harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { | \eta | > \varepsilon } \frac { \cos ^ { 2 } \left( \sqrt { | \eta | ^ { \alpha } } - \pi ( \gamma + 1 ) / 2 \right) } { | \eta | ^ { \alpha ( 1 + \gamma ) - ( 2 - 4 H ) } } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta < \infty \mathrm { ~ a n d ~ } \int _ { | \eta | > \varepsilon } \frac { 1 } { | \eta | ^ { 2 \alpha - ( 2 - 4 H ) } } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta < \infty .
\langle \mathcal { Q } _ { k } [ : , i _ { k } , \alpha _ { k } ] , \mathcal { Q } _ { k } [ : , i _ { k } , \alpha _ { k } ] \rangle _ { i _ { k } , \alpha _ { k } } = I _ { r _ { k - 1 } } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ k ~ = ~ 2 ~ , ~ \ldots ~ , ~ d ~ }
S ( x ) = x \left[ { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 9 } { 4 ( 1 - x ) } } - { \frac { 3 } { 2 ( 1 - x ) ^ { 2 } } } \right] - { \frac { 3 } { 2 } } ( { \frac { x } { 1 - x } } ) ^ { 3 } \ln { x } ,
\lambda _ { i } = - \frac { 1 } { m } D _ { i } \left( m \varphi _ { 0 } + i e A _ { 0 } \varphi \right) ; \, l a m b d a _ { i } ^ { \ast } = - \frac { 1 } { m } D _ { i } ^ { \ast } \left( m \varphi _ { 0 } ^ { \ast } + i e A _ { 0 } \varphi ^ { \ast } \right) .
\begin{array} { r l } { q _ { t } = } & { t a n h ( W _ { q } \cdot [ h _ { t - 1 } , x _ { t } ] + b _ { q } ) } \\ { i _ { t } = } & { \sigma ( W _ { i } \cdot [ h _ { t - 1 } , x _ { t } ] + b _ { i } ) } \\ { f _ { t } = } & { \sigma ( W _ { f } \cdot [ h _ { t - 1 } , x _ { t } ] + b _ { f } ) } \\ { o _ { t } = } & { \sigma ( W _ { o } \cdot [ h _ { t - 1 } , x _ { t } ] + b _ { o } ) } \\ { c _ { t } = } & { f _ { t } \odot c _ { t - 1 } + i _ { t } \odot q _ { t } } \\ { h _ { t } = } & { o _ { t } \odot t a n h ( c _ { t } ) } \end{array}
F _ { W A L } ( \theta ; m , \lambda , \kappa ) = { \frac { \kappa \lambda } { \kappa ^ { 2 } + 1 } } { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { e ^ { m \lambda \kappa } ( 1 - e ^ { - \theta \lambda \kappa } ) } { \lambda \kappa ( e ^ { 2 \pi \lambda \kappa } - 1 ) } } + { \frac { \kappa e ^ { - m \lambda / \kappa } ( 1 - e ^ { \theta \lambda / \kappa } ) } { \lambda ( e ^ { - 2 \pi \lambda / \kappa } - 1 ) } } } & { { \mathrm { i f ~ } } \theta \leq m } \\ { { \frac { 1 - e ^ { - ( \theta - m ) \lambda \kappa } } { \lambda \kappa ( 1 - e ^ { - 2 \pi \lambda \kappa } ) } } + { \frac { \kappa ( 1 - e ^ { ( \theta - m ) \lambda / \kappa } ) } { \lambda ( 1 - e ^ { 2 \pi \lambda / \kappa } ) } } + { \frac { e ^ { m \lambda \kappa } - 1 } { \lambda \kappa ( e ^ { 2 \pi \lambda \kappa } - 1 ) } } + { \frac { \kappa ( e ^ { - m \lambda / \kappa } - 1 ) } { \lambda ( e ^ { - 2 \pi \lambda / \kappa } - 1 ) } } } & { { \mathrm { i f ~ } } \theta > m } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \widehat { \Phi } _ { \eta , t } - \widehat { \rho } _ { 1 , \eta } = \frac { \widehat { R } _ { \eta , k } \left( X _ { 0 } ^ { \eta } \right) - \widehat { R } _ { \eta , k } \left( X _ { t } ^ { \eta } \right) } { \eta t } + \frac { 1 } { \eta t } \int _ { 0 } ^ { t } \nabla \widehat { R } _ { \eta , k } \left( X _ { s } ^ { \eta } \right) ^ { T } \Sigma ( X _ { s } ^ { \eta } ) \, d W _ { s } + \eta ^ { k - 1 } \mathscr { R } _ { \eta , k } . } \end{array}
