harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { L } \left( \mathcal { N } ^ { L } ( { \bf x } , t , { \bf \phi } ) \right) } { \partial { \bf Z } ^ { l } } = \left[ \left( { \bf W } ^ { l + 1 } \right) ^ { \top } \left( \frac { \partial \mathcal { L } \left( \mathcal { N } ^ { L } ( { \bf x } , t , { \bf \phi } ) \right) } { \partial { \bf Z } ^ { l + 1 } } \right) \right] \odot \frac { \partial \sigma ( { \bf Z } ^ { l } ) } { \partial { \bf Z } ^ { l } } \; , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \langle F _ { 1 } \rangle + { \bf B } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \left( \frac { \langle F _ { 1 } \rangle v _ { 1 } } { B } \right) - \boldsymbol { \nabla } _ { \perp } \boldsymbol { \cdot } \mu \boldsymbol { \nabla } _ { \perp } \langle F \rangle = S _ { 1 }
\begin{array} { r l } { \grave { \uppsi } = } & { { } ~ \partial _ { t } \uppsi + \mathbf { v } _ { \alpha } \cdot \nabla \uppsi , } \\ { \dot { \uppsi } = } & { { } ~ \partial _ { t } \uppsi + \mathbf { v } \cdot \nabla \uppsi . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { R I N } } ^ { 2 } = \frac { \eta _ { m } \kappa _ { m } \mathrm { R I N } \Delta f \cdot \gamma ( P _ { \mathrm { S } } T / h \nu _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \eta _ { m } \kappa _ { m } ( P _ { \mathrm { L O } } T / N h \nu _ { 0 } ) ( P _ { \mathrm { S } } T / N h \nu _ { 0 } ) } = \frac { N ^ { 2 } } { T } 2 c _ { \gamma ^ { 2 } } \mathrm { R I N } \, .
\begin{array} { r l } & { \{ \pi \in \mathcal { P } _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } ) : { \pi _ { 1 } } _ { \# } \pi = \mu \} } \\ & { \quad = \{ \mu \times \pi _ { x } : \pi _ { x } ~ \mathrm { i s ~ a ~ M a r k o v ~ k e r n e l } \} } \\ & { \quad = \{ \mu \times ( \mathcal { T } ( x , \cdot ) _ { \# } P _ { Z } ) : \mathcal { T } \colon \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } \to \mathbb { R } ^ { d } ~ \mathrm { m e a s u r a b l e } \} . } \end{array}
M _ { s d b c u } ^ { I I I } = \frac { 3 i G _ { F } f ( m _ { 1 } \! + \! m _ { 2 } \! + \! m _ { 3 } ) m _ { d } m _ { c } V _ { u } ^ { s } V _ { c } ^ { d * } } { 2 \sqrt { 2 } m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } } \left[ 1 \! - \! \left( \frac { m _ { s } \! \! + \! m _ { u } } { m _ { c } \! \! + \! m _ { d } } \right) ^ { 2 } \right] ( m _ { d } \! \! - \! m _ { c } ) ( m _ { 1 } \! - \! m _ { 2 } \! - \! m _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { p _ { G _ { * } } } \| ( \Delta \widehat { \mu } _ { n } , \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } ) \| ^ { 2 } ( \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } E _ { p _ { G _ { * } } } ( \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } - E _ { p _ { G _ { * } } } \| ( \Delta \widehat { \mu } _ { n } , \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } ( \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } \left( E _ { p _ { G _ { * } } } ( \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } - \frac { E _ { p _ { G * } } \left\| ( \Delta \widehat { \mu } _ { n } , \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \right\| ^ { 2 } ( \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } } { \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } } \right) } \\ & { \gtrsim \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| E _ { p _ { G _ { * } } } ( \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } , } \end{array}
