harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta E _ { 0 } ( d ) | _ { d \ll L / 2 } \to - \frac { \pi \hbar v } { 2 4 } \frac { 1 } { d } \; \; , \; \; \Delta E _ { 0 } ( d ) | _ { L - d \ll L / 2 } \to - \frac { \pi \hbar v } { 2 4 } \frac { 1 } { L - d }
b _ { s } = b _ { s + 1 } { \frac { - q ^ { { \frac { N } { 2 } } + p } [ \! [ 2 s + 2 ] \! ] } { [ \! [ { \frac { N } { 2 } } + p + 2 r ] \! ] - [ \! [ { \frac { N } { 2 } } + p + 2 s ] \! ] } } \ .
\sqrt { \! \sum _ { k = 2 , 4 , 6 , 8 } \! \left[ \left( \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { k } } P _ { 0 } ( x , y ) \frac { x - x _ { i } } { \Delta x } d x d y \! - \! v _ { k } \right) ^ { 2 } \! + \! \left( \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } \int _ { I _ { i , j } ^ { k } } P _ { 0 } ( x , y ) \frac { y - y _ { j } } { \Delta x } d x d y \! - \! w _ { k } \right) ^ { 2 } \right] } ,
\left\{ \begin{array} { r l r l } { d \phi _ { L } ^ { e } ( t , x ) } & { = \nabla \cdot V _ { e ^ { \prime } } ^ { \prime } ( \nabla \phi _ { L } ^ { e } ) ( t , x ) + \sqrt { 2 } d B _ { t } ( x ) } & { ~ \mathrm { f o r } ~ } & { ( t , x ) \in [ 0 , \infty ] \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { \phi _ { L } ^ { e } ( 0 , x ) } & { = \phi ^ { e } ( x ) } & { ~ \mathrm { f o r } ~ } & { x \in \mathbb { T } _ { L } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \Gamma _ { S } - c } { \Gamma _ { S } + c } \right) ^ { p - 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - \frac { p - 1 } { \xi } } \qquad } & { \mathrm { f o r } \qquad c < \Gamma _ { S } , } \\ { e ^ { - ( \frac { 1 } { \xi } + i \pi ) ( p - 1 ) } \qquad } & { \mathrm { f o r } \qquad c > \Gamma _ { S } . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { E } _ { \mathrm { t a n } } ^ { * } = \mathbf { E } _ { \mathrm { t a n } } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } - ( \hat { \mathbf { n } } \cdot ( \mathbf { v } \times \mathbf { B } ) ) \hat { \mathbf { n } } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { H } _ { \mathrm { t a n } } ^ { * } = \mathbf { H } _ { \mathrm { t a n } } - \mathbf { v } \times \mathbf { D } - ( \hat { \mathbf { n } } \cdot ( \mathbf { v } \times \mathbf { D } ) ) \hat { \mathbf { n } } ,
f S W A P = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { ( 2 ! ) ^ { 2 } \frac { i } { \omega _ { 1 } - \alpha _ { a } } \frac { i } { \omega _ { 2 } - \alpha _ { a } } \frac { - i g } { \sqrt { 2 \pi } } \int d q \delta ( q - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \frac { i } { q - \alpha _ { b } } \frac { - i g } { \sqrt { 2 \pi } } \delta ( q - \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } ) \frac { i } { \nu _ { 1 } - \alpha _ { a } } \frac { i } { \nu _ { 2 } - \alpha _ { a } } } \\ { = } & { - \frac { 2 i g ^ { 2 } } { \pi } \frac { 1 } { ( \omega _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \alpha _ { b } ) } \delta ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) . } \end{array}
\widehat { \eta } = \left( 2 \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } / \mu _ { w } \right) ^ { 1 / 3 } \underline { { \eta } } + \eta _ { 0 } , \quad \eta _ { 0 } = - ( \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) ) ^ { - 1 } \left( 2 \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } / \mu _ { w } \right) ^ { 1 / 3 } .
