harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { E _ { K S } [ \rho ^ { f } ] - E _ { K S } [ \rho ^ { i } ] } & { { } = } & { \sum _ { i j } F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } ( \Delta D _ { i j } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i j } \sum _ { k l , m n } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] _ { i j } } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } \Delta D _ { k l } \Delta D _ { m n } \Delta D _ { i j } } \end{array}
| 0 _ { S } \rangle = { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { 2 } } } } ( | 0 0 0 \rangle + | 1 1 1 \rangle ) \otimes ( | 0 0 0 \rangle + | 1 1 1 \rangle ) \otimes ( | 0 0 0 \rangle + | 1 1 1 \rangle )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } g _ { 0 } ( y , s ) } & { = 1 + 2 \kappa y / D , \quad \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } g _ { 1 } ( s ) = 4 ( 1 + \kappa a / D ) , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } g ( y , s ) } & { = - 2 ( 1 + 2 \kappa [ a - y ] / D ) , \quad \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } f ( y , s ) = \frac { ( 1 + 2 \kappa [ a - y ] / D ) } { 2 ( 1 + \kappa a / D ) } , } \end{array}
{ \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega , p ) = \frac { 2 ^ { 6 } \tau } { p \, ( 2 - \tau ) { ( 1 + \tau ) } ^ { 4 } } \; R e \left[ a ^ { 3 } F _ { 1 } ( b , 1 , 3 , b + 1 , x , y ) - \frac { i a ^ { 2 } } { 2 p } F _ { 1 } ( b , 2 , 2 , b + 1 , x , y ) \right] ,
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \rho } } { d \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } + \tilde { \Gamma } _ { \mu \nu } ^ { \rho } { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tilde { \lambda } } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tilde { \lambda } } } = - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { { \cal W } ^ { \prime } } { \cal W } } { \frac { d y } { d \tilde { \lambda } } } { \frac { d x ^ { \rho } } { d \tilde { \lambda } } } .
\begin{array} { r l } { T _ { \mu \nu } } & { { } = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \phi _ { \mu \alpha } \phi _ { \nu } ^ { \ \alpha } - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } \eta _ { \mu \nu } \phi ^ { \alpha \beta } \phi _ { \alpha \beta } } \end{array}
C _ { 4 } = - 2 \int _ { \rho } ^ { 1 } { \frac { d x _ { 4 } } { x _ { 4 } ^ { 2 } } } \int _ { \rho } ^ { x _ { 3 } } { \frac { d x _ { 3 } } { x _ { 3 } ^ { 2 } } } \int _ { \rho } ^ { x _ { 3 } } d x _ { 2 } \int _ { \rho } ^ { x _ { 2 } } d x _ { 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { x _ { 1 } x _ { 2 } } { x _ { 3 } x _ { 4 } } } \right) ^ { 2 n } = - { \frac { 7 } { 8 } } \zeta ( 3 ) \; ,
k ^ { 6 } + c _ { 4 } k ^ { 4 } + c _ { 2 } k ^ { 2 } + \omega ^ { 5 } \, \frac { ( \chi + 2 ) ^ { 2 } ( \nu _ { \mathrm { n c } } ( 1 + \chi ) - i \, \omega ) ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } c ^ { 4 } ( \chi + 1 ) ^ { 3 } ( \omega + i \, \nu _ { \mathrm { n c } } ) } \sec ^ { 2 } \alpha = 0 ,
\frac { 1 } { 2 } \rho ( \lambda ) + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \lambda ^ { \prime } \frac { K _ { 2 } ( \lambda - \lambda ^ { \prime } ) } { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 } \rho ( \lambda ^ { \prime } ) = \frac { K _ { 1 } ( \lambda ) } { 2 \pi } ,
