harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left. \frac { e _ { i j } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { { } : = b _ { i j } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 1 ) } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { { } \equiv S ^ { ( 1 ) } : = a _ { 2 2 } \, , } \\ { \left. \frac { \zeta ^ { ( 2 ) } } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \right| _ { { \bf { \sigma } = \bf { 0 } } , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } } & { { } \equiv S ^ { ( 2 , 1 ) } : = a _ { 2 3 } = S ^ { ( 1 , 2 ) } \, , } \end{array}
[ \mathbf { Z } ] _ { 2 2 } = [ \mathbf { C } _ { c } ^ { e } ] ^ { T } [ \mathbf { \nabla \times } ] ^ { T } [ \star _ { \mu ^ { - 1 } } ] [ \mathbf { P } ] _ { b } ^ { \Lambda } [ \mathbf { C } _ { c } ^ { b } ]
\begin{array} { r l } { \left| Z _ { ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } ] , G } \right| } & { \leqslant \frac { n } { 6 } + 1 - \left| \left( A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } + A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right) \cap ( 4 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \right| } \\ & { \leqslant \frac { n } { 6 } + 2 - \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 0 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 2 ( 4 ) } \right| \right) } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } ^ { + } \} } } \left\{ \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \; \mathfrak { L } _ { \tau } + \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { p } _ { k , m } ^ { + } \} } \left\{ - \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \int _ { [ 0 , 1 ] } \mu _ { k , m } ^ { + } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \mathfrak { p } _ { k , m } ^ { + } \right\} \right\} = \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } ^ { + } \} } } \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \; \mathfrak { L } _ { \tau } ,
[ ( E _ { 1 } + E _ { 2 } ) ^ { 2 } - E ^ { 2 } ] \psi ^ { 1 2 } ( q ) = { \frac { E } { \pi q } } [ ( I _ { 1 } ^ { c o n } + I _ { 1 } ^ { o g e } ) \psi ^ { 1 2 } ( q ^ { ' } ) + ( I _ { 2 } ^ { c o n } + I _ { 2 } ^ { o g e } ) \psi ^ { 3 4 } ( q ^ { ' } ) ] ,
K _ { N } : = \left( K \left( x _ { i } , x _ { j } \right) \right) _ { i , j = 1 } ^ { N } = \left[ \begin{array} { l l l } { K \left( x _ { 1 } , x _ { 1 } \right) } & { \cdots } & { K \left( x _ { 1 } , x _ { N } \right) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { K \left( x _ { N } , x _ { 1 } \right) } & { \cdots } & { K \left( x _ { N } , x _ { N } \right) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { B ^ { ( p ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { n = i } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 M } [ c _ { l } t _ { n } ^ { \ast } ( \beta _ { l } ^ { L - n + i } - \beta _ { l } ^ { i - n } ) | i \rangle + c _ { l } t _ { n } ( \beta _ { l } ^ { i } - \beta _ { l } ^ { L + i } ) | L - n + i \rangle ] + \sum _ { l = 1 } ^ { 2 M } \sum _ { i \in \partial \Omega } c _ { l } v _ { i } \beta _ { l } ^ { i } | i \rangle + \sum _ { l = 1 } ^ { 2 M } \sum _ { i , j \in \partial \Omega } c _ { l } v _ { i j } \beta _ { l } ^ { j } | i \rangle . } \end{array}
g _ { i } ( \nu | \tau ) \equiv { \frac { \vartheta _ { i } ^ { \prime } ( \nu | \tau ) } { \vartheta _ { i } ( \nu | \tau ) } } , \qquad \vartheta _ { i } ^ { \prime } ( \nu | \tau ) \equiv { \frac { \partial \vartheta _ { i } ( \nu | \tau ) } { \partial \nu } } .
