harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A _ { x } ( x , y , z ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { \beta _ { 0 } } } \cos { \left( 2 \pi x \right) } \cos { \left( y \right) } } \\ { * \mathrm { ~ } } & { { } \times \, \left\{ \begin{array} { l l } { ~ 1 , } & { | z | \leq 2 H _ { z } } \\ { ~ \exp \bigl [ ( | z | - 2 H _ { z } ) ^ { 4 } \bigr ] , } & { 2 H _ { z } < | z | < 4 H _ { z } } \\ { ~ 0 , } & { | z | \geq 4 H _ { z } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \boldsymbol { \mathbf { \mathit { u } } } } _ { m } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } , t ) = \sum _ { k = 1 } ^ { m } { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { U } } } } _ { k } ^ { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } ) U _ { k } ^ { t } ( t ) ,
\lambda _ { ( 0 ) } ^ { \alpha a A } { \lambda _ { ( 0 ) \alpha a } } ^ { B } = \frac { 3 \cdot 2 ^ { 6 } } { g ^ { 2 } } \frac { \rho _ { 0 } ^ { 4 } } { \left( \rho _ { 0 } ^ { 2 } + ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ^ { 4 } } \: \zeta ^ { \alpha A } { \zeta _ { \alpha } } ^ { B } \, .
\epsilon _ { \pm } ( \mathbf { k } ) = \frac { \epsilon _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( \mathbf { k } ) + \epsilon _ { X , \pm } } { 2 } - \sqrt { \Omega _ { R } ^ { 2 } + \left( \frac { \epsilon _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( \mathbf { k } ) - \epsilon _ { X , \pm } } { 2 } \right) ^ { 2 } } .
\rho _ { k } ^ { \prime } + 4 ( a ^ { \prime } / a ) \rho _ { k } - 4 \rho _ { 0 } \psi _ { k } ^ { \prime } = - \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \lbrack ( 4 \pi G ) ^ { - 1 } ( \psi _ { k } ^ { \prime } + ( a ^ { \prime } / a ) \psi _ { k } ) - ( \varphi _ { 0 } ^ { \prime } + 2 \langle \psi \varphi _ { 1 } ^ { \prime } \rangle ) \varphi _ { k } \rbrack + 2 \Gamma _ { \varphi } \varphi _ { 0 } ^ { \prime } \varphi _ { k } ^ { \prime }
\delta ( R _ { \mu \nu } { } ^ { \lambda \rho } ) = - 2 \nabla _ { [ \mu } \nabla ^ { [ \lambda } ( \delta g ) _ { \nu ] } { } ^ { \rho ] } + R _ { \mu \nu } { } ^ { \sigma [ \lambda } \delta g _ { \sigma } { } ^ { \rho ] } { } .
\begin{array} { r l } { | ( - \Delta ) _ { p , i } ^ { s , h } \phi ( x ) - ( - \Delta ) _ { p } ^ { s } \phi ( x ) | } & { \leq | ( - \Delta ) _ { p , i } ^ { s , h } \phi ( x ) - \mathcal { M } _ { r } ^ { s , p } [ \phi ] ( x ) | + | \mathcal { M } _ { r } ^ { s , p } [ \phi ] ( x ) - ( - \Delta ) _ { p } ^ { s } \phi ( x ) | , } \\ & { = | ( - \Delta ) _ { p , i } ^ { s , h } \phi ( x ) - \mathcal { M } _ { r } ^ { s , p } [ \phi ] ( x ) | + O ( r ^ { \gamma + p ( 1 - s ) } ) , \quad i = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { e _ { 1 2 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { 0 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { 0 p } ^ { p } ( \mathbf { e } _ { 1 } + \mathbf { e } _ { 2 } ) \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { 0 j } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , \quad 0 < j < p \, , } \\ & { e _ { 1 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { 0 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { p 0 } ^ { p } ( \mathbf { e } _ { 1 } + \mathbf { e } _ { 2 } ) \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { i 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , \quad 0 < i < p \, , } \\ & { e _ { 2 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = b _ { 0 p } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = - b _ { p 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta ) } & { = ( 1 / 2 ) \, b _ { i , p - i } ^ { p } ( \mathbf { e } _ { 1 } - \mathbf { e } _ { 2 } ) \, , \quad 0 < i < p \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { { \Gamma } } _ { \mathrm { R } } } & { \triangleq \left\| \mathbf { W } _ { \mathrm { R X } } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { P } _ { \mathrm { R X } } ^ { \mathrm { H } } \widehat { \mathbf { H } } _ { \mathrm { R } } \mathbf { P } _ { \mathrm { T X } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T X } } \mathbf { V } \right\| ^ { 2 } \widehat { \Sigma } ^ { - 1 } , } \\ { \widehat { { \Gamma } } _ { \mathrm { D L } } } & { \triangleq \sum _ { u = 1 } ^ { U } \Big ( \| \widehat { \mathbf { H } } _ { \mathrm { D L , u } } \mathbf { P } _ { \mathrm { T X } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T X } } \mathbf { V } \| ^ { 2 } \sigma _ { u } ^ { - 2 } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ( \Delta ) \Big | _ { m _ { \mathrm { e x } } = 0 } } & { { } \propto e ^ { \beta \mu } e ^ { - \hbar \beta \Delta ^ { 2 } / 4 \omega _ { \mathrm { r e c } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \ x ^ { 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ p ~ l ~ u ~ s ~ } } ( \Delta ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ l ~ y ~ } } } P _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ l ~ y ~ } } ( n ) P _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ m ~ a ~ n ~ d ~ } } ( n - \Delta ) .
F ( \varphi ) = a _ { 0 } + a _ { 2 } \, \cos ^ { 2 } { \varphi } + a _ { 4 } \, \cos ^ { 4 } { \varphi } + a _ { 6 } \, \cos ^ { 6 } { \varphi } + a _ { 8 } \, \cos ^ { 8 } { \varphi } ,
\int _ { 0 } ^ { h ( \bar { r } ) } \frac { 1 } { \bar { r } } \frac { { \partial } \bar { r } { \bar { u } } _ { r } } { \partial { \bar { r } } } d \bar { z } + { \bar { u } } _ { z } | _ { \bar { z } = h ( \bar { r } ) } - { \bar { u } } _ { z } | _ { \bar { z } = 0 } = 0
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { \Delta _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi / 2 ) } { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } \right) ^ { 2 } } & { = } & { \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( { \bf 1 } - i \sigma _ { 3 } \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { - i \sigma _ { 3 } } \\ & { = } & { \frac { \Delta _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) } { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } , } \end{array}
\Rightarrow \frac { \langle \phi ( \mathcal { A } _ { t + \Delta t } , \mathcal { C } ) \rangle - \langle \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle } { \Delta t } = \langle G ( \mathcal { C } , \mathcal { C } ^ { * } ) \left[ \phi ( \mathcal { A } _ { t } + L ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { A } _ { t } ^ { * } ) , \mathcal { C } ) - \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \right] \rangle \, .
\left\{ g _ { 0 } , \dots , g _ { 4 } \right\} = \left\{ 1 . 0 , \; 0 . 5 8 9 9 , \; 0 . 6 6 8 1 , \; 0 . 3 7 5 3 , \; 0 . 9 0 4 5 \right\} ,
\begin{array} { r l } & { r _ { 1 } + \rho _ { 2 } ^ { s _ { 1 } } \Big ( \gamma r _ { 2 } + \mathbb { E } _ { s _ { 2 } } \circ { \rho _ { 3 } ^ { s _ { [ 1 , 2 ] } } } \Big ( \gamma ^ { 2 } r _ { 3 } + \mathbb { E } _ { s _ { 3 } } ^ { s _ { [ 1 , 2 ] } } \circ { \rho _ { 4 } ^ { s _ { [ 1 , 3 ] } } } \Big ( \gamma ^ { 3 } r _ { 4 } } \\ & { + \cdots + \mathbb { E } _ { s _ { t - 1 } } ^ { s _ { [ 1 , t - 2 ] } } \circ { \rho _ { t } ^ { s _ { [ 1 , t - 1 ] } } } \Big ( \gamma ^ { t - 1 } r _ { t } + \cdots \Big ) \Big ) \Big ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { t h } ( t ) = t _ { r } E _ { i n p } ( t ) + \sqrt { 2 \gamma _ { e } } U ( t ) } \\ & { E _ { d r o p } ( t ) = \sqrt { 2 \gamma _ { e } } U ( t ) + t _ { r } E _ { a d d } ( t ) } \\ & { E _ { a d d } ( t ) = \sqrt { \eta _ { F } } \mathrm { e } ^ { - i \phi _ { F } } E _ { t h } ( t - \tau _ { F } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { p , 1 : n _ { p } } ^ { p } = \left[ \begin{array} { l l } { - 1 } & { \frac { ( x _ { 2 : n _ { p } } ^ { * k } ) ^ { \top } } { \| x _ { 2 : n _ { p } } ^ { * k } \| } } \end{array} \right] , A _ { k , 1 : n _ { k } } ^ { p } = 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } k \not = q , \mathrm { ~ a n d ~ } p \in T _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 3 } \cap C _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z \leq x \leq \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z + \sigma r / 2 \qquad \textrm { i f } z < \sigma / 2 - r / 2 } \\ { \sigma r / 2 < x \leq \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z + \sigma r / 2 \qquad \textrm { i f } \sigma / 2 - r / 2 \leq z \leq \sigma / 2 } \end{array} \right. , } \end{array}
\left( - \frac { 1 } { 2 r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } r + \frac { l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } + V _ { e f f } ( r ) - \epsilon _ { i } + i \omega \right) u _ { i \mu , l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( r , i \omega ) = G _ { l ^ { \prime } L l } ^ { m ^ { \prime } M m } \left( \epsilon _ { i - r a d } ^ { ( 1 ) } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } - V _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( r ) \right) u _ { i , l } ( r ) \, .
\delta \hat { \omega } _ { m a b } = - i \kappa ( 2 \bar { \varepsilon } \gamma _ { [ a } \hat { \cal R } _ { b ] m } - \bar { \varepsilon } \gamma _ { m } \hat { \cal R } _ { a b } ) + 2 i \kappa ^ { 2 } ( 2 i \bar { \varepsilon } \vec { \tau } \gamma _ { a b } \psi _ { m } \vec { t } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \bar { \varepsilon } \psi _ { m } \hat { F } _ { a b } + \frac { 1 } { 2 } \bar { \varepsilon } \gamma _ { a b c d } \psi _ { m } v ^ { c d } ) .
\begin{array} { r l } & { \epsilon ( x ) = \langle s ( u , t ) , s ( u , t ) \rangle - 2 \sum _ { n } ^ { \infty } x _ { n } \langle c _ { n } ( u , t ) , s ( u , t ) \rangle } \\ & { + \sum _ { n } ^ { \infty } x _ { n } ^ { 2 } \langle c _ { n } ( u , t ) , c _ { n } ( u , t ) \rangle + \sum _ { n } ^ { \infty } \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } ^ { \infty } x _ { n } x _ { n ^ { \prime } } \langle c _ { n } ( u , t ) , c _ { n ^ { \prime } } ( u , t ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } ^ { * } \pmb { \mathcal { R } } ^ { * } \mathbf { W } _ { E } \pmb { \mathcal { R } } \mathbf { P } \hat { \pmb f _ { i } } } & { { } = \mu _ { i } ^ { 2 } \mathbf { W } _ { f } \hat { \pmb f _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 } ( t ) } & { = } & { E _ { \alpha } \bigg [ \left( E _ { 1 } / i ^ { \alpha } \right) t ^ { \alpha } \bigg ] } \\ & { + } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { \gamma } { i ^ { \alpha } } \right) ^ { 2 n } \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { n } \Lambda ( t - t _ { n } ) \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } d t _ { n - 1 } \Lambda ( t _ { n } - t _ { n - 1 } ) \cdots \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } d t _ { t _ { 1 } } \Lambda ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) E _ { \alpha } \bigg [ \left( E _ { 1 } / i ^ { \alpha } \right) t _ { 1 } ^ { \alpha } \bigg ] , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { T \to + \infty } \frac { \operatorname* { d e t } [ \Upsilon _ { 1 } ^ { ( T - 1 ) } ( y _ { i } , m - j ) ] _ { i , j = 1 } ^ { m } } { \operatorname* { d e t } [ \Upsilon _ { 1 } ^ { ( T ) } ( x _ { i } , m - j ) ] _ { i , j = 1 } ^ { m } } = q ^ { - \binom m 2 + ( m - 1 ) \left( | \vec { x } | - | \vec { y } | \right) } \prod _ { 1 \le i < j \le m } \frac { q ^ { y _ { j } } - q ^ { y _ { i } } } { q ^ { x _ { j } } - q ^ { x _ { i } } } .
