harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle e ^ { A } \rangle _ { \beta } = \exp \left[ \frac { 1 } { 2 } \, \langle A ^ { 2 } \rangle _ { \beta } \right] \ ; \ \langle \, : e ^ { A } : \, \rangle _ { \beta } = \exp \left[ \frac { 1 } { 2 } \, \langle \, : A ^ { 2 } : \, \rangle _ { \beta } \right] \, ,
e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } \Phi _ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } = \frac { 4 x ^ { 2 } } { 2 7 } \sigma _ { 3 } + \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ( \widetilde { A } + \widetilde { B } + \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } ) + \widetilde { \mathbf { R } } _ { 2 } + ( \widetilde { A } + \widetilde { B } ) \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( \widetilde { A } - \widetilde { B } ) + \mathbf { P } _ { 2 } ^ { ( \infty ) } .
\begin{array} { r l } { n _ { H } ( E ) } & { { } = \frac { 1 } { \exp [ E / k T _ { H } ] - 1 } } \\ { n _ { E } ( E ) } & { { } = \frac { 1 } { \exp [ E / k T _ { E } ( E ) ] - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( \xi , t ) } & { { } = \sigma _ { \varepsilon } ( \xi , t ) + \int _ { D } \mathbb { P } ^ { \eta \rightarrow \xi } \left[ t < \zeta ( X ^ { \eta } \circ \tau _ { t } ) \right] W _ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , t , \xi ) \textrm { d } \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta \sigma K - 4 B \sigma k _ { 2 } ^ { - 2 } E - \beta B k _ { 2 } ^ { - 2 } ( ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) K - 2 E ) } & { = 0 } \\ { 4 B \left[ ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) E - 2 ( 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) K \right] + \beta B \left[ 4 ( k _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ) E + ( 3 k _ { 2 } ^ { 4 } - 8 k _ { 2 } ^ { 2 } + 8 ) K \right] + 3 \beta \sigma k _ { 2 } ^ { 2 } \left[ 2 E - K ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) \right] } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 3 } ^ { * } \cdot \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } = ~ } & { { } 0 , } \\ { \partial _ { t ^ { * } } \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } + ( \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } \cdot \nabla _ { 3 } ^ { * } ) \mathbf { U } _ { 3 } ^ { * } + ( \mathbf { U } _ { 3 } ^ { * } \cdot \nabla _ { 3 } ^ { * } ) \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } + \nabla _ { 3 } ^ { * } \left( P ^ { * } / \rho + g z ^ { * } \right) = ~ } & { { } - ( \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } \cdot \nabla _ { 3 } ^ { * } ) \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \Vert r ( 0 ) u _ { x x } ^ { ( m ) } ( 0 , . ) + \kappa ( 0 ) u _ { x x t } ^ { ( m ) } ( 0 , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } } \\ & { } & { \leq C _ { 7 } ^ { 2 } \left( \Vert g _ { m } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \Vert u _ { t t } ^ { ( m ) } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } + \Vert u _ { t } ^ { ( m ) } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 \quad 1 } \\ { 1 \quad 2 \quad 1 } \\ { 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 } \\ { 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 } \\ { 1 \quad 5 \quad 1 0 \quad 1 0 \quad 5 \quad 1 } \\ { 1 \quad 6 \quad 1 5 \quad 2 0 \quad 1 5 \quad 6 \quad 1 } \\ { 1 \quad 7 \quad 2 1 \quad 3 5 \quad 3 5 \quad 2 1 \quad 7 \quad 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ \mathcal { H } _ { 2 } , F ^ { ( 5 ) } \right\} } & { = - \frac { 2 \mathrm { i } } { 2 \pi } \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } + j _ { 3 } + j _ { 4 } + j _ { 5 } = 0 } \left( j _ { 1 } \kappa _ { j _ { 1 } } + j _ { 2 } \kappa _ { j _ { 2 } } + j _ { 3 } \kappa _ { j _ { 3 } } + j _ { 4 } \kappa _ { j _ { 4 } } + j _ { 5 } \kappa _ { j _ { 5 } } \right) F _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } , j _ { 5 } } ^ { ( 5 ) } f _ { j _ { 1 } } f _ { j _ { 2 } } f _ { j _ { 3 } } f _ { j _ { 4 } } f _ { j _ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { \gamma } ^ { 1 } \varphi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { : = \varphi ( x _ { 1 } + \gamma , x _ { 2 } ) - \varphi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - D _ { 1 } \varphi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \gamma , } \\ { \delta _ { \gamma } ^ { 2 } \varphi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { : = \varphi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } + \gamma ) - \varphi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - D _ { 2 } \varphi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| ^ { 1 } E _ { x } ^ { \prime } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \left| a \bar { x } y \bar { y } \right\rangle - \left| \bar { a } x y \bar { y } \right\rangle \right) } \\ { \left| ^ { 1 } E _ { y } ^ { \prime } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \left| a \bar { x } x \bar { y } \right\rangle - \left| \bar { a } x \bar { x } y \right\rangle \right) } \\ { \left| ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { \prime } \right\rangle } & { = \left| x \bar { x } y \bar { y } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { D } Q } { \mathrm { D } t } } & { = - \eta _ { Q } Q + \nabla ^ { 2 } Q , } \\ { \frac { \mathrm { D } R } { \mathrm { D } t } } & { = - \eta _ { R } R + D \nabla ^ { 2 } R , } \\ { \frac { \mathrm { D } \mathbf { u } } { \mathrm { D } t } } & { = - \nabla p + \mathrm { S c } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \mathrm { S c } ^ { 2 } \mathrm { G r } ( \delta _ { Q } Q + \delta _ { R } R ) \mathbf { e } _ { z } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { = 0 . } \end{array}
{ \cal J } _ { A B i j } \, \hat { k } _ { I } ^ { A } \hat { k } _ { J } ^ { B } = - f _ { I J } { } ^ { K } \hat { P } _ { K i j } + 4 \, \varepsilon ^ { k l } \, \hat { P } _ { I k ( i } \, \hat { P } _ { J j ) l } \ .
j = F k _ { 0 } c _ { e } ^ { \alpha _ { a } } \left( c _ { s , i , m a x } - c _ { s , i } \right) ^ { \alpha _ { a } } c _ { s , i } ^ { \alpha _ { c } } \, \left[ e ^ { \frac { \alpha _ { a } F } { R T } \eta } - e ^ { \frac { - \alpha _ { c } F } { R T } \eta } \right] , \quad \textrm { w h e r e } \quad \eta = \phi _ { s } - \phi _ { e } - { U _ { e q } ^ { i } } ( c _ { s , i } ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \in \Lambda ( m , n ) } | z ^ { \alpha } | | [ \alpha ] | ^ { \frac { 1 } { r } } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { m } \sum _ { \alpha _ { T } \in \Lambda _ { T } ( k , n ) } \sum _ { \alpha _ { E } \in \Lambda _ { E } ( m - k , n ) } | z ^ { ( \alpha _ { T } + \alpha _ { E } ) } | | [ \alpha _ { T } + \alpha _ { E } ] | ^ { \frac { 1 } { r } } } \\ & { \leq 2 ^ { \frac { m } { r } } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \left( \sum _ { \alpha _ { T } \in \Lambda _ { T } ( k , n ) } | z _ { T } ^ { \alpha } | | [ \alpha _ { T } ] | ^ { \frac { 1 } { r } } \right) \left( \sum _ { \alpha _ { E } \in \Lambda _ { E } ( m - k , n ) } | z _ { E } ^ { \alpha } | | [ \alpha _ { E } ] | ^ { \frac { 1 } { r } } \right) } \\ & { \leq 2 ^ { \frac { m } { r } } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \left( n ^ { k / r ^ { \prime } } \| z \| _ { \ell _ { r , s } } ^ { k } \frac { 1 } { k ! ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } } \right) \left( \log ( n ) ^ { ( m - k ) ( \frac { 1 } { r } - \frac { 1 } { s } ) } \| z \| _ { \ell _ { r , s } } ^ { m - k } \right) } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } 2 ^ { \frac { m } { r } } \| z \| _ { \ell _ { r , s } } ^ { m } m \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { k = 1 , \ldots , m } n ^ { k / r ^ { \prime } } \frac { 1 } { k ^ { \frac { k } { r ^ { \prime } } } } \log ( n ) ^ { ( m - k ) ( \frac { 1 } { r } - \frac { 1 } { s } ) } . } \end{array}
\times ( - 1 ) ^ { \vert P \vert + \vert I \vert + \vert L \vert + \vert M \vert } { \binom { I + J } { R } } { \binom { I + J - R } { S } } \int _ { \Omega } \Biggl [ I _ { A B } ^ { K } D _ { R + K } E _ { B } ^ { J } ( h )
f _ { L } = \frac { 1 } { \gamma _ { \omega } } \int { \frac { d ^ { 3 } k ^ { W } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \sum _ { m n } \bigl ( 1 - f _ { n } ( E _ { n } ^ { \prime } ) \bigr ) \Delta L _ { n m } ( | k _ { \perp } ^ { W } | ) \times \frac { k _ { \perp } ^ { W } } { E _ { m } ^ { W } } f _ { m } ( E _ { m } ) ,
\left( i \hbar \Delta _ { \psi } + { \cal J } _ { i } \frac { \delta } { \delta \varphi _ { i } ^ { * } } \right) { \cal W } = \frac { \delta { \cal W } } { \delta \psi ^ { \alpha } } \frac { \delta { \cal W } } { \delta \psi _ { \alpha } ^ { * } } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { T } } & { \left[ ( K ( u ) ) _ { x } \chi _ { x } - u \frac { \partial } { \partial t } ( J _ { t } ^ { 1 - \alpha } \chi ) \right] d t d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \left[ D ( \mu ( t ) ) \chi ( a , t ) - D ( \nu ( t ) ) \chi ( b , t ) \right] d t - \int _ { a } ^ { b } u _ { 0 } ( x ) J _ { t } ^ { 1 - \alpha } \chi ( x , 0 ) d x , \quad \chi \in C ^ { 1 } ( \Omega _ { T } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { \mathrm { M } , n } = } & { \prod _ { m = 1 } ^ { M } \left[ ( \mathcal { G } _ { n } - | \mathbf { k } _ { n } | ^ { 2 } + q _ { m } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + b _ { m } \right] } \\ { = } & { \, ( \mathcal { G } _ { n } ^ { 2 } + b _ { n } ) \prod _ { m \neq n } ^ { M } \left[ ( q _ { m } ^ { 2 } - | \mathbf { k } _ { n } | ^ { 2 } + \mathcal { G } _ { n } ) ^ { 2 } + b _ { m } \right] ) } \\ { \approx } & { \, ( \mathcal { G } _ { n } ^ { 2 } + b _ { n } ) \underbrace { \prod _ { m \neq n } ^ { M } \left[ ( q _ { m } ^ { 2 } - | \mathbf { k } _ { n } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } + b _ { m } \right] } _ { \Gamma _ { n } } } \\ { \equiv } & { \, \Gamma _ { n } \left[ ( \nabla ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \mathbf { k } _ { n } \cdot \nabla ) ^ { 2 } + b _ { n } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( r ) } & { = \frac { r } { \rho ^ { 3 } } \left( \left( 1 - 3 \left( \frac { h } { \rho } \right) ^ { 2 } \right) \beta _ { 2 } + h \, \frac { \partial \beta _ { 2 } } { \partial h } \right) , } \\ { F _ { 2 } ( r ) } & { = \frac { h } { \rho ^ { 3 } } \left( \left( 2 - 3 \left( \frac { h } { \rho } \right) ^ { 2 } \right) \beta _ { 2 } + h \, \frac { \partial \beta _ { 2 } } { \partial h } - \beta _ { 1 } \right) + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \beta _ { 1 } } { \partial h } . } \end{array}
\omega _ { k } = \Delta _ { t } ( q / m \gamma _ { p } ^ { n + 1 / 2 } ) \mathbf { B } _ { k } ( \mathbf { r } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } , t ^ { n + 1 / 2 } ) \; \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; k \in { x , y , z }
\begin{array} { r l } & { \quad [ ( H _ { i , 1 } + B _ { i } ) \otimes 1 , F _ { j } ] - [ ( H _ { j , 1 } + B _ { i } ) \otimes 1 , F _ { i } ] } \\ & { = _ { j , i + 1 , 1 } + _ { i , j , 2 } + _ { j , i + 1 , 3 } + _ { j , i + 1 , 4 } } \\ & { \quad - _ { j , i , 5 } + _ { j , i + 1 , 5 } + _ { j , i + 1 , 6 } } \\ & { \quad + _ { i , j , 7 } - _ { i , j + 1 , 7 } + _ { j , i + 1 , 8 } - _ { j , i , 9 } + _ { j , i + 1 , 9 } + _ { i , j , 1 0 } } \\ & { \quad + _ { i , j , 1 1 } - _ { i , j + 1 , 1 1 } + _ { i , j , 1 2 } } \\ & { \quad + _ { j , i + 1 , 1 3 } + _ { j , i + 1 , 1 4 } + _ { i , j , 1 5 } + _ { i , j , 1 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { m } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ( x _ { 1 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { m } D _ { \nu _ { m } } ( \sqrt { \omega _ { 0 } } | x _ { 1 2 } | ) , \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; m \; \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { f _ { m } ^ { \omega _ { 0 } / 2 } ( x _ { 1 2 } ) , \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; m \; \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { 1 } } & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( q | z | - 1 \right) e ^ { - q | z | } \sin ( q t ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \mathcal { K } _ { 2 } } & { = - | z | \int _ { 0 } ^ { \infty } q e ^ { - q | z | } \cos ( q t ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \mathcal { K } _ { 3 } } & { = - | z | \int _ { 0 } ^ { \infty } q e ^ { - q | z | } \sin ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \mathcal { K } _ { 4 } } & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( q | z | + 1 \right) e ^ { - q | z | } \cos ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \tau ^ { * } ) } & { = \dim ( \pi _ { \tau } \circ H _ { \tau , l - 1 } \circ \dots H _ { \tau , 1 } \circ H _ { \tau , 0 } ( M _ { \tau } ) ) } \\ & { = \dim ( \pi _ { \tau } \circ H _ { \tau , l - 1 } \circ \dots \circ H _ { \tau , i + 1 } ( M _ { p ^ { i + 1 } \tau , l } ) ) \leq \dim ( M _ { p ^ { i + 1 } \tau , d } ) = d . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \chi _ { p } \psi _ { 1 } , } & { \quad \mathrm { ~ { ~ \it ~ p ~ } ~ b ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \chi _ { h } \psi _ { 1 } , } & { \quad \mathrm { ~ { ~ \it ~ h ~ } ~ b ~ a ~ n ~ d ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \left\{ \hbar ^ { 2 } { \left( \Omega ^ { 2 } - K ^ { 2 } \right) } { \left( \Omega ^ { 2 } - K ^ { 2 } + { \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) } - 4 { \mathfrak R } _ { 0 } ^ { 2 } { \left[ \gamma _ { 0 } ^ { 2 } { \left( \Omega - v _ { 0 } K \right) } ^ { 2 } + { \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right] } \right\} } { \left[ { \left( \Omega ^ { 2 } - K ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } \right) } ^ { 2 } - 4 k _ { 0 } ^ { 2 } K ^ { 2 } \right] } } \\ { + { \frac { 4 A _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } { \left( \Omega ^ { 2 } - K ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } \right) } { \left( K ^ { 2 } - v _ { 0 } \Omega K \right) } = 0 . } \end{array}
\mathbf { x } = \frac { \mathbf { x } ^ { * } } { L } , \quad t = \frac { t ^ { * } } { L ^ { 2 } / \kappa } , \quad \mathbf { u } = \frac { \mathbf { u } ^ { * } } { \kappa / L } , \quad T = \frac { T ^ { * } - T _ { 0 } } { \Delta T } , \quad C = \frac { C ^ { * } - C _ { 0 } } { \Delta C } , \quad p = \frac { p ^ { * } } { \rho _ { 0 } \kappa \nu / L ^ { 2 } } ,
\mathbb { E } _ { ( \pi , y ) } \left[ \Big \| \mu \left( p _ { | \rho ( \pi , y ) } \right) \Big \| _ { 2 } \right] \gtrsim \frac { 1 } { \sqrt { d } } \cdot ( t + 1 ) \cdot \left( \zeta ^ { \prime } \xi - \operatorname* { P r } _ { ( \tau , y ) } \big [ ( \tau , y ) \mathrm { ~ i s ~ } t \mathrm { - c o n t r i b u t i n g } \big ] \right) \cdot \frac { d } { n m } .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \* z + A \partial _ { 1 } \* z = 0 , } \\ { \* z = ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 2 } , u , p ) ^ { T } , \ \ A : = \left( \begin{array} { c c c c } { u } & { 0 } & { \rho _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { u } & { \rho _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { u } & { \rho ^ { - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \rho c _ { s } ^ { 2 } } & { u } \end{array} \right) , } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { ~ X ~ U ~ V ~ } } = 3 . 9 \times 1 0 ^ { - 8 } \, \frac { \alpha ^ { 1 7 / 2 } \, \beta ^ { 3 / 2 } } { f _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } \, \lambda ^ { 2 3 / 2 0 } \, \gamma ^ { 4 } }
n _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } = \frac { 2 5 \pi } { 1 0 2 4 } \frac { 1 } { ( 1 + ( m _ { b } / m _ { a } ) ^ { 3 / 5 } \sqrt { g _ { b b } / g _ { a a } } ) ^ { 5 } } \frac { 1 } { \mathrm { a } _ { \alpha \alpha } ^ { 3 } } \frac { \delta g ^ { 2 } } { g _ { a a } g _ { b b } } ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { 3 } ( 0 , \sigma \wedge T ; L ^ { 3 } ( \mathbb { T } ^ { 4 } ) ) } } & { \lesssim { \mathbb E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \sigma \wedge T ) } \| u _ { 1 } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { 4 } ) } + { \mathbb E } \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , \sigma \wedge T ; H ^ { 1 } ( \mathbb { T } ^ { 4 } ) ) } } \\ & { \lesssim 1 + { \mathbb E } \| u _ { 1 } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\hat { k } _ { n } ^ { ( 0 ) } = k _ { 0 } , \quad \hat { k } _ { n } ^ { ( - 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } k _ { a } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \kappa _ { m } x _ { n } } , \quad \hat { k } _ { n } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } k _ { a } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \kappa _ { m } x _ { n } } ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { V _ { \underline { { m } } , \underline { { p } } , \underline { { n } } , \underline { { q } } , \theta , \alpha } [ w ] ( r , K ^ { ( | \underline { { m } } | , | \underline { { n } } | ) } ) : = } } \\ & { } & { \left\langle \Omega , \left\langle F _ { 0 } [ w ] ( H _ { \mathrm { f } } + r ) \prod _ { l = 1 } ^ { L } \left\{ \underline { { W } } _ { p _ { l } , q _ { l } } ^ { m _ { l } , n _ { l } } [ w ] ( K ^ { ( m _ { l } , n _ { l } ) } ) F _ { l } [ w ] ( H _ { \mathrm { f } } + r + \widetilde { r } _ { l } ) \right\} \right\rangle _ { \mathrm { a t } , \theta , \alpha } \Omega \right\rangle , } \end{array}
m ^ { 2 } ( \hat { \Pi } ) + ( \gamma . \Pi ) ^ { 2 } = { \hat { \omega } } ^ { 2 } - \Sigma _ { g } - \Pi _ { l } ^ { 2 } \equiv \Delta - \Sigma _ { g } ; \quad \Pi ^ { 2 } = \hat { \Pi } ^ { 2 } - \Pi _ { l } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { { r } = \frac { i k _ { 0 } } { 2 E _ { 0 } A \epsilon _ { 0 } } ( \textbf { P } _ { x } + i k \textbf { T } _ { x } - \frac { 1 } { c } \textbf { m } _ { y } + \frac { i k _ { 0 } } { 6 } \textbf { Q } _ { x z } - \frac { i k _ { 0 } } { 2 c } \textbf { M } _ { y z } ) , } \\ & { { t } = 1 + \frac { i k _ { 0 } } { 2 E _ { 0 } A \epsilon _ { 0 } } ( \textbf { P } _ { x } + i k \textbf { T } _ { x } + \frac { 1 } { c } \textbf { m } _ { y } - \frac { i k _ { 0 } } { 6 } \textbf { Q } _ { x z } - \frac { i k _ { 0 } } { 2 c } \textbf { M } _ { y z } ) , } \end{array}
S _ { \mathrm { a n o m a l o u s } } = { \frac { 1 } { T _ { H } } } \int _ { \Sigma } e ^ { - \phi } \{ \varrho _ { L } - { \cal L } _ { E } \} d ^ { 3 } r = { \frac { k } { \hbar } } \int _ { \Omega } \{ \varrho _ { L } - { \cal L } _ { E } \} \sqrt { g _ { E } } d ^ { 4 } x .
