harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \theta } & { { } \sim q ( \theta ) , } \\ { E ^ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ( x ) } & { { } \sim \mathcal { N } \left( E _ { \theta } ( x ) , \sigma _ { \theta , E } ^ { 2 } ( x ) \right) , } \\ { \vec { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ( x ) } & { { } \sim \mathcal { N } \left( - \frac { \partial E _ { \theta } } { \partial \vec { r } _ { i } } ( x ) , \mathbf { I } \sigma _ { \theta , F _ { i } } ^ { 2 } ( x ) \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { m } _ { x } } & { = } & { \left( \hbar k r \sin \phi - \frac { \hbar m } { r } z \cos \phi \right) \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { - \frac { \hbar } { 2 i } z \cos \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { y } } & { = } & { \left( - \hbar k r \cos \phi - \frac { \hbar m } { r } z \sin \phi \right) \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ & { } & { + \frac { \hbar } { 2 i } z \sin \phi \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { m } _ { z } } & { = } & { \hbar m \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) - \frac { \hbar } { 2 i } r \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ & { = } & { \hbar m \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) + \frac { \hbar } { i } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overrightarrow { \tau } _ { Z L } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \left( \left( 1 + \xi \alpha \right) \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \times \left( \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \times \left( \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } \cdot \nabla \right) \right) \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \right. } \\ { \mathrm { ~ \boldmath ~ u ~ } } & { { } = \frac { \mu _ { B } \mu _ { 0 } } { 2 e \gamma _ { 0 } B _ { s a t } \left( 1 + \xi ^ { 2 } \right) } \mathrm { ~ \boldmath ~ j ~ } } \end{array}
{ \mathbf u } = { \mathrm { c u r l } \, } \psi , \qquad \psi ( x , y ) = \log \big ( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \big ) - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \big ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \big ) .
\Psi ( z ) \simeq \mathrm { l o g } ( z ) - \frac { 1 } { 2 z } + O ( 1 / z ^ { 2 } ) \; , \quad ( z \rightarrow \infty \quad \mathrm { i n } \quad \vert \mathrm { a r g } ( z ) \vert < \pi ) \, .
\int a _ { \sharp } ^ { 2 } | \widehat { \chi } _ { 1 } * W ( { \widehat { u } } ) | ^ { 2 } \lesssim \int a _ { \sharp } ^ { 2 } | W ( \widehat { \chi } _ { 1 } * { \widehat { u } } ) | ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { ( r , \theta ) } \left( \left\lVert \widehat { \chi } _ { 1 } \right\rVert _ { { \mathbb { W } _ { \! \omega \! , m } ^ { 1 \! , 1 \! ; { - \! q } } } [ - 1 ] } ^ { 2 } \right) \cdot \iint _ { \mathcal { A } ^ { \star } } a _ { \sharp } ^ { 2 } \left\lVert { \widehat { u } } \right\rVert _ { { \mathbb { H } _ { \! \omega \! , m } ^ { 0 ; { q } } } [ 1 ] } ^ { 2 } \, .
\frac { S U ( 1 , 1 ) } { U ( 1 ) } \times \frac { S O ( 2 , \frac { n _ { A } ( n _ { A } - 1 ) } { 2 } + \frac { n _ { B } ( n _ { B } - 1 ) } { 2 } ) } { S O ( 2 ) \times S O ( \frac { n _ { A } ( n _ { A } - 1 ) } { 2 } + \frac { n _ { B } ( n _ { B } - 1 ) } { 2 } ) } \to \frac { S U ( 1 , 1 ) } { U ( 1 ) } \times \frac { S O ( 2 , n _ { 1 } n _ { 2 } + n _ { 3 } n _ { 4 } ) } { S O ( 2 ) \times S O ( n _ { 1 } n _ { 2 } + n _ { 3 } n _ { 4 } ) } .
h ( u , v ) = \left\{ \begin{array} { l l } { v - \frac { 1 } { 2 ( b + 2 c ) } \left[ ( c - b ) u + 2 ( c - a ) \right] } & { \mathrm { i f } \, v > \frac { 1 } { 4 } u , } \\ { v - \frac { 1 } { 2 ( b + 2 a ) } \left[ ( a - b ) u + 2 ( c - a ) \right] } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\left[ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } r } } + k ^ { 2 } - { \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } } \right] f _ { l } ( r ) = 0
\mathcal { R } = k _ { f } \left( \frac { C _ { e } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { \Delta z } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } ,
\frac { i } { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac { e ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \Big ( 1 + ( - 1 ) ^ { n } k ^ { 2 n } / \Lambda ^ { 2 n } \Big ) ( k + p ) ^ { 2 } } \to - \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { e ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \Big ( 1 + k ^ { 2 n } / \Lambda ^ { 2 n } \Big ) ( k + p ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \int _ { x _ { 1 } } ^ { x } \frac { d y } { \sqrt { { \cal R } ( y ) } } } & { = } & { \tilde { C } \mathbb { F } ( \chi , k ) , } \\ { \int _ { x _ { 1 } } ^ { x } \frac { y d y } { \sqrt { { \cal R } ( y ) } } } & { = } & { \tilde { C } \left[ x _ { 4 } \mathbb { F } ( \chi , k ) + ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) \Pi ( \chi , b ^ { 2 } , k ) \right] , } \\ { \int _ { x _ { 1 } } ^ { x } \frac { y ^ { 2 } d y } { \sqrt { { \cal R } ( y ) } } } & { = } & { \frac { \tilde { C } } { 2 } \left[ ( x _ { 4 } x _ { 1 2 4 } - x _ { 1 } x _ { 2 } ) \mathbb { F } ( \chi , k ) + ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) \mathbb { E } ( \chi , k ) \right. } \\ & { } & { \left. + ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) x _ { 1 2 3 4 } \Pi ( \chi , b ^ { 2 } , k ) - ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) \frac { \cos \chi \sin \chi } { 1 - b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \chi } \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \chi } \right] , } \\ { \int _ { x _ { 1 } } ^ { x } \frac { 1 } { y - x _ { 0 } } \frac { d y } { \sqrt { { \cal R } ( y ) } } } & { = } & { \frac { \tilde { C } } { x _ { 4 } - x _ { 0 } } \left[ \mathbb { F } ( \chi , k ) - \frac { x _ { 1 } - x _ { 4 } } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } \Pi ( \chi , b _ { 0 } ^ { 2 } , k ) \right] , } \end{array}
\bar { \Psi } ^ { \downarrow } = \psi : e ^ { \frac { i } { \sqrt { 2 } } ( \varphi _ { c } + \varphi _ { s } ) } : \, , \qquad \Delta _ { s } ^ { \uparrow \uparrow } = \, : e ^ { i \sqrt { 2 } \varphi _ { s } } : \, , \qquad \Delta _ { c } = \, : e ^ { i \sqrt { 2 } \varphi _ { c } } : \ ,
\begin{array} { r l r } { \lambda \, } & { { } = } & { \, \frac { 4 m _ { e } c } { h } \, \ell _ { \star } ^ { 2 } \, \frac { \left( N _ { \star } - 1 \right) ^ { 2 } } { N _ { \star } + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } \{ Z > \sigma ^ { 2 } + b _ { n } \} } & { = \operatorname* { P r } \bigg \{ \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } ^ { 2 } > \sigma ^ { 2 } + b _ { n } \bigg \} } \\ & { \leq \varepsilon + \frac { 6 T } { \sqrt { n } \, \mathrm { V } ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = \varepsilon + O \bigg ( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \bigg ) . } \end{array}
\hat { H } ( R ) = \hbar \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \Omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } / 2 } \\ { \Omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } / 2 } & { \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ u ~ x ~ } } + V _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ( R ) / \hbar } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b c ^ { \dagger } c \rangle = } & { \delta \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b c ^ { \dagger } c \rangle + \langle \tilde { b } ^ { \dagger } \rangle \delta \langle b c ^ { \dagger } c \rangle } \\ & { + \langle b \rangle \delta \langle \tilde { b } ^ { \dagger } c ^ { \dagger } c \rangle + \langle c ^ { \dagger } c \rangle \delta \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle + \langle \tilde { b } ^ { \dagger } \rangle \langle b \rangle \langle c ^ { \dagger } c \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { t } ^ { \tau } - \rho _ { t } } & { = \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \Bigg ( \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } ( \rho _ { t } ^ { \tau } - \rho _ { t } ) \Bigg ) \, \mathrm { d } t + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } ^ { \tau } * \rho _ { t } ^ { \tau } ) \rho _ { t } ^ { \tau } ) \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad - \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } * \rho _ { t } ) \rho _ { t } ) \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \rho _ { t } ^ { \tau } - \rho _ { t } ) \, \mathrm { d } W _ { t } . } \end{array}
\chi _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } = \sum _ { j } \left( \frac { R _ { \mathrm { t h } } ^ { j } - R _ { \mathrm { e x p } } ^ { j } } { { \Delta R _ { \mathrm { e x p } } ^ { j } } } \right) ^ { 2 } \, .
V _ { g } ( x , y ) = V _ { g 0 } \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } \prod \bigg ( \frac { y - m d } { d / 2 } \bigg ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ 0 ~ \leq ~ x ~ \leq ~ l ~ a ~ n ~ d ~ a ~ l ~ l ~ y ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
{ \cal L } _ { N J L } = \bar { q } [ i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - g ( \sigma + i \vec { \pi } \cdot \vec { \tau } \gamma _ { 5 } ) ] q - { \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 } } ( \sigma ^ { 2 } + \vec { \pi } ^ { 2 } ) + { \frac { M _ { 0 } \mu ^ { 2 } } { g } } \sigma \, \, ,
\begin{array} { r l } { ( A _ { k } + c _ { 1 } I ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } + \Sigma _ { k } ^ { - 1 } ( A _ { k } + c _ { 1 } I ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } N _ { k , i } ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } N _ { k , j } k _ { i j } } & { \leq - \Sigma _ { k } ^ { - 1 } B _ { k } B _ { k } ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } , } \\ { ( A _ { k } + c _ { 1 } I ) ^ { \top } \Sigma _ { k } + \Sigma _ { k } ( A _ { k } + c _ { 1 } I ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } N _ { k , i } ^ { \top } \Sigma _ { k } N _ { k , j } k _ { i j } } & { \leq - C _ { k } ^ { \top } C _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< \zeta ^ { 2 } \right> } & { = \left< ( - \overline { { u } } _ { y } + \zeta ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right> } \\ & { = \left< \overline { { u } } _ { y } ^ { 2 } - 2 \overline { { u } } _ { y } \zeta ^ { \prime } + \zeta ^ { 2 } \right> } \\ & { = \left< \overline { { u } } _ { y } ^ { 2 } \right> + \left< \zeta ^ { 2 } \right> \leq \left< \zeta _ { 0 } ^ { 2 } \right> } \end{array}
y ^ { T } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { h _ { 1 } } & { h _ { 2 } } & { h _ { 3 } } & { \cdots } & { h _ { m - 1 } } & { h _ { m } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { \cdots } & { x _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { \cdots } & { x _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { \ldots } & { x _ { n } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { x _ { 1 } } & { \cdots } & { x _ { n - 2 } } & { x _ { n - 1 } } & { x _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { x _ { 1 } } & { \cdots } & { x _ { n - 2 } } & { x _ { n - 1 } } & { x _ { n } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \tilde { m } _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \mathsf { b } ( \tilde { \rho } _ { a _ { t } } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } \tilde { C } _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \mathsf { A } ( \tilde { \rho } _ { a _ { t } } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) \tilde { C } _ { t } + \tilde { C } _ { t } \mathsf { A } ( \tilde { \rho } _ { a _ { t } } , \tilde { \rho } _ { \mathrm { p o s t } } ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } & { { } \langle n \rangle ^ { ( e ) } = ( P ^ { ( v ) } ( 1 , t ) + 2 P ^ { ( v ) } ( 2 , t ) + 3 P ^ { ( v ) } ( 3 , t ) + \cdots ) } \end{array}
\{ g _ { 0 } \} , \{ g _ { 1 } , \ldots , g _ { k _ { 2 } } \} , \{ g _ { k _ { 2 } + 1 } , \ldots , g _ { k _ { 3 } } \} , \ldots , \{ g _ { k _ { L - 2 } + 1 } , \ldots , g _ { - 2 } \} , \{ g _ { - 1 } \}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t r } \left[ \dots U _ { 3 2 } \underbrace { \Lambda ( 2 ) \bar { \Lambda } ( 2 ) } U _ { 2 1 } \dots \right] } & { { } = } & { \mathrm { t r } \left[ \dots U _ { 3 2 } U _ { 2 1 } \dots \right] } \\ { 1 \qquad \qquad \quad \ } & { { } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 1 : i , i } = \arg \operatorname* { m i n } _ { c } \frac { 1 } { n } } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { a = 1 } ^ { i } \varphi _ { \theta } ^ { a } ( X _ { j } ^ { 0 } ) c _ { a } - \tilde { \varphi } _ { s } ^ { a } ( X _ { j } ^ { \tau } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { + \gamma _ { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { i - 1 } c _ { a } ^ { 2 } . } \end{array}
s ( \bar { x } Q b ) \approx \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } k _ { \perp } { \frac { e ^ { i k _ { \perp } b _ { \perp } } - 1 } { k _ { \perp } ^ { 2 } } } \, \mathrm { l n } \left( { \frac { \bar { x } Q } { k _ { \perp } } } \right) \approx \int _ { 1 / b } ^ { } { \frac { d k _ { \perp } } { k _ { \perp } } } \, \mathrm { l n } \left( { \frac { k _ { \perp } } { \bar { x } Q } } \right) \approx - \frac 1 { 2 } \; \mathrm { l n } ^ { 2 } ( \bar { x } Q b ) , \ \ \ 1 / \Lambda _ { Q C D } \gg b \gg 1 / Q .
t ^ { 8 } \sim c _ { \circ } ^ { \prime } ( t ^ { \circ } + t ^ { 2 } + \cdots ) + c _ { 8 } ^ { \prime } ( t ^ { 1 } + t ^ { 3 } + \cdots ) + c _ { 1 0 } ^ { \prime } ( t ^ { 2 } + t ^ { 4 } + \cdots ) + c _ { \overline { { { 1 0 } } } } ^ { \prime } ( t ^ { 2 } + t ^ { 4 } + \cdots )
\mathcal { L } ( y | \Omega _ { m } , \omega ) \propto \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \chi ^ { 2 } ( y | \Omega _ { m } , \omega ) \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \chi ^ { 2 } ( y | \Omega _ { m } , \omega ) = \sum _ { i } \left( \frac { y _ { i } - y ( z _ { i } | \Omega _ { m } , \omega ) } { \sigma _ { i } } \right) ^ { 2 } .
E _ { L _ { 2 } } E _ { \ell _ { h } } \frac { d \sigma _ { \mathrm { D I S } } ^ { h } } { d ^ { 3 } L _ { 2 } d ^ { 3 } \ell _ { h } } = \frac { \alpha _ { \mathrm { E M } } ^ { 2 } } { 2 \pi s } \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } L _ { \mu \nu } E _ { \ell _ { h } } \frac { d W ^ { \mu \nu } } { d ^ { 3 } \ell _ { h } }
\mathbf { S } ^ { + } = i N \left[ \begin{array} { l l l } { q _ { \mathrm { L 1 } } + r _ { \mathrm { L 1 } } } & { q _ { \mathrm { L 2 } } + r _ { \mathrm { L 2 } } } & { 2 k _ { x } k _ { \mathrm { S } z } } \\ { 2 k _ { x } k _ { \mathrm { L 1 } z } } & { 2 k _ { x } k _ { \mathrm { L 2 } z } } & { - ( k _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } - 2 k _ { x } ^ { 2 } ) } \\ { - s _ { \mathrm { L 1 } } } & { - s _ { \mathrm { L 2 } } } & { 2 k _ { x } k _ { \mathrm { S } z } / ( 1 - \phi ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathcal { G } } ^ { 2 } } & { \ll \frac { 3 - 2 \sqrt { 2 } } { 3 2 } \frac { m _ { \mathrm { t h r } } ^ { 4 } } { n _ { p } L ^ { 2 } } } \\ { \sigma _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } & { \ll \frac { 3 - 2 \sqrt { 2 } } { 3 2 } \frac { m _ { \mathrm { t h r } } ^ { 6 } } { n _ { p } L ^ { 2 } \lVert \boldsymbol { \mathcal { G } } \rVert ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( \mathbf { x } ) } & { { } = \mathbb { E } [ f ( \mathbf { x } ) ] , } \\ { k ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { { } = \mathbb { E } [ ( f ( \mathbf { x } ) - \mu ( \mathbf { x } ) ) ( f ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) - \mu ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) ) ] . } \end{array}
\int _ { \mathrm { r } } | f _ { m } ^ { \mathrm { r } } ( x ) | ^ { 2 } d x + \int _ { \mathrm { ~ b ~ } } | f _ { m } ^ { \mathrm { b } } ( x ) | ^ { 2 } d x + \int _ { \mathrm { ~ p ~ } } | f _ { m } ^ { \mathrm { p } } ( x ) | ^ { 2 } d x = 1 \, .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \overline { { v b } } } \\ { \overline { { w b } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { - A _ { 1 } U ^ { \prime } ( z ) + A _ { 2 } N ^ { 2 } } \\ { - A _ { 3 } U ^ { \prime } ( z ) + A _ { 4 } N ^ { 2 } } \end{array} \right) \, ; \left( \begin{array} { l } { \overline { { v q } } } \\ { \overline { { w q } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { A _ { 1 } [ \beta - { \cal S } ^ { \prime } ( z ) ] } \\ { A _ { 3 } [ \beta - { \cal S } ^ { \prime } ( z ) ] } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } { \vec { r } } _ { u } \cdot { \vec { r } } _ { u } + a _ { 1 } b _ { 2 } { \vec { r } } _ { u } \cdot { \vec { r } } _ { v } + a _ { 2 } b _ { 1 } { \vec { r } } _ { v } \cdot { \vec { r } } _ { u } + a _ { 2 } b _ { 2 } { \vec { r } } _ { v } \cdot { \vec { r } } _ { v } } \\ & { = a _ { 1 } b _ { 1 } E + a _ { 1 } b _ { 2 } F + a _ { 2 } b _ { 1 } F + a _ { 2 } b _ { 2 } G . } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { E } & { F } \\ { F } & { G } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \end{array} \right] } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sqrt { n } \left| \hat { b } _ { j } ^ { ( 1 ) [ 1 ] } - b _ { j } ^ { ( 1 ) [ 1 ] } \right| } \\ { \le } & { D \sqrt { n } \frac { \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| ^ { 2 } } { \bar { g } _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \sqrt { \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } } \bigvee \sqrt { \frac { t } { n } } \bigvee \sqrt { \frac { \log n } { n } } \right) \sqrt { \frac { t } { n } } } \\ { \le } & { D \frac { \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| ^ { 2 } } { \bar { g } _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \left( \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \bigvee \frac { 1 } { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } n ^ { \frac { 1 } { 6 } } } \bigvee \frac { \sqrt { \log n } } { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) ^ { \frac { 1 } { 6 } } n ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \right) } \\ { \le } & { D \frac { \| M _ { j } ^ { [ 1 ] } \| ^ { 2 } } { \bar { g } _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \left( \frac { r ( M _ { j } ^ { [ 1 ] } ) } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \bigvee \frac { 1 } { n ^ { \frac { 1 } { 6 } } } \right) } \\ { \le } & { D \left( \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 } { \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left[ \left( \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } + d _ { 1 } + 1 } { n ( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \bigvee \frac { 1 } { n ^ { \frac { 1 } { 6 } } } \ \right] } \end{array}
{ \frac { d M _ { \mathrm { s h i p } } } { M _ { \mathrm { s h i p } } } } = { \frac { - d v ( 1 - I _ { \mathrm { s p } } { \frac { v } { c ^ { 2 } } } ) } { ( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } ) ( - { \frac { I _ { \mathrm { s p } } } { c ^ { 2 } v 2 } } + ( 1 + a ) v + a I _ { \mathrm { s p } } ) } }
\vec { \nabla } \wedge \vec { \nabla } \wedge \vec { E } - 2 \omega \frac { \kappa } { c } \vec { \nabla } \wedge \vec { E } - \omega ^ { 2 } \left( \mu \varepsilon - \frac { \kappa ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) \vec { E } = \vec { 0 } .
\begin{array} { r l } { ( n m | k l ) } & { { } = \sum _ { P Q } A _ { P } ^ { n m } ( P | Q ) A _ { Q } ^ { k l } } \\ { ( P | Q ) } & { { } = \int \phi _ { P } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) v ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) \phi _ { Q } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) d \mathbf { r } _ { 1 } d \mathbf { r } _ { 2 } } \end{array}
P _ { 1 3 1 } N _ { 1 3 1 } = P _ { 1 2 9 } N _ { 1 2 9 } \left( { \frac { \gamma _ { 1 2 9 } } { \gamma _ { 1 3 1 } } } \right) \left( { \frac { I _ { 1 2 9 } } { I _ { 1 3 1 } } } \right) { \frac { S _ { 1 3 1 } ^ { \prime } } { S _ { 1 2 9 } ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r l } & { g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \langle \Tilde { F } _ { D } , m _ { \Tilde { F } , D } \rvert \hat { Q } _ { q = m _ { \Tilde { F } , D } - m _ { \Tilde { F } , S } } \lvert \Tilde { F } _ { S } , m _ { \Tilde { F } , S } \rangle } \\ & { = g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \sum _ { m _ { I , D } , m _ { J , D } } \sum _ { m _ { I , S } , m _ { J , S } } c _ { m _ { I , D } , m _ { J , D } } ^ { * } c _ { m _ { I , S } , m _ { J , S } } \langle m _ { I , D } , m _ { J , D } \rvert \hat { Q } _ { q = m _ { \Tilde { F } , D } - m _ { \Tilde { F } , S } } \lvert m _ { I , S } , m _ { J , S } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { X } _ { j } ^ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } & { = \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 1 } \, \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \\ & { = \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \mathbf { I } _ { j } ^ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) + J _ { j } ^ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \nabla \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { P } ^ { i j } } & { = \frac 1 { A ^ { 0 } } \Bigg ( A ^ { 0 } { \partial } _ { u ^ { k } } \Big ( \frac { A ^ { i } } { A ^ { 0 } } \Big ) - { \partial } _ { x } \Big ( \frac { A ^ { i } } { A ^ { 0 } } \Big ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \circ { \partial } _ { u ^ { k } } A ^ { 0 } \Bigg ) { \partial } _ { x } \circ Q ^ { k l } \circ { \partial } _ { x } \circ } \\ & { \qquad \Bigg ( { \partial } _ { u ^ { l } } \Big ( \frac { A ^ { j } } { A ^ { 0 } } \Big ) A ^ { 0 } + { \partial } _ { u ^ { l } } A ^ { 0 } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \circ { \partial } _ { x } \Big ( \frac { A ^ { j } } { A ^ { 0 } } \Big ) \Bigg ) } \end{array}
D _ { - \frac { i } { 2 } \Lambda - 1 } ( - ( 1 + i ) \tau ) , \; \; D _ { - \frac { i } { 2 } \Lambda - 1 } ( ( 1 + i ) \tau ) , \; \; D _ { \frac { i } { 2 } \Lambda } ( ( 1 - i ) \tau ) , \; \; D _ { \frac { i } { 2 } \Lambda } ( - ( 1 - i ) \tau ) ,
\mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ c ~ i ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } = \frac { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ s ~ } } { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ s ~ + ~ f ~ a ~ l ~ s ~ e ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ s ~ } }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } f ( \overline { { { \bf x } ^ { t + 1 } } } ) \leq \mathbb { E } f ( \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) + \mathbb { E } \langle \nabla f ( \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) , \overline { { { \bf z } ^ { t } } } - \overline { { { \bf x } ^ { t } } } \rangle + \frac { L } { 2 } \mathbb { E } \| \overline { { { \bf x } ^ { t + 1 } } } - \overline { { { \bf x } ^ { t } } } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { q } ( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { r } ; \beta _ { 1 } , \ldots , \beta _ { r } ) = \sum _ { l _ { 1 } , \ldots , l _ { r } \ge 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \binom { l _ { j } } { \alpha _ { j } } \frac { ( 1 - q ) ^ { \alpha _ { j } } q ^ { l _ { j } / 2 } } { ( l _ { 1 } + \cdots + l _ { j } ) ^ { \beta _ { j } + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \left( \mu / T \right) F ^ { \prime \prime } \right] ^ { \prime } + F F ^ { \prime \prime } } & { { } = 0 , } \\ { \mathrm { P r } ^ { - 1 } \left[ ( \mu / T ) T ^ { \prime } \right] ^ { \prime } + F T ^ { \prime } + ( \gamma - 1 ) \mathrm { M } _ { \infty } ^ { 2 } ( \mu / T ) \left( F ^ { \prime \prime } \right) ^ { 2 } } & { { } = 0 , } \end{array}
( \mathbf { A } _ { 2 } \otimes \mathbf { A } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \mathbf { x } = \mathrm { v e c } ( \mathbf { A } _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbf { X } \mathbf { A } _ { 2 } ^ { - \top } ) ,