harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Sigma _ { \mu \nu } ^ { \alpha } ( \sigma ) = \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { \mu } ^ { \alpha } \sigma , _ { \nu } + \delta _ { \nu } ^ { \alpha } \sigma , _ { \mu } - \sigma , _ { \beta } g _ { \mu \nu } g ^ { \alpha \beta } )
\delta T = \left( \begin{array} { l l } { \Phi _ { i } } & { \widetilde { Q } _ { i } } \\ { Q _ { i } } & { \Phi _ { i + 1 } } \end{array} \right) \in \left( \begin{array} { l l } { \mathbb { C } ^ { i \times i } \cdot \frac { Y } { Z ^ { i + 1 } } e _ { i } } & { \mathbb { C } ^ { i \times ( i + 1 ) } \cdot \frac { Z ^ { i } } { Y } e _ { i + 1 } } \\ { \mathbb { C } ^ { ( i + 1 ) \times i } \cdot \frac { Y } { Z ^ { i + 1 } } e _ { i } } & { \mathbb { C } ^ { ( i + 1 ) \times ( i + 1 ) } \cdot \frac { Z ^ { i } } { Y } e _ { i + 1 } } \end{array} \right)
\operatorname * { l i m } _ { \{ \alpha _ { f } \} \to \infty } \frac { \operatorname * { d e t } [ C ( \tilde { z } _ { p } , \tilde { \zeta } _ { q } ) ] _ { p , q = 1 , \dots , k + N _ { f } } } { \Delta _ { N _ { f } } ( \alpha ) } = \mathcal { F } \cdot \operatorname * { d e t } \mathcal { A }
\frac { \mathrm d } { \mathrm d t } \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { x v } } \\ { \sigma _ { v v } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { - \omega ^ { 2 } } & { - \Gamma } & { 1 } \\ { 0 } & { - 2 \omega ^ { 2 } } & { - 2 \Gamma } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { x v } } \\ { \sigma _ { v v } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { 2 k _ { B } T _ { 0 } \Gamma } { m } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { { \cal V } _ { \mathrm { h y } } ( \lambda , \mathrm { K n } ) } & { { } = \frac { \eta ( \lambda , \mathrm { K n } ) } { 3 } \int R _ { \mathrm { H D } } ^ { 3 } ( \Omega ) d \Omega } \end{array}
\widetilde { h } _ { i , n , s } ^ { ( B C , t ) } = \frac { \widetilde { g } _ { i , n , s } ^ { ( B C , T X , t ) } \widetilde { g } _ { i , n , s } ^ { ( B C , R X , t ) } } { 4 \pi \frac { \widetilde { d } _ { i , s } ^ { ( B C , t ) } } { \lambda } \sqrt { \kappa B T _ { i } } } e ^ { - \jmath \frac { 2 \pi } { \lambda } \widetilde { d } _ { B C , i , s } ^ { ( t ) } }
d s _ { \mathrm { a s y m } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } M _ { i j } d { \bf x } _ { i } \cdot d { \bf x } _ { j } + \frac { g ^ { 4 } } { 2 ( 4 \pi ) ^ { 2 } } ( M ^ { - 1 } ) _ { i j } ( d \xi _ { i } + { \bf W } _ { i k } \cdot d { \bf x } _ { k } ) ( d \xi _ { j } + { \bf W } _ { j l } \cdot d { \bf x } _ { l } ) \, \, .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) } & { { } = D \left[ \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \right] \langle \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle } \\ { t i m e s } \end{array}
\sum _ { j _ { 1 2 } } ( - 1 ) ^ { 2 ( 2 ( j _ { 1 } + j _ { 2 } ) ( j _ { 1 2 } + j _ { 1 2 } ^ { \prime } ) + j _ { 1 2 } ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { { j _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } } } & { { j _ { 1 2 } } } \\ { { j _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } } } & { { j _ { 1 2 } ^ { \prime } } } \end{array} \right\} ^ { S } = 1 ~ .
