harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { k _ { q } \big ( \underbrace { k _ { p } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( p ) } ) } _ { \in M } , x _ { \sigma ( p + 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( n ) } \big ) } & { = \epsilon _ { 3 } \cdot k _ { q } \Big ( \delta ^ { \bullet } \big ( \underbrace { k _ { p } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( p ) } ) } _ { \in M } , x _ { \sigma ( p + 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( n ) } \big ) \Big ) } \\ & { = \epsilon _ { 3 } \cdot k _ { q } \big ( x _ { \sigma ( p + 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( n ) } , \underbrace { k _ { p } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( p ) } ) } _ { \in M } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \theta , x } ^ { G } ( \theta ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \int \Omega _ { \theta , x } ^ { G } ( \Delta _ { x } , \theta ) \ d \Delta _ { x } } { \Omega _ { \theta , x } ^ { G } ( 0 , \theta ) } } \\ { \Sigma _ { \theta , y } ^ { G } ( \theta ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { \int \Omega _ { \theta , y } ^ { G } ( \Delta _ { y } , \theta \ ) \ d \Delta _ { y } } { \Omega _ { \theta , y } ^ { G } ( 0 , \theta ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { X F } } & { { } = - \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } \Bigg ( D \partial _ { t } S - D \left\langle \phi , i \sqrt { \mu } \partial _ { t } \phi - \hat { H } _ { e } \phi \right\rangle } \end{array}
\frac { \partial k _ { 4 } } { \partial C } = - 2 \lambda ^ { 2 } \mathcal { A } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial k _ { 4 } } { \partial E } = - 2 \lambda ^ { 2 } \mathcal { A } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial k _ { 4 } } { \partial \kappa } = 0 ,
F _ { 2 , N P } ^ { \gamma } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 . 1 3 ~ \alpha ~ ( 1 - x ) } } & { { ( A ) } } \\ { { 0 . 1 4 ~ \alpha ~ x ^ { 0 . 4 } ( 1 - x ) } } & { { ( B ) } } \\ { { 0 . 1 9 ~ \alpha ~ x ^ { 0 . 5 } ( 1 - x ) ^ { 0 . 6 } } } & { { ( C ) . } } \end{array} \right. \right.
{ \prod } _ { j \in { m _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } } ^ { - 1 } ( i ) } ( f _ { j } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) ) - | | y _ { i } | | ^ { 2 } = { \prod } _ { j \in { m _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } } ^ { - 1 } ( i ) } ( f _ { j } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) ) - { \Sigma } _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { m _ { l _ { 2 } } ( i ) } { y _ { i , j ^ { \prime } } } ^ { 2 }
\phi = - { \frac { 1 } { 2 } } \left( a _ { + } ^ { \prime } + a _ { - } ^ { \prime } \right) + { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } } { \frac { a _ { + } x ^ { -- } a _ { - } x ^ { + } } { 1 + { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } } x ^ { + } x ^ { - } } } ,
P _ { i , i + j } = \frac { e ^ { - \beta \left| x _ { i } \; - \; x _ { i + j } \right| } } { \beta f _ { i } \left( \beta \right) } = \frac { e ^ { - \frac { \beta d _ { i , j } } { a } } } { \beta f _ { i } \left( \beta \right) }
\begin{array} { r } { { \bf q } _ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ^ { ( 1 ) } ] = \arg \operatorname* { m i n } _ { \bf q } \left\{ { \cal E } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R , q } , { \bf n } ^ { ( 1 ) } ) \left\vert \sum _ { I } q _ { I } = 0 \right. \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ; \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { p } _ { 2 } ) = N ( N - 1 ) \int \d \Gamma _ { N - 2 } P _ { N } ( \Gamma _ { N } ) \, . } \end{array}
{ \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { v } = { \boldsymbol { \nabla } } ^ { 2 } f = { \cfrac { \partial ^ { 2 } f } { \partial r ^ { 2 } } } + { \cfrac { 1 } { r } } \left( { \cfrac { 1 } { r } } { \cfrac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \theta ^ { 2 } } } + { \cfrac { \partial f } { \partial r } } \right) + { \cfrac { \partial ^ { 2 } f } { \partial z ^ { 2 } } } = { \cfrac { 1 } { r } } \left[ { \cfrac { \partial } { \partial r } } \left( r { \cfrac { \partial f } { \partial r } } \right) \right] + { \cfrac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \cfrac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \theta ^ { 2 } } } + { \cfrac { \partial ^ { 2 } f } { \partial z ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { - ( A X + B Y ) \mathbf { 1 } _ { n } - E \mathbf { 1 } _ { e } \in \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { n } } \\ & { \gamma \mathbf { 1 } _ { q } - ( C X + D Y ) \mathbf { 1 } _ { n } - F \mathbf { 1 } _ { e } \in \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { q } } \\ & { C X + D Y \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } ^ { q \times n } } \\ & { A X + B Y \ \textrm { i s M e t z l e r } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } = } & { { } - \widehat { \lambda } S I } \\ { \frac { d E } { d t } = } & { { } \widehat { \lambda } S I - \mu E } \\ { \frac { d I } { d t } = } & { { } \mu E - \gamma I } \\ { \frac { d R } { d t } = } & { { } \gamma I } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \delta ( k _ { p } , k _ { n } , b _ { p } , b _ { n } ) } & { : = \delta ( k _ { p } , k _ { n } , b _ { p } , b _ { n } ) - d P } \\ { \delta ( k _ { p } + i _ { p } , k _ { n } + i _ { n } , b _ { p } + j _ { p } , b _ { n } + j _ { n } ) } & { : = \delta ( k _ { p } + i _ { p } , k _ { n } + i _ { n } , b _ { p } + j _ { p } , b _ { n } + j _ { n } ) + d P . } \end{array}
d \hat { s } ^ { 2 } = \varepsilon ^ { 2 } d s ^ { 2 } = - \hat { n } ^ { 2 } \hat { c } ^ { 2 } d \hat { t } ^ { 2 } + \hat { a } ^ { 2 } \hat { \gamma } _ { i j } d \hat { x } ^ { i } d \hat { x } ^ { j } + \hat { b } ^ { 2 } d \hat { y } ^ { 2 } ,
\hat { \mathbf { y } } = \sum _ { i = - n _ { x } } ^ { n _ { x } } w _ { m } ^ { [ i ] } \mathbf { f } ( \pmb { \chi } _ { \mathbf { x } } ^ { [ i ] } ) , \quad \quad \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { y } \mathbf { y } } = \sum _ { i = - n _ { x } } ^ { n _ { x } } w _ { c } ^ { [ i ] } ( \hat { \mathbf { y } } - \mathbf { f } ( \pmb { \chi } _ { \mathbf { x } } ^ { [ i ] } ) ) ( \hat { \mathbf { y } } - \mathbf { f } ( \pmb { \chi } _ { \mathbf { x } } ^ { [ i ] } ) ) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } _ { v _ { \Delta } } } & { = \{ x \in F \mid v _ { \Delta } x \succeq 0 _ { v F / \Delta } \} } \\ & { = \{ x \in F \mid v x + \Delta \succeq \Delta \} } \\ & { = \{ x \in F \mid v x \geq 0 \mathrm { ~ o r ~ } v x \in \Delta \} } \\ & { \supseteq \{ x \in F \mid v x \geq 0 \} = \mathcal { O } _ { v } , } \end{array}
H = { \frac { 1 } { 2 m } } \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { x } ^ { 2 } + H _ { F }
{ V } _ { i m p } \equiv \int d ^ { 2 } z \, \partial _ { \alpha } ( [ u _ { i } X ^ { 0 } ] \Theta ( X ^ { 0 } ) \partial _ { \alpha } X ^ { i } ) = \int d \tau \, u _ { i } \left( X ^ { 0 } \Theta ( X ^ { 0 } ) \right) \partial _ { n } X ^ { i } ) ~ ; \qquad i = 1 , \ldots , 9 .
