harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\bar { \mu } _ { \mathrm { a } } = \left[ \begin{array} { c c c } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { a } } } & { - i \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { a } } } & { 0 } \\ { i \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { a } } } & { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { a } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , \quad \bar { \mu } _ { \mathrm { b } } = \left[ \begin{array} { c c c } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { b } } } & { i \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { b } } } & { 0 } \\ { - i \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { b } } } & { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { b } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { { \scriptstyle O ( 1 ) : } } & { { } \, { \scriptstyle P \bigg [ \frac { 1 } { 2 } b ^ { ( 0 ) } \bigg ] = 0 , } } \\ { { \scriptstyle O ( \epsilon ) : } } & { { } \, { \scriptstyle P \bigg [ \frac { 1 } { 2 } b ^ { ( 1 ) } + g \tilde { \eta } ^ { ( 1 ) } - b ^ { ( 0 ) } H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] - \tau ^ { ( 0 ) } \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 1 ) } \bigg ] = 0 , } } \\ { { \scriptstyle O ( \epsilon ^ { 2 } ) : } } & { { } \, { \scriptstyle P \bigg [ \frac { 1 } { 2 } b ^ { ( 2 ) } + g \tilde { \eta } ^ { ( 2 ) } - b ^ { ( 0 ) } H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } \big ] - \tau ^ { ( 0 ) } \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 2 ) } - b ^ { ( 1 ) } H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] - \tau ^ { ( 1 ) } \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 1 ) } } } \end{array}
\epsilon _ { \nu } = \int d ^ { 3 } { \bf r } ~ \phi _ { \nu } ^ { \ast } ( { \bf r } ) \left( \frac { { \bf p } ^ { 2 } } { 2 m } - V _ { C } ( { \bf r } ) \right) \phi _ { \nu } ( { \bf r } ) - \frac { q ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \sum _ { j \neq i } \frac { 1 } { R _ { i j } } - \frac { q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \sum _ { j \neq i } \frac { { \bf R } _ { i j } \cdot { \bf q } _ { \nu \nu } \cdot { \bf R } _ { i j } } { R _ { i j } ^ { 5 } } + \dots \, ,
t _ { \rho } = m _ { B } | \vec { p } _ { \rho } | \left[ ( C _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { N _ { c } } C _ { 2 } ^ { \prime } ) f _ { \rho } F _ { 1 } ( m _ { \rho } ^ { 2 } ) + ( C _ { 2 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { N _ { c } } C _ { 1 } ^ { \prime } ) f _ { K } A _ { 0 } ( m _ { K } ^ { 2 } ) \right] \ .
\textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ( \textbf { x } ^ { * } ) = \left( \begin{array} { l } { k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { 1 } ) ; ~ . . . ~ ; ~ k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { M } ) ; ~ \frac { \mathrm { d } k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } _ { 1 } } ; ~ . . . ~ ; ~ \frac { \mathrm { d } k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { M _ { g } } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } _ { M _ { g } } } ; ~ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } } ; ~ . . . ~ ; ~ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } k ( \textbf { x } ^ { * } , \textbf { x } _ { M _ { H } } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } _ { M _ { H } } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { [ 0 , 2 \pi ] ^ { 2 } } \left\vert \sum _ { q \in \left( \frac { L k _ { F } } { 2 \pi } P \right) \cap \mathbb { Z } ^ { 2 } } q ^ { \mu } e ^ { i q u } \right\vert \, \textnormal { d } u } & { \leq C s N ^ { 1 / 2 } ( \log N ) ^ { 2 } , } \\ { \int _ { [ 0 , 2 \pi ] ^ { 2 } } \left\vert \sum _ { q \in \left( \frac { L k _ { F } } { 2 \pi } P \right) \cap \mathbb { Z } ^ { 2 } } q ^ { \mu } q ^ { \nu } e ^ { i q u } \right\vert \, \textnormal { d } u } & { \leq C s N ( \log N ) ^ { 3 } } \end{array}
