harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { V } & { = \frac { \pi } { 3 } \left( \frac { 3 } { 1 6 } H \right) ^ { 2 } H = \frac { 3 \pi } { 2 5 6 } H ^ { 3 } } \\ { \frac { d V } { d t } } & { = \frac { 9 \pi } { 2 5 6 } H ^ { 2 } \cdot \frac { d H } { d t } } \\ { C } & { = 0 . 0 0 8 1 + \frac { 9 \pi } { 2 5 6 } H ^ { 2 } \cdot \frac { d H } { d t } } \end{array}
T _ { \mu \nu } = { \frac { 1 } { 2 } } T _ { ( p ) } \delta ( x ^ { \perp } ) \times \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { } } & { { \eta _ { \mu \nu } \ \mathrm { i f } \ \ \mu , \nu \leq p } } \\ { { } } & { { 0 \ \ \ \ \ \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. \right.
\frac { \mathop { } \! { \mathrm d } n _ { \mathrm { E } } ^ { ( \mathrm { l o g } ) } } { \mathop { } \! { \mathrm d } t } = a \, n _ { \mathrm { E } } ^ { ( \mathrm { l o g } ) } \left( 1 - n _ { \mathrm { E } } ^ { ( \mathrm { l o g } ) } \right) .
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( f ) } } & { { } = - \int _ { \omega , q } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \omega , q , \varpi , p ) \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , - p - q ) \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p + q , - \omega , - q ) \; \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) + c . c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } f _ { 0 } } & { { } = 0 } \\ { D _ { t } f _ { 1 } } & { { } = \frac { p ^ { 2 } } { m } ( f _ { 2 } + f _ { 3 } ) + 2 m f _ { 2 } } \\ { D _ { t } f _ { 2 } } & { { } = - \Big ( \frac { p ^ { 2 } } { m } + 2 m \Big ) f _ { 1 } } \\ { D _ { t } f _ { 3 } } & { { } = \frac { p ^ { 2 } } { m } f _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \mathrm { g } } = \left\{ \begin{array} { l } { T _ { 0 } \hfill ( x < 0 ) , } \\ { T _ { 0 } + ( T _ { \mathrm { p o s t } } - T _ { 0 } ) \exp { ( - x / L ) } \quad \hfill ( x \geq 0 ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } } { \partial G _ { 1 } ^ { L } } \times \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } d G _ { 1 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } } { \partial g _ { 1 } ^ { L } } \times \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } d g _ { 1 } ^ { L } + \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } \times \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial g _ { 2 } ^ { L } } d g _ { 2 } ^ { L }
G ( x , \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { - \displaystyle { \frac { 1 } { W } } \eta _ { - q } ( \xi ) \ \eta _ { q } ( x ) } } & { { \ \ ( x < \xi ) } } \\ { { - \displaystyle { \frac { 1 } { W } } \eta _ { q } ( \xi ) \ \eta _ { - q } ( x ) } } & { { \ \ ( x > \xi ) \ . } } \end{array} \right.
\gamma ^ { i i } ( r , r ^ { \prime } ) = N \int \Psi ^ { i } ( r , r _ { 2 } , r _ { 3 } , . . . , r _ { n } ) \Psi ^ { i } ( r ^ { \prime } , r _ { 2 } , r _ { 3 } , . . . , r _ { n } ) d r _ { 2 } . . . d r _ { n }
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( 0 0 0 ) = E _ { 0 0 0 } } & { \stackrel { ! } { > } E _ { 1 0 0 } = - \Delta _ { 1 } + \varepsilon ( 1 0 0 ) = \varepsilon ( 0 1 0 ) - \varepsilon ( 1 1 0 ) + \varepsilon ( 1 0 0 ) } \\ { \Leftrightarrow \quad \varepsilon ( 0 0 0 ) + \varepsilon ( 1 1 0 ) } & { > \varepsilon ( 0 1 0 ) + \varepsilon ( 1 0 0 ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { \pm 8 . 1 2 3 4 } & { = \pm \left( 8 + { \frac { 1 2 3 4 } { 1 0 ^ { 4 } } } \right) } & \\ & { = \pm { \frac { 8 \times 1 0 ^ { 4 } + 1 2 3 4 } { 1 0 ^ { 4 } } } } & { { \mathrm { c o m m o n ~ d e n o m i n a t o r } } } \\ & { = \pm { \frac { 8 1 2 3 4 } { 1 0 0 0 0 } } } & { { \mathrm { m u l t i p l y i n g , ~ a n d ~ s u m m i n g ~ t h e ~ n u m e r a t o r } } } \\ & { = \pm { \frac { 4 0 6 1 7 } { 5 0 0 0 } } } & { { \mathrm { r e d u c i n g } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 1 } ( t _ { 0 } ) = \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) \, d t , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \alpha _ { 1 } A _ { 2 } ^ { * } A _ { 3 } ^ { * } , \qquad \frac { \mathrm { d } { A _ { 2 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \alpha _ { 2 } A _ { 1 } ^ { * } A _ { 3 } ^ { * } , \qquad \frac { \mathrm { d } { A _ { 3 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \alpha _ { 3 } A _ { 1 } ^ { * } A _ { 2 } ^ { * } ,
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 1 a } = n _ { \Gamma _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( n _ { \Gamma _ { 1 } } - n _ { A _ { 1 } } - n _ { B _ { 1 } } - n _ { C _ { 1 } } \right) , } \\ & { \delta _ { 1 b } = \frac { 1 } { 2 } \left( - n _ { \Gamma _ { 1 } } + n _ { A _ { 1 } } + n _ { B _ { 1 } } - n _ { C _ { 1 } } \right) , } \\ & { \delta _ { 1 c } = \frac { 1 } { 2 } \left( - n _ { \Gamma _ { 1 } } + n _ { A _ { 1 } } - n _ { B _ { 1 } } + n _ { C _ { 1 } } \right) , } \\ & { \delta _ { 1 d } = \frac { 1 } { 2 } \left( - n _ { \Gamma _ { 1 } } - n _ { A _ { 1 } } + n _ { B _ { 1 } } + n _ { C _ { 1 } } \right) . } \end{array}
a _ { - } = a _ { 0 } t ^ { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } , ~ ~ H _ { - } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } t } , ~ ~ ~ e ^ { - \sigma _ { - } } = e ^ { - \sigma _ { 0 } } t ^ { 1 - \sqrt { 3 } } .
\sum _ { n \geq 0 } n ^ { m } z ^ { n } = \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left\{ { \begin{array} { l } { m + 1 } \\ { j + 1 } \end{array} } \right\} { \frac { ( - 1 ) ^ { m - j } j ! } { ( 1 - z ) ^ { j + 1 } } } .
S \! = \! \! \int \! \! \! \sqrt { - g } d ^ { D } \! x \! \left[ - \sum _ { k = 1 } ^ { N } \bar { \psi } _ { k } \gamma ^ { \alpha } \nabla _ { \alpha } \psi _ { k } + \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 N } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \bar { \psi } _ { k } \psi _ { k } \right) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C J } \frac { \partial G } { \partial \eta } = - \left( \frac { \partial G } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C J } \frac { \partial F } { \partial \eta } = } \\ { = - \left[ \left( \frac { \partial G } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C J } \frac { \partial F } { \partial \eta } \right] ^ { T } = - \left( \frac { \partial F } { \partial \eta } \right) ^ { T } \mathbf { J } ^ { T } \left( \mathbf { C } ^ { - 1 } \mathbf { C } \right) ^ { T } \frac { \partial G } { \partial \eta } \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { n } _ { \alpha } \right\rangle ( t ) } & { { } = \mathrm { i } \hbar ( \pm ) _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } G _ { \mathbf { p } \tilde { \alpha } } ^ { < } ( t ) \, , } \\ { \left\langle \hat { \mathbf { p } } _ { \alpha } \right\rangle ( t ) } & { { } = \mathrm { i } \hbar ( \pm ) _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \mathbf { p } \, G _ { \mathbf { p } \alpha } ^ { < } ( t ) \, , } \\ { \left\langle \hat { T } _ { \alpha } \right\rangle ( t ) } & { { } = \mathrm { i } \hbar ( \pm ) _ { \alpha } \int \frac { \mathrm { d } \mathbf { p } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \frac { \mathbf { p } ^ { 2 } } { 2 m _ { \alpha } } \, G _ { \mathbf { p } \alpha } ^ { < } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , G b } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac 1 2 \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } = \varepsilon _ { a } } \langle b _ { 2 } | U | b _ { 2 } \rangle \left\{ 2 \langle a b _ { 1 } | I ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n b _ { 2 } | I ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 1 } a \rangle \right. } \\ & { + } & { 2 \langle a b _ { 1 } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n b _ { 2 } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 1 } a \rangle - \langle b _ { 1 } a | I ( 0 ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n b _ { 2 } | I ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 1 } a \rangle } \\ & { + } & { 2 \langle a b _ { 2 } | I ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 1 } n \rangle \langle n b _ { 1 } | I ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } a \rangle + 2 \langle a b _ { 2 } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 1 } n \rangle \langle n b _ { 1 } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } a \rangle } \\ & { - } & { \langle b _ { 2 } a | I ( 0 ) | b _ { 1 } n \rangle \langle n b _ { 1 } | I ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } a \rangle - 2 \langle a b _ { 2 } | I ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n b _ { 1 } | I ( 0 ) | a b _ { 1 } \rangle } \\ & { + } & { \left. 2 \langle a b _ { 2 } | I ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n b _ { 1 } | I ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 1 } a \rangle - 2 \langle a b _ { 2 } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n b _ { 1 } | I ^ { \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 1 } a \rangle \right\} } \\ & { + } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P } ( - 1 ) ^ { P } \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } = \varepsilon _ { b } } \langle b _ { 2 } | U | b _ { 2 } \rangle \left\{ \langle b _ { 1 } b _ { 2 } | I ^ { \prime \prime } ( 0 ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n a | I ( \Delta _ { a P a } ) | P b _ { 1 } P a \rangle \right. } \\ & { - } & { \left. \langle b _ { 2 } b _ { 1 } | I ^ { \prime \prime } ( 0 ) | b _ { 1 } n \rangle \langle n a | I ( \Delta _ { a P a } ) | P b _ { 2 } P a \rangle - \langle b _ { 2 } a | I ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { a b } ) | a n \rangle \langle n b _ { 1 } | I ( 0 ) | P b _ { 2 } P b _ { 1 } \rangle \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 1 D \perp } ( u , v ) } & { { } = v + \frac { 1 - 2 \nu } { 2 ( \nu + 1 ) } u = 0 , } \\ { h _ { D K \perp } ( u , v ) } & { { } = v - \frac { 1 - 2 \nu } { 4 ( \nu + 1 ) } u = 0 . } \end{array}
\mathbf { C } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { e } _ { \gamma _ { 1 } } ^ { \top } } & { \mathbf { e } _ { \gamma _ { 2 } } ^ { \top } } & { \cdots } & { \mathbf { e } _ { \gamma _ { p } } ^ { \top } } \end{array} \right]
( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \psi _ { j } ^ { * } ( { \bf k } _ { 0 } ) = ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } ( e ^ { i \delta } ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \psi _ { j } ^ { * } ( { \bf k } _ { 0 } ) ) ^ { * } = - e ^ { - i \delta } \psi _ { j } ( { \bf k } _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } & { V _ { x y } ( I _ { + x } ) \lvert { _ { H _ { x } = 0 } } = \Delta R _ { A H E } I _ { + x } \sqrt { - \frac { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } - 2 H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } + H _ { k } ^ { 2 } - H _ { y } ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } } \\ & { + \Delta R _ { A H E } I _ { + x } H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } \frac { \sqrt { \frac { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - H _ { \mathrm { f l } } ^ { 2 } - 2 H _ { \mathrm { f l } } H _ { y } + H _ { k } ^ { 2 } - H _ { y } ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } } { { H _ { k } } ^ { 2 } \sqrt { 1 + \frac { - H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - ( H _ { \mathrm { f l } } + H _ { y } ) ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } } + \mathcal { O } [ H _ { x } ] ^ { 2 } . } \end{array}
P = - \frac { 3 } { h ^ { 2 } } \, \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ ( 4 \mu - i \gamma M ^ { 0 } ) \left( \frac { q - i \Gamma } { 2 \pi } \ln \zeta - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { c _ { n + 1 } } { n \zeta ^ { n } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { D } ^ { 1 , 1 } } & { = \frac { 1 } { L ^ { 6 + 6 k } } \sum _ { k _ { 1 } ^ { \uparrow } , \ldots , k _ { k + 1 } ^ { \uparrow } \in P _ { F } ^ { \uparrow } } \sum _ { k _ { 1 } ^ { \downarrow } , \ldots , k _ { k + 1 } ^ { \downarrow } \in P _ { F } ^ { \downarrow } } \idotsint \, \textnormal { d } X _ { [ 2 , k + 1 ] } \, \textnormal { d } Y _ { [ 2 , k + 1 ] } } \\ & { \quad \times \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { k + 1 } e ^ { i k _ { j } ^ { \uparrow } ( x _ { j } - x _ { \pi ( j ) } ) } e ^ { i k _ { j } ^ { \downarrow } ( y _ { j } - y _ { \tau ( j ) } ) } \right] \left[ \prod _ { j = 2 } ^ { k + 1 } g _ { s } ( x _ { j } - y _ { j } ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { L ^ { 6 + 6 k } } \sum _ { k _ { 1 } ^ { \uparrow } , \ldots , k _ { k + 1 } ^ { \uparrow } \in P _ { F } ^ { \uparrow } } \sum _ { k _ { 1 } ^ { \downarrow } , \ldots , k _ { k + 1 } ^ { \downarrow } \in P _ { F } ^ { \downarrow } } e ^ { i \left( k _ { 1 } ^ { \uparrow } - k _ { \pi ^ { - 1 } ( 1 ) } ^ { \uparrow } \right) x _ { 1 } } e ^ { i \left( k _ { 1 } ^ { \downarrow } - k _ { \tau ^ { - 1 } ( 1 ) } ^ { \downarrow } \right) y _ { 1 } } } \\ & { \quad \times \prod _ { j = 2 } ^ { k + 1 } \int \, \textnormal { d } x _ { j } \left[ e ^ { i \left( k _ { j } ^ { \uparrow } - k _ { \pi ^ { - 1 } ( j ) } ^ { \uparrow } + k _ { j } ^ { \downarrow } - k _ { \tau ^ { - 1 } ( j ) } ^ { \downarrow } \right) x _ { j } } \int \, \textnormal { d } y _ { j } \left( g _ { s } ( x _ { j } - y _ { j } ) e ^ { - i \left( k _ { j } ^ { \downarrow } - k _ { \tau ^ { - 1 } ( j ) } ^ { \downarrow } \right) ( x _ { j } - y _ { j } ) } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { L ^ { 6 + 6 k } } \sum _ { k _ { 1 } ^ { \uparrow } , \ldots , k _ { k + 1 } ^ { \uparrow } \in P _ { F } ^ { \uparrow } } \sum _ { k _ { 1 } ^ { \downarrow } , \ldots , k _ { k + 1 } ^ { \downarrow } \in P _ { F } ^ { \downarrow } } e ^ { i \left( k _ { 1 } ^ { \uparrow } - k _ { \pi ^ { - 1 } ( 1 ) } ^ { \uparrow } \right) x _ { 1 } } e ^ { i \left( k _ { 1 } ^ { \downarrow } - k _ { \tau ^ { - 1 } ( 1 ) } ^ { \downarrow } \right) y _ { 1 } } } \\ & { \quad \times \left[ \prod _ { j = 2 } ^ { k + 1 } L ^ { 3 } \chi _ { \left( k _ { j } ^ { \uparrow } - k _ { \pi ^ { - 1 } ( j ) } ^ { \uparrow } = k _ { \tau ^ { - 1 } ( j ) } ^ { \downarrow } - k _ { j } ^ { \downarrow } \right) } L ^ { 3 } \hat { g } _ { s } \left( k _ { j } ^ { \downarrow } - k _ { \tau ^ { - 1 } ( j ) } ^ { \downarrow } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { p } ( u , u ) } & { = 2 ( l \coth l ) \left( \langle u , u \rangle _ { p } - \langle u , \dot { \gamma } ( l ) \rangle _ { p } ^ { 2 } \right) + \langle u , \dot { \gamma } ( l ) \rangle _ { p } ^ { 2 } , } \\ { ( \nabla ^ { 3 } f ) _ { p } ( w , u , u ) } & { = 2 \Phi ( l ) \langle w , \dot { \gamma } ( l ) \rangle _ { p } \left( \langle u , u \rangle _ { p } - \langle u , \dot { \gamma } ( l ) \rangle _ { p } ^ { 2 } \right) } \\ & { + 4 \left( l - \Phi ( l ) \right) \langle u , \dot { \gamma } ( l ) \rangle _ { p } \left( \langle w , \dot { \gamma } ( l ) \rangle _ { p } \langle u , \dot { \gamma } ( l ) \rangle _ { p } - \langle u , w \rangle _ { p } \right) . } \end{array}
W = Q _ { 1 } Q _ { 2 } S _ { 2 } + Q _ { 1 } A Q _ { 2 } S _ { 1 } + \frac { \Lambda ^ { 7 } ( Q _ { 1 } Q _ { 2 } ) } { 2 ( A ^ { 2 } ) ( Q _ { 1 } Q _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( Q _ { 1 } A Q _ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot { \mathbf { u } } } & { = 0 } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { \in \Omega \times [ 0 , T ] } \\ { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + { \mathbf { u } } \cdot \nabla { \mathbf { u } } } & { = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } { \nabla ^ { 2 } } { \mathbf { u } } } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { \in \Omega \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) } & { = ( u _ { w } ( \mathbf { x } , t ) , 0 ) } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { \in \Gamma _ { 1 } \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) } & { = 0 } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { \in \Gamma _ { 2 } \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , 0 ) } & { = \mathbf { u } _ { 0 } ( \mathbf { x } ) } & { \mathbf { x } } & { \in \Omega } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { - \nabla \cdot \boldsymbol { \sigma } } & { = \boldsymbol { f } \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { \mathrm { b r e a s t } } , } \\ { \boldsymbol { \sigma } } & { = \lambda \operatorname { t r } ( \boldsymbol { \varepsilon } ) \boldsymbol { I } + 2 \mu \boldsymbol { \varepsilon } , } \\ { \boldsymbol { J } } & { = \boldsymbol { R } _ { q r } \cdot \boldsymbol { \varepsilon } , } \\ { \boldsymbol { \varepsilon } } & { = \boldsymbol { R } _ { q r } ^ { - 1 } \boldsymbol { J } = \left[ \begin{array} { c c c } { 1 + \boldsymbol { \varepsilon } _ { x x } } & { 2 \boldsymbol { \varepsilon } _ { x y } } & { 2 \boldsymbol { \varepsilon } _ { x z } } \\ { 0 } & { 1 + \boldsymbol { \varepsilon } _ { y y } } & { 2 \boldsymbol { \varepsilon } _ { y z } . } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + \boldsymbol { \varepsilon } _ { z z } } \end{array} \right] } \end{array}
\langle \Psi _ { 0 } | \hat { Y } _ { P } \hat { Y } _ { P ^ { \prime } } | \Psi _ { 0 } \rangle = \langle \Psi _ { 0 } | \prod _ { i = 1 } ^ { 6 } ( 2 \hat { S } _ { 2 i - 1 } ^ { x } ) ( 2 \hat { S } _ { 2 i } ^ { y } ) | \Psi _ { 0 } \rangle .
d n _ { \gamma } \approx \frac { \alpha } { \pi } \left[ \left( 1 - x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \ln { \frac { q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } { q _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } } } - 1 + x \right] \frac { d x } { x } \equiv f ( x ) d x ,
\frac { d \sigma } { d z } = \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { s } \; \frac { 1 + z ^ { 2 } } { 1 - z ^ { 2 } } \; \left( 1 \pm \frac { s ^ { 2 } } { 2 \Lambda _ { \pm } ^ { 4 } } \, ( 1 - z ^ { 2 } ) \right) \; ,
\delta \, M _ { \beta , \gamma } ^ { 2 } = - \frac { 2 \, G _ { N } } { \pi \, \ell _ { s } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { d } \, k \ d \, \omega } { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } \, [ \mathrm { \boldmath ~ k ~ } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \varepsilon ] } \int d \tau _ { 1 2 } \, d \sigma _ { 1 } \, d \sigma _ { 2 } \, e ^ { - i \, \ell _ { s } ^ { 2 } M \omega \, \tau _ { 1 2 } } \, \langle W ( k , 1 , 2 ) \rangle _ { \beta , \gamma } \, ,
\mathcal { E } _ { \gamma } ^ { t o t } = N _ { 0 } \overline { { \mathcal { E } _ { \gamma } } } \propto ( \mathcal { E } _ { 0 } \sqrt { \sigma _ { z } } / \sigma _ { 0 } ) ^ { 2 / 3 } N _ { 0 } ^ { 5 / 3 }
{ \psi } _ { q } ( { \vec { r } } , t ) = { \cal { N } } e ^ { - i { \epsilon } _ { q } t } \times \left( \begin{array} { c } { { { \sqrt { \frac { { \epsilon } _ { q } - g { A } _ { 0 } + { m } _ { q } } { { \epsilon } _ { q } } } j _ { 0 } ( \sqrt { { ( { \epsilon } _ { q } - g { A } _ { 0 } ) } _ { } ^ { 2 } - { m } _ { q } ^ { 2 } } r ) } } } \\ { { i { \sqrt { \frac { { \epsilon } _ { q } - g { A } _ { 0 } - { m } _ { q } } { { \epsilon } _ { q } } } j _ { 1 } ( \sqrt { { ( { \epsilon } _ { q } - g { A } _ { 0 } ) } _ { } ^ { 2 } - { m } _ { q } ^ { 2 } } r ) ) } } } \end{array} \right) { \frac { { \chi } _ { q } } { \sqrt { 4 \pi } } } ,
\begin{array} { r l r } { C ^ { i j k l } } & { = } & { a g ^ { i j } g ^ { k l } + b \left( g ^ { i k } g ^ { j l } + g ^ { i l } g ^ { j k } \right) + \left( g ^ { i j } { \hat { A } } ^ { k l } + g ^ { k l } { \hat { A } } ^ { i j } \right) + } \\ & { } & { \left( g ^ { i k } { \hat { B } } ^ { j l } + g ^ { i l } { \hat { B } } ^ { j k } + g ^ { j k } { \hat { B } } ^ { i l } + g ^ { i k } { \hat { B } } ^ { j l } \right) + Z ^ { i j k l } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \mathcal { K } _ { a , N _ { a } ( t ) } ^ { c } , N _ { a } ( t ) = n \right] } & { = \mathbb { P } \left[ \hat { \kappa } _ { a } ( N _ { a } ( t ) ) \geq \kappa _ { a } + \epsilon , N _ { a } ( t ) = n \right] } \\ & { = \left( \frac { \kappa _ { a } } { \kappa _ { a } + \epsilon } \right) ^ { n \alpha _ { a } } \leq \exp \left( - \frac { \alpha _ { a } \epsilon } { \kappa _ { a } + \epsilon } n \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \mathcal { L } ( \widehat { W } ) - \mathcal { L } ( W ) \right\| _ { \mathrm { T V } } \leq 1 - \frac { 1 } { 6 } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 8 } , \exp \left[ - \left( 2 ^ { 2 - a } \, \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } | \varphi ( t ) | ^ { 2 } d t \right) ^ { a } \right) ^ { \frac { 1 } { a } } \right] \right\} } \end{array}
H ^ { - 1 } d \, \hat { * } _ { 6 } \, G _ { 3 } \wedge V _ { 4 } = 2 i \kappa ^ { 2 } \left[ \frac { \delta { \cal { L } } _ { b } } { \delta B _ { 2 } } - \tau \frac { \delta { \cal { L } } _ { b } } { \delta C _ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) } & { { } = D \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D } d L ^ { \prime \prime } } H ( L ^ { \prime } ) \right) } \end{array}
F _ { \mu \nu } = \mathrm { t r } \, \Psi ^ { \dagger } \left( \partial _ { \left[ \mu \right. } \mathcal { D } _ { z } ^ { \dagger } \frac { 1 } { \mathcal { D } _ { z } \mathcal { D } _ { z } ^ { \dagger } } \partial _ { \left. \nu \right] } \mathcal { D } _ { z } \right) \Psi \, .
\frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \phi _ { \mathrm { o u t } } ^ { * } ( \vec { r } ) } = \int _ { \Omega } \left[ \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial A ( \vec { r } ^ { \prime } , \vec { k } ^ { \prime } ) } \exp { \left( j \vec { k } ^ { \prime } ( \vec { r } ^ { \prime } - \vec { r } ) \right) } \right] ^ { * } \mathrm { d } s ( \vec { r } ^ { \prime } )
{ \frac { d \sigma ^ { B F K L } } { d \sigma ^ { 2 G } } } = { \frac { \pi ^ { 3 } } { 5 4 8 8 \zeta ^ { 3 } ( 3 ) } } { \frac { \eta _ { V } ^ { 2 } } { \upsilon _ { V } ^ { 2 } } } { \frac { \exp { ( 2 \rho \ln { 4 } ) } } { \rho ^ { 3 } } } \simeq 0 . 0 0 3 \cdot { \frac { \exp { ( 2 \rho \ln { 4 } ) } } { \rho ^ { 3 } } }
\sigma ( A B \rightarrow C _ { 1 } X ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a , b } \int _ { w _ { 0 } } ^ { 1 } d w \int _ { z _ { - } } ^ { z _ { + } } \frac { d z } { z } f _ { a / A } ( \sqrt { w z } , Q ^ { 2 } ) f _ { b / B } ( \sqrt { \frac { w } { z } } , Q ^ { 2 } ) \hat { \sigma } ( a b \rightarrow c _ { 1 } + \cdots )
\mathbb { E } \Big \lVert V _ { \tilde { \theta } _ { T } } - V _ { \theta _ { i } ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } \le \tilde { \mathcal { O } } \left( \frac { \tau ^ { 2 } G ^ { 2 } } { K ^ { 2 } T ^ { 2 } } + \frac { c _ { \mathrm { q u a d } } ( \tau ) } { \nu ^ { 2 } N K T } + \frac { c _ { \mathrm { l i n } } ( \tau ) } { \nu ^ { 4 } K T ^ { 2 } } + Q ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) ,
\kappa _ { \mu } \equiv \kappa _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } = a ^ { a _ { 1 } } \cdots a ^ { a _ { n } } a _ { i _ { n } } \cdots a _ { i _ { 1 } } - a ^ { i _ { 1 } } \cdots a ^ { i _ { n } } a _ { a _ { n } } \cdots a _ { a _ { 1 } } ,
\mathcal { P } _ { H } ( E _ { n e t } ) = \frac { 2 } { \pi } \frac { E _ { n e t } } { \tilde { E } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x ~ x \sin { \Big ( \frac { E _ { n e t } } { \tilde { E } } x \Big ) } \exp { \Big ( - x ^ { 3 / 2 } \Big ) } .
\Phi _ { 2 } = e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \sigma _ { 3 } } | x | ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } \left( \widehat { \mathbf { P } } _ { 2 } ^ { ( \infty ) } + \widehat { \mathbf { P } } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } \widehat { \mathbf { R } } _ { 1 } + \widehat { \mathbf { R } } _ { 2 } \right) | x | ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \sigma _ { 3 } } .
D ^ { \mu _ { 1 } \cdot \cdot \cdot \mu _ { k } } ( \partial n ) \left\{ \begin{array} { c c } { { = 0 , } } & { { \; f o r \; \vec { \phi } \neq 0 , } } \\ { { \neq 0 , } } & { { \; f o r \; \vec { \phi } = 0 , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Vert \Pi _ { \tau } u _ { n } \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 4 } } } & { \lesssim \Vert u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b _ { 1 } } } , } \\ { \Vert \Pi _ { \tau } ( \Pi _ { \tau } u _ { n , 1 } \overline { { \Pi _ { \tau } u _ { n , 2 } } } \Pi _ { \tau } u _ { n , 3 } ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , - b } } } & { \lesssim \Vert u _ { n , 1 } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } \Vert u _ { n , 2 } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } \Vert u _ { n , 3 } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } , } \\ { \Vert \Pi _ { \tau } ( \Pi _ { \tau } u _ { n , 1 } \overline { { \Pi _ { \tau } u _ { n , 2 } } } \Pi _ { \tau } u _ { n , 3 } ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , - b } } } & { \lesssim \Vert u _ { n , \sigma ( 1 ) } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } \Vert u _ { n , \sigma ( 2 ) } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } \Vert u _ { n , \sigma ( 3 ) } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b } } , } \end{array}