harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \rho _ { \mu \nu } ^ { 0 } + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \omega _ { 8 \, \mu \nu } } } & { { \rho _ { \mu \nu } ^ { + } } } & { { K _ { \mu \nu } ^ { \ast \, + } } } \\ { { \rho _ { \mu \nu } ^ { - } } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \rho _ { \mu \nu } ^ { 0 } + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \omega _ { 8 \, \mu \nu } } } & { { K _ { \mu \nu } ^ { \ast \, 0 } } } \\ { { K _ { \mu \nu } ^ { \ast \, - } } } & { { \overline { { { K ^ { \ast \, 0 } } } } _ { \mu \nu } } } & { { - \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } \omega _ { 8 \, \mu \nu } } } \end{array} \right) \quad .
\begin{array} { r l r } { ( \textrm { I } ) \quad } & { } & { v _ { 1 } = v _ { 2 } = v _ { 3 } = 0 \quad ( \textrm { r e s p e c t i v e l y } \quad a = 1 , b = 0 ) , \quad y = p = 0 , } \\ { ( \textrm { I I } ) \quad } & { } & { v _ { 1 } = - v _ { 3 } = \frac { 1 } { 3 } , v _ { 2 } = 0 \quad ( \textrm { r e s p e c t i v e l y } \quad a = 0 , b = - \frac { 2 } { 9 } ) , \quad y = - p = - \frac { 2 } { 3 } \, t \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { i } = } & { { } \frac { m \tilde { \omega } _ { i } } { 2 \hbar } \coth ( \hbar \tilde { \omega } _ { i } \beta ) , } \\ { \psi _ { i } = } & { { } \frac { m \tilde { \omega } _ { i } } { \hbar } \frac { 1 } { \sinh ( \hbar \tilde { \omega } _ { i } \beta ) } . } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { i \leq \log \log n } \epsilon ^ { - 1 } l ^ { a ^ { i } - \frac { a ^ { i + 1 } } { \alpha - d } } \leq \sum _ { i = 0 } ^ { i \leq \log \log n } \epsilon ^ { - 1 } l ^ { 1 - \frac { a } { \alpha - d } } \leq \log \log ( n ) \epsilon ^ { - 1 } l ^ { 1 = \frac { a } { \alpha - d } }
\begin{array} { r } { { \widetilde { \bf K } } = \left( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } \right) ^ { - 1 } \approx \sum _ { k l } { \bf v } _ { k } { \widetilde M _ { k l } } { \widetilde { \bf f } _ { { \bf v } _ { l } } ^ { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { E } | \nabla u _ { 1 } | ^ { p - 2 } \nabla u _ { 1 } \cdot \nabla w _ { 1 } \ d x + \int _ { E } | \nabla u _ { 1 } | ^ { q - 2 } \nabla u _ { 1 } \cdot \nabla w _ { 1 } \ d x \leq \int _ { E } f ( u _ { 1 } ) w _ { 1 } \ d x } \\ { \int _ { E } | \nabla u _ { 2 } | ^ { p - 2 } \nabla u _ { 2 } \cdot \nabla w _ { 2 } \ d x + \int _ { E } | \nabla u _ { 2 } | ^ { q - 2 } \nabla u _ { 2 } \cdot \nabla w _ { 2 } \ d x \geq \int _ { E } f ( u _ { 2 } ) w _ { 2 } \ d x } \end{array}
) , a n d i t i s a s s u m e d t h a t i t s v a l u e i s t h e s a m e f o r p r o t o n s a n d e l e c t r o n s . B y m a t c h i n g n o n - t h e r m a l p o w e r - l a w t o M a x w e l l d i s t r i b u t i o n B l a s i e t a l . r e l a t e d i n j e c t i o n p a r a m e t e r
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 , a } ( F ) } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) \chi _ { T } ( \operatorname* { d e t } a ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - \frac { 3 n } { 2 } - 1 } \psi ^ { - 1 } ( \mathrm { t r } ( 4 T ^ { 2 } z ) ) } \\ { \times } & { f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } \left( \left[ \begin{array} { c c c } { a } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { 2 n ( k - 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \hat { a } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { ( k - 2 ) n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { b } & { c } & { d } & { 1 _ { ( k - 2 ) n } } & { 0 } & { 0 } \\ { - a } & { z } & { c ^ { \ast } } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { - a ^ { \ast } } & { b ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \right) d u d a . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { n } _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \xi _ { 1 } } & { = - \frac { 1 } { \Omega _ { i } } \mathrm { d } _ { t } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } b _ { z 1 } v _ { \mathrm { A } } } & { = \nabla _ { \perp } \cdot \left( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } \right) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } | \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } | ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { d } _ { t } u _ { z 1 } } & { = \{ \psi _ { 1 } , b _ { z 1 } \} - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } | \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } \varepsilon + ( P _ { l } - P _ { \perp } ) l ^ { \mu } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } } & { { } = } & { - u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } \mathcal { E } ^ { ( 1 ) } - ( \mathcal { P } _ { l } ^ { ( 1 ) } - \mathcal { P } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } ) l ^ { \mu } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } - M \mathcal { D } _ { \alpha } l ^ { \alpha } - l ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } M - \mathcal { D } _ { \nu } W _ { \perp u } ^ { \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e \, { \bf E } ^ { * } } & { = } & { - \; e \, \nabla \Phi ^ { * } \; - \; \frac { e } { c } \, \frac { \partial { \bf A } ^ { * } } { \partial t } } \\ & { = } & { e \, { \bf E } - \frac { \partial { \bf P } _ { 0 } } { \partial t } - \nabla K _ { \mathrm { g c } } + J \left( \frac { \partial { \bf R } ^ { * } } { \partial t } - \nabla { \cal S } ^ { * } \right) , } \end{array}
\int d g \, R _ { i _ { 1 } } ( g ) \otimes \cdots \otimes R _ { i _ { n } } ( g ) = \sum _ { \alpha } K _ { \alpha } ^ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } } { \bar { K } ^ { \alpha } } _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } } ,
\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } \frac { \left\vert \cos \frac { \left( 2 \alpha + \beta + \nu \right) \pi } { 2 } \right\vert } { \cos \frac { \left( \nu - \beta \right) \pi } { 2 } } \frac { \sin \frac { \left( 2 \alpha + \beta + \nu \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \nu - \beta \right) \pi } { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 2 } } { b _ { 3 } } ,
\dot { p } _ { k } = - ( \nabla _ { x } f _ { k } ) ^ { * } p _ { k } + \gamma _ { k } e ^ { \gamma _ { k } ( \psi _ { k } - \sigma _ { k } ) } \nabla _ { x } ^ { 2 } \psi _ { k } p _ { k } + \gamma _ { k } ^ { 2 } e ^ { \gamma _ { k } ( \psi _ { k } - \sigma _ { k } ) } \nabla _ { x } \psi _ { k } \langle \nabla _ { x } \psi _ { k } , p _ { k } \rangle ,
{ \begin{array} { r l } { \gamma } & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 1 ^ { + } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { n ^ { s } } } - { \frac { 1 } { s ^ { n } } } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 1 } \left( \zeta ( s ) - { \frac { 1 } { s - 1 } } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } { \frac { \zeta ( 1 + s ) + \zeta ( 1 - s ) } { 2 } } } \end{array} }
\frac 1 { r ^ { 2 } \sqrt { A B } } \left[ r ^ { 2 } \sqrt { \frac B A } h ^ { \prime } \right] ^ { \prime } = \frac 1 { \eta ^ { 2 } } \frac { \partial { \cal U } } { \partial h } = \frac { 2 h u ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \lambda \eta ^ { 2 } h ( h ^ { 2 } - 1 ) \ ,
