harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { l _ { 0 } } ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } J _ { l } \left( \frac { \mathrm { P } } { 2 } \right) ^ { 2 } } & { { } } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { R e } \bigg [ i e ^ { i 2 ( l _ { 0 } + 1 ) \tau } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i 4 l \tau } } & { { } J _ { l } \left( \frac { \mathrm { P } } { 2 } \right) J _ { l + 1 } \left( \frac { \mathrm { P } } { 2 } \right) \bigg ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( z ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } } & { C _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { z \Sigma _ { E } - A _ { 1 1 } } & { - A _ { 1 2 } } \\ { - A _ { 2 1 } } & { - A _ { 2 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { B _ { 1 } } \\ { B _ { 2 } } \end{array} \right] + D } \\ & { = \mathcal { C } ( z \Sigma _ { E } - \mathcal { A } ) ^ { - 1 } \mathcal { B } + \mathcal { D } } \\ & { = \mathcal { C } \Sigma _ { E } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( z I _ { r } - \mathcal { A } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { E } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathcal { B } + \mathcal { D } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } \approx } & { 2 i ^ { n } { \bf C } \exp \{ i [ q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } } \\ & { + q _ { 3 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } ] \} } \\ & { ( \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) ^ { \frac { D - 2 } { 8 } } \frac { \exp [ - i \arg [ q _ { 0 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ] / 2 ] } { \sqrt { | q _ { 0 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) | } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) \geq 2 4 e ^ { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \} \cap \mathcal { C } _ { s } ) } & { \leq } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) \geq \lceil 1 2 e ^ { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \rceil \} \cap \mathcal { C } _ { s } ) } \\ & { \leq } & { 2 ^ { - q } \leq \exp ( - c L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) . } \end{array}
E _ { \varepsilon } ( \Omega , X ) \leq E _ { \varepsilon } ( c ( \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } , X _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } ) ) + 4 \pi k \varepsilon ^ { 2 } \leq E _ { \varepsilon } ( \Omega , X ) + 5 \mathcal { H } ^ { 2 } ( \Omega \cap \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) - 2 | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } | ^ { \frac { 2 } { 3 } } ,
\mathcal { A } _ { \nu , i , j } ^ { \prime } = \left\{ f : \Gamma _ { 1 } ( p ^ { j } \mathbf { Z } _ { p } ) \backslash \Gamma _ { 0 } ( p \mathbf { Z } _ { p } ) \rightarrow \mathcal { O } / \mathfrak { m } ^ { i } \mathrm { ~ s . t . ~ } \begin{array} { l } { f ( a \cdot \gamma ) = \nu ( a ) \cdot f ( \gamma ) , \; \forall a \in \mathbf { Z } _ { p } ^ { \times } , } \\ { \mathrm { a n d ~ } \gamma \in \Gamma _ { 1 } ( p ^ { j } \mathbf { Z } _ { p } ) \backslash \Gamma _ { 0 } ( p \mathbf { Z } _ { p } ) } \end{array} \right\} ,
\begin{array} { r } { T _ { h } ( r , z , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \tilde { C } _ { n m } ( t ) J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) \cos ( \gamma _ { m } z ) , \quad q _ { r } ( r , z , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \tilde { D } _ { n m } ( t ) J _ { 1 } ( \mu _ { n } r ) \cos ( \gamma _ { m } z ) , } \end{array}
\sigma ^ { \mathrm { V B } } = \sigma _ { 0 } ^ { \mathrm { V B } } \sum _ { a , b } \int { \frac { d x _ { a } } { x _ { a } } } \int { \frac { d x _ { b } } { x _ { b } } } \, f _ { a / p } ( x _ { a } ) \, f _ { b / { \bar { p } } } ( x _ { b } ) \, \tilde { C } _ { a b } ^ { \mathrm { V B } } ~ \omega _ { a b } \left( { \frac { \tau } { x _ { a } x _ { b } } } , \alpha _ { s } \right) .
M _ { a b c d } ^ { \mathrm { T } \; \mu \nu \rho \lambda } + M _ { a b c d } ^ { \mathrm { C } \; \mu \nu \rho \lambda } + M _ { a b c d } ^ { \mathrm { L } \; \mu \nu \rho \lambda } = \widehat { M } _ { a b c d } ^ { \mathrm { T } \; \mu \nu \rho \lambda } + \widehat { M } _ { a b c d } ^ { \mathrm { C } \; \mu \nu \rho \lambda } + \widehat { M } _ { a b c d } ^ { \mathrm { L } \; \mu \nu \rho \lambda } ,
N u ( z ) = \frac { \langle u _ { z } T \rangle _ { A , t } ( z ) - \frac { k _ { 0 } } { C _ { p } \rho _ { \mathrm { r e f } } } \Big \langle \frac { d T _ { s a } } { d z } \Big \rangle _ { A , t } ( z ) } { \frac { k _ { 0 } } { C _ { p } \rho _ { \mathrm { r e f } } } \frac { \Delta T } { H } } \, ,
\frac { \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { \hat { p } } - \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { p } } { \mathrm { V a r } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { \hat { p } } ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { + } & { { } \underbrace { 3 \left( p _ { \mathrm { s } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + 4 \left( d _ { \mathrm { H } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + 7 d _ { \mathrm { H } } + \left( d _ { \mathrm { H } } \times d _ { \mathrm { O } } \right) + d _ { \mathrm { O } } } _ { \mathrm { p a t c h e d } \ \mathrm { R N N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \frac { \partial G _ { N _ { s } } } { \partial \vec { \Delta q } } \right\vert ^ { 2 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { e } } { \left( \frac { \partial G _ { N _ { s } } } { \partial \Delta q _ { k } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { e } } { \mu _ { k } ^ { 2 } \Delta q _ { k } ^ { 2 } } . } \end{array}
\operatorname* { m i n } f _ { \mathrm { { b a l l } } } ( \widehat { \lambda } _ { \mathrm { m a x } } , \widetilde { \boldsymbol { p } } , \widehat { \boldsymbol { p } } ) , \qquad \textrm { s . t . } \quad \mathcal { G } ( \widehat { \lambda } , \widehat { X } , \widetilde { \boldsymbol { p } } , \widehat { \boldsymbol { p } } ) \equiv \mathcal { L } \widehat { X } - \widehat { \lambda } \widehat { X } = 0 .
( \lambda - \lambda _ { 0 } ) [ \frac { 1 } { u } - i \int \frac { d ^ { d } { k } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } ( \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } - \lambda ) ( k ^ { 2 } - \lambda _ { 0 } ) } - \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } - \mu ) ^ { 2 } } ) ] = ( \vec { \phi } ^ { 2 } - v ^ { 2 } )
H _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 E } \left\{ U ^ { ( 0 ) } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 0 } } \end{array} \right) U ^ { ( 0 ) \dagger } + \left( \begin{array} { c c c } { { a } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right\} ,
( \beta _ { \mathbf { v } } ) _ { x } = \left( \alpha _ { x } \wedge f ^ { * } ( \mathbf { v } \, \lrcorner \, \zeta _ { y } ) \right) { \big / } \zeta _ { y } \in { \textstyle \bigwedge } ^ { m - n } T _ { x } ^ { * } M .
