harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { C _ { 6 } } { r ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \left\{ 1 - \mathcal { F } _ { \xi } ^ { 2 } ( \phi ) + [ 1 - \mathcal { F } _ { \xi } ( \phi ) ] ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { L G } } & { { } = \hat { \pi } ^ { W } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { W } , \gamma } ) + \hat { \pi } ^ { H } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { H } , \gamma } ) * \hat { \pi } ^ { W } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { W } , \gamma } ) } \\ { \zeta _ { L L } } & { { } = \hat { \pi } ^ { H } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { H } , \gamma } ) * \hat { \pi } ^ { W } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { W } , \gamma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \hat { t } ) = \frac { 1 } { Z } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \Phi r ( \theta _ { 2 } , \Phi ) \delta ( \hat { t } - t ( \theta _ { 2 } , \Phi ) ) , } \end{array}
p ^ { \mathrm { ~ C ~ C ~ M ~ } } ( k ) = p ^ { \mathrm { ~ P ~ L ~ C ~ } } ( k ) \sum _ { t = 0 } ^ { \lfloor k / 2 \rfloor } \binom { \lfloor k / 2 \rfloor } { t } \theta ^ { t } ( 1 - \theta ) ^ { \lfloor k / 2 \rfloor - t }
\begin{array} { r l } { \mathrm { s } _ { - i + 1 } } & { = \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { - i + 1 } = - \mathbf { t } ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { i } = - \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } - \mathbf { P } ) ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { i } = - \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } \mathbf { P } - \underbrace { \mathbf { P } ^ { T } \mathbf { P } } _ { = \mathbf { I } } ) \boldsymbol { \mu } _ { i } } \\ & { = - \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { P } - \mathbf { I } ) ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { i } = \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { i } = \mathrm { s } _ { i } , \qquad 1 \leq i \leq k . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nu _ { e e } \in [ 1 0 ^ { - 7 } , 1 0 ^ { - 6 } , 1 0 ^ { - 5 } , 1 0 ^ { - 4 } , 1 0 ^ { - 3 } ] , } \\ { k \in [ 0 . 2 6 , 0 . 2 8 , 0 . 3 , 0 . 3 2 , 0 . 3 4 , 0 . 3 6 , 0 . 3 8 , 0 . 4 ] , } \\ { a _ { 0 } \in [ 1 0 ^ { - 6 } , 1 0 ^ { - 5 } , 1 0 ^ { - 4 } , 1 0 ^ { - 3 } , 1 0 ^ { - 2 } ] . } \end{array}
\hat { H } = \hat { H } _ { 0 } + \int d z \hat { \psi } _ { g } ^ { \dagger } ( z ) \frac { \hbar \left| \mathcal { G } ( z ) \right| ^ { 2 } } { \Delta _ { 0 } } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \hat { \psi } _ { g } ( z ) + \hat { H } _ { \mathrm { c a v } } ,
T ^ { U } = \left( \begin{array} { c c c } { { a _ { U } \lambda ^ { 8 } } } & { { b _ { U } \lambda ^ { 6 } } } & { { c _ { U } \lambda ^ { 4 } } } \\ { { 0 } } & { { d _ { U } \lambda ^ { 4 } } } & { { e _ { U } \lambda ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; T ^ { D } = \left( \begin{array} { c c c } { { a _ { D } \lambda ^ { 4 } } } & { { b _ { D } \lambda ^ { 3 } } } & { { c _ { D } \lambda ^ { 3 } } } \\ { { 0 } } & { { d _ { D } \lambda ^ { 2 } } } & { { e _ { D } \lambda ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta n _ { k } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } } & { = } & { \frac { n _ { l } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } \, \frac { 1 - e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, \Delta R ^ { i } } } { 1 - \frac { n _ { l } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } \, e ^ { - \left( n _ { k } ^ { i } - n _ { l } ^ { i } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, \Delta R ^ { i } } } } \\ & { \le } & { \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { l } ^ { i } \, \left( 1 - \frac { n _ { l } ^ { i } } { n _ { k } ^ { i } } \right) \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, \Delta R ^ { i } \, , } & { n _ { k } > n _ { l } } \\ { n _ { l } ^ { i } \, \sigma _ { R 0 } ^ { k l } \, \Delta R ^ { i } \, , } & { n _ { k } ^ { i } \rightarrow n _ { l } ^ { i } } \end{array} \right. \, . } \end{array}
m _ { \tau } / m _ { b } ( M _ { G U T } ) \cong \frac { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta _ { a t m } } } { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta _ { a t m } / 9 } } \cong 3 / \sqrt { 5 } \cong 1 . 3 4 .
