harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I ( D ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! d \hat { T } _ { 1 } \, d \hat { T } _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \! d a \, d b \, d c \, d d \, { \biggl [ ( \hat { T } _ { 1 } + G _ { B a b } ) ( \hat { T } _ { 2 } + G _ { B c d } ) - { \frac { C ^ { 2 } } { 4 } } \biggr ] } ^ { - { \frac { D } { 2 } } }
F _ { \mu } ^ { \mathrm { r a d } } = { \frac { \mu _ { o } q ^ { 2 } } { 6 \pi m c } } \left[ { \frac { d ^ { 2 } p _ { \mu } } { d \tau ^ { 2 } } } - { \frac { p _ { \mu } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } } \left( { \frac { d p _ { \nu } } { d \tau } } { \frac { d p ^ { \nu } } { d \tau } } \right) \right] .
{ \begin{array} { r l } { P ( M _ { 1 } \mid D ) } & { = { \frac { P ( D \mid M _ { 1 } ) P ( M _ { 1 } ) } { P ( D ) } } } \\ & { = { \frac { P ( D \mid M _ { 1 } ) P ( M _ { 1 } ) } { P ( D \mid M _ { 1 } ) P ( M _ { 1 } ) + P ( D \mid M _ { 2 } ) P ( M _ { 2 } ) } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { P ( D \mid M _ { 2 } ) } { P ( D \mid M _ { 1 } ) } } { \frac { P ( M _ { 2 } ) } { P ( M _ { 1 } ) } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int _ { u } ^ { t } \frac { \mathfrak { L } ( v , s , t , \rho ) ^ { r ^ { \prime } } } { ( v - s ) ^ { \frac { \rho { r ^ { \prime } } } { \alpha } } } \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - v ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] ^ { r ^ { \prime } } \mathrm { d } v } & { = \int _ { u } ^ { t } \frac { 1 } { ( v - s ) ^ { \frac { \rho { r ^ { \prime } } } { \alpha } } } \frac { ( t - s ) ^ { \frac { r ^ { \prime } \beta } { \alpha } } } { ( t - v ) ^ { \frac { r ^ { \prime } } { \alpha } } } \left[ \frac { 1 } { ( t - v ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( v - s ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } \right] ^ { r ^ { \prime } } } \\ & { \qquad \times \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - v ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( v - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] ^ { r ^ { \prime } } \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - v ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] ^ { r ^ { \prime } } \mathrm { d } v . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \boldsymbol { J } } ( \boldsymbol q ) \! = \! \left( \! \! \! \begin{array} { c c } { - q ^ { 2 } D _ { A } \left( 1 + \psi \right) + \frac { ( h - 2 ) k } { 2 } } & { - q ^ { 2 } D _ { A } \left( \psi + \phi _ { 0 } \chi \right) - \frac { h k } { 2 } } \\ { - q ^ { 2 } D _ { I } \left( \psi + \phi _ { 0 } \chi \right) + \frac { h k } { 2 } } & { - q ^ { 2 } D _ { I } \left( 1 + \psi \right) - \frac { ( h + 2 ) k } { 2 } } \end{array} \! \! \right) , } \end{array}
\mathbb { P } _ { u } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \right) \leq \mathbb { P } _ { u } \! \left( \tau _ { A } < t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } \right) + \mathbb { P } _ { u } \! \left( t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } < \tau ( A , t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } ) < \tau ( B , t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } ) \right) \leq \frac { | A | t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } { \delta n } + \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \tau _ { A } < \tau _ { B } \right) + n ^ { - \log ( 2 ) \log ( n ) } .
