harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Gamma ^ { 2 } - \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p e } ^ { 2 } c ^ { 2 } k } { 8 c _ { s } \omega _ { 0 } } - \frac { i \Gamma c ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \left[ k - 2 \left( k _ { 0 } - \frac { c _ { s } \omega _ { 0 } } { c ^ { 2 } } \right) \right] k = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \hbar } \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } { \partial { ( \omega t _ { n } ) } ^ { 2 } } = } & { { } 2 n \cot [ \omega ( \tau _ { n } - 2 t _ { n } ) ] , } \end{array}
i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \, { \cal R } ^ { S } + m \gamma ^ { 5 } \, { \cal L } ^ { A } = 0 \, , \quad i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } ^ { \ast } \, { \cal L } ^ { A } - m \gamma ^ { 5 } \, { \cal R } ^ { S } = 0 \, . \quad
\Gamma _ { 1 2 } \bigg \vert _ { _ { \stackrel { \mu = 1 } { \bar { q } = \bar { p } = 0 } } } = - { \frac { i } { 2 } } \ln \left\{ { \frac { i \hbar } { | f _ { 1 } f _ { 2 } | } } \left( { \frac { f _ { 1 } f _ { 2 } ^ { * } } { f _ { 1 } \dot { f } _ { 2 } ^ { * } - \dot { f } _ { 1 } f _ { 2 } ^ { * } } } \right) \right\}
T _ { [ \mathbf { v } _ { \Lambda _ { k } } ] } \mathbb { P } ( \overline { { \mathop { G L } ( \mathtt { i } _ { j } ( \Psi ) + n - k + 1 ) \mathbf { v } _ { \Lambda _ { k } } } } ) \cong \bigl ( \bigoplus _ { k < s \le n } { \mathbb C } _ { \epsilon _ { s } - \epsilon _ { k } } \bigr ) \oplus \bigl ( \bigoplus _ { 1 \le t < \mathtt { i } _ { j } ( \Psi ) } { \mathbb C } _ { \epsilon _ { t } - \epsilon _ { k } - \delta } \bigr )
\begin{array} { r l r } { Q _ { z z } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \, \left< \Psi \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, \left( 2 z ^ { 2 } ( i ) - x ^ { 2 } ( i ) - y ^ { 2 } ( i ) \right) \right| \Psi \right> } \end{array}
\sum _ { s _ { j } } \sum _ { s _ { k } } \frac { ( N _ { i } - 2 s _ { i } ) ! N _ { j } ! N _ { k } ! } { 2 ^ { s _ { j } + s _ { k } } s _ { j } ! s _ { k } ! t _ { i j } ! t _ { i k } ! t _ { j k } ! } .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { s t } } ( \Delta ) } & { { } = Z ^ { - 1 } \mathrm { e x p } \left[ \frac { - 2 N \Delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } { \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } } \right] } \\ { \lambda = \frac { a } { h } } & { { } \frac { 2 N } { \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { 4 a } { h } + 1 \right) \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \right) - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( x , y , B ) = \frac 1 { 4 s ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { F _ { 1 1 } } & { F _ { 1 2 } } & { 3 2 x } \\ { F _ { 2 1 } } & { F _ { 2 2 } } & { 3 2 y } \\ { 3 2 x } & { 3 2 y } & { \frac { 3 L ^ { 2 } + 1 6 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } { B } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { | | ( \mathbf { E } - \mathbf { V } ) \mathbf { x } | | _ { 2 } } & { = | | ( \mathbf { E x } - \mathbf { V x } ) | | _ { 2 } } \\ & { \ge | ( | | ( \mathbf { E x } | | _ { 2 } - | | \mathbf { V x } | | _ { 2 } ) ) | } & & { \mathrm { b y ~ t h e ~ r e v e r s e ~ t r i a n g l e ~ i n e q u a l i t y } } \\ & { \ge | ( | | \mathbf { x } | | _ { 2 } - | | \mathbf { V x } | | _ { 2 } ) | } & & { \mathrm { b e c a u s e ~ } \mathbf { E } \mathrm { ~ i s ~ a n ~ o r t h o n o r m a l ~ m a t r i x } } \\ & { \ge | \frac { 1 } { \sqrt { n } } | | \mathbf { x } | | _ { 1 } - | | \mathbf { V x } | | _ { 2 } ) | } & & { \mathrm { ~ b y ~ t h e ~ f a c t ~ f r o m ~ S t r a n g ~ a b o u t ~ t h e ~ } \ell ^ { 1 } \mathrm { n o r m } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \alpha _ { t } \bigg | _ { L ^ { ( n ) } } } & { = f _ { n } ( t ) \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { i } \varphi ) ( \partial _ { i } \varphi ) - \sqrt { 2 } i \phi ^ { \dagger } \partial _ { t } \phi - \chi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } \partial _ { i } \phi } \\ & { \qquad } & { \qquad \qquad + \phi ^ { \dagger } \sigma ^ { i } \partial _ { i } \chi - g \varphi ( \chi ^ { \dagger } \phi + \phi ^ { \dagger } \chi ) \Bigg ) } \\ & { \alpha _ { t } \bigg | _ { M _ { i } ^ { ( n ) } } } & { = 0 } \end{array}
