harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \leq \sqrt { 2 } \Big ( \big \| u _ { \mathrm { i n } , k } + i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \Phi _ { \mathrm { i n } , k } + u _ { t , \mathrm { i n } , k } \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + } \\ { + 2 \sqrt { 2 } \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) | k | \int _ { 0 } ^ { t } \! \! \| ( \partial _ { t } \! + \! 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s \leq \sqrt { 2 } \Big ( \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! | k | \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| \Phi _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + } \\ { + \| u _ { t , \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) + 2 \sqrt { 2 } \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) | k | \int _ { 0 } ^ { t } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \vert \Theta ( t ) - \mathbb { E } [ \Theta ( t ) \vert \mathcal { F } _ { t } ( Y ^ { \ast } ) ] \vert ^ { 2 } \right] d t } & { \overset { ( a ) } { = } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \vert \Theta ( t ) - \mathbb { E } [ \Theta ( t ) \vert \mathcal { F } _ { t } ( Y _ { \zeta } ) ] \vert ^ { 2 } \right] d t } \\ & { \overset { ( b ) } { \le } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ \vert \Theta ( t ) - \zeta ( t ) \vert ^ { 2 } ] d t } \\ & { \le P T , } \end{array}
C _ { 1 } \, A _ { \lambda } ( { \bf p } ; { \bf n } ) = - \frac { 1 } { 4 } A _ { \lambda } ( { \bf p } ; { \bf n } ) , \quad { C _ { 2 } } \, A _ { \lambda } ( { \bf p } ; { \bf n } ) = - \imath { \lambda } A _ { \lambda } ( { \bf p } ; { \bf n } ) ,
\varphi ^ { \prime \prime } + a ^ { 2 } \left[ m ^ { 2 } + \delta m + \left( \xi - { \textstyle \frac { 1 } { 6 } } + \delta \xi \right) R \right] \varphi + \frac { \lambda + \delta \lambda } { 6 } \varphi ^ { 3 } + \frac { \lambda } { 2 } \varphi { \cal F } = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \nu \delta | \nabla \zeta ^ { n } | ^ { 2 } = \nu \delta ( | \nabla \Pi _ { K } \zeta ^ { n } | ^ { 2 } + | \nabla ( I - \Pi _ { K } ) \zeta ^ { n } | ^ { 2 } ) } & { \geq \nu \delta ( | \nabla \Pi _ { K } \zeta ^ { n } | ^ { 2 } + \lambda _ { K + 1 } | ( I - \Pi _ { K } ) \zeta ^ { n } | ^ { 2 } ) } \\ & { \geq \nu \delta | \nabla \Pi _ { K } \zeta ^ { n } | ^ { 2 } + 2 \beta \delta | ( I - \Pi _ { K } ) \zeta ^ { n } | ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { { \psi } ^ { \pm j } ( \sigma , \tau ) = \sqrt { \alpha ^ { \prime } } \sum _ { n \in Z } { b _ { n } } ^ { \pm j } \exp [ - i n ( \tau + \sigma ) ] } } \\ { { { \tilde { \psi } } ^ { \pm j } ( \sigma , \tau ) = - \sqrt { \alpha ^ { \prime } } \sum _ { n \in Z } { b _ { n } } ^ { \pm j } \exp [ - i n ( \tau - \sigma ) ] , } } \end{array} \right.
\partial _ { t } \mathcal { P } ( \mathbf { k } _ { 0 } , t ) = - i \left[ \mathcal { E } _ { e h } \left( \mathbf { k } _ { 0 } + \mathbf { A } \right) - i \Gamma \right] \mathcal { P } ( \mathbf { k } _ { 0 } , t )
\begin{array} { r } { w _ { i } + { \nabla } w _ { i } \cdot ( { \bf x } _ { k } - { \bf x } _ { i } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \bf x } _ { k } - { \bf x } _ { i } ) ^ { t } { \nabla } ^ { 2 } w _ { i } ( { \bf x } _ { k } - { \bf x } _ { i } ) = w _ { k } , \quad k \in \{ k _ { i } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | x _ { k } ( t ) - x ^ { k } | } & { < \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, , } \\ { | x _ { k } ( t ) - x _ { k } ( t ^ { \prime } ) | } & { < \frac { \mu } { 4 } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, . } \end{array}
\frac { M _ { i } } { k ^ { 2 } - M _ { i } ^ { 2 } + i 0 } \, \bar { D } ^ { 2 } \delta ^ { 4 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { M _ { i } } { k ^ { 2 } - M _ { i } ^ { 2 } + i 0 } \, D ^ { 2 } \delta ^ { 4 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { t _ { i , n } = t _ { 2 , n } ^ { - 1 } t _ { 1 , i } ^ { - 1 } t _ { 2 , i } t _ { i + 1 , n } \delta _ { 0 } ^ { n } } & { \Longleftrightarrow } & { t _ { 1 , n - i + 1 } = t _ { 1 , n - 1 } ^ { - 1 } t _ { 1 , i } ^ { - 1 } t _ { 1 , i - 1 } t _ { 1 , n - i } \delta _ { 0 } ^ { n } } \\ & { \Longleftrightarrow } & { t _ { 1 , n - i } = t _ { 1 , i - 1 } ^ { - 1 } t _ { 1 , i } t _ { 1 , n - 1 } t _ { 1 , n - i + 1 } \delta _ { 0 } ^ { - n } . } \end{array}
\ln Z _ { \mathrm { I s i n g } } = \ln Z _ { 1 / 2 } + { \frac { m \sqrt { A } } { 2 Z _ { 1 } Z _ { 1 / 2 } } } + m ^ { 2 } A \left( { \frac { 1 } { 4 \pi } } \ln \left( \frac { Z _ { 1 } \sqrt { A } e ^ { \gamma } } { \pi } \right) - { \frac { 1 } { 4 \pi } } { \frac { \sum _ { \alpha , \beta } D _ { \alpha , \beta } \ln D _ { \alpha , \beta } } { Z _ { 1 / 2 } } } - { \frac { 1 } { 8 ( Z _ { 1 } Z _ { 1 / 2 } ) ^ { 2 } } } \right) + \ldots
\underset { m \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \frac { \pi ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } = 1 } ^ { 2 m } \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { m } w _ { i } w _ { i ^ { \prime } } f ( x _ { i , j } , x _ { i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ) = \int _ { { \mathbb { S } ^ { 2 } } \times { \mathbb { S } ^ { 2 } } } f ( \xi , \zeta ) \, d \xi \, d \zeta , \qquad \forall f \in C ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } \times { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) .
\begin{array} { r l } { \left| \frac { \partial } { \partial t } ( g _ { t } v ) \right| } & { = \left| \sum _ { i , j } v ( H _ { t } ) _ { i j } ( u - f ) _ { i j } \right| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 1 - t } \left| \sum _ { i , j } v H _ { i j } u _ { i j } \right| + \frac { 1 } { 1 - t } \left| \sum _ { i , j } v H _ { i j } f _ { i j } \right| } \\ & { \leq 2 n v + 2 \sum _ { i j } v H _ { i j } f _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \check { \theta } _ { 1 c } } & { = \frac { 1 + \alpha } { \alpha } P _ { 0 + } \check { v } _ { 1 + } - { T } _ { 1 + } \left( \frac { \gamma } { \gamma - 1 } + \frac { 1 } { \alpha } - \ln { | \alpha | } \right) + \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \frac { d T _ { 1 } } { d z } \Big | _ { + } } \\ & { \quad - P _ { 1 + } V _ { 0 + } \left( 1 + \alpha - \frac { 1 } { \alpha } + 2 \ln { | \alpha | } \right) + b ^ { 2 } { V } _ { 0 + } ^ { 2 } \frac { 1 - B } { 4 } \left( 1 + 6 \alpha + \alpha ^ { 2 } + 4 \ln { | \alpha | } \right) } \\ & { \quad + b ^ { 2 } { V } _ { 0 + } ^ { 2 } \frac { \gamma } { 4 } ( \alpha - 1 ) ( \alpha + 3 ) + b ^ { 2 } \frac { V _ { 0 + } } { P _ { 