harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { a } } e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \int _ { \frac { 2 a x _ { 1 } - b } { 2 \sqrt { a } } } ^ { \frac { 2 a x _ { 2 } - b } { 2 \sqrt { a } } } e ^ { - u ^ { 2 } } \ d u } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { a } } e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \left( \int _ { 0 } ^ { \frac { 2 a x _ { 2 } - b } { 2 \sqrt { a } } } e ^ { - u ^ { 2 } } \ d u - \int _ { 0 } ^ { \frac { 2 a x _ { 1 } - b } { 2 \sqrt { a } } } e ^ { - u ^ { 2 } } \ d u \right) } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { a } } e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \left[ \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( { \frac { 2 a x - b } { 2 \sqrt { a } } } \right) \right] _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } . } \end{array}
\biggl \{ \, - 2 \frac { \partial } { \partial L } + \beta ( a ) a \frac { \partial } { \partial a } - \gamma ( a ) \biggl ( M \frac { \partial } { \partial M } + m \frac { \partial } { \partial m } \, \biggr ) \, \biggr \} ( M \mp m ) ^ { 2 } \Psi _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( Q ^ { 2 } ) \; = \; 0 \, ,
\tilde { A } ^ { i n ~ ( o u t ) } ( { \bf k } , E ) = l i m _ { t ^ { \prime } \rightarrow \mp \infty } \delta ( E - { \bf k } ^ { 2 } / 2 m ) \int d E ^ { \prime } e ^ { i ( E - E ^ { \prime } ) t ^ { \prime } } \tilde { A } ( { \bf k } , E ^ { \prime } ) .
{ } _ { 2 } \dot { \kappa } _ { \eta } ( \mathbf { p } ) : = \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ e ~ i ~ g ~ e ~ n ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ } [ \dot { \mathbf { W } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ] ,
i \hbar { \frac { \partial \Psi ( \mathbf { r } , t ) } { \partial t } } = \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } + V _ { \mathrm { { t w i s t } } } ( \mathbf { r } ) + g \vert \Psi ( \mathbf { r } , t ) \vert ^ { 2 } - \Omega { \hat { L } } \right) \Psi ( \mathbf { r } , t ) ,
\tau _ { \/ R } = \frac { \eta _ { 0 } \sqrt { \mu _ { \/ F } \epsilon _ { \/ F } - \chi _ { \/ F } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } { \eta _ { 0 } \sqrt { \mu _ { \/ F } \epsilon _ { \/ F } - \chi _ { \/ F } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } + \mu _ { \/ F } - j \mu _ { 0 } \chi _ { \/ F } } E _ { 0 } , \qquad \tau _ { \/ L } = \frac { \eta _ { 0 } \sqrt { \mu _ { \/ F } \epsilon _ { \/ F } - \chi _ { \/ F } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } { \eta _ { 0 } \sqrt { \mu _ { \/ F } \epsilon _ { \/ F } - \chi _ { \/ F } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } + \mu _ { \/ F } + j \mu _ { 0 } \chi _ { \/ F } } E _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { u } } & { { } = } & { ( { \nu ^ { 3 } } / { L ^ { 4 } } ) ( N u - 1 ) R a P r ^ { - 2 } , } \\ { \epsilon _ { \theta } } & { { } = } & { \kappa ( { \Delta ^ { 2 } } / { L ^ { 2 } } ) N u . } \end{array}
\langle \phi _ { 1 } ( z _ { 1 } , \bar { z } _ { 1 } ) \phi _ { 2 } ( z _ { 2 } , \bar { z } _ { 2 } ) \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { C _ { 1 2 } } { z _ { 1 2 } ^ { 2 h } \bar { z } _ { 1 2 } ^ { 2 \bar { h } } } } } & { { \quad \textrm { i f } \; \; h _ { 1 } = h _ { 2 } = h \; \; \textrm { a n d } \; \; \bar { h } _ { 1 } = \bar { h } _ { 2 } = \bar { h } \medskip } } \\ { { 0 } } & { { \quad \textrm { o t h e r w i s e } \, \, \, } } \end{array} \right. \, \, ,
{ \frac { t } { s } } ( 1 + { \frac { s } { \ell } } ) = 1 + { \frac { d } { \ell } } \ \ \Rightarrow \ \ { \frac { s } { t } } = { \frac { 1 + { \frac { s } { \ell } } } { 1 + { \frac { d } { \ell } } } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } ^ { L R } = \sum _ { j \in \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ - ~ o ~ f ~ - ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ } } \left( \Omega _ { 0 j } - \mathrm { i } \frac { \Gamma _ { 0 j } } { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } _ { j } } = - \frac { 3 } { 2 } \Gamma _ { 0 } \lambda _ { 0 } \widetilde G ( \mathbf { q } ; \ell ) , } \end{array}
P _ { \Lambda } = - \frac { \sum _ { q } \hat { A } _ { q } [ \Delta D _ { q } ^ { \Lambda } ( z ) - \Delta D _ { \bar { q } } ^ { \Lambda } ( z ) ] } { \sum _ { q } \hat { C } _ { q } [ D _ { q } ^ { \Lambda } ( z ) + D _ { \bar { q } } ^ { \Lambda } ( z ) ] } .
