harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { Q ^ { \prime } ( 1 ) } & { = A ^ { \prime } ( 1 ) B _ { 1 } ( 1 ) . . . B _ { C - 1 } ( 1 ) + A ( 1 ) B _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 ) . . . B _ { C - 1 } ( 1 ) + . . . + A ( 1 ) B _ { 1 } ( 1 ) . . . B _ { C - 1 } ^ { \prime } ( 1 ) } \\ & { = A ^ { \prime } ( 1 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { C - 1 } B _ { i } ^ { \prime } ( 1 ) } \end{array}
X = \frac { ( n ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } { 2 n } + \frac { ( n ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 n ^ { 2 } } - \frac { n ^ { 2 } b ^ { 2 } } { ( n ^ { 2 } - m ^ { 2 } + n ) ^ { 2 } } ~ ~ .
\begin{array} { r l } { q _ { x } ( x , 0 , 0 ) } & { { } = \frac { 2 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ 2 k _ { 1 } + U _ { 0 } \left( e ^ { - 2 \Delta x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } } \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } } - e ^ { - 2 \Delta x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } } \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 2 } \left( k \right) } & { { } = } & { U H ( k ) U ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - t \cos k - \mu - i \Delta _ { 0 } \sin k } \\ { - t \cos k - \mu + i \Delta _ { 0 } \sin k } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\xi _ { u \pm } ^ { i } = \frac { r _ { e } } { 2 \pi \gamma _ { \pm } } \frac { N _ { \mp } \beta _ { u \pm } ^ { * } } { \sigma _ { u \mp } ^ { * } ( \sigma _ { u \mp } ^ { * } + \sigma _ { y \mp } ^ { * } ) } ,
\begin{array} { r l r } { h } & { { } = } & { \bar { h } _ { 0 } ( \bar { r } , t ) + \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 / 2 } \bar { h } _ { 1 } ( \bar { r } , t ) + O ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 } ) , } \\ { u } & { { } = } & { \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 / 4 } \left[ \bar { u } _ { 0 } ( \bar { r } , t ) + \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 / 4 } \bar { u } _ { 1 } ( \bar { r } , t ) + \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 1 / 2 } \bar { u } _ { 2 } ( \bar { r } , t ) + O ( \mathrm { ~ B ~ o ~ } ^ { - 3 / 4 } ) \right] } \end{array}
{ \cal M } \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } \displaystyle \frac { 1 } { 2 } e ^ { - x } \, { \cal Q } ( x ) \doteq \displaystyle \frac { 1 } { L } \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } e ^ { - x } \, { \cal Q } _ { - } ( x ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 1 } ( f ^ { \flat } ) } & { { } = \gamma ( \frac { \boldsymbol { v } } { c } \mathbin { \lrcorner } \boldsymbol { F } ^ { \flat } , - \boldsymbol { F } ^ { \flat } ) } \\ { \mathcal { R } _ { 1 } ( U \mathbin { \lrcorner } F ) } & { { } = \gamma ( - \boldsymbol { v } \mathbin { \lrcorner } \mathscr { E } , c \mathscr { E } + \boldsymbol { v } \mathbin { \lrcorner } \mathscr { B } ) } \end{array}
\Sigma _ { i , 3 } ^ { \delta ^ { 2 } } = \delta ^ { 2 } \lambda \eta _ { j } ^ { 2 } N _ { j } \left[ \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } \epsilon } - \frac { Y _ { j } ( T ) } { \Omega _ { j } ^ { 2 } } \right] \; \; \; .
\mu ( S , T ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } T \setminus S { \mathrm { ~ i s ~ a ~ p r o p e r ~ m u l t i s e t ~ ( h a s ~ r e p e a t e d ~ e l e m e n t s ) } } } \\ { ( - 1 ) ^ { \left| T \setminus S \right| } } & { { \mathrm { i f ~ } } T \setminus S { \mathrm { ~ i s ~ a ~ s e t ~ ( h a s ~ n o ~ r e p e a t e d ~ e l e m e n t s ) } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \prod _ { k \in \{ 0 , 2 , 3 \} } \frac { 1 + \operatorname { s g n } ( \lambda _ { k } ) } { 2 } \frac { 1 + \operatorname { s g n } ( \lambda _ { 1 } ) } { 2 } - ( - 1 ) ^ { 3 } \prod _ { k \in \{ 0 , 2 , 3 \} } \frac { 1 - \operatorname { s g n } ( \lambda _ { k } ) } { 2 } \frac { 1 - \operatorname { s g n } ( \lambda _ { 1 } ) } { 2 } } \\ & { = p _ { C _ { 0 2 3 } } \left( 1 - \frac 1 2 \delta ( \lambda _ { 1 } ) \right) = p _ { C _ { 0 2 3 } } - \frac 1 2 p _ { C _ { 0 2 3 } } \delta ( \lambda _ { 3 } ) \delta ( \lambda _ { 0 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { \phi _ { i } + \Delta t \omega + \Delta t \Gamma ( 1 - 2 \sigma ^ { 2 } \Delta t ) \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] } \\ & { + \sum _ { j \in \partial _ { i } } \cos ( 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ) \big \{ ( \Delta t ) ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } [ S _ { j } \cos ( 2 \phi _ { j } ) - C _ { j } \sin ( 2 \phi _ { j } ) - S _ { i } \cos ( \phi _ { i } ) + C _ { i } \sin ( 2 \phi _ { i } ) ] } \\ & { + \sigma ( \Delta t ) ^ { 3 / 2 } \Gamma ( \eta _ { j } - \eta _ { i } ) \big \} + \sigma \sqrt { \Delta t } \eta _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r } { O _ { c _ { M } , d _ { M } , r _ { m } } = \left\lbrace ( \theta , c , r , d ) \; | \; \theta \in [ - \pi , \pi ] , \; c \in [ 0 , c _ { M } ] , \; d \in [ 0 , d _ { M } ] , \; \right. } \\ { \left. r \in [ r _ { m } , 0 ] , \; c _ { M } , \, d _ { M } \in \mathbb { R } ^ { + } , \; r _ { m } \in \mathbb { R } ^ { - } \right\rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { F _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta ^ { \prime \prime } , \zeta _ { 2 n - 1 } , s x ^ { - 1 } \zeta _ { 2 n - 1 } ) ^ { k \cdots k ^ { \prime } k ^ { \prime } \pm 1 k _ { 2 n } } } } & { { = } } & { { \delta _ { k ^ { \prime } , k _ { 2 n } } \frac { d _ { s } } { \{ k _ { 2 n } \} } F _ { \sigma } ^ { ( n - 1 ) } ( \zeta ^ { \prime \prime } ) ^ { k \cdots k ^ { \prime } } \; \; \; \; ( s = \pm ) , } } \end{array}
\lambda _ { \pm } ( k ) = \frac { 1 } { \Gamma _ { o } ^ { g } } \left[ 1 + \frac { \Gamma _ { \pm } ^ { s } ( k ) } { | v _ { \pm } ( k ) | \; \Gamma _ { o } ^ { g } } \right] ^ { - 1 } ~ , \quad \Gamma _ { o } ^ { g } \approx \alpha \; T \; \ln \frac { 1 } { g } ~ .
\boldsymbol { \mathfrak { f } } _ { f } = \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { k , s \in F ( f , m ) } \omega _ { m } w _ { k } ( \boldsymbol { \Omega } _ { m } \otimes \boldsymbol { \Omega } _ { m } ) I _ { k , s } } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { k , s \in F ( f , m ) } \omega _ { m } w _ { k } I _ { k , s } } \, ,
{ \frac { x } { U _ { e } u _ { * } } } \nu { \frac { U _ { e } } { x } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { o } } { \partial y _ { o } ^ { 2 } } \frac { U _ { e } } { x u _ { * } } = \frac { \nu } { x u _ { * } } \frac { U _ { e } } { u _ { * } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { o } } { \partial y _ { o } ^ { 2 } } = \frac { \nu } { \partial u _ { * } } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { o } } { \partial y _ { o } ^ { 2 } } = R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { o } } { \partial y _ { o } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \leq - \frac { 1 } { C } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + C ( 1 + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 7 } { 4 } } + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 1 } { s } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 2 s - 1 } { s } } ) . } \end{array}
\langle b | = \sum _ { i } ^ { N } \beta _ { i } ^ { * } \langle i | \implies \left( \begin{array} { l l l l } { \beta _ { 1 } ^ { * } } & { \beta _ { 2 } ^ { * } } & { \cdots } & { \beta _ { N } ^ { * } } \end{array} \right) ,
0 \xrightarrow [ ] O _ { H , S , T } ^ { \times } \xrightarrow [ ] V ^ { \theta } \xrightarrow [ ] B ^ { \theta } \xrightarrow [ ] \nabla _ { S } ^ { T } ( H ) \xrightarrow [ ] 0 , \qquad 0 \xrightarrow [ ] C l _ { S } ^ { T } ( H ) \xrightarrow [ ] \nabla _ { S } ^ { T } ( H ) \xrightarrow [ ] Z ^ { \theta } \xrightarrow [ ] 0 .
