harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \dot { \boldsymbol { x } } = f ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) , \; \; \boldsymbol { x } \; \textrm { s l o w c l i m a t e v a r i a b l e s } , } \\ & { \dot { \boldsymbol { y } } = \frac { 1 } { \delta } g ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) , \; \; \boldsymbol { y } \; \textrm { f a s t w e a t h e r v a r i a b l e s } , } \end{array}
T _ { \mu \nu } = ( \rho + p _ { x } ) u _ { \mu } u _ { \nu } + p _ { x } g _ { \mu \nu } + ( p _ { y } - p _ { x } ) s _ { \mu } s _ { \nu } + ( p _ { z } - p _ { x } ) t _ { \mu } t _ { \nu } \; .
\begin{array} { r l } { V _ { L } \dot { S _ { L } } } & { { } = - F _ { L } S _ { 0 } + | q _ { L } | ( S _ { A } - S _ { L } ) , } \\ { V _ { N } \dot { S _ { N } } } & { { } = - F _ { N } S _ { 0 } + | q _ { N } | ( S _ { A } - S _ { N } ) , } \\ { V _ { T o t a l } S _ { 0 } } & { { } = V _ { L } S _ { L } + V _ { A } S _ { A } + V _ { N } S _ { N } , } \\ { q _ { L } } & { { } = - k \left[ \alpha ( T _ { L } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { L } - S _ { A } ) \right] , } \\ { q _ { N } } & { { } = - k \left[ \alpha ( T _ { N } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { N } - S _ { A } ) \right] , } \end{array}
A m p ( \overline { { B } } ^ { 0 } \to D ^ { + } \pi ^ { - } ) = { \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } } V _ { u d } ^ { * } V _ { c b } \, a _ { 1 } \langle \pi ^ { - } | ( \overline { { d } } u ) ^ { \mu } | 0 \rangle \langle D ^ { + } | ( \overline { { c } } b ) _ { \mu } | \overline { { B } } ^ { 0 } \rangle .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ( r , \theta , \varphi ) } & { \triangleq \left( \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { U } _ { K } \mathbf { U } _ { K } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } \right) ^ { - K } \prod _ { k = 1 } ^ { K - 1 } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { U } _ { k } \mathbf { U } _ { k } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } , } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { r } } \\ { { \tilde { r } } } \\ { { \tilde { r } } } \end{array} \right) } } & { { = } } & { { \mathcal { S } \, [ a , b ; E ; V , | W | ] \, \left( \begin{array} { c } { { t } } \\ { { t } } \\ { { \tilde { t } } } \\ { { \tilde { t } } } \end{array} \right) ~ , } } \end{array}
\mathbf { \hat { F } ^ { v } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { - \tau _ { j + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { - \tau _ { j + \frac { 1 } { 2 } } u _ { j + \frac { 1 } { 2 } } + q _ { j + \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { k _ { i , o f f } = k _ { 0 } \frac { 1 } { 1 + \exp \left( \frac { n _ { i } + \sum _ { j \neq i } ^ { m } n _ { j } \cos ( \theta _ { i j } ^ { * } ) } { T } \right) } } \\ { k _ { i , o n } = k _ { 0 } \frac { 1 } { 1 + \exp \left( \frac { - ( n _ { i } + \sum _ { j \neq i } ^ { m } n _ { j } \cos ( \theta _ { i j } ^ { * } ) ) } { T } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { w } _ { t j } - \mathbf { w } _ { 0 j } \| \leq R _ { m , j } ^ { \prime } < R _ { m , j } = \frac { \delta ^ { 2 } c _ { m , j } } { 6 4 } } & { = \frac { \delta ^ { 2 } } { 6 4 } \cdot \sqrt { \lambda _ { m , j } } \cdot \sqrt { n ^ { 2 } \left( C ^ { 2 } + \frac { 1 } { d } \right) \frac { 2 \cdot 5 1 2 ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } \delta ^ { 5 } \kappa _ { n } ^ { 2 } d } } } \\ & { = \frac { 8 n } { \kappa _ { n } d ^ { 1 / 2 } } \cdot \sqrt { \left( C ^ { 2 } + \frac { 1 } { d } \right) \frac { 2 } { \gamma ^ { 2 } \delta } } \cdot \sqrt { \lambda _ { m , j } } , } \end{array}