C _ { t o t a l , C T } = C _ { t o t a l } + \frac { { E _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } _ { e l e c } } \cdot T _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } } } } { W _ { e l e c } } \ [ \mathrm { U S D } \cdot \mathrm { k W h } ^ { - 1 } ] \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \Gamma } \int _ { \Omega } \Bigl | \omega _ { \theta } \bigl ( r , z , t \bigr ) - \omega _ { \mathrm { l i n } } \bigl ( r , z - a _ { 3 } ( t ) , t \bigr ) \Bigr | \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } z \, } & { = \, \| \eta ( t ) - \eta _ { \mathrm { l i n } } ( t ) \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega _ { \epsilon } ) } } \\ { \, } & { \le \, C \| \eta ( t ) - \eta _ { \mathrm { l i n } } ( t ) \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \, \le \, C \epsilon ^ { 1 - 3 \sigma } \, , } \end{array}
D _ { \mathbb { F } , a _ { o } } ^ { \alpha } f ( x _ { o } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { F \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow x _ { o } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { o } ) } { S _ { F , a _ { o } } ^ { \alpha } ( x ) - S _ { F , a _ { o } } ^ { \alpha } ( x _ { o } ) } ~ ~ ~ ~ x , x _ { o } \in \mathbb { F } } \\ { 0 ~ ~ ~ ~ \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | \Big ( \int _ { Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } } \\ & { } & { \quad - \rho _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } \Big | } \\ & { \leq } & { \frac { \epsilon T ^ { - 2 } } { \rho _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } } } \\ & { \leq } & { \frac { \epsilon T ^ { - 2 } } { m _ { \theta } ^ { 1 \slash 2 } ( 2 K _ { 0 } T ) ^ { - 1 } } = 2 \epsilon K _ { 0 } T ^ { - 1 } m _ { \theta } ^ { - 1 \slash 2 } \leq C ^ { \prime } \epsilon K _ { 0 } T ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { r } } & { = } & { E _ { 0 } + \partial _ { \lambda } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 1 2 0 } \partial _ { \lambda } ^ { 5 } E _ { 0 } + . . . } \\ { E _ { l } } & { = } & { E _ { 0 } - \partial _ { \lambda } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } E _ { 0 } - \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } E _ { 0 } - \frac { 1 } { 1 2 0 } \partial _ { \lambda } ^ { 5 } E _ { 0 } + . . . . } \end{array}
\frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { M } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } \lambda _ { \mathrm { M F P } } } = \frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { M } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } } \frac { f p } { k ( \gamma - 1 ) } \frac { \bar { c } _ { \mathrm { g } } } { 2 T _ { \mathrm { g } } } = \frac { 2 \mathcal { D } f p } { \alpha _ { \mathrm { M } } k ( \gamma - 1 ) T _ { \mathrm { g } } } \equiv \frac { 2 f } { \alpha _ { \mathrm { M } } ( \gamma - 1 ) } \frac { \mathcal { D } \rho R _ { \mathrm { g } } } { k }
\begin{array} { r l } { p \left( \left\{ \phi _ { k } , \dots \phi _ { k + m - 1 } \right\} | \phi _ { < k } \right) } & { = p ( \phi _ { k } | \phi _ { < k } ) \dots p ( \phi _ { k + m - 1 } | \phi _ { < k + m - 1 } ) } \\ & { = \frac { { \displaystyle \sum _ { \phi _ { N } , \dots \phi _ { k + m } } } \exp \left( - \beta J { \displaystyle \sum _ { l = k } ^ { N } } \left( \phi _ { l } { \displaystyle \sum _ { \mu } } \phi _ { l - \hat { \mu } } \right) \right) } { { \displaystyle \sum _ { \phi _ { N } , \dots \phi _ { k } } } \exp \left( - \beta J { \displaystyle \sum _ { l = k } ^ { N } } \left( \phi _ { l } { \displaystyle \sum _ { \mu } } \phi _ { l - \hat { \mu } } \right) \right) } } \end{array}
