harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { \sqrt { - g } } j ^ { \mu } = \exp ( - 2 \lambda \phi ) g ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } a + \frac { q ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } f _ { P Q } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } ( A _ { \nu } ^ { j } \partial _ { \rho } A _ { \sigma j } + \frac { q } { 3 } f _ { i j k } A _ { \nu } ^ { i } A _ { \rho } ^ { j } A _ { \sigma } ^ { k } )
\Delta { { u } _ { i , a } } = \Delta u _ { i , a } ^ { * } - \Delta t \frac { \partial p _ { i } ^ { n + { { \theta } _ { 2 } } } } { \partial { { x } _ { i } } } + \frac { \Delta { { t } ^ { 2 } } } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { { { \partial } ^ { 2 } } { { p } ^ { n } } } { \partial { { x } _ { k } } \partial { { x } _ { i } } }
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { = - i \sqrt { 3 } \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \hat { n } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ( x , t ) + \big ( n _ { \mathrm { s o l } } ^ { ( 1 ) } ( x , t ) \big ) _ { 3 } + \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } ^ { \angle } k ( \hat { \Delta } _ { 3 3 } ( \zeta , k ) ^ { - 1 } - 1 ) \bigg ) } \\ & { = u _ { \mathrm { s o l } } ( x , t ) - i \sqrt { 3 } \frac { \partial } { \partial x } \hat { n } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ( x , t ) + O ( t ^ { - 1 } ) , \qquad t \to \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { d c } , - } - M _ { 1 2 } ^ { \mathrm { d c } , + } } & { { } = \Gamma \biggl ( \frac { 1 } { ( \delta + \Omega ) ( 2 \mathrm { i } \Gamma - ( \delta + \Omega ) ) } } \end{array}
\check { \mathcal { K } } _ { b } : = \{ ( \check { g } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) , \check { A } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) : \mathsf { S } \in \mathbf { S } _ { 1 } \} , \quad \check { \mathcal { K } } _ { b } ^ { * } : = \{ ( \check { g } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) , \check { A } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) : \mathsf { S } \in \mathbf { S } _ { 1 } \}
A \leq \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { ( x ( u ) - x ( v ) ^ { 2 } ) } { 4 \sin ^ { 2 } \left( \frac { f ( u ) - f ( v ) } { 2 } \right) } \frac { \mathrm { d } f ( u ) } { \mathrm { d } u } \frac { \mathrm { d } f ( v ) } { \mathrm { d } v } \mathrm { d } u \mathrm { d } v
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } ^ { A } _ { B } } & { = \sum _ { C } ( \mathsf { L } _ { A B , C } + \mathsf { L } _ { A B } \mathsf { L } _ { A C } - \mathsf { L } _ { A C } \mathsf { L } _ { C B } ) \, \vartheta ^ { C } \wedge \vartheta ^ { A } } \\ & { - \sum _ { C } \epsilon _ { A } \, \epsilon _ { B } \, ( \mathsf { L } _ { B A , C } + \mathsf { L } _ { B A } \mathsf { L } _ { B C } - \mathsf { L } _ { B C } \mathsf { L } _ { C A } ) \, \vartheta ^ { C } \wedge \vartheta ^ { B } } \\ & { - \sum _ { C } \epsilon _ { C } \, \epsilon _ { B } \, \mathsf { L } _ { A C } \, \mathsf { L } _ { B C } \, \vartheta ^ { A } \wedge \vartheta ^ { B } \qquad \qquad ( \mathrm { n o ~ s u m m a t i o n ~ o n } ~ A ~ \mathrm { o r } ~ B ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \langle \mathcal { L } _ { N } ^ { ( m - 1 ) } f \big \rangle _ { \nu _ { \gamma } ^ { N } } = \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } \sum _ { \eta \in \Omega _ { N } } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \tau _ { x } \eta ) \sqrt { f } ( \eta ) \left( \nabla _ { x , x + 1 } \sqrt { f } \right) ( \eta ) \bigg ( 1 - \frac { \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ^ { x , x + 1 } ) } { \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ) } \bigg ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( G \wr _ { * } S _ { N } ^ { + } ) ) } & { \simeq } & { K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( G ) ) \otimes ( \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } } ) \oplus K _ { 0 } ( C ( S _ { N } ^ { + } ) ) / ( \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } } ) } \\ & { \simeq } & { \left\{ \begin{array} { l c l } { K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( G ) ) ^ { \oplus N ^ { 2 } } / \mathbb { Z } ^ { 2 N - 2 } } & { \mathrm { i f } } & { N \neq 3 , } \\ { K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( G ) ) ^ { \oplus N ^ { 2 } } / \mathbb { Z } ^ { 3 } } & { \mathrm { i f } } & { N = 3 . } \end{array} \right. \mathrm { ~ a n d , } } \\ { K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( G \wr _ { * } S _ { N } ^ { + } ) ) } & { \simeq } & { K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( G ) ) ^ { \oplus N ^ { 2 } } \oplus K _ { 1 } ( C ( S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \left\{ \begin{array} { l c l } { K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( G ) ) ^ { \oplus N ^ { 2 } } \oplus \mathbb { Z } } & { \mathrm { i f } } & { N \geq 4 , } \\ { K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( G ) ) ^ { \oplus N ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } } & { 1 \leq N \leq 3 . } \end{array} \right. } \\ { . } \end{array}
\boldsymbol { P } = \mathbf { A } \boldsymbol { \nabla P } + \mathbf { B } \boldsymbol { P } _ { b } = \mathbf { A } \boldsymbol { \nabla P } + 2 \mathbf { B } ( \mathbf { I } - 2 \mathbf { B } _ { b } ) ^ { - 1 } \mathbf { A } _ { b } \boldsymbol { \nabla P } = \underbrace { \left( \mathbf { A } + 2 \mathbf { B } ( \mathbf { I } - 2 \mathbf { B } _ { b } ) ^ { - 1 } \mathbf { A } _ { b } \right) } _ { \mathbf { K } } \boldsymbol { \nabla P } ,
\begin{array} { r l } & { \ensuremath { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { T } \bigg | \int _ { \Omega } \nabla u \otimes \nabla c _ { A } : \nabla \mathbf { w } _ { 1 } \mathrm { d } x \bigg | \mathrm { d } t } \\ & { \quad \leq C ( R ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } \| \nabla \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } + C ( R , M ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } ( T ^ { \frac 1 2 } + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac 1 4 } ) \| \nabla \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { D , 0 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } C _ { D , 0 } \rho U ^ { 2 } \pi \left( { \frac { d } { 2 } } \right) ^ { 2 } \chi ( h / d ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } \phi ( 0 ) } & { = \int _ { \mathbb { C } } \phi ( a ) d a } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \phi ( r \cos \theta , r \sin \theta ) r d r d \theta } \\ & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \pi r ^ { 2 } } ( \pi r ^ { 2 } - 1 ) r d r } \\ & { = 2 \pi \left( - e ^ { - \pi r ^ { 2 } } \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right| _ { 0 } ^ { \infty } = 0 . } \end{array}
