harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } ( g ) } & { : = \overline { { \mathfrak { b } } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } = ( \mathrm { K } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } - \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \mathrm { K } ) \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } , } \\ { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \imath _ { \overline { { V } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } , } \\ { \overline { { V } } ^ { \overline { { \alpha } } } } & { : = - \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \lambda } \delta g _ { \lambda \beta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { u } ( { \bf k } ) } & { = } & { \sum _ { \bf p } \Im \left[ { \bf \{ k \cdot u ( q ) \} \{ u ( p ) \cdot u ^ { * } ( k ) \} } \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) } & { = } & { \Re [ { \bf F } _ { u } ( { \bf k } ) \cdot { \bf u } ^ { * } ( { \bf k } ) ] , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) } & { = } & { \Re [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) \cdot { \bf u } ^ { * } ( { \bf k } ) ] , } \\ { D _ { u } ( \mathbf { k } ) } & { = } & { - 2 \nu k ^ { 2 } E _ { u } ( { \bf k } ) , } \end{array}
\mathrm { C } _ { 2 } ( s ) = 2 { \mu } ^ { 4 } \Omega \frac { a b } { 4 { \pi } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } \, a \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, t ^ { s } \frac { e ^ { - ( a + b + c ) t } } { \left( e ^ { b t } - e ^ { - b t } \right) } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \left[ \frac { 1 } { ( a t ) ^ { 2 } + ( k \pi ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( k \pi ) ^ { 2 } } \right] \, + \right.
\ensuremath { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | | } D \ensuremath { | | 7 P _ { 3 / 2 } \rangle } / \ensuremath { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | | } D \ensuremath { | | 7 P _ { 1 / 2 } \rangle }
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { f } } ( t ) \propto q \frac { \partial } { \partial t } \langle x ( t ) \rangle _ { \mathrm { f } } = \frac { \sin \pi \alpha } { \pi \alpha } \frac { A \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) t ^ { 1 - \alpha } } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t < t _ { \mathrm { t r } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { p ^ { \mu } \partial _ { \mu } f } & { { } = - \frac { p _ { \mu } u ^ { \mu } } { \tau _ { R } } ( f - f _ { e q } ) , } & { f _ { e q } } & { { } = \frac { 1 } { \exp ( p \cdot u / T ) - 1 } , } & { \tau _ { R } } & { { } = \frac { 5 \eta } { s T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { 2 \alpha } { n } \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \langle \nabla f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) , \bar { e } _ { x } ^ { k } \rangle } \\ & { = \frac { 2 \alpha } { n } \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( - \langle \nabla f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) , \bar { x } ^ { k } - x _ { i } ^ { k } \rangle - \langle \nabla f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) , x _ { i } ^ { k } - x ^ { \star } \rangle \big ) } \\ & { \leq \frac { 2 \alpha } { n } \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \bigg ( - f _ { i } ( \bar { x } ^ { k } ) + f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) + \frac { L } { 2 } \| \bar { x } ^ { k } - x _ { i } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { \mu } { 2 } \| x _ { i } ^ { k } - x ^ { \star } \| ^ { 2 } - f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) + f _ { i } ( x ^ { \star } ) \bigg ) } \\ & { \leq - 2 \alpha \big ( f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ( x ^ { \star } ) \big ) } \\ & { \quad + \frac { L \alpha } { n } \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \bar { x } ^ { k } - x _ { i } ^ { k } \| ^ { 2 } - \mu \alpha \| \bar { x } ^ { k } - x ^ { \star } \| ^ { 2 } } \\ & { = - 2 \alpha \big ( f ( \bar { x } ^ { k } ) - f ( x ^ { \star } ) \big ) + \frac { L \alpha } { n } \| { \mathbf { x } } ^ { k } - \mathbf { 1 } \otimes \bar { x } ^ { k } \| ^ { 2 } - \mu \alpha \| \bar { e } _ { x } ^ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
