harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
E _ { \mathrm { b i n d } } = { \frac { T _ { ( 0 ) } } { 2 } } \tan ^ { 2 } { \frac { \pi n } { k } } \approx { \frac { T _ { ( 0 ) } } { 2 } } \left( { \frac { \pi n } { k } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { \textrm { c l } } ( \tilde { \sigma } _ { k } ) : = } & { { } \left( \tilde { \sigma } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( \tilde { \sigma } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ { \tilde { \sigma } _ { k } : = } & { { } \frac { 1 } { 2 c _ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { I _ { a } \to c _ { 2 } } \sigma _ { k } ^ { \textrm { c l } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial w _ { k } } { \partial t } + \mathrm { d i v } \mathcal { F } ^ { w _ { k } } \left( w _ { k } , { \mathbf { u } } \right) - \mathrm { d i v } \left[ \left( \mu + \frac { \mu _ { t } } { \sigma _ { k } } \right) \nabla \left( \frac { w _ { k } } { \rho } \right) \right] + w _ { \varepsilon } = G _ { k } + f _ { k } , } \\ { \frac { \partial w _ { \varepsilon } } { \partial t } + \mathrm { d i v } \mathcal { F } ^ { w _ { \varepsilon } } \left( w _ { \varepsilon } , { \mathbf { u } } \right) - \mathrm { d i v } \left[ \left( \mu + \frac { \mu _ { t } } { \sigma _ { \varepsilon } } \right) \nabla \left( \frac { w _ { \varepsilon } } { \rho } \right) \right] + C _ { 2 \varepsilon } \frac { w _ { \varepsilon } ^ { 2 } } { w _ { k } } = C _ { 1 \varepsilon } \frac { w _ { \varepsilon } } { w _ { k } } G _ { k } + f _ { \varepsilon } , } \end{array}
, D u k e s a n d L i n g ~ c o n s t r u c t e d a 1 - f a c t o r i s a t i o n o f K _ { v + 1 } w h o s e c y c l e s a r e a l l o f l e n g t h a t m o s t 1 7 2 0 , f o r a l l o d d v . E a c h o f t h e s e 1 - f a c t o r i s a t i o n s c o m e s f r o m t h e P B D c o n s t r u c t i o n w i t h a \mathrm { P B D } ( v , \{ 3 , 5 \} ) . L e m m a
A _ { 1 } ^ { a } \big [ a _ { 1 } ^ { a } , \varphi ^ { a } ( x ) \big ] = a _ { 1 } ^ { b } \, \left( U ^ { \dagger } [ \, \vec { \varphi } ( x ) ] \right) ^ { b a } - u _ { 1 } ^ { a } \left[ \, \vec { \varphi } ( x ) \right] \; .
