harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { n \ge C \operatorname* { m a x } \left\{ ( K _ { 2 } + \sigma _ { H } ^ { 2 } + K _ { 1 } ^ { 2 } ) \left[ \log { ( 2 d / \delta ) } + d \log { ( \omega _ { \nu } ( K _ { \nu } ) n / \delta ) } \right] , \left[ ( M + R _ { \nu } ^ { \star } / K _ { \nu } ) ^ { 2 } K _ { 1 } ^ { 2 } d _ { \star } \log { ( e / \delta ) } \right] ^ { 1 / ( 3 - \nu ) } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { S 1 } ^ { \prime } ( x ) } & { = - \frac { 1 } { \rho } \exp { ( - \frac { x } { \rho } ) } , } \\ { g _ { S 2 } ^ { \prime } ( x ) } & { = \frac { \exp { ( - \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } ) } } { x ^ { 5 } } \left( \frac { 6 } { x ^ { 2 } } + 6 \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 6 } x ^ { 4 } + 3 \alpha ^ { 4 } x ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \check { h } _ { i } ^ { 0 , 1 } = \phi _ { \theta } ( x _ { i } ) } \\ { \check { h } _ { i } ^ { t , 1 } = \sigma \left( \hat { h } _ { i } ^ { t - 1 , 1 } \right) + \check { h } _ { i } ^ { t - 1 , 1 } \qquad t = 1 , \, \dots , \, T - 1 } \\ { h _ { i } = \psi _ { \gamma } \left( \hat { h } _ { i } ^ { T - 1 , 1 } + \check { h } _ { i } ^ { T - 1 , 1 } \right) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = } \\ & { = L ^ { \beta } \frac { D ( \alpha - \beta + 1 ) \left( - \frac { 2 \gamma } { D ( \alpha - \beta + 1 ) } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha - \beta + 1 } } e ^ { \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha - \beta + 1 } } { D ( \alpha - \beta + 1 ) } } } { \Theta ( \alpha - \beta + 1 ) \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha - \beta + 1 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha - \beta + 1 } , - \frac { 2 L ^ { \alpha - \beta + 1 } \gamma } { D ( \alpha - \beta + 1 ) } \right) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D ^ { \mathrm { p e r t } } } & { = } & { M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } R ^ { \mathrm { T } } K R M _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } + M _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } R ^ { \mathrm { T } } K R M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } + } \\ & { + } & { M _ { 2 } ^ { - 1 / 2 } R ^ { \mathrm { T } } K R M _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } + M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } R ^ { \mathrm { T } } K R M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } + } \\ & { + } & { M _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } R ^ { \mathrm { T } } K R M _ { 2 } ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { l _ { \mathrm { e f f } } } d z 2 \mu ( \gamma _ { \mathrm { C M } } - 1 ) = 2 \pi \eta ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { l _ { \mathrm { e f f } } } d z \left[ K _ { 0 } ( m _ { S } d ( z ) ) - \cos ( \alpha ) K _ { 0 } ( m _ { A } d ( z ) ) \right] ,
\operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \lambda ^ { \prime } \left( \hat { \beta } _ { ( i ) } - \beta _ { ( i ) } ^ { \ast } \right) - \lambda ^ { \prime } \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } \right\vert \leq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \lambda ^ { \prime } \left\{ \widehat { \mathcal { H } } _ { ( i ) } ^ { - 1 } - \mathcal { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \right\} \right\vert \times \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } \right\vert .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Z _ { 3 a } ^ { * } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { i j k \ell s t } \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 3 } \theta _ { j } ^ { 3 } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { s } \theta _ { t } + \sum _ { i j k \ell s t } [ \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } \beta _ { j } + \beta _ { k } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \beta _ { j } ] \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 3 } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { s } ^ { 2 } \theta _ { t } \bigg ) } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \big ( \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \| \theta \| _ { 1 } \big ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { a } - \eta _ { a } ( \epsilon ) } & { = \frac { \mu _ { a } } { \mu _ { a } - \kappa _ { a } } - \frac { \kappa _ { a } ( \Delta _ { a } - \epsilon ) - \epsilon \mu _ { a } } { ( \mu _ { a } - \kappa _ { a } ) ( \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - 2 \epsilon ) } } \\ & { = \frac { \mu _ { a } \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } \mu _ { a } - 2 \epsilon \mu _ { a } - \kappa _ { a } ( \mu _ { 1 } - \mu _ { a } - \epsilon ) + \epsilon \mu _ { a } } { ( \mu _ { a } - \kappa _ { a } ) ( \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - 2 \epsilon ) } } \\ & { = \frac { \mu _ { 1 } ( \mu _ { a } - \kappa _ { a } ) - \epsilon ( \mu _ { a } - \kappa _ { a } ) } { ( \mu _ { a } - \kappa _ { a } ) ( \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - 2 \epsilon ) } } \\ & { = \frac { \mu _ { 1 } - \epsilon } { \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - 2 \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { d a t a } ( \theta ) = } & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , z , u ) } [ \frac { | { u } ( t , x , y , z ; \theta ) - { u } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { u } } ^ { 2 } } ] + } \\ & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , z , v ) } [ \frac { | { v } ( t , x , y , z ; \theta ) - { v } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { v } } ^ { 2 } } ] + } \\ & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , z , w ) } [ \frac { | { w } ( t , x , y , z ; \theta ) - { w } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { w } } ^ { 2 } } ] + } \\ & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , z , p ) } [ \frac { | { p } ( t , x , y , z ; \theta ) - { p } | ^ { 2 } } { { \sigma _ { p } } ^ { 2 } } ] , } \end{array}
\partial _ { t } \mathcal { B } ( t , \xi ; q ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \mathcal { B } ( t , \xi ; q ) - \mu _ { 1 } g ( t ) \partial _ { \xi } [ h ( \xi ) \mathcal { B } ( t , \xi ; q ) ] + \sqrt { 8 \nu } \dot { W } ( t ; q ) = 0 , \quad \mathcal { B } ( 0 , \xi ; q ) = 1 ,
\begin{array} { r l } { E ( x , t ) } & { = \frac { E _ { 0 } ( x , t ) } { 2 } \left( e ^ { \mathrm { { i } } ( k x - \omega t + \phi ) } + e ^ { - { \mathrm { i } } ( k x - \omega t + \phi ) } \right) } \\ & { = \frac { E _ { 0 } ( x , t ) e ^ { \mathrm { { i } } ( k x + \phi ) } } { 2 } e ^ { - { \mathrm { i } } \omega t } + \frac { E _ { 0 } ( x , t ) e ^ { - \mathrm { { i } } ( k x + \phi ) } } { 2 } e ^ { { \mathrm { i } } \omega t } . } \end{array}
S _ { E } = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { D } ^ { 2 } } } \int d ^ { D } x \sqrt { - G ^ { E } } \left[ { \cal R } _ { G ^ { E } } - { \frac { 4 } { D - 2 } } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { 2 a \phi } F _ { 2 } ^ { 2 } \right] ,
\rho _ { 2 } = c _ { 2 } ^ { \overline { { { M S } } } } + r _ { 2 } ^ { \overline { { { M S } } } } - r _ { 1 } ^ { \overline { { { M S } } } } c - ( r _ { 1 } ^ { \overline { { { M S } } } } ) ^ { 2 } .
{ \overline { { { \mathrm { u } } } } } _ { N } ( p ^ { \prime } ) { \mathrm { u } } _ { N } ( p ) \sigma ( t ) \, = \, \frac { 1 } { 2 M _ { N } } < N ( p ^ { \prime } ) \vert { \hat { m } } ( { \overline { { u } } } u + { \overline { { d } } } d ) ( 0 ) \vert N ( p ) > ,
\begin{array} { r l } { \int f _ { \varepsilon } \varphi ^ { \prime \prime } } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 ^ { + } } \int _ { a } ^ { b } f _ { \varepsilon } \, \mathrm { d } _ { h } ^ { 2 } \varphi = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 ^ { + } } \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } _ { h } ^ { 2 } f _ { \varepsilon } \, \varphi \le \int _ { a } ^ { b } \overline { { D } } ^ { 2 } f _ { \varepsilon } \, \varphi \le \int _ { a } ^ { b } \varphi ( x ) \, \, \operatorname* { s u p } _ { [ x - \sqrt { \varepsilon M } , x + \sqrt { \varepsilon M } ] } g ( f ( y ) ) \ensuremath { \, \mathrm d } x } \end{array}
\int _ { a } ^ { b } { [ { { c } _ { 1 } } { { f } _ { 1 } } ( x ) + { { c } _ { 2 } } { { f } _ { 2 } } ( x ) + \ldots + { { c } _ { n } } { { f } _ { n } } ( x ) ] d x } = { { c } _ { 1 } } \int _ { a } ^ { b } { { { f } _ { 1 } } ( x ) d x } + { { c } _ { 2 } } \int _ { a } ^ { b } { { { f } _ { 2 } } ( x ) d x } + \ldots + { { c } _ { n } } \int _ { a } ^ { b } { { { f } _ { n } } ( x ) d x }
\mathrm { K = ( ~ n e w ~ s p i n o r ~ s p a c e ) } : \left\{ 1 = \left( \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) , k = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) \right\}
\nabla ^ { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } ( y ) = \frac { 2 } { \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } \right) ^ { 3 } } \left( \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) \frac { \zeta \zeta ^ { T } } { \alpha ^ { 2 } } - \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) \frac { \zeta \bar { y } ^ { T } + \bar { y } \zeta ^ { T } } { \alpha } + \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } \right) ^ { 2 } I \right) .
