harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal L } _ { e f f } ^ { ( 4 ) } = \frac 1 4 l _ { 1 } ( \mathrm { t r } \{ \partial _ { \mu } U ^ { \dagger } \partial ^ { \mu } U \} ) ^ { 2 } + \frac 1 4 l _ { 2 } \mathrm { t r } ( \partial _ { \mu } U ^ { \dagger } \partial _ { \nu } U ) \mathrm { t r } ( \partial ^ { \mu } U ^ { \dagger } \partial ^ { \nu } U ) .
\begin{array} { l r r c l } & & { \kappa _ { R } \mu _ { c } \, \frac { d } { d t } \mu _ { j } } & { = } & { \kappa _ { R } \mu _ { c } \; f ( \mu _ { j } , \eta _ { j } ) + \int _ { \partial \Omega _ { j } } \left( \beta _ { U , 1 } \frac { \mu _ { c } L } { L ^ { 2 } } \, u - \beta _ { U , 2 } \mu _ { c } L \, \mu _ { j } \right) \; d S _ { \bf x } \, , } \\ & & { \kappa _ { R } \mu _ { c } \, \frac { d } { d t } \eta _ { j } } & { = } & { \kappa _ { R } \mu _ { c } \; g ( \mu _ { j } , \eta _ { j } ) + \int _ { \partial \Omega _ { j } } \left( \beta _ { V , 1 } \frac { \mu _ { c } L } { L ^ { 2 } } \, v - \beta _ { V , 2 } \mu _ { c } L \, \eta _ { j } \right) \; d S _ { \bf x } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 + t ) \partial _ { t } \mathrm { m } ( t , x , \eta ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } } \int _ { \mathbb R \times \mathbb Z ^ { d } } i \tau ^ { \prime } ( 1 - i \partial _ { \tau ^ { \prime } } ) \big ( e ^ { i \tau ^ { \prime } t } \big ) e ^ { i k ^ { \prime } \cdot x } \mathcal { F } _ { t , x } b ( \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } , \eta ) \mathcal { J } ( a ) ( t , x , \eta , \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \mathrm { d } k ^ { \prime } } \\ & { + \quad \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } } \int _ { \mathbb R \times \mathbb Z ^ { d } } ( 1 - i \partial _ { \tau ^ { \prime } } ) \big ( e ^ { i \tau ^ { \prime } t } \big ) e ^ { i k ^ { \prime } \cdot x } \mathcal { F } _ { t , x } b ( \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } , \eta ) \partial _ { t } \left( \mathcal { J } ( a ) \right) ( t , x , \eta , \tau ^ { \prime } , k ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } \mathrm { d } k ^ { \prime } . } \end{array}
{ \frac { d \sigma } { d x _ { \gamma } d \cos \theta } } ( s ) = { \frac { \alpha } { 6 4 } } \, { \frac { 2 \pi ^ { \frac { \delta } { 2 } } } { \Gamma ( { \frac { \delta } { 2 } } ) } } \, ( { \frac { \sqrt s } { M } } ) ^ { \delta + 2 } \, { \frac { 1 } { s } } f ( x _ { \gamma } , \cos \theta )
\ln \frac { m ^ { 2 } } { 4 \Sigma ^ { 2 } } - J _ { - } \simeq \ln \frac { m ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } } { 2 } - \ln \frac { \Delta ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } = \ln ( m \sigma ) ^ { 2 } .
\ddot { \tilde { \phi } } ( \mathrm { \boldmath ~ p ~ } , x ^ { 0 } ) + \omega ^ { 2 } \tilde { \phi } ( \mathrm { \boldmath ~ p ~ } , x ^ { 0 } ) = 0 \qquad ( \omega \equiv \sqrt { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } > 0 ) .
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { p } } { d t } } & { { } \approx } & { - n _ { p } \, n _ { B } \, u _ { p B } \, \sigma _ { R } ^ { p B } \, , } \\ { \frac { d n _ { D } } { d t } } & { { } \approx } & { - n _ { D } \, n _ { T } \, u _ { D T } \, \sigma _ { R } ^ { D T } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) \bigr ] , } \\ { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 1 } { 2 } C _ { t } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { t } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta _ { t } ) \bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { i } ^ { l + 1 } } & { { } = \mathrm { M L P } _ { 1 } ^ { l } \left( \mathrm { M L P } _ { 2 } ^ { l } ( h _ { i } ^ { l } ) + \sum _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } m _ { i j } ^ { l } \right) , } \end{array}
T _ { \mathrm { { c } } } = \left( { \frac { n } { \zeta ( 3 / 2 ) } } \right) ^ { 2 / 3 } { \frac { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } { m k _ { \mathrm { { B } } } } } \approx 3 . 3 1 2 5 \ { \frac { \hbar ^ { 2 } n ^ { 2 / 3 } } { m k _ { \mathrm { { B } } } } }
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial C ( q ) } { \partial q } } & { { } = - \left( \begin{array} { l } { \vdots } \\ { p _ { \tau } } \\ { \vdots } \\ { p _ { \kappa } } \\ { \vdots } \\ { g _ { j } } \\ { \vdots } \end{array} \right) = - q . } \end{array}
\bigl [ A _ { a } ^ { i } ( x ) , A _ { b } ^ { j } ( y ) \bigr ] _ { x ^ { + } = y ^ { + } } = - i { \frac { 1 } { 4 } } \delta _ { a b } \delta ^ { i j } \, \epsilon ( x ^ { - } - y ^ { - } ) \delta ^ { 2 } ( x _ { \bot } - y _ { \bot } ) \, .
\begin{array} { r l r } { t } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \, u + \frac { 1 } { 2 } \, v } \\ { r } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \, u + \frac { 1 } { 2 } \, v } \\ { { \theta } } & { { } = } & { { \theta } } \\ { { \phi } } & { { } = } & { { \phi } } \\ { { \chi } } & { { } = } & { { \chi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Y _ { t } } & { = } & { x _ { 0 } + \left[ \left( \left( X _ { T _ { 1 } } \cdot c + X _ { T _ { 2 } } \right) \cdot c + X _ { T _ { 3 } } \right) \cdot c + \dots \right] \cdot c + X _ { t - T _ { N _ { t } } } } \\ & { = } & { x _ { 0 } + c ^ { N _ { t } } X _ { T _ { 1 } } + c ^ { N _ { t } - 1 } X _ { T _ { 2 } } + \dots c X _ { T _ { N _ { t } } } + X _ { t - T _ { N _ { t } } } , } \end{array}
- \mu _ { b _ { 0 } } ^ { - 1 } \partial _ { t } ^ { 2 } X - \mu _ { b _ { 0 } } ^ { - 1 } \partial _ { t } ^ { 2 } Y + \frac { \mu _ { b _ { 0 } } ^ { \prime } } { 2 } \partial _ { r } X + ( \frac { \mu _ { b _ { 0 } } ^ { \prime } } { 2 } + \frac { 2 \mu _ { b _ { 0 } } } { r } ) \partial _ { r } Y - \frac { 4 } { r \mu _ { b _ { 0 } } } \partial _ { t } Z - \frac { \mathbf { Q } ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } X - \left( \frac { k ^ { 2 } - 2 } { r ^ { 2 } } + \frac { 3 \mathbf { Q } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) Y + \frac { 4 k ^ { 2 } \mathbf { Q } } { r ^ { 4 } } \mathcal { N } = 0 .
\begin{array} { r l } { \pmb { \theta } ^ { k + 1 } } & { { } = \pmb { \theta } ^ { k } - \eta ^ { k } \nabla _ { \pmb { \theta } } \mathcal { L } _ { M F } ^ { k } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } \\ { \mathbf { w } ^ { k + 1 } } & { { } = \mathbf { w } ^ { k } + \rho ^ { k } \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } _ { M F } ^ { k } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } \end{array}
{ \bf { B } } _ { \mathrm { { i n } } } = { \bf { B } } _ { \mathrm { { i n } } } ^ { ( 0 ) } + \delta { \bf { B } } _ { \mathrm { { i n } } } = { \bf { B } } _ { \mathrm { { i n } } } ^ { ( 0 ) } + \frac { \gamma } { \beta } { \bf { U } } _ { \mathrm { { i n } } } ^ { ( 0 ) } .
\mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } - \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } \right\rVert _ { \operatorname* { m a x } } \leq y \right) \geq 1 - \sum _ { 1 \leq s , r \leq N } \mathbb { P } \left( \left\lvert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left[ \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } - \mathbb { E } \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } \right] \right\rvert > y \right) .
\mu = \alpha \frac { \| \mathbf { S } ( \mathbf { m } ) \mathbf { S } ( \mathbf { m } ) ^ { T } \delta \mathbf { d } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \delta \mathbf { d } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \sum _ { m } \left[ \frac { i m \mu } { q B _ { 0 } \gamma r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \langle A _ { m } ^ { * } \delta f _ { m } \rangle \right) + \frac { 8 } { 2 1 } \frac { 1 } { r B _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial r } \langle r ^ { 3 } \dot { A } _ { m } ^ { * } \delta f _ { m } \rangle - \frac { r } { B _ { 0 } } \langle { A } _ { m } ^ { * } \frac { \partial } { \partial t } \delta f _ { m } \rangle - \frac { r } { B _ { 0 } } \langle { \dot { A } } _ { m } ^ { * } \delta f _ { m } \rangle \right] } \end{array}
\{ a = 1 . 4 5 8 3 ~ \mathrm { ~ A ~ U ~ } , e = 0 . 2 2 2 7 , i = 1 0 . 8 2 9 ^ { \circ } , \Omega = 3 0 4 . 4 ^ { \circ } , \omega = 1 7 8 . 9 ^ { \circ } , \nu _ { 0 } = 2 4 6 . 9 ^ { \circ } \}
\begin{array} { r l } { q _ { 0 } } & { { } = q _ { t } , } \\ { p _ { 0 } } & { { } = p _ { t } + t V _ { 1 } ( q _ { t } , \operatorname { I m } A _ { t } ) , } \\ { A _ { 0 } } & { { } = A _ { t } + t V _ { 2 } ( q _ { t } , \operatorname { I m } A _ { t } ) , } \\ { \gamma _ { 0 } } & { { } = \gamma _ { t } + t V _ { 0 } ( q _ { t } , \operatorname { I m } A _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { { \mathbf X } : = ( x _ { 1 , 1 } , \cdots , x _ { K , 1 } , x _ { 1 , 2 } , \cdots , x _ { K , 2 } , x _ { 1 , 3 } , \cdots , x _ { K , 3 } ) ^ { \top } \quad } & & { \in \mathbb { R } ^ { 3 K } \, , } \\ & { { \mathbf P } : = ( p _ { 1 , 1 } , \cdots , p _ { K , 1 } , p _ { 1 , 2 } , \cdots , p _ { K , 2 } , p _ { 1 , 3 } , \cdots , p _ { K , 3 } ) ^ { \top } \quad } & & { \in \mathbb { R } ^ { 3 K } \, , } \\ & { \mathbb { P } _ { \mu } ^ { n } ( { \mathbf X } ) : = ( \Lambda _ { \mu , i } ^ { n } ( { \mathbf x } _ { k } ) ) _ { 0 \le i < N _ { \mu } ^ { n } , 1 \le k \le K } \quad ( n \in \{ 1 , 2 \} , \mu \in \{ 1 , 2 , 3 \} ) \quad } & & { \in \mathbb { R } ^ { N _ { \mu } ^ { n } \times K } \, , } \\ & { \mathbb { P } _ { n } ( { \mathbf X } ) : = \mathrm { d i a g } ( \mathbb { P } _ { 1 } ^ { n } , \mathbb { P } _ { 2 } ^ { n } , \mathbb { P } _ { 3 } ^ { n } ) , n \in \{ 1 , 2 \} \quad } & & { \in \mathbb { R } ^ { N ^ { n } \times 3 K } \, , } \\ & { \mathbb { W } : = \mathbb { I } _ { 3 } \otimes \mathrm { d i a g } ( w _ { 1 } , \cdots , w _ { K } ) \quad } & & { \in \mathbb { R } ^ { 3 K \times 3 K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 4 } ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 1 } } \rho ( C _ { 2 } ) } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 2 } } } \end{array} \right) \rho ( C _ { 2 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { B ( x , y , z , t ) { \dot { x } } - A ( x , y , z , t ) { \dot { y } } = 0 , } \\ { C ( x , y , z , t ) { \dot { x } } - A ( x , y , z , t ) { \dot { z } } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { v _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { T } } ( l ) = v _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } ( l ) - \frac { \left( v _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } ( l ) \right) ^ { 2 } } { M N } \mathrm { T r } \left( \mathbf { H } _ { \mathrm { T } } ^ { \mathrm { H } } \left( v _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } ( l ) \mathbf { H } _ { \mathrm { T } } \mathbf { H } _ { \mathrm { T } } ^ { \mathrm { H } } + N _ { 0 } \mathbf { I } _ { M N } \right) ^ { - 1 } \mathbf { H } _ { \mathrm { T } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } [ \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ^ { \prime } ) ) - \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ) ) ] I ( \Omega ) \, \mathrm { d } \Omega ^ { \prime } \, \mathrm { d } \Omega } & { = - \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } [ \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ^ { \prime } ) ) - \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ) ) ] I ( \Omega ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \Omega ^ { \prime } \, \mathrm { d } \Omega } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } [ \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ^ { \prime } ) ) - \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ) ) ] ( I ( \Omega ^ { \prime } ) - I ( \Omega ) ) \, \mathrm { d } \Omega ^ { \prime } \, \mathrm { d } \Omega \le 0 . } \end{array}
\varrho = 0 . 2 2 4 \pm 0 . 0 3 8 \; , \qquad \eta = 0 . 3 1 7 \pm 0 . 0 4 0 \; , \qquad \sin { 2 \beta } = 0 . 6 9 8 \pm 0 . 0 6 6 \; ,
( f _ { U } ) _ { i } = \kappa _ { i } \epsilon _ { u { \mathrm { - } } U } \mathrm { e } ^ { i \alpha _ { i } } ( | M _ { U } | / v _ { S } ) ~ , ~ ~ ( f _ { U } ^ { \prime } ) _ { i } = \kappa _ { i } ^ { \prime } \epsilon _ { u { \mathrm { - } } U } \mathrm { e } ^ { i \alpha _ { i } ^ { \prime } } ( | M _ { U } | / v _ { S } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { x y + 1 } { ( x + y ) ^ { 2 } } } & { \ge \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { x y + \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + ( x + y + z ) ^ { 2 } } { 4 } } { ( x + y ) ^ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { 2 x y + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + x y + y z + z x } { 2 ( x + y ) ^ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { ( x + y ) ^ { 2 } + ( y + z ) ( z + x ) } { 2 ( x + y ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 3 } { 2 } + \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { ( y + z ) ( z + x ) } { 2 ( x + y ) ^ { 2 } } } \\ & { \ge \frac 3 2 + 3 \sqrt [ 3 ] { \prod _ { \mathrm { c y c } } \frac { ( y + z ) ( z + x ) } { 2 ( x + y ) ^ { 2 } } } } \\ & { = 3 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \lambda ^ { \eta } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \lambda } ^ { 0 } } & { , \mathrm { i f ~ } i = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } s = 1 . } \\ { \boldsymbol { \lambda } ^ { ( i , N _ { s } ) } } & { , \mathrm { i f ~ } i \neq 1 \mathrm { ~ a n d ~ } s = 1 . } \\ { \boldsymbol { \lambda } ^ { ( i + 1 , s - 1 ) } } & { , \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
P _ { i j k l } ^ { V o r t i c i t y } = \left( C _ { 2 } - 1 \right) \left( \epsilon _ { i j } R _ { \underline { { i } } \underline { { i } } } ^ { V } \Omega _ { k l } + \epsilon _ { i j } \omega _ { Z } \zeta _ { \underline { { i } } \underline { { i } } k l } \right) ,
\alpha _ { 1 } = { \frac { \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { 1 } } { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A p } _ { 1 } } } \approx { \frac { { \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 2 8 1 0 } & { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 2 8 1 0 } \\ { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } } { { \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 3 5 1 1 } & { 0 . 7 2 2 9 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 1 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 3 5 1 1 } \\ { 0 . 7 2 2 9 } \end{array} \right] } } } = 0 . 4 1 2 2 .
