harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { b } _ { 1 } = [ \boldsymbol { h } ^ { \top } , \boldsymbol { f } _ { 1 } ^ { \top } , \boldsymbol { 0 } _ { ( ( N _ { t } - 1 ) ( Q _ { t } + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } ] ^ { \top } , } \\ & { \boldsymbol { b } _ { i } = [ \boldsymbol { 0 } _ { ( ( ( i - 1 ) ( Q _ { t } + 1 ) + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } , \boldsymbol { f } _ { i } ^ { \top } , \boldsymbol { 0 } _ { ( ( N _ { t } - i ) ( Q _ { t } + 1 ) Q _ { x } ) } ^ { \top } ] , \quad \mathrm { f o r } \; i = 2 , \cdots , N _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { M F I R } , p } ^ { ( k ) } = \operatorname { M F } \left( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k ) } , \frac { p } { 2 } \right) + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { M F I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \operatorname { M F } \left( F ^ { ( k - 1 ) } , G ^ { ( k - 1 ) } , \pi ^ { ( k ) } , \frac { p } { 2 } \right) \right) } \end{array}
\left. \partial _ { \tau } ^ { \alpha } \right| _ { \tau = 0 } \operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { Q ( \tau , e _ { i _ { 1 } } , e _ { j _ { 1 } } ^ { \prime } ) } & { \cdots } & { Q ( \tau , e _ { i _ { 1 } } , e _ { j _ { s } } ^ { \prime } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { Q ( \tau , e _ { i _ { s } } , e _ { j _ { 1 } } ^ { \prime } ) } & { \cdots } & { Q ( \tau , e _ { i _ { s } } , e _ { j _ { s } ^ { \prime } } ) } \end{array} \right] \neq 0 ,
\left\{ \begin{array} { l l } { O = ( b - c ) p _ { 2 } / ( 1 - p _ { 1 } + p _ { 2 } ) , } \\ { \chi = [ b - c ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ] / [ b ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) - c ] , } \\ { \phi = 1 / ( b \chi + 1 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) } & { { } = p ^ { 2 } \int _ { \omega } \Bigg \{ - \Bigg | \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi + \omega , p ) } { \omega } \Bigg | ^ { 2 } \, \bar { C } _ { \kappa } ( \omega + \varpi , p ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( L _ { 0 } , \ell _ { 0 } , L _ { 1 } , \ell _ { 1 } , L _ { 2 } , \ell _ { 2 } ) \mapsto ( \sqrt \lambda L _ { 0 } , \ell _ { 0 } , \sqrt \lambda L _ { 1 } , \ell _ { 1 } , \sqrt \lambda L _ { 2 } , \ell _ { 2 } ) ; } \\ & { ( x _ { 0 } , p _ { 0 } ; x _ { 1 } , p _ { 1 } ; x _ { 2 } , p _ { 2 } ) \mapsto ( \lambda x _ { 0 } , \lambda ^ { - 1 / 2 } p _ { 0 } ; \lambda x _ { 1 } , \lambda ^ { - 1 / 2 } p _ { 1 } ; \lambda x _ { 2 } , \lambda ^ { - 1 / 2 } p _ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { F _ { c } } { k _ { c } u _ { o } } = \frac { 1 } { a _ { c } + b _ { c } } \left\{ \left( 1 - \frac { \delta } { u _ { o } } \right) ^ { a _ { c } } - \left( 1 - \frac { \delta } { u _ { o } } \right) ^ { - b _ { c } } \right\} ,
\begin{array} { r l r } { \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } } & { { } = } & { \kappa \rho _ { s } ^ { \Gamma } \left[ 1 - \alpha _ { s } D \right] \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } - \alpha _ { s } 2 F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { \alpha } } & { { } = \left\langle z _ { \alpha } z _ { \alpha } ^ { * } \right\rangle \left( t \right) = \left\langle z _ { \alpha } z _ { \alpha } ^ { * } \right\rangle \left( 0 \right) + \epsilon ^ { 2 } \int \! \! d \beta d \gamma \ \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \left( \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } n _ { \alpha } n _ { \gamma } + \sigma _ { \gamma } ^ { \alpha \beta } n _ { \beta } n _ { \alpha } + \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } n _ { \beta } n _ { \gamma } \right) \frac { 1 - \cos \Omega _ { \alpha \beta \gamma } t } { \Omega _ { \alpha \beta \gamma } ^ { 2 } } + O \left( \epsilon ^ { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \left( \alpha _ { 0 } \delta p \right) } & { = \frac { \alpha _ { 0 } } { \Delta t } \left[ \nabla \cdot ( \widehat { \rho _ { 0 } \vec { u } } ) - \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \mathbf { u } ) ^ { k + 1 } \right] } \\ & { = \frac { \alpha _ { 0 } } { \Delta t } \nabla \cdot ( \widehat { \rho _ { 0 } \vec { u } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i } ( 0 ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( X _ { i } ( 0 ) ^ { 2 } + \beta _ { i } ( 0 ) ^ { 2 } \right) , i = 1 , \dots , d , } \\ { \theta _ { i } ( 0 ) } & { = \arctan \left( \frac { X _ { i } ( 0 ) } { \beta _ { i } ( 0 ) } \right) , i = 1 , \dots , d , } \\ { h ( 0 ) } & { = \frac { L ( 0 ) ^ { 4 } + 1 + \frac { B ( 0 ) ^ { 2 } } { 4 } } { 4 L ( 0 ) ^ { 2 } } , } \\ { \xi ( 0 ) } & { = \arctan \left( \frac { B ( 0 ) } { 4 h ( 0 ) - 2 L ( 0 ) ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\lceil \sqrt { K _ { i } / H _ { i } } \right\rceil ^ { ( \hat { R } _ { 1 } ) } } & { \leq } & { \sqrt { K _ { i } / H _ { i } } + \hat { R } _ { 1 } } \\ & { \leq } & { \sqrt { K _ { i } / H _ { i } } + ( 1 + \epsilon ) \cdot \tilde { T } _ { \operatorname* { m i n } } } \\ & { \leq } & { ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot \sqrt { K _ { i } / H _ { i } } \ , } \end{array}
2 \sqrt { 2 } G _ { F } E \, N _ { e } \simeq 2 . 3 \times 1 0 ^ { - 4 } \: \mathrm { e V } ^ { 2 } \: \left( \frac { \rho } { 3 \, \mathrm { g } \, \mathrm { c m } ^ { - 3 } } \right) \left( \frac { E } { 1 \; \mathrm { G e V } } \right) .
\zeta _ { \mu \nu } = \int d \mathbf { r } \, \int d \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \xi _ { \mu } ( \mathbf { r } ) \xi _ { \nu } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } .
V ( r ) = - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi r } - \frac { e ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \delta ^ { 3 } ( r ) - \frac { 1 1 e ^ { 4 } } { 4 8 \pi ^ { 2 } M _ { f } ^ { 2 } } \delta ^ { 3 } ( r ) - \frac { e ^ { 4 } } { 6 0 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } } \biggl ( \frac { \pi } { 2 } \biggr ) ^ { 2 } \frac { M _ { \gamma } ^ { 3 } e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 8 } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S E } } & { = \mathrm { M S E } _ { e } + \mathrm { M S E } _ { f } + \mathrm { M S E } _ { d } } \\ { \mathrm { M S E } _ { e } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| u \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) - u ^ { i } \right| ^ { 2 } + \left| v \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) - v ^ { i } \right| ^ { 2 } \right. } \\ & { \qquad + \left. \left| w \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) - w ^ { i } \right| ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| p \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) - p ^ { i } \right| ^ { 2 } \right) } \\ { \mathrm { M S E } _ { f } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| f _ { 1 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } + \left| f _ { 2 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } + \left| f _ { 3 } \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } \right) } \\ { \mathrm { M S E } _ { d } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( \left| u _ { x } ( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } ) + v _ { y } ( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } ) + w _ { z } ( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } ) \right. \Big . } \\ & { \qquad \left. \left. - I ( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } , z ^ { i } ) \right| ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) } & { { } = } & { \big ( V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( 0 ) - V _ { \mathrm { ~ B ~ } } - R \, \langle I _ { \mathrm { ~ t ~ } } \rangle \big ) \times \exp ( - t / R C ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { V } } _ { a b \to c d } } & { = \Bigl ( \frac { \Sigma _ { a a } ( \tilde { p } ^ { 2 } ) } { \tilde { p } ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } } + \frac { \Sigma _ { b b } ( \tilde { p ^ { \prime } } ^ { 2 } ) } { \tilde { p } ^ { 2 } - m _ { b } ^ { 2 } } + \frac { \Sigma _ { c c } ( \tilde { q } ^ { 2 } ) } { \tilde { q } ^ { 2 } - m _ { c } ^ { 2 } } + \frac { \Sigma _ { d d } ( \tilde { q } ^ { 2 } ) } { \tilde { q } ^ { 2 } - m _ { d } ^ { 2 } } \Bigr ) M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) } \\ & { = \Bigl ( \frac { \Sigma _ { a a } ^ { ( 0 ) } } { \tilde { p } ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } } + \frac { \Sigma _ { b b } ^ { ( 0 ) } } { \tilde { p } ^ { 2 } - m _ { b } ^ { 2 } } + \frac { \Sigma _ { c c } ^ { ( 0 ) } } { \tilde { q } ^ { 2 } - m _ { c } ^ { 2 } } + \frac { \Sigma _ { d d } ^ { ( 0 ) } } { \tilde { q } ^ { 2 } - m _ { d } ^ { 2 } } \Bigr ) M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) } \\ & { + \Bigl ( \Sigma _ { a a } ^ { ( 1 ) } + \Sigma _ { b b } ^ { ( 1 ) } + \Sigma _ { c c } ^ { ( 1 ) } + \Sigma _ { d d } ^ { ( 1 ) } \Bigr ) M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) , } \end{array}
\tau _ { k , s } = \frac { \tilde { \varkappa } _ { i } \ell _ { k , s } } { \sin ( \zeta ) } , \quad \alpha _ { k , s } = \frac { 1 } { \tau _ { k , s } } - \frac { e ^ { - \tau _ { k , s } } } { 1 - e ^ { - \tau _ { k , s } } } \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } Y _ { 1 } = } & { \ \left( \frac { \nabla _ { r } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } - V ( r ) + \mu _ { 1 } - | Y _ { 1 } | ^ { 2 } - g _ { 1 2 } | Y _ { 2 } | ^ { 2 } \right) Y _ { 1 } , } \\ { \partial _ { \tau } Y _ { 2 } = } & { \ \left( \frac { \nabla _ { r } ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } - V ( r ) + \mu _ { 2 } - g _ { 2 } | Y _ { 2 } | ^ { 2 } - g _ { 1 2 } | Y _ { 1 } | ^ { 2 } \right) Y _ { 2 } , } \end{array}
\hat { V } _ { h } ^ { p r o j } = \{ \underline { { v } } _ { h } \in \mathbb { P } ^ { l } ( \mathcal { F } _ { h } , \mathbb { R } ^ { 3 } ) : \underline { { v } } _ { h } \, \cdot \, \underline { { n } } = 0 \; \mathrm { ~ o ~ n ~ } \; E \in \mathcal { F } _ { h } \} ,
\begin{array} { c c c c } { { \mathrm { l o n g ~ r o o t s : } } } & { { \pm \, \beta _ { k l } ~ = ~ \pm ( 2 \epsilon _ { j k l } e _ { j } - e _ { k } - e _ { l } ) } } & { { } } & { { ( 1 \leq k < l \leq 3 ) } } \\ { { \mathrm { s h o r t ~ r o o t s : } } } & { { \pm \, \alpha _ { k l } ~ = ~ \pm ( e _ { k } - e _ { l } ) } } & { { } } & { { ( 1 \leq k < l \leq 3 ) } } \end{array} ~ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbf { X } ( t + 1 ) = \mathbf { X } ( t ) + \mathbf { V } ( t + 1 ) , \quad \mathbf { V } ( t + 1 ) = v _ { 0 } \mathcal { R } _ { \eta } \! \left[ \Theta \! \left( \mathbf { V } ( t ) - \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) \right) \right] \! , \quad \mathrm { e q u i v a l e n t l y , ~ } } \\ & { } & { \mathbf { X } ( t + 1 ) = \mathbf { X } ( t ) + v _ { 0 } \mathcal { R } _ { \eta } \! \left[ \Theta \! \left( \mathbf { X } ( t ) - \mathbf { X } ( t - 1 ) - \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) \right) \right] \! , \quad \tilde { \beta } = \frac { \beta } { M } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { x } ^ { \infty } = u _ { x } ^ { \infty , ( 0 ) } + C u ^ { n - 1 } u _ { x } ^ { \infty , ( 1 ) } + O ( C u ^ { 2 ( n - 1 ) } ) } \\ { u _ { x } ^ { \infty , ( 0 ) } = \frac { 1 – y ^ { 2 } } { \beta } ; \qquad u _ { x } ^ { \infty , ( 1 ) } = - \frac { 2 ^ { n } \epsilon } { \beta ^ { n + 1 } ( n + 1 ) } ( 1 – | y | ^ { n + 1 } ) } \end{array}
{ \mathcal { P } } \left\{ O _ { 1 } ( \sigma _ { 1 } ) O _ { 2 } ( \sigma _ { 2 } ) \cdots O _ { N } ( \sigma _ { N } ) \right\} \equiv O _ { p _ { 1 } } ( \sigma _ { p _ { 1 } } ) O _ { p _ { 2 } } ( \sigma _ { p _ { 2 } } ) \cdots O _ { p _ { N } } ( \sigma _ { p _ { N } } ) .
{ \vec { y } } _ { 0 } = { \left[ \begin{array} { l } { y _ { 0 } } \\ { y _ { - 1 } } \\ { \vdots } \\ { y _ { - n + 1 } } \end{array} \right] } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { c _ { i } \, \lambda _ { i } ^ { 0 } \, { \vec { e } } _ { i } } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \vec { e } } _ { 1 } } & { { \vec { e } } _ { 2 } } & { \cdots } & { { \vec { e } } _ { n } } \end{array} \right] } \, { \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } \\ { \cdots } \\ { c _ { n } } \end{array} \right] } = E \, { \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } \\ { \cdots } \\ { c _ { n } } \end{array} \right] }
\kappa _ { s } ( q ) = \frac { 2 \sqrt { \mu _ { S } \, \mu _ { B } } \, \vert a _ { S } + 3 \, b _ { S } \, q \vert } { \left[ \mu _ { B } \, q ^ { 2 } \left( 2 \, a _ { S } + 3 \, b _ { S } \, q \right) ^ { 2 } + \mu _ { S } \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \quad .
\begin{array} { r l } { \pmb { Q } _ { N } : } & { \ \ \left( \rho _ { N } , \mu _ { N } , s d _ { N } \right) \in \left( \left[ 0 . 6 0 , 0 . 9 9 \right] , \left[ - 1 0 0 , 1 0 0 \right] , \left[ 1 0 , 1 0 0 \right] \right) } \\ { \pmb { Q } _ { L N } : } & { \ \ \left( \rho _ { L N } , \mu _ { L N } , s d _ { L N } \right) \in \left( \left[ 0 . 6 0 , 0 . 9 9 \right] , \left[ - 3 , 3 \right] , \left[ 0 . 5 , 2 . 5 \right] \right) } \\ { \pmb { Q } _ { D L N } : } & { \ \ \left( \rho _ { D L N } ^ { p , n } , \mu _ { D L N } ^ { p , n } , s d _ { L N } ^ { p , n } , \rho _ { D L N } ^ { p n } \right) \in \left( \left[ 0 . 6 0 , 0 . 9 9 \right] , \left[ - 3 , 3 \right] , \left[ 0 . 5 , 2 . 5 \right] , \left[ - 1 , 1 \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c } { { \nabla _ { i } \Phi } } & { { = } } & { { ( \partial _ { i } + { \frac { 1 } { 2 } } p \partial _ { i } { \cal K } ) \Phi } } & { { ; } } & { { \nabla _ { i ^ { * } } \Phi } } & { { = } } & { { ( \partial _ { i ^ { * } } - { \frac { 1 } { 2 } } p \partial _ { i ^ { * } } { \cal K } ) \Phi } } \end{array}
\frac { 1 } { x _ { 1 2 } ^ { 4 } \, x _ { 3 4 } ^ { 4 } } \, ( - \frac { 5 } { 3 } v + \frac { 5 } { 3 } Y ^ { 2 } + \frac { 5 } { 6 } v Y + \frac { 1 } { 6 } v ^ { 2 } ) \, \Phi ( v , Y )
\begin{array} { r l } { E = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } ( E _ { 1 k } + E _ { 2 k } + E _ { 3 k } ) + E _ { 0 } } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \kappa y _ { 1 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) f _ { k } ^ { 2 } + \frac { Z ( \mathcal S _ { k } ) p _ { k } } { r _ { k } + a _ { k } } + \kappa y _ { 2 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) g _ { k } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { K _ { 0 } p _ { 0 } } { a _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \bar { \bf s } X ^ { i * } = \psi ^ { i * } } } & { { { \bf s } X ^ { i * } = \xi ^ { i * } } } \\ { { \bar { \bf s } \psi ^ { i } = - \frac { i } { 2 } \partial _ { + } X ^ { i } } } & { { { \bf s } \psi ^ { i * } = - \frac { 1 } { 2 } F ^ { i * } } } \\ { { \bar { \bf s } \xi ^ { i * } = \frac { 1 } { 2 } F ^ { i * } } } & { { { \bf s } \xi ^ { i } = - \frac { i } { 2 } \partial _ { - } X ^ { i } } } \\ { { \bar { \bf s } F ^ { i } = i \partial _ { + } \xi ^ { i } } } & { { { \bf s } F ^ { i } = - i \partial _ { - } \psi ^ { i } \ , } } \end{array}
\zeta ( \nu | \beta ) = { \frac { \varrho ^ { - 2 \nu } } { 2 \pi i } } \int _ { \mu } ^ { \infty } d \omega \int _ { C } d z \sum _ { \sigma _ { l } } { \frac { \breve { \Phi } ( \omega ; z ) } { z - \sigma _ { l } } } ( z ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { - \nu } ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { . . . - \frac { 2 C _ { - 2 } } { w ^ { 3 } } - \frac { C _ { - 1 } } { w ^ { 2 } } } & { = - \frac { 1 } { \lambda \sigma } \left( 1 + \frac { 2 \left( \lambda - 1 \right) + \mu \left( \gamma - 1 \right) } { 2 \gamma \left( 1 + V _ { 0 } \right) } \right) } \\ & { \times \left( . . . + \frac { C _ { - 2 } } { w ^ { 3 } } + \frac { C _ { - 1 } } { w ^ { 2 } } + \frac { C _ { 0 } } { w } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( E _ { - } ) } & { = L ( - q _ { 0 } ( E _ { - } ) , q _ { 0 } ( E _ { - } ) ; E _ { - } , - 1 ) = \int _ { - \sqrt { 2 E _ { - } } } ^ { \sqrt { 2 E _ { - } } } \frac { 2 ( 1 - E _ { - } ) + q ^ { 2 } } { \left[ ( 2 E _ { -- } q ^ { 2 } ) ( 4 - 2 E _ { - } + q ^ { 2 } ) \right] ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } q . } \end{array}
R ( s ) = \operatorname * { l i m } _ { p _ { 1 , 2 } ^ { 2 } \rightarrow 0 } p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } \frac { \tilde { \phi } _ { i n s t } ( p _ { 1 } ) \tilde { \phi } _ { i n s t } ( p _ { 2 } ) } { ( \partial _ { \mu } \phi _ { i n s t } , r ^ { - 2 } \partial ^ { \mu } \phi _ { i n s t } ) } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) \ln ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \Lambda _ { n } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \mathrm { i d } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \delta ( p _ { \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } } - q _ { \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } } - p _ { \sigma _ { n } ^ { 1 } } + q _ { \sigma _ { n } ^ { 2 } } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } ^ { 1 } - 1 } \delta ( p _ { m } - p _ { \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } } ) \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } ^ { 2 } - 1 } \delta ( q _ { m } - q _ { \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \pi _ { h } v | _ { s _ { h } } ^ { 2 } } & { = \frac { \gamma _ { 0 } b _ { \infty } } { h } \| [ \pi _ { h } v - v ^ { e } ] \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } + \gamma _ { 1 } h b _ { \infty } \| [ n _ { F } \cdot \nabla ( \pi _ { h } v - v ^ { e } ) \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \gamma _ { n } b _ { \infty } \| n _ { \Gamma _ { h } } \cdot \nabla \pi _ { h } v - n _ { \Gamma } ^ { e } \cdot \nabla v ^ { e } \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } = I + I I + I I I . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o v } ( a _ { t _ { 1 } } , b _ { t _ { 2 } } ) } & { = \mathrm { c o v } ( \alpha + \varepsilon _ { t _ { 1 } } , \alpha + \delta + \varepsilon _ { t _ { 1 } } ) } \\ & { = \mathrm { c o v } ( \varepsilon _ { t _ { 1 } } , \varepsilon _ { t _ { 2 } } ) = \mathrm { c o v } ( \varepsilon _ { t _ { 1 } + h } , \varepsilon _ { t _ { 2 } + h } ) } \\ & { = \mathrm { c o v } ( \alpha + \varepsilon _ { t _ { 1 } + h } , \alpha + \delta + \varepsilon _ { t _ { 1 } + h } ) } \\ & { = \mathrm { c o v } ( a _ { t _ { 1 } + h } , b _ { t _ { 2 } + h } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { p } ^ { p } ( \hat { F } _ { n , x } , F _ { x } ) ] } \\ { \leq } & { \; 3 ^ { p - 1 } \left( \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { p } ^ { p } ( \hat { F } _ { n , X } , \hat { F } _ { n , X } ^ { M } ) ] + \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { p } ( \hat { F } _ { n , X } ^ { M } , F _ { X } ^ { M } ) ] + \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { p } ^ { p } ( F _ { X } ^ { M } , F _ { X } ) ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 v _ { 2 } \leq v _ { 4 } ^ { \mathrm { h } 1 } + v _ { 5 } ^ { \mathrm { h } 1 } + v _ { 6 } ^ { \mathrm { h } 1 } + 2 v _ { 6 } ^ { \mathrm { h } 2 } + v _ { 7 } ^ { \mathrm { h } 1 } + 2 v _ { 7 } ^ { \mathrm { h } 2 } + 2 v _ { 8 } + v _ { 9 } ^ { \mathrm { h } 1 } + 2 v _ { 9 } ^ { \mathrm { h } 2 } + } \\ { 3 v _ { 9 } ^ { \mathrm { h } 3 } + \sum _ { i = 1 0 } ^ { n - 1 } \lfloor i / 3 \rfloor v _ { i } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \Gamma } } { \frac { d \Gamma ^ { B } } { d x _ { B } } } ( x _ { B } , m _ { t } , m _ { W } , m _ { b } ) = { \frac { 1 } { \Gamma } } \int _ { x _ { B } } ^ { 1 } { { \frac { d z } { z } } { \frac { d \Gamma ^ { b } } { d z } } ( z , m _ { t } , m _ { W } , m _ { b } ) D ^ { n p } \left( { \frac { x _ { B } } { z } } \right) } ,
\Omega _ { \kappa , \iota } \: = \: \big ( ( m \otimes i d ) \circ \big ( i d \otimes \big ( r _ { U } ^ { U _ { \iota } \cap U _ { \kappa } } \circ \tau _ { \iota , \kappa } \big ) \otimes i d \big ) \circ ( i d \otimes \Delta ) \big ) .