\mathcal { E } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { \mathcal { N } } \sum _ { a , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \left[ \mathcal { R } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } t _ { i j } \mathcal { R } _ { j } ^ { \dagger } \right] _ { a b } f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { j b } ^ { \phantom { \dagger } } + \sum _ { i = 1 } ^ { \mathcal { N } } \langle \Phi _ { i } | \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , | \Phi _ { i } \rangle \dag , ,
\frac { \vert C _ { \Phi L } ^ { ( 3 ) } \vert } { ( \Lambda / \mathrm { T e V } ) ^ { 2 } } \le \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 . 1 8 ~ ~ ( \mathrm { f o r } ~ A _ { 1 F B } ) } } \\ { { 0 . 3 0 ~ ~ ( \mathrm { f o r } ~ A _ { 2 F B } ) } } \\ { { 0 . 1 2 ~ ~ ( \mathrm { f o r } ~ A _ { o p t } ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E [ S ^ { n _ { 0 } } ] = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { n _ { 0 } } \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { n _ { 1 } } } & { \cdots \sum _ { n _ { M - 1 } = 0 } ^ { n _ { M - 2 } } { \binom { n _ { 0 } } { n _ { 1 } } \binom { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \cdots \binom { n _ { M - 2 } } { n _ { M - 1 } } } } \\ & { { \cdot } E [ U _ { 1 } ^ { n _ { 0 } - n _ { 1 } } ] E [ U _ { 2 } ^ { n _ { 1 } - n _ { 2 } } ] { \cdots } E [ U _ { M } ^ { n _ { M - 1 } } ] } \\ & { { \cdot } E [ Z _ { 1 } ^ { n _ { 0 } - n _ { 1 } } Z _ { 2 } ^ { n _ { 1 } - n _ { 2 } } { \cdots } Z _ { M } ^ { n _ { M - 1 } } ] } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \epsilon _ { i } \, { \frac { \mu _ { i } ^ { N - 1 - j } \, d \mu _ { i } } { \displaystyle 2 \sqrt { h _ { N } - \mu _ { i } } \, \prod _ { j = 1 } ^ { N - 1 } ( \mu _ { i } - h _ { j } ) } } = \delta _ { j , 1 } \, d x , \quad 1 \leq j \leq N - 1 , \quad \epsilon _ { i } = \pm 1 .
\begin{array} { r l } { \sin \left( \frac { n \omega _ { c r } } { c } L \right) \left[ \cos \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } } { c } L _ { 0 } \right) \mathcal { R } ( \omega _ { c r } ) - \sin \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } } { c } L _ { 0 } \right) \mathcal { I } ( \omega _ { c r } ) \right] } & { { } = \cos \frac { \pi ( l + \frac { 1 } { 2 } ) } { 2 N + 1 } , } \\ { \cos \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } } { c } L _ { 0 } \right) \mathcal { I } ( \omega _ { c r } ) + \sin \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } } { c } L _ { 0 } \right) \mathcal { R } ( \omega _ { c r } ) } & { { } = 0 . } \end{array}
m _ { 2 } ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } ( w _ { 1 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } , w _ { 1 } ^ { r } w _ { 2 } ^ { s } ) = \frac { ( - 1 ) ^ { k _ { 2 } } R _ { k } ( p , q , r , s ) w _ { 1 } ^ { p + r - k } w _ { 2 } ^ { q + s - k } } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! [ p + q ] _ { k _ { 1 } } [ r + s ] _ { k _ { 2 } } [ p + q + r + s - k + 1 ] _ { k } } , \quad k = k _ { 1 } + k _ { 2 } ,
T _ { \alpha \beta } = - \left( \nabla _ { \alpha } \phi \nabla _ { \beta } \phi - \frac 1 2 ( ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } + \xi \tilde { R } ~ \phi ^ { 2 } ) \gamma _ { \alpha \beta } + \xi ( \gamma _ { \alpha \beta } \nabla ^ { 2 } - \nabla _ { \alpha } \nabla _ { \beta } ) \phi ^ { 2 } \right) ~ ,
\begin{array} { r } { \mathrm { V a r } \Big ( \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } a _ { \ell } \langle \mathcal T g _ { \ell } , g _ { \ell } \rangle \Big ) = \| K \| _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } a _ { \ell _ { 1 } } a _ { \ell _ { 2 } } | \langle f ( \theta ) g _ { \ell _ { 2 } } , g _ { \ell _ { 1 } } \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
\psi _ { \mathrm { c o } } \propto \left( \begin{array} { l l } { \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) } & { i \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) } \\ { i \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) } & { \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi _ { m } / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \phi _ { m } / 2 } } \end{array} \right) \psi _ { \mathrm { I } } \propto \left( \sqrt { \frac { \sin \alpha + \sin \phi _ { m } } { 2 \sin \alpha } } , \ \ \mp \sqrt { \frac { \sin \alpha - \sin \phi _ { m } } { 2 \sin \alpha } } \right) ^ { \mathbf { T } }
S = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \epsilon _ { a b c d } \bigg [ ( { ^ + } \tau - { ^ - } \tau ) F _ { \mu \nu } ^ { ~ ~ a b } F _ { \alpha \beta } ^ { ~ ~ c d } + ( { ^ + } \tau + { ^ - } \tau ) F _ { \mu \nu } ^ { ~ ~ a b } \tilde { F } _ { \alpha \beta } ^ { ~ ~ c d } \bigg ] .
a _ { i } ^ { ( \mathrm { e f f } ) } ( x ) = { \frac { \theta _ { i } } { L _ { i } } } - ( Q + 1 ) \tilde { x } _ { i } + \epsilon _ { i j } \partial _ { x ^ { j } } \int \! d \vec { y } G ( \vec { x } , \vec { y } ) b ^ { ( 1 ) } ( y ) - { \frac { e } { \mu c } } \epsilon _ { i j } \partial _ { x ^ { j } } \int \! d \vec { y } G _ { p } ( \vec { x } , \vec { y } ) J _ { 0 } ( y ) \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } p \Delta p } & { { } = - \| \nabla p \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p \kappa u _ { \tau } ^ { 2 } + 2 \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p \tau \cdot \nabla \left( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \right) + \mathrm { { R a } } \int _ { \gamma ^ { - } } p n _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sigma _ { p } } ( Q _ { g } ^ { \mathrm { b v p } } ( 2 \beta _ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } w _ { 0 } ) ) ( y , \eta ) } & { = 2 { \sigma _ { p } } ( u ^ { \mathrm { i n c } } ) ( y , \eta ) , } \\ { { \sigma _ { p } } ( \langle \nu , \nabla ( Q _ { g } ^ { \mathrm { b v p } } ( 2 \beta _ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } w _ { 0 } ) ) \rangle | _ { \partial M } ) ( y _ { | } , \eta _ { | } ) } & { = 2 { \sigma _ { p } } ( \langle \nu , \nabla u ^ { \mathrm { i n c } } \rangle | _ { \partial M } ) ( y _ { | } , \eta _ { | } ) } \\ & { = 2 \iota { \sigma _ { p } } ( \mathcal { R } ) ( y _ { | } , \eta _ { | } , y , \eta ) \langle \nu , \eta \rangle _ { g } { \sigma _ { p } } ( u ^ { \mathrm { i n c } } ) ( y , \eta ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { f _ { n - 1 } } & { f _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { g _ { n - 1 } } & { g _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { f _ { n - 1 } } & { f _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { g _ { n - 1 } } & { g _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { f _ { n - 1 } } & { f _ { n } } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { g _ { n - 1 } } & { g _ { n } } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & & { \cdot } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & & { \cdot } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & { \cdot } & & { \cdot } & { \cdot } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { f _ { n - 1 } } & { f _ { n } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { g _ { n - 1 } } & { g _ { n } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 1 } } \\ { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } } \\ { a _ { 2 2 } } \\ { a _ { 3 1 } } \\ { a _ { 3 2 } } \\ { \cdot } \\ { \cdot } \\ { \cdot } \\ { a _ { n - 2 , 1 } } \\ { a _ { n - 2 , 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } } \\ { g _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } } \\ { g _ { 2 } } \\ { f _ { 3 } } \\ { g _ { 3 } } \\ { \cdot } \\ { \cdot } \\ { \cdot } \\ { f _ { n - 2 } } \\ { g _ { n - 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \rho ( { \boldsymbol X } ; u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { i = 0 } ^ { L _ { 2 } - 1 - u } { X _ { i + u } } { X _ { i } ^ { * } } , \quad 0 \leq u \leq L _ { 2 } - 1 ; } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { L _ { 2 } - 1 + u } { X _ { i } } { X _ { i - u } ^ { * } } , \quad - L _ { 2 } + 1 \leq u < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\alpha = \frac 1 { s _ { v } } \, \Delta \psi \ \mathrm { d } \psi - \frac 1 { s _ { v } } \, \big ( \iota _ { v } \, \mathrm { d } \, \iota _ { v } \, ( \star _ { \mu } \mathrm { d } \psi ) ^ { \flat } \big ) \, ( \star _ { \mu } \, \mathrm { d } \psi ) ^ { \flat } + \frac 1 { s _ { v } } \, \mathrm { d } \, \iota _ { v } \, ( \star _ { \mu } \, \mathrm { d } \psi ) ^ { \flat } \ .
| B _ { m n } ^ { ( + ) } | \leq ( n + m ) ^ { - k } \sqrt { { \frac { n } { m } } } s u p \{ | { \frac { d ^ { k + 1 } \varphi _ { t } } { d y ^ { k + 1 } } } | \, : \, 0 \leq y \leq 2 \pi , 0 \leq t \leq 1 \} .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \frac { 2 \pi a } { \gamma } \left( ( p - p _ { \mathrm { e x t } } ) - \frac { E } { 1 - \nu ^ { 2 } } \frac { \left( a - \langle a \rangle \right) } { e } + \sigma _ { \mathrm { a c t i v e } } + \mu \frac { \langle \tau \rangle ^ { 2 } } { \tau _ { c } } \right) } \\ & { - \bigg \langle \frac { 2 \pi a } { \gamma } \left( ( p - p _ { \mathrm { e x t } } ) - \frac { E } { 1 - \nu ^ { 2 } } \frac { \left( a - \langle a \rangle \right) } { e } + \sigma _ { \mathrm { a c t i v e } } + \mu \frac { \langle \tau \rangle ^ { 2 } } { \tau _ { c } } \right) \bigg \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } \left( ( \omega ^ { t j } + \omega ^ { - t j } ) \omega ^ { - ( j - 1 ) } ( 1 + \omega + \omega ^ { 2 } + \cdots + \omega ^ { 2 j - 2 } ) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { 2 j - 1 } \omega ^ { t j - j + k } + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 j - 1 } \omega ^ { - t j - j + k } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 j - 1 } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \sigma _ { r } ( \omega ^ { t j - j + k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { x } ^ { \mathrm { ( f o l d ) } } } & { = 1 - \Delta \cosh ( s ) \frac { \cosh ( s ) - 1 } { 2 } , } \\ { \tilde { y } ^ { \mathrm { ( f o l d ) } } } & { = \sin ( 2 \theta ) + 2 \sqrt { \Delta } \sin \theta + \Delta \sinh ( s ) \frac { \cosh ( s ) + 1 } { 2 } , } \\ { \tilde { x } ^ { \mathrm { ( c u s p ) } } } & { = 1 - \Delta \cosh ( s ) \frac { \cosh ( s ) + 1 } { 2 } , } \\ { \tilde { y } ^ { \mathrm { ( f o l d ) } } } & { = \sin ( 2 \theta ) + 2 \sqrt { \Delta } \sin \theta + \Delta \sinh ( s ) \frac { \cosh ( s ) - 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { l o c } , r } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( u ) } & { = \left\{ \, v \in \widehat { B } _ { r } ( u ) \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln { \Vert \varphi _ { t } ( u ) - \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \mu \in [ \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } ) \, \right\} } \\ & { = \left\{ \, v \in \widehat { B } _ { r } ( u ) \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln { \Vert \varphi _ { t } ( u ) - \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \mu \in [ \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } ) \, \right\} } \\ & { = \left\{ \, v \in \widehat { B } _ { r } ( u ) \, \Big \vert \, \Vert \varphi _ { t } ( u ) - \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } \leq C e ^ { \mu t } \Vert u - v \Vert _ { V } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \geq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \mu \in ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } ) \, \right\} , } \end{array}
\theta _ { R } = \left( \begin{array} { c c } { { A } } & { { B } } \\ { { C } } & { { D } } \end{array} \right) , \ \theta _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { { E } } & { { F } } \\ { { G } } & { { H } } \end{array} \right)
{ \underset { \mathrm { d i f f e r e n t i a l } } { d \mathbf { A } } } = { \underset { \mathrm { d e r i v a t i v e } } { \frac { d \mathbf { A } } { d \lambda } } } { \underset { \mathrm { d i f f e r e n t i a l } } { d \lambda } }
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { q q } ^ { \mathrm { c l } } = \left( \begin{array} { c c } { \frac { I _ { 1 } \cos ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 1 } } + \frac { I _ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 2 } } } & { \left( \frac { I _ { 2 } } { \omega _ { 2 } } - \frac { I _ { 1 } } { \omega _ { 1 } } \right) \sin \beta \cos \beta } \\ { \left( \frac { I _ { 2 } } { \omega _ { 2 } } - \frac { I _ { 1 } } { \omega _ { 1 } } \right) \sin \beta \cos \beta } & { \frac { I _ { 1 } \sin ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 1 } } + \frac { I _ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 2 } } } \end{array} \right) \, , } \\ & { \sigma _ { p p } ^ { \mathrm { c l } } = } \\ & { \left( \begin{array} { c c } { I _ { 1 } \omega _ { 1 } \cos ^ { 2 } \beta + I _ { 2 } \omega _ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta } & { \left( I _ { 2 } \omega _ { 2 } - I _ { 1 } \omega _ { 1 } \right) \sin \beta \cos \beta } \\ { \left( I _ { 2 } \omega _ { 2 } - I _ { 1 } \omega _ { 1 } \right) \sin \beta \cos \beta } & { I _ { 1 } \omega _ { 1 } \sin ^ { 2 } \beta + I _ { 2 } \omega _ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } \end{array} \right) \, , } \\ & { \sigma _ { q p } ^ { \mathrm { c l } } = \mathbf { 0 } _ { 2 \times 2 } \, , } \end{array}