harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { p } } } & { = - \hat { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \boldsymbol { a } \left( p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) \right) + \hat { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \hat { \mathcal { A } } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, } \\ & { = - \hat { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \boldsymbol { a } \left( p ^ { n } - F ( A ^ { n } ) \right) + \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, } \\ & { = \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, . } \end{array}
{ \footnotesize \begin{array} { r l } & { L ^ { \prime } = \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } S ^ { \alpha } S ^ { \beta } + \beta \sum _ { \alpha } ( \mu _ { _ { J } } m _ { \alpha } + h ) S ^ { \alpha } } \\ & { + \gamma \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } S ^ { \alpha } S ^ { \beta } + \gamma ^ { \prime } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } S ^ { \alpha } , } \end{array} }
k _ { K L } ^ { \infty } = \frac { | \xi _ { 1 } | } { 2 \pi } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { U } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \right) } { \left| \operatorname* { d e t } \left( \mathbf { U } _ { s } ^ { ( 2 ) } \right) \right| } } \ e ^ { - \Delta U } ,
< A _ { 2 } | n > = \left( \frac { k \tau _ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } | \tau | ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \, \frac { ( - i ) ^ { n } } { \sqrt { n ! } } \, \left( \frac { i \bar { \tau } } { 2 \tau _ { 2 } } \right) ^ { n / 2 } \, e ^ { \frac { k } { 4 i \pi \tau } A _ { 2 } ^ { 2 } } \, P _ { n } \left( \sqrt { \frac { k } { 2 i \pi \bar { \tau } } } \, A _ { 2 } ; \frac { i \bar { \tau } } { - i \tau } \right) \ \ \ .
M _ { Z } = \frac { \strut \displaystyle M } { \strut \displaystyle \cos \theta _ { W } \, \sqrt { 1 + \Bigl ( \frac { \strut \displaystyle M } { \strut \displaystyle M ^ { \prime } } ^ { 2 } \Bigr ) \, \tan ^ { 2 } \theta _ { W } } }
e ^ { c \phi } e ^ { f ( q ^ { a } ) } - e ^ { - 2 c \phi } e ^ { - 2 f ( q ^ { a } ) } = e ^ { \phi } [ \, c + c _ { 1 } + Y _ { 0 } X _ { 0 } f ( q ^ { a } ) \, ] - e ^ { - 2 \phi } [ \, c + c _ { 1 } - Y _ { 1 } X _ { 0 } f ( q ^ { a } ) \, ] .
\begin{array} { r l } { \frac { d ( d ^ { 2 } / 2 ) } { d z } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d z } \left[ ( z - z _ { g } ) ^ { 2 } + ( p _ { \mathrm { R S } } ^ { n } ( z ) - \varpi _ { g } ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { L } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) = } & { \nabla _ { 1 } u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \cdot \nabla _ { 1 } u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) } \\ { + } & { \nabla _ { 2 } u ( { \mathbf { r } _ { 2 } } , { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \cdot \nabla _ { 2 } u ( { \mathbf { r } _ { 2 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) } \\ { + } & { \nabla _ { 3 } u ( { \mathbf { r } _ { 3 } } , { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \cdot \nabla _ { 3 } u ( { \mathbf { r } _ { 3 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { + } ^ { 2 } - \lambda _ { - } ^ { 2 } } & { \le | \nabla f _ { \bar { t } } ^ { + } ( \bar { x } ) | ^ { 2 } - | \nabla f _ { \bar { t } } ^ { - } ( \bar { x } ) | ^ { 2 } } \\ & { = \alpha ^ { 2 } ( 1 - \tau \varepsilon / 2 ) ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } - 2 c \bar { t } \varepsilon ( \alpha - \beta ) \partial _ { d } \varphi ( \bar { x } ) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) } \\ & { \le \lambda _ { + } ^ { 2 } - \lambda _ { - } ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } \tau \varepsilon + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial x } = ( U _ { G } ^ { ( \pm ) } ) ^ { \dag } \left( \frac { 1 } { w } ( a _ { x } - a _ { x } ^ { \dag } ) \mp i \frac { w k } { 2 R } ( a _ { x } + a _ { x } ^ { \dag } ) \right) U _ { G } ^ { ( \pm ) } ,