\begin{array} { r l } { L _ { k } ( \tau ) \triangleq \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ( \tilde { Y } + \tilde { Y } ) ) } \right] } & { = \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { - 2 \theta _ { k } \tau } \frac { \mu ^ { K } \tilde { y } ^ { K - 1 } e ^ { - \mu \tilde { y } } } { ( K - 1 ) ! } d \tilde { y } + \int _ { \tau } ^ { \infty } e ^ { - 2 \theta _ { k } \tilde { y } } \frac { \mu ^ { K } \tilde { y } ^ { K - 1 } e ^ { - \mu \tilde { y } } } { ( K - 1 ) ! } d \tilde { y } } \\ & { = e ^ { - 2 \theta _ { k } \tau } \gamma ( \mu \tau , K ) + \frac { \mu ^ { K } } { ( K - 1 ) ! } \int _ { \tau } ^ { \infty } \tilde { y } ^ { K - 1 } e ^ { - ( 2 \theta _ { k } + \mu ) } d \tilde { y } } \\ & { = e ^ { - 2 \theta _ { k } \tau } \gamma ( \mu \tau , K ) + \left( \frac { \mu } { \mu + 2 \theta _ { k } } \right) ^ { K } ( 1 - \gamma \left( ( 2 \theta _ { k } + \mu ) \tau ) , K \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i } ^ { n } } & { = \sum _ { j = i } ^ { j = ( n - 1 ) / 2 + i - 1 } \Pi _ { j } ^ { \mathrm { r o t } } + \frac { 1 } { 2 } \Pi _ { ( n + 1 ) / 2 + i - 1 } ^ { \mathrm { r o t } } = \frac { 1 } { 2 } ( \mathbb { I } + \vec { m } _ { i } \cdot \sigma ) } \\ { W _ { i } ^ { n } } & { = \sum _ { j = i } ^ { j = ( n - 1 ) / 2 + i - 1 } \Pi _ { j } ^ { \mathrm { r o t } } + \frac { 1 } { 2 } \Pi _ { i - 1 } ^ { \mathrm { r o t } } = \frac { 1 } { 2 } ( \mathbb { I } + \vec { w } _ { i } \cdot \vec { \sigma } ) . } \end{array}
D _ { 1 1 2 2 } = \langle { \left( \delta u \right) ^ { 2 } \left( \delta v \right) ^ { 2 } } \rangle \simeq \left\langle { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial v } { \partial x } \right) ^ { 2 } } \right\rangle r ^ { 4 } + . . . .
\hat { \Gamma } _ { \mu } ( \partial , \stackrel { \leftarrow } { \partial } ^ { \dagger } ) = \stackrel { \leftarrow } { \zeta } _ { \mu } ^ { - \; \; j } \Lambda _ { j } + \sum _ { l = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { l } \stackrel { \leftarrow } { \partial } ^ { \dagger \; \; \mu _ { 1 } } . . . \stackrel { \leftarrow } { \partial } ^ { \dagger \; \; \mu _ { k } } \stackrel { \leftarrow } { \zeta } _ { \mu } ^ { - \; \; j } \Lambda _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { k } j \mu _ { k + 1 } . . . \mu _ { l } } \partial ^ { \mu _ { k + 1 } } . . . \partial ^ { \mu _ { l } }
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } p ( n ) x ^ { n } } & { = \prod _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { 1 - x ^ { k } } } \right) } \\ & { = \left( 1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots \right) \left( 1 + x ^ { 2 } + x ^ { 4 } + x ^ { 6 } + \cdots \right) \left( 1 + x ^ { 3 } + x ^ { 6 } + x ^ { 9 } + \cdots \right) \cdots } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 - x - x ^ { 2 } + x ^ { 5 } + x ^ { 7 } - x ^ { 1 2 } - x ^ { 1 5 } + x ^ { 2 2 } + x ^ { 2 6 } - \cdots } } } \\ & { = 1 { \Big / } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } x ^ { k ( 3 k - 1 ) / 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \mathbf { k } } } & { = \Phi _ { 0 } + P _ { \mathbf { k } 1 } ^ { ( 0 ) } \Phi _ { 1 } + P _ { \mathbf { k } 2 } ^ { ( 0 ) } \Phi _ { 2 } , } \\ { \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \rangle } } & { = \Phi _ { 0 } ^ { \langle \mu \rangle } + P _ { \mathbf { k } 1 } ^ { ( 1 ) } \Phi _ { 1 } ^ { \langle \mu \rangle } , } \\ { \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \rangle } } & { = \Phi _ { 0 } ^ { \langle \mu \nu \rangle } , } \\ { \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \alpha \rangle } } & { = \Phi _ { 0 } ^ { \langle \mu \nu \alpha \rangle } , } \\ { \lambda _ { \mathbf { k } } ^ { \langle \mu \nu \alpha \beta \rangle } } & { = \Phi _ { 0 } ^ { \langle \mu \nu \alpha \beta \rangle } . } \end{array}
\left( \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { i + 1 / 2 , j } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { i , j } + \left( \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { i + 1 , j } \right] - \left( \mathbf { R } \left| \boldsymbol { \Lambda } \right| \mathbf { L } \right) _ { i + 1 / 2 , j } ,
\frac { D _ { v } \mathcal { F } } { D t } = \int _ { x _ { L } } ^ { x _ { R } } \int _ { z _ { 0 } } ^ { \eta } \frac { \partial f } { \partial t } \; d x \; d z \; + \left. \int _ { x _ { L } } ^ { x _ { R } } \mathbf { b } \cdot \mathbf { n } f \right| _ { z _ { 0 } } \; d S \; + \left. \int _ { x _ { L } } ^ { x _ { R } } \mathbf { b } \cdot \mathbf { n } f \right| _ { \eta } \; d S \; ,
\begin{array} { r l } { \| M - M _ { \phi } \| \leq } & { ~ C \cdot \frac { k ^ { 1 / 2 } } { p ^ { 1 / 2 } ( m n ) ^ { 1 / 4 } } \cdot \| M \| _ { F } } \\ { \leq } & { ~ C \cdot \frac { k ^ { 1 / 2 } } { p ^ { 1 / 2 } ( m n ) ^ { 1 / 4 } } \cdot \sqrt { k } \sigma _ { 1 } ^ { * } } \\ { = } & { ~ C \cdot \frac { k } { p ^ { 1 / 2 } ( m n ) ^ { 1 / 4 } } \cdot \sigma _ { 1 } ^ { * } } \\ { \leq } & { ~ C \cdot \frac { k } { p ^ { 1 / 2 } m ^ { 1 / 2 } } \cdot \sigma _ { 1 } ^ { * } } \\ { \leq } & { ~ \frac { 1 } { 1 0 ^ { 4 } k } \cdot \sigma _ { k } ^ { * } , } \end{array}
E ( k ) = { \frac { \pi } { 2 } } \left( 1 - \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } { \frac { k ^ { 2 } } { 1 } } - \left( { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 } } \right) ^ { 2 } { \frac { k ^ { 4 } } { 3 } } - \cdots - \left( { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { ( 2 n ) ! ! } } \right) ^ { 2 } { \frac { k ^ { 2 n } } { 2 n - 1 } } - \cdots \right) .
\kappa ^ { 2 } = \frac { \pm \omega \sqrt { 4 \left( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) k ^ { 4 } + \omega ^ { 2 } } + \omega ^ { 2 } - 2 k ^ { 4 } \nu _ { 4 } \left( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) } { 2 \left( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) ^ { 2 } k ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { [ \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r + 1 , n ; \mathbb { F } _ { q } ) ] = \sum _ { k = r + 1 } ^ { n } [ Y _ { k } ] = \sum _ { k = r + 1 } ^ { n } [ \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r , k - 1 ; \mathbb { F } _ { q } ) ] [ \mathsf { C o n f } _ { n - k } ( \mathbb { A } _ { \mathbb { F } _ { q } } ^ { r + 1 } \setminus \{ k + 1 \mathrm { ~ p o i n t s } \} ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \chi _ { I L } + \sum _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } \ne I L } \left( \Gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } + \gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } \right) n _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + \sum _ { I L } \left( \Gamma _ { I L , I L } + \gamma _ { I L , I L } \right) \eta _ { I L } - \lambda = 0 , } \\ & { \sum _ { I L } \eta _ { I L } \Big \vert _ { l = 0 } = 0 . } \end{array}
\psi ( { \bf Q } ; t ) = \sum _ { j _ { 1 } = 1 } ^ { n _ { 1 } } \ldots \sum _ { j _ { f } = 1 } ^ { n _ { f } } A _ { j _ { 1 } \ldots j _ { f } } ^ { 1 } ( t ) \cdot \phi _ { j _ { 1 } } ^ { 1 ; 1 } ( Q _ { 1 } , t ) \ldots \phi _ { j _ { f } } ^ { 1 ; f } ( Q _ { f } , t ) \, . \, .
J _ { n } ^ { + } = x ^ { 2 } { \frac { d } { d x } } - n x \quad , \quad J _ { n } ^ { 0 } = x { \frac { d } { d x } } - { \frac { n } { 2 } } \quad , \quad J _ { n } ^ { - } = { \frac { d } { d x } }
e ^ { i a ^ { \prime } \left( { \hat { u } } \cdot { \vec { \sigma } } \right) } e ^ { i b ^ { \prime } \left( { \hat { v } } \cdot { \vec { \sigma } } \right) } = \exp \left( { \frac { c ^ { \prime } } { \sin c ^ { \prime } } } \sin a ^ { \prime } \sin b ^ { \prime } \left( \left( i \cot b ^ { \prime } { \hat { u } } + i \cot a ^ { \prime } { \hat { v } } \right) \cdot { \vec { \sigma } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ i { \hat { u } } \cdot { \vec { \sigma } } , i { \hat { v } } \cdot { \vec { \sigma } } \right] \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { E _ { z } ^ { s c t , 0 } } & { { } \rightarrow \sqrt { \frac { 2 } { \pi k a ^ { 0 } } } e ^ { - j ( k a ^ { 0 } - { \frac { \pi } { 4 } } ) } \sum _ { p = 1 } ^ { P } { \frac { \pi \omega \mu a ^ { p } } { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { p , q } ^ { 2 } } & { = p _ { g } q _ { g } \ / \ 2 N } \\ & { = p _ { g } q _ { g } \left( { \frac { 1 } { 2 N } } \right) } \\ & { = p _ { g } q _ { g } \ f } \\ & { = p _ { g } q _ { g } \ \Delta f \ \scriptstyle { \mathrm { w h e n ~ u s e d ~ i n ~ r e c u r s i v e ~ e q u a t i o n s } } } \end{array} }
V _ { \alpha \beta } ^ { \oplus } = \frac { \mathcal { G } _ { \alpha \beta } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta _ { z } \int _ { 0 } ^ { r _ { \operatorname* { m a x } } ( \theta _ { z } ) } d r ~ r \sin \theta ~ e ^ { - m _ { \alpha \beta } ^ { \prime } r } \times \left\{ \begin{array} { l l l } { \langle n _ { e , \oplus } \rangle _ { \theta _ { z } } } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \mu ~ \mathrm { o r } ~ e , \tau } \\ { \langle n _ { n , \oplus } \rangle _ { \theta _ { z } } } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = \mu , \tau } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l } { \tilde { H } [ u ] } & { { } = \hat { H } - \sum _ { i < j } \hat { K } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { i } } , { \mathbf { r } _ { j } } ) - \sum _ { i < j < k } \hat { L } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { i } } , { \mathbf { r } _ { j } } , { \mathbf { r } _ { k } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf q } & { { } = } & { \frac { 1 - e ^ { - \nu \Delta t \textrm { P r } } } { \nu \Delta t \textrm { P r } } \widetilde { \mathbf { q } } } \\ { \textrm { w i t h } \quad \widetilde { \mathbf { q } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \mathbf c _ { i } ^ { \prime } \left[ \mathbf c _ { i } ^ { 2 } \widetilde { g } ( \mathbf x , \mathbf v _ { i } ^ { \prime } , t ) + \widetilde { h } ( \mathbf x , \mathbf v _ { i } ^ { \prime } , t ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { L ( { \mathbf t } ) = \left( \begin{array} { c c c c c c } { t _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { t _ { 1 } } & { t _ { 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { t _ { 3 } } & { t _ { 4 } } & { t _ { 5 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { t _ { 3 6 } } & { t _ { 3 7 } } & { t _ { 3 8 } } & { \dots } & { t _ { 4 4 } } \end{array} \right) + i \left( \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { t _ { 4 5 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { t _ { 4 6 } } & { t _ { 4 7 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { t _ { 7 2 } } & { t _ { 7 3 } } & { \dots } & { t _ { 8 0 } } & { 0 } \end{array} \right) , \quad { \mathbf t } = ( t _ { 0 } , \dots , t _ { 8 0 } ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D = } & { { } \left( \begin{array} { l l l l l } { \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 0 } } & { \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 1 } } & { \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 2 } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) } & { \dots } & { \bar { d } _ { 1 } ( 0 ) { \cdot } p _ { n } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) } \\ { - \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 0 } } & { - \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 1 } } & { - \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { 2 } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) } & { \dots } & { - \bar { d } _ { 0 } ( 0 ) { \cdot } p _ { n } \bar { \hat { e } } ^ { * } { \cdot } \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { : } & { : } & { : } & { \dots } & { : } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textsf { P } } & { { } = \int \! \mathrm { d } \tau \, W , } \\ { W } & { { } = \sum _ { n = n ^ { \star } } ^ { \infty } \int _ { s _ { n } ^ { - } } ^ { s _ { n } ^ { + } } \! \mathrm { d } s \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \mathrm { d } \phi \, \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { n } } { \mathrm { d } s \mathrm { d } \phi } } \end{array}
{ \cal C } _ { j } = \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { m _ { j } } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 1 } } \ldots \sum _ { k _ { n _ { j } } = 0 } ^ { k _ { n _ { j } - 1 } } q ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + \cdots + k _ { n _ { j } } } .
L _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } ( \sum _ { n } \beta _ { n } z _ { n } + \sum _ { B } \beta _ { B } z _ { B } ) + \frac { 1 } { 4 } \left[ \sum _ { n } ( 1 - \mu _ { n } ^ { 2 } ) - 3 ( { \cal N } - 2 ) \right]
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = \iint \Big [ A _ { p } ( \mathbf { k } ) \, \underbrace { \hat { \mathbf { e } } _ { p } \, e ^ { i \, \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } } _ { \mathrm { p l a n e ~ w a v e } } + A _ { s } ( \mathbf { k } ) \, \underbrace { \hat { \mathbf { e } } _ { s } \, e ^ { i \, \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } } _ { \mathrm { p l a n e ~ w a v e } } \Big ] \, e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { 0 } } \, \mathrm { s i n } ( \theta ) \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \phi ,
\begin{array} { r l } { \Im \left( e ^ { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } \right) } & { { } = i \cos \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t \frac { 1 - \cos \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } { \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { { K } } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \\ { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { \mathbf { { K } } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \end{array} \right) } \\ & { \mathbf { { K } } _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \\ { - \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { \mathbf { { K } } _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l } { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \sum _ { i } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \chi ^ { ( A ) } \overset { * } { ( } q _ { B } \ p _ { B - } ^ { \prime } ) \chi ^ { ( A ) } ( q _ { B } \ p _ { B + } ^ { \prime } ) = 2 \left[ \operatorname { R e } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } + \operatorname { I m } ( \mathcal { G } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \times | \mathfrak { F } _ { ( D , s _ { 0 } ) } | ^ { 2 } \left( \frac { q _ { B } } { \sqrt { 2 \mu _ { A } } } \sqrt { p _ { B - } ^ { \prime } \ p _ { B + } ^ { \prime } } \right) ^ { 2 - 2 D } } \\ & { } & { \times \left\{ \cos \left[ s _ { 0 } \log \left( \frac { p _ { B + } ^ { \prime } } { p _ { B - } ^ { \prime } } \right) \right] + \cos \left[ s _ { 0 } \log \left( \frac { q _ { B } ^ { 2 } \ p _ { B + } ^ { \prime } p _ { B - } ^ { \prime } } { 2 \mu _ { A } \kappa _ { 0 } ^ { * \ 2 } } \right) \right] \right\} . } \end{array}