harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\eta _ { \mathrm { C X } } ( \vec { r } _ { 0 } ) = \frac { P _ { \mathrm { L e n s , C X } } ( \vec { r } _ { 0 } ) } { P _ { \mathrm { C X } } ( \vec { r } _ { 0 } ) } = \frac { P _ { \mathrm { L e n s } , r } ( \vec { r } _ { 0 } ) + P _ { \mathrm { L e n s } , \varphi } ( \vec { r } _ { 0 } ) } { P _ { r } ( \vec { r } _ { 0 } ) + P _ { \varphi } ( \vec { r } _ { 0 } ) } .
\mathbb { K } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { k _ { s _ { 1 } \rightarrow s _ { 2 } } } & { . . . } & { k _ { s _ { 1 } \rightarrow s _ { 6 } } } \\ { k _ { s _ { 2 } \rightarrow s _ { 1 } } } & { 0 } & { . . . } & { k _ { s _ { 2 } \rightarrow s _ { 6 } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { k _ { s _ { 6 } \rightarrow s _ { 1 } } } & { k _ { s _ { 6 } \rightarrow s _ { 2 } } } & { . . . } & { 0 } \end{array} \right] ,
X _ { \mathrm { ~ w ~ a ~ v ~ e ~ g ~ e ~ n ~ e ~ r ~ a ~ t ~ e ~ d ~ } } = X _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ u ~ r ~ e ~ d ~ } } - X _ { \mathrm { ~ t ~ i ~ d ~ a ~ l ~ , ~ p ~ r ~ e ~ d ~ i ~ c ~ t ~ e ~ d ~ } } .
\begin{array} { r l } { W ^ { \star } ( z ) } & { = \sum _ { c \ge 1 } \frac { \mu ( c ) } { c ^ { 2 } z } \int _ { 0 } ^ { \infty } \{ z c / u \} ( u W ^ { \prime } ( u ) + W ( u ) ) d u } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { C ^ { \prime } \rightarrow \infty } \biggl ( \sum _ { c \le C ^ { \prime } } \frac { \mu ( c ) } { c z } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { u W ^ { \prime } ( u ) + W ( u ) } { u } d u } \\ & { \qquad \qquad - \sum _ { c \le C ^ { \prime } } \frac { \mu ( c ) } { c ^ { 2 } z } \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { d \le z c / u } 1 \, ( u W ) ^ { \prime } ( u ) d u \biggr ) } \\ & { = - \operatorname* { l i m } _ { C ^ { \prime } \rightarrow \infty } \sum _ { c \le C ^ { \prime } } \frac { \mu ( c ) } { c } \sum _ { d \ge 1 } \frac { W ( z c / d ) } { d } . } \end{array}
\alpha _ { k } { } ^ { 2 } = \frac { ( s - k ) ( s + k + d - 3 ) } { ( k + 1 ) ( 2 k + d - 2 ) } [ m ^ { 2 } - \Omega ( s - k - 1 ) ( s + k + d - 4 ) ] , \qquad 0 \le k \le s - 2
\begin{array} { r l } { m _ { i j } ^ { l } } & { = \phi _ { m } \left( h _ { i } ^ { l } , h _ { j } ^ { l } , e _ { i j } ^ { l } , \psi ( \Vert { x _ { i } ^ { l } - x _ { j } ^ { l } } \Vert ^ { 2 } ) , \psi ( \langle x _ { i } ^ { l } , x _ { j } ^ { l } \rangle ) \right) } \\ { e _ { i j } ^ { l } } & { = \phi _ { e } \left( \psi ( \Vert { x _ { i } ^ { l } - x _ { j } ^ { l } } \Vert ^ { 2 } ) , \psi ( \langle x _ { i } ^ { l } , x _ { j } ^ { l } \rangle ) , e _ { i j } ^ { l - 1 } \right) } \end{array}
T _ { \mu \nu } = - { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( F _ { \mu \alpha } g ^ { \alpha \beta } F _ { \beta \nu } - { \frac { 1 } { 4 } } g _ { \mu \nu } F _ { \sigma \alpha } g ^ { \alpha \beta } F _ { \beta \rho } g ^ { \rho \sigma } \right)
\epsilon _ { K } = \frac { e ^ { i \pi / 4 } } { 2 \sqrt { 2 } } \left[ \frac { \mathrm { I m } M _ { 1 2 } } { \mathrm { R e } M _ { 1 2 } } + 2 \frac { \mathrm { I m } A _ { 0 } } { \mathrm { R e } A _ { 0 } } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \Gamma \cap \Lambda _ { n } \mathrm { ~ i s ~ n o t ~ } s \mathrm { - e x p a n d a b l e } \big ) } & { = \mathbb { P } \big ( \exists x \in { \mathbb Z } ^ { d } \cap \Lambda _ { n } , \exists s ^ { \prime } \in \mathrm { R } ( s ) : | \Lambda _ { s ^ { \prime } } ( x ) \cap \Gamma | \ge { \mathrm e } s ^ { \prime } \big ) } \\ & { \le n \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathrm { R } ( s ) } \mathbb { P } \big ( | \Lambda _ { s ^ { \prime } } \cap \Gamma | \ge { \mathrm e } s ^ { \prime } \big ) . } \end{array}
| M _ { [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] i } ^ { \pm } | \leq A _ { [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] i } ^ { \pm } \; \; \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; \; \; M _ { [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] i } ^ { \pm } = A _ { [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] i } ^ { \pm } \; \; \; \; \mathrm { m o d } \; \; 2 \; \; \; \; ,
\begin{array} { r } { \Delta \varphi _ { \mathrm { p } } ( \frac { L } { 2 } ) = \varphi _ { \mathrm { p } } ( \frac { L } { 2 } + 0 ) - \varphi _ { \mathrm { p } } ( \frac { L } { 2 } - 0 ) , } \\ { \Delta \varphi _ { \mathrm { p } } ^ { \prime } ( \frac { L } { 2 } ) = \varphi _ { \mathrm { p } } ^ { \prime } ( \frac { L } { 2 } + 0 ) - \varphi _ { \mathrm { p } } ^ { \prime } ( \frac { L } { 2 } - 0 ) . } \end{array}
\Gamma _ { j } ^ { ( 2 ) } \left( { \bar { x } } _ { 2 } - { \bar { x } } _ { 1 } \right) = \frac { g } { 2 } \left[ \frac { \delta } { \delta s _ { j } \left( { \bar { x } } _ { 2 } \right) } \frac { \delta } { \delta s _ { j } \left( { \bar { x } } _ { 1 } \right) } \triangle \Gamma \left( \lbrace \sigma _ { k } ; s _ { k } \rbrace \right) \right] \ , \quad ( g = G M _ { 0 } ^ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { k ^ { \dagger } = } & { U _ { s ( m ) + 1 } \cdot T _ { s ( m ) + 1 } ^ { \dagger } \cdot 2 ^ { ( 4 e ( m ) - t _ { s ( m ) } ) \cdot ( 2 M _ { s ( m ) + 1 } + 3 ) } } \\ { = } & { U _ { s ( m ) + 1 } \cdot T _ { s ( m ) + 2 } ^ { \dagger } \cdot 2 ^ { 8 e ( m ) \cdot ( M _ { s ( m ) + 2 } + M _ { s ( m ) + 1 } + 3 ) - t _ { s ( m ) } \cdot ( 2 M _ { s ( m ) + 1 } + 3 ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boxed { \ \mathcal { D D } ^ { \dagger } = 1 + \mathcal { S } = 1 + \big ( 1 + F _ { \mathrm { z i g } } \big ) \cos \frac { 2 \pi } { 3 } \sqrt { \mathcal { Q } _ { \mathrm { z i g } } } \ , \qquad \ \mathcal { D } ^ { \dagger } \mathcal { D } = 1 + \widetilde { \mathcal { S } } = 1 + \mathcal { O } R \mathcal { O } ^ { \dagger } \ . } } \end{array}
T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } = \frac { 1 - \chi \alpha _ { 1 } - \sqrt { \left( 1 - \chi \alpha _ { 1 } \right) ^ { 2 } - 4 \chi ^ { 2 } \alpha _ { 2 } \left( 1 - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) } } { 2 \chi \alpha _ { 2 } } .
g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { w r } } } ) - g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { d } } } ) = \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) - \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { w r } } ) \cos { \theta _ { \mathrm { B L } } } .
\begin{array} { r l } { X _ { c } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { t } m _ { c , t } } \\ { \epsilon _ { c } } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { t } ( m _ { c , t } - X _ { c } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { d } { d \bar { z } } \Bigl \{ \frac { \eta _ { n } ( \bar { \phi } _ { s } ) } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } _ { s } ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { \bar { \phi } _ { s } } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } _ { s } ) ^ { 1 / 2 } } T \Bigr \} = - G I ^ { 2 } \bar { \phi } _ { s } .
^ { b , c , d } \footnote { C o r r e s p o n d i n g a u t h o r . T e l : ~ + 8 6 - 1 0 8 8 2 3 6 2 5 6 . E - m a i l a d d r e s s : g u o c o n g @ i h e p . a c . c n ( C . ~ G u o ) . }
\eta _ { E } ^ { - } = + i ( \eta _ { E } ^ { + } ) _ { c } , \quad \eta _ { E } ^ { + } = - i ( \eta _ { E } ^ { - } ) _ { c } , \quad \eta _ { M } ^ { - } = - i ( \eta _ { M } ^ { + } ) _ { c } , \quad \eta _ { M } ^ { + } = + i ( \eta _ { M } ^ { - } ) _ { c } ,
C _ { u x u x } = { \frac { - 3 \, { { \left( \cos ( { \frac { u } { 2 \, a } } ) + \sin ( { \frac { u } { 2 \, a } } ) \right) } ^ { 2 } } } { { a ^ { 2 } } \, { { \left( \cos ( { \frac { u } { 2 \, a } } ) - \sin ( { \frac { u } { 2 \, a } } ) \right) } ^ { 4 } } } }
Q _ { j } = { \frac { \omega - \omega _ { j } } { \omega ^ { 2 } - E ^ { 2 } - h \omega ^ { 2 N } } } \Bigg | _ { \omega = \omega _ { j } } = { \frac { 1 } { 2 \omega _ { j } ( 1 - N h \omega _ { j } ^ { 2 N - 2 } ) } } .
\begin{array} { r l r } { { \bf y } _ { k + 1 } ^ { \prime } } & { { } = } & { { \bf y } _ { k } ^ { \prime } + \frac { e ^ { z h } - 1 } { z h } \left( z h { \bf y } _ { k } ^ { \prime } + h { \bf f } _ { k } + h \frac { { \bf f } _ { k + 1 } - { \bf f } _ { k } } { z h } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 3 } \, d x d r } & { \leq { { \bf 1 } } _ { \Gamma } \| u _ { 2 } ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + C _ { \varepsilon _ { 0 } } \mathsf { H } ( t ) + \mathsf { M } _ { 2 } ( t ) } \\ & { \ + \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } \Big [ C _ { 0 } u _ { 2 } ^ { 2 } + \varepsilon _ { 0 } | \nabla u _ { 2 } | ^ { 2 } \Big ] \, d x d r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { R } ^ { ( l ) } = \phi _ { L } ^ { ( l + 1 ) } \approx } & { { } \underbracket { \frac { 1 } { 2 } c _ { 0 , l } v _ { l M } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { n b } } c _ { j , l } ^ { - } v _ { l M - j } } _ { \textup { s t o r e d i n l e f t p r o c e s s o r } } + \underbracket { \frac { 1 } { 2 } c _ { 0 , l } v _ { l M } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { n b } } c _ { j , l } ^ { + } v _ { l M + j } } _ { \textup { s t o r e d i n r i g h t p r o c e s s o r } } , } \end{array}
P _ { Q _ { a } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } { ( 1 , [ 1 - ( 1 - Q _ { a } ) \beta \Delta F _ { S } ] ^ { \frac { 1 } { 1 - Q _ { a } } } ) } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ Q _ { a } \ge 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ Q _ { a } < 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ [ 1 - ( 1 - Q _ { a } ) \beta \Delta F _ { S } ] < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \rho ( \xi _ { x } ) d \xi _ { x } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( \alpha _ { x } ) d \alpha _ { x } = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] d \alpha _ { x } = 1 } \\ { \langle \xi _ { x } \rangle } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \xi ( \alpha _ { x } ) \rho ( \alpha _ { x } ) d \alpha _ { x } = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] d \alpha _ { x } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; [ H _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] } \\ & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { x } \; \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - ( 2 + u ) \alpha _ { x } ] [ I _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - I _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { u : 2 } \\ { \frac { \mu _ { u } - \rho u \mu _ { p } ( \gamma - 1 ) + \rho ^ { 2 } a ^ { 2 } \nu _ { p } + \rho u ( \gamma + 1 ) } { 2 \rho } } \\ { \pm \frac { \sqrt { \rho ^ { 4 } a ^ { 4 } \nu _ { p } ^ { 2 } - 2 \rho ^ { 3 } a ^ { 2 } u \nu _ { p } ( \gamma - 1 ) ( \mu _ { p } - 1 ) + 2 \rho ^ { 2 } a ^ { 2 } ( 2 \nu _ { u } \mu _ { p } - \nu _ { p } \mu _ { u } ) + ( \rho u \mu _ { p } ( \gamma - 1 ) - \mu _ { u } ) ^ { 2 } + 4 \rho u \mu _ { u } ( \gamma - 1 ) } } { 2 \rho } } \end{array}
\hat { H } _ { 2 } = - t \sum _ { \left< i , j \right> } ( c _ { i } ^ { \dagger } c _ { j } + \textnormal { H . c } ) + V \sum _ { \left< i j \right> } ( \hat { n } _ { i } - \frac { 1 } { 2 } ) ( \hat { n } _ { j } - \frac { 1 } { 2 } )
{ \cal H } _ { 0 } = \partial _ { 0 } \phi \, \pi - { \cal L } _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \pi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \vec { \nabla } \phi \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \ ,
{ \begin{array} { r l } { U ( \theta ) } & { = a \left[ e ^ { \frac { i \pi S \sin \theta } { \lambda } } + e ^ { - { \frac { i \pi S \sin \theta } { \lambda } } } \right] \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } e ^ { { - 2 \pi i x ^ { \prime } \sin \theta } / \lambda } \, d x ^ { \prime } } \\ & { = 2 a \cos { \frac { \pi S \sin \theta } { \lambda } } W \operatorname { s i n c } { \frac { \pi W \sin \theta } { \lambda } } } \end{array} }
\tilde { m } _ { 2 } = { \frac { 2 \int d \tilde { p } ( \Sigma ( \tilde { p } ) ) ^ { 2 } f ( \tilde { p } ) - { \frac { \beta ^ { 2 } } { 1 6 \pi } } ( \tilde { \mu } ^ { 2 } ( \varphi _ { 0 } ) - \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } ) ( \int d \tilde { p } { \frac { \Sigma ( \tilde { p } ) } { f ( \tilde { p } ) } } ) ^ { 2 } } { \int d \tilde { p } ( \Sigma ( \tilde { p } ) ) ^ { 2 } } } \; ,
\begin{array} { r l r } { a ( \lambda ) } & { { } = } & { S _ { 1 1 } e ^ { 2 i \lambda L } , \quad b ( \lambda ) = S _ { 2 1 } , } \\ { a ^ { \prime } ( \lambda ) } & { { } = } & { [ S _ { 3 1 } + i L ( S _ { 1 1 } + S _ { 3 3 } ) ] \, e ^ { 2 i \lambda L } . } \end{array}
\Omega \, = \, \left( \begin{array} { l } { { X ^ { 0 } } } \\ { { X ^ { 1 } } } \\ { { X ^ { i } } } \\ { { F _ { 0 } } } \\ { { F _ { 1 } } } \\ { { F _ { i } } } \end{array} \right) \, = \, \left( \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + y ^ { 2 } ) } } \\ { { \mathrm { i } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - y ^ { 2 } ) } } \\ { { y ^ { i } } } \\ { { S \, \frac { 1 } { 2 } ( 1 + y ^ { 2 } ) } } \\ { { S \, \mathrm { i } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - y ^ { 2 } ) } } \\ { { - \, S \, y ^ { i } } } \end{array} \right) \, { \stackrel { y \, \to \, 0 } { \longrightarrow } } \, \left( \begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \mathrm { i } \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } \, S } } \\ { { \mathrm { i } \frac { 1 } { 2 } \, S } } \\ { { 0 } } \end{array} \right)
Q _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 7 / 2 5 } & { 2 4 / 2 5 } \\ { 0 } & { 2 4 / 2 5 } & { 7 / 2 5 } \end{array} \right) }
( \mathrm { i } { \bf X } ^ { j } \frac { \partial } { \partial { \bf X } ^ { i } } - \mathrm { i } { \bf X } ^ { i } \frac { \partial } { \partial { \bf X } ^ { j } } + \sum _ { a } S _ { a } ^ { i j } ) G ( { \bf X } , S ) = 0 \, ,
\big \| \varepsilon ^ { - 2 } ( Z _ { t } ( x ) - Z _ { t ^ { \prime } } ( x ) ) \big \| _ { n } \leqslant \big \| ( \mathsf { p } _ { t - t ^ { \prime } } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { t ^ { \prime } } ) ( x ) - \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { t ^ { \prime } } ( x ) \big \| _ { n } + \bigg \| \varepsilon ^ { - 2 } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } \sum _ { z \geqslant 0 } \mathsf { p } _ { t - u } ^ { \varepsilon } ( x , z ) d M _ { t ^ { \prime } } ( z ) d u \bigg \| _ { n } .
D = { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } t } } = { \frac { 2 R } { 5 t } } = { \frac { 2 \beta } { 5 } } \left( { \frac { E } { \rho _ { 0 } t ^ { 3 } } } \right) ^ { 1 / 5 }
\begin{array} { r l } { F _ { \varepsilon } ( w ) } & { = ( z _ { j } - y + n _ { j } - 1 ) \log ( 1 - w ) - ( y - z _ { j } + 1 ) \log 2 - n _ { j } \log w } \\ & { \qquad + t \log ( 1 - p / 2 ) - t \log ( 1 - p + p ( 1 - w ) ) } \\ & { = ( z _ { j } - y + n _ { j } - 1 ) \log 2 ( 1 - w ) - n _ { j } \log 2 w + t \log ( 1 - p / 2 ) - t \log ( 1 - p w ) } \\ & { = \left( ( \alpha - \beta ) \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } + \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { j } + \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { j } - z ) - 1 \right) \log ( 1 - \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) } \\ & { \qquad - \left( \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { j } \right) \log ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) } \\ & { \qquad - \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } \log \left( 1 - \varepsilon ^ { 1 / 2 } \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } \right) . } \end{array}
V = C _ { 1 } \underbrace { \left( \widetilde { z } - 1 \right) \sinh { \left[ k \widetilde { z } \right] } } _ { V _ { 1 } [ \widetilde { z } ] } + C _ { 2 } \underbrace { \widetilde { z } \sinh { \left[ k \left( 1 - \widetilde { z } \right) \right] } } _ { V _ { 2 } [ \widetilde { z } ] } \, . \
| \textbf { v } _ { h } | _ { 1 , E } ^ { 2 } \lesssim | \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { v } _ { h } | _ { 1 , E } ^ { 2 } + | \textbf { v } _ { h } - \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } \textbf { v } _ { h } | _ { 1 , E } ^ { 2 } \lesssim \operatorname* { m a x } \{ \lambda _ { S } ^ { 2 } \mu _ { S } ^ { 2 } , \mu _ { S } ^ { - 1 } , 1 \} a _ { h } ^ { E } ( \textbf { v } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) .
{ \biggl [ } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 4 } } } } \, \mathrm { d } x { \biggr ] } { \biggl [ } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x ^ { 4 } } } } \, \mathrm { d } x { \biggr ] } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 3 } ( y ^ { 2 } + 1 ) } { \sqrt { ( 1 - x ^ { 4 } ) ( 1 - x ^ { 4 } y ^ { 4 } ) } } } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y =
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial ( r n ^ { e } ) } e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } = } & { e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + 1 ) ! } ( - r V _ { n } ) ^ { k } \right) ^ { e f } i J ^ { f } } \\ { = } & { e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } i \left( \mathbb { 1 } + \frac { 1 } { 2 } r V _ { n } + \frac { 1 } { 3 ! } r ^ { 2 } V _ { n } ^ { 2 } + \sum _ { k = 3 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ! } ( r V _ { n } ) ^ { k } \right) ^ { e f } J ^ { f } . } \end{array}
\sum _ { \vec { V } _ { r } ( L ) } \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { \nu - 2 } \left[ \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 } ( K _ { \nu - 2 } \cdot \vec { m } + \vec { u } _ { r } ( L ) ) _ { i } + \frac { 1 } { 2 } L \delta _ { i , \nu - 2 } } } \\ { { m _ { i } } } \end{array} \right] =
\left\{ \begin{array} { r c l l } { { \bf a } ( { \bf u } , { \bf v } ) - { \bf b } ( \boldsymbol \lambda , { \bf v } ) } & { = } & { \int _ { \gamma } \rho \, v _ { \gamma } \, d x , } & { \forall { \bf v } \in { \bf V } , } \\ { { \bf b } ( \boldsymbol \mu , { \bf u } ) } & { = } & { 0 , } & { \forall \boldsymbol \mu \in \boldsymbol \Lambda . } \end{array} \right.
\vec { \nabla } \cdot \vec { A } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \left( \int d ^ { 3 } x ^ { \prime } \frac { \vec { \nabla } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) + \vec { \nabla } ^ { \prime } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) } { R } - \oint d \vec { S } \cdot \frac { \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) } { R } \right) .
\Omega _ { \phi ^ { \prime } } = - i \lambda ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { s } d \tau \, \left( \frac { 1 } { 2 } \psi _ { \mu } \dot { x } _ { \mu } \psi _ { 6 } - i m \psi _ { 5 } \psi _ { 6 } \right)
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \| \widehat \gamma ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) \| = } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \| H _ { Q } ( \bar { \gamma } ( t ) ) ^ { - 1 } [ U ( \widehat \gamma ( t ) ) - U ( \gamma ^ { * } ( t ) ) ] \| } \\ { \le } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \| H _ { Q } ( \bar { \gamma } ( t ) ) ^ { - 1 } \| \| U ( \widehat \gamma ( t ) ) - U ( \gamma ^ { * } ( t ) ) \| } \\ { \le } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \| H _ { Q } ( \bar { \gamma } ( t ) ) ^ { - 1 } \| \| U ( \widehat \gamma ( t ) ) - U ( \gamma ^ { * } ( t ) ) \| , } \end{array}
S _ { 1 } = - \frac { 1 } { 4 \gamma } \int _ { \cal M } \sqrt { - g } \, F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \frac { k } { 1 6 \pi } \int _ { \cal M } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha } F _ { \mu \nu } A _ { \alpha } \, .
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \widetilde { \mathcal { L } } ( 1 2 ) \right) \widetilde { g } _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) \begin{array} { r l } { [ t ] } & { + \sum _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } [ 3 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { \alpha \gamma } ( 1 3 ) \, f _ { \alpha } ( 1 ) \, \widetilde { g } _ { \gamma \beta } ( 3 2 ) \right) } \\ & { + \sum _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } [ 3 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { \gamma \beta } ( 3 2 ) \, f _ { \beta } ( 2 ) \, \widetilde { g } _ { \alpha \gamma } ( 1 3 ) \right) } \\ & { = - \widetilde { \mathcal { V } } _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) \, f _ { \alpha } ( 1 ) f _ { \beta } ( 2 ) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { n } } & { = \hat { z } _ { n } - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { n } \right> , \quad 1 \leq n \leq N } \\ { \frac { d } { d t } \hat { Z } ^ { N _ { 0 } } ( t ) } & { = A _ { 0 } \hat { Z } ^ { N _ { 0 } } ( t ) + \left( - A _ { 0 } - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } B _ { k } A + \Xi \right) U ( t ) } \\ & { \phantom { = } \; - L \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { \varphi _ { i } ( \xi _ { 1 } ) } \\ { \varphi _ { i } ( \xi _ { 2 } ) } \end{array} \right) \hat { w } _ { i } ( t ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left( \begin{array} { l } { \left( D _ { \gamma _ { k } u _ { k } } \right) ( \xi _ { 1 } , t ) } \\ { \left( D _ { \gamma _ { k } u _ { k } } \right) ( \xi _ { 2 } , t ) } \end{array} \right) - y ( t ) \right\} } \\ { \frac { d } { d t } \hat { Z } ^ { N - N _ { 0 } } ( t ) } & { = A _ { 1 } \hat { Z } ^ { N - N _ { 0 } } ( t ) + H ^ { N - N _ { 0 } } U ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { \partial \rho \omega } } { { \partial t } } + \frac { { \partial \left( { \rho { u _ { j } } \omega } \right) } } { { \partial { x _ { j } } } } = } & { \frac { { \gamma \rho } } { { { \mu _ { t } } } } P - \beta \rho { \omega ^ { 2 } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \left( { \mu + { \sigma _ { \omega } } { \mu _ { t } } } \right) \frac { { \partial \omega } } { { \partial { x _ { j } } } } } \right] } \\ & { + 2 \rho \left( { 1 - { F _ { 1 } } } \right) \frac { { { \sigma _ { \omega 2 } } } } { \omega } \frac { { \partial k } } { { \partial { x _ { j } } } } \frac { { \partial \omega } } { { \partial { x _ { j } } } } \mathrm { . } } \end{array}
P _ { \mathrm { M F M L } } ^ { ( 5 ; 3 ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right) : = P _ { \mathrm { K R R } } ^ { ( 3 ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right) + P _ { \mathrm { K R R } } ^ { ( 3 , 4 ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right) + P _ { \mathrm { K R R } } ^ { ( 4 , 5 ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right)
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( \cdot - X _ { t } ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( \cdot - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | \Big | _ { L _ { 2 } } } \\ { \le } & { C _ { \mathcal { X } } \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { = } & { O _ { p } \Big ( \sqrt { \frac { \log T } { h ^ { p } } } \Big ) . } \end{array}
{ \cal H } = { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } + { \frac { g } { 2 x ^ { 2 } } } , \ \ \ \ { \cal D } = { \frac { 1 } { 2 } } ( p x + x p ) , \ \ \ \ { \cal K } = { \frac { 1 } { 2 } } m x ^ { 2 } .
\tilde { N } _ { \mathbf { A } } ^ { g } \rightarrow \bar { N } _ { \mathbf { A } } ^ { g } = \sum _ { \mathbf { a } \parallel \mathbf { A } } ( n _ { \mathbf { a } } - \langle \hat { Z } _ { \mathbf { a } } \mathcal { U } \rangle _ { 0 } ) / 2
\begin{array} { r l } & { 0 = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lvert - L _ { x } [ \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) ) - \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( x ) ) ] - \pi _ { \mathbb { H } } \circ f ( x ) + \pi _ { \mathbb { H } } \circ f ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) \rvert } { d ( x , \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \frac { \lVert \pi _ { \mathbb { H } } \Big ( ( L _ { x } [ \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) ) - \pi _ { \mathbb { G } } ( \varphi ( x ) ) ] ) ^ { - 1 } f ( x ) ^ { - 1 } f ( \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) \Big ) \rVert _ { \mathbb { H } } } { d ( x , \gamma ( t _ { 0 } + t ) ) } . } \end{array}
\frac { \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { u } ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { u } ^ { n } \cdot \nabla \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } = \nabla \cdot \left( \frac { \mu _ { l } } { \rho } \nabla \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } \right) - \frac { 1 } { \rho } \nabla p ^ { n + 1 } - \frac { \mu _ { l } } { \rho } K ^ { - 1 } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } + \boldsymbol { f } ,
\mathsf { A C V } ^ { 2 } G _ { \delta } = \mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } + ( \mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } ) ( \mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } ) + \mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } .