harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \epsilon = } & { { } { n _ { d } } / { n _ { i } } } \\ { \alpha = } & { { } ( 1 - \epsilon Z ) ^ { - 1 } } \\ { \mu = } & { { } \frac { m _ { d } { n _ { d } } } { m _ { n } { n _ { n } } } } \\ { x _ { I } = } & { { } \frac { { n _ { i } } } { { n _ { n } } } } \\ { \cos \theta = } & { { } \frac { \mathbf { k } \cdot \mathbf { w } _ { s d } } { | \mathbf { k } | | \mathbf { w } _ { s d } | } } \end{array}
\sigma _ { E , \mathrm { D E } } ^ { 2 } = \underbrace { \vphantom { \sum _ { i \in \mathrm { m e m b e r s } } } N _ { \mathrm { e n s e m b l e } } \sigma _ { E , \mathrm { H O S } } ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ e ~ p ~ i ~ s ~ t ~ e ~ m ~ i ~ c ~ } } + \underbrace { N _ { \mathrm { e n s e m b l e } } ^ { - 1 } \sum _ { i \in \mathrm { m e m b e r s } } \sigma _ { E , i } ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ a ~ l ~ e ~ a ~ t ~ o ~ r ~ i ~ c ~ } }
\begin{array} { r l } { \forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { \leqslant C _ { 0 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } , } \\ { \forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad | \partial _ { \varphi } K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { \leqslant C _ { 0 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 } . } \end{array}
\vert { \bf q } \vert = \frac { 1 } { 2 m _ { i } } { \sqrt { [ m _ { i } ^ { 2 } - ( m _ { f } - m _ { P } ) ^ { 2 } ] [ m _ { i } ^ { 2 } - ( m _ { f } + m _ { P } ) ^ { 2 } ] } } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \hat { v } } _ { p } } & { = - ( \widehat { \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } } ) \cdot \boldsymbol { e } _ { p \boldsymbol { k } } - \hat { b } \sin \theta _ { \boldsymbol { k } } - \nu k ^ { 2 } \hat { v } _ { p } + \hat { \boldsymbol { f } } \cdot \boldsymbol { e } _ { p \boldsymbol { k } } } \\ { \dot { \hat { v } } _ { t } } & { = - ( \widehat { \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { v } } ) \cdot \boldsymbol { e } _ { t \boldsymbol { k } } - \nu k ^ { 2 } \hat { v } _ { t } + \hat { \boldsymbol { f } } \cdot \boldsymbol { e } _ { t \boldsymbol { k } } } \\ { \dot { \hat { b } } } & { = - \widehat { \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { \nabla } b } + N ^ { 2 } \hat { v } _ { p } \sin \theta _ { \boldsymbol { k } } - \kappa k ^ { 2 } \hat { b } } \end{array} \right. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ k _ { h } \neq 0 } \end{array}
\mathcal { J } \left[ { \phi \left( { { { \bar { u } } _ { i } { ; { C _ { n } } } } } \right) , \phi \left( { \bar { u } _ { i } ^ { \mathrm { { r e f } } } } \right) } \right] = \int _ { 0 } ^ { T } \; { \int _ { \Omega } { J \left[ { \phi \left( { { { \bar { u } } _ { i } } ; { C _ { n } } , { \bf { x } } , t } \right) , \phi \left( { \bar { u } _ { i } ^ { \mathrm { { r e f } } } ; { \bf { x } } , t } \right) } \right] d { \bf { x } } d t } }
\widetilde { Q } _ { 1 } ^ { ( d ) } \; = \; \left( \bar { s } d \right) _ { V - A } \left( \bar { d } d \right) _ { V - A } \, , \qquad \widetilde { Q } _ { 2 } ^ { ( d ) } \; = \; \left( \bar { s } _ { \alpha } d _ { \beta } \right) _ { V - A } \left( \bar { d } _ { \beta } d _ { \alpha } \right) _ { V - A } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } } & { { } = - g \mathbf { \hat { j } } , } \\ { \mathbf { v } } & { { } = \mathbf { v } _ { \mathrm { 0 } } + \mathbf { a } t , } \\ { \mathbf { r } } & { { } = \mathbf { r } _ { 0 } + \mathbf { v } _ { 0 } t + { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { a } t ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { d V ( z ) } { d z } \bigg \rvert _ { z = z _ { p } } = 7 z _ { p } ^ { 3 } - 8 z _ { 0 } z _ { p } ^ { 2 } - 3 R _ { c } ^ { 2 } z _ { p } + 2 R _ { c } ^ { 2 } z _ { 0 } = 0 \, \, .
