harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| h \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } ^ { 2 } } & { \gtrsim \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \frac { 1 } { \langle \xi \rangle } h ( \xi ) ^ { 2 } d \xi } \\ & { \geq \frac { 1 } { \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \int _ { \langle \xi \rangle \leq \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } h ( \xi ) ^ { 2 } d \xi } \\ & { \geq \frac { 1 } { \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \left( \| h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \int _ { \langle \xi \rangle \geq \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } h ( \xi ) ^ { 2 } d \xi \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \left( \| h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \int _ { \langle \xi \rangle \geq \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } e ^ { \frac { 1 } { 4 } ( e ^ { \eta } - 1 ) \beta _ { i n } ( | \xi | ^ { 2 } + 1 - \theta ^ { 2 } t ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) } h ( \xi ) ^ { 2 } d \xi \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { \theta t ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \left( \| h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - e ^ { - \frac { 1 } { 4 } ( e ^ { \eta } - 1 ) \beta _ { i n } \theta ^ { 2 } t ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) } \| e ^ { \frac { 1 } { 4 } ( e ^ { \eta } - 1 ) \beta _ { i n } ( | \xi | ^ { 2 } + 1 ) } h \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { i } } = E [ i ( t ) ] } & { = \sum _ { l } p h ( t - l \Delta t ) , } \\ { E [ i ^ { 2 } ( t ) ] } & { = \sum _ { l } \sum _ { k } E [ X _ { l } X _ { k } ] h ( t - l \Delta t ) h ( t - k \Delta t ) } \\ & { = \sum \sum _ { l \neq k } p ^ { 2 } h ( t - l \Delta t ) h ( t - k \Delta t ) + \sum _ { l } p h ^ { 2 } ( t - l \Delta t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) } & { { } = n _ { + } ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) + n _ { - } ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 - t } { \sqrt { 1 - t } } + g \tilde { r } \frac { 4 - 3 t } { 4 \sqrt { 1 - t } } \cos \tilde { \phi } } \end{array}
\int d ^ { 2 } \theta \, \theta ^ { 2 } \Bigr \{ \frac { \delta W _ { m } } { \delta \bar { \Phi } _ { A } ( \theta ) } + \Phi ^ { A } ( \theta ) \Bigr \} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac { \delta W _ { m } } { \delta \eta _ { A } } = \phi ^ { A } ,
\begin{array} { r l } { g _ { c d } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = } & { \frac { \left\langle \Psi _ { \mathrm { o u t } } \mid \hat { \psi } _ { d } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { c } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { c } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { d } ( \boldsymbol { r } ) \mid \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle } { \left\langle \Psi _ { \mathrm { o u t } } \mid \hat { \psi } _ { d } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { d } ( \boldsymbol { r } ) \mid \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle \left\langle \Psi _ { \mathrm { o u t } } \mid \hat { \psi } _ { c } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { c } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \mid \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle } } \\ { = } & { \frac { | \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } | \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } + | \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } | \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } - \left\{ \eta _ { A } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ) \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ) \eta _ { B } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) e ^ { - i [ \Phi _ { A } ( \boldsymbol { r } ) - \Phi _ { B } ( \bar { \boldsymbol { r } } ) + \Phi _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) - \Phi _ { A } ( \bar { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) ] } + \mathrm { c . c . } \right\} } { \left[ \left| \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } + \left| \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } \right] \left[ \left| \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } + \left| \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n } & { { } = n _ { 1 } + n _ { 2 } \ , } \\ { m } & { { } = \frac { n _ { 1 } m _ { 1 } + n _ { 2 } m _ { 2 } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } } \ , \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \sigma } & { { } = \sqrt { \frac { ( n _ { 1 } - 1 ) \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + ( n _ { 1 } - 1 ) \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { n _ { 1 } n _ { 2 } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } } ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } - 1 } } \ . } \end{array}
B _ { 8 } = \left( \begin{array} { c c } { { P } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , B _ { 9 } = \left( \begin{array} { c c } { { Q } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , B _ { 7 } = \left( \begin{array} { c c } { { b I } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , B _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { I v t } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\eta = \frac { A _ { \mathrm { o b s } } } { A _ { \mathrm { J } } } = \frac { A _ { \mathrm { o b s } } \Omega _ { \mathrm { B } } } { k _ { \mathrm { B } } \Delta \nu T _ { \mathrm { J } } \Omega _ { \mathrm { J } } } \, .
