harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l r l } { P _ { a v } } & { = \left( I ( t ) ^ { 2 } R \right) _ { a v } } & & { { \mathrm { w h e r e ~ } } \left( \cdots \right) _ { a v } { \mathrm { ~ d e n o t e s ~ t h e ~ t e m p o r a l ~ m e a n ~ o f ~ a ~ f u n c t i o n } } } \\ & { = \left( I ( t ) ^ { 2 } \right) _ { a v } R } & & { { \mathrm { ( a s ~ } } R { \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ v a r y ~ o v e r ~ t i m e , ~ i t ~ c a n ~ b e ~ f a c t o r e d ~ o u t ) } } } \\ & { = I _ { \mathrm { R M S } } ^ { 2 } R } & & { { \mathrm { b y ~ d e f i n i t i o n ~ o f ~ r o o t - m e a n - s q u a r e } } } \end{array} }
\sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } n _ { S , I } ^ { X } ( 0 ) = \sum _ { n = 2 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \pi _ { n } ^ { X } \sum _ { I = 0 } ^ { n - 1 } \binom { n } { I } \varepsilon ^ { I } ( 1 - \varepsilon ) ^ { n - I } = \sum _ { n = 2 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \pi _ { n } ^ { X } ( 1 - \varepsilon ^ { n } ) \leq 1 .
\begin{array} { r } { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \, \tau \wedge \Big ( \xi \, \lrcorner \, \frac { \mathrm { D } } { \mathrm { D } t } \, \iota _ { v } \mu \Big ) = \pounds _ { v } \big ( p + \frac { s _ { v } } { 2 } \big ) \, \big ( \bar { T } ^ { \nabla ^ { \mathtt { A } } } - \tau \wedge \mathrm { d } \log s _ { v } \big ) \ . } \end{array}
K = \frac { e ^ { \rho \ln 4 } } { ( 7 \zeta ( 3 ) \rho ) ^ { 3 / 2 } } ; \quad \rho = \frac { 6 \alpha _ { s } ( c _ { 1 } p _ { \bot } ^ { 2 } ) } { \pi } \ln { \frac { s } { c _ { 2 } p _ { \bot } ^ { 2 } } } .
( { \cal X } ^ { 2 } ) ^ { 4 } \, { \cal L } _ { g a u g e } = \frac { 1 } { 8 } \left( G _ { \mu \nu } \right) _ { a b } \, \left( G ^ { \mu \nu } \right) _ { c d } \, \epsilon ^ { b c } \, \epsilon ^ { d a }
M ^ { A B } = \left( \begin{array} { c c c } { { - e ^ { - 2 \sigma } + \ell _ { a } \ell _ { b } { { M } } ^ { a b } - \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 \sigma } { \ell } ^ { 4 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 { \sigma } } { \ell } ^ { 2 } } } & { { { \ell } _ { a } { M } ^ { a b } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 { \sigma } } { \ell } ^ { 2 } { \ell } ^ { b } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 { \sigma } } { \ell } ^ { 2 } } } & { { - e ^ { 2 \sigma } } } & { { e ^ { 2 { \sigma } } { \ell } ^ { b } } } \\ { { { M } ^ { a b } { \ell } _ { b } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 { \sigma } } { \ell } ^ { 2 } { \ell } ^ { a } } } & { { e ^ { 2 { \sigma } } { \ell } ^ { a } } } & { { { M } ^ { a b } - e ^ { 2 \sigma } { \ell } ^ { a } { \ell } ^ { b } } } \end{array} \right) \, ,
\mathcal { F } \left( { N N } ^ { \omega , b } , t ; \beta , \gamma \right) = \left[ \begin{array} { l } { \frac { d S ( t ) } { d t } + \frac { \beta S ( t ) I ( t ) } { N } } \\ { \frac { d I ( t ) } { d t } - \frac { \beta S ( t ) I ( t ) } { N } + \gamma I ( t ) } \\ { \frac { d R ( t ) } { d t } - \gamma I ( t ) } \end{array} \right] .
