harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname { N O T } x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left[ \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } + 1 \right) { \bmod { 2 } } \right] = 2 ^ { \left\lfloor \log _ { 2 } ( x ) \right\rfloor + 1 } - 1 - x } \\ { x \operatorname { A N D } y } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) \left( \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) } \\ { x \operatorname { O R } y } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left( \left[ \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) + \left( \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) + \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) \left( \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) \right] { \bmod { 2 } } \right) } \\ { x \operatorname { X O R } y } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left( \left[ \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) + \left( \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor { \bmod { 2 } } \right) \right] { \bmod { 2 } } \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \lfloor \log _ { 2 } ( x ) \rfloor } 2 ^ { n } \left[ \left( \left\lfloor { \frac { x } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { y } { 2 ^ { n } } } \right\rfloor \right) { \bmod { 2 } } \right] } \end{array}
\mathfrak { D } _ { 2 } = \Big \{ \{ { l _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } ^ { \prime } , { l _ { 3 } ^ { ( 2 ) } } ^ { \prime } \} , \quad \{ { l _ { 5 } ^ { ( 3 ) } } ^ { \prime } , { l _ { 4 } ^ { ( 3 ) } } ^ { \prime } \} , \quad \{ { l _ { 2 } ^ { ( 4 ) } } ^ { \prime } , { l _ { 6 } ^ { ( 4 ) } } ^ { \prime } , { l _ { 4 } ^ { ( 4 ) } } ^ { \prime } \} , \quad \{ { l _ { 5 } ^ { ( 5 ) } } ^ { \prime } , { l _ { 6 } ^ { ( 5 ) } } ^ { \prime } , { l _ { 3 } ^ { ( 5 ) } } ^ { \prime } \} \Big \} .
\begin{array} { r c l } { { \chi _ { \iota , k ( \kappa + 1 ) + \kappa } ^ { ( 2 \kappa + 1 , ( 2 \kappa + 1 ) k + 2 \kappa - 1 ) } ( q ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { n _ { 1 } \geq \cdots \geq n _ { k } \geq 0 } \frac { q ^ { n _ { 1 } ^ { 2 } \cdots + n _ { k - 1 } ^ { 2 } + 2 n _ { k } ^ { 2 } + ( \kappa - \iota + 1 ) ( n _ { 1 } + \cdots + n _ { k - 1 } + 2 n _ { k } ) } } { ( q ) _ { n _ { 1 } - n _ { 2 } } \cdots ( q ) _ { n _ { k - 1 } - n _ { k } } ( q ) _ { 2 n _ { k } + \kappa - \iota + 1 } } } } \\ { { } } & { { \times } } & { { \displaystyle \sum _ { \nu _ { 1 } \geq \cdots \geq \nu _ { \kappa - 1 } \geq \nu _ { \kappa } = 0 \atop \nu _ { 1 } + \cdots + \nu _ { \kappa - 1 } \leq n _ { k } } q ^ { \nu _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + \nu _ { \kappa - 1 } ^ { 2 } - \nu _ { 1 } ( \kappa - \iota + 1 ) } } } \\ { { \times } } & { { \displaystyle \prod _ { \mu = 1 } ^ { \kappa - 1 } } } & { { \displaystyle \left[ \begin{array} { c } { { 2 n _ { k } + \kappa - \iota + 1 - 2 ( \nu _ { 1 } + \cdots + \nu _ { \mu - 1 } ) - \nu _ { \mu } - \nu _ { \mu + 1 } - \alpha _ { \iota \mu } ^ { ( \kappa ) } } } \\ { { \nu _ { \mu } - \nu _ { \mu + 1 } } } \end{array} \right] _ { q } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \circ \qquad \omega _ { 1 } ( t ) , \, \omega _ { 2 } ( t ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { n } \cap B _ { 3 / 4 } ^ { n } ( 0 ) , } \\ & { \circ \qquad \frac 1 2 \, | y _ { 1 } - y _ { 2 } | _ { \bar { g } } \leq | \omega _ { 1 } ( t ) - \omega _ { 2 } ( t ) | _ { \bar { g } } \leq 2 \, | y _ { 1 } - y _ { 2 } | _ { \bar { g } } , \mathrm { ~ a n d } } \\ & { \circ \qquad | \dot { \omega } _ { 1 } ( t ) - \dot { \omega } _ { 2 } ( t ) | _ { \bar { g } } \leq \frac 1 2 \, | y _ { 1 } - y _ { 2 } | _ { \bar { g } } . } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \cal P } { \partial t } + i \hbar \operatorname { d i v } \! \Big ( { \cal P } \Big \langle { \mathbf { X } } _ { \textstyle \frac { \delta h } { \delta { \cal P } } } \Big \rangle \Big ) = \Big [ \frac { \delta h } { \delta { \cal P } } , { \cal P } \Big ]
\epsilon = \delta = \frac { n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } } { n _ { e } ^ { - } ( 0 ) } \frac { \left[ n _ { e } ^ { - } ( 0 ) - n _ { e } ^ { - } ( B ) \right] } { \left[ n _ { e } ^ { - } ( B ) \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \right] }
\left< 0 , t _ { 0 } | 0 , t \right> = \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \frac { l ^ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int d { \bf k } \ln | u _ { \alpha 1 } ( t , t _ { 0 } ) | \right) .
