harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Gamma _ { t \bar { t } \gamma \gamma } ( \vec { p } , E ) = \Gamma _ { t \bar { t } \gamma \gamma } ^ { 0 } ~ \left\{ \frac { \vec { p } ^ { 2 } } { m _ { t } } - E - i \Gamma _ { t } \right\} ~ G _ { t } ( \vec { p } ; E )
\nu _ { - } = \left( \begin{array} { c c } { { I _ { n } } } & { { 0 } } \\ { { \nu _ { - 2 1 } } } & { { I _ { k } } } \end{array} \right) , \qquad \nu _ { + } = \left( \begin{array} { c c } { { I _ { n } } } & { { \nu _ { + 1 2 } } } \\ { { 0 } } & { { I _ { k } } } \end{array} \right) , \qquad \eta = \left( \begin{array} { c c } { { \eta _ { 1 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \eta _ { 2 2 } } } \end{array} \right) ,
L = - m _ { c l } + \frac { I _ { 1 } } { 2 } \sum _ { m = 1 , 2 , 3 } ( i W ^ { \dag } \dot { W } ) _ { m } ^ { 2 } + \frac { I _ { 2 } } { 2 } \sum _ { \alpha = 4 \ldots 7 } ( i W ^ { \dag } \dot { W } ) _ { \alpha } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { 1 2 } } ( i W ^ { \dag } \dot { W } ) _ { 8 }
\begin{array} { r l r } { O _ { k i } } & { = } & { \frac { \langle { \Psi _ { k } | \hat { O } | \Psi _ { i } } \rangle } { \sqrt { \langle { \Psi _ { k } | \Psi _ { k } } \rangle { \langle { \Psi _ { i } | \Psi _ { i } } \rangle } } } } \\ & { = } & { \frac { \langle { \Phi _ { k } | \{ 1 + S _ { k } ^ { \dagger } \} e ^ { T ^ { \dagger } } { \hat { O } } e ^ { T } \{ 1 + S _ { i } \} | \Phi _ { i } } \rangle } { \sqrt { { \langle { \Phi _ { k } | \{ 1 + S _ { k } ^ { \dagger } \} e ^ { T ^ { \dagger } } e ^ { T } \{ 1 + S _ { k } \} | \Phi _ { k } } \rangle \langle \Phi _ { i } | \{ 1 + S _ { i } ^ { \dagger } \} e ^ { T ^ { \dagger } } e ^ { T } \{ 1 + S _ { i } \} | \Phi _ { i } } \rangle } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { C } _ { 3 , 1 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ) } } & { \lesssim \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } \Vert \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) } \leq \Lambda ( T , R ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C \left( \theta \right) } & { { } = q V _ { 0 } \alpha \sin \left( \theta - \mu _ { 0 } \right) + \frac { q ^ { 2 } V _ { 0 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } P _ { 0 } c } \left[ \sigma _ { 0 } + \sigma _ { 1 } \sin \left( 2 \theta - \mu _ { 1 } \right) \right] } \end{array}
\mathrm { ~ g ~ a ~ t ~ e ~ c ~ o ~ m ~ p ~ l ~ e ~ x ~ i ~ t ~ y ~ } = O ( \ensuremath { \mathrm { ~ K ~ n ~ } } ^ { - 1 } e _ { r } L ^ { - 1 } \tilde { T } \ensuremath { \operatorname { p o l y } } \log ( n / \epsilon ) ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial z } { \partial t } + v ( g ^ { n } ) \cdot \nabla z + v ( d ^ { n } ) \cdot \nabla \theta ( g ^ { n } ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { z ( t = 0 ) } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
f _ { \hat { P } } ( t ) = C \times \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { e ^ { \beta _ { 2 } t } } { \Gamma ( \alpha _ { 2 } ) } U \left( { 1 - \alpha _ { 2 } \atop 2 - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } } ; - ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) t \right) } & { t < 0 } \\ { \frac { e ^ { - \beta _ { 1 } t } } { \Gamma ( \alpha _ { 1 } ) } U \left( { 1 - \alpha _ { 1 } \atop 2 - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } } ; ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ) t \right) } & { t \geq 0 , } \end{array} \right.
c _ { 1 } = \frac { c _ { \mathrm { l r } } c _ { h } } { a _ { \mathrm { l r } } v _ { \mathrm { l r } } } , \; \; \; c _ { 2 } = \frac { 2 4 5 e ^ { 2 } b ^ { 9 } } { v _ { \mathrm { l r } } } .
\tilde { \rho } _ { { \left| 0 \right\rangle } _ { L } } ( \omega ) = \tilde { \rho } _ { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } ( \omega ) + \Delta \tilde { \rho } _ { L } ( \omega ) \quad \mathrm { w h e r e } ~ \Delta \tilde { \rho } _ { L } ( \omega ) = - \frac { e ^ { - \left( \frac { 1 } { 2 } - \xi - i \chi \right) | \omega | } + e ^ { - \left( \frac { 3 } { 2 } + \xi + i \chi \right) | \omega | } } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } .
\rho ( { \boldsymbol { \beta } } , \sigma ^ { 2 } \mid \mathbf { y } , \mathbf { X } ) \propto \rho ( { \boldsymbol { \beta } } \mid \sigma ^ { 2 } , \mathbf { y } , \mathbf { X } ) \rho ( \sigma ^ { 2 } \mid \mathbf { y } , \mathbf { X } ) ,
\begin{array} { l r c l } { { \pm e _ { i } \pm e _ { j } } } & { { ( 2 4 ) } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { i \neq j \; \mathrm { a n d } \; i , j = 1 , 2 , 3 , 4 } } \\ { { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) _ { a } } } & { { ( 2 ) } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { a = 1 , 2 . } } \end{array}
\sum _ { j , l = 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { 0 } ^ { a } \mathbf { R } ( \theta , \varphi ) \left( { \bf r } _ { l } - { \bf r } _ { j } \right) } \frac { \Gamma _ { j l } ^ { a } } { N \Gamma _ { 0 } ^ { a } } > 1 + \frac { \Gamma _ { 0 } } { \Gamma _ { 0 } ^ { a } } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } { \Delta \theta } _ { A } ^ { 1 } = } & { - q _ { k } ^ { 2 } \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { 1 } - \Delta \theta _ { B } ^ { 1 } \big ) \frac { \kappa ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } } { \beta } + Q + \xi _ { \theta _ { A } ^ { 1 } } \, , } \\ { \partial _ { t } { \Delta \theta } _ { B } ^ { 1 } = } & { ~ q _ { k } ^ { 2 } \big ( \Delta \theta _ { A } ^ { 1 } - \Delta \theta _ { B } ^ { 1 } \big ) \beta + \xi _ { \theta _ { B } ^ { 1 } } \, , } \end{array}
\mathcal { L } ( \mathbf { w } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { A \in \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \left[ Y _ { A } - \sum _ { A _ { i } \in A } \Tilde { y } ( A _ { i } | \mathbf { w } ) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { k _ { n } } & { = } & { \sigma _ { n - 1 } \, k _ { n - 1 } = \cdots = \sigma _ { n - 1 } \cdots \sigma _ { 1 } \, \sigma _ { 0 } \, k _ { 0 } \quad , \quad \equiv \hat { \sigma } \, k _ { 0 } } \\ { H ( k _ { n } ) } & { = } & { \sigma _ { n - 1 } \, \tau _ { n - 1 } \, H ( k _ { n - 1 } ) } \\ & { = } & { \left( \sigma _ { n - 1 } \, \cdots \, \sigma _ { 1 } \, \sigma _ { 0 } \right) \, \cdots \left( \tau _ { n - 1 } \, \cdots \, \tau _ { 1 } \, \tau _ { 0 } \right) H ( k _ { 0 } ) } \\ & { \equiv } & { \hat { \sigma } \, \hat { \tau } \, H ( k _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { \eta } ( t ) } { \hat { \eta } ( 0 ) } = 1 } & { { } - \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \exp { ( s _ { n } t ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \Bigg [ \frac { 1 } { s _ { n } | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ] - \frac { \textbf { i } } { \hat { \eta } ( 0 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \Bigg [ \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( 0 ) | } \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A d j ( \mathscr { D } ( 0 ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( 0 ) \Bigg ] . } \end{array}
E _ { \mathrm { X C } } [ n ] = \frac { 1 } { 2 } \iint \frac { n ( \mathbf { r } _ { 1 } ) h _ { \mathrm { X C } } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) } { \left| \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } \right| } \, d \mathbf { r } _ { 1 } d \mathbf { r } _ { 2 } .
n _ { i } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ \ .
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 1 2 9 } ( \theta _ { \mathrm { l o c k } } ) } & { { } = } & { \frac { \omega _ { \mathrm { c a l } } - \omega _ { 1 2 9 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } , } \\ { \varphi _ { 1 3 1 } ( \theta _ { \mathrm { l o c k } } ) } & { { } = } & { - \frac { \omega _ { \mathrm { c a l } } + \omega _ { 1 3 1 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial { t } } \left( \rho \vec { v } \right) + \nabla . \left( \rho \vec { v } \otimes \vec { v } \right) = - \nabla { p } + \nabla . \left[ \mu \left( \nabla \vec { v } + \nabla { \vec { v } } ^ { T } \right) \right] + \rho \vec { g } + \vec { F }
\frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { d \Gamma } { d z } = z \bigg \{ 1 + \frac { \alpha _ { s } ( M ) } { 6 \pi } \big [ C _ { A } ( 2 \pi ^ { 2 } - 1 7 ) + 2 n _ { f } \big ] \ln ( 1 - z ) \bigg \} \, .
\int { \frac { x ^ { 2 } } { ( a x + b ) ^ { n } } } \, d x = { \frac { 1 } { a ^ { 3 } } } \left( - { \frac { ( a x + b ) ^ { 3 - n } } { ( n - 3 ) } } + { \frac { 2 b ( a x + b ) ^ { 2 - n } } { ( n - 2 ) } } - { \frac { b ^ { 2 } ( a x + b ) ^ { 1 - n } } { ( n - 1 ) } } \right) + C \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \not \in \{ 1 , 2 , 3 \} { \mathrm { ) } }
P _ { [ \hat { U } , \hat { \rho } ] } ( q , p ) = i \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { \partial U } { \partial q } \left( q + i \hbar \lambda \frac { \partial } { \partial p } \right) P _ { \hat { \rho } } ( q , p ) \approx i \hbar \frac { \partial U } { \partial q } P _ { \hat { \rho } } ( q , p ) + O ( \hbar ^ { 2 } ) .
( U _ { 0 } , U _ { \pi } , U _ { \beta } ) ~ = ~ \left\{ \begin{array} { c c } { { ( + 1 , + 1 , - 1 ) } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ ( \textrm { A } ) } } \\ { { ( + 1 , - 1 , + 1 ) } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ ( \textrm { B } ) } } \end{array} \right. .
G ^ { B = 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { \lambda ^ { ( 0 ) } + \psi ^ { ( 0 ) } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { \lambda ^ { ( 0 ) } - \psi ^ { ( 0 ) } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \xi _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \xi _ { 2 } } } \end{array} \right)
\partial _ { 1 } n _ { 1 } | _ { x = 0 } = g \, \, \partial _ { 0 } n _ { 2 } | _ { x = 0 } \qquad \mathrm { { a n d } } \qquad \partial _ { 1 } n _ { 2 } | _ { x = 0 } = - g \, \, \partial _ { 0 } n _ { 1 } | _ { x = 0 }
\begin{array} { r l } { T _ { r } ^ { i } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) = \rho | \mathbf { U } | ^ { 2 } L ^ { 3 } \sin { ( 2 \theta ) } \frac { 5 \pi } { 4 8 ( 1 + R e _ { L } ^ { * 1 . 9 9 1 } ) ^ { 0 . 3 3 1 } } } & { { } \left( \frac { 1 } { \ln ^ { 2 } ( 3 \chi ) } + \frac { 2 . 2 4 4 - 1 . 8 1 3 R e _ { L } ^ { * 0 . 5 4 3 } } { \ln ^ { 3 } ( 3 \chi ) } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle 1 _ { \pm } ^ { \prime } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { \pm } ^ { \prime } \rangle } & { = } & { \langle 1 _ { \pm } | \left( 1 - \hat { H } _ { \mathrm { Z e e } } \hat { Q } _ { 1 } \right) \hat { V } _ { j } \left( 1 - \hat { Q } _ { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { Z e e } } \right) | 1 _ { \pm } \rangle + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \langle 1 _ { \pm } | \hat { V } _ { j } | 1 _ { \pm } \rangle - \langle 1 _ { \pm } | \left( \hat { V } _ { j } \hat { Q } _ { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { Z e e } } + \hat { H } _ { \mathrm { Z e e } } \hat { Q } _ { 1 } \hat { V } _ { j } \right) | 1 _ { \pm } \rangle + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle - \langle 1 _ { \pm } | { \hat { W } _ { j } } | 1 _ { \pm } \rangle + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { x _ { 2 } } = { a _ { 1 1 } } { x _ { 1 } } + { a _ { 1 2 } } { y _ { 1 } } + { b _ { 1 } } , } \\ { { y _ { 2 } } = { a _ { 2 1 } } { x _ { 1 } } + { a _ { 2 2 } } { y _ { 1 } } + { b _ { 2 } } . } \end{array}
{ \cal { P } } ^ { \prime \prime } { } ^ { i j } = - \left\langle { \widetilde { u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } \frac { \partial \widetilde { u } ^ { i } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle - \left\langle { \widetilde { u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } } \frac { \partial \widetilde { u } ^ { j } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle = - \widetilde { \cal { P } } ^ { i j } ,
\begin{array} { r l } { \langle u ^ { k } + m ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) , x ^ { * } - x ^ { k + 1 } \rangle } & { \geq \left( \frac { 1 } { 2 \eta } + \frac { \lambda } { 4 } \right) \| { \tilde { x } } ^ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \tilde { x } } ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - \frac { \eta } { 2 } \| e ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \left( \frac { \eta } { 2 } + \frac { \lambda \eta ^ { 2 } } { 2 } \right) \| e ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \eta } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + g ( x ^ { k + 1 } ) - g ( x ^ { * } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { K - 1 } ( { \bar { x } } x _ { i } ) ^ { \alpha _ { i } - 1 } \right] \left[ { \bar { x } } ( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { K - 1 } x _ { i } ) \right] ^ { \alpha _ { K } - 1 } } { \prod _ { i = 1 } ^ { K } \Gamma ( \alpha _ { i } ) } } { \bar { x } } ^ { K - 1 } e ^ { - { \bar { x } } } } \\ { = } & { { \frac { \Gamma ( { \bar { \alpha } } ) \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { K - 1 } ( x _ { i } ) ^ { \alpha _ { i } - 1 } \right] \left[ 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { K - 1 } x _ { i } \right] ^ { \alpha _ { K } - 1 } } { \prod _ { i = 1 } ^ { K } \Gamma ( \alpha _ { i } ) } } \times { \frac { { \bar { x } } ^ { { \bar { \alpha } } _ { i } - 1 } e ^ { - { \bar { x } } } } { \Gamma ( { \bar { \alpha } } ) } } } \end{array} }
\hat { O } _ { I } ^ { \dagger } = \sum _ { i a } ( X _ { i a } ^ { I } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } - Y _ { i a } ^ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } ) + M ^ { I } \hat { b } ^ { \dagger } - N ^ { I } \hat { b }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \langle \Delta { { \psi } _ { i } ^ { - k } } \Delta { \psi } _ { j } ^ { k } \rangle = } & { ( \bar { \lambda } _ { i } ^ { k } + \lambda _ { j } ^ { k } ) \langle \, \Delta \psi _ { i } ^ { - k } \Delta \psi _ { j } ^ { k } \, \rangle } \\ & { + \frac { 2 \vert \boldsymbol { q } ^ { k } \vert ^ { 2 } } { V } \sum _ { n } \left( \bar { T } ^ { k } \right) _ { i n } ^ { - 1 } \left( T ^ { k } \right) _ { j n } ^ { - 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| B _ { 1 } - B _ { 2 } \| } \\ & { = } & { \int \| C A _ { t } ^ { - 1 } \nabla \Phi ( x + A _ { t } x _ { t } ) \| | \exp ( - \Phi ( x + A _ { t } x _ { t } ) ) - \exp ( - \Phi ( x + A _ { t } y _ { t } ) ) | \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , Q _ { t } ) ( x ) } \\ & { } & { + \int \| C A _ { t } ^ { - 1 } \nabla \Phi ( x + A _ { t } y _ { t } ) - C A _ { t } ^ { - 1 } \nabla \Phi ( x + A _ { t } x _ { t } ) \| \exp ( - \Phi ( x + A _ { t } y _ { t } ) ) \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , Q _ { t } ) ( x ) } \\ & { \leqslant } & { \exp ( - E _ { 0 } ) L \| A _ { t } x _ { t } - A _ { t } y _ { t } \| \| C A _ { t } ^ { - 1 } \| \left( \| \nabla \Phi ( 0 ) \| + L \left( \| A _ { t } x _ { t } \| + \int \| x \| \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , Q _ { t } ) ( x ) \right) \right) } \\ & { } & { + L \| C A _ { t } ^ { - 1 } \| \| A _ { t } x _ { t } - A _ { t } y _ { t } \| \exp ( - E _ { 0 } ) } \\ & { \leqslant } & { E \| x _ { t } - y _ { t } \| ( 1 + R ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \frac { 5 } { 7 } \leq | \gamma _ { \chi } | < \eta ( x _ { 0 } ) } \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \gamma _ { \chi } ^ { 2 } } } } & { \leq \left( \frac { 0 . 4 9 4 } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \frac { 2 5 } { 4 9 } } } + \int _ { \frac { 5 } { 7 } } ^ { \eta ( x _ { 0 } ) } \frac { \pi ^ { - 1 } \, d t } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + t ^ { 2 } } } \right) \log { q } + \int _ { \frac { 5 } { 7 } } ^ { \eta ( x _ { 0 } ) } \frac { \pi ^ { - 1 } \log \frac { t } { 2 \pi } } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + t ^ { 2 } } } \, d t } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 2 \left( 0 . 2 4 7 \log { \frac { 5 } { 1 4 \pi } } + 6 . 8 9 4 \right) } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \frac { 2 5 } { 4 9 } } } + 0 . 2 4 7 \int _ { \frac { 5 } { 7 } } ^ { \eta ( x _ { 0 } ) } \frac { t ^ { - 1 } \, d t } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + t ^ { 2 } } } } \\ & { : = \nu _ { 1 } ( x _ { 0 } ) \log { q } + \nu _ { 2 } ( x _ { 0 } ) } \end{array}
M _ { v } ( q ) = \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } d t ( 1 - t ) e x p ( t \frac { q ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 - t } \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } ) ,
\begin{array} { r l } & { \langle \lambda _ { p } ^ { t , e + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle = \langle \lambda _ { p } ^ { t + 1 } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle + \langle \underbrace { \lambda _ { p } ^ { t , e + 1 } - \lambda _ { p } ^ { t + 1 } } _ { = \rho ^ { t } ( z _ { p } ^ { t + 1 } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } ) } , z _ { p } ^ { t , e + 1 } - z _ { p } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } ^ { \star } } & { : = [ \mathbb { I } _ { d } \otimes ( \Phi \Theta ^ { \star } ) ] \mathbf { S } , } \\ { \mathbf { b } ^ { \star } } & { : = - \textsf { v e c } ( \dot { \Phi } \mathbf { u } ^ { \star } ) , } \\ { \mathbf { L } _ { \mathbf { w } } ^ { \star } } & { : = [ \textsf { m a t } ( \mathbf { S } \mathbf { w } ) ^ { T } \otimes \Phi ] \nabla \Theta ^ { \star } \mathbf { P } + [ \mathbb { I } _ { d } \otimes \dot { \Phi } ] . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { m / m _ { x } } \\ { m / m _ { z } } \end{array} \right) = 1 - \frac { 8 \sqrt { n a _ { 1 1 } ^ { 3 } } } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { a _ { 1 2 } } { a _ { 1 1 } } \right) ^ { 2 } \int \mathrm { d } x \mathrm { d } u \frac { x ^ { 2 } z ( u ) ^ { 2 } } { \sqrt { x ^ { 2 } + w ( u ) } ( x + \sqrt { x ^ { 2 } + w ( u ) } ) ^ { 3 } } \left( \begin{array} { c } { 1 - u ^ { 2 } } \\ { 2 u ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\mathscr { T } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 / \sqrt { 2 } } & { 1 / \sqrt { 6 } } & { 1 / \sqrt { 3 } } \\ { - 1 / \sqrt { 2 } } & { 1 / \sqrt { 6 } } & { 1 / \sqrt { 3 } } \\ { 0 } & { - \sqrt { 2 } / \sqrt { 3 } } & { 1 / \sqrt { 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { k } ( x ) } & { = \left| \left\{ i \in { \mathbb { N } } \ ; \ \mu _ { i } ( x ) \ge k \right\} \right| = \sum _ { y = 1 } ^ { x } \eta _ { k } ^ { \uparrow } ( y ) , } \\ { p _ { k } ( x ) } & { = x - 2 E _ { k } ( x ) = x - 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } \sum _ { y = 1 } ^ { x } \eta _ { \ell } ^ { \uparrow } ( y ) , } \end{array}
\Gamma \Bigl ( { \frac { D } { 2 } } - 1 \Bigr ) { { \frac { \dot { x } _ { a } \cdot \dot { x } _ { b } } { { \Bigl [ { ( x _ { a } - x _ { b } ) } ^ { 2 } \Bigr ] } ^ { { \frac { D } { 2 } } - 1 } } } \quad } \nonumber \, - { \frac { 1 - \alpha } { 4 } } \Gamma \Bigl ( { { \frac { D } { 2 } } - 2 } \Bigr ) { \frac { \partial } { \partial \tau _ { a } } } { \frac { \partial } { \partial \tau _ { b } } } { \Bigl [ { ( x _ { a } - x _ { b } ) } ^ { 2 } \Bigr ] } ^ { 2 - { \frac { D } { 2 } } } .
{ \mathrm { D } } _ { \mathrm { i } } = \rho V _ { \infty } \int _ { - s } ^ { s } \Gamma ( y ) \sin { ( \alpha _ { i } ( y ) ) } d y \approx \rho V _ { \infty } \int _ { - s } ^ { s } \Gamma ( y ) \alpha _ { i } ( y ) d y
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \lambda } ^ { + } [ h _ { 1 } , h _ { 2 } ] ( v ) } & { : = \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb { S } ^ { d - 1 } } e ^ { - \vert v _ { \star } \vert ^ { 2 } - \frac { 1 - \lambda ^ { 2 } } { 2 } ( ( { ' v } - { ' v _ { \star } } ) \cdot n ) ^ { 2 } } \vert u \cdot n \vert h _ { 1 } ( { ' v } ) h _ { 2 } ( { ' v _ { \star } } ) \, \mathrm { d } v _ { \star } \mathrm { d } n , } \\ { \Gamma _ { \lambda } ^ { - } [ h _ { 1 } , h _ { 2 } ] ( v ) } & { : = h _ { 2 } ( v ) \int _ { \mathbb R ^ { d } \times \mathbb { S } ^ { d - 1 } } e ^ { - \vert v _ { \star } \vert ^ { 2 } } \vert u \cdot n \vert h _ { 1 } ( v _ { \star } ) \, \mathrm { d } v _ { \star } \mathrm { d } n . } \end{array}
\psi = \sqrt { E } \mathrm { i } \frac { \eta ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { 2 } \left( - \frac { e ^ { - \lambda _ { + } \hat { \rho } } } { \lambda _ { + } } + \frac { 1 } { \lambda _ { + } } + \frac { e ^ { - \lambda _ { - } \hat { \rho } } } { \lambda _ { - } } - \frac { 1 } { \lambda _ { - } } \right) ,
\delta \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } } \right) = \frac { \delta \omega _ { 1 } } { \omega _ { 1 } } - \frac { \delta \omega _ { 2 } } { \omega _ { 2 } } = \left( K _ { 1 } - K _ { 2 } \right) \frac { \delta \alpha } { \alpha } .
