harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle x , P _ { n } ^ { - 1 } f _ { n } ( x ) \rangle _ { 2 } } & { = \langle x , S ^ { - \top } P ^ { - 1 } S ^ { - 1 } S f ( S ^ { - 1 } x ) \rangle _ { 2 } = \langle S ^ { - 1 } x , P ^ { - 1 } f ( S ^ { - 1 } x ) \rangle _ { 2 } \leq c _ { 2 } \| P ^ { - \frac { 1 } { 2 } } S ^ { - 1 } x \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = c _ { 2 } \| P _ { n } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } x \| _ { 2 } ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \langle x , Q _ { n } f _ { n } ( x ) \rangle _ { 2 } } & { = \langle x , S ^ { - \top } Q S ^ { - 1 } S f ( S ^ { - 1 } x ) \rangle _ { 2 } = \langle S ^ { - 1 } x , Q f ( S ^ { - 1 } x ) \rangle _ { 2 } \leq c _ { 2 } \| Q ^ { \frac { 1 } { 2 } } S ^ { - 1 } x \| _ { 2 } ^ { 2 } = c _ { 2 } \| Q _ { n } ^ { \frac { 1 } { 2 } } x \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { D } _ { j k } } & { = } & { - j k \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega ^ { 2 } \hat { p } ( j - \omega ) \hat { p } ( \omega - k ) \left( M _ { 1 1 , \omega } M _ { 1 2 , \omega } ( \bar { p } \omega ^ { 2 } + \bar { q } ) + M _ { 2 1 , \omega } M _ { 2 2 , \omega } \right) + } \\ & { } & { ( - j ) \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega \hat { p } ( j - \omega ) \hat { q } ( \omega - k ) \left( M _ { 1 1 , \omega } M _ { 1 2 , \omega } ( \bar { p } \omega ^ { 2 } + \bar { q } ) + M _ { 2 1 , \omega } M _ { 2 2 , \omega } \right) + } \\ & { } & { ( - k ) \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega \hat { q } ( j - \omega ) \hat { p } ( \omega - k ) \left( M _ { 1 1 , \omega } M _ { 1 2 , \omega } ( \bar { p } \omega ^ { 2 } + \bar { q } ) + M _ { 2 1 , \omega } M _ { 2 2 , \omega } \right) + } \\ & { } & { \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \hat { q } ( j - \omega ) \hat { q } ( \omega - k ) \left( M _ { 1 1 , \omega } M _ { 1 2 , \omega } ( \bar { p } \omega ^ { 2 } + \bar { q } ) + M _ { 2 1 , \omega } M _ { 2 2 , \omega } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ( \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } - \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } ) } & { = \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } \nabla ^ { 2 } \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } - K \nabla \delta \phi _ { \omega } - \phi _ { 0 } \nabla P _ { \omega } + \vec { F } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } } \\ { \zeta ( \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } - \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } ) } & { = \eta ^ { \mathrm { s } } \nabla ^ { 2 } \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } - ( 1 - \phi _ { 0 } ) \nabla P _ { \omega } + \vec { F } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } } \\ { i \omega \delta \phi _ { \omega } } & { = \phi _ { 0 } \nabla \cdot \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } = - ( 1 - \phi _ { 0 } ) \nabla \cdot \vec { v } _ { \omega } ^ { \mathrm { s } } } \end{array}
T _ { \mathrm { m i n } } < T < T _ { \mathrm { m a x } } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad T _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } = 1 / 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } , \quad T _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } = 2 / \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \quad .
I \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) = r _ { o } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } f ^ { 2 } } } S ^ { 2 } \left( { \frac { x _ { 2 } } { \lambda f } } , { \frac { y _ { 2 } } { \lambda f } } \right) + { \frac { 2 r _ { o } } { \lambda f } } S \left( { \frac { x _ { 2 } } { \lambda f } } , { \frac { y _ { 2 } } { \lambda f } } \right) \cos \left[ 2 \pi \alpha y _ { 2 } + \psi \left( { \frac { x _ { 2 } } { \lambda f } } , { \frac { y _ { 2 } } { \lambda f } } \right) \right] .