\begin{array} { r l } { P ( S \le s , T \le t ) } & { = \lambda ^ { 2 } \iint _ { R } u e ^ { - \lambda u } \mathbf 1 _ { u > 0 , 0 < v < 1 } \, d u \, d v \qquad , \mathrm { ~ w h e r e ~ } R = \{ ( u , v ) : u \le s , v \le t \} } \\ & { = \left( \int _ { 0 } ^ { s } \lambda ^ { 2 } u e ^ { - \lambda u } \, d u \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } \, d v \right) } \\ & { = P ( S \le s ) \, P ( T \le t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { i j } ^ { \prime } \equiv \sum _ { N } m _ { N } x _ { N } ^ { i } ( 0 ) x _ { N } ^ { j } ( 0 ) = U _ { i a } ( \sum _ { N } m _ { N } x _ { N } ^ { a } ( 0 ) x _ { N } ^ { b } ( 0 ) ) U _ { j b } = U _ { i a } g _ { a b } U _ { j b } , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad g ^ { \prime } = U g U ^ { T } . } \end{array}
\omega _ { a , b } \equiv \frac { 1 } { 4 } - 4 a b \quad , \quad V _ { a , b } ^ { ( 0 ) } \equiv V _ { a , b } ( 0 ) = a + b + \frac { 1 } { 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad V _ { a , b } ^ { ( \infty ) } \equiv V _ { a , b } \left( \pm \infty \right) = 4 a b + a + b + \frac { 1 } { 4 } \; .
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( | A ^ { n } | ^ { \frac { p } { n } } ) = \mathrm { t r } ( | W _ { k } ^ { - 1 } \Lambda _ { k } ^ { n } W _ { k } | ^ { \frac { p } { n } } ) } & { \le \| W _ { k } ^ { - 1 } \| ^ { \frac { p } { n } } \| W _ { k } \| ^ { \frac { p } { n } } \; \mathrm { t r } ( | \Lambda _ { k } ^ { n } | ^ { \frac { p } { n } } ) } \\ & { \le ( \| W _ { k } ^ { - 1 } \| \| W _ { k } \| ) ^ { \frac { p } { n } } ) \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } | \lambda _ { i } | ^ { p } + \varepsilon \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \dot { \alpha } } & { = - ( \Delta _ { c } + i \frac { \kappa } { 2 } - \frac { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } \right\rangle } { \Delta _ { 0 } } ) \alpha + \eta _ { p } } \\ { i \left\langle \dot { \hat { c } } _ { m } \right\rangle } & { = m \omega _ { B } \left\langle \hat { c } _ { m } \right\rangle + \frac { \mathcal { G } _ { 0 } ^ { 2 } } { \Delta _ { 0 } } | \alpha | ^ { 2 } \sum _ { m , n } J _ { m , n } \left\langle \hat { c } _ { n } \right\rangle , } \end{array}
T ^ { h } [ \hat { \rho } ^ { h } ] = \sum _ { { \bf k } , { \bf G } } ( P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { + } - P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { - } ) \frac { ( { \bf k } + { \bf G } ) ^ { 2 } } { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } - a C \left( \left( \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad - C a ^ { 2 } { \mathrm { R a } } ^ { 2 } \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle + \left( \frac { 5 b } { 8 \mathrm { { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a ^ { - 1 } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { 2 { \mathrm { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } . } \end{array}
\widehat { ( \mathscr { E } _ { n } h ) } _ { n } ( k , k ^ { \prime } ) = n \big ( e ^ { - \frac { 2 \pi \mathsf { i } k } { n } } - 1 \big ) \widehat { h } _ { n } ( k , k ^ { \prime } ) , \quad \widehat { ( \mathscr { A } _ { n } h ) } _ { n } ( k , k ^ { \prime } ) = \mathsf { i } n \Omega \bigg ( \frac { k } { n } , \frac { k ^ { \prime } } { n } \bigg ) \widehat { h } _ { n } ( k , k ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r c r c l } { C / \mathscr { R } } & { \overset { \simeq } { \longrightarrow } } & { \mathscr { R } ^ { \sharp } / \mathscr { R } } & { \oplus } & { M } \\ { x \bmod { \mathscr { R } } } & { \longmapsto } & { \iota _ { \mathrm { t o r s } } ( x ) \bmod { \mathscr { R } } } & { + } & { \iota ( x ) } \end{array} } \end{array}
\mathbb { U } ( N ) ~ { \stackrel { \scriptscriptstyle { \mathrm { d e f } } } { = } } ~ \left\{ { \mathcal { B } } \in \mathbb { M } ~ : ~ { \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t ~ } } B \in { \mathcal { B } } { \mathrm { ~ a n d ~ a ~ n e i g h b o r h o o d ~ } } V { \mathrm { ~ o f ~ t h e ~ o r i g i n ~ i n ~ } } X { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } B + V \subseteq N \right\}
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c ; z ) = ( 1 - z ) ^ { - a } \, { } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , c - b ; c ; { \frac { z } { z - 1 } } ) \ \ \ { \mathrm { P f a f f ~ t r a n s f o r m a t i o n } }
\int _ { 0 } ^ { \infty } d x x ^ { \frac { d } { 2 } - 2 } e ^ { - s W _ { k } ^ { \prime } x } = v _ { d - 2 } ^ { - 1 } 2 ^ { 1 - d } \pi ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } ( s W _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 1 - \frac { d } { 2 } }
\begin{array} { r } { \widetilde { { \mathbf Y } } _ { 0 } = ( 0 , 0 , 0 ) ^ { { \mathrm T } } \; \; \; , \; \; \; \widetilde { { \mathbf Y } } _ { N } = \left( \frac { e - 1 } { L } - \frac { x _ { c } } { T } \, \, , \, \, \frac { 2 } { L } - \frac { y _ { c } } { T } \, \, , \, \, \frac { 1 } { T } \right) ^ { { \mathrm T } } } \\ { \widetilde { { \mathbf U } } ( \widetilde { { \mathbf Y } } _ { 0 } , \tau _ { 0 } ) = \widetilde { { \mathbf Y } } ^ { \prime } ( \tau _ { 0 } ) = \left( \frac { 1 } { v 0 } - x _ { c } \, \, , \, \, \frac { 1 } { v 0 } - y _ { c } \, \, , \, \, 1 \right) ^ { { \mathrm T } } } \\ { \widetilde { { \mathbf U } } ( \widetilde { { \mathbf Y } } _ { N } , \tau _ { N } ) = \widetilde { { \mathbf Y } } ^ { \prime } ( \tau _ { N } ) = \left( \frac { e } { v 0 } - x _ { c } \, \, , \, \, \frac { 3 } { v 0 } - y _ { c } \, \, , \, \, 1 \right) ^ { { \mathrm T } } } \end{array}
{ \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) { \cdot } u \simeq \left[ m _ { t } ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } q _ { \perp } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { K _ { \perp } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } \right) + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } q _ { s } ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { y } ^ { 2 } \, m _ { t } ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \! \! u _ { t } \, \mathrm { c h } ( Y - \xi ) - K _ { \rho } \cos \phi \; .