\frac { \partial \underline { { \hat { Q } } } } { \partial \underline { { \mathcal { T } } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { E } } } _ { e } } { \partial \underline { { \xi } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { F } } } _ { e } } { \partial \underline { { \eta } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { G } } } _ { e } } { \partial \underline { { \zeta } } } = \frac { M _ { j } } { R e } \left( \frac { \partial \underline { { \hat { E } } } _ { v } } { \partial \underline { { \xi } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { F } } } _ { v } } { \partial \underline { { \eta } } } + \frac { \partial \underline { { \hat { G } } } _ { v } } { \partial \underline { { \zeta } } } \right) \, \mathrm { , }
S ( \tau _ { 2 1 } ) = - ( \tau _ { 1 } ^ { + } ) ^ { - 1 } \tau _ { 2 1 } ( \tau _ { 2 } ^ { + } ) ^ { - 1 } , \ S ( \tau _ { 1 2 } ) = - ( \tau _ { 2 } ^ { - } ) ^ { - 1 } \tau _ { 1 2 } ( \tau _ { 1 } ^ { - } ) ^ { - 1 } , \S ( \tau _ { i } ^ { \pm } ) = ( \tau _ { i } ^ { \pm } ) ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { d _ { \mathrm { u } } = \frac { S _ { 0 } - \sqrt { S _ { 1 } ^ { 2 } + S _ { 2 } ^ { 2 } + S _ { 3 } ^ { 2 } } } { S _ { 0 } } = 1 - d _ { \mathrm { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f , n } \in \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } \right] = } & { \mathbb { P } \left[ W _ { n } \in C _ { n } \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } + \partial f \left( \beta ^ { 0 } + \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } / \sqrt { n } \right) \right] } \\ { \rightarrow } & { \mathbb { P } \left[ W \in C \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } + \partial f ^ { \prime } ( \beta ^ { 0 } ; \mathfrak { p } _ { f } ) \right] = \mathbb { P } \left[ \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f } \in \mathcal { K } ^ { \mathfrak { p } _ { f } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { p } ( \omega , \mathbf { r } ) = \sum _ { \tau = 1 , 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } ( a _ { p , \tau l m } \mathbf { v } _ { \tau l m } ( \kappa ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { p } ) ) } \\ { + f _ { p , \tau l m } \mathbf { u } _ { \tau l m } ( \kappa ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { p } ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { j ( \tau ) \rightarrow j ( \tau ) _ { \nu , \mu } = \sum _ { n \in \nu , m \in \mu } | \Psi _ { n } \rangle \langle \Psi _ { n } | j ( \tau ) | \Psi _ { m } \rangle \langle \Psi _ { m } | } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \bar { n } } _ { i } } & { = { \frac { g _ { i } } { e ^ { ( \varepsilon _ { i } - \mu ) / k _ { \mathrm { B } } T } - 1 } } } \\ & { \approx { \frac { g _ { i } } { ( \varepsilon _ { i } - \mu ) / k _ { \mathrm { B } } T } } = { \frac { g _ { i } k _ { \mathrm { B } } T } { \varepsilon _ { i } - \mu } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { N \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) \psi \left( x \right) \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) \psi \left( y \right) \right] \left\vert i \right\rangle } \\ & { = } & { \sum _ { t , v } \int \frac { d ^ { 3 } k _ { 1 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 E _ { \mathbf { k } _ { 1 } } } } \int \frac { d ^ { 3 } k _ { 2 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 E _ { \mathbf { k } _ { 2 } } } } \times } \\ & { } & { \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) u ^ { t } \left( k _ { 1 } \right) \right] e ^ { - i k _ { 1 } \cdot x } \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) u ^ { v } \left( k _ { 2 } \right) \right] e ^ { - i k _ { 2 } \cdot y } \sqrt { 2 E _ { \mathbf { p } } } \sqrt { 2 E _ { \mathbf { q } } } a _ { \mathbf { k } _ { 1 } } ^ { t } a _ { \mathbf { k } _ { 2 } } ^ { v } a _ { \mathbf { p } } ^ { s ^ { \dagger } } a _ { \mathbf { q } } ^ { r ^ { \dagger } } \left\vert 0 \right\rangle . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) = \boldsymbol { 0 } \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { A } _ { L } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } ,