harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { I ( t ) = V _ { 0 } \frac { A } { 1 + ( \omega \tau ) ^ { 2 } } - C \omega V _ { 0 } \sin { \omega t } } \\ & { + V _ { 0 } \left( G _ { 0 } + \frac { S } { 2 } \right) \cos { \omega t } } \\ & { + \frac { V _ { 0 } S } { 4 } \left[ \frac { \cos { \omega t } } { 1 + ( 2 \omega \tau ) ^ { 2 } } + \frac { 2 \omega \tau \sin { \omega t } } { 1 + ( 2 \omega \tau ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { + V _ { 0 } A \left[ \frac { \cos { 2 \omega t } } { 1 + ( \omega \tau ) ^ { 2 } } + \frac { \omega \tau \sin { 2 \omega t } } { 1 + ( \omega \tau ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { + \frac { V _ { 0 } S } { 4 } \left[ \frac { \cos { 3 \omega t } } { 1 + ( 2 \omega \tau ) ^ { 2 } } + \frac { 2 \omega \tau \sin { 3 \omega t } } { 1 + ( 2 \omega \tau ) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
D = \frac { i U } { 2 } \left[ \begin{array} { c c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { 1 6 } } & { d _ { 1 7 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { 2 5 } } & { d _ { 2 6 } } & { d _ { 2 7 } } & { d _ { 2 8 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { 3 5 } } & { d _ { 3 6 } } & { d _ { 3 7 } } & { d _ { 3 8 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { 4 6 } } & { d _ { 4 7 } } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { 2 5 } } & { d _ { 3 5 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { d _ { 1 6 } } & { d _ { 2 6 } } & { d _ { 3 6 } } & { d _ { 4 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { d _ { 1 7 } } & { d _ { 2 7 } } & { d _ { 3 7 } } & { d _ { 4 7 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { 2 8 } } & { d _ { 3 8 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 6 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 5 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 3 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \frac { \mathcal { K } _ { t } ^ { t + \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) - \mathbf { g } \left( \gamma _ { t } \right) } { \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { Y } \mu ^ { * } ( X ) } & { = \mu ^ { * } ( X \vert \setminus Y ) - \mu ^ { * } ( X ) } \\ & { = \sqrt [ N - M ] { \frac { \prod X } { \prod Y } } - \sqrt [ N ] { \prod X } } \\ & { = \frac { \mu ^ { * } ( X ) ^ { \frac { N } { N - M } } } { \mu ^ { * } ( Y ) ^ { \frac { M } { N - M } } } - \mu ^ { * } ( X ) } \\ & { = \mu ^ { * } ( X ) ^ { \frac { N } { N - M } } \mu ^ { * } ( Y ) ^ { \frac { - M } { N - M } } - \mu ^ { * } ( X ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ E ~ } ( \Delta p _ { C } ) \simeq } & { { } \left[ \frac { 1 } { N } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = \frac { 1 } { N } \right) + \left( - \frac { 1 } { N } \right) \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) \right] \Delta t } \\ { = } & { { } ~ \frac { k - 2 } { ( k - 1 ) N } p _ { C } ( 1 - p _ { C } ) ( 1 - w _ { R } ) \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b / k \right\} \delta \Delta t } \\ { \equiv } & { { } ~ m ( p _ { C } ) \Delta