harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { \partial \Gamma _ { \Lambda } } { \partial \Lambda } } = - { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { t r } \left[ { \frac { 1 } { \Delta _ { I R } } } { \frac { \partial \Delta _ { I R } } { \partial \Lambda } } \cdot \left( 1 + \Delta _ { I R } \cdot { \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma _ { \Lambda } } { \delta \varphi ^ { c } \delta \varphi ^ { c } } } \right) ^ { - 1 } \right] \quad .
\mathcal { K } \oplus ( \mathbb { Z } / 1 8 0 \mathbb { Z } ) ^ { 2 } \cong \mathbb { Z } / 2 \mathbb { Z } \oplus \mathbb { Z } / 3 \mathbb { Z } \oplus ( \mathbb { Z } / 4 \mathbb { Z } ) ^ { 2 } \oplus \mathbb { Z } / 6 \mathbb { Z } \oplus ( \mathbb { Z } / 9 \mathbb { Z } ) ^ { 2 } \oplus \mathbb { Z } / 1 0 \mathbb { Z } \oplus \mathbb { Z } / 1 5 \mathbb { Z } \oplus ( \mathbb { Z } / 1 8 \mathbb { Z } ) ^ { 2 } .
\left[ { \cal H } - \zeta ^ { \, 0 } \right] _ { \mathrm { q u a d } } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \dot { \chi } ^ { 2 } + [ ( \partial _ { \, z } + F ^ { \prime } ) \chi ] ^ { 2 } + i \psi _ { 2 } ( \partial _ { \, z } - F ^ { \prime } ) \psi _ { 1 } + i \psi _ { 1 } ( \partial _ { \, z } + F ^ { \prime } ) \psi _ { 2 } \right\} \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \nabla _ { \mathbf { x } _ { r } } \phi ( \mathbf { x } _ { r } ) } & { { } = \left( \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ( \mathbf { x } ^ { * } ) \right) \left| \nabla _ { \mathbf { x } _ { r } } \tau ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } _ { r } ) \right| - \left( \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ( \mathbf { x } ) \right) \left| \nabla _ { \mathbf { x } _ { r } } \tau ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } ) \right| } \end{array}
{ \frac { \Delta m _ { B ^ { 0 } } } { m _ { B ^ { 0 } } } } \simeq { \frac { B _ { B } f _ { B } ^ { 2 } v _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 m _ { 2 } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } } } f _ { b } ^ { 2 } | V _ { u b } V _ { t b } | ^ { 2 } { \frac { m _ { d } } { m _ { b } } } ,
\begin{array} { r l r } { \rho ^ { \gamma } d ( p / \rho ^ { \gamma } ) } & { { } = } & { ( 2 E _ { c } - H ) ~ d \rho - u ~ d \rho u - v ~ d \rho v + d \rho E } \\ { \rho d H } & { { } = } & { ( - \gamma E + 2 ( \gamma - 1 ) E _ { c } ) d \rho - \gamma _ { 1 } u d \rho u - \gamma _ { 1 } v d \rho v + \gamma d \rho E } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } d N ( e _ { \phi } ^ { i } ) \wedge \ast d \Big ( \mathrm { l i } \big ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { j } \big ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } \big ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \big ) \Big ) } \\ { = } & { \int _ { \partial \Omega } \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { j } \wedge e _ { \phi } ^ { i } + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { i } . } \end{array}
\left\{ \frac { d } { d \tau } + \left( \begin{array} { c c } { \Gamma _ { 3 1 } } & { i G _ { l } ^ { * } } \\ { i G _ { l } } & { \Gamma _ { 3 2 } + i \Delta _ { 2 } } \end{array} \right) \right\} \left( \begin{array} { c } { \left\langle A _ { 1 3 } ( t + \tau ) A _ { 3 1 } ( t ) \right\rangle } \\ { \left\langle A _ { 2 3 } ( t + \tau ) A _ { 3 1 } ( t ) \right\rangle } \end{array} \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = \delta _ { J _ { f } J _ { i } } \sqrt { \frac { 1 } { 6 } } \sum _ { n _ { a } J _ { a } } \frac { ( - 1 ) ^ { J _ { a } - J _ { i } } } { \sqrt { 3 ( 2 J _ { i } + 1 ) } } } \\ & { \times \ensuremath { \langle n _ { f } J _ { f } | | } D \ensuremath { | | n _ { a } { J _ { a } } \rangle } \ensuremath { \langle n _ { a } { J _ { a } } | | } D \ensuremath { | | n _ { i } J _ { i } \rangle } } \\ & { \times \left( \frac { 1 } { E _ { n _ { f } J _ { f } } - E _ { { n _ { a } J _ { a } } } } + \frac { 1 } { E _ { n _ { i } J _ { i } } - E _ { { n _ { a } J _ { a } } } } \right) \, , } \\ { \beta } & { = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n _ { a } J _ { a } } \ensuremath { \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { J _ { i } } & { J _ { f } } \\ { J _ { a } } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right\} } } \\ & { \times \ensuremath { \langle n _ { f } J _ { f } | | } D \ensuremath { | | n _ { a } J _ { a } \rangle } \ensuremath { \langle n _ { a } J _ { a } | | } D \ensuremath { | | n _ { i } J _ { i } \rangle } } \\ & { \times \left( \frac { 1 } { E _ { n _ { f } J _ { f } } - E _ { n _ { a } J _ { a } } } - \frac { 1 } { E _ { n _ { i } J _ { i } } - E _ { n _ { a } J _ { a } } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { l } ^ { \psi } = 2 \sqrt { \left| \frac { \psi _ { l } } { \Omega _ { l } ^ { \prime } ( \psi ) } \right| } \approx 2 \sqrt { \left| \frac { \psi _ { l \ne 0 } } { ( m + l ) \omega _ { \theta } ^ { \prime } ( \psi ) } \right| } , } \end{array}
\hat { Z } ^ { \bf m } ( \Omega _ { g } ) = A _ { g } \left| \Theta \left[ \begin{array} { c } { { { \vec { \alpha } } } } \\ { { { \vec { \beta } } } } \end{array} \right] ( 0 \vert \Omega _ { g } ) \right| ^ { 8 }
{ \begin{array} { r l } { ( h { ~ \wedge \! \! \! \! \! \! \! \! \; \bigcirc ~ } k ) \left( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , v _ { 4 } \right) = \quad } & { h \left( v _ { 1 } , v _ { 3 } \right) k \left( v _ { 2 } , v _ { 4 } \right) + h \left( v _ { 2 } , v _ { 4 } \right) k \left( v _ { 1 } , v _ { 3 } \right) } \\ { - } & { h \left( v _ { 1 } , v _ { 4 } \right) k \left( v _ { 2 } , v _ { 3 } \right) - h \left( v _ { 2 } , v _ { 3 } \right) k \left( v _ { 1 } , v _ { 4 } \right) } \end{array} }
\nu _ { \textrm { N E } } = \nu _ { \textrm { E } } \left( { 1 + \Lambda } \right) ^ { - 1 } < \nu _ { \textrm { E } } \; \; \; ( \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ a ~ d ~ j ~ u ~ s ~ t ~ m ~ e ~ n ~ t ~ p ~ h ~ a ~ s ~ e ~ o ~ f ~ b ~ u ~ o ~ y ~ a ~ n ~ t ~ b ~ u ~ b ~ b ~ l ~ e ~ p ~ l ~ u ~ m ~ e ~ } ) .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { d x _ { i } ( t ) = p _ { i } ( t ) d t , } \\ { d p _ { i } ( t ) = - \frac { \partial H } { \partial x _ { i } } d t - \kappa p _ { i } ( t ) d t + \sqrt { 2 \kappa T } d w _ { i } ( t ) . } \end{array} \right. } \end{array}
{ ( - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } { l _ { i } q _ { i } } , \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } { l _ { i } q _ { i } } ) } \sim { ( - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } { x _ { i } } , \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } { x _ { i } } ) } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } \Gamma ( z , f ) } { \mathrm { d } z } } & { = } & { \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z , f ^ { \prime } ) e ^ { \Gamma ( z , f ^ { \prime } ) } } \\ { \Rightarrow \Gamma ( z , f ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { d } z ^ { \prime } \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) e ^ { \Gamma ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) } \: . } \end{array}
