harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { D u ^ { \mu } } { d \tau } } & { = } & { \frac { q } { m } F _ { \ \ \nu } ^ { \mu } u ^ { \nu } + \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 m } \left( \frac { q } { m } \nabla _ { \alpha } F _ { \ \ \nu } ^ { \mu } u ^ { \alpha } u ^ { \nu } \right) } \\ & { + } & { \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 m } \left( \frac { q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \left( F ^ { \mu \nu } F _ { \nu \rho } + F ^ { \nu \alpha } F _ { \alpha \rho } u _ { \nu } u ^ { \mu } \right) u ^ { \rho } \right) \, . } \end{array}
v _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega _ { j } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; \nu \leq e ^ { - b \left( \frac { \hat { s } _ { i , j } } { \langle \hat { s } _ { j } \rangle + b _ { 0 } } \right) } } \\ { - \omega _ { j } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, .
\hat { B } _ { 1 : m } \longleftarrow \left[ \begin{array} { l l l } { s _ { 1 } ^ { T } \hat { y _ { 1 } } } & { \dots } & { s _ { 1 } ^ { T } \hat { y } _ { m } } \\ & { \ddots } & { \vdots } \\ & & { s _ { m } ^ { T } \hat { y } _ { m } } \end{array} \right] , \hat { C } _ { 1 : m } \longleftarrow \left[ \begin{array} { l l l } { { s _ { 1 } ^ { T } \hat { y _ { 1 } } } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { { s _ { m } ^ { T } } \hat { y _ { m } } } \end{array} \right]
\Omega ( \pm \eta _ { \mathrm { j } } ) = \Psi _ { \mathrm { i } } \pm \epsilon n \eta _ { 0 } \biggl ( 1 - \frac { n ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { i n f } } ^ { 2 } } \biggr ) ^ { 1 / 2 } + { \cal O } ( \epsilon ^ { 3 } ) .
Q = - Q _ { \alpha \mu \nu } P ^ { \alpha \mu \nu } = - \frac { 1 } { 4 } \Big ( - Q ^ { \alpha \nu \lambda } Q _ { \alpha \nu \lambda } + 2 Q ^ { \alpha \nu \lambda } Q _ { \lambda \alpha \nu } - 2 Q ^ { \lambda } \bar { Q } _ { \lambda } + Q ^ { \lambda } Q _ { \lambda } \Big ) .
\Psi _ { \alpha \vec { k } ^ { \prime } } ^ { - } \simeq \sqrt { N } \hat { \mathcal { A } } _ { N } \, \Xi _ { \alpha } ^ { \Gamma } ( x _ { 1 } \textrm { \, --- \, } x _ { N - 1 } ; \hat { r } _ { N } , \zeta _ { N } ) \, \phi _ { \alpha , \ell _ { \alpha } \epsilon } ^ { \Gamma \, - } ( r _ { N } )
\begin{array} { r l r } { \langle P \cdot \mathcal { D } , Q \rangle } & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( Q \cdot ( 1 + x \partial _ { x } ) \right) ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) e ^ { - A ^ { \ast } x } \left( x T ^ { - 1 } ( x ) \, A \, T ( x ) + x T ^ { - 1 } ( x ) T ^ { \prime } ( x ) + x A ^ { \ast } \right) e ^ { A ^ { \ast } x } Q ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) e ^ { - A ^ { \ast } x } \left( x T ^ { - 1 } ( x ) \, A \, T ( x ) - x \right) e ^ { A ^ { \ast } x } Q ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( Q \cdot ( 1 + x \partial _ { x } ) \right) ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) e ^ { - A ^ { \ast } x } \left( x T ^ { - 1 } ( x ) T ^ { \prime } ( x ) + x A ^ { \ast } + x \right) e ^ { A ^ { \ast } x } Q ^ { \ast } ( x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ~ P _ { y } = } & { } & { \frac { s a _ { 1 } d \sin \psi _ { x } } { 2 } \left[ \frac { - R \cos ( \omega t - \alpha _ { 1 } - \beta ) } { R ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ( P ) ( \omega _ { L } - \omega ) ^ { 2 } } \right. } \\ & { } & { + \left. \frac { Q ( P ) ( \omega _ { L } - \omega ) \sin ( \omega t - \alpha _ { 1 } - \beta ) } { R ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ( P ) ( \omega _ { L } - \omega ) ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } ( C ) } & { { } = } & { \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } [ \tilde { \Omega } _ { 0 } ^ { ( 1 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } + \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \tilde { \Omega } _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ] a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } . \ \ \ } \end{array}
