harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { \mathbf { a } } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \varepsilon _ { 2 , 1 } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { 2 _ { \mathbf { a } } } H _ { \left( \mathbf { a , } 1 _ { \mathbf { a } } \right) } } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \varepsilon _ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert - 1 , 1 } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \left( \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert - 1 \right) _ { \mathbf { a } } } H _ { \left( \mathbf { a , } 1 _ { \mathbf { a } } \right) } } & { \varepsilon _ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert - 1 , 2 } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \left( \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert - 1 \right) _ { \mathbf { a } } } H _ { \left( \mathbf { a , } 2 _ { \mathbf { a } } \right) } } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \\ { \varepsilon _ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert , 1 } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert _ { \mathbf { a } } } H _ { \left( \mathbf { a , } 1 _ { \mathbf { a } } \right) } } & { \varepsilon _ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert , 2 } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert _ { \mathbf { a } } } H _ { \left( \mathbf { a , } 2 _ { \mathbf { a } } \right) } } & { \cdots } & { \varepsilon _ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert , \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert - 1 } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert _ { \mathbf { a } } } H _ { \left( \mathbf { a , } \left( \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert - 1 \right) _ { \mathbf { a } } \right) } } & { 1 } \end{array} \right] , } \\ { x _ { \mathbf { a } } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c } { x _ { \mathbf { a } } ^ { 1 _ { \mathbf { a } } } } \\ { \vdots } \\ { x _ { \mathbf { a } } ^ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert } } \end{array} \right] \mathrm { , ~ } T _ { \mathbf { a } } = \left[ \begin{array} { c } { t _ { \mathbf { a } } ^ { 1 _ { \mathbf { a } } } } \\ { \vdots } \\ { t _ { \mathbf { a } } ^ { \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert } } \end{array} \right] , H _ { \mathbf { a } } = \left[ \begin{array} { c } { H _ { \left( \mathbf { a , } 1 _ { \mathbf { a } } \right) } } \\ { \vdots } \\ { H _ { \left( _ { \mathbf { a , } \left\vert \nu \left( \mathbf { a } \right) \right\vert } \right) } } \end{array} \right] , \; \lvert \nu \left( \mathbf { a } \right) \rvert = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } \left( a _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { t } = 1 7 2 . 6 9 \mathrm { ~ G e V } , \quad } & { { } m _ { Z } = 9 1 . 1 8 7 6 \mathrm { ~ G e V } , \quad m _ { h } = 1 2 5 . 2 5 \mathrm { ~ G e V } , } \\ { \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } & { { } = 0 . 2 3 1 2 1 , \quad \alpha ( m _ { Z } ) = 1 / 1 2 8 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P } & { \left( \left\{ \omega \in \Omega : \frac { \log \Delta _ { \lceil C n \rceil } ^ { ( \omega ) } } { n } \leq - ( q + 1 ) + \frac { \log \sqrt { 2 } } { n } \right\} \right) } \\ & { \geq \mathbb P \left( \left\{ \omega \in \Omega : \frac { 1 } { n } H \left( \nu ^ { ( \omega , n ^ { \prime } ) } , { \mathcal D } _ { ( q + 1 ) n } \right) < s ( \omega , n ) \mathrm { ~ a n d ~ } | \mathbb { X } _ { \lfloor c n \rfloor } ^ { ( \omega ) } | > 1 \right\} \right) . } \end{array}
\mathcal { A } _ { p } ^ { \pm } ( \Omega _ { 0 } , \eta , \omega _ { 0 } , \Gamma _ { \mathrm { R b } } , \omega ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { \Gamma _ { \mathrm { R b } } J _ { n - p } ( \eta ) J _ { n } ( \eta ) } { \Omega _ { 0 } + n \omega _ { 0 } \pm \omega - i \Gamma _ { \mathrm { R b } } } .
