harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
9 2 . 4 \mathrm { M e V } \times 1 3 . 0 5 = 1 2 0 6 \mathrm { M e V } \quad \mathrm { v s . } \quad 1 1 8 9 \mathrm { M e V } = 9 3 9 \mathrm { M e V } \times 1 . 2 6 7
+ 2 \Re \{ 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } ^ { \ast } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } \} + \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { \ast } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } \} \}
\boldsymbol { z } ^ { * } = \left( \frac { ( Q _ { b } - q ) ^ { 2 } } { 4 Q _ { b } } , \frac { Q _ { b } - q } { 2 Q _ { b } } , 1 - \frac { Q _ { b } + q } { 2 Q _ { b } } \frac { Q _ { b } + q - c \mu _ { 1 } } { b \mu _ { 2 } } , \frac { 1 } { 4 Q _ { b } } , \frac { ( Q _ { b } + q - c \mu _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } \mu _ { 2 } ^ { 2 } Q _ { b } } , \frac { Q _ { b } + q - c \mu _ { 1 } } { 2 b \mu _ { 2 } Q _ { b } } \right) .
\begin{array} { r l } { ( a _ { 0 } ) _ { ( 1 ) } } & { \nu _ { i _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 1 } , s _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 1 ) } \otimes ( a _ { 0 } ) _ { ( 2 ) } \nu _ { s _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 2 ) } ) ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { s _ { 2 } } ( ( b _ { 2 } ) _ { ( 2 ) } ) \dots ( a _ { n } ) _ { ( 2 ) } } \\ { = } & { ( a _ { 0 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { i _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 1 } , s _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \dots ( a _ { k } ) _ { ( 1 ) } ^ { \circ } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 1 ) } \otimes ( a _ { 0 } ) _ { ( 2 ) } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 2 ) } } \\ & { + ( a _ { 0 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { i _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 1 } , s _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \dots E _ { i _ { k } } ( ( a _ { k } ) _ { ( 1 ) } ) \dots ( a _ { n } ) _ { ( 1 ) } \otimes ( a _ { 0 } ) _ { ( 2 ) } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \left. \begin{array} { l } { Z _ { e v e n \, k } = \sqrt { n + 1 } R _ { n } ^ { m } ( r ) \sqrt { 2 } \cos ( m \theta ) } \\ { Z _ { o d d \, k } = \sqrt { n + 1 } R _ { n } ^ { m } ( r ) \sqrt { 2 } \sin ( m \theta ) } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ m ~ \ne ~ 0 ~ } } } \\ { Z _ { k } = \sqrt { n + 1 } R _ { n } ^ { m } ( r ) \, \mathrm { ~ \; ~ \; ~ f ~ o ~ r ~ m ~ = ~ 0 ~ } } \end{array}
w _ { 1 , 2 } = \frac { { \cal { V } } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } \hbar } e ^ { 2 } c ^ { 2 } A _ { 0 } ^ { 2 } c o s ^ { 2 } \theta f ( p _ { 2 } ) \delta ( \mathbf { p } _ { 1 } - \mathbf { p } _ { 2 } - \mathbf { q } ) \delta ( E _ { p _ { 1 } } - E _ { p _ { 2 } } - \alpha c q ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { e x } ^ { e v e n } } } & { { } = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k _ { 0 } x } + \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { 0 } x } , } \\ { \mathbf { E _ { e x } ^ { o d d } } } & { { } = \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k _ { 0 } x } - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { 0 } x } . } \end{array}
\langle \pmb { \mathrm { k } } _ { i } | \pmb { \mathrm { k } } _ { j } \rangle = 2 E _ { i } ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } \delta ^ { D - 1 } ( \pmb { \mathrm { k } } _ { i } - \pmb { \mathrm { k } } _ { j } ) \, .
( \partial _ { 2 } ^ { \, 1 } \; , \partial _ { 3 } ^ { \, 2 } \; , \ldots , \ \partial _ { N } ^ { \, N - 1 } ) f _ { L _ { 1 } \ldots L _ { r } } ^ { K _ { 1 } \ldots K _ { q } } ( u ) = 0 \; .