S _ { \mathrm { B I - Y M } } ^ { ( \mathrm { q } ) } = \sqrt { \, { \frac { N \, V } { 4 g _ { 0 } ^ { 2 } } } \, \mathbf { F } _ { c d \, \mu \nu } ^ { ( 0 ) } \, \mathbf { F } ^ { ( 0 ) } { } ^ { c d \, \mu \nu } \, } \equiv \sqrt { \, { \frac { N \, V } { 4 g _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { T r } \, \mathbf { F } _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } \, \mathbf { F } ^ { ( 0 ) } { } ^ { \mu \nu } \, }
\begin{array} { r l } { \mathbf { g } ( \xi ) } & { \triangleq \sum _ { j = 1 } ^ { \Delta } \prod _ { \ell \in [ \Delta ] \setminus \{ j \} } \left( \frac { \xi - \alpha _ { \ell } } { \alpha _ { j } - \alpha _ { \ell } } \right) \prod _ { \ell = 1 } ^ { t } \left( \frac { \xi - \chi _ { \ell } } { \alpha _ { j } - \chi _ { \ell } } \right) \mathbf { e } _ { ( \iota , j ) } } \\ & { + \sum _ { h = 1 } ^ { t } \prod _ { \ell = 1 } ^ { \Delta } \left( \frac { \xi - \alpha _ { \ell } } { \chi _ { h } - \alpha _ { \ell } } \right) \prod _ { \ell \in [ t ] \setminus \{ h \} } \left( \frac { \xi - \chi _ { \ell } } { \chi _ { h } - \chi _ { \ell } } \right) \mathbf { r } ^ { ( h ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \alpha } } & { \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n } e ^ { \mathrm { i } \omega t } + \mathrm { i } \frac { \alpha } { \Theta _ { c } } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg ( \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n + 1 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } + \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n - 1 } e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } \bigg ) + \mathrm { i } \frac { m _ { \alpha } } { 2 \Theta _ { m } } \bigg [ \sqrt { n + 1 } \Bigg ( \mathcal { U } _ { n + 1 } + \mathrm { i } \frac { \alpha } { \Theta _ { c } } \Big ( \sqrt { n + 2 } \mathcal { U } _ { n + 2 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } + \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n } e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } \Big ) \Bigg ) } \\ & { \times e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } + \sqrt { n } \Bigg ( \mathcal { U } _ { n - 1 } + \mathrm { i } \frac { \alpha } { \Theta _ { c } } \Big ( \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n } e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } + \sqrt { n - 1 } \mathcal { U } _ { n - 2 } e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 2 } } \Big ) \Bigg ) e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } \bigg ] \left( e ^ { \mathrm { i } ( \omega + \Omega ) t } + e ^ { \mathrm { i } ( \omega - \Omega ) t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \imath _ { X Y } ( x , y | D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) = \log \frac { P _ { \hat { X } \hat { Y } | X Y } ^ { * } ( \hat { x } , \hat { y } | x , y ) } { P _ { \hat { X } \hat { Y } } ^ { * } ( \hat { x } , \hat { y } ) } } \\ { * } & { \qquad \qquad + \nu _ { 1 } ^ { * } ( d _ { 1 } ( x , \hat { x } ) - D _ { 1 } ) + \nu _ { 2 } ^ { * } ( d _ { 2 } ( y , \hat { y } ) - D _ { 2 } ) . } \end{array}
\Bigg ( 1 - e ^ { - \frac { t _ { s } } { \tau } } \Bigg ( 1 + \frac { t _ { s } } { \tau } \Bigg ) \Bigg ) = \alpha \Bigg [ e ^ { - \frac { T _ { p e a k } } { \tau } } \Bigg ( B \frac { T _ { p e a k } } { \tau } + C \Bigg ) \Bigg ] ~ .