( \mathrm { ~ \bf ~ C ~ } \times \mathrm { ~ \bf ~ D ~ } ) _ { i } = \epsilon _ { i j k } C _ { j } D _ { k } \; \; , \; \; C _ { i } D _ { j } - C _ { j } D _ { i } = \epsilon _ { i j k } ( \mathrm { ~ \bf ~ C ~ } \times \mathrm { ~ \bf ~ D ~ } ) _ { k } \; .
\begin{array} { r l } { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a a } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } - \Gamma _ { 1 } \Tilde { \rho } _ { a a } + \frac { \Gamma _ { e } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 3 } } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a b } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } - \frac { \Tilde { \rho } _ { a b } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a c } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } - \frac { \Tilde { \rho } _ { a c } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a e } } & { { } = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a a } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { a c } } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { b b } } & { { } = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } - \Gamma _ { 2 } \Tilde { \rho } _ { b b } } \end{array}
V _ { e n } ^ { a , 0 } | e _ { 1 } , n _ { 1 } > = ( - ) ^ { a } \sum _ { j = 0 } ^ { a } \left( \begin{array} { c c } { { j } } \\ { { a } } \end{array} \right) ( - 1 ) ^ { j } | e _ { 1 } + a e , n _ { 1 } + a n - j >
\begin{array} { r l } { \delta _ { t } ^ { q _ { 2 } } n ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } } & { = F _ { 2 } ( t ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , V _ { m } , n ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , m , h ) , } \\ { \delta _ { t } ^ { q _ { 3 } } m ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } } & { = F _ { 3 } ( t ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , V _ { m } , n , m ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , h ) , } \\ { \delta _ { t } ^ { q _ { 4 } } h ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } } & { = F _ { 4 } ( t ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } , V _ { m } , n , m , h ^ { N _ { 2 } j + l + 1 } ) . } \end{array}
\dot { S } _ { r } ^ { y _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } , x } J _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } \mathrm { l n } \frac { W _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } } { W _ { y _ { 1 } y _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { x } } .
\begin{array} { r l } & { \phantom { - } \: e ^ { 2 ( \alpha ( r ) - \beta ( r ) ) } \left( \alpha ^ { \prime \prime } ( r ) + \alpha ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } - \alpha ^ { \prime } ( r ) \beta ^ { \prime } ( r ) + \frac { 2 } { r } \alpha ^ { \prime } ( r ) \right) } \\ & { - e ^ { 2 \alpha ( r ) - 2 \beta ( r ) } \left( \alpha ^ { \prime \prime } ( r ) + \alpha ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } - \alpha ^ { \prime } ( r ) \beta ^ { \prime } ( r ) + \frac { 2 } { r } \alpha ^ { \prime } ( r ) - \frac { 2 } { r } \beta ^ { \prime } ( r ) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } e ^ { 2 \beta ( r ) } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = 8 \pi e ^ { 2 \alpha ( r ) } \rho ( r ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \eta _ { 1 } } \frac { J _ { 0 } ( k _ { 1 } R ) } { J _ { 0 } ^ { \prime } ( k _ { 1 } R ) } = \frac { \frac { 2 i } { \pi } k _ { h } R [ \ln { ( k _ { h } R / 2 ) + \gamma ] + 1 + i \eta _ { h } \sigma _ { e } \eta _ { 0 } \left( \frac { 2 i } { \pi } \right) } ] } { \frac { 2 i } { \pi } \eta _ { h } + i \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } k _ { h } R \left[ \frac { 2 i } { \pi } \left( \ln { ( k _ { h } R / 2 ) + \gamma } \right) + 1 \right] }
\tilde { \phi } _ { i j } ( T , L ) = \delta m _ { i j } \, \sqrt { T ^ { 2 } - L ^ { 2 } } + \sigma _ { p e f f } ^ { 2 } \, \frac { T } { T ^ { d i s p } } \, \frac { \Big ( f _ { i } ^ { \prime } ( p _ { c l , i } ) \Big ) ^ { 2 } - \left( f _ { j } ^ { \prime } ( p _ { c l , j } ) \right) ^ { 2 } } { 1 + ( T / T ^ { d i s p } ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { e i t h e r } \quad S ^ { \prime } \cosh 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert } & { \geq 1 + \sinh ^ { 2 } 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert \, \sin ^ { 2 } \phi \, , } \\ { \mathrm { o r } \quad S ^ { \prime } \cosh 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert } & { \geq 1 + \sinh ^ { 2 } 2 \vert \varrho _ { \alpha } \vert \, \cos ^ { 2 } \phi \, , } \end{array}
S _ { 0 } [ \phi _ { 3 } ] = \int d ^ { D + 1 } x \biggl [ \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \phi _ { 3 \, a } ) ( \partial ^ { \mu } \phi _ { 3 \, a } ) - \frac { 1 } { 2 } m ( T ) ^ { 2 } \phi _ { 3 \, a } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 0 } ( \phi _ { 3 \, a } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \biggr ] .
