harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { i \hbar \partial _ { t } \Psi _ { 1 } = } & { \ \left[ { \hat { K } } _ { 1 } + V ( \mathbf { x } ) + G _ { 1 } | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } + G _ { 1 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } - { \tilde { \mu } _ { 1 } } \right] \Psi _ { 1 } , } \\ { i \hbar \partial _ { t } \Psi _ { 2 } = } & { \ \left[ { \hat { K } } _ { 2 } + V ( \mathbf { x } ) + G _ { 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } + G _ { 1 2 } | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } - { \tilde { \mu } _ { 2 } } \right] \Psi _ { 2 } , } \end{array}
M _ { \pi ^ { \circ } } = < 2 \gamma | \pi ^ { \circ } > \frac { 1 } { m _ { K _ { L } } ^ { 2 } - m _ { \pi ^ { \circ } } ^ { 2 } } < \pi ^ { \circ } | H _ { w } ^ { p c } | K _ { L } > ,
k _ { 1 , 2 } ^ { 2 } = \frac { 2 S _ { 1 3 } \! + \! S _ { 4 4 } \pm \sqrt { ( 2 S _ { 1 3 } \! + \! S _ { 4 4 } ) ^ { 2 } - 4 S _ { 3 3 } S _ { 1 1 } } } { 2 S _ { 1 1 } } .
V _ { \mathrm { e f f } } ( \boldsymbol { r } ) = \frac { \int \left( \vec { E } \cdot \frac { \partial ( \omega \varepsilon ( \boldsymbol { r } ) ) } { \partial \omega } \vec { E } - \vec { H } \cdot \frac { \partial ( \omega \mu ( \boldsymbol { r } ) ) } { \partial \omega } \vec { H } \right) \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { r } } { 2 \varepsilon _ { 0 } \varepsilon ( \boldsymbol { r } ) { \lvert \vec { E } ( \boldsymbol { r } ) \rvert } ^ { 2 } }
{ \frac { 1 } { \zeta - 1 / a } } = { \frac { Z ^ { \prime } ( 1 / a ) } { z - z _ { a } } } + { \frac { Z ^ { \prime \prime } ( 1 / a ) } { 2 Z ^ { \prime } ( 1 / a ) } } + { \cal O } ( z - z _ { a } ) .
\begin{array} { r l r } { n _ { \pm } ( z ) } & { { } = } & { \frac { \sqrt [ 4 ] { \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } c ^ { 2 } \omega ^ { 2 } e ^ { 2 \beta z } + \left( \omega + \alpha \omega e ^ { \beta z } \right) ^ { 4 } } } { \omega } \left[ \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \arg \left( \omega \left( \alpha e ^ { \beta z } + 1 \right) ^ { 2 } \pm i \alpha \beta c e ^ { \beta z } \right) \right) \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } ( c _ { f } ( A , B ) , c _ { f } ( B , C ) , c _ { f } ( C , E ) , c _ { f } ( E , D ) , c _ { f } ( D , F ) , c _ { f } ( F , G ) ) } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } ( 3 - 1 , 4 - 1 , 2 - 0 , 0 - ( - 1 ) , 6 - 3 , 9 - 3 ) } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } ( 2 , 3 , 2 , 1 , 3 , 6 ) = 1 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } \right) } & { { } = \tau _ { s } ^ { 2 } \ S ( \alpha ) \sim \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 / 3 } , } \end{array}
F _ { i } ( t ) \to ( - t ) ^ { - ( i + 1 ) } \, \biggl [ \ln \biggl ( \frac { - t } { Q _ { 0 } ^ { 2 } } \biggr ) \biggr ] ^ { - \gamma } \, , \quad \gamma = 2 + \frac { 4 } { 3 \beta } \, \, , \quad i = 1 , 2 \, \, ,
\eta ^ { ( c ) } ( z ) = \eta _ { 0 } ^ { ( c ) } \left[ 1 + \left( \frac { \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } } { \eta ^ { ( c ) 2 } ( 0 ) } - 1 \right) \exp \left( - 8 \epsilon _ { 3 } \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } z / 3 \right) \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { | \psi ^ { + } ( k ) \rangle = \left( \begin{array} { l } { \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) ~ \mathrm { e } ^ { - i \varphi } } \\ { \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) } \end{array} \right) , ~ ~ } \\ & { } & { | \psi ^ { - } ( k ) \rangle = \left( \begin{array} { l } { \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) ~ \mathrm { e } ^ { - i \varphi } } \\ { - \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) } \end{array} \right) . ~ ~ } \end{array}
V = { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \Big ( { \frac { \Phi ^ { 2 } } { \Phi _ { \! _ { 0 } } ^ { 2 } } } + { \frac { \Phi _ { \! _ { 0 } } ^ { 2 } } { \Phi ^ { 2 } } } \Big ) \, .