\frac { d \Gamma } { d k _ { L } ^ { \prime } } = \frac { M _ { B } } { 2 E _ { B } } \int _ { k _ { \psi , \mathrm { m i n } } } ^ { k _ { \psi , \mathrm { m a x } } } \frac { d k _ { \psi } } { k _ { \psi } } \, \frac { d \Gamma } { d k _ { \psi } } ,
\begin{array} { r l } & { \langle c ^ { \prime } c | _ { i j } \otimes \langle p _ { 0 } | V _ { 1 } ^ { \mathrm { e f f } } | p _ { 0 } \rangle \otimes | c c ^ { \prime } \rangle _ { i j } } \\ { = } & { \sum _ { c ^ { \prime \prime } = c , c ^ { \prime } } \frac { \langle c ^ { \prime } c | _ { i j } \otimes \langle p _ { 0 } | V _ { 1 } | q _ { k } \rangle \otimes | c ^ { \prime \prime } c ^ { \prime \prime } \rangle _ { i j } \langle c ^ { \prime \prime } c ^ { \prime \prime } | _ { i j } \otimes \langle q _ { k } | V _ { 1 } | p _ { 0 } \rangle \otimes | c c ^ { \prime } \rangle _ { i j } } { E _ { 0 } - E _ { k } } = \frac { 1 } { 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ i ~ } \omega \delta \varrho = \frac { \textrm { d } \varrho _ { 0 } } { \textrm { d } x } \delta v _ { x } + \varrho _ { 0 } \left( \frac { \textrm { d } \delta v _ { x } } { \textrm { d } x } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { y } \delta v _ { y } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } \delta v _ { z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \xi \right) } & { { } = \chi _ { \left[ 0 , \omega \right] } \left( \xi \right) \int _ { D \times \{ t \} } \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } \left( x _ { t } \right) \right) \exp \left( - 2 \pi i \langle x _ { t } , \xi \rangle \right) \mathsf { d } x _ { t } . } \end{array}
Z _ { M N } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { { 0 } } & { { - w _ { 9 } } } & { { - k _ { 9 } } } & { { z _ { 9 0 } } } & { { z _ { 9 1 } } } & { { \cdots } } & { { z _ { 9 8 } } } \\ { { w _ { 9 } } } & { { 0 } } & { { - k _ { 1 0 } } } & { { z _ { 1 0 0 } } } & { { z _ { 1 0 1 } } } & { { \cdots } } & { { z _ { 1 0 8 } } } \\ { { k _ { 9 } } } & { { k _ { 1 0 } } } & { { 0 } } & { { p _ { 0 } } } & { { p _ { 1 } } } & { { \cdots } } & { { p _ { 8 } } } \\ { { - z _ { 9 0 } } } & { { - z _ { 1 0 0 } } } & { { - p _ { 0 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { - z _ { 9 1 } } } & { { - z _ { 1 0 1 } } } & { { - p _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { - z _ { 9 8 } } } & { { - z _ { 1 0 8 } } } & { { - p _ { 8 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \alpha _ { t } } & { = ( K _ { t + 1 } - \bar { K } _ { t + 1 } ) ^ { \top } ( K _ { t + 1 } - \bar { K } _ { t + 1 } ) } \\ & { \quad + 2 ( K _ { t + 1 } - \bar { K } _ { t + 1 } ) ^ { \top } ( \bar { K } _ { t + 1 } - W ^ { \ast } ) } \\ & { = - ( K _ { t + 1 } - \bar { K } _ { t + 1 } ) ^ { \top } ( K _ { t + 1 } - \bar { K } _ { t + 1 } ) } \\ & { \quad + 2 ( K _ { t + 1 } - \bar { K } _ { t + 1 } ) ^ { \top } ( K _ { t + 1 } - W ^ { \ast } ) . } \end{array}
\frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 \pi G \rho } = \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } A _ { 1 } ^ { \prime } - a _ { 2 } ^ { 2 } A _ { 2 } ^ { \prime } } { a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } A _ { 1 } ^ { \prime } - a _ { 3 } ^ { 2 } A _ { 3 } ^ { \prime } } { a _ { 1 } ^ { 2 } } = \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } A _ { 2 } ^ { \prime } - a _ { 3 } ^ { 2 } A _ { 2 } ^ { \prime } } { a _ { 2 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \infty } & { > } & { \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } _ { 0 } , n \in \mathbb { N } } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left( \prod _ { s = 1 } ^ { m } w _ { r - s } \right) a _ { r - m , k } } { n a _ { r , l } } \geq \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } _ { 0 } , n \in \mathbb { N } } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left( \prod _ { s = 1 } ^ { n } w _ { r - s } \right) a _ { r - n , k } } { n a _ { r , l } } } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } _ { 0 } , n \in \mathbb { N } } \frac { \left( \prod _ { s = 1 } ^ { n } w _ { r - n + n - s } \right) a _ { r - n , k } } { a _ { r - n + n , l } } = \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } _ { 0 } , n \in \mathbb { N } } \frac { \left( \prod _ { t = 0 } ^ { n - 1 } w _ { j + t } \right) a _ { j , k } } { a _ { j + n , l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I m } \, \sigma _ { x x } ( \omega ) } & { = \frac { e ^ { 2 } } { h } \frac { 1 } { 4 } \int \mathrm { d } \epsilon _ { + } \bigg ( 1 + \frac { m ^ { 2 } v ^ { 4 } } { \epsilon _ { + } ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { \quad \times \Bigg [ \frac { \hbar \omega - 2 \epsilon _ { + } } { ( \hbar \omega - 2 \epsilon _ { + } ) ^ { 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 \tau ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { + } + \hbar \omega } \Bigg ] \ . } \end{array}
{ r _ { H } } _ { + } - { r _ { H } } _ { - } \simeq \frac { ( p + 1 ) ( p + 2 ) } { 4 [ | \Lambda | - 2 \pi G _ { D } ( 1 - { f _ { H } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] } \left[ \frac { 4 \hat { R } } { p ( p + 1 ) } \right] ^ { \frac { p + 1 } { p } } > 0 .
q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } = { \frac { q _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } { 4 N _ { 1 } } } \simeq { \frac { h _ { 1 } \sqrt \lambda } { 4 g ^ { 2 } } } \, 1 0 ^ { - 4 } \, .
\epsilon ^ { i j } = \mu ^ { i j } = - \sqrt { - \operatorname* { d e t } g } \frac { g ^ { i j } } { g _ { 0 0 } } , \qquad \qquad \gamma ^ { i j } = - \varepsilon ^ { i j k } \frac { g _ { 0 k } } { g _ { 0 0 } } .
\begin{array} { r } { \frac { \textbf { k } _ { 1 } } { k _ { 1 } } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \quad \frac { \textbf { k } _ { 2 } } { k _ { 2 } } = \left( \begin{array} { l } { \sin \theta _ { 1 2 } } \\ { 0 } \\ { \cos \theta _ { 1 2 } } \end{array} \right) , \quad \frac { \textbf { k } _ { 3 } } { k _ { 3 } } = \left( \begin{array} { l } { \sin \theta _ { 1 3 } \cos \phi _ { 2 3 } } \\ { \sin \theta _ { 1 3 } \sin \phi _ { 2 3 } } \\ { \cos \theta _ { 1 3 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left( X _ { t } ^ { h , ( j ) } \right) ^ { 2 } \right] = \mathbb { E } \left[ \sum _ { s \leq t } \left( \xi _ { s - } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } \Delta N _ { s } + 2 \sum _ { s \leq t } \sum _ { s ^ { \prime } < s } \xi _ { s - } ^ { ( j ) } \xi _ { s ^ { \prime } - } ^ { ( j ) } \Delta N _ { s } \Delta N _ { s ^ { \prime } } \right] } \\ { = } & { \, \mathbb { E } \left[ \sum _ { s \leq t } \mathbb { E } \left[ \left( \xi _ { s - } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } \Delta N _ { s } \Big \vert X _ { s - } ^ { h } \right] \right] + 2 \, \mathbb { E } \left[ \sum _ { s \leq t } \sum _ { s ^ { \prime } < s } \xi _ { s ^ { \prime } - } ^ { ( j ) } \Delta N _ { s ^ { \prime } } \, \mathbb { E } \left[ \xi _ { s - } ^ { ( j ) } \Delta N _ { s } \big \vert X _ { s - } ^ { h } \right] \right] \ . } \end{array}
\hat { H } _ { f _ { 1 } } ^ { A ( B ) } , \hat { H } _ { m } ^ { A ( B ) } , \hat { H } _ { a } ^ { A ( B ) } , \hat { H } _ { f _ { 2 } } ^ { A ( B ) } , \hat { H } _ { I _ { 1 } } ^ { A ( B ) }
\mathbf { { K } } _ { 1 } ( t - t ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 2 } } \cos \left[ \omega _ { i } ( t - t ^ { \prime } ) \right] ( t - t ^ { \prime } ) } \\ { - \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 2 } } \cos \left[ \omega _ { i } ( t - t ^ { \prime } ) \right] ( t - t ^ { \prime } ) } & { 0 } \end{array} \right)
