harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 8 , 9 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 5 } \pm \mathbf { k } _ { 6 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 1 0 , 1 1 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 6 } \pm \mathbf { k } _ { 7 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 1 2 , 1 3 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 7 } \pm \mathbf { k } _ { 5 } . } \end{array}
\mathrm { ~ T ~ E ~ } = \mathrm { ~ M ~ D ~ } ^ { - 1 } = \left( \frac { 2 } { | T | ( | T | - 1 ) } \sum _ { \substack { i < j \, i , j \in T } } d _ { S P } ( i , j ) \right) ^ { - 1 } \; .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { 1 ) } \qquad \mathrm { O n e ~ a s y m p t o t e ~ o f ~ } \mathcal { H } _ { 1 } \mathrm { \: i s ~ p e r p e n d i c u l a r ~ t o ~ } \mathcal { H } _ { 2 } } \\ & { \mathrm { 2 ) } \qquad \mathrm { O n e ~ a s y m p t o t e ~ o f ~ } \mathcal { H } _ { 1 } \mathrm { \: i s ~ p a r a l l e l ~ t o ~ } \mathcal { H } _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\Vert \nabla ^ { j } X \right\Vert _ { L ^ { r } } } & { \lesssim } & { e ^ { \left( j + 1 \right) C \left\Vert \xi \right\Vert _ { C ^ { 0 } } } \sum _ { J _ { j - 1 } ^ { \prime } } \left( \left\Vert \nabla ^ { j ^ { \prime \prime } } X _ { 0 } \right\Vert _ { W ^ { k - j ^ { \prime \prime } , r } } + \left\Vert \nabla ^ { j ^ { \prime \prime } } Y \right\Vert _ { W ^ { k - j ^ { \prime \prime } , r } } \right) \prod _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \left\Vert \nabla ^ { i ^ { \prime } - 1 } \theta _ { s } \right\Vert _ { W ^ { k - i ^ { \prime } , r } } ^ { i _ { i ^ { \prime } } } \times } \\ & { } & { \times \prod _ { i ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { j } \left\Vert \nabla ^ { i ^ { \prime \prime } - 1 } d \xi \right\Vert _ { W ^ { k - i ^ { \prime \prime } , r } } ^ { k _ { i ^ { \prime \prime } } } } \\ & { \lesssim } & { e ^ { \left( j + 1 \right) C \left\Vert \xi \right\Vert _ { C ^ { 0 } } } \left( \left\Vert X _ { 0 } \right\Vert _ { W ^ { k , r } } + \left\Vert Y \right\Vert _ { W ^ { k , r } } \right) \sum _ { J _ { j - 1 } ^ { \prime } } \left\Vert \theta _ { s } \right\Vert _ { W ^ { k - 1 , r } } ^ { i _ { 1 } + . . . + i _ { j } } \left\Vert \xi \right\Vert _ { W ^ { k , r } } ^ { k _ { 1 } + . . . + k _ { j } } } \\ & { \lesssim } & { e ^ { C \left( j + 1 \right) \left\Vert \xi \right\Vert _ { C ^ { 0 } } } \left( \left\Vert X _ { 0 } \right\Vert _ { W ^ { k , r } } + \left\Vert Y \right\Vert _ { W ^ { k , r } } \right) \left( \Theta ^ { j } + \Theta \right) , } \end{array}
1 5 \left[ { \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( m - \bar { m } + n - \bar { n } ) \right] ^ { 2 } + \left[ { \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( m - \bar { m } + n - \bar { n } ) - ( d - \bar { d } ) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l r l } { T ( \phi ) } & { { } = T _ { \mathrm { h o l d } } , } & { \phi } & { { } \in \left[ \phi _ { \mathrm { h o l d } } , \phi _ { \mathrm { i n t f } } \right] } \\ { T ( \phi ) } & { { } = T _ { \mathrm { l o a d } } e ^ { - \mu \phi } , } & { \phi } & { { } \in \left[ \phi _ { \mathrm { i n t f } } , \phi _ { \mathrm { l o a d } } \right] } \\ { \phi _ { \mathrm { i n t f } } } & { { } = { \frac { 1 } { \mu } } \log \left( { \frac { T _ { \mathrm { l o a d } } } { T _ { \mathrm { h o l d } } } } \right) } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { \mathrm { D } } } & { { } = \big ( \Pi _ { 