harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { V } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = } & { \frac { 4 I _ { 0 } \tan ^ { - 1 } \sqrt { \frac { \gamma } { 4 - \gamma } } } { \sqrt { \gamma ( 4 - \gamma ) } } \biggl ( \frac { 2 W } { e \xi _ { e } } - \frac { 4 B } { B _ { \phi } } \biggr ) , } \\ { I _ { \mathrm { A V } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = } & { \frac { 4 I _ { 0 } \tan ^ { - 1 } \sqrt { \frac { \gamma } { 4 - \gamma } } } { \sqrt { \gamma ( 4 - \gamma ) } } \biggl ( \frac { 2 W } { e \xi _ { e } } + \frac { 4 B } { B _ { \phi } } \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { r } _ { A B _ { a } } } & { = \vec { r } _ { A B } + \vec { r } _ { B B _ { a } } } \\ & { = \vec { r } _ { A B } - \vec { r } _ { B _ { a } B } } \\ & { = \vec { r } _ { A B } - \vec { r } _ { B _ { a } B _ { b } } \left( \frac { q _ { B _ { a } B _ { b } } } { 1 + q _ { B _ { a } B _ { b } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } \epsilon _ { \delta \epsilon \kappa } } & { = \delta _ { \alpha \delta } \delta _ { \beta \epsilon } \delta _ { \gamma \kappa } + \delta _ { \alpha \epsilon } \delta _ { \beta \kappa } \delta _ { \gamma \delta } + \delta _ { \alpha \kappa } \delta _ { \beta \delta } \delta _ { \gamma \epsilon } - \delta _ { \alpha \epsilon } \delta _ { \beta \delta } \delta _ { \gamma \kappa } - \delta _ { \alpha \delta } \delta _ { \beta \kappa } \delta _ { \gamma \epsilon } - \delta _ { \alpha \kappa } \delta _ { \beta \epsilon } \delta _ { \gamma \delta } } \\ & { = \delta _ { \alpha \delta } ( \delta _ { \beta \epsilon } \delta _ { \gamma \kappa } - \delta _ { \beta \kappa } \delta _ { \gamma \epsilon } ) + \delta _ { \beta \delta } ( \delta _ { \gamma \epsilon } \delta _ { \alpha \kappa } - \delta _ { \gamma \kappa } \delta _ { \alpha \epsilon } ) + \delta _ { \gamma \delta } ( \delta _ { \alpha \epsilon } \delta _ { \beta \kappa } - \delta _ { \alpha \kappa } \delta _ { \beta \epsilon } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 4 D } ( k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } , \sigma ) } & { \propto } & { u _ { 0 } ^ { 2 } \left[ ( 1 - \sigma _ { 0 } ^ { * 2 } ) \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { k _ { \perp , 0 } ^ { 2 } } + \sigma _ { 0 } ^ { * 2 } \right] } \\ & { } & { \times \delta ( \sigma \pm \sigma _ { 0 } ) \delta ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } - k _ { \perp , 0 } ^ { 2 } ) \delta ( k _ { z } \pm k _ { \parallel , 0 } ) \, , } \end{array}
\mathcal { G } \sim \left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { G } _ { 1 , 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , j + 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , 4 } } \\ { \mathbb { O } } & { \mathcal { G } _ { i , j + 1 } ^ { ( 1 ) } } & { \mathcal { G } _ { i , 4 } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \xi ( V ) } & { = \frac { \sqrt { \sum _ { \alpha , a } \langle E _ { \alpha } ^ { a } | E _ { \alpha } ^ { a } \rangle \sum _ { \beta , b } \langle \! \langle E _ { \beta } ^ { b } | E _ { \beta } ^ { b } \rangle \! \rangle } } { L } } \\ & { = \sqrt { \frac { \sum _ { \beta , b } \langle \! \langle E _ { \beta } ^ { b } | E _ { \beta } ^ { b } \rangle \! \rangle } { L } } . } \end{array}
\begin{array} { l l r } { \displaystyle \frac { \partial { \boldsymbol { u _ { 0 } } } } { \partial x _ { k } } = \sum _ { j , \beta = 1 } ^ { n } \frac { \partial { P _ { j } ^ { \beta } } } { \partial y _ { k } } \frac { \partial u _ { 0 j } } { \partial x _ { \beta } } , } \\ { \displaystyle \frac { \partial { \boldsymbol \varphi } } { \partial x _ { l } } = \sum _ { i , \alpha = 1 } ^ { n } \frac { \partial { P _ { i } ^ { \alpha } } } { \partial y _ { l } } \frac { \partial \varphi _ { i } } { \partial x _ { \alpha } } , } \\ { \displaystyle \operatorname { d i v } ( \boldsymbol \varphi ) = \sum _ { i , \alpha = 1 } ^ { n } \operatorname { d i v } _ { y } ( { P _ { i } ^ { \alpha } } ) \frac { \partial \varphi _ { i } } { \partial x _ { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) \psi \left( x \right) \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) \psi \left( y \right) \right] \left\vert i \right\rangle } & { { } = } & { \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( x \right) u ^ { r } \left( q \right) \right] e ^ { - i q \cdot x } \left[ \, \overline { { \! { \psi } } } \left( y \right) u ^ { s } \left( p \right) \right] e ^ { - i p \cdot y } \left\vert 0 \right\rangle } \end{array}
u _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) = v _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) + \displaystyle \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \frac { R \, I _ { l \omega } \, \cos \big ( l \omega t - \arctan ( l \omega R C ) \big ) } { \sqrt { 1 + ( l \omega R C ) ^ { 2 } } } ,
\sigma ^ { 2 } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - \mu \right) ^ { 2 } } { n } } + { \frac { 2 \mu \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - \mu \right) } { n } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \right) } { n } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } } { n } } - \mu ^ { 2 }
\lVert { \boldsymbol { \theta } } ^ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } - { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } \rVert \leq \frac { L } { m } \lVert { \boldsymbol { \theta } } ^ { ( 0 ) } - { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } \rVert ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } ( t , z , \bar { z } ) } & { = \sum _ { p , q \geq 0 } \mathbf { A } [ p , q ] ( t , z , \bar { z } ) w _ { 1 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } , } \\ { \mathbf { B } ( t , z , \bar { z } ) } & { = \sum _ { p , q \geq 0 } \frac { ( p + q + 1 ) ! } { p ! q ! } \mathbf { B } [ p , q ] ( t , z , \bar { z } ) \bar { w } _ { 1 } ^ { p } \bar { w } _ { 2 } ^ { q } \epsilon . } \end{array}
\gamma \cos \theta _ { \mathrm { Y } } = \gamma _ { \mathrm { b g } } ( \zeta _ { \mathrm { p } } ) - \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta _ { \mathrm { p } } ) - g _ { \mathrm { b r u s h } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) .
{ \hat { \cal M } } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { { - { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } - { \frac { { \hat { \ell } } ^ { 4 } } { 4 { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } } } + { \hat { \ell } } ^ { a } { \hat { M } } _ { a b } ^ { - 1 } { \hat { \ell } } ^ { b } } } & { { { \frac { 1 } { 2 { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } } } { \hat { \ell } } ^ { 2 } } } & { { { \hat { \ell } } ^ { a } { \hat { M } } _ { a b } ^ { - 1 } - { \frac { { \hat { \ell } } ^ { 2 } } { 2 { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } } } { \hat { \ell } } ^ { a } { L } _ { a b } } } \\ { { { \frac { 1 } { 2 { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } } } { \hat { \ell } } ^ { 2 } } } & { { - { \frac { 1 } { { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } } } } } & { { { \frac { 1 } { { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } } } { \hat { \ell } } ^ { a } { L } _ { a b } } } \\ { { { \hat { M } } _ { a b } ^ { - 1 } { \hat { \ell } } ^ { b } - { \frac { { \hat { \ell } } ^ { 2 } } { 2 { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } } } { L } _ { a b } { \hat { \ell } } ^ { b } } } & { { { \frac { 1 } { { \hat { \kappa } } _ { 1 } ^ { 2 } } } { L } _ { a b } { \hat { \ell } } ^ { b } } } & { { { \hat { M } } _ { a b } ^ { - 1 } - { \frac { 1 } { { { \hat { \kappa } } _ { 1 } } ^ { 2 } } } { L } _ { a c } { \hat { \ell } } ^ { c } { \hat { \ell } } ^ { d } { L } _ { d b } } } \end{array} \right) \, .
\mathbf { M } \, \frac { \mathbf { x } ^ { n + 1 } - 2 \mathbf { x } ^ { n } + \mathbf { x } ^ { n - 1 } } { h ^ { 2 } } = \mathbf { F } ( \mathbf { x } ^ { n } ) \, \frac { \mathbf { x } ^ { n + 1 } - \mathbf { x } ^ { n - 1 } } { 2 h } .
\begin{array} { r l r } { c _ { 2 } } & { = } & { 1 + ( \lambda _ { 1 } - 1 ) ( \lambda _ { 2 } - 1 ) ( \lambda _ { 3 } - 1 ) } \\ & { = } & { 1 - ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 3 } ) ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 2 } h _ { 3 } ) } \\ & { = } & { - ( \psi _ { 0 } \sigma _ { 2 } + \psi _ { 0 } ^ { 3 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\sigma ^ { t } = \frac { 1 } { J } F _ { i k } ^ { \phantom { } } \frac { \partial \psi ^ { t } } { \partial E _ { k n } } F _ { j n } ^ { \phantom { } } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad t = \mathrm { S i n g l e } , \mathrm { M i x e d } ;
\begin{array} { r l } { d _ { c } ( \mathbb Q ( n ) , \widehat { \mathbb P } ) } & { \leq \sum _ { j \in [ J ] } \sum _ { i \in \mathcal I _ { j } ^ { + } \cup \mathcal I _ { j } ^ { \infty } } q _ { i j } ( n ) \, c \big ( z _ { i j } ( n ) , \widehat z _ { j } \big ) } \\ & { = \sum _ { j \in [ J ] } \sum _ { i \in \mathcal I _ { j } ^ { + } } q _ { i j } ^ { \star } \left( 1 - \frac { | \mathcal I _ { j } ^ { \infty } | } { n } \right) c \left( \widehat z _ { j } + \frac { \xi _ { i j } ^ { \star } } { q _ { i j } ^ { \star } } , \widehat z _ { j } \right) + \sum _ { j \in [ J ] } \sum _ { i \in \mathcal I _ { j } ^ { \infty } } \frac { p _ { j } } { n } c \left( \widehat z _ { j } + n \frac { \xi _ { i j } ^ { \star } } { p _ { j } } , \widehat z _ { j } \right) } \\ & { \leq \sum _ { j \in [ J ] } \sum _ { i \in \mathcal I _ { j } ^ { + } } q _ { i j } ^ { \star } c \left( \widehat z _ { j } + \frac { \xi _ { i j } ^ { \star } } { q _ { i j } ^ { \star } } , \widehat z _ { j } \right) + \sum _ { j \in [ J ] } \sum _ { i \in \mathcal I _ { j } ^ { \infty } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { p _ { j } } { n } c \left( \widehat z _ { j } + n \frac { \xi _ { i j } ^ { \star } } { p _ { j } } , \widehat z _ { j } \right) } \\ & { = \sum _ { j \in [ J ] } \sum _ { i \in \mathcal I _ { j } } q _ { i j } ^ { \star } c \left( \widehat z _ { j } + \frac { \xi _ { i j } ^ { \star } } { q _ { i j } ^ { \star } } , \widehat z _ { j } \right) \leq \varepsilon , } \end{array}
H = \frac { 2 ^ { 3 } } { ( 1 + u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } d u _ { 1 } \wedge d u _ { 2 } \wedge d u _ { 3 }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \, f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) = n _ { i } \, \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) \, , } \\ & { \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \left( \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } { \omega } \right) \, f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) = n _ { i } \, [ \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) - 1 ] \, , } \\ & { \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \left( \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } { \omega } \right) ^ { 2 } f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) = n _ { i } \, [ \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) - 1 ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \dot { a } } { a } ( u ^ { i } u _ { i } ) } & { = \frac { \dot { a } } { a } \left( \frac { a ^ { 2 } } { 1 - k r ^ { 2 } } \left( \frac { d r } { d s } \right) ^ { 2 } + a ^ { 2 } r ^ { 2 } \left( \frac { d \theta } { d s } \right) ^ { 2 } + a ^ { 2 } r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left( \frac { d \phi } { d s } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { a \dot { a } } { 1 - k r ^ { 2 } } \left( \frac { d r } { d s } \right) ^ { 2 } + a \dot { a } r ^ { 2 } \left( \frac { d \theta } { d s } \right) ^ { 2 } + a \dot { a } r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left( \frac { d \phi } { d s } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { A } } & { { = } } & { { \displaystyle < 0 | \varphi _ { 1 } \varphi _ { 2 } N \left( D _ { 3 4 } \star \varphi _ { 4 } \star \varphi _ { 4 } + \varphi _ { 4 } \star D _ { 3 4 } \star \varphi _ { 4 } + \varphi _ { 4 } \star \varphi _ { 4 } \star D _ { 3 4 } \right) | 0 > . } } \end{array}
\chi _ { \parallel 1 } ^ { 2 } \frac { \sigma ( \chi _ { \parallel 1 } ^ { 2 } + 3 ) + 4 A _ { 1 } } { \chi _ { \parallel 1 } ^ { 4 } + 2 \chi _ { \parallel 1 } ^ { 2 } - 3 } > 1 .
\begin{array} { r } { - \hbar ^ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { z } = \left[ m ^ { * 2 } v _ { 0 } ^ { 4 } - v _ { 0 } ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \right] \psi _ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { \frac { s } { 2 } } f \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } = \sum _ { n } ( s \lambda _ { n } ) \vert \big ( \phi _ { n } , \mathrm { P } _ { \frac { s } { 2 } } f \big ) _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \vert ^ { 2 } = \sum _ { n } ( s \lambda _ { n } ) e ^ { - s \lambda _ { n } } \vert \big ( \phi _ { n } , f \big ) _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \vert ^ { 2 } \lesssim \| f \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
p \left( \mathbf { a } _ { k } \left| \mathbf { a } _ { 1 : ( k - 1 ) } , N , V , E , \hat { \mathcal { G } } \right. \right) = \mathbf { a } _ { k } ^ { T } \texttt { M L P } \left( \texttt { c o n c a t } \left( \boldsymbol { \xi } _ { h } , \boldsymbol { \xi } _ { e } , \boldsymbol { \xi } _ { a , k } \right) \right)
\int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r \, \left[ u _ { 1 \epsilon \kappa } ^ { 2 } \left( r \right) + u _ { 2 \epsilon \kappa } ^ { 2 } \left( r \right) - v _ { 1 \epsilon \kappa } ^ { 2 } \left( r \right) - v _ { 2 \epsilon \kappa } ^ { 2 } \left( r \right) \right] = 2 \eta _ { \epsilon \kappa } ^ { \prime } \left( k \right) + \left( - 1 \right) ^ { l } 2 \pi \delta \left( k \right) \sin ^ { 2 } \eta _ { \epsilon \kappa } \left( k \right) \, ,
Y _ { p l m } ( r , \Omega ) = \frac { p \Gamma [ i p + l + 1 ] } { \Gamma [ i p + 1 ] } \frac { P _ { i p - 1 / 2 } ^ { - l - 1 / 2 } ( \cosh r ) } { \sqrt { \sinh r } } Y _ { l m } ( \Omega ) ,
\begin{array} { r } { \| \mathcal { A } \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } = \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathbb { R } ^ { N } } \frac { \| \mathcal { A } V \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } { \| V \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } \quad \mathrm { a n d } \quad \kappa ( \mathcal { A } ) = \| \mathcal { A } \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } \| \mathcal { A } ^ { - 1 } \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } , } \end{array}
B _ { y } + i B _ { x } = \left\{ \begin{array} { l l } { B _ { N } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( b _ { n } + i a _ { n } \right) \left( \frac { x + i y } { r _ { r e f } } \right) ^ { n - 1 } \; \mathrm { ~ , ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ m ~ a ~ g ~ n ~ e ~ t ~ s ~ } } \\ { A _ { N } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( b _ { n } + i a _ { n } \right) \left( \frac { x + i y } { r _ { r e f } } \right) ^ { n - 1 } \; \mathrm { ~ , ~ f ~ o ~ r ~ s ~ k ~ e ~ w ~ m ~ a ~ g ~ n ~ e ~ t ~ s ~ } } \end{array} \right. \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \alpha _ { \tau , i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 0 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) L ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } \eta _ { \tau , \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau , \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau , \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 8 \eta _ { \tau , i - 1 } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { K } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau , i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \alpha _ { \tau , i } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } K } } \end{array}
\mathbf { B } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { b _ { 1 2 } } & { b _ { 1 3 } } & { b _ { 1 4 } } \\ { - b _ { 1 2 } } & { 0 } & { b _ { 2 3 } } & { b _ { 2 4 } } \\ { - b _ { 1 3 } } & { - b _ { 2 3 } } & { 0 } & { b _ { 3 4 } } \\ { - b _ { 1 4 } } & { - b _ { 2 4 } } & { - b _ { 3 4 } } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { { P L - T F I } } } = \sum _ { i < j } \frac { J _ { 0 } } { | i - j | ^ { \alpha } } \hat { \sigma } _ { i } ^ { x } \hat { \sigma } _ { j } ^ { x } + B \sum _ { i } \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { s } = \frac { \hat { g } _ { s } } { \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } } , \qquad v _ { \parallel , \perp } = \frac { \hat { v } _ { \parallel , \perp } } { v _ { { t h } _ { s } } } , \qquad d _ { i } \bar { p } _ { s } = \frac { \hat { \bar { p } } _ { s } } { n _ { 0 } T _ { 0 e } } } \end{array}
B _ { i j } = \frac { \varepsilon } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { b _ { 1 } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { } - b _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { b _ { 2 } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - b _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \ddots } } \end{array} \right) \quad ( i , j = 1 , \ldots , p ^ { \prime } ) ~ , \quad \mathrm { o t h e r w i s e ~ B _ { \ m u \ n u } = 0 ~ } ~ .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } & { { } = p _ { \mathrm { ~ E ~ R ~ } } + ( 2 ^ { m - 1 } - 1 ) \epsilon _ { m } p _ { \mathrm { ~ E ~ R ~ } } , } \\ { p _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } & { { } = p _ { \mathrm { ~ E ~ R ~ } } - \epsilon _ { m } p _ { \mathrm { ~ E ~ R ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf T _ { f } ^ { x , 3 } ( a \mathbf D _ { i } , b , c ) = } & { T _ { f ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( a , D _ { i } x , b , c ) + T _ { f ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( a , D _ { i } b , c ) + \mathbf T _ { f } ^ { x , 3 } ( a , b \mathbf D _ { i } , c ) } \\ { = } & { T _ { f ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( a , D _ { i } x , b , c ) + T _ { f ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( a , D _ { i } b , c ) + T _ { f ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( a , b , D _ { i } x , c ) } \\ & { + T _ { f ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( a , b , D _ { i } c ) + T _ { f ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( a , b , c , D _ { i } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega = } & { \Re \left[ - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } \sin { \alpha } ( i \cos \alpha \sigma ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sin { \alpha } ) } \right] ^ { \frac { - 1 } { 2 } } } \\ & { = \frac { \sqrt { 2 } ( \cos ^ { 2 } \alpha \sigma ^ { 4 } + \tau ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \alpha ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \sigma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { i j } \in { \bf W } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { { } = \left[ \begin{array} { c c } { \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } & { \left\langle E _ { X } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } \\ { \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { X } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } & { \left\langle E _ { Y } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) E _ { Y } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) \right\rangle } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { \pi } ( s , a ) } & { \leq 2 \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \tau _ { 1 } - 1 } \gamma ^ { k } r _ { \pi } ( S _ { k } ) \right) + 2 ( V _ { 1 } + 2 V _ { 2 } + 2 V _ { 3 } ) } \\ & { \leq 2 \frac { 1 + \chi ( 2 ) - 2 \chi ( 1 ) } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } + \frac { 1 6 m } { ( 1 - \gamma ) p } } \\ & { \leq 2 \frac { ( 1 - \gamma ^ { m } ) ^ { 2 } ( 1 + ( 1 - p ) \gamma ^ { m } ) } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } ( 1 - ( 1 - p ) \gamma ^ { m } ) ( 1 - ( 1 - p ) \gamma ^ { 2 m } ) } + \frac { 1 6 m } { ( 1 - \gamma ) p } } \\ & { \leq \frac { 4 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } + \frac { 1 6 m } { ( 1 - \gamma ) p } } \\ & { \leq \frac { 2 0 m } { ( 1 - \gamma ) p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( \mathbf { z } ; \boldsymbol { \eta } ) } & { { } = E \left( R _ { x } ( \mathbf { z } ) ; \boldsymbol { \eta } \right) = E \left( R _ { y } ( \mathbf { z } ) ; \boldsymbol { \eta } \right) = E \left( R _ { x } \left( R _ { y } ( \mathbf { z } ) \right) ; \boldsymbol { \eta } \right) } \end{array}
\langle 0 _ { c } | 0 _ { c } \rangle \simeq 1 - { \frac { 4 t } { \pi } } ( \psi ( { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ) + \log 2 ) = 1 + 2 ( \gamma + \log 2 ) \log ^ { - 1 } { \frac { 2 } { \hat { \epsilon } } } ,
\chi ^ { 2 } = \sum _ { i = 0 } ^ { 6 } \frac { ( R _ { i } - R _ { \mathrm { { N I S T } } } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { R _ { i } } ^ { 2 } + \sigma _ { { R _ { \mathrm { { N I S T } } } } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { { M o d e l } } } ^ { 2 } } ,
Z _ { X _ { i } } ^ { g _ { P } } ( 0 ) = \frac { \partial \hat { x } _ { i } } { \partial g _ { P } } ( p ( 0 ) ) \Big | _ { p ( 0 ) = p ^ { * } ( 0 ) } , \quad Z _ { X _ { i } } ^ { g _ { V } } ( 0 ) = \frac { \partial \hat { x } _ { i } } { \partial g _ { V } } ( p ( 0 ) ) \Big | _ { p ( 0 ) = p ^ { * } ( 0 ) } \quad \mathrm { f o r } \quad i = 1 , . . . , 5
\begin{array} { r } { \phi _ { i } = \varphi ( d ) = \int _ { d } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } 2 \pi W ( r _ { i j } , h ) r d r d z = \frac { 1 } { 2 } \operatorname { e r f c } ( \frac { d } { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbb E } | E _ { t } ^ { F , i } | ^ { 2 } \leq C _ { P } { \mathbb E } \sum _ { j = 1 , \, j \neq i } ^ { n } | D _ { i j } F ( \mathbf { X } _ { t } ) | ^ { 2 } , } \\ { { \mathbb E } | E _ { T } ^ { G , i } | ^ { 2 } \leq C _ { P } { \mathbb E } \sum _ { j = 1 , \, j \neq i } ^ { n } | D _ { i j } G \mathbf { X } _ { T } ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } / \hbar } & { { } = \omega _ { B } ( \hat { c } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 1 } - \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) - \frac { V N / \beta } { 1 + \beta J _ { 0 , 0 } + \beta \hat { O } / N } } \end{array}
\grave { \theta } _ { M _ { 3 } } = \{ \{ \grave { a } _ { k } , \grave { \mu } _ { k } , \grave { \sigma } _ { k } \} _ { k = 1 } ^ { K } , \grave { B } \} = \underset { \theta } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ a ~ x ~ } } p ( \theta | D , M _ { 3 } ) )
{ \frac { \partial { \bar { u _ { i } } } } { \partial t } } + { \overline { { \frac { \partial u _ { i } u _ { j } } { \partial x _ { j } } } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial { \bar { p } } } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } { \bar { u _ { i } } } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } } .
L ( \phi _ { \mathrm { m } } , - \phi _ { \mathrm { m } } ) = 2 \ln \left[ \sinh \chi _ { \mathrm { m } } \, \sin \phi _ { \mathrm { m } } + ( \sinh ^ { 2 } \chi _ { \mathrm { m } } \, \sin ^ { 2 } \phi _ { \mathrm { m } } + 1 ) ^ { 1 / 2 } \right] .
k _ { 1 } = { \frac { \omega _ { 1 } } { \omega } } k , k _ { 2 } = { \frac { \omega _ { 2 } } { \omega } } k ; k ^ { 2 } = k _ { 1 } ^ { 2 } = k _ { 2 } ^ { 2 } = k \cdot k _ { 1 } = k \cdot k _ { 2 } = k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } = 0 .
\frac { d } { d t } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { \theta } _ { j } } - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \theta _ { j } } = I _ { j } \ddot { \theta } _ { j } + \frac { \partial \Pi } { \partial \theta _ { j } } - \mathsf { M } _ { j } ^ { e } ( t ) = 0 \, , \quad j = 1 , \cdots N \, .
\begin{array} { r l } { z _ { a } } & { { } = Z ( 1 / a ) = \mathrm { i } \left[ \log ( a ^ { - 1 } ) + \frac { A a } { 1 - a ^ { 2 } } + \frac { B a } { 1 - a b } \right] + d } \\ { \mathrm { a n d } ~ ~ z _ { b } } & { { } = Z ( 1 / b ) = \mathrm { i } \left[ \log ( b ^ { - 1 } ) + \frac { B b } { 1 - b ^ { 2 } } + \frac { A b } { 1 - a b } \right] + d } \end{array}
R ^ { 2 } = \frac { 2 } { 9 } \left[ \boldsymbol { \ell } _ { 1 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ^ { 2 } - ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l } { c _ { n } } & { { } = \frac { 2 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } \left[ \sin \left( \frac { n \pi y } { L } \right) - \sin \left( \frac { n \pi y } { L } \right) \frac { \sinh \left( \sqrt i W \frac { y } { L } \right) } { \sinh ( \sqrt i W ) } \right] \mathrm { d } y , } \end{array}
\int _ { \partial \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \wedge \partial \phi _ { \partial } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \big ( \tilde { \mathcal { F } } ( \phi _ { \partial } + \epsilon \partial \phi _ { \partial } ) - \tilde { \mathcal { F } } ( \phi _ { \partial } ) \big ) , \ \forall \partial \phi _ { \partial } \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) .