- i { \frac { \gamma ^ { + } ( m - \gamma \cdot p ) \gamma ^ { + } } { m ^ { 2 } + p ^ { 2 } } } \to { \frac { - i p ^ { + } \gamma ^ { + } \gamma ^ { - } \gamma ^ { + } } { m ^ { 2 } - 2 p ^ { + } p ^ { - } } } = { \frac { i \gamma ^ { + } } { p ^ { -- } m ^ { 2 } / 2 p ^ { + } } } ,
\Gamma ( \mathbf { u } ) : = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - n _ { 1 } ^ { 2 } } & { - n _ { 1 } n _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - n _ { 1 } n _ { 2 } } & { 1 - n _ { 2 } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \mathbf { u } = \mathbf { u } _ { \Gamma } , \qquad \mathrm { o n } ~ \Gamma .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \hat { a } } { d t } } & { = } & { ( i \tilde { \Delta } _ { A } + i \zeta _ { A } \hat { q } _ { A } - i \xi _ { m } ^ { A } \hat { Q } _ { A } - \kappa _ { A } ) \hat { a } - \eta _ { A } + \sqrt { 2 \kappa _ { A } } \hat { c } _ { i n } - i J \hat { b } , } \\ { \frac { d \hat { b } } { d t } } & { = } & { ( i \Delta _ { B } ^ { ' } + i \zeta _ { B } \hat { q } _ { B } - i \xi _ { m } ^ { B } \hat { Q } _ { B } - \kappa _ { B } ) \hat { b } - \eta _ { B } + \sqrt { 2 \kappa _ { B } } \hat { d } _ { i n } - i J \hat { a } , } \\ { \frac { d \hat { p } _ { A } } { d t } } & { = } & { - \omega _ { m } ^ { A } \hat { q } _ { A } + \xi _ { A } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \gamma _ { m } ^ { A } \hat { p } _ { A } + \hat { I } _ { A } ( t ) , } \\ { \frac { d \hat { p } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \omega _ { m } ^ { B } \hat { q } _ { B } + \xi _ { B } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } - \gamma _ { m } ^ { B } \hat { p } _ { B } + \hat { I } _ { B } ( t ) , } \\ { \frac { d \hat { q } _ { A } } { d t } } & { = } & { - \omega _ { m } ^ { A } \hat { p } _ { A } , } \\ { \frac { d \hat { q } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \omega _ { m } ^ { B } \hat { p } _ { B } , } \\ { \frac { d \hat { P } _ { A } } { d t } } & { = } & { \Omega _ { A } \hat { Q } _ { A } + \xi _ { m } ^ { A } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \gamma _ { s m } ^ { A } \hat { P } _ { A } + \hat { I } _ { 1 m } ^ { A } ( t ) , } \\ { \frac { d \hat { P } _ { B } } { d t } } & { = } & { \Omega _ { B } \hat { Q } _ { B } + \xi _ { m } ^ { B } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } - \gamma _ { s m } ^ { B } \hat { P } _ { B } + \hat { I } _ { 1 m } ^ { B } ( t ) , } \\ { \frac { d \hat { Q } _ { A } } { d t } } & { = } & { - \Omega _ { A } \hat { P } _ { A } - \gamma _ { s m } ^ { A } \hat { Q } _ { A } + \hat { I } _ { 2 m } ^ { A } ( t ) , } \\ { \frac { d \hat { Q } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \Omega _ { B } \hat { P } _ { B } - \gamma _ { s m } ^ { B } \hat { Q } _ { B } + \hat { I } _ { 2 m } ^ { B } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } } & { { } = q \int d \Omega f } \\ { \textbf { P } } & { { } = - 3 \mu \int d \Omega \frac { \textbf { s } \times \textbf { p } } { 2 m c } f } \\ { \textbf { J } _ { f } } & { { } = q \int d \Omega \Big [ \frac { \textbf { p } } { m } + \frac { 3 \mu } { 2 m c } \mathbf { E } \times \textbf { s } \Big ] f } \\ { \textbf { M } } & { { } = 3 \mu \int d \Omega \, \textbf { s } f } \end{array}
f _ { V , A , T } ( E _ { \gamma } ) \approx \frac { f _ { B _ { s } } M _ { B _ { s } } } { 2 E _ { \gamma } } \frac { 1 } { 3 \bar { \Lambda } _ { s } } = \frac { 1 } { 3 } \frac { f _ { B } } { \bar { \Lambda } _ { s } } \frac { 1 } { x _ { \gamma } }
M = \frac { 1 } { 2 } \left| \begin{array} { c c } { { E _ { \nu } \Delta F \cos 2 \theta - 2 \sqrt { 2 } G _ { F } n _ { e } ( r ) } } & { { E _ { \nu } \Delta F \sin 2 \theta } } \\ { { E _ { \nu } \Delta F \sin 2 \theta E _ { \nu } } } & { { - E _ { \nu } \Delta F \cos 2 \theta } } \end{array} \right| ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { R a b i } } } & { = \hat { H } _ { \mathrm { M } } + \hat { H } _ { \mathrm { p } } + \sqrt { \frac { \omega } { 2 } } \boldsymbol { \lambda } \cdot \hat { \mathbf { D } } ( \hat { \sigma } + \hat { \sigma } ^ { \dag } ) ( \hat { a } ^ { \dag } + \hat { a } ) , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { R W A } } } & { = \hat { H } _ { \mathrm { M } } + \hat { H } _ { \mathrm { p } } + \sqrt { \frac { \omega } { 2 } } \boldsymbol { \lambda } \cdot \mathbf { D } _ { g e } ( \hat { \sigma } _ { g e } \hat { a } ^ { \dag } + \hat { \sigma } _ { g e } ^ { \dag } \hat { a } ) + \hat { H } _ { \mathrm { D S E } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { g } ^ { I J } } & { = \frac { 1 } { 1 + 2 \rho a ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { a ^ { 2 } } & { - t ^ { - 1 } a ^ { j } } & { t ^ { - 1 } } \\ { - t ^ { - 1 } a ^ { i } } & { t ^ { - 2 } ( 1 + 2 \rho a ^ { 2 } ) g ^ { i j } - 2 t ^ { - 2 } \rho a ^ { i } a ^ { j } } & { 2 t ^ { - 2 } \rho a ^ { i } } \\ { t ^ { - 1 } } & { 2 t ^ { - 2 } \rho a ^ { j } } & { - t ^ { - 2 } 2 \rho } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widehat { p } _ { 1 } ( v , q , w , r ) } & { = } & { \frac { d \widehat { u } _ { 0 } ( v ) } { d v } q = \frac { A q } { 1 - 3 \widehat { u } _ { 0 } ^ { 2 } ( v ) } , } \\ { \widehat { u } _ { 1 } ( v , q , w , r ) } & { = } & { \frac { B _ { 1 } w + C _ { 1 } } { 1 - 3 \widehat { u } _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
S = 2 \Phi _ { I } \Phi _ { B } \approx - \sum _ { i = I , B } ^ { } { \Phi _ { i } \ln \Phi _ { i } } \enspace \enspace \mathrm { ~ ( ~ D ~ u ~ a ~ l ~ - ~ S ~ t ~ a ~ t ~ e ~ E ~ n ~ t ~ r ~ o ~ p ~ y ~ E ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ } .
\begin{array} { r } { \omega _ { j } = ( \dot { \theta } \cos \varphi + \dot { \psi } \sin \theta \sin \varphi , \quad \dot { \theta } \sin \varphi - \dot { \psi } \sin \theta \cos \varphi , \quad \dot { \varphi } + \dot { \psi } \cos \theta ) , } \end{array}
\mathrm { ~ \stackrel { n } { X } ~ ^ { M _ { 1 } . . . M _ { n } } ~ } ( z ) = { \cal N } \frac { \partial ( z ^ { M _ { 1 } } , . . . , z ^ { M _ { n } } ) } { \partial ( x ^ { 1 } , . . . , x ^ { n } ) } ,
\frac { \Gamma ( B \to X _ { s } \, e ^ { + } e ^ { - } ) } { \Gamma ( B \to X _ { c } \, e ^ { - } \bar { \nu } _ { e } ) } = \frac { | \kappa _ { L } ^ { b s } | ^ { 2 } + | \kappa _ { R } ^ { b s } | ^ { 2 } } { f ( m _ { c } / m _ { b } ) \, | V _ { c b } | ^ { 2 } } \left[ ( C _ { L } ^ { e } ) ^ { 2 } + ( C _ { R } ^ { e } ) ^ { 2 } \right] \approx 1 5 7 \left( | \kappa _ { L } ^ { b s } | ^ { 2 } + | \kappa _ { R } ^ { b s } | ^ { 2 } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \forall n = 1 , \dots N _ { T } , \ e ^ { n } } & { : = \sqrt { \mu } ( \nabla u _ { h } ^ { n } - \nabla u ( t ^ { n } ) ) = \sqrt { \mu } ( ( \nabla u _ { h } ^ { n } - \nabla P _ { h } ^ { 1 } u ( t ^ { n } ) ) + ( \nabla P _ { h } ^ { 1 } u ( t ^ { n } ) - \nabla u ( t ^ { n } ) ) ) , } \\ & { = \sqrt { \mu } ( \nabla \theta ^ { n } + \nabla \rho ^ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { S } _ { n } ^ { x } = - \Delta S _ { n } ^ { y } , } \\ { \dot { S _ { n } ^ { y } } = \Delta S _ { n } ^ { x } - \sum _ { q } g _ { n } ^ { q } u _ { q } S _ { n } ^ { z } } \\ { \dot { S _ { n } ^ { z } } = \sum _ { q } g _ { n } ^ { q } u _ { q } S _ { n } ^ { y } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( r , z , \eta \right) \equiv \frac { l _ { q } } { \hat { R } _ { 0 } } \left( \hat { r } , \hat { z } , \hat { \eta } \right) , \quad t \equiv { \left( l _ { q } \frac { g } { \hat { R } _ { 0 } } \right) } ^ { 1 / 2 } \hat { t } , \quad \phi \equiv { \left( \frac { l _ { q } ^ { 3 } } { \hat { R } _ { 0 } ^ { 3 } g } \right) } ^ { 1 / 2 } \hat { \phi } } \end{array}
{ \textrm { E f f i c i e n c y } } = { \frac { | w _ { \mathrm { c y } } | } { q _ { \mathrm { H } } } } = { \frac { q _ { \mathrm { H } } + q _ { \mathrm { C } } } { q _ { \mathrm { H } } } } = 1 + { \frac { q _ { \mathrm { C } } } { q _ { \mathrm { H } } } } = 1 - { \frac { | q _ { \mathrm { C } } | } { | q _ { \mathrm { H } } | } } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 1 )
\vec { \nabla } ^ { \prime } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) = \vec { \nabla } ^ { \prime } | _ { t _ { r e t } } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) - \vec { \nabla } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) .