Z _ { s a d d l e } ( \boldsymbol { \lambda } ) \approx \sum _ { k = 1 } ^ { p } \sqrt { \frac { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } { \left| \operatorname* { d e t } H _ { k } ( \boldsymbol { \lambda } ) \right| } } \exp { \left( \sum _ { n = 0 } ^ { N } \lambda _ { n } \cdot \phi _ { n } ( \mathbf { u } _ { k } ^ { * } ) \right) } ,
\begin{array} { r l } { | \psi ( s _ { i } ^ { t } + \mu _ { a } ^ { t } x _ { i } ^ { \star } ) - \psi ( x _ { i } ^ { t } ) | } & { \leq L ( 1 + | s _ { i } ^ { t } + \mu _ { a } ^ { t } x _ { i } ^ { \star } | + | x _ { i } ^ { t } | ) | s _ { i } ^ { t } + \mu _ { a } ^ { t } x _ { i } ^ { \star } - x _ { i } ^ { t } | } \\ & { \leq 2 L | s _ { i } ^ { t } + \mu _ { a } ^ { t } x _ { i } ^ { \star } - x _ { i } ^ { t } | ( 1 + | s _ { i } ^ { t } + \mu _ { a } ^ { t } x _ { i } ^ { \star } | + | s _ { i } ^ { t } + \mu _ { a } ^ { t } x _ { i } ^ { \star } - x _ { i } ^ { t } | ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { { N u } } = \langle | \nabla T | ^ { 2 } \rangle = \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle + 2 \langle \nabla \theta \cdot \nabla \eta \rangle + \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle = \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle - \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle - 2 \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \arctan x } & { = { \frac { x } { 1 + x ^ { 2 } } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 2 k ) ! ! \, x ^ { 2 k } } { ( 2 k + 1 ) ! ! \, ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { k } } } = { \frac { x } { 1 + x ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { 3 } } { \frac { x ^ { 3 } } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } + { \frac { 2 \cdot 4 } { 3 \cdot 5 } } { \frac { x ^ { 5 } } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } + \cdots } \\ { { \frac { \pi } { 2 } } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { k ! } { ( 2 k + 1 ) ! ! } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \cfrac { 2 ^ { k } k ! ^ { 2 } } { ( 2 k + 1 ) ! } } = 1 + { \frac { 1 } { 3 } } \left( 1 + { \frac { 2 } { 5 } } \left( 1 + { \frac { 3 } { 7 } } \left( 1 + \cdots \right) \right) \right) } \end{array} }
\eta _ { t ^ { \prime } t ^ { \prime } } ^ { B } = [ \alpha _ { s } ( m _ { t } ) ] ^ { 6 / 2 3 } \left[ \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b ^ { \prime } } ) } { \alpha _ { s } ( m _ { t } ) } \right] ^ { 6 / 2 1 } \left[ \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { t ^ { \prime } } ) } { \alpha _ { s } ( m _ { b ^ { \prime } } ) } \right] ^ { 6 / 1 9 } ,
\begin{array} { r l } { r _ { n + 1 } } & { = \frac { r _ { n } - C \sum _ { k } \frac { d \varphi } { d r } \bigg | _ { r _ { n } } \mathrm { R e } \left( w _ { k , n } e ^ { i k \theta _ { n } } \right) } { \cos ( \theta _ { n + 1 } - \theta _ { n } ) } , } \\ { r _ { n + 1 } } & { = \frac { \frac { C } { r _ { n } } \sum _ { k } \varphi ^ { \prime } ( r _ { n } ) \mathrm { I m } \left( w _ { k , n } e ^ { i k \theta _ { n } } \right) } { \sin ( \theta _ { n + 1 } - \theta _ { n } ) } , } \\ { w _ { k , n + 1 } } & { = \mu _ { k } \left[ w _ { k , n } + \phi _ { k } ( r _ { n } ) e ^ { - i k \theta _ { n } } \right] ; } \end{array}
I _ { 4 b } ^ { ( n ) } = - \frac { 2 p ^ { 2 } } { 4 M _ { W } ^ { 2 } } I _ { 3 } ^ { ( n ) } = - \frac { 2 i \pi ^ { D / 2 } \sqrt { \pi } \Gamma \big ( 4 n + 1 - \frac { D } { 2 } \big ) p ^ { 2 } } { 4 ^ { 2 n } \Gamma ( 2 n ) \Gamma \big ( 2 n - \frac { 1 } { 2 } \big ) m _ { W } ^ { 8 n + 6 - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } , 4 n - 1 , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) \, .
- \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { 6 } x ^ { 5 } + \frac { 5 } { 2 4 } x ^ { 3 } + \frac { 5 } { 1 6 } x \right) + \frac { 5 } { 1 6 } \arcsin \left( x \right)
\begin{array} { r l } & { i \left( \frac { 1 } { s _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial s ^ { \prime } } + 2 \alpha _ { j } \right) U _ { 0 } \hat { U } _ { j } ^ { \prime } + i \frac { g _ { \delta } U _ { 0 } } { \tau _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \prime } } \hat { U } _ { j } ^ { \prime } + \frac { g _ { D j } U _ { 0 } } { \tau _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } \hat { U } _ { j } } \\ & { + 2 \frac { U _ { 0 } ^ { 3 } } { g _ { 1 1 } } \left( \frac { g _ { j j } } { g _ { 1 1 } } \hat { U } _ { j } ^ { \prime \dag } \hat { U } _ { j } ^ { \prime } + \frac { g _ { j 3 - j } } { g _ { 1 1 } } \hat { U } _ { 3 - j } ^ { \prime \dagger } \hat { U } _ { 3 - j } ^ { \prime } \right) \hat { U } _ { j } ^ { \prime } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S ( k ) - 1 } & { } & { = \sum _ { l , m } \big | l , m \bigr \rangle ( \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \phi _ { l } } - 1 ) \bigl \langle l , m \big | } \\ & { } & { = 2 \mathrm { i } \sum _ { l , m } \big | l , m \bigr \rangle \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \phi _ { l } } \sin \phi _ { l } \bigl \langle l , m \big | , } \end{array}
\frac { d M _ { \mathrm { s y s t } } } { d T _ { \mathrm { p o t } } } = - 4 \pi R _ { \mathrm { R C M F } } ^ { 2 } ( T _ { \mathrm { p o t } } ) \frac { d R _ { \mathrm { R C M F } } } { d T _ { \mathrm { p o t } } } ,
\begin{array} { r } { \Lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { p h } } ( t ) = \lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { p h } } ( t ) - \left[ \lambda _ { k l i j } ^ { \mathrm { p h } } ( t ) \right] ^ { * } , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { p h } } ( t ) = ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { p q r s } \mathcal { G } _ { q j k p } ( t ) \, w _ { r p q s } ( t ) \left[ G _ { i r } ^ { > } ( t ) \, G _ { s l } ^ { < } ( t ) - G _ { i r } ^ { < } ( t ) \, G _ { s l } ^ { > } ( t ) \right] , } \\ { \Lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { p p } } ( t ) = \lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { p p } } ( t ) - \left[ \lambda _ { k l i j } ^ { \mathrm { p p } } \right] ^ { * } , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \lambda _ { i j k l } ^ { \mathrm { p p } } ( t ) = ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { p q r s } \left[ G _ { i r } ^ { > } ( t ) \, G _ { j s } ^ { > } ( t ) - G _ { i r } ^ { < } ( t ) \, G _ { j s } ^ { < } ( t ) \right] w _ { r s p q } ( t ) \, \mathcal { G } _ { p q k l } ( t ) \, . } \end{array}
\cot ( z ) \; = \; \frac { 1 } { z } \, - \, \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \, \frac { 4 ^ { j } \vert B _ { 2 j } \vert } { ( 2 j ) ! } \, z ^ { 2 j - 1 } \, , \qquad \vert z \vert < \pi \, .
\begin{array} { r } { { \tilde { P } } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } } & { { \tilde { q } } _ { 2 } ^ { 2 } } & { 0 } & { { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } { \tilde { q } } _ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } } \\ { \left( { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } \right) ^ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } } & { 0 } & { { \tilde { q } } _ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 2 } ^ { 2 } { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { q } } _ { 1 } } \\ { 0 } & { { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } } & { { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } } & { \left( { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } \right) ^ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 2 } ^ { 2 } { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { q } } _ { 1 } } & { { \tilde { q } } _ { 2 } } \\ { { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } } & { 0 } & { { \tilde { q } } _ { 2 } ^ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } } & { { \tilde { q } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 2 } } \\ { { \tilde { q } } _ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 2 } } & { { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } } & { { \tilde { p } } _ { 2 } ^ { 2 } { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { q } } _ { 1 } } & { \left( { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } \right) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { { \tilde { p } } _ { 2 } ^ { 2 } { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { q } } _ { 1 } } & { { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { q } } _ { 1 } } & { { \tilde { q } } _ { 2 } { \tilde { p } } _ { 2 } { \tilde { p } } _ { 1 } } & { { \tilde { q } } _ { 2 } } & { 0 } & { \left( { \tilde { p } } _ { 1 } { \tilde { p } } _ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
T + \delta T = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { e _ { 1 } \cdot \mathbf { 1 } _ { 1 } } & { \widetilde { Q } _ { 1 } } & & & & \\ { Q _ { 1 } } & { e _ { 2 } \cdot \mathbf { 1 } _ { 2 } } & { \ddots } & & & \\ & & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & & \\ & & & & & { e _ { n - 1 } \cdot \mathbf { 1 } _ { n - 1 } } & { \widetilde { Q } _ { n - 1 } } \\ & & & & & { Q _ { n - 1 } } & { z _ { 2 } \cdot \mathbf { 1 } _ { n } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r } { \sigma _ { B } ( f , t ) = - 2 \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \tilde { B } _ { \perp 1 } \tilde { B } _ { \perp 2 } ^ { * } ) / ( \tilde { B } _ { \perp 1 } ^ { 2 } + \tilde { B } _ { \perp 2 } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| R _ { i n t 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \| R _ { t b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 1 } , } \\ & { \| R _ { i n t 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \| \nabla R _ { i n t 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \| \nabla R _ { t b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \lesssim \mathrm { l n } ^ { 2 } N N ^ { - k + 2 } , } \\ & { \| R _ { t b 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } , \| R _ { s b } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { { } = { \sqrt { u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } } } = { \frac { \sqrt { ( u _ { x } ^ { \prime } + v ) ^ { 2 } + ( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } ) u _ { y } ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } ^ { \prime } } } = { \frac { \sqrt { u _ { x } ^ { 2 } + v ^ { 2 } + 2 u _ { x } ^ { \prime } v + ( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } ) u _ { y } ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } ^ { \prime } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \alpha _ { 2 j + 1 2 i , } } } _ { p } } & { = \sum _ { k < l } \alpha _ { k l , p } ( J _ { \overline { { 2 j + 1 } } } ^ { k } J _ { \overline { { 2 i } } } ^ { l } - J _ { \overline { { 2 i } } } ^ { k } J _ { \overline { { 2 j + 1 } } } ^ { l } ) } \\ & { = \alpha _ { 2 j 2 i + 1 , p } J _ { \overline { { 2 j + 1 } } } ^ { 2 j } J _ { \overline { { 2 i } } } ^ { 2 i + 1 } = - \alpha _ { 2 j 2 i + 1 , p } = \alpha _ { 2 i + 1 2 j , p } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } \theta \Delta \eta } & { { } = - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \theta n \cdot \nabla \eta + \int _ { \Omega } \nabla \theta \cdot \nabla \eta = \int _ { \Omega } \nabla \theta \cdot \nabla \eta , } \end{array}
\hat { I } _ { 6 } \, = \, \frac { \epsilon \bar { r } \dot { \bar { r } } } { \delta \Gamma } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } \tilde { \eta } \partial _ { R } \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X + \frac { t \dot { \bar { r } } } { \bar { r } } \, E _ { \epsilon } ^ { \mathrm { k i n } } [ \tilde { \eta } ] + \frac { \epsilon \bar { r } \dot { \tilde { z } } } { \delta ^ { 2 } \Gamma } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } - \tilde { \phi } \bigr ) \, \bigl ( \partial _ { Z } \eta _ { * } + \delta \partial _ { Z } \tilde { \eta } \bigr ) \, \mathrm { d } X \, ,
V = \left( \begin{array} { c c c } { { - 0 . 9 7 5 2 6 } } & { { 0 . 2 2 1 0 0 } } & { { - 0 . 0 0 4 9 8 0 5 } } \\ { { - 0 . 2 2 1 0 4 } } & { { - 0 . 9 7 4 7 3 } } & { { 0 . 0 3 2 1 5 2 } } \\ { { 0 . 0 0 2 2 5 0 8 } } & { { 0 . 0 3 2 4 5 7 } } & { { 0 . 9 9 9 4 7 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \mathtt { S o l } _ { \mathcal { N } } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) = \{ ( g _ { \alpha \beta } , \delta _ { \gamma } ^ { \alpha } U _ { \beta } ) \mid g \in \mathtt { S o l } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) , \; U _ { \beta } \in \Omega ^ { 1 } ( M ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { i + 1 } \gamma _ { i } \sigma _ { i } \gamma _ { i } \gamma _ { i + 1 } } & { = ( v _ { i } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } \underline { { ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) } } ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) } \\ & { \sigma _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) \underline { { ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) } } \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i } ) } \\ & { = ( v _ { i } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } \underline { { ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } v _ { i } v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) } } \gamma _ { 1 } ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \sigma _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) \gamma _ { 1 } } \\ & { \underline { { ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } v _ { i } v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) } } \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i } ) } \\ & { = ( v _ { i } \ldots v _ { 1 } ) \underline { { \gamma _ { 1 } } } ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } v _ { 1 } v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) \underline { { \gamma _ { 1 } } } ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \sigma _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) \underline { { \gamma _ { 1 } } } } \\ & { ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } v _ { 1 } v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) \underline { { \gamma _ { 1 } } } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i } ) } \\ & { = ( v _ { i } \ldots v _ { 1 } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \gamma _ { 1 } v _ { 1 } \underline { { ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) } } \gamma _ { 1 } \sigma _ { 1 } \gamma _ { 1 } \underline { { ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) } } } \\ & { v _ { 1 } \gamma _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { i } ) } \\ & { = ( v _ { i } \ldots v _ { 1 } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \underline { { \gamma _ { 1 } v _ { 1 } \gamma _ { 1 } \sigma _ { 1 } \gamma _ { 1 } v _ { 1 } \gamma _ { 1 } } } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { i } ) } \\ & { = v _ { i } \underline { { ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \sigma _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } } v _ { i } } \\ & { = v _ { i } \sigma _ { i } v _ { i } . } \end{array}
G _ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } \! \pm } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } ( x ^ { + } , x ^ { - } , s , b ) = \frac { 1 } { 2 x ^ { + } x ^ { - } s } 2 \mathrm { I m } \, \tilde { T } _ { 3 \mathrm { I } \! \mathrm { P } \! \pm } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } ( x ^ { + } , x ^ { - } , s , b ) ,
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ u ~ i ~ l ~ i ~ b ~ r ~ i ~ u ~ m ~ } } ( \varphi , \sigma ) } & { { } = \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \left( T _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } , [ T _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ u ~ a ~ t ~ o ~ r ~ } } - \Delta T _ { y } \sin ^ { 2 } ( \varphi ) - \Delta \theta _ { z } \ln ( \sigma ) \cos ( \varphi ) ] \sigma ^ { R _ { d } / c _ { p } } \right) , } \end{array}
V = \left[ \begin{array} { l l l l } { \cos \mu _ { 1 } } & { \sin \mu _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \sin \mu _ { 1 } } & { \cos \mu _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cos \mu _ { 2 } } & { \sin \mu _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \sin \mu _ { 2 } } & { \cos \mu _ { 2 } } \end{array} \right] , U = \left[ \begin{array} { l l l l } { \sqrt { \beta _ { 1 x } } } & { 0 } & { \sqrt { \beta _ { 2 x } } \cos v _ { 2 } } & { - \sqrt { \beta _ { 2 x } } \sin v _ { 2 } } \\ { - \frac { \alpha _ { 1 x } } { \sqrt { \beta _ { 1 x } } } } & { \frac { 1 - u } { \beta _ { 1 x } } } & { \frac { - \alpha _ { 2 x } \cos v _ { 2 } + u \sin v _ { 2 } } { \sqrt { \beta _ { 2 x } } } } & { \frac { \alpha _ { 2 x } \sin v _ { 2 } + u \cos v _ { 2 } } { \sqrt { \beta _ { 2 x } } } } \\ { \sqrt { \beta _ { 1 y } } \cos v _ { 1 } } & { - \sqrt { \beta _ { 1 y } } \sin v _ { 1 } } & { \sqrt { \beta _ { 2 y } } } & { 0 } \\ { \frac { - \alpha _ { 1 y } \cos v _ { 1 } + u \sin v _ { 1 } } { \sqrt { \beta _ { 1 y } } } } & { \frac { \alpha _ { 1 y } \sin v _ { 1 } + u \cos v _ { 1 } } { \sqrt { \beta _ { 1 y } } } } & { - \frac { \alpha _ { 2 y } } { \sqrt { \beta _ { 2 y } } } } & { \frac { 1 - u } { \sqrt { \beta _ { 2 y } } } } \end{array} \right]
v _ { \mathrm { B | A } } = { \sqrt { 1 - { \frac { ( c ^ { 2 } - v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } ) ( c ^ { 2 } - v _ { \mathrm { B } } ^ { 2 } ) } { ( c ^ { 2 } - { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } \cdot { \vec { v } } _ { \mathrm { B } } ) ^ { 2 } } } } } \cdot c