harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { H _ { 2 } \left( k \right) } & { = } & { U H ( k ) U ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - t \cos k - \mu - i \Delta _ { 0 } \sin k } \\ { - t \cos k - \mu + i \Delta _ { 0 } \sin k } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - t \frac { e ^ { i k } + e ^ { - i k } } { 2 } - \mu - i \Delta _ { 0 } \frac { e ^ { i k } - e ^ { - i k } } { 2 i } } \\ { - t \frac { e ^ { i k } + e ^ { - i k } } { 2 } - \mu + i \Delta _ { 0 } \frac { e ^ { i k } - e ^ { - i k } } { 2 i } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - \left( t + \Delta _ { 0 } \right) e ^ { i k } - \left( t - \Delta _ { 0 } \right) e ^ { - i k } - 2 \mu } \\ { - \left( t - \Delta _ { 0 } \right) e ^ { i k } - \left( t + \Delta _ { 0 } \right) e ^ { - i k } - 2 \mu } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \pi ^ { z } ( x ) : = \left[ \begin{array} { l } { - \nabla _ { 2 } f _ { 1 } ( x _ { 1 } , \sigma ( x ) ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla _ { 2 } f _ { j } ( x _ { j } , \sigma ( x ) ) } \\ { \vdots } \\ { - \nabla _ { 2 } f _ { N } ( x _ { N } , \sigma ( x ) ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla _ { 2 } f _ { j } ( x _ { j } , \sigma ( x ) ) } \end{array} \right] } \\ & { \mathcal { S } : = \{ \textsc { c o l } ( x , u , w , z ) \in \mathbb { R } ^ { n + m + 2 N d } \mid \mathbf { 1 } ^ { \top } w = 0 , \mathbf { 1 } ^ { \top } z = 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ i ~ n ~ e ~ r ~ t ~ i ~ a ~ l ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } { \mathrm { ~ v ~ i ~ s ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } } & { { } \sim \frac { \rho _ { 0 } h ^ { 2 } f } { \eta _ { 0 } } \left\{ 1 , \frac { a } { \ell } , \frac { \ell } { a } , \frac { \ell ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right\} . } \end{array}
d s ^ { 2 } = e ^ { 2 W ( z ) } \left[ e ^ { 2 \sqrt { 2 } b \kappa \phi } d z ^ { 2 } - d t ^ { 2 } + e ^ { 2 \alpha ( t ) } \left( \delta _ { i j } + h _ { i j } \right) d x ^ { i } d x ^ { j } \right] ,
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle q w , m ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g ( D + b ) \right\rangle } & { { } = 0 , \, \quad \forall w \in \mathring { \mathbb { V } } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \cdot m \right\rangle } & { { } = 0 , \, \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , ( q D ) _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \gamma , q m \right\rangle } & { { } = 0 , \, \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \end{array}
D _ { j } f _ { j , \alpha } + \frac { h } { 2 } D _ { j } ^ { 2 } f _ { j , \alpha } = - \tilde { \Lambda } _ { j k } f _ { k , \alpha } ^ { n e } + \frac { h } { 2 } ( - \tilde { \Lambda } _ { j k } D _ { k } f _ { k , \alpha } ^ { n e } ) + \bar { G } _ { j , \alpha } + F _ { j , \alpha } + \frac { h } { 2 } ( \partial _ { t } F _ { j , \alpha } + \partial _ { t } \bar { G } _ { j , \alpha } ) .
