harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V : = \overline { { \Big \{ \, u \in C _ { p e r \times c } ^ { \infty } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { 2 } ) \; \big \vert \; \int _ { \Omega } u = 0 , \: \mathrm { d i v } \, u = 0 \, \Big \} } } ^ { W ^ { 1 , 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ,
e ^ { 2 A } B \sim ( r - r _ { H } ) ^ { \frac { 1 } { p + 1 } \left[ - 1 + \frac { 4 } { B _ { H } } \frac { 2 | \Lambda | - 4 \pi G _ { D } ( 1 - f _ { H } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { p + d - 1 } \right] } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { i , j } ^ { n + 1 } - \rho _ { i , j } ^ { n } } { c \Delta t } + \frac { 1 } { 3 \Delta x _ { i } } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { R , i + \frac 1 2 , j } } \frac { U _ { r , i + 1 , j } ^ { n + 1 } - U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } } { \frac 1 2 ( \Delta x _ { i + 1 } + \Delta x _ { i } ) } - \frac { 1 } { \sigma _ { R , i - \frac 1 2 , j } } \frac { U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } - U _ { r , i - 1 , j } ^ { n + 1 } } { \frac 1 2 ( \Delta x _ { i } + \Delta x _ { i - 1 } ) } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 3 \Delta y _ { j } } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { R , i , j + \frac 1 2 } } \frac { U _ { r , i , j + 1 } ^ { n + 1 } - U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } } { \frac 1 2 ( \Delta y _ { j + 1 } + \Delta y _ { j } ) } - \frac { 1 } { \sigma _ { R , i , j - \frac 1 2 } } \frac { U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } - U _ { r , i , j - 1 } ^ { n + 1 } } { \frac 1 2 ( \Delta y _ { j } + \Delta y _ { j - 1 } ) } \right) } \\ { = } & { - \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } ( S _ { i , j } ^ { n + 1 } - \sigma _ { p , i , j } ^ { n + 1 } U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } ) . } \end{array}
\langle \delta \beta , \delta \gamma \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } = \langle \omega , \gamma \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) } , \quad \forall \gamma \in \mathring { V } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) ,
\begin{array} { r l } { g _ { \lambda } ( x ) = } & { \sqrt { 2 } \frac { 1 } { x } \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } ( \Sigma _ { m = 0 } ^ { n } { \binom { n } { m } } H _ { n } ( \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } ) 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } ( n - m ) } x ^ { m - n } ) 2 ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( n + 1 ) } \Sigma _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \binom { n + 1 } { k } x ^ { k - n - 1 } \lambda ^ { k } } \\ { = } & { \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } \Sigma _ { m = 0 } ^ { n } \Sigma _ { r = 0 } ^ { \lfloor \frac { n } { 2 } \rfloor } \Sigma _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } \binom { n } { m } \binom { n } { 2 r } \binom { n + 1 } { k } \frac { ( 2 r ) ! } { r ! } 2 ^ { \frac { 1 } { 2 } ( n - m - 2 r ) } H _ { n - 2 i } ( \lambda ) \lambda ^ { k } x ^ { k + m - 2 ( n + 1 ) } } \end{array}
\{ { \cal P } _ { 0 , 0 } ^ { a } , X ^ { \pm } \} = \{ { \cal P } _ { 0 , 0 } ^ { a } , A \} = \{ \bar { { \cal P } } _ { 0 , 0 } ^ { \bar { a } } , X ^ { \pm } \} = \{ \bar { { \cal P } } _ { 0 , 0 } ^ { \bar { a } } , A \} = 0 ,
\begin{array} { r l } { p \big [ n _ { R } - k \; \mathrm { i n } \; \alpha \big ] } & { = \Big [ \lambda _ { R } \big ( \pi r _ { 1 } ^ { 2 } - \mathcal { S } ( r ) \big ) \Big ] ^ { n _ { R } - k } \exp \Big [ - \lambda _ { R } \big ( \pi r _ { 1 } ^ { 2 } - \mathcal { S } ( r ) \big ) \Big ] \Big [ ( n _ { R } - k ) ! \Big ] ^ { - 1 } } \\ { p \big [ k \; \mathrm { i n } \; \epsilon \big ] } & { = \Big [ \lambda _ { R } \mathcal { S } ( r ) \Big ] ^ { k } \exp \Big [ - \lambda _ { R } \mathcal { S } ( r ) \Big ] \Big [ ( k ) ! \Big ] ^ { - 1 } } \\ { p \big [ n _ { R } ^ { \prime } - k \; \mathrm { i n } \; \delta \big ] } & { = \Big [ \lambda _ { R } \big ( \pi r _ { 1 } ^ { 2 } - \mathcal { S } ( r ) \big ) \Big ] ^ { n _ { R } ^ { \prime } - k } \exp \Big [ - \lambda _ { R } \big ( \pi r _ { 1 } ^ { 2 } - \mathcal { S } ( r ) \big ) \Big ] \Big [ ( n _ { R } ^ { \prime } - k ) ! \Big ] ^ { - 1 } } \\ { p \big [ n _ { R } \; \mathrm { i n } \; ( \alpha \cup \epsilon ) \big ] } & { = \big ( \lambda _ { U } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \big ) ^ { n _ { R } } \exp \big ( - \lambda _ { R } \pi r _ { 1 } ^ { 2 } \big ) \big ( n _ { R } ! \big ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\Gamma _ { \gamma \delta } = - 2 \frac { f _ { v ^ { 2 } } } { f _ { D } } \frac { 1 + \alpha } { 2 } \frac { \nu _ { \mathrm { o p t } } ^ { i } } { | \nu _ { \mathrm { o p t } } | ^ { 2 } } \frac { 3 } { 2 } \Gamma _ { 2 } \Delta _ { 2 } ,
\frac { m _ { c } } { e _ { L } } = ( \frac { 4 z } { t ^ { 2 } } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \frac { 2 \pi } { e ^ { \gamma } } ( \frac { 1 } { 2 } - 3 2 z + 1 5 3 6 z ^ { 2 } )
A _ { 0 } = { \frac { \sqrt \pi } { 2 } } \bigg | \frac { \Gamma ( 1 + i \nu ) } { \Gamma ( { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { i \nu } { 2 } } ) \Gamma ( { \frac { 5 } { 4 } } + { \frac { i \nu } { 2 } } ) } \bigg |
\begin{array} { r } { { \bf H } = \sum _ { i , \gamma } \varepsilon _ { i \gamma } \mathsf { a } _ { i \gamma } ^ { \dagger } \mathsf { a } _ { i \gamma } + \sum _ { \gamma } \sum _ { \langle i , j \rangle } t _ { 1 ( i \gamma , j \gamma ) } \mathsf { a } _ { i \gamma } ^ { \dagger } \mathsf { a } _ { j \gamma } + \sum _ { \gamma } \sum _ { \langle \langle i , j \rangle \rangle } t _ { 2 ( i \gamma , j \gamma ) } \mathsf { a } _ { i \gamma } ^ { \dagger } \mathsf { a } _ { j \gamma } + \mathrm { h . c . } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle d _ { n } ( \tau ) d _ { n } ( s ) \rangle } & { = \langle \frac { 1 } { L _ { x } ^ { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \varphi } _ { n } ( x ) \mathcal { N } ( x , \tau ) d x \right) } \\ & { \times \left( \int _ { 0 } ^ { L } \bar { \varphi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) \mathcal { N } ( x ^ { \prime } , s ) d x ^ { \prime } \right) \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { L _ { x } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \varphi } _ { n } ( x ) \bar { \varphi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \times \delta ( x - x ^ { \prime } ) \delta ( \tau - s ) d x d x ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 1 } { L _ { x } } \delta ( \tau - s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = \frac { 1 } { 2 } ( M _ { 1 1 } + M _ { 0 0 } - M _ { 1 - 1 } ) , } \\ { b } & { = \frac { 1 } { 2 } ( M _ { 1 1 } + M _ { s s } - M _ { 1 - 1 } ) , } \\ { c } & { = \frac { 1 } { 2 } ( M _ { 1 1 } - M _ { s s } - M _ { 1 - 1 } ) , } \\ { d } & { = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \sin \theta } ( M _ { 0 1 } + M _ { 0 1 } ) , } \\ { e } & { = \frac { i } { 2 } ( M _ { 1 0 } - M _ { 0 1 } ) , } \\ { f } & { = - i \sqrt { 2 } M _ { S T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { { } = \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) } \\ { G } & { { } = 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \Bigg ] } \end{array}
2 \, \operatorname* { m a x } \left\{ \left| { \frac { a _ { n - 1 } } { a _ { n } } } \right| , \left| { \frac { a _ { n - 2 } } { a _ { n } } } \right| ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \ldots , \left| { \frac { a _ { 1 } } { a _ { n } } } \right| ^ { \frac { 1 } { n - 1 } } , \left| { \frac { a _ { 0 } } { 2 a _ { n } } } \right| ^ { \frac { 1 } { n } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \pi ( e , r ) } { \partial r } } & { = \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F _ { r } ( d v ; e , r ) + \beta \left[ \bar { B } _ { r } ( e , r ) - \int \, h ( \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) ) \, F _ { r } ( d v ; e , r ) \right] } \\ & { + \lambda \left[ \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F _ { r e } ( d v ; e , r ) \right] + \mu \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F _ { r r } ( d v ; e , r ) . } \end{array}
\operatorname { R i e m } ^ { A } _ { B C D } = \mathsf { F } _ { \alpha } ^ { A } \, \mathsf { F } _ { B } ^ { \beta } \, \mathsf { F } _ { C } ^ { \xi } \, \mathsf { F } _ { D } ^ { \eta } \, \operatorname { R i e m } ^ { \alpha } _ { \beta \xi \eta } \, , \qquad \operatorname { R i c } _ { A B } = \mathsf { F } _ { A } ^ { \alpha } \, \mathsf { F } _ { B } ^ { \beta } \, \operatorname { R i c } _ { \alpha \beta } \, ,
\phi ( z ) = \frac { c o n s t } { \sinh z } \exp \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } \frac { \sinh \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \nu ) t \, \left( \cosh t ( \frac { 1 } { 2 } - z / ( i \pi ) ) - 1 \right) } { \sinh \frac { 1 } { 2 } \, \nu t \sinh t }
\frac { H } { J ^ { 2 } } \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } = \frac { H } { J ^ { 2 } } \bar { \mathbf { c } } ^ { T } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \boldsymbol { \lambda } ) \bar { \mathbf { c } } .
\wp \left( { \frac { \omega _ { 1 } } { 2 } } \right) = e _ { 1 } \qquad \wp \left( { \frac { \omega _ { 2 } } { 2 } } \right) = e _ { 2 } \qquad \wp \left( { \frac { \omega _ { 3 } } { 2 } } \right) = e _ { 3 }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \Psi } { \partial r } ( r = 1 R _ { \mathrm { S } } , \theta , \phi ) } & { = g ( \theta , \phi ) , } \\ { \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } ( r = r _ { \mathrm { S S } } , \theta , \phi ) } & { = \frac { \partial \Psi } { \partial \phi } ( r = r _ { \mathrm { S S } } , \theta , \phi ) = 0 , } \\ { \Psi ( r , \theta , \phi = 0 ) } & { = \Psi ( r , \theta , \phi = 2 \pi ) , } \end{array}
\left. \underset { v \in S ^ { \prime } \; } { \prod ^ { \prime } } \right. ( \mathsf { P r o j } _ { F _ { v } , f g } : \mathsf { P r o j } _ { \mathcal { O } _ { v } , f g } ) \underset { i } { \overset { p } { \rightleftarrows } } \left. \underset { v \in S \; } { \prod ^ { \prime } } \right. ( \mathsf { P r o j } _ { F _ { v } , f g } : \mathsf { P r o j } _ { \mathcal { O } _ { v } , f g } )
\left( \frac { D } { D t } \rho \boldsymbol { v } \right) \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } = - \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } + \mu \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } + \sigma _ { 1 2 } \kappa \delta _ { \mathrm { S } } \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { S } } + \rho \boldsymbol { g } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } .
H ( x , \tau ) \simeq { \frac { \tau ^ { 2 } } { 2 } } ~ T ~ \Sigma \int { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \exp [ - \tau ( p _ { E } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ] ~ \hat { \sigma } ^ { 2 } ~ .
\nabla _ { a } T _ { \hat { b } } ^ { \hat { a } } = \partial _ { a } T _ { \hat { b } } ^ { \hat { a } } + { \omega } _ { a \; \hat { c } } ^ { \; \hat { a } } T _ { \hat { b } } ^ { \hat { c } } - { \omega } _ { a \; \hat { b } } ^ { \; \hat { c } } T _ { \hat { c } } ^ { \hat { a } } \; ,
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ q _ { n + m + 1 } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } , a _ { n + 1 } , \ldots , a _ { n + m + 1 } ) } \\ & { = a _ { n + m + 1 } q _ { n + m } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } , a _ { n + 1 } , \ldots , a _ { n + m } ) + q _ { n + m - 1 } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } , a _ { n + 1 } , \ldots , a _ { n + m - 1 } ) } \\ & { \ge a _ { n + m + 1 } q _ { n } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) q _ { m } ( a _ { n + 1 } , \ldots , a _ { n + m } ) + q _ { n } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) q _ { m - 1 } ( a _ { n + 1 } , \ldots , a _ { n + m - 1 } ) } \\ & { = q _ { n } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) q _ { m + 1 } ( a _ { n + 1 } , \ldots , a _ { n + m + 1 } ) , } \end{array}
\mathcal { L } _ { g + 1 , n } = \bigoplus _ { \lambda \in P } \, ( \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ) _ { \lambda } \, \widetilde { \otimes } \, \mathcal { L } _ { g , n } , \quad \mathcal { H } _ { q } \otimes \mathcal { H H } _ { q } ^ { \otimes g } \otimes U _ { q } ^ { \otimes n } = \bigoplus _ { \lambda \in P } \, ( \mathcal { H } _ { q } ) _ { \lambda } \otimes \mathcal { H H } _ { q } ^ { \otimes g } \otimes U _ { q } ^ { \otimes n } .
