harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { E [ ( p _ { m } , R _ { m } ) , ( p _ { r } , R _ { r } ) ] = - p _ { m } C } \\ & { + \left( R - \frac { 1 } { K - 1 } \sum _ { j = 2 } ^ { K } ( 1 - ( 1 - p _ { r } ^ { j } ) ^ { N - 1 } ( 1 - p _ { m } ^ { j } ) ) \frac { ( N - 1 ) R _ { r } + R _ { m } } { N } \right) } \\ & { \left( \sum _ { k = \mathcal { M } _ { C } } ^ { N - 1 } { \binom { N - 1 } { k } } p _ { r } ^ { k } ( 1 - p _ { r } ) ^ { N - 1 - k } + p _ { m } { \binom { N - 1 } { \mathcal { M } _ { C } - 1 } } p _ { r } ^ { \mathcal { M } _ { C } - 1 } ( 1 - p _ { r } ) ^ { N - \mathcal { M } _ { C } } \right) } \\ & { + \frac { ( N - 1 ) R _ { r } + R _ { m } } { K - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } { \binom { N - 1 } { k } } \frac { 1 } { k + 1 } \sum _ { j = 2 } ^ { K } p _ { m } ^ { j } p _ { r } ^ { j k } ( 1 - p ^ { r } ) ^ { N - 1 - k } } \\ & { \left( 1 - \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \mathcal { M } _ { C } - 2 } { \binom { N - 1 } { k } } p _ { r } ^ { k } ( 1 - p _ { r } ) ^ { N - 1 - k } + ( 1 - p _ { m } ) { \binom { N - 1 } { \mathcal { M } _ { C } - 1 } } p _ { r } ^ { \mathcal { M } _ { C } - 1 } ( 1 - p _ { r } ) ^ { N - \mathcal { M } _ { C } } \right) ^ { j } \right) . } \end{array}
f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \frac { \beta _ { x } ^ { - \alpha _ { x } } z _ { 1 } ^ { \alpha _ { x } - 1 } e ^ { \frac { - z _ { 1 } } { \beta _ { x } } } } { \Gamma ( \beta _ { x } ) } \frac { \beta _ { y } ^ { - \alpha _ { y } } ( \frac { z _ { 2 } } { z _ { 1 } } ) ^ { \alpha _ { y } - 1 } e ^ { \frac { - z _ { 2 } / z _ { 1 } } { \beta _ { y } } } } { \Gamma ( \beta _ { y } ) }
\Delta _ { \mathrm { e r r } } ^ { \mathrm { R e } } ( \Delta \Tilde { G } ) = \frac { \vert \mathrm { R e } ( \Delta \Tilde { G } - \Delta \Tilde { G } _ { 5 0 0 } ^ { \mathrm { E q . 9 } } ) \vert } { \vert \mathrm { R e } ( \Delta \Tilde { G } _ { 5 0 0 } ^ { \mathrm { E q . 9 } } ) \vert } \, ,
\begin{array} { r l } & { \ \{ v \in L _ { \gamma } ^ { 2 } ( S \times \mathbb { R } _ { \geq z _ { 0 } } ) : T _ { S } v = 0 , v ( \cdot , z _ { 0 } ) = u ( \cdot , z _ { 0 } ) \} } \\ { \subset } & { \ \{ v \in L _ { \gamma ^ { \prime } } ^ { 2 } ( S \times \mathbb { R } _ { \geq z _ { 0 } } ) : T _ { S } v = 0 , v ( \cdot , z _ { 0 } ) = u ( \cdot , z _ { 0 } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } F _ { \varepsilon } } { \mathrm { d } \varepsilon } } } & { { } = { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } \varepsilon } } { \frac { \partial F _ { \varepsilon } } { \partial x } } + { \frac { \mathrm { d } g _ { \varepsilon } } { \mathrm { d } \varepsilon } } { \frac { \partial F _ { \varepsilon } } { \partial g _ { \varepsilon } } } + { \frac { \mathrm { d } g _ { \varepsilon } ^ { \prime } } { \mathrm { d } \varepsilon } } { \frac { \partial F _ { \varepsilon } } { \partial g _ { \varepsilon } ^ { \prime } } } } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { \rho } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \rho } ( b ^ { I } b ^ { J } d _ { I J } ) } } & { { e ^ { \rho } b ^ { I } } } \\ { { - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \rho } ( b ^ { I } b ^ { J } d _ { I J } ) } } & { { e ^ { - \rho } + b ^ { I } b ^ { J } d _ { I K } { H ^ { K } } _ { J } + { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { \rho } ( b ^ { I } b ^ { J } d _ { I J } ) ^ { 2 } } } & { { - b ^ { K } { H ^ { I } } _ { K } - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \rho } b ^ { I } ( b ^ { K } b ^ { L } d _ { K L } ) } } \\ { { e ^ { \rho } b ^ { J } } } & { { - b ^ { K } { H ^ { J } } _ { K } - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \rho } b ^ { J } ( b ^ { K } b ^ { K } d _ { K L } ) } } & { { { H ^ { I } } _ { K } d ^ { J K } + e ^ { \rho } b ^ { I } b ^ { J } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } L ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \nabla _ { \theta } \ell ( \mathcal { T } _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) ( x _ { j } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } G _ { \varepsilon } ( x _ { j } - x ) \nabla _ { \theta } \ell ( \mathcal { T } _ { \theta } \circ \mathcal A , g ) ( x ) d x } \end{array}
Z ^ { s y s } ( N , V , T ) = { \frac { V ^ { N } } { \Lambda ^ { 3 N } N ! } } \int _ { 0 } ^ { 1 } . . . \int _ { 0 } ^ { 1 } d \mathbf { s } ^ { N } \exp ( - \beta U ( \mathbf { s } ^ { N } ) )
\nabla _ { k } ( A ) \dot { A } ^ { k } ( x ) = \omega ^ { - 1 } ( x ) \left( \nabla _ { k } ( { \cal A } ) { \dot { \cal A } } ^ { k } + \nabla _ { k } ( { \cal A } ) \nabla ^ { k } ( { \cal A } ) X _ { 0 } \right) \omega ( x )
\begin{array} { r l } { u } & { { } = { \frac { \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + 2 v u ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } - ( { \frac { v u ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } } { c } } ) ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } } } , } \\ { \tan \theta } & { { } = { \frac { u _ { y } } { u _ { x } } } = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } u _ { y } ^ { \prime } } { u _ { x } ^ { \prime } + v } } = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } u ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } } { u ^ { \prime } \cos \theta ^ { \prime } + v } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { F } _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { { } = \pm \mathrm { i } \hbar G _ { i j } ^ { < } ( t ) \, , } \\ { { F } _ { i j k l } ^ { ( 2 ) } ( t ) } & { { } = ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \left( { G } _ { i j k l } ^ { H } ( t ) \pm { G } _ { i j k l } ^ { F } ( t ) + \mathcal { G } _ { i j k l } ( t ) \right) = \left( \mathrm { i } \hbar \right) ^ { 2 } \left( G _ { i k } ^ { < } ( t ) \, G _ { j l } ^ { < } ( t ) \pm G _ { i l } ^ { < } ( t ) \, G _ { j k } ^ { < } ( t ) + \mathcal { G } _ { i j k l } ( t ) \right) , } \end{array}
{ \boldsymbol { \beta } } ^ { ( s + 1 ) } = { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( s ) } - \left( \mathbf { J _ { r } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { J _ { r } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { J _ { r } } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } \left( { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( s ) } \right) ,
{ } ^ { * } ( d \hat { B } ) _ { \hat { \mu } \hat { \nu } \hat { \rho } } \equiv { \frac { 1 } { 3 ! { \sqrt { - { \hat { g } } } } } } \epsilon _ { \hat { \mu } \hat { \nu } \hat { \rho } \hat { \lambda } \hat { \sigma } \hat { \tau } } ( d \hat { B } ) ^ { \hat { \lambda } \hat { \sigma } \hat { \tau } } \, .
