harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho - \kappa \theta } { 2 \rho ( \gamma - \kappa ) \theta } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k + 1 } ) ] + \frac { \rho \beta } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} } \\ & { + \frac { \rho ( 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \gamma \beta \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} } \\ & { + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } - \frac { \rho ( \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { \rho \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { P } } ^ { \mathrm { c l a s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) = \frac { P ^ { \mathrm { S E } } ( { \bf r } _ { 0 } , \omega ) } { P _ { 0 } ( \omega ) } = \frac { P _ { \mathrm { r l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) + P _ { \mathrm { n l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } { P _ { 0 } ( { \omega } ) } , } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { } } & { { h ^ { 0 0 } } } & { { } } \\ { { h ^ { 1 0 } } } & { { } } & { { h ^ { 0 1 } } } \\ { { } } & { { h ^ { 1 1 } } } & { { } } \end{array} \qquad = \qquad \begin{array} { c c c } { { } } & { { 1 } } & { { } } \\ { { n } } & { { } } & { { n } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } \end{array}
V ( \sigma ) = \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 0 } } \sigma ^ { 2 } - \frac { 1 } { \beta } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { D - 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \mathrm { l n ~ d e t } \frac { ( - i w _ { n } \gamma ^ { 0 } - i k _ { i } \gamma ^ { i } - \sigma + \mu \gamma ^ { 0 } ) } { ( - i w _ { n } \gamma ^ { 0 } - i k _ { i } \gamma ^ { i } + \mu \gamma ^ { 0 } ) } \, ,
I _ { 1 } = \frac { \pi } { 4 } \frac { r _ { i } ^ { - \chi } } { a } \left( 1 - \chi - 2 \chi ( 1 - \chi ) \right) = \frac { \pi } { 4 } \frac { r _ { i } ^ { - \chi } } { a } ( 1 - \chi ) ( 1 - 2 \chi )
G _ { 1 } ( { \bf { q } } , { \bf { k } } ^ { ' } , { \bf { q } } ^ { ' } ; n ) = ( \frac { 1 } { - i \mathrm { ~ } \beta } ) \frac { ( 1 - f _ { n } ^ { * } ( - { \bf { q } } ) ) \Lambda _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ( - { \bf { q } } ) \delta _ { { \bf { q } } , { \bf { q } } ^ { ' } } } { ( 1 - f _ { n } ^ { * } ( - { \bf { q } } ) - f _ { n } ( { \bf { q } } ) ) ( i \omega _ { n } - \omega _ { { \bf { k } } ^ { ' } } ( { \bf { q } } ) ) }
\begin{array} { r l } { I } & { { } = \left\vert \overrightarrow { E } _ { s f } \right\vert ^ { 2 } = 2 \sum _ { n = 0 } ^ { N } \sum _ { m = - Z } ^ { Z - n } [ \left\vert A _ { m + l } \right\vert \left\vert A _ { m + n - l } ^ { \ast } \right\vert } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim ( \varepsilon \langle \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle + \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ) \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \langle \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle ^ { 2 } + \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 2 } ( \| a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + | \overline { c } | ^ { 2 } ) + \| ( b , ( e ^ { \gamma \psi } c ) ^ { \times } ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \end{array}
2 \pi E ^ { + } \equiv \left\{ \begin{array} { l } { { ( - \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } - \phi _ { 3 } ) } } \\ { { ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } - \phi _ { 3 } ) } } \\ { { ( \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } + \phi _ { 3 } ) } } \\ { { ( - \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } + \phi _ { 3 } ) } } \end{array} \quad \mathrm { ( m o d ~ 2 \ p i ~ ) } ~ . \right.
\begin{array} { r } { ( { \bf z } _ { A } , { \bf z } _ { B } ) = a _ { A B } , \qquad A , B = 2 , 3 , 4 , \quad { \bf z } _ { A } ~ \mathrm { a r e ~ l i n e a r l y ~ i n d e p e n d e n t ~ v e c t o r s , ~ s o } ~ \operatorname* { d e t } a \ne 0 , } \\ { ( { \bf z } _ { A } , { \bf z } _ { \alpha } ) = a _ { A \alpha } , \qquad \alpha = 5 , 6 , \ldots , n . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } } & { { } = 0 , } \\ { p _ { i n i t } } & { { } = p _ { h y d r o s t a t i c } = \rho g ( h - h _ { r e f } ) , } \\ { T _ { \infty } } & { { } = 2 9 3 . 1 5 K , } \\ { T _ { 0 } } & { { } = T _ { \infty } + \delta T = ( 2 9 3 . 1 5 + 3 0 ) K = 3 2 3 . 1 5 K . } \end{array}
W ( l , \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { l ^ { 2 } \tau _ { i n t } \pi D _ { c n t } \exp ( \mu \theta ) / 2 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } l < L _ { c \theta } / 2 } \\ { \pi D _ { c n t } ^ { 2 } \sigma _ { u l t } ^ { 2 } L _ { c n t } / \left( 8 E _ { c n t } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } l \geq L _ { c \theta } / 2 } \end{array} \right. ,
\int _ { V } { \mathcal { D } } \phi \; e ^ { - \langle \phi | S | \phi \rangle } = \prod _ { i } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { d c _ { i } } { 2 \pi } } e ^ { - \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } } .
\frac { \mathrm { D } \tau } { \mathrm { D } t } = \frac 1 { s _ { v } } \, \Big ( 2 \, \pounds _ { v } \big ( p + \frac { s _ { v } } { 2 } \big ) \, \tau - \mathrm { d } \big ( p - \frac { s _ { v } } { 2 } \big ) \Big ) \ .
\begin{array} { r } { ( \mathrm { S p } _ { 2 n _ { 0 } } ( \mathbb { F } ) , \mathrm { O } _ { 1 } ( \mathbb { F } ) ) \times ( \mathrm { G L } _ { n _ { 1 } } ( \mathbb { F } ) , \mathrm { G L } _ { 1 } ( \mathbb { F } ) ) \times ( \mathrm { G L } _ { n _ { 2 } } ( \mathbb { F } ) , \mathrm { G L } _ { 1 } ( \mathbb { F } ) ) \times \ldots \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { K K } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { \Lambda _ { R | A } ^ { - 1 } , } & { \Lambda _ { R | A } ^ { - 1 } W \Omega ^ { 1 / 2 } ( I - \Omega ) ^ { 1 / 2 } } \\ { \Omega ^ { 1 / 2 } ( I - \Omega ) ^ { 1 / 2 } V ^ { T } \Lambda _ { R | A } ^ { - 1 } , } & { \Omega + \Omega ^ { 1 / 2 } ( I - \Omega ) ^ { 1 / 2 } V ^ { T } \Lambda _ { R | A } ^ { - 1 } W \Omega ^ { 1 / 2 } ( I - \Omega ) ^ { 1 / 2 } } \end{array} \right] , } \\ { \Lambda _ { R | A } = } & { \Psi ^ { - 1 } + W \Omega V ^ { T } , } \end{array}
\operatorname { L i } _ { 2 } ( z ) = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \ln z ) ^ { 2 } - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } z ^ { k } } } - i \pi \ln z \qquad ( z \geq 1 ) .
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { i } ( t ) = \sum _ { n \geq 1 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { j } , ] \times \Gamma } | u _ { i } ^ { ( j ) } | ^ { \zeta - 2 } u _ { i } [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } ^ { ( j ) } + g _ { n } ( \cdot , u ^ { ( j ) } ) ] \, d x d w ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { 1 3 } ( \sigma ) } & { { } = \int k _ { 2 } ( \tau ) \left[ \hat { I } _ { 1 3 } ^ { p } ( \sigma ) \cos \omega \tau - \hat { I } _ { 2 3 } ^ { p } ( \sigma ) \sin \omega \tau \right] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma \tau } \, d \tau } \end{array}
\begin{array} { r } { \ln \left( e \sigma / \epsilon _ { 1 } \right) = \ln \left( e 0 . 2 2 \Delta \epsilon ^ { - 1 } / ( \sqrt { \ln { e c _ { 2 } } } \sqrt { \ln { e A } } ) \right) \le \ln \left( e 0 . 2 2 A / \sqrt { \ln { e A } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r ( t ) } & { = } & { \| [ F ^ { ( 1 ) } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ( t ) ) ] ^ { - 1 } F ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ( t ) ) \| _ { \infty } } \\ & { \le } & { \| [ F ^ { ( 1 ) } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ( t ) ) ^ { - 1 } - \bar { S } ( t ) ] F ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ( t ) ) \| _ { \infty } + \| \bar { S } ( t ) F ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ( t ) ) \| _ { \infty } } \\ & { \le } & { O _ { p } \left( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { 1 3 q _ { n } } \kappa _ { n } ^ { 3 } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { 4 k n - j } = } & { \eta _ { - j } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \frac { - ( - 1 ) ^ { \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) ( \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } } { 2 } ) } { ( - 1 ) ^ { \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) ( \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor } } { 2 } ) } } \\ { = } & { \eta _ { - j } \left[ - 1 + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - j + 4 \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor - 4 r } } \right) \right] ^ { ( - 1 ) ^ { \lfloor \frac { j } { 4 } \rfloor } n } . } \end{array}
\delta E = \sum _ { p \sigma } ( \varepsilon _ { p } + \mu ) \delta n _ { p \sigma } + \frac { 1 } { 2 V } \sum _ { p \sigma , p ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } f ( p \sigma , p ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } ) \delta n _ { p \sigma } \delta n _ { p ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { G _ { n , r } } \int _ { G _ { r , r - 1 } } \int _ { G _ { n - 1 , r } } V ( K _ { n - r } ^ { \prime } ) d L _ { r [ r - 1 ] } ^ { ( n - 1 ) } \wedge d L _ { r - 1 [ 0 ] } ^ { ( n - 1 ) } \wedge d L _ { n - 1 [ 0 ] } } \\ & { = \int _ { G _ { n , r } } I _ { r - 1 } ^ { ( n - 1 ) } ( K _ { n - 1 } ^ { \prime } ) d L _ { n - 1 [ 0 ] } \wedge d L _ { r [ r - 1 ] } ^ { ( n - 1 ) } } \\ & { = \int _ { G _ { r , r - 1 } ^ { ( n - 1 ) } } \int _ { G _ { n , n - 1 } } I _ { r - 1 } ^ { ( n - 1 ) } ( K _ { n - 1 } ^ { \prime } ) d L _ { n - 1 [ 0 ] } \wedge d L _ { r [ r - 1 ] } ^ { ( n - 1 ) } } \\ & { = \int _ { G _ { n , n - 1 } } I _ { r - 1 } ^ { ( n - 1 ) } ( K _ { n - 1 } ^ { \prime } ) d L _ { n - 1 [ 0 ] } \cdot \int _ { G _ { r , r - 1 } ^ { ( n - 1 ) } } d L _ { r [ r - 1 ] } ^ { ( n - 1 ) } } \\ & { = \frac { O _ { n - r - 1 } } { 2 } \int _ { G _ { n , n - 1 } } I _ { r - 1 } ^ { ( n - 1 ) } ( K _ { n - 1 } ^ { \prime } ) d L _ { n - 1 [ 0 ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( e _ { 1 } ) } & { = ( s - 1 ) \frac { d } { d s } ( f ( s ) ^ { - 1 } ) ( 3 e ^ { 1 5 } - e ^ { 2 6 } - e ^ { 3 7 } - e ^ { 4 8 } ) , } \\ { T ( e _ { 2 } ) } & { = ( s - 1 ) \frac { d } { d s } ( f ( s ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 6 } + 3 e ^ { 2 5 } - e ^ { 3 8 } + e ^ { 4 7 } ) , } \\ { T ( e _ { 3 } ) } & { = ( s - 1 ) \frac { d } { d s } ( f ( s ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 7 } + e ^ { 2 8 } + 3 e ^ { 3 5 } - e ^ { 4 6 } ) , } \\ { T ( e _ { 4 } ) } & { = ( s - 1 ) \frac { d } { d s } ( f ( s ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 8 } - e ^ { 2 7 } + e ^ { 3 6 } + 3 e ^ { 4 5 } ) , } \\ { T ( e _ { 5 } ) } & { = 0 , } \\ { T ( e _ { 6 } ) } & { = ( s - 1 ) \frac { d } { d s } ( f ( s ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 2 } + e ^ { 3 4 } - e ^ { 5 6 } - e ^ { 7 8 } ) , } \\ { T ( e _ { 7 } ) } & { = ( s - 1 ) \frac { d } { d s } ( f ( s ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 3 } - e ^ { 2 4 } - e ^ { 5 7 } + e ^ { 6 8 } ) , } \\ { T ( e _ { 8 } ) } & { = ( s - 1 ) \frac { d } { d s } ( f ( s ) ^ { - 1 } ) ( e ^ { 1 4 } + e ^ { 2 3 } - e ^ { 5 8 } - e ^ { 6 7 } ) . } \end{array}
\mathrm { m u l t } _ { \psi } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 3 } } & { { \mathrm { i f } \ \psi ( x ) = 0 , } } \\ { { 2 } } & { { \mathrm { i f } \ \psi ( x ) = 1 . } } \end{array} \right.
\mathcal { V } ^ { \mathcal { A } } \big ( ( i , M , j ) \colon ( \Sigma , i _ { X _ { \Sigma } } ) \to ( \Sigma ^ { \prime } , i _ { X _ { \Sigma ^ { \prime } } ^ { \prime } } ) \big ) = ( i , M , j ) \colon \big ( \Sigma , \overline { { f } } ( i _ { X _ { \Sigma } } , \mathcal { A } ) \big ) \to \big ( \Sigma ^ { \prime } , \overline { { f } } ( i _ { X _ { \Sigma ^ { \prime } } ^ { \prime } , \mathcal { A } } ) \big ) ,
\| \left( \mathbf { I } - \mathbf { Q Q } ^ { T } \right) \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } \| _ { 2 } = \operatorname* { m i n } _ { p \in \mathbb { P } _ { k - 1 } } \| \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } - p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } ^ { \psi } } & { { } = } & { ( B _ { 0 } / \Omega _ { 0 } ) \, { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \partial { \bf x } / \partial \theta , } \\ { G _ { 1 } ^ { \theta } } & { { } = } & { - \, ( B _ { 0 } / \Omega _ { 0 } ) \, { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \partial { \bf x } / \partial \psi , } \end{array}
\cos { \frac { \theta } { 2 } } \cdot \cos { \frac { \theta } { 4 } } \cdot \cos { \frac { \theta } { 8 } } \cdots = \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \cos { \frac { \theta } { 2 ^ { n } } } = { \frac { \sin \theta } { \theta } } = \operatorname { s i n c } \theta .
\mathbf { B } ( { \mathbf { r } } ) = { \frac { \mu _ { 0 } | \mathbf { m } | } { 4 \pi r ^ { 3 } } } \left( 2 \cos \theta \, \mathbf { \hat { r } } + \sin \theta \, { \boldsymbol { \hat { \theta } } } \right) .
\begin{array} { r l r } { P ( \Delta x ^ { \prime } \mid \Delta z ^ { \prime } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { x } ^ { 2 } } } \exp \left[ \frac { - ( \Delta x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right] , } \\ { P ( \Delta y ^ { \prime } \mid \Delta z ^ { \prime } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { y } ^ { 2 } } } \exp \left[ \frac { - ( \Delta y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\Xi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } : = N ^ { - ( | \boldsymbol { l } | + \sum ( J \cup J _ { * } ) + 3 ) / 2 } \sum _ { a b } R _ { a b } | \partial ^ { \boldsymbol { l } } ( G { A ^ { \prime } } ) _ { b a } | \prod _ { \boldsymbol { j } \in J } | \partial ^ { \boldsymbol { j } } \langle G A \rangle | \prod _ { \boldsymbol { j } \in J _ { * } } | \partial ^ { \boldsymbol { j } } \langle G ^ { * } A ^ { * } \rangle |
\begin{array} { r l } & { \kappa _ { \mathrm { e f f } , 2 } = \kappa _ { \mathrm { e f f } , 3 } = \frac { \kappa _ { 2 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) } { \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } { \kappa _ { 2 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) } = \frac { 1 } { 7 } + \frac { 7 } { 2 \pi ^ { 2 } } \approx 0 . 4 9 7 4 8 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { P } } _ { \mathrm { e \rightarrow v } } ( \mathbf { Z } ) _ { i , j , k } = ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Z } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } + \mathbf { Z } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } ) \cdot \mathbf { e } _ { R } \right) \mathbf { e } _ { R } + \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Z } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } , k } + \mathbf { Z } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } ) \cdot \mathbf { e } _ { \phi } \right) \mathbf { e } _ { \phi } } \\ { + ~ } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left( ( \mathbf { Z } _ { i , j , k - \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { Z } _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } ) \cdot \mathbf { e } _ { Z } \right) \mathbf { e } _ { Z } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { R ( B ) \approx \frac { \ln p } { 2 \pi } R _ { 0 } + \frac { B ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \pi c ^ { 2 } \eta } \frac { ( p ^ { 2 } \! - \! 1 ) ^ { 2 } \! - \! 4 p ^ { 2 } \ln ^ { 2 } p } { 4 p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } \! - \! 1 ) } } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad \qquad + \frac { B ^ { 2 } v _ { g } ^ { 4 } \ln p } { 2 c ^ { 2 } T ^ { 3 } } \left[ \frac { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { I } } { 8 \ln ^ { 3 } 2 } \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { d i s } } ^ { - 1 } \! + \! \delta _ { I } ^ { - 1 } \tau _ { 2 2 } ^ { - 1 } } + \frac { T ^ { 3 } } { \mu ^ { 3 } } \tau _ { L } \right] \! , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \frac { \beta ^ { ( \pm ) } } { \sigma ^ { \updownarrow } } + x ^ { ( \pm ) } \right\rVert _ { \infty } \geq \frac { 1 } { \sqrt { n _ { k \pm 1 } ^ { w } } } \left\lVert \frac { \beta ^ { ( \pm ) } } { \sigma ^ { \updownarrow } } + x ^ { ( \pm ) } \right\rVert _ { w ^ { k \pm 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } ^ { \prime } } & { = \sum _ { w _ { 1 } \in \mathfrak { X } } \sum _ { w _ { 2 } \in \mathfrak { X } } \sum _ { y \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w _ { 1 } ) p _ { W } ( w _ { 2 } ) p _ { Y | W } ( y | w _ { 1 } ) \left[ 1 - p _ { Y | W } ( y | w _ { 2 } ) \right] } \\ & { = \sum _ { w _ { 1 } \in \mathfrak { X } } \sum _ { y \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w _ { 1 } ) p _ { Y | W } ( y | w _ { 1 } ) \sum _ { w _ { 2 } \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w _ { 2 } ) \left[ 1 - p _ { Y | W } ( y | w _ { 2 } ) \right] } \\ & { = \sum _ { w \in \mathfrak { X } } \sum _ { y \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w ) p _ { Y | W } ( y | w ) \left[ 1 - p _ { Y } ( y ) \right] } \\ { p _ { 1 } ^ { \prime } } & { = \sum _ { w \in \mathfrak { X } } \sum _ { y \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w ) p _ { Y | W } ( y | w ) \left[ 1 - p _ { Y | W } ( y | w ) \right] } \end{array}
\kappa = \frac { \displaystyle \frac { 2 4 } { \Gamma ( 1 + 4 \alpha ) } - \frac { 2 4 } { \Gamma ( 1 + 3 \alpha ) \Gamma ( 1 + \alpha ) } + \frac { 1 2 } { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } - \frac { 3 } { \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 4 } } } { \displaystyle \frac { 4 } { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) ^ { 2 } } - \frac { 4 } { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 4 } } } .
\begin{array} { r } { \Delta \phi = \frac { 2 } { \sqrt { a b } } \int _ { - c / b } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x + \frac { c } { b } ) } } d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( \widehat { L } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \widehat { L } ^ { - \alpha - \frac { 2 \gamma } { D } - 1 } } { D } \qquad \qquad } & { \ \alpha - \beta = - 1 } \\ { \frac { \widehat { L } ^ { - \beta } } { D } e ^ { - \frac { 2 \gamma \widehat { L } ^ { 1 + \alpha - \beta } } { D ( 1 + \alpha - \beta ) } } \qquad \qquad } & { \ \alpha - \beta \neq - 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\partial _ { i } \Phi = \left( \sum _ { j \ne i } \left( f _ { i j } ( x _ { i } - x _ { j } ) P ^ { ( i j ) } + c \, T ^ { ( i j ) } \right) + \lambda ^ { ( i ) } \right) \Phi \qquad i = 1 , 2 , \ldots , N
g ( t ) = \frac { ( 1 + \langle Z \rangle ) B ^ { 2 } } { \bar { n } \langle m _ { i } \rangle } \left( 2 P _ { A } \frac { 1 } { R _ { A } } + \frac { 1 } { R _ { \mathrm { e f f } } } \right)
\phi ^ { \prime \prime } + \frac 1 r \phi ^ { \prime } - \frac 1 { r ^ { 2 } } f ^ { 2 } \phi - m _ { H } ^ { 2 } \frac { \phi ( \phi ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) } { 2 v ^ { 2 } } \ = \ 0
\begin{array} { r } { d _ { k } ^ { ( 0 , 0 ) } \sim \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \frac { S _ { 1 , 0 } ^ { \ell } } { 2 \pi \mathrm { i } } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } d _ { h } ^ { ( \ell , 0 ) } \frac { \Gamma ( k - h - \beta _ { \ell , 0 } ) } { ( \ell A _ { 1 } ) ^ { k - h - \beta _ { \ell , 0 } } } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \frac { S _ { 0 , 1 } ^ { \ell } } { 2 \pi \mathrm { i } } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } d _ { h } ^ { ( 0 , \ell ) } \frac { \Gamma ( k - h - \beta _ { 0 , \ell } ) } { ( \ell A _ { 2 } ) ^ { k - h - \beta _ { 0 , \ell } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { m } _ { 3 2 } = m _ { 3 2 } \alpha _ { 2 1 } - m _ { 2 2 } \alpha _ { 3 2 } , ~ \bar { n } _ { 3 2 } = n _ { 3 2 } \alpha _ { 2 1 } - n _ { 2 2 } \alpha _ { 3 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ( \varepsilon , \gamma ) ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma ^ { 2 } } } \\ & { = 2 D \kappa _ { E } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) b _ { \varepsilon } \Bigg ( 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { V ^ { * } } \widetilde { V } = I _ { r , n _ { k - 1 } } V ^ { * } V I _ { n _ { k - 1 } , r } = I _ { r , n _ { k - 1 } } I _ { n _ { k - 1 } , r } = I _ { r } } \end{array}
J _ { n } ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \exp [ - i n \theta + i x \sin \theta - i y \sin 2 \theta ] \, d \theta = \sum _ { r = - \infty } ^ { \infty } J _ { n + 2 r } ( x ) J _ { n } ( y ) .
\begin{array} { r l } { \left[ a _ { 1 } d _ { 1 } e _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } \right] } & { { } = [ a _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } ] d _ { 1 } e _ { 1 } + a _ { 1 } [ d _ { 1 } e _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } ] = [ a _ { 1 } , b _ { 1 } ] c _ { 1 } d _ { 1 } e _ { 1 } + b _ { 1 } [ a _ { 1 } , c _ { 1 } ] d _ { 1 } e _ { 1 } + a _ { 1 } [ d _ { 1 } e _ { 1 } , b _ { 1 } c _ { 1 } ] } \end{array}
[ \mathbf { c } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { r } = \sum _ { i = r } ^ { k - 1 } [ \mathbf { c } _ { p i } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { r } [ \boldsymbol { \beta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i + 1 } , \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad [ \mathbf { c } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { r } = \sum _ { i = r } ^ { k - 1 } [ \mathbf { c } _ { p i } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { r } [ \boldsymbol { \beta } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { i + 1 } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt { n } } } \\ { * } & { \geq \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( x , y | D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) \geq n R ( P _ { X Y } , D _ { 1 } , D _ { 2 } ) + L \sqrt { n } \Big ) } \\ & { \geq \mathrm { Q } \bigg ( \frac { L } { \sqrt { \mathrm { V } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) } } \bigg ) - \frac { 6 \mathrm { T } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) } { \sqrt { n } \mathrm { V } ^ { 3 / 2 } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert L _ { 1 } ( v ) ^ { - 1 } } & { L _ { 2 } ( v ) \rVert = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lVert L _ { 1 } ( \Delta _ { x } ( t ) ) \cdot L _ { 1 } ( \delta _ { t } ( v ) \Delta _ { x } ( t ) ) ^ { - 1 } \cdot L _ { 2 } ( \delta _ { t } ( v ) \Delta _ { x } ( t ) ) \cdot L _ { 2 } ( \Delta _ { x } ( t ) ) ^ { - 1 } \rVert } { t } } \\ & { \qquad \qquad \leq \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lVert L _ { 1 } ( \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( x _ { t } ) ) ^ { - 1 } L _ { 2 } ( \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( x _ { t } ) ) \rVert } { t } } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lVert L _ { 1 } ( \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( x _ { t } ) ) ^ { - 1 } f ( x ) ^ { - 1 } f ( x _ { t } ) \rVert + \lVert L _ { 2 } ( \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( x _ { t } ) ) ^ { - 1 } f ( x ) ^ { - 1 } f ( x _ { t } ) \rVert } { d ( x , x _ { t } ) } \frac { d ( x , x _ { t } ) } { t } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { T } _ { s } = \left( \begin{array} { l l } { 1 + \mathrm { i } \zeta _ { s } } & { \mathrm { i } \zeta _ { s } } \\ { - \mathrm { i } \zeta _ { s } } & { 1 - \mathrm { i } \zeta _ { s } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( z ) - \mathrm { i } v ( z ) = G _ { S } ( z - z _ { 0 } , F ) } & { = } & { - \bar { F } \ln | P ( \zeta , \rho ) | ^ { 2 } + \Re [ F ] \ln | \zeta | ^ { 2 } - F \ln | \zeta | ^ { 2 } K ( \zeta , \rho ) } \\ & { } & { - F \ln ( \rho ^ { 2 } ) \rho \frac { \partial \ln P } { \partial \rho } - \frac { \Re [ F ] } { 2 \ln \rho } ( \ln | \zeta | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}