harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Y = \left\{ \begin{array} { l l } { \varnothing , } & { \mathrm { i f } \ P = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } J = 0 } \\ { \{ ( i , X _ { i } ) \mid i \in \mathbb { T } \} , } & { \mathrm { i f } \ 1 \le P \le \kappa ( n ) \mathrm { ~ a n d ~ } J = 0 } \\ { \mathfrak { C } , } & { \mathrm { i f } \ P > \kappa ( n ) \mathrm { ~ o r ~ } J = 1 , } \end{array} \right.
S = \int d ^ { 4 } x { \sqrt { - g } } [ R _ { g } - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \phi - { \frac { 1 } { 1 2 } } e ^ { - 2 \phi } H _ { \mu \nu \rho } H ^ { \mu \nu \rho } - { e ^ { - \phi } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ]
q ( f _ { 1 } \cdots f _ { n } ) = \sum _ { i } f _ { 1 } \cdots q ( f _ { i } ) \cdots f _ { n } + \sum _ { i j } f _ { 1 } \cdots q ( f _ { i } ) \cdots q ( f _ { j } ) \cdots f _ { n } + \ldots + q ( f _ { 1 } ) \cdots q ( f _ { n } )
\begin{array} { r l } { { \mathcal L } ( \rho | \{ \lambda _ { n } \} ) } & { { } \to \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { ( \rho - \mu _ { \rho } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } \right) \quad \mathrm { f o r } \quad T \gg \tau , } \\ { \mu _ { \rho } } & { { } = 2 \sum _ { n } ( 1 + \lambda _ { n } ^ { 2 } ) , } \\ { \sigma _ { \rho } ^ { 2 } } & { { } = { 4 } \sum _ { n } ( 1 + \lambda _ { n } ^ { 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \| \hat { J } _ { t } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } ) - \Phi \bar { H } ^ { \prime } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \bigr \| _ { \infty } } & { = \bigl \| \Phi \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } - \Phi \Phi ^ { \dagger } \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { = \bigl \| \Phi \Phi ^ { \dagger } \Phi \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } - \Phi \Phi ^ { \dagger } \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \leq \kappa \bigl \| \Phi \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } - \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { = \kappa \bigl \| \hat { J } _ { t } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } ) - \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \leq \kappa \Bigl ( \bigl \| \hat { J } _ { t } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } ) - J _ { t } ^ { * } \bigr \| _ { \infty } + \bigl \| J _ { t } ^ { * } - \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \bigr \| _ { \infty } \Bigr ) } \\ & { < \kappa \Bigl ( \varepsilon ^ { \prime } + \| \bar { H } J _ { t + 1 } ^ { * } - \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \| _ { \infty } \Bigr ) } \\ & { \leq \kappa \Bigl ( \varepsilon ^ { \prime } + \gamma \, \bigl \| J _ { t + 1 } ^ { * } - \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \bigr \| _ { \infty } \Bigr ) } \\ & { < \kappa ( \gamma + 1 ) \, \varepsilon ^ { \prime } . } \end{array}
\mathbf { G } = \left( \sqrt { \frac { \rho _ { b } } { \rho _ { b } + 1 } } \mathbf { \bar { G } } + \sqrt { \frac { 1 } { \rho _ { b } + 1 } } \mathbf { \tilde { G } } \right) , \quad \mathbf { h } _ { r , k } = \left( \sqrt { \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } + \sqrt { \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } \right)