{ \eta } = P _ { { k } { \rightarrow } { l } } - P _ { \overline { { { k } } } { \rightarrow } \overline { { { l } } } } = 2 \sum _ { i j } \mathrm { I m } \Bigl \{ U _ { C K M } ^ { * l i } ( { \theta } ) U _ { C K M } ^ { l j } ( { \theta } ) U _ { C K M } ^ { k i } ( { \theta } ) U _ { C K M } ^ { * k j } ( { \theta } ) \Bigr \} \sin \Biggl ( { \delta } m _ { i j } ^ { 2 } \frac { L } { 2 E } \Biggr ) ,
| \overline { { u } } _ { E _ { 1 } } | = \omega ( e _ { 1 } , e _ { 2 } ) | \gamma _ { E _ { 1 } } | \, , | \overline { { u } } _ { E _ { 2 } } | = \omega ( e _ { 1 } , e _ { 2 } ) | \gamma _ { E _ { 2 } } | \, , \mathrm { a n d } \, | \overline { { u } } _ { E _ { \mathrm { o u t } } } | = \omega ( e _ { 1 } , e _ { 2 } ) | \gamma _ { E _ { \mathrm { o u t } } } | \, .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { { L R } , \ m u } } ^ { \mathrm { F o c k } } = - } & { { } \sum _ { i j } \int d \boldsymbol { r } \, d \boldsymbol { r ^ { \prime } } \psi _ { i } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ) \psi _ { j } ( \boldsymbol { r } ) \frac { \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \mu \left| \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } \right| ) } { \left| \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } \right| } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { I } = \frac { 1 } { 2 } \hbar \Omega \left( \sigma _ { + } e ^ { - i ( \Delta t - \phi ) } + \sigma _ { - } e ^ { i ( \Delta t - \phi ) } \right) + } & { \frac { 1 } { 2 } \hbar \eta \Omega \left( a \sigma _ { + } e ^ { - i ( \Delta + \omega _ { z } ) t + i \tilde { \phi } } + a ^ { \dagger } \sigma _ { - } e ^ { i ( \Delta + \omega _ { z } ) t - i \tilde { \phi } } \right) } \\ { + } & { \frac { 1 } { 2 } \hbar \eta \Omega \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { + } e ^ { - i ( \Delta - \omega _ { z } ) t + i \tilde { \phi } } + a \sigma _ { - } e ^ { i ( \Delta - \omega _ { z } ) t - i \tilde { \phi } } \right) \, , } \end{array}
{ \cal L } _ { i n t } = { \frac { - 1 } { \Lambda _ { \pi } } } \sum _ { i } ( \bar { f } _ { L , i } ^ { 0 } \tilde { T } ^ { \mu \nu } x _ { L } ^ { i } f _ { L , i } ^ { 0 } + \bar { f } _ { R , i } ^ { 0 } \tilde { T } ^ { \mu \nu } x _ { R } ^ { i } f _ { R , i } ^ { 0 } ) \xi ( n , l ) h _ { \mu \nu } ^ { ( n , l ) } \,
\begin{array} { r l r } { \textbf { a } \otimes \textbf { b } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c l r r } { \alpha } & { C \beta } & { - B \beta } \\ { - C \beta } & { \alpha } & { A \beta } \\ { B \beta } & { - A \beta } & { \alpha } \end{array} \right] } \\ & { = } & { a \, b \left[ \begin{array} { c l r r } { \cos \theta } & { C \sin \theta } & { - B \sin \theta } \\ { - C \sin \theta } & { \cos \theta } & { A \sin \theta } \\ { B \sin \theta } & { - A \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] } \end{array}
\tilde { G } _ { 1 } ( S _ { \infty } , P _ { \infty } , T _ { \infty } ) = S _ { \infty } \quad \tilde { G } _ { 2 } ( S _ { \infty } , P _ { \infty } , T _ { \infty } ) = P _ { \infty } + T _ { \infty } ( 1 - e ^ { - t _ { E } } ) \quad \tilde { G } _ { 3 } ( S _ { \infty } , P _ { \infty } , T _ { \infty } ) = T _ { \infty } e ^ { - t _ { E } } .
