harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \alpha ^ { E 2 } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 0 } ( \alpha \omega ) ^ { 2 } [ \alpha _ { S } ^ { E 2 } ( \omega ) + g _ { 2 } ( J _ { 0 } , M _ { 0 } ) \alpha _ { T 1 } ^ { E 2 } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { \mathrm { B S E } } ^ { " } } & { { } = \frac { g _ { s } \pi e ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } N _ { k } V _ { c } } \sum _ { s } | \sum _ { m n \textbf { k } } A _ { m n \textbf { k } } ^ { s } \textbf { x } _ { m n \textbf { k } } \cdot \textbf { e } | ^ { 2 } \delta ( \omega - E ^ { s } ) } \end{array}
A = { \small \frac { 1 } { 2 } } \int d \eta \ d ^ { 3 } x \ a ^ { 2 m } e ^ { l \phi } \left( \psi ^ { \prime 2 } - ( \nabla \psi ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } a ^ { 2 } \psi ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \alpha = } & { - \frac { \cos 2 \theta } { 1 + \sin 2 \theta } } \\ { \eta = } & { - \frac { ( 1 + 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } ) + ( 1 - 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } ) } { 1 + \alpha ^ { 2 } } = 2 \frac { \alpha ^ { 2 } - 1 } { \alpha ^ { 2 } + 1 } } \\ { = } & { 2 \frac { \cos ^ { 2 } 2 \theta - ( 1 + \sin 2 \theta ) ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } 2 \theta + ( 1 + \sin 2 \theta ) ^ { 2 } } = \frac { \cos 4 \theta - \sin 2 \theta } { \sin 2 \theta + 1 } - 1 } \end{array}
\left( \Omega _ { 1 3 } \Omega _ { 3 6 } \right) ^ { ( 4 ) } \equiv \left( \begin{array} { c c c c } { { \frac { \mathrm { c } + 1 } { 2 \mathrm { c } } } } & { { \frac { \mathrm { c } - 1 } { 2 \mathrm { c } } } } & { { 0 } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { \mathrm { s } } { \mathrm { c } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \frac { \mathrm { c } - 1 } { 2 \mathrm { c } } } } & { { \frac { \mathrm { c } + 1 } { 2 \mathrm { c } } } } & { { 0 } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { \mathrm { s } } { \mathrm { c } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { \mathrm { s } } { \mathrm { c } } } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { \mathrm { s } } { \mathrm { c } } } } & { { 0 } } & { { \frac { 1 } { \mathrm { c } } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { = - 4 \pi \gamma \langle \xi \cdot \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \sqrt { \mu _ { \gamma } } e ^ { \gamma \psi - q _ { \alpha } \phi } , f \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - 4 \pi \gamma \langle \xi \cdot \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \frac { \mu _ { q _ { \alpha } } - \mu _ { \gamma } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { = - 4 \pi \gamma \langle \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , b \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - 4 \pi \gamma \langle ( e ^ { \gamma \psi - q _ { \alpha } \phi } - 1 ) \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , b \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - 4 \pi \gamma \langle \xi \cdot \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \frac { \mu _ { q _ { \alpha } } - \mu _ { \gamma } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( s _ { i } ( t + 1 ) = 1 \mid , s _ { i } ( t ) = 0 , i \in e \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ e ~ i ~ s ~ a ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } ) = \frac { b ( l - k ) ^ { 2 } } { l } } \\ { p ( s _ { i } ( t + 1 ) = 0 \mid , s _ { i } ( t ) = 1 , i \in e \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ e ~ i ~ s ~ a ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } ) = \frac { b k ^ { 2 } } { l } } \end{array} ,
