harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \int d x \frac { 1 } { z - x } \partial _ { x } [ \rho _ { \sigma } ( x , t ) \int \frac { d y } { x - y } \rho _ { \sigma } ( y , t ) ] } & { = } & { \partial _ { z } \int d x d y \frac { 1 } { ( z - x ) ( x - y ) } \rho _ { \sigma } ( x , t ) \rho _ { \sigma } ( y , t ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } \int d x d y \frac { 1 } { ( x - y ) } [ \frac { 1 } { z - x } - \frac { 1 } { z - y } ] \rho _ { \sigma } ( x , t ) \rho _ { \sigma } ( y , t ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } \int d x d y \frac { 1 } { ( z - x ) ( z - y ) } \rho _ { \sigma } ( x , t ) \rho _ { \sigma } ( y , t ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } G ( z ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { i } \mathbf { P } ( \mathbf { x } , t ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { I \! H } } \frac { ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { y } _ { i } ) } { | \mathbf { x } - \mathbf { y } | ^ { 2 } } \nabla _ { ( y ) } ^ { i } \nabla _ { ( y ) } ^ { j } { \mathbf { U } } _ { i } ( \mathbf { y } , t ) { \mathbf { U } } _ { j } ( \mathbf { y } , t ) d ^ { 3 } y } \\ & { \equiv \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbb { I \! H } } \frac { ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { y } _ { i } ) } { | \mathbf { x } - \mathbf { y } | ^ { 2 } } \Delta _ { y } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { y } , t ) \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { y } , t ) \delta ^ { i j } d ^ { 3 } y } \\ & { } \end{array}
\lambda = \frac { 2 \pi \cdot | | \overrightarrow { v _ { \mathrm { g } } } | | } { \overrightarrow { k } \cdot \overrightarrow { v _ { \mathrm { g } } } } = \frac { 2 \pi } { \overrightarrow { k } \cdot \overrightarrow { e _ { \mathrm { g } } } } = \frac { \lambda _ { 0 } ( \varphi ) } { \cos { ( \theta _ { \mathrm { V } } - \varphi ) } } ,
\begin{array} { r l } { k _ { b a s e } } & { { } \approx \frac { 1 . 0 9 6 ( 0 . 9 9 6 6 ) ^ { 4 } } { ( 0 . 9 9 6 6 ) ^ { 3 } } k _ { 3 0 0 \, \mathrm { K } } } \\ { k _ { b a s e } } & { { } \approx 1 . 0 9 2 k _ { 3 0 0 \, \mathrm { K } } , } \end{array}
\Pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } = \sum _ { j = 1 } ^ { m } W _ { j i } \delta _ { p _ { j } , k } , \qquad \Pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } = \sum _ { j = 1 } ^ { m } W _ { i j } \delta _ { p _ { j } , k } \quad .
\hat { S } = \int d ^ { 1 1 } \hat { x } \sqrt { | \hat { g } | } \left[ \hat { R } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 \cdot 4 ! } } \hat { G } { } ^ { 2 } - { \textstyle \frac { 1 } { ( 1 4 4 ) ^ { 2 } } } { \textstyle \frac { 1 } { \sqrt { | \hat { g } | } } } \, \hat { \epsilon } \hat { G } \hat { G } \hat { C } \right] \, .
R _ { n } ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { N - \tau } \sum _ { i = 0 } ^ { N - \tau - 1 } n _ { i + \tau } n _ { i } \, , } & { \tau \geq 0 } \\ { R _ { n } ( - \tau ) \, , } & { \tau < 0 \ . } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { c c c c c } { { \pmb F } } \\ { { \pmb T } } \\ { \mathsf { \pmb S } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { c c c c c } { { \pmb R } ^ { ( F U ) } } & & { { \pmb R } ^ { ( F \Omega ) } } & & { { \pmb R } ^ { ( F E ) } } \\ { { \pmb R } ^ { ( T U ) } } & & { { \pmb R } ^ { ( T \Omega ) } } & & { { \pmb R } ^ { ( T E ) } } \\ { { \pmb R } ^ { ( S U ) } } & & { { \pmb R } ^ { ( S \Omega ) } } & & { { \pmb R } ^ { ( S E ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c c c } { { \pmb U } } \\ { { \pmb \Omega } } \\ { { \pmb E } } \end{array} \right)
= \int \! d x ~ ( J ^ { 1 ~ j } \Phi ^ { j } + { \frac { i } { 2 } } \bar { \chi } ^ { j } \gamma ^ { 1 } \Psi ^ { j } - { \frac { i } { 2 } } \bar { \chi } ^ { j } \gamma ^ { 1 } \varepsilon ^ { j k l } \Phi ^ { k } \chi ^ { l } ) .
\left\{ \left[ \! \! { \begin{array} { c } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { n } } \end{array} } \! \! \right] \in K ^ { n } : { \begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { { 6 } a _ { 1 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 1 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { 1 n } x _ { n } } & { } & { \; = 0 } & { } \\ { a _ { 2 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { 2 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { 2 n } x _ { n } } & { } & { \; = 0 } & { } \\ & { } & & { } & & { } & & { } & & { } & { \vdots \quad } & { } \\ { a _ { m 1 } x _ { 1 } } & { } & { \; + \; } & { } & { a _ { m 2 } x _ { 2 } } & { } & { \; + \cdots + \; } & { } & { a _ { m n } x _ { n } } & { } & { \; = 0 } & { } \end{array} } \right\} .
- \frac { 1 } { 4 } \left\langle Q \left| \cal F _ { \mu \nu } ^ { \cal A } \cal F ^ { \cal A \mu \nu } \right| Q \right\rangle = - \frac { 1 } { 4 } \left\langle \cal F _ { \mu \nu } ^ { \cal A } \cal F ^ { \cal A \mu \nu } \right\rangle = - \frac { 1 } { 4 } \left\langle { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { 3 } { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { 3 } + { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { m } { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { m } \right\rangle
= \mp \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } \right) - 1 } { \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \left( 1 \mp \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \right) }
\begin{array} { r l } { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) } & { { } = n - 2 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) } & { { } = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \left[ 1 - \cos ^ { 2 } ( p \theta ) \right] ^ { 2 } \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) } & { { } = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \sin ^ { 4 } ( p \theta ) \, . } \end{array}
| y ^ { \mathcal { N } } | _ { 1 , K } \leq \eta _ { \mathrm { i n v } } h _ { K } ^ { - 1 } \| y ^ { \mathcal { N } } \| _ { L ^ { 2 } ( K ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \| \Delta y ^ { \mathcal { N } } \| _ { L ^ { 2 } ( K ) } \leq \eta _ { \mathrm { i n v } } h _ { K } ^ { - 1 } \| \nabla y ^ { \mathcal { N } } \| _ { L ^ { 2 } ( K ) } \quad \forall y ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } ,
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( w _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) - \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( x ^ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( w _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) - \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( x _ { ( k - 1 ) } ^ { * } ) \| ^ { 2 } + \frac { 2 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( x ^ { k - 1 } ) - \nabla G _ { k - 1 } ^ { ( \tau ) } ( x _ { ( k - 1 ) } ^ { * } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 ( { \bar { L } } + \kappa ) \left( G _ { k - 1 } ( w _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) - G _ { k - 1 } ^ { * } + G _ { k - 1 } ( x ^ { k - 1 } ) - G _ { k - 1 } ^ { * } \right) } \\ & { \leq \frac { 4 ( { \bar { L } } + \kappa ) } { { \tilde { \eta } } } \Phi _ { 3 , ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } + 4 ( { \bar { L } } + \kappa ) ( G _ { k - 1 } ( x ^ { k - 1 } ) - G _ { k - 1 } ^ { * } ) } \\ & { \leq 4 ( { \bar { L } } + \kappa ) \left( \frac { 1 } { \tilde { \eta } } + 1 \right) \epsilon _ { k - 1 } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { O S } = - \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } \left[ \frac { 1 } { i R e } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \alpha U \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \right) + \alpha U ^ { \prime \prime } \right] \mathrm { ~ , ~ }
2 \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| \geqslant \frac { 4 } { 3 } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| .
\begin{array} { r } { I ( i ) = e ^ { 2 t v _ { i } \beta \partial _ { i } \psi ( x ) } \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , v ) e ^ { - ( \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) ) t } } { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\Vert \mathbb { E } \hat { f } _ { n } ( \theta ) - f ( \theta ) \right\Vert _ { \mathrm { H S } } \leq \left\Vert \mathbb { E } \hat { f } _ { n } ( \theta ) - \mathbb { E } g _ { n } ( \theta ) \right\Vert _ { \mathrm { H S } } + \left\Vert \mathbb { E } g _ { n } ( \theta ) - f ( \theta ) \right\Vert _ { \mathrm { H S } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \alpha } ( L | | \overline { { M } } ) = g ( D _ { f } ( L | | \overline { { M } } ) ) } & { = g ( D _ { f } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) + D _ { f } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) ) } \\ & { \leqslant g ( D _ { f } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) ) + g ( D _ { f } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) ) = R _ { \alpha } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) + R _ { \alpha } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) . } \\ { R _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | L ) = g ( D _ { f } ( \overline { { M } } | | L ) ) } & { = g ( D _ { f } ( M ^ { f } | | L ) + D _ { f } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) ) } \\ & { \leqslant g ( D _ { f } ( M ^ { f } | | L ) ) + g ( D _ { f } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) ) = R _ { \alpha } ( M ^ { f } | | L ) + R _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) . } \end{array}
P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { \tau } ) \approx s i n ^ { 2 } 2 \theta _ { \mu \tau } s i n ^ { 2 } \frac { 1 . 2 7 \Delta m ^ { 2 } ( e V ^ { 2 } ) L ( k m ) } { E _ { \nu } ( G e V ) }
M _ { i } ^ { \prime } = A _ { i j } M _ { j } \quad \alpha _ { i } ^ { \prime } = ( A ^ { T } ) _ { i j } ^ { - 1 } \alpha _ { j } \quad F _ { i \alpha } ^ { \prime } = A _ { i j } F _ { j \alpha } ^ { \prime } \quad i = 0 , \cdots , M
\mathscr { E } \left\{ \left| d _ { u _ { i } , r } ^ { - \frac { \alpha _ { r } } { 2 } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \frac { \alpha _ { e } } { 2 } } \mathbf { h } _ { e _ { j } , r } \Theta \bar { \Theta } \mathbf { h } _ { r , i } + d _ { e _ { j } , i } ^ { - \frac { \alpha _ { e } } { 2 } } h _ { e _ { j } , i } \right| ^ { 2 } \right\} = d _ { u _ { i } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \mathscr { E } \left\{ \left| \mathbf { h } _ { e _ { j } , r } \Theta \bar { \Theta } \mathbf { h } _ { r , i } \right| ^ { 2 } \right\} + d _ { e _ { j } , i } ^ { - \alpha _ { e } }
X ^ { \mu } ~ = ~ x ^ { \mu } ~ + ~ \ell _ { S } ^ { 2 } ~ p ^ { \mu } ~ \tau ~ + ~ i \ell _ { S } \sum _ { n \ne 0 } \frac { 1 } { n } ~ \alpha _ { n } ^ { \mu } ~ e ^ { - i n \tau } ~ c o s n \sigma
{ \cal E } _ { \mathrm { J P } } = \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { 1 } { 2 m } | D _ { \pm } \psi | ^ { 2 } - \left( \frac { g } { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 m \kappa } \right) | \psi | ^ { 4 } \right]
{ \mathcal V } ( x _ { 0 } ) < J ( x _ { 0 } , \alpha _ { \mathrm { c o } } , \theta _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } ) \; \mathrm { ~ w h e r e ~ } \; \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \theta _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } - \partial _ { x x } ^ { 2 } \theta _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } = f ( \theta _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } ) - m _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } \theta _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } , \; \theta _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } ( 0 ) = \theta _ { 0 } , } \\ { \partial _ { t } m _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } + \partial _ { x } ( \alpha _ { \mathrm { c o } } m _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } ) = 0 , \; m _ { \alpha _ { \mathrm { c o } } } ( 0 ) = m _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { { 2 } u ( \vec { x } ) } & { \approx u ^ { h } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { x } ) u _ { i } \, , \quad } & & { v ( \vec { x } ) \approx v ^ { h } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { x } ) v _ { i } \, , } \\ { \overline { f } ( \vec { x } ) } & { \approx \overline { { f } } ^ { h } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { x } ) \overline { f } _ { i } \, , \quad } & & { s ( \vec { x } ) \approx s ^ { h } ( \vec { x } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { u } } \phi _ { i } ( \vec { x } ) s _ { i } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \varepsilon \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) \bigg | _ { \theta = \theta _ { 0 } } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } 2 \varepsilon ^ { - 1 } \left( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } \bigl ( \theta _ { 0 } \bigr ) \right) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta _ { 0 } ) P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) } \\ & { = \colon \sum _ { k = 1 } ^ { n } \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) , } \end{array}
\sigma _ { q \bar { q } } ^ { ( \pi ^ { 2 } ) } ( s , m ^ { 2 } ) = \sigma _ { q \bar { q } } ^ { ( 0 ) } ( s , m ^ { 2 } ) \left[ \frac { \pi \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { 2 \beta } \left( C _ { F } - \frac { C _ { A } } { 2 } \right) + \frac { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { \pi } C _ { F } \left( \frac { 9 } { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } \right) \right] .
\begin{array} { r l r l } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u ) = 0 } & & { \mathrm { i n } \, \, \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] , } \\ & { \frac { \partial ( \rho \mathbf u ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u \otimes \mathbf u ) + \nabla p + \rho g \widehat { \mathbf k } = \boldsymbol { 0 } } & & { \mathrm { i n } \, \, \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] , } \\ & { \frac { \partial ( \rho e ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho e \mathbf u ) + \nabla \cdot ( p \mathbf u ) = 0 } & & { \mathrm { i n } \, \, \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] , } \end{array}
G _ { j } ^ { I ^ { \prime } , I } \equiv G _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } ^ { I ^ { \prime } , I } = \chi ^ { ( \Gamma _ { I ^ { \prime } } ) } ( \hat { R } ) \chi ^ { ( \Gamma _ { I } ) } ( \hat { R } ) G _ { \hat { R } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } ^ { I ^ { \prime } , I }
d s _ { E } ^ { 2 } = - ( 1 + ( 1 + k ^ { 2 } ) \frac { 4 m } { r } ) ^ { - 1 / 2 } d t ^ { 2 } + ( 1 + ( 1 + k ^ { 2 } ) \frac { 4 m } { r } ) ^ { 1 / 2 } [ d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { N L } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { \mathrm { m a x } } | ^ { 2 } } \\ & { \times \pi \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \left( \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } \right) } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) | \mathcal { J } _ { \mathrm { s p a t i a l } } | ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ^ { \prime } ( H , s ) = \frac { \partial g ( H , s ) } { \partial s } = \frac { \partial g } { \partial \alpha } \, \frac { d \alpha } { d s } = \frac { H } { 2 i D \beta } \biggl [ \cos \beta \biggl ( 1 + \frac { \kappa _ { a } \beta ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } - \kappa _ { d } } \biggr ) - \beta \sin \beta \biggl ( 1 + \frac { 2 \kappa _ { a } \kappa _ { d } } { ( \beta ^ { 2 } - \kappa _ { d } ) ^ { 2 } } \biggr ) \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \cos { \left( { \Omega } _ { p } \tau _ { p } \right) } = \cos { \left( \Omega _ { 1 } t _ { 1 } \right) } \cos { \left( \Omega _ { 2 } t _ { 2 } \right) } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - f \sin { \left( \Omega _ { 1 } t _ { 1 } \right) } \sin { \left( \Omega _ { 2 } t _ { 2 } \right) } } \\ & { } & { = F \cos { \left( \Omega _ { 1 } t _ { 1 } + \Omega _ { 2 } t _ { 2 } \right) } + G \cos { \left( \Omega _ { 1 } t _ { 1 } - \Omega _ { 2 } t _ { 2 } \right) } , } \end{array}
\psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \hbar } } [ \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + i \pi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] \; \; \; ; \; \; \; \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \hbar } } [ \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) - i \pi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ]
\begin{array} { r l } { \mathrm { \normalfont ~ I m } \left[ \widetilde { G } \left( x - \frac { \pi } { 2 x } ( 1 - \varepsilon ) i \right) \right] } & { = O ( x ) - ( 1 + o ( 1 ) ) \frac { \sqrt { 2 \pi ^ { 3 } } } { 2 } \varepsilon e ^ { \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 x ^ { 2 } } ( 1 - \varepsilon ) ^ { 2 } } } \\ & { = o ( 1 ) - ( 1 + o ( 1 ) ) \frac { \sqrt { 2 \pi ^ { 3 } } } { 2 } e ^ { \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 x ^ { 2 } } ( 1 - \eta + o ( 1 ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overrightarrow { y } = \left( \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \phi _ { y } \right) } \\ { - \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { n } ( t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \cosh ^ { \nu + 1 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) ~ { _ 2 F _ { 1 } } \left[ a _ { n } , b _ { n } ; \frac { 1 } { 2 } ; - \sinh ^ { 2 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) \right] , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ v ~ e ~ n ~ n ~ } , } \\ { \cosh ^ { \nu + 1 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) ~ \sinh \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) ~ { _ 2 F _ { 1 } } \left[ a _ { n } + \frac { 1 } { 2 } , b _ { n } + \frac { 1 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } ; - \sinh ^ { 2 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) \right] , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ o ~ d ~ d ~ n ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
k _ { \mathrm { 1 } } ^ { \mathrm { 3 } } \mathrm { + } \left( { \left( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } \right) } ^ { \mathrm { 2 } } \mathrm { - } \frac { \mathrm { 1 } } { \mathrm { 3 } } \right) k _ { \mathrm { 1 } } \mathrm { + } \left( \mathrm { - } \frac { \mathrm { 2 } } { \mathrm { 2 7 } } \mathrm { + } \left( \frac { \mathrm { 1 } } { \mathrm { 3 } } \mathrm { - } s i n ^ { \mathrm { 2 } } \beta \right) { \left( \frac { H _ { S O T } ^ { D L } } { H _ { K } } \right) } ^ { \mathrm { 2 } } \right) \mathrm { = 0 }
E = m _ { b o d y } g \Delta z + \frac { 1 } { 2 } m _ { b e a m } g L ( \cos \Delta \theta _ { 1 } + \cos \Delta \theta _ { 2 } - 2 ) + \frac { 1 } { 2 } K ( \Delta \theta _ { 1 } ^ { 2 } + \Delta \theta _ { 2 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \left[ z ( t ) , p _ { z } ( t ) \right] } & { { } \approx { \frac { 2 i \hbar e ^ { 2 } } { 3 \pi m c ^ { 3 } } } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d x } { x ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 6 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { r } ^ { \bar { \alpha } ; \alpha , \gamma } } & { = \mathcal { G } _ { r _ { \alpha , \bar { \alpha } } } ^ { \bar { \alpha } ; \alpha , \gamma } , } \\ { \check { \mathcal { G } } _ { r } ^ { \bar { \alpha } ; \alpha , \gamma } } & { = \check { \mathcal { G } } _ { r _ { \alpha , \bar { \alpha } } } ^ { \bar { \alpha } ; \alpha , \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ( \theta ; z ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { p } \left[ \theta ^ { \top } \frac { \partial ^ { 2 } t ( z ) } { \partial z _ { k } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } h ( z ) } { \partial z _ { k } ^ { 2 } } + \frac 1 2 \left( \theta ^ { \top } \frac { \partial t ( z ) } { \partial z _ { k } } + \frac { \partial h ( z ) } { \partial z _ { k } } \right) ^ { 2 } \right] + \mathrm { c o n s t } } \\ & { = \frac 1 2 \theta ^ { \top } A ( z ) \theta - b ( z ) ^ { \top } \theta + c ( z ) + \mathrm { c o n s t } , } \end{array}
H = \sum _ { n = 1 } ^ { 2 L } [ \mathbf { c } _ { n } ^ { \dagger } \mathbf { J } _ { L } \mathbf { c } _ { n + 1 } + \mathbf { c } _ { n } ^ { \dagger } \mathbf { K } \mathbf { c } _ { n } + \mathbf { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \mathbf { J } _ { R } \mathbf { c } _ { n } ] .
\frac { \partial \mathbf { u } } { \partial p } = - \mathbf { A } ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial p } \mathbf { u } - \frac { \partial \mathbf { b } } { \partial p } \right) = - \mathbf { A } ^ { - 1 } \left. \frac { \partial \mathbf { l } } { \partial p } \right| _ { \mathbf { u } } .
\begin{array} { r l r } { m _ { v _ { 0 } v _ { L } } } & { = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } k _ { v _ { K } } \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { | K | - 1 } \pi _ { v _ { K _ { i } } } } { \pi _ { v _ { K } } } } \\ & { = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } k _ { v _ { K } } \sum _ { i = 0 } ^ { | K | - 1 } \frac { k _ { v _ { K _ { i } } } } { \boldsymbol { W } } \frac { \boldsymbol { W } } { k _ { v _ { K } } } } \\ & { = } & { \sum _ { I = 1 } ^ { L } \sum _ { K = 0 } ^ { I - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { | K | - 1 } k _ { v _ { K _ { i } } } } \end{array}
\mu _ { i j } ^ { t r } = \mu _ { i j } ^ { r t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { i = j , } \\ { \frac { 1 } { 8 \pi \eta r _ { i j } ^ { 2 } } \boldsymbol { \varepsilon } \cdot \hat { \boldsymbol { r } } _ { i j } } & { i \neq j , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { F _ { ( 0 , 0 , n - 3 ) } = } & { F _ { ( 0 , 0 , n - 3 ) } ^ { \prime } = 1 + X _ { ( 0 , 0 , n - 3 ) } F _ { ( 1 , 0 , n - 4 ) } ^ { \prime } } \\ { = } & { [ X _ { ( 0 , 0 , n - 3 ) } \leftarrow X _ { ( 1 , 0 , n - 4 ) } \leftarrow X _ { ( 2 , 0 , n - 5 ) } \leftarrow \cdots \leftarrow X _ { ( n - 3 , 0 , 0 ) } ] = \Phi _ { ( 0 , 0 , n - 3 ) } . } \end{array}
g _ { i } \left( \mathbf { x } + \mathbf { e } _ { i } \delta _ { t } , t + \delta _ { t } \right) - g _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \left( \mathbf { N } ^ { - 1 } \mathbf { Q } \right) _ { i j } \left[ \mathbf { n } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { n } _ { j } ^ { ( \mathrm { e q } ) } ( \mathbf { x } , t ) \right]
\begin{array} { r l r } { E _ { f } ^ { n } } & { { } = } & { E _ { f } ^ { n } + \pi \, L R ^ { 2 } \, \Delta t \, P _ { f } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) \, , } \\ { E _ { \alpha } ^ { n } } & { { } = } & { E _ { \alpha } ^ { n } + \pi \, L R ^ { 2 } \, \Delta t \, P _ { f } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) \, , } \\ { E _ { n } ^ { n } } & { { } = } & { E _ { n } ^ { n } + \frac { 1 4 . 1 } { 3 . 5 } \, \pi \, L R ^ { 2 } \, \left( 1 - a \right) \, \Delta t \, P _ { f } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) \, , } \\ { E _ { r } ^ { n } } & { { } = } & { E _ { r } ^ { n } + \pi \, L R ^ { 2 } \, \Delta t \, P _ { i e } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) \, , } \\ { Q _ { F } ^ { n } } & { { } = } & { \frac { E _ { f } ^ { n } } { E _ { i } } \, . } \end{array}
\therefore { \mathcal { H } } = \sum _ { n , n ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } x \, a _ { n ^ { \prime } } ^ { \dagger } \psi _ { n ^ { \prime } } ^ { ( + ) ^ { * } } ( x ) \, { \mathfrak { H } } a _ { n } \psi _ { n } ^ { ( + ) } ( x )
\begin{array} { r l } { \big ( 1 - \cos ( a ) \cos ( b ) \big ) ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } ( a ) \sin ^ { 2 } ( b ) } & { = 1 + \cos ^ { 2 } ( a ) \cos ^ { 2 } ( b ) - 2 \cos ( a ) \cos ( b ) - \big ( 1 - \cos ^ { 2 } ( a ) \big ) \big ( 1 - \cos ^ { 2 } ( b ) \big ) } \\ & { = \cos ^ { 2 } ( a ) + \cos ^ { 2 } ( b ) - 2 \cos ( a ) \cos ( b ) } \\ & { = \big ( \cos ( a ) - \cos ( b ) \big ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| D _ { y } ( \ln ( 1 + \hat { \Phi } ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 + \phi ^ { n + 1 } ) ) \| _ { 2 } \le 2 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 1 } \| D _ { y } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } + 2 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 2 } C \| \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 4 } , } \\ & { \| D _ { z } ( \ln ( 1 + \hat { \Phi } ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 + \phi ^ { n + 1 } ) ) \| _ { 2 } \le 2 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 1 } \| D _ { z } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } + 2 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 2 } C \| \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( Y \geq k ) = P ( Z \geq k ) + P ( Z = k - 1 ) p _ { i } ^ { \prime } , } \\ & { P ( Y = k ) = P ( Z = k ) ( 1 - p _ { i } ^ { \prime } ) + P ( Z = k - 1 ) p _ { i } ^ { \prime } , } \\ & { P ( X < k ) = P ( Z < k ) - P ( Z = k - 1 ) p _ { i } , } \\ & { P ( X = k ) = P ( Z = k ) ( 1 - p _ { i } ) + P ( Z = k - 1 ) p _ { i } . } \end{array}