harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial \hat { A } _ { 3 } } { \partial C } = u _ { 1 } \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial C } + v _ { 1 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \hat { A } _ { 3 } } { \partial E } = u _ { 1 } \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial E } + v _ { 1 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \hat { A } _ { 3 } } { \partial \kappa } = u _ { 1 } \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial \kappa } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { v o l } ( \mathcal A ) } & { = \int _ { x \in E } \chi _ { \mathcal A } ( x ) \, d x = \int _ { y \in B } \int _ { z \in \pi ^ { - 1 } ( y ) } \chi _ { \mathcal A } ( z ) \frac { 1 } { \operatorname { N J a c } \pi ( z ) } \, d z d y } \\ & { = \int _ { y \in B } \int _ { z \in \pi ^ { - 1 } ( y ) } \chi _ { \mathcal A } ( z ) \, d z d y = \int _ { y \in B } \operatorname { v o l } ( \mathcal A \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) ) \, d y } \\ & { = \int _ { y \in B } \operatorname { v o l } ( \Psi _ { y } ^ { - 1 } ( \mathcal A \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) ) ) \, d y } \\ & { = \int _ { y \in B } \int _ { z \in F } \chi _ { \Psi _ { y } ^ { - 1 } ( \mathcal A \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) ) } ( z ) \, d z d y . } \end{array}
\langle \, T _ { -- } ( \sigma ) \, \rangle = \frac { 1 } { 1 2 \pi } \, ( \partial _ { - } p ) ^ { 1 / 2 } \, \partial _ { - } ^ { 2 } ( \partial _ { - } p ) ^ { - 1 / 2 } = - \, \frac { 1 } { 2 4 \pi } \, \{ p \, , \: \sigma ^ { - } \} _ { S } \, .
\begin{array} { r l r } { \psi ( r , \phi , z ) = } & { } & { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + | m | ) ! } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { | m | } } \\ & { } & { \ \ L _ { n } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { G } X _ { m } } ^ { \mathrm { A } } = { d _ { m } ^ { x } } ^ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } ) , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G } Y _ { m } } ^ { \mathrm { A } } = { d _ { m } ^ { y } } ^ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } ) , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G } X _ { m } } ^ { \mathrm { B } } = { d _ { m } ^ { y } } ^ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } ) , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G } Y _ { m } } ^ { \mathrm { B } } = { d _ { m } ^ { x } } ^ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { m _ { i } } { m _ { \alpha } } < \frac { k T } { k T _ { \alpha } } } & { { } \rightarrow } & { \frac { P _ { \alpha i } } { P _ { \alpha e } } \approx \frac { n _ { e } } { n _ { i } } \, \sqrt { \frac { m _ { i } } { m _ { e } } } \gg 1 \, , } \\ { \frac { m _ { i } } { m _ { \alpha } } > \frac { k T } { k T _ { \alpha } } > \frac { m _ { e } } { m _ { \alpha } } } & { { } \rightarrow } & { \frac { P _ { \alpha i } } { P _ { \alpha e } } \approx \frac { n _ { e } \, m _ { \alpha } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { n _ { i } \, m _ { i } \, \sqrt { m _ { e } } } \, \left( \frac { k T } { k T _ { \alpha } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, , } \\ { \frac { m _ { e } } { m _ { \alpha } } > \frac { k T } { k T _ { \alpha } } } & { { } \rightarrow } & { \frac { P _ { \alpha i } } { P _ { \alpha e } } \approx \frac { n _ { e } \, m _ { e } } { n _ { i } \, m _ { i } } \ll 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( 1 - \frac { 1 } { c } \right) | \nabla ^ { \pi } ( \partial ^ { \pi } w ) | ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { 1 } { 2 c } \right) | \nabla w ^ { * } \lambda | ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { - \frac { 1 } { 2 } \Delta e ( w ) - K e ( w ) } \\ & { } & { \quad + \left( c \| { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } ^ { 2 } + \| \nabla ^ { \pi } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } + \frac { c } { 2 } + \| \operatorname { R i c } \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } \right) e ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ \frac { n } { N } , \frac { n + 1 } { N } \right] } \left| \nabla B _ { t } ( e ) - \nabla B _ { \frac { n } { N } } ( e ) \right| \geq \frac { K } { 4 } \right] } & { = \mathbb { P } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ 0 , 1 \right] } B _ { t } \geq \frac { \sqrt { N } K } { 4 \sqrt { 2 } } \right] } \\ & { \leq C \exp \left( - c N K ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq C \exp \left( - c K ^ { r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { u } } ~ J ( \mu _ { I } , \Sigma _ { I } ; \mathbf { u } ) = \mathbb { E } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } x _ { k } ^ { \top } Q x _ { k } + u _ { k } ^ { \top } R u _ { k } \right] , } \\ { \mathrm { s } } & { \mathrm { u b j e c t ~ t o ~ } } \\ & { \mathbb { E } [ x _ { 0 } ] = \mu _ { I } , } \\ & { \mathbb { E } [ ( x _ { 0 } - \mathbb { E } [ x _ { 0 } ] ) ( x _ { 0 } - \mathbb { E } [ x _ { 0 } ] ) ^ { \top } ] = \Sigma _ { I } , } \\ & { x _ { k + 1 } = ( \bar { A } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { A } _ { j } q _ { j , k } ) x _ { k } + ( \bar { B } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { B } _ { j } q _ { j , k } ) u _ { k } } \\ & { + \bar { d } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \tilde { d } _ { j } q _ { j , k } , \quad k = 0 , \dots , N - 1 } \\ & { \operatorname* { P r } ( x _ { k } \in \mathcal { X } ) \geq 1 - p _ { x } , \quad k = 0 , \dots , N - 1 } \\ & { \operatorname* { P r } ( u _ { k } \in \mathcal { U } ) \geq 1 - p _ { u } , \quad k = 0 , \dots , N - 1 } \\ & { \mathbb { E } [ x _ { N } ] = \mu _ { F } , } \\ & { \mathbb { E } [ ( x _ { N } - \mathbb { E } [ x _ { N } ] ) ( x _ { N } - \mathbb { E } [ x _ { N } ] ) ^ { \top } ] = \Sigma _ { F } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { i } ( \epsilon , \delta , a _ { i } , b _ { i } , m , c ) } & { { } \propto } & { P ( s _ { 0 , i } | \epsilon , \delta , a _ { i } , b _ { i } , m , c ) P ( s _ { B , i } | \epsilon , \delta , a _ { i } , b _ { i } m , c ) P _ { i - 1 } ( \epsilon , \delta , m , c ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \tilde { x } } ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { ( m - 1 ) \gamma } { 2 m } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + ( m - 1 ) \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k } ) \right) } \\ & { \geq \left( \frac { 1 } { 2 \eta } + \frac { \lambda } { 4 } \right) \mathbb { E } _ { k } \| { \tilde { x } } ^ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { \gamma } { 2 } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { k } \| y _ { i \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \eta } \mathbb { E } _ { k } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 \sigma m n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } \left[ f ( x ^ { k + 1 } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) + m \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k + 1 } ) \right) \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } _ { k } \langle u ^ { k } - u ^ { * } + m ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) , x ^ { k + 1 } - z ^ { k } \rangle - \frac { \eta } { 2 } \| e ^ { k } \| ^ { 2 } - \left( \frac { \eta } { 2 } + \frac { \lambda \eta ^ { 2 } } { 2 } \right) \mathbb { E } _ { k } \| e ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } { \mathbb { I } \left\{ { \hat { z } _ { i } \neq \phi ( z _ { i } ^ { * } ) } \right\} } \leq C _ { 2 } \frac { k ^ { 2 } \beta ^ { - 1 } p } { n ( p - q ) ^ { 2 } } , } \\ { \mathrm { a n d ~ } \quad } & { \operatorname* { m i n } _ { a \in [ k ] } \left\| { \hat { \theta } _ { \phi ( a ) } U ^ { T } - \theta _ { a } ^ { * } U ^ { * T } } \right\| \leq C _ { 2 } \beta ^ { - 0 . 5 } k \sqrt { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \Delta ) } & { { } = \frac { h } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left[ \varepsilon \left( \Delta - q \right) \left( 1 + \Delta - q \right) \left( 2 \Delta \varepsilon + \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) - \frac { a } { h } \left( 2 \Delta + \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) - 4 \left( \frac { a } { h } \right) ^ { 2 } \left( 2 \Delta + 1 - 2 q \right) \right] , } \\ { D ( \Delta ) } & { { } = \frac { h } { 2 N } \frac { 1 } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left[ - \Delta ^ { 2 } \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } + \frac { 4 a } { h } \right) + \left( 1 - \varepsilon + \frac { 4 a } { h } \right) \left( \frac { a } { h } + q ( 1 - q ) ( 1 + \varepsilon ) \right) - \Delta \left( 1 - 2 q \right) \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } + ( 2 + \varepsilon ) \frac { 2 a } { h } \right) \right] , } \end{array}
\gamma _ { 1 } = { \frac { \operatorname { E } [ ( X - \mu ) ^ { 3 } ] } { ( \operatorname { v a r } ( X ) ) ^ { 3 / 2 } } } = { \frac { 2 ( \beta - \alpha ) { \sqrt { \alpha + \beta + 1 } } } { ( \alpha + \beta + 2 ) { \sqrt { \alpha \beta } } } } .
\hat { c } _ { g _ { \lambda } / h _ { \eta } / h _ { \eta ^ { \prime } } ^ { \prime } } ^ { \# } = \hat { c } _ { g _ { \lambda } } - ( \hat { c } _ { h _ { \eta } } - \hat { c } _ { h _ { \eta ^ { \prime } } ^ { \prime } } ^ { \# } )
\begin{array} { r l } { S _ { E } = } & { { } \rho \alpha _ { K T } \Big [ 2 \frac { \big < z ^ { * + 2 } \big > \big < z ^ { \infty + 2 } \big > \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { L _ { \infty } ^ { + } } + 2 \frac { \big < z ^ { * - 2 } \big > \big < z ^ { \infty - 2 } \big > \big < z ^ { \infty + 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { L _ { \infty } ^ { - } } + 2 \frac { \big < z ^ { * - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big < z ^ { * + 2 } \big > ^ { 2 } } { L _ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } M } & { { } = 1 - r _ { 0 } ^ { \mathrm { G R } } ( R _ { s } ^ { \mathrm { G R } } + R _ { p } ^ { \mathrm { G R } } ) \cos \delta \phi e ^ { i \Phi ^ { ' } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \bar { \tau } _ { n } ^ { \mathrm { X } } ] } \left\langle \mathbf { 1 } , \nu ^ { \mathrm { X } } ( s ) \right\rangle ^ { p } } & { { } \leq \left\langle \mathbf { 1 } , \nu _ { 0 } ^ { \mathrm { X } } \right\rangle ^ { p } \, . } \end{array}
\alpha _ { x } = \rho _ { 1 } \sigma _ { x } ; \quad \alpha _ { y } = \rho _ { 3 } ; \quad \alpha _ { z } = \rho _ { 1 } \sigma _ { z } ; \quad \beta ^ { \prime } = - i \beta = i \rho _ { 1 } \sigma _ { y } \quad ,
A * B = \left. e ^ { \frac { \theta } { 2 } ( \partial _ { y } \partial _ { \bar { y } ^ { \prime } } - \partial _ { y ^ { \prime } } \partial _ { \bar { y } } ) } A ( x : y , \bar { y } ) B ( x : y ^ { \prime } , \bar { y } ^ { \prime } ) \right| _ { y = y ^ { \prime } , \bar { y } = \bar { y } ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { f ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a e ^ { \alpha t } } & { t < t _ { o n } } \\ { ( a e ^ { \alpha t _ { o n } } + m ) e ^ { \alpha ( t - t _ { o n } ) } = ( f ( t _ { o n } ) + m ) e ^ { \alpha ( t - t _ { o n } ) } = ( a + m e ^ { - \alpha t _ { o n } } ) e ^ { \alpha t } } & { t _ { o n } \leq t < t _ { e n d } } \\ { ( ( f ( t _ { o n } ) + m ) e ^ { \alpha ( t _ { e n d } - t _ { o n } ) } - r m ) e ^ { \alpha ( t - t _ { e n d } ) } = f ( t , m = 0 ) + \Delta f e ^ { \alpha ( t - t _ { e n d } ) } = ( a + \Delta f e ^ { - \alpha t _ { e n d } } ) e ^ { \alpha t } } & { t _ { e n d } \leq t } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { W } _ { j } } & { { } = } & { \mathcal { W } _ { j - 1 } ^ { a _ { j } } \ \mathcal { W } _ { j - 2 } \ , \quad 1 \leq j \leq n } \\ { \mathcal { W } _ { - 1 } } & { { } = } & { A \ , \quad \mathcal { W } _ { 0 } = B } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \alpha _ { x , x , 3 } } & { \displaystyle = - \frac { 1 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \cdot \int _ { s } ^ { s + L } m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \frac { \cos { 3 \Psi _ { x } ( s ^ { \prime } , s ) } } { \sin { 3 \pi \nu _ { x } } } \ d s ^ { \prime } } , } \\ { \displaystyle \alpha _ { x , x , 1 } } & { \displaystyle = - \frac { 3 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \cdot \int _ { s } ^ { s + L } m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \frac { \cos { \Psi _ { x } ( s ^ { \prime } , s ) } } { \sin { \pi \nu _ { x } } } \ d s ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l - 1 } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} - } \\ & { } & { \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l - 1 } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 2 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} - } \\ & { } & { \Bigg \{ \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \} \Bigg ] \Bigg | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \widehat { L } ( t ) } & { = - \left( \gamma _ { 1 } ^ { \lambda } ( \widehat { L } ( t ) - \widehat { L } _ { m } ) + \gamma _ { 2 } ^ { \lambda } \widehat { c } ( t ) ^ { n } \right) d t + \sqrt { D } \ d W _ { t } } \\ { d \widehat { c } ( t ) } & { = \left( k _ { \mathrm { o n } } ^ { \lambda } - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { \lambda } \widehat { c } ( t ) \right) d t + \frac { d \widehat { L } ( t ) } { \widehat { L } ( t ) } \widehat { c } ( t ) \ . } \end{array}
