harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
F = ( G \times 1 0 ^ { 1 0 } ) \frac { ( m _ { 1 } / 1 0 ^ { 5 } ) ( m _ { 2 } / 1 0 ^ { 5 } ) } { r ^ { 2 } } = G ^ { * } \frac { m _ { 1 } ^ { * } m _ { 2 } ^ { * } } { r ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { P \big ( \cap _ { i = 1 } ^ { n } \big \{ \omega : R _ { i } ( \omega ) \in B _ { i } \big \} \big ) } & { = P \big ( \cap _ { i = 1 } ^ { n } \big \{ \omega : \rho ( X _ { i } ( \omega ) , Y _ { i } ( \omega ) , \omega ) \in B _ { i } \big \} \big ) } \\ & { = P \big ( \cap _ { i = 1 } ^ { n } \big \{ \omega : h ( ( X _ { i } ( \omega ) , Y _ { i } ( \omega ) ) , T ( \omega ) ) \in B _ { i } \big \} \big ) } \\ & { = P \big ( \cap _ { i = 1 } ^ { n } \big \{ \omega : ( ( X _ { i } ( \omega ) , Y _ { i } ( \omega ) ) , T ( \omega ) ) \in h ^ { - 1 } ( B _ { i } ) \big \} \big ) . } \end{array}
\partial _ { \mu } \left( \sqrt { - k } ( k ^ { - 1 } ) ^ { [ \mu \nu ] } e ^ { - \phi } - \frac { 2 T _ { p } } { T _ { p } ^ { \prime } } \frac { 1 } { ( n - 2 ) ! } \epsilon ^ { \mu \nu \gamma _ { 1 } \ldots \gamma _ { n - 2 } } ( C ^ { ( n - 2 ) } ) _ { \gamma _ { 1 } \ldots \gamma _ { n - 2 } } \right) = 0 .
\Phi ^ { \prime } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) = \left[ \sum _ { a = 1 } ^ { N } U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \right] \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } )
\mathsf { d } _ { N - 1 } = \mathbf { 1 } _ { t _ { 2 } > t _ { 1 } } ( - 1 ) ^ { t _ { 1 } } \frac { ( q ^ { t _ { 2 } - t _ { 1 } } ; q ) _ { t _ { 1 } } } { ( q ^ { N - t _ { 1 } } , q ) _ { t _ { 1 } } } q ^ { p _ { 1 } ( N - 1 - t _ { 1 } ) + \binom { t } 2 + ( p _ { 2 } - t _ { 2 } + 1 ) t _ { 1 } } ( q ^ { t _ { 1 } - p _ { 1 } + p _ { 2 } - t _ { 2 } + 1 } ; q ) _ { t _ { 2 } - t _ { 1 } - 1 } .
I = i R \int _ { 0 } ^ { \rho } s d s \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \rightarrow - R \int _ { 0 } ^ { \rho } s d s \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
g _ { i } = \sum _ { a f } \psi _ { a f } ^ { \dagger } ( - i \nabla _ { i } \delta _ { a b } - \frac g 2 \lambda _ { a b } ^ { \alpha } A ^ { \alpha i } ) \psi _ { b f } + \sum _ { \alpha } ( { \bf E } ^ { \alpha } \times { \bf B } ^ { \alpha } ) _ { i } ;
\begin{array} { r l } & { m _ { \mathcal { L } _ { g + 1 , 0 } ( H ) } \bigl ( ( u \otimes x ) \otimes ( v \otimes y ) \bigr ) } \\ { = \: } & { \sum _ { ( K _ { g } ) } m _ { \mathcal { L } _ { g , 0 } ( H ) } \bigl ( u \otimes \bigl ( v \cdot ( K _ { g } ) _ { ( 2 ) } \bigr ) \bigr ) \otimes m _ { \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ( H ) } \bigl ( \bigl ( x \cdot ( K _ { g } ) _ { ( 1 ) } \bigr ) \otimes y \bigr ) } \\ { = \: } & { \sum _ { ( R ) } m _ { \mathcal { L } _ { g , 0 } ( H ) } \bigl ( u \otimes \bigl ( v \cdot \Delta ^ { ( 4 g - 1 ) } ( R _ { ( 1 ) } ) \bigr ) \bigr ) \otimes m _ { \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ( H ) } \bigl ( \bigl ( x \cdot \Delta ^ { ( 3 ) } ( R _ { ( 2 ) } ) \bigr ) \otimes y \bigr ) } \\ { = \: } & { \sum _ { ( R ) } m _ { \mathcal { L } _ { g , 0 } ( H ) } \bigl ( u \otimes \mathrm { c o a d } ^ { r } ( R _ { ( 1 ) } ) ( v ) \bigr ) \otimes m _ { \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ( H ) } \bigl ( \mathrm { c o a d } ^ { r } ( R _ { ( 2 ) } ) ( x ) \otimes y \bigr ) = ( u \, \widetilde { \otimes } \, x ) ( v \, \widetilde { \otimes } \, y ) . } \end{array}
\boldsymbol { \hat { \delta } } \sigma = \frac { \partial \sigma } { \partial \boldsymbol z } \, \frac { \partial \boldsymbol { \Psi } ( \boldsymbol { Z } , 0 ) } { \partial \boldsymbol Z } \, \boldsymbol { \hat { \zeta } } + \frac { \partial \sigma } { \partial \boldsymbol z } \, \frac { \partial \boldsymbol { \Psi } ( \boldsymbol { Z } , 0 ) } { \partial \varepsilon } = \frac { \partial \sigma } { \partial \boldsymbol z } \, \frac { \partial \boldsymbol { \Psi } ( \boldsymbol { Z } , 0 ) } { \partial \boldsymbol Z } \, \boldsymbol { \hat { \zeta } } + \hat { \delta } \sigma
\pi = 3 + \textstyle { \cfrac { 1 } { 7 + \textstyle { \cfrac { 1 } { 1 5 + \textstyle { \cfrac { 1 } { 1 + \textstyle { \cfrac { 1 } { 2 9 2 + \textstyle { \cfrac { 1 } { 1 + \textstyle { \cfrac { 1 } { 1 + \textstyle { \cfrac { 1 } { 1 + \ddots } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { l } { \rho = 1 0 0 0 \, k g / m ^ { 3 } , \quad T = 1 0 \, s , \quad \Delta t = 0 . 0 1 \, s , } \\ { { \bf u } _ { 0 } = ( 0 , 0 ) \, m , \quad { \bf u } _ { 1 } = ( 1 0 , - 1 0 ) \, m / s , \quad { \bf f } _ { 0 } = ( 0 , 0 ) \, N / m ^ { 2 } , \quad { \bf f } _ { 1 } = ( 0 , 0 ) \, N / m , } \\ { c _ { 1 } = 0 . 5 \, M \! P a , \quad c _ { 2 } = 5 . 0 e ^ { - 3 } \, M \! P a , \quad c _ { 3 } = 5 . 0 e ^ { - 5 } \, M \! P a , \quad D = 1 0 0 \, M \! P a , } \\ { c _ { \nu } = 1 0 0 0 , \quad a = 1 . 5 , \quad b = 0 . 5 , \quad \alpha = 1 0 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { b = \langle \sigma ^ { ( k ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * k } ) - p _ { * k } \rangle , } \\ { c = \sigma ^ { ( 1 ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * 1 } ) p _ { * 2 } } \\ { + \sigma ^ { ( 2 ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * 2 } ) p _ { * 1 } - p _ { * 1 } p _ { * 2 } } \\ { = ( \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } + \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } ) \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - \gamma p _ { * 1 } p _ { * 2 } . } \end{array}
\alpha = \cos { a } = { \frac { \cos { \frac { \mu _ { 2 } } { 2 } } \cos { \frac { \mu _ { 3 } } { 2 } } - \cos { \frac { \mu _ { 1 } } { 2 } } } { \sin { \frac { \mu _ { 2 } } { 2 } } \sin { \frac { \mu _ { 3 } } { 2 } } } }
d s ^ { 2 } = \frac { R ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } \left( d u \right) ^ { 2 } + \frac { u ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \left( d x ^ { \mu } \right) ^ { 2 } + \left( d { \bf \Omega } \right) ^ { 2 } .
