harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { d \hat { \rho } } { d t } = - i [ \hat { H } , \hat { \rho } ] + \frac { \eta \lambda ^ { 2 } } { N } \left( 2 \hat { J } _ { - } \hat { \rho } \hat { J } _ { + } - \hat { J } _ { + } \hat { J } _ { - } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { J } _ { + } \hat { J } _ { - } \right) .
{ \tilde { \sigma } } _ { 0 } = - \frac { G } { 2 } \left( \bar { t } ^ { a } t _ { a } \right) \ , \qquad { \tilde { \sigma } } _ { 1 } = i \frac { G } { 2 } \left( \bar { t } ^ { a } \gamma _ { 5 } t _ { a } \right) \ , \qquad { \tilde { \sigma } } ^ { ( - ) } \left( = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( { \tilde { \sigma } } _ { 2 } - i { \tilde { \sigma } } _ { 3 } ) \right) = \frac { G } { \sqrt { 2 } } \left[ \bar { t } ^ { a } \left( \frac { 1 - \gamma _ { 5 } } { 2 } \right) b _ { a } \right] \ ,
\begin{array} { r l } { m \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) } & { { } = \mu \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) + k \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { K } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } ) , } \\ { s ^ { 2 } \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) } & { { } = K \left( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } ^ { * } \right) - k \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) ^ { \mathrm { T } } \mathbf { K } ^ { - 1 } k \left( \mathbf { x } ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \, \, } & { c ^ { T } { \mathbf { x } } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } } & { { \mathbf { x } } \in \mathcal { F } ( q ) , \, \, \, \forall q \in { \mathbb { Q } } } \\ & { { \mathbf { x } } \in { \mathbb { R } } ^ { d _ { R } } \times { \mathbb { Z } } ^ { d _ { Z } } , } \end{array}
\int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \sqrt { \left( { \frac { d r } { d t } } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( { \frac { d \theta } { d t } } \right) ^ { 2 } } } d t = \int _ { \theta ( t _ { 1 } ) } ^ { \theta ( t _ { 2 } ) } { \sqrt { \left( { \frac { d r } { d \theta } } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } d \theta .
I S _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } = \frac { 1 3 } { 1 2 } \bigg ( 2 \tilde { u } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } - 4 \overline { { u } } _ { i + 1 } + 2 \tilde { u } _ { i + \frac { 3 } { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \bigg ( - 6 \tilde { u } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + 8 \overline { { u } } _ { i + 1 } - 2 \tilde { u } _ { i + \frac { 3 } { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } .
\Gamma ( \pi \times \sigma , \psi ) \mathcal { J } _ { \pi , \psi } \otimes \mathcal { J } _ { \sigma , \psi } = \sum _ { A \in \mathrm { G L } _ { n } \left( \mathbb { F } \right) } \psi \left( \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { A ^ { - 1 } } \\ & { I _ { n } } \end{array} \right) \pi \left( A \right) \otimes \sigma \left( - A ^ { - 1 } \right) \mathcal { J } _ { \pi , \psi } \otimes \mathcal { J } _ { \sigma , \psi } .
