harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left| \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { a s } \varphi ^ { 2 } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } | U _ { j } ( s ) | ^ { p - 2 } U _ { j } ( s ) \sigma ( U ) _ { j } ( s ) d x d \mathbb { W } _ { s } \right| \right] } & { \leq \frac { 1 } { 4 p } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , T ] } e ^ { a s } \| U _ { j } ( s ) \| _ { p } ^ { p } } \\ & { \quad + C \epsilon _ { 0 } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { a s } \| U ( s ) \| _ { p } ^ { p } d s \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { - i ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { t } + ( u ^ { k } - u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x x } } } \\ & { = } & { \overline { { ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) } } } \\ & { } & { + \beta \, \overline { { ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) } } . } \end{array}
\int _ { U _ { i , r } } f \nabla \cdot ( \theta V _ { i } ) \, d x + \int _ { U _ { i , r } } ( \theta V _ { i } ) \cdot d [ D f ] = \int _ { \Sigma _ { i , r } } \theta T _ { r } f \, d \mathcal H ^ { 2 } - \int _ { \Sigma _ { i } } \theta T _ { r } f \, d \mathcal H ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r l } { R _ { r } } & { = R _ { b } } & & { \mathrm { ( g i v e n ) } } \\ { d } & { = \frac { R _ { g } \cdot \sec ( \frac { \pi } { 2 } - \frac { \pi } { n + 1 } ) } { \sec ( \frac { \pi } { 2 } - \frac { \pi } { n + 1 } ) + 1 } } & & { \mathrm { s o l u t i o n ~ i n ~ l i n k } } \\ & { = \frac { R _ { g } } { 1 + \sin ( \frac { \pi } { 1 + n } ) } } & & { \mathrm { s i m p l i f i e d ~ s o l u t i o n } } \\ { \theta _ { b } = \theta _ { r } } & { = \frac { 2 \pi } { n + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { { \mathrm { S D } } } : = } & { \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { - d \omega } { \pi } \int \frac { d \vec { r } d \vec { r } ^ { \prime } } { 2 | \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } | } } \\ & { \times \big [ \chi _ { \lambda } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ; i \omega ) - \chi _ { 0 } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ; i \omega ) \big ] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } [ \Omega ] } & { { } = \cosh ( r _ { \mathrm { ~ s ~ } } ) \, \hat { a } _ { \mathrm { ~ s ~ } } [ \Omega ] + e ^ { i \varphi _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \sinh ( r _ { \mathrm { ~ s ~ } } ) \, \hat { a } _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { \dagger } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { ~ s ~ } } [ \Omega ] } & { { } = G \, \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } [ \Omega ] + \sqrt { G ^ { 2 } - 1 } \, \hat { a } _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \dagger } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { + } [ \Omega ] } & { { } = - \sqrt { \eta } \, \hat { a } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } [ \Omega ] + \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { a } _ { 0 } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \Omega ] } & { { } = \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { a } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } [ \Omega ] + \sqrt { \eta } \, \hat { a } _ { 0 } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } [ \Omega ] } & { { } = e ^ { i \Omega \tau } \hat { a } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { + } [ \Omega ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k ^ { \prime } } & { = } & { \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \mathbb { E } _ { X \sim ( G - G ^ { \prime } ) } ( \Phi ( \| X \| ^ { 5 / 4 } / \lambda M ^ { 1 / 4 } ) \leq 1 / 2 \} , } \\ { k ^ { \prime \prime } } & { = } & { \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \mathbb { E } _ { Y \sim Z _ { \delta , d } } ( \Phi ( \| Y \| ^ { 5 / 4 } / \lambda M ^ { 1 / 4 } ) \leq 1 / 2 \} . } \end{array}
\int _ { t _ { 0 } } ^ { t } u ( t ) \beta e ^ { - \beta ( t - \tau ) } \, \mathrm { ~ d ~ } \tau = u ( t ) \big | e ^ { - \beta ( t - \tau ) } \big | _ { \tau = t _ { 0 } } ^ { t } = u ( t ) - u ( t ) e ^ { - \beta ( t - t _ { 0 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \gamma , f , g ) = { } } & { { } \underset { ( x , y ) \sim \gamma } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 } + \int _ { M } \Big ( P _ { r } ( x ) - \int _ { M } \gamma ( x , y ) d y \Big ) f ( x ) d x + \int _ { M } \Big ( P _ { \theta } - \int _ { M } \gamma ( x , y ) d x \Big ) g ( y ) d y } \end{array}
\langle 1 _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } , \{ 0 _ { \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } \} | \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime \prime } \alpha ^ { \prime \prime } } + \hat { a } _ { - \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime \prime } \alpha ^ { \prime \prime } } ^ { \dagger } | \{ 0 _ { \mathrm { \bf ~ k } \alpha } \} \rangle = \delta _ { - \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime \prime } , \, \mathrm { \bf ~ k } } \delta _ { \alpha ^ { \prime \prime } \alpha }
\begin{array} { r l r l } { \tilde { w } } & { { } = \frac { 5 \tau } { 4 \pi \tau _ { \pi } } = \frac { \tau T } { 4 \pi \eta / s } , } & { \tau \frac { d { \tilde { w } } } { d \tau } } & { { } = \left( \frac { 2 } { 3 } - \frac { f _ { \pi } } { 4 } \right) { \tilde { w } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { Q } _ { t } } ) \geq 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \} \cap \mathcal { C } _ { t } ) } \\ & { \leq } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { Q } _ { t } } ) \geq \lceil \sqrt { 2 C _ { 0 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \rceil \} \cap \mathcal { C } _ { t } ) } \\ & { \leq } & { 2 ^ { - \lceil \sqrt { 2 C _ { 0 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \rceil } \leq \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( \varphi ) = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Gamma ( A ( t ) \cdot \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \left( \omega _ { 0 } t + \varphi \right) ) ~ \mathrm { d t } } \\ { Q ( \varphi ) = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Gamma _ { F N } ( A ( t ) \cdot \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \left( \omega _ { 0 } t + \varphi \right) ) ~ \mathrm { d t } - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Gamma _ { F N } ( - A ( t ) \cdot \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \left( \omega _ { 0 } t + \varphi \right) ) ~ \mathrm { d t } . } \\ { Q ( \varphi ) = } & { { } Q ^ { + } ( \varphi ) - Q ^ { - } ( \varphi ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { w _ { ( i - 1 ) i } ^ { + } ( 0 , t ) = \gamma _ { i } ( t ) } \\ & { } & { w _ { ( i - 1 ) i } ^ { + } ( 1 , t ) = \ell _ { ( i - 1 ) i } ( t ) \quad ( = \overline { { \ell } } _ { i - 1 } \ast \ell _ { i } ( t ) ) } \\ & { } & { w _ { ( i - 1 ) i } ^ { + } ( \tau , 0 ) \in R _ { i - 1 } , \quad w _ { ( i - 1 ) i } ^ { + } ( \tau , 1 ) \in R _ { i } } \end{array}
P \equiv 2 \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } \frac { S } { k } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } \phi _ { 0 } > \operatorname* { m i n } { \{ h ( u _ { + } ) , h ( u _ { - } ) \} } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } w } & { = \frac { d } { d t } z - \frac { d } { d t } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } } \\ & { \overset { = } - \mathcal { A } z - \frac { d } { d t } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } } \\ & { = - \mathcal { A } _ { 0 } w - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \mathcal { A } D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } - \frac { d } { d t } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } } \\ & { \overset { = } - \mathcal { A } _ { 0 } w - 2 \sum _ { k , i = 1 } ^ { N _ { 0 } } \lambda _ { i } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { i } \right> \varphi _ { i } - \eta \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 2 } \right> \varphi _ { 2 } } \\ & { \phantom { = } \; + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } - \frac { d } { d t } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \ t > 0 . } \end{array}
{ \bf U } _ { m } ^ { \nu } ( { \bf r } , \phi ) = { r ^ { \lvert m \rvert } } A i \left( \frac { r _ { 0 } - r } { \omega } \right) \exp \left( { \frac { a ( r _ { 0 } - r ) } { \omega } } \right) { \exp ( i m \phi ) } \exp ( { i \nu r } ) ,
\mathcal E ^ { \prime } = \oint _ { l ^ { \prime } } \vec { E } ^ { \prime } \cdot \vec { d l ^ { \prime } } = - \frac { d } { d t ^ { \prime } } \int _ { S ^ { \prime } } \vec { B } ^ { \prime } \cdot \hat { n } ^ { \prime } d S ^ { \prime } = - \frac { d } { d t ^ { \prime } } \oint _ { l ^ { \prime } } \vec { A } ^ { \prime } \cdot \vec { d l ^ { \prime } } .
E _ { t } = k _ { t } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \frac { ( \tau _ { i } - \tilde { \tau } _ { i } ) ^ { 2 } } { \Vert \bar { \mathbf e } ^ { i } \Vert + \Vert \bar { \mathbf e } ^ { i - 1 } \Vert } ,
\alpha _ { E } ^ { p } = { \frac { 1 } { 3 M } } < 0 | \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } e _ { i } ( \vec { r } _ { i } - \vec { R } _ { c m } ) ^ { 2 } | 0 > + 2 \sum _ { n \neq 0 } { \frac { | < n | \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } e _ { i } ( \vec { r } _ { i } - \vec { R } _ { c m } ) _ { z } | 0 > | ^ { 2 } } { E _ { n } - E _ { 0 } } } ,
\int d \mu _ { B } \ = \ \int { \frac { d ^ { 3 } X } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } } \ S _ { \mathrm { c l } } ^ { 3 / 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \theta } { ( 2 \pi ) ^ { 1 / 2 } } } \ { \frac { S _ { \mathrm { c l } } ^ { 1 / 2 } } { M _ { W } } } \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { t } } & { = \mathbb { E } _ { Q ( \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { u } _ { t } , B ; \tilde { \boldsymbol { \phi } } ) } \left[ \ln Q \left( \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { u } _ { t } , B ; \tilde { \boldsymbol { \phi } } \right) - \ln P \left( \mathbf { o } _ { t } , \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { u } _ { t } , A , B , C ; \mathbf { A } , \mathbf { b } , \mathbf { C } \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { Q \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { u } _ { t } ; \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } , \mathbf { u } } } \left[ \ln Q \left( \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { u } _ { t } ; \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } , \mathbf { u } } \right) - \ln P \left( \mathbf { o } _ { t } , \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { u } _ { t } , A , C ; \mathbf { A } , \mathbf { C } \right) \right] + \operatorname { D } _ { K L } \left( Q ( B ; \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { b } } ) \parallel P ( B ; \mathbf { b } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { A ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } | V _ { \xi } ( s , \xi ) - V _ { \Delta x , \xi } ( s , \xi ) | d s d \xi } & { \leq \int _ { A ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } \left| H _ { \xi } ( 0 , \xi ) - H _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d s d \xi } \\ & { \qquad + \int _ { A ( t ) } \int _ { \tau ( \xi ) } ^ { \tau _ { \Delta x } ( \xi ) } \alpha V _ { \Delta x } ( 0 , \xi ) d s d \xi } \\ & { \leq \left( 1 + \alpha \right) \int _ { A ( t ) } \int _ { 0 } ^ { t } \left| H _ { \xi } ( 0 , \xi ) - H _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d s d \xi } \\ & { \quad + 2 \alpha \int _ { A ( t ) } \left| U _ { \xi } ( 0 , \xi ) - U _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \left| \int _ { 0 } ^ { t } I _ { 6 } d W \right| \Big ) \leq \frac 1 4 \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| U \| _ { s , j } ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j , k } ^ { T } } \| U \| _ { s , j } ^ { 2 } d t . } \end{array}
m _ { l } ^ { ( I ) } = \sum _ { i \in I , i \in l } \sum _ { j } \left( ( D _ { i j } ^ { \uparrow } - { D _ { 0 } ^ { \uparrow } } _ { i j } ) S _ { j i } - S _ { i j } ( D _ { j i } ^ { \downarrow } - { D _ { 0 } ^ { \downarrow } } _ { j i } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } } } & { { } = \frac { \widehat { P } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ a ~ l ~ } } } { \widehat { P } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } } \end{array}
\partial _ { t } \rho _ { m , l } ( x , t ) = \sum _ { l ^ { \prime } \neq l } - \Lambda _ { m } ^ { \rightarrow l ^ { \prime } } ( x , t ) \, \rho _ { m , l } ( x , t ) + \Lambda _ { m } ^ { \rightarrow l } ( x , t ) \, \rho _ { m , l ^ { \prime } } ( x , t ) ,
= \frac { M _ { i } + \eta _ { i } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { l R } } } \\ { { \psi _ { l } + \psi _ { u } } } \end{array} \right) = \frac { M _ { i } + \eta _ { i } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 R } } } \\ { { \sqrt { 2 } \psi _ { 1 L } + \psi _ { 1 R } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { m _ { t } \ddot { x } + m d \ddot { \theta } \cos \theta - m d \dot { \theta } ^ { 2 } \sin \theta + c \dot { x } } & { { } = } & { F \cos \beta } \\ { m _ { t } \ddot { z } + m d \ddot { \theta } \sin \theta + m d \dot { \theta } ^ { 2 } \cos \theta + c \dot { z } } & { { } = } & { F \sin \beta } \\ { m d \ddot { x } \cos \theta + m d \ddot { z } \sin \theta + I _ { A } \ddot { \theta } + c _ { t } \dot { \theta } + m g d \sin \theta + \bar { M } _ { w } } & { { } = } & { 0 } \end{array}
\mathcal { B } _ { j } ^ { \mathcal { D } } = \left[ x _ { j } - \frac { \mathcal { D } } { 2 } , x _ { j } + \frac { \mathcal { D } } { 2 } \right] \times \left[ y _ { j } - \frac { \mathcal { D } } { 2 } , y _ { j } + \frac { \mathcal { D } } { 2 } \right] .
( A - 1 I ) \mathbf { x } _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 } & { 3 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 5 } & { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 5 } \\ { 3 0 } \\ { - 1 } \\ { - 4 5 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 3 } \\ { - 9 } \\ { 9 } \\ { - 3 } \end{array} \right) } = \mathbf { x } _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { E } _ { \sigma , \tau } \left[ \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \alpha _ { t } x _ { t } ( 2 - \lambda _ { t } ^ { - 1 } ) ( 2 j _ { t } - 1 ) \right] \right| } & { \leqslant \mathbb { E } _ { \sigma , \tau } \left[ \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \alpha _ { t } x _ { t } ( 2 + \lambda _ { t } ^ { - 1 } ) \right] } \\ & { \leqslant \frac { 2 + \lambda _ { T } ^ { - 1 } } { T } \cdot \mathbb { E } _ { \sigma , \tau } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \alpha _ { t } x _ { t } \right] . } \end{array}
Y _ { i \ell } ^ { ( j + 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { Y _ { i \ell } ^ { ( j ) } + \alpha ^ { ( j ) } A _ { i k ^ { ( j ) } } } & { \mathrm { i f ~ } \lvert \alpha ^ { ( j ) } A _ { i k ^ { ( j ) } } \rvert > \varepsilon \mathrm { ~ o r ~ } Y _ { i \ell } ^ { ( j ) } \neq 0 } \\ { Y _ { i \ell } ^ { ( j ) } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { { \cal R } ( f ) - { \cal R } ( f ^ { * } ) } & { = \left\| f - f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } } ^ { 2 } = \left\| f - \Pi _ { \hat { \cal F } } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } } ^ { 2 } + \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( r ) } & { = } & { \left( 1 - \frac { 2 r M ( r ) } { \Sigma } \right) , ~ ~ ~ g { - 1 } ( r ) = \frac { 1 } { \nabla } \Sigma , ~ ~ ~ h ( r ) = \Sigma ^ { 2 } , } \\ { I ( r ) } & { = } & { - \frac { A } { \Sigma } \sin ^ { 2 } , ~ ~ ~ R ( r ) = - \frac { 2 a r } { \Sigma } M ( r ) \sin ^ { 2 } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { { } = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \right\} } K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi } ) \right] \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t - s < \zeta ( X ^ { \xi } \circ \tau _ { t } ) \} } K ^ { i } ( x , X _ { t } ^ { \xi } ) G ( X _ { s } ^ { \xi } , s ) \right] \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { { \mathbf { y } } \in { \mathcal { R } } ^ { 2 } } | \beta _ { n } ( { \mathbf { y } } ) - \bar { B } _ { n } ( T D _ { \mathbf { y } } ) | = O ( n ^ { - \frac { 1 } { 1 9 } } ) , \quad a . s . } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { { \mathbf { y } } \in { \mathcal { R } } ^ { 2 } } | n ^ { \frac { 1 } { 2 } } \beta _ { n } ( { \mathbf { y } } ) - \bar { K } ( T D _ { \mathbf { y } } ; n ) | = O ( n ^ { \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 } { 5 } } ) , \quad a . s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \bar { u } \zeta ) } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x } \left[ \zeta \bar { u } ^ { 2 } + \frac { g \zeta ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \zeta ^ { 3 } } { 3 } \left( \left( \frac { \partial \bar { u } } { \partial x } \right) ^ { 2 } - \bar { u } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { u } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } \bar { u } } { \partial x \partial t } \right) \right] = 0 . } \end{array}
\centering \rho _ { t } ( u , v ) : = \frac { C o v _ { t } ( u , v ) } { \sqrt { D _ { t } ( u ) } \sqrt { D _ { t } ( v ) } } = \cfrac { \sum _ { k = t - w + 1 } ^ { t } ( u _ { k } - \overline { { u } } ) ( v _ { k } - \bar { v } ) } { \sqrt { \sum _ { k = t - w + 1 } ^ { t } ( u _ { k } - \bar { u } ) ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { k = t - w + 1 } ^ { t } ( v _ { k } - \bar { v } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \left( \left( \begin{array} { l l l l } { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \right) \right) , } \\ { \left( \left( \begin{array} { l l l l } { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \} } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 2 } ( z , \lambda ) } & { = \frac { \psi \left( \frac { \beta z } { c _ { 0 , 2 } \, \lambda } \right) - c _ { 0 , 2 } } { \frac { 1 } { z } - 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \alpha _ { 2 } + 2 } { \alpha _ { 2 } + 1 } \frac { \left( \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 2 } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 } \frac { \lambda } { \beta } - z \right) } { 1 - z } , } & { \mathrm { i f ~ } 0 < z < \frac { \lambda \, c _ { 0 , 2 } } { \beta } \ } \\ { \frac { - \alpha _ { 1 } } { ( \alpha _ { 2 } + 1 ) ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 ) \left( \frac { 1 } { z } - 1 \right) } , } & { \mathrm { i f ~ } \frac { \lambda \, c _ { 0 , 2 } } { \beta } < z < \infty } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { y } & { = \left( \frac { x } { 1 - \sqrt { x } } \right) ^ { 3 } = \left( \frac { 1 - \sqrt { x } } { x } \right) ^ { - 3 } = ( x ^ { - 1 } - x ^ { - 1 / 2 } ) ^ { - 3 } ; } \\ { y ^ { \prime } } & { = - 3 ( x ^ { - 1 } - x ^ { - 1 / 2 } ) ^ { - 4 } \cdot ( - x ^ { - 2 } + \frac 1 2 x ^ { - 3 / 2 } ) = } \\ & { = - 3 \left( \frac 1 x - \frac 1 { \sqrt { x } } \right) ^ { - 4 } \cdot ( - \frac 1 { x ^ { 2 } } + \frac 1 { 2 x ^ { 3 / 2 } } ) = } \\ & { = 3 \left( \frac { 1 - \sqrt { x } } { x } \right) ^ { - 4 } \cdot \frac { 2 - \sqrt { x } } { 2 x ^ { 2 } } = } \\ & { = 3 \left( \frac { x } { 1 - \sqrt { x } } \right) ^ { 4 } \cdot \frac { 2 - \sqrt { x } } { 2 x ^ { 2 } } = } \\ & { = \frac { 3 x ^ { 2 } ( 2 - \sqrt { x } ) } { ( 1 - \sqrt { x } ) ^ { 4 } } } \end{array}
\Big ( \frac { 6 } { \pi } \Big ) ^ { 1 / 3 } \int \Big [ \Big ( | \psi _ { 1 s } ( r ) | ^ { 2 } + | \psi _ { 2 s } | ^ { 2 } + ( 1 - n ) | \psi _ { 2 p z } | ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 3 } - \Big ( | \psi _ { 1 s } ( r ) | ^ { 2 } + | \psi _ { 2 s } | ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 3 } \Big ] | \psi _ { 2 p z } | ^ { 2 } d ^ { 3 } r ,
F ( n ) = \frac { 2 } { \pi } \int _ { D ( n ) } d m \, d \varphi = - \frac { 1 } { \pi } \operatorname { a r c c o s } n + \frac { n } { \pi } \ln \frac { 1 + \sqrt { 1 - n ^ { 2 } } } { | n | } ,
\begin{array} { r l } & { \hat { u } _ { t } ( x , t ) + d \hat { u } _ { x } ( x , t ) } \\ { = } & { u _ { t } ( x , t ) + \int _ { x } ^ { 1 } P ( x , y ) u _ { t } ( y , t ) d y + d u _ { x } ( x , t ) } \\ & { + d \int _ { x } ^ { 1 } P _ { x } ( x , y ) u ( y , t ) d y - d P ( x , x ) u ( x , t ) } \\ { = } & { q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 1 ) c _ { 0 } u ( 1 , t ) - d \int _ { x } ^ { 1 } P ( x , y ) u _ { x } ( y , t ) d y } \\ & { + \int _ { x } ^ { 1 } P ( x , y ) q _ { 2 } K _ { 2 } ( y , 1 ) c _ { 0 } d y u ( 1 , t ) } \\ & { + d \int _ { x } ^ { 1 } P _ { x } ( x , y ) u ( y , t ) d y - d P ( x , x ) u ( x , t ) } \\ { = } & { q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 1 ) c _ { 0 } u ( 1 , t ) - d P ( x , 1 ) u ( 1 , t ) + d P ( x , x ) u ( x , t ) } \\ & { + d \int _ { x } ^ { 1 } P _ { y } ( x , y ) u ( y , t ) d y + \int _ { x } ^ { 1 } P ( x , y ) q _ { 2 } K _ { 2 } ( y , 1 ) c _ { 0 } d y u ( 1 , t ) } \\ & { + d \int _ { x } ^ { 1 } P _ { x } ( x , y ) u ( y , t ) d y - d P ( x , x ) u ( x , t ) } \\ { = } & { \big ( q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 1 ) c _ { 0 } - d P ( x , 1 ) } \\ & { + \int _ { x } ^ { 1 } P ( x , y ) q _ { 2 } K _ { 2 } ( y , 1 ) c _ { 0 } d y \big ) u ( 1 , t ) } \\ & { + d \int _ { x } ^ { 1 } ( P _ { y } ( x , y ) + P _ { x } ( x , y ) ) u ( y , t ) d y = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \pi _ { j } ^ { n } w \| _ { \bar { K } _ { n } } ^ { 2 } } & { = \int _ { I _ { n } } \int _ { K ( t ) } \bigg | \sum _ { t _ { k } \in S _ { n } ^ { q } } w ( \hat { x } ( t _ { k } ) , t _ { k } ) \lambda _ { k } ( t ) \bigg | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq ( q + 1 ) \sum _ { t _ { k } \in S _ { n } ^ { q } } \int _ { I _ { n } } \int _ { K ( t ) } | w ( \hat { x } ( t _ { k } ) , t _ { k } ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t \lesssim k _ { n } \| w \| _ { K , I _ { n } } ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { u } = \left( \begin{array} { c c } { \left( A _ { \beta } ^ { \alpha } \right) } & { \left( \mathcal { A } _ { I } ^ { \alpha } \right) } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \dot { \mathbf { s } } } \\ { \dot { \mathbf { r } } } \end{array} \right) , \ \ \ \left( \begin{array} { c } { \dot { \mathbf { s } } } \\ { \dot { \mathbf { r } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \left( B _ { \beta } ^ { \alpha } \right) } & { \ \ - \left( B _ { \beta } ^ { \alpha } \mathcal { A } _ { I } ^ { \beta } \right) } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right) \mathbf { u } .
S _ { 3 / 2 } = \int _ { M } d ^ { 4 } x \sqrt { g } \biggr [ { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { \kappa } _ { \mu } { \widehat \nabla } \kappa ^ { \mu } + \tilde { \epsilon } { \widehat \nabla } \epsilon + { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { \eta } { \widehat \nabla } \eta \biggr ] \; ,
f ( r ) \, = \, \frac { r ^ { 2 } - n ^ { 2 } - 2 \, m \, r } { r ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \, + \, \frac { r ^ { 4 } + 6 \, n ^ { 2 } \, r ^ { 2 } - 3 \, n ^ { 4 } } { \left( r ^ { 2 } + n ^ { 2 } \right) \, L ^ { 2 } } .
v _ { 1 } ^ { 2 } \simeq - { \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } } , ~ ~ ~ v _ { 2 } ^ { 2 } \simeq { \frac { - \mu _ { 1 2 } ^ { 2 } v _ { 1 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } ) v _ { 1 } ^ { 2 } } } .