harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } = } & { { } - 2 \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial { E } _ { k , \sigma } ^ { i j } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { u } ( k ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k - 1 < \lvert \mathbf { k ^ { \prime } } \rvert \leq k } \lvert \bf { u } ( \bf { k ^ { \prime } } ) \rvert ^ { 2 } , } \\ { E _ { b } ( k ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k - 1 < \lvert \mathbf { k ^ { \prime } } \rvert \leq k } \lvert \bf { b } ( \bf { k ^ { \prime } } ) \rvert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - \frac { l ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left[ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \delta ( l - n ) \right] \cos ( 2 l \tau ) d l } & { } \\ { \sim e ^ { - 2 \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \circledast \bigg [ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \delta ( \tau - n } & { \pi ) \bigg ] \, , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \rho } } J _ { 2 \beta - 1 } ( \rho ) \sim { \frac { 2 } { \rho ^ { 2 } } } \left( { \frac { \rho } { 2 } } \right) ^ { 2 \beta } { \frac { 1 } { \Gamma ( 2 \beta ) } } .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { \theta _ { 1 1 } } & { \kappa _ { 1 1 } } \\ { \kappa _ { 1 1 } } & { \phi _ { 1 1 } } \end{array} \right) , \qquad \mathrm { ~ i ~ s ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ d ~ e ~ f ~ i ~ n ~ i ~ t ~ e ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Z } = \frac { \exp ( \beta u ( 0 ) / 2 ) ^ { N } } { M ! } \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \hat { \rho } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} } \end{array}
\phi _ { a } ( x _ { 0 } , \psi _ { 0 } , \bar { \psi } _ { 0 } , \tau _ { a } ) = \int _ { x _ { 0 } , \psi _ { 0 } , \bar { \psi } _ { 0 } } { \cal D } x _ { d } ^ { I } { \cal D } \psi _ { \alpha } { \cal D } \bar { \psi } _ { \dot { \alpha } } V _ { a } e ^ { - S ( x _ { d } ^ { I } , \psi _ { \alpha } , \bar { \psi } _ { \dot { \alpha } } ) }
U _ { i } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v \ \hat { f } _ { i } ^ { e q } = \langle \hat { f } _ { i } ^ { e q } \rangle \ \textrm { a n d } \ G _ { i } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v \ v \hat { f } _ { i } ^ { e q } = \langle v \hat { f } _ { i } ^ { e q } \rangle
\Delta _ { \mathrm { d c } } ( V _ { s } ) = - \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { \prime } ( V _ { s } - V _ { 0 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 ! } \beta ( V _ { s } - V _ { 0 } ) ^ { 4 }
o ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \gets \big \lvert \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \; \delta _ { p _ { i } , k } - \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } \: s ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } , k } \big \rvert
\mid \alpha , \lambda > = \{ g ( \mid \alpha \mid ) \} ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \frac { \alpha } { 2 } ) ^ { m } } { \{ m ! \Gamma ( m + \lambda + \frac { 3 } { 2 } ) \} ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \mid m , \lambda > ,
\begin{array} { r l r l r l } { x _ { 1 } ^ { ' } } & { { } = \gamma \left( x _ { 1 } - v t _ { 1 } \right) } & { \quad \mathrm { a n d } \quad } & { { } } & { x _ { 2 } ^ { ' } } & { { } = \gamma \left( x _ { 2 } - v t _ { 2 } \right) } \\ { t _ { 1 } ^ { ' } } & { { } = \gamma \left( t _ { 1 } - v x _ { 1 } / c ^ { 2 } \right) } & { \quad \mathrm { a n d } \quad } & { { } } & { t _ { 2 } ^ { ' } } & { { } = \gamma \left( t _ { 2 } - v x _ { 2 } / c ^ { 2 } \right) } \end{array}
{ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; + \; ( C _ { + } + C _ { - } ) \; { \bar { c } } \gamma _ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) T ^ { a } c \; { \bar { s } } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) T ^ { a } b \Bigg ) \; , }
\begin{array} { r l } { C } & { ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = } \\ { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { D \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } ) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { - 2 \alpha + \beta + 1 } { 1 - \alpha } } } { \gamma ( 1 - 3 \alpha + \beta ) } } & { \ \mathrm { f o r } \ \tau < \tau ^ { \prime } } \\ { D \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } ) ^ { \frac { - 2 \alpha + \beta + 1 } { 1 - \alpha } } } { \gamma ( 1 - 3 \alpha + \beta ) } } & { \ \mathrm { f o r } \ \tau > \tau ^ { \prime } } \\ { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) } & { \ \mathrm { f o r } \ \tau = \tau ^ { \prime } \ . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \, \frac { { \bf k } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } - \epsilon _ { 3 3 } ( B _ { 0 } ) \, \mu _ { 2 2 } ( B _ { 0 } ) \, \right] e _ { 0 3 } = 0 \; , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( k r ) } & { = { \frac { \mathrm { b e r } ( k r ) \mathrm { b e r } ( k R ) + \mathrm { b e i } ( k r ) \mathrm { b e i } ( k R ) } { \mathrm { b e r } ^ { 2 } ( k R ) + \mathrm { b e i } ^ { 2 } ( k R ) } } , } \\ { F _ { 2 } ( k r ) } & { = { \frac { \mathrm { b e r } ( k r ) \mathrm { b e i } ( k R ) - \mathrm { b e i } ( k r ) \mathrm { b e r } ( k R ) } { \mathrm { b e r } ^ { 2 } ( k R ) + \mathrm { b e i } ^ { 2 } ( k R ) } } , } \end{array} }
{ \Omega } _ { i } = \frac { { N _ { \gamma , i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ R ~ D ~ } } } / { N _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ R ~ D ~ } } } } { { N _ { \gamma , i } ^ { \prime , \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ M ~ C ~ } } } / { N _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ M ~ C ~ } } } } ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 } { \frac { 1 } { z } } \left( { \frac { 1 } { \Gamma ( 1 + z ) } } - { \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - z ) } } \right) } & { = 2 \gamma } \\ { \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 } { \frac { 1 } { z } } \left( { \frac { 1 } { \Psi ( 1 - z ) } } - { \frac { 1 } { \Psi ( 1 + z ) } } \right) } & { = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 \gamma ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } } & { \widetilde { a } _ { \pi } ( H _ { d } ( z ; t ) ) \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \exp \left( - \frac { t n } { 2 } \right) \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \exp \left( \frac { t } { 2 d } \sum _ { V \in \pi } | V | ^ { 2 } \right) \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \exp \left( - \frac { t n } { 2 } \right) \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \left\{ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \left( \frac { t } { 2 d } \sum _ { V \in \pi } | V | ^ { 2 } \right) ^ { k } \right\} \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \exp \left( - \frac { t n } { 2 } \right) \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \left( \frac { t } { 2 d } \right) ^ { n - 1 } \left\{ \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \left( \sum _ { V \in \pi } | V | ^ { 2 } \right) ^ { n - 1 } \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) \right\} + O \left( \frac { 1 } { d ^ { n } } \right) } \\ & { = \exp \left( - \frac { t n } { 2 } \right) \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \left( \frac { t } { 2 d } \right) ^ { n - 1 } \cdot 2 ^ { n - 1 } ( n - 1 ) ! n ^ { n - 2 } + O \left( \frac { 1 } { d ^ { n } } \right) } \\ & { = \exp \left( - \frac { t n } { 2 } \right) \left( \frac { t } { d } \right) ^ { n - 1 } n ^ { n - 2 } + O \left( \frac { 1 } { d ^ { n } } \right) . } \end{array}
\left( \Delta V _ { \mathrm { e f f } } \right) _ { | X | \rightarrow \infty } \sim { \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \: M _ { X } ^ { 2 } \: | X | ^ { 2 } \: \mathrm { l n } | X | ^ { 2 } ;
\mathbf { T } _ { R } = [ B _ { N } ^ { ( - P ) } , D _ { N } ^ { ( - P ) } , B _ { N } ^ { ( - P + 1 ) } , D _ { N } ^ { ( - P + 1 ) } , \cdots , B _ { N } ^ { ( P ) } , D _ { N } ^ { ( P ) } ] ^ { T } ,
\hat { V } _ { \mathrm { ~ m ~ d ~ d ~ } } = - \left( \frac { 2 4 \pi } { 5 } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \alpha ^ { 2 } } { R ^ { 3 } } \sum _ { q } ( - 1 ) ^ { q } Y _ { 2 , - q } ( \hat { R } ) [ \hat { \mathbf { S } } \otimes \hat { \mathbf { S } } _ { a } ] _ { q } ^ { ( 2 ) }
{ \cal M } = \left[ \begin{array} { c c } { { m _ { D } ^ { 2 } / m _ { N } } } & { { m _ { D } m _ { X } / m _ { N } } } \\ { { m _ { D } m _ { X } / m _ { N } } } & { { m _ { X } ^ { 2 } / m _ { N } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { a } ^ { x } { f \left( y \right) \mathrm { d } y } - \int _ { a } ^ { x _ { 0 } } { f \left( y \right) \mathrm { d } y } - \left( x - x _ { 0 } \right) f \left( x _ { 0 } \right) \right| } & { = \left| \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } { \left( f \left( y \right) - f \left( x _ { 0 } \right) \right) \mathrm { d } y } \right| } \\ & { \leq \int _ { \operatorname* { m i n } \left( x , x _ { 0 } \right) } ^ { \operatorname* { m a x } \left( x , x _ { 0 } \right) } { \left| f \left( y \right) - f \left( x _ { 0 } \right) \right| \mathrm { d } y } } \\ & { \leq \left| x - x _ { 0 } \right| \varepsilon } \end{array}
\int d ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime \prime } \, { \frac { \delta \mu ( \mathbf { r } ) } { \delta n ( \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) } } { \frac { \delta n ( \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) } { \delta \mu ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } } = \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \frac { U \left( x + r ^ { \prime } \zeta _ { i , j } \right) - U \left( x \right) } { r ^ { \prime } } \frac { 4 \zeta _ { i , j } } { \left( 1 - | \zeta _ { i , j } | ^ { 2 } \right) } = \frac { U \left( x + r ^ { \prime } \zeta _ { i , j } \right) - U \left( x \right) } { r ^ { \prime } } \frac { - \nabla \rho \left( \zeta _ { i , j } \right) } { \rho \left( \zeta _ { i , j } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { * } ( P ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { \ell \in \Lambda } \operatorname* { m a x } _ { z \geq 0 } \operatorname* { m a x } _ { Q \ll P } \sum _ { x \in \mathcal { X } } g _ { z , Q , P } ( x ) \ell ( x ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { z \geq 0 } \operatorname* { m a x } _ { Q \ll P } \operatorname* { m i n } _ { \ell \in \Lambda } \sum _ { x \in \mathcal { X } } g _ { z , Q , P } ( x ) \ell ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } u + \partial _ { y } v } & { = 0 , } \\ { u \partial _ { x } u + v \partial _ { y } u } & { = - \textrm { d } _ { x } p + \partial _ { x } \tau _ { x x } + \partial _ { y } \tau _ { x y } , } \\ { 0 } & { = \tau _ { x x } + \textrm { W i } \, [ u \partial _ { x } \tau _ { x x } + v \partial _ { y } \tau _ { x x } - 2 ( \tau _ { x x } \partial _ { x } u + \tau _ { x y } \partial _ { y } u ) + 2 ( 1 - \beta ) ( \partial _ { y } u ) ^ { 2 } ] , } \\ { \partial _ { y } u } & { = \tau _ { x y } + \textrm { W i } \, \{ u \partial _ { x } \tau _ { x y } + v \partial _ { y } \tau _ { x y } - ( \tau _ { y y } \partial _ { y } u + \tau _ { x x } \partial _ { x } v ) } \\ & { \quad + ( 1 - \beta ) [ 3 \partial _ { y } u \partial _ { y } v - v \partial _ { y y } u + \partial _ { x } u \partial _ { y } u - u \partial _ { x y } u ] \} , } \\ { 2 \partial _ { y } v } & { = \tau _ { y y } + \textrm { W i } \, \{ u \partial _ { x } \tau _ { y y } + v \partial _ { y } \tau _ { y y } - 2 ( \tau _ { x y } \partial _ { x } v + \tau _ { y y } \partial _ { y } v ) } \\ & { \quad + ( 1 - \beta ) [ 4 ( \partial _ { y } v ) ^ { 2 } - 2 v \partial _ { y y } v + 2 \partial _ { y } u \partial _ { x } v - 2 u \partial _ { x y } v ] \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } + \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } } & { \leq C \Vert G \Vert _ { T , s _ { 1 } , s _ { 2 } } \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { H } ^ { k } } & { { } : = \{ \mu \in H \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \cap \mathring { H } ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( { \Omega } ) \mid d \mu = 0 , \ \delta \mu = 0 \} , } \\ { \mathring { \mathfrak { H } } ^ { k } } & { { } : = \{ \mu \in \mathring { H } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \cap H ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( { \Omega } ) \mid d \mu = 0 , \ \delta \mu = 0 \} . } \end{array}
G ( \eta ) = { { \left( { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 - \eta ^ { 2 } } { 4 \eta } \ln \left| { \frac { 1 + \eta } { 1 - \eta } } \right| } \right) } ^ { - 1 } } - 3 \eta ^ { 2 } - 1 .
\phi _ { i } ^ { k \alpha } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \alpha } ; \{ \mathbf { r } _ { / j } ^ { \alpha } \} ; \{ \mathbf { r } ^ { \bar { \alpha } } \} ) = ( \mathbf { w } _ { i } ^ { k \alpha } \cdot \mathbf { h } _ { j } ^ { L \alpha } + g _ { i } ^ { k \alpha } ) \chi _ { i } ^ { k \alpha } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { \alpha } ) ,
\begin{array} { r l } { P _ { c d , \pm } ^ { ( 2 ) } = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol { k } \int d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \mathcal { N } ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \right| ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } \Big ( 2 \pm 2 \cos { \left[ 2 m \left( \tilde { \varphi } - \tilde { \varphi } ^ { \prime } \right) \right] } \Big ) e ^ { i ( k _ { z } - k _ { z } ^ { \prime } ) z _ { 0 } } . } \end{array}
\frac { \partial \delta P } { \partial r } = \eta \partial _ { r } \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r u _ { r } ) } { \partial r } \right) + \frac { e B } { c } \delta j _ { \vartheta } - \frac { 3 P u _ { r } } { v _ { g } ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d i s } } } ,
{ \cal F } _ { \mu \nu } ^ { a b } = F _ { \mu \nu } ^ { a b } + \Sigma _ { \mu \nu } ^ { a b } + \Theta _ { \mu \nu } ^ { a b } , \ \ \ { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { i } = F _ { \mu \nu } ^ { i } + \Sigma _ { \mu \nu } ^ { i } , \ \ \ { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { a } = F _ { \mu \nu } ^ { a } + \Sigma _ { \mu \nu } ^ { a } ,
\Pi _ { ( n ) } { } ^ { i } { } _ { j } \; \Pi _ { ( n ) } { } ^ { j } { } _ { k } = \Pi _ { ( n ) } { } ^ { i } { } _ { k } \, , \; \; \; \; \; \; \; \; \Pi _ { ( n ) } { } ^ { i } { } _ { i } = N - n + 1 \, ,
L _ { 2 , 1 } ( \lambda ) \overset { \lambda \to \infty } { = } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 r _ { \infty } - 2 } ( - 1 ) ^ { j } t _ { \infty , i } t _ { \infty , j } \lambda ^ { \frac { i + j } { 2 } - 2 } - \frac { \hbar } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } \lambda ^ { r _ { \infty } - 3 } + O \left( \lambda ^ { r _ { \infty } - 4 } \right)
{ \cal E } = \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { a } \left( \frac { 1 } { e } e _ { \mu } ^ { m } ( \partial _ { m } ( e e _ { a } ^ { \mu } ) ) \right) + \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { 1 } { e } e _ { \mu } ^ { m } ( \partial _ { m } ( e e _ { a } ^ { \mu } ) ) \right) ^ { 2 }
m { \dot { \mathbf { v } } } = { \frac { 1 } { t _ { 0 } } } \int _ { t } ^ { \infty } \exp \left( - { \frac { t ^ { \prime } - t } { t _ { 0 } } } \right) \, \mathbf { F } _ { \mathrm { e x t } } ( t ^ { \prime } ) \, d t ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \mathsf { z } _ { M } \left( 0 _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( a ) \right) } & { = \mathsf { z } _ { M } ( a ) = \mathsf { z } _ { M } ( \lambda _ { M } ( a ) ) } \\ { \mathsf { z } _ { M } \left( 0 _ { \mathsf { S y m } _ { R } ( M ) } ( m ) \right) } & { = \mathsf { z } _ { M } ( m ) = 0 = \mathsf { z } _ { M } ( 0 ) = \mathsf { z } _ { M } ( \lambda _ { M } ( 0 ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( a , b ) } & { = 1 4 4 a ^ { 4 } b ^ { 3 } + 4 3 2 a ^ { 3 } b ^ { 4 } + 5 7 6 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 7 6 8 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 5 7 6 a ^ { 2 } b ^ { 4 } - 4 3 2 a ^ { 4 } b } \\ & { \quad - 7 2 0 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 1 4 4 a ^ { 2 } b ^ { 3 } - 1 4 4 a b ^ { 4 } + 3 3 2 a ^ { 4 } + 3 5 1 3 a ^ { 3 } b - 1 9 0 1 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 2 8 5 a b ^ { 3 } + 2 6 3 b ^ { 4 } - 2 5 3 2 a ^ { 3 } - 5 5 1 2 a ^ { 2 } b - 4 7 3 2 a b ^ { 2 } - 1 7 9 2 b ^ { 3 } } \\ & { \quad + 5 5 0 8 a ^ { 2 } + 6 0 6 a b + 2 9 3 8 b ^ { 2 } - 2 5 0 8 a + 3 4 8 b + 1 8 4 0 , } \\ { h ( a , b ) } & { = 3 3 2 a ^ { 3 } + 1 0 6 9 a ^ { 2 } b + 1 0 6 2 a b ^ { 2 } + 2 6 3 b ^ { 3 } - 9 1 6 a ^ { 2 } - 3 2 4 8 a b } \\ & { \quad - 1 0 2 8 b ^ { 2 } + 8 8 4 a + 1 3 2 2 b + 2 6 0 . } \end{array}
I m f _ { \pi } ( s ) = { \frac { 1 } { 9 6 \pi F _ { \pi } ^ { 2 } } } { \frac { ( s - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \sqrt { s } } } \theta ( s - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } )
\Gamma _ { \kappa } ^ { ( m , n ) } ( \omega _ { 1 } , { \bf q } _ { 1 } , \cdots , \omega _ { m + n } , { \bf q } _ { n + m } ) = ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } \delta \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { m + n } \omega _ { \ell } \right) \delta ^ { d } \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { m + n } { \bf q } _ { \ell } \right) \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( m , n ) } ( \omega _ { 1 } , { \bf q } _ { 1 } , \cdots , \omega _ { m + n - 1 } , { \bf q } _ { n + m - 1 } ) \, ,
\frac { d \phi } { d r ^ { 2 } } = \frac { r _ { + } r _ { - } } { 2 } \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 1 } { r _ { \beta ^ { \prime } } ^ { 2 } - r ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { \sqrt { ( r _ { + } ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) ( r ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } ) } }
\langle v , \varphi _ { j } \rangle = \frac { \sqrt { 2 l ^ { ( 2 ) } } } { \pi j } \bigl ( ( - 1 ) ^ { j + 1 } \exp ( \mathrm { i } \tau ) + 1 \bigr ) , \qquad \Gamma _ { \tau } \left( \begin{array} { l } { \varphi _ { j } } \\ { 0 } \end{array} \right) = \sqrt { \frac { 2 } { l ^ { ( 2 ) } } } \frac { \pi j } { l ^ { ( 2 ) } } \bigl ( ( - 1 ) ^ { j } \exp ( - \mathrm { i } \tau ) - 1 \bigr ) , \qquad j = 1 , 2 , 3 , \dots ,
\begin{array} { r l } { F ^ { \prime } ( u ^ { k } ) + C ( u ^ { k } ) ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) } & { = \lambda _ { 1 } ( u ^ { k } - d _ { 1 } ) + \lambda _ { 2 } ( u ^ { k } - d _ { 2 } ) + 2 \lambda _ { 3 } K ^ { * } ( K u ^ { k } - d _ { 3 } ) } \\ & { + \displaystyle { \sum _ { l } B _ { 1 l } \Bigg ( \frac { B _ { 1 l } ^ { T } u ^ { k } } { | B _ { 1 l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Bigg ) } + \displaystyle { \sum _ { l } B _ { 2 l } \Bigg ( \frac { B _ { 2 l } ^ { T } u ^ { k } } { | B _ { 2 l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Bigg ) } } \\ & { + \displaystyle { \sum _ { l } B _ { 1 l } \Bigg ( \frac { B _ { 1 l } ^ { T } u ^ { k + 1 } } { | B _ { 1 l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Bigg ) } + \displaystyle { \sum _ { l } B _ { 2 l } \Bigg ( \frac { B _ { 2 l } ^ { T } u ^ { k + 1 } } { | B _ { 2 l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Bigg ) } } \\ & { + \lambda _ { 1 } u ^ { k + 1 } + \lambda _ { 2 } u ^ { k + 1 } + 2 \lambda _ { 3 } K ^ { * } K u ^ { k + 1 } } \\ & { - \displaystyle { \sum _ { l } B _ { 1 l } \Bigg ( \frac { B _ { 1 l } ^ { T } u ^ { k } } { | B _ { 1 l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Bigg ) } - \displaystyle { \sum _ { l } B _ { 2 l } \Bigg ( \frac { B _ { 2 l } ^ { T } u ^ { k } } { | B _ { 2 l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Bigg ) } } \\ & { - \lambda _ { 1 } u ^ { k } - \lambda _ { 2 } u ^ { k } - 2 \lambda _ { 3 } K ^ { * } K u ^ { k } } \\ & { = \lambda _ { 1 } ( u ^ { k + 1 } - d _ { 1 } ) + \lambda _ { 2 } ( u ^ { k + 1 } - d _ { 2 } ) + 2 \lambda _ { 3 } K ^ { * } ( K u ^ { k + 1 } - d _ { 3 } ) } \\ & { + \displaystyle { \sum _ { l } B _ { 1 l } \Bigg ( \frac { B _ { 1 l } ^ { T } u ^ { k + 1 } } { | B _ { 1 l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Bigg ) } + \displaystyle { \sum _ { l } B _ { 2 l } \Bigg ( \frac { B _ { 2 l } ^ { T } u ^ { k + 1 } } { | B _ { 2 l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Bigg ) } } \\ & { = \lambda _ { 1 } ( u ^ { k + 1 } - d _ { 1 } ) + \lambda _ { 2 } ( u ^ { k + 1 } - d _ { 2 } ) + 2 \lambda _ { 3 } K ^ { * } ( K u ^ { k + 1 } - d _ { 3 } ) } \\ & { + \sum _ { l } A _ { l } \Big ( \frac { A _ { l } ^ { T } u ^ { k + 1 } } { | A _ { l } ^ { T } u ^ { k } | _ { \beta } } \Big ) . } \end{array}
\| R \| = \sqrt { ( \langle X _ { 0 } \rangle + \langle X _ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } + ( \langle Y _ { 0 } \rangle + \langle Y _ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } + ( \langle Z _ { 0 } \rangle + \langle Z _ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { F _ { N } - \tilde { F } _ { N } } & { = \sum _ { t = 1 } ^ { N ( N - 1 ) / 2 } \bigl ( \tilde { F } _ { N , t + 1 } - \tilde { F } _ { N , t } \bigr ) } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { t = 1 } ^ { N ( N - 1 ) / 2 } \bigl ( \ln \bigl \langle e ^ { \beta J _ { i _ { t } j _ { t } } \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } } \bigr \rangle _ { t } - \ln \bigl \langle e ^ { \beta \tilde { J } _ { i _ { t } j _ { t } } \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } } \bigr \rangle _ { t } \bigr ) , } \end{array}
k _ { 4 , 2 } = \frac { 3 } { 2 } P e ^ { \Phi _ { \infty } } M _ { 1 } V _ { 1 } , \qquad k _ { 4 , 1 } = - \frac { 3 } { 2 } V _ { \Phi } P e ^ { \Phi _ { \infty } } + \frac { 5 1 } { 8 } M _ { 1 } V _ { 1 } P e ^ { \Phi _ { \infty } } - 2 M _ { 2 } V _ { 1 } - \frac { 3 } { 2 } M _ { 1 } V _ { 2 } + O ( M _ { i } ^ { 4 } ) , \, [ 2 m m ]
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathrm { s t r i p s } } = } & { - \frac { k _ { 0 } \eta _ { 0 } } { 4 } \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } I _ { m } \left[ H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \left( k _ { 0 } \sqrt { \left( y - y _ { m } \right) ^ { 2 } + \left( z + h \right) ^ { 2 } } \right) \right. } \\ & { \left. - H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \left( k _ { 0 } \sqrt { \left( y - y _ { m } \right) ^ { 2 } + \left( z - h \right) ^ { 2 } } \right) \right] \hat { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathsf { T O C } ( \operatorname* { m i n } \{ T _ { \varepsilon } , n \} ) ] \leq \; } & { { \cal O } \left( \frac { \sigma _ { f } ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \cdot n + \frac { M _ { c } } { \varepsilon } \cdot n + M _ { v } \cdot n \left( n ^ { \log _ { \frac { p } { q } } \left( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \right) } \log _ { \frac { p } { q } } ( n ) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 5 , 6 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 , 1 , 5 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 6 , 2 , 4 } } ) } & { = \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 , 1 , 2 , 4 } } + \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 , 1 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 , 4 } } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { \chi - 2 } ( \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 3 , 1 } } ) \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 , 4 } } + \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 , 1 } } \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 2 , 4 } } ) ) . } \end{array}
\Lambda \geq { \frac { 3 ( 3 \gamma + 4 n - 2 ) k } { 3 \gamma + 4 n } } \left[ - { \frac { 3 ( 3 \gamma + 4 n - 2 ) k c _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi ( 3 \gamma + 2 n ) ( 3 \gamma + 2 n - 2 ) G B } } \right] ^ { \frac { 2 } { 3 \gamma + 2 n - 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { c c c } { M _ { S } \, { \bf I } } & { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } \\ { M _ { 1 } \alpha { \bf B } ^ { T } } & { M _ { 1 } { \bf I } } & { { \bf 0 } } \\ { M _ { 2 } \alpha { \bf B } ^ { T } } & { M _ { 2 } { \bf I } } & { M _ { 2 } { \bf I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \bf \ddot { a } } } \\ { { \bf \ddot { q } } _ { 1 } } \\ { { \bf \ddot { q } } _ { 2 } } \end{array} \right] } & { { } + \left[ \begin{array} { c c c } { \mathrm { D i a g } ( { C _ { i } } _ { S } ) } & { - C _ { 1 } \alpha { \bf B } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { C _ { 1 } { \bf I } } & { - C _ { 2 } { \bf I } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { C _ { 2 } { \bf I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \bf \dot { a } } } \\ { { \bf \dot { q } } _ { 1 } } \\ { { \bf \dot { q } } _ { 2 } } \end{array} \right] } \end{array}