harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { 2 a } ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { i D p ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 3 2 m _ { f } ^ { 1 0 - D } } \bigg ( \prod _ { k = 1 } ^ { D - 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D - k + 1 } \varphi _ { k } d \varphi _ { k } \bigg ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x y } { ( r + s ) ^ { 5 - \frac { D } { 2 } } } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) D \csc \bigg ( \frac { \pi D } { 2 } \bigg ) } \\ & { = \frac { D ^ { 2 } ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) p ^ { 2 } \pi ^ { D / 2 + 1 } } { 3 2 \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 0 - D } } \bigg ( \prod _ { k = 1 } ^ { D - 2 } \frac { \Gamma \big ( \frac { D - k + 2 } { 2 } \big ) } { \Gamma \big ( \frac { D - k + 3 } { 2 } \big ) } \bigg ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \int _ { 0 } ^ { 1 - r } d s \int _ { 0 } ^ { 1 - r - s } d y \frac { ( 1 - y - r - s ) y } { ( r + s ) ^ { 5 - \frac { D } { 2 } } } } \\ & { = \frac { D ^ { 2 } ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) p ^ { 2 } \pi ^ { D / 2 + 1 } } { 3 2 \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 0 - D } } \frac { \Gamma ( 2 ) } { \Gamma \big ( \frac { D + 2 } { 2 } \big ) } \frac { 1 } { 6 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \int _ { 0 } ^ { 1 - r } d s \frac { ( 1 - r - s ) ^ { 3 } } { ( r + s ) ^ { 5 - \frac { D } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla g _ { j } ^ { G G } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { g _ { 2 } + g _ { 3 } + g _ { 4 } } { 3 } - g _ { 1 } \right) = \left( \frac { \overline { { g } } _ { T } - \overline { { g } } _ { j } } { | { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } | } \right) | { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } | = \overline { { g } } _ { T } - \overline { { g } } _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { f ( x , t ) = e ^ { - \frac { \gamma ^ { 2 } t } { 2 T } - \frac { \gamma y \sqrt { t } } { 2 \sqrt { T } } } \mathrm { e r f c } ( - \frac { y } { 2 } ) } \\ & { } & { f ( - x , t ) = e ^ { - \frac { \gamma ^ { 2 } t } { 2 T } - \frac { \gamma y \sqrt { t } } { 2 \sqrt { T } } } e ^ { - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } } \frac { \sqrt { T } } { \gamma \sqrt { \pi t } } \left( 1 - \frac { y \sqrt { T } } { 2 \gamma \sqrt { t } } + O ( \frac { 1 } { t } ) \right) \; . } \end{array}
S = \int _ { M } d ^ { D } x \sqrt { - \tilde { g } } \left[ \tilde { R } - { \frac { 1 } { D - 2 } } ( \tilde { \nabla } \varphi ) ^ { 2 } - \sum _ { a = D } ^ { D + d - 1 } ( \tilde { \nabla } \alpha _ { a } ) ^ { 2 } \right]
( Y _ { u } ) ^ { a b } = e ^ { \hat { K } / 2 } ( \varepsilon _ { l m n } + ( 1 - e ^ { - 2 \pi i / M } ) s _ { l m n } ) ( t _ { 3 3 } ^ { 1 / 2 } ) ^ { l a } ( t _ { 3 3 } ^ { 1 / 2 } ) ^ { m b } ( t _ { 3 3 } ^ { 1 / 2 } ) ^ { n c } \langle h _ { u } \rangle _ { c } .
