harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\boldsymbol { e } _ { k } \in \left( ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , - 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( - 1 , 1 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 1 , - 1 ) \right)
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) } & { { } = } & { \sum _ { k ^ { \prime } = k _ { \mathrm { m i n } } - 1 } ^ { k _ { \mathrm { c u t } } - 1 } k ^ { \prime } Q ( k ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { p } _ { \textsc { s k s } , \mathcal { C } } ^ { n } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ) = 2 \phi _ { d _ { \mathcal { C } } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ; 0 , \hat { \Omega } _ { \mathcal { C } \mathcal { C } } ) w _ { \mathcal { C } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ) = 2 \phi _ { d _ { \mathcal { C } } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ; 0 , \hat { \Omega } _ { \mathcal { C } \mathcal { C } } ) F ( \alpha _ { \eta , \mathcal { C } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { d z + \lambda } ( \psi ^ { s _ { 1 } } ( \Lambda _ { 0 } ) , \psi ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ( \Lambda _ { 0 } ) ) } & { = d _ { d z + \lambda } ( \psi ^ { s _ { i } } ( \Lambda _ { 0 } ) , \psi ^ { s _ { i } ^ { \prime } } ( \Lambda _ { 0 } ) ) } \\ & { \leq d _ { d z + \lambda } ( \psi ^ { s _ { i } } ( \Lambda _ { 0 } ) , \Lambda _ { 0 } ) + d _ { d z + \lambda } ( \Lambda _ { 0 } , \psi ^ { s _ { i } ^ { \prime } } ( \Lambda _ { 0 } ) ) \to 0 , \quad i \to \infty , } \end{array}
\left< r ^ { 2 } \right> ^ { C } = \frac { 6 } { M _ { \pi } ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 \, \alpha ^ { 2 } } , \qquad \qquad \left. F _ { 1 } ^ { C } ( Q ^ { 2 } ) \right| _ { Q ^ { 2 } \rightarrow \infty } = \frac { 2 5 6 \, M _ { \pi } ^ { 8 } \; \alpha ^ { 4 } } { Q ^ { 8 } \; m ^ { 4 } } .
Q _ { 1 1 } = \frac { a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } k ^ { 2 } \cos \theta \left( \omega ^ { 2 } \cos \theta - c _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } k _ { \scriptscriptstyle \! \perp } k _ { x } \right) - 2 c _ { \mathrm { n } } ^ { 4 } k ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } + 3 \omega ^ { 2 } c _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } - \omega ^ { 4 } } { ( \chi + 1 ) \omega ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \underset { \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } } , \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } } } { \operatorname* { m a x } } } & { \ \operatorname* { m i n } \left( Y _ { R } , \delta Y _ { I } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \; \; } & { \; Y _ { R } = \mathrm { s g n } \left( x ^ { \mathcal { R } } \right) \left( \mathbf { h } _ { m } ^ { \mathcal { R } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } } - \mathbf { h } _ { m } ^ { \mathcal { I } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } } \right) , } \\ & { \; Y _ { I } = \mathrm { s g n } \left( x ^ { \mathcal { I } } \right) \left( \mathbf { h } _ { n } ^ { \mathcal { R } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { I } } + \mathbf { h } _ { n } ^ { \mathcal { I } } \boldsymbol { \theta } ^ { \mathcal { R } } \right) , } \\ & { \ \left( \theta _ { i } ^ { \mathcal { R } } \right) ^ { 2 } + \left( \theta _ { i } ^ { \mathcal { I } } \right) ^ { 2 } = 1 , \ \mathrm { f o r ~ a l l } \; i = 1 , 2 , \dots , N , } \end{array}
n a _ { n } x ^ { n - 1 } + ( n - 1 ) a _ { n - 1 } x ^ { n - 2 } + \ldots + 2 a _ { 2 } x + a _ { 1 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } \cdot i \cdot x ^ { i - 1 } .
