harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \alpha _ { 2 } } ^ { \ast } } & { = \frac { \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 1 } ( t ) \rangle \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle } { 1 - | \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle | ^ { 2 } } , } \\ { { \beta _ { 2 } } ^ { \ast } } & { = \frac { \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 1 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 1 } ( t ) \rangle } { 1 - | \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle | ^ { 2 } } , } \\ { { \alpha _ { 3 } } ^ { \ast } } & { = \frac { \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 1 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 1 } ( t ) \rangle } { 1 - | \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle | ^ { 2 } } , } \\ { { \beta _ { 3 } } ^ { \ast } } & { = \frac { \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 1 } ( t ) \rangle \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle } { 1 - | \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle | ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \widetilde v _ { k } - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ ( 1 + 1 / K ) ^ { k - 1 } \mathbb { E } \| \widetilde v _ { 1 } - \nabla f ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \left( K \zeta ^ { 2 } + \frac { L ^ { 2 } } { b } + C _ { 3 } ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } d \right) \sum _ { k ^ { \prime } = 2 } ^ { k - 1 } ( 1 + 1 / ( K - 1 ) ) ^ { k - 1 - k ^ { \prime } } \mathbb { E } \| x _ { k ^ { \prime } - 1 } - x _ { k ^ { \prime } - 2 } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \ e \mathbb { E } \| \widetilde v _ { 1 } - \nabla f ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } + e \left( K \zeta ^ { 2 } + \frac { L ^ { 2 } } { b } + C _ { 3 } ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } d \right) \sum _ { k = 2 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { k - 1 } - x _ { k - 2 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { q _ { \alpha } } = \phi S _ { \alpha } ( \mathbf { v _ { \alpha } } - \mathbf { v _ { s } } ) = - \frac { k _ { 0 } } { \eta _ { \alpha } } k _ { r \alpha } ( \nabla p _ { \alpha } - \rho _ { \alpha } \mathbf { g } )
{ \tilde { X } } _ { { \bf { q } } } = ( - \frac { 1 } { 2 \mathrm { ~ } i \mathrm { ~ } N \mathrm { ~ } \epsilon _ { { \bf { q } } } } ) \sum _ { { \bf { k } } } [ \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) \omega _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) a _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) - \Lambda _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) \omega _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) a _ { { \bf { k } } } ^ { \dagger } ( - { \bf { q } } ) ]
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb { E } _ { P } \left[ \exp \left( \lambda \xi _ { t } ^ { a } ( P ) \right) | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] = \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { P } \left[ ( \xi _ { t } ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] + O \left( \left( \lambda / \sqrt { T } \right) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\int d ^ { n } p \, d ^ { n } q \, \frac { p ^ { \mu _ { 1 } } \ldots p ^ { \mu _ { i } } q ^ { \mu _ { i + 1 } } \ldots q ^ { \mu _ { j } } } { ( p ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \alpha _ { 1 } } \, ( q ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \alpha _ { 2 } } \, [ ( r + k ) ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } ] ^ { \alpha _ { 3 } } } \; \; .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { T E } } ^ { \mathrm { i n } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) } & { = S _ { l } ( k _ { 0 } r ) \, \boldsymbol { \mathbf { Y } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) , } \\ { \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { T M } } ^ { \mathrm { i n } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) } & { = - \sqrt { l ( l + 1 ) } \, \frac { S _ { l } ( k _ { 0 } r ) } { k _ { 0 } r } \, \boldsymbol { \mathbf { X } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) + i S _ { l } ^ { ' } ( k _ { 0 } r ) \, \boldsymbol { \mathbf { Z } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } \end{array}
\left( \frac { i \phi } { { 2 \pi } } \right) ^ { 2 n } \int _ { M } \mathrm { e } ^ { i \phi H } \frac { \omega ^ { n } } { n ! } = \sum _ { d H = 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { i \phi H } { { \sqrt { \operatorname * { d e t } \omega } } } } { \sqrt { \operatorname * { d e t } \mathrm { P f } H } } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } { \partial \tilde { r } } \right] - \frac { \tilde { \psi } _ { 1 } } { \tilde { r } ^ { 2 } } = g \tilde { r } \left( \frac { 4 \tilde { r } ^ { 2 } - 3 r _ { b } ^ { 2 } } { 4 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { a / g } ( t ) } & { = } & { N _ { a / g } ^ { \mathrm { i n i t } } \ \cos \Big ( \frac { d _ { 1 2 } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \Big ) - } \\ & { } & { \frac { P _ { a / g } ^ { \mathrm { i n i t } } } { d _ { 1 2 } } \sin \Big ( \frac { d _ { 1 2 } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \Big ) , } \\ { P _ { a / g } ( t ) } & { = } & { P _ { a / g } ^ { \mathrm { i n i t } } \cos \Big ( \frac { d _ { 1 2 } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \Big ) + } \\ & { } & { d _ { 1 2 } N _ { a / g } ^ { \mathrm { i n i t } } \ \sin \Big ( \frac { d _ { 1 2 } } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { e ( \mathbf { i } ) f _ { \mathfrak { s } \mathfrak { t } } : = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { \mathfrak { s } \mathfrak { t } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathbf { i } ^ { \mathfrak { s } } = \mathbf { i } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathbf { i } ^ { \mathfrak { s } } \neq \mathbf { i } } \end{array} \right. } & { f _ { \mathfrak { s } \mathfrak { t } } e ( \mathbf { i } ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { \mathfrak { s } \mathfrak { t } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathbf { i } ^ { \mathfrak { t } } = \mathbf { i } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathbf { i } ^ { \mathfrak { t } } \neq \mathbf { i } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho = \rho _ { c } E ( a ) = \frac { 3 H _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi G } E ( a ) , \quad E ( a ) = \frac { \Omega _ { r } ( a ) } { a ^ { 4 } } + \frac { \Omega _ { b } ( a ) } { a ^ { 3 } } + \frac { \Omega _ { e } ( a ) } { a ^ { 3 } } + \Omega _ { \lambda } ( a ) , \quad } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { B _ { h } } & { = \left[ \begin{array} { l } { G _ { 1 } ^ { - T } \left[ \begin{array} { l l } { G _ { 0 } ^ { T } , } & { I + \mathcal { M } } \end{array} \right] } \\ { G _ { 1 } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { 1 , } & { - G _ { 0 } } \end{array} \right] } \end{array} \right] , } & { g _ { h } } & { = \left[ \begin{array} { l } { - G _ { 1 } ^ { - T } \tilde { x } _ { f } } \\ { - G _ { 1 } ^ { - 1 } \tilde { x } _ { 1 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\tilde { k } _ { \mathrm { D } } = k _ { \mathrm { f } } ( ( 4 J ) ^ { 2 } + k _ { \mathrm { C R } } ( k _ { \mathrm { C R } } + 2 k _ { \mathrm { b } } ) ) / [ ( 4 J ) ^ { 2 } + ( k _ { \mathrm { C R } } + 2 k _ { \mathrm { b } } ) ^ { 2 } ] - \tilde { k } _ { \mathrm { C R } } / 2
\frac { { \partial \rho k } } { { \partial t } } + \frac { { \partial \left( { \rho { u _ { j } } k } \right) } } { { \partial { x _ { j } } } } = P - \beta ^ { * } \rho k \omega + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \left( { \mu + { \sigma _ { k } } { \mu _ { t } } } \right) \frac { { \partial k } } { { \partial { x _ { j } } } } } \right] ,
\begin{array} { r l } { R _ { m } ^ { 1 } ( \alpha ) } & { = - \sinh ( \lambda ) \frac { \cosh ( \lambda ) \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \theta } + \sinh ( \lambda ) } { \bigl [ \cosh ( \lambda ) \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \theta } - \sinh ( \lambda ) \bigr ] ^ { 2 } } , } \\ { R _ { m } ^ { 3 } ( \alpha ) } & { = 2 \left( \frac { \cosh ( \lambda ) \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \theta } + \sinh ( \lambda ) } { \cosh ( \lambda ) \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \theta } - \sinh ( \lambda ) } \right) ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
C ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( Q ) = \biggl \{ \, \theta \in C ^ { \circ } ( Q ) \biggm | \begin{array} { r l } { [ c ] } & { \theta _ { i } = \theta _ { \smash { i ^ { \vee } } } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i , } \\ & { 2 \mid \theta _ { i } \mathrm { ~ i f ~ } i = i ^ { \vee } \mathrm { ~ a n d ~ } u _ { i } = - 1 } \end{array} \, \biggr \} .
\vec { T } _ { 0 } ^ { q } \: \vec { T } _ { q } ^ { 1 } \: = \: V _ { q } \Phi _ { q } f _ { q } ^ { p } \: \vec { T } _ { 0 } ^ { q - 1 } + \tilde { V } _ { q } f _ { q - 1 } ^ { p } \: \vec { T } _ { 0 } ^ { q + 1 }
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { \pm } \rangle } & { { } = \frac { | 0 \rangle _ { A } \otimes | \! \uparrow \downarrow \rangle _ { B } \pm | \! \uparrow \downarrow \rangle _ { A } \otimes | 0 \rangle _ { B } } { \sqrt { 2 } } , } \\ { | \Psi _ { \pm } \rangle } & { { } = \frac { | \! \uparrow \rangle _ { A } \otimes | \! \downarrow \rangle _ { B } \pm | \! \downarrow \rangle _ { A } \otimes | \! \uparrow \rangle _ { B } } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
Y ^ { [ i ] } = \int _ { w _ { - } } ^ { w _ { + } } d w e ^ { - 3 A ( w ) } \int _ { w _ { - } } ^ { w } d w ^ { \prime } e ^ { 3 A ( w ^ { \prime } ) } \int _ { w _ { - } } ^ { w ^ { \prime } } d w ^ { \prime \prime } e ^ { - A ( w ^ { \prime \prime } ) } F _ { ( T ) } ^ { [ i ] } ( w ^ { \prime \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { T ( W - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } ( \ell ) } & { = ( W - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol U } \Lambda ^ { 1 / 2 } { \boldsymbol U } ^ { T } ( W - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } ( \ell ) } \\ & { = \sqrt { \lambda _ { \ell } } \langle { \boldsymbol u } ( \ell ) , ( W - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } ( \ell ) \rangle ( W - z I ) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } ( \ell ) + O _ { \prec } ( N ^ { - \phi } ) . } \end{array}
\tau _ { Y M } \equiv \frac { \theta _ { Y M } } { 2 \pi } + i \frac { 4 \pi } { g _ { Y M } ^ { 2 } } = i \frac { 2 N - M } { 2 \pi } \log \frac { z } { \rho _ { e } } ~ ~ , ~ ~ \rho _ { e } = \epsilon \mathrm { e } ^ { \pi / ( 2 N - M ) g _ { s } }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { 0 } \sim p _ { 0 } } [ \log p _ { 0 } ^ { \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) ] \qquad \qquad \qquad } \\ { \mathrm { s . t . } \quad \mathbf { x } _ { T } = \mathbf { x } _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } , t ) d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] M _ { H } ( [ u _ { i - 1 } ~ u _ { i } ~ u _ { i + 1 } ] , [ v _ { i - 1 } ~ v _ { i } ~ v _ { i + 1 } ] , \eta ) } & { : = P _ { H } ( x ( \eta ) ) } \\ & { = \omega _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \gamma _ { 0 } } \sum _ { l = 0 } ^ { 5 } a _ { l } ^ { 0 } \eta ^ { l } - \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \frac { \gamma _ { n } } { \gamma _ { 0 } } \sum _ { l = 0 } ^ { 5 } a _ { l } ^ { n } \eta ^ { l } \right) + \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \omega _ { n } \sum _ { l = 0 } ^ { 5 } a _ { l } ^ { n } \eta ^ { l } , } \end{array}
D _ { t } = V ^ { - 1 } d i a g \left( \exp \left[ - \frac { 3 ( m _ { t } / v ) ^ { 2 } t } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \right] , 0 , 0 \right) V d i a g ( m _ { b } , 0 , 0 ) ,
\begin{array} { r l } { c ( \omega , p _ { i } ) = \frac { p _ { 1 } } { f ( \omega , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } ) } } & { e ^ { - ( \omega - p _ { 2 } ) ^ { 2 } / f ( p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } ) ^ { 2 } } } \\ { \mathrm { w i t h } ~ f ( \omega , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } ) } & { = p _ { 3 } ( 1 + e ^ { p _ { 4 } ( \omega - p _ { 2 } ) } ) ^ { - 1 } } \end{array}
( \mathbf { u } _ { 1 } , \mathbf { u } _ { 2 } ) = ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \lVert \mathbf { t } _ { 1 } \rVert \mathbf { l } _ { 1 } + \lVert \mathbf { t } _ { 2 } \rVert \mathbf { l } _ { 2 } ) , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( \lVert \mathbf { t } _ { 1 } \rVert \mathbf { l } _ { 1 } - \lVert \mathbf { t } _ { 2 } \rVert \mathbf { l } _ { 2 } ) )
f ^ { 2 } = { \frac { N _ { c } } { 4 \pi ^ { 2 } } } \int d k ^ { 2 } { \frac { k ^ { 2 } \Sigma ( k ^ { 2 } ) } { \left( \Sigma ^ { 2 } ( k ^ { 2 } ) + k ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \left\{ \Sigma ( k ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 } } k ^ { 2 } { \frac { d \Sigma ( k ^ { 2 } ) } { d k ^ { 2 } } } \right\} .
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathrm { R e } { \psi } _ { A } ^ { k } { \psi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { C o v } ( \psi ) _ { A B } ^ { k } + \mathrm { C o v } ( \psi ) _ { A B } ^ { - k } \right) = - \frac { \kappa ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } + \beta ) + \delta [ \beta - ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) ] } { [ ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) + \beta ) ( \delta ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } + ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) \beta ] } \frac { \epsilon } { L } \, , } \\ { \left\langle \vert { \psi } _ { A } ^ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \mathrm { C o v } ( \psi ) _ { A A } ^ { k } = \frac { \delta - \kappa } { ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) } \left\langle \mathrm { R e } { \psi } _ { A } ^ { k } { \phi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle + \frac { 1 } { ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) } \frac { \epsilon } { L } \, , } \\ { \left\langle \vert { \phi } _ { B } ^ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \mathrm { C o v } ( \psi ) _ { B B } ^ { k } = - \frac { \delta + \kappa } { \beta } \left\langle \mathrm { R e } { \psi } _ { A } ^ { k } { \psi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle + \frac { 1 } { \beta } \frac { \epsilon } { L } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { Z } ^ { \ast } ( l _ { T } , s ) } \\ { = } & { \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) \cap \mathrm { M a t } _ { n } ( \mathcal { O } _ { F } ) } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) \chi _ { T } ( \operatorname* { d e t } a ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - \frac { 3 } { 2 } n - 1 } \lambda ( f _ { \mathcal { W } ( \tau , n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } ) ( m ( a ) ) d a } \\ { = } & { \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) \cap \mathrm { M a t } _ { n } ( \mathcal { O } _ { F } ) } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - 2 n - 1 } \lambda ( f _ { \mathcal { W } ( \tau , 2 n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } ) ( m ( a ) ) d a } \\ { = } & { L ( s + \frac { 1 } { 2 } , \pi \times \tau ) \cdot l _ { T } ( v _ { 0 } ) . } \end{array}
d \Pi _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p - 1 } \alpha _ { 1 } } = a _ { 1 } \left( ( C \Gamma _ { \nu \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p - 1 } } ) _ { \beta \alpha _ { 1 } } \Pi ^ { \nu } \Pi ^ { \beta } + { \frac { a _ { s } } { a _ { 0 } } } ( C \Gamma ^ { \nu } ) _ { \beta \alpha _ { 1 } } \Pi _ { \nu \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p - 1 } } \Pi ^ { \beta } ) \right)
\begin{array} { r l } { \langle t \rangle ^ { 3 } \| P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } } & { + \langle t \rangle ^ { 2 } \left\| ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 2 } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } } \\ & { \lesssim \epsilon + \epsilon \left\| \mathcal { M } _ { 3 } ( \partial _ { z } ^ { 2 } + ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 1 } \Pi _ { l , 2 } ) \right\| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i s } ( \phi ^ { r _ { i } } ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { r _ { i } } } \left\vert ( \phi ^ { r _ { i } } ) ^ { * } d ( x , y ) - d _ { \rho _ { c } } ( x , y ) \right\vert = \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { r _ { i } } } \left\vert d ( \phi ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi ^ { r _ { i } } ( y ) ) - d _ { \rho _ { c } } ( x , y ) \right\vert } \\ & { \leqslant \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { r _ { i } } } \left\vert d ( \phi ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi ^ { r _ { i } } ( y ) ) - d ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( y ) ) \right\vert } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { r _ { i } } } \left\vert d ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( y ) ) - d _ { \rho _ { c } } ( x , y ) \right\vert } \\ & { \leqslant \| ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ) ^ { * } d - ( \phi ^ { r _ { i } } ) ^ { * } d \| _ { L ^ { \infty } ( \overline { { \mathbb B } } _ { r } \times \overline { { \mathbb B } } _ { r } ) } + \mathrm { d i s } ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ) \to 0 \mathrm { \quad ~ a s \quad } k \to \infty . } \end{array}
V _ { | q ^ { 2 } | < \Lambda ^ { 2 } } = \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 i \pi ^ { 3 } } \frac { e m _ { b } } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { | q ^ { 2 } | < \Lambda ^ { 2 } } d ^ { 4 } q \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } } d x _ { 2 } \frac { 4 \hat { \epsilon } \hat { k } R ( p _ { b } \cdot p _ { s } ) - 2 ( \hat { \epsilon } \hat { k } R \hat { q } \hat { p _ { s } } + \hat { p _ { b } } \hat { q } \hat { \epsilon } \hat { k } R ) } { ( q ^ { 2 } - 2 ( p \cdot q ) - t ^ { 2 } ) ^ { 3 } }
h \left( \sigma \cdot \left[ r ^ { \ddag } \right] \right) = \left\{ \left[ \sigma \cdot r _ { R } \right] , \left[ \sigma \cdot r _ { P } \right] \right\} = \sigma \cdot \left\{ \left[ r _ { R } \right] , \left[ r _ { P } \right] \right\} = \sigma \cdot h \left( \left[ r ^ { \ddag } \right] \right)
\begin{array} { r l } { \left( \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } } ^ { \prime } \right) ^ { \vee } } & { = \{ ( h _ { \alpha } ^ { \vee } ) ^ { \prime } \mid \alpha \in \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } , \mu } \} , } \\ { \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } } ^ { \prime } } & { = \{ ( \alpha ^ { \# } ) ^ { \prime } \mid \alpha \in \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } , \mu } \} , } \\ { \Delta _ { \mathfrak { s } _ { M } } ^ { \prime } ( P ) } & { = \{ ( \alpha ^ { \# } ) ^ { \prime } \mid \alpha \in \Delta _ { \mathfrak { s } _ { M } , \mu } ( P ) \} , } \\ { \left( ( \alpha ^ { \# } ) ^ { \prime } \right) ^ { \vee } } & { = ( h _ { \alpha } ^ { \vee } ) ^ { \prime } , \index { \left( \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } } ^ { \prime } \right) ^ { \vee } } \index { \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } } ^ { \prime } } \index { \Delta _ { \mathfrak { s } _ { M } } ^ { \prime } ( P ) } } \end{array}
\sin ^ { 2 } 2 \phi _ { m } = { \frac { ( m _ { 3 } ^ { 2 } \sin 2 \phi ) ^ { 2 } } { ( A - m _ { 3 } ^ { 2 } \cos 2 \phi ) ^ { 2 } + ( m _ { 3 } ^ { 2 } \sin 2 \phi ) ^ { 2 } } } \ \ .
\mathbb { E } \left[ S _ { i } ^ { ( 1 ) } ( t ) \right] = \omega e ^ { \lambda _ { 1 } t } \int _ { 0 } ^ { \frac { e ^ { \lambda _ { 1 } t } - 1 } { e ^ { \lambda _ { 1 } t } - d _ { 1 } / b _ { 1 } } } \frac { 1 - y } { 1 - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } y } y ^ { i - 1 } d y = \omega e ^ { \lambda _ { 1 } t } h _ { i } ( e ^ { \lambda _ { 1 } t } ) .
\begin{array} { r } { \mathbf { X } _ { m } = \frac { R } { 2 \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } ( \cos ( m \theta ) , \sin ( m \theta ) , 0 ) , \quad \theta = \frac { 2 \pi } { 1 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { \theta } ^ { \mathrm { k , n u m } } = { \pi } \epsilon ^ { - 1 } \delta \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \left[ \left\langle \frac { \theta _ { A } ^ { k } ( t + \Delta t ) - \theta _ { A } ^ { k } ( t ) } { \Delta t } \sin \big ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } \big ) \right\rangle + \left\langle \frac { \theta _ { B } ^ { k } ( t + \Delta t ) - \theta _ { B } ^ { k } ( t ) } { \Delta t } \sin \big ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } \big ) \right\rangle \right] } \end{array}
Q _ { 2 s + 2 t } ^ { \mu | 2 s , 2 t } = ( - 1 ) ^ { s t } ( \sigma _ { 2 s + 2 t } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } - t } ( \sigma _ { 2 s } ^ { + } ) ^ { s - 2 } ( \sigma _ { 2 t } ^ { - } ) ^ { - 1 } \operatorname * { d e t } \mathcal { A } ^ { \mu } \mathcal { \, } ,
g _ { i } \left( \mathbf { x } + \mathbf { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t \right) = g _ { i } \left( \mathbf { x } , t \right) - \Lambda _ { i j } ^ { g } \left[ g _ { i } \left( \mathbf { x } , t \right) - g _ { i } ^ { e q } \left( \mathbf { x } , t \right) \right] + \Delta t \left( \delta _ { i j } - \frac { \Lambda _ { i j } ^ { g } } { 2 } \right) F _ { j } \left( \mathbf { x } , t \right) ,
\int _ { \Omega } w \frac { \omega ^ { 2 } } { K ( \omega , \vec { x } ) } p \mathrm { d } \Omega - \int _ { \Omega } \frac { 1 } { \rho ( \omega , \vec { x } ) } \nabla p \cdot \nabla w \mathrm { d } \Omega = - \int _ { \Gamma } w \frac { 1 } { \rho ( \omega , \vec { x } ) } \underbrace { \nabla p \cdot \vec { n } } _ { \mathrm { = 0 } } \mathrm { d } \Gamma = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \Delta } _ { k } [ g _ { 1 } , g _ { 2 } ] } & { { } = \frac { g _ { 1 } g _ { 2 } } { v _ { g } ^ { + } ( k ) } \sin { \big ( k \Delta x + \theta _ { k } \big ) } , } \\ { \tilde { \Gamma } _ { k } [ g _ { 1 } , g _ { 2 } ] } & { { } = \frac { 1 } { v _ { g } ^ { + } ( k ) } \Big ( g _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } ^ { 2 } + 2 g _ { 1 } g _ { 2 } \cos { \big ( k \Delta x + \theta _ { k } \big ) } \Big ) . } \end{array}
V ( a ) = - \frac { \kappa _ { ( 4 ) } ^ { 2 } } { 6 } \rho _ { X 0 } a ^ { - 3 w _ { X } + 2 } - \frac { \kappa _ { ( 4 ) } ^ { 2 } } { 1 2 \lambda } \rho _ { X 0 } ^ { 2 } a ^ { - 6 w _ { X } + 2 } - \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { 6 } a ^ { - 4 } - \frac { \Lambda _ { ( 4 ) } } { 6 } a ^ { 2 } - \frac { { \cal U } _ { 0 } } { \lambda \kappa _ { ( 4 ) } ^ { 2 } } a ^ { - 2 } + \frac { k } { 2 }
I m I ( m _ { \sigma ^ { \prime } } / m _ { \sigma } ) = - \frac { 1 } { 1 6 \pi } \left[ 1 - \frac { m _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { 2 } } { m _ { \sigma } ^ { 2 } } \ln \left( 1 + \frac { m _ { \sigma } ^ { 2 } } { m _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { 2 } } \right) \right] .
m _ { L } = { \frac { m _ { 0 } } { \left( { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \right) ^ { 3 } } } , \quad m _ { T } = { \frac { m _ { 0 } } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } ,
\begin{array} { r l r } { \mathbf { S } ^ { \prime } } & { = } & { \mathbf { S } ^ { n - 1 / 2 } + \mathbf { S } ^ { n - 1 / 2 } \times \mathbf { t } , } \\ { \mathbf { S } ^ { n + 1 / 2 } } & { = } & { \mathbf { S } ^ { n - 1 / 2 } + \mathbf { S } ^ { \prime } \times \mathbf { o } , } \\ { \mathbf { t } } & { = } & { \frac { q \Delta t } { 2 } \mathbf { \Omega } ^ { n } , } \\ { \mathbf { o } } & { = } & { \frac { 2 \mathbf { t } } { 1 + t ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { T } } = { \frac { d S } { d E } } = { \frac { d ( S _ { L } + S _ { R } ) } { d E } } = 2 \left( { \frac { d S _ { L } } { d E _ { L } } } + { \frac { d S _ { R } } { d E _ { R } } } \right) = 2 \left( { \frac { 1 } { T _ { L } } } + { \frac { 1 } { T _ { R } } } \right) ,