harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { \textrm { m S F } , 0 , \vec { L } } = } & { { } \phantom { + } \int \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \rho _ { \uparrow } ^ { \textrm { m S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \rho _ { \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } \right] \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { m S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } \right] \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot } \\ { - \int } & { { } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { m S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } \right] \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { s } } \cdot } \\ { + \int } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \tau _ { \uparrow } ^ { \textrm { m S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \tau _ { \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } \right] \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right] \cdot \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right] \textrm { d } ^ { 3 } r } \end{array}
\hat { O } _ { e _ { 2 } } ( x ^ { 1 } ) = T r P \exp \left( i \oint _ { x ^ { 2 } } ^ { x ^ { 2 } + 2 \pi R e _ { 2 } } A _ { 2 } d x ^ { 2 } \right) { U _ { 2 } } ^ { - e _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \overline { { Y } } _ { j , k } \left( ( p - 2 ) \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } - \gamma ( \gamma - 1 - w ) \mathcal { A } _ { w - 1 , w } ^ { \theta _ { 0 } } \right) \left( Y _ { j , k } \right) d \xi } \\ & { = \left( \frac { 2 \gamma } { n + 1 - \gamma } - \frac { \gamma \frac { n + \gamma - 1 } { 2 } } { ( j + \frac { n + 1 - \gamma } { 2 } ) ( k + \frac { n + \gamma - 1 } { 2 } ) } \right) \lambda _ { j } ( w ) \lambda _ { k } ( w ) } \\ & { \geqslant \left( \frac { 2 \gamma } { n + 1 - \gamma } - \frac { \gamma \frac { n + \gamma - 1 } { 2 } } { ( \frac { n + 1 - \gamma } { 2 } ) ( \frac { n + \gamma - 1 } { 2 } ) } \right) \lambda _ { j } ( w ) \lambda _ { k } ( w ) = 0 , } \end{array}
\left[ { \frac { \mu } { \nu } } \right] _ { 2 } \left[ { \frac { \nu } { \mu } } \right] _ { 2 } = ( - 1 ) ^ { { \frac { m - 1 } { 2 } } { \frac { n - 1 } { 2 } } } \chi ( \mu ) ^ { m { \frac { n - 1 } { 2 } } } \chi ( \nu ) ^ { - n { \frac { m - 1 } { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \left| \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } x ( p \ast n _ { \sigma } ) ( x ) d x - \sum _ { i \in G } p _ { i } E _ { i } \right| \leq 4 c ^ { \prime } \epsilon ^ { 2 } \eta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \mu \nu , \uparrow \uparrow } = } & { \sum _ { p } b _ { p \uparrow \mu } A _ { p p } b _ { p \uparrow \nu } ^ { * } + \sum _ { \bar { p } } b _ { \bar { p } \uparrow \mu } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \uparrow \nu } ^ { * } = \sum _ { \bar { p } } b _ { \bar { p } \downarrow \mu } ^ { * } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \downarrow \nu } + \sum _ { p } b _ { p \downarrow \mu } ^ { * } A _ { p p } b _ { p \downarrow \nu } = - A _ { \mu \nu , \downarrow \downarrow } ^ { * } } \\ { A _ { \mu \nu , \downarrow \uparrow } = } & { \sum _ { p } b _ { p \downarrow \mu } A _ { p p } b _ { p \uparrow \nu } ^ { * } + \sum _ { \bar { p } } b _ { \bar { p } \downarrow \mu } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \uparrow \nu } ^ { * } = - \sum _ { p } b _ { \bar { p } \uparrow \mu } ^ { * } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \downarrow \nu } - \sum _ { \bar { p } } b _ { p \uparrow \mu } ^ { * } A _ { p p } b _ { p \downarrow \nu } = A _ { \mu \nu , \uparrow \downarrow } ^ { * } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { t } + w \ w _ { z } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { P r } { R a } } \ w _ { z z } + \theta } \\ { \theta _ { t } + w \ \theta _ { z } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \ \theta _ { z z } + w , } \end{array}
\eta _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } = W _ { a } \operatorname { t a n h } { \left( W _ { 1 } ^ { T } h _ { t _ { 1 } } + W _ { 2 } ^ { T } h _ { t _ { 2 } } + b _ { h } \right) } + b _ { a } \ ,
