harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c } { { \lambda _ { 1 } \rightarrow e ^ { i ( \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } - \phi _ { 3 } ) / 2 } \lambda _ { 1 } , } } \\ { { \lambda _ { 2 } \rightarrow e ^ { i ( - \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } - \phi _ { 3 } ) / 2 } \lambda _ { 2 } , } } \\ { { \lambda _ { 3 } \rightarrow e ^ { i ( - \phi _ { 1 } - \phi _ { 2 } + \phi _ { 3 } ) / 2 } \lambda _ { 3 } , } } \\ { { \lambda _ { 4 } \rightarrow e ^ { i ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } + \phi _ { 3 } ) / 2 } \lambda _ { 4 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 1 } ^ { ( + 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 3 } ^ { ( + 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { { F } _ { i j j } { F } _ { i k k } } { - \omega _ { i } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { j } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { k } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \Big ] + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { { F } _ { i j k } { F } _ { i j k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } + \omega _ { k } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { j } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { j } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { k } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { k } \rangle _ { - 1 } \Big ] } \\ & { } & { = \sum _ { i , j , k } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { { F } _ { i j j } { F } _ { i k k } } { - \omega _ { i } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { { F } _ { i j k } { F } _ { i j k } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } + \omega _ { k } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 ) f _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi } & { \lesssim \| q _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 r } ( \Omega ) } + \| f \| _ { H ^ { 2 r - 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + \sum _ { i + k \ge r - 2 } \frac { ( i + k + 2 ) ^ { r } } { ( i + k + 2 ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k + 2 } \| t ^ { i + k + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { + \quad \sum _ { i \ge r } \frac { ( i + 1 ) ^ { r } } { ( i + 1 ) ! } \epsilon ^ { i + 1 } \| t ^ { i + 1 - r } \partial _ { t } ^ { i } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + j + k \ge 1 + ( r - 3 ) _ { + } } \frac { ( i + j + k + 1 ) ^ { r - 1 } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j + 1 } \bar { \epsilon } ^ { k } } { ( i + j + k + 1 ) ! } \| t ^ { i + j + k + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad \quad + \sum _ { i + k \ge ( r - 3 ) _ { + } } \frac { ( i + k + 2 ) ^ { r - 1 } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k + 2 } } { ( i + k + 2 ) ! } \| t ^ { i + k + 3 - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } \bar { \partial } ^ { k } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \sum _ { i \ge r - 1 } \frac { ( i + 1 ) ^ { r - 1 } \epsilon ^ { i + 1 } } { ( i + 1 ) ! } \| t ^ { i + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K _ { \epsilon , R } ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) g ( a , v , t ) g ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } , t ) [ ( v + v ^ { \prime } ) ^ { - l } - v ^ { - l } - v ^ { - l } ] \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } \textup { d } v \textup { d } a } \\ { \leq } & { K _ { 1 } \int _ { \{ v < \frac { R } { 2 } \} } \int _ { \{ v ^ { \prime } < \frac { R } { 2 } \} } ( v ^ { - \alpha } v ^ { \beta } + v ^ { \beta } v ^ { - \alpha } ) g ( a , v , t ) g ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } , t ) [ ( v + v ^ { \prime } ) ^ { - l } - v ^ { - l } - v ^ { - l } ] \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } \textup { d } v \textup { d } a } \\ { \leq } & { K _ { 1 } \int _ { \{ v < \frac { R } { 2 } \} } \int _ { \{ v ^ { \prime } < \frac { R } { 2 } \} } ( - v ^ { - \alpha - l } v ^ { \beta } - v ^ { - \alpha - l } v ^ { \beta } ) g ( a , v , t ) g ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } , t ) \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } \textup { d } v \textup { d } a } \end{array}
D ^ { - } \Sigma _ { A B } ^ { - } = { \frac { 4 \pi G } { 3 ! } } { \overline { { \Psi } } } _ { L } \gamma ^ { C } \sigma ^ { A B } \Psi _ { L } \epsilon _ { C D F G } e ^ { D } \wedge e ^ { F } \wedge e ^ { G } ,
\begin{array} { r l } { \hat { h } ( \mathcal { T } + \tau ) } & { = h ( \mathcal { T } ) + \int _ { \mathcal { T } } ^ { \mathcal { T } + \tau } g _ { 1 } ( h , \sin \alpha , \cos \alpha , \textbf { Q } ^ { \alpha T } \textbf { Q } ^ { T } \cdot \textbf { E } \cdot \textbf { Q } \cdot \textbf { Q } ^ { \alpha } ; \theta _ { g 1 } ) d \tau } \\ { \hat { \alpha } ( \mathcal { T } + \tau ) } & { = \alpha ( \mathcal { T } ) + \int _ { \mathcal { T } } ^ { \mathcal { T } + \tau } g _ { 2 } ( h , \sin \alpha , \cos \alpha , \textbf { Q } ^ { T } \cdot \textbf { E } \cdot \textbf { Q } \cdot ; \theta _ { g 2 } ) d \tau } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \left( \begin{array} { l l } { \phantom { - } \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { - \mathbf { B } ^ { * } } & { - \mathbf { A } ^ { * } } \end{array} \right) - \omega \left( \begin{array} { l l } { ~ \mathbf { 1 } } & { \mathbf { 0 } ~ } \\ { ~ \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } ~ } \end{array} \right) \right] \left( \begin{array} { l } { \mathbf { X } } \\ { \mathbf { Y } } \end{array} \right) = 0 , } \end{array}
\Delta \, \delta _ { T ^ { \prime } } = \delta _ { T ^ { \prime } } \otimes 1 + 1 \otimes \delta _ { T ^ { \prime } } + \sum _ { c ^ { \prime } } \, ( \Pi \, \delta _ { T _ { j } ^ { \prime } } \otimes \delta _ { R _ { c ^ { \prime } } ^ { \prime } } )
\widetilde { \mathbf { E } } ^ { ( 0 ) } ( z ) = \widetilde { \mathbf { P } } ^ { ( \infty ) } ( z ) \left[ s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) \right] ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \mathbf { Q } ( z ) e ^ { - \frac { 1 } { 4 } \pi i \sigma _ { 3 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { G _ { r } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) } & { { } = - \Theta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) G ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) \: , } \\ { G _ { a } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) } & { { } = \Theta ( \tau ^ { \prime } - \tau ) G ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) \: , } \\ { \bar { G } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ G _ { r } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) + G _ { a } ( x _ { \mu } ; x _ { \mu } ^ { \prime } ) \right] \: , } \end{array}
A ( K ) = - \frac { \mu _ { K } [ \mu _ { N } ] } { 2 c I m _ { p } M _ { J } } \, \left< J \; M _ { J } \right| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \, \left( \frac { \boldsymbol { \alpha } _ { i } \times { \bf { r } } _ { i K } } { r _ { i K } ^ { 3 } } \right) _ { z } \left| J \; M _ { J } \right>
\begin{array} { r } { ( J j ^ { \xi } ) _ { i + 1 / 2 , p } ^ { v + 1 / 2 } = q _ { p } \left( \frac { v _ { z } } { J _ { \xi } } \right) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } \left\langle { S _ { 1 } } \left( { \xi } _ { i + 1 / 2 } - { \xi } _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \right) \right\rangle _ { p } ^ { \nu } , } \end{array}
N _ { c } = \left\lfloor \frac { \Delta t } { 2 C _ { R M S } } \left( \frac { n - 2 n _ { - } } { n } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { ( \Delta v ) ^ { 3 } } \left( \frac { 2 k T } { m } \right) ^ { 2 } { \exp \left[ \left( \frac { m v _ { m a x } ^ { 2 } } { 2 k T } \right) ^ { \alpha } \right] } { n _ { r } \sigma _ { r } } + \mathcal { R } \right\rfloor .
\operatorname { P } ( B \mid A ) = { \frac { \sum _ { F \subset A \cap B } \left| \int { \mathcal { D } } \varphi O _ { \mathrm { i n } } [ \varphi ] e ^ { i { \mathcal { S } } [ \varphi ] } F [ \varphi ] \right| ^ { 2 } } { \sum _ { F \subset A } \left| \int { \mathcal { D } } \varphi O _ { \mathrm { i n } } [ \varphi ] e ^ { i { \mathcal { S } } [ \varphi ] } F [ \varphi ] \right| ^ { 2 } } } ,
I _ { 2 } \ = \frac { - 1 } { ( 4 \pi \, { \ell _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \int \, \delta \! \left( r _ { 1 } + r _ { 2 } - t \right) \, \frac { d ^ { 3 } r _ { 2 } } { r _ { 1 } r _ { 2 } }
{ p ^ { \frac { a } { b } } \star f ( x , p ) } = { \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } } { \Pi _ { j = 0 } ^ { s - 1 } } ( { \frac { a } { b } } - j ) { \frac { \theta ^ { s } } { s ! } } f ^ { ( s ) } ( x , p ) p ^ { \frac { a } { b } - s } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t } | P ( C _ { n , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { d } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) - P ( C _ { n , ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { h } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) | \leq ( n - | w _ { d + 1 } | + 1 ) P ( w _ { d + 1 } ) \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { t } | P ( D _ { n , ( m _ { 1 } , \ldots , m _ { d } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) - P ( D _ { n , ( m _ { 1 } , \ldots , m _ { h } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) | \leq 2 ( n + 1 - m _ { d + 1 } ) p ^ { m _ { d + 1 } } . } \end{array}
v _ { \ell + 1 } = \big ( \boldsymbol { \mathrm { I _ { d } } } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } \, { f _ { \ell } } \circ \mathrm { N } \big ) \circ \big ( \, \boldsymbol { \mathrm { I _ { d } } } + \boldsymbol { \mathrm { X } } _ { \ell } \, \circ \mathrm { A t t n } \, \big ) \circ v _ { \ell } , \quad \mathrm { A t t n } ( v _ { \ell } ) = \mathrm { s o f t m a x } \left( \mathrm { C o n s t . } \, Q ( v _ { \ell } ) K ( v _ { \ell } ) ^ { \top } \right) V ( v _ { \ell } ) ,
\begin{array} { r } { \! \sigma _ { t \bar { t } } = \! \frac { s } { 6 \pi } \frac { | C _ { T } ^ { \mu t } | ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 4 } } N _ { c } \approx 5 8 \mathrm { a b } \left( \frac { \sqrt { s } } { 1 0 \, \mathrm { T e V } } \right) ^ { \! \! 2 } \! \! \! \left( \frac { \Delta a _ { \mu } } { 3 \times 1 0 ^ { - 9 } } \right) ^ { \! 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mu } _ { \beta } ( \boldsymbol { \delta } ) } & { = - \left( \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { K } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 2 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \delta } = \boldsymbol { E } _ { \beta } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { \delta } , } \\ { \nu _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \delta } ) } & { = \boldsymbol { \delta } ^ { T } \boldsymbol { E } _ { \beta } \boldsymbol { \delta } , } \end{array}
{ \widehat { \boldsymbol { \omega } } } = { \boldsymbol { \omega } } \cdot { \boldsymbol { L } } = x { \boldsymbol { L } } _ { x } + y { \boldsymbol { L } } _ { y } + z { \boldsymbol { L } } _ { z } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - z } & { y } \\ { z } & { 0 } & { - x } \\ { - y } & { x } & { 0 } \end{array} \right] } \in { \mathfrak { s o } } ( 3 ) .
\begin{array} { r l r } { I \left( f _ { 1 } , f _ { 2 } , . . . , f _ { n } ; \tau , \tau _ { 0 } \right) } & { = } & { \left( 2 \pi i \right) ^ { n } \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } d \tau _ { 1 } \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau _ { 1 } } d \tau _ { 2 } \dots \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau _ { n - 1 } } d \tau _ { n } \; f _ { 1 } \left( \tau _ { 1 } \right) f _ { 2 } \left( \tau _ { 2 } \right) \dots f _ { n } \left( \tau _ { n } \right) . } \end{array}
\textbf { K } _ { x x } \equiv \left( \begin{array} { l l l } { \textbf { K } } & { \left( \frac { \mathrm { d } \textbf { K } } { \mathrm { d } \textbf { x } } \right) ^ { T } } & { \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { K } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \right) ^ { T } } \\ { \frac { \mathrm { d } \textbf { K } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { \prime } } } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { \prime } } \left( \frac { \mathrm { d } \textbf { K } } { \mathrm { d } \textbf { x } } \right) ^ { T } } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { \prime } } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { K } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \right) ^ { T } } \\ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { K } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { d } \textbf { K } } { \mathrm { d } \textbf { x } } \right) ^ { T } } & { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { K } } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \right) ^ { T } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } _ { M } ) } \\ { \frac { \mathrm { d } \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } _ { 1 } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { \mathrm { d } \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } _ { M _ { g } } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } _ { M _ { g } } } } \\ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } _ { 1 } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } _ { M _ { H } } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } _ { M _ { H } } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \phi _ { N - 1 } ( \nu ) ( x ) } & { = } & { \Big ( \mathbb { E } _ { N - 1 , \nu } X + \frac \lambda { 1 + i _ { N } } \ \frac { 1 } { 1 - ( \mathbb { E } R _ { N } ) ^ { \top } C _ { N } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { N } } - x \Big ) C _ { N } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { N } } \\ & { = } & { \Big ( \mathbb { E } _ { N - 1 , \nu } X + \frac \lambda { ( 1 + i _ { N } ) ( 1 - \ell _ { N } ) } - x \Big ) C _ { N } ^ { - 1 } \mathbb { E } R _ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { b } ^ { 2 } } & { { } = \Delta b ^ { 2 } \int _ { - B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } } ^ { B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } } T _ { s } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ^ { 2 } ( \pi f T _ { s } ) \mathrm { ~ d ~ } f , } \end{array}
\begin{array} { r } { n ^ { ( 0 ) } ( \tau ) = \frac { n _ { s } + n _ { e } e ^ { \frac { \sigma } { { \varepsilon } ^ { 2 } } ( t - t _ { 0 } - { \varepsilon } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ) } } { 1 + e ^ { \frac { \sigma } { { \varepsilon } ^ { 2 } } ( t - t _ { 0 } - { \varepsilon } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ) } } } \end{array}
\kappa ^ { \prime } \left( \eta ^ { \prime } \right) = \frac { \partial } { \partial x ^ { \prime } } \left( \frac { \partial _ { x ^ { \prime } } \eta ^ { \prime } } { \sqrt { 1 + \left( \partial _ { x ^ { \prime } } \eta ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } } \right) + \frac { 2 } { b } \cos { \theta } ,
\vert \phi _ { 1 } \rangle = L _ { - 1 } \vert { h ; - 1 } \rangle { } ~ , { } ~ { } ~ { } ~ \vert \phi _ { 2 } \rangle = G _ { - 1 } ^ { + } G _ { 0 } ^ { - } \vert { h ; - 1 } \rangle { } ~ .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \epsilon } { \partial v _ { 1 } } } & { = \frac { \partial } { \partial v _ { 1 } } \left( \frac { \partial y _ { i } } { \partial x _ { i } } - t _ { i } \right) ^ { 2 } } \\ & { = 2 \sqrt { \epsilon } \: \: \frac { \partial } { \partial v _ { 1 } } \left[ v _ { 1 } w _ { 1 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) + v _ { 2 } w _ { 2 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 2 } x _ { i } \big ) - t _ { i } \right] } \\ & { = 2 \sqrt { \epsilon } \: \: w _ { 1 } f ^ { \prime } \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 } x _ { i } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ^ { \prime } } & { { } = \gamma _ { \infty } \left[ t - v _ { \infty } ( x - x _ { \mathrm { m a x } } ) / c ^ { 2 } \right] \, , } \\ { x ^ { \prime } } & { { } = \gamma _ { \infty } \left[ - v _ { \infty } t + ( x - x _ { \mathrm { m a x } } ) \right] , } \end{array}
\mathcal { V } ( t , \xi ) = \mathbb { E } \left[ \mathcal { V } _ { 0 } ( \mathcal { A } _ { t , \xi } ) \eta ( t , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) \right] + \mathbb { E } \left[ \eta ( t , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d ( s , \Phi ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) ) } { \eta ( s , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) } d s \right] .
\frac { 1 } { ( z ^ { 2 } - t ^ { 2 } ) ^ { \kappa + 1 } } = \frac { 1 } { z ^ { 2 \kappa + 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \begin{array} { c } { { \kappa + k } } \\ { { k } } \end{array} \right) \left( \frac { t } { z } \right) ^ { 2 k } .
E _ { \sigma \tau } ^ { ( n ) } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \frac { d \phi _ { 1 } } { 2 \pi } \ldots \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \frac { d \phi _ { n } } { 2 \pi } { \cal E } _ { \sigma \tau } ^ { ( n ) } \simeq g _ { \sigma \tau } - n g _ { \sigma \tau } ^ { \perp }
p _ { 2 } = 0 , \quad \Delta = 2 , \quad M _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 2 } = ( 0 , 0 , 0 , 0 , \frac { 1 } { 2 } b , 0 ) ^ { T } , \quad \boldsymbol { v } _ { 2 } = ( 0 , 0 , 0 , 0 , - \frac { 1 } { 2 } \eta _ { 0 } b \delta , \frac { 1 } { 2 } i U _ { 0 } b \delta ) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { \frac { ( n - 1 ) \log \lambda } { N } } & { + \frac { 1 } { N } \log ( \lambda + | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } ) } \\ & { = \frac { ( N q - 1 ) \log \lambda } { N } + \frac { \log N } { N } + \frac { 1 } { N } \log \Big ( \frac { \lambda } { N } + \frac { 1 } { N } | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } \Big ) \xrightarrow [ N \rightarrow \infty ] q \log \lambda } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \left| H \left( Y _ { t - \cdot } ^ { n , \varepsilon } \right) - H \left( X _ { t - \cdot } ^ { 0 } \right) \right| ^ { p } \right] } & { \leq \mu \left( [ 0 , \delta ] \right) E \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \left\| Y _ { t - \cdot } ^ { n , \varepsilon } - X _ { t - \cdot } ^ { 0 } \right\| _ { \infty } ^ { p } \right] } \\ & { = O \left( \varepsilon ^ { p } \right) + O \left( 1 / n ^ { p } \right) , } \end{array}
\overline { { { U _ { i } ^ { + } } } } = \frac { \overline { { U _ { i } } } } { U _ { \tau } } , ~ { x _ { i } ^ { + } } = \frac { x _ { i } U _ { \tau } } { \nu } , ~ t ^ { + } = { \frac { t U _ { \tau } ^ { 2 } } { \nu } } , ~ \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } = \frac { \overline { { u _ { i } u _ { j } } } } { U _ { \tau } ^ { 2 } } , ~ \overline { { { P ^ { + } } } } = \frac { \overline { { P } } } { \rho U _ { \tau } ^ { 2 } } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } U _ { \tau } = \sqrt { \frac { \tau _ { w } } { \rho } } .
\begin{array} { r l } { \ln ( F [ \beta , z ] ) } & { { } \approx \frac { \left( 1 - | z | ^ { 2 } \right) \beta g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } s B _ { z } } { 1 + | z | ^ { 2 } } + \frac { | z | ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \left( g \mu _ { B } \right) ^ { 2 } s B _ { z } ^ { 2 } } { \left( 1 + | z | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
d s ^ { 2 } ~ = ~ - f ( r ) ~ \left( 1 - \left( \frac { r _ { 0 } } { r } \right) ^ { 2 } \right) ~ d t ^ { 2 } + f ( r ) ^ { - 1 } \left( 1 - \left( \frac { r _ { 0 } } { r } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } ~ d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r l } { } & { \underset { | | x - y | | _ { 1 } \sim 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { f ^ { * } ( x ) - f ^ { * } ( y ) } { | | x - y | | _ { 1 } } = \underset { | | x - y | | _ { 1 } \sim 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { < \nabla f ^ { * } ( x ) , y - x > } { | | x - y | | _ { 1 } } \leq \frac { | | \nabla f ^ { * } ( x ) | | _ { 1 } . | | y - x | | _ { 1 } } { | | y - x | | _ { 1 } } = | | \nabla f ^ { * } ( x ) | | _ { 1 } } \end{array}
a _ { 1 1 } = \underset { a _ { 1 1 } } { \operatorname { a r g m i n } } \; \left\lbrace \left| \frac { \Gamma _ { a } - a _ { 1 2 } } { \pm a _ { 1 1 } ( 1 - ( a _ { 2 1 } / a _ { 1 1 } ) \Gamma _ { a } ) } - \Gamma _ { \mathrm { e s t } } \right| \right\rbrace .
\varepsilon ^ { \prime } / \varepsilon = - { \frac { \omega } { \sqrt { 2 } ~ \vert \varepsilon \vert ~ \mathrm { R e } A _ { 0 } } } ~ \left( \mathrm { I m } A _ { 0 } - { \frac { 1 } { \omega } } ~ \mathrm { I m } A _ { 2 } \right) ,
\frac { d } { d t } [ \pi _ { m } , \tilde { \pi } _ { n } ] = 0 \; \; \; \longrightarrow \; \; \; [ \tilde { \pi } _ { n } , V _ { m } ^ { \prime } ] - [ \pi _ { m } , \tilde { V } _ { n } ^ { \prime } ] = 0 .
\begin{array} { r l } { [ D , S _ { t } ^ { \nu } ] ( \chi _ { \nu } f ) } & { = D ( S _ { t } ^ { \nu } ( \chi _ { \nu } f ) ) - S _ { t } ^ { \nu } ( D ( \chi _ { \nu } f ) ) } \\ & { = D ( \widetilde S _ { t } ^ { \nu } [ ( \chi _ { \nu } f ) \circ \Phi _ { \nu } ] \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } ) - \widetilde S _ { t } ^ { \nu } [ D ( \chi _ { v } f ) \circ \Phi _ { \nu } ] \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } } \\ & { = ( \nabla \widetilde S _ { t } ^ { \nu } [ ( \chi _ { \nu } f ) \circ \Phi _ { \nu } ] ) \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } \cdot D \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } - \widetilde S _ { t } ^ { \nu } [ \nabla ( ( \chi _ { \nu } f ) \circ \Phi _ { \nu } ) ] \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } \cdot D \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } } \\ & { \quad + \widetilde S _ { t } ^ { \nu } [ \nabla ( ( \chi _ { \nu } f ) \circ \Phi _ { \nu } ) ] \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } \cdot D \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } - \widetilde S _ { t } ^ { \nu } [ D ( \chi _ { \nu } f ) \circ \Phi _ { \nu } ] \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } } \\ & { = [ \nabla , \widetilde S _ { t } ^ { \nu } ] ( ( \chi _ { \nu } f ) \circ \Phi _ { \nu } ) \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } \cdot D \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } , } \end{array}
\frac { x } { t o t _ { * } ( x ) } = \frac { s ^ { \prime } ( x ) * \# ( n ^ { \prime } ( x ) ) } { t _ { * } ( x ) * \prod _ { i = 1 } ^ { n ^ { \prime } ( x ) } p _ { i } - 1 } = f ( x ) * \frac { s ^ { \prime } ( x ) } { t _ { * } ( x ) } = f ( x ) * \left( \frac { 1 + ( p _ { n ^ { \prime } ( x ) + 1 } - 1 ) r ^ { \prime } ( x ) } { 1 + ( p _ { n ^ { \prime } ( x ) + 1 } - 2 ) r ^ { \prime } ( x ) } \right)
\nabla V = \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } ^ { - 1 } \left[ i \mathbf { k } ~ \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } \left( \frac { \partial w ( \tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) ) } { \partial \tilde { \phi } } \right) \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } ( \mathcal { G } ) \right] .
\underline { { \varphi } } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho E } \end{array} \right) } \end{array} , \quad \underline { { P } } = p \underline { { \Pi } } = p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { n _ { x } } \\ { n _ { y } } \\ { U } \end{array} \right) } \end{array} , \quad \delta \underline { { P } } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \delta p \, n _ { x } } \\ { \delta p \, n _ { y } } \\ { \delta ( p U ) } \end{array} \right) } \end{array} ,
N _ { s } = \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \sigma } { \mathbf { s } \cdot \left( \frac { \partial \mathbf { s } } { \partial x } \times \frac { \partial \mathbf { s } } { \partial y } \right) } \mathrm { ~ d ~ } x \mathrm { ~ d ~ } y
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u + \nabla P = \Delta u + f } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega } \\ { \operatorname { d i v } u = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega } \\ { u = 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } ( 0 , T ) \times \partial \Omega } \\ { u \bigr \rvert _ { t = 0 } = u _ { 0 } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega } \end{array} \right. } \end{array}