\begin{array} { r l } { P _ { T } ( Y | \varphi ) = P _ { T } ( Y | X _ { 1 } = 0 ) } & { = } \\ { P _ { T } ( Y | X _ { 1 } = 0 , X _ { 2 } = 0 ) } & { \cdot P _ { T } ( X _ { 2 } = 0 | X _ { 1 } = 0 ) \; + } \\ { P _ { T } ( Y | X _ { 1 } = 0 , } & { X _ { 2 } = 1 ) \cdot P _ { T } ( X _ { 2 } = 1 | X _ { 1 } = 0 ) = } \\ { P _ { T } ( Y | X _ { 1 } = 0 , X _ { 2 } = 0 ) } & { } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { H } { J } \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } \leq \frac { H } { J } \lambda _ { n } | | \mathbf { u } | | _ { 2 } ^ { 2 } = \lambda _ { N } ^ { \Delta } | | \mathbf { u } | | _ { \omega } ^ { 2 } = \lambda _ { N } ^ { \Delta } ( | | \bar { \mathbf { u } } | | _ { \Omega } ^ { 2 } + | | \mathbf { u } ^ { \prime } | | _ { \omega } ^ { 2 } ) } \\ { \frac { H } { J ^ { 2 } } \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } \leq \frac { H } { J ^ { 2 } } \lambda _ { N } ^ { \Delta } | | \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } | | _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { J } \lambda _ { N } ^ { \Delta } | | \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } | | _ { \omega } ^ { 2 } = \frac { 1 } { J } \lambda _ { N } ^ { \Delta } | | \bar { \mathbf { u } } | | _ { \Omega } ^ { 2 } } \end{array}
\mathcal { I } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) = \mathbf { p } ^ { \top } \mathbf { L } \mathbf { x } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ a ~ g ~ a ~ i ~ n ~ } \ \mathbf { p } = \mathbf { M } \mathbf { u } + \mathbf { A } ( \mathbf { x } ) ,
Q _ { 0 } ( \zeta ) \; = \; { \frac { \zeta } { 2 \tilde { z } _ { 0 } } } \left[ \left( 1 - { \frac { 3 } { 4 \tilde { z } _ { 0 } } } \right) + { \frac { 1 } { 4 \tilde { z } _ { 0 } } } { \frac { \zeta } { 2 \tilde { z } _ { 0 } + \zeta } } \right] \; ,
\frac { d N ( \omega ) } { d \sigma } = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { e ^ { 2 } } { \hbar c ^ { 3 } } ( 2 a _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 3 } \langle x ^ { 2 } \rangle \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d s \, e ^ { - i s \omega / a _ { 0 } \omega _ { 0 } } \mathrm { c s c h } ^ { 4 } ( s - i \epsilon ) ~ ,
\begin{array} { r l r } { n _ { 0 } \delta ^ { 2 } } & { { } } & { < \frac { 8 m _ { \mathrm { e } } } { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } } \frac { 1 + \xi / \gamma _ { 0 } } { ( \gamma _ { \mathrm { i } } \gamma _ { \mathrm { e } } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { f ^ { 2 } } + \frac { 4 m } { \mu _ { 0 } e ^ { 2 } } \sigma = 2 . 2 4 \times 1 0 ^ { 1 4 } \mathrm { [ m ^ { - 1 } ] } \left[ \frac { 1 + \xi / \gamma _ { 0 } } { ( \gamma _ { \mathrm { i } } \gamma _ { \mathrm { e } } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { f ^ { 2 } } + \frac { m } { 2 m _ { \mathrm { e } } } \sigma \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( J ^ { \alpha } \right) \left( J ^ { \beta } f \right) ( x ) } & { = \left( J ^ { \beta } \right) \left( J ^ { \alpha } f \right) ( x ) } \\ & { = \left( J ^ { \alpha + \beta } f \right) ( x ) } \\ & { = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha + \beta ) } } \int _ { 0 } ^ { x } \left( x - t \right) ^ { \alpha + \beta - 1 } f ( t ) \, d t \, . } \end{array} }
\begin{array} { r } { d ( \mathbf { x } , \omega ) \approx G ^ { 1 } ( \mathbf { x } , \omega ) \, s ^ { 1 } ( \mathbf { x } , \omega ) + G ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \omega ) \, s ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \omega ) + G ^ { 3 } ( \mathbf { x } , \omega ) \, s ^ { 3 } ( \mathbf { x } , \omega ) + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta ( c \tau ) = \Gamma \bigg [ \tau + \bar { L } - \frac { 1 } { 2 } \int \! d \mathbf { r } \, } & { { } \rho _ { E } ( \mathbf { r } ) \theta ( \tau - 2 \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { o } \vert / c ) } \end{array}
E _ { c } = \operatorname * { l i m } _ { \sigma \to 0 } { \frac { 1 } { 2 \pi i a } } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( l + { \frac { 1 } { 2 } } ) \oint _ { C } d z e ^ { - \sigma z } z { \frac { d } { d z } } \ln f _ { l } ( z ) .