L _ { k } = \frac { l } { w h } \frac { R _ { s } } { 2 \pi ^ { 2 } 1 . 7 6 T _ { c _ { 0 } } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { 1 . 7 6 T _ { c _ { 0 } } } { k _ { B } T } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { k _ { 2 } = k _ { 0 } - k _ { 1 } + 1 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } , i , j } } \sum _ { ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \boldsymbol { x } _ { 2 } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } - i } } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 1 } } } \sum _ { \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } _ { 0 } } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | + \tilde { \alpha } } } \\ & { \times \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] _ { \leq } ^ { | \alpha | + \tilde { \alpha } } } \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 1 } } \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( m ) } } ^ { t _ { i + \tilde { \alpha } } } \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { \alpha } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( k _ { 2 } ) } ^ { 2 } } ^ { t _ { i } } \, d \boldsymbol { t } _ { | \alpha | + \tilde { \alpha } , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) \mathcal { T } ( \iota , k _ { 2 } , \boldsymbol { x } ^ { 2 } , t _ { 0 } ; \hbar ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { r ( \theta , 0 ) } & { = R _ { 0 } \left[ 1 + \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } ( 3 \sin ^ { 2 } \theta - 1 ) - \frac { 1 } { 5 } \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } \right] \cos ( \theta ) , } \\ { z ( \theta , 0 ) } & { = R _ { 0 } \left[ 1 + \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } ( 3 \sin ^ { 2 } \theta - 1 ) - \frac { 1 } { 5 } \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } \right] \sin ( \theta ) + 1 . 0 , } \end{array} \right. \quad \theta \in [ - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } ] ,
\frac { \partial \boldsymbol { \omega } } { \partial t } = \nabla _ { \boldsymbol { x } } \times ( \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { \omega } ) + \nu \nabla _ { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } \boldsymbol { \omega } + \nabla _ { \boldsymbol { x } } \times \boldsymbol { f } ,
M _ { a } = C 8 \sqrt { 2 } \frac { h m } { \beta ^ { 2 } } \sin \left( \frac { a \pi } { 2 h } \right) [ 1 - \beta ^ { 2 } \frac { a } { 4 h ^ { 2 } } \cot \left( \frac { a \pi } { 2 h } \right) ] + O ( \beta ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } = r _ { 1 } - r _ { n + 1 } , } \\ { x _ { 2 } = r _ { 2 } - r _ { n + 1 } , } \\ { \cdots } \\ { x _ { n } = r _ { n } - r _ { n + 1 } , } \\ { x _ { n + 1 } = r _ { 1 } + \cdots + r _ { n + 2 } , } \\ { x _ { n + 2 } = r _ { 1 } + \cdots + r _ { n + 1 } , } \end{array} \right. \quad \mathrm { w h e r e } \ r _ { j } \in \mathbb { Q } \cap [ 0 , 1 ) . } \end{array}
n _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { c c ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) = ( w _ { \mathbf { k } } ^ { c } ( \mathbf { r } ) ) ^ { * } w _ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { c ^ { \prime } } ( \mathbf { r } )
