harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 1 + \frac { \partial _ { z z } u ^ { j _ { l + 1 } } - \partial _ { z z } u ^ { j _ { l } } } { \partial _ { z z } u ^ { j _ { l } } } } \geq \frac { 1 } { 1 + \frac { \frac { \tilde { c } _ { \kappa } \kappa } { \tilde { C } _ { \kappa } ( M + 4 ) } } { \kappa } 2 ^ { - 2 l } } \geq \frac 1 { 1 + \frac { \tilde { c } _ { \kappa } } { \tilde { C } _ { \kappa } ( M + 4 ) } 2 ^ { - 2 l } } \geq 1 - \frac { \tilde { c } _ { \kappa } } { \tilde { C } _ { \kappa } ( M + 4 ) } 2 ^ { - 2 l } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { I } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } \le C \Theta ^ { 1 / 2 } \frac { h ^ { \nu - 1 } } { p ^ { s - 3 / 2 } } \| \boldsymbol { u } \| _ { H ^ { s } ( \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } ) } , } \\ & { } & { \| \phi - \phi _ { I } \| _ { M _ { p } ( { \cal M } ) } \le C \frac { h ^ { \nu } } { p ^ { s + 1 / 2 } } \| \phi \| _ { H ^ { s } ( \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { A } & { { } = 2 \pi \times 0 . 1 1 2 2 , } & { \omega } & { { } = 1 . 0 4 3 1 \, \Omega , } \\ { \varphi _ { 0 } } & { { } = - 0 . 7 3 1 8 , } & { \delta _ { 0 } } & { { } = 0 \times \Omega , } \end{array}
\Phi _ { m n } ^ { [ s ] } [ C ^ { x x ^ { \prime } } ] = P e x p \left( { \frac { i } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t \, J \cdot \omega \right) _ { m n } ; \quad x ( 0 ) = x , \, x ( T ) = x ^ { \prime }
\dot { q } ( t ) \leq 2 \| u ( t ) - \nabla ^ { \perp } \psi _ { * } \| _ { L ^ { 2 } } \left( \sqrt { q ( t ) } + 4 \pi \| v _ { * } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } t \right) , \qquad q ( 0 ) = 0 .
\begin{array} { r l } & { \int \partial _ { x } ^ { s } w _ { n } \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } d x d z = \int \partial _ { x } ^ { s } w _ { n } \partial _ { x } ^ { s } \partial _ { z } u _ { n } d x d z = - \int \partial _ { x } ^ { s } \partial _ { z } w _ { n } \partial _ { x } ^ { s } u _ { n } d x d z } \\ { = } & { \int \partial _ { x } ^ { s } \partial _ { x } u _ { n } \partial _ { x } ^ { s } u _ { n } d x d z = \frac 1 2 \int \partial _ { x } ( \partial _ { x } ^ { s } u _ { n } ) ^ { 2 } d x d z = 0 . } \end{array}
K ( m ) : = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \, \mathrm { d } \theta } { \sqrt { 1 - m \sin ^ { 2 } \theta } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad E ( m ) : = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sqrt { 1 - m \sin ^ { 2 } \theta } \, \mathrm { d } \theta \, .
\begin{array} { r l r } { \tilde { n } _ { T } } & { { } = } & { \tilde { n } + \hat { n } + \tilde { n } _ { Z c } + n ^ { h } , } \\ { n _ { T } ^ { 1 } } & { { } = } & { n ^ { 1 } + n _ { Z c } + n ^ { h } , } \\ { \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } } & { { } = } & { \tilde { n } ^ { 1 } + \hat { n } ^ { 1 } + \tilde { n } _ { Z c } + n ^ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { { } = \sum _ { \textsc { p } \textsc { q } } D _ { \textsc { p } \textsc { q } } ^ { X } \, \phi _ { \textsc { p } } ^ { * } ( { \mathbf { \mathbf { x } } } _ { 1 } ) \phi _ { \textsc { q } } ( { \mathbf { \mathbf { x } } } _ { 1 } ^ { \prime } ) , } \\ { \Gamma _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { { } = \sum _ { \textsc { p } \textsc { q r s } } d _ { \textsc { p } \textsc { q r s } } ^ { X } \, \phi _ { \textsc { p } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) \phi _ { \textsc { q } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) \phi _ { \textsc { r } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) \phi _ { \textsc { s } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) , } \end{array}
f _ { \pi } ^ { 2 } = M ^ { 2 } { \frac { N _ { c } } { 4 \pi ^ { 2 } } } \int _ { \Lambda ^ { - 2 } } ^ { \infty } { \frac { \mathrm { d } u } { u } } \mathrm { e } ^ { - u M ^ { 2 } } \, .
