harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { - ( \theta + d ) \partial _ { x } P _ { n } = U ^ { x } \partial _ { x } U ^ { x } + U ^ { y } \partial _ { y } U ^ { x } = \frac 1 2 \partial _ { x } ( U ^ { x } ) ^ { 2 } + \partial _ { x } \psi ( \Omega + \partial _ { x } \partial _ { x } \psi ) . } \end{array}
\langle w _ { i j } \rangle = p _ { i j } ( z ) \frac { s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } { 2 W ^ { * } \, p _ { i j } ( z ) } = \frac { s _ { i } ^ { * } \, s _ { j } ^ { * } } { 2 W ^ { * } } ,
\begin{array} { r l } { \pi _ { Q } ^ { \prime } ( y ) } & { = ( x _ { \gamma } ) _ { \gamma \in Q ^ { \prime } } , } \\ { \pi _ { P } ^ { \prime } ( y ) } & { = ( \bar { x } _ { \gamma ^ { \prime } } ) _ { \gamma ^ { \prime } \in P ^ { \prime } } , } \\ { e _ { P , Q } ( \pi _ { P } ^ { \prime } ( y ) ) } & { = ( x _ { \gamma } ^ { \prime } ) _ { \gamma \in Q ^ { \prime } } . } \end{array}
L _ { D } = \int _ { \cal M } { \frac { 1 } { 4 \pi } } \mathrm { T r } \bigg [ \widetilde { d } \bigg ( { \frac { k } { 2 } } \widetilde { d } g ^ { - 1 } d _ { 0 } g - { \frac { k } { 2 } } \widetilde { d } h ^ { - 1 } d _ { 0 } h + \widetilde { d } \alpha d _ { 0 } h h ^ { - 1 } \bigg ) - { \frac { k } { 6 } } ( h ^ { - 1 } d h ) ^ { 3 } + { \frac { k } { 6 } } ( g ^ { - 1 } d g ) ^ { 3 } \bigg ] .
\begin{array} { r l } { E _ { \textrm { T } } ^ { I , \lambda } = } & { { } { \phantom { - } } \sum _ { \mu \nu } \sum _ { \vec { L } } \left( T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } \right) ^ { I , \lambda } \left[ \Re ( D _ { \nu \mu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } } ) + \Re ( D _ { \nu \mu } ^ { \beta \beta , \vec { L } } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { t } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \mathbf { t } ^ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ o ~ s ~ e ~ d ~ } } ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma _ { s } } \\ { \mathbf { u } ^ { s } = \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ o ~ s ~ e ~ d ~ } } ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma _ { u } } \\ { p = 0 ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 2 n d + } } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ d ~ } ) } & { { } = \int \frac { d Q } { \sqrt { 2 \pi } } \mathrm { e } ^ { - Q ^ { 2 } / 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left( \oint \frac { d z _ { j } } { 2 \pi i } \frac { \mathrm { e } ^ { - z _ { j } ^ { 2 } / 2 + Q z _ { j } } } { z _ { j } ^ { 1 + d _ { j } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ^ { \mathrm { E M R M L D } } \phi = } & { \frac { 1 } { 2 } { b } ^ { \top } \left[ \nabla ^ { 2 } \phi \right] { b } + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { d } \frac { \partial ^ { 3 } \phi } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } \partial x _ { k } } ( b _ { i } \mathbf { Q } _ { j k } + b _ { j } \mathbf { Q } _ { i k } + b _ { k } \mathbf { Q } _ { i j } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j , k , l = 1 } ^ { d } \frac { \partial ^ { 4 } \phi } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } \partial x _ { k } \partial x _ { l } } \sum _ { a , b = 1 } ^ { d } g _ { i a } g _ { j b } g _ { k a } g _ { l b } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a [ n ] ( \mathbf { r } ) } & { { } = \pi \left( \frac { n ( \mathbf { r } ) } { 2 } \right) ^ { 2 / 3 } \left[ B _ { 0 } + C _ { 0 } \left( \frac { \tau ( \mathbf { r } ) } { \tau _ { 0 } ( \mathbf { r } ) } - 1 \right) \right] , } \end{array}
\gamma ( v ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - { \frac { v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } + v _ { z } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } }
\varphi _ { 2 } = \varphi _ { + } , \quad \varphi _ { 1 } = \varphi _ { - } , \quad \varphi _ { 3 } = \arctan \left[ \frac { \sqrt { q _ { + + } q _ { -- } } } { 2 ( p m _ { 3 } - m _ { 1 } m _ { 2 } ) } \right] \; ,
\begin{array} { r } { \overrightarrow { F } ( p ) = \sum _ { i } \left( \lambda ( p , [ \mathrm { ~ X ~ } _ { i } ] ) [ \textsf { e f f } Z _ { i } ] + \lambda ( p , [ Z _ { i } ] ) [ \textsf { e f f } X _ { i } ] \right) , } \\ { \overleftarrow { F } ( p ) = \sum _ { i } \left( \lambda ( p , [ \textsf { e f f } X _ { i } ] ) [ Z _ { i } ] + \lambda ( p , [ \textsf { e f f } Z _ { i } ] ) [ X _ { i } ] \right) . } \end{array}
A _ { u l } = \frac { 1 6 \pi ^ { 3 } } { 3 g _ { u } h \upepsilon _ { 0 } \uplambda ^ { 3 } } \left( e \ a _ { 0 } \right) ^ { 2 } S _ { u l } , \ \ \ \ \ \ \ g _ { u } = 2 ( 2 J _ { u } + 1 ) .
I _ { C , { \mathrm { r o d } } } = \iiint _ { Q } \rho \, x ^ { 2 } \, d V = \int _ { - { \frac { \ell } { 2 } } } ^ { \frac { \ell } { 2 } } \rho \, x ^ { 2 } s \, d x = \left. \rho s { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right| _ { - { \frac { \ell } { 2 } } } ^ { \frac { \ell } { 2 } } = { \frac { \rho s } { 3 } } \left( { \frac { \ell ^ { 3 } } { 8 } } + { \frac { \ell ^ { 3 } } { 8 } } \right) = { \frac { m \ell ^ { 2 } } { 1 2 } } ,
a _ { 1 } \, = \, b _ { 2 } \, = \, - \, 1 \; \; ; \; \; a _ { 2 } \, = \, b _ { 1 } \, = \, 1 \; \; ; \; \; a _ { 3 } \, = \, b _ { 3 } \, = \, 0 \; \; ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \dot { \hat { J } } _ { + } \right\rangle } & { { } = i \omega _ { z } \left\langle \hat { J } _ { + } \right\rangle - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle , } \\ { \left\langle \dot { \hat { J } } _ { - } \right\rangle } & { { } = - i \omega _ { z } \left\langle \hat { J } _ { - } \right\rangle + i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle , } \\ { \left\langle \hat { J } _ { z } \right\rangle } & { { } = - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle \left( \left\langle \hat { J } _ { + } \right\rangle - \left\langle \hat { J } _ { - } \right\rangle \right) . } \end{array}
\hat { \psi } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ n ~ e ~ r ~ } } ( \hat { y } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { n } \epsilon ^ { n } \log ^ { m } { ( \epsilon ) } \hat { \psi } _ { ( n , m ) } ( \hat { y } ) .
\begin{array} { r l r } { ( - \beta ) B ^ { ( n ) } } & { = } & { ( - \beta ) \Big [ E _ { N } ^ { ( n ) } \Big ] _ { L } + \frac { ( - \beta ) ^ { 2 } } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \Big ] } \\ & { } & { + \frac { ( - \beta ) ^ { 3 } } { 3 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n - i - 1 } \Big [ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( j ) } E _ { N } ^ { ( n - i - j ) } \Big ] } \\ & { } & { + \cdots + \frac { ( - \beta ) ^ { n } } { n ! } \Big [ ( E _ { N } ^ { ( 1 ) } ) ^ { n } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i j } } & { { } = \left\lvert \langle \{ v \} _ { i } , N _ { i } , K _ { i } , p _ { i } \lvert \mu \lvert \{ v \} _ { j } , N _ { j } , K _ { j } , p _ { j } \rangle \right\lvert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \bullet } ( \pmb { \theta } ) } & { = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { \bullet R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \bullet R } } { \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { \bullet } ( \mathbf { x } _ { \bullet R } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N _ { \bullet B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \bullet B } } { \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { \bullet } ( \mathbf { x } _ { \bullet B } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { P h y s i c s } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { \bullet D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \bullet D } } { \left\| \mathbf { y } _ { \bullet } ( \mathbf { x } _ { \bullet D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { \bullet D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { L a b e l e d ~ d a t a } } } \end{array} ,
\operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } f ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } { \frac { \sinh ( v _ { 0 } { \sqrt { 1 - x } } ) } { ( 1 - x ) } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } { \frac { { \frac { d } { d x } } \sinh ( v _ { 0 } { \sqrt { 1 - x } } ) } { { \frac { d } { d x } } { \sqrt { 1 - x } } } } = v _ { 0 } \cosh ( 0 ) = v _ { 0 }
M ^ { ( k ) } \equiv \int _ { a } ^ { b } \mathrm { d } x \, m u ( x ) x ^ { k } \approx \sum _ { i = 1 } ^ { Q } q _ { i } \mu ( \xi _ { i } ) \xi _ { i } ^ { k } \, f o r a l l \k \in [ 0 , 2 N - 1 ]
\begin{array} { r l } { w _ { t } = u _ { t } - G _ { t } ( H _ { t } ) ^ { - 1 } h _ { t } } & { = \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - G _ { t } U _ { t } \Theta _ { t } ^ { - 1 } U _ { t } ^ { T } h _ { t } } \\ & { = \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - G _ { t } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { p } \big ( U _ { t , i } ^ { T } h _ { t } \big ) / \theta _ { t , i } U _ { t , i } \Big ) , } \end{array}
c _ { \phi } = { \frac { i g _ { Y M } ^ { 2 } C _ { 2 } ( R ) } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { j } } \sim { \frac { i g _ { Y M } ^ { 2 } C _ { 2 } ( R ) } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \ln n
\begin{array} { r l } & { \textstyle \mathbb { E } _ { B _ { 0 } ^ { + } = z } \bigl [ p ( u ) ^ { { \tau ^ { + } } } \mathbf { 1 } _ { { \tau ^ { + } } < M } \bigr ] + \mathbb { E } _ { B _ { 0 } ^ { + } = z } \bigl [ p ( u ) ^ { M } q ( u ) ^ { { \tau ^ { + } } - M } \mathbf { 1 } _ { { \tau ^ { + } } \geq M } \bigr ] = u ^ { 2 M - z - 1 } . } \end{array}
A P = P { \left( \begin{array} { l l l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { \lambda _ { n } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \parallel } } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { E _ { \parallel } } } \\ { \mathbf { B _ { \parallel } } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { B _ { \parallel } } } \\ { \mathbf { E _ { \bot } } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( \mathbf { E } _ { \bot } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } \right) } \\ { \mathbf { B _ { \bot } } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( \mathbf { B } _ { \bot } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } \times \mathbf { E } \right) } \end{array}
