harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T \sum _ { \omega _ { m } } G ( i \omega _ { m } + i \nu _ { n } , { \mathbf p } ) \Lambda _ { A } ( i \omega _ { m } + i \nu _ { n } , i \omega _ { m } ; { \mathbf p } ) G ( i \omega _ { m } , { \mathbf p } ) \Lambda _ { A } ^ { ( 0 ) } ( { \mathbf p } ) ,
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha \beta } } & { = p \delta _ { \alpha \beta } + \sigma _ { \alpha \beta } = \int m c _ { \alpha } c _ { \beta } f ( \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { q _ { \alpha } } & { = \int \frac { m } { 2 } c _ { \alpha } \mathbf { c } ^ { 2 } f ( \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } ; \quad \alpha , \beta = 1 , 2 , 3 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathsf { P } ^ { \mathcal { S } } \mathsf { S } ^ { \mathcal { S } } = \mathsf { S } ^ { \mathcal { S } } \mathsf { P } ^ { \mathcal { S } } = \mathsf { S } ^ { \mathcal { S } } \, . } \end{array}
r _ { S } = { \frac { 1 } { M } } \left[ \frac { M _ { \mathrm { B H } } } { M } \right] ^ { \frac { 1 } { 1 + n } } \left[ { \frac { 2 ^ { n } \pi ^ { ( n - 3 ) / 2 } \Gamma \left( { \frac { 3 + n } { 2 } } \right) } { 2 + n } } \right] ^ { \frac { 1 } { 1 + n } }
- { \cal L } _ { Y } ^ { J - \rho } = \sum _ { \alpha } \bar { J } _ { L } G _ { 1 \alpha } { \cal O } _ { R \alpha \beta } ^ { D } D _ { \beta R } \, e ^ { - i \theta _ { \rho } } \rho ^ { + + } + \sum _ { i , l , \alpha , \beta } \overline { { { j } } } _ { L l } \left( { \cal O } _ { L } ^ { J } \right) _ { l i } ^ { T } F _ { i \alpha } { \cal O } _ { R \alpha \beta } ^ { u } U _ { \beta R } \, e ^ { - i \theta _ { \eta } } \rho ^ { -- } + H . c . ,
\left| k _ { + \rho } \frac { \partial \langle n \rangle } { \partial k _ { + \rho } } + k _ { - \rho } \frac { \partial \langle n \rangle } { \partial k _ { - \rho } } \right| \leq \alpha _ { 2 } \mathrm { V a r } \{ n \} g ( \mathcal { F } ) ,
\begin{array} { r l } { h _ { i } ( x , y , z ; t + 1 ) } & { { } = \sum _ { i } h _ { i } ^ { \prime } [ \rho ( \vec { x } - \vec { c } _ { i } , t ) , u _ { a } ( \vec { x } - \vec { c } _ { i } , t ) , P _ { a b } ( \vec { x } - \vec { c } _ { i } , t ) ] , } \end{array}
S ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \epsilon ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) - \operatorname { t a n h } ( e F \tau ) \right] e ^ { 2 e F ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } .
{ \begin{array} { r l } & { \mu \rho u { \frac { \partial } { \partial x } } \left( { \frac { 1 } { \tau } } \right) + { \frac { \partial ^ { 2 } \tau } { \partial u ^ { 2 } } } - \mu { \frac { d p } { d x } } { \frac { \partial } { \partial u } } \left( { \frac { 1 } { \tau } } \right) = 0 , } \\ & { { \mathrm { i f ~ } } { \frac { d p } { d x } } = 0 , { \mathrm { ~ t h e n ~ } } { \frac { \mu \rho } { \tau ^ { 2 } } } { \frac { \partial \tau } { \partial x } } = { \frac { 1 } { u } } { \frac { \partial ^ { 2 } \tau } { \partial u ^ { 2 } } } . } \end{array} }
{ \frac { \partial f } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } = D f ( \mathbf { v } ) [ \mathbf { u } ] = \left[ { \frac { d } { d \alpha } } ~ f ( \mathbf { v } + \alpha ~ \mathbf { u } ) \right] _ { \alpha = 0 }
\begin{array} { r l } { B _ { a } = } & { { } \frac { { \bf v } ^ { 2 } } { 2 } + h ( \eta , S , p ) - h ( \eta , S , p _ { r } ) + g ( z - z _ { r } ) } \\ { = } & { { } \frac { { \bf v } ^ { 2 } } { 2 } + \Pi + \frac { p - p _ { 0 } ( z ) } { \rho } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( f ) } & { = \underbrace { ( H _ { 2 , 0 } + H _ { 4 , 0 } ) } _ { = : Z _ { 0 } ( f ) } + \underbrace { ( H _ { 2 , 1 } + H _ { 3 , 0 } + H _ { 3 , 1 } + H _ { 4 , 1 } + H _ { 5 , 0 } + H _ { 5 , 1 } ) } _ { = : Z _ { 1 } ( f ) } + \underbrace { ( H _ { 2 , 2 } + H _ { 3 , 2 } + H _ { 4 , 2 } ) } _ { = : Z _ { 2 } ( f ) } } \\ & { \ + \underbrace { ( H _ { 3 , 3 } + H _ { 4 , 3 } + H _ { 4 , 4 } + \sum _ { k = 2 } ^ { 5 } H _ { 5 , k } + H _ { \ge 6 } ) } _ { = : Z _ { 3 } ( f ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { G } = } & { { } - \mathbb { E } [ \log ( \tilde { s } ) ] } \\ { \mathcal { L } _ { D } = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \mathbb { E } [ \log ( s ) ] + \mathbb { E } [ \log ( 1 - \tilde { s } ) ] \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E } { \partial \tau } } & { { } = - 2 t \cos \tau \cos \sigma - U \sin \tau \cos \tau = 0 , } \\ { \frac { \partial E } { \partial \sigma } } & { { } = + 2 t \sin \tau \sin \sigma - U \cos \sigma \sin \sigma - \mu \sin 2 \sigma = 0 , } \\ { \frac { \partial E } { \partial \mu } } & { { } = - \sin ^ { 2 } \sigma + S ( S + 1 ) = 0 . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \left( 1 + { \frac { 4 M } { r } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } d t ^ { 2 } - \left( 1 + { \frac { 4 M } { r } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d x ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \left( f _ { h } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { h } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } - 1 \right) = } & { \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } ( f _ { h } ^ { 2 } - 1 ) + \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 \sigma _ { h } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } = \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } ( f _ { h } - 1 ) ( f _ { h } + 1 ) + 2 \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \frac { \sigma _ { h } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { h \in \mathbb { N } } ( f _ { h } + 1 ) \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } ( f _ { h } - 1 ) + 2 \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \frac { \sigma _ { h } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } < \infty } \end{array}
\Psi _ { I } ^ { ( n ) } ( \hat { \alpha } _ { a _ { 0 } } , \ldots , \hat { \alpha } _ { a _ { n } } ) = ( - 1 ) ^ { n + \sum _ { i > 0 } | \alpha _ { a _ { 0 } } | | \alpha _ { a _ { i } } | } \Psi _ { I } ^ { ( n ) } ( \hat { \alpha } _ { a _ { 1 } } , \ldots , \hat { \alpha } _ { a _ { n } } , \hat { \alpha } _ { a _ { 0 } } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } } { 2 } - W ( \tilde { u } ) \right) _ { + } } & { \leq C \delta } \\ & { \leq C \tau ^ { \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } + ( n + 1 ) \delta _ { 0 } + 6 \delta _ { 0 } } { 2 \delta _ { 0 } } } } \\ & { \leq C \tau \tau ^ { \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } + ( n + 1 ) \delta _ { 0 } + 4 \delta _ { 0 } } { 2 \delta _ { 0 } } } } \\ & { \leq C \tau \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } } { 2 } + W ( \tilde { u } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathrm { s p a t i a l } } ^ { \mathrm { D C } } } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { L _ { \mathrm { D C } } } - \cos ^ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { D C } } z ) \sin ^ { 2 } ( \kappa _ { \mathrm { D C } } z ) e ^ { i \Delta k z } d z } \\ & { \approx - \frac { L _ { \mathrm { D C } } } { 4 } \left[ 1 - \mathrm { s i n c } \! \left( 4 \kappa _ { \mathrm { D C } } L _ { \mathrm { D C } } \right) \right] \ . } \end{array}
\mathbb { Z } ^ { p } = [ \mathbb { Z } ^ { p } , { p } _ { h } ^ { 1 } ( \mu _ { N } ^ { * } ) , { p } _ { h } ^ { 2 } ( \mu _ { N } ^ { * } ) , \dots , { p } _ { h } ^ { L } ( \mu _ { N } ^ { * } ) ]
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge \partial v = \int _ { \Omega } \Big ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge d ( \partial \phi ) + \frac { \delta _ { \beta } \mathcal { F } } { \delta v } \wedge \partial \eta - \ast d w \wedge \eta ^ { \prime } - \ast d w \wedge [ \eta , u ] _ { 1 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { \pm } } & { { } = } & { k _ { \mathrm { B } } T \ln c _ { \pm , \mathrm { i n } } \pm e \psi , } \\ { \mu _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } } & { { } = } & { k _ { \mathrm { B } } T \ln ( \Gamma _ { \pm } / z ^ { * } ) \pm e \psi + \Delta G _ { \pm } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { m _ { Z } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta + A _ { \Sigma } s \tan \beta } } & { { - \lambda s A _ { \Sigma } + \lambda ^ { 2 } v ^ { 2 } \sin 2 \beta - { \frac { m _ { Z } ^ { 2 } \sin 2 \beta } { 2 } } } } & { { \lambda v _ { 2 } ( 2 \lambda s \cot \beta + k s - A _ { \Sigma } ) } } \\ { { - \lambda s A _ { \Sigma } + \lambda ^ { 2 } v ^ { 2 } \sin 2 \beta - { \frac { m _ { Z } ^ { 2 } \sin 2 \beta } { 2 } } } } & { { m _ { Z } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta + A _ { \Sigma } s \cot \beta } } & { { \lambda v _ { 1 } ( 2 \lambda s \tan \beta + k s - A _ { \Sigma } ) } } \\ { { \lambda v _ { 2 } ( 2 \lambda s \cot \beta + k s - A _ { \Sigma } ) } } & { { \lambda v _ { 1 } ( 2 \lambda s \tan \beta + k s - A _ { \Sigma } ) } } & { { ( 4 k ^ { 2 } s ^ { 2 } + k s a _ { k } ) - { \frac { \lambda A _ { \lambda } v ^ { 2 } \sin 2 \beta } { 2 s } } } } \end{array} \right) .
\frac { d } { d s } \left[ \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { 2 r _ { c } } \frac { 1 } { \bar { q } } \right) \right] = 0 \Rightarrow \bar { q } = \frac { r _ { 0 } / \left( 2 r _ { c } \right) } { \left[ r _ { 0 } / \left( 2 r _ { c } \right) ( 0 ) \right] } \, .
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta _ { i } } } & { = } & { \omega _ { i } + [ - K _ { 1 } k _ { i } ^ { ( 1 ) } \sin \alpha - K _ { 2 } k _ { i } ^ { ( 2 ) } \sin \beta ] - K _ { 1 } \cos \alpha [ k _ { i } ^ { ( 1 ) } \theta _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } \theta _ { j } ] - K _ { 2 } \cos \beta [ k _ { i } ^ { ( 2 ) } \theta _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } ( \sum _ { l = 1 } ^ { N } A _ { j l } A _ { l i } ) \theta _ { j } } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { j i } ( \sum _ { l = 1 } ^ { N } A _ { i l } A _ { l j } ) \theta _ { j } ] ~ ( i = 1 , 2 , \dots , N ) . } \end{array}
{ \cal S } _ { E } = \int _ { 0 } ^ { \tau } d t \int _ { 0 } ^ { \pi } d \sigma \left( \frac { \rho } { 2 } \left( \frac { \partial X } { \partial t } \right) ^ { 2 } + \frac { \nu } { 2 } \left( \frac { \partial X } { \partial \sigma } \right) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { [ \tilde { X } ( 0 0 0 ) ] } = } & { { } B \textbf { R } ^ { 2 } - D \textbf { R } ^ { 2 } \textbf { R } ^ { 2 } + \gamma \textbf { N } \cdot \textbf { S } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { u } ( R ^ { \tau } - v \cdot u ^ { T } ) x } & { = D _ { u } B _ { R } ^ { \tau } x } \\ & { = D _ { u } ( D _ { u } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } B _ { A } ^ { \tau } D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) x } \\ & { = D _ { w } B _ { A } ^ { \tau } y } \\ & { = D _ { w } ( A ^ { \tau } - w \cdot w ^ { T } ) y } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \vec { r } } } & { = r ( \theta ) { \hat { e } } _ { r } } \\ { { \frac { d { \vec { r } } } { d \theta } } } & { = { \frac { d r } { d \theta } } { \hat { e } } _ { r } + r { \hat { e } } _ { \theta } } \\ { { \frac { d ^ { 2 } { \vec { r } } } { d \theta ^ { 2 } } } } & { = \left( { \frac { d ^ { 2 } r } { d \theta ^ { 2 } } } - r \right) { \hat { e } } _ { r } + { \frac { d r } { d \theta } } { \hat { e } } _ { \theta } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( \| u \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \mu _ { 0 } \| \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 1 } \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \varphi \| ^ { 2 } ) } \\ & { + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \| u _ { t } \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 2 } \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } + \| \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \varphi \| ^ { 2 } + \| \nabla \varphi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { S _ { 1 } + S _ { 2 } + S _ { 3 } \, . } \end{array}
F _ { S } = \left( F _ { S } ^ { ( 0 ) } , F _ { S } ^ { ( 1 ) } \left( k _ { 1 } \right) , F _ { S } ^ { ( 2 ) } \left( k _ { 1 } , k _ { 2 } \right) , \ldots , F _ { S } ^ { ( n ) } \left( k _ { 1 } , k _ { 2 } , \ldots , k _ { n } \right) , \ldots \right) \; ,
\begin{array} { r l } { M _ { i } ( t , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( M _ { i } ( t , n - 1 ; \mathbf { g } ) + M _ { i } ( t , n ; \mathbf { g } ) \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( F _ { i } \left( t , n - 1 ; \mathbf { g } \right) - F _ { i } \left( t , n ; \mathbf { g } \right) \right) } \\ { \beta _ { i } ( t , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ) } & { = \mathrm { a r g m i n } _ { \beta } \ L ( \boldsymbol { \beta } ; \mathbf { M } ( t , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ) , \boldsymbol { \phi } ) } \\ { F _ { i } ^ { L W } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) } & { = F _ { i } \left( \beta _ { i } ( t , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } ) ; \mathbf { g } \right) } \end{array}
\mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H R } } ( \pi ) \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H R } } ( - \pi ) = \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H R } } ( 0 ) = \sigma _ { 2 } ^ { 2 } = { \bf 1 }
+ { \frac { 1 } { 2 } } ( \sqrt { w } ) ^ { - n - 1 } ( w - 1 ) \Big ( \dot { X } ( \sqrt { w } ) X ( \sqrt { w } ) ^ { - 1 } \! - ( - 1 ) ^ { n } \dot { X } ( - \sqrt { w } ) X ( - \sqrt { w } ) ^ { - 1 } \Big ) .
\int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \frac { \big | \big \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , x + \mathrm { i } \tilde { \eta } } [ G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) - G _ { 2 } ] ( \mathring { A } _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } \big \rangle \big | } { \big ( | x - e _ { 1 } | + \eta _ { 1 } \big ) \, \big ( | x - e _ { 2 } | + \eta _ { 2 } \big ) } \prec \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right)
\tilde { C } = - 3 g ^ { 2 } N ( N ^ { 2 } - 1 ) \delta ^ { a b } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } d ^ { 4 } \theta \, \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } \left\{ V ^ { a } ( p , \theta , { \overline { { \theta } } } ) V ^ { b } ( - p , \theta , { \overline { { \theta } } } ) \right\} \, .
\begin{array} { r l } { \rVert \mathcal { E } _ { 1 } } & { [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + ( \rVert Z \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \rVert Z \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } ) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) . } \end{array}
\Gamma ( t ) = \int _ { A } { \boldsymbol { \nabla } } \times ( { \boldsymbol { u } } + { \boldsymbol { \Omega } } \times { \boldsymbol { r } } ) \cdot { \boldsymbol { n } } \, \mathrm { d } S = \int _ { A } ( { \boldsymbol { \nabla } } \times { \boldsymbol { u } } + 2 { \boldsymbol { \Omega } } ) \cdot { \boldsymbol { n } } \, \mathrm { d } S
v _ { A } \approx \left( 2 . 1 8 \times 1 0 ^ { 1 1 } \, { \mathrm { c m } } \, { \mathrm { s } } ^ { - 1 } \right) \left( { \frac { m _ { i } } { m _ { p } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \left( { \frac { n _ { i } } { 1 ~ { \mathrm { c m } } ^ { - 3 } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \left( { \frac { B } { 1 ~ { \mathrm { G } } } } \right) .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \mu } \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) } & { { } = } & { \frac { \partial \overline { { \phi } } _ { i } } { \partial x ^ { \mu } } \frac { \partial } { \partial \overline { { \phi } } _ { i } } \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { \beta \gamma } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 - p } & { \displaystyle \beta = 1 , \gamma = 1 ; } \\ { \displaystyle p } & { \displaystyle \beta = 1 , \gamma = 2 ; } \\ { \displaystyle q } & { \displaystyle \beta = 2 , \gamma = 1 ; } \\ { \displaystyle 1 - q } & { \displaystyle \beta = 2 , \gamma = 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { W _ { 1 } C _ { 2 } } ( 1 , w , c ) } & { { } = \langle 1 [ \phi ] | \delta \bigl ( \hat { W } _ { 1 } - w \bigr ) \delta \bigl ( \hat { C } _ { 2 } - c \bigr ) | 1 [ \phi ] \rangle } \end{array}
z ( { \hat { \rho } } _ { X Y \cdot \mathbf { Z } } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( { \frac { 1 + { \hat { \rho } } _ { X Y \cdot \mathbf { Z } } } { 1 - { \hat { \rho } } _ { X Y \cdot \mathbf { Z } } } } \right) .
\begin{array} { r l } { p ( t ) = } & { \frac { 1 } { 1 6 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \Phi \delta \bigg ( t + \frac { R } { v _ { 0 } } \frac { \cos \theta _ { 2 } \cos \Phi - \cos \Phi + \sin \theta _ { 2 } \sin \Phi } { 1 - \cos \theta _ { 2 } } \bigg ) } \\ & { \times \theta ( - \cos \theta _ { 2 } \cos \Phi + \cos \Phi - \sin \theta _ { 2 } \sin \Phi ) } \\ & { \times ( - \cos \theta _ { 2 } \cos \Phi + \cos \Phi - \sin \theta _ { 2 } \sin \Phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { 1 } } & { { } = e _ { \mathrm { f a r } , h } \left( \cos ^ { 2 } \phi + \sin ^ { 2 } \phi / \cos \theta \right) ; } \\ { l _ { 2 } } & { { } = e _ { \mathrm { f a r } , v } \sin \phi \cos \phi \left( 1 - 1 / \cos \theta \right) ; } \\ { l _ { 3 } } & { { } = e _ { \mathrm { f a r } , h } \sin \phi \cos \phi \left( 1 - 1 / \cos \theta \right) ; } \\ { l _ { 4 } } & { { } = e _ { \mathrm { f a r } , v } \left( \sin ^ { 2 } \phi + \cos ^ { 2 } \phi / \cos \theta \right) ; } \end{array}
\frac { E ^ { n + 1 } - E ^ { n } } { \Delta t } = \, - \nabla \cdot \left[ \left( \rho ^ { n } e _ { t } ^ { n } + p ^ { n } + p _ { r } ^ { n } + E _ { r } ^ { n } \right) \mathbf { u } ^ { n } \right] + \nabla \cdot D ^ { n } \nabla E _ { r } ^ { n + 1 }
\varphi ( \omega ) = \varphi _ { 0 } + \varphi _ { 1 } ( \omega - \omega _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { 2 } ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \varphi _ { 3 } ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 3 } ,
( x _ { \alpha \dot { \alpha } } ) = \left( \begin{array} { c c } { { z _ { 2 } } } & { { z _ { 1 } } } \\ { { - \bar { z } _ { 1 } } } & { { \bar { z } _ { 2 } } } \end{array} \right) , \qquad ( \bar { x } ^ { \dot { \alpha } \alpha } ) = \left( \begin{array} { c c } { { \bar { z } _ { 2 } } } & { { - z _ { 1 } } } \\ { { \bar { z } _ { 1 } } } & { { z _ { 2 } } } \end{array} \right) .
\int _ { \Theta } \left[ { \bf K } \left( \theta \right) \lambda _ { k } \left( \theta \right) { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , k } - { \bf F } _ { k } \left( \theta \right) \right] \lambda _ { k } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) = 0 ,
\mathrm { P r o b } ( l ^ { \pm } X ^ { \mp } , f ) _ { - } \; \propto \; | A _ { l } | ^ { 2 } | A _ { f } | ^ { 2 } \left[ \frac { 1 + | \xi _ { f } | ^ { 2 } } { 2 } \mp \frac { 1 } { 1 + x _ { d } ^ { 2 } } \frac { 1 - | \xi _ { f } | ^ { 2 } } { 2 } \mp \frac { x _ { d } ^ { 2 } } { 1 + x _ { d } ^ { 2 } } { \cal S } \mathrm { R e } \xi _ { f } \right] \;
C _ { \sigma , \zeta } = \bigg ( 4 c _ { \omega } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 4 c _ { u } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 4 c _ { \nu } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + 3 c _ { u } ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 3 c _ { \nu } ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 3 c _ { \omega } ^ { 2 } \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 3 c _ { \nu } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 1 2 0 c _ { u } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \bigg )
\begin{array} { r l } & { \quad \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i - 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } | | \, p _ { t _ { i - 1 } } ^ { \mathrm { O D E } , t _ { i } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \\ { = } & { \quad \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \, | | \mathbf { x } _ { t _ { i } } - \Delta t \, \left[ \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - g ( t _ { i } ) ^ { 2 } \, \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) \right] - \mu _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + C _ { 1 } } \\ { = } & { \quad \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \, | | \Delta t \, g ( t _ { i } ) ^ { 2 } \left[ \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t _ { i } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - \frac { 1 } { 2 } s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) \right] | | _ { 2 } ^ { 2 } + C _ { 1 } } \end{array}
\phi ^ { \prime } ( z ) = \left\{ \begin{array} { c } { { - 1 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right\} \frac { 2 \pi / X } { 1 + ( 2 \pi / X ) ^ { 2 } [ b \cos ( \Delta - \lambda ) - z ] ^ { 2 } } { } ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } \left\{ \begin{array} { c } { { \mathrm { N I , N I I , } } } \\ { { \mathrm { S I , S I I . } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \frac { | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } ) } \gamma _ { \mathrm { G S } } , } \\ { \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \frac { | g _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } ) } \gamma _ { \mathrm { G S } } , } \\ { \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \frac { | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } ) } \gamma _ { \mathrm { G S } } , } \\ { \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \frac { | g _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } } { \operatorname* { m a x } ( | g _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) | ^ { 2 } ) } \gamma _ { \mathrm { G S } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { 1 2 } ^ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & & & \\ { 0 } & & & & \\ { \vphantom { \int ^ { 0 } } \smash [ t ] { \vdots } } & & & & { \vphantom { \int ^ { 0 } } \smash [ t ] { \vdots } } \\ { 0 } & & & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] , Z _ { 2 3 } ^ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i } & { 0 } & & \\ { 0 } & { i } & { 0 } & & & \\ { 0 } & { 0 } & & & & \\ { \vphantom { \int ^ { 0 } } \smash [ t ] { \vdots } } & & & & & { \vphantom { \int ^ { 0 } } \smash [ t ] { \vdots } } \\ { 0 } & & & & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \mathbf I } { \tilde { R } } + { \tilde { R } } { \mathbf I } = 2 \frac { \xi } { M } { \tilde { R } } { \mathbf I } ( 1 - \frac { \xi ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \partial ^ { 2 } ) ^ { - 1 } { \tilde { R } }
\Gamma = \frac { 8 } { m } \, \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } \, ( V _ { 1 } - k _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \, ( V _ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { V _ { 1 } \, ( V _ { 1 } + V _ { 2 } ) \, ( 1 + \sqrt { V _ { 1 } - k _ { 0 } ^ { 2 } } \, r _ { 1 } ) } \, \exp \left\{ - \, 2 \, \sqrt { V _ { 1 } - k _ { 0 } ^ { 2 } } \, \Delta r \right\} .
\int _ { U } ( M \phi ) ( x ) \psi ( x ) \, d x = \int _ { U } m ( x ) \phi ( x ) \psi ( x ) \, d x = \int _ { U } \phi ( x ) m ( x ) \psi ( x ) \, d x = \int _ { U } \phi ( x ) ( M \psi ) ( x ) \, d x ,