harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Q ( N , i ) : = N \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { N } ) \mathbb { E } \left[ \underline { { S } } _ { i } ^ { ( 1 ) } ( t _ { N } ) | \mathcal { A } _ { 1 } ^ { N } \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \tilde { R } ( N , i ) : = N \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) \mathbb { E } \left[ \underline { { S } } _ { i } ^ { ( k ) } ( t _ { N } ) | \mathcal { A } _ { k } ^ { N } \right] .
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal U } _ { \mathrm { B O + U } } ( { \bf R } , \nu ) = { \cal F } _ { \mathrm { K S + U } } [ \varrho _ { \mathrm { 0 } } [ \nu ] , \nu ] } } \\ { ~ ~ } \\ { { \displaystyle ~ + 2 \mathrm { t r } \left[ \varrho _ { \mathrm { 0 } } [ \nu ] \times v _ { \mathrm { e x t } } \right] + v _ { n n } ( { \bf R } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( s _ { i } ( t + 1 ) = 1 \mid , s _ { i } ( t ) = 0 , i \in e \mathrm { ~ w h e r e ~ e ~ i s ~ a ~ s e l e c t e d ~ ( k , l ) ~ e d g e } ) = \frac { b ( l - k ) ^ { 2 } } { l } } \\ { p ( s _ { i } ( t + 1 ) = 0 \mid , s _ { i } ( t ) = 1 , i \in e \mathrm { ~ w h e r e ~ e ~ i s ~ a ~ s e l e c t e d ~ ( k , l ) ~ e d g e } ) = \frac { b k ^ { 2 } } { l } } \end{array} ,
D ^ { 0 } ( k ) D ^ { 0 } ( k + p ) = { \frac { 1 } { \eta \cdot k } } { \frac { 1 } { \eta \cdot ( k + p ) } } = { \frac { 1 } { \eta \cdot p } } \biggl [ { \frac { 1 } { \eta \cdot k } } - { \frac { 1 } { \eta \cdot ( k + p ) } } \biggr ] .
\begin{array} { r l } & { \kappa _ { \mathrm { e f f } , 1 } = \frac { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } , \; \kappa _ { \mathrm { e f f } , 2 } = 0 , \; \kappa _ { \mathrm { e f f } , 3 } = \frac { z _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } c _ { I , 1 } ( x ) \mathrm { d } x } { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } z _ { j } \int _ { - \infty } ^ { \infty } c _ { I , j } ( x ) \mathrm { d } x } \frac { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } . } \end{array}
{ \frac { \Gamma ( \delta + 1 ) } { \pi ^ { \delta } \, | { \boldsymbol { \xi } } | ^ { { \frac { n } { 2 } } + \delta } } } J _ { { \frac { n } { 2 } } + \delta } ( 2 \pi | { \boldsymbol { \xi } } | )
\begin{array} { r l } { b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial \tilde { t } } + \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { t } } - \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \left( \frac { k _ { r w } } { \tilde { \eta } _ { w } } + \frac { k _ { r o } } { \tilde { \eta } _ { o } } \right) \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { r } } \right) - \frac { 1 } { \tilde { r } } \left( \frac { k _ { r w } } { \tilde { \eta } _ { w } } + \frac { k _ { r o } } { \tilde { \eta } _ { o } } \right) \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { r } } } & { { } = 0 , } \\ { \phi \frac { \partial S _ { w } } { \partial \tilde { t } } + S _ { w } \left( b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial \tilde { t } } + \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { t } } \right) - \frac { 1 } { \tilde { \eta } _ { w } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( k _ { r w } \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { r } } \right) - \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { k _ { r w } } { \tilde { \eta } _ { w } } \frac { \partial \tilde { p } } { \partial \tilde { r } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \tilde { \sigma } _ { r r } } { \partial \tilde { r } } + \frac { \tilde { \sigma } _ { r r } - \tilde { \sigma } _ { \theta \theta } } { \tilde { r } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { n } ( t ) } & { = a _ { n } \big ( \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor n t \rfloor } I ( j + \xi _ { j } \in ( 0 , n t ] ) - \lfloor n t \rfloor } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \sum _ { j \leq 0 } I ( j + \xi _ { j } \in ( 0 , n t ] ) \big ) } \\ & { = a _ { n } \big ( - \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor n t \rfloor } I ( j + \xi _ { j } > n t ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \sum _ { j \leq 0 } I ( j + \xi _ { j } \in ( 0 , n t ] ) \big ) . } \end{array}
