harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { s _ { k } ^ { ( M - ( k - 1 ) ) } ( c _ { m _ { 1 } } , \dots , c _ { m _ { k } } ) ( 0 ) } & { = \# S _ { ( m _ { 1 } , \dots , m _ { k } ) } ^ { ( M - ( k - 1 ) ) } } \\ & { = \# T _ { ( m _ { 1 } , \dots , m _ { k } ) } ^ { ( 1 , \dots , 1 ) } } \\ & { = \binom { M - k } { m _ { 1 } - 1 , \dots , m _ { k } - 1 } ( M - ( k - 1 ) ) ^ { k - 1 } } \\ & { = \frac { ( M - ( k - 1 ) ) ! } { \prod _ { i = 1 } ^ { k } ( m _ { i } - 1 ) ! } \cdot ( M - ( k - 1 ) ) ^ { k - 2 } , } \end{array}
{ D } _ { n } [ p _ { 1 } , p _ { 2 } , . . . , p _ { i } / d _ { D } ] \cdot \vec { \mu } _ { 0 } \, = \, ( p _ { 1 } P _ { 1 } + p _ { 2 } P _ { 2 } + . . . . + p _ { i } P _ { i } ) / d ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } \right] } & { \leq \mathcal { O } \left( T ^ { \nu - 1 } \right) + \mathcal { O } \left( T ^ { - 2 ( \sigma - \nu ) } \right) } \\ & { + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { m a x } \right) \mathcal { O } \left( T ^ { - \nu } \right) } \\ & { + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { m a x } } { T _ { m a x } } } \right) . } \end{array}
\bar { I } _ { \ell } = \sqrt { \frac { \beta ^ { 2 } } { t } } 2 ( - 1 ) ^ { \ell } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - ) ^ { n } e ^ { - \frac { n ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 4 t } } \left[ \left( \frac { n ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { t } \right) ^ { \ell } + O ( \frac { t } { t ^ { \ell } } ) \right] \; .
\begin{array} { r l } { \sin \big ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } \big ) \frac { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } = } & { \cos \big ( \theta _ { A } ^ { k , * } - \theta _ { B } ^ { k , * } \big ) \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { k } - \Delta \theta _ { B } ^ { k } \big ) \frac { \mathcal { A } _ { B } ^ { k , * } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k , * } } \, , } \\ { \sin \big ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } \big ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } = } & { \cos \big ( \theta _ { A } ^ { k , * } - \theta _ { B } ^ { k , * } \big ) \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { k } - \Delta \theta _ { B } ^ { k } \big ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { k , * } } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k , * } } \, . } \end{array}
{ \displaystyle \frac { i { \cal P } ^ { \underline { { { \dot { \alpha } \alpha } } } } V _ { \underline { { \alpha } } } ^ { ( 1 ) } } { ( m + i e \bar { W } / 2 ) } \approx \bar { V } ^ { ( 1 ) \underline { { { \dot { \alpha } } } } } . }
\{ e _ { m } ^ { ( j ) } , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { ( \bar { j } ) } \} = \sum _ { k } - \sqrt { ( 2 \bar { j } - k + 1 ) ( 2 j - k ) } ( 2 \bar { j } ) \lambda _ { j , \bar { j } , k } C _ { m , \bar { m } ; m + \bar { m } } ^ { j , \bar { j } ; j + \bar { j } - k } e _ { m + \bar { m } } ^ { ( j - \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { \phi } } & { { } = { \frac { 1 } { r } } \left( - { \frac { 1 } { \sin \theta } } \left( { \frac { \partial } { \partial r } } \left( { \frac { \partial \Psi } { \partial r } } \right) \right) - { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( { \frac { 1 } { \sin \theta } } { \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } } \right) \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \zeta ( s ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { m } { \frac { B _ { k } ^ { + } } { k ! } } s ^ { \overline { { k - 1 } } } + R ( s , m ) } \\ & { = { \frac { B _ { 0 } } { 0 ! } } s ^ { \overline { { - 1 } } } + { \frac { B _ { 1 } ^ { + } } { 1 ! } } s ^ { \overline { { 0 } } } + { \frac { B _ { 2 } } { 2 ! } } s ^ { \overline { { 1 } } } + \cdots + R ( s , m ) } \\ & { = { \frac { 1 } { s - 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 1 2 } } s + \cdots + R ( s , m ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \alpha = \gamma \log ^ { 3 } ( B M d / \rho \omega \gamma ) = \sqrt { ( \zeta _ { 2 } ^ { 2 } \kappa + 4 \zeta _ { 1 } ^ { 2 } ) \cdot \log ( \frac { d / \omega } { \zeta _ { 2 } ^ { 2 } \kappa + \zeta _ { 1 } ^ { 2 } } ) } \cdot \log ^ { 3 } ( \frac { B M d } { \rho \omega ( \zeta _ { 2 } ^ { 2 } \kappa + \zeta _ { 1 } ^ { 2 } ) } ) . } \end{array}
\zeta _ { i j } ^ { c } ( t , t ^ { \prime } ) = \sum _ { k \alpha } \partial _ { \theta } t _ { i k \alpha } ( \theta ( t ) ) g _ { k \alpha } ^ { c } ( t , t ^ { \prime } ) \partial _ { \theta } t _ { k \alpha j } ( \theta ( t ^ { \prime } ) ) ,
A _ { 2 } ^ { + 1 / 2 \, + 3 / 2 \, - 1 / 2 \, - 3 / 2 } \simeq s ^ { 2 } u \left( \frac { 1 } { s u } \, , \ \frac { 1 } { s t } \, , \ \frac { 1 } { u t } \right) \ ,
\begin{array} { r l } & { \| s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } \otimes _ { r } s _ { 2 ^ { J } t _ { n } , j _ { n } } ^ { ( \ell ^ { ' } ) } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \sigma _ { j _ { m } } ^ { 2 \nu - 2 \ell } \sigma _ { j _ { n } } ^ { 2 \nu - 2 \ell ^ { ' } } c _ { \ell } ^ { 2 } c _ { \ell ^ { ' } } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { \ell + \ell ^ { ' } } } \left[ \overset { \ell - r } { \underset { k = 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } \lambda _ { k } ) | ^ { 2 } f _ { X } ( \lambda _ { k } ) \right] \left[ \overset { \ell + \ell ^ { ' } - 2 r } { \underset { k = \ell - r + 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } \lambda _ { k } ) | ^ { 2 } f _ { X } ( \lambda _ { k } ) \right] } \\ & { \times \left[ \overset { r } { \underset { k = 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } \tau _ { k } ) | | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } \tau _ { k } ) | f _ { X } ( \tau _ { k } ) \right] \left[ \overset { r } { \underset { k = 1 } { \prod } } | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { m } } \eta _ { k } ) | | \widehat { \psi _ { R } } ( 2 ^ { j _ { n } } \eta _ { k } ) | f _ { X } ( \eta _ { k } ) \right] } \\ & { \times | \widehat { \phi _ { J } } ( \lambda _ { 1 : \ell - r } ^ { + } + \tau _ { 1 : r } ^ { + } ) \widehat { \phi _ { J } } ( \lambda _ { \ell - r + 1 : \ell + \ell ^ { ' } - 2 r } ^ { + } - \tau _ { 1 : r } ^ { + } ) | } \\ & { \times | \widehat { \phi _ { J } } ( \lambda _ { 1 : \ell - r } ^ { + } + \eta _ { 1 : r } ^ { + } ) \widehat { \phi _ { J } } ( \lambda _ { \ell - r + 1 : \ell + \ell ^ { ' } - 2 r } ^ { + } - \eta _ { 1 : r } ^ { + } ) | \ d \tau _ { 1 } \cdots d \tau _ { r } \ d \eta _ { 1 } \cdots d \eta _ { r } \d \lambda _ { 1 } \cdots d \lambda _ { \ell + \ell ^ { ' } - 2 r } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { x _ { n } ^ { 2 } } } } & { = \gamma ^ { 2 } + { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { x _ { n } ^ { 3 } } } } & { = - 4 \zeta ( 3 ) - \gamma ^ { 3 } - { \frac { \gamma \pi ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { x _ { n } ^ { 4 } } } } & { = \gamma ^ { 4 } + { \frac { \pi ^ { 4 } } { 9 } } + { \frac { 2 } { 3 } } \gamma ^ { 2 } \pi ^ { 2 } + 4 \gamma \zeta ( 3 ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { q c _ { 1 } - \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 } - \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } + c _ { 2 } + 1 < \frac { q \sigma _ { 1 } } { 2 } + \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } - q c _ { 1 } - q - c _ { 2 } - } \\ & { - \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } - \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } + \frac { \alpha _ { 2 } } { \Delta _ { 2 } - 1 } } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ( \mathbf { r } _ { d } , \omega ) \propto \big \lvert d _ { z } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \big \rvert \, \big \lvert d _ { z } ^ { ( 2 ) } ( \omega ) \big \rvert \, \cos \big [ \phi _ { d i p } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) - \phi _ { d i p } ^ { ( 2 ) } ( \omega ) + \Delta \theta _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ( \mathbf { r } _ { d } , \omega ) \big ] ,
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } - ( \phi _ { p } * f _ { * } ) ( x ) \right| } \\ & { = \left| \sum _ { | k | \le K } ( y ( k ) - \hat { f _ { * } } ( k ) ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } + \sum _ { | k | > K } \hat { f } _ { * } ( k ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \right| } \\ & { \le \left| \sum _ { | k | \le K } ( y ( k ) - \hat { f _ { * } } ( k ) ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \right| + \left| \sum _ { | k | > K } \hat { f } _ { * } ( k ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \right| } \\ & { \le \epsilon \sum _ { | k | \le K } | \hat { \phi } _ { p } ( k ) | + \sum _ { | k | > K } | \hat { \phi } _ { p } ( k ) | < \epsilon \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \hat { \phi } _ { p } ( k ) + \int _ { | k | > K } \exp ( - \pi ( k \sigma / K ) ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } k } \\ & { \le \epsilon \phi _ { p } ( 0 ) + \frac { K } { \sigma } \exp ( - \pi \sigma ^ { 2 } ) < ( \epsilon + \exp ( - \pi \sigma ^ { 2 } ) ) \phi _ { p } ( 0 ) . } \end{array}
\int _ { h _ { i } + r _ { + } } ^ { h _ { i } + r } \left[ \frac { \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } z ^ { \prime } ) } { \varepsilon ^ { 3 } } + \frac { F ( z ) } { \varepsilon } \right] \, d x > \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { u ( h _ { i } + r _ { + } ) } ^ { 1 } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s = \beta _ { \varepsilon } ,
E _ { 0 } \left( d \right) = \alpha \left( d \right) \, \frac { L ^ { d - 1 } } { 2 } \int \frac { d ^ { d } p } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \log \left[ 1 + \frac { K _ { 1 } \left( z \right) } { K _ { 2 } \left( z \right) } \right] ,
d x = \gamma _ { _ { v } } ( d x ^ { \prime } + v d t ^ { \prime } ) , \quad d y = d y ^ { \prime } , \quad d z = d z ^ { \prime } , \quad d t = \gamma _ { _ { v } } \left( d t ^ { \prime } + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } d x ^ { \prime } \right) .
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 2 } \nu } & { = \Delta \nu - s _ { m } \, p } \\ & { = - \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } \left\langle \frac { \left| \langle \alpha | \overline { { \mu } } \rangle \langle \overline { { \nu } } | \beta \rangle \right| ^ { 2 } ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } - \omega _ { \alpha \beta } ) ^ { 3 } \tau ^ { 3 } } { 2 \pi T \, [ 1 + ( \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } - \omega _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ] } \right\rangle . } \end{array}
g _ { 3 , 0 , n } e ^ { i \xi _ { 3 , 0 , n } } = \frac { \sqrt 2 R } { 2 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { m _ { x } ( \theta ) \left( \sqrt { \beta _ { x } ( \theta ) } \right) ^ { 3 } \exp \left( i \left( - ( 3 \nu _ { x } - n ) \theta + 3 \chi _ { x } ( \theta ) \right) \right) d \theta } ,
\begin{array} { r l } { v ^ { \mathrm { s c r } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \frac { 4 \pi } { k ^ { 2 } \epsilon ( \mathbf { k } ) } \exp { ( i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } ) } d \mathbf { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { R _ { 0 } } = \frac { I _ { \infty } + S _ { \infty } - I _ { 0 } - S _ { 0 } } { S _ { 0 } - S _ { \infty } + l n ( \frac { | e ^ { S _ { \infty } } - 1 | } { | | e ^ { S _ { 0 } } - 1 | } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { T _ { n } } ^ { \ast } ( L _ { T _ { n } } ^ { \ast } p _ { f } ^ { n } ) } & { = F _ { T } ^ { \ast } ( L _ { T } ^ { \ast } p _ { f } ^ { n } ) + \left( F _ { T _ { n } } ^ { \ast } ( L _ { T _ { n } } ^ { \ast } p _ { f } ^ { n } ) - F _ { T } ^ { \ast } ( L _ { T } ^ { \ast } p _ { f } ^ { n } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { q } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } = } & { { } \bar { f } \Theta ( \bar { k } _ { F } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } - q ) \; , } & { \bar { k } _ { F } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } = ( 6 \pi ^ { 2 } n / \bar { f } ) ^ { 1 / 3 } } \end{array}
\sqrt { { \bar { \omega } } _ { 0 } { \bar { \omega } } [ y ( \xi ) ] } = l \sqrt { K } \left[ \widetilde { n _ { 0 } } \check { n } ( \xi ) \hat { s } ^ { 3 } ( \xi ) / \mu ^ { 2 } ( \xi ) \right] ^ { 1 / 4 }
\begin{array} { r l } { \left( - p \mathbf { I } + \nu \left( 2 \mathbf { D } + \lambda ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } ) \mathbf { I } \right) \right) \mathbf { n } = } & { { } ~ 0 , } \\ { \nabla \phi \cdot \mathbf { n } = } & { { } ~ 0 , } \\ { \left( \bar { \mathbf { M } } \nabla \left( \bar { \mu } + \omega p \right) \right) \mathbf { n } = } & { { } ~ 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { X } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { X } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Y } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Y } } & { = 2 [ \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { + } ] = 2 \hat { \Sigma } _ { X } } \\ { \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Z } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Z } } & { = - 1 \, \quad \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Z } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Z } = 0 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \sigma , M } } & { = } & { \sigma _ { - M } ^ { T } \mathrm { d i a g } ( { \sigma _ { - M } } ) ^ { - 1 / 2 } ( I - \mathcal { D } _ { - M } \hat { D } _ { r } ^ { 1 / 2 } ) ^ { - 1 } \mathrm { d i a g } ( { \sigma _ { - M } } ) ^ { 1 / 2 } { \bf 1 } _ { - M } = } \\ & { = } & { \sqrt { \sigma _ { - M } } ^ { T } ( I - \mathcal { D } _ { - M } \hat { D } _ { r } ^ { 1 / 2 } ) ^ { - 1 } \sqrt { \sigma _ { - M } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { \Omega _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ^ { \mathrm { i n } } } { 2 } \right) ^ { 2 } \frac { d ( d + s ) } { 2 } = - \frac { \gamma } { 4 \omega ^ { 3 } \rho M _ { s } } ( \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } \omega _ { H } + i \omega \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ) } \\ { \times ( - \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } \omega + i \overline { { B } } _ { [ 1 \bar { 1 } 0 ] } ( \omega _ { H } + \omega _ { M } ) ) \Big ( 1 - \cos { \frac { n \pi d } { d + s } } \Big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mu } \gamma ^ { \mu } } & { { } = 4 I _ { D } } \\ { ( \gamma _ { \mu } \gamma ^ { \mu } ) ^ { \dagger } } & { { } = 4 I _ { D } ^ { \dagger } } \\ { \gamma ^ { \mu \dagger } \gamma _ { \mu } ^ { \dagger } } & { { } = 4 I _ { D } \, . } \end{array}
M ^ { 2 } \left( \begin{array} { l } { { \phi ^ { \prime } } } \\ { { { \overline { { { \phi } } } } ^ { * \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { m ^ { 2 } } } & { { m ^ { 2 } x } } \\ { { m ^ { 2 } x } } & { { m ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \phi ^ { \prime } } } \\ { { { \overline { { { \phi } } } } ^ { * \prime } } } \end{array} \right) \ .
