harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { y _ { + } ( r ) } & { = 1 + \int _ { 0 } ^ { r } \frac { 1 } { s ^ { 2 n + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } \tau ^ { 2 n + 1 } \nu _ { \Omega } ( \tau ) y _ { + } ( \tau ) d \tau d s } \\ & { = 1 + \int _ { 0 } ^ { r } \int _ { s } ^ { r } \frac { 1 } { \tau ^ { 2 n + 1 } } d \tau s ^ { 2 n + 1 } \nu _ { \Omega } ( s ) y _ { + } ( s ) d s } \\ & { = 1 + \frac { 1 } { 2 n } \int _ { 0 } ^ { r } \big [ 1 - ( \frac { s } { r } ) ^ { 2 n } ] s \nu _ { \Omega } ( s ) y _ { + } ( s ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \bar { D } } { D \tau } \left( \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } \right) = - \frac { \mathcal { Q } \tilde { \dot { \omega _ { f } ^ { \prime } } } } { \bar { T } \bar { c } _ { p } } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { \psi } _ { 1 , i } \tilde { \dot { \omega _ { i } ^ { \prime } } } , } \end{array}
{ \mathfrak { o } } ( 3 , 1 ) = \mathrm { s p a n } \left\{ \left( { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \left( { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \left( { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \left( { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \left( { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \left( { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} } \right) \right\} .
\rho _ { G N D } = \sqrt { \sum _ { \mathrm { i } = 1 } ^ { \mathrm { N } _ { \mathrm { s } } } \left( \rho _ { G s } ^ { \mathrm { i } } \right) ^ { 2 } + \left( \rho _ { G e } ^ { \mathrm { i } } \right) ^ { 2 } } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } } & { = s ^ { * } ( A _ { 0 } ( \beta ^ { 1 } ) ^ { 2 } + 2 A _ { 1 } \beta ^ { 1 } \beta ^ { 2 } + A _ { 2 } ( \beta ^ { 2 } ) ^ { 2 } ) \otimes V \otimes X ^ { - 2 } , } \\ { \mathbf { C } } & { = s ^ { * } ( W _ { 0 } ( \beta ^ { 1 } ) ^ { 4 } + 4 W _ { 1 } ( \beta ^ { 1 } ) ^ { 3 } ( \beta ^ { 2 } ) + 6 W _ { 2 } ( \beta ^ { 1 } ) ^ { 2 } ( \beta ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 W _ { 3 } ( \beta ^ { 1 } ) ( \beta ^ { 2 } ) ^ { 3 } + W _ { 4 } ( \beta ^ { 2 } ) ^ { 4 } ) \otimes V \otimes X ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { J } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { J } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \leqslant \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { J } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { J } } } \tilde { a } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { J } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { J } } } \tilde { b } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { n , p , s } t ^ { - \theta } \left( \lVert \tilde { a } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + t ^ { \varepsilon } \lVert \tilde { b } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \right) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\overline { { \mathbf { J } } } _ { s g } = \frac { 1 } { V _ { g } } \sum _ { p } q _ { p } \widehat { \mathbf { v } } _ { p } W _ { p g } + \frac { \beta _ { s } } { V _ { g } } \sum _ { p } q _ { p } \widehat { \mathbf { E } } _ { p } ^ { n + \theta } W _ { p g }
\big | W _ { 0 } ( \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) - \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } ( W _ { 0 } { \widehat { u } } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | = \big | ( W _ { 0 } \widehat { w } ) _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | = \big | v ^ { - q } ( W _ { 0 } \widehat { w } ) _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } \big | \big | v ^ { q } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | .
\begin{array} { r l } { { \mathrm { V a r } } \Big [ \frac { d } { d \tau _ { j } } \log L ( \beta , \tau \mid y , u ) \Big | \tau _ { j } \Big ] } & { \approx \sum _ { m = 1 } ^ { q _ { j } } [ \tilde { v } _ { j m } ^ { 2 } / 2 + \tilde { v } _ { j m } \tilde { u } _ { j m } ^ { 2 } ] } \\ & { \approx \sum _ { m = 1 } ^ { q _ { j } } \tilde { v } _ { j m } ^ { 2 } / 2 = \sum _ { m = 1 } ^ { q _ { j } } \big ( \tau _ { j } + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { m } } z _ { j m k } ^ { 2 } \; t ^ { \prime } ( x _ { m k } ^ { \top } \hat { \beta } ) \big ) ^ { - 2 } / 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta P _ { t o t } Q } & { = \int _ { V _ { O S C } / 2 } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V + \int _ { ( V - V _ { O S C } ) / 2 } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V } \\ & { + \int _ { V _ { O S C } / 2 } \sigma _ { x y } \Bigl ( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \Bigr ) d V + \int _ { ( V - V _ { O S C } ) / 2 } \sigma _ { x y } \Bigl ( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \Bigr ) d V . } \end{array}
\mathcal { L } ( \theta ) = \mathbb { E } _ { i \sim \mathbf { I } , \epsilon \sim \mathcal { N } ( 0 , \mathbb { I } ) , t _ { \mathrm { d i f f } } \sim \mathcal { U } ( 0 , T ) } \left[ \lVert \epsilon - \hat { \epsilon } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \widetilde { \mathbf { x } } _ { t _ { i } + N _ { i } \tau } ^ { t _ { \mathrm { d i f f } } } , \mathbf { x } _ { t _ { i } } , N _ { i } , t _ { \mathrm { d i f f } } ) \rVert _ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( - \mathbb { I } _ { p \times p } , \mathbb { I } _ { ( M / 2 - p ) \times ( M / 2 - p ) } , \mathbb { I } _ { q \times q } , - \mathbb { I } _ { ( M / 2 - q ) \times ( M / 2 - q ) } \right) , } \end{array}
\psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , t ) = \phi _ { \varepsilon } ( x ) \exp \left( i { \bf k } _ { \perp } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { \perp } \right) \exp \left[ - \frac { i t } { \hbar } \left( \varepsilon + \frac { \hbar ^ { 2 } { \bf k } _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 m } \right) \right] \; ,
\begin{array} { r l r } { { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } } & { = } & { - \frac { \kappa ( 4 \Lambda ) Z _ { i } ^ { 0 } / 2 + 2 \kappa \pi ^ { - 1 } \beta \rho } { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } { \bf \hat { n } } \times { \bf { \hat { n } } } _ { i } ^ { 0 } } \\ & { } & { + \frac { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } Z _ { i } ^ { 0 } + 4 ( 4 \Lambda ) \pi ^ { - 1 } \beta \rho } { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } { \bf { \hat { n } } } _ { i } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } ( x , t ) } & { = - \frac { \gamma } { 2 } h _ { 0 x x } , } \\ { u _ { 1 } ( x , z , t ) } & { = \frac { p _ { 0 x } } { F ( \theta _ { B } ) } \left( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } - \frac { h _ { 0 } } { 2 } z \right) - \frac { A ( \theta _ { B } , u _ { 0 x } ) } { B ( \theta _ { B } ) } z + K ( x , t ) , } \\ { \theta _ { 1 } ( x , z , t ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \alpha _ { \nu , j } = \alpha _ { \nu , j } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { m } ) } & { \textrm { f o r e a c h } \; \nu = 1 , \dots , k \; \textrm { a n d } \; j = 1 , \dots , m } \\ { \ T = T ( q _ { 1 } , \dots , q _ { m } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { n } ) , } & { \mathcal { F } _ { i } = \mathcal { F } _ { i } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { m } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { n } ) } \end{array}
{ \widetilde { g } } _ { \mu \nu } \equiv g _ { \mu \nu } + \phi ^ { 2 } A _ { \mu } A _ { \nu } , \qquad { \widetilde { g } } _ { 5 \nu } \equiv { \widetilde { g } } _ { \nu 5 } \equiv \phi ^ { 2 } A _ { \nu } , \qquad { \widetilde { g } } _ { 5 5 } \equiv \phi ^ { 2 }
\forall ( { j \neq i } ) : \ell _ { j } ( x _ { i } ) = \prod _ { m \neq j } { \frac { x _ { i } - x _ { m } } { x _ { j } - x _ { m } } } = { \frac { ( x _ { i } - x _ { 0 } ) } { ( x _ { j } - x _ { 0 } ) } } \cdots { \frac { ( x _ { i } - x _ { i } ) } { ( x _ { j } - x _ { i } ) } } \cdots { \frac { ( x _ { i } - x _ { k } ) } { ( x _ { j } - x _ { k } ) } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { m i d - g a p } } ( g , N ) } & { \sim N H _ { \alpha } ( g N ) , } \\ { H _ { \alpha } ( z ) } & { = \theta ( z ) [ A ( \alpha ) ] ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d y e ^ { - \frac { 1 } { 2 } [ ( y + z - 4 \alpha ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } ] } F _ { \alpha } ( y + 4 \alpha ) F _ { \alpha } ( - y - z + 8 \alpha ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } } & { { } = \{ \mathbf { D } \} + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbf { D } _ { k } \delta ^ { ( k ) } ( z ) } \\ { \overline { { \overline { { Q } } } } } & { { } = \{ \overline { { \overline { { Q } } } } \} + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \overline { { \overline { { Q } } } } _ { k } \delta ^ { ( k ) } ( z ) \, \, \mathrm { ~ e ~ t ~ c ~ . ~ . ~ . ~ } \, . } \end{array}
{ \partial _ { t } } = \varepsilon { \partial _ { t 1 } } + { \varepsilon ^ { 2 } } { \partial _ { t 2 } } \mathrm { { + } } . . . , { \bf { D } } { \mathrm { = } } \varepsilon { { \bf { D } } _ { 1 } } , { \bf { m } } = { { \bf { m } } ^ { e q } } + \varepsilon { { \bf { m } } ^ { ( 1 ) } } + { \varepsilon ^ { 2 } } { { \bf { m } } ^ { ( 2 ) } } + . . . , { \bf { \tilde { F } } } = \varepsilon { { \bf { \tilde { F } } } ^ { ( 1 ) } } ,
\left[ \Sigma _ { c } ^ { \lessgtr } \right] _ { \mu \nu } ( i \tau ) = i \left( \begin{array} { c c } { G _ { \kappa \lambda } ^ { \lessgtr ^ { 0 } } ( i \tau ) + G _ { \kappa \lambda } ^ { \lessgtr ^ { z } } ( i \tau ) } & { G _ { \kappa \lambda } ^ { \lessgtr ^ { x } } ( i \tau ) - i G _ { \kappa \lambda } ^ { \lessgtr ^ { y } } ( i \tau ) } \\ { G _ { \kappa \lambda } ^ { \lessgtr ^ { x } } ( i \tau ) + i G _ { \kappa \lambda } ^ { \lessgtr ^ { y } } ( i \tau ) } & { G _ { \kappa \lambda } ^ { \lessgtr ^ { 0 } } ( i \tau ) - G _ { \kappa \lambda } ^ { \lessgtr ^ { z } } ( i \tau ) } \end{array} \right) c _ { \mu \kappa \alpha } \widetilde { W } _ { \alpha \beta } ( i \tau ) c _ { \nu \lambda \beta } .
M : \ { \vec { f } } _ { 0 } , \ A = { \vec { f } } _ { 0 } + { \vec { f } } _ { 1 } t , \ B : \ { \vec { f } } _ { 0 } + { \vec { f } } _ { 2 } { \frac { 1 } { t } } , \ P : \ { \vec { f } } _ { 0 } + { \vec { f } } _ { 1 } t + { \vec { f } } _ { 2 } { \frac { 1 } { t } }
I = \sum _ { k , \mu , x , y } \bar { \psi } _ { + } ^ { k } ( x ) \gamma _ { \mu } i D _ { \mu } ( x - y ) P \exp \{ i \sum _ { z _ { \mu } = x _ { \mu } } ^ { y _ { \mu } } g A _ { \mu } ( z ) \} \psi _ { + } ^ { k } ( y )
{ \begin{array} { r l } { W _ { 0 } ( z ) } & { = { \frac { z } { 2 \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } { \frac { \left( 1 - \nu \cot \nu \right) ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { z + \nu \csc \nu e ^ { - \nu \cot \nu } } } \, d \nu } \\ & { = { \frac { z } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { \left( 1 - \nu \cot \nu \right) ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { z + \nu \csc \nu e ^ { - \nu \cot \nu } } } \, d \nu , } \end{array} }
\varphi ^ { + } ( x , t ) = i \int d ^ { d - 1 } \vec { x } ^ { \prime } ( H t ^ { \prime } ) ^ { - d } G _ { F } ( x , t ; x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ( \overrightarrow { \partial _ { t ^ { \prime } } } - \overleftarrow { \partial _ { t ^ { \prime } } } ) \varphi ^ { + } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } )
\begin{array} { c } { { { \tilde { Q } } _ { 2 1 2 } ^ { \omega } = \{ \{ 0 , - \frac { \lambda ^ { 2 } u _ { 1 2 } ^ { 2 } } 2 \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \right) , - \frac { \lambda ^ { 6 } a u _ { 1 3 } c } 2 \left( u _ { 1 2 } u _ { 2 3 } + v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } \right) \} , } } \\ { { \{ - \frac { \lambda ^ { 2 } u _ { 1 2 } ^ { 2 } } 2 \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \right) , 0 , \frac { \lambda ^ { 6 } a u _ { 2 3 } } 2 \left( u _ { 1 2 } u _ { 1 3 } c - v _ { 1 2 } v _ { 1 3 } c ^ { * } \right) \} , } } \\ { { \{ - \frac { \lambda ^ { 6 } a u _ { 1 3 } c ^ { * } } 2 \left( u _ { 1 2 } u _ { 2 3 } + v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } \right) , \frac { \lambda ^ { 6 } a u _ { 2 3 } } 2 \left( u _ { 1 2 } u _ { 1 3 } c ^ { * } - v _ { 1 2 } v _ { 1 3 } c \right) , 0 \} \} ; } } \\ { { S p \left( Q _ { 2 1 2 } ^ { \omega } \right) = \lambda ^ { 2 } \left( u _ { 1 2 } ^ { 2 } - v _ { 1 2 } ^ { 2 } \right) \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \right) . } } \end{array}
U _ { 2 3 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c _ { 2 3 } } } & { { s _ { 2 3 } e ^ { - i \delta _ { 2 3 } } } } \\ { { 0 } } & { { - s _ { 2 3 } e ^ { i \delta _ { 2 3 } } } } & { { c _ { 2 3 } } } \end{array} \right)
p _ { \mathrm { g o o d } } \leftarrow \mathrm { c l i p } \left[ p _ { \mathrm { g o o d } } + \mathrm { s g n } \left( \overline { { L } } _ { \mathrm { n e w } } ^ { \mathrm { f i t } } - \overline { { L } } _ { \mathrm { o l d } } ^ { \mathrm { f i t } } \right) p _ { \pm } , \ 0 , \ p _ { \mathrm { g o o d } } ^ { \mathrm { m a x } } \right]
\begin{array} { r l } { \int _ { K } { \lvert \varphi ( x ) - \varphi ( \overline { x } ) \rvert u ( t , x ) d x } } & { = \int _ { K \backslash B _ { \overline { x } } } { \lvert \varphi ( x ) - \varphi ( \overline { x } ) \rvert u ( t , x ) d x } + \int _ { B _ { \overline { x } } } { \lvert \varphi ( x ) - \varphi ( \overline { x } ) \rvert u ( t , x ) d x } } \\ & { \leq 2 \lVert \varphi \rVert _ { \infty } \int _ { K \backslash B _ { \overline { x } } } { u ( t , x ) d x } + \varepsilon \int _ { B _ { \overline { x } } } { u ( t , x ) d x } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { p } ( v _ { \pm } ) = \Delta v _ { \pm } + ( p - 2 ) \partial _ { n n } v _ { \pm } = 0 , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \pm } , } \\ { \lambda _ { \pm } ^ { p } \partial _ { n } v _ { \pm } + \ell \geq 0 , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad B _ { \frac { 1 } { 2 } } \cap \{ x _ { n } = 0 \} , } \\ { \lambda _ { \pm } ^ { p } \partial _ { n } v _ { \pm } + \ell = 0 , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad \mathcal { J } , } \\ { \lambda _ { + } ^ { p } \partial _ { n } v _ { + } = \lambda _ { - } ^ { p } \partial _ { n } v _ { - } , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad \mathcal { C } , } \\ { v _ { + } \leq v _ { - } , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad B _ { \frac { 1 } { 2 } } \cap \{ x _ { n } = 0 \} . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathcal { O } ^ { * } = \mathbb { E } _ { \phi \sim p } \left[ \mathcal { O } ( \phi ) \right] = \frac { 1 } { Z } \int _ { - \infty } ^ { \infty } D [ \phi ] \phi ^ { 3 } \, e ^ { - \phi ^ { 2 } } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm i \dot { c } _ { 1 s } } & { { } = [ E _ { 1 s } + \delta _ { 1 s } I _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } ( t ) ] c _ { 1 s } , } \\ { \mathrm i \dot { c } _ { 3 p } } & { { } = [ E _ { 3 p } + ( \delta _ { 3 p } - \mathrm i \gamma _ { 3 p } / 2 ) I _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } ( t ) ] c _ { 3 p } + \mu _ { 1 s , 3 p } A _ { \mathrm { ~ H ~ 1 ~ 5 ~ } } ( t ) c _ { 1 s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } \left( y , z \right) } & { = - \nabla _ { y } \left[ \left( 1 - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } \right) y _ { j } \right] } \\ & { = - \left[ 1 - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } \right] e _ { j } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { y _ { j } \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) \right] ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { c } { \phi \left( X _ { i } - z _ { 1 } \right) } \\ { \vdots } \\ { \phi \left( X _ { i } - z _ { m } \right) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { n } ^ { u } = \prod _ { m = 1 } ^ { n } e ^ { - j \varphi _ { m } ^ { u } } , \varphi _ { m } ^ { u } = \left\{ \begin{array} { l } { \beta _ { 0 } p , \ \ \mathrm { ~ S ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } \ 0 , } \\ { \beta _ { 1 } p , \ \ \mathrm { ~ S ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } \ 1 , \ } \end{array} \right. \ \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \frac { ( u - 1 ) T } { L } \leq t \leq \frac { T } { L } \ } \end{array}
\Delta V ( R , \omega , r ; \bar { R } , \bar { \omega } , \bar { r } ) \equiv V ( R , \omega , r ) - V _ { \mathrm { i n t e r } } ( R , \omega ; \bar { r } ) - V _ { \mathrm { i n t r a } } ( r ; \bar { R } , \bar { \omega } ) .
\begin{array} { r l } { u _ { i } ^ { ( \alpha ) } } & { = u _ { i } – u _ { i } ^ { \infty } } \\ { \tau _ { i j } ^ { N , ( \alpha ) } } & { = \tau _ { i j } ^ { N } - \tau _ { i j } ^ { N , \infty } } \\ { b _ { i } ^ { ( \alpha ) } } & { = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \tau _ { i j } ^ { e x } - \tau _ { i j } ^ { e x , \infty } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \mathrm { ~ i s ~ t o r s i o n - f r e e ~ o f ~ r a n k ~ o n e } , \quad \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \mathrm { ~ i s ~ t o r s i o n } , } \\ & { \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \longrightarrow H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } \xrightarrow { \sim } \mathcal { R } _ { 2 } \quad \mathrm { ~ i s ~ i n j e c t i v e } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \delta _ { \bf B } L _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ M ~ } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf B } \; + \; \delta \Lambda _ { \mathrm { g c M } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \rho _ { 1 1 } } & { \cdots } & { \rho _ { 1 d } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \rho _ { d 1 } } & { \cdots } & { \rho _ { d d } } \end{array} \right) ,
\frac { \partial \Phi _ { 0 1 } } { \partial y } \, - \, \varphi ( y ) \, \frac 1 i \, \frac { \partial \Phi _ { 0 1 } } { \partial q } \, = \, \varphi ( y ) \bigl [ p \, - \, 2 i \bigl ( \delta ( q ) - \delta ( 1 - q ) \bigr ) \bigr ] \, \Phi _ { 0 1 } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tau _ { R } = } & { I m \left[ \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } \right] - \sum _ { z _ { \ell } } I m \left[ \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } \right] } \\ & { + \sum _ { p _ { \ell } } I m \left[ \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { a - p _ { \ell } } \right] } \\ { \tau _ { I } = - } & { R e \left[ \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } \right] + \sum _ { z _ { \ell } } R e \left[ \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } \right] } \\ & { - \sum _ { p _ { \ell } } R e \left[ \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { a - p _ { \ell } } \right] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { H _ { 1 } } \prod _ { ( i , j ) \in \Gamma } \frac { A _ { i j } - d } { \sqrt { d ( 1 - d ) } } \leq p _ { 1 } ^ { | \Gamma | } \cdot \left\{ \frac { N } { n } + \frac { n - N } { n } \left( \frac { - N } { n - N } \right) ^ { 2 } \right\} ^ { | \{ i : i \mathrm { ~ a p p e a r s ~ a t ~ l e a s t ~ 2 ~ t i m e s ~ i n ~ } \Gamma \} | } } \\ { \leq } & { p _ { 1 } ^ { | \Gamma | } \cdot \left( \frac { 2 N } { n } \right) ^ { | \{ i : i \mathrm { ~ a p p e a r s ~ a t ~ l e a s t ~ 2 ~ t i m e s ~ i n ~ } \Gamma \} | } . } \end{array}
P ( x , y , t , t ^ { \prime } | { a } , { c } ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } P ( x , y , t , t ^ { \prime } | { a } , { c } , \xi , \zeta ) p ( \xi , \zeta | { a } , { c } ) d \xi d \zeta \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! S _ { S } [ \omega ] = \frac { 4 | g | ^ { 2 } | A _ { p } | ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \ e ^ { i \omega \tau } \langle b _ { S } ( t + \tau ) b _ { S } ^ { \dag } ( t ) \rangle } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! S _ { a S } [ \omega ] = \frac { 4 | g | ^ { 2 } | A _ { p } | ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \ e ^ { i \omega \tau } \langle b _ { a S } ^ { \dag } ( t \! + \! \tau ) b _ { a S } ( t ) \rangle \quad \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { M } u _ { 2 } ( \Phi ( x , t ) , t ) } & { { } \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x = \int _ { \Phi ( M , t ) } u _ { 2 } ( x , t ) x _ { 1 } F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } } \end{array}
Y _ { \mathrm { ~ l ~ , ~ c ~ h ~ e ~ } } \left( E \right) = \left\{ \begin{array} { l } { a _ { 1 } E _ { \mathrm { ~ l ~ } } ^ { 2 } + b _ { 1 } E _ { \mathrm { ~ l ~ } } + c _ { 1 } \quad \qquad \qquad E _ { \mathrm { ~ l ~ } } < { E _ { \mathrm { ~ l ~ , ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ } } } } \\ { a _ { 2 } E _ { \mathrm { ~ l ~ } } + b _ { 2 } \qquad \qquad \qquad \qquad E _ { \mathrm { ~ l ~ } } \ge { E _ { \mathrm { ~ l ~ , ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ } } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { \frac { { m { \varepsilon _ { T } } } } { { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } } \\ & { \approx \frac { 1 } { { { \varepsilon _ { T } } } } \int _ { - \frac { { M { \varepsilon _ { T } } } } { 2 } } ^ { \frac { { M { \varepsilon _ { T } } } } { 2 } } { \frac { x } { { { x ^ { 2 } } - 2 \sin ( \theta ) x + 1 } } } d x } \\ & { = \frac { 1 } { { 2 { \varepsilon _ { T } } } } \ln \left| { \frac { { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } - \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } { { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } + \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } } \right| + \frac { { \sin \theta } } { { { \varepsilon _ { T } } \cos \theta } } \Delta _ { \mathrm { { s p a n } } } ^ { \mathrm { t } } \left( \frac { { { D _ { T } } } } { r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] } & { = G \, \hat { a } _ { \mathrm { i n } } [ \Omega ] + \sqrt { G ^ { 2 } - 1 } \, \hat { a } _ { \mathrm { G } } ^ { \dagger } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } [ \Omega ] } & { = - \sqrt { \eta } \, \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] + \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { a } _ { 0 } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = \sqrt { 1 - \eta } \, \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } [ \Omega ] + \sqrt { \eta } \, \hat { a } _ { 0 } [ \Omega ] } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { i n } } [ \Omega ] } & { = e ^ { i \Omega \tau } \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } [ \Omega ] , } \end{array}