E ( \vec { n } ) = \frac { e ^ { 2 } L } { 4 } \left[ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \left( N n _ { \alpha } + m \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { N } \left( \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \left( N n _ { \alpha } + m \right) \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l r l } { \frac { \mathrm { d } W _ { n } ^ { \gamma , \mathrm { c l } } } { \mathrm { d } v } } & { = \frac { \alpha m n \eta } { 1 + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } } [ a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } J _ { n - 1 } ^ { 2 } ( z ) + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } J _ { n + 1 } ^ { 2 } ( z ) - 2 ( 1 + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } ) J _ { n } ^ { 2 } ( z ) ] , } & { z ^ { 2 } } & { = \frac { 4 a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } n ^ { 2 } v ( 1 - v ) } { 1 + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } } , } \end{array}
\operatorname { A l t } ( \omega _ { p } ) ( x _ { 1 } , \dots , x _ { k } ) = { \frac { 1 } { k ! } } \sum _ { \sigma \in S _ { k } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \omega _ { p } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \dots , x _ { \sigma ( k ) } ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { m \in \mathcal { T } _ { 2 } } | P _ { 1 } ^ { \prime } ( m ) P _ { 2 } ^ { \prime } ( m ) P ( m ) | ^ { 2 } } & { \ll \sum _ { m \in \mathcal { T } _ { 2 } } | P _ { 2 } ^ { \prime } ( m ) P ( m ) | ^ { 2 } \ll P _ { 2 } ^ { - 2 \alpha _ { 2 } } P _ { 1 } ^ { 2 \ell \alpha _ { 1 } } \sum _ { m \in \mathcal { T } _ { 2 } } | P _ { 1 } ( m ) | ^ { 2 \ell } | P ( m ) | ^ { 2 } } \\ & { \ll P _ { 2 } ^ { - 2 \alpha _ { 2 } } P _ { 1 } ^ { 2 \ell \alpha _ { 1 } } \ell \sum _ { m \in \mathcal { T } _ { 2 } } | A ( m ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( e _ { 2 2 } , e _ { 1 2 } , e _ { 2 1 } ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( e _ { 2 2 } , e _ { 1 1 } + e _ { 2 2 } ) - [ e _ { 2 2 } , e _ { 2 2 } + e _ { 1 1 } ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( - e _ { 1 2 } , e _ { 2 1 } ) + \mu _ { 1 } ( e _ { 1 2 } , e _ { 2 1 } ) + - [ e _ { 2 1 } , e _ { 2 1 } ] + [ e _ { 1 2 } , e _ { 1 2 } ] } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\frac { W _ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ P ~ } } ( N _ { t } ^ { \kappa } + \delta N ) } { W _ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ P ~ } } ( N _ { t } ^ { \kappa } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \delta N _ { \mathrm { ~ f ~ } } = 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \delta N _ { \mathrm { ~ f ~ } } \to 0 , } \\ { 2 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \delta N _ { \mathrm { ~ f ~ } } = \frac { N _ { 0 } } { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { r = 0 } ^ { + \infty } c _ { d } c _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ^ { d } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } ( \delta _ { 1 } + r ) / 2 } \, d r } & { = c _ { 1 } ^ { \prime } c _ { d } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } \delta _ { 1 } / 2 } \int _ { r = 0 } ^ { + \infty } ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ^ { d } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } r / 2 } \, d r } \\ & { = c _ { 1 } ^ { \prime } c _ { d } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } \delta _ { 1 } / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { d ! \, 2 ^ { d - k + 1 } } { k ! \, a _ { \mathrm { l r } } ^ { d - k + 1 } } ( \delta _ { 1 } + 1 ) ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \prod _ { j = 1 } ^ { r } \hat { D } ( \beta _ { j } ) \hat { a } ^ { \dagger } \hat { D } ^ { \dagger } ( \beta _ { j } ) = \prod _ { j = 1 } ^ { r } \left( \hat { a } ^ { \dagger } - \overline { { \beta } } _ { j } \right) . } \end{array}
\phi _ { i j } = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \bigg [ A _ { i j } ( n ) \mathrm { e } ^ { - i \pi n x ^ { - } / L } + A _ { j i } ^ { \dag } ( n ) \mathrm { e } ^ { i \pi n x ^ { - } / L } \bigg ] ,
