harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { P r } \left( \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } x _ { k } \geq \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { x } _ { k } + \gamma _ { x , i _ { x } , k } \right) \leq \frac { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \Sigma _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } } { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \Sigma _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } + \gamma _ { x , i _ { x } , k } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \kappa \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \kappa } { \partial x _ { i } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } + \eta \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { 3 } \eta \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \eta } { \partial x _ { j } } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) - \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial \eta } { \partial x _ { i } } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } = 0 . } \end{array}
H ( \phi , \chi ) = \lambda ( \frac { 1 } { 3 } \phi ^ { 3 } - a ^ { 2 } \phi ) + \mu \phi \chi ^ { 2 } + \nu \phi ^ { 2 } \chi + \sigma ( \frac { 1 } { 3 } \chi ^ { 3 } - b ^ { 2 } \chi ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \tilde { \mathcal { E } } = } & { { } \frac { i } { 2 k } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \tilde { \mathcal { E } } + i \frac { k } { 2 \epsilon _ { 0 } } \tilde { \mathcal { P } } } \end{array}
E _ { 0 } = \hbar \omega _ { 0 } = \frac { \hbar } { t _ { 0 } } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { M x _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { M a a _ { \uparrow \downarrow } } \frac { 4 e ^ { - 2 \gamma - 1 } } { \ln ( a _ { \uparrow \downarrow } / a ) } .
\begin{array} { r l } { \geq { } } & { { } \int _ { x _ { 0 } } ^ { \operatorname* { m a x } _ { x } \in X } f _ { \theta _ { 1 } } ( x _ { 0 } ) f _ { \theta _ { 0 } } ( x _ { 1 } ) \, d x _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 2 3 } ^ { ( 3 ) } } & { { } = } & { \frac { 4 \langle 1 | | r ( 1 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 2 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } \langle 1 | | r ( 3 ) | | 0 \rangle ^ { 2 } } { 3 6 R _ { 1 2 } ^ { 3 } R _ { 1 3 } ^ { 3 } R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \times } \end{array}
\Delta _ { G l ( d ) } = \sum _ { i \leq j ; k \leq l } \frac { \partial } { \partial g _ { i j } } g _ { i k } g _ { j l } \frac { \partial } { \partial g _ { k l } } - \frac { d + 1 } { 2 } \sum _ { i \leq j } g _ { i j } \frac { \partial } { \partial g _ { i j } }
S _ { + } \left\vert \begin{array} { c } { { N } } \\ { { ( p , q ) } } \end{array} , k \right> = \sqrt { \Phi _ { ( p , q ) } ^ { N } ( k + 1 ) } \left\vert \begin{array} { c } { { N } } \\ { { ( p , q ) } } \end{array} , k + 1 \right> ,
\begin{array} { r l } & { \overset { V } { L } { ^ { ( \pm ) } } ( i ) = ( J _ { i } \otimes \mathrm { i d } ) \bigl ( \overset { V } { L } { ^ { ( \pm ) } } \bigr ) \quad \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i \leq g + n , } \\ & { \overset { V } { \widetilde { L } } { ^ { ( \pm ) } } ( k ) = ( J _ { k } \otimes \mathrm { i d } ) \bigl ( \overset { V } { \widetilde { L } } { ^ { ( \pm ) } } \bigr ) , \quad \overset { V } { T } ( k ) = ( J _ { k } \otimes \mathrm { i d } ) \bigl ( \overset { V } { T } \bigr ) \quad \mathrm { f o r ~ } 1 \leq k \leq g . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \frac { 1 } { n _ { + , i n } ^ { \varepsilon } } \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } + \| F _ { + , i n } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak E } } & { \leq M , } \\ { \| F _ { + , i n } ^ { \varepsilon } - F _ { + , i n } ^ { 0 } \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } + \sqrt { \mathscr E _ { - , 2 , i n } ^ { \varepsilon } } } & { \leq \varrho . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \hat { J } _ { x } } & { = \frac { \hbar } { 2 } \left( a _ { + } ^ { \dagger } a _ { - } + a _ { - } ^ { \dagger } a _ { + } \right) , } & { \hat { J } _ { y } } & { = \frac { \hbar } { 2 i } \left( a _ { - } ^ { \dagger } a _ { + } - a _ { + } ^ { \dagger } a _ { - } \right) , } \\ { \hat { J } _ { z } } & { = \frac { \hbar } { 2 } \left( a _ { - } ^ { \dagger } a _ { - } - a _ { + } ^ { \dagger } a _ { + } \right) , } & { \hat { N } } & { = a _ { + } ^ { \dagger } a _ { + } + a _ { - } ^ { \dagger } a _ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( f _ { 0 } , f ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \left( 1 + \frac { f _ { 0 } - f } { f } \right) f _ { 0 } \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { f _ { 0 } - f } { f } ( f _ { 0 } - f + f ) \ = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( f _ { 0 } - f ) ^ { 2 } } { f } \leq \frac { 2 } { m } \| f - f _ { 0 } \| _ { \infty } ^ { 2 } . } \end{array}
{ A } _ { K , i j } = \operatorname { R e L U } \left( \operatorname { t a n h } \left( \beta \left( \mathbf { D } _ { i } \cdot \mathbf { D } _ { j } - \mathbf { D } _ { j } \cdot \mathbf { D } _ { i } \right) \right) \right)
g _ { 1 } ^ { ( B _ { 1 } \rightarrow B _ { 2 } ) } \; = \; a _ { 1 } \langle B _ { 2 } | D _ { X 3 } ^ { ( 8 ) } | B _ { 1 } \rangle \; + \; a _ { 2 } d _ { p q 3 } \langle B _ { 2 } | D _ { X p } ^ { ( 8 ) } \, \hat { S } _ { q } | B _ { 1 } \rangle \; + \; \frac { a _ { 3 } } { \sqrt { 3 } } \langle B _ { 2 } | D _ { X 8 } ^ { ( 8 ) } \, \hat { S } _ { 3 } | B _ { 1 } \rangle .
{ \begin{array} { r l } { g ( x ) } & { = \mathrm { { l c m } } ( m _ { 1 } ( x ) , m _ { 2 } ( x ) , m _ { 3 } ( x ) , m _ { 4 } ( x ) , m _ { 5 } ( x ) , m _ { 6 } ( x ) ) = m _ { 1 } ( x ) m _ { 3 } ( x ) m _ { 5 } ( x ) } \\ & { = \left( x ^ { 4 } + x + 1 \right) \left( x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \right) \left( x ^ { 2 } + x + 1 \right) = x ^ { 1 0 } + x ^ { 8 } + x ^ { 5 } + x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 . } \end{array} }
I ( w ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { - } ( w - w _ { - } ) + i ( w _ { - } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } w \le w _ { - } , } \\ { i ( w ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } w _ { - } < w < w _ { + } , } \\ { \lambda _ { + } ( w - w _ { + } ) - i ( w _ { + } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } w \ge w _ { + } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u ( x ) } & { = W ^ { \prime } \varphi ( x ) + \iota \eta V \varphi ( x ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { j } } \big ( \mathcal { G } ( x - y _ { j } ) - \mathcal { G } ( x - y _ { j l } ^ { - } ) \big ) \varphi _ { j } + \iota \eta \sum _ { j = 1 } ^ { m } n _ { j } \mathcal { G } ( x - y _ { j } ) \varphi _ { j } } \\ & { = ( 1 + \iota \eta ) \sum _ { j = 1 } ^ { m } n _ { j } \mathcal { G } ( x - y _ { j } ) \varphi _ { j } - \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { j } } \mathcal { G } ( x - y _ { j l } ^ { - } ) \varphi _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { h } ^ { 1 } } & { \lesssim c _ { \varepsilon } \, \big [ \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \big ] } \\ & { \quad \quad + \| \omega _ { p } ( h _ { \mathcal { T } } ) ^ { 2 } \, ( 1 + \vert \nabla u \vert ^ { p ( \cdot ) s } + \vert \nabla v _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , \Omega } + \mathrm { o s c } _ { h } ( f , v _ { h } ) \big ] } \\ & { \quad + \varepsilon \, \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { \mathrm { d r i v e } } ^ { \prime } } & { = } & { \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } \, \frac { A } { \alpha \, \sin ( \phi _ { \mathrm { d r i v e } } ) } - Q \, \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \, \frac { \beta } { \alpha } \, \frac { 2 R \langle I _ { \mathrm { t } } \rangle } { \sqrt { 1 + ( \omega R C ) ^ { 2 } } } } \\ & { } & { \times \frac { \mathfrak { I } _ { 1 } ( 2 \kappa A ) } { \mathfrak { I } _ { 0 } ( 2 \kappa A ) } \, \frac { \sin \big ( \arctan ( \omega R C ) \big ) } { \sin ( \phi _ { \mathrm { d r i v e } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathbf { E } [ N ^ { 2 } ] } { \mathbf { E } [ N ] ^ { 2 } } = \frac { \mathbf { E } [ X ^ { 2 } ] } { \mathbf { E } [ X ] ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 + \frac { 1 - p } { p } s ^ { k } } { 1 + \frac { p } { 1 - p } s ^ { k } } \le \frac 1 p \frac { \mathbf { E } [ X ^ { 2 } ] } { \mathbf { E } [ X ] ^ { 2 } } \le \frac 3 p . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } & { f ( \overline { d } , \underline { d } ) + r _ { 3 } ( x ; \beta ^ { ( k ) } ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } } & { A x - \overline { d } + \underline { d } = p , \quad B x \leq c } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { c r o s s } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) = } & { - \frac { i } { 2 k _ { \pm } } \frac { \hat { w } _ { 0 , 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { w } _ { 0 , 2 } ^ { ( 1 ) } } { k _ { \pm x } S _ { 0 } } \frac { k _ { 1 x } k _ { 2 y } - k _ { 1 y } k _ { 2 x } } { k _ { 1 } k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) z } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } \left[ \frac { \pm b _ { i j } } { ( \xi _ { i } - z ) ^ { j - 1 } } \right. } \\ & { \left. \times \tilde { E } _ { j } [ k _ { \pm } ( \xi _ { i } - z ) ] \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { \star J } } & { { } = c _ { \phi } \tilde { F } + ( - ) ^ { q + 1 } \ell \, { \star L } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } _ { \psi } } } & { { } = ( - ) ^ { p + 1 } \tilde { c } _ { \phi } \ell \Xi + ( - ) ^ { p } \ell \, { \star \tilde { J } } , } \\ { \mathrm { d } { \star L } } & { { } = ( - ) ^ { q } c _ { \phi } \tilde { F } _ { \psi } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } } } & { { } = \tilde { c } _ { \phi } F , } \\ { \nabla _ { \mu } T ^ { \mu \nu } } & { { } = ( F \cdot J ) ^ { \nu } + ( \tilde { F } \cdot \tilde { J } ) ^ { \nu } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { k _ { - } ^ { 2 } = \displaystyle \frac { - ( \gamma _ { 1 } - a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 } ) - \sqrt { \Delta } } { 2 \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } , \, \, k _ { + } ^ { 2 } = \displaystyle \frac { - ( \gamma _ { 1 } - a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 } ) + \sqrt { \Delta } } { 2 \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } , } \\ { \Delta = ( \gamma _ { 1 } - a _ { 1 1 } \gamma _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \texttt I _ { 2 } ^ { 0 } . } \end{array} \right.