\mu _ { k } ( \eta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 k } } \biggl [ A _ { 1 } ( k ) J _ { 0 } ( \mathrm { e } ^ { y } ) + A _ { 2 } ( k ) N _ { 0 } ( \mathrm { e } ^ { y } ) \biggr ] \, ,
\begin{array} { r } { G _ { \alpha \beta , \gamma \delta } ( r ) = a _ { 1 } [ \frac { 1 } { r ^ { 3 } } ( a _ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \gamma \delta } - \delta _ { \alpha \delta } \delta _ { \beta \gamma } - \delta _ { \beta \delta } \delta _ { \alpha \gamma } ) + \frac { 3 } { r ^ { 5 } } ( \delta _ { \alpha \gamma } r _ { \beta } r _ { \delta } + \delta _ { \beta \gamma } r _ { \alpha } r _ { \delta } } \\ { + \delta _ { \gamma \delta } r _ { \alpha } r _ { \beta } + \delta _ { \alpha \delta } r _ { \beta } r _ { \gamma } + \delta _ { \beta \delta } r _ { \alpha } r _ { \gamma } - a _ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } r _ { \gamma } r _ { \delta } ) - \frac { 1 } { r ^ { 7 } } r _ { \alpha } r _ { \beta } r _ { \gamma } r _ { \delta } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { t } = } & { - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left\langle f _ { s } , \phi _ { n } \right\rangle \phi _ { n } ( y _ { 3 } ) e ^ { - \lambda _ { n } \kappa _ { 2 } t } \left( \cos \left( 2 \gamma ^ { 2 } \kappa _ { 2 } t \right) + \frac { \lambda _ { n } } { 2 \gamma ^ { 2 } } \sin \left( 2 \gamma ^ { 2 } \kappa _ { 2 } t \right) \right) , } \\ { v _ { t } = } & { - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left\langle v _ { s } , \varphi _ { n } \right\rangle \varphi _ { n } ( y _ { 3 } ) e ^ { - \lambda _ { n } \kappa _ { 2 } t } \left( \cos \left( 2 \gamma ^ { 2 } \kappa _ { 2 } t \right) + \frac { \lambda _ { n } } { 2 \gamma ^ { 2 } } \sin \left( 2 \gamma ^ { 2 } \kappa _ { 2 } t \right) \right) . } \end{array}
b _ { m _ { y } , m _ { z } } ( r _ { p } , \theta _ { p } , \phi _ { p } ) = \left( \frac { \lambda } { 4 \pi r _ { p } } \right) ^ { 2 } \frac { \gamma \prime \Psi _ { p } ^ { 2 q \prime } } { \left[ 1 - 2 m _ { y } \varepsilon _ { p } \Phi _ { p } - 2 m _ { z } \varepsilon _ { p } \Theta _ { p } + ( m _ { y } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } ) \varepsilon _ { p } ^ { 2 } \right] ^ { q \prime + 1 } } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } [ S \geq s ] } & { \leq \exp ( - s t ) \operatorname { E } \left[ \exp \left[ t \sum _ { i } X _ { i } \right] \right] } \\ & { = \exp ( - s t ) \prod _ { i } ( 1 - p _ { i } + e ^ { t } p _ { i } ) } \\ & { = \exp \left( - s t + \sum _ { i } \log \left( p _ { i } ( e ^ { t } - 1 ) + 1 \right) \right) } \\ & { \leq \exp \left( - s t + \sum _ { i } \log \left( \exp ( p _ { i } ( e ^ { t } - 1 ) ) \right) \right) } \\ & { = \exp \left( - s t + \sum _ { i } p _ { i } ( e ^ { t } - 1 ) \right) } \\ & { = \exp \left( s - \mu - s \log { \frac { s } { \mu } } \right) , } \end{array} }
{ \cal Z } = \int { \cal D } A ^ { \mu } { \cal D } B ^ { \mu \nu } { \cal D } \theta { \cal D } Q ^ { i } { \cal D } \Phi ^ { i } { \cal D } \Phi ^ { i j } { \cal D } Q ^ { 0 } \delta ( Q ^ { 0 } ) \delta ( \Gamma _ { \beta } ) d e t \mid \{ \widetilde { \varphi } _ { \alpha } , \Gamma _ { \beta } \} \mid e ^ { i S _ { T } } ,
\mathbf { J } _ { \alpha } ( y , z ) = \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } { \frac { I _ { \alpha } } { d } } e ^ { - j k _ { 0 } \sin \theta _ { \mathrm { i } } y _ { m } } \delta ( y - y _ { m } , z + h ) \hat { x }
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
+ \left| \begin{array} { l l } { \frac { 1 - a } { \left( 1 - { x _ { 1 } } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } \right) } } & { - 1 } \\ { \frac { 1 - a ^ { 2 } } { \left( 1 - { x _ { 1 } } ^ { 2 } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 - a } { \left( 1 - { x _ { 1 } } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } \right) } } \end{array} \right| \frac { t ^ { 2 } } { 2 ! }
D _ { c \to c c } ( z ) = \frac { 2 } { 9 \pi } \; \frac { | R _ { c c } ( 0 ) | ^ { 2 } } { m _ { c } ^ { 3 } } \; \alpha _ { s } ^ { 2 } ( 4 m _ { c } ^ { 2 } ) F ( z ) ,
I _ { j } = \frac { - i } { 2 m _ { N } } \int \frac { d ^ { n } k } { ( 2 \pi ) ^ { n } } \frac { 1 } { k ^ { 2 } - M _ { \pi } ^ { 2 } + i 0 ^ { + } } \, \frac { 1 } { v \cdot ( r - k ) + i 0 ^ { + } } \left[ \frac { - ( r - k ) ^ { 2 } } { 2 m _ { N } v \cdot ( r - k ) + i 0 ^ { + } } \right] ^ { j } ,
T _ { n , 2 } = n \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \left( \frac 1 n \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( b ^ { \top } U _ { j } ) ^ { 2 } - \frac 1 { d } \right) ^ { 2 } = n \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \left( b ^ { \top } S b - \frac 1 d \right) ^ { 2 } = n \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \left( b ^ { \top } \left( S - \frac 1 d I _ { d } \right) b \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { a _ { L } ( z ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { 0 } a ( k ) e ^ { i k z } d k , } \\ { a _ { R } ( z ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } a ( k ) e ^ { i k z } d k , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q } & { = \mathbb P ( | G _ { 2 1 } | > | G _ { 1 1 } | ) = \mathbb P \left( \sqrt { ( Z _ { 1 } ^ { 2 } + Z _ { 2 } ^ { 2 } ) / 2 } > | Z _ { 3 } | \right) = \mathbb P ( ( Z _ { 1 } ^ { 2 } + Z _ { 2 } ^ { 2 } ) / 2 > Z _ { 3 } ^ { 2 } ) } \\ & { = \mathbb P ( F _ { 2 , 1 } > 1 ) = \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { d x } { ( 1 + 2 x ) ^ { 3 / 2 } } = \frac 1 { \sqrt 3 } \approx 0 . 5 7 7 3 5 0 2 6 9 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \in a _ { 1 } x _ { 1 } + a _ { 2 } x _ { 2 } + a _ { 3 } x _ { 3 } + a _ { 4 } x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in b _ { 1 } x _ { 1 } + b _ { 2 } x _ { 2 } + b _ { 3 } x _ { 3 } + b _ { 4 } x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in c _ { 1 } x _ { 1 } + c _ { 2 } x _ { 2 } + c _ { 3 } x _ { 3 } + c _ { 4 } x _ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { \parallel , r } } & { { } = } & { \left\langle \int _ { - \pi } ^ { \pi } - \mathcal { D } ( \phi ) \mathcal { R } ( \phi ) b _ { \epsilon } ( \phi ) \sin \phi \, d \phi \right\rangle / U , } \\ { \omega _ { \parallel , \phi } } & { { } = } & { \left\langle \int _ { - \pi } ^ { \pi } \mathcal { O } ( \phi ) \mathcal { R } ( \phi ) b _ { \epsilon } ( \phi ) \cos \phi \, d \phi \right\rangle / U . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \beta } = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \mathbb { E } _ { q } [ \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } p ( \omega _ { t } | \boldsymbol { z } ) ] - \beta \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } | \omega _ { t } ) | | p ( \boldsymbol { z } ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { L } _ { z _ { 2 } } \psi _ { 2 } = ( \hat { x } _ { 2 } \hat { p } _ { y _ { 2 } } - \hat { y } _ { 2 } \hat { p } _ { x _ { 2 } } ) \psi _ { 2 } } \end{array}