\begin{array} { r l } { G ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = } & { - \frac { 1 } { ( \omega _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 2 } - \alpha _ { a } ) } [ \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 2 } ) + \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) ] } \\ & { - \frac { 2 i g ^ { 2 } } { \pi } \frac { 1 } { ( \omega _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \alpha _ { b } ) } \delta ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { e } _ { r } | _ { r = R } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { e } _ { \theta } | _ { r = R + 0 } - \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { e } _ { \theta } | _ { r = R - 0 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \sigma _ { r \theta } | _ { r = R + 0 } - \sigma _ { r \theta } | _ { r = R - 0 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol { j } _ { \pm } \cdot \boldsymbol { e } _ { r } | _ { r = R } } & { { } = } & { 0 } \\ { \nabla p | _ { r \to \infty } } & { { } = } & { 0 , } \\ { c _ { i , \mathrm { o u t } } | _ { r \to \infty } } & { { } = } & { c _ { \mathrm { o u t } } ^ { \infty } , } \\ { \boldsymbol { u } | _ { r \to \infty } } & { { } = } & { U \boldsymbol { e } _ { z } , } \\ { \psi | _ { r \to \infty } } & { { } = } & { - E r \cos \theta , } \end{array}
\operatorname { e r f c } ( x ) = { \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { x { \sqrt { \pi } } } } \left[ 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 n - 1 ) } { ( 2 x ^ { 2 } ) ^ { n } } } \right] = { \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { x { \sqrt { \pi } } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { ( 2 x ^ { 2 } ) ^ { n } } } ,
\left( \begin{array} { l l } { { M _ { \tilde { Q } _ { L } } ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } ( I _ { 3 } ^ { f } - Q _ { f } s _ { W } ^ { 2 } ) \cos 2 \beta } } & { { \quad m _ { f } ( A _ { f } + \mu \{ \cot \beta , \tan \beta \} ) } } \\ { { m _ { f } ( A _ { f } + \mu \{ \cot \beta , \tan \beta \} ) } } & { { \quad M _ { \{ \tilde { U } , \tilde { D } \} _ { R } } ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } Q _ { f } s _ { W } ^ { 2 } \cos 2 \beta } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \Delta t } ( { \bf \eta } _ { j } ^ { n + 1 } - { \bf \eta } _ { j } ^ { n } , { \bf \phi } _ { j } ^ { n + 1 } ) } & { \le } & { \frac { C _ { p } ^ { 2 } } { 2 \epsilon _ { 1 } } \left\| \frac { { \bf \eta } _ { j } ^ { n + 1 } - { \bf \eta } _ { j } ^ { n } } { \Delta t } \right\| ^ { 2 } + \frac { \epsilon _ { 1 } } { 2 } \| \nabla { \bf \phi } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } . } \\ { ( { \bf r } _ { j } ^ { n + 1 } , { \bf \phi } _ { j } ^ { n + 1 } ) } & { \le } & { \frac { C _ { p } ^ { 2 } } { 2 \epsilon _ { 2 } } \| { \bf r } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon _ { 2 } } { 2 } \| \nabla { \bf \phi } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } . } \\ { ( \nu \nabla { \bf \eta } _ { j } ^ { n + 1 } , \nabla { \bf \phi } _ { j } ^ { n + 1 } ) } & { \le } & { \frac { { \nu } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { 2 \epsilon _ { 3 } } \| \nabla { \bf \eta } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon _ { 3 } } { 2 } \| \nabla { \bf \phi } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { R I N } } ^ { 2 } = \frac { \eta _ { m } \kappa _ { m } \mathrm { ~ R ~ I ~ N ~ } \Delta f \cdot \gamma ( P _ { \mathrm { S } } T / h \nu _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \eta _ { m } \kappa _ { m } ( P _ { \mathrm { L O } } T / N h \nu _ { 0 } ) ( P _ { \mathrm { S } } T / N h \nu _ { 0 } ) } = \frac { N ^ { 2 } } { T } 2 c _ { \gamma ^ { 2 } } \mathrm { ~ R ~ I ~ N ~ } \, .
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } \dot { N } / N } & { = S _ { 1 } [ \nu _ { 1 } + ( \nu _ { 2 } - \nu _ { 1 } ) S _ { 2 } + ( \nu _ { I } - \nu _ { 1 } ) I ] } \\ { S _ { 2 } \dot { N } / N } & { = S _ { 2 } [ \nu _ { 2 } + ( \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } ) S _ { 1 } + ( \nu _ { I } - \nu _ { 2 } ) I ] } \\ { I \dot { N } / N } & { = I [ \nu _ { I } + ( \nu _ { 1 } - \nu _ { I } ) S _ { 1 } + ( \nu _ { 2 } - \nu _ { I } ) S _ { 2 } ] . } \end{array}
\langle \mathrm { v a c } , A ( t ) | a _ { n } ^ { \dagger } a _ { m } \frac { \delta : \hat { \mathrm { H } _ { \mathrm { F } } } : ( t ) } { \delta A _ { 1 } ( x , t ) } | \mathrm { v a c } , A ( t ) \rangle - ( x \longleftrightarrow y ) \} .
v ^ { 2 } = v _ { D } ^ { 2 } + 8 v _ { T } ^ { 2 } \; , \qquad \sin \theta _ { H } = \frac { \sqrt { 8 } v _ { T } } { \sqrt { v _ { D } ^ { 2 } + 8 v _ { T } ^ { 2 } } } \; , \qquad \cos \theta _ { H } = \frac { v _ { D } } { \sqrt { v _ { D } ^ { 2 } + 8 v _ { T } ^ { 2 } } } \; ,
\begin{array} { r l } { \big \| \b { \hat { f } } - \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol f \big \| _ { p } } & { \leq | \mathcal I _ { \b { M } } | \, \varepsilon \cdot \big \| \b { \hat { f } } \big \| _ { p } + \big \| \boldsymbol A \b { \hat { f } } - \boldsymbol f \big \| _ { p } \cdot | \mathcal I _ { \b { M } } | ^ { 1 / p } \, \| \boldsymbol w \| _ { q } } \end{array}
\sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { + \infty } \, \psi _ { m , \ell , p } ( r _ { f } , \theta _ { f } , z _ { f } ) \, e ^ { - \frac { i } { \hbar } \Delta t \left[ \frac { 1 } { 2 } \hbar ^ { 2 } g ^ { 2 } \ell ^ { 2 } + \hbar \omega ( 2 m + | \ell | + 1 ) \right] } \, \psi _ { m , \ell , p } ^ { * } ( r _ { i } , \theta _ { i } , z _ { i } ) \ \ \ ,
{ \cfrac { \partial \mathbf { b } ^ { i } } { \partial q ^ { j } } } = - \Gamma ^ { i } _ { j k } \mathbf { b } ^ { k } , \quad { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { b } _ { i } = \Gamma ^ { k } _ { i j } \mathbf { b } _ { k } \otimes \mathbf { b } ^ { j } , \quad { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { b } ^ { i } = - \Gamma ^ { i } _ { j k } \mathbf { b } ^ { k } \otimes \mathbf { b } ^ { j }
\begin{array} { r l } { W _ { \sigma } ( y g , \mu , \delta ) = } & { p _ { \rho + \mu ^ { w _ { l } } } ( y ) \chi _ { \delta ^ { w _ { l } } } ( y ) W _ { \sigma } ( g , w _ { l } , \mu , \delta , \psi _ { y } ) } \\ { \sim } & { p _ { \rho + \mu ^ { w _ { l } } } ( y ) \chi _ { \delta ^ { w _ { l } } } ( y ) W _ { \sigma } ( g , w _ { l } , \mu , \delta , \psi _ { \alpha _ { w } } ) , \qquad \mathrm { ~ a s ~ } y \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ^ { \mathrm { { u c } } } = \operatorname* { m i n } } & { \; { \mathbf c } ^ { \top } { \boldsymbol x } + \mathcal { F } _ { 1 } ( { \boldsymbol y } _ { 0 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \; \; { \boldsymbol x } \in \mathcal { X } , } \\ { F _ { t } ( { \boldsymbol y } _ { t - 1 } , { \boldsymbol \xi } _ { t } ) } & { = \operatorname* { m i n } \; { \mathbf b } _ { t } ^ { \top } { \boldsymbol y } _ { t } + \mathcal { F } _ { t + 1 } ( { \boldsymbol y } _ { t } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \; { \mathbf A } _ { t } } & { { \boldsymbol y } _ { t - 1 } + { \mathbf B } _ { t } { \boldsymbol y } _ { t } \geq { \mathbf h } _ { t } ( { \boldsymbol x } ) + { \mathbf H } _ { t } { \boldsymbol \xi } _ { t } , } \\ & { \; { \boldsymbol y } _ { t } \in \mathcal { Y } _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \{ F ( s ; a , b , 2 p ) \} } & { = \frac { \sqrt { \pi } ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) ^ { p } ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) ^ { p } } { \mu ^ { \frac { 2 p - 1 } { 2 } } \Gamma \left( p \right) } \mathcal { L } \{ \int _ { 0 } ^ { s } s ^ { \frac { 2 p - 1 } { 2 } } I _ { \frac { 2 p - 1 } { 2 } } \left( \frac { s ^ { \prime } \mu } { 2 } \right) e ^ { - \frac { ( \mu _ { t _ { a } } + \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { a } + \sigma _ { b } ) } { 2 } s ^ { \prime } } d s ^ { \prime } \} } \\ & { = \frac { ( \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { p } ( \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { p } } { t ( t + \mu _ { a } + \sigma _ { a } ) ^ { p } ( t + \mu _ { b } + \sigma _ { b } ) ^ { p } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf 0 = \nabla \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \widehat { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) = \nabla \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) + \nabla ^ { 2 } \mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) ( \widehat { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } - \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) + \mathbf { R } _ { \mathcal { D } } ( \widehat { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } - \bar { { \boldsymbol \beta } } _ { \mathcal { D } } ) ^ { \otimes 2 } , } \end{array}
H _ { 2 } ^ { ' } ( p ) = \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { ( p - q ) ^ { 2 } } \frac { \left[ H _ { 1 } ^ { ' } ( q ) \sin ^ { 2 } \theta + H _ { 2 } ^ { ' } ( q ) \cos ^ { 2 } \theta \right] } { \left| - \frac { 1 } { 2 } \delta + i q _ { 3 } + \frac { \left| { \bf q } \right| ^ { 2 } } { 2 m } + \Sigma _ { \pm } ( q _ { 3 } , \left| { \bf q } \right| ) \right| ^ { 2 } } .
\ln 2 = 7 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { 1 5 ^ { n } n } } + 3 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { 8 0 ^ { n } n } } + 5 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { 2 4 ^ { n } n } } .
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { v } } \left( T _ { \mathrm { v } } \right) - P _ { \mathrm { l } } = \rho _ { \mathrm { l } } \left[ R _ { \mathrm { b } } \left( 1 - \frac { R _ { \mathrm { b } } } { R _ { \mathrm { d } } } \right) \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t ^ { 2 } } + \left( \frac { 3 } { 2 } - \frac { 2 R _ { \mathrm { b } } } { R _ { \mathrm { d } } } + \frac { R _ { \mathrm { b } } ^ { 4 } } { 2 R _ { \mathrm { d } } ^ { 4 } } \right) \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } \right) ^ { 2 } \right] + \frac { 4 \mu _ { l } } { R _ { \mathrm { b } } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm { ~ d } t } + \frac { 2 \sigma } { R _ { \mathrm { b } } } , } \end{array}
\Delta ^ { n } h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) = n ^ { 2 } \bigg [ h \bigg ( \frac { j + 1 } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) + h \bigg ( \frac { j - 1 } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) + h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } + 1 } { n } \bigg ) + h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } - 1 } { n } \bigg ) - 4 h \bigg ( \frac { j } { n } , \frac { j ^ { \prime } } { n } \bigg ) \bigg ] .
\begin{array} { r l } { \Pi ( B _ { n } ( f _ { 0 } , \sqrt { D } \varepsilon _ { n } ) ) } & { = \Pi ( \{ f , ~ K ( f _ { 0 } , f ) \leq D \varepsilon _ { n } ^ { 2 } , \; V ( f _ { 0 } , f ) \leq D \varepsilon _ { n } ^ { 2 } \} ) } \\ & { \geq \Pi ( f \in H _ { K _ { n } } ^ { 1 } , \| f - f _ { 0 , K _ { n } } \| _ { 1 } \leq 2 \rho _ { n } ) \geq C e ^ { - c K _ { n } \log ( \frac { 1 } { \rho _ { n } } ) } \prod _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \delta _ { i , n } . } \end{array}
\textbf { H } _ { n } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 - \theta _ { n } } \\ { 0 } & { 0 } & { \rho _ { 0 } \theta _ { n } \eta _ { n } } \\ { 0 } & { 0 } & { \rho _ { 0 } \theta _ { n } \eta _ { x \_ n } } \\ { b _ { 0 } ^ { - 1 } \theta _ { n } \eta _ { n + 1 } } & { 1 - \theta _ { n } } & { 0 } \\ { 1 - \theta _ { n } } & { \rho _ { 0 } \theta _ { n } \eta _ { n + 1 } } & { 0 } \\ { b _ { 0 } ^ { - 1 } \theta _ { n } \eta _ { x \_ { n + 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho _ { 0 } \theta _ { n } \eta _ { x \_ { n + 1 } } } & { 0 } \end{array} \right) ^ { T } .
\begin{array} { r l } { \langle c _ { n } ^ { 2 } \rangle } & { { } = \langle D ^ { 2 } \lambda _ { n } ^ { 1 / 2 } e ^ { - 2 C \lambda _ { n } t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { C \lambda _ { n } \tau } d _ { n } ( \tau ) d \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { j } ^ { N } ( s ) } & { : = R _ { j } ^ { N } ( s ) A ^ { D } ( s , t _ { j } ) + \frac { \pi } { N } B ^ { D } ( s , t _ { j } ) , \quad s \in \mathbb { R } } \\ { R _ { j } ^ { N } ( s ) } & { : = - \frac { 1 } { N } \left\{ \sum _ { m = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { m } \cos m ( s - t _ { j } ) + \frac { 1 } { 2 N } \cos ( N ( s - t _ { j } ) ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { S } _ { 0 } = \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } \right) / 2 \quad \hat { S } _ { x } = \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } + \hat { b } ^ { \dagger } \hat { a } \right) / 2 , } \\ { \hat { S } _ { y } = - \mathrm { ~ i ~ } \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } - \hat { b } ^ { \dagger } \hat { a } \right) / 2 \quad \hat { S } _ { z } = \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } \right) / 2 . } \end{array}
{ \Phi } ^ { ( I ) } = - \frac { s \, e ^ { 2 } F ( 1 - F ) } { 1 2 { \pi } ^ { 2 } | m | } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { d v } { v { \sqrt { v - 1 } } } \frac { ( 1 + F ) ( 1 + A { v } ^ { F } ) - ( 2 - F ) ( 1 + A ^ { - 1 } v ^ { 1 - F } ) } { A { v } ^ { F } + 2 + A ^ { - 1 } v ^ { 1 - F } } .
\operatorname { S t e k } _ { \operatorname { m i x } } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \bar { \ell } ) ) = \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( 2 \bar { \ell } ) ) \setminus \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \bar { \ell } ) ) = \frac { \pi } { 2 \bar { \ell } } \left\{ 1 , 3 , 5 , \cdots \right\} .
\begin{array} { r l } { g _ { l } ( \nu _ { i / f } , r , r ^ { \prime } ) } & { { } = - \frac { 2 ( 2 \nu _ { i / f } ) ^ { 2 l + 1 } } { [ ( 2 l + 1 ) ! ] ^ { 2 } } e ^ { - \nu _ { i / f } ( r + r ^ { \prime } ) } ( r r ^ { \prime } ) ^ { l } \sum _ { n = l + 1 } ^ { \infty } \Big ( k - \frac { 1 } { \nu _ { i / f } } \Big ) ^ { - 1 } \frac { ( n + l ) ! } { ( n - l - 1 ) ! } \times } \end{array}
\overline { { J _ { i j k l } ^ { 2 } } } = 1 2 J _ { 0 } ^ { 2 } ~ , \ \ \ \ \overline { { J _ { i j k l } J _ { j i k l } } } = - 4 J _ { 0 } ^ { 2 } ~ , \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ v ~ e ~ r ~ } i , j , k , l ) ~ ,
\begin{array} { r l } { V ^ { \tau , h } ( s , y ) } & { \geq V ^ { \tau , h } ( s _ { 1 } , y _ { 1 } ) - \frac { \sigma } { T } ( s _ { 1 } - s ) + \frac { \sigma } { R } ( \phi ( y _ { 1 } ) - \phi ( y ) ) } \\ & { \qquad \qquad - ( 8 L + 2 \sigma ) \left[ g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) - g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s , x _ { 1 } - y ) \right] = : \tilde { V } ( s , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle F ^ { \prime } ( \phi ) , w \rangle _ { H ^ { 1 } ( D ) } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \eta \to 0 _ { + } } \int _ { D } \frac { f _ { \phi + \eta w } ( x ) - f _ { \phi } ( x ) } { \eta } \chi _ { \phi + \eta w } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { \quad + \operatorname* { l i m } _ { \eta \to 0 _ { + } } \int _ { D } f _ { \phi } ( x ) \frac { \chi _ { \phi + \eta w } ( x ) - \chi _ { \phi } ( x ) } { \eta } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { s } ^ { \mathrm { e v e n } } ( \vec { r } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ h _ { s } ( \vec { r } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) + h _ { s } ( \vec { r } , - v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) \right] , } \\ { h _ { s } ^ { \mathrm { o d d } } ( \vec { r } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ h _ { s } ( \vec { r } , v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) - h _ { s } ( \vec { r } , - v _ { \parallel } , v _ { \perp } , t ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \xi } ( \xi , \eta ) = J _ { 0 } \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \bigg ( \displaystyle \frac { \pi \xi } { 2 L _ { 0 } } \bigg ) \sin ^ { 3 } \bigg ( \displaystyle \frac { \pi \eta } { L _ { 0 } } \bigg ) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \mathbf { n } \cdot \mathbf { e } _ { y } = 0 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \mathbf { n } \cdot \mathbf { e } _ { y } \ne 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
M _ { \pm } ( x ) = M _ { \pm } - k _ { 0 } \left\{ \operatorname { t a n h } \left[ k _ { 0 } ( x - x _ { 0 } + y ) \right] - \operatorname { t a n h } \left[ k _ { 0 } ( x - x _ { 0 } - y ) \right] \right\}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = K _ { 1 } ( c o s ( 3 k b ) - 1 ) - 2 K _ { 2 } } \\ { B } & { { } = 2 K _ { 2 } c o s ( k b ) } \\ { C } & { { } = K _ { 2 } } \\ { D } & { { } = K _ { 2 } c o s ( 2 k b ) - 2 K _ { 2 } c o s ( k b ) } \end{array}
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \chi + ( { \tilde { u } } _ { 1 } - E ) \chi + i { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } [ 2 \mathbf { \tau } _ { 1 2 } \nabla + \nabla \mathbf { \tau } _ { 1 2 } ] \chi = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( x , y , t ) } & { { } = - \frac { \partial } { \partial t } \nabla [ A ( t ) p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) ] } \end{array}
c _ { 1 } ( { \cal N } ) = n \left( { \frac { 1 } { 2 } } + \lambda \right) \sigma + \left( { \frac { 1 } { 2 } } - \lambda \right) \pi ^ { * } \eta + \left( { \frac { 1 } { 2 } } + n \lambda \right) \pi ^ { * } \left( c _ { 1 } ( B ) \right) .
\begin{array} { r l r } { \overline { { u } } _ { j } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { = } & { - \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \overline { { \tau } } _ { i j } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { T } } { \partial x _ { j } } \qquad i = 1 , 2 , 3 } \\ { \nabla ^ { 2 } \overline { { p } } } & { = } & { - \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { i } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { j } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { T } } { \partial x _ { j } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { u } ( k ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k - 1 < \lvert \mathbf { k ^ { \prime } } \rvert \leq k } \lvert \bf { u } ( \bf { k ^ { \prime } } ) \rvert ^ { 2 } , } \\ { E _ { b } ( k ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k - 1 < \lvert \mathbf { k ^ { \prime } } \rvert \leq k } \lvert \bf { b } ( \bf { k ^ { \prime } } ) \rvert ^ { 2 } . } \end{array}
I _ { g r a v } ^ { ( t ) } - 3 ( \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } ) ^ { 3 } ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } ) ^ { - 4 } u ^ { - 3 } \frac { 1 6 } { 2 7 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { n } } { n ! } G _ { n } ( 2 , 2 ; v ) .
\begin{array} { r } { \Gamma ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) = \frac { 2 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } { \bf d } \cdot \mathbf { K } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) \cdot { \bf d } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \phi - \tilde { \phi } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left| \phi _ { k } ^ { i } - \tilde { \phi } _ { k } ^ { i } \right| ^ { 2 } \leq \frac { 2 } { T ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { \left( \lambda ^ { i } \right) ^ { 2 } } : \Delta f ^ { 2 } . } \end{array}
R a _ { c r } = \frac { R a \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ C ~ R ~ } } \left( \delta _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ C ~ R ~ } } \right) ^ { 3 } } { \eta _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ a ~ x ~ } } } = R a \Delta T _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ C ~ R ~ } } \left( \delta _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ C ~ R ~ } } \right) ^ { 3 } ,
{ \bf \tilde { q } } _ { 2 } = { \bf G } _ { 2 0 } { \bf \tilde { f } } _ { 0 } + { \bf G } _ { 2 1 } { \bf \tilde { f } } _ { 1 } + { \bf G } _ { 2 2 } { \bf \tilde { f } } _ { 2 } + { \bf G } _ { 2 2 } { \bf \tilde { f } } _ { b k } + { \bf \tilde { f } } _ { s e } + { \bf \tilde { f } } _ { p h } .
B _ { i j k } = \langle x _ { i } x _ { j } x _ { k } \rangle - \langle x _ { i } \rangle \langle x _ { j } x _ { k } \rangle - \langle x _ { j } \rangle \langle x _ { k } x _ { i } \rangle - \langle x _ { k } \rangle \langle x _ { i } x _ { j } \rangle + 2 \langle x _ { i } \rangle \langle x _ { j } \rangle \langle x _ { k } \rangle \, .
S _ { F } ^ { ( 1 ) } ( p ) = - \frac { 1 } { i ( 2 \pi ) ^ { 4 } ( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } - i \epsilon ) } \left[ \gamma _ { \mu \nu } p _ { \mu } p _ { \nu } - m ^ { 2 } \right] \quad ,