harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \hat { x } _ { i } ^ { t } } { 2 \pi } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - x _ { i } ^ { t } \right) } - e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - 1 \right) } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \mathrm { i } \hat { x } _ { i } ^ { t } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } - 1 \right) } \right] \right. \right. } \\ & { \left. \left. \qquad \qquad \times \prod _ { j > i } e ^ { - \mathrm { i } \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } + \hat { h } _ { j } ^ { t } \nu _ { i j } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) } \right] \right\} } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] \right. \right. } \\ & { \left. \left. \qquad \qquad \times \prod _ { j > i } e ^ { - \mathrm { i } \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } + \hat { h } _ { j } ^ { t } \nu _ { i j } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) } \right] \right\} } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { X } } \int { D } \hat { \boldsymbol { H } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] \right. \right. } \\ & { \left. \left. \qquad \qquad \times \prod _ { j > i } e ^ { - \mathrm { i } \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \nu _ { j i } ^ { t } x _ { j } ^ { t } + \hat { h } _ { j } ^ { t } \nu _ { i j } ^ { t } x _ { i } ^ { t } \right) } \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbf { u } _ { B } ^ { \varepsilon } } & { { } - \mathbf { u } _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } + | \eta _ { B } ^ { \varepsilon } - \eta _ { E } ^ { \varepsilon } | _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] \times H ^ { s } ) } = } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { f i n d : } } & { \zeta _ { i } ^ { l } } & { \forall \; i \; \mathrm { w h e r e } \; p _ { i } = k } \\ { \mathrm { s . t . : } } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { i n } } \; \delta _ { p _ { i } , k } = \xi _ { k } ^ { \mathrm { u } } \; s ^ { \mathrm { i n } , k } \quad , } \\ & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } \; \delta _ { p _ { i } , k } = \xi _ { k } ^ { \mathrm { d } } \; s ^ { \mathrm { o u t } , k } \quad , } \\ & { } & { \zeta _ { i } ^ { l } \in [ 0 , 1 ] \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \pi ( e , r ) } { \partial r } } & { { } = \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F _ { r } ( d v ; e , r ) + \beta \left[ \bar { B } _ { r } ( e , r ) - \int \, h ( \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) ) \, F _ { r } ( d v ; e , r ) \right] } \end{array}
J ( s , \alpha , \mathcal { E } , \mu ) \equiv 2 \int _ { l _ { b _ { 1 } } } ^ { l _ { b _ { 2 } } } \mathrm { d } l | v _ { \parallel } | = 2 \int _ { l _ { b _ { 1 } } } ^ { l _ { b _ { 2 } } } \mathrm { d } l \sqrt { 2 \left( \mathcal { E } - \mu B - \frac { Z e \Phi } { m } \right) } \, .
\int _ { { \mathcal { B } _ { < } } } \mathbf { 1 } _ { | \widetilde { \omega } | \geq z _ { 0 } ^ { - 1 } | m | ( r _ { 0 } - 1 ) } \sum _ { \ell } | m \widetilde { \omega } | \left| W ^ { - 1 } u _ { \mathrm { i n f } } ( r _ { 0 } ) \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } u _ { \mathrm { h o r } } \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r \right| ^ { 2 } \, d \widetilde { \omega } .
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \frac { 1 } { 6 \pi \eta } \operatorname* { l i m } _ { \vec { r } \to 0 } \left[ \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { 4 \pi \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } } { L ^ { 3 } ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) } - \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha \vert \vec { r } \vert } } { \vert \vec { r } \vert } \right] \, . } \end{array}
\chi ( k ) = \Bigg \{ \begin{array} { l l } { \frac { C _ { \beta } } { 2 \sqrt { g } } a _ { \star } k ^ { - 5 / 2 } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k _ { p } < k < k _ { n } \quad \mathrm { ~ ( ~ e ~ q ~ u ~ i ~ l ~ i ~ b ~ r ~ i ~ u ~ m ~ ) ~ } \, , } \\ { C _ { B } k ^ { - 3 } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k _ { n } < k < k _ { i } \quad \mathrm { ~ ( ~ s ~ a ~ t ~ u ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n ^ { 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } } \mathbb { E } \big [ S _ { n } S _ { n } ^ { T } \big ] - } & { \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 ( a - 1 ) ( \beta + 1 ) + 1 ) } { \Gamma ( ( 2 a - 1 ) ( \beta + 1 ) + 1 ) ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { d } I d } \\ & { \quad \quad \quad \sim - ( C _ { 1 } n ^ { - 4 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) + 1 } + C _ { 2 } n ^ { - 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } ) . } \end{array}
S ^ { \mu } = R ^ { \mu } + \frac { 1 } { 3 } \left( 1 - \frac { 3 T ( G ^ { \prime } ) } { 2 N _ { f } T ( R ^ { \prime } ) } - \gamma _ { q } \right) ( K _ { i } ^ { \mu } + \widetilde { K } _ { i } ^ { \mu } - 2 K _ { M } ^ { \mu } ) - \frac { 1 } { 3 } ( 2 \gamma _ { q } + \gamma _ { M } ) K _ { M } ^ { \mu } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { u \to \infty } \frac { 1 } { \overline { { F _ { 0 } } } ( u ) } \int _ { u } ^ { \infty } ( x - u ) \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } { \overline { { F } } _ { 0 } ( x ) } d x } \\ & { } & { = \operatorname* { l i m } _ { u \to \infty } \frac { 1 } { - p _ { 0 } ( u ) } \left( - \frac { u p ^ { 2 } ( u ) } { \overline { { F } } ( u ) } + \frac { u p _ { 0 } ^ { 2 } ( u ) } { \overline { { F } } _ { 0 } ( u ) } - \int _ { u } ^ { \infty } \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } { \overline { { F } } _ { 0 } ( x ) } d x \right) } \\ & { } & { = \operatorname* { l i m } _ { u \to \infty } \frac { 1 } { p _ { 0 } ( u ) } \int _ { u } ^ { \infty } \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } { \overline { { F } } _ { 0 } ( x ) } d x = 1 , } \end{array}
\Lambda _ { \pm } ( 1 ) = \Lambda ( 1 ) \pm \frac { ( 4 \kappa ) ^ { 3 / 2 } ( 1 - k ) ^ { \kappa - \frac { 1 } { 2 } } } { ( 2 \pi ) ^ { 1 / 2 } 2 ^ { \kappa } } \bigg [ 1 + ( 1 - k ) \{ \kappa ( \frac { 1 } { 2 } - \ln 2 ) + \frac { 1 } { 4 } \} + O \bigg ( \frac { 1 } { \kappa } \bigg ) \bigg ]
\Sigma _ { t _ { 0 } , t _ { 1 } } \left( \mathcal { M } _ { 0 } \right) = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \int _ { \mathcal { M } ( t ) } \kappa \mathbf { \boldsymbol { \nabla } } c \cdot \mathbf { n } \, d A \, d t ,
J = \left( x _ { \xi } y _ { \eta } z _ { \zeta } + x _ { \eta } y _ { \zeta } z _ { \xi } + x _ { \zeta } y _ { \xi } z _ { \eta } - x _ { \xi } y _ { \zeta } z _ { \eta } - x _ { \eta } y _ { \xi } z _ { \zeta } - x _ { \zeta } y _ { \eta } z _ { \xi } \right) ^ { - 1 } \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r } { \underbrace { F } _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ e ~ a ~ n ~ f ~ l ~ o ~ w ~ } } = \underbrace { \mathrm { g r a d } \, \Phi } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ n ~ t ~ v ~ e ~ l ~ o ~ c ~ i ~ t ~ y ~ } } + \underbrace { \mathrm { r o t } \, \Psi } _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ v ~ e ~ l ~ o ~ c ~ i ~ t ~ y ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { n } \dot { n } ^ { \langle \mu \rangle } + n ^ { \mu } } & { { } = } & { \kappa _ { n } \nabla ^ { \mu } \alpha _ { 0 } - \tau _ { n } n _ { \nu } \omega ^ { \nu \mu } - \delta _ { n n } n ^ { \mu } \theta + \tau _ { n \Pi } \Pi \nabla ^ { \mu } P _ { 0 } - \tau _ { n \pi } \pi ^ { \mu \nu } \nabla _ { \nu } P _ { 0 } - \ell _ { n \Pi } \nabla ^ { \mu } \Pi + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \epsilon } \; : } & { \; \mathbb { Z } \times \mathbb { L } ^ { \infty } ( \mathcal { U } ) \longrightarrow \mathbb { L } ^ { \infty } ( \mathcal { U } ) } \\ & { ( z , u ) \mapsto ( \textbf { g } _ { \epsilon 1 } ( z , u _ { 1 } ) , \textbf { g } _ { \epsilon 2 } ( z , u _ { 2 } ) , \textbf { g } _ { \epsilon 3 } ( z , u _ { 3 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { i } ^ { l } } & { = \biggl [ \hat { p } _ { 0 } ^ { i } , \dots , \hat { p } _ { \mathcal { A } ( i , l - 1 ) - 1 } ^ { i } , \: \operatorname* { m a x } \biggl \{ \hat { p } _ { \mathcal { A } ( i , l - 1 ) - 1 } ^ { i } , \: \bar { x } _ { i } ^ { l - 1 } - \frac { \mathrm { w i d t h } ( \mathcal { A } ( i , l - 1 ) ) } { \Delta } \biggr \} , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname* { m i n } \biggl \{ \hat { p } _ { \mathcal { A } ( i , l - 1 ) } ^ { i } , \: \bar { x } _ { i } ^ { l - 1 } + \frac { \mathrm { w i d t h } ( \mathcal { A } ( i , l - 1 ) ) } { \Delta } \biggr \} , \: \hat { p } _ { \mathcal { A } ( i , l - 1 ) } ^ { i } , \dots , \hat { p } _ { m _ { l - 1 , i } } ^ { i } \biggr ] , } \end{array}
\Phi _ { \ell } ^ { ( n ) } ( \alpha ) = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n + 1 - \ell } C ^ { ( n ) } ( \ell ; j ) \alpha ^ { \frac { 1 } { 4 } + \ell + j - 1 } \psi ^ { ( j ) } ( \alpha ) .
\begin{array} { r l } { y } & { { } = | \mathbf { F } \mathbf { P _ { n + 1 } } \mathbf { T _ { n } } \mathbf { P _ { n } } \dots \mathbf { T _ { k } } \mathbf { P _ { k } } \dots \mathbf { T _ { 2 } } \mathbf { P _ { 2 } } \mathbf { T _ { 1 } } x _ { 1 } | ^ { 2 } , } \end{array}
S _ { c } = \left\{ \, { \frac { a + { \sqrt { c } } } { d } } \colon a , d { \mathrm { ~ i n t e g e r s , ~ } } d { \mathrm { ~ e v e n } } , \, \, a ^ { 2 } \equiv c { \pmod { 2 d } } \, \right\} .
\begin{array} { r l } { \frac { d \langle r _ { u i } ( t ) \rangle } { d t } } & { = } \\ & { = \begin{array} { r l } { [ t ] } & { \frac { 1 } { \delta t } \sum _ { r _ { u i } = r _ { 0 } } ^ { \infty } r _ { u i } [ Q ( r _ { u i } - 1 , t ) R _ { u i } ( r _ { u i } - 1 ) + } \\ & { - Q ( r _ { u i } , t ) R _ { u i } ( r _ { u i } ) , t ) ] = } \end{array} } \\ & { = \frac { 1 } { \delta t } \sum _ { r _ { u i } = r _ { 0 } } ^ { \infty } [ ( r _ { u i } + 1 ) - r _ { u i } ] Q ( r _ { u i } , t ) R _ { u i } ( r _ { u i } ) = } \\ & { = \frac { 1 } { \delta t } \sum _ { r _ { u i } = r _ { 0 } } ^ { \infty } r _ { u i } Q ( r _ { u i } , t ) R _ { u i } ( r _ { u i } ) = \frac { 1 } { \delta t } \langle R _ { u i } \rangle = } \\ & { = N \langle R _ { u i } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { m , S S } ^ { H , \ell } } & { = - 2 \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \tau ^ { \phi } \left( \overline { { S } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { S } } _ { k j } ^ { \sqrt { \theta } } \right) , } \\ { \Pi _ { m , \Omega \Omega } ^ { H , \ell } } & { = \; \; \; 2 \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \tau ^ { \phi } \left( \overline { { \Omega } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { \Omega } } _ { k j } ^ { \sqrt { \theta } } \right) , } \\ { \Pi _ { m , S \Omega } ^ { H , \ell } } & { = - 2 \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \left[ \tau ^ { \phi } \left( \overline { { S } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { \Omega } } _ { j k } ^ { \sqrt { \theta } } \right) + \tau ^ { \phi } \left( \overline { { \Omega } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { S } } _ { j k } ^ { \sqrt { \theta } } \right) \right] } \\ & { = - 4 \int _ { 0 } ^ { \ell ^ { 2 } } \mathrm { d } \theta ~ \overline { { S } } _ { \omega , i j } ^ { \ell } \tau ^ { \phi } \left( \overline { { S } } _ { i k } ^ { \sqrt { \theta } } , \overline { { \Omega } } _ { j k } ^ { \sqrt { \theta } } \right) . } \end{array}
t _ { j } = \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \left[ \frac { p _ { j } } { \sqrt { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } } \right] , \qquad x _ { j } = \psi _ { j } \, , \qquad j = 2 , \cdots , N \, .
\varepsilon . \frac { 1 } { \varepsilon } \ell n ( _ { q } < \zeta _ { \ell } | \zeta _ { \ell - 1 } > _ { q } ) \cong \frac { \varepsilon } { 2 } ( \frac { \Delta \bar { \zeta } _ { \ell } } { \varepsilon } \ _ { q } < \zeta _ { \ell } | T _ { i } ^ { - } | \zeta _ { \ell } > _ { q } - \frac { \Delta \zeta _ { \ell } } { \varepsilon } \_ q < \zeta _ { \ell } | T _ { i } ^ { + } | \zeta _ { \ell } > _ { q } ) \,
\frac { \delta _ { s } } { E _ { \mathrm { W } } } = \csc \bigg ( \frac { E _ { \mathrm { W } } } { \chi N } \bigg ) \quad \mathrm { w i t h } \quad \frac { \chi N } { E _ { \mathrm { W } } } > \frac { 2 } { \pi } .
\begin{array} { r l r } { T _ { u } ( { \bf k } ) } & { = } & { \sum _ { \bf p } \Im \left[ { \bf \{ k \cdot u ( q ) \} \{ u ( p ) \cdot u ^ { * } ( k ) \} } \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) } & { = } & { \Re [ { \bf F } _ { u } ( { \bf k } ) \cdot { \bf u } ^ { * } ( { \bf k } ) ] = \sum _ { \bf p } - \Im \left[ { \bf \{ k \cdot B ( q ) \} \{ B ( p ) \cdot u ^ { * } ( k ) \} } \right] , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) } & { = } & { \Re [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) \cdot { \bf u } ^ { * } ( { \bf k } ) ] , } \\ { D _ { u } ( \mathbf { k } ) } & { = } & { 2 \nu k ^ { 2 } E _ { u } ( { \bf k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | \xi ( t ) - \xi _ { N } ( t ) | ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 C } { N } \exp ( c \alpha | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) ( 1 + | \nabla \xi _ { 0 } | ) + \frac { 2 C } { N } ( 1 + | \xi _ { 0 } | ^ { 4 } + | \nabla \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) } \\ & { \leq \frac { C } { N } \left[ \exp ( c \alpha | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) + | \nabla \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { g } = A _ { g _ { b } } \otimes _ { \overline { { A } } ^ { \theta ( g ^ { b } ) } } ( \overline { { A } } ^ { \theta ( g ^ { b } ) } ) _ { c ^ { \epsilon } } \xrightarrow { F _ { \gamma ^ { b } } \otimes \operatorname { i d } } } & { A _ { h _ { b } } \otimes _ { \overline { { A } } ^ { \theta ( h ^ { b } ) } } ( \overline { { A } } ^ { \theta ( h ^ { b } ) } ) _ { \Gamma ( \gamma ^ { b } ) } \otimes _ { \overline { { A } } ^ { \theta ( g ^ { b } ) } } ( \overline { { A } } ^ { \theta ( g ^ { b } ) } ) _ { c ^ { \epsilon } } } \\ { \to } & { A _ { h _ { b } } \otimes _ { \overline { { A } } ^ { \theta ( h ^ { b } ) } } ( \overline { { A } } ^ { \theta ( g ^ { b } ) } ) _ { c ^ { \epsilon } \Gamma ( \gamma ^ { b } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \overline { { y } } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \overline { { v } } _ { p } , } \\ { S t \frac { \mathrm { d } \overline { { v } } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \overline { { \alpha } } \left( k \overline { { y } } _ { p } - \overline { { v } } _ { p } \right) + k \overline { { \alpha ^ { \prime } y _ { p } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } { \mathrm { d } t } } & { = 2 \overline { { y _ { p } ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } , } \\ { S t \frac { \mathrm { d } \overline { { { v _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } { \mathrm { d } t } } & { = 2 \overline { { \alpha } } \left( k \overline { { y _ { p } ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } - \overline { { { v _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \right) + 2 \overline { { \alpha ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } \left( k \overline { { y } } _ { p } - \overline { { v } } _ { p } \right) , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { y _ { p } ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } \right) } & { = \overline { { { v _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { S t } \left[ \overline { { \alpha } } \left( k \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } - \overline { { y _ { p } ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } \right) + \overline { { \alpha ^ { \prime } y _ { p } ^ { \prime } } } \left( k \overline { { y } } _ { p } - \overline { { v } } _ { p } \right) \right] , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } y _ { p } ^ { \prime } } } \right) } & { = \overline { { \alpha ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } , } \\ { S t \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { \alpha ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } \right) } & { = \overline { { \alpha } } \left( k \overline { { \alpha ^ { \prime } y _ { p } ^ { \prime } } } - \overline { { \alpha ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } \right) + \overline { { { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \left( k \overline { { y } } _ { p } - \overline { { v } } _ { p } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { ( B + C + V p ^ { * } ) t } & { \geqslant \sum _ { \tau = 0 } ^ { t - 1 } E [ \Delta ( \tau ) + V p ( \tau ) ] } \\ & { = E [ L ( t ) ] - E [ L ( 0 ) ] + V \sum _ { \tau = 0 } ^ { t - 1 } E [ p ( \tau ) ] } & & { \Delta ( \tau ) = L ( \tau + 1 ) - L ( \tau ) } \\ & { = E [ L ( t ) ] + V \sum _ { \tau = 0 } ^ { t - 1 } E [ p ( \tau ) ] } & & { { \mathrm { a s s u m e ~ } } L ( 0 ) = 0 } \\ & { \geqslant V \sum _ { \tau = 0 } ^ { t - 1 } E [ p ( \tau ) ] } & & { L ( t ) \geqslant 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( v ) } & { = 2 ^ { ( n - k ) \alpha } 2 ^ { k \alpha } \left( \delta _ { x } ^ { j } ( v ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { - } ) + \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { + } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } + 2 ^ { n \alpha - 1 } \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { - } ) + 2 ^ { n \alpha - 1 } \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { + } ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { j } ( \rho _ { j } , z _ { j } , t ) } & { { } = } & { \hat { \varepsilon } A _ { 0 } \frac { w _ { 0 } } { w ( z _ { j } ) } e ^ { - ( \rho _ { j } / w ( z _ { j } ) ) ^ { 2 } } e ^ { i k \rho _ { j } ^ { 2 } / 2 R ( z _ { j } ) } \times e ^ { i ( k _ { j } z _ { j } - \eta ( z _ { j } ) + \varphi _ { j } ) } } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ ~ z _ { r } } & { { } = } & { \frac { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } { \lambda } } \\ { w ( z ) } & { { } = } & { w _ { 0 } \sqrt { 1 + \left( \frac { z } { z _ { r } } \right) ^ { 2 } } } \\ { R ( z ) } & { { } = } & { z ( 1 + ( z _ { r } / z ) ^ { 2 } ) } \\ { \eta ( z ) } & { { } = } & { \tan ^ { - 1 } ( z / z _ { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \! \theta ^ { \prime } \Big ( \! L _ { 0 } + L _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \nabla f ( w + \theta \theta ^ { \prime } s ) \| ^ { \alpha } d \theta \! \Big ) \overset { ( i ) } { = } L _ { 0 } \theta ^ { \prime } + L _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \theta ^ { \prime } } \| \nabla f ( w + u s ) \| ^ { \alpha } d u , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \lambda } _ { i } } & { { } + \omega _ { i } ^ { 2 } ( t ) \lambda _ { i } - \frac { \omega _ { i } ^ { 2 } ( 0 ) } { \lambda _ { i } \prod _ { j } \lambda _ { j } } = 0 } \\ { \omega _ { x } ^ { 2 } ( t ) } & { { } = \omega _ { x } ^ { 2 } ( 0 ) \big ( 1 + f \alpha _ { 2 } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t ) } \\ { \omega _ { y } ^ { 2 } ( t ) } & { { } = \omega _ { y } ^ { 2 } ( 0 ) \big ( 1 + \alpha _ { 2 } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t ) \big ) } \\ { \omega _ { z } ^ { 2 } ( t ) } & { { } = \omega _ { z } ^ { 2 } ( 0 ) \big ( 1 + \alpha _ { 1 } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t + \phi _ { 1 } ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k = \frac { \langle u \rangle } { \Delta p } } & { { } = } & { - \frac { h U + h \langle G _ { S } \rangle F + h \langle G _ { D } \rangle ( R ^ { 2 } D + R ^ { 4 } Q ) } { 4 F } + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) } \end{array}
\frac { 1 } { x } F _ { 2 } ^ { ( r ) } = e _ { q } ^ { 2 } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \int _ { Q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } ( z / x ) } \frac { d l ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \frac { 1 - l ^ { 2 } x ^ { 2 } / Q ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 1 + M ^ { 2 } x ^ { 2 } / Q ^ { 2 } } C ^ { ( r ) } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } , \frac { m _ { q } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } , \frac { x } { z } \right) \frac { \partial } { \partial \ln l ^ { 2 } } g ( l ^ { 2 } , z ) ,
\begin{array} { r l } { \left( F _ { T } ^ { ( i ) } ( \theta ) - F _ { T } ^ { ( i ) } ( \theta ^ { \prime } ) \right) ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } ( \theta - \theta ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta - w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta ^ { \prime } \right) \left( g \left( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta \right) - g \left( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta ^ { \prime } \right) \right) } \\ & { \geq m _ { g } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } ( \theta - \theta ^ { \prime } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } = m _ { g } ( \theta - \theta ^ { \prime } ) ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \mathbb { W } _ { 1 : T } ( \theta - \theta ^ { \prime } ) } \\ & { \geq m _ { g } \lambda _ { 1 } \| \theta - \theta ^ { \prime } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\delta \omega = \frac { \mu ^ { 2 } } { 1 + \mu } \frac { \partial C _ { r } } { \partial S } - \frac { \mu } { C _ { r } } \left[ \left( \frac { \mathrm { D } \boldsymbol { v } } { \mathrm { D } t } \right) _ { S } + \frac { C _ { r } ^ { 2 } } { 1 + \mu } \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \rho } { \partial S } \right] + \mu \boldsymbol { \omega }
\begin{array} { r } { \epsilon \epsilon _ { 0 } E ( x , t ) = \int _ { 0 } ^ { x } d x _ { 1 } \rho ( x _ { 1 } , t ) + q _ { 0 } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { x } d x _ { 1 } q _ { L } ( t ) \delta ( x _ { 1 } - L + \epsilon _ { \delta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { ( l ) } } & { { } = A _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } J _ { m } ( \omega r / c _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } ) \exp ( \mathrm { i } m \theta ) } \\ { \psi ^ { ( l ) } } & { { } = A _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } J _ { m } ( \omega r / c _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } ) \exp ( \mathrm { i } m \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( x , t ) = \frac { 8 ( \eta _ { 1 } ^ { 2 } - \eta _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \eta _ { 1 } ^ { 2 } \cosh { \theta _ { 2 } } + \eta _ { 2 } ^ { 2 } \sinh { \theta _ { 1 } } ) } { ( ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) \cosh ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) + ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) \cosh ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ) ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( \bar { n } , \eta , \sigma ) } & { { } = \left\{ 1 - e ^ { - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left[ \ln \left( \eta / \bar { n } \right) \right] ^ { 2 / \gamma } } \right\} \left[ \frac { \bar { n } \log _ { 2 } \bar { n } } { 1 - \bar { n } } + h \left( \bar { n } \right) \right] } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) _ { z = z _ { 2 } } = \mathbf B \mathbf { P } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) \mathbf B ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) _ { z = z _ { 1 } }