A ( x ^ { I } ) = \left( \frac { \mu } { 3 } \right) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( x ^ { i } ) ^ { 2 } + \left( \frac { \mu } { 6 } \right) ^ { 2 } \sum _ { i ^ { \prime } = 5 } ^ { 8 } ( x ^ { i ^ { \prime } } ) ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } S _ { \alpha } ( 1 ) } & { = \beta - \alpha \in ( 1 / \beta ^ { 3 } , 1 / \beta ^ { 2 } ) \subset J _ { 0 } , } & { S _ { \alpha } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta - \beta \alpha \in ( - 1 / \beta , - 1 / \beta ^ { 2 } ) \subset J _ { 0 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 ) } & { = \beta ^ { 2 } - \beta \alpha \in ( 1 / \beta ^ { 2 } , 1 / \beta ) \subset J _ { 0 } , } & { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } \alpha \in ( - 1 , - 1 / \beta ) \subset J _ { - 1 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 3 } ( 1 ) } & { = \beta ^ { 3 } - \beta ^ { 2 } \alpha \in ( 1 / \beta , 1 ) \subset J _ { 1 } , } & { S _ { \alpha } ^ { 3 } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta ^ { 3 } - ( \beta ^ { 3 } - 1 ) \alpha \in ( - 1 / \beta ^ { 3 } , 1 / \beta ^ { 3 } ) \subset J _ { 0 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 4 } ( 1 ) } & { = \beta ^ { 4 } - ( \beta ^ { 3 } + 1 ) \alpha \in J _ { 0 } \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \ \ \ } & { S _ { \alpha } ^ { 4 } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta ^ { 4 } - ( \beta ^ { 4 } - \beta ) \alpha \in J _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e ^ { x } } & { { } = 1 + x + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } + \dotsb } & { { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x } \end{array}
\mathbf { A } = \left( \begin{array} { c c c } { - \omega _ { y } ^ { 2 } - \omega _ { z } ^ { 2 } } & { \omega _ { x } \omega _ { y } - \dot { \omega } _ { z } } & { \omega _ { x } \omega _ { z } + \dot { \omega } _ { y } } \\ { \omega _ { x } \omega _ { y } + \dot { \omega } _ { z } } & { - \omega _ { x } ^ { 2 } - \omega _ { z } ^ { 2 } } & { \omega _ { y } \omega _ { z } - \dot { \omega } _ { x } } \\ { \omega _ { x } \omega _ { z } + \dot { \omega } _ { y } } & { \omega _ { y } \omega _ { z } + \dot { \omega } _ { x } } & { - \omega _ { z } ^ { 2 } - \omega _ { x } ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { 2 | | \Omega _ { U } | | } & { { } \leq \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } | | ( ( C U ) ^ { u } ) ^ { T } | | \ | | ( C U ) ^ { m - u } | | } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } } & { = \sum _ { i \in V } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { 1 } [ i \in B ] ( 1 - P _ { I } ^ { i } ( t ) ) \ln ( 1 - P _ { I } ^ { i } ( t ) ) } \\ & { = \sum _ { i \in B } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } { ( P _ { S } ^ { i } ( t ) + P _ { R } ^ { i } ( t ) ) \ln { ( P _ { S } ^ { i } ( t ) + P _ { R } ^ { i } ( t ) ) } } } \end{array}
F _ { e } = \frac { 2 c \, \Gamma _ { 1 } } { p \, n _ { g } \left( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 8 c \Gamma _ { 1 } } { p n _ { g } } \left( \frac { Q } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } .
{ \mathsf { s } } _ { R } \equiv \bar { M } _ { Z } ^ { 2 } - i \bar { M } _ { Z } \bar { \Gamma } _ { Z } = M _ { R } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \Gamma _ { R } } { M _ { R } } \right) ^ { 2 } \right) - i M _ { R } \Gamma _ { R }
K ^ { \alpha } = \frac { \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, \mathrm { t r \, } \left( \hat { A } _ { \beta } \, \hat { F } _ { \gamma \delta } + \frac { 2 i } 3 \hat { A } _ { \beta } \hat { A } _ { \gamma } \hat { A } _ { \delta } \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { A _ { 1 } } \Psi _ { x , 1 } ^ { 3 E } } & { { } = 0 } \\ { P ^ { A _ { 1 } } \Psi _ { y , 1 } ^ { 3 E } } & { { } = \Psi _ { y , 1 } ^ { 3 E } } \\ { P ^ { A _ { 1 } } \Psi _ { x } ^ { 1 E } } & { { } = 0 } \\ { P ^ { A _ { 1 } } \Psi _ { y } ^ { 1 E } } & { { } = \Psi _ { y } ^ { 1 E } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \ell } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) } & { = \left[ \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \left[ v _ { i } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) - \sigma _ { i } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) \right] - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) \right] - w _ { 3 } ( \mathbf { b } _ { k } ^ { * } ) } \\ & { = w _ { 2 } ( \tilde { \mathbf { a } } _ { k } ^ { * } ) - w _ { 3 } ( \mathbf { b } _ { k } ^ { * } ) . } \end{array}
( \mu \nu | \sigma \rho ) = \int \frac { \chi _ { \mu } ( \boldsymbol { r } ) \chi _ { \nu } ( \boldsymbol { r } ) \chi _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \chi _ { \rho } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) } { | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } \mathrm { d } ^ { 3 } r \mathrm { d } ^ { 3 } r ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { h _ { \mu \nu } } & { { } = \int \textrm { d } r \, \phi _ { \mu } ^ { * } \left( r \right) \left( - \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 } + V \left( r \right) \right) \phi _ { \nu } \left( r \right) , } \\ { \left( \mu \nu | \lambda \sigma \right) } & { { } = \int \textrm { d } r _ { 1 } \textrm { d } r _ { 2 } \frac { \phi _ { \mu } ^ { * } \left( r _ { 1 } \right) \phi _ { \nu } \left( r _ { 1 } \right) \phi _ { \lambda } ^ { * } \left( r _ { 2 } \right) \phi _ { \sigma } \left( r _ { 2 } \right) } { \left| r _ { 1 } - r _ { 2 } \right| } \, . } \end{array}
\Big [ \prod _ { \substack { S \subseteq \{ 1 , \ldots , \ell \} \, Q \subseteq \{ \ell + m + 1 , \ldots , N \} } } x _ { \mathrm { F } _ { S , Q ; \infty } } ^ { | S \cup Q | - 1 } \Big ] \Big [ \prod _ { \substack { S \subseteq \{ 1 , \ldots , \ell \} \, Q \subseteq \{ \ell + 1 , \ldots , \ell + m \} } } x _ { \mathrm { F } _ { S , Q ; 0 } } ^ { | S \cup Q | - 1 } \Big ] \Big [ \prod _ { \substack { S \subseteq \{ \ell + 1 , \ldots , \ell + m \} \, Q \subseteq \{ \ell + m + 1 , \ldots , N \} } } x _ { \mathrm { F } _ { S , Q ; 1 } } ^ { | S \cup Q | - 1 } \Big ] \overline { { \mu } }
X ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { { \frac { N } { 2 } } - 1 } \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { { \frac { N } { 2 } } - 1 } \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { { \frac { N } { 2 } } - 1 } { \tilde { x } } _ { i j l } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } ) \cos ( \phi ( 2 k _ { 1 } + i ) \cos ( \phi ( 2 k _ { 2 } + j ) \cos ( \phi ( 2 k _ { 3 } + l ) )
= \frac { 1 } { \sqrt { [ 2 j + 1 ] _ { q } } } q ^ { \frac { 1 } { 2 } n _ { 1 } } ( - q ^ { { - \frac { 1 } { 2 } ) } ^ { n _ { 2 } } } = ( - ) ^ { j - m } \frac { 1 } { \sqrt { [ 2 j + 1 ] _ { q } } } q ^ { m } .
\left( { \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } & { c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} } \right) .
