harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A _ { 2 \omega } ^ { \mathrm { g } } = A _ { 2 \omega } ^ { \mathrm { s } } ( 1 - e ^ { - t / \tau } ) M \tau \iint d k _ { x } d k _ { y } \frac { k _ { y } ^ { 2 } } { \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } } | \hat { j } _ { \mathrm { m o d e } } | ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } z } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + \Delta k ^ { 2 } } + \frac { 1 - e ^ { - \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } z } e ^ { - i \Delta k z } } { 2 ( \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } + i \Delta k ) ^ { 2 } } \right)
K _ { z } = K _ { 3 } = i \left. { \frac { \partial { \widehat { B } } ( \varphi , { \hat { \mathbf { e } } } _ { z } ) } { \partial \varphi } } \right| _ { \varphi = 0 } = i { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \, .
\tau _ { \mathrm { s } } \equiv { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \rho _ { \mathrm { s } } ^ { \infty } ( \tilde { m } _ { \mathrm { s } } ) } { ( A _ { \mathrm { g g } } + A _ { \mathrm { q q } } + \ldots ) } } \, .
f _ { a u x } \left( \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( \phi ) } \mid \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } , \mathbf { b } \right) = \prod _ { i } ^ { N _ { \phi } } { \left( 2 \pi \sigma _ { \phi } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \exp { \left[ - 0 . 5 \sigma _ { \phi } ^ { - 2 } \left( \left[ \mathbf { d } _ { \mathbf { w } } ^ { ( \phi ) } \right] _ { \mathbf { i } } - \left[ \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( \phi ) } \right] _ { \mathbf { i } } \right) ^ { 2 } \right] } }
\begin{array} { r l } { \psi ( p , y ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { N - 3 } A _ { j k } Y _ { k } ( y ) \cos ( 2 \pi p ) + B _ { j k } Y _ { k } ( y ) \sin ( 2 \pi p ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x , S C } } & { = } & { \frac { N _ { p } r _ { p } } { \beta ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } \frac { R } { 2 \sqrt { 2 \pi } \gamma \sigma _ { z } \epsilon _ { x } } = \frac { r _ { p } } { \beta \gamma ^ { 2 } \epsilon _ { x , N } } \lambda _ { G } R , \; \; \; \; \lambda _ { G } = \frac { N _ { p } } { 2 \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { z } } } \end{array}
\underset { = \, \, \mathbf { y } } { \underbrace { [ \mathbf { y } _ { 1 } ^ { T } , \cdots , \mathbf { y } _ { M } ^ { T } ] ^ { T } } } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \underset { = \, \, \mathbf { H } _ { k } } { \underbrace { [ \mathbf { H } _ { 1 k } ^ { T } , \dots , \mathbf { H } _ { M k } ^ { T } ] ^ { T } } } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \mathbf { x } _ { k } } + \underset { = \, \, \mathbf { n } } { \underbrace { [ \mathbf { n } _ { 1 } ^ { T } , \dots , \mathbf { n } _ { M } ^ { T } ] ^ { T } } } ,
\Gamma _ { \mathrm { h a d } } = \Gamma _ { \mathrm { h a d } } ^ { ( 0 ) } \left( 1 + { \frac { \alpha _ { s } ^ { ( 0 ) } } { \pi } } \right) = \Gamma _ { \mathrm { h a d } } ^ { ( 0 ) } \left( 1 + { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \right) + \delta \Gamma _ { \mathrm { n e w } } \, .