\qquad \times e x p \int _ { x } \left[ 2 d _ { \mu \nu } a _ { \mu } j _ { \nu } ^ { c } - 4 g ^ { 2 } ( d _ { \mu \nu } a _ { \nu } ) ^ { 2 } - 4 i g ^ { 2 } a _ { \mu } d _ { \mu \nu } a _ { \nu } \right]
\left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } \right) ^ { 2 } = \left( T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } + T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } - 1 - e ^ { j \varphi } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \rho _ { F } ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) \propto { \cal A } \left[ \tilde { g } _ { ( 2 ) } ^ { - 1 / 4 } \sqrt { D ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) } \tilde { g } _ { ( 1 ) } ^ { - 1 / 4 } \times \right. } \\ { \left. e ^ { \lambda \tau R ( \mathbf { Q } ( \tau ) ) / 6 \hbar } e ^ { - \frac { 1 } { \hbar } S ( \mathbf { Q } ( 2 \tau ) , \mathbf { Q } ( \tau ) ; \tau ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla v = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \partial u } { \partial x } } & { \frac { \partial u } { \partial y } } & { \frac { \partial u } { \partial z } } \\ { \frac { \partial v } { \partial x } } & { \frac { \partial v } { \partial y } } & { \frac { \partial v } { \partial z } } \\ { \frac { \partial w } { \partial x } } & { \frac { \partial w } { \partial y } } & { \frac { \partial w } { \partial z } } \end{array} \right] } \end{array}
\Gamma ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( \omega , \omega ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { V } \sum _ { \mathbf { k } } \mathrm { T r } \left( v _ { \mathbf { k } } ^ { \alpha } A _ { \mathbf { k } } ( \omega ) v _ { \mathbf { k } } ^ { \alpha ^ { \prime } } A _ { \mathbf { k } } ( \omega ^ { \prime } ) \right)
\begin{array} { r l } { U _ { k , i } } & { = \int u _ { k , i } ( \vec { x } ) d ^ { 3 } \vec { x } = \frac { 1 } { 2 } m _ { i } \Delta x ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { z } } n _ { i , j , k } \left[ V _ { i x , i , j , k } ^ { 2 } + V _ { i y , i , j , k } ^ { 2 } + V _ { i z , i , j , k } ^ { 2 } \right] } \\ { U _ { t h , i } } & { = \int u _ { t h , i } ( \vec { x } ) d ^ { 3 } \vec { x } = \frac { 1 } { 2 } \Delta x ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { z } } n _ { i , j , k } k _ { B } \left[ T _ { i x , i , j , k } + T _ { i y , i , j , k } + T _ { i z , i , j , k } \right] } \end{array}
E _ { 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sqrt { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \sqrt { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , ~ ~ E _ { 2 } = \sqrt { 2 } \left( \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\mathcal { T } ( n , \alpha , \tilde { \alpha } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \kappa ) = \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \tilde { x } } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { 2 k } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \delta ( x _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } - \tilde { x } _ { \sigma _ { \kappa ( i ) ^ { 2 } } } ) } { \rho } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathcal { I } ( k , \boldsymbol { x } , \alpha , t ; \hbar ) \varphi ( x ) \overline { { \mathcal { I } ( k , \boldsymbol { \tilde { x } } , \tilde { \alpha } , t ; \hbar ) \varphi ( x ) } } \, d x ,
\begin{array} { r l } & { q \cdot r ( g ( D _ { r - 1 } ) ) ( e _ { ( j - 1 ) \delta + 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r - 5 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { r } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 1 } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + | \mathfrak { p } | - q ^ { 2 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = 1 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r - 7 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 3 } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) - | \mathfrak { p } | + q ^ { 2 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = 2 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r - 3 } { 2 } - j } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r + 1 } { 2 } - j } + q ^ { 2 } | \mathfrak { p } | ^ { j - 3 } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ 3 ~ \leq ~ j ~ \leq ~ \frac { r - 1 } { 2 } ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 1 } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + 2 ( | \mathfrak { p } | - q ^ { 2 } ) } \\ & { - \sum _ { 0 \leq i \leq \frac { r - 7 } { 2 } } ( | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ( - | \mathfrak { p } | ) ^ { i } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = ~ \frac { r + 1 } { 2 } ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r - 3 } { 2 } - j } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + ( - 1 ) ^ { j + 1 } 2 ( | \mathfrak { p } | - q ^ { 2 } ) , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ \frac { r + 3 } { 2 } ~ \leq ~ j ~ \leq ~ r - 2 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r - 1 } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { 3 } - | \mathfrak { p } | + 2 q ^ { 2 } + | \mathfrak { p } | \frac { q ^ { 2 } - 1 } { | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - 1 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = ~ r - 1 ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { t + i \mid t } - x _ { t + i } ^ { r } } & { = f ( x _ { t + i - 1 \mid t } ) - f ( x _ { t + i - 1 } ^ { r } ) } \\ & { \quad + \left( g ( x _ { t + i - 1 \mid t } ) - g ( x _ { t + i - 1 } ^ { r } ) \right) u _ { t + i - 1 } ^ { r } } \\ { \left\| x _ { t + i \mid t } - x _ { t + i } ^ { r } \right\| } & { \leqslant \left( L _ { f } + L _ { g } \left\| u _ { t + i - 1 } ^ { r } \right\| \right) \left\| x _ { t + i - 1 \mid t } - x _ { t + i - 1 } ^ { r } \right\| } \\ & { \leqslant \bar { L } \left\| x _ { t + i - 1 \mid t } - x _ { t + i - 1 } ^ { r } \right\| \leqslant \bar { L } ^ { i } \left\| x _ { t } - x _ { t } ^ { r } \right\| , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { D } _ { \omega k _ { 4 } } = D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) \cup \omega D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) \cup \omega ^ { 2 } D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) \cup D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega k _ { 4 } } ) \cup \omega D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega k _ { 4 } } ) \cup \omega ^ { 2 } D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega k _ { 4 } } ) , } \\ & { \mathcal { D } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } = D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \cup \omega D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \cup \omega ^ { 2 } D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \cup D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) \cup \omega D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) \cup \omega ^ { 2 } D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) . } \end{array}