harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { = p _ { 1 } E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } ) ^ { 2 } I _ { ( c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda , \infty ) } ( Z ) ] } \\ & { \quad + p _ { 1 } E _ { \underline { { \theta } } } [ ( ( Z _ { 2 } + \lambda - c _ { 0 , 2 } ) - \alpha ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } ) ) ^ { 2 } I _ { ( - \infty , c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } \\ & { \quad + p _ { 2 } E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } ) ^ { 2 } I _ { ( c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda , \infty ) } ( Z ) ] } \\ & { \quad + p _ { 2 } E _ { \underline { { \theta } } } \left[ \! \left( \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } \alpha ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } ) - \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } ) + Z _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } \right) ^ { 2 } \! I _ { ( - \infty , c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) \! \right] , \, \underline { { \theta } } \in \Theta _ { 0 } , } \end{array}
\exists x : Q ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = Q ^ { \prime } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \Rightarrow \forall x : Q ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = Q ^ { \prime } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } )
K _ { 2 0 0 } ( k ^ { 2 } ) = \int _ { - \pi / 2 + 3 \epsilon / 2 } ^ { \pi / 2 - \epsilon / 2 } d \theta _ { 2 } \int _ { - \pi / 2 + \epsilon / 2 } ^ { \theta _ { 2 } - \epsilon } d \theta _ { 1 } ~ { \cal F } ( \theta _ { 1 } ) ^ { k ^ { 2 } - 1 } { \cal F } ( \theta _ { 2 } ) ^ { k ^ { 2 } - 1 } \left| 3 \sin \frac { \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } } { 3 } \right| ^ { - 2 k ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \bigl ( ( \delta _ { g _ { \mathfrak { m } } , E ^ { \mathcal C } } ^ { * } - \delta _ { g } ^ { * } ) \omega \bigr ) _ { \bar { \mu } \bar { \nu } } } & { = \bigl ( ( \delta _ { g _ { \mathfrak { m } } , E ^ { \mathcal C } } ^ { * } - \delta _ { g _ { \mathfrak { m } } } ^ { * } ) \omega \bigr ) _ { \bar { \mu } \bar { \nu } } + \bigl ( ( \delta _ { g _ { \mathfrak { m } } } ^ { * } - \delta _ { g } ^ { * } ) \omega \bigr ) _ { \bar { \mu } \bar { \nu } } } \\ & { = \bigl ( ( \delta _ { g _ { \mathfrak { m } } , E ^ { \mathcal C } } ^ { * } - \delta _ { g _ { \mathfrak { m } } } ^ { * } ) \omega \bigr ) _ { \bar { \mu } \bar { \nu } } + C _ { \bar { \mu } \bar { \nu } } ^ { \bar { \kappa } } \omega _ { \bar { \kappa } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { \Delta } K \, d A } & { = \int _ { \Delta } K H \, d r \, d \theta = - \int _ { 0 } ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { r _ { \theta } } \! H _ { r r } \, d r \, d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \alpha } 1 - H _ { r } ( r _ { \theta } , \theta ) \, d \theta = \int _ { 0 } ^ { \alpha } d \theta + \int _ { \pi - \beta } ^ { \gamma } \! \! d \varphi } \\ & { = \alpha + \beta + \gamma - \pi , } \end{array} }
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \varphi } { \partial \tau } = - \frac { 1 } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial \kappa ^ { 2 } } \; \Rightarrow \; i \frac { \partial \psi } { \partial t } = - \frac { w } { 2 m } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { m \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 w } \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { y } = } & { \mathcal { Q } ( \xi ) } \\ { = } & { { \mathrm { s i g n } } \left( { \mathrm { R e } ( \xi ) } \right) \left( \operatorname* { m i n } \left( \left\lceil \frac { | { \mathrm { R e } ( \xi ) } | } { \Delta _ { \mathrm { R e } } } \right\rceil , 2 ^ { B - 1 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \right) \Delta _ { \mathrm { R e } } } \\ & { + { \mathrm { j } } \; { \mathrm { s i g n } } \left( { \mathrm { I m } ( \xi ) } \right) \left( \operatorname* { m i n } \left( \left\lceil \frac { | { \mathrm { I m } ( \xi ) } | } { \Delta _ { \mathrm { I m } } } \right\rceil , 2 ^ { B - 1 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \right) \Delta _ { \mathrm { I m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { x } ^ { 2 } } & { { } \rightarrow } & { \hat { x } _ { \tau } ^ { 2 } = \tau \hat { x } ^ { 2 } + ( 1 - \tau ) \hat { x } _ { \mathrm { ~ e ~ } } ^ { 2 } + \sqrt { \tau ( 1 - \tau ) } \{ \hat { x } , \hat { x } _ { \mathrm { ~ e ~ } } \} , } \\ { \hat { p } ^ { 2 } } & { { } \rightarrow } & { \hat { p } _ { \tau } ^ { 2 } = \tau \hat { p } ^ { 2 } + ( 1 - \tau ) \hat { p } _ { \mathrm { ~ e ~ } } ^ { 2 } + \sqrt { \tau ( 1 - \tau ) } \{ \hat { p } , \hat { p } _ { \mathrm { ~ e ~ } } \} , } \\ { \{ \hat { x } , \hat { p } \} } & { { } \rightarrow } & { \{ \hat { x } _ { \tau } , \hat { p } _ { \tau } \} = \tau \{ \hat { x } , \hat { p } \} + ( 1 - \tau ) \{ \hat { x } _ { \mathrm { ~ e ~ } } , \hat { p } _ { \mathrm { ~ e ~ } } \} } \end{array}
P \left( p _ { T j } ^ { s o f t } > p _ { T , v e t o } \right) = { \frac { 1 } { \sigma _ { L O } } } \int _ { p _ { T , v e t o } } ^ { \infty } { \frac { d \sigma _ { T S A } } { d p _ { T j } ^ { s o f t } } } \cdot d p _ { T j } ^ { s o f t }
\begin{array} { r l r } & { } & { \vec { P } = \sqrt { \frac { \nu } { 2 ( t + t _ { 0 } ) } } \frac { \vec { F } } { \gamma } ; } \\ & { } & { \left( ( \Delta \vec { F } ) ^ { 2 } - 1 \right) \vec { F } = } \\ & { } & { \Delta \vec { F } \left( \vec { F } \cdot \Delta \vec { F } + \frac { \imath } { \gamma } \left( \frac { ( \vec { F } \cdot \Delta \vec { F } ) ^ { 2 } } { ( \Delta \vec { F } ) ^ { 2 } } - \vec { F } ^ { 2 } \right) \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \mathbf { E } \left[ \int _ { j \eta } ^ { ( j + 1 ) \eta } \left| Y _ { t } - Y _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right] \le \left( \frac { 2 C ^ { \prime } \eta ^ { 3 } } { 3 } + \frac { d \eta ^ { 2 } } { \beta } \right) k \le \left( \frac { 2 C ^ { \prime } } { 3 } + \frac { d } { \beta } \right) k \eta ^ { 2 } . } \end{array}
\Phi ( \tau , \theta , \overline { { { \theta } } } ) = Z ( \tau ) + \theta ^ { a } \chi _ { a } ( \tau ) + \frac { i } { 2 } \overline { { { \theta } } } \theta \dot { Z } ( \tau ) + \theta \theta F ( \tau ) - \frac { i } { 4 } \theta \theta \overline { { { \theta } } } _ { a } \dot { \chi } ^ { a } - \frac { 1 } { 1 6 } \overline { { { \theta } } } \overline { { { \theta } } } \theta \theta \ddot { Z } ( \tau )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m _ { 1 } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial g _ { 0 } ^ { 2 } } } & { = - \frac { 1 } { r } \frac { 3 ( M _ { 0 } M _ { 1 } ) ^ { - 1 } ( \sin \psi \cos \psi ) ^ { 2 } } { 2 ( \frac { 1 } { M _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { \frac { 1 } { m _ { 1 } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial G _ { 0 } ^ { 2 } } } & { = \frac { - \frac { \cos \psi } { M _ { 0 } ^ { 3 / 2 } k _ { 0 } } } { 2 r ^ { 2 } ( \frac { 1 } { M _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 3 / 2 } } - \frac { 3 } { 2 } \frac { \big ( \frac { 1 } { M _ { 1 } ^ { 1 / 2 } M _ { 0 } k _ { 0 } } \sin \psi ( v \cos ^ { 2 } \psi - \frac { 1 } { 2 } w \sin 2 \psi ) \big ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } ( \frac { 1 } { M _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { \frac { 1 } { m _ { 1 } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial G _ { 0 } \partial g _ { 0 } } } & { = \frac { 3 } { 2 } \frac { \frac { 1 } { ( M _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } M _ { 1 } k _ { 0 } } \sin ^ { 2 } \psi \cos \psi ( v \cos ^ { 2 } \psi - \frac { 1 } { 2 } w \sin 2 \psi ) } { r ^ { 3 / 2 } ( M _ { 1 } ^ { - 1 } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { \frac { 1 } { m _ { 1 } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial g _ { 0 } \partial G _ { 1 } } } & { = \frac { 3 } { 2 } \frac { \frac { 1 } { M _ { 1 } ^ { 3 / 2 } M _ { 0 } k _ { 1 } } ( \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \psi ) ^ { 2 } ( v | \sin \psi | + s i g n ( \psi ) w \cos \psi ) } { r ^ { 3 / 2 } ( M _ { 1 } ^ { - 1 } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { \frac { 1 } { m _ { 1 } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial G _ { 0 } \partial G _ { 1 } } } & { = - \frac { 3 } { 2 } \frac { \frac { 1 } { M _ { 0 } ^ { 3 / 2 } M _ { 1 } ^ { 3 / 2 } k _ { 0 } k _ { 1 } } \sin ^ { 2 } \psi \cos ^ { 2 } \psi ( v | \sin \psi | + s i g n ( \psi ) w \cos \psi ) ( v \cos \psi - w \sin \psi ) } { r ^ { 2 } ( M _ { 1 } ^ { - 1 } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { \frac { 1 } { m _ { 1 } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial G _ { 1 } ^ { 2 } } } & { = \frac { \frac { 2 } { M _ { 1 } ^ { 3 / 2 } k _ { 1 } } \Big ( ( \frac { \sin ^ { 2 } \psi } { M _ { 1 } } + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 3 / 2 } - \frac { | \sin ^ { 3 } \psi | } { M _ { 1 } ^ { - 3 / 2 } } \Big ) } { r ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { - 3 / 2 } \sin ^ { 2 } \psi ( M _ { 1 } ^ { - 1 } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 3 / 2 } } - \frac { \frac { 3 } { 2 M _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 0 } } \cos ^ { 2 } \psi \sin ^ { 2 } \psi ( v | \sin \psi | + s i g n ( \psi ) w \cos \psi ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } ( M _ { 1 } ^ { - 1 } \sin ^ { 2 } \psi + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } ) ^ { 5 / 2 } } . } \end{array}
\partial _ { t } f _ { s } + v _ { \parallel } \mathbf { b } \cdot \nabla f _ { s } + \left( \frac { q _ { s } } { m _ { s } } E _ { \parallel } - \tilde { \mu } \mathbf { b } \cdot \nabla B \right) \frac { \partial f _ { s } } { \partial v _ { \parallel } } = 0 .
\rho c { \frac { \left( T _ { P } - { T _ { P } } ^ { 0 } \right) } { \Delta t } } \Delta x = \theta [ \left( K _ { e } { \frac { T _ { E } - T _ { P } } { \delta x _ { P E } } } \right) - \left( K _ { w } { \frac { T _ { P } - T _ { W } } { \delta x _ { W P } } } \right) ] + ( 1 - \theta ) [ \left( K _ { e } { \frac { T _ { E } - T _ { P } } { \delta x _ { P E } } } \right) - \left( K _ { w } { \frac { T _ { P } - T _ { W } } { \delta x _ { W P } } } \right) ] + { \bar { S } } \Delta x
\rho \left( { { s _ { i } } , { a _ { j } } } \right) = \frac { { { e ^ { { { { Q _ { t } } \left( { { s _ { i } } , { a _ { j } } } \right) } \mathord { \left/ { \vphantom { { { Q _ { t } } \left( { { s _ { i } } , { a _ { j } } } \right) } T } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } T } } } } } { { \sum _ { j = 1 } ^ { n } { { e ^ { { { { Q _ { t } } \left( { { s _ { i } } , { a _ { j } } } \right) } \mathord { \left/ { \vphantom { { { Q _ { t } } \left( { { s _ { i } } , { a _ { j } } } \right) } T } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } T } } } } } }
\begin{array} { r } { \left( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } \right) ^ { - 1 } = \sum _ { k , l = 1 } ^ { m } { \bf v } _ { k } { M _ { k l } } { \widetilde { \bf f } _ { { \bf v } _ { l } } } ^ { T } , ~ ~ m \le N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { C } = } & { ~ \frac { N _ { C } } { N } + \frac { N _ { C } ( N - N _ { C } ) } { 4 N ( N - 1 ) } \bigg \{ ( N - 2 + N w _ { R } ) } \\ & { \times ( 1 - 2 r _ { \mathrm { S D } } ) } \\ & { + \frac { N ( k - 1 ) w _ { I } + N ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + N - 2 k - N w _ { R } } { k } } \\ & { \times ( 1 + 2 r _ { \mathrm { S D } } ) \bigg \} \delta \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( t | n , \vec { r } , \vec { \tau } , x ) } & { \propto } & { e ^ { - n z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n - 1 / 2 } } \\ { \implies P ( t | n , \vec { r } , \vec { \tau } , x ) } & { = } & { \frac { r _ { k } e ^ { - n z } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { x - n - 1 / 2 } } { B _ { \theta } ( n , x - n + 1 / 2 ) } , } \end{array}
\left. - \frac { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } { \sigma _ { i j } } \right| _ { \zeta ^ { ( 1 ) } = 0 , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } \equiv \frac { 1 } { 3 } B _ { i j } ^ { ( 1 ) } : = \frac { b _ { i j } ^ { ( 1 ) } } { a _ { 2 2 } } \, , \qquad \left. \frac { e _ { i j } } { \sigma _ { k \ell } } \right| _ { \zeta ^ { ( 1 ) } = 0 , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } \equiv S _ { i j k \ell } ^ { u \, \, ( 1 ) } : = S _ { i j k \ell } - \frac { 1 } { 3 } b _ { i j } ^ { ( 1 ) } B _ { k \ell } ^ { ( 1 ) } \, ,
\begin{array} { r l } { g _ { n } ( K ) - g _ { n } ( e _ { j } ) } & { = \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \left[ \log \frac { K ^ { T } \widetilde { \mathcal { R } } _ { n } } { \widetilde { \mathcal { R } } _ { n , j } } \right] } \\ & { \leq \frac { 1 } { n } \log \mathbb { E } \left[ \frac { K ^ { T } \widetilde { \mathcal { R } } _ { n } } { \widetilde { \mathcal { R } } _ { n , j } } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n } \log \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } \mathbb { E } \left[ \frac { \widetilde { \mathcal { R } } _ { n , i } } { \widetilde { \mathcal { R } } _ { n , j } } \right] \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \log \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } \mathbb { E } \left[ \frac { 1 + \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } } { 1 + \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , j } } \right] \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { n } \log \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } \cdot 1 \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { n } \log 1 = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \tilde { y } _ { t + k } \tilde { y } _ { t } ] } \\ { = } & { \mathbb { E } [ ( y _ { t + k } + w _ { t + k } ) ( y _ { t } + w _ { t } ) ] } \\ { = } & { \mathbb { E } [ y _ { t + k } y _ { t } ] + \mathbb { E } [ w _ { t + k } w _ { t } ] } \\ { + } & { \mathbb { E } [ y _ { t + k } ] \mathbb { E } [ w _ { t } ] + \mathbb { E } [ y _ { t } ] \mathbb { E } [ w _ { t + k } ] } \\ { = } & { r _ { k } + r _ { w , k } } \end{array}
{ \frac { d } { d u } } \left[ \sum _ { n \leq e ^ { | u | } } \Lambda ( n ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( 1 - e ^ { - 2 | u | } ) \right] = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Lambda ( n ) \left[ \delta ( u + \ln n ) + \delta ( u - \ln n ) \right] + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d \ln ( 1 - e ^ { - 2 | u | } ) } { d u } } = e ^ { u } - \sum _ { \rho } e ^ { \rho u } ,
\begin{array} { r } { D _ { \mathrm { e f f } } = \left[ \frac { 3 k } { 2 m } - \frac { 1 } { 2 } \frac { k } { m ^ { 2 } } \left( \Delta m _ { 1 } + \Delta m _ { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } + \frac { k } { m ^ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { \frac { 5 } { 1 2 } \Delta m _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 6 } \Delta m _ { 1 } \Delta m _ { 2 } + \frac { 5 } { 1 2 } \Delta m _ { 2 } ^ { 2 } } & { - \frac { \sqrt { 3 } } { 1 2 } \Delta m _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 1 2 } \Delta m _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 1 2 } \Delta m _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 1 2 } \Delta m _ { 2 } ^ { 2 } } & { \frac { 1 } { 4 } \Delta m _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \Delta m _ { 1 } \Delta m _ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \Delta m _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { a } ^ { b } F ( x ) \mathrm { D } x } & { { } = } & { g _ { \mathbb { Y } } \left( \int _ { f _ { \mathbb { X } } ( a ) } ^ { f _ { \mathbb { X } } ( b ) } \tilde { F } ( r ) \mathrm { d } r \right) . } \end{array}
N _ { \mathrm { C S } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ d x \Bigl [ ( f _ { A } ^ { 2 } + f _ { B } ^ { 2 } ) ( \frac { f _ { C } } { x } - \theta ^ { \prime } ) - ( \frac { f _ { C } } { x } - \Theta ^ { \prime } ) - \Bigl ( \sqrt { ( f _ { A } ^ { 2 } + f _ { B } ^ { 2 } ) } \, s i n ( \theta - \Theta ) \Bigr ) ^ { \prime } \ \Bigr ] \ ,
\begin{array} { r l r } { \zeta _ { 1 } ^ { 2 } + \zeta _ { 2 } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { \lambda ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \varepsilon \lambda + \alpha ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } ) } , } \\ { \zeta _ { 1 } ^ { 2 } \zeta _ { 2 } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { \lambda ^ { 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } { \alpha ^ { 2 } ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } ) } , } \end{array}
M ^ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 \, } } & { { \, 0 \, } } & { { \, 0 \, } } & { { \, h _ { e } } } \\ { { 0 \, } } & { { \, 0 \, } } & { { \, 0 \, } } & { { \, h _ { \mu } } } \\ { { 0 \, } } & { { \, 0 \, } } & { { \, 0 \, } } & { { \, h _ { \tau } } } \\ { { h _ { e } \, } } & { { \, h _ { \mu } \, } } & { { \, h _ { \tau } \, } } & { { \, M } } \end{array} \right)
| 0 _ { 1 0 } \rangle = | 0 \dots 0 0 _ { 2 } \rangle , | 1 _ { 1 0 } \rangle = | 0 \dots 0 1 _ { 2 } \rangle , | 2 _ { 1 0 } \rangle = | 0 \dots 1 0 _ { 2 } \rangle , \cdots , | 2 ^ { n } - 1 \rangle = | 1 1 1 \dots 1 _ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } { - \theta f _ { \theta } ( x ) \left( \left( 1 - \frac { \theta \sigma ^ { 2 } } { 2 } \right) \left| \nabla U ( x ) \right| ^ { 2 } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \theta \Delta U ( x ) \right) 1 _ { { \cal C } _ { M } } ( x ) } & { \le \frac { \theta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } f _ { \theta } ( x ) \Delta U ( x ) 1 _ { L _ { K _ { M } } } } \\ & { \le \frac { \theta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } d L } { 2 } e ^ { \theta K _ { M } } 1 _ { L _ { K _ { M } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , c r - W } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \\ & { \times } & { { \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } ^ { \prime } \, \frac { \langle P a n _ { 2 } | I ( \omega ) | n _ { 1 } Q b \rangle \langle \xi _ { P b } n _ { 1 } | I ( \omega - \Delta _ { P a Q a } ) | n _ { 2 } Q a \rangle } { ( \varepsilon _ { P a } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 1 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 2 } } ) } \, , } \end{array}
\omega ^ { 0 } = - \frac { \mathbb { G } ^ { 0 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 0 } } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } , \quad \omega ^ { 1 } = - \frac { 1 } { M _ { H } } \frac { \mathbb { G } ^ { 2 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 2 } } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } , \quad \omega ^ { 2 } = \frac { \pi } { M _ { H } } \frac { \mathbb { H } ^ { 3 } } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } , \quad \omega ^ { 3 } = - \frac { \pi } { M _ { H } } \frac { \mathbb { G } ^ { 3 } } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } ,
\begin{array} { r } { ( \dot { \mathrm { H } } _ { \mathfrak { t } , \sigma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ) _ { \theta , q } \hookrightarrow ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) _ { \theta , q } = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 2 \theta } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\mathcal { L } \left( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { w } ; \left\langle \boldsymbol { d } ^ { * } \right\rangle \right) = \pi _ { n } \left( \langle \boldsymbol { d } ^ { * } \rangle ; c _ { 1 } m - 2 | c _ { 1 } | c _ { 2 } + c _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } , \frac { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { M _ { 1 } M _ { 2 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { | u \cdot n _ { - } | ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } & { = \left| ( u \cdot n _ { - } ) ( y _ { 1 } , h ( y _ { 1 } ) ) + \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { y _ { 2 } } \partial _ { 2 } ( u \cdot n _ { - } ) ( y _ { 1 } , z ) \ d z \right| } \\ & { \leq \delta \| \partial _ { 2 } ( u \cdot n _ { - } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } } \end{array}
H _ { 0 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \hbar \omega _ { a } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \hbar \omega _ { b } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \hbar \omega _ { c } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \hbar \omega _ { e } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { A _ { U , 2 } ^ { \langle 2 \rangle , ( j ) } + A _ { U , 2 } ^ { \langle 3 \rangle , ( j ) } = \biggl \{ c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 1 } ^ { \langle i \rangle } ) , c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 2 } ^ { \langle i \rangle } ) , c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 3 } ^ { \langle i \rangle } ) , c ( \sum _ { i \in [ 4 ] } X _ { 4 } ^ { \langle i \rangle } ) \biggr \} , \quad \forall j } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \psi _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i + 1 } ) } & { = - \langle z _ { i + 1 } ^ { ( k ) } , x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } \rangle + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } + \tilde { x } _ { i + 1 } - 2 x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vec { \kappa } } & { = - \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial \Vec { x } } = - \left( \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial n } \frac { \partial n } { \partial R } + \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial T } \frac { \partial T } { \partial R } \right) \hat { R } - \left( \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial n } \frac { \partial n } { \partial Z } + \frac { \partial \ln f _ { 0 } } { \partial T } \frac { \partial T } { \partial Z } \right) \hat { Z } } \\ & { = - \left[ \frac { \partial \ln n } { \partial R } + \left( \frac { m v ^ { 2 } } { 2 T } - \frac { 3 } { 2 } \right) \frac { \partial \ln T } { \partial R } \right] \hat { R } - \left[ \frac { \partial \ln n } { \partial Z } + \left( \frac { m v ^ { 2 } } { 2 T } - \frac { 3 } { 2 } \right) \frac { \partial \ln T } { \partial Z } \right] \hat { Z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( x ) ( { \mathcal { H } } _ { T } \vec { v } ) ( t , x ) } & { = \sqrt { \frac { T } { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \cos \left( \Big ( \frac { \pi } { 2 } + k \pi \Big ) \frac { t } { T } \right) \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } ( \epsilon \vec { v } , \psi _ { k } \vec { \varphi } _ { i } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } \epsilon ( x ) \vec { \varphi } _ { i } ( x ) } \\ & { = \sqrt { \frac { T } { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \cos \left( \Big ( \frac { \pi } { 2 } + k \pi \Big ) \frac { t } { T } \right) \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } ( \epsilon \epsilon \vec { v } , \psi _ { k } \vec { \varphi } _ { i } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } \vec { \varphi } _ { i } ( x ) = \mathcal H _ { T } ( \epsilon \vec { v } ) ( t , x ) } \end{array}
- \gamma = 1 + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \left( - 1 \right) ^ { k } } { \left( n - k \right) ! k ^ { k } } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \left( - 1 \right) ^ { i - 1 } } { \Gamma \left( 2 - i \right) } \frac { \Gamma \left( n - 1 \right) } { \Gamma \left( i \right) } = 1 + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \left( n - 2 \right) ! \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \left( - 1 \right) ^ { k } } { \left( n - k \right) ! k ^ { k } }
\begin{array} { r l } { I _ { \alpha } ^ { S } ( S ; Y ) } & { = \frac { \alpha } { \alpha - 1 } \log \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \left( \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) l ( s , y ) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } } \\ & { \leq \frac { \alpha } { \alpha - 1 } \log \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \left( \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \Lambda ( y ) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } } \\ & { \leq \frac { \alpha } { \alpha - 1 } \log \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \left( \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { u } \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } = \frac { \varepsilon _ { u } \alpha } { \alpha - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl ( \rho ^ { \otimes g } \otimes r _ { V _ { 1 } } \otimes \ldots \otimes r _ { V _ { n } } \bigr ) \circ \Phi _ { g , n } ^ { \mathrm { f i n } } : \mathcal { L } _ { g , n } ( H ) \to \mathrm { E n d } _ { k } \bigl ( ( H ^ { * } ) ^ { \otimes g } \otimes V _ { 1 } \otimes \ldots \otimes V _ { n } \bigr ) , } \\ & { \bigl ( \rho ^ { \otimes g } \otimes r _ { V _ { 1 } } \otimes \ldots \otimes r _ { V _ { n } } \bigr ) \circ \Phi _ { g , n } : \mathcal { L } _ { g , n } ( H ) \to \mathrm { E n d } _ { k } \bigl ( ( H ^ { * } ) ^ { \otimes g } \otimes V _ { 1 } \otimes \ldots \otimes V _ { n } \bigr ) } \end{array}