harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \tilde { m } } _ { \bar { H } } ^ { 2 } \simeq { \frac { \alpha _ { 1 } } { 8 \pi } } \left\{ \mu _ { L Q } ^ { 2 } \ln \left( 1 + { \frac { { \tilde { m } } _ { P } ^ { 2 } } { \mu _ { L Q } ^ { 2 } } } \right) - \mu ^ { 2 } \ln \left( 1 + { \frac { { \tilde { m } } _ { P } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right) + { \tilde { m } } _ { P } ^ { 2 } \ln \left( { \frac { \mu _ { L Q } ^ { 2 } + { \tilde { m } } _ { P } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } + { \tilde { m } } _ { P } ^ { 2 } } } \right) \right\} ,
\left( \begin{array} { l l l l } { - \partial _ { y } } & { \partial _ { x } } & { 0 } & { 0 } \\ { \partial _ { x } } & { \partial _ { y } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - q } & { \partial _ { x } } & { - \frac { b _ { x } } { \eta } } \\ { q } & { 0 } & { \partial _ { y } } & { - \frac { b _ { y } } { \eta } } \\ { \partial _ { x } } & { \partial _ { y } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { b _ { x } } { \eta } } & { \frac { b _ { y } } { \eta } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { \partial _ { y } } & { - \partial _ { x } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \partial _ { x } } & { - \partial _ { y } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\mathcal { S } = 1 - \frac { \sum _ { N } ( \mathcal { O } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } - \mathcal { O } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ) ^ { 2 } } { \sum _ { N } \mathcal { O } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { c } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { = \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \left( 6 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } \right) , } \\ { \Bar { T } _ { c } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { = \pm \frac { 1 } { 3 n ^ { 4 } } \left[ 1 6 \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } + \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left. + \left( 8 n ^ { 2 } - 9 6 q _ { m } ^ { 2 } \right) \sqrt { 3 q _ { m } ^ { 2 } + \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } } \; \right] , } \\ { r _ { 0 ( c ) } ^ { ( 3 , 4 ) } } & { = \mp \sqrt { 3 q _ { m } ^ { 2 } + \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } } . } \end{array}
\mathrm { a s i n h } \Bigg [ \mathrm { t a n } \bigg ( { \frac { \Delta ( t _ { 0 } ) } { 2 } } \bigg ) \Bigg ] = \mathrm { a s i n h } \Bigg [ \mathrm { t a n } \bigg ( { \frac { \Delta ( t ) } { 2 } } \bigg ) \Bigg ] + { \frac { 2 \, \Gamma R } { v _ { 0 } } } \, \mathrm { s i n } { \frac { c } { 2 } }
\Lambda _ { X } ( t ) = \frac { \lambda _ { \overline { { X } } } } { s _ { \overline { { X } } } ( t ) } \langle \eta _ { t } ^ { \overline { { X } } } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \beta _ { G } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } .
\left( \begin{array} { c } { \widehat { \sf 1 } ^ { \prime } } \\ { \widehat { \sf 2 } ^ { \prime } } \end{array} \right) \; = \; \left( \begin{array} { c c } { \cos \psi } & { \sin \psi } \\ { - \sin \psi } & { \cos \psi } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c } { \widehat { \sf 1 } } \\ { \widehat { \sf 2 } } \end{array} \right) .
