harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { d b } } & { = \left( \left( \epsilon _ { 2 } E _ { 2 , \xi } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon | E _ { 2 } | ^ { 2 } \right) - \left( \epsilon _ { 1 } E _ { 1 , \xi } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon | E _ { 1 } | ^ { 2 } \right) \right) \mathbf { e } _ { \xi } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon _ { 2 } ( E _ { 2 , \xi } ^ { 2 } - E _ { 2 , \eta } ^ { 2 } - E _ { 2 , \tau } ^ { 2 } ) - \epsilon _ { 1 } ( E _ { 1 , \xi } ^ { 2 } - E _ { 1 , \eta } ^ { 2 } - E _ { 1 , \tau } ^ { 2 } ) \right) \mathbf { e } _ { \xi } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon _ { 1 } E _ { 1 , \xi } E _ { 2 , \xi } - \epsilon _ { 2 } E _ { 1 , \xi } E _ { 2 , \xi } - \epsilon _ { 2 } ( E _ { 2 , \eta } E _ { 1 , \eta } + E _ { 2 , \tau } E _ { 1 , \tau } ) + \epsilon _ { 1 } ( E _ { 2 , \eta } E _ { 1 , \eta } + E _ { 2 , \tau } E _ { 1 , \tau } ) \right) \mathbf { e } _ { \xi } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } ) \left( E _ { 2 , \xi } E _ { 1 , \xi } + E _ { 2 , \eta } E _ { 1 , \eta } + E _ { 2 , \tau } E _ { 1 , \tau } \right) \mathbf { e } _ { \xi } = - \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { 2 } - \epsilon _ { 1 } ) ( \mathbf { E } _ { 1 } \cdot \mathbf { E } _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { \xi } } \end{array}
U _ { 1 } = - \frac { 1 } { h _ { 2 } } \frac { \partial \psi } { \partial \xi ^ { 2 } } , \; \; \; \; U _ { 2 } = + \frac { 1 } { h _ { 1 } } \frac { \partial \psi } { \partial \xi ^ { 1 } }
_ { t } D _ { b } ^ { \alpha } f ( t ) = { \frac { d ^ { n } } { d t ^ { n } } } { } _ { t } D _ { b } ^ { - ( n - \alpha ) } f ( t ) = { \frac { d ^ { n } } { d t ^ { n } } } { } _ { t } I _ { b } ^ { n - \alpha } f ( t )
\begin{array} { r l } { F ( \mathbf c ) } & { = - \mathcal { F } _ { J } \left( \mathcal { N } \left( \mathcal { F } _ { J } ^ { - 1 } ( \mathbf c ) , \mathcal { F } _ { J } ^ { - 1 } ( D _ { J } \mathbf c ) \right) \right) , } \\ { M } & { = \alpha _ { 1 } D _ { J } + \cdots + \alpha _ { n } D _ { J } ^ { k } , \quad D _ { J } = \frac { \mathrm i \pi } { L } \textrm { d i a g } ( - J , - J + 1 , \cdots , J ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( D D ^ { \prime } - D ^ { \prime } D ) ( a b ) } & { = D ( D ^ { \prime } ( a b ) ) - D ^ { \prime } ( D ( a b ) ) } \\ & { = D ( D ^ { \prime } ( a ) b + a D ^ { \prime } ( b ) ) - D ^ { \prime } ( D ( a ) b + a D ( b ) ) } \\ & { = D ( D ^ { \prime } ( a ) ) b + D ^ { \prime } ( a ) D ( b ) + D ( a ) D ^ { \prime } ( b ) } \\ & { \quad \, + a D D ^ { \prime } ( b ) - D ^ { \prime } ( D ( a ) ) b - D ( a ) D ^ { \prime } ( b ) } \\ & { \quad \, - D ^ { \prime } ( a ) D ( b ) - a D ^ { \prime } ( D ( b ) ) } \\ & { = [ D , D ^ { \prime } ] ( a ) \; b + a [ D , D ^ { \prime } ] ( b ) , } \end{array}
\tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) \equiv \int \mathrm { d } \mathbf { x } \, \phi ( \mathbf { x } ) \mathcal { G } ( \mathbf { r } - \mathbf { x } ) , \quad \mathrm { w i t h } \quad \phi ( \mathbf { r } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } P ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { V a r } _ { i } } & { = } & { \mathrm { E } \big [ \big ( { \bf { u } } _ { i } ( t ) - \overline { { { \bf { u } } _ { i } ( t ) } } \big ) ^ { T } \big ( { \bf { u } } _ { i } ( t ) - \overline { { { \bf { u } } _ { i } ( t ) } } \big ) \big ] } \\ & { = } & { \kappa T \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { E } \big [ d { \bf w } _ { i } ^ { T } ( s ^ { \prime } ) e ^ { { - \bf B } ^ { T } ( t - s ^ { \prime } ) } e ^ { { - \bf B } ( t - s ) } d { \bf w } _ { i } ( s ) \big ] } \\ & { = } & { \kappa T \int _ { 0 } ^ { t } d s \mathrm { E } \big [ { \bf n } _ { i } ^ { T } ( s ) e ^ { { - \bf B } ^ { T } ( t - s ) } e ^ { { - \bf B } ( t - s ) } { \bf n } _ { i } ( s ) \big ] . } \end{array}
p _ { \mathrm { g e n } } ( i \rightarrow j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 } & { \mathrm { i f ~ } j \mathrm { ~ i s ~ a ~ v a c a n c y } } \\ { \frac { 0 . 5 - 0 . 0 1 } { M ^ { \alpha } } } & { \mathrm { i f ~ } j \mathrm { ~ i s ~ e n r i c h e d ~ i n ~ p h a s e ~ } \alpha } \\ { \frac { 0 . 0 1 } { N - M ^ { \alpha } } } & { \mathrm { i f ~ } j \mathrm { ~ i s ~ d e p l e t e d ~ i n ~ p h a s e ~ } \alpha } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \| } n _ { \| } } ^ { R } } & { { } = \frac { \chi \Gamma } { i \omega - k ^ { 2 } D _ { \ell } - \Gamma } , } \\ { G _ { j _ { \perp } j _ { \perp } } ^ { R } } & { { } = \frac { \lambda _ { s } ^ { 2 } c _ { \phi } ^ { 2 } } { \tilde { \chi } } \frac { i \omega ( 1 + \tau ) ^ { 2 } + i \omega \tilde { \tau } ^ { 2 } k ^ { 2 } / \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } - \tilde { D } _ { \ell } k ^ { 2 } / \lambda _ { s } ^ { 2 } } { i \omega - \tilde { D } _ { \ell } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } } - i \omega \sigma . } \end{array}
P _ { \lambda } ^ { ( \gamma , N ) } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) = \operatorname * { l i m } _ { p \rightarrow 1 } P _ { \lambda } ( \o _ { N } p , \o _ { N } p ^ { \gamma } ; x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) .
\mu \frac { \partial } { \partial \mu } D _ { \bar { b } \to B _ { s } } ( z , \mu ) = \int _ { z } ^ { 1 } \frac { d y } { y } P _ { \bar { b } \to \bar { b } } ( z / y , \mu ) \; D _ { \bar { b } \to B _ { s } } ( y , \mu ) + \int _ { z } ^ { 1 } \frac { d y } { y } P _ { \bar { b } \to g } ( z / y , \mu ) \; D _ { g \to B _ { s } } ( y , \mu ) \, ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \bar { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \lambda } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\tilde { G } ( \kappa _ { P } , \omega _ { P } ) = \frac { 1 } { \rho c _ { T } ^ { 4 } } \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } \sqrt { \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { L } ^ { 2 } } } } { 4 \kappa _ { P } ^ { 2 } \sqrt { \left( \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } \right) \left( \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { L } ^ { 2 } } \right) } - \left( 2 \kappa _ { P } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { P } ^ { 2 } } { c _ { T } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } ,
W ^ { ( 1 ) } = - i g ^ { 2 } \, t ^ { a } t ^ { a } \int \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { v _ { \mu } { \mit \Pi } _ { R } ^ { \mu \nu } ( q ) v _ { \nu } ^ { \prime } } { q ^ { 4 } ( q \cdot v ) ( q \cdot v ^ { \prime } ) } \, .