{ \begin{array} { r l } { \sin ( x ) } & { = x ( x ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } - 4 \pi ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } - 9 \pi ^ { 2 } ) \cdots } \\ & { = A x \left( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } \right) \left( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } } \right) \left( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 9 \pi ^ { 2 } } } \right) \cdots . } \end{array} }
A = \left( \begin{array} { c c } { { \alpha } } & { { - \overline { { { \beta } } } } } \\ { { \beta } } & { { \overline { { { \alpha } } } } } \end{array} \right) , \quad \alpha = \cos { \frac { \theta } { 2 } } e ^ { i ( \psi + \phi ) / 2 } , \quad \beta = \sin { \frac { \theta } { 2 } } e ^ { i ( \psi - \phi ) / 2 } ,
\begin{array} { r l } { Q ( \Delta \omega ) } & { = \frac { 1 } { \Delta \omega \left( 1 - \beta \right) } } \\ & { \left[ c ^ { 2 } \omega ^ { 1 - \beta } ( \Delta \omega + \omega ) ^ { 1 - \beta } _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 2 - 2 \beta ; 2 - \beta ; - \frac { \omega } { \Delta \omega } \right) \right] _ { \omega _ { 1 } } ^ { \omega _ { 2 } } } \\ & { \propto \Delta \omega ^ { - 1 - \left( 2 / \alpha \right) } , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \rho v _ { I } ^ { 2 } ( x _ { A } , y _ { A } , z _ { A } ) + p _ { I } ( x _ { A } , y _ { A } , z _ { A } ) = \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { I } ^ { 2 } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) + p _ { I } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) ,
\begin{array} { r } { \sqrt { n } \cdot \frac { \hat { m } ( x ) - m ( x ) - \mathrm { E } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) / f _ { X } ( x ) } { \sqrt { \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) } / f _ { X } ( x ) } \overset { d } { \longrightarrow } N ( 0 , 1 ) . } \end{array}
v _ { o } ^ { 2 } = \frac { ( p - p _ { o } ) ( \epsilon + p _ { o } ) } { ( \epsilon - \epsilon _ { o } ) ( \epsilon _ { o } + p ) } \; , \; \; v ^ { 2 } = \frac { ( p - p _ { o } ) ( \epsilon _ { o } + p ) } { ( \epsilon - \epsilon _ { o } ) ( \epsilon + p _ { o } ) } \; \; .
\left| \begin{array} { c c } { i ( \alpha - 1 ) \nu _ { { L } } - \mathbf { k } \cdot \mathbf { w } _ { s d } } & { c _ { { s n } } \mathbf { k } ^ { T } } \\ { \frac { \left( c _ { { I A } } ^ { 2 } + c _ { { s i } } ^ { 2 } \right) } { c _ { { s n } } } \mathbf { k } - i \frac { ( 1 - \zeta _ { s i } ) { \nu _ { i d } } _ { 0 } } { c _ { s n } } \mathbf { w } _ { s d } } & { - i \left( \left( 1 - A _ { W } \right) \nu _ { { L } } + \nu _ { { i n } } \right) \mathbf { I } + \mathbf { D } _ { i } - \mathbf { k } \cdot \mathbf { w } _ { s d } \mathbf { I } } \end{array} \right| = 0
\begin{array} { r l r } { \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 } \| { q } \| ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { R } _ { i } ^ { - 1 } } & { = } & { \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 } \| { q } \| ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } ( 1 + \tilde { \delta } _ { 2 i } ) } \\ & { = } & { \| { q } \| ^ { 2 } \{ 1 + O _ { p } ( n ^ { - 1 / 4 } ) \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { \mathrm { H T S T } } } & { = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 N - 3 } \, \nu _ { i } ^ { \mathrm { A } } } { \prod _ { j = 1 } ^ { 3 N - 4 } \, \nu _ { j } ^ { \mathrm { S } } } = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 N - 3 } \, \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \lambda _ { i } ^ { \mathrm { A } } / m } } { \prod _ { j = 1 } ^ { 3 N - 4 } \, \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \lambda _ { i } ^ { \mathrm { S } } / m } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } ( \tilde { \mathbf { K } } _ { A } ) \cdot \lambda _ { - } ^ { S } } { \operatorname* { d e t } ( \tilde { \mathbf { K } } _ { S } ) \cdot m } } } \end{array}
K _ { \alpha { \dot { \alpha } } } = - \frac { i } { 4 } [ D _ { \alpha } ^ { \mathbf i } , { \bar { D } } _ { { \dot { \alpha } } { \mathbf i } } ] ( X - { \bar { X } } ) - \frac { { \mathcal N } } { 2 } \partial _ { \alpha { \dot { \alpha } } } ( X + { \bar { X } } ) \ ,
{ \cal R } _ { \kappa \, , \mu \nu } ^ { \; \, a b } ( q ) \; = \; { R } _ { \kappa } ( q ^ { 2 } ) \; \delta ^ { a b } \, \left( g _ { \mu \nu } \, - \, \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } } { q ^ { 2 } } \right) \; = \; { R } _ { \kappa } ( q ^ { 2 } ) \; \delta ^ { a b } \, \left( \, P _ { \mu \nu } + Q _ { \mu \nu } \right) \; .
\begin{array} { r l } & { X ( d , \delta , \vartheta , \sigma , N ) = \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { \frac { - \delta + \vartheta \sigma - d \vartheta + d / 2 } { \sigma - d } } } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta < 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta < \vartheta \sigma - d ( \vartheta - 1 / 2 ) , } \\ { \log ^ { \frac 1 2 } ( 1 + N ) } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta < 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta = \vartheta \sigma - d ( \vartheta - 1 / 2 ) , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta < 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta > \vartheta \sigma - d ( \vartheta - 1 / 2 ) , } \\ { N ^ { \frac { \sigma / 2 - \delta } { \sigma - d } } \log ^ { \frac 1 2 } ( 1 + N ) } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta = 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta < \sigma / 2 , } \\ { \log ( 1 + N ) } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta = 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta = \sigma / 2 , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta = 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta > \sigma / 2 , } \\ { N ^ { \frac { \vartheta ( \vartheta \sigma - \delta ) } { \vartheta \sigma - d / 2 } } } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta > 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta < \vartheta \sigma , } \\ { \log ^ { \frac 1 2 } ( 1 + N ) } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta > 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta = \vartheta \sigma , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta > 1 / 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \delta > \vartheta \sigma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { V _ { { \mathrm { B , p } } } ( \rho , z ) } { V _ { 0 } } \approx \mu ^ { \prime } z ^ { 2 } - \eta ^ { \prime } \rho ^ { 2 } z ^ { 2 } + \chi ^ { \prime } \rho ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \rho , k , \varepsilon } } & { \leq \mu ( \{ x \in X \colon | M _ { \lambda \rho } f _ { k } ( x ) | > C \varepsilon ^ { 2 } \rho ^ { - d _ { w } } \} ) } \\ & { \leq C \frac { \rho ^ { d _ { w } } } { \varepsilon ^ { 2 } } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } E _ { d _ { w } / 2 , X } ( f _ { k } , r ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a _ { n } } & { = { \frac { S - x _ { n } ^ { 2 } } { 2 x _ { n } } } , } \\ { b _ { n } } & { = x _ { n } + a _ { n } , } \\ { x _ { n + 1 } } & { = b _ { n } - { \frac { a _ { n } ^ { 2 } } { 2 b _ { n } } } = ( x _ { n } + a _ { n } ) - { \frac { a _ { n } ^ { 2 } } { 2 ( x _ { n } + a _ { n } ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\vert \xi _ { \textnormal { s m a l l } , 0 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) \right\vert } & { \leq \left\vert \xi _ { \textnormal { s m a l l } , \geq 1 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) \right\vert + \left\vert \xi _ { \geq 1 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) \right\vert , } \\ { \left\vert \xi _ { \textnormal { s m a l l } , 0 } ^ { 3 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \right\vert } & { \leq \left\vert \xi _ { \textnormal { s m a l l } , \geq 1 } ^ { 3 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \right\vert + \left\vert \xi _ { \geq 1 } ^ { 3 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \right\vert . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( x ) } & { = } & { - a _ { 1 } ^ { 2 } m r _ { 1 } x ^ { 3 } + ( - 2 a _ { 1 } m r _ { 1 } + a _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 1 } m r _ { 1 } ) x ^ { 2 } } \\ & { } & { + ( a _ { 1 } \mu K _ { 1 } q _ { 1 } - c _ { 1 } K _ { 1 } q _ { 1 } ^ { 2 } - m r _ { 1 } + 2 a _ { 1 } K _ { 1 } m r _ { 1 } ) x + ( \mu K _ { 1 } q _ { 1 } + K _ { 1 } m r _ { 1 } ) . } \end{array}
\delta \chi _ { A B C } = \cdots + \sum _ { i } b _ { i } L _ { \Lambda _ { i } A B } ( \phi ) H _ { a _ { 1 } \cdots a _ { n _ { i } } } ^ { \Lambda _ { i } } \Gamma ^ { a _ { 1 } \cdots a _ { n _ { i } } } \epsilon _ { C } + \cdots
\mathcal { E } _ { \mathrm { t e r } } ^ { ( 2 ) } : = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { A v g } \left( \mathcal { M } _ { \tau , q - 1 } ^ { \otimes 2 } + \mathcal { M } _ { \tau , q } ^ { \otimes 2 } + \mathcal { M } _ { \tau , q + 1 } ^ { \otimes 2 } \right) = \frac { 1 } { 3 } \left( \mathcal { E } _ { \mathrm { b i } , \mathrm { L } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { b i } , \mathrm { C } } ^ { ( 2 ) } + \mathcal { E } _ { \mathrm { b i } , \mathrm { R } } ^ { ( 2 ) } \right) .
\begin{array} { l } { { { \overline { { x } } ^ { i } } = C _ { j i } M _ { j k } x ^ { k } ~ , } } \\ { { { \overline { { \partial } } _ { i } } = - q ^ { - 2 } \Lambda _ { n } ^ { - 1 } C _ { i j } M _ { j k } [ \Delta _ { n } , x ^ { k } ] ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { k } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) = \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } \bullet \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } \end{array} \right) ^ { T } \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } \in \mathrm { ~ \mathbb { R } ~ } ^ { n } \ ( 0 \leq k \leq m ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { o p } ( \alpha ) H _ { o p } U _ { o p } ^ { + } ( \alpha ) } & { = } & { U _ { o p } ( \alpha ) \left[ \int d ^ { 3 } r \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) h \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] U _ { o p } ^ { + } ( \alpha ) = } \\ & { = } & { \int d ^ { 3 } r \; U _ { o p } ( \alpha ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) U _ { o p } ^ { + } ( \alpha ) \; h \; U _ { o p } ( \alpha ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) U _ { o p } ^ { + } ( \alpha ) = H _ { o p } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d ^ { \prime } = \sum _ { \scriptstyle ( x , y ) { \scriptstyle \in { \cal X } \times { \cal Y } } } d _ { 0 } \tilde { p } ( x , y ) \log \frac { 1 } { p ( x ) } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } d _ { 0 } \log \left( \sum _ { \scriptstyle ( x , y ) { \scriptstyle \in { \cal X } \times { \cal Y } } } \frac { \tilde { p } ( x , y ) } { p ( x ) } \right) } \\ & { = d _ { 0 } \log \left( \frac { \displaystyle \sum _ { \scriptstyle ( x , y ) { \scriptstyle \in { \cal X } \times { \cal Y } } } | q ( y | x ) - p ( y | x ) | } { d _ { 0 } } \right) \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { \leq } d _ { 0 } \log \left( \frac { 2 | { \cal X } | } { d _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda \, } & { = } & { \, \frac { 4 m _ { e } c } { h } \, \ell _ { \star } ^ { 2 } \, \frac { \left( N _ { \star } - 1 \right) ^ { 2 } } { N _ { \star } + 1 } } \\ & { \approx } & { \, 3 3 \, \mathrm { n m } \, \left( \frac { \ell _ { \star } } { 1 . 