harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Delta \Phi ^ { ( n ) } } & { = } & { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \frac { \partial \Phi ^ { ( n ) } } { \partial \hat { \phi } ^ { ( j ) } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \Delta \hat { \phi } ^ { ( j ) } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \sqrt { \frac { 1 } { ( 1 \cdot \mathcal { V } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } 2 p ^ { ( 1 ) } } \cdot \left( \frac { 1 ^ { q } \cdot p ^ { ( 1 ) } } { \sum _ { m = 1 } ^ { n } m ^ { q } p ^ { ( m ) } } \right) ^ { 2 } + \cdots + \frac { 1 } { ( n \cdot \mathcal { V } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } 2 p ^ { ( n ) } } \cdot \left( \frac { n ^ { q } \cdot p ^ { ( n ) } } { \sum _ { m = 1 } ^ { n } m ^ { q } p ^ { ( m ) } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { n } m ^ { q } p ^ { ( m ) } } \sqrt { \frac { 1 ^ { 2 ( q - 1 ) } p ^ { ( 1 ) } } { ( \mathcal { V } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { n ^ { 2 ( q - 1 ) } p ^ { ( n ) } } { ( \mathcal { V } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 p ^ { ( 1 ) } } \sum _ { m = 1 } ^ { n } m ^ { q } ( R \xi ) ^ { m - 1 } } \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { j ^ { 2 ( q - 1 ) } ( R \xi ) ^ { j - 1 } } { ( \mathcal { V } ^ { ( j ) } ) ^ { 2 } } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \rho } } & { = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { \rho } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } \\ & { = { \frac { A _ { \phi } ( z ) ( \rho + d \rho ) \, d \phi - A _ { \phi } ( z + d z ) ( \rho + d \rho ) \, d \phi + A _ { z } ( \phi + d \phi ) \, d z - A _ { z } ( \phi ) \, d z } { ( \rho + d \rho ) \, d \phi \, d z } } } \\ & { = - { \frac { \partial A _ { \phi } } { \partial z } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial A _ { z } } { \partial \phi } } } \end{array} }
\tilde { \psi } _ { 1 } ^ { c _ { 2 } } ( x ; \lambda ) - \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { + } ( x ; \lambda ) = \Big ( \frac { \eta ^ { - } ( x ; \lambda ) } { | \eta ^ { - } ( x ; \lambda ) | } \Big ) \wedge \Big ( \frac { e ^ { \mu _ { + } ( \lambda ) c _ { 2 } } \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( c _ { 2 } ; \lambda ) } { | e ^ { \mu _ { + } ( \lambda ) c _ { 2 } } \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( c _ { 2 } ; \lambda ) | } - \frac { \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda ) } { | \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda ) | } \Big ) .