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { D } } & { { } = } & { \rho - \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial S } { \partial t } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { { } = } & { - \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } , } \\ { \nabla \times \mathbf { H } } & { { } = } & { \frac { \partial \mathbf { D } } { \partial t } + \mathbf { j } + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \nabla S . } \end{array}
+ \infty > u ( x _ { 0 } ) \geq \int _ { \mathcal C _ { P , \Sigma } ^ { \operatorname* { m i n } \{ \tilde { r } , \hat { r } \} , e } } K _ { \Omega } ^ { s } ( x _ { 0 } , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm d y \geq \int _ { \mathcal C _ { P , \Sigma } ^ { \operatorname* { m i n } \{ \tilde { r } , \hat { r } \} , e } } \frac { C } { | y - P | ^ { n } } \mathrm d y = + \infty ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \underbrace { \frac { 2 \Delta } { \eta T } + \frac { \eta \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + \left( 3 6 C _ { 1 } \hat { L } ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } + 1 2 C _ { 1 } \hat { L } ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 2 C _ { 1 } \hat { L } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } \right) \eta ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } } \\ & { \qquad + \underbrace { \frac { 1 8 \hat { L } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma T } + \frac { 5 4 \hat { L } ^ { 2 } \gamma \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } \mu } } _ { T _ { 2 } } + \underbrace { \frac { 5 G _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 b _ { x } M } + G _ { 1 } ^ { 2 } } _ { T _ { 3 } } } \end{array}
( - \partial _ { 0 } ^ { 2 } + \nabla ^ { 2 } - 2 e ^ { 2 } | \phi | ^ { 2 } ) \chi _ { \uparrow } + i \kappa \partial _ { 0 } \chi _ { \uparrow } - \sqrt { 2 } e ( D _ { - } \phi ) ^ { * } \psi _ { \downarrow } + i \kappa \partial _ { + } \chi _ { \downarrow } = 0 ,
T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } = \chi \left( \frac { c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \mathrm { i } } ) } { c _ { \mathrm { s a t } } ( T _ { \infty } ) } - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right) .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { ~ K ~ } } ( x - c t , 0 ) } & { { } = \sqrt { \frac { \nu } { 2 \pi } } \frac { E _ { x } } { B \ell _ { B } } \left( t - \frac { x } { c } \right) + \rho _ { 0 } \, , } \end{array}
\frac { S } { k } \cdot \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } \geq \phi _ { 0 } ^ { 3 } \left\{ \begin{array} { l l } { - \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } / \phi _ { 0 } , } & { \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ( - \mu _ { h } ^ { \prime } / \phi _ { 0 } \leq \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } ) } \\ { \frac { ( \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } - \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } \phi _ { 0 } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } { 4 \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, ( - \mu _ { h } ^ { \prime } / \phi _ { 0 } > \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } ) } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \dot { \lambda } } & { = \frac { d } { d t } \left( k \, e ^ { ( 3 \, x ^ { 2 } - w ) \, t } + \frac { 2 \, x } { 3 \, x ^ { 2 } - w } \right) , } \\ & { = \left( 3 \, x ^ { 2 } - w + 6 \, x \, \dot { x } \, t \right) k \, e ^ { ( 3 \, x ^ { 2 } - w ) \, t } + \frac { 2 \, ( 3 \, x ^ { 2 } + w ) } { ( 3 \, x ^ { 2 } - w ) ^ { 2 } } \dot { x } , } \\ & { = - 2 \, x + 3 \, x ^ { 2 } \, \lambda - w \, \lambda + \left( 6 \, x \, t \, \left( \lambda - \frac { 2 \, x } { 3 \, x ^ { 2 } - w } \right) + \frac { 2 \, ( 3 \, x ^ { 2 } + w ) } { ( 3 \, x ^ { 2 } - w ) ^ { 2 } } \right) \dot { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { f } , M _ { f } , y ) } & { = \xi \sum _ { m _ { s } } \int \mathrm { d } \Omega _ { k } | \langle J _ { f } M _ { f } | \langle \psi _ { c } | \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \hat { D } _ { - 1 } + \hat { D } _ { + 1 } \right) | 0 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sigma ( J _ { f } , M _ { f } , q = - 1 ) + \sigma ( J _ { f } , M _ { f } , q = + 1 ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { d - 1 } ( P _ { 2 , d , 0 } - \lambda P _ { 1 , d , 0 } ) ^ { i j } \mapsto \sum _ { d = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { d } \frac { { \partial } w _ { d } ^ { i } } { { \partial } u ^ { k , d } } \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { d - 1 } ( P _ { 2 , d , 0 } - \lambda P _ { 1 , d , 0 } ) ^ { k \ell } \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } ( - \epsilon ) ^ { d } \frac { { \partial } w _ { d } ^ { j } } { { \partial } u ^ { \ell , d } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sigma _ { 1 } = \sigma _ { \mathrm { x } } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { \sigma _ { 2 } = \sigma _ { \mathrm { y } } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { \sigma _ { 3 } = \sigma _ { \mathrm { z } } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } } \end{array} }
\frac { d A } { d t } = - \mathrm { ~ i ~ } \lambda A + \mathrm { ~ i ~ } \, \frac { \mu _ { _ { S C } } } { 2 } f + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu _ { _ { S C } } | A | ^ { 2 } A + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi _ { _ { S C } } | B | ^ { 2 } A ,
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } n _ { \sigma } ( r ) = } & { \sum _ { \mu \nu } P _ { \mu \nu } ^ { \sigma } \Bigg [ \frac { 4 \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime } ( r ) } { r } } \\ & { + 2 \left( \chi _ { \mu } ^ { \prime } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime } ( r ) + \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime \prime } ( r ) \right) \Bigg ] } \end{array}
- \frac { \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t + \mathrm { d } t ) } { a \mathfrak { L } } + J ( 0 ) = \langle \psi ( t ) | \hat { J } ( t + \mathrm { d } t ) | \psi ( t ) \rangle + i \mathrm { d } t \langle \psi ( t ) | [ \hat { H } ( t ) , \hat { J } ( t + \mathrm { d } t ) ] | \psi ( t ) \rangle + O ( \mathrm { d } t ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { N ^ { 1 / \alpha } } \Bigl ( \ln Z _ { N } - N \ln 2 - \frac { \alpha N } { 2 } \int _ { N ^ { - 1 / \alpha } } ^ { ( \frac { N - 1 } { 2 } ) ^ { 1 / \alpha } } \frac { \ln \cosh ( \beta x ) } { x ^ { 1 + \alpha } } d x \Bigr ) \stackrel { d } { \to } \frac { \beta Y _ { \alpha } } { 2 ^ { 1 / \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { [ n ] } ( \alpha _ { 0 } , \cdots , \alpha _ { n } ) } & { = \int _ { S ^ { n } } ( f ^ { ( n ) } \phi ) \bigg ( \sum _ { j = 0 } ^ { n } \lambda _ { j } \alpha _ { j } \bigg ) d \lambda } \\ & { = \int _ { S ^ { n } } \int _ { \mathbb { R } } \widehat { ( f ^ { ( n ) } \phi ) } ( t ) e ^ { i t \lambda _ { 0 } \alpha _ { 0 } } \cdots e ^ { i t \lambda _ { n } \alpha _ { n } } d t \, d \lambda , } \end{array}
\partial _ { M } ( \sqrt { - g } g ^ { M N } \partial _ { N } \phi ) + \frac { \alpha } { 2 ( q + 1 ) ! } \sqrt { - g } e ^ { - \alpha \phi } F ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 ( { \tilde { d } } + 1 ) ! } \sqrt { - g } e ^ { - \beta \phi } G ^ { 2 } = 0 .
0 \leq \psi ( x , y ) \leq L x ^ { 2 } \, , \qquad 0 \leq \psi _ { x } \leq \frac { 2 - \delta } { 1 + \gamma } x \leq L x \, , \qquad | \psi _ { y } ( x , y ) | \leq L x \, ,
\begin{array} { r } { \left. A G _ { \mathrm { r } } ( 0 , x _ { \mathrm { i } } , t ) - \frac { B } { 2 } \frac { \partial } { \partial x } G _ { \mathrm { r } } ( x , x _ { \mathrm { i } } , t ) \right| _ { x = 0 } = 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = u _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } + u _ { 2 } ^ { \prime } y _ { 2 } + \cdots + u _ { n } ^ { \prime } y _ { n } } \\ { 0 } & { = u _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } ^ { \prime } + u _ { 2 } ^ { \prime } y _ { 2 } ^ { \prime } + \cdots + u _ { n } ^ { \prime } y _ { n } ^ { \prime } } \\ & { \; \; \vdots } \\ { 0 } & { = u _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } ^ { ( n - 2 ) } + u _ { 2 } ^ { \prime } y _ { 2 } ^ { ( n - 2 ) } + \cdots + u _ { n } ^ { \prime } y _ { n } ^ { ( n - 2 ) } , } \end{array} }
\mathbf { F } ( \mathbf \Psi ) = \underline { { \underline { { \Tilde { \operatorname { F } } } } } } ( \mathbf { \Psi } ) \mathbf { \Psi } \equiv \left[ \begin{array} { l l l } { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 1 , 1 } } & { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 1 , 2 } } & { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 1 , 3 } } \\ { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 2 , 1 } } & { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 2 , 2 } } & { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 2 , 3 } } \\ { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 3 , 1 } } & { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 3 , 2 } } & { \Tilde { \operatorname { F } } _ { 3 , 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \psi } \\ { \psi ^ { * } } \\ { v _ { g } } \end{array} \right]
a = \frac { \Omega _ { 2 } R _ { 2 } ^ { 2 } - \Omega _ { 1 } R _ { 1 } ^ { 2 } } { R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } } ; b = \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } R _ { 2 } ^ { 2 } \left( \Omega _ { 1 } - \Omega _ { 2 } \right) } { R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } } .
\left( \hat { A } _ { \mu } ^ { a } \hat { A } _ { \mu } ^ { a } \right) \left( \hat { A } ^ { a \mu } \hat { A } ^ { a \mu } \right) - \left( \left( \hat { A } _ { \mu } ^ { a } \hat { A } _ { \mu } ^ { a } \right) \hat { A } ^ { a \mu } \right) \hat { A } ^ { a \mu } = 0 .
\begin{array} { r l r } { { \cal A } _ { 3 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 0 } & { c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 0 } \\ { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } \\ { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
V ( \varphi , \sigma ) = ( - \mu ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda \varphi ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } \varphi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \beta \mu ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } ^ { \oplus } ( A ) } & { = \mu _ { i _ { 0 } - 1 , i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } ( A ) + \mu _ { i _ { 0 } , i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } ( A ) } \\ & { = \left[ i _ { 0 } \cdot \frac { n _ { 0 } ! } { ( n _ { 0 } - i _ { 0 } + 1 ) ! } + \frac { n _ { 0 } ! } { ( n _ { 0 } - i _ { 0 } ) ! } \right] \prod _ { j \in S } \mu _ { 1 } \left( \{ \boldsymbol z \in \mathbb { E } _ { d } ^ { ( i ) } : z _ { j } > x _ { j } \} \right) } \\ & { = \frac { ( n _ { 0 } + 1 ) ! } { ( n _ { 0 } + 1 - i _ { 0 } ) ! } \prod _ { j \in S } \mu _ { 1 } \left( \{ \boldsymbol z \in \mathbb { E } _ { d } ^ { ( i ) } : z _ { j } > x _ { j } \} \right) . } \end{array}
K _ { 2 } ( z _ { 2 } ) R _ { 2 1 } ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) K _ { 1 } ( z _ { 1 } ) R _ { 1 2 } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) = R _ { 2 1 } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) K _ { 1 } ( z _ { 1 } ) R _ { 1 2 } ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) K _ { 2 } ( z _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \mathbf { \Sigma _ { d } } ( \omega ) \approx \mathbf { \Sigma _ { d } ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) + \mathbf { \Sigma _ { d } ^ { ( 1 ) } } ( \omega ) + \ldots + \mathbf { \Sigma _ { d } ^ { ( n ) } } ( \omega ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial \left( r ^ { 2 } A _ { r } \right) } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( A _ { \theta } \sin \theta \right) + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial A _ { \varphi } } { \partial \varphi } }
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ t ~ i ~ c ~ } } = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ e ~ d ~ } } ( \omega ) = - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \left[ \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } ( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } ) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \right] \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int \Pi _ { j = 1 } ^ { n } d \Omega ^ { j } \, \tilde { \omega } \left( \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, 1 } . . . \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, n } \right) } \\ & { } & { \approx \int \Pi _ { j = 1 } ^ { n } d \Omega ^ { j } \, \omega ^ { j } \left( \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, j } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \delta \vec { v } } { d t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \rho } \Big \{ - \nabla \Big [ P _ { \mathit { t h } } + \frac { \delta B ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } \Big ( 1 - \frac { v _ { \mathit { t h } } ^ { 2 } } { 2 v _ { A } ^ { 2 } } ( 1 - 2 \cos ^ { 2 } \theta ) \Big ) + \frac { \vec { B } \cdot \delta \vec { B } } { \mu _ { 0 } } \Big ( 1 - \frac { v _ { \mathit { t h } } ^ { 2 } } { 4 v _ { A } ^ { 2 } } \Big ) + \rho T C _ { v } \Big ( \frac { \delta T } { T } \Big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { x } \mathbf { x } } ( t _ { 0 } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 0 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mathrm { m } ) ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { 1 0 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mathrm { m m / s } ) ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { 1 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mu \mathrm { m / s } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { f } \mathbf { f } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 1 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mathrm { m } ) ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { 1 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mathrm { m m / s } ) ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { 2 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mu \mathrm { m / s } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { c } \frac { \partial I } { \partial t } + \vec { \Omega } \cdot \nabla I = \sigma \left( B - I \right) , } \\ & { \frac { \partial C _ { v } T } { \partial t } \equiv \frac { \partial u } { \partial t } = \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \int _ { \mathcal { R } } \sigma \left( I - B \right) \mathrm { d } \nu \mathrm { d } \vec { \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ^ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ } } = - \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 0 } \int M _ { s } \, \boldsymbol { m } \cdot \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ } } \, \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } ( \triangle _ { w } ) } & { = \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } ( \hat { \alpha } _ { 1 } , \hat { \alpha } _ { 2 } ) K } + { \frac { 1 } { \hat { \alpha } _ { 3 } \sqrt { n K } } } \right) } \\ { \frac { 2 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } ( \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } } { n } + \frac { a _ { 3 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } ) \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \left( \frac { 2 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { n } \right) = \mathcal { O } \left( \frac { \hat { \alpha } _ { 3 } } { \sqrt { n K } } \right) } \\ { \frac { 8 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \cdot \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \Big ( \alpha _ { k } M _ { f } ^ { 2 } + \frac { a _ { 2 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } \Big ) \frac { T \beta _ { k } ^ { 2 } ( \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } { { n S } } } & { = \mathcal { O } \left( \frac { 4 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { S T n } + \frac { \alpha _ { k } ^ { 3 } } { S T n } + \frac { \alpha _ { k } ^ { 4 } } { S T n } \right) } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { \hat { \alpha } _ { 3 } } { S T \sqrt { n K } } + \frac { \hat { \alpha } _ { 3 } ^ { 2 } } { S T K } + \frac { { \sqrt { n } } \hat { \alpha } _ { 3 } ^ { 3 } } { S T K ^ { 3 / 2 } } \right) } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } { \hat { \rho } } = - \frac { i } { \hbar } \left[ { \hat { H } } _ { k i n } + { \hat { H } } _ { i n t } + { \widehat W } ( t ) , { \hat { \rho } } \right] + { \hat { \Gamma } } \left\{ { \hat { \rho } } \right\} \, ,
