harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } = 4 \left[ \int \textbf { Q } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } \textbf { Q } _ { k , \sigma } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right] f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \, .
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] \varphi _ { n } ( \eta ) \textup { d } \eta \bigg | } & { \leq \int _ { s } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | g ( \eta , r ) \varphi _ { n } ( \eta ) | \textup { d } \eta \textup { d } r + \frac { 2 } { 3 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | g ( \eta , r ) a \partial _ { a } \varphi _ { n } ( \eta ) | \textup { d } \eta \textup { d } r } \\ & { + \int _ { s } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | g ( \eta , r ) v \partial _ { v } \varphi _ { n } ( \eta ) | \textup { d } \eta \textup { d } r + ( 1 - \gamma ) \int _ { s } ^ { t } | \langle \mathbb { K } _ { \epsilon , R } [ g ] ( r ) , \varphi _ { n } \rangle | \textup { d } r } \\ & { + ( 1 - \gamma ) \int _ { s } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } r _ { \delta } ( \eta ) | c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a | g ( \eta , r ) | \partial _ { a } \varphi _ { n } ( \eta ) | \textup { d } \eta \textup { d } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { G } ( x , y ) } & { = G _ { \Omega } ^ { 1 } ( x ^ { \lambda _ { 0 } } , y ^ { \lambda _ { 0 } } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \ln \frac { 1 } { | x ^ { \lambda _ { 0 } } - y ^ { \lambda _ { 0 } } | } - H _ { \Omega } ^ { 1 } ( x ^ { \lambda _ { 0 } } , y ^ { \lambda _ { 0 } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \ln \frac { 1 } { | x - y | } + \frac { 1 } { 2 \pi } \ln \frac { | x - x _ { 0 } | | y - x _ { 0 } | } { { \lambda _ { 0 } } ^ { 2 } } - H _ { \Omega } ^ { 1 } ( x ^ { \lambda _ { 0 } } , y ^ { \lambda _ { 0 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( e l l i p t i c ~ g e n e r a t o r s ) } } & { } & { \beta _ { i } \in \Delta ^ { + } \quad ( i = 1 , \cdots , r ) ; } \\ { \mathrm { ( r e f l e c t i o n s ) } } & { } & { c _ { i j } \in \Delta \setminus \Delta ^ { + } \quad ( i = 1 , \cdots , k ; \ j = 0 , \cdots , s _ { i } ) ; } \\ { \mathrm { ( b o u n d a r y ~ g e n e r a t o r s ) } } & { } & { e _ { i } \in \Delta ^ { + } \quad ( i = 1 , \cdots , k ) ; } \\ { \mathrm { ( h y p e r b o l i c ~ g e n e r a t o r s ) } } & { } & { a _ { i } , b _ { i } \in \Delta ^ { + } \quad ( i = 1 , \cdots , h ) , \ \mathrm { i f ~ { \mathbb ~ H } / \Delta ~ i s ~ o r i e n t a b l e } ; } \\ { \mathrm { ( g l i d e ~ r e f l e c t i o n s ~ g e n e r a t o r s ) } } & { } & { d _ { i } \in \Delta \setminus \Delta ^ { + } \quad ( i = 1 , \cdots , h ) , \ \mathrm { i f ~ { \mathbb ~ H } / \Delta ~ i s ~ n o n - o r i e n t a b l e } ; } \end{array}
\Delta A ( s , t , u ) _ { \mathrm { 1 \; l o o p } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } v ^ { 4 } } \left\{ - \frac { ( t - u ) } { 6 } \left[ t \ln \frac { - t } { \mu ^ { 2 } } - u \ln \frac { - u } { \mu ^ { 2 } } \right] - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } \ln \frac { - s } { \mu ^ { 2 } } \right\}