t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I \left( d , \lambda , t \right) } & { { } = \sum _ { m = 1 } ^ { n } E _ { m } \left( \lambda , t \right) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } e ^ { - \beta \left( \lambda , t \right) d } d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = i \sum _ { n } \rho _ { n } \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) c _ { j } ( t ) | n \rangle , } \\ & { = i \sum _ { n } \rho _ { n } \langle n | U ( 0 , t ^ { \prime } ) c _ { i } ^ { \dagger } U ( t , t ^ { \prime } ) c _ { j } U ( t , 0 ) | n \rangle , } \\ & { = i \sum _ { n , n _ { 1 } } \rho _ { n } \langle \Tilde { n } | c _ { i } ^ { \dagger } | n _ { 1 } \rangle \langle n _ { 1 } | U ( t , t ^ { \prime } ) c _ { j } | \Tilde { n } ^ { \prime } \rangle , } \\ & { = i \sum _ { n , n _ { 1 } } \rho _ { n } \langle \Tilde { n } | c _ { i } ^ { \dagger } | n _ { 1 } \rangle \langle n _ { 1 } | c _ { j } | \Tilde { n } ^ { \prime } \rangle e ^ { i \Tilde { E } _ { n _ { 1 } } ( t , t ^ { \prime } ) } . } \end{array}
{ \bar { b } } \Gamma _ { i } c \approx { \bar { b } } _ { v _ { 1 } } \Gamma c _ { v _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 m _ { c } } { \bar { b } } _ { v _ { 1 } } \Gamma _ { i } i \not D _ { 2 } c _ { v _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 m _ { b } } { \bar { b } } _ { v _ { 1 } } \Gamma _ { i } i \not D _ { 1 } c _ { v _ { 2 } } + \cdots \; ,
{ \cal L } _ { \mathrm { m a t . } } = p = - \frac { h ^ { \prime } ( r _ { 0 } ) } { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \sqrt { h ( r _ { 0 } ) } } - \frac { 4 \sqrt { h ( r _ { 0 } ) } } { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } r _ { 0 } } ,
8 \, N _ { c } \, \tilde { F } ( p ^ { 2 } , P ^ { 2 } ) = 3 \, C _ { 2 } ( R ) \, \int \, \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \tilde { \Delta } ( p - q ) \, \tilde { H } ( q ; P )
\P [ A ] \leq \ \P \left[ \frac { 1 } { t } \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { \tau } _ { - 1 } ( E _ { k } + E _ { k } ^ { + } ) > 2 \bar { \tau } _ { - 1 } \epsilon _ { f } + s \right] \leq e ^ { - \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { s ^ { 2 } t } { 2 ( 2 \bar { \tau } _ { - 1 } \nu ) ^ { 2 } } , \frac { s t } { 2 ( 2 \bar { \tau } _ { - 1 } b ) } \right\} } .
\begin{array} { r l } & { < \sigma , I > = \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \int _ { \mathcal { R } } \sigma ( \vec { x } , \nu , T ) I ( \vec { x } , \vec { \Omega } , \nu , t ) \mathrm { d } \nu \mathrm { d } \vec { \omega } , } \\ & { < \sigma , B > = \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \int _ { \mathcal { R } } \sigma ( \vec { x } , \nu , T ) B ( \vec { x } , \vec { \Omega } , \nu , t ) \mathrm { d } \nu \mathrm { d } \vec { \omega } . } \end{array}
\alpha _ { q } = \sqrt { \frac { \sinh \lambda \alpha \alpha ^ { * } } { \alpha \alpha ^ { * } \, \sinh \lambda } } \alpha , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \alpha _ { q } ^ { * } = \sqrt { \frac { \sinh \, \lambda \alpha \alpha ^ { * } } { \alpha \alpha ^ { * } \, \sinh \lambda } } \alpha ^ { * } .
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } \hat { \rho } } & { \rightarrow } & { \left[ \beta _ { n } + \left( \sigma - 1 \right) \frac { \partial } { \partial \alpha _ { n } } \right] P _ { \sigma } } \\ { \hat { a } _ { n } \hat { \rho } } & { \rightarrow } & { \left[ \alpha _ { n } + \sigma \frac { \partial } { \partial \beta _ { n } } \right] P _ { \sigma } } \\ { \hat { \rho } \hat { a } _ { n } } & { \rightarrow } & { \left[ \alpha _ { n } + \left( \sigma - 1 \right) \frac { \partial } { \partial \beta _ { n } } \right] P _ { \sigma } } \\ { \hat { \rho } \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } } & { \rightarrow } & { \left[ \beta _ { n } + \sigma \frac { \partial } { \partial \alpha _ { n } } \right] P _ { \sigma } \, . } \end{array}
\boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } ( \widetilde { \sigma } _ { \beta } ^ { 2 } ) ^ { \frac { \beta } { 2 } } } \frac { h ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 } \frac { 1 } { n } \mathbb { Z } _ { n } ^ { T } \boldsymbol { v } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) ,
\small q _ { \mu } = \frac { \mathrm { d e t } \left[ \ell _ { \hat { \boldsymbol { \psi } } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \ell _ { \hat { \boldsymbol { \psi } } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) , \quad \ell _ { \boldsymbol { \theta } \hat { \boldsymbol { \psi } } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) \right] } { \mathrm { d e t } \left[ \ell _ { \boldsymbol { \psi } \hat { \boldsymbol { \psi } } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) \right] } \left( \frac { \mathrm { d e t } [ j _ { \boldsymbol { \psi } \boldsymbol { \psi } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) ] } { \mathrm { d e t } [ j _ { \boldsymbol { \theta } \boldsymbol { \theta } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) ] } \right) ^ { 1 / 2 } \, ,
{ \cal A } _ { 0 } = \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 4 } x \mathrm { T r } ( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ) + \int d ^ { 4 } x \bar { \psi } ( i \partial _ { \mu } \gamma ^ { \mu } - m ) \psi ,
\begin{array} { r l } { V ( r ) = A r + \frac { B } { r } , A } & { { } = - \frac { 1 + \eta ^ { 2 } } { 1 - \eta ^ { 2 } } \Omega , B = \frac { 2 r _ { i } ^ { 2 } } { 1 - \eta ^ { 2 } } \Omega , } \\ { \Theta ( r ) } & { { } = \frac { l n ( r / r _ { i } ) } { l n ( r _ { o } / r _ { i } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - p I _ { t } ^ { \theta } \bigg ( \int _ { \Omega } \partial _ { t } ^ { \theta _ { 1 } } ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \frac { \partial w _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } \bigg ) ^ { p - 1 } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { \geq ( p - 1 ) I _ { t } ^ { \theta } \Big ( w _ { 1 } \omega _ { 1 - \theta _ { 1 } } \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial w _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } \bigg ) ^ { p } d x \Big ) ( t ) + I _ { t } ^ { \theta - \theta _ { 1 } } \bigg ( w _ { 1 } \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial w _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } \bigg ) ^ { p } d x \bigg ) ( t ) } \\ & { - w _ { 1 } ^ { p } ( 0 ) \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial w _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } ( x , 0 ) \bigg ) ^ { p } d x [ I _ { t } ^ { \theta - \theta _ { 1 } } ( w _ { 1 } ^ { 1 - p } ) ( t ) - I _ { t } ^ { \theta } ( w _ { 1 } ^ { 1 - p } \omega _ { 1 - \theta _ { 1 } } ) ( t ) ] } \\ & { - \theta _ { 1 } I _ { t } ^ { 1 - \theta _ { 1 } + \theta } \bigg ( w _ { 1 } ^ { p } \mathcal { W } ( w _ { 1 } ^ { 1 - p } ) \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial w _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } \bigg ) ^ { p } d x \bigg ) ( t ) \quad \mathrm { f o r } \quad \forall t \in [ 0 , T ] , } \end{array}
\operatorname { t a n h } ^ { \prime } = 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } = \frac 2 3 f ^ { \prime } \Big ( \frac { 1 \! + \! \operatorname { t a n h } } 2 \Big ) , \quad \operatorname { t a n h } ^ { \prime \prime } = 2 \operatorname { t a n h } ^ { 3 } - 2 \operatorname { t a n h } = \frac 4 3 W ^ { \prime } \Big ( \frac { 1 \! + \! \operatorname { t a n h } } 2 \Big ) .