\rho = \left( u _ { R } \; R + { \frac { d } { R } } + s \right) { \frac { 1 } { R ^ { D - 1 } } } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ p = { \frac { 1 } { D - 1 } } \left( { \frac { d } { R } } - u _ { R } \; R \right) { \frac { 1 } { R ^ { D - 1 } } }
\begin{array} { r l } { Q = \sum _ { l = 1 } ^ { N } } & { { } \left( \prod _ { k = l + 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } \tau _ { k } } \right) \exp \left( - \int _ { t _ { l } + \tau _ { l } } ^ { t } \mathrm { i } \delta ( u ) d u \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Phi _ { l } } } \end{array}
\mathrm { d } \epsilon = \left( \frac { \partial \epsilon } { \partial q } \right) \mathrm { d } q + \left( \frac { \partial \epsilon } { \partial p } \right) \mathrm { d } p + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \epsilon } { \partial p ^ { 2 } } \right) ( \mathrm { d } p ) ^ { 2 } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { i u _ { t } } & { { } = f _ { 1 } ( | u | ^ { 2 } ) ( v + w ) ( 1 + i \gamma ) , } \\ { i v _ { t } } & { { } = f _ { 2 } ( | v | ^ { 2 } ) \left[ u + w + i \gamma ( w - u ) \right] , } \\ { i w _ { t } } & { { } = f _ { 3 } ( | w | ^ { 2 } ) ( u + v ) ( 1 - i \gamma ) . } \end{array}
f _ { k } ^ { ( D ) } ( \Omega ^ { ( { D } ) } ) = F \mathrm { \boldmath \large ~ \left( ~ \right. ~ } \! \! \! k , \ln \left( k ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } \right) , \Omega ^ { ( { D } ) } \mathrm { \boldmath \large ~ \left. ~ \right) ~ } \! \! \; ,
\Gamma ( s , s ^ { \prime } , t ) = \frac { 1 } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! } \, \frac { \operatorname * { d e t } \left[ \gamma ( s _ { p 1 } , s _ { p ^ { \prime } 1 } ^ { \prime } , t ) \right] _ { p , p ^ { \prime } = 1 , \ldots , k _ { 1 } } \operatorname * { d e t } \left[ \gamma ( s _ { q 2 } , s _ { q ^ { \prime } 2 } ^ { \prime } , t ) \right] _ { q , q ^ { \prime } = 1 , \ldots , k _ { 2 } } } { B _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ( s ^ { 2 } ) B _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ( s ^ { \prime 2 } ) } \ ,
\begin{array} { r l } { H _ { \cdot : \cdot } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) } & { = H _ { \therefore } + H _ { 2 } } \\ { H _ { \therefore } } & { = \frac { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 1 } } + \frac { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 0 } } - \frac { m _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { m _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { 1 } { | \mathbf { x } _ { 0 } | } : = \frac { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 1 } } + \frac { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 0 } } + V , } \\ { H _ { 2 } } & { = \frac { \mathbf { p } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 2 } } - \frac { k _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } | } + U _ { 2 } , \quad k _ { 2 } = ( m _ { 1 } + 2 ) m _ { 2 } , } \\ { U _ { 2 } } & { = \frac { k _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } | } - \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } - \frac { 2 \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } | } - \frac { m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } + \frac { m _ { 1 } \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } + \frac { m _ { 1 } \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathcal { B } } } & { = \frac { 1 } { | \mathcal { B } _ { 2 } | ( | \mathcal { B } _ { 2 } | - 1 ) } \sum _ { i } \sum _ { i \neq j } \operatorname* { m a x } \Big ( \left\| \sum _ { r \in R _ { i } } h _ { r } - \sum _ { p \in P _ { i } } h _ { p } \right\| _ { 2 } } \\ & { - \left\| \sum _ { r \in R _ { i } } h _ { r } - \sum _ { p \in P _ { j } } h _ { p } \right\| _ { 2 } + y _ { i } ^ { \alpha } \gamma , 0 \Big ) , } \end{array}
{ \cal A } \equiv \lambda ^ { 2 } A \left( A _ { \mathrm { c c } } ^ { c } + A _ { \mathrm { p e n } } ^ { c t } \right) ~ \mathrm { a n d } ~ a \, e ^ { i \theta } \equiv R _ { b } \left( \frac { A _ { \mathrm { p e n } } ^ { u t } } { A _ { \mathrm { c c } } ^ { c } + A _ { \mathrm { p e n } } ^ { c t } } \right)
\varphi ( x ) = \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { d } } G _ { d } ( y , x ) \Delta \varphi ( y ) \mathrm { d } y - \int _ { \{ y _ { d } = 0 \} } \varphi ( y ) \frac { \partial } { \partial y _ { d } } G _ { d } ( y , x ) \mathrm { d } y _ { 1 } \cdots \mathrm { d } y _ { d - 1 }
6 \xi ^ { 3 } = 3 I _ { 3 } = b _ { i j } b _ { j k } b _ { k i } \Rightarrow \xi ^ { 3 } = - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \left( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \right) .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \frac { ( x ( r _ { i } ) - \mu _ { x } ) ( x ( r _ { j } ) - \mu _ { x } ) } { \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right] \propto \exp \left( { - \frac { | r _ { i } - r _ { j } | } { d _ { c } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( t ) } & { { } = E _ { 0 } f _ { \mathrm { e n v } } ( t ) \sin ( \omega t ) } \\ { f _ { \mathrm { e n v } } ( t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \omega t } { 2 \pi } } & { ( 0 \leq \omega t \leq 2 \pi ) } \\ { \displaystyle \frac { 4 \pi - \omega t } { 2 \pi } } & { ( 2 \pi \leq \omega t \leq 4 \pi ) } \end{array} \right. , } \end{array}
| \Psi _ { F } \rangle = { \cal N } _ { F } \exp \Bigl [ - { \frac { 1 } { 2 } } \eta _ { \mu \nu } \sum _ { r , s \ge { \frac { 1 } { 2 } } } \psi _ { - r } ^ { \mu } F _ { r s } \psi _ { - s } ^ { \nu } \Bigr ] | 0 \rangle ,
\partial _ { t } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { { \varphi } } \\ { { { \pi _ { \chi } / \kappa } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \nabla ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } - { \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } } } } & { { \kappa ^ { 2 } } } \\ { { \mu ^ { 2 } + { \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } } } } & { { \nabla ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } - { \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \varphi } } \\ { { { \pi _ { \chi } / \kappa } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 , 0 } } & { \! \! = \! \! \pi _ { 1 , 1 } \! \! = \! \! \frac { p \! + \! p _ { \mathrm { s } } \! - \! p p _ { \mathrm { s } } } { 4 p \! + \! 2 p _ { \mathrm { s } } \! - \! 4 p p _ { \mathrm { s } } } , \pi _ { 0 , 1 } \! \! = \! \! \pi _ { 1 , 0 } \! \! = \! \! \frac { p ( 1 \! - \! p _ { \mathrm { s } } ) } { 4 p \! + \! 2 p _ { \mathrm { s } } \! - \! 4 p p _ { \mathrm { s } } } . } \end{array}
\sigma = \sigma _ { 1 } , \, \ \sigma = \sigma _ { 2 } , \, s = s _ { 1 } , \, \ s = s _ { 2 } , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \sigma _ { 1 } < \sigma _ { 0 } < \sigma _ { 2 } \, \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \ s _ { 1 } < s _ { 0 } < s _ { 2 }
\tilde { \sigma } = \log \frac { s _ { \operatorname* { m a x } } ( 1 - \langle s \rangle ) } { \langle s \rangle ( 1 - s _ { \operatorname* { m a x } } ) } \bigg / \log \frac { s _ { \operatorname* { m a x } } ( 1 - s _ { \operatorname* { m i n } } ) } { s _ { \operatorname* { m i n } } ( 1 - s _ { \operatorname* { m a x } } ) } .
