harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { L \to 0 , D \to 0 } | z | = \operatorname* { l i m } _ { L \to 0 , D \to 0 } \left| - \frac { 2 L ^ { \alpha + 1 } \gamma } { \alpha D + D } \right| = \infty \qquad \mathrm { f o r } \quad - 1 < \alpha < 0 \ . } \end{array}
\alpha _ { s } ^ { - 1 } ( m _ { Z } ) = { \frac { 1 } { 2 } } ~ [ 3 \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } ( m _ { Z } ) - \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } ( m _ { Z } ) ] - { \frac { 3 } { 5 \pi } } \ln [ { \frac { M _ { 3 } } { M _ { 2 } } } ] + T _ { L } + \delta _ { 2 l o o p } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. Q _ { t , i } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } & { \le Q _ { T _ { 0 } , i } + \mathbb E \left[ \left. \sum _ { s = T _ { 0 } } ^ { t - 1 } \mathbb E \left[ \left. \left\lvert Q _ { s + 1 , i } - Q _ { s , i } \right\rvert \right\rvert \mathcal F _ { s } \right] \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \le Q _ { T _ { 0 } , i } + ( t - T _ { 0 } ) M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { k } ( x _ { 0 } ) \cap \{ u > 0 \} } } & { | \nabla u | ^ { p } + ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ u > 0 \} } \, d x } \\ & { \leq p ( C \varepsilon ) ^ { p - 1 } C _ { 0 } \int _ { B _ { k } ( x _ { 0 } ) \cap \{ u > 0 \} } | \nabla u | ^ { p } + ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ u > 0 \} } \, d x , } \end{array}
\pi _ { \boldsymbol { X } , C _ { 1 } , \Sigma _ { b } | \boldsymbol { Y } , \langle \boldsymbol { D } \rangle } \left( \cdot | \boldsymbol { y } _ { 2 } ^ { * } , \langle \boldsymbol { d } _ { 2 } ^ { * } \rangle \right)
\begin{array} { r l } { x _ { i _ { 1 } } + x _ { j _ { 1 } } \leq 2 x _ { k _ { 1 } } } & { \leq \operatorname* { m i n } ( x _ { i _ { 1 } } + x _ { j _ { 2 } } , x _ { i _ { 2 } } + x _ { j _ { 1 } } ) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } ( x _ { i _ { 1 } } + x _ { j _ { 2 } } , x _ { i _ { 2 } } + x _ { j _ { 1 } } ) \leq 2 x _ { k _ { 2 } } \leq x _ { i _ { 2 } } + x _ { j _ { 2 } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + [ 1 + \epsilon \cos k ( t - z ) ] d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } + d z ^ { 2 } + 2 \epsilon \cos k ( t - z ) d x d w + [ 1 - \epsilon \cos k ( t - z ) ] d w ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { { } \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { m \beta \tau \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \alpha f _ { o n } } \bigg ( \tau + ( t _ { e } - t _ { e n d } ) \bigg ) . } \end{array}
Q _ { i } ^ { o } ( \sigma ) = Q _ { i } ^ { o } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \theta ^ { c ( \lambda _ { j } ( \sigma ) ) - c ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) } + \bar { Q } _ { i } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) > Q _ { i } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \theta ^ { c ( \lambda _ { j } ( \sigma ) ) - c ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) } + \bar { Q } _ { i - 1 } ( \lambda _ { k } ( \sigma ) ) = Q _ { i } ( \sigma ) .