\mathrm { T r } [ J _ { i } ^ { ( 1 ) } , J _ { j } ^ { ( 1 ) } ] ^ { 2 } = \mathrm { T r } [ J _ { i } ^ { ( 2 ) } , J _ { j } ^ { ( 2 ) } ] ^ { 2 } = - 2 N C _ { 2 } ^ { ( j ) } = - \frac { N ( N ^ { 2 } - 1 ) } { 2 } ,
{ \cal W } ( x , x _ { 0 } ) = \exp \left\{ - i \biggl [ \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } d x _ { j } A _ { j } + \frac { \theta } { 2 } \, \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } d x _ { j } \, \left[ m \, ( { \bf v } \times \nabla A _ { j } ^ { ( 0 ) } ) _ { 3 } - ( { \bf A ^ { ( 0 ) } } \times \nabla A _ { j } ^ { ( 0 ) } ) _ { 3 } \right] \biggr ] \right\} .
\left\{ \begin{array} { c c l } { \frac { d \theta _ { i } } { d t } } & { = } & { - \left( e _ { i } - \frac { 1 } { N } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } e _ { j } \right) , } \\ { \frac { d U } { d t } } & { = } & { - 4 \mathrm { ~ s k e w ~ } \left( \left( - \tilde { M } + \hat { M } \right) U ^ { T } \right) U , } \\ { \frac { d V } { d t } } & { = } & { - 4 \mathrm { ~ s k e w ~ } \left( \left( - \tilde { N } + \hat { N } \right) V ^ { T } \right) V . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { C = - \delta _ { 2 } ( { \bf \Gamma } ) + \delta _ { 2 } ( { \bf X } ) - \delta _ { 2 } ( { \bf M } ) + \delta _ { 2 } ( { \bf Y } ) \quad \mathrm { m o d ~ 2 } , } \\ { C = - \delta _ { 3 } ( { \bf \Gamma } ) + 2 \delta _ { 3 } ( { \bf K } ) - \delta _ { 3 } ( { \bf K ^ { \prime } } ) \quad \mathrm { m o d ~ 3 } , } \\ { C = - \delta _ { 4 } ( { \bf \Gamma } ) - \delta _ { 4 } ( { \bf M } ) + 2 \delta _ { 2 } ( { \bf X } ) \quad \mathrm { m o d ~ 4 } , } \\ { C = - \delta _ { 6 } ( { \bf \Gamma } ) + 4 \delta _ { 3 } ( { \bf K } ) - 3 \delta _ { 2 } ( { \bf M } ) \quad \mathrm { m o d ~ 6 } , } \end{array}
{ \hat { \rho } } ^ { ( \tau ) } \mapsto \hat { \sigma } ^ { ( \tau ) } : = \left( \hat { W } _ { \tau , i _ { \tau } } \otimes \hat { W } _ { \tau , i _ { \tau } + 1 } \otimes \hat { W } _ { \tau , i _ { \tau } + 2 } \right) { \hat { \rho } } ^ { ( \tau ) } \left( \hat { W } _ { \tau , i _ { \tau } } ^ { \dag } \otimes \hat { W } _ { \tau , i _ { \tau } + 1 } ^ { \dag } \otimes \hat { W } _ { \tau , i _ { \tau } + 2 } ^ { \dag } \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ A ] } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { x } ^ { 1 } \sqrt { \operatorname* { m a x } \left[ 0 , ( x ^ { 2 } + ( y - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 ( x ^ { 4 } + ( y - x ) ^ { 4 } + ( 1 - y ) ^ { 4 } ) \right] } \, d y \, d x } \\ & { = } & { 0 . 0 0 7 4 7 9 9 8 \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) } & { = \mathrm { i } \left( - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \alpha } ( j ) + j \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + \frac { j \pi } { 6 } \vec { D } ( j ) \cdot \mathbb { A } ^ { - 1 } ( \omega - \overline { { \omega } } ) \right) } \\ & { \ + \mathrm { i } \left( \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) \lambda _ { \alpha } ( j ) + j \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) \right) + r _ { \infty } ( i _ { n } ( \omega ) ) ( \omega , j ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } & { = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } \\ & { \geqslant \operatorname* { m i n } \left( \frac { n } { 1 2 } - 4 + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| , \frac { 5 n } { 3 6 } + \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 2 } - 3 \right) } \\ & { \geqslant \operatorname* { m i n } \left( \frac { 2 n } { 9 } - 8 , \frac { 5 n } { 2 4 } - 5 \right) = \frac { 5 n } { 2 4 } - 5 . } \end{array}