\gamma _ { m a x } \simeq \frac { 1 } { 2 } - \frac { N \alpha _ { s } } { \pi } \frac { ( \widetilde { \chi } ^ { ( 1 ) } ( \frac { 1 } { 2 } ) ) ^ { \prime } } { ( \chi ^ { B } ( \frac { 1 } { 2 } ) ) ^ { \prime \prime } } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { N \alpha _ { s } } { 4 \pi } ( \frac { 1 1 } { 6 } - \frac { n _ { f } } { 3 N } + 8 \ln 2 ) .
{ \cal T } [ \eta _ { c } \to g ( { \bf k } ) g ( - { \bf k } ) ] \; = \; { \frac { 1 } { \sqrt { 2 M _ { \eta _ { c } } } } } \int { \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; \psi ( { \bf q } ) \; { \cal T } [ c ( { \bf q } ) \bar { c } ( - { \bf q } ) \to g ( { \bf k } ) g ( - { \bf k } ) ] ,
\begin{array} { r l } { \hat { I } } & { { } \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = 0 , \sigma = 1 0 ) } \\ { \tau } & { { } \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 ) } \\ { I _ { c } ^ { \dagger } } & { { } \sim \mathrm { N o r m a l } ( \mu = \hat { I } , \sigma = \tau ) } \\ { \hat { \sigma } _ { c } } & { { } \sim \mathrm { H a l f C a u c h y } ( \beta = 1 0 ) } \\ { \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } , c , s } ^ { \mathrm { m e a n } } } & { { } \sim \mathrm { S t u d e n t T } _ { \nu = 4 } \left( \mu = I _ { c } ^ { \dagger } , \sigma = \hat { \sigma } _ { c } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \rho } } } & { \quad \mathbf { f } ^ { \intercal } \mathbf { u } ^ { j } - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \widetilde { w } _ { i } ^ { j } ( \rho _ { i } - \rho _ { i } ^ { j } ) , \quad \forall j \in \mathcal { P } ( k ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \frac { \rho _ { i } } { n _ { \rho } } = V } \\ & { \quad \boldsymbol { \rho } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \rho } } \; . } \end{array}
- { \frac { 1 } { 4 } } { \cal A } _ { \hat { \ell } \hat { \ell } } \varepsilon _ { \ell , u } \pm { \frac { 1 } { 6 } } { \bf P } _ { \hat { i } \hat { j } } \Gamma ^ { \hat { i } \hat { j } } \varepsilon _ { u , \ell } - { \frac { i } { 6 } } { \bf Q } _ { \hat { i } \hat { k } } \Gamma ^ { \hat { i } \hat { k } } \varepsilon _ { u , \ell } = 0 \ \ \ \ \ ( \hat { \ell } \neq \hat { i } , \hat { j } , \hat { k } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , t ) } & { = - i \Delta \omega _ { { e g } } \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , t ) - i \sum _ { s } \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) \left( \sum _ { e ^ { \prime } } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { e ^ { \prime } g } s } - \sum _ { g ^ { \prime } } T _ { { e g ^ { \prime } } s } \rho _ { { g ^ { \prime } g } } ( \textbf { r } , t ) \right) } \\ & { + \sum _ { e ^ { \prime } , \, s } f _ { s } ^ { ( - ) * } ( \textbf { r } , t ) \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { e ^ { \prime } g } s } , } \end{array}
e ^ { 2 \bar { \phi } } = { \frac { H _ { 2 } } { H _ { 1 } } } , ~ ~ ~ \bar { F } = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } d H _ { 1 } ^ { - 1 } \wedge d t , ~ ~ ~ \bar { G } = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } d H _ { 2 } ^ { - 1 } \wedge d t
\Lambda \eta _ { 3 } + \delta \Bigl ( t \partial _ { t } \eta _ { 3 } + \bigl ( { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } - \mathcal { L } \bigr ) \eta _ { 3 } \Bigr ) + \mathcal { R } _ { 3 } \, = \, 0 \, ,
{ \cal { G } } _ { 2 } ^ { ( d - \tilde { \eta } _ { o } ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = \left[ C ( \tilde { \eta } _ { o } ) \right] ^ { 2 } { \cal { G } } _ { 2 } ^ { ( \tilde { \eta } _ { o } ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) ,
\int \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } Q } { | { \bf Q } | } N ( | { \bf Q } | ) \left\{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } Q _ { 0 } } \left( \frac { 1 } { Q _ { 0 } } \mathrm { l n } ( k \cdot Q ) \right) \right\} _ { Q _ { 0 } = | { \bf Q } | } = \pi \mathrm { l n } ( T ) \mathrm { l n } ( k ^ { 2 } ) + \cdots ,
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { i n t } } = \frac { 1 - 4 \rho } { 4 \phi } J ( 0 ) \frac { \tau _ { \mathrm { i n t } } } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \left( \frac { \delta T } { \Delta T } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 - 4 \rho } { 4 ( f _ { 0 } \tau _ { \mathrm { r e s t } } ) ^ { 3 } } \frac { J ( 0 ) } { M ( 0 ) ^ { 3 } } \frac { \tau _ { \mathrm { i n t } } } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \left( \frac { \delta T } { \Delta T } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\int \frac { { \mathrm { d } } ^ { 2 } { \bf k } _ { \perp } { \mathrm { d } } x } { 1 6 { \pi } ^ { 3 } } { \psi } ^ { \ast } \psi = \int \frac { { \mathrm { d } } ^ { 2 } { \bf k } _ { \perp } { \mathrm { d } } x } { 1 6 { \pi } ^ { 3 } } { \varphi } _ { \mathrm { B H L } } ^ { \ast } { \varphi } _ { \mathrm { B H L } } = 1 ,
\begin{array} { r l } { - i \omega v _ { r } } & { = - i \frac { \omega } { k ^ { 2 } } \mathcal { L } v _ { r } + \nu _ { 4 } ( \mathcal { L } + k ^ { 2 } ) v _ { \phi } - \nu _ { o } \mathcal { L } v _ { \phi } , } \\ { - i \omega v _ { \phi } } & { = - \nu _ { 4 } ( \mathcal { L } + k ^ { 2 } ) v _ { r } + \nu _ { o } \mathcal { L } v _ { r } . } \end{array}
T _ { a , \mathcal { H } } ( x , \boldsymbol { \eta } ) = \left( \begin{array} { l l } { A ^ { ( 1 ) } ( x , \eta _ { 1 } ) } & { B ^ { ( 1 ) } ( x , \eta _ { 1 } ) } \\ { C ^ { ( 1 ) } ( x , \eta _ { 1 } ) } & { D ^ { ( 1 ) } ( x , \eta _ { 1 } ) } \end{array} \right) . . . \left( \begin{array} { l l } { A ^ { ( N ) } ( x , \eta _ { N } ) } & { B ^ { ( N ) } ( x , \eta _ { N } ) } \\ { C ^ { ( N ) } ( x , \eta _ { N } ) } & { D ^ { ( N ) } ( x , \eta _ { N } ) } \end{array} \right)
A _ { L L } = \frac { \sum _ { q } \int [ d x ] \Delta q ( x _ { 1 } ) \Delta g ( x _ { 2 } ) \frac { { s ^ { \prime } } ^ { 2 } - { t ^ { \prime } } ^ { 2 } } { { s ^ { \prime } } ^ { 2 } + { t ^ { \prime } } ^ { 2 } } \frac { d \sigma ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } + \Delta g ( x _ { 1 } ) \Delta q ( x _ { 2 } ) \frac { { s ^ { \prime } } ^ { 2 } - { u ^ { \prime } } ^ { 2 } } { { s ^ { \prime } } ^ { 2 } + { u ^ { \prime } } ^ { 2 } } \frac { d \sigma ^ { \prime } } { d u ^ { \prime } } } { \sum _ { q } \int [ d x ] q ( x _ { 1 } ) g ( x _ { 2 } ) \frac { d \sigma ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } + g ( x _ { 1 } ) q ( x _ { 2 } ) \frac { d \sigma ^ { \prime } } { d u ^ { \prime } } } .