\lvert \mathrm { S i n g l e t } \rangle = ( \lvert \uparrow \rangle _ { \mathrm { s } } \lvert \downarrow \rangle _ { \mathrm { o } } - \lvert \downarrow \rangle _ { \mathrm { s } } \lvert \uparrow \rangle _ { \mathrm { o } } ) / \sqrt { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i v } _ { \nu } \left( X \right) \omega \wedge \omega ^ { 1 } \wedge \omega ^ { 2 } } & { = \left( \mathcal { L } _ { X } \omega \right) \wedge \omega ^ { 1 } \wedge \omega ^ { 2 } + \omega \wedge \left( \mathcal { L } _ { X } \omega ^ { 1 } \right) \wedge \omega ^ { 2 } + \omega \wedge \omega ^ { 1 } \wedge \left( \mathcal { L } _ { X } \omega ^ { 2 } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \left\langle \omega ^ { i } , \left[ X _ { i } , X \right] \right\rangle \omega \wedge \omega ^ { 1 } \wedge \omega ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf J } - \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { - 4 \Lambda } & { \frac { 1 } { 2 } \kappa } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \kappa } & { - 4 \Lambda } \end{array} \right) , } \\ { \big ( { \bf J } - \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf A } \big ) ^ { - 1 } } & { { } = } & { - \frac { 4 \Lambda } { 1 6 \Lambda ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \kappa ^ { 2 } } { \bf I } + \frac { \frac { 1 } { 2 } \kappa } { 1 6 \Lambda ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \kappa ^ { 2 } } { \bf A } . \ \ \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { m } ^ { p - 1 } \mathrm { P } ( \Omega ^ { \sharp } ) } & { = \int _ { \partial \Omega ^ { \sharp } } v ( x ) ^ { p - 1 } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( x ) = \frac { 1 } { \beta } \int _ { \Omega ^ { \sharp } } f ^ { \sharp } \, d x = \frac { 1 } { \beta } \int _ { \Omega } f \, d x } \\ & { = \int _ { \partial \Omega } u ( x ) ^ { p - 1 } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } ( x ) } \\ & { \geq u _ { m } ^ { p - 1 } \mathrm { P } ( \Omega ) \geq { u _ { m } } ^ { p - 1 } \mathrm { P } ( \Omega ^ { \sharp } ) . } \end{array}
\psi _ { N } ^ { + } = \frac { 1 } { [ 2 r ( r + r _ { 3 } ) ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \begin{array} { c } { { r + r _ { 3 } } } \\ { { r _ { 1 } + i r _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \cos \frac { \theta } { 2 } } } \\ { { e ^ { i \phi } \sin \frac { \theta } { 2 } } } \end{array} \right)
\textbf { f } \! \left( \textbf { r } , t \right) \approx \sum _ { s } \left( f _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) e ^ { i ( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t ) } { \textbf { e } } _ { s } + g _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , t ) e ^ { - i ( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t ) } { \textbf { e } } _ { s } ^ { * } \right) ,
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \right] + \phi \omega ^ { - \gamma } \mathcal { K } ^ { \star } \mathrm { D a } ( 1 - \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } ^ { a } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho \frac { D u _ { i } } { D t } } & { { } = } & { - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } - \frac { \chi } { \eta } ( { u } _ { i } - u _ { ( o q ) i } ) } \\ { \frac { D p } { D t } } & { { } = } & { - { c _ { s } } ^ { 2 } \rho _ { o } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial x _ { i } x _ { i } } - \frac { \chi } { \eta } ( { p - p _ { ( o q ) i } } ) . } \end{array}
V _ { p ^ { + } , p ^ { - } } ^ { r , s } \left( z \right) = e ^ { i X ^ { - } p ^ { + } } \, \, e ^ { - \frac 1 2 X _ { 2 } \left( 1 - 2 i s \right) } \, F _ { r , s } \left( e ^ { - X _ { 2 } } p ^ { - } p ^ { + } \right) e ^ { i X ^ { + } p ^ { - } }
\begin{array} { r l } { \| v _ { 2 } \| _ { W ^ { 1 , p } ( D ) } } & { \leq C _ { p } h \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 1 , p } ( D _ { d / 2 } ) } + \frac { C _ { p } h } { d } \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } + \frac { C _ { p } } { d } \| v _ { 2 } \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ) } + \frac { C _ { p } } { d } \| v _ { 2 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } } \\ & { \leq C _ { p } h \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 1 , p } ( D _ { d / 2 } ) } + \frac { C _ { p } h } { d } \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } + \frac { C _ { p } } { d } \| v _ { 2 } \| _ { W ^ { 1 , q } ( \varOmega ) } , } \end{array}