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { ~ S ~ L ~ - ~ G ~ G ~ A ~ } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { { } = \Sigma _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { ~ S ~ L ~ - ~ M ~ G ~ G ~ A ~ } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { { } = \Sigma _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) k _ { 2 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ - ~ G ~ G ~ A ~ } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { { } = \Sigma _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ - ~ M ~ G ~ G ~ A ~ } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { { } = \Sigma _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { f } = \left( \frac { \rho _ { e } ^ { \gamma } a _ { f } ^ { 2 } } { \gamma p _ { e } } \right) ^ { \frac { 1 } { \gamma - 1 } } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \ } & { p _ { f } = \frac { \rho _ { f } a _ { f } ^ { 2 } } { \gamma } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\boldsymbol { \tau } _ { k } = \mu _ { e f f , k } \left[ \nabla \mathbf { u } _ { k } + ( \nabla \mathbf { u } _ { k } ) ^ { T } - \frac { 2 } { 3 } \mathbf { I } \nabla \cdot \mathbf { u } _ { k } \right] ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } ( \tilde { \rho } _ { \alpha } \eta _ { \alpha } ) + \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \eta _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) + \mathrm { d i v } \left( \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } \right) - \tilde { \rho } _ { \alpha } s _ { \alpha } = \mathscr { P } _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \triangledown } = \int _ { \triangledown } \! \mathcal { D } \bar { \psi } _ { \pm } \psi _ { \pm } \exp \! \Bigg \{ \int _ { \triangledown } \! d ^ { 2 } x \Big [ \bar { \psi } _ { \pm } i \gamma ^ { a } \left( \partial _ { a } \pm i \mathcal { A } _ { a } \right) \psi _ { \pm } } \\ { \quad \ + \bar { \psi } _ { \mp } \gamma ^ { a } \epsilon _ { a b } \mathcal { S } ^ { b } \psi _ { \pm } \Big ] \Bigg \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ( t , \mathbf u ) } & { \approx v ( t - \frac T N , \mathbf u ) + \frac { M T } N \Big ( v ( t - \frac T N , \mathbf u + \frac { R ^ { s i g } ( \mathbf u ) } M ) - v ( t - \frac T N , \mathbf u ) \Big ) } \\ & { = \lambda ( v ( t - \frac T N , A _ { M } ^ { s i g } ( \mathbf u ) ) + ( 1 - \lambda ) v ( t - \frac T N , \mathbf u ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta \left( r , \theta , t \right) = \hat { \eta } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } , \, B _ { 1 } } \left( r \right) \left( A e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t - \theta + \Phi _ { A } \right) } + B e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t + \theta + \Phi _ { B } \right) } \right) } \\ { + c . c . \, . \ \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { \mathrm { a t o m } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r } } n ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left( \alpha \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r , H F } } + \beta \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { l r , H F } } \right) \frac { n ^ { 2 } } { d _ { l } } + \mathcal { O } ( n ) . } \end{array}
\beta ( J ^ { \prime } , J ) = \frac { \omega _ { J ^ { \prime } J } ^ { 3 } \left| \langle J ^ { \prime } | \! | \mathbf { d } | \! | J \rangle \right| ^ { 2 } } { \sum _ { J ^ { \prime \prime } } \omega _ { J ^ { \prime } J ^ { \prime \prime } } ^ { 3 } \left| \langle J ^ { \prime } | \! | \mathbf { d } | \! | J ^ { \prime \prime } \rangle \right| ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \| \phi \| _ { 0 , e } ^ { 2 } } & { \lesssim } & { \| b _ { e } ^ { 1 / 2 } \phi \| _ { 0 , e } ^ { 2 } = ( \phi , b _ { e } \phi ) = \langle [ \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } \right) ] _ { e } , \tilde { \phi } _ { b } \rangle _ { e } } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 , 2 } \left( ( \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } \right) , \tilde { \phi } _ { b } ) _ { \tau _ { i } } + ( \boldsymbol { f } _ { h } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } , \nabla \tilde { \phi } _ { b } ) _ { \tau _ { i } } \right) , } \end{array}
