harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \ln ( 1 + y ) - \ln ( 1 - y ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { i } } \left( ( - 1 ) ^ { i - 1 } y ^ { i } - ( - 1 ) ^ { i - 1 } ( - y ) ^ { i } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } { \frac { y ^ { i } } { i } } \left( ( - 1 ) ^ { i - 1 } + 1 \right) } \\ & { = y \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } { \frac { y ^ { i - 1 } } { i } } \left( ( - 1 ) ^ { i - 1 } + 1 \right) { \overset { i - 1 \to 2 k } { = } } \; 2 y \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { y ^ { 2 k } } { 2 k + 1 } } , } \end{array} }
\psi _ { J = 4 } = 0 . 9 7 7 5 \phi ( 6 d _ { 5 / 2 } ^ { 4 } ) + 0 . 2 1 1 0 \phi ( 6 d _ { 3 / 2 } ^ { 3 } d _ { 5 / 2 } ^ { 5 } )
\int _ { \vartheta = 0 } ^ { \pi } \int _ { \varphi = 0 } ^ { 2 \pi } Y _ { \ell m } ^ { \cal R } Y _ { \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { \cal R } \sin \vartheta d \vartheta d \varphi = \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } .
| \beta _ { p q } | ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \pi \kappa ( p + q ) ^ { 2 } } \left( \frac { q } { e ^ { 2 \pi p / \kappa } - 1 } + \frac { p } { e ^ { 2 \pi q / \kappa } - 1 } \right) \, .
\int d ^ { 4 } x \, { \mit \Psi } ^ { \ast } { \cal O } { \mit \Psi } = \int d ^ { 4 } x \, \left( { \cal O } { \mit \Psi } \right) ^ { \ast } { \mit \Psi } \ , \qquad \mathrm { f o r } \qquad { \cal O } = J , K \ ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t t } \psi ( \textbf { x } , t ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \psi ( \textbf { x } , t ) + \beta \psi ( \textbf { x } , t ) + \varepsilon ^ { 2 } \psi ^ { 3 } ( \textbf { x } , t ) = 0 , \quad \textbf { x } \in \Omega , \quad t > 0 , } \\ & { \psi ( \textbf { x } , 0 ) = \psi _ { 0 } ( \textbf { x } ) , \quad \partial _ { t } \psi ( \textbf { x } , 0 ) = \psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) , \quad \textbf { x } \in \Omega , } \end{array} \right.
\hat { H _ { q } } = \frac { \hbar ^ { 2 } ( I - I _ { 3 } ) } { 2 I I _ { 3 } } J _ { 3 } ^ { \prime 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 I } \left( \frac { \gamma } { \sinh \gamma } \hat { J } _ { + } ^ { \prime } \hat { J } _ { - } ^ { \prime } + [ \hat { J } _ { 3 } ^ { \prime } ] [ \hat { J } _ { 3 } ^ { \prime } + 1 ] \right) ~ .
n _ { L } ^ { T } \, \mathcal { C } ^ { - 1 } \, M \, n _ { L } = - n _ { L } ^ { T } \, ( \mathcal { C } ^ { T } ) ^ { - 1 } \, M ^ { T } \, n _ { L } = n _ { L } ^ { T } \, \mathcal { C } ^ { - 1 } \, M ^ { T } \, n _ { L } \, .
g _ { 5 } \int _ { 0 } ^ { \pi R } d y \left( \sqrt { \frac { 2 } { \pi R } } \cos \frac { y } { 2 R } \right) ^ { 2 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi R } } \cos \frac { y } { R } = g _ { 5 } \sqrt { \frac { 1 } { 2 \pi R } } = \frac { g _ { 4 } } { \sqrt { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { k _ { i j } ^ { ( 1 ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } + \frac { k _ { i j } ^ { ( 1 , 2 ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } \right) + \Gamma \left( p _ { f } ^ { ( 2 ) } - p _ { f } ^ { ( 1 ) } \right) = \hphantom { X X X X X X X X X X X X X } } \end{array}
A _ { \mu } \; d x ^ { \mu } = q ^ { ( k ) } \left[ - \frac { H _ { 1 } } { r } d r + \left( H _ { 2 } - 1 \right) d \theta \right] + k \left[ n ^ { ( k ) } \; H _ { 3 } + p ^ { ( k ) } \left( 1 - H _ { 4 } \right) \right] \sin \theta d \phi ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - ( 2 j - 1 ) \frac { R } { 2 ^ { n } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \leq \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - ( j - 1 ) \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - j \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { l + 1 } ( q ) } & { = q ( q + 1 ) ^ { \tilde { h } ( l + 1 ) - h ( l + 1 ) - 2 } + q ( q + 1 ) ^ { \tilde { h } ( l + 1 ) - h ( l + 1 ) - 3 } + \cdots + q } \\ & { = ( q + 1 ) ^ { \tilde { h } ( l + 1 ) - h ( l + 1 ) - 1 } - 1 } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \tilde { h } ( l + 1 ) - h ( l + 1 ) } { \binom { \tilde { h } ( l + 1 ) - h ( l + 1 ) } { i } } q ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } T H _ { q } ^ { - 1 } ( ( c / T ) } & { \overset { ( a ) } { \leq } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } T h ^ { - 1 } ( c / T ) } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } T e ^ { W ( - \ln ( q ) c / T ) } } \\ & { \overset { ( c ) } { = } 0 } \end{array}
p _ { x } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ t ~ a ~ r ~ y ~ } } = 8 . 9 \, p _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ e ~ d ~ } } \, \frac { \kappa ^ { 9 / 8 } \alpha ^ { 7 5 / 8 } } { \lambda ^ { 3 3 / 1 6 0 } \, \beta ^ { 7 / 4 } \, \gamma ^ { 3 5 / 1 6 } }
\mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { \infty , j } ) } ( \mathbf { \check { q } } , \mathbf { \check { p } } ) = \left( \boldsymbol { \nu } _ { j } ^ { ( \infty ) } \right) ^ { t } \mathbf { H _ { \infty } } \, \mathrm { ~ w i t h ~ } \, \mathbf { H _ { \infty } } = \left( H _ { \infty , 0 } , \dots , H _ { \infty , r _ { \infty } - 4 } \right) ^ { t }
\begin{array} { r l } & { \L _ { C } ( \boldsymbol { \lambda } | \{ \mathbf { \hat { A } } _ { j } , \boldsymbol { z } _ { j } ; j = 1 , \ldots J \} , J ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { J } \left[ \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } } z _ { j , \mathbb { P } , w } \left\{ \log \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) + \log \lambda _ { \mathcal { E } } ( { \P } , E _ { 0 } ^ { w } ) + \log s ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) \right\} \right] } \\ & { \quad \quad + J \log T - T \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } } \lambda _ { \mathcal { E } } ( { \mathbb { P } } , E _ { 0 } ^ { w } ) s ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) - \log J ! . } \end{array}
\mathrm { [ O g ] } 8 s _ { 1 / 2 } ^ { 2 } 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 2 } 5 g _ { 7 / 2 } ^ { 8 } 5 g _ { 9 / 2 } ^ { 1 0 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 6 } 6 f _ { 7 / 2 } ^ { 8 } 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 4 } 7 d _ { 5 / 2 } ^ { 6 }
C _ { 2 , c g } ^ { F F , 1 } ( Q ^ { 2 } / m _ { c } ^ { 2 } ) = C _ { 2 , c c } ^ { V F , 0 } ( Q ^ { 2 } / m _ { c } ^ { 2 } ) \otimes A _ { c g } ( Q ^ { 2 } / m _ { c } ^ { 2 } ) + C _ { 2 , c g } ^ { V F , 1 } ( Q ^ { 2 } / m _ { c } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 1 s } ( t ) } & { \equiv \int ^ { t } [ E _ { 1 s } + \delta _ { 1 s } I _ { \mathrm { I R } } ( t ^ { \prime } ) ] \, \mathrm d t ^ { \prime } , } \\ { \Phi _ { 3 p } ( t ) } & { \equiv \int ^ { t } [ E _ { 3 p } + ( \delta _ { 3 p } - \mathrm i \gamma _ { 3 p } / 2 ) I _ { \mathrm { I R } } ( t ^ { \prime } ) ] \, \mathrm d t ^ { \prime } . } \end{array}
0 < \frac { \Phi ( \tilde { u } _ { n } ) } { \| \tilde { u } _ { n } \| ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \| \tilde { v } _ { n } ^ { + } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| \tilde { v } _ { n } ^ { - } \| ^ { 2 } - \int _ { \mathbb { V } } \frac { F ( x , \tilde { u } _ { n } ) } { \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } ( x ) } \tilde { v } _ { n } ^ { 2 } ( x ) d \mu .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ V _ { n } ^ { ( 1 ) } ] = } & { n ^ { - q r } \widetilde \Sigma _ { r } ^ { - 1 } ( q ) \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } < \cdots < i _ { q r } \le n } \mathbb { E } \left[ H _ { q , l _ { 1 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime } ) H _ { q , l _ { 2 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime } ) \right] } \\ { \rightarrow } & { [ ( q r ) ! ] ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } = \exp \Big [ i \sum _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \sum _ { u , \alpha } e \bar { \boldsymbol \chi } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \sum _ { u , \alpha } e \bar { \boldsymbol \chi } ( { \bf R } _ { u } ) \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } \Big ) \Big ] ~ ~ ~ . } \end{array}
d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left[ d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } ( 2 \theta ) d \psi ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } ( d \varphi + \cos ( 2 \theta ) d \psi ) ^ { 2 } ~ .