\begin{array} { r l } & { \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { \lambda _ { i } - \lambda _ { i + 1 } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { v _ { i } - v _ { i + 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { \mu _ { i } - \mu _ { i + 1 } } } } \\ { = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { M } \binom { M } { i } ^ { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } \left[ I _ { k = i } - I _ { i _ { k _ { l } } = i } - I _ { j _ { k _ { l } } = i } \right] } } \\ { = } & { \prod _ { m = 1 } ^ { M } ( M - m + 1 ) ^ { \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left[ 1 - I _ { m \ge i + 1 } - I _ { m \ge M - i + 1 } \right] \Big ) \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } \left[ I _ { k = i } - I _ { i _ { k _ { l } } = i } - I _ { j _ { k _ { l } } = i } \right] \Big ) } } \\ { = } & { \prod _ { m = 1 } ^ { M } ( M - m + 1 ) ^ { \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + 1 } } \left[ I _ { m \le k } - I _ { m \le i _ { k _ { l } } } - I _ { m \le j _ { k _ { l } } } \right] + \left[ I _ { m \ge M - i _ { k _ { l } } + 1 } + I _ { m \ge M - j _ { k _ { l } } + 1 } - I _ { m \ge M - k + 1 } \right] } . } \end{array}
s = \langle \mathrm { \boldmath ~ n ~ } \cdot \mathrm { \boldmath ~ j ~ } _ { 0 } \rangle = - \frac { 1 } { 2 } \left. \frac { \partial \mathrm { ~ \cal ~ L ~ } _ { \mathrm { e f f } } } { \partial V _ { 0 } ^ { 3 } } \right| _ { V _ { \mu } ^ { 3 } = 0 } = \frac { e B } { 4 \pi } .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } } & { = \arctan ( 1 ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } x ^ { 2 k } + { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } \, x ^ { 2 n + 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \right) \, d x } \\ & { = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { 2 k + 1 } } \right) + ( - 1 ) ^ { n + 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 2 n + 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x \right) . } \end{array} }
T = \left( { \frac { Q ^ { 2 } } { Q _ { s } ^ { 2 } } } \right) ^ { - ( 1 - \lambda _ { 0 } ) } \left[ \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { Q _ { s } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 1 - \lambda _ { 0 } } } \right] T _ { 0 } ^ { \prime }
\langle L _ { 2 } ( \tau ) \rangle = \frac { \left( 7 \alpha ^ { 2 } - \alpha ( 8 \beta + 3 ) + 2 \beta ( \beta + 1 ) \right) ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { \alpha - \beta } { \alpha - 1 } } } { 2 \gamma ( 2 \alpha - \beta ) ( 3 \alpha - \beta - 1 ) } \qquad \mathrm { f o r } \ \alpha < 0 \ .
f _ { q } ( \tau ) = \exp [ - \frac { 3 } { 2 } h \tau ] \left\{ a ( q ) \; J _ { \nu } ( z ) + b ( q ) \; J _ { - \nu } ( z ) \right\} \; ; \; z = \frac { q } { h } \exp [ - h \tau ] \; ; \; \nu = \sqrt { \frac { 1 } { h ^ { 2 } } + \frac { 9 } { 4 } } ,
{ \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { s - 1 } { \frac { e ^ { - { \frac { a } { t } } } } { t } } e ^ { - \mu t } d t = { \frac { 1 } { ( s - 1 ) } } \mu ^ { 1 - s } + { \frac { \Gamma ( 1 - s ) } { \Gamma ( s ) } } ( { a } ) ^ { s - 1 } + { \cal O } ( \mu ^ { 2 - s } , \mu )
\begin{array} { r l } { | P _ { \mathrm { s s } , P _ { 0 } } ^ { \lambda } \rangle = | R _ { 0 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle } & { + | R _ { 1 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \langle L _ { 1 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } | P _ { 0 } \rangle } \\ & { + | R _ { 2 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \langle L _ { 2 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } | P _ { 0 } \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { T } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \hbar \omega \, \hat { b } ( \omega ) ^ { \dagger } \hat { b } ( \omega ) \frac { d \omega } { 2 \pi } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \hbar \omega \, \hat { c } ( \omega ) ^ { \dagger } \hat { c } ( \omega ) \frac { d \omega } { 2 \pi } + } \end{array}
\Delta \Phi ^ { ( n ) } = \frac { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { j ^ { 2 ( q - 1 ) } ( R \xi ) ^ { j - 1 } } { ( \mathcal { V } ^ { ( j ) } ) ^ { 2 } } } } { \sqrt { 2 p ^ { ( 1 ) } } \sum _ { m = 1 } ^ { n } m ^ { q } ( R \xi ) ^ { m - 1 } } .
g _ { 1 , h } ^ { \mathrm { d i r } } ( x , Q ^ { 2 } ) = 3 \, e _ { h } ^ { 4 } \, \frac { \alpha } { 2 \pi } \, \theta ( \beta ^ { 2 } ) \left[ ( 2 x - 1 ) \ln \frac { 1 + \beta } { 1 - \beta } + \beta ( 3 - 4 x ) \right]
\langle \chi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } T ^ { a } \psi \, { \cal P } _ { \chi _ { c J } } \, \psi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } T ^ { a } \chi \rangle \; \approx \; ( 2 J + 1 ) \; \langle \chi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } T ^ { a } \psi \, { \cal P } _ { \chi _ { c 0 } } \, \psi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } T ^ { a } \chi \rangle \, .