[ T _ { \vec { m } _ { 1 } } , \cdots , T _ { \vec { m } _ { M } } ] \; = \; \frac { - i } { 2 \pi \Lambda } \; \sin \; \bigl ( 2 \pi \Lambda \, ( \vec { m } _ { 1 } , \cdots , \vec { m } _ { M } ) \big ) \; T _ { \vec { m } _ { 1 } \, + \cdots + \, \vec { m } _ { M } }
\begin{array} { r l } { \mathop { \textrm { m i n i m i z e } } _ { \left\{ f _ { n } ^ { m d } \right\} } \ \ } & { \mathcal { F } _ { \mathcal { P } _ { \mathcal { N } _ { 0 } } } \triangleq \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 0 } } \mathcal { F } _ { 0 , n } ( { M _ { n } ^ { * } } , { f _ { n } ^ { m d } } ) , } \\ { \textrm { s u b j e c t t o } \ \ \ } & { . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 / m } & { \ll 1 / r , \varepsilon \ll 1 / t , c , \varepsilon _ { k } , d _ { 2 } , \dots , d _ { k - 1 } , } \\ { c } & { \ll d _ { 2 } , \dots , d _ { k - 1 } , } \\ { 1 / t } & { \ll \varepsilon _ { k } \ll d _ { k } , \nu \leqslant 1 / k , \mathrm { ~ a n d } } \\ { c } & { \ll \varepsilon _ { k } \ll \alpha \ll \eta \ll \lambda \ll \nu \ll \mu \ll \delta , 1 / k . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { n e q } = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } G _ { n e q } ^ { ( i ) } \left( \left( \mathbf { A } ^ { ( i ) } : \bar { \mathbf { C } } - 3 \right) - \mathrm { ~ l ~ n ~ } \, \left( \mathrm { d e t } \mathbf { A } ^ { ( i ) } \right) \right) ,
\tau _ { \mathrm { { o } } } ^ { \mathrm { { H } } } \approx \frac { 3 \mathrm { ~ k m } } { c \cdot \gamma _ { \mathrm { { Q } } } } \approx 0 . 8 \cdot 1 0 ^ { - 8 } \mathrm { ~ s e c ~ }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( | \mathrm { d } X _ { n + 1 } ^ { 1 } | ^ { 2 p } | \widetilde { \mathcal { F } } _ { n } ) } & { = \sum _ { l _ { 1 } , \ldots , l _ { 2 p } } \mathbb { E } ( \mathrm { d } B _ { n N + l _ { 1 } } ^ { 1 } \ldots \mathrm { d } B _ { n N + l _ { 2 p } } ^ { 1 } | \widetilde { \mathcal { F } } _ { n } ) } \\ & { \leqslant \frac { ( 2 p ) ! } { 2 } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 3 } , \ldots l _ { 2 p - 1 } } \mathbb { E } ( ( \mathrm { d } B _ { n N + l _ { 1 } } ^ { 1 } ) ^ { 2 } ( \mathrm { d } B _ { n N + l _ { 3 } } ^ { 1 } ) ^ { 2 } \ldots ( \mathrm { d } B _ { n N + l _ { 2 p - 1 } } ^ { 1 } ) ^ { 2 } | \widetilde { \mathcal { F } } _ { n } ) } \\ & { \lesssim N ^ { p } \delta ^ { p } \lesssim \theta ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { \sigma } } & { { } = } & { \frac { e ^ { 2 } } { h } L _ { 0 \sigma } , } \\ { S _ { \sigma } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { e T } \frac { L _ { 1 \sigma } } { L _ { 0 \sigma } } , } \\ { k _ { \sigma \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { h T } \left( L _ { 2 \sigma } - \frac { L _ { 1 \sigma } ^ { 2 } } { L _ { 0 \sigma } } \right) , } \end{array}
