harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { B } _ { < } } \sum _ { \ell } ( \cdot ) \, d \widetilde { \omega } = : } & { \: \int _ { \{ | \omega | \leq \omega _ { \mathrm { h i g h } } | m | \} \cap \{ \left| m \widetilde { \omega } \right| < \eta _ { \flat } m ^ { 2 } \} } \sum _ { \{ \ell \in \mathbb { N } _ { | m | } \, | \, \Lambda \leq \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } ^ { - 1 } \omega _ { \mathrm { h i g h } } ^ { 2 } m ^ { 2 } \} } ( \cdot ) \, d \widetilde { \omega } , } \\ { \int _ { \mathcal { B } _ { > } } \sum _ { \ell } ( \cdot ) \, d \widetilde { \omega } = : } & { \: \int _ { \{ | \omega | \leq \omega _ { \mathrm { h i g h } } | m | \} \cap \{ \left| m \widetilde { \omega } \right| \geq \eta _ { \flat } m ^ { 2 } \} } \sum _ { \{ \ell \in \mathbb { N } _ { | m | } \, | \, \Lambda \leq \epsilon _ { \mathrm { w i d t h } } ^ { - 1 } \omega _ { \mathrm { h i g h } } ^ { 2 } m ^ { 2 } \} } ( \cdot ) \, d \widetilde { \omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } ( \rho , \phi ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { p } } I ( \rho , \phi ) \rho d \rho d \phi } \\ { I _ { 2 } ( \rho , \phi ) } & { { } = } & { \int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { p } } I ( \rho , \phi ) \rho d \rho d \phi } \\ { I _ { 3 } ( \rho , \phi ) } & { { } = } & { \int _ { \pi } ^ { \frac { 3 \pi } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { p } } I ( \rho , \phi ) \rho d \rho d \phi } \\ { I _ { 4 } ( \rho , \phi ) } & { { } = } & { \int _ { \frac { 3 \pi } { 2 } } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { p } } I ( \rho , \phi ) \rho d \rho d \phi } \end{array}
f ( \varepsilon ( \mathbf { p } ) ) = \frac { 1 } { e ^ { ( \varepsilon ( \mathbf { p } ) - \mu ) / k _ { B } T } + 1 } \rightarrow _ { T \rightarrow 0 } 1 - \Theta ( \varepsilon ( \mathbf { p } ) - \varepsilon _ { F } )
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 2 } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ^ { - \mathrm { i } \nu _ { 1 } } \, ( 1 + \rho ) ^ { \mathrm { i } \nu _ { 2 } } \, \frac { \mathrm { d } \rho } { \rho } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \rho ^ { - \mathrm { i } \nu _ { 1 } } \, ( 1 - \rho ) ^ { \mathrm { i } \nu _ { 2 } } \, \frac { \mathrm { d } \rho } { \rho } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { f i l m } } = \frac { \delta F } { \delta \psi _ { 1 } } } & { { } = \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { l i q } } } \left[ - \gamma _ { \mathrm { l g } } \frac { \Delta ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } ^ { 3 } } + \xi _ { \zeta } \partial _ { h } f _ { \mathrm { w e t } } ( h , \zeta ) + f _ { \mathrm { l i q } } \right] , } \\ { \mu _ { \mathrm { b r u s h } } = \frac { \delta F } { \delta \psi _ { 2 } } } & { { } = \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { l i q } } } \bigg [ - \gamma _ { \mathrm { l g } } \frac { \Delta ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } ^ { 3 } } - \nabla \left\{ \left[ \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta ) + f _ { \mathrm { w e t } } ( h , \zeta ) \right] \frac { \nabla \zeta } { \xi _ { \zeta } } \right\} } \\ { \mu _ { \mathrm { v a p } } = \frac { \delta F } { \delta \psi _ { 3 } } } & { { } = k _ { B } T \log \left( \frac { \rho _ { \mathrm { v a p } } } { \rho _ { \mathrm { t o t } } - \rho _ { \mathrm { v a p } } } \right) , } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) } { \partial t } = \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \int V ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \rho } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , t ) d ^ { 3 } r ^ { \prime } \right] \, \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } , t )
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } \boldsymbol { \Phi } ^ { + } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \nabla \times \left( \frac { \boldsymbol { \Phi } ^ { + } } { \sqrt { n } } \right) + \frac { 1 } { n } \nabla \ln \sqrt { Z } \times \boldsymbol { \Phi } ^ { - } } \\ { i \partial _ { t } \boldsymbol { \Phi } ^ { - } } & { { } = - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \nabla \times \left( \frac { \boldsymbol { \Phi } ^ { - } } { \sqrt { n } } \right) - \frac { 1 } { n } \nabla \ln \sqrt { Z } \times \boldsymbol { \Phi } ^ { + } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \phi _ { k } | \phi _ { < k } ) } & { = \frac { { \displaystyle \sum _ { \phi _ { N } , \dots \phi _ { k + 1 } } } \exp \left( - \beta J { \displaystyle \sum _ { l = k } ^ { N } } \phi _ { l } { \displaystyle \sum _ { \mu } } \phi _ { l - \hat { \mu } } \right) } { { \displaystyle \sum _ { \phi _ { N } , \dots \phi _ { k } } } \exp \left( - \beta J { \displaystyle \sum _ { l = k } ^ { N } } \phi _ { l } { \displaystyle \sum _ { \mu } } \phi _ { l - \hat { \mu } } \right) } } \end{array}
M = \left( { \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} } \right)
Q = 1 - \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta } { 2 ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } ) } \pm \left( \frac { \omega _ { c } ^ { 4 } \, \sin ^ { 4 } \theta } { 4 ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } \, \cos ^ { 2 } \theta } { \omega ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \, .
\left( \mathbf { M } ( \phi _ { i } , \phi _ { i } ) + \frac { \mathbf { t } _ { i } \mathbf { t } _ { i } ^ { T } } { \Gamma ( \phi _ { i } ) } \right) \cdot \mathbf { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ h ~ } } + \sum _ { j \ne i } \mathbf { M } ( \phi _ { i } , \phi _ { j } ) \cdot \mathbf { F } _ { j } ^ { \mathrm { ~ h ~ } } = - \frac { F ^ { \mathrm { ~ d ~ r ~ } } ( \phi _ { i } ) } { \Gamma ( \phi _ { i } ) } \mathbf { t } _ { i } .
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { \mathrm { R y d } } } & { { } = \sum _ { n , l , j , m _ { j } } \mathcal { E } _ { n , l , j , m _ { j } } | n , l , j , m _ { j } \rangle \langle n , l , j , m _ { j } | } \end{array}
{ \cal Z } _ { \mathrm { g r a n d } } ^ { \mathrm { 3 D } } = \int { \cal D } { \bf j } \exp \left\{ - \left[ \frac { \pi \eta ^ { 2 } } { 2 } \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y j _ { \mu } ( { \bf x } ) \frac { \mathrm { e } ^ { - m | { \bf x } - { \bf y } | } } { | { \bf x } - { \bf y } | } j _ { \mu } ( { \bf y } ) + V [ 2 \pi { \bf j } ] \right] \right\} .
\psi ^ { ( i ) } ( q ^ { 2 } ) = \imath \int d ^ { 4 } \, x e ^ { \imath q . x } \langle 0 | T D _ { \mu } A ^ { \mu \, ( i ) } ( x ) D _ { \nu } A ^ { \nu \, ( i ) + } ( 0 ) | \rangle \; ,
\begin{array} { r l } & { \left| \underset { i \in S _ { 0 } } { \sum } \rho _ { i } ( y ^ { t } ) - \underset { i \in S _ { 1 } } { \sum } \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \right| \le \underset { i \in S _ { 0 } } { \operatorname* { m i n } } \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \\ & { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \ge \frac { 1 } { 2 } \implies S _ { 0 } = \{ i \} \; \mathrm { o r ~ } S _ { 1 } = \{ i \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { x } ) _ { m } = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } b _ { k m } x _ { k } } & { { } = b _ { 1 m } r \cos \theta + b _ { 2 m } r \sin \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { = \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) } \\ { G } & { = 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \Bigg ] } \\ & { = 2 D b _ { \varepsilon } t \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 3 } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 - A } { 1 6 \sigma ^ { 4 } ( 1 - d ) } - \frac { B ^ { 2 } } { 4 ( 1 - d ) ^ { 2 } } } , } \\ { a _ { 4 } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 + A } { ( 1 + d ) } - \frac { B ^ { 2 } } { 4 ( 1 + d ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
R \rho \simeq 1 5 \kappa ^ { 2 / 9 } \simeq \frac { 7 . 5 } { M _ { G U T } } \; , \qquad V v \simeq 8 0 \kappa ^ { 4 / 3 } \simeq \frac { 1 } { M _ { G U T } ^ { 6 } } \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } = } & { { } \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 3 } \kappa _ { p } } { \pi \, \omega _ { p } \omega _ { \gamma } k _ { p } ^ { 2 } } \sum _ { \pm } \frac { \varepsilon _ { q _ { \pm } ^ { \prime } } } { q _ { z \pm } ^ { \prime } } \; \Theta \Big ( \varepsilon _ { q _ { \pm } ^ { \prime } } ^ { 2 } - m _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } c ^ { 4 } / \hbar ^ { 2 } - c ^ { 2 } q _ { \parallel \pm } ^ { \prime \, 2 } \Big ) \; \Theta \Big ( \omega _ { \gamma } \mp \omega _ { p } - \varepsilon _ { q } \Big ) } \end{array}
\sim \! [ ( k _ { \| } c _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } / ( | k _ { \| } | c _ { \mathrm { s } } + \nu _ { \mathrm { c } } ) ] \Delta p \sim [ \beta \omega _ { \mathrm { A } } / ( \beta ^ { 1 / 2 } + \nu _ { \mathrm { c } } / \omega _ { \mathrm { A } } ) ] \Delta p
\left\{ \begin{array} { l l } { u : C \to J ( C ) } \\ { u ( p ) = \left( \int _ { p _ { 0 } } ^ { p } \omega _ { 1 } , \dots , \int _ { p _ { 0 } } ^ { p } \omega _ { g } \right) { \bmod { \Lambda } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = - i \Gamma + \ldots , } \\ { \omega } & { { } = - i \tilde { \Gamma } - i \left( \tilde { D } _ { n } + \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { \Gamma } \right) k ^ { 2 } + \ldots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \psi } } _ { k , 1 } } & { = \frac { { \delta } ^ { 2 } } { 6 { \tilde { q } } _ { k } { q } _ { k } } \left( { q } _ { k } - { \tilde { q } } _ { k } \right) \left[ { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 0 } + { 2 } \left( 5 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { \tilde { q } } _ { k } } + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { q } _ { k } } \right) { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 1 } + { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 2 } \right] \, , } \\ { { \boldsymbol { \psi } } _ { k , 2 } } & { = \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { 6 } { \tilde { q } } _ { k } } \left[ \left( { \boldsymbol { \tilde { v } } } _ { k } ^ { 0 } - { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 0 } \right) + { 2 } \left( 5 + \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { \tilde { q } } _ { k } } \right) \left( { \boldsymbol { \tilde { v } } } _ { k } ^ { 1 } - { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 1 } \right) + \left( { \boldsymbol { \tilde { v } } } _ { k } ^ { 2 } - { \boldsymbol { v } } _ { k } ^ { 2 } \right) \right] \, . } \end{array}
\sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \mu ( n ) } { n ^ { 2 } } \left( 1 + \mu ( n ) \right) R _ { \chi _ { 0 } } ^ { \textnormal { d i a g } } ( n , n , \sigma ) = 2 \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \mu ( n ) } { n ^ { 2 } } \sum _ { \substack { m \nmid n \, m < n } } \frac { \mu ( m ) } { m ^ { 2 } } R _ { \chi _ { 0 } } ^ { \textnormal { d i a g } } ( n m , n m , \sigma )
{ \begin{array} { r l } { \ln ( x ) } & { = - \ln \left( { \frac { 1 } { x } } \right) = - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } ( { \frac { 1 } { x } } - 1 ) ^ { k } } { k } } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( x - 1 ) ^ { k } } { k x ^ { k } } } } \\ & { = { \frac { x - 1 } { x } } + { \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } } } + { \frac { ( x - 1 ) ^ { 3 } } { 3 x ^ { 3 } } } + { \frac { ( x - 1 ) ^ { 4 } } { 4 x ^ { 4 } } } + \cdots } \end{array} }
< n > _ { \tau } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { \mathrm { d } \tau _ { 1 } } { \tau _ { 1 } } M ^ { \prime } ( \tau _ { 1 } W ^ { 2 } ) F ( \tau - \tau _ { 1 } ) } { F ( \tau ) } \; \; .
