harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \beta \mu _ { \mathrm { ~ p ~ } } } & { { } = \ln \phi _ { \mathrm { ~ p ~ } } + ( 1 - N _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) + ( N _ { \mathrm { ~ p ~ } } - 1 ) \ln ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } ) - N _ { \mathrm { ~ p ~ } } \ln ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } - \phi _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) + N _ { \mathrm { ~ p ~ } } \ln X _ { \mathrm { ~ p ~ } } , } \\ { \beta \mu _ { \mathrm { ~ s ~ } } } & { { } = \ln \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } + \beta u _ { \mathrm { ~ s ~ } } - \ln ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } ) + N _ { \mathrm { ~ s ~ } } \ln \left( \frac { 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } - \phi _ { \mathrm { ~ p ~ } } } \right) - N _ { \mathrm { ~ s ~ } } \left( 1 - \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } } \right) \frac { \phi _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { 1 - \phi _ { \mathrm { ~ s ~ } } } + n \ln X _ { \mathrm { ~ s ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t ^ { \prime } \rightarrow \infty } C ( t = t ^ { \prime } + s , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = C ( s , \tau ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t ^ { \prime } \rightarrow \infty } G ( t = t ^ { \prime } + s , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = G ( s , \tau ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } G ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { = 0 \, , \forall \, ( t ^ { \prime } , \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \vert \| _ { h } ^ { 2 } } & { \leq } & { ( 1 + \delta _ { 1 } ) \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { H } \vert \| _ { H } ^ { 2 } - \frac { 1 - \delta _ { 2 } } { 2 } \| \vert \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { H } \vert \| _ { h } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \frac { C _ { 3 } } { \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } \alpha } \bigg ( \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) + \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } ) \bigg ) . } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( A ) = \operatorname* { d e t } ( X ) ^ { - 1 } \operatorname* { d e t } ( B ) \operatorname* { d e t } ( X ) = \operatorname* { d e t } ( B ) \operatorname* { d e t } ( X ) ^ { - 1 } \operatorname* { d e t } ( X ) = \operatorname* { d e t } ( B ) .
\begin{array} { r } { \int _ { \tau _ { j } ^ { * } } \left( \boldsymbol { U } _ { h } \right) _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { x } = \int _ { \partial \tau _ { j } ^ { * } } \widehat { \boldsymbol { F } } \cdot \boldsymbol { n } \mathrm { d } \Gamma - \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { \tau } ^ { l } } { h _ { \tau } } \int _ { \tau _ { j } ^ { * } } \left( \boldsymbol { U } _ { h } - P _ { h } ^ { l - 1 } \boldsymbol { U } _ { h } \right) \mathrm { d } \boldsymbol { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { k } ^ { c } } & { \mapsto \sum _ { i , j } C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } - i ; \, \frac { b } { 2 } , \frac { b } { 2 } - j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } - k ) \, v _ { i } ^ { a } \otimes v _ { j } ^ { b } , } \\ & { \mapsto \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { b - j } C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } - i ; \, \frac { b } { 2 } , \frac { b } { 2 } - j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } - k ) \, v _ { i } ^ { a } \otimes ( v _ { b - j } ^ { b } ) ^ { * } , } \\ & { \mapsto \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { j } C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } - i ; \, \frac { b } { 2 } , - \frac { b } { 2 } + j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } - k ) \, \, ( v _ { j } ^ { b } ) ^ { * } \otimes v _ { i } ^ { a } } \end{array}
\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( \delta f ( y ) ) ^ { 2 } \mathrm { d } y = \frac { \lambda \theta } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \log | y - y ^ { \prime } | \delta f ( y ) \delta f ( y ^ { \prime } ) \mathrm { d } y \mathrm { d } y ^ { \prime } .
{ \frac { \Delta \tau } { \tau _ { 0 } } } = - { \frac { \alpha } { 2 \pi } } \left[ 6 \ln \left( { \frac { \Lambda } { m _ { p } } } \right) + 3 \ln \left( { \frac { m _ { p } } { 2 E _ { m } } } \right) - 2 . 8 5 \right] .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { a v a i l a b l e ~ e n e r g y } } & { = } & { \Delta U - \Delta Q } \\ & { = } & { \mathrm { a r e a ~ \triangle { O B A } ~ } - \left( \mathrm { a r e a ~ \triangle { E B C } ~ } + \mathrm { a r e a ~ \triangle { O E D } ~ } \right) } \\ & { = } & { \mathrm { a r e a ~ \triangle \! \! \! \nabla { A C E D } ~ } = k l \left( L - l \right) ; } \end{array}
\left( \frac { 1 } { n { _ o } { ^ 2 } } + r { _ { 1 3 } } E { _ z } \right) x { ^ 2 } + \left( \frac { 1 } { n { _ o } { ^ 2 } } + r { _ { 1 3 } } E { _ z } \right) x { ^ 2 } + \left( \frac { 1 } { n { _ e } { ^ 2 } } + r { _ { 3 3 } } E { _ z } \right) z { ^ 2 } + ( r { _ { 5 1 } } E { _ y } ) 2 y z + ( r { _ { 5 1 } } E { _ x } ) 2 z x = 1
\begin{array} { r l } { u _ { \Psi _ { i } } } & { = \sum _ { t _ { i } , \tau _ { i } : \xi ( t _ { i } , \tau _ { i } ) = 1 } \sum _ { v = 1 } ^ { 3 } f _ { v } ^ { \tau _ { i } , x _ { i , 0 } ^ { * } } \sum _ { S _ { 1 } , S _ { 2 } } F _ { | \partial i | } ^ { v , \tau _ { i } } ( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ) \psi ( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ) \log \psi ( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ) } \end{array}
\ell _ { 1 } ^ { \mu } ( \tau ) = \bar { \ell } _ { 0 } ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } \delta ^ { \mu } + V ^ { \mu } \tau , \, \ell _ { 2 } ^ { \mu } ( \tau ) = \bar { \ell } _ { 0 } ^ { \mu } - { \frac { 1 } { 2 } } \delta ^ { \mu } + V ^ { \mu } \tau ,
\frac { 1 } { k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } } \frac { d u _ { m - j } } { d t } = \mathcal { B } _ { - j } [ U ] - \frac { 4 ^ { - j } U _ { - j } } { \mathrm { R } _ { m } [ u ] } ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 2 } \langle v _ { 2 } , y _ { s } \rangle } & { = { \mathcal { T } } _ { 2 } ( u _ { 2 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) = { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 2 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 1 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) } \\ & { = { \mathcal { S } } ( u _ { 2 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 2 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle \left[ { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) \right] } \end{array}
\Big \| \hat { f } _ { n , \lambda } \circ s _ { n , \lambda } ^ { - 1 } - \hat { f } _ { n , \lambda } \Big \| _ { \infty } \leq \Big \| \hat { f } _ { n , \lambda } \circ s _ { n , \lambda } ^ { - 1 } - f _ { \lambda } \circ s _ { n , \lambda } ^ { - 1 } \Big \| _ { \infty } + \Big \| f _ { \lambda } \circ s _ { n , \lambda } ^ { - 1 } - f _ { \lambda } \Big \| _ { \infty } + \Big \| f _ { \lambda } - \hat { f } _ { n , \lambda } \Big \| _ { \infty } \xrightarrow [ ] { p . } 0
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 2 } E _ { x , \omega , k } ^ { ( r ) } } { d z ^ { 2 } } - \! \lambda _ { r , k } ^ { 2 } E _ { x , \omega , k } ^ { ( r ) } \! = \frac { 4 \pi i \lambda _ { r , k } ^ { 2 } } { \epsilon _ { r } \omega } \! \times } \\ { \left[ j _ { \omega , k } ^ { G } \delta ( z - z _ { 0 } ) \! + \! j _ { \omega , k } ^ { 2 D } \delta ( z \! - \! z _ { 1 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { X } \! = \! \{ \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { 5 } | \underline { { \mathbf { x } } } \leq \mathbf { x } \leq \overline { { \mathbf { x } } } \} , \mathbf { U } \! = \! \{ \mathbf { u } \in \mathbb { R } ^ { 2 } | \underline { { \mathbf { u } } } \leq \mathbf { u } \leq \overline { { \mathbf { u } } } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { T } ( z _ { 0 } ) \rangle } & { { } = \frac { H ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D } + \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \biggl [ \langle \mathcal { T } _ { H } ( 0 ) \rangle - \frac { H ^ { 2 } } { 2 D } + \frac { \langle \mathcal { T } _ { w } \rangle + \mathcal { E } _ { 0 } ( 0 ) \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( 0 ) \rangle } { \mathcal { E } _ { H } ( 0 ) } \biggr ] } \end{array}
f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { G K } } [ n _ { 0 } ] ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) = \delta ( { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } ) f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { u n i f } } [ n _ { 0 } ( { \bf r } ) ] ( q = 0 , \omega )
\begin{array} { r l } { \Theta _ { 2 } ( \ell , \ell ^ { ' } ) = } & { \ell \overset { \ell \wedge \ell ^ { ' } } { \underset { r = 1 } { \sum } } \frac { ( \ell - 1 ) ! / \sqrt { \ell ! } } { \sqrt { ( \ell - r ) ! } \sqrt { ( r - 1 ) ! } } \frac { ( \ell ^ { ' } - 1 ) ! / \sqrt { \ell ^ { ' } ! } } { \sqrt { ( \ell ^ { ' } - r ) ! } \sqrt { ( r - 1 ) ! } } \frac { \sqrt { ( \ell + \ell ^ { ' } - 2 r ) ! } } { \sqrt { ( \ell - r ) ! } \sqrt { ( \ell ^ { ' } - r ) ! } } } \\ { = } & { \overset { \ell \wedge \ell ^ { ' } } { \underset { r = 1 } { \sum } } \frac { r } { \ell ^ { ' } } \frac { \sqrt { \ell ! } } { \sqrt { ( \ell - r ) ! } \sqrt { r ! } } \frac { \sqrt { \ell ^ { ' } ! } } { \sqrt { ( \ell ^ { ' } - r ) ! } \sqrt { r ! } } \frac { \sqrt { ( \ell + \ell ^ { ' } - 2 r ) ! } } { \sqrt { ( \ell - r ) ! } \sqrt { ( \ell ^ { ' } - r ) ! } } . } \end{array}
\hat { H } _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \int \boldsymbol { p } ^ { 2 } { \hat { a } } _ { p q } ^ { + } ( \boldsymbol { p } ) { \hat { a } } _ { p q } ( \boldsymbol { p } ) + \frac { \beta _ { 2 } \hbar } { t _ { 0 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \biggl ( n + \frac { 1 } { 2 } \biggr ) { \hat { a } } _ { i n t } ^ { + } ( n ) { \hat { a } } _ { i n t } ( n ) \,
\epsilon \leq 2 \left( \frac { 2 \Omega } { \delta } \right) ^ { 2 } \left( \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { B D } } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \Delta \phi _ { \mathrm { R D } } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { u } + U \partial _ { x } \boldsymbol { u } + v \, U ^ { \prime } \boldsymbol { e } _ { x } + \boldsymbol { \nabla } p - \frac { 1 } { R e } { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { u } } & { { } = - \boldsymbol { u } \! \cdot \! \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } , } \end{array}
\protect Z = \sum _ { T \in { \tilde { \cal { T } } } _ { n } } ( \prod _ { i } q _ { i } ) ^ { d / 2 + \alpha } \int \prod _ { i , \mu } d X _ { i } ^ { \mu } \exp \left( - \sum _ { i , j } C _ { i j } \sum _ { \mu = 1 } ^ { d } ( X _ { i } ^ { \mu } - X _ { j } ^ { \mu } ) ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { E = K + V = { \frac { 1 } { 2 } } \mu \dot { \bf r } ^ { 2 } - G \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r } = \frac { 1 } { 2 \mu } { \bf p } ^ { 2 } - G \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r } , } \end{array}
\frac { 1 } { \rho ^ { 3 } } \frac { d } { d \rho } \left( \rho ^ { 3 } \frac { d f } { d \rho } \right) + \frac { 3 a ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } f - \frac { \overline { { { a } } } ^ { 6 } } { \rho ^ { 6 } f ^ { 4 } } f - f + f ^ { 3 } = 0
\begin{array} { r l } { I _ { k , i } } & { { } = \frac { P _ { \mathrm { c h i p } } } { K } \cdot \left( 1 + \cos \varphi _ { i } ^ { k } \right) = \frac { P _ { \mathrm { c h i p } } } { K } \cdot \left[ 1 + \cos ( \Delta \varphi _ { i } + \varphi _ { 0 } ^ { k } ) \right] , } \\ { \varphi _ { 0 } ^ { k } } & { { } = \begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l r } \end{array} \right. } \end{array} } \end{array}
\omega _ { \alpha \beta } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \equiv \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \gamma = 1 } ^ { 3 } ( C _ { \gamma \alpha } q _ { \gamma \beta } - C _ { \gamma \beta } q _ { \gamma \alpha } ) \, , \qquad \alpha , \beta = 1 , 2 , 3 \, .
\begin{array} { r l } & { \mathfrak { M } _ { d _ { i } R ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ( 0 , s ) } \\ & { \quad \le _ { \mathtt { p e } , s } \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } \left( \rVert d _ { i } g ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s _ { 0 } } \rVert \chi ( i ) \rVert _ { s } + \rVert d _ { i } g ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \rVert \chi _ { j } ( i ) \rVert _ { s _ { 0 } } + \rVert d _ { i } \chi ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s _ { 0 } } \rVert g ( i ) \rVert _ { s } + \rVert d _ { i } \chi ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \rVert g ( i ) \rVert _ { s _ { 0 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i } , x _ { j } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i } , y _ { j } ) + Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i } , y _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i } , x _ { j - 1 } ) } \\ & { + Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i - 1 } , y _ { j } ) + Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i - 1 } , y _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i - 1 } , x _ { j - 1 } ) } \\ & { + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , y _ { j } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , y _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \varepsilon ^ { - 1 } \left( q _ { 2 } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 2 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 2 } e ^ { i \theta } ) - q _ { 1 } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \theta } ) \right) = \frac { 1 } { \log q _ { 1 } } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \theta } ) \left( 1 + \frac { O ( 1 ) } { \log q _ { 1 } } \right) . } \end{array}
( \chi ( X _ { 1 , a q } ^ { ( q ) } ) ) ^ { - 1 } [ L _ { 1 , a q ^ { - 1 } } ^ { + , q } ] [ X _ { 1 , a q ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } ] - [ \overline { { \alpha _ { 1 } } } ] ^ { - 1 } ( \chi ( X _ { 1 , a q ^ { - 1 } } ^ { ( q ) } ) ) ^ { - 1 } [ L _ { 1 , a q } ^ { + , q } ] [ X _ { 1 , a q ^ { - 3 } } ^ { ( q ) } ] = \textstyle \frac { \chi _ { 1 } ^ { ( q ) } } { \chi _ { 2 } ^ { ( q ) } } ( 1 - [ \overline { { \alpha _ { 1 } } } ] ^ { - 1 } ) [ L _ { 2 , a } ^ { + , q } ]
\Pi _ { W W } ^ { ( 2 ) } ( 0 ) = N _ { c } C _ { F } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } ( g _ { W } ^ { 0 } v ^ { 0 } ) ^ { 2 } x _ { t } ^ { 0 } \left[ \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { ( m _ { t } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } \right] ^ { 2 \epsilon } \Gamma ^ { 2 } ( 1 + \epsilon ) \left[ - \frac { 3 } { 2 \epsilon ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 \epsilon } + \zeta ( 2 ) - \frac { 7 } { 8 } + { \cal O } ( \epsilon ) \right] .
\mathcal { M } \left( \tilde { p } , u _ { i } \right) = \left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d V ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n , P } } + q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { = 0 , } \\ { \frac { d V ^ { \mathrm { r v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n , S } } + q ^ { \mathrm { a r t , P } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , P } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t , P } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t , P } } + q ^ { \mathrm { p e r , P } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , S } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t , S } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t , S } } + q ^ { \mathrm { p e r , S } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n , S } } \frac { d p ^ { \mathrm { v e n , S } } } { d t } - q ^ { \mathrm { p e r , S } } + q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n , P } } p ^ { \mathrm { v e n , P } } - V ^ { \mathrm { v e n , P } } + V _ { \mathrm { { r e f 0 } } } ^ { \mathrm { v e n , P } } } & { = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { i } ^ { r } } h _ { i , l } ^ { r } \mathbf { u } ^ { j } \mathbf { K } _ { l } \mathbf { u } ^ { j } } { \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { i } ^ { r } } h _ { i , l } ^ { r } } , \quad \rho _ { i } ^ { j } = 1 } \\ { \varepsilon \frac { \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { i } ^ { r } } h _ { i , l } ^ { r } \mathbf { u } ^ { j } \mathbf { K } _ { l } \mathbf { u } ^ { j } } { \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { i } ^ { r } } h _ { i , l } ^ { r } } , \quad \rho _ { i } ^ { j } = 0 } \end{array}
\mathbf { S } _ { \boldsymbol { B } } ( \mathbf { u } ) = - \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \boldsymbol { B } } \\ { \boldsymbol { u } } \\ { \boldsymbol { u } { \cdot } \boldsymbol { B } } \end{array} \right] \boldsymbol { \nabla } { \cdot } \boldsymbol { B } .
H _ { a } ( s ) = { \frac { b _ { 0 } s + b _ { 1 } } { a _ { 0 } s + a _ { 1 } } } = { \frac { b _ { 0 } + b _ { 1 } s ^ { - 1 } } { a _ { 0 } + a _ { 1 } s ^ { - 1 } } }
\mathrm { s o f t } ( p _ { a ^ { \prime } } , k ^ { + } , p _ { b ^ { \prime } } ) = \sqrt { 2 } \, { \frac { \langle p _ { a ^ { \prime } } p _ { b ^ { \prime } } \rangle } { \langle p _ { a ^ { \prime } } k \rangle \langle k p _ { b ^ { \prime } } \rangle } } \, ,
_ { a } ^ { A B } D _ { t } ^ { - \alpha } f ( t ) = _ { a } ^ { A B } I _ { t } ^ { \alpha } f ( t ) = { \frac { 1 - \alpha } { A B ( \alpha ) } } f ( t ) + { \frac { \alpha } { A B ( \alpha ) \Gamma ( \alpha ) } } \int _ { a } ^ { t } \left( t - \tau \right) ^ { \alpha - 1 } f ( \tau ) \, d \tau ,
+ \left( 2 \rho _ { b } \left| f _ { i } \right| ^ { 2 } + \rho _ { k } \left| \mathbf { \bar { h } } _ { k } ^ { H } \mathbf { \bar { h } } _ { i } \right| ^ { 2 } + 2 \rho _ { b } \rho _ { k } \textrm { R e } \left( f _ { k } ^ { * } f _ { i } \mathbf { \bar { h } } _ { i } ^ { H } \mathbf { \bar { h } } _ { k } \right) \right) \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \rho _ { i }
\begin{array} { r l r } { I I _ { 1 } } & { = } & { \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \phi _ { j } \left( \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } - \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \right) \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { = } & { \int _ { T _ { \delta } } \int _ { \Omega } \alpha ( t ) \phi _ { j } \left( \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } - \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \right) \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { } & { + \int _ { [ 0 , T ] \backslash T _ { \delta } } \int _ { \Omega } \alpha ( t ) \phi _ { j } \left( \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u ^ { N } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u ^ { N } ) } \nabla u ^ { N } - \frac { g _ { \theta } ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( u _ { \theta } ) } \nabla u _ { \theta } \right) \cdot \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \nabla \frac { \mu ^ { N } } { g _ { \theta } ( u ^ { N } ) } d x d t } \\ & { = } & { I I _ { 1 1 } + I I _ { 1 2 } . } \end{array}
u ^ { \pm } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( u ^ { 0 } \pm u ^ { D - 1 } \right) \ , \ u ^ { i } \ , \ i = 1 , 2 , \cdots , D - 2 \ , \ u \cdot v = - u ^ { + } v ^ { -- } u ^ { - } v ^ { + } + u ^ { i } v ^ { i } \ ,
\left( \frac { d { \sigma } } { d \Omega _ { e } } \right) _ { e e } = \frac { 4 } { \Delta ^ { 4 } } \left( 1 - \frac { \Delta ^ { 2 } } { \Delta _ { e } ^ { 2 } } + \frac { \Delta ^ { 4 } } { \Delta _ { e } ^ { 4 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } } & { { } = c _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } , } \\ { \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } } & { { } = c _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } + c _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } } \end{array}
\bar { d } _ { \Sigma } ( x ) = \frac { 2 7 \sqrt { \tau } } { 4 0 \pi \alpha ^ { 2 } K ( x ) } \frac { [ \sigma ( \Sigma ^ { + } p ) - \sigma ( \Sigma ^ { + } n ) ] + 4 [ \sigma ( \Sigma ^ { - } p ) - \sigma ( \Sigma ^ { - } n ) ] } { [ u _ { p } ( x ) - d _ { p } ( x ) ] } ,
\begin{array} { r } { D J ( g ; g _ { i } ^ { b } ) = \gamma \int _ { 0 } ^ { T } \langle g , g _ { i } ^ { b } \rangle _ { \Gamma } \, d t + \int _ { 0 } ^ { T } \left( \theta ( g ) \nabla \rho ( g ) , L ( g _ { i } ^ { b } ) \right) d t , \quad i = 1 , \cdots , M . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathbf { w } _ { \alpha } \cdot \left( \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } - \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { w } _ { \alpha } + \mathbf { v } \right) \right) = } \\ & { \quad \quad \quad \quad \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , \dots N - 1 } \mathbf { w } _ { \alpha } \cdot \left( \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } - \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { w } _ { \alpha } + \mathbf { v } \right) \right) } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \mathbf { w } _ { N } \cdot \left( \boldsymbol { \beta } _ { N } - \hat { \gamma } _ { N } \left( \frac { 1 } { 2 } \mathbf { w } _ { N } + \mathbf { v } \right) \right) . } \end{array}
E _ { 1 } ( r , a ) = - \frac { 2 3 } { 1 5 } \, \alpha \, \frac { \varepsilon - 1 } { 4 \pi } \, \frac { a ^ { 3 } ( 5 r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } { r ( r + a ) ^ { 4 } ( r - a ) ^ { 4 } } \, , r > a \, .
