harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \alpha ( J _ { v } ) } & { = \alpha ( ( 1 - v ^ { * } ) H ( \underline { o } ^ { v ^ { * } } ) - \widetilde D ) } \\ & { < \alpha ( ( 1 - v ^ { * } ) H ( \underline { o } ^ { v ^ { * } } ) - ( 1 - v ^ { * } ) \widetilde K [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] ) } \\ & { = \alpha \left( ( 1 - v ^ { * } ) \left[ H ( \underline { o } ^ { v ^ { * } } ) - \widetilde K [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] \right] \right) . } \end{array}
S = \int { \frac { d ^ { 2 } x } { 2 \pi } } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m } \psi _ { L } ^ { i } \partial \psi _ { L } ^ { i } + \psi _ { R } ^ { i } \bar { \partial } \psi _ { R } ^ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \beta _ { L } ^ { j } \partial \gamma _ { L } ^ { j } + \beta _ { R } ^ { j } \bar { \partial } \gamma _ { R } ^ { j } + g \left( \psi _ { L } ^ { i } \psi _ { R } ^ { i } + \beta _ { L } ^ { j } \gamma _ { R } ^ { j } - \gamma _ { L } ^ { j } \beta _ { R } ^ { j } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { X } & { { } = a \cos \omega { \frac { \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta - c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } } { \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } } , } \\ { Y } & { { } = b \cos \beta \sin \omega , } \\ { Z } & { { } = c \sin \beta { \frac { \sqrt { a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \omega + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \omega - c ^ { 2 } } } { \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w _ { 0 } ^ { P } ( t ) = - \operatorname* { i n f } _ { z \in \mathbb { R } ^ { 4 } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \Bigg \{ - w _ { j } ^ { P } ( t ) { a } ^ { S B , j } ( z ( t ) ) + g _ { j } ( { a } ^ { S B , j } ( z ( t ) ) ) - \phi _ { j } ^ { \star } ( \hat { m } _ { j } ( z ( t ) , t ) ) \Bigg \} \; , } \\ & { \phi _ { j } ^ { \star } ( M ) = \operatorname* { s u p } _ { B _ { j } \geq 0 } \left\{ B _ { j } M - \operatorname* { i n f } _ { b _ { j } \colon B _ { j } = \frac 1 2 b _ { j } ^ { 2 } } \phi _ { j } ( b _ { j } ) \right\} \; . } \end{array}
= \epsilon ^ { i j } ( { \frac { \mu } { 2 } } A ^ { j } - f ^ { j } ) \dot { A } ^ { i } - { \frac { 1 } { 2 } } f ^ { i } f ^ { i } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \epsilon ^ { i j } \partial ^ { i } A ^ { j } ) ^ { 2 } + A ^ { 0 } ( \mu \epsilon ^ { i j } \partial ^ { i } A ^ { j } - \epsilon ^ { i j } \partial ^ { i } f ^ { j } ) ,
\begin{array} { r l } { | Y ^ { \prime } | \le } & { \epsilon ( r ) + C \int _ { - \tau _ { 0 } } ^ { - \theta \tau _ { 0 } } \int _ { M } \left( \delta ^ { - 1 } | \nabla \phi ^ { r } | ^ { 2 } ( \phi ^ { r } ) ^ { - 1 } \tau | \nabla b | ^ { 2 } + \delta \tau R ^ { 2 } \phi ^ { r } \right) e ^ { s b } \, d v _ { t } d t } \\ { \le } & { \epsilon ( r ) + C \int _ { - \tau _ { 0 } } ^ { - \theta \tau _ { 0 } } \int _ { M } \delta \tau R ^ { 2 } \phi ^ { r } e ^ { s b } \, d v _ { t } d t } \\ { \le } & { \epsilon ( r ) + \frac { 1 } { 1 0 } \int _ { - \tau _ { 0 } } ^ { - \theta \tau _ { 0 } } \int _ { M } \tau ( | \nabla ^ { 2 } b | ^ { 2 } + | R