harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left. \overline { { v } } _ { 1 } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } = \frac { \left( 2 \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } / \mu _ { w } \right) ^ { 2 / 3 } \mathrm { ~ A ~ i ~ } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) \mu _ { w } \widetilde A _ { v } } { 2 x _ { 1 } T _ { w } \left( T _ { w } ^ { 2 } ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } - \mathrm { i } \widetilde A _ { v } \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \right) } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { F } _ { - } ^ { ( b ) } } & { = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { r _ { b } } \frac { r ^ { 3 } } { r _ { b } ^ { 3 } } \, g _ { b , - } ( r ) f _ { b , - } ( r ) d r , } \\ { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( b ) } } & { = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { r _ { b } } g _ { b , - } ( r ) f _ { b , - } ( r ) d r , } \\ { \mathcal { G } _ { b } } & { = } & { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( b ) } + \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { r _ { b } } ^ { \infty } g _ { + } ( r ) f _ { + } ( r ) d r . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { f } } & { \approx } & { \frac { \pi L \, \epsilon _ { f } ^ { D T } } { m _ { p } \, \rho _ { p } } \, \frac { \left( \rho R \right) ^ { 3 } } { H _ { D T } \left( k T _ { i } , u ^ { s } \right) + \rho R } } \\ & { } & { + \frac { \pi L \, \epsilon _ { f } ^ { p B } } { m _ { p } \, \rho _ { p } } \, \frac { \left( \rho R \right) ^ { 3 } } { H _ { p B } \left( k T _ { i } , u ^ { s } \right) + \rho \, R } \, , } \\ { E _ { i } } & { \approx } & { \frac { 3 \pi L \, k T _ { i } } { 2 \rho _ { p } ^ { 2 } } \, \left( n _ { p } + n _ { B } + n _ { D } + n _ { T } \right) \, \left( \rho R \right) ^ { 2 } \, , } \end{array}
\left( { \frac { y + 1 1 ( y { \bmod { 2 } } ) } { 2 } } + 1 1 \left( { \frac { y + 1 1 ( y { \bmod { 2 } } ) } { 2 } } { \bmod { 2 } } \right) \right) { \bmod { 7 } } .
{ \frac { P _ { c } V _ { m , c } ^ { 2 } } { a \, b ^ { \prime } } } = { \frac { 3 } { 8 } } \left( 1 + \cosh ( { \frac { 1 } { 3 } } \operatorname { a c o s h } ( 3 ) ) \right) \approx 0 . 8 1 6 6 1 9 \approx { \frac { Z _ { c } ^ { 2 } } { 0 . 4 5 7 2 4 \, b ^ { \prime } } }
\sum _ { s } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } N _ { m _ { 1 } , n } ^ { r s } n N _ { n , m _ { 2 } } ^ { s t } = \delta ^ { r t } \frac { 1 } { m _ { 1 } } \oint \frac { d y } { 2 \pi i } \xi _ { t } ( y ) ^ { - m _ { 1 } } \frac { 1 } { m _ { 2 } } \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \xi _ { t } ( z ) ^ { - m _ { 2 } } \frac { \xi _ { t } ^ { \prime } ( z ) \bar { \xi } _ { t } ^ { \prime } ( y ) } { ( 1 - \xi _ { t } ( z ) \bar { \xi } _ { t } ( y ) ) ^ { 2 } }
{ \overline { { \Delta } } } ( z , r ) = \{ \zeta = ( \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } , \dots , \zeta _ { n } ) \in C ^ { n } : \left| \zeta _ { \nu } - z _ { \nu } \right| \leq r _ { \nu } { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \nu = 1 , \dots , n \}
\left( \frac { \log J _ { p } ( p _ { k } / q _ { k } ) - A _ { p , k } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \log 2 } k } , \frac { \log J _ { p ^ { \prime } } ( p _ { k } / q _ { k } ) - A _ { p ^ { \prime } , k } } { \frac { 3 } { 8 \pi } \cdot \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \log 2 } k } \right) \overset { d } { \to } \mathrm { S t a b } ( 1 , 1 ) \otimes \mathrm { S t a b } ( 1 , - 1 ) \qquad \textrm { a s } k \to \infty ,