\mathcal { J } _ { B _ { 1 } A _ { 2 } } ^ { \updownarrow } = \left( \begin{array} { l l l } { * * * } & { 5 0 } & { 3 4 } \\ { 5 0 } & { * * * } & { 2 } \\ { 3 4 } & { 2 } & { * * * } \end{array} \right) , \quad \mathcal { J } _ { B _ { 1 } B _ { 2 } } ^ { \updownarrow } = \left( \begin{array} { l l l } { * * * } & { 1 3 9 } & { 1 9 1 } \\ { - 1 3 9 } & { * * * } & { - 2 9 } \\ { - 1 9 0 } & { - 2 9 } & { * * * } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { u ( x , 0 ) } & { { } = \frac { x } { 1 + \sqrt { \frac { 1 } { t _ { 0 } } } \exp \left( R e \frac { x ^ { 2 } } { 4 } \right) } \, , \quad u ( 0 , t ) = 0 , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } \bigg | _ { x = L } = 0 \, , } \end{array}
\mathrm { E } = \sum _ { \alpha } h _ { \boldsymbol { \alpha } } \left\langle \Psi ( \boldsymbol { \theta } ) \left| \left( \prod _ { k } ^ { N } \hat { p } _ { k } \right) _ { \boldsymbol { \alpha } } \right| \Psi ( \boldsymbol { \theta } ) \right\rangle = \sum _ { \alpha } h _ { \boldsymbol { \alpha } } P _ { \boldsymbol { \alpha } } ,
\mathbf { u } = \frac { \mathbf { w } _ { 1 } } { \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac 1 4 } } \in L ^ { 2 } ( 0 , T _ { 0 } ; H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) ^ { 2 } ) \cap C ( [ 0 , T _ { 0 } ] ; L _ { \sigma } ^ { 2 } ( \Omega ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathsf { e r r } _ { k } ( r _ { j } ) } & { : = \mathbf { Q } r _ { j } ( \mathbf { T } ) \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { b } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } } \\ & { = \mathbf { Q } [ m _ { 1 , j } ( \mathbf { T } ) ] ^ { - 1 } \mathbf { Q } ^ { \mathsf { T } } n ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - [ m _ { 1 , j } ( \mathbf { A } ) ] ^ { - 1 } n ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } . } \end{array}
\left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \mathbf { J } _ { i } ^ { T } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \mathbf { J } _ { i } \right] \delta \mathbf { m } = - \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \mathbf { J } _ { i } ^ { T } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \delta \mathbf { d } _ { i } ,
\begin{array} { r l r } { M _ { y } } & { { } = } & { 2 m _ { t } g \Big ( \big ( c _ { \mathrm { p } } \sin \alpha \cos \phi ( \omega t ) + r _ { \mathrm { p } } \sin \phi ( \omega t ) \big ) \big ( \cos \beta + \sin \beta \cos \phi ( \omega t ) \: \mathrm { s g n } ( \cos \omega t ) \big ) - } \end{array}
\int d ^ { \, 4 } p \, { \frac { \partial } { \partial p _ { \nu } } } { \frac { p _ { \mu } } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } = \int d ^ { \, 4 } p \, { \frac { \delta _ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) - 2 p _ { \mu } p _ { \nu } } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = 0
\frac { d U } { d t } = - \frac { 1 } { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } } \int d \mathbf { S } \cdot \mathbf { p } _ { A } - \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } r \, \left[ \frac { d \varepsilon \left( t \right) } { d t } E ^ { 2 } \left( \mathbf { r } , t \right) + \frac { d \mu \left( t \right) } { d t } H ^ { 2 } \left( \mathbf { r } , t \right) \right]
