harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbb P _ { z _ { n } } ( \| ( Z _ { S _ { 2 } \wedge \varrho _ { r _ { 0 } } } , L _ { S _ { 2 } \wedge \varrho _ { r _ { 0 } } } , W _ { S _ { 2 } } ) - ( Z _ { S _ { 1 } \wedge \varrho _ { r _ { 0 } } } , L _ { S _ { 1 } \wedge \varrho _ { r _ { 0 } } } , W _ { S _ { 1 } } ) \| _ { 2 d + 3 } ^ { 2 } \geq \varepsilon ) \leq ( C _ { 1 } \theta + C _ { 2 } \theta ^ { 1 / 2 } ) / \varepsilon .
f ( \phi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 4 } { Q ( 4 - Q ) } \sin \left( \frac { \eta ( \pi - \phi ) } { \mathrm { i } \pi } \right) \sin \left( \frac { \eta ( \pi + \phi ) } { \mathrm { i } \pi } \right) \qquad \mathrm { f o r } ~ Q \neq 4 } \\ { \frac { ( \pi - \phi ) ( \pi + \phi ) } { 4 \pi ^ { 2 } } \qquad \mathrm { f o r } ~ Q = 4 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Delta U ^ { ( 1 ) } \left( t , \theta \right) } & { { } = \gamma _ { 0 } ^ { 3 } m \beta _ { 0 } c \varepsilon _ { \upsilon } \left( t \right) \cos \left[ \theta - \tau _ { \upsilon } \left( t \right) \right] } \end{array}
\left[ \gamma _ { 1 } \frac { I _ { n } ^ { \prime } ( \gamma _ { 0 } u ) } { I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) } - \gamma _ { 0 } \frac { K _ { n } ^ { \prime } ( \gamma _ { 1 } u ) } { K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) } \right] \left[ \varepsilon _ { 0 } \gamma _ { 1 } \frac { I _ { n } ^ { \prime } \left( \gamma _ { 0 } u \right) } { I _ { n } \left( \gamma _ { 0 } u \right) } - \varepsilon _ { 1 } \gamma _ { 0 } \frac { K _ { n } ^ { \prime } \left( \gamma _ { 1 } u \right) } { K _ { n } \left( \gamma _ { 1 } u \right) } \right] = \left( \frac { n \beta } { u } \frac { \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \right] \right\} p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) , } \end{array}
\int x \operatorname { a r c s c h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 2 } \operatorname { a r c s c h } ( a x ) } { 2 } } + { \frac { x } { 2 a } } { \sqrt { { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } + 1 } } + C
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle + \eta \cdot \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { + } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle } \\ { = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { - } ~ \rangle . } \end{array}
S = \int \mathrm { d } ^ { n } x \; \sqrt { | g | } \; \mathrm { T r } \Big [ - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } \, F ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } { D } _ { \mu } \phi \, { D } ^ { \mu } \phi - V ( \phi ) \Big ] \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P E } _ { \mathrm { N C o M } } } & { = \eta _ { \mathrm { i n } , a } \gamma \frac { S _ { \mathrm { i n c } , a } } { | E _ { \mathrm { i n c } , a } | ^ { 2 } } | \chi _ { a } | ^ { 2 } \frac { 2 } { \epsilon _ { 0 } \epsilon V _ { a } } } \\ { \mathrm { L D O S C } _ { \mathrm { N C o M } } } & { = \eta _ { \mathrm { o u t } , a } \gamma \frac { 3 \pi c ^ { 3 } } { 2 n ^ { 3 } \omega ^ { 2 } } \frac { | \chi _ { a } | ^ { 2 } } { V _ { a } } } \end{array}
{ S _ { 2 2 } ^ { s h } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E \bigg ( f _ { 0 } ^ { 2 } } { - \sum _ { \gamma , \delta } f _ { \gamma } f _ { \delta } T r ( s _ { 2 \gamma } ^ { \dagger } s _ { 2 \delta } s _ { 2 \delta } ^ { \dagger } s _ { 2 \gamma } ) \bigg ) } = 0 .
