harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c l } { \displaystyle \alpha _ { 0 } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { L } { \int _ { 0 } ^ { L } { m _ { x } ( s ^ { \prime } ) m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left| w \left( l \right) w \left( \varphi \left( l \right) \right) \cdots w \left( \varphi ^ { n - 1 } \left( l \right) \right) \right| } & { = \frac { 1 } { \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { m - 1 } \left( k \right) } \right| } \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left| w \left( k \right) w \left( \varphi \left( k \right) \right) \cdots w \left( \varphi ^ { n + m - 1 } \left( k \right) \right) \right| = \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left| w ( \varphi ^ { - 1 } ( l ) ) w ( \varphi ^ { - 2 } ( l ) ) \cdots w ( \varphi ^ { - n } ( l ) ) \right| } & { = \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { m - 1 } \left( k \right) } \right| \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left| w ( \varphi ^ { - 1 } ( k ) ) w ( \varphi ^ { - 2 } ( k ) ) \cdots w ( \varphi ^ { - n + m } ( k ) ) \right| = 0 . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l l } { P ( \pi ) } & { \star } & { \star } \\ { A ( \pi ) } & { \operatorname { H e } ( X ( \pi ) ) + B B ^ { \top } } & { \star } \\ { 0 } & { P ( \pi _ { + } ) X ( \pi ) } & { P ( \pi _ { + } ) } \end{array} } \end{array} \right] \succ 0 , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \pi _ { + } , \pi \in \mathbb { P } ,
A _ { 4 } ^ { L } = { \frac { \Gamma ( - \hat { s } / 8 + M ^ { 2 } / 2 ) \Gamma ( - \hat { t } / 8 ) } { \Gamma ( 1 - \hat { t } / 8 - \hat { s } / 8 + M ^ { 2 } / 2 ) } } K ^ { L } ( 1 , 2 , 3 , 4 )
\frac { D \omega _ { z } } { D t } = \omega _ { x } \frac { \partial w } { \partial x } + \omega _ { y } \frac { \partial w } { \partial y } + \omega _ { z } \frac { \partial w } { \partial z } - \omega _ { z } ( \boldsymbol { \nabla \cdot u } ) + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \partial \rho } { \partial x } \frac { \partial p } { \partial y } - \frac { \partial \rho } { \partial y } \frac { \partial p } { \partial x } \bigg )
\begin{array} { r } { Q _ { \lambda , \nu } ( \xi ; q ) \xi \cdot \xi = \gamma \left( \xi _ { 1 } ^ { 3 } q _ { 1 } + \xi _ { 2 } ^ { 3 } q _ { 2 } + \xi _ { 3 } ^ { 3 } q _ { 3 } + \xi _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 2 } q _ { 2 } + \xi _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 3 } q _ { 3 } + \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 1 } + \xi _ { 1 } \xi _ { 3 } ^ { 2 } q _ { 1 } + \xi _ { 3 } \xi _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 3 } + \xi _ { 2 } \xi _ { 3 } ^ { 2 } q _ { 2 } \right) , } \end{array}
\eta _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ s ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( x ) = 0 . 2 \cos ( x ) , \qquad \qquad \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } , \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } ( x ) = - 1 + 0 . 2 \cos ( x / \sqrt { 2 } ) .
F \propto \frac { 1 - e ^ { - \frac { 2 < I ^ { 2 } ( t ) > } { I _ { \mathrm { s a t } } ^ { ( 2 ) } } } } { 2 + \left( 1 - e ^ { - \frac { 2 < I ^ { 2 } > } { I _ { \mathrm { s a t } } ^ { ( 2 ) } } } \right) } .