1 } + \Pi _ { 2 } e ^ { - 2 \lambda } - \Pi _ { 3 } e ^ { - \lambda } + \Pi _ { 4 } E _ { 1 } ( \lambda ) + \Pi _ { 5 } K _ { 0 } ( 2 \lambda ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } \vartheta \Big | _ { \beta = - h ( t ) } } & { { } = \frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } , } \\ { \operatorname { I m } \vartheta \Big | _ { \beta = - h ( t ) } } & { { } = \frac { \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } - \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } + h _ { t } , } \end{array}
H _ { \mathrm { I } } \simeq [ ( p + q ) / 2 - ( q - p ) J _ { 0 } ( 2 A / \omega ) / 2 ] S _ { x } ^ { 2 } + [ ( p + q ) / 2 + ( q - p ) J _ { 0 } ( 2 A / \omega ) / 2 ] S _ { y } ^ { 2 }
| N , K , S , J , M \rangle = \sum _ { \Sigma , P } ( - 1 ) ^ { N - S + P } \sqrt { 2 N + 1 } \left( \begin{array} { c c c } { J } & { S } & { N } \\ { P } & { - \Sigma } & { - K } \end{array} \right) | S , \Sigma ; J , P , M \rangle
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D } ^ { D + \Gamma ( K , \epsilon , w ) } \texttt { m s e } _ { \mathrm { R R } } ^ { [ k ] } ( t , \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } ) d t \right] - \beta { \mathbb { E } } \left[ \Gamma ( K , \epsilon , w ) \right] - \int _ { 0 } ^ { \infty } \eta ( y ) w ( y ) d y } \\ & { - \zeta \left( { \mathbb { E } } \left[ w \left( \tilde { Y } \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y ^ { [ k ] } \right] - \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } \right) . } \end{array}
\hat { H } ( t ) = \hat { H } _ { 0 } + \sum _ { \ell \in \mathbb { Z } } \delta ( t / T - \tau / T - \ell ) \hat { H } _ { 2 } + \sum _ { \ell \in \mathbb { Z } } \delta ( t / T - \ell ) \hat { H } _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { \langle j ^ { \mu } \rangle _ { a ; \psi } = \bigg \langle \int _ { k , q } f ( k , q ) \mathrm { t r } [ } & { e \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \alpha } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \beta } \gamma _ { 5 } q _ { \alpha } A _ { \nu } ( q ) b _ { \beta } } \\ & { + \lambda \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \alpha } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \beta } \gamma _ { 5 } q _ { \alpha } a _ { \nu } ( q ) b _ { \beta } ] \bigg \rangle _ { a } + \dots \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } N _ { \mathrm { B } } } { \mathrm { d } t } } & { = \Gamma _ { \mathrm { A } } N _ { \mathrm { A } } - \Gamma _ { \mathrm { B } } N _ { \mathrm { B } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } N _ { \mathrm { A } } } { \mathrm { d } t } } & { = - \Gamma _ { \mathrm { A } } N _ { \mathrm { A } } + \Gamma _ { \mathrm { B } } N _ { \mathrm { B } } , } \end{array}
Q _ { i } : ~ \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } \psi _ { s } ( x _ { j } , t ) | s \rangle \otimes | j \rangle \to \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } \sum _ { s = 0 } ^ { 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } \frac { \psi _ { s } ( x _ { j } , t ) } { \sqrt { | \psi _ { 0 } ( x _ { j } , t ) | ^ { 2 } + | \psi _ { 1 } ( x _ { j } , t ) | ^ { 2 } } } | s \rangle \otimes | j \rangle .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 3 } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \int d ^ { D } k \frac { 1 } { k ^ { 4 n - 2 } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { T W } } = \frac { \hbar \Omega } { 2 } e ^ { i ( \phi _ { 1 } + \eta ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) - \delta t ) } \hat { S } _ { + } + \mathrm { h . c . }