C _ { i , j } ^ { m } ( - \tau ) = \frac { \left\langle T _ { i } ^ { m } ( t - \tau ) I _ { j } ^ { m } ( t ) \right\rangle - \left\langle T _ { i } ^ { m } ( t - \tau ) \right\rangle \left\langle I _ { j } ^ { m } ( t ) \right\rangle } { \sqrt { \operatorname { V a r } ( T _ { i } ^ { m } ( t - \tau ) ) \operatorname { V a r } ( I _ { j } ^ { m } ( t ) ) } } ,
\left\{ \begin{array} { l } { \tilde { h } _ { z } ^ { r f } ( k ) = ~ \, i ~ \textrm { s g n } ( k z ) ~ h _ { u } ^ { r f } ( k ) } \\ { h _ { u } ^ { r f } ( k ) = - i ~ \textrm { s g n } ( k z ) ~ \tilde { h } _ { z } ^ { r f } ( k ) } \end{array} \right.
{ \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 , 2 } \left( { \frac { S _ { i } } { \Delta ^ { 3 } } } \right) ^ { 2 } \left[ \log \left( { \frac { S _ { i } } { \Delta ^ { 3 } } } \right) - { \frac { 3 } { 2 } } \right] - \left( { \frac { S _ { 1 } } { \Delta ^ { 3 } } } + { \frac { S _ { 2 } } { \Delta ^ { 3 } } } \right) ^ { 2 } \log \left( { \frac { \Lambda } { \Delta } } \right) + \sum _ { n \geq 3 } \sum _ { i = 0 } ^ { n } c _ { n , i } \left( { \frac { S _ { 1 } } { \Delta ^ { 3 } } } \right) ^ { n - i } \left( { \frac { S _ { 2 } } { \Delta ^ { 3 } } } \right) ^ { i } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| ( \boldsymbol { u } , { p } ) - \left( \boldsymbol { u } _ { h } , { p } _ { h } \right) \| _ { D G } ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { \| ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } ^ { c o n f } , { p } - { p } _ { h } ) \| _ { \boldsymbol { U } \times \mathbb { Q } } + \| \boldsymbol { u } _ { h } ^ { c o n f } - \boldsymbol { u } _ { h } \| _ { \mathrm { c u r l } , \Omega } ^ { 2 } + \kappa \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } h _ { e } ^ { - 1 } \| [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] \| _ { 0 , e } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { \| \tilde { \ell } _ { 1 } \| _ { \mathbb { Q } ^ { * } } ^ { 2 } + \| \tilde { \ell } _ { 2 } \| _ { \boldsymbol { U } ^ { * } } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { u } _ { h } ^ { c o n f } - \boldsymbol { u } _ { h } \| _ { \mathrm { c u r l } , \Omega } ^ { 2 } + \kappa \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } h _ { e } ^ { - 1 } \| [ [ \boldsymbol { u } _ { h } ] ] \| _ { 0 , e } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , p _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \pi ^ { ( 0 , 0 ) } - \pi ^ { ( 0 , 2 ) } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { - c ( N + N w _ { R } - 2 ) } \\ & { + b \left[ N w _ { I } + N \left( w _ { I } w _ { R } + \frac { ( 1 - w _ { I } ) ( 1 - w _ { R } ) } { k } \right) - 2 \right] > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { ~ \frac { b } { c } > \frac { N - 2 + N w _ { R } } { N ( k - 1 ) w _ { I } + N ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + N - 2 k - N w _ { R } } k } \\ & { ~ ~ ~ \, \equiv \left( \frac { b } { c } \right) ^ { \star } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b \left( T + \tau _ { 0 , m } + \tau _ { m } \right) } & { { } = } & { \sigma \left( \tau _ { m } \right) b \left( T + \tau _ { 0 , m } \right) , } \\ { \sigma \left( \tau _ { m } \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { s _ { d m } } & { - i s _ { a m } } \\ { - i s _ { a m } ^ { \ast } } & { s _ { d m } ^ { \ast } } \end{array} \right) , } \\ { s _ { d m } } & { { } = } & { \cos \frac { \Omega _ { r } \tau _ { m } } { 2 } + i \frac { \nu } { \Omega _ { r } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau _ { m } } { 2 } , } \\ { s _ { a m } } & { { } = } & { \frac { \Omega } { \Omega _ { r } } \sin \frac { \Omega _ { r } \tau _ { m } } { 2 } , } \\ { \Omega _ { r } } & { { } = } & { \sqrt { \left\vert \Omega \right\vert ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { m _ { 2 } \left( g \sin \left( \theta _ { 1 } \right) + l _ { 2 } \left( \left( \theta _ { 2 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \sin \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) + \theta _ { 2 } ^ { \prime \prime } \cos \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right) + l _ { 1 } \theta _ { 1 } ^ { \prime \prime } \right) + m _ { 1 } \left( g \sin \left( \theta _ { 1 } \right) + l _ { 1 } \theta _ { 1 } ^ { \prime \prime } \right) = 0 } \\ { g \sin \left( \theta _ { 2 } \right) + l _ { 1 } \left( \theta _ { 1 } ^ { \prime \prime } \cos \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) - \left( \theta _ { 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \sin \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right) + l _ { 2 } \theta _ { 2 } ^ { \prime \prime } = 0 } \end{array} }
\hat { W } _ { \mathrm { S I R } } ( A ) = r _ { \mathrm { t r a n s } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } A ^ { i j } \hat { n } _ { \textsc { i } } ^ { i } \, \hat { q } _ { \textsc { s } \to \textsc { i } } ^ { j } + r _ { \mathrm { r e c } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { q } _ { \textsc { i } \to \textsc { r } } ^ { i } \, .
\mathbf { A } _ { r } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \mathbf { \hat { p } _ { r } } = \left( \begin{array} { l } { p _ { i 1 , i 2 } } \\ { p _ { i 1 , i 3 } } \\ { p _ { i 1 , i 4 } } \\ { p _ { i 2 , i 3 } } \end{array} \right) , \mathbf { \Phi _ { r } } = \left( \begin{array} { l } { \Phi _ { 1 } } \\ { \Phi _ { 2 } - p _ { i 2 , i 3 } } \\ { \Phi _ { 3 } - p _ { i 3 , i 4 } } \\ { \Phi _ { 4 } - p _ { i 2 , i 3 } - p _ { i 3 , i 4 } } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } { \tan { \frac { \theta } { 2 } } } & { = \csc \theta - \cot \theta } \\ & { = \pm \, { \sqrt { \frac { 1 - \cos \theta } { 1 + \cos \theta } } } } \\ & { = { \frac { \sin \theta } { 1 + \cos \theta } } } \\ & { = { \frac { 1 - \cos \theta } { \sin \theta } } } \\ { \tan { \frac { \eta + \theta } { 2 } } } & { = { \frac { \sin \eta + \sin \theta } { \cos \eta + \cos \theta } } } \\ { \tan \left( { \frac { \theta } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \right) } & { = \sec \theta + \tan \theta } \\ { { \sqrt { \frac { 1 - \sin \theta } { 1 + \sin \theta } } } } & { = { \frac { \left| 1 - \tan { \frac { \theta } { 2 } } \right| } { \left| 1 + \tan { \frac { \theta } { 2 } } \right| } } } \\ { \tan { \frac { \theta } { 2 } } } & { = { \frac { \tan \theta } { 1 + { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } } } } } \\ & { { \mathrm { f o r ~ } } \theta \in \left( - { \frac { \pi } { 2 } } , { \frac { \pi } { 2 } } \right) } \end{array} }
\mathcal { D } _ { \mu \nu } ( p ) = \frac { \left( 1 + A ( p ^ { 2 } ) \right) \left( p ^ { 2 } \delta _ { \mu \nu } - p _ { \mu } p _ { \nu } \right) - B ( p ^ { 2 } ) m \epsilon _ { \mu \nu \rho } p ^ { \rho } } { \left[ 1 + A ( p ^ { 2 } ) \right] ^ { 2 } p ^ { 2 } \left[ p ^ { 2 } + \left( \frac { B ( p ^ { 2 } ) } { 1 + A ( p ^ { 2 } ) } m \right) ^ { 2 } \right] }
\begin{array} { r } { p ( \phi , t ) = \bigg [ 2 \pi I _ { 0 } \bigg ( \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \bigg ) \bigg ] ^ { - 1 } e ^ { \frac { M \Gamma Q } { 2 D } \cos [ 2 ( \phi - \phi _ { 0 } - \omega t ) ] } , } \end{array}
\delta \sigma = { \frac { 2 \pi l _ { \mathrm { P l } } } { \sqrt { k } } } e ^ { i ( 2 \mu + 1 ) \pi / 4 } { \frac { \sqrt { - k \eta } } { e ^ { \varphi } \tilde { a } } } H _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( - k \eta ) \, .
T _ { 0 0 } = \Lambda \sim ( 1 0 ^ { - 3 } e V ) ^ { 4 } \sim ( 1 0 ^ { - 3 } e V ) / ( \mathrm { m m } ) ^ { 3 } \sim ( 1 0 ^ { - 3 4 } e V ) / ( 1 0 0 f ) ^ { 3 }
{ \begin{array} { r l } { { \sin } { \biggl ( } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta _ { i } { \biggl ) } } & { = \sum _ { { \mathrm { o d d } } \ k \geq 1 } ( - 1 ) ^ { \frac { k - 1 } { 2 } } \! \! \sum _ { \begin{array} { l } { A \subseteq \{ \, 1 , 2 , 3 , \dots \, \} } \\ { \left| A \right| = k } \end{array} } { \biggl ( } \prod _ { i \in A } \sin \theta _ { i } \prod _ { i \not \in A } \cos \theta _ { i } { \biggr ) } } \\ { { \cos } { \biggl ( } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta _ { i } { \biggr ) } } & { = \sum _ { { \mathrm { e v e n } } \ k \geq 0 } ( - 1 ) ^ { \frac { k } { 2 } } \, \sum _ { \begin{array} { l } { A \subseteq \{ \, 1 , 2 , 3 , \dots \, \} } \\ { \left| A \right| = k } \end{array} } { \biggl ( } \prod _ { i \in A } \sin \theta _ { i } \prod _ { i \not \in A } \cos \theta _ { i } { \biggr ) } . } \end{array} }
\begin{array} { l c l } { W = - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left\lbrace \int _ { V _ { 1 } } \rho _ { 1 } \left( x \right) \varphi _ { 1 } \left( x \right) d V + \int _ { V _ { 2 } } \rho _ { 2 } \left( x \right) \varphi _ { 2 } \left( x \right) d V + \right. } \\ { \left. + \int _ { V _ { 1 } } \rho _ { 1 } \left( x \right) \varphi _ { 2 } \left( x \right) d V + \int _ { V _ { 2 } } \rho _ { 2 } \left( x \right) \varphi _ { 1 } \left( x \right) d V \right\rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \phi } _ { 1 } } & { { } = \Phi _ { 1 } - \Phi _ { 2 } \qquad \mathrm { a n d } } \\ { \tilde { \phi } _ { 2 } } & { { } = h _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \Phi _ { 1 } ) \Phi _ { 1 } + h _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( \Phi _ { 2 } ) \Phi _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla h ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq \frac { 2 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \nabla h ( x _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] \leq \frac { 2 \bar { L } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq \frac { 2 \bar { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 2 } } { M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \big ( \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\b { f } ( t ) \approx \mathbb { P } _ { : } \b { f } ( t ) = \b { V } \left( \b { P } ^ { \mathrm { T } } \b { V } \right) ^ { - 1 } \b { P } ^ { \mathrm { T } } \b { f } ( t ) = \b { V } \left( \b { P } ^ { \mathrm { T } } \b { V } \right) ^ { - 1 } \b { d } ( t )