\begin{array} { r l } & { \langle \operatorname { O p } _ { \hbar } ( a ) \Psi _ { \alpha , N } , \Psi _ { \alpha , N } \rangle = \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } a ( x , \xi ) W _ { \Psi _ { \alpha , N } , \Psi _ { \alpha , N } } ( x , \xi ) d x d \xi } \\ & { = \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } a ( \frac { 1 } { p _ { 0 } } x , p _ { 0 } \xi ) W _ { \Psi _ { \alpha , N } , \Psi _ { \alpha , N } } ( \frac { 1 } { p _ { 0 } } x , p _ { 0 } \xi ) d x d \xi } \\ & { = \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } a ( \frac { 1 } { p _ { 0 } } x , p _ { 0 } \xi ) W _ { ( J ^ { 1 / 2 } \circ K ) ( \Phi _ { \alpha , N } ) , ( J ^ { 1 / 2 } \circ K ) ( \Phi _ { \alpha , N } ) } ( \xi , - x ) d x d \xi } \\ & { = \frac { c _ { N } ^ { 2 } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } \frac { 1 6 a ( \frac { 1 } { p _ { 0 } } x , p _ { 0 } \xi ) } { ( | \xi + \frac { v } { 2 } | ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( | \xi - \frac { v } { 2 } | ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } \big ( \alpha \cdot \omega ( \xi + \frac { v } { 2 } ) \big ) ^ { N } \big ( \overline { { \alpha } } \cdot \omega ( \xi - \frac { v } { 2 } ) \big ) ^ { N } e ^ { \frac { i } { \hbar } \langle v , x \rangle } d x d \xi d v } \\ & { = \frac { ( N + 1 ) ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 5 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } f ( x , \xi , v ) e ^ { i N P ( x , \xi , v ) } d x d \xi d v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ; Y ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \left( c ( x ; Y ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ; Y ) \, d s \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { w } & { { } = \frac { v } { u } = \frac { \big ( 2 h ( \tau ) \big ) ^ { 1 / 2 } \big ( M _ { \infty } ^ { 2 } ( 1 - \tau ^ { - 2 } ) - 2 h ( \tau ) \big ) ^ { 1 / 2 } } { M _ { \infty } ^ { 2 } ( 1 + \tau ^ { - 1 } ) - 2 h ( \tau ) } \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \mathrm { g e n u i n e ~ c h a r a c t e r s } } \\ { \widetilde { \mathrm { B u n } } _ { T ^ { \sharp } , \infty D } \rightarrow E ^ { \times } } \end{array} \right\} \cong \left\{ \begin{array} { l } { \mathrm { s e c t i o n s ~ o f } } \\ { ^ { L } H _ { \mathring X , \vartheta } \rightarrow \mathrm { W e i l } ( \mathring X , \bar { \eta } ) } \end{array} \right\} ,
\begin{array} { r l r l } { \Omega _ { 0 } } & { { } = 3 2 . 7 4 0 3 , } & { B } & { { } = 2 \pi \times 0 . 2 5 0 3 , } \\ { \Omega _ { 1 } } & { { } = - 3 1 . 1 4 0 4 , } & { \lambda } & { { } = 0 . 9 3 7 2 \, \Omega , } \\ { \omega _ { \Omega } } & { { } = 0 . 2 6 6 8 \, \Omega , } & { \delta _ { 0 } } & { { } = - 0 . 9 4 9 1 \, \Omega , } \\ { \alpha } & { { } = - 0 . 1 1 3 1 , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \nabla } . { H } = \frac { \partial { H } _ { 1 } } { \partial { x } _ { 1 } } + \frac { \partial { H } _ { 2 } } { \partial { x } _ { 2 } } + \frac { \partial { H } _ { 3 } } { \partial { x } _ { 3 } } , } \\ { { \nabla } . { H } = - { q } - { x } _ { 2 } + ( 2 { r } + { 1 } + { p } { x } _ { 1 } - { 2 } { p } { x } _ { 3 } ) { x } _ { 1 } . } \end{array}
m _ { p } ( t ) = \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } \left( \frac { \tilde { G } _ { c } ( 0 , t - 1 ) + \tilde { G } _ { c } ( 0 , t + 1 ) } { 2 \tilde { G } _ { c } ( 0 , t ) } \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathrm { b a r e l y - p a s s i n g } } \mathrm { d } w _ { f } \left( \frac { w _ { f } } { \langle w \rangle _ { \psi } } - \Big \langle \frac { w _ { f } } { w } \Big \rangle _ { \psi } \right) } \\ & { = 4 \sqrt { S _ { f } \left[ ( \mu B _ { f } + u _ { f } ^ { 2 } ) \frac { r } { R } - \frac { Z e } { m } \phi _ { c } \right] } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } \kappa } { \kappa ^ { 2 } } \left( \frac { \pi } { 2 E ( \kappa ) } - \frac { 2 } { \pi } K ( \kappa ) \right) } \end{array}
\{ J _ { \varphi } ^ { a } ( \varphi ) , ~ J ^ { b c } ( \varphi ^ { \prime } ) \} = \left( f ^ { a b d } J ^ { d c } ( \varphi ) + f ^ { a c d } J ^ { b d } ( \varphi ) \right) \delta ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) .