\mathbf { B } = ( B _ { \mathrm { r f } } \cos { \omega _ { \mathrm { r f } } t } + B _ { x } ^ { \mathrm { e x t } } ) \mathbf { e } _ { x } + B _ { y } ^ { \mathrm { e x t } } \mathbf { e } _ { y } + ( B _ { \mathrm { d c } } + B _ { z } ^ { \mathrm { e x t } } ) \mathbf { e } _ { z } ,
\Vert \psi _ { j , { \varepsilon } + \nu } - \psi _ { j , \nu } - { \varepsilon } ( \partial _ { \delta } \psi _ { j , \delta } | _ { \delta = \nu } ) \Vert _ { W ^ { 1 , 1 } } = \sum _ { i = 0 } ^ { 1 } \Vert \psi _ { j , { \varepsilon } + \nu } ^ { ( i ) } - \psi _ { j , \nu } ^ { ( i ) } - { \varepsilon } ( \partial _ { \delta } \psi _ { j , \delta } | _ { \delta = \nu } ) ^ { ( i ) } \Vert _ { L ^ { 1 } } .
\tilde { \eta } ^ { ( 1 ) } = \tilde { \eta } _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ } } = \hat { \eta } _ { 1 , 0 } e ^ { i \alpha _ { 1 } } + \hat { \eta } _ { 0 , 1 } e ^ { i \alpha _ { 2 } } + c . c . , \qquad b ^ { ( 0 ) } = b _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ } } , \qquad \tau ^ { ( 0 ) } = \tau _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ } } .
\begin{array} { r l r } { Q ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \omega } { a \omega ^ { b } c ( \omega _ { 0 } ) } \left( a c ( \omega _ { 0 } ) \tan \left( \frac { b \pi } { 2 } \right) ( \omega ^ { b - 1 } - \omega _ { 0 } ^ { b - 1 } ) + 1 \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) ) \int _ { \Omega } \zeta ( f ^ { m } ) ^ { 2 } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } } & { = \int _ { \Omega } ( R ( \gamma _ { 2 } ) - R ( \gamma _ { 1 } ) ) f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } + \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 2 } } } \\ & { \quad + \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) f ^ { m } [ d \mu _ { \gamma _ { 1 } } - d \mu _ { \gamma _ { 2 } } ] - \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } } \\ & { \quad + \int _ { \Omega } [ \mathcal Q _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) - \mathcal Q _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) ] f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { D } } & { = \frac { 1 } { 4 } \big ( \begin{array} { l l } { e ^ { - i 2 \theta } } & { e ^ { i \ell \phi } } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \theta } } \\ { e ^ { i 2 \theta } } & { 1 } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l } { e ^ { i 2 \theta } } \\ { e ^ { - i \ell \phi } } \end{array} \big ) , } \\ { I _ { D } } & { = \frac { 1 } { 4 } ( 2 + e ^ { - i 2 \theta } e ^ { - i ( \ell + 2 ) \phi } + e ^ { i 2 \theta } e ^ { i ( \ell + 2 ) \phi } ) , } \\ & { = \cos ^ { 2 } \left( \frac { \ell + 2 } { 2 } \phi + \theta \right) , \ } \\ { I _ { A } } & { = \frac { 1 } { 4 } \big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \theta } e ^ { i \ell \phi } } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \theta } } \\ { e ^ { i 2 \theta } } & { 1 } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l } { 1 } \\ { e ^ { - i \ell \phi } e ^ { i 2 \theta } } \end{array} \big ) , } \\ { I _ { A } } & { = \frac { 1 } { 4 } ( 2 + e ^ { i 2 \theta } e ^ { - i ( \ell + 2 ) \phi } + e ^ { - i 2 \theta } e ^ { i ( \ell + 2 ) \phi } ) , } \\ & { = \cos ^ { 2 } \left( \frac { \ell + 2 } { 2 } \phi - \theta \right) . } \end{array}
\hat { M } _ { p } = \frac { \kappa _ { m } } { 2 \pi } \frac { \omega _ { m } } { 2 \pi } \int _ { \frac { - \pi } { \kappa _ { m } } } ^ { \frac { \pi } { \kappa _ { m } } } \int _ { \frac { - \pi } { \omega _ { m } } } ^ { \frac { \pi } { \omega _ { m } } } M _ { e } ( x , t ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } p ( \omega _ { m } t - \kappa _ { m } x ) } \, \mathrm { d } x \mathrm { d } t .
W ^ { \beta } = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to - \infty } \frac { 1 } { | t | } \ln { \Vert \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \beta \, \right\} .
\begin{array} { r l } { F ( \boldsymbol { r } _ { k } ) \approx f ( \boldsymbol { r } _ { k } , \chi ) } & { { } = \underbrace { M ^ { \sigma _ { 1 } ^ { y } } M ^ { \sigma _ { 2 } ^ { y } } \cdots M ^ { \sigma _ { N } ^ { y } } } _ { \mathrm { ~ y ~ - ~ e ~ n ~ c ~ o ~ d ~ i ~ n ~ g ~ } } \; \underbrace { M ^ { \sigma _ { 1 } ^ { x } } \cdots M ^ { \sigma _ { N } ^ { x } } } _ { \mathrm { ~ x ~ - ~ e ~ n ~ c ~ o ~ d ~ i ~ n ~ g ~ } } \, , } \end{array}
\frac { e } { 4 m } F _ { \alpha \beta } X ^ { \alpha \beta } = \frac { e } { 4 m } F _ { i j } X ^ { i j } = \frac { e } { 4 m } \epsilon _ { i j k } B ^ { k } X ^ { i j } = \frac { e } { 2 m } B ^ { k } \left[ \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } X ^ { i j } \right] = \frac { e } { 2 m } B ^ { k } h ( \lambda _ { k } )
\begin{array} { r l } { e _ { i j } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } \sigma _ { k \ell } + b _ { i j } ^ { ( 1 ) } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { 0 } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } b _ { i j } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { i j } + a _ { 2 2 } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( 2 ) } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } b _ { i j } ^ { ( 2 ) } \sigma _ { i j } + a _ { 2 3 } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } ( W _ { 1 } , C _ { 2 } ) = - \sum _ { i = 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathbb { R } } g _ { i } ( w ) \ln \bigl [ g _ { i } ( w ) \bigr ] \, \mathrm { ~ d ~ } w . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( n ) \le \frac { 1 } { 2 } - c _ { 3 } n ^ { - \frac { 5 } { 2 } } } & { \Longleftrightarrow \gamma ( \omega _ { r } ) \ge c _ { 3 } ^ { \prime } | \frac { 1 } { 2 } - r | ^ { - \frac { 2 } { 5 } } } \\ { R ^ { p } ( n ) \le \frac { 2 } { \pi } - c _ { 2 } n ^ { - 4 } } & { \Longleftrightarrow \gamma ^ { p } ( \omega _ { r } ) \ge c _ { 2 } ^ { \prime } | \frac { 2 } { \pi } - r | ^ { - \frac { 1 } { 4 } } } \end{array}
Z ( \eta ) \approx \int { \cal D } a { \cal D } A _ { \alpha } ^ { a } \ \exp \left[ i \int { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } a - i \eta _ { \mu } ) ^ { 2 } + \Lambda _ { Q C D } ^ { 4 } \cos { \frac { a } { f _ { 0 } } } + { \cal L } _ { Y M } \right] \ .
\mathrm { i } T _ { 1 1 } ^ { \{ \lambda \} } = D _ { W ^ { \pm } } ( p _ { 1 } - p _ { 3 } ) D _ { W ^ { \pm } } ( p _ { 4 } + p _ { 5 } ) M _ { 1 1 } ^ { \{ \lambda \} } { \cal H } _ { 1 1 } , \quad \quad \mathrm { i } T _ { 1 2 } ^ { \{ \lambda \} } = D _ { W ^ { \pm } } ( p _ { 1 } - p _ { 3 } ) D _ { W ^ { \pm } } ( p _ { 2 } - p _ { 4 } ) M _ { 1 2 } ^ { \{ \lambda \} } { \cal H } _ { 1 2 } .
\frac { d ^ { n } f ( g ( y ) ) } { d y ^ { n } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \left[ \frac { n } { 2 } \right] } \frac { ( - 1 ) ^ { n - k } n ! ( n - k ) ! } { k ! ( n - 2 k ) ! } \frac { \left( 2 y + 2 \cos \left( \frac { \pi } { 2 } ( 1 + \theta ) \right) \right) ^ { n - 2 k } } { \left( y ^ { 2 } + 2 y \cos \left( \frac { \pi } { 2 } ( 1 + \theta ) \right) + 1 \right) ^ { n - k + 1 } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { ( 1 - \gamma ) } { L _ { \theta } } \| \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) \| ^ { 2 } + \tau \kappa _ { m } \| \nabla e _ { h } ^ { n , j } \| ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \| e _ { h } ^ { n , j } \| ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \| e _ { h } ^ { n , j } - e _ { h } ^ { n , j - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \leq \frac { L } { 2 } \| e _ { h } ^ { n , j - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } L _ { \kappa } ^ { 2 } \tau } { 2 \kappa _ { m } } \| \theta ( p _ { h } ^ { n , j - 1 } ) ) - ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) \| ^ { 2 } + \frac { \tau \kappa _ { m } } { 2 } \| \nabla e _ { h } ^ { n , j } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad - \gamma \theta _ { m } \| e _ { h } ^ { n , j - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 L } \| \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) \| ^ { 2 } + \frac { L } { 2 } \| e _ { h } ^ { n , j } - e _ { h } ^ { n , j - 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \widetilde \theta _ { N } - \widehat \theta _ { N } | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } } } & { = } & { | \Phi _ { N } ( R _ { N } ) - \Phi _ { N } ( \theta _ { 0 } - I _ { N } ) | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } } } \\ & { \leqslant } & { \mathfrak c | R _ { N } - ( \theta _ { 0 } - I _ { N } ) | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } } \leqslant \mathfrak c | \widetilde \theta _ { N } - \widehat \theta _ { N } | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } } + \mathfrak c | \widehat \theta _ { N } - \theta _ { 0 } | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \rho ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } \rho ^ { 2 } } + \rho \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \rho } + \varepsilon _ { \mathrm { r } , z } ( \rho ) \rho ^ { 2 } \right] P ( \rho ) = } & { } & { \varepsilon _ { \mathrm { e f f , } z } P ( \rho ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } \varphi ^ { 2 } } \Phi ( \varphi ) = } & { } & { - k _ { \mathrm { c i r c , } z } ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { e f f , } z } \Phi ( \varphi ) , } \\ { \left[ - \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { e f f , } z } } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } z ^ { 2 } } + k _ { \mathrm { c i r c , } z } ^ { 2 } \right] \Psi ( z ) = } & { } & { k ^ { 2 } \Psi ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \psi _ { k } } & { ( t ) ) + \Psi ( u _ { k } ( t ) ) \leq e ^ { - \beta \, t } \, C _ { L } \, \| \psi _ { k } ( a ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| \, + } \\ & { + e ^ { - \beta \, t } \, C _ { \Psi } \, \left( ( \beta + C _ { P } ) \| \psi _ { k } ( a ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| + \frac { C _ { P } } { N } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \| \psi _ { l } ( a ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| \right) . } \end{array}
\theta ( t ) = \frac { \theta _ { m } } { 2 } \mathrm { s i n } ( 2 \pi f _ { 0 } t + \frac { \pi } { 2 } ) , \quad \psi ( t ) = \frac { \psi _ { m } } { 2 } \mathrm { s i n } ( 2 \pi f _ { 0 } t + \phi ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } } & { = T - U } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } M { \dot { r } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m \left( { \dot { r } } ^ { 2 } + r ^ { 2 } { \dot { \theta } } ^ { 2 } \right) - M g r + m g r \cos { \theta } } \\ { { \mathcal { H } } } & { = T + U } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } M { \dot { r } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m \left( { \dot { r } } ^ { 2 } + r ^ { 2 } { \dot { \theta } } ^ { 2 } \right) + M g r - m g r \cos { \theta } } \end{array} }
y _ { j k } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | \theta _ { j } - \frac { 2 \pi } { N } ( k - 1 ) | \geq \frac { 2 \pi } { N } } \\ { \frac { | \theta _ { j } - \frac { 2 \pi } { N } ( k - 1 ) | } { \frac { 2 \pi } { N } } , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { 0 \to \Bbbk \leftarrow 0 \to 0 , \qquad 0 \to 0 \leftarrow 0 \to \Bbbk , \qquad \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk \leftarrow 0 \to 0 , \qquad 0 \to \Bbbk \stackrel { 1 } { \leftarrow } \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk , } \\ & { \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk \stackrel { 1 } { \leftarrow } \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk , \qquad 0 \to \Bbbk \stackrel { 1 } { \leftarrow } \Bbbk \to 0 , \qquad 0 \to 0 \leftarrow \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk , } \\ & { \Bbbk \stackrel { 1 } { \to } \Bbbk \stackrel { 1 } { \leftarrow } \Bbbk \to 0 , \qquad 0 \to 0 \leftarrow \Bbbk \to 0 , \qquad \Bbbk \to 0 \leftarrow 0 \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { N } x _ { 1 } } { \partial \zeta ^ { N } } } & { = ( - 1 ) ^ { N + 1 } G _ { N } ^ { - T } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } ( - 1 ) ^ { k } G _ { k } ^ { T } \frac { \partial ^ { k } x _ { 1 } } { \partial \zeta ^ { k } } + \left( I + \mathcal { M } \right) x _ { 2 } - \tilde { x } _ { f } \right] , } \\ { \frac { \partial ^ { N } x _ { 2 } } { \partial \zeta ^ { N } } } & { = G _ { N } ^ { - 1 } \left[ x _ { 1 } - \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } G _ { k } \frac { \partial ^ { k } x _ { 2 } } { \partial \zeta ^ { k } } - \tilde { x } _ { 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \textrm { s c a t t e r e d } } ( \mathbf { Q } ) \propto \iiint _ { V } } & { { } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta \mathbf { r } ) ^ { T } \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { r } _ { A } ) \, \Delta \mathbf { r } \right] } \end{array}
d _ { e } \approx 1 0 ^ { - 1 7 } \, \left( \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { M _ { U } ^ { 2 } } \right) \, { \cal K } _ { e 1 } ^ { 2 } \, \sin ( 2 \theta _ { \alpha } ) \; e \, \mathrm { \, c m } .
\begin{array} { r l r } { W _ { \rho \boxtimes _ { H } \sigma } ( \vec { u } , \vec { v } ) } & { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( \vec { u } _ { 1 } , 2 \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma } ( \vec { u } - \vec { u } _ { 1 } , 2 ( \vec { v } - \vec { v } _ { 1 } ) ) } \\ & { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( \vec { u } _ { 1 } , 2 \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma _ { 0 } } ( \vec { u } _ { 1 } - \vec { u } , 2 ( \vec { v } _ { 1 } - \vec { v } ) ) } \\ & { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( \vec { u } _ { 1 } , 2 \vec { v } _ { 1 } ) W _ { w ( \vec { u } , 2 \vec { v } ) \sigma _ { 0 } w ( \vec { u } , 2 \vec { v } ) ^ { \dag } } ( \vec { u } _ { 1 } , 2 \vec { v } _ { 1 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( \vec { u } _ { 1 } , 2 \vec { v } _ { 1 } ) W _ { \sigma _ { \vec { u } , \vec { v } } } ( \vec { u } _ { 1 } , 2 \vec { v } _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { k } = - } & { { } k _ { 2 } \frac { \mathcal { G } m _ { k } ^ { 2 } R ^ { 5 } \beta _ { k } ^ { 1 2 } \mu _ { k } ^ { 6 } } { 4 \Gamma _ { k } ^ { 7 } \Gamma _ { k } ^ { 7 } } \, \Bigg [ \Gamma _ { k } \Gamma _ { k } ^ { \prime } - 3 \Gamma _ { k } ^ { \prime } \, \overline { { y } } _ { k } y _ { k } - 3 \Gamma _ { k } \, \overline { { y } } _ { k } ^ { \prime } y _ { k } ^ { \prime } } \end{array}
d s ^ { 2 } = e ^ { - \phi / 2 } g _ { \mu \nu } d X ^ { \mu } d X ^ { \nu } + e ^ { \phi } ( d U ^ { 1 } ) ^ { 2 } + 2 e ^ { \phi } \chi d U ^ { 1 } d U ^ { 2 } + ( e ^ { - \phi } + e ^ { \phi } \chi ^ { 2 } ) ( d U ^ { 2 } ) ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \rVert ( \Phi _ { 7 , n + m } ( \omega ) - \Phi _ { 7 , n } ( \omega ) ) h \rVert _ { s } } & { \le \sum _ { k = 0 } ^ { 1 } \rVert ( \underline { { \Delta _ { 1 , 2 } ^ { k } \Phi _ { 7 , n + m } } } - \underline { { \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \Phi _ { 7 , n } } } ) h \rVert _ { s } } \\ & { \le \mathfrak { M } _ { \Phi _ { 7 , n + m } - \Phi _ { 7 , n } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } + \mathfrak { M } _ { \Phi _ { 7 , n + m } - \Phi _ { 7 , n } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) \rVert h \rVert _ { s } } \\ & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } ( \mathbb { M } _ { 0 } ( s _ { 0 } ) \rVert h \rVert _ { s } + \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } ) \sum _ { k = n } ^ { \infty } c _ { \mathtt { p e } } ^ { k + 1 } N _ { k } ^ { - \frac { \sigma _ { 1 } } 2 } . } \end{array}
F [ \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ] = \operatorname* { s u p } _ { u , \mathbf { A } } \{ \bar { E } [ u , \mathbf { A } ] - \langle u , \rho \rangle - \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \rangle \} .
\begin{array} { c l } { \left< { \mathcal { H } ^ { \left( 1 \right) } } \right> _ { \theta } } & { = \displaystyle \left< { V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) + \delta _ { \nu } \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } + \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \theta } } \right> _ { \theta } } \\ & { = \displaystyle \left< { V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } \right> _ { \theta } + \delta _ { \nu } \left< { \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } + \left< { \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \theta } } \right> _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \mathbf { y } } } _ { k } } & { = \underline { { \mathbf { H } } } _ { k } \underline { { \mathbf { x } } } _ { i } + \underline { { \mathbf { n } } } _ { l k } } \\ & { = \underbrace { \underline { { \mathbf { H } } } _ { k } \underline { { \mathbf { x } } } _ { c } } _ { \mathrm { C o m m o n ~ M . } } + \underbrace { \underline { { \mathbf { H } } } _ { k } \underline { { \mathbf { x } } } _ { k } } _ { \mathrm { P r i v a t e ~ M . } } + \underbrace { \underline { { \mathbf { H } } } _ { k } \sum _ { j = 1 , j \neq k } ^ { K } \underline { { \mathbf { x } } } _ { j } } _ { \mathrm { I n t e r f e r e n c e } } + \underbrace { \underline { { \mathbf { n } } } _ { k } } _ { \mathrm { N o i s e } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \psi _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , t ) = \left( 1 + \frac { ( 1 + \alpha _ { k } ) { \boldsymbol \alpha } \cdot \mathbf { A } ( \eta ) } { 2 c \tilde { \Lambda } } \right) \frac { c u _ { f } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 3 } \tilde { \varepsilon } } } } \\ & { \times } & { \exp \left[ i ( \mathbf { p } + \mathbf { A } ( \eta ) ) \cdot \mathbf { r } - i \tilde { \varepsilon } t + i \int _ { \eta } d s \left( \frac { \mathbf { p } \cdot \mathbf { A } ( s ) + A ( s ) ^ { 2 } / 2 } { \tilde { \Lambda } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { K _ { \epsilon , R } ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) [ ( a + a ^ { \prime } ) ( v + v ^ { \prime } ) ^ { \beta } - a v ^ { \beta } - a ^ { \prime } v ^ { \beta } ] g _ { \epsilon , R } ( \eta , t ) g _ { \epsilon , R } ( \eta ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta } \\ & { \leq \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K _ { \epsilon , R } ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) [ a v ^ { \beta } + a ^ { \prime } v ^ { \beta } ] g _ { \epsilon , R } ( \eta , t ) g _ { \epsilon , R } ( \eta ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta } \\ & { \leq C \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a v ^ { \beta } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { \beta - \alpha } g ( \eta ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } + C \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a v ^ { - \alpha } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { 2 \beta } g ( \eta ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mu _ { \mathrm { m e a n } } ^ { y , N } } { d \mu _ { 0 } } ( u ) } & { = \frac { 1 } { Z _ { N } ^ { \mathrm { m e a n } } } \exp \big ( - \mathbb { E } [ \Phi _ { N } ( u ) ] \big ) , } \\ { Z _ { N } ^ { \mathrm { m e a n } } } & { = \mathbb { E } _ { \mu _ { 0 } } \Big ( \exp \big ( - \mathbb { E } [ \Phi _ { N } ( u ) ] \big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| g ( x ) - \frac { 1 } { T } \sum _ { n = - N } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) e ^ { \mathbf { i } 2 \pi x n / T } \right| = \left| g ( x ) - \hat { g } ( 0 ) - \frac { 2 } { T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) \cos ( 2 \pi x n / T ) \right| \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } , ~ } & { ~ \forall x \in [ - \pi , \pi ] . } \end{array}
\mathbf { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ h ~ P ~ F ~ } } = - \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \nabla V ( \mathbf { r } ) P ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) , \quad V ( \mathbf { r } ) = \int \mathrm { d } \mathbf { y } \, \frac { \partial w } { \partial \tilde { \phi } } ( \mathbf { y } ) \mathcal { G } ( \mathbf { r } - \mathbf { y } ) .
B _ { i } ( x ) = \left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { ( x - x _ { i - 2 } ) ^ { 3 } } { 6 h ^ { 3 } } , \quad x \in [ x _ { i - 2 } , x _ { i - 1 } ] , } \\ & { - \frac { ( x - x _ { i - 1 } ) ^ { 3 } } { 2 h ^ { 3 } } + \frac { ( x - x _ { i - 1 } ) ^ { 2 } } { 2 h ^ { 2 } } + \frac { ( x - x _ { i - 1 } ) } { 2 h } + \frac { 1 } { 6 } , \quad x \in [ x _ { i - 1 } , x _ { i } ] , } \\ & { - \frac { ( x _ { i + 1 } - x ) ^ { 3 } } { 2 h ^ { 3 } } + \frac { ( x _ { i + 1 } - x ) ^ { 2 } } { 2 h ^ { 2 } } + \frac { ( x _ { i + 1 } - x ) } { 2 h } + \frac { 1 } { 6 } , \quad x \in [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] , } \\ & { \frac { ( x _ { i + 2 } - x ) ^ { 3 } } { 6 h ^ { 3 } } , \quad x \in [ x _ { i + 1 } , x _ { i + 2 } ] , } \\ & { 0 , \quad \textup { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\mu _ { \pi } ^ { 2 } \; = \; 3 \sum _ { n } \, \epsilon _ { n } ^ { 2 } | \tau _ { 1 / 2 } | ^ { 2 } \: + \: 6 \sum _ { n } \, \epsilon _ { n } ^ { 2 } | \tau _ { 3 / 2 } | ^ { 2 } \; \to \; 9 \sum _ { n } \, \epsilon _ { n } ^ { 2 } | \tau _ { 1 / 2 } | ^ { 2 } \; ,
\langle { \cal K } _ { i } \Pi ( H ) { \cal K } _ { j } ^ { \dagger } \rangle \; = \; { \frac { 1 } { 2 J + 1 } } { \cal P } _ { \alpha } ^ { H } ( { } ^ { 2 S + 1 } L _ { J } ^ { N } , { } ^ { 2 S + 1 } L _ { J } ^ { N ^ { \prime } } ) .