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { I \times \mathcal { Y } } \Sigma ( x , y ) : \left( \begin{array} { l l } { E _ { y } ( \psi ^ { ( 2 ) } ) ^ { \prime } ( y ) - x _ { 3 } D _ { y } ^ { 2 } \psi _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ( y ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, d x _ { 3 } d y } \\ & { = \int _ { \mathcal { Y } } \bar { \Sigma } ( x ^ { \prime } , y ) : E _ { y } ( \psi ^ { ( 2 ) } ) ^ { \prime } ( y ) \, d y - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \mathcal { Y } } \hat { \Sigma } ( x ^ { \prime } , y ) : D _ { y } ^ { 2 } \psi _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ( y ) \, d y } \\ & { = - \int _ { \mathcal { Y } } \mathrm { d i v } _ { y } \bar { \Sigma } ( x ^ { \prime } , y ) \cdot ( \psi ^ { ( 2 ) } ) ^ { \prime } ( y ) \, d y - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \mathcal { Y } } \mathrm { d i v } _ { y } \mathrm { d i v } _ { y } \hat { \Sigma } ( x ^ { \prime } , y ) \cdot \psi _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ( y ) \, d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { ( 1 ) } = } & { { } - \frac { 8 \pi ^ { 2 } | \lambda | ^ { 2 } } { 3 } \exp ( \mp 2 x _ { 0 } ) \left[ \sin ( \frac { \xi } { 2 } ) \right] ^ { 4 } } \end{array}
{ \cal E } _ { 2 n } = \epsilon _ { A _ { 1 } . . . A _ { 2 n } } \overline { { { R } } } ^ { A _ { 1 } A _ { 2 } } \cdot \cdot \overline { { { R } } } ^ { A _ { 2 n d - 1 } A _ { 2 n } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { = } & { - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + \alpha g T \hat { \bf z } + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } , } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) T } & { = } & { \kappa \nabla ^ { 2 } T , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\int _ { \mathcal { R } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } ( r ^ { 2 } + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \chi _ { + } y _ { + } \Re \left( { \mathfrak { X } } _ { * } \left( \mathfrak { w } _ { + } ^ { - 1 } \uppsi _ { m } ^ { \mathrm { c o n v } } \right) \cdot \overline { { \mathfrak { w } _ { + } } } ^ { - 1 } \rho ^ { 2 } \overline { { F } } \right) \, d \sigma d r d t ,
\begin{array} { r } { \psi ( \vec { r } , \vec { \rho } _ { 1 } , \vec { \rho } _ { 2 } ) = \sum _ { i } F _ { i } ( r ) \, \phi _ { i } ( \hat { r } , \vec { \rho } _ { 1 } , \vec { \rho } _ { 2 } ; r ) . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { \mathcal F \sim _ { S } ^ { \prime } \mathcal G } & { \iff } & { \mathcal F \cong \mathcal G } \\ { \mathcal F \sim _ { S } \mathcal G } & { \iff } & { \mathcal F \cong \mathcal G \otimes \pi _ { S } ^ { * } \mathcal L \mathrm { \: \: f o r \: \: a \: \: l i n e \: \: b u n d l e \: \: } \mathcal L \rightarrow S , } \end{array}
[ D ^ { ( \omega _ { L } , \omega _ { R } ) } ( \alpha ) , D ^ { ( \omega _ { L } ^ { \prime } , \omega _ { R } ^ { \prime } ) } ( \beta ) ] = D ^ { ( \omega _ { L } + \omega _ { L } ^ { \prime } , \omega _ { R } + \omega _ { R } ^ { \prime } ) } ( [ \beta , \alpha ] ) ,