\begin{array} { r l } { x _ { i } } & { { } = \ln { r _ { i } } , \quad i = 1 , \ldots , 3 , } \\ { x _ { 4 } } & { { } = \ln { r _ { n - 1 } } , } \\ { x _ { 5 } } & { { } = \ln { r _ { n } } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { D = 3 : } } & { { D ^ { i \alpha _ { 1 } } J _ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { s } } = 0 } } \\ { { D = 4 : } } & { { D ^ { i \alpha _ { 1 } } J _ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { s } } ^ { \dot { \alpha } _ { 1 } \cdots \dot { \alpha } _ { s } } = 0 , \quad \bar { D } _ { i \dot { \alpha } _ { 1 } } J _ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { s } } ^ { \dot { \alpha } _ { 1 } \cdots \dot { \alpha } _ { s } } = 0 } } \\ { { D = 5 , 6 : } } & { { \epsilon ^ { \delta \gamma \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } D _ { \gamma } ^ { i } J _ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { s } \; \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } = 0 } } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( A _ { i } ) = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { a _ { 1 } } & { \ldots } & { b } & { \ldots } & { a _ { n } } \end{array} \right] } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { a _ { 1 } } & { \ldots } & { a _ { i - 1 } } & { a _ { j } } & { a _ { i + 1 } } & { \ldots } & { a _ { n } } \end{array} \right] } = x _ { i } \operatorname* { d e t } ( A )
{ \widehat { p } } ( d x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) : = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { { \widehat { \xi } } _ { k } ^ { i } } ( d x _ { k } ) \approx _ { N \uparrow \infty } p ( d x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) \approx _ { N \uparrow \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { p ( y _ { k } | \xi _ { k } ^ { i } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } p ( y _ { k } | \xi _ { k } ^ { j } ) } } \delta _ { \xi _ { k } ^ { i } } ( d x _ { k } )
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \left\| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ \tau , 1 - \tau ] } \left| \hat { \gamma } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \frac { 1 } { n b _ { k } ^ { i , l } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \epsilon _ { j , i } \epsilon _ { j + k , l } K _ { b _ { k } ^ { i , l } } ( t _ { i } - t ) \right| \right\| _ { q } = O ( ( n b \tau ) ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) } & { { } = } & { e ^ { - r t } \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi D t } } \exp \left( - \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t } \right) + r e ^ { - r t } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \frac { [ r ( t - t ^ { \prime } ) ] ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { h , \ell , \chi , N , \tau } ( n ) } & { = \tau _ { h } ( \chi , n ) \frac { N } { \sqrt { \phi ( h ) } N ^ { \prime } } G _ { h , \ell } \Bigl ( \frac { t } { N ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { \qquad + \mathcal { O } \biggl ( \frac { \tau _ { h } ( \chi , n ) } { | \lambda _ { h , \ell } ( \tau ) | \sqrt { \phi ( h ) } } \exp \Bigl ( - \frac { c _ { 0 } } { 4 } \sqrt { \log N } \Bigr ) \biggr ) } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { A } \ddot { \bf x } _ { A } = \sum _ { B = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { A B } { \bf x } _ { B } + \sum _ { \beta = 4 } ^ { n } \lambda _ { A \beta } { \bf x } _ { \beta } , \qquad m _ { \alpha } \ddot { \bf x } _ { \alpha } = \sum _ { A = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { A \alpha } { \bf x } _ { A } . } \end{array}