\begin{array} { r l } { \left\langle w , ( u _ { g } ) _ { t } \right\rangle + \left\langle w , f _ { 0 } u _ { a g } ^ { \perp } + \beta y u _ { g } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , g \eta _ { a g } \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \alpha , ( \eta _ { g } ) _ { t } + H \nabla \cdot ( u _ { g } ) \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { x } } & { { } = \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { d } } \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 1 } } E _ { x } + \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 2 } } S _ { x x } p _ { x } , } \\ { m _ { y } } & { { } = \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 1 } } H _ { y } + \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 2 } } S _ { y y } m _ { y } , } \end{array}
\partial _ { \theta } B _ { 2 } ( \theta , \varphi _ { t } ^ { ( 0 ) } ) = \partial _ { \theta } \left( \frac { ( B _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 B _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) ( \theta , \varphi _ { t } ^ { ( 0 ) } ) .
\begin{array} { r c l } { { { \displaystyle \left( { \cal V } _ { m _ { 1 } , 2 } \otimes { \cal V } _ { m _ { 2 } , 2 } \right) _ { \mathrm f } } } } & { { = } } & { { \displaystyle \bigoplus _ { m } { \cal R } _ { m , 1 } \, , } } \\ { { \displaystyle \left( { \cal V } _ { m _ { 1 } , 1 } \otimes { \cal R } _ { m _ { 2 } , 1 } \right) _ { \mathrm f } } } & { { = } } & { { \displaystyle \bigoplus _ { m } { \cal R } _ { m , 1 } \, , } } \\ { { \displaystyle \left( { \cal V } _ { m _ { 1 } , 2 } \otimes { \cal R } _ { m _ { 2 } , 1 } \right) _ { \mathrm f } } } & { { = } } & { { \displaystyle \bigoplus _ { m } \left( { \cal V } _ { m , 2 } \oplus { \cal V } _ { m , 2 } \oplus \underline { { { { \cal V } _ { m - 1 , 2 } } } } \oplus { \cal V } _ { m + 1 , 2 } \right) \, , } } \\ { { \displaystyle \left( { \cal R } _ { m _ { 1 } , 1 } \otimes { \cal R } _ { m _ { 2 } , 1 } \right) _ { \mathrm f } } } & { { = } } & { { \displaystyle \bigoplus _ { m } \left( { \cal R } _ { m , 1 } \oplus { \cal R } _ { m , 1 } \oplus \underline { { { { \cal R } _ { m - 1 , 1 } } } } \oplus { \cal R } _ { m + 1 , 1 } \right) \, , } } \end{array}
\forall f \in L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) , \quad \| \widetilde { \mathcal { K } } _ { g } ( f ) \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \leqslant C C _ { 0 } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } ,
\frac { 1 } { R } \rightarrow \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { q \not = 0 } \frac { e ^ { i q \cdot R } } { \sum _ { i } \hat { q } _ { i } ^ { 2 } } , \; \hat { q } _ { i } ^ { 2 } = 2 \sin \frac { q _ { i } } { 2 }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } f ( x , \xi , v ) e ^ { i N P ( x , \xi , v ) } d x d \xi d v } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } \chi ( x ) f ( x , \xi , v ) e ^ { i N P ( x , \xi , v ) } d x d \xi d v } \\ & { \qquad + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { T ^ { * } \mathbb { R } ^ { 3 } } ( 1 - \chi ( x ) ) f ( x , \xi , v ) e ^ { i N P ( x , \xi , v ) } d x d \xi d v . } \end{array}
[ \widetilde { \varrho } _ { \varepsilon } , \widetilde { \vartheta } _ { \varepsilon } , \widetilde { \ell } _ { \varepsilon } ] : = [ \overline { { \varrho } } , \overline { { \vartheta } } , \log ( \overline { { \vartheta } } ) ] + \varepsilon ^ { m } [ \widetilde { \varrho } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { \vartheta } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \widetilde { \ell } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } ] .
\alpha ( k ^ { 2 } ) = 2 \pi ^ { 3 } D k ^ { 2 } \delta ^ { ( 4 ) } ( k ) + \pi D \frac { k ^ { 4 } } { \omega ^ { 6 } } \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } } + \frac { \pi \gamma _ { m } ( 1 - \exp ( - k ^ { 2 } / 4 m _ { t } ^ { 2 } ) } { \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \tau + \left( 1 + k ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] }
{ { \boldsymbol { \Gamma } ^ { \prime } } ^ { \mathbb { C } } } _ { \! \! \! \! \! \! \mathrm { c p } } ( E ^ { \ast } ) [ I ] \ncong { { \boldsymbol { \Gamma } ^ { \prime } } ^ { \mathbb { C } } } _ { \! \! \! \! \! \! \mathrm { c p } } ( E ^ { \ast } ) [ i _ { 1 } ] \otimes \dots \otimes { { \boldsymbol { \Gamma } ^ { \prime } } ^ { \mathbb { C } } } _ { \! \! \! \! \! \! \mathrm { c p } } ( E ^ { \ast } ) [ i _ { n } ]
\sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi m y ) } { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } / y ^ { 2 } } \frac { \sqrt { x + \sqrt { x ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \approx - \frac { \pi y ^ { 3 / 2 } } { 4 n } \frac { \sqrt { \sqrt { n ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - x y } } { \sqrt { n ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { a _ { i } + \delta _ { i } ^ { + } - \delta _ { i } ^ { - } } & { = a _ { i } ^ { \prime } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i = 1 , \ldots , n , } \\ { b + \sum _ { i : \delta _ { i } ^ { + } > 0 } \delta _ { i } ^ { + } u _ { i } - \sum _ { i : \delta _ { i } ^ { - } > 0 } \delta _ { i } ^ { - } \ell _ { i } } & { \le b ^ { \prime } . } \end{array}
\mathbf { V } _ { s _ { k - 1 } , s _ { k } } ^ { ( k ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \xi } } w _ { j } y _ { s _ { k - 1 } , s _ { k } } ^ { ( k ) } ( z _ { j } ) = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { \xi } } w _ { j } \mathbf { L } _ { i , j } \mathbf { Y } _ { s _ { k - 1 } , i , s _ { k } } ^ { ( k ) } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathbf { L } _ { i , j } = \ell _ { i } ( z _ { j } ) .
\begin{array} { r l r } { \tau _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { \eta } { \lambda } , } \\ { \tau _ { \pm } } & { { } = } & { \frac { \alpha \pm \sqrt { \beta } } { 6 \lambda \chi } , } \\ { \alpha } & { { } = } & { \kappa ^ { 2 } \delta \chi \lambda + \chi ( 4 \eta + \lambda - \chi ) + ( \lambda + \chi ) \chi _ { \perp } , } \\ { \beta } & { { } = } & { \kappa ^ { 4 } \delta \chi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } - 2 \kappa ^ { 2 } \lambda \chi \delta \chi ( - 4 \eta + \lambda + \chi ) + 2 ( \lambda + \chi ) \chi _ { \perp } \left[ \kappa ^ { 2 } \delta \chi \lambda + \chi ( 4 \eta + \lambda - \chi ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( M ) } & { = \int _ { M } d x \wedge d y = \int _ { { D } ^ { 2 } } \varphi ^ { \ast } d x \wedge \varphi ^ { \ast } d y } \\ & { = \int _ { { D } ^ { 2 } } \frac { d p } { \sqrt { a } } \wedge \frac { d q } { \sqrt { b } } = \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { { D } ^ { 2 } } d p \wedge d q = \frac { \pi } { \sqrt { a b } } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { V } } & { { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { M } d ^ { 2 } x \Omega } } & { { \left[ \frac { 1 } { 2 } F _ { i j } F ^ { i j } + D _ { i } \phi \overline { { { D ^ { i } \phi } } } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. + \frac { 1 } { 4 } ( | \phi | ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { m } _ { \eta } } { d t } } & { { } = - \gamma \left( \mathbf { m } _ { \eta } \times \mathbf { H } _ { \eta } \right) - \frac { \gamma \alpha } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \mathbf { m } _ { \eta } \times \left( \mathbf { m } _ { \eta } \times \mathbf { H } _ { \eta } \right) + \frac { \gamma \tilde { \alpha } _ { \parallel } } { 1 + \alpha ^ { 2 } } m _ { \eta } ^ { 2 } \left[ m _ { \eta } ^ { 2 } - 1 \right] \mathbf { m } _ { \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \underline { { \int _ { a } ^ { b } } } } c f ( x ) } & { { } = c { \overline { { \int _ { a } ^ { b } } } } f ( x ) } \\ { { \overline { { \int _ { a } ^ { b } } } } c f ( x ) } & { { } = c { \underline { { \int _ { a } ^ { b } } } } f ( x ) } \end{array}
\phi ^ { 0 } = H ^ { + } \quad ; \quad \phi ^ { \ell } = H ^ { \ell } \, \, ( \ell = 1 , \dots , r ) \quad \Rightarrow \quad H ^ { - } = \frac { 1 + \mathbf { \phi } ^ { 2 } } { \phi ^ { 0 } }
\frac { \delta ^ { 2 } } { \lambda _ { K } } + \lambda _ { K } \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Delta } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \geq 2 \delta \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Delta } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { \mathrm { F } } .
\begin{array} { r l r } { { \cal A } _ { 4 } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\nu ^ { \mathrm { X } } ( t ) ( \cdot ) : = \nu ^ { \mathrm { X } } ( t ) \left( \, \cdot \, , \mathrm { X } \right) \, , \quad \nu ^ { \mathrm { Y } } ( t ) ( \cdot ) : = \nu ^ { \mathrm { Y } } ( t ) \left( \, \cdot \, , \mathrm { Y } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { ( \mathbb { R } ^ { d } \setminus ( O _ { x } \cup I _ { x } ) ) \cap \{ y \in \mathbb { R } ^ { d } : | y | < \frac { r \sqrt { 3 } } { 2 } \} } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | x - y | ^ { - d - \alpha } d y } & { \leq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int _ { ( \mathbb { R } ^ { d } \setminus ( O _ { x } \cup I _ { x } ) ) \cap \{ y \in \mathbb { R } ^ { d } : | y | < r \} } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \left( \frac { | y | ^ { 2 } } { 2 } + x _ { d } \right) ^ { \frac { - d - \alpha } { 2 } } d y } \\ & { = \! \! \! \! \! \int _ { \{ y \in \mathbb { R } ^ { d } : | \tilde { y } | < r \} } \! \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { | \tilde { y } | ^ { 2 } } \left( \frac { | \tilde { y } | ^ { 2 } } { 2 } + y _ { d } + x _ { d } \right) ^ { \frac { - d - \alpha } { 2 } } d y _ { d } \, d \tilde { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ( x ) } & { = \Phi _ { d } ^ { s } ( x , 0 ) a ^ { s } + \Phi _ { d } ^ { u } ( x , L _ { 0 } ) a ^ { u } + \int _ { 0 } ^ { x } \Phi _ { d } ^ { c s } ( x , y ) H ( v ( y ) , \epsilon ^ { 2 } ) d y } \\ & { + \int _ { L _ { 0 } } ^ { x } \Phi _ { d } ^ { u } ( x , y ) H ( v ( y ) , \epsilon ^ { 2 } ) d y , \quad 0 \leq x \leq L _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \langle K \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) , ( \overline { { \mathbf { z } ^ { t } } } - \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) / K \rangle = \mathbb { E } \langle K \nabla f ( \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) , - \eta \nabla f ( \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) + \eta \nabla f ( \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) + ( \overline { { { \bf z } ^ { t } } } - \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) / K \rangle } \\ & { = - \eta K \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } \langle K \nabla f ( \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) , \eta \nabla f ( \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) + ( \overline { { { \bf z } ^ { t } } } - \overline { { { \bf x } ^ { t } } } ) / K \rangle } \\ & { \overset { a ) } { = } - \eta K \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } \langle K \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) , \frac { \eta } { m K } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \Big ( \nabla F _ { i } ( \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) - \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k } + \delta _ { i , k } ; \xi ) \Big ) \rangle } \\ & { \overset { b ) } { \leq } - \eta K \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \eta \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| \cdot \mathbb { E } \left\| \frac { L } { m ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) - \mathbf { y } ^ { t , k } - \delta _ { i , k } ) \right\| } \\ & { \overset { c ) } { \leq } \frac { - \eta K } { 2 } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \frac { \eta L ^ { 2 } K ^ { 2 } } { 2 K } \Big ( 2 K ( \frac { 4 K ^ { 3 } L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } { 2 K - 1 } + 8 K \eta ^ { 2 } ( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } \\ & { + \frac { 8 K \eta ^ { 2 } } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } ) + \frac { 2 K \rho ^ { 2 } } { 2 K - 1 } \Big ) , } \end{array}
\mathbb { E } \Vert x _ { k } \Vert ^ { p } \leq ( ( 1 + \epsilon ) \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) ) ^ { k } \mathbb { E } \Vert x _ { 0 } \Vert ^ { p } + \frac { 1 - ( ( 1 + \epsilon ) \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) ) ^ { k } } { 1 - ( 1 + \epsilon ) \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) } \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { p } { p - 1 } } - ( 1 + \epsilon ) } { \left( ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } - 1 \right) ^ { p } } \mathbb { E } \Vert q _ { 1 } \Vert ^ { p } .
S _ { R ^ { 4 } } ^ { A } = \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g } ~ 2 \zeta ( 3 ) e ^ { - 2 \phi } ( t _ { 8 } t _ { 8 } + \frac { 1 } { 8 } \epsilon _ { 1 0 } \epsilon _ { 1 0 } ) R ^ { 4 } + \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 } ( t _ { 8 } t _ { 8 } - \frac { 1 } { 8 } \epsilon _ { 1 0 } \epsilon _ { 1 0 } ) R ^ { 4 }
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\int _ { - \infty } ^ { 0 } d w ^ { - } e ^ { - i \frac { { p _ { \perp } } ^ { 2 } } { 2 p ^ { - } } w ^ { - } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d z ^ { - } e ^ { + i \frac { { q _ { \perp } } ^ { 2 } } { 2 p ^ { - } } z ^ { - } } = - \frac { ( 2 p ^ { - } ) ^ { 2 } } { { p _ { \perp } } ^ { 2 } { q _ { \perp } } ^ { 2 } } \, .
a _ { h _ { i } } \left( v , w ^ { * } \right) : = \sum _ { j = 0 } ^ { k } w _ { i , j } ^ { * } \big ( \int _ { x _ { i , j } } ^ { x _ { i , j + 1 } } v _ { t } d x + v _ { i , j + 1 } ^ { - } - v _ { i , j } ^ { - } + \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \int _ { x _ { i , j } } ^ { x _ { i , j + 1 } } ( v _ { h } - P _ { h } ^ { l - 1 } v _ { h } ) d x \big ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } A ( z , \tau ) } & { = - \sqrt { d } P ( z , \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } P _ { \Delta } ( z , \tau ) } & { = - ( \bar { \gamma } - i \Delta ) P _ { \Delta } ( z , \tau ) + \sqrt { d } \sqrt { p _ { \Delta } } A ( z , \tau ) - i \frac { \Omega ( \tau ) } { 2 } B _ { \Delta } ( z , \tau ) } \\ { \partial _ { \tau } B _ { \Delta } ( z , \tau ) } & { = - \gamma _ { B } B _ { \Delta } ( z , \tau ) - i \frac { \Omega ^ { * } ( \tau ) } { 2 } P _ { \Delta } ( z , \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { r } = \frac { r } { R } , \quad \hat { z } = \frac { z } { R } , \quad \hat { t } = \frac { \alpha t } { R ^ { 2 } } , \quad \hat { T } = \frac { T - T _ { 0 } } { T _ { 0 } } , \quad \hat { q } _ { r , z } = q _ { r , z } \frac { R } { \lambda T _ { 0 } } , \quad \hat { q } _ { v } = q _ { v } \frac { R ^ { 2 } } { \lambda T _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 2 } ) { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { - 2 } \} } \\ & { = } & { { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 2 } \| U _ { i } \| ^ { 2 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \} + { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 2 } \| U _ { i } \| ^ { 2 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { \{ p + \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \} { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 2 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \} + \{ { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 4 } ) \} ^ { 1 / 2 } \{ { \mathbb { E } } \| U _ { i } \| ^ { 6 } \} ^ { 1 / 3 } \{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \} ^ { 1 / 6 } } \\ & { \lesssim } & { \{ p + \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \} { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 2 } ) + \zeta _ { 4 } ^ { 1 / 2 } \times p \times c _ { 1 } ^ { 1 / 6 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } / 6 \} } \\ & { \lesssim } & { \zeta _ { 2 } p \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \boldsymbol { u } } _ { I k } ^ { l } = \sum _ { J } { \boldsymbol { c } } _ { J k } ^ { l } \odot \left( { \boldsymbol { W } } _ { g } ^ { l } { \boldsymbol { e } } _ { I J } ^ { l } \right) , } \\ & { { \boldsymbol { c } } _ { I k } ^ { l + 1 } = \sigma ( { \boldsymbol { W } } _ { v } ^ { l } { \boldsymbol { c } } _ { I k } + { \boldsymbol { W } } _ { u } ^ { l } { \boldsymbol { u } } _ { I k } ^ { l } ) , } \end{array}
g = { \begin{array} { c } { x } \\ { \longrightarrow } \\ { \left[ { \begin{array} { r r r r r r r r } { - 7 6 } & { - 7 3 } & { - 6 7 } & { - 6 2 } & { - 5 8 } & { - 6 7 } & { - 6 4 } & { - 5 5 } \\ { - 6 5 } & { - 6 9 } & { - 7 3 } & { - 3 8 } & { - 1 9 } & { - 4 3 } & { - 5 9 } & { - 5 6 } \\ { - 6 6 } & { - 6 9 } & { - 6 0 } & { - 1 5 } & { 1 6 } & { - 2 4 } & { - 6 2 } & { - 5 5 } \\ { - 6 5 } & { - 7 0 } & { - 5 7 } & { - 6 } & { 2 6 } & { - 2 2 } & { - 5 8 } & { - 5 9 } \\ { - 6 1 } & { - 6 7 } & { - 6 0 } & { - 2 4 } & { - 2 } & { - 4 0 } & { - 6 0 } & { - 5 8 } \\ { - 4 9 } & { - 6 3 } & { - 6 8 } & { - 5 8 } & { - 5 1 } & { - 6 0 } & { - 7 0 } & { - 5 3 } \\ { - 4 3 } & { - 5 7 } & { - 6 4 } & { - 6 9 } & { - 7 3 } & { - 6 7 } & { - 6 3 } & { - 4 5 } \\ { - 4 1 } & { - 4 9 } & { - 5 9 } & { - 6 0 } & { - 6 3 } & { - 5 2 } & { - 5 0 } & { - 3 4 } \end{array} } \right] } \end{array} } { \Bigg \downarrow } y .
\begin{array} { r c l } { L ^ { * } } & { = } & { - \left( \frac { B ^ { * } } { A ^ { * } } + g ( s _ { 0 } ) \right) \exp ( - A ^ { * } t ) + \frac { B ^ { * } } { A ^ { * } } } \\ & { = } & { s _ { 0 } \varepsilon _ { S S l } \left( - \left( 1 + \frac { k _ { 2 } } { k _ { 1 } K _ { M } ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) } \varepsilon _ { S S l } \right) \, \exp { ( - ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) \lambda t ) } + \frac { k _ { 2 } } { k _ { 1 } K _ { M } ( 1 + \varepsilon _ { S S l } ) } \varepsilon _ { S S l } \right) , } \end{array}