{ \overline { { \mathbf { e } _ { 2 } } } } ( s ) = \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( s ) - \langle \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ( s ) , \mathbf { e } _ { 1 } ( s ) \rangle \, \mathbf { e } _ { 1 } ( s )
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ) = } \\ & { } & { \int _ { \partial D _ { b } } \frac { h _ { \gamma \beta { \pmb \beta } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) } { 8 \pi } \left( \delta _ { \alpha \gamma } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } - \lambda ( t _ { \alpha \gamma } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \nabla _ { b } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) t _ { c \gamma } ( { \pmb x } ) \nabla _ { c } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb \alpha } _ { m } } ) \right) d S ( { \pmb x } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \| f \chi _ { B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } { \| \chi _ { B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \sim \frac { 1 } { | B | ^ { \frac { 1 } { p ( \cdot ) } } } \| f \chi _ { B } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim \frac { 1 } { | B | ^ { \frac { 1 } { p ^ { + } } } } \| f \chi _ { B } \| _ { L ^ { p ^ { + } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } = \bigg ( \frac { 1 } { | B | } \int _ { B } | f ( y ) | ^ { p ^ { + } } d y \bigg ) ^ { \frac { 1 } { p ^ { + } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } } & { \sim \mathbf { U n i f } ( - 1 0 , 1 0 ) } \\ { \sigma _ { \alpha } } & { \sim \mathbf { U n i f } ( 0 , 1 0 ) } \\ { \mu _ { \beta } } & { \sim \mathbf { U n i f } ( - 1 0 , 1 0 ) } \\ { \sigma _ { \beta } } & { \sim \mathbf { U n i f } ( 0 , 1 0 ) } \\ { \mu _ { \theta } } & { \sim \mathbf { U n i f } ( - 1 0 , 1 0 ) } \\ { \sigma _ { \theta } } & { \sim \mathbf { U n i f } ( 0 , 1 0 ) } \\ { \sigma } & { \sim \mathbf { U n i f } ( 0 , 1 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \mathbb { E } \bigg \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla g ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq 2 L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + 2 L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
\delta = \frac { 1 } { 0 . 3 \; \mathrm { G e V } \, \mathrm { c m } ^ { - 3 } } \frac { \int d ^ { \, 3 } r _ { c l } \, \left( \rho _ { c l } ( \vec { r _ { c l } } ) \right) ^ { 2 } } { \int d ^ { \, 3 } r _ { c l } \, \rho _ { c l } ( \vec { r _ { c l } } ) } \; ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \frac { i } { F } ( g _ { r } ^ { 2 } - \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } \Omega _ { b } ) , } \\ { A _ { 2 } } & { = \frac { - i } { F } ( g _ { l } g _ { r } + g _ { a } e ^ { - i \theta } \Omega _ { b } ) , } \\ { B _ { 1 } } & { = \frac { - i } { F } ( g _ { a } g _ { r } e ^ { i \theta } + g _ { l } \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } ) , } \\ { B _ { 2 } } & { = \frac { - i } { F } ( g _ { l } g _ { a } e ^ { - i \theta } + g _ { r } \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } ) , } \\ { C _ { 1 } } & { = \frac { - i } { F } ( g _ { l } g _ { r } + g _ { a } e ^ { i \theta } \Omega _ { b } ) , } \\ { C _ { 2 } } & { = \frac { i } { F } ( g _ { l } ^ { 2 } - \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { b } ) . } \end{array}
C _ { 1 0 } = { \frac { 1 0 } { 8 1 } } - \left[ \left( { \frac { 9 1 } { 8 1 } } - { \frac { 9 9 1 } { 9 8 0 1 } } \right) \times 1 0 ^ { - 9 } + \left( { \frac { 9 9 0 1 } { 9 8 0 1 } } - { \frac { 9 9 9 0 1 } { 9 9 8 0 0 1 } } \right) \times 1 0 ^ { - 1 8 9 } + \left( { \frac { 9 9 9 0 0 1 } { 9 9 8 0 0 1 } } - { \frac { 9 9 9 9 0 0 1 } { 9 9 9 8 0 0 0 1 } } \right) \times 1 0 ^ { - 2 8 8 9 } + \ldots \right] .