y _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) = \frac { 3 \pi \alpha ^ { 2 } } { 4 k _ { F } ( \mathbf { r } ) } u _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) \; \textrm { w i t h } \; u _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) = \int \frac { n ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) e ^ { - \alpha k _ { F } ( \mathbf { r } ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } d \mathbf { r } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { a ^ { \mathrm { ~ L ~ } } = { } } & { { } \frac { \partial v _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ L ~ } } } { \partial t } } \\ { = { } } & { { } a _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ L ~ } } e ^ { - { ( { r / R _ { \mathrm { ~ w ~ } } } ) } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial t } \left\lbrack { \sin \left( { \omega ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t - \varphi ^ { \mathrm { ~ L ~ } } } \right) } \Pi \left( \frac { \omega ^ { \mathrm { ~ L ~ } } t - \varphi ^ { \mathrm { ~ L ~ } } } { 2 \pi } \right) \right\rbrack . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \Gamma ( K , \epsilon , w ) } \right] = } & { \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } w ( \tilde { Y } ( m ) ) + \tilde { Y } ( m ) } | M \right] \right] } \\ { = } & { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ( \tilde { Y } ) + \tilde { Y } ) } \right] \right) ^ { m } \epsilon ^ { m - 1 } ( 1 - \epsilon ) } \\ { = } & { \frac { ( 1 - \epsilon ) \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ( \tilde { Y } ) + \tilde { Y } ) } \right] } { 1 - \epsilon \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ( \tilde { Y } ) + \tilde { Y } ) } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma = } & { { } \sqrt { 1 - L } e ^ { - i \theta _ { 0 } } s _ { 2 2 } , } \\ { \kappa = } & { { } \sqrt { 1 - L } e ^ { - i \theta _ { 0 } } s _ { 2 1 } \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } + \sqrt { L } \hat { v } _ { b } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r } & { = \operatorname { R a n k } ( Z _ { 1 } - E _ { P _ { 0 } } Z _ { 1 } , \dots , Z _ { M } - E _ { P _ { 0 } } Z _ { M } ) } \\ & { = \operatorname { R a n k } ( 1 , Z _ { 1 } - E _ { P _ { 0 } } Z _ { 1 } , \dots , Z _ { M } - E _ { P _ { 0 } } Z _ { M } ) - 1 } \\ & { = \operatorname { R a n k } ( Z _ { 0 } , Z _ { 1 } , \dots , Z _ { M } ) - 1 . } \end{array}
6 \eta ^ { 2 } = - 2 I _ { 2 } = b _ { i j } b _ { j i } \Rightarrow \eta ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } \left( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \phi _ { + } ^ { \prime } ( a ) = \sum _ { \{ i ; ~ \beta _ { i } > 0 ~ \textrm { a n d } ~ \beta _ { i } ^ { \prime } > 0 \} } f ^ { \prime } \left( \frac { a } { \beta _ { i } } \right) + f ^ { \prime } \left( \frac { a } { \beta _ { i } ^ { \prime } } \right) + \sum _ { \{ i ; ~ \beta _ { i } > 0 ~ \textrm { a n d } ~ \beta _ { i } ^ { \prime } = 0 \} } f ^ { \prime } \left( \frac { a } { \beta _ { i } } \right) + \sum _ { \{ i ; ~ \beta _ { i } = 0 ~ \textrm { a n d } ~ \beta _ { i } ^ { \prime } > 0 \} } f ^ { \prime } \left( \frac { a } { \beta _ { i } ^ { \prime } } \right) . } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { ~ T ~ } , j } = F \bigg ( \frac { W _ { j } } { 6 . 8 0 + W _ { j } } \bigg ) + ( 1 - F ) \bigg ( \frac { 2 . 4 0 \mathcal { N } _ { \mathrm { A } } \phi _ { j } } { ( 1 + \phi _ { j } ) ^ { 2 } } \bigg )
M _ { U } ^ { ( 1 ) } = \alpha _ { 1 2 } ^ { - 1 } ( M _ { c } ) \, \frac { 2 \pi } { \widetilde { b } _ { 1 } - \widetilde { b } _ { 2 } } \ M _ { c } = \frac { b _ { 1 } - b _ { 2 } } { \widetilde { b } _ { 1 } - \widetilde { b } _ { 2 } } \ M _ { c } \ \log \frac { M _ { U } ^ { ( 1 ) \, \mathrm { 4 D } } } { M _ { c } }
\tan \delta _ { t l s } = \, P _ { \gamma } \, \tan \delta ^ { 0 } \, \mathrm { t a n h } \left( \frac { \hbar \omega _ { c } } { 2 k _ { B } T } \right) \, \mathrm { l n } \left( \frac { \gamma _ { m a x } } { \Omega } + C _ { 1 } \right) .
