harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \bigtriangleup ^ { 2 } ( X ) _ { Y } } & { { } = } & { \int _ { x , y \in X , Y } N \Big ( \mu _ { X } ^ { \prime } ( y ) , \Sigma _ { X } ^ { \prime } \Big ) ^ { 2 } \rho ( y ) \, d y \, d x - \int _ { x \in X } N \Big ( \mu _ { X } , \Sigma _ { X } \Big ) ^ { 2 } \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { Y } _ { \mathrm { t f , t s } } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { \mathrm { T x } } - 1 } \mathbf { F } _ { N _ { \mathrm { c } } } ^ { - 1 } \mathbf { P } _ { k } \mathbf { S } _ { k } \mathbf { \Lambda } + \mathbf { N } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { \mathrm { T x } } - 1 } \mathbf { F } _ { N _ { \mathrm { c } } } ^ { - 1 } \mathbf { P } _ { k } \mathbf { S } \mathbf { D } _ { N _ { \mathrm { s y m } } } \left( \frac { \Delta \psi _ { k } } { 2 \pi } \right) \mathbf { \Lambda } + \mathbf { N } } \\ & { = \mathbf { F } _ { N _ { \mathrm { c } } } ^ { - 1 } \left( \mathbf { H } \odot \mathbf { S } \right) \mathbf { \Lambda } + \mathbf { N } } \\ & { = \mathbf { F } _ { N _ { \mathrm { c } } } ^ { - 1 } \left( \mathbf { H } \odot \left( \mathbf { X } \mathbf { B } \right) \right) \mathbf { \Lambda } + \mathbf { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert t \Delta _ { \mathcal { N } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { N } } } a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , s , n , \eta } t ^ { \eta } \lVert a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { , ~ } } \\ { \lVert t \Delta _ { \mathcal { N } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { N } } } b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , s , n , \varepsilon } t ^ { \varepsilon } \lVert b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
p _ { 1 } i _ { 1 } = 1 _ { A _ { 1 } } \ , \ \ p _ { 2 } i _ { 2 } = 1 _ { A _ { 2 } } \ , \ \i _ { 1 } p _ { 1 } + i _ { 2 } p _ { 2 } = 1 _ { B } \ , \ \ p _ { 2 } i _ { 1 } = p _ { 1 } i _ { 2 } = 0 \ .
\begin{array} { r l } { \theta } & { = a r c c o s ( { V _ { z } / \lvert \Vec { V } \rvert } ) } \\ { \phi } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \arctan ( V _ { y } / V _ { x } ) + \pi / 2 , } & { \mathrm { i f ~ } V _ { x } < 0 } \\ { \arctan ( V _ { y } / V _ { x } ) , } & { \mathrm { i f ~ } V _ { x } > 0 } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal L } _ { Y . M . } ^ { ( 5 ) } = - \frac { 1 } { 2 g _ { 5 } ^ { 2 } } F _ { M N } ^ { 2 } + \frac { 1 } { g _ { 5 } ^ { 2 } } \left( \left( D _ { M } \Sigma \right) ^ { 2 } + \overline { { { \lambda } } } i \Gamma ^ { M } D _ { M } \lambda + \left( X ^ { a } \right) ^ { 2 } - \overline { { { \lambda } } } \left[ \Sigma , \lambda \right] \right)
\begin{array} { r l r } { \textrm { d } \hat { X } _ { \tau } } & { { } = } & { [ \frac { 2 r ( 1 - p ) q } { 1 + \omega } - \frac { r } { 1 + \omega } + \frac { \omega } { ( 1 + \omega ) } \frac { \hat { X } _ { \tau } } { ( \tau - r + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { l _ { 1 } } \mathbf { c } ( \delta ^ { 1 } ) \mathbf { c } ( \delta ^ { 0 } ) } & { = \mathbf { c } ( \delta ^ { 1 } ) \mathbf { c } ( \delta _ { 1 } ^ { 0 } ) \cdots \mathbf { c } ( \delta _ { i } ^ { 0 } ) \frac { 1 } { l _ { 1 } } \mathbf { c } _ { l _ { 1 } ^ { 0 } , \ldots , l _ { i } ^ { 0 } } } \\ & { = \mathbf { c } ( \delta ^ { 1 } ) \mathbf { c } ( \delta _ { 1 } ^ { 0 } ) \cdots \mathbf { c } ( \delta _ { i } ^ { 0 } ) \left( \mathbf { c } _ { l _ { 1 } ^ { 0 } , \ldots , l _ { i } ^ { 0 } , l _ { 1 } } + \frac { 1 } { l _ { 1 } } \mathbf { c } _ { l _ { 1 } ^ { 0 } , \ldots , l _ { i } ^ { 0 } + l _ { 1 } } \right) . } \end{array}
\Delta P _ { t o t } Q = \int _ { V / 2 } \biggl ( \sigma _ { x x } \frac { \partial u } { \partial x } + \sigma _ { x y } \Bigl ( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \Bigr ) + \sigma _ { y y } \frac { \partial v } { \partial y } \biggr ) d V ,