\sigma _ { - , l } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \frac { \partial \phi _ { - , l } } { \partial x } = \sigma _ { + , l } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \frac { \partial \phi _ { + , l } } { \partial x } = \sigma _ { m } \frac { \phi _ { + , l } - \phi _ { - , l } } { d _ { m } }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - H _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - H _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \big ( \frac { 1 } { \eta _ { t } } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } - c _ { 5 } \eta _ { t } \big ) \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - H _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { g y y } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 5 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta _ { \epsilon _ { e , f h } \left( a \right) } ^ { [ f h ] } \varphi _ { f , f h } \left( b \right) = \theta _ { \epsilon _ { e , f h } \left( a \right) } ^ { [ f h ] } \epsilon _ { f , f h } \left( b \right) = \epsilon _ { f , f h } \theta _ { \epsilon _ { e , f } \left( a \right) } ^ { [ f ] } \left( b \right) = \varphi _ { f , f h } \theta _ { \epsilon _ { e , f } \left( a \right) } ^ { [ f ] } \left( b \right) } \end{array}
V _ { i } ( t ) : = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } v f _ { i } ( v , w , c , t ) d v d w d c \, , \quad W _ { i } ( t ) : = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } w f _ { i } ( v , w , c , t ) d v d w d c \, ,
\begin{array} { r } { d _ { n , \nu } ( \pi ( \theta ) , \theta ) \le \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { \star } ^ { - 1 / 2 } R \tau } & { \mathrm { i f ~ } \nu = 2 } \\ { ( \nu / 2 - 1 ) \lambda _ { \star } ^ { ( \nu - 3 ) / 2 } [ ( 1 + s _ { n } ) \omega _ { \nu } ( \varepsilon ) ] ^ { ( \nu - 2 ) / 2 } n ^ { \nu / 2 - 1 } R \tau } & { \mathrm { i f ~ } \nu \in ( 2 , 3 ] } \\ { ( \nu / 2 - 1 ) ( \lambda ^ { \star } ) ^ { ( \nu - 3 ) / 2 } [ ( 1 + s _ { n } ) \omega _ { \nu } ( \varepsilon ) ] ^ { ( \nu - 2 ) / 2 } n ^ { \nu / 2 - 1 } R \tau } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
x _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } = x _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } \ e ^ { ( - t \gamma _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } - t ^ { 2 } \sigma _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } 2 } ) }
\mathbf { S } ( i ) \triangleq \frac { 1 } { \sqrt { M } } \! \left[ \begin{array} { c c c c } { s _ { 1 } } & { s _ { M + 1 } } & { \cdots } & { s _ { M T - M + 1 } } \\ { s _ { 2 } } & { s _ { M + 2 } } & { \cdots } & { s _ { M T - M + 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { s _ { M } } & { s _ { 2 M } } & { \cdots } & { s _ { M T } } \end{array} \right] \! \in \mathbb { C } ^ { M \times T } ,
\begin{array} { r } { \ell = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \delta \mid N } r _ { \delta } \in \mathbb { Z } , \quad \quad \sum _ { \delta \mid N } \delta r _ { \delta } \equiv 0 \ ( \mathrm { m o d } \ 2 4 ) , \quad \mathrm { a n d } \quad \sum _ { \delta \mid N } \frac { N } { \delta } r _ { \delta } \equiv 0 \ ( \mathrm { m o d } \ 2 4 ) . } \end{array}
\log \overline { { C } } \gtrsim - \frac { 3 \alpha _ { n } } { \pi } \frac { \delta F ^ { 2 } } { F ^ { 2 } } \frac { V } { ( \bar { c } \Delta t ) ^ { 3 } } \frac { \Delta x ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { c _ { i } \int _ { a } ^ { b } ( V - c _ { r } ) \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } | D f | ^ { 2 } + \frac { 1 } { r } | f | ^ { 2 } \right] d r } \\ { = \frac { c _ { r } ( D _ { e } + 2 k c _ { i } K _ { e } ) - ( D _ { e } + k c _ { i } K _ { e } ) V _ { I } } { \rho k ^ { 3 } } \frac { 1 } { | V _ { I } - c | ^ { 2 } } . } \end{array}