\delta R = a \cos \Omega \tau + a ^ { 2 } \eta _ { 1 } ( \tau ) + a ^ { 3 } \eta _ { 2 } ( \tau ) , \; \; \Omega ^ { 2 } = \Omega _ { S } ^ { 2 } + a \triangle _ { 1 } \Omega ^ { 2 } + a ^ { 2 } \triangle _ { 2 } \Omega ^ { 2 } .
\langle { \cal P } \rangle = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi _ { i } } \to \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \mathrm { d } \varphi } { 2 \pi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } = 0 \ .
\delta \Phi \sim \frac { \alpha \Phi _ { 0 } } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { p } { 2 } \right) ^ { \frac { 4 - 3 p } { 2 } } \Gamma \left( \frac { 1 + \mu } { 2 } + \frac { \nu } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 + \mu } { 2 } - \frac { \nu } { 2 } \right) \left( \frac { H } { m _ { \Phi } } \right) ^ { \frac { 3 p } { 2 } } \sin \left( m _ { \Phi } t + \frac { ( 2 - 3 p ) \pi } { 4 } \right)
\begin{array} { r l } { ( Q _ { \mathcal { E } } \otimes \mathrm { i d } + \mathrm { i d } \otimes \mathrm { d } _ { { d R } } ) \circ \mathcal { H } ( v ) ( t ) } & { = ( Q _ { \mathcal { E } } \otimes \mathrm { i d } + \mathrm { i d } \otimes \mathrm { d } _ { { d R } } ) \circ \left( J _ { t } ( v ) \otimes 1 - ( - 1 ) ^ { | v | } H _ { t } ( v ) \otimes d t \right) } \\ & { = Q _ { \mathcal { E } } \circ J _ { t } ( v ) \otimes 1 + ( - 1 ) ^ { | v | } \frac { d J _ { t } } { d t } ( v ) \otimes d t - ( - 1 ) ^ { | v | } Q _ { \mathcal { E } } \circ H _ { t } ( v ) \otimes d t } \end{array}
\frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \dagger } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { a } - \mathbf { K } _ { b } \right) \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \frac { 1 } { 4 } ( - \hat { \mathbf { F } } _ { a } + \hat { \mathbf { F } } _ { b } - \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ w ~ } } ) ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \hat { \mathsf { K } } _ { 0 } - \hat { \mathsf { P } } _ { 0 } - \hat { \mathsf { W } } _ { 0 } = \omega ^ { 2 } \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \overline { { \mathsf { P } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \, .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right\} ( J _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } ) _ { ( m _ { 1 } m _ { 2 } ) ( \ell m ) } ^ { - 1 } U _ { ( \ell m ( \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } n _ { 1 } n _ { 2 } ) ) } w _ { ( \ell _ { 3 } m _ { 3 } n _ { 3 } ) } } \\ & { = A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } ( J _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } ) _ { ( \ell _ { 3 } m _ { 3 } ) ( m _ { 1 } m _ { 2 } ) } ( J _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } ) _ { ( m _ { 1 } m _ { 2 } ) ( \ell m ) } ^ { - 1 } U _ { ( \ell m ( \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } n _ { 1 } n _ { 2 } ) ) } w _ { ( \ell _ { 3 } m _ { 3 } n _ { 3 } ) } } \\ & { = A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } \delta _ { \ell - \ell _ { 3 } } \delta _ { m - m _ { 3 } } U _ { ( \ell m ( \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } n _ { 1 } n _ { 2 } ) ) } w _ { ( \ell _ { 3 } m _ { 3 } n _ { 3 } ) } . } \end{array}