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { G = 4 \partial C + 6 F ^ { 1 \, m } B _ { m } - 3 B _ { m } Q ^ { m n } B _ { n } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { H _ { m } = 3 \partial B _ { m } + 3 \epsilon _ { m n p } F ^ { 1 \, n } A ^ { 2 \, p } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { F ^ { 2 \, m } = 2 \partial A ^ { 2 \, m } - f _ { p q } { } ^ { m } A ^ { 2 \, p } A ^ { 2 \, q } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { F ^ { 1 \, m } = 2 \partial A ^ { 1 \, m } + Q ^ { m n } B _ { n } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { { \cal D } { \cal M } _ { m n } = \partial { \cal M } _ { m n } + f _ { p m } { } ^ { q } A ^ { 2 \, p } { \cal M } _ { q n } + f _ { p n } { } ^ { q } A ^ { 2 \, p } { \cal M } _ { m q } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } } & { = - \frac { i } { 2 } p \sigma _ { i } \ln \left( \frac { z - z _ { i } } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \right) , } \\ { \mathcal F _ { 0 } } & { = - \frac { \pi p ^ { 2 } } { 2 } ( K + K ^ { \prime } ) \left( \sigma _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } \right) \varphi ( z _ { i } ) , } \\ { v } & { = \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot \sigma ^ { \mathrm { a c t i v e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { \textsc { L ~ 2 ~ L F l o w s } } _ { i , j } ^ { \mathrm { r e l a t i v e } } } & { : = \frac { \left\vert \mathrm { \textsc { L ~ 2 ~ L F l o w s } } _ { i , j } ^ { \mathrm { o v e r l a y } } - \textsc { G e a n t 4 } _ { i , j } ^ { \mathrm { o v e r l a y } } \right\vert } { \textsc { G e a n t 4 } _ { i , j } ^ { \mathrm { o v e r l a y } } } , } \\ { \mathrm { B I B - A E } _ { i , j } ^ { \mathrm { r e l a t i v e } } } & { : = \frac { \left\vert \mathrm { B I B - A E } _ { i , j } ^ { \mathrm { o v e r l a y } } - \textsc { G e a n t 4 } _ { i , j } ^ { \mathrm { o v e r l a y } } \right\vert } { \textsc { G e a n t 4 } _ { i , j } ^ { \mathrm { o v e r l a y } } } , } \end{array}
M = \left( \begin{array} { c c c c } { { m _ { M } } } & { { m _ { D } } } & { { m _ { \nu E } } } & { { 0 } } \\ { { m _ { D } } } & { { 0 } } & { { m _ { u } } } & { { m _ { e } } } \\ { { m _ { \nu E } } } & { { m _ { u } } } & { { 0 } } & { { m _ { E } } } \\ { { 0 } } & { { m _ { e } } } & { { m _ { E } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { V _ { k } = \sqrt { \frac { \mathrm { d e t } ( \Theta ) } { 2 8 8 } } , \qquad \Theta = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { d _ { a b } ^ { 2 } } & { d _ { a c } ^ { 2 } } & { d _ { a e } ^ { 2 } } \\ { 1 } & { d _ { a b } ^ { 2 } } & { 0 } & { d _ { b c } ^ { 2 } } & { d _ { b e } ^ { 2 } } \\ { 1 } & { d _ { a c } ^ { 2 } } & { d _ { b c } ^ { 2 } } & { 0 } & { d _ { c e } ^ { 2 } } \\ { 1 } & { d _ { a e } ^ { 2 } } & { d _ { b e } ^ { 2 } } & { d _ { c e } ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
H ^ { 2 } = - \frac { K } { a ^ { 2 } } + \frac { 8 \pi G } { 3 } \left( \frac { \rho _ { \mathrm { ( r a d ) } } ^ { ( 0 ) } } { a ^ { 4 } } + \frac { \rho _ { \mathrm { ( d u s t ) } } ^ { ( 0 ) } } { a ^ { 3 } } \right)
\mathrm { 1 \, B i = 1 \, a b a m p e r e = 1 \, e m u \; c u r r e n t = 1 \, d y n e ^ { 1 / 2 } = 1 \, g ^ { 1 / 2 } { \cdot } c m ^ { 1 / 2 } { \cdot } s ^ { - 1 } }
\chi _ { e \, m a x } = \chi _ { e } ( r _ { p e a k } , 0 ) = 1 5 . 3 \frac { \mathcal { E } _ { 0 } [ \mathrm { 1 0 \, G e V } ] \ N _ { 0 } [ 1 0 ^ { 1 0 } ] } { \sigma _ { 0 } [ 0 . 1 \mu m ] \ \sigma _ { z } [ 0 . 1 \mu m ] } ,
