harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { P ( { \mathrm { e r r o r } } ) } & { = P ( { \mathrm { e r r o r } } | W = 1 ) \leq P ( E _ { 1 } ^ { c } ) + \sum _ { i = 2 } ^ { 2 ^ { n R } } P ( E _ { i } ) } \\ & { \leq P ( E _ { 1 } ^ { c } ) + ( 2 ^ { n R } - 1 ) 2 ^ { - n ( I ( X ; Y ) - 3 \varepsilon ) } } \\ & { \leq \varepsilon + 2 ^ { - n ( I ( X ; Y ) - R - 3 \varepsilon ) } . } \end{array} }
\langle \Psi _ { m } | ( { \hat { H } } - E _ { m } ) ^ { 2 } | \Psi _ { m } \rangle \approx \frac { 1 - \Re \langle \Psi _ { m } | { \tilde { \Psi } } _ { m } \rangle } { \delta ^ { 2 } / 2 }
\sigma ( 1 ) ^ { p } = \exp ( p \, E ^ { [ 1 ] } ) = \ \sum _ { k \ge 0 } \ p ^ { k } \, { \frac { ( E ^ { [ 1 ] } ) ^ { k } } { k ! } } = \ \sum _ { k \ge 0 } \ p ^ { k } \, E ^ { [ k ] }
\frac { d V ( t ) } { d t } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } G ( c , c _ { * } ) ( v ^ { \prime } - v ) f ( v , w , c , t ) f ( v _ { * } , w _ { * } , c _ { * } , t ) d v d v _ { * } d w d w _ { * } d c d c _ { * }
\Delta \Omega = - { \frac { 1 } { \beta } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { m ! } \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau _ { 1 } . . . d \tau _ { m } \langle T _ { \tau } ( H _ { I } ( \tau _ { 1 } ) . . . H _ { I } ( \tau _ { m } ) ) \rangle _ { c o n n } ^ { \beta } \; .
\langle f , I , I _ { z } | f , I ^ { \prime } , I _ { z } ^ { \prime } \rangle = \nu ^ { 2 } \int \frac { d \hat { T } d \hat { T ^ { \prime } } } { 4 \pi } \langle f , \hat { T } | f , \hat { T ^ { \prime } } \rangle Y _ { I , I _ { z } } ( \hat { T } ) Y _ { I ^ { \prime } , I _ { z } ^ { \prime } } ^ { \ast } ( \hat { T ^ { \prime } } )
\begin{array} { r } { \left| \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } , \delta } ( \mathbf { F } ) \right] - \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } , \delta } ( \mathbf { N } ) \right] \right| \leq \left[ 1 + \left( \frac { 2 } { \delta } \right) ^ { 2 } \right] d _ { \mathcal { H } _ { 2 } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { x } } & { = - ( y - y _ { c } ) A _ { b } \left( 1 - \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) ^ { n _ { s } } \operatorname* { m a x } ( P _ { \mathrm { c u t } } - P , 0 ) , } \\ { A _ { y } } & { = ( x - x _ { c } ) A _ { b } \left( 1 - \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) ^ { n _ { s } } \operatorname* { m a x } ( P _ { \mathrm { c u t } } - P , 0 ) , } \\ { A _ { z } } & { = 0 , } \\ { \varphi } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { T } & { { } = { \frac { 1 } { \alpha } } e ^ { \alpha x } \sinh ( \alpha t ) } \\ { X } & { { } = { \frac { 1 } { \alpha } } e ^ { \alpha x } \cosh ( \alpha t ) } \\ { Y } & { { } = y } \\ { Z } & { { } = z } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { t } & { { } = { \frac { 1 } { \alpha } } \operatorname { a r c t a n h } { \frac { T } { X } } } \\ { x } & { { } = { \frac { 1 } { 2 \alpha } } \ln \left[ \alpha { } ^ { 2 } \left( X ^ { 2 } - T ^ { 2 } \right) \right] } \\ { y } & { { } = Y } \\ { z } & { { } = Z } \end{array} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \widetilde { \bf Y } | { \bf Z } ) } & { \triangleq \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { m = 1 } ^ { M } { p ( \tilde { y } _ { n , m } | z _ { n , m } ) } } \\ & { = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { m = 1 } ^ { M } \left( \frac { 1 } { \sqrt { \pi \sigma _ { w } ^ { 2 } } } \int _ { r _ { b - 1 } } ^ { r _ { b } } e ^ { - \frac { \left( y _ { n , m } - { \mathrm { R e } } ( Z _ { n , m } ) \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { w } ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } y \right) } \\ & { \quad \qquad \times \left( \frac { 1 } { \sqrt { \pi \sigma _ { w } ^ { 2 } } } \int _ { r _ { b ^ { \prime } - 1 } } ^ { r _ { b ^ { \prime } } } e ^ { - \frac { \left( y _ { n , m } - { \mathrm { I m } } ( Z _ { n , m } ) \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { w } ^ { 2 } } } { \mathrm { d } } y \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \omega , T ) = } & { { } \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \left| \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime } e ^ { i \omega t ^ { \prime } } \cos \left[ \Phi ( t ^ { \prime } ) \right] \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta s \equiv \frac { S _ { 2 } } { n _ { 2 } } - \frac { S _ { 1 } } { n _ { 1 } } } & { = } & { \frac { k _ { B } } { 2 } \ln \left( \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } } \frac { T _ { \perp 2 } ^ { 3 } } { T _ { \perp 1 } ^ { 3 } } \right) - 2 \ln r } \\ & { = } & { - \frac { k _ { B } } { 2 } \ln \left( \frac { A _ { 2 } } { A _ { 1 } } r ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { c _ { i 0 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i 1 } \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } = 0 } \\ { 0 \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } > 0 } \end{array} \right. } \\ { c _ { i j } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { i ( j + 1 ) } \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } = 0 } \\ { a _ { i j } \ \ } & { \mathrm { i f } \ \gamma _ { i 1 } > 0 } \end{array} \right. } & { j } & { = 1 , 2 , \ldots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \Delta } \left( \mathbf { x } , \beta \right) } & { { } = \sum _ { i \in \mathcal { N } } x _ { i } \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { i j } \left( \mathbf { x } , \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { j } ^ { \left[ \gamma \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { u ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } u } { \d y ^ { 3 } } } & { = y } & & { \mathrm { f o r } \quad y \in ( 0 , y _ { \theta } ) , } \\ { \frac { \d u } { \d y } } & { = 0 } & & { \mathrm { a t } \quad y = 0 , } \\ { ( u , \frac { \d u } { \d y } ) } & { = ( 0 , - \theta ) } & & { \mathrm { a t } \quad y = y _ { \theta } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { y _ { \theta } } u \, \d y } & { = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i } ^ { n + 1 } } & { { } = \int _ { x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } q ( x - v _ { 0 } \Delta t , t _ { n } ) \mathrm { d } x \, . } \end{array}
x _ { 1 } ^ { i } = 0 . 0 6 2 5 + 0 . 1 2 5 i , i = 0 , 1 , \ldots , 7 , x _ { 2 } ^ { j } = 0 . 0 6 2 5 + 0 . 1 2 5 j , j = 0 , 1 , \ldots , 7
\begin{array} { r l } & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 \sigma } + C N ^ { - 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 1 1 } } \\ & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 \sigma } + C N ^ { - 2 k } ( \ln N ) ^ { 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 2 1 } } \\ & { C \varepsilon ^ { - 2 } N ^ { - 2 k } ( \ln N ) ^ { 2 k } , \quad \kappa \subset \Omega _ { 1 2 } \cup \Omega _ { 2 2 } } \end{array}
\frac { 1 } { \pi } \; \mathrm { I m } \; \Pi _ { 0 } ^ { ( - ) } ( \omega , { \bf q } = 0 , T ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \; \delta ( \omega ^ { 2 } ) \int _ { 4 m _ { q } ^ { 2 } } ^ { \infty } \; d z ^ { 2 } v ( z ) [ 3 - v ^ { 2 } ( z ) ] 2 n _ { F } \left( \frac { z } { 2 T } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \! \left[ \left\| \mathbf { x } ^ { t + 1 } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] } & { = p \left\| \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - p \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } + p \nu \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } + ( 1 - p ) \left\| \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left\| \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - p ( 1 - \nu ) \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle } \\ & { \quad + \big ( 2 \gamma \tau - p ( 1 - \nu ) \big ) \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
4 \pi ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } - \varepsilon ^ { 3 } ) < E _ { \varepsilon } ( \Omega _ { 1 } , \{ x _ { 1 } \} ) + E _ { \varepsilon } ( \Omega _ { 2 } , \{ x _ { 2 } \} ) < 4 \pi ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } ) .