m _ { \mathrm { ~ R ~ } } ( t ) = m _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ y ~ } } + ( n _ { \mathrm { ~ v ~ } } + n _ { \mathrm { ~ l ~ } } ) \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ o ~ } } + \pi \rho _ { \mathrm { ~ f ~ } } L _ { \mathrm { ~ f ~ } } ( R _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { 2 } - r _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { 2 } ) + m _ { \mathrm { ~ o ~ } } + m _ { \mathrm { ~ f ~ } } .
\sum _ { \vec { n } } \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { r } + \vec { n } L , \omega ) = \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } } \Hat { G } _ { i j } ( \vec { k } , \omega ) \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \, ,
\begin{array} { c c c } { { m _ { \nu _ { 3 } } = 2 \ e V , \quad } } & { { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } = 9 . 2 \times 1 0 ^ { - 6 \ } e V ^ { 2 } , \quad } } & { { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } = 5 . 0 \times 1 0 ^ { - 3 } \ e V ^ { 2 } } } \end{array}
H _ { o p } = \sum _ { i } \epsilon _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } \langle i j | V | k l \rangle \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { j } ^ { + } \hat { a } _ { l } \hat { a } _ { k }
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \partial _ { x } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 2 } } S _ { \mathrm { s t e p } , \Upsilon } ( a ) ( \varphi , x , j ) } & { = S _ { \mathrm { s t e p } , \Upsilon } ( \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \partial _ { x } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 2 } } a ) = \int _ { - \pi } ^ { \pi } \Delta _ { 1 2 } ^ { k } f ( \varphi , x , y ) e ^ { - \mathrm { i } j y } d y , } \\ { \Delta _ { 1 2 } ^ { k } f ( \varphi , x , y ) } & { : = ( 2 - 2 \cos y ) ^ { 1 - \frac { \alpha } 2 } ( 1 - \psi _ { 1 } ( y ) ) \partial _ { x } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 2 } } ( \Delta _ { 1 2 } ^ { k } a ( \varphi , x , x - y ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { c f } } ( \mathbf { r } ) } & { \propto \int d \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } \int d \mathbf { k } \int d \mathbf { k } ^ { \prime } A ( \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) \tilde { U } _ { \mathrm { w f } } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) } \\ & { \exp \left[ i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot ( \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } - \mathbf { r } ) \right] \tilde { I } _ { \mathbf { e x } } ( \mathbf { k } ) \exp \left( i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } \right) . } \end{array}
S = - \sqrt { 2 } T _ { 2 p } \int d t d ^ { 2 p } x e ^ { - 2 \pi T ^ { 2 } } \sqrt { ( 1 + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } \theta ) ^ { 2 } ) \operatorname * { d e t } ( \delta _ { i j } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } F _ { i j } ) } + O ( \partial T ) \ ,
\psi ( x _ { 1 } , \dots x _ { d } , t ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } G ^ { ( d ) } ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , x _ { d } - x _ { d } ^ { \prime } , t ) \, \psi _ { 0 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , x _ { d } ^ { \prime } ) \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \dots d x _ { d } ^ { \prime }
h _ { 2 , \lambda } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { z ^ { 2 } f _ { Z } ( z + c _ { 0 , 2 } - \beta - \lambda ) } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } s ^ { 2 } f _ { Z } ( s + c _ { 0 , 2 } - \beta - \lambda ) \, d s } , } & { \mathrm { i f } \; \; z < 0 } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , \; \; \lambda \geq 0 .