{ \cal D } _ { \mu \nu } = - { \frac { P _ { L } ^ { \mu \nu } } { k ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } - F } } - { \frac { P _ { T } ^ { \mu \nu } } { k ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } - G } } - { \frac { k ^ { \mu } k ^ { \nu } } { m _ { \rho } ^ { 2 } k ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { M _ { \star } } & { = } & { 1 2 2 . 4 \, \frac { \lambda \, M _ { p l } ^ { 3 } } { m _ { p } ^ { 2 } } } \\ { R _ { \star } } & { = } & { 1 0 8 . 6 \, \frac { \lambda ^ { 4 / 5 } \, M _ { p l } } { \alpha ^ { 2 } \, m _ { p } ^ { 2 } } } \\ { T _ { \star } } & { = } & { 0 . 0 1 4 \, \frac { \lambda ^ { 1 9 / 4 0 } \, \alpha ^ { 1 / 2 } \, m _ { e } ^ { 1 / 2 } \, m _ { p } ^ { 3 / 4 } } { M _ { p l } ^ { 1 / 4 } } } \\ { L _ { \star } } & { = } & { 9 . 7 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \frac { \lambda ^ { 7 / 2 } \, m _ { e } ^ { 2 } \, M _ { p l } } { \alpha ^ { 2 } \, m _ { p } } } \\ { t _ { \star } } & { = } & { 1 1 0 . 0 \, \frac { \alpha ^ { 2 } \, M _ { p l } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 5 / 2 } \, m _ { e } ^ { 2 } \, m _ { p } } } \end{array}
| \psi _ { t } \rangle : = P _ { \mathrm { s s } } ^ { - 1 / 2 } | P _ { t } \rangle , P _ { \mathrm { s s } } ( \Phi , \{ \phi ( x ) \} _ { x } ) \propto \exp \left[ - \frac { 1 } { T } \left( \frac { M } { 2 } \Phi ^ { 2 } + \int d x \frac { 1 } { 2 \kappa ( x ) } \phi ^ { 2 } ( x ) \right) \right] , m ( x ) : = \frac { x } { 2 T \kappa ( x ) } , \omega ( x ) : = \frac { 1 } { x } .
\delta \Gamma _ { 1 1 1 } ^ { \mu } ( P , Q , R ) = 4 i e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } K } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { D } _ { 1 1 } ( K ) \overline { { { D } } } _ { 1 1 } ( K - Q ) \overline { { { D } } } _ { 1 1 } ( K + P ) .
\begin{array} { r l } { h _ { + } ( t ) } & { = \frac { 2 \mathcal { M } } { D _ { L } } \left( \pi f _ { \mathrm { g w } } ( t ) \right) ^ { 2 / 3 } \left( 1 + \cos ^ { 2 } \iota \right) \cos { \phi ( t ) } , } \\ { h _ { \times } ( t ) } & { = - \frac { 4 \mathcal { M } } { D _ { L } } \left( \pi f _ { \mathrm { g w } } ( t ) \right) ^ { 2 / 3 } \cos { \iota } \sin { \phi ( t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \xi _ { \phi } \left( t \right) \xi _ { \phi } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } \approx \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } ^ { 2 } \overline { { P } } ^ { 2 } } \Big ( \left\langle \sin { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \sin { \left( \Phi \left( t ^ { \prime } \right) \right) } \right\rangle \left\langle \xi _ { I } \left( t \right) \xi _ { I } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle } \end{array}
[ \boldsymbol { e } ] _ { k } = \big ( \bar { u } , \boldsymbol { \phi } _ { k } \big ) , \qquad [ \boldsymbol { q } ] _ { k } = \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } \bar { u } } { \partial x ^ { 2 } } , \boldsymbol { \phi } _ { k } \bigg ) , \qquad [ \boldsymbol { D } ] _ { k , i } = \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } \boldsymbol { \phi } _ { i } } { \partial x ^ { 2 } } , \boldsymbol { \phi } _ { k } \bigg ) .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d x } \Big \{ U _ { o _ { 1 } } + \Delta _ { 1 } U _ { o _ { 2 } } \Big \} = \frac { d U _ { o _ { 1 } } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) + \frac { d \Delta _ { 1 } } { d x } U _ { o _ { 2 } } + \Delta _ { 1 } \frac { d U _ { o _ { 2 } } } { d y _ { o } } y u _ { e } } \\ { = \frac { d U _ { o 1 } } { d y _ { o } } ( \frac { - y _ { o } } { x } + \frac { - y _ { o } } { u _ { * } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) + \frac { 1 } { U _ { e } } \frac { d u _ { * } } { d x } U _ { o 2 } + \Delta _ { 1 } \frac { d U _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( \frac { - y _ { o } } { x } + \frac { - y _ { o } } { u _ { * } } \frac { d u _ { * } } { d _ { x } } ) . } \end{array}
f = \overbrace { \langle { \overline { { f } } } \rangle + \underbrace { \tilde { f } } _ { \begin{array} { c } { \overline { { f } } - \langle { \overline { { f } } } \rangle } \\ { \mathrm { ~ c ~ o ~ h ~ e ~ r ~ e ~ n ~ t ~ } } \\ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \end{array} } } ^ { \overline { { f } } } + \underbrace { f ^ { \prime \prime } } _ { \begin{array} { c } { f - \overline { { f } } } \\ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ o ~ h ~ e ~ r ~ e ~ n ~ t ~ } } \\ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \end{array} } .
\sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 1 ) } = 0 , ~ \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 1 ) } = 0 . 5 , ~ \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 1 ) } = 0 . 5 , ~ \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 1 ) } = 0 . 5 , ~ x _ { V ( s ) C ( s ) } ^ { ( 1 ) } = 0 . 5 , ~ x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } ^ { ( 1 ) } = 0 . 5
W ( { \vec { k } } _ { 1 } , { \vec { k } } _ { 2 } , t ) = \sum _ { M _ { i } , M _ { f } , \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } } \left| \sum _ { M _ { a } } \langle M _ { f } | { \mathcal { H } } _ { 2 } \Lambda ( t ) | M _ { a } \rangle \langle M _ { a } | { \mathcal { H } } _ { 1 } | M _ { i } \rangle \right| ^ { 2 } = \langle \rho ( { \vec { k } } _ { 2 } ) \rangle _ { t }
, o n e p r o v e s u s i n g e q u a l R i e m a n n s y s t e m s \left( ( I _ { j } ^ { n } ) _ { j \in J _ { n } } , ( x _ { j } ^ { n } ) _ { j \in J _ { n } } \right) _ { n \in \mathbb { N } } = \left( ( E _ { j } ^ { n } ) _ { j \in \tilde { J } _ { n } } , ( y _ { j } ^ { n } ) _ { j \in \tilde { J } _ { n } } \right) _ { n \in \mathbb { N } } i n e q u a t i o n t h a t t h e R i e m a n n s u m s a s s o c i a t e d t o s u c h s y s t e m c o n v e r g e i n L ^ { 2 } ( \Omega , \mathcal { A } , \mathbb { P } ) t o a r a n d o m v a r i a b l e . T h e i n d e p e n d e n c e o f t h e R i e m a n n s y s t e m f o l l o w s h e n c e w h e n u s i n g t w o d i f f e r e n t R i e m a n n s y s t e m s i n a n d t h e n a p p l y i n g L e m m a p o i n t
\begin{array} { r l r } { T ^ { \mu \nu } } & { = } & { ( \varepsilon + \mathcal { E } ^ { ( 1 ) } ) \, u ^ { \mu } u ^ { \nu } + ( \mathcal { P } _ { l } ^ { ( 1 ) } - \mathcal { P } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } ) \, l ^ { \mu } l ^ { \nu } + ( P + \mathcal { P } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } ) \, \Delta ^ { \mu \nu } + 2 \, M \, u ^ { \left( \mu \right. } l ^ { \left. \nu \right) } + 2 \, W _ { \perp u } ^ { \left( \mu \right. } u ^ { \left. \nu \right) } } \\ & { } & { + 2 \, W _ { \perp l } ^ { \left( \mu \right. } l ^ { \left. \nu \right) } + \pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } \; , } \end{array}
{ \sqrt [ [object Object] ] { \cos ^ { 5 } ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) / \cos ^ { 2 } ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \cos ^ { 5 } ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) / \cos ^ { 2 } ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \cos ^ { 5 } ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) / \cos ^ { 2 } ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \Big \| \frac { 1 } { | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \Big \| ^ { 2 } } & { \leq \Big [ \frac { 1 } { | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| \Big ] ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ g ~ m ~ a ~ p ~ } } ( G _ { X } , G _ { Y } ) } & { { } = \mathbb { E } _ { y \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( y ) } \left[ \| ( S _ { x } ( G _ { X } ( G _ { Y } ( y ) ) ) - S _ { x } ( y ) ) + ( S _ { y } ( G _ { X } ( G _ { Y } ( y ) ) ) - S _ { y } ( y ) ) \| _ { 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { L y ^ { \prime } } & { { } = L y ^ { 0 } \left[ \left( a ^ { L y } + b ^ { L y } ( E _ { r } - E _ { 0 } ^ { L y } ) \right) F _ { D } + ( 1 - F _ { D } ) \right] } \\ { Q y ^ { \prime } } & { { } = Q y ^ { 0 } \left[ \left( a ^ { Q y } + b ^ { Q y } ( E _ { r } - E _ { 0 } ^ { Q y } ) \right) F _ { D } + ( 1 - F _ { D } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { r 0 } = \sqrt { 1 + ( \alpha + \frac { D _ { \mu } + D _ { - \mu } } { 2 } + \frac { I _ { r \mu } + I _ { r ( - \mu ) } } { 2 } - 2 I ) ^ { 2 } } } \\ & { \alpha _ { r } ^ { \textrm { o p t } } = - \frac { D _ { \mu } + D _ { - \mu } } { 2 } - \frac { I _ { r \mu } + I _ { r ( - \mu ) } } { 2 } + 2 I } \\ & { I _ { r \mu } ( - 1 + i ( \alpha - \alpha _ { r } ^ { \textrm { o p t } } ) ) = i { E _ { r 0 } ^ { * } } ^ { 2 } E _ { r \mu } E _ { r ( - \mu ) } } \\ & { I _ { r \mu } = I _ { r ( - \mu ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { T _ { j k } } { \bf f } \, d s } & { = } & { \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \nabla { \bf f } _ { i } - \nabla { \bf f } _ { T } ) ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | } \\ & { = } & { \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \nabla { \bf f } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) - \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \nabla { \bf f } _ { T } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | } \\ & { = } & { \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \nabla { \bf f } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) - \frac { 1 } { 2 4 } \nabla { \bf f } _ { T } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | } \\ & { = } & { \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \nabla { \bf f } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) - \frac { 1 } { 2 4 } \nabla { \bf f } _ { T } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \bf x } _ { i } - 3 { \bf x } _ { T } \right) \right] | { \bf n } _ { T } | } \\ & { = } & { \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \nabla { \bf f } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) - \frac { 1 } { 2 4 } \nabla { \bf f } _ { T } \left( 3 { \bf x } _ { T } - 3 { \bf x } _ { T } \right) \right] | { \bf n } _ { T } | } \\ & { = } & { \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \nabla { \bf f } _ { i } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { T } ) \right] | { \bf n } _ { T } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega \setminus \bigcup \mathcal B _ { m , n } } \frac { | D u _ { n } | ^ { p _ { n } } } { p _ { n } } } & { = \int _ { \Omega } \frac { | D u _ { n } | ^ { p _ { n } } } { p _ { n } } - \frac { \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , 2 } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) } { 2 - p _ { n } } } \\ & { \quad \quad + \frac { \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , 2 } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) - \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p _ { n } ^ { \prime } } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) ^ { p _ { n } - 1 } } { 2 - p _ { n } } } \\ & { \quad \quad + \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p _ { n } ^ { \prime } } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) ^ { p _ { n } - 1 } \frac { 1 - \eta _ { m } ^ { 2 - p _ { n } } } { 2 - p _ { n } } } \\ & { \quad \quad + \left[ \frac { \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p _ { n } ^ { \prime } } ( \mathrm { T r } _ { \partial \Omega } u _ { 0 } ) ^ { p _ { n } - 1 } \eta _ { m } ^ { 2 - p _ { n } } } { 2 - p _ { n } } - \int _ { \bigcup \mathcal B _ { m , n } } \frac { | D u _ { n } | ^ { p _ { n } } } { p _ { n } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \hat { S } _ { 1 } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { a i } ( s _ { i } ^ { a } ) ^ { ( 2 ) } \hat { E } _ { a i } } & & { = \sum _ { a i } ( t _ { i } ^ { a } ) ^ { ( 2 ) } \hat { E } _ { a i } } \\ & { \hat { S } _ { 1 } ^ { ( 3 ) } = \sum _ { \alpha i } ( s _ { i } ^ { \alpha } ) ^ { ( 3 ) } \hat { E } _ { \alpha i } } & & { = - \sum _ { a b i j } ( t _ { j i } ^ { a b } ) ^ { ( 1 ) } ( t _ { j } ^ { b } ) ^ { ( 2 ) } \hat { E } _ { a i } + 2 \sum _ { a b i j } ( t _ { i j } ^ { a b } ) ^ { ( 1 ) } ( t _ { j } ^ { b } ) ^ { ( 2 ) } \hat { E } _ { a i } } \\ & { } & & { - \sum _ { \alpha a i j k l } ( t _ { i l } ^ { j k } F _ { j k } ^ { a \alpha } ) ^ { ( 1 ) } ( t _ { l } ^ { a } ) ^ { ( 2 ) } \hat { E } _ { \alpha i } + 2 \sum _ { \alpha a i j k l } ( t _ { i l } ^ { j k } F _ { k j } ^ { a \alpha } ) ^ { ( 1 ) } ( t _ { l } ^ { a } ) ^ { ( 2 ) } \hat { E } _ { \alpha i } } \\ & { \hat { S } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = \frac 1 2 \sum _ { \alpha \beta i j } ( s _ { i j } ^ { \alpha \beta } ) ^ { ( 1 ) } \hat { E } _ { \alpha i } \hat { E } _ { \beta j } } & & { = \frac 1 2 \sum _ { a b i j } ( t _ { i j } ^ { a b } ) ^ { ( 1 ) } \hat { E } _ { a i } \hat { E } _ { b j } + \frac 1 2 \sum _ { \alpha \beta i j k l } ( t _ { i j } ^ { k l } F _ { k l } ^ { \alpha \beta } ) ^ { ( 1 ) } \hat { E } _ { \alpha i } \hat { E } _ { \beta i } } \\ & { \hat { S } _ { 2 } ^ { ( 3 ) } = \frac 1 2 \sum _ { \alpha \beta i j } ( s _ { i j } ^ { \alpha \beta } ) ^ { ( 3 ) } \hat { E } _ { \alpha i } \hat { E } _ { \beta j } } & & { = \frac 1 2 \sum _ { a b i j } ( W 1 ) _ { a i b j } \hat { E } _ { a i } \hat { E } _ { b j } + \frac 1 2 \sum _ { \alpha b i j k l } ( W 2 ) _ { \alpha i b j } \hat { E } _ { \alpha i } \hat { E } _ { b j } } \\ & { } & & { + \frac 1 2 \sum _ { \alpha \beta i j k l } ( W 3 ) _ { \alpha \beta i j } \hat { E } _ { \alpha i } \hat { E } _ { \beta j } } \end{array}
| \Phi _ { p r e } \rangle = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } | 1 \rangle + \frac { \sqrt { 6 } } { 4 } | 2 \rangle + \frac { \sqrt { 6 } } { 4 } | 3 \rangle + \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } | 4 \rangle