harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ d ~ r ~ } } ( \phi _ { i } ) + \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ c ~ s ~ t ~ r ~ } } - \Gamma ( \phi _ { i } ) \mathbf { v } _ { i } - \sum _ { j } \mathbf { \Gamma } ( \phi _ { i } , \phi _ { j } ) \cdot \mathbf { v } _ { j } = 0 \; .
\int _ { - 1 } ^ { 1 } 2 \frac { \Omega _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( \xi ) } g ( X ) f ( X ) U _ { 0 } ( \xi ) ^ { 2 } - 2 f ^ { \prime \prime } ( X ) U _ { 1 } ^ { \prime } ( \xi ) U _ { 0 } ( \xi ) - f ^ { \prime \prime } ( X ) U _ { 0 } ( \xi ) ^ { 2 } - \frac { \Omega _ { 2 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( \xi ) } f ( X ) U _ { 0 } ( \xi ) ^ { 2 } \: \mathrm { d } \xi = 0 .
T ( w ) = \frac { 1 - \mu } { 4 \pi \gamma ^ { 2 } w ^ { 2 } } \, , \qquad \overline { { { T } } } ( \bar { w } ) = \frac { 1 - \mu } { 4 \pi \gamma ^ { 2 } \bar { w } ^ { 2 } } \, ,
\small c \left( y , t , u , \frac { \partial u } { \partial y } \right) \frac { \partial u } { \partial t } = y ^ { - m } \frac { \partial } { \partial y } \left( y ^ { m } F \left( y , t , u , \frac { \partial u } { \partial y } \right) \right) + s \left( y , t , u , \frac { \partial u } { \partial y } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { p _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } - p _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n - \frac 1 2 } } { \Delta t } } & { = - c ^ { 2 } \left( \frac { u _ { i + 1 , j + \frac 1 2 } ^ { n } - u _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta x } + \frac { v _ { i + \frac 1 2 , j + 1 } ^ { n } - v _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n } } { \Delta y } \right) } \\ { \frac { u _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - u _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { p _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } - p _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } } { \Delta x } } \\ { \frac { v _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n + 1 } - v _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { p _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } - p _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } } { \Delta y } } \end{array}
\Phi ( \epsilon _ { i } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { \beta ( \epsilon _ { i } - \mu ) } , } & { { \mathrm { f o r ~ p a r t i c l e s ~ o b e y i n g ~ M a x w e l l - B o l t z m a n n ~ s t a t i s t i c s } } } \\ { e ^ { \beta ( \epsilon _ { i } - \mu ) } - 1 , } & { { \mathrm { f o r ~ p a r t i c l e s ~ o b e y i n g ~ B o s e - E i n s t e i n ~ s t a t i s t i c s } } } \\ { e ^ { \beta ( \epsilon _ { i } - \mu ) } + 1 , } & { { \mathrm { f o r ~ p a r t i c l e s ~ o b e y i n g ~ F e r m i - D i r a c ~ s t a t i s t i c s } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \zeta _ { k } = \Big ( 1 - \frac { c _ { V k } p _ { k } + ( c _ { V k } + R _ { k } ) p _ { * k } } { c _ { p k } ( p _ { k } + p _ { * k } ) } \Big ) \frac { \theta } { p _ { k } } } \\ { = \frac { R _ { k } p _ { k } } { c _ { p k } ( p _ { k } + p _ { * k } ) } \frac { \theta } { p _ { k } } = \frac { 1 } { c _ { p k } r _ { k } } , \ \ k = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \equiv { } } & { { } \left( a _ { 1 } b _ { 2 } - b _ { 1 } a _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( a _ { 3 } b _ { 1 } - a _ { 1 } b _ { 3 } \right) ^ { 2 } \ . } \end{array}
\nabla \cdot \left( \frac { \mathbf { B } \times \nabla p } { B ^ { 2 } } \right) = \nabla \cdot \left[ p \nabla \times \left( \frac { \mathbf { B } } { B ^ { 2 } } \right) \right] \approx \nabla \cdot \left( 2 p \frac { \mathbf { b } \times \nabla B } { B ^ { 2 } } \right) \equiv \nabla \cdot \mathbf { j } _ { \nabla B } .
