harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { { \bf D } } & { = } & { \varepsilon _ { 0 } { \bf E } + \frac { \varepsilon _ { 0 } } { B _ { c } ^ { 2 } } \left\{ \left( \frac { { \bf E } \cdot { \bf B } } { c } \right) \bigg [ \xi _ { 3 } \, { \bf E } + 2 \, \xi _ { 2 } \, c { \bf B } \bigg ] + \left( \frac { { \bf E } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - { \bf B } ^ { 2 } \right) \left[ \xi _ { 1 } \, { \bf E } + \frac { 1 } { 2 } \, \xi _ { 3 } \, c { \bf B } \right] \right\} \, , } \\ { { \bf H } } & { = } & { \frac { { \bf B } } { \mu _ { 0 } } + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } B _ { c } ^ { 2 } } \left\{ \left( \frac { { \bf E } \cdot { \bf B } } { c } \right) \left[ \xi _ { 3 } \, { \bf B } - 2 \, \xi _ { 2 } \, \frac { { \bf E } } { c } \right] + \left( \frac { { \bf E } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - { \bf B } ^ { 2 } \right) \left[ \xi _ { 1 } \, { \bf B } - \frac { 1 } { 2 } \, \xi _ { 3 } \, \frac { { \bf E } } { c } \right] \right\} \, . } \end{array}
\sigma _ { \theta } ^ { 2 } = \frac { \sigma _ { E } ^ { 2 } + \sigma _ { L _ { r a d } } ^ { 2 } + \sigma _ { x y } ^ { 2 } + \sigma _ { m s } ^ { 2 } + \sigma _ { \theta _ { 0 } } ^ { 2 } } { N _ { p e } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 4 } ) \mathbb { E } \bigg \| \bar { y } _ { t - 1 } - y _ { \bar { x } _ { t - 1 } } \bigg \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 4 } { \mu \gamma } ) \mathbb { E } \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - y _ { \bar { x } _ { t - 1 } } \bigg \| ^ { 2 } - ( 1 + \frac { \mu \gamma } { 4 } ) \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } \| \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + ( 1 + \frac { \mu \gamma } { 4 } ) \frac { 4 L ^ { 2 } \gamma } { \mu M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t - 1 } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 4 \gamma \sigma ^ { 2 } } { \mu b _ { y } M } } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 4 } ) \mathbb { E } \bigg \| \bar { y } _ { t - 1 } - y _ { \bar { x } _ { t - 1 } } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma } \mathbb { E } \bigg \| \bar { \nu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } \| \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 9 L ^ { 2 } \gamma } { 2 \mu M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t - 1 } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 4 \gamma \sigma ^ { 2 } } { \mu b _ { y } M } } \end{array}
S ( T _ { 2 } ) \! - \! S ( T _ { 1 } ) = \! \frac { E ( T _ { 2 } ) \! - \! E ( T _ { 1 } ) } { T _ { 2 } } + \! \int _ { T _ { 1 } } ^ { T _ { 2 } } \! \frac { E ( T ^ { \prime } ) \! - \! E ( T _ { 1 } ) } { T ^ { 2 } } d T ^ { \prime } .
\varepsilon _ { 1 } \varepsilon _ { h } i \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } \left( \frac { \omega } { c } R \right) ^ { 2 } - ( \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { h } ) \frac { \omega } { c } R = i \sigma _ { e } \eta _ { 0 }
{ M ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { m _ { N } ^ { 2 } + 2 A } } & { { \sqrt { 2 } A } } \\ { { \sqrt { 2 } A } } & { { m _ { S } ^ { 2 } + A } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { L H S } ^ { t } ( w ^ { * } , z ^ { * } ) : = \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } F ( z ^ { t , e } ) - F ( z ^ { * } ) - \langle \lambda ^ { t + 1 } , z ^ { t + 1 } - z ^ { * } \rangle + \langle A ^ { \top } \tilde { \lambda } ^ { t } , w ^ { t + 1 } - w ^ { * } \rangle , } \\ & { \mathrm { R H S } ^ { t } ( z ^ { * } ) : = \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f ^ { \prime } ( z ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \big ( \| z ^ { * } - z ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \| z ^ { * } - z ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } \big ) + \langle \tilde { \xi } ^ { t , e } , z ^ { * } - z ^ { t , e } \rangle \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta } & { \sim } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( 2 a _ { 1 } ( 0 . 3 6 , 0 . 7 5 ) \right) ^ { 2 } \left( 2 a _ { 1 } ( 0 . 3 6 , 1 ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \sim } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n - 1 } a _ { n } ( 0 . 3 6 , 0 . 7 5 ) \right) ^ { 2 } \left( 2 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m - 1 } a _ { m } ( 0 . 3 6 , 1 ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left| a _ { n } ( 0 . 3 6 , 0 . 7 5 ) \right| \right) ^ { 2 } \left( 2 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left| a _ { m } ( 0 . 3 6 , 1 ) \right| \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \eta ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \frac { \partial p _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } } & { { } = - \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \partial p _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \gamma \left( p _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) - p _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) \right) , } \\ { \frac { \partial p _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } } & { { } = - \left( - v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \partial p _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \gamma \left( p _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) - p _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) \right) . } \end{array}
\tau ( q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q \displaystyle \frac { \log ( m _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } / \kappa ) } { \log \lambda } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q \ge \displaystyle \frac { \log m _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } } { \log \kappa } } \\ { ( q - 1 ) \displaystyle \frac { \log m _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } } { \log \lambda } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q < \displaystyle \frac { \log m _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ n ~ } } } { \log \kappa } } \end{array} \right. ,
- \frac { 1 } { m } { \boldsymbol { \nabla } } ^ { 2 } \psi ( \boldsymbol { r } ) + \frac { 1 } { m } \frac { \boldsymbol { \nabla } m } { m } \cdot \boldsymbol { \nabla } \psi ( \boldsymbol { r } ) + \left( \tilde { U } _ { a , b } ( \boldsymbol { r } ) + \tilde { V } ( \boldsymbol { r } ) \right) \psi ( \boldsymbol { r } ) = \tilde { E } \psi ( \boldsymbol { r } ) \; ,
{ \frac { 1 } { ( 2 \pi \tau ) ^ { d / 2 } \sqrt { \mathrm { d e t } ( \nu ) } } } \mathrm { e x p } ( - \tau [ { \frac { 1 } { 2 } } ( { \frac { z _ { j } } { \tau } } - \nu _ { j } ) \nu _ { j k } ^ { - 1 } ( { \frac { z _ { k } } { \tau } } - \nu _ { k } ) + \nu _ { o } ] )
F _ { n } ( t ) = - m _ { n } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { W } _ { n } ^ { ( h ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } = m _ { n } \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } ( \omega + h \omega _ { m } ) ^ { 2 } \hat { W } _ { n } ^ { ( h ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } = \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { F } _ { n } ^ { ( h ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } , \quad h \in \mathbb { Z } ,
\tilde { p } \approx \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \sum _ { j _ { x } = 0 } ^ { N _ { v _ { x } } - 1 } | f _ { 1 } ( v _ { j _ { x } } , t ) | ^ { 2 } \Delta v _ { x } = \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } D _ { \mathrm { M } } ( t ) .
\begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } = \frac { 8 \, \pi G \rho \left( t \right) } { 3 } \left( 1 - \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) + \frac { \Lambda } { 3 } - \frac { 2 3 \, k } { 1 2 \, a \left( t \right) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 r ^ { 2 } a \left( t \right) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 1 2 \, r ^ { 2 } a \left( t \right) ^ { 2 } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } } } \\ { - \frac { 1 } { 1 2 \, { \phi } ^ { 2 } r ^ { 2 } a \left( t \right) ^ { 2 } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } } & { = \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } ( a \phi _ { i } - a c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( a \phi _ { i } - a c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { i } a ^ { 2 } ( c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } ) . } \end{array}
S _ { E } = - \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { d } } \int _ { M } d ^ { d } x \sqrt { \hat { g } } ( R _ { d } - m ) - \frac { 1 } { 8 \pi G _ { d } } \int _ { \partial M } d ^ { d - 1 } x \sqrt { b } ( { \cal { K } } - { \cal { K } } _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { { \mathbf y } _ { D } ^ { i } } & { = g \left( G ( { \mathbf z } _ { D } ^ { i } , { \mathbf w } _ { D } ^ { i } , { \mathbf X } _ { D } ^ { i } ) \right) + { \mathbf e } _ { { \mathbf y } _ { D } ^ { i } } , \quad { \mathbf e } _ { { \mathbf y } _ { D } ^ { i } } \sim { \mathcal N } ( \b 0 , { \boldsymbol \epsilon } _ { { \mathbf y } _ { D } ^ { i } } ^ { 2 } { \mathbf I } ) , } \\ { { \mathbf z } _ { D } ^ { i } } & { = \tilde { { \mathbf z } } + { \mathbf e } _ { { \mathbf z } ^ { i } } , \quad { \mathbf e } _ { { \mathbf z } ^ { i } } \sim { \mathcal N } ( \b 0 , { \boldsymbol \epsilon } _ { { \mathbf z } ^ { i } } ^ { 2 } { \mathbf I } ) , } \\ { { \mathbf w } _ { D } ^ { i } } & { = \tilde { { \mathbf w } } + { \mathbf e } _ { { \mathbf w } ^ { i } } , \quad { \mathbf e } _ { { \mathbf w } ^ { i } } \sim { \mathcal N } ( \b 0 , { \boldsymbol \epsilon } _ { { \mathbf w } ^ { i } } ^ { 2 } { \mathbf I } ) , } \\ { { \mathbf X } _ { D } ^ { i } } & { = \tilde { { \mathbf X } } + { \mathbf e } _ { { \mathbf X } ^ { i } } , \quad { \mathbf e } _ { { \mathbf X } ^ { i } } \sim { \mathcal N } ( \b 0 , { \boldsymbol \epsilon } _ { { \mathbf X } ^ { i } } ^ { 2 } { \mathbf I } ) . } \end{array}
\xi _ { 1 } = \; \xi _ { 1 } ^ { 0 } \cos { \varphi _ { l } } + \xi _ { 2 } ^ { 0 } \sin { \varphi _ { l } } \, , \; \; \xi _ { 2 } = - \xi _ { 1 } ^ { 0 } \sin { \varphi _ { l } } + \xi _ { 2 } ^ { 0 } \cos { \varphi _ { l } } \, , \; \; \xi _ { 3 } = \; \xi _ { 3 } ^ { 0 } \, ,
\psi _ { \mathrm { I I I } } = \exp { \left[ i L _ { \mathrm { c o } } \left( \begin{array} { l l l } { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } & { g _ { \mathrm { c o } } } \\ { 0 } & { g _ { \mathrm { c o } } } & { n _ { \mathrm { w g } } \omega / c } \end{array} \right) \right] } \psi _ { \mathrm { I I } }
\int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega _ { a } ^ { R } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega _ { b } ^ { R } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega _ { - } ^ { R } \int _ { \frac { \omega _ { - } ^ { R } } { 2 } } ^ { \infty } d \omega _ { + } ^ { R } + \int _ { - \infty } ^ { 0 } d \omega _ { - } ^ { R } \int _ { \frac { - \omega _ { - } ^ { R } } { 2 } } ^ { \infty } d \omega _ { + } ^ { R } \equiv \int d { \tilde { \omega } } _ { - } ^ { R } \int d { \tilde { \omega } } _ { + } ^ { R } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o v } ( x _ { s } , x _ { t } ) } & { = \operatorname { E } [ ( x _ { s } - \operatorname { E } [ x _ { s } ] ) ( x _ { t } - \operatorname { E } [ x _ { t } ] ) ] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { s } \sigma e ^ { \theta ( u - s ) } \, d W _ { u } \int _ { 0 } ^ { t } \sigma e ^ { \theta ( v - t ) } \, d W _ { v } \right] } \\ & { = \sigma ^ { 2 } e ^ { - \theta ( s + t ) } \operatorname { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { \theta u } \, d W _ { u } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \theta v } \, d W _ { v } \right] } \\ & { = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \theta } } \, e ^ { - \theta ( s + t ) } ( e ^ { 2 \theta \operatorname* { m i n } ( s , t ) } - 1 ) } \\ & { = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \theta } } \left( e ^ { - \theta | t - s | } - e ^ { - \theta ( t + s ) } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { \ell } \Big ( \rho ( x ) z _ { t } ( t ) ^ { 2 } + r ( x ) z _ { x x } ^ { 2 } ( t ) \Big ) d x } & { + } & { 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) ( z _ { t } ) ^ { 2 } d x d \tau + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) ( z _ { x x t } ) ^ { 2 } d x d \tau } \\ & { } & { = 2 \tilde { g } ( t ) z ( \ell , t ) - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \tilde { g } ^ { \prime } ( \tau ) z ( \ell , \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 } | } & { \leq \left| \int _ { ( \hat { \xi } _ { 3 j } , \xi ] } H _ { \xi } ( \eta ) d \eta - \int _ { ( \hat { \xi } _ { 3 j } , \xi ] } H _ { \Delta x , \xi } ( \eta ) d \eta \right| } \\ & { \qquad + \alpha \left| \int _ { ( \hat { \xi } _ { 3 j } , \xi ] \cap \Omega _ { d } ( X ) } H _ { \xi } ( \eta ) d \eta - \int _ { ( \hat { \xi } _ { 3 j } , \xi ] \cap \Omega _ { d } ( X _ { \Delta x } ) } H _ { \Delta x , \xi } ( \eta ) d \eta \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { h } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \mathbf u _ { h } \rho _ { h } ) } & { { } = Q _ { m } , } \\ { \frac { \partial ( \rho _ { h } \mathbf u _ { h } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } \mathbf u _ { h } \mathbf u _ { h } ) } & { { } = - \nabla P _ { h } + \mathbf f _ { h } , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 1 } { 2 } \rho _ { h } \mathbf u _ { h } ^ { 2 } \right) + \nabla \left( \mathbf u _ { h } \cdot \frac { 1 } { 2 } \rho _ { h } \mathbf u _ { h } ^ { 2 } \right) } & { { } = - \nabla P _ { h } \cdot \mathbf u _ { h } + \mathbf f _ { h } \cdot \mathbf u _ { h } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \texttt T _ { k } ^ { \prime } = \texttt t r ( { \mathcal L ^ { 0 } } ) - k ^ { 2 } \texttt t r ( \mathcal D ^ { \prime } ) = \texttt I _ { 1 } ^ { 0 } - k ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 1 } + \gamma _ { 2 2 } ) = \texttt T _ { k } , } \\ { \texttt h ^ { \prime } ( k ^ { 2 } ) = \texttt d e t \mathcal D ^ { \prime } k ^ { 4 } + q ^ { \prime } k ^ { 2 } + \texttt d e t { \mathcal L ^ { 0 } } = ( \gamma _ { 1 1 } \gamma _ { 2 2 } - \gamma _ { 1 2 } \gamma _ { 2 1 } ) k ^ { 4 } + q ^ { \prime } k ^ { 2 } + \texttt I _ { 2 } ^ { 0 } , } \\ { q ^ { \prime } = \gamma _ { 1 1 } - a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 2 } + a _ { 1 2 } \gamma _ { 2 1 } + a _ { 2 1 } \gamma _ { 1 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { n _ { t } = } & { \frac { \gamma ^ { 2 } M _ { t } ^ { 2 } } { 4 m _ { i } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 3 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 3 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { R _ { t } } { R _ { u } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } \left( \cos x + i \sin x \right) ^ { k + 1 } } & { = \left( \cos x + i \sin x \right) ^ { k } \left( \cos x + i \sin x \right) } \\ & { = \left( \cos k x + i \sin k x \right) \left( \cos x + i \sin x \right) } & & { \qquad { \mathrm { b y ~ t h e ~ i n d u c t i o n ~ h y p o t h e s i s } } } \\ & { = \cos k x \cos x - \sin k x \sin x + i \left( \cos k x \sin x + \sin k x \cos x \right) } \\ & { = \cos ( ( k + 1 ) x ) + i \sin ( ( k + 1 ) x ) } & & { \qquad { \mathrm { b y ~ t h e ~ t r i g o n o m e t r i c ~ i d e n t i t i e s } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { H a l l } } } & { \approx \frac { r _ { 2 } ^ { 6 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } ( \mu _ { 2 , r } \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } \theta _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) } { 1 2 l ( \mu _ { 2 , r } + 1 ) } } \\ & { \times \Big [ \frac { 1 } { z _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( z _ { 0 } - 2 l ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( l - z _ { 0 } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( l + z _ { 0 } ) ^ { 2 } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { 2 } ( \pi \mathbf { u } ) = \pi \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } ) } & { { } \quad \Leftrightarrow \quad F _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { - 1 } ( \pi F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) = \pi F _ { \hat { G } } ^ { - 1 } ( F _ { \hat { G } } ( \mathbf { z } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } } & { { } = \alpha e ^ { \theta ( \xi , \tau ) } } \\ { f _ { 0 } } & { { } = \beta ; \quad f _ { 2 } = \beta _ { 2 } e ^ { \theta ( \xi , \tau ) + \theta ^ { * } ( \xi , \tau ) } } \\ { s } & { { } = c e ^ { \theta ( \xi , \tau ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ f ( a ( \omega ) ) \mathbb { I } _ { F _ { t } ( a , B , \xi ) \in C _ { t } } \right] } & { = \int _ { A _ { T } } \int _ { W _ { T } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } f ( a ) \mathbb { I } _ { F _ { t } ( a , w , x ) \in C _ { t } } \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) \mu _ { B } ( \mathrm { d } w ) \mu _ { \xi } ( \mathrm { d } x ) } \\ & { = \int _ { A _ { T } } f ( a ) \left( \int _ { W _ { T } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \mathbb { I } _ { F _ { t } ( a , w , x ) \in C _ { t } } \mu _ { B } ( \mathrm { d } w ) \mu _ { \xi } ( \mathrm { d } x ) \right) \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) } \\ & { = \int _ { A _ { T } } f ( a ) \left( \mu _ { B } \times \mu _ { \xi } \right) \left( F _ { t } ( a , B , \xi ) \in C _ { t } \right) \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) } \\ & { = \int _ { A _ { T } } f ( a ) \Tilde { \mu } \left( F _ { t } \left( a , \Tilde { B } , \Tilde { \xi } \right) \in C _ { t } \right) \mu _ { a } ( \mathrm { d } a ) } \\ & { = \mathbf { E } \left[ f ( a ) \Tilde { \mu } \left( F _ { t } \left( a , \Tilde { B } , \Tilde { \xi } \right) \in C _ { t } \right) \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \int \csc x \, d x } & { = \int { \frac { d x } { \sin x } } } \\ & { = \int \left( { \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 2 t } } \right) \left( { \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } } \right) d t } & & { t = \tan { \frac { x } { 2 } } } \\ & { = \int { \frac { d t } { t } } } \\ & { = \ln | t | + C } \\ & { = \ln \left| \tan { \frac { x } { 2 } } \right| + C . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbb { E } [ \Phi ( X , V _ { t } ) ] } { d t } = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \Bigl [ B ( X , X ^ { \ast } ) \Bigl ( } & { { } \Phi ( X , \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) ) + \Phi ( X ^ { \ast } , \Psi _ { \ast } ( V _ { t } ^ { \ast } , V _ { t } , \omega ) ) } \end{array}
\partial _ { x } \Gamma _ { i } ^ { * } ( t , \lambda ) = \Phi _ { i } ( t ) \psi _ { B A } ^ { * } ( t , \lambda ) \; \; ; \; \; - \partial _ { x } \psi _ { B A } ^ { * } ( t , \lambda ) - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \Psi _ { i } \Gamma _ { i } ^ { * } ( t , \lambda ) = \lambda \psi _ { B A } ^ { * } ( t , \lambda ) \, .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \iota \in I } \operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } \| \mathsf { A } _ { \iota } ( T _ { x } ^ { \mathbb { K } } ( \cdot ) \nu ( x ) ) \| } & { = \operatorname* { s u p } _ { \iota \in I } \operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } \| T ^ { E } S ( \mathsf { A } _ { \iota } ) ( x ) \| \nu ( x ) = \operatorname* { s u p } _ { \iota \in I } \operatorname* { s u p } _ { x \in \omega } \| T ^ { E } f _ { \iota } ( x ) \| \nu ( x ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \iota \in I } | f _ { \iota } | _ { \mathcal { F } \nu ( \Omega , E ) } < \infty } \end{array}
E _ { \mathrm { T D L } } = \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { L } { 2 \pi } \bigg ) ^ { 3 } \int S _ { c } ( G ) \bigg ( \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \frac { 4 \pi } { G ^ { 2 } } \bigg ) 4 \pi G ^ { 2 } d G
\begin{array} { r l } { M _ { n } ^ { ( i ) } ( x , k ) } & { = Y ^ { ( i ) } ( x , k ) e ^ { x \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } S _ { n } ^ { ( i ) } ( k ) = X ^ { ( i ) } ( x , k ) e ^ { x \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } T _ { n } ^ { ( i ) } ( k ) , \qquad k \in \bar { D } _ { n } \setminus ( \hat { \mathcal { Q } } \cup \mathcal { Z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } a _ { n } \gamma ^ { n + 1 } } & { \subseteq \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { 1 } g _ { 1 j } h _ { 1 j } ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { j } \right) \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { n } g _ { n j } h _ { n j } ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { j } \right) } \end{array}
\mathcal { F } ^ { \nu } { } _ { \alpha } = \left( \Lambda ^ { - 1 } \right) ^ { \nu } { } _ { \mu } \mathcal { F } ^ { \mu } { } _ { \beta } \Lambda ^ { \beta } { } _ { \alpha } \Leftrightarrow \mathcal { F } ^ { \mu } { } _ { \beta } = \Lambda ^ { \mu } { } _ { \nu } \mathcal { F } ^ { \nu } { } _ { \alpha } \left( \Lambda ^ { - 1 } \right) ^ { \alpha } { } _ { \beta } .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \mathbb Q ( E _ { [ n ] , R } \cap \{ \mathrm { M i m } _ { 1 \to n + 1 } \mathrm { ~ f a v o r a b l e } \} \cap \{ y _ { n + 1 } \in B _ { 2 T } \setminus B _ { T } \} ) } \quad } & { } \\ & { \leq C \mathbb Q ( E _ { \{ 2 , \ldots , n \} } \cap \{ | y _ { 1 } - y _ { n + 1 } | \leq 1 \} \cap \{ y _ { 1 } \in B _ { 2 T + 1 } \setminus B _ { T - 1 } \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { k } ^ { i \star } - \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i \star } ] } & { = \eta _ { k } ^ { i } ( x _ { k } ^ { \star } - \mathbb { E } [ x _ { k } ^ { \star } ] ) , } \\ { \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i \star } ] } & { = \delta _ { k } ^ { i } \mathbb { E } [ x _ { k } ^ { \star } ] + \bar { \delta } _ { k } ^ { i } . } \end{array}
C ( T ) = - \frac { Z _ { 3 } - 3 Z _ { 2 } Z _ { 1 } + 2 Z _ { 1 } ^ { 3 } } { 3 V } + \frac { ( Z _ { 2 } - Z _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { V ^ { 2 } } ,
\Lambda _ { q } ^ { j } \approx \lambda _ { m ( q + m ) } \left( p \right) + \frac { 1 } { 2 } - m ^ { 2 } - p ^ { 2 } - \frac { \left( c _ { q } \right) ^ { 2 } } { 2 \omega ^ { 2 } } + ( 4 j + 1 ) \omega \sqrt { \frac { \delta } { 2 } }
{ \cal L } _ { 2 } : = - i \delta _ { B } \left[ \bar { d } \left( \partial ^ { \mu } C _ { \mu } + \alpha _ { 2 } P \right) \right] - i \delta _ { B } \left[ N \left( \partial ^ { \mu } \bar { C } _ { \mu } + \alpha _ { 3 } B ^ { ( 1 ) } \right) \right] .
v ^ { ( 1 ) } ( T , n ) = - \frac { \sqrt { \pi } } { T ^ { 1 / 2 } } n ^ { 1 / 2 } - \frac { \pi } { 2 T ^ { 2 } } n \ln \left( \frac { 4 \pi n } { T ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d x } \int _ { 0 } ^ { \infty } } & { { } d \xi g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } + \xi , t ) F ( \xi ) = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d \xi \frac { d } { d \xi } g _ { 0 } ( x + x _ { \mathrm { i } } + \xi , t ) F ( \xi ) } \end{array}
\textstyle \int n ^ { c } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { c } = { \frac { 1 } { c + 1 } } n ^ { c + 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } n ^ { c } + { \frac { c } { 2 } } A n ^ { c - 1 } + { \frac { c ( c - 1 ) ( c - 2 ) } { 2 \cdot 3 \cdot 4 } } B n ^ { c - 3 } + { \frac { c ( c - 1 ) ( c - 2 ) ( c - 3 ) ( c - 4 ) } { 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 } } C n ^ { c - 5 } + { \frac { c ( c - 1 ) ( c - 2 ) ( c - 3 ) ( c - 4 ) ( c - 5 ) ( c - 6 ) } { 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 } } D n ^ { c - 7 } + \cdots
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { - } ( M ) } & { = \lambda \sum _ { \mu _ { i } > 0 } \mu _ { i } + \Lambda \sum _ { \mu _ { i } < 0 } \mu _ { i } = \lambda \| M _ { + } \| - \Lambda \| M _ { - } \| , } \\ { \mathcal { M } ^ { + } ( M ) } & { = \Lambda \sum _ { \mu _ { i } > 0 } \mu _ { i } + \lambda \sum _ { \mu _ { i } < 0 } \mu _ { i } = \Lambda \| M _ { + } \| - \lambda \| M _ { - } \| , } \end{array}