c | ^ { 2 } ) \phi ^ { r } e ^ { s b } \, d v _ { t } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { p , q , { \cal S } } ( H ( X Y ) ) : = } & { \sum _ { \scriptstyle ( x , y ) \in { \cal S } } \left| p _ { X Y } ( x , y ) \log \frac { 1 } { p _ { X Y } ( x , y ) } \right. } \\ & { \quad \left. - q _ { X Y } ( x , y ) \log \frac { 1 } { q _ { X Y } ( x , y ) } \right| , } \\ { d _ { p , q , { \cal S } } ( H ( Y | X ) ) : = } & { \sum _ { \scriptstyle ( x , y ) \in { \cal S } } \left| p _ { X Y } ( x , y ) \log \frac { 1 } { p _ { Y | X } ( y | x ) } \right. } \\ & { \quad \left. - q _ { X Y } ( x , y ) \log \frac { 1 } { q _ { Y | X } ( y | x ) } \right| . } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon = + 1 , } & { \quad a = + \left( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) , \quad b = + 2 m n ; } \\ { \varepsilon = - 1 , } & { \quad a = - \left( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) , \quad b = - 2 m n ; } \\ { \varepsilon = + i , } & { \quad a = - 2 m n , \quad b = + \left( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) ; } \\ { \varepsilon = - i , } & { \quad a = + 2 m n , \quad b = - \left( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) . } \end{array} \right. }
\int _ { \omega } \psi ^ { ( 1 ) } ( x ^ { \prime } ) \left( \int _ { I \times \mathcal { Y } } \Sigma ( x , y ) : \left( \begin{array} { l l } { E _ { y } ( \psi ^ { ( 2 ) } ) ^ { \prime } ( y ) - x _ { 3 } D _ { y } ^ { 2 } \psi _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ( y ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, d x _ { 3 } d y \right) \, d x ^ { \prime } = 0 ,
\begin{array} { r } { \phi _ { \pmb { \nu } } ^ { \mathrm { s y m } } : = \sum _ { \uppi \in S ( N ) } \bigotimes _ { t = 1 } ^ { N } \phi _ { \nu _ { \uppi ( t ) } } \qquad \mathrm { f o r } ~ \pmb { \nu } \in ( \mathbb { N } \times \mathbb { Z } _ { m } ) _ { \mathrm { o r d } } ^ { N } . } \end{array}
V _ { 2 } ^ { G P } ( \vec { x } ) = F _ { m } \left[ \frac { r _ { 2 3 } } { r _ { 2 3 } + r _ { 1 4 } } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 1 6 } , V ^ { G P } ( \hat { P } _ { 1 2 } \vec { x } ) , V ^ { G P } ( \hat { P } _ { 3 4 } \vec { x } ) \right]
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { Q \in \mathcal { Q } _ { \alpha } ( \mathcal X ) } \left| I _ { \theta } ( Q { \mathcal P } ) - I _ { \theta ^ { \prime } } ( Q { \mathcal P } ) \right| } \\ & { \le e ^ { 2 \alpha } \left( I _ { \theta } ( { \mathcal P } ) \lor I _ { \theta ^ { \prime } } ( { \mathcal P } ) \lor 1 \right) \left[ 2 \| \dot { p } _ { \theta } - \dot { p } _ { \theta ^ { \prime } } \| _ { L _ { 1 } ( \mu ) } + 3 \| { p } _ { \theta } - { p } _ { \theta ^ { \prime } } \| _ { L _ { 1 } ( \mu ) } \right] = : \varphi ( \theta , \theta ^ { \prime } ) , } \end{array}
\boldsymbol { u } = \sum _ { j , k } a _ { j k } \boldsymbol { w } _ { j } \varphi _ { k } , \ \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \mathcal { P } \boldsymbol { u } = \sum _ { \left\{ \lambda _ { j } \leq 8 c _ { 3 } C _ { 1 } ^ { 2 } , \ \mu _ { k } \leq 8 c _ { 4 } \lambda _ { j } ^ { b } C _ { 2 } ^ { 2 } \right\} } a _ { j k } \boldsymbol { w } _ { j } \varphi _ { k } .