A ( { \bf x } , t ) = A ^ { i n } ( { \bf x } , t ) + \sum _ { i } \int d ^ { 3 } x _ { B } d ^ { 3 } x _ { i } f _ { B ; i } ( { \bf x } - { \bf x } _ { B } , t - t _ { B } ; { \bf x } - { \bf x } _ { i } , t - t _ { i } ) \nonumber \,
\boldsymbol { W _ { 4 } } ^ { i } \leftarrow \{ \boldsymbol { W } _ { C _ { i } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \texttt { r o t a t e } ( \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 4 } ) , \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 5 } \}
\begin{array} { r l r } { H ( t ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( x _ { i } ^ { 2 } + p _ { i } ^ { 2 } ) + V _ { d } ( x _ { i } , t ) \right] + \sum _ { i < j } ^ { N } \beta \delta ( x _ { i } - x _ { j } ) } \\ & { \equiv } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } H _ { s } ( x _ { i } , p _ { i } ) + \sum _ { i < j } ^ { N } V ( x _ { i } , x _ { j } ) , } \end{array}
d \vartheta ^ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \gamma } , \mathbf { e } _ { \alpha } ) = - \omega ^ { \beta } _ { \gamma \alpha } + \omega ^ { \beta } _ { \alpha \gamma } \, , \qquad d \vartheta ^ { \gamma } ( \mathbf { e } _ { \alpha } , \mathbf { e } _ { \beta } ) = - \omega ^ { \gamma } _ { \beta \alpha } + \omega ^ { \gamma } _ { \alpha \beta } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { ( U ^ { \dag } \otimes U ^ { \dag } ) \mathcal { E } ^ { \dag } ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) ( U \otimes U ) } \\ & { = } & { ( U ^ { \dag } \otimes U ^ { \dag } ) w ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) \otimes w ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) ( U \otimes U ) } \\ & { = } & { \chi ( 2 \vec { p } _ { 0 } \cdot \vec { q } - \vec { p } \cdot \vec { q } _ { 0 } ) w ( M ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) ) \otimes w ( M ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert A \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( L ^ { 2 } ( G ) ) } } & { \leq \sum _ { [ \eta ] \in \widehat { G } } \sum _ { r , s = 1 } ^ { d _ { \eta } } \Vert M _ { \eta _ { r s } } \textnormal { O p } ( \widehat { \sigma } _ { A , \, s r } ( [ \eta ] , \cdot ) ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( L ^ { 2 } ( G ) ) } } \\ & { = \sum _ { [ \eta ] \in \widehat { G } } \sum _ { r , s = 1 } ^ { d _ { \eta } } \langle \eta \rangle ^ { - N } \Vert M _ { \eta _ { r s } } \textnormal { O p } ( \widehat { \sigma } _ { N , \, s r } ( [ \eta ] , \cdot ) ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( L ^ { 2 } ( G ) ) } } \\ & { = \sum _ { [ \eta ] \in \widehat { G } } \sum _ { r , s = 1 } ^ { d _ { \eta } } \langle \eta \rangle ^ { - N } \Vert M _ { \eta _ { r s } } \Vert _ { \mathscr { B } ( L ^ { 2 } ) } \Vert \textnormal { O p } ( \widehat { \sigma } _ { N , \, s r } ( [ \eta ] , \cdot ) ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( L ^ { 2 } ( G ) ) } } \\ & { = \sum _ { [ \eta ] \in \widehat { G } } \sum _ { r , s = 1 } ^ { d _ { \eta } } \langle \eta \rangle ^ { - N } \Vert \eta _ { r s } \Vert _ { L ^ { \infty } ( G ) } \Vert \textnormal { O p } ( \widehat { \sigma } _ { N , \, s r } ( [ \eta ] , \cdot ) ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( L ^ { 2 } ( G ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \tilde { \mathcal { F } } , \tilde { \mathcal { G } } \} _ { D } ( \eta , \phi _ { \partial } , \Sigma ) = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast d \eta ) \wedge \big ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \big ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) } \end{array}
