harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle \mathbb { D } _ { T } ^ { \gamma } \phi _ { z } ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi _ { z } ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) ) + q ^ { i } \phi _ { z } ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { z ( v - u ^ { \tau } ) } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi _ { z } ^ { i } ( a ^ { + } ; v - u ^ { \tau } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi _ { z } ^ { j } ( a ^ { + } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi _ { z } ^ { i } ( a ^ { + } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi _ { z } ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi _ { z } ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi _ { z } ^ { i } ( T ; v - u ^ { \tau } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
f _ { 3 } ( x ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { 1 } ( \bar { x } ) f _ { 2 } ( x - \bar { x } ) \, \mathrm { d } \bar { x } \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad x , \bar { x } \in \mathbb { R } .
\begin{array} { r l } { \psi ( { \bf r } , t ) } & { = \frac { - \mathrm { i } \psi _ { 0 } } { f + z } \sum _ { \ell } q _ { \ell } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( q _ { \ell } R ^ { 2 } / 2 ) / ( f + z ) } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { \ell } ( f + z ) - \mathrm { i } ( E _ { 0 } / \hbar + \ell \omega ) t } } \\ & { \quad \quad \quad \times \int _ { 0 } ^ { R _ { \mathrm { m a x } } } \! \! \! R ^ { \prime } d R ^ { \prime } \, J _ { 0 } \big [ q _ { \ell } R R ^ { \prime } / ( f + z ) \big ] \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( q _ { \ell } z R ^ { 2 } / 2 f ) / ( f + z ) } \, J _ { \ell } \big [ 2 | \beta ( R ^ { \prime } ) | \big ] \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \mathrm { a r g } \{ - \beta ( R ^ { \prime } ) \} } . } \end{array}
{ } ^ { ( 5 ) } g _ { A B } = \left( \begin{array} { c c c } { { - n ^ { 2 } } } & { { - a ^ { 2 } S _ { i } } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { - a ^ { 2 } S _ { j } } } & { { a ^ { 2 } \left[ \delta _ { i j } + F _ { i | j } + F _ { j | i } \right] } } & { { - a ^ { 2 } S _ { y i } \nonumber } } \\ { { 0 } } & { { - a ^ { 2 } S _ { y i } } } & { { 1 \nonumber } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { 1 - \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } & { \geq \operatorname* { P r } \bigg \{ \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \left( \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) - R _ { 1 } ^ { * } \right) \leq \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } + O \left( \eta _ { n } \right) , } \\ { * } & { \qquad \qquad \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \left( \jmath ( X _ { i } , D _ { 2 } | P _ { X } ) - ( R _ { 1 } ^ { * } + R _ { 2 } ^ { * } ) \right) \leq \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } + O ( \eta _ { n } ) \bigg \} } \\ { * } & { \qquad - \frac { 2 | \mathcal { X } | } { n ^ { 2 } } . } \end{array}
\ln \left( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } x ( 1 - x ) \right) \simeq \ln \left( \frac { - p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } x ( 1 - x ) \right) = \ln \left( \frac { - p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) + \ln \left( x ( 1 - x ) \right)
\begin{array} { r l } { O _ { 1 } ^ { ( x , y ) } } & { { } = \{ x \cdot y , x + y , x - y , - x \} } \\ { O _ { 2 } ^ { ( x , y ) } } & { { } = \{ x / y , \vert x \vert , \sqrt { x } , x ^ { 3 } , \operatorname* { m a x } ( 0 , x ) \} } \\ { O _ { 3 } ^ { ( x , y ) } } & { { } = \{ \exp ( x ) , \ln ( x ) , \sin ( x ) , \cos ( x ) , \tan ( x ) , \sinh ( x ) , \cosh ( x ) , \operatorname { t a n h } ( x ) \} } \\ { O _ { 4 } ^ { ( x , y ) } } & { { } = \{ x ^ { y } , \Gamma ( x ) , \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } ( x ) , \arcsin ( x ) , \operatorname { a r c c o s } ( x ) , \arctan ( x ) , \mathrm { ~ a ~ r ~ s ~ i ~ n ~ h ~ } ( x ) , \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } ( x ) , \mathrm { ~ a ~ r ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } ( x ) \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { U } ^ { \mathrm { s r } } ( \tilde { x } ; \sigma , \xi ) = 4 \xi \left( \left( \frac { \displaystyle \sigma } { \displaystyle \tilde { x } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \displaystyle \sigma } { \displaystyle \tilde { x } } \right) ^ { 6 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \mathcal { R } ( \theta , \phi ) \rangle } & { { } = \cos ^ { 2 } ( \theta / 2 ) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \rangle + e ^ { 2 \mathrm { i } \phi } \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \rangle - \frac { \mathrm { i } } { 2 } e ^ { \mathrm { i } \phi } \sin ( \theta ) \left( \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \rangle - \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \rangle \right) } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \mathcal { R } ( \theta , \phi ) \rangle } & { { } = \cos ^ { 2 } ( \theta / 2 ) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \rangle + \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \rangle - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \sin ( \theta ) \left( e ^ { - \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \rangle - e ^ { \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \rangle \right) } \\ { \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \mathcal { R } ( \theta , \phi ) \rangle } & { { } = \cos ^ { 2 } ( \theta / 2 ) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \rangle + \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \rangle + \frac { \mathrm { i } } { 2 } \sin ( \theta ) \left( e ^ { - \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \rangle - e ^ { \mathrm { i } \phi } \langle \hat { S } _ { \mathbf { a } } \rangle \right) ~ . } \end{array}
\oint _ { C } \frac { w ^ { - 1 } d w } { 2 \pi \sqrt { - 1 } } \frac { ( 1 - r \zeta ^ { 2 } ) ( w ^ { 2 } - q ^ { 6 } ) ( w - r q ^ { 4 } ) } { ( w - q ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } ) ( w - q ^ { 4 } \zeta ^ { 2 } ) ( w - q ^ { 4 } \zeta ^ { - 1 } ) } e ^ { R ( w ) + R ( q ^ { 6 } w ^ { - 1 } ) } | 0 \rangle ^ { ( 0 ) } = ( \zeta \leftrightarrow \zeta ^ { - 1 } ) | 0 \rangle ^ { ( 0 ) } .
\frac { \partial \tilde { \theta } } { \partial z _ { r } } = \frac { \partial ( \tilde { \theta } , \xi ) } { \partial ( z _ { r } , \xi ) } = \frac { 1 } { J } \frac { \partial ( \theta , \xi ) } { \partial ( \theta , S ) } = \frac { 1 } { J } \frac { \partial \xi } { \partial S } = \frac { 1 } { J } \left( \frac { \partial \psi } { \partial S } - \psi _ { r } ^ { \prime } ( z _ { r } ) \frac { \partial z _ { r } } { \partial S } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { K } _ { \alpha } = } & { { } ~ \tilde { \rho } _ { \alpha } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 , } \\ { \mathscr { G } _ { \alpha } = } & { { } ~ \tilde { \rho } _ { \alpha } b y . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { s _ { m } } \\ { c _ { m } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { x } & { y } \\ { - y } & { x } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { s _ { m - 1 } } \\ { c _ { m - 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { i ^ { n } } { n ! } [ \stackrel { n \, \mathrm { o f } \, \hat { K } } { \overbrace { \hat { K } , [ \hat { K } , . . . , \hat { K } , [ \hat { K } } , } \hat { H } ] ] ] } \\ { + } & { { } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } i \frac { i ^ { n } } { n ! } [ \stackrel { ( n - 1 ) \, \mathrm { o f } \, \hat { K } } { \overbrace { \hat { K } , [ \hat { K } , . . . , \hat { K } , [ \hat { K } } , } \partial _ { t } \hat { K } ] ] ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { s e c h } ^ { 2 } x } & { { } = 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } x } \\ { \operatorname { c s c h } ^ { 2 } x } & { { } = \coth ^ { 2 } x - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { t } ^ { F } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) } & { = } & { \frac { 1 } { \delta ( t ^ { S } , t ^ { E } ) } \left( \frac { P ^ { F } \left( t , t ^ { S } \right) } { P ^ { F } \left( t , t ^ { E } \right) } - 1 \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \delta ( t ^ { S } , t ^ { E } ) } \left( \beta _ { 0 } ^ { F } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) . \frac { P ^ { D } \left( t , t ^ { S } \right) } { P ^ { D } \left( t , t ^ { E } \right) } - 1 \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \delta ( t ^ { S } , t ^ { E } ) } \left( \beta _ { 0 } ^ { F } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) \left( \frac { P ^ { D } \left( t , t ^ { S } \right) } { P ^ { D } \left( t , t ^ { E } \right) } - 1 \right) + \left( \beta _ { 0 } ^ { F } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) - 1 \right) \right) } \\ & { = } & { \beta _ { 0 } ^ { F } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) \frac { 1 } { \delta ( t ^ { S } , t ^ { E } ) } . \left( \frac { P ^ { D } \left( t , t ^ { S } \right) } { P ^ { D } \left( t , t ^ { E } \right) } - 1 \right) + \frac { \beta _ { 0 } ^ { F } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) - 1 } { \delta ( t ^ { S } , t ^ { E } ) } } \\ & { = } & { \beta _ { 0 } ^ { F } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) F _ { t } ^ { D } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) + \frac { \beta _ { 0 } ^ { F } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) - 1 } { \delta ( t ^ { S } , t ^ { E } ) } } \\ & { = } & { m F _ { t } ^ { D } \left( t ^ { S } , t ^ { E } \right) + s , } \end{array}
\hat { f } _ { i } ^ { e q } = \left\{ \begin{array} { c c } { f _ { + , i } ^ { e q } , } & { \lambda _ { i } - \delta \lambda _ { i } \leq v \leq \lambda _ { i } + \delta \lambda _ { i } , } \\ { f _ { - , i } ^ { e q } , } & { - \lambda _ { i } - \delta \lambda _ { i } \leq v \leq - \lambda _ { i } + \delta \lambda _ { i } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right\}
0 = \int _ { \partial N } { \sqrt { - g } } \ \xi ^ { \mu } T _ { \mu } ^ { \nu } \ \mathrm { d } ^ { 3 } s _ { \nu } = \int _ { \partial N } \xi ^ { \mu } { \mathfrak { T } } _ { \mu } ^ { \nu } \ \mathrm { d } ^ { 3 } s _ { \nu }
\sigma = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { 2 p _ { t o t } ^ { 2 } } \int { { | \cal { M } | } ^ { 2 } ( p _ { a } , p _ { b } , \{ p _ { i } \} ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \left[ \frac { d ^ { 4 } p _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \delta ^ { + } \! \left( p _ { i } ^ { 2 } - m _ { i } ^ { 2 } \right) \right] } \delta \! \left( p _ { t o t } - \sum { p _ { i } } \right) , }
\vec { p } ^ { 2 } = \vec { k } ^ { 2 } = k _ { 0 } ^ { 2 } \ , \qquad \epsilon _ { i i } ^ { 1 } = \epsilon _ { i i } ^ { 2 } = 0 \ , \qquad k ^ { i } \epsilon _ { i j } ^ { 1 } = p ^ { i } \epsilon _ { i j } ^ { 2 } = 0 \ .
S = \sum _ { j = 1 } ^ { Q } ( n _ { j } + g _ { j } - 1 ) \big [ l n ( n _ { j } + g _ { j } - 1 ) - 1 \big ] - ( g _ { j } - 1 ) \big [ l n ( g _ { j } - 1 ) - 1 \big ] - n _ { j } \big [ l n ( n _ { j } ) - 1 \big ] ;
\begin{array} { r l } { \cfrac { d L } { d t } } & { = - ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) ) L - g ^ { \prime } ( s ) \dot { s } } \\ & { = - ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) L + g ^ { \prime } ( s ) \left( \dot { c } + k _ { 2 } c \right) } \\ & { = - \left( ( 1 + g ^ { \prime } ( s ) ) ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) \right) L + k _ { 2 } g ^ { \prime } ( s ) c } \\ & { = - \left( ( 1 + g ^ { \prime } ( s ) ) ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s ) \right) L + k _ { 2 } g ^ { \prime } ( s ) ( L + g ( s ) ) . } \end{array}
< \psi _ { R } ^ { ( j ) } \mid \sin ^ { 2 } x \mid \psi _ { L } ^ { ( j ) } > = \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } d x \ \psi _ { R } ^ { ( j ) } \sin ^ { 2 } x \ \psi _ { L } ^ { ( j ) }
\begin{array} { r l } { | G _ { i j } ^ { > } ( t , t ^ { \prime } ) | } & { { } \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \rho _ { n } \langle \Tilde { n } | c _ { i } c _ { i } ^ { \dagger } | \Tilde { n } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \rho _ { n } \langle \Tilde { n } ^ { \prime } | c _ { j } c _ { j } ^ { \dagger } | \Tilde { n } ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\Gamma _ { 1 } ^ { 0 } ( r , t ) = \frac { t H ( r - t ) } { r \left( r ^ { 2 } - t ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \, , \qquad \Gamma _ { 2 } ^ { 0 } ( r , t ) = \frac { H ( r - t ) } { \left( r ^ { 2 } - t ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { P _ { D } } & { = \exp \left( - \frac { 2 \pi V ^ { 2 } } { d } \right) } \\ & { = \exp \left[ - \frac { \pi \left( t - t \right) ^ { 2 } } { \sqrt { t t ^ { \prime } } E a } \right] = \exp \left[ - \frac { \pi r \left( \kappa - \kappa ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { 2 m g \alpha \sqrt { \kappa \kappa ^ { \prime } } } \right] , } \end{array}
S _ { m m ^ { \prime } , n n ^ { \prime } } ^ { R } = \frac { 1 } { u } ( - 1 ) ^ { G ^ { \prime } + m + n + u ( u - n - 1 ) } e ^ { - i \pi ( u + 1 ) m ( u - n - 1 ) / u } e ^ { - i \pi ( u - 1 ) ( m - 2 m ^ { \prime } + u ) ( n - 2 n ^ { \prime } + u ) / u } ;
\begin{array} { l l l } { { \displaystyle \vphantom { \Bigg | } \nu _ { 1 } ^ { e } } } & { { = } } & { { \displaystyle i \cos \theta _ { e } \nu _ { \scriptscriptstyle L } ^ { e } - i \sin \theta _ { e } \overline { { { \nu _ { \scriptscriptstyle R } ^ { e } } } } } } \\ { { \displaystyle \vphantom { \Bigg | } \nu _ { 2 } ^ { e } } } & { { = } } & { { \displaystyle \sin \theta _ { e } \nu _ { \scriptscriptstyle L } ^ { e } + \cos \theta _ { e } \overline { { { \nu _ { \scriptscriptstyle R } ^ { e } } } } } } \end{array}
{ \widehat T _ { G } } ^ { \mu \nu } ( q ) = e ^ { 2 } \, \left( \eta ^ { \mu \nu } q ^ { 2 } - q ^ { \mu } q ^ { \nu } \right) \left( - \, { \frac { \hat { h } _ { G } ( q ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } + i \epsilon } } \right) .
A ( p , k ) ~ = ~ N ^ { - 1 } ~ \int { \cal D } A ~ { \cal D } \phi { } ~ { \cal D } \bar { \phi } ~ { \cal D } \psi { } ~ { \cal D } \bar { \psi } ~ e ^ { - S } ~ A _ { \mu } ^ { a } ( p ) A _ { \nu } ^ { b } ( k ) A _ { \mu } ^ { a } ( - p ) A _ { \nu } ^ { b } ( - k )
\omega _ { i j } = \left\{ \begin{array} { c l } { \frac { r _ { e } } { \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert } - 1 } & { \: \: \: \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert \leq r _ { e } } \\ { 0 } & { \: \: \: \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert > 0 } \end{array} \right. \, ,
g _ { i j } ( { q } ) \equiv { \bf g } _ { i } ( { q } ) \cdot { \bf g } _ { j } ( { q } ) ; \; \; J ( { q } ) \equiv ( { \bf g } _ { 1 } ( { q } ) \times { \bf g } _ { 2 } ( { q } ) ) \cdot { \bf g } _ { 3 } ( { q } )
\begin{array} { r l } { \varphi ( \gamma _ { t _ { k } } ^ { 2 } ( M ) ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { t _ { k } } ^ { 1 } ( M ) ) } & { = ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { t _ { k } } ^ { 2 } ( M ) ) ) ^ { - 1 } ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { t _ { k } } ^ { 1 } ( M ) ) ) } \\ & { = ( \delta _ { t _ { k } } ( v ) \Delta _ { M , x _ { 0 } } ^ { 2 } ( t _ { k } ) ) ^ { - 1 } ( \delta _ { t _ { k } } ( v ) \Delta _ { M , x _ { 0 } } ^ { 1 } ( t _ { k } ) ) = \Delta _ { M , x _ { 0 } } ^ { 2 } ( t _ { k } ) ^ { - 1 } \Delta _ { M , x _ { 0 } } ^ { 1 } ( t _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ^ { \dag } ( \varphi ) a ( \varphi ^ { \prime } ) + a ( \varphi ^ { \prime } ) a ^ { \dag } ( \varphi ) } & { { } = \langle \varphi , \varphi ^ { \prime } \rangle _ { \mathfrak { h } } I _ { \mathfrak { F } _ { a } } , } \\ { a ^ { \dag } ( \varphi ) a ^ { \dag } ( \varphi ^ { \prime } ) + a ^ { \dag } ( \varphi ^ { \prime } ) a ^ { \dag } ( \varphi ) } & { { } = 0 , } \\ { a ( \varphi ) a ( \varphi ^ { \prime } ) + a ( \varphi ^ { \prime } ) a ( \varphi ) } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { J C } = \omega _ { c } a ^ { \dagger } a + \Omega ( \boldsymbol { R } ) \sigma ^ { \dagger } \sigma + g _ { c } ( \boldsymbol { R } ) ( a ^ { \dagger } \sigma + a \sigma ^ { \dagger } ) , } \end{array}
\mathcal { N } \left( \xi ; W _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } \right) = \frac { w _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } } { \sqrt { 2 \pi \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } } } \exp \left( - \frac { ( \xi - v _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } ) ^ { 2 } } { 2 \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad W _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } = \left( w _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } , v _ { m , \alpha } ^ { [ \phi ] } , \vartheta _ { m } ^ { [ \phi ] } \right) \in \mathbb { R } ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { P } & { = \int _ { x = - \infty } ^ { x = \infty } D ^ { + } ( x ) \left( \int _ { y = x } ^ { y = \infty } D ^ { - } ( x ) d y \right) d x } \\ { \frac { \partial P } { \partial m _ { \nu } } } & { = \int _ { x = - \infty } ^ { x = \infty } D ^ { + } ( x ) \left( \int _ { y = x } ^ { y = \infty } \frac { \partial D ^ { - } ( x ) } { \partial m _ { \nu } } d y \right) d x } \\ & { \geq 0 } \\ { \frac { \partial P } { \partial \Sigma _ { \nu } } } & { = \int _ { x = - \infty } ^ { x = \infty } D ^ { + } ( x ) \left( \int _ { y = x } ^ { y = \infty } \frac { \partial D ^ { - } ( y ) } { \partial \Sigma _ { \nu } } d y \right) d x } \\ & { \leq 0 } \\ { \frac { \partial P } { \partial \Sigma _ { \mu } } } & { = \int _ { x = - \infty } ^ { x = \infty } \frac { \partial D ^ { + } ( x ) } { \partial \Sigma _ { \nu } } \left( \int _ { y = x } ^ { y = \infty } D ^ { - } ( y ) d y \right) d x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \left( \widehat { \bar { q } _ { B _ { k } } } \right) } & { { } = } & { \frac { N } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \mathbb { E } \left( { B _ { k } } _ { i } \right) = \mathbb { E } ( q _ { B _ { k } } ) , } \\ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( \widehat { \bar { q } _ { B _ { k } } } \right) } & { { } = } & { \frac { N ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( { B _ { k } } _ { i } \right) = \frac { N } { m } V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { a } ( q _ { a } , p _ { a } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( p _ { a } ^ { 2 } + Y _ { a } \left( q _ { a } p _ { a } + p _ { a } q _ { a } \right) + X _ { a } q _ { a } ^ { 2 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } p ( \widehat { L } ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d M ( \widehat { L } ) } \left( \frac { d p ( \widehat { L } ) } { d S ( \widehat { L } ) } \right) \ . } \end{array}
i { \vec { a } } \cdot { \vec { P } } = \left( { \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { a _ { 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { a _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { a _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) , \qquad
\begin{array} { r l r l } { { 1 9 } } & { { } e _ { a } } & { ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } ) = { } } & { { } a ^ { q } ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } ) { } - { } a ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } ) , } \end{array}
\tilde { \theta } _ { i } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { i } ( t ) + \pi } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \theta _ { i } ( t ) < 0 , } \\ { \theta _ { i } ( t ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \theta _ { i } ( t ) \geq 0 . } \end{array} \right.
{ } _ { 3 } \langle \tilde { I } | V _ { 3 } \rangle _ { 1 2 3 } = { } _ { 3 } \langle 0 | c _ { - 1 } ^ { 3 } c _ { 0 } ^ { 3 } \exp \left[ c ^ { 1 } C b ^ { 2 } + c ^ { 2 } C b ^ { 1 } + ( c ^ { 1 } - c ^ { 2 } ) \Omega ( b _ { 0 } ^ { 1 } - b _ { 0 } ^ { 2 } ) + ( c ^ { 1 } - c ^ { 2 } ) \Gamma b _ { 0 } ^ { 3 } \right] ( c _ { 0 } c _ { 1 } | 0 \rangle ) _ { 1 2 3 } \nonumber
\begin{array} { r l } { \textbf { M } ^ { \mathrm { ~ e ~ + ~ } } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \bigg [ 2 G ( \bar { \xi } ) \langle \mathrm { ~ E ~ } _ { \mathrm { ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \rangle _ { + } + \left( K ( \bar { \xi } ) - \frac { 2 } { 3 } G ( \bar { \xi } ) \right) \bigg ( \langle \mathrm { ~ E ~ } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } + \mathrm { ~ E ~ } _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } + \mathrm { ~ E ~ } _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \rangle _ { + } \bigg ) \bigg ] { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \otimes { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } } \\ { \textbf { M } ^ { \mathrm { ~ e ~ - ~ } } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \Big [ 2 G ( \bar { \xi } ) \langle \mathrm { ~ E ~ } _ { \mathrm { ~ i ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \rangle _ { - } + \Big ( K ( \bar { \xi } ) - \frac { 2 } { 3 } G ( \bar { \xi } ) \Big ) \Big ( \langle \mathrm { ~ E ~ } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } + \mathrm { ~ E ~ } _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } + \mathrm { ~ E ~ } _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \rangle _ { - } \Big ) \Big ] { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \otimes { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } } \end{array}
\Lambda _ { 2 , r } = \epsilon \left( \frac { 5 } { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } \Lambda _ { 1 , r } \ , \quad \mathrm { w i t h } \quad \epsilon = \frac { \beta _ { 2 } \mu _ { 2 } ^ { 2 / 3 } } { \beta _ { 1 } \mu _ { 1 } ^ { 2 / 3 } } \approx \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } \ .
\begin{array} { r } { H _ { W } = \int _ { M } N \omega ( { \mathbf { k } } ) \, d ^ { 3 } x \, , \quad \mathrm { w i t h } \quad \frac { \delta H _ { W } } { \delta N } \Big | _ { { \mathbf { k } } } = \, \omega ( { \mathbf { k } } ) \, , \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \delta H _ { W } } { \delta { \mathbf { k } } } \Big | _ { N } = N \frac { \partial \omega ( { \mathbf { k } } ) } { \partial { \mathbf { k } } } = : \, N { \mathbf { v } } _ { G } ( { \mathbf { k } } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { c a v } } & { = \hbar ( \Delta _ { a } - i \kappa _ { 1 } ) \delta a _ { 1 } ^ { \dagger } \delta a _ { 1 } + \hbar ( \Delta _ { a } + i \kappa _ { 1 } ) \delta a _ { 2 } ^ { \dagger } \delta a _ { 2 } } \\ & { + \hbar J ( \delta a _ { 1 } ^ { \dagger } \delta a _ { 2 } + \delta a _ { 2 } ^ { \dagger } \delta a _ { 1 } ) . } \end{array}
k ^ { 2 } = \frac { \hat { B } _ { \mathrm { m a x } } - \lambda \hat { B } _ { \mathrm { m i n } } \hat { B } _ { \mathrm { m a x } } } { \hat { B } _ { \mathrm { m a x } } - \hat { B } _ { \mathrm { m i n } } } ,
\begin{array} { r l r } { \Psi ( \tau ) } & { { } = } & { ( 1 - 2 \epsilon ) \, \overline { { \psi } } _ { 0 } \; + \; \frac { c } { q \Omega _ { 0 } } \left( { \cal E } \; - \frac { } { } q \, \Phi _ { 0 } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( A - \lambda I ) } & { = \left| { \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } \end{array} \right] } - \lambda { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \right| = { \left| \begin{array} { l l } { 2 - \lambda } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 - \lambda } \end{array} \right| } } \\ & { = 3 - 4 \lambda + \lambda ^ { 2 } } \\ & { = ( \lambda - 3 ) ( \lambda - 1 ) . } \end{array} }
{ } \lambda _ { A } ( { \bf n } ) = \frac { 1 } { \sqrt { h } } T _ { A } ^ { \mu } ( { \bf n } ) P _ { \mu } , \ T _ { A } ^ { \mu } ( { \bf n } ) = \left( W _ { \mu } ^ { A } ( { \bf n } ) \right) ^ { - 1 } ,
S _ { 0 } = \int d ^ { 2 } x \Big [ - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } \overline { { \psi } } { \slash \! \! \! \! D } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \psi \Big ]
\left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } - \frac { n _ { e } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \right) E _ { y } = f ( x , z , t )