harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathscr { P } ( \beta , k ) = \sqrt { \frac { \beta ^ { 3 } \Big ( 4 ( k ^ { 4 } - k ^ { 3 } + k ^ { 2 } - k + 1 ) - 3 \beta ( k ^ { 2 } - k + 1 ) ^ { 2 } \Big ) } { ( k ^ { 4 } + 2 k ^ { 2 } - 5 k ^ { 2 } + 2 k + 1 ) } } .
\frac { 1 } { x } F _ { 2 , Q P M } ^ { \gamma ( P ^ { 2 } ) } ( x , Q ^ { 2 } ) = 3 \sum _ { q } e _ { q } ^ { 4 } \frac { \alpha } { \pi } \Bigg \{ \left[ x ^ { 2 } + ( 1 - x ) ^ { 2 } \right] \left( \ln \frac { Q ^ { 2 } } { P ^ { 2 } } + \ln \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) - 2 + 6 x - 6 x ^ { 2 } \Bigg \} \; \; .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| \left\langle i \left| \hat { \rho } ^ { ( k ) } \right| i \right\rangle - \frac { 1 } { n } \right| } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| \left\langle i \left| \tilde { \rho } ^ { ( k - 1 ) } + \frac { 1 } { \eta ^ { ( k ) } } Q \circ \rho ^ { ( k ) } \right| i \right\rangle - \frac { 1 } { n } \right| } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| \left( \tilde { \rho } _ { i i } ^ { ( k - 1 ) } + \frac { 1 } { \eta ^ { ( k ) } } \left( \textup { s i g n } \left( - \varepsilon _ { i } ^ { ( k - 1 ) } \right) \cdot \rho _ { i i } ^ { ( k ) } \right) \right) - \frac { 1 } { n } \right| } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| \left( \tilde { \rho } _ { i i } ^ { ( k - 1 ) } - \frac { 1 } { n } \right) + \frac { 1 } { \eta ^ { ( k ) } } \textup { s i g n } \left( - \varepsilon _ { i } ^ { ( k - 1 ) } \right) \rho _ { i i } ^ { ( k ) } \right| } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| \varepsilon _ { i } ^ { ( k - 1 ) } + \frac { 1 } { \eta ^ { ( k ) } } \textup { s i g n } \left( - \varepsilon _ { i } ^ { ( k - 1 ) } \right) \rho _ { i i } ^ { ( k ) } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { \eta ^ { ( k ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| \eta ^ { ( k ) } \varepsilon _ { i } ^ { ( k - 1 ) } + \textup { s i g n } \left( - \varepsilon _ { i } ^ { ( k - 1 ) } \right) \rho _ { i i } ^ { ( k ) } \right| \leq \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } , } \end{array}
\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \} \sim P ^ { I } ( \gamma _ { I } ) _ { \alpha \beta } + Z ^ { I _ { 1 } I _ { 2 } } ( \gamma _ { I _ { 1 } I _ { 2 } } ) _ { \alpha \beta } + Z ^ { I _ { 1 } \ldots I _ { 5 } } ( \gamma _ { I _ { 1 } \ldots I _ { 5 } } ) _ { \alpha \beta }
\begin{array} { r l r } { { \cal J } _ { 2 1 0 } ( \omega , q ) } & { \simeq } & { - { q ^ { 2 } } \frac { 1 2 \sqrt { 6 } } { ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 3 } } - q \; \omega \frac { \sqrt { 6 } ( 1 7 0 1 + 3 7 8 0 q ^ { 2 } - 3 3 6 q ^ { 4 } - 6 4 q ^ { 6 } ) } { 1 6 ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 5 } } , } \\ { { \cal J } _ { 2 1 2 } ( \omega , q ) } & { \simeq } & { q ^ { 2 } \omega \frac { 1 8 \sqrt { 6 } ( 2 1 + 4 q ^ { 2 } ) } { ( 9 / 4 + q ^ { 2 } ) ^ { 5 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { x } d \theta _ { y } ( } & { \langle \partial _ { \theta _ { x } } \Psi ( \theta ) ^ { * } | \partial _ { \theta _ { y } } \Psi ( \theta ) \rangle } \\ & { - \langle \partial _ { \theta _ { y } } \Psi ( \theta ) ^ { * } | \partial _ { \theta _ { x } } \Psi ( \theta ) \rangle ) , } \end{array}
\theta _ { 1 } ^ { T } = \theta _ { 1 } ^ { R } = \frac { g } { 2 n } \frac { \partial ( \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) } { \partial n } , \ \ \ \ \theta _ { 2 } ^ { T } = \frac { g } { 2 n } \frac { \partial } { \partial n } \ln \left[ \eta \cos ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) \right] , \ \ \ \ \theta _ { 2 } ^ { R ^ { r / l } } = \frac { g } { 2 n } \frac { \partial } { \partial n } \ln \left| \eta \sin ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) \pm \sqrt { \eta ^ { 2 } - 1 } \right| .
\boldsymbol { \alpha } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } \alpha _ { \infty ^ { ( i ) } , k } \mathbf { e } _ { \infty ^ { ( i ) } , k } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } - 1 } \alpha _ { X _ { s } ^ { ( i ) } , k } \mathbf { e } _ { X _ { s } ^ { ( i ) } , k } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \alpha _ { X _ { s } } \mathbf { e } _ { X _ { s } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial T ^ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } ( x ) } & { { } = \textrm { s g n } ( x _ { 2 } ) \frac { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( | x | + x _ { 1 } \right) } } { 2 | x | } , } \\ { \frac { \partial T ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } ( x ) } & { { } = - \frac { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left( | x | - x _ { 1 } \right) } } { 2 | x | } , } \end{array}
v ^ { 2 } \left( \frac { m } { \sin \theta } - a \omega \sin \theta \right) ^ { 2 } \geq \frac { v ^ { 2 } m ^ { 2 } } { 8 \sin ^ { 2 } \theta } + \left( \frac { 2 a m ( r ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } ) } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ f o r ~ } r < \widetilde { \underline { { r } } } ^ { \sharp }
g _ { c } \simeq 1 + \frac { D - 1 } { 2 N _ { c } } - \frac { ( D - 1 ) ^ { 2 } ( 4 - D ) } { 2 N _ { c } ( D - 2 ) } \left[ 1 - \frac { 1 } { g _ { V c } } \log ( 1 + g _ { V c } ) \right] + O \left( \frac { 1 } { N _ { c } ^ { 2 } } \log N _ { c } \right) \ .
\begin{array} { r l } & { f _ { m } ^ { \mathrm { r } } ( x ) = A _ { m } \sin \left( k _ { x m } x \right) \, , } \\ & { f _ { m } ^ { \mathrm { b } } ( x ) = B _ { m } \cosh \left( K _ { x m } \left( x - \frac { l _ { x } ^ { \mathrm { b } } } { 2 } \right) \right) + C _ { m } \sinh \left( K _ { x m } \left( x - \frac { l _ { x } ^ { \mathrm { b } } } { 2 } \right) \right) \, , } \\ & { f _ { m } ^ { \mathrm { p } } ( x ) = D _ { m } \sin \left( k _ { x m } \left( x - l _ { x } ^ { \mathrm { p } } \right) \right) \, , } \end{array}
\rho = \rho _ { 1 } \oplus 1 , \qquad \mathbb { C } ^ { 5 } = \mathbb { C } ( e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { 3 } - e _ { 4 } , e _ { 3 } + e _ { 4 } - 2 e _ { 5 } ) \oplus \mathbb { C } ( e _ { 3 } + e _ { 4 } + e _ { 5 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 1 } ( t ) } & { = I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \, _ { 1 } \mathbf { D } _ { \tau } u u d x \bigg ) ( t ) , \quad \mathcal { R } _ { 2 } ( t ) = I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \, _ { 2 } \mathbf { D } _ { \tau } u u d x \bigg ) ( t ) , \quad \mathcal { R } _ { 3 } ( t ) = - I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \mathcal { L } _ { 1 } u u d x \bigg ) ( t ) , } \\ { \mathcal { R } _ { 4 } ( t ) } & { = - I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } ( \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } u ) u d x \bigg ) ( t ) , \quad \mathcal { R } _ { 5 } ( t ) = I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } [ \lambda f ( u ) - g ] u d x \bigg ) ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { \mathrm { o u t } } [ \omega ] } & { \approx H _ { 0 } [ \omega ] \left( \hat { q } _ { 0 } [ \omega ] - \hat { q } _ { \mathrm { G } } [ \omega ] \right) } \\ { \hat { p } _ { \mathrm { o u t } } [ \omega ] } & { \approx H _ { 0 } [ \omega ] \left( \hat { p } _ { 0 } [ \omega ] + \hat { p } _ { \mathrm { G } } [ \omega ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \mathcal { H } _ { 2 } \left( \psi _ { 2 } , J _ { 2 } , \theta \right) } & { = \displaystyle \nu _ { x } J _ { 2 } + \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 3 , 0 , n } \cos { \left( 3 \psi _ { 2 } - n \theta + \xi _ { 3 , 0 , n } \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { V = ( 1 - \varphi ^ { \ast } \rho ^ { 2 } ) - \frac { ( \hat { \rho } - \varphi ^ { \ast } \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { V + ( 1 - \varphi ^ { \ast } \rho ^ { 2 } ) } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } = \mathbf { L D L } ^ { \mathrm { T } } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { I } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathbf { L } _ { 2 1 } } & { \mathbf { I } } & { 0 } \\ { \mathbf { L } _ { 3 1 } } & { \mathbf { L } _ { 3 2 } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { D } _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { D } _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathbf { D } _ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { I } } & { \mathbf { L } _ { 2 1 } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { L } _ { 3 1 } ^ { \mathrm { T } } } \\ { 0 } & { \mathbf { I } } & { \mathbf { L } _ { 3 2 } ^ { \mathrm { T } } } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathbf { I } } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { D } _ { 1 } } & & { ( \mathrm { s y m m e t r i c } ) } \\ { \mathbf { L } _ { 2 1 } \mathbf { D } _ { 1 } } & { \mathbf { L } _ { 2 1 } \mathbf { D } _ { 1 } \mathbf { L } _ { 2 1 } ^ { \mathrm { T } } + \mathbf { D } _ { 2 } } & \\ { \mathbf { L } _ { 3 1 } \mathbf { D } _ { 1 } } & { \mathbf { L } _ { 3 1 } \mathbf { D } _ { 1 } \mathbf { L } _ { 2 1 } ^ { \mathrm { T } } + \mathbf { L } _ { 3 2 } \mathbf { D } _ { 2 } } & { \mathbf { L } _ { 3 1 } \mathbf { D } _ { 1 } \mathbf { L } _ { 3 1 } ^ { \mathrm { T } } + \mathbf { L } _ { 3 2 } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { L } _ { 3 2 } ^ { \mathrm { T } } + \mathbf { D } _ { 3 } } \end{array} \right) } , } \end{array} }
K _ { m } ^ { n } ( \eta ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \ \frac { x ^ { n } } { ( 1 + \eta x ) ^ { m } } \sim \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \ x ^ { n } ( 1 - m \eta x ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \ x ^ { n } - m \eta \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \ x ^ { n + 1 } \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n _ { s } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( n _ { s } \, { \bf u } _ { s } \right) } & { = } & { 0 \, , } \\ { \frac { \partial { \bf p } _ { s } } { \partial t } + \left( { \bf u } _ { s } \cdot \nabla \right) { \bf p } _ { s } } & { = } & { q _ { s } \, ( { \bf E } + { \bf u } _ { s } \times { \bf B } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { i \theta _ { k , \alpha } } \mathcal { T } | u _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { I } \rangle } & { { } = | u _ { - \mathbf { k } , \alpha } ^ { I I } \rangle , } \\ { - e ^ { i \theta _ { - k , \alpha } } \mathcal { T } | u _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { I I } \rangle } & { { } = | u _ { - \mathbf { k } , \alpha } ^ { I } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ( k _ { o u t } , k _ { i n } ) } & { { } } & { = \iiint R F ( u , \omega , \theta ) } \\ { \times } & { { } } & { \left( \int { e ^ { i \omega t _ { t x } ( x _ { i n } , \theta ) } e ^ { - i k _ { i n } x _ { i n } } d x _ { i n } } \right) } \\ { \times } & { { } } & { \left( \int { e ^ { i \omega t _ { r x } ( x _ { o u t } , \theta ) } e ^ { - i k _ { o u t } x _ { o u t } } d x _ { o u t } } \right) d u d \theta d \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathcal { P } } & { + \int _ { \Omega } \frac { \delta } { \delta \rho } \left[ - \mathrm { d i v } \left( \varrho \pmb { \mathscr { u } } \right) \mathcal { P } \right] } \\ & { + \int _ { \Omega } \frac { \delta } { \delta \varrho \mathscr { u } } \left[ \left( - \mathrm { d i v } \left( \pmb { \mathscr { u } } \varrho \mathscr { u } + p \hat { x } \right) - \varrho \hat { x } \cdot \mathrm { g r a d } ( \Phi ) + S _ { \rho u } \right) \mathcal { P } \right] } \\ & { + \int _ { \Omega } \frac { \delta } { \delta \varrho \mathscr { v } } \left[ \left( - \mathrm { d i v } \left( \pmb { \mathscr { u } } \varrho \mathscr { v } + p \hat { y } \right) - \varrho \hat { y } \cdot \mathrm { g r a d } ( \Phi ) + S _ { \rho v } \right) \mathcal { P } \right] } \\ & { + \int _ { \Omega } \frac { \delta } { \delta \varrho \mathscr { w } } \left[ \left( - \mathrm { d i v } \left( \pmb { \mathscr { u } } \varrho \mathscr { w } + p \hat { z } \right) - \varrho \hat { z } \cdot \mathrm { g r a d } ( \Phi ) + S _ { \rho w } \right) \mathcal { P } \right] } \\ & { + \int _ { \Omega } \frac { \delta } { \delta \varrho \mathscr { e } } \left[ \left( - \mathrm { d i v } \left( \pmb { \mathscr { u } } \left( p + \varrho \mathscr { e } \right) \right) + S _ { \rho e } \right) \mathcal { P } \right] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 + \sum _ { i } \left\lfloor { \frac { x } { p _ { i } } } \right\rfloor - \sum _ { i < j } \left\lfloor { \frac { x } { p _ { i } p _ { j } } } \right\rfloor } & { { } + \sum _ { i < j < k } \left\lfloor { \frac { x } { p _ { i } p _ { j } p _ { k } } } \right\rfloor - \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi _ { n } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } A _ { s } A _ { i } e ^ { i [ ( k _ { s } + k _ { i } ) n - \omega _ { p } t ] } + \frac { 1 } { 2 } A _ { p } A _ { i } ^ { * } e ^ { i [ ( k _ { p } - k _ { i } ) n - \omega _ { s } t ] } } \\ { + \frac { 1 } { 2 } A _ { p } A _ { s } ^ { * } e ^ { i [ ( k _ { p } - k _ { s } ) n - \omega _ { i } t ] } + c . c . } \end{array}
\varphi _ { \gamma ^ { * } } ( y , q ^ { 2 } ) = \frac { m _ { \rho } \, f _ { \rho } ^ { V } f _ { \rho } ^ { T } } { m _ { \rho } ^ { 2 } + q ^ { 2 } } \varphi _ { \rho } ^ { T } ( y ) + \frac { m _ { \rho ^ { \prime } } \, f _ { \rho ^ { \prime } } ^ { V } f _ { \rho ^ { \prime } } ^ { T } } { m _ { \rho ^ { \prime } } ^ { 2 } + q ^ { 2 } } \varphi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { T } ( y ) + \ldots \ ,
