harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; t + \beta , y ) - \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; t , y ) \right| \geq K \beta ^ { 1 / 8 } \right) \leq D e ^ { - D ^ { - 1 } K ^ { 3 / 2 } } , } \\ { \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { T } ( s + \beta , x ; t , y ) - \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; t , y ) \right| \geq K \beta ^ { 1 / 8 } \right) \leq D e ^ { - D ^ { - 1 } K ^ { 3 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { a d v } ( x , y ) } & { = \ell _ { c e } ( \mathcal { T } ( x + \delta ) , y ) \mathrm { ~ } + } \\ & { \left\vert \frac { \sigma ( \mathcal { T } ( x + \delta ) ) \cdot \sigma ( \mathcal { T } _ { 0 } ( x + \delta ) ) } { \Vert \sigma ( \mathcal { T } ( x + \delta ) ) \Vert \Vert \sigma ( \mathcal { T } _ { 0 } ( x + \delta ) ) \Vert } \right\vert } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n } : D _ { n } \cup \Pi _ { n } } & { \xrightarrow { \varphi _ { n } \oplus \ell _ { n } } ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup E _ { n - 1 } \cup \Pi _ { n - 1 } } \\ & { \xrightarrow { \mathrm { i d } _ { [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } } \oplus \alpha _ { n - 1 } ^ { - 1 } } ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup D _ { n - 1 } \xrightarrow [ ] { g _ { n } ^ { - 1 } } [ n ] \times D _ { n - 1 } \xrightarrow [ ] { f _ { n } } E _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { | I ( k ) | \simeq | \vec { k } | ^ { - 3 + \epsilon } , } } & { { | \phi ( k ) | \simeq | \vec { k } | ^ { \tau } , } } & { { \tau > - \epsilon } } & { { \mathrm { \ a s \ } } } & { { | \vec { k } | \rightarrow 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 , i } } & { = } & { \int _ { B } | \partial _ { i } \partial _ { i } u | { f ^ { \prime \prime } } _ { i } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \frac { \beta _ { i } } { 2 } } ( | \partial _ { i } u | ) ( f _ { i } ^ { \prime \prime } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { - \frac { \beta _ { i } } { 2 } } ( | \partial _ { i } u | ) } \\ & { } & { \qquad \cdot \Gamma ^ { \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { c \int _ { B } f _ { i } ^ { \prime \prime } ( \partial _ { i } u ) | \partial _ { i } \partial _ { i } u | ^ { 2 } \Gamma ^ { \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { + c \int _ { B } ( f _ { i } ^ { \prime \prime } ) ^ { - 1 } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma _ { i } - \varepsilon _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) f _ { i } ^ { 2 } ( \partial _ { i } u ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x \, . } \end{array}
\mathcal { S } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ; \omega _ { i } ^ { \prime } , \omega _ { s } ^ { \prime } ) = \mathcal { S } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ^ { \prime } ) \mathcal { S } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { i } ^ { \prime } , \omega _ { s } ) e ^ { - g _ { i s } } ,
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) = \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } \hbar } \sum _ { \mu , \eta } \mathbf { d } \cdot \left[ \int _ { V _ { \mathrm { G } } } { \mathrm d } { \bf r } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { 2 A _ { \mu } ( \omega ) A _ { \eta } ^ { * } ( \omega ) } { \pi } | \epsilon _ { I } ( \mathbf { r } , \omega ) | \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ( \mathbf { r } ) \cdot \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) \right] \cdot \mathbf { d } \frac { i ( \omega _ { \mu } - \omega _ { \eta } ) + ( \gamma _ { \mu } + \gamma _ { \eta } ) } { ( \Delta _ { \mu a } - i \gamma _ { \mu } ) ( \Delta _ { \eta a } + i \gamma _ { \eta } ) } . } \end{array}
\gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } = \gamma ^ { [ 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 ] } = { \frac { 1 } { 4 ! } } \delta _ { \mu \nu \varrho \sigma } ^ { 0 1 2 3 } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \varrho } \gamma ^ { \sigma }
V = - \Gamma ( 3 / 2 ) \frac { ( \sin ^ { 2 } ( \pi \epsilon ) + \sinh ^ { 2 } ( \pi \nu ) ) } { \cos ( \pi \epsilon ) \sqrt ( 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } ) } ( \frac { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { r ^ { 2 } } ) ^ { 3 / 2 } .