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } } & { { } = { \frac { k _ { 3 } } { k _ { 2 } ^ { 3 / 2 } } } = { \frac { n ^ { 2 } } { ( n - 1 ) ( n - 2 ) } } \; { \frac { m _ { 3 } } { s ^ { 3 } } } = { \frac { \sqrt { n ( n - 1 ) } } { n - 2 } } { \frac { { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { ( x _ { i } - { \bar { x } } ) } ^ { 3 } } { \left[ { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \Psi ^ { \pm } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | 0 \rangle _ { A } | 1 \rangle _ { B } \pm | 1 \rangle _ { A } | 0 \rangle _ { B } \right) , } \\ { | \Phi ^ { \pm } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | 0 \rangle _ { A } | 0 \rangle _ { B } \pm | 1 \rangle _ { A } | 1 \rangle _ { B } \right) . } \end{array}
^ 3 E _ { s _ { \lambda } t _ { \mu } u _ { \nu } } ^ { p _ { \sigma } q _ { \tau } r _ { \kappa } } = \langle \Psi | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q _ { \tau } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r _ { \kappa } } \hat { a } _ { u _ { \nu } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { t _ { \mu } } \hat { a } _ { s _ { \lambda } } | \Psi \rangle ,
{ \left[ \begin{array} { l } { { \left[ \begin{array} { l } { M } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l } { K } \end{array} \right] } - \omega ^ { 2 } { \left[ \begin{array} { l } { M } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l } { M } \end{array} \right] } } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { X } \end{array} \right\} } = 0
C _ { * } ^ { r } ( \mathbb { R } ^ { n } ) = \mathcal { C } ^ { r } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \quad \mathrm { f o r } \, \, \, r \in \mathbb { R } _ { + } \setminus \mathbb { Z } _ { + } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathcal { C } ^ { r } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \subset C _ { * } ^ { r } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \quad \mathrm { f o r ~ } \, r \in \mathbb { Z } _ { + } .
\mathscr { L } = - \partial _ { x } ^ { 2 } ( 1 - \partial _ { x } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } , \; \mathscr { N } = \partial _ { x } ( 1 - \partial _ { x } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \; ( \mathrm { ~ s ~ o ~ } \partial _ { x } \mathscr { N } = - \mathscr { L } ) ,
\begin{array} { r l r } { \langle i | f ^ { ( 1 ) } | j \rangle } & { { } = } & { \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ^ { \prime } ) f _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { ( 1 ) } u _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ) } \\ { \langle i j | f ^ { ( 2 ) } | k l \rangle } & { { } = } & { \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ) u _ { j } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ) f ^ { ( 2 ) } u _ { k } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } , \sigma ) u _ { l } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ) } \end{array}
s _ { z } ^ { 2 } = \frac { ( \textbf { X } \textbf { c } - \textbf { Y } ) ^ { T } ( \textbf { X } \textbf { c } - \textbf { Y } ) + \lambda \left\| \textbf { c } \right\| ^ { 2 } } { n - p - 1 } \: .
\operatorname* { P r } ( | X - m | > k ) \leq { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( { \frac { 2 \tau } { 3 k } } \right) ^ { 2 } } & { { \mathrm { i f ~ } } k \geq { \frac { 2 \tau } { \sqrt { 3 } } } } \\ { 1 - { \frac { k } { \tau { \sqrt { 3 } } } } } & { { \mathrm { i f ~ } } 0 \leq k \leq { \frac { 2 \tau } { \sqrt { 3 } } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { A } } _ { l m } ( \mathbf { x } ^ { \mathrm { { D G } } } , t ) } & { { } = } & { \int _ { D } \phi _ { l m } ( r ) \mathcal { A } ( \sum _ { l } \sum _ { m ^ { \prime } } \mathbf { x } _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \mathrm { { D G } } } ( t ) \phi _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( r ) , t ) \, \mathrm { d } r } \\ { \tilde { \mathcal { M } } _ { l m } ( \mathbf { x } ^ { \mathrm { { D G } } } , t ) } & { { } = } & { \int _ { D } \nabla \phi _ { l m } ( r , t ) \cdot \mathcal { F } ( \sum _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } \mathbf { x } _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \mathrm { { D G } } } ( t ) \phi _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( r ) , t ) \, \mathrm { d } r } \\ { \mathcal { S } _ { l m } ( \mathbf { x } ^ { \mathrm { { D G } } } , t ) } & { { } = } & { \sum _ { m ^ { \prime } < n ^ { \prime } } \int _ { \partial D _ { m ^ { \prime } } \cap \partial D _ { n ^ { \prime } } } \mathcal { F } ^ { * } \Big ( \sum _ { l ^ { \prime } } \mathbf { x } _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \mathrm { { D G } } } \phi _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ( r , t ) , \sum _ { l ^ { \prime } } \mathbf { x } _ { l ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { \mathrm { { D G } } } \phi _ { l ^ { \prime } n ^ { \prime } } ( r , t ) \Big ) \, \mathrm { d } S } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d } \sigma ^ { 2 } = \gamma _ { i j } \, \mathrm { d } x ^ { i } \mathrm { d } x ^ { j } = R \left( x , y , z \right) ^ { 2 } \left( \mathrm { d } x ^ { \, 2 } \! + \! \mathrm { d } y ^ { \, 2 } \! + \! \mathrm { d } z ^ { \, 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mu } \left[ F ( [ T , o ] ) \right] } & { = \mathbb { P } _ { \mu } \left( \exists v \sim _ { T } o : T [ o , v ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ o r ~ } T [ v , o ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( o ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( v ) > \delta \right) } \\ & { = \mathbb { P } _ { \mu } \left( \deg _ { \star } ^ { ( h , \delta ) } ( [ T , o ] ) > 0 \right) = \eta _ { 1 } ( \mu ; h , \delta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k } & { { } \approx \frac { 1 } { 4 \pi } \ln { \left[ \sqrt { \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \frac { \left[ 4 + 2 \zeta \left( 4 - \phi ^ { 2 } \right) + \zeta ^ { 2 } \left( 4 - \phi ^ { 2 } \right) \right] } { \left( 4 - \phi ^ { 2 } \right) } } \right] } , } \end{array}
( m _ { h } ^ { 2 } ) _ { \mathrm { m a x } } < M _ { Z } ^ { 2 } \left[ \cos ^ { 2 } 2 \beta + { \frac { 2 5 } { 2 4 } } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \left( { \frac { 3 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 5 } } \cos 2 \beta - { \frac { 1 } { 2 } } \cos ^ { 2 } 2 \beta \right) ^ { 2 } \right] + \epsilon .
\# \{ x ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} = \# \{ x _ { 3 } ^ { n } \in S _ { d } : \ w _ { s _ { 3 } ^ { n } } ( x _ { 3 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} + \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S _ { \mathrm { e } ^ { \star } } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ o d d } \} .
\mathbf { A A } = { \left[ \begin{array} { l l l } { A A 1 } & { A A 3 } & { 0 } \\ { A A 3 } & { A A 2 } & { A A 3 } \\ { 0 } & { A A 3 } & { A A 1 } \end{array} \right] }
Z = \mathrm { e x p } \left[ - \frac { 8 } { 3 } \sqrt { \frac { n a _ { 1 1 } ^ { 3 } } { \pi } } \left( \frac { a _ { 1 2 } } { a _ { 1 1 } } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { z ( u ) ^ { 2 } } { \sqrt { w ( u ) } } \mathrm { d } u \right] .
\begin{array} { r l } { f _ { x } ^ { \operatorname { n u m } } } & { = \frac { a } { 2 } \left( u _ { i } + u _ { o } \right) - \mathrm { s i g n } ( n _ { x } ) \frac { c _ { \mathrm { m a x } } } { 2 } \left( u _ { o } - u _ { i } \right) , } \\ { f _ { y } ^ { \operatorname { n u m } } } & { = \frac { b } { 2 } \left( u _ { i } + u _ { o } \right) - \mathrm { s i g n } ( n _ { y } ) \frac { c _ { \mathrm { m a x } } } { 2 } \left( u _ { o } - u _ { i } \right) , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \mathbb E _ { \nu _ { \rho } ^ { \star } } \Big [ \frac { 1 } { N ^ { \alpha } } \int _ { 0 } ^ { t N ^ { \alpha } } \frac { 1 } { N ^ { d } } \sum _ { z \in \mathbb Z _ { \star } ^ { d } } p \big ( \frac { z } { N } \big ) ( e ^ { i \beta ( z \cdot a ) / N } - 1 - i \beta ( z \cdot a ) / N ) ( 1 - \xi _ { s } ( z ) ) d s \Big ] = t ( 1 - \rho ) \Phi _ { \alpha , a } ( \beta ) .
{ \tilde { V } } ( K ) = { \frac { 1 } { a } } \int _ { - a / 2 } ^ { a / 2 } d x \, V ( x ) \, e ^ { - i \cdot K \cdot x } = { \frac { 1 } { a } } \int _ { - a / 2 } ^ { a / 2 } d x \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } A \cdot \delta ( x - n a ) \, e ^ { - i \, K \, x } = { \frac { A } { a } }
\hat { { \cal L } } _ { 1 } ( \hat { F } ) = \frac { \sqrt { \operatorname * { d e t } G } } { G _ { s } } \left[ \hat { T } _ { 3 } + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } \left( - \frac { 1 } { 4 } \hat { J } _ { 1 } + 2 \hat { J } _ { 2 } + \hat { J } _ { 3 } \right) + O ( \alpha ^ { 4 } ) \right] ,
| \mathrm H \rangle _ { p } = \frac { | 1 , - 1 \rangle _ { p } + | - 1 , 1 \rangle _ { p } } { \sqrt 2 } , \quad | \mathrm B \rangle _ { p } = \frac { | 1 , - 1 \rangle _ { p } - | - 1 , 1 \rangle _ { p } } { \sqrt 2 } \, .
\begin{array} { r l } { y - y ^ { * } } & { = - \nabla _ { y y } g ( x , y ^ { * } ) ^ { - 1 } ( \nabla _ { y } g ( x , y ) - \nabla _ { y } g ( x , y ^ { * } ) - \nabla _ { y y } g ( x , y ^ { * } ) ( y - y ^ { * } ) ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \lambda } \nabla _ { y y } g ( x , y ^ { * } ) ^ { - 1 } \left( \nabla _ { y } \mathcal { L } ( x , y ) - \nabla _ { y } f ( x , y ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I n d } \big ( R F _ { 0 } R ^ { * } + ( { \bf 1 } - R R ^ { * } ) \big ) } & { { } \; = \; \mathrm { I n d } \big ( R F _ { 0 } R ^ { * } | _ { \mathrm { R a n } ( Q ) } \big ) } \end{array}
W ^ { ( 1 ) } x _ { u } + W ^ { ( 2 ) } \left( \frac { 1 } { N } \left( \sum _ { q \in \mathcal { M } _ { w } } \left( \sum _ { v \in \mathcal { Z } _ { q } } \psi \left( x _ { u } , x _ { v } \right) \right) + \sum _ { r \in \mathcal { Z } _ { w } \backslash u } \psi \left( x _ { u } , x _ { r } \right) \right) \right) =
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } _ { \alpha } = } & { { } ~ - \hat { m } _ { \alpha } \left( \frac { 1 } { \rho _ { \alpha } } \left( \mu _ { \alpha } + p \right) - \frac { 1 } { \rho _ { N } } \left( \mu _ { N } + p \right) \right) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \alpha = 1 , \dots , N - 1 . } \end{array}