\begin{array} { r l } { \left( t ( 2 - r ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } - t _ { \tau , n } ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } } & { \leq ( ( 2 - r ) n \tau ) ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } - t _ { \tau , n } ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } } \\ & { = \int _ { t _ { \tau , n } } ^ { ( 2 - r ) n \tau } f ^ { \prime } ( t ) \, \mathrm { d } t \leq \int _ { 0 } ^ { ( 2 - r ) n \tau - t _ { \tau , n } } f ^ { \prime } ( t ) \, \mathrm { d } t } \\ & { = \big ( ( 2 - r ) n \tau - t _ { \tau , n } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } } \\ & { \leq \bigg ( \tau ( r - 1 ) \Big ( 1 + \frac { 1 } { 4 - 2 r } + \frac { 1 } { 4 - 2 r } \log ( \frac { t } { \tau } ) \Big ) \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } . } \end{array}
\partial _ { \vec { z } } ^ { 2 } H _ { F } + H _ { 3 } \partial _ { \vec { x } } ^ { 2 } H _ { F } = q _ { F } \delta ( { \vec { x } - \vec { x } _ { 0 } } ) \delta ( \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } ) , \ \ \ \partial _ { \vec { z } } ^ { 2 } H _ { 3 } = { \frac { q _ { 3 } } { V _ { y } } } \delta ( { \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } } ) ,
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \delta _ { C } } & { = ( \hat { E } _ { C } - \hbar \omega _ { p } - i \hbar \gamma _ { C } ) \delta _ { C } + \frac { \hbar \tilde { \Omega } _ { R } } { 2 } \frac { \psi _ { X } ^ { s s } } { \psi _ { C } ^ { s s } } \delta _ { X } , } \\ { i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \delta _ { C } ^ { * } } & { = - ( \hat { E } _ { C } - \hbar \omega _ { p } + i \hbar \gamma _ { C } ) \delta _ { C } ^ { * } - \frac { \hbar \tilde { \Omega } _ { R } } { 2 } \frac { \psi _ { X } ^ { s s } } { \psi _ { C } ^ { s s } } \delta _ { X } ^ { * } , } \end{array}
\Gamma _ { k } [ g , { \bar { g } } , \xi , { \bar { \xi } } ] = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { k } } } \int { \mathrm { d } } ^ { d } x \, { \sqrt { g } } \, { \big ( } - R ( g ) + 2 \Lambda _ { k } { \big ) } + \Gamma _ { k } ^ { \mathrm { g f } } [ g , { \bar { g } } ] + \Gamma _ { k } ^ { \mathrm { g h } } [ g , { \bar { g } } , \xi , { \bar { \xi } } ] .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left[ \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v ^ { k } - v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right] \leq C \left[ \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v ^ { k } - v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 2 1 } } & { = \Big ( \frac { - i } { \hbar } \Big ) ^ { 2 } \sum _ { m } \int d k _ { m ^ { \prime } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \Big \langle \phi _ { f } \Big \vert { \cal V } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 1 } ) \Big \vert \phi _ { m } \Big \rangle \Big \langle \phi _ { m } \Big \vert { \cal V } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 2 } ) \Big \vert \phi _ { i } \Big \rangle , } \end{array}
\frac { \partial \hat { c } _ { 0 } } { \partial C } = 2 \left( k _ { 4 } \frac { \partial \hat { A } _ { 2 } } { \partial C } + \hat { A } _ { 2 } \frac { \partial k _ { 4 } } { \partial C } \right) + k _ { 5 } \frac { \partial \hat { A } _ { 1 } } { \partial C } + \hat { A } _ { 1 } \frac { \partial k _ { 5 } } { \partial C } ,
\begin{array} { r } { \alpha _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ o ~ p ~ h ~ i ~ l ~ y ~ } } ( G _ { r } ) = ( 0 . 0 3 2 + 2 . 1 5 G _ { r } - 2 . 3 5 G _ { r } ^ { 2 } ) ( 1 - G _ { r } ) + G _ { r } } \end{array}
M _ { c e l l } = \left( \begin{array} { l l } { S _ { 2 1 } - \frac { S _ { 2 2 } S _ { 1 1 } } { S _ { 1 2 } } } & { \frac { S _ { 2 2 } } { S _ { 1 2 } } } \\ { \frac { - S _ { 1 1 } } { S _ { 1 2 } } } & { \frac { 1 } { S _ { 1 2 } } } \end{array} \right)
I _ { \mathrm { C A S S } } ( \mathbf { r } _ { \parallel } ) = \left| \sum _ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } e ^ { i ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } - \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } } \Tilde { R } ( { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ; { z _ { \mathrm { f } } } ) \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \alpha = \frac { \mathcal { L } ( \mathcal { Y } | \boldsymbol { \theta ^ { * } } ) \Pi ( \boldsymbol { \theta _ { T } ^ { * } } ) } { \mathcal { L } ( \mathcal { Y } | \boldsymbol { \theta ^ { ( n - 1 ) } } ) \Pi ( \boldsymbol { \theta _ { T } ^ { ( n - 1 ) } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { d } Y _ { t } ^ { j } } & { { } = \sqrt { 2 \nu } 1 _ { \left\{ t < T _ { \xi } \right\} } \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \cdot \textrm { d } B _ { t } } \end{array}
