harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { \Delta \omega } { \omega } \gg \left( \frac { B _ { w } } { B _ { 0 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { \beta \; \omega } { \omega _ { c e } - \omega } \right) ^ { 1 / 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \mathbf { U } } \! = \! ( \bar { U } _ { 1 } , 0 _ { k \times d _ { 2 } } ) , \mathrm { w h e r e ~ \bar { ~ } U _ 1 ~ = ~ \left[ \begin{array} { l l } { ~ 0 _ { d _ 1 \times ~ r } ~ } & { ~ \bar { ~ } U _ { 1 2 } ~ } \end{array} \right] ~ , ~ \bar { ~ } U _ { 1 2 } \in ~ \mathbb { R } ^ { d _ 1 \times ~ ( k - r ) } ~ , ~ \bar { U } _ { 1 2 } ( x , y ) \! ~ = \! ~ \left\{ \begin{array} { l l } { ~ \frac { \mathrm { S i g n } ( E _ { x y } ) } { \sqrt { | \bar { \Psi } | } } ~ } & { ~ \mathrm { i f } \ ( x , y ) \in ~ \bar { \Psi } } \\ { ~ 0 ~ } & { ~ \mathrm { o t h e r w i s e } ~ } \end{array} \right. ~ . } } \end{array}
\mathcal { C } _ { ( { \tiny \begin{array} { c } { 2 } \end{array} } , { \tiny { \begin{array} { c c } { 1 } \\ { 2 } \end{array} } } ) } ^ { o } = \left\{ \left( \begin{array} { l } { - \alpha _ { 2 } } \\ { \alpha _ { 1 } } \end{array} \right) : \alpha _ { i } > 0 \right\} , \quad \mathcal { C } _ { ( { \tiny \begin{array} { c } { 1 } \end{array} } , { \tiny \begin{array} { c } { 2 } \end{array} } ) } ^ { o } = \left\{ \left( \begin{array} { l } { - \alpha _ { 2 } } \\ { - \alpha _ { 1 } } \end{array} \right) : \alpha _ { i } > 0 \right\} ,
\begin{array} { r l r } { ( \mathcal { A } + \mathcal { B } ) _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { M } , j _ { 1 } \times \cdots \times j _ { N } } } & { \stackrel { \mathrm { \tiny ~ d e f } } { = } } & { a _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { M } , j _ { 1 } \times \cdots \times j _ { N } } } \\ & { } & { + b _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { M } , j _ { 1 } \times \cdots \times j _ { N } } . } \end{array}
{ K } _ { i j } ^ { k l } = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \chi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \hat { K } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { d X _ { t } = } & { d W _ { t } + \int _ { E } e \tilde { \mu } ( d e , d t ) , } \\ { - d Y _ { t } = } & { \left\{ \frac { ( Y _ { t } - 2 ) \exp ( Y _ { t } ) } { 2 \exp [ \sin ( X _ { t } + t ) + 2 ] } - \frac { Y _ { t } Z _ { t } } { \sin ( X _ { t } + t ) + 2 } - \Gamma _ { t } \right\} d t } \\ & { - Z _ { t } d W _ { t } - \int _ { E } U _ { t } ( e ) \tilde { \mu } ( d e , d t ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\! \! \overline { { \sigma } } \! \! = \! \! \{ 0 , 0 , 0 . 0 0 3 3 , 0 . 0 0 3 3 , 0 . 0 3 6 7 , 0 . 1 1 3 3 , 0 . 0 7 6 7 \} \! \! \!
