harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { V } } ( t ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 4 } \alpha _ { \mathrm { ~ V ~ } , i } ( t ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 4 } \frac { N _ { i } ( t ) } { V _ { \mathrm { u } } } \cdot \sigma _ { \mathrm { e x t } } ( d _ { \mathrm { ~ S ~ } , i } , m ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 1 4 } \rho _ { \mathrm { ~ N ~ } , i } ( t ) \cdot \sigma _ { \mathrm { e x t } } ( d _ { \mathrm { ~ S ~ } , i } , m ) } \end{array}
\left. \frac { d C _ { V } } { d T } \right| _ { T _ { c } ^ { + } } - \left. \frac { d C _ { V } } { d T } \right| _ { T _ { c } ^ { - } } = \left. \Omega T _ { c } ^ { + } \mu ^ { \prime \prime } ( T _ { c } ^ { ) } \frac { \partial \varrho ( T , \mu ) } { \partial T } \right| _ { T = T _ { c } ^ { + } }
\operatorname * { d e t } ( g _ { m n } + i \tilde { F } _ { m n } ) = g ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } t r \tilde { F } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 8 } } ( t r \tilde { F } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } t r \tilde { F } ^ { 4 } ) .
a n d t h u s c a n b e m a p p e d t o a C l i f f o r d u n i t a r y . \footnote { M o r e a c c u r a t e l y , t h e s e t o f s y m p l e t i c a u t o m o r p h i s m s i s i s o m o r p h i c t o t h e C l i f f o r d g r o u p q u o t i e n t t h e P a u l i g r o u p , a n d w e a r e a r b i t r a r i l y u s i n g c a n o n i c a l p o s i t i v i t y o f t h e e l e m e n t s a s a m e a n s o f s e l e c t a n e l e m e n t f r o m e a c h e q u i v a l e n c e c l a s s o f t h e q u o t i e n t g r o u p . } I t c a n a l s o b e s h o w n t h a t a n y s e t o f
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { V } ( f , \mathcal { X } ) } & { = \mathcal { I } _ { V } ( f \psi _ { h } ) + \mathcal { I } _ { V } ( f ( 1 - \psi _ { h } ) ) - \mathcal { Q } _ { V } ( f ( 1 - \psi _ { h } ) , \mathcal { X } ) } \\ & { = \mathcal { I } _ { V } ( f \psi _ { h } ) + \mathcal { E } _ { V } ( f ( 1 - \psi _ { h } ) , \mathcal { X } ) . } \end{array}
\overline { { { { \cal T } } } } _ { s \, \mu \nu } ^ { H } ( Z _ { L } Z _ { L } ) \ = \ - i [ \Gamma _ { 0 \mu \nu } ^ { H Z Z } + \widehat { \Gamma } _ { \mu \nu } ^ { H Z Z } ( q , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) ] \, \Big ( \frac { g _ { w } m } { 2 M _ { W } } \Big ) \, \widehat { \Delta } ^ { H } ( q ) \, \bar { v } ( p _ { 2 } ) u ( p _ { 1 } ) \, .
\big ( A , ~ B , ~ \psi , ~ F , ~ G \big ) = \big ( ~ Y ^ { 2 } , ~ Y ^ { 1 } , ~ \rho , ~ - 2 N + \widehat { \cal D } _ { \dot { 5 } } Y ^ { 3 } , ~ + 2 W ^ { \dot { 5 } } + 1 2 ( t ^ { 1 } Y ^ { 2 } - Y ^ { 1 } t ^ { 2 } ) \big ) ,
d X _ { t } ^ { i } = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \neq i } K \left( X _ { t } ^ { i } , X _ { t } ^ { j } \right) d t + \sum _ { k \in K } \sigma _ { k } \left( X _ { t } ^ { i } \right) \circ d B _ { t } ^ { k } .
