harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } { q ^ { \mathrm { a r t , P } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { r v } } - p ^ { \mathrm { a r t , P } } } { R ^ { \mathrm { a r t , P } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { v e n , P } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n , P } } - p ^ { \mathrm { l v } } } { R ^ { \mathrm { v e n , P } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { l v } } - p ^ { \mathrm { a r t , S } } } { R ^ { \mathrm { a r t , S } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { v e n , S } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n , S } } - p ^ { \mathrm { r v } } } { R ^ { \mathrm { v e n , S } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r , P } } } & { = \frac { p ^ { \mathrm { a r t , P } } - p ^ { \mathrm { v e n , P } } } { R ^ { \mathrm { p e r , P } } } , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r , S } } } & { = \frac { p ^ { \mathrm { a r t , S } } - p ^ { \mathrm { v e n , S } } } { R ^ { \mathrm { p e r , S } } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u _ { z } } & { = ( 1 - \phi ) u _ { z } ^ { \mathrm { s } } + \phi u _ { z } ^ { \mathrm { f } } , } \\ { \hat { u } _ { z } } & { = u _ { z } ^ { \mathrm { s } } - u _ { z } ^ { \mathrm { f } } , } \\ { p } & { = \sigma _ { z z } ^ { \mathrm { s } } + \sigma _ { z z } ^ { \mathrm { f } } , } \\ { \hat { \sigma } _ { z z } } & { = \sigma _ { z z } ^ { \mathrm { s } } / ( 1 - \phi ) - \sigma _ { z z } ^ { \mathrm { f } } / \phi . } \end{array}
f _ { | \Delta m _ { F } | } ( \theta , \varphi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 1 6 \pi } \Big ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta \Big ) } & { | \Delta m _ { F } | = 1 } \\ { \frac { 3 } { 8 \pi } \sin ^ { 2 } \theta } & { | \Delta m _ { F } | = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \vec { v } \cdot \nabla c _ { 2 } - D _ { 2 } \nabla ^ { 2 } c _ { 2 } } & { = - j _ { - , t o t } / F } & \\ { - \sigma _ { - , l } ^ { \mathrm { e f f } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { - , l } } & { = j _ { - , t o t } } & { \qquad ( x , y , S O C ) \in \Omega _ { - } \times \mathcal { T } } \\ { - \sigma _ { - , s } ^ { \mathrm { e f f } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { - , s } } & { = - j _ { - , t o t } } & \\ { \vec { v } \cdot \nabla c _ { 4 } - D _ { 4 } \nabla ^ { 2 } c _ { 4 } } & { = - j _ { + , t o t } / F } & \\ { - \sigma _ { + , l } ^ { \mathrm { e f f } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { + , l } } & { = j _ { + , t o t } } & { \qquad ( x , y , S O C ) \in \Omega _ { + } \times \mathcal { T } } \\ { - \sigma _ { + , s } ^ { \mathrm { e f f } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { + , s } } & { = - j _ { + , t o t } } & \end{array}
f _ { \mathbf { 0 } , \alpha } ( \mathbf { k } ) - T _ { \alpha } \sum _ { \beta } W _ { \alpha \beta } ( \mathbf { k } ) f _ { \mathbf { 0 , \beta } } ( \mathbf { k } ) = T _ { \alpha } \Tilde { a } _ { \mathbf { 0 } , \alpha } ( \mathbf { k } ) ,
\begin{array} { r l } { \langle \boldsymbol { \eta } _ { i } \rangle } & { { } = 0 , } \\ { \langle \eta _ { i , \mu } \eta _ { j , \alpha } \rangle } & { { } = \frac { s ^ { 2 } } { \Delta t ^ { 2 } } \delta _ { \mu , \alpha } \Big [ 2 \delta _ { i , j } - \delta _ { i + 1 , j } - \delta _ { i , j + 1 } \Big ] \! . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ - ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } = \sum _ { j } \bigg [ \frac { \hat { p } _ { j } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } { \omega } _ { j } ^ { 2 } \bigg ( \hat { q } _ { j } + \frac { c _ { j } \hat { q } _ { \mathrm { c } } } { { \omega } _ { j } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] ,
\begin{array} { r l r } { \overrightarrow { S } } & { = } & { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \\ { S _ { 4 } } \\ { S _ { 5 } } \\ { S _ { 6 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 8 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { \sqrt { h } } } \partial _ { i } { \sqrt { h } } E ^ { i } } & { { } = } \\ { \nabla _ { i } E ^ { i } } & { { } = { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } } } \\ { - { \frac { 1 } { \sqrt { h } } } \partial _ { i } { \sqrt { h } } B ^ { i j } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial t } } E ^ { j } } & { { } = } & { } \\ { - \nabla _ { i } B ^ { i j } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial E ^ { j } } { \partial t } } } & { { } = \mu _ { 0 } J ^ { j } } \end{array}
J ( H , R , \vartheta ) = g R ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \vartheta ) \cdot ( H - R \cos ( \vartheta ) ) \geq l _ { z } ^ { 2 } ~ ~ ~ ~ \leftrightarrow ~ ~ ~ ~ \vartheta \in [ \vartheta _ { 0 } ; \vartheta _ { 1 } ] .
\left\langle f ( \mathbf { y } , \tau ) \right\rangle _ { \mathbf { y } , t } = \frac { 1 } { | \Omega | \tilde { L } _ { t } } \int _ { \Omega } ^ { } \int _ { 0 } ^ { \tilde { L } _ { t } } f ( \mathbf { y } , \tau ) \mathrm { d } \mathbf { y } \mathrm { d } \tau
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \boldsymbol { f } } = \left[ \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \right) _ { r } + { \boldsymbol { \Omega \times } } \right] { \boldsymbol { f } } \ .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } t } = } & { { } \hat { A _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \cdot \Bigl [ \eta ^ { 2 } \cdot \bigl ( \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( x , \hat { \theta } ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { Q } { 2 } z ^ { 2 } } \\ { W ( x , \hat { \theta } ) } & { : = U ( x , \hat { \theta } ) + \frac { 1 } { 2 \gamma _ { 1 } } \left( \hat { \theta } _ { 1 } - \theta _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \gamma _ { 2 } } \left( \hat { \theta } _ { 2 } - \theta _ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } { \bf u } ) + p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } \, { \bf u } = \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) ( p _ { \mathrm { a t m } } + p _ { f } ) \nabla p _ { f } ) .
F _ { T , L } ^ { D i f f / t o t } \! \! \equiv \! \int _ { x _ { B j } } ^ { x _ { g a p } } d x _ { P } \ F _ { T , L } ^ { D i f f } = { \bf \frac 1 { N _ { c } ^ { 2 } } } \ F _ { T , L } ^ { t o t } \l { b i c z y 4 }
\begin{array} { r l } & { \left\vert E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] \right\vert } \\ & { \leq 2 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) ) \vert \sqrt { \frac { \log ( \frac { S A H K } { \delta } ) } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } } . } \end{array}
\Xi ( \epsilon _ { 1 } , \mu _ { 1 } ; \epsilon _ { 2 } , \mu _ { 2 } ) = \left[ { \frac { \bar { \xi } _ { \small i n } ( \epsilon , \mu ) } { n _ { 1 } } } + { \frac { \bar { \xi } _ { \small o u t } ( \epsilon , \mu ) } { n _ { 2 } } } \right]
\begin{array} { r } { \frac { \Delta \bar { v } _ { z } } { | \bar { A } _ { x } | ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \bar { \alpha } } { ( \bar { \alpha } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { \bar { v } _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \bar { \alpha } ^ { 2 } + 3 } { \bar { \alpha } ^ { 2 } - 1 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta - \mu \right) \pi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int | \nabla \rho ( x ) | \mathrm { d } x } & { = \int _ { | x | \le 1 } \left( \frac { \pi ^ { d / 2 } \mathrm { B } ( d / 2 , 3 ) } { \Gamma ( d / 2 ) } \right) ^ { - 1 } 4 \left( 1 - | x | ^ { 2 } \right) | x | \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 8 } { \mathrm { B } ( d / 2 , 3 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { d } \left( 1 - r ^ { 2 } \right) \mathrm { d } r = \frac { 4 } { \mathrm { B } ( d / 2 , 3 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } s ^ { d / 2 - 1 / 2 } \left( 1 - s \right) \mathrm { d } s } \\ & { = \frac { 4 \mathrm { B } ( d / 2 + 1 / 2 , 2 ) } { \mathrm { B } ( d / 2 , 3 ) } = \frac { 4 \Gamma ( d / 2 + 1 / 2 ) \Gamma ( 2 ) \Gamma ( d / 2 + 3 ) } { \Gamma ( d / 2 + 5 / 2 ) \Gamma ( d / 2 ) \Gamma ( 3 ) } } \\ & { = \frac { ( d + 4 ) ( d + 2 ) d } { ( d + 3 ) ( d + 1 ) } \le d + 2 } \end{array}
\rho _ { A B } = \frac { 1 } { \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \prod _ { x = 1 } ^ { k } \frac { T _ { A B } ^ { - } } { T _ { A B } ^ { + } } } = \frac { 1 } { \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \prod _ { x = 1 } ^ { k } \frac { e ^ { s \Pi _ { B A } } } { e ^ { s \Pi _ { A B } } } } .
\left( \begin{array} { c } { { - i \lambda _ { B } } } \\ { { - i \lambda _ { W } ^ { 3 } } } \\ { { \widetilde { H } _ { D } ^ { 1 } } } \\ { { \widetilde { H } _ { U } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \ = \ Z _ { N } \left( \begin{array} { c } { { \varphi _ { 1 } ^ { 0 } } } \\ { { \varphi _ { 2 } ^ { 0 } } } \\ { { \varphi _ { 3 } ^ { 0 } } } \\ { { \varphi _ { 4 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) \ \ .
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { \pi } v ) ( s ) = } & { \sum _ { a } \pi ( a | s ) [ - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v , s , a ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) ] , } \\ { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } v ) ( s ) = } & { \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } [ - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v , s , a ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) ] . } \end{array}
n _ { \nu _ { \alpha } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } N _ { \nu _ { \alpha } } d p = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 } } ( P _ { 0 } + P _ { z } ) N ^ { \mathrm { e q } } ( p , T , 0 ) d p ,
\mathrm { Z } _ { \mathrm { R } } ^ { I } ( r ) = \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { T r } _ { \mathrm { R } } \left( r ^ { 2 L _ { 0 } } \right) = \mathrm { T r } _ { \mathrm { R } } \left( r ^ { 2 L _ { 0 } } { \frac { 1 + \Omega } { 2 } } \right) ~ ~ ,
{ \bf \hat { E } _ { o u t } ^ { + } ( { \bf r } ) } = { \bf \hat { E } _ { i n } ( { \bf r } ) } + i \frac { \beta _ { d i r } \gamma } { \Omega } { \bf \hat { E } _ { i n } ^ { + } ( { \bf r } ) } \hat { \sigma } _ { g e }
\langle \mathcal { T } ( r _ { 0 } ) \rangle = \frac { ( R _ { 2 } - r _ { 0 } ) \left[ 6 K R _ { 1 } ^ { 2 } - 2 R _ { 1 } ^ { 3 } + r _ { 0 } R _ { 2 } ( r _ { 0 } + R _ { 2 } ) \right] } { 6 D r _ { 0 } R _ { 2 } } .
\kappa ( u ) = \exp \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \sinh u t \; \frac { \sinh ( \pi - \lambda ) t \; \sinh ( \pi - 3 \lambda + u ) t - \sinh \lambda t \; \sinh ( u + \lambda ) t } { t \sinh \pi t \; \sinh ( \pi - 2 \lambda ) t } \; d t .
{ \begin{array} { r l } { \delta ( t ^ { \prime } - t _ { r } ^ { \prime } ) = } & { { \frac { \delta ( t ^ { \prime } - t _ { r } ) } { { \frac { \partial } { \partial t ^ { \prime } } } ( t ^ { \prime } - t _ { r } ^ { \prime } ) | _ { t ^ { \prime } = t _ { r } } } } = { \frac { \delta ( t ^ { \prime } - t _ { r } ) } { { \frac { \partial } { \partial t ^ { \prime } } } ( t ^ { \prime } - ( t - { \frac { 1 } { c } } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ( t ^ { \prime } ) | ) ) | _ { t ^ { \prime } = t _ { r } } } } } \\ & { = { \frac { \delta ( t ^ { \prime } - t _ { r } ) } { 1 + { \frac { 1 } { c } } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ( t ^ { \prime } ) ) / | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ( t ^ { \prime } ) | \cdot ( - \mathbf { v } _ { s } ( t ^ { \prime } ) ) | _ { t ^ { \prime } = t _ { r } } } } } \\ & { = { \frac { \delta ( t ^ { \prime } - t _ { r } ) } { 1 - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \cdot ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ) / | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } ( n ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \, \bigg [ \frac { 1 } { \sqrt { 1 + X _ { n } ^ { 2 } } } - 1 \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \Delta { t _ { n } } \mathbb { E } | \Delta Z _ { n } | ^ { 2 } + } & { \frac { 1 } { 2 } \Delta { t _ { n } } \mathbb { E } | \Delta \Gamma _ { n } | ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( 1 - f _ { z } \lambda _ { 8 } ^ { - 1 } ) \Delta { t _ { n } } \mathbb { E } | \Delta Z _ { t _ { n } } | ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } - f _ { \Gamma } \lambda _ { 8 } ^ { - 1 } \right) \Delta { t _ { n } } \mathbb { E } | \Delta \Gamma _ { t _ { n } } | ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \frac { f _ { x } } { 2 \operatorname* { m a x } \{ f _ { z } , \frac { f _ { \Gamma } } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \} } \mathbb { E } | \Delta X _ { t _ { n } } | ^ { 2 } \Delta t _ { n } + \mathbb { E } | \Delta Y _ { t _ { n + 1 } } | ^ { 2 } } \\ & { - \left[ 1 - \left( 1 + f _ { x } + 2 \operatorname* { m a x } \left\{ f _ { z } , \frac { f _ { \Gamma } } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \right\} \right) \Delta { t _ { n } } \right] \mathbb { E } | \Delta Y _ { t _ { n } } | ^ { 2 } , } \end{array}
\mathrm { R e m } ( R , Z , t ) \, = \, \mathcal { L } \eta _ { * } + \partial _ { R } \Bigl ( \frac { \epsilon \eta _ { * } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr ) - t \partial _ { t } \eta _ { * } - \frac { 1 } { \delta } \, \Bigl \{ \phi _ { * } \, , \frac { \eta _ { * } } { 1 { + } \epsilon R } \Bigr \} + \frac { \epsilon \bar { r } } { \delta \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \eta _ { * } + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \eta _ { * } \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } \geq \mathcal { E } _ { m , n } ( u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ) \geq } & { { } \int _ { \Omega } \theta | \nabla u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } | ^ { p _ { n } } \, d x + P _ { h } \| u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } \| _ { p _ { n } } ^ { p _ { n } } + \! \int _ { \Omega \setminus \Omega _ { \mathrm { i } } } \! \! \! \! \! \rho _ { s } U ^ { \mathrm { v d W } } \, d x + I _ { \mathrm { p } ; m , n } ( u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } , \psi _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ) } \\ { \geq } & { { } \left( \int _ { \Omega } \theta d | D u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } | \right) ^ { p _ { n } } \left( \int _ { \Omega } \theta \, d x \right) ^ { 1 - { p _ { n } } } + P _ { h } \| u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } \| _ { 1 } ^ { p _ { n } } \left( \mathrm { V o l } ( \Omega ) \right) ^ { 1 - { p _ { n } } } + C _ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \alpha ( f + \beta d ) } & { ( g + \beta c ) - h } \\ & { \equiv \alpha f g - h + \alpha \beta ( f ( a \delta _ { h } - q g ) + g ( b \delta _ { h } - q ^ { \prime } f ) ) } \\ & { \equiv \delta _ { h } ( - 1 + \alpha \beta ( a f + b g ) ) - \alpha \beta f g ( q + q ^ { \prime } ) } \\ & { \equiv 0 { \pmod { I ^ { k + 1 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle \dot { \gamma } _ { x x } - \dot { \gamma } _ { y y } \rangle } & { { } = \frac { 2 \alpha _ { x x } } { L \Lambda _ { + } } \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \zeta } \bigg ) \bigg [ 1 - \cosh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { \pm } } \bigg ) \bigg ] \sinh \bigg ( \frac { L } { 2 \Lambda _ { + } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \boldsymbol { \Sigma } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] _ { i j } = \mathbb { E } \left[ U _ { i } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } U _ { j } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] , } & { \qquad \qquad \left[ \boldsymbol { \Sigma } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] _ { i j } = \mathbb { E } \left[ V _ { i } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } V _ { j } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { \psi _ { R } , } } & { { \psi _ { G } , } } & { { \psi _ { B } } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c c } { { \psi _ { R } , } } & { { \psi _ { G } , } } & { { \psi _ { B } } } \end{array} \right) \exp ( - i \theta _ { a } \lambda _ { a } ^ { * } / 2 ) ,
T _ { n , 1 } = n \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \left( \frac 1 n \sum _ { j = 1 } ^ { n } b ^ { \top } U _ { j } \right) ^ { 2 } = n \| \overline { { U } } _ { n } \| ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \left( b ^ { \top } \frac { \overline { { U } } _ { n } } { \| \overline { { U } } _ { n } \| } \right) ^ { 2 } = n \| \overline { { U } } _ { n } \| ^ { 2 } ,
\beta ( T ) = 2 B ( T ) + 2 ( \gamma _ { 0 } - 1 ) T \frac { d B ( T ) } { d T } + \frac { ( \gamma _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } } T ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } B ( T ) } { d T ^ { 2 } } ,
\triangle ^ { ( 1 ) } ( \rho _ { , \mu } ) = ( \triangle ^ { ( 0 ) } \rho ) _ { , \mu } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \triangle ^ { ( 1 ) } ( \epsilon _ { \mu \nu } \phi ^ { , \nu } ) = \epsilon _ { \mu \nu } ( \triangle ^ { ( 0 ) } \phi ) ^ { , \nu } ~ ~ ~ .
{ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } h } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } + \omega _ { p } ^ { 2 } h + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } \omega _ { p ^ { \prime } } ^ { 2 } 3 h ^ { 3 } = 0 ,
B _ { 2 } = I _ { 2 0 } ( q , p ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d y ( 1 - y ) ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x ( y ^ { \frac 1 2 } - 1 ) x ^ { - \frac 1 2 } = 4 ( - 1 + \log 2 ) \; .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { T \hat { G } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { T \hat { G } } ^ { 1 } ( T \mathbf { v } ) ) ) } & { = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { T \hat { G } } ^ { 2 } ( T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \\ & { = p _ { \mathbf { z } } ( T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \\ & { = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ T _ { 2 } , T _ { 3 } ] } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } ( t ) \, \mathrm { d } v } & { + c _ { 0 } \int _ { T _ { 2 } } ^ { T _ { 3 } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\vert \nabla ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\vert ^ { 2 } \langle v \rangle ^ { - 3 } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t } \\ & { \le \frac { 1 } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } \int _ { T _ { 1 } } ^ { T _ { 2 } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } ( t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t + \int _ { T _ { 1 } } ^ { T _ { 3 } } R H S ( t ) \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | u _ { \mathrm { h o r } } | | _ { L _ { r } ^ { \infty } ( 1 , 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | ) } + | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } | | u _ { \mathrm { h o r } } ^ { \prime } | | _ { L _ { r } ^ { \infty } ( 1 , 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | ) } \leq } & { \: B _ { \mathrm { h o m } } , } \\ { | | u _ { \mathrm { i n f } } | | _ { L _ { r } ^ { \infty } ( 1 , 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | ) } + | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } | | u _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } | | _ { L _ { r } ^ { \infty } ( 1 , 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | ) } \leq } & { \: \frac { B _ { \mathrm { h o m } } ( | W | + \sqrt { | \omega | } \sqrt { | \widetilde { \omega } | } ) } { | \widetilde { \omega } | } , } \\ { | | u _ { \mathrm { i n f } } | | _ { L _ { r } ^ { \infty } ( 1 + z _ { 0 } ^ { - 1 } , \infty ) } + | | u _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } | | _ { L _ { r } ^ { \infty } ( 1 + z _ { 0 } ^ { - 1 } , \infty ) } \leq } & { \: B _ { \mathrm { h o m } } , } \\ { | | u _ { \mathrm { h o r } } | | _ { L _ { r } ^ { \infty } ( 1 + z _ { 0 } ^ { - 1 } , \infty ) } + | \omega | ^ { - 1 } | | u _ { \mathrm { h o r } } ^ { \prime } | | _ { L _ { r } ^ { \infty } ( 1 + z _ { 0 } ^ { - 1 } , \infty ) } \leq } & { \: \frac { B _ { \mathrm { h o m } } ( | W | + \sqrt { | \widetilde { \omega } | } \sqrt { | \omega | } ) } { | \omega | } . } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = P _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \langle \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } \rangle \langle \omega _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } ( \tau ) | \mathrm { ~ n ~ o ~ d ~ e ~ i ~ s ~ u ~ s ~ c ~ e ~ p ~ t ~ i ~ b ~ l ~ e ~ , ~ j ~ i ~ n ~ f ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ , ~ e ~ d ~ g ~ e ~ i ~ j ~ a ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \left[ \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } - \frac { \left( \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } ^ { L R } \right) ^ { 2 } } { \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } } \right] \beta _ { \mathbf { q } } ^ { L } } & { = \mathcal { N } \delta _ { \mathbf { q } , \mathbf { k } _ { \parallel } } \left( \eta ^ { L } + \frac { \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } ^ { L R } \eta _ { \mathbf { q } } ^ { R } } { \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } } \right) , } \\ { \left[ \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } - \frac { \left( \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } ^ { L R } \right) ^ { 2 } } { \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } } \right] \beta _ { \mathbf { q } } ^ { R } } & { = \mathcal { N } \delta _ { \mathbf { q } , \mathbf { k } _ { \parallel } } \left( \eta ^ { R } + \frac { \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } ^ { L R } \eta _ { \mathbf { q } } ^ { L } } { \Delta - \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V ( \tilde { \Phi } , \Phi ) } \\ { \leq } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { \tilde { \Phi } } \right] - H \left[ \tilde { \Phi } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { + } & { V ( \breve { \tilde { \Phi } } , \breve { \Phi } ) } \\ { + } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { \Phi } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { d } _ { h } ^ { ( 0 , 1 ) [ 0 ] } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \qquad h = 0 } \\ { \Gamma ( h ) \Big ( \frac { 1 } { 2 } - ( - 1 ) ^ { h } \frac 1 { 3 6 } - \frac { 1 } { 2 ^ { h + 1 } } \big ( \frac 2 3 h + \frac 4 9 \big ) - \frac { 1 } { 3 ^ { h } } \frac 1 4 \Big ) } & { \qquad h > 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\delta \mathbf { b } ^ { e } = \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ } \operatorname* { m i n } _ { \delta \mathbf { b } } \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { S } ( \mathbf { m } ) \delta \mathbf { b } - \delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \mu } { 2 } \| \delta \mathbf { b } \| _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { { \cal E } [ ( 1 - \delta ) I _ { 0 , n } ( \lambda ) - I _ { B , n } ( \lambda ) + \delta C ] } & { { } = } & { 0 } \\ { { \cal V } [ ( 1 - \delta ) I _ { 0 , n } ( \lambda ) - I _ { B , n } ( \lambda ) + \delta C ] } & { { } = } & { ( 1 - \delta ) ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sigma _ { B } ^ { 2 } } \end{array}