\Gamma _ { R R A A } \ ( { \frac { T } { p _ { 3 } ^ { 0 } } } + { \frac { T } { p _ { 4 } ^ { 0 } } } ) = \Gamma _ { A A R R } ^ { * } \ ( { \frac { T } { p _ { 1 } ^ { 0 } } } + { \frac { T } { p _ { 2 } ^ { 0 } } } )
\begin{array} { r l } { z _ { L , \delta } } & { : = \Theta _ { L } ^ { \prime } ( \operatorname* { i n f } \{ j \in \{ 0 , 1 , \ldots , n _ { L } \} : d _ { L } ( \Theta _ { L } ^ { \prime } ( j ) , \partial _ { 1 } \mathcal { U } _ { L } ) \geq \delta \} ) , \; } \\ { z _ { L , \delta } ^ { \prime } } & { : = \Theta _ { L } ^ { \prime } ( \operatorname* { s u p } \{ j \in \{ 0 , 1 , \ldots , n _ { L } \} : d _ { L } ( \Theta _ { L } ^ { \prime } ( j ) , \partial _ { 1 } \mathcal { U } _ { L } ) \geq \delta \} ) . } \end{array}
U _ { 2 \times 2 } \simeq \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { V _ { 1 2 } } } \\ { { V _ { 1 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; \mathrm { a n d } \; V _ { 2 \times 2 } \simeq \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { V _ { 2 3 } } } \\ { { V _ { 2 3 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow } & { { } \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) s ^ { ( 0 ) } + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 1 ) } + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 2 ) } } \\ { \Leftrightarrow } & { { } \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( s ^ { ( 0 ) } - s ^ { ( 1 ) } \right) + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r \left( s ^ { ( 1 ) } - s ^ { ( 2 ) } \right) + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r \left( s ^ { ( 2 ) } - s ^ { ( 3 ) } \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { { } \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( N p ^ { ( 0 ) } - 1 \right) + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r \left( N p ^ { ( 1 ) } - 1 \right) + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r \left( N p ^ { ( 2 ) } - 1 \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { { } \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( N - 1 \right) - \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r \left( \frac { N } { k } - 1 \right) > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { { } ~ r > \frac { ( N - 1 ) G } { N - G } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \sum _ { m , n = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \langle k _ { \mathrm { ~ u ~ } } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } \vert U \vert m \rangle \rho _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ y ~ } ~ m , n } \langle n \vert U ^ { \dag } \vert k _ { \mathrm { ~ u ~ } } ^ { \prime } , k _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { \prime } \rangle . } \end{array}