\int _ { \Omega } \rho _ { t } ( x ) \log ( \rho _ { t } ( x ) ) \, d x { = } \int _ { \Omega } \rho _ { k + 1 } ( x ) \log ( \rho _ { t } ( \psi _ { t } ( x ) ) ) \, d x { = } \int _ { \Omega } \rho _ { k + 1 } \log \left( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x ) } { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } \nabla \psi _ { t } ( x ) } \right) \, d x ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { t e r m ~ 1 } } & { = \int \left( - \frac { 1 } { n _ { h } } \left( { \nabla } \times ( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } ) \right) \times \left( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } \right) \right) \cdot { \mathbf C } \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { \approx \int \left( \frac { 1 } { n _ { h } } { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } \right) \cdot \left( \Pi _ { L ^ { 2 } } \left( { \nabla } \times ( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } ) \right) \times { \mathbf C } \right) \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { = { \mathbf c } ^ { \top } \mathbb { F } ( { \mathbf a } ) \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \mathbb { C } ^ { \top } \mathbb { M } _ { 2 } \mathbb { C } { \mathbf a } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { P T } ^ { \prime } = } & { k _ { x } \Gamma _ { 1 } + i \epsilon ( \Gamma _ { 2 } + \Gamma _ { 4 } + \Gamma _ { 5 } ) + ( k _ { y } - i \epsilon ) \Gamma _ { 6 } } \\ & { - ( k _ { y } + i \epsilon ) \Gamma _ { 7 } - \frac { \epsilon } { 2 } ( \Gamma _ { 3 } + \sqrt { 3 } \Gamma _ { 8 } ) + \frac { \Gamma _ { 0 } - \sqrt { 6 } \Gamma _ { 1 5 } } { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { 2 2 } = } & { \frac { \left( n - 1 \right) \left( \alpha + \beta + n - 1 \right) \left( \alpha + \beta + 2 n - 1 \right) } { \left( \alpha { + } n { - } 1 \right) \left( \beta { + } n { - } 1 \right) \left( \alpha { + } \beta { + } 2 n { - } 3 \right) \left( a { - } b { - } \alpha { - } \beta { - } n { + } 1 \right) \left( a { - } b { + } n { - } 1 \right) } \times \frac { 1 } { \left( a { + } b { + } \alpha { + } n { - } 1 \right) \left( a { + } b { - } \beta { - } n { + } 1 \right) } . } \end{array}
\bigl \lbrack A , \lbrack B , C \bigr \rbrack \rbrack _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { d - 2 } } + ( c y c l . p e r m . ) = \partial _ { \lbrack \mu _ { 1 } } \epsilon _ { \mu _ { 2 } . . . \mu _ { d - 2 } \rbrack \nu \lambda \sigma } \xi ^ { \nu } ( A ) \xi ^ { \lambda } ( B ) \xi ^ { \sigma } ( C )
\begin{array} { r l } { \frac { d { \hat { \pi } } ^ { I \alpha } } { d t } } & { = \frac i { \hbar } \left[ \hat { H } _ { j } ^ { \mathrm { B O } } , { \hat { \pi } ^ { I \alpha } } \right] } \\ & { = - \nabla _ { I \alpha } \tilde { E } _ { j j } + \frac 1 2 \sum _ { J , \beta } \left( \Omega _ { j j } ^ { I \alpha J \beta } { \hat { \pi } } ^ { J \beta } + { \hat { \pi } } ^ { J \beta } \Omega _ { j j } ^ { I \alpha J \beta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { n } : = \Big \{ \vert \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } - \nabla h ^ { n , t } \vert } & { \leq C _ { n } ^ { - 1 } \mathbb { E } \big [ \| \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } - \nabla h ^ { n , t } \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 p } \big ] ^ { \frac { 1 } { 2 p } } \Big \} } \\ & { \mathrm { w i t h ~ } C _ { n } : = \varsigma \| \rho _ { \delta } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } \sqrt { \frac { \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) \log ( n ) } { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \zeta } & { = } & { \operatorname* { i n f } \left\{ q _ { 0 } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) \equiv 2 u _ { 2 } - 2 u _ { 1 } : \begin{array} { l } { q _ { 1 } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) \equiv - 2 u _ { 1 } \leq 0 , \ q _ { 2 } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) = - 2 u _ { 2 } \leq 0 , } \\ { q _ { 3 } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) \equiv u _ { 1 } ^ { 2 } - u _ { 2 } ^ { 2 } + 1 \leq 0 , \ q _ { 4 } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) \equiv 2 u _ { 1 } - 2 u _ { 2 } \leq 0 } \end{array} \right\} , } \end{array}
S ( \omega ) \equiv \frac { \gamma _ { 1 } \rho _ { 1 1 } \delta ^ { 2 } } { ( \delta ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } ) ^ { 2 } } = ( - \delta \frac { \partial } { \partial \delta } ) \frac { ( \gamma _ { 1 } / 2 ) \rho _ { 1 1 } } { ( \delta ^ { 2 } + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } / 4 ) }
\begin{array} { r l } { \iint f ^ { 2 } \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { = \iint \sin ^ { 3 } \beta \cos ^ { 2 } \alpha \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 4 \pi / 3 } \\ { \iint g ^ { 2 } \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { = \iint \sin ^ { 2 } \alpha \sin ^ { 3 } \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 4 \pi / 3 } \\ { \iint h ^ { 2 } \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { = \iint \sin \beta \cos ^ { 2 } \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 4 \pi / 3 } \\ { \iint f g \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { = \iint \sin \alpha \cos \alpha \sin ^ { 3 } \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 0 } \\ { \iint f h \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { = \iint \cos \alpha \sin ^ { 2 } \beta \cos \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 0 } \\ { \iint g h \sin \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta } & { = \iint \sin \alpha \cos \beta \sin ^ { 2 } \beta \textrm { d } \alpha \textrm { d } \beta = 0 , } \end{array}
q = \frac { V _ { 0 } } { t } \left( \frac { \rho _ { d } - \overline { { \rho } } } { \rho _ { d } - \rho _ { l } } \right) + { \beta Q } \left( \frac { \rho _ { 0 } - \overline { { \rho } } } { \rho _ { d } - \rho _ { l } } \right)
\begin{array} { r l } { S } & { { } = - \left( n _ { \mathrm { s } } - n _ { \mathrm { \bar { s } } } \right) , } \\ { C } & { { } = + \left( n _ { \mathrm { c } } - n _ { \mathrm { \bar { c } } } \right) , } \\ { B ^ { \prime } } & { { } = - \left( n _ { \mathrm { b } } - n _ { \mathrm { \bar { b } } } \right) , } \\ { T } & { { } = + \left( n _ { \mathrm { t } } - n _ { \mathrm { \bar { t } } } \right) , } \end{array}
| \alpha _ { 0 } | ^ { 2 } = | \alpha _ { 2 } | ^ { 2 } = 2 \; , \; \; \; | \alpha _ { 1 } | ^ { 2 } = 1 \; , \; \; \; ( \alpha _ { i } , \alpha _ { j } ) = - 1 , \; \; i \neq j \; .
\overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \cdot \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } = \frac { 4 } { 3 } k ^ { 2 } + 4 \nu _ { t } ^ { 2 } S _ { k l } S _ { k l } .
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \operatorname* { m a x } _ { g \in K } \operatorname* { s u p } _ { x \in ( \mathcal { R } ) _ { 1 } } \| ( \mathrm { A d } ( u _ { n } ^ { * } ) \circ \phi \circ \delta _ { g } ) ( x ) - ( ( \delta \otimes \delta ) _ { g } \circ \mathrm { A d } ( u _ { n } ^ { * } ) \circ \phi ) ( x ) \| _ { \tau \otimes \tau } = 0 .