B _ { ( m , \psi _ { m } ) [ \alpha , \psi _ { \alpha } ] } = { \frac { \sqrt { | \cal G | } } { \sqrt { | { \cal S } _ { m } | } | { \cal S } _ { \alpha } | } } { \frac { \sum _ { J } \psi _ { m } ( J ) \psi _ { \alpha } ( J ) { S } _ { m \alpha } ^ { J } } { \sqrt { { S } _ { 0 m } } } } \; \; \; \; ,
\chi _ { \mathrm { ~ F ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ A ~ C ~ ) ~ } } = [ ( \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ A ~ A ~ } } + \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ C ~ C ~ } } ) / 2 - \bar { \epsilon } _ { \mathrm { ~ A ~ C ~ } } ] / k _ { B } T = 0 . 1 2
\widehat { V } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 7 6 } } & { { 0 . 2 2 1 } } & { { 0 . 0 0 3 4 \, e ^ { - i \, 6 4 ^ { \circ } } } } \\ { { - 0 . 2 2 1 } } & { { 0 . 9 7 5 } } & { { 0 . 0 4 1 } } \\ { { 0 . 0 0 8 3 \, e ^ { - i \, 2 2 ^ { \circ } } } } & { { - 0 . 0 4 1 } } & { { 0 . 9 9 9 } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } { P ( B _ { 1 } ) } & { \leq C _ { 2 } \exp ( - C _ { 3 } \epsilon ^ { - 2 } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 2 } - 2 } K _ { 1 } \exp ( - \frac { K _ { 2 } } { 4 \epsilon ^ { 2 \alpha } \mathcal { D } ^ { 2 } \sqrt { c _ { 0 } } } ) } \\ & { \leq C _ { 2 } \exp ( - C _ { 3 } \epsilon ^ { - 2 } ) + \frac { 1 } { c _ { 1 } \epsilon ^ { 2 } } K _ { 1 } \exp ( - \frac { K _ { 2 } } { 4 \epsilon ^ { 2 \alpha } \mathcal { D } ^ { 2 } \sqrt { c _ { 0 } } } ) } \\ & { \leq C _ { 4 } \exp \left( - \frac { C _ { 5 } } { 8 ( 1 + \mathcal { D } ^ { 2 } ) \epsilon ^ { 2 \alpha } \sqrt { c _ { 0 } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { y } } & { = \frac { k _ { y } } { \sqrt { k _ { x } \mathrm { R } _ { \lambda } } } = \frac { 2 \pi } { \lambda _ { y } ^ { \ast } } \left( \frac { \nu _ { \infty } ^ { \ast } } { \omega ^ { \ast } } \right) ^ { 1 / 2 } = \mathcal { O } ( 1 ) , } \\ { \kappa _ { z } } & { = \frac { k _ { z } } { \sqrt { k _ { x } \mathrm { R } _ { \lambda } } } = \frac { 2 \pi } { \lambda _ { z } ^ { \ast } } \left( \frac { \nu _ { \infty } ^ { \ast } } { \omega ^ { \ast } } \right) ^ { 1 / 2 } = \mathcal { O } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma \big | _ { \Delta p _ { z ^ { \prime } } > \Delta p _ { \mathrm { m i n } } } = } & { \, n _ { g } \sqrt { 8 \pi } R ^ { 2 } \overline { { v } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \bigg ( e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \mathrm { s e c } ^ { 2 } \theta / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { \sqrt { \pi } \Delta p _ { \mathrm { m i n } } \mathrm { s e c } \, \theta } { 2 m _ { g } \overline { { v } } } \mathrm { e r f } \big ( \frac { \Delta p _ { \mathrm { m i n } } \mathrm { s e c } \, \theta } { 2 m _ { g } \overline { { v } } } \big ) e ^ { - \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \mathrm { s e c } ^ { 2 } \theta \big / 4 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) \mathrm { s i n } \, \theta \, d \theta . } \\ { = } & { \, \frac { n _ { g } A \overline { { v } } } { \sqrt { 2 \pi } } \eta _ { d } ^ { \prime } ( \Delta p _ { \mathrm { m i n } } ) , } \end{array}
f \left( G _ { \rho } , \theta , \frac { \kappa _ { T } } { \kappa _ { S } } \right) \equiv \frac { \kappa _ { T } } { \kappa _ { S } } G _ { \rho } ^ { 2 } + \left( \frac { \kappa _ { T } } { \kappa _ { S } } + 1 \right) G _ { \rho } \cos { \theta } + 1 .