\frac { \Delta t } { \Delta v } \sum _ { i j } \mathsf { E } ( \phi ) _ { i } \psi _ { i j } \, , \quad \mathrm { f o r } \quad \phi = [ \phi _ { i j } ] \quad \mathrm { w i t h } \quad \phi _ { i j } = \mathsf { f } _ { i j } ^ { n , \star } \left( \mathsf { g } _ { i , \, j - \mathrm { n } ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) } ^ { n , \star \star } - \mathsf { g } _ { i , \, j - \mathrm { n } ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) - 1 } ^ { n , \star \star } \right) \, .
\mathcal { P } _ { l } ( \textrm { c o s } \ \chi ) = \sum _ { m = - l } ^ { l } \frac { ( l - | m | ) ! } { ( l + | m | ) ! } \mathcal { P } _ { l } ^ { | m | } ( \textrm { c o s } \ \Theta ) \mathcal { P } _ { l } ^ { | m | } ( \textrm { c o s } \ \theta ) e ^ { - i m ( \Phi - \varphi ) }
\begin{array} { r l r } & { } & { F _ { \mu \nu } ^ { a } = \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } e _ { \mu } ^ { a } + \left( \omega _ { \mu } ^ { a b } e _ { \nu } ^ { c } - \omega _ { \nu } ^ { a b } e _ { \mu } ^ { c } \right) \eta _ { b c } = T _ { \mu \nu } ^ { a } } \\ & { } & { F _ { \mu \nu } ^ { a b } = \partial _ { \mu } \omega _ { \nu } ^ { a b } - \partial _ { \nu } \omega _ { \mu } ^ { a b } + \left( \omega _ { \mu } ^ { a c } \omega _ { \nu } ^ { d b } - \omega _ { \nu } ^ { a c } \omega _ { \mu } ^ { d b } \right) \eta _ { c d } - 4 \lambda ^ { 2 } \left( e _ { \mu } ^ { a } e _ { \nu } ^ { b } - e _ { \nu } ^ { a } e _ { \mu } ^ { b } \right) = R _ { \mu \nu } ^ { a b } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \; \operatorname* { l i m } _ { t \downarrow 0 } \frac { 1 } { t } \left( \Phi ( t \tau , W + t H ) - \Phi ( 0 , W ) \right) } \\ { = } & { \; \sum _ { j = 1 } ^ { r } h ( 0 , \lambda _ { j } ) \operatorname* { l i m } _ { t \downarrow 0 } \frac { 1 } { t } \left( Q _ { j } ( t ) - Q _ { j } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { l i m } _ { t \downarrow 0 } \frac { 1 } { t } \left( h ( t \tau , d _ { i } ( t ) ) - h ( 0 , d _ { i } ) \right) p _ { i } ( t ) p _ { i } ( t ) ^ { T } . } \end{array}
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ p ~ c ~ h ~ } } ( \rho ) = \sum _ { x ^ { \prime } , x } | x ^ { \prime } , x \rangle _ { C ^ { \prime } C } \langle x ^ { \prime } , x | \rho | x ^ { \prime } , x \rangle _ { C ^ { \prime } C } \langle x ^ { \prime } , x | .
\begin{array} { r } { \lambda \Delta T = - \rho T \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial T ^ { 2 } } ( \dot { T } + \tau \ddot { T } ) + \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial { \boldsymbol \varepsilon } \partial T } ( \dot { \boldsymbol \varepsilon } + \tau \ddot { \boldsymbol \varepsilon } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { p } _ { z } ^ { \pm } ( \omega ) = } & { \frac { A _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 a } } \sum _ { j j ^ { \prime } } ^ { N } \bigg [ c _ { j ^ { \prime } } ^ { * } c _ { j } e ^ { \pm i \phi - \frac { ( \omega - \epsilon _ { j j ^ { \prime } } \pm \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 a } } } \\ & { \times \left( O _ { c - } ^ { j j ^ { \prime } } + R _ { c } ^ { j j ^ { \prime } } + O _ { b - } ^ { j j ^ { \prime } } + R _ { b - } ^ { j j ^ { \prime } } \right) } \\ & { - c _ { j ^ { \prime } } c _ { j } ^ { * } e ^ { \mp i \phi - \frac { ( \omega + \epsilon _ { j j ^ { \prime } } \mp \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 a } } } \\ & { \times \left( O _ { c + } ^ { j j ^ { \prime } } + O _ { b + } ^ { j j ^ { \prime } } + R _ { b + } ^ { j j ^ { \prime } } \right) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \sigma \nabla p ) _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots n } } & { = \frac { ( m - l ) ( m - 1 ) ! } { m ! } \nabla _ { n } p _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots n } + \frac { ( m - 1 ) ! } { m ! } \sum _ { s = 1 } ^ { l } \nabla _ { j _ { s } } p _ { j _ { 1 } \cdots \widehat { j _ { s } } \cdots j _ { l } n \cdots n } } \\ & { = \frac { m - l } { m } \nabla _ { n } p _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots n } + \frac { 1 } { m } \sum _ { s = 1 } ^ { l } \nabla _ { j _ { s } } p _ { j _ { 1 } \cdots \widehat { j _ { s } } \cdots j _ { l } n \cdots n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } \sim 1 - \epsilon \frac { \log { ( 1 + Y ) } } { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \log ^ { 2 } { ( 1 + Y ) } } { 8 } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \epsilon ^ { 1 + 2 k } } { 2 } \frac { \Gamma ( k ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { k } } } & { { } } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \epsilon ^ { 2 + 2 k } } { 4 } \frac { [ 4 b _ { k } - \log { ( 1 + Y ) } \Gamma ( k ) ] } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { k } } } & { { } . } \end{array}
H _ { 0 } = \frac { p ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } + \frac { m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 2 } - \mu _ { B } ( \mathbf { L } + g \mathbf { S ) } \cdot \mathbf { B } _ { 0 } ,
\begin{array} { r } { E _ { m } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega _ { 0 } ( \nu _ { m } + 1 / 2 ) , \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; m \; \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \omega _ { 0 } ( m + 1 / 2 ) , \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; m \; \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \mathsf { a } } [ A _ { H } ] , \Lambda [ A _ { H } ] ) } & { = \big ( A _ { H } ^ { { V } [ A _ { H } ] } , \ { V } [ A _ { H } ] ^ { \mathrm { i n } } \big ) = \big ( A _ { H } ^ { { V } _ { H } } , { V } _ { H } ^ { \mathrm { i n } } \big ) } \\ & { = \big ( { V } _ { H } ^ { - 1 } ( { V } _ { H } { \mathsf { a } } _ { \star } { V } _ { H } ^ { - 1 } - d { V } _ { H } ^ { - 1 } ) { V } _ { H } + { V } _ { H } ^ { - 1 } d { V } _ { H } , \Lambda _ { \star } \big ) } \\ & { = ( { \mathsf { a } } _ { \star } , \Lambda _ { \star } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { n _ { y } n _ { z } } ^ { 2 } = } & { \; \left( r \cos ( \phi ) \cos ( \varphi ) \right) ^ { 2 } + \left( r \sin ( \phi ) - \delta _ { z } ^ { ( n ) } d _ { z } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \left( r \cos ( \phi ) \sin ( \varphi ) - \delta _ { y } ^ { ( n ) } d _ { y } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { \; r ^ { 2 } - 2 r \cos ( \phi ) \sin ( \varphi ) \delta _ { y } ^ { ( n ) } d _ { y } } \\ & { - 2 r \sin ( \phi ) \delta _ { z } ^ { ( n ) } d _ { z } + ( \delta _ { y } ^ { ( n ) } d _ { y } ) ^ { 2 } + ( \delta _ { z } ^ { ( n ) } d _ { z } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { H } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } h _ { i j } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } \dag } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { A } } h _ { i j } ^ { A A } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { B } } h _ { i j } ^ { B B } \dag , a _ { i + n _ { A } } ^ { \dagger } a _ { j + n _ { A } } \dag } & { + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { A } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { B } } \left[ h _ { i j } ^ { A B } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j + n _ { A } } + \mathrm { H . c . } \right] \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { T } = \left[ \begin{array} { l l } { Y _ { 2 } Z + 1 } & { Z } \\ { Y _ { 1 } + Y _ { 1 } Y _ { 2 } Z + Y _ { 2 } } & { Y _ { 1 } Z + 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\mathbf { J } _ { m } ^ { \kappa } ( t ) : = \Bigl \langle \bigl ( \kappa \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \psi _ { m } ( t , \cdot ) \sigma \bigr ) \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m } ^ { \kappa } ( t , \cdot ) \bigr ) \Bigr \rangle \, .
{ S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } [ T _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow } + T _ { 4 1 } ^ { \uparrow \uparrow } ] = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } ( 1 + R ) .
E _ { q } = \frac { l } { 4 G R } \sum _ { i } q _ { i } , \ \ \ E - E _ { q } = \frac { l } { 2 G R } \left( r _ { + } + \frac { 1 } { l ^ { 2 } r _ { + } } \prod _ { i } \rho _ { i } \right) .
\begin{array} { r } { J _ { \nu } ( \omega ) = \frac { \pi } { 2 } \sum _ { j } \sum _ { \zeta } \frac { c _ { j , \zeta } ^ { 2 } } { \omega _ { j , \zeta } } \delta ( \omega - \omega _ { j , \zeta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ A ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ A ~ } } } } \approx \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ P ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ P ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ P ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ P ~ } } } } = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { I } \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ W ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ W ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ W ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ W ~ } } } } _ { i } \right) \ensuremath { { \mathchoice { \mathrm { \boldmath ~ \displaystyle ~ C ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \textstyle ~ C ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle ~ C ~ } } { \mathrm { \boldmath ~ \scriptscriptstyle ~ C ~ } } } } _ { 0 } . } \end{array}
3 \sum _ { q } { \frac { m _ { q } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } } z _ { q } f _ { 2 } ( z _ { q } ) + \sum _ { l } { \frac { m _ { l } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } } z _ { l } f _ { 2 } ( z _ { l } ) = { \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } } { \bar { g } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { | | F _ { t } * v _ { 0 } | | _ { p } ^ { p } } & { = t ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | ( F _ { t } * v _ { 0 } ) ( x ) | ^ { p } d x = | t | ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg | \int _ { S ( 0 , 1 ) } v _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) \frac { d \Omega } { 4 \pi } \bigg | ^ { p } d x } \\ & { \leq | t | ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { S ( 0 , 1 ) } | v _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) | ^ { p } \frac { d \Omega } { 4 \pi } d x = | t | ^ { p } \int _ { S ( 0 , 1 ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | v _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) | ^ { p } d x \frac { d \Omega } { 4 \pi } } \\ & { \leq \int _ { S ( 0 , 1 ) } | | v _ { 0 } | | _ { p } ^ { p } \frac { d \Omega } { 4 \pi } = | t | ^ { p } | | v _ { 0 } | | _ { p } ^ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \partial _ { \phi } ^ { 2 } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { { } 2 \frac { z ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } m ^ { 2 } \frac { 1 } { a } \Psi _ { n } ^ { m } , } \end{array}
W ^ { \mathrm { Q C D } } = \int d ^ { 4 } x \left[ - \bar { q } \left( \gamma ^ { \mu } \frac { 1 } { i } D _ { \mu } + m _ { q } \right) q - \frac { 1 } { 4 } G _ { a } ^ { \mu \nu } G _ { a \mu \nu } \right] \stackrel { C } { \longrightarrow } W ^ { \mathrm { Q C D } } ~ .
