harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) = \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) , \qquad \textnormal { i . e . } \qquad \theta _ { 1 } = \theta _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( n ) } } & { \sim \frac { g _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \int d ^ { D } k \frac { g ^ { \alpha \beta } g _ { \beta \delta } g ^ { \delta \gamma } g _ { \gamma \alpha } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { \sim \frac { 2 ^ { 1 - D } D g _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } \sqrt { \pi ^ { D } } \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) } \int ^ { \Lambda } \frac { k ^ { D - 1 } d k } { k ^ { 8 n + 4 } } \, , } \end{array}
\rho _ { \mathrm { ~ 5 ~ t ~ h ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ } } ^ { ( i + 1 ) } = \rho ^ { ( i ) } + \left( \frac { 3 7 } { 3 7 8 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 2 5 0 } { 6 2 1 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } } + \frac { 1 2 5 } { 5 9 4 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 4 } ^ { 2 } } + \frac { 5 1 2 } { 1 7 7 1 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 6 } ^ { 2 } } \right) \Delta p ^ { ( i ) } ,
{ \mathrm { H } } = { \frac { { \mathrm { k g } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { 2 } } { { \mathrm { s } } ^ { 2 } { \cdot } { \mathrm { A } } ^ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { N } } { \cdot } { \mathrm { m } } } { { \mathrm { A } } ^ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { k g } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { 2 } } { { \mathrm { C } } ^ { 2 } } } = { \frac { \mathrm { J } } { { \mathrm { A } } ^ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { T } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { 2 } } { \mathrm { A } } } = { \frac { \mathrm { W b } } { \mathrm { A } } } = { \frac { { \mathrm { V } } { \cdot } { \mathrm { s } } } { \mathrm { A } } } = { \frac { { \mathrm { s } } ^ { 2 } } { \mathrm { F } } } = { \frac { \Omega } { \mathrm { H z } } } = \Omega { \cdot } { \mathrm { s } } ,
| \Psi ( t ) \rangle = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - i ) ^ { n } } { n ! } } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { k } \right) { \mathcal { T } } \left\{ \prod _ { k = 1 } ^ { n } e ^ { i H _ { 0 } t _ { k } } V e ^ { - i H _ { 0 } t _ { k } } \right\} | \Psi ( t _ { 0 } ) \rangle .
\begin{array} { l l c c c } { \rho = } & { \bar { \rho } + \delta \rho , } & { } & { } & { \bar { \rho } \gg | \delta \rho | , } \\ { \Phi = } & { \bar { \Phi } + \phi , } & { } & { } & { | \partial _ { x } \bar { \Phi } | \gg | \partial _ { x } \phi | . } \end{array}
2 e { \bar { P } } _ { \mu } i F ( \alpha ) = ( 2 \pi ) ^ { - 4 } e N _ { n } ( P ) N _ { n } ( P ^ { \prime } ) \int d ^ { 4 } p _ { 2 } D _ { n } D _ { n } ^ { \prime } \phi \phi ^ { \prime } 4 T _ { \mu } / [ \Delta _ { 1 } \Delta _ { 1 } ^ { \prime } \Delta _ { 2 } ] + [ ` 1 ^ { \prime } \Rightarrow ` 2 ^ { \prime } ]
\begin{array} { r l } { \mu } & { { } = \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } \\ { | c | } & { { } = \left( | c _ { 1 } | ^ { \alpha } + | c _ { 2 } | ^ { \alpha } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \\ { \beta } & { { } = { \frac { \beta _ { 1 } | c _ { 1 } | ^ { \alpha } + \beta _ { 2 } | c _ { 2 } | ^ { \alpha } } { | c _ { 1 } | ^ { \alpha } + | c _ { 2 } | ^ { \alpha } } } } \end{array}
