harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( Q _ { 2 5 } ^ { 0 } A ) _ { i j } = ( \phi _ { 2 5 } ) _ { i k } \star A _ { k j } - ( - 1 ) ^ { A } A _ { i k } \star ( \phi _ { 2 5 } ) _ { k j } = ( Q _ { 2 5 } ^ { R } A ) _ { i j } + ( Q _ { 2 5 } ^ { L } A ) _ { i j } = ( Q _ { 2 5 } ^ { 0 } A ) _ { i j }
g _ { 1 , 3 } ^ { \pm } \; = \; \mp \frac { i } { \sqrt { 2 } } \, c _ { 1 , 2 } c _ { 2 , 3 } \, \pm \, \frac { i } { \sqrt { 2 } } \, c _ { 2 , 3 } c _ { 1 , 2 } \; .
\hat { \kappa } = \frac { \kappa } { { { \rho _ { 0 } } R { L _ { 0 } } \sqrt { R { T _ { 0 } } } } } , \quad \hat { \mu } = \frac { \mu } { { { \rho _ { 0 } } { L _ { 0 } } \sqrt { R { T _ { 0 } } } } } ,
\begin{array} { r l } { \forall s ( z ) = 0 , } & { \quad f _ { k , p q } ( z ) = 0 \ \ a n d \ \ \operatorname { R e } ( z ) < \sqrt { k } } \\ & { \Rightarrow S ( k ) > s ( k - 1 ) } \\ & { \Rightarrow S ( k - 1 ) \leqslant 0 } \\ & { \Rightarrow \exists x _ { 0 } \in [ k - 1 , k ) \ \ s u c h \ \ t h a t \ \ s \left( x _ { 0 } \right) = 0 } \\ & { \Rightarrow f _ { k , p q } \left( x _ { 0 } \right) = 0 , i m p o s s i b l e } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left[ \nu _ { x } ( \gamma ) - \nu _ { x } ( \gamma ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { \leq \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert ^ { 2 } \frac { 1 + 2 / \beta } { ( - \gamma ^ { \prime } ) ^ { 5 } } } \\ & { \leq \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert ^ { 2 } \frac { 1 + 2 / \beta } { ( - \gamma - \epsilon ) ^ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d c a y } _ { \tilde { \mathbf { x } } } ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathbf { y } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) \tilde { \mathbf { y } } \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) } \end{array}
F _ { 1 N } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { G _ { E N } ( Q ^ { 2 } ) + \tau G _ { M N } ( Q ^ { 2 } ) } { 1 + \tau } , \qquad \tau = \frac { Q ^ { 2 } } { 4 M _ { N } ^ { 2 } } \qquad ( N = p , n ) .
\partial _ { 1 } \cdot \partial _ { 2 } \ = \ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 2 } ^ { 2 } .
\delta \pi _ { F _ { R } } = n _ { M s } T _ { s } \left( - \alpha _ { s } F \right) \frac { T _ { s } } { M _ { s } } \left( \begin{array} { c c c } { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\eta _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } = \frac { \textrm { n u m b e r o f p h o t o n s e m i t t e d f r o m e d g e s } } { \textrm { n u m b e r o f p h o t o n s a b s o r b e d b y t h e L S C } } .
