harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Z _ { \mathrm { S G } } \sim \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( n ! ) ^ { 2 } } \left( \frac { m ^ { 4 } } { 2 \lambda } \right) ^ { 2 n } \prod _ { i } ^ { n } \int d ^ { 2 } x _ { i } d ^ { 2 } y _ { i } \exp \Bigg ( - \frac { \lambda } { m ^ { 2 } } \Big ( \sum _ { i < j } [ \Delta ( x _ { i } - x _ { j } ) + \Delta ( y _ { i } - y _ { j } ) ] - \sum _ { i , j } \Delta ( x _ { i } - y _ { j } ) \Big ) \Bigg ) .
\begin{array} { r l } { d _ { i + 1 } + D _ { i + 1 } } & { = d _ { i } + \delta _ { i + 1 } + D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { = d _ { i } + f _ { 1 1 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + D _ { i } + f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \left( - \, \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } + \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } \right) } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) } \\ { } & { = \ell ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \mathbf { H } } { d t } = - \alpha \mathbf { H } + \mathbf { H } _ { 1 } \, , \frac { d \mathbf { E } } { d t } = - \alpha \mathbf { E } + \mathbf { E } _ { 1 } } \end{array} \, ,
\mathrm { S E } _ { k , ( 1 ) } ^ { \mathrm { o p t } } = \left( 1 - \frac { \tau _ { p } } { \tau _ { c } } \right) \mathbb { E } \left\{ \log _ { 2 } \left| \mathbf { I } _ { N } + \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \left( \mathbf { \hat { H } } _ { l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { \hat { H } } _ { l } ^ { H } + \mathbf { C } _ { l } ^ { \prime } \right) } - \mathbf { \hat { H } } _ { k } \mathbf { \bar { F } } _ { k , \mathrm { u } } \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { I } _ { M L } \right) ^ { - 1 } \mathbf { \hat { H } } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \right| \right\} .
\begin{array} { r l r l } { \sin ( \operatorname { a r c c o s } x ) } & { { } = { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } & { \tan ( \arcsin x ) } & { { } = { \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } } \\ { \sin ( \arctan x ) } & { { } = { \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } } & { \tan ( \operatorname { a r c c o s } x ) } & { { } = { \frac { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } { x } } } \\ { \cos ( \arctan x ) } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } } & { \cot ( \arcsin x ) } & { { } = { \frac { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } { x } } } \\ { \cos ( \arcsin x ) } & { { } = { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } & { \cot ( \operatorname { a r c c o s } x ) } & { { } = { \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle v _ { \mathcal { O } } , \chi ( \tau ) v _ { \mathcal { P } } \rangle = i \theta ( \tau ) \left\langle \Psi _ { 0 } , \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { N } v _ { \mathcal { P } } ( r _ { k } ) , \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { N } v _ { \mathcal { O } } ( r _ { k } ) \Big ) _ { I } ^ ( \tau ) \right] \Psi _ { 0 } \right\rangle , } \end{array}
\Delta = \Delta _ { \mathrm { ~ \tiny ~ I ~ D ~ D ~ E ~ S ~ } } = \operatorname* { m i n } \left\{ { \operatorname* { m a x } \left[ { C _ { w } \cdot d _ { w } , C _ { w } \cdot h _ { \operatorname* { m a x } } , h _ { w n } } \right] , \Delta _ { \mathrm { ~ \tiny ~ D ~ E ~ S ~ } } } \right\} \quad ,
\alpha _ { b } ^ { ( 0 ) } ( x ) \, = \, - S \, { \frac { ( 1 - x ) ( 1 - 2 x + \epsilon ^ { 2 } ) - 2 \epsilon ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ( 3 - 2 x + \epsilon ^ { 2 } ) + 2 \epsilon ^ { 2 } } }
{ \frac { d \tilde { Y } _ { t } } { d t } } \simeq { \frac { d \tilde { Y } _ { b } } { d t } } \simeq { \frac { d \tilde { Y } _ { \tau } } { d t } } \simeq { \frac { d \tilde { Y } _ { \lambda } } { d t } } \simeq { \frac { d \tilde { Y } _ { \kappa } } { d t } } \simeq { \frac { d \tilde { Y } ^ { \prime \prime } } { d t } } \simeq 0 .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } , \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } ) = \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } \bigl [ } & { { } - \sin { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } - 0 . 7 5 \right) } + 4 . 3 3 4 \cos { \left( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { x } & { x } \\ { x } & { x } \end{array} \right) + \epsilon \left( \begin{array} { l l } { p } & { 0 } \\ { 0 } & { p ^ { \perp } } \end{array} \right) \otimes I _ { k } + t \left( \begin{array} { l l } { p ^ { \perp } } & { 0 } \\ { 0 } & { p } \end{array} \right) \otimes I _ { k } \in C _ { 2 k } ^ { k - \mathrm { m i n } } .