\langle T _ { i } ^ { k } \rangle ^ { ( b ) } = \frac { \zeta \delta _ { i } ^ { k } } { \pi \xi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \, \frac { A - B \omega / a } { A + B \omega / a } e ^ { - 2 \omega \ln ( a / \xi ) } \tilde { F } _ { 0 } ^ { ( i ) } ,
\Gamma _ { n } = \frac { s \psi _ { n } ( x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( s x ) - \psi _ { n } ( s x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( x ) } { \psi _ { n } ( s x ) \xi _ { n } ^ { \prime } ( x ) - s \xi _ { n } ( x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( s x ) } ,
\mathrm { ~ p ~ s ~ f ~ } _ { d e t e c t o r } = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { \alpha } { 4 \pi ^ { 2 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } } & { : x < = 0 } \\ { 0 } & { : x > 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { q _ { 1 2 } ^ { ( a b ) 2 } } & { { } = } & { \kappa _ { 1 } ^ { ( a ) 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { ( b ) 2 } + 2 k _ { 1 } k _ { 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| k _ { + \rho } \frac { \partial } { \partial k _ { + \rho } } \ln \frac { \pi ( n + 1 ) } { \pi ( n ) } \right| } & { { } = \frac { w _ { + \rho } ( n ) } { \sum _ { \rho ^ { \prime } \in \mathcal { R } } w _ { + \rho ^ { \prime } } ( n ) } \le 1 } \\ { \left| k _ { - \rho } \frac { \partial } { \partial k _ { - \rho } } \ln \frac { \pi ( n + 1 ) } { \pi ( n ) } \right| } & { { } = \frac { w _ { - \rho } ( n + 1 ) } { \sum _ { \rho ^ { \prime } \in \mathcal { R } } w _ { - \rho ^ { \prime } } ( n + 1 ) } \le 1 , } \end{array}
Z _ { 6 } ^ { \mathrm { a l l } } ( s ) = \sum _ { \substack { 0 \neq ( \beta _ { 6 } ) \subseteq \ensuremath { \mathbb Z } [ \omega ] \, ( \beta _ { 6 } , 3 \overline { { \beta _ { 6 } } } ) = 1 \, \beta _ { 6 } \mathrm { ~ s q u a r e f r e e } } } \frac { 1 } { N ( \beta _ { 6 } ) ^ { s } } \sum _ { \substack { 0 \neq ( \beta _ { 3 } ) \subseteq \ensuremath { \mathbb Z } [ \omega ] \, ( \beta _ { 3 } , 3 \overline { { \beta _ { 3 } } } ) = 1 \, \beta _ { 3 } \mathrm { ~ s q u a r e f r e e } \, ( N ( \beta _ { 3 } ) , N ( \beta _ { 6 } ) = 1 } } \frac { 1 } { N ( \beta _ { 3 } ) ^ { s } } \sum _ { \substack { q _ { 2 } \in \ensuremath { \mathbb Z } _ { \geq 1 } \, ( q _ { 2 } , 2 N ( \beta _ { 3 } \beta _ { 6 } ) ) = 1 } } \frac { 1 } { q _ { 2 } ^ { s } } .
\theta ^ { \mu \nu } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { g _ { 2 } g ( 1 - e ^ { 2 } ) + g ^ { 2 } b ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { g _ { 2 } e } } & { { 0 } } \\ { { - g _ { 2 } e } } & { { 0 } } & { { - g b } } \\ { { 0 } } & { { g b } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \bf \Omega } _ { e } \equiv \left( \begin{array} { l l l l l l l } { { 1 } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { \mathrm { c o s h } \delta _ { e } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { - \mathrm { s i n h } \delta _ { e } } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { I _ { 6 } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \mathrm { c o s h } \delta _ { e } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \mathrm { s i n h } \delta _ { e } } } \\ { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { I _ { 2 1 } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { - \mathrm { s i n h } \delta _ { e } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \mathrm { c o s h } \delta _ { e } } } & { { \cdot } } \\ { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \mathrm { s i n h } \delta _ { e } } } & { { \cdot } } & { { \cdot } } & { { \mathrm { c o s h } \delta _ { e } } } \end{array} \right) ,
