harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\psi _ { c o l o u r } \; = \; \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \left[ 1 \, 2 \, 3 \; - \; 2 \, 1 \, 3 \; + \; 2 \, 3 \, 1 \; - \; 3 \, 2 \, 1 \; + \; 3 \, 1 \, 2 \; - \; 1 \, 3 \, 2 \right]
( \mathbb { J } + \mathbb { D } ) \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { \Omega } } { \mathrm { d } t } + \boldsymbol { \Omega } \times ( ( \mathbb { J } + \mathbb { D } ) \boldsymbol { \Omega } ) + \mathbf { U } \times ( \mathbb { A } \times \mathbf { U } ) = \mathbf { T } ^ { \omega } ,
\ast \uparrow ( - ) : \boldsymbol { \Sigma } \to \boldsymbol { \Sigma } ^ { \prime } , \qquad \ast \uparrow \mathtt { H } _ { F } : = u _ { 0 , 1 } ( \mathtt { H } _ { F } ) = \sum _ { 1 \leq m \leq k } \mathtt { H } _ { ( S _ { 1 } , \dots , \ast S _ { m } , \dots , S _ { k } ) } - \mathtt { H } _ { ( S _ { 1 } , \dots , S _ { m } , \ast , \dots , S _ { k } ) } .
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { l l } { 2 \big ( r ( x ) u _ { x x } \big ) _ { x x t } u _ { t t t } \equiv 2 \big [ ( r ( x ) u _ { x x } ) _ { x t } u _ { t t t } - r ( x ) u _ { x x t } u _ { x t t t } \big ] _ { x } + 2 r ( x ) u _ { x x t } u _ { x x t t t } , } \\ { 2 \big ( \kappa ( x ) u _ { x x t } \big ) _ { x x t } u _ { t t t } \equiv 2 \big [ ( \kappa ( x ) u _ { x x t } ) _ { x t } u _ { t t t } - \kappa ( x ) u _ { x x t t } u _ { x t t t } \big ] _ { x } + \kappa ( x ) ( u _ { x x t t } ^ { 2 } ) _ { t } , } \end{array} \right. } \end{array}
\psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , . . . , \mathbf { r } _ { j } , . . . , \mathbf { r } _ { k } , . . . , \mathbf { r _ { N } } ) = - \psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , . . . , \mathbf { r } _ { k } , . . . , \mathbf { r } _ { j } , . . . , \mathbf { r } _ { N } )
( \mathbf { R } \bar { \mathbf { a } } , \mathbf { R } \bar { \mathbf { b } } ) _ { \omega } = \bar { \mathbf { a } } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \boldsymbol { \omega } \mathbf { R } \bar { \mathbf { b } } = \bar { \mathbf { a } } ^ { T } \boldsymbol { \Omega } \mathbf { W } \boldsymbol { \omega } ^ { - 1 } \boldsymbol { \omega } \mathbf { R } \bar { \mathbf { b } } = \bar { \mathbf { a } } ^ { T } \boldsymbol { \Omega } \underbrace { \mathbf { W } \mathbf { R } } _ { = \mathbf { I } } \bar { \mathbf { b } } = ( \bar { \mathbf { a } } , \bar { \mathbf { b } } ) _ { \Omega } .