{ \left[ \begin{array} { l } { J _ { x } } \\ { J _ { y } } \\ { J _ { z } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { x x } } & { \sigma _ { x y } } & { \sigma _ { x z } } \\ { \sigma _ { y x } } & { \sigma _ { y y } } & { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { z x } } & { \sigma _ { z y } } & { \sigma _ { z z } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { E _ { x } } \\ { E _ { y } } \\ { E _ { z } } \end{array} \right] }
\sin \tau = \left[ 1 - \left( \cos ( \gamma _ { 2 } ) \cos ( \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) + \cos ( \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ) \sin ( \gamma _ { 2 } ) \sin ( \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } ,
\frac { h } { 2 } \left( H - V ( \tilde { \psi } ) \right) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } \left( \eta _ { j } ^ { 2 } + \frac { h m } { 2 } \Omega _ { j } ^ { 2 } \xi _ { j } ^ { 2 } \right) ,
\mathbf { K } ( \mathbf { x } , \boldsymbol { \psi } ) \triangleq ( ( \widetilde { \boldsymbol { A } } _ { 2 } ^ { T } \diamond \widetilde { \boldsymbol { B } } _ { 1 } ^ { H } ) \boldsymbol { \psi } ) ^ { T } \otimes ( ( \mathbf { x } ^ { T } \otimes \mathbf { I } _ { M _ { r } } ) ( \widetilde { \boldsymbol { A } } _ { 1 } ^ { * } \otimes \widetilde { \boldsymbol { B } } _ { 2 } ) )
\begin{array} { r } { p _ { F } ^ { 3 } = p _ { N , L } ^ { 3 } - \frac { 3 \pi | \partial Q ^ { D } | } { 8 | D | } \frac { 1 } { L } p _ { N , L } ^ { 2 } + \frac { \mathcal { O } ( N ^ { \frac { 3 4 } { 6 9 } + \epsilon } ) } { L ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { l l r } { \displaystyle \left\| \frac { \partial f } { \partial \phi } \right\| _ { G , ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } ) , 1 } } & { \leq } & { \displaystyle \frac { 1 } { e \delta _ { 1 } } \| f \| _ { G , \rho } } \\ { \displaystyle \left\| \frac { \partial f } { \partial I } \right\| _ { G , ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } - \delta _ { 2 } ) , \infty } } & { \leq } & { \displaystyle \frac { 1 } { \delta _ { 2 } } \| f \| _ { G , \rho } } \end{array}
( 2 \pi ) ^ { 4 } i { \tilde { G } } ( q , { \hat { q } } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \hat { q } } ^ { \prime \prime } V ( { \hat { q } } , { \hat { q } } ^ { \prime \prime } ) { \hat { G } } ( { \hat { q } } ^ { \prime \prime } , { \hat { q } } ^ { \prime } )
s _ { A + B } ^ { + } = - \left[ \frac { 1 } { 2 } i ( k _ { z A } + k _ { z B } ) d _ { i } \frac { | \boldsymbol { k } _ { \perp A } \times \boldsymbol { k } _ { \perp B } | ^ { 2 } } { | \boldsymbol { k } _ { \perp A } + \boldsymbol { k } _ { \perp B } | ^ { 2 } } s _ { A } s _ { B } \right] t ,
\begin{array} { r } { V \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial y } = \frac { \delta _ { \nu } u _ { * } } { \delta U _ { e } } u _ { * } V _ { i } u _ { * } ^ { 2 } \frac { \partial \overline { { u v _ { i } } } } { \partial y ^ { + } } \frac { u _ { * } } { \nu } , } \\ { \frac { \delta _ { \nu } } { u _ { * } ^ { 3 } } V \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial y } = \frac { \delta _ { \nu } } { u _ { * } ^ { 3 } } \frac { \delta _ { \nu } } { \delta } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } u _ { * } ^ { 3 } \frac { u _ { * } } { \nu } V _ { i } \frac { d \overline { { u v _ { i } } } } { d y ^ { + } } , } \\ { = \frac { \nu } { U _ { e } \delta } V _ { i } \frac { d \overline { { u v _ { i } } } } { d y ^ { + } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 6 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 5 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 4 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { T } } & { \equiv \alpha ( 0 , \tau ) - \alpha ( \tau + t _ { \pi } , 2 \tau + t _ { \pi } ) } \\ & { = \frac { e ^ { i \phi _ { \mathrm { O D F } } } } { 2 \delta ^ { \prime } \sqrt { N } } \Big [ f ^ { \prime } ( e ^ { - i \delta ^ { \prime } \tau } - 1 ) ( 1 - e ^ { - i \delta ^ { \prime } ( \tau + t _ { \pi } ) } ) \cosh r } \\ & { + e ^ { i \Delta \phi _ { c } } f ^ { \prime \ast } ( e ^ { i \delta ^ { \prime } \tau } - 1 ) ( 1 - e ^ { i \delta ^ { \prime } ( \tau + t _ { \pi } ) } ) \sinh r \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( \omega , \omega ^ { \prime } ) \equiv \frac { 1 } { k _ { \perp \omega ^ { \prime } } ^ { 2 } } \left( \frac { \hat { C } _ { 0 } } { \lvert \epsilon _ { s } \rvert ^ { 2 } } + \chi _ { 0 } \right) \epsilon _ { s , i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { U _ { p n } } \\ { V _ { p n } } \end{array} \right) = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { m + 1 } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \left( \begin{array} { l } { U _ { p n l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) } \\ { V _ { p n l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) } \end{array} \right) ~ e ^ { i \Gamma l } , } \end{array}