harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( \Phi _ { + } ^ { \prime } ( c _ { h } ^ { n } ) } & { + \Phi _ { - } ^ { \prime } ( c _ { h } ^ { n - 1 } ) , c _ { h } ^ { n } - c _ { h } ^ { n - 1 } ) _ { \Omega } } \\ & { = \tau ( \delta _ { \tau } \Phi ( c _ { h } ^ { n } ) , 1 ) _ { \Omega } + \frac { 1 } { 2 } ( \Phi _ { + } ^ { \prime \prime } ( \xi _ { h } ) , ( c _ { h } ^ { n } - c _ { h } ^ { n - 1 } ) ^ { 2 } ) _ { \Omega } - \frac { 1 } { 2 } ( \Phi _ { - } ^ { \prime \prime } ( \zeta _ { h } ) , ( c _ { h } ^ { n } - c _ { h } ^ { n - 1 } ) ^ { 2 } ) _ { \Omega } . } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { e f f . } } = \frac { ( g J ) ^ { 2 } } { 2 } \int _ { \Sigma _ { \mathrm { m i n . } } } ^ { } d \sigma _ { \mu \nu } ( x ) \int _ { \Sigma _ { \mathrm { m i n . } } } ^ { } d \sigma _ { \rho \nu } ( x ^ { \prime } ) \left< \left< K _ { \mu \rho } ( x , x ^ { \prime } ) \right> _ { \bf n } \right> _ { B _ { \mu } ^ { a } } .
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \lambda ^ { 2 } } & { \lambda } & { A \lambda ^ { 3 } ( \rho - i \eta ) } \\ { - \lambda } & { 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \lambda ^ { 2 } } & { A \lambda ^ { 2 } } \\ { A \lambda ^ { 3 } ( 1 - \rho - i \eta ) } & { - A \lambda ^ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right] } + O ( \lambda ^ { 4 } ) .
\langle u _ { r } / r _ { 0 } \rangle _ { \xi } \approx \frac { \lambda _ { 1 } \lambda ^ { * } t } { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { \pm \lambda ^ { * } t } \approx \lambda ^ { * } \langle r / r _ { 0 } \rangle _ { \xi }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \bar { f } _ { + } ^ { 0 } + \frac { D _ { T } } { ( h \, L ) ^ { 2 } } \, ( \bar { f } _ { + } ^ { 0 } - \bar { f } _ { + } ^ { 1 } ) } & { = \frac 1 { h \, L } \left( \alpha _ { + } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ) \, g _ { + } ( \bar { f } _ { + } ^ { 0 } , \bar { f } _ { - } ^ { 0 } ) - F _ { + } ^ { 1 / 2 } \right) } \\ & { + \lambda \, ( \bar { f } _ { - } ^ { 0 } - \bar { f } _ { + } ^ { 0 } ) - \frac { L ^ { \prime } } { L } \, \bar { f } _ { + } ^ { 0 } , } \\ { \partial _ { t } \bar { f } _ { + } ^ { n _ { e } } + \frac { D _ { T } } { ( h \, L ) ^ { 2 } } \, ( \bar { f } _ { + } ^ { n _ { e } } - \bar { f } _ { + } ^ { n _ { e } - 1 } ) } & { = \frac 1 { h \, L } \left( F _ { + } ^ { n _ { e } - 1 / 2 } - \beta _ { + } ( \Lambda ) \, \bar { f } _ { + } ^ { n _ { e } } \right) } \\ & { + \lambda \, ( \bar { f } _ { - } ^ { n _ { e } } - \bar { f } _ { + } ^ { n _ { e } } ) - \frac { L ^ { \prime } } { L } \, \bar { f } _ { + } ^ { n _ { e } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \widetilde { G } _ { n } ( x ) - \widehat { G } _ { n } ( x ) | } & { \leq \widehat { G } _ { n } ( x + \varepsilon _ { n } ^ { F , P } ) - \widehat { G } _ { n } ( x - \varepsilon _ { n } ^ { F , P } ) } \\ & { \leq G _ { P } ( x + \varepsilon _ { n } ^ { F , P } ) - G _ { P } ( x - \varepsilon _ { n } ^ { F , P } ) + 2 \varepsilon _ { n } ^ { G , P } } \\ & { \leq 2 g _ { \operatorname* { m a x } , P } \, \varepsilon _ { n } ^ { F , P } + 2 \, \varepsilon _ { n } ^ { G , P } \quad \mathrm { o n ~ } \mathcal { A } _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { P ^ { * } = } & { \operatorname* { s u p } _ { t ^ { * } \in [ 0 , T ] , \; x _ { h } ( \cdot ) } p ( x ( t ^ { * } \mid x _ { h } ) ) } & \\ & { \dot { x } = f ( t , x ( t ) , x ( t - \tau ) ) } & & { \forall t \in [ 0 , T ] } \\ & { x ( t ) = x _ { h } ( t ) } & & { \forall t \in [ - \tau , 0 ] } \\ & { x _ { h } ( \cdot ) \in \mathcal { H } . } \end{array}
S _ { 2 , c } ^ { ( 0 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { i } \Lambda _ { i j } x ^ { j } + y _ { \alpha a } ^ { * } c ^ { \alpha a } + \bar { y } _ { \alpha } B ^ { \alpha } + \varepsilon ^ { a b } c _ { \alpha a | b } ^ { * } B ^ { \alpha } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( y ^ { - 1 } x \mathbf { D } _ { i } y , y ^ { - 1 } x \mathbf { D } _ { i } y ) = } & { y ^ { - 1 } \mathbf { T } _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x \mathbf { D } _ { i } , x \mathbf { D } _ { i } ) y + \frac 1 2 y ^ { - 1 } \cdot x ^ { 2 } F _ { 2 , d } ^ { \prime \prime } ( x ) \cdot D _ { i } ^ { 2 } y } \\ & { + y ^ { - 1 } \Big ( \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x \mathbf D _ { i } , x ) + \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x , x \mathbf D _ { i } ) \Big ) \cdot D _ { i } y . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \sigma _ { \mathrm { B H } } } { \mathrm { d } y } = \frac { 1 6 \alpha ^ { 3 } } { 3 m _ { e } ^ { 2 } } \frac { 1 } { y } \left( 1 - y + \frac { 3 } { 4 } y ^ { 2 } \right) L ,
\begin{array} { r l } { q _ { m } } & { \sim \mathrm { B e t a } \left( A _ { q } , B _ { q } \right) , m = 1 : \infty } \\ { b _ { m } } & { \sim \mathrm { B e r n o u l l i } \left( q _ { m } \right) , } \\ { \mathbf { r } _ { m } \left( t _ { 1 } ^ { 1 } \right) } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \mathbf { r } _ { 0 } , \sigma _ { \mathbf { r } } ^ { 2 } \right) , } \\ { \left. \mathbf { r } _ { m } \left( t _ { l + 1 } ^ { k } \right) \middle | \mathbf { r } _ { m } \left( t _ { l } ^ { k } \right) \right. } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \mathbf { r } _ { m } \left( t _ { l } ^ { k } \right) , 2 D \delta t \right) , } \\ { \mu } & { \sim \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \mu } , \beta _ { \mu } \right) , } \\ { \mathcal { B } } & { \sim \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \mathcal { B } } , \beta _ { \mathcal { B } } \right) , } \\ { D } & { \sim \mathrm { I n v G a m m a } \left( \alpha _ { D } , \beta _ { D } \right) . } \end{array}
B _ { a c } ( \boldsymbol \theta _ { i } ) \triangleq \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mathbf { j } _ { i } ^ { \prime } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { J } _ { i } } \right) ^ { \prime } \mathbf { U U } ^ { \prime } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { J } _ { i } } \right) \mathbf { j } _ { i } } = \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mathbf { j } _ { i , \perp } ^ { \prime } \mathbf { U U } ^ { \prime } \mathbf { j } _ { i , \perp } } .