\frac { \not p _ { 2 } ^ { \prime } \left( \not p - \not q \right) \not p _ { 2 } ^ { \prime } } { ( p - q ) ^ { 2 } + i \delta } = - \not p _ { 2 } ^ { \prime } + \not p _ { 2 } ^ { \prime } \frac { \left( \vec { p } - \vec { q } \right) ^ { 2 } - \alpha \beta s _ { 1 } } { ( 1 - \alpha ) \beta s _ { 1 } + \left( \vec { p } - \vec { q } \right) ^ { 2 } - i \delta } ~ ,
\begin{array} { r l } { E _ { \varepsilon } [ u ] \geq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { u ( x _ { i } ^ { - } ) } ^ { u ( x _ { i } ^ { + } ) } Q \left( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) \right) \, d s \right| } \\ & { \qquad + \operatorname* { i n f } \left\{ \left| \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { \xi _ { 1 } } ^ { \xi _ { 2 } } Q \left( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) \right) \, d s \right| : \xi _ { 1 } \in K , \xi _ { 2 } \in I _ { \rho } \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \prod _ { p \in P _ { k } } { \frac { 1 } { 1 - { \frac { 1 } { p } } } } } & { = \prod _ { p \in P _ { k } } \sum _ { i \geq 0 } { \frac { 1 } { p ^ { i } } } } \\ & { = \left( \sum _ { i \geq 0 } { \frac { 1 } { 2 ^ { i } } } \right) \cdot \left( \sum _ { i \geq 0 } { \frac { 1 } { 3 ^ { i } } } \right) \cdot \left( \sum _ { i \geq 0 } { \frac { 1 } { 5 ^ { i } } } \right) \cdot \left( \sum _ { i \geq 0 } { \frac { 1 } { 7 ^ { i } } } \right) \cdots } \\ & { = \sum _ { \ell , m , n , p , \ldots \geq 0 } { \frac { 1 } { 2 ^ { \ell } 3 ^ { m } 5 ^ { n } 7 ^ { p } \cdots } } } \\ & { = \sum _ { n \in N _ { k } } { \frac { 1 } { n } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( e ^ { \gamma \psi } g _ { \alpha } ) - e ^ { \gamma \psi } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } } & { \lesssim \| \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } e ^ { \gamma \psi } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| g _ { \alpha } ^ { ( s - 1 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } } \\ & { \lesssim \| g _ { \alpha } ^ { ( s - 1 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { ( x , a ) * ( ( y , b ) * ( z , c ) ) = ( x , a ) * ( y \cdot z + \lambda _ { b } ( z ) + \rho _ { c } ( y ) , b \cdot c ) = } \\ { = ( x \cdot ( y \cdot z ) + x \cdot \lambda _ { b } ( z ) + x \cdot \rho _ { c } ( y ) + } \\ { + \lambda _ { a } ( y \cdot z + \lambda _ { b } ( z ) + \rho _ { c } ( y ) ) + \rho _ { b \cdot c } ( x ) , a \cdot ( b \cdot c ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { s ( \xi , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ~ ~ ~ 0 , ~ V _ { z } ( \xi , t ) > \epsilon ( \xi , t ) } \\ { 2 5 5 , ~ V _ { z } ( \xi , t ) \leq \epsilon ( \xi , t ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ^ { \prime } } & { { } = ( n - k + 1 ) ^ { 2 } \approx n ^ { 2 } } \\ { N ^ { \prime } } & { { } = k ^ { 2 } C _ { i } } \\ { M ^ { \prime } } & { { } = C _ { i + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { c \eta _ { t } ^ { 2 } \leq c \eta _ { 0 } ^ { 2 } < \frac { 1 9 2 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } } { K \rho ^ { 2 } } * \frac { \kappa ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 / 3 } } = \frac { 1 9 2 L ^ { 2 } } { K \rho ^ { 2 } } * \frac { \rho ^ { 2 } K ^ { 4 / 3 } } { L ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 / 3 } } = \frac { 1 9 2 K ^ { 1 / 3 } } { w _ { 0 } ^ { 2 / 3 } } \leq \frac { 1 9 2 K ^ { 1 / 3 } } { 1 9 6 K ^ { 1 / 3 } } < 1 , } \end{array}
\int x ^ { m } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } } { m + 2 n \, p + 1 } } \, + \, { \frac { n \, p \, x ^ { m + 1 } \left( 2 a + b \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p - 1 } } { ( m + 1 ) ( m + 2 n \, p + 1 ) } } \, - \, { \frac { b \, n ^ { 2 } p ( 2 p - 1 ) } { ( m + 1 ) ( m + 2 n \, p + 1 ) } } \int x ^ { m + n } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p - 1 } d x
