harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) - \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) ) \partial _ { x } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad = \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 5 / 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \nabla ^ { 1 , n } \partial _ { x } \varphi _ { j } ^ { n } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \le \frac { T \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } } { n ^ { 5 } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \bigg ( \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \nabla ^ { 1 , n } \partial _ { x } T _ { f _ { 2 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] d s \lesssim \frac { T ^ { 2 } \theta ( n ) ^ { 2 } \alpha _ { n } ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } \| \partial _ { x } ^ { 2 } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { i } \left( n \right) } & { = \left( \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { i } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) + \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { i } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) \right. } \\ & { \left. - \epsilon ^ { i j k } \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { j } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { k } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) \right) } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } / \hbar = \sum _ { j n \sigma } n \omega _ { T } \hat { S } _ { n \sigma , n \sigma } ^ { j } + \sum _ { j n } \epsilon _ { j n } \hat { S } _ { n \uparrow , n \uparrow } ^ { j } + \chi \sum _ { j n m } \sum _ { k p q } \zeta _ { j } ^ { n m } \zeta _ { k } ^ { p q } \hat { S } _ { n \uparrow , m \downarrow } ^ { j } \hat { S } _ { p \downarrow , q \uparrow } ^ { k } ,
A _ { 1 } = - \frac { i \sqrt { 2 } G \hbar D _ { 1 } \sin ( \frac { 1 } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } L ) } { ( E + p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) \left[ e ^ { - \frac { i } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } L } - \frac { ( G \hbar D _ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( E + p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } e ^ { \frac { i } { \hbar } p _ { 3 } ^ { ( 1 ) } L } \right] }
I = - \operatorname { E } \left( { \frac { \partial V } { \partial \sigma ^ { 2 } } } \right) = - \operatorname { E } \left( - { \frac { ( X - \mu ) ^ { 2 } } { ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 2 ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right) = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } - { \frac { 1 } { 2 ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 2 ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { p _ { h ^ { \beta } t } ^ { h } ( x , y ) } & { \geq \frac { e ^ { - \alpha _ { 2 } h ^ { \beta - 2 } M t } } { \sqrt { 2 \pi } } \operatorname* { s u p } _ { k \geq d _ { h } ^ { c } ( x , y ) } \left( \frac { \alpha _ { 1 } h ^ { \beta - 2 } t } { k } \right) ^ { k } } \\ & { \geq \frac { e ^ { - \alpha _ { 2 } h ^ { \beta - 2 } M t } } { \sqrt { 2 \pi } } \left( \frac { \alpha _ { 1 } h ^ { \beta - 2 } t } { d _ { h } ^ { c } ( x , y ) } \right) ^ { d _ { h } ^ { c } ( x , y ) } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { p \rightarrow p _ { c } } \bar { v } = 2 \bar { \hat { v } } - 1 > ( \alpha \bar { \hat { v } } _ { + } + \beta \bar { \hat { v } } _ { - } ) / 2 + 1 \geq p / 2 + ( 1 - p ) q .
\Delta F ^ { \{ i \} } ( z , f ) = F ( z , \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ 1 \} } , \ldots , \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ i - 1 \} } , f \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ i \} } , \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ i + 1 \} } , \ldots , \hat { N } _ { \mathrm { s d } } ^ { \{ n \} } ) - F _ { \mathrm { s d } } .
\begin{array} { r } { H _ { A B } ( \hat { A } , \hat { B } _ { s } , \hat { A } ^ { * } , \hat { B } _ { s } ^ { * } ) = \int H ^ { \prime } + \mathrm { i } \omega _ { 0 } \left[ \hat { B } _ { s } ^ { * } \hat { A } - \hat { A } ^ { * } \hat { B } _ { s } \right] \mathrm { d } \mathbf { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta \mathbf { W } _ { i , j } } { \mathrm { d t } } = } & { { } \left( \frac { \mathrm { d } \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d } { \mathbf { W } _ { i , j } } } \right) ^ { - 1 } \left[ - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } + \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } + \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { W } _ { i , j } \right. } \end{array} ,
\operatorname { p r e d } = \lambda n . \lambda f . \lambda x . \operatorname { e x t r a c t } \ ( n \operatorname { i n c } \operatorname { c o n s t } ) = \lambda n . \lambda f . \lambda x . \operatorname { e x t r a c t } \ ( \operatorname { v a l u e } \ ( ( n - 1 ) \ f \ x ) ) = \lambda n . \lambda f . \lambda x . ( n - 1 ) \ f \ x = \lambda n . ( n - 1 )
\begin{array} { r l } { \left\Vert \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right\Vert _ { V } } & { \leq ( 1 + \mathrm { L i p } _ { P _ { \Sigma _ { 2 } } V \to P _ { \Sigma _ { 1 } } V } ( \psi _ { \rho } ( \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) , \cdot ) ) ) \left\Vert P _ { \Sigma _ { 2 } } \left( \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right) \right\Vert _ { V } } \\ & { < 2 \left\Vert P _ { \Sigma _ { 2 } } \left( \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right) \right\Vert _ { V } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \phi ( s ) } \\ { \phi ^ { \prime } ( s ) } \\ { \nu \phi ^ { \prime \prime } ( s ) } \end{array} \right) } & { \wedge \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - \nu \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) - 1 } \\ { \nu \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) ^ { 2 } + \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) + 1 } \end{array} \right) } \\ & { = ( \nu \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) ^ { 2 } + \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) + 1 ) \phi ( s ) + ( \nu \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) + 1 ) \phi ^ { \prime } ( s ) + \nu \phi ^ { \prime \prime } ( s ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( x , y ) = \frac { \imath \, e } { 2 \hbar \omega } e ^ { \imath k _ { i , x } . x } } & { } & { \left[ \frac { 1 } { \frac { \omega } { v } - k _ { i , z } } + \frac { r _ { A u } } { \frac { \omega } { v } - k _ { r , z } } e ^ { \imath ( k _ { r , z } - \frac { \omega } { v } ) z _ { t } } + \frac { a _ { 1 } } { \frac { \omega } { v } - k _ { r , z } } ( 1 - e ^ { \imath ( k _ { r , z } - \frac { \omega } { v } ) z _ { t } } ) \right. } \\ & { } & { + a _ { m , 1 } \frac { e ^ { \imath ( k _ { m , 1 , z } - \frac { \omega } { v } ) d } - 1 } { \frac { \omega } { v } - k _ { m , 1 , z } } + a _ { m , 2 } \frac { e ^ { \imath ( k _ { m , 2 , z } - \frac { \omega } { v } ) d } - 1 } { \frac { \omega } { v } - k _ { m , 2 , z } } } \\ & { } & { \left. + a _ { 3 } \frac { e ^ { \imath ( k _ { i , z } - \frac { \omega } { v } ) z _ { s } } - e ^ { \imath ( k _ { i , z } - \frac { \omega } { v } ) d } } { k _ { i , z } - \frac { \omega } { v } } \right] } \\ & { = } & { g _ { m e m } + \frac { r _ { A u } - a _ { 1 } } { \frac { \omega } { v } - k _ { r , z } } e ^ { \imath ( k _ { r , z } - \frac { \omega } { v } ) z _ { t } } + a _ { 3 } \frac { e ^ { \imath ( k _ { i , z } - \frac { \omega } { v } ) z _ { s } } } { k _ { i , z } - \frac { \omega } { v } } } \end{array}
H _ { d } ( z ) = { \frac { b _ { 0 } + b _ { 1 } \left( K { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) + b _ { 2 } \left( K { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) ^ { 2 } + \cdots + b _ { Q } \left( K { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) ^ { Q } } { a _ { 0 } + a _ { 1 } \left( K { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) + a _ { 2 } \left( K { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) ^ { 2 } + \cdots + b _ { P } \left( K { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) ^ { P } } }
\lambda _ { 2 } \, u ^ { \nu } \nabla _ { \nu } ( u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \delta \Pi ) + \lambda _ { 1 } \, u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \delta \Pi + \delta \Pi = - \zeta \, \delta ( \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } ) - \chi \, u ^ { \nu } \nabla _ { \nu } \, \delta ( \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } ) \, ,
v _ { \mathrm { e f f } } ( \eta ) = \left( s + \frac { 2 g } { 3 } t ( \eta ) \right) \eta ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 4 } } { 2 } + \frac { 2 g } { 3 } s t ( \eta ) + \frac { g ^ { 2 } } 6 t ( \eta ) ^ { 2 }
M _ { \mathrm { e f f _ { N } } } = \frac 1 N \frac { 4 \pi } { \alpha ^ { 2 } } M _ { S } = \frac { 5 } { N } \frac { 4 \pi } { 5 \alpha ^ { 2 } } M _ { S } = \frac { 5 } { N } M _ { \mathrm { e q } } .
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } = } & { - \int \left[ \ln f _ { M B } + \ln \left( \frac { f } { f _ { M B } } \right) \right] \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } d x d v } \\ { = } & { - \int \left[ \ln \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \right) - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \right] \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } d x d v } \\ & { - \int \ln \left( \frac { f } { f _ { M B } } \right) \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } d x d v . } \end{array}
Q = \int { \frac { d ^ { 3 } k _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 k _ { 1 } ^ { 0 } } } { \frac { d ^ { 3 } k _ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 k _ { 2 } ^ { 0 } } } \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } { \frac { d ^ { 3 } p _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 p _ { i } ^ { 0 } } } f _ { 1 } f _ { 2 } ( 1 - f _ { 3 } ) ( 1 - f _ { 4 } ) ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( P _ { f } - P _ { i } ) \sum _ { s p i n s } \mid M _ { f i } \mid ^ { 2 } ( k _ { 1 } ^ { 0 } + k _ { 2 } ^ { 0 } )
\frac { \partial H _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } K _ { \theta , \phi } } { 1 2 8 b _ { 0 } } k ^ { x + y + 2 } C _ { E } C _ { H } \int _ { \Delta _ { \perp } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \delta ( s + s _ { p } \tilde { p } + s _ { q } \tilde { q } ) \frac { 1 } { \tilde { p } \tilde { q } } \left[ { \tilde { p } } ^ { x } { \tilde { q } } ^ { y } + { \tilde { p } } ^ { y } { \tilde { q } } ^ { x } \right.
\begin{array} { r l r } { a _ { x _ { \mathrm { ~ A ~ } } , y _ { \mathrm { ~ B ~ } } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = } & { \cos { \theta } \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } \pm \sin { \theta } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( a _ { x , \mathrm { ~ A ~ } } + a _ { y , \mathrm { ~ B ~ } } ) , } \\ { a _ { x _ { \mathrm { ~ A ~ } } , y _ { \mathrm { ~ B ~ } } } ^ { D } } & { { } = } & { c _ { x , \mathrm { ~ A ~ } } a _ { x , \mathrm { ~ A ~ } } + c _ { y , \mathrm { ~ B ~ } } a _ { y , \mathrm { ~ B ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \tilde { \eta } , \tilde { \xi } , \sigma ) = \overline { { \hat { V } ( \tilde { \eta } ) } } \hat { V } ( \tilde { \xi } ) \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \beta + k } } ( p _ { n } + \tilde { \eta } , \tilde { p } _ { \beta - 1 } + \tilde { \eta } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \beta + k } } ( p _ { n } + \tilde { \xi } , \tilde { q } _ { \beta - 1 } + \tilde { \xi } , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \Big \{ \prod _ { m = - 2 } ^ { \beta - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m + k } } ( \tilde { p } _ { m } + \tilde { \eta } , \tilde { p } _ { m - 1 } + \tilde { \eta } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m + k } } ( \tilde { q } _ { m } + \tilde { \xi } , \tilde { q } _ { m - 1 } + \tilde { \xi } , \boldsymbol { \xi } ) } } \Big \} \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { k - 3 } } ( \tilde { p } _ { - 3 } + \tilde { \eta } , p _ { n - 1 } + \tilde { \eta } , \boldsymbol { \eta } ) } \\ & { \times \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { k - 3 } } ( \tilde { q } _ { - 3 } + \tilde { \xi } , p _ { n - 1 } + \tilde { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \sigma _ { i } } } ( p _ { i } + \pi _ { \sigma _ { i } } ( \tilde { \eta } ) , p _ { i - 1 } \pi _ { \sigma _ { i } - 1 } ( \tilde { \eta } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \sigma _ { i } } } ( p _ { i } + \pi _ { \sigma _ { i } } ( \tilde { \xi } ) , p _ { i - 1 } + \pi _ { \sigma _ { i } - 1 } ( \tilde { \xi } ) , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { m = \sigma _ { i } + 1 } ^ { \sigma _ { i + 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( p _ { i } + \pi _ { m } ( \tilde { \eta } ) , p _ { i } + \pi _ { m } ( \tilde { \eta } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( p _ { i } + \pi _ { m } ( \tilde { \xi } ) , p _ { i } + \pi _ { m } ( \tilde { \xi } ) , \boldsymbol { \xi } ) } } \prod _ { m = 1 } ^ { \sigma _ { 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( p _ { 0 } , p _ { 0 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( p _ { 0 } , p _ { 0 } , \boldsymbol { \xi } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { k } _ { a b } ^ { ( j ) } = } & { ( - 1 ) ^ { j + 1 } k _ { a } T _ { j , a } \delta _ { a b } + \sum _ { c } ( \mathbb { D } _ { c a b } + k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } \mathbb { C } _ { c a b } ) \xi _ { c } } \\ & { + \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { 2 } \sum _ { c , d } \Bigl [ ( k _ { a } T _ { j , a } + k _ { b } T _ { j , b } ) \mathbb { D } _ { c d a b } + ( k _ { a } ^ { 2 } k _ { b } T _ { j , b } + k _ { b } ^ { 2 } k _ { a } T _ { j , a } ) \mathbb { C } _ { c d a b } \Bigl ] \xi _ { c } \xi _ { d } + \cdots , } \end{array}
\big [ P _ { \overline { { { \mu } } } } , \phi \big ] = - i { \frac { \partial x ^ { \lambda } } { \partial x ^ { \overline { { { \mu } } } } } } \, { \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { \lambda } } } = - i { \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { \overline { { \mu } } } } } .
\int \displaylimits \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon } ( \boldsymbol { x } ) \cdot \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \zeta } ( \boldsymbol { x } ) \mathrm { d } V _ { x } < \infty ,
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { R } ^ { \prime } } & { = U ^ { \dagger } \mathcal { R } = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { z + h } \dag 0 \dag 0 } \end{array} \right) \simeq \left( \begin{array} { l } { 1 \dag 0 \dag 0 } \end{array} \right) \dag \Lambda ^ { \prime } } & { = U ^ { \dagger } \Lambda U = \frac { - l } { \sqrt { z + h } } \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \sqrt { h } \dag 0 } & { 0 } & { \sqrt { z } \dag \sqrt { h } } & { \sqrt { z } } & { 0 } \end{array} \right) \dag } & { \simeq - l \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \sqrt { h } \dag 0 } & { 0 } & { \sqrt { z } \dag \sqrt { h } } & { \sqrt { z } } & { 0 } \end{array} \right) \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { H } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } } & { { } = { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ( { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \end{array}
A ( e _ { 1 } , p _ { 1 } ; e _ { 2 } , p _ { 2 } ; e _ { 3 } , p _ { 3 } ) = \frac { 1 } { \alpha ^ { ' } G _ { 0 } ^ { 2 } } \langle : c V _ { - 1 } ( p _ { 1 } , x _ { 1 } ) : : c V _ { - 1 } ( p _ { 2 } , x _ { 2 } ) : : c V _ { 0 } ( p _ { 3 } , x _ { 3 } ) : \rangle + 1 \leftrightarrow 2
\begin{array} { r l } { \partial _ { p p } f } & { = \frac { h _ { 0 } C \mu } { ( \mu - \lambda ) ^ { 3 } } \left( 2 ( \lambda ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( \mu - \lambda ) \lambda ^ { \prime \prime } \right) - p \lambda ^ { \prime \prime } - 2 \lambda ^ { \prime } } \\ { \partial _ { p \mu } f } & { = - \frac { h _ { 0 } C ( \mu + \lambda ) } { ( \mu - \lambda ) ^ { 3 } } , \quad \partial _ { \mu \mu } f = \frac { 2 h _ { 0 } C \lambda } { ( \mu - \lambda ) ^ { 3 } } + c ^ { \prime \prime } ( \mu ) . } \end{array}
\mathbf { B } \mathbf { f } _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } ^ { ( j ) } ( P ) = \left( \left[ \mathbf { U } _ { i } ^ { ( j ) } \mathbf { Q } _ { i } ^ { ( j ) } ( P ) - \mathbf { U } _ { i _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( P ) } ^ { ( j ) } \right] _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } \right) _ { i = 1 } ^ { N _ { P } } \in \mathbb { R } ^ { N _ { P } } .
{ \begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } \mu \Delta \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } } & { = \int _ { \Omega } \mu \nabla \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { v } - \int _ { \partial \Omega } \mu { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial { \hat { \mathbf { n } } } } } \cdot \mathbf { v } } \\ { \int _ { \Omega } \nabla p \cdot \mathbf { v } } & { = - \int _ { \Omega } p \nabla \cdot \mathbf { v } + \int _ { \partial \Omega } p \mathbf { v } \cdot { \hat { \mathbf { n } } } } \end{array} }
M ^ { ( 2 ) } \equiv \frac { d ^ { 2 } V } { d \rho ^ { 2 } } \left. \right| _ { \rho = 0 } \simeq \frac { 4 N _ { c } \Lambda ^ { D - 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } \Gamma ( D / 2 ) } \frac { g _ { c r } - g } { g _ { c r } g } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { v \in \mathcal { V } _ { \mathbb { Z } } ^ { \vee } \cap W _ { 2 } } e ^ { - \pi y \| v \| _ { \mathcal { V } , t } ^ { 2 } / 2 } } & { < \sum _ { v \in Y _ { 2 } ^ { \mathbb { Z } } } e ^ { - \pi c y | v | ^ { 2 } } } \\ & { \ \times \sum _ { w \in Y _ { l } ^ { \mathbb { Z } } } e ^ { - \pi c y | w | ^ { 2 } ( - \log | t | ) ^ { l - 2 } } } \end{array}
\frac { \tau _ { s } } { \tau _ { H 2 } } \sim \frac { \sin ^ { 2 } \alpha } { \operatorname* { m a x } ( k ^ { 2 } \rho _ { \tau } ^ { 2 } , k ^ { 2 } d _ { e } ^ { 2 } , k _ { \parallel } ^ { 2 } d _ { i } ^ { 2 } , \eta k ^ { 2 } / \omega ) } ,
\begin{array} { r l } { w _ { + \rho } ( n ) } & { { } = \frac { k _ { + \rho } } { \Omega ^ { z _ { \rho } - 1 } } \frac { n ! } { ( n - z _ { \rho } ) ! } , } \\ { w _ { - \rho } ( n ) } & { { } = \frac { k _ { - \rho } } { \Omega ^ { z _ { \rho } } } \frac { n ! } { ( n - z _ { \rho } - 1 ) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \Gamma } ^ { \mathbf { x } } \left( \varphi \right) } & { { } = \oint _ { \Gamma } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \varphi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathrm { { d } \mathbf { x } ^ { \prime } } } \\ { K _ { \Gamma } ^ { \mathbf { x } } \left( \varphi \right) } & { { } = \oint _ { \Gamma } \frac { \partial G } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \varphi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathrm { { d } \mathbf { x } ^ { \prime } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \left| \Gamma _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| T _ { 2 1 } \right| ^ { 2 } = 1 } \\ { \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 1 } = \pm \frac { \pi } { 2 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { S } ^ { - 1 } H _ { \mathrm { O B C } } ^ { \mathrm { A I I } ^ { \dag } } \tilde { S } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes H _ { \mathrm { O B C } } ^ { + } + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes H _ { \mathrm { O B C } } ^ { - } , } \\ { \tilde { S } ^ { - 1 } H _ { \mathrm { P B C } } ^ { \mathrm { A I I } ^ { \dag } } \tilde { S } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes H _ { \mathrm { P B C } } ^ { + } + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes H _ { \mathrm { P B C } } ^ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } = \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { e f f } } ) - m _ { \pi } ^ { 2 } ( 0 ) } { m _ { \pi } ^ { 2 } ( 0 ) } \simeq - \frac { m _ { u } m _ { d } \, \theta _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } ( t ) } { 2 ( m _ { u } + m _ { d } ) ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f , n } = \sqrt { n } ( \widehat { \boldsymbol { \beta } } _ { f } - \beta ^ { 0 } ) = } & { \operatorname { a r g m i n } u ^ { T } C _ { n } u / 2 - u ^ { T } W _ { n } + n ^ { 1 / 2 } [ f ( \beta ^ { 0 } + u / \sqrt { n } ) - f ( \beta ^ { 0 } ) ] } \\ { \overset { d } { \longrightarrow } } & { \operatorname { a r g m i n } { u ^ { T } C u / 2 - u ^ { T } W + f ^ { \prime } ( { \beta ^ { 0 } } ; u ) } = : \widehat { \boldsymbol { u } } _ { f } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| y _ { t + 1 } ^ { ( m ) } - y _ { \hat { x } _ { t + 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \bigg ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } \bigg ) \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } ) \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t } } { 2 \mu } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - w _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma \alpha _ { t } } \underbrace { \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t + 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } } \end{array}
S _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad S _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad S _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { C _ { 2 0 } ^ { \prime } } & { = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \Big ( 1 + 3 \cos 2 \theta \Big ) C _ { 2 0 } + { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) - 3 \sin ^ { 2 } \theta \Big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi - S _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { C _ { 2 1 } ^ { \prime } } & { = } & { \cos \theta \Big ( C _ { 2 1 } \cos \psi - S _ { 2 1 } \sin \psi \Big ) + 2 \sin \theta \Big ( S _ { 2 2 } \cos 2 \psi + C _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { C _ { 2 2 } ^ { \prime } } & { = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \sin ^ { 2 } \theta \, C _ { 2 0 } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \Big ( 3 + \cos 2 \theta \Big ) \Big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi - S _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { S _ { 2 1 } ^ { \prime } } & { = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \sin 2 \theta \, C _ { 2 0 } + \cos 2 \theta \Big ( C _ { 2 1 } \sin \psi + S _ { 2 1 } \cos \psi \Big ) - \sin 2 \theta \Big ( C _ { 2 2 } \cos 2 \psi - S _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) , } \\ { S _ { 2 2 } ^ { \prime } } & { = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \sin \theta \Big ( C _ { 2 1 } \cos \psi - S _ { 2 1 } \sin \psi \Big ) + \cos \theta \Big ( S _ { 2 2 } \cos 2 \psi + C _ { 2 2 } \sin 2 \psi \Big ) . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \tau } \, \vec { \mathbf { f } } = \mathbf { W } \, \vec { \mathbf { f } } , \qquad \mathbf { W } _ { i j } \equiv w _ { i j } - \delta _ { i j } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j i } .