\delta ~ A = - { \frac { h } { 2 \pi } } \int d ^ { 2 } x ( \gamma _ { R } \beta _ { R } - \gamma _ { L } \beta _ { L } ) - { \frac { g } { 8 \pi } } \int ~ d ^ { 2 } x ~ 2 \gamma _ { R } \beta _ { R } \gamma _ { L } \beta _ { L }
\mathcal { G } _ { \mathrm { m } } ^ { \prime } = \left\{ \mathbf { G } _ { \mathrm { m } , ( \pm 1 , 0 ) } , \mathbf { G } _ { \mathrm { m } , ( 0 , \pm 1 ) } , \mathbf { G } _ { \mathrm { m } , ( \pm 1 , \pm 1 ) } , \mathbf { G } _ { \mathrm { m } , ( \pm 1 , \mp 1 ) } \right\}
+ \left( \delta _ { \mu \lambda } \partial _ { \rho } \partial _ { \nu } + \delta _ { \nu \rho } \partial _ { \mu } \partial _ { \lambda } - \delta _ { \mu \rho } \partial _ { \lambda } \partial _ { \nu } - \delta _ { \nu \lambda } \partial _ { \mu } \partial _ { \rho } \right) f _ { - } ( x ) .
\begin{array} { r l r } { i \hbar \partial _ { t } \Psi _ { \alpha } } & { = } & { \Big ( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { \alpha } } \nabla ^ { 2 } + g _ { \alpha \alpha } | \Psi _ { \alpha } | ^ { 2 } + g _ { \alpha \beta } | \Psi _ { \beta } | ^ { 2 } } \\ & { + } & { \frac { 4 } { 3 \pi ^ { 2 } } \frac { m _ { \alpha } ^ { 3 / 5 } g _ { \alpha \alpha } } { \hbar ^ { 3 } } ( m _ { \alpha } ^ { 3 / 5 } g _ { \alpha \alpha } | \Psi _ { \alpha } | ^ { 2 } + m _ { \beta } ^ { 3 / 5 } g _ { \beta \beta } | \Psi _ { \beta } | ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \Big ) \Psi _ { \alpha } , } \end{array}
I _ { 1 B } ^ { \delta } = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { 2 \, d \theta } { ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 5 / 2 } } = \frac { 4 } { 3 } \Bigg ( \frac { 2 E ( { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ) - K ( { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ) } { 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } } + \frac { 2 E ( { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ) } { ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \Bigg )
{ \left[ \begin{array} { l l } { \cos \beta } & { - \sin \beta } \\ { \sin \beta } & { \cos \beta } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { \cos \alpha } & { - \sin \alpha } \\ { \sin \alpha } & { \cos \alpha } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha } & { - \cos \beta \sin \alpha - \sin \beta \cos \alpha } \\ { \sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha } & { - \sin \beta \sin \alpha + \cos \beta \cos \alpha } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( \alpha + \beta ) } & { - \sin ( \alpha + \beta ) } \\ { \sin ( \alpha + \beta ) } & { \cos ( \alpha + \beta ) } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { D G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ \dot { A } ( t ) ] } & { = D G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) \circ d _ { i } X _ { K } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ A ( t ) ] } \\ & { \ + D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ X _ { K } ( \bar { i } ( \omega t ) ) , A ( t ) ] - D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ ( \omega , 0 , 0 ) , A ( t ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - m _ { 2 2 } v _ { 2 } - m _ { 2 3 } { r } } \\ { c _ { 2 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = m _ { 1 1 } v _ { 1 } } \\ { c _ { 3 1 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - c _ { 1 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } \\ { c _ { 3 2 } ( \boldsymbol { \nu } ) } & { = - c _ { 2 3 } ( \boldsymbol { \nu } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ c _ { i j k l } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } ) u _ { k , l } ( { \bf x , \omega } ) \right] _ { , j } + \rho ( { \bf x } ) \omega ^ { 2 } u _ { i } ( { \bf x , \omega } ) } & { = - f _ { i } ( { \bf x } ) - \left[ \Delta c _ { i j k l } ( { \bf x } ) u _ { k , l } ( { \bf x , \omega } ) \right] _ { , j } } \\ & { - \omega ^ { 2 } \Delta \rho ( { \bf x } ) u _ { i } ( { \bf x , \omega } ) . } \end{array}
\langle T _ { i n t } ^ { \mu \nu } \rangle = \frac { 3 } { 2 } \eta ^ { \mu \nu } \{ G ^ { 1 1 } ( x , x ) G ^ { 1 2 } ( x , x ) + G ^ { 2 2 } ( x , x ) G ^ { 2 1 } ( x , x ) \} \ .
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \boldsymbol { \omega } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + \mathbf { v } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \cdot \nabla \boldsymbol { \omega } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = 0 , } \\ { \mathbf { v } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \nabla _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } ^ { \perp } \boldsymbol { \Psi } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } \\ { \Delta _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \boldsymbol { \Psi } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \boldsymbol { \omega } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } \end{array} \right. \qquad \nabla _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } ^ { \perp } \triangleq \left( \begin{array} { l } { - \partial _ { x _ { 2 } } } \\ { \partial _ { x _ { 1 } } } \end{array} \right) , \qquad \Delta _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \triangleq \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } .
- \psi ^ { 1 } = \left( \nu _ { L } ^ { 1 } , \ell _ { L } ^ { 1 } , \ell _ { L } ^ { c 1 } \right) ^ { T } : \left( { \bf 3 } , 0 ; 1 \right) , \quad \psi ^ { i = 2 , 3 } = \left( \nu _ { L } ^ { i } , \ell _ { L } ^ { i } , \ell _ { L } ^ { c i } \right) ^ { T } : \left( { \bf 3 } , 0 ; - 1 \right) ,
\Theta ^ { k + 1 } = \frac { 1 } { \gamma } \Theta ^ { n } + \left[ \frac { \gamma - 1 } { \gamma } + \frac { L ^ { 2 } } { \gamma } \nabla _ { H } ^ { 2 } \right] \Theta ^ { k } , \qquad \Theta ^ { k = 0 } = \Theta ^ { n } ,
\forall n \in \mathbb { N } : \forall \epsilon , \delta > 0 : \exists M _ { n } ^ { ( 0 ) } \in \mathbb { N } : \forall M _ { n } ^ { ( 1 ) } \geq M _ { n } ^ { ( 0 ) } : \mathbb { P } \left( \sqrt { n } \left| \widehat { \mathcal { D } } _ { \Phi , n , M _ { n } ^ { ( 1 ) } } - \mathcal { D } _ { \Phi } \left( \widehat { \boldsymbol { \theta } } _ { n } \right) \right| > \epsilon \right) < \delta .
\begin{array} { r l } { S } & { = \frac { - \ensuremath { k _ { \mathrm { B } } } } { h ^ { 3 N } Q } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } \left[ - \beta \mathcal { H } - \ln Q \right] } \\ & { = \frac { - \ensuremath { k _ { \mathrm { B } } } } { h ^ { 3 N } Q } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } \ \beta \left[ F - \mathcal { H } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { T } \frac { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } \ \left[ \mathcal { H } - F \right] } { h ^ { 3 N } Q } } \\ & { = \frac { 1 } { T } \left[ \left< \mathcal { H } \right> - F \right] = \frac { 1 } { T } \left[ \left< U \right> + \frac { 3 N } { 2 } k _ { \mathrm { B } } T - F \right] } \end{array}
\mathbf { S } _ { \mathrm { h i s t } } \leftarrow \mathrm { m i n } \left( S _ { \mathrm { h i s t } } ^ { r } , 1 \right) \ \ \mathrm { i f } \ L _ { \mathrm { r e l } } ^ { r } \leq T _ { F } ^ { 2 }
{ \cal L } ^ { ( 1 ) } = \pi _ { 0 } \dot { A } ^ { 0 } + \pi _ { i } \dot { A } ^ { i } + \pi _ { \theta } \dot { \theta } + B \dot { N } + \bar { \cal P } \dot { \cal C } + \bar { \cal C } \dot { \cal P } + \tilde { \Omega } _ { 2 } \dot { \rho } - { \cal H } ^ { ( 1 ) }
\begin{array} { r } { n _ { q } ^ { s } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 0 } ( q ) \times 1 \times h = h f _ { 0 } ( q ) } & { \mathrm { ~ H - q t \geq ~ h ~ } } \\ { f _ { 0 } ( q ) \times 1 \times ( H - q t ) = ( H - q t ) f _ { 0 } ( q ) } & { \mathrm { ~ 0 ~ < ~ H - q t ~ < ~ h ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ H - q t ~ \leq ~ 0 ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \Phi } } & { = \frac { \mu _ { b _ { 0 } } } { r ^ { 2 } H ^ { 2 } } \Bigl ( 9 x ^ { 3 } - 9 ( 6 z - m ) x ^ { 2 } + ( 7 2 z ^ { 2 } - 8 ( 4 m - 3 ) z + 3 m ^ { 2 } ) x - 3 2 z ^ { 3 } + 2 4 m z ( z + 1 ) + m ^ { 2 } ( m + 2 ) \Bigr ) } \\ { F _ { \Phi } } & { = \frac { 8 \mathbf { Q } \mu _ { b _ { 0 } } } { r ^ { 3 } H ^ { 2 } } \Bigl ( - 3 x ^ { 2 } + ( 2 z + 6 ) x + m ( m + 4 ) \Bigr ) } \end{array}
\Delta _ { 8 } = M ^ { 8 } \Big \vert _ { \jmath , n _ { s } , \imath } - M ^ { 8 } \Big \vert _ { \jmath _ { \mathrm { e x t } } , n _ { s \, \mathrm { e x t } } , \imath _ { \mathrm { e x t } } }
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left[ \| J u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| J v \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } \right] } \\ { = \ } & { \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } - 8 \beta t \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x } \\ { \ } & { - \frac { 8 \beta t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } x \ \frac { d } { d x } ( | u | ^ { p + 1 } ) \ | v | ^ { p + 1 } d x - \frac { 8 \beta t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } x \ | u | ^ { p + 1 } \ \frac { d } { d x } ( | v | ^ { p + 1 } ) d x } \\ & { \ - \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d } { d t } ( | u | ^ { p + 1 } ) \ | v | ^ { p + 1 } d x - \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } \ \frac { d } { d t } ( | v | ^ { p + 1 } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { X _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } ( n l ; r ) = \sum _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } \neq n l } \sum _ { L = | l - l ^ { \prime } | } ^ { l + l ^ { \prime } } B _ { n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } , L } ^ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } \mathcal { Z } _ { \mu } ^ { L } ( n l , n ^ { \prime } l ^ { \prime } ; r ) \phi _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( r ) . } \end{array}
| \bar { \alpha } _ { \mathrm { o u t , m a x } } | = \sqrt { \bar { n } _ { c , \mathrm { m a x } } \times \frac { 4 g ^ { 2 } } { \kappa _ { a } \kappa _ { b } } } = \sqrt { \frac { 2 g } { \kappa _ { a } } }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { c } } \int { \frac { d u } { u ^ { 2 } + A ^ { 2 } } } } & { = { \frac { 1 } { c A } } \int { \frac { d u / A } { ( u / A ) ^ { 2 } + 1 } } } \\ & { = { \frac { 1 } { c A } } \int { \frac { d w } { w ^ { 2 } + 1 } } } \\ & { = { \frac { 1 } { c A } } \arctan ( w ) + \mathrm { c o n s t a n t } } \\ & { = { \frac { 1 } { c A } } \arctan \left( { \frac { u } { A } } \right) + { \mathrm { c o n s t a n t } } } \\ & { = { \frac { 1 } { c { \sqrt { { \frac { a } { c } } - { \frac { b ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } } } } } } \arctan \left( { \frac { x + { \frac { b } { 2 c } } } { \sqrt { { \frac { a } { c } } - { \frac { b ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } } } } } \right) + { \mathrm { c o n s t a n t } } } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { 4 a c - b ^ { 2 } \, } } } \arctan \left( { \frac { 2 c x + b } { \sqrt { 4 a c - b ^ { 2 } } } } \right) + { \mathrm { c o n s t a n t } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { P } } { \partial t } + \overline { { \mathbf { B } } } _ { \xi } \frac { \partial \mathbf { P } } { \partial \xi } + \overline { { \mathbf { B } } } _ { \eta } \frac { \partial \mathbf { P } } { \partial \eta } + \overline { { \mathbf { B } } } _ { \zeta } \frac { \partial \mathbf { P } } { \partial \zeta } = 0
\begin{array} { r l r } & { } & { i q _ { \rho } \widetilde { M } _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m ) = \frac { m ^ { 2 } e _ { f } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } \left[ P \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { 1 } { m ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right. } \\ & { } & { \left. + P \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \frac { 2 \pi n _ { 1 } i } { \sqrt { \left( x ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) + k _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 ( m ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } + x ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } ) k _ { 2 } ^ { 2 } } } + \right. } \\ & { } & { \left. \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n _ { 1 } n _ { 2 } } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } } \right] - \frac { e _ { f } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } + \left( \begin{array} { c } { \mu \leftrightarrow \nu } \\ { k _ { 1 } \leftrightarrow k _ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
S _ { \alpha \beta } ( x , y ) = ( { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } ) _ { \alpha \beta } ( x , y ) - ( { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } { \mathcal V } { \mathcal D } _ { 0 } ^ { - 1 } ) _ { \alpha \beta } ( x , y ) + . . .
\left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
g _ { \mu \nu } = \left[ \begin{array} { c c c c } { - ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } & { - \beta } & { 0 } & { 0 } \\ { - \beta } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { r ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { \! \theta } } \end{array} \right] .
w [ n ] = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 - \cos \left( { \frac { 2 \pi n } { N } } \right) \right) e ^ { \frac { - \alpha \left| N - 2 n \right| } { N } } \, = \operatorname { h a v } \left( { \frac { 2 \pi n } { N } } \right) e ^ { \frac { - \alpha \left| N - 2 n \right| } { N } }
\boldsymbol { R } = \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { v _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } \\ { v _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { v _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { U C U } & { { } = C U , } \\ { U C ^ { T } U } & { { } = U C ^ { T } , } \\ { C ^ { m } U } & { { } = ( C U ) ^ { m } , \; m \in \mathbb { N } , m \geq 1 } \\ { U ( C ^ { m } ) ^ { T } } & { { } = ( ( C U ) ^ { m } ) ^ { T } , \; m \in \mathbb { N } , m \geq 1 . } \end{array}
\langle \widetilde { \psi } _ { j } ^ { \alpha } | \psi _ { m } ^ { \alpha } \rangle = \delta _ { j m } , \qquad \sum _ { j = 1 } ^ { L } | \psi _ { j } ^ { \alpha } \rangle \langle \widetilde { \psi } _ { j } ^ { \alpha } | = 1 .
\begin{array} { r l } { f _ { k + 1 } } & { = x _ { k + 1 } y _ { k + 1 } - ( x y + s _ { 1 } x ^ { 2 } + s _ { 2 } y ^ { 2 } + s _ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) } \\ & { = ( x _ { k } - b ) ( y _ { k } - a ) - ( x y + s _ { 1 } x ^ { 2 } + s _ { 2 } y ^ { 2 } + s _ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) } \\ & { = f _ { k } - b y _ { k } - a x _ { k } + a b } \\ & { = ( A x + B y ) - a x _ { k } - b y _ { k } + a b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \partial _ { Y } \langle X \rangle } & { = - \partial _ { Y } \left( \frac { 1 } { Z } \right) \int d X \, X e ^ { - X Y } - \frac { 1 } { Z } \partial _ { Y } \left( \int d X X \, e ^ { - X Y } \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { Z ^ { 2 } } \left( \int d X \, X e ^ { - X Y } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { Z } \left( \int d X X ^ { 2 } \, e ^ { - X Y } \right) } \\ & { = \langle X ^ { 2 } \rangle - \langle X \rangle ^ { 2 } . } \end{array}