harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| \nabla f _ { i } ( x ) \| } & { \leq \| \nabla f _ { i } ( x ) - \nabla f ( x ) \| + \| \nabla f ( x ) \| } \\ & { \leq 3 H | x | + \| \nabla f ( x ) \| } \\ & { \leq 3 H | x | - \left| 4 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - H x + 1 \right| + 2 \| \nabla f ( x ) \| } \\ & { \leq 4 H | x | - \left| 4 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } + 1 \right| + 2 \| \nabla f ( x ) \| } \\ & { \leq 1 0 H | x | - \left| 4 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } \right| + 1 + 2 \| \nabla f ( x ) \| . } \end{array}
\begin{array} { c } { \left\vert \left\vert \left\vert \theta _ { h } ^ { N } \right\vert \right\vert \right\vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } - \theta _ { h } ^ { \ast n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } \leq \left\Vert \theta _ { h } ^ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } } \\ { + C \left( \tau _ { \operatorname* { m a x } } ( h ^ { 2 m } + h ^ { 2 \left( s + 1 \right) } ) \displaystyle \left( \frac { \Delta t ^ { 1 / 2 } \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { \theta } ( D ) ) } } { h } \right) ^ { 2 } \left( \frac { h ^ { m + 1 } } { \Delta t ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { P } \\ { E } \\ { P _ { H } } \\ { E _ { H } } \end{array} \right] \mid \mathbf { X } _ { P } , \mathbf { X } _ { E } , \mathbf { X } _ { H } , H ( \mathbf { X } _ { H } ) = 0 \sim G P \left( \left[ \begin{array} { c } { \textbf { m } \left( \mathbf { X } \right) } \\ { \textbf { m } \left( \mathbf { X } _ { H } \right) } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { \boldsymbol { \Sigma } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } } & { \boldsymbol { \Sigma } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } _ { H } } } \\ { \boldsymbol { \Sigma } _ { \mathbf { X } _ { H } \mathbf { X } } } & { \boldsymbol { \Sigma } _ { \mathbf { X } _ { H } \mathbf { X } _ { H } } } \end{array} \right] \right)
\begin{array} { r l } { g } & { = \operatorname { s i g n } ( c _ { 1 } ( x ) ) \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left( \cos { ( x _ { i } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { m _ { i } } } \\ & { + \mathrm { i } \operatorname { s i g n } ( c _ { 2 } ( x ) ) \left( \sin { ( x ) } \right) ^ { \ell _ { 0 } } \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left( \cos { ( x _ { i } ) } - \cos { ( x ) } \right) ^ { \ell _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { V a r } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big ] } & { { } = } & { { E } _ { B ^ { \prime } } \Bigg [ { V a r } _ { C } \Big [ p ( a | b ^ { \prime } , c ) \Big | b ^ { \prime } \Big ] \Bigg ] + { V a r } _ { B ^ { \prime } } \Big [ p ( a | b ^ { \prime } ) \Big ] } \end{array}
{ \cal E } _ { n l } ^ { ( 1 ) } = \frac { m _ { e } ( e ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { 2 \hbar ^ { 4 } c ^ { 2 } } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \left( \frac { 1 1 } { 3 2 n } - \frac { 1 } { 2 l + 1 } \right) \, .
2 z _ { 0 } z _ { 1 } ^ { \ast } \cdot 2 z _ { 0 } ^ { \ast } z _ { 1 } + \left( \left| z _ { 0 } \right| ^ { 2 } - \left| z _ { 1 } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 4 \left| z _ { 0 } \right| ^ { 2 } \left| z _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| z _ { 0 } \right| ^ { 4 } - 2 \left| z _ { 0 } \right| ^ { 2 } \left| z _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| z _ { 1 } \right| ^ { 4 } = \left( \left| z _ { 0 } \right| ^ { 2 } + \left| z _ { 1 } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 1
\begin{array} { r l } { \left( S _ { 1 } ^ { \Phi } \right) ^ { 2 } \Phi ^ { ( 2 ) } } & { = 2 \cdot \frac 1 2 \Delta _ { 1 } F \Delta _ { 1 } G + F \Delta _ { 2 } G + G \Delta _ { 2 } F } \\ & { = \frac 1 4 ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 2 } - \frac 1 3 ( 2 \pi \mathrm { i } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } F _ { n } \alpha ^ { n + 1 } - \frac 1 6 ( 2 \pi \mathrm { i } ) \left( \frac { 1 } \alpha + \frac { 1 7 - 1 2 \gamma _ { E } } { 6 } \right) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } G _ { n } \alpha ^ { n + 1 } } \\ & { = ( 2 \pi \mathrm { i } ) \left( \frac 1 2 \pi \mathrm { i } - \frac { 1 } { 6 } G _ { 0 } \right) - \frac 1 6 ( 2 \pi \mathrm { i } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( 2 F _ { n } + G _ { n + 1 } + \frac { 1 7 - 1 2 \gamma _ { E } } { 6 } G _ { n } \right) \alpha ^ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle R _ { c v } ^ { c } \rangle = 2 \sqrt { R ^ { * } } \mathcal { R } _ { c } | P _ { c v } | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } } & { { } \frac { 1 } { 1 - e ^ { - 2 \pi \sqrt { R ^ { * } / x } } } \times } \end{array}
( k \: . \: k \: . ) ^ { q _ { 1 } } \; p \: . \: k \: . \; ( k \: . \: k \: . ) ^ { q _ { 2 } } \; p \: . \: k \: . \; ( k \: . \: k \: . ) ^ { q _ { 3 } } \: \cdots \: ( k \: . \: k \: . ) ^ { q _ { 2 \alpha + 1 } } \; p \; ( . \: k \: . \: k ) ^ { q _ { 2 \alpha + 2 } }
\begin{array} { r l } & { C = - \frac { \partial \left( k \overline { { u } } _ { j } \right) } { \partial x _ { j } } , } \\ & { D ^ { t } = - \frac { \partial \left( \frac { 1 } { 2 } \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) } { \partial x _ { j } } , } \\ & { P = \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } , } \\ & { D ^ { p } = - \frac { \partial \overline { { p ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { i } } , } \\ & { D ^ { v } = \frac { \partial \overline { { \tau _ { i j } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } , } \\ & { \varepsilon = - \overline { { \tau _ { i j } ^ { \prime } \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { j } } } } , } \\ & { A = \frac { \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } } } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \delta _ { i 2 } - \overline { { \rho u _ { i } ^ { \prime } } } \left( \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial t } + \overline { { u } } _ { j } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } \right) . } \end{array}
\Delta K = m \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \ddot { \mathbf { X } } } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } d t = { \frac { m } { 2 } } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { d } { d t } } ( { \dot { \mathbf { X } } } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } ) d t = { \frac { m } { 2 } } { \dot { \mathbf { X } } } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } ( t _ { 2 } ) - { \frac { m } { 2 } } { \dot { \mathbf { X } } } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } ( t _ { 1 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } m \Delta \mathbf { v } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { ( p _ { 0 } ^ { + } / V _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + } / V _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + } / V _ { 0 ( 2 ) } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { } & { ( p _ { 0 } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + \prime } / V _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ~ , } \end{array}
\boldsymbol { \tilde { S } _ { f f } } = \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { y ^ { \prime } } } ^ { \dagger , n } \boldsymbol { S _ { y y } ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { y ^ { \prime } } } ^ { \dagger , n } \right) ^ { H } , \quad \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { y ^ { \prime } } } ^ { \dagger , n } = \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { y ^ { \prime } } } ^ { H } \left( \boldsymbol { R _ { y ^ { \prime } } } \boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { y ^ { \prime } } } ^ { H } + \boldsymbol { \tilde { S } _ { n n } ^ { \prime } } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { a r s i n h } u + \operatorname { a r c o s h } v } & { { } = \operatorname { a r s i n h } \left( u v + { \sqrt { ( 1 + u ^ { 2 } ) ( v ^ { 2 } - 1 ) } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x \mathcal { L } _ { n } ( x ) = } & { \frac { n + 1 } { 2 n + 1 } \mathcal { L } _ { n + 1 } ( x ) + \frac { n } { 2 n + 1 } \mathcal { L } _ { n - 1 } ( x ) , } & { \quad n = 1 , 2 , \cdots , } \\ { ( x ^ { 2 } - 1 ) \frac { d \mathcal { L } _ { n } ( x ) } { d x } = } & { n x \mathcal { L } _ { n } ( x ) - n \mathcal { L } _ { n - 1 } ( x ) , } & { \quad n = 1 , 2 , \cdots , } \end{array}
C _ { 1 } \| \hat { \boldsymbol { u } } - \boldsymbol { u } \| \ge \| \hat { u } _ { M } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { M } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } \ge C _ { 2 } \| \hat { \boldsymbol { u } } - \boldsymbol { u } \| .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } X _ { i , m } } ] } & { = e ^ { \ln ( \mathbb { E } [ e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } X _ { i , m } } ] ) } } \\ & { = e ^ { \ln ( \prod _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \prod _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } [ e ^ { a X _ { i , m } } ] ) } } \\ & { = e ^ { \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \ln ( \mathbb { E } [ e ^ { a X _ { i , m } } ] ) } } \\ & { = e ^ { \sum _ { m \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \ln ( e ^ { a } p _ { i , m } + e ^ { - a } ( 1 - p _ { i , m } ) ) } } \\ & { = e ^ { ( N + K ) M \left( \frac { 1 } { ( N + K ) M } \sum _ { m \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \ln ( e ^ { a } p _ { i , m } + e ^ { - a } ( 1 - p _ { i , m } ) ) \right) } } \\ & { \leq e ^ { ( N + K ) M \ln ( e ^ { a } \Bar { p } + e ^ { - a } ( 1 - \Bar { p } ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { t } ^ { D L A } ( S _ { t } ) } & { = } & { \mathrm { a r g } \operatorname* { m i n } _ { x _ { t } } \left( C ( S _ { t } , x _ { t } ) + { \tilde { E } } \left\{ \operatorname* { m i n } _ { { \tilde { \pi } } } { \tilde { E } } \left\{ \sum _ { t ^ { \prime } = t + 1 } ^ { T } C ( { \tilde { S } } _ { t t ^ { \prime } } , { \tilde { X } } ^ { \tilde { \pi } } ( { \tilde { S } } _ { t t ^ { \prime } } ) ) | { \tilde { S } } _ { t , t + 1 } \right\} | S _ { t } , x _ { t } \right\} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathcal { V } _ { 1 } } d ^ { 3 } \vec { r } _ { 1 } \; \vec { j } _ { 1 } \left( \vec { r } _ { 1 } \right) \cdot \vec { E } _ { 2 } \left( \vec { r } _ { 1 } \right) = \int _ { \mathcal { V } _ { 2 } } d ^ { 3 } \vec { r } _ { 2 } \; \vec { j } _ { 2 } \left( \vec { r } _ { 2 } \right) \cdot \vec { E } _ { 1 } \left( \vec { r } _ { 2 } \right) \, . } \end{array}
\zeta ( \nu | \beta ) = { \frac { \varrho ^ { - 2 \nu } } { 2 \pi i } } \sum _ { \sigma _ { l } } \sum _ { \omega } \int _ { C } { \frac { d z } { z - \sigma _ { l } } } ( z ^ { 2 } + \breve { \omega } ^ { 2 } ( z ) ) ^ { - \nu } .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } { n } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \overline { { \log | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) | } } - \overline { { \log | { \bf C } | } } + ( 1 + h ) \log \left( h + \overline { { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } \right) - ( 1 + h ) \log ( 1 + h ) \right]
\begin{array} { r l } { \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } & { \leq \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg \| } \\ & { \qquad + \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \\ & { \leq \zeta _ { f } + L \bigg \| y _ { x } ^ { ( m ) } - y _ { x } ^ { ( j ) } \bigg \| \leq \zeta _ { f } + L \zeta _ { g ^ { \ast } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 0 | 4 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, - 2 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { + d _ { 1 | 4 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, - 1 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle + } \\ { d _ { 2 | 4 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, 0 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { + d _ { 3 | 4 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) L _ { \, 1 } ^ { ( 2 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 1 ) } \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle = 0 } \end{array}
S _ { 1 2 } = R _ { 2 } ^ { 2 } ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ) + b ^ { 2 } \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } \left( { \frac { 1 } { 2 { \bigl ( } 1 - e ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi { \bigr ) } } } + { \frac { \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } ( e \sin \varphi ) } { 2 e \sin \varphi } } - { \frac { R _ { 2 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) \sin \varphi \, d \lambda ,
\begin{array} { r l } & { \lambda ( A _ { 2 } + B _ { 1 } + B _ { 2 } - A _ { 1 } B _ { 1 } + A _ { 2 } B _ { 1 } + A _ { 1 } B _ { 2 } + A _ { 2 } B _ { 2 } ) } \\ & { - \lambda ( A _ { 1 } ) \lambda ( B _ { 1 } ) - \lambda ( A _ { 2 } ) \lambda ( B _ { 1 } ) - \lambda ( A _ { 2 } ) \lambda ( B _ { 2 } ) - \lambda ( A _ { 1 } ) ^ { 2 } - \lambda ( B _ { 2 } ) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\widehat { \mathbf { P } } ^ { ( r ) } ( z ) = \mathbf { E } ^ { ( r ) } ( z ) \Phi ^ { ( \mathrm { P C } ) } ( | x | \varphi _ { 5 } ( z ) ) \left( \frac { h _ { 1 } ^ { ( r ) } } { s _ { 1 } } \right) ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \mathbf { D } ^ { ( r ) } ( z ) \sigma _ { 3 } | x | ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } e ^ { - x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) \sigma _ { 3 } } ,
3 h _ { x } ^ { 2 } \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 2 } } \left[ \frac { 1 - h _ { x } ^ { 2 } } { ( 1 - 2 h _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } h _ { x } ^ { 2 } ( 1 - h _ { x } ^ { 2 } ) } \right] \approx 3 h _ { x } ^ { 2 } \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 2 } } \approx 2 . 4 h _ { x } ^ { 2 } ( \Omega _ { i } \tau _ { i } ) ^ { 2 } ,
\sum _ { r , s > 0 } r s d \overline { { D } } _ { r s } z ^ { r + s } \zeta ^ { - r - s - 2 } + { \frac { d } { 9 } } { \frac { 1 } { \zeta ^ { 2 } } } = \sum _ { r , s > 0 } r s d { D _ { r s } } ^ { \ast } z ^ { - r - s } \zeta ^ { r + s - 2 } + { \frac { d } { 9 } } { \frac { 1 } { \zeta ^ { 2 } } } \, ,
R _ { \pm } ( \beta ) = \lambda \mathbb { I } _ { 2 \times 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( t _ { \pm } + t _ { 1 } \beta ^ { \pm 1 } ) \sigma _ { \pm } + \frac { 1 } { 2 } t _ { 2 } \beta ^ { \pm 1 } \sigma _ { \mp }
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } \ge q \right] \le e ^ { - n D ( q \| p ) } , } \\ { \mathbb { P } \left[ \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } \le r \right] \le e ^ { - n D ( r \| p ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \det g _ { C } ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } , s _ { 2 } } } { \det g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } & { = \operatorname* { d e t } [ \mathbb { I } + \left[ G ^ { s _ { 1 } } ( \Theta , \tau ) \mathbf { r } ^ { - 1 } \Delta G ^ { s _ { 1 } } ( \tau , \Theta ) \right] _ { C } \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] [ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } ] } \\ & { = \operatorname* { d e t } [ \mathbb { I } + \mathbf { r } ^ { - 1 } \Delta G ^ { s _ { 1 } } ( \tau , \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] [ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } G ^ { s _ { 1 } } ( \Theta , \tau ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal M _ { n } ( \hbar ) } & { = { \mathbb E } _ { n , \theta + h _ { n } } \left[ u ( \Sigma _ { n , \theta } ) \exp \left( h ^ { T } \Delta _ { n , \theta } - \Lambda _ { n } ( \theta + h _ { n } , \theta ) \right) \right] } \\ & { = { \mathbb E } _ { n , \theta + h _ { n } } \left[ u ( \Sigma _ { n , \theta } ) \exp \left( \frac 1 2 h ^ { T } \Sigma _ { n , \theta } h \right) \exp \left( - \Gamma _ { n , \theta } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } - 3 \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x } ^ { 2 } = 0 , \quad ( t , x ) \in [ 0 , 6 ] \times [ - 5 , 5 ] , } \\ & { u ( 0 , x ) = \frac { 1 } { \cosh ( 2 x ) } - \frac { 0 . 5 } { \cosh ( 2 ( x - 1 0 ) ) } - \frac { 0 . 5 } { \cosh ( 2 ( x + 1 0 ) ) } , } \\ & { \frac { \partial u } { \partial t } ( 0 , x ) = 0 , , } \\ & { u ( t , - 5 ) = u ( t , 5 ) = 0 , } \end{array}
\dot { \Phi } ^ { 2 } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { I } { c ^ { 2 } } } \dot { \Phi } ^ { 2 } - V + \hat { p } \sqrt { I } \right] { \frac { \dot { a } } { a } } + \dot { \Phi } \ddot { \Phi } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { I } { c ^ { 2 } } } \dot { \Phi } ^ { 2 } + V + \hat { \rho } c ^ { 2 } \sqrt { I } \right] \leq 0 .
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { h } ( t = 0 ) = 0 } \\ { \nabla _ { \Dot { \boldsymbol x } } \Dot { \boldsymbol { x } } = 0 } \end{array} \right. \Rightarrow \dot { h } ( t ) = 0 , \ \forall t > 0 .
{ \cal Z } = { \cal N } \int D Q \exp \left\{ \int d ^ { 4 } x { \cal L } _ { \mathrm { e f f } } [ Q _ { i } ^ { A } , Q _ { i } ^ { 3 } , B _ { \mu } ^ { 3 } ] \right\} = \exp \left\{ - \beta V U _ { \mathrm { e f f } } ( B , \beta , g ) \right\}
\begin{array} { r l } & { C ( \beta , \hat { F } _ { 0 } ) = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \left( 1 + \frac { 3 \beta A _ { i } ^ { 2 } } { 8 } + s _ { i } \sqrt { \frac { \hat { F } _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 A _ { i } ^ { 2 } } - \frac { \hat { F } _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } } - \Omega _ { i } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { s _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \textrm { s a m p l e i f i t s h i g h a m p l i t u d e b r a n c h } } \\ { - 1 , } & { \textrm { s a m p l e i f i t s l o w a m p l i t u d e b r a n c h } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - 2 s ( q _ { j } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } ) } & { 2 s ( q _ { i } q _ { j } - q _ { k } q _ { r } ) } & { 2 s ( q _ { i } q _ { k } + q _ { j } q _ { r } ) } \\ { 2 s ( q _ { i } q _ { j } + q _ { k } q _ { r } ) } & { 1 - 2 s ( q _ { i } ^ { 2 } + q _ { k } ^ { 2 } ) } & { 2 s ( q _ { j } q _ { k } - q _ { i } q _ { r } ) } \\ { 2 s ( q _ { i } q _ { k } - q _ { j } q _ { r } ) } & { 2 s ( q _ { j } q _ { k } + q _ { i } q _ { r } ) } & { 1 - 2 s ( q _ { i } ^ { 2 } + q _ { j } ^ { 2 } ) } \end{array} \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \nu \partial _ { t } \vec { P } = - \gamma ^ { 2 } ( \Delta \vec { P } ) ^ { 2 } \vec { P } + } \\ & { } & { \Delta \vec { P } \left( \gamma ^ { 2 } \vec { P } \cdot \Delta \vec { P } + \imath \gamma \left( \frac { ( \vec { P } \cdot \Delta \vec { P } ) ^ { 2 } } { \Delta \vec { P } ^ { 2 } } - \vec { P } ^ { 2 } \right) \right) ; } \end{array}
q ( u ) = c _ { 2 } \frac k { \frac 1 2 - m + F } u ^ { - 1 / 2 - m + F } ( 1 - u ) ^ { - m + F + 2 g + 1 / 2 } F ( 1 - a , 1 - b ; \frac 3 2 - m + F ; u )
\begin{array} { r l } { - n \frac { \partial Y } { \partial \mathbb { A } } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { A _ { n } + A _ { p } } \\ { A _ { n } + A _ { p } } & { A _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } , } \\ { - \frac { \partial Y } { \partial v } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { A _ { n } + A _ { p } } \\ { A _ { n } + A _ { p } } & { A _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { C _ { 1 } } \\ { C _ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { \Xi = } & { \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { e } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { \mu } } \end{array} \right] . } \end{array}
a = C \left[ \frac { \psi ^ { 2 } - 3 } { ( \psi - \beta ) ^ { 2 } } \left( \frac { \psi - \sqrt 3 } { \psi + \sqrt 3 } \right) ^ { \frac { \beta } { \sqrt 3 } } \right] ^ { \frac { \beta - 1 } { \beta ^ { 2 } - 3 } } ,
\mathrm { t r } \exp \left[ \frac { e _ { 0 } \tau } 2 \Sigma _ { \mu \nu } \left( g F _ { \mu \nu } - \sigma \widetilde { F } _ { \mu \nu } \right) \right] = 2 \mathrm { R e } \frac { \sinh \left[ ( s + 1 / 2 ) e _ { 0 } \tau \left( g X _ { 0 } - \sigma \widetilde { X } _ { 0 } \right) \right] } { \sinh \left[ \left( e _ { 0 } \tau / 2 \right) \left( g X _ { 0 } - \sigma \widetilde { X } _ { 0 } \right) \right] } .
\operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow 0 ^ { \pm } } \psi _ { a , b ; \mathscr { n } } ^ { \prime } ( x ) = \pm \frac { 1 } { k _ { a , b ; \mathscr { n } } } \left( \frac { 1 } { 2 } - k _ { a , b ; \mathscr { n } } \right) J _ { \alpha _ { a , b } } \! \left( k _ { a , b ; \mathscr { n } } \right) \; ,
\Bigg [ : e ^ { - i 2 \sqrt { \pi } \sqrt { \frac { \pi } { \pi \! + \! g N } } U _ { 1 b } \Phi ^ { ( 1 ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( 1 ) } } \; \prod _ { I = 2 } ^ { N } : e ^ { - i 2 \sqrt { \pi } U _ { I b } \Phi ^ { ( I ) } ( x ) } : _ { M ^ { ( I ) } } e ^ { + i \frac { \theta } { N } }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \tilde { E } _ { x } ^ { \prime } } \\ { \tilde { E } _ { y } ^ { \prime } } \end{array} \right) \propto \, } & { { } \delta \left( k ^ { \prime } - \frac { 2 \pi } { \lambda } \right) \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { E _ { x } } ^ { 2 } } & { = ( p _ { 1 } ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } + p _ { 2 } ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 } ) \sigma _ { \theta } ^ { 2 } } \\ & { + \left( \frac { p _ { \mathrm { b e a m } } [ p _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } + p _ { 2 } \cos \theta _ { 2 } - \beta _ { 0 } ( T _ { 1 } + T _ { 2 } + m _ { p } ) ] } { M _ { \mathrm { f r a g } } + E _ { x } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \sigma _ { p _ { \mathrm { b e a m } } } } { p _ { \mathrm { b e a m } } } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \left( \frac { ( T _ { 1 } + T _ { 2 } + m _ { p } - \gamma M _ { \mathrm { b e a m } } + [ p _ { 2 } \cos ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) + p _ { \mathrm { b e a m } } \cos \theta _ { 1 } - p _ { 1 } ] / \beta _ { 1 } ) T _ { 1 } } { M _ { \mathrm { f r a g } } + E _ { x } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \sigma _ { T } } { T _ { 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \left( \frac { ( T _ { 1 } + T _ { 2 } + m _ { p } - \gamma M _ { \mathrm { b e a m } } + [ p _ { 1 } \cos ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) + p _ { \mathrm { b e a m } } \cos \theta _ { 2 } - p _ { 2 } ] / \beta _ { 2 } ) T _ { 2 } } { M _ { \mathrm { f r a g } } + E _ { x } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \sigma _ { T } } { T _ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\Delta = ( \partial _ { \bar { z } } A _ { 0 } ^ { \bar { z } } ) ( \partial _ { z } A _ { 0 } ^ { z } ) - ( \partial _ { z } A _ { 0 } ^ { \bar { z } } ) ( \partial _ { \bar { z } } A _ { 0 } ^ { z } ) = { \cal L } | _ { \varphi = \varphi _ { 0 } } = { \cal L } _ { 0 } = \partial _ { z } \varphi _ { 0 } \partial _ { \bar { z } } \varphi _ { 0 } - V ( \varphi _ { 0 } )
\Delta _ { b } : = \sum _ { j } | b _ { j } | \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad E _ { f } ^ { ( r + 1 ) } : = s \, \big ( \mathcal { E } _ { r + 1 } \big ) ^ { 1 / r } , \qquad r = p , p + 1 , \ldots
s ^ { * } \omega ^ { 0 } = \frac { 1 } { C } \left( \mathrm { d } p + 2 \frac { F _ { x } F _ { p } - F _ { y } } { F _ { p } ^ { 2 } + 1 } \mathrm { d } x + 2 \frac { F _ { y } F _ { p } + F _ { x } } { F _ { p } ^ { 2 } + 1 } \mathrm { d } y \right) , \quad s ^ { * } \omega ^ { 1 } = \mathrm { d } x , \quad s ^ { * } \omega ^ { 2 } = - \mathrm { d } y ,
\left( \begin{array} { c } { { \mathrm { p e r t u r b a t i v e \; \; c o n t r i b u t i o n } } } \\ { { \mathrm { f r o m \; \; t h e \; \; } U \; \; \mathrm { f i e l d } } } \end{array} \right) = - \frac { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } { 8 g ^ { 2 } } \! \! \int \! \! \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } S ( p ) \frac { 2 g ^ { 2 } } { L ( p ) }
\frac { r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ g ~ n ~ e ~ t ~ o ~ s ~ p ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ t ~ } } } = 3 . 1 \, \frac { \lambda ^ { 2 3 / 6 0 } \, \gamma ^ { 1 / 6 } } { \alpha ^ { 1 3 / 1 2 } \, \beta ^ { 1 1 / 2 4 } } \, \mathcal { Y } ^ { 1 / 6 }