harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c } { { \bar { N } _ { 2 3 2 } ^ { \Omega } = \{ \{ - u _ { 1 2 } ^ { 2 } v _ { 1 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } , - \frac { v _ { 1 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } 2 \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \right) , \frac { \lambda ^ { 6 } a v _ { 1 2 } u _ { 2 3 } } 2 \left( 2 a v _ { 2 3 } u _ { 1 2 } - v _ { 1 3 } c ^ { * } \right) \} , } } \\ { { \{ - \frac { v _ { 1 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } 2 \left( 1 - \lambda ^ { 2 } \right) , 0 , - \frac { a c u _ { 1 3 } v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } \lambda ^ { 6 } } 2 \} , } } \\ { { \{ \frac { \lambda ^ { 6 } a v _ { 1 2 } u _ { 2 3 } } 2 \left( 2 a v _ { 2 3 } u _ { 1 2 } - v _ { 1 3 } c ^ { * } \right) , - \frac { a c u _ { 1 3 } v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } \lambda ^ { 6 } } 2 , - a ^ { 4 } u _ { 2 3 } ^ { 2 } v _ { 2 3 } ^ { 2 } \lambda ^ { 8 } \} \} ; } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } } & { { } \bigg [ s \lambda _ { i } ^ { 3 } - s \lambda _ { i } ( s R e + 3 ) - R e ( 1 + B o ^ { - 1 } ) \bigg ] C _ { i } ( s ) = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { R } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } } & { { } \leq \sum _ { k = 1 } ^ { t } | \lambda | ^ { k } \| \mathcal { R } _ { k } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } \leq 2 C \sum _ { k = 1 } ^ { t } | 4 C \eta M _ { \eta } \lambda | ^ { k } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } \leq 2 C \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } | 4 C \eta M _ { \eta } \lambda | ^ { k } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } } \end{array}
< { \cal O } ( { \bf x } ) { \cal O } ( { \bf y } ) > \; \propto \; \sum _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \in \Gamma } \, \frac { | \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( { \bf x } ) | ^ { \Delta } | \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ( { \bf y } ) | ^ { \Delta } } { | \gamma _ { 1 } { \bf x } - \gamma _ { 2 } { \bf y } | ^ { 2 \Delta } } \; = \; \sum _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \in \Gamma } \, \frac { | ( \gamma _ { 1 } ^ { - 1 } \gamma _ { 2 } ) ^ { \prime } ( { \bf y } ) | ^ { \Delta } } { | { \bf x } - \gamma _ { 1 } ^ { - 1 } \gamma _ { 2 } { \bf y } | ^ { 2 \Delta } }
\frac { 1 } { J } H = \vec { S } _ { 1 } \cdot \vec { S } _ { 2 } + \vec { S } _ { 2 } \cdot \vec { S } _ { 3 } + \epsilon ( S _ { 1 } ^ { z } S _ { 2 } ^ { z } + S _ { 2 } ^ { z } S _ { 3 } ^ { z } )
M ( t _ { * * } ^ { 1 } ) = \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ t _ { * * } ^ { 0 } , t _ { * * } ^ { 1 } ] } \| u ^ { 1 } \mapsto \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } [ \mathcal { W } _ { K } ( \xi ) , U ^ { 1 } ] \| _ { \mathcal { L } ( \mathbb { V } , \mathfrak { H } ^ { - 1 } ) }
v _ { n } = - \frac { \frac { \partial C } { \partial t } + \textbf { u } _ { f } \cdot \boldsymbol \nabla C } { \mid \boldsymbol \nabla C \mid } = - \frac { \frac { D C } { D t } } { \mid \boldsymbol \nabla C \mid } = - \frac { D \boldsymbol \nabla ^ { 2 } C } { \mid \boldsymbol \nabla C \mid } .
