { \dagger } { \xi } } } & { { { \cal O } _ { 2 8 } = \mu _ { 2 8 } Y _ { c } Y _ { d } ^ { \dagger } L ^ { -- } } } \\ { { { \cal O } _ { 2 9 } = \mu _ { 2 9 } X _ { a } X _ { b } Y _ { c } ^ { \dagger } } } & { { { \cal O } _ { 3 0 } = \mu _ { 3 0 } X _ { a } \phi ^ { \dagger } Y _ { a } } } & { { { \cal O } _ { 3 1 } = \mu _ { 3 1 } X _ { a } \phi ^ { \dagger } Y _ { b } } } \\ { { { \cal O } _ { 3 2 } = \mu _ { 3 2 } X _ { a } X _ { a } Y _ { a } ^ { \dagger } } } & { { { \cal O } _ { 3 3 } = \mu _ { 3 3 } X _ { a } X _ { a } Y _ { b } ^ { \dagger } } } & { { { \cal O } _ { 3 4 } = \mu _ { 3 4 } X _ { b } Y _ { d } \phi ^ { \dagger } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \partial _ { t } K _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) | } & { \le C \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - t ( 1 - x ) } \sqrt { \frac { 1 - x } { 1 + x } } d x } \\ & { \le C \left( e ^ { - t } + \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - t z } \sqrt { z } d z \right) \le C ( e ^ { - t } + t ^ { - 3 / 2 } ) \le \frac { C } { t ^ { 3 / 2 } } , \quad n , m \in { \mathbb { N } _ { 0 } } \mathrm { ~ a n d ~ } t > 0 . } \end{array}
\delta \mathbf { r } _ { 1 } = ( L _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } , L _ { 1 } \sin \theta _ { 1 } ) \delta \theta _ { 1 } , \quad \delta \mathbf { r } _ { 2 } = ( L _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } , L _ { 1 } \sin \theta _ { 1 } ) \delta \theta _ { 1 } + ( L _ { 2 } \cos \theta _ { 2 } , L _ { 2 } \sin \theta _ { 2 } ) \delta \theta _ { 2 }
\Pi ( p ^ { 2 } ) \equiv \frac { i m _ { 3 / 2 } ^ { 2 } M ^ { 2 } ( Y _ { X _ { 1 } } ^ { 2 } + Y _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } ) { g ^ { \prime } } ^ { 2 } ( \mu ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \int \frac { ( 1 - 2 z ) ^ { 2 } \, d z } { ( M ^ { 2 } - p ^ { 2 } z ( 1 - z ) ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \| T u \| _ { L ^ { 2 } ( O B C D A ) } ^ { 2 } } & { = m ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( O B C D A ) } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( O B C D A ) } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { O A } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { O B } ^ { 2 } } \\ & { + m \| \gamma u \| _ { D A } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { C B } ^ { 2 } + + m \| \gamma u \| _ { C D } ^ { 2 } . } \end{array}
\rho _ { 1 } [ \beta ; \phi , \phi ] = - \frac { \lambda } { 4 ! } \rho _ { 0 } \, \left[ \int _ { 1 } \widehat \varphi ^ { 4 } ( 1 ) + 6 \int _ { 1 } G _ { \eta } ( 1 ; 1 ) \widehat \varphi ^ { 2 } ( 1 ) + \int _ { 1 } \langle \eta ^ { 4 } ( 1 ) \rangle \right] \; .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \mathbb { E } [ ( H _ { \theta , u } - H _ { \gamma , v } - \mathbb { E } ( H _ { \theta , u } - H _ { \gamma , v } ) ) _ { i j } ^ { 2 k } ] } \\ & { \leq C _ { 2 k } N ^ { - k + 1 / 2 } \sum _ { i , j } | \theta u _ { i } u _ { j } - \gamma v _ { i } v _ { j } | } \\ & { \leq C _ { 2 k } N ^ { - k + 1 / 2 } \sum _ { i } ( | \sqrt { \theta } u _ { i } | \sum _ { j } | \sqrt { \theta } u _ { j } - \sqrt { \gamma } v _ { j } | + | \sqrt { \theta } u _ { i } - \sqrt { \gamma } v _ { i } | \sum _ { j } \sqrt { \gamma } | v _ { j } | ) } \\ & { \leq C _ { 2 k } N ^ { - k + 3 / 2 } ( \sqrt { \theta } + \sqrt { \gamma } ) \| \sqrt { \theta } u - \sqrt { \gamma } v \| _ { 2 } } \end{array}
\boldsymbol { z } ^ { * } = \left( 0 , 1 - \frac { 2 q ( b - c ) } { \mu _ { 1 } ( a b - c ^ { 2 } ) } , 1 - \frac { 2 q ( a - c ) } { \mu _ { 2 } ( a b - c ^ { 2 } ) } , \frac { q ( b - c ) ^ { 2 } } { \left( a b - c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \mu _ { 1 } ^ { 2 } } , \frac { q ( a - c ) ^ { 2 } } { \left( a b - c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } } , \frac { 2 q ( a - c ) ( b - c ) } { \left( a b - c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \delta a } & { = a _ { - } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { p } t } + a _ { + } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Delta _ { p } t } , } \\ { \delta b } & { = b _ { - } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { p } t } + b _ { + } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Delta _ { p } t } , } \\ { \delta c } & { = c _ { - } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { p } t } + c _ { + } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Delta _ { p } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { { N e w t o n } } } } & { { } = m \cdot a ( t ) = m \cdot { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } u ( x + h , t ) } \\ { F _ { \mathrm { { H o o k e } } } } & { { } = F _ { x + 2 h } - F _ { x } = k \left[ { u ( x + 2 h , t ) - u ( x + h , t ) } \right] - k [ u ( x + h , t ) - u ( x , t ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ P _ { k } ^ { i _ { 1 } } P _ { k } ^ { i _ { 2 } } P _ { k } ^ { i _ { 3 } } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \left( b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 1 } } \right) \left( b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 2 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 2 } } \right) \left( b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 3 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 3 } } \right) } \\ & { \quad + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 n ^ { 2 } } \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 3 ) } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } \left( b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 3 ) } } - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 3 ) } } \right) } \\ & { \quad + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ \Phi _ { 3 } ^ { \varepsilon } ( s ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( s ) \right\} \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n } \right) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \{ \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( s ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) \} \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } ( 1 ) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \{ \Phi _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( u ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u ) \} \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n } \right) \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( u ) \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 3 ) } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } } b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { s } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { u } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon } { n ^ { 3 } \sqrt { n } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 3 } } \right) } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
T _ { \boldsymbol { p } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty , t ^ { \prime } \to - \infty } \langle \Psi _ { \boldsymbol { p } } ( t ) | \hat { U } ( t , t ^ { \prime } ) | \Psi _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) \rangle ,
\begin{array} { r } { \tilde { y } _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha ^ { - 1 / 3 } \, ; \quad \alpha > 1 \, , } & { } \\ { \alpha ^ { 2 / 3 } \, ; \quad \alpha < 1 \, \cdot } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } \left[ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ } , p } ^ { ( k ) } \right] = c _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k ) } ) \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } \left[ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( k ) } \right] \, , } \end{array}
d s ^ { 2 } = g _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } = d \tau ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( d \chi ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \chi \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \left( d \phi + { \frac { \alpha } { \beta } } d \tau \right) ^ { 2 } \right) \right) \space ,
\begin{array} { r l } { I _ { n } ( t , x ) } & { \le 2 \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } y \, \ensuremath { \mathrm { d } } y ^ { \prime } f ( y - y ^ { \prime } ) G _ { D } ( t - s , x , y ) G _ { D } ( t - s , x , y ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \times | J ( s , y ) | \, | J ( s , y ^ { \prime } ) | \left( \sum _ { i = 0 } ^ { n } a ^ { i } \, \widetilde { h } _ { i } ( s ) \right) } \\ & { \le 2 \sum _ { i = 0 } ^ { n } a ^ { i } \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \, \widetilde { h } _ { i } ( s ) \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } y \, \ensuremath { \mathrm { d } } y ^ { \prime } f ( y - y ^ { \prime } ) G _ { D } ( t - s , x , y ) G _ { D } ( t - s , x , y ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \times \iint _ { U ^ { 2 } } | \nu | ( \ensuremath { \mathrm { d } } z ) | \nu | ( \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } ) G _ { D } ( s , y , z ) G _ { D } ( s , y , z ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { b } _ { k k } } & { = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { k } \vec { u } _ { k } } { m _ { k } + m _ { k } } \, , } \\ { \vec { b } _ { k l } } & { = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { l } \vec { u } _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { \vec { b } _ { k m } } & { = } & { \frac { m _ { k } \vec { u } _ { k } + m _ { m } \vec { u } _ { m } } { m _ { k } + m _ { m } } \, . } \end{array}