1 2 0 0 = 2 ^ { 4 } \cdot 3 \cdot 5 ^ { 2 } = ( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 ) \cdot 3 \cdot ( 5 \cdot 5 ) = 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = \ldots
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sum \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { n } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sum \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { j \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { m \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { j } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathcal { X } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \chi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( M \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\epsilon = H ^ { - { \frac { 1 } { 8 } } } ( 1 - { \frac { 1 } { 8 } } W \gamma ^ { \underline { { { u x y } } } } y ^ { a } \gamma _ { \underline { { { a } } } } ( i \sigma _ { 2 } ) ) \hat { \epsilon } ( u , x , x ^ { \prime } ) \, .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l l } { f ( X ) } & { 0 } \\ { 0 } & { f ( Y ) } \end{array} \right) } & { = f ( \left( \begin{array} { l l } { X } & { 0 } \\ { 0 } & { Y } \end{array} \right) ) = f ( \left( \begin{array} { l l } { X } & { X \Gamma - \Gamma Y } \\ { 0 } & { Y } \end{array} \right) ) } \\ & { = f ( \left( \begin{array} { l l } { I } & { - \Gamma } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { l l } { X } & { 0 } \\ { 0 } & { Y } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { l l } { I } & { \Gamma } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) ) = \left( \begin{array} { l l } { I } & { - \Gamma } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) \, f ( \left( \begin{array} { l l } { X } & { 0 } \\ { 0 } & { Y } \end{array} \right) ) \, \left( \begin{array} { l l } { I } & { \Gamma } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { I } & { - \Gamma } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { l l } { f ( X ) } & { 0 } \\ { 0 } & { f ( Y ) } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { l l } { I } & { \Gamma } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { f ( X ) } & { f ( X ) \Gamma - \Gamma f ( Y ) } \\ { 0 } & { f ( Y ) } \end{array} \right) } \end{array}
\Bigr [ p ^ { 2 } - m _ { * } ^ { 2 } ( X ) + \Pi _ { \delta } ( X ) + \mathrm { R e } \Pi ^ { + } ( X , p ) \Bigl ] A ( X , p ) = 2 \, \mathrm { I m } \Pi ^ { + } ( X , p ) \, \mathrm { R e } \Delta ^ { + } ( X , p ) \; .
\begin{array} { r l } { \vert \mathrm { R } \rangle = \Big ( } & { { } \cos ^ { 2 } \theta \; { c } _ { \mathcal { A } \alpha } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { A } \beta } ^ { \dagger } + \sin ^ { 2 } \theta \; { c } _ { \mathcal { B } \alpha } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { B } \beta } ^ { \dagger } } \\ { - } & { { } \cos \theta \sin \theta ( { c } _ { \mathcal { A } \alpha } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { B } \beta } ^ { \dagger } - { c } _ { \mathcal { A } \beta } ^ { \dagger } { c } _ { \mathcal { B } \alpha } ^ { \dagger } ) \Big ) \vert \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } \rangle , } \end{array}
\chi [ \hat { u } ^ { 2 } ] = . . . + \hat { u } ^ { - 1 } \partial _ { x } \hat { u } ^ { 3 } + \hat { v } ^ { - 1 } \partial _ { y } \hat { u } ^ { 3 } + \hat { u } ^ { 1 } \partial _ { x } \hat { u } ^ { 1 } + \hat { v } ^ { 1 } \partial _ { y } \hat { u } ^ { 1 } + \hat { u } ^ { 3 } \partial _ { x } \hat { u } ^ { - 1 } + \hat { v } ^ { 3 } \partial _ { y } \hat { u } ^ { - 1 } + . . .