\begin{array} { r l } { J ( \nu ) } & { = \beta b ^ { 2 } \big ( \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] \big ) ^ { 2 } + \frac { \big ( b d \beta \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] \big ) ^ { 2 } } { ( 1 + d ^ { 2 } \beta ) ^ { 2 } } - 2 \frac { \big ( b d \beta \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] \big ) ^ { 2 } } { 1 + d ^ { 2 } \beta } + \beta d ^ { 2 } \frac { \big ( b d \beta \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] \big ) ^ { 2 } } { ( 1 + d ^ { 2 } \beta ) ^ { 2 } } } \\ & { = \beta b ^ { 2 } \big ( \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] \big ) ^ { 2 } \Big ( 1 + \frac { d ^ { 2 } \beta } { ( 1 + d ^ { 2 } \beta ) ^ { 2 } } - 2 \frac { d ^ { 2 } \beta } { 1 + d ^ { 2 } \beta } + \frac { d ^ { 4 } \beta ^ { 2 } } { ( 1 + d ^ { 2 } \beta ) ^ { 2 } } \Big ) } \\ & { = \big ( \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] \big ) ^ { 2 } \frac { \beta b ^ { 2 } } { 1 + d ^ { 2 } \beta } . } \end{array}
d v _ { \underline { { { \mu } } } } ^ { ~ \underline { { { \alpha } } } } = 1 / 4 v _ { \underline { { { \mu } } } } ^ { ~ \underline { { { \beta } } } } ( \Gamma _ { \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } ) _ { \underline { { { \beta } } } } ^ { ~ \underline { { { \alpha } } } } \Omega ^ { ~ \underline { { { a } } } \underline { { { b } } } } ( d ) \qquad
\frac { 1 } { \sqrt { 2 } N } ( \bar { \Psi } _ { l } \quad \bar { \Psi } _ { h } ) [ \mathrm { I m } ( U ^ { T } { \bf C } U ) + \mathrm { R e } ( U ^ { T } { \bf C } U ) i \gamma _ { 5 } ] \left( \begin{array} { c } { { \Psi _ { l } } } \\ { { \Psi _ { h } } } \end{array} \right) G _ { M } \ .
S _ { b } = - \int d ^ { 4 } x ~ \psi _ { b } ^ { \dagger } \left( \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial ^ { \mu } \partial _ { \mu } + i v _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \partial _ { \mu } \right) \psi _ { b } \; .
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } = } & { } & { \sum _ { P e r m u t a t e : \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } } \int _ { \tilde { t } _ { 1 } < \tilde { t } _ { 3 } < \tilde { t } _ { 5 } < \tilde { t } _ { 7 } < T } [ k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } ] ^ { 2 } d \tilde { t } _ { 1 } d \tilde { t } _ { 3 } d \tilde { t } _ { 5 } d \tilde { t } _ { 7 } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } \tilde { t } _ { 1 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } \tilde { t } _ { 3 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } \tilde { t } _ { 5 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } \tilde { t } _ { 7 } } } \\ & { } & { C ( T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { n } } \\ { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle _ { n } = } & { } & { \sum _ { P e r m u t a t e : \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } } \int _ { \tilde { t } _ { 1 } < \tilde { t } _ { 3 } < \tilde { t } _ { 5 } < \tilde { t } _ { 7 } < T } [ k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } ] ^ { 2 } d \tilde { t } _ { 1 } d \tilde { t } _ { 3 } d \tilde { t } _ { 5 } d \tilde { t } _ { 7 } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } \tilde { t } _ { 1 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l y } c _ { g l y } \tilde { t } _ { 3 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } \tilde { t } _ { 5 } } e ^ { - k _ { + } ^ { g l u } c _ { g l u } \tilde { t } _ { 7 } } } \\ & { } & { C ^ { 2 } ( T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { 2 n } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \delta B _ { ( p + 2 ) } } } & { { = } } & { { - ( p + 2 ) \partial \lambda _ { ( p + 1 ) } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta A _ { ( p + 1 ) } } } & { { = } } & { { \lambda _ { ( p + 1 ) } \, , } } \end{array} \right.
C _ { 7 } ^ { ( 0 ) \mathrm { e f f } } ( \mu ) \rightarrow C _ { 7 } ^ { ( 0 ) \mathrm { e f f } } ( \mu ) + ( \alpha _ { s } ( m _ { W } ) / \alpha _ { s } ( \mu ) ) ^ { 1 6 / 2 3 } \delta C _ { 7 } ^ { ( 0 ) } ( m _ { W } ) \; .
P : U _ { n 1 } \mapsto \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } g _ { i . } g _ { i i + 1 } \right) ^ { - 1 } U _ { 1 . } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } g _ { i . } g _ { i i + 1 } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { z _ { A + B } ^ { - } } { v _ { \mathrm { A } } } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { k _ { \perp A } k _ { \perp B } } { | \boldsymbol { k } _ { \perp A } + \boldsymbol { k } _ { \perp B } | } \right) d _ { i } \sin ^ { 2 } \alpha \frac { z _ { A } ^ { + } z _ { B } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { z _ { A + B } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { k _ { \perp A } k _ { \perp B } } { | \boldsymbol { k } _ { \perp A } + \boldsymbol { k } _ { \perp B } | } \right) d _ { i } \sin ^ { 2 } \alpha \frac { z _ { A } ^ { + } z _ { B } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } ( k _ { z A } + k _ { z B } ) v _ { \mathrm { A } } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 0 } } & { = q _ { t } - t m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } , } \\ { p _ { 0 } } & { = p _ { t } , } \\ { A _ { 0 } } & { = \left( A _ { t } ^ { - 1 } - t m ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } , } \\ { \gamma _ { 0 } } & { = \gamma _ { t } - t T ( p _ { t } ) + \frac { i \hbar } { 2 } \ln \operatorname* { d e t } \left( \operatorname { I d } _ { D } - t m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \cdot , t + \Delta t | \mathbf { m } _ { 0 } , t ) \sim \mathcal { N } \left( \mathbf { m } _ { 0 } + \mathbf { f } ( \mathbf { m } _ { 0 } ) \cdot \Delta t , \mathbf { g } ( \mathbf { m } _ { 0 } ) \cdot \Delta t \right) } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { a _ { 1 } \left( \vec { z } \right) } \\ { a _ { 2 } \left( \vec { z } \right) } \\ { a _ { 3 } \left( \vec { z } \right) } \\ { a _ { 4 } \left( \vec { z } \right) } \\ { a _ { 5 } \left( \vec { z } \right) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \kappa \left( z _ { 3 } z _ { 4 } + z _ { 2 } z _ { 5 } \right) } \\ { - 2 i \Delta _ { 1 } z _ { 2 } + \kappa z _ { 4 } \left( 1 - 2 z _ { 1 } \right) } \\ { 2 i \Delta _ { 1 } z _ { 3 } + \kappa z _ { 5 } \left( 1 - 2 z _ { 1 } \right) } \\ { - \kappa z _ { 2 } } \\ { - \kappa z _ { 3 } } \end{array} \right] .
| \mathbf { u } | _ { \theta } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left| u ( z _ { 0 } + R \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \theta } ) - \mathrm { ~ i ~ } v ( z _ { 0 } + R \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \theta } ) \right| \, d \theta
2 \log \left( \mu ^ { 2 } / m _ { \tau } ^ { 2 } \right) = \frac { 4 } { 9 } \left[ \frac { 1 } { x ( \mu ) } - \frac { 1 } { x _ { \tau } } \right] + \frac { 6 4 } { 8 1 } \log \left[ \frac { x ( \mu ) ( x _ { \tau } + 9 / 1 6 ) } { x _ { \tau } ( x ( \mu ) + 9 / 1 6 ) } \right] .
U ^ { + } = \frac { 1 } { \kappa } \ln \left( \frac { y + d } { \sqrt { K } } \right) + c _ { 1 } = \frac { 1 } { \kappa } \ln ( y + d ) ^ { + } - \frac { 1 } { \kappa } \ln R e _ { K } + c _ { 1 }
I ( \omega ) = \frac { \mu _ { 0 } c e ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { c \eta } { s } - 1 \right) \frac { 2 \pi c \omega / \kappa } { e ^ { 2 \pi c \omega / \kappa } - 1 } .
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { \omega \widehat F ( \omega ) } { ( \theta - \omega ^ { 2 } ) } \left( e ^ { - i \omega t } + e ^ { i \omega t } \right) = \int _ { \mathbb { R } } \frac { d \omega } { \pi } \frac { \omega | \widehat f ( \omega ) | ^ { 2 } } { ( \theta - \omega ^ { 2 } ) } \cos ( \omega t ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { { \cal W } _ { a } = p _ { g } \pi _ { g \to g } ( s ) { \cal F } ( x _ { s } ) , } & \\ & { { \cal W } _ { b } = 2 p _ { l } \alpha _ { l } ^ { 2 } e ^ { - \alpha _ { l } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } \pi _ { g \to g } ( s - t _ { 2 } ) { \cal F } ( x _ { s - t _ { 2 } } ) , } & \\ & { { \cal W } _ { c } = p _ { l } \alpha _ { l } ^ { 2 } e ^ { - \alpha _ { l } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } , } & \\ & { { \cal W } _ { d } = p _ { l } \alpha _ { l } ^ { 3 } e ^ { - \alpha _ { l } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } + \tilde { T } ) } \alpha _ { g } \pi _ { g \to g } ( \tau ) { \cal F } ( x _ { \tau } ) , } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { + 1 , S _ { k } } ^ { 2 } } & { = s ^ { 2 } + ( \Delta f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ) ^ { 2 } \sigma _ { - 1 , S _ { k } } ^ { 2 } = s ^ { 2 } + ( \Delta f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ) ^ { 2 } \sigma _ { - 2 , S _ { k } } ^ { 2 } = \cdots , } \\ { \sigma _ { + ( j + 1 ) , S _ { k } } ^ { 2 } } & { = s ^ { 2 } + ( \Delta f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { C } } ) ^ { 2 } \sigma _ { + j , S _ { k } } ^ { 2 } , } \\ { \sigma _ { - 1 , S _ { k } } ^ { 2 } } & { = s ^ { 2 } + ( \Delta f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ) ^ { 2 } \sigma _ { + 1 , S _ { k } } ^ { 2 } = s ^ { 2 } + ( \Delta f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ) ^ { 2 } \sigma _ { + 2 , S _ { k } } ^ { 2 } = \cdots , } \\ { \sigma _ { - ( j + 1 ) , S _ { k } } ^ { 2 } } & { = s ^ { 2 } + ( \Delta f _ { S _ { k } } ^ { \mathrm { D } } ) ^ { 2 } \sigma _ { - j , S _ { k } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N } | \Xi _ { k } f ( x ) | \leq \operatorname* { s u p } _ { k \geq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N } \big | \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \chi _ { k } * f _ { n } ( x _ { I } ) \big | + O \big ( \sum _ { k \geq \mathbf { C } \cdot \log ^ { 2 } N } 2 ^ { - k / 2 } \cdot M _ { \mathrm { H L } } f ( x ) \big ) , } \end{array}
S _ { M Y M } ^ { ( 3 ) G } = { \frac { 3 a } { 4 } } e ^ { 2 } \langle K ^ { * + } K ^ { * - } \rangle \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { l } { - c ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } = - \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + s i n ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Phi } & { { } = \hat { \Phi } \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ - ~ e ~ d ~ } } , } \\ { \vec { N } _ { + } \cdot \vec { n } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ - ~ e ~ d ~ } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { s _ { 1 } = y _ { 1 } ^ { b } , } \\ { s _ { 2 } = y _ { 1 } ^ { t } - y _ { 1 } ^ { b } , } \\ { s _ { 3 } = ( y _ { 1 } ^ { b } + y _ { 2 } ^ { b } ) - y _ { 1 } ^ { t } , } \\ { s _ { 4 } = ( y _ { 1 } ^ { t } + y _ { 2 } ^ { t } ) - ( y _ { 1 } ^ { b } + y _ { 2 } ^ { b } ) , } \\ { . . . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \tilde { P } ) _ { 1 1 } } & { = a - \frac { ( a d _ { 1 } + b d _ { 0 } ) ^ { 2 } } { a d _ { 1 } ^ { 2 } + 2 b d _ { 0 } d _ { 1 } + c d _ { 0 } ^ { 2 } } = ( a c - b ^ { 2 } ) \frac { d _ { 0 } ^ { 2 } } { a d _ { 1 } ^ { 2 } + 2 b d _ { 0 } d _ { 1 } + c d _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { ( \tilde { P } ) _ { 2 2 } } & { = c - \frac { ( b d _ { 1 } + c d _ { 0 } ) ^ { 2 } } { a d _ { 1 } ^ { 2 } + 2 b d _ { 0 } d _ { 1 } + c d _ { 0 } ^ { 2 } } = ( a c - b ^ { 2 } ) \frac { d _ { 1 } ^ { 2 } } { a d _ { 1 } ^ { 2 } + 2 b d _ { 0 } d _ { 1 } + c d _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\lambda ( T ) = \frac { 7 5 } { 6 4 } \frac { k _ { \mathrm { B } } \sqrt { \pi 2 \mu _ { a } k _ { \mathrm { B } } T } } { 2 \mu _ { a } \Omega ^ { ( 2 , 2 ) ( T ) } } f _ { \lambda } ^ { ( m ) }
\begin{array} { r } { B _ { b } ^ { s + s _ { a } } \, B _ { a } ^ { s } = B _ { a } ^ { s + s _ { b } } \, B _ { b } ^ { s } \qquad \mathrm { w i t h } \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \ B _ { 1 } ^ { s } : V _ { s } \longrightarrow V _ { s + 1 } } \\ { \ B _ { 2 } ^ { s } : V _ { s } \longrightarrow V _ { s + 3 } } \\ { \ B _ { 3 , 4 } ^ { s } : V _ { s } \longrightarrow V _ { s } } \end{array} \right. \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } } _ { 3 } , \delta \phi ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \delta \phi / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { i \delta \phi / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { - i } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \delta \phi / 2 ) } & { - \sin ( \delta \phi / 2 ) } \\ { \sin ( \delta \phi / 2 ) } & { \ \ \ \cos ( \delta \phi / 2 ) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \hat { \mathcal { R } } _ { 3 } ( \delta \phi ) , } \end{array}