M _ { A D M } = \frac { 2 \pi m } { \kappa ^ { 2 } } l _ { 1 } l _ { 2 } l _ { 3 } l _ { 4 } V _ { 3 } ( \cosh 2 \alpha _ { 1 } + \cosh 2 \alpha _ { 2 } + \cosh 2 \beta _ { 1 } + \cosh 2 \beta _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle } & { = \frac { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } + \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) } { 1 + \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) } = f \bigl ( \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } , \beta J _ { i j } \bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { J } } ) : = \{ u \in \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \, | \, \exists ( u _ { j } ) _ { j \in \mathbb { N } } \subset \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \Delta _ { \mathcal { J } } ) , \, \lVert u - u _ { j } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \xrightarrow [ j \rightarrow + \infty ] 0 \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ^ { D } ( t ) } & { = F _ { 1 } ^ { P } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } F ^ { \prime \prime } ( t ) } \\ { * [ 1 m m ] F _ { 2 } ^ { D } ( t ) } & { = F _ { 2 } ^ { P } ( t ) - \frac { 1 } { 2 } F _ { 1 } ^ { P } \! \! \phantom { | } ^ { \prime \prime } ( t ) - \frac { 5 } { 1 2 } F ^ { \prime } ( t ) - \frac { t } { 6 } F ^ { \prime \prime } ( t ) + \frac { 1 } { 8 } F ^ { ( 4 ) } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { { a } } } } & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) a d r _ { x } - \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) \frac { \partial a } { \partial x } r _ { x } d r _ { x } + \frac { 1 } { 2 ! } \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) \frac { \partial ^ { 2 } a } { \partial x ^ { 2 } } r _ { x } ^ { 2 } d r _ { x } + \dots } \\ & { = } & { a \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) d r _ { x } - \frac { \partial a } { \partial x } \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) r _ { x } d r _ { x } + \frac { 1 } { 2 ! } \frac { \partial ^ { 2 } a } { \partial x ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) r _ { x } ^ { 2 } d r _ { x } + \dots } \end{array}
\langle X ^ { \alpha } { } _ { \! \beta } \rangle \sim \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 3 } } \end{array} \right) V _ { X }
\boxed { \begin{array} { r l } & { \left[ \lambda _ { 2 } + a ( \lambda _ { 2 } ) + ( 1 - \gamma \kappa ^ { 2 } ) b ( \lambda _ { 2 } ) - \frac { \gamma \kappa } { 3 } r ( \lambda _ { 1 } ) \right] \eta = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \theta _ { 2 i } \rho _ { 1 i } \rho _ { 2 i } - { \gamma } \kappa \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \rho _ { 1 i } ^ { 2 } \rho _ { 2 i } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \vec { \Omega } _ { N _ { s } } = } & { { } \vec { \Omega } _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \vec { T } _ { i } } \\ { < } & { { } \vec { \Omega } _ { 1 } + N _ { s } \vec { T } _ { 1 } + N _ { s } | \vec { T } _ { N _ { s } } - \vec { T } _ { 1 } | } \\ { = } & { { } \vec { \Omega } _ { 1 } + N _ { s } \vec { T } _ { 1 } + O ( \Delta t ^ { 5 / 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mu _ { n } ) _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n - 1 } } ^ { j _ { 0 } , \bar { j } _ { 1 } \dots , \bar { j } _ { n - 1 } } } & { = \prod _ { l = 2 } ^ { n - 1 } h _ { j _ { 0 } - \frac { l - 2 } { 2 } - \frac { i _ { l - 1 } } { 2 } , \bar { J } _ { l - 1 } + \frac { l - 2 } { 2 } - \frac { i _ { l - 1 } } { 2 } } \sqrt { ( 2 \bar { J } _ { l - 1 } + l ) ( 2 \bar { j } _ { l } + 1 ) ( 2 J _ { l - 1 } - 2 i _ { l - 1 } + 1 ) } } \\ & { \times \left( \prod _ { l = 1 } ^ { n - 2 } \lambda _ { j _ { 0 } - \frac { l - 1 } { 2 } , \bar { J } _ { l } + \frac { l - 1 } { 2 } ; i _ { l } } \lambda _ { j _ { 0 } - \frac { l } { 2 } , \bar { J } _ { l } + \frac { l } { 2 } ; i _ { l } } ^ { - 1 } \right) \lambda _ { j _ { 0 } - \frac { n - 2 } { 2 } , \bar { J } _ { n - 1 } + \frac { n - 2 } { 2 } ; i _ { n - 1 } } } \\ & { \times \prod _ { l = 2 } ^ { n - 1 } \left\{ \begin{array} { l l l } { \bar { J } _ { l - 1 } + \frac { l _ { 1 } } { 2 } } & { j _ { 0 } - \frac { l - 1 } { 2 } } & { J _ { l - 1 } - i _ { l - 1 } } \\ { J _ { l } - i _ { l } } & { \bar { j } _ { l } } & { \bar { J } _ { l } + \frac { l - 1 } { 2 } } \end{array} \right\} . } \end{array}
