harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { D \vec { v } _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) } { D z } } & { { } = - \left( \vec { \Omega } ( \vec { x } , z , \omega ) \cdot \nabla _ { X } \right) \vec { \Omega } ( \vec { x } , z , \omega ) + \nabla _ { X } g ( \vec { x } , z ) + \frac { 1 } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } } \nabla _ { X } \left( \frac { \nabla _ { X } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) } { \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta h _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = } & { \langle \mathrm { H G } _ { 0 1 } ^ { y } | h _ { y } \rangle \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } ^ { x } | h _ { x } \rangle \delta y _ { c } ( t ) } \\ & { + \langle \mathrm { H G } _ { 0 1 } ^ { x } | h _ { x } \rangle \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } ^ { y } | h _ { y } \rangle \delta x _ { c } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { \bar { t } _ { s } } ) ] - \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ) ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta } { 4 } E _ { t } + \frac { \eta ^ { 2 } I \bar { L } \sigma ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + 2 \eta L ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } F _ { t } + 2 \eta \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } C _ { t } } \\ & { \qquad + I ^ { 2 } \eta ^ { 3 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } + 2 I ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \eta \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { b d k a e k = } & { a e k b d k - ( q - 1 / q ) * a f h b d k + ( q - 1 / q ) * a e k b f g } \\ & { + ( q - 1 / q ) * a e k c d h - ( q - 1 / q ) ^ { 2 } * a e k c e g } \\ & { + \frac { ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 2 } + 1 ) } { q } * a f h c e g - ( q ^ { 3 } - q ) * b d k c e g } \\ & { - q ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } * b f g c d h . } \end{array}
f _ { 0 } = A _ { 1 } \left[ \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } - 4 } { } _ { 3 } F _ { 2 } ( _ { 2 \lambda + 1 , \lambda - 1 } ^ { \lambda _ { 3 } , \lambda _ { 3 } , \lambda - 2 } | y ) - \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } - 1 } { } _ { 3 } F _ { 2 } ( _ { 2 \lambda + 1 , \lambda } ^ { \lambda _ { 4 } , \lambda _ { 2 } , \lambda - 1 } | y ) \right]
\lambda _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { - A _ { 5 9 } ( \gamma _ { 6 3 } ^ { \prime } + \gamma _ { 6 4 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { i f ~ } ( i , j ) = ( 6 , 1 ) } \\ { \frac { 1 } { 5 } A _ { 5 9 } ( \frac { 9 } { 2 } \gamma _ { 5 3 } ^ { \prime } + 2 \gamma _ { 6 3 } ^ { \prime } + 7 \gamma _ { 6 4 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { i f ~ } ( i , j ) = ( 6 , 2 ) } \\ { - 2 A _ { 5 9 } \gamma _ { 7 1 } ^ { \prime } , } & { \mathrm { i f ~ } ( i , j ) = ( 7 , 1 ) } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \left\langle \partial _ { x } ^ { s - 1 } \left( u \partial _ { x } v ^ { 1 } + w \partial _ { z } v ^ { 1 } \right) , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle } \\ { = } & { \left\langle \partial _ { x } ^ { s - 1 } \left( u \partial _ { x } v ^ { 1 } \right) + \partial _ { x } ^ { s - 1 } w \partial _ { z } v ^ { 1 } + \sum _ { k = 0 } ^ { s - 2 } \binom { s } { k } \partial _ { x } ^ { s - k - 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } \partial _ { x } ^ { k } w , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle } \\ { = } & { \left\langle \partial _ { x } ^ { s - 1 } \left( u \partial _ { x } v ^ { 1 } \right) + \sum _ { k = 0 } ^ { s - 2 } \binom { s } { k } \partial _ { x } ^ { s - k - 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } \partial _ { x } ^ { k } w , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 1 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle } \\ { \leq } & { C _ { \rho , \kappa } \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } \| u \| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( H ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \widetilde { \boldsymbol { m } } ) _ { j } } & { \quad = \Re \sum _ { s \in \mathcal { S } } \sum _ { \omega \in \mathcal { W } } \left( \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { j } u ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) } \\ { \beta _ { j } u ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) , \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ^ { * } \left( \begin{array} { l } { { \mathcal R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } { \mathcal R } ( \mathcal { P } ) v ( \boldsymbol { m } , \omega , s , \widetilde { \boldsymbol { m } } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { R L } } & { { } = [ R _ { T } - R L ( t ) ] \ell ( t ) k _ { + } - R L ( t ) k _ { - } + B _ { c } ( R L , \ell ) \xi _ { c } ( t ) , } \\ { \dot { x } ^ { * } } & { { } = [ X _ { T } - x ^ { * } ( t ) ] R L ( t ) { k _ { \mathrm { f } } } - x ^ { * } ( t ) { k _ { \mathrm { r } } } + B _ { x } ( R L , x ^ { \ast } ) \xi _ { x } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l c c c c } { { \mathrm { \underline { { { s e c t o r } } } } } } & { { { } } } & { { \mathrm { \underline { { { s t a t e } } } } } } & { { { } } } & { { { } } } & { { \mathrm { \underline { { { ~ R _ { 1 } ~ } } } } } } & { { \mathrm { \underline { { { ~ R _ { 2 } ~ } } } } } } \\ { { \mathrm { N S } } } & { { { } } } & { { | 2 s _ { 3 } , 2 s _ { 4 } \rangle , } } & { { s _ { 3 } = s _ { 4 } } } & { { { } } } & { { + } } & { { + } } \\ { { \mathrm { R } } } & { { { } } } & { { | - , 2 s _ { 1 } , 2 s _ { 2 } \rangle , } } & { { s _ { 1 } = s _ { 2 } } } & { { { } } } & { { + } } & { { + } } \end{array}
\mu \left( \nabla \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } + \nabla \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } ^ { T } \right) \cdot \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } = \sigma _ { T } \left( \mathrm { ~ \boldmath ~ I ~ } - \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \right) \cdot \nabla T ,
\begin{array} { r } { p = - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - ( r ^ { 2 } - 1 ) } , \qquad u _ { 1 } = u _ { 0 } - r e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( r ^ { 2 } - 1 ) } \sin ( \phi ) , \qquad u _ { 2 } = u _ { 0 } + r e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( r ^ { 2 } - 1 ) } \cos ( \phi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { D } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } { \mathrm { D } t } } & { = } & { - c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } \ln \rho + \mathrm { \boldmath ~ J ~ } \times \mathrm { \boldmath ~ B ~ } / \rho + \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } \cdot ( 2 \rho \nu \mathrm { \boldmath ~ { \sf ~ S } ~ } ) / \rho + \mathrm { \boldmath ~ f ~ } , } \\ { \frac { \partial \mathrm { \boldmath ~ A ~ } } { \partial t } } & { = } & { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } \times \mathrm { \boldmath ~ B ~ } + \eta \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } ^ { 2 } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } , } \\ { \frac { \mathrm { D } \rho } { \mathrm { D } t } } & { = } & { - \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } \cdot ( \rho \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) , } \end{array}
x ( t ) \approx \left\{ \begin{array} { l l } { \left( { b ^ { 9 } } / { L _ { p } } \right) ^ { 1 / 8 } \left( t / { \tau } \right) ^ { 3 / 8 } } & { \tau \lesssim t \lesssim \tau _ { f } } \\ { \left( { b ^ { 3 } } / L \right) ^ { 1 / 2 } \left( t / { \tau } \right) ^ { 1 / 2 } } & { t \gtrsim \tau _ { f } . } \end{array} \right.
\Delta _ { S Q C D } = - \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 \pi } \frac { M _ { \tilde { g } } \mu } { M _ { S } ^ { 2 } } ( \tan \beta + \cot \beta ) + \mathcal { O } ( M _ { E W } ^ { 2 } / M _ { S U S Y } ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { V _ { D B } } & { \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \right) = \left[ V \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \mid \overrightarrow { \mathbfit { x } } _ { 0 } ^ { R } \right) + V \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \mid \overrightarrow { \mathbfit { x } } _ { 0 } ^ { T } \right) + \Delta V \right] / 2 - } \\ & { \sqrt { \left[ \left( V \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \mid \overrightarrow { \mathbfit { x } } _ { 0 } ^ { R } \right) - V \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \mid \overrightarrow { \mathbfit { x } } _ { 0 } ^ { T } \right) - \Delta V \right) / 2 \right] ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } } \end{array}
1 - P = ( 1 - P _ { 0 } ) \left( 1 + { \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 \pi } } R _ { s } + { \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } } R _ { n p } ^ { 1 } + { \frac { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } } R _ { n p } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 1 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { - 1 } { 2 \pi i } \int _ { i } ^ { \omega k _ { 4 } } \frac { \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) } { s - k } d s \bigg \} , \; \delta _ { 4 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ^ { \omega } \frac { \ln f ( s ) } { s - k } d s \bigg \} , } \\ & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega k _ { 4 } } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \frac { \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) } { s - k } d s \bigg \} , \; \delta _ { 5 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ^ { \omega } \frac { \ln f ( \omega ^ { 2 } s ) } { s - k } d s \bigg \} , } \\ & { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = \exp \bigg \{ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega k _ { 4 } } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \frac { \ln f ( s ) } { s - k } d s \bigg \} , } \end{array}
E _ { 0 } [ \eta ] \, = \, \frac 1 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } A ( \rho ) \, \eta ( R , Z ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z - E _ { 0 } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta ] \, = \, \frac 1 2 \, \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } - E _ { 0 } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta ] \, ,
S = \frac { 1 } { 8 \pi G _ { N } } \int _ { \partial M } \Bigl [ ( K - K _ { 0 } ) + { \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } } n _ { \mu } \Bigl ( \sqrt { - g } e ^ { - \gamma \Phi } A _ { \nu } ^ { \alpha } ( L M L ) _ { \alpha \beta } F ^ { \beta \mu \nu } \Bigr ) \Bigr ] \quad .
\mathcal { A } _ { 1 } = \Big \{ \operatorname* { m a x } _ { t = s + \rho + 1 } ^ { e - \rho } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \bigg | \widetilde F _ { t , h } ^ { s , e } ( x ) - \widetilde f _ { t } ^ { s , e } ( x ) \bigg | \ge 2 C \sqrt { \frac { \log T } { h ^ { p } } } + \frac { 2 C _ { 1 } \sqrt { p } } { h ^ { p } } + 2 C _ { 2 } \sqrt { T } h ^ { r } \Big \}
\vec { v } ^ { \prime } = \vec { v } - 2 ( \vec { n } _ { 0 } \circ \vec { v } ) \cdot \vec { n } _ { 0 } | _ { P } = \vec { v } - \frac { 2 } { | \vec { \nabla } M | ^ { 2 } } ( \vec { v } \circ \vec { \nabla } M ) \cdot \vec { \nabla } M | _ { P } .
\begin{array} { r } { f _ { T } ( k _ { x } , k _ { p } ) = \sum _ { q } \frac { A _ { q } } { 2 \pi } \frac { J _ { 1 } \Big ( R \sqrt { ( k _ { x } - k _ { x } ^ { q } ) ^ { 2 } + ( k _ { p } - k _ { p } ^ { q } ) ^ { 2 } } \Big ) } { R ^ { - 1 } \sqrt { ( k _ { x } - k _ { x } ^ { q } ) ^ { 2 } + ( k _ { p } - k _ { p } ^ { q } ) ^ { 2 } } } , \ \ } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { 2 } \overset { ( a ) } { \leq } \operatorname* { m i n } \big \{ H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } , V ) , \quad \big ( I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) - R _ { 1 } \big ) \big \} } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \operatorname* { m i n } \big \{ H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) , \quad \big ( I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) - R _ { 1 } \big ) \big \} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \cdot ( \varrho u ) + \tau \nabla \cdot ( v _ { q _ { 0 } , u _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ( q + \mathfrak { g } \eta ) ) + N ^ { - 1 } L _ { m } ( q + \mathfrak { g } \eta ) = g } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - \gamma ^ { 2 } \varrho \partial _ { 1 } u + \varrho \nabla ( q + \mathfrak { g } \eta ) - \gamma \nabla \cdot \mathbb { S } ^ { \varrho } u = f } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - ( \varrho q - \gamma \mathbb { S } ^ { \varrho } u ) e _ { n } - \varsigma \Delta _ { \| } \eta e _ { n } = k } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u \cdot e _ { n } + \partial _ { 1 } \eta = N ^ { - 1 } ( - \Delta _ { \| } ) ^ { m - 1 / 4 } \eta } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { 0 } , } \\ { \partial _ { n } ^ { m } q = \cdots = \partial _ { n } ^ { 2 m - 1 } q = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega , } \end{array} \right.
\Delta t ( { \partial _ { t } } + { { \bf { e } } _ { i } } \cdot \nabla ) { f _ { i } } + \frac { { \Delta { t ^ { 2 } } } } { 2 } { ( { \partial _ { t } } + { { \bf { e } } _ { i } } \cdot \nabla ) ^ { 2 } } { f _ { i } } + O ( \Delta { t ^ { 3 } } ) = - { \Lambda _ { i , k } } ( { f _ { k } } - f _ { k } ^ { e q } ) + \Delta t { { \bar { F } } _ { i } } + \frac { { \Delta { t ^ { 2 } } } } { 2 } ( { \partial _ { t } } + { { \bf { e } } _ { i } } \cdot \nabla ) { { \bar { F } } _ { i } } .
{ \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { ( 2 . 1 \times 1 0 ^ { 8 } C ) ^ { 2 } } { ( 1 m ) ^ { 2 } } } = 4 . 1 \times 1 0 ^ { 2 6 } N .
\begin{array} { r l r } { S ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } & { { } = } & { K ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) + U ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) , } \\ { K ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } & { { } = } & { \frac { 3 N \hbar } { 2 } \ln ( 4 \pi \lambda \tau / \hbar ) + \frac { \hbar ^ { 2 } s ^ { 2 } ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ) } { 4 \lambda \tau } , } \end{array}
\mathcal { C } [ \left| \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| ] = e ^ { - \kappa | \alpha | ^ { 2 } } f \left| \sqrt { \tau } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \sqrt { \tau } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| + ( 1 - e ^ { - \kappa | \alpha | ^ { 2 } } f ) \rho _ { h } ^ { \mathrm { t h } } ,
u _ { t } + a \left( \frac { u ^ { 2 } } { 2 } \right) _ { x } + b \, \kappa _ { x } = c \, \frac { ( v \, u _ { x } ) _ { x } } { v } + 1 - \frac { u } { g ( h ) } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } Q _ { T } ,
X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } ( E , E ^ { - } ) = \operatorname { T r } [ V ^ { \mu } A ^ { \alpha } V ^ { \nu } A ^ { \beta - } ] = \operatorname { T r } [ V ^ { \nu } A ^ { \alpha } V ^ { \mu } A ^ { \beta - } ] ^ { * } = [ X _ { \nu \mu } ^ { \alpha \beta } ( E , E ^ { - } ) ] ^ { * }
{ \begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } g _ { _ { P } } ( x - \tau ) \cdot h ( \tau ) \, d \tau } & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left[ \int _ { x _ { o } + k P } ^ { x _ { o } + ( k + 1 ) P } g _ { _ { P } } ( x - \tau ) \cdot h ( \tau ) \ d \tau \right] \quad x _ { 0 } { \mathrm { ~ i s ~ a n ~ a r b i t r a r y ~ p a r a m e t e r } } } \\ & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left[ \int _ { x _ { o } } ^ { x _ { o } + P } \underbrace { g _ { _ { P } } ( x - \tau - k P ) } _ { g _ { _ { P } } ( x - \tau ) , { \mathrm { ~ b y ~ p e r i o d i c i t y } } } \cdot h ( \tau + k P ) \ d \tau \right] \quad { \mathrm { s u b s t i t u t i n g ~ } } \tau \rightarrow \tau + k P } \\ & { = \int _ { x _ { o } } ^ { x _ { o } + P } g _ { _ { P } } ( x - \tau ) \cdot \underbrace { \left[ \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } h ( \tau + k P ) \right] } _ { \triangleq \ h _ { _ { P } } ( \tau ) } \ d \tau } \end{array} }
n _ { p } ( { \mathrm { \boldmath ~ \ v a r r h o ~ } } ) = { \frac { N _ { p } } { 2 \pi \sigma _ { p x } \sigma _ { p y } } } \; \mathrm { e x p } \left( - { \frac { \varrho _ { x } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p x } ^ { 2 } } } - { \frac { \varrho _ { y } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p y } ^ { 2 } } } \right) ,
\epsilon ^ { i j k } = \left\{ \begin{array} { r l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ( ~ i ~ j ~ k ~ ) ~ i ~ s ~ a ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ p ~ e ~ r ~ m ~ u ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ ( ~ 1 ~ 2 ~ 3 ~ ) ~ } ; } \\ { - 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ( ~ i ~ j ~ k ~ ) ~ i ~ s ~ a ~ n ~ o ~ d ~ d ~ p ~ e ~ r ~ m ~ u ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ ( ~ 1 ~ 2 ~ 3 ~ ) ~ } ; } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\left[ \begin{array} { c } { e } \\ { - \zeta ^ { ( 1 ) } } \\ { - \zeta ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } } \\ { a _ { 1 2 } } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } \\ { a _ { 1 3 } } & { a _ { 2 3 } } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { - p _ { c } } \\ { - p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \\ { - p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { = } & { { } A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } } \\ { \leq } & { { } C _ { 1 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , \Omega , T ) \varepsilon - \nu \left( \left( u - u _ { \nu } \right) , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u ) \right) _ { Q _ { T } } + \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( u _ { \nu } - u \right) } \\ { = } & { { } B _ { 1 } ( n , \nu , \varepsilon ) } \end{array}
i \, { \cal L } _ { \phi \pi ^ { + } \pi ^ { - } } = i e ^ { 2 } \frac { \sqrt { 2 } \, F _ { V } } { 3 \, M _ { \phi } } \epsilon ^ { \mu } ( \phi ) ( p _ { + } - p _ { - } ) _ { \mu } \, F ( M _ { \phi } ^ { 2 } ) ,
\sigma ( \lambda ( ( \boldsymbol { k } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b ) + \theta _ { x } ) \left\{ \begin{array} { l l } { \to 1 } & { \mathrm { f o r } \quad ( \boldsymbol { k } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b > 0 \quad \mathrm { a s } \quad \lambda \to + \infty , } \\ { \to 0 } & { \mathrm { f o r } \quad ( \boldsymbol { k } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b < 0 \quad \mathrm { a s } \quad \lambda \to + \infty , } \\ { = \sigma ( \theta _ { x } ) } & { \mathrm { f o r } \quad ( \boldsymbol { k } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + b = 0 \quad \mathrm { f o r } \; \mathrm { a l l } \; \lambda . } \end{array} \right.
{ \textbf { p } } = [ T ( t ) ] ^ { - 1 } { \textbf { P } } ( t ) = { \left\{ \begin{array} { l } { { \textbf { p } } } \\ { 1 } \end{array} \right\} } = { \left[ \begin{array} { l l } { A ( t ) ^ { T } } & { - A ( t ) ^ { T } { \textbf { d } } ( t ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { { \textbf { P } } ( t ) } \\ { 1 } \end{array} \right\} } .
\underbrace { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \overbrace { x ( n T ) } ^ { x [ n ] } \ e ^ { - i 2 \pi f n T } } _ { \mathrm { D T F T } } = { \frac { 1 } { T } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } X { \Bigl ( } f - { \frac { k } { T } } { \Bigr ) } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( t _ { i } , \ell , g ) = } & { \mathbb { P } ( t _ { i } \mathrm { ~ m o d e } , g , \ell ) \times \mathbb { P } ( \mathrm { ~ t h e ~ l a r g e s t ~ m o d e ~ n u m b e r ~ f r o m ~ } t _ { i } | t _ { i } \mathrm { ~ m o d e } , \ell , g ) } \\ { = } & { \frac { \binom { N _ { t _ { i } } p _ { t _ { i } , \ell } } { g } a _ { g , \ell } ^ { t _ { i } } } { \binom { N _ { t _ { i } } } { n _ { t _ { i } } } } \times \mathbb { P } ( \mathrm { ~ t h e ~ l a r g e s t ~ m o d e ~ n u m b e r ~ f r o m ~ } t _ { i } | t _ { i } \mathrm { ~ m o d e } , \ell , g ) } \\ { = } & { \frac { \binom { N _ { t _ { i } } p _ { t _ { i } , \ell } } { g } a _ { g , \ell } ^ { t _ { i } } } { \binom { N _ { t _ { i } } } { n _ { t _ { i } } } } \prod _ { s \in \tau _ { i } \setminus { t _ { i } } } \frac { b _ { g } ^ { s } } { \binom { N _ { s } } { n _ { s } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } M _ { i } } & { { } = \epsilon _ { i j k } \Omega _ { j } M _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \omega _ { j } M _ { k } - \frac { 1 } { \tau } ( M _ { i } - M _ { i } ^ { 0 } ) } \end{array}
{ P ( \vec { x } , t ) = G _ { \mathrm { F P } } ( \vec { x } , \vec { y } = \vec { 0 } , t ) = } e ^ { \frac { c } { 4 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } | x _ { i } - x _ { j } | } e ^ { E _ { 0 } t } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d k _ { 1 } } { 2 \pi } \dots \int _ { \mathbb { R } } \frac { d k _ { N } } { 2 \pi } \prod _ { 1 \leq a < b \leq N } \frac { i k _ { a } - i k _ { b } } { i k _ { a } - i k _ { b } + c } \quad e ^ { - t \sum _ { j = 1 } ^ { N } k _ { j } ^ { 2 } + i \sum _ { j = 1 } ^ { N } x _ { j } k _ { j } } \; ,
\hat { A } _ { ( 2 c ) } \simeq - \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { s } \, \hat { a } _ { ( 2 c ) } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) \, \delta ( \alpha _ { 1 } - \beta _ { 1 } ) \; \delta ( d _ { ( 2 c ) 2 } f _ { ( 2 c ) 1 } - d _ { ( 2 c ) 1 } f _ { ( 2 c ) 2 } ) .
{ P } _ { K ^ { \prime \prime } } = - \left\langle { \widetilde { u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } u ^ { \prime \prime } { } ^ { m } } \frac { \partial \widetilde { u } ^ { m } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle \simeq + \widetilde { \nu } \left( { 1 - \widetilde { \Lambda } _ { \mathrm { { D } } } } \right) \left( { \frac { \partial \widetilde { u } ^ { m } } { \partial x ^ { \ell } } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \left( 1 \ast g \Lambda _ { f } \right) ( n ) } & { = \sum _ { d \mid n } g ( d ) \Lambda _ { f } ( d ) = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } g ( p ^ { i } ) \Lambda _ { f } ( p ^ { i } ) } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } \frac { i g ( p ) f ( p ) } { h _ { f } ( p ) } } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \frac { g ( p ) f ( p ) } { h _ { f } ( p ) } \sum _ { i = 1 } ^ { i = \alpha } i } \\ & { = \sum _ { p ^ { \alpha } | | n } \frac { \alpha ( \alpha + 1 ) f ( p ) g ( p ) } { 2 h _ { f } ( p ) } } \end{array}
{ } [ \mathrm { s u s y \ t r a n s f o r m a t i o n } , \mathrm { s u s y \ t r a n s f o r m a t i o n } ] \approx \mathrm { t r a n s l a t i o n } + \mathrm { g a u g e \ t r a n s f o r m a t i o n }
\begin{array} { c l } { \operatorname* { m i n } _ { Y \in { \mathbb R } ^ { { ( n + p ) } \times { ( n + p ) } } } } & { \mathrm { t r } ( B _ { 0 } Y ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { a _ { i } ^ { l } \le \mathrm { t r } ( B _ { i } Y ) \le a _ { i } ^ { u } , ~ i = 1 , \cdots , k , } \\ & { \mathrm { t r } ( E ^ { i j } Y _ { [ n + 1 : n + p ] } ) = \delta _ { i j } , ~ 1 \le i \le j \le p \Leftrightarrow Y _ { [ n + 1 : n + p ] } = I _ { p } , } \\ & { Y _ { [ 1 : n ] } = I _ { n } , } \\ & { Y \succeq 0 , } \end{array}
{ \cal M } ( k { - } p ) \equiv \left( \begin{array} { c c c c } { { - i C ( k { - } p ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i C ( k { - } p ) ^ { * } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { L ( p { - } k ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { L ( k { - } p ) } } \end{array} \right) \;
\begin{array} { r l } & { \nabla \cdot \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \eta _ { r } ( \partial _ { x _ { i } } u ) \left( e _ { i } + ( \nabla \phi _ { e _ { i } } ) \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \right) \right) } \\ { = } & { \, \nabla \left( \eta _ { r } \partial _ { x _ { i } } u \right) \cdot \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \left( e _ { i } + ( \nabla \phi _ { n , e _ { i } } ) \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \right) \right) + \eta _ { r } ( \partial _ { x _ { i } } u ) \nabla \cdot \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \left( e _ { i } + ( \nabla \phi _ { n , e _ { i } } ) \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \right) \right) } \\ { = } & { \, \nabla \left( \eta _ { r } \partial _ { x _ { i } } u \right) \cdot \left( \mathbf { a } \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \left( e _ { i } + ( \nabla \phi _ { n , e _ { i } } ) \left( \frac { \cdot } { \varepsilon } \right) \right) \right) . } \end{array}