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { D } ^ { i } L _ { \ell } { \mathsf { a } } ( A ) _ { i } ) ^ { \int } = - ( L _ { \ell } E ^ { { V } ( A ) } ) ^ { \int } } & { = - ( E ^ { { V } ( A ) } ) ^ { \mathrm { f i n } } + ( E ^ { { V } ( A ) } ) ^ { \mathrm { i n } } } \\ & { = - E ( A , E _ { \mathrm { i n } } ) ^ { \mathrm { f i n } } + \mathrm { A d } ( \Lambda ( A ) ^ { - 1 } ) \cdot E _ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a } & { : = } & { p ^ { 2 } ( p - 4 ) + \alpha ^ { 2 } p ( 1 - e ^ { 2 } ) + \kappa ^ { 2 } \left[ p ( 3 + e ^ { 2 } ) - \alpha ^ { 2 } ( 1 - e ^ { 2 } ) \right] , } \\ { b } & { : = } & { ( 1 + e ) ( p - \alpha ^ { 2 } ) \left[ 2 p - \kappa ^ { 2 } ( 3 + e ) \right] , } \\ { c } & { : = } & { p ( p - \kappa ^ { 2 } ) , } \\ { \nu } & { : = } & { \frac { p - 1 + e ^ { 2 } } { p - \alpha ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { P } } _ { \mathrm { R S } } } & { = { \mathbf { P } } _ { \mathrm { M C } } + f _ { p d } \, t _ { \mathrm { s i m } } \, ( s _ { L } - s _ { M } ) \, { \mathrm { \boldmath ~ \hat { p } ~ \unboldmath } } } \\ { { \mathbf { P } } _ { \mathrm { F S } } } & { = { \mathbf { P } } _ { \mathrm { M C } } + f _ { p d } \, t _ { \mathrm { s i m } } \, ( s _ { R } - s _ { M } ) \, { \mathrm { \boldmath ~ \hat { p } ~ \unboldmath } } \ . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { f _ { n } ( r ) } } \\ { { g _ { n } ( r ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { C _ { n } ^ { ( 1 ) } ( E ) J _ { n - \Phi ^ { ( 0 ) } + \Upsilon } ( k r ) + C _ { n } ^ { ( 2 ) } ( E ) Y _ { n - \Phi ^ { ( 0 ) } + \Upsilon } ( k r ) } } \\ { { { \frac { i k } { E + m } } \bigl [ C _ { n } ^ { ( 1 ) } ( E ) J _ { n + 1 - \Phi ^ { ( 0 ) } + \Upsilon } ( k r ) + C _ { n } ^ { ( 2 ) } ( E ) Y _ { n + 1 - \Phi ^ { ( 0 ) } + \Upsilon } ( k r ) \bigr ] } } \end{array} \right) ,
- \lambda ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi _ { e } ( x ) } { \partial x ^ { 2 } } - \left[ \Lambda + \varphi ^ { 2 } ( x ) + i \lambda \eta \varphi ^ { \prime } ( x ) \right] \Psi _ { e } ( x ) = 0 \, .
\begin{array} { r l r } { | \Phi \rangle } & { = } & { C ^ { ( 0 ) } | 0 \rangle + \sum _ { i } C _ { i } ^ { ( 1 ) } \hat { a } _ { i } ^ { + } | 0 \rangle + \sum _ { i j } C _ { i j } ^ { ( 2 ) } \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { j } ^ { + } | 0 \rangle + . . . . + } \\ & { + } & { \sum _ { i _ { 1 } i _ { 2 } . . } C _ { i _ { 1 } i _ { 2 } . . . i _ { N } } ^ { ( 2 ) } \hat { a } _ { i _ { 1 } } ^ { + } \hat { a } _ { i _ { 2 } } ^ { + } . . . \hat { a } _ { i _ { N } } ^ { + } | 0 \rangle + . . . . . . } \end{array}
\tilde { \rho } _ { e } = d i v \, { \bf E } = c o n s t _ { x } \qquad { \bf J } = c u r l \, { \bf B } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } } = c o n s t _ { t } .
\begin{array} { r } { H _ { \gamma , \mathrm { 2 D } } ( k _ { x } , k _ { y } ) = h _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } \, \sigma _ { 0 } + h _ { \gamma } ^ { ( x ) } \sigma _ { x } + h _ { \gamma } ^ { ( y ) } \sigma _ { y } } \end{array}
\epsilon _ { \mathrm { e r r o r } } = \left\{ \frac { 1 } { N _ { e } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \left[ { \bf u } _ { \pmb \theta } ( t _ { i } , { \bf x } _ { i } ) - { \bf u } ( t _ { i } , { \bf x } _ { i } ) \right] ^ { 2 } \right\} ^ { 1 / 2 } \times \left\{ \frac { 1 } { N _ { e } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \left[ { \bf u } ( t _ { i } , { \bf x } _ { i } ) \right] ^ { 2 } \right\} ^ { - 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { d } \tilde { \lambda } } & { = \tilde { \beta } ^ { i } \frac { \partial \tilde { \lambda } _ { 0 } } { \partial x ^ { i } } + \tilde { \beta } ^ { i } \frac { \partial \tilde { \lambda } _ { j } ^ { 1 } } { \partial x ^ { i } } \tilde { \beta } ^ { j } + \dots } \\ & { = \beta ^ { i } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } \left( \lambda ^ { 0 } + \lambda _ { j } ^ { 1 } \beta ^ { j } + \dots \right) - \gamma _ { i } ^ { i } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } \left( \lambda ^ { 0 } + \lambda _ { j } ^ { 1 } \beta ^ { j } + \dots \right) - \beta ^ { i } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } \left( \lambda _ { j } ^ { 1 } \gamma _ { i } ^ { j } + \dots \right) + O ( ( \gamma _ { 1 } ) ^ { 2 } ) } \\ & { = ( d - L i e _ { \gamma _ { 1 } } ) \lambda + O ( ( \gamma _ { 1 } ) ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d x _ { i } } { d t } } & { = \frac { 1 } { k _ { i } ( t ) } \sum _ { j \neq i } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) \, , } & { i = 1 , \dots , N } \\ { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { = \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, f ^ { + } ( w ) _ { i j } - \Big ( 1 - \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \Big ) \, f ^ { - } ( w ) _ { i j } \, , } & { i , j = 1 , \dots , N , \, i \neq j } \\ { \frac { d w _ { i i } } { d t } } & { = 0 } & { i = 1 , \dots , N . } \end{array}
\frac { 2 u _ { p } } { 2 u _ { p } + v _ { p } } \in \left( \frac { \tilde { \gamma } _ { 1 } + \tilde { \gamma } _ { 2 } + \tilde { \gamma } _ { 3 } } { \tilde { \gamma } _ { 1 } } , + \infty \right)
\pi : = { \bar { m } } ^ { a } D n _ { a } = { \bar { m } } ^ { a } l ^ { b } \nabla _ { b } n _ { a } \, , \quad \nu : = { \bar { m } } ^ { a } \Delta n _ { a } = { \bar { m } } ^ { a } n ^ { b } \nabla _ { b } n _ { a } \, ,
\begin{array} { r l } { | A \rangle } & { { } = | B \rangle + | C \rangle } \\ { | C \rangle } & { { } = ( - 1 + 2 i ) | D \rangle } \\ { | D \rangle } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - x ^ { 2 } } | x \rangle \, \mathrm { d } x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { k } , t ) , } \\ { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { k } , t ) } & { { } = R e \{ \boldsymbol { a } ( \boldsymbol { k } ) e ^ { \dot { \iota } ( \boldsymbol { k \cdot r } - \omega _ { \boldsymbol { k } } t ) } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left\langle { A _ { 1 } ( G _ { 2 } - m _ { 2 } I ) N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \nu } ^ { \circ } } \right\rangle \right| } & { = \left| \left\langle { G _ { 2 } - m _ { 2 } } \right\rangle \left\langle { A _ { 1 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \nu } ^ { \circ } } \right\rangle + \left\langle { ( G _ { 2 } - m _ { 2 } ) ( N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \nu } ^ { \circ } A _ { 1 } ) ^ { \circ } } \right\rangle \right| } \\ & { \prec \frac { 1 } { N \eta _ { 2 } } + \frac { \rho _ { 2 } \Lambda _ { k + 1 } } { \sqrt { N L } } + \frac { \rho _ { 2 } \Lambda _ { k + 4 } } { N L } \prec \frac { \rho _ { 2 } } { L } + \frac { \rho _ { 2 } \Lambda _ { k + 4 } } { \sqrt { N L } } . } \end{array}
1 , 0 0 0 : 1 ) t h a n k s t o i t s e x t r e m e l y c l e a n P S F . F A S R ^ { \prime } s s u p e r i o r P S F p e r f o r m a n c e i s s h o w n i n F i g . : a n e x t r e m e l y l o w s i d e - l o b e l e v e l o f o n l y a f e w p e r c e n t ( c o m p a r e d t o E O V S A ^ { \prime } s
\mathbf { M } ( \omega ) = \mathbb { E } \left[ \tilde { \mathbf { b } } ( \omega ) \tilde { \mathbf { b } } ^ { \dagger } ( \omega ) \right] \approx \frac { 1 } { Q } \sum _ { q = 1 } ^ { Q } \tilde { \mathbf { b } } _ { q } ( \omega ) \tilde { \mathbf { b } } _ { q } ^ { \dagger } ( \omega ) .