\delta ^ { - 1 } = \rho _ { \mathrm { a } } / \rho _ { \mathrm { w } } = \frac { a _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } } { 2 \pi G } \frac { a _ { 0 } ( n ) } { D _ { 0 } } ( \sin \theta ) ^ { n + k } + \frac { D ^ { S } } { D _ { 0 } } ( \sin \theta ) ^ { k } \ ,
\psi ^ { \prime \prime \prime } ( \tilde { x } ) \approx \frac { \psi ^ { \prime \prime } ( \chi _ { n ^ { \prime } + 1 } ) - \psi ^ { \prime \prime } ( \chi _ { n ^ { \prime } } ) } { \chi _ { n ^ { \prime } + 1 } - \chi _ { n ^ { \prime } } } ,
\hat { H } _ { \mathrm { ~ N ~ A ~ } } ( \hat { \mathbf { x } } , \hat { \mathbf { p } } ) = \sum _ { \nu } \frac { \hat { p } _ { \nu } ^ { 2 } } { 2 m _ { \nu } } + U _ { 0 } ( \hat { \mathbf { x } } ) + \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ( \hat { \mathbf { x } } ) ,
{ \begin{array} { r l } { V _ { W } } & { = V _ { \mathrm { c y l i n d e r } } + 2 \cdot V _ { \mathrm { h a l f - s p h e r e } } } \\ & { = V _ { \mathrm { c y l i n d e r } } + V _ { \mathrm { s p h e r e } } } \\ & { = \pi h r ^ { 2 } + { \frac { 4 } { 3 } } \pi r ^ { 3 } } \\ & { = \pi 2 r \cdot ( n - 1 ) \cdot r ^ { 2 } + { \frac { 4 } { 3 } } \pi r ^ { 3 } } \\ & { = 2 \cdot \left( n - { \frac { 1 } { 3 } } \right) \pi r ^ { 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { c } } ( \boldsymbol { x } ) = - \frac { 2 K _ { \mathrm { c 1 } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \left( \begin{array} { l } { m _ { 1 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 1 } \, m _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 2 } \, m _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 2 } \, m _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 3 } \, m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 3 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) - \frac { 2 K _ { \mathrm { c 2 } } } { \mu _ { 0 } \, M _ { s } } \; \left( \begin{array} { l } { m _ { 1 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } \, m _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 1 } ^ { 2 } \, m _ { 2 } \, m _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { m _ { 1 } ^ { 2 } \, m _ { 2 } ^ { 2 } \, m _ { 3 } } \end{array} \right) , } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \Big [ - { \frac { 1 } { 1 6 \pi G v ^ { 2 } } } R \Phi ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } ( F _ { \mu \nu } ^ { a } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \cal D } _ { \mu } \Phi ^ { a } ) ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 } } ( \Phi ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \Big ]
\begin{array} { r l r } { \Tilde { f } _ { \vec { n } = 0 } ^ { S R 1 } ( \vec { r } , \omega ) - \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha r } } { r } } & { { } \approx - \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha ^ { 2 } c } } { \sqrt { \pi c } } + \alpha \mathrm { e r f c } ( \alpha \sqrt { c } ) \, . } & { } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \cdot ( \varrho u ) + \nabla \cdot ( v _ { q _ { 0 } , u _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ( q + \mathfrak { g } \eta ) ) = g } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - \gamma ^ { 2 } \varrho \partial _ { 1 } u + \varrho \nabla ( q + \mathfrak { g } \eta ) - \gamma \nabla \cdot \mathbb { S } ^ { \varrho } u = f } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - ( \varrho q - \gamma \mathbb { S } ^ { \varrho } u ) e _ { n } - \varsigma \Delta _ { \| } \eta e _ { n } = k } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u \cdot e _ { n } + \partial _ { 1 } \eta = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { 0 } . } \end{array} \right.
{ \frac { D a t a } { S t a n d a r d ~ S o l a r ~ M o d e l } } = 0 . 3 9 8 _ { - 0 . 0 7 8 } ^ { + 0 . 0 8 8 } + ( 9 . 4 _ { - 7 . 0 } ^ { + 7 . 2 } ) 1 0 ^ { - 4 } \times N _ { S S }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } s _ { 1 } } & { = \frac { - 2 \sqrt { \gamma } - 2 ( k - 2 ) \ell - 8 ( k - 1 ) } { \sqrt { \gamma } + 3 ( k - 2 ) \ell + 8 ( k - 1 ) } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } s _ { 2 } } & { = \frac { ( - 2 k + 3 ) \sqrt { \gamma } - ( 2 k - 1 ) ( k - 2 ) \ell - 8 ( k - 1 ) ^ { 2 } } { ( k - 2 ) \sqrt { \gamma } + ( 3 k - 2 ) ( k - 2 ) \ell + 8 ( k - 1 ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathrm { e l } } ( r ) = } & { A ( Z ) \frac { \alpha } { \pi } \phi ( r ) \int _ { 1 } ^ { \infty } d t \frac { e ^ { - 2 t r m } } { \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } \left[ \left( 1 - \frac { 1 } { 2 t ^ { 2 } } \right) \right. } \\ & { \left. \left( \log ( t ^ { 2 } - 1 ) + 4 \log \left( \frac { 1 } { Z \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \right) \right) - \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { v } = \{ v ^ { } , H \} = \Pi ^ { v ^ { i } x ^ { i } } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \Pi ^ { v ^ { i } v ^ { j } } \frac { \partial H } { \partial v ^ { j } } = - \delta ^ { i j } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial H } { \partial v ^ { i } } = \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { i } } + \epsilon ^ { i j k } v _ { j } B _ { k } } \end{array} .