\begin{array} { r l } { \left\| u ^ { 2 } | \nabla u | \right\| _ { W ^ { 1 , 1 } } } & { \leq C \left( \| u \| _ { q } \| u \| _ { r } \| \nabla u \| _ { 2 } + \| u \| _ { q } \| \nabla u \| _ { r } \| \nabla u \| _ { 2 } + \| u \| _ { q } \| u \| _ { r } \| \nabla ^ { 2 } u \| _ { 2 } \right) } \\ & { \leq C \left( \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } \| u \| _ { H ^ { 1 } } + \| u \| _ { H ^ { 2 } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { N } } & { { e v e n : \; \; \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { p _ { 0 } } + \frac { 1 - v _ { s } } { 4 } < \frac { s } { p _ { 0 } } < \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 - v _ { s } } { 4 } } } \\ { { N } } & { { o d d : \; \; \; \; \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 4 p _ { 0 } } + \frac { 1 - v _ { s } } { 4 } < \frac { s } { p _ { 0 } } < \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 p _ { 0 } } + \frac { 1 - v _ { s } } { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { n } ( j \Delta t ) \sim \mathcal { N } ( \hat { P } _ { n } ( j \Delta t ; { \mathbf z } ) , \sigma _ { k , k + 1 } ^ { \textrm { R a m s e y } } ) , \quad n = 0 , 1 , 2 , \quad k = 0 , 1 . } \end{array}
\mathbf { P } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { P } ^ { 1 1 } } & { \mathbf { P } ^ { 1 2 } } \\ { ( \mathbf { P } ^ { 1 2 } ) ^ { \top } } & { \mathbf { P } ^ { 2 2 } } \end{array} \right) .
2 | q _ { j } | ^ { 2 } - | q _ { j - 1 } | ^ { 2 } - | q _ { j + 1 } | ^ { 2 } = { \frac { 3 6 } { \mu ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { A } { | q _ { j } | ^ { 2 } } } \right)
\int _ { 0 } ^ { A } J _ { l - 1 } ^ { 2 } d r - \int _ { 0 } ^ { A } J _ { l + 1 } ^ { 2 } d r = 4 l \int _ { 0 } ^ { A } \frac { 1 } { r } J _ { l } \frac { d J _ { l } } { d r } d r ,
\begin{array} { r } { - \alpha _ { j } ^ { 2 } { \frac { d w _ { j } ^ { 2 } } { w _ { j } ^ { 2 } } } = - \alpha _ { j } ^ { 2 } { \frac { d \rho _ { j } ^ { 2 } } { \rho _ { j } ^ { 2 } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ { \frac { - \alpha _ { i } ^ { 2 } } { ( z - \xi _ { i } ) ^ { 2 } } } + { \frac { - 2 c _ { i } ^ { ( 2 ) } } { z - \xi _ { i } } } \right] d z ^ { 2 } = - 2 \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } { \frac { T ( z ) } { \lambda ^ { 2 } } } d z ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \Delta ^ { 2 } } & { = \frac { 2 \delta _ { \mathrm { s } } } { N ^ { 2 } } \bigg ( S _ { 1 } ^ { x } \frac { d } { d t } S _ { 2 } ^ { y } + S _ { 2 } ^ { y } \frac { d } { d t } S _ { 1 } ^ { x } - S _ { 1 } ^ { y } \frac { d } { d t } S _ { 2 } ^ { x } - S _ { 2 } ^ { x } \frac { d } { d t } S _ { 1 } ^ { y } \bigg ) } \\ & { = 4 \delta _ { \mathrm { s } } \chi \Delta ^ { 2 } S _ { 1 } ^ { z } - \frac { 2 \delta _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } ( S _ { 1 } ^ { x } S _ { 2 } ^ { x } + S _ { 1 } ^ { y } S _ { 2 } ^ { y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { m } , \mathbf { u } } \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \lambda } , \boldsymbol { \nu } } \mathcal { L } _ { \mu } ( \mathbf { m } , \mathbf { u } , \boldsymbol { \lambda } , \boldsymbol { \nu } ) = \mathcal { R } ( \mathbf { m } ) } & { + } & { ( \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { P } \mathbf { u } ^ { e } - \mathbf { d } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \mu } { 2 } \| \mathbf { A ( m ) u } ^ { e } - \mathbf { b } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - } & { \left\langle \boldsymbol { \lambda } , \mathbf { P u } - \mathbf { d } ^ { * } \right\rangle - \left\langle \boldsymbol { \nu } , \mathbf { A ( m ) u } - \mathbf { b } ^ { * } \right\rangle . } \end{array}
d ^ { ( n ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( n + 1 ) \Delta d } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 \leq n < 2 0 } \\ { 5 \mathrm { ~ \, ~ m ~ } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 2 0 \leq n \leq 4 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { d _ { l , m } : = \frac { l } { 2 m + 1 + l } } \\ & { c _ { l , m } : = \frac { 2 - \alpha - 2 m } { 4 ( 2 m + 1 + l ) } \left( \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } f ( \eta ) ^ { l } ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) { J } ^ { m } d \eta \right) , } \\ & { \quad \quad + \frac { 2 m + \alpha - 1 } { 2 m + 1 + l } ( \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } f ( \eta ) ^ { l } ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) { J } ^ { m } d \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \varphi + \left( \frac { L - \overline { { \Lambda } } } { L - \Lambda } \right) ^ { 4 } \partial _ { x } ( \overline { { h } } ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { 3 } \varphi ) - \dot { \Lambda } \frac { ( L - x ) } { ( L - \Lambda ) } \partial _ { x } \varphi = 0 \qquad \ } & { \mathrm { ~ i n ~ } \ x \in ( \overline { { \Lambda } } , L ) , t > 0 , } \\ { \partial _ { x } \varphi = \psi _ { 2 } , \qquad \partial _ { x } ^ { 3 } \varphi = 0 \qquad \ } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ x = \overline { { \Lambda } } , t > 0 , } \\ { \partial _ { x } \varphi = 0 \qquad \ } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ x = L , t > 0 , } \\ { \varphi = \tilde { h } _ { 0 } \ \qquad } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ t = 0 , x \in ( \overline { { \Lambda } } , L ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \sqrt { \frac { B ( t ) } { A ( t ) } } , } & { | x | < \frac { 1 } { \sqrt { B ( t ) } } } \\ { - \sqrt { \frac { B ( t ) } { A ( t ) } } \Big ( 1 - \frac { | x | } { \sqrt { x ^ { 2 } - \frac { 1 } { B ( t ) } } } \Big ) , } & { | x | \geq \frac { 1 } { \sqrt { B ( t ) } } . } \end{array} \right. } \end{array}
W = \frac { \tau _ { p } ( g _ { m a t } ) } { 4 ( 2 \pi l _ { s } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathrm { T r } ( \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } \Phi _ { 3 } - \Phi _ { 1 } \Phi _ { 3 } \Phi _ { 2 } ) ,
X _ { 1 } Z _ { 2 } Y _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 2 } c _ { 3 } } & { - s _ { 2 } } & { c _ { 2 } s _ { 3 } } \\ { s _ { 1 } s _ { 3 } + c _ { 1 } c _ { 3 } s _ { 2 } } & { c _ { 1 } c _ { 2 } } & { c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } - c _ { 3 } s _ { 1 } } \\ { c _ { 3 } s _ { 1 } s _ { 2 } - c _ { 1 } s _ { 3 } } & { c _ { 2 } s _ { 1 } } & { c _ { 1 } c _ { 3 } + s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \phi _ { o p } ( x ) } & { = - i \sum _ { k } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega _ { k } L } } \left[ \hat { a } _ { k } e ^ { i k x } - \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } e ^ { - i k x } \right] = - i \sum _ { k } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega _ { k } L } } \left[ \hat { a } _ { k } - \hat { a } _ { - k } ^ { \dagger } \right] e ^ { i k x } } \\ { \pi _ { o p } ( x ) } & { = - \sum _ { k } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { k } } { 2 L } } \left[ \hat { a } _ { k } e ^ { i k x } + \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } e ^ { - i k x } \right] = - \sum _ { k } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { k } } { 2 L } } \left[ \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { - k } ^ { \dagger } \right] e ^ { i k x } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { a } & { \colon \mathbb { R } ^ { d } \to \mathbb { R } ^ { d } , } & & { } & { b , c } & { \colon \mathbb { R } ^ { d } \to \mathbb { R } , } \\ { A , \alpha } & { \colon \mathbb { R } ^ { d } \to \mathbb { R } ^ { d \times m } , } & & { } & { B , C , \beta , \sigma } & { \colon \mathbb { R } ^ { d } \to \mathbb { R } ^ { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l o c a l , J } = } & { \mathrm { E } \ \left( \frac { 5 } { 8 4 } j _ { 3 } ( x _ { 1 } ) j _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \mathit { h } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) + \frac { 5 } { 1 6 8 } \mathit { h } ( x _ { 1 } ) j _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \right. } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. - \frac { 5 } { 8 4 } j _ { 3 } ( x _ { 1 } ) \mathit { h } ( x _ { 1 } ) \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \prime \prime } ( x _ { 1 } ) - \frac { 5 } { 3 3 6 } j _ { 3 } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathcal E } _ { s t } ( x ) = \frac { k } { 4 } e ^ { \frac { \sigma ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 \beta } } \left[ 2 \cosh k ( x - \frac { B } { \beta } ) - \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm { E r f } \left( - \frac { \beta x - B } { \sigma } + \frac { \sigma k } { 2 \sqrt { \beta } } \right) e ^ { - k ( x - \frac { B } { \beta } ) } - \mathrm { E r f } \left( \frac { \beta x - B } { \sigma } + \frac { \sigma k } { 2 \sqrt { \beta } } \right) e ^ { k ( x - \frac { B } { \beta } ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - i \frac { d A _ { n } } { d z } } & { { } = } & { n _ { A } A _ { n } + C _ { A } \left( A _ { n + 1 } + A _ { n - 1 } \right) } \\ { - i \frac { d B _ { n } } { d z } } & { { } = } & { n _ { B } B _ { n } + C _ { B } \left( B _ { n + 1 } + B _ { n - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac 2 { n ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg [ \sum _ { k \ge 1 } \sum _ { 1 \le \ell < \ell ^ { \prime } \le n } \frac { e ^ { - \frac 1 n \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } ( \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell } ) ] ) ( \phi _ { k } ( X _ { \ell ^ { \prime } } ) - \mathbb { E } [ \phi _ { k } ( X _ { \ell ^ { \prime } } ) ] ) \bigg ] } \\ & { \lesssim \frac 1 { n ^ { 2 } } \sum _ { 1 \le \ell < \ell ^ { \prime } \le n } \beta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \mathcal { M } } \bigg \lvert \sum _ { k \ge 1 } \frac { e ^ { - \frac 1 n \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) \bigg \rvert } \\ & { \lesssim \frac 1 n \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \mathcal { M } } \bigg \lvert \sum _ { k \ge 1 } \frac { e ^ { - \frac 1 n \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) \bigg \rvert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \left\langle x ^ { T } \cdot C _ { 2 } \cdot x \right\rangle / 2 + C _ { 1 } ^ { T } \cdot \left\langle x \right\rangle + C _ { 0 } - \langle \hat { V } \rangle } \\ & { = \operatorname * { T r } \left( C _ { 2 } \cdot \Sigma _ { t } \right) / 2 + C _ { 0 } - \langle \hat { V } \rangle , } \\ { 0 } & { = C _ { 2 } \cdot \left\langle x \right\rangle + C _ { 1 } - \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle = C _ { 1 } - \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle , } \\ { 0 } & { = C _ { 2 } - \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle , } \end{array}
