harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } | q _ { \xi } | ^ { 2 } d \xi } \\ { H _ { 3 } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( | q _ { \xi } | ^ { 4 } - i q _ { \xi } ^ { * } q _ { \xi \xi } ) d \xi } \\ { H _ { 5 } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( - q _ { \xi } ^ { * } q _ { \xi \xi \xi } + 2 | q _ { \xi } | ^ { 6 } - 3 i | q _ { \xi } | ^ { 2 } q _ { \xi } ^ { * } q _ { \xi \xi } ) d \xi } \\ & { \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots } \\ & { \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots } \end{array}
\sigma ( A B \rightarrow \mathrm { j e t s } ) = \sum _ { i , j , k , l } \int d x _ { 1 } f _ { i | A } ( x _ { 1 } ) \int d x _ { 2 } f _ { j | B } ( x _ { 2 } ) \int _ { p _ { T , \mathrm { m i n } } } d p _ { T } \frac { d \hat { \sigma } ( i j \rightarrow k l ) } { d p _ { T } } .
\Delta _ { j } ^ { + } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { j + 1 } - ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { j } , \Delta _ { j } ^ { - } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { j } - ( \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } ) _ { j - 1 }
\begin{array} { r l } & { \textnormal { H o m } _ { \mathcal { C } } ( x \otimes y , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { z } } ) ) = \textnormal { H o m } _ { \mathcal { C } } ( x \otimes y , \underline { { \textnormal { H o m } } } ^ { l } ( z , k ) ) \cong \textnormal { H o m } _ { \mathcal { C } } ( x \otimes y \otimes z , k ) } \\ & { \cong \textnormal { H o m } _ { \mathcal { C } } ( x , \underline { { \textnormal { H o m } } } ^ { l } ( y \otimes z , k ) ) = \textnormal { H o m } _ { \mathcal { C } } ( x , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { y \otimes z } } ) ) . } \end{array}
H _ { 0 } ( r _ { i } , \theta _ { i } ) = - \frac { \mathrm { i } } { 2 \overline { { h } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( s - k _ { 1 } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { s - \kappa _ { 0 } } } \mathrm { e } ^ { ( - i s \cos \theta _ { i } - \gamma _ { 0 } \sin \theta _ { i } ) r _ { i } } \mathrm { d } \, s .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } ( \rho ( k + \phi ) ) + \sum _ { i } \partial _ { x _ { i } } \left( \rho ( k + \phi ) v _ { i } + p v _ { i } - \sum _ { j } \Pi _ { i j } v _ { j } \right) = \rho \partial _ { t } \phi + \sum _ { i } p \partial _ { x _ { i } } v _ { i } - \sum _ { i j } \Pi _ { i j } \partial _ { x _ { i } } v _ { j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathit { \Pi } _ { I } } & { = \ \ \frac { 1 } { 2 } \delta u _ { i } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } ( u _ { k } ^ { + } u _ { k } ^ { + } - u _ { k } ^ { - } u _ { k } ^ { - } ) , } \\ { \mathit { \Pi } _ { H } } & { = - 2 \delta u _ { i } \frac { \partial } { \partial r _ { i } } ( u _ { k } ^ { - } u _ { k } ^ { + } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } { S _ { 1 } ( k _ { \lambda } ) = k _ { - \lambda } } & { S _ { 1 } ( e _ { i } ) = - e _ { i } k _ { i } ^ { - 1 } } & { S _ { 1 } ( f _ { i } ) = - k _ { i } f _ { i } } \\ { S _ { 2 } ( k _ { \lambda } ) = k _ { - \lambda } } & { S _ { 2 } ( e _ { i } ) = - k _ { i } e _ { i } } & { S _ { 2 } ( f _ { i } ) = - f _ { i } k _ { i } ^ { - 1 } } \\ { S _ { 3 } ( k _ { \lambda } ) = k _ { - \lambda } } & { S _ { 3 } ( e _ { i } ) = - q _ { i } e _ { i } } & { S _ { 3 } ( f _ { i } ) = - q _ { i } ^ { - 1 } f _ { i } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \alpha _ { i } ( t ) = \alpha + \left( \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) \operatorname { t a n h } \Big [ b \Big ( k _ { i } ( t ) - 1 \Big ) \Big ] , } \\ { \beta _ { i } ( t ) = \beta + \left( \frac { 1 } { 2 } - \beta \right) \operatorname { t a n h } \Big [ b \Big ( k _ { i } ( t ) - 1 \Big ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \left[ 1 _ { \mathcal { G } } \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( V _ { 1 } ^ { * } ( s _ { 1 } ^ { k } ) - V _ { 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { 1 } ^ { k } ) \right) \right] } \\ & { \leq E \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { h = 1 } ^ { H } E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } \left[ 2 \sqrt { 2 } \vert u ( - H + h ) \vert \sqrt { \frac { S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } } \right] \right] } \\ & { \leq 2 \sqrt { 2 } \sum _ { h = 1 } ^ { H } \vert u ( - H + h ) \vert S \sqrt { \prod _ { i = 1 } ^ { h - 1 } u _ { - } ^ { \prime } ( - H + i ) A K \log ( 3 K ) \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { \mathbf { T } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { t } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { u } ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \kappa _ { \mathrm { g } } } & { \kappa _ { \mathrm { n } } } \\ { - \kappa _ { \mathrm { g } } } & { 0 } & { \tau _ { \mathrm { r } } } \\ { - \kappa _ { \mathrm { n } } } & { - \tau _ { \mathrm { r } } } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \mathbf { T } } \\ { \mathbf { t } } \\ { \mathbf { u } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { N ^ { ( 0 ) } = \frac { 3 \alpha } { 8 } } & { { } + ( n _ { 0 } ^ { 1 } + 2 n _ { 0 } ^ { 2 } + n _ { 0 } ^ { 3 } + n _ { - 1 } ^ { 3 } + n _ { 0 } ^ { 4 } + n _ { - 1 } ^ { 4 } ) C _ { 0 } } \\ { N ^ { ( 1 ) } = n _ { 0 } ^ { 1 } } & { { } + n _ { - 1 } ^ { 1 } + n _ { 1 } ^ { 1 } , } \\ { N ^ { ( 2 ) } = n _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } + n _ { - 1 } ^ { 2 } + n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 0 } ^ { 3 } + n _ { - 1 } ^ { 3 } + n _ { 1 } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } } & { { } : = \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - 2 \langle ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } - \mathrm { { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } T \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { ( 2 + \eta 2 \tau _ { 1 } ) } \left[ \ln \frac { 1 } { 2 ( 1 + \eta \tau _ { 1 } ) \mathbf { C } _ { 3 } } + ( 1 + 2 \eta \tau _ { 1 } ) \ln \frac { 1 + 2 \eta \tau _ { 1 } } { 2 ( 1 + \eta \tau _ { 1 } ) \mathbf { C } _ { 4 } } \right] = \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { 1 } { 4 \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } } \right) , } \end{array}
\psi _ { n } = \frac { g _ { n } - c _ { n } \psi 1 _ { 1 } - a _ { n } \psi 1 _ { n - 1 } } { b _ { n } + c _ { n } \psi 2 _ { 1 } + a _ { n } \psi 2 _ { n - 1 } } .