- 2 ( \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } , \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) \leq 2 \| \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 , h } \cdot \| \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } \leq 4 \varepsilon ^ { - 2 } \| \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 , h } ^ { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 4 } \| \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { u } _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { - \nu _ { k l m } \, \left( \vec { u } _ { k } - \vec { b } _ { k l m } \right) \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { l } } { d t } } & { { } \approx } & { - \nu _ { l m k } \, \left( \vec { u } _ { l } - \vec { b } _ { l m k } \right) \, , } \\ { \frac { d \vec { u } _ { m } } { d t } } & { { } \approx } & { - \nu _ { m k l } \, \left( \vec { u } _ { m } - \vec { b } _ { m k l } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi \nabla \bar { \mu } = } & { { } ~ \nabla ( \bar { \mu } \phi - \bar { \Psi } ) + \mathrm { d i v } \left( \nabla \phi \otimes \frac { \partial \bar { \Psi } } { \partial \nabla \phi } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ( h ) } & { = } & { - 1 - \langle G _ { S } \rangle - \ln \left[ 4 \pi h A ^ { 2 } ( \rho ) s _ { \zeta } ^ { 2 } ( 1 , \rho ) \right] - 2 \rho \ln \rho \left[ \frac { A ^ { \prime } ( \rho ) } { A ( \rho ) } + \frac { s _ { \zeta , \rho } ( 1 , \rho ) } { s _ { \zeta } ( 1 , \rho ) } \right] , } \\ { \gamma ( h ) } & { = } & { - \frac { h G _ { S } ^ { ( 2 , 0 ) } } { \pi } - \frac { h \pi } { 3 } \left( B ( \rho ) + 1 2 \langle G _ { D } \rangle \right) , } \\ { \beta ( h ) } & { = } & { - 4 \langle G _ { D } \rangle \left( G _ { S } ^ { ( 2 , - 2 ) } + G _ { S } ^ { ( 2 , 2 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } c _ { i } ^ { \mathrm { g l o b } } < \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } c _ { i } ^ { \mathrm { l o c } } } \\ { \Leftrightarrow \; } & { 1 + r _ { p } + ( s + n _ { 1 } + n _ { 2 } - \# | D | + d - \rho _ { f } + \frac 1 2 r _ { p } ( r _ { p } + 1 ) ) < 1 + g + ( d + n - 1 + \frac 1 2 g ( g + 1 ) ) } \\ { \Leftrightarrow \; } & { 0 < \frac 1 2 g ( g + 3 ) - \frac 1 2 r _ { p } ( r _ { p } + 3 ) + \rho _ { f } + \# | D | + n _ { 2 } - 1 - s . } \end{array}
| \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \; \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) \dots \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r } { \Lambda _ { w } ( T ) = - 0 . 9 0 0 3 + 2 . 5 0 0 6 \frac { T _ { a b s } } { 2 9 8 . 1 5 } - 0 . 9 9 3 8 ( \frac { T _ { a b s } } { 2 9 8 . 1 5 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 } ( \tau | L _ { f } ) = \frac { L _ { f } 4 ^ { \frac { \gamma } { D } } e ^ { - \frac { 2 L _ { f } } { D \tau } } \left( \frac { D \tau } { L _ { f } } \right) ^ { - \frac { 2 \gamma } { D } } } { \gamma \tau ^ { 2 } \Gamma \left( \frac { 2 \gamma } { D } \right) } } \end{array}
\begin{array} { c c } { \boldsymbol { \nabla \cdot E } = k \rho } & { \boldsymbol { \nabla \cdot B } = 0 } \\ { \boldsymbol { \nabla \times } \frac { \boldsymbol { E } } { \alpha } = - L _ { e _ { 0 } } \boldsymbol { B } } & { \boldsymbol { \nabla \times B } = \frac { k } { \alpha } \frac { \boldsymbol { J } } { c } + L _ { e _ { 0 } } \frac { \boldsymbol { E } } { \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { q } ( T ; X ) } & { { } = \frac { - 1 } { 2 \bar { q } } \sum _ { i } ^ { \; \; \beta > \beta _ { c } ^ { ( i ) } } \ln \frac { ( 1 + u _ { i } ) ^ { q } } { 1 + ( 1 - \bar { q } ^ { 2 } ) u _ { i } } } \\ { I _ { q } ( T ; Y ) } & { { } = \frac { - 1 } { 2 \bar { q } } \sum _ { i } ^ { \; \; \beta > \beta _ { c } ^ { ( i ) } } \ln \frac { ( 1 + \lambda _ { i } u _ { i } ) ^ { \bar { q } } ( 1 + u _ { i } ) ^ { q } } { 1 + [ 1 - \bar { q } ^ { 2 } ( 1 - \lambda _ { i } ) ] u _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \sigma _ { \alpha \beta } } } & { = \mathcal { M } \left( \frac { 1 } { 2 p } \right) \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) , } \\ { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial q _ { \alpha } } } & { = \mathcal { M } \left( \frac { C _ { \alpha } } { p v _ { T } } \right) \left( \frac { C ^ { 2 } } { 5 } - 1 \right) . } \end{array}
{ \dot { x } } ^ { \mu } \to \xi ^ { \underline { { { \mu } } } } = E _ { \ \nu } ^ { \underline { { { \mu } } } } \, { \dot { x } } ^ { \nu } = \left( \xi ^ { \underline { { { 0 } } } } , \xi ^ { \underline { { { a } } } } \right) \, ,