\begin{array} { r l } { ( [ \phi ^ { \delta } ] _ { 2 } ^ { 3 } - [ \phi ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 1 } ) / \delta = \; } & { - [ t _ { 1 } ^ { \delta } ] _ { 1 } ^ { 3 } \left( a _ { 1 } ( X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( \delta / 2 ) Y _ { 1 } ^ { \delta } ) \right) ( 2 ) - t _ { 1 } ^ { \delta } ( 1 ) \left[ a _ { 1 } ( X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( \delta / 2 ) Y _ { 1 } ^ { \delta } ) \right] _ { 0 } ^ { 2 } } \\ { \approx \; } & { - \left[ a _ { 1 } ( X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( \delta / 2 ) Y _ { 1 } ^ { \delta } ) \right] _ { 0 } ^ { 2 } } \\ { = \; } & { - a _ { 1 } ( 2 ) \left[ X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( \delta / 2 ) Y _ { 1 } ^ { \delta } \right] _ { 0 } ^ { 2 } - [ a _ { 1 } ] _ { 0 } ^ { 2 } \left( X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( \delta / 2 ) Y _ { 1 } ^ { \delta } \right) ( 0 ) } \\ { \approx \; } & { - \delta ( a _ { 1 } + \delta ( a _ { 1 } ) _ { y } ) ( 0 ) \left( c _ { 2 } X _ { \beta } ^ { \delta } + ( \delta / 2 ) ( c _ { 2 } Y _ { 2 } ^ { \delta } + c _ { 1 } c _ { 2 } X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( c _ { 2 } ) _ { x } X _ { \beta } ^ { \delta } ) \right) ( 0 ) } \\ & { - \delta \left( ( ( a _ { 1 } ) _ { y } + ( \delta / 2 ) ( a _ { 1 } ) _ { y y } ) \, ( X _ { \alpha } ^ { \delta } + ( \delta / 2 ) Y _ { 1 } ^ { \delta } ) \right) ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { t } ^ { * } } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { q } \mathbb { E } _ { q } [ \hat { \phi } _ { t } ( y ) ] + \lambda _ { 1 } \mathbb { E } _ { q } [ \| y \| ^ { 2 } ] + \lambda _ { 2 } \mathcal { E } ( q ) + \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) , } \\ { p _ { t } ^ { * } } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { p } \mathbb { E } _ { p } [ \hat { \psi } _ { t } ( x ) ] + \lambda _ { 1 } \mathbb { E } _ { p } [ \| x \| ^ { 2 } ] + \lambda _ { 2 } \mathcal { E } ( p ) + \eta _ { t } \mathrm { K L } ( p \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d I } { d t } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d } { d t } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } \mathbf { r } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \langle I \rangle _ { \mathrm { { s c a } } } } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { s c a } } } \end{array} \right) = \frac { ( k r ) ^ { 2 } j ( j + 1 ) } { f _ { j m } ^ { 2 } ( \theta ) - g _ { j m } ^ { 2 } ( \theta ) } \left( \begin{array} { l l } { f _ { j m } ( \theta ) } & { g _ { j m } ( \theta ) } \\ { g _ { j m } ( \theta ) } & { f _ { j m } ( \theta ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { I _ { \mathrm { f a r } } ( r , \theta ) } \\ { V _ { \mathrm { f a r } } ( r , \theta ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \rightarrow } = | \langle a _ { 2 } ^ { \mathrm { o u t } } / a _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \rangle | ^ { 2 } = | S _ { 2 1 } ( \omega ) | ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } | C _ { 1 } | ^ { 2 } , } \\ { T _ { \leftarrow } = | \langle a _ { 1 } ^ { \mathrm { o u t } } / a _ { 2 } ^ { \mathrm { i n } } \rangle | ^ { 2 } = | S _ { 1 2 } ( \omega ) | ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } | A _ { 2 } | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } Q ^ { [ n ] } ( f ) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } f ( x - q _ { j } ) ( L ^ { n } ) _ { j , j } } \\ & { } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } f ( x - q _ { j } ) p _ { j } ( L ^ { n } ) _ { j , j } + ( 1 - \delta _ { 0 , n } ) \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { N } \big ( f ( q _ { j } ) - f ( q _ { i } ) \big ) M _ { i , j } ( L ^ { n } ) _ { j , i } , } \end{array}
{ \cal D } ^ { \omega - \rho } \simeq 4 ~ \frac { | A _ { P C } ( d \bar { d } ) | ^ { 2 } ~ ( \mathrm { R e } ~ \eta _ { P C } - \mathrm { R e } ~ \epsilon ) + | A _ { P V } ( d \bar { d } ) | ^ { 2 } ~ ( \mathrm { R e } ~ \eta _ { P V } - \mathrm { R e } ~ \epsilon ) } { | A _ { P C } ( d \bar { d } ) | ^ { 2 } + | A _ { P V } ( d \bar { d } ) | ^ { 2 } } ~ ,
\begin{array} { r l } { | [ b , I _ { \gamma } ] f _ { 2 } ( x ) | } & { = \big | ( b ( y ) - b _ { B } ) I _ { \gamma } f _ { 2 } ( y ) + I _ { \gamma } \big ( ( b - b _ { B } ) f _ { 2 } ( y ) \big ) \big | } \\ & { \leq \big | ( b ( y ) - b _ { B } ) I _ { \gamma } f _ { 2 } ( y ) \big | + \big | I _ { \gamma } \big ( ( b - b _ { B } ) f _ { 2 } ( y ) \big ) \big | . } \end{array}