\begin{array} { r l } { \phi ( k , i \omega _ { n } ) = } & { \frac { 1 } { \beta } \sum _ { k ^ { \prime } , n ^ { \prime } } \Bigl [ \frac { \lambda ( k , k ^ { \prime } ; i \omega _ { n } - i \omega _ { n ^ { \prime } } ) } { N ( 0 ) } } \\ & { - \tilde { I } _ { s } ( k , k ^ { \prime } ; i \omega _ { n } , i \omega _ { n ^ { \prime } } ) \Bigr ] \frac { \phi ( k ^ { \prime } , i \omega _ { n ^ { \prime } } ) } { \Theta ( k ^ { \prime } , i \omega _ { n ^ { \prime } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| G _ { R _ { 1 } , R e s } ^ { ( 1 ) } ( x , y ) \right| } & { \leq C _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( s ^ { 2 } + s ^ { 5 } ) e ^ { - ( r ^ { \prime } - C ) s ^ { 2 } } d s } \\ & { \leq C _ { 1 } \left[ ( r ^ { \prime } - C ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } + ( r ^ { \prime } - C ) ^ { - 3 } \right] \leq C _ { 2 } r ^ { - \frac { 3 } { 2 } } } \end{array}
\langle \Phi | C _ { \alpha } | \Psi \rangle = \int _ { \alpha } { \cal D } ^ { 4 } \! A \, \Phi ^ { * } [ { \bf A } ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime \prime } ) \delta [ G ] \Delta _ { G } [ A ] e ^ { i S [ A ] } \Psi [ { \bf A } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { | \mathbf { A b S o l } ( p ^ { d _ { 1 } } , p ^ { d _ { 2 } } , p ^ { d _ { 3 } } ) | } & { = p ^ { d _ { 2 } } \left( 1 + \sum _ { w = 0 } ^ { d _ { 3 } - 1 } p ^ { w + 1 } - p ^ { w } \right) } \\ & { = p ^ { d _ { 2 } } \left( 1 + p ^ { d _ { 3 } } - 1 \right) } \\ & { = p ^ { d _ { 2 } + d _ { 3 } } } \end{array}
| t - l _ { k } \tau _ { m } ^ { \prime \prime } | \leq \frac 1 2 \tau _ { m } ^ { \prime \prime } \leq 2 ^ { - 2 5 } \varepsilon _ { m } ^ { 2 - \beta + 2 \delta } \leq 2 ^ { - 2 5 } \varepsilon _ { m } ^ { 2 - \beta }
\sigma ^ { 2 } ( { \bf x } ) = ( { \bf x } - { \bf x } _ { b } ) ^ { \mathrm { T } } { \bf B } ^ { - 1 } ( { \bf x } - { \bf x } _ { b } ) + [ { \bf y } - h ( { \bf x } ) ] ^ { \mathrm { T } } { \bf R } ^ { - 1 } [ { \bf y } - h ( { \bf x } ) ] \equiv \sigma _ { b } ^ { 2 } ( { \bf x } ) + \sigma _ { o } ^ { 2 } ( { \bf x } ) \; ,
\begin{array} { r l r } { { \bf S } _ { \mathrm { P } } } & { = } & { { \bf E } \times { \bf H } + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { \mu } \phi { \bf A } \, , } \\ { u _ { \mathrm { P } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf B } \cdot { \bf H } + { \bf D } \cdot { \bf E } \right) + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { 2 \mu c ^ { 2 } } \left( \phi ^ { 2 } + c ^ { 2 } { \bf A } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ { F } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) \Delta t + \frac { 1 } { 2 } { { \partial } _ { t } } { { F } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) \Delta { { t } ^ { 2 } } = { { \mathbb { F } } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t \right) ,
\begin{array} { r l } { y ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi + \frac 1 2 \alpha - \frac 1 2 \alpha t - \frac 1 8 \left( 2 + \beta - \alpha \right) t ^ { 2 } , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \frac { 1 } { 4 } t ^ { 2 } \xi + \frac 1 2 \alpha - \frac 1 2 \alpha t - \frac 1 8 \left( 2 + \beta - \alpha \right) t ^ { 2 } , } & { 0 < \xi \leq \beta , } \\ { \frac { 1 } { 8 } \left( t + 2 \right) ^ { 2 } \xi - \frac 1 2 ( \beta - \alpha ) - \frac 1 2 ( \beta + \alpha ) t - \frac 1 8 ( 2 - \alpha ) t ^ { 2 } , } & { \beta < x \leq 2 + \beta , } \\ { \frac { 1 } { 8 } \left( 1 - \alpha \right) \left( t - 2 \right) ^ { 2 } \xi - \frac 