\begin{array} { r } { \sigma ( x , t ) = \sigma _ { f } \frac { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x - x _ { b } ) \right] } { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x _ { b } ) \right] } + \sigma _ { b } \frac { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x ) \right] } { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x _ { b } ) \right] } + \tilde { \chi } \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } \int _ { x _ { b } } ^ { x _ { f } } G ( x , x ^ { \prime } ) c ( x ^ { \prime } , t ) d x ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int \! d \alpha z _ { \alpha } z _ { \alpha } ^ { * } , } \\ { P } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int \! d \alpha s _ { \alpha } z _ { \alpha } z _ { \alpha } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { m i n i m i z e } \quad \operatorname* { l i m s u p } _ { t \rightarrow \infty } \, \, \frac { 1 } { t } \, \, E \left[ \xi ( t ) \right] } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } \\ & { Z _ { i } ( t ) = B _ { i } ( t ) - q _ { i } \eta \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i = 1 } ^ { I } Z _ { i } ( s ) \, d s - \sum _ { j \in \mathcal { C } _ { i } } \int _ { 0 } ^ { t } x _ { j } ^ { * } \kappa _ { j } ( s ) \, d s + \sum _ { j \in \mathcal { C } _ { i } } \mu _ { j } ^ { * } Y _ { j } ( t ) , \quad i = 1 , \dots , I , \quad t \ge 0 , } \\ & { Z _ { 0 } ( t ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { I } Z _ { i } ( t ) , \quad t \ge 0 , } \\ & { U ( t ) = A Y ( t ) , \quad t \ge 0 , } \\ & { \kappa _ { j } ( t ) = \zeta _ { i } ( t ) \quad \mathrm { f o r } \quad j \in \mathcal { A } _ { i } , \quad i = 1 , \dots , I , \quad t \ge 0 , } \\ & { Z _ { i } ( t ) \ge 0 , \quad i = 1 , \dots , I , \quad t \ge 0 , } \\ & { \mathrm { ~ U ~ i s ~ n o n d e c r e a s i n g ~ w i t h ~ U ( 0 ) = 0 ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( a + b = 2 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } - 1 = \epsilon \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P ( a + b = 1 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } = \epsilon \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { 2 - \epsilon _ { l } - \epsilon _ { r } = 1 - \epsilon \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P ( a + b = 0 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \epsilon _ { l } - \epsilon _ { r } = 1 - \epsilon \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } < 1 } \\ { 0 \, , } & { \epsilon _ { l } + \epsilon _ { r } \geq 1 } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\boldsymbol F \boldsymbol F ^ { * } = \Bigg ( \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k ( \boldsymbol j - \boldsymbol h ) / { n } } \Bigg ) _ { \boldsymbol j , \boldsymbol h \in \mathcal I _ { \b { n } } } = | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | \cdot \boldsymbol I _ { N } , \quad \mathrm { ~ i f ~ } \, | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | \geq N
\langle { \cal H } ^ { ( f ^ { \prime } ) } ( v ^ { \prime } ) | \bar { h } _ { v ^ { \prime } } ^ { ( f ^ { \prime } ) } \Gamma h _ { v } ^ { ( f ) } | { \cal H } ^ { ( f ) } ( v ) \rangle = \xi ( v v ^ { \prime } ) C _ { \Gamma } ( v , v ^ { \prime } ) .
{ \frac { d g _ { i } } { d t } } = { \frac { g _ { i } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left[ b _ { i } g _ { i } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } b _ { i j } g _ { i } ^ { 2 } g _ { j } ^ { 2 } - \sum a _ { i j } g _ { i } ^ { 2 } \lambda _ { j } ^ { 2 } \right) \right]
\begin{array} { r l r } { \mathrm { D E ( D F A ) } } & { { } \approx } & { - C _ { \mathrm { D F A } } q ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { D E ( D F A @ H F ) } } & { { } \approx } & { C _ { \mathrm { D F A } } ( 1 - q ^ { 2 } ) } \end{array}
y _ { m i n } = \operatorname * { m a x } \{ 0 , \frac { 1 - M _ { c u t } ^ { 2 } - ( M _ { B } - 2 E _ { l } / x ) ^ { 2 } } { ( 2 E _ { l } / x ) ( M _ { B } - 2 E _ { l } / x ) } \}
\begin{array} { r l } { f _ { x } ( \theta , \phi ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } } & { { } \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } \alpha _ { m n } ^ { x } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } { g _ { 1 , i } } \left( m , n , \theta , \phi \right) \right. } \end{array}
\partial _ { \mu } { \cal F } _ { \alpha \psi } ^ { \left( \mu \right) } = \frac { \partial { \cal F } _ { \alpha \psi } ^ { \left( \mu \right) } } { \partial \psi _ { \alpha } ^ { \left( \mu \right) } } \otimes \frac { \partial \psi _ { \alpha } ^ { \left( \mu \right) } } { \partial x ^ { \mu } } .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { P } ( X _ { n } \simeq N ) = \frac { 1 } { | \mathrm { A u t } ( N ) | | N | ^ { u } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { j = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac { | \mathrm { E x t } _ { S } ^ { 1 } ( N , K _ { i } ) | } { | \mathrm { H o m } ( N , K _ { i } ) | | K _ { i } | ^ { u } } | q _ { i } | ^ { - j } \right) .
R = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \| \kappa _ { \theta } ( u _ { i } ^ { o b s } ) - \kappa _ { i } ^ { e x a c t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } { \| \kappa _ { i } ^ { e x a c t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } }
\left( - 1 \right) ^ { F } = 2 ^ { 4 } \, d _ { 0 } ^ { 2 } d _ { 0 } ^ { 3 } d _ { 0 } ^ { 4 } d _ { 0 } ^ { 5 } d _ { 0 } ^ { 6 } d _ { 0 } ^ { 7 } d _ { 0 } ^ { 8 } d _ { 0 } ^ { 9 } \left( - 1 \right) ^ { \sum _ { n > 0 } d _ { - n } ^ { i } d _ { n } ^ { i } } ,
\begin{array} { r l } { \underset { x , \theta } { \operatorname* { m i n } } \ \ } & { { } f ( d ) } \\ { \mathrm { s . t . } \ \ } & { { } d _ { i } = \sum _ { b \in \mathcal { B } } \sum _ { j _ { b } } \theta _ { b } D _ { i j _ { b } } x _ { j _ { b } } \quad \quad \forall i = 1 , 2 , \cdots , I , } \end{array}
U _ { \mathrm { A } } = \frac { k _ { \mathrm { a } } } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t } } } \frac { ( A _ { i } - A _ { \mathrm { l } } ) ^ { 2 } } { A _ { \mathrm { l } } } ,
X X _ { \phi } = \cos ( \phi ) I \otimes I - i \sin ( \phi ) \sigma _ { x } \otimes \sigma _ { x } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \cos ( \phi ) } & { 0 } & { 0 } & { - i \sin ( \phi ) } \\ { 0 } & { \cos ( \phi ) } & { - i \sin ( \phi ) } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \sin ( \phi ) } & { \cos ( \phi ) } & { 0 } \\ { - i \sin ( \phi ) } & { 0 } & { 0 } & { \cos ( \phi ) } \end{array} \right] }
\mathrm { X } _ { \widetilde { T } ^ { [ \varepsilon ] } } ^ { m } : = \mathscr { C } ( 0 , \widetilde { T } ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m } ) \times \mathscr { C } ( 0 , \widetilde { T } ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathrm { H } ^ { m } ) \times \mathscr { C } ( 0 , \widetilde { T } ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathrm { H } ^ { m } ) \cap \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , \widetilde { T } ^ { [ \varepsilon ] } ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) .
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { F } } \{ g _ { _ { N } } * h \} ( s ) } & { = G _ { _ { N } } ( s ) H ( s ) } \\ & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left( { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } \} [ k ] \right) \cdot H ( s ) \cdot \delta \left( s - k / N \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left( { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } \} [ k ] \right) \cdot H ( k / N ) \cdot \delta \left( s - k / N \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left( { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ g _ { _ { N } } \} [ k ] \right) \cdot \left( { \scriptstyle \mathrm { { D F T } } } \{ h _ { _ { N } } \} [ k ] \right) \cdot \delta \left( s - k / N \right) , \quad \scriptstyle { \mathsf { ( E q . 5 b ) } } } \end{array} }
q [ \AA ^ { - 1 } ] = 0 . 3 4 3 , 0 . 4 8 6 , 0 . 5 9 5 , 0 . 6 8 7 . 0 . 8 4 , 1 . 0 3 , 1 . 1 9 , 1 . 3 7 , 1 . 5 0 , 1 . 6 8 ,
{ \mathbf Y } ^ { \prime } ( \tau ) = \frac { d \, { \mathbf Y } } { d \, \tau } = \left( \begin{array} { l } { { \mathbf y } ^ { \prime } ( \tau ) } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { v _ { 0 } } \dot { { \mathbf x } } ( t _ { 0 } + T ( \tau - \tau _ { 0 } ) ) } \\ { 1 } \end{array} \right) .
\mathrm { C o v } _ { E E } \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } \right) = \sigma _ { E } ^ { 2 } \exp \left( { - \frac { { \left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right| } } { l _ { x } } - \frac { { \left| y _ { 1 } - y _ { 2 } \right| } } { l _ { y } } - \frac { { \left| z _ { 1 } - z _ { 2 } \right| } } { l _ { z } } } \right) ,
\begin{array} { r } { \theta ( \nu _ { 1 } ) = \delta _ { \theta } \ \ ( \mathrm { ~ \normalsize ~ s ~ a ~ y ~ } \theta _ { 0 1 } ) \mathrm { ~ \normalsize ~ a ~ n ~ d ~ l ~ e ~ t ~ } \psi ( \nu _ { 1 } ) : = \psi _ { 0 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau \left( \nu , \zeta , \beta , 1 \right) } & { = } & { \pi \frac { \sqrt { 4 j _ { \zeta , \beta , 1 } ^ { 2 } - 1 } } { \left\vert \nu \right\vert } } \\ { \tau \left( \nu , \zeta , \beta , 2 \right) } & { = } & { 2 \tau + \tau ^ { \left( 2 \right) } \left( j _ { \zeta , \beta , 2 } , \nu \right) , } \\ { \tau \left( \nu , \zeta , \beta , 3 _ { \pm } \right) } & { = } & { 2 \tau + \tau ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( j _ { \zeta , \beta , 3 _ { \pm } } , \nu \right) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { R } } { \frac { d } { d r } } \left( r ^ { 2 } { \frac { d R } { d r } } \right) = \lambda , \qquad { \frac { 1 } { Y } } { \frac { 1 } { \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta { \frac { \partial Y } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { Y } } { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } Y } { \partial \varphi ^ { 2 } } } = - \lambda .
\begin{array} { r l } { 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + x ) ^ { 3 } } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ d ~ } x ^ { 2 } } \left[ \frac { n ! } { x ( x + 1 ) \cdots ( x + n ) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \tilde { g } \Vert ^ { 2 } = \int _ { \r { d _ { L } } } \int _ { \r { \sum _ { k = 0 } ^ { L } } } \vert \hat { g } ( \omega _ { 1 } ) \hat { \psi } ( \omega _ { 2 } ) \vert ^ { 2 } \frac 1 { p _ { 1 , L } ( \omega _ { 1 } ) p _ { 2 , L } ( \omega ) } \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } = \Vert g \Vert _ { H _ { p _ { 1 , L } } ( \r { d _ { L } } ) } ^ { 2 } \Vert \psi \Vert _ { H _ { p _ { 2 , L } } ( \r { \sum _ { k = 0 } ^ { L - 1 } d _ { k } } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { C S H } } = { \frac { \kappa } { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } + \left( D _ { \mu } \phi \right) ^ { \dagger } D ^ { \mu } \phi - V ( | \phi | )