\times \prod _ { b = 1 } ^ { N } \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { b } } \exp \left( 2 e \sum _ { I = 1 } ^ { N } \Big ( \varepsilon _ { \mu \nu } \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { ( I ) } , K _ { I I } \; U _ { I b } \; \delta ( x _ { j } ^ { ( b ) } ) \Big ) \right)
{ \mathbf { V } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } } \vert _ { G _ { K } } = \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - k / 2 ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - k / 2 ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) ,
\begin{array} { r } { \chi \sim \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \epsilon ^ { - 1 } \mathrm { t r } \, { \mathrm { C o v } ( \Pi _ { 0 } { { { \phi } ^ { l } } } ) } \, , ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\lambda _ { 1 } = \lambda _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } ~ ( g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } ) , ~ ~ \lambda _ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ~ ( g _ { 2 } ^ { 2 } - g _ { 1 } ^ { 2 } ) , ~ ~ \lambda _ { 4 } = - \frac { 1 } { 2 } ~ g _ { 2 } ^ { 2 }
: { \hat { \psi } _ { m } } ^ { \dagger } \hat { \psi } _ { n } : ~ = ~ { \hat { \psi } _ { m } } ^ { \dagger } \hat { \psi } _ { n } { } ~ ~ \mathrm { i f } ~ n > 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ : { \hat { \psi } _ { m } } ^ { \dagger } \hat { \psi } _ { n } : ~ = ~ - \hat { \psi } _ { n } { \hat { \psi } _ { m } } ^ { \dagger } ~ ~ \mathrm { i f } ~ n \le 0
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } , \, y \in V } \left| f { ( i 1 , y , a ) } + f { ( i , X _ { s - } ^ { i } , g ) } - f { ( i , X _ { s - } ^ { i } , a ) } \right| \mathcal N _ { i } ^ { X _ { s - } ^ { i } , y } ( \mathrm { d } s ) } \\ & { \qquad \qquad \leq 3 \| f \| _ { \infty } \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } , \, X _ { s - } ^ { i } \in C , \, y \in V } \mathcal N _ { i } ^ { X _ { s - } ^ { i } , y } ( \mathrm { d } s ) + \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s - } , \, X _ { s - } ^ { i } \not \in C , \, y \in C } \mathcal N _ { i } ^ { X _ { s - } ^ { i } , y } ( \mathrm { d } s ) \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \leq 3 \| f \| _ { \infty } \widehat { \pi } _ { T } ( \mathcal I , C , \{ a , g \} ) < \infty } \end{array}
K _ { \textrm { N } } = - \frac { 1 } { 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 1 / 3 } \frac { \sigma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \varepsilon ^ { - 2 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 4 / 3 } \frac { D \varepsilon } { D T } - \frac { 1 } { 1 2 } ( 2 \pi ) ^ { - 4 / 3 } \frac { \sigma _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \varepsilon ^ { 1 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 1 / 3 } \frac { D \ell _ { \textrm { C } } } { D T } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \tau } [ g ( { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } ) ] = } & { ~ \frac { \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \eta _ { t } g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } { \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } \leq \frac { \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \left( \epsilon _ { t } + \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 4 T / \delta ) } \right) \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } { \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \mathbb { I } ( \bar { \omega } ^ { ( t ) } \leq \epsilon _ { t } ) } } \\ { \leq } & { ~ \frac { \epsilon ^ { 2 } ( \hat { \rho } - \rho ) } { 1 + \Lambda } + \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 4 T / \delta ) } \leq \frac { 2 \epsilon ^ { 2 } ( \hat { \rho } - \rho ) } { 1 + \Lambda } , } \end{array}
\frac { X } { Y } \; = \; \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } ~ \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { K } ^ { 2 } } { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { D } ^ { 2 } } ~ \frac { f _ { D } } { f _ { K } } ~ \frac { F _ { 0 } ^ { B K } ( m _ { D } ^ { 2 } ) } { F _ { 0 } ^ { B D } ( m _ { K } ^ { 2 } ) } \; \; .