R \equiv ( c ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) ) ^ { 2 } + ( c ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) ) ^ { 2 } + c ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) c ^ { \alpha _ { 2 } ^ { \prime } \alpha _ { 1 } ^ { \prime } } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) \, \Omega ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { \prime } } \, \Omega ^ { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r } { E _ { k } \left[ \mathcal { J } _ { m , k } \left( \xi _ { m , k + 1 } - 1 - \psi _ { m , k } \right) + \mathcal { J } _ { m , k } ^ { ' } ( - \psi _ { m , k } ) \right] } \\ { = \mathcal { J } _ { m , k } \bigg ( { \cal M } ( \theta _ { m , k } ) - 1 - { \psi } _ { m , k } \bigg ) + \mathcal { J } _ { m , k } ^ { ' } ( - { \psi } _ { m , k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F \Big ( \frac { p ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \Big ) } & { = } & { ( 2 - d ) \left( 2 G \Big ( \frac { p ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \Big ) - G \Big ( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } \Big ) \right) - \frac { 2 p ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \left( 4 G \Big ( \frac { p ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \Big ) - G \Big ( \frac { p ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } \Big ) \right) } \\ { * } & { = } & { 2 6 - d + \frac { 3 d p ^ { 2 } } { 1 0 M ^ { 2 } } - \frac { 3 3 p ^ { 2 } } { 5 M ^ { 2 } } + { \cal O } \big ( M ^ { - 4 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { S } \left( \mathcal { L } _ { S S } - \mathcal { L } _ { P P } \right) } & { = } & { 2 S \left( \mathcal { L } _ { S S } \mathcal { L } _ { P P } - \mathcal { L } _ { S P } ^ { 2 } \right) \, , } \\ { \mathcal { L } _ { S } \mathcal { L } _ { S P } } & { = } & { P \left( \mathcal { L } _ { S S } \mathcal { L } _ { P P } - \mathcal { L } _ { S P } ^ { 2 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } & { = t _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } + \sqrt { \frac { \mathrm { V a r } ( \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ) } { n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } } G _ { t } , } \\ { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) } & { = p _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) + \sqrt { \frac { \mathrm { V a r } ( \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ) } { M _ { \mathrm { r e a l } } } } G _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } + \omega _ { A } ^ { 2 } ( x ) - \hat { \rho } ^ { 2 } \omega _ { A } ^ { 2 } ( x ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) \delta B _ { y } ( x , t ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { I } _ { k , \eta } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { [ t _ { | k | , \eta } , t _ { | k | - 1 , \eta } ] \quad } & { \mathrm { i f } \ \eta k \geq 0 \ \mathrm { a n d ~ } 1 \leq | k | \leq \mathrm { E } ( \sqrt { | \eta | } ) , } \\ & { \emptyset \quad } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\int \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } q ^ { \mu _ { 1 } } q ^ { \mu _ { 2 } } \ldots q ^ { \mu _ { n } } f _ { Q } \left( q ^ { 2 } + i \epsilon \right) f _ { G } \left( ( p - q ) ^ { 2 } + i \epsilon \right)
( n n _ { \textbf { p r o j } } ( z ( t ) ) = \rho \, \sinh [ \theta _ { 2 } \theta _ { 1 } \rho ^ { T } z ( t ) + \theta _ { 2 } \theta _ { 1 } \bar { x } + \theta _ { 2 } b _ { 1 } + b _ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { \theta ^ { a } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c } \gamma _ { a } \left[ \Delta E + \ln \left( \frac { 1 + \frac { c } { K _ { 0 } } } { 1 + \frac { c } { K _ { 1 } } } \right) \right] ^ { 2 } \left( 1 + \frac { c } { \sqrt { K _ { 0 } K _ { 1 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) - O C E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) ) } \\ & { \overset { ( 1 ) } { = } \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \{ \lambda + E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda ) ] \} - \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \{ \lambda + E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda ) ] \} } \\ & { \overset { ( 2 ) } { \leq } \lambda _ { h + 1 } ^ { * } + E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } [ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) ] - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } [ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) ] } \\ & { \overset { ( 3 ) } { \leq } \left\vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right\vert \sqrt { \frac { 2 \log ( \frac { S A H K } { \delta } ) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \vert u ( H - h - \lambda ) - u ( - \lambda ) \vert \sqrt { \frac { 2 \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( B ^ { z } ) ^ { n + 1 } } & { = ( B ^ { z } ) ^ { n } - \Delta t \left( ( E ^ { y } ) ^ { n } \mathscr D _ { x } - ( E ^ { x } ) ^ { n } \mathscr D _ { y } \right) } \\ { ( E ^ { x } ) ^ { n + 1 } } & { = ( E ^ { x } ) ^ { n } + \Delta t ( B ^ { z } ) ^ { n } \mathscr D _ { y } ^ { \prime } - \Delta t ^ { 2 } \left( ( E ^ { y } ) ^ { n } \mathscr D _ { x } \mathscr D _ { y } ^ { \prime } - ( E ^ { x } ) ^ { n } \mathscr D _ { y } \mathscr D _ { y } ^ { \prime } \right) } \\ { ( E ^ { y } ) ^ { n + 1 } } & { = ( E ^ { y } ) ^ { n } - \Delta t ( B ^ { z } ) ^ { n } \mathscr D _ { x } ^ { \prime } + \Delta t ^ { 2 } \left( ( E ^ { y } ) ^ { n } \mathscr D _ { x } \mathscr D _ { x } ^ { \prime } - ( E ^ { x } ) ^ { n } \mathscr D _ { y } \mathscr D _ { x } ^ { \prime } \right) } \end{array}
\widetilde { X } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } ( 0 1 0 ) ( N = 1 ^ { - } ) \rightarrow \widetilde { B } ^ { 2 } \Sigma ^ { + } ( 0 0 0 ) ( N ^ { \prime } = 0 , J ^ { \prime } = 1 / 2 ^ { + } )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \widehat { Z } _ { i j } ^ { ( \ell ) } } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \phi ^ { - 1 } \Big ( \frac { \ell } { n + 1 } \Big ) = 0 } \\ { \frac { 1 } { n } \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \Big ( \widehat { Z } _ { i j } ^ { ( \ell ) } \Big ) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \bigg ( \phi ^ { - 1 } \Big ( \frac { \ell } { n + 1 } \Big ) \bigg ) ^ { 2 } , } \end{array}
L _ { \gamma } ^ { A } = \frac { g _ { e } } { \Lambda } \overline { { { t } } } \sigma _ { \mu \nu } \left[ ( A _ { u } ^ { t } + B _ { u } ^ { t } \gamma _ { 5 } ) u + ( A _ { c } ^ { t } + B _ { c } ^ { t } \gamma _ { 5 } ) c \right] F ^ { \mu \nu } + h . c .
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) \right| } & { \leq c \log ^ { - 1 } ( 1 + N ) \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \widehat { f } ( m ) | \log \left( 1 + \Vert m \cdot \alpha \Vert ^ { - 1 } \right) } \\ & { \leq c \log ^ { - 1 } ( 1 + N ) \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \widehat { f } ( m ) | \log \left( 1 + H ^ { - 1 } | m | ^ { \sigma } \right) } \\ & { \leq c \log ^ { - 1 } ( 1 + N ) \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \widehat { f } ( m ) | \log \left( 1 + | m | \right) . } \end{array}