harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { 0 , 0 } } & { = 1 , } \\ { p _ { N , N } } & { = 1 , } \\ { p _ { i , i - 2 } } & { = \frac { N - i } { r i + N - i } \cdot \frac { \binom { i } { 2 } } { \binom { N - 1 } { 2 } } = \frac { N - i } { r i + N - i } \cdot \frac { i ( i - 1 ) } { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } , \quad i \in \{ 2 , \ldots , N \} , } \\ { p _ { i , i - 1 } } & { = \frac { N - i } { r i + N - i } \cdot \frac { \binom { i } { 1 } \binom { N - i - 1 } { 1 } } { \binom { N - 1 } { 2 } } = \frac { N - i } { r i + N - i } \cdot \frac { 2 i ( N - i - 1 ) } { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } , \quad i \in \{ 1 , \ldots , N \} , } \\ { p _ { i , i + 1 } } & { = \frac { r i } { r i + N - i } \cdot \frac { \binom { i - 1 } { 1 } \binom { N - i } { 1 } } { \binom { N - 1 } { 2 } } = \frac { r i } { r i + N - i } \cdot \frac { 2 ( i - 1 ) ( N - i ) } { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } , \quad i \in \{ 2 , \ldots , N - 1 \} , } \\ { p _ { i , i + 2 } } & { = \frac { r i } { r i + N - i } \cdot \frac { \binom { N - i } { 2 } } { \binom { N - 1 } { 2 } } = \frac { r i } { r i + N - i } \cdot \frac { ( N - i ) ( N - i - 1 ) } { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } , \quad i \in \{ 1 , \ldots , N - 2 \} , } \\ { p _ { 1 , 1 } } & { = 1 - p _ { 1 , 0 } - p _ { 1 , 2 } - p _ { 1 , 3 } , } \\ { p _ { i , i } } & { = 1 - p _ { i , i - 2 } - p _ { i , i - 1 } - p _ { i , i + 1 } - p _ { i , i + 2 } , \quad i \in \{ 2 , \ldots , N - 2 \} , } \\ { p _ { N - 1 , N - 1 } } & { = 1 - p _ { N - 1 , N - 3 } - p _ { N - 1 , N - 2 } - p _ { N - 1 , N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { T M } \big [ L ( x , v , \psi ( x ) ) + c \big ] \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( x , v ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \frac 1 { t _ { n } } \int _ { - t _ { n } } ^ { 0 } \big [ L \bigl ( \gamma ( s ) , \dot { \gamma } ( s ) , \psi ( \gamma ( s ) ) \bigr ) + c \big ] \, \mathrm { d } s } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \frac { w ( x _ { 0 } ) - w ( \gamma ( - t _ { n } ) ) } { t _ { n } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \nabla ^ { j } \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) ] = \nabla ^ { j } U _ { i } ( x , t ) + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } \nabla _ { j } U _ { i } ( x , t ) \mathbb { E } [ \psi ( x ) } \\ & { ] + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } U _ { i } ( x , t ) \mathbb { E } [ \nabla _ { j } \psi ( x ) ] = \nabla ^ { j } U _ { i } ( x , t ) } \\ & { \mathbb { E } [ \nabla ^ { i } \mathcal { U } _ { j } ( x , t ) ] = \nabla ^ { i } U _ { j } ( x , t ) + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } \nabla _ { i } U _ { j } ( x , t ) \mathbb { E } [ \psi ( x ) ] } \\ & { + \frac { \theta } { \sqrt { d ( d + 2 ) } } U _ { j } ( x , t ) \mathbb { E } [ \nabla _ { j } \psi ( x ) ] = \nabla ^ { i } U _ { j } ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf I } _ { \alpha } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = } & { \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } { \bf \Sigma } ^ { R } ( t _ { 1 } , t _ { 3 } ) { \bf G } ^ { < } ( t _ { 3 } , t _ { 1 } ) d t _ { 3 } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } { \bf \Sigma } ^ { < } ( t _ { 1 } , t _ { 3 } ) { \bf G } ^ { A } ( t _ { 3 } , t _ { 1 } ) d t _ { 3 } } \end{array}
\partial _ { \lambda _ { k } } \overline { { \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } } \approx \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { n \lambda _ { k } } - \frac { 1 } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } \frac { { \bf v } _ { k } ^ { \prime } { \bf C } { \bf v } _ { k } } { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ { \bf C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } \right) ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathcal { E } } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { \lfloor \frac { n - 4 } { 2 } \rfloor , \lceil \frac { n - 4 } { 2 } \rceil } ) ^ { c } \big ) = } & { ~ 2 \Big ( \xi _ { 1 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { \lfloor \frac { n - 4 } { 2 } \rfloor , \lceil \frac { n - 4 } { 2 } \rceil } ) ^ { c } \big ) + \xi _ { 2 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { \lfloor \frac { n - 4 } { 2 } \rfloor , \lceil \frac { n - 4 } { 2 } \rceil } ) ^ { c } \big ) \Big ) } \\ { = } & { ~ \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ 2 \sqrt { 8 n - 7 } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n , } } \\ { \mathrm { ~ 2 \sqrt { 4 n + 1 + 4 \sqrt { n ^ 2 - 4 n + 3 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { T _ { i j h l } ^ { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } = \frac { \tau ^ { 2 } } { 8 } \langle a _ { i } a _ { j } a _ { h } a _ { l } ( \cos { ( 2 \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } + 2 ) \rangle , } \\ & { } & { T _ { i j h l } ^ { x ^ { 3 } y } = \frac { 3 \tau ^ { 2 } } { 8 } \langle a _ { i } a _ { j } a _ { h } a _ { l } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } \rangle , } \\ & { } & { T _ { i j h l } ^ { x ^ { 4 } } = \frac { 3 \tau ^ { 2 } } { 8 } \langle a _ { i } a _ { j } a _ { h } a _ { l } \rangle . } \end{array}
\Gamma _ { t } [ \phi ] = \int \! \! d ^ { D } x \, \left\{ V ( \phi ^ { 2 } , t ) + \frac { 1 } { 2 } K ( \phi ^ { 2 } , t ) \left( \partial _ { \mu } \phi ^ { a } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } Z ( \phi ^ { 2 } , t ) \left( \phi ^ { a } \partial _ { \mu } \phi ^ { a } \right) ^ { 2 } + \cdots \right\}
1 6 \pi G _ { 5 } \rho = \int _ { - \delta } ^ { \delta } \frac { 3 F ^ { ' } ( r ) } { R ^ { 3 } \left( 1 + \dot { R } ^ { 2 } - \frac { F ( r ) } { R ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } d r .