\begin{array} { r } { D ^ { 3 } I _ { i } ( s , z ) = \textbf { i } R e ^ { 2 } P r R \Bigg [ \bigg ( \frac { 2 ( z - z _ { d } ) } { d ^ { 2 } } + \lambda _ { i } \bigg ) ^ { 2 } - \frac { 2 } { d ^ { 2 } } \Bigg ] \exp \bigg ( \displaystyle \frac { - ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) \exp ( - \lambda _ { i } z ) } \end{array}
\rho _ { i j } ( t ) = \rho _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( t ) + \rho _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) e ^ { i \omega _ { \mathrm { r f } } t } + \rho _ { i j } ^ { ( 2 ) } ( t ) e ^ { 2 i \omega _ { \mathrm { r f } } t } + \cdots + c . c .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \left( \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \epsilon _ { r } } + \frac { \left( 1 - \psi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \delta C _ { m } } \right) ^ { 2 } \left( \delta ^ { - 1 } \mu _ { 0 } ^ { \pm } + \mu _ { 1 } ^ { \pm } + \delta \mu _ { 2 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \mu _ { 3 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A = } & { 1 - c \left\lbrace 1 - \cos \theta + I \sin \theta + \frac { 1 - c } { 4 } \left( 2 I \sin \theta - 1 + \cos \left( 2 \theta \right) - I \sin \left( 2 \theta \right) \right) \right. } \\ & { + \frac { r } { 2 } \left[ 1 - \cos \theta + I \sin \theta + \frac { 1 } { 4 } \left( 2 I \sin \theta - 1 + \cos \left( 2 \theta \right) - I \sin \left( 2 \theta \right) \right) \right] } \\ & { \left. + \frac { d } { 2 } \left( 4 \cos \theta - 2 I \sin \theta - 3 - \cos \left( 2 \theta - I \sin \left( 2 \theta \right) \right) \right) \right\rbrace } \\ & { + d \left\lbrace 2 \cos \theta - 2 - \frac { c } { 4 } \left( 2 I \sin \left( 2 \theta \right) - 6 I \sin \theta \right) + \frac { d } { 2 } \left( 2 \cos \left( 2 \theta \right) - 8 \cos \theta + 6 \right) \right. } \\ & { \left. + \frac { r } { 2 } \left( 2 \cos \theta - 2 \right) \right\rbrace + r \left\lbrace 1 - \frac { c } { 2 } I \sin \theta + d \left( \cos \theta - 1 \right) + \frac { r } { 2 } \right\rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d u _ { 2 } } { d t } - \frac { \omega _ { 0 } } { \epsilon } u _ { 1 } = 0 , } \\ { \frac { d u _ { 1 } } { d t } - \epsilon \omega _ { 0 } ( 1 - \frac { u _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 } ) u _ { 1 } + \epsilon \omega _ { 0 } u _ { 2 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \tilde { \vec { w } } ( \mathbf { k } , 0 ) , \tilde { \vec { w } } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , t ) \rangle } & { = \langle \tilde { \vec { w } } _ { R } ( \mathbf { k } , 0 ) , \tilde { \vec { w } } _ { R } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , t ) \rangle - \langle \tilde { \vec { w } } _ { I } ( \mathbf { k } , 0 ) , \tilde { \vec { w } } _ { I } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , t ) \rangle } \\ & { + i \langle \tilde { \vec { w } } _ { R } ( \mathbf { k } , 0 ) , \tilde { \vec { w } } _ { I } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , t ) \rangle + i \langle \tilde { \vec { w } } _ { I } ( \mathbf { k } , 0 ) , \tilde { \vec { w } } _ { R } ( \mathbf { k } ^ { \prime } , t ) \rangle } \\ & { = ( \delta ( \mathbf { k } - \mathbf { k } ^ { \prime } ) + \delta ( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } ) ) 6 e ( k ) e ^ { - | t | / \tau ( k ) } } \\ & { - ( \delta ( \mathbf { k } - \mathbf { k } ^ { \prime } ) - \delta ( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } ) ) 6 e ( k ) e ^ { - | t | / \tau ( k ) } + 0 + 0 } \\ & { = 1 2 \delta ( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } ) e ( k ) e ^ { - | t | / \tau ( k ) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( X Y ) = } & { \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } Y ^ { 2 } \right] - [ \operatorname { E } ( X Y ) ] ^ { 2 } } \\ { = } & { \operatorname { C o v } \left( X ^ { 2 } , Y ^ { 2 } \right) + \operatorname { E } ( X ^ { 2 } ) \operatorname { E } \left( Y ^ { 2 } \right) - [ \operatorname { E } ( X Y ) ] ^ { 2 } } \\ { = } & { \operatorname { C o v } \left( X ^ { 2 } , Y ^ { 2 } \right) + \left( \operatorname { V a r } ( X ) + [ \operatorname { E } ( X ) ] ^ { 2 } \right) \left( \operatorname { V a r } ( Y ) + [ \operatorname { E } ( Y ) ] ^ { 2 } \right) } \\ & { - [ \operatorname { C o v } ( X , Y ) + \operatorname { E } ( X ) \operatorname { E } ( Y ) ] ^ { 2 } } \end{array} }
\tilde { \Psi } _ { q } [ X ] = \exp \left[ - i \sqrt { 2 } \epsilon \Bigl ( q + \frac { Q } { 2 } \Bigr ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d \kappa \, J _ { \kappa } x _ { e } ( \kappa ) \right] \Psi _ { q } [ X ] \, .
E = E _ { \mathrm { { e l e c t r o n i c } } } + E _ { \mathrm { { v i b r a t i o n a l } } } + E _ { \mathrm { { r o t a t i o n a l } } } + E _ { \mathrm { { n u c l e a r } } } + E _ { \mathrm { { t r a n s l a t i o n a l } } }
\Gamma = \mathrm { T r } \{ \tau _ { \mathrm { A A } } [ \gamma _ { \mathrm { B A } } ^ { \mathrm { X A } } \mathcal { L } ( \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { B A } } ) + \gamma _ { \mathrm { B A } } ^ { \mathrm { Y A } } \mathcal { L } ( \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { B A } } ) ] \} \approx \Gamma _ { \mathrm { A } } N _ { \mathrm { A } } = \Gamma _ { \mathrm { B } } N _ { \mathrm { B } }
\begin{array} { r l r l r l r l } { \vert \Psi _ { 0 } \rangle } & { \rightarrow \hat { \mathcal { U } } ^ { \dagger } \left( \theta _ { 1 } , . . , \theta _ { \mathcal { N } } \right) \vert \Psi _ { 0 } \rangle \dag \vert \Phi _ { i } \rangle } & { \rightarrow \hat { U } _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \vert \Phi _ { i } \rangle \dag \mathcal { R } _ { i } } & { \rightarrow u _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \mathcal { R } _ { i } \dag \mathcal { D } _ { i } } & { \rightarrow ^ { t } u \left( \theta _ { i } \right) \mathcal { D } _ { i } \dag \Delta _ { i } } & { \rightarrow ^ { t } u _ { i } \left( \theta _ { i } \right) \Delta _ { i } ^ { t } u _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \dag \Lambda _ { i } } & { \rightarrow u _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \Lambda _ { i } u _ { i } \left( \theta _ { i } \right) \dag \Lambda _ { i } ^ { c } } & { \rightarrow u _ { i } ^ { \dagger } \left( \theta _ { i } \right) \Lambda _ { i } ^ { c } u _ { i } \left( \theta _ { i } \right) \dag , , } \end{array}
\hat { T } _ { \pm } = - \frac { 1 } { 2 } \alpha \hat { T } | _ { \alpha = \pm } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \mp \hat { \kappa } \frac { \hat { p } ^ { i } \Sigma ^ { i } } { \hat { \omega } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \boldsymbol { \lambda } } \big ( \mathcal P _ { m , L } ( \ell _ { r , s } ^ { n } ) \big ) } & { \le \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } \log ( m ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \Big ( \frac { m ^ { m } } { m ^ { m - L } L ^ { L } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } \log ( m ) ^ { - 2 ( m - L ) ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } } \\ & { \le \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } \Big ( \frac { m } { L } \Big ) ^ { \frac { L } { r ^ { \prime } } } \prec _ { C ^ { m } } \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } . } \end{array}
\mu \simeq \frac { 1 } { \sqrt { 2 n _ { \mathrm { e f f } } } } \exp \biggl [ \pm i \int ^ { \eta } n _ { \mathrm { e f f } } ( n , \tau ) \mathrm { d } \tau \biggr ] \rightarrow _ { \eta / \eta _ { 0 } \rightarrow \pm \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 n } } e ^ { \pm i n \eta } .