\mathcal { L } _ { B C E } = - \frac { 1 } { N _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } } \mathbf { c } _ { i } \left( \ln \mathbf { y } _ { i } \right) + \left( 1 - \mathbf { y } _ { i } \right) \left( \ln \left( 1 - \mathbf { c } _ { i } \right) \right)
C o s t _ { j } = \frac { 1 } { N } | | \frac { ( \mathbf { y } - \hat { { \mathbf { y } } } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } | | + \frac { 1 } { N } | | \mathcal { H } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { w } _ { j } - \mathbf { w } _ { R M S , j } ) | | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( t ) = \frac { x _ { * } e ^ { - \rho \alpha t } } { 2 } + \left( \frac { k / \alpha } { 1 + \gamma } \right) } & { { } \Bigg [ \left( \frac { b _ { n } / \bar { b } } { 1 + \rho } \right) ( e ^ { \alpha t } - e ^ { - \rho \alpha t } ) } \end{array}
\Phi \left[ A ^ { \prime } , A \right] = \prod _ { \vec { p } } \left( \alpha _ { \vec { p } } ^ { ^ { \prime } * } \, \alpha _ { \vec { p } } + \beta _ { \vec { p } } ^ { ^ { \prime } * } \, \beta _ { \vec { p } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \left( \partial _ { T _ { 0 } T _ { 0 } } ^ { 2 } + 2 \epsilon \partial _ { T _ { 0 } T _ { 1 } } ^ { 2 } \right. } & { { } \left. + \epsilon ^ { 2 } \partial _ { T _ { 1 } T _ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \partial _ { T _ { 0 } } + \frac { R _ { m s } } { M _ { m s } \omega _ { \infty } } \epsilon \partial _ { T _ { 1 } } + 1 \right) \left( v _ { 0 } ( T _ { 0 } , T _ { 1 } ) + \epsilon v _ { 1 } ( T _ { 0 } , T _ { 1 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \tilde { B } ( f ) | _ { w a v e \_ p s p } ^ { 2 } = \sum _ { t _ { c o h e r e n t } } \left( | W _ { X } ( s , t ) | ^ { 2 } + | W _ { Y } ( s , t ) | ^ { 2 } + | W _ { Z } ( s , t ) | ^ { 2 } \right) } \\ & { | \tilde { B } ( f ) | _ { t u r b \_ p s p } ^ { 2 } = \sum _ { t _ { n o n - c o h e r e n t } } \left( | W _ { X } ( s , t ) | ^ { 2 } + | W _ { Y } ( s , t ) | ^ { 2 } + | W _ { Z } ( s , t ) | ^ { 2 } \right) = | \tilde { B } ( f ) | _ { p s p } ^ { 2 } - | \tilde { B } ( f ) | _ { w a v e \_ p s p } ^ { 2 } } \end{array}
\delta _ { C C } = \frac { 5 \lambda ^ { 6 } } { 4 } \frac { \vert \tilde { \omega } _ { S , f } - \omega _ { H , f } \vert } { \tilde { \omega } _ { S , f } ^ { 2 } ( \tilde { \omega } _ { S , f } ^ { 2 } + \omega _ { H , f } ^ { 2 } ) ^ { 5 } } .
C ( A _ { | | } , A _ { \perp } ) = \sum _ { k } \sum _ { j } ( S _ { \mathrm { s i m } , k } ( \tau _ { j } ) - S _ { \mathrm { e x p } } ( \tau _ { j } ) ) ^ { 2 } ; \quad S _ { \mathrm { s i m } , k } ( \tau _ { j } ) = e ^ { - ( 2 \tau _ { j } / T _ { 2 } ) ^ { n } } \cdot S _ { \mathrm { b a t h } , k } ( \tau _ { j } ) \cdot S ( \tau _ { j } , A _ { | | } , A _ { \perp } ) .