\int _ { r = 0 } ^ { + \infty } c _ { d } c _ { 2 } ^ { \prime } \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 3 5 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ) } { b ( \delta _ { 1 } + r ) } } \right) ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ^ { d + 1 0 } \exp \left( - \frac { 2 } { 7 } \frac { b ( \delta _ { 1 } + r ) } { \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } + r + 1 ) ) } \right) \, d r \leq c ^ { \prime } \epsilon ,
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { u p p e r } } ^ { \mathrm { H S } } } & { = K _ { \mathrm { m i n e r a l } } + \frac { 1 - \phi } { \left( K _ { \mathrm { p o r e } } - K _ { \mathrm { m i n e r a l } } \right) ^ { - 1 } + \phi \left( K _ { \mathrm { m i n e r a l } } + \frac { 4 } { 3 } \mu _ { \mathrm { m i n e r a l } } \right) } , } \\ { K _ { \mathrm { l o w e r } } ^ { \mathrm { H S } } } & { = K _ { \mathrm { p o r e } } + \frac { \phi } { \left( K _ { \mathrm { m i n e r a l } } - K _ { \mathrm { p o r e } } \right) ^ { - 1 } + \left( 1 - \phi \right) \left( K _ { \mathrm { p o r e } } + \frac { 4 } { 3 } \mu _ { \mathrm { p o r e } } \right) } , } \\ { \mu _ { \mathrm { u p p e r } } ^ { \mathrm { H S } } } & { = \mu _ { \mathrm { m i n e r a l } } + \frac { 1 - \phi } { \left( \mu _ { \mathrm { p o r e } } - \mu _ { \mathrm { m i n e r a l } } \right) ^ { - 1 } + \frac { 2 \phi ( K _ { \mathrm { m i n e r a l } } + 2 \mu _ { \mathrm { m i n e r a l } } ) } { 5 \mu _ { \mathrm { m i n e r a l } } \left( K _ { \mathrm { m i n e r a l } } + \frac { 4 } { 3 } \mu _ { \mathrm { m i n e r a l } } \right) } } , } \\ { \mu _ { \mathrm { l o w e r } } ^ { \mathrm { H S } } } & { = \mu _ { \mathrm { p o r e } } + \frac { \phi } { \left( \mu _ { \mathrm { m i n e r a l } } - \mu _ { \mathrm { p o r e } } \right) ^ { - 1 } + \frac { 2 ( 1 - \phi ) ( K _ { \mathrm { p o r e } } + 2 \mu _ { \mathrm { p o r e } } ) } { 5 \mu _ { \mathrm { p o r e } } \left( K _ { \mathrm { p o r e } } + \frac { 4 } { 3 } \mu _ { \mathrm { p o r e } } \right) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d U _ { 1 } } { d t } } & { = [ - 1 + i ( \alpha \vert U _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \beta \vert U _ { 2 } \vert ^ { 2 } - \Delta ) ] U _ { 1 } + f , } \\ { \frac { d U _ { 2 } } { d t } } & { = [ - 1 + i ( \alpha \vert U _ { 2 } \vert ^ { 2 } + \beta \vert U _ { 1 } \vert ^ { 2 } - \Delta ) ] U _ { 2 } + f . } \end{array}
\begin{array} { r } { M ^ { 2 } = \frac { m _ { z } \omega ^ { 2 } R ^ { 2 } } { 2 T _ { z } } \bigg ( 1 - \frac { Z m _ { i } } { m _ { z } } \frac { T _ { e } } { T _ { e } + T _ { i } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { R = r + ( 1 - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \langle k \rangle } { \langle k \rangle } ^ { k - 1 } } { ( k - 1 ) ! } \sum _ { c = 0 } ^ { k - 1 } \binom { k - 1 } { c } R ^ { c } ( 1 - R ) ^ { k - 1 - c } \delta \Big ( ( 1 - b ) \mu _ { f } + b \frac { c } { k } \Big ) , } \\ { \mu _ { f } = r + ( 1 - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \langle k \rangle } { \langle k \rangle } ^ { k } } { k ! } \sum _ { c = 0 } ^ { k } \binom { k } { c } R ^ { c } ( 1 - R ) ^ { k - c } \delta \Big ( ( 1 - b ) \mu _ { f } + b \frac { c } { k } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 0 } ( t ) } & { { } = { \mathrm { s e c h } } ^ { \nu } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } , } \\ { \phi _ { 1 } ( t ) } & { { } = { \mathrm { s e c h } } ^ { \nu - 1 } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) \, { \mathrm { t a n h } } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { t } & { = { \frac { c } { \alpha } } \operatorname { a r t a n h } \left( { \frac { c T } { X } } \right) \; { \overset { X \, \gg \, c T } { \approx } } \; { \frac { c ^ { 2 } T } { \alpha X } } } \\ { X } & { \approx { \frac { c ^ { 2 } T } { \alpha t } } \; { \overset { T \, \approx \, t } { \approx } } \; { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathrm { R } ( T ^ { \prime } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ \mathrm { R } _ { 1 } ( T ^ { \prime } ) | \mathcal { E } ] + \mathbb { E } [ \mathrm { R } _ { 2 } ( T ^ { \prime } ) | \mathcal { E } ] + \mathrm { R } _ { 3 } ( T ) } \\ & { \leq O \left( \sum _ { i \in E \setminus S ^ { \star } } \frac { K } { \Delta _ { i , \mathcal { S } \cap \mathcal { B } , \operatorname* { m i n } } } \ln \frac { 1 } { \omega _ { \mu } } + \sum _ { i \in E } \frac { c _ { i } K } { \Delta _ { i , \mathcal { S } ^ { c } \cap \mathcal { B } , \operatorname* { m i n } } } \ln \frac { 1 } { \omega _ { \mathrm { v } } ^ { \prime } } \right) + 2 \mu ^ { \star } \left[ T ^ { \prime } \cdot ( r ^ { \prime } - 1 ) + H ( r ^ { \prime } , \Lambda ) \right] } \\ & { \quad + 2 \mu ^ { \star } L + 2 \mu ^ { \star } T L \left( \xi ( \omega _ { \mu } ) + 2 \xi ( \omega _ { v } ) + 2 \xi ( \omega _ { v } ^ { \prime } ) \right) } \\ & { \leq O \left( \sum _ { i \in E \setminus S ^ { \star } } \frac { K } { \Delta _ { i , \mathcal { S } \cap \mathcal { B } , \operatorname* { m i n } } } \ln T + \sum _ { i \in E } \frac { c _ { i } K } { \Delta _ { i , \mathcal { S } ^ { c } \cap \mathcal { B } , \operatorname* { m i n } } } \ln T \right) + 2 \mu ^ { \star } H ( 1 , \Lambda ) } \\ & { \quad + 2 \mu ^ { \star } L + 2 \mu ^ { \star } T L \left( 3 \xi ( 1 / T ^ { 2 } ) + 2 \xi ( \delta _ { T } / T ^ { 2 } ) \right) } \\ & { = \mathrm { R e g } _ { \mathrm { 1 } } ( T ) + \mathrm { R e g } _ { \mathrm { 2 } } ( T ) + \mathrm { R e g } _ { \mathrm { 3 } } ( T ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ T ~ H ~ G ~ } } ( x ) } & { { } = \mathbf { P } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ H ~ G ~ } } \bigg ( \frac { E _ { x } ( x ) } { E _ { \omega } ^ { ( 0 ) } } \bigg ) ^ { 3 } , } \\ { \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ S ~ F ~ G ~ } } ( x ) } & { { } = \mathbf { P } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ S ~ F ~ G ~ } } \frac { E _ { x } ( x ) } { E _ { \omega } ^ { ( 0 ) } } \frac { E _ { z } ( x ) } { E _ { 2 \omega } ^ { ( 0 ) } } e ^ { i \phi ( x ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } \big [ L I S \big ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor } } \big ) \big ] \leq \mathbb { E } \big [ L I S \big ( \bar { \sigma } | _ { [ 1 , n + 1 - ( \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] ^ { 2 } } \big ) \big ] } \\ & { \leq } & { \sum _ { s = 1 } ^ { 3 } \mathbb { E } [ L I S ( \bar { \sigma } | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) ] + \sum _ { s = 1 } ^ { 3 } \mathbb { E } [ L I S ( \bar { \sigma } | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) ] + \sum _ { s = 1 } ^ { 3 } \mathbb { E } [ L I S ( \bar { \sigma } | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } } ) ] } \\ & { \leq } & { C L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
g _ { r } ^ { \prime \prime } ( r _ { h } ) = { \frac { 2 } { ( r _ { + } ^ { 2 } - D ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } ( r _ { + } ^ { 2 } - D ^ { 2 } - 2 ( r _ { + } - r _ { - } ) r _ { + } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } , \zeta ^ { 4 } ) = } & { \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } - ( 4 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { i } + \zeta _ { 0 } ^ { j } + \zeta _ { 0 } ^ { k } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { i } } + { \zeta ^ { j } } + { \zeta ^ { k } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { i } + \zeta _ { 0 } ^ { l } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { i } } + { \zeta ^ { l } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { j } + \zeta _ { 0 } ^ { k } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { j } } + { \zeta ^ { k } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } \beta _ { 2 } ^ { 3 } + } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + ( 3 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { k } + \zeta _ { 0 } ^ { l } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { k } } + { \zeta ^ { l } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + 2 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { i } + \zeta _ { 0 } ^ { j } + \zeta _ { 0 } ^ { k } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { i } } + { \zeta ^ { j } } + { \zeta ^ { k } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } - \beta _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \epsilon ) } & { \sim \int _ { - \infty } ^ { \infty } g ( \tilde { x } ) e ^ { - f ( \tilde { x } ) / \epsilon - ( x - \tilde { x } ) ^ { 2 } f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) / 2 \epsilon } \mathrm { d } x } \\ & { = g ( \tilde { x } ) e ^ { - f ( \tilde { x } ) / \epsilon } \sqrt { \frac { 2 \pi \epsilon } { f ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) } } . } \end{array}
g _ { n , N } ^ { \lambda } = \delta _ { 0 , n } \hat { f } ( 0 ) + \Gamma ( \lambda ) i ^ { n } ( n + \lambda ) \sum _ { k = - N , k \neq 0 } ^ { N } J _ { n + \lambda } ( \pi k ) \bigg ( \frac { 2 } { \pi k } \bigg ) ^ { \lambda } \hat { f } _ { k } ,
I = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \biggl \{ R - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi _ { 1 } \int _ { \xi _ { 1 } } ^ { 1 } d \xi _ { 2 } \left[ \partial \sigma ( \xi _ { 1 } ) - \partial \sigma ( \xi _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi \; e ^ { - \sigma ( \xi ) } F ( \xi ) ^ { 2 } \biggr \} ,
\operatorname { L i } _ { s } ( e ^ { \mu } ) = \Gamma ( 1 - s ) ( - \mu ) ^ { s - 1 } + \Gamma ( 1 - s ) \sum _ { h = 1 } ^ { \infty } \left[ ( - 2 h \pi i - \mu ) ^ { s - 1 } + ( 2 h \pi i - \mu ) ^ { s - 1 } \right] .
\int _ { \Omega } d f _ { 1 } \wedge \ast \delta ( \mu \wedge d f _ { 2 } ) = \int _ { \partial \Omega } \big ( \langle d f _ { 1 } , \mu \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } i _ { \mathcal { N } } d f _ { 2 } \big ) v _ { \partial \Omega } .
\begin{array} { r l } & { \underbrace { \left( p \times d _ { \mathrm { H } } \right) + T \left[ 4 \left( d _ { \mathrm { H } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + 9 d _ { \mathrm { H } } + 2 \left( d _ { \mathrm { F F } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + d _ { \mathrm { F F } } \right] } _ { \mathrm { p a t c h e d } \ \mathrm { T F } } } \\ { + } & { \underbrace { 3 \left( p _ { \mathrm { s } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + 4 \left( d _ { \mathrm { H } } \times d _ { \mathrm { H } } \right) + 7 d _ { \mathrm { H } } + \left( d _ { \mathrm { H } } \times d _ { \mathrm { O } } \right) + d _ { \mathrm { O } } } _ { \mathrm { p a t c h e d } \ \mathrm { R N N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \left( ( \Phi _ { m ^ { - 1 } } ^ { M } ) ^ { \prime } \circ T _ { \rho _ { M } } \right) ( f _ { v } ) \right) ( m ^ { \prime } ) \right) ( m ^ { \prime \prime } ) } & { = \left( \sigma ( m ^ { - 1 } ) \cdot \left( \left( T _ { \rho _ { M } } ( f _ { v } ) \right) ( m m ^ { \prime } ) \right) \right) ( m ^ { \prime \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( G ) = f ( w _ { 0 } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { j } f _ { j } ( w _ { 1 } ) } & { + \sum _ { 1 \leq j < k \leq 3 } ( - 1 ) ^ { j + k + 1 } f _ { j k } ( w _ { 2 } ) . } \\ & { \in \quad \bar { C } _ { * } ( \mathcal { T } _ { G } ) \oplus \bigoplus _ { j } \bar { C } _ { * } ( \mathcal { T } _ { \partial _ { j } G } ) \oplus \bigoplus _ { j < k } \bar { C } _ { * } ( \mathcal { T } _ { \partial _ { j k } G } ) } \end{array}
P _ { i n c } ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 } \Re \left\{ \alpha ^ { * } ( | \bar { E } _ { 1 } ^ { i n c } | ^ { 2 } + \bar { E } _ { 1 } ^ { i n c } G ^ { * } ( d ) \bar { I } _ { 2 } ^ { * } ) \right\} + \frac { 1 } { 2 } \Re \left\{ \alpha ^ { * } ( | \bar { E } _ { 2 } ^ { i n c } | ^ { 2 } + \bar { E } _ { 2 } ^ { i n c } G ^ { * } ( d ) \bar { I } _ { 1 } ^ { * } ) \right\}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { ( 0 ) } : \Sigma _ { 0 } } & { \longrightarrow \Sigma _ { K e r r } , } \\ { p } & { \longrightarrow \Phi _ { ( 0 ) } ( p ) \big / \, u _ { K e r r } ( \Phi _ { ( 0 ) } ( p ) ) = u ( p ) , \; { \underline { { u } } } _ { K e r r } ( \Phi _ { ( 0 ) } ( p ) ) = { \underline { { u } } } ( p ) , \; x _ { K e r r } ^ { A } ( \Phi _ { ( 0 ) } ( p ) ) = x _ { ( 0 ) } ^ { A } ( p ) . } \end{array}
U ( r ) = \Delta U = \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } \mathbf { F } _ { e x t } \cdot \, d \mathbf { r } = \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { \mathbf { r ^ { 2 } } } } \cdot \, d \mathbf { r } = - { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \left( { \frac { 1 } { r _ { 0 } } } - { \frac { 1 } { r } } \right) = { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { r } }
\mathcal { E } ^ { i } = - \partial _ { t } \left( \frac { E ^ { i } } { B } \right) - \epsilon ^ { i j } \partial _ { j } \left( \frac { E ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } } + g B \right) + \epsilon ^ { i j } \widetilde { E } _ { j } = 0 \, .
A = \int \frac { d \tau } { \tau ^ { 2 } } \sqrt { { 1 + \vec { \phi } _ { \tau } ^ { \, 2 } + \vec { \phi } _ { \sigma } ^ { \, 2 } + \vec { \phi } _ { \tau } ^ { \, 2 } \vec { \phi } _ { \sigma } ^ { \, 2 } - \left( \vec { \phi } _ { \tau } \vec { \phi } _ { \sigma } \right) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { I ( \lambda ) } & { = \int _ { \gamma _ { 1 } } e ^ { \lambda \Phi ( z ) } e ^ { - \frac { z ^ { 2 } } { 4 } } d z + \int _ { \gamma _ { 2 } } e ^ { \lambda \Phi ( z ) } e ^ { - \frac { z ^ { 2 } } { 4 } } d z } \\ & { \sim e ^ { \lambda \Phi ( z _ { 0 } ) - \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } + i \theta _ { 0 } } ( 1 - e ^ { i \frac { 2 \pi } { m } } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { \lambda | \Phi ^ { ( m ) } ( z _ { 0 } ) | } { m ! } \rho ^ { m } } d \rho } \\ & { \sim e ^ { \lambda \Phi ( z _ { 0 } ) - \frac { z _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } + i \theta _ { 0 } } ( 1 - e ^ { i \frac { 2 \pi } { m } } ) \left( \frac { \lambda | \Phi ^ { ( m ) } ( z _ { 0 } ) | } { m ! } \right) ^ { - \frac { 1 } { m } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \rho ^ { m } } d \rho . } \end{array}
P _ { o } ( \mu ) = \Big ( { \frac { \hbar c } { 1 2 \pi ^ { 2 } } } \Big ) \Big ( { \frac { \mu } { \hbar c } } \Big ) ^ { 4 } , \ \ \ n _ { o } = \Big ( { \frac { 1 } { 3 \pi ^ { 2 } } } \Big )
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { t r } } = H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { t r } ( a ) } + H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { t r } ( b ) } + H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { t r } ( c ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ } } & { { } } & { P _ { q } = \frac { \sin ( 2 \theta ) \sin \theta } { r ^ { 2 } } \frac { B _ { q } R ^ { 4 } } { 4 } \mathrm { ~ } } \\ { \mathrm { ~ } } & { { } } & { { \bf B } _ { d , q } = \nabla P _ { d , q } \times \nabla \phi } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { { A _ { + } } = \frac { 2 \ g a m m a _ { m } ^ { + } / \ t a u _ { m } ^ { + } } { ( \ g a m m a _ { m } ^ { + } + 1 / \ t a u _ { m } ^ { + } ) ^ { 2 } + ( \ o m e g a - \ o m e g a _ { m } ^ { + } ) ^ { 2 } } } } \\ { + \frac { 2 \gamma _ { e } ^ { + } / \tau _ { e } ^ { + } } { ( \gamma _ { e } ^ { + } + 1 / \tau _ { e } ^ { + } ) ^ { 2 } + ( \omega - \omega _ { e } ^ { + } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
r = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( A _ { i j } - k _ { i } k _ { j } / 2 M ) k _ { i } k _ { j } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( k _ { i } \delta _ { i j } - k _ { i } k _ { j } / 2 M ) k _ { i } k _ { j } } \, ,
{ \frac { d } { d t } } P _ { 2 } = \bigg [ \partial _ { t } + v _ { 0 } \hat { n } ( \theta ) \cdot \partial _ { \vec { r } } + \Gamma \mathrm { s i n } ( \beta - \theta ) \, \partial _ { \theta } + v _ { 0 } \hat { n } ( \beta ) \cdot \partial _ { \vec { z } } + \Gamma \mathrm { s i n } ( \theta - \beta ) \, \partial _ { \beta } \bigg ] \, P _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } [ W _ { t + 1 } ^ { \prime \prime } - V _ { t + 1 } ^ { \prime \prime } = a \, | \, W _ { t } ^ { \prime \prime } = s + r , \, V _ { t } ^ { \prime \prime } = r ] \quad } & { = \quad \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { s , r , - 1 } ^ { \prime \prime } } & { \mathrm { i f ~ } a = s - 1 } \\ { p _ { s , r , + 1 } ^ { \prime \prime } } & { \mathrm { i f ~ } a = s + 1 } \\ { 1 - p _ { s , r , - 1 } ^ { \prime \prime } - p _ { s , r , + 1 } ^ { \prime \prime } } & { \mathrm { i f ~ } a = s } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\hat { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { ~ V ~ } } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \left( \hat { \xi } _ { x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { x x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { x y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { x z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \left( \hat { \xi } _ { x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { y x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { y y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { y z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \left( \hat { \xi } _ { x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { z x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { z y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { z z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \left( \hat { \xi } _ { x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \beta _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \beta _ { y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \beta _ { z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { h f s } } ^ { { \langle \mathrm { L O } \rangle } \, \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ . ~ + ~ e ~ V ~ P ~ } } ( 1 S , \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 0 . 7 2 ( 2 . 0 7 ) \, \mathrm { p e V } , } \\ { E _ { \mathrm { h f s } } ^ { { \langle \mathrm { L O } \rangle } \, \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ . ~ + ~ e ~ V ~ P ~ } } ( 1 S , \mu \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 7 . 0 ( 1 1 . 6 ) \, \upmu \mathrm { e V } . } \end{array}
T _ { 2 } = - \alpha J _ { n } ^ { 0 } J _ { n } ^ { - } + 2 a J _ { n } ^ { + } - 2 c J _ { n } ^ { 0 } - [ \alpha ( { \frac { n } { 2 } } + 1 ) + 2 b ] J _ { n } ^ { - } - c n
\begin{array} { r l } { \underbrace { \partial _ { t } D _ { 1 1 1 } ^ { s } } _ { T e r m 1 } + \underbrace { \left( \partial _ { r } + \frac { 2 } { r } \right) D _ { 1 1 1 1 } ^ { s } } _ { T e r m 2 } + \underbrace { \left( - \frac { 6 } { r } D _ { 1 1 2 2 } ^ { s } \right) } _ { T e r m 2 ^ { \prime } } = } & { { } \underbrace { - T _ { 1 1 1 } ^ { s } } _ { T e r m 3 } + \underbrace { 2 \nu _ { s } C ^ { n } } _ { T e r m 4 } + \underbrace { \left( - 2 \nu _ { s } Z _ { 1 1 1 } ^ { s } \right) } _ { T e r m 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \hat { X } = i | u , \tilde { X } \in [ 0 , N ) = \mathbb { P } ( X \in [ i , i + 1 ) | u , \tilde { X } \in [ 0 , N ) ) } & { = \frac { \mathbb { P } ( \tilde { X } \in [ i , i + 1 ) | u ) } { \mathbb { P } ( \tilde { X } \in [ 0 , N ) | u ) } } \\ & { = \frac { Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) } { Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - u } { \sigma } \right) } . } \end{array}
\mathbf { f } \_ { \Sigma } ^ { n + 1 } = \sigma ( \kappa _ { \Sigma } \mathbf { n } _ { \Sigma } ) ^ { n } \delta _ { \Sigma } + \eta _ { \Sigma } \left[ \Delta _ { \Sigma } ( \mathbf { u } ) \right] ^ { n + 1 } ,
\begin{array} { r l r } { \omega _ { a s } ( k ) } & { { } = } & { \omega _ { a s , 0 } + \upsilon _ { \mathrm { o } } ( k - k _ { a s , 0 } ) , } \\ { \omega _ { a c } ( k ) } & { { } = } & { \omega _ { a c , 0 } + \upsilon _ { \mathrm { a c } } ( q - q _ { a c , 0 } ) , } \end{array}
\Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( p ) = \frac { 1 } { 2 } \, g ^ { 2 } \, f ^ { a c d } f ^ { b c d } \int d ^ { D } q \, \frac { N ^ { \mu \nu } ( p , q , r ) } { q ^ { 2 } \, r ^ { 2 } }
F _ { \gamma ^ { * } \gamma \pi ^ { 0 } } ^ { \bar { q } q } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 4 \pi } { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \varphi _ { \pi } ( x ) } { x Q ^ { 2 } } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { x Q ^ { 2 } } { 2 \bar { x } \sigma } \right) \right] d x
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \lambda = M _ { 1 } ^ { 2 } } & { \left[ n _ { K } q _ { K } ^ { 2 } \beta _ { K } ^ { 2 } B _ { K } S _ { K } \right. } \\ & { + n _ { L _ { 1 } } q _ { L _ { 1 } } ^ { 2 } \beta _ { L _ { 1 } } ^ { 2 } B _ { L _ { 1 } } S _ { L _ { 1 } } } \\ & { \left. + n _ { L _ { 2 } } q _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } \beta _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } B _ { L _ { 2 } } S _ { L _ { 2 } } + \ldots \right] . } \end{array} } \end{array}
\qquad = a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 1 } \langle b _ { 2 } , \ b _ { 3 } , \ b _ { 4 } \rangle + \langle a _ { 2 } , \ a _ { 3 } , \ a _ { 4 } \rangle b _ { 1 } + \langle a _ { 2 } , \ a _ { 3 } , \ a _ { 4 } \rangle \langle b _ { 2 } , \ b _ { 3 } , \ b _ { 4 } \rangle