\begin{array} { r l } { \tilde { c } ^ { s } \frac { M ^ { s } } { \varepsilon } \frac { \exp \left( C s ( \nu ^ { 3 } \beta ) ^ { - 1 / 2 } M ^ { 2 } \right) } { ( 1 + \beta \delta ) ^ { 3 n s / 8 } } } & { \leq \tilde { c } ^ { s } \frac { M ^ { s } } { \varepsilon } \exp \left( C s ( \nu ^ { 3 } \beta ) ^ { - 1 / 2 } M ^ { 2 } \right) \exp \left( - \frac { 3 s } { 8 } \frac { \beta } { 1 + \beta \delta _ { 0 } } n \delta \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 4 } \exp \left\{ - \tilde { c } \beta \left( 1 + \beta \delta _ { 0 } \right) \| \sigma ^ { - 1 } \| ^ { 2 } M ^ { 2 } \exp \left( C ( \nu ^ { 3 } \beta ) ^ { - 1 / 2 } M ^ { 2 } \right) \right\} . } \end{array}
\hat { G } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \zeta _ { x } \left( { \tau } _ { x x } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) + \zeta _ { y } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \zeta _ { z } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \zeta _ { x } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \zeta _ { y } \left( { \tau } _ { y y } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) + \zeta _ { z } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \zeta _ { x } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } + \zeta _ { y } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } + \zeta _ { z } \left( { \tau } _ { z z } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) } \\ { \zeta _ { x } { \beta } _ { x } + \zeta _ { y } { \beta } _ { y } + \zeta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { S _ { A , p , x _ { - } } } & { { } = } & { ( 1 - x ) p ^ { 2 } ( 1 - p ) , } \\ { S _ { A , p , x _ { + } } } & { { } = } & { x \left[ ( 1 - p ) ^ { 3 } + 2 p ( 1 - p ) ^ { 2 } \right] , } \\ { S _ { B , p , x _ { - } } } & { { } = } & { ( 1 - x ) p ( 1 - p ) ^ { 2 } , } \\ { S _ { B , p , x _ { + } } } & { { } = } & { x \left[ p ^ { 3 } + 2 p ^ { 2 } ( 1 - p ) \right] , } \end{array}
I \approx { \frac { 8 \sqrt { 2 } \, \pi } { 9 } } \lambda ^ { 1 / 2 } \phi _ { m } ^ { 3 } R ^ { 3 } = { \frac { 4 \pi } { 9 \lambda } } m ^ { 3 } R ^ { 3 } \gg 1 .
