harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 3 } ^ { * } \cdot \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } = ~ } & { 0 , } \\ { \partial _ { t ^ { * } } \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } + ( \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } \cdot \nabla _ { 3 } ^ { * } ) \mathbf { U } _ { 3 } ^ { * } + ( \mathbf { U } _ { 3 } ^ { * } \cdot \nabla _ { 3 } ^ { * } ) \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } + \nabla _ { 3 } ^ { * } \left( P ^ { * } / \rho + g z ^ { * } \right) = ~ } & { - ( \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } \cdot \nabla _ { 3 } ^ { * } ) \mathbf { V } _ { 3 } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \vec { r } \to 0 } \left\{ \frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } \left[ \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq \vec { 0 } } \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { r } + \vec { n } L , \omega ) - \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } \vec { r } ^ { \prime } \, \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { r } ^ { \prime } , \omega ) \right] \right\} } \\ { \Delta \Tilde { G } ^ { \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \vec { r } \to 0 } \left\{ \frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } \left[ \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq \vec { 0 } } \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { r } + \vec { n } L , \omega ) - \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \Hat { G } _ { i j } ( \vec { k } = \vec { 0 } , \omega ) \right] \right\} } \\ { \Delta \Tilde { G } ^ { \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \vec { r } \to 0 } \left\{ \frac { 1 } { 3 } \mathrm { T r } \left[ \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \Hat { G } _ { i j } ( \vec { k } , \omega ) - \Tilde { G } _ { i j } ( \vec { r } , \omega ) \right] \right\} \, , } \end{array}
\mathcal { E } ( t ) = \left\| w _ { t } \right\| _ { H ^ { 3 } } ^ { 2 } + \left\| \sqrt { \mathscr { L } } \partial _ { x } ^ { 3 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| w \right\| _ { H ^ { 4 } } ^ { 2 } .
{ \mathrm { F } } = { \frac { { \mathrm { s } } ^ { 4 } { \cdot } { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { { \mathrm { m } } ^ { 2 } { \cdot } { \mathrm { k g } } } } = { \frac { { \mathrm { s } } ^ { 2 } { \cdot } { \mathrm { C } } ^ { 2 } } { { \mathrm { m } } ^ { 2 } { \cdot } { \mathrm { k g } } } } = { \frac { \mathrm { C } } { \mathrm { V } } } = { \frac { { \mathrm { A } } { \cdot } { \mathrm { s } } } { \mathrm { V } } } = { \frac { { \mathrm { W } } { \cdot } { \mathrm { s } } } { { \mathrm { V } } ^ { 2 } } } = { \frac { \mathrm { J } } { { \mathrm { V } } ^ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { N } } { \cdot } { \mathrm { m } } } { { \mathrm { V } } ^ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { C } } ^ { 2 } } { \mathrm { J } } } = { \frac { { \mathrm { C } } ^ { 2 } } { { \mathrm { N } } { \cdot } { \mathrm { m } } } } = { \frac { \mathrm { s } } { \Omega } } = { \frac { 1 } { \Omega { \cdot } { \mathrm { H z } } } } = { \frac { { \mathrm { s } } ^ { 2 } } { \mathrm { H } } } ,
\begin{array} { r l } { ( { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } ) T _ { \ell \times k - i } } & { = ( { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } ) T _ { ( { \ell - 1 } ) \times k + k - i } } \\ & { = ( { \bf d } _ { k - i ^ { \prime } } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } ) T _ { ( { \ell - 1 } ) \times k + i ^ { \prime } } \; , } \end{array}
