harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l } { { z _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 3 } ^ { 2 } + z _ { 4 } ^ { 2 } = 0 } } \\ { { ( z _ { 3 } - i z _ { 4 } ) \xi _ { 1 } + ( z _ { 1 } - i z _ { 2 } ) \xi _ { 2 } = 0 ~ , } } \end{array} \right.
\vec { k } _ { 4 } = \left( \begin{array} { r } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { r } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \vec { n } _ { 4 }
\begin{array} { r } { \gamma _ { B } ( y ) = \frac { - ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } y + \sqrt { ( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } y ) ^ { 2 } + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| y \| ^ { 2 } } } { 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } } = \gamma _ { S } ( y ) \frac { \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } + \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } } { 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } } = \gamma _ { S } ( y ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( U _ { i } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } } & { = } & { ( \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } + ( \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } , L } } \\ & { = } & { ( U _ { i } ) _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \phi ( \Delta _ { j } ^ { + } \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } , \Delta _ { j } ^ { - } \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } ) + \frac { 1 } { 2 } \phi ( \Delta _ { j } ^ { + } \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } , \Delta _ { j } ^ { - } \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } ) } \end{array}
\textup { ( R o u g h v e r s i o n ) } \quad \| U _ { a } ( t ) \| _ { L ^ { \infty } } \lesssim \frac { 1 } { t } \big [ \underbrace { \| | \xi | ^ { 2 } \widehat { h _ { a } } ( t , \xi ) \| _ { L _ { \xi } ^ { \infty } } } _ { \mathrm { d o e s n ' t ~ g r o w ~ o v e r ~ t i m e ~ } } + \langle t \rangle ^ { - \beta } \underbrace { \| \langle x \rangle ^ { 1 + } | \nabla | ^ { ( 3 / 2 - \beta ) + } f \| _ { L ^ { 2 } } } _ { \mathrm { o n l y ~ g r o w ~ s l i g h t l y ~ o v e r ~ t i m e ~ } } \big ] .
A _ { 0 } ( \ell ) : = \left( \begin{array} { l l } { - 1 / \ell } & { 1 / \ell } \\ { 1 / \ell } & { - 1 / \ell } \end{array} \right) , \qquad A _ { 2 } ( \ell ) : = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \ell } { 3 } } & { \frac { \ell } { 6 } } \\ { \frac { \ell } { 6 } } & { \frac { \ell } { 3 } } \end{array} \right) .
\sigma = { \sqrt { { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } } , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \mu = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } .
\begin{array} { r } { M \equiv M _ { \mathrm { R } } + j M _ { \mathrm { I } } = \frac { j \mu _ { 0 } k A _ { \mathrm { T } } A _ { \mathrm { R } } } { 2 \pi d ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { 1 } { j k d } \right] e ^ { - j k d } , } \end{array}
S ( \mathbf x ) = \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } h _ { 3 } } S _ { k _ { 1 } } \left( \frac { x _ { 1 } } { h _ { 1 } } \right) S _ { k _ { 2 } } \left( \frac { x _ { 2 } } { h _ { 2 } } \right) S _ { k _ { 3 } } \left( \frac { x _ { 3 } } { h _ { 3 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \nabla f _ { w , 1 } ( z ) } & { = h ( z ) ^ { 1 / w } \left( e _ { x } \left( 1 - ( 1 - w ) \frac { \| v ( z ) \| _ { d } ^ { 2 } } { h ( z ) } \right) + e _ { \hat { y } } ( 1 - w ) \frac { \| v ( z ) \| _ { d } } { h ( z ) } \right) } \\ & { = ( 1 + o _ { \mathcal D } ( 1 ) ) \left( e _ { x } + e _ { \hat { y } } ( 1 - w ) \| v ( z ) \| _ { d } \right) \quad \mathrm { a s ~ x \to \infty ~ . } } \end{array}
{ \boldsymbol { \omega } } = ( { \dot { \mathbf { e } } } _ { 1 } \cdot \mathbf { e } _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 3 } + ( { \dot { \mathbf { e } } } _ { 2 } \cdot \mathbf { e } _ { 3 } ) \mathbf { e } _ { 1 } + ( { \dot { \mathbf { e } } } _ { 3 } \cdot \mathbf { e } _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 2 } ,
\lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { \sum _ { a , b , c } a ^ { 2 } ( b _ { 0 } ^ { 2 } + c _ { 0 } ^ { 2 } - a _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 8 S _ { 0 } ^ { 2 } ( \Delta A B C ) } ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \dot { \hat { S } } _ { x } \right\rangle } & { = ( \omega _ { B } - 2 \Delta _ { - 1 } \tilde { V } ) \left\langle \hat { S } _ { y } \right\rangle } \\ { \left\langle \dot { \hat { S } } _ { y } \right\rangle } & { = ( 2 \Delta _ { - 1 } \tilde { V } - \omega _ { B } ) \left\langle \hat { S } _ { x } \right\rangle - 2 \Omega _ { - 1 } \tilde { V } \left\langle \hat { S } _ { z } \right\rangle } \\ { \left\langle \dot { \hat { S } } _ { z } \right\rangle } & { = 2 \Omega _ { - 1 } \tilde { V } \left\langle \hat { S } _ { y } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { + } ( z ) } & { { } = } & { \exp \left( - \zeta \right) \exp \left[ i \frac { \omega } { c } \left( z \left( 1 - \frac { c ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } L _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + \frac { z ^ { 2 } } { 2 L _ { 1 } } + \frac { z ^ { 3 } } { 3 L _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right] \, , } \\ { E _ { - } ( z ) } & { { } = } & { \exp \left[ i \frac { \omega } { c } \left( z + \frac { z ^ { 2 } } { 2 L _ { 1 } } + \frac { z ^ { 3 } } { 3 L _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right] \, . } \end{array}
\zeta _ { 0 } = - \sqrt \tau + { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt \tau \coth ^ { 2 } \left( \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \tau ^ { 1 / 4 } D - { \frac { 1 } { 2 } } \log { \frac { \sqrt { \zeta + \sqrt \tau } - \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \tau ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { \zeta + \sqrt \tau } + \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \tau ^ { 1 / 4 } } } \right)
\frac { | \phi ( \mathsf { v } ) | } { \| \phi \| _ { \infty } } \le \left[ \operatorname* { i n f } _ { \mu \ge 0 } | \lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \lambda + \mu | ( \mu + \lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \mathcal Q ^ { \mathrm { D } } - V _ { + } ) ^ { - 1 } \mathbf 1 \right] ( \mathsf { v } ) \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \mathsf { v } \in \mathsf { V } ,
\begin{array} { r } { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } \pm \vec { \delta } _ { 2 } } \equiv \sum _ { n , m \in \mathbb { Z } } \delta _ { \vec { R } , n \vec { a } _ { 0 } + m \vec { a } _ { 1 } + \vec { r } _ { A } \pm \vec { \delta _ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { { \mathcal { H } } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( P _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } \left( Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { - \frac { \lambda } { 2 } \left( Q _ { 1 } P _ { 2 } - Q _ { 2 } P _ { 1 } \right) + ( 1 + \kappa ) \left[ 1 - \gamma e ^ { - \frac { \delta _ { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + 2 \delta _ { 2 } } - \frac { \delta _ { 3 } Q _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + 2 \delta _ { 3 } } } \right] ^ { \frac { 1 } { k + 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = \mathrm { s g n } ( S _ { 1 } ^ { z } ) } \\ { M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \mathrm { s g n } ( S _ { 1 } ^ { z } \cos \theta _ { B } + S _ { 1 } ^ { y } \sin \theta _ { B } ) } \\ { M _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = \mathrm { s g n } ( S _ { 2 } ^ { z } \cos \frac { \theta _ { B } } { 2 } + S _ { 2 } ^ { y } \sin \frac { \theta _ { B } } { 2 } ) } \\ { M _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = \mathrm { s g n } ( S _ { 2 } ^ { z } \cos \frac { \theta _ { B } } { 2 } - S _ { 2 } ^ { y } \sin \frac { \theta _ { B } } { 2 } ) . } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { n } } { \partial a ^ { n } } } I = \int { \frac { x ^ { 2 n } } { 2 ^ { n } } } e ^ { - a x ^ { 2 } / 2 } d x = { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \cdot ( 2 n - 1 ) } { 2 \cdot 2 \cdot 2 \ldots \; \; \; \; \; \cdot 2 \; \; \; \; \; \; } } { \sqrt { 2 \pi } } \, a ^ { - { \frac { 2 n + 1 } { 2 } } }