F ( v , t ) : = \int _ { \mathcal { I } } f ( x , v , t ) \, d x = \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { I } } f _ { i } ( v , t ) = \frac { 1 } { N } \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { f } ( v , t ) ,
\begin{array} { r l } { - \frac { \alpha } { s _ { t } \sigma _ { t } ^ { 2 } } \nabla _ { \hat { x } _ { t } } \| C D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - y \| ^ { 2 } } & { = - \frac { \alpha } { \sigma _ { t } ^ { 2 } } \nabla _ { x _ { t } } \| C D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - y \| ^ { 2 } } \\ & { = \nabla _ { x _ { t } } \log \left( \exp \left( - \frac { 2 \alpha } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } \| C D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - y \| ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { = \nabla _ { x _ { t } } \log \mathcal { N } \left( y ; C D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) , \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } } { 2 \alpha } I \right) . } \end{array}
c = q ^ { h + k - 1 } { \frac { \sin ( h + k ) \alpha } { \sin \alpha } } = \sum _ { 0 \leq i \leq { \frac { h + k - 1 } { 2 } } } ( - 1 ) ^ { i } { \binom { h + k } { 2 i + 1 } } p ^ { h + k - 2 i - 1 } ( q ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) ^ { i } ,
U _ { e o } ( R ) \, { \mathbf { r } } _ { i } \, U _ { e o } ( R ) ^ { \dagger } = R ^ { - 1 } { \mathbf { r } } _ { i } , \qquad U _ { e o } ( R ) \, { \mathbf { p } } _ { i } \, U _ { e o } ( R ) ^ { \dagger } = R ^ { - 1 } { \mathbf { p } } _ { i } ,
{ \cal C } _ { 0 } = i \, \int d { \bf { r } } \, { \textstyle { \cal X } ^ { \alpha } } ( { \bf r } ) \, j _ { 0 } ^ { \alpha } ( { \bf r } ) \; , \; \; \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; \; \; \; \; { \bar { \cal C } } = i \, \int d { \bf { r } } \, \overline { { { { \cal Y } ^ { \alpha } } } } ( { \bf r } ) \, j _ { 0 } ^ { \alpha } ( { \bf r } ) \; .
I \equiv J _ { \mathrm { s } } - J _ { \mathrm { s , r e s } } ( J _ { \mathrm { f } } ) , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \phi _ { k } = \theta _ { \mathrm { s } } + \frac { \arg \Psi _ { k } } { k } ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n } = } & { { } \int _ { \Delta _ { n } } \left( 1 - 1 _ { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { Z } \int _ { \Delta _ { n } } \left( 1 - 1 _ { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { Z } \left( \int _ { \Delta _ { n } } e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] - \int _ { { \Delta _ { n } } \cap \, { \widetilde { \textrm { s u p p } } ( { q } _ { \theta } ) } } e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \gamma ^ { \varepsilon } - \beta | \left| \frac { 3 } { 2 \beta \gamma ^ { \varepsilon } } - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } ( \gamma ^ { \varepsilon } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } ( e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } \psi ^ { \varepsilon } ) \Delta _ { x } \psi ^ { \varepsilon } d x \right| } \\ & { \quad \lesssim | \gamma ^ { \varepsilon } - \beta | ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \Delta \lambda } \mathrm { a d j } \, T ^ { T } ( 0 ) } & { { } = \left( \begin{array} { l } { p _ { 0 } , p _ { 1 } , p _ { 2 } , \dots , p _ { N - 1 } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { U } { U _ { p } } = } & { \frac { 3 } { 2 } \left( 1 - c _ { h } ^ { 2 } \right) - \frac { 2 h ^ { 2 } } { \nu t _ { O } } \sum _ { n h = 1 } ^ { \infty } \left( e ^ { - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } ) t } \left( - e ^ { - v _ { n h } ^ { 2 } \nu / h ^ { 2 } } \right) \left( t - t _ { o } \right) \right) } \\ & { \times \left[ \frac { \cos \left( c _ { h } v _ { n h } \right) - \cos \left( v _ { n h } \right) } { v _ { n h } ^ { 3 } \sin \left( v _ { n h } \right) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( R H S \big ) _ { E _ { D } ^ { * } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } { E _ { D } ^ { * } } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \Big ( 3 b - \frac { 1 } { 2 } \Big ) { E _ { T } ^ { * } } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + 3 b { E _ { T } ^ { * } } S _ { i } S _ { j } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } + b { E _ { D } ^ { * } } \Big ( \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - S _ { i } S _ { j } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } \Big ) } \end{array}