\begin{array} { r } { 0 : 2 } \\ { \frac { \mu _ { u } - \rho u \mu _ { p } ( \gamma - 1 ) + \rho ^ { 2 } a ^ { 2 } \nu _ { p } } { 2 \rho } } \\ { \pm \frac { \sqrt { \rho ^ { 4 } a ^ { 4 } \nu _ { p } ^ { 2 } - 2 \rho ^ { 3 } a ^ { 2 } u \nu _ { p } ( \gamma - 1 ) \mu _ { p } + 2 \rho ^ { 2 } a ^ { 2 } ( 2 \nu _ { u } \mu _ { p } - \nu _ { p } \mu _ { u } ) + ( \rho u \mu _ { p } ( \gamma - 1 ) - \mu _ { u } ) ^ { 2 } } } { 2 \rho } } \end{array}
C _ { 3 g } ^ { C } = \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 4 } } I m ( \xi _ { t } \xi _ { b } ) h _ { C } ( y _ { b } , y _ { t } ) \prod _ { n = 3 } ^ { 5 } ( \frac { g _ { s } ( m _ { q _ { n } } ) } { g _ { s } ( m _ { q _ { n + 1 } } ) } ) ^ { \gamma _ { n } ^ { C } / \beta _ { n } }
i \frac { d } { d t } | \psi \rangle = \left( H _ { \mathrm { { n H } } } - \Delta I \right) | \psi \rangle + \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \epsilon } \end{array} \right) , \quad | \psi \rangle = \left( \begin{array} { l } { \alpha } \\ { \beta } \\ { \delta } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac 1 2 \| \tilde { u } _ { x t } \| ^ { 2 } \le | \alpha ^ { \prime \prime } | \, \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + C \big ( } & { \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } } \\ & { + | \alpha ^ { \prime \prime } | + | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } S ( x , t ) - \partial _ { x x } S ( x , t ) = - \beta S ( x , t ) I ( x , t ) , } & { \quad - L < x < L , \quad t > 0 , } \\ & { \partial _ { t } I ( x , t ) - \partial _ { x x } I ( x , t ) = \beta S ( x , t ) I ( x , t ) - \gamma I ( x , t ) , } & { \quad - L < x < L , \quad t > 0 , } \\ & { \partial _ { t } R ( x , t ) - \partial _ { x x } R ( x , t ) = \gamma I ( x , t ) , } & { \quad - L < x < L , \quad t > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ^ { * } , \rho ^ { * } } & { { } = } & { \arg \underset { u } { \operatorname* { m i n } } \underset { \rho ( x ) > 0 , \int \rho ( x ) d x = 1 } { \operatorname* { m a x } } L ( u , \rho ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { b } { c } > \frac { p _ { \mathrm { r e s \to r e s } } - p _ { \mathrm { m u t \to r e s } } } { p _ { \mathrm { r e s \to r e s } } - p _ { \mathrm { r e s \to m u t } } } } & { \mathrm { i f ~ p _ \mathrm { ~ r e s ~ \ t o ~ r e s } ~ > ~ p _ \mathrm { ~ r e s ~ \ t o ~ m u t } ~ } } \\ { \displaystyle \frac { b } { c } < \frac { p _ { \mathrm { r e s \to r e s } } - p _ { \mathrm { m u t \to r e s } } } { p _ { \mathrm { r e s \to r e s } } - p _ { \mathrm { r e s \to m u t } } } } & { \mathrm { i f ~ p _ \mathrm { ~ r e s ~ \ t o ~ r e s } ~ < ~ p _ \mathrm { ~ r e s ~ \ t o ~ m u t } ~ } } \\ { p _ { \mathrm { r e s \to r e s } } < p _ { \mathrm { m u t \to r e s } } } & { \mathrm { i f ~ p _ \mathrm { ~ r e s ~ \ t o ~ r e s } ~ = ~ p _ \mathrm { ~ r e s ~ \ t o ~ m u t } ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r l } { C _ { 0 } } & { = \left. \partial _ { \eta } ^ { 2 p } \left[ \varepsilon _ { \tilde { \eta } } \left[ ^ { ( d _ { r } ) } \overline { { C } } _ { p + 1 } \right] \right] \right| _ { \eta = 0 } , } & { 0 } & { = \left. \partial _ { \eta } ^ { 2 p + 1 } \left[ \varepsilon _ { \tilde { \eta } } \left[ ^ { ( d _ { r } ) } \overline { { C } } _ { p + 1 } \right] \right] \right| _ { \eta = 0 } . } \end{array}
a _ { \alpha } ( { \bf x } _ { i } ) = - \left( { \frac { \hbar \theta } { e \pi } } \right) \sum _ { j \ne i } \epsilon _ { \alpha \beta } { \frac { ( { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } ) ^ { \beta } } { \vert { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } \vert ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } ( r , \theta ) } & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { r ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } \ \left( A _ { n } f _ { \mathrm { I } , i j } ( \theta , n ) + B _ { n } f _ { \mathrm { I I } , i j } ( \theta , n ) \right) } , } \\ { u _ { i } ( r , \theta ) } & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { r ^ { \frac { n } { 2 } } } { 2 \mu } \ \left( A _ { n } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , n ) + B _ { n } g _ { \mathrm { I I } , i } ( \theta , n ) \right) , } \\ { \hat { \sigma } _ { i j } ( r , \theta ) } & { = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } { r ^ { \frac { m } { 2 } - 1 } \ \left( \hat { A } _ { m } f _ { \mathrm { I } , i j } ( \theta , m ) + \hat { B } _ { m } f _ { \mathrm { I I } , i j } ( \theta , m ) \right) } , } \\ { \hat { u } _ { i } ( r , \theta ) } & { = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \frac { r ^ { \frac { m } { 2 } } } { 2 \mu } \ \left( \hat { A } _ { m } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , m ) + \hat { B } _ { m } g _ { \mathrm { I I } , i } ( \theta , m ) \right) . } \end{array}
\left[ G _ { p + 1 , \, q + 1 } ^ { \, m + 1 , \, n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { 1 - \mathbf { a _ { p } } , h + 1 } \\ { 0 , 1 - \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, ( - 1 ) ^ { p - m - n } \; z \right) + ( - 1 ) ^ { h } \; G _ { p + 1 , \, q + 1 } ^ { \, m , \, n + 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { h + 1 , 1 - \mathbf { a _ { p } } } \\ { 1 - \mathbf { b _ { q } } , 0 } \end{array} } \; \right| \, ( - 1 ) ^ { p - m - n } \; z \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( I ) } } & { = ( \lambda - 1 ) \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } ) ( t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { \angle } ) , \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle + \langle \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ^ { 1 } , ( \lambda - 1 ) t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { 0 } + \lambda r ^ { \angle } ) - \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ^ { 1 } , r ^ { 1 } ) , \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle } \\ & { \ge ( \lambda - 1 ) \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } ) ( t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { \angle } ) , \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \rangle - M \| t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { \angle } \| \| \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \| } \\ & { \ge - ( \Delta ( t _ { * } ^ { 1 } ) + M ) \| t _ { * } ^ { \angle } + r ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } \| \Pi _ { 0 } \Theta _ { \alpha } r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 3 } ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , 3 } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 } ; \{ \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 , O } \} ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , F } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , F / C } ; \mathfrak { p } _ { L , F / C } , \mathfrak { p } _ { R , S / C } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { { 3 \mathrm { b } } , F } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L \cap R , F } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , F } \bigr ] } \\ & { \qquad \to [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } ; \mathfrak { p } _ { 3 \mathrm { b } } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R } ; \mathfrak { p } _ { L } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V a r ( \breve { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) ) = \mathbb { E } ( ( \breve { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) - \mathbb { E } ( \breve { \sigma } _ { \infty } ^ { 2 } ( k ) ) ) ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \mathbb { E } \Big ( \Big ( \sum _ { r = 1 } ^ { R } Y _ { r } - \mathbb { E } ( Y _ { r } ) \Big ) ^ { 2 } \Big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { R } \sum _ { l = - R + 1 } ^ { R - 1 } \frac { R - l } { R } c o v ( Y _ { r } , Y _ { l + r } ) } \\ { \le } & { \frac { 8 } { R } \vert \vert Y _ { r } \vert \vert _ { L _ { \infty } } ^ { 2 } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \widetilde { \alpha } _ { l } \le \frac { 8 C S } { R } \rightarrow 0 , \ \mathrm { a s } , \ T \rightarrow \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { q } ( \pi ^ { i } ) = \hat { q } _ { \pi ^ { i } } ( \phi _ { 1 } ^ { i } ) \prod _ { j = 2 } ^ { M - 1 } \hat { q } _ { \pi ^ { i } } ( \phi _ { j + 1 } | \phi _ { j } ) , } \\ & { \mathrm { w h e r e ~ } \hat { q } _ { \pi ^ { i } } ( \phi _ { 1 } ^ { i } ) = \frac { \ell ( \phi _ { 1 } ^ { i } ; \pi ^ { i } ) } { M } = \frac { \ell ( \{ \phi _ { 1 } ^ { i } | \phi _ { 0 } \} ; \pi ^ { i } ) } { M } , } \\ & { \hat { q } _ { \pi ^ { i } } ( \phi _ { j + 1 } ^ { i } | \phi _ { j } ^ { i } ) = \frac { \ell ( \{ \phi _ { j + 1 } ^ { i } | \phi _ { j } ^ { i } \} ; \pi ^ { i } ) } { M - 1 } . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } = \omega \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \omega _ { 0 } \hat { J } _ { z } + \frac { \lambda } { \sqrt { N } } \left( \hat { a } \hat { J } _ { + } + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { J } _ { - } \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { d i v } \mathbf { w } _ { \mathbf { u } } = 0 , } \\ & { } & { { \displaystyle \frac { \partial \mathbf { w } _ { \mathbf { u } } } { \partial t } } + { { \mathrm { d i v } \mathbf { { \cal F } ^ { \mathbf { w } _ { \mathbf { u } } } } ( \mathbf { w } _ { \mathbf { u } } } ) } + { \nabla \pi } - \mathrm { d i v } ( \tau ) = { \mathbf { f } _ { \mathbf { u } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phantom { \sum } } & { { } \: \: \left( e _ { \mathrm { ~ X ~ } } ^ { \mathrm { ~ s ~ l ~ } } ( \mathbf { r } ) + G ( \mathbf { r } ) - e _ { \mathrm { ~ X ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ( \mathbf { r } ) \right) + e _ { \mathrm { ~ C ~ } } ^ { } ( \mathbf { r } ) \bigg ] \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { = - k _ { f e } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } + k _ { f e } ^ { \prime } C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } } \\ { R _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } } & { = k _ { f e } C _ { F e ^ { 2 + } } - C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } ( k _ { f e o h } + k _ { f e } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } ) } \\ { R _ { \mathrm { H } ^ { + } , f e } } & { = k _ { f e } C _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } - C _ { \mathrm { F e O H } ^ { + } } ( k _ { f e } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } - k _ { f e o h } ) } \end{array}
j _ { 8 , \mu } ^ { f } = \frac { N _ { c } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \mu \nu \lambda \rho } \mathrm { T r } \left( U \partial _ { \nu } U ^ { \dagger } U \partial _ { \lambda } U ^ { \dagger } U \partial _ { \rho } U ^ { \dagger } \right)