\begin{array} { r l r l } { \rho } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( c _ { i } x _ { i } + c _ { i } ^ { \prime } x _ { i } ^ { \prime } ) , } & { \mu } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mu _ { i } x _ { i } + \mu _ { i } ^ { \prime } x _ { i } ^ { \prime } ) , } \\ { c _ { i } } & { = 1 - 2 i , } & { \mu _ { i } } & { = - 2 q _ { i } - c _ { i } , } \\ { c _ { i } ^ { \prime } } & { = - c _ { i } = 2 i - 1 , } & { \mu _ { i } ^ { \prime } } & { = 2 q _ { i } ^ { \prime } - c _ { i } ^ { \prime } = 2 q _ { i } ^ { \prime } + c _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 } ^ { \theta , \theta ^ { \prime } } ( t ) | } & { \leq C _ { 1 } \big | \langle \Theta _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } , K _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } - K _ { t } ^ { \theta } \rangle _ { L ^ { 2 } } | + C _ { 2 } | \langle \Theta _ { t } ^ { \theta } - \Theta _ { t } ^ { \theta ^ { \prime } } , K _ { t } ^ { \theta } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } \big | . } \end{array}
{ \cal T } _ { m o d } = S _ { j k } ( g ) { F } ^ { j } \wedge { F } ^ { k } + \frac { 2 } { 3 } C _ { i , j k } A ^ { i } \wedge A ^ { j } ( d A ^ { k } + \frac { 3 } { 8 } f _ { l m } ^ { k } A ^ { l } A ^ { m } ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { = \mathbf { r } \times \mathbf { F } = \mathbf { r } \times ( m { \boldsymbol { \alpha } } \times \mathbf { r } ) } \\ & { = m \left( \left( \mathbf { r } \cdot \mathbf { r } \right) { \boldsymbol { \alpha } } - \left( \mathbf { r } \cdot { \boldsymbol { \alpha } } \right) \mathbf { r } \right) } \\ & { = m r ^ { 2 } { \boldsymbol { \alpha } } = I \alpha \mathbf { \hat { k } } , } \end{array} }
\int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } r ^ { d - 2 } \int _ { 1 / 2 - \sqrt { 1 / 4 - r ^ { 2 } } } ^ { 1 / 2 } \Big ( \frac { r ^ { 2 } } { x _ { 1 } ^ { 2 } } \Big ) ^ { q } \; \mathrm { d } x _ { 1 } \; \mathrm { d } r \leqslant \frac { 1 } { 2 q - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } r ^ { d - 2 + 2 q } \Big ( \frac { 1 } { 2 } - \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - r ^ { 2 } } \Big ) ^ { 1 - 2 q } \; \mathrm { d } r ,
( f _ { N } * \dots * f _ { N } ) ( \vec { x } ) = f _ { N } ^ { k } ( \vec { x } ) \ + \ \frac { k ( k - 1 ) } { 2 N } f _ { N } ^ { k - 2 } ( \vec { x } ) ( X _ { i } f _ { N } ( \vec { x } ) ) ^ { 2 } + o ( N ^ { - 2 } ) \ .
{ \cal S } [ \psi ] = \int \, d ^ { 5 } x \sqrt { g } \left\{ \frac { i } { 2 } \, \left[ \overline { { { \psi } } } \tilde { \gamma } ^ { \hat { \mu } } \tilde { \nabla } _ { \hat { \mu } } \psi - ( \overline { { { \tilde { \nabla } _ { \hat { \mu } } \psi } } } ) \tilde { \gamma } ^ { \hat { \mu } } \psi \right] - M \overline { { { \psi } } } \psi \right\}
H _ { 0 } \left( \mathbf { p } , \mathbf { r } \right) = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { v } ^ { 2 } + \Phi = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathbf { p - A } \left( \mathbf { r } \right) \right] ^ { 2 } + \Phi \left( \mathbf { r } \right) ,
{ \cal R } _ { K K } = \left( \frac { \Delta _ { M } } { \Delta _ { + } - \Delta _ { \times } } \right) \sum _ { i \geq 1 } s _ { i } \frac { \Delta _ { M } } { \Delta _ { \times } - \Delta _ { m } ^ { ( r _ { i } ) } } \left[ 1 - \frac { \sin ( \Delta _ { \times } - \Delta _ { m } ^ { ( r _ { i } ) } ) l } { ( \Delta _ { \times } - \Delta _ { m } ^ { ( r _ { i } ) } ) l } \right] .
| 0 \rangle ^ { n } \xrightarrow { H ^ { \otimes n } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } | x \rangle \xrightarrow { U _ { f } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } ( - 1 ) ^ { f ( x ) } | x \rangle \xrightarrow { H ^ { \otimes n } } { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { x , y \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } ( - 1 ) ^ { f ( x ) + x \cdot y } | y \rangle = | s \rangle
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { \omega } L ( \omega ) , ~ L ( \omega ) } & { = } & { | E ^ { \scriptsize { \textrm { t a r g e t } } } - E ^ { \scriptsize { \textrm { D e e P K S } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] | ^ { 2 } } \\ & { + } & { \lambda _ { 1 } | \mathbf { F } ^ { \scriptsize { \textrm { t a r g e t } } } - \mathbf { F } ^ { \scriptsize { \textrm { D e e P K S } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] | ^ { 2 } } \\ & { + } & { \lambda _ { 2 } | \boldsymbol { \epsilon _ { \textrm { g } } } ^ { \scriptsize { \textrm { t a r g e t } } } - \boldsymbol { \epsilon _ { \textrm { g } } } ^ { \scriptsize { \textrm { D e e P K S } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] | ^ { 2 } } \\ & { + } & { \lambda _ { 3 } | \boldsymbol { \sigma } ^ { \scriptsize { \textrm { t a r g e t } } } - \boldsymbol { \sigma } ^ { \scriptsize { \textrm { D e e P K S } } } [ \{ \phi _ { i } | \omega \} ] | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { 0 } ^ { \tau ( z ) } p _ { \gamma ( t ) } ( \dot { \gamma } ( t ) , \dots , \dot { \gamma } ( t ) ) \partial _ { t } \eta ( t ) \, \d t } & { = \int _ { 0 } ^ { \tau ( z ) } u ( \theta ( t ) ) \partial _ { t } \eta ( t ) \, \d t } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \tau ( z ) } \partial _ { t } u ( \theta ( t ) ) \eta ( t ) \, \d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \tau ( z ) } f ( \theta ( t ) ) \eta ( t ) \, \d t , } \end{array}
\frac { d } { d t } \frac { \partial T ^ { * } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } - \frac { \partial T ^ { * } } { \partial q _ { r } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \alpha _ { \nu , r } \frac { \partial T ^ { * } } { \partial q _ { m + \nu } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { m } b _ { r , j } ^ { \nu } { \dot { q } } _ { j } \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { m + \nu } } = { \mathcal F } ^ { ( q _ { r } ) } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \alpha _ { \nu , r } { \cal F } ^ { ( q _ { m + \nu } ) } , \quad r = 1 , \dots , m
{ \begin{array} { r l } { z ! _ { ( \alpha ) } } & { = z ( z - \alpha ) \cdots ( \alpha + 1 ) } \\ & { = \alpha ^ { \frac { z - 1 } { \alpha } } \left( { \frac { z } { \alpha } } \right) \left( { \frac { z - \alpha } { \alpha } } \right) \cdots \left( { \frac { \alpha + 1 } { \alpha } } \right) } \\ & { = \alpha ^ { \frac { z - 1 } { \alpha } } { \frac { \Gamma \left( { \frac { z } { \alpha } } + 1 \right) } { \Gamma \left( { \frac { 1 } { \alpha } } + 1 \right) } } \, . } \end{array} }
S ^ { ( i ) } = m _ { i } \phi _ { c } \left( \frac { 1 } { K _ { d _ { c } } } + \frac { 1 } { K _ { f } } - \frac { 1 } { K _ { 0 } } \right) \, , \qquad B _ { i i } ^ { ( i ) } = \frac { 3 Z _ { N i } } { S ^ { ( i ) } } \, .
\left| \mathbb { E } \left[ ( A \overline { { G } } G ) _ { c d } ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } ^ { D - 1 } ( \overline { { G } } A G \overline { { G } } ) _ { c d } ^ { D } \right] \right| \leqslant N ^ { 2 D \varepsilon } ( N \Psi ^ { 2 } ) ^ { 2 D } + N ^ { - \frac { 2 D \varepsilon } { 2 D - 1 } } \mathbb { E } \left[ \left| ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } \right| ^ { 2 D } \right] ,
\begin{array} { r l } { c _ { 2 } ^ { + } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( c _ { 1 } ^ { - } - c _ { 1 } ^ { + } \right) - \frac { q } { 2 Q } \left( c _ { 1 } ^ { + } + c _ { 1 } ^ { - } \right) \, , } \\ { c _ { 2 } ^ { - } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( c _ { 1 } ^ { + } - c _ { 1 } ^ { - } \right) - \frac { q } { 2 Q } \left( c _ { 1 } ^ { + } + c _ { 1 } ^ { - } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \Gamma _ { r ^ { \prime \mu } } \right) _ { \mu } } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { \varepsilon } q A _ { \mu } ^ { \prime } + u _ { \mu } ^ { \prime } + q r _ { 1 } ^ { \prime \nu } F _ { \nu \mu } ^ { \prime } } \end{array}
\left< L \right> _ { p _ { + } ^ { N N } ( \Gamma ) = x } = - p _ { + } ( \Gamma | p _ { + } ^ { N N } ( \Gamma ) = x ) \ln ( x ) - \left[ 1 - p _ { + } ( \Gamma | p _ { + } ^ { N N } ( \Gamma ) = x ) \right] \ln ( 1 - x ) ,
\begin{array} { l } { \displaystyle \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { n } } { \mathrm { d } \xi ^ { n } } \Gamma ( N , N \xi ^ { 2 } ) \right] _ { \xi = 0 } \, = \, 0 \, , \qquad \qquad \left\{ { { 2 \le n < 2 \, \mathrm { R e } \{ N \} } \atop { n \, \, \, \mathrm { e v e n } } } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \Gamma _ { d , \epsilon } } \frac { \partial \tilde { \chi } _ { \epsilon } ( z ) } { \partial \bar { z } } \langle ( z - P ) ^ { - 1 } f , f \rangle \, d m ( z ) \right| } & { \le C _ { d } \int _ { - \epsilon } ^ { \epsilon } \int _ { - | s | ^ { d } } ^ { | s | ^ { d } } \left( \frac { | y | } { \epsilon ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { | y | } \, d y d s } \\ & { \le C _ { d } \epsilon ^ { d - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } + p _ { 4 } p _ { 6 } } & { { } = \sigma + \beta + 1 } \\ { p _ { 1 } } & { { } = - \sigma - 1 } \\ { p _ { 4 } p _ { 7 } } & { { } = - 1 } \\ { p _ { 1 } p _ { 4 } p _ { 6 } } & { { } = \beta ( \sigma + 1 ) } \\ { p _ { 1 } p _ { 4 } p _ { 7 } } & { { } = \sigma } \\ { p _ { 2 } ( p _ { 3 } p _ { 6 } - p _ { 4 } p _ { 5 } ) } & { { } = - \sigma \beta ( \rho - 1 ) } \end{array}
\Delta ( a ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left( \delta _ { T _ { i } } \otimes 1 + \sum _ { c _ { i } } \prod _ { P _ { c _ { i } } } \, \delta _ { T _ { i _ { j } } ^ { \prime \prime } } \otimes \delta _ { R _ { c _ { i } } } \right) \, ,
\sum _ { n = 0 } ^ { N } n ^ { 2 } = 0 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } + \cdots + N ^ { 2 } = { \frac { N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) } { 6 } } .
\int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \big [ \overline { { \Omega } } ( t , \xi ) - \Omega ( t , \xi ) \big ] d \sigma ( \xi ) = - 4 \pi \widetilde { \gamma } \int _ { 0 } ^ { \pi } \cos ( \theta ) \sin ( \theta ) d \theta = \big [ \pi \widetilde { \gamma } \cos ( 2 \theta ) \big ] _ { 0 } ^ { \pi } = 0 .
