harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { x } ^ { ( t + 1 ) } = \underset { \mathrm { ~ t ~ t ~ i ~ m ~ e ~ s ~ } } { \underbrace { ( \mathcal { P } + \lambda \mathcal { Q } _ { \lambda } ) \, \circ \, \cdots \, \circ \, ( \mathcal { P } + \lambda \mathcal { Q } _ { \lambda } ) } } \, ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) = ( \mathcal { P } + \lambda \mathcal { Q } _ { \lambda } ) ^ { t } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } \left( e ^ { i ( t _ { 1 } m + t _ { 2 } n ) } - 1 \right) R _ { n , m } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { 1 / | t _ { 1 } | } \sum _ { n = 1 } ^ { 1 / | t _ { 2 } | } \left( i t _ { 1 } m + i t _ { 2 } n + O \left( | t _ { 1 } m + t _ { 2 } n | ^ { 2 } \right) \right) R _ { n , m } + O \left( t _ { 1 } ^ { 2 } + t _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = i t _ { 1 } \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } m R _ { n , m } + i t _ { 2 } \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } n R _ { n , m } + O \left( t _ { 1 } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { | t _ { 1 } | } + t _ { 2 } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { | t _ { 2 } | } \right) . } \end{array}
b _ { \alpha } | n _ { \alpha } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { n _ { \alpha } } } } \psi _ { \alpha } \oslash _ { + } \psi _ { \alpha } ^ { \otimes n _ { \alpha } } = { \sqrt { n _ { \alpha } } } \psi _ { \alpha } ^ { \otimes ( n _ { \alpha } - 1 ) } = { \sqrt { n _ { \alpha } } } | n _ { \alpha } - 1 \rangle .
\begin{array} { r l } { A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) = } & { - \frac { 2 \lambda } { M \left( 4 \omega _ { p h } ^ { 2 } - \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) } , } \\ { B ( q , q ^ { \prime } , k ) + B ( q ^ { \prime } , q , k ) = } & { - \frac { 2 i \lambda } { M \left( 4 \omega _ { p h } ^ { 2 } - \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) \omega _ { k , q } } , } \\ { C ( q , q ^ { \prime } , k ) + C ( q ^ { \prime } , q , k ) = } & { \frac { i \lambda } { M \omega _ { k , q } } } \\ { A ( q , q ^ { \prime } , k ) - A ( q ^ { \prime } , q , k ) = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { m \pi - \frac { \pi } { 2 } } ^ { m \pi + \frac { \pi } { 2 } } f ( \tau ) d \tau } & { = \left[ \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan ( \tau ) \right) \right] _ { m \pi - \frac { \pi } { 2 } } ^ { m \pi + \frac { \pi } { 2 } } } \\ & { = \left[ \arctan \left( ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan ( \tau ) \right) \right] _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } = \pi . } \end{array}
\beta _ { [ 2 | 2 ] } ( x ) = - \frac { 1 1 } { 4 } x ^ { 2 } \left[ \frac { 1 - 9 . 6 2 9 6 x + 4 . 3 3 2 7 x ^ { 2 } } { 1 - 1 1 . 9 4 7 7 x + 2 3 . 9 1 3 x ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l } { \dot { u } _ { p } } & { { } = - \frac { \beta \lambda } { \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } } \sin ( \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } ) \sin \phi - \lambda u _ { p } + \sigma \dot { W } , } \\ { \dot { \phi } } & { { } = r u _ { p } + \frac { 2 \gamma } { \pi } \sin ( \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } ) \sin \phi - \frac { \gamma } { 2 \pi } \sin ( 2 \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } ) \sin ( 2 \phi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ( R _ { k } + \delta ) + n \delta } & { \ge \log | \mathcal { J } _ { k } | + I ( X ^ { n } ; J _ { k ^ { \prime } } ) \ge H ( J _ { k } ) + I ( X ^ { n } ; J _ { k ^ { \prime } } ) } \\ & { \ge H ( J _ { k } ) + H ( J _ { k ^ { \prime } } ) - H ( J _ { k ^ { \prime } } | X ^ { n } ) } \\ & { \ge H ( J _ { k } , J _ { k ^ { \prime } } ) - H ( J _ { k ^ { \prime } } | X ^ { n } ) } \\ & { = H ( J _ { k } , J _ { k ^ { \prime } } ) - H ( J _ { k ^ { \prime } } | X ^ { n } , P _ { k ^ { \prime } } ) - I ( J _ { k ^ { \prime } } ; P _ { k ^ { \prime } } | X ^ { n } ) } \\ & { \ge H ( J _ { k } , J _ { k ^ { \prime } } ) - H ( J _ { k ^ { \prime } } | X ^ { n } , P _ { k ^ { \prime } } ) - H ( P _ { k ^ { \prime } } ) } \\ & { \ge H ( J _ { k } , J _ { k ^ { \prime } } ) - H ( J _ { k ^ { \prime } } | X ^ { n } , P _ { k ^ { \prime } } ) - \log | \mathcal { P } _ { k ^ { \prime } } | } \\ & { \ge H ( J _ { k } , J _ { k ^ { \prime } } ) - H ( J _ { k ^ { \prime } } | X ^ { n } , P _ { k ^ { \prime } } ) - n ( K _ { k ^ { \prime } } + \delta ) . } \end{array}
s t a t e w e r e f l o a t e d ( a t o t a l o f s e v e n p a r a m e t e r s ) i n t h e f i n a l l e a s t - s q u a r e s f i t t o t h e m e a s u r e d t r a n s i t i o n f r e q u e n c i e s . T h e s p i n - o r b i t p a r a m e t e r ,
\frac { d \sigma ^ { \pm } } { d t } = \int _ { y _ { m i n } } ^ { y _ { m a x } } d y \int _ { Q _ { m i n } ^ { 2 } } ^ { Q _ { m a x } ^ { 2 } } d Q ^ { 2 } \frac { d \sigma ^ { \pm } } { d Q ^ { 2 } d y d t } ,
M \; = \; \frac { N } { V } \tilde { g } \tilde { S } \mu _ { B } \mathcal { B } _ { \tilde { S } } \Big ( \frac { \tilde { g } \tilde { S } \mu _ { \mathrm { B } } { \it B } } { k _ { \mathrm { B } } T } \Big ) \; = \; k \cdot \mathcal { B } _ { \tilde { S } } ( a T ^ { - 1 } ) ,
\left\{ C _ { e } \in \mathbb { R } ^ { - } \left| \frac { - 4 \alpha _ { e } ^ { 2 } ( 3 \gamma ^ { 4 } - 5 \gamma ^ { 3 } + 8 \gamma ^ { 2 } - 7 \gamma + 1 ) } { \omega \pi C _ { p } ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } ( \gamma ^ { 2 } - \gamma + 1 ) } \le C _ { e } < 0 \right. \right\} .
[ F ^ { \prime } ] = \frac { 2 \kappa ^ { 2 } } { 3 } \lambda _ { i } ( \phi _ { 0 } ) F + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 3 } \frac { \partial \lambda _ { i } } { \partial \phi } ( \phi _ { 0 } ) \varphi .
( \hat { A } _ { i j } ^ { ( \mathrm { m o d ) } } , \hat { A } _ { i } ^ { ( \mathrm { m o d ) } } ) = ( \hat { A } _ { i j } ^ { ( \theta _ { 1 } ) } , \hat { A } _ { i } ^ { ( \theta _ { 1 } ) } ) \quad \, \, \mathrm { i n ~ \{ ( p _ x , p _ y , z , x ) ~ \, : \, ~ | ( p _ x , p _ y ) | \leq ~ L x , ~ \, ~ | z | \leq ~ L x ^ 2 , ~ \, ~ 0 ~ < ~ x ~ < ~ \varepsilon ~ \} ~ } \, .
\begin{array} { r l } { P ( \Delta } & { { } t _ { k _ { p } } ^ { i } | \vartheta ) = \bigg [ \sum _ { m = 1 } ^ { M } \pi _ { m } \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { p l } } \frac { \lambda _ { m } } { 2 } } \\ { \times } & { { } \exp \Big ( \frac { \lambda _ { m } } { 2 } \left( 2 ( \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k _ { p } } ^ { i } - n T ) + \lambda _ { m } \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } \right) \Big ) } \\ { \times } & { { } \mathrm { e r f c } \left( \frac { \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k _ { p } } ^ { i } - n T + \lambda _ { m } \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { I R F } } \sqrt { 2 } } \right) \bigg ] ^ { \mathcal { W } _ { k _ { p } } ^ { i } } , } \end{array}
\left( - \nabla \cdot \left( \frac { \nabla } { | \nabla \bar { U } _ { i m } ^ { k } | } \right) + \lambda _ { 2 } + 2 \lambda _ { 3 } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ^ { k } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ^ { k } ) ^ { 2 } \right) \right) \bar { U } _ { i m } ^ { k + 1 } = \lambda _ { 2 } \hat { U } _ { i m } + 2 \lambda _ { 3 } \bar { U } _ { i m } ^ { k } \; \; \; \mathrm { i n } \; \Omega .
\begin{array} { r l } { \mathrm { I r r } \left( W _ { \mathbf { G } } ( { \mathbf { L } } , \lambda ) ^ { F } \right) } & { \to \mathrm { I r r } \left( { \mathbf { N } } _ { \mathbf { G } } ( { \mathbf { L } } ) ^ { F } \enspace \middle | \enspace \lambda \right) } \\ { \eta } & { \mapsto \left( \widehat { \lambda } \eta \right) ^ { { \mathbf { N } } _ { \mathbf { G } } ( { \mathbf { L } } ) ^ { F } } } \end{array}
{ P _ { G U E } } ( r _ { \mathbb { R } } ) = \frac { 8 1 \sqrt { 3 } } { 2 \pi } \frac { ( r _ { \mathbb { R } } + r _ { \mathbb { R } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( 1 + r _ { \mathbb { R } } + r _ { \mathbb { R } } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } \ ,
\begin{array} { r l } { { \bf U } _ { n } } & { { } = \left( U _ { n } , U _ { n - 1 } , \ldots , U _ { 1 } , U _ { n } U _ { n } , U _ { n } U _ { n - 1 } , \ldots , U _ { 1 } U _ { 1 } \right) . } \end{array}
X _ { k } = { \frac { 1 } { 2 } } x _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } x _ { n } \cos \left[ { \frac { \pi } { N } } n \left( k + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right] \quad \quad k = 0 , \dots , N - 1 .
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( x , y , z , t ) } & { { } = \overline { { \rho } } _ { i } ( z ) + \rho _ { i } ^ { \prime } ( x , y , z , t ) , \qquad i \in \{ d , v , c , m , r \} , } \\ { E ( x , y , z , t ) } & { { } = \overline { { E } } ( z ) + { E } ^ { \prime } ( x , y , z , t ) , } \\ { p ( x , y , z , t ) } & { { } = \overline { { p } } ( z ) + p ^ { \prime } ( x , y , z , t ) , } \end{array}
R ( x ) = { \frac { 2 a } { ( 1 + \beta ^ { 2 } ) ( 1 - a x ) ^ { 2 } } } \left[ { \cal Z } _ { 1 } - 2 c ( 1 - a x ) ( 1 - x ) ^ { \frac { \beta ^ { 2 } - 1 } { \beta ^ { 2 } + 1 } } + { \frac { 1 - a x } { 1 - x } } \right] .
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } = } & { { } \frac { 3 [ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) m _ { 2 } + k _ { 2 } m _ { 1 } ] } { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } } \left\{ 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 m _ { 1 } m _ { 2 } k _ { 1 } k _ { 2 } } { [ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) m _ { 2 } + k _ { 2 } m _ { 1 } ] ^ { 2 } } } \right\} . } \end{array}
J _ { N , p , q } ^ { \mathrm { V a r } , \mathrm { A } } ( \varepsilon ) = \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { X } } { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon \gamma _ { x , F , q } } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ^ { x , F } \right) } } \mathrm { V a r } _ { \zeta \sim \mathbb { P } } \left[ \zeta \right] .
d s ^ { 2 } = \frac { \left( d { \bf u } \right) ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } + \frac { u ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \left( d x _ { \mu } \right) ^ { 2 } \equiv G _ { m n } d x ^ { m } d x ^ { n } .
\begin{array} { r l } { H _ { f } = } & { \left( \begin{array} { c c } { H _ { \lambda } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { \mu } } \end{array} \right) , } \\ { H _ { \lambda } = } & { \frac { I } { \tau _ { \lambda } } - \sigma _ { \lambda } T ^ { \top } T , } \\ { H _ { \mu } = } & { \frac { I } { \tau _ { \mu } } - \sigma _ { \mu } P ^ { \top } P , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \phi } _ { 0 } } & { { } = \mathbf { u } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } \eta ( \rho ) + ( \nabla d _ { \Gamma } \cdot \nabla ) \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } = ( \nabla d _ { \Gamma } \cdot \nabla ) \mathbf { v } _ { 0 } ^ { - } ( x , t ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma . } \end{array}
\displaystyle C _ { 1 } \equiv 2 m _ { A } + 3 \lambda _ { A } m _ { Q } \lambda _ { Q } ^ { - 1 } , \quad \displaystyle C _ { 2 } \equiv 2 m _ { A } - 2 \lambda _ { A } m _ { Q } \lambda _ { Q } ^ { - 1 } .
g ( \phi - \phi _ { 0 } ^ { r } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { m a x } 1 0 ^ { - \frac { 3 } { 1 0 } \Big ( \frac { 2 ( \phi - \phi _ { 0 } ^ { r } ) } { \phi _ { 3 d B } } \Big ) ^ { 2 } } , } & { \quad | \phi - \phi _ { 0 } ^ { r } | \leq \phi _ { A } } \\ { g _ { s } , } & { \quad \phi _ { A } \leq | \phi - \phi _ { 0 } ^ { r } | \leq \pi } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r } { b _ { 0 } \left( \epsilon _ { A 0 } + \epsilon _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \right) \delta \phi _ { 0 } = - \frac { ( \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } ^ { * } } ) ^ { 2 } \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } { \tau \epsilon _ { s } } \lvert \delta \phi _ { 1 } \rvert ^ { 2 } \delta \phi _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \rho _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { n } ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } d x + \frac { r _ { 0 } } { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { n , x x } ^ { 2 } ( t ) d x + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) ( u _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 2 } d x d \tau + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) ( u _ { n , x x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } d x d \tau } } \\ & { } & { \le \frac { r _ { 0 } } { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { n , x x } ^ { 2 } d x d \tau + \frac { 2 \ell ^ { 3 } ( 1 + T ) } { 3 r _ { 0 } } \, \Vert g ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \rho _ { 1 } \Vert v _ { 0 , n } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } + r _ { 1 } \Vert u _ { 0 , n x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \varepsilon ^ { l } } { K ^ { l } } + \frac { 1 - \varepsilon ^ { l } } { K ^ { s } } \right) \frac { \mathrm { D } ^ { s } p ^ { l } } { \mathrm { D } t } + \nabla \cdot \mathbf { v } ^ { s } - \nabla \cdot \left( \frac { k ^ { \varepsilon } } { \mu ^ { l } } \mathbf { \nabla } p ^ { l } \right) = 0 ~ \mathrm { o n ~ } \Omega } \\ { \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { t } ^ { \mathrm { t o t } } = 0 ~ \mathrm { o n ~ } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \eta _ { b _ { 1 } } } ^ { \eta _ { b _ { 2 } } } \frac { 1 } { \sqrt { \kappa ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } ( \eta / 2 ) } } \, \mathrm { ~ d ~ } \eta = 4 K ( \kappa ^ { 2 } ) } \end{array}
\tilde { g } ( k ^ { 2 } , \ell ^ { 2 } , k \cdot \ell ) = g _ { 8 } ( k ^ { 2 } , \ell ^ { 2 } , k \cdot \ell ) + ( k ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } ) g _ { 2 } ( k ^ { 2 } , \ell ^ { 2 } , k \cdot \ell ) .
t _ { I \! \! P } = ( P - P ^ { \prime } ) ^ { 2 } , ~ ~ ~ x _ { I \! \! P } = \frac { Q ^ { 2 } + M _ { X } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + W ^ { 2 } } , ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \beta = \frac { Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + M _ { X } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , - w } ( + ) - \delta _ { l , - w } ( + ) } & { { } = \rho _ { \mathrm { { m i x e d } , D ( + ) , I D ( - ) } } \sigma _ { D , ( + ) } \sigma _ { I D , ( - ) } \overline { { k _ { ( - ) } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { t = i h } } & { = \sqrt { \exp ( - \sum _ { j = 1 } ^ { i } \beta _ { j } + o ( h ) ) } = \sqrt { \exp ( o ( h ) ) \prod _ { j = 1 } ^ { i } \exp ( - \beta _ { j } ) } } \\ & { = \sqrt { ( 1 + o ( h ) ) \prod _ { j = 1 } ^ { i } ( 1 - \beta _ { j } + o ( h ) ) } = \sqrt { \prod _ { j = 1 } ^ { i } ( 1 - \beta _ { j } ) + o ( h ) } } \\ & { = \prod _ { j = 1 } ^ { i } \sqrt { 1 - \beta _ { j } } + o ( h ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ \hat { \gamma } _ { \textsc { q } , i } \; , \hat { \gamma } _ { \textsc { q } ^ { \prime } , j } \} = 2 \delta _ { \textsc { q } \textsc { q } ^ { \prime } } \delta _ { i j } \mathbb { 1 } \; \; , \; \; \hat { \gamma } _ { \textsc { q } , i } ^ { \dagger } = \hat { \gamma } _ { \textsc { q } , i } \; \; , \; \; \hat { \gamma } _ { \textsc { q } , i } ^ { 2 } = \mathbb { 1 } . } \end{array}
I _ { 1 } \equiv \tau = ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \; \; \; I _ { 2 } \equiv G ( \tau ) = z \left( 1 + { \frac { u } { \gamma } } \right) ^ { \frac { 2 - \gamma } { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { e c } } & { { } = \hat { T } _ { e } + V ( \underline { { r } } , \underline { { R } } , \underline { { x } } _ { 0 } ) + \Delta V ( \underline { { r } } , \underline { { R } } , \underline { { x } } ) \quad , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \Theta _ { i } \rangle = \ln \left[ \frac { \langle W _ { i } ^ { 2 } \rangle } { W _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \langle ( \Delta W _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \rangle } { \langle W _ { i } ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } \right] . } \end{array}
\Pi _ { \mu \nu } ^ { 3 } \frac { \eta _ { \mu } \eta _ { \nu } } { \eta ^ { 2 } } = - \frac { g ^ { 2 } M ^ { 2 } N } { 1 6 \pi ^ { 2 } } [ 3 y - 3 - y l n ( 4 y ) - F ( y ) / 2 ] ,
\begin{array} { r } { o _ { u } + d _ { u } t _ { \mathrm { i n t } } \ge u _ { i _ { 0 } , k } } \\ { 0 \leq o _ { v } + d _ { v } t _ { \mathrm { i n t } } - v _ { j _ { 0 } , \ell } < \frac { n _ { u } } { n _ { v } } \frac { v _ { j _ { 0 } + 1 } - v _ { j _ { 0 } } } { u _ { i _ { 0 } + 1 } - u _ { i _ { 0 } } } ( u _ { i _ { 0 } , k + 1 } - ( o _ { u } + d _ { u } t _ { \mathrm { i n t } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 2 } = { } } & { { } \tau _ { ( 1 ) } \tau _ { ( 2 ) } \, , } \\ { \lambda _ { 1 } = { } } & { { } \tau _ { ( 1 ) } + \tau _ { ( 2 ) } \, , } \\ { \zeta = { } } & { { } \zeta _ { ( 1 ) } + \zeta _ { ( 2 ) } \, , } \\ { \chi = { } } & { { } \zeta _ { ( 1 ) } \tau _ { ( 2 ) } + \zeta _ { ( 2 ) } \tau _ { ( 1 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi ( \mathbf { q } , \omega ) = \frac { \chi _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } , \omega ) } { 1 - \left[ v ( q ) + K _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { q } ) \right] \chi _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } , \omega ) } , } \end{array}
\sqrt { \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T _ { 0 } + T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \le \frac { \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T _ { 0 } + T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } } { \sqrt T } \left( 1 + \frac { K M ^ { 2 } T ^ { 4 } } { \left( \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T _ { 0 } + T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right) ^ { 2 } } \right) ^ { \frac 1 2 } .
\begin{array} { r } { \overline { { u } } _ { i } = \sum _ { b } ^ { N _ { c } } \left[ \langle \overline { { b } } | g | \overline { { b } } \rangle | \overline { { i } } \rangle - \langle \overline { { b } } | g | \overline { { i } } \rangle | \overline { { b } } \rangle \right] , } \end{array}
d \sigma _ { i } ^ { ( f ) } = 2 \left( \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } C _ { i } \beta _ { 5 } \frac { s } { ( s ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 1 - z } \right) _ { \tilde { \rho } } \frac { f _ { i } ( z , y , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } { ( 1 + y ) ( 1 - y ) } d z d y \sin \theta _ { 1 } d \theta _ { 1 } d \theta _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { H F } } [ \rho _ { 0 } ] = } & { { } \sum _ { i } f _ { i } \varepsilon _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \iint \frac { \rho _ { 0 } ( { \bf r } ) \rho _ { 0 } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \frac { \partial ^ { n } \delta ( x ) } { \partial x ^ { n } } d x = - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \partial f ( x ) } { \partial x } \frac { \partial ^ { n - 1 } \delta ( x ) } { \partial x ^ { n - 1 } } d x ,
[ U _ { \mathrm { O } } ] _ { m , n _ { \mathrm { m i n } } + 1 } = ( Y _ { m } - L _ { y } / 2 ) / \sqrt { \sum _ { j } ( Y _ { m } - L _ { y } / 2 ) ^ { 2 } } = ( Y _ { m } - L _ { y } / 2 ) / \sqrt { \mathcal { N } }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ E ~ n ~ s ~ . ~ N ~ o ~ r ~ m ~ . ~ S ~ t ~ d ~ . ~ } _ { k } = \frac { 1 } { S } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \left\{ \frac { 1 } { y _ { s k } } \sqrt { \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N } | \hat { y } _ { s k } ^ { n } - \frac { 1 } { N } \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \hat { y } _ { s k } ^ { n ^ { \prime } } | ^ { 2 } } { N - 1 } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( x ) \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { } & { - \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( x ) \tilde { r } _ { n } ( x ) + O _ { P } ( \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( x ) C ( M _ { n } ) r ( d , J _ { 0 , n } ) ^ { k + 1 } ) , } \end{array}
B _ { \mu } ^ { \mathrm { m i n } } = \operatorname * { m i n } \left[ \frac { A _ { { \mu } e } ^ { \mathrm { m i n } } } { | U _ { e 4 } | _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { A _ { { \mu } e } ^ { \mathrm { m i n } } } { 4 | U _ { e 4 } | _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } \right) \, , \, | U _ { \mu 4 } | _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } \left( 1 - | U _ { \mu 4 } | _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } \right) \right] \, .
\begin{array} { r l } { \Vert w - 1 \Vert _ { C ^ { m , \theta } } } & { = \Vert \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j } \tau ^ { j } \chi ( x ) ^ { j } \mathfrak { s } _ { j } ( \zeta ( s - h _ { 1 } ( x ) ) , \ldots , \zeta ( s - h _ { k } ( x ) ) ) \Vert _ { C ^ { m , \theta } } } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { k } \tau ^ { j } \Vert \chi ( x ) ^ { j } \mathfrak { s } _ { j } ( \zeta ( s - h _ { 1 } ( x ) ) , \ldots , \zeta ( s - h _ { k } ( x ) ) ) \Vert _ { C ^ { m , \theta } } } \\ & { \leq C _ { 0 , m } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \binom { k } { j } ( 2 j ) ^ { m + 1 } \tau ^ { j } \Vert \chi \Vert _ { C ^ { m , \theta } } ^ { j } \Vert \zeta \Vert _ { C ^ { m , \theta } } ^ { j } ( 1 + \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \ldots , k } \Vert h _ { j } \Vert _ { C ^ { m , \theta } } ) ^ { m j } } \\ & { \leq 2 ^ { m + 1 } C _ { 0 , m } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { k ! } { ( k - j ) ! } \tau ^ { j } \Vert \chi \Vert _ { C ^ { m , \theta } } ^ { j } \Vert \zeta \Vert _ { C ^ { m , \theta } } ^ { j } ( 1 + \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \ldots , k } \Vert h _ { j } \Vert _ { C ^ { m , \theta } } ) ^ { m j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { { \bf { F } } _ { i j } ^ { y k w } } } & { = } & { - { \nabla } { \sum _ { \substack { i < j } } { { { U } } _ { i j } ^ { y k w } } } } \\ { { { \bf { F } } _ { r } ^ { e x t } } } & { = } & { + { Q } { E _ { r } ^ { e x t } } { \hat { r } } } \\ { { { \bf { F } } _ { z } ^ { g } } } & { = } & { - { { m _ { d } } g { \hat { z } } } } \\ { { { \bf { F } } _ { z } ^ { e x t } } } & { = } & { + { Q } { E _ { z } ^ { e x t } } { \hat { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P : = } & { \: P \left( a \upomega _ { + } \right) = - \frac { 1 } { \sin \theta } \partial _ { \theta } ( \sin \theta \partial _ { \theta } ( \cdot ) ) - \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \partial _ { \varphi } ^ { 2 } ( \cdot ) - a ^ { 2 } \upomega _ { + } ^ { 2 } m ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta ( \cdot ) , } \\ { S _ { m \ell } ( \theta ) : = } & { \: S _ { m \ell } \left( \theta ; a m \upomega _ { + } \right) , } \\ { \lambda _ { m \ell } : = } & { \: \lambda _ { m \ell } ^ { \left( a \upomega _ { + } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { r ( \omega ) = \frac { \mathbb { I } + i V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } G ( \omega ) V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } ^ { \dagger } } { \mathbb { I } - i V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } G ( \omega ) V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } ^ { \dagger } } , } \end{array}
g ( a ; p ) = \sum _ { n = 0 } ^ { p - 1 } e ^ { \frac { 2 \pi i a n ^ { 2 } } { p } } = \sum _ { n = 0 } ^ { p - 1 } \zeta _ { p } ^ { a n ^ { 2 } } , \qquad \zeta _ { p } = e ^ { \frac { 2 \pi i } { p } } .
\begin{array} { r l } & { \dot { A } = - \frac { 2 g ^ { 2 } } { \gamma } \frac { 1 } { \gamma ( 1 + \frac { 8 g ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } I ) } \left[ - \frac { 4 i g } { \gamma } ( A ^ { * } F _ { \mathrm { + } } - F _ { \mathrm { + } } ^ { * } A ) - \gamma + F _ { z } \right] A + - \frac { 2 i g } { \gamma } F _ { \mathrm { + } } - \frac { C } { 2 } A + F _ { a } } \\ & { = \frac { \frac { 2 g ^ { 2 } } { \gamma } A } { ( 1 + \frac { 8 g ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } I ) } - \frac { C } { 2 } A + F _ { \mathrm { A } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { n } } & { = \tau _ { n } ^ { \prime } + \frac { 3 } { 4 B } } \\ & { = \frac { 3 } { 2 B } ( n \sin ( \theta _ { 0 } ) - \mathrm { r o u n d } ( n \sin ( \theta _ { 0 } ) ) ) + \frac { 3 } { 4 B } } \\ & { = \left( \frac { 3 } { 2 B } n \sin ( \theta _ { 0 } ) + \frac { 3 } { 4 B } \right) \; \; \; \mathrm { m o d ~ } \frac { 3 } { 2 B } } \end{array}
\mathbf { Y } = \mathbf { \sigma } _ { \mathbf { P } } ^ { * } \circ \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } ( \sigma _ { \mathbf { P } } ^ { - 1 } ( \epsilon , \mathfrak { u } _ { \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } } ) ) ,
Q _ { i } = \sum _ { n _ { i } = 1 } ^ { \infty } g _ { i } ( n _ { i } ) e ^ { - \hbar \omega _ { i } n _ { i } / k _ { \mathrm { B } } T } = \frac { 1 } { ( 1 - e ^ { - \hbar \omega _ { i } / k _ { \mathrm { B } } T } ) ^ { d _ { i } } }
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { l } { \mathrm { \boldmath ~ X ~ } \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } _ { + } ^ { 1 + n } , \ \mathrm { \boldmath ~ X ~ } \in \widetilde { F } , \ \mathrm { \boldmath ~ y ~ } \in G , \ \ y _ { k } ( \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } ) = 0 \ ( k \in M ) , } \\ { \mathrm { \boldmath ~ S ~ } ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s ) \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } _ { + } ^ { 1 + n } , \ \mathrm { \boldmath ~ S ~ } ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s ) \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } = \mathrm { \boldmath ~ O ~ } . } \end{array} \right\} } \end{array}