harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \| S _ { N } ( \Delta t ) \| _ { C _ { N } } ^ { 2 } } & { = } & { \operatorname* { s u p } \frac { { \bf w } ^ { T } S _ { N } ( \Delta t ) ^ { T } \tilde { C } _ { N } S _ { N } ( \Delta t ) { \bf w } } { { \bf w } ^ { T } \tilde { C } _ { N } { \bf w } } = \operatorname* { s u p } \frac { { \bf w } ^ { T } S _ { N } ( \Delta t ) ^ { T } \tilde { C } _ { N } S _ { N } ( \Delta t ) { \bf w } } { ( \tilde { C } _ { N } ^ { 1 / 2 } { \bf w } ) ^ { T } ( \tilde { C } _ { N } ^ { 1 / 2 } { \bf w } ) } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i j } { \frac { \partial ^ { 2 } \varepsilon _ { n } } { \partial k _ { i } \partial k _ { j } } } q _ { i } q _ { j } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } q ^ { 2 } + \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } { \frac { | \int d \mathbf { r } u _ { n \mathbf { k } } ^ { * } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \mathbf { q } \cdot ( - i \nabla + \mathbf { k } ) u _ { n ^ { \prime } \mathbf { k } } | ^ { 2 } } { \varepsilon _ { n \mathbf { k } } - \varepsilon _ { n ^ { \prime } \mathbf { k } } } }
\frac { d u _ { * } } { u _ { * } } = - \frac { d y } { y ( \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 1 ) } = - \frac { d \delta } { \delta ( \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 1 ) } = - \frac { d x } { x ( \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 ) } = \frac { d V } { 2 V } .
2 - \varepsilon \big ( p ^ { \prime \prime } ( \theta ) + p ^ { \prime } ( \theta ) \cot \theta + 2 p ( \theta ) \big ) + o ( \varepsilon ) + \frac \gamma 3 \Big ( \sqrt { 5 \! - \! 4 \cos \theta } \Big ) ^ { - 1 } + \frac \gamma 3 + \gamma \, o ( 1 ) = \lambda .
\begin{array} { c c } { { \alpha ^ { \prime } M ^ { 2 } = 4 \left( N _ { R } - 1 \right) + \alpha ^ { \prime } Q _ { + } ^ { 2 } = 4 \left( N _ { L } - 1 \right) + \alpha ^ { \prime } Q _ { - } ^ { 2 } , } } & { { N _ { R } - N _ { L } = m _ { 0 } w _ { 0 } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \xi ^ { i } } \left( J \delta ^ { \alpha \beta } \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { j } } { \partial x ^ { \beta } } \frac { \partial p } { \partial \xi ^ { j } } \right) = \frac { \partial } { \partial \xi ^ { j } } \left( \overline { { u } } ^ { j } J \right) , \, \overline { { u } } ^ { j } = \frac { \partial \xi ^ { j } } { \partial x ^ { \alpha } } u ^ { \alpha } , } \\ & { p \left( \xi ^ { 1 } , 1 \right) = 1 , \, \left( \frac { \partial p } { \partial \xi ^ { 1 } } \frac { \partial \xi ^ { 1 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial p } { \partial \xi ^ { 2 } } \frac { \partial \xi ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) _ { \xi ^ { 2 } = 0 } = 0 , } \\ & { \left( \frac { \partial p } { \partial \xi ^ { 1 } } \frac { \partial \xi ^ { 1 } } { \partial x ^ { 1 } } + \frac { \partial p } { \partial \xi ^ { 2 } } \frac { \partial \xi ^ { 2 } } { \partial x ^ { 1 } } \right) _ { \xi ^ { 1 } = 0 } = 0 , \, \left( \frac { \partial p } { \partial \xi ^ { 1 } } \frac { \partial \xi ^ { 1 } } { \partial x ^ { 1 } } + \frac { \partial p } { \partial \xi ^ { 2 } } \frac { \partial \xi ^ { 2 } } { \partial x ^ { 1 } } \right) _ { \xi ^ { 1 } = 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ S ~ } ( D ) : = } & { { } \, [ \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ n ~ } ( D _ { m } ) , ~ \mathrm { ~ s ~ t ~ d ~ } ( D _ { m } ) , ~ \mathrm { ~ s ~ k ~ } ( D _ { m } ) , ~ \mathrm { ~ k ~ u ~ } ( D _ { m } ) , ~ \mathrm { ~ e ~ p ~ y ~ } ( D _ { m } ) , } \end{array}
V _ { i } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { X ^ { i } } & { X ^ { i - 1 } } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { \lambda _ { P , k } = \frac { 1 } { \beta } \operatorname* { m a x } \left| O _ { n , k } \right| ^ { 2 } - \left| O _ { n , k } \right| ^ { 2 } } \\ { \lambda _ { O , k } = \frac { 1 } { \beta } \operatorname* { m a x } \left| P _ { n , k } \right| ^ { 2 } - \left| P _ { n , k } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { B } _ { l , m } ^ { ( E ) } = { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \left[ B _ { l } ^ { ( 1 ) } h _ { l } ^ { ( 1 ) } ( k r ) + B _ { l } ^ { ( 2 ) } h _ { l } ^ { ( 2 ) } ( k r ) \right] \mathbf { \Phi } _ { l , m }
S _ { F } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { x , \hat { \mu } , \alpha } \eta _ { \mu } ( x ) [ \overline { { { \chi } } } ^ { \alpha } ( x ) \chi ^ { \alpha } ( x + \hat { \mu } ) + \overline { { { \chi } } } ^ { \alpha } ( x + \hat { \mu } ) \chi ^ { \alpha } ( x ) ] ,
{ \begin{array} { r l } { c } & { = 2 \arctan \left[ \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( a - b ) \right) { \frac { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha + \beta ) \right) } { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha - \beta ) \right) } } \right] , } \\ { \gamma } & { = 2 \operatorname { a r c c o t } \left[ \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha - \beta ) \right) { \frac { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( a + b ) \right) } { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( a - b ) \right) } } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { { } \approx \frac { \sqrt { 2 r _ { 2 } \pi ^ { 7 } k _ { 2 } ^ { 3 } } n I _ { 0 } \sec ( \pi / 4 + k _ { 2 } r _ { 2 } ) J _ { 1 } ( k _ { 2 } r ) \Big ( k _ { 3 } \cos ( \omega _ { 0 } t ) - k _ { 2 } \tan ( \pi / 4 + k _ { 2 } r _ { 2 } ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) \Big ) } { 2 \pi l \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { 0 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } } , } \\ { E _ { z } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { { } \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 5 } k _ { 2 } } n I _ { 0 } J _ { 1 } ( k _ { 2 } r ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) } { 2 \pi l \alpha _ { 0 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ( \cos ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) - \sin ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) \Big ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { \Delta } [ D _ { A } ^ { \dagger } a - a ^ { \dagger } D _ { A } , a ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { \dagger } a ] } \\ { = } & { - \frac { 2 g _ { A } ^ { 2 } } { \Delta } [ D _ { A } ^ { \dagger } D _ { A } + ( D _ { A } ^ { \dagger } D _ { A } - D _ { A } D _ { A } ^ { \dagger } ) a ^ { \dagger } a ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 1 ) } } & { { } = i \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { H } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) \right] - \frac { 1 } { \omega } \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 2 ) } - \frac { i } { 2 } \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \frac { 1 } { \omega } \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 1 ) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 \tilde { \Pi } ^ { a i } \nabla _ { a } \tilde { \mathcal { G } } _ { i } } & { = } & { - \frac { 1 } { \gamma } \epsilon _ { i j k } \tilde { \Pi } ^ { a i } \tilde { \Pi } ^ { b j } \Big [ F _ { a b } ^ { k } - R _ { a b } ^ { k } } \\ & { } & { - \epsilon ^ { k } _ { l m } \left( A _ { a } ^ { l } - \Gamma _ { a } ^ { l } \right) \left( A _ { b } ^ { m } - \Gamma _ { b } ^ { m } \right) \Big ] , \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { K } _ { \mathrm { K P } } ( t ^ { 1 } , \lambda ) , s ^ { 1 } \rangle } & { { } : = \langle \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , S ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle + \langle \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 1 } ) \Phi _ { 0 } , S ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle + \lambda \langle \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 0 } ) ( e ^ { T ^ { \angle } } - I ) \Phi _ { 0 } , S ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } ^ { ( 0 ) } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { m } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { i } ^ { 2 } } + V _ { \mathrm { r e f } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { m } \omega _ { i } ^ { 2 } Q _ { i } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| { \bf { a } } ^ { H } ( \phi _ { l } ) { \bf { a } } ( \phi _ { m } ) \right| } & { = \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { n = - \widetilde { N } } ^ { \widetilde { N } } e ^ { j n k d ( \sin \phi _ { m } - \sin \phi _ { l } ) } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { N } \left| \Xi _ { N } ( k d ( \sin \phi _ { m } - \sin \phi _ { l } ) ) \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big | \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \nu \partial _ { z z } \tilde { u } _ { n _ { k } } , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \nu \partial _ { z z } \tilde { u } , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } \Big | } \\ { \leq } & { \Big | \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \left( \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 2 } ) - \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \right) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \nu \partial _ { z z } \tilde { u } _ { n _ { k } } , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } \Big | } \\ & { + \Big | \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \left( \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \right) \nu \partial _ { z z } \tilde { u } _ { n _ { k } } , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } \Big | } \\ & { + \Big | \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \nu ( \partial _ { z z } \tilde { u } _ { n _ { k } } - \partial _ { z z } \tilde { u } ) , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } \Big | \to 0 . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! { S \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } } = \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s _ { l } } { h _ { n } } \right) \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t _ { l } } { h _ { n } } \right) - f _ { Z _ { 2 } } ( t _ { l } ) \right) \right\}
\begin{array} { r l r } { \langle E _ { C T } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha } ^ { N _ { t r } } \left( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \nu } ^ { N _ { n } } M _ { \nu } \dot { \mathbf { R } } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) 2 } + \sum _ { l } \rho _ { l l } ^ { ( \alpha ) } \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { n \ell } - s _ { n \ell } \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } \sum _ { \ell ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } e ^ { j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) \phi _ { n n ^ { \prime } } } } & { H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) b _ { n ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } } \\ & { = s _ { n \ell } a _ { n \ell } ^ { 0 E } } \end{array}
a _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } = - \partial _ { 5 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } { \frac { x _ { 5 } } { 2 } } \right) + \operatorname { t a n h } ^ { 2 } { \frac { x _ { 5 } } { 2 } } = - \partial _ { 5 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } { \frac { x _ { 5 } } { 2 } } \, ,
C ( x , y ) = \sum _ { ( \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) { { \in } N _ { x y } } } [ F ( { \delta } _ { 1 } , { \delta } _ { 2 } ) - c o s ( { \phi } ( x , y ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) ) ] ^ { 2 }
\mathfrak { P } ( z ) \approx \sum _ { n = - N } ^ { N } \mathfrak { p } _ { n } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n k ( z + \mathrm { i } d ) } = \sum _ { n = - N } ^ { N } \mathfrak { p } _ { n } \mathrm { e } ^ { - n k d } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n k z } ,
\begin{array} { r } { M _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \left\| \partial _ { x } ^ { 4 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \underbrace { - \int _ { \mathbb { R } } w _ { x } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 6 } w _ { t } \ d x } _ { M _ { 1 2 } } \underbrace { - \int _ { \mathbb { R } } w w _ { x x } \partial _ { x } ^ { 6 } w _ { t } \ d x } _ { M _ { 1 3 } } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } y ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } h ( \tau ) u ( t - \tau ) d \tau \; + \int _ { t } ^ { t + T } h ( \tau ) u ( t - \tau ) d \tau \; + . . . = \int _ { 0 } ^ { \infty } h ( \tau ) u ( t - \tau ) d \tau \; .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } \wedge \partial \eta + \int _ { \partial \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \wedge \partial \phi _ { \partial } + \int _ { \Sigma } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \wedge \partial \Sigma , } \end{array}
\left( \varphi _ { \alpha } , \varphi _ { \alpha ^ { \prime } } \right) = - i \int d { \mathbf x } \int _ { \xi _ { 1 } } ^ { \xi _ { 2 } } \frac { d \xi } { \xi } \varphi _ { \alpha } \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } _ { \tau } \varphi _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { * } = \delta _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } .
\begin{array} { l } { { \left. \begin{array} { l } { Z _ { e v e n \, k } = \sqrt { n + 1 } R _ { n } ^ { m } ( r ) \sqrt { 2 } \cos ( m \theta ) } \\ { Z _ { o d d \, k } = \sqrt { n + 1 } R _ { n } ^ { m } ( r ) \sqrt { 2 } \sin ( m \theta ) } \end{array} \right\} \, \mathrm { f o r ~ m ~ \ne ~ 0 } } } \\ { Z _ { k } = \sqrt { n + 1 } R _ { n } ^ { m } ( r ) \, \mathrm { \; ~ \; ~ f o r ~ m = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k \cdot x } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \eta s } \left[ \left( 1 + \mathbf { r } ^ { 2 } \right) \varphi + \int ^ { \varphi } F _ { a } ( \phi ) \, d \phi \right] } \\ { F _ { a } ( \phi ) } & { = } & { 2 \mathbf { r } \cdot ( \mathbf { a } + \nu \mathbf { Y } ) + \left( \mathbf { a } + \nu \mathbf { Y } \right) ^ { 2 } + \mathcal { R } ^ { 2 } - 1 , } \end{array}
\langle d \rangle _ { \mathrm { T } } = \frac { 1 } { k } F ( z ) + \underbrace { \frac { 1 } { k } \left( F ^ { \prime \prime } ( z ) \frac { F ^ { \prime } ( z ) } { F ^ { \prime } ( z ) + k } + \frac { F ^ { \prime \prime } ( z ) } { 2 } \right) A ^ { 2 } } _ { \delta _ { \mathrm { S A W } } } ,
\Delta _ { \mathrm { E P R } } ^ { + } = \Delta X _ { + } ^ { 2 } ( \varphi _ { + } ) + \Delta P _ { - } ^ { 2 } ( \varphi _ { + } ) = 2 ( V _ { 1 1 } + V _ { 3 3 } + 2 V _ { 1 3 } ) ,
\varepsilon _ { n } ^ { 2 } ( \gamma , \delta ) \lesssim \left( \frac { n ^ { - 1 / 2 } } { \gamma ^ { \beta / 2 } } \vee \frac { n ^ { - 1 } } { \gamma ^ { \tau / 2 } } \right) \ln \delta ^ { - 1 } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \varepsilon _ { n } ^ { 3 } ( \gamma , \delta ) \lesssim \left( \frac { n ^ { - 1 / 2 } } { \gamma ^ { ( \beta + 1 ) / 2 } } \vee \frac { n ^ { - 1 } } { \gamma ^ { ( \tau + 1 ) / 2 } } \right) \ln \delta ^ { - 1 } .
H ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) = - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \log \left( \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } \right) + a b \left( R _ { 2 } ^ { 2 } \log \left( \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } \right) - \frac { R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \right) + \frac { a ^ { 2 } } { 8 } \left( R _ { 2 } ^ { 4 } - R _ { 1 } ^ { 4 } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { N } = 2 ^ { p } } & { \int _ { 0 } ^ { \frac N 2 } p \lambda ^ { p - 1 } \mu _ { \alpha } ( \{ x \in X \colon M f ( x ) > 2 \lambda \} ) \mathrm { d } \lambda } \\ { = 2 ^ { p } } & { \int _ { 0 } ^ { \frac N 2 } p \lambda ^ { p - 1 } \mu _ { \alpha } ( \{ x \in X \colon M f ( x ) > 2 \lambda , \, M ^ { \sharp } f ( x ) \leq \gamma \lambda \} ) \mathrm { d } \lambda } \\ & { + 2 ^ { p } \int _ { 0 } ^ { \frac N 2 } p \lambda ^ { p - 1 } \mu _ { \alpha } ( \{ x \in X \colon M f ( x ) > 2 \lambda , \, M ^ { \sharp } f ( x ) > \gamma \lambda \} ) \mathrm { d } \lambda } \\ { \leq 2 ^ { p } } & { \gamma \| M \| C _ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \frac N 2 } p \lambda ^ { p - 1 } \mu _ { \alpha } ( \{ x \in X \colon M f ( x ) > \lambda \} ) \mathrm { d } \lambda } \\ & { + 2 ^ { p } \int _ { 0 } ^ { \frac N 2 } p \lambda ^ { p - 1 } \mu _ { \alpha } ( \{ x \in X \colon M f ( x ) > 2 \lambda , \, M ^ { \sharp } f ( x ) > \gamma \lambda \} ) \mathrm { d } \lambda } \\ { \leq 2 ^ { p } } & { \gamma \| M \| C _ { \alpha } \mathcal { J } _ { N } + \frac { 2 ^ { p } } { \gamma ^ { p } } \int _ { 0 } ^ { \frac { N \gamma } 2 } p \lambda ^ { p - 1 } \mu _ { \alpha } ( \{ x \in X \colon M ^ { \sharp } f ( x ) > \lambda \} ) \mathrm { d } \lambda , } \end{array}
{ \bf X } _ { v } = \{ ( { \bf x } _ { v } ^ { ( 1 ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( 1 ) } ) , ( { \bf x } _ { v } ^ { ( 2 ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( 2 ) } ) , \dots , ( { \bf x } _ { v } ^ { ( N _ { v } ) } , { \bf x } _ { s } ^ { ( N _ { v } ) } ) \}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { I s o p } ( F ) } { \mathrm { I s o p } ( O _ { n } ) } } & { = \frac { n | O _ { n } | | \partial F | } { ( n - 1 ) | \partial O _ { n } | | F | } = \frac { n } { n - 1 } \frac { n | \Delta _ { n - 2 } | } { n ! | F | ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { n } { n - 1 } \frac { ( n - 1 ) ! ^ { 2 } } { n ! ( n - 2 ) ! } \sqrt { n - 1 } = \sqrt { n - 1 } > 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { L } _ { X } \mu _ { T } ) ( E _ { p + 1 } , \ldots , E _ { n } ) } & { = X \big ( \mu _ { T } ( E _ { p + 1 } , \ldots , E _ { n } ) \big ) - \sum _ { i } \mu _ { T } ( E _ { p + 1 } , \ldots , [ X , E _ { i } ] , \ldots , E _ { n } ) } \\ & { = - \sum _ { i } g _ { T } ( [ X , E _ { i } ] , E _ { i } ) \, \mu _ { T } ( E _ { p + 1 } , \ldots , E _ { n } ) = - \sum _ { i } g _ { T } ( [ X , E _ { i } ] , E _ { i } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \widehat { \mu _ { 1 } } ( \xi ) | + | \widehat { \mu _ { 2 } } ( \xi ) | + | \widehat { \mu _ { 3 } } ( \xi ) | + | \widehat { \mu _ { 4 } } ( \xi ) | \lesssim 1 } \end{array}
\bar { n } _ { B } = \frac { \pi \lambda \Gamma _ { R } } { h c } B _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ s ~ k ~ y ~ } } , ~ \Gamma _ { R } : = \Delta \lambda W ^ { - 1 } \Omega _ { \mathrm { ~ f ~ o ~ v ~ } } a _ { R } ^ { 2 } .
\hat { \Gamma } _ { r } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \frac 1 r } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \frac 1 r } } \end{array} \right) ; \quad \hat { \Gamma } _ { \theta } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { - r } } & { { 0 } } \\ { { \frac 1 r } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cot \theta } } \end{array} \right) ; \quad \hat { \Gamma } _ { \phi } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { - r \sin ^ { 2 } \theta } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \frac 1 2 \sin 2 \theta } } \\ { { \frac 1 r } } & { { \cot \theta } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { { i n t } } } } & { = \int _ { x } ^ { \infty } ( b _ { x } \tau _ { x y } + b _ { y } \sigma _ { y y } + b _ { z } \sigma _ { z y } ) \, d x } \\ { U _ { \mathrm { { i n t } } } } & { = \int _ { y } ^ { \infty } ( b _ { x } \sigma _ { x x } + b _ { y } \tau _ { y x } + b _ { z } \sigma _ { z x } ) \, d y } \end{array} }
\eta : = d \tilde { \psi } _ { + } \cdot \tilde { \psi } _ { + } ^ { - 1 } = \tilde { P } _ { + } \mathrm { A d } \tilde { \psi } _ { - } \left( \sum _ { n \geq 0 } \lambda ^ { n } J ( \lambda ) d t _ { 2 n + 1 } \right)
\begin{array} { r l r } { d X _ { t } ^ { \pm } } & { = } & { - \mathbb { E } \left[ z _ { t } \left| z _ { t } < 0 \right. \right] d t + d W _ { t } } \\ & { = } & { \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } \ \mathbb { E } \left[ \tilde { z } _ { t } \left| \tilde { z } _ { t } > - \lambda X _ { t } ^ { \pm } \right. \right] d t + d W _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ( A , A ) } & { = ( n + 1 ) ^ { 3 } } \\ { \chi ( B , B ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { m } \chi ( H ^ { i } ( P ) , H ^ { i } ( P ) ) + \sum _ { 0 \leq i \neq j \leq m } \chi ( H ^ { i } ( P ) , H ^ { j } ( P ) ) } \\ & { = ( m + 1 ) \chi ( P , P ) + 2 \cdot \sum _ { 0 \leq i < j \leq m } \chi ( H ^ { i } ( P ) , H ^ { j } ( P ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { N } 4 = e ^ { \frac { \tau } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) \mathcal { A } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } \left( \mathcal { B } + \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 4 } ( 2 - \sqrt { 3 } ) \mathcal { C } \right) } e ^ { \frac { \tau } { \sqrt { 3 } } \mathcal { A } } e ^ { \frac { \tau } { 2 } \left( \mathcal { B } + \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 4 } ( 2 - \sqrt { 3 } ) \mathcal { C } \right) } e ^ { \frac { \tau } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) \mathcal { A } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { \mathrm { s y m } } ^ { ( 1 ) } = \Theta \int _ { \mathcal { M } ^ { \mathrm { o } } } } & { \left| ( - M ^ { ( 1 ) } q - b ^ { ( 1 ) } ) ^ { \top } \nabla _ { q } H ( q , p ) \right. } \\ & { \left. ~ + ( { M ^ { ( 1 ) } } ^ { \top } p ) ^ { \top } \nabla _ { p } H ( q , p ) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } q \mathrm { d } p , } \end{array}
H ( f ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \, \partial y } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \, \partial z } } } \\ { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y \, \partial x } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y \, \partial z } } } \\ { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial z \, \partial x } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial z \, \partial y } } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial z ^ { 2 } } } } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \ell x } ^ { - 2 } = \frac { \bar { \ell } ^ { 2 } } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } } & { { } \left( 1 + \frac { { \tau _ { \mathrm { r } } } } { \tau _ { \ell } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { { \tau _ { \mathrm { c } } } } { \tau _ { \ell } } \right) ^ { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { X _ { T } f ( 1 - f ) ( 1 - p ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { R _ { T } p ( 1 - p ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } ) } + \frac { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } { \bar { \ell } ^ { 2 } } \frac { 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { \ell } + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } } { ( 1 + { \tau _ { \mathrm { c } } } / \tau _ { \ell } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { \ell } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } ) } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { \sigma } ^ { \prime } ( z _ { 1 } ( \Delta ) ) \neq 0 , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } \Delta \in \partial _ { 2 } \Sigma \backslash \left\{ \Delta _ { 0 } \right\} , } \\ { \Phi _ { \sigma } ^ { \prime } ( z _ { 2 } ( \Delta ) ) \neq 0 , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } \Delta \in \partial _ { 1 } \Sigma \backslash \left\{ \Delta _ { 0 } \right\} . } \end{array}