\left| k _ { 1 } , \ldots , k _ { n } \ \mathrm { i n } \right\rangle = { \sqrt { 2 \omega _ { k _ { 1 } } } } a _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \ldots { \sqrt { 2 \omega _ { k _ { n } } } } a _ { \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } _ { n } ) | 0 \rangle
F _ { \lambda } \ensuremath { [ n ] } = T _ { \mathrm { ~ s ~ } } \ensuremath { [ n ] } + \lambda E _ { \mathrm { ~ H ~ } } \ensuremath { [ n ] } + \lambda E _ { \mathrm { ~ x ~ } } \ensuremath { [ n ] } + E _ { \mathrm { ~ c ~ } , \lambda } \ensuremath { [ n ] } ,
| \psi \rangle = \psi _ { g } | \psi _ { g } \rangle + \psi _ { q \bar { q } } | \psi _ { q \bar { q } } \rangle + \psi _ { q \bar { q } \gamma } | \psi _ { q \bar { q } \gamma } \rangle + \psi _ { q \bar { q } g g } | \psi _ { q \bar { q } g g } \rangle + \ldots .
\begin{array} { r l } { a _ { 1 , \beta } } & { = \frac { \frac { 2 \beta ^ { 2 } + 1 } { 2 ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } } { ( 2 \pi ) ^ { \beta } ( \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } ) ^ { \beta + 2 } } , \quad a _ { 2 , \beta } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \beta } ( \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } ) ^ { \beta + 2 } ( 2 \beta + 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } , } \\ { b _ { 1 , \beta } } & { = \frac { \frac { \beta ^ { 2 } + 2 } { 4 ( \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } ( \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } ) ^ { \frac { \beta } { 2 } + 2 } } , \quad b _ { 2 , \beta } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } ( \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } ) ^ { \frac { \beta } { 2 } + 1 } ( \beta + 1 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { V ^ { \prime } } \left\{ \left( \int _ { V < V ^ { \prime } } p ( V | D , K ) \textup { d } V \right) > \alpha \right\} , } \\ { f _ { \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { U ^ { \prime } } \left\{ \left( \int _ { U _ { f f } < U ^ { \prime } } p ( U _ { f f } | D , K ) \textup { d } U _ { f f } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \Gamma _ { \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \Gamma ^ { \prime } } \left\{ \left( \int _ { \Gamma < \Gamma ^ { \prime } } p ( \Gamma | D , K ) \textup { d } \mu _ { 0 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { b _ { \alpha } } & { = \operatorname* { m i n } _ { b ^ { \prime } } \left\{ \left( \int _ { b < b ^ { \prime } } p ( b | D , K ) \textup { d } b \right) > \alpha \right\} . } \end{array}
W = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { v } d t = m \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { a } \cdot \mathbf { v } d t = { \frac { m } { 2 } } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { d v ^ { 2 } } { d t } } \, d t = { \frac { m } { 2 } } \int _ { v _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { v _ { 2 } ^ { 2 } } d v ^ { 2 } = { \frac { m v _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { m v _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } = \Delta E _ { \mathrm { k } }
\begin{array} { l } { \gamma _ { 1 } \displaystyle \int _ { \Omega } \bar { n } \displaystyle \frac { ( \nabla n ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } d \Omega + \beta \gamma _ { 2 } \displaystyle \int _ { \Omega } \bar { p } \displaystyle \frac { ( \nabla p ) ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } d \Omega = - \mu \rho \displaystyle \int _ { \Omega } \displaystyle \frac { ( n - \bar { n } ) ( p - \bar { p } ) } { ( 1 + \rho p ) ( 1 + \rho \bar { p } ) } d \Omega } \\ { - \| n - \bar { n } \| ^ { 2 } - ( 1 - \eta ) \Phi \int _ { \Omega } \displaystyle \frac { ( n - \bar { n } ) ( p - \bar { p } ) } { \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) n + \xi p \right] \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) \bar { n } + \xi \bar { p } \right] } d \Omega } \\ { - \sigma ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \Phi \bar { n } \displaystyle \int _ { \Omega } \displaystyle \frac { ( n - \bar { n } ) ( p - \bar { p } ) } { \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) n + \xi p \right] \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) \bar { n } + \xi \bar { p } \right] } d \Omega } \\ { + \sigma ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \Phi \bar { p } \displaystyle \int _ { \Omega } \displaystyle \frac { ( n - \bar { n } ) ^ { 2 } } { \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) n + \xi p \right] \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) \bar { n } + \bar { p } \right] } d \Omega } \\ { + \theta \beta ( 1 - \eta ) \displaystyle \int _ { \Omega } \displaystyle \frac { ( n - \bar { n } ) ( p - \bar { p } ) } { \left[ ( 1 - \eta ) n + \nu \right] \left[ ( 1 - \eta ) \bar { n } + \nu \right] } d \Omega . } \end{array}
4 , 8 , 1 2 , 1 6 , 2 0 , 2 4 , 2 8 , 3 2 , 3 6 , 4 0 , 4 4 , 4 8 , 5 2 , 5 6 , 6 0 , 6 4 , 6 8 , 7 2 , 7 6 , . . .