\alpha _ { i j } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \alpha _ { - 1 } } \\ { \alpha _ { - 1 } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \alpha _ { - 1 } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha _ { - 1 } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } \\ { \alpha _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \alpha _ { - 1 } } & { 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \sqrt n } \mathbb { E } \left[ { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } , v _ { 1 } , w _ { 1 } ) \right] = \frac { 1 } { \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } [ u _ { 1 i } v _ { 1 j } w _ { 1 k } W _ { i j k } ] } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ \frac { \partial u _ { 1 i } } { \partial W _ { i j k } } v _ { 1 j } w _ { 1 k } \right] + \mathbb { E } \left[ u _ { 1 i } \frac { \partial v _ { 1 j } } { \partial W _ { i j k } } w _ { 1 k } \right] + \mathbb { E } \left[ u _ { 1 i } v _ { 1 j } \frac { \partial w _ { 1 k } } { \partial W _ { i j k } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { x } ^ { 1 } } & { = } & { \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \frac { - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 + ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } ) } { \left( - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) \left( - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) - \left( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } \right) ^ { 2 } } E _ { 0 } , } \\ { p _ { x } ^ { 2 } } & { = } & { \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \frac { - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 + ( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } ) } { \left( - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) \left( - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } \right) - \left( \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } \right) ^ { 2 } } E _ { 0 } , } \end{array}
c _ { 0 } = \frac { H } { P } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { n _ { j } } { p _ { j } } + l , \; P = p _ { 1 } p _ { 2 } p _ { 3 } , \; H = P \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { q _ { i } } { p _ { i } } = p _ { 1 } p _ { 2 } q _ { 3 } + p _ { 1 } q _ { 2 } p _ { 3 } + q _ { 1 } p _ { 2 } p _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } \left[ \eta _ { T , 1 } \sqrt { \log { N } } + N \exp \left( - C _ { 2 } \frac { \eta _ { T , 1 } ^ { 2 } T } { d _ { N } ^ { 2 } S _ { 2 } } \right) \right] } & { \leq C \left[ \frac { d _ { N } \sqrt { S _ { 2 } } } { \sqrt { T } } \sqrt { \log ( N ) \log ( N \log ( N ) ) } + \frac { 1 } { \log ( N ) } \right] } \\ & { \leq C \left[ \frac { \log ( N ) d _ { N } \sqrt { S _ { 2 } } } { \sqrt { T } } + \frac { 1 } { \log ( N ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { A \propto \frac { \mu _ { B } \mu _ { N } } { a _ { B } ^ { 3 } } \sim \frac { e ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } g _ { N } } { m _ { e } m _ { p } c ^ { 2 } a _ { B } ^ { 3 } } \, , } \end{array}
[ d \Phi ] [ d \Phi ^ { \dagger } ] [ d \zeta ] [ d \zeta ^ { \dagger } ] = \Pi _ { x , a } \frac { d \Phi _ { a } ( x ) d \Phi _ { a } ^ { \dagger } ( x ) } { 2 \pi i } d \zeta _ { a } ( x ) d \zeta _ { a } ^ { \dagger } ( x ) \, .
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = D ( L ) \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D ( L ^ { \prime \prime } ) } d L ^ { \prime \prime } } \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle E _ { z } ( 3 0 ) \rangle } & { { } = E _ { 0 } \cdot 3 0 ^ { \alpha } } \\ { \langle E _ { z } ( 1 0 0 ) \rangle } & { { } = E _ { 0 } \cdot 1 0 0 ^ { \alpha } } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } U _ { m } \left( T _ { 0 } \right) + \frac { \partial } { \partial t } \left( a T _ { 0 } ^ { 4 } \right) = \nabla \cdot \frac { 1 } { 3 \sigma _ { a } } \nabla \left( a c T _ { 0 } ^ { 4 } \right)
\cos { \frac { \gamma } { 2 } } + \sin { \frac { \gamma } { 2 } } \mathbf { C } = \left( \cos { \frac { \beta } { 2 } } \cos { \frac { \alpha } { 2 } } - \sin { \frac { \beta } { 2 } } \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } \cdot \mathbf { A } \right) + \left( \sin { \frac { \beta } { 2 } } \cos { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } + \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \cos { \frac { \beta } { 2 } } \mathbf { A } + \sin { \frac { \beta } { 2 } } \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } \times \mathbf { A } \right) .
S _ { 2 } ^ { M } = \left\{ { \frac { 1 } { 2 N _ { p a r } ^ { M } } } \sum _ { i j } ( P ^ { t } - P ^ { t ( n o \: \rho ) } ) _ { i } ( W ^ { t } + W ^ { t ( n o \: \rho ) } ) _ { i j } ^ { - 1 } ( P ^ { t } - P ^ { t ( n o \: \rho ) } ) _ { j } \right\} ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { P ^ { \omega } ( R > M \, | \, E _ { \ell } ) } & { = P ^ { \omega } \big ( \exists k \in \{ 1 , \dots , \ell \} : \, R _ { k } > M / \ell \mathrm { ~ a n d ~ } R _ { j } < M / \ell \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ j < k ~ } \, | \, E _ { \ell } \big ) } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } P ^ { \omega } \big ( R _ { k } > M / \ell \, \big | \, A _ { k , \ell } \big ) , } \end{array}
I _ { \mu \nu } \lesssim \pi N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } R _ { \nu } ^ { 2 } } \sum _ { k } ^ { l _ { \mu \nu } } | L _ { \mu \nu } ^ { k } ( R _ { \nu } ) | \frac { \sqrt { \pi } } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { ( k + 3 ) / 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ ( ~ c ~ a ~ s ~ e ~ A ~ ) ~ } ~ ~ ~ \kappa _ { e f f } = 0 ~ } & { { } \rightarrow ~ ~ ~ M _ { e f f } = 0 } \\ { \mathrm { ~ ( ~ c ~ a ~ s ~ e ~ B ~ ) ~ } ~ ~ ~ \kappa _ { e f f } = 0 . 5 ~ } & { { } \rightarrow ~ ~ ~ M _ { e f f } = 1 } \end{array}
\tilde { E } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] = \gamma \int d ^ { 3 } r \, n ( { \bf r } ) \epsilon _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X } } ^ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ f ~ } } [ n ] ( { \bf r } ) \, \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ( r _ { s } / \gamma , \zeta , s , \alpha , q ) \, .
\frac { \partial \ln Z _ { \alpha } } { \partial \beta } = \frac { 1 } { Z _ { \alpha } } \frac { \partial Z _ { \alpha } } { \partial \beta } = - \frac { \int _ { \Omega _ { \alpha } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } \ U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } { \int _ { \Omega _ { \alpha } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } } = - \left< U \right> _ { \alpha } \ .
\frac { d \Gamma } { \Gamma _ { 0 } d \ y } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } R x _ { 1 } x _ { 2 } d x _ { 1 } d x _ { 2 } d c _ { 1 } \frac { d \Omega _ { 2 } } { 2 \pi } \ ,
\sum _ { \nu \in { \cal R } } ( L ^ { - } ) _ { \mu \nu } \, e ^ { W } = \left( p \cdot \mu - i \omega q \cdot \mu + i \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } { \frac { \rho \cdot \mu } { \rho \cdot q } } \right) \, e ^ { W } = \mu \cdot \! \left( p + i { \frac { \partial W } { \partial q } } \right) e ^ { W } = 0 ,
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { P } _ { a } ( n ) = \{ f \in \mathcal { P } ( n ) : f ( 0 ) = a \} } & & { ( a \in \mathbf { F } _ { q } ) , } \\ & { \mathcal { P } _ { a } ^ { * } ( n ) = \{ f \in \mathcal { P } ^ { * } ( n ) : f ( 0 ) = a \} } & & { ( a = \pm 1 ) , } \\ & { \mathcal { P } _ { a } ^ { \dagger } ( n ) = \{ f \in \mathcal { P } ^ { \dagger } ( n ) : f ( 0 ) = a \} } & & { ( a \in U ) . } \end{array}
| \Phi \rangle = \sum _ { n _ { 1 } , . . . , n _ { i } , . . . ; \mathrm { w i t h } \sum _ { i } n _ { i } = N } C _ { n _ { 1 } , . . . , n _ { i } , . . . } | n _ { 1 } , n _ { 1 } , . . . , n _ { i } , . . . \rangle
