harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\prod _ { k = 1 } ^ { n } \sin \theta _ { k } = { \frac { ( - 1 ) ^ { \left\lfloor { \frac { n } { 2 } } \right\rfloor } } { 2 ^ { n } } } { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { e \in S } \cos ( e _ { 1 } \theta _ { 1 } + \cdots + e _ { n } \theta _ { n } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } e _ { j } \; { \mathrm { i f } } \; n \; { \mathrm { i s ~ e v e n } } , } \\ { \displaystyle \sum _ { e \in S } \sin ( e _ { 1 } \theta _ { 1 } + \cdots + e _ { n } \theta _ { n } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } e _ { j } \; { \mathrm { i f } } \; n \; { \mathrm { i s ~ o d d } } } \end{array} \right. }
S _ { \beta \alpha } = \langle \Psi _ { \beta } ^ { - } | \Psi _ { \alpha } ^ { + } \rangle = \langle f , \beta | i , \alpha \rangle , \qquad | f , \beta \rangle \in { \mathcal { H } } _ { f } , \quad | i , \alpha \rangle \in { \mathcal { H } } _ { i } .
Q _ { \mathrm { H S } } ^ { ( \mathrm { F P A A } ) } = \operatorname* { m i n } _ { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } , \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } } D ( \kappa , \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } ) ( 2 R ( t , \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } ) + 1 ) .
\begin{array} { r l } { \left\lVert { \mathbf { M } } \right\rVert _ { F } } & { \le \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { k } } \\ & { + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \alpha _ { \ell } \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { \ell } } ^ { ( \ell ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { \ell } } ^ { ( \ell ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { k } \right) } \\ & { + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \alpha _ { \ell } \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { \ell - 1 } } ^ { ( \ell ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { \ell - 1 } } ^ { ( \ell ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { k } \right) } \\ & { + \left\lVert { \boldsymbol { \Sigma } } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left\lVert { \boldsymbol { \Sigma } } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { k } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { x x } ( N ^ { ( \alpha ) } ) } & { { } = } & { I _ { y y } ( N ^ { ( \alpha ) } ) = I _ { z z } ( N ^ { ( \alpha ) } ) = \frac { 8 \pi m ^ { ( \alpha ) } } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho _ { B } ( r ; N ^ { ( \alpha ) } ) r ^ { 4 } d r } \\ { I _ { i j } } & { { } = } & { 0 , i \ne j } \end{array}
\hat { \mathrm { \bf ~ j } } _ { 0 } = \int d ^ { 3 } r \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { 2 m _ { a } } [ \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) + \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } ] = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le ( 1 - \beta _ { k } \mu _ { g } / 2 ) \mathbb { E } [ \| y _ { k } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] - \frac { \alpha _ { k } } { \lambda _ { k } l _ { g , 1 } } \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } + O \left( \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \mu _ { g } \beta _ { k } } \right) \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] ) . } \end{array}
\hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) = \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } \boldsymbol r \int _ { 0 } ^ { t } S ( \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } , t - t ^ { \prime } ) \hat { \boldsymbol E } _ { p } ( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } .
\begin{array} { r l r } { \left\langle S _ { z } \right\rangle } & { = } & { \cos ^ { 2 } \theta \, \cos 2 \varphi , } \\ { \left\langle S _ { z } ^ { 2 } \right\rangle } & { = } & { \cos ^ { 2 } \theta , } \\ { \left\langle S _ { { + } } ^ { 2 } \right\rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \, e ^ { - i \left( \phi _ { 1 } - \phi _ { - 1 } \right) } \cos ^ { 2 } \theta \sin 2 \varphi , \qquad \left\langle S _ { { - } } ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle S _ { { + } } ^ { 2 } \right\rangle ^ { * } , } \\ { \big \langle P _ { { + } } ^ { \uparrow } \big \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \, e ^ { i \left( \phi _ { \downarrow } - \phi _ { 1 } \right) } \sin 2 \theta \sin \psi \cos \varphi , \qquad \big \langle P _ { { - } } ^ { \uparrow } \big \rangle = \big \langle P _ { { + } } ^ { \uparrow } \big \rangle ^ { * } , } \\ { \big \langle P _ { { + } } ^ { \downarrow } \big \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \, e ^ { i \left( \phi _ { \uparrow } - \phi _ { 1 } \right) } \sin 2 \theta \cos \psi \cos \varphi , \qquad \big \langle P _ { { - } } ^ { \downarrow } \big \rangle = \big \langle P _ { { + } } ^ { \downarrow } \big \rangle ^ { * } , } \\ { \big \langle N _ { { + } } ^ { \uparrow } \big \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \, e ^ { - i \left( \phi _ { \uparrow } - \phi _ { - 1 } \right) } \sin 2 \theta \cos \psi \sin \varphi , \qquad \big \langle N _ { { - } } ^ { \uparrow } \big \rangle = \big \langle N _ { { + } } ^ { \uparrow } \big \rangle ^ { * } , } \\ { \big \langle N _ { { + } } ^ { \downarrow } \big \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \, e ^ { - i \left( \phi _ { \downarrow } - \phi _ { - 1 } \right) } \sin 2 \theta \sin \psi \sin \varphi , \qquad \big \langle N _ { { - } } ^ { \downarrow } \big \rangle = \big \langle N _ { { + } } ^ { \downarrow } \big \rangle ^ { * } , } \\ { \left\langle \sigma _ { x } \right\rangle } & { = } & { \sin ^ { 2 } \theta \sin 2 \psi \cos \left( \phi _ { \downarrow } - \phi _ { \uparrow } \right) , } \\ { \left\langle \sigma _ { y } \right\rangle } & { = } & { \sin ^ { 2 } \theta \sin 2 \psi \sin \left( \phi _ { \downarrow } - \phi _ { \uparrow } \right) , } \\ { \left\langle \sigma _ { z } \right\rangle } & { = } & { \sin ^ { 2 } \theta \cos 2 \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z _ { i } ^ { 2 } } F ( z ) \right\| _ { \infty } } & { = \operatorname* { s u p } _ { | z _ { 1 } | = | z _ { 2 } | = 1 } \left| \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z _ { i } ^ { 2 } } F ( z ) \right| = \operatorname* { s u p } _ { | z _ { 1 } | = | z _ { 2 } | = 1 } \left| z _ { i } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z _ { i } ^ { 2 } } F ( z ) \right| } \\ & { \leq \left\| z _ { i } \frac { \partial } { \partial z _ { i } } \left( z _ { i } \frac { \partial } { \partial z _ { i } } \right) F \right\| _ { \infty } + \left\| z _ { i } \frac { \partial } { \partial z _ { i } } F \right\| _ { \infty } < 1 + 2 = 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { x } _ { k } - \beta _ { x , i _ { x } } + \sqrt { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { x , i _ { x } } } { p _ { x , i _ { x } } } } } \\ & { \leq ( \frac { \sqrt { \lambda _ { x , i _ { x } , k } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda _ { x , i _ { x } , k } } } \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } ) \sqrt { \frac { 1 - p _ { x , i _ { x } } } { p _ { x , i _ { x } } } } } \\ & { + \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { x } _ { k } - \beta _ { x , i _ { x } } \leq 0 , } \\ & { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { u } _ { k } + \sqrt { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { u , i _ { u } } } { p _ { u , i _ { u } } } } - \beta _ { u , i _ { u } } } \\ & { \leq ( \frac { \sqrt { \lambda _ { u , i _ { u } , k } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda _ { u , i _ { u } , k } } } \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } ) \sqrt { \frac { 1 - p _ { u , i _ { u } } } { p _ { u , i _ { u } } } } } \\ & { + \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { u } _ { k } - \beta _ { u , i _ { u } } \leq 0 } \end{array}
\sqrt { 2 } G _ { \mu } = \frac { \pi \alpha } { M _ { W } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \left[ \frac { 1 } { ( 1 - \Delta \alpha ) \cdot ( 1 + \frac { \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } { \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \Delta \rho ) } + \Delta r _ { r e m a i n d e r } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda \mu _ { g } } { 2 } \| \nabla y _ { \lambda } ^ { * } ( x _ { 1 } ) - \nabla y _ { \lambda } ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| } & { \le ( l _ { f , 2 } + \lambda l _ { g , 2 } ) ( \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \| y _ { \lambda } ^ { * } ( x _ { 1 } ) - y _ { \lambda } ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| ) \operatorname* { m a x } _ { x \in X } \| \nabla y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) \| } \\ & { \quad + ( l _ { f , 2 } + \lambda l _ { g , 2 } ) ( \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \| y _ { \lambda } ^ { * } ( x _ { 1 } ) - y _ { \lambda } ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| ) } \\ & { \le ( l _ { f , 2 } + \lambda l _ { g , 2 } ) ( 1 + l _ { \lambda , 0 } ) ^ { 2 } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| . } \end{array}
E _ { c } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } \frac { | \mathbb { I } _ { i j a b } | ^ { 2 } } { \Delta _ { i j } ^ { a b } } \Big ( 1 - e ^ { - \kappa \Delta _ { i j } ^ { a b } } \Big ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { x \in [ 1 , x ^ { \prime \prime } ] \cap { \mathbb { N } } ~ \mathrm { i s ~ a } ~ ( k , \sigma ) ~ \mathrm { s e a t ~ i n } ~ \eta ~ \mathrm { i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f } ~ x \in [ 1 , x ^ { \prime \prime } ] \cap { \mathbb { N } } ~ \mathrm { i s ~ a } ~ ( k , \sigma ) ~ \mathrm { s e a t ~ i n } ~ \eta ^ { \prime \prime } , } \end{array}
C \simeq \frac 3 4 \cdot 2 \left\{ \sum _ { i } p ^ { 0 } k _ { i } ^ { 0 } \, \sin ^ { 2 } \Theta _ { i p } + \sum _ { i } \bar { p } ^ { 0 } k _ { i } ^ { 0 } \, \sin ^ { 2 } \Theta _ { i \bar { p } } \right\} .
\frac { ( 2 m ) ! } { \pi ^ { 2 m } } \, \Re \, \zeta ( \Omega ^ { 2 m - 1 } \omega _ { p } ) = \left\{ \begin{array} { r r r } { { 2 ( - 4 ) ^ { m - 1 } B _ { 2 m } } } & { { \mathrm { f o r ~ } p = 0 } } \\ { { ( 2 ^ { 1 - 2 m } - 1 ) ( 3 ^ { 1 - 2 m } - 1 ) ( - 4 ) ^ { m - 1 } B _ { 2 m } } } & { { \mathrm { f o r ~ } p = 1 } } \\ { { ( 3 ^ { 1 - 2 m } - 1 ) ( - 4 ) ^ { m - 1 } B _ { 2 m } } } & { { \mathrm { f o r ~ } p = 2 } } \\ { { ( 2 ^ { - 2 m } - 2 ) ( - 4 ) ^ { m - 1 } B _ { 2 m } } } & { { \mathrm { f o r ~ } p = 3 } } \end{array} \right.
\ln \left( { \frac { \operatorname * { d e t } [ - { \cal M } _ { \mathrm { F P } } ] } { \operatorname * { d e t } [ - { \cal M } _ { \mathrm { F P } } ^ { 0 } ] } } \right) _ { \mathrm { r e g } } \approx - \operatorname * { l i m } _ { s \to 0 } \left\{ { \frac { d } { d s } } \left( { \frac { M ^ { 2 s } } { \Gamma ( s ) } } \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } d t t ^ { s - 1 } \left[ \alpha _ { { \cal M } _ { \mathrm { F P } } } t ^ { - 1 / 2 } - \beta _ { { \cal M } _ { \mathrm { F P } } } t ^ { 1 / 2 } \right] \right) \right\} \; ,
\int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } \, { \cal F } _ { i } ( x , Q ^ { 2 } ) \, \sim \, C _ { i , n } ( Q ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } ) \cdot \, \langle \, h \, | O _ { n } ( \mu ) | \, h \, \rangle .
\begin{array} { r l } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { 0 } ( r , \phi , z ) = } & { - 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n + 1 } \Psi _ { n } ^ { 1 } ( r , \phi , z ) } \\ & { \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { 0 } ( a ) } { L _ { n } ^ { 1 } ( a ) } \right) , } \end{array}
\psi _ { Q } ( z , Q ^ { 2 } ) \, d z \, d Q ^ { 2 } \; = \; \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi Q ^ { 2 } } \, d Q ^ { 2 } \; \gamma _ { a \rightarrow b c } ( z ) \, d z
U _ { K G } ( z ) = U ( z ) + { \frac { a M _ { K G } ^ { 2 } / 2 } { ( { \cal Z } - z ) ^ { 2 } } } = { \frac { K + a M _ { K G } ^ { 2 } / 2 } { ( { \cal Z } - z ) ^ { 2 } } } \equiv { \frac { K _ { K G } } { ( { \cal Z } - z ) ^ { 2 } } } \, .