\Delta \mathcal { H } _ { \mathrm { B A } } ( \mathbf { q } , \mathbf { p } ) = \mathcal { H } _ { \mathrm { B } } ( \mathbf { q } , \mathbf { p } ) - \mathcal { H } _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { q } , \mathbf { p } ) = - \Delta \mathcal { H } _ { \mathrm { A B } } ( \mathbf { q } , \mathbf { p } )
\begin{array} { r c l } { { \displaystyle V ( \rho ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { G } \rho ^ { 2 } - 4 i \int _ { 0 } ^ { \rho } s d s \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \left[ \frac { 1 } { p ^ { 2 } - s ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 2 } R \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 } R ^ { \mu \nu } p _ { \mu } p _ { \nu } \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + 2 i \int _ { 0 } ^ { \rho } s d s \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \left[ \frac { 2 } { p ^ { 2 } - s ^ { 2 } } - \left( \frac { 2 } { 3 } - \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } \right) R \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 4 } { 3 } R ^ { \mu \nu } p _ { \mu } p _ { \nu } \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { G } \rho ^ { 2 } + 2 i \left( \frac { 1 } { 6 } - \frac { 2 } { 3 } + \xi _ { 1 } + \xi _ { 2 } \right) R \int _ { 0 } ^ { \rho } s d s \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + { \cal O } \left( \frac { 1 } { N } \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C _ { \mathrm { c } } ^ { e I } } = \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \int \Gamma _ { \mathrm { L D O S } } ^ { T } ( \mu ^ { \mathrm { e f f } } , \mathbf { r } ) \, \frac { \partial \mu _ { \mathrm { c } , e } ^ { e I } ( \mathbf { r } ) } { \partial N } \, \mathrm { d } \mathbf { r } - \sum _ { i } \frac { \alpha _ { i } \, t _ { i } } { e ^ { 2 } } \int \Gamma _ { \mathrm { L D O S } , i } ^ { T } ( \mu _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } , \mathbf { r } ) \, \frac { \partial \mu _ { \mathrm { c } , i } ^ { e I } ( \mathbf { r } ) } { \partial N _ { i } } \, \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\langle T _ { i n t } ^ { \mu \nu } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { \mu \nu } { \cal { G } } ^ { 1 1 2 2 } ( x , x , x , x ) + { \cal { G } } ^ { 1 2 1 1 } ( x , x , x , x ) \ .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { x _ { i } ( t ) = P _ { i } \sin \big ( \Omega t / n \big ) + X _ { i } \cos \big ( \Omega t / n \big ) , } \\ { p _ { i } ( t ) = P _ { i } \cos \big ( \Omega t / n \big ) - X _ { i } \sin \big ( \Omega t / n \big ) . } \end{array} \right. } \end{array}
( 3 6 ) \begin{array} { l l } { { C _ { 6 } < O _ { 6 } > \, = \, 6 \pi ^ { 3 } \alpha _ { s } \{ < ( { \bar { u } } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \lambda _ { \alpha } u - { \bar { d } } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \lambda _ { \alpha } d ) ^ { 2 } > } } \\ { { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; + \displaystyle { \frac { 2 } { 9 } < ( { \bar { u } } \gamma ^ { \mu } \lambda _ { \alpha } u + { \bar { d } } \gamma ^ { \mu } \lambda _ { \alpha } d ) \sum _ { u , d , s } { \bar { \psi } } \gamma _ { \mu } \lambda _ { \alpha } \psi > \} } . } } \end{array}
\sin ( 2 \beta ) = - \mathrm { I m } \left( { \frac { M _ { 1 2 } ^ { * } } { | M _ { 1 2 } | } } { \frac { V _ { c b } ^ { L } V _ { c s } ^ { L * } } { V _ { c b } ^ { L * } V _ { c s } ^ { L } } } \right) .
\langle O \rangle = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \sigma } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \tau } } O _ { \sigma _ { i } \tau _ { j } } \tilde { p } _ { \sigma _ { i } , \tau _ { j } } ^ { - 1 } \exp [ - \beta ( E _ { \sigma _ { i } } + E _ { \tau _ { j } } - \epsilon V q _ { \sigma _ { i } \tau _ { j } } ) ] } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \sigma } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \tau } } \tilde { p } _ { \sigma _ { i } , \tau _ { j } } ^ { - 1 } \exp [ - \beta ( E _ { \sigma _ { i } } + E _ { \tau _ { j } } - \epsilon V q _ { \sigma _ { i } \tau _ { j } } ) ] } .
D _ { d i a g } = \left[ \begin{array} { l l l } { { \overline { { { \varOmega } } } _ { 1 1 } \varOmega _ { 1 1 } } } & { { \overline { { { \varOmega } } } _ { 2 1 } \varOmega _ { 2 1 } } } & { { \overline { { { \varOmega } } } _ { 3 1 } \varOmega _ { 3 1 } } } \\ { { \overline { { { \varOmega } } } _ { 1 2 } \varOmega _ { 1 2 } } } & { { \overline { { { \varOmega } } } _ { 2 2 } \varOmega _ { 2 2 } } } & { { \overline { { { \varOmega } } } _ { 3 2 } \varOmega _ { 3 2 } } } \\ { { ( \overline { { { \varOmega } } } _ { 1 3 } \varOmega _ { 1 2 } + \overline { { { \varOmega } } } _ { 1 2 } \varOmega _ { 1 3 } ) / 2 } } & { { ( \overline { { { \varOmega } } } _ { 2 3 } \varOmega _ { 2 2 } + \overline { { { \varOmega } } } _ { 2 2 } \varOmega _ { 2 3 } ) / 2 } } & { { ( \overline { { { \varOmega } } } _ { 3 3 } \varOmega _ { 3 2 } + \overline { { { \varOmega } } } _ { 3 2 } \varOmega _ { 3 3 } ) / 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { C _ { l _ { 1 } } ( t ) } & { { } = } & { 2 \mathcal { N } ^ { 2 } \left[ \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 2 } ^ { \left( n \right) * } \right| + \left| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n + 1 } \gamma _ { n } ^ { * } A _ { 1 2 } ^ { \left( n + 1 \right) } A _ { 2 3 } ^ { \left( n \right) * } \right| \right. } \end{array}
S = \frac { - 1 } { 1 6 \pi G _ { D } } \int _ { M _ { D } } d ^ { D } z \sqrt { G } R _ { D } - f ^ { 4 } \int _ { M _ { 4 } } d ^ { 4 } x \sqrt { g } G _ { M N } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } Y ^ { M } \partial _ { \nu } Y ^ { N } ,
\begin{array} { r l } { { { \mathcal { F } } ^ { \prime \prime } } ( u ) } & { ( \delta u , \delta v ) = \langle { \mathcal { J } } ^ { \prime \prime } ( y ( u ) ) y ^ { \prime } ( u ) \delta u , y ^ { \prime } ( u ) \delta v \rangle _ { W ^ { \prime } , W } } \\ & { + \langle - { \mathcal { E } } _ { y } ^ { - * } ( y ( u ) , u ) { \mathcal { J } } ^ { \prime } ( y ( u ) ) , { \mathcal { E } } _ { y y } ( y ( u ) , u ) ( y ^ { \prime } ( u ) \delta u , y ^ { \prime } ( u ) \delta v ) \rangle _ { Z , Z ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) h \rVert _ { H _ { x } ^ { s } } ^ { 2 } } & { \le _ { s } | \mathfrak { b } | _ { m , H _ { x } ^ { s + 2 } , 0 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { T } } ( \underline { { g } } ( x ) \underline { { h } } _ { m } ( x ) ) ^ { 2 } d x + | \mathfrak { b } | _ { m , H _ { x } ^ { 2 } , 0 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { T } } ( \underline { { g } } ( x ) \underline { { h } } _ { s + m } ( x ) ) ^ { 2 } d x } \\ & { \le C \left( | \mathfrak { b } | _ { m , H _ { x } ^ { s + 2 } , 0 } ^ { 2 } \rVert h \rVert _ { H _ { x } ^ { m } } ^ { 2 } + | \mathfrak { b } | _ { m , H _ { x } ^ { 2 } , 0 } ^ { 2 } \rVert h \rVert _ { H _ { x } ^ { s + m } } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \theta , \phi , \chi | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \sqrt { \frac { ( J + m ) ! ( J - m ) ! ( J + \kappa ) ! ( J - \kappa ) ! ( 2 J + 1 ) } { 8 \pi ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
S _ { h } = \int \! \! d ^ { 2 } \xi \left\{ \sigma \sqrt { g } - \frac { 1 1 } { 4 8 \pi } ( \partial _ { a } \log \sqrt { g } ) ^ { 2 } - \beta \sqrt { g } ( \partial _ { a } t _ { \mu \nu } ) ^ { 2 } + \ldots \right\} \, ,
\begin{array} { r l r } { B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { { } = } & { \sum _ { \mu \in \{ x , y , z \} } P _ { \mu } A _ { \mathrm { ~ W ~ } } P _ { \mu } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } P _ { \mu } \overset \leftrightarrow { \Lambda } ( A _ { \mathrm { ~ W ~ } } \overset \leftrightarrow { \Lambda } P _ { \mu } ) , } \end{array}
\mathbf { G } ^ { ( - ) } ( z ) = \mathbf { W } ^ { ( - ) } ( z ) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \frac { { \beta } h _ { 0 } e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x ^ { 2 } } | x | ^ { 2 { \beta } } } { s _ { * } \varphi _ { 3 } ( z ) } } \\ { \frac { s _ { * } | x | ^ { - 2 { \beta } } } { h _ { 0 } e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x ^ { 2 } } \varphi _ { 3 } ( z ) } } & { 0 } \end{array} \right) \mathbf { W } ^ { ( - ) } ( z ) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r } { \mathrm { r e l . p e r f . } ( f ( x _ { M } , y ) ) = \frac { f ( x _ { M } ) - \mathrm { w o r s t } ( f ( x _ { k } ) , k ) } { \mathrm { b e s t } ( f ( x _ { k } ) , k ) - \mathrm { w o r s t } ( f ( x _ { k } ) , k ) } \ , } \end{array}
V ( M _ { 1 } , M _ { 2 } ) = \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \, M _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \, M _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \mathrm { T r } \, M _ { 1 } ^ { 2 } \, \mathrm { T r } \, M _ { 2 } ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { L y ^ { \prime } } & { = L y ^ { 0 } \left[ \left( a ^ { L y } + b ^ { L y } ( E _ { r } - E _ { 0 } ^ { L y } ) \right) F _ { D } + ( 1 - F _ { D } ) \right] } \\ { Q y ^ { \prime } } & { = Q y ^ { 0 } \left[ \left( a ^ { Q y } + b ^ { Q y } ( E _ { r } - E _ { 0 } ^ { Q y } ) \right) F _ { D } + ( 1 - F _ { D } ) \right] } \end{array}
\mathrm { V a r } [ x ( t | x _ { 0 } ) ] = 2 x _ { 0 } t ^ { \gamma _ { s } } + 3 a \left( \frac { b } { 3 } - x _ { 0 } \right) t ^ { 2 \gamma _ { s } } , \quad t < t _ { c } = 1 / a ^ { \frac { 1 } { \gamma _ { s } } } .
