harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \| u - U \| _ { H ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \le C \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { 2 } \Big ) ^ { 2 s _ { n } - 2 } \displaystyle \frac { \Gamma ( r _ { n } - s _ { n } + 1 ) } { \Gamma ( r _ { n } + s _ { n } - 1 ) } \| u \| _ { H ^ { s _ { n } + 1 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } } \end{array}
d \Phi = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { \chi ^ { 0 } } } \frac { d ^ { 3 } k ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { \chi ^ { + } } } \cdot ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ( p _ { t } - p _ { b } - k - k ^ { \prime } ) \ \ ,
\alpha : = { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } n ^ { a } { \bar { \delta } } l _ { a } - { \bar { m } } ^ { a } { \bar { \delta } } m _ { a } { \big ) } = { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } n ^ { a } { \bar { m } } ^ { b } \nabla _ { b } l _ { a } - { \bar { m } } ^ { a } { \bar { m } } ^ { b } \nabla _ { b } m _ { a } { \big ) } \, .
\mu ^ { \prime \prime } + \mu \biggl [ n ^ { 2 } + n ^ { 2 } \sum _ { q = 1 } ^ { m } \frac { b _ { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 q } } \biggl ( \frac { \epsilon \, n } { \vert \eta \vert ^ { 1 + \beta } } \biggr ) ^ { 2 q } - \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } \biggr ] = 0 .
\begin{array} { l c l } { { \delta { \cal T } _ { 1 } } } & { { = } } & { { c _ { 0 } ( 1 - 2 c _ { 2 } + c _ { 6 } ) \; \bar { h } _ { v + } ( x ) i D \cdot \Delta v i D \cdot v h _ { v + } ( x ) } } \\ { { } } & { { + } } & { { c _ { 0 } ( c _ { 3 } - c _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } c _ { 4 } - { \frac { 1 } { 2 } } c _ { 5 } ) \; \bar { h } _ { v + } ( x ) \gamma ^ { \mu } v ^ { \nu } i g G _ { \mu \nu } { \frac { \; \rlap / { \! \! { \Delta } \! v } } { 2 } } h _ { v + } ( x ) } } \\ { { } } & { { + } } & { { c _ { 0 } ( 1 - c _ { 2 } - c _ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 } } c _ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } c _ { 5 } ) \; \bar { h } _ { v + } ( x ) { \frac { \; \rlap / { \! \! { \Delta } \! v } } { 2 } } \gamma ^ { \mu } v ^ { \nu } i g G _ { \mu \nu } h _ { v + } ( x ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( t _ { e n d } , m ) } & { = S _ { s h o r t } ( t _ { e n d } , m ) , } \\ { \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m ) d t } & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p _ { s h o r t } ( t , m ) d t } \\ & { = Z _ { 2 } ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m ) d t } \\ { \implies Z _ { 2 } ^ { - 1 } } & { = 1 } \end{array}
\langle T _ { \alpha \beta } ( x ) T _ { \rho \sigma } ( 0 ) \rangle = { \frac { \pi } { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \nu \, c ( \nu , t ) \int { \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \, \mathrm { e } ^ { i p x } { \frac { ( g _ { \alpha \beta } p ^ { 2 } - p _ { \alpha } p _ { \beta } ) ( g _ { \rho \sigma } p ^ { 2 } - p _ { \rho } p _ { \sigma } ) } { p ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } } \quad .
\quad \mathrm { m i n } \quad \lambda \cdot \left( \frac { 1 } { \sum _ { t \in \mathcal { T } } \sum _ { i \in \mathcal { I } } d _ { i } ^ { t } } \sum _ { t \in \mathcal { T } } \sum _ { i \in \mathcal { I } } d _ { i } ^ { t } \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { i j } \sum _ { k \in \mathcal { K } } x _ { i j k } ^ { t } \right) + ( 1 - \lambda ) \cdot \left( \sum _ { j \in \mathcal { J } } F _ { j } z _ { j } + \sum _ { j \in \mathcal { J } } \sum _ { k \in \mathcal { K } } f _ { j k } y _ { j k } \right)
{ \frac { 4 } { 1 0 } } = { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 1 5 } } \; \; \; ; \; \; \; { \frac { 5 } { 1 0 } } = { \frac { 1 } { 2 } } \; \; \; ; \; \; \; { \frac { 6 } { 1 0 } } = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } }
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) \Psi } \\ & { = \frac { \Phi } { u ( 1 - \epsilon \rho ^ { 2 } ) } ( \frac { ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) \frac { \Phi } { u } } { \frac { \Phi } { u } } + \epsilon \frac { ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) \rho ^ { 2 } } { 1 - \epsilon \rho ^ { 2 } } ) } \\ & { = \frac { \Phi } { u ( 1 - \epsilon \rho ^ { 2 } ) } \left( ( 1 - k \alpha ) \eta - ( 1 - k \alpha ) \frac { \psi F } { u } + 2 \dot { F } ^ { i j } ( \frac { \Phi } { u } ) _ { i } \frac { u _ { j } } { F } + \epsilon \frac { F \psi _ { k } u _ { k } - \eta \rho ^ { 2 } - \psi \dot { F } ^ { i j } b _ { k i } b _ { k j } + ( 1 + k \alpha ) \psi u F } { 1 - \epsilon \rho ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\int x \operatorname { a r c o s h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 2 } \operatorname { a r c o s h } ( a x ) } { 2 } } - { \frac { \operatorname { a r c o s h } ( a x ) } { 4 a ^ { 2 } } } - { \frac { x { \sqrt { a x + 1 } } { \sqrt { a x - 1 } } } { 4 a } } + C
\begin{array} { r } { R _ { 0 } ( L , \tau ; 0 | L _ { f } ) = \frac { L ( L + L _ { f } - \left| L - L _ { f } \right| ) e ^ { - \frac { L ^ { 2 } } { 2 D \tau } } } { \sqrt { 2 \pi D \tau ^ { 3 } } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { v } _ { m } = \mathbf { a } ( \mathbf { M } \cdot \mathbf { v } _ { m } ) = \mathbf { a } ( ( \mathbf { K } - \frac { \mathbf { 1 1 ^ { T } } } { \gamma N } ) \cdot \mathbf { v } _ { m } ) = \mathbf { a } ( \lambda \mathbf { v } _ { m } - \frac { \mathbf { 1 } ( \mathbf { 1 } ^ { T } \cdot \mathbf { v } _ { m } ) } { \gamma N } ) = } \\ & { = \mathbf { a } ( \lambda \mathbf { v } _ { m } - \frac { \mathbf { 1 } ( \gamma N ) } { \gamma N } ) = \mathbf { a } ( \lambda \mathbf { v } _ { m } - \mathbf { 1 } ) } \end{array}
\cos \theta = { \frac { \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } } { \left\| \mathbf { x } \right\| \left\| \mathbf { y } \right\| } } = { \frac { 0 . 3 0 8 } { { \sqrt { 3 0 . 8 } } { \sqrt { 0 . 0 0 3 0 8 } } } } = 1 = \rho _ { x y } ,
\big [ T _ { 1 / 2 } ( 0 ^ { + } \rightarrow 0 ^ { + } ) \big ] ^ { - 1 } = G _ { 0 1 } ~ \left[ \frac { \pi \alpha _ { s } } { 6 } \frac { \lambda _ { 1 1 1 } ^ { ' 2 } } { G _ { F } ^ { 2 } m _ { \tilde { d } _ { R } } ^ { 4 } } \frac { m _ { p } } { m _ { \tilde { g } } } \left( 1 + \left( \frac { m _ { \tilde { d } _ { R } } } { m _ { \tilde { u } _ { L } } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } | { \cal { M } } _ { { \acute { \lambda } } _ { 1 1 1 } } | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { + } ( p ) = \sum _ { s = 1 , 2 } { u _ { p } ^ { ( s ) } \otimes { \bar { u } } _ { p } ^ { ( s ) } } } & { { } = { \frac { { p \! \! \! / } + m } { 2 m } } } \\ { \Lambda _ { - } ( p ) = \sum _ { s = 1 , 2 } { v _ { p } ^ { ( s ) } \otimes { \bar { v } } _ { p } ^ { ( s ) } } } & { { } = { \frac { - { p \! \! \! / } + m } { 2 m } } } \end{array}
V ( r , u ) = - 2 ( 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l e ^ { - r ^ { 2 } l / 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { l } ^ { 1 / 2 } { \frac { \mathrm { t a n h } ( u ) e ^ { - u ^ { 2 } l / \pi } } { \mathrm { S i n } ( u l ) } } [ 2 2 + 2 \mathrm { C o s } ( 2 u l ) ] \quad .
\begin{array} { r l } & { L _ { i } ^ { \pm 1 } L _ { i } ^ { \mp 1 } = 1 , \qquad L _ { i } L _ { j } = L _ { j } L _ { i } , \qquad L _ { i } E _ { j } = q _ { i } ^ { \delta _ { i , j } } E _ { j } L _ { i } , \qquad L _ { i } F _ { j } = q _ { i } ^ { - \delta _ { i , j } } F _ { j } L _ { i } , } \\ & { E _ { i } F _ { j } - F _ { j } E _ { i } = \delta _ { i , j } \frac { K _ { i } - K _ { i } ^ { - 1 } } { q _ { i } - q _ { i } ^ { - 1 } } , } \\ & { q \mathrm { - S e r r e ~ r e l a t i o n s ~ ( s e e ~ e . g . ~ \cite [ D e f . ~ 3 . 1 3 ] { V Y } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \sigma } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } = \frac { \varepsilon } { 4 } \int \d ^ { 4 } p \, W ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } , \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } | \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ) f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ) \left( \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) } { f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) } + \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) } { f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) } - \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ) } { f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ) } - \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ) } { f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } \, , } \end{array}
\phi _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { { G _ { 3 } } } \\ { { G _ { 1 } + i G _ { 2 } } } \end{array} \right) \quad , \quad \phi _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { { G _ { 1 } - i G _ { 2 } } } \\ { { - G _ { 3 } } } \end{array} \right) \quad ,
{ \cal S } = \frac { 1 } { \gamma } \int d _ { 2 } z \sqrt { - h } \left\{ { \frac { 1 } { 2 } } G _ { i j } ( x ) h ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } x ^ { i } \partial _ { \nu } x ^ { j } - T ( x ) + \Phi ( x ) R ^ { ( 2 ) } \right\} .
c _ { i } ^ { \mathrm { m } } ( y , z ) = \frac { \bar { c } _ { i } ^ { \mathrm { a } } ( z ) } { K _ { i } ^ { \mathrm { p } } K _ { i } ^ { \mathrm { a } } } \left[ 1 + \frac { ( l - y ) \gamma _ { i } ^ { \mathrm { m } } } { D _ { i } ^ { \mathrm { m } } + \gamma _ { i } ^ { \mathrm { m } } h } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \Bigl ( \delta \vec { U } ^ { m } , ~ \vec { U } ^ { m + 1 } \, r \Bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } } ^ { \diamond } } & { { } \geq \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( | \vec { U } ^ { m + 1 } | ^ { 2 } , ~ r \Bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } } ^ { \diamond } - \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( | \vec { U } _ { \mathcal { A } } ^ { m } | ^ { 2 } \, \bigl ( r - \Delta t \, [ \vec { W } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ] \bigr ) \, \mathcal { J } ^ { m } , ~ 1 \Bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } } ^ { \diamond } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { | v - \pi _ { h } v | _ { W ^ { m , p } ( E ) } } & { \lesssim h _ { E } ^ { s - m } | v | _ { W ^ { s , p } ( E ) } , } & & { \forall \, 0 \le m \le s , } \\ { | v - \pi _ { h } v | _ { W ^ { m , p } ( e ) } } & { \lesssim h _ { E } ^ { s - m - \frac { 1 } { p } } | v | _ { W ^ { s , p } ( E ) } , } & & { \forall \, 0 \le m \le s - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \tilde { Z } _ { 5 b } ) } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \sum _ { j s } \theta _ { j } \theta _ { s } \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { \mathrm { V a r } ( Z _ { 5 b } ^ { * } ) } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \sum _ { j s t } \theta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { s } \theta _ { t } \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\bar { F } ^ { \ast \mu } = \frac { \bar { \epsilon } ^ { \mu \nu \rho } } { 2 } \bar { F } _ { \nu \rho } ~ ~ ( \bar { \epsilon } ^ { \mu \nu \rho } = \frac { \epsilon ^ { \mu \nu \rho } } { \sqrt { - \bar { \eta } } } , ~ \epsilon ^ { 0 1 2 } = - 1 ) .
\begin{array} { r } { f \colon \xi x _ { 3 } + x _ { 4 } u + f _ { d _ { 1 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + u f _ { d _ { 1 } } ^ { \prime } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , 1 ) = 0 } \\ { g \colon \xi x _ { 4 } + x _ { 3 } ^ { \alpha } u + g _ { d _ { 2 } } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ) + u g _ { d _ { 2 } } ^ { \prime } ( u , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } , 1 ) = 0 } \end{array}
\sum _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } i G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { > ^ { I } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { < ^ { R } } ( - i \tau ) + i G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { > ^ { R } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { < ^ { I } } ( - i \tau ) = 0 \; .
\begin{array} { r l r } { \displaystyle \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { j } } \right) } & { { } = } & { 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial t } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \widetilde { u _ { j } } \right) + \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial \check { \tau } _ { i j } } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \sigma _ { i j } - \left( \overline { { \tau _ { i j } } } - \check { \tau } _ { i j } \right) \right] \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \overline { { \rho } } \check { E } } { \partial t } + \frac { \partial \left( \overline { { \rho } } \check { E } + \overline { { p } } \right) \widetilde { u _ { j } } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \check { \tau } _ { i j } \widetilde { u _ { i } } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \check { q } _ { j } } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { - B _ { 1 } - B _ { 2 } - B _ { 3 } + B _ { 4 } + B _ { 5 } + B _ { 6 } - B _ { 7 } \, \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { M } _ { i } ^ { I } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \mathbb { I } + \hat { m } _ { i } \cdot \vec { \sigma } ) ~ ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ \hat { m } _ { i } \in \left\{ { \frac { \phi } { 3 \sqrt { 1 + \phi ^ { 2 } } } } ( 0 , \pm 1 , \pm \phi ) , { \frac { \phi } { 3 \sqrt { 1 + \phi ^ { 2 } } } } ( \pm \phi , 0 , \pm 1 ) , { \frac { \phi } { 3 \sqrt { 1 + \phi ^ { 2 } } } } ( \pm 1 , \pm \phi , 0 ) \right\} } \\ & { \bigcup \left\{ \frac { \phi } { 3 \sqrt { 1 + \phi ^ { 2 } } } ( \pm 1 , \pm 1 , \pm 1 ) , \frac { \phi } { 3 \sqrt { 1 + \phi ^ { 2 } } } ( 0 , \pm \phi , \pm 1 / \phi ) , \frac { \phi } { 3 \sqrt { 1 + \phi ^ { 2 } } } ( \pm 1 / \phi , 0 , \pm \phi ) , \frac { \phi } { 3 \sqrt { 1 + \phi ^ { 2 } } } ( \pm \phi , \pm 1 / \phi , 0 ) \right\} } \end{array}
P _ { F _ { 4 } } ^ { \Delta _ { S } } ( 2 | x ) = P _ { E _ { 6 } } ^ { \bf 2 7 } ( x ) / x ^ { 3 } , \quad P _ { F _ { 4 } } ^ { \Delta _ { L } } ( 2 | x ) \left( P _ { F _ { 4 } } ^ { \Delta _ { S } } ( 2 | x ) \right) ^ { 2 } = P _ { E _ { 6 } } ^ { \Delta } ( x ) .
p _ { i } ( x ) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { p _ { i \, L } ( x ) = q _ { i } ^ { n } + \Delta _ { i \, L } ^ { n } ( x - x _ { i } ) , } & { x \in \left( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , x _ { i } \right] , } \\ { p _ { i \, R } ( x ) = q _ { i } ^ { n } + \Delta _ { i \, R } ^ { n } ( x - x _ { i } ) , } & { x \in \left[ x _ { i } , x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \right) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tau _ { q } \dot { q } _ { i } + q _ { i } + \lambda \partial _ { i } T - \alpha _ { 2 1 } \partial _ { i } \Pi _ { k k } - \beta _ { 2 1 } \partial _ { i } \Pi _ { \langle i j \rangle } } & { { } = 0 , } \\ { \tau _ { S } \dot { \Pi } _ { \langle i j \rangle } + \Pi _ { \langle i j \rangle } + \mu \partial _ { \langle i } v _ { j \rangle } + \beta _ { 1 2 } \partial _ { \langle i } q _ { j \rangle } } & { { } = 0 , } \\ { \tau _ { \Pi } \dot { \Pi } _ { i i } + \Pi _ { i i } + \eta \partial _ { i } v _ { i } + \alpha _ { 1 2 } \partial _ { i } q _ { i } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \langle \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } | T ^ { \dagger } T | \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rangle } \\ & { = \sum _ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \int \frac { d ^ { D - 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \frac { 1 } { 2 E _ { i } } ( 2 \pi ) ^ { 2 D } \delta ^ { D } \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } q _ { i } \bigg ) } \\ & { \quad \times \mathcal { M } ^ { \dagger } ( \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } ) \mathcal { M } ( \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rightarrow \pmb { \mathrm { q } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { q } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { q } } _ { n } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \lambda } _ { k } } & { = { \mu } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k - 1 } + { \beta } _ { k - 1 } { \gamma } _ { k - 1 } \right) { \gamma } _ { k } \, , } \\ { { \varepsilon } _ { k } } & { = \left( { \xi } _ { k } - { \xi } _ { k + 1 } \right) + { \eta } _ { k } + { \tau } \left( \sqrt { { \mu } _ { k } } + \sqrt { { \mu } _ { k + 1 } } \right) \left\| { f } _ { k } \right\| \, , } \\ { { \xi } _ { k } } & { = \frac { 1 } { 2 } { \alpha } _ { k } { \gamma } _ { k - 1 } \, , } \\ { { \eta } _ { k } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k + 1 } - { \alpha } _ { k - 1 } \right) { \gamma } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \beta } _ { k } - { \beta } _ { k - 1 } \right) { \gamma } _ { k - 1 } { \gamma } _ { k } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | f ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) | \, d x ^ { \prime } } & { \leq \sqrt { \frac { 2 } { t } } \sigma \exp \big [ x y ^ { \prime } / t + y ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) + ( \sigma y ^ { \prime } ) ^ { 2 } / t ^ { 2 } \big ] \big ( e ^ { \delta y ^ { \prime } / t } + e ^ { - \delta y ^ { \prime } / t } \big ) . } \end{array}
m _ { \mathrm { e m } } = \int { \frac { 1 } { 2 } } E ^ { 2 } \, d V = \int _ { r _ { e } } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { q } { 4 \pi r ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } 4 \pi r ^ { 2 } \, d r = { \frac { q ^ { 2 } } { 8 \pi r _ { e } } } ,
{ \frac { d I } { d \omega } } = { \frac { Z ^ { 2 } e ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( { \bf n } \times d { \bf r } _ { 1 } ) \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( { \bf n } \times d { \bf r } _ { 2 } ) \int d { \bf n } \exp { \{ i \omega [ ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) - { \bf n } \cdot ( { \bf r _ { 1 } } - { \bf r _ { 2 } } ) / c ] \} } ,
K _ { U V } \: \otimes \: f ( y ^ { \prime } ) \; = \; \overline { { { \alpha } } } _ { S } ( k _ { T } ^ { 2 } ) \: \int \: \frac { d ^ { 2 } q _ { T } } { \pi q _ { T } ^ { 2 } } \: \left[ \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { k _ { T } ^ { \prime 2 } } \: f ( y ^ { \prime } , k _ { T } ^ { \prime 2 } ) \: \Theta ( \mu ^ { 2 } - q _ { T } ^ { 2 } ) \: - \: f ( y ^ { \prime } , k _ { T } ^ { 2 } ) \: \Theta ( k _ { T } ^ { 2 } - q _ { T } ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } & { f ( { x } ^ { t , M } ) - f ( { x } ^ { * } ) } \\ { \le \ } & { \frac { \eta } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + \frac { 3 \eta D } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| - \frac { \widetilde \mu } { 2 } \eta ^ { 2 } } \\ { \le \ } & { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle + \frac { 3 \eta D } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| - \frac { \widetilde \mu } { 2 } \eta ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } } & { { } = \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { y } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { y } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { y } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( y ) } { \partial y } \frac { \partial \Lambda _ { l } ( y ) } { \partial y } \mathrm { d } y } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } } & { = \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } f ^ { i } \theta _ { i } \theta _ { i } ^ { 1 } \Big ) + \Gamma _ { 1 , k } ^ { i j } u ^ { k , 1 } \theta _ { i } \theta _ { j } ; } \\ { P _ { 2 } } & { = \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } u ^ { i } f ^ { i } \theta _ { i } \theta _ { i } ^ { 1 } \Big ) + \Gamma _ { 2 , k } ^ { i j } u ^ { k , 1 } \theta _ { i } \theta _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( \varphi ) } ( f ) } & { = } & { \frac { | P _ { 1 2 9 } ( 2 \pi i f ) | ^ { 2 } } { ( 1 + R ) ^ { 2 } } ( S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( 1 2 9 ) } + S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( \mathrm { c a l } ) } ) } \\ & { } & { + \frac { | P _ { 1 3 1 } ( 2 \pi i f ) | ^ { 2 } } { ( 1 + R ) ^ { 2 } } ( S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( 1 3 1 ) } + S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( \mathrm { c a l } ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - \kappa _ { m } \Delta + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } \cdot \nabla ) \tilde { \theta } _ { m } } & { = \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \tilde { \theta } _ { m } + \bigl ( - \kappa _ { m } \Delta + ( \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } - \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } ) \cdot \nabla \bigr ) \tilde { \theta } _ { m } } \\ & { = \underbrace { \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \tilde { \theta } _ { m } } _ { \mathrm { t h e ~ t r a n s p o r t ~ t e r m } } - \underbrace { \nabla \cdot \bigl ( \kappa \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \tilde { \psi } _ { m } \sigma \bigr ) \nabla \tilde { \theta } _ { m } } _ { \mathrm { t h e ~ d i f f u s i o n ~ t e r m } } \, . } \end{array}
\operatorname { v a r } ( T ) = \operatorname { v a r } \left( { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } { n } } \right) = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname { v a r } ( X _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } = { \frac { n \operatorname { v a r } ( X - \mu ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { n } } \left[ \operatorname { E } \left\{ ( X - \mu ) ^ { 4 } \right\} - \left( \operatorname { E } \{ ( X - \mu ) ^ { 2 } \} \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { \tau _ { 0 } \int _ { - \tau _ { 1 } } ^ { - \tau _ { 0 } } \int _ { M } | R c + \nabla ^ { 2 } b | ^ { 2 } \, d v _ { t } d t \le \int _ { - \tau _ { 1 } } ^ { - \tau _ { 0 } } \tau \int _ { M } | R c + \nabla ^ { 2 } b | ^ { 2 } \, d v _ { t } d t \le A + \frac { n } { 2 } \log \frac { \tau _ { 1 } } { \tau _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 0 } } & { = \left( k _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \Gamma \right) \cap \left\{ ( k ^ { 1 } , k ^ { 2 } ) \in \mathbb { Z } ^ { 2 } \, : \, [ \lambda _ { 1 } ] \leq k ^ { 1 } \leq [ \Lambda _ { 1 } ] , \, [ \lambda _ { 2 } ( k ^ { 1 } ) ] \leq k ^ { 2 } \leq [ \Lambda _ { 2 } ( k ^ { 1 } ) ] \right\} } \\ & { = \{ k _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \tau \kappa _ { 2 } : 0 \leq \tau \leq t \} , \qquad \textnormal { f o r s o m e } t \in \mathbb { Z } , } \end{array}
{ \bf A } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { ( { \bf A } ^ { - 1 } ) _ { i A } } & { ( { \bf A } ^ { - 1 } ) _ { i \bar { \alpha } } } \\ { ( { \bf A } ^ { - 1 } ) _ { \alpha A } } & { ( { \bf A } ^ { - 1 } ) _ { \alpha \bar { \alpha } } } \end{array} \right) ,
U = \left( \begin{array} { l l l } { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } & { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } & { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } } } \\ { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } } } & { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } } } & { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } \\ { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } } } & { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { \mathrm { ~ C ~ P ~ } } } } & { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } \end{array} \right) \; ,
\Gamma _ { n r } ( B ^ { - } \to M \bar { M } \pi ^ { - } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { 3 2 m _ { B } ^ { 3 } } \int | { \cal M } _ { n r } | ^ { 2 } ~ d s ~ d t .
\langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle - \frac { 1 + \sigma } { 1 - \sigma } \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle \gtrsim c _ { \eta } \cdot \bigg ( \alpha - ( 1 + 4 \sigma ) \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \bigg ) \cdot t .