harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { [ \frac { g _ { C } ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } , s _ { 2 } } } { g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } ] ^ { - 1 } = g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } [ g _ { C } ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } = \left( \mathbb { I } + G ^ { s _ { 1 } } ( \Theta , \tau ) \mathbf { r } ^ { - 1 } \Delta G ^ { s _ { 1 } } ( \tau , \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] [ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathbb { I } - G ^ { s _ { 1 } } ( \Theta , \tau ) \left( \mathbb { I } + \mathbf { r } ^ { - 1 } \Delta G ^ { s _ { 1 } } ( \tau , \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] [ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } G ^ { s _ { 1 } } ( \Theta , \tau ) \right) ^ { - 1 } \mathbf { r } ^ { - 1 } \Delta G ^ { s _ { 1 } } ( \tau , \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] [ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } } \end{array}
u ^ { \prime } = { \frac { d x ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } } = { \frac { \gamma ( d x - v d t ) } { \gamma \left( d t - { \frac { v d x } { c ^ { 2 } } } \right) } } = { \frac { { \frac { d x } { d t } } - v } { 1 - \left( { \frac { v } { c ^ { 2 } } } \right) \left( { \frac { d x } { d t } } \right) } } = { \frac { u - v } { 1 - u v / c ^ { 2 } } } .
\mathrm { R S } ( \mathcal D + \mathcal { D C } ) = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \nu \sim \mathcal { N } ( \mathbf 0 , \sigma ^ { 2 } \mathbf I ) } [ { \mathbf { x } } _ { n } ( \mathbf x _ { n - 1 } + \boldsymbol \nu ) ]
I _ { \mathrm { j } } = \frac { \omega } { 2 \mu _ { 0 } } | A _ { \mathrm { 0 j } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { j } } ^ { \mathrm { T } } ) + \frac { \omega \eta ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } | A _ { \mathrm { 0 j } } ^ { \mathrm { ( L ) } } | ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { j } } ^ { \mathrm { L } } ) \, ,
\rho ( p ^ { 2 } ) \delta _ { \alpha \beta } = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \sum _ { n } \delta ^ { ( 4 ) } ( p _ { n } - p ) \langle 0 | h _ { \alpha } ( 0 ) | n \rangle \langle n | \bar { h } _ { \beta } ( 0 ) | 0 \rangle \, .
\triangle _ { i j } = 2 . 5 4 \left( \frac { \Delta m _ { i j } ^ { 2 } } { 1 \mathrm { e V } ^ { 2 } } \right) \left( \frac { L } { \mathrm { k m } } \right) \left( \frac { 1 \mathrm { G e V } } { E } \right) , ~ i , j = 1 , 2 , 3 ;
\Phi _ { \infty } \left( z \right) = \frac { \overline { { \alpha } } \Phi _ { \infty } \left( \overline { { \alpha } } \right) \phi _ { \beta } \left( z \right) \left( 1 - z \right) } { 1 - z - \alpha \left( 1 - z \phi _ { \beta } \left( z \right) \right) } = \frac { { \cal N } \left( z \right) } { { \cal D } \left( z \right) } .