\begin{array} { r c l } { e ^ { i ( z x ) } x } & { = } & { \cos ( z x ) x + i \underbrace { \cos \left( z \left( x - \frac { \pi } { 2 z } \right) \right) \left( x - \frac { \pi } { 2 z } \right) } _ { \in \mathbf { T } ( \mathbf { S } ( \mathcal { U } ) ) = \mathbf { S } ( \mathcal { U } ) } + \frac { i \pi } { 2 z } \underbrace { \cos \left( z \left( x - \frac { \pi } { 2 z } \right) \right) } _ { \in \mathbf { T } ( \mathbf { S } ( \mathcal { U } ) ) = \mathbf { S } ( \mathcal { U } ) } , } \\ { e ^ { i ( - z x ) } x } & { = } & { \cos ( z x ) x - i \cos \left( z \left( x - \frac { \pi } { 2 z } \right) \right) \left( x - \frac { \pi } { 2 z } \right) - \frac { i \pi } { 2 z } \cos \left( z \left( x - \frac { \pi } { 2 z } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 : } & { \; \; \; l _ { Y , X } < h _ { Y , X } < \theta _ { 1 } < \theta _ { 2 } } \\ { 2 : } & { \; \; \; l _ { Y , X } < \theta _ { 1 } < h _ { Y , X } < \theta _ { 2 } } \\ { 3 : } & { \; \; \; l _ { Y , X } < \theta _ { 1 } < \theta _ { 2 } < h _ { Y , X } } \\ { 4 : } & { \; \; \; \theta _ { 1 } < l _ { Y , X } < h _ { Y , X } < \theta _ { 2 } } \\ { 5 : } & { \; \; \; \theta _ { 1 } < l _ { Y , X } < \theta _ { 2 } < h _ { Y , X } } \\ { 6 : } & { \; \; \; \theta _ { 1 } < \theta _ { 2 } < l _ { Y , X } < h _ { Y , X } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { I } } & { = | G | \prod _ { 1 \leq j \leq s } \left( 1 - \frac { 1 } { q _ { j } ^ { 2 } } \right) \prod _ { i \in I } \left( 1 - \frac { 1 } { p _ { i } } \right) \prod _ { i \notin I } \frac { 1 } { p _ { i } } , } \\ { \beta _ { I } } & { = | G | \prod _ { 1 \leq j \leq s } \left( 1 - \frac { 1 } { q _ { j } } \right) \prod _ { i \notin I } \left( 1 - \frac { 1 } { p _ { i } } \right) . } \end{array}
\sigma _ { z } \{ \varepsilon + \hbar \omega + t _ { 1 } \cos [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 0 } ( 2 K _ { x } ) + t _ { 2 } \cos ( q _ { x } b ) [ J _ { 0 } ( K _ { x } ) J _ { 0 } ( K _ { y } ) - 2 J _ { 1 } ( K _ { x } ) J _ { 1 } ( K _ { y } ) \cos ( \varphi ) +
x _ { \mathrm { { b } } } = \frac { \sum _ { \mathrm { { i } } } q _ { \mathrm { { i } } } x _ { \mathrm { { i } } } } { \sum _ { \mathrm { { i } } } q _ { \mathrm { { i } } } } \- \ \- \ \- \ y _ { \mathrm { { b } } } = \frac { \sum _ { \mathrm { { i } } } q _ { \mathrm { { i } } } y _ { \mathrm { { i } } } } { \sum _ { \mathrm { { i } } } q _ { \mathrm { { i } } } } ,
P _ { e } = \frac { 2 ^ { 3 / 2 } } { 3 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } m _ { e } ^ { 4 } c ^ { 5 } \beta _ { e } ^ { 5 / 2 } \left[ F _ { 3 / 2 } ( \eta , \beta _ { e } ) + \frac { \beta _ { e } } { 2 } F _ { 5 / 2 } ( \eta , \beta _ { e } ) \right] ,
c i r c ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \; \; \; \; \; \; | r - r _ { 0 } | > a } \\ { 0 \; \; \; \; \; \; | r - r _ { 0 } | \leq a \; \; \; \; , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \gamma _ { n + 1 } } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert ^ { 2 } } & { = \frac { \gamma _ { n } } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \gamma _ { n + 1 } - \gamma _ { n } \right) \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \gamma _ { n } } { 2 } \left\Vert s _ { n } \right\Vert ^ { 2 } + \gamma _ { n } \lambda _ { n } \left\langle g _ { n } , s _ { n } \right\rangle + \frac { \gamma _ { n } } { 2 } \lambda _ { n } ^ { 2 } \left\Vert g _ { n } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \gamma _ { n + 1 } - \gamma _ { n } \right) \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ 1 ~ J ~ F ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ \, ~ c ~ e ~ n ~ t ~ } } ( \ell ) = \frac { \lambda n _ { \mathrm { ~ D ~ } } } { \ell _ { 0 } } [ 2 n _ { \mathrm { ~ D ~ } } \operatorname { t a n h } ( \ell / 2 n _ { \mathrm { ~ S ~ } } \ell _ { 0 } ) - 1 ]