P ( A , D ) ^ { * } = \prod _ { i = 1 } ^ { m } ( \mathbb { 1 } + A ( \xi _ { i } ) \Delta t _ { i } ) = ( \mathbb { 1 } + A ( \xi _ { 1 } ) \Delta t _ { 1 } ) . . . ( \mathbb { 1 } + A ( \xi _ { m } ) \Delta t _ { m } )
\begin{array} { r l } { | n _ { + } \cdot u | ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } & { { } = \left| n _ { + } \cdot u \vert _ { \gamma ^ { + } } + \int _ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } ^ { y _ { 2 } } \partial _ { 2 } ( n _ { + } \cdot u ) \ d z \right| \leq \int _ { 1 + h ( y _ { 1 } ) - \delta } ^ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } | \partial _ { 2 } u | \ d z } \end{array}
s _ { 3 } = y _ { 1 } y _ { 2 } y _ { 3 } + y _ { 1 } y _ { 2 } y _ { 4 } + y _ { 1 } y _ { 2 } y _ { 5 } + y _ { 1 } y _ { 3 } y _ { 4 } + y _ { 1 } y _ { 3 } y _ { 5 } + y _ { 1 } y _ { 4 } y _ { 5 } + y _ { 2 } y _ { 3 } y _ { 4 } + y _ { 2 } y _ { 3 } y _ { 5 } + y _ { 2 } y _ { 4 } y _ { 5 } + y _ { 3 } y _ { 4 } y _ { 5 }
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( t ) } & { : = \int _ { \mathcal { O } _ { i } } { n ( t , x ) d x } , } \\ { S _ { i } ( t ) } & { : = \int _ { \mathcal { O } _ { i } } { n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( Y ( s , x ) ) d s } } d x } , } \\ { R _ { i } ( t ) } & { : = \frac { \dot { S } _ { i } ( t ) } { S _ { i } ( t ) } , } \end{array}
| B , p = 0 \rangle = \int [ d x ] \exp \left( { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } \sum _ { m \neq 0 } { \frac { { x _ { m } } ^ { \mu } { x _ { - m } } ^ { \nu } } { m } } \right) | x , p = - \bar { p } = 0 \rangle .
\begin{array} { r l } { W E = \ } & { { } \frac { 1 } { 8 \pi } \int \left| \hat { A _ { 1 } } + \hat { A _ { 2 } } \right| ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ { = \ } & { { } \frac { 1 } { 8 \pi } \int \left[ | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } + 2 \mathrm { R e } ( \hat { A _ { 1 } } \cdot \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ) + | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } \right] \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \sigma _ { 1 , 2 } } ^ { \Phi } \left( f _ { 1 } , \ldots , f _ { N } \right) ( x ) } \\ { = \int _ { \mathbb { R } ^ { n N } } \sum _ { k \geqslant k _ { 0 } } \psi _ { k } \left( \xi _ { 1 } \right) ^ { 2 } { \zeta } _ { k } \left( \xi _ { 2 } \right) ^ { 2 } \sigma _ { 1 , 2 } ( x , \Xi ) \chi _ { 0 } \left( \xi _ { 1 } \right) \widehat { f } _ { 1 } \left( \xi _ { 1 } \right) \times } \\ { \chi _ { 0 } \left( \xi _ { 2 } \right) \widehat { f } _ { 2 } \left( \xi _ { 2 } \right) \prod _ { j = 3 } ^ { N } \theta _ { k } \left( \xi _ { j } \right) ^ { 2 } \widehat { f } _ { j } \left( \xi _ { j } \right) e ^ { i x \cdot \left( \xi _ { 1 } + \cdots + \xi _ { N } \right) + i \Phi ( \Xi ) } \mathrm { d } \Xi . } \end{array}
\mathbf { J } _ { \mathbf { F } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial y _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial y _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } } & { { \frac { \partial y _ { 1 } } { \partial x _ { 3 } } } } \\ { { \frac { \partial y _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial y _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } } & { { \frac { \partial y _ { 2 } } { \partial x _ { 3 } } } } \\ { { \frac { \partial y _ { 3 } } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial y _ { 3 } } { \partial x _ { 2 } } } } & { { \frac { \partial y _ { 3 } } { \partial x _ { 3 } } } } \\ { { \frac { \partial y _ { 4 } } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \frac { \partial y _ { 4 } } { \partial x _ { 2 } } } } & { { \frac { \partial y _ { 4 } } { \partial x _ { 3 } } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 5 } \\ { 0 } & { 8 x _ { 2 } } & { - 2 } \\ { x _ { 3 } \cos x _ { 1 } } & { 0 } & { \sin x _ { 1 } } \end{array} \right] } .
