harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \frac { \partial I _ { 1 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } + { \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \frac { \partial I _ { 2 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } + { \frac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } ~ { \frac { \partial I _ { 3 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } ~ .
\begin{array} { r l } { S _ { N } ^ { 2 } } & { : = \frac { n ^ { 2 } ( n - 1 ) } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \widehat { \vartheta } _ { \mathtt { A L } } ^ { 2 } = \frac { 4 ( n - 1 ) } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \nu ^ { \prime } \widehat { L } _ { i } / 2 ) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 8 } { ( n - 1 ) ( n - 2 ) ^ { 2 } } \left[ \sum _ { i < j } ( u _ { i j } - \mathbb { E } u _ { 1 2 } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j < k , j \neq i } ( u _ { i j } - \mathbb { E } u _ { 1 2 } ) ( u _ { i k } - \mathbb { E } u _ { 1 2 } ) \right] } \\ & { \qquad - \frac { 4 n ( n - 1 ) } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } ( \widehat { \theta } - \mathbb { E } u _ { 1 2 } ) . } \end{array}
\Delta E _ { G } ^ { \mathrm { Q C S E } } = \left( { \frac { 1 5 - \pi ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } } \right) \left( { \frac { m _ { e } ^ { * } L _ { \mathrm { e f f , C B } } ^ { 4 } + m _ { h } ^ { * } L _ { \mathrm { e f f , V B } } ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } } } \right) q F ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \phi \nabla \bar { \mu } ^ { \mathrm { I } } , } \\ { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \phi \nabla \left( \rho \bar { \upsilon } ^ { \mathrm { I I } } + \bar { \psi } ^ { \mathrm { I I } } \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } \right) + \mathbf { c } , } \\ { \mathbf { c } = } & { { } ~ \nabla \left( ( \tilde { \rho } _ { 1 } - \tilde { \rho } _ { 2 } ) \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \frac { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
{ \bf A } ^ { \prime } = - { \frac { Q } { 2 \pi \epsilon _ { 0 } } } [ { \frac { \bf n } { c ^ { 2 } } } ( { \bf n . v } + c ( 1 + l n { \frac { r } { r _ { 0 } } } ) ) + { \frac { \bf v } { c ^ { 2 } } } ] .
\frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { B } _ { \theta } } } { \partial { { X } ^ { 2 } } } = { { \eta } _ { 1 } } { { B } _ { \theta } } - { { \eta } _ { 3 } } B _ { \theta } ^ { 3 } + { { \eta } _ { 5 } } B _ { \theta } ^ { 5 }
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } ( I G R M _ { s } ) } \\ & { \quad \approx \frac { h } { 4 } \left( { \mathbb { E } } ( \| \nabla G _ { n } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } ) + 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \beta ^ { n - k } { \mathbb { E } } ( \| \nabla G _ { k } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \quad = \frac { h } { 4 } \| \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } \left( \left( \frac { 1 - \beta ^ { n + 1 } } { 1 - \beta } \right) ^ { 2 } + 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \beta ^ { n - k } \left( \frac { 1 - \beta ^ { k + 1 } } { 1 - \beta } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad \quad + \frac { h } { 4 } { \mathbb { E } } ( \| \nabla E _ { i } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) - \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } ) \left( \frac { 1 - \beta ^ { 2 n + 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } + 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \beta ^ { n - k } \frac { 1 - \beta ^ { 2 k + 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } \right) + O ( h ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \theta } ^ { 1 , 1 } } & { { } = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } \partial _ { \theta } \hat { T } , } \\ { g _ { \theta } ^ { 2 , 0 } } & { { } = - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } W _ { \theta } , \; W _ { \theta } = \frac { 4 } { 3 } \partial _ { \| } ^ { 2 - } \hat { u } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } ) } & { { } = - a + ( - b ) \alpha + ( - c ) \alpha ^ { 2 } \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } \mathrm { G F } ( 8 ) , { \mathrm { t h i s ~ o p e r a t i o n ~ i s ~ t h e ~ i d e n t i t y ) } } } \\ { ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } ) + ( d + e \alpha + f \alpha ^ { 2 } ) } & { { } = ( a + d ) + ( b + e ) \alpha + ( c + f ) \alpha ^ { 2 } } \\ { ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } ) ( d + e \alpha + f \alpha ^ { 2 } ) } & { { } = ( a d + b f + c e ) + ( a e + b d + b f + c e + c f ) \alpha + ( a f + b e + c d + c f ) \alpha ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S = s \Bigg ( } & { \sum _ { ( i , j ) } \left( \frac { \left( \pi _ { i j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } \left( l _ { i j } \right) ^ { 2 } } V _ { l } - \frac { 1 } { 1 5 } l o g ( V _ { l } ) - \frac { 1 } { 2 } l o g ( w _ { l } ) \right) } \\ & { + R ( \mathcal { M } ) + R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) + V o l ( \mathcal { M } ) } \\ & { + \frac { \left( \pi ^ { ( s ) } \right) ^ { 2 } } { 2 N } + 1 5 N l o g ( s ) - S ^ { 0 } \Bigg ) } \end{array}
( a _ { 3 } ^ { \prime } a _ { 2 } ^ { \prime } a _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 3 } ^ { \prime } b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) = ( a _ { 2 } a _ { 1 } D , b _ { 2 } b _ { 1 } D )
\mathcal { F } _ { C H } = \frac { 1 } { C a } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \Omega } \left( \frac { \epsilon } { 2 } | | \nabla \phi _ { i } | | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \epsilon } ( \phi _ { i } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \right) d \mathbf { x } ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { n _ { i 0 } ^ { ( 2 ) } } \\ { w _ { i 0 } ^ { ( 2 ) } } \\ { \Psi _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \chi _ { 1 4 } ^ { ( 2 0 ) } } \\ { \chi _ { 1 5 } ^ { ( 2 0 ) } } \\ { \chi _ { 1 6 } ^ { ( 2 0 ) } } \end{array} \right) | \Psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } | ^ { 2 } , } \end{array}
\beta = - \frac { 1 } { \gamma } \left( \frac { \sqrt { m } } { \sqrt { n } } + 1 \right) e ^ { \tau \sqrt { n } } + \frac { 1 } { \gamma } \left( \frac { \sqrt { m } } { \sqrt { n } } - 1 \right) e ^ { - \tau \sqrt { n } } + \frac { 2 } { \gamma } e ^ { \tau \sqrt { m } } ,
f _ { Y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \sqrt { \lambda } } { \sqrt { 2 \pi y _ { 2 } / c } } } \, { \frac { \beta ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) } } \, \left( { \frac { 1 } { y _ { 2 } / c } } \right) ^ { \alpha + 1 } \exp \left( - { \frac { 2 \beta + \lambda ( y _ { 1 } / c - \mu ) ^ { 2 } } { 2 y _ { 2 } / c } } \right) = { \frac { \sqrt { \lambda / c } } { \sqrt { 2 \pi y _ { 2 } } } } \, { \frac { ( c \beta ) ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) } } \, \left( { \frac { 1 } { y _ { 2 } } } \right) ^ { \alpha + 1 } \exp \left( - { \frac { 2 c \beta + ( \lambda / c ) \, ( y _ { 1 } - c \mu ) ^ { 2 } } { 2 y _ { 2 } } } \right) .
( \epsilon _ { \perp } \times q _ { \perp } ) F _ { \gamma ^ { * } \gamma \pi ^ { 0 } } ^ { \bar { q } q } ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } \sqrt { 6 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int \frac { ( \epsilon _ { \perp } \times ( x q _ { \perp } + k _ { \perp } ) ) } { ( x q _ { \perp } + k _ { \perp } ) ^ { 2 } - i \epsilon } \, \Psi ( x , k _ { \perp } ) \, d ^ { 2 } k _ { \perp } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { h } _ { s } ^ { \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } } & { { } = \lambda ^ { a _ { \mathrm { e } } } \: h _ { s } ^ { \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } ( x / \lambda ^ { a _ { \perp } } , y / \lambda ^ { a _ { \perp } } , z / \lambda ^ { a _ { \parallel } } , t / \lambda ^ { a _ { t } } ) , } \\ { \tilde { h } _ { s } ^ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } } & { { } = \lambda ^ { a _ { \mathrm { o } } } \: h _ { s } ^ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } ( x / \lambda ^ { a _ { \perp } } , y / \lambda ^ { a _ { \perp } } , z / \lambda ^ { a _ { \parallel } } , t / \lambda ^ { a _ { t } } ) , } \\ { \tilde { \phi } } & { { } = \lambda ^ { a _ { \mathrm { e } } } \: \phi ( x / \lambda ^ { a _ { \perp } } , y / \lambda ^ { a _ { \perp } } , z / \lambda ^ { a _ { \parallel } } , t / \lambda ^ { a _ { t } } ) , } \end{array}
x \Delta \; = \; x ( \bar { d } - \bar { u } ) \; = \; 1 . 4 3 2 x ^ { 1 . 2 4 } ( 1 - x ) ^ { 9 . 6 6 } ( 1 + 9 . 8 6 x - 2 9 . 0 4 x ^ { 2 } ) .
T \left( { \frac { \partial S } { \partial x } } \right) _ { y } \! d x + T \left( { \frac { \partial S } { \partial y } } \right) _ { x } \! d y = \left( { \frac { \partial U } { \partial x } } \right) _ { y } \! d x + \left( { \frac { \partial U } { \partial y } } \right) _ { x } \! d y + P \left( { \frac { \partial V } { \partial x } } \right) _ { y } \! d x + P \left( { \frac { \partial V } { \partial y } } \right) _ { x } \! d y
\ln J = \alpha \left( \mathrm { T r } _ { V } e ^ { t ( ( D _ { \mu } ) ^ { 2 } \delta _ { \mu \nu } - i F _ { \rho \sigma } ( M ^ { \rho \sigma } ) _ { \mu \nu } ) } - \mathrm { T r } _ { \lambda } e ^ { t { \not D } ^ { 2 } } - \mathrm { T r } _ { \bar { \lambda } } e ^ { t { \not D } ^ { 2 } } \right) .
{ \dot { q } } _ { m + \nu } ^ { p } = ( \pm 1 ) ^ { p + 1 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } \alpha _ { \nu , j } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) { \dot { q } } _ { j } ^ { p } + \beta _ { \nu } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) \right) ^ { 1 / p } , \qquad \nu = 1 , \dots , k
\begin{array} { r l } & { \Psi ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left[ \left( b _ { 0 } \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) + \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) - 2 b _ { 0 } ^ { 2 } \right) \Psi ^ { - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { b _ { 0 } } } + \left( 2 b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) \right) \right] \Psi ^ { \prime } } \\ & { \qquad + \frac { 4 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( 1 - b _ { 0 } \Psi ^ { - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { b _ { 0 } } } \right) \left[ \left( \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) - b _ { 0 } ^ { 2 } \right) \Psi ^ { - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { b _ { 0 } } } + \left( b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) \right) \right] \Psi = 0 . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \omega _ { 0 } \to 0 } \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta \ell ( 0 ) \rangle } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } } & & { \frac { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta v ( 0 ) \rangle } { \sigma _ { \ell } \sigma _ { v } } } \\ { \frac { \langle \delta v ( \tau ) \delta \ell ( 0 ) \rangle } { \sigma _ { \ell } \sigma _ { v } } } & & { \frac { \langle \delta v ( \tau ) \delta v ( 0 ) \rangle } { \sigma _ { v } ^ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & & { 0 } \\ { 0 } & & { e ^ { - \mu \tau } } \end{array} \right) .
\boldsymbol { \Gamma } _ { \nu } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { 1 } _ { i } = 2 E \int _ { V } \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { \cdot } \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { v } ) \, \mathrm { d } V = - 2 E \int _ { V } \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { e } _ { i } ) : \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { v } ) \, \mathrm { d } V ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \Phi _ { 1 } ( t ) - x _ { 1 } - v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) t \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = 2 \int _ { M } ( u _ { 1 } ( \Phi ( t ) ) - v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) ) ( \Phi _ { 1 } ( t ) - x _ { 1 } - t v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) ) \mathrm { d } x } \\ & { \qquad - 2 t \int _ { M } \left[ u _ { 2 } ( \Phi ( t ) ) v _ { * } ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) ( \Phi _ { 1 } ( t ) - x _ { 1 } - t v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) \right] \mathrm { d } x } \\ & { \leq 2 \| u _ { 1 } - v _ { * } \| _ { L ^ { 2 } } \| \Phi _ { 1 } ( t ) - x _ { 1 } - v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) t \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \qquad - 2 t \int _ { M } \left[ u _ { 2 } ( \Phi ( t ) ) v _ { * } ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) ( \Phi _ { 1 } ( t ) - x _ { 1 } - t v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) \right] \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta _ { i } = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } \cos \vartheta _ { i } + k _ { z } \sin \vartheta _ { i } ) ^ { 2 } } } { - k _ { x } \sin \vartheta _ { i } + k _ { z } \cos \vartheta _ { i } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| G _ { L m } u \| ^ { 2 } } & { = \| i u _ { 1 } ^ { \prime } + m u _ { 2 } \| ^ { 2 } + \| i u _ { 2 } ^ { \prime } - m u _ { 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { = \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } + 2 \Re m ( i u _ { 1 } ^ { \prime } , u _ { 2 } ) - 2 \Re m ( u _ { 1 } , i u _ { 2 } ^ { \prime } ) + m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } } \\ & { = \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } + m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } + 2 \Re m \int _ { 0 } ^ { L } \overline { { i u _ { 1 } ^ { \prime } } } u _ { 2 } - 2 \Re m \int _ { 0 } ^ { L } \overline { { u _ { 1 } } } i u _ { 2 } ^ { \prime } } \\ & { = \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } + m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } - 2 \Re m i \, \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } | _ { 0 } ^ { L } } \\ & { = \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } + m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } + m \frac { b } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } | u ( L ) | ^ { 2 } + m | u ( 0 ) | ^ { 2 } \geq m ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( \theta , { \bf r } ) = E ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } , { \bf r } ) + E ( \theta _ { \mathbf { a } ^ { \prime } } , \theta _ { \mathbf { b } } , { \bf r } ) + E ( \theta _ { \mathbf { a } ^ { \prime } } , \theta _ { \mathbf { b } ^ { \prime } } , { \bf r } ) - E ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } ^ { \prime } } , { \bf r } ) . } \end{array}
B ( R ) = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { R } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 / R } } \end{array} \right) .
a _ { 0 } + a _ { 0 } a _ { 1 } + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } + \cdots + a _ { 0 } a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } = { \frac { a _ { 0 } } { 1 + } } \, { \frac { - a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } + } } \, { \cfrac { - a _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } + } } \cdots { \frac { - a _ { n } } { 1 + a _ { n } } } .
\begin{array} { r } { \xi _ { n } = Y _ { T } ^ { n , Z , \Gamma } = Y _ { 0 } ^ { n } + \int _ { 0 } ^ { T } Z _ { t } ^ { n } \cdot d X _ { t } + \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { T r } \left[ ( \Gamma _ { t } ^ { n } + r e ^ { - r t } \eta _ { n } Z _ { t } ^ { n } ( Z _ { t } ^ { n } ) ^ { \top } ) d \langle X \rangle _ { t } \right] - \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { H } _ { n } ( X _ { t } , Z _ { t } , \Gamma _ { t } ) - r Y _ { t } d t \; . } \end{array}
\Phi = \operatorname * { l i m } _ { R \rightarrow \infty } \oint _ { | \vec { r } | = R } d \vec { r } \cdot \vec { A } = - \operatorname * { l i m } _ { R \rightarrow \infty } 2 \pi R \frac { N _ { W } } { e R } a ( e v R ) = - N _ { W } \frac { 2 \pi } { e } ,
\begin{array} { r l r } { h _ { n } ^ { ( o ) } } & { { } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { L - n } t _ { n } | i \rangle \langle i + n | + t _ { n } ^ { \ast } | i + n \rangle \langle i | , } \\ { V } & { { } } & { = \sum _ { i \in \partial \Omega } v _ { i } | i \rangle \langle i | + \sum _ { i , j \in \partial \Omega } v _ { i j } | i \rangle \langle j | , } \end{array}
m _ { T } = \frac { { { m _ { T } } _ { 1 } } { { m _ { T } } _ { 2 } } } { M _ { 5 0 } } = \frac { 4 8 ~ c _ { 2 } ~ c _ { 3 } ~ \langle Y \rangle ^ { 2 } } { M _ { 5 0 } } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { { e ^ { - 2 { \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { 2 d _ { 4 } } { q _ { 2 } } , \frac { 2 d _ { 1 } } { q _ { 1 } } \right\} } } } > { e ^ { - 2 { \delta } } } > 2 { p ^ { 2 } q ^ { 2 } } , } \\ & { \frac { q _ { 1 } } { 2 q _ { 2 } q ^ { 2 } } { e ^ { - 2 { \delta } } } \ge { r _ { a } } > \frac { p ^ { 2 } q _ { 1 } } { q _ { 2 } } , } \\ & { { { r _ { c } } } \ge 2 \bar { D } q _ { 2 } { r _ { a } } { e ^ { { \delta } } } c _ { 0 } ^ { 2 } , } \\ & { 0 < r _ { d } \le \frac { { \lambda _ { \mathrm { m i n } } ( Q _ { 1 } ) } } { 2 | P _ { 1 } B | ^ { 2 } } \left( q _ { 2 } { r _ { a } } - { p ^ { 2 } q _ { 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { A _ { 1 } } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { A _ { 2 } } } & { { = } } & { { F x _ { 1 } + \frac { 2 \pi } { L _ { 2 } } \; \mathrm { D i a g } ( 0 , 1 / N , \ldots , ( N - 1 ) / N ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \phi } \Bigl ( \mathcal { L } \tilde { \eta } + \epsilon \partial _ { R } \tilde { \zeta } \Bigr ) \, \mathrm { d } X \, } & { { } = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } \Bigl ( \Delta \tilde { \phi } - \frac { \epsilon \partial _ { R } \tilde { \phi } } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) \, \mathrm { d } X - \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } \bigl ( R \partial _ { R } + Z \partial _ { Z } \bigr ) \tilde { \phi } \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { { } = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } ^ { 2 } ( 1 + \epsilon R ) \, \mathrm { d } X - \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } \bigl ( R \partial _ { R } + Z \partial _ { Z } \bigr ) \tilde { \phi } \, \mathrm { d } X \, . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x g _ { 1 } ^ { ( \gamma ^ { * } g ) } | _ { \mathrm { h a r d } } = - { \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } \left[ 1 + \frac { 2 m ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 4 ( m ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) / P ^ { 2 } } } \ln \left( \frac { \sqrt { 1 + 4 ( m ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) / P ^ { 2 } } - 1 } { \sqrt { 1 + 4 ( m ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) / P ^ { 2 } } + 1 } \right) \right] .
\begin{array} { r } { \Delta L _ { \mathrm { r e s } } = - 8 \pi N _ { \varphi } \int \mathrm { d } J _ { \mathrm { f } } \int _ { 0 } ^ { I _ { \mathrm { h } } } \mathrm { d } I \, I [ f _ { 0 } ( I ) - f _ { 0 } ( - I ) ] \cos ^ { - 1 } \frac { I } { I _ { \mathrm { h } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { t , h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { t , h _ { 1 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { t , h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { t , h _ { 1 } } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { t , h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { t , h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { t , h _ { 2 } } - F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { t , h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { t , h _ { 2 } } - F _ { t , h _ { 1 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 < \gamma } & { \leq } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 1 7 0 \ell \ln \frac { 4 ( K + 1 ) } { \beta } } , \frac { R } { 9 7 2 0 0 ^ { \frac { 1 } { \alpha } } ( K + 1 ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \sigma \ln ^ { \frac { \alpha - 1 } { \alpha } } \frac { 4 ( K + 1 ) } { \beta } } \right\} , } \\ { \lambda _ { k } \equiv \lambda } & { = } & { \frac { R } { 6 0 \gamma \ln \frac { 4 ( K + 1 ) } { \beta } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \operatorname { a d j } ( M _ { \mathbf { Q } } ) \right) _ { i j } \ll \prod _ { l \neq j } \vert ( M _ { \mathbf { Q } } ) _ { l l } \vert = \prod _ { l \neq j } \vert \sigma _ { l } ( u _ { l } ) \vert } \\ { \ll \prod _ { l \neq j } \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { l - 1 } = \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { \left( \begin{array} { l } { d } \\ { 2 } \end{array} \right) - ( j - 1 ) } } \end{array}
D _ { p } ( G ^ { \prime } , G ^ { \prime \prime } ) = \left[ \sum _ { h = 1 } ^ { r } \left( Q _ { p } ^ { \prime } ( h ) - Q _ { p } ^ { \prime \prime } ( h ) \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \left| \varepsilon _ { x y } \right| } & { { } = \left| \varepsilon _ { y x } \right| , } \\ { \varepsilon _ { x y } ^ { * } \left( \varepsilon _ { x x } - \varepsilon _ { y y } \right) } & { { } = \varepsilon _ { y x } \left( \varepsilon _ { x x } ^ { * } - \varepsilon _ { y y } ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { c u r l } ~ ( \alpha p ) + \beta \boldsymbol { u } = \boldsymbol { f } , } & { } & { \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ { p - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } = 0 , } & { } & { \mathrm { i n } \ \Omega , } \\ { \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t } = 0 , } & { } & { \mathrm { o n } \ \partial \Omega . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \hat { \psi } _ { P } } \\ { \hat { T } _ { P } } \\ { \hat { C } _ { P } } \\ { \hat { A } _ { P } } \end{array} \right) = e ^ { \hat { \sigma } t + i \hat { k } _ { z } z } \sum _ { m = - N } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { \hat { \psi } _ { m } } \\ { \hat { T } _ { m } } \\ { \hat { C } _ { m } } \\ { \hat { A } _ { m } } \end{array} \right) e ^ { i m \hat { l } _ { f } x } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial z } a \! \left( z , t \right) = - \Sigma a \! \left( z , t \right) + \left( \alpha + \mathrm { i } \beta \right) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } a \! \left( z , t \right) + } \\ { + \left( \kappa - \mathrm { i } \gamma \right) P a \! \left( z , t \right) - \left( \kappa \zeta + \mathrm { i } \chi \right) P ^ { 2 } a \! \left( z , t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \iint _ { \Omega \times \mathbb R ^ { d } } f _ { 0 } \varphi _ { 0 } \, d x d v - \int _ { 0 } ^ { T } \iint _ { \Omega \times \mathbb R ^ { d } } f ( \partial _ { t } \varphi + v \cdot \nabla _ { x } \varphi ) \, d x d v d t = \int _ { 0 } ^ { T } \iint _ { \Omega \times \mathbb R ^ { d } } \left( M [ f ] - f \right) \varphi \, d x d v d t . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi } \int \sum _ { k _ { 1 } \in A , k _ { 2 } \in A , k _ { 3 } \in A } \hat { \psi } ( k _ { 1 } ) \hat { \psi } ( k _ { 2 } ) \hat { \psi } ^ { * } ( k _ { 3 } ) e ^ { i ( k _ { 1 } + k _ { 2 } - k - k _ { 3 } ) x } d x .
\begin{array} { r } { \widehat { V } _ { l o c } = \frac { V _ { 0 } } { a } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \widehat { b } _ { n } ^ { \dagger } \widehat { b } _ { n } ( \widehat { u } _ { n + 1 } - \widehat { u } _ { n - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { e e ^ { \prime } } ( \textbf { r } , \tau ) } & { { } = - i \Delta \omega _ { e e ^ { \prime } } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) + i \sum _ { g , \, s } \left( \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e g } s } \rho _ { { g e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) - \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g e ^ { \prime } } s } \right) , } \end{array}
\frac { d u } { d t } = \frac { 6 A } { B } \, \frac { A ^ { 3 / 2 } - \frac { 4 B ^ { 2 } } { 3 A } t u ^ { 2 } } { 3 A + B t ^ { 2 } u } = 2 \, \frac { A ^ { 3 / 2 } } { B } \, \frac { 1 - \frac { 4 B ^ { 2 } } { 3 A ^ { 5 / 2 } } t u ^ { 2 } } { 1 + \frac { B } { 3 A } t ^ { 2 } u } .
\begin{array} { r l } { G _ { e ^ { \hbar } } ( - e ^ { a \hbar } ) } & { = \exp \left[ \mathrm { L i } _ { 2 } ( - e ^ { a \hbar } ; e ^ { \hbar } ) - \mathrm { L i } _ { 2 } ( e ^ { ( 1 - a ) \hbar } ; e ^ { \hbar } ) \right] } \\ & { = \exp \Bigl [ \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } \hbar ^ { - 1 } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log ( - \hbar ) - \log \frac { \Gamma ( 1 - a ) } { \sqrt { 2 \pi } } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log 2 } \\ & { \phantom { = \exp x } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { B _ { 2 k } B _ { 2 k + 1 } ( a ) } { 2 k ( 2 k + 1 ) ! } 2 ^ { 2 k } \, \hbar ^ { 2 k } + O ( \hbar ^ { 2 ( m + 1 ) } ) \Bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { n } _ { s } + \mathbf { f } } & { { } = 0 , } \\ { \mathbf { m } _ { s } + \mathbf { x } _ { s } \times \mathbf { n } + \boldsymbol { \tau } } & { { } = 0 , } \end{array}
+ H _ { 1 } ^ { - 1 } ( d z _ { 1 } ^ { 2 } + d z _ { 2 } ^ { 2 } ) + H _ { 2 } ^ { - 1 } ( d z _ { 3 } ^ { 2 } + d z _ { 4 } ^ { 2 } ) + { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } } d x _ { i } ^ { 2 } ] ,