harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathscr { C } ^ { ( L ) } ( \mathcal { N } _ { G } ) \! } & { \leq \! \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \! H ( M ) \! + \! ( f _ { L } - f _ { W } ) \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \! \left\{ \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \! \! \! \! \! \! \pi ( m ) \right\} \! \right\} } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - f _ { L } , } \end{array}
\operatorname { S m o o t h M a x W e i g h t e d } ( \{ ( x _ { i } , p _ { i } ) \} _ { i } \cup \{ ( x , 0 ) \} | \beta ) = \operatorname { S m o o t h M a x W e i g h t e d } ( \{ ( x _ { i } , p _ { i } ) \} _ { i } | \beta )
\begin{array} { r l r } { | \Psi ^ { \alpha } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { \mu \in { \cal M } } ^ { M } C _ { \mu } ^ { \alpha } | \Psi _ { \mu } \rangle = \sum _ { \mu \in { \cal M } } ^ { M } C _ { \mu } ^ { \alpha } e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle } \\ { T ( \mu ) } & { { } = } & { T _ { \mathrm { C A S } } ( \mu ) + T _ { \mathrm { e x t } } ( \mu ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 4 } ^ { - } = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ \left[ I + \frac { v _ { n } ^ { 2 } + v _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \right] f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 4 } ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { } & { - ( \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 4 } ^ { e q } - ( - \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 4 } ^ { e q } - } \\ & { } & { ( - \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 3 4 } ^ { e q } - ( \lambda _ { 1 4 } n _ { 1 } - \lambda _ { 2 4 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 4 4 } ^ { e q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \texttt { N O R : } \quad A \downarrow B } & { \phantom { : } = \overline { A } \wedge \overline { B } } \\ { \texttt { N A N D : } \quad A \uparrow B } & { : = \overline { A } \vee \overline { B } } \\ { \texttt { X O R : } \quad A \oplus B } & { : = ( A \wedge \overline { B } ) \vee ( \overline { A } \wedge B ) } \\ { \texttt { X N O R : } \quad A \odot B } & { : = ( A \wedge B ) \vee ( \overline { A } \wedge \overline { B } ) \, . } \end{array}
\tilde { \xi } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) = \mathcal { N } \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \left[ e ^ { i m ( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } ) } + e ^ { - i m ( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } ) } \right] e ^ { - i k _ { z } z _ { 0 } } ,
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial _ { \mu } \phi \right) ^ { 2 } + { \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } + { \frac { m ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 2 4 } } \phi ^ { 4 } + \cdots
\beta _ { \mathrm { { X } } } = - \tau _ { \mathrm { { X } } b u } \Upsilon \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle - \tau _ { \mathrm { { X } } u b } \Upsilon \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle ,
\begin{array} { r l } & { \Phi _ { \Delta t } : = \Phi _ { \Delta t } ^ { x v , h a } \circ \Phi _ { \Delta t } ^ { v v } \circ \Phi _ { \Delta t } ^ { b b } \circ \Phi _ { \Delta t } ^ { b v } , , } \\ & { \Phi _ { \Delta t } : = \Phi _ { \Delta t } ^ { x v , d i s } \circ \Phi _ { \Delta t } ^ { v v } \circ \Phi _ { \Delta t } ^ { b b } \circ \Phi _ { \Delta t } ^ { b v } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \oint _ { C } f ( z ) } & { = \oint _ { C } { \frac { e ^ { z } } { z ^ { 3 } } } } \\ & { = 2 \pi i \cdot \operatorname { R e s } _ { z = 0 } f ( z ) } \\ & { = 2 \pi i \operatorname { R e s } _ { z = 0 } { \frac { e ^ { z } } { z ^ { 3 } } } } \\ & { = 2 \pi i \cdot { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \pi i } \end{array} }
< \tau \vert g _ { 0 } ^ { - 1 } M _ { + } ^ { - 1 } M _ { - } \vert \tau > ^ { ( 1 ) } = < \tau \vert ( g _ { 0 } ^ { - 1 } N _ { - } g _ { 0 } ) N _ { + } ^ { - 1 } \vert \tau > ^ { ( 1 ) } = < \tau \vert N _ { + } ^ { - 1 } \vert \tau > ^ { ( 1 ) } ,
\begin{array} { r l r } { V _ { o p } | \Phi \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) \times } \\ & { } & { \times \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) V ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 6 } \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| - 1 + \left| B _ { 1 } ^ { \mathrm { L } , i ( 3 ) } \right| } & { \leqslant \frac { n } { 1 8 } + 1 , } \\ { \frac { 1 } { 6 } \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| - 1 + \left| B _ { 1 } ^ { \mathrm { R } , i ( 4 ) } \right| } & { \leqslant \frac { n } { 1 8 } + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \left[ \ell ( \theta _ { 1 } ; Y _ { 0 : n } ) - \ell ( \theta _ { 0 } ; Y _ { 0 : n } ) \right] } \\ { = } & { \frac { D ^ { 1 } \ell ( \theta _ { 1 } ; Y _ { 0 : n } ) } { n } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } \frac { D ^ { 2 } \ell ( \theta _ { 1 } ; Y _ { 0 : n } ) } { n } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \frac { D ^ { 3 } \ell ( \tilde { \theta } _ { n } ; Y _ { 0 : n } ) } { n } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } ) ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq 2 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla h ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla h ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 4 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ] - \bar { \nu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } - J \sum _ { \langle i j \rangle } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { i } - 2 g J \sum _ { \langle \langle i j \rangle \rangle } b _ { j } ^ { \dagger } b _ { i } e ^ { \pm 2 \pi i / 3 } ( 1 - n _ { i j } ) + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ( t , \omega ) } & { = \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \iint _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \left\langle \Psi _ { a } \left| \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 1 } ) \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 2 } ) \right| \Psi _ { a } \right\rangle \sin ( \omega t _ { 1 } ) \sin ( \omega t _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \iint _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } d t _ { 2 } C _ { P , P } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \textrm { R e } [ e ^ { - i \omega ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) } - e ^ { - i \omega ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { e n v } } ^ { \mathrm { p o l } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } ] = - \frac { 1 } { 2 } \pmb { \mathcal { E } } ^ { T } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } ] \cdot \pmb { \mathcal { \mu } } ^ { \mathrm { i n d } } [ \rho _ { \mathrm { A } } ^ { ( 0 ) } ] , } \end{array}
\omega _ { 0 } ( x , y ) = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } \geq 0 } \frac { \{ n _ { 1 } ( N - 1 ) \} ! } { ( n _ { 1 } ! ) ^ { N - 2 } ( n _ { 2 } ! ) ^ { 2 } ( n _ { 1 } - 2 n _ { 2 } ) ! } x ^ { n _ { 1 } } y ^ { n _ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I I } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) = 4 \lambda ^ { 2 } \int _ { \Lambda _ { \beta } } d ^ { 3 } x x _ { + } ^ { 2 } e ^ { - i \pi T x _ { 0 } } } \\ & { } & { \quad \times \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { \tilde { \cal D } _ { \beta } } d k _ { 0 , i } d q _ { i , + } d q _ { i , - } \ \Bigg [ \ \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \hat { \chi } _ { N } ( q _ { i , + } ) \frac { e ^ { i k _ { 1 , 0 } x _ { 0 } + i q _ { 1 , + } x _ { + } + i q _ { 1 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 1 , 0 } - 2 \pi q _ { 1 + } \sin \pi q _ { 1 - } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \times \frac { e ^ { i k _ { 2 , 0 } x _ { 0 } + i q _ { 2 , + } x _ { + } + i q _ { 2 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 2 , 0 } - 2 \pi q _ { 2 + } \sin \pi q _ { 2 - } } \frac { e ^ { - i k _ { 3 , 0 } x _ { 0 } - i q _ { 3 , + } x _ { + } - i q _ { 3 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 3 , 0 } - 2 \pi q _ { 3 + } \sin \pi q _ { 3 - } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad + \sum _ { i , j = 1 , \cdots , 3 , \ i \neq j } \hat { \chi } _ { N } ( q _ { i , + } ) \hat { \chi } _ { N } ( q _ { j , + } ) \frac { e ^ { i k _ { 1 , 0 } x _ { 0 } + i q _ { 1 , + } x _ { + } + i q _ { 1 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 1 , 0 } - 2 \pi q _ { 1 + } \sin \pi q _ { 1 - } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \times \frac { e ^ { i k _ { 2 , 0 } x _ { 0 } + i q _ { 2 , + } x _ { + } + i q _ { 2 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 2 , 0 } - 2 \pi q _ { 2 + } \sin \pi q _ { 2 - } } \frac { e ^ { - i k _ { 3 , 0 } x _ { 0 } - i q _ { 3 , + } x _ { + } - i q _ { 3 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 3 , 0 } - 2 \pi q _ { 3 + } \sin \pi q _ { 3 - } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad + \ \hat { \chi } _ { N } ( q _ { 1 , + } ) \hat { \chi } _ { N } ( q _ { 2 , + } ) \hat { \chi } _ { N } ( q _ { 3 , + } ) \frac { e ^ { i k _ { 1 , 0 } x _ { 0 } + i q _ { 1 , + } x _ { + } + i q _ { 1 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 1 , 0 } - 2 \pi q _ { 1 + } \sin \pi q _ { 1 - } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \times \frac { e ^ { i k _ { 2 , 0 } x _ { 0 } + i q _ { 2 , + } x _ { + } + i q _ { 2 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 2 , 0 } - 2 \pi q _ { 2 + } \sin \pi q _ { 2 - } } \frac { e ^ { - i k _ { 3 , 0 } x _ { 0 } - i q _ { 3 , + } x _ { + } - i q _ { 3 , - } x _ { - } } } { - 2 i k _ { 3 , 0 } - 2 \pi q _ { 3 + } \sin \pi q _ { 3 - } } \ \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { \lambda | k , \eta | ^ { s } } \leq e ^ { \lambda | l , \xi | ^ { s } + c \lambda | k - l , \eta - \xi | ^ { s } } \leq e ^ { c \lambda | l , \zeta | ^ { s } + c \lambda | \xi - \zeta | ^ { s } + c \lambda | k - l , \eta - \xi | ^ { s } } } \end{array}
_ \pm \langle \{ \lambda \} , \pm q | \prod _ { i = 1 } ^ { N } \Psi ^ { \pm } ( z _ { i } ) | \pm ( q - N \beta ) \rangle = \prod _ { i < j } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { \beta } \prod _ { i } ^ { N } ( z _ { i } ) ^ { q - N \beta } J _ { \{ \lambda \} } ^ { ( \beta ) } ( z _ { 1 } , . . . z _ { N } ) \ ( j _ { \lambda } ^ { \beta } ) ^ { - 1 / 2 }
\begin{array} { r l } & { \frac { \delta } { 3 } \left( 1 - \sum _ { i = 0 } ^ { k } { \binom { N } { k } } \alpha ^ { i } ( 1 - \alpha ) ^ { N - i } \right) + \frac { \delta } { 6 } \left( 1 - \sum _ { i = 0 } ^ { k } { \binom { 4 N + 1 } { k } } \alpha ^ { i } ( 1 - \alpha ) ^ { 4 N + 1 - i } \right) } \\ & { \quad = \left( 1 + \frac { \delta } { 6 N } \right) \alpha N { \binom { N } { k } } \alpha ^ { k } ( 1 - \alpha ) ^ { N - k } , } \end{array}
\frac { d V _ { + } ( t ) } { d t } = 4 \pi R ^ { 2 } \frac { d R } { d t } + ( \Gamma _ { + } \Delta V ) \frac { 4 \pi } { 3 } \langle R \rangle _ { + } ^ { 3 } - ( \Gamma _ { 0 } \Delta V ^ { \prime } ) \frac { 4 \pi } { 3 } \langle R \rangle _ { 0 } ^ { 3 } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { 0 , \gamma ^ { 2 / 3 } } ( B ( 0 ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } , B ( \gamma ^ { 2 / 3 } ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } , g ) } \\ & { \ge \exp \Big ( - \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } J ( B _ { i } ( 0 ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } , B _ { i } ( \gamma ^ { 2 / 3 } ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } + \gamma ^ { 4 / 3 } , \gamma ^ { 2 / 3 } ) - c \ell ^ { 2 } \gamma ^ { 2 / 3 } \Big ) . } \end{array}
x ( t ) = x _ { d } ( t ) = a \cot a t , \quad y ( t ) = y _ { d } ( t ) = - { \frac { a ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } a t } } , \quad z ( t ) = z _ { d } ( t ) = - { \frac { a ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } a t } } , \quad a : c o n s t .
4 \varepsilon H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) \left[ A ^ { 2 } + A \left( U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } + U _ { 2 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } \right) + U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } U _ { 2 } ^ { \nu } \xi _ { \nu } - U _ { 1 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } U _ { 2 } ^ { \nu } l _ { \nu } \right] = p ( \varrho ) v ^ { 6 } \, .
P L ( \lambda , k _ { m i n } , k _ { m a x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c k ^ { - \lambda } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } k _ { m i n } \leq k \leq k _ { m a x } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
{ \beta } ^ { ( 3 ) } ( { \lambda } ) \, = \, - \, \frac { b _ { 0 } } { C ^ { 2 } } \, \frac { a ^ { 4 } } { ( 2 + a ) \, ( 1 - a ) ^ { 2 } } \, ( 2 + 9 \, a ) \, .
\mathbf T = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ & & & { \vdots } \\ { 0 } & & & { \dots } & & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & & & { \dots } & & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\left( \sum _ { j = - 1 } ^ { r _ { \infty } - 3 } \nu _ { \infty , j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \lambda ^ { - j } + O \left( \lambda ^ { - r _ { \infty } + 2 } \right) \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } t _ { \infty , 2 k - 1 } \lambda ^ { k - 1 } + O \left( \lambda ^ { - 1 } \right) \right) = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } \frac { \alpha _ { \infty , 2 k - 1 } } { 2 k - 1 } \lambda ^ { k } + O \left( 1 \right) .
\Xi = \int \mathrm { d } \varphi ( 0 ) e ^ { - x _ { T } \varphi ( 0 ) ^ { 2 } / 4 \xi } \int [ \mathrm { d } \varphi ] e ^ { - S [ \varphi ] } \int \mathrm { d } \varphi ( L ) e ^ { - x _ { T } \varphi ( L ) ^ { 2 } / 4 \xi }
\begin{array} { r l r } { B _ { \mathrm { c l } } } & { = } & { - 2 \pi N _ { \mathrm { A } } \int \left( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 \right) ~ r _ { 1 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { \beta _ { \mathrm { a , c l } } } & { = } & { - 2 \pi N _ { \mathrm { A } } \int r _ { 1 2 } ^ { 2 } \left[ 2 \left( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } } - 1 \right) + \right. } \\ & { } & { 2 ( \gamma _ { 0 } - 1 ) \beta U _ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } } + } \\ & { } & { \left. \frac { ( \gamma _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } } \beta U _ { 2 } ( \beta U _ { 2 } - 2 ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } } \right] \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { B _ { \varepsilon , \mathrm { c l } } } & { = } & { \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \Delta \alpha _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) } \mathrm { d } r _ { 1 2 } , } \end{array}
\operatorname { E } \left[ g ( X _ { 1 } , \dots , X _ { d } ) \right] = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } g ( x _ { 1 } , \dots x _ { d } ) \cdot c ( F _ { 1 } ( x _ { 1 } ) , \dots , F _ { d } ( x _ { d } ) ) \cdot f _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots f _ { d } ( x _ { d } ) \, \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \mathrm { d } x _ { d } .
\dot { \eta } _ { i r r } = \frac { \kappa _ { T } c _ { p } | \nabla T | ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } + \frac { \varepsilon _ { s } + \varepsilon _ { k } } { T } , \qquad { \bf J } _ { \eta } = - \frac { \kappa _ { T } c _ { p } \nabla T } { T } + \frac { L } { L _ { s s } } { \bf J } _ { s }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } = } & { { } \sum _ { \sigma } \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) ^ { 2 } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } + \sum _ { \sigma } \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \int \mathbf { P } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } \right) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right) + } \end{array}
\frac { d } { d \alpha } \nu _ { c a v } ( \alpha ) = \pm \frac { N _ { c a v } c } { R _ { 0 } } \frac { \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } { 2 \alpha \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \left( 1 \mp \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \right) ^ { 2 } } .
\frac { f ^ { \mathrm { s t a t } } ( \mu = m _ { b } ) } { \sqrt { m _ { b } } f _ { \pi } } \mathrm { e } ^ { - \bar { \Lambda } / \tau } f _ { + } ( 0 ) = - \frac { 2 } { m _ { b } ^ { 2 } } \phi _ { \pi } ^ { \prime } ( 1 ) \int _ { 0 } ^ { \omega _ { 0 } } d \omega \, \omega \mathrm { e } ^ { - \omega / \tau }
\begin{array} { r l } { P _ { k } ( t _ { i } + \varepsilon ) } & { \ge P _ { k } ( t _ { i } ) - \int _ { E _ { i } ^ { 2 } } { \left( { f \left( { d \left( { { \varphi _ { i } } , \theta } \right) } \right) - f \left( { d \left( { { \varphi _ { \alpha } } , \theta } \right) } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta } } \\ & { + \int _ { E _ { i } ^ { 3 } } { \left( { f \left( { d \left( { { \varphi _ { i } } , \theta } \right) } \right) - f \left( { d \left( { { \varphi _ { \beta } } , \theta } \right) } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta } , } \end{array}
\Sigma ( p ) = { \frac { 4 } { 3 } } i ( 2 \pi ) ^ { - 4 } \int d ^ { 4 } k D _ { \mu \nu } ( k ) \gamma _ { F } ^ { \prime } ( p - k ) \gamma _ { \nu } ; \quad D _ { \mu \nu } ( k ) = ( \delta _ { \mu \nu } - k _ { \mu } k _ { \nu } / k ^ { 2 } ) D ( k )
\begin{array} { r l } { \mathbf { h } _ { \alpha } : = } & { { } ~ \phi _ { \alpha } \mathbf { w } _ { \alpha } , } \\ { \mathbf { J } _ { \alpha } : = } & { { } ~ \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathbf { w } _ { \alpha } . } \end{array}
\varphi ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \mathbf { \rho } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ) } { R } } \operatorname { d } ^ { 3 } \! \mathbf { r } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r l } { \operatorname { T r a n k } ( \det _ { \mathbb { F } } ^ { n } ) } & { \leq ( 5 / 6 ) ^ { \lfloor n / 3 \rfloor } n ! } & & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ f i e l d s ~ \mathbb { F } ~ , ~ a n d } } \\ { \operatorname { T r a n k } ( \det _ { \mathbb { F } } ^ { n } ) } & { \leq 2 ^ { n } - 1 } & & { \mathrm { i f ~ \mathbb { F } ~ h a s ~ c h a r a c t e r i s t i c ~ 2 ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi \operatorname { \lrcorner } \mathsf { w } _ { \sigma } \left( \frac { 1 } { j ! } \sigma ^ { j } \wedge \alpha \right) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( k - j - 1 ) ! } \sigma ^ { k - j - 1 } \wedge \pi ^ { \ast } \beta \wedge \alpha + \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( k - j ) ! } \sigma ^ { k - j } \wedge ( \xi \operatorname { \lrcorner } \alpha ) } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( k - j - 1 ) ! } \sigma ^ { k - j - 1 } \wedge \gamma _ { 0 } + \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } ( j + 1 ) } { ( k - j ) ! } \sigma ^ { k - j } \wedge \gamma _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } u ( t , x ) d \Omega } & { = \int _ { \Omega } h ( x ) d \Omega + \int _ { 0 } ^ { t } [ F ( u , t , x _ { 0 } = 0 ) - F ( u , t , x _ { N } = 2 \pi ) ] d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ( x ) d \Omega - k \int _ { 0 } ^ { t } [ \cos ( 0 ) T ( t ) - \cos ( 2 \pi ) T ( t ) ] d t = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hbar \partial _ { t } \check { q } } & { = } & { \frac { 2 \check { q } ( \check { q } - 1 ) ^ { 2 } \check { p } } { t } + \hbar \frac { \check { q } ( \check { q } - 1 ) } { t } , } \\ { \hbar \partial _ { t } \check { p } } & { = } & { - \frac { ( 3 \check { q } - 1 ) ( \check { q } - 1 ) } { t } \check { p } ^ { 2 } - \frac { \hbar ( 2 \check { q } - 1 ) } { t } \check { p } } \\ & { } & { - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { t \check { q } ^ { 2 } } - \frac { t } { 2 ( \check { q } - 1 ) ^ { 3 } } - \frac { 4 t _ { X _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , 0 } + t } { 4 ( \check { q } - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) } { t } . } \\ & { } & \end{array}
\left( { \cal L } _ { n } ( x ) \psi \right) ( \alpha ) = \int d \mu ( \beta , \bar { \beta } ) \frac { ( \alpha \bar { \beta } ) ^ { 2 l + i x } } { \Gamma ( 2 l + i x + 1 ) } K _ { n } ( x ) \psi ( \beta ) .
\small \begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { l } } & { { } = \mathrm { ~ C ~ r ~ o ~ s ~ s ~ - ~ A ~ t ~ t ~ e ~ n ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ( \mathbf { Q } _ { \mathbf { E } ^ { l - 1 } } , \mathbf { K } , \mathbf { V } ) \in \mathbb { R } ^ { M \times d } } \end{array}
\int _ { \substack { r , \theta \, r \geq M } } | \langle r \rangle ^ { - s } v | ^ { 2 } e ^ { \frac { 2 \varphi } { h } } r ^ { n - 1 } \lesssim e ^ { \frac { C _ { \varphi } } { h } } \left( \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \int _ { r , \theta } | \langle r \rangle ^ { s } ( P + E \pm i \varepsilon ) v | ^ { 2 } r ^ { n - 1 } + \frac { \varepsilon } { h } \int _ { r , \theta } | v | ^ { 2 } r ^ { n - 1 } \right)
v _ { \pm } ( r ) = \pm \sqrt { \frac { 2 } { x } } \cdot \frac { 1 } { \left( 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } } \cdot \sqrt { 1 - \frac { 4 } { x } \sqrt { \frac { 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } } { 1 + 1 6 \alpha / x ^ { 2 } } } \, + \, \frac { 8 \xi ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } \sqrt { 1 + \frac { 1 2 ( \alpha - 1 ) } { x ^ { 2 } } } } \, - \, \frac { 4 \xi } { x ^ { 2 } } ,
S _ { ( 2 ) } = r ^ { - 1 } { \sigma } \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { 0 } & { - 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \sqrt { t } ( \beta ^ { \gamma } - \beta ^ { * } ) = t ^ { - 1 / 2 } { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } D _ { \beta } ( { \theta ^ { \tau } } ) + o _ { p } ( 1 ) \; , } \\ & { \sqrt { t } ( { \small \textsc { { R E V } } } ^ { \gamma } - { \small \textsc { { R E V } } } ^ { * } ) = t ^ { - 1 / 2 } { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } D _ { \small \textsc { { R E V } } } ( { \theta ^ { \tau } } ) + o _ { p } ( 1 ) \; . } \end{array}