harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { u } } } & { = \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { v } } - \frac { \alpha } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbf { x } _ { j } ^ { \mathbf { v } } - ( 1 - \alpha ) \mathbf { \hat { x } } _ { a v } } \\ & { = \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { v } } - \left( \alpha \mathbf { x } _ { a v } ^ { \mathbf { v } } + ( 1 - \alpha ) \mathbf { \hat { x } } _ { a v } \right) } \\ & { = \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathbf { v } } - \bar { \mathbf { x } } ^ { \mathbf { v } } } \end{array}
j ^ { \mu } ( k ) = g ^ { 2 } \int { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E } } \: p ^ { \mu } { \frac { \partial f ( { \bf p } ) } { \partial p _ { \lambda } } } \Bigg [ g ^ { \lambda \nu } - { \frac { k ^ { \lambda } p ^ { \nu } } { p ^ { \sigma } k _ { \sigma } + i 0 ^ { + } } } \Bigg ] \; A _ { \nu } ( k ) \; .
E q ( 5 . 5 ) F _ { a } \, \leq \, 5 \times 1 0 ^ { 1 5 } \left( \frac { m _ { \phi } } { 1 0 \; \mathrm { T e V } } \right) ^ { - 3 / 4 } \; \; \; \mathrm { G e V } ,
K ( x , y ; T ) = \int _ { x ( 0 ) = x } ^ { x ( T ) = y } \prod _ { t } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { x ( t + \varepsilon ) - x ( t ) } { \varepsilon } } \right) ^ { 2 } \varepsilon \right) \, D x ,
\begin{array} { r l } { F _ { y } ( t ) } & { = \sum _ { i } \Biggl \{ \Biggl ( - \frac { c _ { i } ^ { 2 } Q _ { y } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } + \frac { c _ { i } } { 4 } q _ { i y } ( 0 ) - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } p _ { i x } \Biggr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { + \Biggl ( \frac { c _ { i } ^ { 2 } Q _ { x } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } - \frac { c _ { i } \omega _ { i } } { \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } q _ { i x } ( 0 ) + \frac { c _ { i } p _ { i y } ( 0 ) } { 4 \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } \Biggr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { + \Biggl ( - \frac { c _ { i } ^ { 2 } Q _ { x } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } + \frac { c _ { i } \omega _ { i } } { \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } q _ { i x } ( 0 ) + \frac { c _ { i } p _ { i y } ( 0 ) } { 4 \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } \Biggr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { + \Biggl ( - \frac { c _ { i } ^ { 2 } Q _ { y } ( 0 ) } { 4 \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } + \frac { c _ { i } } { 4 } q _ { i y } ( 0 ) + \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } p _ { i x } \Biggr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } \Bigr ) \Biggr \} } \end{array}
\omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( + ) } = \begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( + 1 ) } = \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { a } } + \omega _ { \mathrm { m } } } \\ & { \omega _ { \mathrm { s p } } ^ { ( + 2 ) } = \omega _ { \mathrm { 0 } } ^ { \mathrm { b } } + \omega _ { \mathrm { m } } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \left( { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 4 } } \right) } \\ & { \left( { \frac { 3 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 4 } } , - { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 4 } } \right) \qquad { \mathrm { 2 - t e r m ~ t r u n c a t i o n } } } \\ & { \left( 1 , 0 , 0 , 0 \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { u _ { a , b } ( \mathtt { H } _ { ( 1 2 , 3 ) } ) } & { = \, u _ { a , b } ( \mathtt { H } _ { ( 1 2 ) } ) \mathtt { H } _ { ( 3 ) } + \mathtt { H } _ { ( 1 2 ) } u _ { a , b } ( \mathtt { H } _ { ( 3 ) } ) } \\ & { = ( - a \mathtt { H } _ { ( \ast , 1 2 ) } + ( a + b ) \mathtt { H } _ { ( \ast 1 2 ) } - b \mathtt { H } _ { ( 1 2 , \ast ) } ) \mathtt { H } _ { ( 3 ) } + \mathtt { H } _ { ( 1 2 ) } ( - a \mathtt { H } _ { ( \ast , 3 ) } + ( a + b ) \mathtt { H } _ { ( \ast 3 ) } - b \mathtt { H } _ { ( 3 , \ast ) } ) } \\ & { = - a \mathtt { H } _ { ( \ast , 1 2 , 3 ) } + ( a + b ) \mathtt { H } _ { ( \ast 1 2 , 3 ) } - b \mathtt { H } _ { ( 1 2 , \ast , 3 ) } ) - a \mathtt { H } _ { ( 1 2 , \ast , 3 ) } + ( a + b ) \mathtt { H } _ { ( 1 2 , \ast 3 ) } - b \mathtt { H } _ { ( 1 2 , 3 , \ast ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \mathbb { M } _ { 0 } : = \int { \mathbf \Lambda ^ { 0 } } ( { \mathbf \Lambda ^ { 0 } } ) ^ { \top } \, \textnormal { d } ^ { 3 } { \mathbf x } } & & { \in \mathbb R ^ { N _ { 0 } \times N _ { 0 } } \, , } \\ & { \mathbb { M } _ { 1 } : = \int { \mathbb { \Lambda } ^ { 1 } } ( { \mathbb { \Lambda } ^ { 1 } } ) ^ { \top } \, \textnormal { d } ^ { 3 } { \mathbf x } } & & { \in \mathbb R ^ { N _ { 1 } \times N _ { 1 } } \, , } \\ & { \mathbb { M } _ { 2 } : = \int { \mathbb { \Lambda } ^ { 2 } } ( { \mathbb { \Lambda } ^ { 2 } } ) ^ { \top } \, \textnormal { d } ^ { 3 } { \mathbf x } } & & { \in \mathbb R ^ { N _ { 2 } \times N _ { 2 } } \, , } \\ & { \mathbb { M } _ { 3 } : = \int { \mathbf \Lambda ^ { 3 } } ( { \mathbf \Lambda ^ { 3 } } ) ^ { \top } \, \textnormal { d } ^ { 3 } { \mathbf x } } & & { \in \mathbb R ^ { N _ { 3 } \times N _ { 3 } } \, . } \end{array}
{ \tilde { \Pi } } _ { 2 n } = \operatorname * { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N ^ { 1 + n } } \int D M t r ( M ^ { 2 n } ) \exp [ - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - 2 g { \tilde { \Pi } } _ { 2 } ) t r ( M ^ { 2 } ) - \frac { g } { 4 N } t r ( M ^ { 4 } ) ] .
\begin{array} { r l } { \dot { S } } & { = - \theta _ { 1 } S - \theta _ { 2 } S R + \theta _ { 3 } R _ { S } } \\ { \dot { d S } } & { = \theta _ { 1 } S } \\ { \dot { R } } & { = - \theta _ { 2 } S R + \theta _ { 3 } R _ { S } + \theta _ { 5 } \frac { R _ { p p } } { \theta _ { 6 } + R _ { p p } } } \\ { \dot { R } _ { S } } & { = \theta _ { 2 } S R - \theta _ { 3 } R _ { S } - \theta _ { 4 } R _ { S } } \\ { \dot { R } _ { p p } } & { = \theta _ { 4 } R _ { S } - \theta _ { 5 } \frac { R _ { p p } } { \theta _ { 6 } + R _ { p p } } } \end{array}
{ \cal S } = \int d ^ { 4 + N } x \left\{ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \alpha } \phi \partial ^ { \alpha } \phi - \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 ! } \lambda _ { 0 } \phi ^ { 4 } \right\} \; .
\| \mathbf { X } \| _ { \mathbf { x } } = \left\| \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { g } | } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { g } | } \mathbf { G } _ { \mathbf { x } } ^ { ( i ) } - \mathrm { g r a d } f ( \mathbf { x } ) \right\| _ { \mathbf { x } } = \left\| \mathbf { G } _ { k } - \mathrm { g r a d } f ( \mathbf { x } _ { k } ) \right\| _ { \mathbf { x } } \le \delta _ { g } ,
\begin{array} { r l r } { d _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \mathcal { C } ) } & { = } & { m _ { w } + \left( d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) - 1 \right) t M _ { w } + \left( d _ { ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) - 1 \right) M _ { w } } \\ & { = } & { \left( d _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) - m _ { w } \right) t + d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { H } ^ { + } } } & { = \int _ { \Gamma _ { c } } \mathbf { N } _ { \mathrm { H } ^ { + } } ^ { T } 2 \nu _ { \mathrm { h } } \; \mathrm { d } \Gamma _ { c } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { O H } ^ { - } } } & { = - \int _ { \Gamma _ { c } } \mathbf { N } _ { \mathrm { H } ^ { + } } ^ { T } 4 \nu _ { \mathrm { o } } \; \mathrm { d } \Gamma _ { c } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { O } _ { 2 } } } & { = \int _ { \Gamma _ { c } } \mathbf { N } _ { \mathrm { H } ^ { + } } ^ { T } \nu _ { \mathrm { o } } \; \mathrm { d } \Gamma _ { c } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { = \int _ { \Gamma _ { a } } \mathbf { N } _ { \mathrm { H } ^ { + } } ^ { T } \nu _ { \mathrm { c } } \; \mathrm { d } \Gamma _ { a } } \\ { \mathbf { \upnu } _ { \mathrm { N a } ^ { + } } } & { = \mathbf { \nu } _ { \mathrm { C l } ^ { - } } = \mathbf { \nu } _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\lambda _ { \mu _ { l } } : = \frac { \mu _ { l } + \mu _ { 0 } } { 2 ( \mu _ { l } - \mu _ { 0 } ) } , \quad \lambda _ { \gamma _ { l } } : = \frac { \gamma _ { l } + \varepsilon _ { s } } { 2 ( \gamma _ { l } - \varepsilon _ { s } ) } , \quad l = 1 , 2 , \ldots , l _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 1 } ( x , t ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 3 } \propto } & { { } \cos \left[ \omega _ { \mathrm { L O } } t + \tilde { \psi } _ { 1 } ( t ) - \tilde { \psi } _ { 1 } ( t + \tau ) - \tilde { \psi } _ { 2 } ( t ) \right. } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { \mu _ { x } - \sigma _ { x } / \sqrt { \epsilon } } \delta _ { i } \leq \sum _ { i = 0 } ^ { \mu _ { x } - \sigma _ { x } / \sqrt { \epsilon } } F _ { x } ( i ) \ \leq \ n F _ { x } \left( \mu _ { x } - \sigma _ { x } / \sqrt { \epsilon } \right) \ \leq \ n \exp \left( - \frac { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } { n \epsilon } \right) \ \leq \ \epsilon
\sum _ { \nu = 0 } ^ { M } \left( \frac { 1 } { \alpha ^ { \mu } ( \omega ) } \delta _ { \mu , \nu } - \frac { k ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } } \hat { \mathbf { S } } ^ { \mu \nu } ( \omega , \mathbf { k } _ { | | } ) \right) \mathbf { p } ^ { \mu } = \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mu } \, .
\begin{array} { r l } { { \bf \Pi } _ { \mathrm { { { F } } } } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } > } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \alpha _ { 1 } ^ { \mathrm { L F } } \Delta t } { \Delta x } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } + \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } + \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } + \mathbf { U } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } \right) \cdot \mathbf { n } _ { 1 } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \alpha _ { 2 } ^ { \mathrm { { L F } } } \Delta t } { \Delta y } \sum _ { \mu = 1 } ^ { Q } \omega _ { \mu } \left( \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } + \mathbf { U } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } + \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , + } + \mathbf { U } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , - } \right) \cdot \mathbf { n } _ { 1 } } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } \left( { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } \right) \cdot \mathbf { n } _ { 1 } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 2 } \left( { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } + { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } \right) \cdot \mathbf { n } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( * ) } & { \leq 2 \sum _ { s = 1 } ^ { t } \hat { \eta } _ { s } ( \nabla f ( w _ { s } ) - g _ { s } ) \boldsymbol { \cdot } ( w _ { s } - w ^ { \star } ) + 2 \sum _ { s = 1 } ^ { t } ( \eta _ { s } - \hat { \eta } _ { s } ) ( \nabla f ( w _ { s } ) - g _ { s } ) \boldsymbol { \cdot } ( w _ { s } - w ^ { \star } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ A ; E _ { i } \cap \tilde { E } _ { i } | E ^ { * } ( \Omega _ { \delta } ; x _ { 1 } ^ { \delta } , \ldots , x _ { 2 n } ^ { \delta } ; z _ { 1 } ^ { \delta , + } , \ldots , z _ { n - 1 } ^ { \delta , + } ) ] } \\ { \le } & { C \frac { \mathbb { P } [ \cap _ { j = 1 } ^ { i } \{ \gamma _ { j } ^ { \delta } \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ c o n n e c t ~ t o ~ } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) \} \cap E _ { i } \cap \tilde { E } _ { i } ] } { \Pi _ { j = 1 } ^ { i } h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { j } ^ { \delta , + } ) } } \\ { \le } & { C \times C _ { 0 } ^ { - c } \frac { \mathbb { P } [ \cap _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \{ \gamma _ { j } ^ { \delta } \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ c o n n e c t ~ t o ~ } ( x _ { 2 j } ^ { \delta } x _ { 2 j + 1 } ^ { \delta } ) \} ] } { \Pi _ { j = 1 } ^ { i - 1 } h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { j } ^ { \delta , + } ) } \times \frac { h _ { \epsilon _ { 0 } / 2 } ^ { \delta } ( z _ { i } ^ { \delta , + } ) } { h _ { r } ^ { \delta } ( z _ { i } ^ { \delta , + } ) } } \\ { \le } & { C \epsilon , } \end{array}
\omega = ( 2 2 5 t ) ^ { - \frac { 2 ( \alpha - 1 ) } { 5 } } , \qquad s ( t ) = ( 2 2 5 \, t ) ^ { \frac 1 5 } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O \big ( t ^ { \frac { - 2 ( \alpha - 1 ) } { 5 } } \big ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \alpha \ne \frac 7 2 , } \\ { \big ( 1 + O ( t ^ { - 1 } \log t ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \alpha = \frac 7 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \dot { \theta } = \frac { p _ { \theta } } { I _ { 1 } } , } \\ { \dot { \varphi } = \frac { p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta } { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \dot { \psi } = \frac { p _ { \psi } } { I _ { 3 } } - \frac { ( p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta ) \cos \theta } { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta } , } \end{array}
\hat { \tau } = \frac { z _ { I } } { \int _ { 0 } ^ { T } E _ { t } ^ { S I } \, d t } = \frac { z _ { I } } { \sum _ { t _ { i } < T } E _ { t _ { i } } ^ { S I } ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) } ,
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \frac { 2 m _ { \mathrm { i n } } } { m _ { \mathrm { i n } } R \cosh m _ { \mathrm { i n } } R } \left( \frac { - B } { 2 } + \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } R } \right) , } \\ { B } & { { } = ( \phi _ { \mathrm { o u t } } - \phi _ { \mathrm { i n } } ) R - \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { T } | \xi ( s ) | \, | \nabla \xi ( s ) | ^ { 3 } d s \right) ^ { 2 } } & { \leq \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | \xi ( t ) | ^ { 2 } | \nabla \xi ( t ) | ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { T } | \nabla \xi ( s ) | ^ { 2 } d s \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq C \mathbb { E } \left[ \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left( | \xi ( t ) | ^ { 2 } + \nu \int _ { 0 } ^ { t } | \nabla \xi ( s ) | ^ { 2 } d s \right) ^ { 3 } \right) \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | \nabla \xi ( t ) | ^ { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\frac { i } { 2 } \psi _ { a } ( { \dot { \psi } } _ { a } + \dot { x } ^ { \mu } \omega _ { \mu a b } ( x ) \psi _ { b } ) \equiv \frac { i } { 2 } \psi _ { a } \frac { D } { d t } \psi _ { a } .
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta + \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \nu - \alpha \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \beta + \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta - \nu \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 3 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \nu - \alpha \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { \mathrm { ( U B ) } } = } & { \log _ { 2 } ( M ) - \frac { 1 } { M \pi } \sum _ { p _ { 1 } = 1 } ^ { P } w _ { p _ { 1 } } \sum _ { p _ { 2 } = 1 } ^ { P } w _ { p _ { 2 } } f ( t _ { p _ { 1 } } , t _ { p _ { 2 } } ) \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { M } } \\ & { \ \log _ { 2 } \Bigg [ \sum _ { m _ { 2 } = 1 } ^ { M } \exp \Big ( - 2 [ t _ { 1 } , t _ { 2 } ] \Big [ \begin{array} { c } { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { R } ( \mathbb { E } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } ) - \mathbb { E } ( \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) ) } \\ { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { I } ( \mathbb { E } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } ) - \mathbb { E } ( \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) ) } \end{array} \Big ] } \\ & { \ - \Big \| \Big [ \begin{array} { c } { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { R } ( \mathbb { E } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } ) - \mathbb { E } ( \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) ) } \\ { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { I } ( \mathbb { E } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } ) - \mathbb { E } ( \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) ) } \end{array} \Big ] \Big \| ^ { 2 } \Big ) \Bigg ] , } \end{array}
[ K _ { + } , L _ { + } ] = a ^ { \dagger } b ^ { \dagger } a ^ { \dagger } b - a ^ { \dagger } b a ^ { \dagger } b ^ { \dagger } = a ^ { \dagger } a ^ { \dagger } b ^ { \dagger } b - a ^ { \dagger } a ^ { \dagger } b b ^ { \dagger } = - a ^ { \dagger } a ^ { \dagger } ( [ b , b ^ { \dagger } ] ) = - a ^ { \dagger } a ^ { \dagger }
\gamma ( g ) = \gamma ^ { ( 0 ) } \frac { \alpha _ { Q C D } } { 4 \pi } + \gamma ^ { ( 1 ) } \frac { \alpha _ { Q C D } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \quad , \quad \beta ( g ) = - \beta _ { 0 } \frac { g ^ { 3 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } - \beta _ { 1 } \frac { g ^ { 5 } } { ( 1 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } }
{ \begin{array} { r l } { \nabla \times \mathbf { F } } & { = \left( \mathbf { e } _ { x } { \frac { \partial } { \partial x } } \times \mathbf { F } \right) + \left( \mathbf { e } _ { y } { \frac { \partial } { \partial y } } \times \mathbf { F } \right) + \left( \mathbf { e } _ { z } { \frac { \partial } { \partial z } } \times \mathbf { F } \right) } \\ & { = { \frac { \partial } { \partial x } } ( 0 , - F _ { z } , F _ { y } ) + { \frac { \partial } { \partial y } } ( F _ { z } , 0 , - F _ { x } ) + { \frac { \partial } { \partial z } } ( - F _ { y } , F _ { x } , 0 ) } \\ & { = \left( { \frac { \partial F _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial F _ { y } } { \partial z } } \right) \mathbf { e } _ { x } + \left( { \frac { \partial F _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial F _ { z } } { \partial x } } \right) \mathbf { e } _ { y } + \left( { \frac { \partial F _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial F _ { x } } { \partial y } } \right) \mathbf { e } _ { z } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { { f } _ { \mathrm { u p } , \omega } ^ { \mathrm { D C } } ( z ) = } \\ { \quad \quad { f } _ { \mathrm { u p } , \omega } ( 0 ) \cos ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | z ) - i { f } _ { \mathrm { l o } , \omega } ( 0 ) \sin ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | z ) } \\ { { f } _ { \mathrm { l o } , \omega } ^ { \mathrm { D C } } ( z ) = } \\ { \quad \quad - i { f } _ { \mathrm { u p } , \omega } ( 0 ) \sin ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | z ) + { f } _ { \mathrm { l o } , \omega } ( 0 ) \cos ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | z ) } \end{array} \right. , } \end{array}
R = \frac { \left( \int | | \mathbf { x } _ { 0 } - \mathbf { x } | | I ( \mathbf { x } ) ^ { 2 } d \mathbf { x } \right) ^ { 1 / 2 } } { \left( \int I ( \mathbf { x } ) ^ { 2 } d \mathbf { x } \right) ^ { 1 / 2 } }
\left[ - \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } + \frac { \lambda } { 2 } \phi _ { \mathrm { w a l l } } ^ { 2 } ( z ) + \frac { \sigma } { 4 ! } \phi _ { \mathrm { w a l l } } ^ { 4 } ( z ) \right] \chi _ { n } ( z ) = \eta _ { n } ^ { 2 } \chi _ { n } ( z ) \; ,
\bar { D } ^ { 2 } \, ( \bar { \Phi } _ { i } e ^ { V } { \Phi } _ { i } ) = 4 \, { \Phi } _ { i } \frac { \partial { \cal W } } { \partial { \Phi } _ { i } } + \frac { T ( R _ { i } ) } { 2 \pi ^ { 2 } } \, \mathrm { T r } \, W ^ { 2 } \, .
v _ { r } = v _ { m } \left( 1 - \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \cos ( \theta ) , \qquad v _ { \theta } = - v _ { m } \left( 1 + \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) \sin ( \theta ) , \qquad \eta = \eta _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } v _ { m } ^ { 2 } g \left( \frac { 2 r _ { c } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \cos ( 2 \theta ) - \frac { r _ { c } ^ { 4 } } { r ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { m } ^ { 2 } } & { = } & { \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) + \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) + \cdots + \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { m } ) } \\ & { = } & { \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) + \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) ( 1 - \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) ) + \cdots + \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { m } ) } \\ & { = } & { 1 - \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) + \cdots + \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { m } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \mathbf { y } ^ { 0 } } & { = \mathbf { x } } \\ { \mathbf { y } ^ { l } } & { = f _ { a c t } ( \mathbf { W } ^ { l } \mathbf { y } ^ { l - 1 } + \mathbf { b } ^ { l } ) , \qquad 1 \le l \le L } \\ { \mathbf { y } \; } & { = \mathbf { y } ^ { L + 1 } = \mathbf { W } ^ { L + 1 } \mathbf { y } ^ { L } + \mathbf { b } ^ { L + 1 } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { l } { { \displaystyle \mu { \ddot { n } } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) = - \frac { \delta { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) } { \delta n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) } } \ ~ } \\ { { \displaystyle - \frac { 1 } { 2 } \mu \omega ^ { 2 } \frac { \delta } { \delta n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) } \iint \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ \times T ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } , r ^ { \prime \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } d { \bf r ^ { \prime \prime } } } } \end{array}
W _ { F _ { 4 } } ^ { \underline { { { 2 7 } } } } = { \frac { a _ { 1 } ( x ) } { 2 4 } } - { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \left( - q + \sqrt { q ^ { 2 } + 4 p ^ { 3 } } \right) ^ { 1 / 3 } + \left( - q - \sqrt { q ^ { 2 } + 4 p ^ { 3 } } \right) ^ { 1 / 3 } \right\} ,
T _ { s u ( 2 ) } ^ { W S } = { \frac { 1 } { ( k + 2 ) } } [ ( J _ { s u ( 2 ) } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( J _ { s u ( 2 ) } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( J _ { s u ( 2 ) } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ]
\psi ( \vec { r } , 0 ) = \frac { ( \gamma _ { y } \gamma _ { z } ) ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { ( \pi \epsilon _ { 1 } ) ^ { 3 / 4 } } } e ^ { - \frac { ( x ^ { 2 } + \gamma _ { y } y ^ { 2 } + \gamma _ { z } z ^ { 2 } ) } { 2 \epsilon _ { 1 } } } , \ \ \ V ( \vec { r } , 0 ) = \frac { 1 } { 2 } ( x ^ { 2 } + \gamma _ { y } ^ { 2 } y ^ { 2 } + \gamma _ { z } ^ { 2 } z ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \mathrm { A } } } & { = \frac { z _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { H } } } { z _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { G } } } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, \exp [ - E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { H } } ( z ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } z } { \int _ { - R / 2 } ^ { R / 2 } \, \exp [ - E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { G } } ( z ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } z } } \\ & { = \frac { \sqrt { K _ { A } b ^ { 2 } / 2 \pi k _ { \mathrm { B } } T } } { \int _ { - R / 2 } ^ { R / 2 } \, \exp [ - E _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { G } } ( z ) / k _ { \mathrm { B } } T ] \, \mathrm { d } z } } \end{array}