harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { L _ { X } ( g ) } & { = } & { \sum _ { i j } L _ { X } \left( g _ { i j } d x ^ { i } \otimes d x ^ { j } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { i j } \Big ( L _ { X } ( g _ { i j } ) d x ^ { i } \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } L _ { X } ( d x ^ { i } ) \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } d x ^ { i } \otimes L _ { X } ( d x ^ { j } ) \Big ) } \\ & { = } & { \sum _ { i j } \Big ( L _ { X } ( g _ { i j } ) d x ^ { i } \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } d ( L _ { X } ( x ^ { i } ) ) \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } d x ^ { i } \otimes d ( L _ { X } ( x ^ { j } ) ) \Big ) } \\ & { = } & { \sum _ { i j k } \Big ( f _ { k } \frac { \partial g _ { i j } } { \partial x ^ { k } } d x ^ { i } \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } d ( f _ { k } \frac { \partial x ^ { i } } { \partial x ^ { k } } ) \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } d x ^ { i } \otimes d ( f _ { k } \frac { \partial x ^ { j } } { \partial x ^ { k } } ) \Big ) } \\ & { = } & { \sum _ { i j k } \Big ( f _ { k } \frac { \partial g _ { i j } } { \partial x ^ { k } } d x ^ { i } \otimes d x ^ { j } \Big ) + \sum _ { i j } \Big ( g _ { i j } d f _ { i } \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } d x ^ { i } \otimes d f _ { j } \Big ) } \\ & { = } & { \sum _ { i j k } \Big ( f _ { k } \frac { \partial g _ { i j } } { \partial x ^ { k } } d x ^ { i } \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } \frac { \partial f _ { i } } { \partial x ^ { k } } d x ^ { k } \otimes d x ^ { j } + g _ { i j } \frac { \partial f _ { j } } { \partial x ^ { k } } d x ^ { i } \otimes d x ^ { k } \Big ) . } \end{array}
\left[ i \frac { \partial } { \partial t } - h ( r ) \right] G ( r t , r ^ { \prime } t ^ { \prime } ) - \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { \dag } ( r ) \hat { \psi } ^ { \dag } ( r ^ { \prime } ) v ( r - r ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( r ) \hat { \psi } ( r ^ { \prime } ) = \delta ( r - r ^ { \prime } )
\begin{array} { r c l } { { { \cal V } _ { \mathrm { S S } } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { 1 } { \Im \mathrm { m } ( \tau ) } } { \cal V } ( { \cal M } ) \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal V } _ { \mathrm { o u r s } } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { | \tau | ^ { 2 } } { \Im \mathrm { m } ( \tau ) } } { \cal V } ( { \cal M } ) \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal V } ( { \cal M } ) } } & { { = } } & { { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } g ^ { 2 } \left\{ \left( \mathrm { T r } \, \mathcal { M } \right) ^ { 2 } - 2 \mathrm { T r } \, \left( \mathcal { M } ^ { 2 } \right) \right\} \; . } } \end{array}
\xi ^ { - m - n } \frac { d } { d \xi } p _ { j } = \beta _ { j , 1 } + ( \beta _ { j , j } - \beta _ { 1 , 1 } ) p _ { j } - \sum _ { i \ne 1 } \beta _ { 1 , i } p _ { i } p _ { j } + \sum _ { k \ne 1 , j } \beta _ { j , k } p _ { k } ,
\boldsymbol { q } \left( x , r , \theta \right) = \sum _ { m } \sum _ { \alpha } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \boldsymbol { \hat { q } } ( \alpha , r , m , \omega ) e ^ { i \left( { \alpha x } + { m \theta } - { \omega t } \right) } d \omega } } \mathrm { ~ , ~ }
\frac { \partial \ln F _ { p } } { \partial \gamma _ { c } } = 2 \ln \left( Q / Q _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \bar { \alpha } Y \chi _ { p } ^ { \prime } \left( \gamma _ { c } \right) + \left[ \ln f _ { p } \left( \gamma _ { c } \right) \right] ^ { \prime } = 0
\begin{array} { r l } { 2 \omega \lambda _ { n l } } & { { } = 2 \omega \bigl \langle \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) \big | \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { \mathfrak { n } } \psi _ { \mathfrak { n } } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } ) \psi _ { \mathfrak { n } } ( \omega ; \vec { r } _ { 2 } ) \bigr \rangle } \end{array}
S _ { i } S _ { j } W _ { \alpha } \bar { W } _ { \dot { \alpha } } , \quad \bar { S } _ { i } \bar { S } _ { j } W _ { \alpha } \bar { W } _ { \dot { \alpha } } , ( S _ { i } \bar { S } ^ { j } - { \frac { 1 } { 3 } } \delta _ { i } ^ { j } S _ { k } \bar { S } ^ { k } ) W _ { \alpha } \bar { W } _ { \dot { \alpha } }
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \gamma = - 2 \nabla _ { s } ^ { 2 } \kappa - | \kappa | ^ { 2 } \kappa + \lambda \kappa \quad \mathrm { o n } \ [ 0 , 1 ] \times [ 0 , \infty ) , } \\ { \gamma ( x , 0 ) = \gamma _ { 0 } ( x ) \quad \mathrm { f o r } \ x \in [ 0 , 1 ] , } \\ { \gamma ( 0 , t ) = p _ { 0 } , \ \gamma ( 1 , t ) = p _ { 1 } \quad \mathrm { f o r } \ t \in [ 0 , \infty ) , } \\ { \kappa [ \gamma ] ( 0 , t ) = \kappa [ \gamma ] ( 1 , t ) = 0 \quad \mathrm { f o r } \ t \in [ 0 , \infty ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \quad - _ { i , j , 1 } + _ { i , j , 1 } + _ { i , j , 1 } } \\ & { = - \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \delta ( j \leq i ) e _ { u , i } t ^ { s + x } \otimes e _ { i , j } t ^ { - s } - \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \delta ( j > i ) e _ { u , i } t ^ { x + s + 1 } \otimes e _ { i , j } t ^ { - s - 1 } . } \end{array}
\int _ { | \sigma | \leq 1 } \left| [ \Psi ( t , \xi - \sigma + \delta ) - \Psi ( t , \xi - \sigma ) ] h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \sigma ) \right| d \sigma \leq \frac { 2 ^ { 1 - \gamma } \delta ^ { \gamma } } { ( \nu t ) ^ { ( 1 + \gamma ) / 2 } } \int _ { | \sigma | \leq 1 } h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \sigma ) d \sigma \leq \frac { 2 ^ { - \frac { \gamma + 2 } { 2 } } \delta ^ { \gamma } } { ( \nu t ) ^ { ( 1 + \gamma ) / 2 } } ,
\vec { \phi } _ { T K 2 } [ x ; b ] = \frac { ( - 1 ) ^ { \alpha } } { 2 } \frac { \sinh ( x + a ) } { \cosh ( x + a ) + b } \vec { e } _ { 1 } + ( - 1 ) ^ { \beta } \sqrt { \frac { b } { \cosh ( x + a ) + b } } \vec { e } _ { 2 }
\Lambda ^ { \mu } ( p ^ { \prime } , p ) = - i e \gamma ^ { \mu } - i e ^ { 3 } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \ \gamma ^ { \rho } S ( p ^ { \prime } - k ) \gamma ^ { \mu } S ( p - k ) \gamma ^ { \sigma } D _ { \rho \sigma } ( k )
\varepsilon ( a , b ) = \sqrt { \frac { \sum _ { i } [ E _ { a } ( V _ { i } ) - E _ { b } ( V _ { i } ) ] ^ { 2 } } { \sqrt { \sum _ { i } [ E _ { a } ( V _ { i } ) - \langle E _ { a } \rangle ] ^ { 2 } ~ \sum _ { i } [ E _ { b } ( V _ { i } ) - \langle E _ { b } \rangle ] ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { S h \ R a ^ { - 3 / 8 } } } & { { } \propto } & { \left( \mathrm { P e \ R a ^ { - 3 / 4 } } \right) ^ { 1 / 2 } , } \\ { \mathrm { S h } } & { { } \propto } & { \mathrm { P e ^ { 1 / 2 } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \ensuremath { \frac { \partial \rho ^ { 2 } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } } & { = \Phi _ { \rho } ^ { [ 2 ] } \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ 2 ] } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } = \Phi _ { \rho } ^ { [ 2 ] } A _ { 4 } ^ { 2 } f ^ { [ 4 ] } } \\ & { = ( \Phi _ { \rho } \otimes \Phi _ { \rho } ) \left( F ^ { ( 3 ) } \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } + \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes F ^ { ( 3 ) } \right) ( f \otimes f \otimes f \otimes f ) } \\ & { = ( \Phi _ { \rho } F ^ { ( 3 ) } f ^ { [ 3 ] } ) \otimes ( \Phi _ { \rho } \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } f ) + ( \Phi _ { \rho } \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } f ) \otimes ( \Phi _ { \rho } F ^ { ( 3 ) } f ^ { [ 3 ] } ) } \\ & { = - \frac { 2 } { \ensuremath { \mathrm { K n } } \tau } d u ^ { 2 } \rho } \\ { \left[ \ensuremath { \frac { \partial \rho ^ { 2 } u ^ { 2 } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } } & { = \Phi _ { \rho u } ^ { [ 2 ] } \left[ \ensuremath { \frac { \partial f ^ { [ 2 ] } } { \partial t } } \right] _ { ( 4 ) } ^ { \prime } = \Phi _ { \rho u } ^ { [ 2 ] } A _ { 4 } ^ { 2 } f ^ { [ 4 ] } } \\ & { = ( \Phi _ { \rho u } \otimes \Phi _ { \rho u } ) \left( F ^ { ( 3 ) } \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } + \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes F ^ { ( 3 ) } \right) ( f \otimes f \otimes f \otimes f ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \mathrm { F } ( Q _ { \mu } ) - \mathrm { F } ( Q _ { \gamma ( t ) } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } v _ { t } ( Q _ { \gamma ( t ) } ( s ) ) \, ( Q _ { \mu } ( s ) - Q _ { \gamma ( t ) } ( s ) ) \, \mathrm { d } s + o ( \| Q _ { \mu } - Q _ { \gamma ( t ) } \| _ { L _ { 2 } } ) } \\ & { = \mathcal F ( \mu ) - \mathcal F ( \gamma ( t ) ) + \int _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } } v _ { t } ( x ) \, ( y - x ) \, \mathrm { d } \pi ( x , y ) + o \left( W _ { 2 } ( \mu , \gamma ( t ) ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } ^ { 2 } } & { = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { i - 1 } } { n _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { i - 1 } } { n _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 2 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { i - 2 } } { n _ { i - 1 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i - 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 2 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \dots } \\ & { \quad \quad \quad \left( \frac { r _ { 0 } + \Delta r _ { 0 } } { r _ { 0 } + \Delta r _ { 0 } + \Delta r _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { i - 1 } } { n _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { i - 2 } } { n _ { i - 1 } } \right) ^ { 2 } \dots } \\ & { \quad \quad \quad \left( \frac { n _ { 0 } } { n _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \Delta r _ { 0 } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = i } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { 0 } } { n _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
R ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { R _ { m a x } + R _ { m i n } } { 2 } - \frac { R _ { m a x } - R _ { m i n } } { 2 } \cos \left( \frac { \pi } { L + L _ { r } } z \right) , } & { \mathrm { i f } \ - L < z < L _ { r } , } \\ { \frac { R _ { m a x } + R _ { m i n } } { 2 } - \frac { R _ { m a x } - R _ { m i n } } { 2 } \cos \left( \frac { \pi } { L - L _ { r } } z \right) , } & { \mathrm { i f } \ L _ { r } \leq z < L , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \sin { \frac { \theta } { 2 } } } & { = \operatorname { s g n } \left( \sin { \frac { \theta } { 2 } } \right) { \sqrt { \frac { 1 - \cos \theta } { 2 } } } } \\ { \cos { \frac { \theta } { 2 } } } & { = \operatorname { s g n } \left( \cos { \frac { \theta } { 2 } } \right) { \sqrt { \frac { 1 + \cos \theta } { 2 } } } } \\ { \tan { \frac { \theta } { 2 } } } & { = { \frac { 1 - \cos \theta } { \sin \theta } } = { \frac { \sin \theta } { 1 + \cos \theta } } = \csc \theta - \cot \theta = { \frac { \tan \theta } { 1 + \sec { \theta } } } } \\ & { = \operatorname { s g n } ( \sin \theta ) { \sqrt { \frac { 1 - \cos \theta } { 1 + \cos \theta } } } = { \frac { - 1 + \operatorname { s g n } ( \cos \theta ) { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } } } { \tan \theta } } } \\ { \cot { \frac { \theta } { 2 } } } & { = { \frac { 1 + \cos \theta } { \sin \theta } } = { \frac { \sin \theta } { 1 - \cos \theta } } = \csc \theta + \cot \theta = \operatorname { s g n } ( \sin \theta ) { \sqrt { \frac { 1 + \cos \theta } { 1 - \cos \theta } } } } \\ { \sec { \frac { \theta } { 2 } } } & { = \operatorname { s g n } \left( \cos { \frac { \theta } { 2 } } \right) { \sqrt { \frac { 2 } { 1 + \cos \theta } } } } \\ { \csc { \frac { \theta } { 2 } } } & { = \operatorname { s g n } \left( \sin { \frac { \theta } { 2 } } \right) { \sqrt { \frac { 2 } { 1 - \cos \theta } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 2 ( \nu + \mu ) , 2 \mu - 1 } ^ { + } \left( \chi _ { c } , \psi _ { c } \right) } & { { } = \frac { \partial \gamma _ { 2 ( \nu + \mu ) - 1 , 2 \mu - 1 } ^ { - } \left( \chi _ { c } , \psi _ { c } \right) } { \partial \chi _ { c } } , } \end{array}
{ \cal { W } } _ { \mu \nu } ^ { a b } = - D ^ { 2 } ( A ) ^ { a b } \delta _ { \mu \nu } - 2 f ^ { a c b } G _ { \mu \nu } ^ { c } - ( { \frac { 1 } { \alpha } } - 1 ) D _ { \mu } ^ { a c } D _ { \nu } ^ { c b } ,
\rho ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) = \sum _ { i = 0 } ^ { Q - 1 } f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { c } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { g } \Delta t ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ) } z _ { l } \leq x _ { V ( s ) C ( s ) } \implies \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } \leq x _ { V ( s ) C ( s ) } } \\ & { \sum _ { l \in \textbf { a b o v e } ( s ) } z _ { l } \leq 1 - x _ { V ( s ) C ( s ) } \implies \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } \leq 1 - x _ { V ( s ) C ( s ) } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { l ^ { 2 } ( r + r _ { + } ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } } \, ( d y _ { 0 } ^ { 2 } + d y _ { 1 } ^ { 2 } + d y _ { 2 } ^ { 2 } ) + r ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \alpha _ { 1 } = \frac { g ( p ) y _ { 1 } } { g ( p ) y _ { 1 } + 1 - y _ { 1 } } , \ \ \alpha _ { 2 } = \frac { y _ { 2 } } { g ( p ) ( 1 - y _ { 2 } ) + y _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathrm { ~ l ~ . ~ o ~ . ~ t ~ } | \leq C \left( \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| w _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| w _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } ^ { 4 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } w _ { t } \right\| _ { L ^ { 2 } } \leq C \mathcal { E } ( t ) ^ { 3 / 2 } . } \end{array}
= ( - 1 ) ^ { m } \, \left( \frac { \omega } { \pi \hbar } \right) ^ { 1 / 2 } \, \left( \frac { 1 } { 2 \pi \hbar } \right) ^ { 1 / 2 } \, \left( \frac { m ! } { ( m + | \ell | ) ! } \right) ^ { 1 / 2 } \, e ^ { i \ell \theta } \, e ^ { i p z / \hbar } \, u ^ { | \ell | } \, e ^ { - u ^ { 2 } / 2 } \, L _ { m } ^ { | \ell | } ( u ^ { 2 } ) \ \ \ ,
V _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } = - i g f ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } \left[ \eta _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) _ { \mu _ { 3 } } + \eta _ { \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } ( k _ { 2 } - k _ { 3 } ) _ { \mu _ { 1 } } + \eta _ { \mu _ { 3 } \mu _ { 1 } } ( k _ { 3 } - k _ { 1 } ) _ { \mu _ { 2 } } \right]
{ \cal L } ( x ) = \sqrt { \mathrm { d e t } ( \delta _ { \mu \nu } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } F _ { \mu \nu } ) } + \frac { 1 } { 2 } \mid D _ { \mu } \varphi \mid ^ { 2 } + \lambda ( \mid \varphi \mid ^ { 2 } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { c _ { 0 } T ^ { 1 / 2 } } \left( X _ { j } ^ { \left( 2 i c _ { 0 } T ^ { 1 / 2 } + k \right) } - X _ { j } ^ { \left( ( 2 i + 1 ) c _ { 0 } T ^ { 1 / 2 } + k \right) } \right) \leq c _ { 0 } c _ { 1 } T ^ { 3 / 1 0 } \right\} } \\ & { = 1 - \operatorname* { P r } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { c _ { 0 } T ^ { 1 / 2 } } Z _ { k } > c _ { 0 } c _ { 1 } T ^ { 3 / 1 0 } \right\} } \\ & { > 1 - \exp \left( - \frac { 2 \left( c _ { 0 } c _ { 1 } T ^ { 3 / 1 0 } \right) ^ { 2 } } { 4 c _ { 0 } T ^ { 1 / 2 } } \right) = 1 - \exp \left( - \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 0 } T ^ { 1 / 1 0 } } { 2 } \right) . } \end{array}
\theta = k _ { P } ^ { 0 } L + \frac { \omega _ { S } L _ { S } + \omega _ { I } L _ { I } } { c } + \Omega \left[ D L + \frac { L _ { S } - L _ { I } } { c } \right] + \varphi _ { P _ { 1 } } - \varphi _ { P _ { 2 } } .