\begin{array} { r l } { I _ { a , b , j } } & { = C _ { a + b , j } + C _ { | a - b | , j } + \Bigl ( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { a + b } \Bigr ) S _ { a + b , j } } \\ & { \; \; \; + \left\{ \begin{array} { l l } { \Bigl ( \frac { 1 } { a } - \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { a - b } \Bigr ) \mathrm { s i g n } ( a - b ) S _ { | a - b | , j } } & { \mathrm { ~ i f ~ } a \neq b } \\ { \; C _ { 0 , j } } & { \mathrm { ~ i f ~ } a = b . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Omega } & { = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \mathbf { v } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { i } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { j } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \end{array} \right] } } \\ & { = - \! \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \mathbf { v } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { j } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { i } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \end{array} \right] } } \\ & { = - \Omega } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Psi ( s , v ) \Psi ( r , w ) e ^ { - \frac { c _ { 1 } } { 6 } \frac { | v - w | ^ { 2 } } { r } } } & { \le \left( c _ { 0 } ^ { 2 } + c _ { 0 } | v - w | + \frac { c _ { 0 } | v - w | } { r ^ { 1 / 2 } } e ^ { - \frac { c _ { 1 } } { 6 } \frac { | v - w | ^ { 2 } } { r } } \right) \Psi ( s , w ) } \\ & { \le C _ { 0 } \Psi ( s , w ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { t } ^ { t + \delta } \left( \frac { u ^ { 2 } ( s ) } { 2 } + V ( Z _ { s } ) \right) d s + J _ { t + \delta , x } ( Z _ { t + \delta } , u _ { n } ) } & { = \int _ { t } ^ { T } \left( \frac { \widetilde { u } ^ { 2 } ( s ) } { 2 } + V ( Z _ { s } ^ { \widetilde u } ) \right) d s + S ( Z _ { T } ) } \\ & { \geq { U } _ { t } ( x ) , } \end{array}
M = 1 0 0 0 , N = 5 , \mathcal { M } _ { C } = 2 , B = 6 , C = 1 , K = 4 , P = 0 , \mu = 0 . 0 1 , \sigma _ { 1 } = 0 . 0 7 5 , \sigma _ { 2 } = 0 . 0 3 , T _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ } } = 2 0 0 0 0 0 0 0
\widetilde { \mathcal { D } } _ { 1 } \equiv \mathcal { D } _ { 1 } \left[ 1 + \frac { \chi _ { 1 } } { 9 } \left( 2 + 3 n _ { 1 } ^ { 2 } \right) - \frac { \chi _ { 2 } } { 9 } \left( 2 + 3 n _ { 2 } ^ { 2 } \right) \right]
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { t } \left( \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; P _ { \phi } \right) } & { { } = } & { - \; \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \dot { \bf X } \, P _ { \phi } \right) \; + \; \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \dot { P } _ { \phi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle Q _ { i } ^ { 4 } \rangle _ { - 2 } \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 2 } \right] } \\ & { } & { = \left[ \frac { ( n _ { i } + 3 / 2 ) \sqrt { ( n _ { i } + 2 ) ( n _ { i } + 1 ) } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \frac { \sqrt { ( n _ { i } + 2 ) ( n _ { i } + 1 ) } } { 2 \omega _ { i } } \right] } \\ & { } & { = \left[ \frac { 2 n _ { i } ^ { 3 } + 9 n _ { i } ^ { 2 } + 1 3 n _ { i } + 6 } { 4 \omega _ { i } ^ { 3 } } \right] } \\ & { } & { = \frac { 2 \left[ n _ { i } ^ { 3 } \right] + 9 \left[ n _ { i } ^ { 2 } \right] + 1 3 \Big [ n _ { i } \Big ] + 6 } { 4 \omega _ { i } ^ { 3 } } } \\ & { } & { = \frac { 6 f _ { i } ^ { 3 } + 1 5 f _ { i } ^ { 2 } + 1 2 f _ { i } + 3 } { 2 \omega _ { i } ^ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \mathcal { D } _ { u , u } ( g _ { u , u , k } ) } { 2 } \! + \! \frac { \mathcal { D } _ { m , m } ( g _ { m , m , k } ) } { 2 } \! - \! \mathcal { D } _ { u , m } ( g _ { u , m , k } ) \right| \leq \delta , } \\ & { \left| \frac { \mathcal { D } _ { u , u } ( g _ { u , u , k } ) } { 2 } \! + \! \frac { \mathcal { D } _ { m , m } ( g _ { m , m , k } ) } { 2 } \! - \! \mathcal { D } _ { m , u } ( g _ { m , u , k } ) \right| \leq \delta , ~ \forall m , u , k , } \end{array}
\mathbf { V } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { v } } & { \mathbf { 0 } _ { ( N + 1 ) \times 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { 0 } _ { ( N + 1 ) \times 1 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { ( N + 1 ) \times 1 } } & { \mathbf { v } } & { \cdots } & { \mathbf { 0 } _ { ( N + 1 ) \times 1 } } \\ { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { \mathbf { 0 } _ { ( N + 1 ) \times 1 } } & { \mathbf { 0 } _ { ( N + 1 ) \times 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } } & { { } _ \mathrm { ~ N ~ L ~ } ^ { \mathrm { ~ F ~ W ~ M ~ } } = - \int d \omega _ { 1 } d \omega _ { 2 } d \omega _ { 3 } d \omega _ { 4 } \mathrm { ~ S ~ } _ { \perp } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \end{array}
\mathcal { V } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - V ^ { 1 * } } \\ { V ^ { 0 } } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \mathcal { C } = \left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \prime } = 2 V _ { \alpha \beta } ( \eta + \eta _ { 1 } ) + V _ { \beta \gamma } \left[ 2 ( \eta _ { 2 } - \eta _ { 1 } ) b _ { \gamma } b _ { \alpha } + \eta _ { 3 } b _ { \alpha \gamma } \right] + V _ { \alpha \gamma } \left[ 2 ( \eta _ { 2 } - \eta _ { 1 } ) b _ { \gamma } b _ { \beta } + \eta _ { 3 } b _ { \beta \gamma } \right] } & { { } } & { } \\ { + V _ { \gamma \delta } \left[ ( \eta _ { 1 } + \zeta _ { 1 } ) \delta _ { \alpha \beta } b _ { \gamma } b _ { \delta } + ( \eta _ { 1 } - 4 \eta _ { 2 } ) b _ { \alpha } b _ { \beta } b _ { \gamma } b _ { \delta } + ( 2 \eta _ { 4 } - \eta _ { 3 } ) ( b _ { \alpha \gamma } b _ { \beta } b _ { \delta } + b _ { \beta \gamma } b _ { \alpha } b _ { \delta } ) \right] , } & { { } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } } & { { } = } & { \hat { H } _ { S } - \tilde { H } _ { S } - \mathcal { L } _ { T S } ^ { \infty } - i \sum _ { k = 1 } ^ { K } \gamma _ { i _ { k } \alpha _ { k } p _ { k } } ^ { \sigma _ { k } } c _ { k } ^ { < , + } c _ { k } ^ { < , - } } \end{array}
g ( z , y ) = \theta ( y - 4 z ) \left\{ ( y ^ { 2 } - 4 y z + 6 z ^ { 2 } ) \ln \! \left( \! \sqrt { \frac { y } { 4 z } } + \sqrt { \frac { y } { 4 z } - 1 } \, \right) - \frac { 3 y ( y - 2 z ) } { 4 } \sqrt { 1 - \frac { 4 z } { y } } \right\} \, .
\begin{array} { r l } { \left[ T _ { a } , T _ { b } \right] } & { { } = i \sum _ { c = 1 } ^ { 8 } f _ { a b c } T _ { c } , } \\ { \left\{ T _ { a } , T _ { b } \right\} } & { { } = { \frac { 1 } { 3 } } \delta _ { a b } I _ { 3 } + \sum _ { c = 1 } ^ { 8 } d _ { a b c } T _ { c } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } \quad } & { { \| \mathbf { e } _ { \mathbf { J } } \| } _ { 2 } } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } \quad } & { b ^ { q } \big ( \mathbf { H } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { J } _ { h } \big ) = b \big ( \mathbf { H } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } } \big ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { | | u | | _ { 2 } = 1 } \left| \frac { d ^ { 2 } \tilde { J } ( \alpha ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } | _ { \alpha = 0 } \right| } & { { \le } C _ { 2 } ( \frac { \lambda } { \alpha } + \lambda + \frac { | | \bar { c } | | _ { \infty } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } ) + \frac { 2 \gamma C _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } } \\ & { \le \frac { 2 \gamma | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } } \end{array}
\displaystyle \frac { \partial R _ { k } / \partial I } { i ( k \bar { \mathcal { B } } ( I _ { 1 } ) u + k \bar { \mathcal { A } } ( I _ { 1 } ) ) ) } + \frac { R _ { k } i k \frac { \partial } { \partial I } ( \bar { \mathcal { B } } ( I _ { 1 } ) u + \bar { \mathcal { A } } ( I _ { 1 } ) ) ) } { [ ( k \bar { \mathcal { B } } ( I _ { 1 } ) u + k \bar { \mathcal { A } } ( I _ { 1 } ) ) ) ] ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { z ^ { 1 / 2 } ( t ) : = \left( \int _ { \Omega } \left( \left\lvert { \vec { A } } \right\rvert ^ { 2 } + \left\lvert { \partial _ { t } \vec { A } } \right\rvert ^ { 2 } + \left\lvert { \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } } \right\rvert ^ { 2 } \right) ( t , x ) \, \mathrm d x \right) ^ { 1 / 2 } \leq c _ { 2 } ( t ) z ^ { 1 / 2 } ( 0 ) + c _ { 3 } ( t ) \| \vec { j } _ { a } \| _ { 2 , 1 , Q } , } \end{array}
\Phi _ { t } = - \Phi _ { x x x } + 3 \left( \Phi { \cal D } _ { 1 } { \cal D } _ { 2 } \Phi \right) _ { x } + \frac { a - 1 } { 2 } \left( { \cal D } _ { 1 } { \cal D } _ { 2 } \Phi ^ { 2 } \right) _ { x } + 3 a \Phi ^ { 2 } \Phi _ { x } \quad .
\begin{array} { c l c l } { { } } & { { \mathrm { 2 n d \; \; \& \; \; 3 r d \; \; f a m i l i e s } } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { \mathrm { M i r r o r s \; \; o f \; \; 2 n d \; \; \& \; \; 3 r d \; \; f a m i l i e s } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { q _ { 1 L } : } } & { { ( { \bf 3 , \; 2 , \; 1 , } \; \kappa _ { \pm } , \; 1 / 3 ) } } & { { q _ { 2 L } : } } & { { ( { \bf 3 , \; 1 , \; 2 , } \; - \kappa _ { \pm } , \; 1 / 3 ) \ } } \\ { { l _ { 1 L } : } } & { { ( { \bf 1 , \; 2 , \; 1 , } \; \kappa _ { \pm } , \; - 1 ) } } & { { l _ { 2 L } : } } & { { ( { \bf 1 , \; 1 , \; 2 , } \; - \kappa _ { \pm } , \; - 1 ) \ } } \\ { { q _ { 1 R } ^ { c } : } } & { { ( { \bf \bar { 3 } , \; 1 , \; 2 , } \; - \kappa _ { \pm } , \; - 1 / 3 ) } } & { { q _ { 2 R } ^ { c } : } } & { { ( { \bf \bar { 3 } , \; 2 , \; 1 , } \; \kappa _ { \pm } , \; - 1 / 3 ) \ } } \\ { { l _ { 1 R } ^ { c } : } } & { { ( { \bf 1 , \; 1 , \; 2 , } \; - \kappa _ { \pm } , \; 1 ) } } & { { l _ { 2 R } ^ { c } : } } & { { ( { \bf 1 , \; 2 , \; 1 , } \; \kappa _ { \pm } , \; 1 ) } } \end{array}
c _ { L F V } ( h ^ { \prime } - \mathrm { e x c h a n g e } ) = - \frac { \sqrt { 6 } } { 8 } \frac { g ^ { 3 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { M _ { h } ^ { 2 } } ( V _ { K M } ^ { \dag } ) _ { \mu j } ( V _ { K M } ) _ { j e } \frac { m _ { u j } ^ { 2 } } { M _ { W } ^ { 2 } } ( 2 l n \frac { m _ { u j } ^ { 2 } } { M _ { h } ^ { 2 } } + \frac { 1 5 } { 4 } ) ,
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathsf { K } } } } & { = \frac { 1 } { 8 } \omega ^ { 2 } M | \hat { X } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \omega ^ { 2 } m | \hat { \xi } + \hat { X } | ^ { 2 } + \mathrm { c . c . } = \frac { 1 } { 8 } \omega ^ { 2 } \left( M + m ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } \right) | \hat { X } | ^ { 2 } + \mathrm { c . c . } \, , } \end{array}
\tilde { \Lambda } _ { i j } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { A _ { i j } ( 0 ) } { E _ { j } ( 0 ) } \, , } & { j \in \mathcal { A } ( t - 1 ) } \\ { 0 \, , } & { j \not \in \mathcal { A } ( t - 1 ) } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r } { r ( \rho , \theta ) : = \left( p _ { \rho } + \frac { \theta p _ { \theta } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } e _ { \theta } } + \frac { \kappa } { \rho e _ { \theta } \tau } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad m ( \rho , \theta ) : = \sqrt { \left( p _ { \rho } + \frac { \theta p _ { \theta } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } e _ { \theta } } + \frac { \kappa } { \rho e _ { \theta } \tau } \right) ^ { 2 } - \frac { 4 p _ { \rho } \kappa } { \rho e _ { \theta } \tau } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d V _ { m } } { d t } = } & { { } F _ { 1 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , \qquad \frac { d n } { d t } = F _ { 2 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , } \\ { \frac { d m } { d t } = } & { { } F _ { 3 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , \qquad \frac { d h } { d t } = F _ { 4 } ( t , V _ { m } , n , m , h ) , } \end{array}
\left\{ \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \frac { \beta ( y ) } { x } } & { \beta } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) : \beta ^ { \top } \in \mathbb { R } ^ { m - 1 } \right\} \mathrm { ~ a n d ~ } \left\langle \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \right\rangle
{ \begin{array} { r l } { e _ { 1 } = \sigma _ { 1 } = \sigma _ { x } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { e _ { 2 } = \sigma _ { 2 } = \sigma _ { y } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { e _ { 3 } = \sigma _ { 3 } = \sigma _ { z } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \, . } \end{array} }
\big | \nabla \Phi ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } \big | ^ { 2 } = \left( \big ( \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \big ) ^ { 2 } + \big ( \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \big ) ^ { 2 } \right) / J ^ { \mathrm { ~ s ~ } }
\begin{array} { c } { { \tau _ { L \mathrm { ~ } } = \gamma _ { L } \left( \frac 1 \beta - \beta _ { L } \right) x , } } \\ { { \tau _ { S \mathrm { ~ } } = \gamma _ { S } \left( \frac 1 \beta - \beta _ { S } \right) x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { \psi } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right] = \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) - 1 , } \end{array}
c ( x , l \Delta t ) : = W { v } ( { x } , l \Delta t ) + \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( R _ { \phi } \cdot \left( \mathcal { F } { v } ( { x } , l \Delta t ) \right) \right) ( x ) + \mathcal { U ^ { * } } s ( x , l \Delta t ) , \quad \forall x \in D ,
\begin{array} { r l } { W ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { = \int \, d \mathbf { r } ^ { \prime \prime } \epsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime \prime } ) v ( \mathbf { r } ^ { \prime \prime } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \\ & { \approx \epsilon _ { \infty } ^ { - 1 } v ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( L , N ) } & { \lesssim \Vert u _ { 0 , n } ^ { L _ { 0 } N _ { 0 } } \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 2 } } \Vert u _ { 1 , n } ^ { L _ { 1 } N _ { 1 } } \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { 2 } } \Vert u _ { 2 , n } ^ { L _ { 2 } N _ { 2 } } \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { \infty } } \Vert u _ { 3 , n } ^ { L _ { 3 } N _ { 3 } } \Vert _ { l _ { \tau } ^ { 4 } L ^ { \infty } } } \\ & { \lesssim \Vert u _ { 0 , n } ^ { L _ { 0 } N _ { 0 } } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , { \frac { 1 } { 4 } } + \varepsilon _ { 1 } } } \Vert u _ { 1 , n } ^ { L _ { 1 } N _ { 1 } } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , { \frac { 1 } { 4 } } + \varepsilon _ { 1 } } } \Vert u _ { 2 , n } ^ { L _ { 2 } N _ { 2 } } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 1 + \varepsilon _ { 1 } , { \frac { 1 } { 4 } } + \varepsilon _ { 1 } } } \Vert u _ { 3 , n } ^ { L _ { 3 } N _ { 3 } } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 1 + \varepsilon _ { 1 } , { \frac { 1 } { 4 } } + \varepsilon _ { 1 } } } } \\ & { \lesssim ( L _ { 0 } L _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } + \varepsilon _ { 1 } - b } \frac { N _ { 0 } ^ { s } } { ( N _ { 1 } N _ { 2 } N _ { 3 } ) ^ { s } } ( N _ { 2 } N _ { 3 } ) ^ { 1 + \varepsilon _ { 1 } } \prod _ { j = 0 } ^ { 3 } c _ { j } ( L _ { j } , N _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \underline { { R } } _ { \mathrm { s e c } } = \bigg [ \mathrm { l o g _ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { ( 1 - \mit \ r h o ) \ b e t a _ { k } \mathrm { ^ 2 \mathrm { \ g a m m a _ { 0 } \mit \ x i N / \sum _ { i = \mathrm { 1 } } \mit ^ { K } \ b e t a _ { i } } } } { ( 1 - \ r h o ) \ g a m m a _ { 0 } \ b e t a \mit _ { k } \mit \ x i \sum _ { j \neq k } \ b e t a _ { j } / \sum _ { i = \mathrm { 1 } } \mit ^ { K } \ b e t a _ { i } + \ r h o \ b e t a \mit _ { k } \mathrm { \ g a m m a _ { 0 } + 1 } } \bigg ) } } \\ & { - \mathrm { l o g _ { 2 } \bigg ( 1 + \mit \frac { \ p h i M \ x i \ k a p p a \ b e t a _ { k } / \sum _ { i = \mathrm { 1 } } \mit ^ { K } \ b e t a _ { i } } { \ p h i \ k a p p a \mathrm { ^ 2 ( 1 - \mit a ) - \ v a r p i } } \bigg ) \bigg ] ^ { + } . } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta s \equiv \frac { S _ { 2 } } { n _ { 2 } } - \frac { S _ { 1 } } { n _ { 1 } } } & { { } = } & { \frac { k _ { B } } { 2 } \ln \left( \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } } \frac { T _ { \perp 2 } ^ { 3 } } { T _ { \perp 1 } ^ { 3 } } \right) - 2 \ln r } \end{array}
\epsilon _ { \mu } \Pi ^ { a } { } _ { i } [ n ^ { \mu \, i } ] = \epsilon _ { \mu } \left[ - L ^ { a b } { } _ { i } K _ { b } { } ^ { c \, i } e ^ { \mu } { } _ { c } + \left( \widetilde { \nabla } _ { b } L ^ { a b } { } _ { i } \right) n ^ { \mu \, i } \right] \, .
\nabla \times \mathbf { F } \cdot \mathbf { \hat { n } } = \left[ \left( { \frac { \partial 0 } { \partial y } } - { \frac { \partial M } { \partial z } } \right) \mathbf { i } + \left( { \frac { \partial L } { \partial z } } - { \frac { \partial 0 } { \partial x } } \right) \mathbf { j } + \left( { \frac { \partial M } { \partial x } } - { \frac { \partial L } { \partial y } } \right) \mathbf { k } \right] \cdot \mathbf { k } = \left( { \frac { \partial M } { \partial x } } - { \frac { \partial L } { \partial y } } \right) .
\begin{array} { r l } { \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } \right\rangle } & { = 2 \int _ { u _ { 0 } } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) ) } } \\ { \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } ^ { 2 } \right\rangle } & { = 4 \int _ { u _ { 0 } } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \left\langle S _ { u _ { f } | u ^ { \prime } } \right\rangle e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) ) } = } \\ & { = 8 \int _ { u _ { 0 } } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { u ^ { \prime } } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime \prime } \ e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) + V ( u ^ { \prime \prime \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime \prime \prime } ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } } & { { } = v _ { i k } ^ { t r a n s } V _ { k } + v _ { i k } ^ { r o t } \omega _ { k } } \\ { \Sigma _ { i j } } & { { } = \Sigma _ { i j k } ^ { t r a n s } V _ { k } + \Sigma _ { i j k } ^ { r o t } \omega _ { k } } \end{array}
| \mathcal { M } _ { r e c } | ^ { 2 } \sim | \mathcal { M } _ { 0 } | ^ { 2 } \times \ln ^ { 2 } \left( \frac { ( p _ { 1 } \cdot p _ { 4 } ) ( p _ { 2 } \cdot p _ { 3 } ) } { ( p _ { 1 } \cdot p _ { 3 } ) ( p _ { 2 } \cdot p _ { 4 } ) } \right)
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } } & { = C _ { k } | \Uparrow \rangle \langle \Downarrow | | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | + \mathrm { H . c . } } \\ & { = C _ { k } \hat { S } _ { + } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { - } ^ { ( k ) } + C _ { k } ^ { * } \hat { S } _ { - } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { + } ^ { ( k ) } . } \end{array}
\left( \frac { d \mathrm { { E } } } { d x } \right) _ { r a d } = \frac { ( z e ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \int _ { \epsilon _ { r } ( \omega ) > ( 1 / \beta ^ { 2 } ) } \omega \left( 1 - \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } \epsilon _ { r } ( \omega ) } \right) d \omega \, .
\begin{array} { r l } & { \left( \rho _ { 0 } + f ( y _ { 3 } , t ) - \Gamma _ { 0 } y _ { 3 } \cos \theta \right) \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } v _ { 1 } + \mathrm { R e } v _ { 1 } \partial _ { y _ { 1 } } v _ { 1 } + \mathrm { R e } v _ { 3 } \partial _ { y _ { 3 } } v _ { 1 } \right) = \Delta v _ { 1 } - \partial _ { y _ { 1 } } p - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \rho \sin \theta , } \\ & { \left( \rho _ { 0 } + f ( y _ { 3 } , t ) - \Gamma _ { 0 } y _ { 3 } \cos \theta \right) \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } v _ { 3 } + \mathrm { R e } v _ { 1 } \partial _ { y _ { 1 } } v _ { 3 } + \mathrm { R e } v _ { 3 } \partial _ { y _ { 3 } } v _ { 3 } \right) = \Delta v _ { 3 } - \partial _ { y _ { 3 } } p - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \rho \cos \theta , } \\ & { \partial _ { t } T + \mathrm { P e } _ { p } \mathbf { v } \cdot \nabla T = \Delta T , } \\ & { \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } \rho + \mathrm { P e } _ { s } \mathbf { v } \cdot \nabla \rho = \Delta \rho , \quad \left. \rho \right| _ { | \mathbf { y } | \rightarrow \infty } = \rho _ { 0 } - \Gamma _ { 0 } ( y _ { 1 } \sin \theta + y _ { 3 } \cos \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] \leq A _ { 1 } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) + ( A _ { 2 } + 1 ) \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + A _ { 3 } , } \\ & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } , \omega ^ { t + 1 } , v ^ { t + 1 } \right] \leq A _ { 1 } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) + ( A _ { 2 } + 1 ) \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + A _ { 3 } . } \end{array}