1 2 ( \beta - 3 \alpha - \alpha \beta ) } \\ { \quad + \frac 1 2 ( 4 + \beta - 3 \alpha - \alpha \beta ) t - \frac 1 8 ( 2 - 3 \alpha - \alpha \beta ) t ^ { 2 } , } & { 2 + \beta < \xi \leq 4 + \beta , } \\ { \xi - \frac 1 2 ( 4 + 2 \beta + \alpha ) + \frac 1 2 \alpha t + \frac 1 8 \left( 2 + \beta - \alpha \right) t ^ { 2 } , } & { 4 + \beta < \xi , } \end{array} \right. } \\ { U ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 } \alpha - \frac 1 4 \left( 2 + \beta - \alpha \right) t , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \xi t - \frac { 1 } { 2 } \alpha - \frac 1 4 \left( 2 + \beta - \alpha \right) t , } & { 0 < \xi \leq \beta , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left( t + 2 \right) \xi - \frac 1 2 ( \beta + \alpha ) - \frac 1 4 ( 2 - \alpha ) t , } & { \beta < \xi \leq 2 + \beta , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left( 1 - \alpha \right) \left( t - 2 \right) \xi + \frac 1 2 ( 4 + \beta - 3 \alpha - \alpha \beta ) } \\ { \quad - \frac 1 4 ( 2 - 3 \alpha - \alpha \beta ) t , } & { 2 + \beta < \xi \leq 4 + \beta , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \alpha + \frac 1 4 \left( 2 + \beta - \alpha \right) t , } & { 4 + \beta < \xi . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mu \Delta \partial _ { t } ^ { \ell } u + \nabla \partial _ { t } ^ { \ell } p = } & { U _ { \ell } ( u , \phi ) \quad \ \textrm { i n } \Omega \, , } \\ { \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { \ell } u = } & { 0 \qquad \qquad \ \textrm { i n } \Omega \, , } \\ { \partial _ { t } ^ { \ell } u = } & { 0 \qquad \qquad \ \textrm { o n } \partial \Omega \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle T ( M ) ^ { 2 } \rangle - \langle T ( M ) \rangle ^ { 2 } } & { { } = [ T ^ { \prime } ( \langle M \rangle ) ] ^ { 2 } \left( \langle M ^ { 2 } \rangle - \langle M \rangle ^ { 2 } \right) } \end{array}
- \left. b ^ { 3 } \left[ \frac { \ln ^ { 3 } ( z ) } { z ^ { 4 } } + \left( 3 C - \frac { 5 } { 2 } \right) \frac { \ln ^ { 2 } } { z ^ { 4 } } + ( 3 C ^ { 2 } - 5 C + 3 \kappa + 1 ) \frac { \ln z } { z ^ { 4 } } + \frac { C ^ { 3 } - \frac { 5 } { 2 } C ^ { 2 } + ( 3 \kappa + 1 ) C + \bar { \kappa } } { z ^ { 4 } } \right] \right\} .
\begin{array} { r l } & { \int _ { I \times \mathcal { Y } } \psi \, d [ \Sigma _ { n } ( x ^ { \prime } , \cdot ) : P _ { x ^ { \prime } } ] } \\ & { = - \int _ { I \times \mathcal { Y } } \psi ( y ) \, \Sigma _ { n } ( x , y ) : \left[ C ( x ^ { \prime } ) E ( x , y ) - \left( A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) + x _ { 3 } A _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) \right) \right] \, d x _ { 3 } d y } \\ & { \, \quad - \int _ { \mathcal { Y } } \bar { \Sigma } _ { n } ( x ^ { \prime } , y ) : \big ( \mu _ { x ^ { \prime } } ( y ) \odot \nabla _ { y } \psi ( y ) \big ) \, d y } \\ & { \, \quad + \frac { 1 } { 6 } \int _ { \mathcal { Y } } \hat { \Sigma } _ { n } ( x ^ { \prime } , y ) : \big ( \nabla _ { y } \kappa _ { x ^ { \prime } } ( y ) \odot \nabla _ { y } \psi ( y ) \big ) \, d y + \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \mathcal { Y } } \kappa _ { x ^ { \prime } } ( y ) \, \hat { \Sigma } _ { n } ( x ^ { \prime } , y ) : \nabla _ { y } ^ { 2 } \psi ( y ) \, d y , } \end{array}
f _ { i } ( x ) = \frac { L } { \pi { R _ { 0 } } ^ { 2 } } \sum _ { n + m = 0 } ^ { \infty } { f _ { i } } _ { m } ^ { n } ( x ) \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { n } } { n ! } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { m } } { m ! } .