\| \mathbf { v } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \nabla _ { h } \mathbf { v } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \lesssim \| \mathbf { v } _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \boldsymbol { \varphi } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } + \| \Phi \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \quad \forall \, \mathbf { v } _ { h } \in \mathbb { V } _ { h } ^ { k } ( \boldsymbol { \varphi } , \Phi ) .
\begin{array} { r l r } { r _ { i } } & { { } = } & { \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \cos { \left( \psi _ { j } - \psi _ { i } \right) } \left[ \lambda r _ { j } + \rho _ { j } \cos { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } \right] } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } - \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \sin { \left( \psi _ { j } - \psi _ { i } \right) } \rho _ { j } \sin { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } , } \\ { 0 } & { { } = } & { \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \sin { \left( \psi _ { j } - \psi _ { i } \right) } \left[ \lambda r _ { j } + \rho _ { j } \cos { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } \right] } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } + \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \cos { \left( \psi _ { j } - \psi _ { i } \right) } \rho _ { j } \sin { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } , } \end{array}
\omega \left( f ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } \right) = \operatorname* { s u p } _ { | x _ { 1 } - x _ { 2 } | \leq \delta _ { 1 } , \, x _ { 1 } , x _ { 2 } \in [ - 1 , 1 ] } \quad \operatorname* { s u p } _ { | y _ { 1 } - y _ { 2 } | \leq \delta _ { 2 } , \, y _ { 1 } , y _ { 2 } \in [ - 1 , 1 ] } | f \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) - f \left( y _ { 1 } , y _ { 2 } \right) | .
n ^ { p } = \sum _ { l = 0 } ^ { p } ( - 1 ) ^ { p - l } \left( \begin{array} { c } { { p } } \\ { { l } } \end{array} \right) \left( n + \gamma m + { \frac { d - 1 } { 2 } } \right) ^ { l } \left( \gamma m + { \frac { d - 1 } { 2 } } \right) ^ { p - l }
\begin{array} { r l } { \mathfrak { A } _ { Y } ( U , P _ { Y } ^ { \perp } ( \nabla \Psi _ { k } ( Y ) ) ) } & { = \mathfrak { A } _ { Y } ( U , 2 { \mathcal { B } } ^ { * } ( z ) Y ) } \\ & { = - P _ { Y } ( D _ { Y } ( 2 { \mathcal { B } } ^ { * } ( z ) Y ) [ U ] ) } \\ & { = - 2 P _ { Y } ( { \mathcal { B } } ^ { * } ( z ) U ) - 2 P _ { Y } ( { \mathcal { B } } ^ { * } ( D _ { Y } ( z ) [ U ] ) Y ) } \\ & { = - 2 { \mathcal { B } } ^ { * } ( z ) U + 2 { \mathcal { B } } ^ { * } ( u ) Y , } \end{array}
V _ { T } ^ { X | K } ( f ) = \langle \zeta _ { 0 } ^ { X | K } , f _ { 0 } \rangle + \int _ { 0 } ^ { T } \langle \zeta _ { t } ^ { X | K } , \mathcal { A } f _ { t } \rangle d t + \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { Y \in \mathcal { S } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { Y } } \mathcal { I } _ { Y } ( t , u ) f _ { t , u } ^ { X } \mu _ { Y } ( d u ) d t .
\begin{array} { r l } { d f _ { V } ^ { 0 } ( x , y ) } & { = \bar { P } ( x , y ) \left( \cos \varphi \, d x X _ { \alpha } ^ { 0 } + \sin \varphi \, d y X _ { \beta } ^ { 0 } \right) ( x , y ) } \\ & { = h ^ { - 1 } ( x , y ) \left( ( ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) / x ) d x X _ { \alpha } ^ { 0 } + 2 y d y X _ { \beta } ^ { 0 } \right) ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta _ { 1 } ( z ) = \frac { \frac { z - Y _ { 1 } } { z - Y _ { 1 } ^ { * } } \theta _ { 2 } ( z ) + \lambda _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } { ( \lambda _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { * } \frac { z - Y _ { 1 } } { z - Y _ { 1 } ^ { * } } \theta _ { 2 } ( z ) + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( { \bar { \partial } } _ { t } \partial _ { t } U ^ { n } , U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) } & { = } & { - \alpha \left( \delta _ { t } U ^ { n } , U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) - \left( \nabla { \hat { U } } ^ { n } , \nabla U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) } \\ & { \leq } & { \alpha \| \delta _ { t } U ^ { n } \| \, \| U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \| + \| \nabla { \hat { U } } ^ { n } \| \, \| \nabla U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \| , } \\ & { \leq } & { \alpha \| \delta _ { t } U ^ { n } \| ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 4 } \| U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla { \hat { U } } ^ { n } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\langle x \rangle \simeq 0 . 0 8 \, , \quad \langle y \rangle \simeq 0 . 3 3 \, , \quad \langle z \rangle \simeq 0 . 4 5 \, , \quad \langle Q ^ { 2 } \rangle \simeq 5 \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { | a ( r , \xi , \tau ) | _ { \mathrm { r e s } } ^ { 2 } = | a _ { 0 } | ^ { 2 } f ^ { 2 } ( \xi ) } & { \left( 2 \epsilon _ { w } \Omega _ { s } \tau \sin ( \omega _ { w } \tau ) + \frac { 2 \Omega _ { s } \left[ \cos ( \omega _ { w } \tau ) - 1 \right] } { \omega _ { w } } \right) \cos ( k _ { p 0 } \xi ) \mathrm { L G } _ { 0 0 } ( r ) \mathrm { L G } _ { 1 0 } ( r ) \, , } \\ { \frac { \delta n _ { \mathrm { N L } } ( r , \xi , \tau ) } { n _ { 0 0 } } = \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } c ^ { 5 } } \frac { \omega _ { p 0 } W _ { \mathrm { d r i v e } } ( \xi ) \lambda _ { L } ^ { 2 } } { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } } & { \left( 2 \epsilon _ { w } \Omega _ { s } \tau \sin ( \omega _ { w } \tau ) + \frac { 2 \Omega _ { s } \left[ \cos ( \omega _ { w } \tau ) - 1 \right] } { \omega _ { w } } \right) \sin ( k _ { p 0 } \xi ) \mathrm { L G } _ { 0 0 } ( r ) \mathrm { L G } _ { 1 0 } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( - z \left( 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - i k r \right) L _ { n } ^ { 0 } ( a ) } \\ & { } & { = - 2 \sqrt { 2 } \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \left( L _ { n } ^ { 1 } ( a ) - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) L _ { n } ^ { 0 } ( a ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { t } ( a _ { t , 2 } ) ^ { T } \gamma _ { l } ( a _ { l , 2 } ^ { * } ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t } } \end{array} \right] L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] \beta _ { l } = z _ { t } ^ { T } z _ { l } } \end{array}