{ \begin{array} { r l } { | n ^ { ( 1 ) } \rangle } & { = { \frac { V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { n k _ { 1 } } } } | k _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ { | n ^ { ( 2 ) } \rangle } & { = \left( { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } n } } { E _ { n k _ { 1 } } E _ { n k _ { 2 } } } } - { \frac { V _ { n n } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { n k _ { 1 } } ^ { 2 } } } \right) | k _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \rangle - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { V _ { n k _ { 1 } } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } ^ { 2 } } } | n ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ { | n ^ { ( 3 ) } \rangle } & { = { \Bigg [ } - { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 3 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { n k _ { 2 } } E _ { n k _ { 3 } } } } + { \frac { V _ { n n } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { n k _ { 2 } } } } \left( { \frac { 1 } { E _ { n k _ { 1 } } } } + { \frac { 1 } { E _ { n k _ { 2 } } } } \right) - { \frac { | V _ { n n } | ^ { 2 } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } ^ { 3 } } } + { \frac { | V _ { n k _ { 2 } } | ^ { 2 } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { n k _ { 2 } } } } \left( { \frac { 1 } { E _ { n k _ { 1 } } } } + { \frac { 1 } { 2 E _ { n k _ { 2 } } } } \right) { \Bigg ] } | k _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ & { \quad + { \Bigg [ } - { \frac { V _ { n k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 1 } } V _ { k _ { 1 } n } + V _ { k _ { 2 } n } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { n k _ { 1 } } } { 2 E _ { n k _ { 2 } } ^ { 2 } E _ { n k _ { 1 } } } } + { \frac { | V _ { n k _ { 1 } } | ^ { 2 } V _ { n n } } { E _ { n k _ { 1 } } ^ { 3 } } } { \Bigg ] } | n ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ { | n ^ { ( 4 ) } \rangle } & { = { \Bigg [ } { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 3 } k _ { 4 } } V _ { k _ { 4 } k _ { 2 } } + V _ { k _ { 3 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 4 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 4 } } } { 2 E _ { k _ { 1 } n } E _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } ^ { 2 } E _ { k _ { 2 } k _ { 4 } } } } - { \frac { V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 3 } k _ { 4 } } V _ { k _ { 4 } n } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { k _ { 2 } n } E _ { n k _ { 3 } } E _ { n k _ { 4 } } } } + { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } } { E _ { k _ { 1 } n } } } \left( { \frac { | V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } | ^ { 2 } V _ { k _ { 2 } k _ { 2 } } } { E _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } ^ { 3 } } } - { \frac { | V _ { n k _ { 3 } } | ^ { 2 } V _ { k _ { 2 } n } } { E _ { k _ { 3 } n } ^ { 2 } E _ { k _ { 2 } n } } } \right) } \\ & { \quad + { \frac { V _ { n n } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 3 } n } V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { n k _ { 3 } } E _ { k _ { 2 } n } } } \left( { \frac { 1 } { E _ { n k _ { 3 } } } } + { \frac { 1 } { E _ { k _ { 2 } n } } } + { \frac { 1 } { E _ { k _ { 1 } n } } } \right) + { \frac { | V _ { k _ { 2 } n } | ^ { 2 } V _ { k _ { 1 } k _ { 3 } } } { E _ { n k _ { 2 } } E _ { k _ { 1 } n } } } \left( { \frac { V _ { k _ { 3 } n } } { E _ { n k _ { 1 } } E _ { n k _ { 3 } } } } - { \frac { V _ { k _ { 3 } k _ { 1 } } } { E _ { k _ { 3 } k _ { 1 } } ^ { 2 } } } \right) - { \frac { V _ { n n } \left( V _ { k _ { 3 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 1 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 1 } } + V _ { k _ { 3 } k _ { 1 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } \right) } { 2 E _ { k _ { 1 } n } E _ { k _ { 1 } k _ { 3 } } ^ { 2 } E _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } } } } \\ & { \quad + { \frac { | V _ { n n } | ^ { 2 } } { E _ { k _ { 1 } n } } } \left( { \frac { V _ { k _ { 1 } n } V _ { n n } } { E _ { k _ { 1 } n } ^ { 3 } } } + { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } n } } { E _ { k _ { 2 } n } ^ { 3 } } } \right) - { \frac { | V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } | ^ { 2 } V _ { n n } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { 3 } } } { \Bigg ] } | k _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { V _ { n k _ { 1 } } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } } { E _ { n k _ { 1 } } E _ { k _ { 2 } n } ^ { 2 } } } \left( { \frac { V _ { k _ { 2 } n } V _ { n n } } { E _ { k _ { 2 } n } } } - { \frac { V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 3 } n } } { E _ { n k _ { 3 } } } } \right) \right. } \\ & { \quad \left. - { \frac { V _ { k _ { 1 } n } V _ { k _ { 2 } k _ { 1 } } } { E _ { k _ { 1 } n } ^ { 2 } E _ { n k _ { 2 } } } } \left( { \frac { V _ { k _ { 3 } k _ { 2 } } V _ { n k _ { 3 } } } { E _ { n k _ { 3 } } } } + { \frac { V _ { n n } V _ { n k _ { 2 } } } { E _ { n k _ { 2 } } } } \right) + { \frac { | V _ { n k _ { 1 } } | ^ { 2 } } { E _ { k _ { 1 } n } ^ { 2 } } } \left( { \frac { 3 | V _ { n k _ { 2 } } | ^ { 2 } } { 4 E _ { k _ { 2 } n } ^ { 2 } } } - { \frac { 2 | V _ { n n } | ^ { 2 } } { E _ { k _ { 1 } n } ^ { 2 } } } \right) - { \frac { V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 3 } k _ { 1 } } | V _ { n k _ { 1 } } | ^ { 2 } } { E _ { n k _ { 3 } } ^ { 2 } E _ { n k _ { 1 } } E _ { n k _ { 2 } } } } \right] | n ^ { ( 0 ) } \rangle } \end{array} }