harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \rho _ { S } ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = - \frac { \mathrm { i } } { \hbar } [ H _ { S } , \rho _ { S } ] - \mathrm { i } \sum _ { \alpha \neq \beta } \Omega _ { \alpha \beta } [ a _ { \alpha } ^ { \dagger } a _ { \beta } , \rho _ { S } ] } \\ & { \quad - \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { N } \kappa _ { \alpha \beta } ( a _ { \alpha } ^ { \dagger } a _ { \beta } \rho _ { S } - 2 a _ { \beta } \rho _ { S } a _ { \alpha } ^ { \dagger } + \rho _ { S } a _ { \alpha } ^ { \dagger } a _ { \beta } ) } \end{array}
, t h e b r a c h i s t o c h r o n e w i t h d r y f r i c t i o n w i l l o b v i o u s l y r e s e m b l e a c y c l o i d , s o i t w o u l d b e r e a s o n a b l e t o c a l c u l a t e t h e t i m e o f m o v e m e n t a l o n g t h e c y c l o i d , t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e f r i c t i o n f o r c e a n d w i t h t h e s a m e i n i t i a l c o n d i t i o n s . I n t h i s c a s e , t h e p a r a m e t r i c e q u a t i o n o f t h e c y c l o i d ( ) c a n b e r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e a n g l e o f i n c l i n a t i o n o f t h e t r a j e c t o r y
\begin{array} { r l r } { A _ { i j } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { j } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t + \theta ^ { \star } \delta _ { i j } } \\ { b _ { i } ^ { k } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( a _ { k } ^ { p o d } ( t ) - a _ { k } ^ { p o d } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } f _ { k } \left( O , O , a ^ { p o d } \right) d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \left( J \rho \phi \right) } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial \xi ^ { j } } \left( J \rho \nu ^ { j } \phi \right) = \frac { \partial } { \partial \xi ^ { j } } \left[ J g ^ { k j } \Gamma \left( \frac { \partial \phi } { \partial \xi ^ { k } } \right) \right] + J S _ { \phi } , \quad \quad \quad g ^ { k j } = \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { m } } \frac { \partial \xi ^ { j } } { \partial x ^ { m } } , } \end{array}
\delta _ { G _ { 3 } } ( x ; 0 ) = - { \frac { 1 } { 1 2 } } { x ^ { - 6 } } \left( { \frac { \Gamma ( 5 / 2 ) } { \Gamma ( 5 / 2 ) } } - 2 { \frac { \Gamma ( 4 ) } { \Gamma ( 4 ) } } + { \frac { \Gamma ( 5 ) } { \Gamma ( 5 ) } } \right) = 0 ,
\rho _ { f } { { { \mathbf { v } } } \cdot \nabla } \varepsilon = \nabla \cdot \left( \left( \mu + \frac { \mu _ { T } } { C _ { \varepsilon } } \right) \nabla \varepsilon \right) + C _ { \varepsilon 1 } \frac { \varepsilon } { k } P _ { k } - C _ { \varepsilon 2 } \rho _ { f } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { k } \mathrm { ~ , ~ }
\mathbb { E } \big [ \eta \big ] = \widehat { \eta } _ { 0 } \cos \big ( \boldsymbol { k } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { x } - \omega t \big ) \exp \big ( - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \gamma ^ { 2 } t \big ) ,
\begin{array} { r l } { \Xi = } & { \xi _ { 1 } \sin ^ { 2 } \delta + \xi _ { 2 } \cos ^ { 2 } \delta , } \\ { \Psi = } & { \psi _ { 1 } \sin ^ { 2 } \delta + \psi _ { 2 } \cos ^ { 2 } \delta , } \\ { \Phi = } & { \frac { 2 \xi _ { 1 } - \psi _ { 1 } - 2 \xi _ { 2 } + \psi _ { 2 } } { 2 \sqrt { \frac { 2 \xi _ { 1 } - \psi _ { 1 } } { \sin ^ { 2 } \delta } + \frac { 2 \xi _ { 2 } - \psi _ { 2 } } { \cos ^ { 2 } \delta } } } , } \\ { B = } & { \frac { m } { \pi \hbar } \sqrt { \frac { \pi \tilde { \omega } _ { 1 } \tilde { \omega } _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \hbar \tilde { \omega } _ { 1 } \beta / 2 ) \operatorname { t a n h } ( \hbar \tilde { \omega } _ { 2 } \beta / 2 ) } { ( 2 \xi _ { 1 } - \psi _ { 1 } ) \cos ^ { 2 } \delta + ( 2 \xi _ { 2 } - \psi _ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \delta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } x ^ { ( 1 ) } } { d \xi ^ { 2 } } } & { = - x ^ { ( 1 ) } - \frac { \left( x ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { x ^ { ( 1 ) } ( 0 ) } & { = 0 , } \\ { \left. \frac { d x ^ { ( 1 ) } } { d \xi } \right| _ { \xi = 0 } } & { = \mp \frac { \pi | \lambda | } { 2 } x _ { 0 } ( 1 \pm x _ { 0 } ) \exp ( \mp x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \bigg \| \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { E } S _ { t - s } f ( s , x ) q ( d s , d x ) \bigg \| > \epsilon \bigg ] } \\ & { \leq \frac { 4 e ^ { 2 \alpha T } } { \epsilon ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { E } \| f ( s , x ) \| ^ { 2 } \beta ( d x ) d s \bigg ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \ddot { r } } _ { \mathrm { S u n } } } & { = G m _ { \mathrm { E a r t h } } r _ { { \mathrm { S u n } } , { \mathrm { E a r t h } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { S u n } } , { \mathrm { E a r t h } } } + G m _ { \mathrm { M o o n } } r _ { { \mathrm { S u n } } , { \mathrm { M o o n } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { S u n } } , { \mathrm { M o o n } } } } \\ { \mathbf { \ddot { r } } _ { \mathrm { E a r t h } } } & { = G m _ { \mathrm { S u n } } r _ { { \mathrm { E a r t h } } , { \mathrm { S u n } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { E a r t h } } , { \mathrm { S u n } } } + G m _ { \mathrm { M o o n } } r _ { { \mathrm { E a r t h } } , { \mathrm { M o o n } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { E a r t h } } , { \mathrm { M o o n } } } } \\ { \mathbf { \ddot { r } } _ { \mathrm { M o o n } } } & { = G m _ { \mathrm { S u n } } r _ { { \mathrm { M o o n } } , { \mathrm { S u n } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { M o o n } } , { \mathrm { S u n } } } + G m _ { \mathrm { E a r t h } } r _ { { \mathrm { M o o n } } , { \mathrm { E a r t h } } } ^ { - 2 } { \hat { \mathbf { r } } } _ { { \mathrm { M o o n } } , { \mathrm { E a r t h } } } } \end{array} }
\frac { 1 } { 2 } \rho v _ { I I } ^ { 2 } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) + p _ { I I } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) = \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { I I } ^ { 2 } ( x _ { B } , y _ { B } , z _ { B } ) + p _ { I I } ( x _ { B } , y _ { B } , z _ { B } ) .
\begin{array} { r l } { x _ { z } } & { { } = \frac { x _ { 0 } \sqrt { z ^ { 2 } + \sigma ^ { 4 } k _ { 0 } ^ { 2 } } } { \sigma ^ { 2 } k _ { 0 } } } \\ { y _ { z } } & { { } = \frac { - ( \mathcal { P } \kappa ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } a ^ { 4 } } y _ { 0 } + \frac { y _ { 0 } \sqrt { z ^ { 2 } + \sigma ^ { 4 } k _ { 0 } ^ { 2 } } } { \sigma ^ { 2 } k _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } \approx e ^ { \hat { T } _ { 1 } + \hat { T } _ { 2 } + \cdots } | \Phi \rangle , } \\ { \hat { T } _ { 1 } } & { { } = \sum _ { i a } t _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } , } \\ { \hat { T } _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } t _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } , } \\ { \hat { T } _ { n } } & { { } = \left( \frac { 1 } { n ! } \right) ^ { 2 } \sum _ { i j \cdots p , a b \cdots q } t _ { i j \cdots p } ^ { a b \cdots q } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \cdots \hat { a } _ { q } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \cdots \hat { a } _ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { P } ^ { 2 } = \sum _ { i } \alpha _ { i } \| p _ { i } \| ^ { 2 } } & { = \Big \| \sum _ { i } \alpha _ { i } p _ { i } \Big \| ^ { 2 } \! + \| P \| _ { \alpha } ^ { 2 } } \\ & { \ge \Big \| \sum _ { i } \alpha _ { i } q _ { i } \Big \| ^ { 2 } + \| Q \| _ { \alpha } ^ { 2 } = \sum _ { i } \alpha _ { i } \| q _ { i } \| ^ { 2 } = r _ { Q } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) > 4 \pi + \frac { \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { \varepsilon ^ { 4 } c ^ { 2 } } { 2 h ^ { 6 } } \left( 1 - \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) \right) } } \\ { + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } + 4 \pi \varepsilon \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 3 } , h ^ { 2 } , \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) } } \\ { \geq 4 \pi + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert u \rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , Y _ { q } ^ { 1 + \theta - 1 / q } ) } \lesssim _ { A , q ( , T ) } \lVert ( \partial _ { t } u , A u ) \rVert _ { \mathrm { L } ^ { q } ( ( 0 , T ) , Y _ { q } ^ { \theta } ) } \lesssim _ { A , q ( , T ) } \lVert f \rVert _ { \mathrm { L } ^ { q } ( ( 0 , T ) , Y _ { q } ^ { \theta } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta = \theta _ { 0 } \; \; } & { \Rightarrow \mathrm { i n i t i a l ~ p o s i t i o n , } } \\ { \theta _ { 0 } < \theta < \theta _ { J } \; \; } & { \Rightarrow \mathrm { p u r e ~ r o l l i n g m o t i o n , } } \\ { \theta = \theta _ { J } \; \; } & { \Rightarrow \mathrm { j u m p ~ p o s i t i o n , } } \\ { \theta > \theta _ { J } \; \; } & { \Rightarrow \mathrm { f l i g h t ~ m o t i o n . } } \end{array}
{ \pmb \sigma } _ { T } ( t ) = \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \sum _ { \bf K } { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } \omega _ { \bf K } \left( \mathrm { a } _ { \bf K } ^ { ( \mu ) + } \mathrm { a } _ { \bf K } ^ { ( \mu ) } + \frac { 1 } { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \rho } F [ \mathbf { E } ] = } & { { } \phantom { + } \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { 0 } ( \mathrm { d } _ { \rho } \varepsilon _ { \infty , k } ) \partial _ { t } \tilde { E } _ { k } E _ { k } } \end{array}
\left[ e ^ { - t \bar { H } _ { s } ^ { 2 } } \right] _ { \mathrm { d i a g } } = { \frac { 1 } { ( 4 \pi t ) ^ { 3 / 2 } } } ~ ~ ~ , { } ~ ~ ~ \left[ e ^ { - t \bar { H } _ { d } ^ { 2 } } \right] _ { \mathrm { d i a g } } = { \frac { r _ { d } } { ( 4 \pi t ) ^ { 3 / 2 } } } \left[ 1 + \frac 1 2 \kappa ^ { 2 } t \right] ~ ~ ~ .
\left< P \right> = \frac { P _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { 2 + 1 0 ^ { \gamma _ { \mathrm { ~ B ~ } } L _ { \mathrm { ~ B ~ } } } + 1 0 ^ { \gamma _ { \mathrm { ~ A ~ } } L _ { \mathrm { ~ A ~ } } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { U } _ { \tau } \left[ \mathsf { X } \right] } & { { } = U _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ \bar { r } \left[ \mathsf { X } \right] , \tau \right] \mathsf { c } _ { 2 } \left[ \mathsf { X } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pm \rho _ { \xi } H _ { p } \rho _ { \xi } ^ { 2 } } & { \leq - C _ { 0 } \rho _ { \xi } ^ { 2 } , } \\ { \pm \rho _ { \xi } H _ { p } \hat { \xi } _ { \varphi } ^ { 2 } } & { \leq - C _ { 0 } \hat { \xi } _ { \varphi } ^ { 2 } , } \\ { \pm \rho _ { \xi } H _ { p } \Delta _ { b } ^ { 2 } } & { \leq - C _ { 0 } \Delta _ { b } ^ { 2 } + C _ { 1 } \hat { \xi } _ { \varphi } ^ { 2 } , } \\ { \pm \rho _ { \xi } H _ { p } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { p } ) } & { \leq - C _ { 0 } \rho _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { p } + C _ { 1 } \big ( \Delta _ { b } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { \varphi } ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { \mathrm { r o a d } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { x \in [ - 4 , - 2 - \delta ) \cup [ 2 + \delta , 4 ] } \\ { 0 . 6 } & { x \in [ - 2 + \delta , 2 - \delta ] } \\ { - \frac { 0 . 2 } { \delta } x + 0 . 8 - \frac { 0 . 4 } { \delta } } & { x \in [ - 2 - \delta , - 2 + \delta ] } \\ { \frac { 0 . 2 } { \delta } x + 0 . 8 - \frac { 0 . 4 } { \delta } } & { x \in [ 2 - \delta , 2 + \delta ] . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mathcal { D } \in \mathscr { C } _ { j _ { 0 } } } n ^ { - 1 } ( R _ { \mathcal { D } } - R _ { \mathcal { S } } ) } \\ & { \leq \widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } + 2 \widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } ^ { 1 / 2 } ( 4 \sqrt { 2 } \mathscr { E } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } + c _ { \mathcal { T } } ) \sigma \sqrt { \frac { \log ( e p ) } { n } } - n ^ { - 1 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { G } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } ^ { 2 } } { 2 } \log ( e p ) - \sigma ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } ~ \varepsilon _ { 0 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 0 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 0 } ^ { * * } } { \alpha [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } , } \\ { 0 = } & { { } ~ \varepsilon _ { 1 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 1 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 1 } ^ { * * } } { \alpha [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } , } \\ { 0 = } & { { } ~ \varepsilon _ { 2 } \Lambda - ( r + \mu ) y _ { 2 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( r + \mu ) y _ { 2 } ^ { * * } } { \alpha ( 1 - p _ { S } ) [ y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K _ { 1 } c c ^ { T } + K _ { 2 } ( c y ^ { T } + y c ^ { T } ) + K _ { 3 } y y ^ { T } + K _ { 4 } I } \\ { = } & { \left( \frac { K _ { 1 } } { \alpha ^ { 2 } } - 2 \frac { K _ { 1 } + 2 K _ { 2 } \gamma _ { S } } { \alpha } \zeta ^ { T } \bar { y } \right) \zeta \zeta ^ { T } - \frac { K _ { 1 } + 2 K _ { 2 } \gamma _ { S } } { \alpha } ( \zeta \bar { y _ { o } } ^ { T } + \bar { y _ { o } } \zeta ^ { T } ) + K _ { 4 } I } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { \beta } ( x _ { - 0 } | x _ { 0 } , \theta ) = \frac { e ^ { - \beta H [ x _ { - 0 } | x _ { 0 } , \theta ] } } { \int _ { C _ { x _ { 0 } } } \mathcal { D } x \ e ^ { - \beta H [ x _ { - 0 } | x _ { 0 } , \theta ] } } = \frac { e ^ { - \beta H [ x _ { - 0 } | x _ { 0 } , \theta ] } } { Z _ { \beta } ( x _ { 0 } , \theta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I } } & { = \int _ { \Omega } \left( \alpha + \frac { \beta } { 2 } \right) \mathbf { v } \cdot \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) + \frac { \beta } { 2 } ( \mathbf { v } \cdot ( \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ) - Y \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } \\ & { \overset { ( i ) } { = } \int _ { \Omega } \left( \alpha + \frac { \beta } { 2 } \right) ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) + \frac { \beta } { 2 } ( \mathbf { v } \cdot ( \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ) - Y \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } \\ & { \quad + \int _ { \partial \Omega } \left( \alpha + \frac { \beta } { 2 } \right) ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } ) - ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { = } \int _ { \Omega } \left( \alpha + \frac { \beta } { 2 } \right) ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) + \frac { \beta } { 2 } ( \mathbf { u } \cdot ( \nabla ^ { 2 } \mathbf { v } ) - Y \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } \\ & { \quad + \int _ { \partial \Omega } \left( \alpha + \frac { \beta } { 2 } \right) \left( ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } ) - ( \nabla \cdot \mathbf { v } ) ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } ) \right) + \frac { \beta } { 2 } \left( v _ { i } ( \nabla u _ { i } ) - u _ { i } ( \nabla v _ { i } ) \right) \cdot \mathbf { n } } \end{array}
\left. \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } f _ { t } \right| _ { t = 0 } = \left. \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } f _ { t } \right| _ { t = 0 } + \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } f _ { s } = 0
\begin{array} { r l } { \bar { \Theta } } & { { } = - \mathrm { ~ D ~ a ~ } \frac { \log \bar { p } } { \bar { \gamma } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { d \log \gamma } { d Y _ { j } } a _ { j , f } \hat { Y _ { f } ^ { \prime } } ( \eta ) \frac { e ^ { 2 \pi i \tau } } { 2 \pi } i . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] = | H _ { 0 } [ \Omega ] | ^ { 2 } \Bigg ( \bar { S } _ { q q } ^ { 0 } [ \Omega ] + \left( \frac { 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } } { 1 - \eta } \right) \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { G } } [ \Omega ] } & { } \\ { - 2 \sqrt { \frac { 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } } { 1 - \eta } } \mathrm { R e } \left[ \bar { S } _ { q q } ^ { 0 , G } [ \Omega ] \right] } & { \Bigg ) . } \end{array}
t \partial _ { t } \hat { \eta } - \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \hat { \eta } + \dot { s } \, \partial _ { Z } \hat { \eta } \Bigr ) \, = \, \mathcal { L } \hat { \eta } + \partial _ { R } \Bigl ( \frac { \epsilon \hat { \eta } } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) + \mathcal { R } _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l r } { N \delta \left( F _ { T _ { 1 } } ^ { F } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) - K \right) ^ { + } } & { = } & { N \delta \left( m F _ { T _ { 1 } } ^ { D } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) + s - K \right) ^ { + } } \\ & { = } & { N \delta \left( \frac { m } { \delta } \left( \frac { 1 } { P ^ { D } ( T _ { 1 } , T _ { 2 } ) } - 1 \right) + s - K \right) ^ { + } } \\ & { = } & { N \left( \frac { m } { P ^ { D } ( T _ { 1 } , T _ { 2 } ) } - m + ( s - K ) \delta \right) ^ { + } } \\ & { = : } & { N \left( \frac { m } { P ^ { D } ( T _ { 1 } , T _ { 2 } ) } - \hat { K } \right) ^ { + } , } \end{array}
\varepsilon _ { T } ( x , y ) = \frac { ( - 1 ) ^ { \left| x , y \right| } } { 4 } \sum _ { \alpha , \beta \in \left\{ \pm 1 \right\} } ( 1 - \alpha - \beta - \alpha \beta ) \alpha ^ { \left| x \right| } \beta ^ { \left| y \right| }
{ \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { ( \mathbf { A B } \cdot \mathbf { A B } ) ( \mathbf { A C } \cdot \mathbf { A C } ) - ( \mathbf { A B } \cdot \mathbf { A C } ) ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { | \mathbf { A B } | ^ { 2 } | \mathbf { A C } | ^ { 2 } - ( \mathbf { A B } \cdot \mathbf { A C } ) ^ { 2 } } } .
\operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { M } \sum _ { w \in W } d _ { i } ^ { w } ( s ) \right) ^ { 2 } \leq 6 e ^ { c _ { 2 } t ^ { 2 } } \left( t ^ { 2 } d ^ { 2 } \phi ( G ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { M } \sum _ { w \in W } d _ { i } ^ { w } ( 0 ) \right) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { M } \sum _ { w \in W } \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \frac { M _ { i } ^ { w } ( s ) ^ { 2 } } { d _ { w } ^ { 2 } } \right) .
\Delta _ { p p } ( \chi _ { \gamma } ) = \left| \left\{ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \chi _ { \gamma } ) - \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \chi _ { \gamma } ) \right\} / \tilde { W } _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ( \chi _ { \gamma } ) \right|
\Lambda \partial _ { \Lambda } { \cal { G } } _ { \mathrm { i r } } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } \{ \varphi _ { \bf { k } } \} = - \partial _ { t } { \cal { G } } _ { t } \{ \tilde { \varphi } _ { \bf { q } } \} + \hat { \cal { R } } _ { s } { \cal { G } } _ { t } \{ \tilde { \varphi } _ { \bf { q } } \} + \frac { N _ { t } } { 2 } \left[ \eta _ { t } + D \ln Z _ { t } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { u ^ { k + 1 } - u ^ { k } } { \tau } } & { = M \Delta \mu ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { \mu ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } } & { = ( 1 + \Delta ) ^ { 2 } \left( \frac { u ^ { k + 1 } + u ^ { k } } { 2 } \right) + \frac { r ^ { k + 1 } + r ^ { k } } { 2 \sqrt { \tilde { E } ( \tilde { u } ^ { k + 1 / 2 } ) } } U ( \tilde { u } ^ { k + 1 / 2 } ) } \\ & { - \frac { m ^ { k + 1 } + m ^ { k } } { 2 \sqrt { E _ { 0 } ( \tilde { u } ^ { k + 1 / 2 } ) } } V ( \tilde { u } ^ { k + 1 / 2 } ) , } \\ { \frac { r ^ { k + 1 } - r ^ { k } } { \tau } } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \tilde { E } ( \tilde { u } ^ { k + 1 / 2 } ) } } \int _ { \Omega } U ( \tilde { u } ^ { k + 1 / 2 } ) \frac { u ^ { k + 1 } - u ^ { k } } { \tau } \, \mathrm { d } \mathbf { x } , } \\ { \frac { m ^ { k + 1 } - m ^ { k } } { \tau } } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { E _ { 0 } ( \tilde { u } ^ { k + 1 / 2 } ) } } \int _ { \Omega } V ( \tilde { u } ^ { k + 1 / 2 } ) \frac { u ^ { k + 1 } - u ^ { k } } { \tau } \, \mathrm { d } \mathbf { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \widetilde F _ { t , h } ^ { s , e } ( x ) - \widetilde f _ { t } ^ { s , e } ( x ) \bigg | } & { \le \bigg | \sqrt { \frac { e - t } { ( e - s ) ( t - s ) } } \sum _ { l = s + 1 } ^ { t } ( F _ { l , h } ( x ) - f _ { l , h } ( x ) ) \bigg | } \\ & { + \bigg | \sqrt { \frac { t - s } { ( e - s ) ( e - t ) } } \sum _ { l = t + 1 } ^ { e } ( F _ { l , h } ( x ) - f _ { l , h } ( x ) ) \bigg | . } \end{array}
\frac { d \boldsymbol { a } _ { i } } { d t } = - \Phi _ { i } ^ { T } M _ { i } \boldsymbol { c } _ { i } ( \boldsymbol { a } _ { i } ) + \nu D _ { r } ^ { i } \boldsymbol { a } _ { i } \quad t \in [ t _ { i } , t _ { i + 1 } ] ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { v a l u e } } & { = \lambda v . ( \lambda h . h \ v ) } \\ { \operatorname { e x t r a c t } k } & { = k \ \lambda u . u } \\ { \operatorname { i n c } } & { = \lambda g . \lambda h . h \ ( g \ f ) } \\ { \operatorname { i n i t } } & { = \lambda h . h \ x } \\ { \operatorname { c o n s t } } & { = \lambda u . x } \end{array} }
\ln \frac { \mu ^ { 2 } } { ( \tilde { \Lambda } _ { \mathrm { E X A C T } } ^ { ( n _ { f } ) } ) ^ { 2 } } = \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } \, - \, \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \, \ln \left[ \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } \, + \, \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \right] ,
\bar { H } ^ { 2 } ( \lambda ) = - \bar { h } ^ { i j } ( \bar { \nabla } _ { i } + i \lambda a _ { i } ) ( \bar { \nabla } _ { j } + i \lambda a _ { j } ) + \frac 1 8 \bar { R } + { \frac { 1 } { 3 2 } } F ^ { i k } F _ { i k } ,
\begin{array} { r l } & { g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - G ( x _ { t + 1 } ) - \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) } \\ & { \leq - \frac { \eta _ { t } \lambda \mu } { 2 } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } } { 4 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - \frac { \eta _ { t } \lambda \mu } { 2 } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { t } + ( u n ) _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { u _ { t } + u u _ { x } + \frac { b b _ { x } } { n } } & { { } = 0 , } \\ { b - n - \left( \frac { b _ { x } } { n } \right) _ { x } } & { { } = 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { R e } } ( S ( \delta t ) ) } & { = \sum _ { n } | c _ { n } | ^ { 2 } \cos \left( { \frac { E _ { n } \delta t } { \hbar } } \right) \geq } \\ & { \geq \sum _ { n } | c _ { n } | ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { 2 } { \pi } } { \frac { E _ { n } \delta t } { \hbar } } - { \frac { 2 } { \pi } } \sin \left( { \frac { E _ { n } \delta t } { \hbar } } \right) \right) = } \\ & { = \sum _ { n } | c _ { n } | ^ { 2 } - { \frac { 2 \delta t } { \pi \hbar } } \sum _ { n } | c _ { n } | ^ { 2 } E _ { n } - { \frac { 2 } { \pi } } \sum _ { n } | c _ { n } | ^ { 2 } \sin \left( { \frac { E _ { n } \delta t } { \hbar } } \right) = } \\ & { = 1 - { \frac { 2 \delta t } { \pi \hbar } } E _ { a v g } + { \frac { 2 } { \pi } } { \mathrm { I m } } ( S ( \delta t ) ) } \end{array} }