harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ | 1 \rangle } _ { c } = { | { \bf 1 } _ { 1 \bar { 3 } } { \bf 1 } _ { 2 \bar { 4 } } \rangle } _ { c } , { | 2 \rangle } _ { c } = { | { \bf 1 } _ { 1 \bar { 4 } } { \bf 1 } _ { 2 \bar { 3 } } \rangle } _ { c } \mathrm { \ \ \ a n d \ \ \ } { | 3 \rangle } _ { c } = { | { \bf \bar { 3 } } _ { 1 2 } { \bf 3 } _ { \bar { 3 } \bar { 4 } } \rangle } _ { c } ,
\begin{array} { c } { \displaystyle v _ { \mathrm { e r r o r } } = \operatorname* { m a x } _ { n } \left[ ( \mathbf { v } _ { n } - \mathbf { v } _ { n } ^ { \mathrm { s o l } } ) ^ { \top } K _ { v } ( \mathbf { v } _ { n } - \mathbf { v } _ { n } ^ { \mathrm { s o l } } ) \right] ^ { 1 / 2 } , } \\ { \displaystyle p _ { \mathrm { e r r o r } } = \operatorname* { m a x } _ { n } \left[ ( \mathbf { p } _ { n } - \mathbf { p } _ { n } ^ { \mathrm { s o l } } ) ^ { \top } M _ { p } ( \mathbf { p } _ { n } - \mathbf { p } _ { n } ^ { \mathrm { s o l } } ) \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\Omega _ { d e t u n i n g } = \left( \frac { M _ { p } \cdot 2 \pi } { \Delta \tau } + \frac { \phi } { \Delta \tau } \right) - \left( \frac { M _ { s } \cdot 2 \pi } { \Delta \tau } - \frac { \phi } { \Delta \tau } \right)
\begin{array} { r } { \Sigma _ { t } ( q ) \overset { \Delta } { = } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \sigma _ { t } ^ { q } ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) = \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } { \mathrm { c o v } } \big ( ( \otimes ^ { q } h _ { l _ { 1 } } ^ { ( t ) } ) ( X _ { [ q t ] } ) , ( \otimes ^ { q } h _ { l _ { 2 } } ^ { ( t ) } ) ( X _ { [ q t ] } ) \big ) = { \mathrm { v a r } } \big ( \sum _ { l \in \mathcal { L } } ( \otimes ^ { q } h _ { l } ^ { ( t ) } ) ( X _ { [ q t ] } ) \big ) , } \end{array}
f ( x ) = \left\lbrace \begin{array} { c c } { w _ { n } ( x , x _ { n } ) \cdot e ^ { x + x _ { n } - 1 } , } & { x \leq 1 - x _ { n } , } \\ { 1 , } & { x > 1 - x _ { n } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { C ^ { \prime } = \{ 0 0 0 , 0 1 1 , 1 0 0 0 , 1 0 1 1 , 1 1 0 0 0 , 1 1 0 1 1 , 1 1 1 0 0 , 1 1 1 1 1 \} } \\ & { r ^ { \prime } ( 0 0 0 ) = 2 , \ r ^ { \prime } ( 0 1 1 ) = 3 , \ r ^ { \prime } ( 1 0 0 0 ) = 4 , \ r ^ { \prime } ( 1 0 1 1 ) = 5 , } \\ & { r ^ { \prime } ( 1 1 0 0 0 ) = 6 , \ r ^ { \prime } ( 1 1 0 1 1 ) = 7 , \ r ^ { \prime } ( 1 1 1 0 0 ) = 8 , \ r ^ { \prime } ( 1 1 1 1 1 ) = 9 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ = \frac { 1 - \frac { e ^ { \lambda } } { Z _ { \lambda } } - \frac { 2 d - 2 } { Z _ { \lambda } } - \frac { e ^ { - \lambda - \epsilon } } { Z _ { \lambda + \epsilon } } } \! \left( R ^ { c } \; \middle \vert \; \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) = k , V _ { \ell } , G \right) { \frac { e ^ { \lambda + \epsilon } } { Z _ { \lambda + \epsilon } } - \frac { e ^ { \lambda } } { Z _ { \lambda } } } = \mathcal { O } ( e ^ { - \lambda } ) . } \end{array}
\Pi ( h , \Gamma ) = \frac { B } { h _ { \infty } ^ { n } } \left[ \left( \frac { h _ { \infty } } { h } \right) ^ { n } - \left( 1 + \frac { \Gamma } { \Gamma _ { \infty } } \right) ^ { k } \left( \frac { h _ { \infty } } { h } \right) ^ { m } \right] ,
\boldsymbol { T } ^ { t } = \boldsymbol { \mathsf { R } } \cdot \boldsymbol { \Omega } ^ { t } , \, \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ \ } \boldsymbol { \mathsf { R } } = \frac { 6 4 \pi c ^ { 3 } } { 3 } \left[ \mathbb { A } ^ { R } \boldsymbol { p p } + \mathbb { B } ^ { R } ( \boldsymbol { \mathsf { I } } - \boldsymbol { p p } ) \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } \nu ( x , t ) - \partial _ { x } q _ { 1 } ( x , t ) = 0 , } \\ & { } & { \partial _ { t } \big ( \nu ( x , t ) \rho _ { \mathsf { p } } ( x , t ; v ) \big ) + \partial _ { x } \big ( ( v ^ { \mathrm { e f f } } ( x , t ; v ) - q _ { 1 } ( x , t ) ) \rho _ { \mathsf { p } } ( x , t ; v ) \big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell , i - \ell } } & { = 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell , i - \ell } + 2 ( - 1 ) ^ { i - 1 } s _ { 0 , 0 } } \\ & { = 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } \left( s _ { i - \ell - 1 , i - \ell } + s _ { i - \ell - 1 , i - \ell - 1 } \right) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 1 } } \\ & { = 2 \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell - 1 , i - \ell } \right) + 2 \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell - 1 , i - \ell - 1 } \right) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 1 } . } \end{array}
| \tilde { B } | _ { m o d e l } ^ { 2 } ( k _ { \perp } , C _ { 1 } , C _ { 2 } ) [ m ^ { 3 } / s ^ { 2 } ] = \frac { 1 } { k _ { \perp } \rho _ { p } } \bigg ( \frac { b _ { k } } { b _ { k _ { i } } } \bigg ) ^ { 2 } \times C _ { 2 } ^ { - 2 } v _ { A } ^ { 2 } \bigg ( \frac { k _ { 0 } } { k _ { \perp _ { i } } } \bigg ) ^ { 2 / 3 } \rho _ { p } ,
\langle k ^ { q } \rangle \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \textrm { c o n s t . } } & { \textrm { i f } \, q < \gamma - 1 } \\ { \log k _ { \operatorname* { m a x } } = 1 / \omega \, \log N } & { \textrm { i f } \, q = \gamma - 1 } \\ { k _ { \operatorname* { m a x } } ^ { q - \gamma } = N ^ { ( q - \gamma ) / \omega } } & { \textrm { i f } \, q > \gamma - 1 } \end{array} \right. \; .
\rho { c _ { p } } \frac { { D T } } { { D t } } = \nabla \cdot \lambda \nabla T + \nabla { \bf { u } } : { \bf { S } } + \rho T \left( { \frac { \partial } { { \partial T } } \frac { 1 } { \rho } } \right) \frac { { D p } } { { D t } } ,
\left. \frac { \partial \overline { { \ell } } _ { q } ( \psi ) } { \partial \psi } \right| _ { ( \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } , q ^ { * } ) } = 0 , \quad \left. \frac { \partial \overline { { \ell } } _ { q } ( \psi ) } { \partial q } \right| _ { ( \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } , q ^ { * } ) } = 0 ,
\left[ A _ { \kappa \rho } , A ^ { \lambda \sigma } \right] = \delta _ { \kappa } ^ { \lambda } { M ^ { \sigma } } _ { \rho } - \delta _ { \kappa } ^ { \sigma } { M ^ { \lambda } } _ { \rho } - \delta _ { \rho } ^ { \lambda } { M ^ { \sigma } } _ { \kappa } + \delta _ { \rho } ^ { \sigma } { M ^ { \lambda } } _ { \kappa } \, .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \xi } \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { n } ( \xi , \omega ) = \boldsymbol { m } _ { 1 } ^ { n } \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { n } ( \xi , \omega ) } \\ { \frac { d } { d \xi } \boldsymbol { v } _ { 2 } ^ { n } ( \xi , \omega ) = \boldsymbol { m } _ { 2 } ^ { n } \boldsymbol { v } _ { 2 } ^ { n } ( \xi , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in D ^ { \prime } } \mathbb { E } _ { x } [ | \tau _ { D _ { m } } - \tau _ { D ^ { \prime } } | ] } \\ & { \le C _ { \varepsilon , B } \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname* { s u p } _ { x \in D ^ { \prime } \setminus { D _ { m } } } ( d ( x , \partial D ^ { \prime } ) ) ^ { \beta } , \operatorname* { s u p } _ { x \in D _ { m } \setminus { D ^ { \prime } } } ( d ( x , \partial D _ { m } ) ) ^ { \beta } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( u ) } & { \approx \int ( u _ { t } + u u _ { x } ) ^ { 2 } \mathrm { d } V + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( u ( x _ { i } , t _ { i } ) - u _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { + k _ { \mathrm { x r e g } } \int u _ { x } ^ { 2 } \mathrm { d V } + k _ { \mathrm { t r e g } } \int u _ { t } ^ { 2 } \mathrm { d V } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } } & { { } = - \cos \pi ( x - 0 . 0 5 \sin 4 \pi x ) + 2 , } \\ { q _ { 0 } } & { { } = - \cos \pi ( y - 0 . 0 5 \sin 4 \pi y ) + 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ \frac { 1 } { 2 } ( ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } - \theta _ { 1 } ^ { 2 } ) ) \, s + \theta _ { 1 } ^ { 2 } / 2 \, s + \theta _ { 2 } ^ { 2 } / 2 \, ( t - s ) } \\ & { ~ ~ ~ + \frac { 1 } { 2 } ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } \, s + \theta _ { 2 } ^ { 2 } / 2 \, ( t - s ) } \\ & { = ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } \, s + \theta _ { 2 } ^ { 2 } \, ( t - s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ( t ) = } & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( M _ { 1 } ( y ; D ) - M _ { 1 } ( y ; \hat { D } ) ) z ( y , t ) d y } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( M _ { 2 } ( y ; D ) - M _ { 2 } ( y ; \hat { D } ) ) w ( y , t ) d y } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } ( M _ { 3 } ( y ; D ) - M _ { 3 } ( y ; \hat { D } ) ) v ( y , t ) d y } \\ & { + ( M _ { 4 } ( D ) - M _ { 4 } ( \hat { D } ) ) { X } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Pi _ { u } ( K ) } & { { } = } & { - \sum _ { k \le K } T _ { u } ( { \bf k } ) = \sum _ { p \le K } \sum _ { k > K } \Im \left[ { \bf \{ k \cdot u ( q ) \} \{ u ( p ) \cdot u ^ { * } ( k ) \} } \right] , } \end{array}
\partial _ { m } A ^ { m } = i \, e \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 k ^ { 0 } } \left( e ^ { i k x } k ^ { m } a _ { m } ^ { \dagger } ( \vec { k } ) - e ^ { - i k x } k ^ { m } a _ { m } ( \vec { k } ) \right) _ { \displaystyle | _ { k ^ { 0 } = \sqrt { \vec { k } ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { \nabla u } & { = \left( \frac { \nabla _ { s } u _ { s } } { h _ { s } } - \mathcal { A } u _ { \sigma } - \mathcal { B } u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { s } + \left( \frac { \nabla _ { s } u _ { \sigma } } { h _ { s } } + \mathcal { A } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { \sigma } + \left( \frac { \nabla _ { s } u _ { \theta } } { h _ { s } } + \mathcal { B } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { s } \otimes \widehat { t } _ { \theta } } \\ & { \quad + \left( \partial _ { \sigma } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { \sigma } \otimes \widehat { t } _ { s } + \left( \partial _ { \sigma } u _ { \sigma } \right) \widehat { t } _ { \sigma } \otimes \widehat { t } _ { \sigma } + \left( \partial _ { \sigma } u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { \sigma } \otimes \widehat { t } _ { \theta } } \\ & { \quad + \left( \frac { \partial _ { \theta } u _ { s } } { \sigma } \right) \widehat { t } _ { \theta } \otimes \widehat { t } _ { s } + \left( \frac { \partial _ { \theta } u _ { \sigma } } { \sigma } - \mathcal { C } u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { \theta } \otimes \widehat { t } _ { \sigma } + \left( \frac { \partial _ { \theta } u _ { \theta } } { \sigma } + \mathcal { C } u _ { \sigma } \right) \widehat { t } _ { \theta } \otimes \widehat { t } _ { \theta } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( ( - 2 x \cos z - ( \sin z ) ^ { 2 } x ^ { 2 } / r ) / 2 ) d x } & { = \exp ( ( r \cot ^ { 2 } z ) / 2 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - ( { \sqrt { r } } \cot z + x \sin z / { \sqrt { r } } ) ^ { 2 } / 2 ) d x } \\ & { = - \exp ( r ( \cot z ) ^ { 2 } / 2 ) { \frac { \sqrt { r \pi / 2 } } { \sin z } } { \mathrm { ~ e r f c } } ( ( { \sqrt { r } } \cot z + x \sin z / { \sqrt { r } } ) / { \sqrt { 2 } } ) { \Bigg | } _ { x } ^ { \infty } } \\ & { = \exp ( r ( \cot z ) ^ { 2 } / 2 ) { \frac { \sqrt { r \pi / 2 } } { \sin z } } { \mathrm { ~ e r f c } } \left( { \sqrt { r / 2 } } \cot z \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \stackrel { \leftrightarrow } { \mathrm { T } } _ { \phi } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { e ^ { - i \phi _ { + } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \phi _ { - } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \phi _ { + } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \phi _ { - } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { A } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { = \Sigma _ { r a d } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + \Sigma _ { v i b } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \\ { \mathbf { \Sigma } _ { B } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { = \mathbf { \Sigma } _ { p h } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + \mathbf { \Sigma } _ { C } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \ } & { ( \partial _ { \tau } ^ { 2 } - \partial _ { \xi } ^ { 2 } + M _ { \ell m } ^ { 2 } ) \, \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \ell m ) } + \lambda \ \mathcal { O } \big ( \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \ell m ) } \ \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } ) } \ \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \ell ^ { \prime \prime } m ^ { \prime \prime } ) } \big ) } \end{array}
\langle [ \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) , R ] \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle = \Delta \mathcal { E } \langle R \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \Delta \mathcal { E } = \mathcal { E } _ { \mathrm { e x } } - \mathcal { E } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } \mathbb { E } [ \| \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } ] - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + 2 \eta \alpha _ { t } \mathbb { E } [ \| \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ] - \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } ] + 4 \eta \alpha _ { t } G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { \bar { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 3 } \alpha _ { t } } { M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \big ( \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \| ^ { 2 } + \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } - y _ { t } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \int _ { 0 } ^ { t } h _ { n } ( Y _ { r - } - x ) } & { f ( X _ { r - } ( x ) , r ) \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } h _ { n } ( Y _ { r - } - x ) f ( X _ { r - } ( x ) , r ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } r } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| x \| \leq 1 / n } h _ { n } ( x ) f ( X _ { r - } ( Y _ { r - } - x ) , r ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } r . } \end{array}
\delta _ { 0 } { \cal L } _ { 0 } = - \Omega [ ( d + 2 ) \chi ^ { \mu , \alpha \beta } ( D R ) _ { \nu , \alpha \beta } + 1 0 \chi ^ { \alpha , \beta \nu } D _ { \nu } R _ { \alpha \beta } + 1 0 \chi ^ { \alpha } ( D R ) _ { \alpha } + ( d - 8 ) \chi ^ { \alpha } D _ { \alpha } R ]
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 2 } = } & { ( \mathfrak { D } \lambda _ { e } \lambda _ { \mu } ) ^ { - 1 } \, , } \\ { \lambda _ { 1 } = } & { \frac { 1 } { \mathfrak { D } } \bigg ( \frac { A _ { 2 } } { \lambda _ { e } } + \frac { A _ { 1 } } { \lambda _ { \mu } } \bigg ) \, , } \\ { \zeta = } & { \frac { [ C _ { 1 } A _ { 2 } - C _ { 2 } ( A _ { n } + A _ { p } ) ] ^ { 2 } } { \mathfrak { D } ^ { 2 } \lambda _ { e } } + \frac { [ C _ { 2 } A _ { 1 } - C _ { 1 } ( A _ { n } + A _ { p } ) ] ^ { 2 } } { \mathfrak { D } ^ { 2 } \lambda _ { \mu } } \, , } \\ { \chi = } & { \frac { A _ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } + A _ { 1 } C _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ( A _ { n } + A _ { p } ) C _ { 1 } C _ { 2 } } { \mathfrak { D } ^ { 2 } \lambda _ { e } \lambda _ { \mu } } \, . } \end{array}
\langle O ^ { I _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) O ^ { I _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) \rangle = \frac { \delta ^ { I _ { 1 } I _ { 2 } } } { ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , \quad ( x _ { 1 2 } = x _ { 1 } - x _ { 2 } )
\left. \begin{array} { r l } { { \bf u } } & { = \breve { { \bf u } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 1 } , \quad \mathrm { a n d } \quad { \bf T } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = \breve { { \bf t } } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 2 } ; } \\ { \bar { c } } & { = \breve { \bar { c } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 3 } , \quad \mathrm { a n d } \quad - { \bf j } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = \breve { j } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 4 } ; } \\ { \phi } & { = \breve { \phi } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 5 } , \quad \mathrm { a n d } \quad - \textbf { d } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = \breve { \varpi } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 6 } ; } \\ { \bar { \xi } } & { = \breve { \bar { \xi } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 7 } , \quad \mathrm { a n d } \quad \lambda _ { \xi } \nabla \bar { \xi } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 8 } ; } \\ { \mathrm { d } } & { = \breve { \mathrm { d } } \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 9 } , \quad \mathrm { a n d } \quad { \nabla \mathrm { d } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \mathcal { S } _ { 1 0 } . } \end{array} \right\}
d s ^ { 2 } = - d r ^ { 2 } ~ + ~ ( t ^ { - 1 } - t \big ) \, ( t ^ { - 3 } - \lambda ^ { 2 } \, t ^ { 3 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \, \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \ .
\boldsymbol \alpha \mathbf { A } _ { n - 1 } = \boldsymbol \zeta \mathbf { A } _ { n } + \boldsymbol \gamma \mathbf { D } _ { n } \mathbf { M } _ { n } ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { L } _ { n } ( x _ { n } ) \mathbf { A } _ { n } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ i \hbar \partial _ { t } - H _ { \mathrm { L } } \right] \left[ i \hbar \partial _ { t } - H _ { \mathrm { R } } \right] \psi _ { z } ( t ) } \\ & { } & { = \left[ i \hbar \partial _ { t } - \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { 0 } \\ { 0 } & { - \xi } \end{array} \right) \right] \left[ i \hbar \partial _ { t } + \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { 0 } \\ { 0 } & { - \xi } \end{array} \right) \right] \frac { \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \frac { \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \xi ^ { 2 } \left[ 1 - \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right] \left[ 1 + \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right] \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \frac { \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \xi ^ { 2 } \left[ 1 - \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right] \left[ \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) \right] } \\ & { } & { = \frac { \mathrm { e } ^ { i k z - i \omega t } } { \sqrt { 2 } } \xi ^ { 2 } \left[ \left( \begin{array} { c } { 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c } { 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma _ { M } ^ { 2 } \right\rangle = \frac { \zeta ^ { 2 } } { 2 \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { M } } & { { } \frac { 2 ^ { - m } } { N } \sum _ { u = 0 } ^ { m } \binom { m } { u } \times } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \boldmath ~ \cal ~ M ~ } _ { \mathrm { g c } } } & { { } = } & { - \; \frac { \beta } { 4 \pi } \left[ \widehat { \sf z } \left( B _ { 0 } + \frac { \epsilon _ { \delta } c } { \Omega _ { 0 } } \; \nabla _ { \bot } ^ { 2 } \delta \Phi \right) \; + \; \epsilon _ { \delta } \, \nabla \delta A _ { \| } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, \widehat { \sf z } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { n - 2 - \left( c _ { k } \sqrt { n } + \frac { n + c _ { k } \sqrt { n } + 1 } { 2 } - 2 \right) } & { = \frac { n - 3 c _ { k } \sqrt { n } - 1 } { 2 } } \\ & { \geq \frac { ( 4 c _ { k } \sqrt { n } + 2 k ^ { 2 } + 4 k + 4 ) - 3 c _ { k } \sqrt { n } - 1 } { 2 } } \\ & { \geq \frac { c _ { k } \sqrt { n } + 2 k ^ { 2 } + 4 k + 3 } { 2 } } \\ & { > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { W } ( t , u ) } & { { } = \mathbf { 1 } _ { \left\{ \theta _ { 1 } \leq \lambda _ { W } s _ { \ell } ^ { W } ( t ) i ( \tau _ { \ell } ^ { W } ( t ) ) , \, \theta _ { 2 } \leq \frac { s _ { k } ^ { H } ( t ) } { S ( t ) } \right\} } , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Delta _ { W } ( u , T , t ) } & { { } = \delta _ { \left( \Psi ( \mathfrak { j } ( x _ { \ell } ^ { W } ( t - ) , \sigma ) , T , t ) ) \right) } - \delta _ { \left( \Psi ( x _ { \ell } ^ { W } ( t - ) , T , t ) ) \right) } . } \end{array}
H _ { \mathrm { e f f } } ( \beta ) = \frac { \omega } { 2 } \sigma _ { 0 } + \left( \frac { \beta - \beta ^ { - 1 } } { 2 i } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) \sigma _ { x } + \left( \mu + \frac { \beta + \beta ^ { - 1 } } { 2 } - \frac { \omega } { 2 } \right) \sigma _ { z } ,
{ L } _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ r ~ m ~ } } ^ { k } ( \psi ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } s _ { j } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \delta _ { p _ { j } , k } } \big ( 1 - h _ { i } ( T , \psi ) \big ) \delta _ { p _ { i } , k } \quad .
P _ { { \bf k } n } ^ { + } - P _ { { \bf k } n } ^ { - } = \frac { \overline { { \eta } } _ { \bf k } \left( \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu \right) } { 1 + \exp \left( \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu } { \tau _ { e } } \right) } \ge 0 .
\begin{array} { r } { \widetilde f _ { t } ^ { ( s _ { k } , e _ { k } ] } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } ( e _ { k } - \eta _ { k } ) ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k } + 1 } ) , } & { s _ { k } < t < \eta _ { k } ; } \\ { \sqrt { \frac { e _ { k } - t } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( t - s _ { k } ) } } ( \eta _ { k } - s _ { k } ) ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k } + 1 } ) , } & { \eta _ { k } \le t \le e _ { k } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { Z } ^ { * } } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { Z } \in \mathbb { C } ^ { \left( d + 1 \right) n \times n } } \mathrm { { R e } } \left\langle \mathbf { M } , \mathbf { Z } \right\rangle } \\ & { { \mathrm { s u b j . \; t o } } \; \mathrm { { R e } } \left\langle \mathbf { \Delta } , \mathbf { Z } \right\rangle = 0 \; \mathrm { ( n o r m ~ p r e s e r v a t i o n ) } } \\ & { { \mathrm { a n d } } \; \| \mathbf { Z } \| _ { F } = 1 , \; \mathrm { ( u n i q u e n e s s ~ o f ~ } \; \mathbf { Z } \mathrm { ) } } \end{array}
\frac { \Lambda ^ { 2 } } { ( \eta \omega _ { \ast } ) ^ { 2 } } = \frac { 3 \Delta ^ { 2 } - 8 \Delta \kappa _ { d } + 6 \kappa _ { d } ^ { 2 } } { 1 6 \kappa _ { d } ^ { 2 } \tau ( \tau + 1 - \Delta ) } ,
Z = C \, \left( \mu ^ { n _ { c } - n _ { f } } \Lambda _ { 1 } ^ { 3 n _ { c } - n _ { f } } \right) ^ { 1 / ( 2 n _ { c } - n _ { f } ) } \omega ^ { k } , \qquad ( k = 1 , 2 , \ldots 2 n _ { c } - n _ { f } ; \, \omega = e ^ { 2 \pi i / ( 2 n _ { c } - n _ { f } ) } ) ,
\mathbf { C N } ( \tilde { f } ; \xi ) _ { \geq - s } ^ { \downarrow } = \{ c \in \mathbf { C N } ( \tilde { f } ; \xi ) ^ { \downarrow } | \ell _ { \tilde { f } } ^ { \downarrow } ( c ) \geq - s \} , \, \, \mathbf { C N } ( \tilde { f } ; \xi ) _ { \uparrow } ^ { \leq t } = \{ c \in \mathbf { C N } ( \tilde { f } ; \xi ) _ { \uparrow } | \ell _ { \uparrow } ^ { \tilde { f } } ( c ) \leq t \}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { u \to \infty } \frac { u p _ { 0 } ( u ) } { \int _ { u } ^ { \infty } x \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } { 1 - F _ { 0 } ( x ) } d x } = - \operatorname* { l i m } _ { u \rightarrow \infty } \frac { u p _ { 0 } ^ { \prime } ( u ) + p _ { 0 } ( u ) } { u p _ { 0 } ^ { 2 } ( u ) / ( 1 - F _ { 0 } ( u ) ) } } \\ { = - \operatorname* { l i m } _ { u \rightarrow \infty } \frac { p _ { 0 } ^ { \prime } ( u ) ( 1 - F _ { 0 } ( u ) ) } { ( p _ { 0 } ( u ) ) ^ { 2 } } - \operatorname* { l i m } _ { u \rightarrow \infty } \frac { 1 - F _ { 0 } ( u ) } { u p _ { 0 } ( u ) } = 1 , } \end{array}
B ( X , X ^ { \ast } ) = 1 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( X , \, X ^ { \ast } ) \in \mathcal { E } , \qquad B ( X , X ^ { \ast } ) = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( X , \, X ^ { \ast } ) \not \in \mathcal { E } ,