harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { e l } } , ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega _ { L } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { T r } } [ \ensuremath { \mathbf { w } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { \ensuremath { \mathrm { e l } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { = | A _ { 1 } | ^ { 2 } + | A _ { 2 } | ^ { 2 } } \\ & { = ( a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } ) } \\ & { + 2 c _ { 1 } c _ { 2 } \cos [ 2 k ( u - u _ { 0 } ) \cos \theta - 2 k ( v - v _ { 0 } ) \sin \theta - \Delta \varphi ] } \\ & { + 2 a _ { 1 } a _ { 2 } \cos [ 2 k ( u - u _ { 0 } ) \cos \theta + 2 k ( v - v _ { 0 } ) \sin \theta ] } \\ & { + 2 b _ { 1 } b _ { 2 } \cos [ 2 k ( u - u _ { 0 } ) \cos \theta - 2 k ( v - v _ { 0 } ) \sin \theta ] } \\ & { + 2 ( a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } ) \cos [ 2 k ( v - v _ { 0 } ) \sin \theta ] } \\ & { + 2 ( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } ) \cos [ 2 k ( u - u _ { 0 } ) \cos \theta ] } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { k } } & { { j } } \\ { { 0 } } & { { p } } \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - p } } \\ { { k } } & { { j } } \end{array} \right) \ , \ \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - p } } \\ { { k } } & { { j + p } } \end{array} \right) \ , \ \ 0 \leq j < k , \ \ p \neq 0 \ .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { P _ { 2 } } } & { : = \left| \int \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , y - w ) ( h _ { s , x } ( t , w ) - h _ { s , x } ( t , y ) ) \mathbb { 1 } _ { | w - y | < ( t - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right| } \\ & { \lesssim \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , y - w ) | | \Delta _ { 1 } ( s , t , x , w , y ) | \mathbb { 1 } _ { | w - y | < ( t - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w } \\ & { \qquad + \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , y - w ) | | \Delta _ { 2 } ( s , t , x , w , y ) | \mathbb { 1 } _ { | w - y | < ( t - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w } \\ & { = : \mathfrak { D } _ { 1 } + \mathfrak { D } _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k f ( 1 ) + f ^ { \prime } ( 1 ) = 0 \implies k ( A + B ) + \sqrt \lambda ( A - B ) = 0 } \\ & { k f ( 2 ) + f ^ { \prime } ( 2 ) = 0 \implies k \big ( A 2 ^ { \sqrt \lambda } + B 2 ^ { - \sqrt { \lambda } } \big ) + \frac { \sqrt \lambda } { 2 } \big ( A 2 ^ { \sqrt \lambda } - B 2 ^ { - \sqrt { \lambda } } \big ) = 0 } \end{array}
q ^ { ( n - m ) ( n - j ) } \left[ \begin{array} { l } { { j - m } } \\ { { n - m } } \end{array} \right] _ { q ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \left[ \begin{array} { l } { { j + n } } \\ { { n - m } } \end{array} \right] _ { q ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } P _ { j - n } ^ { n - m , m + n } ( - c ^ { * } c ; q ^ { 2 } ) ( - c ^ { * } ) ^ { n - m } ( a ^ { * } ) ^ { m + n } ,
\begin{array} { r } { g ( \lambda ) = 1 + \frac { A } { 6 } ( ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } - 3 ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ) } \\ { - \frac { C } { 2 4 } ( ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 4 } - 6 ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } + 3 ) } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int \ \dot { A } _ { a i } ^ { ( n ) } D _ { a i } ^ { ( n ) } - \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 } ( E _ { a i } ^ { ( n ) } E _ { a i } ^ { ( n ) } + B _ { a i } ^ { ( n ) } B _ { a i } ^ { ( n ) } ) - { \Lambda } _ { a i } ^ { ( n + 1 ) } { \Psi } _ { a i } ^ { ( n + 1 ) } - { \Lambda } _ { i } ^ { ( n ) } { \cal G } _ { i } ^ { ( n ) } \ ,
P ( N ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \, \, e ^ { - i N \phi } \prod _ { i } \frac { 1 - e ^ { - \varepsilon _ { i } / T } } { 1 - e ^ { - \varepsilon _ { i } / T + i \phi } } \; .
\log F ( Q ; \vec { m } ; \vec { w } ; e ^ { \lambda _ { 1 } } , \dots , e ^ { \lambda _ { d } } ) = \sum _ { \substack { \mu , \xi \mathrm { ~ p a r t i t i o n s } \, k _ { 1 } , \dots , k _ { d } \geq - 1 } } H _ { \mu , \xi , \vec { k } } ( Q ) c _ { \mu } ( V ) c _ { \xi } ( E ) \lambda _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } \dots \lambda _ { d } ^ { k _ { d } } .
\Omega _ { 1 2 } = Q \bar { K } _ { 2 } Q \bar { K } _ { 2 } Q = \left( \begin{array} { c c } { { - u _ { 1 } ^ { 2 } d _ { 1 } } } & { { u _ { 1 } ^ { 3 } } } \\ { { - u _ { 1 } u _ { 2 } d _ { 1 } } } & { { u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } } } \end{array} \right)
\mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \uparrow } = \frac { \delta H _ { \mathrm { X C } } } { \delta \rho ^ { \uparrow } } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } ^ { \downarrow } = \frac { \delta H _ { \mathrm { X C } } } { \delta \rho ^ { \downarrow } } .
\bar { A } _ { 7 8 } = \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 8 } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } A _ { 5 7 } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } A _ { 4 5 } .
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { k } } & { { } = } & { \frac { c \vec { p } _ { k } } { \sqrt { m _ { k } ^ { 2 } c ^ { 2 } + \vec { p } _ { k } ^ { \, 2 } } } \, , } \\ { u _ { k l } } & { { } = } & { \frac { c \sqrt { \left( p _ { k } \cdot p _ { l } \right) ^ { 2 } - m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } { p _ { k } ^ { 0 i } p _ { l } ^ { 0 j } } \, , } \\ { \vec { p } _ { k l } ^ { \, s } } & { { } = } & { \gamma _ { k l } \, \vec { \beta } _ { k l } \, p _ { k } ^ { 0 } - \frac { 1 } { \beta _ { k l } ^ { 2 } } \, ( \gamma _ { k l } - 1 ) \, \left( \vec { p } _ { k } \cdot \vec { \beta } _ { k l } \right) \, \vec { \beta } _ { k l } \, , } \\ { \vec { \beta } _ { k l } } & { { } = } & { \frac { \vec { p } _ { k } + \vec { p } _ { l } } { p _ { k } ^ { 0 } + p _ { l } ^ { 0 } } \, , } \\ { \gamma _ { k l } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \beta _ { k l } ^ { 2 } } } \, , } \end{array}
{ \cal N } _ { h . g . } ( \epsilon _ { 0 } ) = \int d p _ { T } \; g ( p _ { T } , \epsilon _ { 0 } ) \cdot \exp \left\{ - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { f i n a l } } d t \sum _ { i = 1 } ^ { l } \int { \frac { d ^ { 3 } \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } f _ { i } ( \vec { q } , t ) \sigma _ { i } v _ { r e l , i } { \frac { p _ { \nu } q _ { i } ^ { \nu } } { E E _ { i } ^ { \prime } } } \right\} \ ,
\gamma ^ { l } ( { \bf k } ) \equiv ( \Gamma _ { \mathrm { d } } ^ { ( { \cal S } ) } [ N _ { \bf k } ^ { l } ] - \Gamma _ { i } ^ { ( { \cal S } ) } [ N _ { \bf k } ^ { l } ] ) \vert _ { n = 0 , \, m = 1 }
\| u - u _ { h } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } = \| ( - \Delta _ { h } ) ^ { s } ( \theta _ { h } * u - u _ { h } ) \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( \Omega _ { h } ) } = \operatorname* { i n f } _ { \substack { v _ { h } \colon h \mathbb { Z } ^ { d } \to \mathbb { R } \, v _ { h } = ( - \Delta _ { h } ) ^ { s } ( \theta _ { h } * u - u _ { h } ) \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { h } } } \| v _ { h } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } .
\operatorname { d i a g } ( \boldsymbol { \sigma } ( \alpha ) ) \cdot \boldsymbol { \sigma } ( \beta ) = \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 } ( \alpha ) \sigma _ { 1 } ( \beta ) } \\ { \vdots } \\ { \sigma _ { d } ( \alpha ) \sigma _ { d } ( \beta ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 } ( \alpha \beta ) } \\ { \vdots } \\ { \sigma _ { d } ( \alpha \beta ) } \end{array} \right) = \boldsymbol { \sigma } ( \alpha \beta )
\mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { X } \; \mathbf { \mathcal { A } } _ { - } ^ { X } \; \mathbf { \tilde { Y } } _ { \nu } ^ { X } = ( \omega _ { \nu } ^ { X } ) ^ { 2 } \; \mathbf { \tilde { Y } } _ { \nu } ^ { X } ,
\frac { 1 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } h _ { j , j } ^ { 2 } = \int _ { [ \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] } \big | \widehat { h \mathbf { 1 } _ { j ^ { \prime } = j } } ( \xi ) \big | ^ { 2 } d \xi = \int _ { [ \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] } \bigg ( \int _ { [ \frac { n } { 2 } , \frac { n } { 2 } ] } \widehat { u } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) d \xi ^ { \prime } \bigg ) ^ { 2 } d \xi .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \left\| \nabla f _ { i } ( z ; \xi ) - \nabla f _ { i } ( z ) \right\| ^ { 2 } ] \leq \sigma _ { f } ^ { 2 } , } \\ & { \mathbb { E } _ { \zeta } \left\| \nabla g _ { i } ( z ; \zeta ) - \nabla g _ { i } ( z ) \right\| ^ { 2 } \leq \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } , } \\ & { \mathbb { E } _ { \zeta } \left\| \nabla ^ { 2 } g _ { i } ( z ; \zeta ) - \nabla ^ { 2 } g _ { i } ( z ) \right\| ^ { 2 } \leq \sigma _ { g , 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
F = \left( 3 \mu ^ { 2 } T ^ { 2 } + { \frac { 3 } { \pi ^ { 2 } } } \mu ^ { 4 } \right) V + \left( { \frac { 4 1 } { 1 0 8 } } T ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \mu ^ { 2 } \right) C ,
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 4 } ^ { + } = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ \left[ I + \frac { v _ { n } ^ { 2 } + v _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \right] f ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 4 } ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { ( \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 4 } ^ { e q } + ( - \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 4 } ^ { e q } + } \\ & { } & { ( - \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 3 4 } ^ { e q } + ( \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 4 4 } ^ { e q } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { I L } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] = U _ { I L } ^ { - 1 } \left( - \chi _ { I L } - V _ { I L } ^ { \mathrm { C } } + \lambda \right) } \\ & { \lambda = \frac { \sum _ { I L } \left( \chi _ { I L } + V _ { I L } ^ { \mathrm { C } } \right) U _ { I L } ^ { - 1 } } { \sum _ { I L } U _ { I L } ^ { - 1 } } , } \end{array}
\hbar \omega = \epsilon _ { \boldsymbol { q } } = { \sqrt { { \frac { \hbar ^ { 2 } | { \boldsymbol { q } } | ^ { 2 } } { 2 m } } \left( { \frac { \hbar ^ { 2 } | { \boldsymbol { q } } | ^ { 2 } } { 2 m } } + 2 g n \right) } }
\begin{array} { r l } { \overline { { \overline { { D } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) } & { { } = \sum _ { m } \alpha _ { m } { \bf R } _ { m } ( { \bf r } _ { 1 } ) { \bf R } _ { m } ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 2 } ) } \\ { \overline { { \overline { { E } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) } & { { } = \sum _ { n } \beta _ { n } { \bf U } _ { n } ( { \bf r } _ { 1 } ) { \bf U } _ { n } ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 2 } ) , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \sum _ { i , k = 0 } ^ { D - s - 3 } e ^ { 2 F _ { i } ( r ) } \eta _ { i k } f ^ { \delta _ { i i _ { 0 } } } ( r ) d X ^ { i } d X ^ { k } + e ^ { 2 B ( r ) } \left( r ^ { 2 } d \Omega _ { s + 1 } ^ { 2 } + f ^ { - 1 } ( r ) d r ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { m i n i m i z e } : \quad } & { \left\langle \left( \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { P } & { . } \\ { . } & { Q } \end{array} \right) \right\rangle } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } : \quad } & { \Psi _ { 1 } \left( \begin{array} { l l } { P } & { . } \\ { . } & { Q } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { P } & { 0 } \\ { 0 } & { Q } \end{array} \right) \geq \left( \begin{array} { l l } { K } & { 0 } \\ { 0 } & { - K } \end{array} \right) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { P } & { . } \\ { . } & { Q } \end{array} \right) \geq 0 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nu \Delta \mathbf { v } + \nabla s = \mu \nabla \phi + \ensuremath { \operatorname { d i v } } \left( \mathbf { M } \mathbf { F } ^ { T } \right) + \nabla \mathbf { F } \odot \mathbf { M } , } \\ { \ensuremath { \operatorname { d i v } } \mathbf { v } = 0 , } \\ { \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial t } + \left( \mathbf { v } \cdot \nabla \right) \mathbf { F } - ( \nabla \mathbf { v } ) \mathbf { F } + \gamma \mathbf { M } = \mathbf { 0 } , } \\ { \mathbf { M } = \partial _ { \mathbf { F } } w ( \phi , \mathbf { F } ) - \lambda \Delta \mathbf { F } , } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial t } + \mathbf { v } \cdot \nabla \phi - \ensuremath { \operatorname { d i v } } ( b ( \phi ) \nabla \mu ) = 0 , } \\ { \mu = \psi ^ { \prime } ( \phi ) - \Delta \phi + \partial _ { \phi } w ( \phi , \mathbf { F } ) . } \end{array} \right.
X _ { L } ( a , b , c ; q ) = \displaystyle \sum _ { \begin{array} { c } { { \{ \scriptstyle \mu | { \mu _ { 0 } = a , \mu _ { L } = b , \mu _ { L + 1 } = c } \} } } \end{array} } \! \! \! \! \! \! q ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { L - 1 } ( k + 1 ) H ( \mu _ { k } , \mu _ { k + 1 } , \mu _ { k + 2 } ) } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \left| P \left( \left. | \tilde { \mathbf Z } ^ { \dagger } | \leq x \right| \mathcal { F } _ { n } \right) - P \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \tilde { \mathbf Z } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \right| = O _ { \mathbb { P } } ( \vartheta _ { n } ^ { 1 / 3 } \left\{ 1 \vee \log ( n | \mathbb { B } | / \vartheta _ { n } ) \right\} ^ { 2 / 3 } ) , } \end{array}
F = { \frac { \left( X _ { 1 } ^ { 2 } + X _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + X _ { n } ^ { 2 } \right) / n } { \left( Y _ { 1 } ^ { 2 } + Y _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + Y _ { m } ^ { 2 } \right) / m } } \sim F _ { n , m } .
{ \begin{array} { r l } { \psi \left( e ^ { - k \pi } \right) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { \cos \left( { \sqrt { k \pi } } \, t \right) - e ^ { \frac { k \pi } { 2 } } } { \cos \left( { \sqrt { k \pi } } \, t \right) - \cosh { \frac { k \pi } { 2 } } } } \right] d t } \\ { { \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } } \cdot { \frac { e ^ { \frac { \pi } { 8 } } } { 2 ^ { \frac { 5 } { 8 } } } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { \cos \left( { \sqrt { \pi } } \, t \right) - e ^ { \frac { \pi } { 2 } } } { \cos \left( { \sqrt { \pi } } \, t \right) - \cosh { \frac { \pi } { 2 } } } } \right] d t } \\ { { \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } } \cdot { \frac { e ^ { \frac { \pi } { 4 } } } { 2 ^ { \frac { 5 } { 4 } } } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { \cos \left( { \sqrt { 2 \pi } } \, t \right) - e ^ { \pi } } { \cos \left( { \sqrt { 2 \pi } } \, t \right) - \cosh \pi } } \right] d t } \\ { { \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 4 } } \right) } } \cdot { \frac { { \sqrt [ { 4 } ] { 1 + { \sqrt { 2 } } } } \, e ^ { \frac { \pi } { 1 6 } } } { 2 ^ { \frac { 7 } { 1 6 } } } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { \cos \left( { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } } \, t \right) - e ^ { \frac { \pi } { 4 } } } { \cos \left( { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } } \, t \right) - \cosh { \frac { \pi } { 4 } } } } \right] d t } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ^ { j } ( \mathcal { F } ^ { \mathsf { i n v } } ( n ) ) } & { = \rho \mathrm { u } ^ { j } n + \sum _ { \lambda \in \Gamma } n ^ { \log _ { \rho } \lambda } \frac { l _ { \lambda } ( h ( T _ { n } ) ) } { l _ { \rho } ( h ( T _ { n } ) ) ^ { \log _ { \rho } \lambda } } \cdot \Big ( \lambda \mathrm { u } _ { \lambda } ^ { j } - \rho \mathrm u ^ { j } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { J } \mathrm { u } _ { \lambda } ^ { i } \Big ) \Big ) \Big ( \frac { \rho - 1 } { W } \Big ) ^ { \log _ { \rho } \lambda } \frac { W _ { \lambda } } { \lambda - 1 } } \\ & { + o _ { \mathbb { P } } ( n ^ { \log _ { \rho } \gamma } ) } \end{array}
\hat { f } ( s ) = \mathcal { L } [ f ( t ) ] ( s ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } f ( t ) \, \mathrm { e } ^ { - s t } \mathrm { d } t , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \mathrm { R e } \, s > 0 ,
\begin{array} { r l } { \int \left\langle \left| a _ { i } \left( t , \mathbf { x } \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle d \mathbf { x } = \int \left\langle \left| a _ { i } \left( t , \mathbf { k } \right) \right| ^ { 2 } \right\rangle d \mathbf { k } } & { { } = N _ { s } \left( 1 + t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } ( \mathbf { A } ) } & { \le \lambda _ { 2 } ( \mathbf { A } ) \le \cdots \le \lambda _ { n } ( \mathbf { A } ) } \\ { \lambda _ { 1 } ( \mathbf { B } ) } & { \le \lambda _ { 2 } ( \mathbf { B } ) \le \cdots \le \lambda _ { n } ( \mathbf { B } ) } \\ { \lambda _ { 1 } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) } & { \le \lambda _ { 2 } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \le \cdots \le \lambda _ { n } ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) } \end{array}
\mathbf { H } ^ { \mathrm { Z F } } = \frac { 2 } { 3 \sqrt { 3 } } \sum _ { m = 1 } ^ { L } \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } \left[ ( - 1 ) ^ { a } ( \mathcal { S } _ { m } ^ { + } \mathcal { S } _ { m + 1 } ^ { - } ) ^ { a } + ( - 1 ) ^ { a } ( \mathcal { S } _ { m } ^ { - } \mathcal { S } _ { m + 1 } ^ { + } ) ^ { a } + \frac { 1 } { 3 ( 1 + \omega ^ { - a } ) } \mathbf { Z } _ { m } ^ { a } + \frac { 1 } { 3 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { S } ( R ) } & { = \langle \boldsymbol { 1 } _ { \overline { { S } } } , G _ { R } \boldsymbol { 1 } _ { S } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } _ { S } , G _ { R } \boldsymbol { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } \\ & { = \langle \boldsymbol { 1 } _ { \overline { { S } } } , D _ { u } R D _ { v } \boldsymbol { 1 } _ { S } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } _ { S } , D _ { u } R D _ { v } \boldsymbol { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } { { s i n } \beta m _ { y } \ } { = } k m _ { x } } \\ { - \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } { s i n } \beta m _ { x } + \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } { c o s } \beta m _ { z } { = } k m _ { y } } \\ { - \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } { c o s } \beta m _ { y } + m _ { z } { = } k m _ { z } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \phi _ { i j } = \frac 1 2 \omega ( r _ { i j } ) \frac { 1 5 \ell ^ { 2 } \mu } { \alpha } ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) ^ { 2 } / r _ { i j } ^ { 4 } . } \end{array}
\lbrace V _ { + } , \bar { V } _ { - } \rbrace = - { \frac { 1 } { 2 } } ( H + { \frac { 1 } { 2 } } T ) \quad , \quad \lbrace \bar { V } _ { + } , V _ { - } \rbrace = - { \frac { 1 } { 2 } } ( H - { \frac { 1 } { 2 } } T )
\begin{array} { r } { \mathrm { d } p = \frac 1 { F ( t ) ^ { 2 } } \, \big ( F ^ { \prime } ( t ) \, { \, \mathrm e } \, ^ { \varphi } \, \mathrm { d } q - \frac { 3 } { 2 } \, \mathrm { d } { \, \mathrm e } \, ^ { \varphi } \big ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( J _ { \xi } ) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } = \frac { 1 } { \Delta \xi _ { p } ^ { \nu } } \sum _ { s \in \nu } ( J _ { \xi } ) _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \Delta \xi ^ { s } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \dot { h } ( t ) } & { = } & { h ( t ) ^ { 2 } \left[ \overline { { R } } _ { 1 } \left( G , G \right) + \overline { { R } } _ { 2 } \left( G , G \right) \right] } \\ & { + } & { h ( t ) \, \big ( 1 \! - \! h ( t ) \big ) \left[ ~ \overline { { R } } _ { 1 } \left( G , B \right) + \overline { { R } } _ { 2 } \left( G , B \right) + \overline { { R } } _ { 2 } \left( B , G \right) + \overline { { R } } _ { 2 } \left( B , G \right) \right] } \\ & { + } & { \big ( 1 \! - \! h ( t ) \big ) ^ { 2 } ~ \left[ ~ \overline { { R } } _ { 1 } \left( B , B \right) + \overline { { R } } _ { 2 } \left( B , B \right) \right] } \\ & { - } & { 2 h ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ e ^ { i \upsilon \tilde { g } _ { t } ^ { \lambda } } \right] } & { = \exp \left( t \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { x \log \left( \psi _ { \lambda } ( \upsilon ) \right) } - 1 \right) \varphi _ { \tau } ( x ) d x \right) } \\ & { = \exp \left( t \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \psi _ { \lambda } ( \upsilon ) ^ { x } - 1 \right) \varphi _ { \tau } ( x ) d x \right) } \\ & { = \exp \left( t \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { i \upsilon y } p _ { x } ( y ) d y - 1 \right) \varphi _ { \tau } ( x ) d x \right) } \\ & { = \exp \left( t \iint _ { { \mathbb R } _ { + } ^ { 2 } } \left( e ^ { i \upsilon y } - 1 \right) p _ { x } ( y ) \varphi _ { \tau } ( x ) d y d x \right) } \\ & { = \exp \left( t \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { i \upsilon y } - 1 \right) \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { x } ( y ) \varphi _ { \tau } ( x ) d x \right) d y \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \mathrm { S } } ( x , t ) } & { = T ^ { \mathrm { S } } ( \eta ^ { \mathrm { S } } ) \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \eta ^ { \mathrm { S } } = \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { S } } t } } , } \\ { T ^ { \mathrm { L } } ( x , t ) } & { = T ^ { \mathrm { L } } ( \eta ^ { \mathrm { L } } ) \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \eta ^ { \mathrm { L } } = \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { L } } t } } + b ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M a t } _ { s } ( \mathcal V ) } & { = \mathrm { M a t } _ { s } ( \mathbb C ) \otimes \mathrm { M a t } _ { d } ( \mathbb C ) = \mathrm { M a t } _ { s d } ( \mathbb C ) } \\ { \mathrm { H e r } _ { s } ( \mathcal V ) } & { = \mathrm { H e r } _ { s } ( \mathbb C ) \otimes \mathrm { H e r } _ { d } ( \mathbb C ) = \mathrm { H e r } _ { s d } ( \mathbb C ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { { { e } _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } - 1 } } & { = \frac { { { r } _ { \mathrm { M } } } \sin \beta - \sqrt { { r } _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } { { \sin } ^ { 2 } } \beta - 4 a _ { \mathrm { p } } { { r } _ { \mathrm { M } } } ( 1 + \cos \beta ) } } { 2 a _ { \mathrm { p } } } } \\ { f } & { = \operatorname { a r c c o s } \left[ \frac { a _ { \mathrm { p } } ( 1 - { { e } _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } ) - { { r } _ { \mathrm { M } } } } { { { r } _ { \mathrm { M } } } e _ { \mathrm { p } } } \right] } \end{array}
f _ { m } ^ { \pm } ( i k ) \ = \ k R \left[ i ^ { \beta } \left( I _ { m } ^ { \prime } K _ { m - \beta } + I _ { m } K _ { m - \beta } ^ { \prime } \right) \ + \ i ^ { - \beta } \left( I _ { m } ^ { \prime } K _ { m + \beta } + I _ { m } K _ { m + \beta } ^ { \prime } \right) \right] \ ,
\left\{ \begin{array} { l l } { c _ { 1 } a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) + c _ { 2 } a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) = a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } \\ { c _ { 1 } a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) + c _ { 2 } a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) = a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } \\ { c _ { 1 } a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) + c _ { 2 } a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) = a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { H ^ { ( t + 1 ) } } & { = A ^ { ( t ) } } \\ { g ^ { ( t + 1 ) } } & { = \frac { B ^ { ( t ) } - H ^ { 2 ( t + 1 ) } } { C ^ { ( t ) } - \bar { x } H ^ { ( t + 1 ) } } } \\ { \mu ^ { ( t + 1 ) } } & { = \bar { x } - \frac { H ^ { ( t + 1 ) } } { g ^ { ( t + 1 ) } } } \\ { \sigma ^ { 2 ( t + 1 ) } } & { = \frac { B ^ { ( t ) } } { g ^ { 2 ( t + 1 ) } } - 2 \frac { C ^ { ( t ) } } { g ^ { ( t + 1 ) } } + \overline { { x ^ { 2 } } } - \mu ^ { 2 ( t + 1 ) } , } \end{array}
\left| \operatorname { A u t } ( P ) \right| = \prod _ { k = 1 } ^ { n } ( p ^ { d _ { k } } - p ^ { k - 1 } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( p ^ { e _ { j } } ) ^ { n - d _ { j } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( p ^ { e _ { i } - 1 } ) ^ { n - c _ { i } + 1 } .