F = \left[ \begin{array} { c } { \rho \hat { U } } \\ { \rho u \hat { U } + \xi _ { x } p } \\ { \rho v \hat { U } + \xi _ { y } p } \\ { ( \rho E + p ) \hat { U } } \end{array} \right] \quad a n d \quad F _ { \nu } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \xi _ { x _ { i } } \sigma _ { i 1 } } \\ { \xi _ { x _ { i } } \sigma _ { i 1 } } \\ { \xi _ { x _ { i } } ( u _ { j } \sigma _ { i j } - \Theta _ { i } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \frac { \dot { \mathrm { I } } ^ { ( T ) } } { N } = \frac { \rho J ( \alpha ) } { \tau _ { c } ( \Delta T ) ^ { 2 } } \frac { N _ { \mathrm { e f f } } } { N _ { \mathrm { m } } } = \frac { \rho J ( \alpha ) } { \tau _ { c } ( \Delta T ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + N _ { \mathrm { m } } / N _ { \mathrm { e x t } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \psi _ { 0 } \right\rangle } & { { } = \left| \alpha \right\rangle _ { e } \left| 0 \right\rangle _ { l } } \\ { \left| \psi _ { 1 } \right\rangle } & { { } = \left| 0 \right\rangle _ { e } \left| \alpha \right\rangle _ { l } } \end{array}
M _ { Z } ^ { 2 } = 2 \, { \frac { \tilde { m } _ { H _ { d } } ^ { 2 } - \tilde { m } _ { H _ { u } } ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \beta } { \tan ^ { 2 } \beta - 1 } } - 2 \tilde { \mu } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \| S ( t ) V _ { \eta ^ { * } , \gamma ^ { * } } ( t ) ( \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } \le } & { \operatorname* { m a x } _ { i } \frac { 1 } { v _ { i i } ( t ) } \| V _ { \eta ^ { * } \gamma ^ { * } } ( t ) ( \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } } \\ & { + \frac { | \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } e ^ { \pi _ { j n } ( t ) } Z _ { j n } ( t ) ^ { \top } ( \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) ) | } { v _ { 2 n , 2 n } ( t ) } } \\ { = } & { O _ { p } \left( \frac { e ^ { 2 q _ { n } } \kappa _ { n } } { n \sqrt { h _ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H = H _ { \mathrm { r e s } } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } F _ { p } \cos ( \omega _ { p } t ) - q F _ { d } ( t ) + H _ { \mathrm { T L S } } + H _ { i } } \\ & { H _ { \mathrm { r e s } } = \frac { 1 } { 2 } \left( p ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } q ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 4 } \gamma q ^ { 4 } } \\ & { H _ { \mathrm { T L S } } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } { \hbar \omega ^ { ( n ) } \sigma _ { z } } } \\ & { H _ { i } = - \sum _ { n } { v ^ { ( n ) } q \sigma _ { x } } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { n - 1 } & { - 1 } & { \cdots } & { - 1 } \\ { - 1 } & { n - 1 } & { \cdots } & { - 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - 1 } & { - 1 } & { \cdots } & { n - 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \mathrm { S N R } \left( \{ \sqrt { d _ { j } } \} _ { j = 1 } ^ { N } , \{ | \mathcal { F } ( P _ { j } z ) | \} _ { j = 1 } ^ { N } \right) = - 1 0 \log _ { 1 0 } \left( \frac { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| \sqrt { d _ { j } } - | \mathcal { F } ( P _ { j } z ) | \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| \mathcal { F } ( P _ { j } z ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
