harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } ^ { [ 1 ] } : = \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } , \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 1 ] } : = \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } , \mathbf { P } _ { ( n ) } ^ { [ 1 ] } : = \mathbf { P } _ { ( n ) } , u _ { [ 1 ] } ^ { m } : = u ^ { m } , N _ { 0 } ^ { [ 1 ] } : = N _ { 0 } .
{ \frac { v _ { x } - v _ { S } } { v _ { \infty } - v _ { S } } } = { \frac { T - T _ { S } } { T _ { \infty } - T _ { S } } } = { \frac { c _ { A } - c _ { A S } } { c _ { A \infty } - c _ { A S } } } = 0
\small \begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 3 2 } \, b ( - k n ) \bigg [ 3 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } - \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in E } | A _ { t , j } ^ { k } f ( y ) | } & { \le \operatorname* { s u p } _ { t _ { l } \in E _ { j , k } } | A _ { t _ { l } , j } ^ { k } f ( y ) | + \int _ { 0 } ^ { ( c 2 ^ { d k } + 1 ) ^ { - 1 } 2 ^ { - j } } \operatorname* { s u p } _ { t _ { l } \in E _ { j , k } } | \partial _ { u } A _ { t _ { l } + u , j } ^ { k } f ( y ) | d u . } \end{array}
2 \alpha _ { 1 } + 3 \alpha _ { 2 } + 4 \alpha _ { 3 } + 2 \alpha _ { 4 } = - u _ { 1 } + u _ { 2 } \rightarrow B _ { 2 } ^ { 1 } = \left[ B _ { \bar { 1 } } ^ { 0 } , B _ { 2 } ^ { 0 } \right] = D _ { 1 0 } ^ { \overline { { { 1 1 } } } } + D _ { 1 2 } ^ { \bar { 9 } } - D _ { 1 3 } ^ { \bar { 7 } }
\begin{array} { r l } { \frac { d p _ { x } } { d \phi } = } & { \frac { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { p _ { - } } [ a _ { 0 } ^ { 2 } \cos \phi \sin \phi + a _ { 0 } a _ { 1 } \sin ( 2 k _ { 0 } x + \phi _ { 1 } ) } \\ & { - a _ { 1 } ^ { 2 } \cos ( \phi + 2 k _ { 0 } x + \phi _ { 1 } ) \sin ( \phi + 2 k _ { 0 } x + \phi _ { 1 } ) ] . } \end{array}
\frac { n _ { b } } { s } ~ \sim ~ \frac { T _ { \mathrm { r } } } { M _ { \mathrm { p } } } ~ \frac { m _ { \chi } } { M _ { \mathrm { p } } } \quad \approx \quad 1 0 ^ { - 3 4 } ~ \frac { m _ { \chi } } { M _ { \ast } } ~ \ll ~ 1 0 ^ { - 1 0 } \, .
\begin{array} { r l } { k _ { n } } & { { } = \frac { 2 \pi n } { p _ { \mathrm { ~ x ~ } } } } \\ { k _ { m } } & { { } = \frac { 2 \pi m } { p _ { \mathrm { ~ y ~ } } } + k _ { \mathrm { ~ t ~ } } \, . } \end{array}
\Omega _ { 0 } \big ( \vec { k } , \vec { x } + \frac { \partial \omega } { \partial \vec { k } } s , t + s \big ) = 2 \int d \vec { q } ^ { \prime } e ^ { i \vec { q } ^ { \prime } \cdot ( \vec { x } + \partial _ { \vec { k } } \omega s ) } \int _ { 2 , 4 \mathrm { ~ s m a l l } } d \vec { k } _ { 2 } d \vec { k } _ { 4 } T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 4 } } b _ { \mathbf 2 } ^ { * } ( t + s ) b _ { \mathbf 4 } ( t + s ) \delta ( \vec { q } ^ { \prime } + \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 4 } )
\sum _ { c = 1 } ^ { m } \phi _ { c } H _ { i j k \ell _ { c } } = \frac { 1 } { 4 } \left( \delta _ { i k } \alpha _ { j l } + \delta _ { i \ell } \alpha _ { j k } + \delta _ { j k } \alpha _ { i \ell } + \delta _ { j \ell } \alpha _ { i k } \right) + \beta _ { i j k \ell } \, ,
\dot { S } _ { z } = - \frac { 2 g _ { 0 } ^ { 2 } } { \kappa } S _ { + } S _ { - } - \frac { \mathrm { i } g _ { 0 } } { \kappa } ( S _ { + } \dot { a } - \dot { a } ^ { \dagger } S _ { - } ) \, ,
{ \underline { { \int _ { X } } } } g \, d \mu : = \operatorname* { s u p } \left\{ \left. \int _ { X } h \, d \mu \right| h : X \to [ 0 , \infty ] { \mathrm { ~ i s ~ m e a s u r a b l e ~ a n d ~ } } 0 \leqslant h \leqslant g \right\} .
\begin{array} { r l } { \nabla \mathcal { H } _ { 3 } ( f ) } & { = \frac { \alpha } { 1 6 } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( 3 f ( \theta ) ^ { 2 } - 2 f ( \theta ) f ( \eta ) - f ( \eta ) ^ { 2 } ) d \eta - \frac { \alpha } { 1 6 } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } d \eta f ( \theta ) ^ { 2 } . } \end{array}
\Re { 1 / Z _ { ( 1 ) } } = G _ { 0 } + \sum _ { j } \left( \frac { S _ { j } } { 2 } + \frac { S _ { j } } { 4 } \frac { 1 } { 1 + ( 2 \omega \tau _ { j } ) ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r c l } { { \delta _ { \epsilon } A ^ { a } } } & { { = } } & { { \{ A ^ { a } , Q _ { \epsilon } \} = g f ^ { a b c } \epsilon ^ { b } A ^ { c } \ \ \ , } } \\ { { \delta _ { \epsilon } \pi ^ { a } } } & { { = } } & { { \{ \pi ^ { a } , Q _ { \epsilon } \} = g f ^ { a b c } \epsilon ^ { b } \pi ^ { c } \ \ \ , } } \\ { { \delta _ { \epsilon } \phi ^ { a } } } & { { = } } & { { - \dot { \epsilon } ^ { a } + g f ^ { a b c } \epsilon ^ { b } \phi ^ { c } \ \ \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { K } = \alpha \mathbf { W } _ { D } ^ { H } \mathbf { W } _ { A } ^ { H } \mathbf { P } \mathbf { \Phi } \mathbf { R } \mathbf { F } _ { A } \mathbf { F } _ { D } } & { = \mathbf { I } _ { N } , } \\ { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } \alpha ^ { 2 } \sigma _ { n } ^ { 2 } \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { H } + \mathbf { W } _ { D } ^ { H } \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } \mathbf { W } _ { D } } & { = \mathbf { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { H ( \omega ) } & { { } = H _ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } + \sum _ { p , ~ p \in i \mathbb { R } } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( H , p , - m ) } { ( w - p ) ^ { m } } } \end{array} } \end{array}
\lambda _ { 8 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { \| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \hat { P } _ { 2 1 } ( s ) \right\} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } \leq \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \cosh ( l s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) } \right\} \right\| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } \cdots \left\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { 1 } { \cosh ( l _ { n - 1 } s ^ { \alpha } ) } \right\} \right\| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } } \end{array}
\frac 1 4 h ^ { 2 } \left[ \frac 9 4 \left( \xi + \mu \right) ^ { 2 } - \frac 5 4 m ^ { 2 } \right] - \vec { h } ^ { 2 } \, \left[ \left( \xi + \mu \right) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right] > 0
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \bullet } ( \pmb { \theta } ) } & { = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { \bullet R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \bullet R } } { \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { \bullet } ( \mathbf { x } _ { \bullet R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N _ { \bullet B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \bullet B } } { \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { \bullet } ( \mathbf { x } _ { \bullet B } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { P h y s i c s } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { \bullet D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \bullet D } } { \left\| \mathbf { y } _ { \bullet } ( \mathbf { x } _ { \bullet D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { \bullet D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { L a b e l e d ~ d a t a } } } \end{array}
\vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \times \left( \frac { \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R } \right) = \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } R \times \partial _ { R } \left( \frac { \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R } \right) .
6 s _ { \mathrm { i m } } ^ { 2 } a _ { 0 4 0 0 } - 3 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } ^ { 2 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 0 } + 1 ) ^ { 2 } - 3 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 3 0 1 } + a _ { 0 2 0 2 }
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { { } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \sum _ { i = 1 } ^ { A } \nabla _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { A } x _ { i } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { P , P } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { = \left\langle \Psi _ { a } \left| \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 1 } ) \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 2 } ) \right| \Psi _ { a } \right\rangle } \\ & { = \frac { 1 } { V ^ { 4 } } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v , \alpha , \beta } \sum _ { u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , \gamma , \delta } \sum _ { n , m } D _ { u v , \alpha \beta , \mathbf { k } } ^ { ( n ) } D _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } , \gamma \delta , \mathbf { k } } ^ { ( m ) } } \\ & { \times e ^ { i \left( \frac { E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } } { \hbar } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) + n \Omega t _ { 1 } \right) } e ^ { i \left( \frac { E _ { \gamma \delta \mathbf { k } } } { \hbar } ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) + m \Omega t _ { 2 } \right) } \langle \Psi _ { a } | \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v \mathbf { k } } \hat { c } _ { u ^ { \prime } \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v ^ { \prime } \mathbf { k } } | \Psi _ { a } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { A \big ( \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } - 2 \beta _ { 0 } \big ) \big ) = \log \left( \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - 2 \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } \theta _ { 2 } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - 2 \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } } { ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - 2 \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } } \right) . } \end{array}
\langle \overbrace { { \cal O } _ { e } , \cdots , { \cal O } _ { e } } ^ { \mathrm { ~ N - 2 ~ t i m e s } } \rangle = N + n _ { 1 } ^ { N } \exp ( - t ) + n _ { 2 } ^ { N } \exp ( - 2 t ) + n _ { 3 } ^ { N } \exp ( - 3 t ) + \cdots
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { 1 3 } ( \sigma ) } & { = \int k _ { 2 } ( \tau ) \left[ \hat { I } _ { 1 3 } ^ { p } ( \sigma ) \cos \omega \tau - \hat { I } _ { 2 3 } ^ { p } ( \sigma ) \sin \omega \tau \right] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma \tau } \, d \tau } \\ & { = \hat { I } _ { 1 3 } ^ { p } ( \sigma ) \int k _ { 2 } ( \tau ) \cos \omega \tau \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma \tau } \, d \tau - \hat { I } _ { 2 3 } ^ { p } ( \sigma ) \int k _ { 2 } ( \tau ) \sin \omega \tau \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma \tau } \, d \tau } \\ & { = \frac 1 2 \hat { k } _ { 2 } ( \sigma - \omega ) \left[ \hat { I } _ { 1 3 } ^ { p } ( \sigma ) + \mathrm { i } \, \hat { I } _ { 2 3 } ^ { p } ( \sigma ) \right] + \frac 1 2 \hat { k } _ { 2 } ( \sigma + \omega ) \left[ \hat { I } _ { 1 3 } ^ { p } ( \sigma ) - \mathrm { i } \, \hat { I } _ { 2 3 } ^ { p } ( \sigma ) \right] \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial x _ { i } ^ { * } } { \partial \alpha _ { i } } = \frac { - \sum _ { t \neq i } \frac { 1 } { \alpha _ { t } } ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { t } } } \ln x _ { i } ^ { * } } { \sum _ { t = 1 } ^ { n } \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { t } } ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { \frac { \alpha _ { i } } { \alpha _ { t } } - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \left( \hat { \mathbf { F } } - \hat { \mathbf { F } } ^ { \mathrm { v } } \right) } { \partial \xi } = } & { \frac { 1 } { \Delta \xi } \left[ \left( \hat { \mathbf { F } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } - \hat { \mathbf { F } } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } \right) - \left( \hat { \mathbf { F } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { \mathrm { v } } - \hat { \mathbf { F } } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { \mathrm { v } } \right) \right] } \\ { \frac { \partial \left( \hat { \mathbf { G } } - \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { v } } \right) } { \partial \eta } = } & { \frac { 1 } { \Delta \eta } \left[ \left( \hat { \mathbf { G } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } - \hat { \mathbf { G } } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } , k } \right) - \left( \hat { \mathbf { G } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { \mathrm { v } } - \hat { \mathbf { G } } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { \mathrm { v } } \right) \right] } \\ { \frac { \partial \left( \hat { \mathbf { H } } - \hat { \mathbf { H } } ^ { \mathrm { v } } \right) } { \partial \zeta } = } & { \frac { 1 } { \Delta \zeta } \left[ \left( \hat { \mathbf { H } } _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } - \hat { \mathbf { H } } _ { i , j , k - \frac { 1 } { 2 } } \right) - \left( \hat { \mathbf { H } } _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { v } } - \hat { \mathbf { H } } _ { i , j , k - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { v } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \left( \frac { \sigma _ { 1 } } { 2 \varepsilon } + \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 \varepsilon } \right) F ( \phi ) + \frac { \sigma _ { 1 } \varepsilon + \sigma _ { 2 } \varepsilon } { 4 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { ~ L ~ i ~ } ^ { + } } = e ^ { - 2 . 7 8 4 7 5 1 s } ( 1 + 0 . 3 5 4 3 1 7 u + 0 . 1 5 4 6 5 7 t ^ { 2 } - 0 . 1 2 7 2 2 5 s + 0 . 0 4 2 2 2 0 s ^ { 2 } - 0 . 0 6 6 7 3 1 u ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \frac { d J _ { \mathrm { L } } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } } & { = \frac { \partial J _ { \mathrm { L } } } { \partial \boldsymbol { \theta } _ { v } } + \frac { \partial J _ { \mathrm { L } } } { \partial \boldsymbol { \theta } _ { T } } \frac { d \boldsymbol { \theta } _ { T } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } + \frac { \partial J _ { \mathrm { L } } } { \partial \boldsymbol { \lambda } } \frac { d \boldsymbol { \lambda } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } } \\ & { = \boldsymbol { \lambda } ^ { \top } \frac { \partial { \bf r } } { \partial \boldsymbol { \theta } _ { v } } + ( \frac { \partial J } { \partial \boldsymbol { \theta } _ { T } } + \boldsymbol { \lambda } ^ { \top } \frac { \partial { \bf r } } { \partial \boldsymbol { \theta } _ { T } } ) \frac { d \boldsymbol { \theta } _ { T } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } + { \bf r } ^ { \top } \frac { d \boldsymbol { \lambda } } { d \boldsymbol { \theta } _ { v } } . } \end{array}
\tau _ { 0 } \lambda _ { - } ^ { \mathrm { d c } } \approx \frac { \Gamma } { 2 \mathrm { i } ( \gamma + \Gamma ) } \frac { 1 } { \delta - \mathrm { i } \frac { \gamma ^ { 2 } + 2 \gamma \Gamma } { 2 ( \gamma + \Gamma ) } }
\begin{array} { r l r } { \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } + h ) } & { = } & { \ell ( \gamma ^ { 0 } + v , 0 ) } \\ & { = } & { \ell ( \gamma ^ { 0 } , 0 ) + v ^ { T } \widetilde { X } ^ { T } \nabla _ { \eta } \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } v ^ { T } \widetilde { X } ^ { T } \nabla _ { \eta \eta } ^ { 2 } \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } ) \widetilde { X } v + o _ { P } ( 1 ) } \\ & { = } & { \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } ) + h ^ { T } \nabla _ { \eta } \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } h ^ { T } \nabla _ { \eta \eta } ^ { 2 } \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } ) h + o _ { P } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \left[ \| q _ { k } - q ^ { * } \| ^ { 2 } \, | \, \mathcal { F } _ { k - 1 } \right] } & { \leq ( 1 + 2 L ^ { 2 } \gamma _ { k } ^ { 2 } ) \| q _ { k - 1 } - q ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - 2 \gamma _ { k } ( f ( q _ { k - 1 } ) - f ( q ^ { * } ) ) } \\ & { \quad - 2 \gamma _ { k } \mathrm { E } [ \zeta _ { k - 1 } | \mathcal { F } _ { k - 1 } ] ^ { \top } ( q _ { k - 1 } - q ^ { * } ) } \\ & { \quad + 2 \gamma _ { k } ^ { 2 } \mathrm { E } \left[ \| g ^ { * } + \zeta _ { k - 1 } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k - 1 } \right] ) } \\ & { = ( 1 + 2 L ^ { 2 } \gamma _ { k } ^ { 2 } ) \| q _ { k - 1 } - q ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - 2 \gamma _ { k } ( f ( q _ { k - 1 } ) - f ( q ^ { * } ) ) } \\ & { \quad + 2 \gamma _ { k } ^ { 2 } \mathrm { E } \left[ \| g ^ { * } + \zeta _ { k - 1 } \| ^ { 2 } \, | \, \mathcal { F } _ { k - 1 } \right] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \boldsymbol { v } - \Pi _ { h } \boldsymbol { v } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \lesssim \operatorname* { m a x } _ { E \in \Omega _ { h } } \big ( \| \boldsymbol { v } - \Pi _ { k } \boldsymbol { v } \| _ { L ^ { \infty } ( E ) } + h _ { E } ^ { - 1 } \| \Pi _ { k } \boldsymbol { v } - \boldsymbol { v } \| _ { L ^ { 2 } ( E ) } + h _ { E } ^ { - 1 } \| \boldsymbol { v } - \boldsymbol { v } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( E ) } \big ) } \\ & { \lesssim \operatorname* { m a x } _ { E \in \Omega _ { h } } \big ( h _ { E } ^ { s + 1 } | \boldsymbol { v } | _ { W _ { \infty } ^ { s + 1 } ( E ) } + h _ { E } ^ { s } | \boldsymbol { v } | _ { s + 1 , E } \big ) \lesssim \operatorname* { m a x } _ { E \in \Omega _ { h } } h _ { E } ^ { s + 1 } | \boldsymbol { v } | _ { W _ { \infty } ^ { s + 1 } ( E ) } \leq h ^ { s + 1 } | \boldsymbol { v } | _ { W _ { \infty } ^ { s + 1 } ( \Omega _ { h } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \nabla _ { X } \phi _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } & { = \nabla _ { X } \phi ( \vec { x } , z , \omega ) } \\ { \frac { 1 } { k _ { 0 } } \left\langle \nabla _ { X } \phi _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } & { = \vec { v } _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) } \end{array}
p ( x | \tau ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \tau - 1 } { x _ { \mathrm { m i n } } } \left( \frac { x _ { i } } { x _ { \mathrm { m i n } } } \right) \, , \quad \forall x _ { i } \ge x _ { \mathrm { m i n } } \, ,
{ \begin{array} { r l } { \left[ n _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } \right] - 2 \left( \sigma _ { 1 } n _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } n _ { 3 } ^ { 2 } \right) \sigma _ { \mathrm { n } } + \lambda \left( n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } \right) } & { = 0 } \\ { \left[ \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + \left( \sigma _ { 1 } n _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } n _ { 3 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] - 2 \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + \lambda } & { = 0 } \\ { \left[ \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \right] - 2 \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + \lambda } & { = 0 } \\ { \lambda } & { = \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } - \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } \end{array} }
\Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } = \Psi \left( r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R , 0 } \right) , \quad \mathrm { ~ w i t h ~ } \left\{ \begin{array} { r l } { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } & { = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i , j } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } } { \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } ^ { 0 } } } \\ { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } & { = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } ^ { 0 } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } } } \end{array} \right. .
\Delta \mathcal { H } = \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } 2 4 \left( \frac { 1 1 } { | \mathbf x _ { i } - \mathbf x _ { j } | ^ { 1 4 } } - \frac 5 { | \mathbf x _ { i } - \mathbf x _ { j } | ^ { 8 } } \right)
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L , \, V o T } } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } k _ { 1 } ^ { 3 } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \left\lbrace \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | r _ { j } | \phi _ { n _ { 2 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 2 } } | r _ { j } | \phi _ { n _ { 3 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 3 } } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle \right. } \\ { \times ( 3 E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } - E _ { n _ { 2 } } - E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) \left( \frac { ( E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } ) ^ { 3 } \log [ 2 | E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } | ] - ( E _ { a } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } ) ^ { 3 } \log [ 2 | E _ { a } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } | ] } { ( E _ { n _ { 1 } } - E _ { n _ { 2 } } \pm k _ { 1 } ) ( - E _ { n _ { 2 } } + E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) ( 3 E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } - E _ { n _ { 2 } } - E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) } \right. } \\ { \left. \left. - \frac { ( E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } ) ^ { 3 } \log [ 2 | E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } | ] - ( E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } ) ^ { 3 } \log [ 2 | E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } | ] } { ( E _ { n _ { 1 } } - E _ { n _ { 3 } } ) ( - E _ { n _ { 2 } } + E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) ( 3 E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } - E _ { n _ { 2 } } - E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) } + \frac { 5 } { 6 } \right) \right\rbrace } \end{array}
H = \frac { 1 } { 2 } [ \pi _ { \rho } ^ { 2 } + \frac { 2 g \lambda \cos \phi } { \alpha } \pi _ { \rho } \pi _ { \phi } + \frac { g ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi + \beta } { \rho ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \pi _ { \phi } ^ { 2 } ] + V ( \rho ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { d _ { \phi } ^ { \pm } } & { { } : = \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } } } \end{array}
\boxed { \big ( \Theta _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) \overset { \mathtt { S o l } } { = } \big ( \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) - \frac { 1 } { \gamma } \underline { { \mathrm { d } } } \big ( \mathrm { e } _ { I } \wedge \delta \mathrm { e } ^ { I } , 0 \big ) }
\begin{array} { r } { | \Psi \rangle = \iiint d x _ { 1 } d x _ { 2 } d a \delta ( x _ { 1 } - a ) \delta ( x _ { 2 } + d - a ) \Phi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \Phi _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \frac { e ^ { i K _ { 0 } a } } { \sqrt { 2 \pi } } | x _ { 1 } , x _ { 2 } , a \rangle } \end{array}
K _ { \mathrm { e q } } = \frac { \Psi _ { \mathrm { C O } } \Psi _ { \mathrm { H _ { 2 } } } ^ { 3 } } { \Psi _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } \Psi _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } ,
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { H } } ( T ) } & { = \exp \left( \frac { \Delta _ { f } G _ { 0 , \mathrm { H } } ( T ) } { R T } \right) } \\ & { = \exp \left( \frac { - 2 \Delta _ { r } G _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } ( T ) } { R T } \right) , } \\ { K _ { \mathrm { C } } ( T ) } & { = \exp \left( \frac { \Delta _ { f } G _ { 0 , \mathrm { C } } ( T ) } { R T } \right) } \\ & { = \exp \left( \frac { - 2 \Delta _ { r } G _ { \mathrm { C O } _ { 2 } } ( T ) + 2 \Delta _ { r } G _ { \mathrm { C O } } ( T ) } { R T } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) } & { = \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } ) - ( \mathrm { E } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ) ^ { 2 } } \\ & { = \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } ) - f _ { X } ^ { 2 } ( x ) + o ( 1 ) , } \\ { \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } ) } & { \rightarrow \infty . } \end{array}
\dot { \phi } _ { i _ { 1 } } = \frac { 1 } { ( q - 1 ) ! } \sum _ { i _ { 2 } , \ldots , i _ { q } } J _ { i _ { 1 } \cdots i _ { q } } \phi _ { i _ { 2 } } \cdots \phi _ { i _ { q } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } \left( \| \mathbf { Q } ^ { * } - \bar { \mathbf { Q } } \| _ { \operatorname* { m a x } } \geq C ( \frac { \log d } { N } ) ^ { 1 / 2 } \right) } & { \leq \sum _ { j , l } \mathrm { P r } \left( \lvert \mathbf { Q } _ { j l } ^ { * } - \bar { \mathbf { Q } } _ { j l } \rvert \geq C ( \frac { \log d } { N } ) ^ { 1 / 2 } \right) } \\ & { \leq d ^ { 2 } \mathrm { P r } \left( \lvert \mathbf { Q } _ { j l } ^ { * } - \bar { \mathbf { Q } } _ { j l } \rvert \geq C ( \frac { \log d } { N } ) ^ { 1 / 2 } \right) } \\ & { \leq d ^ { 2 } \mathrm { P r } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \lvert \frac { n _ { i } } { N } - \omega _ { i } \rvert \geq C ^ { \prime } ( \frac { \log d } { N } ) ^ { 1 / 2 } \right) } \\ & { \leq \exp ( - C ^ { \prime \prime } \log d ) . } \end{array}