harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
C _ { 5 } = b ^ { 2 } \mathrm { ~ } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right)
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 1 } \hat { R } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i j j } } { \omega _ { i } } f _ { i } ( f _ { j } + 1 / 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d N _ { \gamma , n } } { d \phi } } & { { } = } & { - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \eta ( \phi ) } \int _ { 0 } ^ { s _ { n } ( \phi ) } d s ( \phi ) \left\{ J _ { n } ^ { 2 } ( z ) + \right. } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { ( i _ { \hat { k } } { \hat { \Omega } } ) _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 5 } y } } } & { { = } } & { { - ( i _ { k } \Omega ^ { ( 6 ) } ) _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 5 } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { ( i _ { \hat { k } } { \hat { \Sigma } } ) _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 5 } y } } } & { { = } } & { { - ( i _ { k } \Sigma ^ { ( 6 ) } ) _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 5 } } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S E } _ { S _ { d a t a } } } & { = \frac { 1 } { s } \sum _ { i = 1 } ^ { s } \left| S ( t _ { i } ) - S _ { i } ^ { o } \right| ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { M S E } _ { I _ { d a t a } } } & { = \frac { 1 } { s } \sum _ { i = 1 } ^ { s } \left| I ( t _ { i } ) - I _ { i } ^ { o } \right| ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { M S E } _ { R _ { d a t a } } } & { = \frac { 1 } { s } \sum _ { i = 1 } ^ { s } \left| R ( t _ { i } ) - R _ { i } ^ { o } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } \left( \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } - \boldsymbol { \Sigma } \right\| > \frac { \delta _ { 1 } } { \sqrt { t } } + \frac { C _ { 1 } } { t } + M _ { 0 } \sqrt { \nu } + \nu \right) } & { < \epsilon , } \\ { \mathrm { P r } \left( \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } - \boldsymbol { \Gamma } \right\| > \frac { \delta _ { 2 } } { \sqrt { t } } + \frac { C _ { 2 } } { t } + M _ { 0 } \sqrt { \nu } + \nu \right) } & { < \epsilon . } \end{array}
N _ { 1 } ( t ) = \frac { N } { 2 } \left( \frac { \sigma _ { 1 2 } - \sigma _ { 2 1 } } { \sigma _ { 1 2 } + \sigma _ { 2 1 } } \right) e ^ { - ( \sigma _ { 1 2 } + \sigma _ { 2 1 } ) t } + N \left( \frac { \sigma _ { 2 1 } } { \sigma _ { 1 2 } + \sigma _ { 2 1 } } \right)
S _ { e f f } = \int d ^ { 2 } x \sqrt { g } [ { \bar { \psi } } ( i { D \! \! \! / } - { A \! \! / } - { j \! \! / } ) \psi + L _ { g } ] + \int _ { \Sigma } ( \frac { i } { 2 \pi } d B { \wedge } A - { \ ^ { * } J } { \wedge } A )
\begin{array} { r l r l } { U } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { z + h } } \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \sqrt { z } } & { - \sqrt { h } } & { 0 \dag \sqrt { \frac { h } { 2 } } } & { \sqrt { \frac { z } { 2 } } } & { - \sqrt { \frac { z + h } { 2 } } \dag \sqrt { \frac { h } { 2 } } } & { \sqrt { \frac { z } { 2 } } } & { \sqrt { \frac { z + h } { 2 } } } \end{array} \right) \dag \Sigma } & { = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { z + h } \dag 0 \dag 0 } \end{array} \right) \dag V } & { { } = 1 \dag , , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { M _ { x y } ^ { + } } \\ { M _ { z } ^ { + } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { 2 \alpha ^ { * } \beta M _ { z } + \alpha ^ { * } { ^ { 2 } } M _ { x y } - \beta { ^ { 2 } } M _ { x y } ^ { * } } \\ { \left( \left| \alpha \right| { ^ { 2 } } - \left| \beta \right| { ^ { 2 } } \right) M _ { z } - 2 \mathrm { R e } \left( \alpha \beta M _ { x y } ^ { * } \right) } \end{array} \right] .
{ \cal L } _ { N \! N \! M } \: \: = \: \: i \frac { g _ { A } } { 2 f _ { m } } \: \bar { \psi } _ { N } \: \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \partial _ { \mu } \: m _ { a } \lambda _ { a } \: \psi _ { N } ,
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { \partial B _ { R } } \phi ^ { ( r ) } d ( g - \tilde { g } ) - \int _ { \partial B _ { R } } \phi ^ { ( r ) } d ( f - \tilde { f } ) } } \\ & { + \int _ { \partial B _ { R } } \phi ^ { ( r ) } d ( \tilde { g } - \bar { g } ) - \int _ { \partial B _ { R } } \phi ^ { ( r ) } d ( \tilde { f } - \bar { f } ) } \\ & { + \int _ { \partial B _ { R } } ( \phi _ { r } ^ { ( r ) } - \phi ^ { ( r ) } ) d \bar { g } - \int _ { \partial B _ { R } } ( \phi _ { r } ^ { ( r ) } - \phi ^ { ( r ) } ) d \bar { f } . } \end{array}
p \left[ \phi > \phi _ { \textrm { c r i t } } \right] = \sum _ { k } { } \sum _ { m } { } \left( 1 - \prod _ { j } \left( 1 - p \left[ w g _ { m , j } ^ { ( k ) } \right] \right) \right) \times p \left[ e c _ { k } \right]
\begin{array} { r l } & { \langle \delta B _ { x } ( t _ { 1 } ) \delta B _ { x } ( t _ { 2 } ) \delta B _ { x } ( t _ { 3 } ) \delta B _ { x } ( t _ { 4 } ) \rangle = \Gamma _ { x x } ^ { 2 } \delta ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) \delta ( t _ { 3 } - t _ { 4 } ) } \\ & { + \Gamma _ { x x } ^ { 2 } \delta ( t _ { 1 } - t _ { 3 } ) \delta ( t _ { 2 } - t _ { 4 } ) + \Gamma _ { x x } ^ { 2 } \delta ( t _ { 1 } - t _ { 4 } ) \delta ( t _ { 2 } - t _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \sqrt { B \lambda _ { 0 } } \leq r \leq \sqrt { n B \lambda _ { 0 } } } \bigg \{ r ^ { 2 } R ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } B \frac { D ( r ) \log ( \frac { \log n } { \delta } ) } { n } \bigg \} } \\ & { \lesssim \operatorname* { m i n } _ { \sqrt { B \log ( n / \delta ) / n } \leq r \leq \sqrt { B \log ( n / \delta ) } } E ( r ) + \frac { \sigma ^ { 2 } B \log ( \delta ^ { - 1 } \log n ) } { n } } \\ & { \leq E \bigg ( \sqrt { \frac { B \log ( n / \delta ) } { n } } \bigg ) + \frac { \sigma ^ { 2 } B \log ( \delta ^ { - 1 } \log n ) } { n } } \\ & { = \frac { R ^ { 2 } B \log ( n / \delta ) } { n } + \frac { \sigma ^ { 2 } B \log ( \frac { \log n } { \delta } ) } { n } \log \bigg ( \sqrt { \frac { n } { B \log ( n / \delta ) } } \bigg ) + \frac { \sigma ^ { 2 } B \log ( \delta ^ { - 1 } \log n ) } { n } } \\ & { \lesssim \frac { \sigma ^ { 2 } B \log ^ { 2 } ( n / \delta ) } { n } , } \end{array}
A _ { \cdot \wedge \tau _ { r _ { 1 } } ( A ^ { ( 1 , X ) } ) } ^ { ( 1 ) } - z _ { n } - \int _ { 0 } ^ { \cdot \wedge \tau _ { r _ { 1 } } ( A ^ { ( 1 , X ) } ) } \phi ( A _ { u } ^ { ( 1 ) } ) { \mathrm d } A _ { u } ^ { ( 2 ) } - \int _ { 0 } ^ { \cdot \wedge \tau _ { r _ { 1 } } ( A ^ { ( 1 , X ) } ) } \Sigma ^ { 1 / 2 } ( A _ { u } ^ { ( 1 ) } ) { \mathrm d } A _ { u } ^ { ( 3 ) } \equiv \mathbf { 0 } , \quad \mathrm { ~ Q _ { z _ n } ^ { 3 , r _ 1 } ~ - a . s . }
\begin{array} { r l } { y _ { k + 1 } - y _ { k } } & { = x _ { k + 1 } - y _ { k } + \beta _ { k } \left( x _ { k + 1 } - x _ { k } \right) - s \gamma _ { k } \nabla f \left( y _ { k } \right) } \\ & { = \beta _ { k } \left( y _ { k } - y _ { k - 1 } \right) + s \beta _ { k } \nabla f \left( y _ { k - 1 } \right) - s \left( 1 + \beta _ { k } + \gamma _ { k } \right) \nabla f \left( y _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { 0 , r e g } ^ { \Lambda } ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = B _ { 0 } ^ { \Lambda } ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) - B _ { 0 } ^ { \Lambda } ( 0 ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) + B _ { 0 , r e g } ^ { \infty } ( 0 ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) . } \end{array}
{ \bf K } = \int { \cal D } \mu _ { q } ( \zeta ) \exp [ \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime \prime } - t ^ { \prime } } \ d t \ L _ { q } ( \zeta , \bar { \zeta } ; \dot { \zeta } , \dot { \bar { \zeta } } ]
\lambda _ { H } \, \mathrm { T r } \, \left[ \overline { { H } } \Phi _ { s } ^ { \mu \nu } H \sigma _ { \mu \nu } \right] - \lambda _ { S } \, \mathrm { T r } \, \left[ \overline { { S } } \Phi _ { s } ^ { \mu \nu } S \sigma _ { \mu \nu } \right] - \lambda _ { T } \, \mathrm { T r } \, \left[ \overline { { T } } ^ { \alpha } \Phi _ { s } ^ { \mu \nu } T _ { \alpha } \sigma _ { \mu \nu } \right] \, .
\begin{array} { r l } & { \left\| { R } _ { 1 } ^ { n } \right\| _ { \alpha / 2 } ^ { 2 } \lesssim \varepsilon ^ { 4 } \sum _ { l \in { T } _ { N _ { 0 } } } \left| \sum _ { \left( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } \right) \in { I } _ { l } ^ { N _ { 0 } } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \Theta _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } \right| ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \varepsilon ^ { 4 } \tau ^ { 4 } \left\{ \sum _ { l \in { T } _ { N _ { 0 } } } \left( \sum _ { \left( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } \right) \in { I } _ { l } ^ { N _ { 0 } } } \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { n } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { n } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { n } \right) \right| \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \sqrt { 1 + | \mu _ { l _ { j } } | ^ { \alpha } } \right) ^ { 2 } \right. } \\ & { + n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { l \in { T } _ { N _ { 0 } } } \left[ \left( \sum _ { \left( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } \right) \in { I } _ { l } ^ { N _ { 0 } } } \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k } \right) - \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k } \right) \right| \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \sqrt { 1 + | \mu _ { l _ { j } } | ^ { \alpha } } \right) ^ { 2 } \right. } \\ & { + \left( \sum _ { \left( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } \right) \in { I } _ { l } ^ { N _ { 0 } } } \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k } \right) - \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k } \right) \right| \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \sqrt { 1 + | \mu _ { l _ { j } } | ^ { \alpha } } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \left. \left. \left( \sum _ { \left( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } \right) \in { I } _ { l } ^ { N _ { 0 } } } \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 1 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 2 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \left| \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k } \right) - \widehat { \xi } _ { l _ { 3 } } \left( t _ { k + 1 } \right) \right| \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \sqrt { 1 + | \mu _ { l _ { j } } | ^ { \alpha } } \right) ^ { 2 } \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg ( \frac { C ( 1 + \gamma ^ { - 1 } ) V ^ { 2 } } { n } \bigg ) ^ { - 1 } \mathbb { E } W = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } \bigg ( W > \frac { C ( 1 + \gamma ^ { - 1 } ) V ^ { 2 } } { n } t \bigg ) \mathrm { d } t } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \log m } 1 \mathrm { d } t + \int _ { \log m } ^ { \infty } m e ^ { - t } \mathrm { d } t = \log m + 1 } \end{array}
\int \mathrm { d } ^ { 3 } v \hat { P } ^ { j p } C ( f _ { 0 } \hat { P } ^ { l k } ) = \frac { n _ { 0 } } { \tau _ { \mathrm { i i } } } c ^ { j p , l k } = \frac { n _ { 0 } } { \tau _ { \mathrm { i i } } } \delta _ { j l } c _ { p k } ^ { j } .
{ \bf { a } } _ { j } = \underset { \left\| { \bf { a } } _ { j } \right\| = 1 } { \operatorname { a r g m i n } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( { \bf { x } } _ { i } - { \bf { a } } _ { j } \left( { \bf { a } } _ { j } ^ { T } { \bf { x } } _ { i } \right) \right) ^ { 2 } \right) .
{ \cal S } \supset \int d ^ { 5 } x \int d ^ { 4 } \theta \left( c _ { 1 } { \frac { \Sigma ^ { \dagger } \Sigma B B ^ { \dagger } } { M _ { P l } ^ { 2 } } } \delta ( x _ { 5 } - r _ { c } ) + c _ { 2 } { \frac { Q Q ^ { \dagger } B B ^ { \dagger } } { M _ { P l } ^ { 2 } } } \delta ( x _ { 5 } ) \right)
\begin{array} { r l } { \epsilon \dot { x } _ { i } } & { { } = x _ { i } - \frac { x _ { i } ^ { 3 } } { 3 } - y _ { i } + \frac { \sigma } { 2 P } \sum _ { j = i - P } ^ { i + P } [ b _ { x x } ( x _ { j } - x _ { i } ) } \\ { \dot { y } _ { i } } & { { } = x _ { i } + a _ { i } + \frac { \sigma } { 2 P } \sum _ { j = i - P } ^ { i + P } [ b _ { y x } ( x _ { j } - x _ { i } ) } \end{array}
\aleph _ { \alpha } ^ { \aleph _ { \beta } } \leq \aleph _ { \beta + 1 } ^ { \aleph _ { \beta } } = ( 2 ^ { \aleph _ { \beta } } ) ^ { \aleph _ { \beta } } = 2 ^ { \aleph _ { \beta } \cdot \aleph _ { \beta } } = 2 ^ { \aleph _ { \beta } } = \aleph _ { \beta + 1 }
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { { } = } & { ( - i \omega _ { a s } ( k ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ) a _ { a s } ( k ) - i g b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { { } = } & { ( - i \omega _ { a c } ( q ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ) b _ { a c } ( q ) - i g a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } - \epsilon \frac { \mathcal { A } } { \mathcal { B } } \Omega _ { r } ^ { * } U _ { q } ^ { * } } & { { } = \mathcal { A } \cos \phi , } \\ { \frac { d U _ { q } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \epsilon \frac { \mathcal { B } } { \mathcal { A } } \Omega _ { r } ^ { * } U _ { p } ^ { * } } & { { } = - \mathcal { B } \sin \phi , } \\ { \frac { d \Omega _ { r } ^ { * } } { d t ^ { * } } } & { { } = - \mathcal { C } U _ { p } ^ { * } U _ { q } ^ { * } , } \\ { \frac { d \phi } { d t ^ { * } } } & { { } = \epsilon \Omega _ { r } ^ { * } , } \end{array}
m _ { n , \pm } ^ { 2 } = - { \cal M } _ { 0 } ^ { 2 } ( \alpha _ { P } , R ) + \left( \frac { n } { R } \right) ^ { 2 } \pm \sqrt { 4 \left( \frac { n \alpha _ { P } } { R ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + { \cal M } _ { 0 } ^ { 4 } ( \alpha _ { P } , R ) } .
\mathbf { Y } _ { 2 : n } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } = [ \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) , \dots , \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { n } ) ]
\mathbf { J } _ { i } ( \mathbf { m } ) = \nabla \mathbf { F } _ { i } ( \mathbf { m } ) = - \mathbf { P A } ( \mathbf { m } ) ^ { - 1 } \frac { \partial \mathbf { A ( m ) } } { \partial \mathbf { m } } \mathbf { u } _ { i } .
\begin{array} { l } { \displaystyle \left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 k } } { \mathrm { d } \xi ^ { 2 k } } \mathrm { L i G } _ { N } ( \xi ) \right] _ { \xi = 0 } \, = \, 0 \, , \qquad \qquad 1 \le k < N \, , } \end{array}
\alpha = \frac { \langle \mathbf { S } ( \alpha ) \mathrm { d i a g } ( \delta \mathbf { m } ) \mathbf { U } ( \alpha ) ^ { T } , \Delta \mathbf { d } \rangle _ { F } } { \langle \mathbf { S } ( \alpha ) \mathrm { d i a g } ( \delta \mathbf { m } ) \mathbf { U } ( \alpha ) ^ { T } , \mathbf { S } ( 0 ) \mathrm { d i a g } ( \delta \mathbf { m } ) \mathbf { U } ( \alpha ) ^ { T } \rangle _ { F } } = : \phi ( \alpha ) ,
\mathcal P _ { \kappa _ { l } } ( \boldsymbol { k } ) \, \simeq \, \frac { 1 } { B ^ { 2 } } \, \vert { \tilde { G } } _ { l } ( \boldsymbol { k } ) \vert ^ { 2 } \, k _ { \parallel } ^ { 2 } \, \mathcal P _ { B } ( \boldsymbol { k } ) \, .
\begin{array} { r l } { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) - } & { \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } = \left\Vert e ^ { t \mathcal { A } _ { U } } ( u - v ) + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } \left[ F _ { \rho } \circ \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - F _ { \rho } \circ \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right] d s \right\Vert _ { V } } \\ & { \leq C _ { 0 } e ^ { t \omega } \Vert u - v \Vert _ { V } + \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { - \alpha } C _ { \alpha } e ^ { ( t - s ) \omega } \left\Vert F _ { \rho } \circ \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - F _ { \rho } \circ \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right\Vert _ { L _ { \sigma } ^ { p } } d s } \\ & { \leq C _ { 0 } e ^ { t \omega } \Vert u - v \Vert _ { V } + t ^ { 1 - \alpha } \frac { C _ { \alpha , p , d } \operatorname* { m a x } \left\{ e ^ { t \omega } , 1 \right\} } { 1 - \alpha } \rho \operatorname* { s u p } _ { s \in ( 0 , t ) } \Vert \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } . } \end{array}
\mathrm { ~ M ~ A ~ E ~ } \left( \{ \hat { y } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { m } , \{ y _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { m } \right) = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } | \hat { y } _ { i } - y _ { i } | .
\Re D _ { \gamma } = - \frac { t ^ { 2 } } { 2 \pi \beta _ { t } } \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } A _ { \gamma } b _ { t } a _ { t } \left[ 1 + \frac { h ^ { 2 } } { \beta _ { t } ^ { 2 } } \log \left( \frac { h ^ { 2 } } { \beta _ { t } ^ { 2 } } \right) \right] \Theta ( 1 - 4 t ^ { 2 } )
g \left( \boldsymbol { s } ^ { * } \right) = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \sum _ { t = 1 } ^ { T } s _ { t } ^ { * } } \sum _ { \boldsymbol { v } \in \mathcal { V } } \left[ \prod _ { t = 1 } ^ { T } \left( \begin{array} { c } { s _ { t } ^ { * } } \\ { v _ { t } } \end{array} \right) \right] \left( 2 \pi \right) ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol { 1 } _ { \left\{ \Delta _ { i } = 0 \right\} } .
\begin{array} { r l r } { { \cal D } _ { s } } & { { } = } & { \{ ( A _ { s , n } , B _ { s , n } ) \, | \, A _ { s , n } , B _ { s , n } = \pm 1 \, ; \, n = 1 , \ldots , N \} \; , } \end{array}
\scriptsize H = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { P _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { i } \omega _ { i } ^ { 2 } Q _ { i } ^ { 2 } - \sum _ { i \neq j } Q _ { i } \Omega _ { i j } Q _ { j } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } F ( r _ { i } , t ) Q _ { i } ,
\frac { d \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] } { d t } = \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 1 } & { 2 } \\ { - 2 } & { - 0 . 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x ^ { 3 } } \\ { y ^ { 3 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( t ) = ~ } & { g ^ { \prime } ( t ) + V f ( t ) + \frac { \rho } { 2 } \sum _ { j } \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } \left( m _ { i j } ( t ) - m _ { i j } ^ { \prime } ( t ) + \lambda _ { i j } ( t ) \right) ^ { 2 } + \frac { \rho } { 2 } \sum _ { i } \sum _ { k \in \mathcal { I } \backslash i } \left( u _ { i k } ( t ) - u _ { i k } ^ { \prime } ( t ) + \mu _ { i k } ( t ) \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r c l r c l } { { \hat { g } _ { \underline { { { x } } } \mu } } } & { { = } } & { { \hat { \cal B } _ { \underline { { { x } } } \mu } ^ { ( 1 ) } / \hat { \jmath } _ { \underline { { { x } } } \underline { { { x } } } } \, , } } & { { \hat { B } _ { \underline { { { x } } } \mu } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { \hat { \jmath } _ { \underline { { { x } } } \mu } / \hat { \jmath } _ { \underline { { { x } } } \underline { { { x } } } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { A } _ { \mu } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { - \hat { \cal B } _ { \underline { { { x } } } \mu } ^ { ( 2 ) } + \hat { \ell } \hat { \cal B } _ { \underline { { { x } } } \mu } ^ { ( 1 ) } \, , } } & { { \hat { g } _ { \underline { { { x } } } \underline { { { x } } } } } } & { { = } } & { { 1 / \hat { \jmath } _ { \underline { { { x } } } \underline { { { x } } } } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { \phi } } } & { { = } } & { { \hat { \varphi } - \frac { 1 } { 2 } \log { ( - \hat { \jmath } _ { \underline { { { x } } } \underline { { { x } } } } ) } \, , } } & { { \hat { A } _ { \underline { { { x } } } } ^ { ( 1 ) } } } & { { = } } & { { \hat { \ell } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \phi } } & { = \left\langle \left[ \phi ( \mathbf { r } ) - \phi ( \mathbf { r } + \Delta \mathbf { r } ) \right] ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { = 2 \left[ \left\langle \phi ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) \right\rangle - \left\langle \phi ( \mathbf { r } ) \phi ( \mathbf { r } + \Delta \mathbf { r } ) \right\rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { G } ^ { \tt E } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { - k r _ { g } \Big \{ \ln \frac { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } + \tau } { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau _ { 0 } ^ { 2 } } + \tau _ { 0 } } + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } \Big \{ \partial _ { < a _ { 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \ln \frac { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } + \tau } { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau _ { 0 } ^ { 2 } } + \tau _ { 0 } } + } \end{array}
c _ { e ^ { - } } = \frac { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } + \gamma _ { e h } c _ { h ^ { + } } }
\begin{array} { r l r } { - 2 \gamma \mathbb { E } _ { x ^ { t } } \left[ \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle \right] } & { = } & { - 2 \gamma \langle \nabla f ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle } \\ & { = } & { 2 \gamma \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { * } - x ^ { t } \rangle + 2 \gamma \langle \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle } \\ & { \leq } & { - \gamma \mu \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } - 2 \gamma D _ { f } ( x ^ { t } ; x ^ { * } ) . } \end{array}
\tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) \equiv \int \mathrm { d } \mathbf { x } \, \phi ( \mathbf { x } ) \mathcal { G } ( \mathbf { r } - \mathbf { x } ) , \quad \phi ( \mathbf { r } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } P ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) ,
\begin{array} { r l r } { g _ { x x } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } & { = } & { x _ { 0 } ^ { N - 2 } [ N ( N - 1 ) a ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + x _ { 0 } p ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ] + y _ { 0 } q ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ & { \leq } & { x _ { 0 } ^ { N - 2 } N ( N - 1 ) \frac { 1 } { 2 } a ( 0 , 0 ) + B x _ { 0 } ^ { N } C _ { 1 } } \\ & { \leq } & { x _ { 0 } ^ { N - 2 } N ( N - 1 ) \frac { 1 } { 2 } a ( 0 , 0 ) - x _ { 0 } ^ { N - 2 } N ( N - 1 ) \frac { 1 } { 4 } a ( 0 , 0 ) } \\ & { = } & { x _ { 0 } ^ { N - 2 } N ( N - 1 ) \frac { 1 } { 4 } a ( 0 , 0 ) } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \hat { s } } } & { { = } } & { { ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { { \hat { t } } } & { { = } } & { { ( p _ { 1 } - k _ { 1 } ) ^ { 2 } = ( p _ { 2 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { { \hat { u } } } & { { = } } & { { ( p _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } = ( p _ { 2 } - k _ { 1 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 1 } \int _ { \Omega } u ( x ) \phi ( x ) \mathrm { d } x } & { \leq } & { \int _ { \Omega } ( - \Delta ) ^ { s } u ( x ) \cdot \phi ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { \Omega } u ( x ) \cdot ( - \Delta ) ^ { s } \phi ( x ) \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \lambda _ { 1 } \int _ { \Omega } u ( x ) \phi ( x ) \mathrm { d } x , } \end{array}
P _ { L } ^ { \prime } = ( { \rho } \frac { \tilde { m } } { 2 } + ( G _ { \bot } - B _ { \bot } - \frac { 1 } { 4 } A _ { \bot } ^ { t } C _ { \bot } A _ { \bot } ) { \tilde { n } } - \frac { 1 } { 2 } A _ { \bot } ^ { t } C _ { \bot } { \tilde { l } } , \; { \tilde { l } } + A _ { \bot } { \tilde { n } } )
\mathrm { C } _ { 1 1 } , \mathrm { C } _ { 1 2 } , \cdots , \mathrm { C } _ { 1 q } , \mathrm { C } _ { 1 ( q + 1 ) } , \cdots , \mathrm { C } _ { 1 ( n \times q ) } , \mathrm { C } _ { 2 1 } , \cdots , \mathrm { C } _ { ( m \times p ) 1 } , \cdots , \mathrm { C } _ { ( m \times p ) ( n \times q ) }
\frac { u _ { B } } { u _ { A } } = \, \frac { \left( 3 \ c _ { s 3 } c _ { s 1 } \rho _ { 3 } \rho _ { 1 } - c _ { s 3 } \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } c _ { s 2 } + c _ { s 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } c _ { s 2 } + \rho _ { 2 } ^ { 2 } c _ { s 2 } ^ { 2 } \right) } { ( c _ { s 3 } \rho _ { 3 } + \rho _ { 2 } c _ { s 2 } ) ( c _ { s 1 } \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } c _ { s 2 } ) } \ ,