\begin{array} { r } { \rho _ { q } \left( t \right) = \mathcal { N } ^ { 2 } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left| \gamma _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } \left| A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } \right| ^ { 2 } \left| e _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right\rangle \left\langle e _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right| + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) * } \left| e _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right\rangle \left\langle e _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right| \right. } \\ { + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) * } \left| e _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right\rangle \left\langle g _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right| + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 2 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 2 \right) } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) * } \left| e _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right\rangle \left\langle g _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right| } \\ { + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } \gamma _ { n + 1 } ^ { * } A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) * } \left| e _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right\rangle \left\langle e _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right| + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left| \gamma _ { n } \right| ^ { 2 } \left| A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) } \right| ^ { 2 } \left| e _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right\rangle \left\langle e _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right| } \\ { + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) } A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) * } \left| e _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right\rangle \left\langle g _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right| + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 2 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) * } \left| e _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right\rangle \left\langle g _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right| } \\ { + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } \gamma _ { n + 1 } ^ { * } A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) * } \left| g _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right\rangle \left\langle e _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right| + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) } A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) * } \left| g _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right\rangle \left\langle e _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right| } \\ { + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left| \gamma _ { n } \right| ^ { 2 } \left| A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) } \right| ^ { 2 } \left| g _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right\rangle \left\langle g _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right| + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 2 3 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) * } \left| g _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right\rangle \left\langle g _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right| } \\ { + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } \gamma _ { n + 2 } ^ { * } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 2 \right) * } \left| g _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right\rangle \left\langle e _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right| + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } \gamma _ { n + 1 } ^ { * } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) } A _ { 2 2 } ^ { \left( n + 1 \right) * } \left| g _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right\rangle \left\langle e _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right| } \\ { \left. + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } \gamma _ { n + 1 } ^ { * } A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) } A _ { 2 3 } ^ { \left( n + 1 \right) * } \left| g _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right\rangle \left\langle g _ { 1 } , \, e _ { 2 } \right| + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left| \gamma _ { n } \right| ^ { 2 } \left| A _ { 2 4 } ^ { \left( n \right) } \right| ^ { 2 } \left| g _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right\rangle \left\langle g _ { 1 } , \, g _ { 2 } \right| \right] . } \end{array}