harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } } & { { } } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( e ^ { k c T ( y - 1 ) } - e ^ { 4 k c T ( y - 1 ) } - 3 e ^ { 2 k c T ( y - 1 ) } + 3 e ^ { 3 k c T ( y - 1 ) } \right) y ^ { n } d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } | \kappa | u _ { \tau } ^ { 2 } \leq \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \alpha u _ { \tau } ^ { 2 } } \\ & { \leq \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \allowdisplaybreaks \mathbf { \sigma } ^ { e l } } & { = 2 \lambda \big ( \mathbf { Q } + \mathbb { I } / d \big ) ( \mathbf { Q : H } ) - \lambda \mathbf { H } \cdot \big ( \mathbf { Q } + \mathbb { I } / d \big ) - } \\ & { \lambda \big ( \mathbf { Q } + \mathbb { I } / d \big ) \cdot \mathbf { H } - \big ( \nabla \mathbf { Q } \big ) \, . \frac { \partial \mathcal F } { \partial \nabla \mathbf { Q } } + \mathbf { Q \cdot H } - \mathbf { H \cdot Q } , } \\ { \mathbf { \sigma } ^ { a c t } } & { = - \zeta \mathbf { Q } , } \\ { \mathbf { \sigma } ^ { n e m } } & { = \phi \, \big ( \, \mathbf { \sigma } ^ { e l } + \mathbf { \sigma } ^ { a c t } \big ) , } \end{array}
b _ { 1 } \frac { g } { \cos \theta _ { W } } \, Z _ { \mu } ^ { 0 } \bar { \psi } \gamma ^ { \mu } \left[ T _ { L } ^ { 3 } - \sin \theta _ { W } ^ { 2 } Q - \frac { b _ { 2 } - b _ { 1 } } { 3 \, b _ { 1 } } \sin \theta _ { W } ^ { 2 } ( B + Q - \widetilde { Q } ) \right] \psi \ ,
\phi ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { 4 } ) = \sum _ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } } \sum _ { \Lambda } \left( \phi _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } } \ D _ { \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } } ^ { ( N _ { 1 } ) } ( g _ { 1 } ) \ldots D _ { \alpha _ { 4 } \beta _ { 4 } } ^ { ( N _ { 4 } ) } ( g _ { 4 } ) \ C _ { \beta _ { 1 } \ldots \beta _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \, \Lambda } \right) \ \left( { C } _ { \gamma _ { 1 } \ldots \gamma _ { 4 } } ^ { N _ { 1 } \ldots N _ { 4 } \, \Lambda } w _ { \gamma _ { 1 } } \ldots w _ { \gamma _ { 4 } } \right) .
\begin{array} { r } { \langle v _ { 1 i } , v _ { 2 i } , \ell _ { i } \lvert \mu \lvert v _ { 1 j } , v _ { 2 j } , \ell _ { j } \rangle \approx \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 1 } } \right| _ { Q _ { 1 , \mathrm { e q } } } \langle v _ { 1 i } \lvert Q _ { 1 } \lvert v _ { 1 j } \rangle + \left| \frac { d \vec { \mu } } { d Q _ { 2 } } \right| _ { Q _ { 2 , \mathrm { e q } } } \langle v _ { 2 i } , \ell _ { i } \lvert Q _ { 2 } \lvert v _ { 2 j } , \ell _ { j } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { A } } \omega _ { j } \sigma _ { e e } ^ { j } + \hbar \sum _ { \sigma = s , p } \int \textrm { d } ^ { 3 } k \, \, \, \omega _ { k } a _ { \mathbf { k } \sigma } ^ { \dagger } a _ { \mathbf { k } \sigma } - \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { A } } \mathbf { d } _ { j } \cdot \mathbf { E } ( \mathbf { R } _ { j } ) } \end{array}
S _ { f } = - \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } } T r \left( \sum _ { i = 0 } ^ { 3 } \overline { { { \psi _ { i } } } } \Gamma ^ { \mu } [ A _ { \mu } , \psi _ { i } ] + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \overline { { { ( \psi _ { i } ) ^ { c } } } } \bar { \Gamma } ^ { ( i ) } [ B _ { i } ^ { \dagger } , \psi _ { 0 } ] + \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { 3 } | \epsilon _ { i j k } | \overline { { { ( \psi _ { i } ) ^ { c } } } } \Gamma ^ { ( j ) } [ B _ { j } , \psi _ { k } ] + h . c . \right)
{ \cal L } _ { M } = \frac { 1 } { 2 } ( Z , \ Z ^ { \prime } ) M _ { Z Z ^ { \prime } } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { { Z } } \\ { { Z ^ { \prime } } } \end{array} \right) , \ \ \ M _ { Z Z ^ { \prime } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { r l } { { M _ { Z } ^ { 2 } } } & { { \delta M ^ { 2 } } } \\ { { \delta M ^ { 2 } } } & { { M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { 0 } ( x , s , t ) f ^ { 0 } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } = 0 ,
\alpha = ( A ( l ^ { 2 } + \lambda _ { R } ^ { 2 } ) ( 2 l ^ { 2 } A + \kappa ) + 2 \kappa l ^ { 2 } A ) ^ { - 1 } \frac { 1 6 \kappa \lambda _ { R } ^ { 2 } R } { f _ { 0 } c _ { p } l ^ { 3 } W ^ { 2 } }