\to \mathbb { S } _ { \underline { { M } } , \underline { { A } } , \underline { { N } } } ^ { \alpha ^ { 1 } \cdot \beta ^ { 1 } , \dots , \alpha ^ { n } \cdot \beta ^ { n } } \to \mathbb { S } _ { \underline { { M } } , \underline { { A } } , \underline { { N } } } ^ { \alpha ^ { 1 } \odot \beta ^ { 1 } , \dots , \alpha ^ { n - 1 } \odot \beta ^ { n - 1 } , \alpha ^ { n } \cdot \beta ^ { n } } \to 0 .
\begin{array} { r } { M _ { 1 , 3 } = \left| \begin{array} { l l l l l } { - \Tilde { Q } _ { 1 } } & { R _ { 1 } } & { } & { } & { } \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & { } & { } \\ { \vdots } & { } & { } & { } & { \ddots } \end{array} \right| = \left| \begin{array} { l l } { \Tilde { Q } _ { 1 } } & { R _ { 1 } } \\ { P _ { 2 } } & { \Tilde { Q } _ { 2 } } \end{array} \right| \cdot \prod _ { i = 3 } ^ { \infty } R _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { i \to \Psi _ { j } } ^ { \prime } ( \sigma _ { i j } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , c _ { i j } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) = \sum _ { t _ { i } ^ { ( j ) } } \tilde { \mu } _ { i \to \Psi _ { j } } ( \sigma _ { i j } , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) a ( t _ { j } ^ { ( i ) } - t _ { i } ^ { ( j ) } - c _ { i j } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) = \int \! d \mathbf { q } d \mathbf { p } \ \sigma _ { \mathbf { k } } ^ { \mathbf { q } \mathbf { p } } z _ { + } ^ { * } \left( \mathbf { p } \right) z _ { + } ^ { * } \left( \mathbf { q } \right) e ^ { i \Omega _ { k p q } t } , } \end{array}
( j , k , l ) \in \mathcal { I } _ { T } ( \omega ) \quad \Longleftrightarrow \quad U _ { 1 , \mathfrak I _ { d , 1 } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , 1 } ^ { 1 } ( \mathfrak m _ { 1 } ) } , \dots , U _ { j - 1 , \mathfrak I _ { d , j - 1 } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , j - 1 } ^ { 1 } ( \mathfrak m _ { j - 1 } ) } , \, U _ { j , \mathfrak I _ { d , j } ^ { 2 } \circ \mathfrak I _ { d , j } ^ { 1 } ( \mathfrak n ) } \le \beta
\begin{array} { r l r } { a } & { = } & { - 4 0 0 K _ { 2 } ( m + m _ { 0 } ) - 4 0 K _ { 2 } r _ { 1 } - 1 2 0 r _ { 2 } + 8 0 K _ { 2 } r _ { 2 } , } \\ { b } & { = } & { - 1 8 0 0 0 c _ { 1 } K _ { 2 } ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } - 1 6 0 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } \left( m + m _ { 0 } \right) r _ { 1 } + 3 2 0 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } \left( m + m _ { 0 } \right) r _ { 2 } } \\ & { } & { - 4 8 0 0 0 K _ { 2 } \left( m + m _ { 0 } \right) r _ { 2 } + 3 2 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } r _ { 1 } r _ { 2 } - 4 8 0 0 K _ { 2 } r _ { 1 } r _ { 2 } } \\ & { } & { - 3 2 0 K _ { 2 } r _ { 2 } \left( 1 0 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 2 5 r _ { 2 } \right) + 8 0 r _ { 2 } \left( 1 0 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 2 5 r _ { 2 } \right) , } \\ { c } & { = } & { 1 4 4 0 0 0 0 c _ { 1 } K _ { 2 } ^ { 3 } r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } - 2 1 6 0 0 0 0 c _ { 1 } K _ { 2 } ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } + 1 2 8 0 0 0 0 K _ { 2 } ^ { 3 } \left( m + m _ { 0 } \right) r _ { 1 } r _ { 2 } } \\ & { } & { - 1 9 2 0 0 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } \left( m + m _ { 0 } \right) r _ { 1 } r _ { 2 } + 3 2 0 0 K _ { 2 } r _ { 1 } r _ { 2 } \left( 1 0 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 2 5 r _ { 2 } \right) } \\ & { } & { - 1 2 8 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } r _ { 1 } r _ { 2 } \left( 1 0 0 K _ { 2 } r _ { 2 } - 2 5 r _ { 2 } \right) . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } { \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x ^ { i } \, \partial x ^ { j } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } { \frac { \partial h } { \partial x ^ { i } } } = \varepsilon \alpha e ^ { - \alpha | x - x _ { \mathrm { c } } | ^ { 2 } } \left( 4 \alpha \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } ( x ) { \big ( } x ^ { i } - x _ { \mathrm { c } } ^ { i } { \big ) } { \big ( } x ^ { j } - x _ { \mathrm { c } } ^ { j } { \big ) } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i i } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } { \big ( } x ^ { i } - x _ { \mathrm { c } } ^ { i } { \big ) } \right) .
\frac { \partial H _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } K _ { \theta , \phi } } { 3 8 4 b _ { 0 } } k ^ { x + y + 2 } C _ { E } C _ { H } \int _ { \Delta _ { \perp } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \delta ( s + s _ { p } \tilde { p } + s _ { q } \tilde { q } ) \frac { 1 } { \tilde { p } \tilde { q } } \left( 1 + { \tilde { p } } ^ { - x - y - 2 } + { \tilde { q } } ^ { - x - y - 2 } \right)
\begin{array} { r } { p _ { w } = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { w } | \mathbf { g } | ( H _ { w } - z ) , \ } & { \mathrm { f o r } \ z < H _ { w } } \\ { 0 , } & { \mathrm { f o r } \ z \geq H _ { w } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { * } ( \varphi ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { Y \in L ^ { \infty } } \ensuremath { \left\{ \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi Y ] - f ( Y ) \right\} } = \operatorname* { s u p } _ { Y \in L ^ { \infty } } \ensuremath { \left\{ \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi Y ] - \tilde { \rho } ( Y ^ { + } ) \right\} } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \varphi \in L _ { + } ^ { 1 } \mathrm { ~ a n d ~ } \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi Y ] \leq \tilde { \rho } ( Y ) \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } Y \in L _ { + } ^ { \infty } , } \\ { + \infty } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { l } { \dot { q _ { 0 } } } \\ { \dot { q _ { 1 } } } \\ { \dot { q _ { 2 } } } \\ { \dot { q _ { 3 } } } \\ { \dot { q _ { 4 } } } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l } { q _ { 0 } } & { - q _ { 1 } } & { - q _ { 2 } } & { - q _ { 3 } } \\ { q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } & { - q _ { 3 } } & { q _ { 2 } } \\ { q _ { 2 } } & { q _ { 3 } } & { q _ { 0 } } & { - q _ { 1 } } \\ { q _ { 3 } } & { - q _ { 2 } } & { q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Omega _ { x } } \\ { \Omega _ { y } } \\ { \Omega _ { z } } \end{array} \right) } \\ { \dot { \Omega _ { x } } } & { = } & { \frac { T _ { x } } { I _ { x x } } + \frac { I _ { y y } - I _ { z z } } { I _ { x x } } \Omega _ { y } \Omega _ { z } } \\ { \dot { \Omega _ { y } } } & { = } & { \frac { T _ { y } } { I _ { y y } } + \frac { I _ { z z } - I _ { x x } } { I _ { y y } } \Omega _ { z } \Omega _ { x } } \\ { \dot { \Omega _ { z } } } & { = } & { \frac { T _ { z } } { I _ { z z } } + \frac { I _ { x x } - I _ { y y } } { I _ { z z } } \Omega _ { x } \Omega _ { y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { b f g a e k } & { = a e k b f g + ( q ^ { 4 } - q ^ { 2 } ) * a f h c e g + ( 1 - q ^ { 2 } ) * b d k c e g - ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } * b f g c d h , } \\ { b f g a f h } & { = a f h b f g + ( q ^ { 3 } - q ) * a f h c e g - ( q ^ { 3 } - q ) * b f g c d h , } \\ { b f g b d k } & { = b d k b f g - ( q - 1 / q ) * b d k c e g + ( q - 1 / q ) * b f g c d h . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { E i j } ( { \bf B } _ { 0 } ) \! } & { { } = } & { \! \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 i } \, B _ { 0 j } \; , } \\ { \chi _ { M i j } ( { \bf B } _ { 0 } ) \! } & { { } = } & { \! \frac { d _ { 1 } \, B _ { 0 i } \, B _ { 0 j } } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \right] } & { { } = \Bigl [ \sum _ { \mu } \hat { a } _ { \mu } u _ { \mu } ( \mathbf { x } , z ) , \, \sum _ { \nu } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } u _ { \nu } ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] } \end{array}
S _ { i s o s p i n } = \left( \begin{array} { c c } { { \eta _ { w } e ^ { 2 i w _ { 1 } } } } & { { i \sqrt { 1 - \eta _ { w } ^ { 2 } } e ^ { i \left( w _ { 1 } + w _ { 2 } \right) } } } \\ { { i \sqrt { 1 - \eta _ { w } ^ { 2 } } e ^ { i \left( w _ { 1 } + w _ { 2 } \right) } } } & { { \eta _ { w } e ^ { 2 i w _ { 2 } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { O ( 1 ) } & { = } & { - \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { k j } \log \, \Bigg ( \left| G _ { j - 1 } \big ( \beta _ { 0 } , \beta _ { 1 } , \cdots , \beta _ { j - 1 } ; g _ { 0 } ( z ) , g _ { 1 } ( z ) , \cdots , g _ { j - 1 } ( z ) \big ) \right| ^ { 2 } } \\ & { + } & { \sum _ { 0 \le i _ { 0 } < i _ { 1 } < \cdots < i _ { j - 1 } \le n \atop i _ { j - 1 } > j - 1 } \left| z \right| ^ { 2 ( \sum _ { l = 0 } ^ { j - 1 } \beta _ { i _ { l } } - \frac { ( j - 1 ) j } { 2 } + \alpha _ { j } ) } \left| G _ { j - 1 } \big ( \beta _ { i _ { 0 } } , \beta _ { i _ { 1 } } , \cdots , \beta _ { i _ { j - 1 } } ; g _ { i _ { 0 } } ( z ) , g _ { i _ { 1 } } ( z ) , \cdots , g _ { i _ { j - 1 } } ( z ) \big ) \right| ^ { 2 } \Bigg ) } \end{array}
F ( \beta , L ) = F \left( \beta , \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { ' } } { L } \right) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { ' } } { \beta ^ { 2 } } F \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { ' } } { \beta } , L \right) \; .
t ^ { * } \le \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad m _ { 1 } - m _ { t r } \le \frac { 1 } { \alpha } \ln \frac { \displaystyle \left( \frac { \varepsilon } { t _ { 0 } } \right) ^ { \theta } } { K _ { 0 } \left[ \Gamma ( 1 - \theta ) + \displaystyle \left( \frac { \varepsilon } { t _ { 0 } } \right) ^ { \theta } \right] } .
f ( a , b ) + ( x - a ) f _ { x } ( a , b ) + ( y - b ) f _ { y } ( a , b ) + { \frac { 1 } { 2 ! } } { \Big ( } ( x - a ) ^ { 2 } f _ { x x } ( a , b ) + 2 ( x - a ) ( y - b ) f _ { x y } ( a , b ) + ( y - b ) ^ { 2 } f _ { y y } ( a , b ) { \Big ) }
\begin{array} { r l } { \big | W ( \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) - } & { \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } ( W { \widehat { u } } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | \lesssim } \\ & { \qquad \lesssim \left( | \omega ^ { \prime \prime } \widehat { w } _ { m ^ { \prime \prime } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } | + | m ^ { \prime \prime } \widehat { w } _ { m ^ { \prime \prime } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } | + v ^ { - q } \left| ( W _ { 0 } \widehat { w } ) _ { m ^ { \prime \prime } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } \right| \right) \Bigg ( v ^ { q } | { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | + \chi _ { \overline { { r } } ^ { \sharp } } \frac { \big | ( W _ { 0 } { \widehat { u } } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | } { \operatorname* { m a x } ( | \omega ^ { \prime } | , | m ^ { \prime } | , 1 ) } \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } , j } = } & { { } \frac { 3 } { 2 } T _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } \Gamma _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } , j } - ( \chi _ { \perp , \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } \nabla _ { \perp , j } T _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } + b _ { j } \, \chi _ { \| , \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } \nabla _ { \| } T _ { \mathrm { ~ D ~ } ^ { + } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { N = \frac { T _ { F W H M } } { 1 . 6 6 5 } \sqrt { \frac { \gamma _ { e f f } P _ { 0 } ^ { s o l i t o n } } { \beta _ { 2 } } } = } \\ { = 0 . 1 5 8 1 \sqrt { P _ { 0 } ^ { s o l i t o n } T _ { F W H M } ^ { 2 } [ p s ] } \approx 1 . } \end{array}
