harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { t ^ { 3 } = } & { ( 3 6 ( c _ { 1 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) - 2 c _ { 2 } ( 2 - \alpha ) ) ) ^ { 3 } } \\ { = } & { 3 6 ^ { 3 } ( ( c _ { 1 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) - 2 c _ { 2 } ( 2 - \alpha ) ) ) ^ { 3 } } \\ { = } & { 3 6 ^ { 3 } ( c _ { 1 } ^ { 6 } ( 3 - \alpha ) ^ { 3 } - 6 c _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) + 6 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } - 8 c _ { 2 } ^ { 3 } ( 2 - \alpha ) ^ { 3 } ) } \\ { 4 t ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) = } & { 4 \cdot 3 6 ^ { 3 } ( c _ { 1 } ^ { 6 } ( 3 - \alpha ) ^ { 4 } - 6 c _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 3 } ( 2 - \alpha ) + 6 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } - 8 c _ { 2 } ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ^ { 3 } } \\ { s ^ { 2 } = } & { ( 4 3 2 ( c _ { 1 } ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } - 3 c _ { 1 } c _ { 2 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) + 3 6 c _ { 3 } ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) ) ) ^ { 2 } ) } \\ { = } & { ( 1 2 \cdot 3 6 ) ^ { 2 } ( c _ { 1 } ^ { 6 } ( 3 - \alpha ) ^ { 4 } + 9 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } + 3 6 ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } + 6 c _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 3 } ( 2 - \alpha ) } \\ & { + 7 2 c _ { 1 } ^ { 3 } c _ { 3 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) + 2 1 6 c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F [ \rho ^ { f } ] _ { i j } + F [ \rho ^ { i } ] _ { i j } } & { { } = } & { 2 F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { k l , m n } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } \Delta D _ { k l } \Delta D _ { m n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \| b _ { T } \| _ { B _ { q } ^ { t } } ^ { q } \right) } & { = \mathbb { E } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { j q ( t - \frac { d } { q } - s + \frac { d } { p } ) } \sum _ { m = 1 } ^ { ( 2 ^ { d } - 1 ) v ( j ) } | X _ { j , m } | ^ { q } \right) + \mathbb { E } \left( | X _ { 0 , { 2 ^ { d } } } | ^ { q } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { j q ( t - \frac { d } { q } - s + \frac { d } { p } ) } \mathbb { E } \left( ( 2 ^ { d } - 1 ) v ( j ) \right) \mathbb { E } \left( | X _ { j , m } | ^ { q } \right) + \mathbb { E } \left( | X _ { 0 , { 2 ^ { d } } } | ^ { q } \right) } \\ & { \le 2 ^ { d } \mathbb { E } \left( | X _ { 1 , 1 } | ^ { q } \right) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { j q ( t - \frac { d } { q } - s + \frac { d } { p } + \frac { \gg } { q } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + 2 \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { { \mathrm { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \\ & { \qquad + a \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - a \left[ 2 \epsilon + C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 2 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad - a C \left[ C _ { \epsilon } \left( \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } { \mathrm { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } + 1 \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad - a ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { L = \frac 1 2 M \dot { \bf y } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac 1 2 \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \dot { \bf x } _ { N } ^ { 2 } + \frac 1 2 \sum _ { A = 2 } ^ { 4 } \sum _ { N = 2 } ^ { n } \lambda _ { A N } \left[ ( { \bf x } _ { A } - { \bf x } _ { 1 } , { \bf x } _ { N } - { \bf x } _ { 1 } ) - a _ { A N } \right] , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } Y _ { N } ^ { M } Y _ { a } ^ { b } Y _ { n } ^ { m } \, \sin \theta \, \mathrm { d } \phi \mathrm { d } \theta = \sqrt { \frac { ( 2 a + 1 ) ( 2 n + 1 ) } { 4 \pi ( 2 \mathrm { N } + 1 ) } } \left[ \begin{array} { l l l } { a } & { n } & { N } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { a } & { n } & { N } \\ { b } & { m } & { M } \end{array} \right] .
\sigma ( q _ { 1 } \bar { q } _ { 2 } \rightarrow W ) = \frac { \pi \sqrt { 2 } } { 3 } G _ { F } m _ { W } ^ { 2 } | V _ { 1 2 } | ^ { 2 } \delta ( x _ { 1 } x _ { 2 } s - m _ { W } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } } { \partial g _ { 1 } ^ { R } } d g _ { 1 } ^ { R } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } } { \partial G _ { 1 } ^ { R } } d G _ { 1 } ^ { R } } & { = ( 1 - \frac { 1 } { 4 } M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } ) \left( \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } } { \partial g _ { 1 } ^ { L } } d g _ { 1 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } } { \partial G _ { 1 } ^ { L } } d G _ { 1 } ^ { L } \right) - \frac { M _ { 2 } ^ { R } } { 2 } \left( \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial g _ { 2 } ^ { L } } d g _ { 2 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial G _ { 2 } ^ { L } } d G _ { 2 } ^ { L } \right) , } \\ { \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } } { \partial g _ { 2 } ^ { R } } d g _ { 2 } ^ { R } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } } { \partial G _ { 2 } ^ { R } } d G _ { 2 } ^ { R } } & { = \frac { M _ { 1 } ^ { L } } { 2 } \left( \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } } { \partial g _ { 1 } ^ { L } } d g _ { 1 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } } { \partial G _ { 1 } ^ { L } } d G _ { 1 } ^ { L } \right) + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial g _ { 2 } ^ { L } } d g _ { 2 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial G _ { 2 } ^ { L } } d G _ { 2 } ^ { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \mu _ { t } ) } & { = K - 2 \left[ ( 1 - t ) \sum _ { k , k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { 0 } } \, \hat { x } _ { k } \cdot x _ { k ^ { \prime } } ^ { 1 } \gamma _ { k , k ^ { \prime } } + t \sum _ { k , k ^ { \prime } = 1 } ^ { N _ { 0 } } \hat { x } _ { k } \cdot x _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \, \gamma _ { k , k ^ { \prime } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta { { A _ { \, q r t } } } } & { = \sqrt { \left( \frac { a } { \sqrt { I } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { b } { I } \right) ^ { 2 } + \left( c I ^ { e } \right) ^ { 2 } + d ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { \left( \Delta { { A _ { \, s t a t } } } \right) ^ { 2 } + \left( \Delta { { A _ { \, B C M } } } \right) ^ { 2 } + \left( \Delta { { A _ { \, t g t } } } \right) ^ { 2 } + \left( \Delta { { A _ { \, e x c e s s } } } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { p } = 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } - \frac { c ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 \varepsilon ^ { 4 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ( \rho \mathbf u ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u \otimes \mathbf u ) + \nabla p ^ { \prime } + g z \nabla \rho - \mu \Delta \mathbf u = \boldsymbol { 0 } } \\ & { \frac { \partial ( \rho h ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u h ) + \frac { \partial ( \rho K ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u K ) - \frac { \partial p } { \partial t } + \rho g \mathbf u \cdot \widehat { \mathbf k } - \frac { \mu _ { a } } { P r } \Delta h = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( \boldsymbol C _ { { a } , { b } } \big ) _ { r , j } } & { : = Q _ { n } \big ( - \alpha \langle \nabla \cdot ( \chi _ { n , b } \boldsymbol \psi _ { j } ) , \chi _ { n , a } \xi _ { r } \rangle + \alpha \langle \chi _ { n , b } \boldsymbol \psi _ { j } \cdot \boldsymbol n , \chi _ { n , a } \xi _ { r } \rangle _ { \Gamma _ { \boldsymbol u } ^ { D } } \big ) \, , } \\ { \big ( \boldsymbol M _ { p _ { a } , p _ { b } } ^ { 1 , Q _ { h } } \big ) _ { r , s } } & { : = Q _ { n } \big ( \langle c _ { 0 } \partial _ { t } \chi _ { n , a } \xi _ { s } , \chi _ { n , b } \xi _ { r } \rangle \big ) + \langle c _ { 0 } \chi _ { n , a } ( t _ { n - 1 } ^ { + } ) \xi _ { s } , \chi _ { n , b } ( t _ { n - 1 } ^ { + } ) \xi _ { r } \rangle \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \rho _ { 1 } } ^ { G } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { G } } & { { } = F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , e } + \omega F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , c } + \bar { \omega } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , c ^ { 2 } } + F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c ^ { 2 } , e } + \bar { \omega } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c ^ { 2 } , c } + \omega F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c ^ { 2 } , c ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle b _ { m } ( s ) b _ { n } ( \tau ) \rangle } & { = \langle \frac { 4 } { L _ { x } ^ { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \phi } _ { m } ( x ) \mathcal { N } ( x , s ) d x \right) \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \phi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) \mathcal { N } ( x ^ { \prime } , \tau ) d x ^ { \prime } \right) \rangle } \\ & { = \langle \frac { 4 } { L _ { x } ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \mathcal { N } ( x , s ) \mathcal { N } ( x ^ { \prime } , \tau ) \bar { \phi } _ { m } ( x ) \bar { \phi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) d x d x ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \frac { 4 } { L _ { x } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \langle \mathcal { N } ( x , s ) \mathcal { N } ( x ^ { \prime } , \tau ) \rangle \bar { \phi } _ { m } ( x ) \bar { \phi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) d x d x ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 2 \delta ( s - \tau ) } { L _ { x } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { L } \bar { \phi } _ { m } ( x ^ { \prime } ) \bar { \phi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 2 \delta ( s - \tau ) } { L _ { x } } \delta _ { m n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 2 } ( t ) } & { = \sum _ { \nu = 1 } ^ { 3 } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \alpha b _ { \nu } ^ { \dagger } b _ { \nu } ( b _ { \nu } ^ { \dagger } b _ { \nu } - 1 ) + a ^ { ( \nu ) } ( t ) ( b _ { \nu } + b _ { \nu } ^ { \dagger } ) \bigg ] } \\ & { \quad + g ( b _ { 1 } b _ { 2 } ^ { \dagger } + b _ { 2 } b _ { 3 } ^ { \dagger } + \mathrm { h . c . } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \rho } \mathrm { T r } \left( U \partial _ { \nu } U ^ { \dagger } U \partial _ { \lambda } U ^ { \dagger } U \partial _ { \rho } U ^ { \dagger } \right) \frac { \partial f } { \partial \alpha } \partial _ { \mu } \alpha \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { k } \| e ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq \left( 1 - \frac { \delta } { 2 } \right) \| e ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 ( 1 - \delta ) \delta } { n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 4 ( 1 - \delta ) \delta } { n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| u _ { \tau } ^ { k } - h _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 ( 1 - \delta ) } { \delta } \| u ^ { k } - h ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { ( 1 - \delta ) } { m n } \left( \frac { 4 R ^ { 2 } } { \delta } + \frac { 5 R _ { m } ^ { 2 } } { n } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta \omega _ { \mathrm { r t / p p } } ( | d | ) + \Delta \omega _ { \mathrm { r t / p p } } ( - | d | ) = - a ^ { \prime } \frac { ( | d | T _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } } { 2 g n _ { \mathrm { t } } } .
\begin{array} { r l } & { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } \right) + \| \tilde { u } _ { x x } \| ^ { 2 } + \varepsilon \| \tilde { v } _ { x x } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \underbrace { - \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \tilde { v } \tilde { u } _ { x } + \tilde { u } \tilde { v } _ { x } + \alpha \tilde { v } _ { x } + \beta \tilde { u } _ { x } + \beta _ { x } \tilde { u } \right) \, \tilde { u } _ { x x } \mathrm { d } x } _ { \equiv J _ { 1 } } \underbrace { - ( \alpha \beta _ { x } - \alpha ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } _ { x x } \mathrm { d } x } _ { \equiv J _ { 2 } } + \underbrace { 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { v } \tilde { v } _ { x } \tilde { v } _ { x x } \mathrm { d } x } _ { \equiv J _ { 3 } } } \\ & { + \underbrace { 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta \tilde { v } _ { x } \tilde { v } _ { x x } \mathrm { d } x } _ { \equiv J _ { 4 } } + \underbrace { 2 \varepsilon \beta _ { x } \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { v } \tilde { v } _ { x x } \mathrm { d } x } _ { \equiv J _ { 5 } } \underbrace { - \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } _ { x } \tilde { v } _ { x x } \mathrm { d } x } _ { \equiv J _ { 6 } } + \underbrace { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 \varepsilon \beta \beta _ { x } + \beta _ { t } ) \tilde { v } _ { x x } \mathrm { d } x } _ { \equiv J _ { 7 } } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \theta \rightarrow 0 } r ^ { \ast } = \frac { \left( d + 1 \right) ^ { 2 } \left( N - 2 \right) } { \left( \left( d - 1 \right) \mathcal { C } + d + 3 \right) N - 2 \left( d + 1 \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \| \varepsilon ^ { - H ( t _ { 0 } ) } } & { \left( X _ { d } ( t _ { 0 } + \varepsilon t , H ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) ) - X _ { d } ( t _ { 0 } + \varepsilon t , H ( t _ { 0 } ) ) \right) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq c _ { 2 } \varepsilon ^ { - H ( t _ { 0 } ) } \left| H ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) - H ( t _ { 0 } ) \right| . } \end{array}
\exp \left\{ \mathrm { ~ \cal { F } ~ } _ { A _ { 2 N - 1 } } ( t ; \hbar ) \right\} = \langle 0 | \exp \left\{ \sum _ { k \not \equiv 0 ~ m o d 2 N , ~ k \geq 1 } \frac { t _ { k } } { \hbar } J _ { k } \right\} g _ { 0 } | 0 \rangle ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } p \left( \boldsymbol { X } \right) } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \sum _ { y _ { i } ^ { t } , h _ { i } ^ { t } } P \left[ y _ { i } ^ { t } | h _ { i } ^ { t } \right] \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } + ( 1 - x _ { i } ^ { t } ) y _ { i } ^ { t } } \delta \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) \right] \right\} } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } , \boldsymbol { Y } } \int d \boldsymbol { H } P \left[ \boldsymbol { Y } | \boldsymbol { H } \right] \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } + ( 1 - x _ { i } ^ { t } ) y _ { i } ^ { t } } \delta \left( h _ { i } ^ { t } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } \right) \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { \mathrm { ~ t ~ w ~ i ~ s ~ t ~ } } = \frac { \partial ^ { 2 } U _ { \mathrm { ~ t ~ w ~ i ~ s ~ t ~ } } ( \beta ) } { \partial \beta ^ { 2 } } \bigg \rvert _ { \beta = 0 } \, . } \end{array}
( { \mathrm { x - c o m p o n e n t ~ o f ~ t . d . m . ~ } } a \rightarrow b ) = \langle \psi _ { b } | ( q x ) | \psi _ { a } \rangle = q \int \psi _ { b } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \, x \, \psi _ { a } ( \mathbf { r } ) \, d ^ { 3 } \mathbf { r }
\frac { \partial F _ { 3 } } { \partial t } = \sum _ { i } \left[ \left( \frac { \ddot { f } _ { 2 } } { c } - \frac { \dot { f } _ { 2 } ^ { 2 } } { c f _ { 2 } } - \frac { \dot { f } _ { 2 } \dot { c } } { c ^ { 2 } } \right) { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \bar { x } _ { i } ^ { 2 } - \frac { \dot { f } _ { 2 } } { 2 f _ { 2 } } \bar { x } _ { i } \bar { p } _ { i } \right] \, .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o v } ( X , Y ) = } & { \sigma _ { X Y } = \sum _ { ( x , y ) \in S } f ( x , y ) \left( x - \mu _ { X } \right) \left( y - \mu _ { Y } \right) } \\ { = } & { ( 0 ) ( 5 - 6 ) ( 8 - 8 . 5 ) + ( 0 . 4 ) ( 6 - 6 ) ( 8 - 8 . 5 ) + ( 0 . 1 ) ( 7 - 6 ) ( 8 - 8 . 5 ) + } \\ & { ( 0 . 3 ) ( 5 - 6 ) ( 9 - 8 . 5 ) + ( 0 ) ( 6 - 6 ) ( 9 - 8 . 5 ) + ( 0 . 2 ) ( 7 - 6 ) ( 9 - 8 . 5 ) } \\ { = } & { { - 0 . 1 } \; . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { ( \phi ( \pmb { x } ) + H ^ { \prime } ( u _ { h } ) , u _ { h t } ) } \\ { = } & { - ( f ( u _ { h } ) \pmb { s } _ { h } , \pmb { s } _ { h } ) - ( \pmb { q } _ { h } , \nabla p _ { h } ) + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { \pmb { q } } _ { h } \cdot \pmb { \nu } , p _ { h } ) _ { \partial K } - ( p _ { h } , \nabla \cdot \pmb { q } _ { h } ) + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { p } _ { h } , \pmb { \nu } \cdot \pmb { q } _ { h } ) _ { \partial K } } \\ { = } & { - ( f ( u _ { h } ) \pmb { s } _ { h } , \pmb { s } _ { h } ) - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \pmb { q } _ { h } \cdot \pmb { \nu } , p _ { h } ) _ { \partial K } + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { \pmb { q } } _ { h } \cdot \pmb { \nu } , p _ { h } ) _ { \partial K } + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { p } _ { h } , \pmb { \nu } \cdot \pmb { q } _ { h } ) _ { \partial K } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { \nu } \overline { { G } } ^ { ( \nu } _ { \mu ) } + \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \nabla _ { \nu } \nabla _ { \lambda } ( \sqrt { - g } P ^ { \lambda \nu } _ { \mu } ) + \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \nabla _ { \nu } ( \sqrt { - g } P ^ { \nu \lambda } _ { \rho } ) T ^ { \rho } _ { \lambda \mu } + \overline { { R } } _ { \mu \nu \lambda } ^ { \rho } P ^ { \nu \lambda } _ { \rho } \equiv 0 \, , } \end{array}
{ \frac { ( b + c ) ^ { 2 } } { b c } } t _ { a } ^ { 2 } + { \frac { ( c + a ) ^ { 2 } } { c a } } t _ { b } ^ { 2 } + { \frac { ( a + b ) ^ { 2 } } { a b } } t _ { c } ^ { 2 } = ( a + b + c ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { Y _ { i j } ^ { g } = \big \{ \phi : \big ( \phi ( \mathcal { I } _ { i } ) \big ) _ { \mathcal { I } _ { i } \in \Omega } \in \Upsilon ( L ) , \phi ( \mathcal { I } _ { i } ) > \phi ( \mathcal { I } _ { j } ) \big \} , } \\ & { Y _ { i j } ^ { l } = \big \{ \phi : \big ( \phi ( \mathcal { I } _ { i } ) \big ) _ { \mathcal { I } _ { i } \in \Omega } \in \Upsilon ( L ) , \phi ( \mathcal { I } _ { i } ) < \phi ( \mathcal { I } _ { j } ) \big \} , } \end{array}
f _ { n } ^ { \pm } = 1 \mp \beta n _ { n } \cos \theta _ { n } ^ { \pm } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad g _ { n } ^ { \pm } = \frac { 1 } { \eta _ { n } } \left( \cos \theta _ { n } ^ { \pm } \mp \beta n _ { n } \right) ,
F ( { \cal A } , G , q ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } F _ { k } ^ { ( \mathrm { c o v ) } } ( G ) \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - k { \cal A } v ( n ) } q ^ { k } = \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } F ^ { ( \mathrm { c o v ) } } ( G , \mathrm { e } ^ { - { \cal A } v ( n ) } q )
\begin{array} { r l r } & { } & { G _ { s } ( z ) = G _ { + } ( z ) + G _ { - } ( z ) = \frac { 1 } { z } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { m _ { k } ^ { s } } { z ^ { k + 1 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { z ^ { k + 1 } } \frac { 1 } { 2 } ( \langle x ^ { k } \rangle _ { + } + \langle x ^ { k } \rangle _ { - } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \langle x ^ { k } \rangle } { z ^ { k + 1 } } } \\ & { } & { G _ { d } ( z ) = G _ { + } ( z ) - G _ { - } ( z ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { m _ { k } ^ { d } } { z ^ { k + 1 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { z ^ { k + 1 } } \frac { 1 } { 2 } ( \langle x ^ { k } \rangle _ { + } - \langle x ^ { k } \rangle _ { - } ) } \end{array}
\begin{array} { l c l } { K _ { j } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { F ( t _ { j } , Y _ { j } ) , } \\ { K _ { j } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { F ( t _ { j } + \frac 1 2 { \Delta t } , Y _ { j } + \frac 1 2 { \Delta t } K _ { j } ^ { ( 1 ) } ) , } \\ { K _ { j } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { F ( t _ { j } + \frac 1 2 { \Delta t } , Y _ { j } + \frac 1 2 { \Delta t } K _ { j } ^ { ( 2 ) } ) , } \\ { K _ { j } ^ { ( 4 ) } } & { = } & { F ( t _ { j } + \Delta t , Y _ { j } + \Delta t K _ { j } ^ { ( 3 ) } ) , } \\ { Y _ { j + 1 } } & { = } & { Y _ { j } + \frac 1 6 { \Delta t } [ K _ { j } ^ { ( 1 ) } + 2 K _ { j } ^ { ( 2 ) } + 2 K _ { j } ^ { ( 3 ) } + K _ { j } ^ { ( 4 ) } ] , } \\ { t _ { j + 1 } } & { = } & { t _ { j } + \Delta t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 1 + \varsigma C \right) \circ R _ { \eta } \left( u \right) } & { \leq 1 + \varsigma a _ { \varepsilon } C \left( u \right) + \varsigma K _ { \varepsilon } \left( 1 + a _ { \varepsilon } \right) } \\ & { = a _ { \varepsilon } \left( 1 + \varsigma C \left( u \right) \right) + \bar { K } _ { \varepsilon } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { 1 1 } H \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } + \tau _ { 1 2 } U \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { h } } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ( H \mathbf { u } + U \mathbf { h } ) } \\ & { = - \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } \right) ( H \mathbf { u } + U \mathbf { h } ) + \mathbf { D } ( H \mathbf { u } + U \mathbf { h } ) } \\ & { = - \widetilde { \mathbf { D } } ( H \mathbf { u } + U \mathbf { h } ) + \mathbf { D } ( H \mathbf { u } + U \mathbf { h } ) , } \end{array}
\partial _ { \rho } ( e ^ { \frac i 2 U ( y ) \ln \rho } \Phi _ { + } + \frac 1 4 e ^ { - 2 i \rho + \frac i 2 U ( y ) \ln \rho } u \Phi _ { - } ) = \frac 1 4 e ^ { - 2 i \rho } \partial _ { \rho } ( e ^ { \frac i 2 U ( y ) \ln \rho } u \Phi _ { - } ) + e ^ { - i \rho } \rho ^ { - 1 / 2 } ( \triangle _ { y } \phi + \frac 3 4 \phi ) + ( u - \frac { U ( y ) } \rho ) \Phi _ { + } .
a _ { h } ^ { E } ( \textbf { u } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) : = a ^ { E } ( \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { u } _ { h } , \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { v } _ { h } ) + S ^ { E } ( \textbf { u } _ { h } - \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { u } _ { h } , \textbf { v } _ { h } - \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { v } _ { h } ) \quad \forall \textbf { u } _ { h } , \textbf { v } _ { h } \in \boldsymbol { \mathcal { V } } _ { h } ^ { E } ,
D ^ { 1 } ( \psi ) = \left( \begin{array} { l l l } { { \psi _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { - \sqrt { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { * } } } & { { \psi _ { 2 } ^ { * } } } \\ { { \sqrt { 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } } } & { { \mid \psi _ { 1 } \mid ^ { 2 } - \mid \psi _ { 2 } \mid ^ { 2 } } } & { { - \sqrt { 2 } \psi _ { 1 } ^ { * } \psi _ { 2 } ^ { * } } } \\ { { \psi _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \sqrt { 2 } \psi _ { 2 } \psi _ { 1 } ^ { * } } } & { { \psi _ { 1 } ^ { * 2 } } } \end{array} \right) = e ^ { i \Sigma _ { 3 } \alpha } ~ e ^ { i \Sigma _ { 2 } \beta } ~ e ^ { i \Sigma _ { 3 } \gamma }
\begin{array} { r l r } { \Omega 2 \mathrm { b } 2 } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { W _ { i j } W _ { i j } } { \omega _ { i } + \omega _ { j } } f _ { i } f _ { j } , } \\ { \Omega 2 \mathrm { b } 3 } & { = } & { \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { W _ { i j } W _ { i j } } { - \omega _ { i } + \omega _ { j } } ( f _ { i } + 1 ) f _ { j } . } \end{array}