{ \widehat { \dot { \bf X } } } = \sum _ { r = 1 } ^ { m } \frac { \partial { \dot { \bf X } } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } { \dot { q } } _ { r } = \left( \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { r } } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { m + \nu } } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \right) { \dot { q } } _ { r }
\begin{array} { r l } { M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } } & { { } = \left( \begin{array} { c c c } { \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid S \right) } & { \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } { \nu } _ { k i } ^ { t } } \right] p \left( O _ { i } ^ { t } \mid S \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | I ) } & { r _ { i } ^ { t } e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | I ) } \\ { 0 } & { 0 } & { p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | R ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \mathrm { x } } \bigl ( ( \mathbf { \tilde { T } } _ { J ( \eta ; \mathbf { v } ) } [ \mathbf { v } ] \mathbf { \tilde { v } } ) _ { \nu _ { \mathrm { t } } } \bigr ) \leq \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } ( \hat { K } _ { \nu _ { \mathrm { t } } } ) + \log _ { 2 } ( c ^ { - 1 } \hat { S } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 1 } ) } \end{array}
\frac { 1 } { c } \partial _ { t } u ( t , x , \omega ) + \omega \cdot \nabla u ( t , x , \omega ) + ( \sigma _ { a } ( t , x ) + \sigma _ { s } ( t , x ) ) u ( t , x , \omega ) = \sigma _ { s } ( t , x ) \langle { u } \rangle ( t , x ) ,
k = \frac { 2 { \cal D } ( 0 ) - p - 2 } { 2 ( 1 + p ) } \, \, , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, k _ { 1 } = \frac { p } { 1 + p } \operatorname * { m i n } \left( \frac { C _ { 0 } } { p } - \frac { \nu } { 4 } , \frac { 1 } { 2 } - \nu \right) \, \mathrm { . }
\begin{array} { l c l c l } { { L _ { 1 } ^ { \mu \nu } } } & { { = } } & { { \sum _ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 3 } } j _ { 1 } ^ { \mu } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 3 } ) j _ { 1 } ^ { * \nu } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 3 } ) } } & { { = } } & { { 4 ( p _ { 1 } ^ { \mu } p _ { 3 } ^ { \nu } + p _ { 3 } ^ { \mu } p _ { 1 } ^ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } t g ^ { \mu \nu } ) , } } \\ { { L _ { 2 } ^ { \mu \nu } } } & { { = } } & { { \sum _ { \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 4 } } j _ { 2 } ^ { \mu } ( \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 4 } ) j _ { 2 } ^ { * \nu } ( \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 4 } ) } } & { { = } } & { { 4 ( p _ { 2 } ^ { \mu } p _ { 4 } ^ { \nu } + p _ { 4 } ^ { \mu } p _ { 2 } ^ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } t ^ { \prime } g ^ { \mu \nu } ) . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) } & { = \left| \, \mathbf { E } \, \right| \mathrm { R e } \left\{ \mathbf { Q } \left| \psi \right\rangle \exp \left[ i \left( k z - \omega t \right) \right] \right\} } \\ { \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) } & { = { \frac { 1 } { c } } { \hat { \mathbf { z } } } \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) } \end{array} }
\mu ^ { 2 } \frac { d \alpha _ { i } } { d \mu ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \pi } \left[ \, b _ { i } + \sum _ { j } \frac { b _ { i j } } { 4 \pi } \alpha _ { j } - \frac { a _ { i } } { 4 \pi } \, \right] \alpha _ { i } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ e ~ } } \, e ^ { i \left( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( z _ { j } - a ) + k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ( z - z _ { j } + a ) \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } = \left( \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ i ~ } } + \frac { 2 \pi i \rho \left( e ^ { i ( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } - k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) ( z _ { j } - 3 a ) } - e ^ { - i ( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } - k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) a } \right) } { ( k _ { \mathrm { ~ e ~ } } - k _ { \mathrm { ~ m ~ } } ) k _ { \mathrm { ~ m ~ } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! S ( 0 ) \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ \, ~ e ~ } } \right) e ^ { i k _ { \mathrm { ~ m ~ } } z } , } \end{array}
\left[ \frac { k _ { 0 } \chi } { 2 \kappa } \beta ^ { 2 } - ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ) \right] \left[ \left( 1 + \frac { k _ { 0 } } { 2 \kappa } \chi \right) \beta ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi \right) \right] + k _ { z } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = } & { \bigg | \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } } \bigg | ^ { 2 } = \frac { | \mu _ { 2 } k _ { \mathrm { i } } - \mu _ { 1 } k _ { \mathrm { t } } | ^ { 2 } } { | \mu _ { 2 } k _ { \mathrm { i } } + \mu _ { 1 } k _ { \mathrm { t } } | ^ { 2 } } \, , } \\ { T } & { { } = } & { \bigg | \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } } \bigg | ^ { 2 } \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } = \frac { 4 \mu _ { 2 } ^ { 2 } | k _ { \mathrm { i } } | ^ { 2 } } { | \mu _ { 2 } k _ { \mathrm { i } } + \mu _ { 1 } k _ { \mathrm { t } } | ^ { 2 } } \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I = \int \prod _ { \triangledown } \mathcal { D } \bar { \psi } _ { \partial \triangledown } \psi _ { \partial \triangledown } \, I _ { \triangledown } \left[ \bar { \psi } _ { \partial \triangledown } , \psi _ { \partial \triangledown } \right] \, , } \\ & { \mathrm { w i t h } \quad I _ { \triangledown } \left[ \bar { \psi } _ { \partial \triangledown } , \psi _ { \partial \triangledown } \right] = \int _ { \bar { \psi } _ { \partial \triangledown } , \psi _ { \partial \triangledown } } \mathcal { D } \bar { \psi } _ { \triangledown } \psi _ { \triangledown } e ^ { i S _ { \triangledown } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \tau } } & { = U _ { \tau } ^ { ' \dagger } U _ { \tau } = \left( \mathrm { M a t } _ { 0 } ( C _ { \tau } ^ { ' } \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 1 } } ^ { ' } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 } } ^ { ' } ) ^ { T } \right) ^ { \dagger } \mathrm { M a t } _ { 0 } ( C _ { \tau } \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 1 } } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 } } ) ^ { T } } \\ & { = \overline { { \mathrm { M a t } _ { 0 } ( C _ { \tau } ^ { ' } ) } } \left( \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 1 } } ^ { ' \dagger } U _ { \tau _ { 1 } } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 } } ^ { ' \dagger } U _ { \tau _ { 2 } } \right) \mathrm { M a t } _ { 0 } ( C _ { \tau } ) ^ { T } . } \end{array}
{ \cal M } _ { \cal N } = \left( \begin{array} { l l l l } { { M _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - m _ { Z } \sin \theta _ { W } \cos \beta } } & { { m _ { Z } \sin \theta _ { W } \sin \beta } } \\ { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } & { { m _ { Z } \cos \theta _ { W } \cos \beta } } & { { - m _ { Z } \cos \theta _ { W } \sin \beta } } \\ { { - m _ { Z } \sin \theta _ { W } \cos \beta } } & { { m _ { Z } \cos \theta _ { W } \cos \beta } } & { { 0 } } & { { - \mu } } \\ { { m _ { Z } \sin \theta _ { W } \sin \beta } } & { { - m _ { Z } \cos \theta _ { W } \sin \beta } } & { { - \mu } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { A ( z , \tau ) } & { { } = e ^ { t - d z } [ 1 - \Theta ( \Delta \tau ^ { \mathrm { ~ c ~ t ~ r ~ l ~ } } ) ] } \\ { P ( z , \tau ) } & { { } = \sqrt { d } e ^ { t - d z } [ 1 - \Theta ( \Delta \tau ^ { \mathrm { ~ c ~ t ~ r ~ l ~ } } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { n , { \delta } } ^ { \prime } } & { = \sqrt { \kappa _ { n } } e ^ { i \alpha _ { n } } \hat { a } _ { n , { \delta } } + \sqrt { 1 - \kappa _ { n } } \hat { e } _ { n , { \delta } } \, , } \\ { \hat { b } _ { n , { \delta } } ^ { \prime } } & { = \sqrt { \eta _ { n } } e ^ { i \beta _ { n } } \hat { b } _ { n , { \delta } } + \sqrt { 1 - \eta _ { n } } \hat { f } _ { n , { \delta } } \, , } \end{array}