\frac { \Delta n ^ { ( 3 ) } \left( \omega , I \right) } { n _ { r } } = - \frac { \mu c I \sigma _ { \nu } \left\vert M _ { 2 1 } \right\vert ^ { 4 } } { \epsilon _ { 0 } n _ { r } ^ { 3 } } \frac { \Delta E - \hslash \omega } { \left[ \left( \Delta E - \hslash \omega \right) ^ { 2 } + \left( \hslash \Gamma _ { 2 1 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathbf { \Phi } _ { 1 } ) = } & { { } ~ \frac { ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { * } ) ^ { 2 } } { 2 x _ { 0 } ^ { * } } + y _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\| y - y ^ { \mathcal { N } } \right\| _ { S U P G } } & { \leq C \left( h ^ { m } \left( \varepsilon ^ { 1 / 2 } + h ^ { 1 / 2 } \right) | y | _ { H ^ { m + 1 } ( \Omega ) } + \left\| u ^ { \mathcal { N } } - u \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right) , } & { \forall h , } \\ { \left\| p - p ^ { \mathcal { N } } \right\| _ { S U P G } } & { \leq C \left( h ^ { r } \left( \varepsilon ^ { 1 / 2 } + h ^ { 1 / 2 } \right) | p | _ { H ^ { r + 1 } ( \Omega ) } + \left\| y ^ { \mathcal { N } } - y \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right) , } & { \forall h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } \Pi f } & { = \mathbf { P } \left( \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f d v d x \mu + \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f v d v d x \cdot ( v \mu ) + \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f \frac { | v | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } d v d x \left( \frac { | v | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } \mu \right) \right) } \\ & { = \mathbf { P } ( \mu ) \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f d v d x + \mathbf { P } ( v \mu ) \cdot \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f v d v d x + \mathbf { P } \left( \frac { | v | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } \mu \right) \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f \frac { | v | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } d v d x } \\ & { = \Pi \mathbf { P } f . } \end{array}
t ^ { \prime } \left( t ^ { 2 } - \frac { 4 } { \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } ( v ^ { 2 } - u _ { 2 } + \frac { \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 } ) t ^ { \prime } + \frac { 4 } { \Lambda _ { 2 } ^ { 2 } } ( v ^ { 2 } - u _ { 1 } ) \right) = 0 ,
\begin{array} { r } { \rho _ { y } \left| \psi ( \eta , \gamma ) \right> = ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \sum _ { q , m = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { q } \left| q \right> \otimes \left[ \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } \eta _ { m n } + ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } \gamma _ { m m } \right) \left| q m \right> \right. } \\ { \left. + \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } \gamma _ { m n } + ( - \lambda _ { y } ) ^ { m } \eta _ { m m } \right) \left| m q \right> \right] , } \end{array}
\frac { \widetilde { \omega } ^ { 2 } \left( \frac { \beta ^ { 2 . 4 3 } \left( \Delta + \Pi \right) } { H \Delta ^ { 1 . 1 5 } } \right) + \frac { \omega ^ { 2 . 6 4 } } { M \left( R _ { T } + \Pi ^ { 0 . 0 6 } \right) } } { \frac { \widetilde { \omega } ^ { 7 } } { R _ { T } ^ { 4 } } \left( \frac { M \Delta ^ { 6 . 7 9 } } { R _ { T } ^ { 2 . 3 9 } } \right) + \widetilde \omega ^ { 1 . 5 5 } \left( H + \widetilde \omega ^ { 0 . 9 4 } \right) }
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } = } & { \sum _ { i \neq j } \left( \begin{array} { l } { a _ { i } } \\ { b _ { i } } \end{array} \right) ^ { \dagger } \left( \begin{array} { l l l } { - t _ { i j } ^ { a } } & & { w _ { i j } e ^ { - i 2 \phi _ { i j } } } \\ { w _ { i j } e ^ { i 2 \phi _ { i j } } } & & { - t _ { i j } ^ { b } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { j } } \\ { b _ { j } } \end{array} \right) } \\ & { + \frac { \mu } { 2 } \sum _ { i } ( n _ { i } ^ { a } - n _ { i } ^ { b } ) . } \end{array}
\left( E \frac { d ^ { 3 } \sigma } { d { \bf p } ^ { 3 } } \right) _ { \mathrm { I \! P \mathrm { I \! P } } } = \Gamma _ { \mathrm { I \! P \mathrm { I \! P } } } \ e ^ { - a _ { \mathrm { I \! P \mathrm { I \! P } } } m _ { T } ^ { 2 } } \ ( m _ { T } \ \sqrt { s } ) ^ { 2 \epsilon } ,
\frac { \beta _ { \alpha _ { s } } ^ { t } } { \alpha _ { s } } = \frac { \alpha _ { s } } { 3 \pi } \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } ( 5 N _ { c } + 3 C _ { F } ) + { \cal O } ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \right] .
F ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { n \ln 2 } { t } { \binom { 2 n } { n } } \sum _ { j = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j } { \binom { n } { j } } \tilde { F } \left( \frac { ( n + j ) \ln 2 } { t } \right) \, ,
\overline { { r } } = \int r \ P ( { \bf r } ) \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 3 } { \bf r } = \left( \frac { 4 \pi n } { 3 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 3 } } \Gamma \left( \frac { 4 } { 3 } \right) .
Q _ { 0 } { } = { } \int _ { \theta - \pi / 2 } ^ { \theta + \pi / 2 } | \sin ( \theta - \theta _ { 1 } ) | \left( f ( x , \theta + \pi , t ) f ( x , \theta _ { 1 } , t ) - f ( x , \theta , t ) f ( x , \theta _ { 1 } + \pi , t ) \right) \, d \theta _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } & { \left| \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \Phi ( \omega ; \delta ) \right) - \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \Phi _ { N , h } ( \omega ; \delta ) \right) \right| } \\ & { \quad \le \frac { 1 } { 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \frac { k \log \left( 2 \pi \operatorname* { d e t } ( \Sigma ) \right) } { 2 } \right) \left| \Phi ( \omega ; \delta ) - \Phi _ { N , h } ( \omega ; \delta ) \right| } \\ & { \quad \le C \left| \Phi ( \omega ; \delta ) - \Phi _ { N , h } ( \omega ; \delta ) \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q ^ { 0 } } & { = } & { M _ { H } \left\{ \frac { \mathbb { H } ^ { 1 } \mathbb { G } ^ { 0 3 } ( \phi ) + \mathbb { H } ^ { 3 } \mathbb { G } ^ { 1 0 } ( \phi ) + \mathbb { H } ^ { 0 } \mathbb { G } ^ { 3 1 } ( \phi ) } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } - \frac { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 0 3 } ( \chi ) + \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 0 } ( \chi ) + \mathbb { G } ^ { 0 } \mathbb { H } ^ { 3 1 } ( \chi ) } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } \right\} , } \\ { q ^ { 1 } } & { = } & { \frac { \mathbb { H } ^ { 1 } \mathbb { G } ^ { 2 3 } ( \phi ) + \mathbb { H } ^ { 2 } \mathbb { G } ^ { 3 1 } ( \phi ) + \mathbb { H } ^ { 3 } \mathbb { G } ^ { 1 2 } ( \phi ) } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } - \frac { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 2 3 } ( \chi ) + \mathbb { G } ^ { 2 } \mathbb { H } ^ { 3 1 } ( \chi ) + \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 2 } ( \chi ) } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } + \varphi _ { B L } , } \\ { q ^ { 2 } } & { = } & { \pi \frac { \mathbb { H } ^ { 3 } \mathbb { G } ^ { 1 } ( \phi ) - \mathbb { H } ^ { 1 } \mathbb { G } ^ { 3 } ( \phi ) - \mathbb { H } ^ { 1 3 } ( \chi ) } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } , } \\ { q ^ { 3 } } & { = } & { \pi \frac { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } ( \chi ) - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } ( \chi ) + \mathbb { G } ^ { 1 3 } ( \phi ) } { \mathbb { G } ^ { 1 } \mathbb { H } ^ { 3 } - \mathbb { G } ^ { 3 } \mathbb { H } ^ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { q } } & { = } & { \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } p , } \\ { \dot { p } } & { = } & { - \frac { \gamma Q } { \omega _ { 0 } } \sqrt { 4 - P ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } - \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } q - \sqrt { \frac { 2 } { \omega _ { 0 } } } \alpha , } \\ { \dot { Q } } & { = } & { P - \frac { \gamma P q Q } { \omega _ { 0 } \sqrt { 4 - P ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } } , } \\ { \dot { P } } & { = } & { \frac { \gamma q Q ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } \sqrt { 4 - P ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } } - \frac { \gamma q } { \omega _ { 0 } } \sqrt { 4 - P ^ { 2 } - Q ^ { 2 } } - Q . } \end{array}
- \Bigl [ \left[ Q ( \xi ) , Q ( \eta ) \right] , a _ { - } ( k ) \Bigr ] = \Bigl [ \left[ Q ( \eta ) , a _ { - } ( k ) \right] , Q ( \xi ) \Bigr ] + \Bigl [ \left[ a _ { - } ( k ) , Q ( \xi ) \right] , Q ( \eta ) \Bigr ] .
\mathbf { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { 4 } \theta _ { a a } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 8 } \theta _ { c c } } & { \frac { 1 } { 8 } \theta _ { c d } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } \theta _ { a b } } & { \frac { 1 } { 8 } \theta _ { c c } } & { \frac { 1 } { 8 } \theta _ { c d } } \\ { \frac { 1 } { 8 } \theta _ { a a } } & { \frac { 1 } { 8 } \theta _ { a b } } & { \frac { 1 } { 4 } \theta _ { c c } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 8 } \theta _ { a a } } & { \frac { 1 } { 8 } \theta _ { a b } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } \theta _ { c d } } \end{array} \right)
\ensuremath { \boldsymbol { L } } _ { \mathrm { K } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \displaystyle h _ { 1 } - g _ { 1 } } { \displaystyle ( \mu _ { 1 } - \lambda _ { 1 } ) ( \mu _ { 1 } - \sigma _ { 1 } ) } } & { \cdots } & { \frac { \displaystyle h _ { r } - g _ { 1 } } { \displaystyle ( \mu _ { 1 } - \lambda _ { r } ) ( \mu _ { 1 } - \sigma _ { r } ) } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { \displaystyle h _ { 1 } - g _ { r } } { \displaystyle ( \mu _ { r } - \lambda _ { 1 } ) ( \mu _ { r } - \sigma _ { 1 } ) } } & { \cdots } & { \frac { \displaystyle h _ { r } - g _ { r } } { \displaystyle ( \mu _ { r } - \lambda _ { r } ) ( \mu _ { r } - \sigma _ { r } ) } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { M a _ { n } > 0 . 8 6 \mathrm { ~ , ~ } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad M a _ { n } = \frac { { { \mathbf { u } } \cdot \nabla p } } { { a \left| { \nabla p } \right| } } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { L } ^ { \ast } ( t ) = \left( [ S ] \frac { [ L ] } { \sum _ { l \in \mathcal { L } } [ l ] } \right) e ^ { 3 0 ( t _ { \mathrm { m i x } } - t ) } + } \\ & { \quad \frac { 1 - \frac { | P _ { S } - P _ { L } | } { \sum _ { l \in \mathcal { L } } | P _ { S } - P _ { l } | } } { 1 - \frac { \sum _ { l \in \mathcal { L } } [ l ] | P _ { S } - P _ { l } | } { ( \sum _ { l \in \mathcal { L } } [ l ] ) ( \sum _ { l \in \mathcal { L } } | P _ { S } - P _ { l } | ) } } \left( 1 - e ^ { 3 0 ( t _ { \mathrm { m i x } } - t ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } C + \langle { \bf { u } } \rangle \cdot \nabla C } & { = } & { 0 \, , } \\ { \nabla \cdot \langle { \bf { u } } \rangle } & { = } & { 0 \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho \langle { \bf { u } } \rangle ) + \nabla \cdot ( \rho \langle { \bf { u } } \rangle \, \langle { \bf { u } } \rangle ) } & { = } & { \rho { \bf { g } } } \\ { - \nabla \mathcal P + 2 \nabla \cdot [ ( \mu + \rho \nu _ { t } ) \, \langle { \bf { S } } \rangle ] } & { - } & { \gamma \kappa \nabla C \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } ^ { Z } f } & { = \int _ { \mathcal { X } } k ( \cdot , Z ) k ( Z , Z ) ^ { + } k ( Z , x ) k ( x , Z ) a \, \mathrm { d } \mu ( x ) } \\ & { = k ( \cdot , Z ) k ( Z , Z ) ^ { + } h _ { \mu } ( Z , Z ) a } \\ & { = \left[ k ( Z , Z ) ^ { + } h _ { \mu } ( Z , Z ) a \right] ^ { \top } k ( Z , \cdot ) . } \end{array}
\rho ( N ) = \frac { 1 } { Z _ { N } } \exp \left\{ - \beta _ { 0 } \left( \frac { \hbar \Omega _ { 0 } \gamma _ { c } } { 2 \Gamma _ { 0 } } \left[ N - \frac { \left( \gamma _ { a } - \Gamma _ { 0 } \right) } { \gamma _ { c } } \right] ^ { 2 } \right) \right\} \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \vec { f } ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } = - \frac { 1 } { 6 } \bigl [ ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } + 4 ( \vec { X } ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \vec { X } _ { \alpha } ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } + ( \vec { X } ^ { m + 1 } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { X } _ { \alpha } ^ { m + 1 } \bigr ] ^ { \perp } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S = \ln \Omega _ { E , \ell } } & { \approx n \ln \ell + n \ln { \sqrt { E } } + { \mathrm { c o n s t . } } } \\ & { = n \ln \ell + n \ln { \sqrt { E } } + f ( n ) } \\ { \ln \Omega _ { E , \ell , n } } & { \approx n \ln { \frac { \ell } { n } } + n \ln { \sqrt { \frac { E } { n } } } + { \mathrm { c o n s t . } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { d _ { 0 } ( z , z _ { 1 } ) = } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { 0 } ( \delta _ { z } , \delta _ { z _ { 1 } } ) } \\ { \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { 0 } ( v _ { x , T ; 0 } , v _ { x _ { 1 } , T _ { 1 } ; 0 } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { 0 } ( \delta _ { z } , v _ { x , T ; 0 } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { 0 } ( \delta _ { z _ { 1 } } , v _ { x _ { 1 } , T _ { 1 } ; 0 } ) } \\ { \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { T _ { 1 } } ( v _ { x , T ; T _ { 1 } } , \delta _ { x _ { 1 } } ) + \sqrt { H _ { n } T } + \sqrt { H _ { n } T _ { 1 } } } \\ { \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { T _ { 1 } } ( v _ { x , T ; T _ { 1 } } , \delta _ { z ^ { \prime } } ) + d _ { T _ { 1 } } ( z ^ { \prime } , x _ { 1 } ) + \sqrt { H _ { n } T } + \sqrt { H _ { n } T _ { 1 } } } \\ { \le } & { \sqrt { H _ { n } ( T - T _ { 1 } ) } + \sqrt { H _ { n } T } + \sqrt { H _ { n } T _ { 1 } } + 1 0 Q ^ { - \frac 1 2 } d } \\ { \le } & { 3 \sqrt { H _ { n } T } + 1 0 Q ^ { - \frac 1 2 } d . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { e _ { q } ( \lfloor C ^ { d } \rfloor , d ) } { e _ { q } ( 0 , d ) } } & { \ge } & { ( 1 - b ) \left( \frac { p + 1 } { p } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \right) ^ { d } \left( 1 - \frac { \sum _ { k = 0 } ^ { k ( d ) } C _ { d , k } } { ( 1 + \alpha _ { 3 } ) ^ { d } } \right) } \\ & { = } & { ( 1 - b ) \left( 1 - \frac { \sum _ { k = 0 } ^ { k ( d ) } C _ { d , k } } { ( 1 + \alpha _ { 3 } ) ^ { d } } \right) . } \end{array}
f g \left( t _ { 1 } , \dots , t _ { k + g } \right) = \frac { 1 } { ( k + g ) ! } \sum _ { \sigma } f \left( t _ { \sigma ( 1 ) } , \dots , t _ { \sigma ( k ) } \right) g \left( t _ { \sigma ( k + 1 ) } , \dots , t _ { \sigma ( k + g ) } \right) .
