harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \overline { { U } } \approx \frac { \pi \mu _ { 0 } } { 2 l } ( n I _ { 0 } ) ^ { 2 } \Big \{ r _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 5 r _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 } \Big ( \frac { r _ { 1 } \omega _ { 0 } } { c _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } + \frac { 5 r _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 } \Big ( 1 - \Big ( \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \Big ) ^ { 4 } \Big ) \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big [ \Big ( 1 - \Big ( \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ) \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ] } \\ & { + \Big ( \frac { \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } } { 4 \pi r _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } \Big [ r _ { 1 } ^ { 2 } \Big ( 1 0 ( r _ { 1 } r _ { 2 } ) ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 4 } \Big ) ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + 9 r _ { 2 } ^ { 6 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } + 2 ( r _ { 1 } r _ { 2 } ) ^ { 3 } \Big ( 9 + 2 \log \Big ( \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \Big ) \Big ) \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) \Big ] \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( } & { \overline { L } ) = \frac { 1 } { n ^ { d + 1 } } \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( n \overline { L } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { n ^ { d + 1 } } \widehat c _ { 1 } ( n \overline { L } + \overline { A } ) ^ { d + 1 } - ( d + 1 ) \frac { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( n \overline { L } + \overline { A } ) ( \mathrm { v o l } ( n L + A ) - \mathrm { v o l } ( n L ) ) } { n ^ { d + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \Big [ T \big ( \phi , \mathcal { A } _ { \epsilon } ( \phi ) \big ) \Big ] = 2 \sum _ { t = 2 } ^ { m } \mathbb { E } [ V _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ] > 2 \sum _ { t = 2 } ^ { m } \mathbb { E } [ U _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ] = \mathbb { E } \Big [ T \big ( \phi , \mathcal { M } _ { 2 ( m - 1 ) \epsilon ^ { - 1 } } ^ { l a p } ( \phi ) \big ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 4 } ( q _ { B } ) } & { = } & { \frac { 1 } { q _ { B } ^ { 4 - D } } 4 \pi \prod _ { k = 1 } ^ { D - 3 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta _ { k } \sin ^ { k } ( \theta _ { k } ) } \\ & { \times } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d p _ { B } ^ { \prime } \frac { p _ { B } ^ { \prime D - 1 } } { \left[ p _ { B } ^ { \prime 2 } + ( \mathcal { A } + 2 ) / 4 \mathcal { A } \right] ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \sin ^ { D - 2 } \theta } \\ & { \times } & { \chi ^ { ( A ) } \overset { * } { ( } q _ { B } \, p _ { B - } ^ { \prime } ) \chi ^ { ( A ) } ( q _ { B } \, p _ { B + } ^ { \prime } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { K = \frac { 1 } { 2 a _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \epsilon ^ { 2 } } \operatorname* { m i n } _ { \theta _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } E ( \epsilon , \theta ; s _ { 0 } , r ) \right) _ { s _ { 0 } , r , \epsilon } } \end{array}
V _ { \mu \sigma \alpha } ( k _ { 1 } , - k _ { 2 } , k _ { 2 } - k _ { 1 } ) = ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) _ { \alpha } g _ { \mu \sigma } + ( k _ { 1 } - 2 k _ { 2 } ) _ { \mu } g _ { \sigma \alpha } + ( k _ { 2 } - 2 k _ { 1 } ) _ { \sigma } g _ { \mu \alpha } .
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { = \frac { ( \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 ) ^ { \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 } } { \pi ^ { N } \Gamma ( \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 ) } \frac { \Gamma ( N + \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 ) } { ( \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 + t ) ^ { N + \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 } } } \\ & { = \left( \frac { 2 } { \pi \nu _ { \mathrm { d a t a } } } \right) ^ { N } \frac { \Gamma ( N + \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 ) } { \Gamma ( \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 ) } \left( 1 + \frac { 2 t } { \nu _ { \mathrm { d a t a } } } \right) ^ { - N - \nu _ { \mathrm { d a t a } } / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { j } ^ { ( t ) } = } & { \| \hat { \Sigma } _ { j } ^ { - 1 / 2 } ( \frac { 1 } { | S _ { 0 } | } \sum _ { i \in S _ { 0 } } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } + q _ { t } ) \| } \\ { \leq } & { \| \hat { \Sigma } _ { j } ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { | S _ { 0 } | } \sum _ { i \in S _ { 0 } } \tilde { g } _ { i } ^ { ( t ) } \| + \| \hat { \Sigma } _ { j } ^ { - 1 / 2 } q _ { t } \| } \\ { \leq } & { ( 1 . 1 + 2 . 1 C _ { 3 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) ) \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } + 2 . 1 C _ { 3 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) \sigma \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathcal A } _ { \alpha \beta , \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x , \tilde { x } ) = \widehat { { \mathcal A } } _ { \alpha \beta , \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x , \tilde { x } ) + \log \left\{ \left( x ( \upzeta _ { \alpha } ) - x ( \tilde { \upzeta } _ { \alpha } ) \right) \left( x ( \upzeta _ { \beta } ) - x ( \tilde { \upzeta } _ { \beta } ) \right) \right\} , } \end{array}
\operatorname { V a r } \Big ( \partial _ { \hat { U } _ { \tau , k } } \sum _ { i } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle \Big ) = \Theta \big ( ( 2 \eta _ { \mathrm { b i } } ) ^ { \tau } \big ) + \mathcal { O } \big ( ( 2 \lambda _ { 3 } ) ^ { \tau } \big ) + \mathcal { O } ( 2 ^ { \tau } \eta _ { \mathrm { b i } } ^ { T } ) \quad \mathrm { w i t h } \quad \eta _ { \mathrm { b i } } = \frac { \chi ^ { 2 } ( 1 + \chi ) ^ { 4 } } { 2 ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l r } { ( - \beta ) B ^ { ( n ) } } & { { } = } & { ( - \beta ) \Big [ E _ { N } ^ { ( n ) } \Big ] _ { L } + \frac { ( - \beta ) ^ { 2 } } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } _ { 0 } = - \frac { v } { \nu } \mathrm { R e } [ V ( \mathbf { r } ) ] , \ \ \mathcal { S } _ { 0 } = \frac { v } { \nu } \mathrm { I m } [ V ( \mathbf { r } ) ] , } \\ & { \mathcal { A } _ { 1 } = \frac { u } { 2 \nu } \mathrm { R e } [ U ( \mathbf { r } ) + U ( - \mathbf { r } ) ] , \ \mathcal { A } _ { 2 } = \frac { u } { 2 \nu } \mathrm { I m } [ U ( \mathbf { r } ) + U ( - \mathbf { r } ) ] , } \\ & { \mathcal { S } _ { 1 } = \frac { u } { 2 \nu } \mathrm { I m } [ U ( \mathbf { r } ) - U ( - \mathbf { r } ) ] , \ \mathcal { S } _ { 2 } = \frac { u } { 2 \nu } \mathrm { R e } [ U ( - \mathbf { r } ) - U ( \mathbf { r } ) ] . } \end{array}
( S ^ { ( 0 ) } \: V \: S ^ { ( 0 ) } \: W \: S ^ { ( 0 ) } ) ( x , y ) \; = \; \int d ^ { 4 } z \: S ^ { ( 0 ) } ( x , z ) \: V ( z ) \; ( S ^ { ( 0 ) } \: W \: S ^ { ( 0 ) } ) ( z , y ) \; \; \; .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \xi ^ { - \sigma } - \frac { \xi ^ { n - k - 1 } } { ( \xi + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) ^ { n - k + \sigma - 1 } } d \xi = } & { \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \xi ^ { - \sigma } - \frac { \xi ^ { n - k - 1 } } { ( \xi + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) ^ { n - k + \sigma - 1 } } d \xi } \\ & { + \int _ { \varepsilon } ^ { \infty } \xi ^ { - \sigma } - \frac { \xi ^ { n - k - 1 } } { ( \xi + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) ^ { n - k + \sigma - 1 } } d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { n } ( \tau ) } & { = } & { \frac { - ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) } { 2 \pi i } \oint _ { \cal C } \frac { e ^ { \tau s } } { s P _ { 2 n } ( s ) } d s } \\ & { \sim } & { \frac { - ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) } { 2 \pi i } \tau ^ { 2 n } \oint _ { \cal \tilde { C } } \frac { e ^ { z } } { z ( z ^ { 2 n } + a _ { 2 n - 2 } \tau ^ { 2 } z ^ { 2 n - 2 } ) } d z , \qquad \tau \rightarrow 0 ^ { + } } \\ & { \sim } & { \frac { - ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) } { 2 \pi i } \tau ^ { 2 n } \oint _ { \cal \tilde { C } } \frac { e ^ { z } } { z ^ { 2 n + 1 } } ( 1 - a _ { 2 n - 2 } \tau ^ { 2 } / z ^ { 2 } ) d z } \\ & { = } & { - \frac { ( \prod _ { j = 2 } ^ { n } \alpha _ { j } ) \tau ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } \left( 1 - \frac { a _ { 2 n - 2 } \tau ^ { 2 } } { ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) } \right) } \end{array}
f _ { D K } ^ { + } ( p ^ { 2 } ) = \frac { f _ { D K } ^ { + } ( 0 ) } { ( 1 - p ^ { 2 } / m _ { D _ { s } ^ { * } } ^ { 2 } ) ( 1 - \alpha _ { D K } p ^ { 2 } / m _ { D _ { s } ^ { * } } ^ { 2 } ) } ~ ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho _ { s l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( t , t _ { 1 } ) = - \frac { i } { \hbar } H _ { s , - } ( t ) \rho _ { s l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( t , t _ { 1 } ) } \\ & { \qquad + \sum _ { l _ { 2 } \tilde { l } _ { 2 } } A _ { \tilde { l } _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \mathrm { d } t _ { 2 } \langle B _ { \tilde { l } _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t ) B _ { l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 2 } ) \rangle _ { B } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times U ^ { s } ( t , t _ { 1 } ) A _ { l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 1 } ) \rho _ { s l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 1 } - 0 ^ { + } , t _ { 2 } ) } \\ & { \qquad + \sum _ { l _ { 2 } \tilde { l } _ { 2 } } A _ { \tilde { l } _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t ) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \mathrm { d } t _ { 2 } \langle B _ { \tilde { l } _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t ) B _ { l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 2 } ) \rangle _ { B } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times U ^ { s } ( t , t _ { 2 } ) A _ { l _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 2 } ) \rho _ { s l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 2 } - 0 ^ { + } , t _ { 1 } ) } \\ & { \qquad + \delta ( t - t _ { 1 } ) A _ { l _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( t _ { 1 } ) \rho _ { s } ( t _ { 1 } - 0 ^ { + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { i } ^ { n + 1 } - c _ { p } T _ { i } ^ { n + 1 } = h _ { i } ^ { n } - c _ { p } T _ { i } ^ { n } , } \\ { { \rho } _ { i } ^ { n + \frac { 2 } { 3 } } R T _ { i } ^ { n + 1 } = p _ { i } ^ { n } . } \end{array}
J _ { \vec { x } ( t ) } = \left( \begin{array} { l l l l } { - \beta ( h , t ) I - \nu } & { - \beta ( h , t ) S - \nu } & { 0 } & { - \beta ^ { \prime } ( h , t ) S I } \\ { \beta ( h , t ) I } & { \beta ( h , t ) S - \gamma } & { 0 } & { \beta ^ { \prime } ( h , t ) S I } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \tau } } & { - \frac { 1 } { \tau } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \tau } } & { - \frac { 1 } { \tau } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { \mathrm { e f f } , g , g ^ { \prime } } ( t ) } & { = R _ { \mathrm { b a s e } } ( t ) C _ { \mathrm { b a s e } , g , g ^ { \prime } } + \Delta R _ { \mathrm { f o o t b a l l } } ( t ) C _ { \mathrm { m a t c h } , g , g ^ { \prime } } + \Delta R _ { \mathrm { n o i s e } } ( t ) C _ { \mathrm { n o i s e } , g , g ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { Y _ { i , n } } ( t ) } & { = \mathbb { E } \bigg [ \exp \bigg ( j t \sum _ { u = 1 } ^ { n } \; Z _ { | \mathcal { C } _ { u } | } ^ { ( i , u ) } \bigg ) \bigg ] } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \Bigg ( \mathbb { E } \bigg [ \exp \Big ( j t Z _ { | \mathcal { C } _ { u } | } ^ { ( i , u ) } \Big ) \bigg ] \Bigg ) ^ { n } } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } \Bigg ( \mathbb { E } _ { | \mathcal { C } _ { u } | } \bigg [ \mathbb { E } _ { Z _ { | \mathcal { C } _ { u } | } ^ { ( i , u ) } } \Big [ \exp \big ( j t Z _ { | \mathcal { C } _ { u } | } ^ { ( i , u ) } \big ) \big | \; | \mathcal { C } _ { u } | \; \Big ] \bigg ] \Bigg ) ^ { n } } \\ & { \stackrel { ( c ) } { = } \Bigg ( \mathbb { E } _ { | \mathcal { C } _ { u } | } \bigg [ \big ( 1 - j t s _ { | \mathcal { C } _ { u } | } \big ) ^ { k _ { | \mathcal { C } _ { u } | } } \bigg ] \Bigg ) ^ { n } } \\ & { \stackrel { ( d ) } { = } \Bigg ( \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \Tilde { p } _ { R } ( m ) ( 1 - j t s _ { m } ) ^ { k _ { m } } \Bigg ) ^ { n } } \end{array}
\left( \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \Gamma { \left( \frac { 3 - d } { 2 } \right) } \sim { \frac { 2 } { ( 3 - d ) } } + \gamma - { \ln } \left( \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) + O ( d - 3 ) \; ,
W = a _ { 1 } x _ { 1 } ^ { 3 } + a _ { 2 } x _ { 2 } ^ { 3 } + \ldots + a _ { 9 } x _ { 9 } ^ { 3 } + a _ { 1 0 } x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } + \ldots .
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { \iota _ { j } } ( \partial _ { y } ^ { \ell } y ^ { d } ) } & { = ( d - \ell ) \vartheta _ { \iota _ { j } } ( y ) = ( d - \ell ) \textrm { o r d } ( \iota _ { j } ^ { \ast } y ) = ( d - \ell ) e _ { j } \lambda _ { 1 } = } \\ & { = ( d - \ell ) \frac { e _ { j } } { e _ { i } } e _ { i } \lambda _ { 1 } = \frac { e _ { j } } { e _ { i } } \vartheta _ { \iota _ { i } } ( \partial _ { y } ^ { \ell } y ^ { d } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f _ { m n l } } & { = { \frac { c } { 2 \pi { \sqrt { \mu _ { r } \epsilon _ { r } } } } } \cdot k _ { m n l } } \\ & { = { \frac { c } { 2 \pi { \sqrt { \mu _ { r } \epsilon _ { r } } } } } { \sqrt { \left( { \frac { m \pi } { a } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { n \pi } { b } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { l \pi } { d } } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { c } { 2 { \sqrt { \mu _ { r } \epsilon _ { r } } } } } { \sqrt { \left( { \frac { m } { a } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { n } { b } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { l } { d } } \right) ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { P ( \widetilde \Omega _ { n } ^ { R , L } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } P ( \Omega _ { n } ^ { k } , B _ { R } ( 0 ) ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathcal H ^ { 2 } ( \Omega _ { n } ^ { k } \cap \partial B _ { R } ( 0 ) ) + 4 \pi r ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , j - 1 } ) , { x } ^ { t , j } - { z } \rangle - \langle \nabla f ( { x } ^ { t , i - 1 } ) , { x } ^ { t , i } - { z } \rangle } \\ { = \ } & { \sum _ { k = i + 1 } ^ { j } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle + \sum _ { k = i } ^ { j - 1 } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { z } \rangle } \end{array}
\Phi _ { i } ^ { i n t } ( g , x ) = { \frac { \hbar } { i } } S ^ { - 1 } ( g , g _ { 1 } , \ldots ) \frac { \delta S ( g , g _ { 1 } , \ldots ) } { \delta g _ { i } ( x ) } \Big | _ { g _ { i } = 0 }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { l + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \leq \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { l + 1 - t + \tau } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t - \tau } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \alpha \sum _ { k = t - \tau } ^ { l } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { l - k } \left( c _ { t } ( k ) + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) } \\ & { + 8 \alpha c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \left[ \sum _ { k = t - \tau } ^ { l } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { l - k } \delta _ { k } ^ { 2 } \right] } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \leq } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau + 1 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t - \tau } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \alpha \underbrace { \sum _ { k = t - \tau } ^ { t } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { l - k } \left( c _ { t } ( k ) + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) } _ { H _ { 7 } } } \\ & { + 8 \alpha c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \underbrace { \left[ \sum _ { k = t - \tau } ^ { t } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { l - k } \delta _ { k } ^ { 2 } \right] } _ { H _ { 8 } } } \end{array}
\psi _ { 0 } ^ { k } = \Phi _ { k } ^ { + } = \left( { \begin{array} { l l } { { { u _ { k } \left( { \vec { r } , \Omega } \right) } } } & { { 0 } } \\ { { { v _ { k } \left( { \vec { r } , \Omega } \right) } } } & { { 0 } } \end{array} } \right) ,
\begin{array} { r } { \alpha \det \left( \begin{array} { c c c c } { h _ { 0 } } & { h _ { 1 } } & { \cdots } & { h _ { n _ { 1 } } } \\ { h _ { 1 } } & { h _ { 2 } } & { \cdots } & { h _ { n _ { 1 } + 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { h _ { n _ { 1 } - 1 } } & { h _ { n _ { 1 } } } & { \cdots } & { h _ { 2 n _ { 1 } - 1 } } \\ { 1 } & { z } & { \cdots } & { z ^ { n _ { 1 } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\{ \mathcal T _ { + + } ^ { \prime } ( x ) , \mathcal T _ { + + } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) \} = 4 \, ( \mathcal T _ { + + } ^ { \prime } ( x ) + \mathcal T _ { + + } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) ) \, \delta ^ { \prime } ( x - x ^ { \prime } ) - 1 6 \kappa \, n \, \delta ^ { \prime \prime \prime } ( x - x ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { l } { \Pi _ { C } = \frac { x - ( y + \rho ) r + z \sigma } { 1 + \rho } } \\ { \Pi _ { D } = \frac { ( 1 + r ) x + z \sigma } { 1 + \rho } } \\ { \Pi _ { L } = \sigma } \end{array} .
{ \mathcal { H } } ( t ) = { \dot { \mathbf { x } } } \cdot \mathbf { p } - { \mathcal { L } } = c { \sqrt { m ^ { 2 } c ^ { 2 } + { \left( \mathbf { p } - q \mathbf { A } \right) } ^ { 2 } } } + q \varphi
{ \operatorname * { d e t } } _ { p \perp } ( - \Delta ) = \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { l } ^ { 2 D _ { l } ^ { p } } \prod _ { k = 1 } ^ { \infty } \kappa _ { k } ^ { 2 D _ { k } ^ { p - 1 } } ,
\begin{array} { r l r } { = } & { { } } & { \iint { R ( x _ { i n } , x _ { o u t } ; z ) ~ \delta \left( x - \frac { x _ { i n } + x _ { o u t } } { 2 } \right) ~ d x _ { o u t } d x _ { i n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \ast } ( \Omega _ { \mathcal { F } } ) } & { \cong \mathrm { { H o m } } _ { \mathcal { E } } ( - , f _ { \ast } ( \Omega _ { \mathcal { F } } ) ) , } \\ & { \cong { \mathrm { H o m } } _ { \mathcal { F } } ( f ^ { \ast } ( - ) , \Omega _ { \mathcal { F } } ) , } \\ & { \cong \mathrm { { S u b } } _ { \mathcal { F } } ( f ^ { \ast } ( - ) ) } \end{array}
\sigma _ { \textrm { i n t r a } } ( \omega ) = \frac { 2 e ^ { 2 } k _ { B } T } { \pi \hbar ^ { 2 } } \frac { i } { \omega + i \tau ^ { - 1 } } \ln \left[ 2 \cosh \left( \frac { E _ { F } } { 2 k _ { B } T } \right) \right]
g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = g ( x _ { 1 } + a _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } + a _ { 2 } , x _ { 3 } ) = g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } + a _ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } { w _ { \uparrow , \downarrow } ( \mathbf { p } ) = } & { { } \frac { 1 } { 3 } w ^ { p _ { 0 } } ( \mathbf { p } , I _ { p } ^ { P _ { \frac { 1 } { 2 } } } ) + \frac { 2 } { 3 } w ^ { p _ { 0 } } ( \mathbf { p } , I _ { p } ^ { P _ { \frac { 3 } { 2 } } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { z \left( z ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \left( q \right) \right) + Q _ { 2 } \left( q , z \right) \left( z ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } \left( q \right) \right) = 0 \ . } \end{array}
x _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( x _ { + } + x _ { - } \right) , \quad x _ { 2 } = \frac { \imath } { 2 } \left( x _ { - } - x _ { + } \right) , \quad x _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } h ,
\begin{array} { r l } & { \quad \quad ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) , e _ { h } ^ { n , j - 1 } ) + ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) , e _ { h } ^ { n , j } - e _ { h } ^ { n , j - 1 } ) } \\ & { + \tau ( K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) ) \nabla \psi _ { h } ^ { n , j } - K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) ) \nabla \psi _ { h } ^ { n } , \nabla e _ { h } ^ { n , j } ) + L ( e _ { h } ^ { n , j } - e _ { h } ^ { n , j - 1 } , e _ { h } ^ { n , j } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \bigg \| \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) + ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nu _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) \big ) } \\ & { \qquad \qquad - \bigg ( \frac { 1 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( j ) } ( x _ { i } ^ { ( j ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( j ) } ) + ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \bar { \nu } _ { i - 1 } - \frac { 1 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( j ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( j ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( j ) } ) \big ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \bigg \| ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nu _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i - 1 } \big ) + \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \frac { 1 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( j ) } ( x _ { i } ^ { ( j ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( j ) } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad - ( 1 - \alpha _ { i } ) \bigg ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \frac { 1 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( j ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( j ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( j ) } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \beta ) ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| \nu _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i - 1 } \bigg \| ^ { 2 } + \Big ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \mathbb { E } \bigg \| \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \frac { 1 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( j ) } ( x _ { i } ^ { ( j ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( j ) } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad - ( 1 - \alpha _ { i } ) \bigg ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \frac { 1 } { K } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( j ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( j ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( j ) } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } , } \end{array}
P = \operatorname { i d } - P _ { 0 } , \qquad P _ { 0 } [ f ] = P _ { 0 } [ \tilde { f } ] = \hat { f } _ { \boldsymbol { 0 } } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \tilde { f } ( \boldsymbol { \alpha } ) \, d \alpha _ { 1 } \cdots \, d \alpha _ { d } .
\begin{array} { r l } { \dot { o } ( t ) } & { = A ( x ( t ) - o ( t ) ) - 2 L [ A ] o ( t ) , } \\ { \dot { s } ( t ) } & { = \widetilde D v ( t ) - \widetilde { S } ( t ) ( B x ( t ) + H ( o ( t ) ) v ( t ) + \widetilde W r ( t ) , } \\ { \dot { x } ( t ) } & { = \widetilde { S } ( t ) B x ( t ) - \widetilde G x ( t ) , } \\ { \dot { r } ( t ) } & { = \widetilde G x ( t ) - \widetilde W r ( t ) - \widetilde { R } ( t ) H ( o ( t ) ) v ( t ) , } \\ { \dot { v } ( t ) } & { = ( \widetilde { S } ( t ) + \widetilde { R } ( t ) ) H ( o ( t ) ) v ( t ) - \widetilde D v ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( | | \mathbf x - \mathbf y | | ) = \frac { 1 } { d _ { n } ( \alpha ) } \frac { 1 } { | | \mathbf x - \mathbf y | | ^ { n + \alpha } } , \quad \alpha \in \mathbb { R } , \quad n \in \mathbb { N } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = d v = - \frac { 1 } { 2 } \frac { d r } { r } v + r ^ { - 1 / 2 } d ( L _ { 0 } \sin u _ { 0 } + L _ { 1 } \sinh u _ { 1 } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sqrt M _ { 0 } r _ { 0 } } { r } d r _ { 0 } + \frac { \sqrt M _ { 1 } r _ { 1 } } { r } d r _ { 1 } \right) \frac { v } { r } + r ^ { - 1 / 2 } d ( L _ { 0 } \sin u _ { 0 } + L _ { 1 } \sinh u _ { 1 } ) } \\ & { \simeq \epsilon ^ { 3 / 2 } ( r _ { 0 } \frac { \partial r _ { 0 } } { \partial L _ { 0 } } d L _ { 0 } + r _ { 0 } \frac { \partial r _ { 0 } } { \partial \ell _ { 0 } } d \ell _ { 0 } ) + \epsilon ^ { 1 / 2 } ( \frac { \partial r _ { 1 } } { \partial L _ { 1 } } d L _ { 1 } + \frac { \partial r _ { 1 } } { \partial \ell _ { 1 } } d \ell _ { 1 } ) } \\ & { + \epsilon ^ { 1 / 2 } ( \sin u _ { 0 } d L _ { 0 } + L _ { 0 } \frac { \cos u _ { 0 } } { 1 - \cos u _ { 0 } } d \ell _ { 0 } + \sinh u _ { 1 } d L _ { 1 } + L _ { 1 } \frac { \cosh u _ { 1 } } { 1 - \cosh u _ { 1 } } d \ell _ { 1 } ) } \\ & { = ( \epsilon ^ { 1 / 2 } \sin u _ { 0 } + O ( \epsilon ^ { 3 / 2 } ) d L _ { 0 } + ( \epsilon ^ { 1 / 2 } L _ { 0 } \frac { \cos u _ { 0 } } { 1 - \cos u _ { 0 } } + O ( \epsilon ^ { 3 / 2 } ) ) d \ell _ { 0 } + \epsilon ^ { - 1 / 2 } d L _ { 1 } + O ( \epsilon ^ { 1 / 2 } ) d \ell _ { 1 } } \end{array}