harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ { \begin{array} { r r r r r r r r } { - 6 6 } & { - 6 3 } & { - 7 1 } & { - 6 8 } & { - 5 6 } & { - 6 5 } & { - 6 8 } & { - 4 6 } \\ { - 7 1 } & { - 7 3 } & { - 7 2 } & { - 4 6 } & { - 2 0 } & { - 4 1 } & { - 6 6 } & { - 5 7 } \\ { - 7 0 } & { - 7 8 } & { - 6 8 } & { - 1 7 } & { 2 0 } & { - 1 4 } & { - 6 1 } & { - 6 3 } \\ { - 6 3 } & { - 7 3 } & { - 6 2 } & { - 8 } & { 2 7 } & { - 1 4 } & { - 6 0 } & { - 5 8 } \\ { - 5 8 } & { - 6 5 } & { - 6 1 } & { - 2 7 } & { - 6 } & { - 4 0 } & { - 6 8 } & { - 5 0 } \\ { - 5 7 } & { - 5 7 } & { - 6 4 } & { - 5 8 } & { - 4 8 } & { - 6 6 } & { - 7 2 } & { - 4 7 } \\ { - 5 3 } & { - 4 6 } & { - 6 1 } & { - 7 4 } & { - 6 5 } & { - 6 3 } & { - 6 2 } & { - 4 5 } \\ { - 4 7 } & { - 3 4 } & { - 5 3 } & { - 7 4 } & { - 6 0 } & { - 4 7 } & { - 4 7 } & { - 4 1 } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l } { \beta _ { k } } & { = \frac { \left( 1 - \frac { \sqrt { \mu s } } { 1 + \sqrt { \mu s } } \right) \frac { \sqrt { \mu s } } { 1 + \sqrt { \mu s } } \left( 1 - \mu \sqrt { \frac { s } { \mu } } \right) } { \frac { \sqrt { \mu s } } { 1 + \sqrt { \mu s } } } = \frac { 1 - \sqrt { \mu s } } { 1 + \sqrt { \mu s } } } \\ { \gamma _ { k } } & { = \frac { \frac { \sqrt { \mu s } } { 1 + \sqrt { \mu s } } \sqrt { \frac { s } { \mu } } } { s } - \left( 1 - \mu \sqrt { \frac { s } { \mu } } + \mu \frac { \sqrt { \mu s } } { 1 + \sqrt { \mu s } } \sqrt { \frac { s } { \mu } } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 3 } \cap ( C _ { 1 } \cup C _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 m } r / 2 \leq x \leq \sigma ^ { 2 m } r / 2 + \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z \qquad \textrm { i f } \sigma / 2 - \sigma ^ { 2 m - 1 } r \leq z \leq \sigma / 2 } \\ { - \sigma ^ { 2 m } r / 2 + \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z < x \leq \sigma ^ { 2 m } r / 2 + \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z \qquad \textrm { i f } z < \sigma / 2 - \sigma ^ { 2 m - 1 } r } \end{array} \right. , } \end{array}
^ { i n } \left\langle p _ { 1 } ^ { \prime } , p _ { 2 } ^ { \prime } . . . . p _ { m } ^ { \prime } \left| S - 1 \right| p _ { 1 } , p _ { 2 } . . . . p _ { n } \right\rangle ^ { i n } = \delta ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } ^ { \prime } - \sum _ { k = 1 } ^ { n } p _ { k } ) T ( p _ { 1 } ^ { \prime } , . . . p _ { m } ^ { \prime } , p _ { 1 } , . . . p _ { n } )
\begin{array} { r l r } { a _ { l m } ^ { \sigma } = a _ { l m } \left( \frac { C _ { l m } ^ { \sigma } } { \sqrt { 2 } } \right) , } & { { } } & { b _ { l m } ^ { \sigma } = \sigma b _ { l m } \left( \frac { C _ { l m } ^ { \sigma } } { \sqrt { 2 } } \right) . } \end{array}
{ \left\vert \left\vert \mathcal { Q } _ { \theta _ { Q } } \circ ( \mathcal { J } _ { \theta _ { I } } ) ^ { L } \circ \mathcal { P } _ { \theta _ { P } ^ { \eta } } ( [ \mathbf { U } ^ { 0 } , \mathbf { G } ^ { \eta } ] ^ { \mathrm { T } } ) - \mathbf { U } ^ { \eta , * } \right\vert \right\vert } \leq \varepsilon , \quad \forall \mathbf { G } ^ { \eta } \in \mathbb { R } ^ { M } .
\bar { R } ( \bar { y } ) \sim \bigg [ \bar { A } _ { { R } } - \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { \pi } { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \delta _ { 2 } \bigg ] \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } + \cdots - \frac { \delta _ { 2 } } { 4 } \bigg ( \log ( 2 ) + \gamma + \log ( - \bar { y } ^ { 2 } ) + \cdots \bigg ) .
\begin{array} { r l } { d _ { i + 1 } + D _ { i + 1 } } & { = d _ { i } + \delta _ { i + 1 } + D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { = d _ { i } + f _ { 5 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + D _ { i } + f _ { 4 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \frac { - \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = u ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \sigma _ { x x } } & { { } = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \left[ \frac { x ^ { 2 } z } { R ^ { 3 } } - \frac { 1 - 2 \nu } { 3 } \left( \frac { ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) R } { r ^ { 2 } ( R + z ) } + \frac { y ^ { 2 } z } { R r ^ { 2 } } \right) \right] , } \\ { \Delta \sigma _ { y y } } & { { } = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \left[ \frac { y ^ { 2 } z } { R ^ { 3 } } - \frac { 1 - 2 \nu } { 3 } \left( \frac { ( y ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) R } { r ^ { 2 } ( R + z ) } + \frac { x ^ { 2 } z } { R r ^ { 2 } } \right) \right] , } \\ { \Delta \sigma _ { z z } } & { { } = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \frac { z ^ { 3 } } { R ^ { 3 } } , } \\ { \Delta \sigma _ { x y } } & { { } = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \left[ \frac { x y z } { R ^ { 3 } } - \frac { 1 - 2 \nu } { 3 } \frac { x y ( 2 R + z ) } { R ( R + z ) ^ { 2 } } \right] , } \\ { \Delta \sigma _ { y z } } & { { } = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \frac { y z ^ { 2 } } { R ^ { 3 } } , } \\ { \Delta \sigma _ { x z } } & { { } = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \frac { x z ^ { 2 } } { R ^ { 3 } } , } \end{array}
{ \cal J } _ { \alpha } = \frac { 1 } { 7 2 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 3 } } \frac { s i n ^ { 2 } \phi } { \phi ^ { 2 } } \varepsilon ^ { a b c } \varepsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta } \partial _ { \beta } \pi ^ { a } \partial _ { \gamma } \pi ^ { b } \partial _ { \delta } \pi ^ { c } \; .
\sum _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } } C _ { 0 } ^ { F } ( x , { \bf k } _ { \perp } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) ^ { \ast } C _ { 0 } ^ { F } ( x , { \bf k } _ { \perp } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) = 1 .
\leq d _ { G } ( I , \mathbf { a } g \mathbf { a } ^ { - 1 } ) \leq J q ^ { d r } q ^ { - \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \varepsilon } } = J q ^ { d c \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \frac { \kappa } { n } } - \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \varepsilon } } = J q ^ { \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \varepsilon } \left( d c \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \frac { \kappa } { n } - \varepsilon } - 1 \right) }
\overline { { g } } _ { k } ( x _ { 1 } , \hdots , h _ { M } ; \mathbf { w } ) : = g _ { k } ( x _ { k } ^ { d _ { k } } ( x _ { 1 } , \hdots , h _ { M } ; \mathbf { w } ) , \{ x _ { 1 } ^ { ( d ) } ( x _ { 1 } , \hdots , h _ { M } ; \mathbf { w } ) \} _ { d = 0 } ^ { d _ { 1 } - 1 } , \hdots , \{ x _ { m } ^ { ( d ) } ( x _ { 1 } , \hdots , h _ { M } ; \mathbf { w } ) \} _ { d = 0 } ^ { d _ { m } - 1 } ) = 0
V _ { \mathrm { P S } } = 1 - \frac { C _ { \mathrm { H O M , C o } } ( \tau = 0 ) } { C _ { \mathrm { H O M , C r o s s } } ( \tau = 0 ) } = 1 - \frac { A _ { 3 } ( 1 - V _ { \mathrm { P S } } ) } { A _ { 3 } } .
I _ { M } = < - \frac { 1 } { 3 ! } m ^ { 2 } a _ { m n p } a ^ { m n p } - \frac { 1 } { 2 ! } m ^ { 2 } \psi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ! } m \epsilon ^ { m n p q } \psi G _ { m n p q } + \frac { 1 } { 3 ! } m \epsilon ^ { m n p q } ( a _ { m n p } - C _ { m n p } ) \partial _ { q } \phi > .
\begin{array} { r l } { g _ { m } } & { { } = \sum _ { n } w _ { m n } h _ { m n } , ~ ~ ~ \forall n \in \{ n ~ | ~ \| m - n \| _ { \infty } \le 1 \} } \\ { h _ { m n } } & { { } = \frac { \left( \frac { \left| f _ { m } - f _ { n } \right| } { \sigma } \right) ^ { 2 } } { c + \left( \frac { \left| f _ { m } - f _ { n } \right| } { \sigma } \right) ^ { 2 - p } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. A g _ { \mathrm { r } } ( 0 , x _ { \mathrm { i } } , t ) - B \frac { \partial } { \partial x } g _ { \mathrm { r } } ( x , x _ { \mathrm { i } } , t ) \right| _ { x = 0 } = 0 . } \end{array}
C _ { n } = { \cal { \varepsilon } } ^ { 2 } \, \epsilon ^ { \underline { { { \delta } } } } \nabla _ { \underline { { { \delta } } } } \, { \mathrm { \small { ~ \frac 1 2 ~ } } } \bar { \cal D } ^ { 2 } \, { \cal D } _ { \alpha _ { 1 } } \, { \cal G } ^ { \alpha _ { 1 } } { \mathrm { \small { ~ \frac 1 2 ~ } } } \bar { \cal D } ^ { 2 } \ldots { \mathrm { \small { ~ \frac 1 2 ~ } } } \bar { \cal D } ^ { 2 } \, { \cal D } _ { \alpha _ { n } } \, { \cal G } ^ { \alpha _ { n } } { \mathrm { \small { ~ \frac 1 2 ~ } } } \bar { \cal D } ^ { 2 } .
\Phi _ { m } ( z _ { m } ) \circ \cdots \circ \Phi _ { 1 } ( z _ { 1 } ) : M _ { q } ( \lambda _ { 1 } ) \rightarrow M _ { q } ( \lambda _ { m + 1 } , k ) \otimes ( ( V ( 0 , \mu _ { 1 } ) \otimes \cdots \otimes V ( 0 , \mu _ { m } ) ) ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { m } )
\begin{array} { r l } { v ^ { T } \chi ^ { 2 } ( K Q _ { 0 } | K Q _ { 1 } , \dots , K Q _ { M } ) v } & { = \int \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } \Big ( \frac { d K Q _ { j } } { d K Q _ { 0 } } - 1 \Big ) \bigg ) ^ { 2 } \, d K Q _ { 0 } } \\ & { = \chi ^ { 2 } \Bigg ( K \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } Q _ { j } \Big ) , K Q _ { 0 } \Bigg ) } \\ & { \leq \chi ^ { 2 } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } Q _ { j } , Q _ { 0 } \Big ) } \\ & { = \int \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } \Big ( \frac { d Q _ { j } } { d Q _ { 0 } } - 1 \Big ) \bigg ) ^ { 2 } \, d Q _ { 0 } } \\ & { = v ^ { T } \chi ^ { 2 } ( Q _ { 0 } | Q _ { 1 } , \dots , Q _ { M } ) v . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \left\langle { } ^ { t } P _ { * } ( D _ { f } ) , \phi \right\rangle } & { { } = \left\langle D _ { P _ { * * } ( f ) } , \phi \right\rangle } & { } & { { } { \mathrm { U s i n g ~ L e m m a ~ a b o v e ~ w i t h ~ } } P _ { * } { \mathrm { ~ i n ~ p l a c e ~ o f ~ } } P } \end{array}
\left( \overline { { \boldsymbol { \mathscr { C } } } } _ { i } \left[ \mathsf { X } \right] \right) _ { i \in \mathcal { I } } = \bar { \mathsf { R } } \left[ \mathsf { X } \right] \left( \boldsymbol { E } _ { i } \right) _ { i \in \mathcal { I } } ,
\frac { d \mathrm { ~ { ~ \bf ~ S ~ } ~ } ( i , j , t ) } { d t } = \mathrm { ~ \bf ~ { ~ F ~ } ~ } _ { i , j } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ S ~ } ~ } ( i , j , t ) , \theta ) + [ { \cal F } ( i , j , t ) , 0 ] .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } ( \boldsymbol { x } ) = - \frac { 2 K _ { \mathrm { ~ c ~ 1 ~ } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \left( \begin{array} { l } { m _ { 1 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 1 } \, m _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 2 } \, m _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 2 } \, m _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 3 } \, m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 3 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) - \frac { 2 K _ { \mathrm { ~ c ~ 2 ~ } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \left( \begin{array} { l } { m _ { 1 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } \, m _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 1 } ^ { 2 } \, m _ { 2 } \, m _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 1 } ^ { 2 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } \, m _ { 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
K ( \overrightarrow { y } ; \overrightarrow { y ^ { \prime } } ) = - 2 ^ { n } \left| \sum _ { k = 1 } ^ { n } y _ { k - 1 } ^ { \prime } \rho _ { k } ^ { * } \right| \left| \rho _ { n , n - 1 } \right| ^ { - 1 } = - 2 ^ { n } \left| \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } y _ { k - 1 } ^ { \prime } \sum _ { r = n } ^ { k - 1 } y _ { r } ^ { * } \right| .
\vec { P } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \sigma J _ { 0 } w \hat { x } \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { + \frac { a } { 2 } } d x _ { 1 } \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { + \frac { b } { 2 } } d z _ { 1 } \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { + \frac { a } { 2 } } d x _ { 2 } \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { + \frac { b } { 2 } } d z _ { 2 } \frac { 1 } { R } .
i m p l i e s t h a t \mathcal { L } [ a , b ] c o n t a i n s a n i n t e r c a l a t e i f a n d o n l y i f e i t h e r \alpha [ a , b ] c o n t a i n s a t r a n s p o s i t i o n o r \alpha [ b , a ] c o n t a i n s a t r a n s p o s i t i o n . S i n c e \{ a b , ( a - 1 ) ( b - 1 ) \} \subseteq \mathcal { R } _ { q } f o r a v a l i d p a i r ( a , b ) \in \mathbb { F } _ { q } ^ { 2 } , i t f o l l o w s t h a t ( a , b ) s a t i s f i e s c o n d i t i o n ( i ) i n L e m m a
\begin{array} { r l } { W ^ { \flat } ( z ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { W } ( u ) \sum _ { f \ge 1 } \frac { e ( f u z ) } { f } d u = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { W } ( u ) \log ( 1 - e ( z u ) ) d u } \\ & { = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { W } ( u ) \bigl ( \log | 2 \sin ( \pi z u ) | + i \pi ( \{ z u \} - \frac 1 2 ) \bigr ) d u } \\ & { = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \hat { W } ( u ) \bigl ( \log | 2 \sin ( \pi z u ) | + i \pi B _ { 1 } ( z u ) \bigr ) d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \{ a > M \} } ( v ^ { - \alpha } + v ^ { \beta } ) \tilde { g } _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ) \textup { d } \eta } & { \leq 2 \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } \cap \{ v < \frac { 1 } { \tilde { C } } \} } v ^ { - \alpha } \tilde { g } _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ) \textup { d } \eta + \int _ { \{ a > M , v \in [ \frac { 1 } { \tilde { C } } , \tilde { C } ] \} } ( v ^ { - \alpha } + v ^ { \beta } ) \tilde { g } _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ & { + 2 \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } \cap \{ v > \tilde { C } \} } v ^ { \beta } \tilde { g } _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ & { \leq 2 \tilde { C } ^ { - \tilde { \epsilon } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } \cap \{ v < \frac { 1 } { \tilde { C } } \} } v ^ { - \alpha - \tilde { \epsilon } } \tilde { g } _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ) \textup { d } \eta + 2 \tilde { C } M ^ { - 1 } \int _ { \{ a > M , v \in [ \frac { 1 } { \tilde { C } } , \tilde { C } ] \} } a \tilde { g } _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ & { + 2 \tilde { C } ^ { \beta - 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } \cap \{ v > \tilde { C } \} } v \tilde { g } _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ & { \leq 2 \tilde { C } ^ { - \tilde { \epsilon } } c _ { 0 , - \alpha - \tilde { \epsilon } } + 2 \tilde { C } M ^ { - 1 } c _ { 1 , 0 } + 2 \tilde { C } ^ { \beta - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { d \phi _ { L } ^ { e } ( t , x ) } & { = \nabla \cdot V _ { e ^ { \prime } } ^ { \prime } ( \nabla \phi _ { L } ^ { e } ) ( t , x ) + \sqrt { 2 } d B _ { t } ( x ) } & { ~ \mathrm { f o r } ~ } & { ( t , x ) \in [ 0 , \infty ] \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { \phi _ { L } ^ { e } ( 0 , x ) } & { = \phi ^ { e } ( x ) } & { ~ \mathrm { f o r } ~ } & { x \in \mathbb { T } _ { L } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| f g \| _ { \mathcal { G } _ { p h , \cosh } ^ { M | k | , s } ( [ a , b ] ^ { 2 } ) } \leq C \| f \| _ { \mathcal { G } _ { p h , \cosh } ^ { M | k | , s } ( [ a , b ] ^ { 2 } ) } \| g \| _ { \mathcal { G } _ { p h , 1 } ^ { M | k | , s } ( [ a , b ] ^ { 2 } ) } . } \end{array}
B _ { \nu } ^ { \mu } \operatorname * { d e t } A = { \frac { 1 } { ( N - 1 ) ! } } \epsilon ^ { \mu \mu _ { 2 } \cdots \mu _ { N } } \epsilon _ { \nu \nu _ { 2 } \cdots \nu _ { N } } \, { \frac { \partial z ^ { \nu _ { 2 } } } { \partial x ^ { \mu _ { 2 } } } } \cdots { \frac { \partial z ^ { \nu _ { N } } } { \partial x ^ { \mu _ { N } } } } ,
V = \left\vert \mu \bar { \phi } ^ { a } + \lambda \bar { \phi } ^ { a } S \right\vert ^ { 2 } + \left\vert \mu \phi ^ { a } + \lambda \phi ^ { a } S \right\vert ^ { 2 } + \left\vert \lambda \phi _ { a } \bar { \phi } ^ { a } + \frac { \partial W ^ { \prime } } { \partial S } \right\vert ^ { 2 } + V _ { D } + V _ { S B } \; ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } \wedge \partial \eta } & { = \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \partial \omega } \wedge \partial \omega = \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \partial \omega } \wedge d ( \partial \eta ) = \langle d ( \partial \eta ) , \ast \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { = \langle \delta \ast \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } , \partial \eta \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } + \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( \partial \eta ) \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \omega , t _ { p } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t p ( t ) W ( t , t _ { p } ) e ^ { i \omega t } } \\ { W ( t , t _ { p } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( t - t _ { p } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T s ( \phi _ { 2 } ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { \Lambda \to \infty } \Psi ( z = \Lambda ) , } \\ { T s ( \phi _ { 1 } ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { \Lambda \to \infty } \Psi ( z = - \Lambda ) , } \end{array}
{ \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } e ^ { z ^ { 2 } } \operatorname { e r f } ( z ) = { \cfrac { z } { 1 - { \cfrac { z ^ { 2 } } { { \frac { 3 } { 2 } } + { \cfrac { z ^ { 2 } } { { \frac { 5 } { 2 } } - { \cfrac { { \frac { 3 } { 2 } } z ^ { 2 } } { { \frac { 7 } { 2 } } + { \cfrac { 2 z ^ { 2 } } { { \frac { 9 } { 2 } } - { \cfrac { { \frac { 5 } { 2 } } z ^ { 2 } } { { \frac { 1 1 } { 2 } } + { \cfrac { 3 z ^ { 2 } } { { \frac { 1 3 } { 2 } } - { \cfrac { { \frac { 7 } { 2 } } z ^ { 2 } } { { \frac { 1 5 } { 2 } } + - \ddots } } } } } } } } } } } } } } } } .
\begin{array} { r l } & { \widehat { \mathrm { M M D } } [ p _ { s } ( \mathbf { y } ) , p _ { t } ( \mathbf { y } ) ] = \| \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \phi ( \mathbf { y } _ { i } ^ { s } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \phi ( \mathbf { y } _ { i } ^ { t } ) \| _ { \mathcal { F } } ^ { 2 } } \\ & { = \left[ \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { i , j } ^ { M } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { s } , \mathbf { y } _ { j } ^ { s } ) - \frac { 2 } { M N } \sum _ { i , j } ^ { M N } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { s } , \mathbf { y } _ { j } ^ { t } ) + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j } ^ { N } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { t } , \mathbf { y } _ { j } ^ { t } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \ensuremath { L } - \nabla u } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { - \nabla \! \cdot \! \ensuremath { L } + \nabla p } & { = f } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \frac { 1 } { { \ensuremath { \Delta t } } } p + \nabla \! \cdot \! u } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { u } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 4 } } & { = 2 \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \eta _ { i } ( \eta _ { j } - \tilde { \eta } _ { j } ) \widetilde { \Omega } _ { j k } \eta _ { k } ( \eta _ { \ell } - \tilde { \eta } _ { \ell } ) W _ { \ell i } } \\ & { + \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \eta _ { i } ( \eta _ { j } - \tilde { \eta } _ { j } ) \widetilde { \Omega } _ { j k } ( \eta _ { k } - \tilde { \eta } _ { k } ) \eta _ { \ell } W _ { \ell i } } \\ & { + \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } ( \eta _ { i } - \tilde { \eta } _ { i } ) \eta _ { j } \widetilde { \Omega } _ { j k } \eta _ { k } ( \eta _ { \ell } - \tilde { \eta } _ { \ell } ) W _ { \ell i } } \\ & { \equiv Z _ { 4 a } + Z _ { 4 b } + Z _ { 4 c } . } \end{array}
\Omega = 1 - e ^ { 4 a L \mu } \left[ \frac { ( \mu + \nu ) ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } { ( \mu - \nu ) ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } \right] \frac { B ^ { 2 } ( 2 \mu , - \mu - \nu + \lambda ) } { B ^ { 2 } ( - 2 \mu , \mu - \nu - \lambda ) }
\tau ( \epsilon ) ( E ) = 2 t r \phi _ { \epsilon } ( B ) = t r ( \tilde { e } W ) | _ { ( \pi \epsilon _ { 1 } , \dots , \pi \epsilon _ { d } ) } = t r \tilde { W } | _ { ( \pi \epsilon _ { 1 } , \dots , \pi \epsilon _ { d } ) }
W = - \int _ { 2 V _ { 0 } } ^ { V _ { 0 } } P \, \mathrm { d } V = - \int _ { 2 V _ { 0 } } ^ { V _ { 0 } } { \frac { n R T } { V } } \mathrm { d } V = n R T \ln 2 = T \Delta S _ { g a s } .
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l } { { \ } 1 } \\ { - \mathbf { i } } \end{array} \right] } } \\ { u _ { 2 } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l } { { \ } 1 } \\ { + \mathbf { i } } \end{array} \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \prime \prime } ( x _ { i } ) } & { = \frac { - u _ { i - 2 } + 1 6 u _ { i - 1 } - 3 0 u _ { i } + 1 6 u _ { i + 1 } - u _ { i + 2 } } { 1 2 h ^ { 2 } } + O ( h ^ { 3 } ) ; } \\ { u ^ { \prime \prime } ( x _ { i } ) } & { = \frac { 1 0 u _ { i - 1 } - 1 5 u _ { i } - 4 u _ { i + 1 } + 1 4 u _ { i + 2 } - 6 u _ { i + 3 } + u _ { i + 4 } } { 1 2 h ^ { 2 } } + O ( h ^ { 3 } ) ; } \\ { u ^ { \prime \prime } ( x _ { i } ) } & { = \frac { u _ { i - 4 } - 6 u _ { i - 3 } + 1 4 u _ { i - 2 } - 4 u _ { i - 1 } - 1 5 u _ { i } + 1 0 u _ { i + 1 } } { 1 2 h ^ { 2 } } + O ( h ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { S } - i \hat { J } \geq 0 } & { \iff \left[ \begin{array} { l l } { \hat { A } } & { 0 } \\ { 0 } & { \hat { B } } \end{array} \right] - i \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \hat { I } } \\ { - \hat { I } } & { 0 } \end{array} \right] \geq 0 } \\ & { \iff \left[ \begin{array} { l l } { \hat { A } } & { 0 } \\ { 0 } & { \hat { B } } \end{array} \right] - i \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right] \geq 0 } \\ & { \iff \left[ \begin{array} { l l } { \hat { A } } & { - i I } \\ { i I } & { \hat { B } } \end{array} \right] \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( u - \Pi _ { \Lambda } ^ { r } u ) ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } = } & { \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } b _ { i } \partial _ { x } J _ { i } ^ { - 2 , - 2 } ( x ) \Big ) ^ { 2 } d x \le \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } b _ { i } \partial _ { x } J _ { i } ^ { - 2 , - 2 } ( x ) \Big ) ^ { 2 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { - 1 } d x } \\ { = } & { \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } - 2 ( i - 3 ) b _ { i } J _ { i - 1 } ^ { - 1 , - 1 } ( x ) \Big ) ^ { 2 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { - 1 } d x } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { 1 } { 4 ( i - 2 ) ^ { 2 } } a _ { i - 2 } ^ { 2 } \gamma _ { i - 3 } ^ { 1 , 1 } = \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { 2 } { ( 2 i - 3 ) ( i - 1 ) ( i - 2 ) } a _ { i - 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = r - 1 } ^ { \infty } \left( \displaystyle \frac { 2 } { 2 i + 1 } \displaystyle \frac { ( i + s - 1 ) ! } { ( i - s + 1 ) ! } a _ { i } ^ { 2 } \right) \displaystyle \frac { 1 } { ( i + 1 ) i } \displaystyle \frac { ( i - s + 1 ) ! } { ( i + s - 1 ) ! } } \\ { \le } & { \displaystyle \frac { 1 } { r ( r - 1 ) } \displaystyle \frac { ( r - s ) ! } { ( r + s - 2 ) ! } \| u ^ { ( s + 1 ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } } \end{array}
M _ { 1 } = - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int d ^ { 2 } x \left\lbrace { \frac { ( a - 1 ) } { 2 } } \, \partial _ { \mu } \theta \; \partial ^ { \mu } \theta + \theta \left\lbrack ( a - 1 ) \partial _ { \mu } A ^ { \mu } + \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } A _ { \nu } \right\rbrack \right\rbrace
\begin{array} { r l } { \delta C _ { n } } & { { } = \left\langle \frac { \delta C _ { n } } { \delta u } , v \right\rangle + \left\langle \frac { \delta C _ { n } } { \delta D } , \phi \right\rangle + \left\langle \frac { \delta C _ { n } } { \delta Z ^ { \prime } } , \gamma ^ { \prime } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \Phi } } & { { } = \frac { \partial H } { \partial Q } + \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial \dot { Q } } = \frac { Q } { C } \, , } \\ { \dot { Q } } & { { } = - \frac { \partial H } { \partial \Phi } - \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial \dot { \Phi } } = - \frac { \Phi } { L } - \frac { \dot { \Phi } } { R } \, . } \end{array}