harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \psi _ { + } ^ { ( a ) } ( U ) = \frac { 1 } { \mathfrak { q } ^ { - 1 } - \mathfrak { q } } \left( \exp \left( x _ { - } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { - 1 / 2 } U \right) - x _ { + } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { 1 / 2 } U \right) - y _ { + } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { - 1 / 2 } U \right) + y _ { - } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { - 3 / 2 } U \right) \right) \right) , } \\ & { \psi _ { - } ^ { ( a ) } ( U ) = \frac { 1 } { \mathfrak { q } ^ { - 1 } - \mathfrak { q } } \left( \exp \left( x _ { - } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { - 3 / 2 } U \right) - x _ { + } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { - 1 / 2 } U \right) - y _ { + } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { 1 / 2 } U \right) + y _ { - } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { - 1 / 2 } U \right) \right) \right) , } \\ & { e ^ { ( a ) } ( U ) = \left( \exp \left( X ^ { ( a ) } ( U ) \right) \partial \exp \left( \Gamma _ { - } ^ { ( a ) } ( U ) \right) \right) , } \\ & { f ^ { ( a ) } ( U ) = \left( \exp \left( Y ^ { ( a ) } ( U ) \right) \exp \left( \Gamma _ { + } ^ { ( a ) } ( U ) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon \int _ { B _ { r / 2 } } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } & { = \varepsilon ^ { 2 } \int _ { B _ { r / 2 } } \left( \frac { f _ { \varepsilon } } { | \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right) ^ { 2 } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } \\ & { \leq \varepsilon ^ { 2 } \left( \int _ { B _ { r / 2 } } \left| \frac { f _ { \varepsilon } } { | \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right| ^ { q _ { 0 } } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 / q _ { 0 } } \left( \int _ { B _ { r / 2 } } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { q _ { 0 } } { q _ { 0 } - 2 } } } \\ & { \leq \varepsilon ^ { 2 } C ( \Lambda _ { 0 } , E _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla J _ { \lambda } ( \pmb \omega ) \cdot \pmb h } & { = } & { \frac { 2 } { n } < K _ { 1 } \pmb \omega - \pmb Y , K _ { 1 } \pmb h > + 2 \lambda < K _ { 2 } \pmb \omega , \pmb h > = \frac { 2 } { n } < K _ { 1 } ^ { * } K _ { 1 } \pmb \omega - K _ { 1 } ^ { * } \pmb Y , \pmb h > + 2 \lambda < K _ { 2 } \pmb \omega , \pmb h > } \\ & { = } & { 2 < \frac { 1 } { n } K _ { 1 } ^ { * } K _ { 1 } \pmb \omega - \frac { 1 } { n } K _ { 1 } ^ { * } \pmb Y + \lambda K _ { 2 } \pmb \omega , \pmb h > } \end{array}
{ } ^ { ( 4 ) } G _ { \mu \nu } = { \frac { 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } { 3 } } \left[ { } ^ { ( 5 ) } T _ { A B } g _ { \mu } ^ { ~ A } g _ { \nu } ^ { ~ B } + \left( { } ^ { ( 5 ) } T _ { A B } n ^ { A } n ^ { B } - { \frac { 1 } { 4 } } { } ^ { ( 5 ) } T _ { ~ C } ^ { C } \right) g _ { \mu \nu } \right] + K K _ { \mu \nu } - K _ { \mu } ^ { ~ \sigma } K _ { \nu \sigma } - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \mu \nu } \left( K ^ { 2 } - K ^ { \alpha \beta } K _ { \alpha \beta } \right) - E _ { \mu \nu } ,
\begin{array} { r l } { r ^ { \mu \nu } } & { = \frac { 1 } { ( q - 1 ) ! } n ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } + \frac { 1 } { ( q - 2 ) ! } ( n _ { \ell } ) ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu _ { \ell } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { q ! } { * \tilde { n } } ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } { * \tilde { \mu } } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } - \frac { 1 } { ( q + 1 ) ! } ( { * \tilde { n } _ { \ell } } ) ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } { * \tilde { \mu } _ { \ell } } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } , } \\ { r ^ { [ \mu \nu ] } } & { = 0 . } \end{array}
\mathcal { M } _ { t _ { c } } : = \{ x ^ { t _ { c } } = ( \alpha ^ { t _ { c } } , \beta ^ { t _ { c } } ) \in \Phi _ { 0 } ^ { t _ { c } } ( \mathcal { M } ) \ : \ \beta ^ { t _ { c } } \leq 3 0 ^ { \circ } \mathrm { ~ S ~ } \}
A ( \lambda ) = q _ { n } ( - 2 q _ { c } ^ { 2 } + q _ { n } ^ { 2 } + q _ { n + 1 } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) \sim N ^ { - 2 / 3 } \, ( 2 g ( 0 ) - ( - ) ^ { n } f ^ { \prime } ( 0 ) + z ^ { 2 } ) .
{ \frac { d } { d x } } \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } , z _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } , z _ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - K \Delta } \\ { 1 / \Delta } & { 0 } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \widehat { f } _ { x , \xi } } \\ { \widehat { f } _ { y , \xi } } \\ { \widehat { f } _ { z , \xi } } \end{array} \right] = } & { \boldsymbol { P } \; \boldsymbol { \widehat { u } } _ { \Xi , c } \mathrm { d i a g } \left( \boldsymbol { \widehat { \nabla } } , \boldsymbol { \widehat { \nabla } } , \boldsymbol { \widehat { \nabla } } \right) \left[ \begin{array} { l } { \widehat { u } } \\ { \widehat { v } } \\ { \widehat { w } } \end{array} \right] , \; \; \mathrm { w h e r e } } \\ { \boldsymbol { P } : = } & { \mathrm { d i a g } \left( \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 1 \times 3 } \right) , } \\ { \boldsymbol { \widehat { u } } _ { \Xi , c } : = } & { \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } \otimes \mathrm { d i a g } \left( - \widehat { u } _ { \xi } , - \widehat { v } _ { \xi } , - \widehat { w } _ { \xi } \right) , } \end{array}
\delta \mathcal { L } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) = { \left\langle { \frac { { \partial J } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left( { \frac { { \partial { R _ { k } } } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } } \right) } ^ { \dag } } \cdot { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } , \delta { \bf { \bar { v } } } } \right\rangle _ { { \bf { x } } , t } } - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left\langle { \frac { { \partial { R _ { k } } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) } } { { \partial { C _ { n } } } } \cdot \delta { C _ { n } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { { \bf { x } } , t } } } - B T ,
F _ { 4 } ( x ) = v _ { 0 } ( 1 + ( 1 / 2 ) x + 3 x ^ { 2 } ) - 3 x ( 1 - 2 x ^ { 2 } ) \ln { { \frac { ( 1 + v _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 x } } }
\begin{array} { r l } { \log \sigma } & { = \log | \tilde { \Delta } _ { 3 } - \tilde { d } _ { 3 } | - \log | Z _ { 3 } | } \\ & { \in \left[ \log \left| | ( 2 + \sqrt { 3 } ) \Delta _ { 2 } + \Delta _ { 3 } | - \left[ ( 2 + \sqrt { 3 } ) B _ { 2 1 } + B _ { 3 2 } \right] \right| , \ \log \left| \Delta _ { 2 } + ( 2 + \sqrt { 3 } ) \Delta _ { 3 } + B _ { 2 1 } + ( 2 + \sqrt { 3 } ) B _ { 3 2 } \right| \, \right] } \\ & { - \left[ - \frac { 1 } { 2 } \log \left\{ \frac { - 2 \log ( \alpha / 2 ) } { 1 + e ^ { - 2 v _ { 1 } } } \right\} , \ - \frac { 1 } { 2 } \log \left\{ \frac { - 2 \log ( 1 - \alpha / 2 ) } { 1 + e ^ { - 2 v _ { 2 } } } \right\} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { 2 } } & { \simeq e ^ { - \pi \ell _ { 0 } / 2 w } ( \pi s / w ) ^ { 2 } \ll k _ { 2 } ^ { \prime } \simeq 1 } & { \mathrm { f o r ~ } s \ll w , } \\ { k _ { 2 } } & { \simeq e ^ { - \pi ( \ell _ { 0 } / 2 - s ) / w } \ll k _ { 2 } ^ { \prime } \simeq 1 } & { \mathrm { f o r ~ } w < s < \ell _ { 0 } / 2 , } \\ { k _ { 2 } ^ { \prime } } & { \simeq e ^ { - \pi ( s - \ell _ { 0 } / 2 ) / w } \ll k _ { 2 } \simeq 1 } & { \mathrm { f o r ~ } s > \ell _ { 0 } / 2 . } \end{array}
\mathrm { S y m } _ { \Omega } = \sigma _ { 1 } ^ { \left( i \right) , \ddag } \mathfrak { U } \left( r _ { T } ^ { \left( i \right) } \right) \cup \sigma _ { 2 } ^ { \left( i \right) , \ddag } \mathfrak { U } \left( r _ { T } ^ { \left( i \right) } \right) \cup \cdots \cup \sigma _ { m ^ { \left( i \right) , \ddag } } ^ { \left( i \right) , \ddag } \mathfrak { U } \left( r _ { T } ^ { \left( i \right) } \right) .
\frac { { \cal E } _ { \mathrm { H F } } } { N } = \frac { k _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } } { 2 \pi } + \frac { \tilde { S } _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 \pi } \left[ \ln ( 1 6 k _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \tilde { S } _ { 1 } ^ { 2 } ) - 1 \right] \ ,
b _ { \mu } = \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \, \bigl [ \, b _ { \mu } ^ { n } \, H _ { n } + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \, ( \, b _ { \mu } ^ { k n - } \, E _ { n k } ^ { - } + b _ { \mu } ^ { k n + } \, E _ { k n } ^ { + } \, ) \bigr ] .
\begin{array} { r } { \frac { \partial D _ { \pm } } { \partial E } = \frac { \mu R _ { 0 } ^ { 2 } } { D _ { \pm } \hbar ^ { 2 } } \; , \; \frac { \partial ( i \kappa _ { c } ) } { \partial E } = \frac { \mu R _ { 0 } ^ { 2 } } { i \kappa _ { c } \hbar ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { q _ { \overline { { x } } } : = \partial _ { \overline { { x } } } \varphi ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) = L _ { 1 } h ^ { \prime } ( | \overline { { x } } - \overline { { y } } | ) \frac { \overline { { x } } - \overline { { y } } } { | \overline { { x } } - \overline { { y } } | } + 2 L _ { 2 } ( \overline { { x } } - x _ { 0 } ) , } \\ & { q _ { \overline { { y } } } : = - \partial _ { \overline { { y } } } \varphi ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) = L _ { 1 } h ^ { \prime } ( | \overline { { x } } - \overline { { y } } | ) \frac { \overline { { x } } - \overline { { y } } } { | \overline { { x } } - \overline { { y } } | } - 2 L _ { 2 } ( \overline { { y } } - x _ { 0 } ) . } \end{array} \right.
K \left( \rho \right) \geqslant 0 , \quad \mathrm { ~ i ~ . ~ e ~ . ~ , ~ } \quad \sin \left( \arg \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) - \arg \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) + \xi \pi \right) \geqslant 0 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \rho \geqslant 0 ,
\gamma ^ { \mu } { \stackrel { \leftrightarrow } { \nabla } } _ { \mu } = e _ { m } ^ { \mu } [ \gamma ^ { m } ( \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } _ { \mu } - i g A _ { \mu } ^ { a } \tau _ { a } ) \, + { \frac { i } { 2 } } \Gamma _ { n \mu p } \{ \gamma ^ { m } ; \Sigma ^ { n p } \} ] ,
W _ { \mathrm { D } } \Sigma = \int d ^ { 4 } x \sum _ { { \Phi = \sigma , \, \pi ^ { a } , \, \psi } } \left[ \left( d _ { \Phi } + x \cdot \partial \right) \Phi \right] \frac { \delta \Sigma } { \delta \Phi } = \Lambda \, \, ,
\left\vert E \right\vert = E _ { 0 } \left\vert \frac { \mathrm { d } \zeta } { \mathrm { d } z _ { c } } \right\vert = \frac { E _ { 0 } } { \lambda } \left\vert z _ { c } \right\vert ^ { 1 / \lambda - 1 } ,
\frac { 1 } { \sqrt { - g } } \partial _ { \mu } \sqrt { - g } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } { \cal P } ( r , \omega ; \tilde { r } , \tilde { \omega } ) \sim \delta ^ { 6 } ( r - \tilde { r } , \omega - \tilde { \omega } )
w ^ { h } ( z ) : = \left( \bar { w } _ { 1 } ( z ^ { \prime } ) - \frac { z _ { 3 } } { h } \partial _ { 1 } \bar { w } _ { 3 } ( z ^ { \prime } ) , \, \bar { w } _ { 2 } ( z ^ { \prime } ) - \frac { z _ { 3 } } { h } \partial _ { 2 } \bar { w } _ { 3 } ( z ^ { \prime } ) , \, \frac { 1 } { h } \bar { w } _ { 3 } ( z ^ { \prime } ) \right) \, \mathrm { ~ f o r ~ a . e . ~ } z = ( z ^ { \prime } , z _ { 3 } ) \in \Omega ^ { h } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { U } ( t ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { K } \frac { ( - i t H ) ^ { k } } { k ! } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { K } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \frac { t ^ { k } } { k ! } \prod \alpha _ { l } ( - i ) ^ { k } \prod H _ { l } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { N } \widetilde { \alpha _ { i } } \widetilde { H _ { i } } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( X _ { T } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - M _ { T } ^ { f } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \varepsilon } } \sum _ { i , j = 1 , 2 } \partial _ { i j } ^ { 2 } f ( B _ { k - 1 } ) \mathrm { d } B _ { k } ^ { i } \mathrm { d } B _ { k } ^ { j } + \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \varepsilon } } R _ { 3 } ^ { f } ( B _ { k - 1 } , \mathrm { d } B _ { k } ) = : A + B } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } } & { = \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } \cdot \left( T _ { s ^ { \prime } } \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } \right) \cdot T _ { s ^ { \prime } } } \\ & { = \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } \cdot \left( \theta _ { ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } - ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \theta _ { ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } - ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) \right) \cdot T _ { s ^ { \prime } } } \\ & { = T _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 } - ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) T _ { s ^ { \prime } } - ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) \cdot \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } } \\ & { = - ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) \cdot \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } + q _ { 1 } ^ { \prime } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { R _ { l } ^ { \mathrm { P P } } ( r ) } & { = R _ { n l } ^ { \mathrm { A E } } ( r ) , { \mathrm { ~ f o r ~ } } r > r _ { l } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { r _ { l } } { \big | } R _ { l } ^ { \mathrm { P P } } ( r ) { \big | } ^ { 2 } r ^ { 2 } \, \mathrm { d } r } & { = \int _ { 0 } ^ { r _ { l } } { \big | } R _ { n l } ^ { \mathrm { A E } } ( r ) { \big | } ^ { 2 } r ^ { 2 } \, \mathrm { d } r , } \end{array} }
S _ { T } ( k ) = ( k _ { \mu } \gamma ^ { \mu } + m ) [ { \frac { 1 } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon } } + i 2 \pi \delta ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) [ \Theta ( k ^ { 0 } ) n _ { + } + \Theta ( - k ^ { 0 } ) n _ { - } ] ]
\begin{array} { r l } { | A | \lesssim } & { ( \delta L ^ { 2 \gamma } ) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { L } ^ { \delta L ^ { 2 \gamma } } \left| \sum _ { ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \in \mathbb Z _ { L } ^ { 2 d } } \chi _ { 0 } ( { x _ { 1 } - a _ { 1 } } ) \chi _ { 0 } ( { y _ { 1 } - b _ { 1 } } ) e ^ { \pi i \left[ x _ { 1 } \cdot \xi _ { 1 } + y _ { 1 } \cdot \rho _ { 1 } + u _ { 1 } ( x _ { 1 } \cdot y _ { 1 } ) + \delta L ^ { 2 \gamma } t _ { 1 } r \cdot \zeta _ { 1 } \right] } \right| \mathrm { d } u _ { 1 } \mathrm { d } t _ { 1 } } \\ { \lesssim } & { ( \delta L ^ { 2 \gamma } ) ^ { - 1 } L ^ { 2 d - 2 ( d - 1 ) ( 1 - \gamma ) + \eta } \lesssim ( \delta L ^ { 2 \gamma } ) ^ { - 1 } L ^ { 2 d - \gamma - \eta } , } \end{array}
\mathcal { C } _ { l e a r n } = \frac { | | C ^ { l e a r n } - C ^ { G P } | | ^ { 2 } + | | L ^ { l e a r n } - L ^ { G P } | | ^ { 2 } } { | | C ^ { G P } | | ^ { 2 } + | | L ^ { G P } | | ^ { 2 } }
{ \bf D } _ { \perp } ^ { ( r ) } ( { \bf r } , t ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ e ^ { i \left[ k _ { 0 z } z + \frac { c } { n _ { 2 } } k _ { 0 } ( t - \tau ) \right] } { \tilde { \bf D } } _ { \perp } ^ { ( r ) } ( { \bf r } _ { \perp } ) \right\}
\begin{array} { r l r } & { } & { - \frac { \beta } { 2 } \left( \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } \hat { P } _ { 0 } \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } \right) } \\ & { } & { = - \frac { \beta } { 2 } \left( \Big [ \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \langle N | \hat { V } ^ { ( 1 ) } | N \rangle \Big ] - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } \right) } \\ & { } & { = - \frac { \beta } { 2 } \left( \left( E _ { \mathrm { X V S C F } } ( T ) - V _ { \mathrm { r e f } } - \sum _ { i } \omega _ { i } ( f _ { i } + 1 / 2 ) \right) ^ { 2 } - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } \right) } \\ & { } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c } { b ( 0 ) = 1 , } & { f ^ { \prime } ( 0 ) = 0 \, , } \\ { f ( 0 ) = i \Im f ( 0 ) , } & { \Im f ( 0 ) = x _ { 0 } \, , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { H } ( k ) = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { V _ { 1 } } & { J } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { J \exp ( - i k M ) } \\ { J } & { V _ { 2 } } & { J } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { J } & { V _ { 3 } } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { J } & { V _ { M - 1 } } & { J } \\ { J \exp ( i k M ) } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { J } & { V _ { M } } \end{array} \right) .
\Delta M = \Delta C _ { 0 } \left( 1 + \Delta K _ { 0 } + \Delta K _ { 0 } ^ { 2 } + . . . \right) = \Delta C _ { 0 } \frac { 1 } { 1 - \Delta K _ { 0 } } \equiv \Delta C _ { 0 } \Delta \Gamma _ { 0 } \: \: \: .
) . I n F i g . ( b ) t h e t y p i c a l e x a m p l e s o f t h e t r a j e c t o r y f o r t h e s m a l l d a m p i n g a r e s h o w n b y t h e y e l l o w a n d g r e e n c u r v e s a n d d o t s o n t h e e n e r g y d e n s i t y c o n t o u r . T h e p u l s e w i d t h s a r e
\begin{array} { r } { J _ { s } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } , \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \frac { \, \, \, \, \, \langle \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { 2 } , \tau _ { 2 } ) \rangle _ { \mathrm { t r a j e c t o r i e s \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \lambda ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { r a d . } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \lambda , \mathbf { b } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ( \mathbf { r } ) + ( 1 - \lambda ) v _ { \mathrm { ~ H ~ } } ( \mathbf { r } ) + ( 1 - \lambda ) v _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \phi _ { L } ( x ) - \phi _ { L } ( y _ { i } ) \| } & { \leq \| \phi _ { L } ( x ) - \phi _ { L } ( y ) \| + \| \phi _ { L } ( y ) - \phi _ { L } ( y _ { i } ) \| } \\ & { = \| \phi _ { L } ( y ) - \phi _ { L } ( y _ { i } ) \| } \\ & { \leq \| \phi ( y _ { i } ) - \phi ( y ) \| + \| L ( y _ { i } - y ) \| } \\ & { \leq H \| y _ { i } - y \| + \sqrt { N } \| y _ { i } - y \| } \\ & { \leq M \varepsilon _ { i } } \end{array}
{ \overline { { A } } } _ { \mu } \simeq \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { g } { m } \right) ^ { 2 } [ ( { \frac { m } { g } } - \sigma ) \vec { \tau } \cdot \partial _ { \mu } \vec { \pi } - \vec { \tau } \cdot \vec { \pi } \partial _ { \mu } \sigma ] + \cdots ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , - w } ( + ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, , } \\ { \delta _ { g , + w } ( - ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } \big ( F ( \alpha ) \cap G ( \beta ) \big ) \leq } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { K \to \infty } \sum _ { k = K } ^ { \infty } \sum _ { m _ { k } = e ^ { \frac { k } { C } } } ^ { \infty } \sum _ { ( n _ { 1 } , m _ { 1 } , \ldots , m _ { k - 1 } , n _ { k } ) \in \Lambda _ { k , m _ { k } } } \sum _ { b _ { k } = 1 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { b _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } } \\ & { \times \sum _ { ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) \in \mathcal { D } _ { n _ { k } , m _ { k } } ( \{ b _ { k } \} ) } | I _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) | ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } } \\ { \overset { \mathrm { ( ) } } { \leq } } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { K \to \infty } \sum _ { k = K } ^ { \infty } \sum _ { m _ { k } = e ^ { \frac { k } { C } } } ^ { \infty } \sum _ { n _ { k } = 1 } ^ { m _ { k } } \sum _ { m _ { k - 1 } = 1 } ^ { n _ { k } } \cdots \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { n _ { 2 } } \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { m _ { 1 } } ( 1 6 ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } M ) ^ { k } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { m _ { k } - 1 } { 2 } \varepsilon } } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { K \to \infty } \sum _ { k = K } ^ { \infty } \sum _ { m _ { k } = e ^ { \frac { k } { C } } } ^ { \infty } ( 1 6 ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } M m _ { k } ) ^ { 2 C \log m _ { k } } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { m _ { k } - 1 } { 2 } \varepsilon } } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { K \to \infty } \sum _ { k = K } ^ { \infty } \sum _ { m _ { k } = e ^ { \frac { k } { C } } } ^ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { m _ { k } - 1 } { 4 } \varepsilon } \leq \frac { 1 } { 1 - ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { \varepsilon } { 4 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { 2 ^ { \varepsilon } } \Big ) ^ { \frac { e ^ { \frac { k } { C } } - 1 } { 4 } } < + \infty , } \end{array}
\ { \begin{array} { r r c l } & { { \boldsymbol { \sigma } } ^ { * } } & { = } & { { \mathcal { H } } ( { \boldsymbol { B } } ^ { * } ) } \\ { \Rightarrow } & { { \boldsymbol { R } } \cdot { \boldsymbol { \sigma } } \cdot { \boldsymbol { R } } ^ { T } } & { = } & { { \mathcal { H } } ( { \boldsymbol { F } } ^ { * } \cdot ( { \boldsymbol { F } } ^ { * } ) ^ { T } ) } \\ { \Rightarrow } & { { \boldsymbol { R } } \cdot { \mathcal { H } } ( { \boldsymbol { B } } ) \cdot { \boldsymbol { R } } ^ { T } } & { = } & { { \mathcal { H } } ( { \boldsymbol { R } } \cdot { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { R } } ^ { T } ) } \\ { \Rightarrow } & { { \boldsymbol { R } } \cdot { \mathcal { H } } ( { \boldsymbol { B } } ) \cdot { \boldsymbol { R } } ^ { T } } & { = } & { { \mathcal { H } } ( { \boldsymbol { R } } \cdot { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { R } } ^ { T } ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H _ { \cdot : \cdot } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) } & { = \left( \frac { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 0 } } - \frac { k _ { 0 } } { | \mathbf { x } _ { 0 } | } \right) + \left( \frac { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 1 } } - \frac { k _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } | } \right) + \left( \frac { \mathbf { p } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 2 } } - \frac { k _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } | } \right) + U _ { 0 1 } + U _ { 2 } } \\ { k _ { 0 } } & { = 1 , \ k _ { 1 } = 2 m _ { 1 } , \quad } \\ { U _ { 0 1 } } & { = \left( \frac { k _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } | } - \frac { m _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { m _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } \right) . } \end{array}
\quad n v \cos { \theta } d A d t { \times } \left( { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T } } \right) ^ { 3 / 2 } \, e ^ { - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } } ( v ^ { 2 } \sin { \theta } d v { d \theta } d \phi )
p _ { 0 } ^ { + 2 } - \Sigma p _ { k } ^ { + 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma P _ { j } ^ { + 2 } = p _ { 0 } ^ { + \prime 2 } - \Sigma p _ { k } ^ { + \prime 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma P _ { j } ^ { + \prime 2 }