harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } + k ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } , } \\ { | ( m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } ) ) } & { - ( m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } ) ) | } \\ & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 3 } | k | , } \\ { | ( 2 \lambda _ { \alpha } ( j _ { 1 } ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { 1 } + k ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { 1 } - k ) ) } & { - ( 2 \lambda _ { \alpha } ( j _ { 2 } ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { 2 } + k ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { 2 } - k ) ) | } \\ & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 3 } | k | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( t ) = } & { { } \frac { 1 } { 1 6 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \Phi \delta \bigg ( t + \frac { R } { v _ { 0 } } \frac { \cos \theta _ { 2 } \cos \Phi - \cos \Phi + \sin \theta _ { 2 } \sin \Phi } { 1 - \cos \theta _ { 2 } } \bigg ) } \end{array}
\int \prod _ { n } d X { n } ^ { I } d X { n } ^ { I I } \frac { d k _ { n } } { 2 \pi } \frac { d p _ { n } } { 2 \pi } \frac { d q _ { n } } { 2 \pi } \frac { d l _ { n } } { 2 \pi } e ^ { - i k _ { n } X _ { n } ^ { I } - i p _ { n } X _ { n } ^ { I } - i l _ { n } X _ { n } ^ { I I } - i q _ { n } X _ { n } ^ { I I } } e ^ { - \sum _ { m > 0 } ( \frac { k _ { m } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { m } } + \frac { p _ { m } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { m } } + \frac { l _ { m } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { m } } + \frac { q _ { m } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { m } } ) }
{ \frac { 1 } { k } } = { \frac { 1 } { b } } + { \frac { ( b - k ) ^ { 1 } } { b ^ { 2 } } } + { \frac { ( b - k ) ^ { 2 } } { b ^ { 3 } } } + { \frac { ( b - k ) ^ { 3 } } { b ^ { 4 } } } + { \frac { ( b - k ) ^ { 4 } } { b ^ { 5 } } } + \cdots + { \frac { ( b - k ) ^ { N - 1 } } { b ^ { N } } } + \cdots
\begin{array} { r l } { \frac { d \vartheta _ { _ { X } } } { d Z } } & { { } = A ^ { 2 } \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } \frac { 1 } { k _ { 0 } \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } + 8 \zeta _ { 1 } \frac { 1 } { \sigma _ { _ X } ^ { 4 } } - 2 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta _ { _ { X } } ^ { 2 } } \end{array}
[ \mathbf { M } ] _ { d i m } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 9 c ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { 9 c ^ { 4 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 3 6 c ^ { 2 } } } & { \frac { - 1 } { 1 8 c ^ { 4 } } } & { \frac { 1 } { 6 c } } & { \frac { - 1 } { 6 c ^ { 3 } } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 c ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 3 6 c ^ { 2 } } } & { \frac { - 1 } { 1 8 c ^ { 4 } } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 6 c } } & { \frac { 1 } { 6 c ^ { 3 } } } & { \frac { - 1 } { 4 c ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 3 6 c ^ { 2 } } } & { \frac { - 1 } { 1 8 c ^ { 4 } } } & { \frac { - 1 } { 6 c } } & { \frac { 1 } { 6 c ^ { 3 } } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 c ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { - 1 } { 3 6 c ^ { 2 } } } & { \frac { - 1 } { 1 8 c ^ { 4 } } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { - 1 } { 6 c } } & { \frac { 1 } { 6 c ^ { 3 } } } & { \frac { - 1 } { 4 c ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 1 8 c ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { 3 6 c ^ { 4 } } } & { \frac { 1 } { 6 c } } & { \frac { 1 } { 1 2 c ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { 6 c } } & { \frac { 1 } { 1 2 c ^ { 3 } } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 c ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 1 8 c ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { 3 6 c ^ { 4 } } } & { \frac { - 1 } { 6 c } } & { \frac { - 1 } { 1 2 c ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { 6 c } } & { \frac { 1 } { 1 2 c ^ { 3 } } } & { 0 } & { \frac { - 1 } { 4 c ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 1 8 c ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { 3 6 c ^ { 4 } } } & { \frac { - 1 } { 6 c } } & { \frac { - 1 } { 1 2 c ^ { 3 } } } & { \frac { - 1 } { 6 c } } & { \frac { - 1 } { 1 2 c ^ { 3 } } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 c ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { 9 } } & { \frac { 1 } { 1 8 c ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { 3 6 c ^ { 4 } } } & { \frac { 1 } { 6 c } } & { \frac { 1 } { 1 2 c ^ { 3 } } } & { \frac { - 1 } { 6 c } } & { \frac { - 1 } { 1 2 c ^ { 3 } } } & { 0 } & { \frac { - 1 } { 4 c ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \left( - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C C } = - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) } = } & { - p _ { C } \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { 2 k _ { C } } { k N } \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } } \left( ( 1 - w _ { R } ) \frac { k - k _ { C } } { k } + \mathcal { O } ( \delta ) \right) } } \\ { = } & { - \frac { 2 p _ { C } } { k N } ( 1 - w _ { R } ) ( k - 1 ) q _ { C | C } q _ { D | C } + \mathcal { O } ( \delta ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname { e v } : C ^ { \infty } ( E , F ) \times E \to F , \quad { \mathrm { e v } } ( f , x ) = f ( x ) } \\ & { \operatorname { i n s } : E \to C ^ { \infty } ( F , E \times F ) , \quad { \mathrm { i n s } } ( x ) ( y ) = ( x , y ) } \\ & { ( \quad ) ^ { \wedge } : C ^ { \infty } ( E , C ^ { \infty } ( F , G ) ) \to C ^ { \infty } ( E \times F , G ) } \\ & { ( \quad ) ^ { \vee } : C ^ { \infty } ( E \times F , G ) \to C ^ { \infty } ( E , C ^ { \infty } ( F , G ) ) } \\ & { \operatorname { c o m p } : C ^ { \infty } ( F , G ) \times C ^ { \infty } ( E , F ) \to C ^ { \infty } ( E , G ) } \\ & { C ^ { \infty } ( \quad , \quad ) : C ^ { \infty } ( F , F _ { 1 } ) \times C ^ { \infty } ( E _ { 1 } , E ) \to C ^ { \infty } ( C ^ { \infty } ( E , F ) , C ^ { \infty } ( E _ { 1 } , F _ { 1 } ) ) , \quad ( f , g ) \mapsto ( h \mapsto f \circ h \circ g ) } \\ & { \prod : \prod C ^ { \infty } ( E _ { i } , F _ { i } ) \to C ^ { \infty } \left( \prod E _ { i } , \prod F _ { i } \right) } \end{array} }
\phi ( r , \cos \theta ) = - G m \left( \frac { 1 } { \sqrt { r ^ { 2 } - 2 \ell r \cos \theta + \ell ^ { 2 } } } \, + \, \frac { 1 } { \sqrt { r ^ { 2 } + 2 \ell r \cos \theta + \ell ^ { 2 } } } \right) .
l = \left\{ \begin{array} { l l } { { k - 1 , k - 3 , \ldots , 0 } } & { { \; \; \; \mathrm { f o r \; \; o d d \; \; } k } } \\ { { k , k - 2 , \ldots , 0 } } & { { \; \; \; \mathrm { f o r \; \; e v e n \; \; } k } } \end{array} \right. \nonumber
\boldsymbol { Y } \approx \hat { \mathcal { M } } _ { \mathrm { P C E } } \left( \boldsymbol { X } \right) = \boldsymbol { \mu } _ { \boldsymbol { Y } } + \operatorname { d i a g } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { \boldsymbol { Y } } \right) \boldsymbol { \Phi } ^ { \prime } \boldsymbol { \mathrm { A } } \boldsymbol { \Psi } \left( \boldsymbol { X } \right)
\nu ( x , \tau ) : = \Theta ( x - c _ { 0 } \tau + \alpha _ { b } ) e ^ { \kappa _ { b } ( x - c _ { b } \tau + x _ { 0 } ) } + \Theta ( x - c _ { 0 } \tau - \alpha _ { b } ) e ^ { - \kappa _ { b } ( x - c _ { b } \tau + x _ { 0 } ) }
\sigma _ { z } \{ \varepsilon + \hbar \omega / 2 + t _ { 1 } \cos [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 0 } ( 2 K _ { x } ) + t _ { 2 } \cos ( q _ { x } b ) [ J _ { 0 } ( K _ { x } ) J _ { 0 } ( K _ { y } ) - 2 J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 1 } ( K _ { y } ) \cos ( \varphi ) +
\begin{array} { r l } { | \psi _ { 1 } ( \frac { \pi } { 2 \lambda } ) \rangle } & { = \mathrm { e x p } ( - i H _ { \mathrm { e f f , v a c } } \frac { \pi } { 2 \lambda } ) | \psi _ { 0 , 1 } \rangle } \\ & { = | g g \rangle \otimes ( C _ { g g } | 1 \rangle - C _ { e g } | 2 \rangle - C _ { g e } | 3 \rangle + C _ { e e } | 4 \rangle ) , } \end{array}
\times \delta _ { V _ { u } Q } \delta _ { v _ { u } q } \delta _ { P W _ { u } } \delta _ { p w _ { u } } \left( 1 - \delta _ { V _ { u } W _ { u } } \right) \delta _ { S _ { 1 } V _ { 1 } } \delta _ { W _ { 1 } R _ { 1 } } \left( \delta _ { E _ { 1 } S _ { 1 } } \left( t _ { \alpha _ { 1 } } \right) _ { s _ { 1 } v _ { 1 } } \delta _ { w _ { 1 } r _ { 1 } } - \delta _ { s _ { 1 } v _ { 1 } } \delta _ { E _ { 1 } W _ { 1 } } \left( t _ { \alpha _ { 1 } } \right) _ { w _ { 1 } r _ { 1 } } \right) \times
K _ { t } ( x ) = C ( \gamma ) \mathcal { F } ^ { - 1 } [ e ^ { - i t | \xi | ^ { \frac { \beta } { \alpha } } } ] + | x | ^ { - d } \sum _ { k = 1 } ^ { \lfloor \frac { d } { \beta } \rfloor } C _ { k } \left( \frac { | x | ^ { \beta } } { t ^ { \alpha } } \right) ^ { k } + t ^ { - \frac { d \alpha } { \beta } } W \left( \frac { x } { t ^ { \frac { \alpha } { \beta } } } \right) .
| \Psi \rangle = \int d ^ { 2 6 } p \left( T ( p ) c _ { 1 } e ^ { i p \cdot X } | 0 \rangle + A _ { \mu } ( p ) \partial X ^ { \mu } c _ { 1 } e ^ { i p \cdot X } | 0 \rangle + \chi ( p ) c _ { 0 } e ^ { i p \cdot X } | 0 \rangle + \ldots \right) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \boldsymbol r } _ { i , j } ^ { \prime } } & { = } & { \hat { \boldsymbol r } _ { i , j } , } \\ { \hat { \boldsymbol p } _ { i , j } ^ { \prime } } & { = } & { \hat { \boldsymbol p } _ { i , j } - \frac { q _ { e } } { c } \hat { \boldsymbol A } \left( \hat { \boldsymbol r } _ { i , j } \right) - \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \hat { \boldsymbol n } _ { i , j } ( \boldsymbol r ) \times \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \prime } } & { = } & { \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } + \left( \frac { i } { \hbar } \right) \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \epsilon _ { 0 } \omega _ { \boldsymbol k } } } { \boldsymbol e } _ { \boldsymbol k , \lambda } \cdot \hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { ( 1 ) } ( \{ c _ { i \alpha } \} ) = } & { { } \; \Omega ^ { ( 1 ) } ( \{ c _ { \alpha } \} ) + \sum _ { i \alpha } \frac { \partial \Omega ^ { ( 1 ) } } { \partial c _ { i \alpha } } \Big \vert _ { \{ c _ { \alpha } \} } \Delta c _ { i \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 3 } } & { = \frac { \rho } { 2 } \left( \frac { Q } { C _ { d , v } \alpha \pi d _ { v } y _ { 1 } + C _ { d , b } A _ { b } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \underbrace { \frac { \rho Q ^ { 2 } } { 2 } } _ { h } \frac { 1 } { \left( \underbrace { C _ { d , v } \alpha \pi d _ { v } } _ { f } y _ { 1 } + \underbrace { C _ { d , b } A _ { b } } _ { g } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
S \left( \mathbf { r } \right) = \int { { { I } ^ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } } \left( \mathbf { r } , t \right) d t } \approx \sum _ { n } ^ { N } { { { { I } ^ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } } \left( \mathbf { r } \right) } / { N } \; }
\sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { v } ^ { ( h ) } ( \mathbf { r } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } = \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { v } _ { 0 } ^ { ( h ) } ( \mathbf { r } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { h = - \infty } ^ { \infty } \hat { F } _ { n } ^ { ( h ) } \hat { G } _ { v } ^ { ( h ) } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { n } , \omega + h \omega _ { m } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \omega + h \omega _ { m } ) t } , \quad h \in \mathbb { Z } .
v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ( { \bf r } , \omega ) = v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n _ { 0 } ] ( { \bf r } ) + \int f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) n _ { 1 } ( { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) d ^ { 3 } r ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { z } } & { = \arg \operatorname* { m a x } \left\{ \alpha \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right] \mid z ^ { k } - \dot { z } \sin ( \alpha ) + \ddot { z } ( 1 - \cos ( \alpha ) ) \ge 0 \right\} } \\ { \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { s } } & { = \arg \operatorname* { m a x } \left\{ \alpha \in \left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right] \mid s ^ { k } - \dot { s } \sin ( \alpha ) + \ddot { s } ( 1 - \cos ( \alpha ) ) \ge 0 \right\} . } \end{array}
Q _ { 4 } = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { 8 \pi ^ { 2 } } ( 8 n + 1 6 ) \left( { \frac { r } { n } } \right) ^ { 4 } n \times N = n \frac { 8 \pi ^ { 2 } r ^ { 4 } } { 3 } + { \cal O } ( 1 / n ) ,
\begin{array} { r } { u _ { n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad } & { x \in \Omega _ { n } , } \\ { u _ { \mathrm { m i n } } ( x ) , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { V } _ { \mathrm { R F L } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q } } = - \frac { m _ { S } \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 } \delta z _ { R } \left( n ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n + m + 2 \right) } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ A ~ } } \ge 6 \pi \mu b V _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { 2 } \cdot \frac { 4 ( 5 a ^ { 3 } + 6 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } ) } { 5 ( 2 a + b ) ^ { 2 } ( a - b ) } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } t } { \mathrm { d } \tau ^ { 2 } } } & { = E ( x ) \cdot \frac { \mathrm { d } { x } } { \mathrm { d } \tau } } \\ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } x } { \mathrm { d } \tau ^ { 2 } } } & { = \, E ( x ) \ \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } \tau } - B ( x ) \times \frac { \mathrm { d } { x } } { \mathrm { d } \tau } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \cal S } _ { 0 } \equiv \hat { \cal N } _ { 1 1 } + \hat { \cal N } _ { 2 2 } , } \\ & { \hat { \cal S } _ { 1 } = \hat { \cal N } _ { 1 2 } + \hat { \cal N } _ { 2 1 } , } \\ & { \hat { \cal S } _ { 2 } = i \left( \hat { \cal N } _ { 2 1 } - \hat { \cal N } _ { 1 2 } \right) , } \\ & { \hat { \cal S } _ { 3 } = \hat { \cal N } _ { 1 1 } - \hat { \cal N } _ { 2 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial p } { \partial r } + \eta \left( \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r v _ { r } \right) \right) + \frac { \partial ^ { 2 } v _ { r } } { \partial z ^ { 2 } } - \alpha ^ { 2 } v _ { r } \right) } & { = 0 \, , } \\ { - \frac { \partial p } { \partial z } + \eta \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \, \frac { \partial v _ { z } } { \partial r } \right) + \frac { \partial ^ { 2 } v _ { z } } { \partial z ^ { 2 } } - \alpha ^ { 2 } v _ { z } \right) + f } & { = 0 \, , } \end{array}
a ( \textbf { u } , \textbf { v } ; \mu ) = \frac { 1 } { \mu } \int _ { \Omega } \nabla \textbf { u } : \nabla \textbf { v } \, d \Omega , \qquad b ( \textbf { v } , q ; \mu ) = - \int _ { \Omega } ( \nabla \cdot \textbf { v } ) q \, d \Omega ;
\begin{array} { r l } { M ( w _ { 1 } , B _ { 1 } , . . . B _ { k - 1 } , } & { w _ { k } ) = \big ( \mathcal { B } _ { 1 k } \big ) ^ { - 1 } \bigg [ M ( w _ { 1 } ) B _ { 1 } M ( w _ { 2 } , . . . , w _ { k } ) } \\ & { + \sum _ { \sigma = \pm } \sum _ { l = 2 } ^ { k - 1 } \sigma M ( w _ { 1 } ) \langle M ( w _ { 1 } , . . . , w _ { l } ) E _ { \sigma } \rangle E _ { \sigma } M ( w _ { l } , . . . , w _ { k } ) \bigg ] \, , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \rho _ { x } = \rho _ { { } _ { \Delta } } \zeta _ { x } \delta ( z - \zeta ) \, , } & { \rho _ { z } = - \rho _ { { } _ { \Delta } } \delta ( z - \zeta ) \, , } \\ { \varsigma _ { x } = \sigma _ { x } \delta ( z - \zeta ) - \sigma \zeta _ { x } \delta ^ { \prime } ( z - \zeta ) \, , } & { \varsigma _ { z } = \sigma \delta ^ { \prime } ( z - \zeta ) \, , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ) ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r } { \mathtt { E n c } , \, \mathtt { D e c } = \operatorname * { a r g \, m i n } _ { \mathtt { E n c } , \, \mathtt { D e c } } \sum _ { i } \| X _ { i } - \mathtt { D e c } ( \mathtt { E n c } ( X _ { i } ) ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
\Phi ^ { T } ( n _ { x } A + n _ { y } B ) \Phi = u _ { n } ( \phi _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { ( \gamma - 1 ) } { 2 } ( \phi _ { 2 } ^ { 2 } + \phi _ { 3 } ^ { 2 } ) + \gamma \phi _ { 4 } ^ { 2 } ) = \Phi _ { r } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l l } { u _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { ( \gamma - 1 ) } { 2 } u _ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { ( \gamma - 1 ) } { 2 } u _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma u _ { n } } \end{array} \right] \Phi _ { r } ,
\begin{array} { r } { ( \mathcal { A } [ f ] , g ) _ { L _ { \varphi , x } ^ { 2 } } : = \int _ { \mathbb { T } ^ { \nu } } \int _ { \mathbb { T } } \mathcal { A } ( \varphi ) \left( f ( \varphi , x ) \right) \overline { { g } } ( \varphi , x ) d x d \varphi = \int _ { \mathbb { T } ^ { \nu } } \int _ { \mathbb { T } } f ( \varphi , x ) \overline { { ( \mathcal { A } ( \varphi ) ) ^ { T } g ( \varphi , x ) } } d x d \varphi = ( f , \mathcal { A } ^ { T } [ g ] ) _ { L _ { \varphi , x } ^ { 2 } } , } \end{array}
\eta ^ { \dot { 1 } } = a ^ { \ast } \eta ^ { \dot { 1 } } + c ^ { \ast } \eta ^ { \dot { 2 } } , \qquad \eta ^ { \dot { 2 } } = b ^ { \ast } \eta ^ { \dot { 1 } } + d ^ { \ast } \eta ^ { \dot { 2 } } .
\frac { \mathrm { d } \mathcal { J } } { \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { x } } } = \ensuremath { \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial \ensuremath { \mathbf { x } } } } - \sum _ { i = 0 } ^ { i = K } \lambda _ { i } ^ { T } \ensuremath { \frac { \partial R } { \partial \ensuremath { \mathbf { x } } } } ,
\Omega ( \nu , \epsilon ) = < \frac { 1 } { N _ { c } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } | \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c , j } } \frac { ( \textbf { r } _ { j } \times \textbf { v } _ { j } ) | } { r _ { j } ^ { 2 } } >
Y ^ { ' } ( \alpha _ { k } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \theta ( \alpha ( t _ { i } ) - \alpha _ { k } ) \theta ( \alpha _ { k + 1 } - \alpha ( t _ { i } ) ) \left[ 1 ~ \mathrm { A U } / R ( t _ { i } ) \right] ^ { - 2 } \, .
\frac { \partial { \mathbf { v } } ^ { \prime } } { \partial t } + \mathbf { V _ { b } } \cdot \mathbf { \nabla { \mathbf { v } } ^ { \prime } } + { \mathbf { v } } ^ { \prime } \cdot \mathbf { \nabla \mathbf { V _ { b } } } = - \mathbf { \nabla } { p } ^ { \prime } + \frac { P r } { R a ^ { 1 / 2 } } \mathbf { \nabla } ^ { 2 } { \mathbf { v } } ^ { \prime } + P r { \theta } ^ { \prime } \mathbf { e } _ { z } ,
\begin{array} { r } { l _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) } } & { i = 0 } \\ { \lambda _ { i } ( 0 ) \frac { \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { 0 } , \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) , \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) , \dots , \hat { e } _ { i - 1 } ( 0 ) , \hat { e } _ { \perp } , \hat { e } _ { i + 1 } ( 0 ) , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) ) } { \operatorname* { d e t } ( \hat { e } _ { 0 } , \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) , \hat { e } _ { 2 } ( 0 ) , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ( 0 ) ) } = ( - 1 ) ^ { i - 1 } \lambda _ { i } ( 0 ) \frac { \hat { e } _ { i } ( 0 ) { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) } { \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) } } & { i > 1 } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { { a } } } } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) a d r _ { x } - \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) \frac { \partial a } { \partial x } r _ { x } d r _ { x } + \frac { 1 } { 2 ! } \int _ { - \infty } ^ { \infty } G \left( r _ { x } \right) \frac { \partial ^ { 2 } a } { \partial x ^ { 2 } } r _ { x } ^ { 2 } d r _ { x } + \dots } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } d r \, r I _ { n + p } ^ { 2 } ( \gamma _ { 0 } u r / r _ { c } ) } & { = } & { \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { 2 } \left[ I _ { n + p } ^ { 2 } ( \gamma _ { 0 } u ) - I _ { n + 2 p } ( \gamma _ { 0 } u ) I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) \right] , } \\ { \int _ { r _ { c } } ^ { \infty } d r \, r K _ { n + p } ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } u r / r _ { c } ) } & { = } & { \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { 2 } \left[ K _ { n + 2 p } ( \gamma _ { 1 } u ) K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) - K _ { n + p } ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } u ) \right] . } \end{array}
\mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } }
N ( \mathrm { A t t . } ) = - \frac { h _ { \mathrm { A t t . } ( \phi ) } } { \epsilon _ { 0 } } \cdot W \left( - \epsilon _ { 0 } \exp ( \frac { \ln \eta } { h _ { \mathrm { A t t . } ( \phi ) } } - 1 ) \right) , \quad N ( \mathrm { N e u r . } ) = - \frac { h _ { \mathrm { N e u r . } ( \phi ) } } { \epsilon _ { 0 } } \cdot W \left( - \epsilon _ { 0 } \exp ( \frac { \ln \eta } { h _ { \mathrm { N e u r . } ( \phi ) } } - 1 ) \right) .
\begin{array} { r l r l r l } { \frac { d E _ { \perp } ^ { 0 } } { d \eta } } & { { } = \int _ { \mathbf { x } _ { \perp } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { 0 } , } & { R ^ { 2 } \frac { d E _ { \perp } ^ { 0 } } { d \eta } } & { { } = \int _ { \mathbf { x } _ { \perp } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \mathbf { x } _ { \perp } ^ { 2 } , } & { \epsilon _ { n } } & { { } = - \frac { \int _ { \mathbf { x } _ { \perp } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { 0 } x _ { \perp } ^ { n } \cos \left[ n ( \phi _ { x } - \Psi _ { n } ) \right] } { \int _ { \mathbf { x } _ { \perp } } \tau _ { 0 } \epsilon _ { 0 } x _ { \perp } ^ { n } } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { A _ { 1 } ^ { ( n ) } = A ^ { ( 1 ) } \otimes I \otimes \cdots \otimes I , } } \\ { { \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } } \\ { { A _ { n } ^ { ( n ) } = I \otimes I \otimes \cdots \otimes A ^ { ( 1 ) } . } } \end{array}
\underline { { \varphi } } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho k } \end{array} \right) } \end{array} , \quad \underline { { P } } = p \underline { { \Pi } } = p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { n _ { x } } \\ { n _ { y } } \\ { \frac { \gamma U } { \gamma - 1 } } \end{array} \right) } \end{array} , \quad \delta \underline { { P } } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \delta p \, n _ { x } } \\ { \delta p \, n _ { y } } \\ { \frac { \gamma \delta ( p U ) } { \gamma - 1 } } \end{array} \right) } \end{array} ,
\begin{array} { r } { \mathbf { V } \mathbf { G } _ { N } \mathbf { V } ^ { * } \stackrel { \mathrm { d i s t . } } { = } \frac { 1 } { \sqrt { 2 N } } \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathcal { N } _ { \mathbb { C } } ( 0 , 2 ) } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \mathcal { N } _ { \mathbb { C } } ( 0 , 2 ) } \\ { \chi ( 2 ( N - 1 ) ) } & { \ddots } & & & { \vdots } \\ & { \chi ( 2 ( N - 2 ) ) } & { \ddots } & & { \vdots } \\ & & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ & & & { \chi ( 2 ( 1 ) ) } & { \mathcal { N } _ { \mathbb { C } } ( 0 , 2 ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 2 } \Delta e ^ { \pi } ( w ) } & { \leq } & { \left( 1 + \frac 1 { 2 c } | \nabla ^ { \pi } ( d ^ { \pi } w ) | ^ { 2 } + \frac 1 { 2 c } \right) + \frac { 1 } { 2 c } \left( | \nabla w ^ { * } \lambda | ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { + ( \| K \| _ { C ^ { 0 } } + \| \operatorname { R i c } ^ { \nabla ^ { \pi } } \| _ { C ^ { 0 } } ) | d ^ { \pi } w ) | ^ { 2 } } \\ & { } & { + \left( c \| { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } ^ { 2 } + \| \nabla ^ { \pi } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } \right) | d w | ^ { 4 } } \end{array}