\textstyle \left[ { \frac { k + 0 } { 3 ^ { n - 1 } } } , { \frac { k + 1 } { 3 ^ { n - 1 } } } \right] = \left[ { \frac { 3 k + 0 } { 3 ^ { n } } } , { \frac { 3 k + 3 } { 3 ^ { n } } } \right]
\begin{array} { r } { \mathrm C _ { N N + 1 } ( \gamma _ { 1 } , \dots , \gamma _ { 2 N } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { f o r ~ o d d } \ N , } \\ { ( - 1 ) ^ { \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \bigl [ \gamma _ { 2 N - k } ^ { ( k - 1 ) } - \gamma _ { N } ^ { ( N - 1 ) } \bigr ] } , } & { \mathrm { f o r ~ e v e n } \ N . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { - 1 / 2 } ( \chi ) } & { { } = \mu K ( \mu ) , } \\ { Q _ { 1 / 2 } ( \chi ) } & { { } = \chi \mu K ( \mu ) - ( 1 + \chi ) \mu E ( \mu ) , } \\ { \mu } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { 1 + \chi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o r r } _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { \alpha - 1 } } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau < \tau ^ { \prime } } \\ { \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { \tau } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { \alpha - 1 } } } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau > \tau ^ { \prime } } \\ { 1 } & { \qquad \mathrm { f o r } \ \tau = \tau ^ { \prime } \ . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \Gamma \in B _ { N , m } } \mathbb E ( w ( \Gamma ) - w _ { \varepsilon } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } } & { \le C \varepsilon ^ { 2 - \alpha } \prod _ { | \gamma | \le m } \big ( 1 + \theta ^ { | \gamma | } N ^ { - | \gamma | } \big ) } \\ & { \le C \varepsilon ^ { 2 - \alpha } \prod _ { | \gamma | \le m } \exp \big ( \theta ^ { | \gamma | } N ^ { - | \gamma | } \big ) \le C \varepsilon ^ { 2 - \alpha } \exp \Big ( \sum _ { k = 3 } ^ { m } \theta ^ { k } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| P _ { \gamma } ^ { - } ( T ( \gamma ) - \gamma ) P _ { \gamma } ^ { - } \| _ { X _ { c } } } & { \leq \frac { 1 + \kappa } { 1 - \kappa } \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } ( P _ { g } ^ { + } - P _ { \gamma } ^ { + } ) \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } ^ { 2 } \| \gamma \| _ { \sigma _ { 1 } } } \\ & { \leq \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 ( 1 - \kappa ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } q \alpha _ { c } ^ { 2 } \| g - \gamma \| _ { X } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { P L } } } & { \propto \int _ { \mathrm { a p e r t u r e } } \frac { I _ { 0 } } { R ^ { 2 } } \mathrm { d } A } \\ & { \propto \int _ { 0 } ^ { \arctan { a / h } } \frac { I _ { 0 } } { R ^ { 2 } } R ^ { 2 } \sin \theta \mathrm { d } \theta } \\ & { \propto I _ { 0 } \times \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \frac { a ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } } } \right) } \end{array}
H = - \zeta { \frac { \epsilon _ { i j k } F _ { a b } ^ { k } { \tilde { E } } _ { i } ^ { a } { \tilde { E } } _ { j } ^ { b } } { \sqrt { d e t ( q ) } } } + 2 { \frac { \zeta \beta ^ { 2 } - 1 } { \beta ^ { 2 } } } { \frac { ( { \tilde { E } } _ { i } ^ { a } { \tilde { E } } _ { j } ^ { b } - { \tilde { E } } _ { j } ^ { a } { \tilde { E } } _ { i } ^ { b } ) } { \sqrt { d e t ( q ) } } } ( A _ { a } ^ { i } - \Gamma _ { a } ^ { i } ) ( A _ { b } ^ { j } - \Gamma _ { b } ^ { j } ) = H _ { E } + H ^ { \prime }
\begin{array} { r } { { \tilde { \bar { \bf D } } } _ { 1 } ^ { \pm } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) = { \bf J } _ { 2 2 } \{ \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { \mp } ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ e ~ } } , ( 2 k - 1 ) } \big ( \boldsymbol { t } _ { \boldsymbol { x } } ( \mathbf { s } ) \big ) } & { { } = \sin \big ( k \boldsymbol { t } _ { \boldsymbol { x } } ( \mathbf { s } ) \big ) } \\ { \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ e ~ } } , ( 2 k ) } \big ( \boldsymbol { t } _ { \boldsymbol { x } } ( \mathbf { s } ) \big ) } & { { } = \cos \big ( k \boldsymbol { t } _ { \boldsymbol { x } } ( \mathbf { s } ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta \Delta \mathcal { E } } { \Delta \omega } = } & { { } \frac { 1 } { \Delta \omega } \int _ { \omega } ^ { \omega + \Delta \omega } d \omega \frac { d \Delta \mathcal { E } } { d \omega } } \\ { = } & { { } C + \frac { K } { \Delta \omega } \delta _ { n , ( n _ { j ^ { \prime } } ^ { - 2 } \pm 2 \omega ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } } \end{array}
\nabla _ { \mu } X _ { \nu } = \partial _ { \mu } X _ { \nu } - \Gamma _ { \mu \nu } ^ { a } X _ { a } = \partial _ { \mu } X _ { \nu } - \frac { \tau _ { 1 } } { \sqrt { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \tau _ { 1 } } - \frac { \tau _ { 2 } } { \sqrt { \tau _ { 1 } ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \tau _ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { E [ v , \mathbf { A } ] } & { { } = \operatorname* { i n f } _ { \psi } \left\{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } \rangle + \langle v - \frac 1 2 \vert \mathbf { A } \vert ^ { 2 } , \rho _ { \psi } \rangle \right\} , } \\ { \mathbf { j } } & { { } = \mathbf { j } _ { \psi } ^ { \mathrm { p } } + \rho _ { \psi } \mathbf { A } . } \end{array}
\psi _ { \eta } ^ { n } ( z , t ) = \left( { \frac { 1 } { \pi n ! 2 ^ { n } } } \right) ^ { 1 / 2 } H _ { n } \left( ( e ^ { - \eta } u + e ^ { \eta } v ) / \sqrt { 2 } \right) \times \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { - 2 \eta } u ^ { 2 } + e ^ { 2 \eta } v ^ { 2 } \right) \right\} .
\begin{array} { r } { \alpha _ { 0 } = 1 , ~ \alpha _ { 1 } = \frac { a _ { 0 } + \theta } { p ^ { k _ { 1 } } } , ~ \alpha _ { 2 } = \frac { b _ { 0 } + b _ { 1 } \theta + \theta ^ { 2 } } { p ^ { k _ { 2 } } } , ~ \alpha _ { 3 } = \frac { c _ { 0 } + c _ { 1 } \theta + c _ { 2 } \theta ^ { 2 } + \theta ^ { 3 } } { p ^ { k _ { 3 } } } , } \\ { \alpha _ { 4 } = \frac { d _ { 0 } + d _ { 1 } \theta + d _ { 2 } \theta ^ { 2 } + d _ { 3 } \theta ^ { 3 } + \theta ^ { 4 } } { p ^ { k _ { 4 } } } , ~ \alpha _ { 5 } = \frac { e _ { 0 } + e _ { 1 } \theta + e _ { 2 } \theta ^ { 2 } + e _ { 3 } \theta ^ { 3 } + e _ { 4 } \theta ^ { 4 } + \theta ^ { 5 } } { p ^ { k _ { 5 } } } } \end{array}
G _ { E } ^ { \tilde { n } _ { \bar { S } D } } ( Q ^ { 2 } ) = \langle \tilde { n } _ { \bar { S } D } ( + { \frac { Q \hat { z } } { 2 } } , + ) \vert \rho _ { e m } \vert \tilde { n } _ { \bar { S } D } ( - { \frac { Q \hat { z } } { 2 } } , + ) \rangle
\begin{array} { r l } & { \{ \mathcal { F } , H \} _ { D } ( v , \Sigma ) - \int _ { \Gamma } E ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } ) \wedge \ast \boldsymbol { n } ( v ) } \\ { = } & { - \int _ { \Omega } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } \wedge \Big ( i _ { ( \ast \frac { \delta H } { \delta v } ) ^ { \sharp } } d v + d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \frac { \delta H } { \delta \Sigma } ) ) \big ) \Big ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Sigma } \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \Sigma } \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta H } { \delta v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { r } } & { = Q \left( \sqrt { \frac { { P _ { s } } \left| ( \beta _ { k _ { 1 } } x _ { \Re } - \beta _ { \hat { k } _ { 1 } } \hat { x } _ { \Re } ) + j ( \beta _ { { k } _ { 2 } } { x } _ { \Im } - \beta _ { \hat { k } _ { 2 } } \hat { x } _ { \Im } ) \right| ^ { 2 } } { 2 N _ { 0 } } } \right) } \\ & { = Q \left( \sqrt { \frac { { \rho } \eta } { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { [ n + 1 ] } = \textrm { e } ^ { i ( n + 1 ) \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } e ^ { [ 0 ] } + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \textrm { e } ^ { i ( n - k ) \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } ( Q ^ { k } + \mathcal { E } ^ { k } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \textrm { e } ^ { i ( n - k ) \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } ( Q ^ { k } + \mathcal { E } ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac b 1 } & { = \frac h a } \\ { a b } & { = h } \\ { a + a b } & { = 1 } \\ { b } & { = \frac { 1 - a } { a } } \\ { a ^ { 2 } + \left( \frac { 1 - a } { a } \right) ^ { 2 } } & { = 1 } \\ { a ^ { 4 } + 1 - 2 a + a ^ { 2 } } & { = a ^ { 2 } } \\ { a ^ { 4 } - 2 a + 1 } & { = 0 } \\ { ( a - 1 ) ( a ^ { 3 } + a ^ { 2 } + a - 1 ) } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { x _ { t } } \frac { \mathrm { d } p _ { t } } { \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , C _ { t } ) } ( x _ { t } ) } & { = \frac { 1 } { Z } \int \nabla _ { x _ { t } } \exp ( - \| A _ { t } x _ { 0 } - x _ { t } \| _ { Q _ { t } } ^ { 2 } ) \exp ( - \Phi ( x _ { 0 } ) ) \mathrm { d } x _ { 0 } } \\ & { = \frac { 1 } { Z } \int - A _ { t } ^ { - 1 } \nabla _ { x _ { 0 } } \exp ( - \| A _ { t } x _ { 0 } - x _ { t } \| _ { Q _ { t } } ^ { 2 } ) \exp ( - \Phi ( x _ { 0 } ) ) \mathrm { d } x _ { 0 } } \\ & { = \frac { 1 } { Z } \int A _ { t } ^ { - 1 } \exp ( - \| A _ { t } x _ { 0 } - x _ { t } \| _ { Q _ { t } } ^ { 2 } ) \nabla _ { x _ { 0 } } \exp ( - \Phi ( x _ { 0 } ) ) \mathrm { d } x _ { 0 } } \\ & { = - \frac { 1 } { Z } \int A _ { t } ^ { - 1 } \exp ( - \| A _ { t } x _ { 0 } - x _ { t } \| _ { Q _ { t } } ^ { 2 } ) \nabla _ { x _ { 0 } } \Phi ( x _ { 0 } ) \exp ( - \Phi ( x _ { 0 } ) ) \mathrm { d } x _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } } & { { } = v - c v ^ { 3 } - \frac { 1 } { \alpha } w + I + \frac { \beta } { \alpha } } \\ { \dot { w } } & { { } = \frac { \alpha } { \tau } \Big ( v + a + \frac { b \beta } { \alpha } - \frac { b } { \alpha } w \Big ) } \end{array}
\mathbf { F } = m _ { 0 } \mathbf { A } = m _ { 0 } \gamma ( \mathbf { u } ) \left( { \frac { d { \gamma } ( \mathbf { u } ) } { d t } } c , \left( { \frac { d { \gamma } ( \mathbf { u } ) } { d t } } \mathbf { u } + \gamma ( \mathbf { u } ) \mathbf { a } \right) \right)
\begin{array} { r l } & { P ( t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + [ \eta ( 2 - \eta ) - 2 t \eta ( 1 - \eta ) - t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } ] \sinh ^ { 2 } r } } } \\ & { \times \exp \left[ \frac { \alpha ^ { \prime 2 } \eta ( 1 - t ) [ \eta ( 1 - t ) ( 1 - e ^ { - 2 r } ) - 2 ] } { 2 \Big [ 1 + [ \eta ( 2 - \eta ) - 2 t \eta ( 1 - \eta ) - t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } ] \sinh ^ { 2 } r \Big ] } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { e e } ^ { P } } & { { } = } & { \sum _ { i > j } \sum _ { I p \sigma } \left| \chi _ { p \sigma } ( i ) \chi _ { I p \sigma } ( j ) \right> J _ { I } \left< \chi _ { I p \sigma } ( i ) \chi _ { I p \sigma } ( j ) \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t _ { k } ) = } & { { } \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ { \theta ( x , t _ { k } ) = } & { { } - \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( Y _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \cdot R ( x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ; 0 ) \varTheta _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z ( s ) } & { = } & { g ( x ( s ) , y ( s ) ) } \\ & { = } & { k y ( s ) + x ( s ) ^ { N } a ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) y ( s ) b ( x ( s ) , y ( s ) ) + y ^ { 2 } ( s ) c ( y ( s ) ) } \\ & { \leq } & { k | y ( s ) | + x ( s ) ^ { N } | a ( x ( s ) , y ( s ) ) | + | y ( s ) | | x ( s ) b ( x ( s ) , y ( s ) ) + y ( s ) c ( y ( s ) ) | } \\ & { \leq } & { k | y ( s ) | + C _ { 1 } x ( s ) ^ { N } + C _ { 2 } | y ( s ) | } \\ & { \leq } & { ( k + C _ { 2 } ) ( 1 + \beta ) k z ( s ) + C _ { 1 } x ( s ) ^ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r } { h ( x ) \int _ { 0 } ^ { t } f ( s ) \int _ { y \in \Omega } r ( y ) \frac { q _ { t - s } ( x , y ) } { h ( y ) } \sum _ { n = 1 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } _ { y } \left( \sum _ { v _ { 1 } < \cdots < v _ { n } , | v _ { i } | = s } \psi _ { 0 } ( \mathbb { U } ( \vec { v } ) ) \right) \mathbb { E } _ { y } \left( \sum _ { w _ { 1 } < \cdots < w _ { K - n } , | w _ { i } | = s } \psi _ { 1 } ( \mathbb { U } ( \vec { w } ) ) \right) d y d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { n - j } ^ { ( n ) } | R ^ { j } | } & { \le \sum _ { j = 2 } ^ { n } p _ { n - j } ^ { ( n ) } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } ( a _ { j - k - 1 } ^ { ( j ) } - a _ { j - k } ^ { ( j ) } ) G ^ { k } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { n - j } ^ { ( n ) } a _ { 0 } ^ { ( j ) } G ^ { j } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } G ^ { k } p _ { n - k } ^ { ( n ) } a _ { 0 } ^ { ( k ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } G ^ { j } p _ { n - j } ^ { ( n ) } a _ { 0 } ^ { ( j ) } } \\ & { \le 2 \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { n - j } ^ { ( n ) } a _ { 0 } ^ { ( j ) } \int _ { t _ { j - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { j - \frac { 1 } { 2 } } } \Big ( t - t _ { j - \frac { 3 } { 2 } } \Big ) | v ^ { \prime \prime } ( t ) | d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { G } _ { 3 } | } & { \le C \left( \sum _ { \kappa \subset \Omega _ { 1 2 } \cup \Omega _ { 2 1 } } \varepsilon \Vert \nabla ( E _ { 3 } - I _ { N } E _ { 3 } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { \kappa \subset \Omega _ { 1 2 } \cup \Omega _ { 2 1 } } \varepsilon \Vert \nabla \xi \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \le C \left( \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } N ^ { - \sigma } + N ^ { 1 - \sigma } ( \ln N ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) \Vert \xi \Vert _ { N I P G } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { r } _ { n } ( x ) } & { \equiv } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \{ P _ { n } \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { n } ^ { 2 } ( Y - Q _ { n } ) \} \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { R _ { n , 1 } ( \phi _ { j } ^ { * } ) } & { \equiv } & { - P _ { 0 } \phi _ { j } ^ { * } ( 1 / \sigma _ { n } ^ { 2 } - 1 / \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ) ( Q _ { n } - Q _ { 0 } ) } \\ { R _ { n , 1 } ( x ) } & { \equiv } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } R _ { n , 1 } ( \phi _ { j } ^ { * } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { = } & { - \Pi _ { J _ { 0 , n } } ( e _ { n } ) } \\ { e _ { n } } & { \equiv } & { ( \sigma _ { n } ^ { - 2 } - \sigma _ { 0 , n } ^ { - 2 } ) ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) } \\ { E _ { n } ( x ) } & { \equiv } & { - \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } \left\{ \sigma _ { n } ^ { - 2 } ( Y - { Q _ { n } } ) - \sigma _ { 0 , n } ^ { - 2 } ( Y - Q _ { 0 , n } ) \right\} \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { D _ { Q _ { 0 , n } , x } } & { \equiv } & { d _ { 0 , n } ^ { - 1 / 2 } \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( Y - { Q _ { 0 , n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c } { \vec { \mu } } \\ { \vec { \nu } } \end{array} \right) = \omega ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { \vec { \mu } } \\ { \vec { \nu } } \end{array} \right) = \mathcal { H } \left( \begin{array} { c } { \vec { \mu } } \\ { \vec { \nu } } \end{array} \right) ,
\langle \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \mathfrak { R e } \bigg \{ ( \mathbf { \nabla } \otimes \mathbf { E } ) \mathbf { p } ^ { * } + \mu ( \mathbf { \nabla } \otimes \mathbf { H } ) \mathbf { m } ^ { * } - \frac { k ^ { 4 } } { 6 \pi \varepsilon c } ( \mathbf { p } \times \mathbf { m } ^ { * } ) \bigg \} ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { v } _ { p } } & { = ( 1 - \lambda ^ { - p n _ { i } n _ { j } } ) \cdot \left( \lambda ^ { p n _ { i } n _ { j } } d _ { i j a } , d _ { i j b } \right) ^ { \top } , } \\ { \boldsymbol { w } _ { p } } & { = ( 1 - \lambda ^ { - p n _ { i } n _ { j } } ) \cdot \left( d _ { i j a } , \lambda ^ { p n _ { i } n _ { j } } d _ { i j b } \right) ^ { \top } . } \end{array}