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { R , i } } = Q _ { \mathrm { L , i } } = \langle Q \rangle _ { i } \quad \, \, \quad \quad } & { \textrm { i f } \left( Q _ { \mathrm { R , i } } - \langle Q \rangle _ { i } \right) \left( \langle Q \rangle _ { i } - Q _ { \mathrm { L , i } } \right) \leq 0 } \\ { Q _ { \mathrm { L , i } } = 3 \langle Q \rangle _ { i } - 2 Q _ { \mathrm { R , i } } \, \, \quad \quad } & { \textrm { i f } \left( Q _ { \mathrm { R , i } } - Q _ { \mathrm { L , i } } \right) Q _ { a , i } > \frac { 1 } { 6 } \left( Q _ { \mathrm { R , i } } - Q _ { \mathrm { L , i } } \right) ^ { 2 } } \\ { Q _ { \mathrm { R , i } } = 3 \langle Q \rangle _ { i } - 2 Q _ { \mathrm { L , i } } \, \, \quad \quad } & { \textrm { i f } - \frac { 1 } 6 \left( Q _ { \mathrm { R , i } } - \langle Q _ { \mathrm { L , i } } \right) ^ { 2 } > \left( Q _ { \mathrm { R , i } } - Q _ { \mathrm { L , i } } \right) Q _ { a , i } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { V } & { = \iiint _ { W ^ { * } } \left| { \frac { \partial ( x , y , z ) } { \partial ( u , v , \theta ) } } \right| \, d u \, d v \, d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \! \iint _ { F ^ { * } } x ( u , v ) \left| { \frac { \partial ( x , z ) } { \partial ( u , v ) } } \right| d u \, d v \, d \theta } \\ & { = 2 \pi \iint _ { F ^ { * } } x ( u , v ) \left| { \frac { \partial ( x , z ) } { \partial ( u , v ) } } \right| \, d u \, d v } \\ & { = 2 \pi \int _ { F } x \, d A } \end{array} }
\Gamma ( 1 , t ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } s ^ { k } } { k ! } } ( \mathrm { a d } _ { X } ) ^ { k } { \frac { d X } { d t } } d s = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + 1 ) ! } } ( \mathrm { a d } _ { X } ) ^ { k } { \frac { d X } { d t } } = { \frac { 1 - e ^ { - \mathrm { a d } _ { X } } } { \mathrm { a d } _ { X } } } { \frac { d X } { d t } } ,
r ^ { 2 } \frac { d } { d r } \left\langle f ^ { \prime } ( r ^ { \prime } ) f ^ { \prime } ( r ) \right\rangle = \left\langle f ^ { \prime } ( r ^ { \prime } ) f ^ { 3 } ( r ) \right\rangle - \left\langle f ^ { \prime } ( r ^ { \prime } ) f ( r ) \right\rangle \left( 1 + g ^ { 2 } ( r ) \right)
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \epsilon _ { r } } + \frac { \left( 1 - \psi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \delta C _ { m } } \right) ^ { 2 } \left( \delta ^ { - 1 } \mu _ { \psi 0 } ^ { \pm } + \mu _ { \psi 1 } ^ { \pm } + \delta \mu _ { \psi 2 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \mu _ { \psi 3 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) \right) } \\ { = } & { \left( \frac { 1 - \psi } { 2 } + \frac { 1 + \psi } { 2 \epsilon _ { r } } + \frac { \left( 1 - \psi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \delta C _ { m } } \right) ^ { 2 } \left( \delta ^ { - 1 } \mu _ { 0 } ^ { \pm } + \mu _ { 1 } ^ { \pm } + \delta \mu _ { 2 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \mu _ { 3 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { - \frac { C a _ { E } } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { r } } + \frac { 4 \psi \left( 1 - \psi ^ { 2 } \right) } { \delta C _ { m } } \right) \left| \nabla \left( \phi _ { 0 } ^ { \pm } + \delta \phi _ { 1 } ^ { \pm } + \delta ^ { 2 } \phi _ { 2 } ^ { \pm } + o \left( \delta ^ { 2 } \right) \right) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\bar { T } ^ { \nabla ^ { \mathtt { A } } } = \frac 1 { s _ { v } ^ { 2 } } \, ( \star _ { \mu } \, \mathrm { d } \psi ) ^ { \flat } \wedge \big ( \Delta \psi \ \mathrm { d } \psi + \mathrm { d } \, \iota _ { v } \, ( \star _ { \mu } \, \mathrm { d } \psi ) ^ { \flat } \big ) \ .