S _ { A } ( \boldsymbol \Phi ) = { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \, \widehat U _ { A } \left( { \frac { \boldsymbol \Phi } { \lambda } } \right) = { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } \exp \left( { \frac { 2 \mathrm { i } \pi } { \lambda } } \boldsymbol \Phi \boldsymbol \cdot \boldsymbol r \right) \, U _ { A } ( \boldsymbol r ) \, \mathrm { d } \, \boldsymbol r \, ,
\hat { G } ^ { \xi = 0 } [ a , b ; E ] = \frac { e ^ { - \sqrt { 2 E } | a - b | } } { \sqrt { 2 E } } + \frac { \frac { \sqrt { 2 E } } { v ^ { r e n } } + 1 } { \frac { \sqrt { 2 E } } { v ^ { r e n } } - 1 } \frac { e ^ { - \sqrt { 2 E } ( | a | + | b | ) } } { \sqrt { 2 E } }
\begin{array} { r } { \angles { \zeta _ { T } ^ { X | K } } { f _ { T } } = \angles { \zeta _ { 0 } ^ { X | K } \! } { f _ { 0 } } + \int _ { 0 } ^ { T } \! \angles { \zeta _ { t } ^ { X | K } } { \mathcal { A } f _ { t } } d t + \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { Y \in \mathcal { S } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { Y } } \mathcal { I } _ { Y } ( t - , u ) f _ { t - , u } ^ { X } Q _ { Y } ( d t , d u ) . } \end{array}
\mathrm { S w i t c h i n g ~ R a t e : ~ ~ ~ ~ } p _ { i j } ^ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } & { P _ { i } \frac { e ^ { - \theta C _ { j } ^ { t } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \ , \ } & { \ \mathrm { i f } \ \ i \neq j } \\ & { ( 1 - P _ { i } ) + P _ { i } \frac { e ^ { - \theta C _ { j } ^ { t } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \ , \ } & { \ \mathrm { i f } \ \ i = j } \end{array} } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 6 } ^ { \prime } } \\ { \lambda _ { 7 } ^ { \prime } } \end{array} \right) } & { = } & { { \mathcal R } \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 7 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } & { - \sin \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 6 } } \\ { \lambda _ { 7 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \nabla ^ { \prime } { \mathbf Z } ] } & { { } \stackrel { \operatorname { d e f } } { = } ( \nabla ^ { \prime } { \mathbf Z } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ) | _ { t ^ { \prime } = t - r / c } , } \\ { \left[ \frac { \partial { \mathbf Z } } { \partial t ^ { \prime } } \right] } & { { } \stackrel { \operatorname { d e f } } { = } \left( \frac { \partial { \mathbf Z } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } { \partial t ^ { \prime } } \right) \bigg \rvert _ { t ^ { \prime } = t - r / c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \kappa _ { m } = \frac { E _ { m } } { 3 ( 1 - 2 _ { n } u _ { m } ) } , \, \alpha = \frac { 1 + \nu _ { a } } { 1 - \nu _ { a } } , \, \beta = \frac { 3 - \nu _ { a } } { 1 + \nu _ { a } } , } \\ & { \Lambda _ { 1 } = \frac { \kappa _ { b } } { \kappa _ { a } } , \, \Lambda _ { 2 } = \frac { \mu _ { b } } { \mu _ { a } } , \, \Lambda _ { 3 } = \frac { E _ { b } } { E _ { a } } , \, \zeta _ { 1 } = \frac { 1 + \mu _ { a } } { 3 ( 1 - \mu _ { a } ) } , \, \zeta _ { 2 } = \frac { 8 - 1 0 \nu _ { a } } { 1 5 ( 1 - \nu _ { a } ) } , } \\ & { \eta _ { 1 } = \frac { 1 + \nu _ { b } } { 1 + \nu _ { a } } , \, \eta _ { 2 } = \frac { 1 - \nu _ { b } } { 1 - \nu _ { a } } , \, \eta _ { 3 } = \frac { \nu _ { b } ( 3 \nu _ { a } - 4 ) + 1 } { \nu _ { a } ( 3 \nu _ { a } - 4 ) + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { x } } } & { \! = \! - 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } a \sin ( k _ { x } a ) \gamma _ { 0 } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } a \cos ( k _ { x } a ) \gamma _ { x } } \\ & { \! + \! \sum _ { n \in \mathrm { o d d } , n > 0 } \frac { 2 i \lambda _ { | | } { \cal J } _ { n } ^ { 2 } ( A ( z ) a ) } { n \hbar \omega } \sin \left( n \varphi \right) \left\{ - 2 t _ { | | } a \sin ( k _ { x } a ) \sin ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { 0 } ] + 2 t _ { | | } a \cos ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { 0 } , \gamma _ { y } ] \right. } \\ & { \left. + \lambda _ { | | } a \sin ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { y } ] \right\} , } \\ { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { y } } } & { \! = \! - 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } a \sin ( k _ { y } a ) \gamma _ { 0 } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } a \cos ( k _ { y } a ) \gamma _ { y } } \\ & { \! + \! \sum _ { n \in \mathrm { o d d } , n > 0 } \frac { 2 i \lambda _ { | | } { \cal J } _ { n } ^ { 2 } ( A ( z ) a ) } { n \hbar \omega } \sin \left( n \varphi \right) \left\{ 2 t _ { | | } a \cos ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { 0 } ] - 2 t _ { | | } a \sin ( k _ { x } a ) \sin ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { 0 } , \gamma _ { y } ] \right. } \\ & { \left. + \lambda _ { | | } a \cos ( k _ { x } a ) \sin ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { y } ] \right\} , } \\ { h _ { F } } & { \! = \! \left\{ \! m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } + 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a ) + \cos ( k _ { y } a ) \right] \! \right\} \gamma _ { 0 } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \gamma _ { x } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \gamma _ { y } } \\ & { \! + \! \sum _ { n \in \mathrm { o d d } , n > 0 } \frac { 2 i \lambda _ { | | } { \cal J } _ { n } ^ { 2 } ( A ( z ) a ) } { n \hbar \omega } \sin \left( n \varphi \right) \left\{ 2 t _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \sin ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { 0 } ] + 2 t _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { 0 } , \gamma _ { y } ] \right. } \\ & { \left. - \lambda _ { | | } \cos ( k _ { x } a ) \cos ( k _ { y } a ) [ \gamma _ { x } , \gamma _ { y } ] \right\} . } \end{array}
k _ { z } ( \omega , k _ { \perp } ) = \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } - k _ { \perp } ^ { 2 } } = \sqrt { \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } n ^ { 2 } ( \omega ) - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } & { \Omega _ { 1 } = \big \{ ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in X \times Y \times Y \; | \; y _ { 1 } \in F _ { 1 } ( x ) \big \} = ( \mathrm { g p h } \, F _ { 1 } ) \times Y , } \\ & { \Omega _ { 2 } = \{ ( x , y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in X \times Y \times Y \; | \; y _ { 2 } \in F _ { 2 } ( x ) \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } - \mathrm { P e } \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \langle \mathbf v \rangle _ { \mathcal { I B } } \right] + \phi \omega ^ { - \gamma } \mathcal { K } ^ { \star } \mathrm { D a } ( 1 - \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } ^ { a } ) , } \\ { ( \mathbf x , t ) \in \Omega \times ( 0 , T ) , } \end{array}
\| \widehat { P } - \widetilde { P } \| _ { 2 } \le \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } } { d _ { \operatorname* { m i n } } } \cdot \frac { d _ { \operatorname* { m a x } } - d _ { \operatorname* { m i n } } } { d _ { \operatorname* { m a x } } + d _ { \operatorname* { m i n } } } .