\begin{array} { r l } { P _ { 4 } ( \tau ) = } & { { } \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega _ { s _ { 1 } } d \omega _ { s _ { 2 } } d \omega _ { i _ { 1 } } d \omega _ { i _ { 2 } } } \end{array}
- e ^ { i Q _ { z } } \frac { e } { m } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \partial _ { t } \delta \phi _ { z } \equiv \sum _ { l } e ^ { i l \vartheta _ { c } } \partial _ { t } \delta \hat { G } _ { l } .
\omega _ { \mathrm { \tiny ~ b h b } } ( \phi _ { 0 } ( x _ { 1 } ) \phi _ { 0 } ( x _ { 2 } ) ) \doteq ( 2 \pi ) ^ { - 3 } \int \! d p \, e ^ { - i ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) p } \varepsilon ( p _ { 0 } ) \delta ( p ^ { 2 } ) \frac { 1 } { 1 - e ^ { - \gamma ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) p } } .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { \ell } \Big ( \mu ( x ) u _ { t t } ( t ) ^ { 2 } + \kappa ( x ) u _ { x x t t } ( t ) ^ { 2 } \Big ) d x + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \rho ( x ) u _ { \tau \tau \tau } ^ { 2 } d x d \tau } } \\ & { = } & { - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } r ( x ) ( u _ { x x \tau } u _ { x x \tau \tau \tau } ) \ d x d \tau + 2 \int _ { 0 } ^ { t } g ^ { \prime } ( \tau ) u _ { \tau \tau \tau } ( \ell , \tau ) \ d \tau + \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) u _ { t t } ^ { 2 } ( x , 0 ^ { + } ) d x } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) u _ { x x t t } ^ { 2 } ( x , 0 ^ { + } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x , S C } ( 0 , 0 , 0 ) } & { = } & { \frac { R C _ { S C } } { 2 \sqrt { 2 } \gamma \epsilon _ { x } \sigma _ { z } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \Big \langle \left[ \frac { 1 } { [ ( \sigma _ { y } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } - 1 ) u + 1 ] } \right] ^ { 1 / 2 } \Big \rangle _ { s } } \\ & { = } & { \frac { R C _ { S C } } { \sqrt { 2 } \gamma \epsilon _ { x } \sigma _ { z } } \langle \frac { 1 } { 1 + \sigma _ { y } / \sigma _ { x } } \Big \rangle _ { s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } : = \frac { \mathbb { V } \{ A _ { \mathrm { M } } ( \theta , m ) \} - ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbb { V } \{ j ( \theta , m ) \} } { 2 } , } \\ { B } & { { } : = \mathbb { V } \{ n _ { \mathrm { P I } } ( \theta , m ) \} + \frac { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbb { V } \{ j ( \theta , m ) \} + \mathbb { V } \{ A _ { \mathrm { M } } ( \theta , m ) \} } { 2 } . } \end{array}
{ \bf K } \left( \theta \right) = \bigcup _ { \mathrm { e } = 1 } ^ { n _ { e } } \left( { \bf k } _ { C } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) + { \bf k } _ { S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) \right) \in \mathbb { R } ^ { n \times n } , \quad { \bf F } \left( \theta \right) = \bigcup _ { \mathrm { e } = 1 } ^ { n _ { e } } { \bf f } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) \in \mathbb { R } ^ { n } ,
\begin{array} { l l } { { R _ { \mathrm { c r } } = 0 \, ; } } & { { D = 2 \, , } } \\ { { \displaystyle R _ { \mathrm { c r } } = \frac { 9 } { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } \, ; } } & { { D = 3 \, , } } \\ { { R _ { \mathrm { c r } } = 1 2 m _ { 0 } ^ { 2 } \, ; } } & { { D = 4 \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } = } & { \frac { 1 } { 2 ( \zeta ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } \left( \zeta ^ { T } \bar { y } + \frac { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { r } - \sqrt { \left( \zeta ^ { T } \bar { y } + \frac { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { r } \right) ^ { 2 } - \frac { 4 ( \zeta ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } { r } } \right) \geq \frac { \frac { 1 } { r } } { \zeta ^ { T } \bar { y } + \frac { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { r } } } \\ { \lambda _ { i } = } & { \frac { 1 } { r \zeta ^ { T } \bar { y } } , \qquad \mathrm { f o r ~ } i = 2 , . . . , n - 1 } \\ { \lambda _ { n } = } & { \frac { 1 } { 2 ( \zeta ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } \left( \zeta ^ { T } \bar { y } + \frac { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { r } + \sqrt { \left( \zeta ^ { T } \bar { y } + \frac { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { r } \right) ^ { 2 } - \frac { 4 ( \zeta ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } { r } } \right) \leq \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } + \frac { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { r } } { ( \zeta ^ { T } \bar { y } ) ^ { 3 } } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { W } & { - A ^ { T } } \\ { \Lambda A } & { C } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { p _ { x } } \\ { p _ { \lambda } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { - g + A ^ { T } \lambda } \\ { \mu 1 - C \lambda } \end{array} \right) } ,
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \mathbb { E } ( y _ { t } ^ { i } ) = \frac { s ^ { i } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { i _ { k } } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } \mathbf { y } _ { { t - 1 } } ^ { j _ { k } } } { s ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } } = \frac { \sum _ { i } s ^ { i } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { i } } { \sum _ { i } s ^ { i } } ,
S _ { \mathbf { L } _ { p } } ( z , q ) = \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } z ^ { a } q ^ { \frac { a ^ { 2 } - a } { 2 } } \left( \begin{array} { l } { { { \mathbf { L } _ { p } - ( a , 0 , \dots , 0 ) } } } \\ { { a } } \end{array} \right) _ { q } ,
\frac { \partial f _ { s } } { \partial t } + \frac { 1 } { B ( \mathbf { x } ) } \left[ \nabla \cdot \left( v _ { \parallel } \mathbf { B } f _ { s } \right) + \frac { \partial } { \partial v _ { \parallel } } \left( \left( \frac { q _ { s } } { m _ { s } } E _ { \parallel } - \Tilde { \mu } \mathbf { b } \cdot \nabla B \right) B f _ { s } \right) \right] = 0 ,
T _ { \theta ^ { \prime } \iota ^ { \prime } \cdots \kappa ^ { \prime } } ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \cdots \zeta ^ { \prime } } = { \Lambda ^ { \alpha ^ { \prime } } } _ { \mu } { \Lambda ^ { \beta ^ { \prime } } } _ { \nu } \cdots { \Lambda ^ { \zeta ^ { \prime } } } _ { \rho } { \Lambda _ { \theta ^ { \prime } } } ^ { \sigma } { \Lambda _ { \iota ^ { \prime } } } ^ { \upsilon } \cdots { \Lambda _ { \kappa ^ { \prime } } } ^ { \zeta } T _ { \sigma \upsilon \cdots \zeta } ^ { \mu \nu \cdots \rho } ,
\begin{array} { r l } { { ^ { 1 } { \Gamma } _ { p q } ^ { ( 2 ) } } } & { { } = \sum _ { i } \, \frac { \eta _ { p } \, \eta _ { q } \, \nu _ { i } - \nu _ { p } \, \nu _ { q } \, \eta _ { i } } { ( \epsilon _ { p } - \epsilon _ { i } ) \, ( \epsilon _ { q } - \epsilon _ { i } ) } \; G _ { p i } \; G _ { i q } + \mathcal { \hat { P } } _ { p q } ^ { \dagger } \sum _ { i } \, \frac { \eta _ { q } \, \nu _ { p } \, \nu _ { i } - \nu _ { q } \, \eta _ { p } \, \eta _ { i } } { \epsilon _ { q } - \epsilon _ { i } } \; \frac { G _ { p i } \; G _ { i q } } { \epsilon _ { p } - \epsilon _ { q } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( u ) } & { = \frac { 1 } { 2 } u ^ { T } C u - u ^ { T } W + J _ { \boldsymbol { \lambda } } ^ { \prime } ( { \beta ^ { 0 } } ; u ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \Vert W - u \Vert _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \Vert W \Vert _ { 2 } ^ { 2 } + J _ { \boldsymbol { \lambda } } ^ { \prime } ( { \beta ^ { 0 } } ; u ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { R } ^ { l ^ { \mathrm { c } } } \left( q , u _ { i } , l ^ { \mathrm { c } } \right) } & { = \int q \left( l _ { n + 1 } ^ { \mathrm { c } } - l _ { n } ^ { \mathrm { c } } \right) \ \mathrm { d } { \Omega _ { 0 } } } \\ & { - \Delta t \int q \ \left[ f \left( u _ { i } , l ^ { \mathrm { c } } \right) \right] _ { n + \theta ^ { l ^ { \mathrm { c } } } } \ \mathrm { d } { \Omega _ { 0 } } \qquad \forall q \in { \mathcal { Q } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \psi ( z ) } & { = - \gamma + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { n + 1 } } - { \frac { 1 } { n + z } } \right) , \qquad z \neq 0 , - 1 , - 2 , \ldots , } \\ & { = - \gamma + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { z - 1 } { ( n + 1 ) ( n + z ) } } , \qquad z \neq 0 , - 1 , - 2 , \ldots , } \end{array} }
\frac { \partial \tilde { \rho } } { \partial t } + \frac { 1 } { r } \rho _ { 0 } \frac { \partial r \tilde { v } _ { r } } { \partial r } + \rho _ { 0 } \frac { \partial \tilde { v } _ { z } } { \partial z } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \left( \right) = ~ } & { \eta \sum _ { s _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s _ { 2 } = 0 } ^ { s _ { 1 } } \ldots \sum _ { s _ { T } = 0 } ^ { s _ { T - 1 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \sum _ { t = 1 } ^ { T } s _ { t } ^ { * } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } \beta \left( t , s _ { t } ^ { * } \right) \sum _ { \boldsymbol { v } \in \mathcal { V } } \left[ \prod _ { t = 1 } ^ { T } \left( \begin{array} { c } { s _ { t } ^ { * } } \\ { v _ { t } } \end{array} \right) \right] \left[ \left( 2 \pi \right) ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol { 1 } _ { \left\{ \Delta _ { i } = 0 \right\} } \right] } \\ { \overset { \left( a \right) } { \approx } ~ } & { \eta \stackrel [ s _ { 1 } = 0 ] { s _ { 0 } } { \sum } \sum _ { s _ { 2 } = 0 } ^ { s _ { 1 } } \ldots \sum _ { s _ { T } = 0 } ^ { s _ { T - 1 } } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \sum _ { t = 1 } ^ { T } s _ { t } ^ { * } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } \beta \left( t , s _ { t } ^ { * } \right) \sum _ { \boldsymbol { v } \in \mathcal { V } } \left[ \prod _ { t = 1 } ^ { T } \left( \begin{array} { c } { s _ { t } ^ { * } } \\ { v _ { t } } \end{array} \right) \right] \left[ \left( 2 \pi \right) ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol { 1 } _ { \left\{ \Delta _ { i } = 0 \right\} } \right] , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } + \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } } \\ { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } + \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \pm \frac { 1 } { 2 } } \\ { \mp \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] .
\Delta E _ { C o u l } ^ { ( 1 ) } + \Delta E _ { B r } = \frac { m ^ { 2 } - E _ { n j } ^ { 2 } } { 2 M } = \left\{ - \frac { m } { M } \left[ f ( n , j ) - 1 \right] - \frac { m } { 2 M } \left[ f ( n , j ) - 1 \right] ^ { 2 } \right\} m ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = l _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } , } \\ { \dot { x _ { 1 } } } & { = l _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } , } \\ { y _ { 1 } } & { = - l _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } , } \\ { \dot { y } _ { 1 } } & { = l _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } , } \\ { x _ { 2 } } & { = l _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } + l _ { 2 } \sin \alpha _ { 2 } , } \\ { \dot { x _ { 2 } } } & { = l _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } + l _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 2 } \cos \alpha _ { 2 } , } \\ { y _ { 2 } } & { = - l _ { 1 } \cos \alpha _ { 1 } - l _ { 2 } \cos \alpha _ { 2 } , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { = l _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } \sin \alpha _ { 1 } + l _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 2 } \sin \alpha _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d } ^ { \times } x _ { v } = \zeta _ { v } ( 1 ) \frac { \mathrm { d } x _ { v } } { \lvert \cdot \rvert [ x _ { v } ] _ { v } } , \quad \zeta _ { v } ( s ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \pi ^ { - s / 2 } \Gamma ( s / 2 ) , \ \ } & { \mathrm { i f ~ } \mathbf { F } _ { v } = \mathbb { R } , } \\ { ( 2 \pi ) ^ { 1 - s } \Gamma ( s ) , } & { \mathrm { i f ~ } \mathbf { F } _ { v } = \mathbb { C } , } \\ { ( 1 - \mathrm { N r } ( \mathfrak { p } ) ^ { - s } ) ^ { - 1 } , } & { \mathrm { i f ~ } v = \mathfrak { p } < \infty . } \end{array} \right. } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d ( e ^ { \pm i N \chi } e ^ { \pm i N ^ { \prime } ( \cos ^ { - 1 } ( p ) \pm \cos ^ { - 1 } ( q ) ) } ) } { \pm i N \mp i N ^ { \prime } ( \frac { 1 } { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } } } \frac { d p } { d \chi } \pm \frac { 1 } { \sqrt { 1 - q ^ { 2 } } } \frac { d q } { d \chi } ) } F ( N , N ^ { \prime } , \chi )
\left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { - 1 } \big ( K ^ { - 1 } + L _ { m } \big ) ( q _ { M , K } + \mathfrak { g } \eta _ { M , K } ) = - \nabla \cdot ( \varrho u _ { M , K } ) } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { \partial _ { n } ^ { m } ( q _ { M , K } + \mathfrak { g } \eta _ { M , K } ) = \cdots = \partial _ { n } ^ { 2 m - 1 } ( q _ { M , K } + \mathfrak { g } \eta _ { M , K } ) = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \Big \vert \delta \mathcal { J } _ { 1 } ( g ) - \int _ { 0 } ^ { T } \phi ( \ell , t ) \delta g ( t ) d t \Big \vert } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \Vert \delta u ( \ell , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \leq \frac { \ell ^ { 3 } } { 6 } \Vert \delta u _ { x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } \\ & { } & { \leq \frac { 2 \ell ^ { 6 } ( 1 + T ) C _ { 0 } ^ { 2 } } { 9 r _ { 0 } ^ { 2 } } \ \Vert \delta g \Vert _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbf { R } _ { N } ^ { A } = \left[ \begin{array} { l l l } { \cos { ( \mathrm { ~ L ~ S ~ T ~ } _ { 0 } + \omega _ { A } t ) } } & { \sin { ( \mathrm { ~ L ~ S ~ T ~ } _ { 0 } + \omega _ { A } t ) } } & { 0 } \\ { - \sin { ( \mathrm { ~ L ~ S ~ T ~ } _ { 0 } + \omega _ { A } t ) } } & { \cos { ( \mathrm { ~ L ~ S ~ T ~ } _ { 0 } + \omega _ { A } t ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d ^ { 2 } \hat { u } _ { \mathrm { S t , i } } ^ { w } } { d r _ { 2 } ^ { 2 } } \, - k _ { \perp } ^ { 2 } \hat { u } _ { \mathrm { S t , i } } ^ { w } + \iota ( k _ { 1 } \delta _ { i 1 } + k _ { 3 } \delta _ { i 3 } ) \, \hat { p } _ { \mathrm { S t } } ^ { w } - \delta _ { i 2 } \frac { d \hat { p } _ { \mathrm { S t } } ^ { w } } { d r _ { 2 } } = 0 , } \\ & { \frac { d \hat { u } _ { \mathrm { S t , 2 } } ^ { w } } { d r _ { 2 } } - \iota ( k _ { 1 } \, \, \hat { u } _ { \mathrm { S t , 1 } } ^ { w } + k _ { 3 } \, \hat { u } _ { \mathrm { S t , 3 } } ^ { w } ) = 0 , } \end{array}
\mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 6 } \} - 9 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 4 } \} \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} + 1 2 \mathbb { E } ^ { 3 } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 4 } \} \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 4 } \} - 8 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \}
\partial _ { \mu _ { g y } } \left\langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle \partial _ { \mu _ { g y } } ( \psi _ { 1 } - \left\langle \psi _ { 1 } \right\rangle ) ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle \partial _ { \mu _ { g y } } ( \psi _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \psi _ { 1 } \left\langle \psi _ { 1 } \right\rangle - \left\langle \psi _ { 1 } \right\rangle ^ { 2 } ) \right\rangle .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } C _ { p } ^ { * } \left( \tau ^ { * } \right) d \tau ^ { * } = I ^ { * } = 1 } \\ { C _ { p } ^ { * } \left( \tau ^ { * } \right) = \left. \left< \textbf { p } ^ { * } \left( t _ { 1 } \right) \textbf { p } ^ { * } \left( t \right) \right> \right/ \left( 3 N \right) = e ^ { - \tau ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ( \rho ^ { - } - \rho ) } & { = c ^ { - } V ( h ^ { - } ) \rho ^ { - } - c V ( h ) \rho , } \\ { \lambda \left( \rho ^ { - } ( h ^ { - } + p ( \rho ^ { - } ) ) - \rho ( h + p ( \rho ) ) \right) } & { = c ^ { - } \rho ^ { - } V ( h ^ { - } ) \left( h ^ { - } + p ( \rho ^ { - } ) \right) - c \rho V ( h ) \left( h + p ( \rho ) \right) , } \\ { \lambda ( c ^ { -- } c ) } & { = 0 . } \end{array}
\left. + { \frac { N - 1 } { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { 3 } - B _ { 2 } ( C _ { j } ) \right) B _ { 2 } ( C _ { j } ) - { \frac { 4 } { 3 } } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } \left( B _ { 3 } ( C _ { j } ) - B _ { 3 } ( C _ { k } ) \right) B _ { 1 } ( C _ { j k } ) + { \frac { 5 } { 1 4 4 } } ( N ^ { 2 } - 1 ) \right] \; ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \Big ( - e _ { \eta } ^ { 1 } \wedge [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) ] _ { 1 } + e _ { \eta } ^ { 2 } \wedge f _ { \eta } ^ { 1 } + ( - 1 ) ^ { n - 1 } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 2 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \big ) } \\ & { \wedge ( \ast d \eta ) + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge \ast d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) } \\ & { + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge \ast [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) ] _ { 1 } + d N ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \ast d ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 1 } ) ) \Big ) } \\ & { + \int _ { \Sigma } ( - e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } ) + \int _ { \Gamma } ( - e _ { b } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { b } ^ { 1 } ) = 0 . } \end{array}