\mathfrak { E } _ { 1 } ( \varepsilon ) : = - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } \left[ \Delta ^ { \varepsilon } \phi ( \varepsilon ^ { 2 } \cdot ) ( x ) - \varepsilon ^ { 4 } \phi ^ { \prime \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \right] \int _ { 0 } ^ { t } \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) d s .
\overline { { \mathbf { J } } } _ { s g } = \widehat { \mathbf { J } } _ { s g } + \frac { \beta _ { s } } { V _ { g } } \sum _ { g ^ { \prime } } M _ { s , g g ^ { \prime } } \mathbf { E } _ { g ^ { \prime } } ^ { n + \theta }
\begin{array} { r } { \zeta _ { 2 } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , t ) = \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 2 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 0 } ^ { \prime } + \mathrm { c . c . } , } \\ { \Phi _ { 2 } ^ { \prime } ( \mathbf { x } , z , t ) = \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 2 } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 0 } ^ { \prime } + \mathrm { c . c . } , } \end{array}
\Gamma ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { x ^ { \prime } s + u - Q ^ { 2 } } \, \delta \left( x + x _ { 1 } + \frac { \hat { t } } { x ^ { \prime } s + u - Q ^ { 2 } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { j _ { L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { { } = j _ { L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) - \gamma \hat { \mathcal { C } } _ { R } , } \\ { j _ { L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = j _ { L } ^ { [ 2 ] } ( a ) , } \\ { p _ { R } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { { } = 0 , } \\ { p _ { R } ^ { [ 2 ] } ( a ) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { 1 } \frac { d ^ { 2 } z _ { 1 } } { d t ^ { 2 } } } & { = } & { k _ { 1 } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) + N - \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } g } \\ { m _ { j } \frac { d ^ { 2 } z _ { j } } { d t ^ { 2 } } } & { = } & { k _ { j - 1 } ( z _ { j - 1 } - z _ { j } ) + k _ { j } ( z _ { j + 1 } - z _ { j } ) , \qquad j = 2 , \cdots , n - 1 } \\ { m _ { n } \frac { d ^ { 2 } z _ { n } } { d t ^ { 2 } } } & { = } & { k _ { n - 1 } ( z _ { n - 1 } - z _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( r ) } & { = \frac { \delta { F } _ { \mathrm { { e l } } } } { \delta ( u ^ { \prime } ( r ) ) } = \frac { 1 } { r } \frac { \delta ( r f ) } { \delta ( u ^ { \prime } ( r ) ) } } \\ & { = \frac { 2 \pi B } { r } \left( \lambda ^ { 2 } u ^ { \prime \prime } ( r ) + \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { r } + r \right) u ^ { \prime } ( r ) \right) } \\ & { = \frac { 2 \pi B } { r } \left( \lambda ^ { 2 } v ^ { \prime } ( r ) + \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { r } + r \right) v ( r ) \right) } \end{array}
\omega _ { 3 } = - 2 \frac { \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial u _ { 1 } ^ { 2 } } } { t ^ { 2 } + 2 \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial u _ { 1 } \partial u _ { 2 } } t + \left( \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial u _ { 1 } \partial u _ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial u _ { 1 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { m _ { h } = \frac { E _ { h } } { c ^ { 2 } } , \quad \Rightarrow \quad \rho _ { h } = \frac { \rho c _ { v } T } { c ^ { 2 } } , \quad \mathbf u _ { h } = \frac { \mathbf q } { \rho c _ { v } T } , } \end{array}
2 \mathrm { I m } \; S _ { \mathrm { A B C D } } ^ { ( I A ) } = \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } + 2 \pi ^ { 2 } \rho ^ { 2 } v ^ { 2 } - \frac { 9 6 \pi ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } { l ^ { 4 } } + O ( \rho ^ { 6 } / l ^ { 6 } ) \; .
\omega \in C ^ { q } ( \Gamma _ { 0 } \backslash \Tilde { W } _ { \tau } ) \mapsto \sum _ { \mathscr { F } \in \Phi _ { 2 } } \omega | _ { ( \Gamma _ { 0 } \cap P ) \backslash \Tilde { W } _ { \mathscr { F } } ( \tau ) } \in \bigoplus _ { \mathscr { F } \in \Phi _ { 2 } } C ^ { q } ( ( \Gamma _ { 0 } \cap P ) \backslash \Tilde { W } _ { \mathscr { F } } ( \tau ) )
Q \bar { Q } Q = \left( \begin{array} { c c } { { - u _ { 1 } d _ { 1 } d _ { 2 } + u _ { 2 } d _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { - u _ { 1 } u _ { 2 } d _ { 1 } + u _ { 1 } ^ { 2 } d _ { 2 } } } \\ { { u _ { 2 } d _ { 1 } d _ { 2 } - u _ { 1 } d _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { u _ { 1 } u _ { 2 } d _ { 2 } - u _ { 2 } ^ { 2 } d _ { 1 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } } & { { } \longrightarrow \omega _ { G g ; G ^ { \prime } g ^ { \prime } } = ( E _ { | a N G g \rangle } - E _ { | b N G ^ { \prime } g ^ { \prime } \rangle } ) / { \hbar } } \\ { E _ { \overline { { \mu } } } } & { { } \longrightarrow E _ { | a N G g \rangle } = \langle a N G \, g | { H _ { 1 } } | a N G \, g \rangle } \\ { E _ { \overline { { \nu } } } } & { { } \longrightarrow E _ { | b N G ^ { \prime } g ^ { \prime } \rangle } = \langle b N G ^ { \prime } \, g ^ { \prime } | { H _ { 1 } } | b N G ^ { \prime } \, g ^ { \prime } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A : = } & { { } \ \frac { 1 } { n - 2 } \hat { R } ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 n ( n - 1 ) } R ^ { ( 0 ) } g } \\ { = } & { { } \ \frac { 1 } { n - 2 } \left( R ^ { ( 2 ) } - \frac { 1 } { 2 ( n - 1 ) } R ^ { ( 0 ) } g \right) } \end{array}
\sigma = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } z \left( \frac { f _ { a } ^ { 2 } \dot { a } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } \dot { \phi } _ { T } ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } \dot { \phi } _ { S } ^ { 2 } } { 1 6 } + V ( \phi _ { S } , \phi _ { T } , a ) - V _ { \mathrm { m i n } } \right)
\langle p | q | p \rangle = \tilde { \varphi } _ { 2 } ^ { \ast } \tilde { \varphi } _ { 1 } G _ { E } ( 0 ) \, , \quad \langle p | \vec { \mu } | p \rangle = \frac { \tilde { \varphi } _ { 2 } ^ { \ast } \vec { \sigma } \tilde { \varphi } _ { 1 } } { 2 M _ { N } } G _ { M } ( 0 ) \, .