F ( \eta , y , p _ { y } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \sigma _ { y } \sigma _ { \eta } \sigma _ { p y } } \exp \left[ - \frac { ( y - D \eta ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } - \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } - \frac { p ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p y } ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r } { \frac { { \partial { a _ { m } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } = - { \frac { { j 2 \pi } } { \lambda } } { e ^ { - j \frac { { 2 \pi } } { \lambda } { r _ { m } } } } \frac { { \partial { r _ { m } } } } { { \partial \theta } } , ~ \frac { { \partial { a _ { m } } ( r , \theta ) } } { { \partial r } } = - { \frac { { j 2 \pi } } { \lambda } } { e ^ { - j \frac { { 2 \pi } } { \lambda } { r _ { m } } } } \frac { { \partial { r _ { m } } } } { { \partial r } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \tilde { f } _ { L } } } \\ { { \tilde { f } _ { R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { r r } { { \cos \theta _ { \tilde { f } } } } & { { - \sin \theta _ { \tilde { f } } } } \\ { { \sin \theta _ { \tilde { f } } } } & { { \cos \theta _ { \tilde { f } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \tilde { f } _ { 1 } } } \\ { { \tilde { f } _ { 2 } } } \end{array} \right) \, ,
\delta = \frac { 1 } { c _ { 0 } ^ { * } } \int _ { - \infty } ^ { 0 } U ^ { * \prime } ( z ^ { * } ) \mathrm { e } ^ { 2 k ^ { * } z ^ { * } } \mathrm { d } z ^ { * } = \sqrt { k } \int _ { - \infty } ^ { 0 } U ^ { \prime } ( z ) \mathrm { e } ^ { 2 k z } \mathrm { d } z
= \partial _ { \mu _ { g y } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int d \theta \left[ \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) - \frac { 1 } { 2 \pi } \int d \theta ^ { \prime } \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } + \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathbf { w } _ { \alpha } \cdot \left( \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } - p \nabla \phi _ { \alpha } - \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { w } _ { \alpha } + \mathbf { v } \right) \right) \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { t ^ { n + 1 } - 2 t ^ { n } + t ^ { n - 1 } } { h ^ { 2 } } } & { = } & { E ( x ^ { n } ) ^ { \top } \, \frac { x ^ { n + 1 } - x ^ { n - 1 } } { 2 h } } \\ { \frac { x ^ { n + 1 } - 2 x ^ { n } + x ^ { n - 1 } } { h ^ { 2 } } } & { = } & { E ( x ^ { n } ) \, \frac { t ^ { n + 1 } - t ^ { n - 1 } } { 2 h } - \widehat B ( x ^ { n } ) \, \frac { x ^ { n + 1 } - x ^ { n - 1 } } { 2 h } , } \end{array}
\eta _ { \lambda \xi } ^ { \ell q } \equiv - \frac { g _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } Y _ { \ell } ^ { \lambda } Y _ { q } ^ { \xi } } { m _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } , \quad \eta _ { L \xi } ^ { \nu _ { \mu } q } \equiv - \frac { g _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } Y _ { \nu _ { \mu } } ^ { L } Y _ { q } ^ { \xi } } { m _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } ,
\xi _ { - } ^ { S U ( 2 ) } / \xi _ { + } ^ { S U ( 2 ) } \, \stackrel { ! } { = } \, \xi _ { + } ^ { \mathrm { \tiny ~ I s i n g } } / \xi _ { - } ^ { \mathrm { \tiny ~ I s i n g } } \, \simeq \, 1 . 9 6 \; .
{ \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } x _ { 1 } + a _ { 1 2 } x _ { 2 } + \dots + a _ { 1 n } x _ { n } + b _ { 1 } = 0 } \\ { a _ { 2 1 } x _ { 1 } + a _ { 2 2 } x _ { 2 } + \dots + a _ { 2 n } x _ { n } + b _ { 2 } = 0 } \\ { \vdots } \\ { a _ { m 1 } x _ { 1 } + a _ { m 2 } x _ { 2 } + \dots + a _ { m n } x _ { n } + b _ { m } = 0 , } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 + \delta } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E | L _ { n , i } | ^ { 2 + \delta } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 + \delta } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E | a _ { 1 } W _ { n , i } + a _ { 2 } \frac { 1 } { n h _ { n } } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) V _ { n , i } + a _ { 3 } B _ { n , i } | ^ { 2 + \delta } } \\ & { } & { \leq \frac { 1 } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 + \delta } } \left[ | a _ { 1 } | ^ { 2 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E | W _ { n , i } | ^ { 2 + \delta } + | a _ { 2 } | ^ { 2 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { Z _ { 1 } } ( s ) E | V _ { n , i } | ^ { 2 + \delta } + | a _ { 3 } | ^ { 2 + \delta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E | B _ { n , i } | ^ { 2 + \delta } \right] } \\ & { } & { \rightarrow 0 ~ \mathrm { a s ~ n \rightarrow \infty ~ } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { a _ { 0 } } \\ { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \\ { a _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { . 1 3 1 } \\ { . 2 0 1 } \\ { . 3 2 1 } \\ { . 2 4 9 } \\ { . 0 9 8 } \end{array} \right] \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left[ \begin{array} { c } { \tau _ { 0 } } \\ { \tau _ { 1 } } \\ { \tau _ { 2 } } \\ { \tau _ { 3 } } \\ { \tau _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \infty } \\ { 3 6 2 . 9 } \\ { 7 3 . 6 } \\ { 1 7 . 3 } \\ { 1 . 9 } \end{array} \right] \mathrm { ~ y ~ r ~ } .
c ( n , 3 , 2 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { 2 } / 6 } & { \mathrm { i f ~ n \equiv ~ 0 ~ } } \\ { ( n ^ { 2 } - n ) / 6 } & { \mathrm { i f ~ n \equiv ~ 0 ~ } } \\ { ( n ^ { 2 } + 2 ) / 6 } & { \mathrm { i f ~ n \equiv ~ 2 ~ o r ~ 4 ~ } } \\ { ( n ^ { 2 } - n + 4 ) / 6 } & { \mathrm { i f ~ n \equiv ~ 5 ~ } } \end{array} \right. \ ( \bmod \ 6 ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { C } ^ { i r , j _ { m a x } } ( k _ { 0 } , q _ { + } , q _ { - } ) _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } = \hat { C } ( k _ { 0 } , q _ { + } , q _ { - } ) _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \ \Big [ \ U ( q _ { + } , q _ { - } ) } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad - \chi ^ { ( \le j _ { 0 } ) } ( 4 k _ { 0 } ^ { 2 } + e ^ { 2 } ( { \bf q } , 1 ) ) - \chi ^ { ( > j _ { m a x } ) } ( 4 k _ { 0 } ^ { 2 } + e ^ { 2 } ( { \bf q } , 1 ) ) \ \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat \mu _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \mathrm { a s y } } ( \overline { E } _ { \bullet } ) : = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow + \infty } \frac { \widehat \mu _ { \operatorname* { m a x } } ( \overline { E } _ { n } ) } { n } , } \\ { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( \overline { E } _ { \bullet } ) : = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow + \infty } \frac { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { E } _ { n } ) } { n } , } \\ { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( \overline { E } _ { \bullet } ) : = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow + \infty } \frac { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \overline { E } _ { n } ) } { n } . } \end{array}
S ^ { c l } = { \frac { T } { 4 } } u \cdot \dot { x } ^ { c l } ( T ) = \frac { T u ^ { 2 } } { 4 } + { \frac { 1 } { 4 } } u ^ { 2 } \frac { ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) ^ { 2 } } { L + G _ { B } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { w _ { i + 1 } } & { { } = w _ { i } + \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) w _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } - \left\lfloor \frac { w _ { i } } { L _ { i } } + \frac { \sigma _ { w } R _ { i + 1 } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } \, , } \\ { L _ { i + 1 } } & { { } = \overline { { L } } + \sigma _ { L } S _ { i + 1 } \, , } \end{array}
\mu ^ { \ast } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { ( 2 \beta ) ^ { k } } { \sqrt { 2 k } } \cdot \frac { 2 ( 2 \beta ) ^ { k } } { \sqrt { 2 k } } - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { ( 2 \beta ) ^ { 2 k } } { 4 k } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { 3 ( 2 \beta ) ^ { 2 k } } { 4 k } , \qquad \sigma ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { ( 2 \beta ) ^ { 2 k } } { 2 k } .
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { k ^ { ( 2 ) } \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \left( \nu _ { ( i + 1 , j , k ) } ^ { d } , \nu _ { ( i , j , k ) } ^ { d } \right) \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 4 ) } } & { { } = } & { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \left[ 0 , k ^ { ( 4 ) } - \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 2 ) } \right] \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { B } _ { f } \setminus \mathbb { B } _ { g } } & { = \left\{ ( r , \theta , \varphi _ { 1 } , \dots , \varphi _ { d - 2 } ) : r _ { g } \le r \le \tilde { r } , \ 0 \le \theta \le \tilde { \theta } , \ 0 \le \varphi _ { 1 } , \dots , \varphi _ { d - 3 } \le \pi , \ 0 \le \varphi _ { d - 2 } < 2 \pi \right\} } \end{array}
{ \textrm { P r } } ( \gamma _ { 0 } , \ldots , \gamma _ { l } ) = \rho _ { \gamma _ { 0 } } S _ { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \ldots S _ { \gamma _ { l - 1 } \gamma _ { l } } = \psi _ { \gamma _ { 0 } } { \frac { A _ { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \ldots A _ { \gamma _ { l - 1 } \gamma _ { l } } } { \lambda ^ { l } } } \psi _ { \gamma _ { l } } = \psi _ { \gamma _ { 0 } } { \frac { \exp ( - ( E _ { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } + \ldots + E _ { \gamma _ { l - 1 } \gamma _ { l } } ) ) } { \lambda ^ { l } } } \psi _ { \gamma _ { l } }
\delta \hat { \bf \Delta } \simeq i { \bf P } _ { \xi } ( X ) \int \frac { d ^ { \, 4 } P } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } e ^ { - i P \cdot ( x - y ) } \left\{ f _ { \xi } , \; P ^ { 2 } - { \cal M } _ { \xi } ^ { 2 } \right\} \Delta _ { R } ^ { ( \xi ) } \Delta _ { A } ^ { ( \xi ) } \hat { A } _ { + } \, .
\frac { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \overline { L } _ { 1 } + \overline { L } _ { 2 } ) } { \mathrm { v o l } ( L _ { 1 } + L _ { 2 } ) } \geq \frac { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \overline { L } _ { 1 } ) } { \mathrm { v o l } ( L _ { 1 } ) } + \frac { \widehat { \mathrm { v o l } } _ { \chi } ( \overline { L } _ { 2 } ) } { \mathrm { v o l } ( L _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { E _ { L _ { 1 } } } & { = \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N } | C _ { n } ^ { T } \forall _ { n } - C _ { n } ^ { 0 } \forall _ { n } | } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } C _ { n } ^ { 0 } \forall _ { n } } , } \\ { E _ { G } } & { = \frac { | \sum _ { n = 1 } ^ { N } C _ { n } ^ { T } \forall _ { n } - \sum _ { n = 1 } ^ { N } C _ { n } ^ { 0 } \forall _ { n } | } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } C _ { n } ^ { 0 } \forall _ { n } } \times 1 0 0 \% } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( y ) _ { \tau , h } } & { { } = \frac { 1 } { \tau } \left\langle \frac { K _ { h } ( y - Y _ { t } ) } { \langle K _ { h } ( y - Y _ { t ^ { \prime } } ) \rangle _ { t ^ { \prime } } } ( Y _ { t + \tau } - Y _ { t } ) \right\rangle _ { t } } \\ { D ( y ) _ { \tau , h } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \tau } \left\langle \frac { K _ { h } ( y - Y _ { t } ) } { \langle K _ { h } ( y - Y _ { t ^ { \prime } } ) \rangle _ { t ^ { \prime } } } ( Y _ { t + \tau } - Y _ { t } ) ^ { 2 } \right\rangle _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { = \langle \mathcal { A } ^ { 0 } ( t _ { * } ^ { 0 } + r ^ { 0 } ) , r ^ { 0 } \rangle + C _ { \mathrm { S M } } ^ { 0 } \langle t _ { * } ^ { \perp } + r ^ { \perp } - t _ { * } ^ { \perp } , r ^ { \perp } \rangle _ { \mathbb { V } } } \\ & { = \langle \mathcal { A } ^ { 0 } ( t _ { * } ^ { 0 } + r ^ { 0 } ) - \mathcal { A } ^ { 0 } ( t _ { * } ^ { 0 } ) , r ^ { 0 } \rangle + \langle \mathcal { A } ^ { 0 } ( t _ { * } ^ { 0 } ) - \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 1 } ) , r ^ { 0 } \rangle + C _ { \mathrm { S M } } ^ { 0 } \| r ^ { \perp } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } } \\ & { \ge C _ { \mathrm { S M } } ^ { 0 } \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } - L ^ { 0 } \varkappa \| r ^ { 0 } \| _ { \mathbb { V } } + C _ { \mathrm { S M } } ^ { 0 } \| r ^ { \perp } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } } \\ & { \ge ( C _ { \mathrm { S M } } ^ { 0 } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } - L ^ { 0 } \varkappa ) \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } = ( C _ { \mathrm { S M } } ^ { 0 } \delta - L ^ { 0 } \varkappa ) \delta > 0 , } \end{array}