\begin{array} { r l } { G _ { 2 } ( \Bar { y } , \Bar { z } ) } & { { } \equiv \frac { \int _ { | \bar { y } | } ^ { \infty } \mathrm { d } x \left( x ^ { 2 } - 5 / 2 \right) k ( x , \bar { y } , \bar { z } ) } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \: 0 . 5 x \left( x ^ { 2 } - 5 / 2 \right) e ^ { - x ^ { 2 } } \left[ \Xi ( x ) - \Psi ( x ) \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 1 } } E _ { 1 } = a E _ { 2 } + \beta J E _ { 1 } + \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 1 } } E _ { 2 } = - a E _ { 1 } - \beta K E _ { 1 } + I \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 1 } } J E _ { 1 } = - \beta E _ { 1 } + ( p _ { 1 } - a ) K E _ { 1 } + J \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 1 } } K E _ { 1 } = \beta E _ { 2 } + ( a - p _ { 1 } ) J E _ { 1 } + \alpha K \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 1 } } \xi = - E _ { 1 } + c _ { 1 } I \xi + c _ { 2 } J \xi + c _ { 3 } K \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 1 } } I \xi = - E _ { 2 } - c _ { 1 } \xi - c _ { 3 } J \xi + c _ { 2 } \beta K \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 1 } } J \xi = - J E _ { 1 } - c _ { 2 } \xi + c _ { 3 } I \xi + ( p _ { 1 } - c _ { 1 } ) K \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 1 } } K \xi = - K E _ { 1 } - c _ { 3 } \xi + ( 2 \beta - c _ { 2 } ) I \xi + ( c _ { 1 } - p _ { 1 } ) J \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 2 } } E _ { 1 } = - b E _ { 2 } - \beta K E _ { 1 } + I \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 2 } } E _ { 2 } = b E _ { 1 } - \beta J E _ { 1 } - \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 2 } } J E _ { 1 } = \beta E _ { 2 } + ( b + p _ { 2 } ) K E _ { 1 } - \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 2 } } K E _ { 1 } = \beta E _ { 1 } - ( b + p _ { 2 } ) K E _ { 1 } + J \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 2 } } \xi = E _ { 2 } + d _ { 1 } I \xi + d _ { 2 } J \xi + d _ { 3 } K \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 2 } } I \xi = - E _ { 1 } - d _ { 1 } \xi - ( d _ { 3 } + 2 \beta ) J \xi + d _ { 2 } \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 2 } } J \xi = - K E _ { 1 } - d _ { 2 } \xi + ( d _ { 3 } + 2 \beta ) I \xi + ( p _ { 2 } - d _ { 1 } ) K \xi , } \\ & { \tilde { \nabla } _ { E _ { 2 } } K \xi = J E _ { 1 } - d _ { 3 } \xi - d _ { 2 } I \xi - ( p _ { 2 } - d _ { 1 } ) J \xi , } \end{array}
I ( i ) = e ^ { \phi ( - v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) ) - \phi ( v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) ) } \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) - \lambda _ { i } ( x + v t , v ) e ^ { - ( \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) ) t } } { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) } .
\begin{array} { r l } { A = } & { { } \operatorname* { d e t } ( \mathbf { F } ) n | \vec { a } \times \vec { b } | } \\ { = } & { { } \operatorname* { d e t } ( \mathbf { F } ) \frac { n } { 4 } \ell _ { 0 } ^ { 2 } \cot \left( \frac { \pi } { n } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { L J } ^ { i } ( x ) = \int _ { \lvert x - x ^ { \prime } \rvert \ge a _ { i } } - 4 \pi \epsilon _ { i i } c _ { i } ( x ^ { \prime } ) \left[ \frac { \sigma _ { i i } ^ { 6 } } { 2 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i i } ^ { 1 2 } } { 5 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 1 0 } } \right] d x ^ { \prime } } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { | x - x ^ { \prime } | \geq \frac { a _ { i } + a _ { j } } { 2 } } - 4 \pi \epsilon _ { i j } c _ { j } ( x ^ { \prime } ) \left[ \frac { \sigma _ { i j } ^ { 6 } } { 2 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i j } ^ { 1 2 } } { 5 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 1 0 } } \right] d x ^ { \prime } } \end{array}
{ S _ { \alpha \beta } ^ { s h } } = - 4 \frac { e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \dagger } s _ { \alpha \delta } s _ { \beta \delta } ^ { \dagger } s _ { \beta \gamma } ) .
S _ { e f f } = - { \frac { \kappa } { 2 } } \, \int d ^ { 2 } \sigma \, \left[ - \partial _ { + } \beta \, \partial _ { - } \tilde { v } ^ { 1 } + \sinh \beta \, \partial _ { + } \gamma \, \partial _ { - } \tilde { v } ^ { 2 } \right] \ .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \epsilon _ { 2 } } { \partial v _ { 1 } } = 2 \sqrt { \epsilon _ { 2 } } \: \: w _ { 1 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) } \\ & { \frac { \partial \epsilon _ { 2 } } { \partial v _ { 2 } } = 2 \sqrt { \epsilon _ { 2 } } \: \: w _ { 2 } ^ { 2 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x _ { i } \big ) } \\ & { \frac { \partial \epsilon _ { 2 } } { \partial w _ { 1 } } = 2 \sqrt { \epsilon _ { 2 } } \: \: v _ { 1 } \left[ 2 W _ { 1 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) + w _ { 1 } ^ { 3 } x _ { i } f ^ { \prime \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) \right] } \\ & { \frac { \partial \epsilon _ { 2 } } { \partial w _ { 2 } } = 2 \sqrt { \epsilon _ { 2 } } \: \: v _ { 2 } \left[ 2 W _ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x _ { i } \big ) + w _ { 2 } ^ { 3 } x _ { i } f ^ { \prime \prime \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x _ { i } \big ) \right] } \\ & { \frac { \partial \epsilon _ { 2 } } { \partial w _ { 1 0 } } = 2 \sqrt { \epsilon _ { 2 } } \: \: v _ { 1 } w _ { 1 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) } \\ & { \frac { \partial \epsilon _ { 2 } } { \partial w _ { 2 0 } } = 2 \sqrt { \epsilon _ { 2 } } \: \: v _ { 2 } w _ { 2 } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x _ { i } \big ) } \end{array}
{ W _ { i } } _ { m } ^ { n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q _ { i } \varphi _ { m } ^ { n } ( x ) } & { \textrm { f o r } ( n , m ) \neq ( 1 , 0 ) , } \\ { \displaystyle q _ { i } \varphi _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) - \frac { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } { L } } & { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { x } \frac { \beta _ { i } ( x ^ { \prime } ) } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { m _ { 1 } \frac { d ^ { 2 } z _ { 1 } } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { k _ { 1 } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) + N - \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } g } \\ { m _ { j } \frac { d ^ { 2 } z _ { j } } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { k _ { j - 1 } ( z _ { j - 1 } - z _ { j } ) + k _ { j } ( z _ { j + 1 } - z _ { j } ) , \qquad j = 2 , \cdots , n - 1 } \\ { m _ { n } \frac { d ^ { 2 } z _ { n } } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { k _ { n - 1 } ( z _ { n - 1 } - z _ { n } ) } \end{array}
\iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } | v | ^ { 2 } f _ { \varepsilon } ( x , v , t ) \, d x d v + \int _ { 0 } ^ { t } \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } | v | ^ { 2 } \left( f _ { \varepsilon } - M [ f _ { \varepsilon } ] \right) \, d x d v d s \leq \iint _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } | v | ^ { 2 } f _ { \varepsilon , 0 } ( x , v ) \, d x d v
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } s ( x - x _ { \mathrm { m } } , y - y _ { \mathrm { m } } ) } & { = \frac { \mathrm { d } F _ { z } ( x _ { \mathrm { m } } , y _ { \mathrm { m } } ) ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } { \pi E \sqrt { ( x - x _ { \mathrm { m } } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { \mathrm { m } } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = \frac { \sigma _ { 0 } ( x _ { \mathrm { m } } , y _ { \mathrm { m } } ) ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } { \pi E \sqrt { ( x - x _ { \mathrm { m } } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { \mathrm { m } } ) ^ { 2 } } } \mathrm { d } x _ { \mathrm { m } } \mathrm { d } y _ { \mathrm { m } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { I } ^ { \mathrm { L T } } } & { { } \simeq 3 9 4 . 6 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \Omega } ^ { \mathrm { L T } } } & { { } \simeq 1 0 7 . 0 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \omega } ^ { J _ { 2 } } } & { { } = - 1 \, 3 8 4 . 9 ^ { \circ } \, \mathrm { y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \omega } ^ { \mathrm { G E } } } & { { } = 1 7 . 4 \, \mathrm { a r c s e c \, y r } ^ { - 1 } , } \end{array}
\mathcal { E } _ { A _ { \mathrm { M L M C } } } ^ { 2 } = \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbb { E } ( u ) - A _ { \mathrm { M L M C } } ( u _ { L } ) \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } \right] = \left\Vert \mathbb { E } ( u ) - \mathbb { E } ( u _ { L } ) \right\Vert _ { Z } ^ { 2 } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \frac { \mathbb { V } \left( Y _ { \ell } \right) } { N _ { \ell } } = \mathcal { E } _ { \mathrm { B i a s } } ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { \mathrm { S t a t } } ^ { 2 } .
{ \bf T } _ { 0 } ^ { H } = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { g m _ { Z } } { \cos \theta _ { W } } \Delta _ { \tilde { t } _ { L } } \cos ( \alpha + \beta ) - \frac { g m _ { t } ^ { 2 } \sin \alpha } { m _ { W } \sin \beta } } } & { { \frac { g m _ { t } } { 2 \sin \beta } ( A _ { t } ^ { * } \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) } } \\ { { \frac { g m _ { t } } { 2 \sin \beta } ( A _ { t } \sin \alpha + \mu ^ { * } \cos \alpha ) } } & { { - \frac { g m _ { Z } } { \cos \theta _ { W } } \Delta _ { \tilde { t } _ { R } } \cos ( \alpha + \beta ) - \frac { g m _ { t } ^ { 2 } \sin \alpha } { m _ { W } \sin \beta } } } \end{array} \right) ,
\bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( m , n ) } \Bigr ( \cdots , \underbrace { \omega _ { \ell } , p _ { \ell } = 0 } _ { \ell = \mathrm { r e s p o n s e \; v e l o c i t y \; i n d e x } } , \cdots \Bigr ) = 0 \, ,
\overline { { P } } _ { p } = P _ { p } \ , \quad \overline { { x } } ^ { p } = x ^ { p } \ , \quad \overline { { \phi } } _ { 1 , 2 } = \phi _ { 1 , 2 } \ , \quad \overline { { \theta } } _ { \alpha i } = \bar { \theta } _ { \dot { \alpha } } ^ { i }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Pi } _ { i + 1 } } & { { } = \boldsymbol { \Pi } _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \nabla } V _ { i } \Delta t \left( \frac { V _ { i } } { E } + \frac { E } { V _ { i } } \right) , } \\ { \boldsymbol { \Theta } _ { i + 1 } } & { { } = \boldsymbol { \Theta } _ { i } + \boldsymbol { \Pi } _ { i + 1 } \Delta t \frac { V _ { i } } { E } , } \end{array}
\mathbf { V } = \left[ \begin{array} { l l l } { h ( x _ { j } , t ) \, \alpha _ { 1 } ( x _ { j } , t ) } & { \hdots } & { h ( x _ { j } , t ) \, \alpha _ { N } ( x _ { j } , t ) } \end{array} \right] _ { j } \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } \times N } .
u ( \rho ) = \left( C _ { 1 } F \left( - \frac { e ^ { 2 } + 1 } { 4 } , - \frac { 1 } { 2 } , \rho ^ { 2 } \right) + C _ { 2 } \rho ^ { 3 } F \left( - \frac { e ^ { 2 } - 5 } { 4 } , \frac { 5 } { 2 } , \rho ^ { 2 } \right) \right) e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Phi } _ { 1 } } & { { } = \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } , x _ { 1 } , y _ { 1 } , x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \mathbf { \Phi } _ { 2 } } & { { } = \left( z _ { 0 } , z _ { 1 } , z _ { 2 } \right) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
\pi _ { k } ( \zeta , \xi , \theta , \nu ) = \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \pi _ { k } ( \zeta , \xi , \theta , \nu , R ) = \frac { \left[ \nu A ( | | \mathbf x - \mathbf y | | , \xi ) \right] ^ { k - 1 } } { ( k - 1 ) ! } \exp ( - \nu A ( | | \mathbf x - \mathbf y | | , \xi ) ) ,
R _ { n _ { j k } } ^ { \xi _ { j k } } ( r ) = \frac { ( 2 \xi _ { j k } ) ^ { n _ { j k } + \frac { 1 } { 2 } } } { \sqrt { 2 n _ { j k } ! } } r ^ { n _ { j k } - 1 } e ^ { - \xi _ { j k } r } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { x } _ { 1 } = - \left( \frac { L _ { 1 } ^ { 2 } } { M _ { 1 } k _ { 1 } } \left( \cosh u _ { 1 } - e _ { 1 } \right) , \frac { L _ { 1 } G _ { 1 } } { M _ { 1 } k _ { 1 } } \sinh u _ { 1 } \right) , \quad \mathbf { x } _ { 0 } = \left( \frac { L _ { 0 } G _ { 0 } } { M _ { 0 } k _ { 0 } } \sin u _ { 0 } , - \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { M _ { 0 } k _ { 0 } } \left( \cos u _ { 0 } - e _ { 0 } \right) \right) , } \\ & { \frac { \partial \mathbf { x } _ { 0 } } { \partial G _ { 0 } } = \frac { L _ { 0 } } { M _ { 0 } k _ { 0 } } ( \sin u _ { 0 } , 0 ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } } { \partial G _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { M _ { 0 } k _ { 0 } } ( 0 , - \cos u _ { 0 } - 2 ) , } \\ & { \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } } { \partial G _ { 1 } } = - \frac { L _ { 1 } } { M _ { 1 } k _ { 1 } } ( 0 , \sinh u _ { 1 } ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 1 } } { \partial G _ { 1 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { M _ { 1 } k _ { 1 } } ( 2 + \cosh u _ { 1 } , 0 ) , } \\ & { \frac { \partial \mathbf { p } _ { i } } { \partial G _ { i } } \bot \mathbf { p } _ { i } , \; \frac { \partial \mathbf { p } _ { i } } { \partial g _ { i } } \bot \mathbf { p } _ { i } , \; \frac { \partial \mathbf { p } _ { i } } { \partial L _ { i } } \parallel \mathbf { p } _ { i } , \; \frac { \partial \mathbf { x } _ { i } } { \partial G _ { i } } \bot \mathbf { x } _ { i } , \; \frac { \partial \mathbf { x } _ { i } } { \partial g _ { i } } \bot \mathbf { x } _ { i } , \; \frac { \partial \mathbf { x } _ { i } } { \partial L _ { i } } \bot \mathbf { x } _ { i } , \; \frac { \partial \mathbf { x } _ { i } } { \partial L _ { i } } \parallel \mathbf { x } _ { i } , \; \frac { \partial \mathbf { x } _ { i } } { \partial \ell _ { i } } \bot \mathbf { x } _ { i } , \; i = 0 , 1 . } \end{array}
h \nu _ { j } ( \mathbf R _ { j } ) = V _ { \mathrm { ~ S ~ } _ { 1 } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ( { \bf { R } } _ { j } ) - V _ { \mathrm { ~ S ~ } _ { 0 } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ( { \bf { R } } _ { j } )
\epsilon _ { \mathrm { C a s } } ( x ) = \left( \frac { 1 } { 2 } \omega _ { B } - \frac { m } { 2 \sqrt { 3 } } - \frac { m } { 2 \pi } \right) \phi _ { B } ^ { 2 } ( x ) - \frac { m } { \pi } \phi _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { C } _ { 6 , t } ) = \mathbb { P } \left[ \bigcup _ { T \subseteq S ^ { * } } \mathcal { K } ( T ) \right] } & { \ge \mathbb { P } \left[ \bigcup _ { j \in S ^ { * } , e \in \mathcal { E } } \mathcal { K } _ { 6 , t + \log ( 2 s ^ { * } | \mathcal { E } | ) } ( e , j ) \right] } \\ & { \ge 1 - \sum _ { e \in \mathcal { E } , j \in S ^ { * } } \left( 1 - \mathbb { P } \left[ \mathcal { K } _ { 6 , t + \log ( 2 s ^ { * } | \mathcal { E } | ) } ( e , j ) \right] \right) } \\ & { \ge 1 - 2 s ^ { * } | \mathcal { E } | e ^ { - t - \log ( 2 s ^ { * } | \mathcal { E } | ) } \ge 1 - e ^ { - t } . } \end{array}
e _ { 1 } = - e _ { 3 } = \pi ^ { 2 } \theta _ { 4 } ^ { 4 } ( 0 ) = \frac { 1 } { 8 \pi } \Gamma \left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 4 } \sim 6 . 8 7 5 \; .
d s ^ { 2 } = - f d t ^ { 2 } + \frac { m } { f } d r ^ { 2 } + \frac { m r ^ { 2 } } { f } d \theta ^ { 2 } + \frac { l r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { f } d \phi ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \boldsymbol { r } } G ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) } & { = \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \xi } ) , \, \forall \, \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } \in D } \\ { G ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) } & { = 0 , \, \, \, \forall \, \boldsymbol { \xi } \in D ^ { \circ } \: \: \, \, \forall \: \boldsymbol { r } \in \partial D } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { * } \psi } & { \equiv \left( R \frac { \partial } { \partial R } \frac { 1 } { R } \frac { \partial } { \partial R } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Z ^ { 2 } } \right) \psi } \\ & { = - \mu _ { 0 } R J _ { t } } \\ & { = - R ^ { 2 } \mu _ { 0 } \frac { d p ( \psi ) } { d \psi } - f ( \psi ) \frac { d f ( \psi ) } { d \psi } } \end{array}
\mathrm { e } ^ { A t } C = \left( \begin{array} { l l } { \nu ^ { 3 } \langle \rho _ { \mathsf { p } } \exp \! \big ( \nu ^ { - 1 } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) t \big ) ( \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } ) ^ { 2 } \rangle } & { - \big \langle \rho _ { \mathsf { p } } \exp \! \big ( \nu ^ { - 1 } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) t \big ) \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \big | F } \\ { - \nu ^ { 2 } F ^ { * } \big | \rho _ { \mathsf { p } } \exp \! \big ( \nu ^ { - 1 } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) t \big ) \varsigma _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \big \rangle } & { \nu F ^ { * } \rho _ { \mathsf { p } } \exp \! \big ( \nu ^ { - 1 } ( v ^ { \mathrm { e f f } } - q _ { 1 } ) t \big ) F } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { d \omega ^ { A } { } _ { B } } & { { } = \sum _ { C } ( \mathsf { L } _ { A B , C } + \mathsf { L } _ { A B } \mathsf { L } _ { A C } ) \, \vartheta ^ { C } \wedge \vartheta ^ { A } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } ( C ) } & { = } & { \sum _ { n \le 5 } \frac { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | D | n P _ { 1 / 2 } \rangle \langle n P _ { 1 / 2 } | H _ { W } | 6 S _ { 1 / 2 } \rangle } { ( E _ { 6 S _ { 1 / 2 } } - E _ { n P _ { 1 / 2 } } ) } } \\ & { + } & { \sum _ { n \le 5 } \frac { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | H _ { W } | n P _ { 1 / 2 } \rangle \langle n P _ { 1 / 2 } | D | 6 S _ { 1 / 2 } \rangle } { ( E _ { 7 S _ { 1 / 2 } } - E _ { n P _ { 1 / 2 } } ) } \ \ \ } \\ { E 1 _ { P V } ( V ) } & { = } & { \sum _ { n = 6 - 9 } \frac { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | D | n P _ { 1 / 2 } \rangle \langle n P _ { 1 / 2 } | H _ { W } | 6 S _ { 1 / 2 } \rangle } { ( E _ { 6 S _ { 1 / 2 } } - E _ { n P _ { 1 / 2 } } ) } } \\ & { + } & { \sum _ { n = 6 - 9 } \frac { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | H _ { W } | n P _ { 1 / 2 } \rangle \langle n P _ { 1 / 2 } | D | 6 S _ { 1 / 2 } \rangle } { ( E _ { 7 S _ { 1 / 2 } } - E _ { n P _ { 1 / 2 } } ) } \ \ \ } \end{array}