( \mathbf { u } _ { 1 } \times \mathbf { u } _ { 2 } ) \times ( \mathbf { u } _ { 2 } \times \mathbf { u } _ { 3 } ) = [ ( \mathbf { u } _ { 2 } \times \mathbf { u } _ { 3 } ) \cdot \mathbf { u } _ { 1 } ] \mathbf { u } _ { 2 } - [ ( \mathbf { u } _ { 2 } \times \mathbf { u } _ { 3 } ) \cdot \mathbf { u } _ { 2 } ] \mathbf { u } _ { 1 } = [ ( \mathbf { u } _ { 2 } \times \mathbf { u } _ { 3 } ) \cdot \mathbf { u } _ { 1 } ] \mathbf { u } _ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \Delta ( \beta ) - \log ( 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } ) - \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } \Big [ \bar { \rho } _ { p } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \Delta ( \beta ) - \log ( 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } ) - \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) \Big ] \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textsc { R S M } ( \mathbf { r } , \theta , \phi ) = \sum _ { \ell = 0 , 2 , \hdots } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } a _ { m } ^ { \ell } ( \mathbf { r } ) \hat { Y } _ { m } ^ { \ell } ( \theta , \phi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } ^ { T } = } & { \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } \tau _ { 2 } \right) \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau _ { 1 } \right) \right) } \\ & { \times \exp \left( - \mathrm { i } \delta \left( T + \tau _ { 2 } \right) \right) , } \end{array}
A _ { 1 } = { \bigg ( } 1 3 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } { \bigg ) } \; \; \; s e t a t + { \bigg ( } 3 + { \frac { 1 } { 8 } } { \bigg ) } \; \; \; c u b i t \; \; \; s t r i p
\left\{ \begin{array} { r c l } { { F _ { i } } } & { { = } } & { { D _ { i } X + A ^ { ( 1 ) } { } _ { i } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { D _ { i } X } } & { { = } } & { { \partial _ { i } X + C _ { i } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal F } _ { i j } } } & { { = } } & { { 2 \partial _ { [ i } V _ { j ] } - \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } B ^ { ( 1 ) } { } _ { i j } \, . } } \end{array} \right.
\hat { H } = \underbrace { \hat { H } _ { \textrm { e l e c } } + \hat { H } _ { \textrm { v i b } } ^ { ( U ) } + \hat { H } _ { \textrm { e l e c - v i b } } } _ { \hat { H } _ { M } } + \hat { H } _ { L } + \hat { H } _ { \textrm { e l e c - } L } .
\begin{array} { r l } { S _ { x x } } & { { } = - S _ { z z } = - \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathrm { c } _ { } ( z ) \sin { ( x - t ) } , } \\ { S _ { x z } } & { { } = \phantom { - } S _ { z x } = \phantom { - } \varepsilon _ { \mathrm { w } } \, \mathrm { s } _ { } ( z ) \cos { ( x - t ) } . } \end{array}
\widetilde { X } \check { u } _ { \pm , m \ell } ( r ) = ( r - 1 ) ^ { - 2 } w _ { \pm , m \ell } ^ { - 2 } ( r ) e ^ { i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } \int _ { 1 } ^ { r } { F } _ { \infty , m \ell } ( r ^ { \prime } ) w _ { \pm , m \ell } ( r ^ { \prime } ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \prime } } \frac { y + 1 } { y - 1 } \, d y } \, d r ^ { \prime } .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { N } \| \tau _ { N } ^ { U _ { t , n } } ( X ) - X \| } & { \leq } & { \frac { 1 } { N } \left( \frac 3 4 n \hat { k } + \frac { r N } { 4 n } \right) ( 4 t ) ^ { n } \leq \frac { 1 } { N } \left( \frac 3 2 n \hat { k } + \frac { N } { 4 } \right) ( 4 t ) ^ { n } } \\ & { \leq } & { ( 4 t ) ^ { n } } \end{array}
\tau _ { A } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ { \hat { A } } \, { \hat { \tau } } \right\} } { \left( \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ { \hat { A } } \, { \hat { \rho } } _ { \mathrm { i n i } } \right\} - \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ { \hat { A } } \, { \hat { \rho } } _ { \mathrm { s t } } \right\} \right) } \, .
\begin{array} { r l r l } & { ( \mathcal { C } ^ { Y } h ) ( k ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { Y } \frac { h ( k ^ { \prime } ) d k ^ { \prime } } { k ^ { \prime } - k } , \quad k \in \mathbb { C } \setminus Y , } & & { \mathcal { C } _ { \hat { w } ^ { Y } } ^ { Y } h = \mathcal { C } _ { - } ^ { Y } ( h \hat { w } ^ { Y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = s _ { 0 } } H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s } ^ { Y } ( p ) ) ) ) } & { = D H _ { - t } ^ { X } \left( D H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } \left( D H _ { t } ^ { X } \left( \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = s _ { 0 } } H _ { - s } ^ { Y } ( p ) \right) \right) \right) } \\ & { = - D H _ { - t } ^ { X } ( D H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } ( D H _ { t } ^ { X } ( Y ( H _ { - s _ { 0 } } ^ { Y } ( p ) ) ) ) ) } \\ & { = - ( H _ { - t } ^ { X } ) _ { * } ( ( H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } ) _ { * } ( ( H _ { t } ^ { X } ) _ { * } ( Y ( H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s _ { 0 } } ^ { Y } ( p ) ) ) ) ) ) ) } \\ & { = - Y ( H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s _ { 0 } } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( H _ { - s _ { 0 } } ^ { Y } ( p ) ) ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Vert { \theta } _ { T } - \theta ^ { * } \Vert } ^ { 2 } } & { = { \Vert { \theta } _ { T } - \tilde { \theta } _ { T } + \tilde { \theta } _ { T } - \theta ^ { * } \Vert } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 { \Vert \tilde { \theta } _ { T } - \theta ^ { * } \Vert } ^ { 2 } + 2 { \Vert { \theta } _ { T } - \tilde { \theta } _ { T } \Vert } ^ { 2 } } \\ & { = 2 { \Vert \tilde { \theta } _ { T } - \theta ^ { * } \Vert } ^ { 2 } + 2 { \alpha } ^ { 2 } { \Vert e _ { T - 1 } \Vert } ^ { 2 } } \\ & { = 2 \psi _ { T } . } \end{array}
{ \frac { m } { \hbar } } \sqrt { \frac { g _ { N } } { R } } \equiv { \frac { m \omega } { \hbar } } = \Bigl ( \mathrm { s t r e n g t h ~ o f ~ o s c i l l a t o r } \Bigr ) ^ { 2 } = \mathrm { c o n s t } .
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { = \exp \left\{ - \lambda _ { c } \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { d } t } } { \lambda _ { d } } \right\} \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j \geq 1 } \lambda _ { c } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { j } t } } { \alpha _ { j } } \xi _ { j } \right) ^ { \otimes n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \\ & { = \exp \left\{ - \lambda _ { c } \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { d } t } } { \lambda _ { d } } \right\} \frac { \lambda _ { c } ^ { n } } { n ! } \left( \sum _ { j \geq 1 } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { j } t } } { \alpha _ { j } } \xi _ { j } \right) ^ { \otimes n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) . } \end{array}
S _ { e e } = S _ { e } \left( 1 \, + \, m _ { e \mu } ^ { 2 } \, S _ { \mu } S _ { e } \, + \, m _ { e \mu } ^ { 4 } \, S _ { \mu } S _ { e } S _ { \mu } S _ { e } \, + \, . . . \right) = S _ { e } \left( 1 - m _ { e \mu } ^ { 2 } \, S _ { \mu } S _ { e } \right) ^ { - 1 } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { z _ { 2 } ^ { - } } { v _ { \mathrm { A } } } } & { { } \sim k _ { \perp } d _ { i } \sin ^ { 2 } \alpha \left( \frac { z _ { 1 } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } } \right) ^ { 2 } , } \\ { \frac { z _ { 2 } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } } } & { { } \sim k _ { \perp } d _ { i } \sin ^ { 2 } \alpha \left( \frac { z _ { 1 } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } } \right) ^ { 2 } k _ { z } v _ { \mathrm { A } } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { { } = \varepsilon - f \left( 1 - \lambda - \sigma \right) ^ { 2 } - \left( 1 - f \right) \left( \varepsilon - \lambda \right) ^ { 2 } , } \\ { \sigma } & { { } = 2 \left( 1 - f \right) \left[ \varepsilon \left( 1 - \varepsilon \right) - \left( \varepsilon - \lambda \right) \left( 1 - \varepsilon - \sigma \right) \right] , } \end{array}
t _ { 0 } r \mathcal { E } _ { \theta } ^ { \delta } ( r , \theta ; \tau ) = - \frac { V _ { 0 } C _ { 0 } } { 2 \pi j } \int _ { \Gamma _ { q } } \frac { F _ { e } ( \zeta ) e ^ { q ( \tau - R ) } } { F ( \zeta ) } \, d q .
{ } ^ { ( 1 ) } S ^ { i j k l } g _ { k l } = \frac S 3 g ^ { i j } , \qquad { } ^ { ( 2 ) } S ^ { i j k l } g _ { k l } = P ^ { i j } , \qquad { } ^ { ( 3 ) } S ^ { i j k l } g _ { k l } = 0 ,
\left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { i n } ^ { \dagger } } \\ { \hat { b } _ { i n } ^ { \dagger } } \\ { \hat { c } _ { i n } ^ { \dagger } } \\ { \hat { d } _ { i n } ^ { \dagger } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 } } & { B _ { 1 } } & { C _ { 1 } } & { D _ { 1 } } \\ { A _ { 2 } } & { B _ { 2 } } & { C _ { 2 } } & { D _ { 2 } } \\ { A _ { 3 } } & { B _ { 3 } } & { C _ { 3 } } & { D _ { 3 } } \\ { A _ { 4 } } & { B _ { 4 } } & { C _ { 4 } } & { D _ { 4 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { o u t } ^ { \dagger } } \\ { \hat { b } _ { o u t } ^ { \dagger } } \\ { \hat { c } _ { o u t } ^ { \dagger } } \\ { \hat { d } _ { o u t } ^ { \dagger } } \end{array} \right)
\frac { \partial U _ { i } } { \partial t } + U _ { j } \, \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \nu \, \tau _ { i j } \right] ,
c = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ ( ~ p ~ o ~ s ~ t ~ - ~ p ~ r ~ e ~ ) ~ / ~ ( ~ m ~ a ~ x ~ - ~ p ~ r ~ e ~ ) ~ } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ p ~ o ~ s ~ t ~ > ~ p ~ r ~ e ~ } } \\ { \mathrm { ~ 0 ~ } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ p ~ o ~ s ~ t ~ = ~ p ~ r ~ e ~ } } \\ { \mathrm { ~ ( ~ p ~ o ~ s ~ t ~ - ~ p ~ r ~ e ~ ) ~ / ~ ( ~ p ~ r ~ e ~ ) ~ } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ p ~ o ~ s ~ t ~ < ~ p ~ r ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { J ( i ^ { * } , r ^ { * } ) = \left[ \begin{array} { l l } { i ^ { * } ( u ( 1 - i ^ { * } - r ^ { * } ) - \bar { \beta } - u i ^ { * } ) } & { - i ^ { * } ( \bar { \beta } + u i ^ { * } ) } \\ { \alpha p _ { r } } & { - l _ { i } } \end{array} \right] . } \end{array}
( \nabla _ { \times ^ { 3 } } ^ { 2 } f ) _ { 0 , 0 , 0 } = { \frac { 1 } { 4 } } ( f _ { - 1 , - 1 , - 1 } + f _ { - 1 , - 1 , + 1 } + f _ { - 1 , + 1 , - 1 } + f _ { - 1 , + 1 , + 1 } + f _ { + 1 , - 1 , - 1 } + f _ { + 1 , - 1 , + 1 } + f _ { + 1 , + 1 , - 1 } + f _ { + 1 , + 1 , + 1 } - 8 f _ { 0 , 0 , 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { n ^ { 2 } - 1 } { n ^ { 2 } + 2 } \rho ^ { - 1 } } & { = \frac { N _ { A } \alpha } { 3 \epsilon _ { 0 } } \quad \overset { n \to 1 } { \Longrightarrow } \quad n = \frac { N \alpha _ { 0 } } { 2 \epsilon _ { 0 } } \rho + 1 . \implies n _ { i } = \frac { \eta _ { i } } { \eta _ { i - 1 } } \left( n _ { i - 1 } - 1 \right) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } Y | } & { \leq | \mathbb { E } X | + o ( \| \theta \| _ { 2 } ^ { - 2 } ) \sqrt { \mathbb { E } [ X ^ { 2 } ] } = | \mathbb { E } X | + o ( \| \theta \| _ { 2 } ^ { - 2 } ) \sqrt { \mathbb { E } [ X ] ^ { 2 } + \mathrm { V a r } ( X ) } } \\ & { \lesssim \tilde { \lambda } ^ { 2 } \lambda _ { 1 } + o ( \| \theta \| _ { 2 } ^ { - 2 } ) \cdot \sqrt { \tilde { \lambda } ^ { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } ^ { 4 } + \tilde { \lambda } ^ { 6 } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } } \\ & { \lesssim \tilde { \lambda } ^ { 2 } \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \tilde { \lambda } ^ { 3 } + | \tilde { \lambda } | \lambda _ { 1 } ^ { 3 / 2 } = o ( \tilde { \lambda } ^ { 4 } ) } \end{array}