\frac { 1 } { g _ { y } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 3 6 } \frac { 1 } { g _ { a } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \frac { 1 } { g _ { c } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \frac { 1 } { g _ { d } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { H ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } , t ) } & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left[ \sin ^ { 2 } \frac { \left( k _ { x } - A ( z ) \sin ( \omega t ) \right) a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { \left( k _ { y } - A ( z ) \sin ( \omega t + \varphi ) \right) a } { 2 } \right] \right\} \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { ~ ~ \! + \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ \lambda _ { | | } \sin [ ( k _ { x } - A ( z ) \sin ( \omega t ) ) a ] \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin [ ( k _ { y } - A ( z ) \sin ( \omega t + \varphi ) ) a ] \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } \right\} C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { ~ ~ \! + \! \sum _ { j _ { z } } \left( C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } T _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } T _ { z } ^ { \dagger } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \right) } \\ & { \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \left\{ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \right. } \\ & { \left. ~ ~ + t _ { | | } \left[ e ^ { i [ k _ { x } - A ( z ) \sin ( \omega t ) ] a } + e ^ { - i [ k _ { x } - A ( z ) \sin ( \omega t ) ] a } + e ^ { i [ k _ { y } - A ( z ) \sin ( \omega t + \varphi ) ] a } + e ^ { - i [ k _ { y } - A ( z ) \sin ( \omega t + \varphi ) ] a } \right] \right\} \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { ~ ~ \! + \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \frac { \lambda _ { | | } } { 2 i } \left[ e ^ { i [ k _ { x } - A ( z ) \sin ( \omega t ) ] a } - e ^ { - i [ k _ { x } - A ( z ) \sin ( \omega t ) ] a } \right] \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { ~ ~ \! + \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \frac { \lambda _ { | | } } { 2 i } \left[ e ^ { i [ k _ { y } - A ( z ) \sin ( \omega t + \varphi ) ] a } - e ^ { - i [ k _ { y } - A ( z ) \sin ( \omega t + \varphi ) ] a } \right] \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } C _ { { \bf k } , j _ { z } } } \\ & { ~ ~ \! + \! \sum _ { j _ { z } } \left( C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } T _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } T _ { z } ^ { \dagger } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \right) . } \end{array}
\frac { \partial \hat { Q } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \hat { \mathbf { E } } _ { e } - \hat { \mathbf { E } } _ { v } \right) + \frac { \partial } { \partial \eta } \left( \hat { \mathbf { F } } _ { e } - \hat { \mathbf { F } } _ { v } \right) + \frac { \partial } { \partial \zeta } \left( \hat { \mathbf { G } } _ { e } - \hat { \mathbf { G } } _ { v } \right) = 0 \, \mathrm { ~ . ~ }
\vec { A } \to \vec { A } + \frac { 2 \pi } { e L } \vec { n } \ , \qquad \varphi \to \exp \left\{ i e \left( \beta _ { 0 } + \frac { 2 \pi } { e L } \vec { x } \vec { n } \right) \right\} \varphi \ .