\begin{array} { r l r } { Q _ { M , 1 } } & { = } & { R _ { + + } ^ { m _ { 0 } } ( T _ { + - } C T _ { - + } ) ^ { m _ { 1 } } R _ { -- } ^ { m _ { 2 } } } \\ { Q _ { M , 2 } } & { = } & { A R _ { + + } ^ { m _ { 0 } } ( T _ { + - } C T _ { - + } ) ^ { m _ { 1 } } R _ { -- } ^ { m _ { 2 } } } \\ { Q _ { M , 3 } } & { = } & { R _ { + + } ^ { m _ { 0 } } ( T _ { + - } C T _ { - + } ) ^ { m _ { 1 } } R _ { -- } ^ { m _ { 2 } } } \\ { Q _ { M , 4 } } & { = } & { R _ { + + } ^ { m _ { 0 } } ( T _ { + - } C T _ { - + } ) ^ { m _ { 1 } } R _ { -- } ^ { m _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { i } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { 0 } | a _ { f } \Omega _ { f } ^ { ( 0 ) \dagger } D \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { I } ^ { ( 0 ) \dagger } H _ { W } \Omega _ { 0 } ^ { ( 0 ) } a _ { i } ^ { \dagger } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \\ & { + } & { \{ H _ { W } \Leftrightarrow D \} } \end{array}
\sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } ^ { [ 2 ] } } \Gamma _ { n m } ^ { [ 2 ] } u _ { [ 2 ] } ^ { m } = - \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n } ^ { [ 2 ] } \Big \vert \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 2 ] } \right\rangle , \mathrm { w h e r e ~ } \Gamma _ { n m } ^ { [ 2 ] } : = \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n } ^ { [ 2 ] } \Big \vert \mathbf { P } _ { ( m ) } ^ { [ 2 ] } \right\rangle , n = 1 , \dots , N _ { 0 } ^ { [ 2 ] } .
\begin{array} { r l } { R ^ { c } } & { = - \sum _ { j } ^ { \mathrm { o c c } } \Psi _ { j } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { j } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) W _ { 0 } ^ { c } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \epsilon _ { j } - \omega + i \eta ) \theta ( \epsilon _ { j } - \omega ) } \\ & { \quad + \sum _ { a } ^ { \mathrm { v i r t } } \Psi _ { a } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { a } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) W _ { 0 } ^ { c } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \epsilon _ { a } - \omega - i \eta ) \theta ( \omega - \epsilon _ { a } ) } \end{array}
A _ { 0 } ( { \bf x } ) = \int d ^ { 3 } { \bf x } ^ { \prime } G ( { \bf x } - { \bf x } ^ { \prime } ) ~ \frac { \partial } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } \left[ \frac { D _ { i } ( x ^ { \prime } ) } { \chi ( x ^ { \prime } ) } \right]
\begin{array} { r l } & { \left[ \frac { \partial \boldsymbol \chi } { \partial \tau } - \omega ^ { - \alpha } \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { I B } } + \omega ^ { - \alpha } \mathbf v _ { 0 } - \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot [ \mathbf D ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi ) ] + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \mathbf v _ { 0 } \cdot \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi \right] \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + } \\ & { \left[ \frac { \partial \lambda } { \partial \tau } - \omega ^ { 1 - 2 \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot ( \mathbf D \nabla _ { \mathbf y } \lambda ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \mathbf v _ { 0 } \cdot \nabla _ { \mathbf y } \lambda \right] \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } = \mathcal { K } ^ { \star } \omega ^ { \beta - \gamma } ( c _ { 0 } ^ { a } - 1 ) , } \end{array}
d _ { B } = h _ { m i n } , ~ d _ { r r , B } = b _ { r r } , ~ d _ { R P , B } = 1 . 8 9 b _ { r r } , ~ \textrm { a n d } ~ d _ { s a t , B } = \frac { d _ { R P , B } } { \sqrt { 2 + 3 O h _ { r r } / \sqrt { 2 } } } ,
W _ { 0 } ^ { c } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) = W _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) - v ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } )
\mathbf { 1 } _ { A } : ( X , \Sigma ) \to \mathbb { R } , \quad \mathbf { 1 } _ { A } ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } x \in A } \\ { 0 } & { { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } , } \end{array} \right. }
\qquad \partial _ { 0 } x ^ { \bar { \mu } } = - p ^ { \bar { \mu } } , \qquad \partial _ { 0 } p ^ { \bar { \mu } } = - \partial _ { 1 } \partial _ { 1 } x ^ { \bar { \mu } } , \qquad ( p ^ { \bar { \mu } } \pm \partial _ { 1 } x ^ { \bar { \mu } } ) ^ { 2 } = 0 ;
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { \dagger } \, \mathcal { U } ^ { \dagger } \, \hat { a } _ { c } ^ { \dagger } \hat { a } _ { c } \, \mathcal { U } \, \mathcal { S } } & { { } = \frac { 1 } { \hbar \omega _ { c } } \left( \mathcal { S } ^ { \dagger } \, \mathcal { U } ^ { \dagger } \, \hat { H } _ { C } \, \mathcal { U } \, \mathcal { S } \right) - \frac { 1 } { 2 } \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \bar { \Omega } _ { 2 } } & { ; Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \mathcal { R } _ { S } ) } \\ & { = H ( \bar { \Omega } _ { 2 } ) - H ( \bar { \Omega } _ { 2 } | Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \mathcal { R } _ { S } ) } \\ & { = H ( \bar { \Omega } _ { 2 } ) - H ( \bar { \Omega } _ { 2 } | Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \mathcal { R } _ { S } ) + H ( \bar { \Omega } _ { 2 } | Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \Omega _ { 2 } , \mathcal { R } _ { S } ) } \\ & { = H ( \bar { \Omega } _ { 2 } ) - I ( \bar { \Omega } _ { 2 } ; \Omega _ { 2 } | Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \mathcal { R } _ { S } ) } \\ & { = H ( \Omega _ { 2 } ) - H ( \Omega _ { 2 } | Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \mathcal { R } _ { S } ) + H ( \Omega _ { 2 } | Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \bar { \Omega } _ { 2 } , \mathcal { R } _ { S } ) } \\ & { = H ( \Omega _ { 2 } ) - H ( \Omega _ { 2 } | Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \mathcal { R } _ { S } ) } \\ & { = I ( \Omega _ { 2 } ; Q _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , A _ { n _ { 1 } } ^ { [ \Omega _ { 2 } ] } , \Omega _ { 1 } , \mathcal { R } _ { S } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle - \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle \langle \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \delta \phi _ { i } ( \tau ) \delta \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \\ { C _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = \langle \phi _ { i } ( \tau ) \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle - \langle \phi _ { i } ( \tau ) \rangle \langle \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle = \langle \delta \phi _ { i } ( \tau ) \delta \phi _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\hat { r } _ { h l } ( \partial _ { r } ^ { 2 } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } + \frac { 4 } { r } \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } - \frac { 1 0 } { r } \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } + \frac { 2 } { r ^ { 2 } } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } - \frac { 2 2 } { r ^ { 2 } } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } + \frac { 1 6 } { r ^ { 2 } } \overline { { T } } _ { \mathrm { N } } )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \xi _ { i j } ^ { a } , j \in \mathcal { V } _ { x } } \quad } & { \sum _ { j \in \mathcal { V } _ { x } } \pi _ { i j } ^ { a } ( b _ { j } , \xi _ { j j } ^ { a } , \xi _ { i j } ^ { a } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \xi _ { i j } ^ { a } = \xi _ { i j ^ { \prime } } ^ { a } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { x } } \end{array}
\Theta _ { u } \equiv 2 \pi \nu D _ { u } \frac { d _ { 2 } ^ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \left[ \left( 1 + \frac { \nu D _ { u } } { d _ { 1 } ^ { u } } \right) I + 2 \pi \nu \mathcal { G } _ { \omega _ { u } } \right] ^ { - 1 } \, , \qquad \Theta _ { v } \equiv 2 \pi \nu D _ { v } \frac { d _ { 2 } ^ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \left[ \left( 1 + \frac { \nu D _ { v } } { d _ { 1 } ^ { v } } \right) I + 2 \pi \nu \mathcal { G } _ { \omega _ { v } } \right] ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { H _ { O M } ^ { \pm } | x | ^ { - \frac { 1 } { 2 } + i \rho } } & { { } = \left( 1 - 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } - i ( \rho - \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } ) } \right) \left( 1 - 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } + i ( \rho + \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } ) } \right) \times } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { [ c ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ( s ) f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s \right) = 0 , } \\ { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } s f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } s V ( s ) f ^ { 0 } ( x , s , t ) \, d s \right) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ V _ { i } ^ { \theta } ( X _ { t _ { i } } ^ ) \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } ^ , \alpha _ { t _ { i } } ) 1 _ { t _ { i } < \tau } \Big ] } \\ { = } & { \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ V _ { i } ^ { \theta } ( X _ { t _ { i } } ^ ) 1 _ { t _ { i } < \tau } \mathbb { E _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } } \big [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } ^ , \alpha _ { t _ { i } } ) ) \mid X _ { t _ { i } } ^ \big ] \Big ] } \\ { = } & { \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ V _ { i } ^ { \theta } ( X _ { t _ { i } } ^ ) 1 _ { t _ { i } < \tau } \underbrace { \nabla _ { \theta } \Big ( \int _ { A } \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } ^ , a ) \nu ( \mathrm { d } a ) \Big ) } _ { = \ 0 } \Big ] \; = \; 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu } & { = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \hat { \mu } ( \tau ) \, , \, \, \qquad \lambda = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \hat { \lambda } ( \tau ) = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \tilde { \lambda } ( \tau ) } \\ { x _ { * } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \tau , t \rightarrow \infty } x ( t , \tau ) \, , \quad \chi = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \hat { \chi } ( \tau ) \, , \quad \gamma = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \gamma _ { 0 } ( \tau ) = \lambda ^ { 2 } } \end{array}
- { \cal L } _ { \mathrm { N P } } = \frac { 1 } { 2 } { M _ { N } } _ { i j } \overline { { { N _ { i } ^ { c } } } } N _ { j } + Y _ { i j } ^ { \nu } \overline { { { L _ { L i } } } } \tilde { \phi } N _ { j } + \mathrm { h . c . } .
\begin{array} { r } { \epsilon _ { A \pm } ^ { s } \simeq b _ { s \theta } \frac { \partial \epsilon _ { A \pm } ^ { s } } { \partial b _ { s \theta } } \hat { s } ^ { 2 } \partial _ { z _ { s } } ^ { 2 } - \left( \frac { \omega _ { A } } { \omega _ { \pm } } \right) ^ { 2 } \sigma _ { \pm s } ( z _ { s } ^ { 2 } - z _ { \pm } ^ { 2 } ) . } \end{array}
G _ { \varepsilon } ^ { ( N ) } ( \zeta _ { 1 } , \cdots , - \zeta _ { j } , \cdots , \zeta _ { N } ) ^ { - \cdots - + \cdots + } = ( - 1 ) ^ { N - j + H ( n \ge j ) } G _ { - \varepsilon } ^ { ( N ) } ( \zeta _ { 1 } , \cdots , \zeta _ { j } , \cdots , \zeta _ { N } ) ^ { - \cdots - + \cdots + } ,
\begin{array} { r l } { L _ { X F } ^ { \prime } } & { = \operatorname { R e } \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } \Bigg ( i \sqrt { \mu } \Omega ^ { * } \partial _ { t ^ { \prime } } \Omega ^ { \prime } + | \Omega ^ { \prime } | ^ { 2 } \left\langle \phi ^ { \prime } \mid i \sqrt { \mu } \partial _ { t ^ { \prime } } \phi ^ { \prime } - \hat { H } _ { e } ^ { \prime } \phi ^ { \prime } \right\rangle } \\ & { - \frac { \mu } { 2 } \Big [ \| \nabla ^ { \prime } \Omega ^ { \prime } \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } + | \Omega ^ { \prime } | ^ { 2 } \| \nabla ^ { \prime } \phi ^ { \prime } \| _ { g ^ { - 1 } } ^ { 2 } - 2 \Omega ^ { * } \left\langle \phi ^ { \prime } \mid ( g ^ { - 1 } ) ^ { \prime } \left( \nabla ^ { \prime } \Omega ^ { \prime } , \nabla ^ { \prime } \phi ^ { \prime } \right) \right\rangle \Big ] \Bigg ) \, \mathrm { d } r ^ { \prime } , } \end{array}
\vec { \tilde { F } } ( \varphi ( u ) ) = \big ( \varphi _ { * } \vec { F } ( u ) \big ) + \sum \partial _ { i } ( \big ( \varphi _ { * } ^ { i } \vec { F } ( u ) \big ) ) + \sum \partial _ { i } \partial _ { j } ( \big ( \varphi _ { * } ^ { i j } \vec { F } ( u ) \big ) ) + . . . ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \widetilde { m } } _ { n } = T _ { n } \left( \alpha \left( \widetilde { h } _ { 0 } ( \widetilde { m } _ { n } ) - ( \widetilde { h } _ { 0 } ( \widetilde { m } _ { n } ) \cdot \widetilde { m } _ { n } ) \widetilde { m } _ { n } \right) - \widetilde { m } _ { n } \wedge \widetilde { h } _ { 0 } ( \widetilde { m } _ { n } ) \right) } & { \mathrm { i n ~ } ( 0 , 1 ) } \\ { \widetilde { m } _ { n } ( 0 ) = e _ { 1 } } & \end{array} \right.
\Gamma ( z ^ { - } , z ^ { + } ) \to [ \partial _ { - } \zeta ^ { - } ( z ^ { - } ) \partial _ { + } \zeta ^ { + } ( z ^ { + } ) ] ^ { - 1 / 2 } \Gamma ( \zeta ^ { + } ( z ^ { + } ) , \zeta ^ { - } ( z ^ { - } ) ) .
\begin{array} { r l } { \rho ^ { g } | U ^ { g } | ^ { 2 } - \rho ^ { f } | U ^ { f } | ^ { 2 } } & { = \frac { | \rho ^ { g } U ^ { g } | ^ { 2 } } { \rho ^ { g } } - \frac { | \rho ^ { f } U ^ { f } | ^ { 2 } } { \rho ^ { f } } } \\ & { = \frac { | \rho ^ { g } U ^ { g } | ^ { 2 } } { \rho ^ { g } } - \frac { | \rho ^ { f } U ^ { f } | ^ { 2 } } { \rho ^ { g } } + \frac { | \rho ^ { f } U ^ { f } | ^ { 2 } } { \rho ^ { g } } - \frac { | \rho ^ { f } U ^ { f } | ^ { 2 } } { \rho ^ { f } } } \\ & { \leq C _ { M } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | v | | f - g | d v + C _ { M } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | f - g | d v } \\ & { \leq C _ { M } \| f - g \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left| \Phi \right\rangle \! } & { \equiv } & { \! \left| \, { \overline { { \Psi } } \left( { \bf y } \right) \Psi \left( { { { \bf y } ^ { \prime } } } \right) } \, \right\rangle } \\ & { = } & { \overline { { \Psi } } \left( { \bf y } \right) \exp \left[ { i q \int _ { { { \bf y } ^ { \prime } } } ^ { \bf y } { d { z ^ { i } } { a _ { i } } \left( z \right) } } \right] \Psi \left( { { { \bf y } ^ { \prime } } } \right) \left| 0 \right\rangle , } \end{array}
\frac { 1 } { \bar { \eta } } e ^ { - \beta \eta _ { \mathrm { m i n } } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta _ { \mathrm { m i n } } ) } \sqrt { \frac { 2 \pi } { \beta } } \left[ - \left. \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } \eta } \right| _ { \eta = \eta _ { \mathrm { m i n } } } \right] ^ { - 1 / 2 } = 1 ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { \frac 1 2 \int d ^ { 3 } \boldsymbol r \, \left[ \epsilon _ { 0 } \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp 2 } + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \hat { \boldsymbol B } ^ { 2 } \right] } \\ & { - } & { \int d ^ { 3 } \boldsymbol r \, \left[ \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } a \hat { \boldsymbol E } _ { c } \cdot \hat { \boldsymbol B } - \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \left( g _ { a \gamma \gamma } \hat { a } \right) ^ { 2 } \hat { \boldsymbol B } \cdot \hat { \boldsymbol B } \right] } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } \boldsymbol r \, \left[ \frac { \hat { \pi } ^ { 2 } } { \hbar c ^ { 3 } } + \frac { 1 } { c \hbar } \boldsymbol \nabla \hat { a } \cdot \boldsymbol \nabla \hat { a } + \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { c ^ { 3 } \hbar ^ { 3 } } \hat { a } ^ { 2 } \right] } \\ & { + } & { \sum _ { \eta } \left[ \frac { \hat { \boldsymbol p } _ { \eta } ^ { 2 } } { 2 m _ { \eta } } + \frac { q _ { \eta } ^ { 2 } } { 2 m _ { \eta } c ^ { 2 } } \hat { \boldsymbol A } ^ { 2 } ( \hat { \boldsymbol r } _ { \eta } ) \right] } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } d ^ { 3 } \boldsymbol r \, \left[ \hat { \rho } \hat { \phi } + \hat { \boldsymbol J } \cdot \hat { \boldsymbol A } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( ( \mathscr { C } _ { \Gamma , l } ) ^ { c } ) \leq \mathbb { P } ( \mathscr { E } _ { l } ^ { c } ) + \mathbb { P } ( ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { C \exp ( - \Phi _ { 4 } ^ { 1 \slash 4 } ) + C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \slash ( K _ { 0 } ^ { 5 } T ^ { 5 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c ) } & { { } = [ \mathbf a \times ( \mathbf b \times \underline { { \mathbf I } } ) ] \cdot \mathbf c } \\ { \mathbf a \times ( \mathbf b \times \underline { { \mathbf I } } ) } & { { } = \mathbf b \mathbf a - ( \mathbf a \cdot \mathbf b ) \underline { { \mathbf I } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \boldsymbol { a } } { \partial t } = \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } , t \right] + \underline { { \mathbf { L } } } \left[ \boldsymbol { \nabla } \right] \cdot \boldsymbol { a } . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { T R S W } ( \boldsymbol { u } , \eta , b ) = \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol { u } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \mathrm { R o } } \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { R } - \frac { 1 } { 2 \, \mathrm { F r } ^ { 2 } } ( 1 + \mathfrak { s } b ) ( \eta - 2 h ) \right) \, \eta \, d \mu . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { x } ( x , z ) / B _ { 0 } } & { = } & { \cos k _ { 1 } x \, e ^ { - k _ { 1 } ( z - z _ { 0 } ) } - \cos k _ { 2 } x \, e ^ { - k _ { 2 } ( z - z _ { 0 } ) } \, , } \\ { B _ { z } ( x , z ) / B _ { 0 } } & { = } & { - \sin k _ { 1 } x \, e ^ { - k _ { 1 } ( z - z _ { 0 } ) } + \sin k _ { 2 } x \, e ^ { - k _ { 2 } ( z - z _ { 0 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \| u _ { k + 1 } - u ^ { * } \| _ { { H } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| u _ { k } - u ^ { * } \| _ { { H } } ^ { 2 } } & { \leq \left( \frac { { L _ { { \mathcal { F } } ^ { \prime } } } } { 4 \alpha _ { k } } - \frac { 1 } { 2 } \right) \| u _ { k + 1 } - u _ { k } \| _ { { H } } ^ { 2 } \leq \frac { { L _ { { \mathcal { F } } ^ { \prime } } } } { 4 { \alpha } _ { \operatorname* { i n f } } ^ { 3 } } \| { \mathcal { G } } _ { \alpha _ { k } } ( u _ { k } ) \| _ { H } ^ { 2 } , } \end{array}