harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { T _ { r } ^ { \Omega } = } & { - \frac { - \pi \mu \Omega _ { r } L ^ { 3 } } { 3 } \left[ \frac { 1 } { \ln ( 2 \chi ) } + \frac { 1 } { \ln ^ { 2 } ( 2 \chi ) } \left( \frac { 1 1 } { 6 } - \ln 2 + f ( \chi , , R e _ { \Omega } ^ { * } ) \right) + \frac { 1 } { \ln ^ { 3 } ( 2 \chi ) } \left( \frac { 1 6 1 } { 3 6 } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } - \frac { 1 1 } { 3 } \ln 2 + ( \ln 2 ) ^ { 2 } \right) \right. } \\ & { \left. + \frac { 1 } { \ln ^ { 4 } ( 2 \chi ) } \left( 1 - \frac { 1 } { ( 2 \chi ) ^ { 1 . 2 } } \right) ^ { 5 } \left( - \frac { 5 } { 4 } \zeta ( 3 ) + \frac { 1 0 3 3 } { 7 2 } - \ln ^ { 3 } ( 2 ) + \frac { 1 1 } { 2 } \ln ^ { 2 } ( 2 ) - \frac { 1 6 1 } { 1 2 } \ln 2 - \pi ^ { 2 } \left( \frac { 1 1 } { 2 4 } - \frac { 1 } { 4 } \ln 2 \right) \right) \right] , } \end{array}
\kappa _ { L } ^ { i } = C _ { i } T ^ { 3 } / 3 \left\{ \intop _ { 0 } ^ { \theta _ { i } / T } \frac { \tau _ { c } ^ { i } ( x ) x ^ { 4 } e ^ { x } } { \left( e ^ { x } - 1 \right) ^ { 2 } } d x + \frac { \left[ \intop _ { 0 } ^ { \theta _ { i } / T } \frac { \tau _ { c } ^ { i } ( x ) x ^ { 4 } e ^ { x } } { \tau _ { N } ^ { i } \left( e ^ { x } - 1 \right) ^ { 2 } } d x \right] ^ { 2 } } { \intop _ { 0 } ^ { \theta _ { i } / T } \frac { \tau _ { c } ^ { i } ( x ) x ^ { 4 } e ^ { x } } { \tau _ { N } ^ { i } \tau _ { U } ^ { i } \left( e ^ { x } - 1 \right) ^ { 2 } } d x } \right\}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { \beta } ( S ) } & { = L \big ( S , A _ { \pm } ( S , 0 ) \big ) - \frac { 1 } { 2 } \hat { J } S ^ { 2 } - \Lambda } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \sum _ { \pm } ( 1 \pm S ) A _ { \pm } ( S , 0 ) \Big ( \log \big ( A _ { \pm } ( S , 0 ) \big ) - 1 \Big ) - \frac { 1 } { 2 } \hat { J } S ^ { 2 } - \Lambda } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \sqrt { ( 1 + S ) ( 1 - S ) } ( \log A _ { + } A _ { - } - 2 ) } \\ & { = - \frac { 1 } { \beta } \sqrt { ( 1 + S ) ( 1 - S ) } - \frac { 1 } { 2 } \hat { J } S ^ { 2 } - \Lambda . } \end{array}
\frac { 1 } { z } \left( \frac { 4 1 } { 5 0 } - \frac { 2 } { 5 } \ln z \right) + \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \left( \frac { 4 3 2 1 } { 4 3 2 } - \frac { 1 0 } { 3 } \zeta ( 2 ) - \frac { 9 7 } { 3 6 } \ln z \right) + { \cal O } \left( \frac { \ln z } { z ^ { 3 } } \right)
\mathbf { u } \otimes \mathbf { v } = \mathbf { u } \mathbf { v } ^ { \textsf { T } } = { \left[ \begin{array} { l } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \\ { u _ { 3 } } \\ { u _ { 4 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { 1 } v _ { 1 } } & { u _ { 1 } v _ { 2 } } & { u _ { 1 } v _ { 3 } } \\ { u _ { 2 } v _ { 1 } } & { u _ { 2 } v _ { 2 } } & { u _ { 2 } v _ { 3 } } \\ { u _ { 3 } v _ { 1 } } & { u _ { 3 } v _ { 2 } } & { u _ { 3 } v _ { 3 } } \\ { u _ { 4 } v _ { 1 } } & { u _ { 4 } v _ { 2 } } & { u _ { 4 } v _ { 3 } } \end{array} \right] } .
