harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ f ( x _ { t + 1 } ) - f ^ { * } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] \leq f ( x _ { t } ) - f ^ { * } - \frac { \alpha _ { t } Q } { 2 } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } L ^ { 2 } } { 2 n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t } - x _ { i , t } ^ { \ell } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q C L } { 2 n ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) - f _ { i } ^ { * } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } L Q ^ { 2 } D } { 2 n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = X _ { c } + a \, \cos t \, \cos \varphi - b \, \sin t \, \sin \varphi } \\ { y } & { { } = Y _ { c } + a \, \cos t \, \sin \varphi + b \, \sin t \, \cos \varphi } \end{array}
\int { \cal D } \, { \frac { \omega _ { 1 } } 3 } \left( 1 - 2 \omega _ { 1 } \right) \Theta _ { 1 } \, \partial _ { k } \rho _ { l 2 } = \frac 3 { 4 \eta ^ { 2 } } - \frac 9 { 4 0 } - 3 \int _ { 1 / 2 } ^ { + \infty } d k \frac { 1 - 2 k } { 1 - k } \, \beta _ { l } ( 1 - k , k ) \, .
\begin{array} { r } { N = t \Big ( \frac { \gamma } { 2 } \Big ) ^ { - [ 2 ( r + r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ] ^ { D } \ell } { \log \Big ( \frac { M } { \delta } \Big ) + t \log \Big [ t \Big ( \frac { 2 } { \gamma } \Big ) ^ { [ 2 ( r + r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ] ^ { D } \ell } \Big ] } \Big ( \frac { \gamma } { 2 } \Big ) ^ { - [ 2 ( r + r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ] ^ { D } \ell } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| v _ { 1 , k } - v _ { 2 , k } \| _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } & { \leq \| v _ { 1 } - v _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } + \frac { C } { n } \operatorname* { m a x } _ { x \in \overline { { \omega } } } \mathrm { d i s t } ( x , \partial \Omega ) ^ { 1 / n } \| f _ { 1 , k } - f _ { 2 , k } \| _ { L ^ { n } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \quad \frac { \partial \Phi } { \partial z } ( z ) \left( F + G ( y ^ { T } \gamma y + \alpha ) \right) ( z ) } & { = \left( \begin{array} { l } { \tilde { y } } \\ { E \tilde { x } } \end{array} \right) , } \\ { \frac { \partial \Phi } { \partial z } ( z ) \left( G \beta \right) ( z ) } & { = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { b } \end{array} \right) ? } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } { \sigma _ { x x } } & { { } = } & { \langle x ^ { 2 } \rangle - \langle x \rangle ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { x v } } & { { } = } & { \langle x v \rangle - \langle x \rangle \langle v \rangle } \\ { \sigma _ { v v } } & { { } = } & { \langle v ^ { 2 } \rangle - \langle v \rangle ^ { 2 } } \end{array} \right.
\cos \delta = \frac { { q \left[ { \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } - { q ^ { 2 } } } \right) \left( { { q ^ { 2 } } + 4 { \kappa ^ { 2 } } } \right) - 1 } \right] } } { { \sqrt { { q ^ { 2 } } { { \left[ { \left( { k _ { 1 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } - { q ^ { 2 } } } \right) \left( { { q ^ { 2 } } + 4 { \kappa ^ { 2 } } } \right) - 1 } \right] } ^ { 2 } } + 4 { \kappa ^ { 2 } } { { \left( { { q ^ { 4 } } + 4 { q ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } - 1 } \right) } ^ { 2 } } } } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { v _ { g } } { L } \int _ { 0 } ^ { L } d z \ \partial _ { z } A _ { k } ( z ) = } & { { } } & { \frac { v _ { g } } { L } ( A _ { k } ( L ) - A _ { k } ( 0 ) ) } \\ { = } & { { } } & { \frac { v _ { g } } { L } ( A _ { k } ( L ) + A _ { k } ( 0 ) - 2 A _ { k } ( 0 ) ) } \\ { = } & { { } } & { \frac { 2 v _ { g } } { L } a _ { k } . } \end{array}
{ I _ { R x } } = \frac { { j \omega ( { M _ { R T } } { I _ { T x } } + { { \mathbf { M } } _ { { \mathbf { R u } } } } { { \mathbf { I } } _ { { \mathbf { u - t a r } } } } ) } } { { { R _ { L } } + { R _ { R x } } } }
