harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { D } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \big ( \begin{array} { l l } { e ^ { - i 2 \theta } } & { e ^ { i \ell \phi } } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \theta } } \\ { e ^ { i 2 \theta } } & { 1 } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l } { e ^ { i 2 \theta } } \\ { e ^ { - i \ell \phi } } \end{array} \big ) , } \\ { I _ { D } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } ( 2 + e ^ { - i 2 \theta } e ^ { - i ( \ell + 2 ) \phi } + e ^ { i 2 \theta } e ^ { i ( \ell + 2 ) \phi } ) , } \\ { I _ { A } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \theta } e ^ { i \ell \phi } } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \theta } } \\ { e ^ { i 2 \theta } } & { 1 } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l } { 1 } \\ { e ^ { - i \ell \phi } e ^ { i 2 \theta } } \end{array} \big ) , } \\ { I _ { A } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } ( 2 + e ^ { i 2 \theta } e ^ { - i ( \ell + 2 ) \phi } + e ^ { - i 2 \theta } e ^ { i ( \ell + 2 ) \phi } ) , } \end{array}
\frac { 1 } { M _ { e } } \left[ \frac { 2 } { \gamma + 1 } \left( 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } M _ { e } ^ { 2 } \right) \right] ^ { \frac { \gamma + 1 } { 2 ( \gamma - 1 ) } } - \frac { A _ { e } } { A ^ { \star } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { c : = c ( t , x , \alpha ( t , x , \nabla ^ { h } V ^ { \tau , h } ) ) \quad } & { \mathrm { a n d } \quad f : = f ( t , x , \alpha ( t , x , \nabla ^ { h } V ^ { \tau , h } ) ) } \\ { c _ { n } : = c ( t , x , \alpha _ { n } ( t , x ) ) \quad } & { \mathrm { a n d } \quad f _ { n } : = f ( t , x , \alpha _ { n } ( t , x ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \in \mathcal { X } \times { \bf R } ^ { d } } E _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ^ { \theta } \left\{ \log \bigg ( ( \tilde { f } _ { \theta } ( y _ { 0 } , Y _ { 1 } ) ) ^ { p } \frac { w ( X _ { p } , Y _ { p } ) } { w ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \right) \bigg \} < 0 , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \in \mathcal { X } \times { \bf R } ^ { d } } E _ { ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } ^ { \theta } \left\{ \tilde { f } _ { \theta } ( y _ { 0 } , Y _ { 1 } ) \frac { w ( X _ { 1 } , Y _ { 1 } ) } { w ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \right\} < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( s _ { i } ) | _ { \vec { a } } } & { = a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 } - a _ { 1 } } \\ & { = a _ { 1 } ( a _ { 1 } - 1 ) - 2 a _ { 2 } } \\ { f _ { 3 } ( s _ { i } ) | _ { \vec { a } } } & { = a _ { 1 } ^ { 3 } - 3 a _ { 1 } a _ { 2 } + 3 a _ { 3 } - 3 ( a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 } ) + 2 a _ { 1 } } \\ & { = a _ { 1 } ( a _ { 1 } - 1 ) ( a _ { 1 } - 2 ) - 3 a _ { 1 } a _ { 2 } + 3 a _ { 3 } - 6 a _ { 2 } } \\ { f _ { 4 } ( s _ { i } ) _ { \vec { a } } } & { = a _ { 1 } ^ { 4 } - 4 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } + 4 a _ { 1 } a _ { 3 } + 2 a _ { 2 } ^ { 2 } - 6 ( a _ { 1 } ^ { 3 } - 3 a _ { 1 } a _ { 2 } + 3 a _ { 3 } ) + 1 1 ( a _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 2 } ) - 6 ( a _ { 1 } ) } \\ & { = a _ { 1 } ( a _ { 1 } - 1 ) ( a _ { 1 } - 2 ) ( a _ { 1 } - 3 ) - 4 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } + 4 a _ { 1 } a _ { 3 } + 2 a _ { 2 } ^ { 2 } + 1 8 a _ { 1 } a _ { 2 } - 1 8 a _ { 3 } - 2 2 a _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exists y _ { 0 } , y _ { 1 } , y _ { 2 } , z _ { 1 } , \dotsc , z _ { n } } \\ & { y _ { 0 } = z _ { 1 } \wedge y _ { 2 } = z _ { 2 } \wedge O ( z _ { 1 } , \dotsc , z _ { n } ) \wedge } \\ & { \bigwedge _ { j = 1 } ^ { 2 } \biggl ( \bigwedge _ { i = 1 } ^ { k } R ( y _ { j - 1 } , y _ { j } , x _ { i } ^ { j } ) \wedge \bigwedge _ { i \in I } R ( y _ { j - 1 } , y _ { j } , z _ { i } ) \biggr ) \enspace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( E - m \right) \phi } & { { } = \left( { \vec { \sigma } } \cdot { \vec { p } } \right) \chi } \\ { \left( E + m \right) \chi } & { { } = \left( { \vec { \sigma } } \cdot { \vec { p } } \right) \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } [ \| | \rho _ { \mathrm { e r r } } ( t ) \rangle \| _ { 2 } ] = \mathbb { E } [ \langle \rho _ { \mathrm { e r r } } ( t ) | | \rho _ { \mathrm { e r r } } ( t ) \rangle ] } \\ & { = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } } \mathbb { E } _ { \Xi _ { i } , \Xi _ { j } } \left\langle \rho _ { \Xi _ { i } } ( t ) \mid \rho _ { \Xi _ { j } } ( t ) \right\rangle - \langle \rho ( t ) \mid \rho ( t ) \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 , i \neq j } ^ { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } } \mathbb { E } _ { \Xi _ { i } , \Xi _ { j } } \left\langle \rho _ { \Xi _ { i } } ( t ) \mid \rho _ { \Xi _ { j } } ( t ) \right\rangle + \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } ^ { 2 } } \sum _ { i = j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } } \mathbb { E } _ { \Xi _ { i } , \Xi _ { j } } \left\langle \rho _ { \Xi _ { i } } ( t ) \mid \rho _ { \Xi _ { j } } ( t ) \right\rangle - \langle \rho ( t ) \mid \rho ( t ) \rangle } \\ & { = \frac { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } ( N _ { \mathrm { t r a j ~ } } - 1 ) } { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } ^ { 2 } } \langle \rho ( t ) \mid \rho ( t ) \rangle + \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } } \mathbb { E } _ { \Xi } \left\langle \rho _ { \Xi } ( t ) \mid \rho _ { \Xi } ( t ) \right\rangle - \langle \rho ( t ) \mid \rho ( t ) \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } } \mathbb { E } _ { \Xi } \left\langle \rho _ { \Xi } ( t ) \mid \rho _ { \Xi } ( t ) \right\rangle - \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } } \langle \rho ( t ) \mid \rho ( t ) \rangle } \\ & { \le \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a j ~ } } } \mathbb { E } _ { \Xi } \left\langle \rho _ { \Xi } ( t ) \mid \rho _ { \Xi } ( t ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { F } ^ { S } = } & { \alpha _ { J } ^ { S } , } \\ { \alpha _ { F } ^ { T } = } & { - ( - 1 ) ^ { J + I + F } \sqrt { \frac { 2 F ( 2 F - 1 ) ( 2 F + 1 ) } { 3 ( F + 1 ) ( 2 F + 3 ) } } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l l } { F } & { 2 } & { F } \\ { J } & { I } & { J } \end{array} \right\} \alpha _ { J } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { n } ^ { I } \left( r _ { n } \right) } & { { } = \varphi _ { n } ^ { E } \left( r _ { n } \right) } \\ { \left. \varsigma _ { n } \frac { \partial \varphi _ { n } ^ { I } } { \partial \rho _ { n } } \right| _ { r _ { n } } } & { { } = \left. \varsigma _ { o } \frac { \partial \varphi _ { n } ^ { E } } { \partial \rho _ { n } } \right| _ { r _ { n } } } \end{array}
r ( t ) = \frac { \tilde { a } _ { 3 } ( t ) \tilde { a } _ { 4 } ^ { * } ( t ) - \tilde { a } _ { 1 } ^ { * } ( t ) \tilde { a } _ { 4 } ( t ) } { | \tilde { a } _ { 1 } ( t ) | ^ { 2 } - | \tilde { a } _ { 3 } ( t ) | ^ { 2 } } + \frac { \tilde { a } _ { 3 } ( t ) \tilde { a } _ { 2 } ^ { * } ( t ) - \tilde { a } _ { 1 } ^ { * } ( t ) \tilde { a } _ { 2 } ( t ) } { | \tilde { a } _ { 1 } ( t ) | ^ { 2 } - | \tilde { a } _ { 3 } ( t ) | ^ { 2 } } q ( t ) .
\begin{array} { r } { \Delta p _ { \mathrm { S Q L } } = \sqrt { \frac { \hbar m _ { s } } { \tau } } \approx 0 . 8 ~ \mathrm { k e V } / c \times \left( \frac { m _ { s } } { 1 ~ \mathrm { f g } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 1 ~ \mathrm { m s } } { \tau } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\frac { d } { d t } \langle O _ { \mathrm { p h } } \rangle = \frac { i } { \hbar } \langle [ \tilde { H } _ { \mathrm { p h } } , O _ { \mathrm { p h } } ] \rangle \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { d } { d t } \langle O _ { \mathrm { e l } } \rangle = \frac { i } { \hbar } \langle [ \tilde { H } _ { \mathrm { e l } } , O _ { \mathrm { e l } } ] \rangle + \langle \mathcal { L } ^ { \dagger } [ O _ { \mathrm { e l } } ] \rangle ,
Z _ { \eta / b } ( A , l ) = \frac { l \Gamma ( 2 \eta ) e ^ { ( \eta - 1 / 2 ) C } } { 2 b ^ { 2 } A \sqrt { 2 \pi ( 1 - 2 \eta } } \exp \left( - \frac 1 { b ^ { 2 } } S _ { \eta } ( A , l ) \right)
\begin{array} { l } { { W _ { q } \simeq - \int d x \langle E [ \delta \left( \tilde { q } \left( 1 \right) \right) ] \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \tau } { \tau } \tau ^ { - \frac { 2 } { 1 + \gamma } } \Big ( \exp ( - \tau \alpha \phi _ { c } ^ { 2 } ( x ) ) - 1 + \tau \alpha \phi _ { c } ^ { 2 } ( x ) \Big ) \rangle } } \\ { { \simeq \int d x \langle v ( x ) \vert \phi _ { c } \vert ^ { \frac { 4 } { 1 + \gamma } } \rangle } } \end{array}
\langle \Phi _ { 0 } | ( { \hat { H } } - { \hat { F } } ) | \Phi _ { 0 } \rangle \neq 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad E _ { \mathrm { H F } } \neq 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N / 2 } \varepsilon _ { i } .
\mathbf { Q } = \left( \eta , \, \mathbf { q } , \, b \right) , \qquad \mathbb { F } ( \mathbf { Q } ) = \left( \mathbf { q } , \, \mathbf { v } \otimes \mathbf { q } , \, \mathbf { 0 } \right) , \qquad \mathbb { B } \cdot \nabla \mathbf { Q } = \left( 0 , \, \frac { H } { \textnormal { F r } ^ { 2 } } \nabla \eta , \, 0 \right) ,
\begin{array} { r } { | T _ { 1 3 } | = \frac 1 6 \left| \begin{array} { c c c } { 0 } & { h _ { 2 } } & { c _ { 4 } - h _ { 3 } } \\ { a _ { 1 } } & { 0 } & { - h _ { 3 } } \\ { 0 } & { b _ { 5 } } & { - h _ { 3 } } \end{array} \right| = \frac 1 6 a _ { 1 } \left[ h _ { 2 } h _ { 3 } + b _ { 5 } ( c _ { 4 } - h _ { 3 } ) \right] = \frac 1 6 a _ { 1 } [ ( h _ { 2 } - b _ { 5 } ) h _ { 3 } + b _ { 5 } c _ { 4 } ] , } \end{array}
\alpha _ { E } ^ { p } = 1 0 K _ { p } = 1 2 . 7 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \, \mathrm { f m } ^ { 3 } , \quad \beta _ { M } ^ { p } = K _ { p } = 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \, \mathrm { f m } ^ { 3 }
\left[ { \begin{array} { r r r r r r r r } { 5 2 } & { 5 5 } & { 6 1 } & { 6 6 } & { 7 0 } & { 6 1 } & { 6 4 } & { 7 3 } \\ { 6 3 } & { 5 9 } & { 5 5 } & { 9 0 } & { 1 0 9 } & { 8 5 } & { 6 9 } & { 7 2 } \\ { 6 2 } & { 5 9 } & { 6 8 } & { 1 1 3 } & { 1 4 4 } & { 1 0 4 } & { 6 6 } & { 7 3 } \\ { 6 3 } & { 5 8 } & { 7 1 } & { 1 2 2 } & { 1 5 4 } & { 1 0 6 } & { 7 0 } & { 6 9 } \\ { 6 7 } & { 6 1 } & { 6 8 } & { 1 0 4 } & { 1 2 6 } & { 8 8 } & { 6 8 } & { 7 0 } \\ { 7 9 } & { 6 5 } & { 6 0 } & { 7 0 } & { 7 7 } & { 6 8 } & { 5 8 } & { 7 5 } \\ { 8 5 } & { 7 1 } & { 6 4 } & { 5 9 } & { 5 5 } & { 6 1 } & { 6 5 } & { 8 3 } \\ { 8 7 } & { 7 9 } & { 6 9 } & { 6 8 } & { 6 5 } & { 7 6 } & { 7 8 } & { 9 4 } \end{array} } \right] .
\partial _ { S } \omega ( S ) = 2 i \pi \left( E _ { 2 } ( S ) - 2 E _ { 2 } ( 2 S ) \right) , \; E _ { 2 } ( T ) = 1 - 2 4 q - 7 2 q ^ { 2 } - 9 6 q ^ { 3 } - 1 6 8 q ^ { 4 } + \dots .
a ^ { 5 } - b ^ { 5 } = ( a - b ) \left( a ^ { 2 } + { \frac { 1 - { \sqrt { 5 } } } { 2 } } a b + b ^ { 2 } \right) \left( a ^ { 2 } + { \frac { 1 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } a b + b ^ { 2 } \right) ,
\Delta \Gamma _ { e f f } [ H , q ] = i \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - ) ^ { k + 1 } } { k } T r [ D _ { \tilde { g } } ( H B _ { H } - O Q \gamma _ { 0 } D _ { \tilde { g } } Q ^ { \dagger } ) ] ^ { k } \equiv \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \Delta \Gamma _ { e f f } ^ { ( k ) }
I ( \omega ) = { \frac { \beta } { 4 c \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { s y s } } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i \omega t } \sum _ { d = x , y } \left< \dot { \mu } _ { d } ( 0 ) \dot { \mu } _ { d } ( t ) \right> \, \mathrm { d } t ,
{ \int } _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { + } \left( \frac { i } { k _ { + } - q _ { + } - i { \varepsilon } } - \frac { i } { k _ { + } + q _ { + } - i { \varepsilon } } \right) = - { \pi } \mathrm { s g n } ( q _ { + } ) ,
\delta { \mathcal F } _ { s } = g _ { s } + ( 1 / d i ) ( 2 Z _ { s } / ( \tau _ { s } \beta _ { e } ) ) ( \mathcal { J } _ { 0 s } ^ { 2 } - 1 ) \phi + d _ { i } v _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { J } _ { 1 s } \mathcal { J } _ { 0 s } B _ { \parallel }
Q _ { \alpha } = \gamma _ { i \alpha \beta } \psi _ { \beta } ^ { a } \pi _ { i } ^ { a } - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { i j \alpha \beta } \epsilon ^ { a b c } \psi _ { \beta } ^ { a } X _ { i } ^ { b } X _ { j } ^ { c } ,