\left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { i + 1 / 2 } = ( \xi _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + ( \eta _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { \partial u } { \partial \eta } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + ( \zeta _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { \partial u } { \partial \zeta } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } }
M ^ { - 3 } S = \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g _ { 5 } } ( \frac { 1 } { 2 } R + 6 k ^ { 2 } ) - 6 \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g _ { 4 } } k T ( \delta ( x ^ { 5 } ) + \delta ( x ^ { 5 } - \pi r _ { c } ) )
\begin{array} { r l } & { \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { r _ { 0 } } ) } { r _ { 0 } ^ { n } } - \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon ^ { n } } } \\ & { = \int _ { \varepsilon } ^ { r _ { 0 } } \left( - \frac { 1 } { r ^ { n + 1 } } \xi ( B _ { r } ) + \frac { \varepsilon } { r ^ { n + 2 } } \int _ { \partial B _ { r } } \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { n + 1 } } \int _ { B _ { r } } \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle f _ { \varepsilon } \right) d r } \\ & { \geq - r _ { 0 } \operatorname* { s u p } _ { B _ { r _ { 0 } } } \omega _ { n + 1 } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) _ { + } + \int _ { B _ { r _ { 0 } } \setminus B _ { \varepsilon } } \frac { \varepsilon \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle ^ { 2 } } { | x | ^ { n + 2 } } - \int _ { \varepsilon } ^ { r _ { 0 } } \frac { 1 } { r ^ { n + 1 } } \int _ { B _ { r } } \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle f _ { \varepsilon } d r , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { v } ) ^ { \mathsf { T } } } & { { } = ( \mathbf { v } \otimes \mathbf { u } ) } \\ { ( \mathbf { v } + \mathbf { w } ) \otimes \mathbf { u } } & { { } = \mathbf { v } \otimes \mathbf { u } + \mathbf { w } \otimes \mathbf { u } } \\ { \mathbf { u } \otimes ( \mathbf { v } + \mathbf { w } ) } & { { } = \mathbf { u } \otimes \mathbf { v } + \mathbf { u } \otimes \mathbf { w } } \\ { c ( \mathbf { v } \otimes \mathbf { u } ) } & { { } = ( c \mathbf { v } ) \otimes \mathbf { u } = \mathbf { v } \otimes ( c \mathbf { u } ) } \end{array}
A _ { 0 } = A \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \left( R ^ { 2 } + T ^ { 2 } - 2 R T e ^ { - \frac { 2 | \tau | } { T _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ p ~ } } } } \right) e ^ { - \frac { | \tau | } { T _ { 1 } } } = A \left[ 2 T _ { 1 } ( R ^ { 2 } + T ^ { 2 } ) - 4 R T \frac { T _ { 1 } T _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ p ~ } } } { 2 T _ { 1 } + T _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ p ~ } } } \right] ,
\begin{array} { r l } { P ( \tau ) = } & { P _ { \mathrm { d c } } + A \sum _ { k = 2 } ^ { N } { e ^ { - \frac { | \tau \pm k t _ { \mathrm { r e p } } | } { T _ { 1 } } } } + A ( 1 - R ^ { 2 } ) e ^ { - \frac { | \tau + t _ { \mathrm { r e p } } | } { T _ { 1 } } } + A ( 1 - T ^ { 2 } ) e ^ { - \frac { | \tau - t _ { \mathrm { r e p } } | } { T _ { 1 } } } } \\ & { + A e ^ { - \frac { | \tau | } { T _ { 1 } } } ( R ^ { 2 } + T ^ { 2 } - 2 R T \cdot F ( \tau ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } ( Y _ { u } - S _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) ^ { 2 } J _ { Z } ( \lambda d u , d x ) \right] \leq \bar { \mu } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ ( Y _ { u } - S _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] d u } \\ { \leq 2 \bar { \mu } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ ( Y _ { u } - \hat { Y } _ { u } ) ^ { 2 } \right] d u + 2 \bar { \mu } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ ( \hat { Y } _ { u } - S _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] d u . } \end{array}
\tilde { w } ^ { 0 \to 1 } ( s ) = \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { e ^ { s } } & { 0 } \end{array} \right) \, , \quad \tilde { w } ^ { 1 \to 0 } ( s ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { e ^ { s } } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \, .