H _ { \mathrm { m o l } } ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { P } } , { \mathbf { r } } , { \mathbf { p } } , { \mathbf { S } } ) \, \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } , m ) = E \, \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } , m ) ,
Z _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } = { \frac { V _ { \mathrm { P } } } { I _ { \mathrm { P } } } } = { \frac { a V _ { \mathrm { S } } } { I _ { \mathrm { S } } / a } } = a ^ { 2 } { \frac { V _ { \mathrm { S } } } { I _ { \mathrm { S } } } } = a ^ { 2 } { Z _ { \mathrm { L } } }
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} } \right] _ { f , t } } & { = \left[ x ^ { k - 1 } \right] ( x ) _ { n , f , t } } \\ & { = f ( n - 1 ) t ^ { 1 - n } \left[ { \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { k } \end{array} } \right] _ { f , t } + \left[ { \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { k - 1 } \end{array} } \right] _ { f , t } + \delta _ { n , 0 } \delta _ { k , 0 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \nabla g _ { i } ( \mathbf x ) } & { = \mathbb { E } _ { u \sim U [ - a , a ] } [ \mathbf { 1 } \{ g _ { j } ( \mathbf x ) + x _ { b _ { i } } + u \ge 0 \} ( \nabla ( g _ { j } ( \mathbf x ) + x _ { b _ { i } } ) ) ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { u \sim U [ - a , a ] } [ \mathbf { 1 } \{ g _ { j } ( \mathbf x ) + x _ { b _ { i } } + u \ge 0 \} ] ( \nabla ( g _ { j } ( \mathbf x ) + x _ { b _ { i } } ) ) } \\ & { = \mathbb { P } _ { u \sim U [ - a , a ] } ( g _ { j } ( \mathbf x ) + x _ { b _ { i } } + u \ge 0 ) ( \nabla ( g _ { j } ( \mathbf x ) + x _ { b _ { i } } ) ) ~ , } \end{array}
{ \cal L } _ { f \eta \pi \pi } = \frac { 4 N _ { c } } { 3 ( 4 \pi ) ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 3 } } { \frac { 1 } { g } } ( 1 - { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } g ^ { 2 } } } ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } ( 1 - { \frac { 2 c } { g } } ) ^ { 3 } 0 . 7 1 0 4 f _ { \mu } \{ \partial ^ { \mu } \eta \partial _ { \nu } \pi _ { i } \partial ^ { \nu } \pi _ { i } + 2 \partial _ { \nu } \eta \partial ^ { \nu } \pi _ { i } \partial ^ { \mu } \pi _ { i } \} ,
\begin{array} { r l } { \langle S _ { \mathrm { e r r } } \rangle } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 1 } \, q _ { 1 } ( t _ { 1 } ) \, S _ { \mathrm { e r r } } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } > \tau _ { \mathrm { l } } | t _ { 1 } ) } \end{array}
i { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \alpha } } } \\ { { \nu _ { \beta } } } \end{array} \right) = { \frac { \Delta E } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { - \cos ( 2 \vartheta ) } } & { { \sin ( 2 \vartheta ) } } \\ { { \sin ( 2 \vartheta ) } } & { { \cos ( 2 \vartheta ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { \alpha } } } \\ { { \nu _ { \beta } } } \end{array} \right)
\Sigma _ { \sigma } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) = \frac { i } { 2 \pi } \int \mathrm { d } \xi G ^ { \sigma } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega + \xi ) W ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \xi ) e ^ { i \xi \eta }
S _ { \mathrm { e f f } } ^ { d = 2 } | _ { \mu = 0 } = { \frac { 4 } { \left( \beta \sqrt { \pi } \right) ^ { 3 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { { \cal B } _ { 2 k } ( \beta ^ { 2 } B / 2 ) ^ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } { \frac { \left( - { \frac { \beta ^ { 2 } m ^ { 2 } } { 4 } } \right) ^ { j } \Gamma \left( \frac { 3 } { 2 } - j - 2 k \right) \eta ( 3 - 2 j - 4 k ) } { j ! } }
\begin{array} { r l } { T _ { \theta } } & { = \frac { ( 3 \rho T + \rho | U | ^ { 2 } ) \theta + 3 ( 1 - \theta ) - \rho _ { \theta } | U _ { \theta } | ^ { 2 } } { 3 \rho _ { \theta } } \leq \frac { \theta C _ { q } \overbar { M } + 3 ( 1 - \theta ) } { 3 C _ { 0 } e ^ { - C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } } \leq C _ { q } \overbar { M } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } . } \end{array}
{ \vec { c } } _ { \pm } ( m ) = \left( - { \frac { m a ^ { 2 } } { \pm { \sqrt { m ^ { 2 } a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } } } , { \frac { - b ^ { 2 } } { \pm { \sqrt { m ^ { 2 } a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } } } \right) , \quad | m | > b / a .
\delta R _ { M N } ( h ) + { \frac { 1 } { 6 } } \bar { F } _ { \theta \phi } \bar { F } ^ { \theta \phi } ( h _ { M N } + 2 \bar { g } _ { M N } { \cal F } ) - ( \bar { F } _ { M \theta } \bar { F } _ { N } ^ { ~ \theta } + \bar { F } _ { M \phi } \bar { F } _ { N } ^ { ~ \phi } ) { \cal F } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { r } } _ { k + 1 } } & { = \tilde { V } \mathbf { s } _ { k + 1 } + \eta \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k + 1 } ^ { \intercal } ) } \\ & { = \tilde { V } \tilde { W } \mathbf { s } _ { k } + ( I - \tilde { W } ) \left[ \mathbf { x } _ { k } + \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) \right] - ( I - \tilde { W } ) \eta \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) } \\ & { \quad + ( I - \tilde { W } ) \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } + ( I - \tilde { W } ) E _ { k } + \eta \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k + 1 } ^ { \intercal } ) } \\ & { = \tilde { W } \left[ \tilde { V } \mathbf { s } _ { k } + \eta \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) \right] + ( I - \tilde { W } ) \left[ \mathbf { x } _ { k } + \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) \right] } \\ & { \quad + \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k + 1 } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) \right) + ( I - \tilde { W } ) \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } + ( I - \tilde { W } ) E _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { ( k + 1 ) } } & { = h ^ { ( k ) } - \alpha B ( x ^ { ( K - k - 1 ) } ) ^ { T } \widetilde { x } ^ { ( K - k ) } , } \\ { \widetilde { x } ^ { ( K - k - 1 ) } } & { = \widetilde { x } ^ { ( K - k ) } - \alpha A ( x ^ { ( K - k - 1 ) } ) \widetilde { x } ^ { ( K - k ) } + \beta ( \widetilde { x } ^ { ( K - k ) } - \widetilde { x } ^ { ( K - k + 1 ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x _ { i } ) + \frac { \rho _ { 0 } } { 2 } \| F ( x _ { i } ) \| ^ { 2 } } & { { \overset { { ( \rho \geq 3 \rho _ { 0 } ) } } { \leq } } f ( x _ { i } ) + \frac { \rho } { 6 } \| F ( x _ { i } ) \| ^ { 2 } } \\ & { { \overset { { , } } { \leq } } \bar { U } + \frac { 1 } { 2 \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + c _ { 0 } - \langle \lambda _ { 0 } \; , \; F ( x _ { i } ) \rangle - \frac { \rho } { 3 } \| F ( x _ { i } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \bar { U } + \frac { 1 } { 2 \rho } \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + c _ { 0 } - \frac { \rho } { 3 } \| F ( x _ { i } ) + \frac { 3 \lambda _ { 0 } } { 2 \rho } \| ^ { 2 } + \frac { 3 \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 \rho } } \\ & { \leq \bar { U } + c _ { 0 } + \frac { 5 \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 \rho } } \\ & { { \overset { } { \leq } } \bar { U } + c _ { 0 } + \frac { 5 \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 \rho } + 3 ( \bar { U } + c _ { 0 } - \bar { L } + \frac { 5 \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 \rho } ) } \\ & { { \overset { { ( \rho \geq 1 ) } } { \leq } } 4 \bar { U } + 4 c _ { 0 } - 3 \bar { L } + { 5 \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } } \leq \hat { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } ( t ) } & { { } = } & { \sqrt { 2 \kappa _ { A } } \hat { c } _ { i n } ( t ) - \kappa _ { A } \hat { a } ( t ) , } \\ { \hat { b } ( t ) } & { { } = } & { \sqrt { 2 \kappa _ { B } } \hat { d } _ { i n } ( t ) - \kappa _ { B } \hat { b } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } = \mathbf { F } _ { \theta } ^ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \cdot \mathbf { F } _ { \epsilon } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \tan ( \theta ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 + \epsilon } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + \epsilon } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle P \cdot \mathcal { D } , Q \rangle } & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( Q \cdot ( 1 + x \partial _ { x } ) \right) ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) ( x - x \phi ^ { \prime } ( x ) + ( \nu + J - A ^ { \ast } x + x A ^ { \ast } ) Q ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( Q \cdot - ( x \partial _ { x } + x - x \phi ^ { \prime } ( x ) + ( \nu + J + 1 ) \right) ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { = } & { \langle P , Q \cdot \mathcal { D } ^ { \dagger } \rangle . } \end{array}
\beta _ { i } ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l } { \arg ( \boldsymbol { \eta } _ { i } ^ { + } ( t ) ) } & { : \; \; \mathbf { e } _ { i } ( t ) \cdot \mathbf { \eta } _ { i } ^ { + } ( t ) > 0 } \\ { - \arg ( \boldsymbol { \eta } _ { i } ^ { + } ( t ) ) } & { : \; \; \mathbf { e } _ { i } ( t ) \cdot \mathbf { \eta } _ { i } ^ { + } ( t ) < 0 } \end{array} \right.
\left( \frac { \delta r } { \mathcal { L } } \right) \mathcal { D } _ { t } ^ { \prime } f _ { i } + \frac { 1 } { 2 } { \left( \frac { \delta r } { \mathcal { L } } \right) } ^ { 2 } { \mathcal { D } _ { t } ^ { \prime } } ^ { 2 } f _ { i } = 2 \beta \left( f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } - f _ { i } \right) ,
\Lambda _ { \textrm { c u e } } = \sum _ { \varepsilon , \xi } P _ { \varepsilon \xi } \log P _ { \varepsilon | \xi } + P _ { 0 } \log \frac { ( Y _ { 1 } - Y _ { 0 } ) V } { ( Y _ { 1 } - V ) } + P _ { 1 } \log \frac { ( Y _ { 1 } - Y _ { 0 } ) V } { ( V - Y _ { 0 } ) } \, .
V ( \sigma , \psi ) \; \; = \; \; \frac { 1 } { 4 } \lambda ^ { \prime } \bigl ( M ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } \bigr ) ^ { 2 } \; + \; \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \sigma ^ { 2 } \psi ^ { 2 } \; + \; \frac { 1 } { 2 } m _ { \sigma } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 }
\sin { \frac { 1 1 \pi } { 6 0 } } = \sin 3 3 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 6 } } \left[ 2 \left( { \sqrt { 3 } } - 1 \right) { \sqrt { 5 + { \sqrt { 5 } } } } + { \sqrt { 2 } } \left( 1 + { \sqrt { 3 } } \right) \left( { \sqrt { 5 } } - 1 \right) \right]
S _ { \mathrm { m a t t e r } } = \int d ^ { 2 } \sigma \, \left[ \frac { 1 } { 4 } \left( F _ { r s } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { r } Y ^ { I } \right) ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } } { 4 } \left( \{ Y ^ { I } , Y ^ { J } \} \right) ^ { 2 } \right] \, ,