Q _ { \cdot \cdot } \left[ \varphi \right] = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \left[ \varphi \right] } & { - \sin \left[ \varphi \right] } \\ { 0 } & { \sin \left[ \varphi \right] } & { \cos \left[ \varphi \right] } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \ln M ( t _ { d } ) = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } G _ { i } \beta _ { i j } ^ { G G } ( t _ { d } ) G _ { j } - G _ { i } \beta _ { i j } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i ) } & { \qquad \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } A _ { \gamma , \eta } = A _ { \gamma , \eta } \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } \quad \mathrm { a n d } \quad A _ { \gamma , \eta } ^ { * _ { \alpha , \beta } } \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } = \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } A _ { \gamma , \eta } ^ { * _ { \alpha , \beta } } . } \\ { ( i i ) } & { \qquad \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } A _ { \gamma + 1 , \eta } ^ { * _ { \alpha , \beta } } = A _ { \gamma + 1 , \eta } ^ { * _ { \alpha , \beta } } \left( \mathcal { L } _ { \gamma + 1 , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } + ( \alpha - 2 \gamma ) \right) . } \\ { ( i i i ) } & { \qquad A _ { \gamma + 1 , \eta } \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } = \left( \mathcal { L } _ { \gamma + 1 , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } + ( \alpha - 2 \gamma ) \right) A _ { \gamma + 1 , \eta } . } \\ { ( i v ) } & { \qquad \mathcal { L } _ { \gamma + 1 , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } A _ { \gamma , \eta } = A _ { \gamma , \eta } \left( \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } - ( \alpha - 2 \gamma ) \right) . } \\ { ( v ) } & { \qquad A _ { \gamma , \eta } ^ { * _ { \alpha , \beta } } \mathcal { L } _ { \gamma + 1 , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } = \left( \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } - ( \alpha - 2 \gamma ) \right) A _ { \gamma , \eta } ^ { * _ { \alpha , \beta } } . } \end{array}
\mathbf { W } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) = \frac { 3 } { 8 \pi \mu d ^ { 5 } } \left( - \mathbf { x } \; ( \mathbf { S } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { x } ) \; + ( \mathbf { S } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { x } ) \; \mathbf { x } \right) ,
B _ { j } ( t ) = B _ { 0 } { \frac { 1 } { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } { \frac { 2 f _ { j } ^ { 2 } ( t ) - 1 } { \big [ 1 + f _ { j } ^ { 2 } ( t ) \big ] ^ { 5 / 2 } } } + b _ { 0 } ,
F _ { M } ( Q ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y \phi _ { M } ^ { * } ( y , Q ^ { 2 } ) T _ { H } ( x , y ; Q ^ { 2 } , \alpha _ { S } ( \hat { Q } ^ { 2 } ) ) \phi _ { M } ( x , Q ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { T } _ { 1 } = \{ 2 , 4 \} , \: \mathcal { T } _ { 2 } = \{ 1 , 3 \} , \: \mathcal { T } _ { 3 } = \{ 3 \} , \: \mathcal { T } _ { 4 } = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} , \: } \\ { \mathcal { T } _ { 5 } = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} , \: \mathcal { T } _ { 6 } = \{ 1 , 2 \} , \mathcal { T } _ { 7 } = \{ 1 , 4 \} , \mathcal { T } _ { 8 } = \{ 4 \} } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( \omega , t ) = \int _ { 0 } ^ { \mathcal { E } _ { m a x } } | \vec { \mu } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } + \hbar \omega ) | ^ { 2 } \rho _ { \mathrm { ~ J ~ } } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } + \hbar \omega , t ) d \mathcal { E } ,
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 7 } + _ { 1 5 } + _ { 5 } } \\ & { = \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \sum _ { \substack { w \leq m - n } } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { w , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , q } \delta ( j \leq m - n ) \sum _ { w \leq m - n } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { w , w } ^ { ( 1 ) } + \delta _ { q , i } \sum _ { w \leq m - n } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { w , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \sum _ { \substack { w \leq m - n } } ( \partial W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { \quad _ { 1 } + _ { 3 } } \\ & { = - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } [ - 1 ] } \\ & { = - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \partial ( e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } ) , } \\ & { \quad _ { 1 2 } + _ { 3 } + _ { 5 } + _ { 2 } + _ { 4 } } \\ & { = \delta _ { q , i } \alpha _ { 1 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { p , w } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + \delta _ { q , i } ( m - n ) \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { p , w } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { = \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \partial ( \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { p , w } ^ { ( 1 ) } ) + \delta _ { q , i } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } [ e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } , e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 3 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \Vert P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) } & { { } = \log \left( \frac { 1 } { M 2 ^ { - M + 1 } - o \left( 2 ^ { - M + 1 } \right) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { r } ^ { n + 1 } = \mathcal { P } _ { r } ^ { n } \cup \mathcal { A } _ { r } ^ { n } , } \\ { \mathcal { P } _ { l } ^ { n + 1 } = \mathcal { P } _ { l } ^ { n } \cup \mathcal { A } _ { l } ^ { n } . } \end{array}
i \partial _ { \tau } \psi = \mathrm { K } \psi = \left[ \frac { 1 } { 2 m } ( \mathrm { p } - e \mathrm { A } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( \pi ^ { \mu } + y ^ { T } S ^ { \mu } \mathrm { p } - e \chi ^ { \mu } ) ( \pi _ { \mu } + y ^ { T } S _ { \mu } \mathrm { p } - e \chi _ { \mu } ) + V \right] \psi
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { y y } ( \Omega ) \right\} } = - \frac { 2 \pi \hbar v _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } { 2 4 \sqrt { 6 } \Omega } \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \int d ^ { 2 } \tilde { k } \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \hbar \Omega ) \right] \Bigg \{ 4 8 \left( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - g \right) \left( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - g - \hbar \Omega \right) + ( \hbar v _ { F } \tilde { k } ) ^ { 2 } } \\ & { } & { - \hbar v _ { F } \tilde { k } \left[ 4 \sqrt { 6 } \left( 2 \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - 2 g - \hbar \Omega \right) \cos { ( \varphi ) } + 5 \hbar v _ { F } k \cos { ( 2 \varphi ) } \right] \Bigg \} \frac { \delta ( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \hbar \Omega + \epsilon _ { \eta _ { 2 } } ) } { \left( \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 1 } } \right) \left( \epsilon _ { \eta _ { 2 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 2 } } \right) } . } \end{array}
H = \sum _ { a \in S } \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a } , \varepsilon / 2 \} ^ { 2 } } + \sum _ { a \notin S } \operatorname* { m i n } \{ \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a } , \varepsilon / 2 \} ^ { 2 } } , \frac { 1 } { c _ { a } ^ { 2 } } + \sum _ { e : X ^ { \prime } \to X } \frac { 1 } { c _ { e } ^ { 2 } } \}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor - 1 } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) ] } & { \leq } & { ( n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L ) ( C L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) ) } \\ & { \leq } & { C L ^ { - 1 \slash 2 } n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } + C L n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) , } \end{array}
\frac { d \varepsilon } { d \omega d \Omega } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \, \Bigg | \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d } { d t } \left[ \frac { e _ { i } u _ { i } ^ { \mu } } { ( n _ { i } u _ { i } ) } \right] e ^ { i \omega ( n x _ { i } ) } \, d t \Bigg | ^ { 2 } .
\mathbf { K } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \eta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { c e l l } } } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { c e l l } } } & { - \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } } & { \cdots } & { \cdots } \\ & & { \ddots } & & \\ & & { \ddots } & & \\ { \cdots } & { \cdots } & { - \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { c e l l } } } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } } \\ { - \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } } & { \zeta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { c e l l } } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { | \Lambda | } \sum _ { { \bf k } \in { \cal D } _ { L } } \sum _ { \tau \in \{ \uparrow , \downarrow \} } \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } = 1 , 2 } { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha } ^ { + } [ E _ { b a r e } ( { \bf k } , \lambda ) ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i C _ { 1 } \sqrt { E } \sin \sqrt { E } x + i C _ { 2 } \sqrt { E } \cos \sqrt { E } x + m C _ { 1 } \cos \sqrt { E } x + m \tilde { C _ { 2 } } \sin \sqrt { E } x } & { = - \lambda ( C _ { 1 } \cos \sqrt { E } x + C _ { 2 } \sin \sqrt { E } x ) , } \\ { - i C _ { 1 } \sqrt { E } \sin \sqrt { E } x + i \tilde { C _ { 2 } } \sqrt { E } \cos \sqrt { E } x - m C _ { 1 } \cos \sqrt { E } x - m C _ { 2 } \sin \sqrt { E } x } & { = \lambda ( C _ { 1 } \cos \sqrt { E } x + \tilde { C _ { 2 } } \sin \sqrt { E } x ) . } \end{array}
\nu _ { t } = ( C _ { w } \Delta ) ^ { 2 } \frac { S ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \epsilon ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) ^ { \frac { 5 } { 2 } } + S ^ { 2 } ( \underline { { u } } _ { h } ) ^ { \frac { 5 } { 4 } } } ,
\begin{array} { r c l } { { { \cal H } } } & { { = } } & { { ( \Lambda ^ { T } ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { P _ { ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \epsilon _ { 3 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { \left( \begin{array} { c } { { P ^ { ( 1 ) } } } \\ { { P ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right) \epsilon _ { 3 } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 ( b _ { 1 } n + b _ { 1 } + b _ { 0 } + a _ { 0 } + k ) ( b _ { 1 } n + b _ { 0 } ) \left( 1 - \frac { L ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) \eta } 2 \right) } { ( b _ { 1 } n + b _ { 0 } + a _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = 2 \left( 1 - \frac { L ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) \eta } 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \mathcal { N } } \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] + \sum _ { i \neq j } \hat { T } _ { i j } \dag \hat { T } _ { i j } } & { = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \nu _ { j } } [ t _ { i j } ] _ { \alpha \beta } \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { j \beta } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { r r } } & { = \frac { 3 \nu } { 1 + \nu } \epsilon _ { k k } + \frac { 3 ( 1 - 2 \nu ) } { 1 + \nu } \epsilon _ { r r } - \frac { b M } { K } \tilde { p } , } \\ { \tilde { \sigma } _ { \theta \theta } } & { = \frac { 3 \nu } { 1 + \nu } \epsilon _ { k k } + \frac { 3 ( 1 - 2 \nu ) } { 1 + \nu } \epsilon _ { \theta \theta } - \frac { b M } { K } \tilde { p } . } \end{array}