harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \cup _ { j = 1 } ^ { m } Y _ { j } \, | \, \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) ] \mathrm { ~ a n d ~ } \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ T _ { m + 1 } \, | \, \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) ] .
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { T O D } } } = { \frac { { \partial } ^ { 3 } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 3 } } } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( \mathrm { 3 } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \omega { \frac { { \partial } ^ { 3 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 3 } } } } \right) = { - } { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 2 } } { \Bigl ( } \mathrm { 3 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( \phi p ) _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } } & { { } = \frac { \left\langle \delta A ( R ) \, \tau \right\rangle p \, [ I ] } { 2 \hbar } = 2 \pi \nu _ { 0 0 } ( \psi p ) _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d \tau } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { x } } \right) \, = \, \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial { x } } } \\ & { } \\ & { \frac { d } { d \tau } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { t } } \right) \, = \, \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial { t } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \everymath { \displaystyle } \left( { \begin{array} { c c } { \frac { \partial } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial \tau } + \eta k ^ { 2 } } \end{array} } \right) } \left( { \begin{array} { c c } { u _ { 1 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \\ { b _ { 1 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } \\ & { } & { { \everymath { \displaystyle } + i \left( { \begin{array} { c c } { - 2 M ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } & { 2 M ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } \\ { N ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } b _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } & { - N ^ { i j \ell } ( { \bf { k } } ) \int _ { \Delta } u _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { p } } ; \tau ) } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { u _ { 1 0 } ^ { \ell } ( { \bf { q } } ; \tau ) } \\ { b _ { 1 0 } ^ { \ell } ( { \bf { q } } ; \tau ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } } \\ & { } & { = { \everymath { \displaystyle } B ^ { j } \frac { \partial } { \partial X _ { \mathrm { { I } } } ^ { j } } \left( { \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { u _ { 0 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ) } \\ { b _ { 0 0 } ^ { i } ( { \bf { k } } ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } - D ^ { i j } ( { \bf { k } } ) \frac { \widetilde { D } } { D T _ { \mathrm { I } } } { \everymath { \displaystyle } \left( { \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { u _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { k } } ) } \\ { b _ { 0 0 } ^ { j } ( { \bf { k } } ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } } \\ & { } & { + { \everymath { \displaystyle } \left( { \begin{array} { c c } { - D ^ { i j } ( { \bf { k } } ) \left( { \frac { \partial U ^ { j } } { \partial X ^ { \ell } } + \epsilon ^ { \ell j n } \Omega _ { 0 } ^ { n } } \right) } & { D ^ { i j } ( { \bf { k } } ) \frac { \partial B ^ { j } } { \partial X ^ { \ell } } } \\ { - D ^ { i j } ( { \bf { k } } ) \frac { \partial B ^ { j } } { \partial X ^ { \ell } } } & { D ^ { i j } ( { \bf { k } } ) \left( { \frac { \partial U ^ { j } } { \partial X ^ { \ell } } + \epsilon ^ { \ell j n } \Omega _ { 0 } ^ { n } } \right) } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { u _ { 0 0 } ^ { \ell } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \\ { b _ { 0 0 } ^ { \ell } ( { \bf { k } } ; \tau ) \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) } } \\ & { } & { \equiv \left( { \begin{array} { c } { F _ { 1 0 u } ^ { i } } \\ { F _ { 1 0 b } ^ { i } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { i } } & { = \frac { 1 } { k ^ { 2 i } } \sum _ { y \in f ^ { - 1 } ( x ) } I ( y , ( D _ { y } f ^ { i } ) ^ { - 1 } u ; f ) = \frac { 1 } { k ^ { 2 i } } \sum _ { ( y , w ) \in \mathcal { G } _ { i } } I ( y , w ; f ) + \frac { 1 } { k ^ { 2 i } } \sum _ { ( y , w ) \in \mathcal { B } _ { i } } I ( y , w ; f ) } \\ & { \ge a _ { i } V ( t , r , k ) + ( 1 - a _ { i } ) H ( t , r , k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \bigl ( ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla ) \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } - \bigl ( ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla ) \vec { \chi } , ~ \vec { u } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } \right] + \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \vec { u } - \vec { w } , ~ \nabla ( \vec { u } \cdot \vec { \chi } ) r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \bigl ( ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla ) \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } - \bigl ( ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla ) \vec { \chi } , ~ \vec { u } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } \right] + \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \nabla \cdot [ r \, \vec { w } ] , ~ \vec { u } \cdot \vec { \chi } \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } , } \end{array}
\left\{ - \hbar ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \hbar ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } + { ( 8 \pi \chi _ { 0 } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } \left[ x \left( x - a _ { 0 } - \frac { \alpha } { 4 \pi \chi _ { 0 } ^ { 3 } } \right) - y ^ { 2 } \right] \right\} \Psi _ { 1 } ( x , y ) = 0 ~ .
M _ { 2 } ( R , T ) = \frac { T } { N } { \hat { \Phi } } ( 0 ) \sum _ { \substack { m , n \leqslant N \, a , b \leqslant X \, m a = n b } } f ( n ) \overline { { f ( m ) } } r _ { f } ( a ) \overline { { r _ { f } ( b ) } } + \frac { T } { N } \sum _ { \substack { m , n \leqslant N \, a , b \leqslant X \, m a \neq n b } } f ( n ) \overline { { f ( m ) } } r _ { f } ( a ) \overline { { r _ { f } ( b ) } } \hat { \Phi } ( T \log ( \frac { m a } { n b } ) )
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { 1 } = ~ \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , ~ } & { { } \mathbf { M } _ { 2 } = ~ \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 5 } + { \frac { 7 } { 2 } } x ^ { 2 } + 2 x + 1 = { \frac { 1 } { 6 } } ( 2 x ^ { 5 } + 2 1 x ^ { 2 } + 1 2 x + 6 )
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { x _ { n + 1 } } \\ { v _ { n + 1 } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { x _ { n } } \\ { v _ { n } } \end{array} \right) + h \left( \begin{array} { l } { v _ { n } - ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) h \nabla g _ { n } } \\ { - 2 \sqrt \mu \, v _ { n } - ( 1 - \sqrt \mu h ) \big ( 1 + \sigma N _ { n } ) \nabla f ( x _ { n } + h v _ { n } ) } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { x _ { n } } \\ { v _ { n } } \end{array} \right) + h \left( \begin{array} { l } { v _ { n } } \\ { - 2 \sqrt \mu \, v _ { n } - \nabla f ( x _ { n } ) - \sqrt { h } \, \frac { \sigma \sqrt h } 2 \, N _ { n } \nabla f ( x ) } \end{array} \right) + O ( h ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { L _ { 2 \tau , 2 h } } } & { : \mathcal { F } _ { 2 \tau , 2 h } ( 2 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \to \mathcal { F } _ { 2 \tau , 2 h } ( 2 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \; , } \\ { \widehat { L _ { 2 \tau , 2 h } } } & { : = \left( \begin{array} { l l } { \hat { L } _ { 2 \tau , 2 h } ( 2 \check { \theta } _ { t } , 2 \theta _ { x } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \hat { L } _ { 2 \tau , 2 h } ( 2 \hat { \theta } _ { t } , 2 \theta _ { x } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } A ( z ) } { \ensuremath { \mathrm { d } } z } } & { { } = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Q ^ { \star } ( z ) } \frac { \partial Q ^ { \star } ( z ) } { \partial z } } \end{array}
{ A _ { 5 , 5 } } = \cos ^ { - 1 } \left( \frac { { L _ { 1 - 5 } } ^ { 2 } + { L _ { 3 - 5 } } ^ { 2 } - { L _ { 1 - 3 } } ^ { 2 } } { 2 \cdot { L _ { 1 - 5 } } \cdot { L _ { 3 - 5 } } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { \sharp } [ { \widehat { u } } ] } & { = \sum _ { m } \int _ { \mathbb { R } } \mathcal { S } ^ { \sharp } [ { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } \, d \omega \, , } \\ { { \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \sharp } } [ { \widehat { u } } ] } & { = \sum _ { m } \int _ { \mathbb { R } } { \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \sharp } } [ { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } \, d \omega \, . } \end{array}
S _ { \widehat { n } } ^ { e ^ { \prime } n ^ { \prime } / I } = - 2 V \mathrm { s i n } ( \pi e ^ { \prime } / k ) \mathrm { e x p } ( - 2 i \pi e ^ { \prime } n / k ) , \S _ { \widehat { n } } ^ { e ^ { \prime } n ^ { \prime } / I I } = 0
\operatorname* { d e t } ( A ) = \frac { b _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 1 } ^ { 1 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 2 } , b _ { 1 } ^ { 2 } ) \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 1 } , b _ { 1 } ^ { 1 } ) } - \frac { b _ { 2 } ^ { 1 } b _ { 1 } ^ { 2 } } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 2 } , b _ { 1 } ^ { 2 } ) \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 1 } , b _ { 1 } ^ { 1 } ) } = \frac { \operatorname* { d e t } ( B ) } { \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 2 } , b _ { 1 } ^ { 2 } ) \operatorname* { g c d } ( b _ { 2 } ^ { 1 } , b _ { 1 } ^ { 1 } ) } .
\begin{array} { r l } & { \left| \| \Sigma ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| - \| w _ { t } - w ^ { * } \| _ { \Sigma } \right| } \\ { = } & { \left| \operatorname* { m a x } _ { u : \| u \| = 1 } \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } u ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| - \operatorname* { m a x } _ { v : \| v \| = 1 } v ^ { \top } \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \right| } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { u : \| u \| = 1 } \left| \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } u ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| - u ^ { \top } \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \right| } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { u : \| u \| = 1 } \left| \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } u ^ { \top } \left( \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } - \mathbf { I } _ { d } \right) \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \| \right| } \\ { = } & { \left\| \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } \left( \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } - \mathbf { I } _ { d } \right) \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \right\| } \\ { \leq } & { \left\| \frac { 1 } { | E _ { t } | } \sum _ { i \in E _ { t } } \left( \Sigma ^ { - 1 / 2 } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 / 2 } - \mathbf { I } _ { d } \right) \right\| \cdot \left\| \Sigma ^ { 1 / 2 } ( w _ { t } - w ^ { * } ) \right\| } \\ { \leq } & { \frac { 2 - \tilde { \alpha } } { \tilde { \alpha } } C _ { 2 } K ^ { 2 } \alpha \log ^ { 2 a } ( 1 / \alpha ) \left\| w _ { t } - w ^ { * } \right\| _ { \Sigma } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( n - 1 ) x H _ { 1 } + f ^ { n } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 1 } } { \d x ^ { 3 } } } & { { } = - C _ { 2 } \, x f } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad ( 0 , 1 ) } \end{array}
\csc ^ { 2 } ( x ) + \sec ^ { 2 } ( x ) = { \frac { h ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { h ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 2 \ + { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } }
\langle \chi _ { S _ { B } M _ { S _ { B } } } ^ { 3 2 } \chi _ { S _ { C } M _ { S _ { C } } } ^ { 1 4 } | \chi _ { S _ { A } M _ { S _ { A } } } ^ { 1 2 } \chi _ { 1 - \! m } ^ { 3 4 } \rangle = ( - 1 ) ^ { 1 + S _ { A } + S _ { B } + S _ { C } } \: \langle \chi _ { S _ { B } M _ { S _ { B } } } ^ { 1 4 } \chi _ { S _ { C } M _ { S _ { C } } } ^ { 3 2 } | \chi _ { S _ { A } M _ { S _ { A } } } ^ { 1 2 } \chi _ { 1 - \! m } ^ { 3 4 } \rangle .
\begin{array} { r l } { \left\lvert \Delta T \right\rvert } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ h ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ } } B ^ { \mathrm { H R } } \left\lvert T ^ { \mathrm { H R } } - \hat { T } ^ { \mathrm { H R } } \right\rvert , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( X ) } & { { } = E _ { 0 } + \frac { 2 B _ { 0 } V _ { 0 } } { \left( B _ { 0 } ^ { \prime } - 1 \right) ^ { 2 } } \left( 2 - \left( 5 + 3 B _ { 0 } ^ { \prime } ( X - 1 ) - 3 X \right) \mathrm { e } ^ { \eta ( 1 - X ) } \right) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { u } ^ { n + 1 } } & { { } = \textbf { u } + \textbf { a } t _ { f } , } \\ { \textbf { x } ^ { n + 1 } } & { { } = \textbf { x } + \frac { \textbf { a } } { 2 } t _ { f } ^ { 2 } . } \end{array}
\Gamma _ { 0 } = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } | V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } | ^ { 2 } \alpha | C _ { 7 } ( \mu ) | ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 4 } } } m _ { b } ^ { 5 } \left[ \frac { m _ { b } ( \mu ) } { m _ { b } } \right] ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \xi _ { m , k } \zeta _ { m , k ^ { \prime } } \tilde { \psi } _ { m , k ^ { \prime } } = \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } { \mathbf { 1 } } _ { \{ k = k ^ { \prime } \} } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \xi _ { m , k } \zeta _ { m , k ^ { \prime } } \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k ^ { \prime } } = \zeta _ { m , k } \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } { \mathbf { 1 } } _ { \{ k = k ^ { \prime } \} } } \end{array}
\mathbf { \tilde { H } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { f } + \mathbf { \Sigma } _ { \infty } } & { \mathbf { \tilde { W } } } \\ { \mathbf { \tilde { W } } ^ { \dagger } } & { \mathbf { \tilde { d } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { = z _ { ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } } + p _ { y } ( ( x ^ { - } ) ^ { \prime } ) - 2 y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } \geq x + z _ { ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } } + p _ { y } ( ( x ^ { - } ) ^ { \prime } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta \downarrow 0 } x + z _ { ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } } + p _ { y } ( ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta ) \overset { \geq } 0 . } \end{array}
S _ { 1 , 0 } ^ { m } ( \mathcal { U } _ { \alpha } ) = \big \{ a \in C ^ { \infty } ( \mathcal { U } _ { \alpha } ) \, | \, \forall ( \mathcal { U } _ { \alpha } , \varkappa _ { \alpha } ) \in \mathcal { A } : ( \varkappa _ { \alpha } ^ { * } ) ^ { - 1 } a \in S _ { 1 , 0 } ^ { m } \big ( \kappa _ { \alpha } ( U _ { \alpha } ) \times \dot { \mathbb { R } } ^ { d } \big ) \big \}
\begin{array} { r l } { I _ { k , i } } & { = \frac { P _ { \mathrm { c h i p } } } { K } \cdot \left( 1 + \cos \varphi _ { i } ^ { k } \right) = \frac { P _ { \mathrm { c h i p } } } { K } \cdot \left[ 1 + \cos ( \Delta \varphi _ { i } + \varphi _ { 0 } ^ { k } ) \right] , } \\ { \varphi _ { 0 } ^ { k } } & { = \begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l r } & { \varphi _ { 0 } - \frac { k } { 2 } \cdot \frac { 2 \pi } { K } } & { \mathrm { f o r ~ e v e n ~ } k } \\ & { \varphi _ { 0 } + \frac { k - 1 } { 2 } \cdot \frac { 2 \pi } { K } } & { \mathrm { f o r ~ o d d ~ } k } \end{array} \right. } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { D } _ { p } ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } , t _ { 1 ^ { \prime } } \cdots \mathbf { r } _ { n ^ { \prime } } , t _ { n ^ { \prime } } ; \mathbf { r } _ { n ^ { \prime \prime } } , t _ { n ^ { \prime \prime } } \cdots \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ) } \\ & { = \langle \mathbf { A } _ { p } ^ { ( - ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } , t _ { 1 ^ { \prime } } ) \cdots \mathbf { A } _ { p } ^ { ( - ) } ( \mathbf { r } _ { n ^ { \prime } } , t _ { n ^ { \prime } } ) } \\ & { \qquad \times \mathbf { A } _ { p } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } _ { n ^ { \prime \prime } } , t _ { n ^ { \prime \prime } } ) \cdots \mathbf { A } _ { p } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \frac { 1 } { 2 8 0 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 1 1 } } \left\{ - 1 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \left[ 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } \dot { \phi } _ { 0 } ^ { * } \left( 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } + 3 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) + 1 0 { \phi _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } + 3 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) \right) \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. - 2 0 { \phi _ { 0 } ^ { * } } { \phi _ { 1 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } \left( - 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } + 9 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } - 2 1 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right) + 2 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 4 } \dot { \phi } _ { 1 } ^ { * } \left( 1 0 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } - 9 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right. \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \left. - 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } + 1 2 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right) + 3 { \phi _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \left( 4 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } - 6 3 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } - 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } + 2 5 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right) \right] \right. } \\ & { } & { \left. + 4 2 { \phi _ { 2 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } \left[ 3 { \phi _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } \left( - 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } + 6 3 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } - 3 2 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right) + 2 { \phi _ { 1 } ^ { * } } \left( - 4 9 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } \right. \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \left. + 1 5 6 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + 9 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } - 3 9 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right) \right] + 6 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 5 } \dot { \phi } _ { 2 } ^ { * } \left[ - 1 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } + 1 2 6 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + 3 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } - 4 0 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right] \right. } \\ & { } & { \left. + 9 { \phi _ { 2 } ^ { * } } ^ { 2 } \left[ - 4 9 6 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } + 8 6 4 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + 3 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } - 4 9 6 0 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right] \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { 1 1 2 0 \pi } { \sqrt { \Phi } W e } \frac { \Gamma \left( 5 / 8 \right) ^ { 2 } } { \Gamma \left( 1 / 8 \right) ^ { 2 } } \xi { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 6 } ( { R _ { 0 } ^ { * } } + { R _ { 1 } ^ { * } } ) \left[ 3 \sqrt { 6 } \sqrt { F r } { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + 2 \sqrt { \Phi } W e { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 5 } \right] \right\} } \\ & { } & { + O ( { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { 0 } } & { = } & { p _ { 0 } \eta ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, , \tau _ { 1 } = 3 p _ { 1 } \eta ^ { 2 } ( 1 - \eta ) \langle k _ { \Delta } \rangle } \\ { \tau _ { 2 } } & { = } & { 3 p _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \langle k _ { \Delta } \rangle \mathrm { ~ a n d ~ } \tau _ { 3 } = p _ { 3 } ( 1 - \eta ) ^ { 3 } \langle k _ { \Delta } \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 5 } \Phi _ { 6 } } & { = \mathcal { D } _ { \omega } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \left( \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \omega , \xi ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathfrak { m } _ { \mathfrak { b } } ( \omega , \xi ) \right) \right) } \\ & { \ + \varepsilon ^ { 2 } \left( \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ( A _ { 1 , * } ) - [ \mathcal { B } _ { 0 , * } , A _ { 1 , * } ] - \mathcal { B } _ { 3 , * } \right) + \mathcal { W } _ { * } + \mathcal { Q } _ { 1 , * } , } \end{array}
A _ { z } = \frac { \langle a ~ \partial _ { z } g ~ g ^ { - 1 } \rangle } { 1 + \langle a ~ g ~ a ~ g ^ { - 1 } \rangle } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ A _ { \bar { z } } = \frac { \langle a ~ g ^ { - 1 } ~ \partial _ { \bar { z } } g \rangle } { 1 + \langle a ~ g ~ a ~ g ^ { - 1 } \rangle } .
a _ { i } \tilde { R } _ { i j } ( { \bf { r } } ; t , t ^ { \prime } ) b _ { j } = A ( { \bf { r } } ; t , t ^ { \prime } ) { \bf { a } } \cdot { \bf { b } } + B ( { \bf { r } } ; t , t ^ { \prime } ) ( { \bf { r } } \cdot { \bf { a } } ) ( { \bf { r } } \cdot { \bf { b } } ) + C ( { \bf { r } } ; t , t ^ { \prime } ) { \bf { r } } \cdot ( { \bf { a } } \times { \bf { b } } ) .
\begin{array} { r l } { p } & { { } = { \frac { R \, T } { V _ { m } - b } } - { \frac { a } { { \sqrt { T } } \, V _ { m } \left( V _ { m } + b \right) } } } \\ { a } & { { } \approx 0 . 4 2 7 4 8 { \frac { R ^ { 2 } \, T _ { c } ^ { \frac { 5 } { 2 } } } { p _ { c } } } } \\ { b } & { { } \approx 0 . 0 8 6 6 4 { \frac { R \, T _ { c } } { p _ { c } } } } \end{array}
Z _ { a b } ^ { S } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { z _ { + } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { z _ { + } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { z _ { H } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { z _ { \chi } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \qquad \begin{array} { c c c } { { Z _ { f _ { i } } ^ { R } } } & { { = } } & { { \tilde { z } _ { f _ { i } } ^ { 2 } } } \\ { { Z _ { f _ { i } } ^ { L } } } & { { = } } & { { z _ { f _ { i } } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { x } ( x , 0 , 0 ) } & { { } = \frac { 4 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ - k _ { 0 } - U _ { 0 } \left( e ^ { - 2 \Delta x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } } \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } } + e ^ { - 2 \Delta x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } } \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s x } ( 1 - F _ { \alpha } ( x t ^ { - 1 / \alpha } ) ) \, d x } & { = \frac { 1 } { s } - \frac { e ^ { - t s ^ { \alpha } } } { s } } \\ { \frac { 1 } { s } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda t } \left( 1 - e ^ { - t s ^ { \alpha } } \right) d t } & { = \frac { 1 } { \lambda } \frac { s ^ { \alpha - 1 } } { \lambda + s ^ { \alpha } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \underline { { t } } | \{ x _ { i } ^ { 0 } \} , \{ s _ { i j } , s _ { j i } \} ) } & { { } = \prod _ { i \in V } \psi ^ { * } ( t _ { i } , \underline { { t } } _ { \partial i } , x _ { i } ^ { 0 } , \{ s _ { j i } \} _ { j \in \partial i } ) } \end{array}