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( } & { t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \! \! = \! \! \left| \mu _ { 0 1 } \right| ^ { 4 } e ^ { - i \omega ( t + \tau ) } \times } \\ { \! \! } & { \! \! e ^ { - g ( \tau ) - g ( T _ { w } ) - g ( t ) + g ( \tau + T _ { w } ) + g ( T _ { w } + t ) - g ( \tau + T _ { w } + t ) } , } \\ { R _ { 2 } ( } & { t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \! \! = \! \! \left| \mu _ { 0 1 } \right| ^ { 4 } e ^ { - i \omega ( t - \tau ) } \times } \\ { \! \! } & { \! \! e ^ { - g ( \tau ) + g ( T _ { w } ) - g ( t ) - g ( \tau + T _ { w } ) - g ( T _ { w } + t ) + g ( \tau + T _ { w } + t ) } , } \\ { R _ { 3 } ( } & { t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \! \! = \! \! \left| \mu _ { 0 1 } \right| ^ { 4 } e ^ { - i \omega ( t - \tau ) } \times } \\ { \! \! } & { \! \! e ^ { - g ( \tau ) + g ( T _ { w } ) - g ( t ) - g ( \tau + T _ { w } ) - g ( T _ { w } + t ) + g ( \tau + T _ { w } + t ) } , } \\ { R _ { 4 } ( } & { t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \! \! = \! \! \left| \mu _ { 0 1 } \right| ^ { 4 } e ^ { - i \omega ( t + \tau ) } \times } \\ & { e ^ { - g ( \tau ) - g ( T _ { w } ) - g ( t ) + g ( \tau + T _ { w } ) + g ( T _ { w } + t ) - g ( \tau + T _ { w } + t ) } , } \end{array}
\lambda _ { 2 } > \sum _ { j = 1 } ^ { N } \chi _ { j } E _ { j } ^ { \circ } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { N } A _ { j , k } v _ { F k } \right] ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \chi _ { j } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \in { \mathbb Z } ^ { d } } | n | ^ { 2 } \| ( H \psi ) _ { n } \| ^ { 2 } } & { \; = \; \sum _ { n , m , k \in { \mathbb Z } ^ { d } } \psi _ { k } ^ { * } \langle k | H ^ { * } | n \rangle \, | n | ^ { 2 } \, \langle n | H | m \rangle \, \psi _ { m } } \\ & { \; \leq \; \sum _ { n , m , k \in { \mathbb Z } ^ { d } } \| \psi _ { k } \| \, \frac { C } { 1 + | n - k | ^ { \alpha } } \, | n | ^ { 2 } \, \frac { C } { 1 + | n - m | ^ { \alpha } } \, \| \psi _ { m } \| } \\ & { \; \leq \; \sum _ { n , m , k \in { \mathbb Z } ^ { d } } \| \psi _ { k } \| ^ { 2 } \, \frac { C } { 1 + | n - k | ^ { \alpha } } \, | n | ^ { 2 } \, \frac { C } { 1 + | n - m | ^ { \alpha } } } \\ & { \; \leq \; \sum _ { k \in { \mathbb Z } ^ { d } } | k | ^ { 2 } \| \psi _ { k } \| ^ { 2 } \, \operatorname* { s u p } _ { k ^ { \prime } \in { \mathbb Z } ^ { d } } \frac { 1 } { 1 + | k ^ { \prime } | ^ { 2 } } \sum _ { n , m \in { \mathbb Z } ^ { d } } \, \frac { C } { 1 + | n - k ^ { \prime } | ^ { \alpha } } \, | n | ^ { 2 } \, \frac { C } { 1 + | n - m | ^ { \alpha } } } \\ & { \; \leq \; \Big ( \sum _ { k \in { \mathbb Z } ^ { d } } | k | ^ { 2 } \| \psi _ { k } \| ^ { 2 } \Big ) \operatorname* { s u p } _ { k ^ { \prime } \in { \mathbb Z } ^ { d } } \frac { 1 } { 1 + | k ^ { \prime } | ^ { 2 } } \sum _ { n \in { \mathbb Z } ^ { d } } \, \frac { C ^ { \prime } ( | n - k ^ { \prime } | ^ { 2 } + | k ^ { \prime } | ^ { 2 } ) } { 1 + | n - k ^ { \prime } | ^ { \alpha } } \; , } \end{array}
{ \frac { d \mathbf { P } _ { k } } { d t } } = C _ { p } ( \mathbf { P } _ { k } ) \left( { \frac { 2 \bar { H } _ { m } ^ { 3 } } { \langle D _ { H } \rangle } } ( \mathbf { P } _ { k } - \langle \mathbf { P } \rangle ) - { \beta \mu } \langle D _ { A } \rangle \mathcal { P } _ { * } + \beta J ^ { n c } ( \mathbf { P } _ { k } ) \right) .
\begin{array} { r l } { F _ { k } ^ { p o l y } } & { { } = - \int _ { V } \frac { \partial v _ { i k } ^ { t r a n s } } { \partial x _ { j } } \left( \tau _ { i j } ^ { e x } - \tau _ { i j } ^ { e x , \infty } \right) d V } \\ { T _ { k } ^ { p o l y } } & { { } = - \int _ { V } \frac { \partial v _ { i k } ^ { r o t } } { \partial x _ { j } } \left( \tau _ { i j } ^ { e x } - \tau _ { i j } ^ { e x , \infty } \right) d V } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { k - \frac { 3 } { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \sigma \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } { d _ { \Gamma } } } & { \mathrm { i n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { - \sigma \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbf { n } \cdot \nabla \mathcal { D } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\rho \frac { \partial v _ { i } } { \partial t } = F _ { i } - \nabla _ { i } P + \left( \frac { \eta } { 3 } + \zeta \right) \nabla _ { i } \nabla _ { k } v _ { k } + \eta \nabla _ { k } \nabla _ { k } v _ { i } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \omega _ { 1 } } & { , 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) } \\ & { = \left[ \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { S } ) ^ { 2 } } \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { S } ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { + \left[ \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , S } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { I } ) ^ { 2 } } \frac { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { \Gamma _ { 2 , I } ^ { 2 } } { 4 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { I } ) ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma ^ { u } = \left( \begin{array} { l l } { 0 \; } & { \; \; \sqrt { 2 } } \\ { 0 \; } & { \; \; \; \; 0 } \end{array} \right) } \\ { \gamma ^ { t } = \left( \begin{array} { l l } { 0 \; } & { \; \; 0 } \\ { - \sqrt { 2 } \; } & { \; \; 0 } \end{array} \right) } \\ { \gamma ^ { i } = \left( \begin{array} { l l } { i \sigma ^ { i } } & { \; \; 0 } \\ { 0 } & { - i \sigma ^ { i } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { n } ( x , z , \gamma ) = p x _ { n } - C _ { n } ( a ^ { S B } ( z ) , b ^ { S B , n } ( \gamma _ { n } ^ { n } ) ) + \frac 1 2 b ^ { S B , n } ( \gamma _ { n } ^ { n } ) \gamma _ { n } ^ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left( a ^ { S B , j } ( z ) - \delta _ { j } x _ { j } \right) z _ { j } ^ { n } \; . } \end{array}
\overbrace { \phantom { \left. \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } \left( \frac { - \kappa ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \mathrm { c . c } \right) \right| _ { 0 } ^ { T } } } ^ { = \; 0 }
\begin{array} { r l } { [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ] _ { p , \alpha } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { S } } } } e ^ { j \left( \frac { 2 \pi m _ { \alpha } ^ { x } } { L _ { \mathrm { S } } ^ { x } } s _ { p } ^ { x } + \frac { 2 \pi m _ { \alpha } ^ { y } } { L _ { \mathrm { S } } ^ { y } } s _ { p } ^ { y } + \gamma _ { \mathrm { S } } ( m _ { \alpha } ^ { x } , m _ { \alpha } ^ { y } ) s _ { p } ^ { z } \right) } } \\ & { \times F _ { \mathrm { S } , p } \left( \hat { \theta } _ { \mathrm { S } } ( m _ { \alpha } ^ { x } , m _ { \alpha } ^ { y } ) , \hat { \phi } _ { \mathrm { S } } ( m _ { \alpha } ^ { x } , m _ { \alpha } ^ { y } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \gamma } _ { k \sigma , i } ^ { ( 2 _ { \alpha } ) } } & { { } = \sum _ { p } U _ { t k p } ^ { ( 2 ) } \hat { \gamma } _ { p \sigma , i } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { l \sigma , i } ^ { ( A _ { 2 \beta } ) } } & { { } = \sum _ { p } \tilde { U } _ { t l p } ^ { ( 2 ) } \hat { \gamma } _ { p \sigma , i } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { l \sigma , i } ^ { ( B _ { 2 \beta } ) } } & { { } = \sum _ { q } V _ { t l q } ^ { ( 2 ) } \hat { \gamma } _ { q \sigma , i } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { n \sigma , i } ^ { ( A _ { S } ) } } & { { } = \sum _ { p } U _ { n p } ^ { ( s ) } \hat { \gamma } _ { p \sigma , i } , } \\ { \tilde { \gamma } _ { n \sigma , i } ^ { ( B _ { S } ) } } & { { } = \sum _ { q } V _ { n q } ^ { ( s ) } \hat { \gamma } _ { q \sigma , i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { I } { \bf \ddot { R } } _ { I } = } & { { } - \frac { \partial } { \partial { \bf R } _ { I } } { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) \Big \vert _ { n ^ { ( 0 ) } } , } \\ { { \ddot { n } } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) = } & { { } - \omega ^ { 2 } \int K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } . } \end{array}
\frac { P _ { \mathrm { s a t } } } { p ^ { \circ } } = \exp { \left( \frac { - \Delta H _ { \mathrm { v a p } } M _ { \mathrm { w } } } { { \cal R } } \left( \frac { 1 } { T } - \frac { 1 } { T ^ { \circ } } \right) \right) } ,
\begin{array} { r l } & { ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) - 2 h M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z } \\ & { = ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) } \\ & { ~ ~ ~ - 2 h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) } \\ & { ~ ~ ~ - 2 h ( I - h D _ { f } ^ { r } ( k ) ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z ^ { r } } \\ & { \leq ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) - 2 h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z ^ { r } } \\ & { \leq ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) - h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z ^ { r } } \\ & { = - ( z ^ { r } ) ^ { \top } \big ( h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } ( I - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } ( k ) \big ) z ^ { r } } \\ & { \leq 0 , } \end{array}
m _ { \mathrm { P } } : = \frac { \hbar } { l _ { \mathrm { P } } c } = \sqrt { \frac { \hbar c } { G } } \approx 2 . 1 7 6 \times 1 0 ^ { - 8 } \ \mathrm { k g } \approx 1 . 2 2 \times 1 0 ^ { 1 9 } \ \mathrm { G e V } / c ^ { 2 } ,
\begin{array} { l } { { \hat { M } _ { 0 } ( z ) } } \\ { { { } } } \\ { { = \displaystyle { \left( \begin{array} { c c c } { { \hat { w } ( z ) + \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \lambda } ( z ) + i \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \psi } ( z ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - i \mathrm { b } } } & { { \tilde { \hat { w } } ( z ) - \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } ( z ) + i \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \psi } ( z ) } } & { { 2 \hat { \rho } _ { b } ( z ) } } \\ { { 2 \bar { \hat { \rho } } { } ^ { a } ( z ) } } & { { 0 } } & { { \hat { t } { } ^ { a } { } _ { b } ( z ) + i \textstyle { \frac { 2 } { { \cal N } } } ( \hat { \psi } ( z ) + \delta ^ { 4 } { } _ { { \cal N } } \, \Omega ) \delta ^ { a } { } _ { b } } } \end{array} \right) } \, . } } \end{array}
Q = \frac { 2 \pi } { 3 } \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } \mu _ { 1 } \left( \varphi _ { 1 } ^ { 2 } + \varphi _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \cdot r ^ { 2 } \left\{ \left( \frac { d \varphi _ { 1 } } { d r } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d \varphi _ { 2 } } { d r } \right) ^ { 2 } \right\} \right) d r .
{ \frac { M ^ { 2 } \pi } { g ^ { 2 } N } } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 9 x } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { \frac { 8 1 } { 4 } } + 3 x + 6 y } } & { { - 3 i \sqrt { { \frac { y } { 2 } } } } } & { { - { \frac { 3 i } { 2 } } \sqrt { y } } } \\ { { 0 } } & { { 3 i \sqrt { { \frac { y } { 2 } } } } } & { { { \frac { 9 } { 2 } } x } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { \frac { 3 i } { 2 } } \sqrt { y } } } & { { 0 } } & { { { \frac { 8 1 } { 4 } } + { \frac { 9 } { 2 } } y } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \mathbf { V } ^ { \mathrm { P O D } } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { V } ^ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { V } ^ { N _ { \mathrm { t } } - 1 } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { ( N _ { x } N _ { \mathrm { t } } ) \times N } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } & { { } = S _ { l o n g } ( t _ { e n d } , m ) , } \\ { \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m = 0 ) d t } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p _ { l o n g } ( t , m ) d t } \\ { \implies Z _ { 1 } ^ { - 1 } } & { { } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i } ^ { n + 1 } = } & { q _ { i } ^ { n } - c \left[ \frac { 2 + r } { 2 } \left( q _ { i } ^ { n } - q _ { i - 1 } ^ { n } \right) + \frac { 2 - 2 c + r } { 8 } \left( q _ { i + 1 } ^ { n } - q _ { i } ^ { n } - q _ { i - 1 } ^ { n } + q _ { i - 2 } ^ { n } \right) \right] } \\ & { + r \left[ q _ { i } ^ { n } - \frac { c } { 4 } \left( q _ { i + 1 } ^ { n } - q _ { i - 1 } ^ { n } \right) + \frac { r } { 2 } q _ { i } ^ { n } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { l } } & { \geq } & { - 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } + \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - 4 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { N M S } , i k } ^ { \mathrm { t r } ( c ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { x = i , k } \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } \neq \varepsilon _ { x } } \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, \, \frac { \varepsilon _ { n } - \varepsilon _ { x } } { y ^ { 2 } + ( \varepsilon _ { n } - \varepsilon _ { x } ) ^ { 2 } } \ensuremath { \langle \psi _ { i } \psi _ { n } | } { R } _ { \mathrm { t r } } ( i y ) \ensuremath { | \psi _ { n } \psi _ { k } \rangle } \, . } \end{array}
{ \cal T } _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { 3 } T ^ { ( 1 ) } ( v _ { \alpha } v _ { \beta } - g _ { \alpha \beta } ) + \frac { i } { 2 } T ^ { ( 2 ) } \epsilon _ { \mu \alpha \beta \lambda } v ^ { \mu } \gamma ^ { \lambda } \gamma _ { 5 } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { P \succ 0 } \\ { b ^ { + } ( P - A _ { \ell ^ { ( i ) } } ^ { ( i ) } P ( A _ { \ell ^ { ( i ) } } ^ { ( i ) } ) ^ { \top } ) ( b ^ { + } ) ^ { \top } \succeq \varepsilon _ { p } I _ { n - 1 } } \end{array} \right. } \\ { \ell ^ { ( i ) } = 1 , \dots , L ^ { ( i ) } , \; i = 1 , \dots , N . } \end{array}
= \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \Gamma \left( n + \frac { 1 } { 1 - y } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 1 - y } \right) } \, _ { 3 } F _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { n } { 2 } , - \frac { n } { 2 } , \frac { - 1 } { 1 - y ^ { 2 } } ; \frac { 1 } { 2 } - \frac { n } { 2 } - \frac { 1 } { 2 ( 1 - y ) } , 1 - \frac { n } { 2 } - \frac { 1 } { 2 ( 1 - y ) } ; 1 \right) \frac { z ^ { n } } { n ! } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C 2 } } } ( \theta _ { 1 } ) } & { = \frac { \omega _ { N } } { \sin ( \theta _ { 1 } ) } \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) - \widetilde { \gamma } \sin ( \theta _ { 1 } ) } \\ & { = \omega _ { N } \tan \big ( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \big ) - \widetilde { \gamma } \sin ( \theta _ { 1 } ) . } \end{array}
\phi ( y , e _ { i } ) = J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * } , u _ { 2 } ^ { * } ) = \ \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } \biggl ( \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \biggr ) = \ \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } \biggl ( \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \biggr )
I _ { q } ( L , \omega ) = \overline { { I _ { q } } } \left| \mathrm { e r f } \left( \gamma - \frac { \pi } { \kappa } \frac { L } { L _ { \mathrm { b s } } ^ { ( q ) } } - i \frac { \kappa } { 2 } \frac { L _ { \mathrm { b s } } ^ { ( q ) } } { L _ { \mathrm { c o h } } ^ { ( q ) } } \right) - \mathrm { e r f } \left( \gamma - i \frac { \kappa } { 2 } \frac { L _ { \mathrm { b s } } ^ { ( q ) } } { L _ { \mathrm { c o h } } ^ { ( q ) } } \right) \right| ^ { 2 } \, ,
\frac { \zeta _ { \operatorname* { m a x } } } { \sigma } = \sqrt { 2 \ln \left[ ( 1 - \nu ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } N \right] } + \gamma _ { E } / \sqrt { 2 \ln \left[ ( 1 - \nu ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } N \right] } ,
\begin{array} { r } { \Delta g _ { \mathrm { 3 e l , D } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } { \sum _ { n } } ^ { \prime } \frac { \langle P a \xi _ { P b _ { 1 } } | I ( \Delta _ { P a Q a } ) | Q a n \rangle \langle n P b _ { 2 } | I ( \Delta _ { P b _ { 2 } Q b _ { 2 } } ) | Q b _ { 1 } Q b _ { 2 } \rangle } { \varepsilon _ { P a } + \varepsilon _ { P b _ { 1 } } - \varepsilon _ { Q a } - \varepsilon _ { n } } \, , } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { D + d - 1 } \hat { p } _ { i } = 1 \ , \qquad \sum _ { i = 1 } ^ { D + d - 1 } \hat { p } _ { i } ^ { 2 } = 1 - \frac { \hat { K } ^ { 2 } } { D + d - 2 }
\int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, \left( x ^ { 2 } + u ^ { 2 } \right) ^ { \nu - 1 } e ^ { - p x } = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \left( \frac { 2 u } { p } \right) ^ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \Gamma \left( \nu \right) \left[ H _ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \left( u p \right) - N _ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \left( u p \right) \right] ,
l ^ { 2 } = \left( 1 + { \frac { c _ { p } \, N } { ( r M _ { P } ) ^ { 7 - p } ( R _ { S } M _ { P } ) ^ { 2 } ( V _ { T } M _ { P } ^ { p } ) } } \right) R _ { S } ^ { 2 } = R _ { S } ^ { 2 } + { \frac { c _ { p } \, N } { ( r M _ { P } ) ^ { 7 - p } M _ { P } ^ { 2 } ( V _ { T } M _ { P } ^ { p } ) } }
\begin{array} { r l } & { \hat { V } _ { m } ( x _ { t + 1 \mid t } ) \leqslant c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + 1 + i \mid t + 1 } , u _ { t + 1 + i \mid t + 1 } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t + 1 } , u _ { t + N \mid t + 1 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 2 } c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + 1 + i \mid t + 1 } , u _ { t + 1 + i \mid t + 1 } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t } , u _ { t + N \mid t + 1 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 2 } c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + 1 + i \mid t } , u _ { t + 1 + i \mid t } ^ { \ast } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t } , u ^ { \prime } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + i \mid t } , u _ { t + i \mid t } ^ { \ast } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t } , u ^ { \prime } ) - c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N \mid t } ) - c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t } , u _ { t \mid t } ^ { \ast } ) + V _ { m } ( x _ { t } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( \bar { f } ( x _ { t + N \mid t } , u ^ { \prime } ) ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t } , u ^ { \prime } ) - c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N \mid t } ) - c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t } , u _ { t \mid t } ^ { \ast } ) + V _ { m } ( x _ { t } ) } \\ & { \leqslant - c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t } , u _ { t \mid t } ^ { \ast } ) + V _ { m } ( x _ { t } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I P C } _ { d _ { 0 } , d _ { 1 } , \ldots , d _ { T - 1 } } } & { { } = \frac { \langle Y _ { n } , \mathbf { W } \cdot \mathbf { X } ( t _ { n } ) \rangle ^ { 2 } } { \langle Y _ { n } ^ { 2 } \rangle \langle ( \mathbf { W } \cdot \mathbf { X } ( t _ { n } ) ) ^ { 2 } \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { R } ~ } & { { } { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } ~ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \cos \theta + i \sin \theta \exp \left( i \delta \right) \right) \exp \left( i \alpha _ { x } \right) } \\ { \psi _ { L } ~ } & { { } { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } ~ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \cos \theta - i \sin \theta \exp \left( i \delta \right) \right) \exp \left( i \alpha _ { x } \right) } \end{array}
L _ { i _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { L _ { i } ^ { ( 0 ) } , \ ~ ~ ~ ~ i = 1 , . . . 5 , } } \\ { { \frac { d } { d t } ( \Omega _ { \bar { i } } ^ { ( 0 ) } ) . } } \end{array} \right.
\lambda _ { 2 } = { \frac { 1 } { 6 m _ { B } } } \, \langle B ( v ) \, | \, \bar { h } _ { v } ^ { ( b ) } \, { \frac { g } { 2 } } \, \sigma _ { \mu \nu } \, G ^ { \mu \nu } \, h _ { v } ^ { ( b ) } \, | \, B ( v ) \rangle \, ,
\begin{array} { r l } { p ( 5 m + 4 ) } & { { } \equiv 0 { \pmod { 5 } } } \\ { p ( 7 m + 5 ) } & { { } \equiv 0 { \pmod { 7 } } } \\ { p ( 1 1 m + 6 ) } & { { } \equiv 0 { \pmod { 1 1 } } } \\ { p ( 2 5 m + 2 4 ) } & { { } \equiv 0 { \pmod { 5 ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { T W - M S } } = \ } & { { } \hbar \eta \Omega \hat { S } _ { \phi } \cos { ( \delta t ) } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) } \end{array}
G _ { C } = { \big | } H _ { C } ( j \omega ) { \big | } = \left| { \frac { V _ { C } ( j \omega ) } { V _ { \mathrm { i n } } ( j \omega ) } } \right| = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( \omega R C \right) ^ { 2 } } } }