- { \tilde { a } } _ { i k } \partial _ { y _ { i } } \partial _ { y _ { k } } \tilde { \chi } ^ { j } ( y ) - \tilde { b } _ { i } ( y ) \partial _ { y _ { i } } \tilde { \chi } ^ { j } ( y ) = \tilde { b } _ { j } ( y ) \; \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { T } ^ { d } , \quad \mathrm { a n d } \quad \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \tilde { \chi } ^ { j } = 0 .
H _ { p } = 1 + { \frac { Q _ { p } } { \left[ | { \bf x } | ^ { 2 } + { \frac { 4 } { 9 Q ^ { 2 } } } ( 1 + Q | y | ) ^ { 3 } \right] ^ { \frac { 3 ( D - p ) - 8 } { 6 } } } } , \ \ \ \ \ \ \ \ \ H = 1 + Q | y | ,
r _ { \mathrm { ~ H ~ } , \oplus } = \Big [ \frac { \tilde { m } _ { \oplus } } { 3 ( m _ { \odot } + \tilde { m } _ { \oplus } ) } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 3 } } a _ { \oplus } \simeq 0 . 0 1 ~ \mathrm { ~ a ~ u ~ } .
\begin{array} { r l r } { F _ { \mathrm { s c a t t } } } & { { } = } & { 8 \pi ^ { 3 } \epsilon _ { m } I _ { s } \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 3 c \lambda ^ { 4 } } , } \\ { F _ { \mathrm { a b s } } } & { { } = } & { 2 \pi \epsilon _ { m } I _ { s } \frac { \mathrm { I m } ( \alpha ) } { \lambda c } , } \\ { F } & { { } = } & { F _ { \mathrm { s c a t t } } + F _ { \mathrm { a b s } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { c _ { n } ^ { + } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { 2 n } + \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { 2 n } + \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , } \\ { c _ { n } ^ { - } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { S } } { 2 n } - \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { S } } { 2 n } - \mathtt { r } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) . } \end{array} \right.
( - g ) ( t _ { L L } ^ { \mu \nu } + { \frac { c ^ { 4 } \Lambda g ^ { \mu \nu } } { 8 \pi G } } ) = { \frac { c ^ { 4 } } { 1 6 \pi G } } ( ( { \sqrt { - g } } g ^ { \mu \nu } ) , _ { \alpha } ( { \sqrt { - g } } g ^ { \alpha \beta } ) , _ { \beta } -
\begin{array} { r l } { y _ { 2 } } & { { } = 0 , } \\ { - k y _ { 1 } + F _ { p } \left( y _ { 3 } \right) + F _ { m } \left( y _ { 1 } , y _ { 3 } \right) + F _ { i } \left( y _ { 1 } \right) - F _ { 0 } } & { { } = 0 , } \\ { Q - Q _ { v } \left( y _ { 1 } , y _ { 3 } \right) - Q _ { b } \left( y _ { 3 } \right) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \tilde { \mathcal { F } } , \tilde { \mathcal { G } } \} _ { D } ( \eta , \phi _ { \partial } , \Sigma ) = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast d \eta ) \wedge \big ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \big ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) } \\ & { + \int _ { \partial \Omega } \Big ( E \big ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } \big ) + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } \big ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \big ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \Big ) \wedge \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } } \\ & { - \int _ { \partial \Omega } \Big ( E \big ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \Sigma } \big ) + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } \big ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } \big ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \Big ) \wedge \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \alpha } ^ { S B } ( z ) = \mathcal { Q } ^ { - 1 } \left( \textbf { A Z - L } \right) ^ { \top } \in \mathbb { R } ^ { d N } \; , \quad \quad \mathrm { i . e . \ } \quad \quad { \alpha } ^ { S B , n } ( z ) = \sum _ { l = 1 } ^ { N } ( \mathcal { Q } ^ { - 1 } ) _ { n l } ( A _ { l } z ^ { l } - L _ { l } ^ { l } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } e ^ { - \mu _ { + } ( \lambda _ { 0 } ) x } \eta ^ { - } ( x ; \lambda _ { 0 } ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } c _ { j } ( \lambda _ { 0 } ) \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } e ^ { - \mu _ { + } ( \lambda _ { 0 } ) x } y _ { j } ^ { + } ( x ; \lambda _ { 0 } ) } \\ & { = c _ { n } ( \lambda _ { 0 } ) \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } e ^ { - \mu _ { + } ( \lambda _ { 0 } ) x } y _ { n } ^ { + } ( x ; \lambda _ { 0 } ) = c _ { n } ( \lambda _ { 0 } ) v ^ { + } ( \lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi ^ { \alpha \beta } = \omega _ { \alpha \beta } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \frac { 1 } { m } \delta ^ { i j } } \\ { - \frac { 1 } { m } \delta ^ { i j } } & { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \epsilon ^ { i j k } B _ { k } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } [ \tau _ { c } > t ] } & { \ge } & { \mathbb { P } \big [ { \mathcal Y } _ { s } \in \mathbf B _ { 1 } \ \mathrm { f o r ~ a l l } \ s \in [ 0 , t ] \big | \kappa _ { \{ { \mathcal X } _ { t } \} } > t \big ] \cdot \mathbb { P } [ \kappa _ { \{ { \mathcal X } _ { t } \} } > t ] } \\ & { \ge } & { \gamma _ { 0 } \cdot \mathbb { P } [ \kappa _ { \{ { \mathcal X } _ { t } \} } > t ] \simeq \lambda _ { \varepsilon } ^ { - t } } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { 1 } = { \small \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & & & \\ & { - 1 } & & \\ & & { 1 } & \\ & & & { 1 } \end{array} \right) } \normalsize \qquad \mathrm { a n d } \qquad g _ { 2 } = { \small \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & & & \\ & { 1 } & & \\ & & { - 1 } & \\ & & & { - 1 } \end{array} \right) } \normalsize \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg | \mathcal { V } ( s ^ { * } ; \theta _ { 1 } ) - \mathcal { V } ( s ^ { * } ; \theta _ { 2 } ) \bigg | = \bigg | \mathbb { E } _ { S } \Biggr [ \frac { \mathbb { I } ( S = s ^ { * } ) } { \pi _ { S } ( S ) } \sum _ { i \in S } r _ { i , S } \bigg ( \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 1 } ) - \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 2 } ) \bigg ) \Biggr ] \bigg | } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { S } \Biggr [ \bigg | \frac { \mathbb { I } ( S = s ^ { * } ) } { \pi _ { S } ( S ) } \sum _ { i \in S } r _ { i , S } \bigg ( \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 1 } ) - \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 2 } ) \bigg ) \bigg | \Biggr ] } \\ & { \leq \bigg | \bigg | \frac { \mathbb { I } ( S = s ^ { * } ) } { \pi _ { S } ( S ) } \bigg | \bigg | _ { \infty } \mathbb { E } _ { S } \Biggr [ \mathbb { I } ( S = s ^ { * } ) \bigg | \sum _ { i \in S } r _ { i , S } \bigg ( \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 1 } ) - \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 2 } ) \bigg ) \bigg | \Biggr ] } \\ & { \leq C _ { s ^ { * } } \mathbb { E } _ { S } \Biggr [ \mathbb { I } ( S = s ^ { * } ) \sum _ { i \in S } \bigg | r _ { i , S } \bigg ( \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 1 } ) - \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 2 } ) \bigg ) \bigg | \Biggr ] } \\ & { \leq r _ { s ^ { \ast } } C _ { s ^ { * } } \mathbb { E } _ { S } \Biggr [ \sum _ { i \in S } \bigg | \bigg ( \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 1 } ) - \pi _ { A } ( i | S ; \theta _ { 2 } ) \bigg ) \bigg | \Biggr ] } \\ & { = r _ { s ^ { \ast } } C _ { s ^ { * } } \mathbb { E } _ { S } \bigg [ | | \pi _ { A } ( \cdot | S ; \theta _ { 1 } ) - \pi _ { A } ( \cdot | S ; \theta _ { 2 } ) | | _ { 1 } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } \frac { g _ { 0 } ( s ) d s } { s - k } = } & { \; \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } g _ { 1 } ( s ) d s + ( k - \omega ) \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } \frac { g _ { 1 } ( s ) d s } { s - k } } \\ { = } & { \; \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } g _ { 1 } ( s ) d s + ( k - \omega ) \Big ( g _ { 1 } ( \omega ) ( \ln _ { i } ( k - i ) - \ln _ { \omega } ( k - \omega ) ) + \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } g _ { 2 } ( s ) d s \Big ) } \\ & { + ( k - \omega ) ^ { 2 } \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } \frac { g _ { 2 } ( s ) } { s - k } d s , } \end{array}
\mathbf { a } \times \mathbf { b } = { \left| \begin{array} { l l l } { \mathbf { e } _ { 1 } } & { \mathbf { e } _ { 2 } } & { \mathbf { e } _ { 3 } } \\ { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right| } \, , \quad \mathbf { a } \wedge \mathbf { b } = { \left| \begin{array} { l l l } { \mathbf { e } _ { 2 3 } } & { \mathbf { e } _ { 3 1 } } & { \mathbf { e } _ { 1 2 } } \\ { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right| } \, ,
C _ { ( T ^ { a } \otimes T ^ { a } ) ( 1 \otimes 1 ) } ^ { f u l l ~ Q C D } = \frac { \pi ( N _ { c } ^ { 2 } - 4 ) \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 4 N _ { c } m ^ { 2 } } ( \frac { 4 \pi \mu ^ { 4 } } { 4 m ^ { 2 } } ) ^ { \epsilon } \frac { \Gamma ( 1 - \epsilon ) } { \Gamma ( 2 - 2 \epsilon ) } ( 1 - \epsilon ) ( 1 - 2 \epsilon ) ,
\Delta G ^ { ( 2 ) } ( \beta ) = \langle \Delta I ( \beta ) \Delta B _ { t } \rangle = I _ { 0 } ^ { 2 } \int \ | t ( \alpha ) | ^ { 2 } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ^ { 2 } ( \frac { 2 \pi R } { \lambda z } ( \alpha - \beta ) ) \, d \alpha ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { n p } ^ { \downarrow } } & { = } & { \left( \omega - \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { \Omega } \right) a ^ { \dagger } a - \frac { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } { \Omega } ( a ^ { \dagger 2 } + a ^ { 2 } ) } \\ & { } & { - \frac { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { \Omega } - \frac { \Omega } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } , \pi ) = - i \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \exp ( - i { \it \Delta \phi } ) } \\ { \exp ( + i { \it \Delta \phi } ) } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
E ^ { f r e e } [ \{ c _ { j } \} ] = \int _ { f r e e } \left( \sum _ { j > 2 } ^ { N _ { r } } c _ { j } l _ { j } [ u ] - r [ u ] \right) ^ { 2 } \frac { d { u } } { 1 - u ^ { 2 } } \ ,
\mathcal { C } ( \boldsymbol { \epsilon } _ { p } ) = \mathbf { K } \left( \tilde { \sigma } _ { \boldsymbol { \nabla } p } ^ { 2 } \mathbf { I } _ { 2 N _ { v } } \right) \mathbf { K } ^ { T } = \tilde { \sigma } _ { \boldsymbol { \nabla } p } ^ { 2 } \mathbf { K } \mathbf { K } ^ { T } .
\partial _ { \pm } T = A _ { \pm } T , { } ~ ~ ~ ~ A _ { \pm } = \pm \left[ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \pm } \Phi + \exp \left( \mp \frac { 1 } { 2 } \mathrm { a d } \Phi \right) \bar { \Psi } _ { \pm } + \exp \left( \mp \frac { 1 } { 2 } \mathrm { a d } \Phi \right) \mu _ { \pm } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \psi ( r , \phi ) } & { = } & { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + | m | ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { | m | } } \\ & { } & { L _ { n } ^ { | m | } \left( 2 \left( \frac { r } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e e ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) } & { = n ( \textbf { r } ) \rho _ { e e ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) , } \\ { P _ { e g } ( \textbf { r } , t ) } & { = n ( \textbf { r } ) \rho _ { e g } ( \textbf { r } , t ) e ^ { i ( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t ) } , } \\ { P _ { g e } ( \textbf { r } , t ) } & { = n ( \textbf { r } ) \rho _ { g e } ( \textbf { r } , t ) e ^ { - i ( k _ { 0 } z - \omega _ { 0 } t ) } , } \\ { P _ { g g ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) } & { = n ( \textbf { r } ) \rho _ { g g ^ { \prime } } ( \textbf { r } , t ) , } \end{array}
R _ { \mu \nu } ^ { \quad i } \left( n \right) = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { \mu } \mathcal { \ell } ^ { \nu } } \left( A _ { \mu \nu } \left( n \right) B _ { \mu \nu } ^ { i } \left( n \right) - A _ { \nu \mu } \left( n \right) B _ { \nu \mu } ^ { i } \left( n \right) + \epsilon ^ { i j k } B _ { \mu \nu } ^ { j } \left( n \right) B _ { \nu \mu } ^ { k } \left( n \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { r } \times \mathbf { p } ) \times \mathbf { v } } & { { } = ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { r } ) \mathbf { p } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { p } ) \mathbf { r } } \\ { ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { r } ) \mathbf { p } - ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { p } ) \mathbf { r } } & { { } = \mathbf { L } \times \mathbf { v } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial p } { \partial r } + \eta \left( \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r v _ { r } \right) \right) + \frac { \partial ^ { 2 } v _ { r } } { \partial z ^ { 2 } } - \alpha ^ { 2 } v _ { r } \right) } & { { } = 0 \, , } \\ { - \frac { \partial p } { \partial z } + \eta \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \, \frac { \partial v _ { z } } { \partial r } \right) + \frac { \partial ^ { 2 } v _ { z } } { \partial z ^ { 2 } } - \alpha ^ { 2 } v _ { z } \right) + f } & { { } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { c _ { 3 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 4 } ^ { \{ S \} } - c _ { 3 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \beta _ { 4 } = \frac { 1 } { c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } } \\ { \beta _ { 5 } } & { = \frac { c _ { 6 } ^ { \{ S \} } + c _ { 7 } ^ { \{ S \} } } { c _ { 5 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 5 } ^ { \{ S \} } - c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 5 } ^ { \{ S \} } - c _ { 7 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \beta _ { 6 } = \frac { c _ { 5 } ^ { \{ S \} } + c _ { 7 } ^ { \{ S \} } } { c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 6 } ^ { \{ S \} } - c _ { 5 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 6 } ^ { \{ S \} } - c _ { 7 } ^ { \{ S \} } ) } , } \\ { \beta _ { 7 } } & { = \frac { c _ { 5 } ^ { \{ S \} } + c _ { 6 } ^ { \{ S \} } } { c _ { 7 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 7 } ^ { \{ S \} } - c _ { 5 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 7 } ^ { \{ S \} } - c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \beta _ { 8 } = \frac { c _ { 9 } ^ { \{ S \} } + c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } } { c _ { 8 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 8 } ^ { \{ S \} } - c _ { 9 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 8 } ^ { \{ S \} } - c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } ) } } \\ { \beta _ { 9 } } & { = \frac { c _ { 8 } ^ { \{ S \} } + c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } } { c _ { 9 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 9 } ^ { \{ S \} } - c _ { 8 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 9 } ^ { \{ S \} } - c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \beta _ { 1 0 } = \frac { c _ { 8 } ^ { \{ S \} } + c _ { 9 } ^ { \{ S \} } } { c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } - c _ { 8 } ^ { \{ S \} } ) ( c _ { 1 0 } ^ { \{ S \} } - c _ { 9 } ^ { \{ S \} } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { \theta } } & { = \frac { i \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } } { \pi } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) , } \\ { b _ { \theta } } & { = \frac { i \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } } { \pi } ( \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } ) , } \\ { f ( i , j ) } & { = J _ { 0 } ( k _ { i } r _ { j } ) - J _ { 2 } ( k _ { i } r _ { j } ) , } \\ { g ( i , j ) } & { = H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { i } r _ { j } ) - H _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { i } r _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq ( \alpha _ { 0 } ^ { - 1 } - \mu ) \| y _ { 0 } - y ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \sum _ { k = 0 } ^ { T } 2 ( k + 1 ) ( 1 - \alpha _ { k } M ^ { 2 } ) \left( \frac { 1 } { 2 } f ^ { 2 } ( y _ { k } ) - \frac { 1 } { 2 } p _ { * } ^ { 2 } \right) + \sum _ { k = 0 } ^ { T } ( k + 1 ) \alpha _ { k } M ^ { 2 } p _ { * } ^ { 2 } \ . } \end{array}