\frac { 1 } { g ^ { 2 } } \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { c } { { \widetilde { A } _ { 1 0 _ { 1 , 2 } } } } \\ { { \widetilde { A } _ { 5 _ { 1 , 2 } } } } \end{array} \right) = \left( - b \left( \begin{array} { c } { { \widetilde { A } _ { 1 0 _ { 1 , 2 } } } } \\ { { \widetilde { A } _ { 5 _ { 1 , 2 } } } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { { 9 6 / 5 } } \\ { { 8 4 / 5 } } \end{array} \right) \right) ,
f _ { \mathbf { Z } } \left( \mathbf { z } \right) = \frac { f _ { R } \left( \lvert \lvert \mathbf { z } \rvert \rvert _ { 2 } \right) } { S _ { N } \left( \lvert \lvert \mathbf { z } \rvert \rvert _ { 2 } \right) } = \frac { \Gamma \left( \frac { N } { 2 } \right) \cdot f _ { R } \left( \lvert \lvert \mathbf { z } \rvert \rvert _ { 2 } \right) } { 2 \cdot \pi ^ { \frac { N } { 2 } } \cdot \lvert \lvert \mathbf { z } \rvert \rvert _ { 2 } ^ { N - 1 } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( k ^ { - } ) ^ { 1 } } { \partial x _ { i } } ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigg ( \frac { - \frac { \partial T ^ { 1 } } { \partial x _ { i } } ( x ) } { ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } + ( T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 } } + 2 ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) } \\ { \cdot \frac { ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) \frac { \partial T ^ { 1 } } { \partial x _ { i } } ( x ) + ( T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) \frac { \partial T ^ { 2 } } { \partial x _ { i } } ( x ) } { \big ( ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } + ( T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 } \big ) ^ { 2 } } \Bigg ) , } \\ { \frac { \partial ( k ^ { - } ) ^ { 2 } } { \partial x _ { i } } ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigg ( \frac { - \frac { \partial T ^ { 2 } } { \partial x _ { i } } ( x ) } { ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } + ( T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 } } + 2 ( T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) } \\ { \cdot \frac { ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) \frac { \partial T ^ { 1 } } { \partial x _ { i } } ( x ) + ( T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) \frac { \partial T ^ { 2 } } { \partial x _ { i } } ( x ) } { \big ( ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } + ( T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 } \big ) ^ { 2 } } \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E [ \gamma ^ { 2 \tau _ { j } } \gamma ^ { T _ { j + 1 } } g ( W _ { j + 1 } ) \gamma ^ { \tau _ { i } - \tau _ { j + 1 } } g ( W _ { i + 1 } ) ] } & { = E [ \gamma ^ { 2 \tau _ { j } } \gamma ^ { T _ { j + 1 } } g ( W _ { j + 1 } ) E [ \gamma ^ { \tau _ { i } - \tau _ { j + 1 } } g ( W _ { i + 1 } ) | \mathcal { C } _ { j + 1 } ] ] } \\ & { = E [ \gamma ^ { 2 \tau _ { j } } \gamma ^ { T _ { j + 1 } } g ( W _ { j + 1 } ) ] E [ \gamma ^ { \tau _ { i } - \tau _ { j + 1 } } g ( W _ { i + 1 } ) ] } \\ & { \leq E [ \gamma ^ { 2 \tau _ { j } } ] E [ \gamma ^ { T _ { j + 1 } } ] E [ g ( W _ { j + 1 } ) ] E [ \gamma ^ { \tau _ { i } - \tau _ { j + 1 } } g ( W _ { i + 1 } ) ] } \\ & { = \chi ( 2 ) ^ { j } \chi ( 1 ) ^ { i - j } E [ g ( W _ { j + 1 } ) ] E [ g ( W _ { i + 1 } ) ] . } \end{array}
\frac { d \theta } { d t } = \omega \bigg [ 1 - \underbrace { \epsilon \frac { \cosh ( \epsilon \cos \theta + \epsilon ^ { 2 } \Gamma \cos 2 \theta + \alpha ) } { \sinh \alpha } \cos \theta - \epsilon ^ { 2 } \Omega \frac { \cosh 2 ( \epsilon \cos \theta + \epsilon ^ { 2 } \Gamma \cos 2 \theta + \alpha ) } { \sinh 2 \alpha } \cos 2 \theta } _ { \mathcal { X } } \bigg ] .