W ^ { l } - \frac { g _ { 0 } } { ( - i \omega ) } u _ { r } ^ { l } - 2 \nu \frac { \mathrm { d } u _ { r } ^ { l } } { \mathrm { d } r } = \psi _ { 0 } \delta _ { l 2 } \quad \mathrm { a t } \quad r = r _ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { \overline { { \eta } } _ { p } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } { \eta _ { p } } _ { i } , } \\ { \overline { { \xi _ { p } ^ { \prime } \eta _ { p } ^ { \prime } } } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } \left( { \xi _ { p } } _ { i } - \overline { { \xi } } _ { p } \right) \left( { \eta _ { p } } _ { i } - \overline { { \eta } } _ { p } \right) , } \end{array}
f _ { w } \left( T _ { a } ( z ) \right) = T _ { a } ^ { \prime } ( z ) \left[ f _ { w } ( z ) + \frac { ( z - \alpha _ { a } ) ( z - \beta _ { a } ) } { w _ { a } ( \alpha _ { a } - \beta _ { a } ) } \frac { \delta w _ { a } } { \epsilon } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal M _ { i i } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { | z - z _ { i } | ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal N _ { i i } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { ( \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M ( \mathbf { p } _ { f } ) } & { = } & { - i \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } \int d \mathbf { \tilde { p } } _ { 0 } \int _ { \mathbf { \tilde { p } } _ { 0 } } ^ { \mathbf { \tilde { p } } _ { f } ( t ) } \mathcal { D } ^ { \prime } \mathbf { \tilde { p } } \int \frac { \mathcal { D } \mathbf { r } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \\ & { } & { \times e ^ { i S ( \mathbf { \tilde { p } } , \mathbf { r } , t , t ^ { \prime } ) } \langle \mathbf { \tilde { p } } _ { 0 } | H _ { I } ( t ^ { \prime } ) | \psi _ { 0 } \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i j } = } & { { } R ^ { - 5 } \left[ \frac { 3 5 } { 8 } \sin ^ { 4 } \theta \left( q _ { 2 } q _ { 2 } e ^ { 4 i \phi } + \mathrm { { h . c . } } \right) + \frac { 1 5 } { 4 } \sqrt { 7 } \sin ^ { 3 } \theta \cos \theta \left[ \left( q _ { 2 } q _ { 1 } + q _ { 1 } q _ { 2 } \right) e ^ { - 3 i \phi } + \mathrm { { h . c . } } \right] \right. } \end{array}
V _ { I } ( R ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t ^ { 3 } } \sum _ { n \in Z } ( - 1 ) ^ { n } e ^ { - \pi t n ^ { 2 } / R ^ { 2 } } \sum _ { N \geq 0 } \tilde { \gamma } _ { N } e ^ { - \pi t N } \bigg \vert _ { r e g . }
\frac { \partial ^ { 2 } v _ { 0 } } { \partial q _ { i } \partial q _ { j } } = \hat { \bf e } _ { i } \cdot \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial \bar { \bf x } \partial \bar { \bf x } ^ { T } } \hat { \bf e } _ { j } \, , \quad i , j = 1 , 2 .
( \partial _ { t } + V _ { 2 } \partial _ { x } + \nu _ { 2 } + i V _ { 2 } \kappa ^ { \prime } ( x - x _ { r } ) + i \delta \omega _ { i } ) \delta n _ { e } = - \frac { - i 4 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \omega _ { 0 0 } ^ { 2 } v _ { o s c } ^ { 2 } } a _ { 0 } a _ { 1 } ^ { \ast } ,
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \mathcal { L } ( 1 2 ) \right) g _ { i i } ( 1 2 ) } & { + \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } ^ { s } ( 1 3 ) \, f _ { i 0 } ( 1 ) \, g _ { i i } ( 3 2 ) } \\ & { + \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } ^ { s } ( 3 2 ) \, f _ { i 0 } ( 2 ) \, g _ { i i } ( 1 3 ) = S ( 1 2 ) \, , } \end{array}
{ \cal A } ( \sigma ) = ( \sigma \tau ) \left[ 1 + | \sigma \tau | ^ { - \alpha } \left( \frac { \tau _ { e } } { \tau } \right) \left( \frac { \tau } { \tau _ { a } } \right) ^ { \alpha } \cos \left( \frac { \alpha \pi } { 2 } \right) \Gamma ( 1 + \alpha ) \right] \ ,
\begin{array} { r l } { L ( Y ) = } & { { } \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { Y } , \qquad R ( Y ) = \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ R ~ } } } { Y } , } \\ { Q ( Y ) = } & { { } \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ Q ~ } } } { Y } + \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ R ~ } } } { 2 Y } \log ( 1 + Y ) - \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { Y } \log { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\hat { H } = \hat { H } _ { \mathrm { c a v } } + \frac { \hbar \mathcal { G } _ { 0 } ^ { 2 } } { \Delta _ { 0 } } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \hat { N } _ { \mathrm { e f f } } + \hbar \omega _ { B } \sum _ { n } n \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } ,
L _ { \mathrm { s n a k e } } = L _ { b } + \frac { N } { 2 } \times \frac { L _ { J } ( L _ { 1 } ^ { s } + L _ { 2 } ^ { s } ) + L _ { 1 } ^ { s } L _ { 2 } ^ { s } \cos \delta _ { 0 } } { L _ { J } + ( 4 L _ { 1 } ^ { s } + L _ { 2 } ^ { s } ) \cos \delta _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { \eta = } & { \tau ^ { \! - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \eta _ { \alpha _ { i } } \! + \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \right. \Big . \Bigg . } \\ & { \left. \quad \quad \! + q \cdot \tau \left( \eta _ { \alpha _ { j } } + \mu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { i } } \right) \! + q \cdot \tau \left( \mu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) } \\ & { \Bigg . \Big . \quad \quad \! + \zeta ^ { \! - 1 } \left( p \cdot \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { i } } \right) \! + q \cdot \zeta \left( \nu _ { \alpha _ { j } } \right) \right) \Big ) \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { G } } _ { 1 } ( p _ { k - 2 } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \eta } ) = } & { \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { k - 1 } } ( \tilde { p } _ { - 1 } , \tilde { p } _ { - 1 } + \tilde { p } _ { - 2 } , \boldsymbol { \eta } ) \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { k } } ( \tilde { p } _ { 0 } + p _ { k - 2 } , \tilde { p } _ { - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { k + 1 } } ( p _ { k - 2 } , \tilde { p } _ { 0 } + p _ { k - 2 } , \boldsymbol { \eta } ) } \\ { \mathcal { P } _ { 1 } ( p _ { k - 2 } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { s } ) = } & { e ^ { i s _ { k - 1 } \frac { 1 } { 2 } \tilde { p } _ { - 1 } ^ { 2 } } e ^ { i s _ { k } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { p } _ { 0 } + p _ { k - 2 } ) ^ { 2 } } e ^ { i s _ { k + 1 } \frac { 1 } { 2 } p _ { k - 2 } ^ { 2 } } } \end{array}
\Delta : = { \left| \begin{array} { l l l } { A _ { x x } } & { A _ { x y } } & { B _ { x } } \\ { A _ { x y } } & { A _ { y y } } & { B _ { y } } \\ { B _ { x } } & { B _ { y } } & { C } \end{array} \right| } = 0 .
\left[ \eta k \left( k _ { n } - ( - 1 ) ^ { n } \mu _ { 5 } \right) + \frac { \mathrm { d } { } } { \mathrm { d } { } t } \right] B _ { n } = { \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } } \mathrm { i } k _ { n } \, \left[ M ( u , B ) - M ( B , u ) \right] ,
T ^ { 0 0 } = \Sigma _ { n } \frac { m _ { n } } { \sqrt { g } } \left( 1 + \alpha \ln ( \Lambda r ) \right) \left( U _ { n } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } \delta ^ { 4 } ( x - x _ { n } ( \tau _ { n } ) ) d \tau _ { n } .
\begin{array} { r l r } { E _ { j } ( \rho _ { j } , z _ { j } , t ) } & { = } & { \hat { \varepsilon } A _ { 0 } \frac { w _ { 0 } } { w ( z _ { j } ) } e ^ { - ( \rho _ { j } / w ( z _ { j } ) ) ^ { 2 } } e ^ { i k \rho _ { j } ^ { 2 } / 2 R ( z _ { j } ) } \times e ^ { i ( k _ { j } z _ { j } - \eta ( z _ { j } ) + \varphi _ { j } ) } } \\ { \mathrm { w i t h } ~ ~ z _ { r } } & { = } & { \frac { \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } { \lambda } } \\ { w ( z ) } & { = } & { w _ { 0 } \sqrt { 1 + \left( \frac { z } { z _ { r } } \right) ^ { 2 } } } \\ { R ( z ) } & { = } & { z ( 1 + ( z _ { r } / z ) ^ { 2 } ) } \\ { \eta ( z ) } & { = } & { \tan ^ { - 1 } ( z / z _ { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } ( t ) } & { = \mu _ { i } ^ { 0 } + \sum _ { j } \mu _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) E _ { j } + \sum _ { j k } \mu _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ( t ) E _ { j } E _ { k } } \\ & { + \sum _ { j k l } \mu _ { i j k l } ^ { ( 3 ) } ( t ) E _ { j } E _ { k } E _ { l } } \\ & { + \sum _ { j k l m } \mu _ { i j k l m } ^ { ( 4 ) } ( t ) E _ { j } E _ { k } E _ { l } E _ { m } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ T } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ T } ~ } } } } ^ { + , + } } & { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ T } ~ } } } } ^ { + , - } } \\ { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ T } ~ } } } } ^ { - , + } } & { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ T } ~ } } } } ^ { - , - } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i j } = } & { R ^ { - 3 } \left[ - \frac { 3 } { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left( \hat { d } _ { 1 } \hat { d } _ { 1 } e ^ { - 2 i \phi } + \mathrm { h . c . } \right) \right. } \\ & { \left. - \frac { 3 } { \sqrt { 2 } } \sin \theta \cos \theta \left[ ( \hat { d } _ { 1 } \hat { d } _ { 0 } + \hat { d } _ { 0 } \hat { d } _ { 1 } ) e ^ { - i \phi } + \mathrm { h . c . } \right] \right. } \\ & { \left. - \frac { 1 } { 2 } ( 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \left( 2 \hat { d } _ { 0 } \hat { d } _ { 0 } + \hat { d } _ { 1 } \hat { d } _ { - 1 } + \hat { d } _ { - 1 } \hat { d } _ { 1 } \right) \right] } \end{array}
\boldsymbol { v } _ { 0 \dag } ^ { T } = \boldsymbol { w } _ { 0 \dag } = ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \quad \boldsymbol { v } _ { 0 \ddag } ^ { T } = \boldsymbol { w } _ { 0 \ddag } = ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) .
J ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \tau ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 1 } ^ { \prime } , \gamma _ { 2 } , \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) \hat { w } ( \gamma _ { 1 } ^ { \prime } , \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) \sin ( \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ) \mathrm { d } \gamma _ { 1 } ^ { \prime } \mathrm { d } \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ,
\hat { f } ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { 0 < \xi < \xi _ { 1 } = r ( 1 - a ) } \\ { g ( \xi - \xi _ { 1 } ) , } & { \xi _ { 1 } < \xi < \xi _ { 2 } = r ( 1 + a ) } \\ { 0 , } & { \xi > \xi _ { 2 } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { c c c } { { \partial _ { \sigma } \varrho = 0 \hfill } } & { { \Longrightarrow } } & { { \varrho = \rho ( x , \tau ) , \hfill } } \\ { { \partial _ { \sigma } \theta = 1 \hfill } } & { { \Longrightarrow \hfill } } & { { \theta = \Theta ( x , \tau ) + \sigma , \hfill } } \end{array}