\begin{array} { r l } { \bar { \tau } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) = } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] ^ { 2 } } \\ { \bar { \tau } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ) = } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } ] ^ { 2 } + \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] \mathbb { E } [ X _ { 2 } X _ { 3 } ] \mathbb { E } [ X _ { 3 } X _ { 1 } ] } \\ { \bar { \tau } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , X _ { 4 } ) = } & { - 2 ( \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] \mathbb { E } [ X _ { 2 } X _ { 3 } ] \mathbb { E } [ X _ { 3 } X _ { 4 } ] \mathbb { E } [ X _ { 4 } X _ { 1 } ] + \mathrm { t w o ~ o t h e r ~ t e r m s } ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } ( \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] ^ { 2 } \mathbb { E } [ X _ { 3 } X _ { 4 } ] ^ { 2 } + \mathrm { t w o ~ o t h e r ~ t e r m s } ) } \\ & { + \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 3 } X _ { 4 } ] \mathbb { E } [ X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } ] + \mathrm { f i v e ~ o t h e r ~ t e r m s } } \\ & { + \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } ] \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } ] \mathbb { E } [ X _ { 3 } X _ { 4 } ] + \mathrm { t w o ~ o t h e r ~ t e r m s } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } [ X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } ] ^ { 2 } } \end{array}
M ^ { \pm } - M ^ { 0 } = \left\{ \begin{array} { r l } { { - 1 . 3 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ B } } } \\ { { - 0 . 8 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ B ^ { * } ~ } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge \partial v = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \big ( \mathcal { F } ( v + \epsilon \partial v ) - \mathcal { F } ( v ) \big ) , \ \forall \partial v \in P ^ { \ast } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } \left[ \left| r _ { t } \left( \beta ( t ) + \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 } - \alpha \ln r _ { t } \right) \right| ^ { q } \right] } \\ & { \leq c _ { q } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } ( r _ { t } ^ { q } ) + c _ { q } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } \left[ \left| r _ { t } \ln r _ { t } \right| ^ { q } \right] } \\ & { \leq c _ { q } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } ( r _ { t } ^ { q } ) + c _ { q } \sqrt { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } ( r _ { t } ^ { 2 q } ) \cdot \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } \left[ \left| \ln r _ { t } \right| ^ { 2 q } \right] } < \infty , } \end{array}
\widehat { V P } _ { \mathrm { s } } = \widehat { V P } _ { A } + \widehat { V P } _ { B } + \widehat { V P } _ { 1 \mathrm { m } } + \widehat { V P } _ { 1 \ell } + \widehat { V P } _ { 2 } + \widehat { V P } _ { 3 } + \widehat { V P } _ { 4 }
e q 3 3 \mathrm { I m } \tilde { h } _ { 0 } ( \nu ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \qquad 0 } } & { { \mathrm { i n } \quad \nu ^ { \prime } > - 1 } } \\ { { \frac { 8 \pi } { 3 \nu ^ { \prime } } C _ { 2 \pi } ^ { \prime } ( - \nu ^ { \prime } - 1 ) ^ { 3 / 2 } + \cdots } } & { { \mathrm { i n } \quad \nu ^ { \prime } \leq - 1 \quad . } } \end{array} \right.
\begin{array} { l l c l l } { { } } & { { V _ { 3 } } } & { { \stackrel { C _ { 3 } ^ { 1 2 } } { \longrightarrow } } } & { { V _ { 1 } \otimes V _ { 2 } } } & { { } } \\ { { \Pi _ { 3 } } } & { { \downarrow } } & { { } } & { { \downarrow } } & { { \Pi _ { 1 } \otimes \Pi _ { 2 } } } \\ { { } } & { { V _ { 3 } } } & { { \stackrel { C _ { 3 } ^ { 1 2 } } { \longrightarrow } } } & { { V _ { 1 } \otimes V _ { 2 } } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \pi } { 2 c ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \! \left( - \, \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\xi _ { 1 } ( z ) = - \frac { \tilde { C } } { C ^ { - } } ( \frac { \gamma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } \chi _ { 1 } ^ { - } ( z ) + \frac { \gamma \mu } { \mu ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } \chi _ { 2 } ^ { - } ( z ) )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] _ { \mathrm { M o r i s o n } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } D _ { \mathrm { d i f f } } ( \theta ) d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( \mathbf { f } _ { M } \cos \theta ) ( \mathbf { f } _ { M } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \cos \theta ) \frac { 1 } { 2 \pi } d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { f } _ { M } \mathbf { f } _ { M } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \hat { a } _ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] , \hat { a } _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { \dagger } [ \Omega ^ { \prime } ] ] = } & { { } \frac { | H _ { 0 } [ \Omega ] | ^ { 2 } - 1 } { | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] | ^ { 2 } } 2 \pi \cdot \delta [ \Omega + \Omega ^ { \prime } ] } \\ { = } & { { } \, 2 \pi \cdot \delta [ \Omega + \Omega ^ { \prime } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { a } = \frac { \pi } { 2 } \left[ 1 - \operatorname { t a n h } \left( \frac { B } { 2 } ( \rho - R ) \right) \right] } \\ & { } & { \tilde { b } = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { x - C _ { x } } { y - C _ { y } } \right) } \\ & { } & { \rho = \sqrt { ( x - C _ { x } ) ^ { 2 } + ( y - C _ { y } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
r _ { j k } = | \mathbf { r } _ { j } - \mathbf { r } _ { k } | = \sqrt { ( q _ { j x } - q _ { k x } ) ^ { 2 } + ( q _ { j y } - q _ { k y } ) ^ { 2 } + ( q _ { j z } - q _ { k z } ) ^ { 2 } } ~ .