\rho _ { i j } ^ { ( n ) } ( t ) = e ^ { - A t } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, e ^ { A t ^ { \prime } } \, \sum _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } \, \! \! ^ { \prime } \rho _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { ( n - 1 ) } ( t ^ { \prime } ) \ .
| \langle f \vert \mathcal { H } _ { x R } \vert 0 \rangle | ^ { 2 } = N V | \phi _ { n l m } ( 0 ) | ^ { 2 } | \langle \psi _ { k } ^ { c } \vert \mathcal { H } _ { e R } \vert \psi _ { k } ^ { v } \rangle | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ( 1 - J _ { 1 } J _ { 2 } ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t - \frac { 1 } { I _ { 1 } } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 3 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \right) ^ { 2 } } \\ & { > \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { j - 1 } ^ { + } ( t ) } & { = \int _ { a _ { j - 1 } } ^ { a _ { j } } f _ { j - 1 } ^ { + } ( x _ { 0 } , t ) \phi ( x _ { 0 } ) d x _ { 0 } = D _ { j } \int _ { a _ { j - 1 } } ^ { a _ { j } } \partial _ { x } p _ { j } ( a _ { j - 1 } , t | x _ { 0 } ) \phi ( x _ { 0 } ) d x _ { 0 } , } \\ { f _ { j } ^ { - } ( t ) } & { = \int _ { a _ { j - 1 } } ^ { a _ { j } } f _ { j } ^ { - } ( x _ { 0 } , t ) \phi ( x _ { 0 } ) d x _ { 0 } = - D _ { j } \int _ { a _ { j - 1 } } ^ { a _ { j } } \partial _ { x } p _ { j } ( a _ { j } , t | x _ { 0 } ) \phi ( x _ { 0 } ) d x _ { 0 } . } \end{array}
{ \cal A } = 6 4 \cdot 9 6 \pi ^ { 3 } \operatorname * { l i m } _ { \rho \rightarrow 0 } \rho ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { r } x _ { 0 } ^ { 3 } d x _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { \sin ^ { 2 } \theta \, \, d \theta } { ( x ^ { 2 } + x _ { 0 } ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } - 2 x x _ { 0 } \cos \theta ) ^ { 4 } } } .
- \frac { 1 } { 2 } { \bf v } ^ { 2 } ( m _ { A } x _ { A } ^ { 0 } + m _ { B } x _ { B } ^ { 0 } - m _ { A B } x _ { i } ^ { 0 } ) - { \bf v } \cdot R ( m _ { A } x _ { A } + m _ { B } x _ { B } - m _ { A B } x _ { i } ) .
\begin{array} { r } { E ( u , v , f ) = \frac { - 1 } { i \lambda f } { { e } ^ { i 2 \pi f / \lambda } } { { e } ^ { - i \pi ( { { u } ^ { 2 } } + { { v } ^ { 2 } } ) / \lambda f } } \int \int _ { \infty } ^ { \infty } E ( x , y , 0 ) } \\ { { { e } ^ { - i \pi ( { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } ) / ( \lambda f ) } } { { e } ^ { i 2 \pi ( x u + y v ) / ( \lambda f ) } } d x d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { r _ { n } } ( \theta _ { \star } ) } \left\lVert G ( \pi ( \theta ) ) - G ( \theta ) \right\rVert _ { G _ { \star } ^ { - 1 } } } \\ { A _ { 2 } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { r _ { n } } ( \theta _ { \star } ) } \left\lVert G _ { n } ( \pi ( \theta ) ) - G ( \pi ( \theta ) ) \right\rVert _ { G _ { \star } ^ { - 1 } } } \\ { A _ { 3 } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { r _ { n } } ( \theta _ { \star } ) } \left\lVert G _ { n } ( \theta ) - G _ { n } ( \pi ( \theta ) ) \right\rVert _ { G _ { \star } ^ { - 1 } } . } \end{array}
\sum _ { m a } \left( \left\vert X _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } ^ { \mu } \right\vert ^ { 2 } - \left\vert Y _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } ^ { \mu } \right\vert ^ { 2 } \right) = \mathrm { s i g n } \left( \omega ^ { \mu } \right) .