\begin{array} { c l } { \displaystyle \alpha _ { 0 } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 6 4 \pi } \int _ { - \frac { L } { 2 } } ^ { \frac { L } { 2 } } { \int _ { - \frac { L } { 2 } } ^ { \frac { L } { 2 } } { m _ { 1 } ( s ^ { \prime } ) m _ { 1 } ( s ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \end{array}
u [ f ] ( y , s ) = - \frac { \theta } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \log | y - y ^ { \prime } | f ( y ^ { \prime } \! , s ) \mathrm { d } y ^ { \prime } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \epsilon [ f ] ( y , s ) = - \theta \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { f ( y ^ { \prime } \! , s ) } { y - y ^ { \prime } } \mathrm { d } y ^ { \prime } \! ,
\begin{array} { r l } { \widehat { H ( f ) } ( x ) } & { = \frac { 1 } { \tilde { T } } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } W ( x , x _ { k } ) Y _ { k } ^ { * } = \frac { 1 } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } K _ { h } ( x , x _ { k } ) \left[ H \{ f ( x _ { k } ) \} + \epsilon _ { k } + \zeta _ { k } + \xi _ { k } \right] , } \end{array}
\mathfrak { p u } ( \mathrm { h } _ { p , q } ) : = \left\{ \left( \begin{array} { l l l } { r } & { \beta } & { \mathrm { i } s } \\ { v } & { R } & { - I _ { p , q } \bar { \beta } ^ { \top } } \\ { \mathrm { i } t } & { - \bar { v } ^ { \top } I _ { p , q } } & { - \bar { r } } \end{array} \right) : \begin{array} { l } { s , t \in \mathbb { R } , \, v , \beta ^ { \top } \in \mathbb { C } ^ { p + q } , } \\ { r \in \mathbb { C } , \mathrm { ~ a n d ~ } R \in \mathfrak { u } ( p , q ) } \end{array} \right\} ,
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { g } } & { { } = } & { J _ { 0 } - J _ { 1 } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \rangle - J _ { 2 } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { i + 2 } \rangle - J _ { 3 } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { i + 3 } \rangle } \end{array}
{ \cal V } ( \boldsymbol { q } ) = - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { Z } { \rho ^ { ( 0 ) } } F _ { 0 } \left( \frac { | \boldsymbol { q } | ^ { 2 } } { 2 ( \rho ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } \leq } & { \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } ( \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| ^ { 2 } ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 8 } ( t ) ) E _ { j } ( t ) } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } c _ { 3 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } D _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 8 } ( t ) ) E _ { j } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { 0 , 2 } ( X ) _ { \mathrm { p r i m } } } & { { } \cong R ( g ) _ { 8 } = \mathbb { C } \cdot x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { H ^ { 1 , 1 } ( X ) _ { \mathrm { p r i m } } } & { { } \cong R ( g ) _ { 4 } } \\ { H ^ { 2 , 0 } ( X ) _ { \mathrm { p r i m } } } & { { } \cong R ( g ) _ { 0 } = \mathbb { C } \cdot 1 } \end{array}
\operatorname { L i } _ { 2 } \left( { \frac { x } { 1 - y } } \right) + \operatorname { L i } _ { 2 } \left( { \frac { y } { 1 - x } } \right) - \operatorname { L i } _ { 2 } \left( { \frac { x y } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } \right) = \operatorname { L i } _ { 2 } ( x ) + \operatorname { L i } _ { 2 } ( y ) + \ln ( 1 - x ) \ln ( 1 - y )
\int _ { \cal M } d x ^ { 2 } \epsilon _ { a b } \epsilon ^ { \mu \nu } ( e _ { \mu } ^ { a } \Pi ^ { b } \partial _ { \nu } \phi - e _ { \mu } ^ { a } \phi \partial _ { \nu } \Pi ^ { b } + e _ { \mu } ^ { a } e _ { \nu } ^ { b } \Pi _ { l } \Pi ^ { l } ) .
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { A } } ( \boldsymbol { r } ) = \sum _ { \boldsymbol { k } \lambda } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 V \epsilon _ { 0 } c k } } \left[ \hat { a } _ { \boldsymbol { k } \lambda } \boldsymbol { \epsilon } _ { \boldsymbol { k } \lambda } e ^ { i \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { r } } + \mathrm { H . c . } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathfrak { T } } } _ { t + 1 , ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { t } ) } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } } \sigma = \overline { { \mathfrak { T } } } _ { t , ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { t - 1 } ) } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } } \circ \overline { T } _ { t , \xi _ { t } } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } } \sigma \le \overline { { \mathfrak { T } } } _ { t , ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { t - 1 } ) } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } } \sigma \le 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \sinh \left( { \frac { x } { 2 } } \right) } & { { } = { \frac { \sinh x } { \sqrt { 2 ( \cosh x + 1 ) } } } } & { } & { { } = \operatorname { s g n } x \, { \sqrt { \frac { \cosh x - 1 } { 2 } } } } \\ { \cosh \left( { \frac { x } { 2 } } \right) } & { { } = { \sqrt { \frac { \cosh x + 1 } { 2 } } } } \\ { \operatorname { t a n h } \left( { \frac { x } { 2 } } \right) } & { { } = { \frac { \sinh x } { \cosh x + 1 } } } & { } & { { } = \operatorname { s g n } x \, { \sqrt { \frac { \cosh x - 1 } { \cosh x + 1 } } } = { \frac { e ^ { x } - 1 } { e ^ { x } + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \eta } = \cos ^ { 2 } \theta m _ { \eta _ { 0 } } + \sin ^ { 2 } \theta m _ { \eta _ { 8 } } \approx 5 3 9 \ \mathrm { { M e V } } , } \\ & { } & { m _ { \eta ^ { \prime } } = \sin ^ { 2 } \theta m _ { \eta _ { 0 } } + \cos ^ { 2 } \theta m _ { \eta _ { 8 } } \approx 1 0 7 5 \ { \mathrm { M e V } } . } \end{array}
\vec { \Lambda } _ { 2 1 } ^ { 2 1 } \equiv \frac { 1 } { h ^ { 5 } } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \frac { \rho _ { 2 } ^ { 2 } \vec { J } _ { 1 } ^ { 1 } } { | \vec { x } _ { 1 } - \vec { x } _ { 2 } | } , \qquad \vec { \Lambda } _ { 1 2 } ^ { 1 2 } \equiv \frac { 1 } { h ^ { 5 } } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \frac { \rho _ { 1 } ^ { 1 } \vec { J } _ { 2 } ^ { 2 } } { | \vec { x } _ { 1 } - \vec { x } _ { 2 } | } .
F ( p _ { 2 } ^ { 2 } , p _ { 3 } ^ { 2 } ; p _ { 1 } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { 2 } - p _ { 3 } ^ { 2 } } \left\{ Z _ { 2 2 2 } - 2 Z _ { 1 2 2 } \right\} ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \sigma _ { 1 , 0 } \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 2 } ( z ) \psi _ { 0 } ( z ) \, { \mathrm { d } } z = 0 , } \\ & { \pi _ { 0 } = 0 , } \\ & { \Delta _ { z } \psi _ { 0 } = 2 \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \sigma _ { 2 } ( z ) \sigma _ { 1 , 0 } Q _ { 0 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { d A } { d t } = - \mathrm { i } \, \left( 2 \lambda - \left( \alpha _ { _ - } ^ { 2 } \chi _ { _ - } + \alpha _ { _ + } ^ { 2 } \chi _ { _ + } \right) f ^ { 2 } \right) A + \mathrm { i } \, \left( \zeta _ { _ { D C } } \lambda + \mu _ { _ { D C } } \right) \alpha _ { _ - } ^ { 2 } f ^ { 2 } } \\ { + \mathrm { i } \, \nu _ { _ { D C } } | A | ^ { 2 } A + \mathrm { i } \, \xi _ { _ { D C } } | B | ^ { 2 } A , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { { } + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \phi ^ { - 1 } \omega ^ { - \gamma } \left[ \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot \left( \left\langle \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi \right\rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right) \right] - \phi ^ { - 1 } \omega ^ { - \alpha } \left[ \left( \left\langle \boldsymbol \chi \mathbf k \right\rangle \cdot \nabla _ { \mathbf x } P _ { 0 } \right) \cdot \nabla _ { \mathbf x } \right] \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { z } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left( ( m _ { x } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } + ( m _ { y } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { + \lambda } ^ { + \infty } \left[ f \partial _ { p } \left( \frac { p } { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } W ( \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } } , t ) \partial _ { p } \zeta \right) \right] d p d t } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { u \in U } \; \left( - \int _ { 5 } ^ { 1 0 } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } n _ { m , 5 } ( t ) \, d t - \alpha | \partial _ { t } u | _ { L ^ { 2 } ( \mathopen ] 5 , 1 0 \mathclose [ ) } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l r } { i G ^ { \mu \nu } ( p ) } & { = } & { - i \frac { g _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } + i \epsilon } e ^ { \frac { - p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } } + O ( e ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { - i \frac { g _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } + i \epsilon } e ^ { \frac { - p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } } + \frac { - i g ^ { \mu \alpha } } { p ^ { 2 } + i \epsilon } i \Pi _ { 2 , \alpha \beta } \frac { - i g ^ { \beta \nu } } { p ^ { 2 } + i \epsilon } + O ( e ^ { 4 } ) } \\ & { = } & { - i \frac { g _ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } + i \epsilon } e ^ { \frac { - p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } } + \frac { - i } { p ^ { 2 } + i \epsilon } \biggl ( \Delta _ { 1 } g ^ { \mu \nu } + \Delta _ { 2 } \frac { p ^ { \mu } p ^ { \nu } } { p ^ { 2 } } \biggr ) + O ( e ^ { 4 } ) } \\ & { = } & { \frac { - i ( e ^ { \frac { - p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } } + \Delta _ { 1 } ) g ^ { \mu \nu } + \Delta _ { 2 } \frac { p ^ { \mu } p ^ { \nu } } { p ^ { 2 } } } { p ^ { 2 } + i \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \tau } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle = - ( \gamma _ { c } + i \nu ) \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle + N g ^ { * } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle , } \\ & { d _ { \tau } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle = - ( \gamma + i \nu _ { \epsilon } ) \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle + g \left( 2 \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b c ^ { \dagger } c \rangle - \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle \right) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac 1 N \, K _ { N } ( \frac { x } { N ^ { 2 } } , \frac { y } { N ^ { 2 } } ) = \frac { u ( 1 ) } { 2 } \frac { \sqrt { x } J _ { \alpha + 1 } ( u ( 1 ) \sqrt { x } ) J _ { \alpha } ( u ( 1 ) \sqrt { y } ) - J _ { \alpha } ( u ( 1 ) \sqrt { x } ) \sqrt { y } J _ { \alpha + 1 } ( u ( 1 ) \sqrt { y } ) } { x - y } .
\frac { \partial } { \partial y _ { t } } \left[ P _ { i } - P _ { n } \right] = \frac { \operatorname* { l i m } _ { w \rightarrow 1 } r \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} } { \operatorname* { l i m } _ { w \rightarrow 1 } N _ { I } ( 1 - w ) y _ { i } } + 1 = r + 1 > 0
\begin{array} { r } { { \cal V } _ { \Sigma _ { F } } ( t ) = \frac { 2 \, k _ { B } T \, t } { \mu } + \frac { 2 \, k _ { B } T } { \mu ^ { 2 } \, k } \left( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - w _ { r } \, t } \right) + \frac { 2 \, { \cal F } ^ { 2 } \, q ( 1 - q ) } { w _ { r } ( w + w _ { r } ) } \left( 1 - \frac { w \, \mathrm { ~ e ~ } ^ { - w _ { r } \, t } } { w - w _ { r } } + \frac { w _ { r } \, \mathrm { ~ e ~ } ^ { - w \, t } } { w - w _ { r } } \right) \, . } \end{array}
{ \dot { R } } ^ { 2 } ( t , r ) = { \frac { 8 \pi } { 3 } } \rho G ( d ) R ^ { 2 } ( t , r ) + 1 \; ; \; \; G \cdot \rho = G \cdot \rho _ { 0 } \left[ { \frac { R _ { 0 } } { R } } \right] ^ { 3 } \; ,
\begin{array} { r l r } { H _ { \gamma , \mathrm { 2 D } } ^ { \mathrm { O B C } } = } & { { } } & { \frac { v } { 2 } \sum _ { j } ^ { N _ { x } - 1 } \sum _ { k } ^ { N _ { y } } [ \hat { \psi } _ { j , k } ^ { \dag } ( \sigma _ { x } - i \sigma _ { y } ) \hat { \psi } _ { j + 1 , k } + \mathrm { H . c . } ] } \end{array}
\widetilde { f } ^ { r } \left( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } \right) = \hat { f } ^ { r } \left( \mathbf x _ { b } - \mathbf v \frac { \Delta t } { 2 } , \mathbf v , t _ { n } \right)
\operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } E \left[ \exp \left\{ \zeta \operatorname* { s u p } _ { \beta _ { ( i ) } \in \mathcal { B } _ { n , ( i ) } } \sqrt { n } \left\vert \widehat { \mathfrak { H } } _ { ( i ) } ( \beta _ { ( i ) } ) - \mathfrak { H } _ { ( i ) } ( \beta _ { ( i ) } ) \right\vert \right\} \right] = O \left( n ^ { \xi \ln ( k _ { n } ) } \right) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } - t ) \xi \xi ^ { \prime \prime } d t = } & { - k _ { n } \xi ( t _ { n } ) \xi ^ { \prime } ( t _ { n } ) + \displaystyle \int _ { I _ { n } } \xi ^ { \prime } \xi d t - \displaystyle \int _ { I _ { n } } ( t _ { n - 1 } - t ) | \xi ^ { \prime } | ^ { 2 } d t } \\ { = } & { - k _ { n } \xi ( t _ { n } ) \xi ^ { \prime } ( t _ { n } ) + \displaystyle \frac { 1 } { 2 } | \xi ( t _ { n } ) | ^ { 2 } - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } | \xi ( t _ { n - 1 } ) | ^ { 2 } + \displaystyle \int _ { I _ { n } } ( t - t _ { n - 1 } ) | \xi ^ { \prime } | ^ { 2 } d t , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { M } | \nabla b | ^ { 4 } \phi ^ { r } e ^ { s b } \, d v _ { t } } \\ { = } & { ( 4 \pi \tau ) ^ { - \frac n 2 } \int _ { M } | \nabla b | ^ { 4 } \phi ^ { r } e ^ { ( s - 1 ) b } \, d V _ { t } } \\ { = } & { ( 4 \pi \tau ) ^ { - \frac n 2 } ( s - 1 ) ^ { - 1 } \int _ { M } | \nabla b | ^ { 2 } \langle \nabla b , \nabla e ^ { ( s - 1 ) b } \rangle \phi ^ { r } \, d V _ { t } } \\ { = } & { ( 4 \pi \tau ) ^ { - \frac n 2 } ( 1 - s ) ^ { - 1 } \int _ { M } \left( 2 \nabla ^ { 2 } b ( \nabla b , \nabla b ) + | \nabla b | ^ { 2 } \Delta b \right) \phi ^ { r } e ^ { ( s - 1 ) b } \, d V _ { t } + Z } \\ { \le } & { C ( 4 \pi \tau ) ^ { - \frac n 2 } ( 1 - s ) ^ { - 1 } \int _ { M } | \nabla ^ { 2 } b | | \nabla b | ^ { 2 } \phi ^ { r } e ^ { ( s - 1 ) b } \, d V _ { t } + Z } \\ { \le } & { \frac { 1 } { 4 } \int _ { M } | \nabla b | ^ { 4 } \phi ^ { r } e ^ { s b } \, d v _ { t } + C \int _ { M } | \nabla ^ { 2 } b | ^ { 2 } \phi ^ { r } e ^ { s b } \, d v _ { t } + Z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ | { \mathbb { E } } [ { \mathcal { Q } } - Q _ { L } ] | } & { \leq \sum _ { \ell = L + 1 } ^ { \infty } | { \mathbb { E } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] | = \sum _ { \ell = L + 1 } ^ { \infty } c _ { 1 } s ^ { - \alpha _ { M } \ell } } \\ { = } & { \ c _ { 1 } s ^ { - \alpha _ { M } L } s ^ { - \alpha _ { M } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } s ^ { - \alpha _ { M } \ell } = c _ { 1 } s ^ { \alpha _ { M } L } \frac { s ^ { - \alpha _ { M } } } { 1 - s ^ { - \alpha _ { M } } } = \frac { c _ { 1 } s ^ { \alpha _ { M } L } } { s ^ { \alpha _ { M } } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { k _ { ( P _ { 0 } ) } } } & { { = } } & { { - \partial _ { x ^ { 0 } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { k _ { ( P _ { 1 } ) } } } & { { = } } & { { \mathrm { t g h } ( x ^ { 1 } / R ) \sin { ( x ^ { 0 } / R ) } \partial _ { x ^ { 0 } } - \cos { ( x ^ { 0 } / R ) } \partial _ { x ^ { 1 } } - \sin { \alpha } { \displaystyle \frac { \sin { ( x ^ { 0 } / R ) } } { \mathrm { c o s h } ( x ^ { 1 } / R ) } } \partial _ { x ^ { 4 } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { k _ { ( P _ { 2 } ) } } } & { { = } } & { { - \partial _ { x ^ { 2 } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { k _ { ( P _ { 3 } ) } } } & { { = } } & { { - \tan ( x ^ { 3 } / R ) \sin { ( x ^ { 2 } / R ) } \partial _ { x ^ { 2 } } - \cos { ( x ^ { 2 } / R ) } \partial _ { x ^ { 3 } } - \cos { \alpha } { \displaystyle \frac { \sin { ( x ^ { 2 } / R ) } } { \cos { ( x ^ { 3 } / R ) } } } \partial _ { x ^ { 4 } } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { 1 } ( \cdot , y ) } & { : = M \big [ 1 + | y _ { 1 } | ^ { 2 } \big ] + \frac { | y _ { 1 } | ^ { 2 } | y _ { 2 } | ^ { 2 } } { 5 } , } \\ { N _ { 2 } ( \cdot , y ) } & { : = M \big [ 1 + ( 1 + | y _ { 1 } | ^ { 2 } ) | y _ { 2 } | ^ { 2 } + | y _ { 1 } | | y _ { 2 } | ^ { 3 } + | y _ { 1 } | ^ { 4 } \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \gamma } \mathbb { E } \! \left[ \left\| \mathbf { x } ^ { t + 1 } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] + \frac { 1 + \omega } { \tau } \mathbb { E } \! \left[ \left\| \mathbf { u } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } \; | \; \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \qquad \qquad \leq \frac { 1 } { \gamma } \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } + \frac { 1 + \omega } { \tau } \left( 1 - \frac { \gamma \tau } { 1 + \omega } \right) \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } . } \end{array}