\left( \begin{array} { l l } { x } & { x } \\ { x } & { x } \end{array} \right) + \epsilon \left( \begin{array} { l l } { p } & { 0 } \\ { 0 } & { p ^ { \perp } } \end{array} \right) \otimes I _ { k } + t \left( \begin{array} { l l } { p ^ { \perp } } & { 0 } \\ { 0 } & { p } \end{array} \right) \otimes I _ { k } \in \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } [ ( E ^ { n } ) _ { 2 k } ^ { k - \mathrm { m i n } } ]
\begin{array} { r l } { E _ { - } } & { { } = E _ { - } ^ { 0 } + \frac { R T } { F } \ln ( \frac { c _ { 3 } } { c _ { 2 } } ) } \\ { E _ { + } } & { { } = E _ { + } ^ { 0 } + \frac { R T } { F } \ln ( \frac { c _ { 5 } c _ { H ^ { + } } ^ { 2 } } { c _ { 4 } c _ { H _ { 2 } O } } ) } \end{array}
P _ { l } ^ { m } ( x ) = \frac { ( l + m ) ! } { 2 ^ { m } \, l ! } \, ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \frac m 2 } \, P _ { l - m } ^ { ( m , \, m ) } ( x ) , \qquad \mathrm { a n d } \qquad P _ { l } ^ { m } ( x ) = ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \frac m 2 } \, \frac { d ^ { m } } { d x ^ { m } } P _ { l } ( x ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { V } { N k _ { B } T } = - \frac { \kappa ^ { 3 } } { 8 \pi n } - \pi n \lambda ^ { 3 } \tau ^ { 3 } \ln ( \kappa \lambda ) } \\ & { } & { - \pi n \lambda ^ { 3 } \left[ \frac { \tau } { 2 } - \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } ( 1 + \ln ( 2 ) ) \tau ^ { 2 } + \left( \frac { C } { 2 } + \ln ( 3 ) - \frac { 1 } { 3 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 4 } \right) \tau ^ { 3 } \right. } \\ & { } & { \left. + \sqrt { \pi } \sum _ { m = 4 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } m } { 2 ^ { m } \Gamma ( m / 2 + 1 ) } \left[ 2 \zeta ( m - 2 ) - ( 1 - 4 / 2 ^ { m } ) \zeta ( m - 1 ) \right] \tau ^ { m } \right] } \\ & { } & { - \pi n \lambda ^ { 4 } \tau ^ { 4 } \kappa \ln ( \kappa \lambda ) + \frac { V _ { 4 } ( T ) } { N k _ { B } T } n ^ { 3 / 2 } + { \cal O } ( n ^ { 2 } \ln ( n ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial ^ { l } \eta ( y ) = } & { \ 2 ^ { \beta n } ( 2 \lambda ) ^ { d + | l | } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \bigg ( \varphi ( z ) - \sum _ { | k | \leq | l | - 1 } \frac { \partial ^ { k } \varphi ( 2 y ) } { k ! } ( z - 2 y ) ^ { k } \bigg ) \partial _ { 2 } ^ { l } \mathsf { K } _ { n } ( x + \lambda z , x + 2 \lambda y ) d z } \\ & { \quad + 2 ^ { \beta n } ( 2 \lambda ) ^ { d + | l | } \sum _ { | k | \leq | l | - 1 } \frac { \partial ^ { k } \varphi ( 2 y ) } { k ! } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( z - 2 y ) ^ { k } \partial _ { 2 } ^ { l } \mathsf { K } _ { n } ( x + \lambda z , x + \bar { \lambda } \lambda y ) d z . } \end{array}
s _ { o u t } ^ { 1 } = E R _ { 0 } \eta _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { i \omega _ { l } t } + E R _ { - 1 } \eta _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { i ( \omega _ { l } - \Omega ) t } + E R _ { + 1 } \eta _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { i ( \omega _ { l } + \Omega ) t } + E \eta _ { 2 } ^ { 2 } \eta _ { 3 } e ^ { i ( \omega _ { l } + \Omega _ { r } ) t }