\begin{array} { r } { \underline { { \underline { { \boldsymbol \Lambda } } } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 4 } { \partial 3 } \frac { \mu } { \rho ^ { m } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \mu } { \rho ^ { m } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \mu } { \rho ^ { m } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k } ( \bar { x } _ { k } , \bar { u } _ { k } ) - V _ { k } ( x _ { k } , u _ { k } ) } & { \leq - T _ { k } f _ { \mathrm { d } } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } u _ { k } + \frac { 1 } { 2 } u _ { k + 1 } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } R _ { k } + \frac { 1 } { 2 } T _ { k } ^ { 2 } | f _ { \mathrm { d } } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } T _ { k } f _ { \mathrm { d } } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } R _ { k } - \frac { 1 } { 4 } | R _ { k } | ^ { 2 } } \\ & { + \frac { d _ { k } } { 2 } T _ { k } R _ { k } ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } \nabla f ( x _ { k } ) + \frac { T _ { k } ^ { 2 } ( 1 - d _ { k } ) } { 2 } \nabla f ( x _ { k } ) ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } f _ { \mathrm { d } } } \\ & { + T _ { k } ^ { 2 } \nabla _ { u } F _ { k } ( x _ { k } , u _ { k } ) ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } ( - T _ { k } f _ { \mathrm { d } } + R _ { k } ) + T _ { k } ^ { 2 } c _ { \mathrm { F } } | - T _ { k } f _ { \mathrm { d } } + R _ { k } | ^ { 2 } , } \end{array}
\Delta \sigma _ { f r a g / \gamma } = \sum _ { a b j } \int \Delta f _ { a } ^ { A } ( x _ { 1 } , M ^ { 2 } ) \Delta f _ { b } ^ { B } ( x _ { 2 } , M ^ { 2 } ) D _ { \gamma / j } ( z , M ^ { 2 } ) \frac { d \Delta \hat { \sigma } } { d v } ( a b \rightarrow j c ) d x _ { 1 } d x _ { 2 } d z d v .
\tilde { W } [ \tilde { { \boldsymbol { x } } } ( t ) ] = \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } \frac { \partial \tilde { U } _ { 0 } } { \partial t } - \nabla \tilde { U } _ { 0 } \cdot \nabla ( - \tilde { U } _ { 1 } ) + \beta ^ { - 1 } \nabla ^ { 2 } ( - \tilde { U } _ { 1 } ) \, \mathrm { d } t ,
\begin{array} { r l } { \dot { z } _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon } ( x _ { 2 } ^ { * } + z _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } ( x _ { 2 } ^ { * } + z _ { 1 } ) ^ { M - 1 } ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) ^ { N - M } ( z _ { 2 } + 1 ) b - c ] , } \\ { \dot { z } _ { 2 } } & { { } = ( z _ { 2 } + 1 ) ( - z _ { 2 } ) [ u ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ] . } \end{array}
\frac { \partial { H _ { y } } } { \partial t } = - \frac { \partial { ( u _ { x } H _ { y } ) } } { \partial x } + \nu _ { m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } H _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } H _ { y } } { \partial t ^ { 2 } } \right)
\; = \frac { 1 } { Z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \Bigg \langle \left( \sum _ { b = 1 } ^ { N } m ^ { ( b ) } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } x \; t ( x ) \Big [ \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( x ) P _ { + } \psi ^ { ( b ) } ( x ) + \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( x ) P _ { - } \psi ^ { ( b ) } ( x ) \Big ] \right) ^ { n }
\begin{array} { r } { J \left( \frac { \partial } { \partial y _ { i } } \right) = - \sum _ { j } g ^ { i j } ( x ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } = - \sum _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { j } } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial } { \partial \check { x } _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \Pi } _ { x x y z } ^ { ' * } } & { = \mathcal { K } _ { x x y z } ^ { ' * } + \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' * } + 2 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' * } } \\ { \widetilde { \Pi } _ { x x y y } ^ { ' * } } & { = \mathcal { K } _ { x x y y } ^ { ' * } + \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' * } + 2 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' * } } \\ { \widetilde { \Pi } _ { x y y z z } ^ { ' * } } & { = \mathcal { K } _ { x y y z } ^ { ' * } + \widetilde { \Pi } _ { z z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x y y } ^ { ' * } + \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x z z } ^ { ' * } + 4 \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x y z } ^ { ' * } } \\ & { + 2 \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y y z } ^ { ' * } + 2 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y z z } ^ { ' * } } \\ { \widetilde { \Pi } _ { x x y y z z } ^ { ' * } } & { = \mathcal { K } _ { x x y y z z } ^ { ' * } + 4 \widetilde { \Pi } _ { x y z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x y z } ^ { ' * } + \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y y z z } ^ { ' * } } \\ & { + \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x x z z } ^ { ' * } + \widetilde { \Pi } _ { z z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x x y y } ^ { ' * } + 4 \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x x y z } ^ { ' * } } \\ & { + 4 \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x y y z } ^ { ' * } + 4 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x y z z } ^ { ' * } + 2 \widetilde { \Pi } _ { x y y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x z z } ^ { ' * } } \\ & { + 2 \widetilde { \Pi } _ { x x y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y z z } ^ { ' * } + 2 \widetilde { \Pi } _ { x x z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y y z } ^ { ' * } + 1 6 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' * } } \\ & { + 4 \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x y y z } ^ { ' * } + 4 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x y z z } ^ { ' * } + 4 \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { x x y z } ^ { ' * } } \\ & { + 2 \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' * } \widetilde { \Pi } _ { z z } ^ { ' * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { W } _ { n } \right) | 0 \rangle } & { { } = \langle 0 | e ^ { \hat { A } + \hat { B } } | 0 \rangle } \end{array}
\frac { \psi _ { c } ( z , t ) } { \Psi ( t ) } = \sum _ { j \ge 1 } \frac { 4 \sin \alpha _ { j } \cos \left[ \alpha _ { j } \left( 1 - z / \ell _ { p } \right) \right] } { 2 \alpha _ { j } + \sin 2 \alpha _ { j } } \exp { \! \left( - \frac { \alpha _ { j } ^ { 2 } t } { R _ { p } C } \right) } \, ,
U _ { I } ( 0 , - \infty ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \epsilon \int _ { - \infty } ^ { 0 } d t ^ { \prime } \, e ^ { \epsilon t ^ { \prime } } e ^ { i H t ^ { \prime } / \hbar } e ^ { - i H _ { 0 } t ^ { \prime } / \hbar } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E } = } & { - \frac { \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { B } } { c } + \frac { 1 } { 4 \pi Z e } \frac { ( \nabla \times \boldsymbol { B } ) \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } - \frac { m _ { e } } { e } \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } \\ & { + \frac { c m _ { e } } { 4 \pi Z e ^ { 2 } } \mathrm { d } _ { t } \left( \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } \right) + \frac { c m _ { e } } { 4 \pi Z e ^ { 2 } } \nu _ { e i } \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } } \\ & { - \frac { T _ { e } } { e } \nabla \ln ( n _ { i } / n _ { 0 i } ) } \\ & { + \frac { c m _ { e } } { 4 \pi Z e ^ { 2 } } \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } \cdot \nabla \left( \boldsymbol { u } - \frac { c } { 4 \pi Z e } \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \frac { \partial \Tilde { f } ( s , t ) } { \partial t } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ e ^ { - s \eta ( v + w ) } + e ^ { - s ( 1 - \eta ) ( v + w ) } - e ^ { - s v } - e ^ { - s w } \right] f ( v ) f ( w ) d v d w d \eta . } \end{array} } \end{array}