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } ( x ) = } & { { } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \lambda + \frac { 1 } { x } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { x ^ { 3 } } ( - ( \lambda + \frac { 1 } { x } + x ) ( C - e r f ( \frac { \lambda + \frac { 1 } { x } } { \sqrt { 2 } } ) ) } \\ { - } & { { } ( \lambda + \frac { 1 } { x } + x ) e r f ( \frac { \lambda + 1 } { \sqrt { 2 } } ) + \frac { 1 } { x ^ { 3 } } } \end{array}
{ H } , \bar { H } = \left( \begin{array} { c c c c } { { { u _ { H } } } } & { { { u _ { H } } } } & { { { u _ { H } } } } & { { { \nu _ { H } } } } \\ { { { d _ { H } } } } & { { { d _ { H } } } } & { { { d _ { H } } } } & { { { e _ { H } ^ { - } } } } \end{array} \right) , \cdots
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { 1 } \theta ( x _ { 0 } ) = \partial _ { 1 } \theta ( y _ { 0 } ) = \omega ^ { \prime } ( \xi ) , } \\ { \partial _ { j } \theta ( x _ { 0 } ) = \partial _ { j } \theta ( y _ { 0 } ) = 0 , \quad j \neq 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ G ~ E ~ P ~ } : } & { { } u ^ { + } = 0 . 3 2 6 ( \ln y ^ { + } ) ^ { 2 } + 1 . 8 3 3 \ln y ^ { + } + 2 . 3 2 7 , } \\ { \mathrm { ~ G ~ E ~ P ~ N ~ N ~ } : } & { { } u ^ { + } = 0 . 0 0 3 ( y ^ { + } ) ^ { 2 } - 0 . 4 0 0 1 y ^ { + } \ln y ^ { + } + 1 . 7 0 7 7 y ^ { + } . } \end{array}
{ \frac { d \sigma _ { \pi N \to \psi N } } { d t } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { g _ { \rho N } ^ { 2 } } { 4 \pi } } \epsilon ^ { 2 } { \frac { F ^ { 2 } ( t ) } { ( t - M _ { \rho } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } ,
P _ { v } = \exp \left\{ - \mu \tilde { n } \int d { \bf x } \right\} , \; \; \mu = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { l } \beta ( l + 1 ) } { ( l + 1 ) ^ { 3 / 2 } \beta ( 1 ) } \exp \left\{ - l \pi \frac { ( a M ) ^ { 2 } } { \rho } \right\} \; .
\begin{array} { r } { \left. \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ H ~ } } \right\vert _ { z = h / 2 } = - \frac { h ^ { 2 } } { 8 \eta } \nabla _ { \mathrm { ~ H ~ } } \, p = \frac { 3 } { 2 } \overline { { \mathbf { u } } } _ { \mathrm { ~ H ~ } } . } \end{array}
\exists x , y \in [ 0 , 1 ] ^ { p } , \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ S ~ J ~ L ~ } , L ^ { 1 } } \neq \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 1 ~ } } \neq \overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ J ~ M ~ L ~ , ~ 2 ~ } }
{ \cal A } _ { q } = - \sum _ { c y c l i c } \frac { 1 } { 2 4 } \langle ~ 3 \Phi _ { A } ~ G _ { 0 } ^ { + } \Phi _ { B } ~ \Phi _ { C } ~ \tilde { G } _ { 0 } ^ { + } \Phi _ { D }
\boldsymbol { J } _ { p } = \frac { d B _ { z } } { d \psi } \nabla \psi \times \boldsymbol { \hat { z } } = - \left( \frac { d \psi } { d x _ { 0 } } \right) ^ { - 1 } \frac { d B _ { z } } { d x _ { 0 } } \boldsymbol { B } _ { p } \simeq \frac { 1 } { x _ { 0 } } \left[ p _ { 0 } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } \frac { d f } { d x _ { 0 } } \right] \frac { \boldsymbol { B } _ { p } } { B _ { z 0 } } .
{ \frac { d \Gamma _ { 0 } } { d E } } = { \frac { m } { 2 \pi ^ { 3 } } } F ( 2 , E ) \, p \, | T _ { \beta } | ^ { 2 } \Biggr [ ( 1 - 2 \eta ^ { 2 } ) P ( Q - E ) - { \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } } C ( Q { - } E ) \Biggr ] \, ,
\ensuremath { \mathbf Ḋ Y Ḍ } _ { \ensuremath Ḋ \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ Ḍ _ { j } } : = \left( \begin{array} { l l l } { | } & { } & { | } \\ { ( \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( t _ { 1 } ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } _ { j } ) - \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } _ { \mathrm { Ḋ } r e f Ḍ } ) } & { \dots } & { ( \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } ( t _ { K } ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } _ { j } ) - \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } _ { \mathrm { Ḋ } r e f Ḍ } ) } \\ { | } & { } & { | } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { 2 n \times K } .
\frac { \partial T } { \partial t } = \alpha \frac { \partial ^ { 2 } T } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { q ^ { \prime \prime \prime } } { \rho c _ { p } } - \frac { 4 \overline { { h } } ( T - T _ { \infty } ) } { \rho c _ { p } d }
\int _ { I _ { n } } { \frac { 1 } { x } } \cos ( { \frac { \pi } { x ^ { 2 } } } ) d x \ge { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \sqrt { n + { \frac { 1 } { 4 } } } ( { \frac { 1 } { \sqrt { n - { \frac { 1 } { 4 } } } } } - { \frac { 1 } { \sqrt { n + { \frac { 1 } { 4 } } } } } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \sqrt { { \frac { 4 + { \frac { 1 } { n } } } { 4 - { \frac { 1 } { n } } } } } - 1 )
\begin{array} { r l } { E _ { 4 , 4 } } & { { } = \{ e = u v \in E ( \Gamma ) | S _ { ( u ) } = 4 , S _ { ( v ) } = 4 \} , } \\ { E _ { 4 , 5 } } & { { } = \{ e = u v \in E ( \Gamma ) | S _ { ( u ) } = 4 , S _ { ( v ) } = 5 \} , } \\ { E _ { 5 , 7 } } & { { } = \{ e = u v \in E ( \Gamma ) | S _ { ( u ) } = 5 , S _ { ( v ) } = 7 \} , } \\ { E _ { 7 , 7 } } & { { } = \{ e = u v \in E ( \Gamma ) | S _ { ( u ) } = 7 , S _ { ( v ) } = 7 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \Big \{ \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , R _ { 1 } ^ { * } ) \leq R _ { 1 } ^ { * } + R _ { 2 } ^ { * } + \xi ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } + \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } + O ( \eta _ { n } ) \Big \} } \\ { * } & { \geq 1 - \mathrm { Q } \left( \frac { \xi ^ { * } L _ { 1 } + L _ { 2 } + O ( \sqrt { n } \eta _ { n } ) } { \sqrt { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } } \right) - \frac { 6 \mathrm { T } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } { \sqrt { n } \mathrm { V } ^ { 3 / 2 } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c c } { p _ { n + 1 } } & { p _ { n } } \\ { q _ { n + 1 } } & { q _ { n } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { c c } { p _ { n } } & { p _ { n - 1 } } \\ { q _ { n } } & { q _ { n - 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { a _ { n + 1 } } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { p _ { 0 } } & { p _ { - 1 } } \\ { q _ { 0 } } & { q _ { - 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { a _ { 1 } } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { c c } { a _ { n + 1 } } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { a _ { 1 } } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { c c } { a _ { n + 1 } } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi _ { n } ( t ) = \frac { \left( \frac { \mathtt { c } } { \mathtt { d } } ( 1 - e ^ { - \mathtt { d } t } ) \right) ^ { n } } { n ! } e ^ { - \frac { \mathtt { c } } { \mathtt { d } } ( 1 - e ^ { - \mathtt { d } t } ) } , \quad t \geq 0 , n \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { ( P _ { s } - P _ { 0 } ) } { \rho _ { s } ^ { o } } - \frac { ( P _ { l } - P _ { 0 } ) } { \rho _ { l } ^ { o } } = } & { { } } & { \frac { q _ { m } ( T _ { m } - T ) } { T _ { m } } } \end{array}
\frac { d \mathrm { h e l p e r } } { d \eta } = \frac { d \mathrm { h e l p e r } } { d \eta _ { f } - k _ { B } T d \ln { a _ { + } } + k _ { B } T d \ln { c } } = \frac { d \mathrm { h e l p e r } } { d \eta _ { f } } \left[ 1 + k _ { B } T \frac { d \ln { a _ { + } } } { d \eta _ { f } } - k _ { B } T \frac { d \ln { c } } { d \eta _ { f } } \right] + \mathcal { O } ( \Delta a _ { ( + ) } ^ { 2 } ) \approx \frac { d \mathrm { h e l p e r } } { d \eta _ { f } } .
F ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \leq 0 } \\ { \frac { 1 } { 1 + \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \biggl ( \frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x } \biggl ) } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 < x < 1 } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \geq 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | l ( t , x , u _ { 1 } ) - l ( t , x , u _ { 2 } ) | } & { \leq C ( 1 + | u _ { 1 } | + | u _ { 2 } | ) | u _ { 1 } - u _ { 2 } | , } \\ { | m ( x , u _ { 1 } ) - m ( x , u _ { 2 } ) | } & { \leq C ( 1 + | u _ { 1 } | + | u _ { 2 } | ) | u _ { 1 } - u _ { 2 } | \quad \forall u _ { 1 } , u _ { 2 } \in \mathbb { R } , } \end{array}
\mathcal E ^ { \prime } = \oint _ { l ^ { \prime } } \vec { E } ^ { \prime } \cdot \vec { d l ^ { \prime } } = \oint _ { l ^ { \prime } } \left( - \frac { \partial \vec { A } ^ { \prime } } { \partial t ^ { \prime } } \cdot \vec { d l ^ { \prime } } \right) .
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle _ { \mathrm { I I } } } & { \sim \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } \left[ F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \, \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) + F _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, \, \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { i } ) \hat { a } _ { 2 } ^ { \dagger } ( \omega _ { s } ) \right] | \mathrm { v a c } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { N } } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = } & { { } [ \mathbf { k } _ { \pm } \cdot \partial _ { z } \mathbf { N } _ { h , \pm } + k _ { \pm } ^ { 2 } N _ { R z , + } ] \cos \psi _ { \pm } , } \\ { \hat { \mathcal { F } } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } = } & { { } [ k _ { \pm } ^ { 2 } N _ { F 1 , \pm } - N _ { F 2 , \pm } + N _ { F 3 , \pm + } - N _ { F 4 , \pm } - ( \mathbf { U } \cdot \mathbf { k } _ { \pm } - \omega _ { \pm } ) \mathbf { k } _ { \pm } \cdot N _ { h , + } ] \sin \psi _ { \pm } , } \end{array}
\mathbf { J } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { M } _ { \tau } - \mathbf { I } } & { \mathbf { F } \left( \boldsymbol { \Phi } _ { \tau } ( \mathbf { X } _ { 0 } ) \right) } \\ { \mathbf { F } ^ { T } ( \mathbf { X } _ { 0 } ) } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l l } { P _ { \rightleftarrows } ^ { ( c o r e ) } } & { = } & { \displaystyle \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \nu \sinh r d r \exp ( - \nu ( A ( r ) + A _ { \rightleftarrows } ( r ) ) ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - \nu A _ { \rightleftarrows } } d \left( e ^ { - \nu A } \right) \medskip } \\ { r ^ { ( c o r e ) } } & { = } & { \displaystyle \left( \frac { 1 } { P _ { \rightleftarrows } ^ { ( c o r e ) } } - 1 \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\mathrm { d } \varphi = - \frac { 1 } { \Omega _ { 0 } A _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 k _ { B } T \Gamma _ { 0 } } { m } } \sin \left( \Omega _ { 0 } t + \varphi \right) \mathrm { d } W \mathrm { ~ . ~ }
= \sum _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 2 k _ { 2 } } A _ { 1 k _ { 1 } } \left( \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { k _ { 2 } } \hat { a } _ { k _ { 1 } } \right) .