{ \begin{array} { r l } { \left| A _ { 1 } \cup A _ { 2 } \cup A _ { 3 } \cup \ldots \cup A _ { n } \right| = } & { \left( \left| A _ { 1 } \right| + \left| A _ { 2 } \right| + \left| A _ { 3 } \right| + \ldots \left| A _ { n } \right| \right) } \\ & { - \left( \left| A _ { 1 } \cap A _ { 2 } \right| + \left| A _ { 1 } \cap A _ { 3 } \right| + \ldots \left| A _ { n - 1 } \cap A _ { n } \right| \right) } \\ & { + \ldots } \\ & { + \left( - 1 \right) ^ { n - 1 } \left( \left| A _ { 1 } \cap A _ { 2 } \cap A _ { 3 } \cap \ldots \cap A _ { n } \right| \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) } { \partial t } = 2 \epsilon ^ { 2 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \vert L _ { - k p q } ^ { - s s _ { p } s _ { q } } \vert ^ { 2 } ( \pi \delta ( \Omega _ { - k p q } ) + i { \cal P } ( 1 / \Omega _ { - k p q } ) ) e ^ { i \Omega _ { k , p q } t } \delta _ { k , p q } } \\ & { } & { s _ { p } s _ { q } \left[ s _ { p } s _ { q } q _ { q } ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) q _ { p } ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) - s s _ { q } q _ { q } ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) - s s _ { p } q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) q _ { p } ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) \right] \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } } \\ & { + } & { 2 \epsilon ^ { 2 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \vert L _ { k p q } ^ { s s _ { p } s _ { q } } \vert ^ { 2 } ( \pi \delta ( \Omega _ { k p q } ) + i { \cal P } ( 1 / \Omega _ { k p q } ) ) e ^ { i \Omega _ { k p q } t } \delta _ { k p q } } \\ & { } & { s _ { p } s _ { q } \left[ s _ { p } s _ { q } q _ { q } ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) q _ { p } ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) + s s _ { q } q _ { q } ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) + s s _ { p } q _ { k } ^ { s } ( { \bf k } ) q _ { p } ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) \right] \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { M } _ { \partial _ { x } ^ { 2 } O p ^ { W } ( \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( d _ { i } \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , \sharp } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) ) } ( 0 , s _ { 0 } ) , \ \mathfrak { M } _ { \partial _ { x } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( d _ { i } R _ { 6 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ( 0 , s _ { 0 } ) , \ \mathfrak { M } _ { \partial _ { x } ^ { 2 } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( d _ { i } W _ { 3 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ( 0 , s _ { 0 } ) \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \Delta _ { 2 } } = } & { \left( { { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } } \right) { D _ { 3 } } { \eta _ { 2 } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } } \right) { D _ { 3 1 } } { \eta _ { 3 } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } } \right) { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 3 1 2 } } + { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } - { D _ { 3 1 2 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 1 2 } } } \right) { D _ { 2 ^ { \prime } } } { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } } & { = \Big ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \Big ) v - \frac { 1 } { \beta } w - c v ^ { 3 } + \Big ( \frac { \alpha } { \beta } + I \Big ) } \\ { \dot { w } } & { = \Big ( \frac { a \beta + \alpha b } { \tau } + \frac { \alpha } { \beta } + I \Big ) + \Big ( \frac { b + \beta } { \tau } + \frac { 1 } { \beta } + 1 \Big ) v - c v ^ { 3 } - \Big ( \frac { b } { \tau } + \frac { 1 } { \beta } \Big ) w } \end{array}
< \! 0 | \alpha _ { 1 } ^ { i } C _ { i j } \bar { \alpha } _ { 1 } ^ { j } \alpha _ { - 1 } ^ { i } D _ { i j } \bar { \alpha } _ { - 1 } ^ { j } | 0 \! > = T r ( G ^ { - 1 } C ^ { T } G ^ { - 1 } D ) = g ( C , D ) .
d _ { V _ { i } , V _ { i } } ( v ) \leqslant \left( \frac { 1 } { 8 } + 6 0 \varepsilon ^ { 1 / 8 } \right) | V _ { i } \cup \{ v \} | ^ { 2 } \leqslant \left( \frac { 1 } { 8 } + 6 0 \varepsilon ^ { 1 / 8 } \right) \left( \left( \frac { 1 } { 3 } + \varepsilon \right) n + 1 \right) ^ { 2 } \leqslant \left( \frac { 1 } { 7 2 } + 8 \varepsilon ^ { 1 / 8 } \right) n ^ { 2 } .
\left( 0 , 0 , \Delta _ { 1 } \right) = \mathbf { j } _ { 1 } \cdot \mathbf { R } ( \theta _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) ^ { T } , = \mu _ { \mathrm { ~ B ~ } } \mathbf { B } \cdot \mathbf { g } _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { ( 1 ) } \cdot \mathbf { R } ( \theta _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) ^ { T } .
\sum _ { n } \left\{ \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 ( n + 1 ) ! } ( A d _ { \Phi } ) ^ { n } \partial ^ { 2 } \Phi ^ { a } + \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { 2 ( n + 2 ) ! } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( A d _ { \Phi } ) ^ { k } A d _ { \partial _ { \mu } \Phi } ( A d _ { \Phi } ) ^ { n - k } \partial ^ { \nu } \Phi ^ { a } \right\} = 0 ,
\operatorname { E } [ X ^ { m } ] = { \frac { | 2 \kappa \beta | ^ { - m / \alpha } } { 1 + \kappa { \frac { m } { \alpha } } } } { \frac { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { m } { 2 \alpha } } { \Big ) } } { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { m } { 2 \alpha } } { \Big ) } } } \Gamma { \Big ( } 1 + { \frac { m } { \alpha } } { \Big ) }
\phi ( \vec { x } , t ) = \int \frac { d \vec { k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { k } } } \left( a ( \vec { k } ) u _ { k } ( t ) e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } } + a ^ { + } ( \vec { k } ) u _ { k } ^ { * } ( t ) e ^ { - i \vec { k } \cdot \vec { x } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \pm } \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { { } - \left( ( \nabla d _ { \Gamma } \cdot \nabla ) \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } \cdot \nabla d _ { \Gamma } \right) d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \Delta d _ { \Gamma } = 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma . } \end{array}
{ \cal H } ( x { ' } ) = { \frac { 1 } { 2 m } } \left| ( i \hbar \partial _ { i } - { \frac { e } { c } } A _ { i } ^ { [ 1 ] } ( x { ' } ) ) \psi ^ { ( 2 ) } ( x { ' } ) \right| ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d a \mathrm { e } ^ { - a } a ^ { m + 1 } L _ { n } ^ { m + 1 } ( a ) L _ { n } ^ { m } ( a ) = \frac { ( n + m + 1 ) ! } { n ! } , } \end{array}
{ \bf V } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { s _ { 1 2 } + s _ { 1 3 } ^ { U } s _ { 2 3 } } } & { { s _ { 1 3 } - s _ { 1 2 } ^ { U } s _ { 2 3 } } } \\ { { - s _ { 1 2 } - s _ { 1 3 } ^ { D } s _ { 2 3 } } } & { { 1 } } & { { s _ { 2 3 } + s _ { 1 2 } ^ { U } s _ { 1 3 } } } \\ { { - s _ { 1 3 } + s _ { 1 2 } ^ { D } s _ { 2 3 } } } & { { - s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } ^ { D } s _ { 1 3 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { d P = P ( k _ { n } ^ { \prime } = k _ { n } + i _ { n } ) P ( k _ { n } ^ { \prime } = k _ { n } + i _ { n } ) P ( b _ { p } ^ { \prime } = b _ { p } + j _ { p } ) P ( b _ { n } ^ { \prime } = b _ { n } + j _ { n } ) . } \end{array}
Z = T r \exp [ - \beta \epsilon _ { k } ( \bar { \Phi } _ { 1 , k } \Phi _ { 1 , k } + \bar { \Phi } _ { 2 , k } \Phi _ { 2 , k } ) ] \exp [ \beta \mu ( \bar { \phi } _ { 1 , k } \phi _ { 1 , k } + \bar { \phi } _ { 2 , k } \phi _ { 2 , k } ) ] .