harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma } { 4 \Delta _ { s } } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } k _ { z } \ell _ { s } } \hat { e } _ { - \xi } \cdot \left[ \sqrt { \gamma _ { s } ^ { e } } \hat { d } _ { m } + \mathrm { i } \xi \sqrt { \gamma _ { s } ^ { m } } \hat { \mu } _ { s } \right] \left[ \sqrt { \gamma _ { s } ^ { e } } \hat { d } _ { s } ^ { * } - \mathrm { i } \xi \sqrt { \gamma _ { s } ^ { m } } \hat { \mu } _ { s } ^ { * } \right] \cdot \hat { e } _ { - \xi }
\begin{array} { r l r } & { } & { D _ { 2 } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { m / 2 } } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) } \\ & { } & { - \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m / 2 } } \frac { 1 } { 2 } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } \partial \theta _ { i } } \right) . } \end{array}
A _ { 2 \pi } ^ { r } ( \tau ) \to 2 | \epsilon | { \frac { \cos ( \phi - \delta \phi ) } { \cos \delta \phi } } \, { \frac { \sin ( \phi + \delta \phi ) + e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( \Gamma _ { S } - \Gamma _ { L } ) \tau } \sin ( \Delta m \tau - \phi - \delta \phi ) } { \sin ( \phi + \delta \phi ) - \sin ( \phi - \delta \phi ) + e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( \Gamma _ { S } - \Gamma _ { L } ) \tau } \sin ( \Delta m \tau - \phi - \delta \phi ) } }
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } = } & { + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } g \Bigg [ \frac { 1 } { 8 } \left( \left( h v _ { k } \right) _ { i + m , j } + \left( h v _ { k } \right) _ { i , j } \right) \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i + m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + b _ { i + m , j } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 8 } \left( \left( h v _ { k } \right) _ { i + m , j } - \left( h v _ { k } \right) _ { i , j } \right) \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i + m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + b _ { i + m , j } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 8 } \left( \left( h v _ { k } \right) _ { i - m , j } + \left( h v _ { k } \right) _ { i , j } \right) \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i - m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + b _ { i - m , j } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 8 } \left( \left( h v _ { k } \right) _ { i , j } - \left( h v _ { k } \right) _ { i - m , j } \right) \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { k } } \right) _ { i - m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + b _ { i - m , j } \right) \Bigg ] . } \end{array}
Z [ T , ( e _ { i } , \vec { x } _ { i } ) ] = \frac { \int [ d A _ { 0 } ( \vec { x } ) ] \mathrm { ~ e } ^ { - S _ { \mathrm { e f f } } [ A _ { 0 } ] } ~ \prod _ { j } \mathrm { ~ e } ^ { i e _ { j } A _ { 0 } ( \vec { x } _ { j } ) / T } } { \int [ d A _ { 0 } ( \vec { x } ) ] \mathrm { ~ e } ^ { - S _ { \mathrm { e f f } } [ A _ { 0 } ] } }