\begin{array} { r l } { \left| \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } x g ( x ) d x \right| } & { \le \left| \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } x e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } d x \right| + \left| \displaystyle \int _ { s - w } ^ { s + w } x ( e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } - g ( x ) ) d x \right| } \\ & { \le \frac { \sigma \epsilon } { 2 e } + 2 w \cdot \frac { 3 w } { 2 } \cdot \frac { 0 . 0 3 \epsilon } { \sigma \ln { e \sigma / \epsilon } } } \\ & { \le \frac { \sigma \epsilon } { 2 e } + 0 . 3 6 \sigma \epsilon } \\ & { \le 0 . 5 5 \sigma \epsilon , } \end{array}
I ( k ^ { 2 } ) = - { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 9 6 \pi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y { \frac { f ^ { 2 } ( x ) f ^ { 2 } ( y ) } { [ { \frac { k ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } x y ( 1 - x - y ) - x y - ( x + y ) ( 1 - x - y ) ] } } .
D \equiv \ln \frac { x _ { + } ^ { 2 } - \sqrt { 2 } x _ { + } + 1 } { x _ { + } ^ { 2 } + \sqrt { 2 } x _ { + } + 1 } - 2 \arctan ( 1 - \sqrt { 2 } x _ { + } ) + 2 \arctan ( 1 + \sqrt { 2 } x _ { + } ) .
\eta _ { \kappa } = \frac { \hat { g } _ { \kappa } { \cal I } _ { 0 } } { 1 + \hat { g } _ { \kappa } { \cal I } _ { 1 } } \, , \quad { \cal I } _ { 0 } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, \frac { \hat { m } ^ { \prime } ( y ) } { y ^ { 1 / 2 } \big ( \hat { k } _ { \kappa } ( y ) \big ) ^ { 2 } } \, , \quad { \cal I } _ { 1 } = \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, \frac { \hat { m } ( y ) } { y ^ { 3 / 2 } \big ( \hat { k } _ { \kappa } ( y ) \big ) ^ { 2 } } \, , \quad \hat { k } _ { \kappa } ( y ) = \hat { f } _ { \kappa } ( 0 , y ) + \hat { m } _ { \kappa } ( y ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \alpha ( p - 1 ) } { \alpha ( p + 1 ) - \beta n } \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } } & { + \frac { \alpha ( p - 1 ) - 2 \beta } { \alpha ( p + 1 ) - \beta n } + ( 2 \alpha - \beta n ) \| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + \| v ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } } \\ & { < d ( { \vec { c } } ) - 2 { \vec { c } } \cdot \mathbb { F } ( \vec { u } _ { 0 } ) } \end{array}
\delta = \tilde { \delta } + \frac { 1 } { \pi } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 1 } \, \tilde { \delta } _ { Q } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 2 } \, \frac { \tilde { \delta } _ { Q } ^ { 2 } } { 1 + 2 \tilde { \delta } } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } ,
\left\langle f , g \right\rangle _ { H } = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } { \frac { \left\langle f , \phi _ { i } \right\rangle _ { L _ { 2 } } \left\langle g , \phi _ { i } \right\rangle _ { L _ { 2 } } } { \sigma _ { i } } } .