\begin{array} { r l r } { \langle \dot { E } _ { C T } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha } ^ { N _ { t r } } \left( \mathbf { F } _ { \nu , X F } ^ { ( \alpha ) } \cdot \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) } + \sum _ { l } ^ { N _ { s t } } \dot { \rho } _ { l l , X F } ^ { ( \alpha ) } \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha } ^ { N _ { t r } } \sum _ { \mu } \frac { \mathbf { Q } _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } } { M _ { \mu } } \cdot \sum _ { l , k } \rho _ { l l } ^ { ( \alpha ) } \rho _ { k k } ^ { ( \alpha ) } \Delta \mathbf { f } _ { \mu , l k } ^ { ( \alpha ) } } \\ & { } & { \times \Bigg [ \sum _ { \nu } \Delta \mathbf { f } _ { \nu , l k } ^ { ( \alpha ) } \cdot \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) } + \Delta \epsilon _ { l k } ^ { ( \alpha ) } \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { n } ( A ^ { t } - 1 ) \mathcal { H } _ { n - 1 } ^ { - 1 } = \overline { { [ \Gamma , C _ { n } \delta ^ { - 1 } ] } } } & { = \overline { { \Gamma _ { n } } } \overline { { C _ { n } } } - \overline { { C _ { n } \Gamma _ { n - 1 } } } , } \\ { \mathcal { H } _ { n + 1 } ( A ^ { t } - 1 ) \mathcal { H } _ { n } ^ { - 1 } = \overline { { [ \Gamma , C _ { n } \delta ^ { - 1 } ] } } } & { = \overline { { \Gamma _ { n + 1 } C _ { n + 1 } } } - \overline { { C _ { n + 1 } \Gamma _ { n } } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \left\langle ^ { t } P _ { * } \left( D _ { f } \right) , \phi \right\rangle } & { = \left\langle D _ { P _ { * * } ( f ) } , \phi \right\rangle } & & { { \mathrm { U s i n g ~ L e m m a ~ a b o v e ~ w i t h ~ } } P _ { * } { \mathrm { ~ i n ~ p l a c e ~ o f ~ } } P } \\ & { = \left\langle D _ { P ( f ) } , \phi \right\rangle } & & { P _ { * * } = P } \end{array} }
\begin{array} { r } { \chi _ { K S } ^ { - 1 } = \frac { \delta ^ { 2 } E _ { K S } } { \delta \rho ( \mathbf { r } ) \delta \rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) } \, , \quad \tilde { \chi } _ { K S } ^ { - 1 } = \frac { \delta ^ { 2 } E _ { K S } } { \delta V _ { e x t } ( \mathbf { r } ) \delta \rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) } \, , } \\ { \chi _ { O F } ^ { - 1 } = \frac { \delta ^ { 2 } E _ { O F } } { \delta \rho ( \mathbf { r } ) \delta \rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) } \, , \quad \tilde { \chi } _ { O F } ^ { - 1 } = \frac { \delta ^ { 2 } E _ { O F } } { \delta V _ { e x t } ( \mathbf { r } ) \delta \rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } \right\rangle } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ s P _ { S , u _ { f } | u _ { 0 } } ( s ) = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ s \frac { \mathrm { d } \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) } { \mathrm { d } s } = - \left[ s \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) \right] _ { 0 } ^ { \infty } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) = } \end{array}
{ \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \lambda _ { 1 } } } \times { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \lambda _ { 2 } } } = \left( { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial q ^ { i } } } { \frac { \partial q ^ { i } } { \partial \lambda _ { 1 } } } \right) \times \left( { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial q ^ { j } } } { \frac { \partial q ^ { j } } { \partial \lambda _ { 2 } } } \right) = { \mathcal { E } } _ { k m p } \left( h _ { k i } { \frac { \partial q ^ { i } } { \partial \lambda _ { 1 } } } \right) \left( h _ { m j } { \frac { \partial q ^ { j } } { \partial \lambda _ { 2 } } } \right) \mathbf { b } _ { p }
\begin{array} { r l r l } { \dot { E } _ { a } ( t ) = } & { - F _ { a } ( t ) } & { \dot { F } _ { a } ( t ) = } & { | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } E _ { a } ( t ) } \\ { \dot { E } _ { b } ( t ) = } & { - F _ { b } ( t ) } & { \dot { F } _ { b } ( t ) = } & { 0 } \\ { \dot { E } _ { c } ( t ) = } & { E _ { a } ( t ) } & { \dot { F } _ { c } ( t ) = } & { 0 } \end{array} .