\begin{array} { r l } { S ( ^ { 2 0 7 } \mathrm { ~ P ~ b ~ } , g ) } & { { } \approx S ( ^ { 1 9 9 } \mathrm { ~ H ~ g ~ } , g ) } \\ { S ( ^ { 2 0 7 } \mathrm { ~ P ~ b ~ } , \theta ) } & { { } \approx S ( ^ { 1 9 9 } \mathrm { ~ H ~ g ~ } , \theta ) \approx 0 . 0 0 5 \ \bar { \theta } \ e \cdot \mathrm { ~ f ~ m ~ } ^ { 3 } \, , } \\ { S ( ^ { 2 0 7 } \mathrm { ~ P ~ b ~ } , \tilde { d } ) } & { { } \approx S ( ^ { 1 9 9 } \mathrm { ~ H ~ g ~ } , \tilde { d } ) \approx 5 \tilde { d } _ { d } \ e \cdot \mathrm { ~ f ~ m ~ } ^ { 2 } \, . } \end{array}
S _ { W Z } ^ { N D 3 } = \mu _ { 3 } \int _ { R ^ { 3 + 1 } } \mathrm { T r } \left( C ^ { ( 4 ) } + i ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) i _ { \Phi } i _ { \Phi } B ^ { ( 6 ) } + \frac 1 2 C ^ { ( 2 ) } \wedge B ^ { ( 2 ) } - ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) B ^ { ( 2 ) } \wedge { \tilde { \cal F } } + \dots \right) \, ,
\frac { 1 } { 2 } > \frac { C } { \gamma _ { * } } \frac { \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } { ( 1 + \Vert \hat { Z } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } } & { { } = \exp ( [ f _ { 2 } , \cdot \, ] ) \exp ( [ f _ { 3 } , \cdot \, ] ) \exp ( [ g _ { 2 } , \cdot \, ] ) \exp ( [ g _ { 3 } , \cdot \, ] ) } \end{array}
j ^ { \star } = \sigma T ^ { 4 } ~ , ~ ~ \sigma = { \frac { 2 \pi ^ { 5 } k ^ { 4 } } { 1 5 c ^ { 2 } h ^ { 3 } } } = { \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 4 } } { 6 0 \hbar ^ { 3 } c ^ { 2 } } } .