T = e ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \int _ { 0 } ^ { \ell } n _ { i } ( z ) \mathrm { d } z } = 1 0 ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varepsilon _ { i } \int _ { 0 } ^ { \ell } c _ { i } ( z ) \mathrm { d } z } ,
\langle n ( T ) \rangle _ { \mathrm { { F D } } } = \frac { 1 } { e ^ { ( \varepsilon - \mu ) / k _ { B } T } + 1 } \equiv \frac { e ^ { - ( \varepsilon - \mu ) / k _ { B } T } } { 1 + e ^ { - ( \varepsilon - \mu ) / k _ { B } T } } ,
\psi - \psi _ { f } \simeq - \frac { I } { \Omega _ { f } } \frac { ( \mu B _ { f } + v _ { \parallel f } ^ { 2 } ) \left( B / B _ { f } - 1 \right) + Z e ( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } ) / m } { v _ { \parallel f } + u _ { f } } \sim \epsilon \rho _ { p } R B _ { p } .
\begin{array} { r } { - 4 \pi a _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } \rho _ { \mathrm { d } } \left( \frac { \mathrm { d } a _ { \mathrm { d } } } { \mathrm { d } x } \right) _ { \mathrm { e v a p } } = \frac { 4 \pi a _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { d } } } J _ { \mathrm { e v a p } } . } \end{array}
\langle \bar { \psi } \psi \rangle = \mathrm { t r } S ( x = 0 ) = \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \frac { p ^ { 2 } B ( p ^ { 2 } ) } { p ^ { 2 } A ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) + B ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } ,
\mathbf { \hat { x } } _ { a v } ^ { T \hat { \mathcal { G } } } = R \mathbf { \hat { x } } _ { a v } ^ { \hat { \mathcal { G } } } + t \quad \Rightarrow \quad \bar { \mathbf { x } } ^ { \mathbf { T v } } = R \bar { \mathbf { x } } ^ { \mathbf { v } } + t
{ \cal { R } } _ { r \phi } ^ { ( { H } ) } = + \frac { \partial H } { \partial r } \left( { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } r U _ { \theta } - \frac { 1 } { r } \frac { \partial U _ { r } } { \partial \theta } } \right) .
N _ { 2 i j } = \bigg \{ \frac { 1 } { 2 } N _ { 1 i k } \left( \frac { \delta ^ { 3 } A ( \Phi ) } { \delta \Phi _ { k } \delta \Phi _ { p } \delta \Phi _ { q } } \right) N _ { 1 p r } N _ { 1 q s } \left( \frac { \delta ^ { 3 } A ( \Phi ) } { \delta \Phi _ { l } \delta \Phi _ { r } \delta \Phi _ { s } } \right) N _ { 1 l j }
A _ { 1 } = z _ { c } \left( \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) \log { \left( \frac { \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } } { \beta _ { 2 } } \right) } - \beta _ { 1 } \log { \left( \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 2 } } \right) } \right) .
S _ { i j } = \left( \begin{array} { r r r } { { - 2 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { - 2 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 2 } } \end{array} \right)
( \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } , 0 , \left[ \begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ \ \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ \ \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } } \end{array} \right] ) , ( 0 , \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } , \left[ \begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } \ \ \ \frac { \partial ^ { 2 } f _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right] ) .
< \Phi ^ { * } \Phi > _ { \Lambda } = \int _ { 0 } ^ { \Lambda } { \frac { d ^ { 2 } p } { 8 \pi ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( p ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } } \propto { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M } }
d \sigma = { \frac { \alpha } { 5 4 \pi } } { \left( \frac { Z \alpha } { \pi } \right) } ^ { 2 } { \frac { G _ { F } ^ { 2 } q _ { m } ^ { 2 } } { \pi } } { \frac { d \omega } { \omega } } \left( 1 - { \frac { \omega } { E _ { \nu } } } + { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \frac { \omega } { E _ { \nu } } \right) } ^ { 2 } \right) \quad \ln ^ { 3 } \left( { \frac { 2 \omega } { q _ { m } } } \right) ,
T _ { \mu \nu } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \rho + \beta ^ { 2 } p _ { z } } & { 0 } & { 0 } & { - \beta p _ { z } } \\ { 0 } & { p _ { r } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { r ^ { 2 } p _ { \varphi } } & { 0 } \\ { - \beta p _ { z } } & { 0 } & { 0 } & { p _ { z } } \end{array} \right] .
W ^ { ( { D } ) } ( { \bf r } ) = { \mathcal F } _ { ( { D } ) } ^ { - 1 } \left\{ \widetilde { W } ( { \bf k } ) \right\} = \int \frac { d ^ { { D } } k } { ( 2 \pi ) ^ { { D } } } \; e ^ { i { \bf k } \cdot { \bf r } } \, \widetilde { W } ( { \bf k } ) \; ,
\hat { \tilde { \rho } } _ { 1 } = \operatorname { T r } _ { 2 } | \tilde { \psi } \rangle \langle \tilde { \psi } | = \int d \mathbf { r } _ { 2 } \langle \mathbf { r } _ { 2 } | \tilde { \psi } \rangle \langle \tilde { \psi } | \mathbf { r } _ { 2 } \rangle
Q _ { \alpha \beta } ^ { ( m ) } = \frac { 1 } { 3 c } \int \left[ ( \vec { r } \times \vec { j } ) _ { \alpha } r _ { \beta } + \left[ ( \vec { r } \times \vec { j } ) _ { \beta } r _ { \alpha } \right] \right] d ^ { 3 } r ,
\begin{array} { r l } { d _ { w } ( f _ { 0 } , p _ { 0 } ) = \operatorname* { m i n } _ { p \in \mathscr P _ { N } ( f _ { 0 } ) } d _ { w } ( f _ { 0 } , p ) \leq d _ { w } ( f _ { 0 } , p _ { k } ) } & { = d _ { w } ( f _ { 0 } , f _ { k } ) + d _ { w } ( f _ { k } , p _ { k } ) } \\ & { \leq d _ { w } ( f _ { 0 } , f _ { k } ) + d _ { w } ( f _ { k } , p _ { 0 } ) } \\ & { \leq 2 d _ { w } ( f _ { 0 } , f _ { k } ) + d _ { w } ( f _ { 0 } , p _ { 0 } ) . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \sinh 2 t \left( - d t ^ { 2 } + d x ^ { 2 } + e ^ { - 2 x } \left[ \left( \mathrm { t a n h } t \right) ^ { \sqrt { 3 } } d y ^ { 2 } + \left( \mathrm { t a n h } t \right) ^ { - \sqrt { 3 } } d z ^ { 2 } \right] \right)
\frac { \nu } { 2 } + \nu \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { 2 \pi \nu } - 1 } \right) = \nu { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { - 2 \pi m \nu }
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { U } ( \gamma ) } \left\{ \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { t } } } | \langle A _ { i } , \Delta W _ { 1 } W _ { 2 } ^ { \star } \rangle | \right\} \geq \frac { 1 } { 3 } \cdot \sqrt { \frac { k - r } { d _ { 2 } } } \cdot \sqrt { \frac { p p _ { 0 } } { s d _ { 1 } d _ { 2 } } } \cdot \gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n + 1 } x _ { j } \left[ P _ { 2 \gamma } ^ { g _ { c } } , x _ { j } \right] \right) Y _ { h } } & { = \left( \mu _ { h + 1 } ( 2 \gamma ) - \mu _ { h } ( 2 \gamma ) \right) Y _ { h } } \\ & { + \frac { \mu _ { h + 1 } ( 2 \gamma ) - \mu _ { h - 1 } ( 2 \gamma ) } { 1 - n - 2 h } \left( | x | ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n + 1 } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \mathcal { Y } _ { h } \right) \bigg | _ { S ^ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| u _ { j } ^ { t + 1 } \| _ { 2 } = \| u _ { j } ^ { t } \| _ { 2 } = \ldots = \| u _ { j } ^ { t ^ { * } + 1 } \| _ { 2 } \leq \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \| \Lambda ^ { t ^ { * } + 1 } - \Lambda ^ { t ^ { * } } \| _ { 2 } + \| \mathcal { F } ( \omega ^ { t ^ { * } + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t ^ { * } + 1 } ) \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \hat { \mathrm { I } } ( \mathbf { x } , z ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } & { { } = \sum _ { \mu } \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mu } , } \end{array}
M _ { R } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { A \epsilon ^ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { A \epsilon ^ { 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \Lambda _ { R }
\begin{array} { r l } { | E _ { 1 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( | e e 1 \rangle - | e g 2 \rangle - | g e 3 \rangle + | g g 4 \rangle ) } \\ { | E _ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( - | e e 1 \rangle - | e g 2 \rangle + | g e 3 \rangle + | g g 4 \rangle ) } \\ { | E _ { 3 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( - | e e 1 \rangle + | e g 2 \rangle - | g e 3 \rangle + | g g 4 \rangle ) } \\ { | E _ { 4 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( | e e 1 \rangle + | e g 2 \rangle + | g e 3 \rangle + | g g 4 \rangle ) } \end{array}
{ \mathscr E } _ { s f } ( { M } ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { 3 } } \! | \nabla U | ^ { 2 } d x = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { 3 } } \! | { H } _ { d } | ^ { 2 } d x .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = { v _ { 2 } } ^ { T } \tilde { A } _ { 2 2 } X { v _ { 2 } } + { v _ { 2 } } ^ { T } X \tilde { A } _ { 2 2 } ^ { T } { v _ { 2 } } + { v _ { 2 } } ^ { T } \tilde { Z } _ { 2 2 } { v _ { 2 } } } \\ & { = \lambda { { v _ { 2 } } ^ { T } } X { v _ { 2 } } + { v _ { 2 } } ^ { T } X \bar { \lambda } { v _ { 2 } } + { v _ { 2 } } ^ { T } \tilde { Z } _ { 2 2 } { v _ { 2 } } } \\ & { = ( \lambda + \bar { \lambda } ) { v _ { 2 } } ^ { T } X { v _ { 2 } } + { v _ { 2 } } ^ { T } \tilde { Z } _ { 2 2 } { v _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( \partial _ { z } ^ { 2 } + \partial _ { z } + z ^ { - 1 } L _ { S } ) u = \eta _ { z _ { 0 } } ( z ) \cdot \left( \mathscr { R } ( u ) + z ^ { - 1 } \mathscr { T } ( 0 ) \right) , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S \times \mathbb { R } _ { > z _ { 0 } / 1 2 } ; } \\ { u ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = 0 , \ \ \ \Pi _ { < 0 } \partial _ { z } u ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = \varphi , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mu ^ { \mathrm { e f f } } } { \partial N } \, = \, \frac { 1 } { g _ { \mathrm { D O S } } ^ { T } ( \mu ^ { \mathrm { e f f } } ) } + \int \Gamma _ { \mathrm { L D O S } } ^ { T } ( \mu ^ { \mathrm { e f f } } , \mathbf { r } ) \left( - e \frac { \partial \phi ( \mathbf { r } ) } { \partial N } + \frac { \partial \mu _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ) } { \partial N } + \frac { \partial \mu _ { \mathrm { c } , e } ^ { e I } ( \mathbf { r } ) } { \partial N } \right) \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\begin{array} { c } { \kappa _ { c r } = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 } , } & { 0 \le t \le \eta \tau } \\ { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { \eta \tau } { t } - 1 ) + 1 \right] , } & { \eta \tau \le t \le \tau } \\ { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { \eta \tau } { 2 \tau - t } - 1 ) + 1 \right] , } & { \tau \le t \le ( 2 - \eta ) \tau } \\ { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { 2 \tau - t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 } , } & { ( 2 - \eta ) \tau \le t \le 2 \tau } \end{array} \right. } \\ { \kappa _ { c \theta } = \left\lbrace \begin{array} { c c } { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 \right] , } & { 0 \le t \le \eta \tau } \\ { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { \eta \tau } { t } - 1 ) + 1 } , } & { \eta \tau \le t \le \tau } \\ { \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { \eta \tau } { 2 \tau - t } - 1 ) + 1 } , } & { \tau \le t \le ( 2 - \eta ) \tau } \\ { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } \left[ ( 1 - \frac { 2 \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } ) ( \frac { 2 \tau - t } { \eta \tau } - 1 ) + 1 \right] . } & { ( 2 - \eta ) \tau \le t \le 2 \tau } \end{array} \right. } \end{array}