A _ { i j } ^ { f } = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { { i } \leftarrow { j } } ^ { f } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \neq j \in ~ \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ i ~ d ~ l ~ a ~ y ~ e ~ r ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \quad \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \quad u _ { i \leftarrow j } ^ { f } = \frac { \gamma _ { j } ^ { f } } { 2 \pi \vert \mathbf { r } _ { j } ^ { f } - \mathbf { r } _ { i } ^ { f } \vert } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( z _ { \varepsilon } , B _ { ( 1 - \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \varepsilon ^ { d } } } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \left( \frac { \mathcal { F } ( z _ { \varepsilon } , B _ { ( 1 - 3 \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \varepsilon ^ { d } } + \frac { \mathcal { F } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { b u l k } } , C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) } { \varepsilon ^ { d } } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \left( \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { b u l k } } , B _ { ( 1 - 3 \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \varepsilon ^ { d } } + b \mathcal { L } ^ { d } ( C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) ( 1 + \psi _ { \varepsilon _ { 0 } } ^ { + } ( | \nabla u ( x _ { 0 } ) | ) ) \right) } \\ & { \leq ( 1 - 3 \theta ) ^ { d } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { b u l k } } , B _ { ( 1 - 3 \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { ( 1 - 3 \theta ) ^ { d } \varepsilon ^ { d } } } \\ & { \ \ \ \ + \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } b \mathcal { L } ^ { d } ( C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) ( 1 + \psi _ { \varepsilon _ { 0 } } ^ { + } ( | \nabla u ( x _ { 0 } ) | ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \lambda _ { s } \tilde { c } _ { \phi } } G _ { n _ { \| } \tilde { \jmath } _ { \perp } } ^ { R } } & { { } = \frac { i \omega ( 1 + \tilde { \tau } ) - D _ { \ell } k ^ { 2 } / \lambda _ { s } } { i \omega - D _ { \ell } k ^ { 2 } - \Gamma } \frac { * k } { | k | } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int { \frac { d ^ { D } \! p } { \left( ( p - q ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right) ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } } } \\ & { } & { \qquad = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int d ^ { D } \! p { \frac { 1 } { \left( p ^ { 2 } - 2 p \cdot q x + q ^ { 2 } x - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { } & { \qquad = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int d ^ { D } \! p ^ { \prime } { \frac { 1 } { \left( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { } & { \qquad = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, C _ { D } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \rho \, \rho ^ { D - 1 } \, { \frac { 1 } { \left( \rho ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { i } ( t ) } & { \triangleq \{ x \in \mathcal { X } : h _ { i } ( t , x ) \geq 0 \} , } \\ { \partial \mathcal { S } _ { i } ( t ) } & { \triangleq \{ x \in \mathcal { X } : h _ { i } ( t , x ) = 0 \} , } \\ { \mathrm { I n t } ( \mathcal { S } _ { i } ) ( t ) } & { \triangleq \{ x \in \mathcal { X } : h _ { i } ( t , x ) > 0 \} } \end{array}
\frac { 1 } { \Lambda } \overline { { { L _ { i a } ^ { c } } } } \, L _ { j b } \varphi _ { k } ^ { ( m ) } \varphi _ { l } ^ { ( n ) } ( f _ { a b m n } \epsilon _ { i k } \epsilon _ { j l } + f _ { a b m n } ^ { \prime } \epsilon _ { i j } \epsilon _ { k l } ) ,
\begin{array} { r l } { \dot { \boldsymbol { \eta } } } & { = \mathbf { R } ( \psi ) \mathbf { v } = \left[ \begin{array} { l l l } { \cos { \psi } } & { - \sin { \psi } } & { 0 } \\ { \sin { \psi } } & { \cos { \psi } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { r } \end{array} \right] } \end{array} ,
\langle L _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle = \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } \right) ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \right) ^ { - \frac { 2 \alpha } { \alpha - 1 } } d \tau ^ { \prime } = \frac { 1 } { \gamma } \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { 1 - \alpha + \beta } { 1 - \alpha } } } { 1 - 3 \alpha + \beta } \ .