\begin{array} { r l } & { \dot { \overline { { \phi S } } } + \nabla \cdot \boldsymbol { w } _ { 1 } + \phi S _ { 1 } \dot { \epsilon } _ { v } = \mathrm { P e } ^ { - 1 } \nabla \cdot M \nabla \mu , } \\ & { \dot { \phi } + \nabla \cdot \boldsymbol { w } + \phi \dot { \epsilon } _ { v } = 0 , } \\ & { \phi = \phi _ { 0 } + ( 1 - \phi _ { 0 } ) \epsilon _ { v } + \frac { 1 - \phi _ { 0 } } { K _ { s } } p , } \\ & { \nabla \cdot \left( { \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } } - b p \boldsymbol { I } \right) = 0 , } \\ & { \mathrm { B } \dot { d } = 2 \mathrm { L \textsubscript ~ d } ^ { 2 } \triangle { d } - 1 - g ^ { \prime } ( d , \psi _ { c } ) \mathrm { D \textsubscript ~ f } , \quad \dot { d } \ge 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { { } = { \frac { 1 } { N _ { H R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } { M ( w _ { H R } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N _ { H B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } { M ( w _ { H B } ^ { i } ) \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H B } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } : = } & { \int _ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon - i T } ^ { 1 + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi _ { 0 } ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { \ll } & { \int _ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } ^ { 1 + \epsilon } T ^ { 2 \epsilon + 3 \times \frac { 2 7 } { 2 0 } ( 1 - \sigma ) + \frac { 5 } { 2 } ( 1 - \sigma ) + \epsilon } \frac { x ^ { \sigma } } { T } \ \mathrm { d } \sigma } \\ { \ll } & { T ^ { \frac { 1 1 1 } { 2 0 } + 2 \epsilon } \int _ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } ^ { 1 + \epsilon } \left( \frac { x } { T ^ { \frac { 1 3 1 } { 2 0 } } } \right) ^ { \sigma } \ \mathrm { d } \sigma } \\ { \ll } & { \operatorname* { m a x } _ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon \leq \sigma \leq 1 + \epsilon } \left( \frac { x } { T ^ { \frac { 1 3 1 } { 2 0 } } } \right) ^ { \sigma } T ^ { \frac { 1 1 1 } { 2 0 } + 2 \epsilon } } \\ { \ll } & { \frac { x ^ { 1 + \epsilon } } { T } + x ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } T ^ { \frac { 9 1 } { 4 0 } + 1 0 \epsilon } . } \end{array}
\mathbf { A } _ { \mathrm { q u a d . } } = { \frac { 1 } { 2 } } | x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 4 } + x _ { 4 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 4 } y _ { 3 } - x _ { 1 } y _ { 4 } |
\begin{array} { r l } { B _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \Big ( \frac { I _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } , 1 } ^ { z } ( t ) } { r _ { 1 } } + \frac { I _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } , 2 } ^ { z } ( t ) } { r _ { 2 } } \Big ) } \end{array}
( \delta _ { i } ^ { m } ) ^ { + } ( ( v _ { i } ^ { m } ) ^ { + } ) ^ { 2 } = \frac { ( \kappa _ { m } ^ { i } ) ^ { + } } { ( \rho _ { b } ) ^ { + } } = b ^ { 2 } \frac { ( \kappa _ { m } ^ { i } ) ^ { - } } { ( \rho _ { b } ) ^ { - } } = b ^ { 2 } ( \delta _ { m } ^ { i } ) ^ { - } ( ( v _ { i } ^ { m } ) ^ { - } ) ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } m \in \mathbb { Z } , i = 1 , 2 ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { o } } } { \mathrm { d } T } } & { = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } T } \left( 1 + e ^ { - ( V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) ) / \Delta V } \right) ^ { - 1 } = - p _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } e ^ { - ( V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) ) / \Delta V } \frac { 1 } { \Delta V } \frac { \mathrm { d } V _ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) } { \mathrm { d } T } = } \\ & { = p _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } e ^ { - ( V - V _ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) ) / \Delta V } \frac { 1 } { \Delta T } = p _ { \mathrm { o } } ( 1 - p _ { \mathrm { o } } ) \frac { 1 } { \Delta T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { k } ( x ) } & { = \sigma \big ( \frac { k } { \delta } ( x - k + \delta ) \big ) - \sigma \big ( \frac { k } { \delta } ( x - k ) \big ) + \sigma \big ( \frac { k } { \delta } ( - x + k + 1 ) \big ) - \sigma \big ( \frac { k } { \delta } ( - x + k + 1 - \delta ) \big ) - k } \\ & { = \underbrace { \frac { k } { \delta } ( x - k + \delta ) - \frac { k } { \delta } ( x - k ) } _ { = k } + 0 - 0 - k = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( a \phi ^ { \omega } ) \circ \alpha _ { g } ^ { \omega } - a \phi ^ { \omega } \| _ { ( M _ { \alpha } ^ { \omega } ) _ { * } } } & { \leq \| \alpha _ { g ^ { - 1 } } ^ { \omega } ( a ) ( \phi ^ { \omega } \circ \alpha _ { g } ^ { \omega } - \phi ^ { \omega } ) \| _ { ( M _ { \alpha } ^ { \omega } ) _ { * } } \| + \| ( \alpha _ { g ^ { - 1 } } ^ { \omega } ( a ) - a ) \phi ^ { \omega } \| _ { ( M _ { \alpha } ^ { \omega } ) _ { * } } } \\ & { \leq \| a \| \, \| \phi \circ \alpha _ { g } - \phi \| _ { M _ { * } } + \| \alpha _ { g ^ { - 1 } } ^ { \omega } ( a ) - a \| _ { \phi ^ { \omega } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } \circ \mathbb { L } ^ { + } = } & { { } } & { i \textbf { I } _ { \{ L 2 i + \} } \circ ( L _ { 1 0 } ^ { + } + i L _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ L 1 i + \} } + L _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ L 1 + \} } ) } \end{array}
1 - \frac { n _ { 0 } ( v _ { { \bf { q } } } q ^ { 2 } ) / m } { \omega ^ { 2 } } \{ 1 + \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } [ \frac { 3 } { 5 } ( q v _ { F } ) ^ { 2 } - \epsilon _ { { \bf { q } } } ^ { 2 } ] \} = 0
< F [ \sigma ] > \equiv < \prod _ { i = 1 } ^ { m } \sigma ( x _ { i } , y _ { i } ) > = { \frac { \int D \phi ^ { * } D \phi e ^ { i S } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \sigma ( x _ { i } , y _ { i } ) } { \int D \phi ^ { * } D \phi e ^ { i S } } }
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { r } \cap ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus \Omega ) } \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d - ( 1 - s ) p } } } & { = \pi ^ { d - 2 } \int _ { 0 } ^ { r } \int _ { \operatorname { a r c c o s } ( \frac { K } { | \nabla \phi ( x ) | } \rho ) } ^ { \pi - \operatorname { a r c c o s } ( \frac { K } { | \nabla \phi ( x ) | } \rho ) } \frac { \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \rho } { \rho ^ { 1 - ( 1 - s ) p } } } \\ & { = \pi ^ { d - 2 } \int _ { 0 } ^ { r } \left( \pi - 2 \operatorname { a r c c o s } \left( \frac { K _ { 0 } } { | \nabla \phi ( x ) | } \rho \right) \right) \frac { \, \mathrm { d } \rho } { \rho ^ { 1 - ( 1 - s ) p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { T _ { j k } } ( x - x _ { T } ) ^ { 2 } d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( x _ { i } - x _ { T } ) ^ { 2 } | { \bf n } _ { T } | , } & { } & { \int _ { T _ { j k } } ( x - x _ { T } ) ( y - y _ { T } ) d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( x _ { i } - x _ { T } ) ( y _ { i } - y _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | , } \\ { \int _ { T _ { j k } } ( y - y _ { T } ) ^ { 2 } d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( y _ { i } - y _ { T } ) ^ { 2 } | { \bf n } _ { T } | , } & { } & { \int _ { T _ { j k } } ( y - y _ { T } ) ( z - z _ { T } ) d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( y _ { i } - y _ { T } ) ( z _ { i } - z _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | , } \\ { \int _ { T _ { j k } } ( z - z _ { T } ) ^ { 2 } d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( z _ { i } - z _ { T } ) ^ { 2 } | { \bf n } _ { T } | , } & { } & { \int _ { T _ { j k } } ( z - z _ { T } ) ( x - x _ { T } ) d s = \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( z _ { i } - z _ { T } ) ( x _ { i } - x _ { T } ) | { \bf n } _ { T } | , } \end{array}
P _ { l m } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \ } & { l = m = 0 , n } \\ { 1 , \ } & { l = 0 , m = n ; l = n , m = 0 } \\ { 0 , \ } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , \varphi ) \big ) } & { = \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) \big ) + \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( t , \varphi ) , \varphi \big ) , } \\ { \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \theta , \varphi ) } & { \triangleq \frac { \omega _ { N } - \omega _ { C } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 1 } + f _ { 1 } ( t , \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { C } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 2 } } ^ { \theta _ { 2 } + f _ { 2 } ( t , \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\left[ \Sigma ^ { ( G W ) } \left( \left\{ \epsilon _ { n } \right\} \right) \right] _ { p q } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left[ \Sigma ^ { ( G W ) } ( \epsilon _ { p } ) \right] _ { p q } } & { p = q } \\ { \left[ \Sigma ^ { ( G W ) } ( \tilde { \epsilon } ) \right] _ { p q } } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } \; . } \end{array} \right.
I _ { m n } ^ { ( 3 ) } = \frac { 1 } { 4 } \int _ { d } ^ { \infty } f ( x ) \left[ \mathcal { H } _ { m n } ^ { 1 , 2 } ( x ) + \mathcal { H } _ { m n } ^ { 2 , 1 } ( x ) \right] \, \textrm { d } x ,
B ( \omega , \theta ) = \frac { S ( \omega ) } { A _ { \mathrm { T H } } } \frac { 2 } { \pi } \left( \frac { \omega w _ { 0 } } { 2 c } \right) ^ { 2 } \exp \left( - 2 \sin ^ { 2 } ( \theta ) / \left( \frac { 2 c } { \omega w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) .
\mathbb { K } _ { 1 } : \mathbb { K } _ { 2 } = \mathbb { O } \quad \Leftrightarrow \quad a _ { 1 1 } a _ { 2 1 } \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } + ( a _ { 1 1 } a _ { 2 2 } + a _ { 1 2 } a _ { 2 1 } ) \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } + a _ { 1 2 } a _ { 2 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } = \mathbb { O } ,
\begin{array} { r l } & { ~ ~ \left| Q _ { i } ( g _ { n } ; x _ { i } ) - \int _ { 0 } ^ { l } g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 n } ) \mathrm { d } x _ { i } \right| } \\ & { \leqslant \frac { l ^ { 3 } } { 2 4 m ^ { 2 } } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g _ { n } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 n } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \theta \phi \psi } ( t , \alpha ) = { } } & { { } h _ { + } ( t ) \Bigl ( f _ { s } ^ { + } \sin ^ { 2 } { \alpha } + f _ { c } ^ { + } \cos ^ { 2 } { \alpha } + f _ { s c } ^ { + } \sin { 2 \alpha } \Bigr ) + } \end{array}
{ \cal { L } } _ { A ^ { \prime } } = - \frac { 1 } { 2 g } \left\{ A _ { \mu } ^ { ' a } \left[ - \left( D ^ { 2 } \right) ^ { a c } g ^ { \mu \nu } + \left( F _ { \rho \sigma } ^ { b } { \cal { J } } ^ { \rho \sigma } \right) ^ { \mu \nu } \left( t ^ { b } \right) ^ { a c } \right] A _ { \nu } ^ { ' c } \right\}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mu } ( k , l ) + \widehat { \nu } ( k , l ) } & { = 1 + o ( 1 ) \; \qquad \mathrm { f o r ~ } ( k , l ) \in K _ { n } ( n ^ { 2 } , n ^ { 2 } ) , } \\ { \widehat { \mu } ( k , l ) } & { = o ( 1 ) \qquad \qquad \mathrm { f o r ~ } ( k , l ) \in K _ { n } ( n ^ { 2 } , n ) , } \\ { \widehat { \nu } ( k , l ) } & { = o ( 1 ) \qquad \qquad \mathrm { f o r ~ } ( k , l ) \in K _ { n } ( n , n ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { u _ { i , 0 } ^ { ( \infty ) } = } } & { { } { { } 1 , \; \; \; \; u _ { i , 1 } ^ { ( \infty ) } = a _ { i , 0 } u _ { i , 0 } ^ { ( \infty ) } / m _ { i , 1 } , } } \\ { { u _ { i , 2 } ^ { ( \infty ) } = } } & { { } { { } \left( a _ { i , 1 } u _ { i , 1 } ^ { ( \infty ) } + b _ { i , 0 } u _ { i , 0 } ^ { ( \infty ) } \right) / m _ { i , 2 } , } } \\ { { u _ { i , 3 } ^ { ( \infty ) } = } } & { { } { { } \left( a _ { i , 2 } u _ { i , 2 } ^ { ( \infty ) } + b _ { i , 1 } u _ { i , 1 } ^ { ( \infty ) } \right) / m _ { i , 3 } , } } \\ { { u _ { i , n } ^ { ( \infty ) } = } } & { { } { { } \left( a _ { i , n - 1 } u _ { i , n - 1 } ^ { ( \infty ) } + b _ { i , n - 2 } u _ { i , n - 2 } ^ { ( \infty ) } + c _ { i , n - 4 } u _ { i , n - 4 } ^ { ( \infty ) } \right) / m _ { i , n } , } } \end{array}
\lambda _ { K + 1 } \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { K + 1 } ( \Theta ^ { t _ { \tau } } ) = \frac { \lambda _ { K + 1 } } { \sigma _ { K + 1 } ^ { 2 } } \Theta ^ { t _ { \tau } } \quad \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ } \quad \mathrm { V a r } \{ \lambda _ { K + 1 } \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { K + 1 } ( \Theta ^ { t _ { \tau } } ) \} = \frac { \lambda _ { K + 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { K + 1 } ^ { 4 } } \mathrm { V a r } \{ \Theta ^ { t _ { \tau } } \} \leqslant \frac { 1 } { \sigma _ { K + 1 } ^ { 2 } } \mathrm { V a r } \{ \Theta ^ { t _ { \tau } } \}
\| \mathbf { \check { q } } \| _ { q } ^ { 2 } = \mathbf { \check { q } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } \; \; , \; \; \| \mathbf { \check { f } } \| _ { f } ^ { 2 } = \mathbf { \check { f } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { f } \mathbf { \check { f } } ,
\begin{array} { r l } { \exp \left[ \chi \left( K _ { + } + K _ { - } + 2 K _ { 0 } \right) \right] = } & { } \\ { \exp \left[ \frac { \chi } { 1 - \chi } \frac { 1 } { 2 } \left( a ^ { \dag } \right) ^ { 2 } \right] } & { \exp \left( - 2 \ln \left( 1 - \chi \right) \frac { 1 } { 4 } \left( a a ^ { \dag } + a ^ { \dag } a \right) \right) \exp \left( \frac { \chi } { 1 - \chi } \frac { 1 } { 2 } \left( a \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\{ G ^ { 2 } \right\} } & { = \mu ^ { 2 } \mathbb { E } \left\{ \frac { 1 } { \left( Y _ { R } ^ { \star } \right) ^ { 2 } } \right\} = \frac { \mu ^ { 2 } } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { y ^ { 2 } } e ^ { - \frac { \left( y - \mu \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { d } y } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \mu ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { \left( u + \frac { \mu } { \sigma } \right) ^ { 2 } } e ^ { - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { d } u , } \end{array}