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \boldsymbol { u } _ { l } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { { } = \mathcal { P } _ { l } \{ \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) \} } & { } & { { } = \sum _ { | m | \le m _ { x } } \: \: \sum _ { | n | \le 1 } } & { } & { { } \boldsymbol { \hat { u } } ( y ) \: e ^ { i ( m x + 2 n z ) } , } \\ { \boldsymbol { u } _ { s } ( \boldsymbol { x } , t ) } & { { } = \mathcal { P } _ { s } \{ \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } , t ) \} } & { } & { { } = \sum _ { | m | \le m _ { x } } \sum _ { 2 \le | n | \le n _ { z } } } & { } & { { } \boldsymbol { \hat { u } } ( y ) \: e ^ { i ( m x + 2 n z ) } . } \end{array}
f _ { k } ( 0 , y ) = u _ { \mathrm { i n } , k } ( y ) \quad \partial _ { t } f _ { k } ( 0 , y ) = i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( y ) \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { k } ( 0 , y ) + u _ { t , \mathrm { i n } , k } ( y ) = i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( y ) \Phi _ { \mathrm { i n } , k } ( y ) + u _ { t , \mathrm { i n } , k } ( y )
u ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { 6 } [ G ( x - 1 , \beta , z - \theta ) + G ( x - 1 , \beta , z + \theta ) + 4 G ( x - 1 , \beta , z ) ] , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 2 \leq x < 0 . 4 , } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 6 \leq x \leq 0 . 8 , } \\ { 1 - | 1 0 ( x - 1 . 1 ) | , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 . 0 \leq x \leq 1 . 2 , } \\ { \frac { 1 } { 6 } [ F ( x - 1 , \alpha , a - \theta ) + F ( x - 1 , \alpha , a + \theta ) + 4 F ( x - 1 , \alpha , a ) ] , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 . 4 \leq x < 1 . 6 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \langle M ( u ) \rangle _ { n } \big ] } & { \sim w _ { n } u ^ { T } u - \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { a ^ { 2 } ( \beta + 1 ) ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } ( k + 1 ) ^ { - 2 a ( \beta + 1 ) } ( C _ { 1 } k ^ { 2 a ( \beta + 1 ) } + C _ { 2 } k ^ { 1 + 2 \beta } ) u ^ { T } u } \\ & { \sim w _ { n } u ^ { T } u - ( C _ { 1 } n ^ { - 1 } + C _ { 2 } n ^ { - 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } ) u ^ { T } u . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \alpha _ { n } \left( { \displaystyle \bigcup _ { k \in \mathbb { N } ^ { + } } } H _ { k } \right) = { \displaystyle \sum _ { k \in \mathbb { N } ^ { + } } } \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \alpha _ { n } \left( H _ { k } \right) = { \displaystyle \sum _ { k \in \mathbb { N } ^ { + } } } \alpha \left( H _ { k } \right) = \alpha \left( { \displaystyle \bigcup _ { k \in \mathbb { N } ^ { + } } } H _ { k } \right) .
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathrm { c o h } } ( \Lambda _ { p } ^ { d } ) = \operatorname* { m a x } \left\lbrace 0 , \log _ { 2 } { d } \right. } \\ & { + \left( 1 - p \frac { d ^ { 2 } - 1 } { d ^ { 2 } } \right) \log _ { 2 } { \left( 1 - p \frac { d ^ { 2 } - 1 } { d ^ { 2 } } \right) } } \\ & { \left. + p \frac { d ^ { 2 } - 1 } { d ^ { 2 } } \log _ { 2 } { \left( \frac { p } { d ^ { 2 } } \right) } \right\rbrace , } \end{array}
G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, { \frac { z } { w } } \right) = w ^ { 1 - a _ { p } } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( w - 1 ) ^ { h } } { h ! } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 1 } , \dots , a _ { p - 1 } , a _ { p } - h } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad n
\begin{array} { r l } { \mathbf { 0 } = \nabla _ { \theta } R _ { \infty } ^ { p } ( \hat { \theta } ^ { \infty } ) } & { = \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( ( 1 - p ) \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) - p \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime } } ( \langle - Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) \right) Y X \right] } \\ & { = ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) Y X \right] - p \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime } } ( \langle - Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) Y X \right] } \\ & { = ( 1 - 2 p ) \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { \infty ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { \infty } \rangle ) Y X \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { 0 } ^ { \eta } ( \Delta ) } & { = \left[ 2 \mathcal Q _ { 1 } ( \Delta ) \right] ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \left[ 2 \lambda ( \Delta ) t + t ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \, d t } \\ & { \qquad + \left[ 4 \mathcal Q _ { 1 } ( \Delta ) \right] ^ { - 1 } c ( \Delta ) \int _ { 0 } ^ { \eta } \frac { t ^ { 3 } } { \left[ 2 \lambda ( \Delta ) t + t ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \, d t } \\ & { \qquad + \left[ 4 \mathcal Q _ { 1 } ( \Delta ) \right] ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \frac { \rho ( t , \Delta ) t ^ { 4 } } { \left[ 2 \lambda ( \Delta ) t + t ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \, d t } \\ & { \qquad + \left[ 2 \mathcal Q _ { 1 } ( \Delta ) \right] ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \left[ 2 \lambda ( \Delta ) t + t ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } a _ { m } K ( t , \Delta ) ^ { m } \, d t } \\ & { = : L _ { 1 } ( \Delta ) + L _ { 2 } ( \Delta ) + L _ { 3 } ( \Delta ) + L _ { 4 } ( \Delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial G } & { = \frac { \partial \eta } { \eta } - \varphi ^ { \prime } \partial u = 0 ; } \\ { \partial _ { J } G } & { = \frac { \partial _ { J } \eta } { \eta } - \varphi ^ { \prime } \partial _ { J } u = 0 ; } \\ { \partial \partial _ { J } G } & { = \frac { \partial \partial _ { J } \eta } { \eta } - ( ( \varphi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \varphi ^ { \prime \prime } ) \partial u \wedge \partial _ { J } u - \varphi ^ { \prime } \partial \partial _ { J } u . } \end{array}
\left( i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } - q \phi \right) \psi = \gamma ^ { 0 } \left[ c { \boldsymbol { \gamma } } \cdot { ( { \hat { \mathbf { p } } } - q \mathbf { A } ) } - m c ^ { 2 } \right] \psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[ \gamma ^ { \mu } ( { \hat { P } } _ { \mu } - q A _ { \mu } ) - m c ^ { 2 } \right] \psi = 0
\begin{array} { r l } { \lambda \| A ^ { \frac { 1 } { 2 } } Z \| _ { N _ { 0 } } ^ { 2 } } & { = \left< \lambda Z , A Z \right> _ { N _ { 0 } } = - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } \left< B _ { k } A Z , A Z \right> _ { N _ { 0 } } + \left< \Xi Z , A Z \right> _ { N _ { 0 } } } \\ & { = - \gamma _ { 1 } \left< Z , A Z \right> _ { N _ { 0 } } + \gamma _ { 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< B _ { k } A Z , A Z \right> _ { N _ { 0 } } - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } \left< B _ { k } A Z , A Z \right> _ { N _ { 0 } } } \\ & { \phantom { = } \; + \left< A ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Xi A ^ { - \frac { 1 } { 2 } } A ^ { \frac { 1 } { 2 } } Z , A ^ { \frac { 1 } { 2 } } Z \right> _ { N _ { 0 } } } \\ & { = - \gamma _ { 1 } \| A ^ { \frac { 1 } { 2 } } Z \| _ { N _ { 0 } } ^ { 2 } + \sum _ { k = 2 } ^ { N _ { 0 } } ( \gamma _ { 1 } - \gamma _ { k } ) \left< B _ { k } A Z , A Z \right> _ { N _ { 0 } } + \left< A ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Xi A ^ { - \frac { 1 } { 2 } } A ^ { \frac { 1 } { 2 } } Z , A ^ { \frac { 1 } { 2 } } Z \right> _ { N _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { H _ { 1 } ( Q B _ { n } ; \mathbb { Z } ) } \\ & { \cong } & { \left< t _ { 1 , j } \ ( 2 \leq j \leq \frac { n } { 2 } ) , \ t _ { 1 , n - 1 } , \ \delta _ { 0 } \middle | t _ { 1 , n - 1 } ^ { \frac { n } { 2 } } \delta _ { 0 } ^ { - \frac { n ( n - 2 ) } { 2 } } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left< t _ { 1 , j } \ ( 2 \leq j \leq \frac { n } { 2 } ) , \ t _ { 1 , n - 1 } , \ \delta _ { 0 } , \ X \middle | ( t _ { 1 , n - 1 } \delta _ { 0 } ^ { - n + 2 } ) ^ { \frac { n } { 2 } } = 1 , \ X = t _ { 1 , n - 1 } \delta _ { 0 } ^ { - n + 2 } \right> } \\ & { \cong } & { \left< t _ { 1 , j } \ ( 2 \leq j \leq \frac { n } { 2 } ) , \ \delta _ { 0 } , \ X \middle | X ^ { \frac { n } { 2 } } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \mathbb { Z } ^ { \frac { n } { 2 } } \oplus \mathbb { Z } _ { \frac { n } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( \eta , \eta ^ { \prime } ) [ ( a + a ^ { \prime } ) ( v + v ^ { \prime } ) ^ { m } - a v ^ { m } - a ^ { \prime } v ^ { m } ] } & { \lesssim C _ { m } K ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) ( a v ^ { m - 1 } v ^ { \prime } + a v ^ { m } + a ^ { \prime } v ^ { m - 1 } v + a ^ { \prime } v ^ { m } ) } \\ & { \lesssim K _ { 0 } C _ { m } ( v ^ { - \alpha } v ^ { \beta } + v ^ { - \alpha } v ^ { \beta } ) ( a v ^ { m - 1 } v ^ { \prime } + a v ^ { m } + a ^ { \prime } v ^ { m - 1 } v + a ^ { \prime } v ^ { m } ) . } \end{array}
{ \pmb \sigma } _ { T } ( t ) = \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \sum _ { \bf K } { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } \omega _ { \bf K } \left( { \bf n } _ { \bf K } ^ { ( \mu ) } + \frac { 1 } { 2 } \right)
U ( { \cal M } _ { \nu } { \cal M } _ { \nu } ^ { \dagger } ) U ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { l l l } { { | m _ { 1 } | ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { | m _ { 2 } | ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { | m _ { 3 } | ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { 0 } } & { { = } } & { { a ^ { \prime \prime } + { \displaystyle \frac { \hat { \Lambda } } { \hat { d } - 1 } } a + { \displaystyle \frac { 2 \hat { \chi } } { \hat { d } - 2 } } a \sum _ { n } T _ { n } \delta ( y - y _ { n } ) \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { = } } & { { ( a ^ { \prime } ) ^ { 2 } + { \displaystyle \frac { \hat { \Lambda } } { \hat { d } - 1 } } a ^ { 2 } - { \displaystyle \frac { \Lambda } { d - 1 } } \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \Vec { D } ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } = K _ { 2 } K K _ { 1 } \vec { D } ^ { ( \alpha ) } \; , \quad \mathrm { ~ g ~ i ~ v ~ e ~ n ~ t ~ h ~ a ~ t ~ w ~ e ~ c ~ h ~ o ~ s ~ e ~ } K _ { 1 } = S ^ { - 1 } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } K _ { 2 } = S K ^ { - 1 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { { } = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ 0 , L ] } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { 0 } } & { { } = - \frac { \omega } { 2 D } } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { L } } & { { } = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { { } = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ 0 , L ] } \end{array}
\frac { \hat { \partial } } { \partial x } \mathbf { f } _ { i } = \mathbf { A } _ { i } \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial x } , \ \frac { \hat { \partial } } { \partial y } \mathbf { g } _ { i } = \mathbf { B } _ { i } \frac { \partial { \mathbf { \hat { U } } _ { i } } } { \partial y } ,