A ^ { - } ( \omega ) = | x | ^ { - i \frac { \omega } { 2 } } O _ { D K } ^ { - } | x | ^ { - i \frac { \omega } { 2 } } , \quad A ^ { + } ( \omega ) = | x | ^ { i \frac { \omega } { 2 } } O _ { D K } ^ { + } | x | ^ { i \frac { \omega } { 2 } } ,
\xi \left( r \right) = 1 + 2 \mathcal { C } _ { 0 } \left| 1 - a \right| ^ { \frac { a } { a - 1 } } r ^ { \frac { a } { a - 1 } } \left( \frac { B } { a } \right) ^ { \frac { 2 - a } { 2 \left( a - 1 \right) } } \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { 1 2 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) } & { = \Phi _ { i } ( 1 ) \, \Phi _ { a } ( 2 ) \mathrm { , } } \\ { \hat { P } _ { 2 3 1 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { = \Phi _ { i } ( 1 ) \, \Phi _ { j } ( 2 ) \, \Phi _ { a } ( 3 ) \mathrm { , } } \\ { \hat { P } _ { 3 1 2 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { = \Phi _ { j } ( 1 ) \, \Phi _ { a } ( 2 ) \, \Phi _ { i } ( 3 ) \mathrm { , } } \\ { \hat { P } _ { 1 3 2 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { = \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { j } ( 2 ) \, \Phi _ { i } ( 3 ) \mathrm { , } } \\ { \hat { P } _ { 2 1 3 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { = \Phi _ { i } ( 1 ) \, \Phi _ { a } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) \mathrm { , } } \\ { \hat { P } _ { 3 2 1 } \, \Phi _ { a } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) } & { = \Phi _ { j } ( 1 ) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { a } ( 3 ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \delta N ( S - 2 , S , \tau ^ { \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { 3 } \Bigg ( \frac { 4 b } { S } H ( - \frac { 2 } { S } + \gamma ) p ( S - 2 , S , \tau ^ { \prime } - 1 ) } \\ { - \bigg ( \frac { b } { S } H ( \gamma - \frac { 1 } { S } ) + \frac { b ( S - 1 ) ^ { 2 } } { S } H ( \gamma - 1 + \frac { 1 } { S } ) } \\ { + \frac { b ( S - 1 ) ^ { 2 } } { S } H ( - \gamma + 1 - \frac { 1 } { S } ) H ( \frac { 1 } { S } - \gamma ) \bigg ) p ( S - 1 , S , \tau ^ { \prime } - 1 ) \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau | L _ { f } , \tau _ { f } ; \tau _ { 0 } ) } { \partial \tau } } & { = \frac { \partial } { \partial L } \left[ \left( f ( L ) - D \frac { \partial } { \partial L } \log P ^ { \mathrm { f w } } ( L , T - \tau | L _ { f } , 0 ) \right) R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau | L _ { f } , \tau _ { f } ; \tau _ { 0 } ) \right] } \\ & { \ \ \ + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial L ^ { 2 } } R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau | L _ { f } , \tau _ { f } ; \tau _ { 0 } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { r } ^ { + } ( r ) = } & { { } \frac { ( l + 1 ) } { r ^ { l + 2 } } \left( - c _ { 1 } + \frac { c _ { 3 } r ^ { 2 } } { 2 l - 1 } \right) } \\ { v _ { \theta } ^ { + } ( r ) = } & { { } \frac { 1 } { r ^ { l + 2 } } \left( c _ { 1 } - \frac { c _ { 3 } r ^ { 2 } ( l - 2 ) } { l ( 2 l - 1 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \pm , l } } & { = \frac { \phi _ { \pm , l } ^ { \operatorname* { m i n } } + \phi _ { \pm , l } ^ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } + \frac { \phi _ { \pm , l } ^ { \operatorname* { m i n } } - \phi _ { \pm , l } ^ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } \widehat { { \phi _ { \pm , l } } } } \\ { \phi _ { \pm , s } } & { = \frac { \phi _ { \pm , s } ^ { \operatorname* { m i n } } + \phi _ { \pm , s } ^ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } + \frac { \phi _ { \pm , s } ^ { \operatorname* { m i n } } - \phi _ { \pm , s } ^ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } \widehat { { \phi _ { \pm , s } } } } \end{array}
\mu ^ { 2 } + \frac { M _ { Z } ^ { 2 } } { 2 } = m _ { 0 } ^ { 2 } \frac { 1 + 0 . 5 \tan ^ { 2 } \beta } { \tan ^ { 2 } \beta - 1 } + M _ { 1 / 2 } ^ { 2 } \frac { 0 . 5 + 3 . 5 \tan ^ { 2 } \beta } { \tan ^ { 2 } \beta - 1 } .
