harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { h _ { a b } = } & { h _ { 0 , a b } + \epsilon \left[ \left( C _ { j } ^ { - } \mathcal { V } _ { m } ^ { + } \right) _ { V ^ { c } = \delta ^ { c a } } ^ { * } \left( - \mathcal { V } _ { m } ^ { 3 } C _ { j } ^ { 3 } \mathcal { W } _ { x } ^ { 1 } + \partial _ { a } \mathcal { W } _ { x } ^ { 1 } + \mathcal { W } _ { x } ^ { 1 } \mathcal { V } _ { m } ^ { 3 } C _ { j - 1 } ^ { 3 } + \mathcal { W } _ { x } ^ { 2 } \mathcal { V } _ { m } ^ { - } C _ { j - 2 } ^ { + } \right) _ { V ^ { c } = \delta ^ { c b } } + \right. } \\ & { \left. + \left( - \mathcal { V } _ { m } ^ { 3 } C _ { j } ^ { 3 } \mathcal { W } _ { x } ^ { 1 } + \partial _ { a } \mathcal { W } _ { x } ^ { 1 } + \mathcal { W } _ { x } ^ { 1 } \mathcal { V } _ { m } ^ { 3 } C _ { j - 1 } ^ { 3 } + \mathcal { W } _ { x } ^ { 2 } \mathcal { V } _ { m } ^ { - } C _ { j - 2 } ^ { + } \right) _ { V ^ { c } = \delta ^ { c a } } ^ { * } \left( C _ { j } ^ { - } \mathcal { V } _ { m } ^ { + } \right) _ { V ^ { c } = \delta ^ { c b } } \right] + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sin 2 x } & { = 2 \sin x \cos x = { \frac { 2 \tan x } { 1 + \tan ^ { 2 } x } } , } \\ { \cos 2 x } & { = \cos ^ { 2 } x - \sin ^ { 2 } x = 2 \cos ^ { 2 } x - 1 = 1 - 2 \sin ^ { 2 } x = { \frac { 1 - \tan ^ { 2 } x } { 1 + \tan ^ { 2 } x } } , } \\ { \tan 2 x } & { = { \frac { 2 \tan x } { 1 - \tan ^ { 2 } x } } . } \end{array} }
s _ { \Gamma } ( \xi _ { A } \partial _ { \chi _ { A } } \Gamma ) = ( s _ { \Gamma } \xi _ { A } ) \partial _ { \chi _ { A } } \Gamma + \xi _ { A } s _ { \Gamma } ( \partial _ { \chi _ { A } } \Gamma ) = \chi _ { A } \partial _ { \chi _ { A } } \Gamma + \xi _ { A } \partial _ { \xi _ { A } } \Gamma
\frac { \partial \textbf { f } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial \textbf { h } _ { 1 i } } { \partial x _ { 1 } } + \frac { \partial \textbf { h } _ { 2 i } } { \partial x _ { 2 } } = 0 ; \textbf { h } _ { 1 / 2 i } = \widetilde { \Lambda } _ { 1 / 2 i } \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q }
| \psi _ { I } ( t ) \rangle = \left[ 1 - { \frac { i \lambda } { \hbar } } \sum _ { m } \sum _ { n } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \langle m | V ( t _ { 1 } ) | n \rangle e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } ( E _ { n } - E _ { m } ) ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } | m \rangle \langle n | + \ldots \right] | \psi ( t _ { 0 } ) \rangle ~ .
\| \widehat { \mathcal { A } } _ { \varepsilon } ^ { - 1 / 2 } \sin ( \tau \widehat { \mathcal { A } } _ { \varepsilon } ^ { 1 / 2 } ) - ( \widehat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { h o m } } ) ^ { - 1 / 2 } \sin ( \tau ( \widehat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { h o m } } ) ^ { 1 / 2 } ) \| _ { H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \le C ( 1 + | \tau | ) \varepsilon .
{ { f } _ { U } } = { { f } _ { M } } \left[ 1 + { { \varPsi } _ { 1 } } \frac { { { \sigma } _ { i j } } { { C } _ { < i } } { { C } _ { j > } } } { 2 P R T } + { { \varPsi } _ { 2 } } \frac { 2 { { C } _ { i } } { { q } _ { i } } } { 5 P R T } \left( \frac { { { C } ^ { 2 } } } { 2 R T } - \frac { 5 } { 2 } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { ( d z / d x ) _ { + } } & { { } = ( 1 / 2 ) ( p \tau _ { x } / q \tau _ { z } ) ^ { 1 / 2 } [ ( 1 + 8 \tau _ { z } / \tau _ { x } ) ^ { 1 / 2 } - 1 ] , } \\ { ( d z / d x ) _ { - } } & { { } = - ( 1 / 2 ) ( p \tau _ { x } / q \tau _ { z } ) ^ { 1 / 2 } [ ( 1 + 8 \tau _ { z } / \tau _ { x } ) ^ { 1 / 2 } + 1 ] . } \end{array}
T _ { H _ { 1 } H _ { 2 } } = i s [ \langle g ^ { 2 } F F \rangle a ^ { 4 } ] ^ { 2 } a ^ { 2 } \int d ^ { 2 } \vec { b } ~ \exp { ( i \vec { q } \cdot \vec { b } ) } ~ \widehat J _ { H _ { 1 } H _ { 2 } } ( \vec { b } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ) ~ ,
\sigma _ { i } ^ { + } \rightarrow ( \sqrt { Q } { P } ) ^ { i - 1 } \, \sigma _ { i } ^ { + } , \; \; \; \; \; \; \sigma _ { i } ^ { - } \rightarrow ( \sqrt { P } { Q } ) ^ { i - 1 } \, \sigma _ { i } ^ { - } , \; \; \; \; \; \; \sigma _ { i } ^ { z } \rightarrow \sigma _ { i } ^ { z }
\begin{array} { r l r } { W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } ) } & { = } & { x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } \left[ 4 \left( \frac { y } { x } \right) + 8 \left( \frac { y } { x } \right) ^ { 2 } \right] + } \\ & { } & { \frac { 2 } { 2 5 } x ^ { 4 } \left[ \left( \frac { y } { x } \right) ( 4 + 6 | \mathcal { C } _ { 2 1 } ^ { 1 } | - 4 | \mathcal { C } _ { 2 1 } ^ { 2 } | + | \mathcal { C } _ { 2 1 } ^ { 3 } | ) + \left( \frac { y } { x } \right) ^ { 2 } ( 8 + 2 | \mathcal { C } _ { 2 2 } ^ { 1 } | - 8 | \mathcal { C } _ { 2 2 } ^ { 2 } | - 3 | \mathcal { C } _ { 2 2 } ^ { 3 } | \right] } \\ & { = } & { x ^ { 4 } + 8 x y ^ { 3 } + 1 6 y ^ { 4 } + \frac { 2 x ^ { 4 } } { 2 5 } \left[ \left( \frac { y } { x } \right) ( 4 - 4 \times 2 + 4 ) + \left( \frac { y } { x } \right) ^ { 2 } ( 8 + 2 \times 2 - 3 \times 4 ) \right] } \\ & { = } & { x ^ { 4 } + 8 x y ^ { 3 } + 1 6 y ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } ( s , a ) = - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } Q _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } ( s , a ) . } \end{array}
L _ { \mathrm { i n v } } \bigl ( \{ \mathbb G \} , \{ \mathbf x \} \bigl ) = \frac { 1 } { m \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { g } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \Bigl [ \varphi \bigl ( \mathbf { x } _ { i } + \varepsilon { \mathbb G _ { \alpha } } \cdot \mathbf { x } _ { i } \bigr ) - \varphi ( \mathbf { x } _ { i } ) \Bigr ] ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ ( \mathbf { \eta } ^ { ( 0 ) } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { A - B } ) \right] } \\ { = } & { { } \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \left( ( \mathbf { A - B } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf { A + B } ) ( \mathbf { A - B } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] = \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \mathbf { \Omega } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { e r f c } x } & { = { \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { x { \sqrt { \pi } } } } \left( 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2 n - 1 ) } { \left( 2 x ^ { 2 } \right) ^ { n } } } \right) } \\ & { = { \frac { e ^ { - x ^ { 2 } } } { x { \sqrt { \pi } } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { \left( 2 x ^ { 2 } \right) ^ { n } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { D _ { A } \delta \xi _ { x } } & { { } = \frac { 4 \pi } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \textrm { d } \delta \tilde { p } } { \textrm { d } x } , } \\ { D _ { A } \delta \xi _ { y } } & { { } = \frac { 4 \pi } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \mathrm { ~ i ~ } k _ { y } \delta \tilde { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { c } \frac { \partial I } { \partial t } + \frac { 1 } { \varepsilon } \vec { \Omega } \cdot \nabla I = \underbrace { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + f } \sigma ^ { n } B ^ { n } } _ { \mathrm { e m i s s i o n } } + \underbrace { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \frac { f } { 1 + f } \frac { \sigma ^ { n } b ^ { n } } { \sigma _ { p } ^ { n } } \int _ { R } \int _ { s ^ { 2 } } \sigma ^ { n } I \mathrm { d } \Omega \mathrm { d } \nu } _ { \mathrm { e f f e c t i v e ~ s c a t t e r i n g } } - \underbrace { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \sigma ^ { n } I } _ { \mathrm { a b s o r p t i o n } } , } \\ & { T ^ { * } = T ^ { n } - \underbrace { \frac { 1 } { C _ { v } } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + f } \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \int _ { R } \int _ { s ^ { 2 } } \sigma ^ { n } B ^ { n } \mathrm { d } \Omega \mathrm { d } \nu \mathrm { d } t } _ { \mathrm { e m i s s i o n } } + \underbrace { \frac { 1 } { C _ { v } } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \int _ { R } \int _ { s ^ { 2 } } \sigma ^ { n } I \mathrm { d } \Omega \mathrm { d } \nu \mathrm { d } t } _ { \mathrm { a b s o r p t i o n } } . } \end{array}
\frac { m _ { e } } { n } \frac { \partial n } { \partial m _ { e } } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \left( \frac { \omega } { n } \frac { \partial n } { \partial \omega } \right) } & { \mathrm { e l e c t r o n ~ m o d e s } } \\ { - \frac { 3 } { 2 } \left( \frac { \omega } { n } \frac { \partial n } { \partial \omega } \right) } & { \mathrm { p h o n o n ~ m o d e s } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { - 1 } } & { \left[ s ^ { - \rho } H _ { p , q } ^ { m , n } \left[ a s ^ { \sigma } \left| \begin{array} { c } { ( a _ { p } , A _ { p } ) } \\ { ( b _ { q } , B _ { q } ) } \end{array} \right. \right] ; t \right] } \\ & { = t ^ { \rho - 1 } H _ { p + 1 , q } ^ { m , n } \left[ a t ^ { - \sigma } \left| \begin{array} { c } { ( a _ { p } , A _ { p } ) , ( \rho , \sigma ) } \\ { ( b _ { q } , B _ { q } ) } \end{array} \right. \right] } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x [ - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F _ { \mu \nu } ^ { a } + \frac { 1 } { 2 \alpha } ( \partial _ { \mu } A _ { \mu } ) ^ { 2 } + + \bar { c } ^ { a } \partial _ { \mu } ( \delta ^ { a b } \partial _ { \mu } - g t ^ { a b c } A _ { \mu } ^ { c } ) c ^ { b } ]
S _ { G B } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } ( \int _ { \partial V } - \int _ { \partial M } ) \omega ^ { 0 1 } ( 1 - ( \frac { a ^ { 2 } } { 1 + a ^ { 2 } } ) ^ { 2 } ) d \Omega ,
\begin{array} { r l } { E _ { \alpha } ( i ^ { - \gamma } | \xi | ^ { \beta } ) } & { = - \frac { i ^ { \gamma } } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } | \xi | ^ { - \beta } + O ( | \xi | ^ { - 2 \beta } ) , \ | \xi | \rightarrow \infty \ \mathrm { i f } \ \alpha < \gamma \leq 1 , } \\ { E _ { \alpha } ( i ^ { - \gamma } | \xi | ^ { \beta } ) } & { = \frac { 1 } { \alpha } \exp ( - i | \xi | ^ { \frac { \beta } { \alpha } } ) + O ( | \xi | ^ { - \beta } ) , \ | \xi | \rightarrow \infty \ \mathrm { i f } \ \alpha = \gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \kappa } { d t } = } & { \left( \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \cdot \boldsymbol { H } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \right) \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } } \\ & { + \left( \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } \cdot \boldsymbol { S } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } - 2 \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \cdot \boldsymbol { S } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \right) \kappa . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { -- } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = } & { \gamma _ { \mathrm { 1 D } } \sum _ { i j } s _ { i } ^ { + } ( \omega _ { 1 } ) s _ { j } ^ { + } ( \omega _ { 2 } ) [ \delta _ { i j } + ( M \Sigma ) _ { i j } ] g _ { j } } \\ & { \times 2 \pi \delta ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } - \Omega ) \, . } \end{array}
\sigma ^ { \mu \alpha } ( \omega ) = \frac { i e ^ { 2 } } { \hslash \omega } \int [ d \mathbf { k } ] \left( \sum _ { a b } f _ { a b } \frac { v _ { a b } ^ { \mu } v _ { b a } ^ { \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b a } } + \sum _ { a } f _ { a } h _ { a a } ^ { \mu \alpha } \right) \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \frac { \partial h } { \partial t } + \frac { 1 } { 4 r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r h u \right) } & { \; = } & & { \; - \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } } , } \\ { u } & { \; = } & & { \; \frac { h ^ { 2 } } { 3 \mathrm { C a } } \frac { \partial } { \partial r } \left[ - \mathrm { B o } h + \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial h } { \partial r } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { b _ { i , j } ^ { } = \left\{ \begin{array} { l l } { f - 1 , } & { j = i + \Delta } \\ { - f , } & { j = i + \Delta + 1 } \\ { f , } & { j = i - \Delta - 1 } \\ { 1 - f , } & { j = i - \Delta } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\left\langle \mathbf { E } _ { \mathbf { \mathrm { k } } } | \mathbf { E } _ { \mathbf { \mathrm { k } } } \right\rangle = \int d V \mathbf { E } _ { - \mathrm { \mathbf { k } } } \left( \mathbf { r } \right) \cdot \mathbf { E } _ { \mathbf { \mathrm { k } } } \left( \mathbf { r } \right)
\delta ( { \bf k } - { \bf q } ) \delta ( k _ { 0 } - q _ { 0 } ) \delta ( q _ { \mu } q ^ { \mu } - m ^ { 2 } ) \Theta ( q _ { 0 } ) = \frac { \delta ( { \bf k } - { \bf q } ) \delta ( k _ { 0 } - \omega _ { q } ) } { 2 \omega _ { q } } ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } ~ \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { - 2 } V \sum _ { i } \big \langle \, ( \Pi _ { 0 } \Delta \bar { \phi } ^ { l } ) _ { i } ( \Pi _ { 0 } \Delta { \phi } ^ { l } ) _ { i } \, \big \rangle } \\ { = } & { { } ~ \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { - 2 } V \sum _ { i j n m u } \big \langle ( \Pi _ { 0 } ) _ { i j } T _ { j n } \Delta \bar { \psi } _ { n } ^ { l } ( \Pi _ { 0 } ) _ { i m } T _ { m u } \Delta \psi _ { u } ^ { l } \big \rangle } \\ { = } & { { } ~ \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \vert ^ { - 2 } V \sum _ { i j n } ( \Pi _ { 0 } \bar { \hat { e } } _ { i } ) _ { j } ( \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { n } ) _ { j } \big \langle \Delta \psi _ { i } ^ { l } \Delta \psi _ { n } ^ { l } \big \rangle } \\ { = } & { { } ~ 2 \sum _ { i , j > 0 } \frac { \Pi _ { 0 } \bar { \hat { e } } _ { i } \cdot \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { j } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \frac { \big ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { T } \mathrm { a d j } T ^ { T } \big ) _ { i j } } { \bar { \lambda } _ { i } + \lambda _ { j } } \, , } \end{array}
\hat { G } _ { w } ^ { ( P ) } ( x , \omega + P \omega _ { m } ) = \frac { - 1 } { 4 \mathcal { D } \beta _ { P } ^ { 3 } } ( \mathrm { e } ^ { - \beta _ { P } | x | } + \mathrm { i } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { - i } \beta _ { P } | x | } ) ,
\frac { 2 \varkappa - 1 } { \pi } \int _ { \mathcal { D } } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \alpha } { \left( 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \, \frac { 2 \alpha } { 1 - \vert \alpha \vert ^ { 2 } } | \alpha ; \varkappa ; s \rangle \langle \alpha ; \varkappa ; s | = \frac { \varkappa + s } { \varkappa ( \varkappa - 1 ) } K _ { - } \, ,
\delta = 2 \arcsin \left( { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { p _ { e } } { R _ { \mathrm { S O I } } } } } } { \sqrt { 1 + { \frac { p _ { e } } { R _ { \mathrm { S O I } } } } - { \frac { 2 \mu p _ { e } } { v _ { \infty } ^ { 2 } R _ { \mathrm { S O I } } ^ { 2 } } } } } } { 1 + { \frac { v _ { \infty } ^ { 2 } p _ { e } } { \mu } } - { \frac { 2 p _ { e } } { R _ { \mathrm { S O I } } } } } } \right)
\begin{array} { r l r } { | K _ { 1 } | } & { \le } & { 1 \; , \; | K _ { 2 } | \le 1 \; , \; | K _ { 3 } | \le 1 \; , | K _ { 1 2 } | \le 1 \; , | K _ { 1 3 } | \le 1 \; , \; | K _ { 2 3 } | \le 1 \; , } \\ { \vert K _ { 1 } \pm K _ { 2 } \vert } & { \le } & { 1 \pm K _ { 1 2 } \; , \; \vert K _ { 1 } \pm K _ { 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 1 3 } \; , \; \vert K _ { 2 } \pm K _ { 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 2 3 } \; , \; } \\ { \vert K _ { 1 2 } \pm K _ { 1 3 } \vert } & { \le } & { 1 \pm K _ { 2 3 } \; , \; \vert K _ { 1 2 } \pm K _ { 2 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 1 3 } \; , \; \vert K _ { 1 3 } \pm K _ { 2 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 1 2 } \; , } \\ { \vert K _ { 1 2 3 } \pm K _ { 1 2 } \vert } & { \le } & { 1 \pm K _ { 3 } \; , \; \vert K _ { 1 2 3 } \pm K _ { 1 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 2 } \; , \; \vert K _ { 1 2 3 } \pm K _ { 2 3 } \vert \le 1 \pm K _ { 1 } \; , \; | K _ { 1 2 3 } | \le 1 \; , } \end{array}
\frac { F _ { D } } { \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { 0 } ^ { 2 } S _ { p } } = \frac { 2 \omega \left( \sin { ( \beta ) } - \frac { 1 } { 2 } \omega \right) } { \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } \omega } + \left( \sin { ( \beta ) } + \frac { 1 } { 2 } \omega \right) \frac { { p _ { 0 } } - { p _ { I I I } } } { \frac { 1 } { 2 } \rho v _ { 0 } ^ { 2 } } .
{ \psi } _ { \mathrm { S M T } } ^ { \mathrm { i n } } ( \textbf { r } _ { \parallel } , \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \equiv \sum _ { \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } e ^ { i ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } - \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \cdot \textbf { r } _ { \parallel } + i \phi _ { \mathrm { o u t } } ( \bf k _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } ) } \Tilde { R } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ; z _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r } { R \big ( \mathrm { ^ { 2 2 0 } R n } \big ) = \frac { 1 } { \epsilon \big ( ^ { 2 2 0 } \mathrm { R n } \, \big | \, ^ { 2 1 2 } \mathrm { P o } \big ) } \cdot \frac { A _ { \mathrm { i n i t } } \big ( ^ { 2 1 2 } \mathrm { P o } \big ) } { f _ { \mathrm { e q } } \big ( ^ { 2 1 2 } \mathrm { P o } \big ) } \, , } \end{array}
\frac { u ^ { \prime } ( r ) } { u ( r ) } - \frac { \phi ^ { \prime } ( r ) } { \phi ( r ) } = \frac { \int _ { 0 } ^ { r } V ( r ^ { \prime } ) \phi ( r ^ { \prime } ) u ( r ^ { \prime } ) d r ^ { \prime } } { \phi ( r ) u ( r ) } > 0 .
\begin{array} { r l r l r l } { \tilde { \gamma } _ { x x } } & { { } = 1 - b , } & { \gamma _ { y y } } & { { } = 1 , } & { \gamma _ { z z } } & { { } = 1 } \\ { \alpha } & { { } = \sqrt { 1 - b } , } & { K _ { x x } } & { { } = \frac { \partial _ { t } b } { 2 \sqrt { 1 + b } } , } & { \hat { \Gamma } ^ { x } } & { { } = - \frac { 2 \partial _ { x } b } { 3 ( 1 - b ) ^ { 5 / 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { d = \frac { b c _ { i } ^ { r } } { a } = \frac { b } { a } \left( 1 + \frac { \alpha p _ { r } } { l _ { i } } \right) > 1 } \\ { \iff \frac { b } { u ( 1 - c _ { i } ^ { r } i ^ { * } ) - b } \left( 1 + \frac { \alpha p _ { r } } { l _ { i } } \right) > 1 } \\ { \iff \frac { u ( 1 - c _ { i } ^ { r } i ^ { * } ) } { b c _ { i } ^ { r } } - \frac { 1 } { c _ { i } ^ { r } } < 1 } \\ { \iff u ( 1 - c _ { i } ^ { r } i ^ { * } ) < ( 1 + c _ { i } ^ { r } ) b . } \end{array}
= \frac { 1 } { M } \sum _ { q \in \mathcal { M } _ { w } } \underbrace { \left( \frac { M } { N } \sum _ { v \in \mathcal { Z } _ { q } } \psi ^ { \prime } \left( x _ { w } , x _ { v } \right) \right) } _ { \equiv \Psi ( x _ { w } , x _ { q } ) } = \frac { 1 } { M } \sum _ { q \in \mathcal { M } _ { w } } \Psi \left( x _ { w } , x _ { q } \right) \quad ,
\begin{array} { r l } { | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle } & { = \sum _ { I } \frac { \langle \Psi _ { I } | \hat { \mu } _ { \lambda } | \Psi _ { 0 } \rangle } { \omega _ { e x } - ( E _ { I } - E _ { 0 } ) + i \eta } | \Psi _ { I } \rangle = \sum _ { I } a _ { I } | \Psi _ { I } \rangle , } \\ { | B _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) \rangle } & { = \sum _ { I } \frac { \langle \Psi _ { I } | \hat { \mu } _ { \rho } ^ { \dagger } | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle } { \omega _ { e x } - \omega _ { e m } - ( E _ { I } - E _ { 0 } ) + i \eta ^ { \prime } } | \Psi _ { I } \rangle = \sum _ { I } b _ { I } | \Psi _ { I } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m \mathrm { e } ^ { B } } & { = k h ( 2 B ) ^ { 1 / 2 } \frac { \sqrt { \pi } } { G _ { + } ( \mathrm { i } ) } \sum _ { n \ge 0 } b _ { n } ( B ) \mathrm { e } ^ { - 2 B \xi _ { n } } , } \\ { b _ { n } ( B ) } & { = b _ { ( n ) , 0 } + s \frac { b _ { ( n ) , 1 } } { \sqrt { B } } + \frac { b _ { ( n ) , 2 , 1 } \log ( 2 B ) } { B } + \frac { b _ { ( n ) , 2 , 0 } } { B } + \mathcal { O } \big ( B ^ { - 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { \frac { 4 u } { u - 1 } \alpha ( R - \lceil \frac { R } { T } \rceil ) } { n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } } = \widetilde \Theta \left( \frac { R } { n _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } P ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\left[ \hat { \varepsilon } ( x _ { 1 } ) , \hat { \varepsilon } ^ { \dagger } ( x _ { 2 } ) \right] = \left[ \hat { p } ( x _ { 1 } ) , \hat { p } ( x _ { 2 } ) ^ { \dagger } \right] = \left[ \hat { s } ( x _ { 1 } ) , \hat { s } ( x _ { 2 } ) ^ { \dagger } \right] = \delta ( x _ { 1 } - x _ { 2 } )
2 ^ { 2 ^ { 2 ^ { 2 ^ { 2 ^ { 2 } } } } } = 2 \uparrow \uparrow 6 = 2 ^ { 2 ^ { 6 5 , 5 3 6 } } \approx 2 ^ { ( 1 0 \uparrow ) ^ { 2 } 4 . 3 } \approx 1 0 ^ { ( 1 0 \uparrow ) ^ { 2 } 4 . 3 } = ( 1 0 \uparrow ) ^ { 3 } 4 . 3
\begin{array} { r l } { 6 \tau w _ { n } \sum _ { j = 3 } ^ { n } b _ { n - j } w _ { j } = } & { \frac { 9 } { 2 } ( w _ { n } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } w _ { n - 1 } ^ { 2 } ) - \frac { 9 } { 2 } \left( w _ { n - 1 } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } w _ { n - 2 } ^ { 2 } \right) + 2 w _ { n } ^ { 2 } + ( w _ { n } + w _ { n - 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 7 } { 2 } ( w _ { n } - w _ { n - 1 } ) ^ { 2 } , \qquad \qquad f o r \; n \ge 3 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \Phi } _ { x } = \left( \begin{array} { l l } { \ - i \lambda } & { \psi } \\ { - \psi ^ { * } } & { i \lambda } \end{array} \right) \mathbf { \Phi } , } \\ { \mathbf { \Phi } _ { t } = \left( \begin{array} { l l } { \ - i \lambda ^ { 2 } + \frac { i } { 2 } | \psi | ^ { 2 } } & { \lambda \psi + \frac { i } { 2 } \psi _ { x } } \\ { - \lambda \psi ^ { * } + \frac { i } { 2 } \psi _ { x } ^ { * } } & { i \lambda ^ { 2 } - \frac { i } { 2 } | \psi | ^ { 2 } } \end{array} \right) \mathbf { \Phi } , } \end{array}
S _ { e f f } = \int { d ^ { 2 } x \left( { - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { { 2 \xi } } \left( { \partial _ { \mu } A ^ { \mu } } \right) ^ { 2 } + i \overline { { C } } \partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } C } \right) } .
A _ { \mathrm { C P } } ( \pi ^ { 0 } K ^ { 0 } ) \simeq - \frac { 1 - R \, R _ { * } } { R \, R _ { * } ^ { 2 } } \, A _ { \mathrm { C P } } ( \pi ^ { 0 } K ^ { + } ) + \frac { A _ { \mathrm { C P } } ( \pi ^ { + } K ^ { 0 } ) } { R \, R _ { * } } \, .
W ^ { ( a b ) } ( r , r ^ { \prime } ) = \frac { \bar { I } _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) } { \bar { I } _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) } \frac { \bar { K } _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) } { \bar { K } _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) } \left[ \frac { G _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z , z r ) G _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z , z r ^ { \prime } ) } { \bar { K } _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) \bar { I } _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) - \bar { K } _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) \bar { I } _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) } - I _ { \nu } ( z r ^ { \prime } ) K _ { \nu } ( z r ) \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } | \tilde { \rho } _ { k , * } ( \tau ) | _ { - k \alpha , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } 1 , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } | d _ { i } \tilde { \rho } _ { k , * } ( \tau ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { - k \alpha , s , \eta _ { 0 } } } & { = 0 } \end{array}
V _ { 3 \times 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { { A ^ { L } } } & { { B ^ { L } } } & { { 0 } } \\ { { - B ^ { L * } } } & { { A ^ { L * } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { A ^ { H } } } & { { B ^ { H } } } \\ { { 0 } } & { { - B ^ { H * } } } & { { A ^ { H * } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = \int d ^ { D } k \frac { D k ^ { 2 } ( p - k ) ^ { 2 } ( k \cdot p - k ^ { 2 } ) } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { D } { 2 } \int d ^ { D } k \frac { ( p ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) - ( p - k ) ^ { 2 } } { k ^ { 2 } ( p - k ) ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { D } { 2 } \Big ( p ^ { 2 } I ( 1 , 1 , D ) - I ( 0 , 1 , D ) - I ( 1 , 0 , D ) \Big ) \, . } \end{array}
m _ { \pi } ^ { 2 } = \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { f _ { \pi } ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d ( q ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } } m _ { 0 } ( q ) \, \nu ^ { 3 } ( q )