\begin{array} { r l r } { F _ { x } } & { { } = } & { \omega \varphi _ { 1 } ( \omega t ) } \\ { F _ { z } } & { { } = } & { m _ { t } g + \omega \varphi _ { 2 } ( \omega t ) } \\ { M _ { y } } & { { } = } & { \bar { M } + \omega \varphi _ { 3 } ( \omega t ) } \end{array}
\Psi _ { P } = \left[ \begin{array} { l l } { { U } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { - \epsilon P } } \\ { { \epsilon P ^ { T } } } & { { 1 } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { R } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { { \psi _ { ( e , \mu , \tau ) , l } } } \\ { { \psi _ { ( e , \mu , \tau ) , S } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \{ S \} } & { { } = \left[ s ^ { E } \right] \{ T \} + [ d ^ { \mathrm { t } } ] \{ E \} } \\ { \{ D \} } & { { } = [ d ] \{ T \} + \left[ \varepsilon ^ { T } \right] \{ E \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { x } ( 0 , s ) \rangle _ { 0 } } & { = \frac { B \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) \left[ B - e ^ { \frac { A L ( 1 - R ) } { B } } \left( A L \left( R - 1 \right) + B \right) \right] } { s A ^ { 3 } R \left( R - 1 \right) ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } } \\ & { \approx \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { B ^ { 2 } \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) } { s A ^ { 3 } R \left( R - 1 \right) ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } A L \left( R - 1 \right) > B , } \\ { \displaystyle \frac { B ^ { 2 } \left( 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \right) \left( 1 - e ^ { \frac { A L ( 1 - R ) } { B } } \right) } { s A ^ { 3 } R \left( R - 1 \right) ^ { 2 } \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } A L \left( R - 1 \right) < B , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } \tilde { S } _ { \alpha } ^ { \textrm { c l } } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } \tilde { H } _ { \alpha } ^ { \textrm { c l } } \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } \right) } \end{array}
( \mathrm { d } - 3 ) \, \left( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } \right) \, { \cal I } _ { 1 } + \left( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \, { \cal I } _ { 2 } = \mathrm { d } - 2
H \alpha ^ { \prime } P = \frac { [ H \dot { r } \cos H t + H ^ { 2 } \sqrt { b } \alpha ^ { \prime } r \sin H t ] ^ { 2 } - H ^ { 2 } r ^ { 2 } ( 1 + H ^ { 2 } r ^ { 2 } ) [ ( 1 + H ^ { 2 } r ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } H t - H ^ { 2 } r ^ { 2 } ] } { 2 [ H ^ { 2 } r \dot { r } \sin H t + H \sqrt { b } \alpha ^ { \prime } \cos H t ] \sqrt { 1 + H ^ { 2 } r ^ { 2 } } \sqrt { ( 1 + H ^ { 2 } r ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } H t - H ^ { 2 } r ^ { 2 } } } .
\epsilon g _ { i I } ^ { 1 } X ^ { I } e ^ { \epsilon ( \phi _ { ( 0 ) } - X _ { ( 0 ) } ^ { I } ) } \Theta ( X _ { ( 0 ) } ^ { I } ) \int _ { \Sigma } \partial ^ { \alpha } X ^ { I } \partial ^ { \alpha } X ^ { i }
{ \ \chi _ { n } ^ { \mu \upsilon } = \left( \eta _ { n _ { 1 } } ^ { \mu } \sin n \tau - \eta _ { n _ { 2 } } ^ { \mu } \cos n \tau \right) \left( \eta _ { n _ { 1 } } ^ { v } \sin n \tau - \eta _ { n _ { 2 } } ^ { v } \cos n \tau \right) n ^ { 2 } \cos ^ { 2 } n \sigma - }