\begin{array} { r l } { R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y ) } & { = ( x _ { 2 } + y ) I _ { 4 } + ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & & & \\ & { 0 } & { 0 } & \\ & { 1 } & { 1 } & \\ & & & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x ) } & { = ( x + y _ { 2 } ) I _ { 4 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & & & \\ & { 0 } & { - 1 } & \\ & { 0 } & { 1 } & \\ & & & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { V P _ { A } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } | \tilde { s } _ { k } ^ { ( A ) } | + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { t } | s _ { t } ^ { ( A _ { 2 } ) } | \Big ( \sum _ { k } | \alpha _ { t k } ^ { ( A _ { 2 } ) } | \Big ) ^ { 2 } , } \\ { \lambda _ { V P _ { B } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l } | \tilde { s } _ { l } ^ { ( B ) } | + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { t } | s _ { t } ^ { ( B _ { 2 } ) } | \Big ( \sum _ { l } | \alpha _ { t l } ^ { ( B _ { 2 } ) } | \Big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sqrt { \frac { 2 \operatorname { V a r } _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } \left( u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right) \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } } } \\ & { + \mathrm { l o w e r ~ o r d e r ~ t e r m } . } \end{array}
\eta _ { \mathrm { b i } } ^ { \prime } = \frac { \chi } { 1 + \chi ^ { 2 } } , \quad \eta _ { \mathrm { t e r } } ^ { \prime } = \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 + \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } } , \quad \mathrm { a n d } \quad \eta _ { \mathrm { n o n } } ^ { \prime } = \frac { \chi ^ { 8 } } { 1 + \chi ^ { 2 } ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ( 1 + \chi ^ { 4 } ) ( 1 + \chi ^ { 8 } ) } ,
\begin{array} { c c } { { \displaystyle \frac { d } { d s } p _ { 0 } = J _ { 2 3 } p _ { 2 } p _ { 3 } } } & { { \displaystyle \frac { d } { d s } x ^ { 0 } = ( x ^ { 2 } p _ { 3 } - x ^ { 3 } p _ { 2 } ) \ } } \\ { { \displaystyle \frac { d } { d s } p _ { 1 } = 0 } } & { { \displaystyle \frac { d } { d s } x ^ { 1 } = 0 \ } } \\ { { \displaystyle \frac { d } { d s } p _ { 2 } = - p _ { 0 } p _ { 3 } } } & { { \displaystyle \frac { d } { d s } x ^ { 2 } = - ( p _ { 0 } x ^ { 3 } + J _ { 2 3 } p _ { 3 } x ^ { 0 } ) \ } } \\ { { \displaystyle \frac { d } { d s } p _ { 3 } = p _ { 0 } p _ { 2 } } } & { { \displaystyle \frac { d } { d s } x ^ { 3 } = ( p _ { 0 } x ^ { 2 } - J _ { 2 3 } p _ { 2 } x ^ { 0 } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { l } = \sum _ { j \in L } \left( \eta ^ { L } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { \parallel } \cdot \mathbf { r } _ { j } } \sigma _ { j } ^ { \dagger } + \mathrm { h . c . } \right) + \sum _ { j \in R } \left( \eta ^ { R } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { \parallel } \cdot \mathbf { r } _ { j } } \sigma _ { j } ^ { \dagger } + \mathrm { h . c . } \right) , } \end{array}
\dot { y } _ { 2 } = - \frac { 3 } { 2 } \frac { \mathcal { D } _ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 1 3 } } \left( - 2 \mathrm { i } ( p + 2 ) + \overline { { n } } _ { 2 } \tau \right) y _ { 2 } - 3 \mathrm { i } p \frac { \mathcal { D } _ { 1 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 1 3 } } \, y _ { 2 } \ ,