A _ { r s } = - \left( { - { \frac { 1 } { 3 } } \atop { r - { \frac { 1 } { 3 } } } } \right) \left( { - { \frac { 2 } { 3 } } \atop { s - { \frac { 2 } { 3 } } } } \right) { \frac { ( - 1 ) ^ { r + s } } { r + s } } \, .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \Delta \mathbf { W } \in \mathcal { B } _ { F } ( \gamma ) } \left\{ f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } + \Delta \mathbf { W } ^ { \star } ) - f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) \right\} \leq - \frac { q t _ { 0 } ^ { q - 1 } } { 3 ( q + 1 ) } \cdot \sqrt { \frac { k - r } { d _ { 2 } } } \cdot \sqrt { \frac { p p _ { 0 } } { s d _ { 1 } d _ { 2 } } } \cdot \gamma , } \end{array}
\boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \stackrel { \nabla ^ { * } } { \boldsymbol { \mathrm { I } } ^ { * } } = \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \left[ \boldsymbol { u } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { \mathrm { I } } ^ { * } - ( \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { u } ^ { * } ) ^ { \textrm { T } } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \mathrm { I } } ^ { * } - \boldsymbol { \mathrm { I } } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { u } ^ { * } ) \right] = - 2 \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } = - { \nabla ^ { * } } ^ { 2 } \boldsymbol { u } ^ { * } .
\begin{array} { r l } { \ddot { x } + \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } \dot { x } + \omega _ { \beta } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { e } { \omega _ { p } ^ { 2 } m } \frac { c - \dot { z } } { c } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { 0 } } { d \zeta ^ { 2 } } \right] x } & { = \frac { F _ { x , l } } { \gamma m } , } \\ { \ddot { y } + \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } \dot { y } + \omega _ { \beta } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { e } { \omega _ { p } ^ { 2 } m } \frac { c - \dot { z } } { c } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { 0 } } { d \zeta ^ { 2 } } \right] y } & { = \frac { F _ { y , l } } { \gamma m } , } \\ { \ddot { \zeta } + \frac { \dot { \gamma } } { \gamma } ( \dot { \zeta } + c ) - \frac { \omega _ { \beta } ^ { 2 } e } { \omega _ { p } ^ { 2 } m } \left[ 2 \frac { d \psi _ { 0 } } { d \zeta } - \frac { x \dot { x } + y \dot { y } } { c } \frac { d ^ { 2 } \psi _ { 0 } } { d \zeta ^ { 2 } } \right] } & { = \frac { F _ { z , l } } { \gamma m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } , \partial _ { t } E _ { 1 } } & { \in L _ { - \nu } ^ { 2 } ( \mathbb { R } , \mathscr { H } _ { 0 } ^ { \bot } ) } \\ { \lVert E _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert h \rVert _ { - \nu , 0 } } \\ { \lVert \partial _ { t } E _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert \partial _ { t } E _ { 0 } \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \partial _ { t } ^ { - 1 } g _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \partial _ { t } ^ { - 1 } g _ { 1 } \rVert _ { - \nu , 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { G _ { * } \in \Xi _ { 2 } ( l _ { n } ) } \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr ( ( \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } \left\{ \| \Delta \mu ^ { * } \| ^ { 4 } + \| \Delta \Sigma ^ { * } \| ^ { 2 } \right\} \left\{ \| \widehat { \mu } _ { n } - \mu ^ { * } \| ^ { 4 } + \| \widehat { \Sigma } _ { n } - \Sigma ^ { * } \| ^ { 2 } \right\} \biggr ) \lesssim \frac { \log ^ { 2 } n } { n } , } \end{array}
\boldsymbol { \mathbf { E } } _ { \mathrm { i n } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) = \sum _ { l m } \frac { 1 } { k _ { 0 } r } \left[ \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { i n } } \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { T E } } ^ { \mathrm { i n } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) + c \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { i n } } \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { l m , \mathrm { T M } } ^ { \mathrm { i n } } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } ) \right] ,
\operatorname { e r f } ( x ) \approx { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \operatorname { s g n } ( x ) { \sqrt { 1 - e ^ { - x ^ { 2 } } } } \left( { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } + { \frac { 3 1 } { 2 0 0 } } e ^ { - x ^ { 2 } } - { \frac { 3 4 1 } { 8 0 0 0 } } e ^ { - 2 x ^ { 2 } } \right) .
y ^ { 2 } = \prod _ { a = 1 } ^ { n _ { f } / 2 } ( x - \phi _ { a } ) ^ { 2 } \prod _ { k = 1 } ^ { n _ { c } - n _ { f } / 2 } \phi _ { k } ^ { 2 } - 4 \Lambda ^ { 2 n _ { c } - n _ { f } } \prod _ { i = 1 } ( x + m _ { i } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { C o v } ( J _ { k _ { 1 } , i } , J _ { k _ { 2 } , j } ) } & { = O \left( \frac { c _ { z } c _ { y } } { n b } \sum _ { p , q = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } E \left( \Xi _ { y , p + k _ { 1 } - 1 } \Xi _ { z , q + k _ { 2 } - 1 } K _ { b _ { y } } \left( \frac { p - \lceil n b \rceil } { n } \right) K _ { b _ { z } } \left( \frac { q - \lceil n b \rceil } { n } \right) \right) \right) } \\ & { = O \left( \frac { 1 } { n b } \sum _ { p , q = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \chi ^ { | p + k _ { 1 } - q - k _ { 2 } | } \right) = O ( \chi ^ { | k _ { 1 } - k _ { 2 } | } / ( n b ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { 0 } ( x , t ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N } \frac { \alpha _ { k } H ( x - x _ { k } ) } { 2 } \chi _ { [ 2 x _ { k } - x , x ] } ( t ) } \\ & { + \sum _ { J \in \mathcal { J } _ { N } } \frac { \alpha _ { J } H ( x - x _ { j _ { | J | } } ) } { 2 ^ { | J | } } \left( \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } \right) ^ { \ast } \chi _ { x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { l } } } ( t ) \right) \ast \chi _ { x - x _ { j _ { | J | } } } ( t - x _ { j _ { 1 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( I ) = - } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { | \beta | = p - 2 } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { \beta } \end{array} \right) a ^ { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } u _ { i } ^ { \beta _ { 1 } } v _ { i } ^ { \beta _ { 2 } } \left( { u _ { i } } _ { x } \quad { v _ { i } } _ { x } \right) A _ { i } \left( \begin{array} { c } { { u _ { i } } _ { x } } \\ { { v _ { i } } _ { x } } \end{array} \right) d x + ( I I I ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { | \beta | = p - 1 } \left( \begin{array} { c } { p } \\ { \beta } \end{array} \right) a ^ { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } u _ { i } ^ { \beta _ { 1 } } v _ { i } ^ { \beta _ { 2 } } \left( a ^ { 2 \beta _ { 1 } + 1 } { u _ { i } } + { v _ { i } } \right) d x , } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } { \big ( } R ^ { g ( t ) } ( \gamma ( t ) ) { \big ) } + { \frac { R ^ { g ( t ) } ( \gamma ( t ) ) } { t } } + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { R i c } ^ { g ( t ) } ( \gamma ^ { \prime } ( t ) , \gamma ^ { \prime } ( t ) ) \geq 0 .
K _ { M N } ^ { ( 0 ) } \equiv \left( \begin{array} { c c c } { { g _ { \mu } ^ { \; \rho } g _ { \nu } ^ { \; \sigma } } } & { { 0 } } & { { - g _ { \mu \nu } } } \\ { { 0 } } & { { - g _ { \mu } ^ { \; \rho } g _ { \nu } ^ { \; \sigma } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 8 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { A } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { G } ( z , x , u ( s - ) ) \tilde { N } ( d s , d z ) } & { { } = \mathcal { R } \int _ { 0 } ^ { t } \theta \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { G } ( z , x , u ( s - ) ) \tilde { N } ( d s , d z ) } \end{array}
\mathsf { A C V } ^ { 2 } G = \frac { 2 } { n - 5 } + \frac { 2 } { n ( n - 5 ) } \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } + \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { ~ - ~ } } } .
\frac { \partial H } { \partial \gamma _ { i j } } = \gamma ^ { - 1 / 3 } \left[ \frac { \partial H } { \partial h _ { i j } } - \frac { 1 } { 3 } \frac { \partial H } { \partial h _ { k l } } h _ { k l } h ^ { i j } \right] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { k } ^ { l } } & { { } = \frac { 1 } { N _ { k } ^ { l } L _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { l } } { \left( \frac { \beta _ { i } c P _ { i } } { 1 3 . 6 M e V } \right) ^ { 2 } s _ { i } ^ { 2 } } \; \; \; } & { P _ { i } \leq P _ { \mathrm { t h r } } \; , } \\ { \lambda _ { k } ^ { h } } & { { } = \left( \frac { \bar { \beta } _ { h } c \bar { P } _ { h } } { 1 3 . 6 M e V } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { N _ { k } ^ { h } L _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { h } } { s _ { i } ^ { 2 } } \; \; \; } & { P _ { i } > P _ { \mathrm { t h r } } \; . } \end{array}
I ( 0 ) = C \frac { d V } { d t } \Bigg | { t = 0 } = C \frac { d } { d t } \Big [ V _ { 0 } e ^ { - \frac { t } { R C } } \Big ] \Bigg | { t = 0 } = - \frac { V _ { 0 } } { R } = - 0 . 5
\sigma _ { i } = 2 ^ { 1 / 2 } \left( \begin{array} { c c } { { e _ { i } ^ { 3 } } } & { { e _ { i } ^ { 2 } } } \\ { { e _ { i } ^ { 1 } } } & { { - e _ { i } ^ { 4 } } } \end{array} \right) ; \qquad \bar { \sigma } _ { i } = 2 ^ { 1 / 2 } \left( \begin{array} { c c } { { - e _ { i } ^ { 4 } } } & { { - e _ { i } ^ { 2 } } } \\ { { - e _ { i } ^ { 1 } } } & { { e _ { i } ^ { 3 } } } \end{array} \right) .
e q . \mathrm { ~ } e r r ( \mathbf { a } _ { s t } ) = \mathbb { E } \left[ \left| \int \mathbf { Y } ( \hat { \mathbf { r } } ) P ( F _ { \mathbf { a } _ { s t } } ( \hat { \mathbf { r } } ) ) \, d \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { D } ( R ^ { - 1 } ) \int \mathbf { Y } ( \hat { \mathbf { r } } ) P ( F _ { \mathbf { D } ( R ) \mathbf { a } _ { s t } } ( \hat { \mathbf { r } } ) ) \, d \hat { \mathbf { r } } \right| \right]
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } { \left\lVert { \int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { l ; i , j _ { 1 } } \otimes d \hat { X } _ { r } ^ { l ; k , j _ { 1 } } - \int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { m ; i , j _ { 1 } } \otimes d \hat { X } _ { r } ^ { m ; k , j _ { 1 } } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes i } \times \mathcal { H } ^ { \otimes k } } ^ { p } } \\ & { \preceq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq w \leq n } { \left\lVert { R _ { f ^ { l } - f ^ { m } } ^ { n - w } } \right\rVert } _ { \infty ; [ 0 , 1 ] } ^ { \frac { \rho ^ { \prime } - \rho } { \rho ^ { \prime } } \cdot \frac { p } { 2 } } \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { \rho ^ { \prime } } } , \ \forall 0 \leq i , k \leq n . } \end{array}
\hat { U } \simeq e ^ { - i \hat { H } ( ( N - 1 ) \Delta t ) \Delta t } e ^ { - i \hat { H } ( ( N - 2 ) \Delta t ) \Delta t } \cdots e ^ { - i \hat { H } ( \Delta t ) \Delta t } e ^ { - i \hat { H } ( 0 ) \Delta t } ,
\begin{array} { r l } { t - t _ { 0 } } & { { } = \operatorname { a r c t a n h } \left( { \frac { 1 } { E } } \left[ s \left( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } \right) - { \sqrt { E ^ { 2 } - \left( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } \right) x _ { 0 } ^ { 2 } } } \right] \right) + } \\ { x } & { { } = { \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + 2 s { \sqrt { E ^ { 2 } - ( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) x _ { 0 } ^ { 2 } } } - s ^ { 2 } ( P ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) } } } \\ { y - y _ { 0 } } & { { } = P s ; \; \; z - z _ { 0 } = Q s } \end{array}
\mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } = \prod _ { \ell = N + 1 } ^ { 1 } \mathbb { T } _ { \ell \nu } = \mathbb { T } _ { ( N + 1 ) , \nu } \prod _ { \ell = N } ^ { 1 } \mathbb { T } _ { \ell \nu }
V _ { w } ( x ) = \xi ^ { \dagger } ( x ) \exp { ( i g \frac { { \vec { \alpha } _ { w } } \cdot { \vec { \tau } } } { 2 } ) } \xi ( x ) \ , \qquad V _ { y } ( x ) = \xi ( x ) \exp { ( \frac { \alpha _ { y } \tau ^ { 3 } } { 2 } ) } \xi ^ { \dagger } ( x ) \ .
\begin{array} { r l } & { r ( t ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) = \iiiint \mathcal { H } ( t , f ; \tau , \nu ) \mathbf { S } _ { t , f } ^ { \tau , \nu } ( t ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) ~ d t ~ d f ~ d \tau ~ d v } \\ & { = \iiiint \mathcal { H } ( t , f ; \tau , \nu ) } \\ & { \times s ( t ^ { \prime } - t , f ^ { \prime } - f ) e ^ { - j 2 \pi ( \nu t ^ { \prime } - \tau ( f ^ { \prime } + f ) ) } ~ d t ~ d f ~ d \tau ~ d v } \\ & { = \iint \left\{ \iint \mathcal { H } ( t , f ; \tau , \nu ) e ^ { - j 2 \pi ( \nu t ^ { \prime } - \tau ( f ^ { \prime } + f ) ) } ~ d \tau ~ d v \right\} } \\ & { \times s ( t ^ { \prime } - t , f ^ { \prime } - f ) ~ d t ~ d f } \end{array}
\mathrm { d } s _ { f } ^ { 2 } = \frac { r + 2 m } { r } \Big [ \mathrm { d } r ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } r ^ { 2 } } { ( r + m ) ^ { 2 } } \left( \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, \mathrm { d } \phi ^ { 2 } \right) \Big ] + \frac { 4 r m ^ { 2 } } { r + 2 m } \Big ( \mathrm { d } \psi + \cos \theta \, \mathrm { d } \phi \Big ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { K _ { 2 x } ^ { 1 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ t ~ E _ { c } ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H - ( \gamma + 1 ) E _ { c } ) } \\ { K _ { 2 x } ^ { 2 } } & { = } & { d x ^ { 3 } \kappa ( \gamma _ { 1 } ^ { 2 } t u E _ { c } + \gamma _ { 1 } E _ { c } \kappa + v ^ { 2 } \kappa + \gamma _ { 1 } H v - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ H t u + \gamma _ { 1 } t u E _ { c } ) } \\ { K _ { 2 x } ^ { 3 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ t ~ \kappa ~ ( - u ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ ( ( \gamma + 1 ) ~ v - t ~ u ) ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( t ~ u - \gamma _ { 1 } ~ v ) ) } \\ { K _ { 2 x } ^ { 4 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ t ~ \kappa ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ H + ( \gamma + 1 ) E _ { c } ) } \end{array}
P _ { 1 } = V _ { 1 } ^ { i } ( p _ { i } - p _ { 0 i } ) \qquad P _ { 2 } = V _ { 2 } ^ { i } ( p _ { i } - p _ { 0 i } ) \qquad P _ { 3 } = V _ { 3 } ^ { i } ( p _ { i } - p _ { 0 i } )
\zeta ( z , q ) = \frac 1 { \Gamma ( z ) } \left[ h _ { 1 } ( z , q ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } B _ { n } ( q ) } { n ! } \frac 1 { z + n - 1 } \right] ,
\Phi \sim B \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \nu , n ) } { ( 2 \sqrt { 2 \mu k } u ) ^ { n } } \frac { e ^ { - \sqrt { 2 \mu k E _ { b } } u } } { E _ { b } ^ { n / 2 } } \sin { \nu \pi } ,
\frac { d } { d t } \rho _ { r w a } = - \frac { i } { \lambda } [ \hat { H } _ { F \gamma } ^ { ( T ) } , \rho _ { r w a } ] + \kappa \Big ( \hat { a } \rho _ { r w a } \hat { a } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } , \rho _ { r w a } \} \Big ) .
\begin{array} { r l } { P _ { l + 1 } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) - p _ { l + 1 } ^ { T } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) p _ { l + 1 } } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) + \alpha _ { l + 1 } \left( \begin{array} { l } { - e _ { l + 1 } ^ { ( n ) } } \\ { u _ { l + 1 } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( n ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } u _ { l + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( n ) } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } - \beta _ { l } u _ { l } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { - 2 ^ { 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } x _ { - } ^ { 1 / 2 } \left( 1 - x _ { - } ^ { - 1 / 2 } x _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 } + \mathfrak { h } ^ { T , n } ( x _ { - } , y _ { 1 } ) - \mathfrak { h } ^ { T , n } ( x _ { 0 } , y _ { 1 } ) - \mathfrak { R } _ { k } ^ { T , n } ( x _ { - } , z _ { k } ) + \mathfrak { R } _ { k } ^ { T , n } ( x _ { 0 } , z _ { k } ) . } \end{array}
\frac { \sigma _ { t } } { \pi \ell ^ { 2 } } \approx \frac { \iint _ { r \le \ell } \vert \psi _ { s } ( r ) \vert ^ { 2 } \, r \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta } { \iint _ { r \le \ell } \vert \psi _ { 0 } ( r ) \vert ^ { 2 } \, r \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta } ,
\left( \frac { 2 \pi \omega ^ { + j } R ^ { + j } + Y ^ { + j } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \right) \left( \frac { 2 \pi \omega _ { - j } R _ { - j } + Y _ { - j } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \right) - \frac { 1 } { 8 } + + N _ { B } ( D D ) + N _ { F } ^ { N S } ( D D ) ,
U _ { \mathrm { e x t } } = 4 \pi \int _ { r = r _ { 1 } } ^ { \infty } u _ { V } ( r ) r ^ { 2 } d r = 6 \pi \Delta r \sigma _ { 0 } r _ { 1 } ^ { 5 } \int _ { r = r _ { 1 } } ^ { \infty } \frac { 1 } { r ^ { 4 } } d r
( C _ { 1 1 1 1 } ^ { H } , ~ C _ { 2 2 2 2 } ^ { H } , ~ C _ { 3 3 3 3 } ^ { H } ) = ( 0 . 2 0 0 , ~ 0 . 2 0 0 , ~ 0 . 2 0 0 ) , ~ ( C _ { 1 1 2 2 } ^ { H } , ~ C _ { 2 2 3 3 } ^ { H } , ~ C _ { 3 3 1 1 } ^ { H } ) = ( - 0 . 0 5 9 5 , ~ - 0 . 0 5 9 2 , ~ - 0 . 0 5 7 9 )
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { { } = \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) = ( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } + \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } + \tilde { \mathbf { x } } ^ { 3 } + \ldots ) \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) } \end{array}
\geq \sum _ { c y c } \left( \frac { 1 } { 2 } \frac { a ^ { 4 } + b ^ { 4 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + \frac { 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c y c } ( a ^ { 2 } + 2 b c ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c y c } \frac { ( a - b ) ^ { 4 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \geq 0 .
\begin{array} { r l r } { n } & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { p } | V ( T _ { i } ) | } \\ & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { 2 k _ { 2 } } m _ { M _ { 2 } ( T _ { 0 } ) } ( \mu _ { j } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { p } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 k _ { 1 } } m _ { M _ { 1 } ( T _ { i } ) } ( \lambda _ { j } ) } \\ & { \stackrel { ( * ) } { = } } & { p ^ { \delta _ { a 1 } } + p ^ { \delta _ { b 1 } } + \sum _ { \lambda \in A _ { 1 } \cap A _ { 2 } } \left( m _ { M _ { 2 } ( T _ { 0 } ) } ( \lambda ) + \sum _ { i = 1 } ^ { p } m _ { M _ { 1 } ( T _ { i } ) } ( \lambda ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { 4 } \, } & { = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } W _ { \epsilon } | \nabla \tilde { \eta } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } X - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } ( \nabla W _ { \epsilon } \cdot \nabla \tilde { \eta } ) \tilde { \eta } \, \mathrm { d } X - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } V _ { \epsilon } \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X } \\ & { \quad \, - \frac { \epsilon } { 2 } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \partial _ { R } \bigl ( W _ { \epsilon } ( 1 + \epsilon R ) \bigr ) \tilde { \zeta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { \epsilon } } t ( \partial _ { t } W _ { \epsilon } ) \tilde { \eta } ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega > \omega _ { 0 } , \vee ) = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \backslash , v _ { g - } ) + \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( / , v _ { g + } ) \Big ) } \\ { + i \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H T } \left\{ \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \backslash , v _ { g - } ) - \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( / , v _ { g + } ) \right\} } \end{array}