\begin{array} { r } { A ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { t _ { \mathrm { s } } } ( t + t _ { 0 } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } - t _ { 0 } \leq t \leq - t _ { 0 } + t _ { \mathrm { s } } , } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } - t _ { 0 } + t _ { \mathrm { s } } \leq t \leq t _ { 0 } - t _ { \mathrm { s } } , } \\ { - \frac { 1 } { t _ { \mathrm { s } } } ( t - t _ { 0 } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } t _ { 0 } - t _ { \mathrm { s } } \leq t \leq t _ { 0 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda v _ { n , i } ^ { \lambda } = } & { ( i + 1 ) v _ { n , i + 1 } ^ { \lambda } - i v _ { n , i } ^ { \lambda } + \lambda ( i - 1 ) ( n - i + 1 ) v _ { n , i - 1 } ^ { \lambda } } \\ & { - \lambda i ( n - i ) v _ { n , i } ^ { \lambda } + n p _ { \lambda , n } \psi [ \delta _ { i - 1 , 0 } - \delta _ { i , 0 } ] \; , } \end{array}
C = \sin ( \theta _ { \mathrm { i n } } ) \sin ( \phi _ { \mathrm { o u t } } ) e ^ { - \gamma T / 2 } \approx - \partial _ { \phi _ { \mathrm { o u t } } } \tilde { D } _ { \mathbf { A } } / \tilde { N } _ { \mathbf { A } }
\begin{array} { r l } { ( b - a ) | w ( a ^ { + } ) | ^ { 2 } \lesssim } & { \; \int _ { a } ^ { c } | w ( x ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { b } | w ( x ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x + ( b - c ) | [ w ] ( c ) | ^ { 2 } } \\ & { + ( b - c ) ( c - a ) \int _ { a } ^ { c } | w ^ { \prime } ( x ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \end{array}
R _ { u } = \int _ { \Omega _ { e } } \nabla v ^ { T } { \left( \bar { \sigma } _ { d e v } + \bar { \sigma } _ { v o l } \right) } d \Omega - \int _ { \Omega _ { e } } v ^ { T } f d \Omega - \int _ { \partial \Omega _ { e } } v ^ { T } \Bar { t } d \partial \Omega
{ \Omega _ { \Lambda } } ^ { \Sigma } = { ( L ^ { - 1 } ) _ { \Lambda } } ^ { \Pi } ( d { L _ { \Pi } } ^ { \Sigma } + g { f _ { \Pi } } ^ { \Delta \Gamma } A _ { \Delta } { L _ { \Gamma } } ^ { \Sigma } ) \equiv \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - i Q } } & { { P ^ { j } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { P _ { i } } } & { { Q _ { i } ^ { j } + { \frac { i } { n } } \delta _ { i } ^ { j } Q } } \end{array} \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { { \pmb v } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) = 0 } \\ { { \pmb v } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb t } ( { \pmb x } ) = - \frac { \lambda } { \mu } \, { \pmb h } ( { \pmb x } ) \cdot { \pmb t } ( { \pmb x } ) , \qquad { \pmb x } \in \partial D _ { b } } \end{array} \right.
{ \displaystyle \int } e ^ { { i p \cdot x } } \langle \mathrm { T } { U _ { { f _ { 1 } } } } ( x ) { \overline { { { U } } } _ { { f _ { 2 } } } } ( 0 ) \rangle d x = i e ^ { { i { \phi _ { U } } } } { \displaystyle \frac { 1 + { \gamma _ { 5 } } } { 2 } } Z ^ { U } ( p ^ { 2 } ) { \displaystyle \frac { 1 } { { / \! \! \! } p } } { }
\begin{array} { r l } { \frac { | \nabla \tilde { u } _ { 0 } | ^ { 2 } } { 2 } - W ( \tilde { u } _ { 0 } ) } & { = \xi _ { G } + G _ { \delta } ( \tilde { u } _ { 0 } ) + \varphi } \\ & { \leq C \delta + R ^ { 4 - \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } } \omega } \\ & { \leq C \delta + \delta ^ { 1 5 + 5 \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } } } \\ & { \leq C \delta . } \end{array}