harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Gamma \big | _ { \Delta p _ { z ^ { \prime } } > \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } = } & { { } \, n _ { g } \sqrt { 8 \pi } R ^ { 2 } \overline { { v } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \bigg ( e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ } ^ { 2 } \theta / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { { } \, \frac { n _ { g } A \overline { { v } } } { \sqrt { 2 \pi } } \eta _ { d } ^ { \prime } ( \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ) , } \end{array}
\overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r _ { \delta \eta } } ( \mathbf { p } ) ) = \underbrace { \partial _ { \eta } \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r _ { \eta } } ( \mathbf { p } ) ) \vert _ { \eta = 0 } } _ { \partial _ { \eta } \overline { { \mathbf { W } } } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) \vert _ { \eta = 0 } } \delta \eta + O ( \delta \eta ^ { 2 } ) .
\frac { d f } { d t } = \frac { f _ { 0 } e ^ { \displaystyle t / \tau } } { \tau \left( f _ { 0 } e ^ { \displaystyle t / \tau } + 1 \right) ^ { 2 } } \times \prod _ { n = 1 } ^ { N } \left( 1 - \frac { \beta _ { n } } { e ^ { \displaystyle ( t - t _ { \beta _ { n } } ) / \tau _ { \beta _ { n } } } + 1 } \right)
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 3 } \Phi _ { 4 } } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } M _ { 3 } \Phi _ { 4 } } \\ & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \sum _ { k = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { k } ) + \mathfrak { r } _ { - 2 } \right) \Phi _ { 4 } } \\ & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \left( O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 \right) + \sum _ { k = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } O p ^ { W } ( M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { k } ) ) \Phi _ { 4 } + \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } O p ^ { W } ( \mathfrak { r } _ { - 2 } ) \Phi _ { 4 } \right) . } \end{array}
\underbrace { \left[ \begin{array} { c c } { \Phi } & { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } & { \Theta } \end{array} \right] } _ { \mathcal { A } } \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { v } _ { 0 } } \\ { \mathbf { v } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { v } _ { n _ { t } } } \\ { \mathbf { k } _ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { k } _ { n _ { t } - 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { v } ^ { 0 } } \\ { \mathbf { b } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { b } _ { n _ { t } } } \\ { \mathbf { f } _ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { f } _ { n _ { t } - 1 } } \end{array} \right] ,
g _ { c r } \ge \frac { 1 } { 1 - \frac { L \pi } { 2 \Lambda ^ { 2 } } + \frac { M ^ { 2 } } { 3 \Lambda ^ { 2 } } ( \frac { \pi } { 2 L } - 1 / \Lambda ^ { 2 } ) - \frac { M } { \Lambda ^ { 2 } } \mathrm { l n } 2 } \approx \frac { 1 } { 1 - \frac { \pi | e | | f _ { 1 } | ^ { 1 / 2 } } { 2 \Lambda ^ { 2 } } - \frac { | e | } { \Lambda ^ { 2 } } ( \frac { f _ { 2 } ^ { 2 } } { | f _ { 1 } | } ) ^ { 1 / 2 } \mathrm { l n } 2 } .