\frac { \partial I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } } { \partial x _ { p } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { r } ) \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \frac { \partial } { \partial x _ { p } } \frac { \partial } { \partial y } \phi ( x + x _ { p } , y + y _ { p } ) d ^ { 2 } \mathbf { r }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \Big | _ { t = 0 } R } & { = \frac { \partial } { \partial t } \Big | _ { t = 0 } ( - 2 \triangle u _ { t } - u _ { t } R _ { t } ) } \\ & { = \Big ( - 2 \triangle ^ { \prime } u _ { t } - 2 \triangle u _ { t } ^ { \prime } - u _ { t } ^ { \prime } R _ { t } - u _ { t } R _ { t } ^ { \prime } \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = ( 2 u \triangle u - | \nabla u | ^ { 2 } ) + 2 \triangle ( u ^ { 2 } ) + u ^ { 2 } R - u ( - 2 \triangle u - u R ) } \\ & { = 8 u \triangle u + 3 | \nabla u | ^ { 2 } + 2 u ^ { 2 } R } \\ & { = - 2 6 u ^ { 2 } \mu + 3 | \nabla u | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta \mathcal { L } = \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } \psi ) } \delta \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \partial _ { \lambda } \psi + \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi } \\ { + \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \delta \partial _ { \mu } \psi + \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi } \delta \psi + \frac { \partial \mathcal L } { \partial x ^ { \mu } } \delta x ^ { \mu } } \end{array}
\operatorname { E x t } ( H _ { i } ( X ) , \mathbf { Z } ) \cong \operatorname { E x t } ( \mathbf { Z } ^ { \beta _ { i } ( X ) } , \mathbf { Z } ) \oplus \operatorname { E x t } ( T _ { i } , \mathbf { Z } ) \cong T _ { i } .
\langle T _ { z z } \rangle ^ { \mathrm { i n f } } = - \int \frac { d \kappa \, \kappa ^ { 3 } } { 4 \pi ^ { 2 } } , \quad \langle T _ { 0 0 } \rangle ^ { \mathrm { i n f } } = - \int \frac { d \kappa \, \kappa ^ { 3 } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } .
\tau = \int { \frac { d r } { \pm { \sqrt { { \frac { E ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } } - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) \left( c ^ { 2 } + { \frac { h ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right) } } } } .
( \alpha _ { 2 3 } - \alpha _ { 3 1 } ) \beta _ { 1 2 } + ( \alpha _ { 3 1 } - \alpha _ { 1 2 } ) \beta _ { 2 3 } + ( \alpha _ { 1 2 } - \alpha _ { 2 3 } ) \beta _ { 3 1 } = 4 ,
\mathcal P = \{ h _ { 0 } , h _ { 1 } , \ldots , h _ { n - 1 } , h _ { n } \} \: \: \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \forall _ { i } ( h _ { i } , h _ { i + 1 } ) \in E ( \mathcal C ) .
\begin{array} { r l } { p ( + | + ) } & { { } = \frac { n _ { \Delta x } ^ { + + } } { n _ { \Delta x } ^ { + + } + n _ { \Delta x } ^ { - + } } } \\ { p ( - | - ) } & { { } = \frac { n _ { \Delta x } ^ { -- } } { n _ { \Delta x } ^ { -- } + n _ { \Delta x } ^ { + - } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 5 } f _ { 0 } \partial f _ { 0 } \, \textnormal { d } r } & { = \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { R } \partial ( r ^ { 6 } ) f _ { 0 } \partial f _ { 0 } \, \textnormal { d } r = \frac { 1 } { 6 } \left[ r ^ { 6 } f _ { 0 } \partial f _ { 0 } \right] _ { 0 } ^ { R } - \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 6 } \left[ | \partial f _ { 0 } | ^ { 2 } + f _ { 0 } \partial ^ { 2 } f _ { 0 } \right] \, \textnormal { d } r } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } a ^ { 3 } R ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { a ^ { 3 } } { R ^ { 3 } } \right] - \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 6 } \left[ | \partial f _ { 0 } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v | f _ { 0 } | ^ { 2 } - \frac { 4 } { r } f _ { 0 } \partial f _ { 0 } \right] \, \textnormal { d } r } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } a ^ { 3 } R ^ { 2 } - \frac { a ^ { 6 } } { 2 R } - \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 6 } \left[ | \partial f _ { 0 } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v | f _ { 0 } | ^ { 2 } \right] \, \textnormal { d } r + \frac { 2 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { R } r ^ { 5 } f _ { 0 } \partial f _ { 0 } \, \textnormal { d } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mu \nu } ^ { \quad i } \left( n \right) } & { \rightarrow \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \frac { \mathcal { \ell } } { 2 } \left( \omega _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) + \omega _ { \nu } ^ { i } \left( n + \widehat { \mu } \right) - \omega _ { \nu } ^ { i } \left( n \right) - \omega _ { \mu } ^ { i } \left( n + \widehat { \nu } \right) \right) + \left( \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \right) \left( - \frac { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } { 4 } \right) 2 \epsilon ^ { i j k } \omega _ { \mu } ^ { j } \left( n \right) \omega _ { \nu } ^ { k } \left( n \right) } \\ & { \rightarrow \partial _ { \mu } \omega _ { \nu } ^ { i } - \partial _ { \nu } \omega _ { \mu } ^ { i } - \epsilon ^ { i j k } \omega _ { \mu } ^ { j } \omega _ { \nu } ^ { k } , } \end{array}
d ( x , ( p , n ) ) = | ( x - p ) \cdot { \hat { n } } | = | ( x - p ) ^ { \top } { \hat { n } } | = | { \hat { n } } ^ { \top } ( x - p ) | = { \sqrt { ( x - p ) ^ { \top } { \hat { n } } { \hat { n } } ^ { \top } ( x - p ) } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \{ a _ { k } \leq \tilde { r } _ { k } \leq b _ { k } \} } \\ { = } & { \mathbb { P } \{ \left( N + 1 - k \right) a _ { k } \leq \sum _ { t = 0 } ^ { N - k } y _ { t } y _ { t + k } } \\ & { \leq \left( N + 1 - k \right) b _ { k } \} } \\ { = } & { 1 - \mathbb { P } \{ \sum _ { t = 0 } ^ { N - k } y _ { t } y _ { t + k } \leq \left( N + 1 - k \right) a _ { k } \} } \\ { - } & { \mathbb { P } \{ \sum _ { t = 0 } ^ { N - k } y _ { t } y _ { t + k } \geq \left( N + 1 - k \right) b _ { k } \} } \\ { \leq } & { 1 - \mathbb { P } \{ y _ { t } y _ { t + k } \leq a _ { k } , \forall 0 \leq t \leq N - k \} } \\ { - } & { \mathbb { P } \{ y _ { t } y _ { t + k } \geq b _ { k } , \forall 0 \leq t \leq N - k \} } \\ { = } & { 1 - \left( \mathbb { P } \{ y _ { t } y _ { t + k } \leq a _ { k } \} \right) ^ { N + 1 - k } } \\ { - } & { \left( \mathbb { P } \{ y _ { t } y _ { t + k } \geq b _ { k } \} \right) ^ { N + 1 - k } } \end{array}
{ \frac { d } { d T } } Z ( T ) = - 2 \; < - { \frac { 1 } { 2 } } \hat { ( \partial _ { t } \phi ) } _ { t } ^ { 2 } \; + \; { \frac { \lambda } { 4 } } \hat { \phi } _ { t } ^ { 4 } > ; \; \; \forall \; t \in [ - T ; T ] .
\Delta _ { \Omega ^ { ( { D } ) } } = \sum _ { j = 1 } ^ { { D } - 1 } \left[ \left( \prod _ { k = 1 } ^ { j - 1 } \sin ^ { 2 } \theta _ { k } \right) \, \sin ^ { { D } - j - 1 } \theta _ { j } \right] ^ { - 1 } \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } \left( \sin ^ { { D } - j - 1 } \theta _ { j } \, \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } & { \leq 3 \theta ^ { 2 n } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + 3 \left( C \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \theta ^ { n - m - 1 } e ^ { - \kappa ^ { \prime } m } \right) ^ { 2 } + 3 \left( \frac { C } { \delta _ { n } ^ { 1 / 2 } } \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \theta ^ { n - m - 1 } \tau _ { m } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq C e ^ { - \kappa n } + \frac { C } { \delta _ { n } } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } e ^ { - \kappa ( n - m - 1 ) } \tau _ { m } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { t } } & { = \theta _ { R } ^ { \top } S _ { t + 1 } + \gamma \beta ^ { \top } S _ { t + 1 } + \theta _ { A } \gamma \operatorname* { m a x } \{ 1 _ { d } ^ { \top } \theta _ { R } , 0 \} } \\ & { = \theta _ { R } ^ { \top } S _ { t + 1 } + \gamma \beta ^ { \top } S _ { t + 1 } + \theta _ { A } \gamma 1 _ { d } ^ { \top } \theta _ { R } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| d ( z ) - d _ { Q } ( z ) \right| \leqslant \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { n ! } \frac { n l ^ { n + 2 } } { 2 4 m ^ { 2 } } \underset { i } { \mathrm { m a x } } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } K _ { n } } { \partial x ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { n } ) } \leqslant \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { n ! } \frac { n l ^ { n + 2 } } { 6 m ^ { 2 } } n ^ { n / 2 } A ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathrm { K L } ( p _ { t _ { i + 1 } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } | | \, p _ { t _ { i + 1 } } ^ { \mathrm { O D E } , t _ { i } } | \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } \\ { = } & { \quad \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } | | \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \Delta t \, \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - \mu _ { t _ { i + 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + C _ { 2 } } \\ { = } & { \quad \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } | | \Delta t \, g ( t _ { i } ) ^ { 2 } \, \frac { 1 } { 2 } \, s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + C _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { + } \leqslant \mathcal { R } _ { \mathtt k , m ^ { R } } ( \varphi ^ { R } ) } & { = \frac { \int _ { 0 } ^ { \alpha } H ^ { p } ( ( \varphi ^ { * } ) ^ { \prime } ) + \int _ { \alpha } ^ { 1 } H ^ { p } ( ( \varphi _ { * } ) ^ { \prime } ) + \mathtt k ( \varphi ^ { * } ) ^ { p } ( 0 ) + \mathtt k ( \varphi _ { * } ) ^ { p } ( 1 ) } { \int _ { 0 } ^ { \alpha } m ^ { * } ( x ) ( \varphi ^ { * } ) ^ { p } + \int _ { \alpha } ^ { 1 } m _ { * } ( x ) ( \varphi _ { * } ) ^ { p } } } \\ & { \leqslant \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } H ( \varphi ^ { \prime } ) ^ { p } + \mathtt k \varphi ^ { p } ( 0 ) + \mathtt k \varphi ^ { p } ( 1 ) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } m ( x ) \varphi ^ { p } } = \Lambda ^ { + } , } \end{array}
\varepsilon _ { K } ( c , t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \Delta m _ { K } } \frac { G _ { F } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 6 \pi ^ { 2 } } f _ { K } ^ { 2 } B _ { K } m _ { K } \mathrm { I m } [ V _ { c s } V _ { c d } ^ { * } V _ { t s } V _ { t d } ^ { * } ] \eta _ { c t } ^ { K } S ( x _ { c } , x _ { t } ) .
| P _ { s } - P _ { a } | \ll \Delta P ^ { * } = \left| \left( \frac { 1 } { \rho _ { s } ^ { o } } - \frac { 1 } { \rho _ { l } ^ { o } } \right) \left( \frac { 1 } { 2 \rho _ { s } ^ { o } K _ { s } } - \frac { 1 } { 2 \rho _ { l } ^ { o } K _ { l } } \right) ^ { - 1 } \right| \approx 4 2 0 \mathrm { M P a } .
\begin{array} { r l } { J ^ { \pi } ( s _ { 1 } ) - J ^ { \pi ^ { \prime } } ( s _ { 1 } ) = } & { J ^ { \pi } ( s _ { 1 } ) - \mathbb { E } _ { \tau \sim P r ^ { \pi ^ { \prime } } } [ \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \gamma ^ { t - 1 } \bar { c } _ { t } ] } \\ { = } & { J ^ { \pi } ( s _ { 1 } ) - \mathbb { E } _ { \tau \sim P r ^ { \pi ^ { \prime } } } [ \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \gamma ^ { t - 1 } ( \bar { c } _ { t } + J ^ { \pi } ( s _ { t } ) - J ^ { \pi } ( s _ { t } ) ] } \\ { \overset { ( a ) } { = } } & { - \mathbb { E } _ { \tau \sim P r ^ { \pi ^ { \prime } } } [ \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \gamma ^ { t - 1 } ( \bar { c } _ { t } + \gamma J ^ { \pi } ( s _ { t + 1 } ) - J ^ { \pi } ( s _ { t } ) ] } \\ { \overset { ( b ) } { = } } & { - \mathbb { E } _ { \tau \sim P r ^ { \pi ^ { \prime } } } [ \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \gamma ^ { t - 1 } ( \bar { c } _ { t } + \gamma \mathbb { E } _ { s _ { t + 1 } } ^ { s _ { t } , a _ { t } } [ J ^ { \pi } ( s _ { t + 1 } ) ] - J ^ { \pi } ( s _ { t } ) ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } & { \mathbb { E } \| \mathbb { P } _ { n } - \mathbb { P } \| _ { \mathcal { F } } \lesssim \sqrt { \frac { d } { n } } \times \mathbb { E } \sqrt { \sigma _ { \mathcal { F } , n } ^ { 2 } \log { \frac { A } { \sigma _ { \mathcal { F } , n } } } } } \\ & { \le \sqrt { \frac { d } { n } } \times \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } \mathbb { E } ( \sigma _ { \mathcal { F } , n } ^ { 2 } ) \log { \frac { A ^ { 2 } } { \mathbb { E } ( \sigma _ { \mathcal { F } , n } ^ { 2 } ) } } } } & & { \left( \mathrm { b y ~ t h e ~ c o n c a v i t y ~ o f ~ u ~ \mapsto ~ \sqrt { u \log { \frac { A ^ 2 ~ } { ~ u } } } ~ } \right) , } \end{array} } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \Phi _ { \theta } - \theta - t \mu ( \Phi _ { r } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } = 2 \int ( \Phi _ { \theta } - \theta - t \mu ( \Phi _ { r } ) ) ( u _ { \theta } - \mu ( \Phi _ { r } ) - t \mu ^ { \prime } ( \Phi _ { r } ) u _ { r } ) .
\mathcal { S } ^ { * } = \int \frac { 1 } { 2 } \mathcal { R } _ { i } \mathcal { R } _ { i } d x ^ { 4 } , \quad \mathcal { R } _ { i } \equiv \rho \frac { d v _ { i } } { d t } + \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } - \mu \frac { \partial ^ { 2 } v _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } - ( \mu + \lambda ) \frac { \partial ^ { 2 } v _ { j } } { \partial x _ { j } \partial x _ { i } } - b _ { i } ,
[ x ^ { \tilde { i } } , x ^ { \tilde { j } } ] = i \theta ^ { \ \! \! \tilde { i } \tilde { j } } , \quad [ \partial _ { \tilde { i } } , x ^ { \tilde { j } } ] = i \delta _ { \tilde { i } } ^ { \tilde { j } } , \quad [ \partial _ { \tilde { i } } , \partial _ { \tilde { j } } ] = - i \Phi _ { \tilde { i } \tilde { j } } ^ { \prime } \quad ( \tilde { i } , \tilde { j } = \tilde { 1 } , \tilde { 2 } )
\alpha _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { c e l l ~ d o e s ~ n o t ~ c o n t a i n ~ p h a s e ~ } i , } \\ { ] 0 , 1 [ \, , } & { \mathrm { c e l l ~ c o n t a i n s ~ p h a s e ~ } i \mathrm { ~ a n d ~ o t h e r ~ p h a s e s } , } \\ { 1 , } & { \mathrm { c e l l ~ i s ~ c o m p l e t e l y ~ f i l l e d ~ w i t h ~ p h a s e ~ } i . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle \chi P _ { 0 } ( 1 - \chi _ { \tau } ) u _ { 0 } , g _ { 2 , T } } & { \rangle _ { 0 } = \langle \chi f _ { 0 } , g _ { 2 , T } \rangle _ { 0 } + \langle \chi [ P _ { 0 } , 1 - \chi _ { \tau } ] u _ { 0 } , g _ { 2 , T } \rangle _ { 0 } } \\ & { \longrightarrow \langle \chi f _ { 0 } , g _ { 2 , T } \rangle _ { 0 } - ( u _ { f _ { 0 } } , g _ { 2 , T } ) } \end{array}
\widetilde { \mathbf { E } } ^ { ( 1 , - ) } ( z ) = \mathbf { H } ( z ) \mathbf { W } ^ { ( - ) } ( z ) \left( \frac { s _ { * } } { h _ { 0 } } \right) ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } | x | ^ { { \beta } \sigma _ { 3 } } e ^ { \frac { i \sqrt { 3 } x ^ { 2 } } { 6 } \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { 1 } { | x | \varphi _ { 3 } ( z ) } } & { 1 } \end{array} \right) 2 ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { | x | \varphi _ { 3 } ( z ) } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { ( k - 1 ) ( n + 2 k - 2 ) } { k } \| \mathbf { X } _ { - } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \geq } & { \big ( \frac { 3 \lambda - 2 } { 2 } \alpha _ { n , k - 1 } - \frac { 8 ( 1 - \lambda ) } { 3 } \beta _ { n , k - 1 } - \frac { 2 9 ( 1 + \lambda ) } { 4 8 } - \frac { 1 + \lambda } { 4 } \delta _ { n , k - 1 } \big ) \| \iota _ { v } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } { \frac { \partial g _ { 1 , j } } { \partial x _ { j } } r _ { 2 } } \mathrm { d } x _ { j } = g _ { 1 , j } r _ { 2 } \Big | _ { x _ { j } = x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } - \int _ { x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } { \frac { \partial r _ { 2 } } { \partial x _ { j } } g _ { 1 , j } } \mathrm { d } x _ { j } . } \end{array}
\left\vert \overline { { x } } _ { n } - \overline { { y } } _ { n } \right\vert = \left\vert \overline { { x } } _ { n - 1 } - \overline { { y } } _ { n - 1 } + \frac { x _ { n } } { p ^ { n } } - \frac { y _ { n } } { p ^ { n } } \right\vert \geq \left\vert \overline { { x } } _ { n - 1 } - \overline { { y } } _ { n - 1 } \right\vert - \left\vert \frac { x _ { n } } { p ^ { n } } - \frac { y _ { n } } { p ^ { n } } \right\vert \geq \frac { 1 } { p ^ { n - 1 } } - \frac { p - 1 } { p ^ { n } } = \frac { 1 } { p ^ { n } } > 0 .
\begin{array} { r } { I ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } ( \theta , \tau ) = | A _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { c o u n t e r } } Y _ { 2 2 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } + A _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { c o u n t e r } } Y _ { 2 0 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } + A _ { s } ^ { \mathrm { c o u n t e r } } Y _ { 0 0 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { s } ^ { \mathrm { { c o u n t e r } } } } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { T } _ { i } ^ { + } } & { { } = } & { \left[ a ^ { + } + \frac { i } { ( 1 + \alpha ) N } \right] ( N - i ) , } \\ { \overline { T } _ { i } ^ { - } } & { { } = } & { \left[ a ^ { - } + \frac { N - i } { ( 1 + \alpha ) N } \right] i , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \left\{ i \omega \gamma ^ { 0 } - i \vec { \gamma } \left( \vec { \partial } _ { \vec { r } } - i e \vec { A } ( \vec { r } ) \right) - m + \gamma ^ { 0 } \mu \right\} G _ { \omega } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } ) + \gamma ^ { 0 } \Delta ( \vec { r } ) \bar { F _ { \omega } } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } ) = \delta ( \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } ) , } } \\ { { \bar { F _ { \omega } } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } ) \left\{ - i \omega \gamma ^ { 0 } + i \vec { \gamma } \left( \vec { \partial } _ { \vec { r } } + i e \vec { A } ( \vec { r } ) \right) - m + \gamma ^ { 0 } \mu \right\} - \Delta ^ { * } ( \vec { r } ) \gamma ^ { 0 } G _ { \omega } ( \vec { r } , \vec { r } ^ { \prime } ) = 0 , } } \end{array}
\mathcal { O } ( K _ { 1 } J _ { 1 } J _ { 2 } \dots J _ { d - 1 } J _ { d } + K _ { 1 } K _ { 2 } J _ { 2 } \dots J _ { d - 1 } J _ { d } + \dots + K _ { 1 } K _ { 2 } K _ { 3 } \dots K _ { d - 1 } J _ { d } )
\begin{array} { r l r } { \chi _ { i j } ( q ) } & { = } & { \chi _ { \parallel } ( q ) \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } + \chi _ { \perp } \left( \delta _ { i j } - \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } \right) , \quad \chi _ { \parallel } ( q ) = \frac { \epsilon _ { w } - 1 } { \epsilon _ { w } } \frac { \frac { \epsilon _ { w } } { \lambda _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } } { \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { D } } ^ { 2 } } + q ^ { 2 } } , \quad \chi _ { \perp } ( q ) = \frac { 1 } { K + \kappa _ { t } q ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \Pi ( \phi , \sigma ) = - \frac { \partial } { \partial \phi } \left[ v _ { \sigma } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ) \right] } \\ { + \lambda \sum _ { \sigma ^ { \prime } } [ \mu _ { \sigma ^ { \prime } \to \sigma } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ^ { \prime } ) - \mu _ { \sigma \to \sigma ^ { \prime } } ( \phi ) \Pi ( \phi , \sigma ) ] . } \end{array}
\frac { v ^ { 2 } } { \lambda } = \frac { ( a \Lambda ) ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \hat { m } ^ { 2 } a ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \lambda _ { R } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \bar { c } \right) \bar { I } _ { 2 } + Z _ { \phi ^ { 2 } } \left( \frac { v _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } } { \lambda _ { \mathrm { R } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { L ( z ) \cdot { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol u } } & { = \widehat \gamma \langle { \boldsymbol u } , Q { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol u } + \widehat \gamma \langle { \boldsymbol u } , X { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } ( z ) Q ^ { T } { \boldsymbol u } } \\ & { \quad + \widehat \gamma ^ { 2 } \langle { \boldsymbol u } , X { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } ( z ) X ^ { T } { \boldsymbol u } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { l } { \dot { q _ { 0 } } } \\ { \dot { q _ { 1 } } } \\ { \dot { q _ { 2 } } } \\ { \dot { q _ { 3 } } } \\ { \dot { q _ { 4 } } } \end{array} \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l l l l } { q _ { 0 } } & { - q _ { 1 } } & { - q _ { 2 } } & { - q _ { 3 } } \\ { q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } & { - q _ { 3 } } & { q _ { 2 } } \\ { q _ { 2 } } & { q _ { 3 } } & { q _ { 0 } } & { - q _ { 1 } } \\ { q _ { 3 } } & { - q _ { 2 } } & { q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Omega _ { x } } \\ { \Omega _ { y } } \\ { \Omega _ { z } } \end{array} \right) } \\ { \dot { \Omega _ { x } } } & { { } = } & { \frac { T _ { x } } { I _ { x x } } + \frac { I _ { y y } - I _ { z z } } { I _ { x x } } \Omega _ { y } \Omega _ { z } } \\ { \dot { \Omega _ { y } } } & { { } = } & { \frac { T _ { y } } { I _ { y y } } + \frac { I _ { z z } - I _ { x x } } { I _ { y y } } \Omega _ { z } \Omega _ { x } } \\ { \dot { \Omega _ { z } } } & { { } = } & { \frac { T _ { z } } { I _ { z z } } + \frac { I _ { x x } - I _ { y y } } { I _ { z z } } \Omega _ { x } \Omega _ { y } } \end{array}