\frac { D - 2 } { 2 } \mathrm { T r } \, \ln ( - \partial _ { \alpha } \alpha ^ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } ) \, = \, \frac { D - 2 } { 2 } T \, \sum _ { n } ^ { } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d q _ { 0 } } { 2 \pi } \ln \left( \alpha ^ { 0 0 } q _ { 0 } ^ { 2 } \, + \, \alpha ^ { 1 1 } { \omega _ { n } ^ { 2 } } \right) \, = \, { T } \sqrt { \frac { \alpha ^ { 1 1 } } { \alpha ^ { 0 0 } } } \, E _ { \mathrm { C } } { . }
\boldsymbol v _ { \tau , h } ( t _ { n , l } ^ { \mathrm { G R } } ) - \partial _ { t } \boldsymbol u _ { \tau , h } ( t _ { n , l } ^ { \mathrm { G R } } ) = c _ { n , l } \, \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \quad \mathrm { w i t h } \; \; c _ { n , l } = 2 \tau _ { n } ^ { - 1 } \, \left( \hat { \omega } _ { l } ^ { \mathrm { G R } } \right) ^ { - 1 } \, \xi _ { n , l } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \underset { \bar { \Omega } } { \operatorname* { s u p } } \bigg | \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg | ^ { p } } & { \leq \frac { \varepsilon ^ { 2 } p ^ { 2 } } { 4 } \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg ) ^ { p - 2 } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } ( x , t ) \bigg ) ^ { 2 } d x + \varepsilon ^ { 2 } \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg ) ^ { p } d x } \\ & { + \frac { C } { \varepsilon } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg ) ^ { p / 2 } d x \bigg ) ^ { 2 } } \end{array}
\boldsymbol { C } _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 Z _ { i } ^ { 2 . 4 } , i = j } \\ { \frac { Z _ { i } Z _ { j } } { \lvert \boldsymbol { R _ { i } } - \boldsymbol { R _ { j } } \rvert } , i \neq j } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \rho _ { A B } } & { = | \Psi \rangle \langle \Psi | = \frac { 1 } { 2 } ( | 0 0 \rangle \langle 0 0 | + | 0 0 \rangle \langle 1 1 | + | 1 1 \rangle \langle 0 0 | + | 1 1 \rangle \langle 1 1 | ) } \\ { \operatorname { t r } _ { B } \left( \rho _ { A B } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | ) = \frac { \mathbb { 1 } _ { A } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( \Psi ) = f ( \Psi ) + a _ { - } ^ { 3 } z _ { + } c _ { 0 } \left( \exp ( z _ { - } \Psi ) - f ( \Psi ) \right) } \\ { + f ( \Psi ) a _ { + } ^ { 3 } z _ { - } c _ { 0 } \left( \exp ( - z _ { + } \Psi ) - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \perp } n _ { \perp } } ^ { R } } & { { } = \chi \left( \frac { i \omega \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } - 1 \right) , } \\ { G _ { n _ { \perp } j _ { \| } } ^ { R } } & { { } = \omega k \frac { \sigma ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ) - ( 1 + \tau ) \chi v _ { \perp } ^ { 2 } } { { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } } , } \\ { G _ { j _ { \| } j _ { \| } } ^ { R } } & { { } = - i \omega \frac { ( i \omega - \Gamma ) \left( \sigma ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ) - ( 1 + \tau ) ^ { 2 } \chi v _ { \perp } ^ { 2 } \right) + \tau ^ { 2 } \sigma v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { j } _ { Q } } & { = - \alpha \nabla ( \rho c _ { P } T ) } & { \mathrm { F o u r i e r ' s ~ l a w ~ ( e n e r g y ) } } \\ { \boldsymbol { \tau } } & { = - \nu ( \nabla ( \rho \boldsymbol { u } ) + [ \nabla ( \rho \boldsymbol { u } ) ] ^ { \top } ) } & { \mathrm { N e w t o n ' s ~ l a w ~ ( m o m e n t u m ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { { } = \frac { 1 } { 2 k _ { \lambda } } \sum _ { k _ { i } = 1 } ^ { 2 k _ { \lambda } } \cos \left\{ x \left[ k _ { \lambda } \cos \left( \frac { \pi k _ { i } } { 2 k _ { \lambda } } \right) \right] + y \left[ k _ { \lambda } \sin \left( \frac { \pi k _ { i } } { 2 k _ { \lambda } } \right) \right] + \phi _ { k _ { i } } \right\} } \\ { \mu } & { { } = \frac { 1 } { 2 k _ { \mu } } \sum _ { k _ { i } = 1 } ^ { 2 k _ { \mu } } \cos \left\{ x \left[ k _ { \mu } \cos \left( \frac { \pi k _ { i } } { 2 k _ { \mu } } \right) \right] + y \left[ k _ { \mu } \sin \left( \frac { \pi k _ { i } } { 2 k _ { \mu } } \right) \right] + \varphi _ { k _ { i } } \right\} } \end{array}
( g _ { a } ^ { 2 } - ( \Delta _ { 1 } + \omega ) ( \Delta _ { 2 } + \omega ) - \frac { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } { 4 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ( \gamma _ { 2 } ( \Delta _ { 1 } + \omega ) - \gamma _ { 1 } ( \Delta _ { 2 } + \omega ) ) ^ { 2 } = 0 ,
\nabla \phi _ { m } \cdot \vec { n } = \frac { \phi _ { c _ { j } } - \phi _ { c _ { i } } } { | \vec { c } _ { j } - \vec { c } _ { i } | } \sec \theta _ { i j } + \frac { \phi _ { v _ { 2 } } - \phi _ { v _ { 1 } } } { | \vec { v } _ { 2 } - \vec { v } _ { 1 } | } \tan \theta _ { i j } .
( u , v ) = \left( { \frac { \partial \psi } { \partial y } } , - { \frac { \partial \psi } { \partial x } } \right) = \left( A { \frac { y ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } , - A { \frac { 2 x y } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \right) \, .
P x ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 + \mathrm { s g n } ( \phi - \theta ) \theta x ) ^ { 2 } } { ( 1 + \mathrm { s g n } ( \phi - \theta ) \phi x ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } ~ \vert \theta \vert \le 1 } \\ & { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( \theta + \mathrm { s g n } ( \phi - 1 / \theta ) x ) ^ { 2 } } { ( 1 + \mathrm { s g n } ( \phi - 1 / \theta ) \phi x ) ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } ~ \vert \theta \vert > 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { E } _ { B , C } \Big [ ( p ( a | b , c ) - p ( a ) ) ^ { n } \Big ] \stackrel { B } { \rightarrow } { E } _ { C } \Big [ \Big ( p ( a | b ^ { \prime } , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) \Big ) ^ { n } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle f \rangle } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } f \ d y \ d t , } \\ { \langle f \rangle _ { \gamma ^ { - } } } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \gamma ^ { - } } f \ d S \ d t , } \\ { \langle f \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } f \ d S \ d t . } \end{array}
\frac { 1 } { | { \bf x } - { \bf x ^ { \prime } } | } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } \frac { R _ { < } ^ { \ell } } { R _ { > } ^ { \ell + 1 } } \ \bar { Y } _ { m } ^ { ( \ell ) } ( \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) \ Y _ { m } ^ { ( \ell ) } ( \theta , \phi ) \ .
\mathrm { ~ N ~ M ~ S ~ E ~ } ( \vec { u } , \, \vec { v } ) \, = \, \frac { | | \vec { u } \, - \, \vec { v } | | _ { 2 } ^ { 2 } } { | | \vec { u } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \, = \, \frac { \sum _ { i } ^ { n } ( \vec { u } _ { i } - { \vec { v } } _ { i } ) ^ { 2 } } { \sum _ { i } ^ { n } \vec { u } _ { i } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial A ( z ) } { \partial z } } & { = k _ { \mathrm { B } } T \frac { \partial } { \partial z } \ln \rho ( z ) = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { \rho ( z ) } \frac { \partial } { \partial z } \rho ( z ) } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { \rho ( z ) } \frac { \partial } { \partial z } \frac { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U } \ \delta [ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z ] } { Z } } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Z \ \rho ( z ) } \frac { \partial } { \partial z } \int \ensuremath { \mathrm { d } } q _ { 1 } \ \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \ | \mathbf { J } | \ e ^ { - \beta U } \ \delta [ q _ { 1 } - z ] } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Z \ \rho ( z ) } \frac { \partial } { \partial q _ { 1 } } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \ | \mathbf { J } | \ e ^ { - \beta U } \ } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Z \ \rho ( z ) } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \ | \mathbf { J } | \ e ^ { - \beta U } \ \left[ - \beta \frac { \partial U } { \partial q _ { 1 } } + \frac { 1 } { | \mathbf { J } | } \frac { \partial | \mathbf { J } | } { \partial q _ { 1 } } \right] } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Z \ \rho ( z ) } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } \ | \mathbf { J } | \ e ^ { - \beta U } \ \left[ - \beta \frac { \partial U } { \partial q _ { 1 } } + \frac { 1 } { | \mathbf { J } | } \frac { \partial | \mathbf { J } | } { \partial q _ { 1 } } \right] \ \delta [ q _ { 1 } - z ] } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Z \ \rho ( z ) } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U } \ \left[ - \beta \frac { \partial U } { \partial q _ { 1 } } + \frac { 1 } { | \mathbf { J } | } \frac { \partial | \mathbf { J } | } { \partial q _ { 1 } } \right] \ \delta [ q _ { 1 } - z ] } \\ & { = \left< - \frac { \partial U } { \partial q _ { 1 } } + k _ { \mathrm { B } } T \frac { 1 } { | \mathbf { J } | } \frac { \partial | \mathbf { J } | } { \partial q _ { 1 } } \right> } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Sigma } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \xi } ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big [ \frac { 1 } { \Delta z _ { i } } \int _ { z _ { i } } ^ { z _ { i + 1 } } \sigma _ { \rho } ^ { 2 } \ d z \Big ] ( \Delta z _ { i } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { O } \left( \textbf { r } , t \right) \equiv \langle \sum _ { a } \mathrm { T r } \! \left( \widehat { \mathcal { O } } _ { a } ( t ) \widehat { \rho } \right) \delta \left( \textbf { r } - \textbf { r } _ { a } \right) \rangle _ { \mathrm { p o s i t i o n s } } = \sum _ { p , q } \mathcal { O } _ { q p } \langle P _ { p q } \! \left( \textbf { r } , t \right) \rangle _ { \mathrm { t r a j e c t o r i e s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E [ v , \mathbf { A } ] = \operatorname* { i n f } _ { \psi } \big \{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle - \langle \mathbf { a } [ \psi ; \mathbf { j } ] \cdot \mathbf { A } , \rho _ { \psi } \rangle } & { } \\ { + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } \rangle + \langle v + \frac 1 2 \vert \mathbf { A } \vert ^ { 2 } , \rho _ { \psi } \rangle \big \} } & { . } \end{array}
\sigma ( \eta ) \; r _ { H } ( \eta ) \sim \frac { M _ { * } } { \alpha T ( \eta ) } \sim \left\{ \begin{array} { l } { { 1 0 ^ { 5 } \; ~ \mathrm { f o r } ~ T ( \eta ) = T _ { R } \sim 1 0 ^ { 1 5 } \mathrm { G e v } } } \\ { { 1 0 ^ { 1 8 } \; ~ \mathrm { f o r \, t h e \, E W \, p h a s e \, t r a n s i t i o n } } } \\ { { 1 0 ^ { 2 1 } \; ~ \mathrm { f o r \, t h e \, Q C D \, p h a s e \, t r a n s i t i o n } } } \end{array} \right.
n _ { p 3 } = - \frac { a _ { 0 p } } { \sigma _ { p } } \phi _ { 3 } + \frac { a _ { 1 p } } { \sigma _ { p } ^ { 2 } } ( 2 \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } ) - \frac { a _ { 2 p } } { \sigma _ { p } ^ { 3 } } \phi _ { 1 } ^ { 3 } ,
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } P _ { 1 } } & { = } & { - v _ { 0 } \hat { n } ( \theta ) \cdot \vec { \nabla } P _ { 1 } } \\ & { } & { - ( N - 1 ) \, \Gamma \, \partial _ { \theta } \int d \theta _ { 2 } \int d \vec { r } _ { 2 } \, a ( | \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, P _ { 2 } ( \vec { r } , \theta , \vec { r } _ { 2 } , \theta _ { 2 } , t ) } \end{array}
\frac { \partial f ^ { ( 0 ) } } { \partial n } D _ { t } ^ { ( 0 ) } \rho + \frac { \partial f ^ { ( 0 ) } } { \partial u _ { \alpha } } D _ { t } ^ { ( 0 ) } u _ { \alpha } + \frac { \partial f ^ { ( 0 ) } } { \partial T } D _ { t } ^ { ( 0 ) } T + ( v _ { \alpha } - u _ { \alpha } ) \partial _ { \alpha } f ^ { ( 0 ) } = L f ^ { ( 1 ) } .
\begin{array} { l l l } { \alpha : { 1 } + G + G \times G } & { \to } & { G , } \\ { 1 } & { \mapsto } & { 1 , } \\ { x } & { \mapsto } & { x ^ { - 1 } , } \\ { ( x , y ) } & { \mapsto } & { x \cdot y . } \end{array}
T _ { V } ^ { \mu \nu } = - i \int \frac { d ^ { d } p } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } } \; \frac { \left[ p ^ { \mu } p ^ { \nu } - \frac 1 2 \eta ^ { \mu \nu } p ^ { 2 } \right] } { p ^ { 2 } + M ^ { 2 } - i \varepsilon }
\begin{array} { r } { \mathcal { W } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { B Z } \frac { h _ { x } \partial _ { k } h _ { y } - h _ { y } \partial _ { k } h _ { x } } { h _ { x } ^ { 2 } + h _ { y } ^ { 2 } } \mathrm { d } k . } \end{array}
\mathbf { F } _ { A B } ^ { D 2 } = \left( \frac { d _ { A } + d _ { B } } { d _ { A } } \right) \frac { \eta } { \sigma _ { A } \sigma _ { B } r _ { A B } } \frac { \partial { W } } { \partial { r _ { A B } } } \left( \frac { 2 D - 1 } { D } \mathbf { v } _ { A B } + \frac { D + 2 } { D } \mathbf { e } _ { A B } \cdot \mathbf { v } _ { A B } \mathbf { e } _ { A B } \right) .
f ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { 1 } { \tau } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - ( t - t ^ { \prime } ) / \tau } g ^ { * } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \mathrm { { d } } t ^ { \prime } + e ^ { - t / \tau } f _ { 0 } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { u } t ) ,
\begin{array} { r l } & { \theta _ { \psi , k n ^ { 2 } } ^ { \Phi _ { 1 } } ( l _ { T } ^ { 0 } ( y ) i _ { T } ^ { 0 } ( 1 , v \tilde { h } ) ) } \\ { \times } & { \int _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k } , 2 k n } ( \mathbb { A } ) } \overline { { \theta _ { \psi , k n ^ { 2 } } ^ { \Phi _ { 2 } } ( l _ { T } ^ { 0 } ( u ) i _ { T } ^ { 0 } ( 1 , v \tilde { h } ) ) } } E ( u \tilde { v } ( 1 _ { 2 n } \times h ) ; f _ { 2 n , k , s } ^ { \prime \prime } ) \psi _ { U _ { 0 } } ( u ) d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { \mathcal { E } _ { x } } \\ { \mathcal { E } _ { y } } \end{array} \right) } & { { } = E _ { 0 } \Psi ( { \bf r } ) \mathrm { e } ^ { i \beta } \left( \begin{array} { c } { \cos \alpha \ \ \ \ } \\ { \sin \alpha \ \mathrm { e } ^ { i \delta } } \end{array} \right) , } \end{array}
V ^ { k } = L ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } ] + A { \mathbb { E } } [ \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { C } ^ { 2 } ] + B { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } ] + D { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { \displaystyle \left\lvert \frac { \alpha ( z ) } { \beta ( z ) } - \frac { \alpha ( w ) } { \beta ( w ) } \right\rvert } & { \leq \frac { \displaystyle \left\lvert \beta ( w ) \right\rvert \displaystyle \left\lvert \alpha ( z ) - \alpha ( w ) \right\rvert + \displaystyle \left\lvert \alpha ( w ) \right\rvert \displaystyle \left\lvert \beta ( z ) - \beta ( w ) \right\rvert } { \displaystyle \left\lvert \beta ( z ) \beta ( w ) \right\rvert } } \\ & { \leq \frac { R M ( 1 + \ell ( C ) ^ { \varepsilon } ) } { K ^ { 2 } } \displaystyle \left\lvert z - w \right\rvert ^ { \lambda } } \end{array}
D ^ { ( 3 ) } \equiv \left| \begin{array} { c } { { { \; 1 \; \; \; \; c _ { 1 2 } \; \; \; c _ { 1 3 } \; } } } \\ { { { c _ { 1 2 } \; \; \; \; 1 \; \; \; \; c _ { 2 3 } \; } } } \\ { { { c _ { 1 3 } \; \; \; c _ { 2 3 } \; \; \; \; 1 \; \; } } } \end{array} \right| = 1 - c _ { 1 2 } ^ { 2 } - c _ { 1 3 } ^ { 2 } - c _ { 2 3 } ^ { 2 } + 2 c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } c _ { 2 3 } .
\begin{array} { r l } & { Q _ { H } ^ { \pi } ( s , a ) = r _ { H } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { H } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { H + 1 } ^ { \pi } ( s ^ { \prime } ) ) \overset { ( 1 ) } { = } r _ { H } ( s , a ) \in [ 0 , 1 ] , } \\ & { V _ { H } ^ { \pi } ( s ) = \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } r _ { H } ( s , a ) \in [ 0 , 1 ] , } \end{array}
\cosh ( \gamma ) = 1 + 3 i \beta + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 3 \beta ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 3 i \beta ^ { 3 } } { 1 0 } + \mathcal O ( \beta ^ { 4 } ) + \mathcal O ( \alpha ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l r } { \bigg ( \frac { \partial } { \partial z } + K \bigg ) I _ { + } ( z ) } & { = } & { - S \bigg ( I _ { + } ( z ) - I _ { - } ( z ) \bigg ) + \bar { \cal J } ( z ) } \\ { \bigg ( \! - \frac { \partial } { \partial z } + K \bigg ) I _ { - } ( z ) } & { = } & { - S \bigg ( I _ { - } ( z ) - I _ { + } ( z ) \bigg ) + \bar { \cal J } ( z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { i n c } } & { = E _ { 0 } \exp ( j ( \omega t + \beta \sin ( \Omega t ) ) ) } \\ & { \approx E _ { 0 } ( J _ { 0 } ( \beta ) + 2 j J _ { 1 } ( \beta ) \sin ( \Omega t ) ) \exp ( j \omega t ) } \\ & { = E _ { 0 } ( } \\ & { \quad \quad - J _ { 1 } ( \beta ) \exp ( j ( \omega - \Omega ) t ) } \\ & { \quad \quad + J _ { 0 } ( \beta ) \exp ( j \omega t ) } \\ & { \quad \quad + J _ { 1 } ( \beta ) \exp ( j ( \omega + \Omega ) t ) } \\ & { \quad ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \lambda P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L } ) } & { = - \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( f ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) \right) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } D ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) } \\ { Q ( \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf E } ( { \bf r } ) = \mathcal { E } _ { 0 } \, \left[ A _ { j } ^ { + } \, \hat { \bf e } _ { j } ^ { + } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { j z } ( z - z _ { j - 1 } ) } + A _ { j } ^ { - } \, \hat { \bf e } _ { j } ^ { - } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k _ { j z } ( z - z _ { j } ) } \right] \; \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { x } x } , \quad \quad \quad z _ { j - 1 } < z < z _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { \prime } h _ { \mathrm { e f f } } ( \Omega ) = \mathrm { R e } } & { \left[ 2 i k \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { \mathrm { L O } } ^ { * } a _ { j } \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { j } \rangle \right. } \\ & { \left. \frac { \partial h ( x , y ) } { \partial y } \delta y _ { c } ( \Omega ) + \frac { \partial h ( x , y ) } { \partial x } \delta x _ { c } ( \Omega ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } ( x , y , \tau , \zeta ) } & { { } = } & { \sqrt { I _ { 0 } } A ( x , y , \tau - u \zeta , \zeta ) e ^ { - i I _ { 0 } \zeta } , } \\ { A _ { 2 } ( x , y , \tau , \zeta ) } & { { } = } & { \sqrt { I _ { 0 } } B ( x , y , \tau - u \zeta , \zeta ) e ^ { ( i u \tau - i \mu _ { 2 } \zeta ) } , } \end{array}
\widetilde { \mathbf { E } } ^ { ( 1 , + ) } ( z ) = \mathbf { H } ( z ) \mathbf { W } ^ { ( + ) } ( z ) \left( \frac { s _ { * } } { h _ { 0 } } \right) ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } | x | ^ { { \beta } \sigma _ { 3 } } e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } x ^ { 2 } \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { 1 } { | x | \varphi _ { 2 } ( z ) } } & { 1 } \end{array} \right) 2 ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { | x | \varphi _ { 2 } ( z ) } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { R _ { \mathrm { Z } } ( \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 1 . 0 1 0 ( 9 ) \, \mathrm { f m } , } \\ { R _ { \mathrm { Z } } ( \mu \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 1 . 0 4 0 ( 3 3 ) \, \mathrm { f m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a b \cdot { s ( 2 \lambda ) } } = \frac { ( a + b ) ( a - b ) } { ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b ( 1 - { s ( 2 \lambda ) } ) } = \frac { a - b } { n - \frac { 2 a b } { n } ( 1 - { s ( 2 \lambda ) } ) } } \end{array}