\begin{array} { r l r } { h _ { x x } } & { = } & { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \left[ x ^ { 2 } \left( f ^ { - 1 } e ^ { 2 \gamma } - 1 \right) + y ^ { 2 } \left( f ^ { - 1 } - f \frac { \omega ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 \right) \right] , } \\ { h _ { y y } } & { = } & { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \left[ y ^ { 2 } \left( f ^ { - 1 } e ^ { 2 \gamma } - 1 \right) + x ^ { 2 } \left( f ^ { - 1 } - f \frac { \omega ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 \right) \right] , } \\ { h _ { z z } } & { = } & { \left( f ^ { - 1 } e ^ { 2 \gamma } - 1 \right) , } \\ { h _ { x y } } & { = } & { \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \left[ \left( f ^ { - 1 } e ^ { 2 \gamma } - 1 \right) - \left( f ^ { - 1 } - f \frac { \omega ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 \right) \right] , } \\ { h _ { x z } } & { = } & { 0 , } \\ { h _ { y z } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 L ^ { 2 } C _ { 3 } \eta ^ { 2 } + 2 ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } ) \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } - 3 2 L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } K ^ { 2 } } , } \end{array}
\mathbf { \bar { Q } } ( \xi ) \approx \sum _ { p , q , r = 0 } ^ { N } \mathbf { \bar { Q } } _ { h } ( \xi _ { p } ^ { 1 } , \xi _ { q } ^ { 2 } , \xi _ { r } ^ { 3 } , t ) \phi _ { p q r } ( \xi ) ,
\begin{array} { r l } { P ( X = x | Y = y ) } & { = \left( \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } \sum _ { \hat { p } } P ( Y = y | X = x , \hat { P } = \hat { p } , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } ) \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left. \times P ( X = x ) P ( \hat { P } = \hat { p } ) \prod _ { i = 1 } ^ { B } P ( \Tilde { P } _ { i } = \Tilde { p } _ { i } ) \right) / P ( Y = y ) } \\ & { = \frac { P ( X = x ) } { P ( Y = y ) } \frac { 1 } { B ! } \frac { 1 } { ( P / B ) ! ^ { B } } \sum _ { \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { p } _ { B } } \sum _ { \hat { p } } \mathbf { 1 } _ { \{ Y = y , X = x , \hat { P } = \hat { p } , \Tilde { P } _ { 1 } = \Tilde { p } _ { 1 } , \dots , \Tilde { P } _ { B } = \Tilde { p } _ { B } \} } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { P ( X = x ) } { P ( Y = y ) } \frac { 1 } { B ! } \frac { 1 } { ( P / B ) ! ^ { B } } \prod _ { i = 1 } ^ { B } \hat { y } _ { i } ! ( P / B - \hat { y } _ { i } ) ! \prod _ { i = 1 } ^ { B } K _ { \hat { y } _ { i } } ! , } & { \mathrm { f o r ~ x , y : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { P ( X = x ) } { P ( Y = y ) } \frac { 1 } { B ! } \prod _ { i = 1 } ^ { B } \frac { 1 } { \binom { P / B } { \hat { y } _ { i } } } K _ { \hat { y } _ { i } } ! , } & { \mathrm { f o r ~ x , y : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { Y : K } = \hat { \sigma } _ { \mathit { K } } ^ { - 1 } D _ { \mathit { K } } ^ { - 1 / 2 } \hat { \theta } _ { Y : \mathit { K } } , \quad \quad \quad \hat { \sigma } _ { \mathit { K } } ^ { 2 } = \frac { \| Y - X _ { \mathit { K } } \hat { \theta } _ { Y : \mathit { K } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { n - | \mathit { K } | } } \end{array}
\left( - \partial _ { r } ^ { 2 } - { \frac { \partial _ { r } + a ^ { \prime } } { r } } + { \frac { ( a + j + 1 / 2 ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } + f ^ { 2 } \right) h _ { 1 } = \omega ^ { 2 } h _ { 1 }
C ^ { \prime \prime } + \biggl [ 3 { \cal H } + 2 \frac { { \cal H } ^ { \prime } } { \cal H } - 2 \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } \biggr ] C ^ { \prime } + 3 \biggl [ 3 { \cal H } ^ { \prime } - 2 { \cal H } \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } \biggr ] C - \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } C = 0 .
S _ { 2 } \equiv \frac { | \langle { \cal { O } } _ { 2 } \rangle + \langle \bar { \cal { O } } _ { 2 } \rangle | } { \sqrt { 2 } \Delta { \cal { O } } _ { 2 } } \sqrt { N _ { b \ell ^ { - } } } \approx 0 . 1 4 \sqrt { N _ { b \ell ^ { - } } }
\left[ \frac { C _ { \mathrm { { Q } , 3 } } } { C _ { \mathrm { Q } , 2 } } \left( \frac { \kappa T O L } { C _ { \alpha } } \right) ^ { 2 } \right] N ^ { ( 2 + \beta ) } - \left[ T O L \left( 1 - \kappa \left( 1 + \frac { \gamma } { 2 \eta } \right) \right) \right] N ^ { ( 1 + \beta ) } - \frac { C _ { \mathrm { { Q } , 3 } } } { C _ { \mathrm { Q } , 2 } } C _ { \mathrm { { Q } , 1 } } N + \frac { \gamma C _ { \alpha } ^ { 2 } C _ { \mathrm { Q } , 1 } \beta } { 2 \eta \kappa T O L } = 0 .
\sigma ( b ^ { 2 } ) = { \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { 4 } } \left[ b ^ { 2 } \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) x G _ { T } ( x , Q ^ { 2 } ) \right] _ { x = Q ^ { 2 } / s , Q ^ { 2 } = \lambda / b ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } & { | y | ^ { 2 } - | x | ^ { 2 } = ( 1 + | x | ^ { 2 } - 2 | x | \cos ( \psi ) ) k ^ { 2 } + 2 | x | ( | x | - \cos ( \psi ) ) k \leq 0 } \\ & { \Leftrightarrow \quad k \leq \frac { 2 | x | ( \cos ( \psi ) - | x | ) } { 1 + | x | ^ { 2 } - 2 | x | \cos ( \psi ) } \quad \Leftrightarrow \quad | x - y | \leq \frac { 2 | x | ( \cos ( \psi ) - | x | ) } { \sqrt { 1 + | x | ^ { 2 } - 2 | x | \cos ( \psi ) } } } \\ & { \Leftrightarrow \quad \cos ( \psi ) \geq c _ { 0 } \equiv \frac { 4 | x | ^ { 2 } - | x - y | ^ { 2 } + | x - y | \sqrt { 4 ( 1 - | x | ^ { 2 } ) + | x - y | ^ { 2 } } } { 4 | x | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { R , t } ^ { \otimes m } \otimes _ { r } q _ { I , t } ^ { \otimes n } ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { m + n - 2 r } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { r } } q _ { R , t } ^ { \otimes m } ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { m - r } , } & { u _ { 1 } , u _ { 2 } , \ldots , u _ { r } ) } \\ { q _ { I , t } ^ { \otimes n } ( \lambda _ { m - r + 1 } , \ldots , \lambda _ { m + n - 2 r } , - u _ { 1 } , } & { - u _ { 2 } , \ldots , - u _ { r } ) d u _ { 1 } \cdots d u _ { r } } \end{array}
{ \mathcal { D } } ^ { \prime } \left( \Omega _ { 1 } \times \Omega _ { 2 } \right) \cong { \mathcal { D } } ^ { \prime } \left( \Omega _ { 1 } \right) { \widehat { \otimes } } { \mathcal { D } } ^ { \prime } \left( \Omega _ { 2 } \right) \cong L _ { b } \left( C _ { c } ^ { \infty } \left( \Omega _ { 2 } \right) ; { \mathcal { D } } ^ { \prime } \left( \Omega _ { 1 } \right) \right)
\Delta { \cal R } _ { C P } \: \equiv \: { \cal R } _ { { \bar { L } } \to { \bar { R } } } - { \cal R } _ { R \to L } \: = \: { \cal R } _ { { L } \to { R } } - { \cal R } _ { { \bar { R } } \to { \bar { L } } }
Y _ { \nu } = { \bf U } \left( \begin{array} { c c c } { { y _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { y _ { 2 1 } } } & { { y _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { y _ { 3 1 } } } & { { y _ { 3 2 } } } & { { y _ { 3 } } } \end{array} \right) , \eqno ( A . 9 )
\begin{array} { r l r } { \chi _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 3 ) } ( \omega _ { 1 } } & { = } & { \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } + \omega _ { 4 } ; \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = ( 1 - f ) \chi _ { h } ^ { ( 3 ) } + } \\ & { + } & { f x ( \omega _ { 1 } ) x ( \omega _ { 2 } ) x ( \omega _ { 3 } ) x ( \omega _ { 4 } ) \chi _ { i } ^ { ( 3 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { p _ { i j } ^ { - } } { p _ { i j } } } & { = \frac { p _ { i j } ^ { - } } { p _ { i j } ^ { - } + p _ { i j } ^ { + } } = \frac { y _ { i } y _ { j } / ( 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } ) } { x _ { i } x _ { j } / ( 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } ) + y _ { i } y _ { j } / ( 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } ) } = \frac { y _ { i } y _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } , } \\ { \frac { p _ { i j } ^ { + } } { p _ { i j } } } & { = \frac { p _ { i j } ^ { + } } { p _ { i j } ^ { - } + p _ { i j } ^ { + } } = \frac { x _ { i } x _ { j } / ( 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } ) } { x _ { i } x _ { j } / ( 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } ) + y _ { i } y _ { j } / ( 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } ) } = \frac { x _ { i } x _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } } \end{array}
S = L \int d ^ { 3 } \xi \left( e ^ { - \phi } \sqrt { - g P } - \frac { \epsilon ^ { l m n } } { 2 } \lambda _ { l } { \cal F } _ { m n } + \frac { \epsilon ^ { l m n } } { 6 } \hat { A } _ { l m n } \right) \; .
\begin{array} { r l } { 0 \quad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i \neq 1 , 2 } \\ { - I _ { 0 } \quad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 1 } \\ { I _ { 0 } \quad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 2 \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { L o s s = C _ { 1 } \| \nabla \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Omega } + C _ { 2 } \| \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Gamma - \Gamma _ { t } } + C _ { 3 } \| \hat { h } - g \phi | _ { \Gamma _ { t } } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { d u } \\ { d v } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { { \frac { \partial u } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial u } { \partial v ^ { \prime } } } } \\ { { \frac { \partial v } { \partial u ^ { \prime } } } } & { { \frac { \partial v } { \partial v ^ { \prime } } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { d u ^ { \prime } } \\ { d v ^ { \prime } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \gamma } & { = \operatorname* { m a x } _ { z \in \{ z _ { 1 } , \ldots , z _ { q } \} } \kappa ( \mathbf { A } - z \mathbf { I } ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { z \in \{ z _ { 1 } , \ldots , z _ { q } \} } \left| \frac { \lambda _ { \textup { m a x } } - z } { \lambda _ { \textup { m i n } } - z } \right| } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { z \in \{ z _ { 1 } , \ldots , z _ { q } \} } \frac { ( \lambda _ { \textup { m a x } } - \lambda _ { \textup { m i n } } ) + ( \lambda _ { \textup { m i n } } - z ) } { \lambda _ { \textup { m i n } } - z } } \\ & { = 1 + \operatorname* { m a x } _ { z \in \{ z _ { 1 } , \ldots , z _ { q } \} } \frac { \lambda _ { \textup { m a x } } - \lambda _ { \textup { m i n } } } { \lambda _ { \textup { m i n } } - z } } \\ & { = 1 + \frac { \lambda _ { \textup { m a x } } - \lambda _ { \textup { m i n } } } { \eta } . } \end{array}
u _ { \phi } ^ { ( k ) } ( \phi = \phi _ { \eta } ) = H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial t } + u _ { \xi } ^ { ( k ) } ( \phi = \phi _ { \eta } ) \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } + u _ { z } ^ { ( k ) } ( \phi = \phi _ { \eta } ) H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } .
\begin{array} { r l } { \| \Phi ( u ) - \Phi ( v ) \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } } & { \leq C ( \| u \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } + \| v \| _ { X ^ { 1 } ( J ) } ) ( \| u \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } + \| v \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } ) \| u - v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } } \\ & { \quad + C ( \| u \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } + \| v \| _ { X ^ { 1 } ( J ) } ) ( \| u \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } + \| v \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } ) ^ { 3 } \| u - v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } } \\ & { \leq C ( 4 C E ) ( 4 C \delta + ( 4 C \delta ) ^ { 3 } ) \| u - v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \leq \frac { 1 } { 2 } \| u - v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d U _ { p } ^ { * ( 1 ) } } { d t ^ { * } } } & { { } = \frac { \mathcal { A } } { \mathcal { B } } \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } U _ { q } ^ { * ( 0 ) } - \mathcal { A } \phi ^ { ( 1 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \frac { d U _ { q } ^ { * ( 1 ) } } { d t ^ { * } } } & { { } = - \frac { \mathcal { B } } { \mathcal { A } } \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } U _ { p } ^ { * ( 0 ) } - \mathcal { B } \phi ^ { ( 1 ) } \cos \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \frac { d \Omega _ { r } ^ { * ( 1 ) } } { d t ^ { * } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { d \phi ^ { ( 1 ) } } { d t ^ { * } } } & { { } = \Omega _ { r } ^ { * ( 0 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { i j } = \frac { \delta \phi _ { i j } } { \delta u _ { i j } } = \frac { E A } { 2 \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } \frac { \omega ( r _ { i j } ) u _ { i j } } { r _ { i j } ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \partial \tilde { v _ { x } } ^ { ( 1 ) } } { \partial t } = 0 ; \quad \frac { \partial \tilde { v _ { y } } ^ { ( 1 ) } } { \partial t } = - \frac { e } { m } [ E _ { m w y } + \tilde { v _ { z } } ^ { ( 1 ) } B _ { 0 } ] ; \quad \frac { \partial \tilde { v _ { z } } ^ { ( 1 ) } } { \partial t } = - \frac { e } { m } [ E _ { m w y } - \tilde { v _ { y } } ^ { ( 1 ) } B _ { 0 } ]
c _ { 0 } = \frac { 4 \pi } { 3 } l _ { o s c } ^ { 3 } \lambda _ { 0 } \hbar \omega _ { x } , \quad c _ { 1 } = \frac { 4 \pi } { 3 } l _ { o s c } ^ { 3 } \lambda _ { 1 } \hbar \omega _ { x } ,
\begin{array} { r l } & { \kappa ( \zeta _ { 1 } ( n , y ) , 1 ) = \frac { \zeta _ { 1 } ( n , y ) + 1 - 2 \rho \sqrt { \zeta _ { 1 } ( n , y ) } } { 1 - \rho ^ { 2 } } , \qquad \mathrm { a n d } } \\ & { L _ { 1 } ( n ; \zeta _ { 1 } ( n , y ) , 1 ) = { ( 4 \pi \log n ) } ^ { \frac { 2 \rho ^ { 2 } - \rho \left( \sqrt { \zeta _ { 1 } ( n , y ) } + 1 / \sqrt { \zeta _ { 1 } ( n , y ) } \right) } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } \frac { { \zeta _ { 1 } ( n , y ) } ^ { \frac { 1 - \rho / \sqrt { \zeta _ { 1 } ( n , y ) } } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } { ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } ^ { 3 / 2 } } { ( \sqrt { \zeta _ { 1 } ( n , y ) } - \rho ) ( 1 - \rho \sqrt { \zeta _ { 1 } ( n , y ) } ) } , } \end{array}