F _ { \lambda } \ensuremath { [ n ] } = \operatorname* { s u p } _ { v _ { \lambda } \in \chi ^ { \ast } } \left[ E _ { \lambda } [ v _ { \lambda } ] - \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, n ( \mathbf { r } ) v _ { \lambda } ( \mathbf { r } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } Q ( x , t ) } & { = } & { - \left[ \frac { 1 } { 2 t } - \frac { x ^ { 2 } } { 2 t ^ { 2 } } \right] Q ( x , t ) } \\ { \partial _ { x } Q ( x , t ) } & { = } & { - \frac { x } { t } Q + N ( t ) e ^ { - x ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 t } \right] } } \\ { \partial _ { x x } ^ { 2 } Q ( x , t ) } & { = } & { \left[ - \frac { 1 } { t } + \frac { x ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } \right] Q - N ( t ) \left[ \frac { 2 x } { t } + x \right] e ^ { - x ^ { 2 } [ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 t } ] } } \\ { \partial _ { t } Q ( x , t ) - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x x } ^ { 2 } Q ( x , t ) } & { = } & { N ( t ) \left[ \frac { 2 x } { t } + x \right] e ^ { - x ^ { 2 } [ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 t } ] } } \end{array}
\nabla _ { X } \left( \vec { A } \cdot \vec { B } \right) = ( \vec { A } \cdot \nabla _ { X } ) \vec { B } + ( \vec { B } \cdot \nabla _ { X } ) \vec { A } + \vec { A } \times ( \nabla _ { X } \times \vec { B } ) + \vec { B } \times ( \nabla _ { X } \times \vec { A } )
\begin{array} { r l } { \frac { \phi _ { p } ( x ) } { \phi ( x ) } } & { = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \frac { \phi ( x + j ) } { \phi ( x ) } = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \exp ( - \pi \frac { K ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } ( j ^ { 2 } + 2 x j ) ) \le \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \exp ( - 9 \pi ( j ^ { 2 } + 2 x j ) ) } \\ & { = 1 + \exp ( - 9 \pi ( 1 - 2 x ) ) + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \exp ( - 9 \pi ( j ^ { 2 } + 2 x j ) ) + \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \exp ( - 9 \pi ( j ^ { 2 } - 2 x j ) ) } \\ & { \le 1 + \exp ( - 9 \pi ( 1 - 2 / 3 ) ) + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \exp ( - 9 \pi j ) + \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \exp ( - 9 \pi j ) } \\ & { \le 1 + 1 0 ^ { - 4 } , } \end{array}
\dot { \xi } ^ { i } = \partial _ { \mu } \xi ^ { i } \dot { x } ^ { \mu } = \partial _ { \mu } \xi ^ { i } \frac { p ^ { \mu } } { N \cdot p } = \frac { p ^ { \mu } e _ { \mu } ^ { \; \; i } } { N \cdot p } \equiv \frac { \pi ^ { i } } { N \cdot p } \; ,
A _ { t , j } ^ { k } f ( y ) : = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } e ^ { i ( \xi \cdot y - t ^ { 2 } \xi _ { 2 } \tilde { \Phi } ( s , \delta ) ) } \chi _ { k , m } ( \frac { \xi _ { 1 } } { t \xi _ { 2 } } ) \frac { A _ { k , m } ( \delta _ { t } \xi ) } { ( 1 + | \delta _ { t } \xi | ) ^ { 1 / 2 } } \beta ( 2 ^ { - j } | \delta _ { t } \xi | ) \hat { f } ( \xi ) d \xi ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \psi ( t _ { i } ^ { ( j ) } , \underline { { t } } _ { \partial i } ^ { ( i ) } ) } & { { } = \sum _ { x _ { i } ^ { 0 } } \gamma ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \{ s _ { l i } \} _ { l \in \partial i } } \prod _ { l \in \partial i } w ( s _ { l i } ) \mathbb { I } [ t _ { i } ^ { ( j ) } = \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \operatorname* { m i n } ( T + 1 , t _ { l } ^ { ( i ) } + s _ { l i } ) ] } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { T E } , ( \mathrm { i n } ) } } & { = \bigg [ \pi ^ { 2 } \frac { k _ { n } } { k _ { n m } } \frac { \cos ( k _ { n } w _ { \mathrm { x } } / 2 ) } { ( k _ { n } w _ { \mathrm { x } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } \frac { \sin ( k _ { m } w _ { \mathrm { y } } / 2 ) } { \sin ( k _ { \mathrm { t } } w _ { \mathrm { y } } / 2 ) } \frac { k _ { \mathrm { t } } } { k _ { m } } \bigg ] ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { T M } , ( \mathrm { i n } ) } } & { = \frac { k _ { m } ^ { 2 } } { k _ { n } ^ { 2 } } \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { T E } , ( \mathrm { i n } ) } } \\ { \alpha _ { 1 0 } ^ { \mathrm { T E , ~ ( R W G ) } } } & { = \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } \frac { p _ { \mathrm { x } } p _ { \mathrm { y } } } { w _ { \mathrm { x } } w _ { \mathrm { y } } } \bigg [ \frac { k _ { \mathrm { t } } w _ { \mathrm { y } } / 2 } { \sin ( k _ { \mathrm { t } } w _ { \mathrm { y } } / 2 ) } \bigg ] ^ { 2 } \, . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \rho _ { A } } } = { \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } } \, \left( { E _ { 0 } / E _ { \mathrm { m a x } } } \right) ^ { 3 } \left[ 1 + \left( { E _ { \mathrm { m a x } } / E _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \right] ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { \tilde { \eta } } [ ^ { ( 1 ) } U _ { M } ^ { \pm } ] } & { = U _ { 0 } \eta ^ { 2 M + 2 } \pm i U _ { 1 } \eta ^ { 2 M + 3 } + U _ { 2 } \eta ^ { 2 M + 4 } \pm i U _ { 3 } \eta ^ { 2 M + 5 } + \cdots , } \\ { \varepsilon _ { \tilde { \eta } } [ ^ { ( 1 ) } V _ { M } ^ { \pm } ] } & { = \pm i V _ { 1 } \eta ^ { 2 M + 1 } + V _ { 2 } \eta ^ { 2 M + 2 } \pm i V _ { 3 } \eta ^ { 2 M + 3 } + V _ { 4 } \eta ^ { 2 M + 4 } + \cdots ; } \end{array}
{ S _ { 2 4 } ^ { t h } = S _ { 2 4 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } + S _ { 2 4 } ^ { \uparrow \downarrow , t h } + S _ { 2 4 } ^ { \downarrow \uparrow , t h } + S _ { 2 4 } ^ { \downarrow \downarrow , t h } } .
\Phi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } = \frac { \Phi _ { \alpha } x _ { \alpha } + \Psi _ { \alpha } y _ { \alpha } } { x _ { \alpha } ^ { 2 } + y _ { \alpha } ^ { 2 } } , \qquad \qquad \Phi _ { y } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } = \frac { \Phi _ { \alpha } y _ { \alpha } - \Psi _ { \alpha } x _ { \alpha } } { x _ { \alpha } ^ { 2 } + y _ { \alpha } ^ { 2 } } .