\gamma _ { r } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { e ^ { - i \theta } } } \\ { { e ^ { i \theta } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad \gamma _ { \theta } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i e ^ { - i \theta } } } \\ { { i e ^ { i \theta } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } { \left[ L ^ { 2 } , L _ { x } \right] } & { = \left[ L _ { x } ^ { 2 } , L _ { x } \right] + \left[ L _ { y } ^ { 2 } , L _ { x } \right] + \left[ L _ { z } ^ { 2 } , L _ { x } \right] } \\ & { = L _ { y } \left[ L _ { y } , L _ { x } \right] + \left[ L _ { y } , L _ { x } \right] L _ { y } + L _ { z } \left[ L _ { z } , L _ { x } \right] + \left[ L _ { z } , L _ { x } \right] L _ { z } } \\ & { = L _ { y } \left( - i \hbar L _ { z } \right) + \left( - i \hbar L _ { z } \right) L _ { y } + L _ { z } \left( i \hbar L _ { y } \right) + \left( i \hbar L _ { y } \right) L _ { z } } \\ & { = 0 } \end{array} }
\frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } E _ { D + W } [ v _ { A } ^ { \varepsilon } , v _ { B } ^ { \varepsilon } , v _ { S } ^ { \varepsilon } ] = \int _ { \Omega _ { A } ( t ) } \mathcal { F } _ { A } \cdot \varphi _ { A } { \ } d x + \int _ { \Omega _ { B } ( t ) } \mathcal { F } _ { B } \cdot \varphi _ { B } { \ } d x + \int _ { \Gamma ( t ) } \mathcal { F } _ { S } \cdot \varphi _ { S } { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } .
\alpha _ { \lambda } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 . 0 2 6 6 5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { \mathrm { c h a r m o n i u m , } } } \\ { { 0 . 0 6 7 9 5 ~ ~ ~ ~ } } & { { \mathrm { b o t t o m o n i u m , } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { w _ { j } } & { = } & { m _ { i } W _ { i j } + m _ { k } W _ { k j } , } \\ { w _ { i } } & { = } & { m _ { 1 } W _ { 1 i } + m _ { j } W _ { j i } + m _ { k } W _ { k i } , } \\ { w _ { 1 } } & { = } & { m _ { i } W _ { i 1 } , } \\ { w _ { 1 } } & { = } & { w _ { i } , } \\ { w _ { i } } & { = } & { w _ { j } , } \end{array}
\sigma ^ { \mu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } } \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) \mapsto \sigma ^ { \mu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \prime \mu } } } \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ^ { \prime } ) = \left( S ^ { - 1 } \right) ^ { \dagger } \sigma ^ { \mu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } } \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x )
\begin{array} { r l } { \Gamma \big | _ { \Delta p > \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } = } & { { } \, \frac { n _ { g } A } { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ( \overline { { v } } ^ { 2 } e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { { } \, \frac { n _ { g } A } { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ( 2 \overline { { v } } ^ { 2 } e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) = \frac { ( 2 D \tau ) ^ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } } e ^ { \frac { L _ { f } ^ { 2 } } { 2 D \tau } } \left( \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 5 } { 2 } \right) - \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 5 } { 2 } , \frac { L _ { f } ^ { 2 } } { 2 D \tau } \right) \right) + L _ { f } ^ { \frac { 2 \gamma } { D } + 1 } \left( 2 D \tau + L _ { f } ^ { 2 } \right) } { L _ { f } ^ { \frac { 2 \gamma } { D } + 1 } + ( 2 D \tau ) ^ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \frac { L _ { f } ^ { 2 } } { 2 D \tau } } \left( \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } \right) - \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } , \frac { L _ { f } ^ { 2 } } { 2 D \tau } \right) \right) } - \overline { { L } } ( \tau ) ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \| \mathsf { h } _ { \mathcal { B } } ( u ) - \mathsf { h } _ { \mathcal { B } } ( u ^ { \prime } ) - \{ \mathsf { h } ( u ) - \mathsf { h } ( u ^ { \prime } ) \} \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \mathsf { b } ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { \mathsf { b } } \mathbb { E } \left[ \| \mathsf { h } _ { I _ { \ell } } ( u ) - \mathsf { h } _ { I _ { \ell } } ( u ^ { \prime } ) - \mathsf { h } ( u ) + \mathsf { h } ( u ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } \right] \; . } \end{array}
\hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 0 } , \mathit { k } ) = \frac { \exp ( i \mathit { k } \mathit { R } ) } { 4 \pi R } \left[ \left( 1 + \frac { i \mathit { k } \mathit { R } - 1 } { \mathit { k } ^ { 2 } \mathit { R } ^ { 2 } } \right) \hat { \mathbf { I } } + \frac { 3 - 3 i \mathit { k } \mathit { R } - \mathit { k } ^ { 2 } \mathit { R } ^ { 2 } } { \mathit { k } ^ { 2 } \mathit { R } ^ { 2 } } \frac { \mathbf { R } \mathbf { R } } { \mathit { R } ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { H _ { v } ( n \omega _ { o } ) | _ { \omega _ { o } = 1 } } & { = \frac { 1 } { D _ { 0 . 5 } ( n ) } \angle - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 0 . 7 1 \sqrt { n } } { 1 + 0 . 7 1 \sqrt { n } } \right) } \\ { H _ { i } ( n \omega _ { o } ) | _ { \omega _ { o } = 1 } } & { = \frac { 1 . 4 7 1 \sqrt { n } } { D _ { 0 . 5 } ( n ) } \angle \frac { \pi } { 4 } - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 0 . 7 1 \sqrt { n } } { 1 + 0 . 7 1 \sqrt { n } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { n } a _ { i } x ^ { i + 1 } + \sum _ { i = 0 } ^ { n } a _ { i } x ^ { i } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } a _ { i - 1 } x ^ { i } + \sum _ { i = 0 } ^ { n } a _ { i } x ^ { i } } \end{array}
\textbf { U } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } } } & { } \\ { \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { f } } } { \mathrm { d } t } } & { = } & { \dot { m } _ { \mathrm { f , i n } } - \frac { \dot { m } _ { \mathrm { n } } } { 1 + \mathrm { O F } } } \\ { \frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { o } } } { \mathrm { d } t } } & { = } & { \dot { m } _ { \mathrm { o , i n } } - \frac { \dot { m } _ { \mathrm { n } } } { 1 + 1 / \mathrm { O F } } } \end{array}
F ( M _ { 1 } ^ { 2 } , M _ { 2 } ^ { 2 } ) = M _ { 1 } ^ { 2 } + M _ { 2 } ^ { 2 } - 2 { \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 2 } ^ { 2 } } { M _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { 2 } ^ { 2 } } } \ln { \frac { M _ { 1 } ^ { 2 } } { M _ { 2 } ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r l r } { { \bf E } \left( \tau _ { x _ { 0 } , 0 } \right) } & { { } = } & { { \bf E } \left( \tau _ { 0 , 0 } \right) + x _ { 0 } z ^ { \prime } \left( 1 \right) = \frac { b _ { 0 } x _ { 0 } + \mu _ { \delta } } { b _ { 0 } \left( \mu _ { \delta } - \mu _ { \beta } \right) } \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mu _ { \beta } < \mu _ { \delta } \mathrm { ~ ( ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ r ~ e ~ c ~ u ~ r ~ r ~ e ~ n ~ c ~ e ~ ) ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \zeta ( \varphi _ { 2 } ) - \zeta ( \varphi _ { 1 } ) \right| } & { = \left| \int _ { \varphi _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 2 } } f _ { h } ^ { \prime } ( e ^ { i \psi } ) i e ^ { i \psi } \, d \psi \right| \geq \left| e ^ { i \varphi _ { 2 } } - e ^ { i \varphi _ { 1 } } \right| - | \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } | | | | h | | | _ { C ^ { 1 } ( \overline { { \mathbb { D } } } ) } } \\ & { = 2 \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } } { 2 } \right) \right| - | \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } | | | | h | | | _ { C ^ { 1 } ( \overline { { \mathbb { D } } } ) } \geq | \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } | \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - | | | h | | | _ { C ^ { 1 } ( \overline { { \mathbb { D } } } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { 2 } G ( E _ { 3 3 } , n _ { S N } ) ( V , V ) } & { = \left( \begin{array} { c } { \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 1 } } { \partial { u } ^ { 2 } } V _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 1 } } { \partial { u } \partial { v } } V _ { 1 } V _ { 2 } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 1 } } { \partial { v } ^ { 2 } } V _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 2 } } { \partial { u } ^ { 2 } } V _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 2 } } { \partial { u } \partial { v } } V _ { 1 } V _ { 2 } + \frac { { \partial } ^ { 2 } { G } _ { 2 } } { \partial { v } ^ { 2 } } V _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) _ { ( E _ { 3 3 } , n _ { S N } ) } } \\ & { = \left( \begin{array} { c } { \frac { - 2 u _ { 3 3 } ^ { 3 } - 6 n _ { S N } u _ { 3 3 } ^ { 2 } - 6 n _ { S N } ^ { 2 } u _ { 3 3 } + ( 2 m + 2 ) n _ { S N } ^ { 2 } + 2 m n _ { S N } } { ( u _ { 3 3 } + n _ { S N } ) ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 4 c u _ { 3 3 } } } \\ { - \frac { 5 \theta } { 4 c u _ { 3 3 } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { E _ { t , s _ { N } } } \\ { 0 } \\ { E _ { t , p _ { N } } } \\ { 0 } \end{array} \right) = Q \left( \begin{array} { c } { E _ { i , s _ { 1 } } } \\ { E _ { r , s _ { 1 } } } \\ { E _ { i , p _ { 1 } } } \\ { E _ { r , p _ { 1 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { Q _ { 1 1 } } & { Q _ { 1 2 } } & { Q _ { 1 3 } } & { Q _ { 1 4 } } \\ { Q _ { 2 1 } } & { Q _ { 2 2 } } & { Q _ { 2 3 } } & { Q _ { 2 4 } } \\ { Q _ { 3 1 } } & { Q _ { 3 2 } } & { Q _ { 3 3 } } & { Q _ { 3 4 } } \\ { Q _ { 4 1 } } & { Q _ { 4 2 } } & { Q _ { 4 3 } } & { Q _ { 4 4 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { E _ { i , s _ { 1 } } } \\ { E _ { r , s _ { 1 } } } \\ { E _ { i , p _ { 1 } } } \\ { E _ { r , p _ { 1 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 3 } N _ { c } ( \Delta p ) } { d A \, d t } = n _ { g } \frac { d \Delta p } { m _ { g } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ( } & { \frac { \Delta p } { 2 m _ { g } } e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \bigg ( \frac { \Delta p ^ { 2 } } { 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } } - \overline { { v } } \bigg ) \mathrm { e r f } \big ( \Delta p / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 4 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) . } \end{array}
\widehat { k } _ { R \rightarrow P } \approx k _ { R \rightarrow P } + \sqrt { \frac { \mathrm { V a r } ( \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ) } { t _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ^ { 2 } M _ { \mathrm { r e a l } } } + \frac { p _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ^ { 2 } \mathrm { V a r } ( \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ) } { t _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ^ { 4 } n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } } G _ { k } .
\begin{array} { r l } { { 1 } \qquad \simeq \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \frac { 2 } { \tau } \Bigg | \sum _ { l } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \Bigg [ } & { \frac { c _ { l } - i s _ { l } } { 2 } \frac { 1 } { i ( \omega _ { 0 } + \omega ) - \frac { \Gamma } { 2 } } } \\ { + } & { \frac { c _ { l } + i s _ { l } } { 2 } \frac { 1 } { i ( \omega - \omega _ { 0 } ) - \frac { \Gamma } { 2 } } \Bigg ] \Bigg | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( t , e ) ^ { 2 } ( \nabla u ( t , e ) ) ^ { 2 } } & { \leq C \int _ { t } ^ { \infty } k _ { s - t } \mathbf { a } ( s , e ) ( \nabla u ( s , e ) ) ^ { 2 } \, d s } \\ & { \qquad + C \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \int _ { t } ^ { \infty } k _ { s - t } ( s - t ) \int _ { t } ^ { s } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) ( \nabla u ( s ^ { \prime } , e ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } \, d s ^ { \prime } } \\ & { \leq C \sum _ { e ^ { \prime } \cap e \neq \emptyset } \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \mathbf { a } ( s , e ^ { \prime } ) ( \nabla u ( s , e ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { t l } ( \mathbf { m } _ { b } , \mathbf { m } _ { m } ) = } & { { } \| \mathbf { R u } ( \mathbf { m } _ { b } ) - \mathbf { d } _ { b } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \mathbf { R u } ( \mathbf { m } _ { m } ) - \mathbf { d } _ { m } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \boldsymbol { \lambda } } \big ( \mathcal P _ { m , L } ( \ell _ { r , s } ^ { n } ) \big ) } & { \prec _ { C ^ { m } } \Big ( \frac { n } { m } \Big ) ^ { m / r ^ { \prime } } \log ( m - L ) ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \Big ( \frac { m ^ { \frac { m - L } { r ^ { \prime } } - \frac { m } { r } } } { n ^ { \frac { m - L } { r ^ { \prime } } } } \Big ) ( m - L ) ^ { \frac { m } { r } } . } \end{array}
f = ( c _ { 0 } + 2 m c _ { 1 } + c _ { 2 } m ^ { 2 } ) x ^ { 2 } + ( d _ { 0 } + 3 m d _ { 1 } + 3 m ^ { 2 } d _ { 2 } + d _ { 3 } m ^ { 3 } ) x ^ { 3 } + \dots .
\begin{array} { r l } { { 1 } \frac { i } { 2 } \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { V } ( t ) \right] } & { = \frac { i } { 2 } \left[ \sum _ { m \neq 0 } \frac { 1 } { i m } \hat { V } _ { m } e ^ { i m \omega t } , \sum _ { m ^ { \prime } \neq 0 } \hat { V } _ { m ^ { \prime } } e ^ { i m ^ { \prime } \omega t } \right] } \\ & { = \sum _ { m , m ^ { \prime } \neq 0 } \frac { e ^ { i ( m + m ^ { \prime } ) \omega t } } { 2 m } \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { V } _ { m ^ { \prime } } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L } & { = { \mathrm { k i n e t i c ~ e n e r g y } } - { \mathrm { p o t e n t i a l ~ e n e r g y } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } m \left( v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } I \left( { { \dot { \theta } } _ { 1 } } ^ { 2 } + { { \dot { \theta } } _ { 2 } } ^ { 2 } \right) - m g \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } m \left( { { \dot { x } } _ { 1 } } ^ { 2 } + { { \dot { y } } _ { 1 } } ^ { 2 } + { { \dot { x } } _ { 2 } } ^ { 2 } + { { \dot { y } } _ { 2 } } ^ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } I \left( { { \dot { \theta } } _ { 1 } } ^ { 2 } + { { \dot { \theta } } _ { 2 } } ^ { 2 } \right) - m g \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \right) } \end{array} }
\mathcal { E } _ { 2 } = \boldsymbol { \gamma } _ { 3 } \cdot \boldsymbol { I } = \boldsymbol { \gamma } _ { 3 } ^ { \textnormal { \scriptsize e c c } } \cdot \boldsymbol { \mathfrak { X } } + \boldsymbol { \gamma } _ { 3 } ^ { \textnormal { \scriptsize i n c } } \cdot \boldsymbol { \Psi } ,
= \sum _ { 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 2 n } / 2 n ! + i \sum _ { 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 2 n + 1 } / ( 2 n + 1 ) ! \ = \ \cos x + i \sin x .
\mathbb { E } _ { p _ { \theta } ( Z , \tilde { Z } , Y ) } \bigg [ \underbrace { \mathcal { L } \big ( Y , h _ { \pi _ { 1 } } ( \tilde { Z } ) \big ) } _ { \mathcal { L } _ { \mathrm { y , c o r r u p t e d } } } + \underbrace { \mathcal { L } \big ( Y , h _ { \pi _ { 1 } } ( Z ) \big ) } _ { \mathcal { L } _ { \mathrm { y , c o r r e c t } } } + \underbrace { \mathcal { L } \big ( X , g _ { \pi _ { 2 } } ( \tilde { Z } ) \big ) } _ { \mathcal { L } _ { d } } \bigg ] .
T _ { L } ^ { \pi ^ { 0 } p \mathrm { ~ - ~ l ~ o ~ o ~ p ~ s ~ } } ( \infty , Q ^ { 2 } ) = - \frac { \alpha _ { \mathrm { e m } } } { 1 2 \pi } \frac { g _ { \pi N } ^ { 2 } } { M ^ { 3 } } Q ^ { 2 } + O ( Q ^ { 4 } )
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { 0 } \nabla ^ { 2 } \psi } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { - \rho ( \boldsymbol { r } ) / \varepsilon _ { \mathrm { i n } } } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { - \rho ( \boldsymbol { r } ) / \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. , } \\ { \nabla \cdot \overleftrightarrow { \boldsymbol { \sigma } } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { u } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { j } _ { + } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { j } _ { - } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\rho \to \rho ^ { \prime } = { \frac { A _ { i } \rho A _ { i } ^ { \dagger } } { \mathrm { P r o b } ( i ) } } = { \frac { A _ { i } \rho A _ { i } ^ { \dagger } } { \operatorname { t r } ( \rho E _ { i } ) } } .
\begin{array} { r l } { Q _ { l } ^ { m } = } & { { } r ^ { l } r _ { x y } ^ { - m } \, P _ { l } ^ { m } , } \\ { s _ { m } = } & { { } r _ { x y } ^ { m } \, \sin { ( m \phi ) } , } \\ { c _ { m } = } & { { } r _ { x y } ^ { m } \, \cos { ( m \phi ) } , } \end{array}