harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \| \vert \boldsymbol { u } _ { h } ^ { \bot } - \boldsymbol { u } _ { H } ^ { \bot } \vert \| _ { h } ^ { 2 } } & { \leq } & { 2 ( \| \vert \boldsymbol { u } _ { h } ^ { \bot } \vert \| _ { h } ^ { 2 } + \| \vert \boldsymbol { u } _ { H } ^ { \bot } \vert \| _ { H } ^ { 2 } ) } \\ & { \leq } & { 2 \alpha \| h ^ { - 1 / 2 } [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ^ { \bot } ] ] \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } + 2 \alpha \| h ^ { - 1 / 2 } [ [ \boldsymbol { u } _ { H } ^ { \bot } ] ] \| _ { 0 , \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } ^ { \textrm { m } } = } & { \mathcal { O } ( h _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { m } } h _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { m } } + h _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { m } } h _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { m } } + h _ { \mathrm { H I } } ^ { \mathrm { m } } M h _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { m } } + h _ { \mathrm { H I } } ^ { \mathrm { m } } h _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { m } } + h _ { \mathrm { H I } } ^ { \mathrm { m } } h _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { m } } h _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { m } } + h _ { \mathrm { H I } } ^ { \mathrm { m } } h _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { m } } + h _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { m } } h _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { m } } ) } \\ { = } & { \mathcal { O } ( h _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { m } } ( h _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { m } } + 2 h _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { m } } + ( M + 2 + h _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { m } } ) h _ { \mathrm { H I } } ^ { \mathrm { m } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \mu } N ^ { \mu } } & { { } = \dot { n } + n \theta + \nabla _ { \mu } n ^ { \mu } = 0 , } \\ { u _ { \nu } \partial _ { \mu } T ^ { \mu \nu } } & { { } = \dot { \varepsilon } + \, \left( \varepsilon + P \right) \theta - \pi ^ { \alpha \beta } \sigma _ { \alpha \beta } = 0 , } \\ { \Delta _ { \nu } ^ { \lambda } \partial _ { \mu } T ^ { \mu \nu } } & { { } = \left( \varepsilon + P \right) \dot { u } ^ { \lambda } - \nabla ^ { \lambda } P - \pi ^ { \lambda \beta } \dot { u } _ { \beta } + \Delta _ { \nu } ^ { \lambda } \nabla _ { \mu } \pi ^ { \mu \nu } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf q } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf x } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf J } _ { 1 1 } \{ { { \bar { \bf F } } } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } { \bf q } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf q } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \\ { { \bf q } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf x } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf J } _ { 1 1 } \{ { { \bar { \bf F } } } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } { \bf q } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf q } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \end{array}
\boldsymbol { K } _ { k + 1 } = \boldsymbol { X } _ { k + 1 } ^ { f } ( \boldsymbol { S } _ { k + 1 } ^ { f } ) ^ { T } \left[ \boldsymbol { S } _ { k + 1 } ^ { f } ( \boldsymbol { S } _ { k + 1 } ^ { f } ) ^ { T } + \boldsymbol { R } _ { k + 1 } \right] ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { \mathbf A ( \mathrm r ) = \sum _ { \mathbf q , q _ { z } } \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar v } { \Omega ( \mathbf q ^ { 2 } + q _ { z } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } [ b _ { \mathbf q , q _ { z } } e ^ { i \mathbf q \cdot \rho } - b _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { \dagger } e ^ { - i \mathbf q \cdot \rho } ] \cos ( q _ { z } z ) \mathbf e _ { \mathbf q , q _ { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 T \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( g _ { t } - u _ { t } ) ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) } & { = \frac 1 T \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \Delta _ { t + 1 } - \Delta _ { t } ) ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) } \\ & { = \frac 1 T \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \Delta _ { t + 1 } - \Delta _ { t } ) ^ { \top } x _ { t } - \frac 1 T \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \Delta _ { t + 1 } - \Delta _ { t } ) ^ { \top } x _ { * } } \\ & { = \frac 1 T \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( \Delta _ { t + 1 } - \Delta _ { t } ) ^ { \top } x _ { t } - \frac 1 T \Delta _ { T + 1 } ^ { \top } x _ { * } } \\ & { = \frac 1 T \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Delta _ { t + 1 } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { t + 1 } ) + \frac 1 T \Delta _ { T + 1 } x _ { T + 1 } - \frac 1 T \Delta _ { T + 1 } ^ { \top } x _ { * } } \\ & { = \frac { \eta } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Delta _ { t + 1 } ^ { \top } u _ { t } + \frac 1 T \Delta _ { T + 1 } ^ { \top } ( x _ { T + 1 } - x _ { * } ) } \\ & { = \frac { \eta } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Delta _ { t + 1 } ^ { \top } u _ { t } + \frac { \eta } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Delta _ { T + 1 } ^ { \top } u _ { t } + \frac 1 T \Delta _ { T + 1 } ^ { \top } ( x _ { 1 } - x _ { * } ) } \\ & { \le \frac { \eta } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \Delta _ { t + 1 } \rVert \Gamma _ { t } + \frac { \eta } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \Delta _ { T + 1 } \rVert \Gamma _ { t } + \frac 1 T \lVert \Delta _ { T + 1 } \rVert \lVert x _ { 1 } - x _ { * } \rVert } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \rho } = \sum _ { k , k ^ { \prime } } \vert k \rangle \rho _ { k , k ^ { \prime } } \langle k ^ { \prime } \vert } \\ { \rightarrow } & { \vert \hat { \rho } \rangle \rangle = \sum _ { k , k ^ { \prime } } \rho _ { k , k ^ { \prime } } \vert k , k ^ { \prime } \rangle = \sum _ { K } \rho _ { K } \vert K \rangle , } \end{array}
\mathcal { E } ( t ) = \left\| ( h , v ) \right\| _ { L ^ { 2 } \times L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| \sqrt { \mathscr { L } } \partial _ { x } ^ { 2 } h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ,
S = \int d ^ { 4 } x \int d y \sqrt { - g } \left( \frac { M ^ { 3 } } { 2 } R - \frac { M } { 2 \cdot 4 ! } H _ { M N P Q } H ^ { M N P Q } - \Lambda _ { b } + \sum _ { i } { \cal L } _ { m } ^ { ( i ) } \delta ( y - y _ { i } ) \right) .
\begin{array} { r l r l r l } { { \frac { \partial f } { \partial x } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { { } = 0 , } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { { } = 0 , } & { { \frac { \partial ^ { 3 } f } { \partial x ^ { 3 } } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { { } \neq 0 , } \\ { { \frac { \partial f } { \partial r } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { { } = 0 , } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial r \partial x } } ( 0 , r _ { 0 } ) } & { { } \neq 0 . } \end{array}
^ { ( 2 ) } \! { \cal A } ^ { i l } = \frac 1 \rho \, ^ { ( 2 ) } \! A ^ { i j k l } n _ { j } n _ { k } = \frac 1 { 2 \rho } \left( Q ^ { i l } + g ^ { i l } Q ^ { j k } n _ { j } n _ { k } - Q ^ { i k } n ^ { l } n _ { k } - Q ^ { l k } n ^ { i } n _ { k } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbf { b } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = ( \mathbb { E } [ U _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } U _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] , \ldots , \mathbb { E } [ U _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } U _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ) , } \\ & { \mathbf { b } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = ( \mathbb { E } [ V _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } V _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] , \ldots , \mathbb { E } [ V _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } V _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { 2 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x < \frac { L ( N - 1 ) } { 2 N } } \\ { q N , } & { \frac { L ( N - 1 ) } { 2 N } \leq x \leq \frac { L ( N + 1 ) } { 2 N } } \\ { 0 , } & { \frac { L ( N + 1 ) } { 2 N } < x } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \forall \ a _ { i } \ \operatorname { i s \ a r e a l \ r o o t \ o f } g ( x ) , \frac { 2 - a _ { i } } { 1 - a _ { i } } > \frac { 4 } { 3 } } \\ & { \operatorname { I f } \ | a _ { i } | < 1 , \frac { 2 - a _ { i } } { 1 - a _ { i } } > \frac { 3 } { 2 } } \\ & { z _ { j } \ \operatorname { i s \ a \ c o m p l e x \ r o o t \ o f } g ( x ) , \operatorname { l e t \ } \frac { 4 - 4 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) + \left| z _ { j } \right| ^ { 2 } } { 1 - 2 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) + \left| z _ { j } \right| ^ { 2 } } \operatorname { \ b e \ } s ( z _ { j } ) , \operatorname { t h e n } : } \\ & { \operatorname { I f \ } R e ( z _ { j } ) < 0 , s ( z _ { j } ) > \frac { 8 } { 5 } } \\ & { \operatorname { I f \ } R e ( z _ { j } ) \geq 0 , | z _ { j } | < \sqrt { 2 } , s ( z _ { j } ) > 2 } \\ & { \operatorname { I f \ } R e ( z _ { j } ) \geq 0 , | z _ { j } | \geq \sqrt { 2 } , s ( z _ { j } ) > 1 . 2 1 7 } \\ & { \operatorname { I f \ } | z _ { j } | < 1 , s ( z _ { j } ) \geq \frac { 9 } { 4 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \bar { x } _ { i 1 } ( t ) = x _ { i 1 } ( t ) + w _ { i } ( t ) , } \\ { \bar { x } _ { i j } ( t ) = x _ { i j } ( t ) + \displaystyle \sum _ { l = 1 } ^ { j - 1 } h _ { i , j - l } ^ { ( l - 1 ) } ( x _ { i 1 } ( t ) , \cdots , x _ { i , j - l } ( t ) , d _ { i } ( t ) ) } \\ { \qquad \qquad + w _ { i } ^ { ( j - 1 ) } ( t ) , \; \; j = 2 , \cdots , n , \; i = 1 , \cdots , m , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { M _ { q _ { i } , q _ { i - 1 } } = M _ { i } } \\ & { \psi _ { q _ { i } , q _ { i - 1 } } = \psi _ { i } } \\ & { F _ { q _ { i } , q _ { i - 1 } } = F _ { i } } \\ & { F ^ { ( i ) } = F _ { i } \circ \dots \circ F _ { 1 } = \kappa _ { q _ { i } } \circ F ^ { n _ { 0 } i } \circ \kappa _ { q } ^ { - 1 } } \\ & { \alpha _ { q _ { i } , q _ { i - 1 } } ^ { ( j ) } = \alpha _ { i } ^ { ( j ) } } \end{array}
- \sin { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } - 0 . 7 5 \right) } + 4 . 3 3 4 \cos { \left( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } - 0 . 6 3 5
\begin{array} { r l } { \| \Lambda _ { j } ^ { t } \| _ { 2 } = \| \Lambda _ { j } ^ { t - 1 } \| _ { 2 } = \ldots = \left\| \Lambda _ { j } ^ { t ^ { * } + 1 } \right\| _ { 2 } } & { = \left\| \Lambda _ { j } ^ { t ^ { * } } + \beta _ { 1 } \left( u _ { j } ^ { t ^ { * } + 1 } - \mathcal { F } ( \omega ^ { t ^ { * } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t ^ { * } + 1 } ) \right) \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \| \Lambda _ { j } ^ { t ^ { * } } \| _ { 2 } + \beta _ { 1 } \left( \| u _ { j } ^ { t ^ { * } + 1 } \| _ { 2 } + \| \mathcal { F } ( \omega ^ { t ^ { * } } \circ S _ { j } z ^ { t ^ { * } } ) \| _ { 2 } \right) } \\ & { \leq ( 1 + 2 \beta _ { 1 } ) \| u _ { j } ^ { t ^ { * } + 1 } \| _ { 2 } + 2 \beta _ { 1 } \| \mathcal { F } ( \omega ^ { t ^ { * } } \circ S _ { j } z ^ { t ^ { * } } ) \| _ { 2 } . } \end{array}
\int _ { \Omega } \left( \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { u } - \boldsymbol { v } \otimes \boldsymbol { v } \right) : \nabla \boldsymbol { w } = \int _ { \Omega } \left( \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { w } - \boldsymbol { w } \otimes \boldsymbol { v } \right) : \nabla \boldsymbol { w } = \int _ { \Omega } \left( \boldsymbol { w } \cdot \nabla \boldsymbol { v } \right) \cdot \boldsymbol { w }
P ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { c } , x _ { \overline { { { c } } } } ) \propto \frac { x _ { c } ^ { 2 } x _ { \overline { { { c } } } } ^ { 2 } } { ( x _ { c } + x _ { \overline { { { c } } } } ) ^ { 2 } } \delta ( 1 - x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } - x _ { c } - x _ { \overline { { { c } } } } )
S _ { \mathcal { F } } ^ { \mathrm { ( o t h e r ) } } = \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { \mathcal { P } } ^ { \mathrm { ( o ) } } \sigma _ { \Omega } ^ { \mathrm { ( o ) } } \sigma _ { \Omega } ^ { \mathrm { ( o ) } } } \end{array} \right) ^ { \mathrm { T } } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { y } = \boldsymbol { \zeta } ( \boldsymbol { \theta } , \mathbf { x } ) + \mathbf { e } = \mathbf { g } ( \boldsymbol { \theta } , \mathbf { x } ) + \boldsymbol { \delta } ( \boldsymbol { \theta } , \mathbf { x } ) + \mathbf { e } . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int d ^ { 5 } x \sqrt { - g _ { 5 } } \left( R - \frac { 3 } { 4 } \left( \left( \partial \phi \right) ^ { 2 } + V ( \phi ) \right) \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \Delta _ { i } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } n \left\| \nabla _ { \theta _ { i } } C _ { i , n } \right\| _ { 1 } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { i } \in S } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 u } Q _ { i , n } ^ { 2 } \right) n \| \nabla _ { \theta _ { i } } Q _ { i , n } \| _ { 1 } < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { a _ { t } ^ { \mathrm { c o r e } } } & { = c _ { t } ^ { \mathrm { c o r e } } J _ { m } \left( U \frac { r } { a } \right) \, , } & { a _ { t } ^ { \mathrm { c l a d } } } & { = c _ { t } ^ { \mathrm { c l a d } } K _ { m } \left( W \frac { r } { a } \right) \, , } \\ { a _ { + } ^ { \mathrm { c o r e } } } & { = c _ { + } ^ { \mathrm { c o r e } } J _ { m + 1 } \left( U \frac { r } { a } \right) \, , } & { a _ { + } ^ { \mathrm { c l a d } } } & { = c _ { + } ^ { \mathrm { c l a d } } K _ { m + 1 } \left( W \frac { r } { a } \right) \, , } \\ { a _ { - } ^ { \mathrm { c o r e } } } & { = c _ { - } ^ { \mathrm { c o r e } } J _ { m - 1 } \left( U \frac { r } { a } \right) \, , } & { a _ { - } ^ { \mathrm { c l a d } } } & { = c _ { - } ^ { \mathrm { c l a d } } K _ { m - 1 } \left( W \frac { r } { a } \right) \, , } \\ { a _ { z } ^ { \mathrm { c o r e } } } & { = c _ { z } ^ { \mathrm { c o r e } } J _ { m } \left( U \frac { r } { a } \right) \, , } & { a _ { z } ^ { \mathrm { c l a d } } } & { = c _ { z } ^ { \mathrm { c l a d } } K _ { m } \left( W \frac { r } { a } \right) \, , } \end{array}
\{ \boldsymbol { \phi } _ { 0 , l } ^ { 1 } \} _ { l = 0 : n _ { 0 } ^ { 1 } - 1 } \cup \{ \boldsymbol { \phi } _ { 1 , l } ^ { 1 } \} _ { l = 0 : n _ { 1 } ^ { 1 } - 1 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ I ~ } _ { \mathbf { a } } } & { { } = \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left( \mathbf { a } \right) = 0 } \\ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } _ { \mathbf { a } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left( \mathbf { a } ^ { 2 } \right) = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } \\ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } _ { \mathbf { a } } } & { { } = \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { a } \right) = \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } \end{array}
f ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } } } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } \left( { \frac { ( y _ { 1 } - \mu _ { 1 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { 2 \rho ( y _ { 1 } - \mu _ { 1 } ) ( y _ { 2 } - \mu _ { 2 } ) } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } } + { \frac { ( y _ { 2 } - \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) \right]
g \in H ^ { p } \left( \mathbf { T } \right) { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } g \in L ^ { p } \left( \mathbf { T } \right) { \mathrm { ~ a n d ~ } } { \hat { g } } ( n ) = 0 { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } n < 0 ,
\begin{array} { r } { S _ { \mathbfcal { X } _ { k } } \{ \! \mathbf x ; \mathbf x _ { k } ^ { ( i ) } \! , \! \mathbf \Delta _ { k } \! \} \! = \! \left\{ \begin{array} { l l } { \! 1 , \mathrm { i f } \ | \mathbf x \! - \! \mathbf x _ { k } ^ { ( i ) } | \! \leq \! \frac { \mathbf \Delta _ { k } } { 2 } \mathrm { ~ p e r ~ e l e m e n t } , } \\ { \! 0 , \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { F ^ { 1 } } \\ { F ^ { 2 } } \\ { F ^ { 3 } } \end{array} \right) = q \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { M } ^ { 1 } _ { 1 } } & { \mathcal { M } ^ { 1 } _ { 2 } } & { \mathcal { M } ^ { 1 } _ { 3 } } \\ { \mathcal { M } ^ { 2 } _ { 1 } } & { \mathcal { M } ^ { 2 } _ { 2 } } & { \mathcal { M } ^ { 2 } _ { 3 } } \\ { \mathcal { M } ^ { 3 } _ { 1 } } & { \mathcal { M } ^ { 3 } _ { 2 } } & { \mathcal { M } ^ { 3 } _ { 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { v ^ { 1 } } \\ { v ^ { 2 } } \\ { v ^ { 3 } } \end{array} \right) .
g _ { \alpha \beta } = \left[ \begin{array} { l l } { { g _ { i j } + N _ { i } ^ { a } N _ { j } ^ { b } h _ { a b } } } & { { N _ { j } ^ { e } h _ { a e } } } \\ { { N _ { i } ^ { e } h _ { b e } } } & { { h _ { a b } } } \end{array} \right]
= \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \left( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \right) } } \exp \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 \left( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \right)
\begin{array} { c l } { \displaystyle a _ { 0 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 2 } { 6 4 \pi } \sum _ { i , j = 1 , i , j \neq k } ^ { N } { S _ { i } S _ { j } \int _ { s _ { j } } ^ { s _ { j } + l _ { j } } { \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } } \\ & { \displaystyle \left[ 2 \cot { 3 \pi \delta } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } + \sin { 3 | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { 3 ( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) | ) } \right. } \\ & { \displaystyle \left. + 3 \left( 2 \cot { \pi \nu _ { x } } \cos { \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \cos { \chi _ { x } ( s ) } + \sin { | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { ( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) ) } \right) \right] d s ^ { \prime } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( e _ { 1 } + i e _ { 5 } + e _ { 9 } + i e _ { 1 3 } ) , \quad A _ { 1 } \equiv \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - e _ { 1 } + i e _ { 5 } - e _ { 9 } + i e _ { 1 3 } ) } \\ { A _ { 2 } ^ { \dagger } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( e _ { 2 } + i e _ { 6 } + e _ { 1 0 } + i e _ { 1 4 } ) , \quad A _ { 2 } \equiv \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - e _ { 2 } + i e _ { 6 } - e _ { 1 0 } + i e _ { 1 4 } ) } \\ { A _ { 3 } ^ { \dagger } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( e _ { 3 } + i e _ { 7 } + e _ { 1 1 } + i e _ { 1 5 } ) , \quad A _ { 3 } \equiv \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - e _ { 3 } + i e _ { 7 } - e _ { 1 1 } + i e _ { 1 5 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { n } } & { = \left[ \begin{array} { c c } { E _ { 1 , n } } & { 0 } \\ { 0 } & { E _ { 1 , n } } \end{array} \right] , \quad \mathcal { J } _ { 1 , n } = \left[ \begin{array} { c c } { F _ { 1 , n } } & { F _ { 2 , n } } \\ { F _ { 3 , n } } & { F _ { 4 , n } } \end{array} \right] , \quad \mathcal { J } _ { 2 , n } = \left[ \begin{array} { c c } { J _ { 2 , n } } & { 0 } \\ { J _ { 3 , n } } & { J _ { 1 , n } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \bar { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } } & { = } & { \frac { \epsilon } { 2 } \delta \left\langle \Re \left[ { \bf E } ^ { * } \times { \bf B } \right] \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { \epsilon \omega } { 2 } | A _ { 0 } | ^ { 2 } \sigma \left( \sin \phi \frac { 1 } { 2 } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } , - \cos \phi \frac { 1 } { 2 } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } , 0 \right) } \\ & { = } & { - \frac { \epsilon \omega } { 2 } | A _ { 0 } | ^ { 2 } \sigma \frac { 1 } { 2 } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \hat { \bf \Phi } . } \end{array}
\langle \phi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \phi _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { C _ { 1 2 } } { x _ { 1 2 } ^ { 2 \Delta _ { 1 } } } } } & { { \quad \textrm { i f } \; \; \Delta _ { 1 } = \Delta _ { 2 } \medskip } } \\ { { 0 } } & { { \quad \textrm { i f } \; \; \Delta _ { 1 } \neq \Delta _ { 2 } \, \, \, } } \end{array} \right. \, \, ,
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { E W } } = { \mathcal { L } } _ { \mathrm { K } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { N } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { C } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { H } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { H V } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { W W V } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { W W V V } } + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { Y } } .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) \| } & { \leq \| \mathcal { G } ( x _ { t } , w _ { t } , \gamma ) \| + \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) - \mathcal { G } ( x _ { t } , w _ { t } , \gamma ) \| } \\ & { = \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \mathbb { P } _ { \mathcal { X } } ( x _ { t } - \gamma w _ { t } - \mathbb { P } _ { \mathcal { X } } ( x _ { t } - \gamma \nabla F ( x _ { t } ) ) \| } \\ & { \leq \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| + \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \epsilon ) \operatorname* { m i n } \lbrace u _ { - } ^ { 2 } , u _ { + } ^ { 2 } \rbrace + \frac { 1 + \epsilon ^ { - 1 } } { 2 } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \epsilon ) \operatorname* { m a x } \lbrace \alpha _ { - } ^ { - 1 } , \alpha _ { + } ^ { - 1 } , 1 \rbrace \Big ( \operatorname* { m i n } \lbrace \alpha _ { - } , \alpha _ { + } \rbrace \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \operatorname* { m i n } \lbrace u _ { - } ^ { 2 } , u _ { + } ^ { 2 } \rbrace } \\ & { \qquad \qquad \qquad + ( 2 \epsilon ) ^ { - 1 } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } \Big ) , } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { C P - e v e n } } = i \, \bar { \psi } _ { i } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi ^ { i } + \bar { \psi } _ { 2 } \partial _ { 5 } \psi ^ { 1 } - \bar { \psi } _ { 1 } \partial _ { 5 } \psi ^ { 2 } - \omega ( \bar { \psi } _ { 1 } \psi ^ { 1 } + \bar { \psi } _ { 2 } \psi ^ { 2 } ) - 2 \Lambda \delta ( y ) \left[ \bar { \psi } _ { 1 } \psi ^ { 1 } + \rho \, \bar { \psi } _ { 2 } \psi ^ { 2 } \right]
\chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } = r ^ { \frac { n } { \alpha ^ { \prime } } } \| \chi _ { B ( x _ { 0 } / r , r _ { 0 } / r ) } \| _ { p ( \cdot ) ^ { \prime } , q ^ { \prime } } \cdot S t _ { r } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \| \chi _ { B ( x _ { 0 } / r , r _ { 0 } / r ) } \| _ { p ( \cdot ) ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - 1 } \chi _ { B ( x _ { 0 } / r , r _ { 0 } / r ) } ) .
\begin{array} { r } { L \approx \frac { 2 \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } \Big ( \cos ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) + \sin ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) \Big ) J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) } { l \mu _ { 0 } ( \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } ( \sin ( 2 k _ { 2 } r _ { 2 } ) - 1 ) } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 3 / 2 } , } \end{array}
\tilde { w } _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { g ( w _ { s } ) , } & { 0 \leqslant s \leqslant d - 1 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 d - s + 1 } } \left[ g ( v _ { s } ) + \tilde { e } _ { d } \otimes \tilde { e } _ { z - d } + \tilde { e } _ { z - d } \otimes \tilde { e } _ { d } \right] , } & { d \leqslant s \leqslant 2 d - 2 , } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \tilde { e } _ { d } \otimes \tilde { e } _ { d - 1 } + \tilde { e } _ { d - 1 } \otimes \tilde { e } _ { d } \right] , } & { s = 2 d - 1 , } \\ { \tilde { e } _ { d } \otimes \tilde { e } _ { d } , } & { s = 2 d } \end{array} \right.