\left\{ \begin{array} { l l l l l } { a _ { e } , a _ { ( 1 2 ) } , a _ { ( 1 3 ) } , a _ { ( 2 3 ) } \in \mathbb R \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, a _ { ( 1 2 3 ) } = \overline { { a _ { ( 1 3 2 ) } } } , } \\ { a _ { e } \geq | a _ { ( 2 3 ) } | , } \\ { 2 a _ { e } + a _ { ( 1 2 3 ) } + a _ { ( 1 3 2 ) } + d ( a _ { ( 1 2 ) } + a _ { ( 1 3 ) } ) \geq 0 , } \\ { \left( a _ { e } + a _ { ( 2 3 ) } + \frac { d + 1 } { 2 } ( a _ { ( 1 2 ) } + a _ { ( 1 3 ) } + a _ { ( 1 2 3 ) } + a _ { ( 1 3 2 ) } ) \right) } \\ { \quad \quad \times \left( a _ { e } - a _ { ( 2 3 ) } + \frac { d - 1 } { 2 } ( a _ { ( 1 2 ) } + a _ { ( 1 3 ) } - a _ { ( 1 2 3 ) } - a _ { ( 1 3 2 ) } ) \right) } \\ { \quad \quad \geq \frac { d ^ { 2 } - 1 } { 4 } ( | a _ { ( 1 2 ) } - a _ { ( 1 3 ) } | ^ { 2 } + | a _ { ( 1 2 3 ) } - a _ { ( 1 3 2 ) } | ^ { 2 } ) . } \end{array} \right.
e ( D e f ( \Sigma ) ^ { m } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { h _ { 1 } } \left( { \frac { \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } { m _ { i } } } H - \psi _ { i } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { h _ { 2 } } \left( { \frac { \lambda _ { 1 } } { n _ { j } } } H - \psi _ { j } \right)
\begin{array} { r l r } { \hat { e } _ { 1 } ^ { ( t ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 1 } } \\ { \hat { e } _ { 2 } ^ { ( t ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 2 } } \\ { \hat { e } _ { 3 } ^ { ( t ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( { \cal \tilde { D } } , { \cal \tilde { B } } , { \cal \tilde { R } } ) = f ^ { 0 } + { { \cal \tilde { D } } } f ^ { { \cal { D } } } + { { \cal \tilde { B } } } f ^ { { \cal { B } } } + { { \cal \tilde { R } } } f ^ { { \cal { R } } } } \\ { + { { \cal \tilde { B } } { \cal \tilde { D } } } f ^ { { \cal { B } } { \cal { D } } } + { { \cal \tilde { D } } { \cal \tilde { R } } } f ^ { { \cal { D } } { \cal { R } } } + { { \cal \tilde { B } } { \cal \tilde { R } } } f ^ { { \cal { B } } { \cal { R } } } + { { \cal \tilde { D } } { \cal \tilde { B } } { \cal \tilde { R } } } f ^ { { \cal { D } } { \cal { B } } { \cal { R } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { R e _ { \lambda } } \sim { t ^ { n / 2 + 1 / 2 } } } \\ { \eta { \sim t ^ { \frac { { - n + 1 } } { 4 } } } } \\ { u _ { K } ^ { } \sim { t ^ { \frac { { n - 1 } } { 4 } } } . } \end{array}
v _ { m } ( z ) = \frac { \sqrt { m / 2 k } \left[ J _ { 1 } ( m / k ) Y _ { 2 } ( m e ^ { k | z | } / k ) - Y _ { 1 } ( m / k ) J _ { 2 } ( m e ^ { k | z | } / k ) \right] } { \sqrt { J _ { 1 } ( m / k ) ^ { 2 } + Y _ { 1 } ( m / k ) ^ { 2 } } } .