harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { \alpha ^ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } \geq \frac { ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 k - 1 } ( \gamma + ( 2 k - 1 ) \omega _ { 0 } ) } { ( 2 k ) ! } . } \end{array}
\, \mathrm { d } \widetilde { u } _ { t } ^ { m } = - \bigg ( \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \widetilde { u } _ { t } ^ { m } - \widetilde { F } _ { m } + \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \widetilde { v } _ { t } ^ { m } \bigg ) \, \mathrm { d } t + \widetilde { v } _ { t } ^ { m } \, \mathrm { d } W _ { t }
\begin{array} { r l } { E ^ { \boldsymbol { M } _ { 1 } , \boldsymbol { M } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } | | \boldsymbol { y } - \boldsymbol { F } ^ { \boldsymbol { M } _ { 1 } , \boldsymbol { M } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { x } ) | | ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { c _ { m } } & { = { \frac { V + c _ { m } ^ { \prime } } { 1 + { \frac { V c _ { m } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } = { \frac { V + { \frac { c } { n } } } { 1 + { \frac { V c } { n c ^ { 2 } } } } } = { \frac { c } { n } } { \frac { 1 + { \frac { n V } { c } } } { 1 + { \frac { V } { n c } } } } } \\ & { = { \frac { c } { n } } \left( 1 + { \frac { n V } { c } } \right) { \frac { 1 } { 1 + { \frac { V } { n c } } } } = \left( { \frac { c } { n } } + V \right) \left( 1 - { \frac { V } { n c } } + \left( { \frac { V } { n c } } \right) ^ { 2 } - \cdots \right) . } \end{array} }
V _ { e x t } ( { \bf r } , t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } - \frac { Z _ { i } } { | { \bf R } _ { i } - { \bf r } | } + E _ { 0 } ( t ) \sin ( \omega t ) \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \bf r } _ { k } \cdot { \hat { \epsilon } }
- V _ { c b } \left[ \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \lambda _ { 3 3 3 } ^ { 2 } } { 2 m _ { \tilde { b } _ { R } } ^ { 2 } } \right] \bar { c } _ { L } \gamma _ { \mu } b _ { L } \bar { \tau } _ { L } \gamma ^ { \mu } \nu _ { \tau } \ .
[ b _ { s } ( k ) , b _ { s ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( q ) ] _ { + } = [ d _ { s } ( k ) , d _ { s ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( q ) ] _ { + } = ( 2 \pi ) ^ { 2 } \delta _ { s s ^ { \prime } } \delta ^ { ( 2 ) } ( k - q ) .
\begin{array} { r l } { D _ { t } } & { \leq \bigg ( 1 + \frac { 1 7 } { 1 6 I } \bigg ) D _ { t - 1 } + 1 6 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } E _ { t - 1 } + 1 6 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } F _ { t - 1 } + 1 6 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } G _ { t - 1 } + 3 2 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } J _ { t - 1 } } \\ & { \qquad + 3 2 I L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } Q _ { t - 1 } + 8 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 3 2 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 6 4 I c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \\ & { \qquad + 1 2 8 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } D _ { l } + 1 2 8 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } G _ { l } + 3 2 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } J _ { l } } \end{array}
\mathrm { S o l v } \left( \frac { \mathrm { U S p } ( 3 , 3 ) } { \mathrm { S U } ( 3 ) \times { U } ( 1 ) } \right) \subset \mathrm { S o l v } \left( \frac { \mathrm { S U } ( 3 , 3 ) } { \mathrm { S U } ( 3 ) \times \mathrm { S U } ( 3 ) \times \mathrm { U } ( 1 ) } \right) ~ .
\hat { V } ( \hat { \textbf { q } } ) = \sum _ { i } ^ { N } \frac { \gamma } { 2 } ( \hat { q } _ { i } - \hat { q } _ { i + 1 } ) ^ { 2 } - m \omega ^ { 2 } \hat { q } _ { i } ^ { 2 } + \lambda \hat { q } _ { i } ^ { 4 } .
\Omega _ { n } ^ { z } = i \Big ( \langle \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } | \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } \rangle - \langle \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } | \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } \rangle \Big )
\left\| \sum _ { k = 1 } ^ { m } x _ { k } - \sum _ { k = 1 } ^ { n } x _ { k } \right\| = \left\| \sum _ { k = n + 1 } ^ { m } x _ { k } \right\| \leq \sum _ { k = n + 1 } ^ { m } \| x _ { k } \| < \varepsilon ,
d s _ { c l a s s } ^ { 2 } \equiv R ^ { 2 } h _ { \alpha \beta } d \sigma ^ { \alpha } d \sigma ^ { \beta } = R ^ { 2 } \left( - U ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } + \frac { U ^ { 6 } } { U _ { 0 } ^ { 4 } } d \sigma ^ { 2 } \right) .
\Phi ( x , q _ { T } ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) = \int _ { x } ^ { 1 } { \cal G } ( \eta , q _ { T } ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) \, \frac { x } { \eta } \, G ( \frac { x } { \eta } , \mu ^ { 2 } ) \, d \eta ,
\left[ - \left( 1 - \frac { 2 M } { \rho } \right) \frac { d ^ { 2 } } { d \rho ^ { 2 } } - \frac { 2 ( \rho - 4 M ) ( 2 \rho - 3 M ) } { \rho ^ { 2 } ( \rho - 3 M ) } \frac { d } { d \rho } + \frac { 8 M } { \rho ^ { 2 } ( \rho - 3 M ) } \right] H _ { 1 } ( \rho ) = \lambda H _ { 1 } ( \rho ) ,
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \theta } ( \omega , N , \lambda ) } & { : = 2 \left( \lambda - \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) \right) \alpha _ { 1 } - 6 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } , } \\ { \Theta _ { \varphi } ( \omega , N , \lambda ) } & { : = \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) \beta _ { N } - 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } . } \end{array}
\langle ( \hat { \mu } _ { \epsilon _ { 1 } g _ { 1 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { d } ) ( \hat { \mu } _ { g _ { 0 } \epsilon _ { 1 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { c } ) ( \hat { \mu } _ { g _ { 1 } \epsilon _ { 1 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { b } ) ( \hat { \mu } _ { \epsilon _ { 1 } g _ { 0 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { a } ) \rangle
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } } & { { } \leftarrow u _ { \lambda } + \sigma _ { \lambda } ( T \lambda - y _ { \lambda } ) , } \\ { u _ { \mu } } & { { } \leftarrow u _ { \mu } + \sigma _ { \mu } ( P \mu - y _ { \mu } ) , } \\ { v _ { \lambda } } & { { } \leftarrow v _ { \lambda } + \sigma _ { \lambda } ( \nu _ { \lambda } D \lambda - z _ { \lambda } ) , } \\ { v _ { \mu } } & { { } \leftarrow v _ { \mu } + \sigma _ { \mu } ( \nu _ { \mu } D \mu - z _ { \mu } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \kappa _ { R } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { 1 } { \kappa ( \nu ) } \displaystyle \frac { d B ( \nu ) } { d T } d \nu } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d B ( \nu ) } { d T } d \nu } ,
\omega M _ { \mathrm { I } } = { \frac { \pi \eta k ^ { 2 } a ^ { 4 } } { 2 d ^ { 2 } } } \left( { \frac { \sin k d } { k d } } - \cos k d \right) \approx { \frac { \pi \eta k ^ { 4 } a ^ { 4 } } { 6 . 1 5 } } ,
\begin{array} { r l r } { \langle F \rangle } & { { } = } & { { \frac { \int e ^ { i S [ A ] } \, F \, { \cal D } ^ { \, 4 } \! A } { \int e ^ { i S [ A ] } \, { \cal D } ^ { \, 4 } \! A } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { l m n , l ^ { \prime } m ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } } & { { } \propto \delta _ { l , | m \pm n | } \delta _ { l ^ { \prime } , | m ^ { \prime } \pm n ^ { \prime } | } , } \\ { \mathcal { A } _ { r l m n , r ^ { \prime } l ^ { \prime } m ^ { \prime } n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } } & { { } \propto \delta _ { | m \pm r | , | n \pm l | } \delta _ { | m ^ { \prime } \pm r ^ { \prime } | , | n ^ { \prime } \pm l ^ { \prime } | } , } \end{array}
\frac { 2 } { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } \frac { d } { d \beta \mu } \mathrm { R e } \psi ( \frac { 3 + z } { 4 } ) = \mathrm { R e } \int _ { 0 } ^ { - \infty } \frac { t e ^ { - \frac { 1 + z } { 4 } t } } { 1 - e ^ { - t } } .
= [ \mathbf { k } _ { t } ^ { r , 1 } ; \cdots ; \mathbf { k } _ { t } ^ { r , R } ; { \hat { \beta } } _ { t } ^ { r , 1 } ; \cdots ; { \hat { \beta } } _ { t } ^ { r , R } ; \mathbf { k } _ { t } ^ { w } ; { \hat { \beta _ { t } ^ { w } } } ; \mathbf { \hat { e } } _ { t } ; \mathbf { v } _ { t } ; { \hat { f _ { t } ^ { 1 } } } ; \cdots ; { \hat { f _ { t } ^ { R } } } ; { \hat { g } } _ { t } ^ { a } ; { \hat { g } } _ { t } ^ { w } ; { \hat { \boldsymbol { \pi } } } _ { t } ^ { 1 } ; \cdots ; { \hat { \boldsymbol { \pi } } } _ { t } ^ { R } ]
\begin{array} { r } { G _ { n } ^ { ( 1 ) } = \frac { ( x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ) ^ { n } ( \frac { \int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) d t } { x ^ { \sigma _ { 0 } } f ( x ) } ) } { ( x ^ { 2 } \frac { d } { d x } ) ^ { n } ( \frac { 1 } { x ^ { \sigma _ { 0 } } f ( x ) } ) } = \frac { \mathcal { N } _ { n } ( x ) } { \mathcal { D } _ { n } ( x ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 / 2 + K _ { \Gamma , L } ^ { \Gamma } } & { - V _ { \Gamma , L } ^ { \Gamma } } \\ { 1 / 2 - K _ { \Gamma , Y } ^ { \Gamma } } & { \frac { \epsilon _ { 1 } } { \epsilon _ { 2 } } V _ { \Gamma , Y } ^ { \Gamma } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \phi } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial \mathbf { n } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { \epsilon _ { 1 } } \sum _ { k } ^ { N _ { q } } \frac { q _ { k } } { 4 \pi | \mathbf { x } _ { \Gamma } - \mathbf { x } _ { k } | } } \\ { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
F _ { _ { \! S } } ^ { - 1 } = \frac { \cosh \frac { 1 } { 2 } \sigma \otimes \cosh \frac { 1 } { 2 } \sigma + 2 \xi \, v _ { + } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sigma } \otimes v _ { + } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sigma } } { \cosh \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { _ { \! J } } ( \sigma ) } \,
\frac { [ 1 + 2 \, n _ { 0 } ] ^ { 2 } \; | a _ { 0 } | ^ { 4 } } { \left( { \tilde { \mu } } \eta _ { n l } \right) ^ { 6 } } \; e ^ { 2 \left( { \tilde { \mu } } \eta _ { n l } \right) ^ { 2 } } = \frac { 1 0 2 4 \; \pi ^ { 5 } } { \lambda ^ { 2 } \; { \tilde { \mu } } ^ { 2 } }
\int _ { u , v } u e ^ { - u \left( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } + v 2 p \cdot k + v p ^ { 2 } \right) } = \int { \frac { 1 } { \left( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } + v 2 p \cdot k - v p ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, d v
f _ { 1 } = \frac { \tilde { M } _ { 3 3 } ^ { R } \, ( \tilde { M } _ { 3 3 } ^ { R } - \tilde { M } _ { 5 5 } ^ { R } ) } { 2 \tilde { M } _ { 1 3 } ^ { R } ( \tilde { M } _ { 1 3 } ^ { R } + \tilde { M } _ { 5 5 } ^ { R } ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { Z } _ { i , \beta _ { k + 1 } } } { \mathcal { Z } _ { i , \beta _ { k } } } } & { { } = \int p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ^ { \beta _ { k + 1 } - \beta _ { k } } \frac { p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } , \mathcal { M } _ { i } ) ^ { \beta _ { k } } p ( \ensuremath { \vec { \theta } } ) } { \mathcal { Z } _ { \beta _ { k } } } \, \mathrm { d } \ensuremath { \vec { \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } , ( 1 ) } ( x ) } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } u } { 2 \pi } \; \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ^ { ( 1 ) } ( x , x ; \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) ] } \end{array}
\mathbf { C } : = \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } \Big ( \lambda _ { \varepsilon } I + \mathcal { M } _ { \Omega } ^ { 0 } \Big ) ^ { - 1 } \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \mathcal { M } _ { \Omega , B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ] - \nabla \times \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ] .
{ \begin{array} { r l } { h ^ { 2 } } & { = b ^ { 2 } - \left( { \frac { - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 2 c } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { ( 2 b c - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ( 2 b c + a ^ { 2 } - b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) } { 4 c ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { { \big ( } ( b + c ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } { \big ) } { \big ( } a ^ { 2 } - ( b - c ) ^ { 2 } { \big ) } } { 4 c ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { ( b + c - a ) ( b + c + a ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) } { 4 c ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 2 ( s - a ) \cdot 2 s \cdot 2 ( s - c ) \cdot 2 ( s - b ) } { 4 c ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 4 s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) } { c ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { F ( \cdot , r ) \in C ^ { 3 + \delta } ( \mathbb { R } ^ { d } , \mathbb { R } ^ { d \times m } ) , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { x } \frac { | F _ { j } ^ { i } ( x , r ) | } { 1 + | x | } \leq K , \quad 1 \leq i \leq d , \ 1 \leq j \leq m , } \\ & { \| \partial ^ { \alpha } F _ { j } ^ { i } ( \cdot , r ) \| \leq K , \quad 1 \leq i \leq d , \ 1 \leq j \leq m , \quad | \alpha | = 1 , 2 , } \\ & { \| \partial ^ { \alpha } F _ { j } ^ { i } ( \cdot , r ) F _ { l } ^ { k } ( \cdot , r ) \| \leq K , \quad 1 \leq i , k \leq d , \ 1 \leq j , l \leq m , \quad | \alpha | = 2 , 3 , } \\ & { \| \partial ^ { \alpha } F _ { j } ^ { i } ( x , r ) - \partial ^ { \alpha } F _ { j } ^ { i } ( y , r ) \| \leq L \| x - y \| ^ { \delta } , \quad 1 \leq i \leq d , \ 1 \leq j \leq m , \quad | \alpha | = 3 . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , t ) } \\ { x _ { 2 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , t ) } \\ { x _ { 3 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } , t ) } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { Q _ { 1 1 } ( t ) } & { Q _ { 1 2 } ( t ) } & { Q _ { 1 3 } ( t ) } \\ { Q _ { 2 1 } ( t ) } & { Q _ { 2 2 } ( t ) } & { Q _ { 2 3 } ( t ) } \\ { Q _ { 3 1 } ( t ) } & { Q _ { 3 2 } ( t ) } & { Q _ { 3 3 } ( t ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { X _ { 1 } } \\ { X _ { 2 } } \\ { X _ { 3 } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } ( t ) } \\ { c _ { 2 } ( t ) } \\ { c _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right] }
\langle \Sigma , \omega _ { t } ^ { \prime } \rangle + \langle \nabla \times \Sigma , \omega \times m \rangle - \langle \nabla \times \Sigma , \frac { 1 } { D } s \nabla \theta \rangle = 0 , \quad \forall \Sigma ^ { \prime } \in ( \mathbb { W } _ { h } ^ { 1 } ) ^ { \perp } .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { { } = R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \tau _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } , \bar { n } _ { \mathrm { ~ U ~ B ~ } } , \bar { n } _ { B } ^ { \mathrm { ~ U ~ B ~ } } ) , } \\ { R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } ^ { ( 3 ) } } & { { } = R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } ^ { ( 3 ) } ( \tau _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } , \bar { n } _ { \mathrm { ~ U ~ B ~ } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { \tilde { E } } [ | \epsilon _ { 2 , 1 } | ] } & { \leq \big ( \mathbb { \tilde { E } } [ | \tilde { \xi } _ { s } | ^ { p } ] \big ) ^ { \frac { 1 } { p } } \bigg ( \mathbb { \tilde { E } } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } | \delta _ { x } \psi ( \tilde { \zeta } _ { s } ; \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } ) | ^ { q } d \theta \bigg ] \bigg ) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + \big ( \mathbb { \tilde { E } } [ | \tilde { \eta } _ { s } | ^ { p } ] \big ) ^ { \frac { 1 } { p } } \bigg ( \mathbb { \tilde { E } } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } | \delta _ { y } \psi ( \tilde { \zeta } _ { s } ; \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } ) | ^ { q } d \theta \bigg ] \bigg ) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \leq C \big ( \mathbb { \tilde { E } } [ | \tilde { \xi } _ { s } | ^ { p } ] \big ) ^ { \frac { 1 } { p } } \bigg ( \mathbb { \tilde { E } } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } | \delta _ { x } \psi ( \tilde { \zeta } _ { s } ; \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } ) | d \theta \bigg ] \bigg ) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + C \big ( \mathbb { \tilde { E } } [ | \tilde { \eta } _ { s } | ^ { p } ] \big ) ^ { \frac { 1 } { p } } \bigg ( \mathbb { \tilde { E } } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } | \delta _ { y } \psi ( \tilde { \zeta } _ { s } ; \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } ) | d \theta \bigg ] \bigg ) ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \leq C _ { 1 } \Big [ \big ( \mathbb { \tilde { E } } [ | \tilde { \xi } _ { s } | ^ { p } ] \big ) ^ { \frac { 1 } { p } } + \big ( \mathbb { \tilde { E } } [ | \tilde { \eta } _ { s } | ^ { p } ] \big ) ^ { \frac { 1 } { p } } \Big ] \big ( \mathbb { \tilde { E } } [ | \tilde { \zeta } _ { s } | ] \big ) ^ { \frac { 1 } { q } } = o ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F _ { \Phi } \psi ) ( \mathbf { x } ) } & { = - \frac 1 2 \triangle \psi ( \mathbf { x } ) + V ( \mathbf { x } ) \psi ( \mathbf { x } ) + \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } w ( \mathbf { x } - \mathbf { y } ) | \varphi _ { i } ( \mathbf { y } ) | ^ { 2 } \right) \psi ( \mathbf { x } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } w ( \mathbf { x } - \mathbf { y } ) \overline { { \varphi _ { i } ( \vec { y } ) } } \psi ( \mathbf { y } ) \, \mathrm { d } \vec { y } \right) \varphi _ { i } ( \mathbf { x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } } & { { } = } & { S _ { \mu \nu } ^ { \vec { 0 } \vec { L } } = \int \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } \left( \vec { r } \right) \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } \left( \vec { r } \right) \textrm { d } ^ { 3 } r } \end{array}
\begin{array} { r l } { { L } _ { i j m } ^ { k l n } = \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \mathrm { ~ d ~ } } & { { } { \mathbf { r } _ { 3 } } \, \chi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \chi _ { n } ( { \mathbf { r } _ { 3 } } ) \, } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { n } ^ { \gamma } } { \mathrm { d } s \mathrm { d } \phi } = - \frac { \alpha m } { 2 \pi } \left\{ A _ { 0 } ^ { 2 } ( n , x , y ) + a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } \left[ 2 + \frac { s ^ { 2 } } { 1 - s } \right] \left[ A _ { 0 } ( n , x , y ) A _ { 2 } ( n , x , y ) - A _ { 1 } ^ { 2 } ( n , x , y ) \right] \right\}
\begin{array} { r } { I _ { K _ { P } } ^ { * } * _ { r } I ^ { * } ( y ) = ( I _ { K _ { P } } ^ { * } \otimes I ^ { * } ) ( r ( y ) ) = \zeta _ { I _ { K _ { P } } , I } ( v ) , } \\ { I ^ { * } * _ { r } I _ { K _ { P } } ^ { * } ( y ) = ( I ^ { * } \otimes I _ { K _ { P } } ^ { * } ) ( r ( y ) ) = \zeta _ { I , I _ { K _ { P } } } ( v ) . } \end{array}
\mathcal { E } _ { 1 } = \frac { \rho ^ { \gamma } } { \gamma - 1 } e ^ { S / c _ { v } } , \quad \mathcal { E } _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { i } v _ { i } , \quad \mathcal { E } _ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } \rho c _ { s } ^ { 2 } \mathring { G } _ { i j } \mathring { G } _ { i j } , \quad \mathcal { E } _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 } c _ { h } ^ { 2 } \rho J _ { i } J _ { i } ,
M _ { 2 } = \left( \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } + \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 2 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } + \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 3 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \cdots + \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \right) .
\begin{array} { r } { E ( \rho , z ; \mathbf { r } _ { 0 } ) \propto \mathcal { F } _ { 2 D } \left( \mathcal { A } \left( \theta ^ { \prime } , \phi \right) e ^ { i \left[ \Psi \left( \theta ^ { \prime } ; z , f \right) + \Phi \left( \theta ^ { \prime } , \phi \right) \right] } \right) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \vert m _ { f } \vert / k _ { f } } \rho \d \rho ( k _ { f } \rho ) ^ { \vert m _ { f } \vert } \frac { 1 } { \rho ^ { 3 } } ( k _ { i } \rho ) ^ { \vert m _ { i } \vert } \propto k _ { f } ^ { \vert m _ { f } \vert } k _ { i } ^ { \vert m _ { i } \vert } \frac { k _ { f } ^ { - \vert m _ { i } \vert - \vert m _ { f } \vert + 1 } } { \vert m _ { i } \vert + \vert m _ { f } \vert - 2 } \propto k _ { f } \left( \frac { k _ { i } } { k _ { f } } \right) ^ { \vert m _ { i } \vert } \propto \sqrt { B } \left( \frac { k _ { B } T } { B } \right) ^ { \vert m _ { i } \vert / 2 }
{ h } _ { u } ^ { r f } ( k , p \rightarrow 0 ) = \frac { I } { 2 \sqrt { 2 \pi } } { ~ \textrm { s i n c } \left( \frac { k w } { 2 } \right) } e ^ { - \left| k z \right| } \textrm { s g n } ( z )
\int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { ( q ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) [ ( p - q ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] [ ( q - p _ { 1 } ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] } = \frac { 1 } { 1 6 \pi \mu ^ { 3 } } \, \ln \left( \frac { 4 } { 9 \Delta } \right) .
f ( x ; \mathbf { r } , \sigma _ { 1 } ^ { 2 } , \dots \sigma _ { M } ^ { 2 } ) = \prod _ { m = 1 } ^ { M } { \frac { 1 } { \sigma _ { m } ^ { 2 r _ { m } } } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { k } } { \frac { \Psi _ { k , l , \mathbf { r } } } { ( r _ { k } - l ) ! } } ( - x ) ^ { r _ { k } - l } e ^ { - { \frac { x } { \sigma _ { k } ^ { 2 } } } } , \quad { \mathrm { ~ f o r ~ } } x \geq 0 ,
X = \tau \left[ \begin{array} { c c c } { b _ { 1 } \mathbf { M } } & { \ldots } & { b _ { s } \mathbf { M } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { I _ { s } \otimes \widehat { \mathbf { M } } + \tau A _ { \mathrm { R K } } \otimes \mathbf { D } _ { 1 } } \\ { \tau A _ { \mathrm { R K } } \otimes \mathbf { D } _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { e } \otimes \mathbf { D } _ { 1 } } \\ { \mathbf { e } \otimes \mathbf { D } _ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( h , j ) } & { = \int _ { \gamma _ { 1 } ^ { ( h , j ) } } \lambda = 2 \pi j , } \\ { I _ { 2 } ( h , j ) } & { = \int _ { \gamma _ { 2 } ^ { ( h , j ) } } \lambda = 2 \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z _ { + } ( h , j ) } \sqrt { \left( h - \frac { j ^ { 2 } } { u ( z ) ^ { 2 } } \right) ( u ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 } + 1 ) } \, d z , } \end{array}
X _ { \bot } ^ { \mu \nu } X _ { \bot } ^ { \rho \sigma } = \frac { 1 } { 6 } \left( \, \pi ^ { \mu \sigma } \pi ^ { \nu \rho } - \varepsilon ^ { \mu \sigma \lambda } e _ { \lambda } ^ { ( 0 ) } \varepsilon ^ { \nu \rho \tau } e _ { \tau } ^ { ( 0 ) } \, \right) \cdot C + \frac { i } { 4 } \left( \, \pi ^ { \mu \sigma } \varepsilon ^ { \nu \rho \lambda } + \pi ^ { \nu \rho } \varepsilon ^ { \mu \sigma \lambda } \, \right) e _ { \lambda } ^ { ( 0 ) } \cdot Q _ { 0 } .
\partial _ { i } Z = ( t ^ { I } ) _ { , i } q _ { I } = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad g ^ { i j } t ^ { I } { } _ { , i } t ^ { J } { } _ { , j } \, q _ { I } \equiv \Pi ^ { I J } q _ { I } = - { \frac { 1 } { 3 } } ( ( C ^ { I J } - t ^ { I } t ^ { J } ) q _ { I } = 0
\left| \frac { V _ { u b } } { V _ { c b } } \right| \; \approx \; \sqrt { \frac { m _ { u } } { m _ { c } } } \; , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left| \frac { V _ { t d } } { V _ { t s } } \right| \; \approx \; \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } \;
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( \Delta _ { n 1 } ) } & { \lesssim } & { n ^ { - 1 } \left[ \sigma _ { n } \log ^ { 1 / 2 } ( p ) + \{ { \mathbb { E } } ( J _ { n } ^ { 2 } ) \} ^ { 1 / 2 } \log p \right] } \\ & { \lesssim } & { n ^ { - 1 } \left\{ n ^ { 1 / 2 } \log ^ { 1 / 2 } ( p ) + \log ^ { 1 / \alpha + 1 } ( n p ) \right\} } \\ & { \lesssim } & { n ^ { - 1 / 2 } \log ^ { 1 / 2 } ( n p ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \vec { \nabla } \wedge \vec { E } } & { = - \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } , } & { \vec { \nabla } \cdot \vec { B } } & { = 0 , } \\ { \vec { \nabla } \wedge \vec { H } } & { = \vec { j } + \frac { \partial \vec { D } } { \partial t } , } & { \vec { \nabla } \cdot \vec { D } } & { = \rho , } \end{array}