L = f ^ { 2 } a _ { 1 } \mathrm { T r } \left[ \, \omega _ { \mu } ^ { \perp } \omega ^ { \mu \perp } \, \right] + f ^ { 2 } a _ { 2 } \mathrm { T r } \left[ \, \omega _ { \mu } ^ { \perp } \, \right] \mathrm { T r } \left[ \, \omega ^ { \mu \perp } \, \right] \ ,
T _ { X \rightarrow Y } ( k , l ) : = I ( X _ { t } ^ { ( k ) } ; Y _ { t } | Y _ { t } ^ { ( l ) } ) = \mathbb { E } _ { p ( x _ { t } ^ { ( k ) } , y _ { t } ^ { ( l ) } , y _ { t } ) } \Bigg [ - \log \frac { p ( x _ { t } ^ { ( k ) } , y _ { t } | y _ { t } ^ { ( l ) } ) } { p ( x _ { t } ^ { ( k ) } | y _ { t } ^ { ( l ) } ) p ( y _ { t } | y _ { t } ^ { ( l ) } ) } \Bigg ] .
\begin{array} { r l } { \frac { C _ { \Delta X } ( t ; \delta t ) } { C _ { \Delta X } ( 0 ; \delta t ) } } & { = \frac { ( t + \delta t ) ^ { 2 H } - 2 t ^ { 2 H } + | t - \delta t | ^ { 2 H } } { 2 \delta t ^ { 2 H } } } \\ & { \propto { ( 2 H - 1 ) } ( { t } / { \delta t } ) ^ { 2 H - 2 } ~ \mathrm { f o r } ~ t / \delta t \gg 1 . } \end{array}
\boldsymbol { G } ^ { N F } = \frac { - 1 } { 8 \pi \rho r \beta ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { \beta ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \right] \left[ { \bf I } - \frac { 3 { \bf x x ^ { T } } } { r ^ { 2 } } \right] .
| T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } } | ^ { 2 } = \frac { ( k k _ { 0 } ) ^ { 3 } } { 2 5 6 \pi ^ { 4 } } ( \cos \alpha - \cos \beta ) ^ { 4 } .
\widetilde { \textbf { q } } = \left( \textbf { x } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ; ~ \textbf { r } ; ~ x _ { 0 } ; ~ . . . ~ ; x _ { N _ { \mathrm { ~ a ~ } } } ; ~ y _ { 0 } ; ~ . . . ~ ; y _ { N _ { \mathrm { ~ a ~ } } } ; ~ z _ { 0 } ; ~ . . . ~ ; z _ { N _ { \mathrm { ~ a ~ } } } \right) \equiv ( \textbf { x } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ; ~ \textbf { d } )
{ \left[ \begin{array} { l l } { e _ { 1 1 } } & { e _ { 1 2 } } \\ { e _ { 2 1 } } & { e _ { 2 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { 1 1 } } & { e ^ { 2 1 } } \\ { e ^ { 1 2 } } & { e ^ { 2 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \left( { \frac { - 1 } { n } } \right) = ( - 1 ) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } } & { { } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { n \equiv 1 { \bmod { 4 } } } \\ { - 1 } & { n \equiv 3 { \bmod { 4 } } } \end{array} \right. } } \\ { \left( { \frac { 2 } { n } } \right) = ( - 1 ) ^ { \frac { n ^ { 2 } - 1 } { 8 } } } & { { } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { n \equiv 1 , 7 { \bmod { 8 } } } \\ { - 1 } & { n \equiv 3 , 5 { \bmod { 8 } } } \end{array} \right. } } \end{array}
\hat { \delta } ( \hat { x } , \hat { y } ) = \frac { 1 6 } { \pi ^ { 4 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \sin ( m \pi k \hat { x } ) \sin ( n \pi \hat { y } ) } { m n [ ( m k ) ^ { 2 } + n ^ { 2 } ] } , \ \ \ m = n = 1 , 3 , 5 , \dots
\alpha ^ { ( n ) } = \frac { 2 \sqrt { 2 } \pi } { v ^ { 2 / 3 } } \left( \frac { \kappa } { 4 \pi } \right) ^ { 2 / 3 } \int _ { { \cal { C } } _ { \omega } } { ( c _ { 2 } ( V ^ { n } ) - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } ( T X ) ) } ,
\begin{array} { r l r } { E D : p _ { \alpha } } & { = } & { - \frac { 1 } { i \omega } \Bigl \{ \int { d } ^ { 3 } \mathbf { r } { J } _ { \alpha } ^ { \omega } j _ { 0 } ( k r ) + \frac { k ^ { 2 } } { 2 } \int { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \left[ 3 ( \mathbf { r } . \mathbf { J } _ { \omega } ) { r } _ { \alpha } - { r } ^ { 2 } { J } _ { \alpha } ^ { \omega } \right] \frac { j _ { 2 } ( k r ) } { ( k r ) ^ { 2 } } \Bigr \} } \\ { M D : m _ { \alpha } } & { = } & { \frac { 3 } { 2 } \int { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ( \mathbf { r } \times \mathbf { J } _ { \omega } ) _ { \alpha } \frac { j _ { 1 } ( k r ) } { k r } } \\ { E Q : Q _ { \alpha \beta } ^ { e } } & { = } & { - \frac { 3 } { i \omega } \Bigl \{ \int { d } ^ { 3 } \mathbf { r } [ 3 ( r _ { \beta } { J } _ { \alpha } ^ { \omega } + r _ { \alpha } { J } _ { \beta } ^ { \omega } ) - 2 ( \mathbf { r } . \mathbf { J } _ { \omega } ) { \delta } _ { \alpha \beta } ] \frac { j _ { 1 } ( k r ) } { ( k r ) } } \\ & { + } & { 2 k ^ { 2 } \int { d } ^ { 3 } [ 5 r _ { \alpha } r _ { \beta } ( \mathbf { r } . \mathbf { J } _ { \omega } ) - ( r _ { \alpha } J _ { \beta } + r _ { \beta } J _ { \alpha } ) r ^ { 2 } - r ^ { 2 } ( \mathbf { r } . \mathbf { J } _ { \omega } ) { \delta } _ { \alpha \beta } ] \frac { j _ { 3 } ( k r ) } { ( k r ) ^ { 3 } } \Bigr \} } \\ { M Q : Q _ { \alpha \beta } ^ { m } } & { = } & { 1 5 \int { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \Bigl \{ r _ { \alpha } ( \mathbf { r } \times \mathbf { J } _ { \omega } ) _ { \beta } + r _ { \beta } ( \mathbf { r } \times \mathbf { J } _ { \omega } ) _ { \alpha } \Bigr \} \frac { j _ { 2 } ( k r ) } { { ( k r ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { \delta ( i _ { h } i _ { k } N ^ { ( 8 ) } ) = 6 \partial ( i _ { h } i _ { k } \Omega ^ { ( 7 ) } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \delta ( i _ { h } i _ { k } { \cal N } ^ { ( 8 ) } ) = 6 \partial ( i _ { h } i _ { k } { \tilde { \Omega } } ^ { ( 7 ) } ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle A , P | \hat { G } | B , Q \rangle = G _ { A B } S _ { P Q } + } \\ & { + \delta _ { \pi \theta } [ p q | r s ] \rho _ { s _ { \rho } , r _ { \rho } } ^ { B A } - [ p s | r q ] \rho _ { s _ { \pi } , r _ { \theta } } ^ { B A } + } \\ & { + [ p t | r s ] \pi _ { t _ { \pi } s _ { \rho } , r _ { \rho } q _ { \theta } } ^ { B A } + [ q t | r s ] \pi _ { p _ { \pi } s _ { \rho } , r _ { \rho } t _ { \theta } } ^ { B A } - } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } [ t u | r s ] \gamma _ { u _ { \tau } s _ { \rho } p _ { \pi } , t _ { \tau } r _ { \rho } q _ { \theta } } ^ { B A } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \widehat { g } _ { \alpha } - g _ { \alpha } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \leq T ^ { 6 } \Vert \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime \prime \prime } - g _ { \alpha } ^ { \prime \prime \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , \ \mathrm { f o r } \ g _ { \alpha } , \ \widehat { g } _ { \alpha } \in \mathcal { G } _ { 3 } , } \end{array}