S ^ { 2 } = M _ { p _ { \mathrm { ~ - ~ o ~ f ~ f ~ } } } ^ { 2 } + M _ { p } ^ { 2 } + 2 M _ { p } \sqrt { \vec { P } ^ { 2 } + M _ { p _ { \mathrm { ~ - ~ o ~ f ~ f ~ } } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \tilde { \mathbf { f } } ( x , t ) } & { = \mathbf { f } ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) , } & { \quad \tilde { g } ( x , t ) } & { = g ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) } & { \qquad } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } ( x , t ) \in \Omega _ { 0 } ^ { \pm } \times ( 0 , T ) , } \\ { \tilde { \mathbf { a } } _ { j } ( x , t ) } & { = \mathbf { a } _ { 1 } ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) , } & { \quad \tilde { \mathbf { b } } _ { j } ( x , t ) } & { = \mathbf { b } _ { j } ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) } & { \qquad } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } ( x , t ) \in \Gamma _ { 0 } \times ( 0 , T ) , j = 1 , 2 , } \\ { \tilde { b } _ { 0 } ( x , t ) } & { = b _ { 0 } ( \Phi _ { t } ( x ) , t ) , } & & { } & { \qquad } & { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } ( x , t ) \in \Gamma _ { 0 } \times ( 0 , T ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi _ { i } ( \Omega , \mathbf { k } ) = \sum _ { s } \frac { Z _ { s } ^ { 2 } e ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } m _ { s } k ^ { 2 } } \int \frac { \mathbf { k } \cdot \nabla _ { \mathbf { v } } f _ { s } } { \Omega - \mathbf { k } \cdot \mathbf { u } _ { f } - \mathbf { k } \cdot \mathbf { v } } d \mathbf { v } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { C } = } & { { } \Sigma _ { m = 1 } ^ { 2 } \Sigma _ { i = 0 } ^ { b - 1 } \hat { a } _ { f , i , m } ^ { \dagger } \Omega _ { i , m } ( \hat { a } _ { f , i , 1 } , \hat { a } _ { f , i , 2 } , \hat { \vec { a } } _ { u , 1 } , \hat { \vec { a } } _ { u , 2 } ) } \\ { = } & { { } \Sigma _ { m = 1 } ^ { 2 } \Sigma _ { i = 0 } ^ { b - 1 } \hat { a } _ { f , i , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { f , i , m - 1 } \omega ( \hat { a } _ { f , i , m } - \frac { 1 } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \Pi _ { \mu = 1 } ^ { d } e ^ { - \frac { c _ { i , \mu } ^ { 2 } - 2 c _ { i , \mu } \hat { a } _ { u , \mu , 1 } + \hat { a } _ { u , \mu , 2 } } { 2 R T } } ) } \end{array}
Z : = P ( \pi ) = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] , \quad S : = P ( \pi / 2 ) = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { i } } \end{array} \right] , \quad T : = P ( \pi / 4 ) = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { \mathrm { i } \pi / 4 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left[ \ \| J u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| J v \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. \quad + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \right] } \\ { = \ } & { \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 8 \beta ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \beta } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \sum _ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k ^ { 3 } \, n _ { \beta } ( E _ { k } ) } \\ { \times \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n } \rangle \langle \phi _ { n } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle } { E _ { a } - E _ { n } \pm k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { \mathrm { s p h } } ( \omega ) } & { = \frac { D ^ { 2 } } { 3 \eta L ^ { 3 } } \left[ \frac { 2 \mathrm { e } ^ { - \alpha D m _ { 0 } } [ - m _ { 0 } + e ^ { \alpha D } ( 1 + m _ { 0 } ) ] } { ( { e } ^ { \alpha D } - 1 ) ^ { 2 } } \right. } \\ & { \left. + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda D m _ { 0 } } [ - m _ { 0 } + e ^ { \lambda D } ( 1 + m _ { 0 } ) ] } { ( { e } ^ { \lambda D } - 1 ) ^ { 2 } } \right] - \frac { 1 } { \eta \alpha ^ { 2 } L ^ { 3 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 } ( \rho , \phi , t ) = N \left( \frac { \rho } { \rho _ { H } } \right) ^ { | l | } } & { { } \mathcal { L } _ { n } ^ { | l | } \left[ \frac { 2 \rho ^ { 2 } } { \rho _ { H } ^ { 2 } } \right] \times } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { L } } } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { 0 } \\ { 0 } & { - \xi } \end{array} \right) } \\ { H _ { \mathrm { R } } } & { { } = } & { - \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { 0 } \\ { 0 } & { - \xi } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \widetilde { T } } \| \nabla f ( w _ { \widetilde { T } } ) \| } & { \le \big ( \mathbb { E } _ { \widetilde { T } } \| \nabla f ( w _ { \widetilde { T } } ) \| ^ { 2 - \beta } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } } \\ & { \le \Big ( \frac { 2 } { T \gamma } \big ( f ( w _ { 0 } ) - f ^ { * } \big ) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { 2 - \beta } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } , } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \Big ( \frac { 2 } { T \gamma } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \big ( f ( w _ { 0 } ) - f ^ { * } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } + \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \epsilon } \\ & { \le \Big ( \frac { 2 } { T \gamma } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \big ( f ( w _ { 0 } ) - f ^ { * } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { i \leftarrow n l m } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { Y _ { l m } ( \mathbf { \hat { r } } ) P ( 2 n + l , r / r _ { c } ) } & { r < r _ { c } } \\ { 0 } & { r \ge r _ { c } } \end{array} \right. } \\ { P ( n , x ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \cos \pi x ) } & { n = 0 } \\ { Q ( n - 1 , x ) } & { n \in \mathbb { O } } \\ { R ( n - 2 , x ) } & { n \in \mathbb { E } } \end{array} \right. } \\ { Q ( m , x ) } & { { } = 5 \left( \sin \frac { \pi x } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cos \pi x \right) x ^ { m } e ^ { - m x ^ { 2 } } } \\ { R ( m , x ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \cos ( 2 \pi x ) \right) x ^ { m } e ^ { - m x ^ { 2 } } , } \end{array}
\mathrm { ~ T ~ N ~ } ( \ln K _ { m } , \sigma _ { K } ^ { 2 } , a _ { K } , b _ { K } ) \mathrm { ~ N ~ } ( \ln \lambda _ { m } , \sigma _ { \lambda } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ T ~ N ~ } ( \ln p _ { m } , \sigma _ { p } ^ { 2 } , - \infty , 0 )
\delta _ { 2 } ^ { q } V _ { A } ( t , h ) = \delta _ { 2 } ^ { q } V _ { \nu } ( t , h ) = 2 \cdot [ \frac { 4 } { 3 } ( \frac { \hat { \alpha } _ { s } ( m _ { Z } ) } { \pi } ) ( c ^ { 2 } - s ^ { 2 } + \frac { 2 0 } { 9 } s ^ { 4 } ) ] = ( \frac { \hat { \alpha } _ { s } ( m _ { Z } ) } { \pi } ) ( 1 . 7 5 0 )
\langle \boldsymbol { a } _ { c } ^ { 2 } \rangle \ge \langle \boldsymbol { a } _ { c _ { S } } ^ { 2 } \rangle \approx \langle \boldsymbol { a } _ { l } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \boldsymbol { a } _ { c _ { I } } ^ { 2 } \rangle = \langle \boldsymbol { a } _ { p } ^ { 2 } \rangle \approx \langle \boldsymbol { a } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \boldsymbol { a } _ { \nu } ^ { 2 } \rangle \gg \langle \boldsymbol { f } ^ { 2 } \rangle ,
\begin{array} { r } { \delta F _ { r } ^ { \mathrm { ~ Q ~ M ~ C ~ } } ( q ) = \frac { \Delta \tau } { \beta } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { \delta F ^ { \mathrm { ~ Q ~ M ~ C ~ } } ( q , \tau _ { i } ) } { F ^ { \mathrm { ~ Q ~ M ~ C ~ } } ( q , \tau _ { i } ) } , } \end{array}
\beta \mu _ { \mathrm { L R } } ^ { \mathrm { { e x } } } [ P ( \varepsilon \; | \; \phi ( r ; \lambda _ { G } ) ) ] = \beta \langle \varepsilon \rangle _ { \mathrm { { V d w } , \ p h i ( \ l a m b d a _ { G } ) } } + \beta ^ { 2 } \frac { \sigma _ { \mathrm { V d w } , \phi ( \lambda _ { G } ) } ^ { 2 } } { 2 } + \beta \int _ { 0 } ^ { 1 } \biggl < \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { A t o m s } } q _ { n } \psi _ { n } ( \gamma q _ { n } ) \biggr > _ { \phi ( \lambda _ { G } ) } d \gamma
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { Q E D } } = { \bar { \psi } } \left( i \hbar c \, \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } - m c ^ { 2 } \right) \psi - { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu }
a ^ { ( n _ { f } - 1 ) } \left( \mu _ { t h } \right) = a ^ { ( n _ { f } ) } \left( \mu _ { t h } \right) \left[ 1 + 0 . 1 5 2 8 \left[ a ^ { ( n _ { f } ) } \left( \mu _ { t h } \right) \right] ^ { 2 } + \left\{ 0 . 9 7 2 1 - 0 . 0 8 4 7 \left( n _ { f } - 1 \right) \right\} \left[ a ^ { ( n _ { f } ) } \left( \mu _ { t h } \right) \right] ^ { 3 } \right]
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 0 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 0 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \end{array} \! \! \right) \! \right) , } } \end{array}
\| \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { \star } - \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { ( k ) } \| _ { \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { L } } \sim \| \sigma _ { L } ^ { * } \left( \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { \star } - \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { ( k ) } \right) \| _ { W _ { 2 } ^ { 1 } } \le C _ { \mathfrak { B } } h ^ { d / 2 - 1 } \| \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { \star } - \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { ( k ) } \| _ { \ell _ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( y _ { t } ^ { ( i ) } = 1 | \mathcal { H } _ { t - 1 } ) = \nu _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { 3 } } \gamma _ { i j } z _ { j } + \sum _ { k = 1 } ^ { t - 1 } \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { 2 } } \beta _ { i j } x _ { t - k } ^ { ( j ) } e ^ { - R k } + \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { 1 } } \alpha _ { i j } y _ { t - k } ^ { ( j ) } e ^ { - R k } \bigg ) , } \end{array}
E _ { 3 z ^ { 2 } - r ^ { 2 } , 3 z ^ { 2 } - r ^ { 2 } } = [ n ^ { 2 } - ( l ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) / 2 ] ^ { 2 } V _ { d d \sigma } + 3 n ^ { 2 } ( l ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) V _ { d d \pi } + { \frac { 3 } { 4 } } ( l ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 2 } V _ { d d \delta }
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( C ( t ) , \mathcal { G } ) } & { = \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( C ( t ) , A ( t ; \mathcal { G } ) ) \leqslant \int _ { \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( C ( t ) , A ( t ; y ) ) \mathbb { P } ( \mathcal { G } \in \mathrm { d } y ) } \\ & { = \int _ { \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \| \Lambda d ( t ; y ) \| \mathbb { P } ( \mathcal { G } \in \mathrm { d } y ) \leqslant { \sqrt { 2 } } e ^ { - \nu t } \int _ { \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \| \Lambda y \| \mathbb { P } ( \mathcal { G } \in \mathrm { d } y ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { \frac { d R _ { J } ^ { i } ( t ) } { d t } = \sum _ { l \in J } \gamma _ { J \backslash \{ l \} , l } ^ { i } ( 1 - \xi _ { J \backslash \{ i \} , i } ^ { i } ) R _ { J \backslash \{ i \} } ^ { i } I _ { i } ( t ) - \sum _ { l \in M _ { i } \backslash J } \beta _ { J , l } ^ { i } R _ { J } ^ { i } ( t ) \sum _ { L \in P ( M ) , c \not \in L } R _ { L } I _ { c } ^ { i } ( t ) . } \end{array}
d \Phi ^ { * } = \frac { d \omega } { ( \omega _ { m a x } - \omega _ { m i n } ) } ~ \frac { d \varphi } { 2 \pi } \frac { d \cos { \theta } } { 2 } ~ \frac { d E _ { 0 } ^ { * } } { ( E _ { 0 \, m a x } ^ { * } - E _ { 0 \, m i n } ^ { * } ) } \frac { d \varphi _ { 0 } ^ { * } } { 2 \pi } \frac { d \cos { \theta _ { 0 } ^ { * } } } { 2 } \frac { d \varphi _ { - } ^ { * } } { 2 \pi } \frac { d \cos { \theta _ { - } ^ { * } } } { 2 } .
\begin{array} { r } { a _ { l i q / g a s } = \Lambda _ { i i , l i q / g a s } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } b _ { l i q / g a s } = \Lambda _ { i i , l i q / g a s } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 1 \dots , 5 . } \end{array}
\ll h h ^ { \prime } \frac { \operatorname* { m a x } ( \| W ^ { \star } ( \tau \cdot / h ) \| _ { 1 } , \| W ^ { \star } ( \tau \cdot / h ^ { \prime } ) \| _ { 1 } ) \sqrt { \phi ( h ^ { \prime } ) \phi ( h ) } } { | \lambda _ { h ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } } ( \tau ) | | \lambda _ { h , \ell } ( \tau ) | } \exp \Bigl ( - \frac { c _ { 0 } } { 4 } \sqrt { \log N } \Bigr )
\begin{array} { r l r } & { } & { 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - 4 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) \times 4 \sqrt { \pi } C _ { 3 } K _ { 0 } T L ^ { - 2 } e ^ { 5 L ^ { 2 } } ( 2 K _ { 0 } T ) ^ { 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - 4 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) \times C _ { 4 } K _ { 0 } ^ { 3 } T ^ { 3 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \Psi } ( u _ { k } ) \leq \operatorname* { m i n } _ { w \in { H } } \mathcal { Q } _ { { \alpha } _ { k - 1 } } ( w , u _ { k - 1 } ) + \frac { { L _ { { \mathcal { F } } ^ { \prime } } } } { 2 { \alpha } _ { \operatorname* { i n f } } { \alpha } _ { k - 1 } } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { k - 1 } } ( u _ { k - 1 } ) \| _ { H } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { F o r } \ \omega = 0 \ : \quad \left( \begin{array} { l } { \hat { \eta } } \\ { \hat { u } _ { 1 } } \\ { \hat { u } _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { i g k _ { 2 } / f } \\ { - i g k _ { 1 } / f } \end{array} \right) , \qquad \mathrm { F o r } \ \omega \neq 0 \ : \quad \left( \begin{array} { l } { \hat { \eta } } \\ { \hat { u } _ { 1 } } \\ { \hat { u } _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { H k ^ { 2 } } \\ { k _ { 1 } \omega - i f k _ { 2 } } \\ { k _ { 2 } \omega + i f k _ { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { c } { { \left( \sum _ { i } r _ { i } ^ { ( l ) } \right) _ { L } \times \left( \sum _ { i } r _ { i } ^ { ( l ) } \right) _ { R } } } \\ { { \times \left[ \begin{array} { l } { { \{ \left( 4 4 + 8 4 \right) _ { B } + 1 2 8 _ { F } \} _ { L } } } \\ { { \times \{ \left( 4 4 + 8 4 \right) _ { B } + 1 2 8 _ { F } \} _ { R } } } \end{array} \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } } & { \lesssim H ^ { 2 } | u | _ { H ^ { 1 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \alpha ^ { - 2 } H ^ { 2 } \left( \| \nabla _ { e _ { 1 } } u \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } + \| \nabla _ { e _ { 2 } } u \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \lesssim \alpha ^ { - 2 } H ^ { 4 } \left( 1 + \log \frac { H } { h } \right) | u | _ { H ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \prime } } ( t ) } & { { } = \mathbf { H } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \prime } } + \mathbf { J } ^ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \prime } } ( t ) ) + \mathbf { V } _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \prime } } ( \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \prime } } ( t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E [ Z _ { m _ { 1 } } Z _ { m _ { 2 } } { \cdots } Z _ { m _ { n _ { 0 } } } ] } \\ & { = \frac { A _ { 0 } ^ { n _ { 0 } } } { 2 \pi } e ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 0 } } \frac { 2 s _ { m _ { i } } ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \sum _ { \nu = 1 } ^ { n _ { 0 } } \mu _ { \sigma _ { s } } ^ { ( 2 \nu ) } P _ { n _ { 0 } } ^ { ( 2 \nu ) } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , \cdots , m _ { n _ { 0 } } ) , } \end{array}
z = \frac { y _ { q _ { 3 } \gamma } } { y _ { q _ { 3 } q _ { 4 } ^ { \prime } } } = \frac { y _ { q _ { 3 } \gamma } } { y _ { q _ { 3 } q _ { 4 } } + y _ { q _ { 3 } \gamma } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S C } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { U S } } } & { { { \mathbf { 0 } _ { N _ { s } \times N } } } } \\ { { { \mathbf { 0 } _ { N \times N _ { s } } } } } & { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R I S } } } \end{array} \right] \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { ( N + N _ { s } ) \times ( N + N _ { s } ) } } \end{array}
\tilde { \pi } ^ { i j } = 2 \gamma ^ { 1 / 2 } \tilde { \gamma } ^ { - 1 / 3 } e ^ { - \frac { 3 } { 2 } ( \phi - \tilde { \phi } ) } \left[ \frac { \partial H } { \partial \tilde { h } _ { i j } } - \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial H } { \partial \tilde { h } _ { k l } } \tilde { h } _ { k l } \tilde { h } _ { i j } \right] ~ ~ ~ ,
\nabla _ { \mu } \eta - \frac { 1 } { 4 } \gamma _ { \mu } \gamma ^ { 5 } \otimes \gamma ^ { n } \partial _ { n } ( \log \Delta ) \eta - \frac { \Delta ^ { 3 / 2 } } { 2 8 8 } \gamma _ { \mu } \gamma ^ { m n p q } F _ { m n p q } \eta \,
\begin{array} { r l } { A ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = } & { \sum _ { k _ { 2 } \leq t _ { 2 } , \ k _ { 1 } + k _ { 2 } \leq t _ { 1 } + t _ { 2 } } B ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \binom { t _ { 2 } } { k _ { 2 } } \sum _ { 0 \leq s \leq t _ { 2 } - k _ { 2 } } \binom { t _ { 2 } - k _ { 2 } } { s } \binom { t _ { 1 } } { k _ { 1 } - s } . } \end{array}
\check { \mathbf { C } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , b } ^ { L } = \left\{ \begin{array} { l l } { \check { \mathbf { C } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , b } ^ { L , N o n - L i n e a r } } & { \mathrm { i f ~ } b = 2 \mathrm { ~ a n d ~ } 2 \xi / ( 1 + \xi ) ^ { 2 } \geq 0 . 0 1 , \quad \mathrm { w h e r e ~ } \xi = \left| { \check { \mathbf { C } } } _ { i , 2 } \right| / \left( \rho _ { i } + \rho _ { i + 1 } \right) , } \\ { \check { \mathbf { C } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , b } ^ { L , N o n - L i n e a r } } & { \mathrm { i f ~ } b \neq 2 \mathrm { ~ a n d ~ } \Omega _ { i } > 0 . 0 1 , } \\ { \check { \mathbf { C } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , b } ^ { L , L i n e a r } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\mathcal { A } _ { 2 0 } ( \mathrm { ~ P ~ } ) = \sqrt { 2 } \lbrack { \sigma } _ { ^ 1 \mathrm { ~ S ~ } ; ^ { 2 } \mathrm { ~ P ~ } } ^ { 0 ; 1 } / { \sigma } _ { ^ 1 \mathrm { ~ S ~ } } ^ { 0 } - { \sigma } _ { ^ 1 \mathrm { ~ S ~ } ; ^ { 2 } \mathrm { ~ P ~ } } ^ { 0 ; 0 } / { \sigma } _ { ^ 1 \mathrm { ~ S ~ } } ^ { 0 } \rbrack
{ S _ { B } ^ { 0 0 } } ( \bar { \psi } , { \psi _ { 0 } } , \hat { g } ) = - { \frac { d - 2 6 } { 1 2 } } \oint { d } \hat { s } d { \hat { s } ^ { \prime } } \bar { \psi } ( \xi ) { \hat { K } _ { D } } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) \bar { \psi } ( \xi ^ { \prime } ) - { \frac { d - 2 6 } { 1 2 } } { \chi _ { c } } { \psi _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { { } = \frac { h } { \omega k } \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } \cos ( \omega t - k \cdot x + \phi _ { 0 } ) , \ } \\ { A _ { 2 } } & { { } = - \frac { h } { \omega k } \ { \sqrt { v ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } \cos ( \omega t - k \cdot x + \phi _ { 0 } - \varphi ) , \quad \tan \varphi = \frac { f \omega } { k _ { 1 } k _ { 2 } v ^ { 2 } } , } \end{array}
F ( \mathbf w , ( \mathbf z _ { j } ) _ { j } , ( \mathbf x _ { k } ) _ { k } , ( \mathbf a _ { j } ) _ { j } , \mathbf b _ { k } ) _ { k } ) = \prod _ { j } \mathbf a _ { j } ^ { 2 \Delta _ { \alpha _ { j } } } \prod _ { k } \mathbf b _ { k } ^ { \Delta _ { \beta _ { k } } } F _ { - \frac 2 \gamma } ( \mathbf w , ( \mathbf z _ { j } ) _ { j } , ( \mathbf x _ { k } ) _ { k } )
\begin{array} { r } { h ( x ) = \sum _ { \ell \in \mathcal I _ { T } } f \big ( \frac { \ell } { L } \big ) \, \mathrm { s i n c } \left( L \pi \left( x - \frac { \ell } { L } \right) \right) \approx \sum _ { k = 0 } ^ { n } w _ { k } \, \bigg ( \sum _ { \ell \in \mathcal I _ { T } } f \big ( \frac { \ell } { L } \big ) \, \mathrm e ^ { \pi \mathrm i \ell z _ { k } } \bigg ) \, \mathrm e ^ { - \pi \mathrm i L x z _ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( J j ^ { \xi } ) _ { i + 1 / 2 } ^ { n + 1 / 2 } = \frac { 1 } { \Delta t } \sum _ { p } \sum _ { \nu \in n } q _ { p } \Delta \xi _ { p } ^ { v } \left\langle { S _ { 1 } } \left( { \xi } _ { i + 1 / 2 } - { \xi } _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \right) \right\rangle _ { p } ^ { \nu } . } \end{array}