harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } ) = ( y _ { 3 } / x _ { 2 } , y _ { 1 } \backslash x _ { 3 } , x _ { 1 } y _ { 2 } ) = ( x _ { 2 } / / y _ { 3 } , x _ { 3 } \backslash \backslash y _ { 1 } , x _ { 1 } y _ { 2 } ) ,
( \tau _ { x x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } = 2 \mu _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \lambda _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \left[ \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \frac { \partial v } { \partial y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \frac { \partial w } { \partial z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \right]
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { c c ^ { \prime } ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) } & { = c ( q _ { 1 } - 1 ) , } \\ { c c ^ { \prime } \cdot ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) } & { = q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } ( q _ { 0 } ^ { 1 / 2 } - q _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { f _ { \mathrm { m e r g e } } F _ { \mathrm { t o r n a d o } } } { f _ { \mathrm { m e r g e } } F _ { \mathrm { t o r n a d o } } + ( 1 - f _ { \mathrm { m e r g e } } ) F _ { \mathrm { b u f f e t } } } = 0 . 5 3 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { i } ^ { ( x ) } \mathbb { E } [ \psi ( x ) \psi ( y ) ] = \mathbb { E } [ \nabla _ { i } ^ { ( x ) } \psi ( x ) \psi ( y ) ] } \\ & { = \nabla _ { i } f ( x , y ) K ( \| x - y \| ; \lambda ) + f ( x , y ) \nabla _ { i } ^ { ( x ) } K ( \| x - y \| ; \lambda ) = f ( x , y ) \nabla _ { i } ^ { ( x ) } K ( \| x - y \| ; \lambda ) } \\ & { = f ( x , y ) d \left( \frac { \| x - y \| } { \alpha \lambda ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { \| x - y \| ^ { 2 } } { 2 \alpha \lambda ^ { 2 } } \right) ^ { - \alpha - 1 } } \end{array}
\hat { J } _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( \mathbf { x } ) = \int \frac { | \psi _ { i } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { F ( \rho _ { k + 1 } ) } & { { } \sim \sum _ { p = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \frac { \| x _ { p , k + 1 } - x _ { p , k } \| ^ { 2 } + ( \beta _ { p , k + 1 } ^ { - 1 / 2 } - \beta _ { p , k } ^ { - 1 / 2 } ) ^ { 2 } } { t _ { k + 1 } - t _ { k } } \, m _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( \xi , t ) = } & { \phi \left( \frac { \xi _ { 2 } } { \varepsilon } \right) \sigma ( \xi _ { 1 } , t ) + \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } ) \} } \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \omega ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \left\{ s > \gamma _ { t } ( X ^ { \eta } ) \right\} } \chi _ { \varepsilon } ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { S } _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 2 \pi \alpha } { M } \Bigg \{ \left[ F _ { 2 } ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) + 4 I _ { 1 } ( Q ^ { 2 } ) \right] + \frac { 3 2 M ^ { 4 } \nu ^ { 2 } } { Q ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \! \mathrm { d } x \, \frac { x ^ { 2 } g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { 1 - x ^ { 2 } ( \nu / \nu _ { \mathrm { e l } } ) ^ { 2 } - i 0 ^ { + } } \Bigg \} , } \\ { \nu \bar { S } _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 6 4 \pi \alpha M ^ { 4 } \nu ^ { 2 } } { Q ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \! \mathrm { d } x \, \frac { x ^ { 2 } g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { 1 - x ^ { 2 } ( \nu / \nu _ { \mathrm { e l } } ) ^ { 2 } - i 0 ^ { + } } , } \end{array}
p ( y _ { i } ; y _ { \star } , \sigma _ { \star } ) = \frac { 1 } { \sigma _ { \star } \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( \frac { - ( y _ { i } - y _ { \star } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \star } ^ { 2 } } \right)
0 = \delta \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \int _ { \mathcal { M } } \mathscr { D } \left( \frac { 1 } { 2 } | \mathbf { U } | ^ { 2 } + \mathbf { U } \cdot \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { X } } - g \varrho Z \right) + p ( 1 - \mathscr { D } ) \, d ^ { 3 } X \, d t \, ,
\begin{array} { r l } { ~ } & { u _ { i k } ( t ) + u _ { k i } ( t ) = 0 , ~ \forall k \in \mathcal { I } \backslash i , } \\ { ~ } & { u _ { i i } ( t ) = 0 , \forall i \in \mathcal { I } , } \\ { ~ } & { - \overline { { U } } _ { i k } \le u _ { i k } ( t ) \le \overline { { U } } _ { i k } , ~ \forall k \in \mathcal { I } \backslash i , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \psi ( x ; q , a ) - \frac { x } { \varphi ( q ) } \right| \leq \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \left( \frac { \sqrt { x } ( \log { x } ) ^ { 2 } } { 8 \pi } + 1 . 1 2 ( \log { x } ) ^ { 2 } + \sum _ { \chi \neq \chi _ { 0 } } | \psi ( x , \chi ) | \right) } \\ & { < \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi \varphi ( q ) } + \left( 1 - \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \right) \frac { \log { q } } { 2 \pi } + \Omega _ { 0 } ( x _ { 0 } ) + \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Omega _ { 1 } ( x _ { 0 } ) , 0 \} } { \log { x _ { 0 } } } + \frac { 0 . 5 6 \log { x _ { 0 } } } { \sqrt { x _ { 0 } } } \right) \sqrt { x } \log { x } + \Omega _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \\ & { : = \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi \varphi ( q ) } + \left( 1 - \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \right) \frac { \log { q } } { 2 \pi } + \Omega _ { 3 } ( x _ { 0 } ) \right) \sqrt { x } \log { x } + \Omega _ { 2 } ( x _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k } ^ { ( v ) } ( x ) = } & { \sum _ { r = 0 } ^ { k - 2 } \frac { ( 1 - x ) ^ { r } } { r ! \langle z \rangle ^ { ( v ) } } \frac { \mathrm { d } ^ { r + 1 } } { \mathrm { d } x ^ { r + 1 } } e ^ { - \langle z \rangle ^ { ( v ) } ( 1 - x ) } } \\ { = } & { e ^ { - ( 1 - x ) \langle z \rangle ^ { ( v ) } } \sum _ { r = 0 } ^ { k - 2 } \frac { \lbrace \langle z \rangle ^ { ( v ) } ( 1 - x ) \rbrace ^ { r } } { r ! } } \\ { = } & { \frac { \Gamma ( k - 1 , \langle z \rangle ^ { ( v ) } ( 1 - x ) ) } { \Gamma ( k - 1 ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 T E \eta ^ { T } } = \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } / ( 2 E ) } { \sqrt { T } } , } \\ & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \frac { \eta ^ { t } } { 2 } = E \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { 2 \sqrt { t } } \leq E \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { \sqrt { t } + \sqrt { t - 1 } } = E \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \sqrt { t } - \sqrt { t - 1 } ) = E \sqrt { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| t \left( 1 + \frac { z f ^ { \prime \prime } ( z ) } { f ^ { \prime } ( z ) } \right) + ( 1 - t ) \frac { z f ^ { \prime } ( z ) } { f ( z ) } - 1 \right| } \\ & { \quad = \left| t \left( 1 + \frac { \nu ( z _ { 0 } ) } { 2 } + \frac { k \nu ( z _ { 0 } ) } { 2 + \nu ( z _ { 0 } ) } \right) + ( 1 - t ) \left( 1 + \frac { \nu ( z _ { 0 } ) } { 2 } \right) - 1 \right| } \\ & { \quad = \left| \frac { t k e ^ { i \mu } } { 2 + e ^ { i \mu } } + \frac { e ^ { i \mu } } { 2 } \right| \geq \frac { 1 } { 6 } ( 3 + 2 t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 2 } ^ { q } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( T f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) + T f _ { 2 } ( 1 - f _ { 2 } ) } } \\ { { + T ( 1 - T ) ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\sigma _ { r [ \mathrm { ~ S ~ r ~ / ~ C ~ s ~ } ] } \approx \sigma _ { r [ \mathrm { ~ Y ~ b ~ } ^ { + } \mathrm { ~ / ~ C ~ s ~ } ] } \approx 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 1 3 } / \sqrt { \tau / \mathrm { s } }
\mu _ { v } = \frac { ( D _ { x ^ { 1 } } u ^ { 1 } - D _ { x ^ { 2 } } u ^ { 2 } ) + i \, ( D _ { x ^ { 1 } } u ^ { 2 } + D _ { x ^ { 2 } } u ^ { 1 } ) } { ( D _ { x ^ { 1 } } u ^ { 1 } + D _ { x ^ { 2 } } u ^ { 2 } ) + i \, ( D _ { x ^ { 1 } } u ^ { 2 } - D _ { x ^ { 2 } } u ^ { 1 } ) } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathbf { 1 } _ { R } ( P _ { \Omega } ) ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { | \Omega _ { i } \cap [ 0 , x ] | } { | \Omega _ { i } | } ( 1 - \frac { | \Omega _ { i } \cap [ 0 , x ] | } { | \Omega _ { i } | } ) } \\ & { = N | [ 0 , x ] | - N ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( | \Omega _ { i } \cap [ 0 , x ] | ) ^ { 2 } . } \end{array}
\sum _ { i } w _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } \exists i \in \mathbb { N } \mid w _ { i } \neq 0 } \\ { 0 \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } w _ { i } = 0 \mathrel \forall i } \end{array} \right. .
\Delta m _ { H } ^ { 2 } = - 6 \frac { h _ { t } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( m _ { \tilde { t } } ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } ) \log \frac { \hbar } { m _ { \tilde { t } } c r _ { H } } .
c _ { 1 } ( T \rightarrow \infty ) \sim c _ { 1 } ^ { \infty } ( r , z , t ) = \frac { 1 } { 8 } r ^ { 2 } \left[ 2 \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } + \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } c _ { 0 } } ( - 2 + r ^ { 2 } ) \left( \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial z } \right) ^ { 2 } - 2 \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 } } { \partial z ^ { 2 } } \right] + B ( z , t ) ,
\frac { \partial } { \partial t _ { 0 } } R _ { n + 1 } [ u ] = \frac { n } { 2 n + 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial t _ { 0 } ^ { 3 } } + 2 u ( t _ { 0 } ) \frac { \partial } { \partial t _ { 0 } } + \frac { \partial } { \partial t _ { 0 } } u ( t _ { 0 } ) \right) R _ { n } [ u ] .
p ( \mathrm { R } | \mathrm { D } , \mathrm { I } ) = \int _ { \mathrm { R } } \mathrm { d } \! \log ( \tan ^ { 2 } \! \vartheta ) \, \mathrm { d } \! \log ( \Delta { m } ^ { 2 } ) \, p ( \tan ^ { 2 } \! \vartheta , \Delta { m } ^ { 2 } | \mathrm { D } , \mathrm { I } ) \, ,
\int d ^ { 2 } z g V _ { g } ( r ) \to \int d ^ { 2 } z g e ^ { \alpha _ { g } \phi } V _ { g } ( r ) = \int d ^ { 2 } z g V _ { g } ( r ) - \int d ^ { 2 } z g ^ { 2 } C _ { g g g } V _ { g } ( r ) \phi + \cdots
\begin{array} { r l } { \operatorname { U E L B O } ( \phi , \psi , \Tilde { \phi } | y ) } & { = \operatorname { \mathbb { E } } _ { w \sim q _ { \phi } , \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log \left\{ \frac { p ( y | w , \lambda ) \exp \left\{ - \beta H ( w | \lambda ) \right\} p ( \lambda ) } { q _ { \phi } ( w ) q _ { \psi } ( \lambda ) } \right\} \right] } \\ & { \quad - \operatorname { \mathbb { E } } _ { \lambda \sim q _ { \psi } , \Tilde { w } \sim q _ { \Tilde { \phi } } ( \Tilde { w } | \lambda ) } \left[ \log \left\{ \frac { \exp \left\{ - \beta H ( \Tilde { w } | \lambda ) \right\} } { q _ { \Tilde { \phi } } ( \Tilde { w } | \lambda ) } \right\} \right] . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \mathbf { A } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { A } } { \partial t ^ { 2 } } } - \nabla \left( { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial t } } + \nabla \cdot \mathbf { A } \right) = - \mu _ { 0 } \mathbf { J } \, .
\langle X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } \rangle _ { c } = \langle X _ { 1 } X _ { 2 } X _ { 3 } X _ { 4 } \rangle - \langle X _ { 1 } X _ { 2 } \rangle \langle X _ { 3 } X _ { 4 } \rangle - \langle X _ { 1 } X _ { 3 } \rangle \langle X _ { 2 } X _ { 4 } \rangle - \langle X _ { 1 } X _ { 4 } \rangle \langle X _ { 2 } X _ { 3 } \rangle
\delta _ { C } ( s , s _ { 1 } , s _ { 2 } ) = { \frac { \alpha } { v } } \; \left[ \pi - 2 \; \mathrm { a r c t a n } \left( { \frac { \vert \kappa \vert ^ { 2 } - p ^ { 2 } } { 2 p \; \mathrm { R e } ( \kappa ) } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { Y } } & { = ( Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { n } ) ^ { T } \sim \mathcal { N } ( \mathbb { X } _ { n } \boldsymbol { \beta } , \mathrm { d i a g } \{ \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) \} _ { i = 1 } ^ { n } ) , } \\ { \mathbb { X } _ { n } } & { = ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \ldots , \boldsymbol { x } _ { n } ) ^ { T } , } \\ { \boldsymbol { \epsilon } } & { = ( \epsilon _ { 1 } , \ldots , \epsilon _ { n } ) ^ { T } \sim \mathcal { N } ( \boldsymbol { 0 } _ { n } , \mathrm { d i a g } \{ \sigma _ { i } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } , \sigma ^ { 2 } ) \} _ { i = 1 } ^ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ( \phi ) u _ { t } ] \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { a + b = \ell } \| \partial _ { t } ^ { a } \rho ( \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { b + 1 } u \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { s } ^ { 4 } ) \| \partial _ { t } ^ { j + 1 } u \| _ { s } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Sigma ( y , z , \lambda ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { n + 2 } } { n ! } \int _ { ( { \Lambda _ { \beta } } ) ^ { n } } d ^ { 3 } x _ { 1 } \cdots d ^ { 3 } x _ { n } \sum _ { { \cal G } ^ { r _ { m a x } } } \sum _ { { \cal G } _ { \cal B } ^ { r _ { m a x } } } \sum _ { { \cal E B } } \sum _ { \{ \sigma \} , \underline { \tau } } \sum _ { \{ { \cal T } \} } \sum _ { \{ \Gamma \} } } \\ & { } & { \quad \Big ( \prod _ { \ell \in { \cal T } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d w _ { \ell } \Big ) \cdot \Big [ \prod _ { \ell \in { \cal T } } C ( f _ { \ell } , g _ { \ell } ) \Big ] \Big [ \prod _ { \ell \in \Gamma \setminus { \cal T } } C ( f _ { \ell } , g _ { \ell } ) \Big ] \cdot \operatorname* { d e t } \Big ( C ( f , g , \{ w _ { \ell } \} ) \Big ) _ { l e f t , \Gamma } . } \end{array}
\chi _ { \mathrm { g l o b a l , a } } ^ { 2 } = \sum _ { i , j = 1 , 4 1 } ( R _ { i } ^ { t h } - R _ { i } ^ { \exp } ) \sigma _ { G , i j } ^ { - 2 } ( R _ { j } ^ { t h } - R _ { j } ^ { \exp } ) ,
\pi ( \rho \mid r ) = { \frac { \nu ( \nu - 1 ) \Gamma ( \nu - 1 ) } { { \sqrt { 2 \pi } } \Gamma \left( \nu + { \frac { 1 } { 2 } } \right) } } \left( 1 - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac { \nu - 1 } { 2 } } \cdot \left( 1 - \rho ^ { 2 } \right) ^ { \frac { \nu - 2 } { 2 } } \cdot \left( 1 - r \rho \right) ^ { \frac { 1 - 2 \nu } { 2 } } \operatorname { F } \left( { \frac { 3 } { 2 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } ; \nu + { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { 1 + r \rho } { 2 } } \right)
\begin{array} { r l r } { k _ { 1 } ^ { ( \alpha ) , ( \mathrm { p o l } ) } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } ( x - b ) ^ { \alpha } ( y - b ) ^ { \alpha } d b , \ \mathrm { ~ w h i c h ~ c a n ~ b e ~ e x p r e s s e d ~ a s } } \\ { k _ { 1 } ^ { ( \alpha ) , ( \mathrm { p o l } ) } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 R } \sum _ { i , j = 0 } ^ { \alpha } 1 _ { i + j \ \mathrm { e v e n } } \cdot { \binom { \alpha } { i } } { \binom { \alpha } { j } } { x ^ { i } y ^ { j } } \frac { R ^ { 2 \alpha + 1 - i - j } } { 2 \alpha + 1 - i - j } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s = 0 } ^ { \alpha } \frac { R ^ { 2 \alpha - 2 s } } { 2 \alpha + 1 - 2 s } \sum _ { i , j = 0 } ^ { \alpha } 1 _ { i + j = 2 s } \cdot { \binom { \alpha } { i } } { \binom { \alpha } { j } } { x ^ { i } y ^ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { c } ^ { \prime } ( j ) = } & { 8 j \left( \frac { j ^ { 2 } c } { ( 1 - j ^ { 2 } ) ( 1 - k _ { c } ( j ) ^ { 2 } ) } - \frac { c } { 1 - j ^ { 2 } } - \frac { j ^ { 2 } ( c ^ { 2 } - 1 ) k _ { c } ( j ) } { c ^ { 3 } \left( \frac { c ^ { 2 } - 1 } { c ^ { 2 } } - k _ { c } ( j ) ^ { 2 } \right) } \right) E ( k _ { c } ( j ) ) } \\ & { + \frac { 1 6 j ^ { 3 } c } { 1 - j ^ { 2 } } K ( k _ { c } ( j ) ) + \frac { 8 j } { c } \left( 1 - \frac { j ^ { 2 } ( c ^ { 2 } - 1 ) k _ { c } ( j ) } { c ^ { 3 } \left( \frac { c ^ { 2 } - 1 } { c ^ { 2 } } - k _ { c } ( j ) ^ { 2 } \right) } \right) \Pi \left( \frac { c ^ { 2 } - 1 } { c ^ { 2 } } , k _ { c } ( j ) \right) - 2 \pi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | M _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { l = 1 } ^ { m } \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ( \partial _ { x } \sigma _ { l } ^ { 0 } ( s ) X _ { s } ^ { \varepsilon } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \partial _ { y ^ { i } } \sigma _ { l } ^ { 0 } ( s ) \cdot ( Y _ { s } ^ { \varepsilon , i } - y ^ { i } ) + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) \Big ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq C \varepsilon ^ { 2 } \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } + \Big ( \mathbf { E } _ { 0 , y } | \tau ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } \cdot \mathbf { E } _ { 0 , y } \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | Y _ { t } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 4 } \Big ) ^ { 1 / 2 } \lesssim \varepsilon ^ { 4 } . } \end{array}
\Gamma = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } k _ { B } T } \left( \frac { 4 \pi } { 3 } n \right) ^ { 1 / 3 } , \qquad \Theta = \frac { 2 m k _ { B } T } { \hbar ^ { 2 } } ( 3 \pi ^ { 2 } n ) ^ { - 2 / 3 } .
\begin{array} { r l } { P _ { l m } ^ { \mathrm { B } } } & { = - i \chi _ { l } ^ { \mathrm { E } } \chi _ { l + 1 } ^ { \mathrm { B } } g _ { l + 1 } ^ { m } \left[ W _ { l + 1 } ( k R ) + S _ { l } ( k R ) S _ { l + 1 } ( k R ) \right] } \\ { M _ { l m } ^ { \mathrm { B } } } & { = i \chi _ { l } ^ { \mathrm { E } } \chi _ { l - 1 } ^ { \mathrm { B } } g _ { l } ^ { m } \left[ W _ { l - 1 } ( k R ) - S _ { l } ( k R ) S _ { l - 1 } ( k R ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 2 \partial _ { 3 } \phi \partial _ { 3 } + \sum _ { \alpha , \beta \leq 2 } b _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } \phi ) a _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = ( 2 \partial _ { 3 } \phi \partial _ { 3 } + \sum _ { \alpha , \beta \leq 2 } b _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } \phi ) a _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
{ \mathcal A } = \prod _ { n } \left[ \exp ( c _ { 1 } ( R L _ { P } ^ { 2 } ) + \cdots ) \right] ^ { { \frac { i ( \Delta x ) ^ { 4 } } { L _ { P } ^ { 4 } } } } \to \exp { \frac { i c _ { 1 } } { L _ { P } ^ { 4 } } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } ( R L _ { P } ^ { 2 } )
\begin{array} { r c l c c } { { F } } & { { = } } & { { - 2 \, \frac { k } { \sqrt { a ^ { 2 } + 1 } } \, \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \left( 1 + \frac { k } { r } \right) ^ { - 2 } d t \, \wedge \, { \vec { x } } \, \cdot \, { \vec { x } } } } & { { ; } } & { { \mathrm { e l e c t r i c ~ 0 ~ - b r a n e } } } \\ { { { F } } } & { { = } } & { { - 2 \, \frac { k } { \sqrt { a ^ { 2 } + 1 } } \, \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \, \epsilon _ { a b c } \, x ^ { a } \, d x ^ { b } \, \wedge \, d x ^ { c } } } & { { ; } } & { { \mathrm { m a g n e t i c ~ s o l i t o n i c ~ 0 ~ - b r a n e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \tilde { p } _ { S } | N \rangle = p _ { S } , \; \langle \tilde { p } _ { B } | N \rangle = p _ { B } , } \\ & { \sigma ^ { 2 } ( \tilde { p } _ { S } | N ) = \sigma ^ { 2 } ( \tilde { p } _ { B } | N ) = q _ { S } q _ { B } / ( N \delta ^ { 2 } ) , } \\ & { \textsf { c o v } ( \tilde { p } _ { S } , \tilde { p } _ { B } | N ) = - q _ { S } q _ { B } / ( N \delta ^ { 2 } ) \; \Longrightarrow \; \rho ( \tilde { p } _ { S } , \tilde { p } _ { B } | N ) = - 1 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } f } & { { } = \partial _ { p } \left( p \left( p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } u \partial _ { p } f \right) , } \\ { \partial _ { t } u } & { { } = p \left( p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \partial _ { p } f \right) u , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial \Omega _ { s } } \boldsymbol { \nu } \cdot ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) \cdot \boldsymbol { n _ { s } } d s } & { { } = \int _ { \partial \Omega _ { s } } \boldsymbol { \nu } \cdot \left( - \frac { \eta _ { e } } { \beta } ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) \boldsymbol { t _ { s } } - \frac { \eta _ { o } } { \beta } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) \boldsymbol { t _ { s } } \right) d s } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x g _ { 1 } ^ { p ( n ) } ( x ) = { \frac { a _ { 3 } } { 1 2 } } \Bigl [ \pm 1 + { \frac { 5 } { 3 } } { \frac { ( 3 F / D ) - 1 } { ( F / D ) + 1 } } \Bigr ] .
\begin{array} { r l } { X } & { { } = \sum _ { \mu = - \infty } ^ { \infty } A _ { \mu } e ^ { \lambda _ { \mu } t } e ^ { i \mu \theta } } \\ { Y } & { { } = \sum _ { \mu = - \infty } ^ { \infty } B _ { \mu } e ^ { \lambda _ { \mu } t } e ^ { i \mu \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { \mathrm { a } } ( t , x , y ) } & { = T _ { \mathrm { a } , 0 } + \delta T _ { \mathrm { a } } ( t , x , y ) } & { = T _ { \mathrm { a } , 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } \delta T _ { \mathrm { a } , i } ( t ) F _ { i } ( x , y ) } \\ { T _ { o } ( t , x , y ) } & { = T _ { o , 0 } + \delta T _ { o } ( t , x , y ) } & { = T _ { o , 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \delta T _ { o , i } ( t ) \phi _ { i } ( x , y ) . } \end{array}
\left[ A _ { i j } ( n ) , A _ { l k } ^ { \dag } ( n ^ { \prime } ) \right] = \left\{ B _ { i j } ( n ) , B _ { l k } ^ { \dag } ( n ^ { \prime } ) \right\} = \delta _ { n n ^ { \prime } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } .
\begin{array} { l l } { { { \cal { L } } _ { s o f t } \ = \ } } & { { m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } H _ { 1 } ^ { * } H _ { 1 } + m _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } H _ { 2 } ^ { * } H _ { 2 } + m _ { Q } ^ { 2 } \tilde { Q } ^ { * } \tilde { Q } + m _ { U ^ { c } } ^ { 2 } \tilde { U } ^ { c * } \tilde { U } ^ { c } + m _ { D ^ { c } } ^ { 2 } \tilde { D } ^ { c * } \tilde { D } ^ { c } \ + } } \\ { { } } & { { m _ { L } ^ { 2 } \tilde { L } ^ { * } \tilde { L } \ + m _ { E ^ { c } } ^ { 2 } \tilde { E } ^ { c * } \tilde { E } ^ { c } + \ B H _ { 1 } H _ { 2 } + . . . } } \end{array}
{ } \langle a _ { 1 } , a _ { 2 } | \Pi | a _ { 1 } , a _ { 2 } \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { { \langle a _ { 1 } , a _ { 2 } | a _ { 1 } , a _ { 2 } \rangle } } & { { \quad \mathrm { i f } \quad | a _ { 1 } \rangle = | a _ { 2 } \rangle } } \\ { { 0 } } & { { \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right.
\mathbb { E } \left[ | \zeta _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] \leq \sqrt { \eta _ { k } } \mathbb { P } \left( | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \right) \le \sqrt { \eta _ { k } } R ^ { - 1 } \mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] .
\frac { 1 } { b _ { 1 } \alpha _ { 1 } ( \mu ) } - \frac { 1 } { b _ { 2 } \alpha _ { 2 } ( \mu ) } = \frac { 1 } { 2 \pi } \, \ln \frac { \Lambda _ { 1 } } { \Lambda _ { 2 } } .
q _ { k } = q _ { 0 \left( k \right) } - \frac \nu { 2 W \left( q _ { 0 \left( k \right) } \right) } , \; \psi _ { + \left( k \right) } = \lambda _ { + } W ^ { k } \left( q _ { 0 \left( k \right) } \right) , \; \psi _ { - \left( k \right) } = \lambda _ { - } W ^ { - k } \left( q _ { 0 \left( k \right) } \right) ,
\bar { d } _ { L } ^ { \prime } { \cal M } _ { d } d _ { R } ^ { \prime } + \bar { d } _ { R } ^ { \prime } { \cal M } _ { d } ^ { \dagger } d _ { L } ^ { \prime } \, \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \, \bar { u } _ { L } ^ { \prime } { \cal M } _ { u } u _ { R } ^ { \prime } + \bar { u } _ { R } ^ { \prime } { \cal M } _ { u } ^ { \dagger } u _ { L } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l r } { x _ { m } ( \tau ) = } & { { } A _ { x 1 } \cos ( \omega \tau ) } & { + A _ { x 2 } \cos ( 2 \omega \tau + \varphi _ { x 2 } ) ~ } \\ { y _ { m } ( \tau ) = } & { { } A _ { y 1 } \cos ( \omega \tau + \varphi _ { y 1 } ) } & { + A _ { y 2 } \cos ( 2 \omega \tau + \varphi _ { y 2 } ) ~ . } \end{array}