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 2 ) } : = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { A v g } \left( \mathcal { M } _ { \tau , q - 1 } ^ { \otimes 2 } + \mathcal { M } _ { \tau , q } ^ { \otimes 2 } + \mathcal { M } _ { \tau , q + 1 } ^ { \otimes 2 } \right) = \frac { 1 } { 3 } \left( \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } , \mathrm { ~ L ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } , \mathrm { ~ C ~ } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } , \mathrm { ~ R ~ } } ^ { ( 2 ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { E B F } } & { = \frac { A _ { 1 } \sqrt { R ^ { * } } } { \hbar \omega } \times } \\ & { \Bigg ( 2 R ^ { * } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n ^ { 3 } \sigma _ { n } } \frac { e ^ { - \left( \hbar \omega - E _ { g } + \frac { R ^ { * } } { n ^ { 2 } } \right) / \sigma _ { n } } } { \left( 1 + e ^ { - \left( \hbar \omega - E _ { g } + \frac { R ^ { * } } { n ^ { 2 } } \right) / \sigma _ { n } } \right) ^ { 2 } } + } \\ & { A _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { ( E _ { g } - \hbar \omega ) / \sigma _ { c } } } + \frac { 1 } { e ^ { 2 \pi \sqrt { \frac { R ^ { * } } { \hbar \omega - E _ { g } } } } - 1 } \right) \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { w } } \left\| \hat { \mathbf { a } } - H \mathbf { w } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : } } \\ & { Q = Q ^ { T } , R = R ^ { T } , } \\ & { Q \ge 0 , R \ge 0 , } \\ & { \mathbf { b } _ { 1 } \le \mathrm { v e c } ( Q ) \le \mathbf { b } _ { 2 } , \mathbf { b } _ { 3 } \le \mathrm { v e c } ( R ) \le \mathbf { b } _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { y } \varphi ( y , x ) } & { = D _ { y } \varphi ( y , x _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } D _ { x } D _ { y } \varphi ( y , ( 1 - s ) x _ { 0 } + s x ) ( x - x _ { 0 } ) \mathrm { d } s } \\ & { = D _ { y } \varphi ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } D _ { y } ^ { 2 } \varphi ( ( 1 - s ) y _ { 0 } + s y , x _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } D _ { x } D _ { y } \varphi ( y , ( 1 - s ) x _ { 0 } + s x ) ( x - x _ { 0 } ) \mathrm { d } s , \ \forall y \in \mathrm { c l } \mathrm { B } ( y _ { 0 } , r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { p } } } & { { } \leftarrow \sigma _ { \mathrm { { p , N - 1 } } } + \frac { 1 } { 1 } { N } \left( \sigma - \sigma _ { \mathrm { { p , N - 1 } } } \right) } \\ { \beta _ { \mathrm { p } } } & { { } \leftarrow \beta _ { \mathrm { { p , N - 1 } } } + \frac { 1 } { 1 } { N } \left( \beta - \beta _ { \mathrm { { p , N - 1 } } } \right) \, , } \end{array}
K _ { \nu } ( z ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { \nu } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, \frac { 1 } { t ^ { \nu + 1 } } \exp \left[ - t - \frac { z ^ { 2 } } { 4 t } \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - h _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \hat { \beta } _ { t + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } + 2 \hat { \beta } _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 4 ( 1 - \hat { \beta } _ { t + 1 } ) ^ { 2 } L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\beta ( t ) = \left\| h ^ { 1 } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| h ^ { 2 } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| \partial _ { x } h ^ { 1 } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| \partial _ { x } h ^ { 2 } \right\| _ { L ^ { \infty } }
\left[ \begin{array} { l } { x _ { n } } \\ { x _ { n - 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { A x _ { n - 1 } + B x _ { n - 2 } } \\ { x _ { n - 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { n - 1 } } \\ { x _ { n - 2 } } \end{array} \right]