\frac { \partial \mathbf { a } } { \partial t } = \mathcal { P } _ { \mathbf { a } } ^ { \parallel } \left[ \mathbf { A } \left[ \mathbf { a } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } \left[ \mathbf { a } \right] \cdot \mathbf { w } ( t ) \right] \, ,
\, - \, \frac { 1 } { 3 ! } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } d ^ { 3 } x _ { 3 } { \mathcal W } _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) b _ { \mu _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) b _ { \mu _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) b _ { \mu _ { 3 } } ( x _ { 3 } ) \, + \, \ldots
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } Y _ { 1 } = } & { { } \ \left( \frac { \nabla _ { r } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } - V ( r ) + \mu _ { 1 } - | Y _ { 1 } | ^ { 2 } - g _ { 1 2 } | Y _ { 2 } | ^ { 2 } \right) Y _ { 1 } , } \\ { \partial _ { \tau } Y _ { 2 } = } & { { } \ \left( \frac { \nabla _ { r } ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } - V ( r ) + \mu _ { 2 } - g _ { 2 } | Y _ { 2 } | ^ { 2 } - g _ { 1 2 } | Y _ { 1 } | ^ { 2 } \right) Y _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { i } { 1 6 \pi } \int \frac { d \theta _ { k } } { k \cdot x } \ \Bigl ( } & { - M _ { a e \to c f } ^ { ( 0 ) } ( p , k , q , r ) \ M _ { b f \to d e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , r , q ^ { \prime } , k ) } \\ & { + M _ { a e \to c f } ^ { ( 0 ) } ( p , r ^ { \prime } , q , k ) \ M _ { b f \to d e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , k , q ^ { \prime } , r ^ { \prime } ) \Bigr ) } \\ { - \frac { i } { 3 2 \pi } \int \frac { d \theta _ { k } \mu ^ { 2 } } { ( k \cdot x ) ^ { 2 } } \ \Bigl ( } & { + M _ { a e \to c f } ^ { ( 0 ) } ( p , k , q , r ) \ M _ { b f \to d e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , r , q ^ { \prime } , k ) } \\ & { + M _ { a e \to c f } ^ { ( 0 ) } ( p , r ^ { \prime } , q , k ) \ M _ { b f \to d e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , k , q ^ { \prime } , r ^ { \prime } ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert \hat { \eta } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \rVert g _ { 2 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + | \langle \hat { \eta } \rangle | ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \bigr ] } & { { } = i \sum _ { \mu } \varphi _ { \mu } ^ { * } \bigl [ \hat { a } _ { \mu } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \bigr ] } \end{array}
u _ { m } ^ { [ + 2 ] } = \frac 1 8 ( v _ { \alpha A } ^ { + } \tilde { \sigma } _ { m } ^ { \alpha \beta } v _ { \beta A } ^ { + } ) = \frac 1 8 ( v _ { \dot { A } } ^ { \alpha + } \sigma _ { m \alpha \beta } v _ { \dot { A } } ^ { \beta + } ) ,
\begin{array} { r l } { f _ { i + \frac 1 2 } } & { = \frac { U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) } { 2 } \left( \frac { q _ { i } ^ { n } } { L _ { i } } + \frac { q _ { i + 1 } ^ { n } } { L _ { i + 1 } } \right) - \frac { | U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) | } { 2 } \left( \frac { q _ { i + 1 } ^ { n } } { L _ { i + 1 } } - \frac { q _ { i } ^ { n } } { L _ { i } } \right) } \\ { L _ { i } } & { : = 1 + \Delta t \frac { U ( x _ { i + \frac 1 2 } ) - U ( x _ { i - \frac 1 2 } ) } { \Delta x } } \end{array}
L _ { M } ^ { N } ( g h , h ) = \frac { \partial x ^ { N } ( g h ) } { \partial x ^ { M } ( h ) } \, , \quad \overline { { { L } } } _ { N } ^ { M } ( h , g h ) = \frac { \partial x ^ { M } ( h ) } { \partial x ^ { N } ( g h ) } \, ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } , \eta \rightarrow 0 } A ( s ) } & { = 1 , \quad \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } , \eta \rightarrow 0 } \overline { { A } } ( s ) } & & { = - 1 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } , \eta \rightarrow 0 } Q ( s ) } & { = 2 , \quad \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } , \eta \rightarrow 0 } \overline { { Q } } ( s ) } & & { = 0 . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { a _ { k , 1 } } & { \! = \! \frac { 2 p _ { k } [ t _ { k } \delta \Delta _ { k } ( t _ { k } \gamma _ { k } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ] } { ( t _ { k } \gamma _ { k } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 2 } \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) ^ { 2 } \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) } , a _ { k , 2 } \! = \! \frac { - p _ { k } t _ { k } ^ { 2 } \delta _ { k } ^ { 2 } \Delta _ { k } ^ { 2 } } { ( t _ { k } \gamma _ { k } + \sigma ^ { 2 } ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 2 } \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ) \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) ^ { 2 } } , a _ { k , 3 } \! = \! \frac { - 2 p _ { k } t _ { k } \overline { { d } } \gamma _ { k } ( { \mathbf { C } } ) } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 3 } } , } \\ { a _ { k , 4 } } & { \! = \! \frac { p _ { k } \Delta _ { k } } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 2 } } , a _ { k , 5 } \! = \! \frac { - 2 p _ { k } t _ { k } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { I } } _ { N } ) \gamma _ { k } } { \sigma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 3 } } , a _ { k , 6 } \! = \! \frac { p _ { k } \Delta _ { k } } { \sigma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) \gamma _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { k } \delta _ { k } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \nabla _ { a } ( X ^ { b } + Y ^ { b } ) } & { = \nabla _ { a } X ^ { b } + \nabla _ { a } Y ^ { b } } \\ { \nabla _ { a } ( c X ^ { b } ) } & { = c \nabla _ { a } X ^ { b } } & & { c { \mathrm { ~ a ~ c o n s t a n t } } } \\ { \nabla _ { a } ( X ^ { b } Y ^ { c } ) } & { = Y ^ { c } ( \nabla _ { a } X ^ { b } ) + X ^ { b } ( \nabla _ { a } Y ^ { c } ) } \\ { \nabla _ { a } ( f ( x ) X ^ { b } ) } & { = f \nabla _ { a } X ^ { b } + X ^ { b } \nabla _ { a } f = f \nabla _ { a } X ^ { b } + X ^ { b } { \frac { \partial f } { \partial x ^ { a } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { u } _ { \mathrm { a n a } } = \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } + \mathbf { u } _ { \mathrm { t } } } \\ & { \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } ( r , \theta , \phi ) = \Omega \frac { r } { R } \sin ( \theta ) \hat { \boldsymbol \phi } } \\ & { \mathbf { u } _ { \mathrm { t } } ( r , \theta , \phi ) = \frac { A } { R ^ { 3 } } \left[ r ( r ^ { 2 } - W ^ { 2 } ) ( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta ) \hat { \boldsymbol r } + r ( 5 r ^ { 2 } - W ^ { 2 } ) \cos ( \theta ) \sin ( \theta ) \hat { \boldsymbol \theta } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { | 1 + i t - \rho | \ge \eta } \frac { 1 } { | 1 + i t - \rho | ^ { 2 } } } & { \le \left( \frac { 2 3 . 9 9 } { \sqrt { \eta } } - 4 0 . 3 8 5 \right) \log t + \left( \frac { 0 . 3 5 4 8 } { \eta ^ { 2 } } + 1 . 2 0 3 1 \right) \log \log t } \\ & { \qquad + 0 . 1 8 9 + \frac { 2 . 5 6 } { \eta ^ { 2 } } - \frac { \log \eta } { 1 . 8 7 9 \eta ^ { 2 } } - \frac { N ( t , \eta ) } { \eta ^ { 2 } } . } \end{array}
\Gamma _ { s } ( P _ { a } ) = \left\{ \begin{array} { c } { { \frac { i } { 2 R _ { 5 } } \sigma ^ { 2 } \Gamma ^ { 0 1 2 3 4 } \Gamma _ { a } \, , \ \ \ ( a = 0 , \cdots , 4 ) } } \\ { { - \frac { i } { 2 R _ { 5 } } \sigma ^ { 2 } \Gamma ^ { 0 1 2 3 4 } \Gamma _ { a } \, . \ \ \ ( a = 5 , \cdots , 9 ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { c e l l } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) + 1 } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } ( \sigma _ { f } - \sigma _ { b } ) + \frac { \tilde { \chi } } { 2 } \int _ { x _ { b } } ^ { x _ { f } } \frac { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x ^ { \prime } ) \right] - \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x ^ { \prime } - x _ { b } ) \right] } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } c ( x ^ { \prime } , t ) d x ^ { \prime } } \end{array}
A { \vec { e } } _ { j } = a _ { 1 , j } { \vec { e } } _ { 1 } + a _ { 2 , j } { \vec { e } } _ { 2 } + \ldots + a _ { n , j } { \vec { e } } _ { n } = \sum a _ { i , j } { \vec { e } } _ { i } .
\begin{array} { r l r } { \nu } & { { } = } & { \delta _ { 1 , 2 m - 1 } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } - \hbar \mathbf { k } / 2 \right) } \end{array}
[ \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } } \, , \, \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } } ^ { + } ] = \delta _ { \mathrm { \bf ~ k } \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } } \; \; \; , \; \; \; \; [ \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } } \, , \, \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } } ] = 0 = [ \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } } ^ { + } \, , \, \hat { a } _ { \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } } ^ { + } ]
\begin{array} { c c } { { S U ( 3 ) _ { l } \otimes S U ( 3 ) _ { q } \otimes S U ( 2 ) _ { L } \otimes S U ( 2 ) _ { R } \otimes U ( 1 ) _ { X } } } & { { } } \\ { { \downarrow } } & { { \langle \chi _ { 1 } \rangle , \langle \Delta _ { 1 R } \rangle , \langle \eta _ { 1 R } \rangle } } \\ { { S U ( 3 ) _ { q } \otimes S U ( 2 ) _ { L } \otimes U ( 1 ) _ { Y } } } & { { } } \\ { { \downarrow } } & { { \langle \Phi \rangle } } \\ { { S U ( 3 ) _ { q } \otimes U ( 1 ) _ { e m } . } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \Big | _ { t = 0 } H _ { i j } ^ { 2 } } & { = \frac { \partial } { \partial t } \Big | _ { t = 0 } \Big ( ( - 2 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) ( H _ { t } ^ { 2 } ) _ { i j } \Big ) } \\ & { = \Big ( ( - 2 u _ { t } ^ { \prime } + 2 \Tilde { u } _ { t } ^ { \prime } ) ( H _ { t } ^ { 2 } ) _ { i j } + ( - 2 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) ( H _ { t } ^ { 2 } ) _ { i j } ^ { \prime } \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = - 6 u ^ { 2 } H _ { i j } ^ { 2 } + ( - 2 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) ^ { 2 } ( H _ { t } ^ { 2 } ) _ { i j } \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = - 2 u ^ { 2 } H _ { i j } ^ { 2 } } \\ & { = - 8 u ^ { 2 } \mu g _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \int _ { \Lambda } ( u - \Pi _ { \Lambda } ^ { r } u ) ^ { \prime \prime } \varphi d x = 0 , \quad \forall \varphi \in P _ { r - 2 } ( \Lambda ) , } \\ { \Pi _ { \Lambda } ^ { r } u ( - 1 ) = u ( - 1 ) , } \\ { ( \Pi _ { \Lambda } ^ { r } u ) ^ { \prime } ( - 1 ) = u ^ { \prime } ( - 1 ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \nu } _ { t } = ( 1 - \beta _ { 1 } ) \nabla f ( x _ { t } , \xi _ { t } ) + \beta _ { 1 } \hat { \nu } _ { t - 1 } , } \\ & { \hat { \mu } _ { t } = ( 1 - \beta _ { 2 } ) \nabla f ( x _ { t } , \xi _ { t } ) ^ { 2 } + \beta _ { 2 } \hat { \mu } _ { t - 1 } } \\ & { \nu _ { t } = \hat { \nu } _ { t } / ( 1 - \gamma _ { 1 } ^ { t } ) , \; \mu _ { t } = \hat { \mu } _ { t } / ( 1 - \gamma _ { 2 } ^ { t } ) , } \\ & { H _ { t } = D i a g ( \sqrt { \mu _ { t } } + \epsilon ) } \end{array}