\begin{array} { r } { \mathbf { V } _ { \mathrm { A } } = \frac { 1 } { 8 \pi \eta ^ { \mathrm { e } } a } \int _ { \mathcal { S } } d S \, \left[ \mathbf { f } _ { \mathrm { A } } ^ { \| } + \lambda \mathbf { f } _ { \mathrm { A } } ^ { \| } \times \left( \mathbf { I } - \mathbf { n } \mathbf { n } \right) \cdot \mathbf { e } _ { z } \right] , } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \upsilon _ { z } \in \Gamma _ { \mathrm { O p t } } ( \pi _ { 0 , z } ^ { N } , \pi _ { 0 , z } ) } \int W _ { 1 } ( \check { \gamma } _ { 0 } ^ { N } ( \cdot | z _ { 0 } ^ { \prime } ) , \check { \gamma } _ { 0 } ( \cdot | z _ { 0 } ) ) d \upsilon _ { z } ( z _ { 0 } ^ { \prime } , z _ { 0 } ) \rightarrow 0 , \mathrm { ~ a n d ~ } W _ { 1 } ( \check { \sigma } _ { 0 } ^ { N } , \check { \sigma } _ { 0 } ) \rightarrow 0 .
\begin{array} { r } { \log \left( \int \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha } } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) ^ { \alpha } } d \bar { \Pi } ( \eta ) \right) \geq \alpha \int \log \left( \frac { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) } { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) } \right) d \bar { \Pi } ( \eta ) . } \end{array}
_ \mathrm { o u t } \langle \pi ^ { 0 } ( p _ { 1 } ) \pi ^ { 0 } ( p _ { 2 } ) | \gamma ( q _ { 1 } , \epsilon _ { 1 } ) \gamma ( q _ { 2 } , \epsilon _ { 2 } ) \rangle _ { \mathrm { i n } } = i ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( P _ { f } - P _ { i } ) e ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } ^ { \mu } \epsilon _ { 2 } ^ { \nu } V _ { \mu \nu }
\begin{array} { r l } { I = } & { \int _ { N _ { n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \phi ( h ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi ( 1 _ { n } ) f _ { s } ( \gamma u t ( 1 , h ) ) \psi _ { k } ( u ) d u d h } \\ { = } & { \int _ { N _ { n } ( \mathbb { A } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n } ( F ) \backslash N _ { n } ( \mathbb { A } ) } \phi ( n h ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , n h ) ) \Phi ( 1 _ { n } ) f _ { s } ( \gamma u t ( 1 , n h ) ) d n \psi _ { k } ( u ) d u d h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } } & { { } = \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { i j } ^ { \circ } \left( \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { j } ^ { \left[ \gamma \right] } + \left( 1 - \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { j i } ^ { \circ } \left( \beta \right) \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } ; } \\ { \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } } & { { } = 1 } \end{array}
L ( W ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) = \ell n \left[ 1 + \frac { a } { ( 1 + Q ^ { 2 } / Q _ { s \, l } ^ { 2 } ) ^ { d _ { s l } } } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { x m ^ { 2 } } \right) ^ { \epsilon } \, \right] \ .
= - 2 \pi b _ { 0 } \int _ { \Sigma } + \beta ^ { - 1 } \int _ { \Sigma } \left[ \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } R _ { \Sigma } + ( \gamma _ { 3 } + \gamma _ { 4 } \beta ^ { - 2 } ) R _ { \mu \nu } n _ { i } ^ { \mu } n _ { i } ^ { \nu } + ( \gamma _ { 5 } + \gamma _ { 6 } \beta ^ { - 2 } ) R _ { \mu \nu \lambda \rho } n _ { i } ^ { \mu } n _ { i } ^ { \lambda } n _ { j } ^ { \nu } n _ { j } ^ { \rho } \right] ~ ~ ~
\langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \rangle = \cos ( 2 z ) \langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } ^ { \prime } \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } ^ { \prime } \rangle + \sin ( 2 z ) \left( \langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } \rangle - \langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } \rangle \right) .
\theta _ { i } ( \tau ) = \chi _ { \textbf { R } + \textbf { b } _ { i } } ( \tau ) - \chi _ { \textbf { R } } ( \tau ) = \frac { m } { \hbar } \textbf { b } _ { i } \cdot \dot { \textbf { r } } _ { m } ( \tau )
G _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \frac { | \tau - \tau ^ { \prime } | } { T } ( T - | \tau - \tau ^ { \prime } | ) , \quad \frac { \partial } { \partial \tau } G _ { B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = s i g n ( \tau - \tau ^ { \prime } ) - { \frac { 2 ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } { T } } .
S _ { i } = - \frac { \Delta E _ { i } } { \Delta L } = 2 \pi \rho Z m _ { 0 } r _ { e } ^ { 2 } \frac { c ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } . \ln \left( \frac { ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } ( \gamma + 1 ) m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { 2 I ^ { 2 } } + 1 - \beta ^ { 2 } + \frac { \frac { \gamma ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 8 } - ( 2 \gamma \beta + 1 ) \ln 2 } { ( \gamma \beta + 1 ) ^ { 2 } } - \delta - 2 \frac { \zeta } { Z } \right)
\boldsymbol { m } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = \boldsymbol { m } ( \boldsymbol { \theta } _ { n } ) + \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { n } ) + o ( \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { n } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) ,
\hat { \phi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \Psi [ \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] = \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \Psi [ \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] \; \; ; \; \; \hat { \pi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \Psi [ \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] = - i \hbar \frac { \delta } { \delta \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } \Psi [ \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] \; .
\begin{array} { r l r } { \vert w ( k _ { n } , s ) \vert } & { \le \tilde { w } ( n ) } & { \vert n \vert \ge 2 } \\ { \vert u _ { 3 } \vert } & { \le \tilde { w } ( 1 ) = \tilde { w } ( - 1 ) } \\ { \vert j ( k _ { n } ) \vert } & { \le 2 e ^ { - \frac 1 2 \kappa \xi \eta ( s - \tilde { s } _ { 0 } ) } j ( k _ { n } , \tilde { s } _ { 0 } ) + 4 \frac { 1 } { \beta \eta ^ { 2 } } \tilde { w } ( n ) . } \end{array}
\Delta H = \int _ { S _ { 1 } } ^ { S _ { 2 } } \left( { \frac { \partial H } { \partial S } } \right) _ { P } \mathrm { d } S + \int _ { P _ { 1 } } ^ { P _ { 2 } } \left( { \frac { \partial H } { \partial P } } \right) _ { S } \mathrm { d } P
I _ { 0 } ( u , \mu ) = { \frac { 1 } { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } ) } } \mu ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } \left\{ \Gamma ( - { \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { 2 } F ( - { \frac { 1 } { 4 } } , - { \frac { 1 } { 4 } } ; { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { u ^ { 2 } } { 4 \mu ^ { 2 } } } ) - { \frac { u } { \mu } } \Gamma ( { \frac { 1 } { 4 } } ) ^ { 2 } F ( { \frac { 1 } { 4 } } , { \frac { 1 } { 4 } } ; { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { u ^ { 2 } } { 4 \mu ^ { 2 } } } ) \right\} .