harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \tilde { v } _ { 7 } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - d _ { 2 , 1 } ^ { - 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \frac { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 1 } ( k ) r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } \big ) _ { a } z _ { 2 } ^ { - i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { - i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { \frac { i z _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 1 0 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { d _ { 2 , 1 } \lambda _ { 2 } ^ { - 2 } \big ( \frac { r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 2 } ( k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } \big ) _ { a } z _ { 2 } ^ { i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { - \frac { i z _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 1 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { 2 , 1 } ^ { - 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \frac { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 1 } ( k ) r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } \big ) _ { a } z _ { 2 } ^ { - i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { - i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { \frac { i z _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 9 } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - d _ { 2 , 1 } \lambda _ { 2 } ^ { - 2 } \big ( \frac { r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 2 } ( k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } \big ) _ { a } z _ { 2 } ^ { i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { - \frac { i z _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( x ) = 4 \sin \theta ( 1 - \cos \theta ) / \sqrt { 2 7 } , \quad \theta = 2 \pi \left( x - x _ { a } \right) / \left( x _ { b } - x _ { a } \right) , } \\ & { g ( z ) = \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { \operatorname* { m a x } } } Z _ { l } \sin \left[ 2 \pi l \left( z / L _ { z } + \phi _ { l } \right) \right] , \quad \sum _ { l = 1 } ^ { l _ { \operatorname* { m a x } } } Z _ { l } = 1 , \quad Z _ { l } = 1 . 2 5 Z _ { l + 1 } , } \\ & { h ( t ) = 1 . } \\ & { } \end{array}
| M _ { 1 } ( p p ^ { \prime } q _ { 1 } ; \lambda \lambda ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \approx \sum _ { \lambda ^ { \prime \prime } \in \pm } | V _ { G \to G G } ( p , Q _ { 1 } , q _ { 1 } ; \lambda , \lambda ^ { \prime \prime } ) | | H _ { G \to G } ( Q _ { 1 } , p ^ { \prime } ; \lambda ^ { \prime \prime } , \lambda ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l r } { R ( \eta ; v , w , \chi ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ ( \boldsymbol { a } _ { y y } ( \eta ) ( v - w ) ^ { 2 } , \nabla \chi ) + 2 ( \boldsymbol { a } _ { y \boldsymbol { z } } ( \eta ) \nabla ( v - w ) ( v - w ) , \nabla \chi ) } \\ & { } & { + ( \nabla ( v - w ) ^ { T } \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z z } } ( \eta ) \nabla ( v - w ) , \nabla \chi ) + ( f _ { y y } ( \eta ) ( v - w ) ^ { 2 } , \chi ) } \\ & { } & { + 2 ( f _ { y \boldsymbol { z } } ( \eta ) \cdot \nabla ( v - w ) ( v - w ) , \chi ) } \\ & { } & { + ( \nabla ( v - w ) ^ { T } f _ { \boldsymbol { z z } } ( \eta ) \nabla ( v - w ) , \chi ) \Big ] ( 1 - t ) \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { f a r } ( \mathbf { k } ) = - j \omega \mu _ { 0 } \frac { e ^ { - j k _ { 0 } r } } { 4 \pi r } \int _ { v } } & { \left( \mathbf { a } _ { \theta } \mathbf { a } _ { \theta } + \mathbf { a } _ { \varphi } \mathbf { a } _ { \varphi } \right) \cdot \mathbf { J } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } \\ & { \exp \left( j \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } \right) d \mathbf { r } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 2 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { C e ^ { - \rho \left( m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } \right) / 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \left( 1 + \left\vert \mathbf { g } \right\vert \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 1 - \gamma / 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } d \boldsymbol { \omega } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { C e ^ { - \rho \left( m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } \right) / 2 } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } \right) } \end{array}
B _ { 2 } ( \theta , \varphi ) - \bar { B } _ { 2 } ( \varphi ) - \partial _ { \varphi } \left( \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 B _ { 0 } ^ { \prime } } \right) = \varphi _ { b } ^ { \prime } \left[ B _ { 2 } ( \theta , \varphi ) - \bar { B } _ { 2 } ( \varphi ) - \partial _ { \varphi } \left( \frac { B _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 B _ { 0 } ^ { \prime } } \right) \right] _ { b }
\hat { x } _ { 1 2 } = x _ { 1 2 } + { \frac { 2 i } { ( 1 2 ) } } [ ( 1 ^ { - } 2 ) \theta _ { 1 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 1 } ^ { + } - ( 1 2 ^ { - } ) \theta _ { 2 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 2 } ^ { + } + \theta _ { 1 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 2 } ^ { + } + \theta _ { 2 } ^ { + } \bar { \theta } _ { 1 } ^ { + } ] \ .