\mathbf { X } _ { \mathcal { B } } ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l } { t ^ { \prime } } \\ { E ^ { \prime } } \\ { \psi _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { p _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { N } ^ { \prime } } \\ { p _ { N } ^ { \prime } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l r } { \bar { y } _ { + } } & { = } & { ( B - \frac { \sigma } { \gamma _ { j } ^ { 2 } } B a _ { j } a _ { j } ^ { T } B ) ( A D r + \frac { \sigma } { ( 1 - \sigma ) \gamma _ { j } ^ { 2 } } r _ { j } a _ { j } ) } \\ & { = } & { \bar { y } - \sigma \gamma _ { j } ^ { - 2 } B a _ { j } ( a _ { j } ^ { T } \bar { y } - \frac { 1 } { 1 - \sigma } r _ { j } + \frac { \sigma } { 1 - \sigma } r _ { j } ) } \\ & { = } & { \bar { y } - \sigma \gamma _ { j } ^ { - 2 } ( a _ { j } ^ { T } \bar { y } - r _ { j } ) B a _ { j } = \bar { y } - \sigma \gamma _ { j } ^ { - 2 } \bar { t } _ { j } B a _ { j } = \bar { y } - \sigma \frac { \alpha + \beta } { 2 \gamma _ { j } } B a _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( \hat { u } , v ) + ( \bar { q } _ { h } \hat { u } , v ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { = ( f , v ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \quad \forall v \in \tilde { H } ^ { s } ( \Omega ) , } \\ { \mathcal { A } ( \hat { p } , v ) + ( \bar { q } _ { h } \hat { p } , v ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { = ( \hat { u } - u _ { \Omega } , v ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \quad \forall v \in \tilde { H } ^ { s } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { Z } \left[ p _ { 3 3 } - ( g _ { \delta } ) _ { x } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) p _ { 1 3 } - ( g _ { \delta } ) _ { y } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) p _ { 2 3 } \right] } \\ & { = } & { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) [ x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } ] + ( g _ { \delta } ) _ { x } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) + ( g _ { \delta } ) _ { y } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } \\ & { = } & { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) [ x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } ] + x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) [ x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } ] = x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \cdot 1 = x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) . } \end{array}
A _ { b } = \frac { ( g _ { Z b \bar { b } } ^ { L } ) ^ { 2 } - ( g _ { Z b \bar { b } } ^ { R } ) ^ { 2 } } { ( g _ { Z b \bar { b } } ^ { L } ) ^ { 2 } + ( g _ { Z b \bar { b } } ^ { R } ) ^ { 2 } } .
\stackrel { \leftrightarrow } { \Pi } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \pi _ { 1 2 } + 2 \pi _ { 4 4 } } & { \pi _ { 1 2 } } & { \pi _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \pi _ { 1 2 } } & { \pi _ { 1 2 } + 2 \pi _ { 4 4 } } & { \pi _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \pi _ { 1 2 } } & { \pi _ { 1 2 } } & { \pi _ { 1 2 } + 2 \pi _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \pi _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \pi _ { 4 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \pi _ { 4 4 } . } \end{array} \right]
\vartheta ^ { 2 } = \frac { 2 ( m _ { 3 } + m _ { 4 } ) } { r _ { 1 } } \kappa ^ { 4 } - 2 ( m _ { 3 } + m _ { 4 } ) \Bigl ( \frac { r _ { 3 } } { r _ { 1 } } + 2 \frac { m _ { 3 } + m _ { 4 } } { m _ { 5 } } \Bigr ) \kappa ^ { 6 } .