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Phi } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L } } & { = \mathbf { { \Phi } } _ { j } + \frac { \Delta x } { 2 } \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j } + \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 1 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { \Phi } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { j } , } \\ { \mathbf { \Phi } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { R } } & { = \mathbf { { \Phi } } _ { j + 1 } - \frac { \Delta x } { 2 } \left( \frac { \partial \mathbf { \Phi } } { \partial x } \right) _ { j + 1 } + \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 1 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { \Phi } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { j + 1 } \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } = } & { \{ ( R , P ) \mid \lvert R ( s , a ) - R _ { 0 } ( s , a ) \rvert \leq \alpha _ { s , a } , } \\ & { \qquad \lVert P ( \cdot | s , a ) - P _ { 0 } ( \cdot | s , a ) \rVert _ { 1 } \leq \beta _ { s , a } , P \in ( \Delta _ { \mathcal { S } } ) ^ { \mathcal { S } \times \mathcal { A } } \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega _ { T } } M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla \frac { \phi - \Pi _ { N } \phi } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { T } } M _ { 0 } \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla ( \phi - \Pi _ { N } \phi ) d x d t } \\ & { } & { - \int _ { \Omega _ { T } } ( \phi - \Pi _ { N } \phi ) \sqrt { M _ { 0 } } \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t } \\ & { = } & { J _ { 1 } ^ { N } - J _ { 2 } ^ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underbrace { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \mathrm { d } _ { t } \psi } _ { \epsilon ^ { 2 } } = } & { { } \underbrace { v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi } _ { \epsilon ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \bf k } ^ { A B } ( \tau ) } & { { } = \theta ( \tau ) \frac { 1 } { \hbar } \int d q \, \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { B } e ^ { - \frac { i } { \hbar } \epsilon _ { { \bf k } , q } ^ { E } \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \phi ^ { 2 } \rangle \equiv \frac 1 { \Delta t } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { i + 1 } } \phi ^ { 2 } ( t ) d t } \\ & { = \frac { \rho _ { \mathrm { D M } } } { 2 m ^ { 2 } } \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } \alpha _ { k } \Delta v \sqrt { f ( v _ { j } ) f ( v _ { k } ) } } \\ & { \times \frac { \sin [ m \Delta t ( v _ { k } ^ { 2 } - v _ { j } ^ { 2 } ) / 4 ] \cos [ m \bar { t } _ { i } ( v _ { k } ^ { 2 } - v _ { j } ^ { 2 } ) / 2 + \Delta \varphi _ { k j } ] } { m \Delta t ( v _ { k } ^ { 2 } - v _ { j } ^ { 2 } ) / 4 } \, , } \end{array}
\mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \mathbf { B } _ { 1 } } & { \mathbf { C } _ { 1 } } & & & { \cdots } & & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { A } _ { 2 } } & { \mathbf { B } _ { 2 } } & { \mathbf { C } _ { 2 } } & & & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & & & { \vdots } \\ & & { \mathbf { A } _ { k } } & { \mathbf { B } _ { k } } & { \mathbf { C } _ { k } } & & \\ { \vdots } & & & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & & & { \mathbf { A } _ { n - 1 } } & { \mathbf { B } _ { n - 1 } } & { \mathbf { C } _ { n - 1 } } \\ { \mathbf { 0 } } & & { \cdots } & & & { \mathbf { A } _ { n } } & { \mathbf { B } _ { n } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { u \, | u | ^ { 2 k } - v \, | v | ^ { 2 k } } & { = ( u - v ) | u | ^ { 2 k } + v \left( | u | ^ { 2 k } - | v | ^ { 2 k } \right) } \\ & { = ( u - v ) | u | ^ { 2 k } + v \left( | u | ^ { 2 } - | v | ^ { 2 } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { k } | u | ^ { 2 k - 2 j } | v | ^ { 2 j - 2 } } \\ & { = ( u - v ) | u | ^ { 2 k } + v \left[ ( u - v ) \overline { { u } } + v ( \overline { { u - v } } ) \right] \sum _ { j = 1 } ^ { k } | u | ^ { 2 k - 2 j } | v | ^ { 2 j - 2 } . } \end{array}