\everymath { \displaystyle } \begin{array} { r c l } { { \epsilon ^ { i j } \hat { D } _ { i } \frac { \delta F } { \delta E ^ { a j } } } } & { { = } } & { { - 2 { e ^ { a } } _ { j } \left( \partial _ { i } \frac { \delta F } { \delta G _ { i j } } + \Gamma _ { i k } ^ { j } \frac { \delta F } { \delta G _ { i j } } \right) } } \\ { { } } & { { \equiv } } & { { - 2 { e ^ { a } } _ { j } \nabla _ { i } \frac { \delta F } { \delta G _ { i j } } . } } \end{array}
\mu ( T ) = E _ { 0 } + E _ { \mathrm { F } } \left[ 1 - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } } \left( { \frac { k _ { \mathrm { { B } } } T } { E _ { \mathrm { F } } } } \right) ^ { 2 } - { \frac { \pi ^ { 4 } } { 8 0 } } \left( { \frac { k _ { \mathrm { { B } } } T } { E _ { \mathrm { F } } } } \right) ^ { 4 } + \cdots \right]
\hat { x } _ { j } = \left( d _ { u _ { k } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \hat { \varrho } ^ { 2 } \left( \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \xi \right) + \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } M + \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } M + \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } M \right) + d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \right)
\begin{array} { r l } { \bar { \rho } A r ^ { 2 } \left( \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } - \Omega _ { r } ^ { * } U _ { q } ^ { * } \right) } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } F _ { p } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { p } ^ { * } + \cos \phi , } \\ { \bar { \rho } A r ^ { 2 } \left( \frac { d U _ { q } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \Omega _ { r } ^ { * } U _ { p } ^ { * } \right) } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } F _ { q } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { q } ^ { * } - \sin \phi , } \\ { \bar { \rho } A r ^ { 2 } J _ { q } ^ { * } \frac { d \Omega _ { r } ^ { * } } { d t ^ { * } } } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } \left( T _ { i } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) U _ { p } ^ { * } U _ { q } ^ { * } + T _ { \Omega } ^ { * } ( R e _ { \Omega } ^ { * } , \chi ) \Omega _ { r } ^ { * } \right) . } \end{array}
\kappa _ { a } ( \nu , T ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { m i n } ( 1 0 ^ { 7 } , 1 0 ^ { 9 } ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 2 } ) } & { h \nu < 0 . 0 0 8 \mathrm { ~ k e V } } \\ { \frac { 3 \cdot 1 0 ^ { 6 } \left( 0 . 0 0 8 \mathrm { ~ k e V } / h \nu \right) ^ { 2 } } { ( 1 + 2 0 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 1 . 5 } ) } } & { 0 . 0 0 8 \mathrm { ~ k e V } < h \nu < 0 . 3 \mathrm { ~ k e V } } \\ { \frac { 3 \cdot 1 0 ^ { 6 } \left( 0 . 0 0 8 \mathrm { ~ k e V } / h \nu \right) ^ { 2 } \sqrt { 0 . 3 \mathrm { ~ k e V } / h \nu } } { ( 1 + 2 0 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 1 . 5 } ) } + \frac { 4 \cdot 1 0 ^ { 4 } \left( 0 . 3 \mathrm { ~ k e V } / h \nu \right) ^ { 2 . 5 } } { 1 + 8 0 0 0 ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 2 } } } & { h \nu > 0 . 3 \mathrm { ~ k e V } . } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { F _ { \mu \nu } = \left( X ( \delta _ { \mu \lambda } \delta _ { \nu \rho } - \delta _ { \mu \rho } \delta _ { \nu \lambda } ) + Y \epsilon _ { \mu \nu \lambda \rho } \right) x _ { \lambda } g ^ { - 1 } \partial _ { \rho } g } } \\ { { { } } } \\ { { { { } ^ { \ast } F } _ { \mu \nu } = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { \mu \nu \lambda \rho } F _ { \lambda \rho } = \left( Y ( \delta _ { \mu \lambda } \delta _ { \nu \rho } - \delta _ { \mu \rho } \delta _ { \nu \lambda } ) + X \epsilon _ { \mu \nu \lambda \rho } \right) x _ { \lambda } g ^ { - 1 } \partial _ { \rho } g } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { g } - u _ { g _ { A } } ( r , \sqrt { 2 } r + x ) = ( 1 - u _ { g _ { A } } ) - ( 1 - u _ { g } ) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } ( \exists u \in N ( r ) : X _ { u } ( r ) < \sqrt { 2 } r + x - A \textrm { a n d } \operatorname* { m a x } \{ X _ { v } ( t + r ) ; v \in N _ { u } ( t ) \} \geq \sqrt { 2 } ( t + r ) + x - K _ { f } ) } \\ { = } & { \mathbb { P } ( \exists v \in N ( t + r ) : X _ { v } ( t + r ) \ge \sqrt { 2 } ( t + r ) + x - K _ { f } \textrm { a n d } X _ { v } ( r ) < \sqrt { 2 } r + x - A ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } } & { = } & { \hat { H } _ { S } - \tilde { H } _ { S } - \mathcal { L } _ { T S } ^ { \infty } - i \sum _ { k = 1 } ^ { K } \gamma _ { i _ { k } \alpha _ { k } p _ { k } } ^ { \sigma _ { k } } c _ { k } ^ { < , + } c _ { k } ^ { < , - } } \\ & { } & { - \sum _ { i \alpha \sigma } \frac { i v _ { i \alpha } ^ { 2 } } { 4 } ( \hat { d } _ { i } ^ { \bar { \sigma } } - I ^ { > } \tilde { d } _ { i } ^ { \bar { \sigma } } ) \cdot ( \hat { d } _ { i } ^ { \sigma } - I ^ { > } \tilde { d } _ { i } ^ { \sigma } ) } \\ & { } & { - \sum _ { k = 1 } ^ { K } v _ { i _ { k } \alpha _ { k } } \left( c _ { k } ^ { < , - } \hat { d } _ { i _ { k } } ^ { \bar { \sigma } _ { k } } - c _ { k } ^ { > , - } \tilde { d } _ { i _ { k } } ^ { \bar { \sigma } _ { k } } \right) } \\ & { } & { - \sum _ { k = 1 } ^ { K } v _ { i _ { k } \alpha _ { k } } \left( \eta _ { i _ { k } \alpha _ { k } p _ { k } } c _ { k } ^ { < , + } \hat { d } _ { i _ { k } } ^ { \sigma _ { k } } - \eta _ { i _ { k } \alpha _ { k } p _ { k } } ^ { * } c _ { k } ^ { > , + } \tilde { d } _ { i _ { k } } ^ { \sigma _ { k } } \right) , } \end{array}
R _ { n } ( u , r / r _ { c } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u r / r _ { c } ) , } & { r < r _ { c } , } \\ { I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u r / r _ { c } ) , } & { r > r _ { c } . } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i < j } x _ { i } x _ { j } } & { = \left( \sum _ { i } x _ { i } ^ { 2 } + 2 \sum _ { i < j } x _ { i } x _ { j } \right) - \left( \sum _ { i } x _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { i < j } x _ { i } x _ { j } \right) } \\ & { = y _ { 1 } ^ { 2 } - \left( \sum _ { i } c _ { i } y _ { i } ^ { 2 } \right) } \\ & { = ( 1 - c _ { 1 } ) y _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + c _ { n } y _ { n } ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { \rho } _ { - } ^ { s } ( n ) = \sum _ { k \in \cal Z } \tilde { b } _ { k } ^ { \dagger } \tilde { b } _ { k - n } \cdot | \lambda \varepsilon _ { k , - } | ^ { - s / 2 } | \lambda \varepsilon _ { k - n , - } | ^ { - s / 2 } .
\Delta ( n T ) = e ^ { - 2 n \mathbb { I } ( \gamma _ { 3 } t _ { 1 } + \gamma _ { 0 } ( t _ { 3 } + t _ { 4 } + t _ { 5 } ) ) } ( e ^ { - i H _ { s 1 0 } t _ { 1 0 } } . . . e ^ { - i H _ { s 2 } t _ { 2 } } e ^ { - i H _ { s 1 } t _ { 1 } } ) ^ { n } \Delta ( 0 ) ( e ^ { i H _ { s 1 } ^ { \dagger } t _ { 1 } } e ^ { i H _ { s 2 } ^ { \dagger } t _ { 2 } } . . . e ^ { i H _ { s 1 0 } ^ { \dagger } t _ { 1 0 } } ) ^ { n } ,
g ^ { \mu \nu } ( - i ) \frac { 3 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, \frac { g ^ { 2 } } { 4 \cos \theta _ { W } ^ { 2 } } \, ( \kappa _ { L } ^ { 2 } + \kappa _ { R } ^ { 2 } ) \, ( \frac { 4 } { 3 } q ^ { 2 } - 2 m _ { t } ^ { 2 } ) \, \mathrm { l n } \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow 0 } i \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r ( \omega ) \mathcal { V } _ { C } } \\ { = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { d i a g } ( - \mathbb { I } _ { p \times p } , \mathbb { I } _ { ( M / 2 - p ) \times ( M / 2 - p ) } ) } \\ { \mathrm { d i a g } ( \mathbb { I } _ { p \times p } , - \mathbb { I } _ { ( M / 2 - p ) \times ( M / 2 - p ) } ) } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\psi ( y ) = k b _ { 0 } \left( 1 + \frac { m _ { B } ^ { 2 } } { 8 k ^ { 2 } } ( 3 + 2 e ^ { 2 k b _ { 0 } y } - e ^ { 2 k b _ { 0 } ( 2 y - 1 ) } ( 1 - e ^ { - 2 k b _ { 0 } } ) - 4 k b _ { 0 } ( 1 + y ) ) , \right)
\mathbf { D } ^ { + } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \mu _ { m } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mu _ { m } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right]
\left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } f + v \cdot \nabla _ { x } f + \mathrm { d i v } _ { v } \Big [ f ( u - v ) - f \nabla _ { x } p ( \varrho , \mathfrak { e } ) \Big ] } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u ) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho u ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u \otimes u ) + \alpha \nabla _ { x } p ( \varrho , \mathfrak { e } ) - \Delta _ { x } u - \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } u } & { = j _ { f } - \rho _ { f } u , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho \mathfrak { e } ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho \mathfrak { e } u ) + p ( \varrho , \mathfrak { e } ) \left( \partial _ { t } \alpha + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha u ) \right) } & { = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \vert u - v \vert ^ { 2 } f \, \mathrm { d } v , } \\ { \alpha } & { = 1 - \rho _ { f } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left( 1 - \frac { \omega _ { z } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \left( \tilde { \epsilon } _ { A 2 } ^ { 2 } - \tilde { \epsilon } _ { A 1 } ^ { 2 } \right) \delta \hat { \psi } _ { z } = - 2 \left| \frac { \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \delta \hat { \phi } _ { 0 } \right| ^ { 2 } \sigma _ { 0 } \Bigg \{ \Big [ \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \left( \tilde { \epsilon } _ { A 1 } c _ { \psi _ { 2 } } + \tilde { \epsilon } _ { A 2 } c _ { \psi _ { 1 } } \right) - \tilde { \epsilon } _ { A 1 } c _ { \psi _ { 1 } } } \\ { - \tilde { \epsilon } _ { A 2 } c _ { \psi _ { 2 } } \Big ] \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \left[ \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } \left( \tilde { \epsilon } _ { A 1 } d _ { \psi _ { 2 } } + \tilde { \epsilon } _ { A 2 } d _ { \psi _ { 1 } } \right) - \tilde { \epsilon } _ { A 1 } d _ { \psi _ { 1 } } - \tilde { \epsilon } _ { A 2 } d _ { \psi _ { 2 } } \right] \delta \hat { \psi } _ { z } \Bigg \} . } \end{array}
{ \cal A } = { \frac { e f ^ { 2 } c m _ { \mu } } { 1 9 2 \pi ^ { 2 } } } \left( { \frac { 1 } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { m _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) \epsilon ^ { \lambda } q ^ { \nu } \bar { e } \sigma _ { \lambda \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \mu .
\partial _ { \alpha } y = - \tilde { B } _ { 0 \mu } \partial _ { \alpha } x ^ { \mu } + { \epsilon _ { \alpha } } ^ { \beta } ( \tilde { G } _ { 0 0 } \partial _ { \beta } \chi + \tilde { G } _ { 0 \mu } \partial _ { \beta } x ^ { \mu } ) .
\psi _ { 0 } ( \textbf { r } ) \approx \sum _ { a = 1 s , 2 s , 2 p } { { | c _ { a } | } e ^ { i \theta _ { a } } \left[ { \psi _ { a } \left( { { \bf { r } } + { { { { \bf { R } } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { { { \bf { R } } } } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } \right) + { s _ { a } } \psi _ { a } \left( { { \bf { r } } - { { { { \bf { R } } } } \mathord { \left/ { \vphantom { { { { \bf { R } } } } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } \right) } \right] } ,
\left( \begin{array} { c } { \psi _ { a , k } } \\ { \psi _ { b , k } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { e ^ { i \varphi _ { k } } } & { - e ^ { i \varphi _ { k } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { 1 , k } } \\ { \psi _ { 2 , k } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { l } { \dot { x } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x y P _ { D \to C } + x z P _ { L \to C } - x y P _ { C \to D } - x ( z + \rho ) P _ { C \to L } ) } \\ { \dot { y } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x y P _ { C \to D } + y z P _ { L \to D } - x y P _ { D \to C } - y ( z + \rho ) P _ { D \to L } ) } \\ { \dot { z } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x ( z + \rho ) P _ { C \to L } + y ( z + \rho ) P _ { D \to L } - x z P _ { L \to C } - y z P _ { L \to D } ) } \end{array} .
\begin{array} { r l } { L o s s _ { S M } } & { { } = \frac { \omega _ { 1 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { \textbf { C } } _ { i } - \textbf { C } _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { w } _ { i } - w _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 3 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } - f _ { i } ^ { j } \log ( p ( \hat { f } _ { i } ^ { j } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { i ^ { * } = \frac { ( u - \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } ) + \sqrt { ( \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } - u ) ^ { 2 } + 4 u c _ { i } ^ { r } ( \bar { \beta } - \alpha ) } } { 2 u c _ { i } ^ { r } } , \ r ^ { * } = \frac { i ^ { * } \alpha p _ { r } } { l _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde X [ p ^ { * } f ] } & { : = p ^ { * } ( \rho ( \upsilon ) [ f ] ) , \; \forall \; f \in C ^ { \infty } ( M ) , } \\ & { } \\ { \langle \widetilde X [ \alpha ] , e \rangle } & { : = \rho ( \upsilon ) [ \langle \alpha , e \rangle ] - \langle \alpha , \ell _ { 2 } ( \upsilon , e ) \rangle , \; \forall \; \alpha \in \Gamma ( E ^ { * } ) , \; e \in \Gamma ( E _ { - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { \mathrm { r a d } } } { \mathrm { d } u \mathrm { d } t } } & { { } = } & { { W _ { \mathrm { r } } } ( w + \mathbf { f } \cdot \mathbf { S } _ { i } + \mathbf { g } \cdot \mathbf { S } _ { f } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathrm { c a p } } _ { s } ( \Sigma _ { i , j } ; \mathcal { B } _ { i , j } ) } & { \ge \left( 5 0 \, ( 2 - \sqrt { 2 } ) \right) ^ { \frac { 1 - 2 \, s } { 2 } } \, \frac { \mathfrak { m } _ { s } } { \mathcal { A } } \, \delta ^ { 1 - 2 \, s } \, \operatorname* { m a x } \Big \{ \mathcal { H } ^ { 1 } ( \Pi _ { \mathbf { e } _ { 1 } } ( \Sigma _ { i , j } ) ) , \, \mathcal { H } ^ { 1 } ( \Pi _ { \mathbf { e } _ { 2 } } ( \Sigma _ { i , j } ) ) \Big \} } \\ & { \ge \left( 5 0 \, ( 2 - \sqrt { 2 } ) \right) ^ { \frac { 1 - 2 \, s } { 2 } } \, \frac { \mathfrak { m } _ { s } } { 4 \, \mathcal { A } } \, \delta ^ { 1 - 2 \, s } \, \sqrt { k } . } \end{array}
e ^ { \pi i \lambda _ { \mathfrak u _ { 1 } } t _ { \mathfrak u _ { 1 } } } e ^ { \pi i \lambda _ { \mathfrak u _ { 2 1 } } t _ { \mathfrak u _ { 2 1 } } } e ^ { \pi i \lambda _ { \mathfrak u _ { 2 2 } } t _ { \mathfrak u _ { 2 2 } } } e ^ { \pi i \lambda _ { \mathfrak u _ { 2 } } t _ { \mathfrak u _ { 2 } } } \cdot \widetilde { Z } ( x _ { 0 } , k _ { \mathfrak u _ { 1 } } , k _ { \mathfrak u _ { 1 1 } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 1 } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 2 } } )
\begin{array} { r l } { A _ { c _ { l } , b _ { l } } ^ { d _ { l } } = \sum _ { b _ { l - 1 } , c _ { l - 1 } , d _ { l - 1 } , a _ { l - 1 } , a _ { l - 1 } ^ { \prime } } } & { A _ { c _ { l - 1 } , b _ { l - 1 } } ^ { d _ { l - 1 } } Y _ { d _ { l - 1 } , d _ { l } } ^ { a _ { l - 1 } ^ { \prime } } \times } \\ & { O _ { c _ { l - 1 } , c _ { l } } ^ { a _ { l - 1 } ^ { \prime } , a _ { l - 1 } } X _ { b _ { l - 1 } , b _ { l } } ^ { a _ { l - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { H _ { 1 } + H _ { 2 } + H _ { 3 } , } \\ { H _ { 1 } = } & { ~ \omega _ { \mathrm { o p } } a ^ { \dagger } a + \omega _ { \mathrm { a t } } \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + g _ { A } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } a + a ^ { \dagger } \sigma _ { A } ) , } \\ { H _ { 2 } = } & { ~ \omega _ { \mathrm { o p } } b ^ { \dagger } b + \omega _ { \mathrm { a t } } \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } + g _ { B } ( \sigma _ { B } ^ { \dagger } b + b ^ { \dagger } \sigma _ { B } ) , } \\ { H _ { 3 } = } & { ~ \omega _ { \mathrm { o p } } ( | 2 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 3 | + 2 | 4 \rangle \langle 4 | ) } \\ & { ~ + g _ { A } [ ( | 2 \rangle \langle 1 | + | 4 \rangle \langle 3 | ) a + a ^ { \dagger } ( | 1 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 4 | ) ] } \\ & { ~ + g _ { B } [ ( | 3 \rangle \langle 1 | + | 4 \rangle \langle 2 | ) b + b ^ { \dagger } ( | 1 \rangle \langle 3 | + | 2 \rangle \langle 4 | ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) } & { + \frac { \partial ( p ^ { \sigma } \delta _ { \alpha \beta } + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } } \\ & { + \frac { \partial ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } = 0 , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { w _ { t } \eta _ { t } ^ { 2 } } { 1 - L \alpha _ { t } \eta _ { t } } } & { = \frac { w _ { t } \eta ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 1 - L \eta \frac { 2 t } { t + 1 } } \leq 2 w _ { t } \eta ^ { 2 } t ^ { 2 } \leq \frac { 2 \eta ^ { 2 } t ^ { 2 } } { C + 6 \sigma ^ { 2 } \eta ^ { 2 } t ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { t ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } T \left( T + 1 \right) \left( 2 T + 1 \right) + 3 \sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } \left( 2 T + 1 \right) + 3 \sigma ^ { 2 } } \leq \frac { 1 } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| R _ { - \alpha } f \| _ { \alpha , \beta , \gamma } = | R _ { - \alpha } f | _ { \alpha , \beta } + \| R _ { - \alpha } f \| _ { \gamma } } & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { k } | f _ { n _ { k } } | _ { \alpha , \beta } + \operatorname* { l i m i n f } _ { k } \| f _ { n _ { k } } \| _ { \gamma } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { k } \left( | f _ { n _ { k } } | _ { \alpha , \beta } + \| f _ { n _ { k } } \| _ { \gamma } \right) = \operatorname* { l i m i n f } _ { k } \| f _ { n _ { k } } \| _ { \alpha , \beta , \gamma } \leq 1 \, } \end{array}