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { = e ^ { 2 \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n } } { n } \zeta _ { n } \varepsilon ^ { n } } , } \\ { J _ { 2 } } & { = e ^ { - \varepsilon I ( f _ { 2 } ; q ) + 2 \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n } } { n } \zeta _ { n } \varepsilon ^ { n } } } \\ & { \left\{ \vphantom { \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor \frac { j } { 2 } \rfloor } } \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \varepsilon ^ { 2 j } I \left( \left\{ 1 , f _ { 4 } \right\} ^ { j } ; q \right) - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { 2 j + 1 } I \left( \left\{ 1 , f _ { 4 } \right\} ^ { j } , 1 ; q \right) \right) \right] \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } B _ { k } \right. } \\ & { \left. + \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { j + 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor \frac { j } { 2 } \rfloor } I \left( \left\{ 1 , f _ { 4 } \right\} ^ { k } , 1 , f _ { 3 } , \left\{ f _ { 2 } \right\} ^ { j - 2 k } ; q \right) \right\} , } \\ { J _ { 3 } } & { = e ^ { - \varepsilon I ( f _ { 2 } ; q ) + 2 \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n } } { n } \zeta _ { n } \varepsilon ^ { n } } } \\ & { \left\{ \vphantom { \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor \frac { j } { 2 } \rfloor } } \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \varepsilon ^ { 2 j + 1 } I \left( \left\{ f _ { 4 } , 1 \right\} ^ { j } , f _ { 4 } ; q \right) - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { 2 j } I \left( \left\{ f _ { 4 } , 1 \right\} ^ { j } ; q \right) \right) \right] \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { k } B _ { k } \right. } \\ & { \left. + \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { j + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor \frac { j } { 2 } \rfloor } I \left( \left\{ f _ { 4 } , 1 \right\} ^ { k } , f _ { 3 } , \left\{ f _ { 2 } \right\} ^ { j - 2 k } ; q \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F _ { 1 } , e / f ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 0 , \ \ensuremath { \Sigma } = - 1 \, ; } \\ { ( F _ { 2 } , e / f ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 1 , \ \ensuremath { \Sigma } = 0 \, ; } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ( F _ { 3 } , e / f ) } & { { } : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 2 , \ \ensuremath { \Sigma } = + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge \Big ( i _ { ( \ast \frac { \delta H } { \delta v } ) ^ { \sharp } } d v + d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \frac { \delta H } { \delta \Sigma } ) ) \big ) \Big ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Sigma } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta H } { \delta v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } b _ { I ( i ) } ^ { ( 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i - I ( i ) } ^ { ( 2 ) \leftarrow } ( t ) \P \left( \boldsymbol Z ^ { ( 1 ) } + \boldsymbol Z ^ { ( 2 ) } \in t A \right) } } \\ & { } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } b _ { I ( i ) } ^ { ( 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i - I ( i ) } ^ { ( 2 ) \leftarrow } ( t ) \P \left( \boldsymbol Z ^ { ( 1 ) } \in t A \right) + \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } b _ { I ( i ) } ^ { ( 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i - I ( i ) } ^ { ( 2 ) \leftarrow } ( t ) \P \left( \boldsymbol Z ^ { ( 2 ) } \in t A \right) } \\ & { } & { = c _ { i } ^ { I ( i ) } \mu _ { | S | } ^ { ( 1 ) } ( A ) \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { b _ { i } ^ { ( 1 ) \leftarrow } ( t ) } { b _ { | S | } ^ { ( 1 ) \leftarrow } ( t ) } + c _ { 0 } ^ { I ( i ) } \mu _ { | S | } ^ { ( 2 ) } ( A ) \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { b _ { i } ^ { ( 2 ) \leftarrow } ( t ) } { b _ { | S | } ^ { ( 2 ) \leftarrow } ( t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L o s s _ { R O S M } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { y } _ { i } - y _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { L o s s _ { P B R } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { P } _ { { S c } _ { i } } - P _ { { S c } _ { i } } ) ^ { 2 } } \\ { L o s s _ { G P E } } & { { } = \frac { \omega _ { 1 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { \textbf { C } } _ { i } - \textbf { C } _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { w } _ { i } - w _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 3 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } - f _ { i } ^ { j } \log ( p ( \hat { f } _ { i } ^ { j } ) ) } \\ { L o s s _ { P h y } } & { { } = \frac { \omega _ { 4 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \Big ( \frac { \partial \hat { \textbf { C } } _ { i } } { \partial \hat { P } _ { { S c } _ { i } } } \Big ) ^ { T } \mathbb { I } _ { \textbf { C } } - \textbf { D } _ { P _ { { S c } _ { i } } } \textbf { C } _ { i } \Big ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 5 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \Big ( \frac { \partial \hat { w } _ { i } } { \partial \hat { P } _ { { S c } _ { i } } } \Big ) ^ { T } \mathbb { I } _ { w } - \textbf { D } _ { P _ { { S c } _ { i } } } w _ { i } \Big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\| \sigma ^ { * } \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { ( k ) } - u \| _ { W _ { 2 } ^ { k } ( \mathbb { M } ) } \le \| ( 1 - P _ { \Xi _ { L } } ) u \| _ { W _ { 2 } ^ { k } ( \mathbb { M } ) } + C h _ { L } ^ { d / 2 - k } \| \boldsymbol { \mathbf { \check { u } } } _ { L } ^ { ( k ) } - \boldsymbol { \mathbf { \check { u } } } _ { L } ^ { \star } \| _ { \ell _ { 2 } } .
\dot { l } ^ { y _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } , x } J _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } \mathrm { l n } \frac { p \left( x | y _ { 1 } \right) } { p \left( x | y _ { 1 } ^ { \prime } \right) } ,
D _ { \alpha \beta } F _ { { \mathbf i } { \mathbf j } } = i ( D _ { \alpha \beta } D _ { { \mathbf i } { \mathbf j } } \Phi - D _ { \alpha \beta } { \bar { D } } _ { { \mathbf i } { \mathbf j } } { \bar { \Phi } } ) = 8 \partial _ { ( \alpha \dot { \alpha } } D _ { \beta ) ( { \mathbf i } } { \bar { D } } _ { { \mathbf j } ) } ^ { \dot { \alpha } } { \bar { \Phi } } = 0
\left\{ \begin{array} { l l } { { } } & { { S _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( \theta ) = S _ { 2 2 } ^ { 2 2 } ( \theta ) = \sin ( \lambda ( \pi + i \theta ) ) \rho ( \theta ) } } \\ { { } } & { { S _ { 1 2 } ^ { 1 2 } ( \theta ) = S _ { 2 1 } ^ { 2 1 } ( \theta ) = - \sin ( i \lambda \theta ) \rho ( \theta ) } } \\ { { } } & { { S _ { 1 2 } ^ { 2 1 } ( \theta ) = S _ { 2 1 } ^ { 1 2 } ( \theta ) = \sin ( \lambda ( \pi ) \rho ( \theta ) , } } \end{array} \right.
\partial { } _ { \mu } \overline { { { F } } } ^ { \prime a \mu \nu } - \overline { { { f } } } ^ { a } { } _ { c b } \overline { { { F } } } ^ { \prime c \mu \nu } \overline { { { A } } } ^ { \prime b } { } _ { \mu } { } + \overline { { { A } } } ^ { \prime b } { } _ { \mu } \overline { { { R } } } ^ { \prime a } { } _ { b } { } ^ { \mu \nu } - \overline { { { C } } } ^ { a } { } _ { d \mu } \overline { { { F } } } ^ { \prime d \mu \nu } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } } & { = \bigg \| x _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } - \bigg ( \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \bar { \nu } _ { \ell } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } = \bigg \| \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \alpha _ { \ell } \big ( \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq I \eta ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \bigg \| \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\frac { d { \cal W } _ { \sigma } } { d t } + \frac { d { \cal E } _ { \sigma , \mathrm { g e n } } } { d t } = \frac { d { \cal Q } _ { \sigma , \mathrm { g e n } } } { d t } + \dot { { \cal Q } } _ { \sigma , \mathrm { c o l l } } .
\begin{array} { r } { { \bf Q } = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { h \sigma _ { 1 1 } / \rho } & { h \sigma _ { 1 2 } / \rho } \\ { h \sigma _ { 2 1 } / \rho } & { h \sigma _ { 2 2 } / \rho } \end{array} \right] = [ { \bf Q } _ { 1 } \, , { \bf Q } _ { 2 } ] \, , } \end{array}
\hat { n } = \left( \begin{array} { c r c l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \ldots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 } } & { { \ldots } } \\ { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { \ldots } } \end{array} \right) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } d _ { l } ^ { 2 } } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } [ ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { l } ) \times \mathbf { w } _ { l } ] ^ { T } [ ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { l } ) \times \mathbf { w } _ { l } ] } \\ & { = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { l } ) ^ { T } ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { l } ) - [ ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { l } ) \cdot \mathbf { w } _ { l } ] ^ { T } [ ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { l } ) \cdot \mathbf { w } _ { l } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \widehat { v } _ { 2 } = 0 \quad } & { \hfill \textnormal { a t } \quad \hfill y } & { = 1 + 2 d _ { 2 } , } \\ & { \widehat { v } _ { 2 } = \widehat { v } \quad } & { \textnormal { a t } \quad y } & { = 1 , } \\ & { D ^ { 2 } \widehat { v } = \frac { \alpha _ { 2 } ^ { B J } ( D \widehat { v } - D \widehat { v } _ { 2 } ) } { \sigma _ { 2 } \sqrt { \eta _ { 2 x } ( 1 ) } } \quad } & { \textnormal { a t } \quad y } & { = 1 , } \\ & { - \frac { D ^ { 3 } \widehat { v } } { R e } + \left( \frac { 3 \alpha ^ { 2 } } { R e } + i \alpha { U } \right) D \widehat { v } - i \alpha ( D { U } ) \widehat { v } - \frac { 1 } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } R e } \frac { D \widehat { v } _ { 2 } } { \eta _ { 2 x } ( 1 ) } } & \\ & { \qquad = i \alpha c D \widehat { v } - \frac { i \alpha c } { \epsilon _ { 2 } } D \widehat { v } _ { 2 } \quad } & { \textnormal { a t } \quad y } & { = 1 , } \\ & { - \frac { D ^ { 3 } } { R e } \widehat { v } + \left( \frac { 3 \alpha ^ { 2 } } { R e } + i \alpha { U } \right) D \widehat { v } - i \alpha ( D { U } ) \widehat { v } - \frac { 1 } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } R e } \frac { D \widehat { v } _ { 1 } } { \eta _ { 1 x } ( - 1 ) } } & \\ & { \qquad = i \alpha c D \widehat { v } - \frac { i \alpha c } { \epsilon _ { 1 } } D \widehat { v } _ { 1 } \quad } & { \textnormal { a t } \quad y } & { = - 1 , } \\ & { D ^ { 2 } \widehat { v } = - \frac { \alpha _ { 1 } ^ { B J } \left( D \widehat { v } - D \widehat { v } _ { 1 } \right) } { \sigma _ { 1 } \sqrt { \eta _ { 1 x } ( - 1 ) } } \quad } & { \textnormal { a t } \quad y } & { = - 1 , } \\ & { \widehat { v } = \widehat { v } _ { 1 } \quad } & { \textnormal { a t } \quad y } & { = - 1 , } \\ & { \widehat { v } _ { 1 } = 0 \quad } & { \textnormal { a t } \quad y } & { = - 1 - 2 d _ { 1 } , } \end{array}