- C = - A ^ { 0 } B ^ { 0 } + A ^ { 1 } B ^ { 1 } + A ^ { 2 } B ^ { 2 } + A ^ { 3 } B ^ { 3 } = - { A ^ { \prime } } ^ { 0 } { B ^ { \prime } } ^ { 0 } + { A ^ { \prime } } ^ { 1 } { B ^ { \prime } } ^ { 1 } + { A ^ { \prime } } ^ { 2 } { B ^ { \prime } } ^ { 2 } + { A ^ { \prime } } ^ { 3 } { B ^ { \prime } } ^ { 3 }
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \int _ { \Omega } \left( \phi _ { h , 0 } ^ { n + 1 } - \phi _ { h } ^ { n } \right) \xi _ { h } + \Delta t \int _ { \Omega } b \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) \nabla \mu _ { h , 0 } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \xi _ { h } = 0 , } \\ { \displaystyle \int _ { \Omega } \mu _ { h , 0 } ^ { n + 1 } \chi _ { h } = \int _ { \Omega } \nabla \phi _ { h , 0 } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \chi _ { h } , } \\ { \displaystyle \int _ { \Omega } \phi _ { h , 1 } ^ { n + 1 } \xi _ { h } + \Delta t \int _ { \Omega } \left( \mathbf { v } _ { h } ^ { n } \cdot \nabla \phi _ { h } ^ { n } \right) \xi _ { h } + \Delta t \int _ { \Omega } b \left( \phi _ { h } ^ { n } \right) \nabla \mu _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \xi _ { h } = 0 , } \\ { \displaystyle \int _ { \Omega } \mu _ { h , 1 } ^ { n + 1 } \chi _ { h } = \int _ { \Omega } \nabla \phi _ { h , 1 } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \chi _ { h } + \int _ { \Omega } \partial _ { \phi } j ( \phi _ { h } ^ { n } , \mathbf { F } _ { h } ^ { n } ) \chi _ { h } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { 1 \ge \operatorname* { s u p } \Phi _ { 2 } ( \Omega ) \ge \operatorname* { s u p } _ { a > 0 } \left( \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \Phi _ { 2 } ( \Omega _ { n } ^ { a } ) \right) \ge \operatorname* { s u p } _ { a > 0 } \frac { \int _ { B _ { 1 } } w _ { 2 , a } ( x ) d x } { | B _ { 1 } | \| w _ { 2 , a } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } } \\ & { \ge \operatorname* { l i m } _ { a \to + \infty } \frac { \int _ { B _ { 1 } } w _ { 2 , a } ( x ) d x } { | B _ { 1 } | \| w _ { 2 , a } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } = 1 . } \end{array}
\rho _ { 0 } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \ensuremath { \mathbf { r } } ) = \ensuremath { \langle \b { r } ^ { \prime } \vert } \hat { \rho } _ { 0 } \ensuremath { \vert \b { r } \rangle } = \Psi _ { 0 } ^ { } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) \Psi _ { 0 } ^ { * } ( \ensuremath { \mathbf { r } } )
\begin{array} { r } { i \frac { \partial } { \partial s } \hat { U } _ { j } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } \hat { U } _ { j } + 2 \left( \sum _ { l = 1 , 2 } \hat { U } _ { l } ^ { \dag } \hat { { U } } _ { l } \right) \hat { U } _ { j } = 0 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { 0 < \phi ( { y } ) \leq 1 \qquad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad { y } \, \, \in \, \, \Omega _ { 1 } , } \\ { \phi ( { y } ) = 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad { y } \, \, \in \, \, \partial \Omega , } \\ { - 1 \leq \phi ( { y } ) < 0 \qquad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \qquad { y } \, \, \in \, \, \Omega _ { 2 } . } \end{array} \right.