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } E _ { t } - \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + \bar { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 3 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } D _ { l } + 2 \eta \alpha _ { t } A _ { t } + 4 \hat { L } ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } B _ { t } + 4 \eta \alpha _ { t } G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { a } + \textbf { b } } & { : = ( a _ { 0 } + b _ { 0 } , \dots , a _ { n } + b _ { n } , \dots ) , } \\ { \lambda \cdot \textbf { a } } & { : = ( \lambda a _ { 0 } , \dots , \lambda a _ { n } , \dots ) , } \\ { \textbf { a } \otimes \textbf { b } } & { : = ( c _ { 0 } , \dots , c _ { n } , \dots ) , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { e l l i p t i c a l \ c r a c k } } = \sigma _ { \mathrm { a p p l i e d } } \left( 1 + 2 { \sqrt { \frac { a } { \rho } } } \right) = 2 \sigma _ { \mathrm { a p p l i e d } } { \sqrt { \frac { a } { \rho } } }
b _ { { \mathbf { k } } _ { l } } ^ { \dagger } | 0 _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , 0 _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , 0 _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . 0 _ { { \mathbf { k } } _ { l } } , . . . \rangle = | 0 _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , 0 _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , 0 _ { { \mathbf { k } } _ { 3 } } . . . 1 _ { { \mathbf { k } } _ { l } } , . . . \rangle
\int { \frac { \cosh ^ { n } a x } { \sinh ^ { m } a x } } d x = - { \frac { \cosh ^ { n + 1 } a x } { a ( m - 1 ) \sinh ^ { m - 1 } a x } } + { \frac { n - m + 2 } { m - 1 } } \int { \frac { \cosh ^ { n } a x } { \sinh ^ { m - 2 } a x } } d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } m \neq 1 { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } & { P _ { 1 } = \left( a e ^ { - j k x _ { 1 } } + b e ^ { j k x _ { 1 } } \right) e ^ { j \omega t } } \\ & { P _ { 2 } = \left( a e ^ { - j k x _ { 2 } } + b e ^ { j k x _ { 2 } } \right) e ^ { j \omega t } } \\ & { P _ { 3 } = \left( c e ^ { - j k x _ { 3 } } + d e ^ { j k x _ { 3 } } \right) e ^ { j \omega t } } \\ & { P _ { 4 } = \left( d e ^ { - j k x _ { 4 } } + d e ^ { j k x _ { 4 } } \right) e ^ { j \omega t } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { N \cdot D _ { N } ^ { * } \left( W _ { 1 } , W _ { 2 } , \ldots , W _ { N } ; R ^ { \prime } \right) } \\ & { = N \cdot D _ { N } ^ { * } \left( W _ { 1 } , W _ { 2 } , \ldots , W _ { N } ; T ^ { \prime } \right) } \\ & { = | \sum _ { j = 1 } ^ { | L | } \chi _ { j } - N ( \sum _ { j = 1 } ^ { | L | } \lambda ( \Omega _ { j } \cap T ^ { \prime } ) ) | . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathbb { E } \tilde { Y } _ { 4 b } | \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } } \sum _ { i \ell } \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 3 } \| \theta \| _ { 2 } \cdot \theta _ { i } \theta _ { \ell } \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { F } _ { r } = \tilde { \Phi } _ { r } ( x _ { 1 } - z _ { 1 } , x _ { 2 } - z _ { 1 } ) \frac { 1 } { D _ { p _ { r } } ( x _ { 2 } ) \exp ( x _ { 2 } ^ { 2 } / 4 ) } \exp \left[ \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + ( 1 + \beta _ { r } ) \frac { z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \right]
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \phi ( r ) d ^ { 3 } r } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } \left( \frac { Q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 3 } } - \frac { Q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 2 } r } \right) 4 \pi r ^ { 2 } d r } \\ & { = } & { \frac { Q } { \epsilon _ { 0 } } \left[ \frac { r ^ { 3 } } { 3 r _ { 0 } ^ { 3 } } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 r _ { 0 } ^ { 2 } } \right] _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } } \\ & { = } & { - \frac { Q } { 6 \epsilon _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \sum _ { j = l } ^ { \infty } \frac { \prod _ { k = l } ^ { l + n - 1 } | \beta ( k ) | ^ { 2 } } { \prod _ { k = j } ^ { j + n } | \beta ( k ) | ^ { 2 } } \cdot \frac { | \mu ( j ) | ^ { 2 } } { | \mu ( l ) | ^ { 2 } } \cdot \frac { w ( l ) } { w ^ { \prime } ( j ) } } & & { n \ge 0 } \\ & { \sum _ { j = l } ^ { \infty } \frac { \prod _ { k = j + n + 1 } ^ { j - 1 } | \beta ( k ) | ^ { 2 } } { \prod _ { k = l + n } ^ { l - 1 } | \beta ( k ) | ^ { 2 } } \cdot \frac { | \mu ( j ) | ^ { 2 } } { | \mu ( l ) | ^ { 2 } } \cdot \frac { w ( l ) } { w ^ { \prime } ( j ) } } & & { n < 0 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \nu _ { 1 } ^ { n } + \nu _ { 2 } ^ { n } + \nu _ { 3 } ^ { n } = ( \lambda _ { 0 } + \kappa _ { 0 } ) i n + 3 \bar { u } } \\ { \nu _ { 1 } ^ { n } \nu _ { 2 } ^ { n } + \nu _ { 2 } ^ { n } \nu _ { 3 } ^ { n } + \nu _ { 3 } ^ { n } \nu _ { 1 } ^ { n } = - [ \lambda _ { 0 } \kappa _ { 0 } n ^ { 2 } - 2 ( \lambda _ { 0 } + \kappa _ { 0 } ) \bar { u } i n - 3 \bar { u } ^ { 2 } + \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } + R \bar { \theta } ] } \\ { \nu _ { 1 } ^ { n } \nu _ { 2 } ^ { n } \nu _ { 3 } ^ { n } = - [ \lambda _ { 0 } \kappa _ { 0 } \bar { u } n ^ { 2 } - ( \lambda _ { 0 } + \kappa _ { 0 } ) \bar { u } ^ { 2 } i n - \bar { u } ^ { 3 } + \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } \bar { u } + R \bar { \theta } \kappa _ { 0 } i n + R \bar { \theta } \bar { u } ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { l o c } } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) } & { = \sum _ { \left\{ \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } \right\} } \left\langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } \left| \hat { \mathcal { H } } \right| \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } \right\rangle \frac { \Psi \left( \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } ; \mathcal { W } \right) } { \Psi \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } = } & { \frac { f _ { j } } { \mathrm { K n } } \left( \frac { x _ { i } x _ { j } } { 4 \pi r ^ { 2 } } - \frac { 2 \ln { r } - 1 } { 8 \pi } \delta _ { i j } \right) } \\ & { + \frac { c _ { p } \mathrm { K n } } { \mathrm { P r } } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \frac { f _ { j } } { 2 \pi } \left( \frac { 2 x _ { i } x _ { j } } { r ^ { 4 } } - \frac { \delta _ { i j } } { r ^ { 2 } } \right) + \frac { h x _ { i } } { 2 \pi r ^ { 2 } } , } \\ { q _ { i } = } & { \frac { g } { 2 \pi } \frac { x _ { i } } { r ^ { 2 } } - \frac { c _ { p } \mathrm { K n } } { \mathrm { P r } } \alpha _ { 0 } \frac { f _ { j } } { 2 \pi } \left( \frac { 2 x _ { i } x _ { j } } { r ^ { 4 } } - \frac { \delta _ { i j } } { r ^ { 2 } } \right) , } \\ { p = } & { \frac { f _ { i } x _ { i } } { 2 \pi r ^ { 2 } } , } \\ { T = } & { - \frac { \mathrm { P r } } { c _ { p } \mathrm { K n } } \frac { g \, \ln { r } } { 2 \pi } , } \\ { \sigma _ { i j } = } & { \frac { f _ { \ell } x _ { \ell } + 2 \mathrm { K n } ( h + \alpha _ { 0 } g ) } { 2 \pi } \left( \frac { 2 x _ { i } x _ { j } } { r ^ { 4 } } - \frac { \delta _ { i j } } { r ^ { 2 } } \right) , } \end{array}