< \bar { \psi } \psi > = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname * { l i m } _ { \beta \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { m _ { 2 } ( \beta ) - m _ { 1 } ( \beta ) } } \int _ { m _ { 1 } ( \beta ) } ^ { m _ { 2 } ( \beta ) } d m \operatorname * { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \operatorname * { l i m } _ { V \rightarrow \infty } \langle i ( \bar { \psi } _ { 1 } \gamma _ { 5 } \psi _ { 1 } - \bar { \psi } _ { 2 } \gamma _ { 5 } \psi _ { 2 } ) \rangle
( \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle + 2 \langle \mathbf { r } \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \rangle ) ^ { * } = \langle \nabla _ { \mathbf { k } } \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) \rangle + 2 \langle \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { k } ) \mathbf { r } \rangle
\begin{array} { r l } { s [ \mathcal { A } , \theta , t , t + T ] = ~ } & { { } \frac { \pi \delta } { \epsilon } \sum _ { k } \bigg [ \int _ { t } ^ { t + T } \mathrm { d } t \, \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \big ( \dot { \theta } _ { A } ^ { k } + \dot { \theta } _ { A } ^ { k } \big ) \sin \big ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } \big ) + \int _ { t } ^ { t + T } \mathrm { d } t \, \big ( \dot { \mathcal { A } } _ { B } ^ { k } \mathcal { A } _ { A } ^ { k } - \dot { \mathcal { A } } _ { A } ^ { k } \mathcal { A } _ { B } ^ { k } \big ) \cos \big ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } \big ) \bigg ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a _ { \sigma } ( \phi , t ) } & { { } = \left( - \frac { \kappa } { 2 } - \sigma \Delta \Omega \right) a _ { \sigma } + i \sum _ { \mu } D _ { \mathrm { i n t } } ( \mu ) A _ { \sigma } ( \mu , t ) \mathrm { e } ^ { i \phi \mu } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d x } } \tan x } & { = { \frac { d } { d x } } \left( { \frac { \sin x } { \cos x } } \right) } \\ & { = { \frac { \left( { \frac { d } { d x } } \sin x \right) ( \cos x ) - ( \sin x ) \left( { \frac { d } { d x } } \cos x \right) } { \cos ^ { 2 } x } } } \\ & { = { \frac { ( \cos x ) ( \cos x ) - ( \sin x ) ( - \sin x ) } { \cos ^ { 2 } x } } } \\ & { = { \frac { \cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x } { \cos ^ { 2 } x } } } \\ & { = { \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } x } } = \sec ^ { 2 } x . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { W \in \mathfrak { W } } \vert A \cap W \vert } & { = K m _ { p } + \frac { p ^ { n - 2 } - 1 } { p ^ { n - 1 } - 1 } K ( \vert A \vert - m _ { p } ) } \\ & { = \frac { p ^ { n - 1 } - p ^ { n - 2 } } { p ^ { n - 1 } - 1 } K m _ { p } + \frac { K \vert A \vert } { p } - \frac { p - 1 } { p ( p ^ { n - 1 } - 1 ) } K \vert A \vert } \\ & { = m _ { p } p ^ { n - 2 } + \frac { K \vert A \vert } { p } - \frac { \vert A \vert } { p } . } \end{array}
G _ { U } = \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \frac { { ( { { \bar { \eta } } ^ { \prime } } _ { i } { \eta } ^ { i } ) } ^ { r } } { [ r ] _ { c } ! } e ^ { - i \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) [ r ] _ { 1 / c } }
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) } & { { } \ = \ ( \nabla { \times } \mathbf { A } ) \cdot \mathbf { B } \, - \, \mathbf { A } \cdot ( \nabla { \times } \mathbf { B } ) } \\ { \nabla \times ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) } & { { } \ = \ \mathbf { A } ( \nabla { \cdot } \mathbf { B } ) \, - \, \mathbf { B } ( \nabla { \cdot } \mathbf { A } ) \, + \, ( \mathbf { B } { \cdot } \nabla ) \mathbf { A } \, - \, ( \mathbf { A } { \cdot } \nabla ) \mathbf { B } } \\ { \mathbf { A } \times ( \nabla \times \mathbf { B } ) } & { { } \ = \ \nabla _ { \mathbf { B } } ( \mathbf { A } { \cdot } \mathbf { B } ) \, - \, ( \mathbf { A } { \cdot } \nabla ) \mathbf { B } } \\ { ( \mathbf { A } \times \nabla ) \times \mathbf { B } } & { { } \ = \ \mathbf { A } \cdot \nabla \mathbf { B } \, - \, \mathbf { A } ( \nabla { \cdot } \mathbf { B } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 , \mathrm { d s } } = } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \varepsilon _ { j n } c _ { j n } ^ { \dagger } c _ { j n } + \sum _ { n , m } \left( t _ { j } c _ { j n } ^ { \dagger } c _ { j m } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) \right] + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( t _ { n } ^ { I C } c _ { 1 n } ^ { \dagger } c _ { 2 n } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) . } \end{array}
R ( m , z ) = \frac { f ^ { ( 0 ) } ( 0 , m ) } { 2 z } + \frac { f ^ { ( 2 ) } ( 0 , m ) } { 8 z ^ { 3 } } + \frac { f ^ { ( 4 ) } ( 0 , m ) } { 3 2 z ^ { 5 } } + \frac { f ^ { ( 6 ) } ( 0 , m ) } { 1 2 8 z ^ { 7 } } + \cdots
\begin{array} { r l } { \chi _ { \varepsilon } ( x , t ) = } & { { } \phi \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \left( \nu \Delta - \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } u ^ { j } ( x , t ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial } { \partial t } + A \right) \sigma ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d - 1 } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) - U _ { 1 } ^ { \tilde { \pi } _ { 2 } } ( \hat { s } ) } & { = r _ { 1 } ( \hat { s } , \pi _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) ) - r _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) ) + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \pi _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { \tilde { \pi } _ { 2 } } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \\ & { \leq \begin{array} { r l } { [ t ] 2 \boldsymbol { \epsilon } _ { r } } & { + 2 \gamma \boldsymbol { \epsilon } _ { U } + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( \tilde { f } _ { 2 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { * } ( \tilde { f } _ { 2 } ( \hat { s } , \pi _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \\ & { + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \pi _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { \tilde { \pi } _ { 2 } } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \end{array} } \\ & { = \begin{array} { r l } { [ t ] 2 \boldsymbol { \epsilon } _ { r } } & { + 2 \gamma \boldsymbol { \epsilon } _ { U } + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( \tilde { f } _ { 2 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { * } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \\ & { + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \pi _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { * } ( \tilde { f } _ { 2 } ( \hat { s } , \pi _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \\ & { + \gamma \, \mathbb { E } \bigl [ U _ { 1 } ^ { * } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) - U _ { 1 } ^ { \tilde { \pi } _ { 2 } } ( f _ { 1 } ( \hat { s } , \tilde { \pi } _ { 2 } ( \hat { s } ) , w ) ) \bigr ] } \end{array} } \\ & { \leq 2 \boldsymbol { \epsilon } _ { r } + 2 \gamma \boldsymbol { \epsilon } _ { U } + 2 \gamma L _ { 1 } ( d + \tilde { d } ) + \gamma \bigl ( U _ { 1 } ^ { * } ( \hat { s } ) - U _ { 1 } ^ { \tilde { \pi } _ { 2 } } ( \hat { s } ) \bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } } & { = A ^ { - 1 } ( \mu + \frac { 1 } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } \Sigma G ^ { T } b ) } \\ & { = A ^ { - 1 } \mu + A ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } \Sigma G ^ { T } b , } \\ { A ^ { - 1 } \mu } & { = ( I - \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } G ) \mu , } \\ { A ^ { - 1 } \frac 1 { \sigma _ { G } ^ { 2 } } \Sigma G ^ { T } b } & { = ( \Sigma ^ { - 1 } + \frac 1 { \sigma _ { G } ^ { 2 } } G ^ { T } G ) ^ { - 1 } \frac { 1 } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } G ^ { T } b } \\ & { = \frac { 1 } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } \Sigma G ^ { T } ( I + \frac { 1 } { \sigma _ { G } ^ { 2 } } G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } b } \\ & { = \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } b . } \end{array}
Y \equiv \frac { S _ { 0 } S - { \bf 1 } } { S _ { 0 } S + { \bf 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \left| \begin{array} { c c } { { Z + Z ^ { + } } } & { { i ( Z - Z ^ { + } ) } } \\ { { i ( Z - Z ^ { + } ) } } & { { - ( Z + Z ^ { + } ) } } \end{array} \right|
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 3 } } { ( x ^ { 2 } + a ) ^ { 6 } } d x = - \frac { a + 5 x ^ { 2 } } { 4 0 ( a + x ^ { 2 } ) ^ { 5 } } \bigg \vert _ { 0 } ^ { \infty } = \frac { 1 } { 4 0 a ^ { 4 } } \, .
