harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S E _ { \widehat { \beta } } = { \frac { \sqrt { { \frac { 1 } { n - 2 } } \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } - { \widehat { y } } _ { i } \right) ^ { 2 } } } { \sqrt { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - { \bar { x } } \right) ^ { 2 } } } }
{ { \bf { c } } _ { i } } = \left\{ \begin{array} { l } { c { \left( { 0 , 0 } \right) ^ { \mathrm { T } } } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; i = 0 , } \\ { c { \left( { \cos \left[ { { { \left( { i - 1 } \right) \pi } \mathord { \left/ { \vphantom { { \left( { i - 1 } \right) \pi } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } \right] , \sin \left[ { { { \left( { i - 1 } \right) \pi } \mathord { \left/ { \vphantom { { \left( { i - 1 } \right) \pi } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } \right] } \right) ^ { \mathrm { T } } } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; i = 1 , 2 , 3 , 4 , } \\ { \sqrt 2 { \left( { \cos \left[ { { { \left( { 2 i - 1 } \right) \pi } \mathord { \left/ { \vphantom { { \left( { 2 i - 1 } \right) \pi } 4 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 4 } } \right] , \sin \left[ { { { \left( { 2 i - 1 } \right) \pi } \mathord { \left/ { \vphantom { { \left( { 2 i - 1 } \right) \pi } 4 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 4 } } \right] } \right) ^ { \mathrm { T } } } , \; \; \; \; \; i = 5 , 6 , 7 , 8 , } \end{array} \right.
\lambda ( p ) = c - a p ^ { 2 } , \quad \mathrm { ~ w i t h ~ } a , c > 0 \mathrm { ~ a n d ~ } 0 < \frac { \bar { \mu } - c } { 3 \underline { { p } } ^ { 2 } } < a < \left( \frac { 3 ( \underline { { \mu } } - \bar { \lambda } ) \underline { { p } } } { h _ { 0 } C } - \frac { \underline { { \mu } } } { \underline { { \mu } } - \bar { \lambda } } \right) \frac { \underline { { \lambda } } } { \bar { p } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \alpha \le \frac { 1 } { \left( \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { \xi _ { 1 } } + 2 4 \xi _ { 2 } + \frac { 4 } { \xi _ { 2 } } \right) } = \frac { \xi _ { 1 } } { \left( c _ { 1 } + c _ { 2 } + 2 4 \xi _ { 1 } ^ { 2 } + 4 \right) } } \\ & { \alpha \le \operatorname* { m i n } \{ \frac { \xi _ { 1 } } { 1 2 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } , 1 , \frac { ( \frac { 5 } { \xi _ { 1 } } + 5 \xi _ { 1 } ) ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) } { 2 4 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 6 } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } g ( y ) \preceq } & { ( \frac { r } { \| c \| } + \frac { \| c \| } { r } ) c c ^ { T } + \frac { \| c \| } { r } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) I + ( \| c \| r + \| c \| r ) I } \\ { = } & { ( \frac { r } { \| c \| } + \frac { \| c \| } { r } ) c c ^ { T } + \frac { \| c \| } { r } ( 3 r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) I } \end{array}
( ( \delta _ { \theta _ { 2 1 } \gamma _ { 2 1 } } ) ( \delta _ { \theta _ { 3 1 } \gamma _ { 3 1 } } \delta _ { \theta _ { 3 2 } \gamma _ { 3 2 } } ) \cdots ( \delta _ { \theta _ { k - 1 , 1 } \gamma _ { k - 1 , 1 } } \cdots \delta _ { \theta _ { k - 1 , k - 2 } \gamma _ { k - 1 , k - 2 } } ) ) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi } & { = - \frac { 1 } { 6 } \alpha ( \hat { K } + 2 \Theta ) + \beta ^ { i } \partial _ { i } \phi + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { i } \beta ^ { i } } \\ { \partial _ { t } \tilde { \gamma } _ { i j } } & { = - 2 \alpha \tilde { A } _ { i j } + 2 \tilde { \gamma } _ { k ( i } \partial _ { j ) } \beta ^ { k } - \frac { 2 } { 3 } \tilde { \gamma } _ { i j } \partial _ { k } \beta ^ { k } + \beta ^ { k } \partial _ { k } \tilde { \gamma } _ { i j } } \\ { \partial _ { t } \hat { K } } & { = - D _ { i } D ^ { i } \alpha + \alpha \left[ \tilde { A } _ { i j } \tilde { A } ^ { i j } + \frac { 1 } { 3 } ( \hat { K } + 2 \Theta ) ^ { 2 } \right. } \\ & { \; \; \; \; \left. \vphantom { \frac { 0 } { 0 } } + \kappa _ { 1 } ( 1 - \kappa _ { 2 } ) \Theta \right] + 4 \pi \alpha \left( S + \rho _ { \mathrm { A D M } } \right) + \beta ^ { i } \partial _ { i } \hat { K } } \\ { \partial _ { t } \tilde { A } _ { i j } } & { = e ^ { - 4 \phi } \left[ - D _ { i } D _ { j } \alpha + \alpha \left( R _ { i j } - 8 \pi S _ { i j } \right) \right] ^ { \mathrm { t f } } + \alpha \left[ \left( \hat { K } + 2 \Theta \right) \tilde { A } _ { i j } \right. } \\ & { \left. \; \; \; - 2 \tilde { A } _ { i k } \tilde { A } _ { j } ^ { k } \right] + 2 \tilde { A } _ { k ( i } \partial _ { j ) } \beta ^ { k } - \frac { 2 } { 3 } \tilde { A } _ { i j } \partial _ { k } \beta ^ { k } + \beta ^ { k } \partial _ { k } \tilde { A } _ { i j } } \\ { \partial _ { t } \Theta } & { = \frac { 1 } { 2 } \alpha \left[ R - \tilde { A } _ { i j } \tilde { A } ^ { i j } + \frac { 2 } { 3 } ( \hat { K } + 2 \Theta ) ^ { 2 } - 1 6 \pi \rho _ { \mathrm { A D M } } \right. } \\ & { \left. \phantom { \frac { 0 } { 0 } } \; \; - 2 \kappa _ { 1 } ( 2 + \kappa _ { 2 } ) \Theta \right] + \beta ^ { i } \partial _ { i } \Theta } \\ { \partial _ { t } \tilde { \Gamma } ^ { i } } & { = \tilde { \gamma } ^ { j k } \partial _ { j } \partial _ { k } \beta ^ { i } + \frac { 1 } { 3 } \tilde { \gamma } ^ { i j } \partial _ { j } \partial _ { k } \beta ^ { k } - 2 \tilde { A } ^ { i j } \partial _ { j } \alpha + 2 \alpha \left[ \tilde { \Gamma } _ { j k } ^ { i } \tilde { A } ^ { j k } + 6 \tilde { A } ^ { i j } \partial _ { j } \phi \phantom { \frac { 0 } { 0 } } \right. } \\ & { \left. \; \; \; - \frac { 1 } { 3 } \tilde { \gamma } ^ { i j } \partial _ { j } ( 2 \hat { K } + \Theta ) - \kappa _ { 1 } ( \tilde { \Gamma } ^ { i } - \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { i } ) - 8 \pi \tilde { \gamma } ^ { i j } S _ { j } \right] } \\ & { \; \; \; + \frac { 2 } { 3 } \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { i } \partial _ { j } \beta ^ { j } - \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { j } \partial _ { j } \beta ^ { i } + \beta ^ { j } \partial _ { j } \tilde { \Gamma } ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha / \beta } ^ { A } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e ( \beta ) | A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \dots A ( x _ { n } , y _ { n } ) | e ( \alpha ) \rangle , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { B } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e ( \beta ) | B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \dots B ( x _ { n } , y _ { n } ) | e ( \alpha ) \rangle , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { C } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e ( \beta ) | C ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \dots C ( x _ { n } , y _ { n } ) | e ( \alpha ) \rangle , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { D } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e ( \beta ) | D ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \dots D ( x _ { n } , y _ { n } ) | e ( \alpha ) \rangle , } \\ { \widehat { f } _ { \alpha / \beta } ^ { A } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e ( \beta ) | \widehat { A } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \dots \widehat { A } ( x _ { n } , y _ { n } ) | e ( \alpha ) \rangle , } \\ { \widehat { f } _ { \alpha / \beta } ^ { B } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e ( \beta ) | \widehat { B } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \dots \widehat { B } x _ { n } , y _ { n } ) | e ( \alpha ) \rangle , } \\ { \widehat { f } _ { \alpha / \beta } ^ { C } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e ( \beta ) | \widehat { C } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \dots \widehat { C } ( x _ { n } , y _ { n } ) | e ( \alpha ) \rangle , } \\ { \widehat { f } _ { \alpha / \beta } ^ { D } ( x , y ; a , b ) } & { = \langle e ( \beta ) | \widehat { D } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \dots \widehat { D } ( x _ { n } , y _ { n } ) | e ( \alpha ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , j } ) , { x } ^ { t , j } - { z } \rangle - \langle \nabla f ( { x } ^ { t , i - 1 } ) , { x } ^ { t , i } - { z } \rangle } \\ { = \ } & { \sum _ { k = i + 1 } ^ { j } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle + \sum _ { k = i } ^ { j } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k } - { z } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \overline { { p } } } & { = - ( \overline { { \rho } } _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v s } ) g , } \\ { \overline { { p } } } & { = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + R _ { v } \overline { { \rho } } _ { v s } ) \overline { { T } } , } \\ { \overline { { \rho } } _ { v s } R _ { v } \overline { { T } } } & { = e _ { \mathrm { r e f } } \left( \frac { \overline { { T } } } { T _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { \frac { c _ { p v } - c _ { l } } { R _ { v } } } \exp \left( \frac { L _ { \mathrm { r e f } } - ( c _ { p v } - c _ { l } ) T _ { \mathrm { r e f } } } { R _ { v } } \left( \frac { 1 } { T _ { \mathrm { r e f } } } - \frac { 1 } { \overline { { T } } } \right) \right) , } \\ { \theta _ { e } } & { = \overline { { T } } \left( \frac { \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } \overline { { T } } } { p _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { - R _ { d } / ( c _ { p d } + c _ { l } ( \overline { { \rho } } _ { v s } / \overline { { \rho } } _ { d } ) ) } \exp \left( \frac { ( L _ { \mathrm { r e f } } + ( c _ { p v } - c _ { l } ) ( \overline { { T } } - T _ { \mathrm { r e f } } ) ) \overline { { \rho } } _ { v s } } { ( c _ { p d } \overline { { \rho } } _ { d } + c _ { l } \overline { { \rho } } _ { v s } ) \overline { { T } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { { } = p _ { I } = F _ { Z } ( z _ { I } ) , } \\ { p _ { 2 } } & { { } = p _ { I I } - p _ { I } = F _ { Z } ( z _ { I I } ) - F _ { Z } ( z _ { I } ) , } \\ { p _ { 3 } } & { { } = 1 - p _ { I I } = 1 - F _ { Z } ( z _ { I I } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { i j z } } & { { } = } & { P \left( z \in N ( i , j ) \right) \mathrm { ~ ~ a n d } } \\ { Q _ { i j z } } & { { } = } & { P \left( \mathcal { C } _ { z } ( \{ i , j \} ) = i \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta r } & { = \frac { E _ { y 0 } } { B } t _ { \mathrm { a c c } } + \frac { 2 ( 1 + \langle Z \rangle ) T q } { \langle m _ { i } \rangle c _ { s } } t _ { \mathrm { a c c } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { E } \left( t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 , t ^ { \prime } \right) d t ^ { \prime } } \\ & { = v _ { 0 } t _ { \mathrm { a c c } } + \frac { 4 \bar { n } T R _ { \mathrm { e f f } } q } { B ^ { 2 } c _ { s } } \left\{ \epsilon \left( t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } \right) e ^ { - t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } } - \epsilon \left( t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } , t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } , 0 \right) \right. } \\ & { \left. + e ^ { - t _ { \mathrm { e x p } } ^ { \prime } } \left[ e ^ { - t ^ { \prime } } \left\{ e ^ { t ^ { \prime \prime } } \mathfrak { E i } \left[ i \frac { t ^ { \prime \prime } } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right] - \mathfrak { E i } \left[ \left( 1 + i \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) t ^ { \prime \prime } \right] \right\} \right] _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } } \right. } \\ & { \left. + \frac { 1 } { t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } } \frac { 1 } { 1 + { t ^ { \prime } } _ { \mathrm { p o l } } ^ { - 2 } } \left[ t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } \cos { \left( \frac { t ^ { \prime \prime } } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) } + \sin { \left( \frac { t ^ { \prime \prime } } { t _ { \mathrm { p o l } } ^ { \prime } } \right) } \right] _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { p e } } ^ { \prime } } \right\} , } \end{array}
{ \bf D _ { 3 } } ( 0 , \sigma , 0 , \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } ) = \frac { 1 } { \mathrm { i } \pi ^ { n / 2 } \Gamma \left( 3 - \frac { n } { 2 } \right) } \int \frac { \mathrm { d } ^ { n } p } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { \nu _ { 3 } } } \left. J _ { 0 1 1 } ( \sigma , \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ; p ^ { 2 } , m ) \right| _ { m = 1 } \; .
n ^ { \mu } = \pm \left( { \frac { \dot { a } } { F ( a ) } } , \sqrt { F ( a ) + \dot { a } ^ { 2 } } , 0 , 0 \right) ; \qquad n _ { \mu } = \pm \left( - \dot { a } , { \frac { \sqrt { F ( a ) + \dot { a } ^ { 2 } } } { F ( a ) } } , 0 , 0 \right) .
\dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t \right) = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , \xi + \alpha + \beta , \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \left( t \right) + \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , \xi + \alpha + \beta - \lambda , \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \left( t \right) + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } e _ { \alpha + \beta , \xi + \alpha + \beta - \kappa , \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \left( t \right) ,
\tilde { \omega } _ { \pm } = \frac { \tilde { \omega } _ { 1 } + \tilde { \omega } _ { 2 } } { 2 } \pm \frac { \sqrt { 4 \tilde { \kappa } _ { 1 2 } \tilde { \kappa } _ { 2 1 } + ( \tilde { \omega } _ { 1 } - \tilde { \omega } _ { 2 } ) ^ { 2 } } } { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \psi ( [ ( x _ { 1 } , m _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , m _ { 2 } ) ] ) } & { = } & { \psi ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] , [ x _ { 1 } , m _ { 2 } ] + [ m _ { 1 } , x _ { 2 } ] + h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ) } \\ & { = } & { ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] , [ x _ { 1 } , m _ { 2 } ] + [ m _ { 1 } , x _ { 2 } ] + h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + f ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { L } _ { k } ^ { \left( q \right) } = \operatorname { d i a g } \left( \left[ \mathbf { L } _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( 1 \right) , \ldots , \mathbf { L } _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( r \right) \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ \underline { { x } } , \overline { { y } } ] } ( \eta , \widehat { \eta } ) } & { = [ \overline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] ^ { + } \widehat { \eta } + [ \overline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] ^ { - } \eta + \overline { { b } } ( \overline { { x } } , \overline { { x } } ) \ge [ \overline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] ^ { + } z + [ \overline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] ^ { - } z + \overline { { b } } ( \overline { { x } } , \overline { { x } } ) } \\ & { = [ \overline { { A } } ( \underline { { x } } , \overline { { x } } ) ] z + \overline { { b } } ( \overline { { x } } , \overline { { x } } ) \ge \mathsf { N } ( z ) , } \end{array}
\mathcal { B } _ { j } = \{ \phi _ { \mu } \, \, \vert \, \, \exists \mathbf { r } _ { i } \in \mathcal { Q } _ { j } \quad \mathrm { s . t . } \quad \vert \phi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { i } ) \vert \geq \varepsilon _ { B } \} ,
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } \tilde { \Chi } _ { m , k } \bigl ( \nabla \bigl ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \bigr ) \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , 1 ) ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } } \qquad } & { { } } \end{array}
\mathbb { P } \bar { \rho } _ { p ^ { * } } \Big \{ r ^ { \epsilon } ( \hat { \beta } ) \leq R ^ { \epsilon } ( \beta ) + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \Big ( \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } + \log ( 1 + 2 ( \| \beta _ { 1 } \| _ { 1 } + 1 ) \bar { \alpha } ) + \log \frac { 1 } { w _ { p } } + \log \frac { 1 } { \delta } \Big ) \Big \} \geq 1 - \delta .
\mathbf { E } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = \frac { 1 } { r ^ { 3 } } [ 3 ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { d } _ { 0 } ) \mathbf { n } - \mathbf { d } _ { 0 } ] + \mathbf { E } _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { \bar { u } _ { e } ^ { n + 1 } } & { = } & { ( 1 - \alpha _ { e } ) ( \bar { u } _ { e } ) ^ { H , n + 1 } + \alpha _ { e } ( \bar { u } _ { e } ) ^ { L , n + 1 } } \\ & { = } & { ( 1 - \alpha _ { e } ) \left[ \bar { u } _ { e } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { e } } ( F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ) \right] + \alpha _ { e } \left[ \bar { u } _ { e } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { e } } ( F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ) \right] } \\ & { = } & { \bar { u } _ { e } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { e } } ( F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi R ^ { 2 } ( z ) \dot { \rho } ( z , t ) = } & { { } D \partial _ { z } ^ { 2 } [ \pi R ^ { 2 } ( z ) \rho ( z , t ) ] - \partial _ { z } \Big [ Q ( t ) \rho ( z , t ) \Big ] + } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ^ { ( y ) } \left( w _ { x } \right) } & { = \frac { \exp \frac { - w _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } \eta } } \\ { \eta ^ { 2 } } & { = a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \quad = a ^ { 2 } + \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb S ^ { 1 } } c e ^ { v } = \int _ { \mathbb S ^ { 1 } } c e ^ { u } } & { \leqslant \int _ { \mathbb S ^ { 1 } } \kappa _ { u } e ^ { u } \leqslant \int _ { \mathbb S ^ { 1 } } \kappa _ { v } e ^ { v } } \\ & { \leqslant \int _ { \mathbb S ^ { 1 } } \cot ( r _ { i n } ) e ^ { f } \leqslant \int _ { \mathbb S ^ { 1 } } ( c + \Psi ) e ^ { f } \leqslant \int _ { \mathbb S ^ { 1 } } c e ^ { v } + \Psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { 0 } ^ { t } - \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } } { 2 } B \cos ( \omega t _ { 1 } ) + u ( t _ { 1 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \right| } \\ { = } & { \left| \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 \omega } \sin ( \omega t ) - \int _ { 0 } ^ { t } u ( t _ { 1 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \right| } \\ { \leq } & { \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 \omega } + \left| \int _ { 0 } ^ { t } u ( t _ { 1 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \right| } \\ { \leq } & { \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 \omega } + u _ { b } t , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { V } _ { k } , A _ { k } , B _ { k } , R _ { k } } } & { \! \! \! \! \! \sum _ { k = 1 } ^ { K } \! R _ { k } \! - \! \frac { 1 } { \xi } \sum _ { k } \! ( \Vert \mathbf { V } _ { k } \Vert _ { \ast } \! - \! \Vert \overline { { \mathbf { V } } } _ { k } \Vert _ { 2 } ) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathrm { s . t . } } & { \! \! \! \! \! \overline { { R } } _ { k } \ge R _ { k } , ~ \theta _ { m } ^ { p } \in [ 0 , 2 \pi ) , ~ \forall k , ~ \forall m , ~ \forall p , } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \mathrm { ( ) } , ~ \mathrm { ( ) } , ~ \mathrm { ( ) } \! \! - \! \! \mathrm { ( ) } , } \end{array}
E _ { \mathrm { t o t } } ^ { ( N ) } = \sum _ { i } ^ { N } e ^ { ( 1 ) } ( \vec { p } _ { i } ) + \sum _ { i } ^ { N } \sum _ { i < j } ^ { N } e ^ { ( 2 ) } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) + \sum _ { i } ^ { N } \sum _ { i < j } ^ { N } \sum _ { i < j < k } ^ { N } e ^ { ( 3 ) } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) + \cdots ,
\rho _ { l } ^ { n s } = \sum _ { l ^ { \prime } } \chi _ { l l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ( s \omega ) \phi _ { l ^ { \prime } } ^ { n s } + \frac { b } { 2 \pi } \int _ { - \pi / b } ^ { \pi / b } d k \sum _ { j j ^ { \prime } } a _ { j l , k } a _ { j ^ { \prime } l , k } ^ { * } \eta _ { j j ^ { \prime } , k } ^ { n s } ,
\delta \boldsymbol z = \frac { \partial \mathbf \Psi } { \partial \boldsymbol Z } \, \delta \boldsymbol Z + \frac { \partial \mathbf \Psi } { \partial \varepsilon } \, \delta \varepsilon \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \delta \varepsilon = 1 \quad \mathrm { a t } \quad \varepsilon = 0
L \gets l o g \bigg ( 1 + e x p \bigg ( { - \theta \big ( \sum _ { j } { h _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ } , j } ^ { ( l ) } } ^ { 2 } - \sum _ { j } { h _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ g ~ } , j } ^ { ( l ) } } ^ { 2 } \big ) \bigg ) } \bigg )
\begin{array} { r c l } { { \displaystyle \int \alpha _ { z z } { \psi } _ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } } ^ { \ast } { \psi } _ { J ^ { \prime \prime } M ^ { \prime \prime } } d \tau } } & { { = } } & { { \alpha _ { x _ { m } x _ { m } } \displaystyle \int Y _ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } } ^ { \ast } Y _ { J ^ { \prime \prime } M ^ { \prime \prime } } d \tau } } \\ { { } } & { { } } & { { + \left( \alpha _ { z _ { m } z _ { m } } - \alpha _ { x _ { m } x _ { m } } \right) \displaystyle \int \cos ^ { 2 } \theta Y _ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } } ^ { \ast } Y _ { J ^ { \prime \prime } M ^ { \prime \prime } } d \tau ~ . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { b _ { 1 } ^ { \dagger } | 1 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( b _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + b _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \otimes _ { + } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \psi _ { 1 } \otimes _ { + } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \right) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ) + { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } ) \right) } \\ { = } & { { \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } } } ( \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } ) } \\ { = } & { { \sqrt { 2 } } | 2 _ { 1 } , 1 _ { 2 } \rangle . } \end{array} }
{ \frac { 1 } { \alpha _ { G ^ { ' } } ( \mu ) } } = { \frac { 1 } { \alpha _ { s t r i n g } } } + \frac { b _ { G ^ { ' } } } { 4 \pi } \ln \frac { M _ { s t r i n g } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { r _ { k } ^ { i + 1 } } & { { } \approx } & { r _ { k } ^ { i } - \Delta R ^ { i } \, , } \\ { u _ { k } ^ { i + 1 } } & { { } \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { k } ^ { i } \, \left( 1 - 3 \, \nu _ { k } ^ { i } \, \Delta t _ { i } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, , } & { \Delta t _ { i } < \frac { 1 } { 3 \, \nu _ { k } ^ { i } } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { t } \mathbf { v } _ { i } } & { = \hat { \lambda } _ { i } ( t ) \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } \mathbf { v } _ { i } , } & { \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { L } \mathbf { v } _ { i } } & { = \hat { \kappa } _ { i } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } \mathbf { v } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D } & { = \int _ { S } d ^ { 2 } r \Big [ \alpha _ { 1 } ( n _ { \alpha } A _ { \alpha \beta } n _ { \beta } ) ^ { 2 } + 2 \gamma _ { 2 } N _ { \alpha } A _ { \alpha \beta } n _ { \beta } + \alpha _ { 4 } A _ { \alpha \beta } A _ { \alpha \beta } } \\ & { + ( \alpha _ { 5 } + \alpha _ { 6 } ) n _ { \alpha } A _ { \alpha \beta } A _ { \beta \gamma } n _ { \gamma } + \gamma _ { 1 } N _ { \alpha } N _ { \alpha } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \Theta } } & { { } = } & { \frac { c } { q } \left( q \, \frac { d \Phi ^ { * } } { d \Psi ^ { * } } + \mu \; \frac { d B ^ { * } } { d \Psi ^ { * } } \right) \equiv \Omega ( \Psi , \mu ) , } \\ { \dot { \zeta } } & { { } = } & { \Omega _ { 0 } \, B ^ { * } ( \Psi ) / B _ { 0 } \; + \; \dot { \Theta } , } \end{array}
\mathcal { S } _ { N } ^ { - } : = \{ ( \mathbf { j } , \mathbf { k } ) \in ( \mathbb { Z } ^ { d } ) ^ { 2 } \, : \, - 2 ^ { N b ^ { \prime } } \leq \operatorname* { m i n } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } j _ { \ell } \leq \operatorname* { m a x } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } j _ { \ell } < 0 , \operatorname* { m a x } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } | k _ { \ell } | \leq 2 ^ { N g } \} .