\begin{array} { r l } { \delta ^ { n } { } _ { a } \check { \nabla } _ { [ n } F ^ { a } { } _ { b ] } } & { { } = \delta ^ { n } { } _ { a } \check { \nabla } _ { [ n } ( \varphi ^ { a } t _ { b ] } + x ^ { a } \nabla _ { b ] } \psi ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S \left( \mathbf { P } \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \bar { s } _ { e e } } & { \exp \left[ - i \phi \left( \mathbf { P } \right) \right] \bar { s } _ { e g } } \\ { \exp \left[ i \phi \left( \mathbf { P } \right) \right] \bar { s } _ { g e } } & { \bar { s } _ { g g } } \end{array} \right) , } \\ { \bar { s } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) \right] s _ { e e } } & { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) \right] s _ { e g } } \\ { \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) \right] s _ { g e } } & { \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) \right] s _ { g g } } \end{array} \right) . } \end{array}
\alpha _ { 2 , 0 } \! = \! \alpha _ { 2 } ( 0 ) \! = \! \frac { E [ \psi _ { 2 } ( Z ) Z \, I _ { ( - \infty , 0 ) } ( Z ) ] } { E [ Z ^ { 2 } \, I _ { ( - \infty , 0 ) } ( Z ) ] } \! = \! 1 \! + \! \frac { E [ \psi _ { 1 } ( Z ) Z \, I _ { ( - \infty , 0 ) } ( Z ) ] } { E [ Z ^ { 2 } \, I _ { ( - \infty , 0 ) } ( Z ) ] } \! = \! \frac { \sigma _ { 2 } ( \sigma _ { 2 } - \rho \sigma _ { 1 } ) } { \tau ^ { 2 } } \! = \! \beta _ { 0 }
\zeta _ { 0 } = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } m _ { 1 } + \frac { d _ { 1 } m _ { 2 } + d _ { 2 } m _ { 3 } + d _ { 3 } m _ { 2 } m _ { 3 } } { c _ { 1 } m _ { 2 } + c _ { 2 } m _ { 3 } + c _ { 3 } m _ { 2 } m _ { 3 } + c _ { 4 } } ,
U _ { 1 } ( j + 1 , j ) = \sqrt { \frac { i } { \cal N } } \exp [ - \frac { i } { \hbar } Q _ { j } Q _ { j + 1 } ] , ~ ~ U _ { 2 } ( j + 1 , j ) = \sqrt { \frac { i } { \cal N } } \exp [ \frac { i } { \hbar } ( Q _ { j } ^ { 2 } - Q _ { j } Q _ { j + 1 } + Q _ { j + 1 } ^ { 2 } ) ] .
f _ { \pi L } ^ { 2 } = 4 N _ { \mathrm { C } } T \sum _ { u } \int \frac { d x x ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { B ( p ) \left( B ( p ) - p _ { 0 } \frac { \partial B ( p ) } { \partial p _ { 0 } } \right) } { \left( B ^ { 2 } ( p ) - p ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \operatorname { s g n } ( [ 1 , 2 , 3 ] ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 1 , 2 , 3 ] _ { i } } + \operatorname { s g n } ( [ 1 , 3 , 2 ] ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 1 , 3 , 2 ] _ { i } } + \operatorname { s g n } ( [ 2 , 1 , 3 ] ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 2 , 1 , 3 ] _ { i } } + { } } \\ { = { } } & { { } \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 1 , 2 , 3 ] _ { i } } - \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 1 , 3 , 2 ] _ { i } } - \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 2 , 1 , 3 ] _ { i } } + \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 2 , 3 , 1 ] _ { i } } + \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 3 , 1 , 2 ] _ { i } } - \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , [ 3 , 2 , 1 ] _ { i } } } \\ { = { } } & { { } a _ { 1 , 1 } a _ { 2 , 2 } a _ { 3 , 3 } - a _ { 1 , 1 } a _ { 2 , 3 } a _ { 3 , 2 } - a _ { 1 , 2 } a _ { 2 , 1 } a _ { 3 , 3 } + a _ { 1 , 2 } a _ { 2 , 3 } a _ { 3 , 1 } + a _ { 1 , 3 } a _ { 2 , 1 } a _ { 3 , 2 } - a _ { 1 , 3 } a _ { 2 , 2 } a _ { 3 , 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { i j } G ^ { n } ( \mathbf { x } ) } & { = - \frac { 1 } { n } J _ { i j } ^ { n } \big ( D ^ { 2 } G _ { 2 } ( x ^ { i } - x ^ { j } ) + D ^ { 2 } G _ { 2 } ( x ^ { j } - x ^ { i } ) \big ) , \ \ i \neq j , } \\ { D _ { i i } G ^ { n } ( \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { n } D ^ { 2 } G _ { 1 } ( x ^ { i } ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } J _ { i j } ^ { n } \big ( D ^ { 2 } G _ { 2 } ( x ^ { i } - x ^ { j } ) + D ^ { 2 } G _ { 2 } ( x ^ { j } - x ^ { i } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { l } & { = } & { 2 ^ { t ( l _ { k } ) } l _ { k } , } \\ { b } & { = } & { \mathrm { f r a c } ( 2 ^ { t ( l _ { k } ) } b _ { k } ) = 2 ^ { t ( l _ { k } ) } b _ { k } - \left\lfloor 2 ^ { t ( l _ { k } ) } b _ { k } \right\rfloor , } \\ { v } & { = } & { \mathrm { f r a c } ( 2 ^ { t ( l _ { k } ) } \hat { v } ) , } \end{array}
B = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { h + 1 } \eta ^ { \prime } ( \tau ) e ^ { ( h + 1 ) x ^ { 1 } } d x ^ { 2 } \wedge d x ^ { 3 } } } & { { | h \neq - 1 } } \\ { { ( A _ { 0 } x ^ { 1 } + \zeta ^ { \prime } ( \tau ) ) d x ^ { 2 } \wedge d x ^ { 3 } } } & { { | h = - 1 . } } \end{array} \right.
\kappa _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \varphi ) = \frac { \kappa _ { 0 } } { Z } \int _ { 0 } ^ { Z } e ^ { - \xi | \vec { a } ( z ^ { \prime } , \varphi ) | } e ^ { i \vec { A } ( z ^ { \prime } , \varphi ) \cdot \vec { a } ( z ^ { \prime } , \varphi ) } \mathrm { ~ d ~ } z ^ { \prime } .
\begin{array} { r l r } & { } & { G _ { \Omega } ^ { 1 } ( x , y ) = \Gamma _ { 1 } ( x , y ) - H _ { \Omega } ^ { 1 } ( x , y ) \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \ln \frac { 1 } { | x - y | } + \frac { 1 } { 2 \pi } \ln \left[ \frac { { \lambda _ { 0 } } ^ { 2 } } { | x ^ { \lambda _ { 0 } } - x _ { 0 } | | y ^ { \lambda _ { 0 } } - x _ { 0 } | } \right] } \\ & { } & { \qquad \qquad \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \ln \left[ \frac { ( | x | + | x _ { 0 } | ) ( | y | + | y _ { 0 } | ) } { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } | x - y | } \right] \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \ln \left[ \frac { ( 1 + | x _ { 0 } | ) ( 1 + | y _ { 0 } | ) ( 1 + | x | ) ( 1 + | y | ) } { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } | x - y | } \right] , } \end{array}
\frac { \partial \left\langle C \right\rangle } { \partial t } + \left\langle u \right\rangle \frac { \partial \left\langle C \right\rangle } { \partial r } = \frac { D } { r h } \frac { \partial } { \partial r } \left( r h \frac { \partial \left\langle C \right\rangle } { \partial r } \right) + \frac { J \left\langle C \right\rangle } { \rho h } \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial h } { \partial r } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma _ { \tau } } { d Z } } & { = 2 \zeta _ { 2 } \vartheta _ { \tau } \sigma _ { \tau } + b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \sigma _ { \tau } + \frac { 1 5 } { 8 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { 0 } \zeta _ { 4 } \sigma _ { \tau } } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \left( - 5 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } - \frac { 3 6 } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { \tau } } \\ & { + \frac { 1 5 } { 6 4 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 1 , X X } } \zeta _ { 5 } \left( - k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { _ { X } } ^ { 2 } \sigma _ { _ X } ^ { 2 } - \frac { 1 2 } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { \tau } } \\ & { + \frac { 1 5 } { 6 4 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 2 , Y Y } } \zeta _ { 6 } \left( - k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { _ { Y } } ^ { 2 } \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } - \frac { 1 2 } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { C l o u d } } = } & { P _ { \mathrm { f i x e d } } + \frac { 1 } { \sigma _ { \mathrm { c o o l } } } \left( P _ { \mathrm { O L T } } \sum _ { w = 1 } ^ { W } w \ell _ { w } + P _ { \mathrm { G P P } , 0 } ^ { \mathrm { p r o c } } \sum _ { w = 1 } ^ { W } w d _ { w } + \Delta _ { \mathrm { G P P } } ^ { \mathrm { p r o c } } \frac { C _ { \mathrm { G P P } } } { C _ { \mathrm { G P P } } ^ { \mathrm { m a x } } } \right) , } \end{array}
\xi ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) = \mathcal { N } \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } , t + \tau ) \eta _ { - m } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) e ^ { i m ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \Big | \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) p \left\langle \sigma ( u _ { n } ) , u _ { n } \right\rangle \| u _ { n } \| ^ { p - 2 } d W \Big | } \\ { \leq } & { C _ { p } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u _ { n } \| ^ { 2 ( p - 1 ) } ( 1 + \| u _ { n } \| ) ^ { 2 } d t ^ { \prime } \Big ) ^ { \frac 1 2 } } \\ { \leq } & { \frac 1 2 \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \| u _ { n } \| ^ { p } + C _ { p } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } ( 1 + \| u _ { n } \| ^ { p } ) d t ^ { \prime } . } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ K ~ u ~ r ~ t ~ } } ( s ) = \frac { 2 } { 3 s ^ { 2 } } ( ( 9 + 4 s - 3 s ^ { 2 } ) e ^ { - s } - 9 + 5 s + s ^ { 2 } ( 5 + 3 s ) { \cal E } _ { 3 } ( s ) )
\mathrm { ~ O ~ O ~ C ~ } _ { t , t - 1 } = \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) , \; \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t - 1 ) \right]
v ( x , t ) = - \frac { 4 } { \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 n + 1 ) \pi } e ^ { - ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / L ^ { 2 } t } \left( \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / L ^ { 2 } \tau } u _ { s } ^ { \prime } ( \tau ) d \tau + u _ { s } ( 0 ) - u _ { 0 } \right) \sin \left( \frac { ( 2 n + 1 ) \pi x } { L } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } ( c ) = { \frac { 2 } { | \xi | } } \cos ( \theta ) } & { + \left[ - \left( { \frac { 3 } { 2 e ^ { 2 } } } + { \frac { e ^ { 2 } } { 4 } } \right) \cos ( \theta ) + \cdots \right] } \\ & { + | \xi | \left[ - { \frac { 3 e ^ { 2 } } { 1 6 } } + \left( - { \frac { 7 } { 2 4 } } + { \frac { e ^ { 4 } } { 1 9 2 } } \right) \cos ( \theta ) - \left( { \frac { 5 } { 4 e ^ { 2 } } } + { \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 } } \right) \cos ( 2 \theta ) + \cdots \right] + \cdots \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \leq g ( K ^ { * } ) - g ( \widehat { K } ^ { * } ) } & { = \mathbb { E } \left[ \log \frac { 1 + K ^ { * ^ { T } } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } } { 1 + \widehat { K } ^ { * ^ { T } } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } } \right] } \\ & { \leq \log \mathbb { E } \left[ \frac { 1 + K ^ { * ^ { T } } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } } { 1 + \widehat { K } ^ { * ^ { T } } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } } \right] . } \end{array}
t _ { V } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { d _ { \mathrm { { a v g } } } } { a _ { u } + a _ { d } } } } & { \mathrm { i f ~ } d _ { \mathrm { a v g } } \leq s _ { u } + s _ { d } } \\ { t _ { u } + t _ { d } + \frac { d _ { \mathrm { { a v g } } } - s _ { u } - s _ { d } } { v } } & { \mathrm { i f ~ } d _ { \mathrm { a v g } } > s _ { u } + s _ { d } } \end{array} \right. ,
\int { \frac { \tan ^ { n } a x \, d x } { \cos ^ { 2 } a x } } = { \frac { 1 } { a ( n + 1 ) } } \tan ^ { n + 1 } a x + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq - 1 { \mathrm { ) } }
\frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } = c ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } } { \partial ^ { 2 } x } + \frac { \lambda + 2 \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial ^ { 3 } u ^ { \prime } } { \partial t \partial ^ { 2 } x }
\begin{array} { r l } { S _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } = } & { t _ { \omega _ { 1 } } t _ { \omega _ { 2 } } [ \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 1 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 2 } ) + \delta ( \nu _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \delta ( \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) ] } \\ & { - \kappa _ { a e } ^ { 2 } \frac { 2 i g ^ { 2 } } { \pi } \frac { \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - 2 \alpha _ { a } } { ( \omega _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 1 } - \alpha _ { a } ) ( \nu _ { 2 } - \alpha _ { a } ) ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \lambda _ { 1 } ) ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \lambda _ { 2 } ) } \delta ( \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j \neq j ^ { \prime } } \overline { { \xi } } _ { j } g ( \xi _ { j + 1 } ) \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \lesssim \frac { T } { n ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \bigg ( \sum _ { j \neq j ^ { \prime } } \bar { \xi } _ { j } g ( \xi _ { j + 1 } ) \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] d s \lesssim \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \| \mathscr { E } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i G ^ { \mu \nu } } & { { } = - i \frac { g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } ) + \frac { - i } { p ^ { 2 } } i \Pi _ { L } ^ { \mu \nu } \frac { - i } { p ^ { 2 } } + \frac { - i } { p ^ { 2 } } i ( \Pi _ { 1 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 2 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 3 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 4 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 5 } ^ { \mu \nu } + \Pi _ { 6 } ^ { \mu \nu } ) \frac { - i } { p ^ { 2 } } = } \end{array}
\mathrm { p v } \int \cot \Big ( \frac { z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) f ( e ^ { \prime } ) d e ^ { \prime } = \int \cot \Big ( \frac { z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) \frac { f ( e ^ { \prime } ) z _ { e } ( e ) - f ( e ) z _ { e } ( e ^ { \prime } ) } { z _ { e } ( e ) } d e ^ { \prime }
\widetilde { f } _ { 4 i } ^ { e q } = \frac { 1 } { 4 } \left[ U _ { i } + \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 i } } - \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 i } } \right]
\hat { s } _ { \omega , n } p _ { h } = \hat { s } _ { \omega } p _ { h } \ , \ \ \ \ \ \, h a t { s } _ { \omega , n } h = \hat { s } _ { \omega } h + \frac { 2 n _ { \omega } a _ { 0 } } { ( \omega , \omega ) } \omega \ ,
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } } { \mathrm { d } t } + 3 \, \frac { \dot { a } } { a } \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 3 } T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) ^ { p ^ { r } } } & { = \left( Q ( x _ { 1 } ^ { p } , \dots , x _ { k } ^ { p } ) + p \cdot R ( x _ { 1 } , \dots , x _ { k } ) \right) ^ { p ^ { r - 1 } } } \\ & { = Q ( x _ { 1 } ^ { p } , \ldots , x _ { k } ^ { p } ) ^ { p ^ { r - 1 } } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { p ^ { r - 1 } } \binom { p ^ { r - 1 } } { \ell } Q ( x _ { 1 } ^ { p } , \ldots , x _ { k } ^ { p } ) ^ { p ^ { r - 1 } - \ell } ( p R ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) ) ^ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { x } f _ { 1 } ( v ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - 1 - 2 v _ { 1 } + 0 . 1 v _ { 2 } } & { 0 . 1 v _ { 1 } } \\ { 0 . 1 v _ { 2 } } & { 2 + 0 . 1 v _ { 1 } - 2 v _ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { J _ { x } f _ { 2 } ( v ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 3 - 2 v _ { 1 } + 0 . 1 v _ { 2 } } & { 0 . 1 v _ { 1 } } \\ { 0 . 1 v _ { 2 } } & { - 1 + 0 . 1 v _ { 1 } - 2 v _ { 2 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } } & { { } = { \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { p } ) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } = { \frac { \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { 0 } } { 4 \pi c } } ( { \hat { \mathbf { r } } } \times { \hat { \mathbf { z } } } ) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } = - { \frac { \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { 0 } } { 4 \pi c } } \sin ( \theta ) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } \mathbf { \hat { \phi } } } \\ { \mathbf { E } } & { { } = c \mathbf { B } \times { \hat { \mathbf { r } } } = - { \frac { \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { 0 } } { 4 \pi } } \sin ( \theta ) \left( { \hat { \phi } } \times \mathbf { \hat { r } } \right) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } = - { \frac { \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } p _ { 0 } } { 4 \pi } } \sin ( \theta ) { \frac { e ^ { i \omega ( r / c - t ) } } { r } } { \hat { \theta } } . } \end{array}
\left( \cos { \frac { a } { 2 } } \cos { \frac { b } { 2 } } - \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } \sin { \frac { a } { 2 } } \sin { \frac { b } { 2 } } \right) - \left( \mathbf { A } \sin { \frac { a } { 2 } } \cos { \frac { b } { 2 } } + \mathbf { B } \cos { \frac { a } { 2 } } \sin { \frac { b } { 2 } } - \mathbf { A } \times \mathbf { B } \sin { \frac { a } { 2 } } \sin { \frac { b } { 2 } } \right) .
\operatorname* { m a x } _ { C , \ I ( C ) } \ \bigg ( - \lambda S ( C ) + \sum _ { i \in C } \Big ( P _ { I ( i ) } ^ { x } ( r _ { c ( i ) } ) - P _ { I ( i ) } ^ { x } ( r _ { c ( i + 1 ) } ) \Big ) \bigg ) ,
\mathcal { L } = \frac { \sum _ { i , j \in A } ( d _ { \bowtie , p , C } ( X _ { i } , X _ { j } ) ) ^ { 2 } } { \sum _ { i \in A , j \in I } ( d _ { \bowtie , p , C } ( X _ { i } , X _ { j } ) ) ^ { 2 } } + \frac { \sum _ { i , j \in B } ( d _ { \bowtie , p , C } ( X _ { i } , X _ { j } ) ) ^ { 2 } } { \sum _ { i \in B , j \in I } ( d _ { \bowtie , p , C } ( X _ { i } , X _ { j } ) ) ^ { 2 } }
\mathrm { C o v } \left( G _ { s } ^ { \gamma } , G _ { u } ^ { \gamma } \right) \le \mathbb { E } [ | G _ { s } ^ { \gamma } | ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbb { E } [ | G _ { u } ^ { \gamma } | ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lesssim _ { r , \delta } \frac { L \gamma } { \underline { { c } } ^ { \frac { 2 } { 1 - \delta } } } \bar { \Psi } ^ { 1 + 3 r + \frac { 2 \delta r } { 1 - \delta } } .
\begin{array} { r l } & { ( h _ { 1 , 5 } + h _ { 5 , 3 } ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | R G R \rangle - | R R G \rangle ) \otimes | B B \rangle _ { 4 5 } } \\ { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | B G R \rangle - | B R G \rangle + | R G B \rangle ) \otimes | B R \rangle _ { 4 5 } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } | R R B B G \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { P } _ { \mathrm { d i s s } } \sim \sigma \epsilon ^ { 2 } \omega R _ { c } \ell _ { r } \ell } \\ & { \mathcal { P } _ { \mathrm { d i s s } } \sim \mu _ { 0 } U R _ { c } \ell \left( \frac { \gamma } { \gamma _ { s } } \sin { \theta _ { e q } } \right) ^ { 3 } \left( \frac { U \tau } { \ell _ { s } } \right) ^ { m } } \end{array}
F [ \alpha ] = \sum _ { \gamma _ { + } } u ^ { \gamma _ { + } } H [ \alpha : \gamma _ { + } ] \prod _ { j \in I _ { - } } ( u _ { j } + 1 ) ^ { \operatorname * { m a x } ( a _ { j } - \sum _ { i \leftrightarrow j } c _ { i } , 0 ) } \ ,
\begin{array} { r l } { e } & { = \sum _ { m = - \frac { { M = 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M = 1 } } { 2 } } { \frac { { \partial { a _ { m } } ^ { * } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } \frac { { \partial { a _ { m } } ( r , \theta ) } } { { \partial r } } } } \\ & { = \frac { { 4 { \pi ^ { 2 } } r } } { { { \lambda ^ { 2 } } } } \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { \frac { { m { \varepsilon _ { T } } \cos \theta ( m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta - 1 ) } } { { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } , } \end{array}
x _ { i } = \operatorname* { m i n } \Bigg [ \operatorname* { m i n } _ { k \in \mathcal { I } _ { i } ^ { \mathrm { e s } } } \Big [ \frac { 1 } { \alpha _ { i k } } \Pi _ { i k } \Big ] , \: \beta _ { i } + \frac { 1 } { \alpha _ { i } } \sum _ { k \in \mathcal { I } _ { i } ^ { \mathrm { n e } } } \Pi _ { i k } , \; \frac { 1 } { \alpha _ { l _ { i } } } l _ { i } , \; \frac { 1 } { \alpha _ { c _ { i } } } c _ { i } \; \Bigg ] \, ,
\begin{array} { c } { { \sin ^ { 2 } \left[ { \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } 4 } { \frac L E } \right] \simeq \sin ^ { 2 } \left[ { \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } } 4 } { \frac L E } \right] \equiv S } } \end{array}
F ^ { ( n ) } = d C ^ { ( n - 1 ) } = - ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } d \hat { \star } C ^ { ( 1 1 - n ) } = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \hat { \star } d C ^ { ( 9 - n ) } = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } \hat { \star } F ^ { ( 1 0 - n ) } ,
\left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } } { 2 } \right) \right| \leqslant \frac { 1 } { 3 } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| .