f \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) \right) - f ( 0 ) - \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor - 1 } \mathbb { E } \left[ f \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k + 1 ) \right) - f \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) \big | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( N ) } \right] .
\Gamma ( P _ { 0 } \to P ^ { + } \pi ^ { - } ) = \frac { 1 } { 8 \pi } G _ { P ^ { * * } P \pi } ^ { 2 } \frac { \left[ ( m _ { P _ { 0 } } ^ { 2 } - ( m _ { P } + m _ { \pi } ) ^ { 2 } ) ( m _ { P _ { 0 } } ^ { 2 } - ( m _ { P } - m _ { \pi } ) ^ { 2 } ) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { 2 m _ { P _ { 0 } } ^ { 3 } } \; .
\begin{array} { r l } { | \alpha _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) | ^ { 2 } = \Im } & { { } \left[ \langle \Psi _ { 0 } | \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \dagger } \frac { 1 } { \omega _ { e x } - \hat { H } + E _ { 0 } - i \eta } \hat { \mu } _ { \rho } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { w f } } ( \boldsymbol { \rho ^ { \prime } } - \mathbf { r } ) } & { = \int \frac { d \mathbf { k } } { 2 \pi } \tilde { U } _ { \mathrm { w f } } ( \mathbf { k } ) \exp \left[ i \mathbf { k } \cdot ( \boldsymbol { \rho ^ { \prime } } - \mathbf { r } ) \right] , } \\ { I _ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) } & { = \int \frac { d \mathbf { k } } { 2 \pi } \tilde { I } _ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { k } ) \exp ( i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \phi _ { j } ^ { 0 } \rho _ { j } ^ { 0 } \to } & { \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { 0 } ( x ) \phi ( 0 , x ) \, d x , } \\ { h \tau \sum _ { n \geq 1 } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \frac { \phi _ { j } ^ { n } - \phi _ { j } ^ { n - 1 } } { \tau } \rho _ { j } ^ { n } \to } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \mathbb { R } } \rho ^ { * } ( t , x ) \partial _ { t } \phi ( t , x ) \, d x d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor n \rfloor } \binom { n } { k } \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - k ) } x ^ { 1 - k } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - k ) } z _ { 1 } x ^ { - k } \right] \cdot \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - n + k ) } x ^ { 1 - n + k } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - n + k ) } z _ { 2 } x ^ { - n + k } \right] } \\ & { + \sum _ { k = \lfloor n \rfloor + 1 } ^ { \infty } \binom { n } { k } \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - k ) } x ^ { 1 - k } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - k ) } z _ { 1 } x ^ { - k } \right] \cdot \left[ \frac { 1 } { \Gamma ( 2 + k - n ) } x ^ { 1 + k - n } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 + k - n ) } z _ { 2 } x ^ { k - n } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { B } \left( \vec { r } , t \right) } & { \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { f ( t ) } { 2 \beta } \, j _ { e } r \, \vec { e } _ { \phi } \, , } & { r \le R _ { L } } \\ { 0 \, , } & { r > R _ { L } } \end{array} \right. \, , } \\ { \vec { E } \left( \vec { r } , t \right) } & { \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \gamma f ( t ) } { 2 } \, j _ { e } ^ { 2 } \, r \, \vec { e } _ { r } } & { r \le R _ { l } } \\ { 0 \, , } & { r > R _ { l } } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\mathrm { i } \xi _ { n } \hat { \eta } _ { n } = \hat { w } _ { n } = \frac { \mathrm { i } \beta _ { n } } { \xi _ { n } } \frac { \partial \hat { p } _ { n } \left( z = 0 \right) } { \partial z } = \frac { \mathrm { i } \beta _ { n } } { \xi _ { n } } c _ { 1 } \operatorname { t a n h } { k h } \ \ \ \longrightarrow \ \ \ c _ { 1 } = \frac { \xi _ { n } ^ { 2 } } { \beta _ { n } } \frac { \hat { \eta } _ { n } } { \operatorname { t a n h } { k h } } .