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { \Phi } ( \mathbf { x } ) , \, \hat { \Phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \bigr ] } & { { } = 0 , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \bigl [ \hat { \mathrm { I } } ( \mathbf { x } ) , \, \hat { \mathrm { I } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \bigr ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { T } _ { \bar { L } } \omega \right) _ { j } } & { = \mathcal { T } _ { \bar { L } } \omega ( \frac { \partial } { \partial z _ { j } } ) = d \omega ( \bar { L } , \frac { \partial } { \partial z _ { j } } ) + \frac { \partial } { \partial z _ { j } } \omega ( \bar { L } ) = d \omega ( \bar { L } , \frac { \partial } { \partial z _ { j } } ) } \\ & { = \bar { L } \omega ( \frac { \partial } { \partial z _ { j } } ) - \frac { \partial } { \partial z _ { j } } \omega ( \bar { L } ) - \omega ( [ \bar { L } , \frac { \partial } { \partial z _ { j } } ] ) = \bar { L } \omega _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { 3 } } { d t } = } & { } & { ( n _ { 1 } - n _ { 3 } ) B _ { r 1 3 } n _ { p h 1 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { r 1 3 } + ( n _ { 1 } - n _ { 3 } ) B _ { n r 1 3 } n _ { p n 1 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { n r 1 3 } - } \\ & { } & { ( n _ { 3 } - n _ { 2 } ) B _ { n r 2 3 } n _ { p n 2 3 } - n _ { 3 } \gamma _ { n r 2 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { p } ( t ) = } & { { } } & { \frac { \Omega _ { p , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { i + 1 } + \Omega _ { p , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { i } } { 2 } } \end{array}
U ~ \mid 0 > = \mid 0 > ~ , ~ ~ ~ ~ U ~ a _ { 1 } ^ { \dag } ~ U ^ { - 1 } = a _ { 1 } ^ { ' \dag } ~ , ~ ~ ~ ~ U ~ a _ { 2 } ^ { \dag } ~ U ^ { - 1 } = a _ { 2 } ^ { ' \dag } ~ ,
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { m i s } } = } & { { } H _ { \mathrm { 0 , m i s } } + H _ { \mathrm { I } } , } \\ { H _ { \mathrm { 0 , m i s } } = } & { { } ~ \omega _ { A } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + | 3 \rangle \langle 3 | + | 4 \rangle \langle 4 | ) + \omega _ { \mathrm { o p } } a ^ { \dagger } a } \\ { + } & { { } ~ \omega _ { B } ( \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } + | 2 \rangle \langle 2 | + | 4 \rangle \langle 4 | ) + \omega _ { \mathrm { o p } } b ^ { \dagger } b , } \\ { H _ { \mathrm { I } } = } & { { } g _ { A } ( a ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { \dagger } a ) + g _ { B } ( b ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { \dagger } b ) . } \end{array}
\langle \bar { q } _ { 6 } ( z ) \rangle / \langle \rho ( z ) \rangle = \frac { 1 } { A \langle \rho ( z ) \rangle } \big \langle \sum _ { i } \bar { Q } _ { 6 } ^ { ( i ) } \delta ( z - z _ { i } ) \big \rangle ,