\varphi _ { 0 } ^ { ( 3 ) } = 5 M _ { \pi } ^ { 2 } \, \delta \alpha _ { 3 } , ~ ~ ~ \varphi _ { 1 } ^ { ( 3 ) } = 0 , ~ ~ ~ \varphi _ { 2 } ^ { ( 3 ) } = - 2 M _ { \pi } ^ { 2 } \, \delta \alpha _ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { T _ { e 1 } - T _ { e 0 } = \frac { 2 } { 3 } Q } & { - \frac { 1 } { 2 } N _ { e } e ^ { 2 } \left( \frac { 3 Z } { 2 } + 1 \right) ( k _ { e 0 } - k _ { e 1 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } N _ { i } Z ^ { 2 } e ^ { 2 } k _ { i 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 2 k _ { D 0 } + k _ { e 1 } } { ( k _ { D 0 } + k _ { e 1 } ) ^ { 2 } } - \frac { 2 k _ { D 0 } + k _ { e 0 } } { ( k _ { D 0 } + k _ { e 0 } ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d s \left( e ^ { s \bar { D } ^ { 2 } } \right) _ { A x , B y } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int _ { n \sigma } ^ { ( n + 1 ) \sigma } d s \left( e ^ { s \bar { D } ^ { 2 } } \right) _ { A x , B y }
\begin{array} { r } { \Psi ( r , x , t ) = \Omega ( r , t ) \phi ( x , t ; r ) , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 L } } \left| \phi ( x , t ; r ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } x = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { e p } = \hat { U } ^ { \dag } \hat { H } _ { p } \hat { U } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha } \left[ ( \hat { p } _ { \alpha } + \boldsymbol { \lambda } _ { \alpha } \cdot \mathbf { D } ) ^ { 2 } + \omega _ { \alpha } ^ { 2 } ( \hat { q } _ { \alpha } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha } \left[ \hat { p } _ { \alpha } ^ { 2 } + \omega _ { \alpha } ^ { 2 } ( \hat { q } _ { \alpha } - \frac { \boldsymbol { \lambda } _ { \alpha } } { \omega _ { \alpha } } \cdot \mathbf { D } ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\eta : = \left( \begin{array} { c c c c } { { \varepsilon - i } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \varepsilon + i } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varepsilon + i } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \varepsilon + i } } \end{array} \right) \qquad .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } \sum _ { k = 0 } ^ { N } 2 ^ { ( s - \frac { M } { 2 } ) | j - k | } 2 ^ { k s } | \phi _ { k } \ast u | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } \leq | u | _ { l ^ { 1 } ( \mathbb { Z } ) } | v | _ { l ^ { \infty } ( \mathbb { N } ) } \lesssim _ { r , s } | v | _ { l ^ { \infty } ( \mathbb { N } ) } = \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j s } | \phi _ { j } \ast f | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { \partial _ { t } ^ { 2 } u - \Delta u = \partial _ { t } f } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { R } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ { u = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \quad ( \partial D \cup \Gamma _ { 0 } ) \times ( 0 , T ) , } \\ { \partial _ { r } u = \mathscr { T } u \quad } & & { \mathrm { o n } \quad \Gamma _ { R } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ { u | _ { t = 0 } = \partial _ { t } u | _ { t = 0 } = 0 } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { R } ^ { + } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | k _ { x } ( x , y ) | } & { \leq } & { \left( \overline { { f _ { x } } } + \overline { { \phi _ { 0 } } } \right) \mathrm { e } ^ { \bar { g } + \bar { f } } = : \overline { { k _ { x } } } \left( \bar { g } , \overline { { g ^ { \prime } } } , \bar { f } , \overline { { f _ { x } } } \right) } \\ { | k _ { y } ( x , y ) | } & { \leq } & { \overline { { f _ { x } } } + \bar { f } \bar { k } + \overline { { \phi _ { 0 } } } + \left( \bar { g } + \bar { f } \right) \overline { { k _ { x } } } } \end{array}