\hat { I } _ { \mathrm { D } } = - \int _ { W } d ^ { p + 1 } \sigma \sqrt { - \operatorname * { d e t } { \hat { g } } _ { \mu \nu } } \ ; \qquad \hat { g } _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } X ^ { \hat { M } } \partial _ { \nu } X ^ { \hat { N } } \eta _ { \hat { M } \hat { N } } \ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { B , \Theta } ~ } & { \frac { 1 } { n } \| Y - X B \| _ { F } ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } \operatorname { t r } \left( Y ^ { T } Y \Theta \right) - \log \det ( \Theta ) } \\ & { + \lambda _ { 1 } \| B \| _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \| \Theta \| _ { 1 } } \\ & { + \gamma \sum _ { ( k , m ) } \left| \theta _ { k m } \right| \cdot \left\| \beta _ { . k } + \operatorname { s g n } \left( \theta _ { k m } \right) \beta _ { . m } \right\| _ { 1 } . } \end{array}
v _ { X C , S l a t e r } ^ { W F } ( \mathbf { r } ) = \int \frac { \rho _ { X C } ^ { W F } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { 2 } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 2 } | } d \mathbf { r } _ { 2 } ,
\tan \left( { \frac { \pi } { 2 4 } } \right) = \tan \left( 7 . 5 ^ { \circ } \right) = { \sqrt { 6 } } - { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 2 } } - 2 \ = \left( { \sqrt { 2 } } - 1 \right) \left( { \sqrt { 3 } } - { \sqrt { 2 } } \right)
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \hat { f } _ { 0 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { - 1 } + \nabla \hat { f } _ { 1 } \right] } & { = } & { 0 } \\ { \partial _ { t } \hat { f } _ { 1 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { 0 } + \nabla \hat { f } _ { 2 } \right] } & { = } & { - A \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { 2 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { 0 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ { \partial _ { t } \hat { f } _ { 2 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { 1 } + \nabla \hat { f } _ { 3 } \right] } & { = } & { - 2 A \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { 3 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { 1 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ { \partial _ { t } \hat { f } _ { 3 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { 2 } + \nabla \hat { f } _ { 4 } \right] } & { = } & { - 3 A \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { 4 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { 2 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \\ { \partial _ { t } \hat { f } _ { 4 } + { \frac { v _ { 0 } } { 2 } } \left[ \nabla ^ { * } \hat { f } _ { 3 } + \nabla \hat { f } _ { 5 } \right] } & { = } & { - 4 A \, \pi \Gamma G _ { \beta } \left[ \hat { f } _ { 5 } \hat { f } _ { - 1 } - \hat { f } _ { 3 } \hat { f } _ { 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 ( \tau , 1 _ { g } ) J _ { \tau } } & { = I ( J _ { \tau } ^ { \top } , \tau ) ^ { \top } ( \tau , 1 _ { g } ) } \\ & { = I ( - M \Omega M ^ { - 1 } , \tau ) ^ { \top } ( \tau , 1 _ { g } ) } \\ & { = \left( I ( - M \Omega , M ^ { - 1 } \tau ) I ( M ^ { - 1 } , \tau ) \right) ^ { \top } ( \tau , 1 _ { g } ) } \\ & { = - \left( I ( M \Omega , \sqrt { - 1 } \cdot 1 _ { g } ) I ( M ^ { - 1 } , \tau ) \right) ^ { \top } ( \tau , 1 _ { g } ) } \\ & { = - \left( I ( M , \Omega ( \sqrt { - 1 } \cdot 1 _ { g } ) ) I ( \Omega , \sqrt { - 1 } \cdot 1 _ { g } ) I ( M ^ { - 1 } , \tau ) \right) ^ { \top } ( \tau , 1 _ { g } ) . } \end{array}
\operatorname { l c m } ( 2 1 , 6 ) = { \frac { 2 1 \cdot 6 } { \operatorname* { g c d } ( 2 1 , 6 ) } } = { \frac { 2 1 \cdot 6 } { \operatorname* { g c d } ( 3 , 6 ) } } = { \frac { 2 1 \cdot 6 } { 3 } } = { \frac { 1 2 6 } { 3 } } = 4 2 .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { t o t . W } } ^ { 2 } } & { = p _ { \mathrm { _ W } } ^ { 2 } , \mathrm { \quad ~ a n d } } \\ { { M _ { \mathrm { W } } ^ { * } } ^ { 2 } } & { = \mathcal { E } _ { \mathrm { t o t . W } } ^ { 2 } - p _ { \mathrm { t o t . W } } ^ { 2 } } \\ & { = \mathcal { E } _ { \mathrm { W } } ^ { 2 } + 2 m \mathcal { E } _ { \mathrm { W } } + m ^ { 2 } - p _ { W } ^ { 2 } } \\ & { = 2 m \mathcal { E } _ { \mathrm { W } } + 2 m ^ { 3 } . } \end{array}
v _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { a m p } e ^ { - i \phi _ { 0 } } } & { n = 0 } \\ { v _ { a m p } e ^ { - i \left( \phi _ { 0 } + \Delta \phi \right) } } & { n = 1 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { h _ { i j } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) = h _ { i j } ^ { ( 0 ) } \pm \mathrm { i } \hbar \sum _ { k l } w _ { i k j l } ^ { \pm } ( t ) \, G _ { l k } ^ { < } ( t , t ) , \qquad \qquad w _ { i j k l } ^ { \pm } = w _ { i j k l } \pm w _ { j i k l } . } \end{array}
{ \frac { d ^ { n } } { d z ^ { n } } } \ { } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c ; z ) = { \frac { ( a ) _ { n } ( b ) _ { n } } { ( c ) _ { n } } } \ { } _ { 2 } F _ { 1 } ( a + n , b + n ; c + n ; z )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \ell ( W , \hat { W } ) ] } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { - 1 < \beta < 0 } \left( 1 + n \alpha \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 \beta } } \left( \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { 2 } \right) ^ { \frac 1 2 } \left( \frac { 1 } { \beta + 1 } \right) ^ { \frac 1 \beta } } \\ & { = \sqrt { \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { 2 \left( 1 + n \alpha \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { | \beta | } } } } \left( \frac { 1 } { \beta + 1 } \right) ^ { \frac 1 \beta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { ( \gamma , \theta ) \mathrm { N G } } } & { = \frac { \alpha e ^ { \mathrm { i } \theta } } { \lambda } \left( 1 - \sqrt { 1 - \lambda \left( \cosh ( \gamma ) x _ { 1 } + \sinh ( \gamma ) \sqrt { 2 x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } \right) - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \right) } \\ & { \qquad + \beta \sqrt { x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \partial _ { r } \tilde { Z } ( t , \xi ; r , \sigma ) - 4 \nu \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \tilde { Z } ( t , \xi ; r , \sigma ) + \mu _ { 1 } g ( r ) h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \tilde { Z } ( t , \xi ; r , \sigma ) = - \mu _ { 1 } g ( r ) h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \Psi ( t - r , \xi - \sigma ) , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow t ^ { - } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \tilde { Z } ( t , \xi ; r , \sigma ) | ^ { p } d \sigma = 0 , \quad \forall p \in [ 1 , \infty ) , \ \xi \in \mathbb { R } . } \end{array}
L = E ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { { \frac { \sqrt { 1 - 3 V _ { o o } } } { \sqrt { 1 + V _ { o o } } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac { \sqrt { 1 - V _ { e e } } } { \sqrt { 1 + 3 V _ { e e } } } } } \end{array} \right) E ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 2 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ , ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 2 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } = } & { \sum _ { { \boldsymbol p } \in \mathcal { P } } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 1 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { \sum _ { { \boldsymbol p } \in \mathcal { P } / { \boldsymbol p } _ { + } } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 1 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 1 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { \le } & { \sum _ { { \boldsymbol p } \in \mathcal { P } / { \boldsymbol p } _ { + } } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 1 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + \operatorname* { m a x } _ { { \boldsymbol p } \in \mathcal { P } / { \boldsymbol p } _ { + } } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k _ { 1 } } ^ { ( t ^ { \prime } ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { \le } & { L \cdot c _ { \eta } \cdot ( 1 + \sigma ) \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \cdot t ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial \Omega ^ { \star } ( z ) } n \cdot ( \nabla T - u T ) } & { { } = \int _ { \gamma ^ { - } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) + \int _ { \gamma ^ { + } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { + } \cdot ( \nabla T - u T ) } \end{array}
H _ { L } ^ { 0 } = - \frac { 1 } { | \Lambda _ { L } | } \sum _ { { \bf k } \in { \cal D } _ { L } , \tau = \uparrow \downarrow } \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } = 1 , 2 } \hat { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha } ^ { + } [ \hat { H } _ { 0 } ( { \bf k } ) ] _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , \alpha ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r } { \left( \mathbb { B } _ { \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } } \right) _ { k } ^ { i } : = \frac { ( \xi _ { 1 } \vec { D } ( \xi _ { 1 } ) - \xi _ { 2 } \vec { D } ( \xi _ { 2 } ) ) _ { i } } { W ( \xi _ { 1 } ) - W ( \xi _ { 2 } ) } ( \overline { { \omega } } ) _ { k } , \quad \mathbb { C } _ { \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } } : = \mathbb { A } ^ { T } - \frac { \pi } 6 \mathbb { B } _ { \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \beta } _ { D } } & { = } & { - \frac { \omega _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \sigma ^ { 4 } } ( 2 \sigma ^ { 6 } - 1 3 \sigma ^ { 4 } + 1 2 \sigma ^ { 2 } - 9 ) } \\ { \hat { \beta } } & { = } & { \beta \, { c _ { \mathrm { g } } } = \hat { \beta } _ { D } + \omega _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \mu _ { g } ^ { 2 } } { 8 \sigma ^ { 2 } \nu } = \hat { \beta } _ { D } - \frac { k _ { 0 } \mu _ { g } } { 4 \sigma h } D } \\ { \beta _ { D } } & { = } & { \frac { \hat { \beta } _ { D } } { c _ { g } } } \\ { \beta } & { = } & { \frac { \omega _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \sigma ^ { 4 } c _ { g } } \left\{ 9 - 1 0 \sigma ^ { 2 } + 9 \sigma ^ { 4 } - \frac { 2 \sigma ^ { 2 } c _ { g } ^ { 2 } } { g h - c _ { g } ^ { 2 } } \left[ 4 \frac { c _ { p } ^ { 2 } } { c _ { g } ^ { 2 } } + 4 \frac { c _ { p } } { c _ { g } } ( 1 - \sigma ^ { 2 } ) + \frac { g h } { c _ { g } ^ { 2 } } ( 1 - \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( Y \cdot d S ) } & { = \frac { \partial Y ^ { 1 } } { \partial x ^ { 1 } } d x ^ { 1 } \wedge d x ^ { 2 } \wedge d x ^ { 3 } + \mathrm { c y c l i c ~ p e r m u t a t i o n s } } \\ & { = \left( \frac { \partial Y ^ { 1 } } { \partial x ^ { 1 } } + \frac { \partial Y ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial Y ^ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } \right) d V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { \phi } \| _ { W ^ { 3 , p } } } & { \leq C \left( \| \nabla \tilde { \omega } \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \omega \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \| u \| _ { p } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ( \| u \| _ { p } + \| \nabla \tilde { \phi } \| _ { p } ) \right) } \\ & { \leq C \left( \| \nabla \omega \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \omega \| _ { p } + ( \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ) \| u \| _ { p } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu , \nu } ^ { R } ( X _ { l } ) ) ^ { \dagger } } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { \mathbf { m } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \nu , \mu } ^ { R } \sigma \right) \mathcal { O } _ { \sigma ^ { - 1 } } ( X _ { l } ^ { \dagger } ) } \\ & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in S _ { \mathbf { m } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \nu , \mu } ^ { R } \tilde { \sigma } ^ { - 1 } \right) \mathcal { O } _ { \tilde { \sigma } } ( X _ { l } ^ { \dagger } ) } \\ & { = \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \nu , \mu } ^ { R } ( X _ { l } ^ { \dagger } ) \, . } \end{array}
W _ { C S } ( 1 , 2 ) = - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } x T r [ \vec { A ( 1 ) } \cdot ( \vec { \nabla } \times \vec { A ( 2 ) } ) + ( 1 \leftrightarrow 2 ) ]
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 1 2 9 } ( \theta _ { 1 } ; t ) } & { { } = } & { - k _ { p } ( \eta ) \left( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } ( t ) \right) - \frac { \omega _ { 1 2 9 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \\ { \varphi _ { 1 3 1 } ( \theta _ { 1 } ; t ) } & { { } = } & { k _ { p } ( \eta ) \left( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } ( t ) \right) - \frac { \omega _ { 1 3 1 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \end{array}
\widehat { \mathrm { Q F T } } : ~ | j \rangle \to \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } \sum _ { k = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } \mathrm { e } ^ { 2 \pi \mathrm { i } \frac { j k } { 2 ^ { n } } } | k \rangle ,
\begin{array} { r l } { D ( k , \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } ) } & { = 2 \left\lceil \frac { 1 6 k } { \sqrt { \pi } \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } W \left( \frac { 5 1 2 } { \pi \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } ^ { 2 } e ^ { 2 } } \right) \right] \right\rceil + 1 } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \Delta } \log ( 1 / \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { F } \left[ \mathcal { G } \right] ( \omega ) = \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { a _ { j } - 1 } \alpha _ { j } ^ { ( k ) } \frac { 1 } { k ! } \mathfrak { F } \left[ \Theta e ^ { \lambda _ { j } \circ } \circ ^ { k } \right] ( \omega ) = \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { a _ { j } - 1 } \frac { \alpha _ { j } ^ { ( k ) } } { \left( i \omega - \lambda _ { j } \right) ^ { k + 1 } } . } \end{array}
\mathrm { C = D \ i m p l i e s 2 A ( c o s ( θ ) + s i n ( θ ) y ^ { \prime } ( x ) ) ( ( x - a ) c o s ( θ ) + s i n ( θ ) ( y ( x ) - b ) ) + 2 B ( c o s ( θ ) y ^ { \prime } ( x ) - s i n ( θ ) ) ( c o s ( θ ) ( y ( x ) - b ) - ( x - a ) s i n ( θ ) ) = 2 A _ { 2 } ( c o s ( θ ) + s i n ( θ ) y ^ { \prime } ( x ) ) ( ( x - a _ { 2 } ) c o s ( θ ) + s i n ( θ ) ( y ( x ) - b _ { 2 } ) ) + 2 B _ { 2 } ( c o s ( θ ) y ^ { \prime } ( x ) - s i n ( θ ) ) ( c o s ( θ ) ( y ( x ) - b _ { 2 } ) - ( x - a _ { 2 } ) s i n ( θ ) ) = 0 }
E _ { + } E _ { - } \frac { d ^ { 6 } \sigma ^ { e ^ { + } e ^ { - } } } { d ^ { 3 } p _ { + } d ^ { 3 } p _ { - } } = \frac { \alpha } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \left( \omega \frac { d ^ { 3 } \sigma ^ { \gamma } } { d ^ { 3 } q } \right) _ { { \bf q } = { \bf p } _ { + } + { \bf p } _ { - } } ,
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb { E } [ \sqrt { 4 n + \delta m n } \Psi _ { 3 , ( k ) } ^ { K } + 2 ( G _ { k } ( x _ { ( k ) } ^ { K + 1 } ) - G _ { k } ^ { * } ) ] } \\ & { \leq \left( \sqrt { 4 n + \delta m n } + \frac { 2 } { \theta } \right) \left( 1 - \operatorname* { m i n } \left\{ \theta , \frac { \delta } { 4 } \right\} \right) ^ { K } \left( \epsilon _ { D , ( k ) } ^ { 0 } + \frac { 2 ( \rho + \theta ( \lambda + \kappa ) ) } { \delta n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau , ( k ) } ^ { 0 } \| ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { D W } } = { \frac { 1 } { \kappa _ { D } ^ { 2 } } } { \frac { 8 K } { ( D - 2 ) a ^ { 2 } } } = { \frac { 4 } { \kappa _ { D } ^ { 2 } } } \sqrt { \frac { \Lambda } { 2 \Delta } } ,