\Pi ( q ^ { 2 } ) = - { \frac { 1 } { 4 8 \pi ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 1 } { \bar { \epsilon } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { 4 k T } } \right) \right] + { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x x \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \ln N _ { + + } \left( { \frac { x \sqrt { q ^ { 2 } } } { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { \widetilde { \varrho } ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \varrho ( t ) , \ \ } & & { t \in [ 0 , T _ { \varepsilon } ^ { \star } ] , } \\ & { \underline { { \chi } } ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) + \chi _ { \delta } ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \varrho } } \partial _ { t } ^ { k } \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \frac { ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) ^ { k } } { k ! } , \ \ } & & { t \geq T _ { \varepsilon } ^ { \star } , } \\ & { \underline { { \chi } } ( - t ) \varrho ^ { \mathrm { i n } } + \chi _ { \delta } ( - t ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \varrho } } \partial _ { t } ^ { k } \varrho ( 0 ) \frac { t ^ { k } } { k ! } , \ \ } & & { t \leq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
P _ { 1 } ^ { \langle n \rangle } ( { \bf p } ) = \frac { N _ { 1 } ( { \bf p } ) } { \langle n \rangle } = \frac { \int S ( x , p ) d ^ { 4 } x } { \langle n \rangle } , ~ ~ \langle n \rangle = \int N _ { 1 } ( { \bf p } ) d { \bf p } = \int S ( x , { \bf p } ) d ^ { 4 } x d { \bf p } .
\left\{ \frac { \partial } { \partial s } - \frac { b ^ { 2 } } { 6 } \nabla ^ { 2 } + \left[ w _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) - \frac { \mathbf { f } _ { j } } { N } \cdot ( \mathbf { r } - \boldsymbol { \xi } _ { j } ) \right] \right\} q _ { j } ( \mathbf { r } , s ) = 0
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \, \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } Q _ { i } ^ { 2 } Q _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } Q _ { i } ^ { 4 } | N \rangle \langle N | - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { k } ^ { 2 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \left[ \langle N | \, \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } Q _ { i } ^ { 2 } Q _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } Q _ { i } ^ { 4 } | N \rangle \langle N | - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { k } ^ { 2 } } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \, \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } Q _ { i } ^ { 2 } Q _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 4 } \sum _ { i } F _ { i i i i } Q _ { i } ^ { 4 } | N \rangle \langle N | \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { k } ^ { 2 } | N \rangle \right] . } \end{array}
U _ { D 0 - \bar { D 0 } } = - \frac { 1 5 \kappa ^ { 2 } E ^ { 3 } ( e _ { 1 } e _ { 4 } ) ( e _ { 2 } e _ { 3 } ) } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 5 } r ^ { 7 } }
\phi _ { m _ { 1 } , n _ { 1 } } \times \phi _ { m _ { 2 } , n _ { 2 } } = \sum _ { m _ { 3 } = | m _ { 1 } - m _ { 2 } | + 1 } ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 } - 1 } \sum _ { n _ { 3 } = | n _ { 1 } - n _ { 2 } | + 1 } ^ { n _ { 1 } + n _ { 2 } - 1 } \phi _ { m _ { 3 } , n _ { 3 } } \, ,
\left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { k } } = \mathrm { e } ^ { \pm i k _ { z } ^ { \pm } \ell } \left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { i } } = [ M _ { k i } ^ { \mathrm { s } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z _ { k } } .
p _ { 1 a } : = \frac { m } { \vert q _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \Pi _ { a b } ( q _ { 1 } ) v _ { 1 } ^ { b } - \frac { \lambda } { 2 } \frac { \tau _ { a b } ( q _ { 1 } ) } { \vert q _ { 1 } \vert } \widehat { q } _ { 2 } ^ { b } , \quad p _ { 2 a } : = \frac { m } { \vert q _ { 2 } \vert ^ { 2 } } \Pi _ { a b } ( q _ { 2 } ) v _ { 2 } ^ { b } + \frac { \lambda } { 2 } \frac { \tau _ { a b } ( q _ { 2 } ) } { \vert q _ { 2 } \vert } \widehat { q } _ { 1 } ^ { b } ,
W e = \frac { \rho \, V _ { c } ^ { 2 } \, L _ { c } } { \sigma } \, , \quad R e = \frac { \rho \, V _ { c } L _ { c } } { \mu } \, , \quad m = \frac { \mu _ { g } } { \mu } \, , \quad \Lambda = \frac { \rho _ { g } } { \rho } \quad \mathrm { a n d } \quad \beta
\begin{array} { r l } { D _ { u } R D _ { v } } & { = D _ { v } R ^ { T } D _ { u } \Leftrightarrow } \\ { D _ { u } D _ { u } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } A D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } } & { = D _ { v } D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } A ^ { T } D _ { u } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Leftrightarrow } \\ { D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } A D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { = D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } A ^ { T } D _ { u } ^ { \frac { 1 } { 2 } } D _ { v } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Leftrightarrow } \\ { A } & { = A ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { u } , \mathbf { y } } \quad } & { { } \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { u } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { u } } \mathbf { u } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } - \mathbf { H } _ { \mathbf { y } } \mathbf { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \gamma } { 2 } \| \mathbf { D } \mathbf { y } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad } & { { } \mathbf { l } ( \mathbf { u } , \mathbf { y } ) = 0 , } \end{array}
T _ { \beta \gamma } ( w ) = - { \frac { 3 / 2 } { ( w - q _ { 1 } ) ^ { 2 } } } - { \frac { \partial \psi _ { 1 } ^ { * } ( q _ { 1 } ) } { w - q _ { 1 } } } - { \frac { 1 } { 8 } } \Delta _ { 1 } ^ { 2 } ( q ) - { \frac { 1 } { 3 2 } } S _ { 1 } ^ { 2 } ( q ) + O ( w - q _ { 1 } ) .
\cosh ( \gamma ) = \frac { 1 } { 2 } \exp ( \alpha ) \left[ 1 + \left( \frac { 3 i \beta } { \alpha } \right) - \left( \frac { 9 \beta ^ { 2 } } { 2 \alpha ^ { 2 } } \right) - \left( \frac { 9 i \beta ^ { 3 } } { 2 \alpha ^ { 3 } } \right) + \left( \frac { 9 \beta ^ { 2 } } { 2 \alpha ^ { 3 } } \right) + \mathcal O ( \alpha ^ { - 4 } ) \right] .
\begin{array} { r l } { H _ { r o t } } & { { } = \hbar \Delta _ { a } ( a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } ) + \hbar \Delta _ { m } m ^ { \dagger } m + \hbar \omega _ { b } b ^ { \dagger } b } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { T e s _ { N } } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) \underset { N > 1 } { = } \left\lbrace \begin{array} { l l l } { \frac { \sqrt { \pi } ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) ^ { \frac { N } { 2 } } ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) ^ { \frac { N } { 2 } } } { \mu ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } \Gamma \left( \frac { N } { 2 } \right) } s ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } I _ { \frac { N - 1 } { 2 } } \left( \frac { s \mu } { 2 } \right) e ^ { - \frac { ( \mu _ { t _ { a } } + \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { a } + \sigma _ { b } ) } { 2 } s } } & { N ~ \mathrm { e v e n } } \\ { \frac { \sqrt { \pi } ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) ^ { \frac { N + 1 } { 2 } } } { 2 \mu ^ { \frac { N - 2 } { 2 } } \Gamma \left( \frac { N + 1 } { 2 } \right) } s ^ { \frac { N } { 2 } } \left[ I _ { \frac { N - 2 } { 2 } } \left( \frac { s \mu } { 2 } \right) + I _ { \frac { N } { 2 } } \left( \frac { s \mu } { 2 } \right) \right] e ^ { - \frac { ( \mu _ { t _ { a } } + \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { a } + \sigma _ { b } ) } { 2 } s } } & { N ~ \mathrm { o d d } \, . } \end{array} \right. } \end{array}