\mathop { \sum } _ { i = 1 } ^ { j } \sqrt { \frac { 1 } { j ( 2 j + 1 ) } } ( \gamma ^ { \mu _ { i } } + v ^ { \mu _ { i } } + \frac { i d ^ { \mu _ { i } } } { m _ { B _ { j } } } ) \gamma _ { 5 } { \widehat B } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \widehat { \mu } _ { i } \cdots \mu _ { j } } ( x ) \, = \mathop { \sum } _ { i = 1 } ^ { j } \sqrt { \frac { 1 } { j ( 2 j + 1 ) } } ( \gamma ^ { \mu _ { i } } + v ^ { \mu _ { i } } + \frac { i d ^ { \mu _ { i } } } { m _ { B _ { j } } } ) \gamma _ { 5 } e ^ { i m _ { B _ { j } } v \cdot x } B ^ { \mu _ { 1 } \cdots \widehat { \mu } _ { i } \cdots \mu _ { j } } ( x ) ,
\begin{array} { r l r } { \Lambda ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac 1 { \ell + 1 } \sqrt { \frac { ( \ell + m + 2 ) ( \ell + m + 1 ) \ell ( \ell + 2 ) } { ( 2 \ell + 1 ) ( 2 \ell + 3 ) } } } \\ { \Lambda ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac 1 { \ell + 1 } \sqrt { \frac { ( \ell - m + 2 ) ( \ell - m + 1 ) \ell ( \ell + 2 ) } { ( 2 \ell + 1 ) ( 2 \ell + 3 ) } } } \\ { \Lambda ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { - \frac { \sqrt { ( \ell + m + 1 ) ( \ell - m ) } } { \ell ( \ell + 1 ) } } \end{array}
\int d ^ { 3 } q \int _ { 0 } d x \, x ^ { \alpha ^ { \prime } q ^ { 2 } - \alpha ^ { \prime } s - 1 } = \pi ^ { 3 / 2 } ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { - 3 / 2 } \int _ { 0 } d x x ^ { - 1 - \alpha ^ { \prime } s } [ \ln ( 1 / x ) ] ^ { - 3 / 2 } \ ,
\begin{array} { r c c c l } { \dot { \underline { { s } } } } & { = } & { - \frac { k _ { 2 } e _ { 0 } \underline { { s } } } { K _ { M } + \underline { { s } } } } & { , } & { \underline { { s } } ( \widetilde t ) = \widetilde s ; } \\ { \dot { \overline { { s } } } } & { = } & { - \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } \overline { { s } } } { K _ { M } + \overline { { s } } } + \sqrt 2 k _ { 1 } e _ { 0 } s _ { 0 } \cdot \bigg ( \cfrac { k _ { - 1 } + k _ { 1 } s _ { 0 } } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s _ { 0 } } \bigg ) \cdot \bigg ( \cfrac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } } \bigg ) } & { , } & { \overline { { s } } ( \widetilde t ) = \widetilde s . } \end{array}
p ( T \mathcal { G } | T \hat { \mathcal { G } } ) = p ( N | T \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( T V | N , T \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( E | N , T V , T \hat { \mathcal { G } } ) \, \cdot \, p ( A | N , T V , E , T \hat { \mathcal { G } } )
( S _ { n + 1 } ) ^ { 2 } = { \left( \begin{array} { l l } { S _ { n } } & { O } \\ { S _ { n } } & { S _ { n } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { S _ { n } } & { O } \\ { S _ { n } } & { S _ { n } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { S _ { n } S _ { n } \oplus O S _ { n } } & { S _ { n } O \oplus O S _ { n } } \\ { S _ { n } S _ { n } \oplus S _ { n } S _ { n } } & { S _ { n } O \oplus S _ { n } S _ { n } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { O } \\ { I _ { n } \oplus I _ { n } } & { I _ { n } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { O } \\ { O } & { I _ { n } } \end{array} \right) } = I _ { n + 1 }
\begin{array} { r } { I _ { m , n } = \frac { e ^ { - \psi ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi } } \Gamma \left( \frac { m } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { m + 1 } { 2 } \right) U \left( \frac { m } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \omega ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle 1 _ { i } | 1 _ { i } \rangle } & { { } = } & { \langle 0 | \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = \langle 0 | 1 - \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } | 0 \rangle = 1 } \\ { \langle 0 | 1 _ { i } \rangle } & { { } = } & { \langle 0 | \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle = 0 \; \; \; \; , \; \; \; \; \hat { a } _ { i } ^ { + } | 1 _ { i } \rangle = ( \hat { a } _ { i } ^ { + } ) ^ { 2 } | 0 \rangle = 0 } \end{array}