S _ { B } [ \phi , a , b ] = \int d ^ { 2 } x [ - \frac { 2 \pi } { ( q - 1 ) ^ { 2 } } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi + \frac { 2 } { q - 1 } \partial _ { \mu } \phi ( \epsilon ^ { \mu \nu } a _ { \nu } + b ^ { \mu } ) ]
\begin{array} { r l r l r l } { \nabla \cdot ( a \nabla \psi ) - b B ^ { \prime } ( \psi ) + c } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } } & { } & { { } \Omega ; } \\ { \psi } & { { } = \psi _ { D } } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } } & { } & { { } \partial \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { h } _ { n + 1 } ( t ) } & { \ge 2 ^ { - n } \int _ { 0 } ^ { t } ( 1 \wedge ( t - s ) ) ^ { - \rho } \widehat { h } _ { n } ( s ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } s } \\ & { \ge 2 ^ { - n - 1 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( 1 + ( t - s ) ^ { - \rho } \right) \widehat { h } _ { n } ( s ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } s } \\ & { = 2 ^ { - ( n + 1 ) } \widehat { h } _ { n + 1 } ( t ) . } \end{array}
f ( z ) \sim \left( 1 - { \frac { z } { \zeta } } \right) ^ { \alpha } \left( { \frac { 1 } { \frac { z } { \zeta } } } \log { \frac { 1 } { 1 - { \frac { z } { \zeta } } } } \right) ^ { \gamma } \left( { \frac { 1 } { \frac { z } { \zeta } } } \log \left( { \frac { 1 } { \frac { z } { \zeta } } } \log { \frac { 1 } { 1 - { \frac { z } { \zeta } } } } \right) \right) ^ { \delta } \quad
\begin{array} { r l } & { \| A ^ { n } \| _ { \infty } = \operatorname* { m a x } _ { p } \left( | A _ { p p } ^ { n } | + \sum _ { q \neq p } | A _ { q p } ^ { n } | \right) } \\ & { \leq 2 \, \operatorname* { m a x } _ { p } | A _ { p p } ^ { n } | - 1 + \gamma \Delta t \leq 1 - \gamma \Delta t + 4 \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } d D _ { \operatorname* { m a x } } } \\ & { \leq 1 + 4 \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } d D _ { \operatorname* { m a x } } , } \\ & { \| A ^ { n } \| _ { 1 } = \operatorname* { m a x } _ { p } \left( | A _ { p p } ^ { n } | + \sum _ { p \neq q } | A _ { q p } ^ { n } | \right) } \\ & { \leq 2 \, \operatorname* { m a x } _ { p } | A _ { p p } ^ { n } | - 1 + \gamma \Delta t \leq 1 + 4 \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } d D _ { \operatorname* { m a x } } , } \end{array}
K _ { m n } = \frac { ( Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 4 Z ^ { 5 / 2 } } \left\{ - 4 p ( r ) I _ { m n } + w ( r ) W _ { m n } + [ p ( r ) - q ( r ) ] f ^ { - 1 } ( r ) \frac { y ^ { m } y ^ { n } } { r ^ { 2 } } \right\}
\Sigma a _ { ( 1 ) } \cdot m _ { < 1 > } \otimes a _ { ( 2 ) } \cdot m _ { ( 2 ) } = \Sigma ( a _ { ( 2 ) } \cdot m ) _ { < 1 > } \otimes ( a _ { ( 2 ) } \cdot m ) _ { ( 2 ) } a _ { ( 1 ) }
K ( z ) = \kappa \frac { \langle u w \rangle / \langle u ^ { 2 } ( z ) \rangle } { \langle u w \rangle / \langle u ^ { 2 } ( z _ { \mathrm { m } } ) \rangle } = \kappa \frac { \langle u ^ { 2 } ( z _ { \mathrm { m } } ) \rangle / u _ { \ast } ^ { 2 } } { \langle u ^ { 2 } ( z ) \rangle / u _ { \ast } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \Psi = \underbrace { \biggr ( \bigwedge _ { k \in B _ { R _ { N _ { - } } } } \phi _ { k } ^ { L } \biggr ) } _ { = \Psi _ { N _ { - } , L } } \wedge \widetilde { \phi } _ { 1 } \wedge . . . \wedge \widetilde { \phi } _ { N - N _ { - } } , } \end{array}