\mid v _ { 1 } , v _ { 2 } , . . . v _ { n } \rangle _ { 0 } = B _ { 1 } ( v _ { 1 } ) B _ { 0 } ( v _ { 2 } ) . . . B _ { x } ( v _ { n } ) \mid \Omega \rangle _ { x } , \qquad \qquad x = n ( m o d 2 ) ,
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { \mu _ { 1 } , h } \, y = - y ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } y - \frac { 2 y ^ { \prime } ( 1 ) + ( 1 - { \sqrt 3 } i ) y ( 1 ) } { { 2 } { \sqrt 3 } ( 1 + i ) } \left[ { ( 2 + \sqrt 3 ) } \delta ( x - 1 ) - 2 \delta ^ { \prime } ( x - 1 ) \right] , } \\ & { { \mathbb A } _ { \mu _ { 1 } , h } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } y - \frac { 2 y ^ { \prime } ( 1 ) + ( 1 + { \sqrt 3 } i ) y ( 1 ) } { { 2 } { \sqrt 3 } ( 1 - i ) } \left[ { ( 2 + \sqrt 3 ) } \delta ( x - 1 ) - 2 \delta ^ { \prime } ( x - 1 ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { D \rho } { D t } + \rho \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { v } = 0 \Leftrightarrow \frac { \partial \rho } { \partial t } + \boldsymbol { \nabla } \cdot \left( \rho \boldsymbol { v } \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( g _ { R } ) _ { i j } ^ { + } } & { = \frac { \alpha _ { R , i } ^ { - } \alpha _ { R , j } ^ { + } + \beta _ { i } \beta _ { j } } { 4 { \left( | A _ { \mathbf { k } } | + | B _ { \mathbf { k } } | \right) } ^ { 2 } \left( \Omega _ { x } ^ { 2 } - { \left( \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } - i \Omega _ { y } ^ { \prime } \right) } ^ { 2 } \right) } , } \\ { ( g _ { L } ) _ { i j } ^ { + } } & { = \frac { \alpha _ { L , i } ^ { - } \alpha _ { L , j } ^ { + } + \beta _ { i } \beta _ { j } } { 4 { \left( | A _ { \mathbf { k } } | + | B _ { \mathbf { k } } | \right) } ^ { 2 } \left( \Omega _ { x } ^ { 2 } - { \left( \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } - i \Omega _ { y } ^ { \prime } \right) } ^ { 2 } \right) } , } \\ { ( \mathfrak { B } _ { R } ) _ { i j } ^ { + } } & { = \frac { \alpha _ { R , i } ^ { - } \beta _ { j } - \alpha _ { R , j } ^ { + } \beta _ { i } } { 2 { \left( | A _ { \mathbf { k } } | + | B _ { \mathbf { k } } | \right) } ^ { 2 } \left( \Omega _ { x } ^ { 2 } - { \left( \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } - i \Omega _ { y } ^ { \prime } \right) } ^ { 2 } \right) } , } \\ { ( \mathfrak { B } _ { L } ) _ { i j } ^ { + } } & { = \frac { \alpha _ { L , i } ^ { - } \beta _ { j } - \alpha _ { L , j } ^ { + } \beta _ { i } } { 2 { \left( | A _ { \mathbf { k } } | + | B _ { \mathbf { k } } | \right) } ^ { 2 } \left( \Omega _ { x } ^ { 2 } - { \left( \Omega _ { y } ^ { \prime \prime } - i \Omega _ { y } ^ { \prime } \right) } ^ { 2 } \right) } , } \end{array}
\frac { d V _ { i } ( t ) } { d t } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } B _ { i j } G ( c , c _ { * } ) ( v ^ { \prime } - v ) f _ { i } ( v , w , c , t ) f _ { j } ( v _ { * } , w _ { * } , c _ { * } , t ) d v d v _ { * } d w d w _ { * } d c d c _ { * } \, ,
\tilde { u } _ { 0 } ( \eta _ { I } ( t ) , t ) - \frac { 1 } { \tilde { h } _ { 0 } ( \eta _ { I } ( t ) , t ) } \frac { \partial \tilde { h } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } ( \eta _ { I } ( t ) , t ) = 0
\begin{array} { r } { \overline { { \frac { \partial \hat { E } } { \partial t } } } = \Re \Bigg \{ - \int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial y } \overline { { \hat { u } ^ { * } \hat { v } } } d y - \frac { 1 } { R e } \int _ { 0 } ^ { 2 } \overline { { \frac { \partial \hat { u } _ { m } } { \partial x _ { n } } \frac { \partial \hat { u } _ { m } ^ { * } } { \partial x _ { n } } } } d y - \int _ { 0 } ^ { 2 } \overline { { \hat { u } _ { m } ^ { * } \hat { f } _ { m } } } d y \Bigg \} , } \end{array}
\nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } g _ { 2 } } \: = \: \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 2 } } \, g _ { 2 } ^ { * } \nu _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } } \, \left( h _ { \alpha } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } } \right) \, \left( h _ { \beta } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } } \right) ^ { - 1 }
\partial _ { t } P ( \phi _ { 1 } , . . . , \phi _ { N } ; t ) = \partial _ { \alpha } \left\{ \mu _ { \phi } \tilde { M } _ { \alpha \beta } \left[ k _ { B } T \partial _ { \beta } P + ( \partial _ { \beta } V ( \phi _ { \beta } ) ) P \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k \ell } ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { j } \binom { j + \ell } { j } S _ { i j } ^ { ( n ) } \overline { { g } } _ { k , i , j + \ell } ^ { ( n ) } , } \end{array}
\mathbf { D } _ { i } = - i { \nu _ { i d } } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + \zeta _ { w i } } \end{array} \right)
\delta _ { T } z _ { m n } = - \frac { i } { 4 } [ \epsilon _ { T } ^ { ( R ) } ( u \sigma _ { m n } u + \bar { u } \tilde { \sigma } _ { m n } \bar { u } ) + \epsilon _ { T } ^ { ( I ) } ( u \sigma _ { m n } u - \bar { u } \tilde { \sigma } _ { m n } \bar { u } ) ] ,
\delta ^ { \prime } \simeq \mathrm { m a x } ( \epsilon _ { \mathrm { L L } } ) \quad \mathrm { o r } \quad \mathrm { m a x } ( \epsilon _ { \mathrm { L R } } ) \quad \mathrm { o r } \quad \mathrm { m a x } ( \epsilon _ { \mathrm { R L } } ) ,
\begin{array} { r l } { \dot { X } ( t ) = } & { A _ { \mathrm { m } } X ( t ) + { B } \beta ( 0 , t ) , } \\ { \alpha ( 0 , t ) = } & { - p \beta ( 0 , t ) , } \\ { { \alpha _ { t } } ( x , t ) = } & { - { q _ { 1 } } { \alpha _ { x } } ( x , t ) + { d _ { 1 } } \alpha ( x , t ) , } \\ { { \beta _ { t } } ( x , t ) = } & { { q _ { 2 } } { \beta _ { x } } ( x , t ) + { d _ { 4 } } \beta ( x , t ) , } \\ { \beta ( 1 , t ) = } & { c _ { 0 } v ( 1 , t ) + q \alpha ( 1 , t ) + \left( \bar { \lambda } ( 1 ) - q \bar { \gamma } ( 1 ) \right) { X } ( t ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( { \bar { \Psi } } ( 1 , y ) - q { \bar { \phi } } ( 1 , y ) \right) \alpha ( y , t ) d y } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( { \bar { \Phi } } ( 1 , y ) - q { \bar { \varphi } } ( 1 , y ) \right) \beta ( y , t ) d y . } \end{array}
\frac { \partial { \textbf { u } } } { \partial { t } } + \textbf { u } \cdot \nabla { \textbf { u } } = - \nabla { p } + \frac { \beta } { R e } \nabla \cdot \boldsymbol { \tau _ { s } } + \frac { ( 1 - \beta ) } { W i } \frac { 1 } { R e } \nabla \cdot \boldsymbol { \tau _ { p } }
\frac { 1 } N \sum _ { k = 1 } ^ { P } \sin ( \frac { 2 \pi k j } N ) [ \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \sin ( \frac { 2 \pi k t _ { a } } N ) ] T r \gamma _ { k , 9 } = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } ( \delta _ { 2 j , t _ { a } } - \delta _ { 2 j , - t _ { a } } )
( u _ { i j } ^ { e } ) ^ { n + 1 } = ( u _ { i j } ^ { e } ) ^ { n } - \Delta t \left[ \frac { 1 } { \Delta x _ { e } } \frac { \partial F _ { h } } { \partial \xi } ( \xi _ { i } , \xi _ { j } ) + \frac { 1 } { \Delta y _ { e } } \frac { \partial G _ { h } } { \partial \eta } ( \xi _ { i } , \xi _ { j } ) \right] , \qquad 0 \le i , j \le N
\begin{array} { r l r } { S _ { A , p , x _ { - } } } & { = } & { ( 1 - x ) \left[ p ^ { 3 } ( 1 - p ) + \frac { 3 } { 2 } p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } \right] , } \\ { S _ { A , p , x _ { + } } } & { = } & { x \left[ ( 1 - p ) ^ { 4 } + 3 p ( 1 - p ) ^ { 3 } + \frac { 3 } { 2 } p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } \right] , } \\ { S _ { B , p , x _ { - } } } & { = } & { ( 1 - x ) \left[ p ( 1 - p ) ^ { 3 } + \frac { 3 } { 2 } p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } \right] , } \\ { S _ { B , p , x _ { + } } } & { = } & { x \left[ p ^ { 4 } + 3 p ^ { 3 } ( 1 - p ) + \frac { 3 } { 2 } p ^ { 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } \circ \mathbb { W } ^ { + } = } & { } & { i \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } \circ ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } + W _ { 1 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i W _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } + W _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } ) } \\ & { } & { + i k _ { e g } ( i \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } \circ \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } \circ \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ - i W _ { 2 } ^ { i + } + W _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } \circ \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { z } ( \frac { T } { 2 } ) = - \dot { z } ( - \frac { T } { 2 } ) = - \dot { z } ( \frac { T } { 2 } ) \, , } \\ { \dot { \rho } ( \frac { T } { 2 } ) = \dot { \rho } ( - \frac { T } { 2 } ) = - \dot { \rho } ( \frac { T } { 2 } ) \, . } \end{array}
\tilde { C } ( \Delta p _ { l } ) = \int \int _ { 0 } ^ { \infty } s ( D , t ) \cos ( \Delta p _ { l } \cdot D ) d D d t = \int _ { 0 } ^ { \infty } \biggl \lbrack \int s ( D , t ) d t \biggr \rbrack \cos ( \Delta p _ { l } \cdot D ) d D
T _ { N N } ( L , m , d , z ) = \frac { g } { 2 L } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int d ^ { d - 1 } p \frac { 1 } { ( \vec { p } ^ { \, 2 } + ( \frac { n \pi } { L } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } + g f _ { 2 } ( L , m , d , z ) .
\begin{array} { r } { b ( \kappa ) = 0 . 5 6 5 - 0 . 0 2 6 \kappa ^ { 2 } - 0 . 0 0 3 \kappa ^ { 4 } = b _ { 0 } + b _ { 2 } \kappa ^ { 2 } + b _ { 4 } \kappa ^ { 4 } , } \\ { c ( \kappa ) = - 0 . 2 0 7 - 0 . 0 8 6 \kappa ^ { 2 } + 0 . 0 1 8 \kappa ^ { 4 } = c _ { 0 } + c _ { 2 } \kappa ^ { 2 } + c _ { 4 } \kappa ^ { 4 } , } \\ { d ( \kappa ) = - 0 . 0 3 1 - 0 . 0 4 2 \kappa ^ { 2 } - 0 . 0 0 8 \kappa ^ { 4 } = d _ { 0 } + d _ { 2 } \kappa ^ { 2 } + d _ { 4 } \kappa ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ddot { \bf R } _ { i } = - \sum _ { j } \frac { 2 g _ { j } } { g _ { i } + g _ { j } } ( \dot { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { j } ) { \bf R } _ { j } , \qquad ( { \bf R } _ { i } , { \bf R } _ { j } ) = \delta _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \lambda , \sum _ { t = 1 } ^ { T } t ( z ^ { t + 1 } - z ^ { t } ) \rangle = \langle \lambda , \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( z ^ { T + 1 } - z ^ { t } ) \rangle \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \lambda \| \| z ^ { T + 1 } - z ^ { t } \| \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \lambda \| U _ { 2 } = T U _ { 2 } \| \lambda \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A C ^ { 2 } } & { { } = A C \cdot B D \cdot { \frac { A C } { B D } } = ( A B \cdot C D + B C \cdot D A ) { \frac { A B \cdot D A + B C \cdot C D } { A B \cdot B C + D A \cdot C D } } } \\ { B D ^ { 2 } } & { { } = { \frac { A C \cdot B D } { \frac { A C } { B D } } } = ( A B \cdot C D + B C \cdot D A ) { \frac { A B \cdot B C + D A \cdot C D } { A B \cdot D A + B C \cdot C D } } } \end{array}
f _ { \Theta } ( \theta , \eta , \overline { { \theta } } ) = \frac { \theta } { \overline { { \theta } } ^ { 2 } } \, \exp \! \left( - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \theta ^ { 2 } } { \overline { { \theta } } ^ { 2 } } + \eta ^ { 2 } \right) \right) I _ { 0 } \left( \frac { \theta \eta } { \overline { { \theta } } } \right) ,
\operatorname* { l i m } _ { \{ i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } \} \in { \mathcal { F } } } \operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { i _ { 1 } } \in \Lambda _ { i _ { 1 } } } \operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { i _ { 2 } } \in \Lambda _ { i _ { 2 } } } \ldots \operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { i _ { n } } \in \Lambda _ { i _ { n } } } P _ { { \mathcal { H } } _ { i } } u _ { F , \lambda _ { i _ { 1 } } , \ldots , \lambda _ { i _ { n } } } ^ { * } \psi ( t ) u _ { F , \lambda _ { i _ { 1 } } , \ldots , \lambda _ { i _ { n } } } \mid _ { { \mathcal { H } } _ { i } } = \pi _ { i } ( t )
\begin{array} { r } { \phantom { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \sigma } _ { n m } ^ { x } \mapsto \Sigma _ { n m } ^ { x } = \alpha _ { N } \left( P _ { x _ { n m } ^ { + } } - P _ { x _ { n m } ^ { - } } \right) \phantom { , } } \\ { \phantom { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \sigma } _ { n m } ^ { y } \mapsto \Sigma _ { n m } ^ { y } = \alpha _ { N } \left( P _ { y _ { n m } ^ { + } } - P _ { y _ { n m } ^ { - } } \right) , } \end{array}
\mathrm { S M } : \ \ \ a = b = i = j \ : \ \ \ S _ { 1 } ^ { - , - } = \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \ \ \ , \ \ \ V _ { 1 } ^ { - , - } = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left( 1 - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \right) \ .
\begin{array} { r } { \mathrm { Q R } ( \tilde { Y } _ { d _ { l } , d _ { l + 1 } } ^ { a _ { l } ^ { \prime } } ) = \sum _ { s } Q _ { d _ { l } , s } ^ { a _ { l } ^ { \prime } } R _ { s , d _ { l + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { 6 } \mapsto } & { c _ { 0 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { b _ { 7 } \mapsto } & { a _ { 1 , 0 } b _ { 3 } + a _ { 2 , 0 } + c _ { 1 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { b _ { 8 } \mapsto } & { a _ { 1 , 0 } b _ { 4 } + a _ { 2 , 0 } b _ { 1 } + c _ { 2 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { b _ { 9 } \mapsto } & { a _ { 1 , 0 } b _ { 5 } + a _ { 2 , 0 } b _ { 2 } + c _ { 3 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( { a } , R ) : = \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \int _ { R } ^ { B } \lambda ^ { - 1 } \bar { \sigma } _ { 2 2 } T \, d T = \int _ { { b } } ^ { \bar { \lambda } _ { 1 } } \frac { ( \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } - \bar { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } ) w _ { 1 } ( \tilde { \lambda } _ { 1 } , \lambda ) + 2 \tilde { \lambda } _ { 1 } \lambda ( \bar { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } \lambda - 1 ) w _ { 2 } ( \tilde { \lambda } _ { 1 } , \lambda ) } { 2 ( \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } \lambda - 1 ) ^ { 2 } } \, d \tilde { \lambda } _ { 1 } , } \end{array}
\mathbf { D } ^ { - 1 } + \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ) ^ { - 1 } \mathbf { B D } ^ { - 1 } = ( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ) ^ { - 1 }
\langle L _ { 2 } ( \tau ) \rangle = \frac { \left( 7 \alpha ^ { 2 } - \alpha ( 8 \beta + 3 ) + 2 \beta ( \beta + 1 ) \right) ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { \alpha - \beta } { \alpha - 1 } } } { 2 \gamma ( 2 \alpha - \beta ) ( 3 \alpha - \beta - 1 ) } \ .
\begin{array} { r l } { { \mathcal K } _ { i i } } & { = \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha } X _ { i \alpha } R _ { \alpha \alpha } X _ { i \alpha } + z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } \sum _ { \alpha \neq \beta } X _ { i \alpha } H _ { i \alpha } H _ { i \beta } X _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = \mathfrak { s } ( z ) + z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } \frac { E _ { q } ^ { 2 } } { V _ { q } } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \delta m ) } & { } & { = \beta ^ { 2 } \int _ { m _ { L } } ^ { \infty } d m _ { i } \int _ { m _ { i } + \delta m } ^ { \infty } d m _ { j } \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { i } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { i } \int _ { t _ { i } } ^ { T } d t _ { j } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { j } } \\ & { } & { e ^ { - \beta ( m _ { j } + m _ { i } - 2 m _ { L } ) } \Lambda ( t _ { j } , \vec { x } _ { j } ) \Lambda ( t _ { i } , \vec { x } _ { i } ) \Phi _ { T } \left( m _ { j } - M _ { T } \left( t _ { j } , \vec { x } _ { j } , { \cal H } _ { j } \right\vert m _ { i } ) \right) \Phi _ { R } \left( m _ { j } - M _ { R } \left( \vec { x } _ { j } \right\vert m _ { i } ) \right) } \\ & { } & { \Phi _ { T } \left( m _ { i } - M _ { T } \left( t _ { i } , \vec { x } _ { i } , { \cal H } _ { i } \right) \right) \Phi _ { R } \left( m _ { i } - M _ { R } \left( \vec { x } _ { i } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \vec { x } , z ) } & { { } = E _ { X } ( \vec { x } , z ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } , z ) + E _ { Y } ( \vec { x } , z ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } , z ) } \\ { \vec { v } ( \vec { x } , z ) } & { { } = \frac { 1 } { k _ { 0 } } \nabla _ { X } \phi ( \vec { x } , z ) } \\ { \vec { \Omega } ( \vec { x } , z ) } & { { } = \frac { 1 } { k _ { 0 } } \nabla _ { X } \gamma ( \vec { x } , z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { J } _ { t } ( x , y ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 1 } \gamma ^ { i } \Delta _ { g } ( x ) + \operatorname* { m a x } _ { a } \, \Bigl \{ g ( x ^ { * } ) + h ( y , a ) + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ \bar { J } _ { t + 1 } ( x ^ { * } , y ^ { \prime } ( x ^ { * } , y , a ) ) \bigr ] \Bigr \} } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 1 } \gamma ^ { i } \Delta _ { g } ( x ) + \operatorname* { m a x } _ { a } \, \biggl \{ g ( x ^ { * } ) + h ( y , a ) + \gamma \, \mathbb { E } \biggl [ \bar { J } _ { t + 1 } ( x , y ^ { \prime } ( x ^ { * } , y , a ) ) - \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 2 } \gamma ^ { i } \Delta _ { g } ( x ) \biggr ] \biggr \} } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 1 } \gamma ^ { i } \Delta _ { g } ( x ) + \operatorname* { m a x } _ { a } \, \biggl \{ g ( x ^ { * } ) + h ( y , a ) + \gamma \, \mathbb { E } \biggl [ \bar { J } _ { t + 1 } ( x , y ^ { \prime } ( x ^ { * } , y , a ) ) - \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 2 } \gamma ^ { i } \Delta _ { g } ( x ) \biggr ] \biggr \} } \\ & { = \Delta _ { g } ( x ) + \operatorname* { m a x } _ { a } \, \Bigl \{ g ( x ^ { * } ) + h ( y , a ) + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ \bar { J } _ { t + 1 } ( x , y ^ { \prime } ( x ^ { * } , y , a ) ) \bigr ] \Bigr \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { a } \, \Bigl \{ g ( x ) + h ( y , a ) + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ \bar { J } _ { t + 1 } ( x , y ^ { \prime } ( x ^ { * } , y , a ) ) \bigr ] \Bigr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n } ( r , \theta ) } & { = ( A _ { 1 } \cos ( n \theta ) + B _ { 1 } \sin ( n \theta ) ) } \\ & { \times ( C _ { 1 } J _ { n } ( \zeta r ) + D _ { 1 } Y _ { n } ( \zeta r ) ) } \\ & { + ( A _ { 2 } \cos ( n \theta ) + B _ { 2 } \sin ( n \theta ) ) } \\ & { \times ( C _ { 2 } I _ { n } ( \zeta r ) + D _ { 2 } K _ { n } ( \zeta r ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } _ { \mathrm { n } } } & { { } = \frac { \rho v _ { 0 } \ell } { \eta } , } \\ { \mathrm { E r } } & { { } = \frac { \eta v _ { 0 } \ell } { K } = \frac { \eta } { K } \cdot \frac { K } { \gamma } = \frac { \eta } { \gamma } , } \\ { \mathrm { R } _ { \mathrm { a } } } & { { } = \frac { K } { A } \cdot \frac { \alpha } { K } = \frac { \alpha } { A } . } \end{array}
M _ { q } ( \lambda ) = { \frac { { \frac { 1 1 } { 8 } } \lambda + { \frac { 1 3 } { 4 } } + { \frac { 2 } { \lambda } } } { ( 1 + \lambda ) ^ { 3 / 2 } } } \ln { \frac { \sqrt { 1 + \lambda } + 1 } { \sqrt { 1 + \lambda } - 1 } } - { \frac { 1 2 + 1 1 \lambda } { 4 \lambda ( 1 + \lambda ) } }
- \frac { i g ^ { 4 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \; \int { \! d \Phi \; \bar { u } _ { a } ^ { \prime } { } u _ { a } \: \bar { u } _ { b } ^ { \prime } { } u _ { b } \; \frac { 1 } { m _ { a } m _ { b } } } = - \frac { i g ^ { 4 } } { 1 6 \pi m _ { a } m _ { b } } \; \bar { u } _ { a } ^ { \prime } { } u _ { a } \: \bar { u } _ { b } ^ { \prime } { } u _ { b } ,
\begin{array} { r } { \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } - e \, ( \phi ( \mathbf { r } ) - \lambda ) + \mu _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ) \right) \psi _ { \nu } ( \mathbf { r } ) = \epsilon _ { \nu } \, \psi _ { \nu } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { l } { \Delta \varphi ( x , y ) = - 2 { \pi ^ { 2 } } \cos ( \pi x ) c o s ( \pi y ) , \mathrm { { } } x , y \in \Omega } \\ { \varphi ( x , y ) = \cos ( \pi x ) \cos ( \pi y ) , \mathrm { { } } x , y \in \partial \Omega } \end{array}