\begin{array} { r l } { { \frac { d n } { d \tau } } } & { = { \varepsilon } J ^ { * } \exp \left( \frac { B ^ { * } } { { \varepsilon } ^ { 2 } } ( S - S _ { c } ) \right) } \\ { { \frac { d S } { d \tau } } } & { = \leavevmode { - { \varepsilon } ^ { 2 } D ^ { * } \left( \frac { q } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( S - 1 ) n + { \varepsilon } ^ { 2 } S F ^ { * } ( t _ { 0 } + { \varepsilon } ^ { 2 } \tau ) \, , } } \\ { { \frac { d q } { d \tau } } } & { = { \varepsilon } D ^ { * } \left( \frac { q } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( S - 1 ) n } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } K ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \mathrm { d } \eta _ { \tau } ^ { * } ( x _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 \tau } \| x _ { 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \ge C _ { K , \tau } , \qquad x _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { d } , } \\ { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } K ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \mathrm { d } \eta _ { \tau } ^ { * } ( x _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 \tau } \| x _ { 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = C _ { K , \tau } , \qquad x _ { 1 } \in \mathrm { s u p p } ( \eta _ { \tau } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf ( D 0 ) } : \{ P _ { 0 1 } , P _ { 1 1 } \} = 0 , ~ ~ ~ ~ { \bf ( D 1 ) } : \{ Q _ { 0 1 } , Q _ { 1 1 } \} = 0 , } \\ { { \bf ( D 2 ) } : \{ P _ { 0 1 } , Q _ { 1 1 } \} = 0 , ~ ~ ~ ~ { \bf ( D 3 ) } : \{ P _ { 1 1 } , Q _ { 0 1 } \} = 0 . } \end{array}
P ^ { - } = \frac { 1 } { 2 } \int d x ^ { - } d ^ { 2 } x ^ { \perp } : \left[ - \phi \partial ^ { \perp 2 } \phi + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( \bar { \psi } _ { m } ^ { ( i ) } \frac { - \partial ^ { \perp 2 } + m ^ { 2 } } { i \partial ^ { + } } \gamma ^ { + } \psi _ { m } ^ { ( i ) } + 2 g \phi \bar { \psi } _ { m } ^ { ( i ) } \psi _ { m } ^ { ( i ) } + g ^ { 2 } \bar { \psi } _ { m } ^ { ( i ) } \phi \frac { \gamma ^ { + } } { i \partial ^ { + } } \phi \psi _ { m } ^ { ( i ) } \right) \right] : \; .
L _ { t } = ( \mathbf { 1 } - \mathbf { I } ) \left[ ( 1 - \mathbf { w } _ { t } ^ { w } [ i ] - \mathbf { w } _ { t } ^ { j } ) L _ { t - 1 } [ i , j ] + \mathbf { w } _ { t } ^ { w } [ i ] \mathbf { p } _ { t - 1 } ^ { j } \right]
\begin{array} { r } { \alpha = \operatorname* { m i n } \left\{ \ln \left( \operatorname* { m a x } \left\{ 2 , \mu ^ { 2 } ( a _ { 0 } + \frac { a ^ { \star } } { \underline { { \alpha } } ^ { 2 } } ) \frac { K } { a _ { 1 } } \right\} \right) / \mu K , \frac { 1 } { \underline { { \alpha } } } \right\} \leq \frac { 1 } { \underline { { \alpha } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { 0 } ( s , A ) } & { = 0 } \\ { \mu _ { 1 } ( s , A ) } & { = \frac { 2 k _ { 0 } \sin s } { \sin k _ { 0 } } \Big ( \frac { \sin ^ { 2 } A \cos s } { \sqrt { 1 + \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s } } - \cos A \Big ) } \\ { \mu _ { 2 } ( s , A ) } & { = \frac { k _ { 0 } } { \sin k _ { 0 } } \Big ( \frac { \sin ^ { 2 } A \cos ^ { 2 } s - \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s - \sin ^ { 4 } A \sin ^ { 4 } s } { ( 1 + \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s ) ^ { 3 / 2 } } - \cos A \cos s \Big ) } \\ { \mu _ { 3 } ( s , A ) } & { = \frac { k _ { 0 } } { 3 \sin k _ { 0 } } \Big ( - \frac { \sin ^ { 2 } A \cos s \sin s ( 4 + 3 \sin ^ { 2 } A \cos ^ { 2 } s + 5 \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s + \sin ^ { 4 } A \sin ^ { 4 } s ) } { ( 1 + \sin ^ { 2 } A \sin ^ { 2 } s ) ^ { 5 / 2 } } } \\ & { + \cos A \sin s \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 4 \pi k _ { \theta } ^ { 2 } r ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } c } \left( B _ { 0 \theta } \delta J _ { z } - B _ { 0 } \delta J _ { \theta } \right) = - \frac { 4 \pi k _ { \theta } ^ { 2 } r ^ { 2 } \delta J _ { \theta } B _ { 0 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } c k _ { z } } \left( k _ { z } + k _ { \theta } \frac { B _ { 0 \theta } } { B _ { 0 } } \right) = \frac { 4 \pi k _ { \theta } r ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } c } \delta J _ { z } B _ { 0 } k _ { \parallel } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { o b j } \lbrace r _ { 1 . . . n } \rbrace _ { k } } & { = \left( \frac { \alpha } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \lvert { \bf { u } } _ { i , k } - { \bf { u } } _ { i , t h e o } \rvert } { \lvert { \bf { u } } _ { i , t h e o } \rvert } \right) _ { x } } \\ & { + \left( \frac { \beta } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \frac { \lvert { \bf { u } } _ { j , k } - { \bf { u } } _ { j , t h e o } \rvert } { \lvert { \bf { u } } _ { j , t h e o } \rvert } \right) _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| { \mathbf w } _ { n } - { \mathbf w } _ { n ^ { \prime } } \| } & { = \| { \mathbf x } _ { n } - ( 1 - s _ { n } ) { \boldsymbol \Delta } _ { n } - { \mathbf x } _ { n ^ { \prime } - 1 } + s _ { n ^ { \prime } } { \boldsymbol \Delta } _ { n ^ { \prime } } \| } \\ & { \le \left\| \sum _ { i = n + 1 } ^ { n ^ { \prime } - 1 } { \boldsymbol \Delta } _ { i } \right\| + \| { \boldsymbol \Delta } _ { n } \| + \| { \boldsymbol \Delta } _ { n ^ { \prime } } \| } \\ & { \le D ( ( n ^ { \prime } - 1 ) - ( n + 1 ) + 1 ) + 2 D } \\ & { = D ( n ^ { \prime } - n + 1 ) \le D T ~ . } \end{array}
\langle \Phi _ { \vartheta } | H _ { N } ( \mu ) e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle _ { C } \equiv \langle \Phi _ { \vartheta } | e ^ { - T ( \mu ) } H _ { N } ( \mu ) e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle = \sum _ { \nu \neq \mu } \langle \Phi _ { \vartheta } | e ^ { - T ( \mu ) } e ^ { T ( \nu ) } | \Phi _ { \nu } \rangle H _ { \nu \mu } ^ { \mathrm { e f f } }
{ \begin{array} { r } { V = \left| \mathbf { a } \times \mathbf { b } \right| \left| \operatorname { s c a l } _ { \mathbf { a } \times \mathbf { b } } \mathbf { c } \right| = \left| \mathbf { a } \times \mathbf { b } \right| { \frac { \left| \left( \mathbf { a } \times \mathbf { b } \right) \cdot \mathbf { c } \right| } { \left| \mathbf { a } \times \mathbf { b } \right| } } = \left| \left( \mathbf { a } \times \mathbf { b } \right) \cdot \mathbf { c } \right| . } \end{array} }
\left\langle \left| H _ { \rho = - 1 , m , N _ { s } = 1 , M _ { \sigma } = 1 } ^ { \rho = 1 , n , N _ { s } = 0 , M _ { \sigma } = 0 } \right| ^ { 2 } \right\rangle _ { \mathrm { a v g } } = { \frac { g ^ { 2 } } { 4 \Omega } } \left| \int v _ { m } ^ { * } u _ { n } d \tau \right| ^ { 2 } \left( { \tilde { \psi } } _ { s } \psi _ { s } - { \frac { \mu c ^ { 2 } } { K _ { \sigma } } } { \tilde { \psi } } _ { s } \beta \psi _ { s } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i ( \Omega _ { \mathrm { B } } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] a _ { a s } ( k ) - i g _ { o m } b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i ( \Omega _ { \mathrm { B } } + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] b _ { a c } ( q ) - i g _ { o m } a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}