1 2 0 1 \, \mathrm { M e V } = 9 2 . 4 \, \mathrm { M e V } \times 1 3 . 0 \quad \mathrm { v s . } \quad 9 3 9 \, \mathrm { M e V } \times 1 . 2 6 = 1 1 8 3 \, \mathrm { M e V }
\begin{array} { r l } { \tilde { B } _ { t a } } & { { } = 2 \{ \sum _ { w } [ h _ { a w } + \sum _ { j } ( 2 g _ { a w j j } + g _ { a j j w } ) ] D _ { t w } + \sum _ { w x y } \tilde { D } _ { t w x y } g _ { a w x y } \} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c c } { { \lambda x ^ { + } } } & { { = } } & { { e ^ { \lambda \sigma ^ { + } } } } \\ { { \lambda \left( x ^ { - } + \Delta _ { q } \right) } } & { { = } } & { { - e ^ { - \lambda \sigma ^ { - } } } } \end{array} \ \ \ \ , \right.
G ( x , x ^ { \prime } ) = i \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } e ^ { i { \bf q } . ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) } \left( \begin{array} { l l } { { G ^ { + + } ( { \bf q } , t - t ^ { \prime } ) } } & { { \: \: G ^ { + - } ( { \bf q } , t - t ^ { \prime } ) } } \\ { { G ^ { - + } ( { \bf q } , t - t ^ { \prime } ) } } & { { \: \: G ^ { -- } ( { \bf q } , t - t ^ { \prime } ) } } \end{array} \right) \: ,
M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } = M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } \Bigl | _ { m _ { j } ^ { 2 } - \Sigma _ { j j } ^ { ( 0 ) } } + \ O \Bigl ( ( \Sigma _ { j j } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } \Bigl | _ { m _ { j } ^ { 2 } } \Bigr ) .
\begin{array} { r l r } { \textrm { d } \hat { W } _ { \tau } } & { { } = } & { [ \frac { \omega + p A } { 1 + \omega } ] \frac { \hat { W } _ { \tau } } { \tau } \textrm { d } \tau + \sqrt { \epsilon } \textrm { d } B , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { a } } & { = \frac { \mathcal { G } \mu _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 3 } } \Bigg ( 1 + \frac { p } { 2 } + } \\ & { \quad \quad \quad \frac { \mu _ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 2 } } { \mu _ { 1 } \beta _ { 1 } ^ { 2 } } \left[ \left( 1 + \frac { p } { 2 } \right) \frac { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { p } { 2 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { \Gamma _ { 2 } } \right] \frac { \partial } { \partial \alpha } \Bigg ) \, b _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { ( 0 ) } ( \alpha _ { 0 } ) } \end{array}
\frac { 1 } { N } \langle ( G - m I ) N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \nu } ^ { \circ } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } \rangle = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( G - m I ) _ { i i } [ N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \nu } ^ { \circ } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ] _ { i i } = \mathcal O _ { \prec } \left( \frac { 1 } { N ^ { 3 / 2 } \eta ^ { 1 / 2 } } \right) .
\left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 9 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 3 } & { 1 1 } & { 5 } & { 3 5 } \end{array} } \right] \to \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 9 } \\ { 0 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 8 } \\ { 0 } & { 2 } & { 2 } & { 8 } \end{array} } \right] \to \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 3 } & { 1 } & { 9 } \\ { 0 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 8 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right] \to \left[ { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 0 } & { - 2 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right]
A _ { L , N ^ { \prime } , N ^ { \prime \prime } } ^ { ( c / 2 \mu ) } = \left[ 2 ^ { L + 1 } \Gamma ( L + 1 ) \right] ^ { 2 } \sqrt { \frac { n ^ { \prime } ! N ^ { \prime } } { 2 \pi \Gamma ( N ^ { \prime } + L + 1 ) } } \sqrt { \frac { n ^ { \prime \prime } ! N ^ { \prime \prime } } { 2 \pi \Gamma ( N ^ { \prime \prime } + L + 1 ) } } B _ { L , N ^ { \prime } , N ^ { \prime \prime } } ^ { ( c / 2 \mu ) }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big \{ \bar { \rho } _ { p ^ { * } } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { p } \Big ( \operatorname* { i n f } _ { \hat { \rho } \in \mathcal { M } _ { + } ^ { 1 } ( B _ { p } ) } \hat { \rho } \Big [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) \Big ] + \frac { 2 } { \sqrt { l } } \frac { 2 + 3 C } { C } + \frac { 2 } { \sqrt { l } } K L ( \hat { \rho } | | \pi _ { p } ) + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \Big \lfloor \frac { N } { 2 } \Big \rfloor \Big ) \Big ) } \\ & { + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { ( 3 - \epsilon ) \sqrt { l ^ { * } } } + \frac { 2 } { \sqrt { l ^ { * } } } \log \frac { \bar { \alpha } } { \delta } \Big \} \geq 1 - \delta } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta g _ { B G } } & { { } = } & { - e ^ { i Q _ { G } } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \phi _ { G } + \sum _ { l } \left[ \frac { l \omega _ { b } \omega _ { G } } { \omega _ { G } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } i \sin l \vartheta _ { c } + \frac { l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } { \omega _ { G } ^ { 2 } - l ^ { 2 } \omega _ { b } ^ { 2 } } \cos l \vartheta _ { c } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbf { I } ^ { - 1 } ( { \mathbf { \hat { x } } } ) } = ( { \mathbf { K } ^ { H } } { \mathbf { C } ^ { - 1 } } { \mathbf { K } } ) ^ { - 1 } = \mathbf { K } ^ { - 1 } \mathbf { C } ( \mathbf { K } ^ { H } ) ^ { - 1 } , } \\ & { = \frac { 1 } { \alpha } \mathbf { F } _ { S } ^ { - 1 } \mathbf { \mathbf { \Phi } ^ { - 1 } } \mathbf { W } _ { S } ^ { - 1 } \Big [ \alpha ^ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { H } \Big ] \frac { 1 } { \alpha } ( \mathbf { W } _ { S } ^ { H } ) ^ { - 1 } \mathbf { \Phi } ( \mathbf { F } _ { S } ^ { H } ) ^ { - 1 } + } \\ & { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } \mathbf { F } _ { S } ^ { - 1 } \mathbf { \mathbf { \Phi } ^ { - 1 } } \mathbf { W } _ { S } ^ { - 1 } \Big [ \mathbf { W } _ { S } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } \mathbf { W } _ { S } ^ { H } \Big ] ( \mathbf { W } _ { S } ^ { H } ) ^ { - 1 } \mathbf { \Phi } ( \mathbf { F } _ { S } ^ { H } ) ^ { - 1 } , } \\ & { = \mathbf { F } _ { S } ^ { - 1 } \Big [ \sigma _ { n } ^ { 2 } \mathbf { \mathbf { \Phi } ^ { - 1 } } \mathbf { \tilde { W } } \mathbf { \Phi } + \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } \mathbf { \Phi } ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } \mathbf { \Phi } \Big ] ( \mathbf { F } _ { S } ^ { H } ) ^ { - 1 } , } \\ & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } \mathbf { \tilde { W } } = \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } \mathbf { W } _ { A } ^ { H } \mathbf { W } _ { A } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } . } \end{array}