0 + } } \nu \frac { d T _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } \left( ( 1 - \alpha ) ( 1 - \ln { | \alpha | } ) + \frac { ( \ln { | \alpha | } ) ^ { 2 } } { 2 } \right) } \\ & { \quad + b ^ { 2 } V _ { 0 + } \nu \frac { d V _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } ( 3 + \alpha + 2 \ln { | \alpha | } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { f } ^ { q } ( \epsilon _ { F } ) = E _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ^ { q } - E _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } } & { { } + E _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ r ~ } } + \sum _ { i } n _ { i } \mu _ { i } } \end{array}
\frac { d \mathrm { ~ } I } { d t } = \frac { \partial I } { \partial t } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \bigg [ \frac { \partial I } { \partial x _ { i } } \dot { x } _ { i } + \frac { \partial I } { \partial p _ { i } } \dot { p } _ { i } \bigg ] = 0 \, .
\begin{array} { r l } & { \quad + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } ( \eta ( s , \alpha ( s - ) , z ) Q ( s , z ) + \bar { \eta } ( s , \alpha ( s - ) , z ) E [ Q ( s + \delta , z ) | \mathcal { F } _ { s } ] ) \nu ( d z ) } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } ( \gamma ^ { j } ( s , \alpha ( s - ) ) V ^ { j } ( s ) + \bar { \gamma } ^ { j } ( s , \alpha ( s - ) ) E [ V ^ { j } ( s + \delta ) | \mathcal { F } _ { s } ] ) ) \lambda _ { j } ( t ) } \\ & { \quad + l ( s , \alpha ( s ) ) \biggr ) d s - Z ( s ) d W ( s ) - \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } Q ( s , z ) \tilde { N } ( d s , d z ) - V ( s ) d \tilde { \Phi } ( s ) \biggr \} } \\ & { \quad + \int _ { t } ^ { T } Y ( s ) \biggl \{ \biggl ( b ( s , \alpha ( s ) ) X ( s ) + \bar { b } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) X ( s - \delta ) \biggr ) d s } \\ & { \quad + \biggl ( \sigma ( s , \alpha ( s ) ) X ( s ) + \bar { \sigma } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) X ( s - \delta ) \biggr ) d W ( s ) } \\ & { \quad + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \biggl ( \eta ( s , \alpha ( s - ) , z ) X ( s - ) + \bar { \eta } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) , z ) X ( ( s - \delta ) - ) \biggr ) \tilde { N } ( d s , d z ) } \\ & { \quad + \biggl ( \gamma ( s , \alpha ( s - ) ) X ( s - ) + \bar { \gamma } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) X ( ( s - \delta ) - ) \biggr ) d \Phi ( s ) \biggr \} } \\ & { \quad + \int _ { t } ^ { T } \biggl \{ \biggl ( \sigma ( s , \alpha ( s ) ) X ( s ) + \bar { \sigma } ( s - \delta ) X ( s - \delta ) \biggr ) Z ( s ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \biggl ( \eta ( s , \alpha ( s - ) , z ) } \\ & { \quad \times X ( s - ) + \bar { \eta } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) , z ) X ( ( s - \delta ) - ) \biggr ) Q ( s , z ) \nu ( d z ) } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } \biggl ( \gamma ^ { j } ( s , \alpha ( s - ) ) X ( s - ) + \bar { \gamma } ^ { j } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) ) } \\ & { \quad \times X ( ( s - \delta ) - ) \biggr ) V ^ { j } ( s ) \lambda _ { j } ( s ) \biggr \} d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = \sum _ { \mathbf { R } } \sum _ { i } \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] + \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { i j } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \nu _ { j } } [ t _ { \mathbf { k } , i j } ] _ { \alpha \beta } \dag , c _ { \mathbf { k } i \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { k } j \beta } ^ { \phantom { \dagger } } \dag } & { = \sum _ { \mathbf { R } } \sum _ { i } \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] + \sum _ { \mathbf { R } , \mathbf { R ^ { \prime } } } \sum _ { i j } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \nu _ { j } } [ t _ { \mathbf { R } i , \mathbf { R ^ { \prime } } j } ] _ { \alpha \beta } \dag , c _ { \mathbf { R } i \alpha } ^ { \dagger } c _ { \mathbf { R ^ { \prime } } j \beta } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \alpha \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { E } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \parallel } } & { { } = \lambda _ { \parallel } \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \parallel } . } \end{array}
J \left( ( 1 - z ) Q ^ { 2 } \right) = \mathrm { F T } _ { q + z p } ^ { ( 4 ) } \; \langle 0 | \Phi _ { v } ^ { \dagger } ( 0 , - \infty ) \; \psi ( 0 ) \, \bar { \psi } ( y ) \; \Phi _ { v } ( y , - \infty ) | 0 \rangle \otimes V ^ { - 1 } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \mu - 1 \sigma \leq X \leq \mu + 1 \sigma ) } & { \approx 6 8 . 2 7 \% } \\ { \operatorname* { P r } ( \mu - 2 \sigma \leq X \leq \mu + 2 \sigma ) } & { \approx 9 5 . 4 5 \% } \\ { \operatorname* { P r } ( \mu - 3 \sigma \leq X \leq \mu + 3 \sigma ) } & { \approx 9 9 . 7 3 \% } \end{array} }
\lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } P _ { L _ { + } } - \lambda ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } P _ { L _ { - } } = ( q ^ { \frac { 1 } { 2 } } - q ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } ) P _ { L _ { 0 } }
\begin{array} { r } { \overline { x } = x / ( 4 x ^ { * } ) , \quad \overline { y } = y / ( 4 y ^ { * } ) , \quad \overline { z } = z / z ^ { * } , \quad \overline { r } _ { 1 } = r _ { 1 } , \quad \overline { K } _ { 1 } = K _ { 1 } / ( 4 x ^ { * } ) , \quad \overline { q } _ { 1 } = q _ { 1 } z ^ { * } , } \\ { \overline { a } _ { 1 } = 4 a _ { 1 } x ^ { * } , \quad \overline { r } _ { 2 } = r _ { 2 } , \quad \overline { K } _ { 2 } = K _ { 2 } / ( 4 y ^ { * } ) , \quad \overline { q } _ { 2 } = q _ { 2 } z ^ { * } , \quad \overline { a } _ { 2 } = 4 a _ { 2 } y ^ { * } , \quad \overline { c } _ { 1 } = 4 c _ { 1 } x ^ { * } / z ^ { * } , } \\ { \overline { c } _ { 2 } = 4 c _ { 2 } y ^ { * } / z ^ { * } , \quad \overline { \mu } = \mu , \quad \overline { m } = m z ^ { * } , \quad \overline { \alpha } _ { 1 2 } = 4 \alpha _ { 1 2 } y ^ { * } , \quad \overline { \alpha } _ { 2 1 } = 4 \alpha _ { 2 1 } x ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { c } { { Q 7 } } \\ { { ( 7 , 0 , 2 ) } } \end{array} \, \, \, \left\{ \begin{array} { r c l } { { d \hat { s } _ { I I B } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \left( H _ { D 7 } ^ { 2 } + A ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left[ H _ { D 7 } ^ { - 1 / 2 } \left( \eta _ { i j } d y ^ { i } d y ^ { j } - d y ^ { 2 } \right) - H _ { D 7 } ^ { 1 / 2 } d \omega d \overline { { { \omega } } } \right] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { \lambda } } } & { { = } } & { { - 1 / ( - A + i H _ { D 7 } ) \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { W } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) } & { = \partial _ { t } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) + \sum _ { j \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } , j \leq k } \mathbf { v } _ { k - j } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { j } ^ { \pm } - \nu ^ { \pm } \Delta \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) + \nabla p _ { k } ^ { \pm } ( x , t ) } \\ { \mathbf { W } ^ { \pm } } & { = \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \mathbf { W } _ { k } ^ { \pm } , } \end{array}
s \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \gamma } ( u ) = \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \gamma } ( u ) - \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { L ^ { i } { } _ { j c } } } \\ { { C ^ { a } { } _ { b i } } } & { { 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { L ^ { i } { } _ { j k } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { C ^ { a } { } _ { b c } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { f ( x , y _ { k } ) - \varphi ( x ) } & { \le \frac { 1 } { 2 \tau } ( \Vert y _ { k } - y ^ { * } ( x ) \Vert ^ { 2 } - \Vert y _ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ) \Vert ^ { 2 } ) + \frac { \tau C ^ { 2 } } { 2 } , \quad k \in { \mathcal { I } } ; } \\ { g ( x , y _ { k } ) - g ^ { * } ( x ) } & { \le \frac { 1 } { 2 \tau } ( \Vert y _ { k } - y ^ { * } ( x ) \Vert ^ { 2 } - \Vert y _ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ) \Vert ^ { 2 } ) + \frac { \tau C ^ { 2 } } { 2 } , \quad k \notin { \mathcal { I } } ; } \end{array}
d s _ { D W } ^ { 2 } = H ( z ) ^ { - \frac { 2 \alpha } { \epsilon } } \left( d x ^ { \mu } \otimes d x ^ { \nu } \eta _ { \mu \nu } \right) + H ( z ) ^ { - \frac { 2 \beta + \epsilon } { \epsilon } - 2 } \, \frac { d z ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } }
{ _ { x _ { j } ^ { + } } } ^ { C } D _ { \infty } ^ { ( \alpha , { \lambda } ) } ~ ~ \overline { { U ^ { + } } } = \frac { - 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) ) } \int _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \infty } ( \zeta - x _ { j } ^ { + } ) ^ { - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } { e ^ { - \lambda \frac { | \zeta - x _ { j } ^ { + } | } { R e _ { \tau } } } } \frac { d \overline { { U ^ { + } } } } { d x _ { j } ^ { + } } d \zeta
( - i \omega ) b ^ { l } + \frac { N ^ { 2 } r _ { 0 } } { \mathrm { d } g _ { 0 } } \frac { u _ { r } ^ { l } } { g } = \frac { \kappa } { \sqrt { r _ { 0 } ^ { 3 } g _ { 0 } } } \Bigg [ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } } { r } \bigg ( r ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } b ^ { l } } { \mathrm { d } \mathrm { d } r } \bigg ) - \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } b ^ { l } \Bigg ] .
g _ { \pm } ^ { \alpha } ( s ^ { 2 } , \delta m ^ { 2 } / \mathrm { e V } ^ { 2 } ) = K _ { \alpha } \, F _ { \pm } ^ { \alpha } ( s ^ { 2 } ) \, s ^ { 2 } \sqrt { | \delta m ^ { 2 } | / \mathrm { e V } ^ { 2 } }
j * \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) * \frac { m _ { 1 } } { \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } = l * \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) * \frac { m _ { 2 } } { \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } = k * \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) * \frac { m _ { 1 } } { \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } * \frac { m _ { 2 } } { \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) } = k * \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { \operatorname* { g c d } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) }
\mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( - \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { T T } } \right) ^ { k } \right) \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( t ) } & { = } & { - \lambda ( t ) [ m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] , } \\ { \dot { \lambda } ( t ) } & { = } & { \lambda ( t ) [ 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] - b ( \lambda ( t ) - \lambda _ { 0 } ) , } \\ { p _ { m } } & { = } & { 0 , } \\ { p _ { \lambda } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { 1 } = b _ { i } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right] \ge \operatorname* { P r } _ { x \sim p } \left[ x _ { 1 } = b _ { i } , x _ { 2 } = y _ { 2 } , x _ { \overline { { S ( \pi ) } } } = y _ { \overline { { S ( \pi ) } } } \right] > \gamma \cdot \frac { 1 - \frac { 1 } { 4 m } } { 1 + \frac { 1 } { 4 m } } .
F _ { l } ( x ) = - \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { d } { d x } ( e _ { l } s _ { l } ) \right) ^ { 2 } - x ^ { 2 } \Bigl ( s ^ { \prime \, 2 } - s s ^ { \prime \prime } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \prime \, 2 } - e e ^ { \prime \prime } \Bigr ) ,
\int _ { r = 0 } ^ { + \infty } b _ { d } c _ { 1 } ^ { \prime } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } ( \delta _ { 1 } + r ) / 2 } \, d r = c _ { 1 } ^ { \prime } b _ { d } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } \delta _ { 1 } / 2 } \int _ { r = 0 } ^ { + \infty } e ^ { - a _ { { \mathrm { l r } } } r / 2 } \, d r = \frac { 2 c _ { 1 } ^ { \prime } b _ { d } } { a _ { \mathrm { l r } } } e ^ { - a _ { \mathrm { l r } } \delta _ { 1 } / 2 } .
{ \begin{array} { r l } { { \vec { \omega } } = \nabla \times { \vec { v } } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial } { \partial x } } } & { \, { \frac { \partial } { \partial y } } } & { \, { \frac { \partial } { \partial z } } } \end{array} \right) } \times { \left( \begin{array} { l l l } { v _ { x } } & { v _ { y } } & { v _ { z } } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial v _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial v _ { y } } { \partial z } } } & { \quad { \frac { \partial v _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial v _ { z } } { \partial x } } } & { \quad { \frac { \partial v _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial v _ { x } } { \partial y } } } \end{array} \right) } \, . } \end{array} }
\mathcal { R } ^ { 1 } _ { 2 } = d \omega ^ { 1 } _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \left( \frac { \mathsf { G } _ { 2 , 1 } } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \right) _ { , 1 } + \left( \frac { \mathsf { G } _ { 1 , 2 } } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \right) _ { , 2 } \right] d X ^ { 1 } \wedge d X ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { A \simeq \sigma _ { \mathrm { e } } \tau _ { \mathrm { T } } \left( \frac { \overline { E } _ { 0 } } { m _ { \mathrm { e } } c ^ { 2 } } \right) ^ { \! \! \! - 1 } \! \! \left( \frac { n _ { \mathrm { e 0 } } } { n _ { \mathrm { p h 0 } } } \right) \left( \frac { v _ { \mathrm { A } } } { c } \right) \left( \frac { \delta B } { B _ { 0 } } \right) ^ { \! \! 3 } \left( \frac { l _ { \mathrm { e s c } } } { l _ { 0 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \frac { w _ { q } } { N _ { S } } \mathrm { ~ S ~ W ~ M ~ S ~ E ~ } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { t } | \boldsymbol { \theta } _ { B } , \boldsymbol { \theta } _ { X } ) + \frac { w _ { c 1 } } { N _ { S } } C _ { 1 } ( \boldsymbol { \theta } _ { B } , \boldsymbol { \theta } _ { X } ) } \end{array}
T _ { 1 2 } = \lambda q ^ { - 1 } \left[ a _ { 1 } ^ { \dag } a _ { 2 } q ^ { N _ { 2 } - M _ { 2 } } - \lambda q q ^ { N _ { 2 } + N _ { 3 } - M _ { 3 } } a _ { 1 } ^ { \dag } a _ { 3 } b _ { 3 } ^ { \dag } b _ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \sum _ { n \in \mathbb { N } } \alpha _ { n } = \int \left( 1 - 1 _ { { \textrm { s u p p } } ( \widetilde { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] = 1 - \bar { w } \, } \end{array}
- \frac { \partial \theta } { \partial t } ( z _ { 1 } , t ) \phi ( z _ { 2 } / \varepsilon ) - u ^ { z _ { 1 } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , t ) \frac { \partial \theta } { \partial z _ { 1 } } ( z _ { 1 } , t ) \phi ( z _ { 2 } / \varepsilon ) + \nu | T ^ { \prime } | ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \theta } { \partial z _ { 1 } ^ { 2 } } ( z _ { 1 } , t ) \phi ( z _ { 2 } / \varepsilon ) ,
\frac { D } { D t } \frac { \mathcal { L } } { T } = T \left( \frac { \partial \mathcal { L } / T } { \partial T } \right) _ { \rho } \frac { D \ln p } { D t } - T \left( \frac { \partial \mathcal { L } / T } { \partial T } \right) _ { p } \frac { D \ln \rho } { D t } .
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial } { \partial t } \right| _ { t = 0 } \int _ { P } g _ { t } v d x } & { = \int _ { P } \sum _ { i , j } v H _ { i j } ( u - f ) _ { i j } d x } \\ & { = \int _ { P } \sum _ { i , j } v H _ { i j } u _ { i j } d x - \int _ { P } \sum _ { i , j } v H _ { i j } f _ { i j } d x } \\ & { = \mathcal { F } _ { v , w } ( u ) - \mathcal { F } _ { v , w } ( f ) = \mathcal { F } _ { v , w } ( u - f ) . } \end{array}
x _ { 1 } = \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } , \qquad x _ { 2 } = \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } , \qquad { \bf q } _ { 1 T } + { \bf q } _ { 2 T } = { \bf p } _ { \psi \, T } + { \bf p } _ { g \, T } .
\begin{array} { r l } { | \tilde { X } | } & { = \big | \sum _ { i j k \ell ( d i s t ) } \tilde { \Omega } _ { i j } \tilde { \Omega } _ { j k } \tilde { \Omega } _ { k \ell } \theta _ { i } \theta _ { \ell } \big | \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \sum _ { i j k \ell } \beta _ { i } \theta _ { i } ^ { 2 } \beta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\bigg | { \frac { { \cal A } _ { n e w } } { { \cal A } _ { S M } } } \bigg | \simeq 1 0 ^ { - 2 } \ \sqrt { A ^ { \prime } } { \frac { \cos ^ { 8 / 3 } \beta } { \sin ^ { 1 0 / 3 } \beta } } { \frac { m _ { t } [ V _ { s t } ( N _ { u } V _ { L } ) _ { t d } + V _ { d t } ( N _ { u } V _ { L } ) _ { t s } ] } { m _ { b } ^ { 2 } } }
Y _ { \mathrm { e q } } ( \omega , \mathbf { k } ) = \gamma \left( 1 - \frac { v } { c } \sin \theta \right) \, Y _ { \mathrm { e q } } ^ { \prime } ( \omega ^ { \prime } , \mathbf { k } ^ { \prime } ) , \quad \textrm { T E p o l . }
\gamma \left( { \bf { r } } _ { 1 } , { \bf { r } } _ { 2 } \right) = \iint { \iint { { { \Gamma } _ { 0 } } \left( { \bf { v } } _ { 1 } , { \bf { v } } _ { 2 } \right) K \left( { \bf { r } } _ { 1 } , { \bf { v } } _ { 1 } \right) { { K } ^ { * } } \left( { \bf { r } } _ { 2 } , { \bf { v } } _ { 2 } \right) { { d } ^ { 2 } } { { \bf { v } } _ { 1 } } } { { d } ^ { 2 } } { { \bf { v } } _ { 2 } } } ,