A = 4 N _ { q p } \tau \left( d x / d N _ { q p } \right) ^ { 2 } = \frac { \tau _ { 0 } } { N _ { 0 } } \frac { 2 } { V _ { L } } \left( \frac { d x } { d \rho } \right) ^ { 2 } \frac { ( k _ { B } T _ { c } ) ^ { 3 } } { 2 \Delta ^ { 2 } } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , ~ ~ i = 1 \cdots N , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega , } \\ { \mathbb { C } _ { p } \frac { d ( \phi - \phi _ { p } ) } { d t } = - I _ { e x } , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } = \mathbb { C } _ { p } ( \phi - \phi _ { p } ) , } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma , } \\ { \phi = 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega / \Gamma . } \end{array} \right.
\left\vert \Phi ( P ^ { + } ) \right\rangle _ { f } = \int _ { 0 } ^ { P ^ { + } } d k _ { 1 } d k _ { 2 } \delta ( k _ { 1 } + k _ { 2 } - P ^ { + } ) \phi _ { b f } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) { \frac { 1 } { N } } \mathrm { t r } [ a ^ { \dagger } ( k _ { 1 } ) , b ^ { \dagger } ( k _ { 2 } ) ] \left\vert 0 \right\rangle ,
{ \frac { U _ { i + 1 } - U _ { i } } { \Delta t } } \approx - { \frac { 1 } { \rho } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( { \frac { \partial p } { \partial x } } \right) j \int { \Omega } \phi _ { j } { \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial x } } d \Omega + \nu \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { \Omega } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \right) j \phi _ { j } { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { i } } { \partial x ^ { 2 } } } d \Omega + \int { \Omega } f _ { x } \phi _ { i } d \Omega
\begin{array} { r l r } { U _ { \mathrm { L R } } } & { { } = } & { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { L R } } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { L R } } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) } \end{array}
\left\langle \rho _ { \Xi } ( t ) \mid \rho _ { \Xi } ( t ) \right\rangle \leqslant \exp \left( 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) \left( \prod _ { m = 1 } ^ { M } \left\| \widehat { \widetilde { S } } \left( t _ { m } , \omega _ { m } \right) \right\| _ { 2 } \right) ^ { 2 } \langle \rho ( 0 ) \mid \rho ( 0 ) \rangle ,
{ \binom { n } { k } } \, p ^ { k } q ^ { n - k } \simeq { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \, e ^ { - { \frac { ( k - n p ) ^ { 2 } } { 2 n p q } } } , \qquad p + q = 1 , \ p , q > 0
c _ { - } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { C _ { - } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - C _ { - } ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad c _ { + } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { C _ { + } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - C _ { + } ^ { T } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
P ( q - p , m _ { t } ) = [ ( q - p ) ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } ] ^ { - 1 } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( q ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } ) ^ { - 1 - l } ( 2 q p - p ^ { 2 } ) ^ { l } ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta { \cal E } _ { i } } & { { } = } & { e \int _ { 0 } ^ { t _ { u } } \mathbf { E } \cdot \mathbf { v } d t = \frac { e } { c } \int _ { 0 } ^ { L _ { u } } E _ { x } v _ { x } d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } R _ { \rho ^ { \varepsilon } } } & { = - a _ { - } ^ { \varepsilon } \mathbf { P } _ { 0 , y } ( R _ { \rho ^ { \varepsilon } } = a _ { - } ^ { \varepsilon } ) + a _ { + } ^ { \varepsilon } ( 1 - 2 \varepsilon \beta ( y ) ) \mathbf { P } _ { 0 , y } ( R _ { \rho ^ { \varepsilon } } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ( 1 - 2 \varepsilon \beta ( y ) ) ) } \\ & { = \frac { b ^ { 0 } ( y ) d ^ { 2 } } { \Sigma ^ { 0 0 } ( y ) } \varepsilon ^ { 2 } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) . } \end{array}
\frac { \mathcal { Z } _ { R } ^ { [ i ] } } { \mathcal { Z } _ { L } ^ { [ i ] } } = \frac { \gamma } { \gamma + \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ i ] } - D ( \lambda _ { \mathcal { Z } } ^ { [ i ] } ) ^ { 2 } } , \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { D } _ { R } ^ { [ i ] } = \mathcal { D } _ { L } ^ { [ i ] } ,
\hat { \hat { k } } _ { ( m ) } { } ^ { \hat { \hat { \mu } } } \hat { \hat { k } } _ { ( n ) } { } ^ { \hat { \hat { \nu } } } \hat { \hat { g } } _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } = \hat { \hat { g } } _ { m n } \, .
\begin{array} { r } { { \mathbb { E } } _ { u _ { t } \sim { \mathbb { P } } _ { u } } [ \nabla _ { t } ~ | ~ x _ { t } ] = \nabla \varphi _ { \delta } ( x _ { t } ) , \quad { \mathbb { E } } _ { u _ { t } \sim { \mathbb { P } } _ { u } } \left[ \Vert \nabla _ { t } \Vert ^ { 2 } ~ | ~ x _ { t } \right] \le 1 6 \sqrt { 2 \pi } d C _ { \varphi } ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p _ { X , Y } \! \left( x , y \right) } & { = \operatorname* { P r } ( X = x , \, Y = y ) = p _ { X } \! ( x ) \, p _ { Y } \! ( y ) } \\ & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { 1 } { 3 6 } } , \ } & { x , y \in [ 1 , 6 ] \cap \mathbb { N } } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. } } \end{array} }
( U _ { u } ) _ { L } y _ { d } ( t ) y _ { d } ( t ) ^ { \dagger } ( U _ { u } ) _ { L } ^ { \dagger } = r _ { g } ^ { ' } ( t ) ( h ( t ) ) ^ { ( 2 \alpha _ { 3 } ^ { d } / \alpha _ { 2 } ^ { d } ) } Z ( t ) ( U _ { u } ) _ { L } y _ { d } ( t _ { 0 } ) y _ { d } ( t _ { 0 } ) ^ { \dagger } ( U _ { u } ) _ { L } ^ { \dagger } Z ( t )
\mathbf { U } = \big [ \mathbf { u } ^ { 0 } \mid \mathbf { u } ^ { 1 } \mid \mathbf { u } ^ { 2 } \mid \cdots \mid \mathbf { u } ^ { N _ { t } - 1 } \big ] \quad \mathbf { U } ^ { \prime } = \big [ \mathbf { u } ^ { 1 } \mid \mathbf { u } ^ { 2 } \mid \mathbf { u } ^ { 3 } \mid \cdots \mid \mathbf { u } ^ { N _ { t } } \big ]
\begin{array} { r } { \theta = a + b \cdot T + d _ { 1 } \alpha , \quad \psi = \frac { k } { 2 } \nabla \alpha \cdot \nabla \alpha - \frac { d _ { 2 } } { 2 } \alpha ^ { 2 } - b _ { 2 } \alpha T - \frac { b _ { 3 } } { 2 } T ^ { 2 } , \quad \mathbf { J } _ { s } = - \frac { \rho } { \frac { \partial \theta } { \partial T } } \frac { \partial \psi } { \partial \nabla \alpha } = - \frac { \rho k } { b } \nabla \alpha } \end{array}
\partial _ { s } \left( \frac { 1 } { \hat { \mathbf { b } } \cdot \nabla \zeta } \right) = \frac { \partial _ { s } ( I _ { p } + \iota I _ { t } ) } { B } - \frac { I _ { p } + \iota I _ { t } } { B ^ { 2 } } \partial _ { s } B | _ { \alpha }
{ \begin{array} { r l } { \rho _ { X , Y } } & { = { \frac { 1 } { \sigma _ { X } \sigma _ { Y } } } \mathrm { E } [ ( X - \mu _ { X } ) ( Y - \mu _ { Y } ) ] } \\ & { = { \frac { 1 } { \sigma _ { X } \sigma _ { Y } } } \sum _ { x , y } { ( x - \mu _ { X } ) ( y - \mu _ { Y } ) \mathrm { P } ( X = x , Y = y ) } } \\ & { = \left( 1 - { \frac { 2 } { 3 } } \right) ( - 1 - 0 ) { \frac { 1 } { 3 } } + \left( 0 - { \frac { 2 } { 3 } } \right) ( 0 - 0 ) { \frac { 1 } { 3 } } + \left( 1 - { \frac { 2 } { 3 } } \right) ( 1 - 0 ) { \frac { 1 } { 3 } } = 0 . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { h ( x , \lambda ) } & { = { \sqrt { ( 2 x + 2 x \lambda ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \ } } } \\ & { \approx { \sqrt { \left( { \frac { \ { \mathcal { L } } ( x + \varepsilon , \lambda ) - { \mathcal { L } } ( x , \lambda ) \ } { \varepsilon } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \ { \mathcal { L } } ( x , \lambda + \varepsilon ) - { \mathcal { L } } ( x , \lambda ) \ } { \varepsilon } } \right) ^ { 2 } \ } } ~ . } \end{array} }
\psi _ { _ { W K B } } = C { \left( \pi \chi _ { 0 } ^ { 3 } a _ { 0 } ^ { 2 } ( \eta - \frac { 1 } { 2 } s i n { 2 \eta } ) \right) } ^ { - 1 / 2 } e x p \left( \frac { i } { \hbar } \pi \chi _ { 0 } ^ { 3 } a _ { 0 } ^ { 2 } ( \eta - \frac { 1 } { 2 } s i n { 2 \eta } ) \right) ~ .
\sum _ { k = 0 } ^ { \infty } c _ { k } q ^ { k } \simeq \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, c _ { k } q ^ { k } \simeq \exp \left( \frac { i { \cal K } } { 2 \pi \tau } + { \cal O } ( \ln \tau ) \right) \, .
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - ( - 1 ) ^ { 6 } 2 4 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) } \end{array}
\lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( A ) \cdot \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( B ) \leq \operatorname* { m i n } _ { i \in [ n ] } A _ { i i } \cdot \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( B ) \leq \lambda ( A \circ B ) \leq \operatorname* { m a x } _ { i \in [ n ] } A _ { i i } \cdot \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( B ) \leq \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( A ) \cdot \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( B ) .
{ \mathrm P } ( \bar { \nu } _ { \alpha } \to \bar { \nu } _ { \alpha ^ { \prime } } ) = | \delta _ { { \alpha ^ { \prime } } \alpha } + \sum _ { i } U _ { \alpha ^ { \prime } i } ^ { * } U _ { \alpha i } \, ~ ( e ^ { - i \Delta m _ { i 1 } ^ { 2 } \frac { L } { 2 E } } - 1 ) | ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { | r _ { \infty } | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 9 - 6 b } , \quad | d _ { i } r _ { \infty } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \operatorname* { s u p } } \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B _ { 2 R } } | \partial _ { 1 } w _ { 1 } | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } x + \int _ { B _ { 2 R } } \Theta | \partial _ { 2 } w _ { 1 } | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { 2 \Bigg [ \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } \eta ^ { 2 } | \partial _ { 1 } w _ { 1 } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Bigg [ \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } | \partial _ { 1 } \eta | ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { } & { + 2 \Bigg [ \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } \Theta \eta ^ { 2 } | \partial _ { 2 } w _ { 1 } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Bigg [ \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } \Theta | \partial _ { 2 } \eta | ^ { 2 } w _ { 1 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
I = i \pi ^ { d / 2 } \frac { \Gamma ( - d / 2 + n _ { 1 } + n _ { 2 } ) } { \Gamma ( n _ { 1 } ) \Gamma ( n _ { 2 } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } y ^ { n _ { 1 } - 1 } \left[ y \left( \frac { y } { 4 } - \omega \right) \right] ^ { d / 2 - n _ { 1 } - n _ { 2 } } \, d y \, .
\gamma _ { 1 , 2 } = \frac { 1 } { \pi b _ { 0 } } \, \left( \frac { 2 N _ { f } + 1 } { 6 } \pm \sqrt { \left( \frac { 2 N _ { f } + 1 } { 6 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 1 } { 4 } } \; \right) \; .
\widetilde \Delta ( x ^ { T } ) \ = \ \int \frac { d ^ { 3 } k ^ { T } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ \frac { e ^ { { \displaystyle i k ^ { T } . x ^ { T } } } } { ( k ^ { T 2 } + i \epsilon ) ^ { 2 } } \ = \ - \frac { 1 } { 8 \pi } r \ .
\begin{array} { c c } { { \mathrm { y } _ { \pm } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - ( y _ { \pm } { \cdot \sigma } ) ^ { t } } } \\ { { y _ { \mp } { \cdot \sigma } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ y _ { \pm } ^ { \mu } = y ^ { \mu } \pm i \bar { \phi } { } ^ { a } \tilde { \sigma } ^ { \mu } \phi _ { a } = x _ { \pm } ^ { \mu } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { n } ^ { \prime } } & { = \frac { \phi _ { n } } { a E _ { c } } , \ \ v _ { \parallel } ^ { \prime } = \frac { B _ { c } } { E _ { c } } v _ { \parallel } } \\ { t ^ { \prime } } & { = \frac { E _ { c } } { a B _ { c } } t , \ \ \omega _ { 0 } ^ { \prime } = \frac { a _ { c } B _ { c } } { E _ { c } } \omega _ { 0 } . } \end{array}
U _ { 2 } \left( 1 - \frac { r } { x } \, , \alpha _ { 2 } \right) = \left( 1 - \frac { r } { x } + \alpha _ { 2 } r \right) \, \frac { ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { R } } } { ( 1 - r / x ) ^ { \gamma _ { R } } + ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { R } } } + \frac { r } { x } ( 1 + x ( 1 - \alpha _ { 2 } ) ) \frac { ( x ( 1 - \alpha _ { 2 } ) ) ^ { \gamma _ { P } } } { 1 + ( x ( 1 - \alpha _ { 2 } ) ) ^ { \gamma _ { P } } } \; .
\mathcal { M } ^ { ( n ) } = \frac { g ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \big ( I _ { 1 } ^ { ( n ) } - I _ { 2 } ^ { ( n ) } - I _ { 3 } ^ { ( n ) } + I _ { 4 a } ^ { ( n ) } + I _ { 4 b } ^ { ( n ) } + I _ { 4 c } ^ { ( n ) } + I _ { 4 d } ^ { ( n ) } + I _ { 4 e } ^ { ( n ) } + I _ { 4 f } ^ { ( n ) } \big ) \, .
\mathbf { J } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { O } _ { N + 1 } } & { \mathbf { I } _ { N + 1 } } \\ { - \mathbf { I } _ { N + 1 } } & { \mathbf { O } _ { N + 1 } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l r } { f _ { b i M } } & { { } = } & { n \left( \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T _ { \perp } } \right) \left( \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T _ { \parallel } } \right) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { f } } & { { } = } & { \rho _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { u _ { f } } & { { } = } & { u _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { v _ { f } } & { { } = } & { v _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { w _ { f } } & { { } = } & { w _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { e _ { f } } & { { } = } & { e _ { \infty } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
A _ { k _ { 0 } , k _ { 1 } , \dots k _ { m } \dots k _ { n - 1 } } = \sum _ { \ell _ { m } } C _ { k _ { 0 } , k _ { 1 } \dots \ell _ { m } \dots k _ { n - 1 } } ( B ^ { T } ) _ { \ell _ { m } , k _ { m } } \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \pm } \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { - \left( ( \nabla d _ { \Gamma } \cdot \nabla ) \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } \cdot \nabla d _ { \Gamma } \right) d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \Delta d _ { \Gamma } = 0 \qquad \mathrm { o n ~ } \Gamma . } \end{array}
I _ { \beta } ^ { ( \pm ) } ( \psi ; \, k ) = \pm \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a } d \eta \, \frac { \psi ( i \eta ) } { - k \pm i ( \eta - \beta ) } \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \xi \, \frac { \psi ( \xi \pm i a ) } { \xi - k \pm i ( a - \beta ) } + \psi ( k \pm i \beta ) .