\phi ( { \bf r } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { i ( { \bf k } _ { n } \cdot { \bf r } + \phi _ { n } ) } \mathrm { ~ , ~ } \quad \hat { \phi } ( { \bf k } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { i \phi _ { n } } \delta ( { \bf k } - { \bf k } _ { n } ) ,
\left\{ \begin{array} { l l l } { i { \lambda } \rho z - \alpha v _ { x x } + \gamma \beta p _ { x x } = \rho { \lambda } ^ { - \ell } g ^ { 2 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { L ^ { 2 } ( 0 , l _ { 1 } ) , } \\ { i { \lambda } \mu q - \beta p _ { x x } + \gamma \beta v _ { x x } = \mu { \lambda } ^ { - \ell } g ^ { 4 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { L ^ { 2 } ( 0 , l _ { 1 } ) , } \\ { i { \lambda } y ^ { 1 } - c _ { 2 } y _ { x x } + d _ { 1 } y ^ { 1 } = { \lambda } ^ { - \ell } g ^ { 6 } \to 0 } & { \mathrm { i n } } & { L ^ { 2 } ( l _ { 1 } , L ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { U \approx \frac { I } { 2 \pi } \left( \tilde { R } + \frac { B ^ { 2 } \ell _ { L } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } \eta } - \frac { B \eta _ { H } } { e c \eta n _ { L } } \right) \ln p } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad \qquad + \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } B ^ { 2 } I } { 4 \pi c ^ { 2 } \eta } \left[ \frac { \left( p ^ { 2 } \! - \! 1 \right) \left( p ^ { 4 } \! + \! 1 0 p ^ { 2 } \! + \! 1 \right) } { 1 2 p ^ { 2 } \left( p ^ { 2 } \! + \! 1 \right) ^ { 2 } } - \frac { \ln p } { 1 \! + \! p ^ { 2 } } \right] } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad \qquad + \frac { I } { 2 \pi } \left[ \frac { B ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \frac { \left( \ell _ { G } ^ { 2 } \! - \! \ell _ { L } ^ { 2 } \right) } { \eta } + \frac { B \eta _ { H } } { e c \eta n _ { L } } \right] \frac { p ^ { 2 } \! - \! 1 } { p ^ { 2 } \! + \! 1 } , } \end{array}
r ( x ) = \left( 1 - \frac { | m _ { 1 2 } | } { m _ { 0 } - \mu } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left\{ i - \left[ S \left( \sqrt { \left( 1 - \frac { | m _ { 1 2 } | } { m _ { 0 } - \mu } \right) x } \right) - C \left( \sqrt { \left( 1 - \frac { | m _ { 1 2 } | } { m _ { 0 } - \mu } \right) x } \right) \right] \right.
\begin{array} { r l } { g _ { j } ^ { 2 } ( i ; I _ { j - 1 : 0 } ) } & { = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \left( \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } c _ { t } ( \mathring x _ { t } , \mathring u _ { t } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } c _ { t } ^ { 2 } ( \mathring x _ { t } , \mathring u _ { t } ) ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { \tau } \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \left( 2 L _ { c 1 } \| \mathring x _ { t } \| ^ { 2 } + 2 L _ { c 1 } \| \mathring u _ { t } \| ^ { 2 } + L _ { c 2 } \| \mathring x _ { t } \| + L _ { c 2 } \| \mathring u _ { t } \| + c _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 5 } { \tau } \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \left( 4 L _ { c 1 } ^ { 2 } ( \| \mathring x _ { t } \| ^ { 4 } + \| \mathring u _ { t } \| ^ { 4 } ) + L _ { c 2 } ^ { 2 } ( \| \mathring x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \mathring u _ { t } \| ^ { 2 } ) + c _ { 0 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 2 0 L _ { c 1 } ^ { 2 } } { \tau } \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } ( \| \mathring x _ { t } \| ^ { 4 } + \| \mathring u _ { t } \| ^ { 4 } ) + \frac { 5 L _ { c 2 } ^ { 2 } } { \tau } \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } ( \| \mathring x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \mathring u _ { t } \| ^ { 2 } ) + \frac { 5 c _ { 0 } ^ { 2 } } { \tau } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = { \frac { 3 } { 2 } } - \ln 2 - \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m } \, { \frac { m - 1 } { m } } { \big ( } \zeta ( m ) - 1 { \big ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { h } ( I _ { h } \varphi _ { h } , f ) ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } _ { h } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \sum _ { y \in h \mathbb { Z } ^ { d } } h ^ { d } \varphi _ { h } ( y ) \Theta _ { h } ( x - y ) f ( x ) \, \mathrm { d } x \right) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { h } \left( \sum _ { y \in h \mathbb { Z } ^ { d } } h ^ { d } \varphi _ { h } ( y ) \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \Theta _ { h } ( x - y ) f ( x ) \, \mathrm { d } x \right) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { h } ( \varphi _ { h } , \Theta _ { h } * f ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \| \Theta _ { h } * f \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( \Omega _ { h } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { z ^ { N } ( 0 ) } & { = \int _ { \Omega _ { \sigma } } \left\lvert { \vec { \phi } ^ { N } } \right\rvert ^ { 2 } + \left\lvert { \vec { \psi } ^ { N } } \right\rvert ^ { 2 } + \left\lvert { \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } ^ { N } } \right\rvert ^ { 2 } \, \mathrm d x \leq c \| \vec { \phi } \| _ { H ( \operatorname { c u r l } ; \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } + c \| \vec { \psi } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } } \end{array}
C _ { D } ^ { \dagger } ( \mathrm { G a } ) = \frac { 4 } { 3 } \bigg ( \frac { 0 . 0 2 5 8 \mathrm { G a } ^ { 2 . 6 9 7 3 } + 2 . 8 1 \mathrm { G a } ^ { 2 . 0 3 0 6 } + 1 8 G a ^ { 1 . 3 6 4 } + 4 0 5 } { \mathrm { G a } ( 2 2 . 5 + \mathrm { G a } ^ { 1 . 3 6 4 } ) } \bigg ) ^ { 2 } .
\frac { \partial v _ { i } } { \partial t } + v _ { i } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x } = - \frac { e } { m _ { i } } \frac { \partial \phi } { \partial x } - \frac { k _ { B } T _ { i } } { m _ { i } n _ { i } } \frac { \partial n _ { i } } { \partial x } ,
\begin{array} { r } { \hat { z } _ { i } ( \xi ) \simeq \frac { 2 \mu _ { i } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } \! \left( \frac { s _ { { \scriptscriptstyle M } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \! - \! 1 \right) ^ { 2 } } \frac 1 { ( \xi \! - \! \xi _ { l } ^ { 1 } ) ^ { 3 } } , \qquad \hat { s } _ { i } \simeq \frac { \mu _ { i } ^ { 4 / 3 } } { 2 ^ { 4 / 3 } \hat { z } _ { i } ^ { 2 / 3 } \left[ M \! \left( \frac { s _ { { \scriptscriptstyle M } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \! - \! 1 \right) \right] ^ { 1 / 3 } } , } \\ { \hat { \gamma } _ { i } = \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } } + \frac { \hat { s } _ { i } } 2 \simeq \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } } \simeq \hat { z } _ { i } ^ { 2 / 3 } \: \left[ 2 \mu _ { i } ^ { 2 } M \! \left( \frac { s _ { { \scriptscriptstyle M } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \! - \! 1 \right) \right] ^ { 1 / 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 1 } } & { ( ( 0 , 1 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) - S _ { 1 1 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) - S _ { 1 1 } ( ( 1 , 1 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) } \\ & { + ( 1 - q z ) S _ { 1 1 } ( ( 2 , 0 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) - q z S _ { 1 1 } ( ( 2 , 1 , 1 ) | ( 0 , 0 , 1 ) ) + q ^ { 2 } z ( 1 - q z ) S _ { 1 1 } ( ( 3 , 1 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta q _ { r a d } } & { = } & { \frac { B _ { x } } { B _ { z ( T _ { h } ) } } \frac { 1 + M _ { x } ^ { 2 } } { 1 + M _ { z ( T _ { h } ) } ^ { 2 } } } \\ & { ~ } & { \cdot \left( \frac { B _ { z ( T _ { h } ) } } { B _ { x } } \right) ^ { \kappa _ { e f f } ^ { x \rightarrow z ( T _ { h } ) } } p _ { u } \sqrt { \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 