{ \cal L } _ { 2 } ( U ) = \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } T r \left( D _ { \mu } U ( D ^ { \mu } U ) ^ { \dagger } \right) + \frac { F _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } T r \left( \chi U ^ { \dagger } + U \chi ^ { \dagger } \right) , \quad U ( x ) = \exp \left( i \frac { \phi ( x ) } { F _ { 0 } } \right) ,
\Delta q ^ { ( 1 ) } = \left( \frac { \alpha _ { r } } { \pi } \right) \left( \frac { 2 5 } { 8 } - 3 \zeta ( 2 ) - ( 3 4 + 1 2 \ln x ) x + 9 6 \zeta ( 2 ) \, x ^ { \frac { 3 } { 2 } } + { \cal O } ( x \ln ^ { 2 } x ) \right)
\frac 1 { 2 \Gamma \left( - \frac 1 2 \right) } \sum _ { j = 0 } ^ { d } \frac { 2 a _ { j } } { j - d - 1 } + \frac 1 { 2 \Gamma \left( - \frac 1 2 \right) } r _ { d + 1 } \left( - \frac 1 2 \right) \, \, + \left. \frac { \mu ^ { s + 1 } } { \Gamma \left( \frac s 2 \right) } \frac { a _ { d + 1 } } { s + 1 } \right\rfloor _ { s = - 1 } =
\begin{array} { r l r } { D _ { \mathrm { t h e o r y } } \left( g _ { 0 0 } ^ { 2 } , \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) } & { { } = } & { { \frac { g _ { 0 0 } ^ { 2 } } { \pi } } } \\ { D _ { \mathrm { p h y s . } } \left( g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) , \, \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) } & { { } = } & { { \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } { \pi } } = { \frac { 1 } { \pi \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } } } } \end{array}
\left[ \theta _ { 3 , 3 0 } ( q ) + \theta _ { 2 7 , 3 0 } ( q ) \right] { } ~ \left[ \theta _ { 7 , 3 0 } ( q ) + \theta _ { 2 3 , 3 0 } ( q ) \right] { } ~ \left[ \theta _ { 1 1 , 3 0 } ( q ) + \theta _ { 1 9 , 3 0 } ( q ) \right] { } ~ \left[ \theta _ { 1 3 , 3 0 } ( q ) + \theta _ { 1 7 , 3 0 } ( q ) \right] ,
\begin{array} { r l } { g _ { j } ^ { 2 } ( i ; I _ { j - 1 : 0 } ) } & { \leq \frac { 2 0 L _ { c 1 } ^ { 2 } } { \tau } ( 1 + 8 L _ { \pi } ^ { 4 } ) \frac { 8 \kappa ^ { 4 } } { 1 - \rho ^ { 4 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } + \frac { 2 0 L _ { c 1 } ^ { 2 } } { \tau } ( ( 1 + 8 L _ { \pi } ^ { 4 } ) 8 \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } + 8 \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 4 } ) ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \\ & { \quad + \frac { 5 L _ { c 2 } ^ { 2 } } { \tau } ( 1 + 2 L _ { \pi } ^ { 2 } ) \frac { 2 \kappa ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } + \frac { 5 L _ { c 2 } ^ { 2 } } { \tau } ( ( 1 + 2 L _ { \pi } ^ { 2 } ) 2 \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + 2 \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 2 } ) ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \\ & { \quad + \frac { 5 c _ { 0 } ^ { 2 } } { \tau } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \\ & { = \frac { 1 6 0 L _ { c 1 } ^ { 2 } } { \tau } ( 1 + 8 L _ { \pi } ^ { 4 } ) \frac { \kappa ^ { 4 } } { 1 - \rho ^ { 4 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } + \frac { 1 0 L _ { c 2 } ^ { 2 } } { \tau } ( 1 + 2 L _ { \pi } ^ { 2 } ) \frac { \kappa ^ { 2 } } { 1 - \rho ^ { 2 } } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \left( \frac { 1 6 0 L _ { c 1 } ^ { 2 } } { \tau } ( ( 1 + 8 L _ { \pi } ^ { 4 } ) \beta ^ { 4 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 4 } + \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 4 } ) + \frac { 1 0 L _ { c 2 } ^ { 2 } } { \tau } ( ( 1 + 2 L _ { \pi } ^ { 2 } ) \beta ^ { 2 } w _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + \bar { \pi } _ { 0 } ^ { 2 } ) + \frac { 5 c _ { 0 } ^ { 