\epsilon _ { g } = - { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { q _ { 0 } ^ { 2 } } d q ^ { 2 } \ q ^ { 2 } \left[ \ln [ 1 + 3 d ^ { N P } ( q ^ { 2 } , \Lambda _ { N P } ) ] - { \frac { 3 } { 4 } } d ^ { N P } ( q ^ { 2 } , \Lambda _ { N P } ) \right] - { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } } ( \tilde { I } _ { P T } + I _ { P T } ) ,
\begin{array} { r l } { { \mathbf { D } } } & { { } = { \sqrt { r ^ { 2 } + r ^ { 2 } - 2 r r ^ { \prime } ( \sin { \theta } \sin { \theta ^ { \prime } } \cos { ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) } + \cos { \theta } \cos { \theta ^ { \prime } } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \chi _ { 1 } ( \zeta , k ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega k _ { 4 } } ^ { i } \ln _ { s } ( k - s ) d \ln ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } s ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } s ) ) , } \\ & { \chi _ { 2 } ( \zeta , k ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { i } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \ln _ { s } ( k - s ) d \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) , } \\ & { \chi _ { 3 } ( \zeta , k ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { i } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \ln _ { s } ( k - s ) d \ln ( f ( s ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 h = r , \qquad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \qquad I _ { 1 } = I _ { 2 } = I _ { 3 } , \qquad C = 0 , \qquad \alpha = \frac { b } { I _ { 3 } \gamma } , } \end{array}
\Delta \equiv \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { \{ \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } \} } } & { { \ldots } } & { { \{ \xi _ { 1 } , \xi _ { s } \} } } \\ { { \{ \xi _ { 2 } , \xi _ { 1 } \} } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { \{ \xi _ { 2 } , \xi _ { s } \} } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { \{ \xi _ { s } , \xi _ { 1 } \} } } & { { \{ \xi _ { s } , \xi _ { 2 } \} } } & { { \ldots } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d \mu } { d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to + \infty } \frac { \mu ( Q _ { x , r _ { k } } ) } { r _ { k } ^ { d - 1 } } \ge \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to + \infty } \frac { \mu _ { n _ { k } } ( Q _ { x , r _ { k } } ) } { r _ { k } ^ { d - 1 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to + \infty } \int _ { J _ { v _ { k } } } [ \phi ( v _ { k } ^ { + } ) + \phi ( v _ { k } ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } \ge \phi ( u ^ { + } ( x ) ) + \phi ( u ^ { - } ( x ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \frac { a _ { t } } { \phi ^ { t / 2 } } | } & { = | \alpha \phi ^ { - 3 t / 2 } + \beta \cos ( \gamma - \delta t ) | } \\ & { \ge | \alpha ^ { \prime } \phi ^ { - 3 t / 2 } + \beta ^ { \prime } \cos ( \gamma - \delta t ) | } \\ & { \ge | \beta ^ { \prime } \cos ( \gamma - \delta t ) | - | \alpha ^ { \prime } \phi ^ { - 3 t / 2 } | } \\ & { \ge \frac { 1 } { 3 1 } \cos ( \delta / 2 ) - \phi ^ { - 3 t / 2 } \ge \frac { \cos ( \delta / 2 ) } { 3 1 } - \phi ^ { - 2 2 . 5 } > 0 . 0 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { T e s _ { N } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = } \\ & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { T e s } ( \ell _ { 1 } ; \mu _ { t _ { a } } , \sigma _ { a } , \frac { N + 1 } { 2 } ) p _ { T e s } ( \ell _ { 2 } ; \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { b } , \frac { N - 1 } { 2 } ) \delta ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } - s ) d \ell _ { 1 } d \ell _ { 2 } } \\ & { = p _ { k } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) \int _ { 0 } ^ { 1 } p _ { g } ( w , s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) d w , } \end{array}
t _ { 2 } = 1 0 0 m \Omega \cdot 1 0 ^ { - 3 } F \cdot \ln \frac { 1 } { 2 } = 1 0 0 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \cdot \ln \frac { 1 } { 2 } \approx 0 . 6 9 3 \cdot 1 0 0 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \approx 6 9 . 3 \cdot 1 0 ^ { - 3 } s = 6 9 . 3 m s
F ( \varphi | m ) = \int _ { 0 } ^ { \varphi } \frac { d \theta } { \sqrt { 1 - m \sin ^ { 2 } \theta } } = \int _ { 0 } ^ { \sin \varphi } \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 - t ^ { 2 } ) ( 1 - m t ^ { 2 } ) } } d t .
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ \tau ] \le } & { \frac { \log _ { 2 } ( M - 1 ) + \frac { \log _ { 2 } ( 2 q ) } { q } } { C } + \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \left\lceil \frac { \log _ { 2 } \left( \frac { 1 - \epsilon } { \epsilon } \right) } { C _ { 2 } } \right\rceil } \\ & { + 2 ^ { - C _ { 2 } } \frac { 1 - \frac { \epsilon } { 1 - \epsilon } 2 ^ { - C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } \left( \frac { \log _ { 2 } ( 2 q ) } { q C } - \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 2 } = c _ { 2 } ^ { i n } } & { { } = c ^ { 0 } \times S O C } \\ { c _ { 4 } = c _ { 4 } ^ { i n } } & { { } = c ^ { 0 } \times ( 1 - S O C ) } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \mathrm { s } } = L _ { \mathrm { i n t } } + L _ { \mathrm { e x t } } \approx \frac { \mu _ { 0 } l } { 2 \pi } \left[ \ln \left( \frac { 2 l } { R } \right) - \frac { 3 } { 4 } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname { P } ( X _ { v } = x _ { v } \mid X _ { i } = x _ { i } { \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ } } X _ { i } { \mathrm { ~ t h a t ~ i s ~ n o t ~ a ~ d e s c e n d a n t ~ o f ~ } } X _ { v } \, ) } \\ { = } & { P ( X _ { v } = x _ { v } \mid X _ { j } = x _ { j } { \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ } } X _ { j } { \mathrm { ~ t h a t ~ i s ~ a ~ p a r e n t ~ o f ~ } } X _ { v } \, ) } \end{array} }
\frac { m _ { e } } { n } \frac { \partial n } { \partial m _ { e } } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \left( \frac { \omega } { n } \frac { \partial n } { \partial \omega } \right) } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ r ~ o ~ n ~ m ~ o ~ d ~ e ~ s ~ } } \\ { - \frac { 3 } { 2 } \left( \frac { \omega } { n } \frac { \partial n } { \partial \omega } \right) } & { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ n ~ o ~ n ~ m ~ o ~ d ~ e ~ s ~ } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \rho ( \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { { s } _ { 1 } } \cdots \sum _ { { s } _ { N } } \int \ \mathrm { d } \mathbf { r } _ { 1 } \ \cdots \int \ \mathrm { d } \mathbf { r } _ { N } \ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) \right) | \Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , s _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , s _ { 2 } , . . . , \mathbf { r } _ { N } , s _ { N } ) | ^ { 2 } } \\ & { = N \sum _ { { s } _ { 1 } } \cdots \sum _ { { s } _ { N } } \int \ \mathrm { d } \mathbf { r } _ { 2 } \ \cdots \int \ \mathrm { d } \mathbf { r } _ { N } \ | \Psi ( \mathbf { r } , s _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , s _ { 2 } , . . . , \mathbf { r } _ { N } , s _ { N } ) | ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } } & { \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 2 } } { \kappa _ { 2 } \kappa _ { 3 } \left( z _ { 1 } - z _ { 3 } \right) } - \frac { \kappa _ { 1 } \left( \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 3 } \right) z _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } z _ { 1 } - \kappa _ { 3 } z _ { 3 } } } \\ { 0 } & { \kappa _ { 2 } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 2 } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { i } ( z , 0 ) = \Hat { L } f _ { i - 1 } ( z , 0 ) = \int _ { 0 } ^ { L } ( f _ { 2 } ^ { p o s } ( z , \zeta ) + f _ { 2 } ^ { g a m m a } ( z , \zeta ) ) \cdot } \\ & { \cdot \left( \frac { \partial f _ { i - 1 } ^ { p o s } ( \zeta , 0 ) } { \partial \zeta } + \frac { \partial f _ { i - 1 } ^ { g a m m a } ( \zeta , 0 ) } { \partial \zeta } \right) d \zeta } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 2 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } k r _ { g } { \cal T } ^ { < a b > } { \cal I } _ { a b } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } V ( t , \rho ) = - A _ { d } \frac { k ^ { d + 2 } } { k ^ { 2 } + \partial _ { \rho } V ( t , \rho ) + 2 \rho \, \partial _ { \rho } ^ { 2 } V ( t , \rho ) } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 3 6 x } & { + 1 2 0 x ^ { 2 } + 1 8 0 x ^ { 3 } + 1 7 0 x ^ { 4 } + 1 1 4 x ^ { 5 } + 5 6 x ^ { 6 } + 2 1 x ^ { 7 } + 6 x ^ { 8 } + x ^ { 9 } } \\ & { + 3 6 y + 8 4 y ^ { 2 } + 7 5 y ^ { 3 } + 3 5 y ^ { 4 } + 9 y ^ { 5 } + y ^ { 6 } } \\ & { + 1 6 8 x y + 2 4 0 x ^ { 2 } y + 1 7 0 x ^ { 3 } y + 7 0 x ^ { 4 } y + 1 2 x ^ { 5 } y } \\ & { + 1 7 1 x y ^ { 2 } + 1 0 5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 3 0 x ^ { 3 } y ^ { 2 } } \\ & { + 6 5 x y ^ { 3 } + 1 5 x ^ { 2 } y ^ { 3 } } \\ & { + 1 0 x y ^ { 4 } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { s { k } } \delta \phi _ { \parallel { k } } } & { { } = - \tau \left( 1 - \Gamma _ { k } \right) \delta \psi _ { k } , } \\ { \omega ^ { 2 } \delta \phi _ { \parallel { k } } } & { { } = - \left( \omega ^ { 2 } - k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \frac { b _ { k } } { 1 - \Gamma _ { k } } \right) \delta \psi _ { k } . } \end{array}
T r \Big ( ( B - \delta ) ^ { s } \Big ) = \sum _ { c } T r \Big ( \Big < \phi _ { \beta _ { 1 } } ^ { \ell } , \phi _ { \beta _ { 2 } } ^ { r } \Big > \cdots \Big < \phi _ { \beta _ { s } } ^ { \ell } , \phi _ { \beta _ { 1 } } ^ { r } \Big > \Big )
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { i } } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { k _ { i } } \sum _ { j \neq i } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) \, , } \\ { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { { } = \tau \, \Big ( \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, - w _ { i j } \Big ) \, . } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } ( \lambda , t ) = \sum _ { m = 0 } ^ { N } G ( \lambda , t + m / f _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ } } ) - G ( \lambda , t + m / f _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ p ~ } } + T _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ } } ) \; .
\langle \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \rangle _ { \mathrm { a n g l e } } = \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 4 } } \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \mathrm { d } \cos \theta _ { p } \mathrm { d } \cos \theta _ { q } \mathrm { d } \phi _ { p } \mathrm { d } \phi _ { q } = \frac { 1 } { 2 k p q } \, .
\begin{array} { r l r l } { \operatorname { a r s i n h } ( x ) } & { { } = \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \right) } \\ { \operatorname { a r c o s h } ( x ) } & { { } = \ln \left( x + { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \right) } & { } & { { } x \geqslant 1 } \\ { \operatorname { a r t a n h } ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( { \frac { 1 + x } { 1 - x } } \right) } & { } & { { } | x | < 1 } \\ { \operatorname { a r c o t h } ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( { \frac { x + 1 } { x - 1 } } \right) } & { } & { { } | x | > 1 } \\ { \operatorname { a r s e c h } ( x ) } & { { } = \ln \left( { \frac { 1 } { x } } + { \sqrt { { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } - 1 } } \right) = \ln \left( { \frac { 1 + { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } { x } } \right) } & { } & { { } 0 < x \leqslant 1 } \\ { \operatorname { a r c s c h } ( x ) } & { { } = \ln \left( { \frac { 1 } { x } } + { \sqrt { { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } + 1 } } \right) } & { } & { { } x \neq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta ^ { k + 1 } ( x + e _ { j } ) - \Delta ^ { k + 1 } ( x ) } \\ { = } & { \mu \sum _ { i = 1 } ^ { n } [ \Delta ^ { k } ( ( x + e _ { j } - e _ { i } ) ^ { + } ) - \Delta ^ { k } ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) ] } \\ & { + [ \Delta ^ { k } ( x + e _ { j } + e _ { m } ) - \Delta ^ { k } ( x + e _ { m } ) ] } \\ & { + f ^ { k } ( x + e _ { j } ) - f ^ { k } ( x ) , } \\ & { } \\ & { \Delta ^ { k + 1 } ( x - e _ { m } ) - \Delta ^ { k + 1 } ( x ) } \\ { = } & { \tilde { \mu } \sum _ { i = 1 } ^ { n } [ \Delta ^ { k } ( ( x - e _ { m } - e _ { i } ) ^ { + } ) - \Delta ^ { k } ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) ] } \\ & { + [ \Delta ^ { k } ( x ) - \Delta ^ { k } ( x + e _ { m } ) ] } \\ & { + f ^ { k } ( x - e _ { m } ) - f ^ { k } ( x ) , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow \pm \frac { \pi } { 2 } } { \zeta _ { a , b } ^ { \pm } } ^ { \prime } ( z ) = - 2 \nu _ { a , b } { } _ { 2 } F _ { 1 } \! \left( \alpha _ { a , b } ^ { \pm } , \beta _ { a , b } ^ { \pm } ; \gamma _ { \pm } ; 1 \right) \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow \pm \frac { \pi } { 2 } } { \left( \cos { z } \right) } ^ { 2 \nu _ { a , b } - 1 }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { 1 0 0 } } { \partial x } + \frac { \partial v _ { 1 0 0 } } { \partial y } + \frac { \partial w _ { 1 0 0 } } { \partial z } } & { = 0 \quad \mathrm { ( c o n t i n u i t y ) , } } \\ { - \frac { \partial p _ { 1 0 0 } } { \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 1 0 0 } } { \partial z ^ { 2 } } } & { = 0 \quad \mathrm { ( ~ x ~ - m o m e n t u m ) , } } \\ { \frac { \partial p _ { 1 0 0 } } { \partial y } } & { = 0 \quad \mathrm { ( ~ y ~ - m o m e n t u m ) , } } \\ { \frac { \partial p _ { 1 0 1 } } { \partial z } } & { = 0 \quad \mathrm { ( ~ z ~ - m o m e n t u m ) , ~ a n d } } \\ { - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 0 } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { 3 \left( 1 - 4 z ^ { 2 } \right) } { 2 } \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial x } - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 1 } } { \partial z ^ { 2 } } } & { = 0 \quad { \mathrm { ( a d v e c t i o n -- d i f f u s i o n ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { q ^ { 2 } } { 2 } + 2 g _ { 1 1 } | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } - \mu - g _ { 1 2 } | \psi _ { 2 } | ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi _ { 1 } | ^ { 3 } } \\ { H _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { q ^ { 2 } } { 2 } + 2 g _ { 2 2 } | \psi _ { 2 } | ^ { 2 } - \mu - g _ { 2 1 } | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi _ { 2 } | ^ { 3 } } \\ { A } & { { } = } & { g _ { 1 1 } + \frac { 3 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi _ { 1 } | } \\ { B } & { { } = } & { g _ { 2 2 } + \frac { 3 } { 2 } g _ { L H Y } | \psi _ { 2 } | } \\ { C } & { { } = } & { V _ { 0 } | \Psi | ^ { 2 } } \end{array}