{ \binom { n } { k } } = { \frac { ( n - 0 ) } { 1 } } \times { \frac { ( n - 1 ) } { 2 } } \times { \frac { ( n - 2 ) } { 3 } } \times \cdots \times { \frac { ( n - ( k - 1 ) ) } { k } } ,
\begin{array} { r l r } { \upalpha _ { k } } & { = } & { \left( - 4 \right) ^ { - k } \, \frac { \Gamma \left( 2 k \right) } { k \, \Gamma \left( k \right) ^ { 2 } } , } \\ { \upalpha _ { k , p } } & { = } & { \left( - 1 \right) ^ { k + p } \, 2 ^ { - 2 ( p + 1 ) } \, \frac { \Gamma \left( k + \frac { 1 } { 2 } \right) } { \Gamma \left( p + \frac { 3 } { 2 } \right) \Gamma \left( k - p \right) } , } \\ { \upalpha _ { k , p _ { 1 } , p _ { 2 } } } & { = } & { ( - 1 ) ^ { k + p _ { 1 } + p _ { 2 } + 1 } \, 4 ^ { 1 - p _ { 1 } } \left( \delta _ { 4 , p _ { 1 } - p _ { 2 } } - 2 \right) \frac { \Gamma \left( k + \frac { 1 } { 2 } \right) } { \Gamma \left( p _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) \Gamma \left( k - p _ { 1 } + 2 \right) } \times } \\ & { } & { \times \left( 1 - \frac { \Gamma \left( p _ { 2 } - 2 p _ { 1 } + 6 \right) } { \Gamma \left( 4 - 2 p _ { 1 } \right) \Gamma \left( p _ { 2 } + 3 \right) } \right) . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \hat { \Psi } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ( \boldsymbol { \Lambda } ) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \boldsymbol { \Lambda } = \left\{ \mathbf { F } , \{ \mathbf { A } ^ { ( i ) } \} , { \mathsf { d } } , \nabla { \mathsf { d } } \right\} .
\begin{array} { r l } { I _ { 3 } } & { \preceq \| S _ { 0 , n } E _ { 3 , n } S _ { 1 , n } \varphi - S _ { 0 } E _ { 3 } S _ { 1 } \varphi \| _ { p + 2 } + \| S _ { 0 , n } E _ { 6 , n } S _ { 2 , n } \varphi - S _ { 0 } E _ { 6 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 2 } } \\ & { = \| ( S _ { 0 , n } - S _ { 0 } ) ( E _ { 3 } S _ { 1 } \varphi - P _ { n } E _ { 3 } S _ { 1 } \varphi ) \| _ { p + 2 } + \| ( S _ { 0 , n } - S _ { 0 } ) ( E _ { 6 } S _ { 2 } \varphi - P _ { n } E _ { 6 } S _ { 2 } \varphi ) \| _ { p + 2 } } \\ & { \preceq \| E _ { 3 } S _ { 1 } \varphi - P _ { n } E _ { 3 } S _ { 1 } \varphi \| _ { p + 1 } + \| E _ { 6 } S _ { 2 } \varphi - P _ { n } E _ { 6 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 1 } } \\ & { \preceq \frac { 1 } { n } \| E _ { 3 } S _ { 1 } \varphi \| _ { p + 2 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \| E _ { 6 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 3 } \preceq \frac { 1 } { n } \| \varphi \| _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \leqslant s } \| Y _ { r } - \tilde { Y } _ { r } \| ^ { 2 } ] } & { \leqslant } & { L ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { r \leqslant t } \| Y _ { r } - \tilde { Y } _ { r } \| ^ { 2 } ] \mathrm { d } t + O ( \Delta t ) \mathbb { E } [ \| \nabla _ { U } \log p _ { 0 } ( Y _ { T } ) \| ^ { 2 } ] + \ensuremath { \operatorname { L o s s } } } \\ & { = } & { L ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { s } \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { r \leqslant t } \| Y _ { r } - \tilde { Y } _ { r } \| ^ { 2 } ] + \ensuremath { \operatorname { E r r o r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { c - i \infty } ^ { c + i \infty } J ( \theta ) ^ { - z } \Gamma ( z ) d _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } z } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } R e s _ { z = - n } J ( s ) ^ { - z } \Gamma ( z ) } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } J ( s ) ^ { n } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } = \exp ( - J ( \theta ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | C _ { 2 } | } & { \le \left( \sum _ { | x | \le L } | C ( x ) | \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \Delta _ { n } } \sum _ { y = - \Delta _ { n } } ^ { \Delta _ { n } } K \left( \frac { y } { \Delta _ { n } } \right) \frac { 2 L c } { \Delta _ { n } } } \\ & { \sim \frac { 2 L c } { \Delta _ { n } } \left( \sum _ { x = - \infty } ^ { \infty } | C ( x ) | \right) ^ { 2 } \int _ { u = - 1 } ^ { 1 } K ( u ) d u = o \left( 1 \right) , } \end{array}