{ \cal F } _ { m _ { 1 } m _ { 2 } m } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \beta _ { 1 } ^ { k } \beta _ { 2 } ^ { \ell } } } & { { \mathrm { f o r ~ m _ { 1 } + m = 2 k + 1 ~ a n d ~ m _ { 2 } + m = 2 \ell + 1 ~ , } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right.
G ( a , c ) = G ( a , 0 , c ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f } } \ c \equiv 2 { \pmod { 4 } } , } \\ { \varepsilon _ { c } { \sqrt { c } } \left( { \frac { a } { c } } \right) } & { { \mathrm { i f } } \ c \ { \mathrm { i s ~ o d d } } , } \\ { ( 1 + i ) \varepsilon _ { a } ^ { - 1 } { \sqrt { c } } \left( { \frac { c } { a } } \right) } & { { \mathrm { i f } } \ a \ { \mathrm { i s ~ o d d } } , 4 \mid c . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } } & { = \int _ { \operatorname* { m a x } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S } \\ & { = \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot \nabla T . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { i j } ( - \omega ; \omega ) = - \langle \! \langle \hat { \mu } _ { i } ; \hat { \mu } _ { j } \rangle \! \rangle _ { \omega } , } \\ & { \beta _ { i j k } ( - \omega ^ { ( 2 ) } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = \langle \! \langle \hat { \mu } _ { i } ; \hat { \mu } _ { j } , \hat { \mu } _ { k } \rangle \! \rangle _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } } , } \\ & { \gamma _ { i j k l } ( - \omega ^ { ( 3 ) } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) = } \\ & { \qquad \quad - \langle \! \langle \hat { \mu } _ { i } ; \hat { \mu } _ { j } , \hat { \mu } _ { k } , \hat { \mu } _ { l } \rangle \! \rangle _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } } , } \\ & { \delta _ { i j k l m } ( - \omega ^ { ( 4 ) } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = } \\ & { \qquad \qquad \ \langle \! \langle \hat { \mu } _ { i } ; \hat { \mu } _ { j } , \hat { \mu } _ { k } , \hat { \mu } _ { l } , \hat { \mu } _ { m } \rangle \! \rangle _ { \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } } . } \end{array}
\langle [ O _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ] ( x ) [ O _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ] ( y ) \rangle + b _ { 1 } \langle [ O _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ] ( x ) [ O _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ] ( y ) \rangle + a _ { 1 } \langle [ O _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ] ( x ) [ O _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ] ( y ) \rangle = O ( N ^ { - 4 } )
\hat { H } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { H } _ { 3 } , } & { t \in [ \ell , \ell + 1 / 3 ) , } \\ { \hat { H } _ { 2 } , } & { t \in [ \ell + 1 / 3 , \ell + 2 / 3 ) , } \\ { \hat { H } _ { 1 } , } & { t \in [ \ell + 2 / 3 , \ell + 1 ) , } \end{array} \right.
{ \frac { d D } { d t } } = - { \frac { \sqrt { 3 } } { 6 4 \pi } } { \frac { \lambda ^ { 4 } } { m } } ( 1 - \xi _ { R } ) ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( \phi ^ { * } \phi ) ^ { 3 } .
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \frac { 2 } { J } } ~ \left[ { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } + { \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ ( I _ { 1 } ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } - { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { F } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } ) + { \frac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } ~ I _ { 3 } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } \right]
\mathcal D = 2 \int p | \mathrm { \bf S } | ( \mu ( I ) - F ( I ) ) + \frac { 2 } { d \sqrt { \rho _ { s } } } \int I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) F ( I _ { \mathrm { e q } } ( \phi ) ) p \sqrt { p }
\begin{array} { r l r l } { M _ { h _ { x } } ^ { \mathcal { N } , 0 } [ \ell , \kappa ] } & { = ( \vec { \psi } _ { \kappa } ^ { 0 } , \vec { \psi } _ { \ell } ^ { \mathcal { N } } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & & { \ell = 1 , \dots , N _ { x } ^ { \mathcal { N } } , \; \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { 0 } , } \\ { J [ \kappa , k ] } & { = j _ { \kappa } ^ { k } , } & & { \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { 0 } , \; k = 1 , \dots , N ^ { t } , } \\ { M _ { h _ { t } } ^ { 1 , 0 } [ l , k ] } & { = ( \varphi _ { k } ^ { 0 } , \varphi _ { l } ^ { 1 } ) _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } , } & & { l = 0 , \dots , N ^ { t } - 1 , \; k = 1 , \dots , N ^ { t } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \{ O _ { 1 } , O _ { 2 } \} } \\ { \{ O _ { 3 } , O _ { 7 } , O _ { 1 0 } \} } \\ { \{ O _ { 4 } \} } \\ { \{ O _ { 5 } \} } \\ { \{ O _ { 6 } \} } \\ { \{ O _ { 8 } \} } \\ { \{ O _ { 9 } \} } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle \delta _ { \mathrm { s } } \rangle = } & { - \frac { a } { 4 } \left( \langle \bar { \delta } _ { \mathrm { B } , i } ^ { 2 } \rangle - \langle \bar { \delta } _ { \mathrm { R } , i } ^ { 2 } \rangle \right) } \\ & { + \frac { g } { 2 } \left( \frac { a } { 2 } - \frac { b } { a } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( 1 - g ) ^ { m - 1 } f _ { m } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left< \psi ( \mathcal { M } , \beta ) \right| \phi _ { a b , x } ^ { ( 1 ) } \left| \psi ( \mathcal { M } , \alpha ) \right> = \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \sqrt { \Xi _ { \mathcal { M } } ^ { ( \alpha ) } \Xi _ { \mathcal { M } } ^ { ( \beta ) } } } ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ^ { N } ( - \lambda _ { y } ) ^ { a + b } \sum _ { p , q , \{ r _ { i } \} = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { x } ) ^ { p + q + 2 \sum r _ { i } } \sum _ { \Phi ^ { \prime } , \Phi ^ { \prime \prime } \in \mathcal { P } } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi ^ { \prime } } ^ { ( \alpha ) } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi ^ { \prime \prime } } ^ { ( \beta ) * } \times } \\ { \left< q r _ { 1 } \ldots r _ { N - 1 } \right| \Phi ^ { \prime } \left( \left| b \right> \left| \mathcal { M } \right> \right) \left( \left< p r _ { 1 } \ldots r _ { N - 1 } \right| \Phi ^ { \prime \prime } \left( \left| a \right> \left| \mathcal { M } \right> \right) \right) ^ { * } \left| p \middle > \middle < q \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { t \hat { A } } \| \leq \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { \omega t } , \qquad \| \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { t \hat { B } } \| \le \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { \omega t } } \end{array}