\begin{array} { r l } { \mathcal L = } & { - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + j ^ { \mu } A _ { \mu } - \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } \phi ^ { \mu \nu } \phi _ { \mu \nu } } \\ & { \qquad - \frac { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } \hbar ^ { 2 } } \phi ^ { \mu } \phi _ { \mu } - \frac { \chi } { 2 \mu _ { 0 } } F _ { \mu \nu } \phi ^ { \mu \nu } \, , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } }
x _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { x _ { 1 } } { a } , \quad z _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { z _ { 1 } } { b } , \quad x _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { x _ { 2 } } { a } , \quad z _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { z _ { 2 } } { b } , \quad R ^ { \prime } = \frac { R } { \Delta } , \quad a ^ { \prime } = \frac { a } { \Delta } , \quad b ^ { \prime } = \frac { b } { \Delta } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { m i n i m i z e } \quad \operatorname* { l i m s u p } _ { t \rightarrow \infty } \, \, \frac { 1 } { t } \, \, E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { I } \alpha _ { i } \zeta _ { i } ^ { 2 } ( s ) + \sum _ { i = 1 } ^ { I } ( h _ { i } - h _ { 0 } ) Z _ { i } ( s ) \right) \, d s + c ^ { \prime } U ( t ) \right] } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } \\ & { W ( t ) = M Z ( t ) , \quad t \ge 0 , } \\ & { W ( t ) = \chi ( t ) - M \eta q \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \prime } Z ( s ) \, d s - M C \mathrm { d i a g } ( x ^ { * } ) \int _ { 0 } ^ { t } \kappa ( s ) \, d s + G U ( t ) , \quad t \ge 0 , } \\ & { Z ( t ) \ge 0 \mathrm { ~ f o r ~ } t \ge 0 , } \\ & { \mathrm { ~ U ~ i s ~ n o n d e c r e a s i n g ~ w i t h ~ U ( 0 ) = 0 ~ } , } \\ & { \kappa ( t ) = A ^ { \prime } \zeta ( t ) \mathrm { ~ f o r ~ } t \ge 0 . } \end{array}
{ \cal F } _ { \mathrm { v a c } } ^ { \pm } ( x , y , t ) = \pm \frac { e _ { \pm } ^ { 2 } } { 2 { \pi } { \hbar } ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon ( x - y ) - \frac { 1 } { 1 } { L } ( x - y ) ) ,
{ \begin{array} { r c c c l } { { \boldsymbol { \alpha } } } & { = } & { \left( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { K } \right) } & { = } & { { \mathrm { c o n c e n t r a t i o n ~ h y p e r p a r a m e t e r } } } \\ { \mathbf { p } \mid { \boldsymbol { \alpha } } } & { = } & { \left( p _ { 1 } , \ldots , p _ { K } \right) } & { \sim } & { \operatorname { D i r } ( K , { \boldsymbol { \alpha } } ) } \\ { \mathbb { X } \mid \mathbf { p } } & { = } & { \left( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { K } \right) } & { \sim } & { \operatorname { C a t } ( K , \mathbf { p } ) } \end{array} }
\exp \bigg ( \frac { 2 P } { N } \sum _ { i < j } \ln \left| 1 + \frac { t } { \sqrt { N } } \frac { \phi ( y _ { i } ) - \phi ( y _ { j } ) } { y _ { i } - y _ { j } } \right| \bigg ) = \exp \bigg ( \frac { 2 P } { N } \sum _ { i < j } \left( \frac { t } { \sqrt { N } } \Delta \phi _ { i , j } - \frac { t ^ { 2 } } { 2 N } ( \Delta \phi _ { i , j } ) ^ { 2 } + R _ { N , 1 } ( i , j ) \right) \bigg ) ,
\begin{array} { r } { q = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathcal { C } } \left( \tilde { \mathbf { d } } ( \varphi ) \times \frac { d } { d \varphi } \tilde { \mathbf { d } } ( \varphi ) \right) _ { 3 } d \varphi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \overline { { P } } _ { t } V ( x , v ) } { V ( x , v ) } \leq \! \! \! \! \! \prod _ { i : v _ { i } \partial _ { i } \psi > 0 } \! \! \! \! \! e ^ { 2 t ^ { 2 } \lvert ( v ^ { T } \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 1 } ) ) _ { i } \rvert + \frac { 2 t } { 2 } \lvert ( v \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 2 } ) ) _ { i } \rvert } \, \, ( \gamma _ { i } ( x + v t ) e ^ { 2 \beta t v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } t + e ^ { - ( 1 - 2 \beta ) \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert t - 2 \gamma _ { i } ( x + v t ) t } ) } \\ & { \times \prod _ { i : v _ { i } \partial _ { i } \psi < 0 } e ^ { \left( \frac { t ^ { 2 } } { 2 } ( 2 \lvert v ^ { T } \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 1 } ) ) _ { i } \rvert + 2 t \lvert ( v \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 2 } ) ) _ { i } \rvert \right) + 2 \beta t v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } + \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } \setminus \{ v \} } \! t ^ { | \{ i : w _ { i } \neq v _ { i } \} | } } \\ & { \times \! \! \! \prod _ { i : w _ { i } = v _ { i } , v _ { i } \partial _ { i } \psi > 0 } \! \! \! \! \! \! \! e ^ { \left( t ^ { 2 } ( \lvert ( v + w ) ^ { T } \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 1 } ) ) _ { i } \rvert + 2 t \lvert ( w \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 2 } ) ) _ { i } \rvert \right) } ( \gamma _ { i } ( x + v t ) e ^ { 2 \beta t v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } t + e ^ { - ( 1 - 2 \beta ) \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert t - 2 \gamma _ { i } ( x + v t ) t } ) } \\ & { \times \prod _ { i : w _ { i } = v _ { i } , v _ { i } \partial _ { i } \psi < 0 } e ^ { \left( t ^ { 2 } ( \lvert ( v + w ) ^ { T } \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 1 } ) ) _ { i } \rvert + 2 t \lvert ( w \nabla ^ { 2 } \psi ( \overline { { x } } _ { 2 } ) ) _ { i } \rvert \right) } e ^ { 2 \beta t v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } \prod _ { i : w _ { i } = - v _ { i } , v _ { i } \partial _ { i } \psi > 0 } \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) } { 1 + 2 v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } } \\ & { \times \prod _ { i : w _ { i } = - v _ { i } , v _ { i } \partial _ { i } \psi < 0 } e ^ { - t _ { 0 } \lvert \partial _ { i } \psi ( x + v t ) \rvert } ( 1 + 2 \lvert \partial _ { i } \psi ( x ) \rvert ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \varepsilon } } & { { } = } & { \left\lbrack \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } \vec { E } _ { 1 } \right) \cdot \vec { E } _ { 2 } - \vec { E } _ { 1 } \cdot \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } \vec { E } _ { 2 } \right) \right\rbrack \, , } \\ { \Delta _ { \mu } } & { { } = } & { \left\lbrack \vec { H } _ { 1 } \cdot \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } \vec { H } _ { 2 } \right) - \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } \vec { H } _ { 1 } \right) \cdot \vec { H } _ { 2 } \right\rbrack \, , } \\ { \Delta _ { \nu } } & { { } = } & { \left\lbrack \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \nu } \vec { H } _ { 1 } \right) \cdot \vec { E } _ { 2 } + \vec { H } _ { 1 } \cdot \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \xi } \vec { E } _ { 2 } \right) \right\rbrack } \end{array}
W _ { K } [ \tilde { \phi } ] = \frac { \varepsilon } { 2 \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \tilde { \phi } _ { B } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \mathcal { F } ^ { - 1 } \left[ \tilde { \phi } _ { A } ( \mathbf { k } ) K ( \mathbf { k } ) \right] .
H _ { o p } = \sum _ { i j } \langle i | \, h \, | j \rangle \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } \langle i j | V | k l \rangle \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { j } ^ { + } \hat { a } _ { l } \hat { a } _ { k }
\Psi ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { \left( { \sqrt { 2 \pi } } \, \right) ^ { 3 } } } \int \Phi ( \mathbf { k } ) e ^ { i ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } - \omega t ) } d ^ { 3 } \mathbf { k } \,
\begin{array} { r l } { p _ { i } } & { = - \frac 1 { 2 ( D - 1 ) \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \left[ ( \boldsymbol { \nabla } p ) _ { j } \cdot \frac { \boldsymbol { r } _ { i j } } { r _ { i j } ^ { D } } \right] \delta V _ { j } + \frac 1 { 2 ( D - 1 ) \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { b } } p _ { b , k } \left( \frac { \boldsymbol { r } _ { i k } } { r _ { i k } ^ { D } } \cdot \delta \boldsymbol { S } _ { k } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { v } } \underbrace { - \frac { \delta V _ { j } } { 2 ( D - 1 ) \pi } \frac { \boldsymbol { r } _ { i j } } { r _ { i j } ^ { D } } } _ { \boldsymbol { \displaystyle \alpha } _ { i j } } \cdot \; ( \boldsymbol { \nabla } p ) _ { j } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { b } } \underbrace { \frac 1 { 2 ( D - 1 ) \pi } \left( \frac { \boldsymbol { r } _ { i k } } { r _ { i k } ^ { D } } \cdot \delta \boldsymbol { S } _ { k } \right) } _ { \displaystyle \beta _ { i k } } p _ { b , k } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } t } = \frac { R } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ h _ { t } ^ { 2 } + 3 ( h _ { b } ^ { 2 } - h _ { \tau } ^ { 2 } ) - ( \frac { 1 6 } { 3 } g _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } g _ { 1 } ^ { 2 } ) \right] ,
V _ { p } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { V _ { \mathrm { L J } } ( r ) - V _ { \mathrm { L J } } ( r _ { c } ) , ~ r < r _ { c } } \\ { 0 , ~ r \ge r _ { c } } \end{array} \right. \quad \quad V _ { \mathrm { L J } } ( r ) = 4 \epsilon \left[ \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma } { r } \right) ^ { 6 } \right] ,
- 4 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} + 2 \Re \{ - 2 \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { \ast } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } a _ { \mathrm { y } } \}
\begin{array} { r l } & { q _ { 1 1 } + \gamma + 2 q _ { 1 2 } ^ { \mathsf { T } } x + x ^ { \mathsf { T } } Q _ { 2 2 } x } \\ & { = ( ( q _ { 1 1 } + \gamma ) ^ { 1 / 2 } + ( q _ { 1 1 } + \gamma ) ^ { - 1 / 2 } q _ { 1 2 } ^ { \mathsf { T } } x ) ^ { 2 } + x ^ { \mathsf { T } } ( Q _ { 2 2 } - q _ { 1 2 } ( q _ { 1 1 } + \gamma ) ^ { - 1 } q _ { 1 2 } ^ { \mathsf { T } } ) x } \\ & { \geqslant ( ( q _ { 1 1 } + \gamma ) ^ { 1 / 2 } + ( q _ { 1 1 } + \gamma ) ^ { - 1 / 2 } q _ { 1 2 } ^ { \mathsf { T } } x ) ^ { 2 } , } \end{array}
\delta n = \int _ { \mathcal { V } ^ { 3 } } d ^ { 3 } u f _ { J \mathrm { s } } \delta f _ { \mathrm { s } } = N _ { \ast s } \int _ { \mathcal { V } ^ { 3 } } d ^ { 3 } u \left( - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } w ^ { 2 } \right) e ^ { - \frac { P _ { \mu } U ^ { \mu } } { T } } ,
\hat { J } _ { F } ( \theta ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { s } } \mathsf { r } _ { F } ^ { i } ( \theta ) \, \mathsf { w } _ { F } ^ { i } ( \theta ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { s } } \mathsf { r } _ { F } ^ { i } ( \theta ) } ,
\beta = \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \frac { ( 1 - R ) I _ { 0 } L _ { e f f } } { 1 + \left( \frac { z } { z _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } ( 1 - T ) .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 } \Phi _ { 5 } } & { = \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 } ( I + \varepsilon A _ { 1 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { A } _ { 2 } ) } \\ & { = \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 } ( I + \varepsilon A _ { 1 } ) + \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 } \mathcal { A } _ { 2 } } \\ & { = \mathcal { B } _ { 0 } + \varepsilon [ \mathcal { B } _ { 0 } , A _ { 1 } ] - \varepsilon ^ { 2 } \left( A _ { 1 } \mathcal { B } _ { 0 } A _ { 1 } - \tilde { \mathcal { A } _ { 2 } } ( \mathcal { B } _ { 0 } + \varepsilon \mathcal { B } _ { 0 } A _ { 1 } ) - \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { B } _ { 0 } \mathcal { A } _ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x } & { = \left( r + \cos { \frac { \theta } { 2 } } \sin v - \sin { \frac { \theta } { 2 } } \sin 2 v \right) \cos \theta } \\ { y } & { = \left( r + \cos { \frac { \theta } { 2 } } \sin v - \sin { \frac { \theta } { 2 } } \sin 2 v \right) \sin \theta } \\ { z } & { = \sin { \frac { \theta } { 2 } } \sin v + \cos { \frac { \theta } { 2 } } \sin 2 v } \end{array} }
V ^ { A } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { V ^ { a } = H ^ { - 1 / 4 } ( z , \bar { z } , y ) \, d x ^ { a } } } \\ { { V ^ { i } = H ^ { 1 / 4 } ( z , \bar { z } , y ) e ^ { i } } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } = } & { \int \, d ^ { 2 } x \, \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \bigg ( f ^ { \prime } ( r ) \mp \frac { N } { r } [ a ( r ) - 1 ] \sin f ( r ) \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \psi ^ { \prime } ( r ) \mp \frac { W _ { \psi } } { r } \bigg ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( B \mp \sqrt { 2 \mathcal { U } } ) ^ { 2 } + } \\ { + } & { \eta \psi ^ { \prime } ( r ) \pm \frac { N [ a ( r ) - 1 ] } { r } f ^ { \prime } ( r ) \sin f ( r ) \pm \frac { N a ^ { \prime } ( r ) } { e r } \sqrt { 2 \mathcal { U } } \pm \frac { W _ { \psi } \psi ^ { \prime } } { r } - \frac { W _ { \psi } ^ { 2 } } { 2 r } + \mathcal { V } - \mathcal { U } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } } & { = - i g \sigma _ { \mathrm { + } } - \frac { C } { 2 } a + \mathcal { F } _ { a } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \mathrm { + } } } & { = - i g \sigma _ { \mathrm { z } } a - \frac { \gamma } { 2 } \sigma _ { \mathrm { + } } + \mathcal { F } _ { \mathrm { + } } , } \\ { \dot { \sigma } _ { \mathrm { z } } } & { = - 2 i g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { + } } - \sigma _ { \mathrm { - } } a ) - \gamma ( \sigma _ { z } + 1 ) + \mathcal { F } _ { \mathrm { z } } . } \end{array}
\rho _ { 0 } ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 1 5 \quad } & { x < 0 } \\ { 0 . 1 \quad } & { x \geq 0 , } \end{array} \right. \quad h _ { 0 } ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 8 \quad } & { x < 0 } \\ { 0 . 9 5 \quad } & { x \geq 0 . } \end{array} \right.
\Delta \mathcal { O } = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \partial \mathcal { O } / \partial p _ { k } ^ { ( j ) } \cdot \Delta p _ { k } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 }