\frac { a _ { \| p } ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } = \frac { n ^ { 2 } x ^ { 2 } } { ( x ^ { 2 } - \kappa _ { \| } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , \quad \frac { a _ { \perp p } ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } = \frac { n ^ { 2 } } { x ^ { 2 } - \kappa _ { \| } ^ { 2 } }
\sqrt { \lambda _ { 2 } } \varepsilon _ { \mu \nu } \varepsilon ^ { a b c } \partial _ { \mu } \phi ^ { a } \partial _ { \nu } \phi ^ { b } \phi ^ { c } - \sqrt { \lambda _ { 0 } } ( 1 - \phi ^ { 3 } ) ^ { \frac { k } { 2 } } = 0
S _ { \mathrm { 1 1 , e x t } } = \frac { Z _ { 1 1 , e x t } ^ { 2 } - Z _ { 0 } ^ { 2 } - Z _ { \mathrm { 2 1 , e x t } } ^ { 2 } } { ( Z _ { \mathrm { 1 1 , e x t } } + Z _ { 0 } ) ^ { 2 } - Z _ { \mathrm { 2 1 , e x t } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { i \bar { u } _ { z } + | \bar { u } | ^ { 2 } \bar { u } + \bar { u } _ { \tau \tau } - ( \Delta + ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | v _ { s } | ^ { 2 } ) \bar { u } + 2 i \bar { u } _ { \tau } \phi ^ { \prime } = } \\ & { - i ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) \bar { u } + \left( ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | \bar { u } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime \prime } \right) v _ { s } - ( v _ { s } ) ^ { 2 } \bar { u } ^ { * } - ( \bar { u } ) ^ { 2 } v _ { s } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \delta { \ensuremath { \mathcal E } } } { e ^ { 2 } / a _ { 0 } } = + 4 \times 0 . 0 8 6 \times \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } \frac { Z ^ { 2 } Z _ { i } ^ { 2 } } { ( \nu _ { 6 s } \nu _ { 6 p } ) ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { 1 } { 3 } { \ensuremath { \mathcal R } } _ { 1 / 2 } + \frac { 2 } { 3 } { \ensuremath { \mathcal R } } _ { 3 / 2 } \right) \frac { S _ { z } } { | e | a _ { 0 } ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Vert \mu _ { t } ^ { ( j ) } \Vert _ { 2 } ^ { 2 } } & { = 2 \langle \mu _ { t } ^ { ( j ) } , \dot { \mu } _ { t } ^ { ( j ) } \rangle = \frac { 2 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } \mu _ { t } ^ { ( j ) \top } \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } \\ & { \leq \frac { 2 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } \left( \left\Vert X _ { i } \right\Vert _ { 2 } \Vert \mu _ { t } ^ { ( j ) } \Vert _ { 2 } - \Vert \mu _ { t } ^ { ( j ) } \Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \frac { 2 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } \left( R - \Vert \mu _ { t } ^ { ( j ) } \Vert _ { 2 } \right) \Vert \mu _ { t } ^ { ( j ) } \Vert _ { 2 } , } \end{array}
\mathbf { W } _ { t } ^ { ^ { \left( m \right) } } \left( { { t } ^ { n } } \right) = \frac { { { d } ^ { m } } { { \mathbf { W } } ^ { n } } } { d { { t } ^ { m } } } = \frac { { { d } ^ { m - 1 } } \mathcal { L } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } \right) } { d { { t } ^ { m - 1 } } } = { { \mathcal { L } } ^ { ^ { m - 1 } } } .
+ { \frac { 1 } { 2 c _ { W } ^ { 2 } s _ { W } ^ { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ( K _ { 3 j } K _ { j 3 } ^ { \dag } m _ { d , j } m _ { t } ) ] \Delta ( \epsilon ) _ { U V } + f i n i t e \ p a r t \} ,
v _ { i } ( x ) = - \frac { 1 } { \xi _ { i } ( x ) + \lambda _ { i } ( x ) } \frac { d \mu _ { i } } { d x } + \beta _ { i } ( x ) v _ { \mathrm { w } } ( x ) = - \frac { D } { c _ { i } ( x ) } \frac { d c _ { i } } { d x } .
u ( x , t ) \approx \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } 2 \eta _ { i } ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 2 } [ \eta _ { i } ( x - 4 \eta _ { i } ^ { 2 } t - x _ { i } ^ { 0 } ) ]
\displaystyle \alpha _ { - 1 } = \frac { 3 } { 2 } \left( \sum _ { n = - \infty , n \neq l _ { 3 \nu _ { x } } } ^ { \infty } { 3 f _ { 3 , 0 , n } g _ { 3 , 0 , n } } + \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { f _ { 1 , 0 , n } g _ { 1 , 0 , n } } \right) .
\left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { y _ { 2 } ^ { \prime } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { - 2 } & { 1 } \\ { 9 9 8 } & { - 9 9 9 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } \end{array} \right] ,
{ \frac { \Delta S } { N k { \hat { c } } _ { V } } } = \ln \left( { \frac { P } { P _ { 0 } } } \right) + \gamma \ln \left( { \frac { V } { V _ { 0 } } } \right) = \ln \left( { \frac { P V ^ { \gamma } } { P _ { 0 } V _ { 0 } ^ { \gamma } } } \right) \implies P V ^ { \gamma } = \mathrm { c o n s t . } \; { \mathrm { f o r ~ i s e n t r o p i c ~ p r o c e s s } }
\begin{array} { r l } { v _ { h } ( x ) } & { { } = \mathrm { o r d } _ { t } ( t ) = 1 } \\ { v _ { h } ( x ^ { 6 } - y ^ { 2 } ) } & { { } = \mathrm { o r d } _ { t } \left( t ^ { 6 } - t ^ { 6 } - 2 t ^ { 7 } - 3 t ^ { 8 } - \cdots \right) = \mathrm { o r d } _ { t } \left( - 2 t ^ { 7 } - 3 t ^ { 8 } - \cdots \right) = 7 } \\ { v _ { h } \left( { \frac { x ^ { 6 } - y ^ { 2 } } { x } } \right) } & { { } = \mathrm { o r d } _ { t } \left( - 2 t ^ { 7 } - 3 t ^ { 8 } - \cdots \right) - \mathrm { o r d } _ { t } ( t ) = 7 - 1 = 6 } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ^ { \underline { \delta } } ( 3 ) - F ^ { \delta } ( 0 ) } & { = ( F ^ { \underline { \delta } } ( 3 ) - F ^ { \delta } ( 1 ) ) + ( F ^ { \delta } ( 1 ) - F ^ { \delta } ( 0 ) ) , } \\ { F ^ { \overline { \delta } } ( 3 ) - F ^ { \delta } ( 0 ) } & { = ( F ^ { \overline { \delta } } ( 3 ) - F ^ { \delta } ( 2 ) ) + ( F ^ { \delta } ( 2 ) - F ^ { \delta } ( 0 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. g \frac { \partial } { \partial g } \log \left< S _ { \epsilon , g } \right> _ { C } \right| _ { g = 1 } } & { = } & { \frac { \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } + 2 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 ) } \right> _ { C } + 3 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 3 ) } \right> _ { C } + \cdots } { 1 + \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } + \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 ) } \right> _ { C } + \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 3 ) } \right> _ { C } + \cdots } } \\ & { = } & { \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } + 2 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 ) } \right> _ { C } - \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } ^ { 2 } } \\ & { + } & { 3 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 3 ) } \right> _ { C } - 3 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 ) } \right> _ { C } + \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } ^ { 3 } } \\ & { + } & { 4 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 4 ) } \right> _ { C } - 4 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 3 ) } \right> _ { C } - 2 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 ) } \right> _ { C } ^ { 2 } } \\ & { + } & { 4 \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } ^ { 2 } \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 ) } \right> _ { C } - \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 1 ) } \right> _ { C } ^ { 4 } \, , } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } \mathbf { X } _ { 0 } } { \mathrm { ~ d ~ } t ^ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( - f _ { x } \cos { \Omega t } \cos \theta - f _ { y } \sin { \Omega t } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { r } , } \\ { \left( \, \, \, \, f _ { x } \cos { \Omega t } \sin \theta - f _ { y } \sin { \Omega t } \sin \theta \right) \, \mathbf { e } _ { \theta } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { \dot { \rho _ { 1 } } = - \frac { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } - \rho _ { 1 } , \qquad \dot { \rho _ { 2 } } = \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ \xi _ { 1 } \cos \phi _ { 2 } + \xi _ { 2 } \sin \phi _ { 2 } ] , } & \\ & { \dot { \phi _ { 1 } } = - \frac { 2 \rho _ { 2 } \cos \theta } { \sqrt { \chi } } , \qquad \dot { \phi _ { 2 } } = - \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } \cos \theta } { \rho _ { 2 } \sqrt { \chi } } + \frac { 1 } { \rho _ { 2 } \sqrt { 2 } } [ - \xi _ { 1 } \sin \phi _ { 2 } + \xi _ { 2 } \cos \phi _ { 2 } ] , } & \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { 0 } ( L , \tau ; 0 | L _ { f } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 ( 2 D \tau ) ^ { - \frac { \gamma } { D } - \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \frac { L ^ { 2 } } { 2 D \tau } } L ^ { \frac { 2 \gamma } { D } + 2 } } { \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } \right) } } & { L < L _ { f } } \\ { \frac { 2 ( 2 D \tau ) ^ { - \frac { \gamma } { D } - \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \frac { L ^ { 2 } } { 2 D \tau } } L _ { f } ^ { \frac { 2 \gamma } { D } + 1 } L } { \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } \right) } } & { L \ge L _ { f } \ . } \end{array} \right. } \end{array}
B = \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \left( \sum _ { i \ne 0 } \boldsymbol { P } _ { i } \right) ^ { 2 } \left( 1 - K ( \boldsymbol { Q } ) \right) - \sum _ { 0 < i < j } \frac { G m _ { i } m _ { j } } { Q _ { i j } } ,
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Theta } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \bigg ( 1 + \frac { 1 } { 4 p ( x ) ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } p } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 1 6 p ( x ) ^ { 3 } } \bigl ( \frac { \mathrm { d } p } { \mathrm { d } x } \bigl ) ^ { 2 } \bigg ) p ( x ) \Theta = 0 ,
\begin{array} { r l } { \left\vert G \right\vert ^ { 2 } } & { = G G ^ { \ast } } \\ & { = \sum _ { m , m ^ { \prime } } \left( A _ { m - l } + A _ { m + l } \right) \left( A _ { m ^ { \prime } - l } ^ { \ast } + A _ { m ^ { \prime } + l } ^ { \ast } \right) e ^ { i \left( m - m ^ { \prime } \right) \left( \phi + \Omega t \right) } . } \end{array}
V _ { \mathrm { e f f . } } ( \phi _ { c } , \mu ) = \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \phi _ { c } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 4 } \phi _ { c } ^ { 4 } + I _ { 1 } ( \mu ) - \frac { 3 \lambda } { 2 } I _ { 0 } ^ { 2 } ( \mu ) ,
\begin{array} { r } { \| u - \Phi \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \le \varepsilon \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \operatorname* { s u p } _ { x \in \partial \Omega , r > 0 } \frac { 1 } { r ^ { n } } \iint _ { B ( x , r ) \cap \Omega } | \nabla \Phi ( Y ) | \, d Y \le C _ { \varepsilon } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { b } _ { k } ^ { \dagger } \hat { b } _ { l } \rangle = } & { { } \frac { \mu \kappa a ^ { 2 } \eta _ { k l } } { R ^ { 2 } } \sum _ { i } ^ { p } T _ { i } e ^ { 2 \pi i \left( v _ { k l } ^ { x } x _ { i } + v _ { k l } ^ { y } y _ { i } \right) } , } \end{array}
\ddot { q } ( t ) + \left[ \Gamma _ { 0 } + \Gamma _ { \mathrm { ~ m ~ } } ( t ) \right] \dot { q } ( t ) + \Omega _ { 0 } ^ { 2 } q ( t ) = \frac { 1 } { m } F _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ o ~ m ~ } } ( t ) \mathrm { ~ , ~ }
{ \hat { H } = \sum _ { k } ( \omega _ { \mathrm { { c } } } + \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } ) \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } + \omega _ { \mathrm { X } } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } + \Omega \sum _ { k } \hat { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } + \hat { b } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } , }
\langle A | B \rangle \doteq A _ { 1 } ^ { * } B _ { 1 } + A _ { 2 } ^ { * } B _ { 2 } + \cdots + A _ { N } ^ { * } B _ { N } = { \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 } ^ { * } } & { A _ { 2 } ^ { * } } & { \cdots } & { A _ { N } ^ { * } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { B _ { 1 } } \\ { B _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { B _ { N } } \end{array} \right) }
\delta P ^ { - } \subset Z \mu \sigma _ { - } ^ { * } \sigma _ { + } \int _ { - L } ^ { L } { \frac { 1 } { 2 L } } e ^ { \lambda _ { + } ^ { ( - ) } ( 0 , x ^ { - } ) } e ^ { \lambda _ { + } ^ { ( + ) } ( 0 , x ^ { - } ) } d x ^ { - } + C . C .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { H - 1 } e ^ { 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , h _ { k } \epsilon _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { C } { K } + \frac { C } { K } \sum _ { s = 1 } ^ { K } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { n = 0 } ^ { H - 1 } \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , n + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big ) \cdot \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , n + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big ) \Big | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \theta = \theta + \frac { \alpha } { Z } \sum _ { \textrm { \ensuremath { i = 1 } } } ^ { Z } ( y ^ { G } ( i ) - Q ^ { G } ( \tilde { \boldsymbol { \tau } } ( i ) , \tilde { \boldsymbol { a } } ( i ) , \boldsymbol { s } ( i ) ; \theta ) ) \nabla _ { \theta } Q ^ { G } ( \tilde { \boldsymbol { \tau } } ( i ) , \tilde { \boldsymbol { a } } ( i ) , \boldsymbol { s } ( i ) ; \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } } & { \leq \| u - c \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } + \| c \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } } \\ & { \lesssim \| u - c \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } + H ^ { \frac { d } { 2 } } | c | } \\ & { \lesssim \| u - c \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } + H | u - c | _ { H ^ { 1 } ( \omega _ { i } ) } } \\ & { \lesssim H | u | _ { H ^ { 1 } ( \omega ) } , } \end{array}
c _ { 0 } ^ { \mathrm { R } } ( \kappa ) = \operatorname * { l i m } _ { \Lambda \to \infty } \left\{ \int _ { | p | < \Lambda } d ^ { 4 } p \, { \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } } - K _ { 1 } ^ { \prime } \Lambda ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } \left( K _ { 2 } ^ { \prime } + K _ { 3 } ^ { \prime } \log \Lambda \right) \right\} ,
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { T } ^ { M 1 } ( \omega ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 4 0 J _ { 0 } ( 2 J _ { 0 } - 1 ) } { 3 ( 2 J _ { 0 } + 3 ) ( J _ { 0 } + 1 ) ( 2 J _ { 0 } + 1 ) } } \sum _ { n \pm } ( - 1 ) ^ { J _ { 0 } + J _ { n } } } \end{array}
\nu _ { \textrm { T } } = C _ { \nu } \frac { K ^ { 2 } } { \varepsilon } - C _ { \nu K } \frac { K ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \frac { D K } { D t } + C _ { \nu \varepsilon } \frac { K ^ { 3 } } { \varepsilon ^ { 3 } } \frac { D \varepsilon } { D t } ,
W _ { \alpha } = \left\{ \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } \ | \ ( \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ) - \ensuremath { \boldsymbol { \mu } } _ { \alpha } ) ^ { T } \Sigma _ { \alpha } ^ { - 1 } ( \ensuremath { \boldsymbol { \xi } } ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ) - \ensuremath { \boldsymbol { \mu } } _ { \alpha } ) < \epsilon \right\} \ ,
O _ { F } = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } V } } & { { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \chi \partial \phi } V } } \\ { { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi \partial \chi } V } } & { { - \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \chi ^ { 2 } } V } } \end{array} \right) _ { \vert \phi = \phi ( z ) , \chi = \chi ( z ) }