\mathbb { P } _ { s } = \frac { \lvert \langle \hat { \mathbf { S } } \rangle \rvert } { \langle \hat { S } _ { 0 } \rangle } = \frac { \sqrt { \langle \hat { S } _ { 1 } \rangle ^ { 2 } + \langle \hat { S } _ { 2 } \rangle ^ { 2 } + \langle \hat { S } _ { 3 } \rangle ^ { 2 } } } { \langle \hat { S } _ { 0 } \rangle } \, .
\begin{array} { r l } { \Lambda ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { a i } \big ( \kappa _ { a i } E _ { a i } + \kappa _ { a i } ^ { * } E _ { i a } \big ) + \sum _ { \alpha } \big ( \gamma _ { \alpha } b _ { \alpha } ^ { \dagger } + \gamma _ { \alpha } ^ { * } b _ { \alpha } \big ) } \end{array}
\hat { G } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \zeta _ { x } \left( { \tau } _ { x x } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) + \zeta _ { y } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \zeta _ { z } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \zeta _ { x } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \zeta _ { y } \left( { \tau } _ { y y } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) + \zeta _ { z } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \zeta _ { x } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } + \zeta _ { y } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } + \zeta _ { z } \left( { \tau } _ { z z } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) } \\ { \zeta _ { x } { \beta } _ { x } + \zeta _ { y } { \beta } _ { y } + \zeta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\textbf { T r } \big [ e ^ { - \beta \hat { H } } \big ] = \Big ( \frac { 1 } { 2 \pi \hbar } \Big ) ^ { P } \int d ^ { f } \mathbf { p } d ^ { f } \mathbf { q } e ^ { - \zeta H _ { P } ( \mathbf { p } , \mathbf { q } ) } ,
{ \cal L } _ { K ^ { * } K v } = - \frac { N _ { c } } { 2 g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { \frac { 2 } { f _ { \pi } } } \varepsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } d _ { a b c } K _ { a \mu } ^ { * } \partial _ { \nu } v _ { \alpha } ^ { c } \partial _ { \beta } P ^ { b } ,
\mathbf { H } ( \ell ) = - \frac { i } { z _ { \ell } } \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } \frac { i ^ { \nu } } { k _ { \ell } } \left[ c _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { m } _ { \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ) } + d _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { m } _ { \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ } ) } \right]
\hat { H } _ { p } = \sum _ { n } v \, \hat { a } _ { n , 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n , 2 } + w \, \hat { a } _ { n , 2 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n + 1 , 1 } + \mathrm { H . c . }
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { \mu } } _ { \boldsymbol { Y } } } & { { } = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \boldsymbol { y } ^ { \left( k \right) } } \\ { \hat { \boldsymbol { \sigma } } _ { \boldsymbol { Y } } } & { { } = \sqrt { \frac { 1 } { K - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \boldsymbol { y } ^ { \left( k \right) } - \hat { \boldsymbol { \mu } } _ { \boldsymbol { Y } } \right) ^ { 2 } } } \\ { \hat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { \boldsymbol { Y } } } & { { } = \frac { 1 } { K - 1 } \boldsymbol { \mathcal { Y } } ^ { \ast } \left( \boldsymbol { \mathcal { Y } } ^ { \ast } \right) ^ { \intercal } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { \tau } ( t ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } p ( \tau \omega ) e ^ { i \omega t } d \omega = \frac { 1 } { \tau } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } p ( \tau \omega ) e ^ { i \omega \tau \frac { t } { \tau } } d ( \tau \omega ) = \frac { 1 } { \tau } \tilde { g } ( \frac { t } { \tau } ) . } \end{array}
\left\vert \left\vert \left\vert \theta _ { h } ^ { N } \right\vert \right\vert \right\vert \leq \left\vert \left\vert \left\vert \theta _ { h } ^ { 0 } \right\vert \right\vert \right\vert + C \left( \tau _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 1 / 2 } ( h ^ { m } + h ^ { s + 1 } ) + \left( \frac { \Delta t ^ { 1 / 2 } \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { \theta } ( D ) ) } } { h } \right) \left( \frac { h ^ { m + 1 } } { \Delta t ^ { 1 / 2 } } \right) \right) .
