harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { l } ( \nu , r , r ^ { \prime } ) } & { = \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { a _ { \mathrm { B } } \nu } \right) ^ { 2 l + 1 } ( r r ^ { \prime } ) ^ { l } e ^ { - ( r + r ^ { \prime } ) / a _ { \mathrm { B } } \nu } } \\ & { \times \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \Gamma ( 2 l + 2 + k ) [ \Gamma ( 2 l + 2 ) ] ^ { - 2 } } { ( l + 1 + k - \nu ) \Gamma ( k + 1 ) } \: _ { 1 } F _ { 1 } ( - k , 2 l + 2 , \frac { 2 r } { a _ { \mathrm { B } } \nu } ) \: _ { 1 } F _ { 1 } ( - k , 2 l + 2 , \frac { 2 r ^ { \prime } } { a _ { \mathrm { B } } \nu } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - } & { \frac { 2 5 1 } { 4 2 7 9 5 } u _ { 1 } ^ { 3 } + \frac { 1 8 1 3 } { 1 9 0 2 0 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } + \frac { 2 3 3 } { 5 0 7 2 } u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 1 5 } { 2 0 2 8 8 } u _ { 2 } ^ { 3 } + \frac { 6 1 } { 4 7 5 5 } u _ { 1 } u _ { 3 } - \frac { 4 2 7 } { 1 1 4 1 2 } u _ { 2 } u _ { 3 } - u _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 2 9 8 } { 4 2 7 9 5 } u _ { 1 } u _ { 5 } - \frac { 2 5 } { 5 7 0 6 } u _ { 2 } u _ { 5 } = 0 , } \\ & { \frac { 6 2 4 9 3 9 } { 3 8 8 8 4 } u _ { 1 } ^ { 4 } - \frac { 4 0 6 3 7 9 7 } { 1 9 4 4 2 } u _ { 1 } ^ { 3 } u _ { 2 } + \frac { 1 7 3 3 6 1 3 0 3 } { 3 1 1 0 7 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 4 3 5 2 2 4 5 } { 1 5 5 5 3 6 } u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 3 } - \frac { 3 8 5 9 3 4 4 2 2 5 } { 9 9 5 4 3 0 4 } u _ { 2 } ^ { 4 } - \frac { 3 6 5 2 4 9 7 } { 3 8 8 8 4 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 3 } } \\ & { + \frac { 3 9 9 7 4 3 3 7 } { 7 7 7 6 8 } u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } - \frac { 5 6 4 0 8 9 2 6 5 } { 6 2 2 1 4 4 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 3 } + \frac { 1 1 0 1 4 1 6 } { 9 7 2 1 } u _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 6 0 4 5 5 7 } { 1 9 4 4 2 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 5 } - \frac { 9 6 8 2 4 7 } { 3 8 8 8 4 } u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 5 } } \\ & { - \frac { 1 1 2 3 7 5 3 5 } { 3 1 1 0 7 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 5 } - \frac { 6 3 7 0 8 4 } { 9 7 2 1 } u _ { 3 } u _ { 5 } - u _ { 5 } ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
g _ { \alpha } ^ { d i r } ( x _ { \mu } , p ^ { \mu } ) \: = \: \frac { 2 J + 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { \Sigma } \: \frac { p ^ { \mu } d \sigma _ { \mu } ( x _ { \mu } ^ { \prime } ) \: \delta ^ { 4 } ( x _ { \mu } - x _ { \mu } ^ { \prime } ) } { \exp \left[ \displaystyle { \frac { p ^ { \mu } u _ { \mu } ( x _ { \mu } ^ { \prime } ) - B _ { \alpha } \mu _ { B } ( x _ { \mu } ^ { \prime } ) - S _ { \alpha } \mu _ { S } ( x _ { \mu } ^ { \prime } ) } { T _ { f } ( x _ { \mu } ^ { \prime } ) } } \right] - 1 }
\frac { \mu ^ { s + 1 } } { 2 } \left( \frac { 2 \pi } { L } \right) ^ { - s } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { \Gamma \left( \frac { s } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, t ^ { ( \frac { s } { 2 } - 1 ) } e ^ { - ( n ^ { 2 } + ( \frac { m L } { 2 \pi } ) ^ { 2 } ) t } \rfloor _ { s = - 1 } \, =
\operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } G ( t ( 1 + \varepsilon ) ) \; \equiv \; G _ { + } ( t ) \; = \; { \cal P } \int d t ^ { \prime } \frac { \rho ( t ^ { \prime } ) } { t ^ { \prime } - t } ~ - ~ i \pi \rho ( t ) \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { Z _ { x ^ { \prime } x ^ { \prime } } - Z _ { x ^ { \prime } , - x ^ { \prime } } } \\ & { } & { \qquad = \frac { \left[ F _ { x ^ { \prime } } ( \Delta , \Delta , 0 ) + F _ { x ^ { \prime } } ( - \Delta , - \Delta , 0 ) - 2 F _ { x ^ { \prime } } ( 0 ) \right] } { \sqrt { 2 } \Delta } } \\ & { } & { = \left( \frac { \partial Z _ { x x } } { \partial E _ { y } } + \frac { \partial Z _ { y x } } { \partial E _ { y } } \right) \Delta + \frac { 1 } { 2 } \, \left( Z _ { x x } - Z _ { x , - x } + Z _ { x y } \right. } \\ & { } & { \qquad \left. - Z _ { x , - y } + Z _ { y x } - Z _ { y , - x } + Z _ { y y } - Z _ { y , - y } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi } & { = } & { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + | m | ) ! } } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { | m | } } \\ & { } & { L _ { n } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { x _ { i } + \Delta t v \cos ( \phi _ { i } ) - \frac { 1 } { 4 } \sigma ^ { 2 } v \cos ( \phi _ { i } ) ( \Delta t ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } v \Gamma \sin ( \phi _ { i } ) \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] ( \Delta t ) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } v \sin ( \phi _ { i } ) \omega ( \Delta t ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta t ) ^ { 3 / 2 } \sigma v \sin ( \phi _ { i } ) \eta _ { i } , } \\ { y _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { y _ { i } + \Delta t v \sin ( \phi _ { i } ) - \frac { 1 } { 4 } \sigma ^ { 2 } v \sin ( \phi _ { i } ) ( \Delta t ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v \Gamma \cos ( \phi _ { i } ) \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] ( \Delta t ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } v \cos { \phi _ { i } } \omega ( \Delta t ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \Delta t ) ^ { 3 / 2 } \sigma v \cos ( \phi _ { i } ) \eta _ { i } , } \\ { \phi _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { \phi _ { i } + \Delta t \omega + \Delta t \Gamma \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] - 2 \sigma ^ { 2 } ( \Delta t ) ^ { 2 } \Gamma \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] } \\ & { + ( \Delta t ) ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } \sum _ { j \in \partial _ { i } } \big \{ \sum _ { k \in \partial _ { j } } \sin [ 2 ( \phi _ { k } - \phi _ { j } ) ] + \frac { \omega } { \Gamma } \big \} \cos [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] - ( \Delta t ) ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } \big \{ \sum _ { k \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { k } - \phi _ { i } ) ] + \frac { \omega } { \Gamma } \big \} } \\ & { \times \sum _ { j \in \partial _ { i } } \cos [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] + \sigma \sqrt { \Delta t } \eta _ { i } + \sigma ( \Delta t ) ^ { 3 / 2 } \Gamma \sum _ { j \in \partial _ { i } } \cos [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] ( \eta _ { j } - \eta _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { M } - \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } ^ { M } \| \le \| \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } - \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } \| \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \left\| \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \Xi } ^ { m } \right\| _ { 2 \to 2 } \left\| \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } ^ { M - 1 - m } \right\| _ { 2 \to 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { z } } & { { } = - \frac { \mathrm { c o n s t } + F ( o ) } { \omega _ { B } } } \\ { s _ { x } } & { { } = \frac { o - \Delta _ { - 1 } s _ { z } } { \Omega _ { - 1 } } } \\ { s _ { y } ^ { 2 } } & { { } = 1 - s _ { x } ^ { 2 } - s _ { z } ^ { 2 } , } \end{array}
\triangle m ( H \ne 0 , \mu \ne 0 , T = 0 ) = - 2 m \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \sqrt { \left( \frac { \mu } m \right) ^ { 2 } - 1 } \left[ 1 - \sqrt { \frac { g H } { \mu ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \right] .