\begin{array} { r } { f ^ { e q } = \frac { \rho } { 2 \pi R T } ( \frac { 1 } { 2 \pi I R T } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp [ - \frac { ( \mathbf { v } - \mathbf { u } ) ^ { 2 } } { 2 R T } - \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 I R T } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { { } = } & { p _ { x } , \quad \dot { y } = p _ { y } , \quad \dot { z } = p _ { z } , } \\ { \dot { p } _ { x } } & { { } = } & { - \mu \frac { x - ( 1 - \mu ) \cos { t } } { \rho _ { 1 } ^ { 3 } } - ( 1 - \mu ) \frac { x + \mu \cos { t } } { \rho _ { 2 } ^ { 3 } } , } \\ { \dot { p } _ { y } } & { { } = } & { - \mu \frac { y - ( 1 - \mu ) \sin { t } } { \rho _ { 1 } ^ { 3 } } - ( 1 - \mu ) \frac { y + \mu \sin { t } } { \rho _ { 2 } ^ { 3 } } , } \\ { \dot { p } _ { z } } & { { } = } & { - \mu \frac { z } { \rho _ { 1 } ^ { 3 } } - ( 1 - \mu ) \frac { z } { \rho _ { 2 } ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega \tilde { t } _ { n } = ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 2 \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } { \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } , } \end{array}
\times \exp \left\{ - 2 ( \pi \eta ) ^ { 2 } \int d ^ { 4 } x \int d ^ { 4 } y \left[ \Sigma _ { \mu \nu } ^ { 1 } ( x ) \Sigma _ { \mu \nu } ^ { 1 } ( y ) + \Sigma _ { \mu \nu } ^ { 1 } ( x ) \Sigma _ { \mu \nu } ^ { 2 } ( y ) + \Sigma _ { \mu \nu } ^ { 2 } ( x ) \Sigma _ { \mu \nu } ^ { 2 } ( y ) \right] D _ { m _ { B } } ^ { ( 4 ) } ( x - y ) \right\} .
( \mathcal { V } _ { t } ^ { \prime } , \mathcal { W } _ { t } ^ { \prime } ) : = ( \mathcal { V } _ { t } , \mathcal { W } _ { t } ) + L ( \mathcal { V } _ { t } , \mathcal { W } _ { t } , \mathcal { V } _ { t } ^ { * } , \mathcal { W } _ { t } ^ { * } )
\begin{array} { r l } { \Bar { Q } _ { t } ^ { ( n ) } } & { = \mathbb { E } [ Q ^ { ( n ) } ] - \Bar { Y } ^ { ( n ) } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \Bar { \Bar { Y } } ^ { ( n ) } } / { \Bar { Y } ^ { ( n ) } } + \Bar { Y } ^ { ( n ) } - 1 \right) } \\ { \Bar { \Bar { Q } } _ { t } ^ { ( n ) } } & { = \mathrm { V a r } [ Q ^ { ( n ) } ] - \Bar { \Bar { Y } } ^ { ( n ) } + \frac { 1 } { 1 2 ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } \left[ 4 \Bar { Y } ^ { ( n ) } \Bar { \Bar { \Bar { Y } } } ^ { ( n ) } + 6 ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } \Bar { \Bar { Y } } ^ { ( n ) } - ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } + ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 4 } - 3 ( \Bar { \Bar { Y } } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\iota ^ { * } \psi = \left( \begin{array} { l l l l } { - \phi _ { 2 } ^ { 2 } - \textstyle { \frac 1 2 } \phi _ { 1 } ^ { 1 } } & { \theta _ { 0 } } & { \textstyle { \frac 1 2 } \theta _ { 2 } } & { \textstyle { \frac 1 2 } \theta _ { 1 } } \\ { \omega ^ { 0 } } & { \phi _ { 2 } ^ { 2 } + \textstyle { \frac 1 2 } \phi _ { 1 } ^ { 1 } } & { \textstyle { \frac 1 2 } \omega ^ { 2 } } & { - \textstyle { \frac 1 2 } \omega ^ { 1 } } \\ { \omega ^ { 1 } } & { \theta _ { 1 } } & { \frac { 3 } { 2 } \phi _ { 1 } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { - \theta _ { 2 } } & { 0 } & { - \frac { 3 } { 2 } \phi _ { 1 } ^ { 1 } } \end{array} \right) ,
\mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } = - \frac { \left( \varepsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { 1 } \right) } { 2 } \left[ E _ { x } ^ { 2 } + E _ { y } ^ { 2 } + \left( 1 + \frac { \varepsilon _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } } \right) \frac { E _ { z , \mathrm { t } } ^ { 2 } } { 2 } \right] .
p _ { g } ( w , s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = \left( 1 - w ^ { 2 } \right) ^ { \frac { N - 2 } { 2 } } \left[ e ^ { - \frac { \mu _ { t _ { b } } - \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { b } - \sigma _ { a } } { 2 } s w } + e ^ { \frac { \mu _ { t _ { b } } - \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { b } - \sigma _ { a } } { 2 } s w } \right] ,
\left[ \begin{array} { l l l } { n ^ { 2 } - n ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi - S } & { i D - n ^ { 2 } \sin \phi \cos \phi } & { - i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n \sin \phi } \\ { - i D - n ^ { 2 } \sin \phi \cos \phi } & { n ^ { 2 } - n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi - S } & { + i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n \cos \phi } \\ { + i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n \sin \phi } & { - i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n \cos \phi } & { n ^ { 2 } - P } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \delta E _ { x } } \\ { \delta E _ { y } } \\ { \delta E _ { z } } \end{array} \right] = 0 ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { 1 } _ { S } : X \to \{ 0 , 1 \} } \\ { \mathbf { 1 } _ { S } ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { x \in S } \\ { 0 } & { x \notin S } \end{array} \right. } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { k } ( \partial \Omega ) : = \{ \mu \in L ^ { 2 } \Lambda ^ { k } ( \partial \Omega ) \mid \exists \lambda \in H ^ { 1 } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) , \ s . t . \ \mathrm { t r } ( \lambda ) = \mu \} , } \\ & { \Vert \mu \Vert _ { H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { k } ( \partial \Omega ) } : = \operatorname* { i n f } _ { \mathrm { t r } ( \lambda ) = \mu , \lambda \in H ^ { 1 } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) } \Vert \lambda \Vert _ { H ^ { 1 } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { D } \, { \cal R } _ { D T \alpha } > \frac { \epsilon _ { D } + \epsilon _ { T } } { \zeta \, \epsilon _ { f } ^ { D T } \sigma _ { R } ^ { D T } } \approx 5 \cdot 1 0 ^ { 2 6 } \, \mathrm { ~ m ~ } ^ { - 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \delta } f _ { \delta } \left( \sum _ { \gamma } T r [ A _ { \gamma \delta } ( \alpha ) A _ { \delta \gamma } ( \beta ) ] \right) } \\ { = \sum _ { \gamma } f _ { \gamma } \left( \sum _ { \delta } T r [ A _ { \gamma \delta } ( \alpha ) A _ { \delta \gamma } ( \beta ) ] \right) = - T _ { \alpha \beta } f _ { \beta } - T _ { \beta \alpha } f _ { \alpha } , } \end{array}
\mathbf { C } ^ { \star } = \underset { \mathbf { C } \in \mathbb { R } ^ { p \times n } } { \arg \operatorname* { m i n } } \left| \mathbf { x } - \mathbf { \Psi } ( \mathbf { C \Psi } ) ^ { \dagger } \mathbf { y } \right| _ { 2 } ^ { 2 }
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \rho } } { d \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } + \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \rho } { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tilde { \lambda } } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tilde { \lambda } } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \cal W } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } { \cal W } ^ { \prime } { \frac { d x ^ { \rho } } { d \tilde { \lambda } } } - \left[ { \cal W } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } g ^ { \rho \sigma } + { \frac { 1 } { 2 } } { \cal W } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } { \frac { d x ^ { \rho } } { d \tilde { \lambda } } } { \frac { d x ^ { \sigma } } { d \tilde { \lambda } } } \right] { \frac { d x ^ { \mu } } { d \tilde { \lambda } } } \partial _ { y } ( { \cal W } g _ { \rho \mu } ) .
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \nabla } } \cdot { \boldsymbol { S } } } & { = \left[ { \cfrac { \partial S _ { i j } } { \partial q ^ { k } } } - \Gamma _ { k i } ^ { l } ~ S _ { l j } - \Gamma _ { k j } ^ { l } ~ S _ { i l } \right] ~ g ^ { i k } ~ \mathbf { b } ^ { j } } \\ & { = \left[ { \cfrac { \partial S ^ { i j } } { \partial q ^ { i } } } + \Gamma _ { i l } ^ { i } ~ S ^ { l j } + \Gamma _ { i l } ^ { j } ~ S ^ { i l } \right] ~ \mathbf { b } _ { j } } \\ & { = \left[ { \cfrac { \partial S _ { ~ j } ^ { i } } { \partial q ^ { i } } } + \Gamma _ { i l } ^ { i } ~ S _ { ~ j } ^ { l } - \Gamma _ { i j } ^ { l } ~ S _ { ~ l } ^ { i } \right] ~ \mathbf { b } ^ { j } } \\ & { = \left[ { \cfrac { \partial S _ { i } ^ { ~ j } } { \partial q ^ { k } } } - \Gamma _ { i k } ^ { l } ~ S _ { l } ^ { ~ j } + \Gamma _ { k l } ^ { j } ~ S _ { i } ^ { ~ l } \right] ~ g ^ { i k } ~ \mathbf { b } _ { j } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { d _ { 2 } = - \frac { 3 } { 2 \sin ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } / 2 ) } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } / 2 ) } ) = - \frac { 3 } { 2 s ^ { 3 } r ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { s ^ { 2 } r ^ { 2 } } ) , } \\ & { d _ { 3 } = - \frac { 3 } { 2 \sin ^ { 3 } ( \theta _ { 3 } / 2 ) } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 3 } / 2 ) } ) = - \frac { 3 } { 2 s ^ { 3 } r ^ { 6 } } + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { s ^ { 2 } r ^ { 4 } } ) , } \\ & { g _ { 2 } = \frac { 7 } { \sin ( \theta _ { 2 } / 2 ) } + \mathcal { O } ( 1 ) = \frac { 7 } { s r } + \mathcal { O } ( 1 ) , \quad g _ { 3 } = \frac { 7 } { \sin ( \theta _ { 3 } / 2 ) } + \mathcal { O } ( 1 ) = \frac { 7 } { s r ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } d \, \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \kappa ( \mathbf { x } ) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \, \mathrm { d } \Omega + \int _ { \Omega } h _ { T } \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } \\ & { \qquad \qquad = \int _ { \Omega } f ( \mathbf { x } ) \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right) \mathrm { d } \Omega } \\ & { \qquad \qquad \qquad - \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \\ & { \qquad \qquad \qquad + 2 \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \end{array}
S _ { \mathrm { E u c l i d e a n } } ( \mathbf { x } , { \dot { \mathbf { x } } } ) = \int \left[ { \frac { m } { 2 } } | { \dot { \mathbf { x } } } ( t ) | ^ { 2 } + V ( \mathbf { x } ( t ) ) \right] \, d t
\frac { \partial \eta _ { + } } { \partial \widetilde { t } } + \biggl [ \frac { \eta _ { + } } { 2 } + \widetilde { v } _ { \mathrm { m s , d a } } \biggl ( 1 + \frac { 1 + \beta _ { \mathrm { i 0 } } } { 4 \widetilde { v } _ { \mathrm { m s , d a } } ^ { 3 } } \eta _ { + } \biggr ) \biggr ] \frac { \partial \eta _ { + } } { \partial \widetilde { x } } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { C } & { = } & { A _ { 0 } ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { 0 } - A _ { 1 } ^ { 1 } A _ { 0 } ^ { 0 } } \\ & { = } & { \alpha A _ { \nu } ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { \nu } + \beta ( A _ { \mu } ^ { \mu } ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { 2 \alpha A _ { 0 } ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { 0 } + 2 \beta A _ { 1 } ^ { 1 } A _ { 0 } ^ { 0 } + \left( \alpha + \beta \right) \left[ ( A _ { 0 } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( A _ { 1 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
{ \mathbf { d } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } = \left( \Delta w \right) _ { j + \frac { 3 } { 2 } } - 2 \left( \Delta w \right) _ { j + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \Delta w \right) _ { j - \frac { 1 } { 2 } } \, \mathrm { ~ . ~ } }
\mathbf M ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } ) = \frac { 3 } { 2 \pi \eta } \cdot \frac { z _ { i } z _ { j } } { \left| \Delta \mathbf { x } \right| ^ { 5 } } \left( \begin{array} { l l l } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } & { \Delta x \Delta y } & { 0 } \\ { \Delta y \Delta x } & { ( \Delta y ) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\frac { d } { d t } { \cal E } _ { \epsilon } ^ { 1 } ( \theta ) ( t ) + \frac { 4 } { 3 } \epsilon { \cal E } _ { \epsilon } ^ { 1 } ( \theta ) ( t ) \leq \left( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { \epsilon } { \lambda _ { 1 } } \right) \| \eta ^ { \prime \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \alpha \left( 1 + \frac { \epsilon } { \lambda _ { 1 } } \right) \| \eta ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \langle s _ { x } \rangle } & { = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \cos \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin ^ { 2 } \vartheta \, e ^ { \left[ - \beta H _ { \mathrm { e f f } } ( \vartheta , \varphi ) \right] } } \\ { \langle s _ { y } \rangle } & { = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \sin \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin ^ { 2 } \vartheta \, e ^ { \left[ - \beta H _ { \mathrm { e f f } } ( \vartheta , \varphi ) \right] } } \\ { \langle s _ { z } \rangle } & { = \frac { 1 } { \tilde { Z } _ { \mathrm { S } } ^ { \mathrm { c l } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin \vartheta \cos \vartheta \, e ^ { \left[ - \beta H _ { \mathrm { e f f } } ( \vartheta , \varphi ) \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { \mathbf { D } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) } { \partial t } } & { { } = \nabla \times \boldsymbol { \mathbf { H } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) - \mathbf { J } _ { { f r e e } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) , } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { \mathbf { B } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) } { \partial t } } & { { } = - \nabla \times \boldsymbol { \mathbf { E } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } , t ) , } \end{array}
m _ { s } ^ { * } \left( p ^ { \mathcal { N } } , z ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) = \left( p ^ { \mathcal { N } } , z ^ { \mathcal { N } } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } \left( p ^ { \mathcal { N } } , \frac { h _ { K } } { | \mathbf { \eta } | } T _ { S S } z ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f _ { e } } { \partial t } } & { { } + \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial p } \left[ p ^ { 2 } \left( - E _ { \Vert } \xi - \frac { 1 + p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right) f _ { e } \right] - \frac { \partial } { \partial \xi } \left[ \left( \frac { 1 - \xi ^ { 2 } } { p } \right) E _ { \Vert } f _ { e } \right] } \end{array}
\ensuremath { \mathbf { U } } \ensuremath { \mathbf { h } } _ { D } \ensuremath { \mathbf { U } } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { l l } { \ensuremath { \mathbf { h } } _ { D } ^ { + } } & { 0 } \\ { 0 } & { \ensuremath { \mathbf { h } } _ { D } ^ { - } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { { \sum _ { \gamma , \delta } T r [ A _ { \gamma \delta } ( \alpha ) A _ { \delta \gamma } ( \beta ) ] = \sum _ { \gamma \delta } T r ( I _ { \alpha } \delta _ { \alpha \gamma } \delta _ { \alpha \delta } \delta _ { \beta \gamma } \delta _ { \beta \delta } } } \\ { { - \delta _ { \beta \gamma } \delta _ { \beta \delta } s _ { \alpha \gamma } ^ { \dagger } s _ { \alpha \delta } - \delta _ { \alpha \gamma } \delta _ { \alpha \delta } s _ { \beta \delta } ^ { \dagger } s _ { \beta \gamma } + s _ { \alpha \gamma } ^ { \dagger } s _ { \alpha \delta } s _ { \beta \delta } ^ { \dagger } s _ { \beta \gamma } ) } , } \end{array}
\left\| \mathcal { G } _ { \nu } ( z ) \Psi \right\| _ { \mathfrak { H } ^ { ( \nu ) } } \geq | \! \operatorname { I m } z | \| \Psi \| _ { \mathfrak { H } ^ { ( \nu ) } } , \qquad \left\| \mathcal { G } _ { \nu } ( z ) ^ { * } \Psi \right\| _ { \mathfrak { H } ^ { ( \nu ) } } \geq | \! \operatorname { I m } z | \| \Psi \| _ { \mathfrak { H } ^ { ( \nu ) } } ;
\left[ \begin{array} { l l } { \frac { \hat { b } _ { 1 1 } } { \hat { a } _ { 1 1 } } } & { \frac { \hat { b } _ { 1 2 } } { \hat { a } _ { 2 2 } } } \\ { \frac { \hat { b } _ { 2 1 } } { \hat { a } _ { 1 1 } } } & { \frac { \hat { b } _ { 2 2 } } { \hat { a } _ { 2 2 } } } \end{array} \right] = \boldsymbol { S } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { \hat { a } _ { 1 2 } } { \hat { a } _ { 2 2 } } } \\ { \frac { \hat { a } _ { 2 1 } } { \hat { a } _ { 1 1 } } } & { 1 } \end{array} \right]
\| v _ { h } \| _ { L ^ { 4 } ( \Gamma _ { h } ^ { n } ) } ^ { 2 } = \| v _ { h } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { h } ^ { n } ) } \lesssim \| v _ { h } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { h } ^ { n - 1 } ) } + \delta _ { n - 1 } ^ { \frac 1 2 } \| \mathbf n _ { h } \cdot \nabla v _ { h } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { O } _ { \delta } ) } .
\begin{array} { r l r } { { \bf u } } & { = } & { ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) = \langle \hat { \bf u } \rangle } \\ & { = } & { ( \lambda _ { 6 } / 2 , \lambda _ { 7 } / 2 , u _ { 3 } ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
E \; : = \; \frac { 1 } { 2 \pi } \: \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ^ { ( n _ { 1 } ) } \cdots f ^ { ( n _ { p } ) } \: \overline { { { f ^ { ( m _ { 1 } ) } } } } \cdots \overline { { { f ^ { ( m _ { q } ) } } } } \: d s \; ,
\sin \left( { \frac { \pi } { 9 6 } } \right) = \sin \left( 1 . 8 7 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 3 } } } } } } } } } }
\left\{ \begin{array} { r l l l l l l l l l } { \mathbb { D } _ { t } ^ { \gamma } p + \displaystyle { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } \, ( \beta \, { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ) + q \, p } & { = } & { g } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { Q , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ) ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ) ( \cdot , b ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( 0 , T ) , } \\ { I _ { t } ^ { 1 - \gamma } p ( 0 , \cdot ) } & { = } & { p ^ { 0 } } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { ( a , b ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Delta p _ { y , i } ^ { \mathbf { B } , 1 } ( t _ { 0 } \to t ) } & { = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left[ \int _ { t _ { 0 } } ^ { t ^ { \prime } } E ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } \right] B ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } } \\ { \Delta p _ { y , i } ^ { \mathbf { B } , 2 } ( t _ { \mathrm { r e c } } \to t ) } & { = - \Delta p _ { z , i } ( t _ { \mathrm { r e c } } ) \int _ { t _ { \mathrm { r e c } } } ^ { t } B ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } . } \end{array}
{ \cal W } _ { , \, a } = \nabla _ { a } { \cal W } = \partial _ { a } { \cal W } \, ; \qquad \nabla _ { a } { \cal W } _ { , b } = \partial _ { a } { \cal W } _ { , b } - \Gamma _ { a b } ^ { c } \, { \cal W } _ { , c } \; ,
\begin{array} { l } { p \in s _ { 2 } \wedge q \in s _ { 1 } , } \\ { p \in s _ { 3 } \wedge q \in s _ { 1 } , } \\ { p \in s _ { 2 } \wedge q \in s _ { 2 } , } \\ { p \in s _ { 3 } \wedge q \in s _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | r _ { n } ^ { ( j , k , l ) } | | _ { L ^ { 2 } } } & { \leq C _ { N , j , k , l } h ^ { j + k / 2 + l \varepsilon } h ^ { 2 \varepsilon N _ { j , k , l } } N _ { \infty } \left( \Phi _ { n } \left( P _ { n } ^ { ( j , k , l ) } \right) \right) h ^ { - t ( K _ { 0 } + K _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C _ { N , j , k , l } h ^ { j + k / 2 + l \varepsilon } h ^ { 2 \varepsilon N _ { j , k , l } } h ^ { - k \varepsilon } n ^ { 2 j + k } \Pi _ { \alpha , n } ( \rho ) \left( J _ { \mathbf { q } } ^ { u } \right) ^ { 3 k } h ^ { - t ( K _ { 0 } + K _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C _ { N , j , k , l } h ^ { j + k / 2 + l \varepsilon } h ^ { 2 \varepsilon N _ { j , k , l } } n ^ { 2 j + k } h ^ { - k \varepsilon } h ^ { - k \frac { 1 - 4 \varepsilon } { 2 ( 1 + \varepsilon ) } } h ^ { - K - t ( K _ { 0 } + K _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C _ { N , j , k , l } \left( \log 1 / h \right) ^ { N } h ^ { 2 \delta j } h ^ { 2 \varepsilon N } h ^ { k \left( 1 / 2 - 2 \varepsilon - \frac { 1 - 4 \varepsilon } { 2 ( 1 + \varepsilon ) } \right) } h ^ { - K - t ( K _ { 0 } + K _ { 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { { x } _ { 1 } } } & { = { x } _ { 1 } - \frac { { x } _ { 1 } { x } _ { 2 } } { { x } _ { 1 } + d } + { r } { x } _ { 1 } ^ { 2 } - { p } { { { x } _ { 1 } } ^ { 2 } } { x } _ { 3 } , } \\ { { \dot { { x } _ { 2 } } } } & { = - { x } _ { 2 } + ( \frac { { x } _ { 2 } { x } _ { 1 } } { { x } _ { 1 } + d } ) , } \\ { { \dot { { x } _ { 3 } } } } & { = - { q } { x } _ { 3 } + { p } { x } _ { 3 } { x } _ { 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
L _ { P , \alpha } ( p ) = \frac { ( \alpha - 1 ) } { \alpha } \int _ { 0 } ^ { p } ( 1 - q ) ^ { - ( \frac { 1 } { \alpha } ) } \, d q = 1 - ( 1 - p ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } .