harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta = D _ { i } ^ { m } D _ { i } ^ { m } + ( \partial _ { a } ^ { m } \psi _ { a } ^ { j } ) D _ { j } ^ { m } = D _ { i } ^ { m } D _ { i } ^ { m } - \sum _ { i \neq j } y _ { i j } \phi _ { j } ^ { m } D _ { j } ^ { m } .
\leq 2 \left[ \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \left( I - \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } \right) \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} + \sum _ { i \neq m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( i \right) } , \delta } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} \right\} \right] ^ { 1 / 2 } ,
\hat { d } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ y ~ } } \in \lbrace \hat { d } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ y ~ } } ^ { * } , 1 . 1 \hat { d } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ y ~ } } ^ { * } , 1 . 2 \hat { d } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ y ~ } } ^ { * } \rbrace
E _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 1 } { 8 } g ^ { 2 } - \frac { 4 6 5 } { 3 2 } g ^ { 4 } - \frac { 3 9 7 0 9 } { 1 2 8 } g ^ { 6 }
\begin{array} { r l } { \mathscr { H } _ { 1 } } & { : \mathrm { s y s t e m a t i c ~ b i t ~ f r o m ~ s t a t e ~ m ~ t o ~ n ~ i s ~ + 1 ~ } } \\ { \mathscr { H } _ { 2 } } & { : \mathrm { s y s t e m a t i c ~ b i t ~ f r o m ~ s t a t e ~ m ~ t o ~ n ~ i s ~ - 1 ~ } } \\ { \mathscr { H } _ { 3 } } & { : \mathrm { p a r i t y ~ b i t ~ f r o m ~ s t a t e ~ m ~ t o ~ n ~ i s ~ + 1 ~ } } \\ { \mathscr { H } _ { 4 } } & { : \mathrm { p a r i t y ~ b i t ~ f r o m ~ s t a t e ~ m ~ t o ~ n ~ i s ~ - 1 ~ } . } \end{array}
\left| \Re \left( c _ { j } ^ { ( i ) } \bar { c } _ { k } ^ { ( i ) } \left\langle \widehat { e } _ { j } , L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) \right| \leq \left| c _ { j } ^ { ( i ) } \right| \left| c _ { k } ^ { ( i ) } \right| \left| \left\langle \widehat { e } _ { j } , L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right| ,
( \Delta ) \hat { \sigma } _ { \gamma g } ( s ) = \int _ { ( 1 - \beta ) s / 2 } ^ { ( 1 + \beta ) s / 2 } \mathrm { d } ( - t _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { s _ { 4 } ^ { \operatorname * { m a x } } } \mathrm { d } s _ { 4 } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } ( \Delta ) \hat { \sigma } _ { \gamma g } } { \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } s _ { 4 } } ( s , t _ { 1 } , s _ { 4 } ) ,
+ { \frac { i } { 2 m L x ^ { + } } } \sqrt { x ^ { + } x ^ { - } + 2 L x ^ { + } s i g n ( x ^ { + } ) } J _ { 1 } ( m \sqrt { x ^ { + } x ^ { - } + 2 L x ^ { + } s i g n ( x ^ { + } } ) + O ( L ^ { - 5 / 4 } )
\theta ( g _ { 2 } , g _ { 3 } ) ^ { \alpha } \: + \: \theta ( g _ { 1 } , g _ { 2 } g _ { 3 } ) ^ { \alpha } \: = \: g _ { 3 } ^ { * } \theta ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: + \: \theta ( g _ { 1 } g _ { 2 } , g _ { 3 } ) ^ { \alpha } \: - \: d \log \omega _ { \alpha } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } , g _ { 3 } }
\frac { F _ { e } } { F _ { g } } = \frac { v _ { B } ^ { 2 } } { V ^ { 2 } } = \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } v _ { B } ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { G m _ { e } m _ { p } q _ { e } ^ { 2 } } = \frac { q _ { e } ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } G m _ { e } m _ { p } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } + { i m \Omega _ { d } \delta f _ { m } } = - \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu A _ { m } } { q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } . } \end{array}
i _ { \mathrm { m i n } } = \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { ( \eta ^ { \prime } \Gamma ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } } \frac { \beta ^ { 2 } \kappa _ { M } ^ { 1 / 2 } N _ { e } ( N _ { r } + 2 \kappa _ { M } N ) ^ { 1 / 2 } } { \alpha ^ { 1 / 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) N ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha , \beta ) } & { = \operatorname* { m i n } \Big \{ \alpha \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) + \beta \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) \, : \, \gamma \in \Gamma ^ { n } ( 0 ) \Big \} } \\ & { \ge t \operatorname* { m i n } \Big \{ \alpha _ { 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) + \beta _ { 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) \, : \, \gamma \in \Gamma ^ { n } ( 0 ) \Big \} } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 - t ) \operatorname* { m i n } \Big \{ \alpha _ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) + \beta _ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) \, : \, \gamma \in \Gamma ^ { n } ( 0 ) \Big \} } \\ & { = t B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) + ( 1 - t ) B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \int \ F _ { t a 1 } D _ { a 1 } + F _ { t a 2 } D _ { a 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( E _ { a 1 } E _ { a 1 } + D _ { a 2 } D _ { a 2 } + B _ { a 1 } B _ { a 1 } + B _ { a 2 } B _ { a 2 } ) \ .
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { 2 } } { d t } = } & { { } } & { ( n _ { 1 } - n _ { 2 } ) B _ { r 1 2 } n _ { p h 1 2 } - n _ { 2 } \gamma _ { r 1 2 } + } \end{array}
\theta _ { \mathrm { ~ t ~ i ~ p ~ } } = \operatorname { a r c c o s } \left[ \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 4 } \gamma ^ { 2 } B _ { \mathrm { ~ r ~ f ~ } } ^ { 2 } T _ { 1 } T _ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r } { \mathcal { O } _ { \infty } = \mathcal { O } _ { X } + X ^ { 4 } \Big [ \zeta ( 4 ) - \sum _ { l = 1 } ^ { X } l ^ { - 4 } \Big ] \big ( \mathcal { O } _ { X } - \mathcal { O } _ { X - 1 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \lambda ( y _ { 1 } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { y _ { 1 } } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ( s ) ) ^ { 2 } } \ d s \textnormal { o n } \gamma ^ { - } , } & { \lambda ( y _ { 1 } ) } & { = \int _ { y _ { 1 } } ^ { \Gamma } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ( s ) ) ^ { 2 } } \ d s \textnormal { o n } \gamma ^ { + } } \end{array}
\epsilon = ( \frac { 9 } { 4 \pi } ) \frac { I m ( { \lambda _ { 2 } } _ { i j } { { \lambda ^ { \dagger } } _ { 2 } } _ { j k } { { \lambda ^ { \dagger } } _ { 2 } } _ { k l } { \lambda _ { 2 } } _ { l i } ) I ( \frac { M _ { j } ^ { 2 } } { M _ { i } ^ { 2 } } ) } { { \lambda _ { 2 } } _ { i j } { { \lambda ^ { \dagger } } _ { 2 } } _ { i j } }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \chi ^ { 2 } } ( y ) } & { = \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left( \frac { 1 } { l ( s , y ) } - 1 \right) ^ { 2 } \leq { \varepsilon } \Rightarrow P _ { S } ( s _ { y } ) \left( \frac { 1 } { l ( s _ { y } , y ) } - 1 \right) ^ { 2 } = P _ { S } ( s _ { y } ) \left( \frac { 1 } { \Psi ( y ) } - 1 \right) ^ { 2 } \leq { \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { P } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { S } a _ { Q } ^ { \dagger } = \delta _ { P R } \delta _ { Q S } + S _ { P Q } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { S } - \delta _ { P R } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { S } } \\ { - \delta _ { Q S } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { P } + a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { P } a _ { S } , } \end{array}
\sqrt { 2 } { \cal A } ( B ^ { + } \rightarrow \rho ^ { 0 } K ^ { + } ) + { \cal A } ( B ^ { + } \rightarrow \rho ^ { + } K ^ { 0 } ) = - ( T _ { V } + C _ { P } ) + \frac { 3 } { 2 } \kappa ( T _ { P } + C _ { V } )
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } ) ^ { * } , T } ( h _ { T } f _ { h } ) } & { \lesssim \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , T } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \| \omega _ { p , T } ( h _ { T } ) ^ { 2 } ( 1 + \vert \nabla u \vert ^ { p ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , T } + \mathrm { o s c } _ { h } ( f , v _ { h } , T ) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \cal O } _ { \ell \ell } ^ { ( 1 ) } } } & { { \equiv } } & { { ( \overline { { { L _ { e } } } } \, \gamma ^ { \mu } \, { L _ { e } } ) ( \overline { { { L _ { \mu } } } } \, \gamma _ { \mu } \, { L _ { \mu } } ) } } \\ { { { \cal O } _ { \ell \ell } ^ { ( 3 ) } } } & { { \equiv } } & { { ( \overline { { { L _ { e } } } } \, \gamma ^ { \mu } \, { \bf \vec { \tau } } \, { L _ { e } } ) ( \overline { { { L _ { \mu } } } } \, \gamma _ { \mu } \, { \bf \vec { \tau } } \, { L _ { \mu } } ) } } \\ { { { \cal O } _ { e \mu } } } & { { \equiv } } & { { ( \overline { { { e _ { R } } } } \, \gamma ^ { \mu } \, e _ { R } ) ( \overline { { { \mu _ { R } } } } \, \gamma _ { \mu } \, \, \mu _ { R } ) } } \\ { { { \cal O } _ { \ell \mu } } } & { { \equiv } } & { { ( \overline { { { L _ { e } } } } \, \gamma ^ { \mu } \, { L _ { e } } ) ( \overline { { { \mu _ { R } } } } \, \gamma _ { \mu } \, \, \mu _ { R } ) } } \\ { { { \cal O } _ { e \ell } } } & { { \equiv } } & { { ( \overline { { { e _ { R } } } } \, \gamma ^ { \mu } \, e _ { R } ) ( \overline { { { L _ { \mu } } } } \, \gamma _ { \mu } \, { L _ { \mu } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ F ( w ^ { ( t + 1 ) } ) - F ( w ^ { ( t ) } ) ] } \\ & { \leq - \eta | | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) | | _ { 1 } + \frac { L \eta ^ { 2 } } { 2 } + 2 \eta \sum _ { j = 1 } ^ { d } | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) _ { j } | [ p _ { j , 1 } ( 1 - 2 p _ { j , 2 } ) + p _ { j , 2 } ] } \\ & { = - \eta \sum _ { j = 1 } ^ { d } | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) _ { j } | [ 1 - 2 p _ { j , 1 } ( 1 - 2 p _ { j , 2 } ) - 2 p _ { j , 2 } ] + \frac { L \eta ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { = - \eta \sum _ { j = 1 } ^ { d } | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) _ { j } | [ ( 1 - 2 p _ { j , 1 } ) ( 1 - 2 p _ { j , 2 } ) ] + \frac { L \eta ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { \leq - \eta \sum _ { j = 1 } ^ { d } ( 1 - 2 p _ { j , 2 } ) \bigg ( 1 - 2 \left[ 1 - \frac { A } { B } p _ { s } + \frac { \sqrt { A ^ { 2 } ( N + K ) ^ { 2 } - ( N - K ) ^ { 2 } | \Bar { x } | ^ { 2 } } } { B ( N + K ) } p _ { s } \right] ^ { N + K } \bigg ) | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) _ { j } | + \frac { L \eta ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { = - \eta \sum _ { j = 1 } ^ { d } ( 1 - 2 p _ { j , 2 } ) ( 1 - 2 \rho _ { j , 2 } ) | \nabla F ( w ^ { ( t ) } ) _ { j } | + \frac { L \eta ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ } } = \frac { D _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } - D _ { \mathrm { ~ a ~ n ~ i ~ s ~ o ~ } } } { D _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } } \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\boldsymbol { B } \cdot \nabla \frac { J _ { \parallel } } { B } = - \boldsymbol { B } _ { p } \cdot \nabla \left( \frac { B _ { z } } { B ^ { 2 } } \frac { d p } { d \psi } \right) = - \nabla \cdot \boldsymbol { J } _ { \perp } .
\begin{array} { r l r } { u _ { n } ^ { ( m + 1 ) } } & { = } & { \left[ \cos \beta u _ { n + 1 } ^ { ( m ) } + i \sin \beta v _ { n + 1 } ^ { ( m ) } \right] \exp ( h + i \varphi _ { n } ) } \\ { v _ { n } ^ { ( m + 1 ) } } & { = } & { \left[ \cos \beta v _ { n - 1 } ^ { ( m ) } + i \sin \beta u _ { n - 1 } ^ { ( m ) } \right] \exp ( - h + i \varphi _ { n } ) \; \; \; \; \; \; \; } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } , s _ { 2 ^ { J } t _ { n } , j _ { n } } ^ { ( \ell ) } \rangle = \int _ { \mathbb { R } ^ { \ell } } s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { \ell } ) \overline { { s _ { 2 ^ { J } t _ { n } , j _ { n } } ^ { ( \ell ) } ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { \ell } ) } } d \lambda _ { 1 } \cdots d \lambda _ { \ell } . } \end{array}
{ \cal L } _ { 1 } ( x ) ~ = ~ - { \frac { 1 } { 4 } } ( \partial _ { \alpha } A _ { \beta } ( x ) - \partial _ { \beta } A _ { \alpha } ( x ) ) ( \partial ^ { \alpha } A ^ { \beta } ( x ) - \partial ^ { \beta } A ^ { \alpha } ( x ) ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \tilde { Z } _ { 3 c } ) } & { \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \big ( \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } \big ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } } { \| \theta \| _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { \prime \prime } } & { - 2 i \left[ \widetilde { \omega } + \varpi + q \Delta \frac { d \Delta } { d r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \right] v ^ { \prime } - V _ { q , \varpi } v - i q \frac { \Delta } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } \left[ \frac { d ^ { 2 } \Delta } { d r ^ { 2 } } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } - 2 r \frac { d \Delta } { d r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } \right] v } \\ { = } & { \: e ^ { i ( \widetilde { \omega } + \varpi ) r _ { * } } \Delta ^ { i q } H . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { c } ( s ^ { k } , x ^ { k } ) } & { = \exp \left\{ - n \left( E _ { \mathrm { s p } } ( t R ( Q _ { X } , U _ { S | X } , D _ { s } , D _ { x } ) - t \hat { \epsilon } _ { 1 } ( k ) , W _ { Z | Y } ) + \tilde { \epsilon } _ { 1 } ( n ) \right) \right\} } \\ & { \overset { ( b ) } { \geq } \exp \left\{ - n \left( E _ { \mathrm { s p } } ( t R ( Q _ { X } , U _ { S | X } , D _ { s } , D _ { x } ) , W _ { Z | Y } ) + \epsilon _ { 1 } ( n ) \right) \right\} , } \end{array}
\delta G ( x , y ) = \int d ^ { 2 } \! z \ G ( x , z ) ( \partial _ { a } \sqrt { - g } [ \delta g ^ { a b } - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { c d } \delta g _ { c d } \, g ^ { a b } ] \partial _ { b } ) _ { z } G ( z , y ) \ \ .
2 G ^ { i j i ^ { \prime } j ^ { \prime } } = ( h ^ { i i ^ { \prime } } h ^ { j j ^ { \prime } } + h ^ { i j ^ { \prime } } h ^ { j i ^ { \prime } } - \frac { 2 } { D } h ^ { i j } h ^ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ) + C ~ h ^ { i j } h ^ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ,
{ \begin{array} { r l } { u } & { = \int E \, f ( E ) \, g ( E ) \, \mathrm { d } E } \\ { N } & { = V \int f ( E ) \, g ( E ) \, \mathrm { d } E } \\ { c } & { = { \frac { \partial } { \partial T } } \int E \, f ( E ) \, g ( E ) \, \mathrm { d } E } \\ { k } & { = { \frac { 1 } { d } } { \frac { \partial } { \partial T } } \int E f ( E ) \, g ( E ) \, \nu ( E ) \, \Lambda ( E ) \, \mathrm { d } E } \end{array} }
\frac { d l _ { i _ { \perp } } ^ { 2 } } { l _ { i _ { \perp } } ^ { 2 } } = - \frac { \alpha _ { s } ( m ^ { 2 } ) } { c } \frac { d \log ( \alpha _ { s } ( l _ { i _ { \perp } } ^ { 2 } ) ) } { \alpha _ { s } ( l _ { i _ { \perp } } ^ { 2 } ) }
E _ { \mathrm { c a s } } [ \sigma ] = \sum _ { \ell } N _ { \ell } \int _ { m } ^ { \infty } \frac { d t } { 2 \pi } \, \frac { t } { \sqrt { t ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \, \left[ \beta _ { \ell } ( t ) \right] _ { N } + E _ { \mathrm { F D } } ^ { N } + E _ { \mathrm { C T } } \, ,
\mathcal { H } _ { k i n } ^ { ( 1 ) } \; = \; - \sum _ { \left\langle i j \right\rangle \nu } \left[ t _ { p } P _ { i { + } } ^ { \nu } P _ { j { - } } ^ { \nu } + t _ { n } N _ { i { + } } ^ { \nu } N _ { j { - } } ^ { \nu } + \frac { t _ { p n } } { 2 } \left( P _ { i { + } } ^ { \nu } N _ { j { - } } ^ { \nu } + N _ { i { + } } ^ { \nu } P _ { j { - } } ^ { \nu } \right) + h . c . \right] ,
\partial _ { \hat { p } } \hat { H } ( \hat { p } , \hat { y } ) = - \hat { p } ^ { 1 - z _ { * } } | \hat { y } | \hat { \alpha } _ { \infty } \hat { H } _ { * } ( \hat { p } , \hat { y } ) \, , \quad \hat { \alpha } _ { \infty } = \frac { \hat { J } _ { * } ( 0 ) } { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { r ( s _ { t } , a _ { t } , s _ { t + 1 } ) } & { \equiv r ( s _ { t } ) = ( 2 c _ { 1 } ) ^ { 2 } + c _ { 2 } \operatorname* { m i n } \bigg ( \frac { 0 . 1 } { 1 - x _ { t } } - 0 . 1 , 7 \bigg ) - 0 . 1 \cdot \mathrm { F W H M } _ { t } , } \\ & { \quad x _ { t } = \frac { P I _ { t } } { P I _ { T L } } , \qquad \quad P I _ { t } = \frac { 2 E } { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \tau ( s _ { t } ) d t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } } & { | K ( x ) f ( u _ { n } ( x ) ) ( u _ { n } ( x ) - u ( x ) ) | ^ { l } d x } \\ & { \leq 2 ^ { l - 1 } \epsilon ^ { l } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } Q ( x ) \left| \left\lbrace \psi _ { x } ( x , u _ { n } ( x ) ) u _ { n } ( x ) + ( \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , u _ { n } ( x ) ) ) ^ { \frac { b - 1 } { h _ { i } ^ { * } } } \right\rbrace ( u _ { n } ( x ) - u ( x ) ) \right| ^ { l } d x } \\ & { + 2 ^ { l - 1 } c _ { \epsilon } ^ { l } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } Q ( x ) \left| ( \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , u _ { n } ( x ) ) ) ^ { \frac { b - 1 } { h _ { i } ^ { * } } } \chi _ { [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] } ( u _ { n } ( x ) ) ( u _ { n } ( x ) - u ( x ) ) \right| ^ { l } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { j _ { s } } p _ { j _ { 1 } \cdots \widehat { j _ { s } } \cdots j _ { l } n \cdots n } } & { = \partial _ { j _ { s } } p _ { j _ { 1 } \cdots \widehat { j _ { s } } \cdots j _ { l } n \cdots n } } \\ & { \quad - \sum _ { r = 1 } ^ { l - 1 } \Gamma _ { j _ { s } j _ { r } } ^ { k } p _ { j _ { 1 } \cdots k \cdots j _ { l } n \cdots n } } \\ & { \quad - \sum _ { r = l } ^ { m - 1 } \Gamma _ { j _ { s } j _ { r } } ^ { k } p _ { j _ { 1 } \cdots j _ { l } n \cdots k \cdots n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \omega } { \Omega _ { e } } \sim \frac { k _ { \perp } v _ { E } } { \Omega _ { e } } \sim k _ { \perp } \rho _ { e } \epsilon , \quad \frac { \omega } { \Omega _ { i } } = \frac { m _ { i } } { Z m _ { e } } \frac { \omega } { \Omega _ { e } } \sim k _ { \perp } \rho _ { e } \epsilon \frac { m _ { i } } { m _ { e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \bigg | _ { \delta = 1 } J _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w } \bar { J } _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w ^ { \prime } } } & { \left( \Psi _ { j , k } \circ \tau _ { \delta } \right) = \left( - w z - w ^ { \prime } \bar { z } \right) \bar { z } ^ { k - j } P _ { j } ^ { ( n - 1 , k - j ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) } \\ & { + ( k - j ) ( \bar { z } ^ { 2 } - 1 ) \bar { z } ^ { k - j - 1 } P _ { j } ^ { ( n - 1 , k - j ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) } \\ & { + 2 ( z + \bar { z } ) ( | z | ^ { 2 } - 1 ) \bar { z } ^ { k - j } \frac { d } { d x } P _ { j } ^ { ( n - 1 , k - j ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) . } \end{array}
\frac { i B k ^ { 4 } \nu _ { 4 } + i \left( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) \kappa ^ { 2 } B k ^ { 2 } - A \, \kappa ^ { 2 } \omega } { k ^ { 2 } \omega } - A = 0 , \quad \textrm { a n d } \quad - \frac { i A \left( \left( \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) \kappa ^ { 2 } + k ^ { 2 } \nu _ { 4 } \right) } { \omega } - B = 0
\begin{array} { r l } { t _ { k + 1 } } & { = \left[ ( 1 - \omega _ { t } ^ { k } ) + \omega _ { t } ^ { k } \mathrm { ~ p r o j } _ { [ a _ { t } , b _ { t } ] } \left( \frac { \Vert x ^ { k } \Vert } { \Vert p ^ { k } - x ^ { k } \Vert } \right) \right] t _ { k } , } \\ { s _ { k + 1 } } & { = \left[ ( 1 - \omega _ { s } ^ { k } ) + \omega _ { s } ^ { k } \mathrm { ~ p r o j } _ { [ a _ { s } , b _ { s } ] } \left( \frac { \Vert \tilde { y } ^ { k } \Vert } { \Vert \tilde { q } ^ { k } - \tilde { y } ^ { k } \Vert } \right) \right] s _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { h ( a , b ) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { a - b } \ln \frac { a } { b } , } } \\ { { B ( a , b ) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { ( a - b ) ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) - \frac { a b } { a - b } \ln \frac { a } { b } \right] , } } \\ { { p _ { b } ( a , b ) } } & { { = } } & { { f ( a , b ) - 2 e _ { b } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ( a - b ) g ( a , b ) , } } \\ { { p _ { t } ( a , b ) } } & { { = } } & { { f ( a , b ) + 2 e _ { t } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ( a - b ) g ( a , b ) , } } \\ { { g ( a , b ) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { ( a - b ) ^ { 2 } } \left[ 2 - \frac { a + b } { a - b } \ln \frac { a } { b } \right] , } } \\ { { f ( a , b ) } } & { { = } } & { { \frac { - 1 } { a - b } \left[ 1 - \frac { b } { a - b } \ln \frac { a } { b } \right] . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { = 0 } \\ { s _ { 1 } } & { = s _ { 0 } + t _ { 0 } = t _ { 0 } } \\ { s _ { 2 } } & { = s _ { 1 } + t _ { 1 } = t _ { 0 } + t _ { 1 } } \\ { s _ { 3 } } & { = s _ { 2 } + t _ { 2 } = t _ { 0 } + t _ { 1 } + t _ { 2 } } \\ & { \; \; \vdots } \\ { s _ { n } } & { = s _ { n - 1 } + t _ { n - 1 } = t _ { 0 } + t _ { 1 } + \cdots + t _ { n - 1 } } \\ { s _ { n + 1 } } & { = s _ { n } + t _ { n } = t _ { 0 } + t _ { 1 } + \cdots + t _ { n } = 1 } \end{array} }
( u _ { j } ^ { e } ) ^ { n + 1 } = ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { e } } \frac { \textrm { d } F _ { h } } { \textrm { d } \xi } ( \xi _ { j } ) , \qquad 0 \le j \le N
\Sigma ^ { c } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) = - I ^ { c } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) + R ^ { c } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega )
\begin{array} { r l r } { e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { k _ { 3 } C \tau \left\vert \xi \right\vert } \left\vert \nabla ^ { k _ { 1 } } b _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert \left\vert \nabla ^ { k _ { 2 } } \xi \right\vert q _ { k _ { 3 } } \left( \tau \right) d \tau } & { \lesssim } & { e ^ { \left( k _ { 1 } + k _ { 3 } + 1 \right) C t \left\vert \xi \right\vert } p _ { k _ { 1 } - 1 } \left\vert \nabla ^ { k _ { 2 } } \xi \right\vert q _ { k _ { 3 } } \left( t \right) } \\ & { \lesssim } & { e ^ { \left( k + 1 \right) C t \left\vert \xi \right\vert } p _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } - 1 } q _ { k _ { 3 } } \left( t \right) . } \end{array}
S _ { \mathrm { c l } } = \mathrm { t r } \left( \hat { \bar { \sigma } } ^ { \dot { \alpha } } \bar { D } _ { \dot { \alpha } } D _ { \alpha } \hat { \sigma } ^ { \alpha } \right) + \mathrm { t r } \left( { \hat { \bar { \sigma } } } ^ { \dot { \alpha } } \bar { D } _ { \dot { \alpha } } \left( e ^ { - V } - 1 \right) D _ { \alpha } { \hat { \sigma } } ^ { \alpha } \right) \, .
c h ( f \rightarrow u ) - \sum _ { x \in V ( s ) } c h ( u \rightarrow x ) \geq g ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { k - 4 } { 1 3 } , } & { \mathrm { ~ w h e n ~ k \in ~ \{ 6 , 8 , 1 0 , 1 2 \} ; ~ } } \\ { \frac { k - 4 } { 1 3 } - ( \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { 1 3 } ) , } & { \mathrm { ~ w h e n ~ k = 1 1 ~ } ; } \\ { \frac { k - 4 } { k } , } & { \mathrm { ~ w h e n ~ k \geq ~ 1 3 ~ } . } \end{array} \right.
{ \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 4 \sin ^ { 2 } ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } } + { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 4 \sin ^ { 2 } ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } } + { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 4 \sin ^ { 2 } ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } } =
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \frac { 1 } { 2 } u _ { 0 } f ^ { ( 3 ) } ( \phi _ { 0 } ) \rho _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left. \left[ f ^ { ( 2 ) } ( \phi _ { 0 } ) \rho _ { 1 } ^ { 2 } - \kappa ( \partial _ { z } \rho _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] \right\vert _ { z = - \infty } ^ { z = \infty } + \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \partial _ { z } \rho _ { 1 } \hat { L } _ { z } \rho _ { 1 } .
\begin{array} { r } { \Xi _ { \rho \boxtimes \sigma } ( \vec { p } _ { A } , \vec { 0 } _ { A ^ { \prime } } , \vec { q } _ { A } , \vec { 0 } _ { A ^ { \prime } } ) = \Xi _ { \rho } ( N g _ { 1 1 } \vec { p } _ { A } , \vec { 0 } _ { A ^ { \prime } } , g _ { 0 0 } \vec { q } _ { A } , \vec { 0 } _ { A ^ { \prime } } ) \Xi _ { \sigma } ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } _ { A } , \vec { 0 } _ { A ^ { \prime } } g _ { 0 1 } \vec { q } _ { A } , \vec { 0 } _ { A ^ { \prime } } ) = 0 , } \end{array}
\tan \theta _ { \mathrm { c } } = { \frac { | V _ { u s } | } { | V _ { u d } | } } = { \frac { 0 . 2 2 5 3 4 } { 0 . 9 7 4 2 7 } } \Rightarrow \theta _ { \mathrm { c } } = ~ 1 3 . 0 2 ^ { \circ } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \beta } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) = } & { { } \gamma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t _ { d } } d t _ { 2 } f _ { 0 } ( t _ { 1 } ) f _ { G } ( t _ { 2 } ) } \\ { = } & { { } \gamma ^ { 2 } \int _ { \mathbb { - \infty } } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \Re \left[ F _ { 0 } ( \omega , t _ { d } ) F _ { G } ^ { * } ( \omega , t _ { d } ) \right] \boldsymbol { S } ( \omega ) } \end{array}