\epsilon _ { x } ^ { \mathrm { ~ N ~ } } = \frac { v _ { z } } { \mathrm { ~ c ~ } } \cdot \sigma _ { x } \cdot \sqrt { \langle \frac { v _ { x } ^ { 2 } } { v _ { z } ^ { 2 } } \rangle } = \sigma _ { x } \cdot \sqrt { \frac { \mathrm { ~ M ~ T ~ E ~ } } { \mathrm { ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ e ~ } } \mathrm { ~ c ~ } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \gamma _ { 0 } ^ { - } = c _ { 0 } \sum _ { j = 0 } ^ { q } { \binom { q } { j } } \left( \frac { 1 - v } { 2 - v } \right) ^ { q - j } \left( \frac { v } { 2 - v } \right) ^ { j } \times } \\ { \sum _ { k = 0 } ^ { q - j } { \binom { q - j } { k } } ( 1 - c _ { 0 } ) ^ { q - j - k } c _ { 0 } ^ { k } e _ { k , q } \times } \\ { \sum _ { l = 0 } ^ { j } { \binom { j } { l } } \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { j - l } { \binom { j - l } { m } } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { j - l - m } c _ { 1 } ^ { m } e _ { k , q } \right. \times } \\ { \left. \sum _ { m = 0 } ^ { j } { \binom { l } { m } } ( 1 - c _ { 2 } ) ^ { l - m } c _ { 2 } ^ { m } e _ { k , q } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { h i } ^ { S V } ( \eta , v ^ { * } ) + \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( \widetilde { u } _ { I } - P _ { h } ^ { l - 1 } \widetilde { u } _ { I } , v ^ { * } \right) _ { i } } & { = } & { ( \partial _ { t } \omega , v ^ { * } ) _ { i } + \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( \omega - P _ { h } ^ { l - 1 } \omega , v ^ { * } \right) _ { i } } \\ { \leq \left\lVert \partial _ { t } \omega \right\rVert _ { 0 , \tau _ { i } } \left\lVert v ^ { * } \right\rVert _ { 0 , \tau _ { i } } } & { + } & { \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left\lVert \omega - P _ { h } ^ { l - 1 } \omega \right\rVert _ { 0 , \tau _ { i } } \left\lVert v ^ { * } \right\rVert _ { 0 , \tau _ { i } } . } \end{array}
v _ { + } ( r ) = \sqrt { r \frac { \partial \phi ( r , \cos \theta ) } { \partial r } _ { | { \cos \theta = 0 } } + \frac { 4 k ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } } \, - \, \frac { 2 k \nu } { r ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { \top } { \bf b } } & { = \frac { 1 } { m } ( { \bf A } ^ { o } + \Delta { \bf A } ) ^ { \top } { \bf b } } \\ & { = \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } { \bf b } + \frac { 1 } { m } \Delta { \bf A } ^ { \top } \left[ \begin{array} { l } { - 2 d _ { 1 } ^ { o } \| { \bf x } ^ { o } \| - 2 { \bf a } _ { 1 } ^ { \top } { \bf x } ^ { o } + \eta _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { - 2 d _ { m } ^ { o } \| { \bf x } ^ { o } \| - 2 { \bf a } _ { m } ^ { \top } { \bf x } ^ { o } + \eta _ { m } } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } { \bf b } + \frac { 1 } { m } \Delta { \bf A } ^ { \top } \left[ \begin{array} { l } { 2 d _ { 1 } ^ { o } r _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { 2 d _ { m } ^ { o } r _ { m } } \end{array} \right] + O _ { p } \left( \frac { 1 } { \sqrt { m } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } { \bf b } + \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { m } { \bf G } ^ { \top } { \bf d } ^ { o } + O _ { p } \left( \frac { 1 } { \sqrt { m } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } { \bf b } + \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { m } { \bf G } ^ { \top } { \bf d } + O _ { p } \left( \frac { 1 } { \sqrt { m } } \right) , } \end{array}
\bigl ( \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i } ^ { 1 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i + 1 } ^ { 1 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i } ^ { 2 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i + 1 } ^ { 2 } ) , \ \cdots \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i } ^ { k - 1 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i + 1 } ^ { k - 1 } ) , \ \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { i } ^ { k } ) \bigr ) \in \mathcal { C } _ { i + 1 } \times \mathcal { C } _ { i + 2 } \times \mathcal { C } _ { i + 1 } \times \mathcal { C } _ { i + 2 } \times \cdots \times \mathcal { C } _ { i + 1 } \times \mathcal { C } _ { i + 2 } \times \mathcal { C } _ { i + 1 }
\begin{array} { r l } & { C _ { \nu } \| u - u _ { 0 } \| _ { W ^ { \nu - \bar { \nu } } ( ( 0 , T _ { 0 } ) , L _ { 2 } ( \Omega ) ) } \leq \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } , } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { M } C _ { \nu _ { i } } \| u - u _ { 0 } \| _ { W ^ { \nu _ { i } + \nu _ { 0 } } ( ( 0 , T _ { 0 } ) , L _ { 2 } ( \Omega ) ) } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { N } C _ { \mu _ { j } } \| u - u _ { 0 } \| _ { W ^ { \mu _ { j } + \mu _ { 0 } } ( ( 0 , T _ { 0 } ) , L _ { 2 } ( \Omega ) ) } } \\ & { \leq \varepsilon [ \sum _ { i = 1 } ^ { M } C _ { \nu _ { i } } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } C _ { \mu _ { j } } ] \| u - u _ { 0 } \| _ { W ^ { \nu - \bar { \nu } } ( ( 0 , T _ { 0 } ) , L _ { 2 } ( \Omega ) ) } } \\ & { + C \bigg \{ \sum _ { j = 1 } ^ { N } C _ { \mu _ { j } } \varepsilon ^ { - \frac { \mu _ { j } + \mu _ { 0 } } { \nu - \bar { \nu } - \mu _ { j } - \mu _ { 0 } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } C _ { \nu _ { i } } \varepsilon ^ { - \frac { \nu _ { i } + \nu _ { 0 } } { \nu - \bar { \nu } - \nu _ { i } - \nu _ { 0 } } } \bigg \} \| u - u _ { 0 } \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } , } \end{array}
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \eta + ( { \tilde { u } } _ { 1 } - E ) \eta + i { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } [ 2 \mathbf { \tau } _ { 1 2 } \nabla + \nabla \mathbf { \tau } _ { 1 2 } ] \eta = ( u _ { 1 } - u _ { 0 } ) \chi _ { 0 } .
\operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \left\{ [ j ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) - j _ { h _ { n } } ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) ] v _ { n } + [ j ^ { \prime } ( \bar { u } ) - j ^ { \prime } ( \bar { u } _ { h _ { n } } ) ] v _ { n } \right\} \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } C ( \varepsilon _ { h _ { n } } + s _ { n } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \xi } & { { } = ( - ) ^ { p q + p + q } \frac { 1 } { f _ { s } } { * \tilde { \mu } } + ( - ) ^ { p + 1 } \frac { c _ { \phi } } { \chi } u \wedge { * \tilde { \xi } } , } \\ { \psi } & { { } = \frac { ( - ) ^ { p q + q } } { m ^ { 2 } } { * \tilde { \mu } _ { \psi } } + \frac { c _ { \phi } } { \chi _ { \ell } } u \wedge { * \tilde { \xi } _ { \psi } } , } \end{array}