harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U _ { \sigma } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { I } & \\ & { i I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } & { I } \\ { I } & \end{array} \right] \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { I } & { - I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { R _ { \sigma } } & \\ & { R _ { \sigma } ^ { \dag } } \end{array} \right] \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { I } & { - I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & \\ & { i I } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { I } & \\ & { i I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } & { I } \\ { I } & \end{array} \right] \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { R _ { \sigma } + R _ { \sigma } ^ { \dag } } & { R _ { \sigma } - R _ { \sigma } ^ { \dag } } \\ { m a t h b b { R } _ { \sigma } - R _ { \sigma } ^ { \dag } } & { R _ { \sigma } + R _ { \sigma } ^ { \dag } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & \\ & { i I } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { R _ { \sigma } - R _ { \sigma } ^ { \dag } } & { i ( R _ { \sigma } + R _ { \sigma } ^ { \dag } ) } \\ { i ( R _ { \sigma } + R _ { \sigma } ^ { \dag } ) } & { - ( R _ { \sigma } - R _ { \sigma } ^ { \dag } ) } \end{array} \right] = i \left[ \begin{array} { l l } { \sin ( \theta D _ { \sigma } ) } & { \cos ( \theta D _ { \sigma } ) } \\ { \cos ( \theta D _ { \sigma } ) } & { - \sin ( \theta D _ { \sigma } ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( r r ) } } = \binom { k } { n } \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] ^ { n } \left[ 1 - \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] ^ { k - n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { u _ { k } ^ { n + 1 } } = \widehat { \tilde { u _ { k } } } - \frac { \Delta t } { \rho } \frac { \partial \widehat { p _ { k } ^ { n + 1 } } } { \partial x } } \\ & { \widehat { v _ { k } ^ { n + 1 } } = \widehat { \tilde { v } _ { k } } - \frac { \Delta t } { \rho } \frac { \partial \widehat { p _ { k } ^ { n + 1 } } } { \partial y } } \\ & { \widehat { w _ { k } ^ { n + 1 } } = \widehat { \tilde { w } _ { k } } - \frac { \Delta t } { \rho } \mathrm { i } k \widehat { p _ { k } ^ { n + 1 } } } \end{array}
\Theta ( \textbf { u } , \textbf { v } ) ( { \tau } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { k = 0 } ^ { L - 1 - \tau } u _ { k } v _ { k + \tau } ^ { * } , } & { 0 \leq \tau < L , } \\ { \sum _ { k = 0 } ^ { L + \tau - 1 } u _ { k - \tau } v _ { k } ^ { * } , } & { - L < \tau < 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { \sqrt { 0 . 0 1 1 0 5 } | P _ { 1 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 3 } \ } & { \sqrt { 0 . 0 1 1 0 5 } \cdot 5 . 0 3 0 2 3 q ^ { ( 2 d - 2 ) / 3 } | \mathcal { E } | ^ { 3 } - | \mathcal { E } | ^ { 3 } } \\ { \geq } & { \sqrt { 0 . 0 1 1 0 5 } \cdot 5 . 0 3 0 2 3 \cdot 3 ^ { ( 2 \cdot 2 - 2 ) / 3 } | \mathcal { E } | ^ { 3 } - | \mathcal { E } | ^ { 3 } \ } & { 0 . 0 9 | \mathcal { E } | ^ { 3 } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) = x ^ { 0 } } & { + \varepsilon \Big ( \sum _ { i \in S _ { 1 } } f _ { i } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) a _ { i } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) + \sum _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) \in S _ { 2 } } [ f _ { j _ { 1 } } , f _ { j _ { 2 } } ] ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) a _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \Big ) } \\ & { + R ( t _ { 0 } + \varepsilon ) = x ^ { 0 } + \varepsilon \mathcal F ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) a ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) + R ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , } \\ { R ( t _ { 0 } + \varepsilon ) = r _ { 1 } } & { ( t _ { 0 } + \varepsilon ) + r _ { 2 } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) + r _ { 3 } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ v ^ { ( k ) } , z _ { 1 } ^ { ( k ) } ; F \right] } & { = F ^ { \prime } \left( z _ { 1 } ^ { ( k ) } \right) + \frac { 1 } { 2 } F ^ { \prime \prime } \left( z _ { 1 } ^ { ( k ) } \right) h + \frac { 1 } { 6 } F ^ { \prime \prime \prime } \left( z _ { 1 } ^ { ( k ) } \right) h ^ { 2 } + O \left( h ^ { 3 } \right) } \\ & { = F ^ { \prime } ( \alpha ) \left( I + C _ { 2 } \left( 2 - \delta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) C _ { 2 } \left( I + \beta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) e _ { k } ^ { 2 } \right) + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ^ { \dagger } ( \phi ) \hat { x } R ( \phi ) = \hat { x } \cos \phi - \hat { p } \sin \phi , } \\ { R ^ { \dagger } ( \phi ) \hat { p } R ( \phi ) = \hat { p } \cos \phi + \hat { x } \sin \phi . } \end{array}
N _ { { \scriptscriptstyle + \atop ( - ) } , m } ^ { l } = \underbrace { \sum _ { n _ { 1 } \ge 0 } \sum _ { n _ { 2 } \ge 0 } \cdots \cdots \cdots \sum _ { n _ { 1 3 } \ge 0 } } _ { n _ { 1 } + n _ { 2 } + \dots \dots \dots \dots \dots + n _ { 1 2 } + n _ { 1 3 } = l \atop { n _ { 1 } + \dots + n _ { 5 } - l = 0 \, m o d \; 2 \; \; ( = 1 \, m o d \; 2 ) \atop - 2 ( n _ { 1 } + n _ { 9 } ) - n _ { 2 } - n _ { 6 } - n _ { 1 0 } + n _ { 4 } + n _ { 8 } + n _ { 1 2 } + 2 ( n _ { 5 } + n _ { 1 3 } ) = m } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! M _ { 0 } ( n _ { 1 } , \dots , n _ { 1 3 } ) .
\begin{array} { r l } { \xi _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ { r _ { d } } \lambda _ { \mathrm { m i n } } ( P _ { 1 } ) , { r _ { a } } , { { e ^ { - { \delta } } } } , { r _ { c } } { { e ^ { - { 1 } } } } \right\} , } \\ { \xi _ { 4 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ { r _ { d } } \lambda _ { \mathrm { m a x } } ( P _ { 1 } ) , { r _ { a } } { { e ^ { { \delta } } } } , 1 , { r _ { c } } \right\} , } \end{array}
\mathrm { d } \mathrm { S } ( t ) = - C \mathrm { S } ( t ) \mathrm { d } t - B _ { d } \mathrm { S } ( t ) \left( \bar { r } \mathrm { d } t + \sigma _ { r } \mathrm { d } W _ { t } ^ { ( 1 ) } \right) + A \mathrm { d } W _ { t } ^ { ( 2 ) } ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ \Delta ( 1 ) \mid X ( 0 ) = i ] } & { = ( i - 1 - i ) \cdot P _ { i , i - 1 } + ( i - i ) \cdot P _ { i , i } + ( i + 1 - i ) \cdot P _ { i , i + 1 } } \\ & { = - { \frac { N - i } { r i + N - i } } { \frac { i } { N } } + { \frac { r i } { r i + N - i } } { \frac { N - i } { N } } } \\ & { = - { \frac { ( N - i ) i } { ( r i + N - i ) N } } + { \frac { i ( N - i ) } { ( r i + N - i ) N } } + { \frac { s i ( N - i ) } { ( r i + N - i ) N } } } \\ & { = p s { \frac { 1 - p } { p s + 1 } } } \\ { \operatorname { E } [ X ( t ) \mid X ( t - 1 ) = i ] } & { = p s { \frac { 1 - p } { p s + 1 } } + i } \end{array} }
\mathbb { E } \left[ \Vert e _ { i , t } \Vert ^ { 2 } \right] \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) \mathbb { E } \left[ \Vert e _ { i , t - 1 } \Vert ^ { 2 } \right] + 1 6 \delta \mathbb { E } \left[ \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { { \theta } ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } \right] + 4 \delta \sigma ^ { 2 } , \forall i \in [ M ] .
F _ { ( a ) ( 1 ) } ^ { \pm 1 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \tilde { \psi } ( x , ( 1 - x ) \vec { q } _ { \perp } ) \int ^ { ( 1 - x ) Q } \frac { d ^ { 2 } \vec { k } _ { \perp } } { 1 6 \pi ^ { 3 } } \psi ^ { 0 \; * } ( x , \vec { k } _ { \perp } ) .
D = \left( \begin{array} { c c c } { \beta ( r ) ^ { 2 } \alpha ( r ) ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \alpha ( r ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha ( r ) } \end{array} \right) \mathrm { ~ a n d ~ } H = \left( \begin{array} { c c c } { \sin \varphi \cos \phi } & { \cos \varphi \cos \phi } & { - \sin \phi } \\ { \sin \varphi \sin \phi } & { \cos \varphi \sin \phi } & { \cos \phi } \\ { \cos \varphi } & { - \sin \varphi } & { 0 } \end{array} \right)
( 1 - h ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ) \eta ^ { \prime \prime } - \beta h ^ { 2 } \omega \eta ^ { \prime } + \mu ^ { 2 } \eta - \eta ^ { 3 } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } h ^ { 4 } { \frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial h ^ { 2 } } } - \frac { 2 } { n } h ^ { 3 } \omega { \frac { \partial \eta ^ { \prime } } { \partial h } } + \left( \frac { 2 } { n ^ { 2 } } - \frac { 3 } { n } \right) h ^ { 3 } { \frac { \partial \eta } { \partial h } }
\tilde { \beta } _ { \rho } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( { \beta _ { \rho } ^ { A } } ^ { 2 } + { \beta _ { \rho } ^ { B } } ^ { 2 } ) \, , \ \ \tilde { \beta } _ { \lambda } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( { \beta _ { \lambda } ^ { A } } ^ { 2 } + { \beta _ { \lambda } ^ { B } } ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { P \Big ( K _ { m } > k _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) } & { = 1 - P \Big ( K _ { m } \leq k _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) } \\ & { = 1 - P \Big ( \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { j = 1 , . . , m } n \widehat { \theta _ { j } } ^ { 2 } \leq k _ { m } \ | \ H _ { 0 } \Big ) } \\ & { \stackrel { d } { \rightarrow } 1 - P \Big ( \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { j = 1 , . . , m } W _ { j } \leq k _ { m } \Big ) } \\ & { = 1 - P \Big ( \chi _ { 1 } ^ { 2 } \leq k _ { m } \Big ) ^ { m } \, , } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \Phi _ { ( S ) } - ( D - 2 ) \partial ^ { c } \Phi _ { ( S ) } \partial _ { c } \ln r - \frac { 2 ( D - 4 ) \Lambda } { ( D - 1 ) ( D - 2 ) } \Phi _ { ( S ) } - \frac { k ^ { 2 } - ( D - 2 ) K } { r ^ { 2 } } \Phi _ { ( S ) } + \frac { \Delta _ { ( S ) } } { r ^ { 2 } } = 0 .
\psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \hat { \psi } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ( \Lambda ) , \quad { \bf T } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } = \hat { { \bf T } } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } ( \Lambda ) , \quad \mu = \hat { \mu } ( \Lambda ) , \quad \boldsymbol { \zeta } = \hat { \boldsymbol { \zeta } } ( \Lambda ) , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \bf e } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \hat { { \bf e } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ( \Lambda ) ,
\cos \varphi \; = \; \sqrt { \frac { m _ { u } m _ { s } } { m _ { c } m _ { d } } } ~ \Delta _ { \mathrm { u } } ~ + ~ \sqrt { \frac { m _ { c } m _ { d } } { m _ { u } m _ { s } } } ~ \Delta _ { \mathrm { d } } ~ + ~ \left( 1 - \Delta _ { \mathrm { u } } - \Delta _ { \mathrm { d } } \right) \cos \phi _ { 1 } \; .
\begin{array} { r l } { | C o v ( F ( L _ { i _ { 1 } } , \ldots , L _ { i _ { u } } ) , G ( L _ { j } ) ) | } & { } \\ { \leq } & { | C o v ( F ( L _ { i _ { 1 } } , \ldots , L _ { i _ { u } } ) , G ( L _ { j } ) - G ( L _ { j } ^ { ( M ) } ) ) | } \\ & { + | C o v ( F ( L _ { i _ { 1 } } , \ldots , L _ { i _ { u } } ) , G ( L _ { j } ^ { ( M ) } ) ) | . } \end{array}
\frac { \langle \sigma ^ { \mathrm { i n e l a s t i c } } \rangle } { \langle \sigma ^ { \mathrm { e l a s t i c } } \rangle } _ { \mathrm { f r o m ~ 1 0 ~ k e V } } = 5 . 9 \times 1 0 ^ { - 3 }
\begin{array} { r l } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = } & { \int N ( r , \theta ) \nabla _ { \perp } \Phi ( r , \theta , \varphi ) } \\ & { \nabla _ { \perp } ( \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( r ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( \theta ) ) \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \varphi } \end{array}
\frac { S _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } } { \gamma _ { 1 } ! \gamma _ { 2 } ! } = ( x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \frac { H _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } ( x ) H _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } ( y ) } { \gamma _ { 1 } ! \gamma _ { 2 } } + \frac { S _ { \gamma _ { 1 } - 1 , \gamma _ { 2 } } } { ( \gamma _ { 1 } - 1 ) ! \gamma _ { 2 } ! } .
\begin{array} { r l r } { P ( \delta m ) } & { { } } & { = \beta ^ { 2 } \int _ { m _ { L } } ^ { \infty } d m _ { i } \int _ { m _ { i } + \delta m } ^ { \infty } d m _ { j } \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { i } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { i } \int _ { t _ { i } } ^ { T } d t _ { j } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) } & { { } = e ^ { - ( T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } ) } ( e ^ { - ( 1 - \lambda ) T _ { * * } ^ { \angle } } \mathcal { H } _ { K } e ^ { ( 1 - \lambda ) T _ { * * } ^ { \angle } } - \mathcal { H } _ { K } ) e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } } \end{array}
\frac { \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ( \tilde { \nu } ) \right] \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 3 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] } { \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ( \tilde { \nu } ) \right] \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ^ { ( 3 ) } ( \tilde { \nu } ) \right] } = \frac { \hat { V } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \hat { V } ^ { ( 3 ) } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) } { \hat { V } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \hat { V } ^ { ( 3 ) } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { ( q ^ { 3 } ; q ^ { 3 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ; q ) _ { \infty } } } & { = \frac { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } } + q \frac { ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } } . } \end{array}
\| T _ { 1 } \| ^ { 2 } = \frac { ( [ \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } { \| \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 4 } } \| \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = \frac { ( [ \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } { \| \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } }
K _ { y } = K _ { 2 } = i \left. { \frac { \partial { \widehat { B } } ( \varphi , { \hat { \mathbf { e } } } _ { y } ) } { \partial \varphi } } \right| _ { \varphi = 0 } = i { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \, ,
\begin{array} { r l } { \diamond \mathrm { ~ } } & { ( A ^ { 2 } - 1 ) \omega _ { x } ^ { 2 } + C _ { 1 } ^ { 2 } ( \kappa _ { x } + 1 ) ( \kappa _ { y } - 1 ) - C _ { 2 } ^ { 2 } ( \kappa _ { x } - 1 ) ( \kappa _ { y } + 1 ) + C _ { 3 } ^ { 2 } ( \kappa _ { x } + 1 ) ( \kappa _ { y } + 1 ) - C _ { 4 } ^ { 2 } ( \kappa _ { x } - 1 ) ( \kappa _ { y } - 1 ) } \\ & { \phantom { ( A ^ { 2 } - 1 ) \omega _ { x } ^ { 2 } } + 2 D _ { 1 } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } - 1 ) - 2 D _ { 2 } ^ { 2 } \omega _ { x } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } + 1 ) + 2 D _ { 3 } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } + 1 ) - 2 D _ { 4 } ^ { 2 } \omega _ { x } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } - 1 ) = 0 , } \\ { \diamond \mathrm { ~ } } & { ( \kappa _ { x } - 1 ) C _ { 2 } C _ { 4 } - ( \kappa _ { x } + 1 ) C _ { 1 } C _ { 3 } = 0 , } \\ { \diamond \mathrm { ~ } } & { \mathrm { ~ I n ~ c a s e ~ C _ 1 ~ \neq ~ 0 ~ o r ~ C _ 4 ~ \neq ~ 0 ~ } , \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { 1 } = \beta ( 1 - \kappa _ { x } ) C _ { 4 } , } \\ { D _ { 2 } = \alpha C _ { 4 } , } \\ { D _ { 3 } = - \alpha ( 1 + \kappa _ { x } ) C _ { 1 } , } \\ { D _ { 4 } = \beta C _ { 1 } . } \end{array} \right. \mathrm { ~ I n ~ c a s e ~ C _ 2 ~ \neq ~ 0 ~ o r ~ C _ 3 ~ \neq ~ 0 ~ } , \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { 1 } = - \beta ( 1 + \kappa _ { x } ) C _ { 3 } , } \\ { D _ { 2 } = \alpha C _ { 3 } , } \\ { D _ { 3 } = \alpha ( 1 - \kappa _ { x } ) C _ { 2 } , } \\ { D _ { 4 } = \beta C _ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { o } } f ( G , o , i ) \right) } & { = \mathbb { E } [ N ] \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } P ( k ) \mathbb { E } \left( f \left( R _ { o , 1 } \left( G _ { 1 } , G _ { 2 } , \ldots , G _ { ( k + 1 ) d } \right) , o , 1 \right) \big | N _ { o } = ( k + 1 ) d \right) } \\ & { = \mathbb { E } [ N ] \mathbb { E } \left( f \left( R _ { o , 1 } \left( G _ { 1 } , G _ { 2 } , \ldots , G _ { ( \hat { N } + 1 ) d } \right) , o , 1 \right) \right) , } \end{array}
\theta _ { t + 1 } = \theta _ { t } - \epsilon _ { t } \left[ \nabla _ { \theta } \ell ( d , \theta ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \nabla _ { \theta } u \left( x _ { t i } , \hat { \phi } ( x _ { t i } ; \theta _ { t } ) , \nabla _ { x } \hat { \phi } ( x _ { t i } ; \theta _ { t } ) , \dots \right) } { q ( x _ { t i } ) } \right] + \eta _ { t } ,
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } = \hslash \left( \Delta _ { p } \hat { S } _ { 2 1 } ^ { \dagger } \hat { S } _ { 2 1 } + \Delta _ { s } \hat { S } _ { 3 2 } ^ { \dagger } \hat { S } _ { 3 2 } + ( \Delta _ { s } - \Delta _ { w } ) \hat { S } _ { 3 4 } \hat { S } _ { 3 4 } ^ { \dagger } \right) } \\ { - \cfrac { \hslash } { 2 } \left( \Omega _ { p } ( \hat { S } _ { 2 1 } ^ { \dagger } + \hat { S } _ { 2 1 } ) + \Omega _ { s } ( \hat { S } _ { 3 2 } ^ { \dagger } + \hat { S } _ { 3 2 } ) + \Omega _ { w } ( \hat { S } _ { 3 4 } ^ { \dagger } + \hat { S } _ { 3 4 } ) \right) } \end{array}
I _ { m } = F _ { \alpha } ( y _ { m } ) I _ { \alpha } e ^ { - j k _ { 0 } \sin \theta _ { \mathrm { i } } D _ { m } } + F _ { \beta } ( y _ { m } ) I _ { \beta } e ^ { j \phi } e ^ { - \mathrm { ~ j ~ } k _ { 0 } \sin \theta _ { \mathrm { r } } D _ { m } } ,
\begin{array} { r l } { d t \int d z \frac { \partial P _ { t } ( z ) } { \partial t } f ( z ) } & { = \int d z P _ { t } ( z ) \left[ - \frac { z } { \tau } \frac { \partial f ( z ) } { \partial z } d t + ( z + \nu _ { 0 } ) \{ f ( z + n / \tau ) - f ( z ) \} d t \right] , } \\ { \Longrightarrow \int d z \frac { \partial P _ { t } ( z ) } { \partial t } f ( z ) } & { = \int d z f ( z ) \left[ \frac { 1 } { \tau } \frac { \partial } { \partial z } z P _ { t } ( z ) + \{ ( \nu _ { 0 } + z - n / \tau ) P ( z - n / \tau ) - ( \nu _ { 0 } + z ) P ( z ) \} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { \leq \mu _ { \mathcal { A } ^ { ( i ) } } ( R ( x _ { k } ) ^ { T } c ) , } & { i \in [ n _ { \mathcal { A } } ] , } \\ { \beta } & { \geq \sigma _ { \mathcal { B } ^ { ( j ) } } ( S _ { k } ^ { T } c ) , } & { j \in [ n _ { \mathcal { B } } ] , } \\ { \gamma } & { \leq \alpha - \beta + c ^ { T } ( p ( x _ { k } ) - d _ { k } ) , } \\ { 1 } & { = \| c \| . } \end{array}
| \mathrm { \boldmath { ~ \ e t a ~ } } ; M ; D _ { r } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { M ! } } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { r } \eta _ { j } a _ { j } ^ { \dagger } + \sum _ { j = 1 } ^ { r } \eta _ { - j } b _ { j } ^ { \dagger } \right) ^ { M } | 0 \rangle ,
\tilde { E } _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \omega ) = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } R ^ { \prime } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) \tilde { E } _ { \mathrm { i n } } ( \bf k _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) .
\begin{array} { r l } { \langle { \boldsymbol u } , G ( 0 ) { \boldsymbol u } \rangle } & { = \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) { \boldsymbol u } \rangle + \theta ^ { 2 } \lambda \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) { \boldsymbol u } \rangle \langle { \boldsymbol u } , G ( 0 ) { \boldsymbol u } \rangle } \\ & { ~ ~ ~ + \theta \sqrt { \lambda } \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) X { \boldsymbol v } \rangle \langle { \boldsymbol u } , G ( 0 ) { \boldsymbol u } \rangle + \theta \sqrt { \lambda } \langle { \boldsymbol u } , G ( 0 ) X { \boldsymbol v } \rangle \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) { \boldsymbol u } \rangle } \end{array}
\mathbf { K } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } ^ { ( 1 ) } } & { \mathbf { A } } \\ { \mathbf { A } } & { \mathbf { K } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right] , \; \; \; \mathbf { K } ^ { ( 1 ) } = \left[ \begin{array} { l l } { K _ { r } } & { K _ { \phi } } \\ { - K _ { \phi } } & { K _ { r } } \end{array} \right] .
\mathbf { E } _ { \mathrm { e l } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { F } _ { \mathrm { e l } } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { F } _ { \mathrm { e l } } ^ { \phantom { \mathrm { T } } } - \mathbf { I d } \right) .
\int _ { \mathbb { R } ^ { k _ { i } } } \frac { 1 - e ^ { - \alpha \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \tau _ { j } ^ { 2 } } } { ( \sum \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } = \alpha ^ { s } \int _ { \mathbb { R } ^ { k _ { i } } } \frac { 1 - e ^ { - \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \tau _ { j } ^ { 2 } } } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } .
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { M \mathrm { - } H } } = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { \mathcal { A } ( \mathcal { S } ^ { \prime } \rightarrow \mathcal { S } ) } { \mathcal { A } ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } ) } \frac { \pi ( \mathcal { S } ^ { \prime } ) } { \pi ( \mathcal { S } ~ ) } \right) } \end{array}
\mathcal { M } _ { \nu } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { c ^ { 2 } \mu _ { 1 } + s ^ { 2 } \mu _ { 2 } } } & { { - c s ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) / \sqrt { 2 } } } & { { c s ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) / \sqrt { 2 } } } \\ { { - c s ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) / \sqrt { 2 } } } & { { ( s ^ { 2 } \mu _ { 1 } + c ^ { 2 } \mu _ { 2 } + \mu _ { 3 } ) / 2 } } & { { ( - s ^ { 2 } \mu _ { 1 } - c ^ { 2 } \mu _ { 2 } + \mu _ { 3 } ) / 2 } } \\ { { c s ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) / \sqrt { 2 } } } & { { ( - s ^ { 2 } \mu _ { 1 } - c ^ { 2 } \mu _ { 2 } + \mu _ { 3 } ) / 2 } } & { { ( s ^ { 2 } \mu _ { 1 } + c ^ { 2 } \mu _ { 2 } + \mu _ { 3 } ) / 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) } & { = \iota _ { \xi } L _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) - \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \Theta _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) } \\ & { = \iota _ { \xi } \big ( \frac { 1 } { 2 } g ^ { \alpha \beta } \nabla _ { \alpha } \phi \nabla _ { \beta } \phi \; \mathrm { v o l } _ { g } + V ( \phi ) \mathrm { v o l } _ { g } \big ) - \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } ( \imath _ { B } \mathrm { v o l } _ { g } ) } \\ & { = \big ( \frac { 1 } { 2 } g ^ { \alpha \beta } \nabla _ { \alpha } \phi \nabla _ { \beta } \phi + V ( \phi ) \big ) \iota _ { \xi } \mathrm { v o l } _ { g } - \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } ( \imath _ { B } \mathrm { v o l } _ { g } ) } \\ & { = \big ( \frac { 1 } { 2 } g ^ { \alpha \beta } \nabla _ { \alpha } \phi \nabla _ { \beta } \phi + V ( \phi ) \big ) \xi ^ { \alpha } n _ { \alpha } \mathrm { v o l } _ { \gamma } - \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } ( \delta \phi \nabla ^ { \alpha } \phi \wedge n _ { \alpha } \mathrm { v o l } _ { \gamma } ) } \\ & { = \big ( \frac { 1 } { 2 } g ^ { \alpha \beta } \nabla _ { \alpha } \phi \nabla _ { \beta } \phi + V ( \phi ) \big ) \xi ^ { \alpha } n _ { \alpha } \mathrm { v o l } _ { \gamma } - \xi ^ { \sigma } \nabla _ { \sigma } \phi \nabla ^ { \alpha } \phi \; \wedge n _ { \alpha } \mathrm { v o l } _ { \gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { m , k } \zeta _ { m , k ^ { \prime } } \tilde { \psi } _ { m , k ^ { \prime } } = \zeta _ { m , k } \tilde { \psi } _ { m , k } { \mathbf { 1 } } _ { \{ k = k ^ { \prime } \} } \quad \mathrm { a n d } \quad \xi _ { m , k } \zeta _ { m , k ^ { \prime } } \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k ^ { \prime } } = \zeta _ { m , k } \nabla \tilde { \Chi } _ { m , k } { \mathbf { 1 } } _ { \{ k = k ^ { \prime } \} } } \end{array}
U _ { \mu 3 } = 0 . 6 4 3 4 - 0 . 7 1 0 8 , \ \ U _ { e 3 } = 0 . 0 6 1 7 - 0 . 0 8 1 4 , \ \ U _ { e 2 } = 0 . 2 2 2 1 - 0 . 2 3 5 2 .
\begin{array} { r } { \Delta ^ { \prime } \left( a _ { x _ { 1 } x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 1 } \right) = \left( 4 a _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } \otimes a _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 1 } \right) + \left( 6 a _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 1 } \otimes a _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } \right) + 3 \left( a _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } \otimes \left( a _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}