harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u ^ { n + 1 } - u ^ { n } \right\rangle + \Delta t \left\langle w , q ^ { n + 1 / 2 } ( \overline { { m } } ^ { n + 1 / 2 } ) ^ { \perp } \right\rangle } & { } \\ { \qquad - \Delta t \left\langle \nabla \cdot w , \pi ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D ^ { n + 1 } - D ^ { n } \right\rangle + \Delta t \left\langle \phi , \nabla \cdot \overline { { m } } ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , D ^ { n + 1 / 2 } q ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle + \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle - \left\langle \gamma , f \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle v , \overline { { m } } ^ { n + 1 / 2 } - m ^ { n + 1 / 2 } \right\rangle } & { = 0 , \quad \forall v \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \psi ( \theta _ { i } ) \right\| } & { = \mathbb { E } \sqrt { \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \psi ( \theta _ { i } ) \right\| ^ { 2 } } } \\ & { \leq \sqrt { \mathbb { E } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \psi ( \theta _ { i } ) \right\| ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { \mathbb { E } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \sigma _ { j } \psi ( \theta _ { i } ) ^ { \top } \psi ( \theta _ { j } ) } } \\ & { = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \| \psi ( \theta _ { i } ) \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \sum _ { j \neq i } \sigma _ { i } \sigma _ { j } \psi ( \theta _ { i } ) ^ { \top } \psi ( \theta _ { j } ) } } \\ & { = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \| \psi ( \theta _ { i } ) \| ^ { 2 } } , } \end{array}
\Delta _ { + } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } | m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ) = \frac 1 { 1 6 \pi } \int \frac { d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 3 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } d ^ { 2 } k _ { 3 \perp } \delta ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \delta ( 1 - x _ { 1 } - x _ { 3 } )
\begin{array} { r l r } { P _ { _ B } ( x , t ) } & { = } & { \frac { \gamma } { 2 v } \left[ e ^ { - ( \gamma + \alpha / 2 ) t } I _ { 0 } \left( \frac { \alpha \Delta ( x , t ) } { 2 v } \right) \right. } \\ & { + } & { \left. ( \gamma + \alpha ) \int _ { | x | / v } ^ { t } d t ^ { \prime } \ e ^ { - ( \gamma + \alpha / 2 ) t ^ { \prime } } I _ { 0 } \left( \frac { \alpha \Delta ( x , t ^ { \prime } ) } { 2 v } \right) \right] \theta ( v t - | x | ) . } \end{array}
c _ { \pm } ^ { 2 } = \frac { \gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \pm \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - \left[ | \gamma _ { 1 2 } | ^ { 2 } + \left( \gamma _ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \right] } \right) } { \left( \gamma _ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } } \, .
S _ { F } ( p ) \Gamma _ { \nu } ( p , k ) S _ { F } ( p + k ) D ^ { \mu \nu } ( k ) = \int d ^ { D } x \int d ^ { D } y \, \, e ^ { i k \cdot x + i p \cdot y } \langle O \vert T \left[ \psi ( 0 ) A _ { \mu } ( x ) \bar { \psi } ( y ) \right] \vert O \rangle
\begin{array} { r l } { f _ { \rho _ { n } } ^ { B } ( x , y ; a , b ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( 1 - a _ { i } b _ { i } ) \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } ( x _ { j } + y _ { i } ) ( 1 - a _ { j } b _ { i } ) , } \\ { f _ { \rho _ { n } } ^ { C } ( x , y ; a , b ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } + y _ { i } ) \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } ( x _ { i } + y _ { j } ) ( 1 - a _ { i } b _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \mathrm { I d e n t i t y \ I : } \ } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 2 } | k | e ^ { \frac { \lambda } { 4 } k ^ { 2 } } k ^ { q } { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 + q ; 1 + q ; - \frac { \lambda } { 2 } \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } k ^ { 2 } ) e ^ { i k x } d k } \\ & { } & { = 2 ^ { q - 1 } ( 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda ) ^ { - \frac { q + 2 } { 2 } } \Big [ q \Gamma ( \frac { q } { 2 } ) ( 1 + ( - 1 ) ^ { q } ) { _ 1 F _ { 1 } } ( \frac { q + 2 } { 2 } ; \frac { 1 } { 2 } ; - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda } ) } \\ & { } & { + 4 i x ( 1 - ( - 1 ) ^ { n } ) \Gamma ( \frac { q + 3 } { 2 } ) { _ 1 F _ { 1 } } ( \frac { q + 3 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } ; - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \lambda \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } - \lambda } ) \Big ] ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \Dot { \theta } _ { \mathrm { d f } } = \omega _ { \mathrm { d f } } - \sigma ^ { \uparrow } B ^ { k + 1 } \sin ( D ^ { k } \theta _ { \mathrm { d f } } ) } \\ { \Dot { \theta } _ { \mathrm { H } } = \omega _ { \mathrm { H } } } \\ { \Dot { \theta } _ { \mathrm { c f } } = \omega _ { \mathrm { c f } } - \sigma ^ { \downarrow } D ^ { k - 1 } \sin ( B ^ { k } \theta _ { \mathrm { c f } } ) \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { E } [ \{ \nu _ { \mathfrak { n } } \} , \{ \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } ) \} ] = 2 \sum _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n } } \, \langle \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) | \hat { h } _ { 1 } | \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \rangle + \operatorname* { m i n } _ { \{ \sigma _ { \mathfrak { n } } = \pm 1 \} } \sum _ { \mathfrak { n } } \sum _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \sigma _ { \mathfrak { n } } \sigma _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \sqrt { \nu _ { \mathfrak { n } } \, \nu _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } } \langle \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \psi _ { \mathfrak { n } } ( \vec { r } _ { 2 } ) | \hat { w } _ { 1 2 } | \psi _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 1 } ) \, \psi _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } ( \vec { r } _ { 2 } ) \rangle \, .
{ \begin{array} { r l } & { 1 + \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) + \left( { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 4 } } \right) + \left( { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 8 } } \right) + \left( { \frac { 1 } { 1 6 } } + \cdots + { \frac { 1 } { 1 6 } } \right) + \cdots } \\ { = } & { 1 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + \cdots . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \psi ( \mathbf { x } , t ) = B ( \psi ) = - i V ( \mathbf { x } ) \psi ( \mathbf { x } , t ) - i f ( | \psi ( \mathbf { x } , t ) | ^ { 2 } ) \psi ( \mathbf { x } , t ) , \quad \mathbf { x } \in \Omega , \ t > 0 , } \\ & { \psi ( \mathbf { x } , 0 ) = \psi _ { 0 } ( \mathbf { x } ) , \quad \mathbf { x } \in \overline { { \Omega } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T \Delta S } & { = \underbrace { \beta \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \! d \lambda \! \left[ \langle \mathcal { H } _ { u v } \rangle \! \left\langle \frac { \partial \mathcal { H } _ { u v } } { \partial \lambda } \right\rangle _ { \! \! \lambda } \! \! - \! \left\langle \mathcal { H } _ { u v } \frac { \partial \mathcal { H } _ { u v } } { \partial \lambda } \right\rangle _ { \! \! \lambda } \right] } _ { T \Delta S _ { u v } } } \\ & { + \underbrace { \beta \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \! d \lambda \! \left[ \langle \mathcal { H } _ { v v } \rangle \! \left\langle \frac { \partial \mathcal { H } _ { u v } } { \partial \lambda } \right\rangle _ { \! \! \lambda } \! \! - \! \left\langle \mathcal { H } _ { v v } \frac { \partial \mathcal { H } _ { u v } } { \partial \lambda } \right\rangle _ { \! \! \lambda } \right] } _ { T \Delta S _ { v v } } } \\ & { = T \Delta S _ { u v } + T \Delta S _ { v v } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { | G _ { n + 1 } ( \xi , \eta ) - \overline { { G } } ( \xi , \eta ) | \leq \delta \left( \frac { { { { \overline { { \Lambda } } } } } } { 2 ( n + 2 ) } + \frac { { \overline { { f } } } } { n + 2 } \right) \frac { M ^ { n } } { ( n + 1 ) ! } ( \xi + \eta ) ^ { n + 1 } \leq { \frac { \delta M ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } \left( \xi + \eta \right) ^ { n + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int \phi ( \theta ) d \hat { \nu } _ { t } ( \theta ) = \frac { d } { d t } \mathbb { E } [ \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } \phi ( \vartheta _ { t } ) ] } & { = - \mathbb { E } [ \eta _ { t } \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } \nabla \phi ( \vartheta _ { t } ) \cdot \nabla _ { \theta } \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \vartheta _ { t } ) ] } \\ & { = - \eta _ { t } \int \nabla \phi ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta } \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; \theta ) d \hat { \nu } _ { t } ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x ^ { 1 } x ^ { k } } ^ { 2 } p _ { W } ( x ; t ) } & { = \frac { x ^ { 1 } x ^ { k } } { \sqrt { 2 ^ { d } \pi ^ { d } t ^ { d + 4 } } } e ^ { - \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { ( x ^ { k } ) ^ { 2 } } { 2 t } } , ~ ~ t > 0 , ~ ~ x = ( x ^ { 1 } , . . . , x ^ { d } ) \in { \mathbb R } ^ { d } , ~ ~ k = 2 , . . . , d . } \\ { \partial _ { x ^ { 1 } x ^ { 1 } } ^ { 2 } p _ { W } ( x ; t ) } & { = \frac { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } - t } { \sqrt { 2 ^ { d } \pi ^ { d } t ^ { d + 4 } } } e ^ { - \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { ( x ^ { k } ) ^ { 2 } } { 2 t } } , ~ ~ t > 0 , ~ ~ x = ( x ^ { 1 } , . . . , x ^ { d } ) \in { \mathbb R } ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { T } ^ { j } ( n , \sigma , \alpha , \tilde { \alpha } ; \hbar ) = \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \tilde { \boldsymbol { x } } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { 2 k - 2 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \delta ( x _ { \sigma _ { i } } - \tilde { x } _ { \sigma _ { i } } ) } { \rho } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathcal { I } _ { 1 , 1 } ^ { j } ( k , \boldsymbol { x } , \alpha , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } ( x ) \overline { { \mathcal { I } _ { 1 , 1 } ^ { j } ( k , \boldsymbol { \tilde { x } } , \tilde { \alpha } , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } ( x ) } } \, d x , } \end{array}
\langle E _ { p } ^ { \mathrm { f i n a l } } \rangle = \frac { E } { s } \frac { ( s - m _ { \pi } ^ { 2 } + m _ { \Delta } ^ { 2 } ) } { 2 \, m _ { \Delta } } \frac { ( m _ { \Delta } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } + m _ { p } ^ { 2 } ) } { 2 \, m _ { \Delta } } .
\partial _ { \mu } \phi ^ { * } \partial ^ { \mu } \phi = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \rho ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \theta ) ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { \rho } { v } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { D ^ { \nu } ( \log L ( \theta ; Y _ { 0 : n } ) ) = D ^ { \nu } ( \log \langle M _ { n } \pi \rangle ) = \frac { \langle D ^ { \nu } ( M _ { n } \pi ) \rangle } { \langle M _ { n } \pi \rangle } } \\ { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { n } \left\{ \frac { \langle D ^ { \nu } ( M _ { t } \pi ) \rangle } { \langle M _ { t } \pi \rangle } - \frac { \langle D ^ { \nu } ( M _ { t - 1 } \pi ) \rangle } { \langle M _ { t - 1 } \pi \rangle } \right\} + \frac { \langle D ^ { \nu } ( M _ { 0 } \pi ) \rangle } { \langle M _ { 0 } \pi \rangle } } \\ { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { n } \bigg \{ \frac { \langle ( W _ { t } ^ { \nu } ) \pi + W _ { t } ^ { 0 } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle W _ { t } ^ { 0 } \pi \rangle } - \frac { \langle ( W _ { t - 1 } ^ { \nu } ) \pi + W _ { t - 1 } ^ { 0 } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle W _ { t - 1 } ^ { 0 } \pi \rangle } \bigg \} + \frac { \langle ( W _ { 0 } ^ { \nu } ) \pi + W _ { 0 } ^ { 0 } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle W _ { 0 } ^ { 0 } \pi \rangle } } \\ { = : } & { \sum _ { t = 1 } ^ { n } g ^ { \nu } ( W _ { t } ^ { ( 1 ) } , W _ { t - 1 } ^ { ( 1 ) } ) + g _ { 0 } ^ { \nu } ( W _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { K _ { D } ( T _ { 0 } , T _ { 0 } ) } & { \ldots } & { K _ { D } ( T _ { 0 } , T _ { n } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { K _ { D } ( T _ { n } , T _ { 0 } ) } & { \ldots } & { K _ { D } ( T _ { n } , T _ { n } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { f _ { 0 } ( \cdot ) } \\ { \vdots } \\ { f _ { n } ( \cdot ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { K _ { D } ( \cdot , T _ { 0 } ) } \\ { \vdots } \\ { K _ { D } ( \cdot , T _ { n } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { x ^ { 6 n } - ( - 1 ) ^ { 3 n } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 n } ( - 1 ) ^ { 3 n - j } x ^ { 2 j } - \sum _ { j = 0 } ^ { 3 n - 1 } ( - 1 ) ^ { 3 n - j } x ^ { 2 j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( | \xi | ^ { p - 2 } \xi - | \zeta | ^ { p - 2 } \zeta ) \cdot ( \xi - \zeta ) } & { \ge 0 \mathrm { ~ m o r e ~ p r e c i s e l y , } } \\ { ( | \xi | ^ { p - 2 } \xi - | \zeta | ^ { p - 2 } \zeta ) \cdot ( \xi - \zeta ) } & { \ge \left\{ \begin{array} { l l } { | \xi - \zeta | ^ { 2 } ( | \xi | + | \zeta | ) ^ { p - 2 } \ge | \xi - \zeta | ^ { p } \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ p \ge ~ 2 , ~ } } \\ { | \xi - \zeta | ^ { 2 } ( | \xi | + | \zeta | ) ^ { p - 2 } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ i f ~ 1 < p < ~ 2 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { m a x } [ L _ { \beta } ] \leq \sum _ { a b } p ( a , b ) \ln p ( a , b ) + \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a b } p ( a , b ) \, \mathrm { m a x } \left( \ln \sum _ { c } \pi ^ { \beta } ( c | a , b ) \right) , } \\ & { } & { = \sum _ { a , b } p ( a , b ) \ln p ( a , b ) + \frac { 1 - \beta } { \beta } \ln n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { x } } & { { } = \frac { \sum _ { i } x _ { i } / \sigma _ { i } ^ { 2 } } { \sum _ { i } 1 / \sigma _ { i } ^ { 2 } } \, , } \\ { \bar { \sigma } } & { { } = 1 / \sqrt { \sum _ { i } 1 / \sigma _ { i } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \phi ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { i } ) } & { { } = } & { \sum _ { j } ^ { N _ { p } } \Delta { V } _ { j } \Bigl [ \phi ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { i } ) + \phi ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { j } ) \Bigr ] \nabla W _ { i j } , } \\ { \nabla ^ { 2 } \phi ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { i } ) } & { { } = } & { \sum _ { j } ^ { N _ { p } } \Delta { V } _ { j } \frac { \phi ( \vec { r } _ { i } ) - \phi ( \vec { r } _ { j } ) } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | ^ { 2 } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { i } - \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { j } ) \cdot \nabla W _ { i j } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { 1 } { 2 } } \cdot ( \mathrm { - 9 . 8 ~ m / s ^ { 2 } } ) \cdot ( \mathrm { 0 . 0 1 ~ m i n } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { { \frac { 1 } { 2 } } \cdot - 9 . 8 \cdot \left( 0 . 0 1 ^ { 2 } \right) ( \mathrm { m i n / s } ) ^ { 2 } \cdot \mathrm { m } } \\ { = } & { { \frac { 1 } { 2 } } \cdot - 9 . 8 \cdot \left( 0 . 0 1 ^ { 2 } \right) \cdot 6 0 ^ { 2 } \cdot \mathrm { m } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { Y ( \xi ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } y ( t ) ~ e ^ { - 2 \pi i t \xi } ~ d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ( \omega t ) ~ e ^ { - 2 \pi i t \xi } ~ d t } \\ & { = \frac { 1 } { 2 i } \Big [ \delta \big ( \xi - \frac { \omega } { 2 \pi } \big ) - \delta \big ( \xi + \frac { \omega } { 2 \pi } \big ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { n R } & { = \log \Theta - n \epsilon \geq H ( M ) - n \epsilon \overset { \geq } I ( M ; B _ { { R } } ^ { n } ) _ { \omega } - n \epsilon } \\ & { \overset { a } { \geq } I ( X ^ { n } ; B _ { { R } } ^ { n } ) _ { \omega } - n \epsilon , } \\ & { \overset { b } { \geq } n S ( B _ { { R } } ) _ { \omega } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } S ( ( B _ { { R } } ) _ { i } | X _ { i } ) _ { \omega } - n \epsilon } \\ & { \overset { c } { \geq } n S ( B _ { { R } } ) _ { \omega _ { Q } } - n S ( B _ { { R } } | X ) _ { \omega _ { Q } } - n \epsilon = n I ( X ; B _ { { R } } ) _ { \omega _ { Q } } - n \epsilon , } \\ & { \overset { d } { \geq } n I ( X ; B _ { { R } } ) _ { \tau _ { Q } } - n \tilde { \epsilon } ( \epsilon ) - n \epsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | } ( | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | , | \varphi _ { 2 } ^ { 0 } | \, | \, K ) = \int _ { 0 } ^ { | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | } \int _ { | \varphi _ { 1 } | } ^ { | \varphi _ { 2 } ^ { 0 } | } f _ { | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | } ( | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | \, | \, K ) \, \mathrm { d } | \varphi _ { 2 } | \, \mathrm { d } | \varphi _ { 1 } | } \\ & { = \frac { K } { \pi ^ { K } } \Big ( \frac { \pi ^ { K } - ( \pi - | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | ) ^ { K } - K | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | ( \pi - | \varphi _ { 2 } ^ { 0 } | ) ^ { K - 1 } } { K } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \frac { p _ { i , j - 1 / 2 } ^ { ( 2 ) } \left( \Delta \phi _ { i , j - 1 / 2 } + \Delta \phi _ { i , j - 1 } \right) - p _ { i , j - 3 / 2 } ^ { ( 2 ) } \Delta \phi _ { i , j - 1 / 2 } } { \Delta \phi _ { i , j - 1 } } \Biggr | _ { \phi = \pi } } \\ & { - \frac { p _ { i , j + 1 / 2 } ^ { ( 1 ) } \left( \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 } + \Delta \phi _ { i , j + 1 } \right) - p _ { i , j + 3 / 2 } ^ { ( 1 ) } \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 } } { \Delta \phi _ { i , j + 1 } } \Biggr | _ { \phi = \pi } } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { F r } } \left( \rho _ { 1 2 } - 1 \right) \left( - \cosh \xi _ { i } + \frac { \sinh ^ { 2 } \xi _ { i } } { \cosh \xi _ { i } + 1 } \right) \Delta \eta _ { i } } \\ & { + \frac { 2 } { \mathrm { R e } } \mu _ { 1 2 } \frac { u _ { \phi \_ i , j + 1 } ^ { ( 1 ) } - u _ { \phi \_ i , j } } { \Delta \phi _ { i , j + 1 / 2 } } \biggr | _ { \phi = \pi } - \frac { 2 } { \mathrm { R e } } \frac { u _ { \phi \_ i , j } - u _ { \phi \_ i , j - 1 } ^ { ( 2 ) } } { \Delta \phi _ { i , j - 1 / 2 } } \biggr | _ { \phi = \pi } } \\ & { - \frac { 4 } { \mathrm { R e } } \left( \mu _ { 1 2 } - 1 \right) \frac { \sinh \xi _ { i } } { \sin \phi _ { 0 } } \frac { u _ { \xi \_ i - 1 / 2 , j } \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i , j } + u _ { \xi \_ i + 1 / 2 , j } \Delta \xi _ { i \_ i - 1 / 2 , j } } { \Delta \xi _ { i , j } } \biggr | _ { \phi = \pi } } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { W e } } \bigg [ \frac { 2 } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } \big ( \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } + \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } \big ) } \Biggr | _ { \phi = \pi } \Delta \eta _ { i + 1 } } \\ & { - \bigg [ \frac { 2 } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } \big ( \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } + \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } \big ) } + \frac { 2 } { \big ( \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } + \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } \big ) \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } } \bigg ] _ { \phi = \pi } \Delta \eta _ { i } } \\ & { + \frac { 2 } { \big ( \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } + \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } \big ) \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } } \Biggr | _ { \phi = \pi } \Delta \eta _ { i - 1 } \bigg ] } \\ & { - \frac { 2 } { \mathrm { W e } } \frac { 1 } { \sin \phi _ { 0 } } \biggl [ \biggl ( \sinh \xi _ { i + 1 / 2 } \frac { \Delta \xi _ { i + 1 \_ i + 1 / 2 } \Delta \eta _ { i } + \Delta \xi _ { i + 1 / 2 \_ i } \Delta \eta _ { i + 1 } } { \Delta \xi _ { i + 1 / 2 , j } } } \\ & { - \sinh \xi _ { i - 1 / 2 } \frac { \Delta \xi _ { i \_ i - 1 / 2 } \Delta \eta _ { i - 1 } + \Delta \xi _ { i - 1 / 2 \_ i - 1 } \Delta \eta _ { i } } { \Delta \xi _ { i - 1 / 2 , j } } \biggr ) \biggr | _ { \phi = \pi } } \\ & { - \biggl ( \sinh \xi _ { i + 1 / 2 } - \sinh \xi _ { i - 1 / 2 } \biggr ) \biggr | _ { \phi = \pi } \Delta \eta _ { i } \biggr ] - \frac { \alpha ^ { 2 } } { \mathrm { W e } } \Delta \eta _ { i } = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu ( \mathbf { Y } ) } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { H } | ^ { 2 } } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { H } | } \mathbb { E } \left[ \mathbf { Y } _ { i } \mathbf { Y } _ { i } ^ { T } \right] \right\| _ { \mathbf { x } } , \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { H } | ^ { 2 } } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { H } | } \mathbb { E } \left[ \mathbf { Y } _ { i } ^ { T } \mathbf { Y } _ { i } \right] \right\| _ { \mathbf { x } } \right\} } \\ & { \le \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { H } | ^ { 2 } } \operatorname* { m a x } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { H } | } \mathbb { E } \left[ \left\| \mathbf { Y } _ { i } \mathbf { Y } _ { i } ^ { T } \right\| _ { \mathbf { x } } \right] , \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { H } | } \mathbb { E } \left[ \left\| \mathbf { Y } _ { i } ^ { T } \mathbf { Y } _ { i } \right\| _ { \mathbf { x } } \right] \right\} . } \end{array}
\mathcal { R } = - \frac { 6 } { \pi } \, \xi ^ { - 1 } + \frac { 6 } { \pi } \, \xi ^ { - 3 } - \frac { 3 6 } { 5 \pi } \, \xi ^ { - 5 } + \frac { 6 0 } { 7 \pi } \, \xi ^ { - 7 } + \mathcal { O } \left( \xi ^ { - 9 } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { \rightarrow } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { t } & { 0 } \\ { t _ { + - } } & { t } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { | t | \cdot e ^ { i \phi _ { t } } } & { 0 } \\ { | t _ { + - } | \cdot e ^ { i \phi _ { \mathrm { H P } } } } & { | t | \cdot e ^ { i \phi _ { t } } } \end{array} \right] } \\ { \mathcal { R } _ { \leftarrow } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { r } \\ { r } & { r _ { -- } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { | r | \cdot e ^ { i \phi _ { r } } } \\ { | r | \cdot e ^ { i \phi _ { r } } } & { | r _ { -- } | \cdot e ^ { i \phi _ { \mathrm { H P } } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ i ~ i ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ i ~ } } + \hat { H } _ { b e } + \hat { H } _ { b i } + H _ { b b } , } \end{array}
\rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } ( x _ { i } ^ { t } ) = \sum _ { x _ { i } ^ { t + 1 } . . . x _ { i } ^ { T } } \prod _ { t ^ { \prime } = t } ^ { T - 1 } M _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } } ^ { i \setminus j } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { T } | x _ { i } ^ { T } ) = \sum _ { x _ { i } ^ { t + 1 } } \rho _ { t + 1 \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t + 1 } \right) M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j }
\begin{array} { r } { \mathbf { S } = 4 \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } d ^ { 2 } \mathbf { r } \left[ ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } ) ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } \right] I ( \mathbf { r } ; z _ { \mathrm { a p } } ) } \end{array}
C ( \varepsilon , \, \lambda ) = \operatorname* { s u p } \left\{ { \bf B } _ { \operatorname* { m a x } } ( 0 , \, x _ { 2 } , \, \lambda , \, \varepsilon ) \big | x _ { 2 } \in [ 0 , \varepsilon ^ { 2 } ] \right\} = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { \lambda } { 2 \varepsilon } , } & { \quad 0 \leqslant \lambda \leqslant \varepsilon , } \\ { \frac { e } { 2 } e ^ { - \frac { \lambda } { \varepsilon } } , } & { \quad \varepsilon \leqslant \lambda ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { H _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { ( a ) } } = g \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad H _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { ( h ) } } = g \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { } & { H _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { ( m ) } } = g \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad H _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { ( c ) } } = g \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
W _ { m a x } = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } C V _ { m a x } ^ { 2 } \ ; \, V _ { m a x } = E _ { m a x } \cdot d \ ; \, C = \displaystyle \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } \frac { A } { d } \Longrightarrow W _ { m a x } = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } E _ { m a x } ^ { 2 } \cdot A \cdot d = \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } E _ { m a x } ^ { 2 } \cdot V o l _ { \ d i e l e c t r i c }