\begin{array} { r } { [ X 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + X 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + X 3 _ { i j } \delta _ { r } + X 4 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } + X 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } } \\ { + X 6 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + X 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \psi _ { i j } = G _ { i j } } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \hat { \rho } = - \frac { i } { \hbar } [ \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } , \hat { \rho } ] + \bigg [ \hat { L } _ { \mathrm { c o l } } \hat { \rho } \hat { L } _ { \mathrm { c o l } } ^ { \dag } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { L } _ { \mathrm { c o l } } ^ { \dag } \hat { L } _ { \mathrm { c o l } } , \hat { \rho } \} \bigg ] + \sum _ { j n } \bigg [ \hat { L } _ { j , n } \hat { \rho } \hat { L } _ { j , n } ^ { \dag } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { L } _ { j , n } ^ { \dag } \hat { L } _ { j , n } , \hat { \rho } \} \bigg ] ,
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { t , \sigma } ^ { ( A _ { 1 \mathrm { m } } ) } } & { = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } _ { t } ^ { ( 1 \mathrm { m } ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { t , \tau } ^ { ( B _ { 1 \mathrm { m } } ) } } & { = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( 1 \mathrm { m } ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) . } \end{array}
\left. \begin{array} { c } { { \theta _ { \beta \bar { \gamma } } = i u _ { \beta \bar { \gamma } } ^ { \bar { \alpha } } } } \\ { { \theta _ { \alpha \delta } = i u _ { \alpha \delta } ^ { \gamma } } } \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { c } { { \theta _ { \alpha \beta } = i u _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } } } \\ { { \theta _ { \beta } = \theta _ { \delta } } } \end{array} \right.
\rho _ { ( x _ { j } + 5 ) e } ( n _ { j + 1 } ) = \rho _ { x _ { j } e } ( n _ { j } ) > 1 \implies \left\{ \begin{array} { c } { \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ h o l d } , } \\ { \rho _ { ( x _ { j } + 1 ) e } ( \mathrm { H } _ { \mathcal { F } ( n _ { j + 1 } ) } ^ { 1 } ( K , T ^ { ( m ) } ) ^ { - \nu } ) = 1 , } \\ { d _ { t } > ( x _ { j } + 3 ) e , } \\ { \rho _ { ( x _ { j } + 3 ) e } ( n _ { j } ) > 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \gamma ( \boldsymbol { x } ) \rho _ { 0 } u _ { t t } ( \boldsymbol { x } , t ) - \nabla \cdot ( \gamma ( \boldsymbol { x } ) \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } \nabla u ( \boldsymbol { x } , t ) ) = f ( \boldsymbol { x } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \gamma \big [ B _ { 0 } + \sqrt { 2 } B _ { \mathrm { s e n } } ^ { \mathrm { r m s } } \big [ \cos \omega _ { m } \tau \big ] \big ] d \tau } \\ & { = \gamma B _ { 0 } t + \sqrt { 2 } \frac { \gamma B _ { \mathrm { s e n } } ^ { \mathrm { r m s } } } { \omega _ { m } } \big [ \sin \omega _ { m } t \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { w ( x ) } & { = - w \left( x - L \right) , \quad r ( x ) = - r \left( x - L \right) , \quad \mathrm { f o r } \quad x \in \left( \frac L 2 , L \right) , } \\ { w ( x ) } & { = - w \left( x + L \right) , \quad r ( x ) = - r \left( x + L \right) , \quad \mathrm { f o r } \quad x \in \left( - L , - \frac L 2 \right) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { N } } & { { } = } & { - N [ 1 / \tau _ { \mathrm { 1 B } } + \beta _ { \mathrm { 2 B } } \bar { n } + \nu ( \eta ) \Gamma _ { \mathrm { e v } } \bar { n } ] } \\ { \dot { E } } & { { } = } & { - E [ 1 / \tau _ { \mathrm { 1 B } } + ( 3 / 4 ) \beta _ { \mathrm { 2 B } } \bar { n } + ( 1 / 3 ) \alpha ( \eta ) \Gamma _ { \mathrm { e v } } \bar { n } ] , } \end{array}
\mathbf { C } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = \mathbf { P } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { C } _ { u 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = \mathbf { U } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ,
\rho _ { \mathcal R } ( x ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta ( x - x _ { i } ) \, ; \qquad \rho _ { \mathcal B } ( y ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta ( y - y _ { j } )
M _ { B P S } = e ^ { 2 \varphi _ { \infty } / 3 } [ { \vec { \alpha } } ^ { T } ( { \cal M } _ { \infty } + { L } ) { \vec { \alpha } } ] ^ { 1 / 2 } + e ^ { - 4 \varphi _ { \infty } / 3 } \beta ,
L _ { M } = - \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 \kappa \Psi } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { \mu \nu , a } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \Psi \partial ^ { \mu } \Psi - \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 4 \kappa \Psi } D _ { \mu } \Phi ^ { a } D ^ { \mu } \Phi ^ { a } - e ^ { - 2 \kappa \Psi } V ( \Phi ^ { a } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } = } & { \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 3 } \kappa _ { p } } { \pi \, \omega _ { p } \omega _ { \gamma } k _ { p } ^ { 2 } } \sum _ { \pm } \frac { \varepsilon _ { q _ { \pm } ^ { \prime } } } { q _ { z \pm } ^ { \prime } } } \\ & { \times \sum _ { s s ^ { \prime } j \mu } \; \Big | \overline { { u } } _ { { \bf q } _ { \mu \pm } ^ { \prime } , s ^ { \prime } } \mathcal { N } _ { j } ^ { \pm } ( { \bf q } _ { \mu \pm } ^ { \prime } , { \bf q } ) \, v _ { { \bf q } s } \Big | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \parallel \epsilon _ { 1 , J } \tilde { D } _ { \beta _ { J } } ^ { * } \parallel _ { 1 } } & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 1 } J ^ { - 2 } ) C ( J ) ^ { - 1 } \parallel D _ { \beta _ { J } } ^ { * } \parallel _ { 1 } } \\ & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 2 } J ^ { - 2 } ) O ( J ^ { 2 } r ( d , J ) ^ { k } ) } \\ & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 2 } r ( d , J ) ^ { k } ) . } \end{array}
\mathbf { u } _ { t } + g \nabla \eta + \frac { 1 } { 2 } \nabla | \mathbf { u } | ^ { 2 } + \nabla \left\{ c g \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \eta ) - d \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) \right\} = 0 \ ,
\frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } \ge \frac { \sum _ { l = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } } { \sum _ { l = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( l ) } } \cdot \frac { 1 } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \sum _ { l = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } } \xrightarrow { N \to \infty } \infty
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { 0 } \left[ W \right] } & { \geq \sum _ { a : w _ { a } \leq \sqrt { \mu n } } \; \sum _ { b : w _ { b } \leq \sqrt { \mu n } } \; \sum _ { c : w _ { c } \leq \sqrt { \mu n } } \frac { p _ { a b } p _ { b c } p _ { a c } } { w _ { a } w _ { b } w _ { c } } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \mu n } \right) ^ { 3 } \sum _ { a : w _ { a } \leq \sqrt { \mu n } } \; \sum _ { b : w _ { b } \leq \sqrt { \mu n } } \; \sum _ { c : w _ { c } \leq \sqrt { \mu n } } w _ { a } w _ { b } w _ { c } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \mu n } \right) ^ { 3 } ( n \mu ) ^ { 3 } ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { = 1 + o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { m k } ^ { T h } } & { { } = \int d ^ { 3 } r ~ h _ { m } ^ { T h } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) , } \\ { H _ { m k } ^ { R a } } & { { } = \int d ^ { 3 } r ~ h _ { m } ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\left( { S _ { d _ { 2 } } } | _ { S _ { d _ { 1 } } } , \sum _ { j = 3 } ^ { k } a _ { j } { ( { S _ { d _ { j } } } | _ { S _ { d _ { 1 } } } ) } | _ { ( { S _ { d _ { 2 } } } | _ { S _ { d _ { 1 } } } ) } \right) = ( S _ { d _ { 2 } } \cap S _ { d _ { 1 } } , \sum _ { j = 3 } ^ { k } a _ { j } S _ { d _ { j } } \cap S _ { d _ { 2 } } \cap S _ { d _ { 1 } } )
( i i ) \ \forall n \geq 1 , \quad \Delta S _ { n } > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad { \mathcal E } = ( { \mathcal E _ { n } } ) _ { n \geq 1 } \quad \mathrm { ~ i ~ s ~ e ~ x ~ p ~ a ~ n ~ d ~ i ~ n ~ g ~ s ~ p ~ a ~ c ~ e ~ - ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } ,
g ^ { 1 / p ^ { k } } H = \left\{ \begin{array} { l l } { i _ { n } ( g ^ { \frac { 1 } { p ^ { k } } - e } \pi ^ { ( n + p ^ { k } ) e } ) \in i _ { n } ( B ^ { 0 } ) , \, \, \mathrm { s i } \, \, e < 1 / p ^ { k } } \\ { i _ { n } ( g ^ { 1 / p ^ { k } } ) \pi ^ { p ^ { k } e } ( \frac { \pi ^ { n } } { g } ) ^ { e } \in \pi B _ { n } ^ { 0 } , \, \, \mathrm { s i n o n } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - 1 } { m _ { 1 } } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } } & { = \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } = \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } \big ) , } \\ { \frac { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - \ell - 1 } { m _ { 1 } } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } } & { = \frac { m _ { 2 } ^ { \underline { { \ell + 1 } } } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { \underline { { \ell + 1 } } } } = 0 , \quad \mathrm { f o r ~ \ell ~ \ge ~ m _ 2 ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { 2 } = \sigma ^ { 2 } \left( \langle \eta \rangle , \langle \eta \rangle ^ { 2 } \right) \approx \ln \left[ \frac { \langle \eta ^ { 2 } \rangle } { \langle \eta \rangle ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \varphi _ { \bf k } \frac { \partial n _ { \bf k } } { \partial t } \, d { \bf k } } & { = 4 \pi \int \varphi _ { \bf k } | W _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } | ^ { 2 } \delta _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } \delta ( \omega _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } ) n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { \bf k } \left[ \frac { 1 } { n _ { \bf k } } + \frac { 1 } { n _ { 3 } } - \frac { 1 } { n _ { 1 } } - \frac { 1 } { n _ { 2 } } \right] d { \bf k } _ { 1 } \, d { \bf k } _ { 2 } \, d { \bf k } _ { 3 } \, d { \bf k } } \\ & { = \pi \int \left[ \varphi _ { \bf k } + \varphi _ { 3 } - \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } \right] | W _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } | ^ { 2 } \delta _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } \delta ( \omega _ { 3 { \bf k } } ^ { 1 2 } ) n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { \bf k } \left[ \frac { 1 } { n _ { \bf k } } + \frac { 1 } { n _ { 3 } } - \frac { 1 } { n _ { 1 } } - \frac { 1 } { n _ { 2 } } \right] d { \bf k } _ { 1 } \, d { \bf k } _ { 2 } \, d { \bf k } _ { 3 } \, d { \bf k } . } \end{array}
\psi ( y ) = C _ { 1 } F ( { \frac { p + 1 } { 4 } } , { \frac { p + 1 } { 4 } } ; 1 + { \frac { p } { 2 } } ; y ) + C _ { 2 } F ( { \frac { p + 1 } { 4 } } , { \frac { p + 1 } { 4 } } ; { \frac { 1 } { 2 } } ; 1 - y ) ,
\Pi ( \tau ) = \frac { \langle \Delta r ^ { 2 } ( \tau ) \rangle _ { t _ { 0 } } } { 2 \langle r ^ { 2 } \rangle _ { e q . } } \equiv \frac { \langle [ r ( t _ { 0 } + \tau ) - r ( t _ { 0 } ) ] ^ { 2 } \rangle _ { t _ { 0 } } } { 2 \langle r ^ { 2 } \rangle _ { e q . } } = 1 - A ( \tau ) ,
\delta _ { \tilde { T } _ { R } } x _ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { u } ^ { \dot { \alpha } } - \delta _ { \tilde { T } _ { R } } z _ { \alpha \beta } u ^ { \beta } = \epsilon _ { \tilde { T } _ { R } } v _ { \alpha } - \epsilon _ { \tilde { T } _ { R } } v _ { \alpha } = 0 .
\operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \mathfrak { F } _ { \gamma } ) } { \varepsilon ^ { - V _ { \gamma } } } < \infty , \qquad \mathbb { E } [ \bar { F } _ { \gamma } ( \mathbf { Z } ) ^ { 2 } ] < \infty , \qquad \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \widehat { \mathfrak { F } } _ { \gamma , n } ) } { \varepsilon ^ { - V _ { \gamma } } } = O _ { \mathbb { P } } ( 1 ) ,
\begin{array} { r l } { f _ { i } ( n ) } & { { } = ( f _ { i - 1 } * [ h ] _ { \uparrow 2 ^ { i - 1 } } ) ( n ) , } \\ { F _ { i } ( n ) } & { { } = ( f _ { i } * [ q _ { 1 2 } ] _ { \uparrow 2 ^ { i } } ) ( n ) , } \\ { W _ { f } ( \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } } { 2 ^ { i + j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } , n ) } & { { } = \sqrt { \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } \Delta x } { 2 ^ { i + j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } } ( F _ { i } * [ q _ { j } ] _ { \uparrow 2 ^ { i } } ) ( n ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau \left( r \right) = } & { \int \Bigg [ 2 N \Bigg [ \int \frac { \exp \Bigg [ { - 2 N \left( \int \frac { \left( \left( 1 - r \right) p + r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { 1 + q } + r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } { \left( \left( 1 - r \right) p - r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { 1 + q } - r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } \mathrm { d } r \right) } \Bigg ] } { \left( \left( 1 - r \right) p - r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { 1 + q } - r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } \mathrm { d } r \Bigg ] } \\ & { + C _ { 1 } \Bigg ] \exp \Bigg [ { - 2 N \left( \int \frac { \left( \left( 1 - r \right) p + r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { 1 + q } + r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } { \left( \left( 1 - r \right) p - r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { 1 + q } - r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } \mathrm { d } r \right) } \Bigg ] \mathrm { d } r + C _ { 2 } . } \end{array}
\frac { g _ { \mathrm { t \ c h i } } } { \sqrt { 2 } } \left( c _ { L } \bar { t ^ { \prime } } _ { L } + s _ { L } \bar { \chi ^ { \prime } } _ { L } \right) \left( s _ { R } t _ { R } ^ { \prime } + c _ { R } \chi _ { R } ^ { \prime } \right) H
{ \begin{array} { r l } { L _ { 0 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = 1 } \\ { L _ { 1 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = - x + ( \alpha + 1 ) } \\ { L _ { 2 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } - ( \alpha + 2 ) x + { \frac { ( \alpha + 1 ) ( \alpha + 2 ) } { 2 } } } \\ { L _ { 3 } ^ { ( \alpha ) } ( x ) } & { = { \frac { - x ^ { 3 } } { 6 } } + { \frac { ( \alpha + 3 ) x ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { ( \alpha + 2 ) ( \alpha + 3 ) x } { 2 } } + { \frac { ( \alpha + 1 ) ( \alpha + 2 ) ( \alpha + 3 ) } { 6 } } } \end{array} }
\langle R , \rho _ { i } \rangle \equiv \int \, d x _ { 1 } \dots d x _ { N } R ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) \rho _ { i } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) d ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) .
\delta ( t ) = \frac { \delta ( 0 ) } { 1 - \frac { \delta ( 0 ) } { E _ { d } ^ { ( 0 ) } } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \partial ^ { 0 } \tilde { \phi } _ { d \, ( \rightarrow ) } ^ { ( 1 ) } \, \partial ^ { \xi } \tilde { \phi } _ { d \, ( \rightarrow ) } ^ { ( 1 ) } \right) \mid _ { \xi = 1 + \delta } d t ^ { \prime } } .