harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \bf D } } & { \approx } & { c _ { 1 } \, \varepsilon _ { 0 } \, { \bf \delta E } + c _ { 2 } \, \varepsilon _ { 0 } \, c \left( { \bf B } _ { 0 } + { \bf \delta B } \right) + d _ { 2 } \, \varepsilon _ { 0 } \, { \bf B } _ { 0 } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta E } \right) - d _ { 3 } \, \varepsilon _ { 0 } \, c \, { \bf B } _ { 0 } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta B } \right) \, , } \\ { { \bf H } } & { \approx } & { \frac { c _ { 1 } } { \mu _ { 0 } } \, \left( { \bf B } _ { 0 } + { \bf \delta B } \right) - \frac { c _ { 2 } } { \mu _ { 0 } c } \, { \bf \delta E } - \frac { d _ { 1 } } { \mu _ { 0 } } \, { \bf B } _ { 0 } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta B } \right) + \frac { d _ { 3 } } { \mu _ { 0 } c } \, { \bf B } _ { 0 } \left( { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf \delta E } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + 3 \alpha + \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 2 } + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( 1 + 2 \alpha + \gamma - \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 2 } + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { 3 \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + 3 \alpha + \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 2 } - a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( 1 + \gamma + \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 3 \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 2 } + a _ { 3 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( 1 + \alpha + \gamma \right) } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) , } \end{array}
H _ { q p } = \sum _ { \mathbf { k } , a , b } \left( \sum _ { \alpha , \beta } \, R _ { a , \alpha } ^ { \dagger } \, \epsilon _ { \mathbf { k } } ^ { \alpha , \beta } \, R _ { \beta , b } - \lambda _ { a , b } \right) \ d _ { \mathbf { k } , a } ^ { \dagger } \, d _ { \mathbf { k } , b } ^ { \phantom { \dagger } } .
\Phi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } = \pi ^ { 2 } \; , \; \; \Phi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = \pi _ { \mu } \psi ^ { \mu } \; , \; \; \Phi _ { 3 \mu } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 8 ! } \epsilon _ { \mu \nu \rho _ { 2 } \ldots \rho _ { 9 } } \pi ^ { \nu } \psi ^ { \rho _ { 2 } } \ldots \psi ^ { \rho _ { 9 } } + \frac { \alpha } { 2 ^ { 8 } } \pi _ { \mu } \; .
\frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } + \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } c _ { 0 } } ( - 1 + 2 r ^ { 2 } ) \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial z } \right) ^ { 2 } + \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial T } - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 } } { \partial z ^ { 2 } } - \frac { 1 } { r } \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial r } - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 1 } } { \partial r ^ { 2 } } = 0 .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { n } } \frac { 1 } { \mathcal L ( E _ { n } ) ^ { 2 } } \int _ { E _ { n } ^ { i } } \int _ { E _ { n } ^ { i } } \frac { 1 } { | x - y | ^ { s } } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { r _ { n } ^ { 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { n } } K \frac { \mathcal L ( E _ { n } ^ { i } ) ^ { 2 } } { \phi ^ { s } ( E _ { n } ^ { i } ) } = \frac { 1 } { r _ { n } ^ { 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { n } } K \frac { \pi ^ { 2 } r _ { n } ^ { 4 } } { S _ { k } ^ { 4 } \phi ^ { s } ( E _ { n } ^ { i } ) } } \\ & { = S _ { k } ^ { - 2 } \phi ^ { - s } ( E _ { n } ^ { i } ) . } \end{array}
\small \widehat \mathrm { V } = \frac { 1 } { n } \left( 4 { \widehat { \sigma } _ { \epsilon } ^ { 2 } \widehat { \beta } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } ^ { S } \widehat { \beta } } + { \frac { \widehat { \rho } } { n + N } \sum _ { k = 1 } ^ { n + N } \left( \widehat { \beta } ^ { \intercal } X _ { k \cdot } X _ { k \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } - \widehat { \beta } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } ^ { S } \widehat { \beta } \right) ^ { 2 } } + \tau \right)
\hat { \sigma } = ( - 1 ) ^ { p } \, \frac { \xi _ { p } } { \xi _ { 0 } } = ( - 1 ) ^ { p } \, \frac { v _ { n } \, v _ { p } } { u _ { n } } \left( \alpha - \frac { u _ { p } } { v _ { p } } \right) = ( - 1 ) ^ { p } \left( v _ { p } - \frac { u _ { p } } { \alpha } \right)
e ^ { - i \frac { \theta _ { 0 } } { \hbar } J ^ { 2 } } J ^ { \pm } e ^ { i \frac { \theta _ { 0 } } { \hbar } J ^ { 2 } } = e ^ { - i \frac { \theta _ { 0 } } { \hbar } J ^ { 2 } } J ^ { 1 } e ^ { i \frac { \theta _ { 0 } } { \hbar } J ^ { 2 } } \pm i J ^ { 2 } = \cos \theta _ { 0 } \: J ^ { 1 } - \sin \theta _ { 0 } \: J ^ { 3 } \pm i J ^ { 2 } \; . \nonumber
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial E _ { u l } } { \partial t } = { P } _ { u l } + T _ { u l } + \Pi _ { u l } + T _ { \nu , u l } + \varepsilon _ { u l } , } \\ & { \frac { \partial E _ { v l } } { \partial t } = T _ { v l } + \Pi _ { v l } + T _ { \nu , v l } + T _ { p , v l } + \varepsilon _ { v l } , } \\ & { \frac { \partial E _ { w l } } { \partial t } = T _ { w l } + \Pi _ { w l } + T _ { \nu , w l } + \varepsilon _ { w l } , } \end{array}
{ S } _ { { i } , { i } } = \frac { { E } \left( \boldsymbol { R } + 2 \Delta { d } \boldsymbol { e } _ { i } \right) - E \left( \boldsymbol { R } - 2 \Delta { d } \boldsymbol { e } _ { i } \right) } { 4 \times \Delta { d } ^ { 2 } } .
\mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } _ { k + 1 } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { k } } ) = \int _ { \Omega _ { \mathcal { F } _ { k + 1 } } } \rho ( \mathbf { x } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { k } } ) d \mathbf { x } \approx \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \mathcal { I } _ { \Omega _ { \mathcal { F } _ { k + 1 } } } ( \mathbf { x } _ { k } ^ { ( i ) } ) = p .
\begin{array} { r l } { \bar { q } _ { 2 } } & { = \mathcal { R } _ { 3 } ( \psi _ { 3 } ) \, \mathcal { R } _ { 1 } ( i ) \, \mathcal { R } _ { 3 } ( \psi _ { 2 } ) \, \mathcal { R } _ { 1 } ( \tilde { i } _ { 2 } ) \, \mathcal { R } _ { 3 } ( \psi _ { 1 } ) \, I _ { 3 } \, \mathcal { R } _ { 1 } ( i _ { 2 } ) \, \bar { Q } _ { 2 } } \\ { \bar { q } _ { 3 } } & { = \mathcal { R } _ { 3 } ( \psi _ { 3 } ) \, \mathcal { R } _ { 1 } ( i ) \, \mathcal { R } _ { 3 } ( \psi _ { 2 } ) \, I _ { 3 } \, \mathcal { R } _ { 1 } ( i _ { 3 } ) \, \bar { Q } _ { 3 } } \end{array}
\operatorname { L i } _ { s } ( e ^ { \mu } ) = \Gamma ( 1 - s ) \left[ ( - 2 \pi i ) ^ { s - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( k + { \frac { \mu } { 2 \pi i } } \right) ^ { s - 1 } + ( 2 \pi i ) ^ { s - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( k + 1 - { \frac { \mu } { 2 \pi i } } \right) ^ { s - 1 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E [ X _ { k } ( i _ { 1 } ) \overline { { X _ { \ell } ( j _ { 1 } ) X _ { k } ( i _ { 2 } ) } } X _ { \ell } ( j _ { 2 } ) ] } & { = C _ { k , \ell } ( i _ { 1 } - j _ { 1 } ) \overline { { C _ { k , \ell } ( i _ { 2 } - j _ { 2 } ) } } + \check { C } _ { k , \ell } ( i _ { 1 } - j _ { 2 } ) \overline { { \check { C } _ { k , \ell } ( i _ { 2 } - j _ { 1 } ) } } } \\ & { + C _ { k , k } ( i _ { 1 } - i _ { 2 } ) \overline { { C _ { \ell , \ell } ( j _ { 1 } - j _ { 2 } ) } } . } \end{array}
U \left( a , b : z \right) \approx \frac { \Gamma \left( b - 1 \right) } { \Gamma \left( a \right) } z ^ { 1 - b } , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, R e \, b \geq 2 , \, b \neq 2 .