[ v ^ { \mu } D _ { \mu } , { \cal J } ^ { \rho } ] ( x , { \bf v } ) = - m _ { D } ^ { 2 } v ^ { \rho } v _ { \mu } F ^ { \mu 0 } ( x ) + v ^ { \rho } C [ { \cal J } ^ { 0 } ] ( x , { \bf v } ) + \zeta ^ { \rho } ( x , { \bf v } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \nabla \widehat { t } _ { s } } & { = \mathcal { A } \, \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { \sigma } + \mathcal { B } \, \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { \theta } , } \\ { \nabla \widehat { t } _ { \sigma } } & { = - \mathcal { A } \, \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { s } + \mathcal { C } \, \widehat { t } _ { \theta } \otimes \widehat { t } _ { \theta } , } \\ { \nabla \widehat { t } _ { \theta } } & { = - \mathcal { B } \, \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { s } - \mathcal { C } \, \widehat { t } _ { \theta } \otimes \widehat { t } _ { \sigma } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } A _ { 0 } ( t ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { J } N _ { j } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \mu _ { j } ( s ) \, d T _ { j } ( s ) \right) , \quad } & & { t \ge 0 , } \\ { A _ { i } ( t ) } & { = \Psi _ { i } \left( N _ { 0 } \left( \eta \int _ { 0 } ^ { t } Q _ { 0 } ( s ) \, d s \right) \right) , \quad } & & { t \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } - r _ { 1 } ) ( z _ { 2 } - 4 . 2 i ) ( z _ { 3 } + 2 ) ( z _ { 4 } - 5 i ) ( z _ { 5 } - 3 . 5 ) } \\ { f _ { 2 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } - 3 . 9 ) ( z _ { 2 } - r _ { 2 } ) ( z _ { 3 } + 2 . 5 i ) ( z _ { 4 } - 3 . 2 i ) ( z _ { 5 } - 4 . 2 ) } \\ { f _ { 3 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } + 5 . 2 i ) ( z _ { 2 } - 4 ) ( z _ { 3 } - r _ { 3 } ) ( z _ { 4 } - 4 i ) ( z _ { 5 } - 7 . 1 ) } \\ { f _ { 4 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } - 3 ) ( z _ { 2 } - 7 i ) ( z _ { 3 } + 4 ) ( z _ { 4 } - r _ { 4 } ) ( z _ { 5 } - 5 i ) } \\ { f _ { 5 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } - 5 . 2 i ) ( z _ { 2 } - 4 ) ( z _ { 3 } + 4 . 7 5 i ) ( z _ { 4 } - 8 ) ( z _ { 5 } - r _ { 5 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta E _ { 1 - 2 } } & { = | \delta E _ { 2 } - \delta E _ { 1 } | = \frac { m _ { e } B } { M } \frac { 3 } { 4 a _ { 0 } } + \frac { \alpha B } { M _ { \gamma } } \frac { 2 } { a _ { 0 } ^ { 2 } } , } \\ & { = \frac { 3 m _ { e } \lambda m _ { p } } { 1 6 \pi M ^ { 2 } a _ { 0 } } - \frac { 3 f ( \lambda ) m _ { e } \alpha } { 1 6 \pi M M _ { \gamma } a _ { 0 } R } + \frac { \lambda m _ { p } \alpha } { 2 \pi M M _ { \gamma } a _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { f ( \lambda ) \alpha ^ { 2 } } { 2 \pi M _ { \gamma } ^ { 2 } a _ { 0 } ^ { 2 } R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { \textrm { M R C } } ( { { { \tilde { X } } } } ; { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } ) } & { \approx \log _ { 2 } \left( \frac { P \bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { K } | \tilde { h } _ { k } | \bigg ) ^ { 2 } } { K } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \bigg ( \bigg ( { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho ^ { * } } } } + \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } \bigg ) \bigg ( { \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } } + \frac { { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho ^ { * } } } } 2 \frac { \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ^ { * } ) } } { { { \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } { \rho ^ { * } } } } + 2 \frac { \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } } { ( 1 - \rho ^ { * } ) } } \bigg ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { x } = \{ x ^ { } , H \} = \delta ^ { i j } \frac { \partial H } { \partial v ^ { j } } = \Pi ^ { x ^ { i } x ^ { j } } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \Pi ^ { x ^ { i } v ^ { j } } \frac { \partial H } { \partial v ^ { j } } = v ^ { } } \end{array}
S ^ { ( 4 \ell ) } \left[ x ( \sqrt { s } ) , L ( \sqrt { s } ) \right] = 1 + x ( \sqrt { s } ) + 1 . 6 3 9 8 2 \; x ^ { 2 } ( \sqrt { s } ) - 1 0 . 2 8 3 9 \; x ^ { 3 } ( \sqrt { s } ) ,
\Sigma _ { A } ( x ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 8 \pi i x } \left[ \frac { x ^ { 2 } - 1 } { 2 x ^ { 2 } } \ln \left( \frac { 1 + i x } { 1 - i x } \right) + \frac { i } { x } \right] ,
Z = \int { \cal { D } } [ \phi ] \exp \left[ - g _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { R } d x \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d \phi } { d x } \right) ^ { 2 } + g _ { 2 } \vert \phi \vert ^ { \delta + 1 } \right] \right]
\begin{array} { r l } { \alpha } & { \leq \mathbb E [ f ] } \\ & { = \mathbb E [ f \boldsymbol 1 _ { \{ f \geq \alpha \delta \} } ] + \mathbb E [ f \boldsymbol 1 _ { \{ f < \alpha \delta \} } ] } \\ & { \leq \sqrt { \mathbb E [ f ^ { 2 } ] } \sqrt { m \{ f \geq \alpha \delta \} } + \alpha \delta } \\ & { \leq \sqrt \beta \sqrt { m \{ f \geq \alpha \delta \} } + \alpha \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \frac { 1 } { ( a _ { n } + b _ { n } ) ( a _ { n - 1 } + b _ { n - 1 } ) } } \int _ { - a _ { n } } ^ { b _ { n } } d x _ { n } \int _ { - a _ { n - 1 } } ^ { b _ { n - 1 } } d x _ { n - 1 } \ f ( { \bf x } ) = } \\ & { } & { { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 2 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 2 } } } } \exp \Big [ - { \frac { 1 } { 2 } } \, { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 2 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] \, { \frac { 1 } { ( 2 a _ { n } + 2 b _ { n } ) ( 2 a _ { n - 1 } + 2 b _ { n - 1 } ) } } } \\ & { } & { \times \left\{ \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { n } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { n } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } \right] \right) \right. } \\ & { } & { \times \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { n - 1 } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 2 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { n - 1 } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { n - 2 } } { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } \right] \right) } \\ & { } & { + \ \left. { \cal O } \left( e ^ { - { \frac { a _ { n } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } + e ^ { - { \frac { b _ { n } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \right) \times \left( e ^ { - { \frac { a _ { n - 1 } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { n - 2 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } + e ^ { - { \frac { b _ { n - 1 } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { n - 2 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \right) \right\} \, . } \end{array}