\mu _ { 2 } = \sin \frac { \theta ^ { \prime } } { 2 } \, \cos \frac { \psi - \phi } { 2 } ~ ~ , ~ ~ \mu _ { 1 } = \sin \frac { \theta ^ { \prime } } { 2 } \, \sin \frac { \psi - \phi } { 2 } ~ ~ ,
\Lambda ^ { \varepsilon } = \cfrac { 2 \pi ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } + p ^ { 2 } \pi ^ { 2 } + \varepsilon \tilde { \nu } + \dots , \quad u ^ { \varepsilon } ( x ) = \begin{array} { r l } { ( a _ { 1 } \gamma _ { 1 } ^ { \pm } ( x _ { 1 } ) + \varepsilon \tilde { \gamma } _ { 1 } ^ { \pm } ( x _ { 1 } ) ) \, U _ { \dagger } ( x _ { 2 } / \varepsilon , x _ { 3 } / \varepsilon ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \omega _ { 1 } ^ { \varepsilon \pm } } \\ { ( a _ { 2 } \gamma _ { 2 } ^ { \pm } ( x _ { 2 } ) + \varepsilon \tilde { \gamma } _ { 2 } ^ { \pm } ( x _ { 2 } ) ) \, U _ { \dagger } ( x _ { 3 } / \varepsilon , x _ { 1 } / \varepsilon ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \omega _ { 2 } ^ { \varepsilon \pm } } \\ { ( a _ { 3 } \gamma _ { 3 } ^ { \pm } ( x _ { 3 } ) + \varepsilon \tilde { \gamma } _ { 3 } ^ { \pm } ( x _ { 3 } ) ) \, U _ { \dagger } ( x _ { 1 } / \varepsilon , x _ { 2 } / \varepsilon ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \omega _ { 3 } ^ { \varepsilon \pm } } \end{array} + \dots .
\begin{array} { r } { \| \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } \leq \frac { c _ { 0 } } { h } \left( \| \nabla \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } + \sqrt { R _ { 2 } R _ { 0 } } \| \mathbf { w } ^ { k } \| _ { 2 } \right) , } \end{array}
G ( \mathbf { x } , t ; \mathbf { x } ^ { \prime } ) = ( \frac { m } { \sqrt { t ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } K _ { \frac { N - 1 } { 2 } } ( m \sqrt { t ^ { 2 } + r ^ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { { \frac { d n ^ { ( 0 ) } } { d t _ { w } } } } & { { } = 0 \, , } \\ { { \frac { d S ^ { ( 0 ) } } { d t _ { w } } } } & { { } = \leavevmode { - D ^ { * } ( S ^ { ( 0 ) } - 1 ) n ^ { ( 0 ) } + S ^ { ( 0 ) } F ^ { * } ( t _ { w } ) \, , } } \end{array}
p _ { + } ( \Gamma | B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ) } ( \Gamma ) = A \tau ) = \frac { p ( B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ) } ( \Gamma ) = A \tau ) } { p ( B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ) } ( \Gamma ) = A \tau ) + p ( B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ) } ( \Gamma ) = - A \tau ) } ,
\langle ( \delta \chi ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { p e a k } } \simeq \frac { \omega _ { \phi } ^ { 2 } } { 4 g } = \frac { 1 } { 1 6 } \, q ^ { - 1 } \Phi _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { ( z - \omega _ { j } ) \widetilde { \chi } ( z ) } & { = \biggr ( K _ { - 1 } + ( z - \omega _ { j } ) K _ { 0 } \biggr ) \biggr ( \frac { F _ { H } ^ { \frac 1 2 } S P _ { E _ { 0 } + \omega _ { j } } ^ { H } S ^ { \ast } } { z - \omega _ { j } } + \widetilde { \chi } _ { 0 } - \frac { F _ { H } ^ { \frac 1 2 } S P _ { E _ { 0 } + \omega _ { j } } ^ { H } S ^ { \ast } } { z - \omega _ { j } } \biggr ) + \mathcal { O } ( | z - \omega _ { j } | ) } \\ & { = K _ { - 1 } \frac { F _ { H } ^ { \frac 1 2 } S P _ { E _ { 0 } + \omega _ { j } } ^ { H } S ^ { \ast } } { z - \omega _ { j } } + K _ { - 1 } \biggr ( \widetilde { \chi } _ { 0 } - \frac { F _ { H } ^ { \frac 1 2 } S P _ { E _ { 0 } + \omega _ { j } } ^ { H } S ^ { \ast } } { z - \omega _ { j } } \biggr ) + K _ { 0 } F _ { H } ^ { \frac 1 2 } S P _ { E _ { 0 } + \omega _ { j } } ^ { H } S ^ { \ast } } \\ & { \qquad \qquad + \mathcal { O } ( | z - \omega _ { j } | ) . } \end{array}
E _ { c m } = c \sqrt { \mathbf { p _ { t o t } } \cdot \mathbf { p _ { t o t } } } = m _ { 0 } c ^ { 2 } \sqrt { ( 1 + \beta ) \frac { X } { 2 } + 1 } = m _ { 0 } c ^ { 2 } \sqrt { ( 1 + \beta ) \frac { 2 E _ { e } E _ { \mathrm { p h } } } { ( m _ { 0 } c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + 1 } .
< 0 | N | 0 > _ { \mathrm { l o c } } = \int { \frac { d ^ { 3 } \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { 2 \omega ( \vec { q } ) } } \left[ | J _ { \mu } ^ { \mathrm { c l } } ( \vec { q } ) | ^ { 2 } - { \frac { 1 } { M ^ { 2 } } } \left| J _ { \mu } ^ { \mathrm { c l } } ( \vec { q } ) q ^ { \mu } \right| ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( \varepsilon ) } & { { } : = \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { \nu } \left( s , ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) , t , x \right) E _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( \xi , s ) \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } , \eta \rightarrow 0 } A ( s ) } & { { } = 1 , \quad \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } , \eta \rightarrow 0 } \overline { { A } } ( s ) } & { } & { { } = - 1 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } , \eta \rightarrow 0 } Q ( s ) } & { { } = 2 , \quad \operatorname* { l i m } _ { r _ { \epsilon } , \eta \rightarrow 0 } \overline { { Q } } ( s ) } & { } & { { } = 0 . } \end{array}
G _ { \pm } ( \tau , \theta ) = e ^ { \pm i \pi ( \omega + \nu ) / 2 } ( 2 / \omega ) ^ { \nu - 1 / 2 } \Gamma ( \nu ) \pi ^ { - 1 / 2 } \exp \biggl \{ - \frac { \omega } { 2 } [ \tau ^ { 2 } + \theta ^ { 2 } ] \biggr \} \ .
\langle \vec { x } | M | \vec { y } \rangle = \langle \vec { y } | M | \vec { x } \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad \textrm { f o r } \quad | \vec { x } - \vec { y } | = \delta , \quad \vec { x } \textrm { a n d } \vec { y } \textrm { n o t a t t h e b o u n d a r y } , } \\ { 0 \quad \textrm { e l s e } . } \end{array} \right.
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = \int _ { \phi = 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta = 0 } ^ { \pi } \mathcal { A } ( \mathbf { k } ) \, e ^ { i \, \mathbf { k } \cdot ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } ) } \, \underbrace { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \theta ) \, \mathrm { ~ d ~ } \theta \, \mathrm { ~ d ~ } \phi } _ { \mathrm { ~ d ~ } \Omega _ { k } } ,
{ \frac { { \vec { v } } \cdot \nabla \rho } { \rho } } = { \frac { { \vec { v } } \cdot \nabla p } { a ^ { 2 } \rho } } = - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } { \vec { v } } \cdot \nabla \left[ { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } + { \frac { \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi } { 2 } } \right] = - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \nabla \Phi \cdot \nabla \left[ { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } + { \frac { \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi } { 2 } } \right]
\overline { { C } } _ { \alpha } = \operatorname* { l i m } _ { \ell \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \ell T } \sum _ { t = T } ^ { \ell T } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi } \frac { \mathrm { T r } \left[ \widetilde { U } _ { \alpha } ^ { \dagger t } ( k ) { \cal S } i \partial _ { k } U _ { \alpha } ^ { t } ( k ) \right] } { \mathrm { T r } \left[ \widetilde { U } _ { \alpha } ^ { \dagger t } ( k ) U _ { \alpha } ^ { t } ( k ) \right] } .