1 = \int D \sigma d \vec { \pi } \exp \left[ - i \int d ^ { 4 } x { \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } } \left( ( \sigma + { \frac { g } { \mu ^ { 2 } } } ( \bar { q } q - { \frac { M _ { 0 } } { G } } ) ) ^ { 2 } + ( \vec { \pi } + { \frac { g } { \mu ^ { 2 } } } \bar { q } i \vec { \tau } \gamma _ { 5 } q ) ^ { 2 } \right) \right] \, ,
\begin{array} { r l } { D _ { 0 } } & { \equiv \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 3 \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ 0 } } { 8 \! \sqrt { \pi } n _ 0 \sigma ^ 2 } ~ } } \\ { \nu _ { 0 } } & { \equiv \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 5 \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ 0 } } { 1 6 \! \sqrt { \pi } n _ 0 \sigma ^ 2 } ~ } } \end{array}
\mathrm { C C } ( { \boldsymbol { x } } , { \boldsymbol { y } } ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - \bar { x } \right) \left( y _ { i } - \bar { y } \right) } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - \bar { x } \right) ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } - \bar { y } \right) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \| \nabla \tilde { f } _ { 0 } \| _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { R } ) } } & { \leq C \left( \| \nabla \tilde { u } \| _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { R } ) } \cdot \| \psi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ) } + \| \nabla \psi \| _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { R } ) } \right) } \\ & { \leq C \left( R ^ { \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } + 1 } \cdot R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \omega + \omega \right) } \\ & { = C ( R ^ { 2 } \omega + \omega ) } \\ & { \leq C R ^ { 2 } \omega } \\ & { = C \delta ^ { 2 5 } \ll 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { x ^ { \mu } = \left( \begin{array} { l } { c t } \\ { x ^ { 1 } } \\ { x ^ { 2 } } \\ { x ^ { 3 } } \end{array} \right) \mapsto L _ { z } ( \xi ) _ { \; \nu } ^ { \mu } \, x ^ { \nu } = \left( \begin{array} { l l l l } { \cosh ( \xi ) } & { 0 } & { 0 } & { \sinh ( \xi ) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \sinh ( \xi ) } & { 0 } & { 0 } & { \cosh ( \xi ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c t } \\ { x ^ { 1 } } \\ { x ^ { 2 } } \\ { x ^ { 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
N u = \left. - \frac { H } { \Delta \langle T _ { s a } \rangle _ { A , t } } \frac { d \langle T _ { s a } \rangle _ { A , t } } { d z } \right| _ { z = 0 , H } = \left. - \frac { H } { \epsilon T _ { B } } \frac { d \langle T _ { s a } \rangle _ { A , t } } { d z } \right| _ { z = 0 , H } .
\begin{array} { r l r } & { \exp \left( c ( x _ { i } ^ { + } - x _ { i } ^ { - } ) \log ( x _ { i } ^ { + } - x _ { i } ^ { - } ) + \frac { ( u _ { i } ^ { - } - u _ { i } ^ { + } ) ^ { 2 } } { 4 ( x _ { i } ^ { + } - x _ { i } ^ { - } ) } - \frac { ( x _ { i } ^ { + } ) ^ { 3 } + | x _ { i } ^ { - } | ^ { 3 } } { 3 } - 2 \zeta _ { m } ( x _ { i } ^ { + } - x _ { i } ^ { - } ) \ \right) } \\ & { \le \exp \left( \frac { ( u _ { i } ^ { - } - u _ { i } ^ { + } ) ^ { 2 } } { 4 ( x _ { i } ^ { + } - x _ { i } ^ { - } ) } - \frac { 1 } { 3 } \left( [ \textsf { T } f _ { i } ( 0 ) ] ^ { 3 / 2 } + [ \textsf { T } f _ { i } ( t ) ] ^ { 3 / 2 } \right) + c _ { k , m } E _ { t , f } \right) } & \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \mu \nu \kappa } } & { = \int \frac { \chi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \chi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \mathrm { e r f c } ( \omega r _ { 1 2 } ) \chi _ { \kappa } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) } { r _ { 1 2 } } d \mathbf { r } _ { 1 } ^ { 3 } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 2 } } \\ & { \lesssim N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } \sum _ { l } ^ { l _ { \mu \nu } } | L _ { \mu \nu } ^ { l } ( d _ { \mu \nu } ) | \frac { \pi ^ { 3 } \nu _ { l + l _ { \kappa } } ( \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } , R ) } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { l + 3 / 2 } \alpha _ { \kappa } ^ { l _ { \kappa } + 3 / 2 } } , } \end{array}
\langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) r , r \rangle = \langle ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) ) R \Phi _ { 0 } , R \Phi _ { 0 } \rangle + \mathcal { O } ( \| t _ { * } \| _ { \mathbb { V } } ) .
\begin{array} { r l } { g _ { m } } & { = \int \int h _ { m } ( \mathbf { r } , \mathcal { E } ) } \\ & { * [ f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) P ^ { T h } ( \mathcal { E } ) + f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) P ^ { R a } ( \mathcal { E } ) ] ~ d ^ { 3 } r ~ d \mathcal { E } + \psi _ { m } + n _ { m } } \\ & { = \int f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) \int h _ { m } ( \mathbf { r } , \mathcal { E } ) P ^ { T h } ( \mathcal { E } ) ~ d \mathcal { E } } \\ & { + f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \int h _ { m } ( \mathbf { r } , \mathcal { E } ) P ^ { R a } ( \mathcal { E } ) ~ d \mathcal { E } ~ d ^ { 3 } r + \psi _ { m } + n _ { m } . } \end{array}
S _ { f r e e } = \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 2 } z \partial ^ { \alpha } \xi _ { \mu } \partial _ { \alpha } \xi ^ { \mu } + \frac { i } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { z ^ { 2 } = 0 } d z ^ { 1 } F _ { \mu \nu } \xi ^ { \nu } \partial _ { 1 } \xi ^ { \mu } .
\begin{array} { l } { { \displaystyle { { \dot { \bf R } } } ( t + \frac { \delta t } { 2 } ) = { { \dot { \bf R } } } ( t ) + \frac { \delta t } { 2 } { { \ddot { \bf R } } } ( t ) } , } \\ { ~ ~ } \\ { { \displaystyle { { \bf R } } ( t + \delta t ) = { { \bf R } } ( t ) + \delta t { { \dot { \bf R } } } ( t + \frac { \delta t } { 2 } ) } , } \\ { ~ ~ } \\ { { \displaystyle \nu ( t + \delta t ) = 2 \nu ( t ) - \nu ( t - \delta t ) + \delta t ^ { 2 } { \ddot { \nu } } ( t ) } } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \alpha \sum _ { k = 0 } ^ { k _ { \mathrm { m a x } } } c _ { k } \nu ( t - k \delta t ) } , } \\ { ~ ~ } \\ { { \displaystyle { { \dot { \bf R } } } ( t + \delta t ) = { { \dot { \bf R } } } ( t + \frac { \delta t } { 2 } ) + \frac { \delta t } { 2 } { { \ddot { \bf R } } } ( t + \delta t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( \tau , \boldsymbol { z } + \boldsymbol { m } \tau + \boldsymbol { n } ) } & { = e ^ { - \pi i \tau ( \vec { m } , \vec { m } ) } e ^ { - 2 \pi i ( \vec { z } , \vec { m } ) } \theta ( \tau , \boldsymbol { z } ) , \ \ \vec { m } , \vec { n } \in \mathbb { Z } ^ { g } , } \\ { \theta \left( \tau + 1 , \boldsymbol { z } \right) } & { = \theta ( \tau , \boldsymbol { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla \cdot \left[ \ \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { k _ { r , i } } { \mu _ { i } } \, \mathbf { K } \cdot \Big ( \nabla p _ { k } ^ { * } - \nabla p _ { c , k i } - \left( \rho _ { i } - \rho _ { m } \right) \mathbf { g } + ( \mathbf { g } \cdot \mathbf { h } ) \nabla \rho _ { m } \Big ) \right) \right] = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { q _ { i } } { \rho _ { i } } } \\ { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \alpha _ { i } } { \rho _ { i } } \frac { D _ { i } \rho _ { i } } { D t } . } \end{array}