\mathcal { \overline { { D } } } = \left[ \mathcal { \overline { { D } } } _ { u _ { i } } \cup \mathcal { \overline { { D } } } _ { f _ { i } } \cup \mathcal { \overline { { D } } } _ { b _ { i } } \cup \mathcal { \overline { { D } } } _ { { \lambda } _ { i } } \right] _ { i = 1 } ^ { \overline { { N } } }
C ( { \vec { p } } _ { 1 } , { \vec { p } } _ { 2 } ) = \frac { \overline { { { N } } } ^ { 2 } } { \overline { { { N ^ { 2 } } } } - \overline { { { N } } } } \frac { P _ { 2 } ( { \vec { p } } _ { 1 } , { \vec { p } } _ { 2 } ) } { P _ { 1 } ( { \vec { p } } _ { 1 } ) P _ { 1 } ( { \vec { p } } _ { 2 } ) } \; ,
\ddot { \mathbf { r } _ { i } ^ { \prime } } = ( \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } \times \mathbf { B ^ { \prime } } ) + \Gamma \kappa \sum _ { j \neq i } ^ { N } \frac { \Big [ 1 + { r _ { i j } ^ { \prime } } \Big ] } { { r _ { i j } ^ { \prime } } ^ { 3 } } \exp \Big ( - { r _ { i j } ^ { \prime } } \Big ) { \mathbf { r _ { i j } ^ { \prime } } } - \Omega ^ { 2 } { \mathbf { r _ { i } ^ { \prime } } } .
\begin{array} { r l } { \lvert \lambda \rvert \lVert u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lvert \lambda \rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lVert \nabla u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \nabla ^ { 2 } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , n , s , \mu } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { , ~ } } \\ { \lvert \lambda \rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lVert ( \mathrm { d } + \delta ) u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathrm { d } \delta u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \delta \mathrm { d } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , n , s , \mu } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { Y _ { 1 } ( s ) } \\ { Y _ { 2 } ( s ) } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { H _ { 1 1 } ( s ) } & { H _ { 1 2 } ( s ) } & { H _ { 1 3 } ( s ) } \\ { H _ { 2 1 } ( s ) } & { H _ { 2 2 } ( s ) } & { H _ { 2 3 } ( s ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { U _ { 1 } ( s ) } \\ { U _ { 2 } ( s ) } \\ { U _ { 3 } ( s ) } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } , \tilde { A } ) } & { = \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \check { L } _ { b } ( 0 ) ( \dot { g } , \dot { A } ) = ( \dot { g } , \dot { A } ) - i \sigma \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } , \check { A } ) - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } , \dot { A } ) } \\ & { = ( \dot { g } , \dot { A } ) - i \sigma \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \big ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) + \widehat { L _ { b } } ( 0 ) - \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) - V _ { b } \big ) ( \check { g } , \check { A } ) - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } , \dot { A } ) } \\ & { = ( \dot { g } , \dot { A } ) - i \sigma ( \check { g } , \check { A } ) + \sigma ^ { 2 } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \Big ( i ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ) ( \check { g } , \check { A } ) - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } , \dot { A } ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { B _ { r } ( 0 ) } | u ( x ) - u ( 0 ) } & { - D u ( 0 ) \cdot x | \leq \operatorname* { s u p } _ { B _ { \rho ^ { k } } ( 0 ) } | u ( x ) - u ( 0 ) - D u ( 0 ) \cdot x | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { B _ { \rho ^ { k } } ( 0 ) } | u ( x ) - u ( 0 ) | + | D u ( 0 ) | \rho ^ { k } } \\ & { \overset { \leq } \rho ^ { k ( 1 + \alpha _ { k } ) } + | D u ( 0 ) | \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \rho ^ { k + i \alpha _ { k } } + | D u ( 0 ) | \rho ^ { k } } \\ & { \leq \rho ^ { k ( 1 + \alpha _ { k } ) } \left( 1 + | D u ( 0 ) | \rho ^ { - k ( 1 + \alpha _ { k } ) } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \rho ^ { k + i \alpha _ { k } } \right) + | D u ( 0 ) | \rho ^ { k } } \\ & { \leq \rho ^ { k ( \alpha _ { k } - \alpha ) } \rho ^ { k ( 1 + \alpha ) } \left( 1 + r ^ { \alpha - \alpha _ { k } } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \rho ^ { i \alpha _ { k } } \right) + \frac { r ^ { 1 + \alpha } } { \rho } } \\ & { \leq \rho ^ { k ( \alpha _ { k } - \alpha ) } \frac { r ^ { 1 + \alpha } } { \rho ^ { 1 + \alpha } } \left( 1 + r ^ { \alpha - \alpha _ { k } } \frac { 1 } { 1 - \rho ^ { \alpha _ { k } } } \right) + \frac { r ^ { 1 + \alpha } } { \rho } } \\ & { \leq \rho ^ { k ( \alpha _ { k } - \alpha ) } \frac { r ^ { 1 + \alpha } } { \rho ^ { 1 + \alpha } ( 1 - \rho ^ { \alpha _ { k } } ) } \left( 1 + r ^ { \alpha - \alpha _ { k } } \right) + \frac { r ^ { 1 + \alpha } } { \rho } } \\ & { \leq \rho ^ { k ( \alpha _ { k } - \alpha ) } \frac { 2 r ^ { 1 + \alpha } } { \rho ^ { 1 + \alpha } ( 1 - \rho ^ { \alpha _ { k } } ) } + \frac { r ^ { 1 + \alpha } } { \rho } \leq C ( \rho ) r ^ { 1 + \alpha } , \ \mathrm { t a k i n g ~ k ~ l a r g e ~ e n o u g h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \left[ \begin{array} { l } { \widehat { t } _ { s } } \\ { \widehat { t } _ { \sigma } } \\ { \widehat { t } _ { \theta } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } \\ { - \alpha ^ { \prime } } & { 0 } & { \gamma ^ { \prime } } \\ { - \beta ^ { \prime } } & { - \gamma ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \widehat { t } _ { s } } \\ { \widehat { t } _ { \sigma } } \\ { \widehat { t } _ { \theta } } \end{array} \right] , } \end{array}
\int \frac { \rho _ { c } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \mathrm { e r f c } ( \omega r _ { 1 2 } ) \rho _ { c } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) } { r _ { 1 2 } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 1 } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq \Delta _ { p } Q _ { k } ( x _ { k } ) } \\ & { = \mathrm { d i v } \left( | \nabla Q _ { k } ( x _ { k } ) | ^ { p - 2 } \nabla Q _ { k } ( x _ { k } ) \right) } \\ & { = \left| \nabla Q _ { k } ( x _ { k } ) \right| ^ { p - 2 } \Delta Q _ { k } ( x _ { k } ) + ( p - 2 ) \left| \nabla Q _ { k } ( x _ { k } ) \right| ^ { p - 4 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } { Q _ { k } } _ { x _ { i } } ( x _ { k } ) { Q _ { k } } _ { x _ { j } } ( x _ { k } ) { Q _ { k } } _ { x _ { i } x _ { j } } ( x _ { k } ) } \\ & { = \epsilon _ { k } \left| \nabla Q _ { k } ( x _ { k } ) \right| ^ { p - 2 } \Delta P ( x _ { k } ) + \epsilon _ { k } ( p - 2 ) \left| \nabla Q _ { k } ( x _ { k } ) \right| ^ { p - 4 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } { Q _ { k } } _ { x _ { i } } ( x _ { k } ) { Q _ { k } } _ { x _ { j } } ( x _ { k } ) { P } _ { x _ { i } x _ { j } } ( x _ { k } ) . } \end{array}