\begin{array} { r } { \mathbf { h } _ { r } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { N } \mathbf { H } _ { m n } ^ { H } \mathbf { \Phi } _ { M } \mathbf { h } _ { t , k } ^ { H } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { n = 1 } ^ { N } | { h } _ { t , k m } | | { H } _ { m n } | | { h } _ { r n } | e ^ { - j ( \phi _ { t , k m } + e ^ { - j \eta _ { m } } + e ^ { - j \phi _ { m n } } + e ^ { - j \psi _ { n } } + \phi _ { r n } ) } , } \end{array}
{ \bf j } _ { \mathrm { o r b i t a l } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \frac { q } { 2 m } \left[ \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) ( i \hbar \nabla - q \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ) \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + \psi ^ { * } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ( - i \hbar \nabla - q \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ) \psi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] \; .
\frac { f ( a ) } { f ( a ) ^ { 2 } + f ( a ) f ( b ) + f ( b ) ^ { 2 } + 3 } + \frac { f ( b ) } { f ( b ) ^ { 2 } + f ( b ) f ( c ) + f ( c ) ^ { 2 } + 3 } + \frac { f ( c ) } { f ( c ) ^ { 2 } + f ( c ) f ( a ) + f ( a ) ^ { 2 } + 3 } \leq \frac { 0 . 5 + 2 f ( a ) f ( b ) } { ( f ( a ) ^ { 2 } + f ( a ) f ( b ) + f ( b ) ^ { 2 } + 3 ) } + \frac { 0 . 5 + f ( b ) f ( c ) } { ( f ( b ) ^ { 2 } + f ( b ) f ( c ) + f ( c ) ^ { 2 } + 3 ) } + \frac { 0 . 5 + f ( c ) f ( a ) } { ( f ( c ) ^ { 2 } + f ( c ) f ( a ) + f ( a ) ^ { 2 } + 3 ) }
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 3 \, 2 } ^ { - 3 } ( i ) = } & { { } - \frac { 1 } { 1 6 } \sqrt { 1 0 5 } \sin i ( \cos i ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \sqrt { 1 0 5 } \sin i \cos i } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textsf { X } _ { A } ^ { \pm } } & { { } \rightarrowtail \vert \phi ^ { \pm } \rangle _ { B C } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 0 0 \rangle \pm \vert 1 1 \rangle ) , } \\ { \textsf { Y } _ { A } ^ { \pm } } & { { } \rightarrowtail \vert \psi ^ { \mp } \rangle _ { B C } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 0 0 \rangle \mp i \vert 1 1 \rangle ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ m ~ 1 ~ } } & { { } = \int \left( - \frac { 1 } { n _ { h } } \left( { \nabla } \times ( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } ) \right) \times \left( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } \right) \right) \cdot { \mathbf C } \mathrm { d } { \mathbf x } } \end{array}
H _ { \mathrm { c a v } } = \sum _ { c d } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } { p } _ { c d } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { c } ^ { 2 } \left( { q } _ { c d } + \sqrt { R } \, { \frac { \nu _ { d } ( \{ { \bf q } _ { i } \} ) } { \omega _ { c } } } \right) ^ { 2 } \right] ,
{ \begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( x _ { i } - \mu \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( x _ { i } ^ { 2 } - 2 \mu x _ { i } + \mu ^ { 2 } \right) } \\ & { = \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { 2 } \right) - 2 \mu \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } \right) + \mu ^ { 2 } } \\ & { = \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { 2 } \right) - \mu ^ { 2 } } \end{array} }
\textstyle \bar { Q } _ { [ m , n - \ell ] } ^ { + } A _ { n - \ell } ^ { - 1 } ( x , y ) = - \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { \vec { v } } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x - y } } { w ^ { x - y - n + \ell + m } } \prod _ { i = m } ^ { n - \ell } \frac { \alpha _ { i } ^ { + } a _ { i } ( w ) } { v _ { i } - w } \frac { a _ { n - \ell } ( \theta ) } { a _ { n - \ell } ( w ) } .
\operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \; \langle \; O _ { N } \; \rangle \; = \; \operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \; \int \; \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { d b _ { n } } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( \; - \; \frac { 1 + \lambda } { 2 } \; \sum _ { n = 1 } ^ { N } \; b _ { n } ^ { 2 } \; - \; \frac { 1 } { 2 } \; \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } \; b _ { n } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \left| \, y _ { \ell } ^ { \mathrm { r k S Z } } ( M , z ) \, \right| ^ { 2 } } & { { } \simeq \frac { \pi } { 2 } \, \left[ \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 2 0 0 } } \eta ( \theta ) \, J _ { 1 } ( \ell \, \theta ) \, \mathrm { d } \theta \right] ^ { 2 } } \\ { \eta ( \theta ) } & { { } = \frac { 2 \sigma _ { T } } { c } R ( \theta ) \, \int _ { R ( \theta ) } ^ { r _ { 2 0 0 } } \frac { n _ { e } ( r ) \, r \, \omega ( r ) \mathrm { d } r } { \sqrt { r ^ { 2 } - R ( \theta ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ } & { U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ] } \\ { = } & { \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n + 1 ) } > 0 , T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ] } \\ & { \quad \quad \quad \cdot \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } > 0 \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ) } \\ & { + \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } \! \le \! 0 , T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] } \\ & { \quad \quad \quad \cdot \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } \le 0 \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ) } \\ & { + \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid \neg \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } \! \le \! 0 , T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] } \\ & { \quad \quad \cdot \operatorname* { P r } ( \neg \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n + 1 ) } \le 0 \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ) \, . } \end{array}
f ( t ) \approx \left\{ \begin{array} { l l } { - ( 3 . 0 \times 1 0 ^ { - 6 } t ^ { 3 } ) + ( 5 . 3 \times 1 0 ^ { - 4 } t ^ { 2 } ) - ( 3 . 0 \times 1 0 ^ { - 2 } t ) + 1 . 6 1 } & { { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x / n \leq 0 . 0 0 2 4 } } \\ { 1 . 0 0 } & { { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x / n > 0 . 0 0 2 4 } } \end{array} \right.
\alpha ( \mathbf { E } _ { \mathrm { { i n c } } } , \omega , \mathbf { k } _ { \mathrm { { i n c } } } ) \propto \mathbf { J _ { \mathrm { { r a d } } } } \mathbf { J _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \dagger } } \tilde { \mathrm { { E } } } _ { \mathrm { { r a d } } } \mathrm { { { E } } _ { \mathrm { { i n c } } } , }
\frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \dagger } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { a } - \mathbf { K } _ { b } \right) \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \frac { 1 } { 4 } ( - \hat { \mathbf { F } } _ { a } + \hat { \mathbf { F } } _ { b } - \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { w } } ) ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \hat { \mathsf { K } } _ { 0 } - \hat { \mathsf { P } } _ { 0 } - \hat { \mathsf { W } } _ { 0 } = \omega ^ { 2 } \frac { 1 } { 8 } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } - \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } - \overline { { \mathsf { P } } } _ { \mathrm { e f f } } \, .
\lambda = \frac { \mathrm { d } x } { y } = { R } \, \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } u } \, { \cal W } = { R } \left( \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } u } \mathrm { d } B - \frac { \mathrm { d } a _ { D } } { \mathrm { d } u } \mathrm { d } A \right) \ ,
\widetilde { \Delta I _ { L , k } } = \frac { \widetilde { V _ { L } } \widetilde { T _ { s } } } { \widetilde { L _ { k } } } = \widetilde { D _ { k } } \frac { \widetilde { V _ { L x , k } } - \widetilde { V _ { o } } } { \widetilde { L _ { k } } \widetilde { F _ { k } } }
\begin{array} { r l } { A _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } & { { } = h _ { 1 } h _ { 2 } \mathrm { ~ o ~ r ~ } h _ { 0 } ^ { 2 } , } \\ { \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } & { { } = \omega ( x _ { b \pm } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } , 0 ) \mathrm { ~ o ~ r ~ } \omega ( x _ { o } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } , 0 ) , } \\ { G _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } ; t _ { l } } } & { { } = G ( x _ { b \pm } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } , t _ { l } ) \mathrm { ~ o ~ r ~ } G ( x _ { o } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } , t _ { l } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } d ( t ) } & { = \frac { \partial } { \partial t } \bar { g } ( t ) = - 2 \operatorname { R i c } ( \bar { g } ( t ) ) + 2 \operatorname { R i c } ( \bar { g } _ { 0 } ) + \mathcal { L } _ { \frac { \partial \varphi ^ { \prime } ( t ) } { \partial t } } \bar { g } _ { 0 } - \mathcal { L } _ { \frac { \partial \varphi ( t ) } { \partial t } } \bar { g } ( t ) } \\ & { = \Delta d ( t ) + \operatorname { R m } * d ( t ) + F _ { \bar { g } ^ { - 1 } } * \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } d ( t ) * \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } d ( t ) + \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } \left( G _ { \Gamma ( \bar { g } _ { 0 } ) } * d ( t ) * \nabla ^ { \bar { g } _ { 0 } } d ( t ) \right) , } \end{array}
\vec { \mathbb { A } } _ { m } ^ { - } ( - \vec { \nu } _ { i } ) \propto \hat { h } _ { m } ( \vec { \nu } _ { d } - \vec { \nu } _ { i } ) = \hat { h } _ { m } ( - 2 \vec { \nu } _ { i } ) = \hat { h } _ { m } ^ { * } ( 2 \vec { \nu } _ { i } )
\Lambda _ { h _ { i } } ^ { i } = \{ \lambda \in \mathcal { C } ^ { 0 } ( \overline { { \gamma } } ) , \lambda | _ { e } \in \mathbb { P } ^ { 0 } ( e ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } e \in \{ e _ { 0 } ^ { i } , e _ { L } ^ { i } \} , \ \ \lambda | _ { e } \in \mathbb { P } ^ { 1 } ( e ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } e \in \mathcal { T } _ { h _ { i } } ( \gamma ) \backslash \{ e _ { 0 } ^ { i } , e _ { L } ^ { i } \} \}
\begin{array} { r l } { P ^ { \pm } ( d _ { F D } = H ^ { + } ) = 2 P ^ { \pm } ( d _ { 1 } = H ^ { + } ) \sum _ { t _ { 1 } \in \mathbb { N } } } & { \sum _ { t _ { 2 } \in \mathbb { N } } P ^ { \pm } ( F D = 1 | T _ { 1 } = t _ { 1 } , T _ { 2 } = t _ { 2 } , d _ { 1 } = H ^ { + } ) } \\ & { \qquad \quad \times P ^ { \pm } ( T _ { 1 } = t _ { 1 } , T _ { 2 } = t _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) . } \end{array}
U ( \pmb { r } ) = U ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , - L _ { x } < x < L _ { x } , - L _ { y } < y < L _ { y } } \\ { \infty , \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { \mathop { V a r } } \big [ \hat { P } ( y \mid \theta _ { t } ) \big ] } & { { } = \frac { 1 } { S n _ { \mathrm { e x p } } } \mathrm { \mathop { V a r } } \big [ w ( x \mid \theta _ { t } ) I ( \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) \ge y ) \big ] } \end{array}
\hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ s ~ } \to \mathrm { ~ o ~ } } = \left( \begin{array} { l l l l } { e ^ { i k / 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i k / 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { - i k / 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { i k / 4 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { I \alpha J \beta } = } & { - 2 \hbar \mathrm { I m } \langle \nabla _ { I \alpha } \phi ^ { \mathrm { G H F } } | \nabla _ { J \beta } \phi ^ { \mathrm { G H F } } \rangle } \\ { = } & { - 2 \hbar \operatorname { I m } \Big [ \sum _ { i } \left\langle \phi _ { i } ^ { ( I \alpha ) } \mid \phi _ { i } ^ { ( J \beta ) } \right\rangle - \sum _ { i j } \left\langle \phi _ { i } ^ { ( I \alpha ) } \mid \phi _ { j } \right\rangle \left\langle \phi _ { j } \mid \phi _ { i } ^ { ( J \beta ) } \right\rangle } \\ & { + \sum _ { i a } \left\langle \phi _ { a } \mid \phi _ { i } ^ { ( J \beta ) } \right\rangle U _ { a i } ^ { I \alpha * } + \sum _ { i a } \left\langle \phi _ { i } ^ { ( I \alpha ) } \mid \phi _ { a } \right\rangle U _ { a i } ^ { J \beta } + \sum _ { i a } U _ { a i } ^ { I \alpha * } U _ { a i } ^ { J \beta } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { \cal { D , E } } = q _ { 1 } q _ { 2 } P _ { d 1 2 } P _ { e 1 2 } , } \\ & { P _ { \cal { D , \bar { E } } } = q _ { 1 } q _ { 2 } P _ { d 1 2 } \bar { P } _ { e 2 1 } + q _ { 1 } \bar { q } _ { 2 } P _ { d 1 } , } \\ & { P _ { \cal { \bar { D } , E } } = q _ { 1 } q _ { 2 } \bar { P } _ { d 1 2 } P _ { e 1 2 } + \bar { q } _ { 1 } q _ { 2 } P _ { e 2 } , } \\ & { P _ { \cal { \bar { D } , \bar { E } } } = \bar { q } _ { 1 } \bar { q } _ { 2 } + q _ { 1 } \bar { q } _ { 2 } \bar { P } _ { d 1 } + \bar { q } _ { 1 } q _ { 2 } \bar { P } _ { e 2 } + q _ { 1 } q _ { 2 } \bar { P } _ { d 1 2 } \bar { P } _ { e 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { a ^ { * } } & { = ( 1 , 0 , 0 ) } & { b ^ { * } } & { = ( 0 , 1 , 0 ) } & { c ^ { * } } & { = ( 0 , 0 , 1 ) } \\ { c ^ { * } } & { = ( 0 , 1 , 1 ) } & { d ^ { * } } & { = ( 1 , 0 , 1 ) } & { f ^ { * } } & { = ( 1 , 1 , 0 ) } \\ { x ^ { * } } & { = ( 0 , 0 , 0 ) } & { y ^ { * } } & { = ( 1 , 1 , 1 ) . } \end{array}
- \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 2 } } \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \sigma } _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } - \vec { \lambda } _ { t } \rangle \right] \le - \epsilon \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { 1 } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } \mathbb E [ \mathcal T _ { 2 } ] .
\int _ { 0 } ^ { L } x ^ { n } \frac { \partial h } { \partial t } d x = \frac { \partial } { \partial t } \int _ { 0 } ^ { L } x ^ { n } h ( t , x ) d x = \beta \Big [ x ^ { n } h ^ { 3 } \frac { \partial h } { \partial x } \Big ] _ { 0 } ^ { L } ,
\begin{array} { r l r } & { k } & { = 0 , ~ ~ ~ ( \lambda _ { R } , \lambda _ { I } ) = ( 1 , 0 ) \; \& \; ( - 2 , 0 ) , } \\ & { k } & { = \pi / 2 , ~ ~ ~ ( \lambda _ { R } , \lambda _ { I } ) = ( 0 , 0 ) \; \& \; ( - 2 , - 1 ) , } \\ & { k } & { = \pi , ~ ~ ~ ( \lambda _ { R } , \lambda _ { I } ) = ( - 1 , 0 ) \; \& \; ( - 2 , 0 ) , } \\ & { k } & { = 3 \pi / 2 , ~ ~ ~ ( \lambda _ { R } , \lambda _ { I } ) = ( 0 , 0 ) \; \& \; ( - 2 , 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 1 } ^ { d e f } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = V _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } p \pm \sqrt { \frac { p ^ { 2 } } { 4 } - q } , \quad V _ { 2 } ^ { d e f } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = V _ { 2 } \left( 1 - \frac { V _ { 1 } + I _ { 1 1 } ( \omega ) ( V _ { 1 } ^ { d e f } - V _ { 1 } ) } { ( V _ { 1 } ^ { d e f } - V _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega ) ) + V _ { 1 } I _ { 2 2 } ( \omega ) } \right) } \end{array}
\left( b / c \right) ^ { \ast } > 0 \mathrm { ~ , ~ } \partial \left( b / c \right) ^ { \ast } / \partial s < 0 \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } \partial ^ { 2 } \left( b / c \right) ^ { \ast } / \partial s ^ { 2 } > 0 ,
\begin{array} { r l r } { X } & { { } = } & { - i a _ { 1 } k _ { n } \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \left\langle u _ { n + 1 } ^ { * > } ( \omega ^ { \prime } - \omega ) u _ { n + 2 } ^ { > } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mu _ { 1 } , \mathcal { L } _ { h } ( \mu _ { 2 } ) ) } & { = ( \mu _ { 1 } , s \nabla _ { h } \cdot ( A _ { h } \phi ^ { n } \boldsymbol { u } _ { \mu _ { 2 } } ) - s \Delta _ { h } \mu _ { 2 } ) } \\ & { = s ( \nabla _ { h } \mu _ { 1 } , \nabla _ { h } \mu _ { 2 } ) - s ( A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \mu _ { 1 } , \boldsymbol { u } _ { \mu _ { 2 } } ) } \\ & { = s ( \nabla _ { h } \mu _ { 1 } , \nabla _ { h } \mu _ { 2 } ) + \frac { s } { \gamma } ( { \cal S } _ { h } \boldsymbol { u } _ { \mu _ { 1 } } , \boldsymbol { u } _ { \mu _ { 2 } } ) } \\ & { = s ( \nabla _ { h } \mu _ { 1 } , \nabla _ { h } \mu _ { 2 } ) + \frac { s } { \gamma } ( \boldsymbol { u } _ { \mu _ { 1 } } , \boldsymbol { u } _ { \mu _ { 2 } } ) + \frac { s } { \gamma } ( \nabla _ { h } \boldsymbol { u } _ { \mu _ { 1 } } , \nabla _ { h } \boldsymbol { u } _ { \mu _ { 2 } } ) , } \end{array}
\sum _ { \sigma \, \in \, S _ { M } } \; c _ { \vec { a } _ { \sigma 1 } \, + \, 2 ( \vec { a } _ { \sigma 2 } + \cdots + \vec { a } _ { \sigma M } ) , \vec { a } _ { \sigma 1 } } \; = \; 0 \; .
\frac { \partial f _ { v } } { \partial t } = u _ { t t } + \alpha ( t ) _ { t } v _ { x x } + \alpha ( t ) v _ { x x t } + \beta ( t ) _ { t } v + \beta ( t ) v _ { t } + \gamma ( t ) _ { t } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) v + \gamma ( t ) ( 2 u u _ { t } + 2 v v _ { t } ) v + \gamma ( t ) ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) v _ { t } .
\begin{array} { r l } { I ( { \bf k } , \omega ) } & { { } = \int d \tau \int d t \langle \hat { c } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { \bf k } ( t + \tau ) + \hat { x } _ { \bf k } ^ { \dagger } ( t ) \hat { x } _ { \bf k } ( t + \tau ) \rangle e ^ { i \omega \tau } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \chi } - \left[ \tilde { \chi } _ { c } + 2 a _ { \Delta N } \frac { k _ { \mathrm { o n } } k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } } { ( k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } \right] < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial e ^ { s } ( { \bf k } ) } { \partial t } } & { = } & { \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \quad \quad } \\ & { } & { s k \left[ s k e ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) e ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) + s _ { p } p e ^ { s } ( { \bf k } ) e ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) + s _ { q } q e ^ { s } ( { \bf k } ) e ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) \right] \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert g g \rangle _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 2 \rangle + \vert 6 \rangle + \vert 1 5 \rangle + \vert 1 7 \rangle ) } \\ { \vert g g \rangle _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 3 \rangle + \vert 5 \rangle + \vert 1 4 \rangle + \vert 1 8 \rangle ) } \\ { \vert g g \rangle _ { 3 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 8 \rangle + \vert 9 \rangle + \vert 1 1 \rangle + \vert 1 2 \rangle ) } \\ { \vert g g \rangle _ { 4 } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 1 \rangle + \vert 1 6 \rangle ) } \\ { \vert g g \rangle _ { 5 } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 4 \rangle + \vert 1 3 \rangle ) } \\ { \vert g g \rangle _ { 6 } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \vert 7 \rangle + \vert 1 0 \rangle ) } \end{array}
A _ { \mathrm { T } } ^ { ( \mathrm { S } , n ) } = 1 2 8 \pi ^ { 2 } \sqrt { \pi \alpha } \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ( \hat { t } \hat { u } / \hat { s } ) \sqrt { - \hat { t } } \, F _ { \mathrm { S } } ^ { ( n ) } ( - x _ { 2 } y _ { 2 } t ) \, ,