\{ \; \stackrel { 1 } { U ^ { \prime } } ( x , \lambda ) \; , \; \stackrel { 2 } { U ^ { \prime } } ( y , \mu ) \; \} = \, - \frac { 1 } { 4 } \frac { \sigma ^ { a } \otimes \sigma ^ { b } } { ( 1 - \lambda ^ { 2 } ) ( 1 - \mu ^ { 2 } ) } \, \{ \; \lambda J _ { 0 } ^ { a } ( x ) + J _ { 1 } ^ { a } ( x ) \; , \; \mu J _ { 0 } ^ { b } ( y ) + J _ { 1 } ^ { b } ( y ) \; \} =
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i = 1 , 2 , \cdots , N I , \quad } & { j = 1 , 2 , \cdots , N J , \quad } & { k = 1 , 2 , \cdots , N K , } \\ { \Delta x _ { 0 } = \frac { L _ { x } } { N I } , \quad } & { \Delta y _ { 0 } = \frac { L _ { y } } { N J } , \quad } & { \Delta z _ { 0 } = \frac { L _ { z } } { N K } , } \\ { x _ { \operatorname* { m i n } } = - \frac { L _ { x } } { 2 } , \quad } & { y _ { \operatorname* { m i n } } = - \frac { L _ { y } } { 2 } , \quad } & { z _ { \operatorname* { m i n } } = - \frac { L _ { z } } { 2 } } \end{array}
\tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ^ { * } = \arg \operatorname* { m a x } _ { \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } \in \tilde { \mathcal { X } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { e } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ) } \left( - \left( \tilde { C } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } , \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ) + \tilde { V } _ { t t ^ { \prime } } ^ { x } ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ^ { x } ) \right) + \alpha \sqrt { \frac { \ln N ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } ) } { N ( \tilde { S } _ { t t ^ { \prime } } , \tilde { x } _ { t t ^ { \prime } } ) } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \Vert X ( t ) - \hat { X } ( t ) \Vert ^ { 2 } \right] } & { { } = \mathbb { E } \left[ \bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { t } d s \; \left\{ f ( X ( s ) , s ; \theta ) - f ( \hat { X } ( s ) , s ; \theta ) \right\} + \int _ { 0 } ^ { t } d B ( s ) \; ( \sigma - \hat { \sigma } ) \bigg \Vert ^ { 2 } \right] } \end{array}
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { \sigma ^ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sigma ^ { 3 } } } \end{array} \right) , \; \gamma ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { i \sigma ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - i \sigma ^ { 2 } } } \end{array} \right) , \; \gamma ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { - i \sigma ^ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i \sigma ^ { 1 } } } \end{array} \right) , \; \gamma ^ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { I } } \\ { { - I } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r } { \hat { s } _ { i } \simeq \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \left| s ^ { \prime } ( \xi _ { f } ) \right| \, \hat { z } _ { i } } , \qquad \qquad \hat { \gamma } _ { i } = \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } } + \frac { \hat { s } _ { i } } 2 \simeq \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } } \: \simeq \: \left| s ^ { \prime } ( \xi _ { f } ) \right| \, \hat { z } _ { i } , } \end{array}
S _ { e f f } = \int { d ^ { 4 } } x \left( { - \frac { 1 } { 4 } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + i \overline { { C } } \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } C + \frac { 1 } { { 2 \xi } } \left( { \partial _ { \mu } A ^ { \mu } } \right) ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \rVert \mathcal { D } _ { \omega } p _ { 1 } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \\ & { \rVert d _ { i } \left( \mathcal { D } _ { \omega } p _ { 1 } \right) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) , } \\ & { \rVert p _ { 1 } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ & { \rVert d _ { i } p _ { 1 } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) , } \end{array}
\theta ( x , t _ { k } ) = - \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( Y _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \cdot R ( x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ; 0 ) \varTheta _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ,
\eta _ { 2 } = \frac { 6 4 0 8 } { 5 1 2 5 } \left( \Omega _ { i } \tau _ { i } \right) ^ { - 2 } \eta _ { 0 } , \quad \eta _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } \eta _ { 2 } .
{ \vec { n } \, = \, [ n _ { x } \, \, n _ { y } \, \, n _ { z } ] ^ { T } \, = \, \frac { 1 } { \sqrt { \eta _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \eta _ { z } ^ { 2 } } } [ \eta _ { x } \ \eta _ { y } \ \eta _ { z } ] ^ { T } \, \mathrm { ~ . ~ } }
\begin{array} { r l } { \dot { x } ^ { \alpha } } & { = p ^ { \alpha } + \frac { 1 } { p _ { \sigma } t ^ { \sigma } } S ^ { \alpha \beta } p ^ { \mu } \nabla _ { \mu } t _ { \beta } , } \\ { \dot { x } ^ { \mu } \nabla _ { \mu } p _ { \alpha } } & { = - \frac { 1 } { 2 } R _ { \alpha \beta \gamma \lambda } p ^ { \beta } S ^ { \gamma \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa } & { { } = { \frac { \left| F _ { y } ^ { 2 } F _ { x x } - 2 F _ { x } F _ { y } F _ { x y } + F _ { x } ^ { 2 } F _ { y y } \right| } { \left( F _ { x } ^ { 2 } + F _ { y } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { j } ( x , t | x _ { 0 } ) d x = \P [ X ( t ) \in ( x , x + d x ) , \ t < { \mathcal T } _ { j } | X _ { 0 } = x _ { 0 } ] } \\ & { = \P [ X ( t ) \in ( x , x + d x ) , \ \ell _ { j - 1 } ^ { + } ( t ) < \widehat { \ell } _ { j - 1 } ^ { + } , \ \ell _ { j } ^ { - } ( t ) < \widehat { \ell } _ { j } ^ { - } | X _ { 0 } = x _ { 0 } ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \ell \psi _ { j - 1 } ^ { + } ( \ell ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d \ell ^ { \prime } \psi _ { j } ^ { - } ( \ell ^ { \prime } ) \P [ X ( t ) \in ( x , x + d x ) , \ \ell _ { j - 1 } ^ { + } < \ell , \ \ell _ { j } ^ { - } < \ell ^ { \prime } | X _ { 0 } = x _ { 0 } ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \ell \psi _ { j - 1 } ^ { + } ( \ell ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d \ell ^ { \prime } \psi _ { j } ^ { - } ( \ell ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { \ell } d \hat { \ell } \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { \prime } } d \hat { \ell } ^ { \prime } [ P _ { j } ( x , \hat { \ell } , \hat { \ell } ^ { \prime } , t | x _ { 0 } ) d x ] . } \end{array}
\rho = \sum _ { i } \rho _ { i } { \frac { V _ { i } } { V } } \, = \sum _ { i } \rho _ { i } \varphi _ { i } = \sum _ { i } \rho _ { i } { \frac { V _ { i } } { \sum _ { i } V _ { i } + \sum _ { i } { V ^ { E } } _ { i } } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + x ) ^ { 2 } } } & { = - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \left[ \frac { n ! } { x ( x + 1 ) \cdots ( x + n ) } \right] } \\ & { = \frac { n ! } { x ( x + 1 ) \cdots ( x + n ) } \left( \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 1 } + \cdots + \frac { 1 } { x + n } \right) . } \end{array}
\dot { p } _ { 3 } = \frac { 1 0 R e _ { \ell } p _ { 3 } } { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } 2 W _ { 3 } p _ { 3 } p _ { 3 } - \frac { 1 0 R e _ { \ell } p _ { 3 } } { 8 \ell \ln { 2 \kappa } } W _ { 3 } + \delta _ { i 3 } \Gamma _ { i j } p _ { j } ^ { t } - p _ { 3 } S _ { j l } p _ { j } ^ { t } p _ { l } ^ { t } = 0
T _ { ( a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } , b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } ) \to ( a _ { 3 } ^ { \prime } a _ { 2 } ^ { \prime } a _ { 1 } ^ { \prime } , b _ { 3 } ^ { \prime } b _ { 2 } ^ { \prime } b _ { 1 } ^ { \prime } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ a _ 3 ' ~ \neq ~ a _ 2 ~ o r ~ a _ 2 ' ~ \neq ~ a _ 1 ~ o r ~ b _ 3 ' ~ \neq ~ b _ 2 ~ o r ~ b _ 2 ' ~ \neq ~ b _ 1 ~ } } \\ { p _ { a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } , b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } } \cdot q _ { b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } , a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } } } & { \mathrm { i f ~ ( a _ 3 ' a _ 2 ' a _ 1 ' , b _ 3 ' b _ 2 ' b _ 1 ' ) ~ = ~ ( a _ 2 a _ 1 C , b _ 2 b _ 1 C ) ~ } } \\ { p _ { a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } , b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } } \cdot \bar { q } _ { b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } , a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } } } & { \mathrm { i f ~ ( a _ 3 ' a _ 2 ' a _ 1 ' , b _ 3 ' b _ 2 ' b _ 1 ' ) ~ = ~ ( a _ 2 a _ 1 C , b _ 2 b _ 1 D ) ~ } } \\ { \bar { p } _ { a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } , b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } } \cdot q _ { b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } , a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } } } & { \mathrm { i f ~ ( a _ 3 ' a _ 2 ' a _ 1 ' , b _ 3 ' b _ 2 ' b _ 1 ' ) ~ = ~ ( a _ 2 a _ 1 D , b _ 2 b _ 1 C ) ~ } } \\ { \bar { p } _ { a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } , b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } } \cdot \bar { q } _ { b _ { 3 } b _ { 2 } b _ { 1 } , a _ { 3 } a _ { 2 } a _ { 1 } } } & { \mathrm { i f ~ ( a _ 3 ' a _ 2 ' a _ 1 ' , b _ 3 ' b _ 2 ' b _ 1 ' ) ~ = ~ ( a _ 2 a _ 1 D , b _ 2 b _ 1 D ) ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { S } _ { x } \rangle } & { = } & { \hbar \left( { \mathcal N } _ { \mathrm { H } } - { \mathcal N } _ { \mathrm { V } } \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \left( \cos ^ { 2 } \alpha - \sin ^ { 2 } \alpha \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \cos ( 2 \alpha ) } \\ { \langle \hat { S } _ { y } \rangle } & { = } & { \hbar \left( { \alpha } _ { \mathrm { H } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { V } } + { \alpha } _ { \mathrm { V } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \left( \mathrm { e } ^ { i \delta } \cos \alpha \sin \alpha + \mathrm { e } ^ { - i \delta } \cos \alpha \sin \alpha \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \cos { \delta } \sin ( 2 \alpha ) } \\ { \langle \hat { S } _ { z } \rangle } & { = } & { \hbar \left( - i { \alpha } _ { \mathrm { H } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { V } } + i { \alpha } _ { \mathrm { V } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \left( - i \mathrm { e } ^ { i \delta } \cos \alpha \sin \alpha + i \mathrm { e } ^ { - i \delta } \cos \alpha \sin \alpha \right) } \\ & { = } & { \hbar { \mathcal N } \sin { \delta } \sin ( 2 \alpha ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d E } { d t } } & { = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ \nabla \tilde { \mu } _ { i } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } \right\} d x - \int _ { \Gamma } ( - \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \gamma _ { i } + \tilde { \mu } _ { e } \Delta z ) \mathcal { R } d S - \int _ { \Gamma } \phi \frac { \partial } { \partial t } \left( \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } - F C _ { e } \right) d S } \\ & { } & { + \int _ { \Gamma } ( \tilde { \mu } _ { e } - \tilde { \mu } _ { e x } ) j _ { e x } d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e x } J _ { e x } d S - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \phi \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S - \int _ { \partial \Omega / \Gamma } \sum _ { i } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } d S } \\ & { = } & { - \Delta + P _ { E , \partial \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \phi ( r , z , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \epsilon \phi _ { 1 } ( r , z , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) + \epsilon ^ { 2 } \phi _ { 2 } ( r , z , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } ) } \\ & { } & { \eta ( r , t ) = \epsilon \eta _ { 1 } ( r , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) + \epsilon ^ { 2 } \eta _ { 2 } ( r , T _ { 0 } , T _ { 2 } ) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } ^ { \mathrm { o p t } } } & { = \mu _ { k , ( 1 ) } \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mu _ { l , ( 1 ) } \left( \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { l } \mathbf { W } _ { l , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { l } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } + \mathbb { E } \left\{ \left. \mathbf { \tilde { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { l } \mathbf { W } _ { l , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { l } ^ { H } \mathbf { \tilde { H } } _ { k } \right| \mathbf { V } , \mathbf { W } \right\} \right) } + \lambda _ { k , ( 1 ) } \mathbf { I } _ { N } \right] ^ { - 1 } \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { k } \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } } \\ & { = \mu _ { k , ( 1 ) } \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mu _ { l , ( 1 ) } \left( \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { l } \mathbf { W } _ { l , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { l } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } + \mathbf { \bar { C } } _ { k l } \right) } + \lambda _ { k , ( 1 ) } \mathbf { I } _ { N } \right] ^ { - 1 } \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { k } \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { j } ( k ) } & { { } = } & { \mathcal { F } \{ \mathcal { W } _ { j - 1 } ^ { a _ { j } } \ \mathcal { W } _ { j - 2 } ; k \} } \\ { \mathcal { H } _ { - 1 } ( k ) } & { { } = } & { e ^ { - i k A } } \\ { \mathcal { H } _ { 0 } ( k ) } & { { } = } & { e ^ { - i k B } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } ^ { \mathrm { c l } } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } ) } & { : = c _ { 1 } ^ { n } \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } \boldsymbol { \sigma } _ { ( n ) } ^ { \mathrm { c l } } } } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \right) \prod _ { k = 1 } ^ { n } \tilde { \sigma } _ { k } ^ { - 1 } \, , } \\ { \tilde { S } _ { L } ^ { \textrm { c l } } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } ) } & { : = 1 - c _ { 1 } ^ { n } \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } \boldsymbol { \sigma } _ { ( n ) } ^ { \mathrm { c l } } } } \, , } \\ { \tilde { S } ^ { \textrm { c l } } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } & { : = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathcal { S } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| } & { \Phi _ { t } ( y ) ( \tau ) - ( \omega I - A ) ^ { \alpha } w \| _ { X } } \\ & { \leq \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau ) w - ( \omega I - A ) ^ { \alpha } w \| _ { X } + \| T ( \tau ) ( \omega I - A ) ^ { \alpha } a \| _ { X } + h _ { \tau } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , \tau ] , U ) } } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { C _ { \alpha } } { ( \tau - s ) ^ { \alpha } } e ^ { \lambda ( \tau - s ) } \big ( \sigma ( \| u ( s ) \| _ { U } ) + c + L ( K ) \| ( \omega I - A ) ^ { - \alpha } y ( s ) \| _ { X _ { \alpha } } \big ) d s } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \| T ( \tau ) ( \omega I - A ) ^ { \alpha } w - ( \omega I - A ) ^ { \alpha } w \| _ { X } + M e ^ { \lambda t } r + h _ { t } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , U ) } } \\ & { \quad + C _ { \alpha } e ^ { \lambda t } \big ( \sigma ( C ) + c + L ( K ) K \big ) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { s ^ { \alpha } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } = \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } ( c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } ) = 0 , } \\ { \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } c _ { k } ^ { \prime } = \sum _ { i : s _ { i } ( c ) = k } \phi _ { i } , } \end{array}
u _ { \overline { { { u } } } } ( x , n ) = u _ { \overline { { { d } } } } ( x , n ) = C _ { \overline { { { u } } } } \; x ^ { - 0 . 5 } [ ( 1 + \delta / 2 ) ( 1 - x ) ^ { n + 0 . 5 } ( 1 - x / 3 ) - \delta \; ( 1 - x ) ^ { n + 1 } / 2 ] \; , \; n > 1 \ ,
\begin{array} { r l } { \left[ x _ { l } , p _ { m } \right] } & { { } = i \hbar \delta _ { l , m } } \\ { \left[ Q _ { k } , \Pi _ { k ^ { \prime } } \right] } & { { } = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { l , m } e ^ { i k a l } e ^ { - i k ^ { \prime } a m } \left[ x _ { l } , p _ { m } \right] } \\ { \left[ Q _ { k } , Q _ { k ^ { \prime } } \right] } & { { } = \left[ \Pi _ { k } , \Pi _ { k ^ { \prime } } \right] = 0 } \end{array}