\mu _ { 0 } ( r , \beta ) = \frac { \pi r ^ { 2 } } { 2 D ^ { 2 } } \left\{ \ln \left[ \frac { 2 D ^ { 2 } \sqrt { \frac { D ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } } + \frac { \left( 4 \beta - 2 \right) r ^ { 2 } D ^ { 2 } } { \pi } + r ^ { 4 } } + \left( \frac { 2 D ^ { 4 } } { \pi } + \left( 4 \beta - 2 \right) r ^ { 2 } D ^ { 2 } \right) } { 2 D ^ { 2 } \sqrt { \frac { D ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } } + \frac { \left( 4 \beta - 2 \right) r ^ { 2 } D ^ { 2 } } { \pi } + r ^ { 4 } } - \left( \frac { 2 D ^ { 4 } } { \pi } + \left( 4 \beta - 2 \right) r ^ { 2 } D ^ { 2 } \right) } \right] + \ln \left[ \frac { 1 - \beta } { \beta } \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta + \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \mu - \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \alpha + 2 \beta - \mu \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 3 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( \mu - \beta \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { \Delta ( k _ { i } ) = k _ { i } \otimes k _ { i } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \Delta ( X _ { i } ^ { \pm } ) = X _ { i } ^ { - } \otimes 1 + k _ { i } ^ { - 1 } \otimes X _ { i } ^ { - } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \Delta ( X _ { i } ^ { + } ) = X _ { i } ^ { + } \otimes 1 + k _ { i } ^ { - 1 } \otimes X _ { i } ^ { + } ~ . } } \end{array}
\frac { \partial \psi } { \partial \tau } + s B \psi \frac { \partial \psi } { \partial \xi } + A _ { 2 } B \psi ^ { 2 } \frac { \partial \psi } { \partial \xi } + B \frac { \partial ^ { 3 } \psi } { \partial \xi ^ { 3 } } = 0 ,
D \equiv ( \mathbf { z } _ { h } | _ { \mathbf { u } _ { h } ^ { H } } - L _ { h } ^ { H } \mathbf { z } _ { H } ) ^ { T } \mathcal { R } _ { h } ( \mathbf { u } _ { h } ^ { H } ) - \left\{ \mathcal { R } _ { h } ^ { \mathbf { z } } ( \left. \mathbf { z } _ { h } \right| _ { \mathbf { u } _ { h } ^ { H } } ) \right\} ^ { T } ( \mathbf { u } _ { h } - \mathbf { u } _ { h } ^ { H } ) .
\begin{array} { r l } { C _ { 1 1 } ( \lambda ) } & { : = \mathbb { E } | \Xi _ { n + 1 } | ^ { 2 } \leq \lambda d } \\ { C _ { 2 2 } ( \lambda ) } & { : = \mathbb { E } | \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } \leq \frac { d } { 3 } \lambda ^ { 3 } } \\ { C _ { 1 2 } ( \lambda ) } & { : = \mathbb { E } \langle \Xi _ { n + 1 } , \Xi _ { n + 1 } ^ { \prime } \rangle \leq \frac { d } { 2 } \lambda ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { n } \bar { u } _ { e } \bar { A } } & { = - \bar { I } = \mathrm { c o n s t a n t } , } \\ { \frac { \partial \bar { n } } { \partial \bar { t } } + \frac { \partial } { \partial \bar { z } } ( \bar { n } \bar { u } _ { i } ) } & { = 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \bar { u } _ { e } ^ { 2 } } { \partial \bar { z } } + \bar { m } _ { i } \left( \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial \bar { t } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \bar { u } _ { i } ^ { 2 } } { \partial \bar { z } } \right) + \bar { T } _ { e } \frac { \partial } { \partial \bar { z } } \ln \bar { n } } & { = 0 , } \end{array}