2 } } { \tau } \right) ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) } \\ & { = \frac { 1 } { \tau } \left( \alpha _ { 1 7 } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 4 } + \alpha _ { 1 8 } \| x _ { t _ { j } } \| ^ { 2 } + \alpha _ { 1 9 } \mathrm { p o l y } ( \beta w _ { \operatorname* { m a x } } , \bar { \pi } _ { 0 } ) ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \big ( \hat { \nu } _ { t } ^ { ( m ) } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } ] \big ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } ) - \mathbb { E } _ { \xi } [ \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } ] \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \bar { \nu } _ { t - 1 } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ] \bigg ) + \bigg ( \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ] + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ] - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t - 1 } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { b _ { x } ^ { 2 } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { \xi _ { x } \in \mathcal { B } _ { x } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \mu _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \mu _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } ] + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \mathbb { E } _ { \xi } [ \mu _ { t - 1 , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } ] - \mu _ { t - 1 , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\vec { V } ( z ) = \Biggl ( z + { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { ( { \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } } ) ^ { 2 } } { 1 + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } } } } ( z - \bar { z } ) , - { \frac { { \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } } ( 2 + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } } ) } { 1 + { \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } } } } ( z - \bar { z } ) \Biggr ) .
\Delta \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } ) = \underset { \{ \boldsymbol { \theta } , o \} } { \mathrm { m i n } } \left[ \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) - \chi _ { \mathrm { D U N E , m i n } } ^ { 2 } \right] \; ,
\langle e ^ { \sum _ { j } \lambda _ { j } x _ { j } } \rangle \simeq N ! \exp \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } c ( 2 j - N - 1 ) t \lambda _ { j } + t \sum _ { j = 1 } ^ { N } \lambda _ { j } ^ { 2 } + \sum _ { 1 \leq a < b \leq N } \log ( \frac { c ( b - a ) + \lambda _ { b } - \lambda _ { a } } { c + ( b - a ) c + \lambda _ { b } - \lambda _ { a } } ) \right)
\tilde { F } _ { \mu \nu } ( x ) = \partial _ { \nu } \tilde { A } _ { \mu } ( x ) - \partial _ { \mu } \tilde { A } _ { \nu } ( x ) + i \tilde { g } \, [ \tilde { A } _ { \mu } ( x ) , \tilde { A } _ { \nu } ( x ) ] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } R _ { j } ^ { 2 } } & { \leq } & { \mathbb { E } l _ { j } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { ( 2 C _ { 1 } \log { n } ) ^ { 2 } + 4 ( 2 n ) ^ { 2 } \mathbb { P } ( F _ { u p } ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { ( 2 C _ { 1 } \log { n } ) ^ { 2 } + \frac { 2 ( 2 n ) ^ { 2 } } { n ^ { 6 } } } \\ & { \leq } & { C _ { 3 } ( \log { n } ) ^ { 2 } } \end{array}
\hat { c } _ { 1 } ( r , z , t , T ) = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } r f ( r ) \, d r + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } e ^ { - j _ { 1 , n } ^ { 2 } T } J _ { 0 } ( j _ { 1 , n } r ) .
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } = } & { { } \Big ( \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle + \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } - \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle \Big ) \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } } \\ { = } & { { } \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } + ( \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } - \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle ) \langle \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } \rangle } \\ { \approx } & { { } \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } , } \end{array}
\rho \left( x , y , t \right) = 1 + 0 . 2 s i n \left( \pi \left( x + y - t \right) \right) , U \left( x , y , t \right) = 1 , p \left( x , y , t \right) = 1 , \left( x , y \right) \in \left[ 0 , 2 \right] \times \left[ 0 , 2 \right] .
{ \cal L } = { \frac { \mu } { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \rho } \ + \psi ^ { + } i \hbar D _ { 0 } \psi - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } | \vec { D } \psi | ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \cal H } _ { \mathrm { t b } } ^ { ( 0 ) } } { \partial k _ { x } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \frac { \partial h } { \partial k _ { x } } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial h } { \partial k _ { x } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial h } { \partial k _ { x } } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial h } { \partial k _ { x } } } \end{array} \right) _ { 4 N _ { z } \times 4 N _ { z } } , ~ ~ \frac { \partial { \cal H } _ { \mathrm { t b } } ^ { ( 0 ) } } { \partial k _ { y } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \frac { \partial h } { \partial k _ { y } } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial h } { \partial k _ { y } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial h } { \partial k _ { y } } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial h } { \partial k _ { y } } } \end{array} \right) _ { 4 N _ { z } \times 4 N _ { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \partial _ { n } u , X _ { \tau } \partial _ { \tau } u \rangle } & { = X _ { \tau } \langle u _ { \parallel } \partial _ { n } g + \partial _ { n } u _ { \perp } g ^ { \perp } , u _ { \parallel } \partial _ { \tau } g + \partial _ { \tau } u _ { \parallel } g \rangle } \\ & { = X _ { \tau } ( ( u _ { \parallel } ) ^ { 2 } \langle \partial _ { n } g , \partial _ { \tau } g \rangle + u _ { \parallel } \partial _ { n } u _ { \perp } \langle g ^ { \perp } , \partial _ { \tau } g \rangle ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ^ { a } } & { { } = - \kappa h ^ { a b } \left( \nabla _ { b } T + \dot { u } _ { b } T \right) ~ ; } \\ { \pi ^ { a b } } & { { } = - 2 \eta \sigma ^ { a b } ~ ; } \\ { p _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ s ~ } } } & { { } = - \zeta \theta ~ ; } \\ { \nu ^ { a } } & { { } = - \sigma T ^ { 2 } h ^ { a b } \nabla _ { b } \left( \frac { \mu } { T } \right) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \prod _ { k = 1 } ^ { n } z _ { k , n } ( t ) - \prod _ { k = 1 } ^ { n } w _ { k , n } ( t ) \bigg | } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } | z _ { k , n } ( t ) - w _ { k , n } ( t ) | } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { k t ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } E \left[ \operatorname* { m i n } \left( \frac { \sqrt { k } | t | } { n } | X _ { 1 } | ^ { 3 } , X _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { \leq \frac { t ^ { 2 } ( n + 1 ) } { 2 n } E \left[ \operatorname* { m i n } \left( \frac { | t | } { \sqrt { n } } | X _ { 1 } | ^ { 3 } , X _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right] . } \end{array}