harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Vec { u } ( \Vec { r } ) = \Vec { u } _ { p o t } ( \Vec { r } ) + \Vec { u } _ { r o t } ( \Vec { r } ) \quad \rightarrow { } \quad \langle | \Vec { u } | ^ { 2 } \rangle = \langle | \Vec { u } _ { p o t } | ^ { 2 } \rangle + \langle | \Vec { u } _ { r o t } | ^ { 2 } \rangle .
E _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { n } = \left\langle \hat { K } ^ { d } + \hat { K } ^ { x } \right\rangle _ { n } = \sum _ { a b i j } \left( c _ { a , i } ^ { n } \right) ^ { * } \left( K _ { a i ; b j } ^ { d } + K _ { a i ; b j } ^ { x } \right) c _ { b , j } ^ { n } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \overline { { n _ { i } ^ { X } ( t ) n _ { j } ^ { P } ( t ^ { \prime } ) } } = \delta _ { i j } \delta ( t - t ^ { \prime } ) \sin \Big ( 2 \frac { \Omega } { n } t \Big ) } \\ & { } & { \overline { { n _ { i } ^ { X } ( t ) n _ { j } ^ { X } ( t ^ { \prime } ) } } = \delta _ { i j } \delta ( t - t ^ { \prime } ) \Big [ 1 - \cos \Big ( 2 \frac { \Omega } { n } t \Big ) \Big ] } \\ & { } & { \overline { { n _ { i } ^ { P } ( t ) n _ { j } ^ { P } ( t ^ { \prime } ) } } = \delta _ { i j } \delta ( t - t ^ { \prime } ) \Big [ 1 + \cos \Big ( 2 \frac { \Omega } { n } t \Big ) \Big ] . } \end{array}
\left. \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( \mathrm { c a l ) } } \right\vert _ { \omega _ { 1 } } - \left. \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( \mathrm { c a l ) } } \right\vert _ { \omega _ { 2 } } = \frac { \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } \| R _ { 1 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } } & { = } & { \left( p _ { h } - \mathrm { c u r l } _ { h } ~ \boldsymbol { u } _ { h } , R _ { 1 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } \right) \right) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { = } & { \left( p _ { h } - p - \mathrm { c u r l } _ { h } \left( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } \right) , R _ { 1 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } \right) \right) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \\ & { \leqslant } & { \left( \| p _ { h } - p \| _ { 0 , \Omega } + \| \mathrm { c u r l } _ { h } \left( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } \right) \| _ { 0 , \Omega } \right) \| R _ { 1 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } \right) \| _ { 0 , \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { p q } } & { ( \omega ) = \sum _ { \nu } \sum _ { i a , j b , k } \frac { ( p k | i a ) ( X _ { i a } ^ { \nu } + Y _ { i a } ^ { \nu } ) ( X _ { j b } ^ { \nu } + Y _ { j b } ^ { \nu } ) ( q k | j b ) } { \omega - ( \epsilon _ { k } - \Omega _ { \nu } ) - i 0 ^ { + } } } \\ & { + \sum _ { \nu } \sum _ { i a , j b , c } \frac { ( p c | i a ) ( X _ { i a } ^ { \nu } + Y _ { i a } ^ { \nu } ) ( X _ { j b } ^ { \nu } + Y _ { j b } ^ { \nu } ) ( q c | j b ) } { \omega - ( \epsilon _ { c } + \Omega _ { \nu } ) + i 0 ^ { + } } . } \end{array}
U _ { \mathrm { e m } } ^ { \left( d \right) } = d \left( d - 1 \right) k _ { B } T \left[ \left( x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \left( d \right) } \right) ^ { - d } C _ { d } S _ { d } \left( x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \left( d \right) } \right) + \left( x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \left( d \right) } \right) ^ { - 1 } \tilde { C } _ { d } \tilde { S } \left( x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \left( d \right) } \right) \right] \, ,
\begin{array} { r l } { G _ { N } ^ { ( m ) } ( q ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i } \Bigg \{ \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N } \right] \cdot \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { v _ { j } - u _ { i } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \exp \left[ - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k } \frac { f \left( q ^ { k } \right) } { \left( 1 - f \left( q ^ { k } \right) \right) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( u _ { j } ^ { - k } - v _ { j } ^ { - k } \right) \right] \Bigg \} , } \end{array}
D _ { p } F ^ { p l m n } = { \frac { 1 } { 5 7 6 } } \epsilon ^ { l m n l _ { 1 } . . . l _ { 8 } } F _ { l _ { 1 } l _ { 2 } l _ { 3 } l _ { 4 } } F _ { l _ { 5 } l _ { 6 } l _ { 7 } l _ { 8 } } .
\begin{array} { r l } { F _ { r u } = \partial _ { r } A _ { u } - \partial _ { u } A _ { r } } & { = \partial _ { r } \left( \frac { 1 } { r } A _ { u } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } A _ { u } ^ { ( 2 ) } + . . . \right) - \partial _ { u } \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } A _ { r } ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { r ^ { 3 } } A _ { r } ^ { ( 3 ) } + . . . \right) } \\ & { = \left( - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } A _ { u } ^ { ( 2 ) } + \frac { 2 } { r ^ { 3 } } A _ { u } ^ { ( 3 ) } + . . . \right) - \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } A _ { r } ^ { ( 2 ) } - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } A _ { r } ^ { ( 3 ) } \right) } \end{array}
\mathrm { ~ L ~ P ~ R ~ } _ { k } = \frac { 1 } { \mathbf { k } _ { M k } ^ { \sf T } ( { { \mathbf { K } _ { N M } } ^ { \sf T } } \mathbf { K } _ { N M } + \mu \, \mathbf { K } _ { M M } ) ^ { - 1 } \mathbf { k } _ { M k } }
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 2 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } } & { = \lambda _ { \varepsilon \perp } \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { f _ { 1 } , f _ { 2 } } \otimes X _ { 3 } } & { \mapsto \Sigma _ { f _ { 1 } , ( f _ { 2 } \otimes X _ { 3 } ) } } \\ { \Sigma _ { ( f _ { 1 } \otimes X _ { 2 } ) , f _ { 3 } } } & { \mapsto \Sigma _ { f _ { 1 } , ( X _ { 2 } \otimes f _ { 3 } ) } } \\ { \Sigma _ { ( X _ { 1 } \otimes f _ { 2 } ) , f _ { 3 } } } & { \mapsto X _ { 1 } \otimes \Sigma _ { f _ { 2 } , f _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \Omega ^ { ( n ) } + \beta \frac { \partial \Omega ^ { ( n ) } } { \partial \beta } , } \\ { S ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \frac { U ^ { ( n ) } - \Omega ^ { ( n ) } } { T } , } \end{array}
r = \frac { 8 \pi ^ { 2 } k _ { N } } { N _ { c } - N _ { f } + \frac { N _ { f } } { n } } \left( \frac { K ^ { \prime \prime } } { - K ^ { \prime } } \right) + \left\{ \frac { 2 C _ { N } } { N _ { c } - N _ { f } + \frac { N _ { f } } { n } } - 1 \right\} \left( \frac { K ^ { \prime \prime } } { - K ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } .
\chi _ { i s o s . } = \frac { < p _ { g . s . } | M | p _ { g . s . } > } { < p _ { g . s . } | p _ { g . s . } > } = \frac { < g . s . | M | g . s . > + \epsilon ^ { 2 } < p _ { g . s . } ^ { 1 } | M | p _ { g . s . } ^ { 1 } > + \epsilon ^ { 4 } < p _ { g . s . } ^ { 2 } | M | p _ { g . s . } ^ { 2 } > + \ldots } { < g . s . | g . s . > + \epsilon ^ { 2 } < p _ { g . s . } ^ { 1 } | p _ { g . s . } ^ { 1 } > + \epsilon ^ { 4 } < p _ { g . s . } ^ { 2 } | p _ { g . s . } ^ { 2 } > + \ldots } \quad .
J _ { ( p ) } ^ { ( n ) } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \big ( \Gamma _ { 1 1 } \big ) ^ { n + { \frac { p - 2 } { 2 } } } \Gamma _ { ( 0 ) } \, , } } \\ { { ( - 1 ) ^ { n } ( \sigma _ { 3 } ) ^ { n + { \frac { p - 3 } { 2 } } } i \sigma _ { 2 } \otimes \Gamma _ { ( 0 ) } \, . } } \end{array} \right. \right.
\frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } y } = A ( \lambda ) \displaystyle { \left[ ( \lambda - 1 ) ( \lambda ^ { 2 } + 1 ) y ^ { - 1 } + 4 \lambda ^ { 2 } ( \lambda - 1 ) y - 2 \lambda ^ { 3 } y ^ { 2 } - \lambda ( 3 \lambda ^ { 2 } - 4 \lambda + 3 ) \right] } ,
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { C ( F D E ) } } [ \rho _ { \mathrm { e n v } } ] ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) } & { = \frac { \delta E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { C } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] } { \delta \rho _ { \mathrm { A } } } } \\ & { = - \sum _ { X \neq \mathrm { A } } \sum _ { J \in X } \frac { Z _ { J } } { | \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } - \mathbf { R } _ { J } | } + \sum _ { X \neq \mathrm { A } } \int \frac { \rho _ { X } ( \mathbf { r } _ { x } ) } { | \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } - \mathbf { r } _ { x } | } { \mathrm { d } } \mathbf { r } _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { T } ( \mathcal { U } ) } & { = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { U } } ( u _ { s } q ) \, d s } \\ & { = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { 1 } _ { K ^ { c } } ( g _ { - t } u _ { s } q ) \, d s } \\ & { = \frac { 1 } { T e ^ { - 2 t } } \left| \left\{ s ^ { \prime } \in \left[ 0 , T e ^ { - 2 t } \right] : u _ { s ^ { \prime } } q _ { t } \notin K \right\} \right| < \varepsilon . } \end{array}
{ \hat { M } } = - \frac { 1 } { R ^ { \prime } } \frac { d } { d z } { R ^ { \prime } } ^ { 2 } Q \frac { d } { d z } \frac { 1 } { R ^ { \prime } } + 2 P \frac { d } { d z } - \frac { 1 } { R ^ { \prime } } ( Q R ^ { \prime \prime } ) ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { u _ { j + 1 } ^ { t } - 2 u _ { j } ^ { t } + u _ { j - 1 } ^ { t } + \frac { g _ { x } \Delta y ^ { 2 } } { \mu } \rho _ { j } ^ { t } } & { = 0 , \quad } & { 2 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \rho _ { j + 1 } ^ { t } \theta _ { j + 1 } ^ { t } - \rho _ { j } ^ { t } \left( \theta _ { j } ^ { t } + g _ { y } \Delta y \right) } & { = 0 , \quad } & { 1 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \mu \left( u _ { j + 1 } ^ { t - 1 } - u _ { j - 1 } ^ { t - 1 } \right) ^ { 2 } + 4 \lambda \left( \theta _ { j + 1 } ^ { t } - 2 \theta _ { j } ^ { t } + \theta _ { j - 1 } ^ { t } \right) } & { = 0 , \quad } & { 2 \leq j \leq N - 1 , } \\ { \left( \frac { \rho _ { 1 } ^ { t } } { 2 } + \sum _ { j = 2 } ^ { N - 1 } \rho _ { j } ^ { t } + \frac { \rho _ { N } ^ { t } } { 2 } \right) } & { = \rho _ { 0 } ( N - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| \xi ^ { \nu } ( t ) - \xi _ { n } ^ { \nu } ( t ) \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } \leq C ( p ) \left( \| \xi _ { 0 } ^ { \nu } - \xi _ { n } ^ { \nu } ( 0 , \cdot ) \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } + \| g ^ { \nu } \ast \psi _ { n } - g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { \ p i } _ { 1 } ^ { \mathrm { x } } } & { { } = \mathrm { \ p i } _ { 0 } ^ { \mathrm { x } } + \frac { \Delta t { } } { 2 } \left[ \mathrm { f } _ { 0 } ^ { \mathrm { x } } + \mathrm { f } _ { 1 } ^ { \mathrm { x } } + 2 \omega _ { } \mathrm { \ p i } _ { 0 } ^ { \mathrm { y } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textrm { d } \hat { X } _ { \tau } } & { = } & { [ \frac { 2 r ( 1 - p ) q } { 1 + \omega } - \frac { r } { 1 + \omega } + \frac { \omega } { ( 1 + \omega ) } \frac { \hat { X } _ { \tau } } { ( \tau - r + 1 ) } } \\ & { } & { + \frac { 2 r p } { 1 + \omega } \frac { ( 2 n + 1 ) ! } { ( n ! ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { \hat { X } _ { \tau } } { 2 r ( \tau - r + 1 ) } } x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } d x ] \textrm { d } \tau + \sqrt { \epsilon } \textrm { d } B . } \end{array}
R _ { e } ^ { D K } \left( \xi _ { e } \right) + \frac { T _ { e 0 } } { T _ { i 0 } } \frac { Z _ { i } ^ { 2 } n _ { i 0 } } { e ^ { 2 } n _ { e 0 } } R _ { i } ^ { D K } \left( \xi _ { i } \right) \approx 0
\begin{array} { r l r } { W } & { { } = } & { 6 \cdot ( 2 \pi ) ^ { 1 / 3 } \sigma _ { W 0 } \varepsilon ^ { - 1 / 3 } \varepsilon _ { W } \ell _ { \mathrm { { C } } } ^ { 2 / 3 } } \end{array}
D _ { c } ( k ) = \frac { \gamma \left( \Gamma _ { 1 } g _ { 1 , R } \operatorname { t a n h } { \left( \Gamma _ { 1 } \right) } - f _ { 1 , Q } g _ { 1 , R } \gamma + f _ { 1 , R } g _ { 1 , Q } \gamma \right) } { k \operatorname { t a n h } { \left( k \right) } \left( \Gamma _ { 1 } \operatorname { t a n h } { \left( \Gamma _ { 1 } \right) } - f _ { 1 , Q } \gamma \right) } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { j , l } ^ { n } \langle \psi _ { i } | \phi _ { j } \rangle B _ { j l } \langle \phi _ { l } | \psi _ { k } \rangle = \langle \psi _ { i } | \left\{ \frac { 1 } { 2 } \Big [ \mathrm { P } ( \varepsilon _ { i } ) + \mathrm { P } ( \varepsilon _ { k } ) \Big ] - h _ { \mathrm { B r e i t } } ^ { \mathrm { N M S } } - V _ { \mathrm { s . l . } } \right\} | \psi _ { k } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { \epsilon } { 4 0 m } \right) } & { = 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 8 m } \epsilon - \frac { L } { 2 } \frac { \epsilon } { 5 m L } \right) } \\ & { \leqslant 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 4 m } ( \epsilon - \delta ) - \frac { L \alpha _ { \delta } } { 2 } \right) } \\ & { \leqslant 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 4 m } \left( \| x _ { K } - x ^ { * } \| - \| x _ { k ^ { * } } - x ^ { * } \| \right) - \frac { L \alpha _ { \delta } } { 2 } \right) } \\ & { \leqslant 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 4 m } \| x _ { K } - x _ { k ^ { * } } \| - \frac { L \bar { \alpha } } { 2 } \right) } \\ & { \leqslant 2 m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 4 m } \sum _ { k = k ^ { * } } ^ { K - 1 } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| - \frac { L } { 2 } \operatorname* { m a x } _ { k = 0 , \hdots , K - 1 } \alpha _ { k } \right) } \\ & { \leqslant f ( x _ { k ^ { * } } ) - f ( x _ { K - 1 } ) } \\ & { \leqslant m ~ \psi ^ { - 1 } \left( \frac { \epsilon } { 4 0 m } \right) + \operatorname* { m a x } _ { C } f - f ( x _ { K - 1 } ) . } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } _ { \mathrm { ~ G ~ T ~ } } = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ v ~ o ~ x ~ } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ v ~ o ~ x ~ } } } \left( \langle \lambda _ { j } \rangle - \lambda _ { j } ^ { \mathrm { ~ ( ~ G ~ T ~ ) ~ } } \right) ^ { 2 } } ,
{ \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { ( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ) ^ { - 1 } } & { - ( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ) ^ { - 1 } \mathbf { B D } ^ { - 1 } } \\ { - \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ) ^ { - 1 } } & { \quad \mathbf { D } ^ { - 1 } + \mathbf { D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ( \mathbf { A } - \mathbf { B D } ^ { - 1 } \mathbf { C } ) ^ { - 1 } \mathbf { B D } ^ { - 1 } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \big | ( \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( x ) - ( \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( y ) \big | } & { = \bigg \vert \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { z \ge 0 } \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } ( x , z ) \mu ^ { z } - \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { z \ge 0 } \mathsf { p } _ { t } ^ { \varepsilon } ( y , z ) \mu ^ { z } \bigg \vert } \\ & { \leqslant C \left( \varepsilon ^ { 2 } \vert x - y \vert \right) ^ { \alpha } ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 - \alpha / 2 } . \vphantom { \bigg ( } } \end{array}
\mathbf { K } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } ^ { ( 1 ) } } & { \mathbf { A } } \\ { \mathbf { A } } & { \mathbf { K } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array} { l l } { ( \mathbf { K } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { A } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { ( \mathbf { K } ^ { ( 1 ) } - \mathbf { A } ) } \end{array} \right] .
{ \left[ \begin{array} { l } { \Psi } \end{array} \right] } ^ { T } { \left[ \begin{array} { l } { M } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \Psi } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { { \ddot { q } } } \end{array} \right\} } + { \left[ \begin{array} { l } { \Psi } \end{array} \right] } ^ { T } { \left[ \begin{array} { l } { K } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \Psi } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { q } \end{array} \right\} } = 0 .
\tau ^ { U } : = \left[ \left( \frac { 2 \rho \sqrt { u _ { i } \, u _ { i } } } { h _ { K } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 4 \, \mu } { m _ { K } h _ { K } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + ( C _ { \alpha } \, \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d W } { d \Omega } = } & { { } \mathcal { N } ^ { 2 } \sum _ { \lambda _ { i } } \bigg | \mathcal { E } _ { \omega } ^ { 2 } \sum _ { l = o d d } Y _ { l m } ( \theta , \phi ) f _ { \gamma , 2 } e ^ { i \delta _ { \gamma , 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { n , N } ^ { 2 } } & { \leq C _ { 2 } 2 ^ { - N ( L - 1 ) g } \sqrt { N } \sum _ { \mathbf { j } \in - \mathbb { N } ^ { d } } 2 ^ { j _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) + \cdots + j _ { d } ( 1 - h _ { d } ) } \sqrt { \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \log ( 3 + | j _ { \ell } | ) } } \\ & { \leq C _ { 3 } 2 ^ { - N ( L - 1 ) g } \sqrt { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = { \begin{array} { l } { { \frac { 2 } { 6 } } } \end{array} } ( \partial _ { \gamma } F _ { \alpha \beta } + \partial _ { \alpha } F _ { \beta \gamma } + \partial _ { \beta } F _ { \gamma \alpha } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to m } D _ { x } ^ { ( \alpha ) } \left( x ^ { n } + \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } c _ { j } x ^ { j } \right) } & { = \frac { \Gamma ( n + 1 ) } { \Gamma ( n + 1 - m ) } x ^ { - m } \left[ x ^ { n } + \sum _ { j = m } ^ { n - 1 } \left( \prod _ { k = j + 1 } ^ { n } \! ( k - m ) \right) \cdot \frac { j ! } { n ! } c _ { j } x ^ { j } \right] } \\ & { = \frac { \Gamma ( n + 1 ) } { \Gamma ( n + 1 - m ) } \left[ x ^ { n - m } + \sum _ { j = m } ^ { n - 1 } \left( \prod _ { k = j + 1 } ^ { n } \! ( k - m ) \right) \cdot \frac { j ! } { n ! } c _ { j } x ^ { j - m } \right] } \end{array}
\mathbf { R } \times ( - W \mathbf { \hat { k } } ) = \mathbf { r } _ { 1 } \times \mathbf { F } _ { 1 } + \mathbf { r } _ { 2 } \times \mathbf { F } _ { 2 } + \mathbf { r } _ { 3 } \times \mathbf { F } _ { 3 } .
q _ { e l } ^ { a } = { \frac { 1 } { \rho _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } } M _ { a b } ^ { ( 0 ) } ( \alpha ^ { b } + \rho _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \beta ^ { b } ) , \quad q _ { m a g } ^ { a } = L _ { a b } \beta ^ { b } ~ .
\left\{ \begin{array} { r l } & { p _ { x } ^ { i } = - ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - 1 } \big [ \hat { r } _ { 3 } ^ { i } + G _ { u } ^ { i } p _ { u } \big ] } \\ & { p _ { y } ^ { i } = - ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - \top } \big [ \hat { r } _ { 1 } ^ { i } + K _ { x _ { i } x _ { i } } p _ { x } ^ { i } + K _ { x _ { i } u } p _ { u } \big ] \; . } \end{array} \right.
\frac { d P ^ { I C } } { d x _ { u } d x _ { u ^ { \prime } } . . . d x _ { \bar { c } } } = \alpha _ { s } ^ { 4 } \left( M _ { c \bar { c } } ^ { 2 } \right) \frac { \delta \left( 1 - \Sigma _ { i = u } ^ { \bar { c } } x _ { i } \right) } { \left( m _ { p } ^ { 2 } - \Sigma _ { i = u } ^ { \bar { c } } \hat { m } _ { i } ^ { 2 } x _ { i } \right) ^ { 2 } } \: ,
\left( \tilde { \bf S } \Omega , \frac { \delta \tilde { \bf S } } { \delta A _ { \nu } ( x ) } \Omega \right) = i C ^ { 2 } \, \Im m \mathrm { T r } \left( S _ { - + } ^ { \dagger } \frac { \delta S _ { + - } } { \delta A _ { \nu } ( x ) } \right) \, \, .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { D A } = \sum _ { m = 0 } ^ { N } \sum _ { k = - N } ^ { N } \sum _ { n = n _ { 1 } [ 2 ] } ^ { n _ { 2 } } \frac { u _ { n } ( a ) } { a } \bar { F } _ { n m } ^ { k } ( i ) \times } \\ & { \left[ \left( k \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \beta _ { n m } - ( n + 1 ) \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \alpha _ { n m } \right) \cos \psi _ { m k } ^ { 2 } \right. } \\ & { \! \! \! - \left( k \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \alpha _ { n m } + ( n + 1 ) \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \beta _ { n m } \right) \sin \psi _ { m k } ^ { 2 } } \\ & { \! \! \! - \left( k \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \beta _ { n m } + ( n + 1 ) \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \alpha _ { n m } \right) \cos \psi _ { m k } ^ { 1 } } \\ & { \! \! \! \left. + \left( k \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \alpha _ { n m } - ( n + 1 ) \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \beta _ { n m } \right) \sin \psi _ { m k } ^ { 1 } \right] , } \end{array}
R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } = \sum _ { i = - n } ^ { I } C _ { i , I - i } \left( \prod _ { j = I - i } ^ { I + n - 1 } F _ { i , j } - \prod _ { j = I - i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) = \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , i } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) ,
\begin{array} { r l } { Q ( \widehat { L } ) } & { = \frac { 2 \lambda } { D } \; e ^ { \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime } } } \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } d \widehat { L ^ { \prime } } \; e ^ { - \int ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) } { D } d \widehat { L ^ { \prime \prime } } } \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime \prime } } \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { T } ( \beta , \sigma ) } & { = } & { t _ { 0 } + t _ { 1 } \, \sigma ^ { \tau _ { 1 } } \operatorname { t a n h } \left[ t _ { 2 } \, \beta \, \sigma ^ { \tau _ { 2 } } \right] } \\ & { } & { \phantom { t _ { 0 } } + t _ { 2 } \, \sigma ^ { \tau _ { 3 } } \operatorname { t a n h } \left[ t _ { 3 } \, \beta ^ { \tau _ { 4 } } \, \sigma \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } ^ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } = } & { { } \delta _ { p _ { i } , - p _ { j } } ( 1 + \delta _ { K _ { i } 0 } + \delta _ { K _ { j } 0 } - 2 \delta _ { K _ { i } 0 } \delta _ { K _ { j } 0 } ) } \end{array}
\frac { p ^ { 2 } } { D _ { \mu } ( p ) } \left[ \frac { 1 } { D _ { p } ( - p ) } + \frac { 1 } { D _ { p } ( p ) } \right] \approx \frac { 2 } { m _ { p } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } } \left[ \frac { m _ { p } ^ { 2 } } { D _ { p } ( p ) } - \frac { m _ { \mu } ^ { 2 } } { D _ { \mu } ( p ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { x _ { 2 } ^ { \prime \prime } \approx } & { \frac { x _ { 1 } \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \kappa \theta \beta ^ { 2 } } \left( \sin ^ { 2 } \vartheta _ { c } + \frac { \theta } { \kappa } \sin ^ { 2 } \vartheta _ { w } - 2 \sqrt { \frac { \theta } { \kappa } } \cos \vartheta _ { c w } \right) \Bigg [ \frac { \overline { { \alpha } } ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \vartheta _ { c } } \\ & { + \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \left( \sin ^ { 2 } \vartheta _ { c } + \frac { \theta } { \kappa } \sin ^ { 2 } \vartheta _ { w } - 2 \sqrt { \frac { \theta } { \kappa } } \cos \vartheta _ { c w } \right) \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( v _ { i j } { \boldsymbol { \cdot } } v _ { j k } ) ^ { \flat } = v _ { j k } ^ { \flat } { \boldsymbol { \cdot } } v _ { i j } ^ { \flat } , } \\ & { \langle v _ { i j } ^ { \flat } { \boldsymbol { \cdot } } v _ { i k } , v _ { j k } \rangle = \langle v _ { i k } , v _ { i j } { \boldsymbol { \cdot } } v _ { j k } \rangle , } \\ & { \langle v _ { i k } { \boldsymbol { \cdot } } v _ { j k } ^ { \flat } , v _ { i j } \rangle = \langle v _ { i k } , v _ { i j } { \boldsymbol { \cdot } } v _ { j k } \rangle , } \end{array}