P ( f _ { k } ) = \frac { \left< | \hat { x } ( f _ { k } ) | ^ { 2 } \right> } { T _ { \mathrm { s } } } = \frac { \Delta t ^ { 2 } } { T _ { \mathrm { s } } } \left< | \mathrm { F F T } \{ \{ \tilde { x } _ { j } \} _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } \} _ { k } | ^ { 2 } \right> \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \ f _ { k } = \frac { k } { T _ { \mathrm { s } } } \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ k = 0 , 1 , 2 , \ldots , ( N _ { \mathrm { s } } - 1 ) / 2 \, ,
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { \lambda _ { 1 , n + 1 } } & { \dots } & { \lambda _ { 1 , m } } \\ { 0 } & { 1 } & { \dots } & { 0 } & { \lambda _ { 2 , n + 1 } } & { \dots } & { \lambda _ { 2 , m } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 1 } & { \lambda _ { n , n + 1 } } & { \dots } & { \lambda _ { n , m } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { p _ { k } - p _ { k 0 } } & { = } & { - \frac { \sqrt { 3 } \left( 4 - \lambda ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \lambda ^ { 2 } - 2 \right) \left( \lambda ^ { 2 } + 1 \right) } { \lambda ^ { 2 } \left( \lambda ^ { 2 } + 2 \right) } \frac { E _ { 0 } } { \kappa ^ { 3 } } p _ { k 0 } } \\ & { \approx } & { \left[ 6 - 2 8 ( \lambda - 1 ) \right] \frac { E _ { 0 } } { \kappa ^ { 3 } } p _ { k 0 } + { \cal O } ( \lambda - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( x , v , t = 0 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi v _ { t h } ^ { 2 } } } e ^ { - v ^ { 2 } / 2 v _ { t h } ^ { 2 } } ( 1 + \alpha \cos ( k x ) ) } \\ { ( x , v ) = \left[ 0 , 2 \pi / k \right] \times \left[ - v _ { m a x } , v _ { m a x } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x } } & { { } = e ^ { x } \ln ( 1 + y ) } \\ { f _ { y } } & { { } = { \frac { e ^ { x } } { 1 + y } } } \\ { f _ { x x } } & { { } = e ^ { x } \ln ( 1 + y ) } \\ { f _ { y y } } & { { } = - { \frac { e ^ { x } } { ( 1 + y ) ^ { 2 } } } } \\ { f _ { x y } } & { { } = f _ { y x } = { \frac { e ^ { x } } { 1 + y } } . } \end{array}
\sigma _ { i n e l } ( s ) = \frac { 8 \pi \xi ^ { 2 } } { N ^ { 2 } \langle m _ { Q } \rangle ^ { 2 } } \ln \left[ 1 + { g } ( 1 + \frac { \alpha \sqrt { s } } { m _ { Q } } ) ^ { N } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } = \int - P ^ { G } \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { a _ { t } } ) \theta \mathrm { d } \theta , } \\ & { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } = \int - P ^ { G } \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { a _ { t } } ) ( \theta - m _ { t } ) ( \theta - m _ { t } ) ^ { T } \mathrm { d } \theta , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg ( \int _ { I _ { j } } | g ( t ) | ^ { r } \mu _ { k _ { t } + 1 } ^ { \mathrm { G R } } ( \mathrm { d } t ) \bigg ) ^ { \smash { 1 / r } } \leq \bigg ( \operatorname* { m i n } _ { l \in \{ 1 , \ldots , k _ { t } + 1 \} } \omega _ { l } ^ { j } \bigg ) ^ { \smash { ( s - r ) / r s } } = \bigg ( | I _ { j } | \operatorname* { m i n } _ { l \in \{ 1 , \ldots , k _ { t } + 1 \} } \omega _ { l } \bigg ) ^ { \smash { ( s - r ) / r s } } \, , } \end{array}
e ^ { \phi } = \frac { 8 k _ { n } ^ { 2 } ( g _ { n } + 1 ) ^ { 2 } ( \zeta \bar { \zeta } ) ^ { g _ { n } } } { [ B \bar { B } - k _ { n } ^ { 2 } ( \zeta \bar { \zeta } ) ^ { ( g _ { n } + 1 ) } A \bar { A } ] ^ { 2 } }
\frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial C } = \frac { \partial \hat { A } _ { N } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial E } = \frac { \partial \hat { A } _ { N } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial \kappa } = \frac { \partial \hat { A } _ { N } } { \partial \kappa } .
\begin{array} { r l } { \Delta \tilde { \sigma } ( \omega ) } & { { } = \sum _ { k \in \mathbb { P } } \operatorname { R e } \left( \frac { 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { ( i \omega _ { k } ^ { + } ) ^ { * } } { \omega - ( - \omega _ { k } ^ { + } ) ^ { * } } \right) + \sum _ { k \in \mathbb { P } } i \operatorname { I m } \left( \frac { 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { i \omega _ { k } ^ { + } } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } \right) } \end{array}
\left\langle U _ { \lambda } \left( w \right) \right\rangle _ { w _ { n _ { i ^ { \prime } } ^ { * } = 2 } ^ { \prime } } ^ { \left( { \it G } _ { 1 } \right) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } l c } = 1 - \left( L ^ { ( 2 \beta - d ) } \lambda - \beta _ { 1 } \lambda ^ { 2 } + O ( \lambda ^ { 3 } ) \right) \times
\begin{array} { r l r } & { } & { \pm Q _ { 1 1 } ^ { * } - ( { Q _ { 1 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + { Q _ { 1 2 } ^ { * } } ^ { 2 } ) Q _ { 1 1 } ^ { * } + c _ { 0 } ( { P _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } - { P _ { 2 } ^ { * } } ^ { 2 } ) = 0 , } \\ & { } & { \pm Q _ { 1 2 } ^ { * } - ( { Q _ { 1 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + { Q _ { 1 2 } ^ { * } } ^ { 2 } ) Q _ { 1 2 } ^ { * } + 2 c _ { 0 } P _ { 1 } ^ { * } P _ { 2 } ^ { * } = 0 , } \\ & { } & { ( g _ { 0 } - | { \bf P ^ { * } } | ^ { 2 } ) P _ { 1 } ^ { * } + c _ { 0 } ( Q _ { 1 1 } ^ { * } P _ { 1 } ^ { * } + Q _ { 1 2 } ^ { * } P _ { 2 } ^ { * } ) = 0 , } \\ & { } & { ( g _ { 0 } - | { \bf P } ^ { * } | ^ { 2 } ) P _ { 2 } ^ { * } + c _ { 0 } ( Q _ { 1 2 } ^ { * } P _ { 1 } ^ { * } - Q _ { 1 1 } ^ { * } P _ { 2 } ^ { * } ) = 0 , } \end{array}
Q ^ { k _ { 1 } } Q ^ { k _ { 2 } } Q ^ { k _ { 3 } } = \varrho _ { k _ { 1 } k _ { 2 } k _ { 3 } } ( \sigma ) \, Q ^ { k _ { \sigma ( 1 ) } } Q ^ { k _ { \sigma ( 2 ) } } Q ^ { k _ { \sigma ( 3 ) } } + 3 \, { \eta } ^ { k _ { 1 } k _ { 2 } k _ { 3 } } \, 1 ,
{ \bar { \boldsymbol { \mu } } } = { \boldsymbol { \mu } } _ { 1 } + { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 1 2 } { \boldsymbol { \Sigma } } _ { 2 2 } ^ { - 1 } \left( \mathbf { a } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 2 } \right)
H _ { \nu \mu } ^ { \mathrm { e f f , c o r r } } = \langle \Phi _ { \nu } | H _ { N } ( \mu ) e ^ { T _ { \mathrm { C A S } } ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle _ { C } - \langle \Phi _ { \nu } | H _ { N } ( \mu ) e ^ { T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) + T _ { \mathrm { C A S , 2 } } ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle _ { C }
\begin{array} { r l } { I I I _ { 1 } ^ { i j } } & { = \left( \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( ( v - U _ { \theta } ^ { f } ) , U _ { \theta } ^ { f } , T _ { \theta } ^ { f } ) } { ( \rho _ { \theta } ^ { f } ) ^ { \alpha _ { i j } } ( T _ { \theta } ^ { f } ) ^ { \beta _ { i j } } } - \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( ( v - U _ { \theta } ^ { g } ) , U _ { \theta } ^ { g } , T _ { \theta } ^ { g } ) } { ( \rho _ { \theta } ^ { g } ) ^ { \alpha _ { i j } } ( T _ { \theta } ^ { g } ) ^ { \beta _ { i j } } } \right) \langle v \rangle ^ { q } \mathcal { M } ^ { f } ( \theta ) , } \\ { I I I _ { 2 } ^ { i j } } & { = \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( ( v - U _ { \theta } ^ { g } ) , U _ { \theta } ^ { g } , T _ { \theta } ^ { g } ) } { ( \rho _ { \theta } ^ { g } ) ^ { \alpha _ { i j } } ( T _ { \theta } ^ { g } ) ^ { \beta _ { i j } } } \langle v \rangle ^ { q } ( \mathcal { M } ^ { f } ( \theta ) - \mathcal { M } ^ { g } ( \theta ) ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { p o w e r } } } & { = { \mathrm { t o r q u e } } \cdot 2 \pi \cdot { \mathrm { r o t a t i o n a l ~ s p e e d } } \cdot { \frac { { \mathrm { f t } } { \cdot } { \mathrm { l b f } } } { \mathrm { m i n } } } \cdot { \frac { \mathrm { h o r s e p o w e r } } { 3 3 , 0 0 0 \cdot { \frac { { \mathrm { f t } } \cdot { \mathrm { l b f } } } { \mathrm { m i n } } } } } } \\ & { \approx { \frac { { \mathrm { t o r q u e } } \cdot { \mathrm { R P M } } } { 5 , 2 5 2 } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \partial _ { x _ { 1 } } u _ { 1 } ^ { \pm } + \partial _ { x _ { 2 } } u _ { 2 } ^ { \pm } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } T ^ { \pm } , \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ p ~ e ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ l ~ y ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } [ \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ^ { \prime } ) ) - \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ) ) ] I ( \Omega ) \, \mathrm { d } \Omega ^ { \prime } \, \mathrm { d } \Omega } & { { } = - \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } [ \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ^ { \prime } ) ) - \eta ^ { \prime } ( I ( \Omega ) ) ] I ( \Omega ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \Omega ^ { \prime } \, \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\phi ( x , y ) = \frac { \sinh \left( \sqrt i W \frac { y } { L } \right) } { \sinh ( \sqrt i W ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ A _ { n } \exp \left( r _ { - n } \frac { x } { L } \right) + B _ { n } \exp \left( r _ { + n } \frac { x } { L } \right) \right] \sin \left( \frac { n \pi y } { L } \right) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial ( \rho \textbf { u } ) _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { - \int _ { \Omega _ { n } } ( \rho _ { n } \textbf { u } _ { n } \otimes \textbf { u } _ { n } + P _ { n } \mathbb { I } ) \cdot \nabla \varphi _ { i } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \rho _ { n } \textbf { u } _ { n } \otimes \textbf { u } _ { n } + P _ { n } \mathbb { I } ) } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S = } \\ & { = - \int _ { \Omega _ { n } } \nabla \varphi _ { i } \cdot ( \textbf { f } \otimes \textbf { u } _ { n } ) d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { ( \textbf { f } \otimes \textbf { u } _ { n } ) } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S ; } \end{array}
I _ { 1 } = \bar { M } ^ { \bar { g } } M _ { \bar { g } } \, , \; \, I _ { 2 } = \frac 1 2 \bar { B } ^ { \bar { g } f } B _ { \bar { g } f } \, , \; \, I _ { 3 } = \bar { M } _ { \bar { g } } \bar { B } ^ { \bar { g } f } B _ { \bar { k } f } M ^ { \bar { k } } \, , \; \, I _ { 4 } = \frac 1 2 \bar { B } ^ { \bar { k } h } \bar { B } ^ { \bar { g } f } B _ { \bar { g } h } B _ { \bar { k } f } \, .
S ^ { a b } ( x ) S ^ { T b c } ( x ) = S ^ { a b } ( x ) S ^ { c b } ( x ) = \frac { 1 } { 4 } \tau _ { i j } ^ { b } \tau _ { k l } ^ { b } ( U ( x ) \tau ^ { a } U ^ { \dagger } ( x ) ) _ { i j } ( U ( x ) \tau ^ { c } U ^ { \dagger } ( x ) ) _ { k l } = \frac { 1 } { 2 } t r [ \tau ^ { a } \tau ^ { c } ] = \delta ^ { a c }
\begin{array} { r l } { \nu ^ { 2 } } & { = \frac { \tau _ { V } } { N _ { V } \rho \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \left( 1 + \frac { I _ { T } ^ { 2 } N _ { T } \tau _ { T } \varrho } { I _ { V } ^ { 2 } N _ { V } \tau _ { V } \rho } + \frac { I _ { e } ^ { 2 } N _ { T } ^ { 2 } \tau _ { e } } { I _ { V } ^ { 2 } N _ { V } \tau _ { V } \rho } \right) = } \\ & { = \frac { I _ { T } ^ { 2 } N _ { T } \tau _ { T } \varrho } { I _ { V } ^ { 2 } N _ { V } ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { r e s t } } \rho ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { I _ { V } ^ { 2 } N _ { V } \tau _ { V } \rho } { I _ { T } ^ { 2 } N _ { T } \tau _ { T } \varrho } + \frac { N _ { T } I _ { e } ^ { 2 } \tau _ { e } } { I _ { T } ^ { 2 } \tau _ { T } \varrho } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot ( \rho \textbf { v } ) } & { = 0 , } \\ { \rho ( \partial _ { t } \textbf { v } + \textbf { v } \cdot \nabla \textbf { v } ) } & { = - \nabla p + \eta \triangle \textbf { v } + ( \zeta + \eta / 3 ) \nabla ( \nabla \cdot \textbf { v } ) , } \\ { \partial _ { t } \left[ \epsilon + \frac { \rho v ^ { 2 } } { 2 } \right] } & { + \nabla \cdot \left[ \left( \epsilon + p + \frac { \rho v ^ { 2 } } { 2 } \right) \bf { v } - \bf { v } \cdot \sigma ^ { \prime } \right] = 0 , } \end{array}
\mathcal { A } _ { a b } ^ { ( j ) } = ( - 1 ) ^ { j + 1 } \mathcal { A } _ { a b } ^ { ( j , 0 ) } + \sum _ { c } \mathcal { A } _ { c a b } ^ { ( j ) } \xi _ { c } + \frac { 1 } { 2 } ( - 1 ) ^ { j + 1 } \sum _ { c , d } \mathcal { A } _ { c d a b } ^ { ( j ) } \xi _ { c } \xi _ { d } + \cdots ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { L } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { v } _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } \times \left( \omega \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } + \mathbf { V } \right) } \\ & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } ^ { 2 } \right) \omega \mathbf { \hat { k } } + \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \, \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } \right) \times \mathbf { V } . } \end{array} }
\mathbf { L } = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \mathbf { i } + { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \mathbf { j } + { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \mathbf { k } .
\begin{array} { r l } { u _ { x } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { u _ { x } + v } { 1 + ( v \ u _ { x } ) / c ^ { 2 } } } } \\ { u _ { y } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { u _ { y } / \gamma } { 1 + ( v \ u _ { x } ) / c ^ { 2 } } } } \\ { u _ { z } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { u _ { z } / \gamma } { 1 + ( v \ u _ { x } ) / c ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \frac { d ^ { 2 } \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } + q \left( T _ { b } - 1 - \frac { q } { 2 } \right) \frac { \hat { \theta } _ { 1 - } - \hat { \theta } _ { 1 } + \eta ( T _ { b } - 1 - q ) } { \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 - } } - ( T _ { b } - 1 - q ) I } \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \parallel \epsilon _ { 1 , J } \tilde { D } _ { \tilde { \beta } _ { J } } ^ { * } \parallel _ { 1 } } & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 1 } J ^ { - 1 } ) C ( J ) ^ { - 1 } \parallel D _ { \tilde { \beta } _ { J } } ^ { * } \parallel _ { 1 } } \\ & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 2 } J ^ { - 1 } ) J ^ { 1 / 2 } \parallel D _ { \tilde { \beta } _ { J } } ^ { * } \parallel _ { J } } \\ & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 2 } J ^ { - 1 / 2 } ) O ( J ^ { 1 / 2 } r ( d , J ) ^ { k + 1 } ) } \\ & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 2 } r ( d , J ) ^ { k + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d \sigma } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 E _ { T } E _ { I } \left\vert v _ { T } - v _ { I } \right\vert } \left( \prod _ { f } \frac { d ^ { 3 } p _ { f } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \frac { 1 } { 2 E _ { f } } \right) \times } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } & { } & { \sum _ { k \in I _ { 1 } } m _ { k } z _ { k } } & { = \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } Z _ { j k } + \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in I _ { 2 } } m _ { k } m _ { j } Z _ { j k } , } & \\ & { } & { \sum _ { k \in I _ { 1 } } m _ { k } w _ { k } } & { = \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } W _ { j k } + \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in I _ { 2 } } m _ { k } m _ { j } W _ { j k } , } & \\ & { } & { \sum _ { k \in I _ { 2 } } m _ { k } z _ { k } } & { = \sum _ { k \in I _ { 2 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } Z _ { j k } + \sum _ { k \in I _ { 2 } , \ j \in I _ { 1 } } m _ { k } m _ { j } Z _ { j k } , } & \\ & { } & { \sum _ { k \in I _ { 2 } } m _ { k } w _ { k } } & { = \sum _ { k \in I _ { 2 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } W _ { j k } + \sum _ { k \in I _ { 2 } , \ j \in I _ { 1 } } m _ { k } m _ { j } W _ { j k } , } & \\ & { } & { \sum _ { j \in J } m _ { j } z _ { j } } & { = \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } Z _ { j k } + \sum _ { k \in I _ { 2 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } Z _ { j k } , } & \\ & { } & { \sum _ { j \in J } m _ { j } w _ { j } } & { = \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } W _ { j k } + \sum _ { k \in I _ { 2 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } W _ { j k } . } & \end{array}
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 . 8 5 7 , 2 . 6 2 9 , 1 0 . 3 3 3 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq x < 1 , } \\ { ( 1 + 0 . 2 \sin ( 5 ( x - 5 ) ) , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 \leq x < 1 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { N } } & { = \int _ { 0 } ^ { N } p \lambda ^ { p _ { 0 } - 1 } \frac { \lambda ^ { p - 1 } } { \lambda ^ { p _ { 0 } - 1 } } \mu _ { \alpha } ( \{ x \in X \colon M f ( x ) > \lambda \} ) \mathrm { d } \lambda } \\ & { \leq N ^ { p - p _ { 0 } } \frac { p } { p _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { N } p _ { 0 } \lambda ^ { p _ { 0 } - 1 } \mu _ { \alpha } ( \{ x \in X \colon M f ( x ) > \lambda \} ) \mathrm { d } \lambda } \\ & { \leq N ^ { p - p _ { 0 } } \frac { p } { p _ { 0 } } \| M f \| _ { p _ { 0 } , \alpha } ^ { p _ { 0 } } < + \infty . } \end{array}
\ast \boldsymbol { n } ( d w ) = \mathrm { t r } ( \ast d w ) = - \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) + \mathrm { t r } ( \frac { \delta _ { \beta } \mathcal { F } } { \delta v } ) = - \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) .
\begin{array} { r l r } { r } & { = } & { \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } , } \\ { A _ { i } } & { = } & { \frac { T _ { \perp i } } { T _ { \parallel i } } , } \\ { \sigma } & { = } & { \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } / 8 \pi } { n _ { 1 } m V _ { 1 } ^ { 2 } / 2 } , } \\ { \chi _ { \parallel 1 } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { m V _ { 1 } ^ { 2 } } { P _ { \parallel 1 } / n _ { 1 } } . } \end{array}