b _ { i j } = - Q _ { q } + { \frac { C _ { i } ^ { e } C _ { j } ^ { q } } { \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } } { \frac { Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + M _ { Z ^ { 0 } } ^ { 2 } } } + \left( { \frac { g _ { Z ^ { \prime } } } { g _ { Z ^ { 0 } } } } \right) ^ { 2 } { \frac { { C _ { i } ^ { e } } ^ { \prime } { C _ { j } ^ { q } } ^ { \prime } } { \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } } { \frac { Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } }
g ^ { ( 2 ) } ( \tau ) = 1 + \frac { \left| \bar { n } _ { \mathrm { t h } } g _ { \mathrm { t h } } ^ { ( 1 ) } ( \tau ) + \bar { n } _ { \mathrm { c o h } } e ^ { - i \omega \tau } \right| ^ { 2 } - \bar { n } _ { \mathrm { c o h } } ^ { 2 } } { \left( \bar { n } _ { \mathrm { t h } } + \bar { n } _ { \mathrm { c o h } } + \bar { n } _ { \mathrm { n o i s e } } \right) ^ { 2 } } ,
K _ { \mathrm { c } } = { \frac { \mathrm { [ { C H _ { 3 } C O _ { 2 } } ^ { - } ] [ { H _ { 3 } O } ^ { + } ] } } { \mathrm { [ { C H _ { 3 } C O _ { 2 } H } ] [ { H _ { 2 } O } ] } } }
\begin{array} { r l r } & { 1 , \quad } & { h = 1 , } \\ & { P _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) , \quad } & { h = 2 , } \\ & { \sum _ { s _ { 2 } ^ { k } \in \mathcal { S } } \cdots \sum _ { s _ { h - 1 } ^ { k } \in \mathcal { S } } P _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) \cdots P _ { h - 1 } ( s _ { h } ^ { k } \vert s _ { h - 1 } ^ { k } , a _ { h - 1 } ^ { k } ) , \quad } & { h \geq 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ( t ) = } & { { } J _ { 1 } , \qquad \qquad \; \; J _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) = J _ { 1 } ^ { \prime } e ^ { i a A ( t ) } , } \\ { J _ { 3 } ( t ) = } & { { } J _ { 3 } e ^ { i a A ( t ) } , \qquad J _ { 3 } ^ { \prime } ( t ) = J _ { 3 } ^ { \prime } e ^ { 2 i a A ( t ) } . } \end{array}
\langle j _ { 1 } m _ { 1 } j _ { 2 } m _ { 2 } | J M \rangle = ( - 1 ) ^ { j _ { 2 } + m _ { 2 } } \sqrt { \frac { 2 J + 1 } { 2 j _ { 1 } + 1 } } \langle j _ { 2 } ( - m _ { 2 } ) J M | j _ { 1 } m _ { 1 } \rangle .
\begin{array} { r l r } { m _ { 1 } } & { = } & { \frac { \lambda - \sqrt { \lambda ^ { 2 } + 4 D ( s + r ) } } { 2 D } , } \\ { m _ { 2 } } & { = } & { \frac { \lambda - \sqrt { \lambda ^ { 2 } + 4 D ( \alpha + \beta + s + r ) } } { 2 D } , } \\ { m _ { 3 } } & { = } & { \frac { \lambda + \sqrt { \lambda ^ { 2 } + 4 D ( s + r ) } } { 2 D } , } \\ { m _ { 4 } } & { = } & { \frac { \lambda + \sqrt { \lambda ^ { 2 } + 4 D ( \alpha + \beta + s + r ) } } { 2 D } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \lambda } _ { \mu \nu } } & { = 2 \overline { { \Gamma } } _ { [ \mu \nu ] } ^ { \lambda } = \overline { { \Gamma } } _ { \mu \nu } ^ { \lambda } - \overline { { \Gamma } } _ { \nu \mu } ^ { \lambda } \, , } \\ { Q _ { \lambda \mu \nu } } & { = - \nabla _ { \lambda } g _ { \mu \nu } \, , \qquad Q _ { \lambda } ^ { \mu \nu } = \nabla _ { \lambda } g ^ { \mu \nu } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { n , i } ( t ) \equiv E \left[ \lambda | n , i \right] } & { { } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda G _ { n , i } ^ { \lambda } ( t ) \mathrm { d } \lambda } { \int _ { 0 } ^ { \infty } G _ { n , i } ^ { \lambda } ( t ) \mathrm { d } \lambda } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \exp ( M ^ { * } ) ] - 1 } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( t ) \cdot \mathbb { P } ( M ^ { * } > t ) } \\ & { \leq 4 \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \bigl ( - [ c _ { 1 } s _ { \tilde { n } } ^ { - 2 } - 1 ] t \bigr ) d t } \\ & { \leq 4 ( c _ { 1 } s _ { \tilde { n } } ^ { - 1 } - 1 ) ^ { - 1 } = 4 s _ { \tilde { n } } / ( c _ { 1 } - s _ { \tilde { n } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \Delta \beta \right) ^ { 2 } } & { { } \approx \frac { e ^ { 2 \Gamma \tau } } { 4 f ^ { 2 } \tau ^ { 2 } e ^ { 2 r } } \Bigg [ 1 + \frac { \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { 3 } } \end{array}
f _ { p p } = - \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { p p } ( \mathrm { ~ I ~ P ~ } ) _ { p } + ( 2 - D _ { p p } ) ( \mathrm { ~ E ~ A ~ } ) _ { p } - D _ { p p } \epsilon = ( \mathrm { ~ E ~ A ~ } ) _ { p } \right) = ( \mathrm { ~ E ~ A ~ } ) _ { p }
\langle \mathcal { O } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \mathcal { O } _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \mathcal { O } _ { 3 } ( x _ { 3 } ) \rangle = \frac { C _ { 1 , 2 , 3 } } { x _ { 1 2 } ^ { \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 3 } } x _ { 2 3 } ^ { - \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } + \Delta _ { 3 } } x _ { 1 3 } ^ { \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } + \Delta _ { 3 } } } \; ,
\rho _ { 1 } = 1 . 0 , \rho _ { 2 } = 2 . 0 , u _ { 1 } = 0 . 5 , u _ { 2 } = - 0 . 5 , L = 0 . 0 2 5 , D = 1 . 0 , \lambda = 0 . 0 2
\begin{array} { r } { a _ { 1 } = 2 ^ { \frac { 4 } { 3 } } 3 ^ { - \frac { 1 } { 3 } } e ^ { \frac { \pi i } { 6 } } c _ { 3 1 , 1 } , \quad b _ { 1 } = 2 ^ { \frac { 4 } { 3 } } 3 ^ { - \frac { 1 } { 3 } } e ^ { \frac { \pi i } { 6 } } \Big ( c _ { 3 1 , 1 } ( \frac { 4 } { 3 } \ln { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \ln { 3 } + \frac { \pi i } { 6 } ) + d _ { 3 1 , 1 } ^ { + } - \omega ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { L = \frac { - i \zeta ^ { 2 } } { 2 } \Sigma + \zeta \partial _ { x } u } \\ { M = \frac { i } { 2 \zeta ^ { 2 } } \Sigma - \frac { i } { \zeta } \Sigma u + i \Sigma u ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 2 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) } & { = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } 2 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( j ) } } + { \zeta ^ { ( k ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = - 3 6 + \mathcal { O } ( { s } ) . } \end{array}
\epsilon _ { 1 } = \frac { \| \mathbf { H } _ { d } ( \mathbf { m } ) \delta \mathbf { d } _ { l } ^ { d * } - \delta \mathbf { d } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \delta \mathbf { d } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } , ~ ~ l < l _ { m a x }
\begin{array} { r l } { \mathrm { \# ~ V a r i a b l e s : ~ } } & { { | H | } ^ { 2 } + ( { | H | } ^ { 2 } + { | N | } ^ { 2 } + 1 ) \cdot | T | + \sum _ { r \in T ^ { \prime } } \bigg ( 2 | A ^ { r } | + | { R P } ^ { r } | \bigg ) } \\ { \mathrm { \# ~ B i n a r y ~ V a r i a b l e s : ~ } } & { { | H | } ^ { 2 } + ( { | H | } ^ { 2 } + { | N | } ^ { 2 } ) \cdot | T | + \sum _ { r \in T ^ { \prime } } \bigg ( 2 | A ^ { r } | + | { R P } ^ { r } | \bigg ) } \\ { \mathrm { \# ~ C o n s t r a i n t s : ~ } } & { | H | + | Z _ { f i x e d } | + ( 1 + | N | + { | H | } ^ { 2 } ) \cdot | T | + \sum _ { r \in T ^ { \prime } } \bigg ( | A ^ { r } | ( | H | ^ { 2 } + 4 ) + 3 | { R P } ^ { r } | \bigg ) } \end{array}
Y _ { R } ^ { ( i i ) } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \star } } & { { 0 } } \\ { { \star } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \star } } \end{array} \right) \qquad \qquad \quad \alpha = - 6 \delta _ { 1 } \qquad \quad \beta _ { 1 } = - 3 \delta _ { 1 }
\begin{array} { r l } { \Dot { x _ { 2 } } } & { = x _ { 2 } \left( \xi - 3 \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } - \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } \right) + 3 x _ { 2 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } + x _ { 1 } x _ { 2 } y _ { 2 } \left( \zeta - 2 \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \right) - x _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { + 2 x _ { 1 } x _ { 2 } \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + x _ { 1 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } - x _ { 2 } ^ { 3 } + \left( - \xi \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } - \zeta \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } ^ { 3 } + \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
U _ { 1 } ( x ) = \sqrt { \frac { N } { 2 W } } \left( \cos \chi \right) \mathrm { s e c h } \left( \frac { x } { W } \right) , U _ { 2 } ( x ) = \sqrt { \frac { N } { 2 W } } \left( \sin \chi \right) \mathrm { s e c h } \left( \frac { x } { W } \right) ,
\overline { { { \chi } } } ^ { ( + ) m } \chi _ { n } ^ { ( + ) } \: \overline { { { \eta } } } _ { ( s ) } ^ { n } \gamma ^ { i } \eta _ { ( s ) m } + \overline { { { \chi } } } ^ { ( - ) m } \chi _ { n } ^ { ( - ) } \: \overline { { { \eta } } } _ { ( t ) } ^ { n } \gamma ^ { i } \eta _ { ( t ) m }
\Omega = - \frac { \left( \gamma { { q } ^ { 2 } } + \kappa { { q } ^ { 4 } } \right) { { q } ^ { 2 } } h _ { 0 } ^ { 3 } } { 1 2 \mu } \frac { 4 \mu + { { h } _ { 0 } } \eta { { q } ^ { 2 } } } { \mu + { { h } _ { 0 } } \eta { { q } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { p q r s } = { ^ { 2 } \Gamma _ { p q r s } } - \frac { 1 } { 2 } \left( { ^ { 1 } \Gamma _ { p r } } { ^ { 1 } \Gamma _ { q s } } - { ^ { 1 } \Gamma _ { p s } } { ^ { 1 } \Gamma _ { q r } } \right) \, , } \end{array}
\Sigma ( p ) = \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; \gamma ^ { \mu } S _ { 0 } ( p - k ) \; \gamma ^ { \nu } i G _ { 0 } ^ { \mu \nu } ( k ) \; + O ( \delta ^ { 2 } )
\partial _ { t } \theta _ { \varepsilon } - \nabla \cdot \bigl ( \kappa \ensuremath { \mathrm { I } _ { d } } + \mathbf { s } \bigl ( \frac { \cdot } { \varepsilon ^ { 2 } } , \frac \cdot \varepsilon \bigr ) \bigr ) \nabla \theta _ { \varepsilon } = 0 \, .
{ \bar { \eta } ^ { a } } _ { \mu \nu } = - { \bar { \eta } ^ { a } } _ { \nu \mu } , \qquad { \bar { \eta } ^ { a } } _ { \mu \nu } { \bar { \eta } ^ { b } } _ { \mu \sigma } = { \delta } _ { a b } { \delta } _ { \nu \sigma } + { \epsilon } _ { a b c } { \bar { \eta } ^ { c } } _ { \nu \sigma } .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i j } ^ { * } } & { { } : = \sum _ { c = 1 } ^ { m } n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } \, , } \\ { \beta _ { i j k \ell } ^ { * } } & { { } : = \sum _ { c = 1 } ^ { m } n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } n _ { k _ { c } } n _ { \ell _ { c } } } \end{array}
f \left( x \right) = \mathrm { ~ S ~ T ~ E ~ P ~ } \left( x \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } x < 0 } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } x = 0 } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } x > 0 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { + } ^ { + } } { d t } = } & { { } x _ { - } ^ { + } x _ { + } ^ { + } ( 1 + \varepsilon ) + x _ { - } ^ { + } x _ { + } ^ { - } \left( 1 + \varepsilon \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial v _ { x } } { \partial t } } & { = \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { \partial \sigma _ { x x } } { \partial _ { x } } + \frac { \partial \sigma _ { x y } } { \partial _ { y } } + \frac { \partial \sigma _ { x z } } { \partial _ { z } } \right) , } \\ { \frac { \partial v _ { y } } { \partial t } } & { = \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { \partial \sigma _ { x y } } { \partial _ { x } } + \frac { \partial \sigma _ { y y } } { \partial _ { y } } + \frac { \partial \sigma _ { y z } } { \partial _ { z } } \right) , } \\ { \frac { \partial v _ { z } } { \partial t } } & { = \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { \partial \sigma _ { x z } } { \partial _ { x } } + \frac { \partial \sigma _ { y z } } { \partial _ { y } } + \frac { \partial \sigma _ { z z } } { \partial _ { z } } \right) , } \\ { \frac { \partial \sigma _ { x x } } { \partial t } } & { = ( \Lambda + 2 M ) \frac { \partial v _ { x } } { \partial _ { x } } + \Lambda \left( \frac { \partial v _ { y } } { \partial y } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } \right) , } \\ { \frac { \partial \sigma _ { y y } } { \partial t } } & { = ( \Lambda + 2 M ) \frac { \partial v _ { y } } { \partial _ { y } } + \Lambda \left( \frac { \partial v _ { x } } { \partial x } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } \right) , } \\ { \frac { \partial \sigma _ { z z } } { \partial t } } & { = ( \Lambda + 2 M ) \frac { \partial v _ { z } } { \partial _ { z } } + \Lambda \left( \frac { \partial v _ { x } } { \partial x } + \frac { \partial v _ { y } } { \partial y } \right) , } \\ { \frac { \partial \sigma _ { x y } } { \partial t } } & { = M \left( \frac { \partial v _ { x } } { \partial _ { y } } + \frac { \partial v _ { y } } { \partial _ { x } } \right) } \\ { \frac { \partial \sigma _ { x z } } { \partial t } } & { = M \left( \frac { \partial v _ { x } } { \partial _ { z } } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial _ { x } } \right) } \\ { \frac { \partial \sigma _ { y z } } { \partial t } } & { = M \left( \frac { \partial v _ { y } } { \partial _ { z } } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial _ { y } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { q } } \geq \mathbf { G } ( \tilde { \mathbf { q } } ) \iff } & { \frac { d } { b ( i ) } \geq \frac { d } { \delta ( i ) } + \frac { \nu } { \delta ( i ) } \frac { d } { b ( i - 1 ) } + \frac { b ( i ) } { \delta ( i ) } ( \frac { d } { b ( i ) } ) ^ { 2 } + \frac { \mu } { \delta ( i ) } \frac { d } { b ( i + L ) } } \\ { \iff } & { d \delta ( i ) \geq d b ( i ) + \nu d ( 1 + s _ { p } ) + d + \mu d ( 1 + s _ { p } ) ^ { - L } } \\ { \iff } & { \mu ( 1 - ( 1 + s _ { p } ) ^ { - L } ) \geq \nu s _ { p } . } \end{array}
\mathrm { B r } ( \tau \to \mu \gamma ) = \frac { \alpha _ { e m } } { 4 } m _ { \tau } ^ { 5 } ( | A _ { L } ^ { 2 3 } | ^ { 2 } + | A _ { R } ^ { 2 3 } | ^ { 2 } ) / \Gamma _ { \tau } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } } & { = } & { \left( \frac { \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } { 2 \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } \frac { \Delta \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { v } ^ { 2 } \right> } + \frac { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } { 2 \left< r _ { p } ^ { 2 } \right> } \frac { \Delta \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } { \left< r _ { s } ^ { 2 } \right> } \right) } \\ & { \supset } & { - 2 \, \frac { \Delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } } \end{array}