\begin{array} { r l } { H ( \vec { \sigma } , \vec { \alpha } ; \lambda ) } & { \equiv \sqrt { \lambda } \bigg ( H _ { J } ^ { ( N ) } ( \vec { \sigma } ) + U ( \vec { \alpha } ) \bigg ) + \sqrt { 1 - \lambda } \sum _ { i \tau } h _ { i } ( \vec { \alpha } ; \tau ) \sigma _ { i } ( \tau ) + \sum _ { i } H _ { 0 } ( \vec { \sigma } _ { i } ) } \\ & { \equiv H _ { J } ( \vec { \sigma } , \vec { \alpha } ; \lambda ) + \sum _ { i } H _ { 0 } ( \vec { \sigma } _ { i } ) , } \end{array}
S _ { \mathrm { g f } } = - \frac { 1 } { g ^ { 2 } } T r ( \frac { 1 } { 2 } [ A _ { I } ^ { c l } , \tilde { A } ^ { I } ] ^ { 2 } + [ A _ { I } ^ { c l } , b ] [ A ^ { I , c l } , c ] ) ,
= { \frac { e ^ { 4 } } { ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 4 } } } \left( 4 \left( { k ^ { \prime } } ^ { \mu } k ^ { \nu } - ( k ^ { \prime } \cdot k ) \eta ^ { \mu \nu } + k ^ { \nu } k ^ { \mu } \right) + 4 m ^ { 2 } \eta ^ { \mu \nu } \right) \left( 4 \left( { p ^ { \prime } } _ { \mu } p _ { \nu } - ( p ^ { \prime } \cdot p ) \eta _ { \mu \nu } + p _ { \nu } ^ { \prime } p _ { \mu } \right) + 4 m ^ { 2 } \eta _ { \mu \nu } \right)
\frac { ( \rho _ { 0 } \vec { u } ) ^ { k + 1 } - ( \rho _ { 0 } \vec { u } ) ^ { n } } { \Delta t } = - \rho _ { 0 } \nabla \left( \alpha _ { 0 } { p ^ { \prime } } ^ { k + 1 } \right) + \mathbf { R } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } .
\begin{array} { r } { p _ { y } \propto \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { ' y z y } \partial _ { z } H _ { y } , } \\ { m _ { x } \propto \alpha _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { ' x z x } \partial _ { z } E _ { x } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \left( \displaystyle \frac { \mu } { 1 + \rho p } - n - \displaystyle \frac { ( 1 - \eta ) \Phi p } { 1 + \sigma ( 1 - \eta ) n + \xi p } - \delta \right) n + \gamma _ { 1 } \Delta n = 0 , } \\ { \left( 1 - \displaystyle \frac { \theta } { ( 1 - \eta ) n + \nu } \right) p + \gamma _ { 2 } \Delta p = 0 . } \end{array} \right.
\hat { Z } _ { ( n ) } ^ { \mu } \ = \ \frac { 1 } { N } \, \bigg [ \, \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \, \frac { \sqrt { 2 } \, m _ { Z ( n ) } \, m _ { Z } } { m _ { Z ( n ) } ^ { 2 } \, - \, ( j / R ) ^ { 2 } } \, \bigg ( \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, \bigg ) ^ { \delta _ { j , 0 } } \, c _ { w } \, A _ { ( j ) } ^ { 3 \, \mu } \ - \ \frac { m _ { Z } } { m _ { Z ( n ) } } \, s _ { w } \, B ^ { \mu } \, \bigg ] \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { r ( \theta , t ) } & { = R _ { 0 } \left[ 1 + \frac { \varepsilon ( t ) } { 2 } ( 3 \sin ^ { 2 } \theta - 1 ) - \frac { 1 } { 5 } \varepsilon ( t ) ^ { 2 } \right] \cos ( \theta ) , } \\ { z ( \theta , t ) } & { = R _ { 0 } \left[ 1 + \frac { \varepsilon ( t ) } { 2 } ( 3 \sin ^ { 2 } \theta - 1 ) - \frac { 1 } { 5 } \varepsilon ( t ) ^ { 2 } \right] \sin ( \theta ) + 1 . 0 , } \end{array} \right. \quad \theta \in [ - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } ] ,
\begin{array} { r l } & { \ell _ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { \alpha } , \mu , \boldsymbol { \sigma ^ { 2 } } ) = \log L _ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { \alpha } , \mu , \boldsymbol { \sigma ^ { 2 } } ) } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { i } ^ { N } \frac { ( y _ { i } - \alpha _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { v _ { i } } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 3 j } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { \Omega _ { c } ^ { \ast } \left( S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } - S _ { j j } ^ { ( 0 ) } \right) - d _ { 4 j } S _ { 4 3 } ^ { \ast ( 0 ) } } { X _ { j } } , } \\ { a _ { 4 j } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { d _ { 3 j } \left( S _ { j j } ^ { ( 0 ) } - S _ { 4 4 } ^ { ( 0 ) } \right) + \Omega _ { c } S _ { 4 3 } ^ { \ast ( 0 ) } } { X _ { j } } , } \end{array}