L _ { a } = \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \mathrm { I m } \, \mathrm { t r } \int d ^ { 2 } \theta \ W ^ { 2 } g ( z ) = \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \mathrm { I m } \, \mathrm { t r } \int d ^ { 2 } \theta \ W ^ { 2 } \Big ( - i \ln z + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { n } z ^ { n } \Big ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E ( t , \tau ) } { \partial t } } & { { } = \left[ - 1 + i ( | E | ^ { 2 } - \Delta _ { 0 } ) + i \hat { D } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E } \end{array}
M _ { l } ^ { \mathrm { D } } \; = \; \frac { c _ { l } ^ { ~ } } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \;
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \left( 1 + f - \Gamma _ { 0 } y _ { 3 } \cos \theta \right) } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) f = - 4 \gamma ^ { 4 } f , } \\ & { \left. \partial _ { y _ { 3 } } f \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = \Gamma _ { 0 } \cos \theta , \quad \left. f \right| _ { t = 0 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ( E , s , \chi ) } & { = \left( \frac { \mathrm { c o n d } ( \chi ) \sqrt { N _ { E } } } { 2 \pi } \right) ^ { s } \Gamma ( s ) L ( E , s , \chi ) } \\ & { = \frac { w _ { E } \chi ( N _ { E } ) \tau ( \chi ) ^ { 2 } } { \mathrm { c o n d } ( \chi ) } \Lambda ( E , 2 - s , \overline { { \chi } } ) , } \end{array}
\delta _ { u } ^ { ( 1 ) } = \frac { N _ { c } G _ { \mu } m _ { A } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \sqrt 2 } \left[ \frac { 7 } { 6 } ( 1 + x ) + \frac { x } { 1 - x } \ln x \right] ,
\begin{array} { r l } & { 2 ^ { - 4 k _ { Q } N _ { 1 } } 2 ^ { 4 N _ { 1 } j } 2 ^ { - N _ { 2 } ( j - k _ { Q } ) } \, 2 ^ { j ( \kappa \rho - 2 \rho n + 2 n ) / 2 } 2 ^ { - j ( n - \rho n + \kappa \rho ) / p } 2 ^ { j \rho \kappa / 2 } 2 ^ { - j \rho ( n - \kappa / 2 ) / p ^ { \prime } } 2 ^ { - n ( 1 / p - 1 ) } } \\ & { \leq 2 ^ { - 4 k _ { Q } N _ { 1 } - n ( 1 / p - 1 ) } 2 ^ { - N _ { 2 } ( j - k _ { Q } ) } \, 2 ^ { 4 N _ { 1 } j - j n ( 1 / p - 1 ) } } \\ & { \lesssim 2 ^ { j ( { - 4 k _ { Q } N _ { 1 } - N _ { 2 } - n ( 1 / p - 1 ) } ) } 2 ^ { - k _ { Q } ( { 4 N _ { 1 } - N _ { 2 } - n ( 1 / p - 1 ) } ) } } \end{array}
Z [ J ] = \int { \cal D } B { \cal D } \phi _ { 1 } { \cal D } \phi _ { 2 } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \int d x [ \phi _ { a } ( x ) A _ { a b } ( x ) \phi _ { b } ( x ) - \frac { N } { \lambda _ { o } } B ^ { 2 } ( x ) ] }
d f _ { 2 } ^ { g a m m a } ( z , z _ { 0 } ) = d z \cdot \frac { P _ { \gamma } \cdot P _ { e ^ { - } ; \gamma } } { \lambda _ { \gamma \rightarrow e } } \cdot \int _ { z } ^ { L } d \zeta \frac { \partial f _ { \gamma } ( \zeta , z _ { 0 } ) } { \partial \zeta } e ^ { \frac { z - \zeta } { \lambda _ { x } } }