\begin{array} { r l } { j _ { 1 0 } ^ { * } ( \tau ) } & { : = \left( \frac { \eta ( \tau ) \eta ( 5 \tau ) } { \eta ( 2 \tau ) \eta ( 1 0 \tau ) } \right) ^ { 4 } + 4 + 2 ^ { 4 } \left( \frac { \eta ( 2 \tau ) \eta ( 1 0 \tau ) } { \eta ( \tau ) \eta ( 5 \tau ) } \right) ^ { 4 } } \\ & { = \frac { 1 } { q } + 2 2 q + 5 6 q ^ { 2 } + 1 7 7 q ^ { 3 } + 3 5 2 q ^ { 4 } + 8 7 0 q ^ { 5 } + \cdots } \\ & { = \frac { 1 } { q } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { J } _ { 1 0 } ^ { * } ( n ) q ^ { n } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } _ { 1 } = - x _ { 2 } - x _ { 3 } - a x _ { 1 } + a F , } \\ { \dot { x } _ { 2 } = x _ { 1 } x _ { 2 } - b x _ { 1 } x _ { 3 } - x _ { 2 } + G , } \\ { \dot { x } _ { 3 } = b x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 3 } - x _ { 3 } , } \end{array} \right.
Z _ { N } = \sum _ { T \in { \cal { T } } _ { N } } \sum _ { \sigma _ { i } = \pm 1 } \exp ( - \beta \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { s } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } C _ { i j } ( T ) \sigma _ { i } ^ { \alpha } \sigma _ { j } ^ { \alpha } ) ; \protect
\begin{array} { r l } & { \langle \rho _ { t } , \varphi \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { \quad = \; \langle \rho _ { 0 } , \varphi \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \rho _ { s } , \varphi \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + 2 \bigg \langle \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } , \varphi \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { \quad \quad + \bigg \langle \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \rho _ { s } , \varphi \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( k * \rho _ { s } ) \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \varphi \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \quad - \int _ { 0 } ^ { t } \nu \bigg \langle \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } , \varphi \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } W _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau } { d t } } & { { } = } & { 1 - c ^ { - 2 } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } { \vec { v } } ^ { 2 } + U _ { \mathrm { E } } + u _ { \mathrm { E } } ^ { \tt t i d a l } \Big ] + { \cal O } ( { c ^ { - 4 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { S ( t + \Delta t ) \, = \, S ( t ) + \, \mu \, S ( t ) \, \Delta t + \sigma \, S ( t ) \, \xi _ { G } \, \sqrt { \Delta t } \, , } \\ & { } & { \ln S ( t + \Delta t ) \, = \, \ln S ( t ) \, + \, \left( \mu \, - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \right) \, \Delta t + \sigma \, \xi _ { G } \, \sqrt { \Delta t } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { { \mathbb R } ^ { 3 } \times { \mathbb R } ^ { 3 } } | f _ { 1 } ( x , v ) - f _ { 2 } ( x , v ) | \; \mathrm { d } { x } \; \mathrm { d } { v } } \\ & { \geq \int _ { A } \int _ { { \mathbb R } ^ { 3 } } | F _ { 1 } ( \frac 1 2 | v | ^ { 2 } + Q _ { 1 } ( x ) ) - F _ { 2 } ( \frac 1 2 | v | ^ { 2 } + Q _ { 2 } ( x ) ) | \; \mathrm { d } { v } \; \mathrm { d } { x } } \\ & { \geq \int _ { A } \operatorname* { i n f } _ { r \in { \mathbb R } } \int _ { { \mathbb R } ^ { 3 } } | F _ { 1 } ( \frac 1 2 | v | ^ { 2 } + Q _ { 1 } ( x ) ) - F _ { 2 } ( \frac 1 2 | v | ^ { 2 } + r ) | \; \mathrm { d } { v } \; \mathrm { d } { x } . } \end{array}