A _ { \nu } \approx \left( { \frac { g _ { v } ^ { 2 } - g _ { a } ^ { 2 } } { 3 g _ { a } ^ { 2 } + g _ { v } ^ { 2 } } } \right) { \frac { 5 e B } { 1 2 k _ { F } ^ { 2 } } } .
\chi _ { \mathrm { ~ F ~ H ~ } } ^ { ( n ) } = \frac { ( \epsilon _ { \mathrm { ~ A ~ A ~ } } ^ { ( n ) } + \epsilon _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } ^ { ( n ) } ) / 2 - \epsilon _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } ^ { ( n ) } } { k _ { B } T } ~ ,
B _ { 0 } \left( s , \theta = \pi ( 1 - \iota / N _ { f p } ) + \iota \zeta , \zeta \right) \approx B _ { 0 0 } - | B _ { M } | + \frac { 1 } { 2 } b _ { w } ( \zeta - \pi / N _ { f p } ) ^ { 2 } + \mathcal { O } ( ( \zeta - \pi / N _ { f p } ) ^ { 3 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { G } } _ { y y } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; w ) = } & { \frac { i } { 8 { \pi } } ( \frac { w } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \kappa } { p } r ^ { s } ( \kappa ) e ^ { 2 i p { \omega } z / c } \left[ J _ { 0 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) - J _ { 2 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) \right] d { \kappa } } \\ & { - \frac { i } { 8 { \pi } } ( \frac { w } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } { \kappa } { p } r ^ { p } ( \kappa ) e ^ { 2 i p { \omega } z / c } \left[ J _ { 0 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) + J _ { 2 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) \right] d { \kappa } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \le \frac { 1 } { ( \log x ) ^ { q } } \left( \sum _ { \sqrt { x } < p \le x } \log p \cdot \frac { X } { p } \int _ { p } ^ { p ( 1 + 1 / X ) } \mathbb E [ | \sum _ { x / t < m \le x / p } f ( m ) | ^ { 2 } ] d t \right) ^ { q } } \\ & { \ll \frac { 1 } { ( \log x ) ^ { q } } \Big ( \sum _ { \sqrt { x } < p \le x } \log p \cdot ( \frac { x } { p X } + 1 ) \Big ) ^ { q } \ll \frac { 1 } { ( \log x ) ^ { q } } ( \frac { x \log x } { X } + x ) ^ { q } \ll ( \frac { x } { \log x } ) ^ { q } . } \end{array}
\begin{array} { r l l } { { T _ { 0 1 } = } } & { { T _ { 1 0 } } } & { { } } \\ { { = } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega ^ { \prime } } } & { { \big [ \{ a _ { \omega } a _ { \omega ^ { \prime } } \partial _ { 0 } \phi _ { \omega } \partial _ { 1 } \phi _ { \omega ^ { \prime } } + a _ { \omega } ^ { \dagger } a _ { \omega ^ { \prime } } ^ { \dagger } \partial _ { 0 } \phi _ { \omega } ^ { \ast } \partial _ { 1 } \phi _ { \omega ^ { \prime } } ^ { \ast } } } \\ { { } } & { { } } & { { \ \ + a _ { \omega } ^ { \dagger } a _ { \omega ^ { \prime } } ( \partial _ { 0 } \phi _ { \omega } ^ { \ast } \partial _ { 1 } \phi _ { \omega ^ { \prime } } + \partial _ { 1 } \phi _ { \omega } ^ { \ast } \partial _ { 0 } \phi _ { \omega ^ { \prime } } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { + \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \partial _ { 1 } \phi _ { \omega } ^ { \ast } \partial _ { 0 } \phi _ { \omega ^ { \prime } } \} } } \\ { { } } & { { } } & { { + \{ \ 0 \ \leftrightarrow \ 1 \ \} \big ] . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { t _ { d n } } = } & { \hat { t } _ { d n } \left( \frac { { n _ { n } } _ { 0 } } { { n _ { n } } } \right) ^ { \frac { \gamma _ { n } + 1 } { 2 } } \left( 1 + a _ { \gamma n } \frac { | { u _ { d } } - { u _ { n } } | ^ { 2 } } { c _ { s n } ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac 1 2 } } \\ { \zeta _ { s n } = } & { \frac { 1 + \gamma _ { n } + 2 a _ { \gamma n } \hat { w } _ { n } ^ { 2 } } { 2 ( 1 + a _ { \gamma n } \hat { w } _ { n } ^ { 2 } ) } } \\ { \zeta _ { w n } = } & { \frac { a _ { \gamma n } \hat { w } _ { n } ^ { 2 } } { 1 + a _ { \gamma n } \hat { w } _ { n } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r S 2 m _ { 0 } } & { = } & { - 8 \chi _ { 1 } ^ { 2 } , } \\ { r S 2 m _ { 1 } } & { = } & { 5 \left( 2 A _ { 1 } + ( \sigma + 2 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } \right) , } \\ { r S 2 m _ { 2 } } & { = } & { - 2 \left( 4 A _ { 1 } + ( 2 \sigma + 1 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } + 1 \right) , } \\ { r S 2 m _ { 3 } } & { = } & { - 2 \sigma \chi _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathsf { E } _ { T } = \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \mathcal { E } ( t ) = \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \left( \left\| w _ { t } \right\| _ { H ^ { 3 } } ^ { 2 } + \left\| \sqrt { \mathscr { L } } \partial _ { x } ^ { 3 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| w \right\| _ { H ^ { 4 } } ^ { 2 } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { X } } & { = { \frac { 1 } { \sum _ { i } { N _ { X _ { i } } } } } \left( \sum _ { i } { N _ { X _ { i } } \mu _ { X _ { i } } } \right) } \\ { \sigma _ { X } } & { = { \sqrt { { \frac { 1 } { \sum _ { i } { N _ { X _ { i } } - 1 } } } \left( \sum _ { i } { \left[ ( N _ { X _ { i } } - 1 ) \sigma _ { X _ { i } } ^ { 2 } + N _ { X _ { i } } \mu _ { X _ { i } } ^ { 2 } \right] } - \left[ \sum _ { i } { N _ { X _ { i } } } \right] \mu _ { X } ^ { 2 } \right) } } } \end{array} }
{ \cal G } \frac { } { } \mid _ { p _ { 2 } = - p _ { 1 } } = \int { \cal D } k \frac { i } { [ - ( p + k ) ^ { 2 } - i \eta ] ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( - k ^ { 2 } - i \eta ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \frac { \epsilon } { 2 } } } \; ,
| \Psi _ { p } ^ { \mathrm { t o t } } \rangle = \nu _ { 0 } \, | \Psi _ { p } ( 3 q ) \rangle + \sum _ { i = 1 } \nu _ { i } \, | \Psi _ { i } [ ( 3 q ) ( q \bar { q } ) ] \rangle \: .
