harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { * } ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = - \frac { i \alpha } { 2 } \left\langle \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \in \mathcal { T } } J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \hat { f } _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) \right) \left( \sum _ { \ell \in \mathcal { T } } J _ { \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \hat { f } _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right) \right\rangle _ { * } } \\ { \hat { Q } _ { * } ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = - \frac { i \alpha } { 2 } \left\langle \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \in \mathcal { T } } J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) \right) \left( \sum _ { \ell \in \mathcal { T } } J _ { \ell } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right) \right\rangle _ { * } } \\ { \hat { K } _ { * } ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = - i \alpha \left\langle \left( \sum _ { \ell ^ { \prime } \in \mathcal { T } } J _ { \ell ^ { \prime } } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \hat { f } _ { \ell ^ { \prime } } ( t , \tau ) \right) \left( \sum _ { \ell \in \mathcal { T } } J _ { \ell } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { \ell } ( t ^ { \prime } , \tau ) \right) \right\rangle _ { * } } \end{array}
\mathcal { M V } ( T ) : \cdots \stackrel { \partial _ { k - 1 , T } } \rightarrow \mathcal { H } ^ { k } \left( { \bar { Z } } _ { 2 } ; \bar { F } _ { 2 } \right) ( T ) \stackrel { e _ { k , T } } { \rightarrow } \mathcal { H } ^ { k } \left( { \bar { Z } } ; \bar { F } \right) ( T ) \stackrel { r _ { k , T } } { \rightarrow } \mathcal { H } ^ { k } \left( { \bar { Z } } _ { 1 } ; \bar { F } _ { 1 } \right) ( T ) \stackrel { \partial _ { k , T } } { \rightarrow } \cdots
. F i g u r e ~ d e s c r i b e s a n e s t a b l i s h e d s y n c h r o n i z e d s t a t e f o r o s c i l l a t o r s w i t h a p p r o x i m a t e l y e q u a l f u n d a m e n t a l f r e q u e n c i e s . E x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d t r a j e c t o r i e s a r e d e p i c t e d i n F i g . ~ ( a , b ) . T h e a c c u m u l a t e d p h a s e d i f f e r e n c e s h o w s , i n F i g . ~ ( c ) , a t y p i c a l n o i s e - i n d u c e d p h a s e s l i p . F i g u r e ~ ( d ) c o n f i r m s t h e e s t a b l i s h e d l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t i m e d e p e n d e n c e o f t h e v a r i a n c e o f t h e a c c u m u l a t e d p h a s e ,
p ( a _ { 1 } , a _ { 2 } \ldots , a _ { m } | a ) \simeq \frac { \rho ( a _ { 1 } ) \rho ( a _ { 2 } ) \ldots \rho ( a _ { m } ) ( a + a _ { 1 } + a _ { 2 } \ldots a _ { m } ) } { ( a + m \langle a \rangle ) } .
V ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) = - \frac { 1 } { N \Omega } Z _ { \kappa } \sum _ { \boldsymbol { q } } \sum _ { \boldsymbol { G } } V ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { G ) } e ^ { i ( \boldsymbol { q } + \boldsymbol { G } ) \cdot ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { R } - \boldsymbol { \tau } _ { \kappa } ) } ,
X ( k , r , { \bf p } , { \bf q } ) : = \left( \begin{array} { c c c } { { k } } & { { { \bf p } } } & { { r } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \bf q } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - k } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { P ( N = 1 ) = } & { { } q ( 1 - p ) , } \\ { P ( N = 2 ) = } & { { } q ( 1 - q ) ( 1 - p ) , } \\ { P ( N = n ) = } & { { } X _ { n } ( 1 - p ) , \; \forall n > 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { { } = \int _ { \cal D } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } _ { 1 } \int _ { \cal D } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } _ { 2 } \int \mathrm { d } \omega \, \overline { { \overline { { D } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) \cdot \cdot \, \overline { { \overline { { E } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) . } \end{array}
c _ { \kappa } \| \varphi \| _ { H ^ { s } } \leq \frac { c } { 1 + \left\| \sqrt { \partial _ { z } \varphi } \right\| _ { L ^ { \infty } } } \| \varphi \| _ { H ^ { s } } \leq \| \varphi \| _ { \widetilde H ^ { s } } \leq C \left( 1 + \left\| \frac 1 { \sqrt { \partial _ { z } \varphi } } \right\| _ { L ^ { \infty } } \right) \| \varphi \| _ { H ^ { s } } \leq C _ { \kappa } \| \varphi \| _ { H ^ { s } } .
\begin{array} { r l } { \Phi ( w , z ) = } & { { } \underbrace { \sum _ { u = 1 } ^ { c } w ^ { u } ( 1 - \vartheta ) z } _ { ( a ) } + \underbrace { \sum _ { u = 1 } ^ { \infty } w ^ { u } \vartheta z \, \varphi ( z , u + 1 ) } _ { ( b ) } + \underbrace { \sum _ { u = c + 1 } ^ { \infty } w ^ { u } ( 1 - \vartheta ) z \, \varphi ( z , u - c ) } _ { ( c ) } . } \end{array}
\beta \Delta G - \ln \left( \frac { n } { \rho _ { \mathrm { ~ v ~ } } v _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \right) = \frac { n N _ { \mathrm { ~ p ~ } } \beta \epsilon _ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } { 2 } - \ln \left[ \frac { ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ l ~ } } ) ^ { n N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } } { \phi _ { \mathrm { ~ l ~ } } ^ { n ( 1 - N _ { \mathrm { ~ p ~ } } / 2 ) } } \right] ,
\widetilde { \cal S } ( \ensuremath { R _ { \omega } } ( t ) \mathbf { r } , t ; \ensuremath { R _ { \omega } } ( t ^ { \prime } ) \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) { = } { \cal S } \big ( \mathbf { r } , t ; \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \big )
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left[ \| J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| J ^ { m } v ^ { k } - J ^ { m } v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right] \leq } & { C _ { m } + \| J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \| J ^ { m } v ^ { k } - J ^ { m } v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
e ( \zeta _ { - } ) = e _ { 0 } \cdot \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { , ~ ~ \frac { \operatorname { t a n h } y _ { 0 } + c _ { 0 } } { 1 + c _ { 0 } \operatorname { t a n h } y _ { 0 } } \leq \zeta _ { - } \leq 1 } } \\ { { { \displaystyle \left[ \frac { 1 - \operatorname { t a n h } y _ { 0 } } { 1 + \operatorname { t a n h } y _ { 0 } } ~ \frac { 1 - c _ { 0 } } { 1 + c _ { 0 } } ~ \frac { 1 + \zeta _ { - } } { 1 - \zeta _ { - } } \right] } ^ { ( 1 + c _ { 0 } ^ { 2 } ) / 2 c _ { 0 } } } } & { { , ~ ~ - 1 < \zeta _ { - } \leq \frac { \operatorname { t a n h } y _ { 0 } + c _ { 0 } } { 1 + c _ { 0 } \operatorname { t a n h } y _ { 0 } } ~ , } } \end{array} \right.
{ \cal A } _ { C P } ( f ) \; = \; \frac { - 2 \mathrm { I m } ( v _ { u } v _ { c } ^ { * } ) \cdot \mathrm { I m } R _ { f } } { | v _ { u } | ^ { 2 } + | v _ { c } | ^ { 2 } \cdot | R _ { f } | ^ { 2 } + 2 \mathrm { R e } ( v _ { u } v _ { c } ^ { * } ) \cdot \mathrm { R e } R _ { f } } \; ,
\mathbf { a _ { j } ^ { j } } \gets ( \mathbf { R _ { j - 1 } ^ { j } } \mathbf { a _ { j - 1 } ^ { j - 1 } } ) \bigoplus ( \mathbf { \dot { \omega } _ { j } ^ { j } } \bigotimes \mathbf { p _ { j } ^ { j - 1 } } ) \bigoplus ( \mathbf { \omega _ { j } ^ { j } } \bigotimes ( \mathbf { \omega _ { a , j } ^ { j } } \times \mathbf { p _ { j } ^ { j - 1 } } ) )
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \sigma ) \mathrm { d } \sigma } & { = \mathbf { E } _ { R } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \sigma ) \mathbf { E } _ { R } ^ { * } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \sigma ) \mathrm { d } \sigma } \\ & { = 2 \mathbf { E } _ { 0 } ^ { 2 } ( \sigma ) | r t | ^ { 2 } ( 1 + \cos { [ 2 \pi ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) \sigma ] ) } \mathrm { d } \sigma } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( t _ { k + 1 } ) } & { = e ^ { i \tau \Delta } v _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } B ( e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } ) \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } d B ( e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) ) [ e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) ] \mathrm { d } \sigma \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } \left| \ell ( t , y ) - \ell ( t , 0 ) \right| d y } \\ & { \le C \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } ( S ( y ^ { 2 } ) ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \delta } d y } \\ & { = C \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { y ^ { 2 } } z ^ { - \frac { k } { 2 } } e ^ { \beta z } d z \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \delta } d y } \\ & { \le C \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { k - 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { y ^ { 2 } } z ^ { - \frac { k } { 2 } } d z \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \delta } d y } \\ & { \le C \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \varepsilon } { ( y ^ { 2 } + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } y ^ { \frac { k } { 2 } - \delta ^ { \prime } } d y } \\ & { = C \varepsilon ^ { \frac { k } { 4 } - \frac { \delta ^ { \prime } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \varepsilon ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } { \left( \left( { y } / { \sqrt { \varepsilon } } \right) ^ { 2 } + 1 \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left( \frac { y } { \sqrt { \varepsilon } } \right) ^ { \frac { k } { 2 } - \delta ^ { \prime } } d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } \tilde { S } _ { \alpha } ^ { \textrm { c l } } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } \tilde { H } _ { \alpha } ^ { \textrm { c l } } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } \\ & { = \tilde { S } ^ { \textrm { c l } } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) \, , } \end{array}
{ \cal H } _ { A T O M } ^ { P V } ( \mathrm { N S D } ) = { \frac { G _ { F } } { 2 \sqrt 2 } } \ { \tilde { k } } \ \psi _ { e } ^ { \dag } ( 0 ) { \vec { \alpha } } \psi _ { e } ( 0 ) \cdot { \vec { I } } \ \ \ ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma \left( x _ { t } \right) + \partial _ { x } \left( \frac { \gamma ^ { 2 } \left( x _ { t } \right) } { 2 } \right) } & { = \nu \partial _ { x x } \gamma \left( x _ { t } \right) , \; x _ { t } \in \left( 0 , 1 \right) \times \left( 0 , 1 \right] , } \\ & { x _ { t } \in \left( 0 , 1 \right) \times \left( 0 , 1 \right] , } \\ { \gamma \left( x _ { 0 } \right) } & { = \gamma _ { I } , \; x _ { 0 } \in \left( 0 , 1 \right) \times \{ 0 \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { l } = } & { \operatorname { C o n v - I } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) + \operatorname { C o n v - T } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) + \operatorname { I M } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) , } \\ & { \mathrm { w h e r e } \ \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { I M } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) = \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } , } & { C _ { \mathrm { i } } = C _ { \mathrm { o } } , } \\ { \operatorname { I M } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) = g _ { \mathrm { C } } ( \mathbf { F } _ { l } ^ { \prime } ) , } & { C _ { \mathrm { i } } \neq C _ { \mathrm { o } } } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \mathrm { d } x _ { P _ { 0 } ^ { 1 } } } { \mathrm { d } \theta _ { 1 } } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \theta _ { 1 } } \big ( c _ { 5 } - ( \xi ^ { P _ { 0 } ^ { 1 } } - u _ { 5 } ) \big ) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \theta _ { 1 } } \big ( c _ { 5 } - \xi ^ { P _ { 0 } ^ { 1 } } + v _ { 2 } \tan \theta _ { 2 5 } \big ) > 0 \, .
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal M _ { q , G } h _ { 1 } , h _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } } } & { \lesssim \| \langle v \rangle ^ { 3 } G \| _ { L ^ { 2 } } ( \| h _ { 1 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } } + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } ) ( \| h _ { 2 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } } + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ) } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \langle v \rangle ^ { \frac { 7 } { 2 } } G \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } \| \langle \frac { \xi } { \varepsilon } \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } \| h _ { 2 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } } . } \end{array}
P ( \xi _ { 1 } , . . . , \xi _ { N _ { \parallel } } ) = \left( \frac { \Delta + 2 \xi _ { 1 } } { \delta _ { o } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 \gamma } } \left( \frac { \Delta - 2 \xi _ { N _ { \parallel } } } { \delta _ { o } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 \gamma } } \prod _ { i = 2 } ^ { N _ { \parallel } } \left( \frac { \xi _ { i } - \xi _ { i - 1 } } { \delta _ { o } } \right) ^ { - \frac { 1 } { \gamma } }
\begin{array} { r l } & { J _ { p ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ^ { ( q ) } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) \geq \sum _ { u \in { \cal U } } p _ { U } ( u ) \sum _ { i = 1 , 2 , 3 } \sum _ { \scriptstyle ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \atop { \scriptstyle \in { \cal T } _ { i } ^ { ( q ) } ( u ) } } 1 } \\ & { \quad \times p _ { K _ { 1 } K _ { 2 } | U } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } | u ) \log \frac { 1 } { \zeta _ { K _ { 1 } K _ { 2 } | U ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } | u ) } } \\ & { = \sum _ { u \in { \cal U } } p _ { U } ( u ) \sum _ { \scriptstyle ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) \atop { \scriptstyle \in { \cal X } _ { 1 } \times { \cal X } _ { 2 } } } p _ { K _ { 1 } K _ { 2 } | U } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } | u ) } \\ & { \qquad \times \log \frac { 1 } { \zeta _ { K _ { 1 } K _ { 2 } | U ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } | u ) } } \\ & { = J _ { p ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } K _ { 2 } | U ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { ( k _ { 1 } ^ { d } \! \geq \! k _ { 2 } ^ { d } ) \! = \mathbb { P } \left( \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } \geq P _ { a } G _ { a } ^ { \mathbb { A } } G _ { w } ^ { \mathbb { A } } L _ { a w } ^ { m , \mathbb { B } } | { h } _ { a w } ^ { m , \mathbb { B } } | ^ { 2 } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } \right) } \\ & { \! = \mathbb { P } \left( | { h } _ { a w } ^ { m , \mathbb { B } } | ^ { 2 } \! \leq \! \varrho ^ { d } \right) \! = \! \sum _ { r = 0 } ^ { S _ { \mathbb { B } } } \binom { S _ { \mathbb { B } } } { r } ( - 1 ) ^ { r } e ^ { - r \xi _ { \mathbb { B } } \varrho ^ { d } } . } \end{array}
Q _ { \mu 2 1 } = 2 m A _ { \mu 2 1 } , \, Q _ { \mu 3 1 } = m A _ { \mu 3 1 } ( e ^ { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } + e ^ { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } } , \, Q _ { \mu 4 1 } = m A _ { \mu 4 1 } ( e ^ { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } } + e ^ { \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 1 } } , \, Q _ { \mu 3 2 } = m A _ { \mu 3 2 } ( e ^ { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } + e ^ { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } } , \, Q _ { \mu 4 2 } = m A _ { \mu 4 2 } ( e ^ { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } } + e ^ { \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 1 } } , \, Q _ { \mu 4 3 } = m A _ { \mu 4 3 } ( e ^ { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } } + e ^ { \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 2 } } .
\Theta _ { M W } = \left( \begin{array} { c } { { \left( \begin{array} { c } { { \alpha _ { N } } } \\ { { \sigma _ { 2 } \alpha ^ { * M } \, C _ { 5 N M } } } \end{array} \right) \otimes \epsilon ^ { N } } } \\ { { 0 _ { 1 6 } } } \end{array} \right)
\frac { V _ { z } } { v _ { A } } = \frac { 1 } { \rho _ { 0 } v _ { A } ^ { 2 } } \left( \delta p + \frac { b ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } + \pi _ { z z } \right) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ ( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ) ( \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { j } ) ( \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ) \} } \\ & { } & { = \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } \} \{ \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { j } \} \{ \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lbrace \dot { \mathbf { u } } , \ \dot { \mathbf { w } } \rbrace = \mathrm { A r g } \lbrace \operatorname* { i n f } _ { \dot { \mathbf { u } } , \ \dot { \mathbf { w } } } \Pi ( \dot { \mathbf { u } } , \ \dot { \mathbf { w } } ) \rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta \mathbb { S } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \int _ { M } \delta L _ { \mathtt { E H } } ( g ) - \int _ { \partial _ { L } M } \delta \ell _ { \mathtt { G H Y } } ( g ) } \\ & { = \int _ { M } \bigg ( \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ^ { \alpha \beta } ( g ) \wedge \delta g _ { \alpha \beta } + \mathrm { d } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \bigg ) - \int _ { \partial _ { L } M } \bigg ( \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } ( g ) \wedge \delta \overline { { g } } _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } - \mathrm { d } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \bigg ) } \\ & { = \int _ { M } \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ^ { \alpha \beta } ( g ) \wedge \delta g _ { \alpha \beta } - \int _ { \partial M } \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } ( g ) \wedge \delta \overline { { g } } _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } + \int _ { M } \mathrm { d } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \int _ { \partial M } \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + \int _ { \partial _ { L } M } \mathrm { d } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } . } \end{array}
\hat { V } \left( x \right) = V \left( x \right) \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { \cdots } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { \vdots } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { \cdots } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { f ( \delta _ { r } , r , k , \eta ) : = \left( C _ { 0 } \frac { \omega _ { \nabla U } ( r ) } { r } \eta + \beta \left( \delta _ { r , 2 } \kappa _ { \infty } + \delta _ { r , 0 } \right) \right) k \eta + \beta r \left\| \nabla U \right\| _ { \mathbb { M } } \left( \frac { 3 } { 2 } + \sqrt { \frac { b + d / \beta } { m } } \right) , } \end{array}
\{ b _ { r } ^ { \mu , j } , b _ { s } ^ { \nu , j ^ { \prime } } \} = \eta ^ { \mu \nu } \delta ^ { j , j ^ { \prime } } \delta _ { r , - s } ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \{ b _ { r } ^ { \mu , k } , b _ { s } ^ { \mu , k ^ { \prime } } \} = \eta ^ { \mu \nu } \delta ^ { k , k ^ { \prime } } \delta _ { r , - s } ~ ~ ~ : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ N S
{ \mathcal { M } } = - i { \sqrt { \frac { 2 \omega _ { p } } { Z } } } \left( \operatorname* { l i m } _ { x ^ { 0 } \to - \infty } - \operatorname* { l i m } _ { x ^ { 0 } \to \infty } \right) \int \mathrm { d } ^ { 3 } x f _ { p } ( x ) { \overleftrightarrow { \partial _ { 0 } } } \langle \beta \ \mathrm { o u t } | \mathrm { T } \left[ \varphi ( x ) \varphi ( y _ { 1 } ) \ldots \varphi ( y _ { n } ) \right] | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } y ^ { \alpha + \varepsilon } \left\| \nabla \mathcal { V } ( y ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } y ^ { \alpha + \varepsilon } y ^ { - 2 \varepsilon } \left\| \nabla \mathcal { U } ( y ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } \\ & { \qquad + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } y ^ { \alpha + \varepsilon } \left( \varepsilon \int _ { 0 } ^ { y } \tau ^ { - \varepsilon - 1 } \nabla _ { x } \mathcal { U } ( \tau ) d \tau \right) ^ { 2 } d y d x } \\ & { \lesssim ( 1 + \varepsilon ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } y ^ { \alpha - \varepsilon } \left\| \nabla \mathcal { U } ( y ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 2 } ( L , M _ { 1 } , M _ { 3 } ) = } & { M _ { 1 } ! M _ { 3 } ! } \\ & { \sqrt { { \sum } _ { N _ { 1 1 } , N _ { 1 - 1 } , N _ { 0 1 } \atop N _ { 0 - 1 } , N _ { 1 0 } , N _ { 0 0 } } ^ { \prime } \! C _ { L / 2 } ^ { N _ { 1 1 } } \! C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } } ^ { N _ { 1 - 1 } } \! C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } - N _ { 1 - 1 } } ^ { N _ { 0 1 } } \! C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } - N _ { 1 - 1 } - N _ { 0 1 } } ^ { N _ { 0 - 1 } } \! C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } - N _ { 1 - 1 } - N _ { 0 1 } - N _ { 0 - 1 } } ^ { N _ { 1 0 } } \! C _ { L / 2 - N _ { 1 1 } - N _ { 1 - 1 } - N _ { 0 1 } - N _ { 0 - 1 } - N _ { - 1 0 } } ^ { N _ { 0 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \geq k _ { 0 } } \sum _ { l = l _ { 0 } } ^ { l _ { 1 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { k , l } } } \sqrt { \frac { p | W _ { k , l } | } { | W _ { \diamond } | } } } & { \lesssim 2 \sqrt { \frac { p b h k _ { 0 } } { c a \gamma } } \sum _ { k \geq k _ { 0 } } k ^ { - 3 / 2 } } \\ & { \to 4 \sqrt { \frac { p b h } { c a \gamma } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | d _ { x } \pi ( x , y ) | | _ { \omega } } & { : = \left[ \frac { 1 } { k ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| d _ { x } \pi ( { \underline { { \omega _ { i } } } } _ { | k } ) \right| ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left[ \frac { 1 } { k ! } \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { n } \cdots \sum _ { i _ { k } = 1 } ^ { n } \left| d _ { x } \pi | _ { ( x , y ) } ( \omega _ { i _ { 1 } } , \ldots , \omega _ { i _ { k } } ) \right| ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\zeta ( 3 ) = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } } + \cdots \approx 1 . 2 0 2 0 5 6 9 0 3 1 5 9 5 9 4 2 8 5 4 0 ;
\left\{ { \begin{array} { l l l } { \emptyset } & { n = 0 } \\ { \left\{ 0 ^ { 1 } \right\} } & { n = 1 } \\ { \left\{ ( n - 1 ) ^ { 1 } , - 1 ^ { n - 1 } \right\} } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} } \right.
R ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) = \frac { | A ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) | ^ { 2 } } { | A _ { D } ( \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) | ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \nu } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] } \\ & { = \frac { \partial } { \partial \nu } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } Z ( \lambda , \nu ) } } \\ & { = \frac { 1 } { Z ( \lambda , \nu ) ^ { 2 } } \left( \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) \log ( k ! ) \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } } Z ( \lambda , \nu ) + \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \log ( j ! ) \frac { \lambda ^ { j } } { ( j ! ) ^ { \nu } } \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { Z ( \lambda , \nu ) ^ { 2 } } \left( \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \log ( k ! ) \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { j } } { ( j ! ) ^ { \nu } } + \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \log ( j ! ) \frac { \lambda ^ { j } } { ( j ! ) ^ { \nu } } \right) } \\ & { \leq 2 \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } Z ( \lambda , \nu ) } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \log ( j ! ) \frac { \lambda ^ { j } } { ( j ! ) ^ { \nu } Z ( \lambda , \nu ) } } \\ & { = 2 \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \operatorname { E } | \log ( X _ { i , t } ! ) | . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { + } ( t ) \equiv \mathrm { p r o b } ( a _ { i j } = 1 \; \mathrm { a t } \; \mathrm { t i m e } \; t ) } \\ { p _ { - } ( t ) \equiv \mathrm { p r o b } ( a _ { i j } = 0 \; \mathrm { a t } \; \mathrm { t i m e } \; t ) } \end{array}