\tilde { S } \left( x _ { \operatorname* { m i n } } \right) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } - x _ { \operatorname* { m i n } } + \frac { x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 3 } } { 3 6 } + \frac { x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 5 } } { 3 6 0 0 } + O \left( x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 6 } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { - } \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) = } & { } & { 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n - m + 1 } \, \Psi _ { n } ^ { m - 1 } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { \cdot \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { | m | } ( a ) } { L _ { n } ^ { | m - 1 | } ( a ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { k l } } & { \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } \, v _ { k l } ^ { 4 } \, \sin ^ { 4 } \frac { \theta _ { k l } } { 2 } } \, , } \\ { \nu _ { k l } } & { \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } n _ { l } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } v _ { k l } ^ { 3 } } \, \ln \frac { \pi } { \theta _ { k l } } \, , } \\ { m _ { k l } } & { \approx } & { \frac { m _ { k } m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { v _ { k l } } & { \approx } & { \left| \vec { v } _ { k } - \vec { v } _ { l } \right| \, , } \\ { \Lambda _ { k l } } & { \approx } & { \frac { \pi } { \theta _ { k l } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { P _ { + , n } ^ { \mathrm { H S G } } } \\ { P _ { - , n } ^ { \mathrm { H S G } } } \end{array} \right) = \mathcal { T } _ { n } \left( \begin{array} { l } { F _ { + } ^ { \mathrm { N I R } } } \\ { F _ { - } ^ { \mathrm { N I R } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\bigl ( \rho \, ( \partial _ { t } \vec { u } + [ \vec { u } \cdot \nabla ] \vec { u } ) , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) = \bigl ( \rho \, \partial _ { t } ^ { \circ } \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) + \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \rho \, \nabla \cdot [ r \, \vec { w } ] , ~ \vec { \chi } \bigr ) + \mathscr { A } ( \rho , \vec { u } - \vec { w } ; \vec { u } , \vec { \chi } ) ,
G _ { b } = - 3 + \frac { 2 m _ { W } ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } + 2 ( 1 - \frac { m _ { W } ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } ) [ B _ { 0 } ( p ^ { 2 } , 0 , m _ { W } ^ { 2 } ) - B _ { 0 } ( 0 , m _ { W } ^ { 2 } , m _ { W } ^ { 2 } ) ] - 2 ( m _ { W } ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) C _ { 0 } ( 3 ) , \nonumber \protect \,
\begin{array} { r l } { q _ { \textsc { T s a f P M } } ( \Delta a , a ) = q _ { \mathrm { { S y m p l e c t i c ~ 2 } } } ( \Delta a , a ) } & { = \frac { 1 } { a } \frac { \Delta a } { a } - \frac { 7 } { 4 a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 9 } { 8 a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 3 } - \frac { 1 8 7 } { 6 4 a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 4 } + \mathscr { O } \left( ( \Delta a ) ^ { 5 } \right) , } \\ { q _ { \textsc { P o w e r F r o g } } ( \Delta a , a ) } & { = \frac { 1 } { a } \frac { \Delta a } { a } - \frac { 7 } { 4 a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 . 7 5 0 } { a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 3 } - \frac { 2 . 4 3 1 } { a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 4 } + \mathscr { O } \left( ( \Delta a ) ^ { 5 } \right) , } \\ { q _ { \epsilon } ( \Delta a , a ) } & { = \frac { 1 } { a } \frac { \Delta a } { a } - \frac { 7 } { 4 a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 ( 1 + 1 2 \epsilon ^ { 2 } ) } { 1 6 \epsilon ^ { 2 } a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 3 } - \frac { 7 ( 6 + 2 3 \epsilon ^ { 2 } ) } { 6 4 \epsilon ^ { 2 } a } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 4 } } \\ & { \quad + \mathscr { O } \left( ( \Delta a ) ^ { 5 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \psi ( \mathbf { r } - \mathbf { x } ) } & { = { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) \psi ( \mathbf { r } ) } \\ & { = \exp \left( - { \frac { i \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { p } } } { \hbar } } \right) \psi ( \mathbf { r } ) } \\ & { = \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } ( - { \frac { i } { \hbar } } \mathbf { x } \cdot \mathbf { \hat { p } } ) ^ { n } \right) \psi ( \mathbf { r } ) } \\ & { = \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ! } } ( - \mathbf { x } \cdot \mathbf { \nabla } ) ^ { n } \right) \psi ( \mathbf { r } ) } \\ & { = \psi ( \mathbf { r } ) - \mathbf { x } \cdot \mathbf { \nabla } \psi ( \mathbf { r } ) + { \frac { 1 } { 2 ! } } ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { \nabla } ) ^ { 2 } \psi ( \mathbf { r } ) - \dots } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) - \mathbb { E } \big ( \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } U _ { n } ( f ) \big ) \geq 1 / 2 M ( i , j ) \Big ) } \\ { \leq } & { T _ { 1 } \exp \Big ( - \frac { n M ( i , j ) } { 2 B T _ { 1 } } \log \big ( 1 + \frac { B \big ( M ( i , j ) \big ) } { T _ { 4 } \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) M ^ { \gamma / ( \gamma + 1 ) } ( i , j ) } \big ) \Big ) } \\ { \leq } & { T _ { 1 } \exp \Big ( - \frac { T _ { 5 } } { 2 T _ { 1 } T _ { 4 } } n \mathbb { E } ^ { - \frac { 1 } { 1 + \gamma } } ( \Psi _ { u } ^ { \gamma } ) \big ( M ( i , j ) \big ) ^ { \frac { \gamma + 2 } { \gamma + 1 } } \Big ) , } \end{array}
H _ { 1 , 1 2 } = R _ { 1 1 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } + R _ { 2 2 } ^ { V } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } = R _ { 1 1 } ^ { V } \left( \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } - \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } \right) ,
S ( \rho _ { A } ) = \frac { 1 } { 3 } \log \frac { \sigma ( \ell ) } { \epsilon } + 4 i \ell \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \frac { \zeta ( i q \ell + 1 / 2 + i \beta / 2 ) - \zeta ( 1 / 2 ) - \zeta ( i \beta / 2 ) } { e ^ { 2 \pi q } - 1 } .
\begin{array} { c } { { N _ { 2 1 2 } ^ { \Omega } = \{ \{ - \lambda ^ { 4 } u _ { 1 2 } ^ { 2 } v _ { 1 2 } ^ { 2 } , - \lambda ^ { 2 } \frac { v _ { 1 2 } ^ { 2 } } 2 \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \right) , } } \\ { { \frac { \lambda ^ { 6 } a } { 2 } \left( 2 a u _ { 1 2 } u _ { 2 3 } v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } + u _ { 1 2 } v _ { 1 3 } v _ { 2 3 } ( e ^ { * } + c ^ { * } ) - u _ { 2 3 } v _ { 1 2 } v _ { 1 3 } c ^ { * } \right) \} , } } \\ { { \{ - \lambda ^ { 2 } \frac { v _ { 1 2 } ^ { 2 } } 2 \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \right) , 0 , - \frac { a ^ { 2 } v _ { 2 3 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } } 2 \} , } } \\ { { \{ \frac { \lambda ^ { 6 } a } { 2 } \left( 2 a u _ { 1 2 } u _ { 2 3 } v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } + u _ { 1 2 } v _ { 1 3 } v _ { 2 3 } ( e ^ { * } + c ^ { * } ) - u _ { 2 3 } v _ { 1 2 } v _ { 1 3 } c ^ { * } \right) , } } \\ { { - \frac { a ^ { 2 } v _ { 2 3 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } } 2 , - a ^ { 4 } u _ { 2 3 } ^ { 2 } v _ { 2 3 } ^ { 2 } \lambda ^ { 8 } \} \} ; } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho ^ { \nu } ( t ) - \rho ( t ) | ^ { q } d x d s } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho ^ { \nu } ( t ) - \rho ( t ) | ^ { q - 1 } | \rho ^ { \nu } ( t ) - \rho ( t ) | d x d s } \\ & { \leq \| \rho ^ { \nu } - \rho \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { q - 1 } \| \rho ^ { \nu } - \rho \| _ { L ^ { \frac { 2 } { 3 - q } } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 2 } { 3 - q } } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { P } } & { { } = - \gamma \left( P - P _ { \mathrm { t h } } \right) + \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P + \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + F _ { P } , } \\ { \dot { \phi } } & { { } = \Omega _ { 0 } + \frac { \alpha _ { H } } { 2 } \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) + F _ { \phi } , } \\ { \dot { N } } & { { } = \frac { \eta I } { q } - R \left( N \right) - \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P - \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + F _ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { t } - f \psi + g \eta } & { { } = 0 , } \\ { \psi _ { t } + f \phi } & { { } = 0 , } \\ { \bar { u } _ { t } + f \bar { u } ^ { \perp } } & { { } = 0 , } \\ { \eta _ { t } + H \nabla ^ { 2 } \phi } & { { } = 0 . } \end{array}
\tilde { W } _ { 1 } ^ { V C } ( \beta , \alpha , y , \epsilon ) = { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( \alpha - { \frac { 1 } { \alpha } } \right) \left( \ln { \frac { \mu } { \epsilon } } - \ln { \frac { 2 \pi \mu \alpha } { \beta } } - \frac 1 2 \ln y - \frac 1 2 + { \frac { 1 } { 2 y } } \right)
\begin{array} { r l } & { \varepsilon ( \frac { d } { d t } + C _ { 1 } ^ { ( \eta ) } \frac { d } { d t } \mathscr X _ { + } - C _ { 2 } ^ { ( \eta ) } \langle \| \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \rangle ) \mathscr X _ { - , r e g , \alpha } ^ { ( \eta ) } + \frac { 1 } { C _ { 3 } ^ { ( \eta ) } } \widetilde { \mathscr D } _ { - , \alpha } } \\ & { \quad \leq C _ { 3 } ^ { ( \eta ) } \varepsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { ~ \tiny ~ \textnormal ~ { ~ L ~ o ~ o ~ p ~ } ~ } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { { } = ( x _ { 1 } \odot x _ { 2 } ) \odot ( x _ { 3 } \odot x _ { 4 } ) } \end{array}
{ \cal { F } } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { i } \wedge e ^ { j } ( D _ { i } { \cal { A } } _ { j } - D _ { j } { \cal { A } } _ { i } + \frac { i } { h } \{ { \cal { A } } _ { i } , { \cal { A } } _ { j } \} _ { s t a r } )
\begin{array} { r } { \left\| u v \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } = \left\| \mathcal { F } [ u v ] \right\| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } = \left\| \widehat { u } * \widehat { v } \right\| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \leq \left\| \widehat { u } \right\| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \left\| \widehat { v } \right\| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } = \left\| u \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \left\| v \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { i } ( \rho u _ { i } ) } & { { } = 0 \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho u _ { i } ) + \partial _ { j } ( \rho u _ { i } u _ { j } ) } & { { } = - \partial _ { i } p + \partial _ { j } \sigma _ { i j } + \rho g \delta _ { i , 3 } \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho e ) + \partial _ { j } ( \rho e u _ { j } ) } & { { } = - p \partial _ { i } u _ { i } + \partial _ { i } ( k \partial _ { i } T ) + \sigma _ { i j } S _ { i j } \, , } \\ { p } & { { } = \rho R T \quad \textrm { w h e r e } \quad R = C _ { p } - C _ { v } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { H } } } & { = } & { \int d \pmb { r } \pmb { \hat { \psi } ^ { \dag } } ( \pmb { r } ) \bigg ( \hat { \mathcal { H } } _ { 0 } + \mathcal { V } _ { L a t } \bigg ) \pmb { \hat { \psi } } ( \pmb { r } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \int d \pmb { r } \sum _ { \sigma , \acute { \sigma } } \mathcal { U } _ { \sigma , \acute { \sigma } } \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { \dag } ( \pmb { r } ) \hat { \psi } _ { \acute { \sigma } } ^ { \dag } ( \pmb { r } ) \hat { \psi } _ { \acute { \sigma } } ( \pmb { r } ) \hat { \psi } _ { \sigma } ( \pmb { r } ) } \\ & { + } & { \hbar \Delta _ { c } \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } - i \hbar \eta ( \hat { c } - \hat { c } ^ { \dag } ) . } \end{array}
\gamma _ { P ^ { 0 } P ^ { - } } = \phi _ { P ^ { 0 } } - \phi _ { P ^ { - } } = ( \phi _ { S } - \phi _ { P ^ { - } } ) - ( \phi _ { S } - \phi _ { P ^ { 0 } } ) = \gamma _ { S P ^ { - } } - \gamma _ { S P ^ { 0 } }
d ( n \, \psi _ { 0 } \, \wedge \phi _ { 0 } ^ { n - 1 } ) = n \, d \psi _ { 0 } \wedge \phi _ { 0 } ^ { n - 1 } + n \psi _ { 0 } \wedge \left( ( n - 1 ) \phi _ { 0 } ^ { n - 2 } \wedge d \phi _ { 0 } \right) ,
\begin{array} { r } { T _ { \beta } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { - \langle \gamma ^ { \prime } ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) \rangle - \langle \alpha ^ { \prime } ( s ) , \alpha ^ { \prime } ( s ) \rangle } d s \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { - \langle \gamma ^ { \prime } ( s ) , \gamma ^ { \prime } ( s ) \rangle } d s = T _ { \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } - A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \right) \cos \theta _ { \mathrm { i } } } & { - } & { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } + A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \right) ( \eta / n _ { 1 } ) ^ { 2 } \sin \theta _ { \mathrm { i } } = } \\ { = A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \cos \theta _ { \mathrm { t } } } & { - } & { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } ( \eta / n _ { 2 } ) ^ { 2 } \sin \theta _ { \mathrm { t } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { { M } _ { n } } { { \ddot { u } } _ { n } } } & { { } = } & { - \frac { \partial H } { \partial { { u } _ { n } } } , } \\ { { { J } _ { n } } { { \ddot { \theta } } _ { n } } } & { { } = } & { - \frac { \partial H } { \partial { { \theta } _ { n } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( \tau ) } & { { } = } & { - \kappa _ { 1 } e ^ { - ( a \eta + 1 ) \tau } + \kappa _ { 2 } e ^ { - \tau } + \kappa _ { 3 } , \ \kappa _ { 1 } = \eta - ( a \eta + 1 ) \delta _ { \theta } , } \\ { \kappa _ { 2 } } & { { } = } & { \psi ( { 0 } ) + a \eta ^ { 2 } - ( a \eta + 1 ) \delta _ { \theta } + 1 , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \kappa _ { 3 } = \eta - 1 - a \eta ^ { 2 } , } \\ { \theta ( \tau ) } & { { } = } & { \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { a \eta + 1 } \right) e ^ { - ( a \eta + 1 ) \tau } + \frac { \eta } { a \eta + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } , \mathbb { A } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } , \mathbb { M } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } , - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { n } } , \mathbb { A } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { n } } , \mathbb { M } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { n } } \} \mathrm { . ~ } } \end{array}
\left( ( D ^ { 2 } ) ^ { a b } + g \epsilon ^ { a d c } A ^ { d } D ^ { c b } \right) f _ { b } = j _ { \mathrm { t o t } , 0 } ^ { b } ; ~ ~ ~ ~ j _ { \mathrm { t o t } , 0 } ^ { b } = g \epsilon ^ { a b c } A _ { i } ^ { a } E _ { i } ^ { c } + j _ { 0 } ^ { b } ~ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { F _ { z } ( \Delta , \Delta , 0 ) = F _ { z } ( 0 ) + \Bigl ( \frac { \partial F _ { z } } { \partial E _ { x } } + \frac { \partial F _ { z } } { \partial E _ { y } } \Bigr ) \, \Delta } \\ & { } & { \qquad + \Bigl ( \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } F _ { z } } { \partial E _ { x } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } F _ { z } } { \partial E _ { y } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } F _ { z } } { \partial E _ { x } \partial E _ { y } } \Bigr ) \Delta ^ { 2 } + O ( \Delta ^ { 3 } ) } \\ & { } & { \quad = F _ { z } ( 0 ) + ( Z _ { z x } + Z _ { z y } ) \Delta + \frac { \partial Z _ { z x } } { \partial E _ { y } } \Delta ^ { 2 } + O ( \Delta ^ { 3 } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \widetilde { \mathcal { L } } } _ { h } [ G ] ( z ) } & { : = [ x ^ { 0 } ] \operatorname { C o n v } _ { h } \left( 1 , 1 ; { \frac { z } { x } } \right) G ( x ) } \\ & { \ = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname { C o n v } _ { h } \left( 1 , 1 ; { \sqrt { z } } e ^ { I t } \right) G \left( { \sqrt { z } } e ^ { - I t } \right) d t . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \hat { \boldsymbol A } ^ { \prime } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \hat { \boldsymbol A } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \boldsymbol B } ^ { \prime } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp \prime } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) + \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } { \boldsymbol P } ^ { \perp } \equiv \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \boldsymbol P } ^ { \prime } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) . } \end{array}
\frac { p _ { \omega } } { t _ { \rho } } \equiv r ^ { \prime } e ^ { i ( \delta _ { q } + \phi ) } \ , \; \; \; \; \frac { t _ { \omega } } { t _ { \rho } } \equiv \alpha e ^ { i \delta _ { \alpha } } \ , \; \; \; \; \frac { p _ { \rho } } { p _ { \omega } } \equiv \beta e ^ { i \delta _ { \beta } } \ ,
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { 4 \pi } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \left[ 1 + \tau D _ { r } n ( n + 1 ) \right] Y _ { n } ^ { m } + } & { } \\ { \mathrm { P e } _ { f } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) } & { = 0 . } \end{array}
4 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } b _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } + 4 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} | ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} | ^ { 2 }
\frac { \mathcal { Z } _ { X _ { p } } ^ { ( \ell | 0 ) } ( \xi , g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { X _ { p } } ^ { ( 0 | 0 ) } ( \xi , g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq \frac { G _ { 2 } ( \ell + 1 ) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \frac { \ell } { g _ { \mathrm { s } } } A ( \xi ) } \left( \frac { g _ { \mathrm { s } } \left( x ^ { \star } \right) ^ { 2 } \left( a - b \right) ^ { 2 } } { 1 6 \left( x ^ { \star } - a \right) ^ { 3 / 2 } \left( x ^ { \star } - b \right) ^ { 3 / 2 } \left\{ p \sqrt { a b } - \left( p - 2 \right) x ^ { \star } \right\} } \right) ^ { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots .
I = \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \mathrm { d } ^ { 4 } y h _ { \mu \nu } ( x ) S _ { s u b } ^ { \mu \nu \, \alpha \beta } ( x - y ) h _ { \alpha \beta } ( y ) + \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \mathrm { d } ^ { 4 } y J ^ { \mu \nu } ( x ) X _ { \mu \nu \, \lambda } ( x - y ) \eta ^ { \lambda } ( y ) + \cdots .
\begin{array} { r l } { W _ { n } } & { = \left( I - \frac { h } { 2 } \Delta _ { N } ^ { - 1 } \tilde { W } \right) \tilde { W } \left( I + \frac { h } { 2 } \Delta _ { N } ^ { - 1 } \tilde { W } \right) } \\ { W _ { n + 1 } } & { = \left( I + \frac { h } { 2 } \Delta _ { N } ^ { - 1 } \tilde { W } \right) \tilde { W } \left( I - \frac { h } { 2 } \Delta _ { N } ^ { - 1 } \tilde { W } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { n } ^ { m d * } = } & { \ \textrm { m i n } \{ \sqrt [ 3 ] { ( \frac { \beta _ { 1 } } { 2 \beta _ { 2 } \kappa } ) } , f _ { n } ^ { m a x } \} , } \\ { M _ { n } ^ { * } = } & { \ \textrm { m i n } \{ \textrm { m a x } \{ \sqrt { \frac { \beta _ { 3 } m _ { a , 0 } } { \frac { \beta _ { 1 } \rho m _ { c , 0 } } { f _ { n } ^ { m d } } + \beta _ { 2 } \kappa \rho m _ { c , 0 } f _ { n } ^ { m d 2 } } } } \\ & { - m _ { a , 1 } , M _ { n } ^ { m i n } \} , M _ { n } ^ { m a x } \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } = \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } [ - \mathbf { \hat { z } } + \cos \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } \mathbf { \hat { m } } ] \quad \mathrm { ~ ( ~ B ~ l ~ u ~ e ~ p ~ h ~ a ~ s ~ e ~ ) ~ } } \end{array}
\Tilde { E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) = e ^ { - i ( { \bf k } _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { s a m } } \cdot { \bf r _ { \mathrm { i n } } } - k _ { z , \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { a i r } } z ^ { \mathrm { a i r } } ) } .
D _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } \left[ ( \delta _ { \mu \nu } - \frac { p _ { \mu } \, p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } ) - \kappa \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \, { \frac { p _ { \lambda } } { p ^ { 2 } } } \right] + \xi \, \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ,
\epsilon ^ { 2 } \frac { \partial c } { \partial t } + \frac { \partial c } { \partial T } + \epsilon ^ { 2 } u _ { r } \frac { \partial c } { \partial r } + \epsilon ^ { 2 } u _ { z } \frac { \partial c } { \partial z } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial c } { \partial r } \right) + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial z ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial z } G _ { 2 D } ^ { - } ( k r ) \bigg | _ { \mathbf { r } ^ { \prime } \in \partial S } } & { { } = \frac { i k } { 4 } \frac { z - z ^ { \prime } } { r } H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k r ) } \end{array}
d s ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) ( d x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) ( e ^ { h x ^ { 1 } } d x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + a _ { 3 } ^ { 2 } ( t ) ( e ^ { x ^ { 1 } } d x ^ { 3 } ) ^ { 2 } .