e ^ { - 2 \phi } = \left( \Bigl ( e ^ { - 2 \hat { \phi } _ { 0 } } + { \frac { 2 \tilde { m } } { r } } \Bigr ) \Bigl ( K _ { 0 } + { \frac { 2 \hat { m } } { r } } \Bigr ) - \left[ ( A _ { n } ) _ { 0 } + { \frac { 2 q _ { n } } { r } } \right] ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { | M _ { \delta } U D ( M _ { \delta } U ) ^ { - 1 } u | _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { s } \left| \lambda _ { k } u _ { k } + \delta \sum _ { j = k + 1 } ^ { s } \delta ^ { j - k - 1 } t _ { k , j } u _ { j } \right| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { s } \left[ | \lambda _ { k } u _ { k } | ^ { 2 } + 2 \delta \Re \left( \overline { { \lambda _ { k } u _ { k } } } \sum _ { j = k + 1 } ^ { s } \delta ^ { j - k - 1 } t _ { k , j } u _ { j } \right) + \delta ^ { 2 } \left| \sum _ { j = k + 1 } ^ { s } \delta ^ { j - k - 1 } t _ { k , j } u _ { j } \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { s } \rho ( D ) ^ { 2 } | u _ { k } | ^ { 2 } + 2 \delta \sum _ { k = 1 } ^ { s } \rho ( D ) | u | _ { \infty } \sum _ { j = k + 1 } ^ { s } \delta ^ { j - k - 1 } | t _ { k , j } | | u _ { j } | + \delta ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { s } \left| \sum _ { j = k + 1 } ^ { s } \delta ^ { j - k - 1 } | t _ { k , j } | | u _ { j } | \right| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \rho ( D ) ^ { 2 } + 2 C \delta \rho ( D ) s | u | _ { 1 } + \delta ^ { 2 } C ^ { 2 } s | u | _ { 1 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { I } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { I } ^ { 2 } } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) } & { { } = { } p _ { h } + \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { h } ^ { 2 } } _ { 1 } . } \end{array}
\small \mathrm { P } ( \{ \mathcal { O } _ { k } \} _ { k = 1 } ^ { K } \mid f ) = \int \mathrm { P } ( \{ \mathcal { O } _ { k } \} _ { k = 1 } ^ { K } , X _ { 0 : T } \mid f ) \mathcal { D } ( X _ { 0 : T } ) = \int \mathrm { P } ( \{ \mathcal { O } _ { k } \} _ { k = 1 } ^ { K } \mid X _ { 0 : T } ) \mathrm { P } ( X _ { 0 : T } | f ) \mathcal { D } ( X _ { 0 : T } ) ,
\omega ^ { 2 } = \frac { \sigma } { \rho _ { l } R _ { l } ^ { 3 } } k R _ { l } \frac { I _ { 1 } ( k R _ { l } ) } { I _ { 0 } ( k R _ { l } ) } ( 1 - k ^ { 2 } R _ { l } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \theta _ { s } } \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a , \eta | s ) = \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a , \eta | s ) ( e _ { a , \eta } - \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( \cdot , \cdot | s ) ) } \\ & { \nabla _ { \theta _ { s _ { t } , \eta _ { t } } } \pi _ { 2 } ^ { \theta } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) = \pi _ { 2 } ^ { \theta } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) ( e _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } - \pi _ { 2 } ^ { \theta } ( \cdot , \cdot | s _ { t } , \eta _ { t } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { 1 \leq \ell < \ell ^ { \prime } \leq n } \mathbb { E } [ \omega _ { s + t } ( \cdot , X _ { \ell } ) \omega _ { s + t } ( \cdot , X _ { \ell ^ { \prime } } ) ] } \\ & { = \sum _ { 1 \leq \ell < \ell ^ { \prime } \leq n } \mathbb { E } [ \omega _ { s + t } ( \cdot , X _ { \ell } ) \omega _ { s + t } ( \cdot , X _ { \ell ^ { \prime } } ) ] ^ { 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } \mathbb { E } [ \omega _ { s + t } ( \cdot , X _ { \ell } ) \omega _ { s + t } ( \cdot , X _ { \ell ^ { \prime } } ) ] ^ { \frac { 1 } { \log ( n ) } } } \\ & { \lesssim \sum _ { 1 \leq \ell < \ell ^ { \prime } \leq n } \alpha _ { \ell - \ell ^ { \prime } } ^ { \frac { 1 } { \log ( n ) } } \mathbb { E } [ \vert \omega _ { s + t } ( x , X _ { 1 } ) \vert ^ { 2 } ] ^ { 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } \big ( \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathcal { M } } \vert \omega _ { s + t } ( x , y ) \vert \big ) ^ { \frac { 2 } { \log ( n ) } } } \\ & { \stackrel { , } \lesssim n \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) s ^ { \frac { 1 } { 2 \log ( n ) } } \zeta ( s , t ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta , \beta \alpha } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \right| _ { ( 2 , 2 k - 1 ) } \simeq - \frac { { \mathrm { i } } } { \pi g _ { \mathrm { s } } } \, ( - 1 ) ^ { k + n } \left( \frac { 1 } { 2 k + 1 } + \frac { 1 } { 2 k - 3 } \right) \sin \left( \frac { 2 \pi n } { 2 k - 1 } \right) + 0 + o ( g _ { \mathrm { s } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { 1 } ^ { ( 2 ) } = \frac { a _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \widetilde H _ { 2 1 } + a _ { 3 } ^ { ( 1 ) } \widetilde H _ { 3 1 } } { E _ { 0 } ^ { ( 0 ) } - E _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } , } \\ & { a _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = \frac { a _ { 3 } ^ { ( 1 ) } H _ { 2 3 } } { E _ { 0 } ^ { ( 0 ) } - H _ { 2 2 } } , } \\ & { a _ { 3 } ^ { ( 2 ) } = \frac { a _ { 2 } ^ { ( 1 ) } H _ { 3 2 } } { E _ { 0 } ^ { ( 0 ) } - H _ { 3 3 } } , } \end{array}
{ \bf { T } } _ { K } = - \left\langle { p ^ { \prime } { \bf { u } } ^ { \prime } } \right\rangle - \left\langle { \frac { 1 } { 2 } { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } { \bf { u } } ^ { \prime } } \right\rangle + \nu \nabla \left( { \frac { 1 } { 2 } \left\langle { { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \right\rangle } \right) ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \bigr ] = 0 \quad \textrm { a n d } \quad C _ { \star } ^ { - 1 } = - \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } \bigl [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) \bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { 3 , y } \! = \! m _ { x } \partial _ { y } B _ { x } \! - \! m _ { y } \partial _ { x } B _ { x } \! - \! m _ { y } \partial _ { z } B _ { z } + m _ { z } \partial _ { y } B _ { z } , } \\ { F _ { 3 , z } \! = \! m _ { y } \partial _ { z } B _ { y } \! - \! m _ { z } \partial _ { y } B _ { y } \! - \! m _ { z } \partial _ { x } B _ { x } + m _ { x } \partial _ { z } B _ { x } . } \end{array}
\tilde { D } _ { 0 } ( x _ { b } ) = D _ { 0 } ( x _ { b } ) - E _ { 0 } ( x _ { b } ) ; \quad \tilde { D } _ { 0 } ^ { \prime } ( x _ { b } ) = D _ { 0 } ^ { \prime } ( x _ { b } ) - E _ { 0 } ^ { \prime } ( x _ { b } ) .
\begin{array} { r l } { \langle T \rangle } & { { } = \frac { 2 E _ { \mathrm { t o t a l } } } { 3 k _ { B } } - \frac { m } { 3 k _ { B } } \sum _ { i } \left[ \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) + \dot { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( t ) \right] , } \end{array}
\Biggl \langle \Bigl \vert \frac { \sqrt { \langle \frac { M + 1 } { M - 1 } \sum _ { i } ^ { M } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } \rangle _ { t i m e } } } { \sqrt { \langle ( y - \overline { { x } } ) ^ { 2 } \rangle _ { t i m e } } } - 1 \Bigl \vert \Biggl \rangle _ { s p a c e } .
\begin{array} { r } { d _ { m _ { b 2 } , m _ { a 1 } } ^ { j } ( \theta ) = \sum _ { q } ( - 1 ) ^ { m _ { b 2 } - m _ { a 1 } + q } \frac { ( j + m _ { a 1 } ) ! ( j - m _ { a 1 } ) ! ( j + m _ { b 2 } ) ! ( j - m _ { b 2 } ) ! } { ( j + m _ { a 1 } - q ) ! q ! ( m _ { b 2 } - m _ { a 1 } + q ) ! ( j - m _ { b 2 } - q ) ! } } \\ { \times \left( c o s ( \frac { \theta } { 2 } ) \right) ^ { 2 j + m _ { a 1 } - m _ { b 2 } - 2 q } \left( s i n ( \frac { \theta } { 2 } ) \right) ^ { m _ { b 2 } - m _ { a 1 } + 2 q } } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( a , b ) - p ( a ) p ( b ) = p ( \bar { a } , \bar { b } ) - p ( \bar { a } ) p ( \bar { b } ) = p ( a , b ) p ( \bar { a } , \bar { b } ) - p ( a , \bar { b } ) p ( \bar { a } , b ) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \| \nabla \mathbf { u } _ { h } \| _ { \mathcal { T } ^ { c o v } } ^ { 2 } \leq C _ { u } \| \nabla \mathbf { v } _ { h } \| _ { \Omega ^ { \sharp } } ^ { 2 } \leq C _ { u } \| \nabla \mathbf { v } _ { h } \| _ { \mathcal { T } ^ { c o v } } ^ { 2 } , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \mathbf { v } _ { h } \in V _ { h } ^ { \sharp } , \mathrm { ~ a n d ~ } } & \\ & { \| p _ { h } \| _ { \mathcal { T } ^ { c o v } } ^ { 2 } \leq C _ { p } \| p _ { h } \| _ { \Omega ^ { \sharp } } ^ { 2 } \leq C _ { p } \| p _ { h } \| _ { \mathcal { T } ^ { c o v } } ^ { 2 } , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } p _ { h } \in Q _ { h } ^ { \sharp } . } & \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { a } } } & { = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } _ { n } , t _ { n } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } + \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } , t _ { n + 1 / 2 } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 3 ) } } & { = \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } + \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } , t _ { n + 1 / 2 } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 4 ) } } & { = \frac { \Delta t } { 2 } \mathcal { D } \left[ \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \left[ \bar { \mathbf { a } } + 2 \mathbf { d } ^ { ( 3 ) } , t _ { n + 1 } \right] \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { = \mathcal { P } \left( \frac { \Delta t } { 2 } \right) \cdot \left[ \bar { \mathbf { a } } + \left( \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } + 2 \left( \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } + \mathbf { d } ^ { ( 3 ) } \right) \right) / 3 \right] + \mathbf { d } ^ { ( 4 ) } / 3 } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathrm { k = 1 } } ^ { \mathrm { N } } c _ { \mathrm { j k } } x _ { \mathrm { k } } + x _ { \mathrm { j } } - y _ { \mathrm { j } } } & { { } = x _ { \mathrm { j } } } \end{array}
\gamma _ { \xi } ^ { ( \beta ) } = \frac { 1 } { 3 \pi ^ { 2 } } \int _ { C ^ { \prime } } d z \, ( z ^ { 2 } - { \cal M } _ { \xi } ^ { 2 } ( X ) ) ^ { 3 / 2 } \, \langle N ^ { ( \xi ) } ( X ; z ) \rangle ,
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { d d } = } & { \frac { 2 } { N k } \sum _ { n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } ; n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } } ( \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { d d } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { d d } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { C } } } \\ & { + \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { d d } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { d d } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } } \\ & { + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { d d } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { d d } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { \prime } ( a , b ) } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { V _ { M } ^ { \prime } - V _ { m } ^ { \prime } } \int _ { V _ { m } ^ { \prime } } ^ { V _ { M } ^ { \prime } } [ E _ { a } ^ { \prime } ( V ^ { \prime } ) - E _ { b } ^ { \prime } ( V ^ { \prime } ) ] ^ { 2 } ~ d V ^ { \prime } } = \sqrt { \frac { C ^ { 3 } } { C ( V _ { M } - V _ { m } ) } \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { a } ( V ) - E _ { b } ( V ) ] ^ { 2 } ~ d V } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \| X _ { 1 } X _ { 2 } . . . X _ { n } \| = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { n } \log \| X _ { 1 } X _ { 2 } . . . X _ { n } \| \right]
G ( \mathbf { r } ; \bar { \Delta } ) = \left( \frac { 6 } { \pi \bar { \Delta } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left( - \frac { 6 \mathbf { r } ^ { 2 } } { \bar { \Delta } ^ { 2 } } \right) .
( d _ { f } ^ { C } ) _ { E W } = g _ { s } e _ { f } { \frac { \alpha _ { s } } { 1 2 8 \pi ^ { 3 } } } { \frac { R _ { f } m _ { f } } { m _ { A } ^ { 2 } } } \sum _ { q = t , b } \xi _ { q } \left[ F \! \left( { \frac { m _ { \tilde { q } _ { 1 } } ^ { 2 } } { m _ { A } ^ { 2 } } } \right) - F \! \left( { \frac { m _ { \tilde { q } _ { 2 } } ^ { 2 } } { m _ { A } ^ { 2 } } } \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { n _ { * } } { p + t } \ge \frac { 1 8 C _ { 2 } \kappa _ { U } ^ { 3 } \sigma _ { x } ^ { 4 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } } { ( \kappa _ { L } ^ { 3 } / \gamma ) \mathsf { s } _ { - } } ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ \frac { \bar { n } } { ( p + \log ( 2 | \mathcal { E } | ) + t ) } \ge \frac { \sqrt { 1 8 C _ { 2 } } \kappa _ { U } ^ { 3 / 2 } \sigma _ { x } ^ { 3 } \sigma _ { \varepsilon } } { \sqrt { ( \kappa _ { L } ^ { 3 } / \gamma ) \mathsf { s } _ { - } } } , } \end{array}
E _ { \mathrm { G . S . } } = ( D - 2 ) \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } E _ { n } = { \frac { D - 2 } { m } } \left[ a N + { \frac { b } { N } } + O ( { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } ) \right] .
\Delta s ( v ) = \Delta s ^ { \star } \, \frac { \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { + } \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { 0 } \, \bigl [ \cosh ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { + } ) - \cosh ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { 0 } ) \bigr ] + \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { - } \bigl [ \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { 0 } \sinh ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { + } ) - \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { + } \sinh ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { 0 } ) \bigr ] } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { + } \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { - } \cosh ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { + } ) + ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { + } ^ { 2 } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { - } ^ { 2 } ) \sinh ( \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { + } ) / 2 } \, .
{ P } = { \sqrt { \frac { 1 } { 2 \hbar m \omega } } } \ { \hat { p } } { \mathrm { , } } \quad { X } = { \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \hbar } } } \ { \hat { x } } { \mathrm { , } } \quad \quad { \mathrm { w h e r e ~ } } \omega \equiv { \sqrt { k / m } } ~ .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \hat { \boldsymbol E } } _ { c } } & { = } & { \dot { \hat { \boldsymbol E } } _ { c } ^ { \parallel } + \dot { \hat { \boldsymbol E } } _ { c } ^ { \perp } } \\ & { = } & { - \frac { \boldsymbol J } { \epsilon _ { 0 } } + c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla \times \hat { \boldsymbol B } - c g _ { a \gamma \gamma } \boldsymbol \nabla \times \left( \hat { a } \hat { \boldsymbol E } _ { c } \right) } \\ & { + } & { c ^ { 2 } g _ { a \gamma \gamma } ^ { 2 } \hat { a } \boldsymbol \nabla \times ( \hat { a } \hat { \boldsymbol B } ) - c ^ { 2 } g _ { a \gamma \gamma } ^ { 2 } \left( \hat { a } \hat { \boldsymbol B } \right) \times \boldsymbol \nabla \hat { a } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle b _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) b _ { x } ( \Delta x ^ { \prime } , \Delta y ^ { \prime } , \Delta z ^ { \prime } ) \right\rangle _ { L } } & { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } R _ { x x } ( \Delta x ^ { \prime } , \Delta y ^ { \prime } , \Delta z ^ { \prime } ) } \\ & { } & { \times P ( \Delta x ^ { \prime } \mid \Delta z ^ { \prime } ) P ( \Delta y ^ { \prime } \mid \Delta z ^ { \prime } ) } \\ & { } & { \times d \Delta x ^ { \prime } d \Delta y ^ { \prime } , } \end{array}
\frac { \partial B _ { \parallel } ^ { * } f _ { s } } { \partial t } + \frac { 1 } { J } \frac { \partial } { z } \left( J B _ { \parallel } ^ { * } \dot { z } f _ { s } \right) + \frac { \partial } { \partial v _ { \parallel } } \left( B _ { \parallel } ^ { * } \dot { v } _ { \parallel } f _ { s } \right) = B _ { \parallel } ^ { * } C [ f _ { s } ] + B _ { \parallel } ^ { * } S _ { s } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ( t ) } & { \leq - ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ( t ) ( D ( t ) + x _ { 1 } ( t ) p ^ { \prime } ( \xi ) ) } \\ & { \quad + ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ( t - \tau ) \frac { x _ { 2 } ( t ) p ( s _ { 2 } ( t ) ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t - \tau ) } + \left( - C _ { 0 } \right) p ( s _ { 2 } ( t ) ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { n } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ { \hat { n } _ { k , i } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { I } - \hat { Z } _ { k , i } ) } \end{array}
\mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } + \Big ( f _ { 0 } \boldsymbol { u } ^ { \perp } - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } ) \Big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = 0 .
D = E [ ( x - Q ( x ) ) ^ { 2 } ] = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( x - Q ( x ) ) ^ { 2 } f ( x ) d x = \sum _ { k = 1 } ^ { M } \int _ { b _ { k - 1 } } ^ { b _ { k } } ( x - y _ { k } ) ^ { 2 } f ( x ) d x
\begin{array} { r l } { \theta _ { 1 } ( z ; q ) } & { { } = - \vartheta _ { 1 1 } ( z ; \tau ) } \\ { \theta _ { 2 } ( z ; q ) } & { { } = \vartheta _ { 1 0 } ( z ; \tau ) } \\ { \theta _ { 3 } ( z ; q ) } & { { } = \vartheta _ { 0 0 } ( z ; \tau ) } \\ { \theta _ { 4 } ( z ; q ) } & { { } = \vartheta _ { 0 1 } ( z ; \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ^ { * } \Omega _ { Y } ^ { p } ( \log \Delta _ { Y } ) \xrightarrow { d \, f ^ { \vee } } \Omega _ { X } ^ { p } ( \log \Delta _ { X } ) \mathrm { ~ a d j o i n t ~ t o ~ a ~ m o r p h i s m ~ } } \\ & { f ^ { * } \Omega _ { Y } ^ { p } ( \log \Delta _ { Y } ) \xrightarrow { d f ^ { \vee } } \Omega _ { X } ^ { p } ( \log \Delta _ { X } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ p . } } \end{array}
N _ { \mathrm { O } } ( \vec { x } ) \equiv N _ { \mathrm { C H _ { 2 } O } } ( \vec { x } ) - \frac { M _ { \mathrm { C H _ { 2 } / C H _ { 2 } O } } } { M _ { \mathrm { C H _ { 2 } } } } N _ { \mathrm { C H _ { 2 } } } ( \vec { x } )
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
g ( d ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { { d , } } & { { \mathrm { f o r ~ 1 \leq ~ d ~ \leq ~ t - 1 ~ , ~ a n d } } } \\ { { d - a + 1 , } } & { { \mathrm { f o r ~ t \leq ~ d - a ~ \leq ~ b - 1 ~ } . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \dot { { \sigma } } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } , I } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ m ~ p ~ r ~ } } = \frac { \vec { F } _ { D } \cdot \vec { U } } { T } = \frac { \frac { 1 } { 2 } \rho A _ { s } \, \vec { C } _ { D } \cdot \vec { U } \, | | \vec { U } | | ^ { 2 } } { T } } \end{array}
\sin x = x - x { \frac { x ^ { 2 } } { ( 2 ^ { 2 } + 2 ) r ^ { 2 } } } + x { \frac { x ^ { 2 } } { ( 2 ^ { 2 } + 2 ) r ^ { 2 } } } \cdot { \frac { x ^ { 2 } } { ( 4 ^ { 2 } + 4 ) r ^ { 2 } } } - \cdots
\begin{array} { r l } { \tilde { c } } & { { } = \mathrm { m a x } ( \alpha , \mathrm { m i n } ( \tilde { c } , 1 ) ) , \qquad \qquad \mathrm { a n d } \qquad \qquad \tilde { k } = \mathrm { m a x } ( \alpha , \tilde { k } ) , \quad \tilde { \varepsilon } = \mathrm { m a x } ( \alpha , \tilde { \varepsilon } ) \, , } \end{array}
\mathrm { { \cal L } _ { M } ( G ( 2 2 4 ) ) = \ l a m b d a _ { R } ^ { i j } ( 1 , 2 , 4 ) _ { i } ( 1 , 2 , 4 ) _ { j } ( 1 , 2 , \overline { { { 4 } } } ) _ { H } ( 1 , 2 , \overline { { { 4 } } } _ { H } ) / M _ { p \ell } + h c }
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } h ( x = 0 ) } & { { } = \theta _ { \mathrm { Y } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \partial _ { x } \zeta ( x = 0 ) } & { { } = \partial _ { x } \zeta ( x = L ) = \partial _ { x } h ( x = L ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { A } \psi \overset { \mathrm { d e f } } { = } \left[ \begin{array} { c c } { S ^ { \mathrm { H } } } & { S ^ { \mathrm { M } } } \\ { - I + K ^ { \mathrm { H } } } & { - I + K ^ { \mathrm { M } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \eta _ { 1 } } \\ { \eta _ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \xi ( t ) } \\ { \phi ( t ) } \\ { \dot { \xi } ( t ) } \\ { \dot { \phi } ( t ) } \end{array} \right] = e ^ { \boldsymbol { A } t } \left[ \begin{array} { l } { \xi ( 0 ) } \\ { \phi ( 0 ) } \\ { \dot { \xi } ( 0 ) } \\ { \dot { \phi } ( 0 ) } \end{array} \right] .
P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } = - \mu ^ { \sigma } ( \frac { \partial u _ { \alpha } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \beta } } + \frac { \partial u _ { \beta } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } - \frac { 2 } { D } \frac { \partial u _ { \gamma } ^ { \sigma } } { \partial r _ { \gamma } } \delta _ { \alpha \beta } ) ,