\begin{array} { r } { \bar { \rho } _ { i } = \rho _ { i } \Big ( \frac { 2 \pi } { L } \Big ) \, , \quad \bar { \nu } _ { e i } = \nu _ { e i } \, \frac { m _ { e } \Omega _ { i } } { K _ { B } T _ { 0 } } \Big ( \frac { R } { 2 \pi } \Big ) ^ { 2 } \, , \; } \\ { \gamma = \frac { \delta _ { i } } { \eta _ { B } / v _ { A } } \, \Big ( \frac { L } { R } \Big ) ^ { 2 } \, , \qquad \qquad \qquad \quad \quad \; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { L } \tilde { f } ( \{ v , w \} ) } \\ & { = \tilde { f } ( \{ v , w \} ) - \frac { 1 } { \deg _ { L G } ( \{ v , w \} ) } \cdot \left( \sum _ { \{ u , u ^ { \prime } \} \in E : \{ u , u ^ { \prime } \} \cap \{ v , w \} \ne \emptyset } f ( \{ u , u ^ { \prime } \} ) \right) } \\ & { = \frac { f ( [ v , w ] ) + f ( [ w , v ] ) } { 2 } - \frac { 1 } { \deg _ { \mathcal { G } } ( [ v , w ] ) + \deg _ { \mathcal { G } } ( [ w , v ] ) } \cdot \left( \sum _ { [ v , w ] \to [ w , z ] } f ( [ w , z ] ) + \sum _ { [ y , v ] \to [ v , w ] } f ( [ y , v ] ) \right) } \\ & { = \frac { f ( [ v , w ] ) + f ( [ w , v ] ) } { 2 } - \frac { \sum _ { [ v , w ] \to [ w , z ] } f ( [ w , z ] ) + \sum _ { [ y , v ] \to [ v , w ] } f ( [ y , v ] ) } { \deg _ { G } w - 1 + \deg _ { G } v - 1 } } \\ & { = f ( [ v , w ] ) - \frac { 1 } { \deg _ { G } w - 1 } \cdot \left( \sum _ { [ v , w ] \to [ w , z ] } f ( [ w , z ] ) \right) } \\ & { = \mathcal { L } f ( [ v , w ] ) } \\ & { = \lambda f ( [ v , w ] ) } \\ & { = \lambda \tilde { f } ( \{ v , w \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q _ { 0 } } & { = } & { c o s ( \frac { \theta } { 2 } ) c o s ( \frac { \phi + \psi } { 2 } ) } \\ { q _ { 1 } } & { = } & { s i n ( \frac { \theta } { 2 } ) c o s ( \frac { \phi - \psi } { 2 } ) } \\ { q _ { 2 } } & { = } & { s i n ( \frac { \theta } { 2 } ) s i n ( \frac { \phi - \psi } { 2 } ) } \\ { q _ { 3 } } & { = } & { c o s ( \frac { \theta } { 2 } ) s i n ( \frac { \phi + \psi } { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { M \equiv M _ { \mathrm { R } } + j M _ { \mathrm { I } } = - \frac { \mu _ { 0 } k ^ { 2 } A _ { \mathrm { T } } A _ { \mathrm { R } } } { 4 \pi d } \left[ 1 + \frac { 1 } { j k d } - \frac { 1 } { ( k d ) ^ { 2 } } \right] e ^ { - j k d } . } \end{array}
\bar { F } _ { 4 \, 1 } ^ { - 4 } ( i ) = - \frac { 2 1 } { 6 4 } \sqrt { 1 0 } ( \sin i ) ^ { 3 } \cos i + \frac { 2 1 } { 6 4 } \sqrt { 1 0 } ( \sin i ) ^ { 3 }
G _ { 5 } = R _ { 5 } \int \frac { d ^ { 5 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 5 } } \frac { e ^ { - i p _ { 0 } \tau + i \vec { p } \cdot \vec { L } } } { p _ { 0 } ^ { 2 } + p ^ { 2 } + p _ { 5 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \xi _ { 2 } ^ { \pi } } [ \tau ] \ge \sum _ { i = 3 } ^ { n } \mathbb { E } _ { \xi _ { 2 } ^ { \pi } } [ N ( d o ( X _ { i } = 1 ) ) + N ( d o ( X _ { i } = 0 ) ) ] \ge \frac { n - 2 } { 9 6 \varepsilon ^ { 2 } } \log \frac { 1 } { 2 \delta } = O \left( \frac { n } { \varepsilon ^ { 2 } } \log \frac { 1 } { \delta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 1 } ( k ) = } & { \; r _ { 1 , r } ( k ) + r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) r _ { 2 , r } ( \omega k ) , \qquad h _ { 2 } ( k ) = r _ { 2 , r } ( k ) + r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) r _ { 1 , r } ( \omega k ) , } \\ { g _ { 1 } ( k ) = } & { \; r _ { 1 , r } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) - r _ { 1 , r } ( \omega k ) \big ( r _ { 1 , r } ( k ) + r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) r _ { 2 , r } ( \omega k ) \big ) , } \\ { g _ { 2 } ( k ) = } & { \; r _ { 2 , r } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) - r _ { 2 , r } ( \omega k ) \big ( r _ { 2 , r } ( k ) + r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) r _ { 1 , r } ( \omega k ) \big ) , } \\ { g ( k ) = } & { \; r _ { 1 , r } ( k ) \big ( r _ { 1 , r } ( \omega k ) r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) + r _ { 2 , r } ( k ) \big ) } \\ & { + r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) r _ { 2 , r } ( \omega k ) \big ( r _ { 1 , r } ( \omega k ) r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) + r _ { 2 , r } ( k ) \big ) + r _ { 1 , r } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) r _ { 2 , r } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { D u ^ { \mu } } { d \tau } } & { = } & { \frac { q } { m } F _ { \ \ \nu } ^ { \mu } u ^ { \nu } + \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 m } \left( \frac { q } { m } \nabla _ { \alpha } F _ { \ \ \nu } ^ { \mu } u ^ { \alpha } u ^ { \nu } \right) } \\ & { + } & { \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 m } \left( \frac { q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \left( F ^ { \mu \nu } F _ { \nu \rho } + F ^ { \nu \alpha } F _ { \alpha \rho } u _ { \nu } u ^ { \mu } \right) u ^ { \rho } \right) } \\ & { + } & { \frac { 2 q ^ { 2 } } { m } f _ { \mathrm { t a i l } } ^ { \mu \nu } u _ { \nu } \, . } \end{array}
\hat { \boldsymbol { v } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { v } _ { p } ~ \boldsymbol { e } _ { p \boldsymbol { k } } + \hat { v } _ { t } ~ \boldsymbol { e } _ { t \boldsymbol { k } } ~ ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ k _ { h } \neq 0 , } \\ { \hat { \boldsymbol { v } } _ { s } = \hat { v } _ { x } ~ \boldsymbol { e } _ { x } + \hat { v } _ { y } ~ \boldsymbol { e } _ { y } ~ ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ k _ { h } = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { G } & { { } = \int _ { \Omega } \left\{ \rho _ { f } \phi + \frac { 1 } { 2 } \left( \phi \nabla \cdot ( \epsilon ( x ) \nabla \phi ) \right) - \frac { 1 } { 2 } \epsilon \kappa ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \lambda \right\} d \mathbf { x } } \end{array}
\beta f v _ { 0 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi _ { i } } { L _ { i } } \log \phi _ { i } + \phi _ { 0 } \log \phi _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \epsilon _ { i j } \phi _ { i } \phi _ { j } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { D } L ( D ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \boldsymbol { x } \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { x } ) } [ ( D ( \boldsymbol { x } ) - 1 ) ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \boldsymbol { z } \sim p _ { \mathrm { \ b o l d s y m b o l { z } } } ( \boldsymbol { z } ) } [ ( D ( G ( \boldsymbol { z } ) ) ) ^ { 2 } ] , } \\ { \operatorname* { m i n } _ { G } L ( G ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { \boldsymbol { z } \sim p _ { \mathrm { \ b o l d s y m b o l { z } } } ( \boldsymbol { z } ) } [ ( D ( G ( \boldsymbol { z } ) ) - 1 ) ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( E _ { { \theta _ { 0 } } + h } [ \widehat \theta ] - E _ { \theta _ { 0 } } [ \widehat \theta ] ) ^ { 2 } } { 4 - h F ( \theta _ { 0 } ) / 4 + o ( h ) } \Big ( \frac { 1 } { h ( F ( { \theta _ { 0 } } ) / 8 + o ( 1 ) ) ^ { 1 / 2 } } - h ( F ( { \theta _ { 0 } } ) / 8 + o ( 1 ) ) ^ { 1 / 2 } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname { V a r } _ { \theta _ { 0 } } ( \widehat \theta ) + \operatorname { V a r } _ { { \theta _ { 0 } } + h } ( \widehat \theta ) \rightarrow 2 \operatorname { V a r } _ { \theta _ { 0 } } ( \widehat \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } : } & { = \iota _ { \xi } L _ { \mathtt { E H } } ( g ) - \iota _ { X _ { \xi } } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } \\ & { = \iota _ { \xi } ( \mathrm { R } - 2 \Lambda ) \mathrm { v o l } _ { g } - \iota _ { X _ { \xi } } ( \iota _ { W } \mathrm { v o l } _ { g } ) } \\ & { = \iota _ { \{ \xi ( \mathrm { R } - 2 \Lambda ) - \iota _ { X _ { \xi } } W \} } \mathrm { v o l } _ { g } = \star _ { g } \{ \xi ( \mathrm { R } - 2 \Lambda ) - \iota _ { X _ { \xi } } W \} , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 5 } & { 4 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 6 } & { 9 } & { 5 } & { 1 } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \Pi _ { { P } , k } ^ { \nabla } \varphi _ { i } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n _ { k } } s _ { i } ^ { \alpha } m _ { \alpha } , \quad i = 1 , . . . , N _ { { P } } ^ { \textrm { d o f } } , } \end{array}
\varphi ( \theta ) = - \frac { 2 \cosh \theta \sin \frac { \pi } { \lambda } } { \sinh ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \frac { \pi } { \lambda } } \, \sim \, - 4 \sin \frac { \pi } { \lambda } \, \mathrm { e } ^ { - \left| \theta \right| } + O \left( \mathrm { e } ^ { - 2 \left| \theta \right| } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { q } = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } ) } \\ { \hat { p } = } & { { } - \frac { i } { \sqrt { 2 } } ( \hat { a } - \hat { a } ^ { \dagger } ) } \end{array}
\mathcal { M } ( { \bf k } , \omega ) \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { C } } _ { \bf k } ( \omega ) } \\ { \hat { \mathcal { X } } _ { \bf k } ( \omega ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C } ( \omega ) } \\ { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X } ( \omega ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \frac { d } { 2 d _ { \mathrm { e f f } } } - \frac { \tau } { d _ { \mathrm { e f f } } } - \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \tau } { d } \right) = \frac { d ( d - d _ { \mathrm { e f f } } ) - 2 \tau ( d - d _ { \mathrm { e f f } } ) } { 2 d d _ { \mathrm { e f f } } } = \frac { ( d - 2 \tau ) ( d - d _ { \mathrm { e f f } } ) } { 2 d d _ { \mathrm { e f f } } } < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { H } ( t ) } & { { } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta _ { e } ( t , \tau _ { i } ) } { n } } \\ { \delta _ { e } ( t , \tau _ { i } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad t < \tau _ { i } } \\ { 0 , \quad t \geq \tau _ { i } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \textrm { d o u b l e } } = 2 ( E _ { \textrm { T } } - \varepsilon ) \sum _ { i \in \times = 1 } \sum _ { j \in \times = 2 } \left| i , j \rangle \langle i , j \right| + t _ { \textrm { i n t r a } } \sum _ { i \in \times = 1 } \sum _ { j \in \times = 2 } \left[ \left( \left| i \pm 1 , j \rangle \langle i , j \right| + \textrm { H . C . } \right) + \left( \left| i , j \pm 1 \rangle \langle i , j \right| + \textrm { H . C . } \right) \right] . } \end{array}
M ^ { r s } = \left( \begin{array} { l l l } { { 1 - x } } & { { - \sqrt { x ( 1 - x ) } } } & { { - \sqrt { x } } } \\ { { - \sqrt { x ( 1 - x ) } } } & { { x } } & { { - \sqrt { 1 - x } } } \\ { { - \sqrt { x } } } & { { - \sqrt { 1 - x } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
W _ { \mathrm { q u } } = S _ { \mathrm { q u } } + T { \cal E } _ { \mathrm { q u } } = \frac { 4 } { B } \left( \rho - \frac { \pi } { 2 } \right) + \frac { 8 \pi } { \beta ^ { 2 } } \left( \pi a - \frac { \pi } { 2 } \right) + \pi = 2 N \pi .
\frac { 2 ^ { k + 1 } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k - \ell - 1 } { m _ { 1 } - 1 } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } = \frac { 2 m _ { 1 } ( m _ { 2 } - k ) ^ { \underline { { \ell } } } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } - k ) ^ { \underline { { \ell + 1 } } } } \cdot \frac { 2 ^ { k } \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - k } { m _ { 1 } } } { \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } .
\mathcal { I } _ { { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } } [ \phi , \phi ] = \mathcal { I } _ { { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } } ^ { \mathrm { G } } [ \phi , \phi ] - \mathcal { I } _ { { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } } ^ { \mathrm { L } } [ \phi , \phi ] ,
\left\langle \Gamma \left( \tilde { \chi } \rightarrow t \, l _ { i } \, d _ { k } ^ { c } \right) \right\rangle = \Gamma \left( \tilde { \chi } \rightarrow t \, l _ { i } \, d _ { k } ^ { c } \right) \frac { K _ { 1 } \left( m _ { \tilde { \chi } } / T _ { 0 } \right) } { K _ { 2 } \left( m _ { \tilde { \chi } } / T _ { 0 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } } & { \leftarrow \mathbf { H } \odot \left( \frac { \mathbf { W } ^ { T } \cdot \left( \frac { \mathbf { X } } { \mathbf { W } \mathbf { H } } \right) + \alpha _ { 2 } \boldsymbol \nabla _ { \mathbf { H } } ^ { - } f _ { 2 } ( \mathbf { H } ) } { \mathbf { W } ^ { T } \cdot \mathbf { 1 } _ { m , n } + \alpha _ { 1 } \boldsymbol \nabla _ { \mathbf { H } } ^ { + } f _ { 1 } ( \mathbf { H } ) + \alpha _ { 2 } \boldsymbol \nabla _ { \mathbf { H } } ^ { + } f _ { 2 } ( \mathbf { H } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { b , \mathbf { r ^ { a } } , \mathbf { N ^ { I } } , N } \quad } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { i j , k } ^ { a } \left( b + r _ { i } ^ { a } l _ { i j } ^ { a } \right) + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } \left( b + r _ { i } ^ { a } d _ { i , k } ^ { b _ { 1 } } \right) + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } \left( b + r _ { j } ^ { a } d _ { j , k } ^ { b _ { 2 } } \right) + \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \left( 2 b + r _ { i } ^ { a } d _ { i , k } ^ { b _ { 3 } } + r _ { j } ^ { a } d _ { j , k } ^ { b _ { 3 } } \right) - N C _ { a v } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { ( ) \mathrm { - } ( ) , ( ) \mathrm { - } ( ) } \end{array}
\boxed { \mathrm { O C L S D E I M : } \qquad \boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) = ( P ^ { T } M ) ^ { \dagger } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) - \frac { \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } ( P ^ { T } M ) ^ { \dagger } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) } { ( \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } A ^ { - 1 } \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ) } A ^ { - 1 } \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) , }
\mathcal { L } _ { \mathrm { S M } } = \frac { e } { \sin \theta _ { W } \cos \theta _ { W } } Z _ { \mu } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \bar { l } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } P _ { L } l _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { \nu } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } P _ { L } \nu _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { u } \gamma ^ { \mu } P _ { L } u - \frac { 1 } { 2 } \bar { d } \gamma ^ { \mu } P _ { L } d \right] \; ,
\boldsymbol { L _ { c , e } } = - \mathrm { i } \omega \boldsymbol { I _ { c , e } } + \mathrm { i } k _ { x } ^ { * } \boldsymbol { U _ { c , e } } - \frac { 1 } { \mathrm { R e } _ { \tau } } \boldsymbol { \hat { \nabla } _ { c , e } ^ { 2 } } ,
\left( - i \varepsilon \delta \theta \int d ^ { 4 } z \{ \partial ^ { 0 } A _ { 0 } + \frac { 1 } { \theta ^ { 2 } } \partial _ { i } A _ { i } \} ( z ) \int d ^ { 4 } x \{ ( 1 - \theta ) \partial ^ { 0 } A _ { 0 } + ( \frac { 1 } { \theta } - 1 ) \partial _ { i } A _ { i } \} ^ { \alpha } ( x ) M _ { 0 } ^ { ' - 1 \alpha \beta } ( x , z ; \alpha _ { 0 } ) \right)
g _ { l } = \tilde { g } _ { l } , \qquad f _ { l } = \tilde { f } _ { l } + { \frac { 1 } { \epsilon } } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \delta ( r - r ^ { \prime } ) { \bf X } _ { l m } ^ { * } ( \Omega ^ { \prime } ) ,
\omega _ { \mathrm { p } } = \sqrt { \omega _ { \mathrm { p e } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { p i } } ^ { 2 } } = \sqrt { \omega _ { \mathrm { p e } } ^ { 2 } + \frac { m _ { \mathrm { e } } } { m _ { \mathrm { i } } } \omega _ { \mathrm { p e } } ^ { 2 } } \approx \omega _ { \mathrm { p e } } ,
\gamma _ { M C } ^ { N F } = 2 \mu _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \omega ^ { 3 } \; \textbf { I m } \left( \hat { \mathbf { G } } _ { N F } ^ { \mathrm { A D } } \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { K } _ { N F } ( \omega ) ^ { - 1 } \cdot \hat { \mathbf { G } } _ { N F } ^ { \mathrm { A D } } \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ( \omega ) \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial L ^ { ( \infty , G ) } } { \partial u } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 + \frac { G } { 2 G - 1 } \left( \frac { 1 - G } { G } ( 1 - u ) ^ { \frac { 1 } { G } - 2 } - 1 \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle - \log ( 1 - u ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
y _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ^ { w _ { r x } } ( \tau , \nu ) \, = \, w _ { r x } ( \tau , \nu ) \, * _ { \sigma } \, h _ { _ { \mathrm { \scriptsize { p h y } } } } ( \tau , \nu ) \, * _ { \sigma } \, w _ { t x } ( \tau , \nu ) \, * _ { \sigma } \, x _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ( \tau , \nu ) \, = \, h _ { _ { \mathrm { \scriptsize { e f f } } } } ( \tau , \nu ) \, * _ { \sigma } \, x _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ( \tau , \nu )
\begin{array} { r l r } { ( u _ { 0 } ^ { e } ) ^ { n + 1 } } & { { } = } & { ( u _ { 0 } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { 0 } \Delta x _ { e } } [ f ( u _ { 0 } ^ { e } , u _ { 1 } ^ { e } ) - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ] } \\ { ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { n + 1 } } & { { } = } & { ( u _ { j } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { j } \Delta x _ { e } } [ f ( u _ { j } ^ { e } , u _ { j + 1 } ^ { e } ) - f ( u _ { j - 1 } ^ { e } , u _ { j } ^ { e } ) ] , \qquad 1 \le j \le N - 1 } \\ { ( u _ { k } ^ { e } ) ^ { n + 1 } } & { { } = } & { ( u _ { k } ^ { e } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { w _ { k } \Delta x _ { e } } [ F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - f ( u _ { k - 1 } ^ { e } , u _ { k } ^ { e } ) ] } \end{array}
\begin{array} { l l l } & { \int _ { a } ^ { b } y { \mathbb D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \phi \; \mathrm { d } x + \displaystyle \int _ { a } ^ { b } \phi { \mathcal D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y \; \mathrm { d } x = \left[ y ( s ) I _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } \phi ( x ) \right] _ { x = a } ^ { x = b } , } \\ & { \displaystyle \int _ { a } ^ { b } y { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi \; d x = \displaystyle \int _ { a } ^ { b } \phi ( { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } y ) \; d x + \left[ ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ) ( x ) y ( x ) \right] _ { x = a } ^ { x = b } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \log a } & { = \frac { \beta _ { c } ( \theta ) } { \theta } \frac { 1 } { a } ( a - 1 ) ( a - 1 + \beta _ { c } ( \theta ) ^ { - 1 } ) = \frac { \beta _ { c } ( \theta ) } { \theta } ( 2 a - 2 + \beta _ { c } ( \theta ) ^ { - 1 } ) - 1 , } \\ { \frac { \beta _ { c } ( \theta ) } { \theta } } & { = \frac { \log a + 1 } { 2 a - 2 + \beta _ { c } ( \theta ) ^ { - 1 } } = \frac { a \log a } { ( a - 1 ) ( a - 1 + \beta _ { c } ( \theta ) ^ { - 1 } ) } . } \end{array} \right.
\chi _ { \hat { n } } ( x ) \chi _ { \hat { n } ^ { \prime } } ( y ) _ { | x - y | > > \eta } = \chi _ { \hat { n } ^ { \prime } } ( y ) \chi _ { \hat { n } } ( x ) \exp \{ i ( \Theta ( x - y ) - \Theta ( y - x ) ) \} = - \chi _ { \hat { n } ^ { \prime } } ( y ) \chi _ { \hat { n } } ( x )
- i \hbar \left( \mathbf { e } _ { x } \otimes \mathbf { e } _ { y } - \mathbf { e } _ { y } \otimes \mathbf { e } _ { x } \right) \cdot \mathbf { e } ^ { ( \mu ) } = \mu \hbar \mathbf { e } ^ { ( \mu ) } , \qquad \mu = \pm 1 ,
R _ { n } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) = 2 R _ { p } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) , \, \, \, R _ { n } ( { } ^ { 3 } P _ { 0 } ) = 2 R _ { p } ( ^ { 3 } P _ { 0 } ) , \, \, \, R _ { n } ( { } ^ { 3 } P _ { 1 } ) = 2 R _ { p } ( { } ^ { 3 } P _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \langle \kappa _ { k } ^ { ( 3 ) } ( \gamma ) , \kappa _ { k } ^ { ( 3 ) } ( \eta ) \rangle _ { \mathcal { H } _ { k } ^ { \otimes 3 } } } & { = \mathbb { E } k ( X , Y ) ^ { 3 } - 3 \mathbb { E } k ( X , Y ) ^ { 2 } k ( X , Y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ & { \quad - 3 \mathbb { E } k ( X , Y ) ^ { 2 } k ( X ^ { \prime } , Y ) ^ { 2 } + 6 \mathbb { E } k ( X , Y ) k ( X , Y ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime } , Y ) } \\ & { \quad + 3 \mathbb { E } k ( X , Y ) ^ { 2 } k ( X ^ { \prime } , Y ^ { \prime } ) + 2 \mathbb { E } k ( X , Y ) k ( X ^ { \prime } , Y ) k ( X ^ { \prime \prime } , Y ) } \\ & { \quad + 2 \mathbb { E } k ( X , Y ) k ( X , Y ^ { \prime } ) k ( X , Y ^ { \prime \prime } ) - 6 \mathbb { E } k ( X , Y ) k ( X , Y ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime } , Y ^ { \prime \prime } ) } \\ & { \quad - 6 \mathbb { E } k ( X , Y ) k ( X ^ { \prime } , Y ) k ( X ^ { \prime \prime } , Y ^ { \prime } ) + 4 \mathbb { E } k ( X , Y ) k ( X ^ { \prime } , Y ^ { \prime } ) k ( X ^ { \prime \prime } , Y ^ { \prime \prime } ) . } \end{array}