{ \cal M } _ { l } = \left[ \begin{array} { c c c } { { m _ { e } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c m _ { \mu } } } & { { s m _ { \tau } } } \\ { { 0 } } & { { - s m _ { \mu } } } & { { c m _ { \tau } } } \end{array} \right] .
P \left[ \left( \frac { \partial E \left( \mathbf { X } _ { v } \right) } { \partial T } \mid \mathbf { X } _ { v } , E , \mathbf { X } \right) < 0 \right] \leq \eta , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \mathbf { X } _ { v } \in \mathcal { X }
\begin{array} { r l } { \ \ \ } & { { } + C _ { i j k l } F _ { i ^ { \prime } i } F _ { j ^ { \prime } j } F _ { k ^ { \prime } k } F _ { l ^ { \prime } l } ( A _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ^ { \prime } - A _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } ) + \rho \omega ^ { 2 } \delta _ { i k } F _ { i ^ { \prime } i } F _ { k ^ { \prime } k } A _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 . } \end{array}
\mathrm { ~ N ~ P ~ V ~ } ( t , n _ { G } ( t ) , \tau ) = - I _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ o ~ n ~ } } ( t ) + \sum _ { s = t + 1 } ^ { \tau } \frac { R ( t - s ) } { 1 + g ^ { i } ( t , s , n _ { G } ( t ) ) ) } , \quad t \leq \tau \leq t + 2 0 ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ) \in \mathcal { D } _ { p } ^ { 1 } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 1 } } & { = \sum _ { ( \pi _ { * } , G _ { * } ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 1 } } \frac { \Gamma _ { \pi _ { * } , G _ { * } } ^ { 1 } } { p ! } } \\ & { \quad + \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \sum _ { p _ { * } \geq 0 } \sum _ { p _ { 1 } \geq 2 } \cdots \sum _ { p _ { k } \geq 2 } \chi _ { ( \sum _ { \ell \in \{ * , 1 , \ldots , k \} } p _ { \ell } = p ) } \sum _ { ( \pi _ { * } , G _ { * } ) \in \mathcal { L } _ { p _ { * } } ^ { 1 } } \frac { \Gamma _ { \pi _ { * } , G _ { * } } ^ { 1 } } { p _ { * } ! } \right. } \\ & { \qquad \left. \times \sum _ { ( \pi _ { 1 } , G _ { 1 } ) \in \mathcal { L } _ { p _ { 1 } } } \cdots \sum _ { ( \pi _ { k } , G _ { k } ) \in \mathcal { L } _ { p _ { k } } } \frac { \Gamma _ { \pi _ { 1 } , G _ { 1 } } } { p _ { 1 } ! } \cdots \frac { \Gamma _ { \pi _ { k } , G _ { k } } } { p _ { k } ! } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \mathrm { M S E } ^ { * } } [ f ] } & { = - \int \mathrm { d } x \bigg ( ( 1 - f ) ^ { 1 . 1 5 } p ( x \mid \theta _ { 0 } ) } \\ & { \phantom { = - \int \d { x } \bigg ( } + f ^ { 1 . 1 5 } p ( x \mid \theta _ { 1 } ) \bigg ) } \\ { L _ { \mathrm { S Q R } ^ { * } } [ f ] } & { = - \int \mathrm { d } x \bigg ( f ^ { - 0 . 0 5 } p ( x \mid \theta _ { 0 } ) + f ^ { 0 . 0 5 } p ( x \mid \theta _ { 1 } ) \bigg ) . } \end{array}
P \left( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} \rightarrow \{ r _ { i } ^ { \prime } , \theta _ { i } ^ { \prime } \} \right) = \left\lbrace \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \Delta E < 0 , } \\ { { \mathrm e } ^ { - \frac { \Delta E } { T } } = { \mathrm e } ^ { \frac { p _ { \mathrm { s } } ( \{ r _ { i } ^ { \prime } , \theta _ { i } ^ { \prime } \} ) - p _ { \mathrm { s } } ( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} ) } { T } } } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . ~ } } \end{array} \right.
\hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } = \bigotimes _ { r = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \mu - 1 ) } \hat { Z } _ { r } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = L ( \mu - 1 ) + 1 } ^ { \mu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime } } ,
\frac { I ( t ) } { I _ { 0 } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } G _ { \delta } ( \gamma ) e ^ { - \gamma t } d \gamma \int _ { 0 } ^ { \infty } H _ { \beta } ( \Gamma _ { E T } ) e ^ { - \Gamma _ { E T } t } d \Gamma _ { E T }
\begin{array} { r l r } { \dot { V } } & { \leq } & { - { \frac { 1 } { 2 } } w ^ { 2 } ( 0 ) - \left( c - \epsilon ^ { 2 } \left( 1 + \bar { \beta } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { e } ^ { c x } d x \right) V } \\ & { \leq } & { - { \frac { 1 } { 2 } } w ^ { 2 } ( 0 ) - \left( c - \frac { e ^ { c } } { c } \epsilon ^ { 2 } \left( 1 + \bar { \beta } \right) ^ { 2 } \right) V } \\ & { \leq } & { - { \frac { 1 } { 2 } } w ^ { 2 } ( 0 ) - \left( c - \frac { e ^ { c } } { c } \epsilon ^ { 2 } \left( 1 + B \right) ^ { 2 } \right) V } \end{array}
\displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \vert \phi _ { n } ( \alpha , \bar { \alpha } ) \vert ^ { 2 } \equiv \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { s } u ^ { s - n } \, \left( h _ { n } ( u ) \right) ^ { 2 } + \sum _ { n = s + 1 } ^ { \infty } u ^ { n - s } \, \left( h _ { n } ( u ) \right) ^ { 2 } \, = 1 \, .
L ^ { \mu \nu } = - i ( \gamma ^ { \mu } \partial ^ { \nu } \! + \! \gamma ^ { \nu } \partial ^ { \mu } \! + \! \eta ^ { \mu \nu } \gamma \! \cdot \! \partial \! - \! { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ^ { \mu } ( \gamma \! \cdot \! \partial ) \gamma ^ { \nu } ) .
\frac { \bar { B } ( p ^ { 2 } ) } { m } = \frac { i } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \nu \epsilon ( \nu ) e ^ { - i p ^ { 2 } \nu + i { \frac { m ^ { 2 } \nu } { 1 - 2 i \mu ^ { 2 } \nu } } } ,
J _ { k } \frac { d } { d r } \bigg [ r \frac { d J _ { l } } { d r } \bigg ] - J _ { l } \frac { d } { d r } \bigg [ r \frac { d J _ { k } } { d r } \bigg ] + ( k ^ { 2 } - l ^ { 2 } ) \frac { 1 } { r } J _ { k } J _ { l } = 0 .
\left\{ \begin{array} { c c l } { \mathrm { P r o j } _ { \mathcal { S } _ { n , N } } \frac { \partial F } { \partial U } } & { = } & { 2 \mathrm { ~ s k e w ~ } \left( \left( \frac { \partial F } { \partial U } \right) U ^ { T } \right) U , } \\ { \mathrm { P r o j } _ { \mathcal { S } _ { m , N } } \frac { \partial F } { \partial V } } & { = } & { 2 \mathrm { ~ s k e w ~ } \left( \left( \frac { \partial F } { \partial V } \right) V ^ { T } \right) V . } \end{array} \right.
\mathrm { E x p ( e r i m e n t a l ) R e s ( u l t s ) } = F _ { \mathrm { e x p . } } = 1 \times \: \mathrm { ( g o t ~ 5 ) } , \: \mathrm { a n d } \: 0 \times \: \mathrm { ( g o t ~ a l l ~ o t h e r s ) } ,
\left\{ - \frac { 1 } { 2 I _ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } } { d s ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { i n t } } [ s _ { \mathrm { i n t } } ( s ^ { \prime } ) ] \right\} \Psi _ { \mathrm { i n t } } ( s ^ { \prime } ) = E \Psi _ { \mathrm { i n t } } ( s ^ { \prime } ) \ .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \mathrm { a f t e r } } ( t _ { \mathrm { b } } ) = \theta ( t _ { \mathrm { b } } - \tau _ { \mathrm { d } } ) \left\{ 1 - \exp \left[ - \frac { \Xi ( t _ { \mathrm { b } } ) } { \tau _ { \mathrm { a f t e r } } } \right] \right\} . } \end{array}
H _ { \mathrm { e f f } } = \left( \begin{array} { c c } { i \frac { P _ { 0 } } { 2 } \Gamma _ { \mathrm { F B } } } & { i \omega _ { 0 } } \\ { - i \omega _ { 0 } } & { - i \frac { P _ { 0 } } { 2 } \Gamma _ { \mathrm { F B } } } \end{array} \right) + i \left( \frac { P _ { 0 } } { 2 } \Gamma _ { \mathrm { F B } } - \frac { 1 } { T _ { 2 } } \right) \mathbf { I } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, d _ { i } } & { ^ { ( k ) } \ \big \vert \ x _ { i } ^ { ( k ) } - t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ] } \\ & { = ( - \delta _ { i } ^ { ( k ) } \, x _ { i } ^ { ( k ) } + t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ( 1 + \delta _ { i } ^ { ( k ) } ) ) \, ( \, p _ { 0 } ( x _ { i } ^ { ( k ) } - t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) + \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) \, \varepsilon \, ) } \\ & { = ( 1 + \varepsilon + \varepsilon \, \delta _ { i } ^ { ( k ) } ) \, t \, \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ) \, \vert x _ { i } ^ { ( k ) } \vert \, \varepsilon \, \delta _ { i } ^ { ( k ) } . } \end{array}
r _ { B } ^ { 2 } = - 6 \left. \frac { 1 } { F ( q ^ { 2 } ) } \frac { d F ( q ^ { 2 } ) } { d q ^ { 2 } } \right| _ { q ^ { 2 } = 0 } = - 6 \left. \frac { 1 } { Q } \frac { d F ( q ^ { 2 } ) } { d q ^ { 2 } } \right| _ { q ^ { 2 } = 0 }
- 2 \mathbb { E } ^ { 3 } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 4 } \} \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } - 4 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \right| ^ { 2 } - \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l } { \sum _ { e _ { j } = 0 } ^ { \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } } \frac { ( - 1 ) ^ { e _ { j } } q ^ { \left( \binom { \lambda _ { j } + e _ { j } } { 2 } - \binom { \lambda _ { j } } { 2 } - s _ { 1 } ( \lambda _ { j } + e _ { j } ) \right) } } { q ^ { ( \lambda _ { j } + e _ { j } ) ^ { 2 } } \eta ( e _ { j } ) \eta ( \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } - e _ { j } ) } = } & { q ^ { - { ( \lambda _ { j } ) ^ { 2 } } - s _ { 1 } \lambda _ { j } } \sum _ { e _ { j } = 0 } ^ { \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } } \frac { ( - 1 ) ^ { e _ { j } } q ^ { - \binom { e _ { j } } { 2 } + e _ { j } ( - \lambda _ { j } - s _ { 1 } + 1 ) } } { \eta ( e _ { j } ) \eta ( \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } - e _ { j } ) } } \\ { = } & { \frac { q ^ { - { ( \lambda _ { j } ) ^ { 2 } } - s _ { 1 } \lambda _ { j } } } { \eta ( \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } ) } \prod _ { i = 0 } ^ { \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } - 1 } ( 1 - q ^ { - \lambda _ { j } - s _ { 1 } - 1 - i } ) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { 4 0 ^ { \circ } \leq \alpha \leq 1 0 1 ^ { \circ } , \quad 5 7 ^ { \circ } \leq \gamma \leq 1 2 7 ^ { \circ } , } } \\ { { 0 . 4 2 \leq \sin \! \left( 2 \beta \right) \leq 0 . 7 9 } } \\ { { - 0 . 2 0 \leq \bar { \rho } \leq 0 . 2 2 , \quad 0 . 2 5 \leq \bar { \eta } \leq 0 . 4 3 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { u } ^ { x } ( t ) } & { = p ( 0 ) + v ( 0 ) t + \frac { 1 } { 2 m } \left( t ^ { 2 } F + \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { u } _ { k } \Delta _ { k } \right) } \\ & { = p ( 0 ) + v ( 0 ) t + \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { M } } \left( t ^ { 2 } F + \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { u } _ { k } \Delta _ { k } \right) + \frac { 1 } { \gamma } ( \gamma \Delta M ) \left( t ^ { 2 } F + \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { u } _ { k } \Delta _ { k } \right) \right) } \\ & { = p ( 0 ) + v ( 0 ) t + \frac { \overline { { M } } } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { u } _ { k } \Delta _ { k } + \left( \frac { \overline { { M } } t ^ { 2 } } { 2 } \right) F + \left( \frac { 1 } { 2 \gamma } \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { u } _ { k } \Delta _ { k } \right) ( \gamma \Delta M ) + \left( \frac { t ^ { 2 } } { 2 \gamma } \right) ( \gamma \Delta M ) F } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { a } _ { + } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left. \left( h _ { + } + h _ { - } \right) \right| _ { \varphi = 0 , \vartheta = \vartheta _ { \mathrm { s h i f t } } ^ { p , q } } = \cos \vartheta _ { \mathrm { s h i f t } } ^ { p , q } \cos \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) - 1 } \\ { \mathfrak { a } _ { - } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left. \left( h _ { + } - h _ { - } \right) \right| _ { \varphi = 0 , \vartheta = \vartheta _ { \mathrm { s h i f t } } ^ { p , q } } = \sin \vartheta _ { \mathrm { s h i f t } } ^ { p , q } \sin \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) } \end{array}
m \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \boldsymbol { x } - \boldsymbol { F } _ { \mathrm { e x t } } ( \boldsymbol { x } , t ) - q \boldsymbol { E } _ { \mathrm { s c } } ( \boldsymbol { x } ) = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \frac { 1 + T } { r \sqrt { ( r - r _ { 1 } ) ( r _ { 2 } - r ) } } d r } & { = \frac { \pi ( 1 + T ) } { \sqrt { r _ { 1 } r _ { 2 } } } , } \\ { \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \frac { z } { 2 r ^ { 2 } \sqrt { ( r - r _ { 1 } ) ( r _ { 2 } - r ) } } d r } & { = \frac { \pi z } { 4 \sqrt { r _ { 1 } r _ { 2 } } } \frac { ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) } { r _ { 1 } r _ { 2 } } . } \end{array}
- [ x _ { t _ { 3 _ { 1 } } } ( c ) ] + [ [ x _ { t _ { 2 } } ( c ) ] x _ { t _ { 1 } } ( c ) ] + [ [ x _ { t _ { 1 } } ( c ) ] x _ { t _ { 2 } } ( c ) ] - [ [ [ x _ { t _ { 1 } } ( c ) ] x _ { t _ { 1 } } ( c ) ] x _ { t _ { 1 } } ( c ) ] .
\begin{array} { r l r } { y _ { i } ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 1 , } \\ { y _ { i } y _ { i + 1 } y _ { i } } & { = } & { y _ { i + 1 } y _ { i } y _ { i + 1 } \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 2 , } \\ { \rho _ { i } ^ { 2 } } & { = } & { 1 \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 1 , } \\ { \rho _ { i } \rho _ { j } } & { = } & { \rho _ { j } \rho _ { i } \quad \textrm { f o r } \quad | i - j | \geq 2 , } \\ { \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } } & { = } & { \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 2 , } \\ { \rho _ { i } y _ { j } } & { = } & { y _ { j } \rho _ { i } \quad \textrm { f o r } \quad | i - j | \geq 2 , } \\ { \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } y _ { i } } & { = } & { y _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { \alpha \beta } = 2 \mu \sigma A _ { \gamma \gamma } \delta _ { \alpha \beta } + 2 \mu A _ { \alpha \beta } - 2 \mu \sigma \zeta h B _ { \gamma \gamma } \delta _ { \alpha \beta } - 2 \mu \zeta h B _ { \alpha \beta } , } \\ & { \sigma _ { \alpha 3 } = \frac { \langle k \rangle k } { \langle k ^ { 2 } / \mu \rangle } \bar { \varphi } _ { \alpha } , \quad \sigma _ { 3 3 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { C } = } & { ~ \frac { 1 } { N } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = \frac { 1 } { N } \right) + \left( - \frac { 1 } { N } \right) \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) } \\ { = } & { ~ \frac { p _ { C D } } { N } w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) \left[ ( \pi _ { C | D } - \pi _ { D | C } ) + \left( - c + w _ { I } b + ( 1 - w _ { I } ) \frac { - 1 + ( k - 1 ) ( q _ { C | C } - q _ { C | D } ) } { k } b \right) \right] \delta } \\ & { + \frac { p _ { C D } } { N } ( 1 - w _ { R } ) ^ { 2 } [ ( \pi _ { C | D } - \pi _ { D | D } ) q _ { D | D } + ( \pi _ { C | C } - \pi _ { D | C } ) q _ { C | C } ] \frac { k - 1 } { k } \delta + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) . } \end{array}
\boldsymbol { \Sigma _ { S } } \approx \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \boldsymbol { h } _ { i } - \boldsymbol { \mu _ { h } } ) ( \boldsymbol { h } _ { i } - \boldsymbol { \mu _ { h } } ) ^ { T } ,
{ \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } } = 0
W _ { n , i } = \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) - E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } k \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right\} , i = 1 , \ldots , n
\begin{array} { r l } & { \int _ { \o } { 2 \left[ \int _ { S _ { k _ { n } ( x ) } } W ( y , u _ { n } + v _ { n , k } ^ { \eta } ( x , y ) ) \; d y \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \nabla u _ { n } | \; d x } \leq C _ { M , \eta } \int _ { \o } { \mathcal { L } ^ { N } ( S _ { k _ { n } ( x ) } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \nabla u _ { n } | \; d x } . } \end{array}
\frac { d E _ { \mathrm { ( l ) } } } { d \omega } = \frac { 4 q ^ { 2 } } { \pi r _ { c } \gamma ^ { 2 } } \sideset { } { ' } { \sum } _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathrm { I m } \, \left[ u \frac { W _ { n } ^ { K } } { W _ { n } ^ { I } } + \frac { \gamma K _ { n } ( u \gamma _ { 1 } ) } { 2 \alpha _ { n } ( u ) } \sum _ { p = \pm 1 } \frac { K _ { n + p } ( u \gamma _ { 1 } ) } { W _ { n } ^ { I } W _ { n + p } ^ { I } } \right] I _ { n } ^ { 2 } \left( \frac { u r _ { 0 } } { \gamma r _ { c } } \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \tau _ { \mathrm { e d d y } } } { \tau _ { \mathrm { d i p } } } \approx \frac { 1 } { 3 0 } \sigma ( \omega _ { \mathrm { r } } - \omega _ { \mathrm { f } } ) R _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } \left( \frac { R _ { \mathrm { f } } } { d } \right) ^ { 3 } \frac { m _ { \mathrm { r } } } { m _ { \mathrm { f } } } \leq 0 . 0 0 4 } \end{array}
- \frac { \operatorname { I m } \epsilon ^ { - 1 } \left( q , \omega \right) } { \pi \omega } = \frac { 4 \pi n e ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \frac { \left[ 1 - \exp \left( - \beta \hbar \omega \right) \right] } { \hbar \omega } S \left( q , \omega \right)
\begin{array} { r } { \hat { H } = \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } \Bigl ( \sum _ { b } \sum _ { \sigma \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \epsilon _ { s } ^ { b } \hat { a } _ { s \sigma } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { s \sigma } ^ { b } } \\ { + g \sum _ { b , b \prime , c , c ^ { \prime } } U _ { s } ^ { b b ^ { \prime } c c ^ { \prime } } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { b \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { b ^ { \prime } \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { c } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { c ^ { \prime } } \Bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { B O C ( m , 1 ) } } ( f ) } & { = \Pi _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } , B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ( f ) m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } T _ { c } \mathrm { s i n c } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) \tan ^ { 2 } \left( \frac { \pi f T _ { c } } { 2 m } \right) , } \\ & { \approx \Pi _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } , B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ( f ) m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } T _ { c } ^ { 3 } \left( \frac { \pi f } { 2 m } \right) ^ { 2 } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { B O C ( m , 1 ) } } ^ { 2 } } & { = m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } \int _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ^ { B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } T _ { c } \mathrm { s i n c } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) \tan ^ { 2 } \left( \frac { \pi f T _ { c } } { 2 m } \right) \mathrm { d } f , } \\ & { \approx \left( \frac { \pi m _ { \mathrm { p r n } } } { m } \right) ^ { 2 } \frac { \left( B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } T _ { c } \right) ^ { 3 } } { 6 } . } \end{array}
1 + V _ { 2 } = \frac { \gamma - 1 } { \gamma + 1 } \left( 1 + V _ { 1 } \right) + \frac { 2 C _ { 1 } ^ { 2 } } { \left( \gamma + 1 \right) \left( 1 + V _ { 1 } \right) } ,
e ^ { x } = c _ { 0 } + c _ { 1 } x + \left( c _ { 2 } - { \frac { c _ { 0 } } { 2 } } \right) x ^ { 2 } + \left( c _ { 3 } - { \frac { c _ { 1 } } { 2 } } \right) x ^ { 3 } + \left( c _ { 4 } - { \frac { c _ { 2 } } { 2 } } + { \frac { c _ { 0 } } { 4 ! } } \right) x ^ { 4 } + \cdots
\begin{array} { r l } { ^ { \mathfrak { p } } \mathcal { D } ^ { \leq 0 } } & { = \{ E \in \mathcal { D } _ { c } ^ { b } ( X ) \ | \ \mathrm { d i m } \ \mathrm { S u p p } ( \mathcal { H } ^ { i } ( E ) ) \leq i \textrm { f o r a l l } i \in \mathbb { Z } \} } \\ { ^ { \mathfrak { p } } \mathcal { D } ^ { \geq 0 } } & { = \{ E \in \mathcal { D } _ { c } ^ { b } ( X ) \ | \ \mathrm { d i m } \ \mathrm { S u p p } ( \mathcal { H } ^ { i } ( \mathbb { D } E ) ) \leq i \textrm { f o r a l l } i \in \mathbb { Z } \} } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { { \mathrm { f o r ~ } \phi = + 1 } } & { { ~ : ~ } } & { { ( i ^ { k } , 1 , \pm 1 , \pm 1 , \pm 1 , 1 ) } } & { { , ( k = 0 , . . . , 3 ) } } \\ { { \mathrm { f o r ~ } \phi = - 1 } } & { { ~ : ~ } } & { { ( i ^ { k } e ^ { i \pi / 4 } , 1 , \pm 1 , \pm 1 , \pm 1 , 1 ) } } & { { , ( k = 0 , . . . , 3 ) \; , } } \end{array}
\pmb { \nu } = ( \nu _ { 1 } ; \nu _ { 2 } , \cdots , \nu _ { N } ) \in ( \mathbb { N } \times \mathbb { Z } _ { 2 } ) \times ( \mathbb { N } \times \mathbb { Z } _ { 2 } ) _ { \mathrm { o r d } } ^ { N - 1 }
c _ { P B E } ^ { \textnormal { D i r } } \approx 0 . 0 1 5 7 , \quad c _ { B 8 8 } ^ { \textnormal { D i r } } \approx 0 . 0 1 9 2 , \quad c _ { P B E s o l } ^ { \textnormal { D i r } } \approx 0 . 0 1 0 5 .
\left. \frac { \partial ^ { 2 } V _ { e f f } ^ { ( 2 ) } ( T = 0 , \mu , m ) } { \partial m ^ { 2 } } \right| _ { m = m ( 0 ) } = \frac { 1 } { \pi } > 0 , \ \mathrm { w h e n } \ \mu < m ( 0 ) .