\begin{array} { r l } { \Vert M _ { k } x \Vert = \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { k } } { b } \sum _ { i \in \Omega _ { k } } a _ { i } a _ { i } ^ { T } \right) x \right\Vert } & { = \left\Vert \left( R R ^ { T } - \frac { \eta _ { k } } { b } \sum _ { i \in \Omega _ { k } } R b _ { i } b _ { i } ^ { T } R ^ { T } \right) R e _ { 1 } \right\Vert } \\ & { = \left\Vert R \left( I - \frac { \eta _ { k } } { b } \sum _ { i \in \Omega _ { k } } b _ { i } b _ { i } ^ { T } \right) R ^ { T } R e _ { 1 } \right\Vert } \\ & { = \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { k } } { b } \sum _ { i \in \Omega _ { k } } b _ { i } b _ { i } ^ { T } \right) e _ { 1 } \right\Vert , } \end{array}
\boldsymbol { F } [ \underbrace { r _ { i } , \ldots , r _ { i } } _ { k \ r _ { i } \mathrm { ' s } } ] = \left[ \frac { ( { F ^ { ( 1 ) } x ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } } ) ^ { ( k - 1 ) } ( r _ { i } ) } { ( k - 1 ) ! } , \ldots , \frac { ( { F ^ { ( 1 ) } x ^ { 0 } } ) ^ { ( k - 1 ) } ( r _ { i } ) } { ( k - 1 ) ! } , \ldots , \frac { ( { F } ^ { ( s ) } x ^ { \gamma _ { s } - 1 } ) ^ { ( k - 1 ) } ( r _ { i } ) } { ( k - 1 ) ! } , \ldots , \frac { ( { F } ^ { ( s ) } x ^ { 0 } ) ^ { ( k - 1 ) } ( r _ { i } ) } { ( k - 1 ) ! } \right] ^ { T } .
H = - \frac { h _ { x x } + h _ { y y } + h _ { x x } h _ { y } ^ { 2 } + h _ { y y } h _ { x } ^ { 2 } - 2 h _ { x y } h _ { x } h _ { y } } { 2 ( 1 + h _ { x } ^ { 2 } + h _ { y } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } .
e ^ { \alpha } \= e _ { \ m } ^ { \alpha } J _ { \ \ \mu } ^ { m } \, \mathrm { d } x ^ { \mu } \ = : \ e _ { \ \mu } ^ { \alpha } \, \mathrm { d } x ^ { \mu } \quad \quad \textrm { a n d } \quad \quad e ^ { \psi } \= e _ { \ m } ^ { \psi } J _ { \ \ \mu } ^ { m } \, \mathrm { d } x ^ { \mu } \ = : \ e _ { \ \mu } ^ { \psi } \, \mathrm { d } x ^ { \mu } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ r \right] } & { { } = \mathbb { E } \left[ \sqrt { r ^ { 2 } } \right] = r ( 0 ) - \frac { 1 } { 8 } r ( 0 ) ^ { - 3 } \sigma _ { r ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathcal { O } \left( \sigma _ { r ^ { 2 } } ^ { 4 } \right) } \\ { \mathrm { V a r } \left[ r \right] } & { { } = \mathrm { V a r } \left[ \sqrt { r ^ { 2 } } \right] = \mathbb { E } \left[ r ^ { 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ \sqrt { r ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 r ( 0 ) ^ { 2 } } \sigma _ { r ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathcal { O } \left( \sigma _ { r ^ { 2 } } ^ { 4 } \right) . } \end{array}
| z | ^ { 2 } = { \Big ( } { \mathrm { R e } } ( z ) { \Big ) } ^ { 2 } + { \Big ( } { \mathrm { I m } } ( z ) { \Big ) } ^ { 2 } \geq { \Big ( } { \mathrm { I m } } ( z ) { \Big ) } ^ { 2 } = { \Big ( } { \frac { z - z ^ { \ast } } { 2 i } } { \Big ) } ^ { 2 } .
\langle \tau _ { u } \rangle = \int _ { x _ { 0 } \in f } \int _ { 0 } ^ { \infty } \delta ( { x _ { t } \in \lnot f } ) p ( x _ { t } \mid x _ { 0 } , t ) t \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } x _ { 0 }
\psi ( r , z ) = \frac { \kappa } { 3 . 8 3 } r J _ { 1 } ( \kappa r ) \sin ( k z ) , \quad v _ { z } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial r } , \quad v _ { r } = - \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial z } ,
\sigma _ { s } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } } } ) \left( \pi _ { y } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } ) - \pi _ { x } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \pi _ { y } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) \right)
\begin{array} { r } { \hat { \psi } ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathbf { i } } \int _ { \gamma - \textbf { i } \infty } ^ { \gamma + \textbf { i } \infty } \exp { ( s t ) } d s \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s ) z ) } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s ) + \mathscr { F } _ { i } ( s ) I _ { i } ( s , z ) \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \rho ) _ { I _ { M A X } , j , k } } & { { } = } & { \frac { ( p ) _ { I _ { M A X } , j , k } } { ( \gamma - 1 ) ( e ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } } & { { } = } & { ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { ( e _ { i } ) _ { I _ { M A X } , j , k } } & { { } = } & { ( \rho ) _ { I _ { M A X } , j , k } \left[ ( e ) _ { I _ { M A X } - 1 , j , k } + \frac { 1 } { 2 } ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } \cdot ( \vec { u } ) _ { I _ { M A X } , j , k } \right] \, \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\mathrm { d } ( F ^ { \prime } \circ F ^ { - 1 } ) = ( \mathrm { d } \phi ^ { \prime } ) ^ { - 1 } \circ \mathrm { d } ( \phi ^ { \prime } \circ F ^ { \prime } \circ F ^ { - 1 } \circ \phi ^ { - 1 } ) \circ \mathrm { d } \phi
\begin{array} { r l } { \eta } & { { } = i ( p _ { 0 z } + A ( t _ { r } ^ { \prime } ) ) - \frac { 1 } { 2 } t _ { i } ^ { \prime } \dot { A } ( t _ { r } ^ { \prime } ) , } \\ { \chi } & { { } = i ( p _ { 0 z } + A ( t _ { r } ^ { \prime } ) ) - t _ { i } ^ { \prime } \dot { A } ( t _ { r } ^ { \prime } ) , } \end{array}
L = \underbrace { \underset { \tilde { x } \sim P _ { g } } { \mathbb { E } } [ D ( \tilde { x } ) ] - \underset { x \sim P _ { r } } { \mathbb { E } } [ D ( x ) ] } _ { \mathrm { W a s s e r s t e i n \, d i s t a n c e } } + \underbrace { \lambda \underset { \hat { x } \sim P _ { \hat { x } } } { \mathbb { E } } [ ( \lVert \nabla D ( \hat { x } ) \rVert _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ] } _ { \mathrm { g r a d i e n t \, p e n a l t y } }