\begin{array} { r } { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \frac { d ^ { 2 } F _ { \mathrm { ~ A ~ } } } { d r ^ { 2 } } + U _ { \mathrm { ~ A ~ } } F _ { \mathrm { ~ A ~ } } - E F _ { \mathrm { ~ A ~ } } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { \mu } P _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } \frac { d F _ { \mathrm { ~ B ~ } } } { d r } } \\ { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \frac { d ^ { 2 } F _ { \mathrm { ~ B ~ } } } { d r ^ { 2 } } + U _ { \mathrm { ~ B ~ } } F _ { \mathrm { ~ B ~ } } - E F _ { \mathrm { ~ B ~ } } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { \mu } P _ { \mathrm { ~ B ~ A ~ } } \frac { d F _ { \mathrm { ~ A ~ } } } { d r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { \langle \mu \rangle } k ^ { \langle \nu \rangle } } & { = k ^ { \langle \mu } k ^ { \nu \rangle } + \frac { 1 } { 3 } \Delta ^ { \mu \nu } b _ { \mathbf { k } } , } \\ { k ^ { \langle \mu \rangle } k ^ { \langle \nu \rangle } k ^ { \langle \alpha \rangle } } & { = k ^ { \langle \mu } k ^ { \nu } k ^ { \alpha \rangle } + \frac { 1 } { 5 } b _ { \mathbf { k } } \Delta ^ { ( \mu \nu } k ^ { \langle \alpha \rangle ) } , } \\ { k ^ { \langle \mu \rangle } k ^ { \langle \nu \rangle } k ^ { \langle \alpha \rangle } k ^ { \langle \beta \rangle } } & { = k ^ { \langle \mu } k ^ { \nu } k ^ { \alpha } k ^ { \beta \rangle } + \frac { 6 } { 7 } b _ { \mathbf { k } } \Delta ^ { ( \mu \nu } k ^ { \langle \alpha \rangle } k ^ { \langle \beta \rangle ) } - \frac { 3 } { 3 5 } b _ { \mathbf { k } } \Delta ^ { \mu ( \nu } \Delta ^ { \alpha \beta ) } , } \\ { k ^ { \langle \mu \rangle } k ^ { \langle \nu \rangle } k ^ { \langle \alpha \rangle } k ^ { \langle \beta \rangle } k ^ { \langle \rho \rangle } } & { = k ^ { \langle \mu } k ^ { \nu } k ^ { \alpha } k ^ { \beta } k ^ { \rho \rangle } + \frac { 1 0 } { 9 } b _ { \mathbf { k } } \Delta ^ { ( \mu \nu } k ^ { \langle \alpha \rangle } k ^ { \langle \beta \rangle } k ^ { \langle \rho \rangle ) } - \frac { 1 5 } { 6 3 } b _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \Delta ^ { ( \mu \nu } \Delta ^ { \alpha \beta } k ^ { \langle \rho \rangle ) } , } \\ { k ^ { \langle \mu \rangle } k ^ { \langle \nu \rangle } k ^ { \langle \alpha \rangle } k ^ { \langle \beta \rangle } k ^ { \langle \rho \rangle } k ^ { \langle \sigma \rangle } } & { = k ^ { \langle \mu } k ^ { \nu } k ^ { \alpha } k ^ { \beta } k ^ { \rho } k ^ { \sigma \rangle } + \frac { 1 5 } { 1 1 } b _ { \mathbf { k } } \Delta ^ { ( \mu \nu } k ^ { \langle \alpha \rangle } k ^ { \langle \beta \rangle } k ^ { \langle \rho \rangle } k ^ { \langle \sigma \rangle ) } - \frac { 4 5 } { 9 9 } b _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \Delta ^ { ( \mu \nu } \Delta ^ { \alpha \beta } k ^ { \langle \rho \rangle } k ^ { \langle \sigma \rangle ) } } \\ & { + \frac { 1 5 } { 6 9 3 } b _ { \mathbf { k } } ^ { 3 } \Delta ^ { ( \mu \nu } \Delta ^ { \alpha \beta } \Delta ^ { \rho \sigma ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta u _ { i j } ^ { 0 0 } } & { { } = \psi _ { i } ^ { 0 0 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 0 } \psi _ { j } ^ { 0 0 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 1 } \psi _ { j } ^ { 1 0 } ) } \\ { \Delta u _ { i j } ^ { 0 1 } } & { { } = \psi _ { i } ^ { 0 0 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 0 } \psi _ { j } ^ { 0 1 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 1 } \psi _ { j } ^ { 1 1 } ) } \\ { \Delta u _ { i j } ^ { 1 0 } } & { { } = \psi _ { i } ^ { 0 1 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 0 } \psi _ { j } ^ { 0 0 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 1 } \psi _ { j } ^ { 1 0 } ) } \\ { \Delta u _ { i j } ^ { 1 1 } } & { { } = \psi _ { i } ^ { 0 1 } ( V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 0 } \psi _ { j } ^ { 0 1 } + V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ^ { 0 1 } \psi _ { j } ^ { 1 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon C _ { 1 } + \varepsilon ^ { 2 } C _ { 2 } = \varepsilon \partial _ { Y } W _ { 1 } ( X , 0 ) + \varepsilon ^ { 2 } \left[ \partial _ { Y } W _ { 2 } ( X , 0 ) - \partial _ { X } \big ( H _ { 1 } ( X ) \partial _ { X } W _ { 1 } ( X , 0 ) \big ) - \frac { 1 } { 2 } \big ( \partial _ { X } H _ { 1 } ( X ) \big ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { c o v a l e n c y : ~ } \gamma _ { c o v } \equiv \frac { | \tilde { C } | ^ { 2 } - | \tilde { A } | ^ { 2 } } { | \tilde { C } | ^ { 2 } + | \tilde { I } | ^ { 2 } } , } \\ & { \mathrm { i o n i c i t y : ~ } \gamma _ { i o n } \equiv \frac { | \tilde { I } | ^ { 2 } } { | \tilde { C } | ^ { 2 } + | \tilde { I } | ^ { 2 } } , } \\ & { \mathrm { a t o m i c i t y : ~ } \gamma _ { a t } \equiv \frac { | \tilde { A } | ^ { 2 } } { | \tilde { C } | ^ { 2 } + | \tilde { I } | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { c } _ { \mathrm { w d } } ^ { m } = \sum _ { t \in N _ { \mathrm { w d } } } c _ { t } ^ { m } / \lvert N _ { \mathrm { w d } } \rvert \, , } \\ { \bar { c } _ { \mathrm { w e } } ^ { m } = \sum _ { t \in N _ { \mathrm { w e } } } c _ { t } ^ { m } / \lvert N _ { \mathrm { w e } } \rvert \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \nu } \geq \aleph _ { 0 } } & { \Rightarrow \alpha _ { \nu } = \aleph _ { \gamma } + k \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \gamma \in \mathrm { O r d } \mathrm { ~ a n d ~ } k \in \boldsymbol { N } } \\ & { \Rightarrow \beta _ { \nu } = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma } & { \mathrm { ~ i f ~ } k = 0 } \\ { \gamma + 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } k \neq 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\left( u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , p ^ { \prime } \right) ^ { T } = \sum _ { n } \widehat { \boldsymbol { \phi } } _ { \pm } e ^ { ( i ( k _ { n x } x + k _ { n y } y \pm \omega _ { n } t ) } + \sum _ { n } \widehat { \boldsymbol { \phi } } _ { 0 } e ^ { ( i ( k _ { n x } x + k _ { n y } y ) } .
\cdots \to \operatorname { G a l } ( \mathbb { Q } ( { \sqrt { 2 } } , { \sqrt { 3 } } , { \sqrt { 5 } } ) / \mathbb { Q } ) \to \operatorname { G a l } ( \mathbb { Q } ( { \sqrt { 2 } } , { \sqrt { 3 } } ) / \mathbb { Q } ) \to \operatorname { G a l } ( \mathbb { Q } ( { \sqrt { 2 } } ) / \mathbb { Q } )
d \ln \left( \sqrt { { \cal A } _ { \tilde { S } } ^ { [ 2 / 2 ] } } \right) = d ( c _ { 3 } ^ { ( s ) } ) \frac { 1 } { 4 } ( a _ { 1 } ^ { 3 } \! + \! a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } \! + \! a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } \! + \! a _ { 2 } ^ { 3 } ) + { \cal O } ( a _ { j } ^ { 4 } ) \stackrel { < } { \approx } d ( c _ { 3 } ^ { ( s ) } ) | a _ { 1 } | ^ { 3 } \ ,
E _ { 3 } = \bigg ( \frac { \nu _ { 0 } ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } ) } { - \mu _ { 0 } \nu _ { 0 } + \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } , \frac { \mu _ { 0 } ( \nu _ { 1 } - \nu _ { 0 } ) } { - \mu _ { 0 } \nu _ { 0 } + \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } \bigg )
\begin{array} { r l } & { f ( x \mid \theta ) = \eta - \frac { 1 } { 2 } g ( x ) ^ { 2 } , } \\ & { \quad \quad \quad : = \mathcal { G P } \big ( f ( x ) ; m ( x \mid \theta , \eta ) , C ( x , x \mid \theta ) \big ) , } \\ & { g ( x \mid \theta ) : = \mathcal { G P } \big ( g ( \cdot ) ; m _ { g } ( \cdot \mid \theta ) , C _ { g } ( \cdot , \cdot \mid \theta ) \big ) , } \\ & { m ( x \mid \theta , \eta ) : = \eta - \frac { 1 } { 2 } \left[ m _ { g } ( x ) ^ { 2 } + C _ { g } ( x , x ) \right] , } \\ & { C ( x , x ^ { \prime } \mid \theta ) : = \frac { 1 } { 2 } C _ { g } ( x , x ^ { \prime } ) ^ { 2 } + m _ { g } ( x ) ^ { \top } C _ { g } ( x , x ^ { \prime } ) m _ { g } ( x ^ { \prime } ) , } \end{array}
G E ( \{ r _ { i } , \theta _ { i } \} ) = \frac { 1 } { N ( N - 1 ) - L } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \substack { j = 1 \, j \neq i \, j \notin N ( i ) } } ^ { N } \frac { D I S T ( i , j ) } { P G R P ( i , j ) } ,
\begin{array} { r l r } { K ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { f } , t _ { f } ; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { i } , t _ { i } ) } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \int d ^ { 3 } r _ { N } \int d ^ { 3 } r _ { N - 1 } \; . \; . \; . \int d ^ { 3 } r _ { 1 } \; K ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { f } , t _ { f } ; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } , t _ { N } ) \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { w } _ { \sigma } \left( \pi ^ { \ast } \beta \wedge \frac { 1 } { j ! } \sigma ^ { j } \wedge \alpha \right) } & { = \mathsf { w } _ { \sigma } \left( \frac { 1 } { j ! } \sigma ^ { j } \wedge \gamma _ { 0 } + ( j + 1 ) \frac { 1 } { ( j + 1 ) ! } \sigma ^ { j + 1 } \wedge \gamma _ { 1 } \right) } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( k - 1 - j ) ! } \sigma ^ { k - 1 - j } \wedge \gamma _ { 0 } + ( j + 1 ) \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( k - j ) ! } \sigma ^ { k - j } \wedge \gamma _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } } & { { } = } & { i ( 3 a ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathcal { B } = \mathcal { D } + \sqrt { 4 \mathcal { C } ^ { 3 } + \mathcal { D } ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal { C } } & { { } = } & { - 9 a ^ { 4 } - 1 2 a ^ { 2 } \beta ^ { 2 } + 3 \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } - \beta ^ { 4 } , } \\ { \mathcal { D } } & { { } = } & { - 5 4 a ^ { 6 } - 1 0 8 a ^ { 4 } \beta ^ { 2 } - 7 2 a ^ { 2 } \beta ^ { 4 } + 1 8 \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 4 } + 2 \beta ^ { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \bf Y } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \tilde { \bf W } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \tilde { \bf D } ( { { \bf s } } , x _ { 3 , F } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ D ~ a ~ } = \frac { \tau _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ o ~ w ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ e ~ m ~ } } } = \frac { L / c _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } { 1 / \mathcal { A } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { i } = ( g _ { 1 } c _ { 0 } ^ { \dagger } + g _ { 2 } c _ { \Delta x } ^ { \dagger } ) \sigma + \sigma ^ { \dagger } ( g _ { 1 } c _ { 0 } + g _ { 2 } c _ { \Delta x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf x , \mathbf w , b ) \mapsto } & { ~ \mathrm { s o f t r e l u } _ { a } ( \mathbf w ^ { \top } \mathbf x + b ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { \xi \sim U [ - \gamma , \gamma ] } [ \mathrm { r e l u } ( \mathbf w ^ { \top } \mathbf x + ( b + \xi ) ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf w ^ { \top } \mathbf x + b ~ , } & { \mathbf w ^ { \top } \mathbf x + b \geq \gamma } \\ { \frac { ( \mathbf w ^ { \top } \mathbf x + b + a ) ^ { 2 } } { 4 a } ~ , } & { - \gamma \leq \mathbf w ^ { \top } \mathbf x + b < \gamma } \\ { 0 ~ , } & { \mathbf w ^ { \top } \mathbf x + b < - \gamma } \end{array} \right. ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \forall F \in { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , \qquad \| D F \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } ^ { 2 } } & { = } & { \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } | D \hat { F } ( \xi ) | _ { D } ^ { 2 } ( 1 + | \xi | ^ { 2 } ) ^ { \sigma } \mathrm { d } \xi } \\ & { \leq } & { \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } ( \rho ( D ) + \varepsilon ) ^ { 2 } | \hat { F } ( \xi ) | _ { D } ^ { 2 } ( 1 + | \xi | ^ { 2 } ) ^ { \sigma } \mathrm { d } \xi } \\ & { \leq } & { \delta ^ { 2 } \| F \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , D } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c u r l } \mathbf { F } } & { = \nabla \times \mathbf { F } = { \left( \begin{array} { l } { \displaystyle { \frac { \partial } { \partial x } } , \ { \frac { \partial } { \partial y } } , \ { \frac { \partial } { \partial z } } } \end{array} \right) } \times { \left( \begin{array} { l } { F _ { x } , \ F _ { y } , \ F _ { z } } \end{array} \right) } = { \left| \begin{array} { l l l } { \mathbf { i } } & { \mathbf { j } } & { \mathbf { k } } \\ { { \frac { \partial } { \partial x } } } & { { \frac { \partial } { \partial y } } } & { { \frac { \partial } { \partial z } } } \\ { F _ { x } } & { F _ { y } } & { F _ { z } } \end{array} \right| } } \\ & { = \left( { \frac { \partial F _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial F _ { y } } { \partial z } } \right) \mathbf { i } + \left( { \frac { \partial F _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial F _ { z } } { \partial x } } \right) \mathbf { j } + \left( { \frac { \partial F _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial F _ { x } } { \partial y } } \right) \mathbf { k } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ^ { q } [ \Omega ] } & { { } = \frac { e ^ { i \Omega \tau } / \sqrt { \eta } + \sqrt { \eta } } { 1 + e ^ { i \Omega \tau } } = H _ { 0 } [ \Omega ] } \\ { H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { q } [ \Omega ] } & { { } = \frac { \sqrt { 1 / \eta - e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } } \, \sqrt { 1 - \eta } } { 1 + e ^ { i \Omega \tau } } = \sqrt { \frac { 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } } { 1 - \eta } } H _ { \mathrm { ~ G ~ } } [ \Omega ] } \\ { H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] } & { { } = \frac { e ^ { i \Omega \tau } / \sqrt { \eta } + e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } \sqrt { \eta } } { e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } + e ^ { i \Omega \tau } } } \\ { H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { p } [ \Omega ] } & { { } = \frac { \sqrt { 1 / \eta - e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } } \, \sqrt { 1 - \eta } } { e ^ { 2 r _ { \mathrm { ~ s ~ } } } + e ^ { i \Omega \tau } } . } \end{array}
\left( { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \frac { \Delta Q _ { j } } { P _ { j } } \right) + \frac { \Delta Q _ { \mathrm { \tiny ~ l e a k e d } } } { P _ { \mathrm { \tiny ~ l e a k e d } } } = 0 \qquad \mathrm { o r } \qquad { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \frac { \Delta Q _ { j } } { P _ { j } } = - \frac { \Delta Q _ { \mathrm { \tiny ~ l e a k e d } } } { P _ { \mathrm { \tiny ~ l e a k e d } } } > 0 .
\begin{array} { r l r } & { 𝓝 𝕍 ( A ; ( B _ { 1 } ◁ C _ { 1 } ) ⊗ ( B _ { 2 } ◁ C _ { 2 } ) ) } & \\ & { \quad = \quad \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } \\ & { 𝕍 ( A ; N ⊗ ( ( N ⊗ B _ { 1 } ⊗ N ) ◁ ( N ⊗ C _ { 1 } ⊗ N ) ) ⊗ N ⊗ ( ( N ⊗ B _ { 2 } ⊗ N ) ◁ ( N ⊗ C _ { 2 } ⊗ N ) ) ⊗ N ) } & \\ & { \quad \to \quad \mathrm { ( b y ~ ψ _ 2 ~ o f ~ 𝕍 ~ ) } } \\ & { 𝕍 ( A ; ( ( N ⊗ N ⊗ B _ { 1 } ⊗ N ) ◁ ( N ⊗ N ⊗ B _ { 2 } ⊗ N ) ) ⊗ ( ( N ⊗ N ⊗ B _ { 2 } ⊗ N ⊗ N ) ◁ ( N ⊗ C _ { 2 } ⊗ N ⊗ N ) ) ) } & \\ & { \quad \to \quad \mathrm { ( b y ~ ψ _ 2 ~ o f ~ 𝕍 ~ ) } } \\ & { 𝕍 ( A ; ( N ⊗ N ⊗ B _ { 1 } ⊗ N ⊗ N ⊗ N ⊗ B _ { 2 } ⊗ N ⊗ N ) ◁ ( N ⊗ N ⊗ C _ { 1 } ⊗ N ⊗ N ⊗ N ⊗ C _ { 2 } ⊗ N ⊗ N ) ) } & \\ & { \quad \to \quad \mathrm { ( b y ~ φ _ 2 ~ o f ~ 𝕍 ~ ) } } \\ & { 𝕍 ( A ; ( N ⊗ N ⊗ B _ { 1 } ⊗ N ⊗ B _ { 2 } ⊗ N ⊗ N ) ◁ ( N ⊗ N ⊗ C _ { 1 } ⊗ N ⊗ C _ { 2 } ⊗ N ⊗ N ) ) } & \\ & { \quad = \quad \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } \\ & { 𝓝 𝕍 ( A ; ( B _ { 1 } ⊗ B _ { 2 } ) ◁ ( C _ { 1 } ⊗ C _ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { r k } } & { = \mathrm { P r } \left( { \frac { | h _ { 1 } | ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \! + \! \sum _ { i = 2 } ^ { r } | h _ { i } | ^ { 2 } } \! \geq \! \gamma _ { \mathrm { t h } } , \frac { | h _ { 2 } | ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \! + \! \sum _ { i = 3 } ^ { r } | h _ { i } | ^ { 2 } } \! \geq \! \gamma _ { \mathrm { t h } } , } \right. } \\ & { \left. \! \ldots , \! { \frac { | h _ { k } | ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \! + \! \sum _ { i = k + 1 } ^ { r } | h _ { i } | ^ { 2 } } \! \geq \! \gamma _ { \mathrm { t h } } \bigg | | h _ { j } | ^ { 2 } \geq \nu , \forall j \in [ r ] \! } \right) \! . } \end{array}
F \left( k _ { 1 } , k _ { 2 } \right) = \frac { n _ { i } } { \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( i \right) } \right\vert k _ { z } ^ { \left( i \right) } } \left( \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( i \right) } \right\vert ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } \right) + \frac { n _ { t } } { \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( t \right) } \right\vert k _ { z } ^ { \left( t \right) } } \left( \left\vert \mathbf { k } ^ { \left( t \right) } \right\vert ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } \right)
\rho _ { s } \boldsymbol { n } \cdot \partial _ { \tau } \boldsymbol { n } = \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { n } \times \left( - \boldsymbol { h } _ { \mathrm { e f f } } + \alpha \partial _ { \tau } \boldsymbol { n } - \rho _ { n } \partial _ { \tau } ^ { 2 } \boldsymbol { n } \right) - \tilde { \alpha } \left( \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { h } _ { \mathrm { e f f } } \right) \boldsymbol { n } ^ { 2 } \Rightarrow \frac { \rho _ { s } } { 2 } \partial _ { \tau } \boldsymbol { n } ^ { 2 } = - \tilde { \alpha } \left( \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { h } _ { \mathrm { e f f } } \right) \boldsymbol { n } ^ { 2 } \Rightarrow \left| \boldsymbol { n } \right| \sim \exp \left( - \int { \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { h } _ { \mathrm { e f f } } \left( T \right) \tilde { \alpha } \left( \rho _ { s } , T \right) d T } \right)
{ \left\{ { 2 ( d + 1 ) \psi { z _ { 1 } } { z _ { 2 } } \cdots { z _ { d } } { z _ { d + 1 } } { z _ { d + 2 } } + 2 \phi { z _ { d + 1 } ^ { d + 1 } } { z _ { d + 2 } ^ { d + 1 } } = 0 } \right\} / G } \, \, \, .
\begin{array} { r l } { \Vert \Vert f \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } - \Vert f + g \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } = } & { \Vert - \langle g , 2 f + g \rangle _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } + \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } - ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } } \\ { \leq } & { \Vert \langle g , 2 f + g \rangle _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } + \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } - ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) } & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } } } \int _ { - a _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } d x _ { 1 } \int _ { - a _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } \ f ( { \bf x } ) } \\ & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } } } \, \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a _ { 2 } } { \sigma _ { 2 } \sqrt { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } } \Big ] \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } \sqrt { 2 } } } \Big ] } \\ & { \! - \! } & { { \frac { \rho ^ { 2 } \, e ^ { - { \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } } } { 2 \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \sqrt { 2 \pi ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } } \, { \frac { \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } \sqrt { 2 } } } \Big ] } { 2 a _ { 1 } } } + { \frac { \rho ^ { 2 } \, e ^ { - { \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } - { \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } } } { 4 \pi \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 } \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , N o n - L i n e a r } } & { } & { { } = \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } + \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ m ~ o ~ d ~ } \left( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M I N } - \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } , \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , M A X } - \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , L i n e a r } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma } & { = \frac { 4 \eta _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { f a r } } \Lambda _ { 1 } ( \eta _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { f a r } } ) } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { f a r } } ) } \left[ \ln \frac { 2 \eta _ { \mathrm { d } } } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { f a r } } ) } \right] ^ { - 1 } , } \\ { r _ { 0 } } & { = a _ { R } \left[ \ln \frac { 2 \eta _ { \mathrm { d } } } { 1 - \Lambda _ { 0 } ( \eta _ { \mathrm { d } } ^ { \mathrm { f a r } } ) } \right] ^ { - \frac { 1 } { \gamma } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F ( t | \lambda , \vec { r } , \vec { \tau } , x ) } & { = } & { 1 - \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { e ^ { - z } } ( j , x - j + 1 ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) } . } \end{array}
V = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { z - z _ { 0 } , } & { y - y _ { 0 } } \end{array} \right) A \left( \begin{array} { l } { z - z _ { 0 } } \\ { y - y _ { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { l l l } { { L _ { I J } ^ { ( + ) } L _ { J K } ^ { ( + ) } } } & { { - } } & { { ( - 1 ) ^ { P _ { J } ( P _ { I } + P _ { K } ) } L _ { J K } ^ { ( + ) } L _ { I J } ^ { ( + ) } = } } \\ { { } } & { { } } & { { ( q ^ { - 1 } - q ) ( - 1 ) ^ { P _ { I } P _ { J } } L _ { J J } ^ { ( + ) } L _ { I K } ^ { ( + ) } , ( I < J < K ) } } \end{array}
e ^ { x } = 1 + x + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + \cdots + { \frac { x ^ { 9 } } { 9 ! } } + R _ { 9 } ( x ) , \qquad | R _ { 9 } ( x ) | < 1 0 ^ { - 5 } , \qquad - 1 \leq x \leq 1 .