harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle q \rangle } { d t ^ { \prime } } } & { = } & { - \langle b _ { i j } \mu _ { j i } \rangle - \big ( c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \big ( 8 \langle q \rangle + 1 \big ) - c _ { 2 } c _ { 3 } \big ( 1 6 \langle q ^ { 2 } \rangle + 4 \langle q \rangle + 4 \big ) = - R \big ( \langle q \rangle - \overline { { q } } \big ) } \\ { \frac { d \langle r \rangle } { d t ^ { \prime } } } & { = } & { - \langle b _ { i k } b _ { k j } \mu _ { j i } \rangle - \big ( c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \bigg ( \frac { 2 7 } { 2 } \langle r \rangle \bigg ) - c _ { 2 } c _ { 3 } \big ( 6 \langle r \rangle + 3 0 \langle q r \rangle - 6 \langle b _ { i j } b _ { j k } b _ { i k } \rangle \big ) } \\ & { = } & { - R \big ( \langle r \rangle - \overline { { r } } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ( \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } + \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ) , } \\ { | | } & { \leq - \frac { 1 } { C } \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { 2 } + C ( \langle \| F _ { + } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { 2 } + \| G ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { 2 } ) , } \\ { | | } & { \lesssim \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { 2 } + \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 7 } { 4 } } + \langle \| F _ { + } ^ { 0 } \| _ { \mathfrak D } \rangle \| G \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } \| G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } D = \, } & { \frac { 1 } { 2 } \Big [ | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } - | c | ^ { 2 } - | d | ^ { 2 } + | e | ^ { 2 } + | f | ^ { 2 } \Big ] , } \\ { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } A = \, } & { - \mathrm { R e } ( a ^ { * } \, b - e ^ { * } \, f ) \sin ( \alpha + \frac { \theta } { 2 } ) } \\ & { \quad \null + \mathrm { R e } ( c ^ { * } \, d ) \sin ( \alpha - \frac { \theta } { 2 } ) } \\ & { \quad \null - \mathrm { I m } ( b ^ { * } \, e + a ^ { * } \, f ) \cos ( \alpha + \frac { \theta } { 2 } ) , } \\ { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } A _ { x x } = \, } & { \mathrm { R e } ( a ^ { * } \, d ) \cos ( \theta ) + \mathrm { R e } ( b ^ { * } \, c ) - \mathrm { I m } ( d ^ { * } \, e ) \sin ( \theta ) , } \\ { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } A _ { y y } = \, } & { \frac { 1 } { 2 } \Big [ | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } - | c | ^ { 2 } - | d | ^ { 2 } + | e | ^ { 2 } + | f | ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 1 } = \nabla \cdot \big ( D ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \, \nabla u _ { 1 } - \frac { u _ { 1 } } { u _ { 2 } } \nabla u _ { 2 } \big ) - u _ { 1 } \, u _ { 2 } + H ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) , } \\ { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 2 } = \eta \, \Delta u _ { 2 } - u _ { 2 } + u _ { 1 } \, u _ { 2 } + K ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) , } \end{array} \right.
v _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 . 7 0 7 3 } \\ { - 0 . 0 7 2 7 8 - 0 . 7 0 3 2 i } \\ { 0 . 0 0 4 2 - 0 . 0 0 0 7 i } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { u _ { i } } } { \partial t } + u _ { j } \partial _ { j } u _ { i } } & { = } & { - \partial _ { i } p / \rho + \nu \partial _ { j j } u _ { i } + \frac { \mu } { \tau _ { p } } \partial _ { j } ( f \mathcal { C } _ { i j } ) + F _ { \mathrm { e x t } , i } , } \\ { \frac { \partial { \mathcal { C } _ { i j } } } { \partial t } + u _ { l } \partial _ { l } \mathcal { C } _ { i j } } & { = } & { \mathcal { C } _ { i l } \partial _ { l } u _ { j } + \mathcal { C } _ { j l } \partial _ { l } u _ { i } + \frac { 1 } { \tau _ { p } } [ f \mathcal { C } _ { i j } - \delta _ { i j } ] , } \\ { \partial _ { i } u _ { i } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i