\dot { Q } _ { \mathrm { I R } } = \frac { r _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \: \epsilon _ { \mathrm { a } } \: \epsilon _ { \mathrm { b } } \: \sigma \: T _ { \mathrm { b } } ^ { 4 } \: A _ { \mathrm { a , b } } } { \bar { r } _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } }
\textbf { V a r } ( t ) = \frac { \left( e ^ { \lambda } - 1 \right) \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \lambda ^ { j } } { j ! } \Big [ \psi _ { 1 } ( j ) + \psi ( j ) ^ { 2 } \Big ] - \Big [ \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \lambda ^ { j } } { j ! } \psi ( j ) \Big ] ^ { 2 } } { \left( r _ { 1 } ( e ^ { \lambda } - 1 ) \right) ^ { 2 } } - \frac { \psi _ { 1 } ( x + 1 ) } { r _ { 1 } ^ { 2 } } .
\eta _ { 3 } ~ = ~ \frac { 3 2 } { 2 7 \pi ^ { 6 } } \left[ \frac { 1 8 9 } { 2 } \zeta ( 3 ) - 9 \pi ^ { 2 } \ln 2 - \frac { 5 1 } { 4 } \pi ^ { 2 } + \frac { 1 1 5 7 } { 9 } \right]
[ \mathbf { M } _ { c } ] _ { i , j } = \langle \mathbf { W } _ { i } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } ) , [ \mathbf { \nabla \times } ] \mathbf { W } _ { j } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } ) \rangle ; i \in \mathcal { F } , j \in \mathcal { E }
\begin{array} { r l } { \Delta _ { k } - \Delta _ { k + 1 } } & { \ge \psi ^ { \prime } ( \varphi ( x ^ { k } ) - \varphi ( x _ { * } ) ) ( \varphi ( x ^ { k } ) - \varphi ( x ^ { k + 1 } ) } \\ & { \ge \frac { \beta \gamma _ { k } } { 2 ( 1 + \gamma _ { k - 1 } L _ { f } ) } \frac { \| R _ { \gamma _ { k } } ( w ^ { k } ) \| ^ { 2 } } { \| R _ { \gamma _ { k - 1 } } ( w ^ { k - 1 } ) \| } } \\ & { \ge \frac { \beta \gamma _ { \mathrm { m i n } } } { 2 ( 1 + \gamma _ { 0 } L _ { f } ) } \frac { \| R _ { \gamma _ { k } } ( w ^ { k } ) \| ^ { 2 } } { \| R _ { \gamma _ { k - 1 } } ( w ^ { k - 1 } ) \| } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta < \frac { \hphantom { x } \displaystyle \frac { c ( F ^ { * } ) - c ( F ^ { \prime } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F ^ { \prime } ) } - \frac { c ( F ^ { * } ) - c ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } \hphantom { x } } { \displaystyle \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F ^ { \prime } ) } - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime \prime \prime } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } } = f _ { 7 } ( c , F ^ { \prime } , F ^ { \prime \prime \prime } ) , } \end{array}
Q _ { q } \bar { u } _ { 1 } \dots u _ { 2 } \to \frac { Q _ { V } } { 4 N } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d \xi \left\{ \begin{array} { c c c } { { f _ { V } ^ { L } \varphi _ { V } ^ { L } ( \xi ) \mathrm { T r } \left( \dots \hat { p } _ { 3 } \right) } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } V _ { L } } } \\ { { f _ { V } ^ { T } \varphi _ { V } ^ { T } ( \xi ) \mathrm { T r } \left( \dots \hat { e } _ { V } ^ { * } \hat { p } _ { 3 } \right) } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } V _ { T } . } } \end{array} \right.
\mathbf { a } ^ { r b ^ { * } } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { r } b } ( \mathbf { b } _ { i } ^ { m i x , r b } + \mathbf { t } _ { i } ^ { m i x , r b } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { c o n t a c t } } ( \mathbf { b } _ { i } ^ { m i x , t b } + \mathbf { t } _ { i } ^ { m i x , t b } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { c o n t a c t } } \mathbf { f } _ { i } ^ { m i x , t b } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { c o n t a c t } } m _ { i } ^ { m i x , C o M } }
M = C _ { 1 } \frac { \Gamma ( l / 2 ) } { 2 \Gamma ( 3 / 2 ) \Gamma [ ( l + 1 ) / 2 ] } + C _ { 4 } \{ 1 - \frac { \Gamma ( l / 2 ) } { 2 \Gamma ( 3 / 2 ) \Gamma [ ( l + 1 ) / 2 ] } \}
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 0 0 } ^ { L } \sqrt { \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \Lambda ( n ) \log n } { n ^ { 2 \sigma } } } d \sigma } & { \leq \int _ { 1 0 0 } ^ { L } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { \log n } { n ^ { \sigma } } d \sigma } \\ & { \leq \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \log n \int _ { 1 0 0 } ^ { \infty } \exp ( - \sigma \log n ) d \sigma = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 1 0 0 } } < \infty , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } } & { = - { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - J ^ { \mu } A _ { \mu } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } \left( \partial _ { \mu } A _ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } \right) \left( \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } - \partial ^ { \nu } A ^ { \mu } \right) - J ^ { \mu } A _ { \mu } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } \left( \partial _ { \mu } A _ { \nu } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } - \partial _ { \mu } A _ { \nu } \partial ^ { \nu } A ^ { \mu } + \partial _ { \nu } A _ { \mu } \partial ^ { \nu } A ^ { \mu } \right) - J ^ { \mu } A _ { \mu } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \overrightarrow { S } } & { = } & { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \\ { S _ { 4 } } \\ { S _ { 5 } } \\ { S _ { 6 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \lambda _ { 1 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime } } \\ { \lambda _ { 8 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \| \tilde { p } _ { 2 } - \tilde { p } _ { 1 } \| _ { Z ^ { m } } } & { \leq C C ^ { \prime } \| v _ { 2 } - v _ { 1 } \| _ { Z ^ { m } } ( \rho _ { 0 } + \epsilon _ { 0 } ) e ^ { K T } < C C ^ { \prime } { { e ^ { K T } } } ( 1 + 1 / ( 8 C e ^ { K T } ) ) \rho _ { 0 } \| v _ { 2 } - v _ { 1 } \| _ { Z ^ { m } } . } \end{array}
S \, K _ { [ p - 2 m , m ] } \, T = d _ { [ p - 2 m , m ] } \sum _ { n = m } ^ { [ p / 2 ] } e _ { p - 2 n , n - m } \, S \bigl ( K ^ { \otimes ( p - 2 n ) } \otimes K _ { [ 0 , 1 ] } ^ { \otimes n } \bigr ) T
( \hat { g } , \hat { A } ) = - \frac { 1 } { 2 } \big ( t _ { b , * } ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) + ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) \big ) + \frac 1 2 \Big ( ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) + ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) + ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) \Big )
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } x _ { i } ( t ) = 1 , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } y _ { i } ( t ) = \frac { \phi h _ { G } + 1 } { \phi h _ { G } + 2 - \phi } , \forall i \in V _ { 1 } .
\mathbf { u } ^ { k + 1 } \approx A \mathbf { u } ^ { k } + H ( \mathbf { u } ^ { k + 1 } ) ^ { 2 } + K \; \partial _ { t } \mathbf { d } _ { f } \otimes \mathbf { u } ^ { k + 1 } + B \; \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s } + L \; \mathbf { u } _ { i n } + C ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { r } & { = | \mathbf { x } | = \sqrt { M _ { 0 } | \mathbf { x } _ { 0 } | ^ { 2 } + M _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 1 } | ^ { 2 } } , } \\ { v } & { = r ^ { - 1 / 2 } ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { p } ) , } \\ { \psi } & { = \arctan \frac { \sqrt { M _ { 1 } } x _ { 1 } } { \sqrt { M _ { 0 } } x _ { 0 } } , } \\ { w } & { = r ^ { - 1 / 2 } ( \sqrt { M _ { 0 } / M _ { 1 } } x _ { 0 } p _ { 1 } - \sqrt { M _ { 1 } / M _ { 0 } } x _ { 1 } p _ { 0 } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \mathop { V a r } } \big [ w ( x \mid \theta _ { t } ) I ( Y ( x ) \ge y ) \big ] } \\ & { = \mathbb { E } \big [ w ( x \mid \theta _ { t } ) ^ { 2 } I ( Y ( x ) \ge y ) ^ { 2 } \big ] - \mathbb { E } \big [ w ( x \mid \theta _ { t } ) I ( Y ( x ) \ge y ) \big ] ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \big [ w ( x \mid \theta _ { t } ) I ( Y ( x ) \ge y ) \mid \theta _ { t } \big ] - P ( y \mid \theta _ { t } ) ^ { 2 } } \\ & { \le \mathbb { E } \biggl [ \frac { S \times I ( y \le Y ( x ) \le y _ { \mathrm { m a x } } ) } { C + \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } \big ( Y ( x ) - \epsilon \big ) \big ] } \biggm | \theta _ { t } \biggr ] + \frac { S } { C + 1 } \mathbb { E } \bigl [ I ( Y ( x ) \ge y _ { \mathrm { m a x } } ) \bigm | \theta _ { t } \bigr ] - P ( y \mid \theta _ { t } ) ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { S } { C + \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } ( y - \epsilon ) \big ] } \mathbb { E } \left[ I ( y \le Y ( x ) \le y _ { \mathrm { m a x } } ) \mid \theta _ { t } \right] + \frac { S } { C + 1 } P ( y _ { \mathrm { m a x } } \mid \theta _ { t } ) - P ( y \mid \theta _ { t } ) ^ { 2 } } \\ & { = S \times \left[ \frac { P ( y \mid \theta _ { t } ) - P ( y _ { \mathrm { m a x } } \mid \theta _ { t } ) } { C + \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } ( y - \epsilon ) \big ] } + \frac { P ( y _ { \mathrm { m a x } } \mid \theta _ { t } ) } { C + 1 } \right] - P ( y \mid \theta _ { t } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { S } } = \langle \boldsymbol { U } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { S } } = \int _ { \mathcal { S } } ( \operatorname { \Pi } [ \boldsymbol { U } ] , \operatorname { \Pi } [ \boldsymbol { \Psi } ] ) \, \mathrm { d } \mathcal { S } = \int _ { \mathcal { S } } \boldsymbol { U } _ { I } \operatorname { \Pi } _ { I J } \boldsymbol { \Psi } _ { J } \, \mathrm { d } \mathcal { S } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \sum _ { \gamma , \delta } T r [ A _ { \gamma \delta } ( 1 ) A _ { \delta \gamma } ( 2 ) ] = T r [ - s _ { 1 2 } ^ { \dagger } s _ { 1 2 } - s _ { 2 1 } ^ { \dagger } s _ { 2 1 } ] } , } \\ { = - T _ { 2 1 } - T _ { 1 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi ( r ) d ^ { 3 } r } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } \left( \frac { Q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 3 } } - \frac { Q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 2 } r } \right) 4 \pi r ^ { 2 } d r } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) = \frac { { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) + \sigma ^ { \prime } \mathrm { i } Z { \bf H } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } { 2 } } & { { } = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { + l } \left( \frac { { a _ { l m } ^ { \sigma } + \sigma ^ { \prime } b _ { l m } ^ { \sigma } } } { \sqrt { 2 } } \right) \left( \frac { { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) + \sigma ^ { \prime } { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) } { \sqrt { 2 } } \right) = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { + l } D _ { l m } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \boldsymbol { \Phi } _ { l m } ^ { \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) , } \end{array}