\Psi _ { n _ { 1 } \cdots n _ { N } } ^ { ( A ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } } \left| { \begin{array} { l l l l } { \psi _ { n _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) } & { \psi _ { n _ { 1 } } ( x _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \psi _ { n _ { 1 } } ( x _ { N } ) } \\ { \psi _ { n _ { 2 } } ( x _ { 1 } ) } & { \psi _ { n _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \psi _ { n _ { 2 } } ( x _ { N } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \psi _ { n _ { N } } ( x _ { 1 } ) } & { \psi _ { n _ { N } } ( x _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \psi _ { n _ { N } } ( x _ { N } ) } \end{array} } \right|
\begin{array} { r l } { \omega \chi _ { m a } } & { = ( \varepsilon _ { m } - \varepsilon _ { a } ) \chi _ { m a } } \\ & { + \sum _ { n b } \left( \ \tilde { g } _ { b m n a } \chi _ { n b } + \ \tilde { g } _ { n m b a } \eta _ { n b } ^ { * } \right) \, , } \\ { \omega \eta _ { m a } ^ { * } } & { = ( \varepsilon _ { m } - \varepsilon _ { a } ) \eta _ { m a } ^ { * } } \\ & { + \sum _ { n b } \left( \tilde { g } _ { n a b m } \eta _ { n b } ^ { * } + \ \tilde { g } _ { b a n m } \chi _ { n b } \right) \, , } \end{array}
\tilde { R } _ { i j } ( { \bf { r } } ; t , t ^ { \prime } ) = A ( { \bf { r } } ; t , t ^ { \prime } ) \delta _ { i j } + B ( { \bf { r } } ; t , t ^ { \prime } ) r _ { i } r _ { j } + C ( { \bf { r } } ; t , t ^ { \prime } ) \epsilon _ { i j \ell } r _ { \ell } ,
z _ { n + 1 } ^ { \prime } = { \frac { d } { d c } } f _ { c } ^ { n + 1 } ( z _ { 0 } ) = 2 \cdot { } f _ { c } ^ { n } ( z ) \cdot { \frac { d } { d c } } f _ { c } ^ { n } ( z _ { 0 } ) + 1 = 2 \cdot z _ { n } \cdot z _ { n } ^ { \prime } + 1 .
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { n } ^ { \gamma , \mathrm { ~ c ~ l ~ } } } { \mathrm { d } v \mathrm { d } \phi } = - \frac { \alpha m s _ { n } } { 2 \pi } \left\{ A _ { 0 } ^ { 2 } ( n , x , y ) + 2 a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } \left[ A _ { 0 } ( n , x , y ) A _ { 2 } ( n , x , y ) - A _ { 1 } ^ { 2 } ( n , x , y ) \right] \right\} .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } ( t ) } & { = \int _ { s } ^ { t } \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { j } ] \times \Gamma } | u | ^ { \zeta - 2 } \Big ( \frac { u f ( \cdot , u ) } { \zeta - 1 } - \nabla u \cdot a \nabla u - \nabla u \cdot F ( \cdot , u ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac 1 2 \sum _ { n \geq 1 } [ ( b _ { n } \cdot \nabla ) u + g _ { n } ( \cdot , u ) ] ^ { 2 } \Big ) \, d x d r , } & \\ { \mathcal { S } ( t ) } & { = \sum _ { n \geq 1 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { j } ] \times \Gamma } | u | ^ { \zeta - 2 } u [ ( b _ { n } \cdot \nabla ) u + g _ { n } ( \cdot , u ) ] \, d x d w _ { r } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { l } ( \nu _ { i / f } , r , r ^ { \prime } ) } & { = - \frac { 2 ( 2 \nu _ { i / f } ) ^ { 2 l + 1 } } { [ ( 2 l + 1 ) ! ] ^ { 2 } } e ^ { - \nu _ { i / f } ( r + r ^ { \prime } ) } ( r r ^ { \prime } ) ^ { l } \sum _ { n = l + 1 } ^ { \infty } \Big ( k - \frac { 1 } { \nu _ { i / f } } \Big ) ^ { - 1 } \frac { ( n + l ) ! } { ( n - l - 1 ) ! } \times } \\ & { \times \: _ { 1 } F _ { 1 } ( l + 1 - n ; 2 l + 2 ; 2 \nu _ { i / f } r ) \: _ { 1 } F _ { 1 } ( l + 1 - n ; 2 l + 2 ; 2 \nu _ { i / f } r ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { k } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { { } = \frac { 1 } { \pi ^ { n } \operatorname* { d e t } \tilde { \Gamma } } \int \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 n } { \delta } e ^ { - \boldsymbol { \delta } ^ { \dagger } ( \tilde { \Gamma } ^ { - 1 } + \mathbb { I } ) \boldsymbol { \delta } } | \delta _ { k } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta - \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) + \widetilde { \gamma } [ \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta \widetilde { \gamma } - \widetilde { \eta } \gamma ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) ] + [ \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta - \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) ] + \gamma ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \eta - \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) } \\ & { = 4 \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta - 3 \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) - \widetilde { \eta } \widetilde { \gamma } \gamma ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) } \end{array}
\left( \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { \Phi } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { j } = \frac { 1 } { 7 0 } ( 6 0 \mathbf { \Phi } _ { j - 1 } ^ { \prime } - 6 0 \mathbf { \Phi } _ { j + 1 } ^ { \prime } - 3 6 2 \mathbf { \Phi } _ { j } + 1 7 8 \mathbf { \Phi } _ { j - 1 } + 3 \mathbf { \Phi } _ { j - 2 } + 1 7 8 \mathbf { \Phi } _ { j + 1 } + 3 \mathbf { \Phi } _ { j + 2 } ) ,
\frac 1 N \left\langle X \right\rangle _ { U _ { t , \mathcal { D } } ^ { N } \Psi _ { 0 } } = \frac 1 N \left\langle X _ { [ - N , N ] } \right\rangle _ { U _ { t , \mathcal { D } } ^ { N } \Psi _ { 0 } } \leq \left\langle { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } \right\rangle _ { U _ { t , \mathcal { D } } ^ { N } \Psi _ { 0 } } = 1 ,
\begin{array} { r l } & { \frac { D } { { \sin \theta } } \frac { \partial } { { \partial \theta } } \big ( \sin \theta \frac { { \partial \mathcal { F } ( \theta , \varphi ) } } { { \partial \theta } } \big ) + \frac { D } { { { { \sin } ^ { 2 } } \theta } } \frac { { { \partial ^ { 2 } } \mathcal { F } ( \theta , \varphi ) } } { { \partial { \varphi ^ { 2 } } } } } \\ & { + { n ( n + 1 ) } \mathcal { F } ( \theta , \varphi ) = 0 , } \end{array}
F ( \mathbf { a } _ { n + 1 } ) \leq F ( \mathbf { a } _ { n } ) - \gamma _ { n } \| \nabla F ( \mathbf { a } _ { n } ) \| _ { 2 } \| \mathbf { p } _ { n } \| _ { 2 } \left[ \cos \theta _ { n } - \operatorname* { m a x } _ { t \in [ 0 , 1 ] } { \frac { \| \nabla F ( \mathbf { a } _ { n } - t \gamma _ { n } \mathbf { p } _ { n } ) - \nabla F ( \mathbf { a } _ { n } ) \| _ { 2 } } { \| \nabla F ( \mathbf { a } _ { n } ) \| _ { 2 } } } \right]
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { \partial w } { \partial s } ( t ) \right\| _ { V ^ { \prime } } d s } & { \leq \int _ { t _ { n } } ^ { t } \Big ( \nu \| w \| _ { H ^ { 1 } } + c M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } M _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \Big . + } \\ & { \quad \Big . c \| w \| _ { L ^ { 2 } } \| w \| _ { H ^ { 1 } } + \frac { \mu } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } \| w \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) d s + \mu \tau \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { \partial w } { \partial s } ( s ) \right\| _ { V ^ { \prime } } d s , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \Pi } ( \omega ) \equiv \mathbf { \Pi } _ { + } ( \omega ) = \mathbf { \tilde { X } } ( \omega - \mathbf { \tilde { \Omega } } ) ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { X } } ^ { \dag } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } = } & { \int _ { V } \! \mathrm { d } \boldsymbol { r } \frac { \sum _ { i } \left\langle \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } \nabla { \mu } _ { i } ^ { \mathrm { a } } \right\rangle } { \epsilon } - \int _ { V } \! \mathrm { d } \boldsymbol { r } \sum _ { i } \left\langle \frac { \delta } { \delta { \phi _ { i } } } \nabla ^ { 2 } \mu _ { i } ^ { \mathrm { a } } \right\rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \bigl [ \begin{array} { l l } { \tilde { V } ^ { ( k ) } } & { \tilde { V } ^ { ( k ) } } \\ { \tilde { U } ^ { ( k ) } } & { - \tilde { U } ^ { ( k ) } } \end{array} \bigr ] \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \bigl [ \begin{array} { l l } { V _ { p } } & { V _ { p } } \\ { U _ { p } } & { - U _ { p } } \end{array} \bigr ] \} ) } \\ & { = { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \bigl [ \begin{array} { l l } { \tilde { V } ^ { ( k ) } } & \\ & { \tilde { U } ^ { ( k ) } } \end{array} \bigr ] \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \bigl [ \begin{array} { l l } { V _ { p } } & \\ & { U _ { p } } \end{array} \bigr ] \} ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ \mathrm { d i s t } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \tilde { V } ^ { ( k ) } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ V _ { p } \} ) , \mathrm { d i s t } ( \mathrm { s p a n } \{ \tilde { U } ^ { ( k ) } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ U _ { p } \} ) \} } \\ & { \leq \sqrt { 2 } \epsilon ^ { ( k ) } , } \end{array}
\partial _ { t } \langle \hat { \mathcal { O } } \rangle = \langle i [ \hat { H } , \hat { \mathcal { O } } ] + \mathcal { L } _ { r } ^ { * } [ \hat { \mathcal { O } } ] + \mathcal { L } _ { s } ^ { * } [ \hat { \mathcal { O } } ] \rangle ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \frac { 1 } { l ( \xi ) ^ { 2 } } d \xi = \int _ { \mathbb { R } } \frac { ( 1 + \lambda _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { ( 1 + \lambda _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) ^ { 4 } ) ^ { 2 } l ( \xi ) ^ { 2 } } d \xi } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \xi \in \mathbb { R } } \frac { ( 1 + \lambda _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { l ( \xi ) ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { 1 } { ( 1 + \lambda _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) ^ { 4 } ) ^ { 2 } } d \xi } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \frac { 1 } { ( 1 + \lambda _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) ^ { 4 } ) ^ { 2 } } d \xi . } \end{array}
\mathrm { i n d } ^ { D = 1 0 } ( \mathrm { E } _ { 6 } ) = 3 \quad \mathrm { i n d } ^ { D = 1 0 } ( \mathrm { E } _ { 7 } ) = 6 \quad \mathrm { i n d } ^ { D = 1 0 } ( \mathrm { E } _ { 8 } ) = 1 1
\begin{array} { c c c c c c c c c } { \frac { 1 } { 2 } } & & & & & & & & \\ { \frac { 1 } { 3 } } & { \frac { 2 } { 3 } } & & & & & & & \\ { \frac { 1 } { 4 } } & & { \frac { 3 } { 4 } } & & & & & & \\ { \frac { 1 } { 5 } } & { \frac { 2 } { 5 } } & { \frac { 3 } { 5 } } & { \frac { 4 } { 5 } } & & & & & \\ { \frac { 1 } { 6 } } & & & & { \frac { 5 } { 6 } } & & & & \\ { \frac { 1 } { 7 } } & { \frac { 2 } { 7 } } & { \frac { 3 } { 7 } } & { \frac { 4 } { 7 } } & { \frac { 5 } { 7 } } & { \frac { 6 } { 7 } } & & & \\ { \frac { 1 } { 8 } } & & { \frac { 3 } { 8 } } & & { \frac { 5 } { 8 } } & & { \frac { 7 } { 8 } } & & \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 2 } { 9 } } & & { \frac { 4 } { 9 } } & { \frac { 5 } { 9 } } & & { \frac { 7 } { 9 } } & { \frac { 8 } { 9 } } & \\ { \frac { 1 } { 1 0 } } & & { \frac { 3 } { 1 0 } } & & & & { \frac { 7 } { 1 0 } } & & { \frac { 9 } { 1 0 } } \\ & & & & { e t c . } & & & & \end{array}
{ \cal W } _ { a } \star _ { N } { \cal W } _ { b } \, ( \psi ^ { \prime } , \bar { \psi } ^ { \prime } , N ) = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } < \psi ^ { \prime } , N | \lambda _ { a } \, \lambda _ { b } | \psi ^ { \prime } , N >
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 0 } ^ { N } a _ { j } = ( 1 - \epsilon ^ { \prime \prime } / 3 ) \left( \hat { g } ( 0 ) + \frac { 2 } { T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) \right) \le ( 1 - \epsilon ^ { \prime \prime } / 3 ) ( 1 + \epsilon ^ { \prime \prime } / 3 ) < 1 , } \end{array}
\dot { \varrho } + 3 { \frac { \dot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } } \left( \varrho + { \frac { \wp } { c ^ { 2 } } } \right) = - { \frac { \dot { G } _ { 4 } } { G _ { 4 } } } \varrho + { \frac { 3 k c \dot { c } } { 4 \pi G _ { 4 } a _ { 0 } ^ { 2 } } } - { \frac { 3 { \cal C } c \dot { c } } { 4 \pi G _ { 4 } a _ { 0 } ^ { 4 } } } .
4 . 7 0 6 \sin { \left( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } - 4 . 6 2 \right) } + \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } + 0 . 4 6 6 \right) } - 0 . 6 8 2
{ \begin{array} { r l } { P ( u ) = } & { 5 \delta ( u + 1 0 ) + 1 8 \delta ( u + 8 ) + 9 \delta ( u + 6 ) + 6 \delta ( u + 5 ) + 6 \delta ( u + 3 ) } \\ & { + 1 8 \delta ( u + 2 ) + 4 5 \delta ( u ) + 1 8 \delta ( u - 2 ) + 6 \delta ( u - 3 ) + 6 \delta ( u - 5 ) } \\ & { + 9 \delta ( u - 6 ) + 1 8 \delta ( u - 8 ) + 5 \delta ( u - 1 0 ) . } \end{array} }
\varphi _ { \pi } ( \xi ) \delta ^ { 2 } ( k _ { \perp } ) + \frac { \alpha _ { s } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } k _ { \perp } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } V ( \xi , x ) \, \varphi _ { \pi } ( x ) \, d x + \ldots \, .
W _ { R } = \lambda _ { i j k } L _ { i } L _ { j } E _ { k } ^ { c } + \lambda _ { i j k } ^ { \prime } L _ { i } Q _ { j } D _ { k } ^ { c } + \lambda _ { i j k } ^ { \prime \prime } U _ { i } ^ { c } D _ { j } ^ { c } D _ { k } ^ { c } + \epsilon _ { i } L _ { i } H \, ,
\begin{array} { r } { \delta : = \frac { \rho _ { \mathrm { r } } } { \rho _ { 0 } } , \quad v _ { 0 } : = \sqrt { \frac { \kappa _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } } , \quad v _ { \mathrm { r } } : = \sqrt { \frac { \kappa _ { \mathrm { r } } } { \rho _ { \mathrm { r } } } } , } \end{array}
P _ { _ B } ^ { ( s t . ) } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \lambda } \ \frac { \cosh { [ ( b - | x | ) / { \lambda } ] } } { \sinh { [ ( b - a ) / { \lambda } ] } } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ < ~ | ~ x ~ | ~ < ~ b ~ } ,
( 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } M ^ { 2 } ) M ^ { - \frac { 2 ( \gamma - 1 ) } { \gamma + 1 } } = ( 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } M _ { 2 } ^ { 2 } ) M _ { 2 } ^ { - \frac { 2 ( \gamma - 1 ) } { \gamma + 1 } } \, .
\begin{array} { r l } & { \nabla ( s _ { 3 } ) = s _ { 2 2 } \otimes s _ { 2 1 } + s _ { 3 2 } \otimes s _ { 1 1 1 } , } \\ & { \nabla ( s _ { 2 1 } ) = - ( s _ { 2 1 } \otimes s _ { 2 1 } + s _ { 3 1 } \otimes s _ { 1 1 1 } ) , } \\ & { \nabla ( s _ { 1 1 1 } ) = 1 \otimes s _ { 3 } + ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \otimes s _ { 2 1 } + ( s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \otimes s _ { 1 1 1 } . } \end{array}
\frac { x _ { 2 } ^ { \prime } + F _ { 2 } } { 1 - F _ { 2 } x _ { 2 } ^ { \prime } } = \lambda _ { 2 } \frac { 1 - F _ { 2 } x _ { 2 } } { x _ { 2 } + F _ { 2 } } \, \Rightarrow \, j _ { 2 } ( x _ { 2 } ) = \frac { - ( \lambda _ { 2 } + 1 ) F _ { 2 } x _ { 2 } + \lambda _ { 2 } - F _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda _ { 2 } F _ { 2 } ^ { 2 } ) x _ { 2 } + ( \lambda _ { 2 } + 1 ) F _ { 2 } } .
\begin{array} { r } { u ( z , t ) = - 6 \overline { { u } } + 1 2 m \mu ^ { 2 } \mathrm { ~ c ~ n ~ } ^ { 2 } \left[ \mu ( z - 2 ( 1 - 6 \overline { { u } } + c _ { 0 } \mu ^ { 2 } ) t ) , m \right] , } \end{array}
E ( k ) = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } \, \mathrm { d } \theta = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } } } \, \mathrm { d } t ,
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \sigma _ { 0 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) } { 4 } h ^ { 2 } \nu ^ { 2 } t ( x ) ^ { 2 } , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } , } \\ { \displaystyle \frac { \sigma _ { 0 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) } { 8 } h \nu t ^ { \prime } - \frac { \sigma _ { 0 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) } { 2 } } & { \displaystyle h ^ { 2 } \nu t ^ { \prime } \frac { x ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } , } \\ & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } , } \end{array} \right. } \\ { S _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 2 - \sigma _ { 1 } } { 4 } h ^ { 2 } \nu ^ { 2 } t ( x ) ^ { 2 } , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | > \frac { L } { 2 } , } \\ { \displaystyle \frac { 2 - \sigma _ { 1 } } { 8 } h \nu t ^ { \prime } - \frac { 2 - \sigma _ { 1 } } { 2 } h ^ { 2 } \nu t ^ { \prime } \frac { x ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } , } & { \displaystyle \textrm { f o r } | x | < \frac { L } { 2 } , } \end{array} \right. } \\ { S _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { = } & { 0 , } \end{array}
A _ { \mathrm { P o l } } = \frac { \sigma _ { p } ( \lambda _ { c _ { 1 } } , \lambda _ { L _ { 1 } } , \lambda _ { c _ { 2 } } , \lambda _ { L _ { 2 } } ) - \sigma _ { p } ( \lambda _ { c _ { 1 } } , \lambda _ { L _ { 1 } } , \lambda _ { c _ { 2 } } , - \lambda _ { L _ { 2 } } ) } { \sigma _ { p } ( \lambda _ { c _ { 1 } } , \lambda _ { L _ { 1 } } , \lambda _ { c _ { 2 } } , \lambda _ { L _ { 2 } } ) + \sigma _ { p } ( \lambda _ { c _ { 1 } } , \lambda _ { L _ { 1 } } , \lambda _ { c _ { 2 } } , - \lambda _ { L _ { 2 } } ) }
I _ { 2 } = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \sqrt { \vec { k } ^ { 2 } + \bar { \chi } } \left( \exp \left( \beta \sqrt { \vec { k } ^ { 2 } + \bar { \chi } } \right) - 1 \right) } .
{ \frac { \partial f } { \partial t } } + \mathbf { v \cdot } { \frac { \partial f } { \partial \mathbf { r } } } + { \frac { \mathbf { F } } { m } } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \mathbf { v } } } = { \frac { 1 } { \epsilon } } { \hat { C } } f .
\begin{array} { r l r } { i \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial t } - i c \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial \xi } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } u _ { 1 } - | u _ { 1 } | ^ { 2 } u _ { 1 } - u _ { 2 } , } \\ { i \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial t } - i c \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial \xi } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } u _ { 2 } - | u _ { 2 } | ^ { 2 } u _ { 2 } - u _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( Z _ { 1 } Z _ { 2 } Z _ { 3 } ) = \big ( Z _ { 3 } ^ { T } \otimes Z _ { 1 } \big ) \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } ( Z _ { 2 } ) . } \end{array}