{ \begin{array} { r l } { S _ { x } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { | \mathbf { A } | ^ { 2 } } & { A _ { y } } & { 1 } \\ { | \mathbf { B } | ^ { 2 } } & { B _ { y } } & { 1 } \\ { | \mathbf { C } | ^ { 2 } } & { C _ { y } } & { 1 } \end{array} \right] } , } \\ { S _ { y } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { x } } & { | \mathbf { A } | ^ { 2 } } & { 1 } \\ { B _ { x } } & { | \mathbf { B } | ^ { 2 } } & { 1 } \\ { C _ { x } } & { | \mathbf { C } | ^ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right] } , } \\ { a } & { = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { x } } & { A _ { y } } & { 1 } \\ { B _ { x } } & { B _ { y } } & { 1 } \\ { C _ { x } } & { C _ { y } } & { 1 } \end{array} \right] } , } \\ { b } & { = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { A _ { x } } & { A _ { y } } & { | \mathbf { A } | ^ { 2 } } \\ { B _ { x } } & { B _ { y } } & { | \mathbf { B } | ^ { 2 } } \\ { C _ { x } } & { C _ { y } } & { | \mathbf { C } | ^ { 2 } } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { e _ { n } } & { = u ^ { \tau } ( t _ { n } ) - u _ { n } } \\ & { = u ^ { \tau } ( t _ { n - 1 } ) - u _ { n - 1 } - i \tau e ^ { i \tau \Delta } ( \Phi ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n - 1 } ) ) - \Phi ^ { \tau } ( u _ { n - 1 } ) ) - i e ^ { i \tau \Delta } \mathcal { E } _ { l o c } ( t _ { n - 1 } , \tau , u ^ { \tau } ) } \\ & { = - i \tau \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } e ^ { i ( n - k ) \tau \Delta } ( \Phi ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { k } ) ) - \Phi ^ { \tau } ( u _ { k } ) ) - i \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } e ^ { i ( n - k ) \tau \Delta } \mathcal { E } _ { l o c } ( t _ { k } , \tau , u ^ { \tau } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \partial _ { z } v _ { n } = } & { - \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \partial _ { z } u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + u _ { n } \partial _ { x z } v _ { n } + \partial _ { z } w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { z z } v _ { n } - \frac 1 n \partial _ { z } \Delta v _ { n } ) d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { z z } \sigma ( u _ { n } ) d W : = B _ { 1 } d t + B _ { 2 } d W . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle \rho ( t , \cdot ) , f ( t , \cdot ) \right\rangle _ { ( H ^ { 1 } ( 0 , 2 \pi ) ) ^ { \prime } , H ^ { 1 } ( 0 , 2 \pi ) } d x d t + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { 1 } u ( t , x ) g ( t , x ) d x d t + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { 1 } \theta ( t , x ) h ( t , x ) d x d t } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \rho _ { 0 } ( x ) \sigma ( 0 , x ) d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } u _ { 0 } ( x ) v ( 0 , x ) d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \theta _ { 0 } ( x ) \varphi ( 0 , x ) d x } \\ { + \int _ { 0 } ^ { T } \left[ R \bar { \theta } \bar { \rho } \overline { { \sigma ( t , 2 \pi ) } } + \lambda _ { 0 } \bar { \rho } ^ { 2 } \overline { { v _ { x } ( t , 2 \pi ) } } + \bar { \rho } ^ { 2 } \bar { u } \overline { { v ( t , 2 \pi ) } } + R \bar { \rho } ^ { 2 } \overline { { \varphi ( t , 2 \pi ) } } \right] q ( t ) d t , } \end{array}
\hat { H } _ { \textrm { H u b } } = - \sum _ { i j } t _ { i j } \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } ( \hat { a } _ { i \sigma } ^ { \dag } \hat { a } _ { j \sigma } + \hat { a } _ { j \sigma } ^ { \dag } \hat { a } _ { i \sigma } ) + U \sum _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 } ^ { ( m ) } = ~ } & { { } \sum _ { j = 0 } ^ { j = m } \Phi _ { 0 } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { x } , t ) ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ } \\ { \Phi _ { 0 } ^ { ( m j ) } \equiv ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } B _ { 0 } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { x } , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } } \\ { \equiv ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } \bar { \Phi } _ { 0 } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { x } , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { s _ { N } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = } \\ & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { T e s _ { N } } ( s _ { 1 } ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) p _ { s _ { 0 } } ( s _ { 2 } ; \mu _ { t } , \sigma _ { t } ) \delta ( s _ { 1 } + s _ { 2 } - s ) d s _ { 1 } d s _ { 2 } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { T e s _ { N } } ( s _ { 1 } ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) p _ { T e s _ { 1 } } ( s _ { 2 } ; \mu _ { t } , \sigma _ { t } ) \delta ( s _ { 1 } + s _ { 2 } - s ) d s _ { 1 } d s _ { 2 } } \\ & { = p _ { T e s _ { N } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N + 1 ) , } \end{array}
R ^ { e x p } = R ^ { s m } ( 1 + 2 { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { e } ( m _ { u } + m _ { d } ) } } ( - { \frac { g _ { 1 L } ^ { * } g _ { 1 R } } { { \sqrt 2 } M _ { v } ^ { 2 } G _ { F } } } ) ) ,
\Gamma _ { \alpha } ( k _ { 1 } ) = k _ { 1 \alpha } [ a _ { 1 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } ) + a _ { 2 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } ) ( m + \hat { k } _ { 1 } ) ] + \gamma _ { \alpha } [ a _ { 3 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } ) + a _ { 4 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } ) ( m + \hat { k } _ { 1 } ) ] .
\begin{array} { r l r } { \Psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 5 } , x _ { 6 } ) } & { { } = } & { C _ { 0 } \wedge C _ { 1 } \wedge C _ { 2 } } \\ { C _ { 0 } } & { { } = } & { x _ { 1 } \vee x _ { 2 } \vee x _ { 3 } } \\ { C _ { 1 } } & { { } = } & { \bar { x } _ { 1 } \vee x _ { 4 } } \\ { C _ { 2 } } & { { } = } & { x _ { 1 } \vee x _ { 5 } \vee x _ { 6 } } \end{array}
( - 1 ) ^ { F } = \Gamma _ { 1 1 } ( - 1 ) ^ { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \psi _ { - m } \cdot \psi _ { m } } ~ ~ , ~ ~ { G } = - \gamma _ { 0 } \beta _ { 0 } - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left[ \gamma _ { - m } \beta _ { m } + \beta _ { - m } \gamma _ { m } \right] ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \mathrm { l n } ( \mathcal { L } \Big ( D | ( \vec { N } ) \Big ) ) } & { = } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { b = 1 } ^ { N _ { b } ( i ) } } & { \ln { ( \mathrm { P o i s s } ( n _ { i , b } ; f _ { i } ( E _ { b } ; \vec { N } ) ) ) } } \\ { + } & { \ln { ( \mathrm { P o i s s } ( N _ { j , i , b } ^ { M C } ; \hat { N _ { j , i , b } ^ { M C } } ) ) } , } \end{array}
S ^ { r e g } [ { \mathcal A } ] \; = \; \frac { \kappa } { 2 } \langle A _ { \mu } | u ( \frac { \partial ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } ) R _ { \mu \nu } | A _ { \nu } \rangle \, + \, \frac { 1 } { 4 } \langle F _ { \mu \nu } | v ( \frac { \partial ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } ) | F _ { \mu \nu } \rangle \; ,
\begin{array} { r } { Y _ { \mathrm { s } } = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { U } _ { 1 } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 2 } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { \tilde { V } _ { 1 } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { V } _ { 2 } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { \tilde { T } _ { 1 1 } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 2 } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { \tilde { T } _ { 4 1 } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 2 } ( R ^ { ( N ) } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| r ^ { ( k + 1 ) } \| ^ { 2 } } & { \le \| r ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } \| ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { \| A \hat { M } ^ { - 1 } \| ^ { 2 } } \cdot \frac { \hat { \xi } ^ { 2 } \| r ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } \| ^ { 2 } } { \| r ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } \| ^ { 2 } + \| r ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } - r ^ { ( ( k - 1 ) + \frac { 1 } { 2 } ) } \| ^ { 2 } } \right) } \end{array}
A _ { \mu } \rightarrow A _ { \mu } - \partial _ { \mu } \Omega , \quad \Omega ( t ) = \left( \int _ { 0 } ^ { t } - { \frac { t } { \beta } } \int _ { 0 } ^ { \beta } \right) d t ^ { \prime } \, A _ { 0 } ( t ^ { \prime } )
M = s - \sharp ( B e t h e \; \; r o o t s ) = M _ { 0 } - 2 ( 1 + \hat { J } ( 0 ) ) ( \hat { \rho } _ { + } ^ { ( 0 ) } ( 0 ) + \hat { \rho } _ { + } ^ { ( 1 ) } ( 0 ) + \dots )
\begin{array} { r l } { \iint _ { { \mathbb R } _ { + } ^ { 2 } } | e ^ { i \upsilon y } - 1 | p _ { x } ( y ) \varphi _ { \tau } ( x ) d x d y } & { = \gamma _ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \infty } | e ^ { i \upsilon y } - 1 | \frac { e ^ { - c _ { \lambda } y } } { y } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( c _ { \lambda } y ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } } { \Gamma ( \gamma _ { \lambda } x ) } \frac { e ^ { - c _ { \tau } x } } { x } d x d y } \\ & { = \gamma _ { \lambda } \gamma _ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \infty } | e ^ { i \upsilon y } - 1 | \frac { e ^ { - c _ { \lambda } y } } { y } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( c _ { \lambda } y ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } } { \Gamma ( \gamma _ { \lambda } x + 1 ) } e ^ { - c _ { \tau } x } d x d y } \\ & { \leq \gamma _ { \lambda } \gamma _ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \infty } | e ^ { i \upsilon y } - 1 | \frac { e ^ { - c _ { \lambda } y } } { y } \left[ \frac { 1 } { \hat { \Gamma } } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ( c _ { \lambda } y ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } e ^ { - c _ { \tau } x } d x \right. } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qquad \qquad + \left. \int _ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } ^ { \infty } \frac { ( c _ { \lambda } y ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } e ^ { - c _ { \tau } x } } { ( \gamma _ { \lambda } x ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } e ^ { - \gamma _ { \lambda } x } \sqrt { 2 \pi ( \gamma _ { \lambda } x + a ) } } d x \right] d y } \end{array}
E = - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { 4 \pi r } } e ^ { - m r } \left\{ { \frac { 2 } { \left( m r \right) ^ { 2 } } } \left( e ^ { m r } - 1 \right) - { \frac { 2 } { m r } } \right\} { \vec { v } } _ { 1 } \cdot \left[ 1 + { \hat { r } } { \hat { r } } \right] \cdot { \vec { v } } _ { 2 }
\mathbf { Q } _ { \mathrm { l i s t 1 } } = \left\{ \left[ \frac { 3 } { 4 } \ \frac { 1 } { 4 } \ 0 \right] , \left[ \frac { 1 } { 2 } \ \frac { 1 } { 2 } \ 0 \right] , \left[ \frac { 1 } { 2 } \ 0 \ 0 \right] , \left[ \frac { 3 } { 4 } \ \frac { 1 } { 4 } \ 0 \right] , \left[ 1 \ 0 \ 0 \right] , \left[ \frac { 1 } { 2 } \ 0 \ 0 \right] \right\}
\begin{array} { r l r } { U _ { 1 } ( \tau ) } & { = } & { \big ( \lambda \omega \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) , - \lambda \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) \sin ( \omega \lambda \tau ) + \sin ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) \cos ( \omega \lambda \tau ) , } \\ & { } & { \: \: \lambda \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) \cos ( \omega \lambda \tau ) + \sin ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) \sin ( \omega \lambda \tau ) , 0 \big ) , } \\ { U _ { 2 } ( \tau ) } & { = } & { \big ( - \lambda \omega \sin ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) , \lambda \sin ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) \sin ( \omega \lambda \tau ) + \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) \cos ( \omega \lambda \tau ) , } \\ & { } & { \: \: \sin ( \omega \lambda \tau ) \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) - \lambda \cos ( \omega \lambda \tau ) \sin ( \omega \lambda \tau ) , 0 \big ) , } \\ { U _ { 3 } ( \tau ) } & { = } & { \big ( 0 , 0 , 0 , 1 \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( \varphi - v A _ { \parallel } \right) } \\ { A _ { \parallel } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( A _ { \parallel } - { \frac { v \varphi } { c ^ { 2 } } } \right) } \\ { A _ { \bot } ^ { \prime } } & { { } = A _ { \bot } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X Y Z } ( x , y , z , \tau \vert x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 } { - \nu ( \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { - \nu } { ( \sqrt { t } ) ^ { 3 } } \exp \left\lbrace - \left( \frac { \nu } { \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace d t } \\ & { = \frac { 1 } { \nu ( \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } ) ^ { 3 } } \int _ { \sqrt { \frac { \nu } { \tau } } } ^ { \infty } e ^ { - u ^ { 2 } } d u } \end{array}
{ \| \omega ^ { \lambda } \| } _ { L ^ { q } ( \Omega _ { \lambda } ^ { - } ) } \leq C { \left\| h _ { \lambda } ( y ) \omega ^ { \lambda } \right\| } _ { L ^ { \frac { n q } { n + 2 s q } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { - } ) } \leq C { \left\| h _ { \lambda } \right\| } _ { L ^ { \frac { n } { 2 s } } ( \Omega _ { \lambda } ^ { - } ) } { \left\| \omega ^ { \lambda } \right\| } _ { L ^ { q } ( \Omega _ { \lambda } ^ { - } ) } .
T ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { 1 } { \rho C _ { p } } \int _ { - \infty } ^ { t } Q ( \boldsymbol { r } , t ^ { \prime } ) \mathrm { ~ d } t ^ { \prime } = \frac { 1 } { \rho C _ { p } } q ( \boldsymbol { r } ) \int _ { - \infty } ^ { t } e ^ { - \frac { t ^ { \prime 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } } \mathrm { ~ d } t ^ { \prime } = T _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) ( 1 + \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( \frac { t } { \sqrt { 2 } \tau } ) ) / 2 ,
[ \mathbf { \hat { r } } , { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) ] \equiv \mathbf { \hat { r } } { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) - { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \hat { r } } = \mathbf { x } { \hat { T } } ( \mathbf { x } )
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } p \Delta p } & { = - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \Omega } p ( \nabla u ) ^ { T } \colon \nabla u + { \mathrm { R a } } \int _ { \Omega } p \partial _ { 2 } T } \\ & { = - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \Omega } p ( \nabla u ) ^ { T } \colon \nabla u + { \mathrm { R a } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p T n _ { 2 } - \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } T \partial _ { 2 } p } \\ & { = - \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \int _ { \Omega } p ( \nabla u ) ^ { T } \colon \nabla u + \mathrm { { R a } } \int _ { \gamma ^ { - } } p n _ { 2 } - { \mathrm { R a } } \int _ { \Omega } T \partial _ { 2 } p , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { k [ X ^ { k } ] g ^ { n } } & { \ { \stackrel { \mathrm { ( v ) } } { = } } \ k \operatorname { R e s } \left( g ^ { n } X ^ { - k - 1 } \right) \ { \stackrel { \mathrm { ( i v ) } } { = } } \ k \operatorname { R e s } \left( X ^ { n } f ^ { - k - 1 } f ^ { \prime } \right) \ { \stackrel { \mathrm { c h a i n } } { = } } \ - \operatorname { R e s } \left( X ^ { n } ( f ^ { - k } ) ^ { \prime } \right) } \\ & { \ { \stackrel { \mathrm { ( i i ) } } { = } } \ \operatorname { R e s } \left( \left( X ^ { n } \right) ^ { \prime } f ^ { - k } \right) \ { \stackrel { \mathrm { c h a i n } } { = } } \ n \operatorname { R e s } \left( X ^ { n - 1 } f ^ { - k } \right) \ { \stackrel { \mathrm { ( v ) } } { = } } \ n [ X ^ { - n } ] f ^ { - k } . } \end{array} }
\frac { d } { d t } \frac { \partial T ^ { * } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } - \frac { \partial T ^ { * } } { \partial q _ { r } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial T ^ { * } } { \partial q _ { m + \nu } } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } _ { r } } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } B _ { r } ^ { \nu } \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { m + \nu } } = { \cal F } ^ { ( q _ { r } ) } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } { \cal F } ^ { ( q _ { m + \nu } ) } , \qquad r = 1 , \dots , m