\gamma _ { \theta } \gamma _ { S _ { 1 } } \gamma _ { \theta } ^ { - 1 } = \gamma _ { S _ { 2 } } ~ , ~ ~ ~ \gamma _ { \theta } \gamma _ { S _ { 2 } } \gamma _ { \theta } ^ { - 1 } = \gamma _ { S _ { 3 } } ~ , ~ ~ ~ \gamma _ { \theta } \gamma _ { S _ { 3 } } \gamma _ { \theta } ^ { - 1 } = \gamma _ { S _ { 1 } } ~ .
\mathbf { E _ { \mathrm { s c a t } } } ( \mathbf { r } ) = E _ { 0 } \sum _ { n , m } c _ { n m } \mathbf { M } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) + d _ { n m } \mathbf { N } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) ,
L = \{ ( e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { 3 } ) \in E \times E \times E : ( e _ { 1 } \oplus \mathbb { B } _ { R } ( 0 ) ) \cap ( e _ { 2 } \oplus \mathbb { B } _ { R } ( 0 ) ) \neq \emptyset , ( e \oplus \mathbb { B } _ { R } ( 0 ) ) \cap ( e _ { 3 } \oplus \mathbb { B } _ { R } ( 0 ) ) \neq \emptyset , ( e _ { 2 } \oplus \mathbb { B } _ { R } ( 0 ) ) \cap ( e _ { 3 } \oplus \mathbb { B } _ { R } ( 0 ) ) \neq \emptyset \}
\begin{array} { r l } { n _ { 2 , \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( R ; r _ { s } , \bar { f } ) = } & { { } n ^ { 2 } + \Delta \Pi _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) N ( \bar { k } _ { F } R ) \; , } \\ { \Delta \Pi _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) = } & { { } n ^ { 2 } \frac { ( 2 - \bar { f } ) ( \bar { f } - 1 ) } { \bar { f } ^ { 2 } } = - \frac { ( 2 - \bar { f } ) ( \bar { f } - 1 ) } { \bar { f } } \Pi _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { R } f ( t ) \Gamma _ { 1 } ( r , t ) \, \mathrm { d } t } & { = \beta _ { 2 } \, \frac { h r } { \rho ^ { 3 } } \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { R } g ( t ) \Gamma _ { 2 } ( r , t ) \, \mathrm { d } t } & { = \frac { 1 } { \rho } \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \, \left( \frac { h } { \rho } \right) ^ { 2 } \right) \, , } \end{array}
\Phi ( C ) = \log \left( I _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } / I \right) = \frac { a _ { 0 } } { 1 + a _ { 1 } e ^ { a _ { 2 } ( C - a _ { 3 } ) } } + \frac { a _ { 4 } ( C - a _ { 5 } ) } { 1 + a _ { 1 } e ^ { a _ { 2 } ( C - a _ { 3 } ) } } ,
d ^ { \prime } = d _ { I } + \lambda _ { 1 } \operatorname { t a n h } \left( { \frac { d _ { 1 } } { 2 \lambda _ { 1 } } } \right) + \lambda _ { 2 } \operatorname { t a n h } \left( { \frac { d _ { 2 } } { 2 \lambda _ { 2 } } } \right) ,
\begin{array} { r } { \L ( \boldsymbol { \lambda } | \hat { \mathcal { A } } , J ) = \sum _ { j = 1 } ^ { J } \log \left( \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } } \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) \lambda _ { \mathcal { E } } ( { \mathbb { P } } , E _ { 0 } ^ { w } ) s ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) \right) + } \\ { J \log ( T ) - T \sum _ { w = 1 } ^ { W } \sum _ { \mathbb { P } } \lambda _ { \mathcal { E } } ( { \mathbb { P } } , E _ { 0 } ^ { w } ) s ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) - \log J ! . } \end{array}
{ \cal U } = { \frac { \partial } { \partial \bar { z } } } + \xi _ { i } ^ { s } \lambda _ { , \bar { z } } ^ { i } ( { \frac { \partial \sigma _ { s } } { \partial p } } { \frac { \partial } { \partial q } } - { \frac { \partial \sigma _ { s } } { \partial q } } { \frac { \partial } { \partial p } } ) ,
\int _ { 0 } ^ { 1 - x _ { v } } d x _ { \bar { q } } \, \bar { F } _ { \mathrm { p a r t } } ^ { h , i } ( x _ { v } , x _ { \bar { q } } ) \; F _ { \mathrm { r e m n } } ^ { h } \! \left( 1 - x _ { v } - x _ { \bar { q } } \right) = q _ { \mathrm { v a l } } ^ { i } ( x _ { v } , Q _ { 0 } ^ { 2 } )
\boldsymbol { \nabla } { \cdot } \boldsymbol { B } ^ { G } ( \mathbf { u } _ { i } ) = \sum _ { j \in S } \mathbf { c } _ { i j } \boldsymbol { B } _ { j } + \sum _ { j \in I } \overline { { \mathbf { c } } } _ { i j } \overline { { \boldsymbol { B } } } _ { j } ,
\begin{array} { r } { { \bf A } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 3 } { 4 } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } & { 0 } \\ { \frac { 3 } { 8 } } & { 0 } & { \frac { 4 } { 8 } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 8 } } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\cdots \, = \, Q _ { 2 } + e ^ { i ( - \alpha _ { I J } + \theta _ { I J } ) } \bar { Q } _ { \dot { 2 } } \, = \, Q _ { 2 } + e ^ { i ( - \alpha _ { J K } + \theta _ { J K } ) } \bar { Q } _ { \dot { 2 } } \, = \, \cdots .
( \bar { Q } _ { L } ^ { a } d _ { R a } ) ( \bar { Q } _ { L } ^ { b } d _ { R b } ) , ~ ~ ~ ~ ( \bar { Q } _ { L } ^ { a } d _ { R \alpha } ) ( \bar { Q } _ { L } ^ { b } d _ { R \beta } ) \epsilon _ { a b } \epsilon ^ { \alpha \beta }
\begin{array} { r l } { { H } _ { n } ^ { \prime } } & { = x ^ { 3 } \Lambda _ { n } ( H _ { n } , x ) + x ^ { n + 2 } R _ { n } ( H _ { n } , \phi _ { n } , x ) , } \\ { \phi _ { n } ^ { \prime } } & { = \Omega _ { n } ( H _ { n } , x ) + x ^ { n } P _ { n } ( H _ { n } , \phi _ { n } , x ) , } \\ { x ^ { \prime } } & { = - 3 \delta x ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathfrak { I } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } , \quad | \mathfrak { I } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } \le \varepsilon ^ { 6 - 4 b } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } , \quad | Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } . } \end{array}
\hat { \psi } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { n } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \prod _ { m = 1 } ^ { n } \mathrm { d } t _ { m } \ t _ { m } ^ { \Delta _ { m } - 1 } \mathrm { e } ^ { - t _ { m } } \psi ( t _ { 1 } z _ { 1 } , . . . , t _ { n } z _ { n } ) .
\begin{array} { r l } { - ( - \Delta ) _ { p } ^ { s } \phi ( x ) } & { \approx \frac 1 2 \int _ { B _ { r } } D _ { y } [ \phi ] ( x ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d - ( 1 - s ) p } } + \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } } \\ & { \approx \mathcal { M } _ { r , 2 } ^ { p } [ \phi ] ( x ) r ^ { p ( 1 - s ) } + \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } \approx \mathcal { M } _ { r } ^ { s , p } [ \phi ] ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi _ { 2 } = } & { - 2 c \mathbb { E } \big ( \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } ) \big ) } \\ { = } & { - 2 c \mathbb { E } \big ( ( \tilde { \mathbf { y } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } ) \big ) } \\ { = } & { 4 c \mathbb { E } \bigg ( \left\| \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { k + 1 } \right\| ^ { 2 } \bigg ) } \\ { } & { + 2 c \mathbb { E } \big ( \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { M } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } ) \big ) } \\ { \leq } & { 4 c \mathbb { E } \bigg ( \left\| \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } - \left\| \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { k + 1 } \right\| ^ { 2 } \bigg ) } \\ { } & { + 2 c \beta \mathbb { E } ( \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { L } \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } ) + c \beta ^ { - 1 } \mathbb { E } ( \left\| \mathbf { r } _ { k + 1 } - \mathbf { r } ^ { * } \right\| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { = \alpha = D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } + D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } - D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } - D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { = \beta = D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } + D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } - D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } - D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \rho \left( { \frac { \partial u _ { x } } { \partial t } } + u _ { x } { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } + u _ { y } { \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } } \right) } & { = - { \frac { \partial p } { \partial x } } + \mu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } } { \partial y ^ { 2 } } } \right) + \rho g _ { x } } \\ { \rho \left( { \frac { \partial u _ { y } } { \partial t } } + u _ { x } { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } + u _ { y } { \frac { \partial u _ { y } } { \partial y } } \right) } & { = - { \frac { \partial p } { \partial y } } + \mu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } } { \partial y ^ { 2 } } } \right) + \rho g _ { y } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 E } \, U \, \Delta m ^ { 2 } \, U ^ { \dagger } + \frac { 1 } { E } \big ( a _ { L } ^ { \mu } p _ { \mu } - c _ { L } ^ { \mu \nu } p _ { \mu } p _ { \nu } \big ) + \sqrt { 2 } G _ { F } N _ { e } \tilde { I } . } \end{array}
\nabla \cdot \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = - \nabla ^ { 2 } \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { \rho ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } { \epsilon _ { 0 } } \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int d ^ { 3 } r ^ { \prime } \frac { 1 } { | \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } | } \rho ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Delta G _ { i j } ^ { \lambda } ( t ) = \Big [ h ^ { \mathrm { H F } } , \Delta G ^ { \lambda } \Big ] _ { i j } ( t ) + \Big [ \Delta U ^ { \mathrm { H F } , \lambda } , G ^ { < } \Big ] _ { i j } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \nabla _ { \lambda } } \tilde { L } ( \varphi , 0 ) } & { = 2 \int _ { \sqrt { c / ( 1 - \varphi ) } } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x - \bar { \kappa } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \uparrow + \infty } { \nabla _ { \lambda } } \tilde { L } ( \varphi , \lambda ) } & { = - \bar { \kappa } . } \end{array}
( d s ) ^ { 2 } = - d U d V + \sum _ { i = 1 } ^ { D - 2 } ( d X ^ { i } ) ^ { 2 } - \left[ W _ { 1 } ( U ) \, ( X ^ { 2 } - Y ^ { 2 } ) + 2 \, W _ { 2 } ( U ) \, X Y \right] \, ( d U ) ^ { 2 }
C _ { R } = { \sqrt { \frac { K E _ { \mathrm { ( a f t e r ~ i m p a c t ) } } } { K E _ { \mathrm { ( b e f o r e ~ i m p a c t ) } } } } } = { \sqrt { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } m v ^ { 2 } } { { \frac { 1 } { 2 } } m u ^ { 2 } } } } = { \sqrt { \frac { v ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } } } = { \frac { v } { u } }
\mathbf { U } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } = [ \mathbf { U } _ { ( 1 ) } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ; \cdots ; \mathbf { U } _ { ( N _ { \mathrm { s u b } } ) } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } ]