harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 } \Phi ^ { ( \mathrm { B e s } ) } ( x ^ { 2 } \varphi _ { 4 } ( z ) ) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) [ s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) ] ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { \bar { s } _ { * } e ^ { - 2 \pi i \alpha } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) S _ { 1 } ^ { - 1 } E _ { 0 } ^ { - 1 } z ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } } \\ & { \qquad = C _ { \alpha } ^ { \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) 2 ^ { \frac { 3 } { 2 } \alpha \sigma _ { 3 } } 3 ^ { - \frac { 3 } { 2 } \alpha \sigma _ { 3 } } s _ { 1 } ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } ( 1 + e ^ { - 2 \pi i \alpha } ) ^ { - \sigma _ { 3 } } | x | ^ { 2 \alpha \sigma _ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { p } } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n > 0 , p \nmid n } \mathbb { A O } ( \mathbb { S } , n , \delta _ { n } ) , } \\ { B _ { p } } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n > 0 , p \Vert n } \mathbb { A O } ( \mathbb { S } , n , \delta _ { n } ) , } \\ { C _ { p } } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n > 0 , p ^ { 2 } \mid n } \mathbb { A O } ( \mathbb { S } , n , \delta _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { i } \to \langle i | V | i \rangle \equiv V _ { i i } \, , \ \ \ | i \rangle \to | \delta i \rangle = \sum _ { k \neq i } \frac { | k \rangle \, V _ { k i } } { \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { k } } \, . } \end{array}
\widehat { K } : F = ( F _ { 0 } , F _ { 1 } , F _ { 2 } , F _ { 3 } ) \to \widehat { K } F = ( F _ { 0 } , - F _ { 1 } , - F _ { 2 } , F _ { 3 } ) \qquad \widehat { K } ^ { 2 } = \hat { \mathrm { I } } \, ,
\frac { d \rho _ { + } ^ { * } } { d \langle k \rangle } = \frac { \Big ( - \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) - \beta _ { 2 } \eta \Big ) \Big [ \sqrt { { ( \Lambda - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) } ^ { 2 } - 4 ( \Lambda + \tilde { \Lambda } ) ( 1 - \lambda _ { 1 } ) } + ( \Lambda - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) \Big ] + 2 ( \Lambda + \Tilde { \Lambda } ) \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) } { 2 \mu ( \Lambda + \Tilde { \Lambda } ) \sqrt { { ( \Lambda - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) } ^ { 2 } - 4 ( \Lambda + \tilde { \Lambda } ) ( 1 - \lambda _ { 1 } ) } } .
\begin{array} { r } { z \geq x _ { 1 } ^ { \operatorname* { m i n } } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { \operatorname* { m i n } } - x _ { 1 } ^ { \operatorname* { m i n } } x _ { 2 } ^ { \operatorname* { m i n } } , } \\ { z \geq x _ { 1 } ^ { \operatorname* { m a x } } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { \operatorname* { m a x } } - x _ { 1 } ^ { \operatorname* { m a x } } x _ { 2 } ^ { \operatorname* { m a x } } , } \\ { z \leq x _ { 1 } ^ { \operatorname* { m a x } } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { \operatorname* { m i n } } - x _ { 1 } ^ { \operatorname* { m a x } } x _ { 2 } ^ { \operatorname* { m i n } } , } \\ { z \leq x _ { 1 } ^ { \operatorname* { m i n } } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { \operatorname* { m a x } } - x _ { 1 } ^ { \operatorname* { m i n } } x _ { 2 } ^ { \operatorname* { m a x } } . } \end{array}
\tan ^ { - 1 } ( \theta ) = i \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } \left( { \frac { 1 } { \left( 1 + 2 i / \theta \right) ^ { 2 n - 1 } } } - { \frac { 1 } { \left( 1 - 2 i / \theta \right) ^ { 2 n - 1 } } } \right) = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } { \frac { { { a } _ { n } } \left( \theta \right) } { a _ { n } ^ { 2 } \left( \theta \right) + b _ { n } ^ { 2 } \left( \theta \right) } } } ,
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \otimes } ^ { n + 1 } ( x ) } & { = } & { \Gamma _ { \otimes } ( \Gamma _ { \otimes } ^ { n } ( x ) ) = \big ( \operatorname* { s u p } _ { j _ { 2 } \in I } \gamma _ { i j _ { 2 } } \circ \operatorname* { s u p } _ { j _ { 3 } , \ldots , j _ { n + 2 } \in I } \gamma _ { j _ { 2 } j _ { 3 } } \circ \cdots \circ \gamma _ { j _ { n + 1 } j _ { n + 2 } } ( x _ { j _ { n + 2 } } ) \big ) _ { i \in I } . } \end{array}
( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } - \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ) \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } } } } } } } } } } }
Z [ \eta , \overline { { { \eta } } } ] : = \int [ d \psi ] [ d \overline { { { \psi } } } ] [ d A ] e ^ { - S [ \psi , \overline { { { \psi } } } , A ] + \sum _ { a } \Big \{ ( \overline { { { \eta } } } ^ { ( a ) } , \psi ^ { ( a ) } ) + ( \overline { { { \psi } } } ^ { ( a ) } , \eta ^ { ( a ) } ) \Big \} } \; .
\sigma ( k _ { c } , l _ { c } , m _ { c } , n _ { c } , s , B ) = \frac { ( 2 \chi _ { S } ) ^ { k _ { c } } } { k _ { c } ! } \frac { ( 2 \chi _ { H } ) ^ { l _ { c } } } { l _ { c } ! } \frac { ( 2 \chi _ { D } ) ^ { m _ { c } } } { m _ { c } ! } \frac { ( 2 \chi _ { C } ) ^ { n _ { c } } } { n _ { c } ! } \exp [ - 2 \chi ( s , B ) ]
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq p } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \mathbb { E } } \{ ( \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } W _ { i , j } ) ^ { 2 } \} } & { \lesssim } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq p } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } \omega _ { j j } \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } \lesssim n \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq p } \omega _ { j j } \leq \bar { M } n \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { n } ( \Omega ) = 2 \pi \hbar } & { { } \int d \omega \Gamma ^ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( \omega + \Omega / 2 , \omega - \Omega / 2 ) ( \omega + \Omega / 2 ) ^ { n } } \end{array}
{ \frac { m _ { 2 } u _ { 2 } - m _ { 2 } u _ { 1 } + m _ { 1 } u _ { 1 } + m _ { 2 } u _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } = { \frac { u _ { 1 } ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) + 2 m _ { 2 } u _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { 4 } } \bigg \rangle _ { \varepsilon } } & { { } \equiv \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \Bigg [ \Bigg \langle \frac { \Theta ( r _ { i j } - \varepsilon ) } { r _ { i j } ^ { 4 } } \Bigg \rangle - \frac { \langle 4 \pi \delta ( \vec { r } _ { i j } ) \rangle } { \varepsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T \Bigl [ \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) - \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) \Bigr ] } \\ & { + \dot { \gamma } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } k _ { B } T \Bigl [ \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) - \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) \Bigr ] } \\ & { + \dot { \gamma } ^ { 2 } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 4 } } k _ { B } T \Bigl [ \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) - \sin \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \sin \Bigl ( \Bigl ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) \Bigr ] . } \end{array}
- H _ { \rho \mu \nu } H ^ { \rho \mu \nu } + { \frac { 1 } { \Lambda } } ( g _ { A } ^ { - 2 } \omega _ { 3 } ^ { A } + g _ { G } ^ { - 2 } \omega _ { 3 } ^ { G } - g _ { L } ^ { - 2 } \omega _ { 3 } ^ { L } ) _ { \rho \mu \nu } ( \partial _ { \tau } \theta ( x ) - { \frac { c _ { A } \Lambda } { 4 8 \pi ^ { 2 } g _ { A } } } B _ { \tau } ) \epsilon ^ { \tau \rho \mu \nu }
R _ { g } = \frac { \mathrm { B } ( B \to X _ { s g } ) } { \mathrm { B } _ { \mathrm { S M } } ( B \to X _ { s g } ) } = \frac { | C _ { 8 } ( m _ { b } ) | ^ { 2 } + | C _ { 8 } ^ { R } ( m _ { b } ) | ^ { 2 } } { | C _ { 8 } ^ { \mathrm { S M } } ( m _ { b } ) | ^ { 2 } } \, .
f _ { a } ^ { e q } = t _ { a } \left( \rho + \rho _ { 0 } \left( \frac { \mathbf { c } _ { a } \cdot \mathbf { u } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { ( \mathbf { c } _ { a } \mathbf { c } _ { a } - c _ { s } ^ { 2 } \mathbb { I } ) : \mathbf { u } \mathbf { u } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } \right) \right) .
\left[ \begin{array} { l } { \Gamma ^ { - ( M { - } 1 ) / 2 } ( f ) } \\ { \vdots } \\ { \Gamma ^ { ( M { - } - 1 ) / 2 } ( f ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { h _ { 1 1 } ^ { 2 } } & { \hdots } & { h _ { 1 P } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { h _ { M 1 } ^ { 2 } } & { \hdots } & { h _ { M P } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \Gamma ^ { s _ { 1 } } ( f ) } \\ { \vdots } \\ { \Gamma ^ { s _ { P } } ( f ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \partial w } { \partial z } = 0 } \\ & { } & { \frac { \partial u } { \partial t } = - \frac { \partial p } { \partial x } + \frac { 1 } { \textrm { R e } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) u } \\ & { } & { \frac { \partial w } { \partial t } = - \frac { \partial p } { \partial z } + \frac { 1 } { \textrm { R e } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) w - \frac { g L } { U ^ { 2 } } \rho } \\ & { } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } - \textrm { R i } w = \frac { 1 } { \textrm { R e } \textrm { P r } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) \rho } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } ( 1 ) \quad } & { { } \{ q _ { i , K } } & { } & { { } : \; K \in \mathbb { K } , \; \; } & { } & { { } i \in \mathbb { N } , \; } & { } & { { } 0 \leq i \leq k \} } \\ { ( 2 ) \quad } & { { } \{ r _ { i , K } } & { } & { { } : \; K \in \mathbb { K } , \; \; } & { } & { { } i \in \mathbb { N } , \; } & { } & { { } 0 \leq i \leq k \} } \\ { ( 3 ) \quad } & { { } \{ t _ { i , K } } & { } & { { } : \; K \in \mathbb { K } , \; \; } & { } & { { } i \in \mathbb { N } , \; } & { } & { { } 0 \leq i \leq k \} } \\ { ( 4 ) \quad } & { { } \{ s _ { p , K } } & { } & { { } : \; K \in \mathbb { K } , \; \; } & { } & { { } p \in \mathbb { N } ^ { n } , \; } & { } & { { } | p | \leq k \} } \end{array}
Q ^ { \mu } = \frac { E } { 2 } \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ c ^ { \mu } = \frac { E } { 2 } \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { - 1 } } \end{array} \right)
{ \cal V } _ { N ; g } \, = \, { \cal C } _ { g } ^ { o p e n } \! < \Omega | \int [ { \mathrm { d } } m ] _ { N } ^ { g } \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } p ^ { ( i ) } \cdot \left. \! \left[ \sqrt { 2 \alpha ^ { \prime } } p ^ { ( i ) } + { \alpha } _ { 1 } ^ { ( i ) } \partial _ { z } \right] \log V _ { i } ^ { \prime } ( z ) \right| _ { z = 0 } \right\}
- \frac { \bar { D } ^ { 2 } } { 4 } \Phi _ { l } ^ { \dagger } - \frac { \bar { D } ^ { 2 } } { 4 } \left( \frac { \partial K ^ { \prime } } { \partial \Phi _ { l } } \right) + \frac { \partial } { \partial \Phi _ { l } } ( \sum _ { \{ l _ { k } \} } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \Phi _ { l _ { 1 } } \ldots \Phi _ { l _ { n } } W _ { n } ^ { \{ l _ { 1 } \ldots l _ { n } \} } ( \varphi _ { i } ) ) = 0 .
\begin{array} { l } { | y _ { i j } ( \mu ) - \hat { y } _ { i j } ( \mu ) | } \\ { = | C _ { i } ( \mu ) ( M ^ { - 1 } ( \mu ) B ( \mu ) - V \hat { M } ^ { - 1 } ( \mu ) \hat { B } _ { j } ( \mu ) ) | } \\ { = | C _ { i } ( \mu ) M ^ { - 1 } ( \mu ) ( B _ { j } ( \mu ) - M ( \mu ) \underbrace { V \hat { M } ^ { - 1 } ( \mu ) \hat { B } _ { j } ( \mu ) ) } _ { \hat { x } _ { j } ( \mu ) : = V z _ { j } ( \mu ) | } } \\ { = | C _ { i } ( \mu ) M ^ { - 1 } ( \mu ) r _ { j } ( \mu ) | , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { D } = \left[ \begin{array} { l l } { \kappa _ { 1 } - \frac { c _ { 1 } \kappa _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 1 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } z _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) } } & { - \frac { c _ { 1 } \kappa _ { 1 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 1 } z _ { 2 } } { c _ { 1 } z _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) } } \\ { - \frac { c _ { 2 } \kappa _ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 1 } z _ { 2 } } { c _ { 1 } z _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) } } & { \kappa _ { 2 } - \frac { c _ { 2 } \kappa _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 2 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } z _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) } } \end{array} \right] , } \\ & { \mathbf { D } ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { c _ { 2 } \kappa _ { 3 } z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) + c _ { 1 } z _ { 1 } \left( \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( c _ { 1 } z _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) \right) } } & { \frac { c _ { 1 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 1 } z _ { 2 } } { \kappa _ { 2 } \kappa _ { 3 } \left( c _ { 1 } z _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) \right) } } \\ { \frac { c _ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 1 } z _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( c _ { 1 } z _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) \right) } } & { \frac { c _ { 1 } \kappa _ { 3 } z _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } z _ { 2 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } \right) } { \kappa _ { 2 } \kappa _ { 3 } \left( c _ { 1 } z _ { 1 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) + c _ { 2 } z _ { 2 } \left( z _ { 2 } - z _ { 3 } \right) \right) } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { 1 } \ } & { = } & { \ \frac { 2 } { 3 } \sum _ { i = 0 } ^ { 9 } ( v _ { i } , 1 ) + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 0 } ^ { 1 9 } ( v _ { i } , 1 ) \ = \ ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 0 , 1 0 ) \, , } \\ { y _ { 2 } \ } & { = } & { \ \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 0 } ^ { 9 } ( v _ { i } , 1 ) + \frac { 2 } { 3 } \sum _ { i = 1 0 } ^ { 1 9 } ( v _ { i } , 1 ) \ = \ ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 1 0 , 1 0 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { C } _ { - } ( f w ^ { + } ) ) ( k ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { f ( s ) w ^ { + } ( s ) } { s - k _ { - } } d s = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { f ( \omega s ) w ^ { + } ( \omega s ) } { s - k _ { - } } d s \mathcal { A } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { f ( u ) w ^ { + } ( u ) } { \omega ^ { - 1 } u - k _ { - } } \frac { d u } { \omega } \mathcal { A } ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { f ( u ) w ^ { + } ( u ) } { u - \omega k _ { - } } d u \mathcal { A } ^ { - 1 } = ( \mathcal { C } _ { - } ( f w ^ { + } ) ) ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } , } \end{array}
\frac { \phi _ { * } } { T } = \frac { 2 \alpha - \left[ 4 \alpha ^ { 2 } - 1 8 \lambda _ { T } \gamma ( 1 - ( T _ { 0 } / T ) ^ { 2 } ) \right] ^ { 1 / 2 } } { 3 \lambda _ { T } } \, .
\begin{array} { r l } & { d \left( 2 \Delta _ { \alpha _ { j } } \log | g _ { t } ^ { \prime } ( z _ { j } ) | - \frac { \alpha _ { j } ^ { 2 } } 2 \log ( 2 \Im Z _ { j } ) + \frac { 2 \alpha _ { j } } { \sqrt \kappa } \log | Z _ { j } - W | \right) } \\ & { = \Re \frac { 2 \alpha _ { j } } { W - Z _ { j } } d B _ { t } - ( \Re \frac { 1 } { ( Z _ { j } - W ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { | Z _ { j } - W | ^ { 2 } } ) \alpha _ { j } ^ { 2 } d t = \Re \frac { 2 \alpha _ { j } } { W - Z _ { j } } d B _ { t } - 2 \alpha _ { j } ^ { 2 } \left( \Re \frac 1 { Z _ { j } - W } \right) ^ { 2 } d t . } \end{array}
W = { \frac { 1 } { \sqrt { 8 } } } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 0 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 1 } } & { \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 3 } } & { \omega ^ { 4 } } & { \omega ^ { 5 } } & { \omega ^ { 6 } } & { \omega ^ { 7 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 4 } } & { \omega ^ { 6 } } & { \omega ^ { 8 } } & { \omega ^ { 1 0 } } & { \omega ^ { 1 2 } } & { \omega ^ { 1 4 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 3 } } & { \omega ^ { 6 } } & { \omega ^ { 9 } } & { \omega ^ { 1 2 } } & { \omega ^ { 1 5 } } & { \omega ^ { 1 8 } } & { \omega ^ { 2 1 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 4 } } & { \omega ^ { 8 } } & { \omega ^ { 1 2 } } & { \omega ^ { 1 6 } } & { \omega ^ { 2 0 } } & { \omega ^ { 2 4 } } & { \omega ^ { 2 8 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 5 } } & { \omega ^ { 1 0 } } & { \omega ^ { 1 5 } } & { \omega ^ { 2 0 } } & { \omega ^ { 2 5 } } & { \omega ^ { 3 0 } } & { \omega ^ { 3 5 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 6 } } & { \omega ^ { 1 2 } } & { \omega ^ { 1 8 } } & { \omega ^ { 2 4 } } & { \omega ^ { 3 0 } } & { \omega ^ { 3 6 } } & { \omega ^ { 4 2 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \omega ^ { 7 } } & { \omega ^ { 1 4 } } & { \omega ^ { 2 1 } } & { \omega ^ { 2 8 } } & { \omega ^ { 3 5 } } & { \omega ^ { 4 2 } } & { \omega ^ { 4 9 } } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { \sqrt { 8 } } } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { \omega } & { - i } & { - i \omega } & { - 1 } & { - \omega } & { i } & { i \omega } \\ { 1 } & { - i } & { - 1 } & { i } & { 1 } & { - i } & { - 1 } & { i } \\ { 1 } & { - i \omega } & { i } & { \omega } & { - 1 } & { i \omega } & { - i } & { - \omega } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - \omega } & { - i } & { i \omega } & { - 1 } & { \omega } & { i } & { - i \omega } \\ { 1 } & { i } & { - 1 } & { - i } & { 1 } & { i } & { - 1 } & { - i } \\ { 1 } & { i \omega } & { i } & { - \omega } & { - 1 } & { - i \omega } & { - i } & { \omega } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \bigg ( \Big \vert \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } \Big \vert > \lambda \bigg ) \leq } & { n \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 1 } } \Big ( \frac { n \lambda } { M } \Big ) ^ { \eta } \bigg ) + \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 2 } } \frac { n ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } + n v ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { + \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 3 } } \frac { n \lambda } { M ^ { 2 } } \exp \Big ( \frac { 1 } { C _ { 4 } } \Big ( \frac { n \lambda } { M } \Big ) ^ { \eta ( 1 - \eta ) } \log ^ { - 1 } ( \frac { n \lambda } { M } ) \Big ) \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { { \mathcal L } _ { 2 } ^ { ( 0 , 2 ) } } } & { { = } } & { { { u _ { 0 } \star p } ^ { 2 } + u _ { 1 } \star p + u _ { 2 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { u _ { 0 } { p } ^ { 2 } + ( u _ { 1 } - 2 \theta u _ { 0 } ^ { \prime } ) p + ( u _ { 2 } - \theta u _ { 1 } ^ { \prime } + \theta ^ { 2 } u _ { 0 } ^ { \prime \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } + ( 1 - s ) ( \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } ) - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| } & { { } = \left| e ^ { \mathrm { i } ( \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } ) } - e ^ { \mathrm { i } ( 1 - s ) ( \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } ) } \right| } \end{array}
D ( x , x ^ { \prime } ) = \int { \frac { d ^ { 6 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } } } e ^ { i k _ { \mu } ( x - x ^ { \prime } ) ^ { \mu } } \left( e ^ { i { \vec { k } } \cdot ( { \vec { x } } - { \vec { x } } ^ { \prime } ) } + e ^ { i { \vec { k } } \cdot ( { \vec { x } } + { \vec { x } } ^ { \prime } ) } \right) .
\mathcal { L } _ { j , n + 1 } ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( s - t _ { j - 1 } \right) / \left( t _ { j } - t _ { j - 1 } \right) } & { , \mathrm { ~ i f ~ } t _ { j - 1 } < s < t _ { j } } \\ { \left( t _ { j + 1 } - s \right) / \left( t _ { j + 1 } - t _ { j } \right) } & { , \mathrm { ~ i f ~ } t _ { j } < s < t _ { j + 1 } } \\ { 0 } & { , \mathrm { ~ o t h e r w i s e ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r } { \partial _ { r } V \vert _ { r = R _ { \mathrm { ~ f ~ } } } = ( 3 \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } + \omega _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) B _ { 0 } R _ { \mathrm { ~ f ~ } } \sin \theta \cos \theta \cos \phi } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \vec { B } _ { r } ^ { s } ( i ) ] ^ { \tau } = \frac { 1 } { 2 } \tilde { W } ( i ) \vec { V } _ { r } ^ { s } ( i ) - [ \vec { Z } _ { r } ^ { s } ( i ) ] ^ { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \omega } \sim e ^ { - i \omega r _ { * } } , } & { { } \quad \quad r _ { * } \to - \infty , } \\ { \psi _ { \omega } \sim e ^ { + i \omega r _ { * } } , } & { { } \quad \quad r _ { * } \to + \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { S } _ { z } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}