T ( p ^ { \prime } , p ; E ) = V ( p ^ { \prime } , p ) + \int \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \, V ( p ^ { \prime } , k ) \frac { 1 } { E ^ { + } - \frac { k ^ { 2 } } { 2 \mu } } T ( k , p ; E ) ,
\begin{array} { l l } { { ( a / b ) _ { \omega } = \frac { s i n \omega ( \theta - 2 \pi ) } { c o s h \omega \theta + s i n h \omega \theta - c o s \omega ( \theta - 2 \pi ) } } } \\ { { ( c / b ) _ { \omega } = \frac { ( 1 + i ) e x p ( 2 \pi i \omega ) ( s i n h \omega \theta + c o s h \omega \theta - e x p ( i \omega ( \theta - 2 \pi ) ) ) } { 2 ( c o s h \omega \theta + s i n h \omega \theta - c o s \omega ( \theta - 2 \pi ) ) } } } \\ { { ( 1 / b ) _ { \omega } = \frac { ( 1 - i ) e x p ( - 2 \pi i \omega ) ( s i n h \omega \theta + c o s h \omega \theta - e x p ( - i \omega ( \theta - 2 \pi ) ) ) } { 2 ( s i n h \omega \theta - c o s \omega ( \theta - 2 \pi ) + c o s h \omega \theta ) } } } \end{array}
\mathcal { N } = ( \vert c _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ w ~ } } \vert ^ { 2 } - \vert c _ { \mathrm { ~ c ~ w ~ } } \vert ^ { 2 } ) / ( \vert c _ { \mathrm { ~ c ~ c ~ w ~ } } \vert ^ { 2 } + \vert c _ { \mathrm { ~ c ~ w ~ } } \vert ^ { 2 } ) = - \sin \phi \sin \vartheta
\tilde { D } _ { e } ^ { ( n ) } = \sum _ { \alpha } ^ { N _ { A } } \frac { \displaystyle w _ { e \alpha } } { \displaystyle C _ { \alpha } ^ { ( n - 1 ) } } , \quad \tilde { \mathrm { ~ C ~ } } _ { \alpha } ^ { ( n ) } = \sum _ { e } ^ { N _ { E } } \frac { \displaystyle w _ { e \alpha } } { \displaystyle D _ { e } ^ { ( n - 1 ) } } ,
\Delta t = \mathrm { C F L } \times \operatorname* { m i n } \left[ \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { c e l l s ~ } } \left( \frac { 1 } { | U | + c \| \nabla \xi \| } , \frac { 1 } { | V | + c \| \nabla \eta \| } , \frac { 1 } { | W | + c \| \nabla \zeta \| } \right) \right. , \frac { 1 } { \alpha } \left. \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { c e l l s ~ } } \left( \frac { 1 } { \mu \| \nabla \xi \| ^ { 2 } } , \frac { 1 } { \mu \| \nabla \eta \| ^ { 2 } } , \frac { 1 } { \mu \| \nabla \zeta \| ^ { 2 } } \right) \right]
\begin{array} { l } { b _ { i } ^ { q , x , y , + } = ( \! \sigma _ { i } \! \cdot \! \sigma _ { i + \! 1 } \! \cdot \! . . . \! \cdot \! \sigma _ { i + x - 2 } \! \cdot \! \sigma _ { i + x - \! 1 } \! \cdot \! \sigma _ { i + x - 2 } ^ { - \! 1 } \! \cdot \! . . . \! \cdot \! \sigma _ { i + \! 1 } ^ { - \! 1 } \! \cdot \! \sigma _ { i } ^ { - \! 1 } ) ^ { q - \! 1 } \cdot \sigma _ { i } \! \cdot \! \sigma _ { i + \! 1 } \! \cdot \! . . . \! \cdot \! \sigma _ { i + y - 2 } \! \cdot \! \sigma _ { i + y - \! 1 } \! \cdot \! \sigma _ { i + y - 2 } ^ { - \! 1 } \! \cdot \! . . . \! \cdot \! \sigma _ { i + \! 1 } ^ { - \! 1 } \! \cdot \! \sigma _ { i } ^ { - \! 1 } , } \\ { \mathrm { a n d } } \\ { b _ { i } ^ { q , x , y , - } = ( \! \sigma _ { i } \! \cdot \! \sigma _ { i + \! 1 } \! \cdot \! . . . \! \cdot \! \sigma _ { i + x - 2 } \! \cdot \! \sigma _ { i + x - \! 1 } \! \cdot \! \sigma _ { i + x - 2 } ^ { - \! 1 } \! \cdot \! . . . \! \cdot \! \sigma _ { i + \! 1 } ^ { - \! 1 } \! \cdot \! \sigma _ { i } ^ { - \! 1 } ) ^ { q - \! 1 } \cdot ( \! \sigma _ { i } \! \cdot \! \sigma _ { i + \! 1 } \! \cdot \! . . . \! \cdot \! \sigma _ { i + y - 2 } \! \cdot \! \sigma _ { i + y - \! 1 } \! \cdot \! \sigma _ { i + y - 2 } ^ { - \! 1 } \! \cdot \! . . . \! \cdot \! \sigma _ { i + \! 1 } ^ { - \! 1 } \! \cdot \! \sigma _ { i } ^ { - \! 1 } ) ^ { - \! 1 } , } \end{array}
\sigma _ { s } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } } } ) \left( \pi _ { y } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { x } ^ { * } ) - \pi _ { x } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { y } } } \pi _ { y } ^ { * } ) \right)
\begin{array} { r l } & { d ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) + d ( y , y _ { 1 } ) \geq d ( y _ { 2 } , y _ { 3 } ) - d ( y _ { 3 } , y _ { 1 } ) + d ( y , y _ { 1 } ) } \\ & { > n - k ^ { \prime } + 5 \epsilon - ( k - k ^ { \prime } - 1 + \epsilon _ { y _ { 1 } } ) + k - 1 + \epsilon _ { y _ { 1 } } - 2 \epsilon } \\ & { = n + 3 \epsilon > d ( y , y _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { e ^ { a } } } & { { \rightarrow } } & { { \frac { 1 } { \alpha } e ^ { a } } } \\ { { \omega ^ { a b } } } & { { \rightarrow } } & { { \omega ^ { a b } } } \\ { { b } } & { { \rightarrow } } & { { \frac { 1 } { 3 \alpha } b } } \\ { { \psi _ { i } } } & { { \rightarrow } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { \alpha } } \psi _ { i } } } \\ { { \overline { { { \psi } } } ^ { i } } } & { { \rightarrow } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { \alpha } } \overline { { { \psi } } } ^ { i } } } \\ { { a _ { j } ^ { i } } } & { { \rightarrow } } & { { a _ { j } ^ { i } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t _ { l _ { 0 } - 1 } } a ( k ) } & { = c \frac \xi { k ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t _ { l _ { 0 } - 1 } } \frac 1 { 1 + ( \frac \xi k - t ) ^ { 2 } } } \\ & { \le \left\{ \begin{array} { c c } { \pi c \frac \xi { k ^ { 2 } } } & { k > l _ { 0 } } \\ { c } & { k \le l _ { 0 } } \end{array} \right. } \\ & { \le c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { i o n } } } & { = \frac { u _ { \mathrm { L J } } ^ { \mathrm { i o n - i o n } } } { u _ { \mathrm { e l e c } } } \quad = \frac { 6 \pi \epsilon _ { i i } c _ { 0 } \sigma _ { i i } ^ { 2 } \lambda _ { D } } { 5 z e \psi _ { D } } \sim \frac { \epsilon _ { i i } \sigma _ { i i } ^ { 2 } c _ { 0 } \lambda _ { D } } { z e \psi _ { D } } \quad \mathrm { ( n u m e r i c a l ~ f a c t o r s ~ r e m o v e d ) } } \end{array}
\beta _ { l } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( \mathrm { ~ i ~ f ~ \ \ } l = 1 ) } \\ { 2 . 1 ^ { l - L } } & { ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I } ( t ; E _ { t } ) = } & { \hat { H } _ { 0 } ^ { \prime } + \hat { V } _ { I } ( t ) } \\ { = } & { | \beta \rangle \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } \langle \beta | + | \gamma \rangle \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { 0 } \langle \gamma | } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } E _ { t } ( e ^ { i \omega _ { I } ( t - \tau ) } + e ^ { - i \omega _ { I } ( t - \tau ) } ) ( \mu _ { \beta \gamma } ^ { 0 } | \beta \rangle \langle \gamma | + \mu _ { \gamma \beta } ^ { 0 } | \gamma \rangle \langle \beta | ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert V _ { u s } \vert _ { \tau K / \pi } = 0 . 2 2 3 6 \pm 0 . 0 0 1 8 \; , \; \; \vert V _ { u s } \vert _ { \tau s } = 0 . 2 1 8 6 \pm 0 . 0 0 2 1 \; . } \end{array}
\mathcal { L } ( \mathbf { x } , \mathbf { u } ) = \frac { 1 } { 2 } \, \mathbf { u } ^ { \top } \mathbf { M } \mathbf { u } + \mathbf { A } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \mathbf { u } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \mathbf { A } ( \mathbf { x } ) = ( - \phi ( x ) ; A ( x ) ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } ) \leq \mathbb { P } ( ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } \cap \mathcal { D } _ { l } ^ { c } \cap \mathcal { H } _ { l } ) + \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } ) + \mathbb { P } ( \mathcal { H } _ { l } ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { C \exp ( - \Phi _ { 4 } ^ { 1 \slash 4 } ) + C L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) } \\ & { } & { + 2 \exp ( - L ^ { 5 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash ( 1 2 8 K _ { 0 } ^ { 5 } T ^ { 5 } ) ) + C _ { 0 } \exp ( - c _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 3 \slash 8 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { * } \mathcal { M } } & { = \langle e ^ { 0 } \rangle \oplus \langle e ^ { 1 } \rangle \oplus T ^ { * } \mathbb { S } ^ { 2 } , } \\ { S ^ { 2 } \, T ^ { * } \mathcal { M } } & { = \langle e ^ { 0 } e ^ { 0 } \rangle \oplus \langle 2 e ^ { 0 } \otimes _ { s } e ^ { 1 } \rangle \oplus ( 2 e ^ { 0 } \otimes _ { s } T ^ { * } \mathbb { S } ^ { 2 } ) \oplus \langle e ^ { 1 } e ^ { 1 } \rangle \oplus ( 2 e ^ { 1 } \otimes _ { s } T ^ { * } \mathbb { S } ^ { 2 } ) \oplus S ^ { 2 } \, T ^ { * } \mathbb { S } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { I _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { N } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } d t \ \rho _ { i } ( t ) \dot { \phi } _ { i } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } ( t ) } & { = t ^ { - 1 / 3 } , \quad \mathfrak { a } ( x , t ) = \cos ( \pi x / 4 ) + t , \quad \mathfrak { d } ( x , t ) = x + t , \quad b ( x , t ) = t ^ { 1 / 3 } + \sin ( \pi x ) , \quad u _ { 0 } ( x ) = \cos ( \pi x ) , } \\ { \varrho _ { 0 } ( t ) } & { = 1 + t , \quad \varrho _ { 1 } = 1 / 2 , \quad \gamma _ { 1 } ( t ) = ( 1 + t ^ { 2 } ) / 2 , \quad \mathfrak { c } _ { 1 } = \mathfrak { c } _ { 3 } = 1 , \quad \mathfrak { c } _ { 2 } = \mathfrak { c } _ { 4 } = 0 , \quad \varphi _ { 1 } ( t ) = \varphi _ { 2 } ( t ) = 0 , } \\ { g ( x , t ) } & { = \pi ^ { 2 } \Bigl ( \cos \frac { \pi x } { 4 } + t + \frac { 3 t ^ { 2 / 3 } \sin ( \pi x ) } { 2 } + \frac { t \pi } { 3 \sin ( \pi / 3 ) } \Bigr ) \cos ( \pi x ) - x t \sin ( ( \cos ( \pi x ) + t ^ { \nu } / \Gamma ( 1 + \nu ) ) ^ { 2 } ) } \\ & { - ( x + t ) \pi \sin ( \pi x ) + 1 + \frac { t ^ { 1 - \nu } \cos ( \pi x ) } { \Gamma ( 2 - \nu ) } + ( 1 + \nu ) t + \frac { t ^ { \nu - \nu _ { 1 } } } { 2 \Gamma ( 1 + \nu - \nu _ { 1 } ) } - \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \frac { t ^ { \nu - \mu _ { 1 } } } { \Gamma ( 1 + \nu - \mu _ { 1 } ) } } \\ & { + \frac { 2 t ^ { 2 - \mu _ { 1 } } \cos ( \pi x ) } { \Gamma ( 3 - \mu _ { 1 } ) } + \frac { ( 2 + \nu ) ( 1 + \nu ) t ^ { 2 + \nu - \mu _ { 1 } } } { \Gamma ( 3 + \nu - \mu _ { 1 } ) } \Bigr ) , \quad f ( x , t , u ) = x t \sin ( u ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \cal Z } = \left< \int { \cal D } h _ { \mu \nu } \exp \Biggl \{ - \int d ^ { 4 } x \left[ \frac 1 { 1 2 \eta ^ { 2 } } H _ { \mu \nu \lambda } ^ { 2 } + g _ { m } ^ { 2 } h _ { \mu \nu } ^ { 2 } - i \pi h _ { \mu \nu } \Sigma _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { g a s } } \right] \Biggr \} \right> _ { \mathrm { g a s } } ,
\mathtt { G V } ( \pi ^ { * } ( { \mathcal F } ) ) = [ \pi ^ { * } \alpha \wedge \mathrm { d } \pi ^ { * } \alpha ] = [ \pi ^ { * } ( \alpha \wedge \mathrm { d } \alpha ) ] = \pi ^ { * } \mathtt { G V } ( { \mathcal F } ) \ .
\mathrm { e } ^ { \tau \mathcal { L } _ { H _ { 2 } } } \phi _ { k } = \mathrm { e } ^ { - i \tau \left( \mathcal { V } _ { \mathrm { e x t } } + \mathcal { V } _ { \mathrm { H } } [ \rho ] + \mathcal { V } _ { \mathrm { X C } } [ \rho ] \right) } \phi _ { k } ,
\left( { \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } \\ { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } & { y _ { 3 } } \end{array} } \right) { \left( \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \end{array} \right) } = \left( { \begin{array} { l } { 1 } \\ { x } \\ { y } \end{array} } \right)
{ \left[ \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { X } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { C } \\ { 0 } & { B } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { - X } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { 0 } & { B } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { [ X , Y ] ( p ) } & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( H _ { t } ^ { X * } Y ) ( p ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( ( H _ { - t } ^ { X } ) _ { * } Y ) ( p ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( D H _ { - t } ^ { X } ) ( H _ { t } ^ { X } ( p ) ) ( Y ( H _ { t } ^ { X } ( p ) ) ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( D H _ { - t } ^ { X } ) ( H _ { t } ^ { X } ( p ) ) \left( \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = 0 } H _ { s } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( p ) ) \right) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = 0 } H _ { - t } ^ { X } ( H _ { s } ^ { Y } ( H _ { t } ^ { X } ( p ) ) ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } \, \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = 0 } H _ { s } ^ { Y } ( p ) = 0 . } \end{array}
\boldsymbol { Y } \approx \hat { \mathcal { M } } _ { \mathrm { ~ P ~ C ~ E ~ } } \left( \boldsymbol { X } \right) = \boldsymbol { \mu } _ { \boldsymbol { Y } } + \operatorname { d i a g } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { \boldsymbol { Y } } \right) \boldsymbol { \Phi } ^ { \prime } \boldsymbol { \mathrm { A } } \boldsymbol { \Psi } \left( \boldsymbol { X } \right)
\begin{array} { r l } { k _ { 1 , 1 } ( 3 ) } & { = 2 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 2 } + 5 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \delta _ { 2 } + 4 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 2 } + \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } + \lambda _ { 2 } \delta _ { 3 } + \lambda _ { 3 } \delta _ { 2 } + } \\ & { + \delta _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 2 } } \end{array}
\langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \times \delta { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle ^ { i } = - \tau _ { b } \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \times [ ( { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { B } } ] } \rangle ^ { i } = - \tau _ { b } \langle { u ^ { \prime } { } ^ { j } u ^ { \prime } { } ^ { \ell } } \rangle \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial B ^ { k } } { \partial x ^ { \ell } } .
T _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ o ~ } } = \left( \frac { 1 } { T _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } - \frac { 1 } { T _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } } \right) ^ { - 1 } = \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 6 } \right) ^ { - 1 } = 3 \, \mathrm { ~ h ~ o ~ u ~ r ~ s ~ }
\tilde { I } _ { p e } ( \bar { w } , \chi _ { e } ) \approx \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) ( 1 - e ^ { - ( \bar { w } ^ { 3 } - w _ { 0 } ^ { 3 } ) } ) + \tilde { I } _ { p e } ( w _ { 0 } , \chi _ { e } ) e ^ { - ( \bar { w } ^ { 3 } - w _ { 0 } ^ { 3 } ) } .
\boldsymbol { J } ( x , y ) = \boldsymbol { R } ( - \theta ( x , y ) ) \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi _ { X } ( x , y ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i \phi _ { Y } ( x , y ) } } \end{array} \right] \boldsymbol { R } ( \theta ( x , y ) )
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j \in [ n ] } c _ { i } c _ { j } P _ { i k } P _ { j k } } & { = - \sum _ { i , j \in [ n ] } c _ { i } c _ { j } \widetilde { \gamma } _ { i } \gamma _ { k } \widetilde { \gamma } _ { j } \gamma _ { k } } \\ & { = \sum _ { i , j \in [ n ] } c _ { i } c _ { j } \widetilde { \gamma } _ { i } \widetilde { \gamma } _ { j } } \\ & { = \sum _ { i \in [ n ] } c _ { i } ^ { 2 } \mathbb { I } _ { 2 ^ { n } } + \sum _ { 1 \leq i < j \leq n } c _ { i } c _ { j } ( \widetilde { \gamma } _ { i } \widetilde { \gamma } _ { j } + \widetilde { \gamma } _ { j } \widetilde { \gamma } _ { i } ) } \\ & { = \l ( \sum _ { i \in [ n ] } c _ { i } ^ { 2 } \r ) \mathbb { I } _ { 2 ^ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \vert \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n , N , I } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) \vert \le K _ { 2 } ^ { \prime } \lambda ^ { 2 } \sum _ { j _ { i _ { 0 } } = 0 } ^ { j _ { m a x } } \gamma ^ { j _ { i _ { 0 } } } \sum _ { s _ { + , { i _ { 0 } } } = 0 } ^ { j _ { i _ { 0 } } } \gamma ^ { - ( j _ { i _ { 0 } } - s _ { + , { i _ { 0 } } } ) } , } \\ & { = } & { K _ { 2 } ^ { \prime } \lambda ^ { 2 } \Bigg [ \sum _ { j _ { i _ { 0 } } = 0 } ^ { j _ { m a x } - N } \gamma ^ { j _ { i _ { 0 } } } \sum _ { s _ { + , { i _ { 0 } } } = 0 } ^ { j _ { i _ { 0 } } } \gamma ^ { - ( j _ { i _ { 0 } } - s _ { + , { i _ { 0 } } } ) } + \sum _ { j _ { i _ { 0 } } = j _ { m a x } - N + 1 } ^ { j _ { m a x } } \gamma ^ { j _ { i _ { 0 } } } \sum _ { s _ { + , { i _ { 0 } } } = 0 } ^ { j _ { m a x } - N } \gamma ^ { - ( j _ { i _ { 0 } } - s _ { + , { i _ { 0 } } } ) } \Bigg ] , } \end{array}
\eta ^ { \mu } ( \sigma ) = \overline { { \eta } } ^ { \mu } + \widetilde \eta ^ { \mu } ( \sigma ) \ , \quad \overline { { \eta } } ^ { \mu } \equiv { \frac { 1 } { \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma \sqrt g } } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma \sqrt g \, \eta ^ { \mu } ( \sigma )