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 1 } + _ { 1 } + _ { 5 } + _ { 2 } } \\ & { \qquad + _ { 1 } + _ { 1 } + _ { 4 } + _ { 3 } + _ { 5 } + _ { 1 } + _ { 8 } + _ { 1 4 } + _ { 2 0 } + _ { 6 } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } + \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 1 } \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 2 } ( \delta _ { p , q } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { i , j } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ) [ - 2 ] } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \delta _ { p , q } \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta _ { i , j } \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { J _ { N , T } ^ { * } } } & { \leq C \left\lbrace \log ( N ) \log ( T ) \psi _ { N } ^ { 2 } \left[ d _ { N } \sqrt { \phi _ { N , T } } + \frac { N ^ { 4 / m } } { T ^ { \frac { m - 2 } { m } } } + \xi _ { N , T } \psi _ { N } ^ { 2 } \right] + ( N K d _ { N } ^ { * m } \psi _ { N } ^ { m } ) ^ { \frac { 1 } { m + 1 } } \left( \frac { \sqrt { \log ( N ) } } { \sqrt { T } } \right) ^ { \frac { m } { m + 1 } } \right. } \\ { + } & { \left. ( \tilde { S } ^ { * } d _ { N } ^ { * } ) ^ { 2 } \left[ \frac { \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \left( \log ( T ) + ( \tilde { S } ^ { * } d _ { N } ^ { * } ) ^ { \frac { 1 } { m - 1 } } \right) } { \sqrt { T } } + \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) } { T ^ { \frac { m - 2 } { m } } } \right] + \sqrt { \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) \log ( N T ) } { T } } \right\rbrace , } \end{array}
S _ { i n t } = - \int d ^ { 2 } x ~ d ^ { 2 } y ~ [ J _ { \mu } ^ { a } ( x ) V _ { ( \mu ) } ^ { a b } ( x , y ) J _ { \mu } ^ { b } ( y ) + J _ { \mu } ^ { a } ( x ) U _ { ( \mu ) } ^ { a b } ( x , y ) S _ { \mu } ^ { b } ( y ) ] ,
\begin{array} { r l } { \sigma } & { { } = \sqrt { \gamma ^ { 2 } + 4 \delta \mu } } \\ { n _ { s } } & { { } = \frac { \gamma - \sigma } { 2 \delta } } \\ { n _ { e } } & { { } = \frac { \sigma + \gamma } { 2 \delta } } \\ { C } & { { } = \frac { n _ { 0 } - n _ { s } } { n _ { e } - n _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } } & { = \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \Delta t \, \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) + \sqrt { \Delta t } \, g ( t _ { i } ) \, z _ { t _ { i } } } \\ { \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } } & { = \mathbf { x } _ { t _ { i } } - \Delta t \, \left[ \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - g ( t _ { i } ) ^ { 2 } \, \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t _ { i } } \right] + \sqrt { \Delta t } \, g ( { t _ { i } } ) \, z _ { t _ { i } } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert \mathcal { E } _ { 1 } [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \rVert \partial _ { y } d _ { i } X _ { P } ( t ( i _ { 0 } - i _ { \delta } ) + i _ { \delta } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert y - y _ { \delta } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } \\ & { \ + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \rVert \partial _ { y } d _ { i } X _ { P } ( t ( i _ { 0 } - i _ { \delta } ) + i _ { \delta } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert y - y _ { \delta } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } . } \end{array}
\sqrt { - G } { \cal R } _ { G } = \sqrt { - g } { \cal C } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \left[ { \cal R } _ { g } - 4 { \frac { { \cal C } ^ { \prime \prime } } { \cal C } } + \left( { \frac { { \cal C } ^ { \prime } } { \cal C } } \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( \partial _ { z } ^ { 2 } + \partial _ { z } + z ^ { - 1 } L _ { S } ) w = \eta _ { z _ { 0 } } ( z ) \cdot \tilde { \mathscr { R } } ( v ) , } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S \times \mathbb { R } _ { > z _ { 0 } / 1 2 } ; } \\ { w ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = 0 , } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L ( z _ { 2 } ) } { \partial \theta } } & { { } = \frac { \partial L ( z _ { 2 } ) } { \partial z _ { 2 } } \frac { \partial z _ { 2 } } { \partial \theta } } \\ { \frac { \partial z _ { 2 } } { \partial \theta } } & { { } = \frac { \partial z _ { 1 } } { \partial \theta } + d t \frac { \partial f ( z _ { 1 } , \theta ) } { \partial \theta } = \frac { \partial z _ { 1 } } { \partial \theta } + d t \left( \frac { \partial f ( z _ { 1 } , \theta ) } { \partial z _ { 1 } } \frac { \partial z _ { 1 } } { \partial \theta } + \frac { \partial f ( z _ { 1 } , \theta ) } { \partial \theta } \right) } \\ { \frac { \partial z _ { 1 } } { \partial \theta } } & { { } = \frac { \partial z _ { 0 } } { \partial \theta } + d t \frac { \partial f ( z _ { 0 } , \theta ) } { \partial \theta } = d t \frac { \partial f ( z _ { 0 } , \theta ) } { \partial \theta } . } \end{array}
k _ { 0 } = \left[ \frac { \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } k ^ { 2 } | \hat { \Theta } _ { 0 } | ^ { 2 } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { x } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { y } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { z } } { \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } | \hat { \Theta } _ { 0 } | ^ { 2 } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { x } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { y } \, \mathrm { ~ d ~ } k _ { z } } \right] ^ { 1 / 2 } .
\sigma _ { E } \, \longleftrightarrow \, ( - 1 ) ^ { \sum J + j } \: \: \left\{ \begin{array} { c c c } { { J _ { 1 } } } & { { j } } & { { J _ { 2 } } } \\ { { J _ { 3 } } } & { { J _ { 4 } } } & { { J _ { 5 } } } \end{array} \right\} \, \doteq \, ( - 1 ) ^ { \sum J + j } \: \{ 6 j \} ( \sigma _ { E } ) ,
H _ { I } = [ \lambda _ { 1 } \bar { \nu } _ { 1 } \nu _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \bar { \nu } _ { 2 } \nu _ { 2 } ] \sum _ { j = 1 } ^ { N } \hbar g _ { j } ( a _ { j } ^ { + } + a _ { j } )
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \rho _ { \sigma } ( x , t ) } & { = } & { \partial _ { x } \left[ \rho _ { \sigma } ( x , t ) \left( x - v _ { 0 } \sigma - 2 g \fint d y \frac { \rho _ { \sigma } ( y , t ) } { x - y } \right) \right] } \\ & { + } & { \gamma \left( \rho _ { - \sigma } ( x , t ) - \rho _ { \sigma } ( x , t ) \right) + O ( 1 / \sqrt { N } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| v ( x ) - 0 \right| = } & { \frac { 2 \epsilon _ { 1 } x } { \sqrt { ( p - x + \epsilon _ { 1 } ) ^ { 2 } + 4 \epsilon _ { 1 } x } + ( p - x + \epsilon _ { 1 } ) } } \\ { < } & { \frac { x } { p - x + \epsilon _ { 1 } } \epsilon _ { 1 } < \frac { x } { p - x } \epsilon _ { 1 } = O ( \epsilon _ { 1 } ) \ . } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , \vec { L } } = \frac { 1 } { V _ { \textrm { F B Z } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \textrm { F B Z } } ^ { \epsilon _ { i } ^ { \vec { k } } < \epsilon _ { \textrm { F } } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \vec { k } \cdot \vec { L } } \left( c _ { \mu i } ^ { \sigma , \vec { k } } ~ c _ { \nu i } ^ { * \sigma ^ { \prime } , \vec { k } } \right) ~ \textrm { d } ^ { 3 } k .
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } ( x ) } & { { } = L _ { 1 } - L _ { 2 } + { \frac { L _ { 2 } } { L _ { 1 } } } + { \frac { L _ { 2 } \left( - 2 + L _ { 2 } \right) } { 2 L _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { L _ { 2 } \left( 6 - 9 L _ { 2 } + 2 L _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { 6 L _ { 1 } ^ { 3 } } } + { \frac { L _ { 2 } \left( - 1 2 + 3 6 L _ { 2 } - 2 2 L _ { 2 } ^ { 2 } + 3 L _ { 2 } ^ { 3 } \right) } { 1 2 L _ { 1 } ^ { 4 } } } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \hat { a } _ { g , t } - \hat { x } _ { g , t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] \leq 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \check { a } _ { g , t } - \check { x } _ { g , t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] \leq 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ - \hat { x } _ { g , t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] \leq 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ - \check { x } _ { g , t } ^ { o f f } | \boldsymbol { \Theta } _ { t } \right] \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { l } { { h ^ { I _ { 1 } \ldots I _ { s } } ( z ) = z ^ { 2 } V ^ { I _ { 1 } \ldots I _ { s } } , \; \; } } \\ { { h ^ { I _ { 1 } \ldots I _ { s } } ( z ) = z ^ { 2 s + d - 3 } V ^ { I _ { 1 } \ldots I _ { s } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X ( t ) ^ { T } \Big [ ( 1 - 2 \lambda _ { 1 } ) \eta \eta ^ { T } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n } I _ { r _ { 0 } n } \Big ] X ( t ) + 2 X ( t ) ^ { T } } \\ & { \Big [ \frac { c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } \eta \tilde { \eta } ^ { T } - \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } \tilde { M } \Big ] z ^ { s } + ( z ^ { s } ) ^ { T } \frac { \lambda _ { 1 } \tilde { D } ^ { ( s ) } } { 2 r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } z ^ { s } } \\ & { = ( 1 - 2 \lambda _ { 1 } ) \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n } \| X ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } X ( t ) ^ { T } } \\ & { \eta \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } - \frac { \lambda _ { 1 } } { r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } X ( t ) ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n l ^ { ( s ) } } ( z ^ { s } ) ^ { T } \tilde { D } ^ { ( s ) } z ^ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { k } ^ { \mathrm { G P } } = \omega _ { k } ^ { \mathrm { K W } } \times \left[ 1 + \epsilon _ { \frac 1 2 } ( a _ { 0 } k ) ^ { 1 / 2 } + \epsilon _ { 1 } ( a _ { 0 } k ) + \frac 1 2 ( a _ { 0 } k ) ^ { 3 / 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \mu ( x , v ) \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle - \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert \big ) - \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) v \rangle \Big ) } \\ & { \quad - \mu ( x , v ) \langle v , 2 \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v - 2 \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert - \nabla _ { x } ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) v \rangle ) \rangle } \\ & { = \mu ( x , v ) \Big ( - 2 \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) \rangle ( - 3 \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle + 2 \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert ) } \\ & { \quad + \langle v , \nabla _ { x } ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) v \rangle ) \rangle \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { I } } & { = \left( \mathcal { Q } ^ { - } ( 0 ) \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 2 } = \left( \mathcal { Q } ^ { + } ( 0 ) x ( 0 ^ { + } ) \right) _ { 2 } } \\ { - e _ { I } } & { = \left( \mathcal { Q } ^ { + } ( 0 ) x ( 0 ^ { + } ) \right) _ { 1 } - \left( \mathcal { Q } ^ { - } ( 0 ) \varphi ^ { - } ( 0 ^ { - } ; x ( a ) ) \right) _ { 1 } . } \end{array}
P \left( \lambda \right) = \lambda ^ { 2 } \left[ \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + \lambda \left[ \begin{array} { c c c } { - 1 . 7 9 } & { 0 . 1 0 } & { - 0 . 6 0 } \\ { 0 . 8 4 } & { - 0 . 5 4 } & { 0 . 4 9 } \\ { - 0 . 8 9 } & { 0 . 3 0 } & { 0 . 7 4 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] .
\chi ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| v ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } - A ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \phi ( f ) s ( f ) ,
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { \theta } \Psi \{ f \} ) ( \theta , \varphi ) = } & { \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \partial _ { \theta } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) } { D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \frac { \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } ^ { \pi } \frac { \partial _ { \theta } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) } { D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \frac { \widetilde { \gamma } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \partial _ { \theta } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \sin ( 2 \theta ^ { \prime } ) } { D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf d ^ { \prime } : = \psi ( \mathbf d ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf d \overline { { \mathbf e } } , } & { d _ { m } = 0 } \\ { \mathbf d \overline { { e _ { 2 } \cdots e _ { m } } } , } & { d _ { m } = 1 } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } 0 0 \mathbf w _ { 2 - i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n } } ( i _ { n } / 2 ) , } & { d _ { m } = 0 } \\ { 1 \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n - 1 } } 0 0 1 \mathbf w _ { 2 - i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n } } ( i _ { n } / 2 ) , } & { d _ { m } = 1 } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 - i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n } } ( i _ { n } / 2 ) , } & { d _ { m } = 0 } \\ { 1 \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n - 1 } } \mathbf w _ { 1 } \mathbf w _ { 2 - i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { 2 - i _ { n } } ( i _ { n } / 2 ) , } & { d _ { m } = 1 } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \alpha _ { \mathrm { H } } , \alpha _ { \mathrm { V } } | \hat { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { f s } ) | \alpha _ { \mathrm { H } } , \alpha _ { \mathrm { V } } \rangle } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta } { 2 } } \cos \alpha } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta } { 2 } } \sin \alpha \ } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \Delta _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { f s } } ) | \mathrm { J o n e s } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vec { L } \Vec { \phi } _ { n _ { 0 } } = \frac { 2 } { n _ { 0 } } \Vec { \phi } _ { \theta _ { 0 } } , } \\ & { \Vec { L } \Vec { \phi } _ { p _ { 0 } } = \frac { 8 } { n _ { 0 } ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } \Vec { \phi } _ { x _ { 0 } } , } \\ & { \Vec { L } \Vec { \phi } _ { x _ { 0 } } = 0 , } \\ & { \Vec { L } \Vec { \phi } _ { \theta _ { 0 } } = 0 , } \\ & { \Vec { L } \Vec { f } _ { k } = - i ( 1 + k ^ { 2 } ) \Vec { f } _ { k } , } \\ & { \Vec { L } \Vec { g } _ { k } = i ( 1 + k ^ { 2 } ) \Vec { g } _ { k } . } \end{array}
- { \frac { i } { 2 } } \left[ V , \Omega _ { 0 } \right] = - { \frac { 2 7 } { 1 2 0 } } \, e ^ { 2 } \, c _ { A } \, \left( \sum _ { k } { \frac { 1 } { k ^ { 3 } } } \right) \int d ^ { 3 } x \, B ^ { 2 } .
\phi ( { \boldsymbol r } , 0 ) = \frac { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { x } { 4 0 } \right) + \frac { \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } } { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { h b _ { 0 } = b , } \\ & { x h = \left[ \begin{array} { l l } { x b } & { x c } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { b } & { 0 } \end{array} \right] = h x _ { 0 } , } \\ & { a h = \left[ \begin{array} { l l } { a b } & { a c } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { a b } & { a b a c } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { a b } & { a x ( 1 - x ) c } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 _ { n \times n } } & { 0 _ { n \times d } } \end{array} \right] = a _ { 0 } . } \end{array}
p \rightarrow \frac { 1 } { m ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \left[ \frac { ( m ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ( m ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) - 2 ( u _ { 1 } - m ^ { 2 } ) q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } - q ^ { 2 } } p _ { A ^ { \prime } } + ( u _ { 1 } - m ^ { 2 } ) q \right] ~ ,