4 \, \AA } \right) ^ { 2 } \frac { \left( N _ { \star } - 1 \right) ^ { 2 } } { N _ { \star } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \sigma } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n l m } f _ { \sigma n l m } \nabla \psi _ { \sigma n l m } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ) \cdot \nabla \psi _ { \sigma n l m } ( \boldsymbol { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( X _ { i , 1 } ^ { - } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { 1 , n } ^ { ( 2 ) } + \alpha _ { 1 } W _ { 1 , n } ^ { ( 1 ) } t ^ { - 1 } - ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \Phi ( X _ { 0 , 0 } ^ { - } ) - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } w _ { 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , n } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ i ~ = ~ 0 ~ } , } \\ { w _ { i + 1 , i } ^ { ( 2 ) } t + \frac { i } { 2 } \Phi ( X _ { i , 0 } ^ { - } ) } \\ { \quad - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } w _ { i + 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } w _ { i + 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ i ~ \neq ~ 0 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
F ^ { s i g n a l } ( T ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { T } R ^ { s i g n a l } ( T ^ { \prime } ) d T ^ { \prime } } { \int _ { 0 } ^ { E _ { m a x } } R ^ { s i g n a l } ( T ^ { \prime } ) d T ^ { \prime } } \qquad F ^ { b a c k g r o u n d } ( T ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { T } R ^ { b a c k g r o u n d } ( T ^ { \prime } ) d T ^ { \prime } } { \int _ { 0 } ^ { E _ { m a x } } R ^ { b a c k g r o u n d } ( T ^ { \prime } ) d T ^ { \prime } }
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { x _ { c } ( t ) } { e ^ { - \gamma t } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left( x _ { 0 } + \left( v _ { 0 } + \omega _ { 0 } x _ { 0 } \right) t \right) e ^ { - ( \omega _ { 0 } - \gamma ) t } = 0 ,
\beta = 1 : \quad \operatorname { E } \left[ - { \frac { 1 } { N } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) } { \partial \beta \partial c } } \right] = { \mathcal { I } } _ { \beta , c }
\begin{array} { r c l } { { { \cal B } _ { h \pi ^ { 0 } } } } & { { = } } & { { 0 . 2 5 5 9 \pm 0 . 0 0 1 9 \pm 0 . 0 0 4 7 \quad ( \ell - \rho ) ; } } \\ { { { \cal B } _ { h \pi ^ { 0 } } } } & { { = } } & { { 0 . 2 5 6 7 \pm 0 . 0 0 1 7 \pm 0 . 0 0 4 5 \quad ( \rho - \rho ) ; } } \\ { { { \cal B } _ { h \pi ^ { 0 } } } } & { { = } } & { { 0 . 2 6 4 3 \pm 0 . 0 0 2 9 \pm 0 . 0 0 5 2 \quad ( 3 - \rho ) ; } } \\ { { { \cal B } _ { h \pi ^ { 0 } } } } & { { = } } & { { 0 . 2 5 8 7 \pm 0 . 0 0 1 2 \pm 0 . 0 0 4 2 \quad ( \mathrm { c o m b i n e d } ) . } } \end{array}
\mathrm { { N u } } \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { { R a } } ^ { - 2 \mu + \frac 1 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mu < \frac { 1 } { 2 4 } } \\ { \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 5 } { 1 2 } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \frac { 1 } { 2 4 } \leq \mu < \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { } & { j _ { \mathbf { m } _ { 1 } } ( \alpha ( p ) _ { + + } ) = - A ^ { 5 / 2 } \alpha _ { + - } \beta _ { + + } , } & { j _ { \mathbf { m } _ { 1 } } ( \alpha ( p ) _ { -- } ) = - A ^ { 5 / 2 } \alpha _ { -- } \beta _ { - + } , } \\ { } & { j _ { \mathbf { m } _ { 1 } } ( \alpha ( p ) _ { - + } ) = - A ^ { 5 / 2 } \alpha _ { -- } \beta _ { + + } , } & { j _ { \mathbf { m } _ { 1 } } ( \alpha ( p ) _ { + - } ) = - A ^ { 5 / 2 } \alpha _ { + - } \beta _ { - + } + A ^ { 1 / 2 } \alpha _ { + + } \beta _ { -- } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { a } \left\{ \left( \int _ { a _ { 1 } < a } p ( a _ { 1 } | D , K ) \textup { d } a _ { 1 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { a _ { 2 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { a } \left\{ \left( \int _ { a _ { 2 } < a } p ( a _ { 2 } | D , K ) \textup { d } a _ { 2 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { a _ { 3 , \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { a } \left\{ \left( \int _ { a _ { 3 } < a } p ( a _ { 3 } | D , K ) \textup { d } a _ { 3 } \right) > \alpha \right\} . } \end{array}