d s ^ { 2 } = - { \frac { 1 } { \sqrt \Delta } } \left( 1 - { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) d t ^ { 2 } + \sqrt \Delta \left( { \frac { d r ^ { 2 } } { ( 1 - r _ { 0 } / r ) } } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } \right)
{ \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \alpha } } = 1 + \cot ^ { 2 } \alpha = 1 + { \frac { ( R _ { A } - D ) ( R _ { B } + D ) } { D ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } = { \frac { R _ { A } R _ { B } } { D ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \, ,
\int d ^ { 3 } x _ { 2 } ( \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } R ^ { - 1 } ) \cdot \vec { J } _ { 2 } = \oint d \vec { S } _ { 2 } \cdot \left( \frac { \vec { J } _ { 2 } } { R } \right) + \int d ^ { 3 } x _ { 2 } \frac { 1 } { R } \partial _ { t } \rho _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { S _ { x } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { x } f ^ { * } B e ^ { i v } + \partial _ { x } f B ^ { * } e ^ { - i v } \right) , } \\ { S _ { y } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { y } f ^ { * } B e ^ { i v } + \partial _ { y } f B ^ { * } e ^ { - i v } \right) . } \end{array}
T _ { R } < 3 \cdot 1 0 ^ { - 2 } \left( \frac { B r } { C _ { a \gamma } } \right) ^ { - 0 . 6 3 } \left( \frac { m _ { A } } { 1 0 \mathrm { M e V } } \right) ^ { - 0 . 2 } A _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } \mathrm { ~ M e V } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \frac { 1 } { { \mu _ { 1 } } } \Delta y ( \boldsymbol { \mu } ) + 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } y ( \boldsymbol { \mu } ) = u , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { y ( \boldsymbol { \mu } ) = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \cup \Gamma _ { 5 } \cup \Gamma _ { 6 } , } \\ { y ( \boldsymbol { \mu } ) = 1 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 2 } \cup \Gamma _ { 4 } , } \\ { \displaystyle \frac { \partial y ( \boldsymbol { \mu } ) } { \partial \nu } = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 3 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } } & { = \bigg \| x _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } - \bigg ( \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \bar { \nu } _ { \ell } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } = \bigg \| \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta \big ( \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq I \eta ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \bigg \| \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\log L ( \{ t _ { j } , m _ { j } \} ) = \sum _ { j : m _ { j } \geq M _ { d } } \left[ \log \left( p _ { d } \cdot \lambda _ { 0 } ( t _ { j } , m _ { j } | H _ { t _ { j } } ) \right) - \int _ { t _ { j - 1 } } ^ { t _ { j } } p _ { d } \cdot \lambda _ { 0 } ( t | H _ { t } ) d t \right] .
\int { \frac { \cosh ^ { n } a x } { \sinh ^ { m } a x } } d x = - { \frac { \cosh ^ { n - 1 } a x } { a ( m - 1 ) \sinh ^ { m - 1 } a x } } + { \frac { n - 1 } { m - 1 } } \int { \frac { \cosh ^ { n - 2 } a x } { \sinh ^ { m - 2 } a x } } d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } m \neq 1 { \mathrm { ) } }
\frac { 2 m _ { 1 } ( m _ { 2 } - k ) ^ { \underline { { \ell } } } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } - k ) ^ { \underline { { \ell + 1 } } } } = \frac { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { \ell } } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { \ell + 1 } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { k } { m _ { 2 } } } \big ) \Big ) = \frac { 1 } { 2 ^ { \ell } } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { d } { m _ { 1 } } } \big ) + \mathcal { O } \big ( \textstyle { \frac { k } { m _ { 1 } } } \big ) \Big ) ,