{ \dot { \textbf { x } } } ( t ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - d _ { 4 } } & { - d _ { 3 } } & { - d _ { 2 } } & { - d _ { 1 } } \end{array} \right] } { \textbf { x } } ( t ) + { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } { \textbf { u } } ( t )
\begin{array} { r l } { u _ { t } } & { = \psi _ { w } w _ { t } } \\ { \nabla u } & { = \psi _ { w } \nabla w } \\ { \Delta u } & { = \nabla ( \nabla u ) } \\ & { = \nabla ( \psi _ { w } \nabla w ) } \\ & { = \nabla ( \psi _ { w } ) \nabla w + \psi _ { w } \nabla ( \nabla w ) } \\ & { = \psi _ { w w } \lvert \nabla w \rvert ^ { 2 } + \psi _ { w } \Delta w } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overrightarrow { \mathbf { N } } \mathbb { E } \bigg \lbrace { \mathbf { G } } ( z _ { 1 } ) \otimes . . . \otimes { \mathbf { G } } ( z _ { m } ) \bigg \rbrace = \overrightarrow { \mathbf { N } } \mathbb { E } \left\lbrace \prod _ { q = 1 } ^ { m } { \mathbf { G } } ( z _ { q } ) \right\rbrace } \\ & { \overrightarrow { \mathbf { N } } \mathbb { K } \bigg \lbrace { \mathbf { G } } ( z _ { 1 } ) \otimes . . . \otimes { \mathbf { G } } ( z _ { m } ) \bigg \rbrace = \overrightarrow { \mathbf { N } } \mathbb { K } \left\lbrace \prod _ { q = 1 } ^ { m } { \mathbf { G } } ( z _ { q } ) \right\rbrace } \\ & { \overrightarrow { \mathbf { N } } \mathbb { K } \bigg \lbrace { \mathbf { G } } ( z _ { 1 } ) \otimes . . . \otimes { \mathbf { G } } ( z _ { m } ) \bigg \rbrace = \overrightarrow { \mathbf { N } } \mathbb { K } \left\lbrace \prod _ { q = 1 } ^ { m } { \mathbf { G } } ( z _ { q } ) \right\rbrace _ { m \ge 3 } = 0 } \end{array}
E _ { \mathrm { h f s } } ( n S ) = \frac { E _ { \mathrm { F } } } { n ^ { 3 } } \left( 1 + \Delta _ { \mathrm { Q E D } } + \Delta _ { \mathrm { w e a k } } + \Delta _ { \mathrm { s t r o n g } } \right) ,
p _ { 1 } ( 0 ) = \left( \sqrt { \frac { m u \beta _ { S } } { 2 \pi } } \right) ^ { 3 } \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { u } + \frac { 3 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { u } ) } ,
\textrm { R a } _ { w } \approx \pi ^ { 2 } ( 6 \sqrt { 3 } ) ^ { 1 / 2 } \textrm { E k } ^ { - 1 } + 4 6 . 5 \textrm { } \textrm { E k } ^ { - 2 / 3 } , \qquad \omega _ { d _ { c } } / \Omega \approx ( 4 \pi ^ { 2 } [ 3 ( 2 + \sqrt { 3 } ) ] ^ { 1 / 2 } \textrm { E k } - 1 4 6 5 \textrm { } \textrm { E k } ^ { 4 / 3 } ) \textrm { P r } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \Tilde { f } ^ { S R 1 } ( \vec { r } , \omega ) } & { = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { c } \mathrm { e } ^ { - \alpha ^ { 2 } x } \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } } \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } x } \mathrm { d } x } \\ & { = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { c } \mathrm { e } ^ { - \alpha ^ { 2 } x } \sum _ { \vec { n } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \vert \vec { r } + \vec { n } L \vert ^ { 2 } / 4 x } } { ( 4 \pi x ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { d } x } \\ & { = \sum _ { \vec { n } } 4 \pi \int _ { 0 } ^ { c } \mathrm { e } ^ { - \alpha ^ { 2 } x } \frac { \mathrm { e } ^ { - \vert \vec { r } + \vec { n } L \vert ^ { 2 } / 4 x } } { ( 4 \pi x ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { d } x \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d { p } } \sum _ { i \neq j } k ( \mathbf { Y } ^ { [ i ] } , \mathbf { Y } ^ { [ j ] } ; p ) = \mathbf { \hat { c } } _ { 3 } , \; \; \mathbf { \hat { c } } _ { 3 } = \sum _ { i \neq j } \partial _ { 3 } k ( \mathbf { Y } ^ { [ i ] } , \mathbf { Y } ^ { [ j ] } ; p ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 0 } ( 0 ) = } & { 2 f _ { ( 0 , 0 , 3 ) } ( a , b , x ) + \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } f _ { ( 0 , 0 , 1 ) ) } ( a ^ { 1 / 9 } , b ^ { 1 / 9 } , x / 3 ) , } \\ { v _ { 1 } ( 0 ) = } & { f _ { ( \frac { 1 } { 3 } , 0 , 3 ) } ( a , b , x ) + f _ { ( \frac { - 1 } { 3 } , 0 , 3 ) } ( a , b , x ) } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left[ f _ { ( 0 , \frac { 1 } { 3 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 9 } , b ^ { 1 / 9 } , x / 3 ) + f _ { ( 0 , \frac { - 1 } { 3 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 9 } , b ^ { 1 / 9 } , x / 3 ) \right] , } \\ { v _ { 2 } ( 0 ) = } & { f _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 0 , 3 ) } ( a , b , x ) + f _ { ( \frac { - 2 } { 3 } , 0 , 3 ) } ( a , b , x ) } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left[ f _ { ( 0 , \frac { 2 } { 3 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 9 } , b ^ { 1 / 9 } , x / 3 ) + f _ { ( 0 , \frac { - 2 } { 3 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 9 } , b ^ { 1 / 9 } , x / 3 ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 1 1 } = C _ { 1 1 } \varepsilon _ { 1 1 } + C _ { 1 3 } \varepsilon _ { 3 3 } , \, \, \sigma _ { 3 3 } = C _ { 1 3 } \varepsilon _ { 1 1 } + C _ { 3 3 } \varepsilon _ { 3 3 } , } \\ { \sigma _ { 1 3 } = C _ { 4 4 } \varepsilon _ { 1 3 } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { N } { i } \left( \Sigma _ { i } ^ { ( N , G ) } - \Sigma _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } \right) } & { { } = \frac { N } { i } \left( \frac { i } { N } ( 1 + H _ { N } - H _ { i } ) - \frac { i } { N + 1 } ( 1 + H _ { N + 1 } - H _ { i } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { I } } & { : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 8 c _ { F } ^ { 2 } } { \pi } } & { n = 2 , } \\ { 8 0 c _ { F } ^ { 4 } ( \frac { 9 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ) ^ { 2 / 3 } } & { n = 3 , } \end{array} \right. } \\ { h _ { \operatorname* { m a x } } } & { : = \operatorname* { m a x } _ { \omega _ { l } \in \mathcal { T } ^ { x } } ( | \tau _ { l } | ^ { - d } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = k } a _ { 1 } b _ { 1 } } & { = \mathfrak { a } \mathfrak { b } , } \\ { \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = k } ( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } ) } & { = - \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \left( \partial _ { x } \mathfrak { a } \partial _ { \xi } \mathfrak { b } - \partial _ { \xi } \mathfrak { a } \partial _ { x } \mathfrak { b } \right) } \\ { \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = k } ( a _ { 1 } b _ { 3 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + a _ { 3 } b _ { 1 } ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x x } \mathfrak { a } \partial _ { \xi \xi } \mathfrak { b } + \partial _ { x \xi } \mathfrak { a } \partial _ { x \xi } \mathfrak { b } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \xi \xi } \mathfrak { a } \partial _ { x x } \mathfrak { b } \right) = : \sigma _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { { } = { \cfrac { \mathrm { d } u _ { 0 } } { d x } } - z { \cfrac { \mathrm { d } ^ { 2 } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \left( { \cfrac { \mathrm { d } u _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } - z { \cfrac { \mathrm { d } ^ { 2 } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + \left( { \cfrac { \mathrm { d } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { \varepsilon _ { 2 2 } } & { { } = 0 } \\ { \varepsilon _ { 3 3 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \cfrac { \mathrm { d } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } \right) ^ { 2 } } \\ { \varepsilon _ { 2 3 } } & { { } = 0 } \\ { \varepsilon _ { 3 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \cfrac { \mathrm { d } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } - { \cfrac { \mathrm { d } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \left( { \cfrac { \mathrm { d } u _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } - z { \cfrac { \mathrm { d } ^ { 2 } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } } \right) \left( { \cfrac { \mathrm { d } w _ { 0 } } { \mathrm { d } x } } \right) \right] } \\ { \varepsilon _ { 1 2 } } & { { } = 0 } \end{array}
H _ { s } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 2 1 8 } & { - 9 1 . 0 } & { 4 . 1 } & { - 6 . 3 } & { 6 . 3 } & { - 8 . 8 } & { - 7 . 8 } & { 3 2 . 4 } \\ { - 9 1 . 0 } & { 8 1 } & { 2 8 . 7 } & { 8 . 2 } & { 1 . 0 } & { 8 . 8 } & { 3 . 4 } & { 6 . 3 } \\ { 4 . 1 } & { 2 8 . 7 } & { 0 } & { - 4 6 . 6 } & { - 4 . 4 } & { - 9 . 3 } & { 1 . 3 } & { 1 . 3 } \\ { - 6 . 3 } & { 8 . 2 } & { - 4 6 . 6 } & { 1 0 5 } & { - 7 3 . 9 } & { - 1 7 . 7 } & { - 5 9 . 1 } & { - 1 . 9 } \\ { 6 . 3 } & { 1 . 0 } & { - 4 . 4 } & { - 7 3 . 9 } & { 1 0 5 } & { 7 6 . 0 } & { - 3 . 1 } & { 4 . 2 } \\ { - 8 . 8 } & { 8 . 8 } & { - 9 . 3 } & { - 1 7 . 7 } & { 7 6 . 0 } & { 1 8 6 } & { 2 5 . 9 } & { - 1 1 . 6 } \\ { - 7 . 8 } & { 3 . 4 } & { 1 . 3 } & { - 5 9 . 1 } & { - 3 . 1 } & { 2 5 . 9 } & { 1 6 9 } & { - 1 1 . 9 } \\ { 3 2 . 4 } & { 6 . 3 } & { 1 . 3 } & { - 1 . 9 } & { 4 . 2 } & { - 1 1 . 6 } & { - 1 1 . 9 } & { 1 5 4 } \end{array} \right) ,
\mathbf { W } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ T ~ T ~ } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ T ~ R ~ } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ R ~ T ~ } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ R ~ R ~ } } } \end{array} \right] .
A = \left[ \begin{array} { c c c c } { \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 0 } } & { \rho _ { 0 } \tilde { \mathcal { G } } _ { 1 } } & { 0 } & { \tilde { \mu } _ { x } ^ { u \tau } ( - d , k ) } \\ { - \rho _ { 0 } \tilde { \mathcal { G } } _ { 1 } } & { - \rho _ { 0 } \mathcal { G } _ { 0 } } & { \tilde { \mu } _ { x } ^ { u \tau } ( - d , k ) } & { 0 } \\ { - i k \rho _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { \mathcal { G } } _ { 2 } } & { - i k \rho _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { \mathcal { G } } _ { 3 } } & { 0 } & { - i k \rho _ { 0 } \tilde { \mu } _ { y } ^ { u \tau } ( - d , k ) } \\ { - i k \rho _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { \mathcal { G } } _ { 3 } } & { - i k \rho _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { \mathcal { G } } _ { 2 } } & { i k \rho _ { 0 } \tilde { \mu } _ { y } ^ { u \tau } ( - d , k ) } & { 0 } \end{array} \right] ,
\left< \phi ^ { 2 } ( x ) \right> = \left. { \frac { d } { d s } } \right| _ { s = 0 } { \frac { s } { \mu ^ { 2 } } } \zeta ( s + 1 , x | L _ { b } / \mu ^ { 2 } ) = \operatorname * { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \left[ ( 1 + s \ln \mu ^ { 2 } ) \zeta ( s + 1 , x | L _ { b } ) + s \zeta ^ { \prime } ( s + 1 | L _ { b } ) \right] ,