f _ { c o n d } } f _ { I } \mathcal { F } } = } \\ { ~ } & { = } & { \frac { 1 + M _ { x } ^ { 2 } } { 1 + M _ { z ( T _ { h } ) } ^ { 2 } } \left( \frac { B _ { x } } { B _ { z ( T _ { h } ) } } \right) ^ { 1 - \kappa _ { e f f } ^ { x \rightarrow z ( T _ { h } ) } } } \\ & { ~ } & { \cdot p _ { u } \sqrt { \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 f _ { c o n d } } f _ { I } \mathcal { F } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \left| \mathcal { H } \right| ^ { 2 } } ( y ) } & { = \frac { \sqrt { y ^ { a } } } { 2 b ^ { a + 1 } \Gamma ( a + 1 ) } \exp \left( { - \frac { \sqrt { y } } { b } } \right) , } \\ { F _ { \left| \mathcal { H } \right| ^ { 2 } } ( y ) } & { = \frac { \gamma \left( { a + 1 , \frac { \sqrt { y } } { b } } \right) } { \Gamma \left( { a + 1 } \right) \sqrt { y } } . } \end{array}
\begin{array} { l l l r l l l l } { { \mathrm { r e g i m e ~ I } } } & { { \epsilon } } & { { = } } & { { 1 \; \; \; } } & { { c } } & { { = } } & { { 1 - \frac { 3 \phi ^ { 2 } } { 2 \pi \gamma } \; \; \; \; } } & { { ; \gamma \in ( 0 , \frac { \pi } { 2 } ) } } \\ { { \mathrm { r e g i m e ~ I I } } } & { { \epsilon } } & { { = } } & { { - 1 \; \; \; } } & { { c } } & { { = } } & { { \frac { 3 } { 2 } - \frac { 3 \phi ^ { 2 } } { \pi ( \pi - 2 \gamma ) } \; \; \; \; } } & { { ; \gamma \in ( \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 2 } ) } } \\ { { \mathrm { r e g i m e ~ I I I } } } & { { \epsilon } } & { { = } } & { { - 1 \; \; \; } } & { { c } } & { { = } } & { { \left\{ \begin{array} { l l } { { 2 - \frac { 3 \phi ^ { 2 } } { 2 \pi \gamma } } } & { { \; \; \phi \leq 2 \gamma } } \\ { { - 1 + \frac { 3 ( \phi - \pi ) ^ { 2 } } { \pi ( \pi - 2 \gamma ) } } } & { { \; \; \phi \geq 2 \gamma } } \end{array} \right. \; \; \; \; } } & { { ; \gamma \in ( 0 , \frac { \pi } { 6 } ) ; . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { D _ { p } } { \beta } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s - 1 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s - 2 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s + 2 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s + 1 } } \right) \left( \frac { D _ { p + 2 - 1 } } { \beta _ { + 2 - 1 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s - 1 + 2 - 1 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s - 1 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s + 2 } } \right. } \\ & { \left. - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s + 2 + 2 - 1 } } \right) \left( \frac { D _ { p + 1 - 2 } } { \beta _ { + 1 - 2 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s - 2 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s + 1 - 2 - 2 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s + 1 + 1 - 2 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s + 1 } } \right) } \\ & { = \left( \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { D _ { s - 1 } } + \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { D _ { s + 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { D _ { p + 1 - 2 } } { \beta _ { + 1 - 2 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s - 2 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s + 1 - 2 - 2 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s + 1 + 1 - 2 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s + 1 } } \right) } \\ & { + \left( \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { D _ { s - 2 } } + \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { D _ { s + 1 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { D _ { p + 2 - 1 } } { \beta _ { + 2 - 1 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s - 1 + 2 - 1 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s - 1 } } - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { D _ { s + 2 } } - \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { D _ { s + 2 + 2 - 1 } } \right) . } \end{array}