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { m } } & { { } = } & { \langle m _ { + } | \hat { H } _ { \mathrm { ~ Z ~ e ~ e ~ } } | m _ { + } \rangle - \langle m _ { - } | \hat { H } _ { \mathrm { ~ Z ~ e ~ e ~ } } | m _ { - } \rangle } \end{array}
x _ { W K B } ( t ) = \Theta ( t - t _ { l } ) \frac { \delta v _ { l } \; e ^ { - \Gamma \left( t - t _ { l } \right) / 2 } } { \left( \omega \left( t _ { l } \right) \omega ( t ) \right) ^ { 1 / 2 } } \sin \left[ \phi ( t ) - \phi \left( t _ { l } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } ^ { T } [ ( - T k / x , k ) \to ( y _ { 2 } , 1 ) ] \leq } & { \mathcal { X } ^ { T } [ ( - T k / x , k ) \to ( y _ { 2 , j } , 1 ) ] - \mathcal { X } _ { 1 } ^ { T } ( y _ { 2 , j } ) + \mathcal { X } _ { 1 } ^ { T } ( y _ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { X } ^ { T } [ ( - T k / x , k ) \to ( y _ { 1 } , 1 ) ] \geq } & { \mathcal { X } ^ { T } [ ( - T k / x , k ) \to ( y _ { 1 , j } , 1 ) ] - \mathcal { X } _ { 1 } ^ { T } ( y _ { 1 , j } ) + \mathcal { X } _ { 1 } ^ { T } ( y _ { 1 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( J ^ { \alpha } \right) \left( J ^ { \beta } f \right) ( x ) } & { = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) } } \int _ { 0 } ^ { x } ( x - t ) ^ { \alpha - 1 } \left( J ^ { \beta } f \right) ( t ) \, d t } \\ & { = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( \beta ) } } \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { t } \left( x - t \right) ^ { \alpha - 1 } \left( t - s \right) ^ { \beta - 1 } f ( s ) \, d s \, d t } \\ & { = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( \beta ) } } \int _ { 0 } ^ { x } f ( s ) \left( \int _ { s } ^ { x } \left( x - t \right) ^ { \alpha - 1 } \left( t - s \right) ^ { \beta - 1 } \, d t \right) \, d s } \end{array} }
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { H } } [ { \bf \rho } ] = \frac { 1 } { 2 } \iint \frac { \rho ( { \bf r } ) \rho ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } , } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { t r e e } } = M _ { H } \sqrt { 1 - \frac { 4 M _ { W } ^ { 2 } } { M _ { H } ^ { 2 } } } \left( 1 - \frac { 4 M _ { W } ^ { 2 } } { M _ { H } ^ { 2 } } + \frac { 1 2 M _ { W } ^ { 4 } } { M _ { H } ^ { 4 } } \right) \, \frac { \lambda _ { \mathrm { t r e e } } } { 8 \pi } \, .
\begin{array} { r } { u = \frac { v \left( 2 \left( \sqrt { ( v - 8 ) v + 1 } - 1 \right) + v \left( v + \sqrt { ( v - 8 ) v + 1 } - 1 1 \right) \right) } { 3 ( v - 1 ) } } \\ { w = \frac { 1 } { 3 } \left( - \sqrt { ( v - 8 ) v + 1 } - 2 v \left( v + \sqrt { ( v - 8 ) v + 1 } - 8 \right) - 2 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { { \mathbf Y } } ( \tau ) } & { { } = } & { { \mathbf Y } ( \tau ) - \tau \left( \begin{array} { l } { { \mathbf b } _ { c } } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ { \widetilde { { \mathbf U } } ( \widetilde { { \mathbf Y } } , \tau ) } & { { } = } & { { \mathbf U } \left( { \mathbf Y } + \tau \left( \begin{array} { l } { { \mathbf b } _ { c } } \\ { 0 } \end{array} \right) \right) - \left( \begin{array} { l } { { \mathbf b } _ { c } } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial u _ { j } ^ { ( n ) } } \, \Theta ( { \bf u } , \lambda ) = - ( \Theta \lambda ^ { n } E _ { j j } { \Theta } ^ { - 1 } ) _ { - } \Theta ( { \bf u } , \lambda ) \quad ; \quad j = 1 , { \ldots } , m + 1 \, .