a \alpha } = } & { { } \sum _ { \mu \kappa } ( b _ { i \uparrow \mu } ^ { * } b _ { a \uparrow \kappa } + b _ { i \downarrow \mu } ^ { * } b _ { a \downarrow \kappa } ) c _ { \mu \kappa \alpha } = c _ { i a \alpha } ^ { R } + i c _ { i a \alpha } ^ { I } } \\ { = } & { { } \sum _ { \mu \kappa } ( b _ { i \uparrow \mu } ^ { R } b _ { a \uparrow \kappa } ^ { R } + b _ { i \uparrow \mu } ^ { I } b _ { a \uparrow \kappa } ^ { I } + b _ { i \downarrow \mu } ^ { R } b _ { a \downarrow \kappa } ^ { R } + b _ { i \downarrow \mu } ^ { I } b _ { a \downarrow \kappa } ^ { I } ) c _ { \mu \kappa \alpha } } \end{array}
S [ \phi , \chi ] = \int \operatorname { d } ^ { n } x \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \partial ^ { \mu } \phi \partial _ { \mu } \phi - V ( \phi ) + \chi ^ { \dagger } i { \bar { \sigma } } \cdot \partial \chi + { \frac { i } { 2 } } ( m + g \phi ) \chi ^ { T } \sigma ^ { 2 } \chi - { \frac { i } { 2 } } ( m + g \phi ) ^ { * } \chi ^ { \dagger } \sigma ^ { 2 } \chi ^ { * } \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { s , d } - \frac { 1 } { N } P _ { K _ { s } } ( \omega _ { N , d } ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathbb S ^ { d } } \bigg ( \mathcal { I } _ { s , d } - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } K _ { s } ( x , x _ { j } ) \bigg ) } \\ & { \ge \bigg ( \int _ { \mathbb S ^ { d } } \bigg | \mathcal { I } _ { s , d } - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } K _ { s } ( x , x _ { j } ) \bigg | ^ { 2 } d \sigma _ { d } ( x ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \bigg ( \int _ { \mathbb S ^ { d } } \bigg | \int _ { \mathbb S ^ { d } } f _ { s } ( \langle x , y \rangle ) \, d \sigma _ { d } ( y ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } f _ { s } ( \langle x , x _ { j } \rangle ) \bigg | ^ { 2 } d \sigma _ { d } ( x ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { = D _ { L ^ { 2 } , f _ { s } } ( \omega _ { N , d } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal T } ^ { < a b c > } \Big ( 4 m _ { a } m _ { b } m _ { c } + 3 k _ { a } k _ { b } m _ { c } \Big ) } & { = } & { \Big ( { \cal T } _ { 1 1 1 } ^ { \prime } - 3 { \cal T } _ { 1 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \cos 3 \phi _ { \xi } + \Big ( 3 { \cal T } _ { 1 1 2 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \sin 3 \phi _ { \xi } , } \\ { { \cal T } ^ { < a b c > } \Big ( k _ { a } m _ { b } m _ { c } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } k _ { a } k _ { b } k _ { c } \Big ) } & { = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \Big ( { \cal T } _ { 1 1 3 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 3 } ^ { \prime } \Big ) \cos 2 \phi _ { \xi } + { \cal T } _ { 1 2 3 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } , } \\ { { \cal T } ^ { < a b c > } k _ { a } k _ { b } m _ { c } } & { = } & { { \cal T } _ { 1 3 3 } ^ { \prime } \cos \phi _ { \xi } + { \cal T } _ { 2 3 3 } ^ { \prime } \sin \phi _ { \xi } , } \\ { { \cal T } ^ { < a b c > } k _ { a } k _ { b } k _ { c } } & { = } & { { \cal T } _ { 3 3 3 } ^ { \prime } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } ^ { - 1 } + \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ) ^ { - 1 } \mathbf { C A } ^ { - 1 } } & { - \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ) ^ { - 1 } } \\ { - ( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ) ^ { - 1 } \mathbf { C A } ^ { - 1 } } & { ( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ) ^ { - 1 } } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { n l } ( q ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { q } \frac { 2 ^ { l + 2 } } { ( 2 l + 1 ) ! } \left[ \frac { ( n + l ) ! } { ( n - l - 1 ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle V _ { p } \rangle ^ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ f ~ i ~ e ~ l ~ d ~ } } } & { { } \approx - \frac { 9 \beta \gamma ^ { \prime \prime } \langle S _ { 2 1 } \rangle R e _ { p } } { 6 4 \pi K _ { m } R e _ { c } ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 1 } ( - \theta _ { \mathrm { L } } ) } & { = } & { \mathcal { D } ( \hat { \bf x } , - \theta _ { \mathrm { L } } ) = \exp \left( + \frac { i \sigma _ { x } \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { { \bf 1 } \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) + i \sigma _ { x } \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { u _ { \mathrm { L } } } & { i v _ { \mathrm { L } } } \\ { i v _ { \mathrm { L } } } & { u _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) . } \end{array}
. T h e s e i d e a s a r e k n o w n i n t h e l i t e r a t u r e a n d t h e n o t a t i o n f r o m S e c . ~ p r o v i d e s a c o m p a c t w a y t o p r o c e e d ( s e e S u p p l e m e n t a r y M a t e r i a l ) . I n p a r t i c u l a r , u s i n g a L a g r a n g i a n n o t a t i o n w i t h
\sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { t } ) + L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( j - i ) d + d + 1 \leq \sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T } ( u _ { t } ) + L _ { T } ( u _ { t + 1 } ) + 2 - ( d _ { 0 } + 3 ) ) + d _ { 0 } + 4 = \sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T } ( u _ { t } ) + L _ { T } ( u _ { t + 1 } ) - ( d _ { 0 } + 1 ) ) + ( d _ { 0 } + 1 ) + 3 \leq d _ { T } ( u _ { i } , u _ { j } ) + 3 = d _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { i } , u _ { j } )
f _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { c _ { i } } \Delta t , t + \Delta t ) - f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = - \frac { \Delta t } { \tau } \left[ f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - f _ { i } ^ { e q } ( \mathbf { x } , t ) \right] + S _ { f _ { i } } ( \mathbf { x } , t ) \Delta t \; .
{ \begin{array} { r l } & { \alpha _ { k } y _ { n + k } + \alpha _ { k - 1 } y _ { n + k - 1 } + \cdots + \alpha _ { 0 } y _ { n } } \\ & { \quad = h \left[ \beta _ { k } f ( t _ { n + k } , y _ { n + k } ) + \beta _ { k - 1 } f ( t _ { n + k - 1 } , y _ { n + k - 1 } ) + \cdots + \beta _ { 0 } f ( t _ { n } , y _ { n } ) \right] . } \end{array} }
G _ { \mathrm { e f f } } = { \frac { 1 } { 8 \pi F } } { \frac { 1 + 4 { \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } R } } m } { 1 + 3 { \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } R } } m } } ,
\begin{array} { r l } { d \hat { r } _ { * } = d \hat { x } _ { * } } & { = \frac { c _ { s 0 } d \hat { x } } { c _ { s } ( 1 - \mathcal { M } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { \sqrt { 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) } d \hat { x } } { 1 - \frac { 2 } { \gamma - 1 } \left[ 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) - 1 \right] } , } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 1 2 } H _ { \mu \nu \lambda } H ^ { \mu \nu \lambda } - \frac { m } { 6 } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \rho } H _ { \mu \nu \lambda } A _ { \rho }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| \nabla p ( x ) \right| \mathrm { d } x } & { \ge \int _ { B _ { R } \left( \mathbf { 0 } \right) } p ( x ) \mathrm { d i v } \varphi _ { \delta } ( x ) \mathrm { d } x = \int _ { B _ { 1 } \left( \mathbf { 0 } \right) } p ( x ) \mathrm { d i v } \varphi _ { \delta } ( x ) \mathrm { d } x = ( 1 - \delta ) d . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \vert \Psi \rangle \propto ( \cos ( \phi ) \hat { a } _ { A } + \sin ( \phi ) \hat { a } _ { B } ) \vert \Psi _ { 0 } \rangle = } \\ & { \hat { S } _ { A } ( r _ { A } ) \hat { S } _ { B } ( r _ { B } ) ( \cos ( \phi ) \sinh ( r _ { A } ) \vert 1 0 \rangle + \sinh ( r _ { B } ) \sin ( \phi ) \vert 0 1 \rangle ) , } \end{array}
\Gamma ( \eta _ { c } \to \gamma \gamma ) = \frac { 4 { ( 4 \pi \alpha ) } ^ { 2 } f _ { \eta _ { c } } ^ { 2 } ( m _ { \eta _ { c } } ^ { 2 } ) } { 8 1 \pi m _ { \eta _ { c } } } \; \; .
\alpha _ { i } ^ { I } = \alpha _ { i _ { 0 0 } } - \alpha _ { f _ { 0 0 } } \frac { w _ { d } } { w _ { u } + w _ { d } } \, , \textrm { a n d } \; \; \alpha _ { f } ^ { I } = \alpha _ { f } = \alpha _ { f _ { 0 0 } } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { d \delta A } { d t } = } & { { } ( \alpha \bar { P } _ { z , N S } - 1 / T _ { 2 } ) \delta A + \epsilon \delta B / 2 , } \\ { \frac { d \delta B } { d t } = } & { { } - \epsilon \delta A / 2 - \delta B / T _ { 2 } , } \\ { \frac { d \delta \bar { P } _ { z } } { d t } = } & { { } - ( 1 / T _ { 1 } + G ) \delta \bar { P } _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { q } ( t ) + \frac { \omega _ { 0 } } { Q } \, \dot { q } ( t ) + \omega ^ { 2 } \, q ( t ) } & { = } & { \frac { F _ { \mathrm { d r i v e } } ^ { 0 } } { m ^ { * } } \times \cos ( \omega t + \phi _ { \mathrm { d r i v e } } ) } \\ & { } & { + \frac { F _ { \mathrm { p i e z o } } ^ { 0 } } { m ^ { * } } \times \cos ( \omega t + \phi _ { \mathrm { R C } } ) . } \end{array}
{ h _ { a } ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } = \sigma ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { t ^ { ( 1 ) } d _ { 1 } + { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } } } } , ~ ~ ~ { h _ { a } ^ { ( 2 ) } } ^ { 2 } = \sigma ^ { ( 2 ) } = { \frac { 1 } { t ^ { ( 2 ) } d _ { 2 } + { \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } } } }
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { l l } { E \, \mathbf { I } - \mathbf { \Omega } - \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { c } ( E ) } & { \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { < } ( E ) } \\ { \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { > } ( E ) } & { - E \, \mathbf { I } + \mathbf { \Omega } - \mathbf { \Sigma } _ { B } ^ { \tilde { c } } ( E ) } \end{array} \right] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad \times \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { B } ^ { c } ( E ) } & { \mathbf { B } ^ { < } ( E ) } \\ { \mathbf { B } ^ { > } ( E ) } & { \mathbf { B } ^ { \tilde { c } } ( E ) } \end{array} \right] = \mathbf { I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { * } ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } ) } & { { } = \int _ { 1 , 3 \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ } } T _ { \vec { k } \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 2 } \vec { k } _ { 3 } } b _ { \mathbf 1 } b _ { \mathbf 3 } ^ { * } \delta ( \vec { k } + \vec { k } _ { 1 } - \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 3 } ) d \vec { k } _ { 1 } d \vec { k } _ { 3 } } \end{array}
\mathbb { E } _ { X _ { t } = x } [ e ^ { - \theta \tau _ { t } } ] \sim e ^ { - \frac { - ( \rho \nu - \lambda - \theta ) + \sqrt { ( \rho \nu - \lambda - \theta ) ^ { 2 } + 4 \rho \nu \theta } } { 2 \rho } x + \frac { - ( \rho \nu - \lambda + \theta ) + \sqrt { ( \rho \nu - \lambda - \theta ) ^ { 2 } + 4 \rho \nu \theta } } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { \gamma } } ( 1 - N ( \sqrt { 2 \gamma } t ) ) } ,
\begin{array} { r l } { u _ { i , \, i } ^ { ( n ) } = 2 \sum _ { n } \Bigg [ \underbrace { \cos \alpha ^ { ( n ) } q _ { , \, i } ^ { ( n ) } L _ { i j } \sigma _ { j } ^ { ( n ) } } _ { E r _ { 1 } } } & { + \underbrace { \cos \alpha ^ { ( n ) } q ^ { ( n ) } L _ { i j } \sigma _ { j , \, i } ^ { ( n ) } } _ { E r _ { 2 } } - \underbrace { \sin \alpha ^ { ( n ) } q ^ { ( n ) } L _ { i j } \sigma _ { j } ^ { ( n ) } \kappa _ { k , \, i } ^ { ( n ) } x _ { k } } _ { E r _ { 3 } } } \\ & { + \underbrace { \cos \alpha ^ { ( n ) } q ^ { ( n ) } L _ { i j , \, i } \sigma _ { j } ^ { ( n ) } } _ { E r _ { 4 } } - \underbrace { \sin \alpha ^ { ( n ) } q ^ { ( n ) } \kappa _ { i } L _ { i j } \sigma _ { j } ^ { ( n ) } } _ { E r _ { 5 } } \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } _ { n , \theta } [ \eta _ { i , \theta , h _ { n } } | Z _ { 1 : i - 1 } ] = \int _ { \mathcal Z } \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ( Z _ { 1 : i - 1 } , z ) q _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) \nu _ { Z _ { 1 : i - 1 } } ( d z ) } \\ & { \quad = \int _ { \mathcal Z } \sqrt { q _ { i , \theta + h _ { n } } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) q _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) } \nu _ { Z _ { 1 : i - 1 } } ( d z ) - 1 } \\ & { \quad = - \frac 1 2 \int _ { \mathcal Z } q _ { i , \theta + h _ { n } } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) - 2 \sqrt { q _ { i , \theta + h _ { n } } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) q _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) } + q _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) \nu _ { Z _ { 1 : i - 1 } } ( d z ) } \\ & { \quad = - \frac 1 2 \int _ { \mathcal Z } \left[ \sqrt { q _ { i , \theta + h _ { n } } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) } - \sqrt { q _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) } \right] ^ { 2 } \nu _ { Z _ { 1 : i - 1 } } ( d z ) } \\ & { \quad = - \frac 1 2 { \mathbb E } _ { n , \theta } \left[ \eta _ { i , \theta , h _ { n } } ^ { 2 } \Big | Z _ { 1 : i - 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta x = ( \sqrt { 2 } ) ^ { n - 1 } \, r _ { c } \sin \theta } & { { } \cong ( \sqrt { 2 } ) ^ { n - 1 } \left( 2 \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { n + 1 } \right) r _ { c } = r _ { c } } \\ { \Rightarrow \Delta p } & { { } \cong \frac { h } { 4 \pi r _ { c } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} ( f , { \mathbf A } ) } & { { } = \int f \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta f } , \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta f } \right] _ { x p } \mathrm { d } { \mathbf x } \mathrm { d } { \mathbf p } - \int \frac { 1 } { n } \left( \nabla \times \mathbf { A } + { \mathbf B } _ { 0 } \right) \cdot \left( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta { \mathbf A } } \times \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta { \mathbf A } } \right) \mathrm { d } { \mathbf x } } \end{array}
\big [ \hat { \Sigma } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \hat { \nu } ^ { \le ( r ) } , \lambda ) \big ] _ { 1 2 } + \big [ \hat { \nu } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( { \bf k } , \lambda ) \big ] _ { 1 2 } = \big [ \hat { R } \hat { \Sigma } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( ( k _ { 0 } , { \bf k } ) , \hat { \nu } ^ { \le ( r + 1 ) } , \lambda ) \big ] _ { 1 2 } .
\begin{array} { r l } & { F ( k _ { x } , k _ { y } ) = \frac { 1 } { 4 } C ( k _ { x } ) C ( k _ { y } ) \biggl ( \sum _ { i _ { x } = 0 } ^ { 7 } \sum _ { i _ { y } = 0 } ^ { 7 } f ( i _ { x } , i _ { y } ) \cos \biggl ( \frac { ( 2 i _ { x } + 1 ) k _ { x } \pi } { 1 6 } \biggr ) \cos \biggl ( \frac { ( 2 i _ { y } + 1 ) k _ { y } \pi } { 1 6 } \biggr ) \biggr ) , } \\ & { f ( i _ { x } , i _ { y } ) = \frac { 1 } { 4 } \biggl ( \sum _ { k _ { x } = 0 } ^ { 7 } \sum _ { k _ { y } = 0 } ^ { 7 } C ( k _ { x } ) C ( k _ { y } ) F ( k _ { x } , k _ { y } ) \cos \biggl ( \frac { ( 2 i _ { x } + 1 ) k _ { x } \pi } { 1 6 } \biggr ) \cos \biggl ( \frac { ( 2 i _ { y } + 1 ) k _ { y } \pi } { 1 6 } \biggr ) \biggr ) , } \end{array}
m _ { \tilde { n } _ { a , \sigma } } ^ { 2 } \ = \, s u m _ { k , k ^ { \prime } } O _ { k a } ^ { \, \sigma } m _ { \tilde { \nu } _ { k k ^ { \prime } , \sigma } } ^ { 2 } O _ { k ^ { \prime } a } ^ { \, \sigma } \ = \ m _ { \tilde { L } } ^ { 2 } + \sum _ { k , k ^ { \prime } } O _ { k a } ^ { \, \sigma } \epsilon _ { k k ^ { \prime } , \sigma } ^ { 2 } O _ { k ^ { \prime } a } ^ { \, \sigma } \, .
\begin{array} { r } { t _ { 1 } \leq T _ { \operatorname* { m i n } } / 1 6 , \quad t _ { 1 } \leq t _ { 2 } \leq t _ { 1 } + T _ { \operatorname* { m i n } } / 1 6 , \quad t _ { 2 } \leq t _ { 3 } \leq t _ { 2 } + T _ { \operatorname* { m i n } } / 1 6 , \quad t _ { 3 } \leq t _ { 4 } \leq t _ { 3 } + T _ { \operatorname* { m i n } } / 1 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { d } = \frac { \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } & { \quad } & { \mathbf { m } = - \frac { \chi } { 3 } \frac { \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } \\ { \mathbf { E } _ { 0 } = \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 R ^ { 3 } } \frac { \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } & { \quad } & { \mathbf { B } _ { 0 } = - \frac { 2 \chi } { 3 R ^ { 3 } } \frac { \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } . } \end{array}
i ^ { \alpha } \frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial t ^ { \alpha } } \psi _ { 1 } ( x , t ) = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \psi _ { 1 } ( x , t ) + \gamma e ^ { i \omega t } \psi _ { 2 } ( x , t ) ,
\begin{array} { r l } { | f ( x ) - f ^ { N } ( x ) | } & { = \bigg | \big ( g _ { \mathrm { e x t e n d } } ( x ) + x \big ) - \big ( g _ { \mathrm { e x t e n d } } ^ { N } ( x ) + x \big ) \bigg | } \\ & { = \bigg | g _ { \mathrm { e x t e n d } } ( x ) - g _ { \mathrm { e x t e n d } } ^ { N } ( x ) \bigg | \leq \frac { K \ln \frac { N } { 2 } } { { \frac { N } { 2 } } } \leq \frac { ( 2 K ) \ln N } { N } , \forall x \in [ 0 , \pi ] . } \end{array}
4 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } + 4 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } + \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \}
1 + \frac { \sum _ { j , l = 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { 0 } \mathbf { R } ( \theta , \varphi ) \cdot ( { \bf r } _ { l } - { \bf r } _ { j } ) } \Gamma _ { j l } } { N ^ { 2 } \Gamma _ { 0 } } - \frac { 1 } { N } - \frac { \Gamma _ { 0 } ^ { a } } { N \Gamma _ { 0 } } > 1
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { D = \Big \{ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } u _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \mu _ { j } v _ { j } \; \big | \; } & { \lambda _ { i } \geq 0 , \, \forall i = 1 , \ldots , k , \, \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } = 1 , } \\ & { \mu _ { j } \geq 0 , \, \forall j = 1 , \ldots , \ell \Big \} + X _ { 0 } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( \sigma ) | _ { N } } & { } & { = \frac { e ^ { \sigma ^ { 2 } / 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1 - x } [ ( e ^ { - \sigma ^ { 2 } } - 1 ) - \frac { 1 } { x } ( e ^ { - x \sigma ^ { 2 } } - 1 ) ] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 1 } { 7 2 } \sigma ^ { 6 } + O ( \sigma ^ { 8 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { L J } } ^ { \mathrm { w a l l - i o n } } \sim - 4 \pi \epsilon _ { i w } \rho _ { w } \left[ \frac { \sigma _ { i w } ^ { 6 } } { 2 \sigma _ { i w } ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i w } ^ { 1 2 } } { 5 \sigma _ { i w } ^ { 1 0 } } + \frac { \sigma _ { i w } ^ { 6 } } { 2 L ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i w } ^ { 1 2 } } { 5 L ^ { 1 0 } } \right] \approx \frac { 6 \pi \epsilon _ { i w } \rho _ { w } \sigma _ { i w } ^ { 2 } } { 5 } } \end{array}
\sum _ { n \in \mathbb { Z } } \left\vert \omega _ { n } c _ { n } \right\vert ^ { 2 } = \frac { 1 } { 8 } \int _ { - \ell \left( t \right) } ^ { \ell \left( t \right) } \left( \tilde { u } _ { x } + \tilde { u } _ { t } \right) ^ { 2 } e ^ { \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t + x ) } \frac { d x } { \varphi ^ { \prime } ( t + x ) } .
\begin{array} { r l } & { G _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \Theta ( \tau ) } \\ & { G _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \Theta ( \tau ) } { \sqrt { t ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } } \\ & { G _ { 3 } = \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \delta ( \tau ) } { r } } \\ & { G _ { 4 } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } ( \frac { \delta ( \tau ) } { r ( t ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } - \frac { \Theta ( t - r ) } { ( t ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } ) } \\ & { G _ { 5 } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } ( \frac { \delta ( \tau ) } { r ^ { 3 } } + \frac { \delta ^ { \prime } ( \tau ) } { r ^ { 2 } } ) } \end{array}