l = \frac { v _ { Q } } { \nu } = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { H e } } \sigma } \frac { v _ { Q } } { v _ { \mathrm { r e l } } } \stackrel { \mathrm { e q } } { = } \frac { 1 } { n _ { \mathrm { H e } } \sigma \sqrt { 1 + m _ { Q } / m _ { \mathrm { H e } } } } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \vert F ( x , a ) - F ( y , a ) \vert ^ { 2 } } & { \lesssim \vert p ( x ) - p ( y ) \vert ^ { 2 } \, \ln ( \delta + \vert a \vert ) ^ { 2 } \, ( \varphi ( x , \vert a \vert ) + \varphi ( y , \vert a \vert ) ) } \\ & { \lesssim \vert p ( x ) - p ( y ) \vert ^ { 2 } \, \ln ( \delta + \vert a \vert ) ^ { 2 } \, ( 1 + ( \delta + \vert a \vert ) ^ { p ( y ) - p ( x ) } ) \, \varphi ( x , \vert a \vert ) } \\ & { \lesssim \vert p ( x ) - p ( y ) \vert ^ { 2 } \, ( 1 + \vert a \vert ^ { p ( x ) s } ) \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( v _ { 1 } ) } & { = f ( v _ { 2 } ) + f ( v _ { n } ) + f ( e _ { 1 } ) + f ( e _ { n } ) } \\ & { = 2 n + ( n + 1 ) + 1 + \left\{ \begin{array} { l l } { n } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 1 ~ \mathrm { ~ o r ~ } 2 ( \bmod ~ 4 ) ~ } \; \mathrm { a n d } \; n \ne 1 } \\ { n - 1 } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 0 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 n + 2 } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 1 ~ \mathrm { ~ o r ~ } ~ 2 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { 4 n + 1 } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 0 ( \bmod ~ 4 ) ~ } , } \end{array} \right. } \\ { w ( v _ { n } ) } & { = f ( v _ { 1 } ) + f ( v _ { n - 1 } ) + f ( e _ { n - 1 } ) + f ( e _ { n } ) } \\ & { = ( 2 n - 1 ) + ( n + 2 ) + f ( e _ { n - 1 } ) + f ( e _ { n } ) } \\ & { = ( 3 n + 1 ) + \left\{ \begin{array} { l l } { 2 n - 1 } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 0 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { 2 n - 2 } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 1 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { 2 n - 1 } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 2 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 5 n } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 0 ~ \mathrm { ~ o r ~ } ~ 2 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { 5 n - 1 } & { \mathrm { i f ~ n ~ \equiv ~ 1 ( \bmod ~ 4 ) ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { T } ^ { 2 } ( \tilde { t } ) } & { = \left\langle \left( \Delta y _ { i } ( \tilde { t } ) - \langle \Delta y _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle \right) ^ { 2 } \right\rangle , } \\ { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tilde { t } ) } & { = \left\langle \left( \Delta x _ { i } ( \tilde { t } ) - \langle \Delta x _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle \right) ^ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
\vec { \textbf { m } } _ { i } ^ { t + 1 } = \sum _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } \vec { \textbf { M } } _ { t } ( \textbf { s } _ { i } ^ { t } , \textbf { s } _ { j } ^ { t } , \vec { \textbf { v } } _ { i } ^ { t } , \vec { \textbf { v } } _ { j } ^ { t } , \vec { e } _ { i j } ) ,
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { { } = \frac { \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathrm { P e } ^ { 2 } d _ { 1 } \kappa _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } \right) { } ^ { 2 } \kappa _ { 2 } ^ { 2 } z _ { 2 } ^ { 2 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) \log \left( d _ { 4 } z _ { 2 } x + d _ { 3 } \kappa _ { 1 } \left( z _ { 3 } - z _ { 1 } \right) z _ { 1 } \right) } { d _ { 3 } d _ { 4 } d _ { 5 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle e _ { I ^ { \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \sigma _ { i _ { | I | } } ( Y _ { t } ) \big ( \langle e _ { J ^ { \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \sigma _ { i _ { | J | } } ( Y _ { t } ) \big ) ^ { \top } } & { = \langle e _ { I ^ { \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \langle e _ { J ^ { \prime } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \langle { \mathbf a } _ { i _ { | I | } j _ { | J | } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle } \\ & { = \sum _ { | H _ { 1 } | , | H _ { 2 } | \leq 1 } \lambda _ { i _ { | I | } j _ { | J | } } ^ { H _ { 1 } H _ { 2 } } \langle e _ { I ^ { \prime } } \shuffle e _ { H _ { 1 } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle \langle e _ { J ^ { \prime } } \shuffle e _ { H _ { 2 } } , { \mathbb Y } _ { s } \rangle , } \end{array}
S _ { T } ^ { \circ } = A ( \ln T ) + 2 B ( T ) + \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } C ( T ^ { - 2 } ) - D ( T ^ { \textstyle - { \frac { 1 } { 2 } } } ) + 1 \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } E ( T ^ { 2 } ) + F ^ { \prime }
\begin{array} { r c l } { { { p ^ { \prime } } _ { \alpha } } } & { { = } } & { { { p ^ { \prime } } _ { \alpha } ( p ) , \qquad \alpha = 1 , \ldots , q - 1 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { p _ { q } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { p _ { q } \, , } } \end{array}
\operatorname * { d e t } \left( \frac { i } { 2 } \sum _ { \mu } \Gamma ^ { 0 } \Gamma ^ { \mu } \left( u _ { \mu } - u _ { \mu } ^ { \dagger } \right) \right) = \sqrt { \operatorname * { d e t } \left[ - \frac 1 4 \left( u _ { \lambda } ^ { 0 } - u _ { \lambda } ^ { 0 \dagger } \right) ^ { 2 } \right] } .
\bar { \mathbf { A } } ^ { 0 } ( \tau , \underline { { x } } , \breve { \mathbf { u } } ) \partial _ { \tau } \breve { \mathbf { u } } + \bar { \mathbf { A } } ^ { \alpha } ( \tau , \underline { { x } } , \breve { \mathbf { u } } ) \partial _ { \alpha } \breve { \mathbf { u } } = \bar { \mathbf { B } } ( \tau , \underline { { x } } , \breve { \mathbf { u } } ) .
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \hat { \kappa } \hat { r } } & { = } & { \hat { r } \hat { \varsigma } \hat { r } \hat { r } \hat { \eta } \hat { r } } \\ & { = } & { - \hat { \varsigma } \hat { \eta } } \\ & { = } & { - \hat { \kappa } \quad \mathrm { o r } \quad \hat { r } \hat { \kappa } = - \hat { \kappa } \hat { r } . } \end{array}
L ( \lambda ) = \sum \sb { i = 1 } \sp N \left( p \sb i + \sum \sb { \alpha = 1 } \sp M { \frac { f \sb { i i } \sp \alpha } { \lambda - \epsilon \sb \alpha } } \right) e \sb { i i } + \sum \sb { \stackrel { i , j = 1 } { i \neq j } } \sp N \left( { \frac { f \sb { i j } } { q \sb i - q \sb j } } + \sum \sb { \alpha = 1 } \sp M { \frac { f \sb { i j } \sp \alpha } { \lambda - \epsilon \sb \alpha } } \right) e \sb { i j } ,
S _ { n } ( t ) = \left( { \frac { a } { p } } \right) ^ { n } \sum _ { { \frac { x _ { 1 } } { a } } + \cdots + { \frac { x _ { n } } { a } } = { \frac { t } { a } } } \left( { \frac { { \frac { x _ { 1 } } { a } } \cdots { \frac { x _ { n } } { a } } } { p } } \right) = \left( { \frac { a } { p } } \right) S _ { n } ( t / a ) .
\begin{array} { r l } { k _ { W } ( z , z ^ { \prime } ) } & { = \mathrm { C o v } ( W ( z ) , W ( z ^ { \prime } ) ) } \\ & { = \mathbb { E } [ ( W ( z ) W ( z ^ { \prime } ) ] = \mathbb { E } \Big [ \big ( U ( z ) + V ( z ) \big ) \big ( U ( z ^ { \prime } ) + V ( z ^ { \prime } ) \big ) \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } \Big [ U ( z ) U ( z ^ { \prime } ) \Big ] + \mathbb { E } \Big [ U ( z ) V ( z ^ { \prime } ) \Big ] + \mathbb { E } \Big [ V ( z ) U ( z ^ { \prime } ) \Big ] + \mathbb { E } \Big [ V ( z ) V ( z ^ { \prime } ) \Big ] } \\ & { = [ ( \Dot { F } _ { t } \otimes \Dot { F } _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) + [ ( F _ { t } \otimes F _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { v } } ] ( x , x ^ { \prime } ) } \end{array}
y ( x ) = \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } b _ { j } ( x - a ) ^ { j } E _ { \alpha , j + 1 } ( \lambda ( x - a ) ^ { \alpha } ) + \int _ { a } ^ { x } ( x - t ) ^ { \alpha - 1 } E _ { \alpha , \alpha } [ \lambda ( x - t ) ^ { \alpha } ] f ( t ) d t .
\frac { \partial \bar { \rho } \widetilde { e _ { \mathrm { v i b } } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \bar { \rho } \widetilde { e _ { \mathrm { v i b } } } \widetilde { u _ { j } } \right) = \left( \left[ \frac { \bar { \mu } } { S _ { c , e _ { \mathrm { v i b } } } } + \frac { \mu _ { t } } { S _ { c , e _ { \mathrm { v i b } } } ^ { t } } \right] \frac { \partial \widetilde { e _ { \mathrm { v i b } } } } { \partial x _ { i } } \right) + { \dot { E } } _ { \mathrm { v i b } } ^ { p } - { \dot { R } } _ { \mathrm { V T } } ^ { p } \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } V _ { 1 } } & { { } = } & { n _ { 2 } V _ { 2 } , } \\ { n _ { 1 } m V _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { \parallel 1 } } & { { } = } & { n _ { 2 } m V _ { 2 } ^ { 2 } + P _ { \parallel 2 } , } \\ { m \frac { V _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { P _ { \parallel 1 } } { n _ { 1 } } + U _ { 1 } } & { { } = } & { m \frac { V _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + U _ { 2 } + \frac { P _ { \parallel 2 } } { n _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { A _ { r , R } } | \nabla u | ^ { 2 } \, d x } & { = \int _ { A _ { r , R } } \left( f ^ { 2 } | \nabla \psi | ^ { 2 } + | \nabla f | ^ { 2 } \right) d x } \\ & { \geq \int _ { A _ { r , R } } f ^ { 2 } | \nabla D \theta + \nabla \phi | ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \int _ { A _ { r , R } } \frac { D ^ { 2 } f ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \, d x + \int _ { A _ { r , R } } \frac { 2 D f ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \theta } \phi \, d x + \int _ { A _ { r , R } } f ^ { 2 } | \nabla \phi | ^ { 2 } \, d x } \\ & { = I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { R } ^ { 7 8 5 } } f ( x ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ( x ) , } \\ & { f _ { i } ( x ) : = \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { i } | } \sum _ { j \in \mathcal { S } _ { i } } \log \left[ 1 + \exp ( - x ^ { \intercal } u _ { j } v _ { j } ) \right] + \frac { \rho } { 2 } \left\Vert x \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
W _ { p , N _ { r } } ^ { \prime } ( t ) = \tilde { W } _ { p , N _ { r } } ( t ) - W _ { p , N _ { r } } ^ { ( r ) } ( t ) + 5 \partial _ { z } [ K ( t , t ) - K _ { r } ^ { ( 1 ) } ( t , t ) ] Y _ { p , N _ { r } }
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { y _ { m } } } & { = - \sqrt { \tau ^ { F } } z _ { t , m } - \frac { h _ { m } ^ { F } } { \sqrt { \tau ^ { F } } } + u _ { y _ { m } } { \sqrt { \tau ^ { F } } } , } \\ { \tilde { l } _ { y _ { m } } } & { = - \sqrt { \tau ^ { F } } z _ { t , m } - \frac { h _ { m } ^ { F } } { \sqrt { \tau ^ { F } } } + l _ { y _ { m } } { \sqrt { \tau ^ { F } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { n _ { k } \bar { \gamma } _ { k } } \le } & { \mathcal { G } ( \bar { \gamma } _ { k } , n _ { k } ; t ) } \\ { = } & { \sqrt { \bar { \gamma } _ { k } ( t ) n _ { k } ( t ) } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { n _ { k } ( t ) } { \bar { \gamma } _ { k } ( t ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \bar { \gamma _ { k } } - \bar { \gamma } _ { k } ( t ) \right] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \bar { \gamma } _ { k } ( t ) } { n _ { k } ( t ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ n - n _ { k } ( t ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { n } ^ { [ 2 ] } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \\ { 0 _ { \ell \times \ell } } & { \Gamma _ { n } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } & { 0 _ { \ell \times \ell } } \end{array} \right] + \tilde { Z } ^ { [ 2 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac 1 \beta \frac { \partial L ( \mathcal D ) } { \partial w _ { k k ^ { \prime } } } = - \! \sum _ { i - j \ni ( k , k ^ { \prime } ) } n _ { i j } \left( \frac 1 Z _ { i j } Z _ { i k } \! e ^ { - \beta ( a _ { k } + w _ { k k ^ { \prime } } + a _ { k ^ { \prime } } ) } Z _ { k ^ { \prime } j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { G ( p _ { j } , \frac 3 2 R _ { 0 } \vec { 1 } ) - \operatorname* { i n f } _ { ( p , R ) \in D } G ( p , R ) } { \frac 1 2 \lambda ^ { ( 1 ) } } } \\ & { \leq \frac { G ( p _ { j } , \frac { 3 } { 2 } R _ { 0 } \vec { 1 } ) + m \log ( 3 2 R _ { 0 } ^ { 5 } ) } { \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { ( 1 ) } } } \\ & { = \frac { - m \log ( \frac { R _ { 0 } } { 2 } ) - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { m } \log ( \frac { 9 } { 4 } R _ { 0 } ^ { 2 } - d ( p _ { j } , p _ { i } ) ^ { 2 } ) + m \log ( 3 2 R _ { 0 } ^ { 5 } ) + 2 \kappa \sum _ { i = 1 } ^ { m } d ( p _ { j } , p _ { i } ) ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { ( 1 ) } } } \\ & { \leq \frac { - m \log ( \frac { R _ { 0 } } { 2 } ) - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { m } \log ( \frac { 5 } { 4 } R _ { 0 } ^ { 2 } ) + m \log ( 3 2 R _ { 0 } ^ { 5 } ) + 8 \kappa m R _ { 0 } ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { ( 1 ) } } } \\ & { = \frac { m \log ( \frac { 1 0 2 4 } { 2 5 } ) + 8 m \kappa R _ { 0 } ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { ( 1 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 1 + \lambda ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times - \lambda _ { s } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot \right) \tau \partial _ { t } \vec { w } = } & { { } 2 \lambda _ { d } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot \vec { w } } \end{array}
\eta _ { \mathrm { p h m } } ( \theta ) = \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } \mathrm { d } z \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \phi \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho \mathrm { d } \rho \chi _ { \theta } u _ { s } ^ { * } ,
\begin{array} { r } { k = \sqrt { \left( \alpha P _ { 0 } + m \Omega ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \Omega ^ { 4 } + \frac { \beta _ { 6 } } { 7 2 0 } \Omega ^ { 6 } \right) ^ { 2 } - \left( \alpha P _ { 0 } - \chi P _ { 0 } \Omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { L } ^ { n + 1 } - \Delta t \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { L } ^ { n + 1 } \mathbf { \widehat h } _ { 1 } ^ { - 2 } - \Delta t \mathbf { G } _ { 2 } \mathbf { L } ^ { n + 1 } \mathbf { \widehat h } _ { 1 } ^ { - 1 } = \mathbf { L } ^ { n } + \Delta t \textrm { \boldmath { g } } \mathbf { u } _ { m } ^ { n + 1 , \top } \mathbf { X } ^ { 1 } . } \end{array}
C _ { a v e } ( t ) = \frac { 1 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } C ( s , t ) d s ~ , ~ ~ ~ \dot { C _ { 0 } } = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { \partial C _ { a v e , 0 } ( t ) } { \partial t } d t ,