\begin{array} { r l r } { ( \Delta _ { d } + k ^ { 2 } ) \delta _ { x , y } f ( y ) } & { = } & { f ( x _ { 1 } ) + f ( x _ { 1 } + 1 ) , } \\ { ( \Delta _ { d } + k ^ { 2 } ) \mathcal { G } ^ { + } ( x ; y + e _ { 2 } ) f ( y ) } & { = } & { f ( x _ { 1 } ) , } \\ { ( \Delta _ { d } + k ^ { 2 } ) \mathcal { G } ^ { + } ( x ; y + e _ { 2 } - e _ { 1 } ) f ( y ) } & { = } & { f ( x _ { 1 } + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N } | \Xi _ { k } f | \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } \leq \mathbf { C } \cdot \big ( \| \mathcal { F } _ { \Theta } \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } + \log N \cdot \| \mathcal { V } _ { \vec { f _ { \Theta } } } ^ { r } \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } + N ^ { - 1 0 0 } \cdot \| M _ { \mathrm { H L } } f \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } \big ) } \end{array}
{ \dot { P } } _ { 1 } \wedge { \dot { P } } _ { 2 } = { \dot { P } } _ { 1 } \wedge { \dot { P } } _ { 3 } = \, \dots \, = { \dot { P } } _ { 1 } \wedge { \dot { P } } _ { N } = { \bf 0 }
\begin{array} { r } { \Sigma _ { \ell } = \frac { 1 } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { \ell } } \zeta _ { \ell , i } \Big ( \frac { \partial } { \partial b _ { \ell } } m _ { \ell } ( x _ { \ell , i } , b _ { \ell } ) \Big | _ { b _ { \ell } = \beta _ { \ell } } \Big ) \thinspace \Big ( \frac { \partial } { \partial b _ { \ell } } m _ { \ell } ( x _ { \ell , i } , b _ { \ell } ) \Big | _ { b _ { \ell } = \beta _ { \ell } } \Big ) ^ { \top } ~ ~ ~ ~ ( l = 1 , 2 ) . ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\frac { 1 } { 1 + \mathrm { S } } \frac { \mathrm { d } \mathrm { S } } { \mathrm { d } t } = a u - b \mathrm { S } r - \frac { 1 } { \tau _ { m i x } } \left( \mathrm { S } - \mathrm { S } _ { E } \right) .
{ { \Sigma } } ^ { R \left( A \right) } \left( { \varepsilon } \right) = { { \Sigma } } _ { C } ^ { R \left( A \right) } \left( { \varepsilon } \right) + \sum _ { r { \in } \left\{ L , R \right\} } { { { \Sigma } } _ { r } ^ { R \left( A \right) } \left( { \varepsilon } \right) }
\begin{array} { r } { \ell _ { D } = \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } k _ { B } T _ { i } } { n _ { 0 } e ^ { 2 } } } \, , \quad v _ { t h , i } = \sqrt { \frac { k _ { B } T _ { i } } { m } } \, , } \end{array}
\Vert \hat { T } _ { * } \phi _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } } \leq \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } \Vert \phi _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } } = \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \mathrm { D e t } ( U ) = - C _ { ( 8 ) } = \frac { 1 } { 3 } U \widetilde { U } U \widetilde { U } \overline { { U \widetilde { U } U \widetilde { U } } } + \frac { 2 } { 3 } U \widetilde { U } \overline { { \overline { { U \widetilde { U } } } \, \overline { { \overline { { U \widetilde { U } } } \, \overline { { U \widetilde { U } } } } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( n , f _ { 1 } , f _ { 2 } ) = - \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { n / 3 } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( n / 3 , 5 L / 1 2 - k _ { 1 } / 2 ) } \Lambda _ { \infty } ( n , k _ { 1 } , k _ { 2 } , f _ { 1 } , f _ { 2 } ) \log _ { 2 } \Lambda _ { \infty } ( n , k _ { 1 } , k _ { 2 } , f _ { 1 } , f _ { 2 } ) . } \end{array}
( z _ { 2 } ^ { \prime \prime } , \ldots , z _ { n } ^ { \prime \prime } ) = ( \exp ( - i t _ { 1 } ^ { \prime } M _ { 1 } ^ { \prime } ) z _ { 2 } ^ { \prime } , \ldots , \exp ( - i t _ { 1 } ^ { \prime } M _ { 1 } ^ { \prime } ) z _ { n } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { r _ { k } ^ { + } } & { { } = \frac { i } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } } = \frac { i \omega _ { k } ^ { + } } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \approx \operatorname { R e } \left( \frac { 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) i \omega _ { k } ^ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial b ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial \tau } } & { { } + } & { U ^ { j } \frac { \partial b ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } } + \frac { \partial } { \partial \xi ^ { j } } ( u ^ { \prime } { } ^ { j } b ^ { \prime } { } ^ { i } - b ^ { \prime } { } ^ { j } u ^ { \prime } { } ^ { i } ) - \eta \frac { \partial ^ { 2 } b ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } \partial \xi ^ { j } } - B ^ { j } \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } l _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } h _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } l _ { h } ^ { n + 1 } ) + G \left( \rho _ { h } ^ { n + 1 } , K _ { \mathbf v , h } ^ { n + 1 } , q _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } \right) = 0 , } \\ & { G \left( \rho _ { h } ^ { n + 1 } , K _ { \mathbf v , h } ^ { n + 1 } , q _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } \right) = \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } K _ { \mathbf v , h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } K _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } K _ { \mathbf v , h } ^ { n + 1 } ) } \\ & { \quad - \frac { q _ { h } ^ { n + 1 } - p _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \rho _ { h } ^ { n + 1 } g \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \widehat { \mathbf k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { Z ( \beta ) = \frac { Z ( \beta _ { r } ) } { Z ( \beta _ { r - 1 } ) } \cdots \frac { Z ( \beta _ { 2 } ) } { Z ( \beta _ { 1 } ) } \cdot \frac { Z ( \beta _ { 1 } ) } { Z ( \beta _ { 0 } ) } \cdot Z ( \beta _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = x + \left[ \begin{array} { l } { x _ { 2 } } \\ { - x _ { 1 } + h ( x _ { 1 } ) x _ { 2 } } \end{array} \right] \Delta t , \; b = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \Delta t } \\ & { h ( x _ { 1 } ) = - x _ { 1 } + x _ { 1 } ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 5 } / 5 + x _ { 1 } ^ { 7 } / 1 0 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( x , t ) } & { = \frac { \gamma } { 2 } \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 0 x x x } } { 3 A _ { 2 } ( \theta _ { B } ) } , } \\ { u _ { 1 } ( x , z , t ) } & { = \frac { p _ { 0 x } } { F ( \theta _ { B } ) } \left( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } - \frac { h _ { 0 } } { 2 } z \right) - \frac { A ( \theta _ { B } , u _ { 0 x } ) } { B ( \theta _ { B } ) } z + \frac { \gamma } { 2 } \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 0 x x x } } { 3 A _ { 2 } ( \theta _ { B } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big \| \nabla L _ { \xi } ( x ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) - \nabla L _ { \xi } ( x , \eta ) \big \| } \\ & { \le \| A \| + \| B \| } \\ & { \le \Big | { \psi ^ { * } } ^ { \prime } \Big ( \frac { \ell _ { \xi } ( x ) - \eta } { \lambda } \Big ) \Big | \big \| \nabla \ell _ { \xi } ( x ^ { \prime } ) - \nabla \ell _ { \xi } ( x ) \big \| + \Big | { \psi ^ { * } } ^ { \prime } \Big ( \frac { \ell _ { \xi } ( x ^ { \prime } ) - \eta ^ { \prime } } { \lambda } \Big ) \! - \! { \psi ^ { * } } ^ { \prime } \Big ( \frac { \ell _ { \xi } ( x ) - \eta } { \lambda } \Big ) \Big | \sqrt { \| \nabla \ell _ { \xi } ( x ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } + 1 } } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \Big | 1 - \frac { \partial } { \partial \eta } L _ { \xi } ( x , \eta ) \Big | L \| x ^ { \prime } - x \| + \frac { M } { \lambda } \big | \ell _ { \xi } ( x ^ { \prime } ) - \eta ^ { \prime } - \big ( \ell _ { \xi } ( x ) - \eta \big ) \big | \sqrt { G ^ { 2 } + 1 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \Big ( L + L \Big | \frac { \partial } { \partial \eta } L _ { \xi } ( x , \eta ) \Big | \Big ) \| x ^ { \prime } - x \| + \frac { M } { \lambda } \sqrt { G ^ { 2 } + 1 } \big [ G \| x ^ { \prime } - x \| + | \eta ^ { \prime } - \eta | \big ] } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } \Big ( L + \frac { 2 M ( G + 1 ) ^ { 2 } } { \lambda } + L \| \nabla L _ { \xi } ( x , \eta ) \| \Big ) \| ( x ^ { \prime } - x , \eta ^ { \prime } - \eta ) \| } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { i e } ( { \bf r } , { \bf r ^ { \prime } } ) } & { = } & { \sum _ { R } V _ { l o c } ( r _ { R } ) \delta ( { \bf r } - { \bf r ^ { \prime } } ) + } \\ & { } & { \sum _ { i , l , k } c _ { l k } \tilde { p } _ { l k } ( r _ { R } ^ { \prime } ) \tilde { p } _ { l k } ( r _ { R } ) \sum _ { m } Y _ { l m } ( { \bf \hat { r } _ { R } ^ { \prime } } ) Y _ { l m } ^ { * } ( { \bf \hat { r } _ { R } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \frac { \delta \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) } { \delta \tilde { \beta } ( x , y ) } } & { { } = - \frac { i } { \hbar } ( 2 J \cos ( k _ { 1 } ) - 2 J \cos ( k _ { 2 } ) ) \frac { \delta \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , t ) } { \delta \beta ( x , y ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { t r } [ \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ( x , x ; \ensuremath { \mathrm { i } } u ) ] = - \frac { Z } { 4 c ^ { 2 } } e ^ { - 2 \kappa ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) | x | } \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { \times \left( z _ { 1 } ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) \left( g ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) ^ { 2 } + 1 \right) + z _ { 2 } ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) \left( 1 + g ( - \ensuremath { \mathrm { i } } u ) ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \pi } \frac { D t } { x ^ { 2 } + D ^ { 2 } t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \pi } e ^ { - r t } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( r t ) ^ { n } } { ( n + 1 ) ! } \sum _ { m = 0 } ^ { n } \mathcal { C } _ { n , m } ^ { ( 1 ) } \frac { D c ^ { m } t } { ( x - c ^ { n } x _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\delta ^ { a b } \, \delta _ { x y } \, = \, \langle \, \frac { \delta S } { \delta \bar { c } _ { x } ^ { a } } \, \bar { c } _ { y } ^ { b } \, \rangle \, = \, \widetilde Z _ { 3 } \, \langle \, i ( \partial D _ { r } c ) _ { x } ^ { a } \, \bar { c } _ { y } ^ { b } \, \rangle \, - \, \frac { Z _ { \lambda } \lambda } { Z _ { 3 } } \, \langle \, ( s _ { r } B _ { x } ^ { a } ) \, \bar { c } _ { y } ^ { b } \, \rangle \; .
i \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \left( \frac { \alpha _ { 3 } ( p _ { 1 } z ) + \alpha _ { 2 } ( r z ) } { \lambda } \right) ^ { n } \exp \left\{ \frac { i } { \lambda } \left[ \alpha _ { 2 } \alpha _ { 4 } t + \alpha _ { 3 } ( \alpha _ { 4 } p _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } ) \right] - i \lambda ( m ^ { 2 } - i \epsilon ) \right\} \frac { d \alpha _ { 2 } d \alpha _ { 3 } d \alpha _ { 4 } } { \lambda ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { l l } { { L _ { K J } ^ { ( - ) } L _ { I K } ^ { ( + ) } - } } & { { ( - 1 ) ^ { P _ { K } ( P _ { I } + P _ { J } ) } L _ { I K } ^ { ( + ) } L _ { K J } ^ { ( - ) } = } } \\ { { } } & { { \left\{ \begin{array} { l l } { { ( q ^ { - 1 } - q ) ( - 1 ) ^ { P _ { I } P _ { K } } L _ { I J } ^ { ( + ) } L _ { K K } ^ { ( - ) } } } & { { ( I < J < K ) } } \\ { { ( q - q ^ { - 1 } ) ( - 1 ) ^ { P _ { J } P _ { K } } L _ { K K } ^ { ( + ) } L _ { I J } ^ { ( - ) } } } & { { ( J < I < K ) } } \end{array} \right. } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { S H G } , ( 1 ) , \mathbf { k } } ^ { \nu \mu \alpha \beta } ( \omega ) } & { = \, - \frac { i } { 2 } \Bigg [ \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { v } ^ { \alpha } , \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \alpha } , \hat { v } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { v } ^ { \alpha } , \hat { v } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \alpha ; \beta } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \beta ; \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \frac { 1 } { 2 } \hat { h } ^ { \alpha \beta } } ^ { ( 1 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \hat { h } ^ { \mu \alpha } \cdot \hat { \rho } _ { \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \beta } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \left( \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu ; \alpha } + \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \alpha ; \mu } \right) \cdot \hat { \rho } _ { \hat { v } ^ { \beta } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu ; \alpha \beta } + \mathrm { [ p e r m s . ] } \right) \cdot \hat { \rho } ^ { ( 0 ) } \right\} \Bigg ] \mathrm { , } } \end{array}
s p a n \{ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { 1 } } } \end{array} \right] , \dots , \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] \} = s p a n \{ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , l + 1 } } \end{array} \right] , \dots , \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , m - 1 } } \end{array} \right] \} .
g _ { \mu \nu } ^ { ( 1 ) } = - { \frac { l ^ { 2 } } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } - 1 \right) \left( R _ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 6 } } h _ { \mu \nu } R \right) - { \frac { l } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { a ^ { 4 } } } - 1 \right) \chi _ { \mu \nu } \ ,
= \int d t d \theta d \phi d t ^ { \prime } d \theta ^ { \prime } d \phi ^ { \prime } \frac { \sin \theta \sin \theta ^ { \prime } \Phi _ { - } ( t , \theta , \phi ) \Phi _ { - } ( t ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) } { [ \cosh ( \frac { t - t ^ { \prime } } { a } ) - ( \sin \theta \sin \theta ^ { \prime } \cos ( \phi - \phi ^ { \prime } ) + \cos \theta \cos \theta ^ { \prime } ) ] ^ { h } } .
\Phi ( \mathbf { r } ) = \int { \frac { \rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } | } } \, d ^ { 3 } r ^ { \prime } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } \left( { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } \right) q _ { \ell m } \, { \frac { Y _ { \ell m } ( \theta , \varphi ) } { r ^ { \ell + 1 } } }
A _ { \mathrm { D Q } } = \int _ { 2 \omega _ { 0 } - 2 \Delta \omega } ^ { 2 \omega _ { 0 } + 2 \Delta \omega } \int _ { \omega _ { 0 } - \Delta \omega } ^ { \omega _ { 0 } + \Delta \omega } \! \! \! \ensuremath { \mathrm { d } } \omega _ { 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \omega _ { 3 } \left| S _ { \mathrm { D Q } } ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) \right| ,
\begin{array} { r } { \tilde { U } _ { 0 } ( \vec { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { + \infty \quad x < R } \\ { 0 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { L = \frac 1 2 I _ { 2 } [ \dot { \theta } ^ { 2 } + \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ] + \frac 1 2 I _ { 3 } [ \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ] ^ { 2 } - b [ k _ { 3 } \cos \theta - k _ { 2 } \sin \theta \cos \varphi ] . } \end{array}
\mathrm { g _ { 1 } ( \ n u , Q ^ { 2 } ) = \frac { m _ { 2 } \cdot K } { 8 \ p i ^ { 2 } \ a l p h a ( 1 + Q ^ { 2 } / \ n u ^ { 2 } ) } \left[ \ s i g m a _ { 1 / 2 } ( \ n u , Q ^ { 2 } ) - \ s i g m a _ { 3 / 2 } ( \ n u , Q ^ { 2 } ) + \frac { 2 \sqrt { Q ^ { 2 } } } { \ n u } \ s i g m a _ { T L } ( \ n u , Q ^ { 2 } ) \right] }
c _ { - 1 } = B _ { - 1 } ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { \lambda \lambda _ { c } } \right) ^ { 2 } - C _ { - 1 } ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { \lambda \lambda _ { c } } + 2 \right) ^ { 2 } \, { . }
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho } { d t } } & { { } = - \rho \nabla \cdot \textbf { v } } \\ { \frac { d \textbf { v } } { d t } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + \textbf { a } _ { \nu } + \textbf { g } , } \end{array}
k _ { r } ( t _ { 0 } , t ) : = C _ { \alpha } \frac { ( t - t _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } } { 1 - \alpha } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { \omega ( t - t _ { 0 } ) } , 1 \} \operatorname* { s u p } _ { s \in [ t _ { 0 } , t ] } \mathrm { L i p } _ { V \to L _ { \sigma } ^ { p } } \big ( J _ { s } \, | \, \overline { { B _ { r } ( 0 ) } } \big ) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { \hat { U } } ( t , t _ { 0 } ) = \sum _ { \mathbf { k } , \alpha } | \Psi _ { \alpha \mathbf { k } } ( t ) \rangle \langle \Psi _ { \alpha \mathbf { k } } ( t _ { 0 } ) | } \end{array}